Ж.Ф. Четверихин
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ЙШГУР
В КУРСЕ
ГЕОМЕТРИИ
Учпедгиз • t ч 5Ь

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
Н. Ф. ЧЕТВЕРУХИН
ИЗОБРАЖЕНИЯ ФИГУР
В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
И СТУДЕНТОВ
ИЗДАНИЕ 2-е, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва —1958

Н. Ф. Четверухин
Изображения фигур в курсе геометрии
Редактор Л. Г. Немцова
Переплет художника А. М. Гельфера
Технический редактор А. Ф. Федотова
Корректор М. В. Голубева
Сдано в набор 2/1 1958 г. Подписано к печати 19/VIII 1958 г. 60Х9271б-
13У2 п. л. Уч.-изд. л. 12,37. Тираж 20 000 экз. А 07387. Заказ № 3062.
Цена без переплета 3 р. 70 к., переплет 1 р. 50 к.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Учпедгиз.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга является откликом на многочисленные
устные и письменные выступления преподавателей, указывавших
на те трудности, которые возникают при выполнении чертежей
в условиях аудиторных занятий. Изучение этого вопроса привело
автора к ряду выводов, послуживших основанием для
составления предлагаемого пособия. Вопросы, освещенные в нем,
обсуждались в кабинете методики математики Института методов
обучения Академии педагогических наук, в Институте
усовершенствования учителей и других педагогических организациях и
встретили сочувственное отношение. Это побудило автора
передать свой труд в печать. Считая его, однако, требующим
дальнейшей разработки, автор будет благодарен за все советы и
указания, которые ему пожелают сделать читатели и педагоги-
практики.
При подготовке книги к печати большая работа была
проделана А. В. 3 а н с о х о в ы м, редактировавшим книгу по линии
издательства, и Н. А. Меделяновским, выполнявшим чер-
тежно-графическую часть. Следует также отметить содействие
выходу книги в свет со стороны редактора математики Учпедгиза
А. Н. Барсукова.
Всем указанным лицам я приношу свою искреннюю
благодарность.
,д Н. Четверухин.
Москва, rj
14 марта 1945 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
С момента выхода первого издания этой книги (Учпедгиз, М.,
1946) прошло уже более 10 лет. За это время появилось большое
количество работ, посвященных вопросам изображения фигур на
проекционном чертеже и геометрическим построениям в
пространстве. Журнал «Математика в школе» в 1956 г. (№ 4, 5 и 6)
з

опубликовал ряд статей, в которых был обобщен опыт работы
учителей средней школы по этим вопросам.
Проблема изображения фигур и использование этих
изображений имеет весьма существенное и притом двоякое значение
для преподавания геометрии. С одной стороны, изображения
геометрических фигур и изучаемых закономерностей делают
преподавание геометрии наглядным, а усвоение ее более конкретным
и практически ценным. В этом случае роль геометрических
изображений иллюстративная и их можно поэтому назвать
иллюстрирующими чертежами. С другой стороны,
изображения фигур могут применяться как средство решения какой-
либо геометрической задачи. Тогда мы имеем дело с
чертежами решающими.
В обоих случаях для изображения геометрических фигур
пользуются методом проектирования и полученные чертежи
называют «проекционными чертежами». Однако различие в
назначении и применении проекционных чертежей вносит
существенные изменения в предъявляемые к ним требования. Для
иллюстративных чертежей наибольшее значение имеет их наглядность
и простота выполнения. Для решающих чертежей необходима
достаточная полнота и точность соответствующего изображения,
позволяющие реализовать решение задачи.
В настоящей книге рассматриваются способы построения и
применения иллюстративных чертежей в практической
деятельности преподавателя. Обоснование предлагаемых методов
изображения потребовало развития ряда теоретических положений.
Эти последние оказались полезными в различных областях
применения проекционных изображений (в том числе и в технике),
но их разработка и исследование были вызваны к жизни
проблемами педагогического характера.
Что же касается решающих чертежей и их применения в
преподавании геометрии, то этим вопросам была посвящена другая
работа автора «Стереометрические задачи на проекционном
чертеже» (изд. 3, Учпедгиз, М., 1955).
Автор будет весьма благодарен читателям за все те
замечания и советы, которые они пожелают ему сделать после ознаком-
.ления с настоящей книгой.
Н. Четверухин.
Москва,
20 февраля 1957 г.

ВВЕДЕНИЕ
В преподавании геометрии большое значение имеет
наглядность изучаемого материала и его конкретизация путем
моделирования или применения других изобразительных средств.
Чаще всего преподаватель иллюстрирует свое изложение при
ломощи изображений, выполняемых мелом на классной доске.
Специфические особенности и трудности построения таких
изображений подробно проанализированы в главе I этой книги.
Коротко дело заключается в следующем. Преподаватель,
сопровождающий изложение материала чертежами геометрических
фигур, не может применять для этой цели какую-нибудь из
известных проекций начертательной геометрии, так как это
потребовало бы от него специальных построений и даже
решения конструктивных задач, связанных с избранным способом
проектирования. Течение учебного процесса и порядка
изложения естественно не могут быть нарушены такого рода
сторонними для него построениями и задачами. Последние по большей
части неизвестны и непонятны для учащихся, да и времени на
это не имеется. Отсюда ясно, что выполнение иллюстративных
чертежей в какой-либо определенной проекции, в процессе
преподавания по большей части невозможно. На практике
преподаватель находит выход в произвольном выполнении изображений,
заботясь главным образом о том, чтобы они создавали
наглядность и помогали учащимся понять и мысленно представить
соответствующие геометрические закономерности. Однако такая
практика, не опирающаяся на теорию, приводит к
многочисленным ошибкам. Часто преподаватель сам не замечает и не
подозревает, что его чертежи неверны. Такими же они окажутся и
в тетрадях учащихся. Пользование неверными чертежами
приводит к тому, что еще слабая интуиция учащихся не
укрепляется, а, наоборот, направляется в неправильную сторону при
частом употреблении таких чертежей.
Таковы те трудности, которые встречает преподаватель
геометрии в своей практической работе. Стремления автора
настоящей книги были направлены к тому, чтобы найти
удовлетворительное решение этой задачи.
5

Основная мысль работы, обосновывающая такую
возможность, заключается в следующем. Обычные методы теории
проекций оказались непригодными в данном случае потому, что он»
предполагают предварительный выбор проектирующего
аппарата и положения объекта, а это делает задачу построения
изображения определенной и не допускающей произвола при ее
решении. В результате появляется необходимость производить
построения, не имеющие отношения к излагаемому материалу.
Отсюда естественно напрашивается вывод о необходимости
перестроить процесс выполнения изображений, отнеся элементы
предварительного выбора к самому изображению и сведя задачу
к определению по этому изображению соответствующего
аппарата проектирования. Так как на практике решения этой
последней задачи обыкновенно не требуется, то дело сводится лишь
к учету расходуемых параметров изображения с тем, чтобы
последнее оставалось верным, т. е. представляло бы собой какую-
либо проекцию изображаемого объекта.
Такой учет параметров приходится начинать с позиционных
свойств 1 изображенной фигуры, а именно: установить,
определяет ли данное изображение все эти свойства вполне или же
некоторые из них не вытекают из него и могут быть выбраны
произвольно. Отсюда возникает необходимость исследовать
изображение с точки зрения его полноты (или неполноты), выражая
результат в численном виде (коэффициент неполноты). Этим
вопросам посвящена глава III книги2.
В следующих главах, IV и V, речь идет о метрической полноте
или неполноте изображения, или иначе метрической
определенности изображения. При этом рассматривается вопрос о том,
в какой мере данное изображение определяет не только
позиционные, но и метрические свойства изображаемого объекта.
В главе IV исследуются полные изображения с точки зрения
их метрической определенности. Соответствующий коэффициент
называется параметрическим числом. Это число показывает, что
данное изображение не вполне определяет метрические свойства
объекта и имеется некоторый запас параметров, которые могут
быть израсходованы при дальнейшем выполнении изображений.
В то же время следует параметрировать все операции,
выполняемые на чертеже, чтобы иметь точное представление о
возможности свободного выбора неиспользованных параметров.
Наконец, необходимо принимать во внимание области существования
параметров с тем, чтобы выполняемое изображение было
действительной проекцией оригинала.
1 Под позиционными свойствами мы разумеем те, которые связаны
только с расположением фигур и их элементов в пространстве. Свойства же,
связанные с измерением каких-либо геометрических величин (длин, углов,
площадей и т. п.), мы будем в дальнейшем называть метрическими.
2 Глава II посвящена изложению некоторых сведений из теории
проекций,
6

Понятно, что чем больше неполнота данного изображения,
тем больше число параметров, которыми мы располагаем для
дальнейших построений. Это увеличивает параметрическое число
изображения. Так, для неполного изображения имеет место
формула:
где через р, р и k обозначены соответственно параметрические
числа полного и неполного изображений и коэффициент
неполноты неполного изображения.
Таким образом, при выполнении иллюстративных чертежей
выгодно пользоваться неполными изображениями как имеющими
больший запас свободных параметров, которые могут быть
использованы при построении изображения. Этому вопросу
посвящена глава V.
Наконец, в главе VI рассматриваются полные и неполные
изображения в случае ортогонального проектирования.
Ортогональное проектирование необходимо при изображении шара, так
как только при этом проектировании очертанием шара является
окружность и мы получаем привычное, наглядное изображение
шара. Поэтому изображения, содержащие очертание шара,
выполняются обыкновенно^ в ортогональной проекции и являются
менее произвольными (р = 3).
Вследствие этого к ним в меньшей степени применим
принцип произвольного выбора элементов. Как видно из примеров,
разобранных в главе VI, в этих построениях приходится иногда
обращаться к неизбежным конструкциям метрически
определенных изображений.
Стремясь вооружить преподавателей необходимыми
сведениями для самостоятельного выполнения верных изображений,
автор подытожил практические и педагогические выводы в
заключительной, VII, главе своей работы, в которой разобраны
примеры применения параметрического метода построения
изображений к обычному материалу педагога средней школы. Изучив
эти примеры, заимствованные по своей тематике главным
образом из «Сборника задач по стереометрии» Рыбкина,
преподаватель сможет самостоятельно работать над выполнением
верных изображений. При этом не надо забывать, что работа эта
требует тщательной подготовки и продумывания каждого
чертежа, а иногда и значительной затраты времени. Без этого
нельзя добиться верных, наглядных и легко выполнимых в
классной обстановке чертежей.

ГЛАВА 1
ПРОБЛЕМА ИЗОБРАЖЕНИЯ ФИГУР В УСЛОВИЯХ
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
§ 1. ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
О ПОСТРОЕНИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Преподаватели многих дисциплин и в особенности препода-
ватели стереометрии и начертательной геометрии на своих
уроках или лекциях широко пользуются наглядными изображениями
фигур, играющими определенную роль в педагогическом
процессе. Эти наглядные изображения не только облегчают
понимание и усвоение учащимися рассуждений и выводов
преподавателя, объясняющего теорему или решающего задачу, но, что
особенно важно, они вызывают у учащихся пространственное
представление изучаемых соотношений и придают последним
конкретную геометрическую форму. В такой форме материал
запоминается прочнее и с большей пользой. С другой стороны,
верный чертеж помогает найти правильное решение задачи;
наоборот, неверное изображение может толкнуть учащегося на
неправильный путь. Особенно же велико значение изображений
пространственных фигур в воспитании пространственного
воображения у учащихся, в выработке у них более тонкого, более
развитого пространственного мышления, столь необходимого
в условиях современной сложной техники.
Отсюда ясно, что педагогический процесс предъявляет к
изображениям ряд требований, которые вызываются
специфическими задачами и условиями преподавания. Нельзя игнорировать
эти требования без ущерба для дела. Казалось, можно было бы
воспользоваться для построения изображений хорошо и детально
разработанными методами начертательной геометрии. Однако
эти методы, вызванные к жизни проблехмами преимущественно
технического характера, не предназначены для применения
в педагогической работе и не приспособлены к условиям, в
которых протекает педагогический процесс.
Чтобы сделать более ясным это различие, попытаемся
сформулировать те требования, которым должны удовлетворять
изображения, выполняемые преподавателем в его педагогической
8

работе. В самой общей форме они могут быть сведены к
следующим трем:
1. Изображение должно быть верным1, т. е. должно
представлять собой одну из проекций изображаемой фигуры
(оригинала).
2. Изображение должно быть наглядным, т. е. вызывать
пространственное представление оригинала.
3. Изображение должно быть простым для выполнения, т. е.
оно не должно содержать каких-либо построений, не имеющих
отношения к теме педагогического процесса. В частности, оно
должно быть свободно от тех конструкций, которые связаны
с выбором проектирующего аппарата.
Что касается первого из этих условий, то оно является общим
для изображений, где бы они ни применялись. Различие
заключается лишь в степени строгости и точности выполнения этого
условия. Так, в технике предъявляются особенно строгие
требования к соблюдению в чертежах правил проектирования, так как
без этого было бы невозможно точно восстановить по чертежам
изображенный на них оригинал. В живописи или в рисунке
правила перспективы соблюдаются «в принципе», но техническое
выполнение этих правил более свободно, и точности построений
обыкновенно здесь не требуется. В педагогической работе
особенно важно соблюдение принципиальной верности изображений,
так как отход от этого имеет пагубное влияние на
пространственное представление учащихся. В этом часто бывают повинны не
только преподаватели, поставленные в трудные условия классной
работы, но и авторы, учебники которых нередко пестрят
неверными изображениями 2.
Глаз человека видит предметы такими, как если бы они были
спроектированы из его оптического центра. Отсюда ясно, что
изображения, дающие наиболее естественное представление о
предмете (оригинале), должны быть построены по правилам
проекции, приближающейся к аппарату человеческого зрения. Такой
проекцией является центральная проекция' (перспектива) при
условии, что глаз наблюдателя совпадает с центром проекции.
Однако этому условию нельзя удовлетворить в обстановке
классного преподавания, когда изображение (мелом на доске)
рассматривается учащимися из разных точек. Поэтому
целесообразнее выбрать нейтральную точку зрения, не зависящую от
расположения учащихся в аудитории 3. К тому же следует учесть,
что мы обыкновенно смотрим на предмет спереди, т. е. видим его
расположенным фронтально. Следовательно, можно остановиться
1 Мы предпочитаем пользоваться термином верное изображение вместо
правильное, так как слово «правильный» часто употребляется в математике
в других смыслах (например, «правильная призма» и т. д.).
2 Примеры таких изображений читатель встретит далее.
3 См. Н. Ф. Четверухин, Введение в высшую геометрию, § 85, М.,
1935.
9

на параллельной проекции [центр проекций — бесконечно
удаленная (несобственная) точка], близкой к ортогональной,
а иногда именно ортогональной К
Особенно же важным аргументом в пользу параллельной
проекции является значительная простота построений в этой
проекции по сравнению с перспективой. Если принять во
внимание, что наглядное изображение куба в перспективе должно
быть близким к изображению куба в (подходяще выбранной)
параллельной проекции (так как последнее производит на нас
Д
И
Черт. 1.
удовлетворительное впечатление), то станет ясным, что по
крайней мере некоторые из точек схода ребер должны быть весьма
удаленными, а следовательно, недоступными или неудобными для
построений (точки Л и В на черт. 1) 2. Таким образом, в классной
работе следует предпочесть параллельную проекцию, которая
почти всегда и применяется в практической работе педагогами 3.
Допуская возможность различного решения вопроса о выборе
проекции, мы, однако, будем считать своего рода «постулатом»
принцип верности изображения, т. е. будем считать
обязательным требование, чтобы изображение представляло собой одну из
проекций оригинала. Связь таких изображений с их оригиналами
1 Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 3.
2 Если сравнить это перспективное изображение куба (черт. 1) с его
изображениями в параллельной проекции (черт. 3 и 4), то окажется, что
последние более наглядны.
3 О выборе проекции для изображения пространственных фигур в
преподавании см. книгу М. Л. Франк, Геометрический чертеж в курсе
стереометрии, Л., 1941.
10

является прочной и логически обоснованной. Что же касается
технического выполнения чертежа, например, мелом на доске, то
этот вопрос находится в зависимости от характера текущего
педагогического процесса. Здесь можно допустить значительный
диапазон колебания: от тщательно, с инструментами (классные
линейка, угольник, циркуль) выполняемых построений на доске
(в случаях, когда, например, требуется найти «эффективное» 1
решение той или иной задачи на построение в пространстве) до
наглядного чертежа-рисунка «от руки», предназначенного дать
лишь пространственное представление изображаемой фигуры.
Переходя ко второму из трех перечисленных выше
требований — наглядности изображения, заметим, что оно является
весьма существенным в педагогической работе. В технических
чертежах наглядность также, конечно, желательна, а иногда и
необходима (например, перспективное изображение
архитектурного сооружения), однако наиболее распространены чертежи,
в которых оригинал проектируется ортогонально на три взаимно
перпендикулярные плоскости (план, передний и боковой виды).
При этом очень часто
наглядность приносится в
жертву удобоизмеримости
чертежа. Преподаватель •
же, выполняющий
чертежи в процессе
преподавания, стремится сделать их
возможно более
наглядными, так как его
важнейшей задачей является
вызвать у слушателей
пространственное
представление изучаемых
геометрических соотношений. Не следует при этом смешивать
наглядность с верностью изображений. Изображение может быть
верным, но совершенно не наглядным. Так, хорошо известно, что
окружность может изобразиться в виде отрезка, куб — в виде
квадрата и т. д. Эти изображения верны, так как они являются
проекциями своих оригиналов, при некоторых положениях
последних, но они, конечно, не могут быть названы наглядными.
В одном методическом пособии по геометрии 2 приведены
следующие примеры изображений, которые авторы пособия
квалифицируют как неправильные и неграмотные (черт. 2). Однако
приведенные изображения представляют собой некоторую проек-
Черт. 2.
1 «Эффективным» решением задачи на построение в пространстве мы
называем такое, при котором искомый элемент строится на плоскости,
изображения в результате действительных (а не воображаемых) конструктивных
операций.
2 Р. В. Гангнус и Ю. О. Гурвиц, Геометрия (методическое
пособие), ч. II (Стереометрия), М., 1936, стр. 67.
11

цию (так называемую «военную перспективу») своих оригиналов.
Такая проекция получится, если фигуру (пирамиду и призму)
спроектировать на плоскость ее основания косоугольно. Поэтому
они являются верными и правильными, хотя и не обладают
свойством наглядности. Можно ли рекомендовать такие
изображения для применения в педагогической работе? Большей
частью нет; они недостаточно наглядны, и у людей, не
привыкших к такому способу изображения, вызовут недоумение.
Если изображение содержит ошибки, т. е. не является
верным, то его нельзя считать наглядным, так как оно вызывает
неправильное представление об оригинале (примеры таких
изображений будут приведены в дальнейшем).
Итак, требование наглядности изображения остается весьма
существенным в педагогическом процессе и лишь в случаях
крайней необходимости (если, например, вполне наглядное
изображение является слишком сложным для выполнения и требует
много времени) можно удовлетвориться менее наглядным, но
более простым для исполнения чертежом.
Переходим к последнему условию, которому должны
удовлетворять педагогические изображения, т. е.- к требованию
освобождения изображения от всех построений, посторонних теме
преподавания. Это требование является специфическим для
педагогического процесса. Именно оно резко выделяет задачу
построения педагогических изображений среди других задач
начертательной геометрии, связанных главным образом с развитием
техники и живописи.
Всякому преподавателю ясно, что течение педагогического
процесса не может быть прервано без ущерба для дела
посторонними вопросами, нарушающими ход изложения и отвлекающими
внимание учащихся. Если преподаватель в соответствии с
развитием темы сопровождает свое изложение чертежом,
помогающим понять и усвоить материал, то он не должен, конечно, при
выполнении чертежа производить какие-либо другие построения,
кроме тех, которые вызываются ходом рассуждения. К тому же
эти построения должны следовать именно в том порядке, в
котором протекает изложение темы. В этом-то и заключается
особенность и трудность выполнения педагогических изображений.
Как мы условились, изображения должны быть верными, т. е.
они должны представлять собой проекцию оригинала. С другой
стороны, выбрать какой-либо метод проектирования и по
правилам этого метода строить изображение, т. е. поступать так, как
учит начертательная геометрия, невозможно, ибо в этом случае
будет неизбежно нарушено третье условие педагогических
изображений, а вместе с тем и самый процесс преподавания. В самом
деле, построение изображения по правилам какого-либо заранее
избранного метода проектирования потребует выполнения тех
или иных графических операций, решения определенных
конструктивных задач, которые останутся совершенно непонятными^
12

для учащихся, помешают изложению учебного материала и
потребуют затраты времени, не имеющегося в распоряжении
преподавателя. Таковы те трудности, которые возникают у
преподавателей при выполнении ими учебных изображений.
Как же пытается разрешить этот вопрос учебно-методическая
литература? Часто рекомендуется пользоваться тем или иным
методом проекций и по правилам этого метода выполнять
изображения пространственных фигур в педагогической работе. При
этом почти всегда выбирается параллельная проекция,
косоугольная или ортогональная. Чаще других пользуются так называемой
«кабинетной» (или «фронтальной») проекцией К В этой же
проекции плоскостью изображений служит фронтальная плоскость
(передний вид), параллельно которой располагаются оси О'У и
O'Z' натуральной системы осей O'X'Y'Z' в пространстве2.
Поэтому отрезки, лежащие на этих осях, как и все вообще отрезки
плоскости O'Y'Z', изображаются без искажения. Третья ось
О'Х' изображается биссектрисой ОХ прямого угла OYZ между
двумя другими аксонометрическими осями, причем отрезки оси
0'Х' при проектировании сокращаются обыкновенно в два раза.
Черт. 3.
Это вполне определяет направление проектирования в
кабинетной проекции. На чертеже 3 дано изображение куба в такой
проекции.
Наряду с кабинетной рекомендуют также другие виды
проекций, например ортогональную диметрическую проекцию
1 Г. А. Владимирский, Каким должен быть чертеж преподавателя
геометрии, «Математика в школе», вып. 3, 1941.
Р. В. Гангнус и Ю. О. Гурвиц, Геометрия (методическое пособие),
ч. II (Стереометрия), М., 1936, стр. 67.
Г. А. Назаревский, О развитии пространственных представлений
на уроках геометрии, «Математика в школе», 1951, № 5; 1953, № 3.
2 Условимся обозначать элементы пространства теми же буквами, что
и соответствующие элементы изображения, но с добавлением знака «штрих».
13

с отношением показателей искажения u : v : w = -к :1:1.
Изображение куба в этой проекции дано на чертеже 4.
Некоторые авторы, отмечая недостатки упомянутых методов
проектирования (не видно диагональной плоскости куба и др.)»
предлагают другие виды проекций 1. Очень редко предлагают
выполнять изображения в центральной проекции с собственным
центром проектирования 2, так как в условиях педагогического
процесса такое
проектирование оказывается
слишком сложным 3.
Таким образом,
предложения различных авто-
! | | ров о возможности
использования в школьной
практике того или другого
вида проекций не
разрешили основной задачи:
найти простые
легкоосуществимые методы
построения изображений,
которые можно было бы
применять в учебном процессе.
Однако в последние годы положение значительно
улучшилось. Проекционные чертежи, как иллюстративные, так и
решающие, находят все большее распространение в курсе геометрии.
В «Методике преподавания математики», ч. II, вышедшей в
1956 г. под общей редакцией С. Е. Ляпина, этим вопросам
уделено должное внимание (§ 8 «Стереометрический чертеж» и § 12
«Параллельное проектирование и решение задач на
проекционном чертеже»).
Как обстоит дело с изображением фигур в учебной и научной
литературе?
Чертежи и изображения, помещаемые в печатных изданиях,
могут быть выполнены со всей тщательностью в любой проекции,
которая оказалась бы подходящей в данном случае. Требование
(3), столь важное при выполнении изображений в
аудиторной обстановке, здесь совершенно отпадает. Поэтому если все
же мы имеем в нашей и иностранной учебной литературе плохие,
а иногда просто неграмотные чертежи (примеры которых даются
ниже), то единственным объяснением этому является невнимание
авторов и редакторов учебников к этой стороне вопроса,
недооценка ее и непонимание вреда, причиняемого такой
беззаботностью широкому кругу читателей. Такое положение тем более
1 См. третью сноску на стр. 10.
2 Ludomir Wolfke, Rysunek perspektywizny i podstawy geometrji
wykreslnej. Warszawa, 1936.
3 Сравни стр. 9, 10.
^H >—\ x
14

нетерпимо, что мы имеем примеры научных и учебных
руководств, где чертежи и изображения стоят на большой высоте как
в отношении принципиальной верности, так и в отношении их
наглядности. «Наглядная геометрия» Д. Гильберта и С. Кон-
Фоссена 1 является прекрасным образцом научных книг,
обладающих этими достоинствами. В этой книге изображения
пространственных фигур построены по правилам перспективы,
причем часто с целью увеличения наглядности геометрические
образы «овеществлены». Так, например, отрезки прямых линий
Черт. 5.
изображены в виде тонких цилиндров, точки — шариков, а
фигура, состоящая из отрезков, выглядит на чертеже подобно
некоторому каркасу из стержней, скрепленных при помощи
шариков. Наглядность таких изображений пространственных фигур,
конечно, очень велика, но они требуют значительной графической
работы. Применение их в условиях преподавания, конечно,
совершенно невозможно. На чертеже 5 приведено одно из таких
изображений.
§ 2. О МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ, ПРИМЕНИМОМ
В УСЛОВИЯХ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
Остановимся несколько подробнее на том различии, которое
мы можем установить на основании формулированных в
предыдущем параграфе трех условий, между обычным построением
изображения по одному из методов начертательной геометрии
1 Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, ОНТИ,
(перевод с немецкого), М. — Л., 1936.
15

и таким построением изображения, которое в возможно большей
степени отвечало бы требованиям педагогического процесса.
С этой целью будем различать в процессе проектирования
какой-либо фигуры следующие основные факторы:
1. Оригинал, или объект изображения.
2. Проектирующий аппарат (центр проекций и плоскость
изображения).
3. Положение проектирующего аппарата относительно
оригинала.
4. Изображение или проекция.
Основываясь на этих определяющих элементах процесса
проектирования (построения изображения), мы можем сравнить
обычную схему начертательной геометрии, приспособленную к
решению технических задач, со схемой, вытекающей из условий
(1, 2, 3, § 1) педагогического процесса.
Обычная схема построения изображения, применяемая
в начертательной геометрии
(схема I)
Дан оригинал, т. е. изображаемая
пространственная фигура. Выбираем определенный
проектирующий аппарат. Этими данными
изображение вполне определяется и может быть
получено при помощи необходимых построений,
соответствующих выбранному способу
проектирования.
Схема построения изображения, вытекающая из условий
(1, 2, 3, § 1) педагогического процесса
(схема II)
Даны условия, которым должен
удовлетворять оригинал. Проектирующий аппарат и
положение оригинала остаются
неопределенными. Изображение также неопределенно.
Благодаря этому оно может быть выполнено
в известной мере произвольно. Но требование
первое (1) (изображение представляет собой проекцию
оригинала) не должно быть нарушено. При
произвольном выборе элементов изображения
необходимо учитывать влияние такого выбора
на определение оригинала и проектирующего
аппарата.
Сравнение обеих схем показывает их глубокое различие,
вызываемое требованием третьим (3) —освободить процесс
выполнения изображения от дополнительных построений и сделать его
16

по возможности свободным, произвольным. Если бы проекция
была нами заранее выбрана, как это и предполагается в
обычных методах начертательной геометрии, то это повлекло бы за
собой необходимость произвести построения, соответствующие
выбранной проекции. Следовательно, изображение уже не было
бы свободным от посторонних для педагогического процесса
построений, а это, как уже было выяснено, нарушило бы течение
учебного процесса. Поэтому необходимо оставить
неопределенными как проектирующий аппарат, так и положение его
относительно оригинала. Кстати сказать, в рассматриваемом случае
мы не имеем перед собой оригинала при построении
изображения, а имеем лишь ряд условий, которым он должен
удовлетворять (например, изображаем правильную шестиугольную
пирамиду, боковое ребро которой в два раза больше стороны
основания, и т. д.). Эти условия могут определять оригинал вполне
или же отчасти.
Что же касается произвола в построении изображения, то он
не является неограниченным. Это ясно уже из того, что все
проективные свойства оригинала не искажаются при проектировании,
и поэтому мы не можем их изображать произвольно. В
отношении проективных свойств оригинала никакой произвол
недопустим. Иначе обстоит дело с метрическими свойствами оригинала,
которые могут нарушаться и искажаться при проектировании,
причем эти искажения зависят от выбора проектирующего
аппарата и положения оригинала. Таким образом, произвол в
изображении метрических свойств оригинала возможен.
На изображениях, выполненных в соответствии со схемой II,
определяющим фактором являются условия, наложенные на
оригинал. Именно эти условия, дополняющие изображения,
позволяют в большей или меньшей степени определить оригинал,
проектирующий аппарат и положение его относительно
оригинала. На этом основании мы будем называть такие
изображения условными изображениями.
Чтобы еще лучше обнаружить различие между обеими
схемами построения изображений (схемой I и схемой II),
рассмотрим пример.
Пример. Требуется построить в параллельной проекции
изображение правильной треугольной пирамиды, боковое ребро
которой вдвое более стороны основания.
1. Выполним это изображение по правилам фронтальной
(кабинетной) проекции по схеме I (черт. 6). Примем отрезок АС за
натуральную величину стороны основания пирамиды и построим
равносторонний треугольник АВ\С9 который является основанием
пирамиды в натуре. Высота В\В0 этого треугольника изобразится
в кабинетной проекции отрезком ВВ0, равным половине высоты
В\В0(ВВ0 = BiD = DB0) и образующим с отрезком АС угол
<в 45° (или 135°). Следовательно, треугольник ABC изображает
основание пирамиды. Чтобы построить высоту пирамиды, найдем
17

основание высоты О как точку пересечения медиан АА0 и ВВ0
треугольника ABC. Высота пирамиды изобразится отрезком OS,
перпендикулярным к АС. Длина отрезка 05 строится следующим
образом. Находим натуральную величину треугольника BOS.
Для этого проводим OF = 0\Ви строим 0SX J_ OF и засекаем
прямую 0S\ в точке Si так, что FS\ =2АС. Тогда 0S{ и даст
натуральную величину высоты пирамиды. Отложив 05 = 0SU
соединяем точку 5 с точками А, В и С. Получим изображение
Черт. 6.
пирамиды в кабинетной проекции. Это изображение потребовало
выполнения ряда графических построений, что в условиях
педагогического процесса совершенно невозможно.
2) Выполнение того же изображения в соответствии со
схемой II не требует никаких дополнительных построений. В самом
деле, как основание пирамиды ABC, так и вся пирамида SABC
могут быть вычерчены совершенно произвольно, причем следует
лишь позаботиться о наглядности изображения (черт. 7а). Что
такое изображение будет, верным, вытекает из теоремы Польке —
Шварца (см. § 9), которая утверждает, что произвольно
выбранная фигура SABC на изображении всегда является проекцией
оригинальной пирамиды S/A/B/C/ заданной формы. Форма же
пирамиды S'A'B'C вполне определяется начальными данными
18

задачи (правильная треугольная пирамида, боковое ребро
которой вдвое более стороны основания). Чертеж 1а удовлетворяет
требованию (3), равно как и двум другим, поэтому он является
практически пригодным и удобным для педагога. Однако вместе
с тем следует отметить, что изображение (7а) определяет
проектирующий аппарат и его положение относительно оригинала.
Поэтому всякое новое построение на том же изображении уже
не может быть произвольным. Так, например, если требуется на
Черт. 1а. Черт. 16.
том же чертеже (черт. 76) построить сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через ребро АС и перпендикулярной к ребру
BS, то эта задача может быть решена так. Проводим апофему
SAi пирамиды (ВАХ =AYC), Обозначив середину ребра BS через
Сь соединяем точку С\ с точкой С. Треугольник СС\В в
оригинале равнобедренный (так как В'С = В'С\'). Поэтому прямая
BD (CD = DC\) в оригинале перпендикулярна к прямой Cd.
Строим С\Е \\SA\ и находим точку М пересечения прямых С\Е
и BD. Эти прямые в оригинале являются высотами треугольника
В'С'С\\ а точка М — его ортоцентром. Следовательно, прямая
СМ в оригинале перпендикулярна к ребру BS; то же самое,
очевидно, можно сказать и о прямой AN. Таким образом,
треугольник ACN изображает искомое сечение. Вместе с тем угол ANC
является изображением линейного угла при ребре B'S'
пирамиды.
Перейдем ко второму примеру. В книге Б. В.
Романовского «Задача на построение в стереометрии» (Учпедгиз, М.,
1936) принято все фигуры изображать на плоском чертеже по
правилам фронтальной (кабинетной) косоугольной проекции.
Под № 167 в этой книге помещена следующая задача: «Дан
19

прямой трехгранный угол OXYZ. Из точки О опустить
перпендикуляр на плоскость ABC».
1. Для решения этой задачи по правилам кабинетной
проекции автор отсылает читателя к предыдущей задаче № 166. В
последней делается ссылка на задачу № 163 и т. д. Вобщем
решение поставленной выше задачи сводится к четырем
предшествующим задачам. Если взять из них все, что относится к
нашему вопросу, то это и представит решение рассматриваемой
задачи (черт. 8). Так как на
этом чертеже* фигуры, лежащие
в плоскости Y 0'Z\
изображаются без искажения, то
последняя удобна для построения
оригиналов изображаемых
фигур. Так, AOAiB в этой
плоскости является оригиналом для
изображенного на этом чертеже
АО А В. Для его построения
достаточно отложить отрезок
ОА\ = 20А и соединить точки Я
и А\. Затем строим отрезок
OD\ JL А\В. Так как
треугольник ОАВ может быть получен
путем совмещения треугольника
ОАхВ с плоскостью XOY, то
перпендикуляр D\D0
совместится при этом с отрезком D0D
ФА1 OY- D0D\\OX).
Следовательно, перпендикуляр ODt
совместится с перпендикуляром OD в треугольнике ОАВ
(O'D' J_ А'В'). Соединим точки D и С. Получаем треугольник
ODC. Последний совместим с плоскостью OYZt вращая вокруг
оси OZ. Получим оригинальный треугольник OCD2 (OD2 =
= ODx = O'D'). Строим OP\ _L CD2. Чтобы вернуть этот
перпендикуляр ОР\ в то положение, которое он должен иметь до
совмещения с плоскостью OYZ, проводим Р\Е \\ OY и ЕР || OD.
Тогда отрезок ОР и представит перпендикуляр ОР\ в его
первоначальном положении. Таким образом, О'Р' _]_ CD'. Но
плоскость треугольника O'C'D' перпендикулярна к плоскости А'В'С,
так как O'D' _L А'В' и CD' _]_ А'В'. Отсюда заключаем, что
О'Р'1. пл. А'В'С.
Таким образом, задача решена.
2. Теперь применим схему II. В этом случае можно
произвольными прямыми, выходящими из точки О, изобразить ребра
прямоугольного трехгранника O'X'Y'Z'. Пусть это прямые ОХг
OY и OZ (черт. 9). Предположим, кроме того, что изображена
своими следами плоскость ABC. Тогда, как это следует из второй
теоремы существования (см. § 27), основание Р перпендикуляра
20

может быть выбрано произвольно внутри
треугольника ABC.
Таким образом, изображение будет получено без всяких
построений (без решения конструктивных задач). Произвольный
выбор элементов должен быть сделан с таким расчетом, чтобы
получить вполне наглядное изображение.
Рассмотренные примеры с наглядностью показывают, что:
1. Схема II выполнения изображений обладает большими
преимуществами с точки зрения применимости ее в
педагогическом процессе по сравнению со схемой I. В то время как
выполнение изображений по схеме I
требует определенных
построений в соответствии с методом
проектирования, проведение
которых в условиях
педагогического процесса невозможно,
построение изображений по
схеме II легко выполнимо и
заслуживает изучения. с / / ^-^\ '^^^^■-^—y
2. Для применения схемы II
в практической работе
преподаватель должен располагать
способами оценки
неопределенности изображения и связанной Черт. 9.
с этим возможностью
произвольного выбора элементов изображения, а также способами
учета тех условий, которые накладывает такой выбор на
оригинал, его положение и проектирующий аппарат.
Итак, для применения принципов схемы II построения
изображений в условиях преподавания х необходимо иметь теорию,
которая давала бы ответ на следующие основные задачи этого
метода:
1. Оценить степень неопределенности изображения путем
подсчета свободных параметров, не принимая в расчет
метрических условий, наложенных на оригинал (п а р а м е т р а ж.
изображения).
2. Выразить числом параметров каждое условие и каждую
метрическую операцию, выполняемую на изображении (пара-
метраж условий).
3. Определить области существования параметров, т. е.
области тех значений параметров, которым соответствует
действительная проекция.
Эти данные необходимы выполняющему изображения, так
как он должен знать, какими возможностями в отношении
1 Первоначально некоторые соображения по этому вопросу были
высказаны автором еще в 1933 г. в книге «Введение в высшую геометрию» (см..
§ 29 «Значение теоремы Польке в практике педагога-математика»).
21

произвольного выбора элементов изображения он располагает
в любой момент построения. Такие данные он получит из пара-
метража изображения и налагаемых на него условий при
определении одновременно и областей существования выбираемых
элементов.
В дальнейших главах мы даем изложение теории условных
изображений, придерживаясь этого плана. Теория эта вполне
доступна широкому кругу преподавателей. Небольшой объем
геометрических знаний, относящихся к учению о проекциях и
необходимых для лучшего понимания излагаемого материала, дан
в виде отдельной главы (гл. II).
Надо также отметить, что многие вопросы теории условных
изображений (параметраж изображений, области
существования параметров и др.) весьма тесно связаны с понятием полноты
изображения. Ввиду этого, а также самостоятельного интереса и
значения, который представляет вопрос о полных и неполных
изображениях (в частности, для педагогических применений),
мы посвятили ему отдельную главу (гл. III). Следующие главы
содержат основной материал теории* условных изображений,
изложение которого соответствует намеченному выше плану.
Этот материал не может, конечно, считаться исчерпывающим. Он
содержит лишь основные положения теории и применения ее
в наиболее употребительных случаях. В частности, мы
ограничились исследованием вопроса преимущественно для случая
параллельной проекции как наиболее отвечающей условиям применения
в аудиторном преподавании \ предполагая, однако,
рассмотреть общий случай (центральная проекция с собственным
центром) в отдельной работе.
Наконец, нам казалось бы более целесообразным
остановиться на некоторых вопросах как научного, так и методического
характера, связанных с теорией условных изображений, уже
после того как читатель ознакомится с этой теорией подробнее.
Это побудило нас отнести часть педагогических замечаний на
конец работы, объединив их в заключительной главе.
1 Ср. стр. 9, 10.

ГЛА В А II
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ПРОЕКЦИЙ
В настоящей главе в краткой и элементарной форме изложены
некоторые вопросы геометрической теории проекций, знание
которых необходимо для лучшего понимания последующего
материала.
§ 3. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ. ПЕРСПЕКТИВНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
ПЛОСКОСТИ ОРИГИНАЛА С ПЛОСКОСТЬЮ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Предположим, что предмет Т' (оригинал) требуется
спроектировать из точки S (центр проекций) на плоскость а (плоскость
проекций или изображений) (черт. 10). С этой целью поступают
Черт. ю.
следующим образом. Каждую точку оригинала (например,
точку А') соединяют прямой линией с центром S и находят точку
пересечения А прямой A'S (проектирующей) с плоскостью
изображений а. Точка А является изображением точки А'. Таким
путем, имея заданный оригинал Т\ можно построить его
23

центральную проекцию (изображение) Т. Это изображение
называют также перспективой 1 оригинала Т'.
Если глаз наблюдателя поместим в точку S, то впечатление,
производимое на него изображением Г, будет, очевидно,
совпадать с тем, которое производит сам предмет Т'. Отсюда ясно, что
при некоторых условиях центральная проекция может давать
наиболее наглядные изображения 2.
Если фигура Т' — плоская, то между обеими фигурами V и Т
существует соответствие, в котором каждой точке {А') одной
фигуры соответствует точка (А) второй. Это соответствие
называется перспективным. Чтобы лучше видеть свойства
перспективного соответствия,
разберем такой случай.
Предположим, что оригиналом
является простая
фигура — треугольник А'В'С'.
Плоскость этого
треугольника обозначим буквой а
(черт. 11). Центральная
проекция устанавливает
перспективное соответствие
о между плоскостями а' и а,
в котором треугольнику
А'В'С соответствует
треугольник ABC. Каждой
точке плоскости а' соот-
Черт. п. ветствует определенная
точка плоскости а, и
обратно 3. Поэтому можно сказать, что центральная проекция
устанавливает взаимно однозначное соответствие между двумя
плоскими точечными полями а' и о.
При этом каждую фигуру на плоскости о' следует
рассматривать как место точек, которому соответствует перспективная
фигура — место точек на плоскости а. Если, в частности,
рассмотрим, например, прямую Л/В/ на плоскости о', то её
изображение (перспектива) окажется также прямой (прямая АВ* на
плоскости а). В самом деле, проектирующие прямые образуют
в этом случае плоскость A'B'S, которая и пересекает плоскость
чизображений а по прямой АВ. Таким образом, существенным
1 От латинского perspicere — смотреть сквозь.
2 Однако, как было выяснено в предыдущей главе, § 1, стр. 9, 10, в
педагогической работе эти условия невыполнимы; характерным особенностям
педагогического процесса в большей степени соответствует параллельная
проекция.
3 В случае, если луч, проектирующий точку плоскости а', параллелей
плоскости сг, то мы будем считать, что он пересекает последнюю в беско-
1 нечно удаленной (несобственной) точке. Поэтому и в этом случае
сохраняется соответствие точек обеих плоскостей (см. Н. Ф. Четверухин,
Проективная геометрия, § 16, 1953).
24

свойством данного соответствия является следующее: каждой
прямой одного плоского поля соответствует прямая второго поля.
Соответствия, обладающие этим свойством, называются колли-
неациями. Итак, при помощи центральной проекции между
плоскостью а' и плоскостью а установилось соответствие —
перспективная коллинеация.
Заметим, что прямая 5 пересечения плоскости а'и а является
особой прямой в этой коллинеации. Каждая точка этой прямой,
рассматриваемая как оригинал, совпадает со своей проекцией,
а следовательно, и вся прямая сама себе соответствует. Прямая s
называется осью перспективной коллинеации.
Две соответственные прямые перспективной коллинеации
(например, А'В' и АВ) лежат в одной и той же проектирующей
плоскости A'B'S, которая пересекает ось s в точке С0. Отсюда
следует, что и прямые А'В' и АВ проходят через точку С0.
Аналогичное заключение можно сделать и относительно двух других
пар соответственных сторон перспективных треугольников, т. е.
В'С ХВС = А0; С'А' ХСА = В0К
Это положение известно в геометрии под названием
теоремы Дезарга (Desargues):
Если два треугольника А'В'С и ABC расположены в про-
странстве так, что прямые, соединяющие соответственные
вершины, пересекаются в одной точке (S), то:
1) три пары соответственных сторон треугольников
пересекаются в трех точках (Л0, В0 и С0) и
2) эти три точки лежат на одной прямой (оси s).
Справедлива также и обратная теорема.
Мы пришли к перспективным треугольникам при помопщ
центральной проекции, причем обнаружилось, что для этих
треугольников имеют место прямая и обратная теоремы Дезарга.
Можно рассматривать и два треугольника (А'В'С и ABC),
лежащие в одной плоскости. Легко доказывается при помощи
проектирования из какого-либо (не лежащего в плоскости треугольников)
центра проекций, что теоремы Дезарга остаются справедливыми
и в этом случае 2.
Если повернем плоскость а' вокруг оси s, то положение
точечного поля о' по отношению к полю а изменится. Однако
коллинеарное соответствие этих полей не нарушится, причем мы
должны считать соответственными те пары точек, которые были
соответственными до этого изменения. В частности, точкам А'у Вг
и С будут по-прежнему соответствовать точки Л, В и С.
1 Символическая запись, в которой знак X обозначает операцию
пересечения.
2 См. доказательство теоремы Дезарга на плоскости в курсах
проективной геометрии, например: Н. Ф. Четверухин, Проективная геометрия,
1953, стр. 93.
25

Применяя обратную теорему Дезарга к треугольникам А*В'С
и ABC после поворота плоскости а', т. е. в новом положении
коллинеарных полей 1У придем к выводу, что прямые А'В, В'В
и С'С, соединяющие соответственные вершины треугольников,
должны пересекаться в одной точке, которую обозначим
буквой S\. Значит, после поворота плоскости & коллинеарные поля а'
и а оказываются перспективно-расположенными. Следовательно,
перспективная коллинеация этих полей не нарушилась. Не
изменилась, конечно, и ось коллинеации s, но центр коллинеации
занял новое положение (Si).
Предположим далее, что плоскость а' совместилась с
плоскостью о при помощи вращения вокруг оси проекций 5. После
совмещения треугольники ABC и А'В'С окажутся лежащими
в одной плоскости, состоящей из двух совпавших плоскостей
Черт. 12.
(черт. 12) 2. При этом пары соответственных сторон этих
треугольников будут по-прежнему пересекаться в трех точках Л0,
BQ и Со, лежащих на оси соответствия 5. Применяя обратную
теорему Дезарга на плоскости, мы можем утверждать, что
прямые АА', ВВ' и СС, соединяющие соответственные вершины
треугольников, должны проходить через одну точку (5). Итак,
при совмещении плоскостей точечных полей о' и о
перспективная коллинеация этих полей не нарушается. В этом случае ее
называют гомологией, а два соответственных треугольника
A'BfC' и ABC — гомологическими. Точка 5 называется центром
1 Обратим внимание на то, что и после поворота плоскости о' пары
соответственных сторон обоих треугольников будут по-прежнему пересекаться
в трех точках Ло, #о и Со, лежащих на оси коллинеации 5.
2 Ясно, что совмещение может быть выполнено дзояко, причем в одном
случае треугольники ЛВС и А'Ь'С окажутся по разные стороны от оси s,
г. в другом — по одну сторону.
26

гомологии, а прямая 5 (все точки которой сами себе
соответствуют) — осью гомологии.
Как легко видеть, гомология вполне определена, если даны
центр, ось и пара соответственных точек гомологии. Так,
например, будем, считать заданными на чертеже 12 центр 5, ось 5 и
пару соответственных точек (Л, А') гомологии. Тогда для любой
точки В (или В') можем построить ей соответственную точку В'
(или В). Для этого строим прямую АВ и продолжаем ее до
пересечения с осью 5 в точке С0. Так как точка С0 двойная (сама себе
соответствует), то соответствующая прямая А'В' должна
проходить через С0. Значит, точка В' лежит на прямой А'Со, и именно
там, где эту прямую пересекает проектирующая прямая SB.
Отметим также, что кроме точек оси s имеется лишь одна
двойная точка — это центр гомологии 5. Последнее вытекает из
того, что все проходящие через S прямые (проектирующие) —
двойные, т. е. сами себе соответствуют.
§ 4. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ. ПЕРСПЕКТИВНО-АФФИННОЕ
СООТВЕТСТВИЕ ПЛОСКИХ ПОЛЕЙ
Из общего понятия о центральном проектировании небходимо
выделить тот особый и весьма важный случай, когда центром
проекции служит бесконечно удаленная (несобственная) точка Ооо
В этом случае все проектирующие линии как проходящие через
общую несобственную точку Soo являются параллельными.
Поэтому и сама проекция получила название параллельной, в
отличие от центральной проекции (с собственным центром).
Если, как и в общем случае центральной проекции, будем
проектировать параллельно плоскость оригинала а' на плоскость
изображений а, то между точечными полями а' и а установится
перспективное соответствие особого вида, которое называют
перспективно-аффинным (или родственным). Как и в общем
случае перспективной коллинеации, родственное соответствие имеет
своей осью линию пересечения s плоскостей а' и а (черт. 13).
Все точки этой прямой, очевидно, двойные. Центром соответствия
является бесконечно удаленная точка проектирующих
параллельных прямых А'А || В'В ||... Помимо общих свойств, присущих
всякой перспективной коллинеации, перспективно-аффинное
соответствие обладает некоторыми особыми свойствами, а именно: в нем
1) сохраняется параллельность прямых, 2) сохраняется простое
отношение трех точек прямой и др.
Остановимся подробнее на первом из этих свойств. Если две
какие-либо прямые плоского поля о' параллельны
(например: /'||//)> то проектирующие их плоскости также параллельны
(как имеющие по две пары соответственно параллельных прямых:
прямые V || р' и проектирующие линии UL \\ Р'Р) (черт. 14).
Поэтому линии пересечения / и р проектирующих плоскостей
с плоскостью проекций а должны быть параллельными. Итак,
27

параллельным прямым одного плоского поля соответствуют
параллельные прямые второго. Отсюда, между прочим, следует,
что в перспективно-аффинном соответствии параллелограмму
всегда соответствует параллелограмм, трапеции — трапеция.
Так как две параллельные прямые пересекаются в бесконечно
удаленной (несобственной) точке, то свойство инвариантности
(неизменности) параллелизма можно еще формулировать так:
в нашем соответствии каждой бесконечно удаленной точке одного
Черт. 13. Черт. 14.
плоского поля всегда соответствует бесконечно удаленная точка
второго; бесконечно удаленной (несобственной) прямой одного
лоля соответствует несобственная прямая второго.
Переходим ко второму свойству соответствия — сохранению
простого отношения трех точек прямой. Простым отношением
трех точек Л, В и С, лежащих на одной прямой, называют
отношение отрезков: ^г. Пользуются также обозначением:
<ABQ = -^-.
Рассмотрим на плоскости а' три точки Л', В' и С какой-либо
прямой (черт. 13); соответствующие им точки Л, В и С лежат на
соответственной прямой плоскости а; в силу параллельности
проектирующих эти точки прямых будем иметь:
-^ = ^, плк(А'В'С') = (АВС).
Это равенство и выражает свойство сохранения простого
отношения трех, точек.
Из доказанных уже свойств перспективно-аффинного
соответствия можно вывести другие свойства. Так, можно доказать, что
отношение двух соответственных отрезков плоских полей о и о
постоянно для всех отрезков, параллельных между собой на
плоскости а'. В самом деле, пусть имеем на плоскости а' два парал-
28

лельных между собой отрезка А'В' || CD' (черт. 15), которым на
плоскости о соответствуют отрезки: АВ \\ CD. Соединим В' с Df и
проведем через точку С прямую CF' || иВ'\ получим
параллелограмм B'D'CF'. Этому параллелограмму на плоскости а будет
Черт. 15.
соответствовать параллелограмм BDCF. Зная, что простое
отношение трех точек прямой инвариантно, можем написать:
А'В'
CD'
Из равенства
А'В
F'B
T==(A'F'B') = (AFB) =
АВ
АВ
FB
CD
лолучаем:
Это постоянное отношение носит название показателя искажения
отрезков.
Мы доказали, что показатель искажения постоянен для всех
отрезков, параллельных между собой на плоскости а'. Нетрудно
сделать этот вывод еще более общим. Действительно, любые два
параллельных между собой отрезка А'В' и CD' пространства
лежат в одной плоскости (которую можно принять за плоскость о')
я, следовательно, показатели искажения этих отрезков равны.
Поэтому можно сказать, что в данной параллельной проекции
показатель искажения всех параллельных между собой отрезков
пространства постоянен.
Далее отметим еще такое свойство перспективно-аффинного
соответствия:
Расстояния двух соответственных точек (А и А') до оси
соответствия s находятся в постоянном отношении, не
зависящем от выбора пары соответственных точек*
29

Предположим, что на плоскостях а' и а выбраны пары
соответственных точек: А', А и В', В (черт. 16). Расстояния этих точек
до оси 5 выражаются соответственно длинами отрезков: А'А\
АА\ и В'В\, ВВ\. Непосредственно из чертежа видим, что
А'А'Х _ А'Х АА1 _ АХ
В'В\ ~~ В'Х ' вв1 — вх *
С другой стороны, имеем:
А'Х _ АХ
В'Х ~ ВХ
и, следовательно,
а'а[ аах
, , = или
В Bt вв1
а'а\ в'в[
^ААГ = ~ВВГ = С0П$1 (Ч'Т-Д->-
Остановимся теперь на том случае, когда плоскость о'
повернута вокруг оси s на какой-либо угол. Легко убедиться, что все
Черт. 16.
свойства соответствия плоских полей а' и а при этом
сохраняются (черт. 13). Действительно, проектирующие прямые АА',
ВВ/ и СС останутся параллельными, так как равенство
(А'В'О) = (ABC) не нарушится. Таким образом, соответствие
полей и'ио останется перспективно-аффинным.
То же можно сказать и о случае совмещения (путем
вращения вокруг оси s) плоскости о' плоскостью а. Мы будем иметь
30

перспективно-аффинное соответствие двух точечных полей в' и сг,
лежащих в одной и той же плоскости. Найденные нами свойства
перспективно-аффинного соответствия сохранятся и в этом случае.
Проектирующие прямые будут теперь лежать в общей плоскости
обоих полей и останутся параллельными между собой (черт. 17).
Важно отметить, что от перспективно-аффинного соответствия
двух точечных полей, лежащих в одной плоскости, можно перейти
к параллельной проекции одного поля
в другое. Для этого достаточно
повернуть плоскость одного из полей вокруг
оси соответствия s на произвольный
угол. Тогда мы снова вернемся к
начальному случаю, и каждое поле будем
рассматривать как параллельную
проекцию другого поля. Это позволит нам
производить все нужные построения
на плоском чертеже, представляющем
совмещенные поля в' и а, так как в
любой момент рассуждения каждое из
них можно рассматривать как
параллельную проекцию другого.
Рассмотрим перспективно-аффинное
соответствие совмещенных полей а' и а
(черт. 17). Такое соответствие вполне
определяется, если дана ось соответ- Черт. 17.
ствия (ось родства s) и пара
соответственных точек (А', Л). В самом деле, центр соответствия также
определяется, так как он является несобственной точкой прямой
А А. Следовательно, для определения соответствия имеются все
данные. В данном случае построение будет выглядеть так.
Предположим, что даны ось s и пара соответственных точек (А\ А). Пусть
для точки В' требуется построить соответственную точку В.
Строим прямую А'В' и находим точку X' ее встречи с осью 5.
Искомая точка В должна лежать на соответственной прямой ХА1
и на проектирующей, проходящей через точку В'. Проведя эти
прямые, находим точку их пересечения В. Это построение остается
в силе при любом расположении заданных точек.
§ 5. АФФИННОЕ СООТВЕТСТВИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ОБЩЕМ
СЛУЧАЕ. ПРИВЕДЕНИЕ АФФИННЫХ ПОЛЕЙ
В ПАРАЛЛЕЛЬНО-ПЕРСПЕКТИВНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
Мы получили перспективно-аффинное соответствие двух
плоских полей а' и а при помощи параллельного проектирования
одного поля на плоскость второго. Далее мы видели, что поворот
плоскости какого-либо из этих полей вокруг линии их пересечения
1 При этом, конечно, точки X' и X совпадают (Х'ЕЕХ).
51

(оси s) не нарушал параллельно-перспективного расположения
обоих полей. Предположим теперь, что плоскость одного из
полей, например а', передвинута в пространстве таким образом, что
параллельно-перспективное расположение соответственных полей
•нарушилось. В то же время точечное соответствие этих полей,
установленное ранее, продолжает сохранять свою силу. Ясно, что
сохранятся также все свойства соответственных полей, которые
не зависят от положения плоскостей этих полей в пространстве.
Так, прямой линии одного поля по-прежнему будет
соответствовать прямая линия второго, т. е. соответствие останется колли-
неарным. Точно так же сохранят свою силу свойства
инвариантности параллелизма прямых и простого отношения трех точек
прямой. По-прежнему будут иметь место и все другие свойства
Черт. 18.
соответствия полей о' и а (выводимые из уже перечисленных
свойств), не связанные с относительным расположением полей
в пространстве. Эти поля являются, следовательно,
соответственными. Такое соответствие не будет иметь только тех свойств
перспективно-афинного соответствия, которые вытекают из
параллельно-перспективного расположения полей. Условимся
называть такое взаимно-однозначное соответствие двух плоских
точечных полей а' и а, в котором сохраняются свойства
коллинеарности, параллелизма и простого отношения трёх точек
прямой, аффинным.
Пусть мы имеем два аффинно-соответственных поля о' и а.
Пусть трем каким-либо точкам А', В' и С одного поля
соответствуют точки Л, Б и С второго (черт. 18). Докажем, что
соответствие треугольников А'В'С и ABC вполне и единственным
образом определяет аффинное соответствие полей а'иа. В самом
доле, предположим, что на плоскости а' отмечена произвольная
точка М'. Покажем, что на плоскости о однозначно определяется
точка М, соответствующая точке М'. Для этого соединяем
32

точку М' с точкой А' (или какой-нибудь другой вершиной
треугольника А'В'С) и определяем точку D' при помощи простых
отношений: (B'C'D') и (A'D'M').
Если теперь на плоскости о выполним следующие построения:
1) определим точку D из условия (BCD) = (B'C'D') и 2)
определим точку М из условия (ADM) = (A'D'M'), то
существование взаимно однозначного соответствия полей о' и а будет
установлено.
Если зададим на плоскостях о' и а два произвольно
выбранных треугольника А'В'С и ЛАС и будем считать их
соответственными, то этим будет установлено аффинное соответствие
полей о' и о. В самом лелеу установим соответствие полей о' и а
только что описанным способом. Тогда нетрудно убедиться
в том, что полученное соответствие будет обладать свойстзами
коллинеарности, сохранения параллелизма и простого
отношения трех точек прямой (такая проверка не является
необходимой, как это будет видно из дальнейшего).
Черт. 19.
Остановимся прежде всего на одном важном факте.
Рассмотрим преобразование подобия, которому мы подвергнем
плоское поле а'. Как известно из свойств преобразования подобия,
прямые линии поля о' преобразуются также в прямые линии
подобного поля, которое обозначим буквой сгь Параллельные
прямые поля о' преобразуются в параллельные прямые поля (Хь
Наконец, простое отношение трех точек на прямой поля о'
сохранится без изменения для соответственных точек прямой
подобного поля о\. Отсюда следует, что подобное преобразование
поля 01 является аффинным преобразованием.
Рассмотрим теперь два треугольника А'В'С и ABC, при
помощи которых было установлено соответствие полей о' и а
(черт. 19). Произведем преобразование подобия над полем а*
таким образом, чтобы отрезок А'В' после преобразования стад
равным отрезку АВ. Преобразованное поле а' обозначим
буквой di, а преобразоеанный отрезок А'В' — через А\В\. После
этого расположим поле а таким образом, чтобы отрезок АВ
совпал с отрезком А\В\ (черт. 19). Теперь ясно, что при помощи
перспективно-аффинного преобразования с осью А\В\ и парой
33л

соответственных точек (С',С) можно преобразовать поле o*i
в поле а. Отсюда приходим к следующим выводам:
1. Соответствие плоских полей а' и су, установленное при
помощи пары соответственных треугольников А'В'С и ABC,
является аффинным, так как оно может быть сведено к
последовательному выполнению (произведению) преобразований подобия
и перспективно-аффинного. Каждое из этих преобразований
аффинно, т. е. сохраняет свойство коллинеарности, параллелизма
и простого отношения трех точек прямой. Поэтому и
произведение преобразований также аффинно, оно и приводит
к установленному нами соответствию.
2. Любое аффинное соответствие А может быть задано парой
соответственных треугольников (А'В'С' и ABC) и представлено
как произведение преобразования подобия Н на перспективно-
аффинное преобразование Р. Это положение можно изобразить
следующей символической формулой:
А = Н Р.
С точки зрения теории изображений весьма важно
рассмотреть более подробно вопрос о приведении двух аффинных
полей в параллельно-перспективное расположение. Следующие
две теоремы определяют условия такого приведения.
Теорема 1. - Два аффинно-соответственных поля могут быть
приведены в параллельно-перспективное расположение тогда и
только тогда, когда они содержат пару соответственных кон-
груентных отрезков (необходимое и достаточное условие).
1. Необходимость условия. Предположим, что два
аффинных поля а' и а приведены в параллельно-перспективное
расположение. В этом положении они имеют ось соответствия s.
Возьмем произвольный отрезок Х*У* на оси 5. Этот отрезок сам
себе соответствует. Поэтому, когда мы возвратим плоскости а' и
0 в их первоначальное положение, то отрезок Х*У* займет на
плоскости в' положение X'Y', а на плоскости о — положение XY,
Эти два отрезка соответственны и в то же время конг-
руентны*.
2. Достаточность условия. Предположим, что на
афинно-соответственных полях ai и а имеем два соответственных
и конгруентных отрезка X'Y' = XY. Приведем плоскости а и ст
в такое положение, чтобы лежащие на них отрезки X'Y' и XY
совпали (черт. 20). Тогда, как нетрудно видет, и все остальные
соответственные точки прямых X'Y' и XY совпадут. В самом деле,
если точке Z' прямой X'Y' соответствует точка Z прямой XY, то
должны иметь: (X'Y'Z') = (XYZ). Но при Х'= X и Y' = Y
необходимо получим Z'^Z.
Отсюда заключаем, что прямая X'Y'^XY является теперь
осью (s) аффинного соответствия.
Если (А\ В') и (Л, В) — две пары соответственных точек
34

аффинных полей а' и а в их новом положении, то прямые А'В'
и АВ пересекутся в точке Т на оси s К Так как должны иметь:
(ТА'В')= (TAB),
то отсюда получаем, что А'А || В'В, Это и означает, что данные
поля о' и а приведены в параллельно-перспективное
расположение.
Теорема 2. Два аффинно-соответственных поля могут быть
приведены при помощи подобного преобразования и перемещения
одного из них в параллельно-перспективное расположение так,
Черт. 20.
что произвольно выбранная прямая одного из полей (равно как и
ей соответственная прямая второго) станет осью соответствия.
Предположим, что а и а — два аффинно-соответственных поля.
Выберем произвольную прямую А'В' (А' и В' — две какие-либо
точки выбранной прямой первого поля) и обозначим через АВ ей
соответственную прямую второго поля. Совершим подобное
преобразование поля а', причем коэффициент подобия выберем
равным отношению А,в, . Тогда поле а' преобразуется в подобное
поле ai, причем отрезок А'В' преобразуется в отрезок А\ВХу
равный отрезку АВ (AiBi = АВ). После этого расположим поля oi
и о таким образом, чтобы отрезки AiBY и АВ совпали. Тогда оба
поля о\ и о придут в параллельно-перспективное расположение
с осью АХВХ=АВ.
§6. ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ АФФИННО-СООТВЕТСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ
Пусть имеем два аффинных поля а' и а. Если в одном поле (а7)
выберем две какие-либо взаимно перпендикулярные прямые, то
в другом поле (о) им будут соответствовать прямые, вообще
1 Причем V = Г.
35

говоря, не перпендикулярные друг к другу. Возникает вопрос,
существует ли в каждом из полей (от' или а) такая пара взаимно
перпендикулярных прямых, которым соответствовала бы пара
также перпендикулярных прямых второго поля. Такие прямые
существуют; они носят название главных направлений аффинно-
соответственных полей. Ясно, что если одна пара прямых
представляет собой главные направления какого-либо из полей, то
любая пара параллельных им прямых обладает этим свойством.
Рассмотрим вопрос о главных направлениях сперва
применительно к случаю двух перспективно-аффинных полей. Пусть имеем
перспективно-аффинные поля а' и о с осью соответствия 5
(черт. 21). Если прямым f'1-g' поля в' соответствуют прямые
Черт. 21.
f_L g поля а, то пары прямых (f, g') и (/, g) определяют
главные направления на полях а' и а. Обозначим через А точку
пересечения прямых f и f, а через В — точку пересечения прямых gr
и g. Точки А и В как двойные должны лежать на оси 5.
Обозначим далее через М' точку пересечения прямых f и g't а через М—
точку пересечения соответственных прямых fug. Точки М'иМ —•
соответственные, и прямая М'М является проектирующей. Так
как углы при точках МиМ' — прямые, то окружность,
построенная на отрезке АВУ как на диаметре, проходит через эти точки.
Следовательно, отрезок М'М является хордой этой окружности.
Центр окружности должен лежать на оси 5 и на
перпендикуляре PS к хорде М'М в ее середине. Отсюда получаем метод
решения задачи.
Пусть М' и М две соответственные точки
перспективно-аффинных полей а' и а. Требуется найти главные направления,
проходящие через точки М' и М. Строим отрезок М'М и в
середине его восставляем перпендикуляр PS, который пересекает ось s
в точке S. Если теперь из центра S проведем окружность ра-
36

диусом, равным SM' = SM, то последняя пересечет ось 5 в
точках А и В. Ясно, что пары прямых: М'А JL М'В и MA J_ MB
представляют искомые главные направления.
Из самого построения видно, что задача имеет одно решение,
так как точка S является точкой пересечения двух прямых. При
этом, если прямая PS параллельна оси s, то М'М J_ s. Тогда одно
из главных направлений совпадает с проектирующей М'М, а
другое, ему перпендикулярное, параллельно оси s. Итак, задача
имеет решение и притом единственное. Лишь в случае, когда
М'М J_ 5 и Р лежит на оси s, перпендикуляр PS совпадает с осью
s и положение точки S неопределенно. В этом случае
соответствие представляет собой осевую симметрию, и каждой паре
перпендикулярных прямых поля а' соответствует пара
перпендикулярных прямых поля а.
Перейдем теперь к общему случаю аффинных полей а' и а. Как
мы видели в § 5, любое аффинное преобразование может быть
представлено как произведение преобразования подобия и
перспективно-аффинного: А = Н • Р. Выполнив преобразование
подобия Н над полем а', мы получим поле в\> которое можем
привести в параллельно-перспективное расположение с полем а.
Поля ai и а как перспективно-аффинные (Р) по доказанному
имеют каждое пару главных направлений. Так как поле а'
получается из поля о\ преобразованием подобия (не изменяющим
углов), то главные направления поля в\ перейдут в главные
направления поля о'.
Таким образом, и в общем случае аффинно-соответственные
поля имеют каждое одну пару главных направлений.
§ 7. ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ АФФИННО-СООТВЕТСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ
В ОРТОГОНАЛЬНО-ПЕРСПЕКТИВНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
Предположим, что поле о' проектируется параллельно на поле
о, причем направление проектирования ортогонально к
плоскости а. Будем говорить, что в этом случае аффинные поля она
имеют ортогонально-перспективное расположение (черт. 22).
Если А' я А — пара соответственных точек таких полей, то
A'A J_ пл. а и A'A A. s. Проведем через линию А'А
проектирующую плоскость а, перпендикулярную к оси s. Эта плоскость
пересечет плоскости а' и а по прямым А'Х и АХ. Обе прямые
перпендикулярны к оси 5 и являются соответственными прямыми
аффинных полей а' и а. Угол AXAf является линейным углом
двугранного угла, образуемого плоскостями сг' и а. Обозначим
его буквой ф. Тогда будем иметь:
АХ = А'Х cos у,
или
37

Совместим теперь плоскость & с плоскостью о путем
вращения вокруг оси 5. Положение, в которое придут оба поля после
совмещения, иллюстрирует чертеж 23. Прямые А'Х и АХ обра-
зуют один перпендикуляр к оси s. Другими словами:
проектирующие прямые (А'А) совмещенных полей а'ио
перпендикулярны к оси соответствия s.
Черт. 22.
Черт. 23.
Это условие является необходимым для совмещенных
ортогонально-перспективных полей. Покажем, что оно является также
достаточным, т. е. что такие поля могут быть приведены в
ортогонально-перспективное расположение. В самом деле, пусть
A'AJLs и пусть для определенности А'Х>АХ. Тогда определим
угол ф по формуле:
АХ 1
Если теперь повернем плоскость о' вокруг оси s так, чтобы
она образовала угол ф с плоскостью а, то поле а будет,
очевидно, представлять собой ортогональную проекцию поля ог
(черт. 22). Итак, перпендикулярность проектирующих линий
(А'А) к оси соответствия s двух совмещенных полей в' и а
является необходимым и достаточным условием возможности их
приведения в ортогонально-перспективное расположение.
Докажем теперь следующую теорему о приведении двух
аффинно-соответственных полей в ортогонально-перспективное
расположение.
Теорема. При помощи преобразования подобия одного из
двух аффинных полей (от' и о) всегда можно привести эти поля
1 Случай А'Х = АХ имеет место для двух симметричных относительно
s полей. Его можно рассматривать как предельный при ф = 0.
38

в ортогонально-перспективное расположение таким образом,
чтобы любое из них было ортогональной проекцией другого.
Пусть а'и а — два аффинных поля (черт. 24) и пусть точке С
одного поля соответствует точка С второго. Предположим, что
прямые a', b' {a' J_ b') и a, b(a _L b)y соответственно проходящие
через точки С и С, — главные направления того и другого поля.
Согласно теореме 2, § 5, поля а' и а при помощи преобразования
подобия могут быть приведены в параллельно-перспективное
б
v
Черт. 24.
расположение (в частности, совмещением плоскостей этих
полей), причем в качестве оси соответствия может быть выбрана
прямая а' (совпадающая со своей соответственной прямой а).
Соответственные точки С'иС как лежащие на оси должны
совпадать (черт. 25а). Следовательно, соответственные прямые Ь'
и Ь как перпендикулярные к а'=а в точке С = С также должны
совпадать. Эти совпадающие (двойные) прямые являются,
очевидно, проектирующими, так как произвольной точке В' одной из
них соответствует некоторая точка В второй. Но, как ранее было
показано, два поля о' и а, проектирующие которых
перпендикулярны к оси соответствия, могут быть приведены в
ортогонально-перспективное расположение.
Покажем теперь, что, выбирая в качестве оси соответствия
прямую а'^=±а или прямую b' =Ь, мы получим оба случая
ортогонально-перспективного расположения полей о' и а, когда
первое или второе из них является ортогональной проекцией
другого. Так, например, можно показать, что в любом случае поле а
можно рассматривать как ортогональную проекцию поля в'.
Если будем иметь СВ'уСВ (черт. 25а), то, как ранее было
показано, вращая плоскость о' на определенный угол ср
^cos ер = с,в, J, придем к такому расположению полей, когда
поле су явится ортогональной проекцией поля о'. Если же
О В' < С£, то выполним преобразование подобия над полем о\
уравнивающее эти отрезки, т. е. увеличивающее все линейные
размеры поля о' в отношении с,в, , После этого выберем
~yL
39

в качестве оси соответствия прямую Ъ' = Ъ. Теперь прямые а' и а
совпадут и представят направление проектирования соответствен-
ных полей, перпендикулярное к оси Ъ' =Ъ (черт. 256). При этом
равные ранее на чертеже 25а отрезки С А' и СА уже не будут
более равными, а именно, получим: СА'^>СА. Следовательно,
опять будет достигнуто (путем вращения поля о' около оси
соответствия) ортогонально-перспективное расположение полей,
причем поле а явится ортогональной проекцией поля о'.
В
Черт. 25а.
Ь
В'
г.
\а
А^А
\А
Черт. 256.
в=в
Итак, применяя в качестве оси соответствия то или другое из
главных направлений, всегда можем привести поля о' и о в
такое расположение, что любое из них (по нашему выбору)
окажется ортогональной проекцией другого1.
§ 8. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ОБ ОРТОГОНАЛЬНО-
ПЕРСПЕКТИВНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ АФФИННЫХ ПОЛЕЙ
Важная теорема, доказанная в предыдущем параграфе, даег
ряд следствий:
1°. Пусть даны два произвольных треугольника А'В'С и
ABC. Тогда каждый из этих треугольников можно
рассматривать как ортогональную проекцию треугольника, подобного
другому.
В самом деле, данные треугольники устанавливают аффинное
соответствие плоскостей а' и а, в которых они лежат. Совершив
подобное преобразование над плоским полем а', можно
расположить его таким образом, что поле а окажется его
ортогональной проекцией. При этом треугольник ABC окажется
ортогональной проекцией треугольника, подобного треугольнику А'В'С.
2°. Всякая треугольная призма может быть пересечена
плоскостью так, что в сечении получится треугольник любой наперед
заданной формы.
1 О случае симметричных полей см. сноску на странице 38.
4U

Пересечем данную призму аЪс плоскостью, перпендикулярной
к ее ребрам (черт. 26). Получим нормальное сечение ABC.
Согласно следствию 1° ДЛВС является ортогональной проекцией
треугольника Л/В/С/, имеющего заданную форму (последняя
задана треугольником А'В'С). Так как проектирующие прямые
АА\\ ВВ\', СС\' совпадают с ребрами призмы, то ДЛ/В/С/
является сечением данной призмы.
Черт. 26.
3°. Всякая призма может быть пересечена плоскостью так,
чтобы в сечении получился многоугольник, подобный любому
данному многоугольнику, аффинному основанию призмы.
Пусть многоугольник ABCDE является основанием призмы
abcde. Докажем, что можно пересечь эту призму плоскостью так,
чтобы в сечении получился многоугольник, подобный данному
многоугольнику A'B'C'D'E'', аффинному основанию ABCDE
призмы (черт. 27).
Рассмотрим треугольную призму аЪс, имеющую своим
основанием треугольник ABC. Эту призму можно пересечь
плоскостью так, что в сечении получим треугольник АХВХС\,
подобный данному треугольнику А'В'С. Построим точки К\ и Lx
так, чтобы {АХ'СХ'К\') = {АСК) и {AX'CX'LX') = (ACL). Иначе,
проведем линии КК\ и LLXi параллельные ребрам призмы, до
пересечений с прямой АХСХГ в точках К\ и Lx\ Далее строим
прямые В\К\ и B\L\' до пересечения с ребрами е и d в точках
Ех' и D\'. Мы получили сечение призмы AX'BX'CX'DX'EX.
Нетрудно убедиться, что оно подобно данному многоугольнику
A'B'C'D'E'. В самом деле, многоугольники AXBXCXDX'E{ и
A'B'C'D'E' а ф ф и н н ы, так как каждый из них аффиннен
многоугольнику ABCDE. С другой стороны, &АХ'ВХ'СХ подобен АЛ'В'С.
Отсюда заключаем, что вся фигура AXBXCXDXEX является
41

подобным преобразованием многоугольника A'B'C'D'E', так как
при таком преобразовании, которое переводит АА/В/С/ в
ААу'В/С/, точки К', L\ Е' и Df переходят соответственно
в точки Ki\ U, Ех' и Dx'.
Черт. 27.
4°. Каждую из двух аффинных фигур можно рассматривать
как ортогональную проекцию фигуры, подобной второй.
Аффинные фигуры являются соответственными фигурами двух
афинных точечных полей. Если последние привести в
ортогонально-перспективное расположение при помощи преобразования
Черт. 28.
подобия, то одна из фигур окажется ортогональной проекцией
фигуры, подобной второй.
Отметим, что два четырехугольника аффинны, если диагонали
этих четырехугольников делят друг друга в одинаковых
отношениях. Действительно, если для четырехугольников AfB'C'Df
42

и ABCD (черт. 28) имеем: (А'С'К') = (АСК) и (B'D'K') = (BDK),
то обе фигуры аффинны в соответствии, определяемом
треугольниками А'В'С и ABC.
§9. ТЕОРЕМА ПОЛЬКЕ-ШВАРЦА
(ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ)
Будем называть четырехугольник вместе с его диагоналями
полным четырехугольником; тогда теорему Польке — Шварца
можно формулировать так: Всякий невырожденный1 полный
четырехугольник можно рассматривать как параллельную
проекцию тетраэдра любой наперед заданной формы.
Черт. 29.
Пусть даны тетраэдр A'B'D'C и полный четырехугольник
ABDC (черт. 29). Рассматривая последний как проекцию
некоторого тетраэдра, мы должны считать шесть образующих его
отрезков проекциями ребер тетраэдра. Тогда точку пересечения
диагоналей четырехугольника мы обозначим двумя буквами L и
М в зависимости от того, считаем ли мы эту точку проекцией
1 Четырехугольник будем считать невырожденным* если не все четыре
вершины его лежат на одной прямой,
43

точки, лежащей на одном или на другом ребре тетраэдра
оригинала. Найдем точки V и М' соответственно на ребрах A'D' я
В'С тетраэдра из условий (A'D'L') = (ADL) и (В'СМ') =
= (ВСМ). Примем теперь прямую M'L' за направление
проектирования тетраэдра A'B'D'C. Проводя через каждую вершину
тетраэдра проектирующую, параллельную прямой M'L', получим
проектирующую призму. Если пересечем последнюю
произвольной плоскостью (То, то получим в сечении полный
четырехугольник A0B0D0C0, для которого, очевидно, будем иметь:
(AoDoLo) = (A'D'U) = (ADL); (В0С0М0) = (В'СМ') = (ВСМ).
Отсюда заключаем, что полный четырехугольник AqBqDqCq,
который можно считать основанием проектирующей призмы,
является аффинным четырехугольнику ABDC Тогда на основании
следствия 3° предыдущего параграфа можно построить сечение
A\B\D\CX проектирующей призмы плоскостью cri, которое было
бы подобно данному четырехугольнику ABDC.
Если полный четырехугольник A\B\D\C\ является
параллельной проекцией данного тетраэдра A'B'D'C\ то подобный ему
четырехугольник ABDC является, очевидно, проекцией подобного
тетраэдра (ч. т. д.).
Из теоремы Польке—Шварца следует, что если заданы
проекция тетраэдра на плоскости сг (полный четырехугольник ABDC)
и форма тетраэдра-оригинала, то можно определить направление
проектирования относительно плоскости проекций
(проектирующий аппарат), положение и истинные размеры
тетраэдра-оригинала. При этом в общем случае получаем четыре решения этой
задачи (две проектирующие призмы, симметричные относительно
плоскости проекций; в каждой из проектирующих призм два
положения тетраэдра-оригинала, симметричные относительно
плоскости, перпендикулярной к ребрам проектирующей призмы),
если не учитывать возможности параллельного переноса
тетраэдра по направлению проектирования.
§ 10. ЭЛЛИПС КАК КРИВАЯ, АФФИННАЯ ОКРУЖНОСТИ
Предположим, что установлено аффинное соответствие
точечных полей сг' и ст. В этом соответствии каждой линии поля а'
соответствует некоторая (аффинная) линия поля а. В частности,
как мы знаем, прямой линии соответствует прямая. Рассмотрим
окружность k'y принадлежащую полю а'. Линию k,
соответственную окружности k' на поле а, будем называть эллипсом
(черт. 30). Уже самое определение эллипса как кривой аффинно-
соответственной окружности открывает возможности для
построения эллипса по точкам. Так, если на чертеже 30 имеем два поля
а' и а, аффинное соответствие которых задано треугольниками:
А'В'С и ABC, то окружности А'В'С поля сг' соответствует эллипс
ABC поля а, Чтобы построить новые точки (кроме заданных то-
44

чек А, В, С) эллипса, отметим какую-нибудь точку ЛР
окружности и построим, пользуясь инвариантностью простых
отношений \ соответственную ей точку М. Последняя является, по
определению, точкой эллипса. Таким образом, можно построить
сколько угодно точек эллипса.
Свойства эллипса могут быть изучены по его аффинному
соответствию окружности. В силу инвариантности простого
отношения трех точек середине какого-либо отрезка поля а'
соответствует середина аффинного отрезка поля а. Центр О' окружности
Черт. 30.
является точкой, которая делит пополам все проходящие через
нее хорды (диаметры) окружности (черт. 31). Это свойство
центра сохраняется для соответственного окружности эллипса..
Черт. 31.
Точка О, соответственная центру О' окружности, является
центром эллипса и делит все проходящие через нее хорды
(диаметры) пополам. Таким образом, эллипс есть центральная
кривая. Радиусам окружности, выходящим из центра 0\ соответ-
1 См. стр. 32.
45

ствуют полудиаметры эллипса, выходящие из точки О. Если
принять, что радиусы окружности на плоскости а' являются
единичным масштабом, отложенным по разным направлениям, го
полудиаметры эллипса изобразят на плоскости а различные
единичные масштабы, соответствующие различным направлениям.
Поэтому эллипс О, соответственный окружности О', называют
иногда масштабным эллипсом К
Предположим, что центр круга О' совмещен с центром О
соответственного эллипса. Тогда возможны три случая: 1) круг
пересекает эллипс (черт. 32); 2) круг
касается эллипса; 3) круг не имеет общих
точек с эллипсом. В первых двух случаях
мы будем иметь хотя бы один радиус
(О'М') окружности, совпадающий с
полудиаметром эллипса (ОР). Это значит,
что масштабный эллипс О имеет
полудиаметр, равный радиусу соответственной
окружности. Пусть полудиаметру ОР
эллипса соответствует радиус 0'РГ
окружности; тогда будем иметь: О'Р' = ОР. На
основании теоремы 1 § 5 такие два
аффинных поля могут быть приведены в
параллельно-перспективное расположение, в котором прямая
О'Р' == ОР явится осью соответствия.
В третьем случае для приведения полей сг и а' в параллельно-
перспективное расположение потребовалось бы предварительное
преобразование подобия для одного из них.
Черт. 32.
Черт. 33.
Предположим далее, что в окружности О' на поле ,сг'
проведена система параллельных хорд (черт. 33). Геометрическим
Термин принадлежит профессору Н. А. Глаголеву.
46

местом середин всех таких хорд является, очевидно, диаметр
окружности, перпендикулярный хордам (на черт. 33 диаметр
А В'). Такой диаметр называется сопряженным хордам данного
направления. Параллельным хордам окружности соответствуют
параллельные хорды эллипса О поля сг; точки середин хорд также
являются соответствующими. С другой стороны, диаметру AfBf
соответствует диаметр АВ, который, следовательно, является
геометрическим местом середин параллельных хорд эллипса. Этот
диаметр также называется сопряженным хордам данного
направления. Диаметры АВ и CD называются сопряженными, если ка-
ждый из них параллелен хордам, сопряженным другому.
Свойство сопряженности диаметров, очевидно, взаимное: если диаметр
АВ делит пополам хорды, параллельные CD, то и обратно —
диаметр CD делит пополам хорды, параллельные А В. В этом
легко убедиться, обращаясь к соответственной окружности.
Заметим, что сопряженные диаметры окружности всегда
перпендикулярны 1. Этого нет, вообще говоря, для эллипса. На основании
свойства сопряженных диаметров получаем простой способ их
построения. Так, чтобы построить диаметр, сопряженный
диаметру CDу проводим какую-нибудь хорду MN \\ CD и делим ее
пополам в точке L (черт. 33). Тогда диаметр OL= АВ сопряжен
диаметру CD.
б' с
Д 1 <
о' N
г
(а)
(б)
Черг. 34.
Возьмем точку В/ на окружности (черт. 34а) и проведем
секущую В'В\. На поле а точке В\ соответствует точка Ви а
секущей В'В\ —секущая ВВХ. Приближая точку В\ к точке В\ мы
заставим секущую ВГВ\ вращаться вокруг точки В'. В
предельном положении, когда точка В\ совпадает с точкой В'{В\ = В'),
секущая становится касательной (¥) к окружности в точке В'.
В соответственном поле а будем иметь следующую картину
(черт. 346): точка В\ при вращении секущей В\В вокруг точки В
1 В теории параллельных проекций имеет большое значение тот факт,
что перпендикулярным (сопряженным) диаметрам окружности соответствуют
сопряженные диаметры эллипса.
47

стремится к совпадению с точкой В. В предельном положении
точка В\ (соответствующая точке В/) совпадает с точкой В
•и секущая становится касательной (/) к эллипсу в точке В,
соответственной касательной к окружности (f) в точке В'. Итак,
касательной к окружности поля а' соответствует касательная
к эллипсу поля сг. Далее для поля сг' имеем: V || CD'. Отсюда
заключаем: 11| CD. Это значит, что: касательная к эллипсу в конце
диаметра параллельна сопряженному диаметру. Отсюда, между
прочим, следует, что касательные, проведенные в концах
сопряженных диаметров эллипса, образуют описанный
параллелограмм.
Предположим, что нам даны два сопряженных диаметра
эллипса АВ и CD (черт. 35). Спрашивается, определяют ли они
D'
Черт. 35.
эллипс? Будем рассматривать эллипс как принадлежащий
плоскому полю сг. Тогда ему соответствует окружность,
принадлежащая полю сг'. Эти поля на основании теоремы 2 § 5 могут быть
приведены в параллельно-перспективное расположение, если
произведем надлежаще выбранное преобразование подобия поля сг'.
При этом в качестве оси соответствия выберем диаметр
АВ(АВ=ее А'В'). Отсюда следует, что соответственная
окружность будет (после приведения полей в
параллельно-перспективное расположение) вполне определенной, а именно: отрезок
АВ = А'В' будет ее диаметром. Построив эту окружность,
заметим, что соответственные диаметры АВ и А'В' совпадают, а
диаметру CD соответствует диаметр CD'. При этом диаметр CDr
сопряжен диаметру А'В'Я Следовательно, CD' _[_ А'В' (или АВ)*
Соответствие полей вполне определяется осью sAB^=A'Bf m
парой соответственных точек С и С'1. Это значит, что эллипс,
имеющий сопряженными диаметрами отрезки АВ и CD, вполне и
единственным образом определяется.
1 См. § 4, стр. 31.
43

Если эллипс 6, аффинно-соответствующий окружности k\
спроектируем параллельно на произвольную плоскость ai, то
получим кривую k\. Эта кривая соответственна эллипсу k в
аффинном соответствии полей cri и а. Поле сг (с эллипсом k) аффинно-
соответственно полю а' (с окружностью к'). Отсюда заключаем,
что поле cri и кривая k\ аффинно-соответственны полю в' и
окружности k'. Но это означает, что кривая k\ есть эллипс.
Поэтому можем сказать, что:
1. Параллельная проекция эллипса на какую-нибудь
плоскость есть также эллипс.
2. Любое (непараллельное образующим) сечение
эллиптического (в частности, кругового) цилиндра плоскостью является
эллипсом.
§ П. ОСИ ЭЛЛИПСА. ЭЛЛИПС КАК ОРТОГОНАЛЬНАЯ
ПРОЕКЦИЯ ОКРУЖНОСТИ
Каждые два сопряженных диаметра окружности взаимно
перпендикулярны. Как мы видели, сопряженность диаметров есть
свойство, инвариантное при всяком аффинном преобразовании.
Наоборот,
перпендикулярность прямых не есть
инвариантное свойство
аффинных преобразований.
В § 6 было показано, что
в общем случае
существует только одна пара
перпендикулярных
направлений на каждом из
двух аффинных полей
(главные направления),
которой соответствует
лара перпендикулярных
направлений второго
поля. Поэтому двум
перпендикулярным (и,
следовательно, сопряженным)
диаметрам окружности
соответствуют
сопряженные, но в общем случае
не перпендикулярные
диаметры эллигГса. Однако
если проведем диаметры
окружности по главным
направлениям поля а', то
мм будут соответствовать диаметры эллипса, совпадающие с
главными направлениями поля а. Таким образом, имеем одну
пару диаметров эллипса, которые сопряжены и взаимно
перпендикулярны одновременно. Такие диаметры называются осями
Черт. 36.
49

эллипса. Ясно, что оси эллипса являются его осями симметрии.
В самом деле, каждая из осей эллипса делит пополам
перпендикулярные к ней хорды.
Предположим, что плоскость а' проектируется ортогонально
на плоскость а. Тогда масштабный эллипс на плоскости а
является ортогональной проекцией окружности на плоскости сг'
(черт. 36). В этом случае одно из главных направлений
плоскости о' параллельно оси s, а другое — перпендикулярно к ней.
То же самое имеем и на плоскости ст. Диаметр А'В' окружности,
параллельный оси s, проектируется осью АВ эллипса, причем
А В #А'В'. Диаметр CD' окружности проектируется второй
осью CD эллипса. При этом: C'Df _1_ s\ CD J_ s.
Прямые CD' и CD лежат в проектирующей плоскости,
перпендикулярной к оси s. Поэтому они образуют линейный угол ф
двугранного угла плоскостей о' и а. Отсюда можем заключить,
что
CD
CD = C'Df cos cp, или cos? — .
Эта формула показывает, что ось CD эллипса всегда меньше
диаметра окружности, в то время как ось АВ равна ему.
Поэтому первая ось называется
малой осью, а вторая
большой осью эллипса. Итак,
большая ось масштабного эллипса
(при
ортогонально-перспективном расположении полей)
всегда параллельна оси
соответствия s.
Рассмотрим произвольную
прямую, перпендикулярную к
плоскости о'. Такая прямая как
Черт 37. перпендикулярная к оси s
должна проектироваться на
плоскость а прямой, перпендикулярной к той же оси 5 (теорема
о трех перпендикулярах). Это значит, что проекция
каждого перпендикуляра к проектируемой (изображаемой)
плоскости сг' должна быть параллельной малой оси масштабного
эллипса. Следовательно, малая ось масштабного эллипса (при
ортогонально-перспективном расположении полей) всегда
параллельна проекции перпендикуляра к проектируемой плоскости.
Это свойство масштабного эллипса весьма полезно при
построении изображений в ортогональной проекции. В виде
иллюстрации на чертеже 37 дано изображение круга на плоскости сг'
и перпендикуляра к той же плоскости (направление
перпендикуляра совпадает с направлением малой оси эллипса,
изображающего окружность)»

ГЛАВА III
О ПОЛНОТЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
§ 12. ОСНОВНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ИЗОБРАЖЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТОВ ПРОСТРАНСТВА
Изучение вопроса о полноте изображения удобнее всего
начать с такого способа изображения пространственных фигур,
который обеспечивал бы эту полноту. Понятие «определенных»
элементов, развиваемое ниже, удовлетворяет этому требованию
и может служить исходным пунктом для построения общей
теории полноты изображения.
Будем, как и ранее, обозначать точки, прямые и плоскости
в пространстве теми же буквами, которыми обозначены их
изображения, но с добавлением знака «штрих». Изображения
фигур получаются при помощи центральной проекции, если не
сделано специальной оговорки о параллельной проекции,
Черт. 38.
Зададим в пространстве две какие-либо плоскости в\ и аг',
пересекающиеся по прямой s\ На чертеже 38 имеем
изображения о*! и 02 этих плоскостей и их линии пересечения 5. Плоскости
tfi и а2 будем называть основными плоскостями.
Основные плоскости, а также все изображенные точки и
прямые, принадлежащие основным плоскостям, будем считать
(называть) определенными (на изображении) элементами нулевого
51

класса. Таковы прямые Аи Ви Сь А2, В2, С2 и др. на
чертеже 38.
Таковы прямые А\Ви А2ХУ В2С2 и др. При помощи
определенных элементов нулевого класса могут быть определены на
изображении (изображены) новые прямые и плоскости. Все
такие прямые будем называть определенными элементами
1-го класса^ если они не вошли в состав элементов нулевого
-класса. Таковы на чертеже 38 прямые А\А2, В\В2 и др.;
плоскости, определяемые прямыми (XAU XA2)f (YBU YB2) и др.; точки
А и В. Продолжая этот процесс, мы получим на изображения
определенные элементы (точки, прямые и плоскости) 2-го класса
при посредстве определенных элементов 1-го и нулевого
класса. Затем найдем определенные элементы следующих
классов.
Так, определенные элементы п-го класса получаются на
изображении при помощи определенных элементов всех
предшествующих классов, кончая (п—1)-м классом1.
Таким образом, мы построим на изображении множество
определенных элементов (относительно основных плоскостей),
состоящее из определенных элементов всех классов.
Характерная особенность каждого элемента заключается в том, что он
при помощи определенных элементов предшествующих классов
может быть связан на изображении с основными плоскостями
о\ и 02. Докажем теперь следующую теорему:
Теорема 1. Каждый определенный на изображении элемент
2-го класса всегда может быть сделан при помощи
соответствующих построений, выполненных на этом изображении,
определенным элементом 1-го класса.
Для доказательства этой теоремы достаточно установить,
что определенная прямая 2-го класса АВ, определяемая на
изображении (черт. 38) точками 1-го класса А и В (А — точка
прямой А\А2\ В — точка прямой ВХВ2)У может быть сделана
прямой 1-го класса. Другими словами, надо показать, что на
изображении могут быть построены следы С\ и С2 прямой АВ
на основных плоскостях. Найдем след прямой В\А на
плоскости а2. Прямые А\А2 и В\А определяют плоскость, следами
которой являются прямые В\А\ и А2Х (X == B\Ai\s). Поэтому
искомый след Х2 прямой В\А находим как точку пересечения
прямых В\А и А2Х {Х2 = BiA X MX). Прямая АВ лежит в
плоскости, определяемой прямыми В\В2 и ВХХ2. Следами этой
плоскости являются прямые В2Х2 и YBX (Y = B2X2y(s). Поэтому
1 Причем предполагается, что на изображении не показано определение
элементов п-ro класса через элементы первых (п — 2) классов, так как в
противном случае они оказались бы определенными элементами классов (п—1)
или низшего. Как далее будет показано, при помощи соответствующих
построений, выполненных на изображении, всегда можно определенный элемент
/г-го класса сделать определенным элементом 1-го класса
52

следы прямой АВ находим как точки пересечения прямой АВ
с прямыми YB\ и YB2:
d = YBX X АВ; С2 = YB2 X АВ.
Ясно, что приведенное здесь рассуждение не изменится, если
мы возьмем одну или обе данные точки (L и М) как элементы
1-го класса, принадлежащие определенным плоскостям 1-го
класса. В самом деле, следы такой плоскости (на основных
плоскостях) либо даны на изображении, либо могут быть построены.
Тогда через данные точки (L и М) можно провести в
соответствующих плоскостях прямые 1-го класса. После этого задача
сводится к только что рассмотренной. Таким образом, для
прямых 2-го класса формулированная выше теорема доказана.
Если рассмотрим плоскость 2-го класса, определяемую на
изображении точками или прямыми 1-го класса, то задача
сведется к построению следов такой плоскости, после чего она
становится плоскостью 1-го класса. Но элементы 1-го класса,
определяющие эту плоскость на изображении, определяют
также две лежащие в ней прямые 2-го класса. Следы таких
прямых, как было показано выше, можно построить. После
этого и следы данной плоскости 2-го класса могут быть
построены. Данная плоскость явится тогда на изображении
плоскостью 1-го класса. Итак, теорема доказана и для плоскостей
2-го класса.
Точки 2-го класса определяются как принадлежащие прямым
или плоскостям 2-го класса. По доказанному эти последние
могут быть сделаны прямыми и плоскостями 1-го класса, после-
чего взятые на них точки также становятся определенными
точками 1-го класса. Отсюда заключаем, что теорема доказана
полностью.
Теорема 2. Каждый определенный элемент изображения
может быть сделан при помощи построений, выполненных на этом
изображении, определенным элементом 1-го класса.
Действительно, пусть на изображении имеем определенный
элемент п-го класса. Этот элемент связан при помощи
элементов предшествующих классов с основными плоскостями.
Произведя на изображении необходимые построения, мы переведем
определенные элементы 2-го класса в элементы 1-го класса,,
причем класс всех определенных элементов (кроме элементов
нулевого и 1-го классов) понизится на единицу. Проделав
аналогичные построения (п—1) раз, мы переведем определенный
элемент п-го класса в элемент 1-го класса (и т. д.).
Из теоремы 2 следует, что все определенные элементы изо-
бражения могут быть при помощи необходимых построений
сделаны элементами 1-го класса, т. е. для определенных прямых
и плоскостей могут быть построены (на изображении) их следы
на основных клоскостях.
53

Далее, как нетрудно убедиться, можно построить на
изображении любую инциденцию, образованную двумя какими-либо
определенными элементами 1-го класса. В самом деле, линия
пересечения двух плоскостей 1-го класса строится на
изображении как прямая 1-го класса, определяемая своими следами. Так,
если плоскости аир заданы на изображении своими следами
(аи а2) и (6Ь Ь2) на основных плоскостях (черт. 39), то следы
линии их пересечения получаем как точки пересечения
одноименных следов данных плоскостей: Хх = ах X Ьи Х2 = а2 X Ь2.
Черт. 39. Черт. 40.
Точка пересечения прямой 1-го класса а с плоскостью 1-го
класса р строится следующим образом (черт. 40). Через данную
прямую а (Аи А2) проводим произвольную вспомогательную
плоскость а. Точки пересечения В{ и В2 следов плоскостей аир
определят прямую Ь как прямую 1-го класса. Точка
пересечения М последней с данной прямой а (обе прямые лежат в
упомянутой вспомогательной плоскости) и является искомой.
Таким образом, для определенных элементов 1-го класса все
их инцидентные.элементы могут быть построены на
изображении. Принимая во внимание теорему 2, можем формулировать
этот результат в следующем более общем виде:
Теорема З.Все инциденции, образованные определенными
элементами изображения/ могут быть построены на этом
изображении.
§ 13. ПОНЯТИЕ О ПОЛНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ
Предположим, что имеем изображение, все элементы
которого являются определенными относительно основных
плоскостей. Тогда, согласно сказанному в предыдущем параграфе,
каждая инциденция, существующая в оригинале, может быть
построена и на изображении. Это приводит к понятию полного
изображения.
Будем называть изображение полным, если любая
инциденция элементов его оригинала определена на его изображении.
Другими словами, всякая инциденция оригинала или изобра-
М

жена, или может быть изображена, так как является следствием
изображенных инциденций и определяется ими.
Из определения полного изображения можно сделать
следующие выводы:
1. Изображение плоской фигуры всегда полное. В самом
деле, в этом случае все операции, определяющие какие-либо
инциденций оригинала, могут быть выполнены и на
изображении (последнее предполагаем невырождающимся).
2. Если все элементы изображения определены, то
изображение является полным. Как было уже показано, все
инциденций в этом случае могут быть построены на изображении.
3. Любые две плоскости полного изображения могут быть
приняты за основные плоскости, причем все элементы
изображения окажутся определенными (независимость полноты
изображения от выбора основных плоскостей). В самом деле,следы
прямых и плоскостей на основных плоскостях могут быть
построены. Отсюда, в частности, следует, что множество
определенных элементов как полное изображение сохраняет это свое
свойство независимо от того, какие две плоскости этого
изображения будут выбраны в качестве основных.
Пример 1. Изображен тетраэдр A'B'C'D' и пересекающая
его прямая P'Q\ на которой лежит точка М'. Изображения
соответствующей фигуры,
прямой и точки обозначены буква- D
ми ABCD, PQ и М (черт. 41).
Нетрудно убедиться в том,
что данное изображение
является полным. В самом деле,
грани ABD и BCD тетраэдра
можем принять за
изображения основных плоскостей;
тогда ребро BD окажется
изображением линии их пересечения.
Две другие грани ABC и ACD
являются определенными
плоскостями 1-го класса (грань В
ABC — точками А, В, С нуле- Черт. 41.
вого класса; грань ACD —
точками А, С, D нулевого класса). Прямая PQ и точка М также
являются элементами 1-го класса. Так, прямая PQ имеет следы
Ру Q (точки нулевого класса) на основных плоскостях. Отсюда
заключаем, что все элементы нашего изображения
определенные, а это означает, что любые инциденций, определяемые
оригиналом изображения в пространстве, могут быть построены на
изображении. Следовательно, имеем полное изображение.
Пример 2. Нетрудно убедиться, что изображение всякой
пирамиды всегда является полным. Пусть, например, имеем
изображение пирамиды SABCDEF (черт. 42). Примем плоскость
5S

основания ABC пирамиды и грань ABS за пару основных
плоскостей; тогда все остальные грани пирамиды окажутся
определенными элементами 1-го класса. В самом деле, какая-нибудь
грань, например грань CDS, определяется своим следом CD на
Черт. 42.
первой основной плоскости и точкой S на второй. То же можно
сказать и об остальных гранях. Таким образом, выясняется, что
все элементы изображения определенные, а значит, это
изображение полное.
Пример 3. Предположим, что нам дано изображение
призматической поверхности в параллельной проекции (боковые
Черт. 43. Черт. 44.
ребра призмы параллельны). Такое изображение также
является полным. Принимая плоскость ABC и боковую грань ABS
за основные плоскости, убедимся, что все остальные грани
призмы являются определенными плоскостями 1-го класса
(черт. 43). В самом деле, они определяются своими следами на
плоскости ABC и бесконечно удаленной (несобственной)
точкой S, принадлежащей второй основной плоскости. Отсюда
заключаем, что изображение призматической поверхности полное.
56

П р и м e p 4. Дано изображение конуса. Будем считать
основными плоскостями плоскость ABC основания конуса и плоскость
ABS (черт. 44). Тогда все точки основания конуса являются
определенными точками нулевого класса как принадлежащие
основной плоскости. Любая точка М поверхности конуса
является точкой 1-го класса, так как принадлежит определенной
прямой NS 1-го класса (образующей конуса). Следовательно»,
изображение конуса полное.
§ 14. ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА ПОЛНЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЯХ
Как мы видели, любая задача на построение инциденцшг
двух каких-либо элементов оригинала на полном изображении,
всегда определенна.
Задачи, в которых по данным инциденциям требуется
построить новую, будем называть позиционными, так как в них
идет речь о расположении элементов в пространстве, от чего
только и зависит решение. Термин позиционная задача мы
употребляем, следовательно, в том же смысле, какой придается
в литературе терминам визуальная или дескриптивная задача
(им противополагается термин метрическая задача, как задача,,
трактующая о метрических свойствах фигуры).
Так как на каждом полном изображении можно фиксировать
пару плоскостей в качестве основных, причем все элементы
изображения оказываются определенными, то выводы § 12 могут
быть применены к каждому полному изображению. Это дает
общий метод решения позиционных задач на полных
изображениях.
В самом деле, пусть требуется найти на таком изображении
инциденцию двух определенных элементов; одного — класса m
и другого — класса я. Проделав нужное число построений, мы
добьемся того, как было показано в § 12, что оба названных
элемента окажутся определенными элементами 1-го класса..
После этого искомая инциденция строится так, как это было
показано в § 12.
В большинстве случаев нет необходимости проделывать
последовательно все построения. Частные особенности задачи
позволяют сократить число выполняемых операций.
Рассмотрим приемы решения важнейших позиционных задач
на изображении.
1. Построить сечение фигуры плоскостью
Каждая плоскость на изображении может быть задана
аналогично тому, как ее можно задать в пространстве (т. е. в
оригинале). Так, плоскость сечения пирамиды на чертеже 45
задается тремя точками (/, 2У 3) на ее ребрах. На чертеже 46 она
определяется точкой (/) и прямой PQ. Плоскость сечения приз-
57

мы на чертеже 47 определяется точками L, М и iV на гранях
призмы. Наконец, плоскость сечения конуса на чертеже 48
определяется точками L, М на поверхности конуса и точкой N на
плоскости его основания. Следовательно, выбор способа
задания плоскости сечения остается в нашем распоряжении. Если
элементы, которыми задана плоскость, являются
определенными, задача построения сечения разрешима. Сама суть
задачи заключается в построении следов плоскости сечения на
Черт. 45.
гранях данной фигуры (черт. 45, 46 и 47) или в построении
кривой сечения по точкам (черт. 48).
Построение следов плоскости на гранях фигуры можно вести
по одному из следующих приемов:
а) строить следы прямых, лежащих в плоскости сечения, и
по ним находить следы самой плоскости;
б) строить третий след трехгранного угла по двум
найденным следам на плоскости сечения;
в) применить «внутреннее проектирование».
Решим несколько примеров на построение сечений, пользуясь
приемами пунктов «а» и «б». Что же касается способа пункта
«в», то мы отсылаем читателей к работе Н. Ф. Четверухина
«Стереометрические задачи на проекционном чертеже» (1955). См,
также замечания на страницах 31 и 37 этой книги.
Пример 1. Сечение пирамиды SABCDEF плоскостью,
проходящей через точки (1, 2, 3) на ее ребрах (черт. 45). Следы
(12) и (23) сечения находятся непосредственно. Далее находим
след XY секущей плоскости на плоскости основания пирамиды.
Прямая (12) пересекает прямую АВ в точке X, а прямая (23)
пересекает прямую ВС в точке У. По следам X и У прямых (12)
и (23), лежащих в плоскости сечения, находим след XY этой
плоскости на плоскости основания. Построение остальных
следов сечения не представляет затруднения. Так, для грани SCD
получаем: прямая CD пересекает след XY в точке Z; точка 3
вместе с точкой Z определяют след (Z34) плоскости сечения на
грани SCD. Далее находим след сечения на грани SDE
аналоги

гичным образом: XY XDE = V\ прямая (U45) является
искомым следом. Для грани SEF имеем: XY X EF = V\ прямая
(V56) есть след плоскости сечения на грани SEF. Наконец,
линия (61) является замыкающим следом сечения на грани SFA.
Пример 2. Сечение пирамиды SABCDEF плоскостью,
проходящей через точку (1) на ребре (AS) и прямую (PQ)
(черт. 46),
Черт. 46.
Две грани пирамиды SAB и SCD вместе с плоскостью основа-
ния образуют трехгранник, вершиной которого служит точка К
(К = АВХ CD). а ребрами — прямые АВК, DCK и SK. На
гранях этого трехгранника плоскость сечения дает следы: LM =
==1Р = (12) и MQe==MN = (34). Прямая LN представляет след
сечения на третьей грани трехгранника — плоскости основания.
Для построения остальных следов сечения пирамиды поступают
так же, как в предыдущем примере (их находят по найденному
следу LN).
Пример 3. Построить сечение призмы ABCDE
плоскостью, проходящей через три произвольные точки L, М, N
поверхности призмы (параллельная проекция).
Чтобы найти след сечения на плоскости ABC основания
призмы, построим сначала на плоскости ABC следы прямых LM и
MN, принадлежащих плоскости сечения (черт. 47). С этой целью
проведем через прямые LM и MN плоскости, параллельные
ребрам призмы. Получим плоскости LL\MXM и MM\N\N, причем
LLX\\MMX\\NNх\\А1. Теперь следы прямых LM и MN на плоскости
основания определятся легко, а именно:
X=L1M1XLM и Y=M1N1XMN.
Чтобы найти след сечения на какой-нибудь грани, например
грани ВСМ, поступаем, как в примере 1. Получим:
№g=XYXBC.
Отсюда MqM = (23) — есть искомый след и т. д.
5$

Пример 4. Изобразить линию сечения конуса SAXBXCX
плоскостью, проходящей через точки L и М на поверхности
конуса и точку N на плоскости его основания.
Строим след X прямой LM на плоскости основания (черт. 48).
Для этого проводим образующие конуса SLLX и SMMu тогда:
Точки N и X определяют след NX сечения на плоскости
основания конуса. После этого на каждой образующей конуса
Черт. 47.
можем построить точку сечения. Например, на образующей SCi
находим точку сечения С следующим образом: искомая точка С
лежит в плоскости CxSMXy которая пересекает след NX в
точке С0. Прямая С0М лежит в плоскости сечения, поэтому она
пересекает образующую SCi в искомой точке С (С = SCX X СоМ).
Таким образом, можно построить сколько угодно точек кривой
сечения. Особенно важно для наглядности ^изображения
построить точки этой кривой на очерковых (контурных)
образующих SAi и SB{y так как эти точки являются точками раздела
видимой части кривой сечения от ее невидимой части.
Построение упомянутых точек А и В производится совершенно так же,
как и точек на всех других образующих.
Полученное коническое сечение (эллипс) касается очерковых
образующих в «точках видимости» А и В.
<60

2. Построить точки пересечения прямой с поверхностью
данной фигуры
Решение задач на построение точек пересечения прямой
с поверхностью многогранника или какой-либо другой фигуры
сводится к проведению через данную прямую подходяще
выбранного сечения. В случае многогранника мы располагаем
большей степенью свободы выбора плоскости сечения, чем в
задачах с кривой поверхностъю, так как любое сечение
многогранника является многоугольником и вполне пригодно для наших
целей. Остается лишь выбрать его так, чтобы получить
возможно простое и удобное построение. Другое дело, когда
вспомогательное сечение само представляет собой некоторую кривую
линию (результат пересечения кривой поверхности плоскостью).
Так как эта кривая строится по точкам, подобно тому как это
Черт. 48.
было показано в примере 4 (черт. 48), то получается лишь
приближенное решение, зависящее от точности построения кривой
сечения. Однако для таких фигур, как цилиндр или конус,
точное решение задачи на пересечение их данной прямой все же
можно получить, так как среди вспомогательных сечений всегда
можно выбрать такое, которое проходит через прямолинейные
образующие упомянутых фигур.
В примерах, рассмотренных ниже, показано применение
принципа вспомогательного сечения в случае многогранника
(пример 5) и в случае цилиндра (пример 6).
Пример 5. Имеем изображение тетраэдра SABC и прямой
PQ, определяемой точкой Р прямой KLt проведенной в грани
61

SAC, и точкой Q на плоскости основания тетраэдра (черт. 49).
Требуется найти точки пересечения прямой PQ с тетраэдром.
Почти очевидно, что все данное изображение полное. В
самом деле, если принять тетраэдр SABC за основной (считая,
например, его грани АСВ и ACS основными плоскостями), то
точки Р и Q окажутся точками нулевого класса, а прямая PQ —
прямой 1-го класса. Поэтому задача построения точек
пересечения прямой PQ с тетраэдром определенна и разрешима.
Черт. 49.
Решение. Строим след U прямой KL на плоскости
основания ABC (U = KLy^AC). Проводим вспомогательную
плоскость сечения через прямые PQ и KL. Прямая QU есть след
этой плоскости. Находим фигуру сечения тетраэдра плоскостью
PQU. Плоскость SBC имеет с ней две общие точки: точку L и
точку V' = BCy^QU. Следовательно, линия MLeee LV есть след
плоскости PQU на грани SBC. След той же плоскости на грани
SAC известен: это линия KL. Таким образом, фигура сечения
найдена: это треугольник KLM. Прямая PQ пересекает этот
треугольник в точках X и У, которые и дают решение задачи.
Пример 6. Дано изображение (в параллельной проекции)
цилиндра и прямой PQ. Последняя определяется точкой Р
прямой АВ (А — точка плоскости основания цилиндра, а В — точка
на его поверхности) и точкой Q на плоскости основания
цилиндра. Требуется найти точки встречи прямой PQ с
поверхностью цилиндра (черт. 50).
Легко убедиться, что предлагаемое изображение — полное
(поверхность цилиндра, а также точки А, В и Р, Q являются
определенными). Через прямую PQ проводим плоское сечение,
параллельное образующим цилиндра. Такое сечение
определяется прямыми PQ и РР\ (РР\ || ВВ{—образующей цилиндра).
Найдем след прямой РР\ на плоскости основания цилиндра.
Прямая РР\ лежит в плоскости ABBh а значит, след Р\ лежит
на прямой АВ\ (Р\ = АВ\У^РР\). После этого находим след
PiQ вспомогательной плоскости, проходящей через прямую PQ
62

и параллельной образующим цилиндра. Эта плоскость
пересекает цилиндр по образующим ХХ\ и YY\. Прямая PQ, лежащая
Черт. 50.
в той же плоскости, встречает образующие ХХХ и YYX (а
следовательно, и поверхность цилиндра) в точках X и Y.
3. Линия пересечения двух многогранников
Если на полном изображении имеем проекции двух
пересекающихся многогранников, то задача построения линии
пересечения этих многогранников является вполне определенной и
разрешимой. Искомая линия пересечения многогранников
представляет собой некоторую
пространственную ломаную, например ABCDEFGHA
(черт. 51). Каждая сторона этой
пространственной ломаной есть линия
пересечения какой-либо грани одного
многогранника с гранью другого. Вершины
пространственной ломаной представляют
собой точки пересечения ребер одного
многогранника с гранями второго.
Следовательно, задача построения ломаной
ABCDEFGHA сводится либо к
построению ее сторон как линий пересечения пар граней данных
многогранников, либо к построению ее вершин как точек
пересечения ребер одного многогранника с гранями второго. Если
вершины искомой ломаной пересечения построены, то остается
лишь соединить их надлежащим образом, чтобы получить
стороны ломаной. При этом приходится разрешать вопрос о том,
какие две вершины следует соединить, чтобы построить сторону
ломаной, и какие вершины нельзя соединять, так как они не
принадлежат одной стороне. Так как в сложных случаях
решение этого вопроса не всегда может быть подсказано интуицией,
6J

то можно воспользоваться следующим надежным критерием.
Дело в том, что две соединяемые вершины как принадлежащие
одной и той же стороне должны также принадлежать тем двум
граням, линией пересечения которых эта сторона является.
Отсюда заключаем: следует соединять каждые две вершины
искомой ломаной, лежащие одновременно в одной и той же грани
первого многогранника и в одной и той же грани второго
многогранника. Этот простой принцип всегда позволяет решить
вопрос в менее наглядных случаях.
Пример 7. На чертеже 52а изображены два многогранника:
призма (I II III) и пирамида (S 1 2 3) (проекция параллельна),
Черт. 52а.
Полнота этого изображения достигается тем, что точка Н
пересечения ребра (S 1) пирамиды с гранью (7 //) призмы дана.
Действительно, ребро (S 1) оказывается определенным
относительно призмы, а вместе с ним определена и вся пирамида.
Убедившись в полноте изображения, приступаем к построению
искомой линии пересечения двух данных многогранников.
Так как основания обоих многогранников лежат в одной и
той же плоскости, то находим точки пересечения оснований
непосредственно. Это точки: Л, В, F и G. Следовательно, у наших
многогранников часть площади оснований является общей.
Чтобы построить линию пересечения поверхностей
многогранников, проведем через ребро (S 1) плоскость, параллельную
ребрам призмы, и найдем ее след на плоскости оснований. Эта
плоскость пересекает грань (I, II) призмы по прямой ННи
параллельной ребрам призмы. Следовательно, прямая (Н\ 1) есть,
след упомянутой плоскости. Прямая SSb параллельная ребрам.
64

призмы, также лежит в нашей плоскости и пересекает след
(Н\ I) вточке>>1. Теперь ясно, что прямая (Si 2) есть след
аналогичной плоскости, проходящей через ребро (S 2), а
прямая (Si 3)—след плоскости, проходящей через ребро (S 3).
Первая из этих плоскостей пересекает грань призмы (//, III) по
прямой CiC||SiS; вторая пересекает грань (III, I) призмы по
прямой EifySiS. Поэтому находим точки С и Е, в которых
ребра (S 2) и (S 3) пересекают соответственно грани (II, III)
и (III, I) призмы:
C = S2XC1C и E = S3XEtE.
Далее замечаем, что следами тех же трех плоскостей,
проходящих соответственно через ребра (S 1J, (S 2) и (S 3)7 на
плоскости верхнего основания являются прямые #2S2l|//iSi;
S2L\\S\2; S2M\\Si3t откуда определяем точки К, L и М, в
которых ребра пирамиды пересекают плоскость верхнего основания
призмы.
Черт. 52а.
Что же касается расположения ребер призмы относительно
пирамиды, то, как легко видеть, лишь одно ребро призмы (III)
(кроме ребер нижнего основания, о которых уже было сказано)
пересекает пирамиду. Точку пересечения D легко построить. Для
этого находим точку DQf в которой плоскость (//, III) призмы
пересекает сторону (23) основания пирамиды. Тогда прямая
CD0 есть линия пересечения грани (II, III) призмы с гранью
(S23) пирамиды. Поэтому D есть точка пересечения ребра ///
призмы с прямой CD0.
Теперь все вершины искомой линии пересечения
поверхностей данных многогранников найдены. Остается соединить
некоторые из них. Применяя формулированный выше принцип
65

соединения вершин, придем к выводу, что в данном случае
линия пересечения поверхностей многогранников состоит из
следующих частей: ABCDEFGHA и KLM.
На чертеже 526 изображены те же фигуры без
вспомогательных построений. Изображение сделано в предположении, что
данные нам геометрические тела (призма и пирамида)
непрозрачны. Для большей наглядности некоторые грани этих тел
заштрихованы.
. 4. Линия пересечения многогранника с конусом
или цилиндром
Так как плоскости пересекают конус или цилиндр по
коническим сечениям (кривым 2-го порядка)* то линия пересечения
многогранника с упомянутыми фигурами должна состоять из
дуг кривых 2-го порядка. Последние строятся по точкам.
Прежде всего следует построить опорные точки, т. е. такие точки,
которые выделяются из всех остальных случайных или
произвольных точек каким-либо геометрическим свойством. К числу
Черт. 5зд.
таких точек относятся точки А и В (черт. 53а), в которых
кривая пересечения переходит с одной грани многогранника на
другую. Точно так же следует отнести к числу опорных точки
видимости С и G, которые отделяют видимую часть дуги
кривой от невидимой. Для большей точности изображения нужно
наметить еще некоторое число произвольных точек линии
пересечения. Рассмотрим пример на построение кривой пересечения
конуса и многогранника.
Пример 8. Изображены конус и призма (параллельная
проекция) (черт. 53а). Полнота изображения обеспечена тем, что
66

ребро RR\ призмы лежит на определенной (относительно
конуса) прямой SS\ Ч Так, если в качестве пары основных
плоскостей примем грань (QRQiRi) и плоскость основания. (PiQ\R\)
призмы, в которой лежит также основание конуса, то, как
нетрудно убедиться, в этой системе и конус и призма окажутся
определенными. Поэтому можно построить линию их
пересечения. Начинаем построение с опорных точек. Грань (QRQiRi),
плоскость которой проходит через вершину 5 конуса,
пересекает боковую поверхность конуса по отрезку ABJ составляю-
Черт. 536.
щему часть образующей SQ0. Грань (PRPiRi) пересекает ту же
поверхность по отрезку DE, составляющему часть образующей
конуса SE. Грани (PQQ\Pi) и (PQR) пересекают^ поверхность
конуса по дугам кривых 2-го порядка (конических сечений).
Определим точки видимости этих дуг на образующей SG0
(последнюю можно назвать очерковой или контурной образующей,
так как она составляет часть очертания или видимого контура
конуса). Для этого проводим через образующую SG0 и линию
SSi вспомогательную плоскость. Последняя пересекает плоскость
основания по прямой S\G0, а грань (PQQiPi) — по прямой
GiGHSiS. Отсюда и получаем точку видимости G = SG0 X G\G
на грани (PQQ\P\). На грани верхнего основания призмы
(PQR) дуга линии пересечения должна быть, очевидно, подобна
соответствующей дуге основания конуса, а именно дуге QqGqE.
Поэтому, проведя прямую /?C||SiG0 получим на очерковой
образующей SG0 точку видимости С. Таким образом, линия
пересечения призмы и конуса определяется опорными точками
A9B,CJ),E9F,G,A.
Построение произвольной или случайной точки М
выполняется таким образом. Через прямую SSi проводим произволь-
1 Служит ли эта прямая осью конуса или его высотой, или это
произвольная, но определенная относительно конуса прямая — не имеет значения
в рассматриваемой задаче.
67

ную плоскость SS\M0. Последняя пересекает конус по
образующей MoS, а призму — по прямой М\М || SSi. Отсюда находим
точку М = M0S X МХМ.
На чертеже 536 показаны лишь видимые части обоих
пересекающихся тел.
5. Линия пересечения двух тел, ограниченных кривыми
поверхностями
При решении задачи построения линии пересечения двух тел,
ограниченных кривыми поверхностями, пользуются приемами,
аналогичными описанным в пЧ. Линия пересечения двух таких
тел есть в обшем случае пространственная кривая (или, как
ее называют, кривая двоякой кривизны). Эта кривая так же, как
только что разобранная, строится по точкам: сперва находятся
опорные точки, определяющие общее строение кривой, а затем
строится еще некоторое количество произвольных (случайных)
точек для ее уточнения. Рассмотрим пример.
Пример 9. Изображены цилиндр и конус (параллельная
проекция). Плоскость оснований у этих фигур общая (черт. 54а).
Черт. 54я.
Полнота изображений осуществляется заданием образующей
конуса S/, точка встречи А которой с цилиндром показана на
изображении. Поэтому, если рассматривать изображение
цилиндра как полное, то образующая SI конуса окажется
определенной, а следовательно, окажутся определенными и все
остальные элементы изображения конуса. Убедившись в этом,
переходим к построению линии пересечения двух тел.
В нашем случае опорными точками являются прежде всего
точки С и D. Построение их можно произвести следующим обра-
68

зом. Через очерковые (контурные) образующие SIII и SIV
проводим вспомогательные секущие плоскости, параллельные
образующим цилиндра. Эти плоскости, так же как и плоскость,
определяемая образующими SI и Л/, пройдут через прямую
55«!И^ (точку Sa можно построить так: 5a = //X55a).
Плоскость SIIIS^ пересекает конус по образующей SIII, а
цилиндр — по образующей СЗ. Это позволяет найти на контурной
образующей SIII точку видимости С. Аналогичным образом
находится точка видимости D на другой контурной образующей
Черт. 54<5\
конуса SIV. Если проведем секущую плоскость так, чтобы она
коснулась основания конуса в точке //, то получим образующую
конуса SII и образующую цилиндра В2. Точка В
пересечения последних является крайней экстремальной правой точкой
кривой пересечения, так как образующая В2 есть, очевидно,
крайняя из образующих цилиндра, имеющая общую точку
с конусом.
Выполним еще построение произвольной точки М линии
пересечения. Для этого проводим произвольный след S^MiMqMq
секущей плоскости и находим две образующие конуса M0S и
M0S, которые_ пересекают образующую цилиндра М\М
в точках М и М. Последние являются искомыми случайными
точками линии пересечения данных поверхностей. Заметим, что
эта линия состоит ё рассматриваемом случае из двух
отдельных замкнутых петель. Линия ABCMDM является одной из них.
Вторая меньшая петля невидима за цилиндром. Она строится
аналогичным образом. На чертеже 546 показаны лишь видимые
части обеих пересекающихся поверхностей.
69

§ 15. ПРИМЕРЫ ОШИБОЧНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
(СВЕРХПОЛНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ)
Полные изображения обладают тем свойством, что все инци-
денции оригинала, не показанные на изображении, являются
следствием остальных (т. е. имеющихся на изображении) инци-
денций и могут быть построены. Поэтому их нельзя выбирать
произвольно. Однако на практике нередко можно встретить
неверные изображения, получающиеся в результате произвольного
задания тех элементов, которые вполне определяются и могут
быть построены. Изображения, содержащие больше заданных
инциденций, чем это требуется для полноты изображения, будем
называть сверхполными. Ясно, что сверхполное изображение
остается верным лишь в том случае, если задание на нем
некоторых дополнительных инциденций выполнено исходя из тех,
которые обеспечивают его полноту. Оно оказывается неверным,
если хотя бы одна из этих новых инциденций выбрана
произвольно.
Пример 1. Изображена четырехгранная призма ABCD.
Требуется изобразить произвольное сечение призмы плоскостью.
Черт. 55а.
Обыкновенно такое сечение A\B\C\D\ (черт. 55а) проводится
произвольно. Даже в учебниках помещаются такие чертежи.
Между тем, как мы знаем, изображение призмы полное. Для
определения плоскости сечения достаточно задать три какие-
либо точки этого изображения. Пусть, например, заданы точки
Ах, Вх и С{. Тогда по свойству полных изображений четвертая
точка Dx нашего сечения вполне определяется и может быть
.построена. Это построение показано на чертеже 556. Оно
заключается в следующем К Четырехугольник A\B\C\D\ можно-
рассматривать как проекцию четырехугольника ABCD по
направлению, параллельному ребрам призмы. Поэтому диагонали:
1 Мы применяем здесь способ «внутреннего проектирования».
70

четырехугольника AXB\C\D\ являются проекциями (по тому же
направлению) диагоналей четырехугольника ABCD.
Следовательно, проекцией точки Р пересечения диагоналей последнего
является точка Р\, которую получим на прямой А\СЬ проведя
РРх\\АА\. После этого находим вторую диагональ BXDX
четырехугольника A\B\C\DU соединяя точку В\ с точкой Pi и определяя
Черт. 556.
D] как точку пересечения ребра DD\ с диагональю ВХР\ (Dx =
^=DD\Y^B\Px). Если на первом чертеже (черт. 55а) отметим
точки Р и Pi пересечения диагоналей, то ошибка этого
изображения становится очевидной
(РРгЛГ.ААх).
Пример 2. Имеем
изображение многогранника SABCEDFG
(черт. 56) К Как сейчас увидим, это
изображение сверхполное и
неверное. В самом деле, если принять за
основные плоскости грани BCD и
DFS, то все остальные грани
окажутся определенными (грань CDE—
1-го класса; грань CES— 1-го
класса: грань QFS— 1-го класса; грань
BGS—1-го класса; грань ВСА —
2-го класса). Линия пересечения
двух плоскостей JCES и BGS может быть построена. В самом
деле, следы QC и BG этих плоскостей на плоскости основания
BCD пересекаются в точке Р. Соединяя точку Р с точкой 5,
получим линию PS пересечения граней CES и BGS. Таким
образом, эта инциденция (прямая PS) является следствием
остальных инциденции изображения и не может быть задана
1 Приведенное здесь изображение взято из одного математического
журнала.
71

произвольно. Между тем на изображении многогранника
линией пересечения двух названных выше граней служит ребро
SA, что, как мы видели, невозможно. Отсюда заключаем,
что изображение многогранника является сверхполным и
неверным.
§ 16. НЕПОЛНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ НЕПОЛНОТЫ
Возможен, однако, и другой случай, когда имеющихся на
изображении инциденций недостаточно для определения (а
следовательно, и построения) на изображении всех остальных
инциденций оригинала. В этом случае будем называть
изображение неполным. Для того чтобы такое изображение стало
полным, должны быть даны
дополнительные инциденций. Эти
инциденций могут быть заданы на
изображении при помощи
численных значений (параметров),
наделенных тем или другим
геометрическим смыслом. Число
параметров, которое необходимо
задать для определения
недостающих инциденций, назовем
коэффициентом неполноты (&).
Пример. Имеем
изображение ABCD тетраэдра и прямой
MN (черт. 57).. Очевидно, что
данное изображение является
неполным. Действительно, точки
пересечения Р и Q прямой MN с
гранями ABD и BCD тетраэдра могут быть выбраны
произвольно на изображении этой прямой. Но как только инциденций
Р и Q будут заданы, изображениестанет полным (ср. черт. 41)*
Для этого требуется, очевидно, задание двух параметров. В
качестве таковых можем принять отрезки MP и MQ. Таким
образом, здесь имеем неполное изображение с коэффициентом не-:
полноты k = 2.
§ 17. ИЗОБРАЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ТОЧЕК ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Будем называть систему точек в пространстве системой
точек общего положения, если никакие три точки системы не
лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной
плоскости. Если на плоскости изображений даны проекции всех
точек системы, то мы имеем изображение этой системы. Так, на
чертеже 58 даны изображения нескольких систем точек общего
положения: из одной точки (Л), из двух точек (А, В), трех
точек (А, В, С) и четырех точек [А, В, С, D)t Все эти йзображе*
72

ния являются, как нетрудно видеть, полными. В самом деле,
в каждом из этих случаев все инциденции оригинала могут
быть построены на изображении. Рассмотрим теперь
изображение системы пяти точек общего положения (черт! 59). Четыре
о/7
В
В 1
■ в
Черт. 58.
из этих точек образуют в пространстве тетраэдр A'B'C'D',
изображение которого ABCD имеем на чертеже 59. Изображение
пятой точки обозначено буквой Е. Примем грани ABC и BCD
за основные плоскости, тогда прямая АЕ имеет след А на одной
из основных плоскостей. След
F на второй основной,
плоскости — грани BCD— может быть
задан произвольно (на
прямой АЕ). Тогда прямая АЕ
окажется определенной
прямой 1-го класса, а все
изображение — полным.
Задание инциденции F
равносильно заданию одного па- б
раметра (отрезка AF).
Следовательно, система из пяти то- ЧеРт* 59-
чек общего положения требует
для полноты изображения задания одного параметра
(изображение системы пяти точек общего положения является
неполным с коэффициентом неполноты fe=l).
Теперь нетрудно обобщить наши выводы на случай системы
п точек общего положения (я>4). Выделив, как на чертеже 59,
четыре точки А,. В, С, D в качестве вершин основного тетраэдра,
мы можем соединить прямыми все остальные точки
изображения системы с вершиной Л. Тогда для определения какой-либо
73

точки М системы надо задать аналогично предыдущему (см.
черт. 59) след прямой AM на плоскости BCD.
След F будем называть «основанием» точки Е. Так как
задание следа равносильно заданию одного параметра, то для
п—4 точек изображения системы (четыре точки являются
вершинами основного тетраэдра) необходимо задать п—4
параметра. Отсюда можем заключить, что:
Изображение системы п точек общего положения является
неполным с коэффициентом неполноты k = п—4.
Изображение системы п(п^>4) точек общего положения
можно разбить на конечное число полных изображений. Это
ясно уже из того, что изображение каждой точки системы в
отдельности является полным. Наименьшее число полных
изображений получим, если будем группировать изображения точек
по четыре. Каждая четверка точек общего положения
представляет собой полное изображение (добавление к ней пятой точки
делает изображение неполным). Разбивая изображение системы
п точек общего положения на четверки, для* последнего полного
изображения получим число точек, равное остатку от деления
числа п на 4. Отсюда заключаем:
Неполное изображение системы п(п^>4) точек общего по-
ложения всегда может быть разбито на конечное число полных
изображений; это число не может быть меньше целой части
лг -4-3 1
числа —j— .
§ 18. ПРИВЕДЕННЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ. ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛНЫЕ
И НЕПОЛНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Пусть имеем изображение Ф, оригиналом которого является
фигура Ф' в пространстве. Предположим, что изображение Ф
является неполным с коэффициентом неполноты, равным k.
Тогда, согласно определению неполных изображений, можно
задать k параметров, Определяющих недостающие инциденции
изображения, после чего изображение станет полным (см.
черт. 59). Мы будем называть такое полное изображение
приведенным и обозначать через Ф.
Рассмотрим некоторую систему 2 точек, принадлежащих
данному изображению Ф. Эта система точек может быть
неполной, если ее рассматривать независимо от изображения Ф. Но
она в то же время может оказаться полной, если ее
рассматривать как принадлежащую Ф. Примером такого рода
изображения может служить система из пяти точек Л, В, С, D и М
на чертеже 41. Такая система является, как мы видели,
неполным изображением (с коэффициентом неполноты k=l), если
1 Целую часть числа ~Г принято обозначать через Е
74

ее рассматривать независимо от изображения (не как одно
целое с ним). Наоборот, если рассматривать изображение в
целом, то, как мы видели, оно является полным. Точки А, В, С, D
и М принадлежат этому полному изображению, поэтому для
них могут быть найдены все возникающие в оригинале йнциден-
ции. Например, можно найти (построить) точку пересечения
прямой MD с плоскостью ABC (см. черт. 41). Словом, система
из пяти точек А, В, Ст D, М проявляет себя как полное
изображение, если учитывать изображение Ф, к которому она
принадлежит в целом.
Можно, далее, говорить об изображении ф, принадлежащем
изображению Ф и являющемся частью последнего. Изображение
Ф может быть неполным, если его рассматривать отдельно от
изображения Ф, и в то же время оно может быть полным, если
его считать частью Ф. Такое изображение ф будем называть
полным относительно из-
ображения Ф. Так, на том
же чертеже 41 мы можем
принять за изображение
Ф прямую PQ и
треугольник ABC. Такое
изображение в отдельности
является неполным (& = 1),
так как содержит пять
точек общего положения А,
В, С, Р и Q. Но оно
является полным
относительно всего изображения
(или Ф).
Ясно, в частности, что я
любая Часть ф полного "
изображения Ф является
полной относительно Ф.
Может также оказаться, что изображение ф,
рассматриваемое как независимое от изображения Ф, тастью которого оно
является, и определяемое при этом как неполное с
коэффициентом неполноты kt при рассмотрении его с учетом изображения
Ф окажется неполным с иным коэффициентом неполноты — £ф .
В этом случае будет k<$><k. Тогда можно говорить о неполном
изображении„ф относительно изображения Ф. Во всех этих
случаях изображение Ф является усиливающим связи элементов
(дополняющим инциденции) изображения ф, вследствие чего
это изображение в присутствии изображения Ф становится
более полным.
В качестве примера рассмотрим изображение, помещенное
на чертеже 60. Это изображение в целом обозначим через Ф.
Три треугольника ABC, DEF и LMN составляют его часть,
которую обозначим через ф. Изображение ср в отдельности, очевидно,
Черт. 60.
75

неполное, как содержащее девять линейно независимых точек,
не связанных никакими условиями (А, В, С, Д Е, F, L, М, N).
Его коэффициент неполноты определится поэтому как:
k^n — 4 = 9 — 4 = 5
Если же рассматривать изображение ф как часть всего
изображения Ф, то его относительная неполнота характеризуется
коэффициентом, численно равным коэффициенту неполноты
изображения Ф. Нетрудно видеть, что этот коэффициент &ф = 2.
В самом деле, на изображении Ф имеем четыре плоскости, две
из которых (пл. ABC и пл. PQR) можем принять за основные,
тогда две другие (пл. DEF и пл. LMN) окажутся заданными
каждая своим следом на основной плоскости (прямая PQ и
прямая RS). Поэтому достаточно для каждой из этих
плоскостей задать по одному параметру (например, углу наклона
следа на второй основной плоскости ABC к линии s
пересечения основных- плоскостей), чтобы эти плоскости стали
определенными, а изображение Ф полным. Отсюда и следует, что
£ф = 2.
Пусть имеем изображение ф, неполное относительно
изображения Ф, частью которого оно является. Обозначим через &ф
коэффициент относительной неполноты изображения ф. Если
задать &ф параметров, определяющих необходимые инциденции,
то изображение ф станет полным относительно Ф. Мы будем
называть его приведенным относительно изображения Ф и
обозначим через фф.
§ 19. ОТЫСКАНИЕ КрЭФФИЦИЕНТА НЕПОЛНОТЫ ДАННОГО
ИЗОБРАЖЕНИЯ. ТОЧЕЧНЫЙ БАЗИС ИЗОБРАЖЕНИЯ
Предположим, что мы имеем неполное изображение Ф.
Чтобы отыскать коэффициент неполноты k этого изображения,
надо подсчитать число параметров, которыми определяются
дополнительные инциденции, обращающие данное изображение
в полное. С этой целью мы применим метод последовательного
расширения полного изображения, который заключается в
следующем.
Выберем на изображении Ф какие-либо четыре точки Л, В, С
и D общего положения. Эти точки определяют основной
тетраэдр ABCD. Рассмотрим все те элементы изображения Ф,
которые являются определенными относительно основного
тетраэдра ABCD. Все эти элементы вместе с четверкой точек А, В, С
и D образуют полное изображение. Обозначим последнее через
Фь Ясно, что изображение Ф1 является лишь частью
изображения Ф, так как если бы Ф\ совпадало с изображением Ф, то
последнее было бы полным. Итак, имеем: Ф^а Ф. Рассмотрим
какую-либо точку Мх изображения Ф, не принадлежащую пол-
76

ному изображению Фь такая точка не является, очевидно,
определенной относительно основного тетраэдра ЛВСО1., Для
присоединения ее к изображению Ф\ следует задать
дополнительную инциденцию (основание точки Mi), определяемую одним
параметром.
После этого точка М\ будет являться определенной
относительно основного тетраэдра ABCD, и наше полное изображение
расширится. Может случиться, что при этом, кроме точки Мь
окажутся определенными другие элементы изображения Ф,
которые не входили в полное изображение Фь Присоединяя к
последнему все такие элементы, мы получим полное изображение
Ф>. Может случиться, что и после этого найдется точка М2,
принадлежащая изображению Ф, но не принадлежащая
изображению Ф2. Точка М2 остается, очевидно, неопределенной и
независимой от тетраэдра ABCD. Чтобы сделать ее определенной, надо
задать инциденцию (основание точки М?), определяемую одним
параметром. После этого мы получим полное изображение Фз,
в которое войдут все элементы изображения Ф, определенные
относительно тетраэдра ABCD. Если изображение Ф3, не
содержит всех точек изображения Ф, то тем же самым приемом его
можно расширить до полного изображения Ф4 и т. д. Если после
k таких расширений получим изображение Ф&+1> совпадающее
с приведенным изображением Ф, то процесс закончен. Так как
при каждом расширении был израсходован один параметр, то
отсюда следует, что для обращения данного неполного
изображения в полное (приведенное изображение) требуется задать
k параметров. Тогда, согласно определению, число k
представляет собой коэффициент неполноты изображения Ф.
Нетрудно убедиться в том, что число k не зависит ни от
выбора основного тетраэдра ABCD, ни от выбора неопределенных
точек в процессе расширения.
Предположим, в самом деле, что при некотором выборе
основного тетраэдра и неопределенных точек пришлось
произвести k\ включений последних, задавая соответствующие
основания этих точек. Эту совокупность оснований мы обозначим
буквой Л. При другом же выборе основного тетраэдра и
неопределенных точек пришлось произвести k2 включений последних,
задавая соответствующие основания неопределенных точек.
Совокупность этих оснований обозначим буквой /2.
Допустим,, что k2<^k\. Это означало бы, что после задания
k2 параметров .не только все основания /2, но и все основания
Л, были бы определены, так как чертеж стал полным.
Следовательно, для определения kx оснований Л, требуется лишь k2
параметров. Другими словами: (k\ — k2) оснований первого
выбора являются следствиями заданных k2 оснований. Соответ-
1 Точку Mi будем называть также независимой от изображения Ф\ или
неопределенной.
П

ствующие им точки были бы определенными, а это противоречит
условиям процесса расширения полноты изображения.
По аналогичным причинам не может быть k\ <[ k2.
Следовательно, единственное возможное заключение: k\ = k2 = Const.
Коэффициент неполноты для данного
проекционного чертежа есть характеристическое
число последнего.
При отыскании коэффициента неполноты мы исходили из
системы четырех точек А, В, С, D, образующих основной
тетраэдр, к которым затем были присоединены k точек Mi(i=l, 2,
3,..., k). Эту систему из n = k-{-4 точек будем называть
точечным базисом данного изображения Ф. Из предыдущего ясно,
что коэффициент неполноты находится по формуле:
k = n—4,
где п — число точек базиса.
Следовательно, коэффициент неполноты изображения Ф
определяется по точечному базису этого изображения совершенно
так же, как он находится для изображения системы п точек
общего положения.
Пример 1. Имеем изображение Ф конуса с основанием
A\BiCi и вершиной S (черт. 61). Изображение Ф, как легко
Черт. 61.
видеть, полное. Действительно, если за основной тетраэдр
возьмем четыре точки Аъ Вь Сь S, то все точки основания конуса*
а также и вершина S оказываются определенными нулевого
класса. Следовательно, любая образующая конуса есть прямая
1-го класса, так же как и все точки его поверхности. Однако
в качестве точечного базиса полного изображения можно при*
78

нять любые четыре точки общего положения. Четыре вершины
основного тетраэдра A\BiC\S являются одной из форм базиса.
Будем исходить из другого точечного базиса. Выберем на
поверхности конуса четыре произвольные точки А, В, С я D. Что
они также являются точечным базисом изображения Ф,
нетрудно убедиться, если принять тетраэдр ABCD за основной.
Тогда можем построить следы X, Y и Z ребер АВ% ВС и AD
основного тетраэдра на плоскости основания конуса и
рассматривать эти инциденции как определенные точки 0-го класса.
Тогда плоскость XYZ основания конуса явится плоскостью
1-го класса. Образующая А\А и вершина S конуса окажутся
прямой и точкой 2-го класса. Таким образом, метод расширения
приводит ко включению всех точек изображения Ф. Это означает,
что система А, В, С, D является точечным базисом полного
изображения Ф.
Пример 2. Предположим, что Ф представляет собой
изображение многогранника HABCDEFG (черт. 62). Построим
Черт. 62.
точечный базис изображения многогранника тем же самым
методом. С этой целью четыре произвольные точки общего
положения примем за основание базиса. Пусть это точки А, В, С и
D. Тетраэдр ABCD можно считать основным. Пусть это будет
изображение "Фь Точка Н изображения Ф независима от
изображения Ф1 (ABCD). В этом легко убедиться, задавая произвольно
след (инциденцию) X прямой ВН на плоскости ACD основного
тетраэдра. В самом деле, получим определенную прямую ВХ
1-го класса и на ней точку Н также 1-го класса. Изображение
остается верным, откуда и следует, что точка Н вполне
независима от изображения Фь Включая точку Н в состав точечного
базиса, получим полное изображение Фг-
79

Далее из аналогичных соображений усматриваем, что точка
F независима от изображения Фг. В самом деле, задавая
произвольно след (инциденцию) У прямой BF на плоскости ACD
основного тетраэдра, будем иметь следующие определенные
элементы: прямая BY и точка F—1-го класса, грани BDEF и
BCGF — 2-го класса; грани EFG, CDG и DGE — 3-го класса
(так как точки Е и G — 2-го класса). Таким образом, инциден-
ция У может быть задана произвольно (на прямой BF), после
чего изображение Ф многогранника становится полным. Это
значит, что точка F вполне независима от Ф2. Присоединяя F к
изображению Ф2, получим полное изображение Фз, которое
совпадает с данным приведенным изображением Ф. Итак, задавая
инциденции X и У, получим полное изображение, которо>е, как
мы убедились, совпадает с приведенным изображением Ф.,
Отсюда следует, что система точек Л, В, С, Д Н и F является
точечным базисом изображения Ф. Так как число точек базиса
п = 6, то коэффициент неполноты k изображения Ф находим по
формуле:
Пример 3. Имеем изображение PQRST= Ф гексаэдра, все
грани которого — треугольники (черт. 63а). Найдем точечный
базис и коэффициент неполноты этого изображения, следуя
методу расширения. Приняв тетраэдр PQRS за основной,
получим полное изображение Фь которое, однако, не содержит
никаких других точек изображения Ф, кроме точек самого
основного тетраэдра. В частности, вершина Т является независимой
от изображения PQRS. В самом деле, проведя прямую ST,
можем произвольно задать ее след Н на плоскости PQR. Получим
определенную прямую 1-го класса и точку Т также 1-го класса.,
Теперь точка Т присоединена к изображению Фь и мы имеем
полное изображение, содержащее все элементы изображения Ф.
Отсюда заключаем, что система точек Р, Q, R, 5, Т является
точечным базисом изображения гексаэдра. Коэффициент
неполноты этого изображения равен единице (k= 1).
Интересно отметить, что недостающая (до полноты
изображения) инциденция может быть задана различным образом.,
Так, например, вместо того чтобы задать точку Н на прямой
ST, можно выбрать какое-нибудь .плоское сечение гексаэдра,
например сечение ABC, и задать (произвольно) на ребре PR
четвертую точку D этого^ сечения. Зададим точку D так, как это
сделано на чертеже 63а, тогда можем найти след Н. В самом
деле, прямая АС пересекает в точке F прямую BDy а
следовательно, и плоскость PQR. След плоскости TRS на плоскости
PQR получим, соединив точки R и F. Прямая RF пересекает
1 Понятно, что инциденции К и Y совершенно не нужны для опре*
деления базиса и показаны лишь для иллюстрации рассуждения.
80

прямую ST в искомой точке //. Итак, добавляя одну инциден-
цию (1 параметр), получим полное изображение. При этом
безразлично, зададим ли точку Н или точку D, или какую-либо
иную недостающую инциденцию, — все остальные инциденции
могут быть построены.
' Пока изображение неполно, мы обладаем большими
возможностями в смысле выбора недостающей инциденции. Так, на
чертеже 636 показано, что можно выбрать точку D сечения ABC
Черт. 63д. Черт. 63tf.
на отрезке PR (причем в этом случае сечение ABCD —
четырехугольник), так и на продолжении отрезка PR— точка D\
(в этом случае сечение гексаэдра плоскостью ABC имеет форму
шестиугольника ABCGEF).
В определении положения точки Н (черт. 63а) в каждом из
этих случаев не может возникнуть затруднений. Точно так же,
если в качестве недостающей инциденции выберем точку Н, то
все точки сечения ABC легко строятся.
Пример 4. Имеем изображение двух пирамид с общей
плоскостью их оснований и прямой KL, проницающей первую
пирамиду (черт, 64). Принимаем пирамиду ABCD за основной
тетраэдр. Тогда ясно, что основание PQR и прямая KL войдут
в полное изображение, полученное из ABCD путем расширения,
так как эти элементы определены относительно тетраэдра
ABCD. Однако точка S является вполне независимой, а вместе
с ней и боковые грани второй пирамиды. Чтобы сделать их
определенными, достаточно задать одну инциденцию (параметр).
Так, можем задать след М прямой KL на грани PQS, выбирая
его произвольно на прямой KL. После этого все элементы
изображения становятся определенными относительно тетраэдра
81

ABCD, а самое изображение полным. Отсюда заключаем, что
коэффициент неполноты изображения равен единице (/г=1).
После того как след М задан и изображение стало полным,
можем построить любую инциденцию. Так, на чертеже 64 пока-
Черт. 64.
зано построение следа т грани PQS на грани BCD основного
тетраэдра. Можно, однако, поступить иначе, а именно, задать
в качестве недостающей инциденции след т произвольно (но
проходящий через точку 5 на прямой ВС): Тогда точка М
Черт. 65.
встречи прямой KL с гранью PQS строится при помощи
обратного построения, ход которого легко проследить на чертеже.
Пример 5. Дано изображение двух тетраэдров ABCD й
PQRS (черт. 65). Если никаких других инциденции между
элементами обоих тетраэдров не дано, то изображение является не-
82

полным с коэффициентом неполноты, равным четырем: k = 4
(так как данное изображение можно рассматривать как
изображение системы из восьми точек общего положения —
вершин обоих тетраэдров). Поэтому четыре инциденции (4
параметра) можем выбрать произвольно. Предположим, что задаем
произвольно линию XY пересечения граней ABD и PRS (2
параметра) и линию ZU пересечения граней BCD и QRS обоих
тетраэдров (2 параметра). Теперь недостающие инциденции
заданы, и 'наше изображение становится полным. После этого
можем построить линию пересечения данных тетраэдров. Так,
например, как легко видеть, плоскость QRS пересекает
тетраэдр ABCD по треугольнику (123). Отсюда заключаем, что
ребро SQ пересекает грань ABD в точке T = SQy^ (12).
Аналогичным образом найдем, что плоскость PQS
пересекает тетраэдр ABCD по треугольнику (456) и т. д.
Как видно на чертеже 65, в данном случае линия
пересечения обоих тетраэдров состоит из трех,замкнутых ломаных.
§ 20. О ЗАДАЧАХ НА ПОСТРОЕНИЕ ИНЦИДЕНЦИИ
НА ИЗОБРАЖЕНИИ (ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ)
Установим необходимое и достаточное условие
разрешимости позиционной задачи. Понятие полноты изображения имеет
существенное значение для разрешения вопроса о возможности
построения на данном изображении инциденции двух каких-
либо его элементов. Так как точка пересечения двух прямых,
лежащих в одной плоскости, получается на изображении
непосредственно (без каких-либо дополнительных построений), если
эти прямые изображены, то вопрос сводится к двум следующим
задачам:
1) построить точку пересечения данной прямой с данной
плоскостью;
2) построить линию пересечения двух данных плоскостей. .
Теорема. Для того чтобы задача на построение инциденции
двух каких-либо элементов изображения Ф была разрешима,
необходимо и достаточно? чтобы оба элемента (компонента)
инциденции принадлежали изображению ф(ф с:Ф), полному
относительно Ф.
Как было отмечено выше, достаточно рассмотреть на
изображении Ф следующие две задачи на построение инциденции:
точки пересечения прямой с плоскостью и линии пересечения
двух плоскостей. Обратимся к первой из них (черт. 66). Пусть
плоскость а и прямая а являются элементами изображения Ф.
Выберем три произвольные точки А, В и С на плоскости а и
точку D на прямой а. Четыре точки А, В, С, D примем за базис
полного изображения относительно Ф, являющегося
наибольшим расширением системы А, В, С, D на Ф. Обозначим его через
<Р=(Л В, CtD),
83

Предположим, что на изображении Ф может быть построена
точка X пересечения прямой а с плоскостью а. Это значит, что
прямая а принадлежит изображению ф, как определенная
точками D и X.
Черт. 66.
Черт. 67.

Следовательно, как плоскость а = пл. ABC, так и прямая:
я= DX принадлежит полному (относительно Ф)
изображению ф.
Перейдем ко второй задаче (черт. 67). Предположим, что
плоскости аир являются элементами изображения Ф. Выберем
четыре точки Л, В, С и D так, что три из них (например, Л, В, С)
принадлежат плоскости а, а одна (например, D) — плоскости |3.
Система точек А, В, С, D допускает относительно Ф наибольшее
расширение изображения ф== (А, В, С, D). Если линия
пересечения х плоскостей аир может быть построена, то плоскость
Р принадлежит изображению ф, как определенная точкой D и
прямой х. Следовательно, как плоскость а = пл. ABC, так и
плоскость Ре= (D, х) принадлежат полному (относительно Ф)
изображению ф.
Таким образом, необходимость формулированного выше
условия доказана.
Что же касается достаточности этого условия, то она прямо
следует из того, что в случае полного (относительно Ф)
изображения ф может быть построена (по определению) каждая
инциденция любых двух его элементов. Теорема доказана.
Признак разрешимости задачи на построение инциденции
двух элементов изображения Ф ^
Доказанная теорема позволяет установить простой признак
разрешимости задачи на построение инциденции двух элементов
данного изображения Ф. Обозначим буквой ф изображение,
состоящее из тех двух элементов, инциденция которых ищется.
Тогда ф ¢. Ф. Выберем четыре произвольные точки (общего
положения) Л? В, С и D изображения ф. Если искомая
инциденция может быть построена, то изображение ф является полным,
а четыре точки А, В, С и D образуют его точечный ;базис.
Рассмотрим наибольшее расширение системы 24 =Л, В, С, D
относительно Ф, которое обозначим через (£4) ф . Если ф cz (Х4) ф»
то инциденция может быть построена, и 24 есть точечный базис
изображения ф. Если же ф^ (24)/ф, то изображение ф неполное
(относительно Ф), и задача на построение инциденции
неразрешима. Этот результат можно формулировать следующим
образом:
Если требуется построить инциденцию $вух каких-либо
элементов данного изображения Ф, то, обозначив через ф
изображение, состоящее -из двух упомянутых элементов, выбираем
на нем четыре произвольные точки к (общего положения);
А, В, С, D =24. Рассмотрим наибольшее расширение (24)ф*
Если последнее содержит оба элемента искомой инциденции,
т. е. ф, то задача разрешима и инциденция может быть
построена. Если же ф ф *(24)ф, то задача неразрешима, а
изображение ф неполное (относительно Ф).
8&

Приведем примеры применения теоремы и признака
разрешимости позиционных задач на изображении1.
Пример 1. Изображение многогранного угла. На чертеже 68
дано изображение m-гранного угла (т = 6). Построим
точечный базис S этого изображения Ф. Как и прежде, выделим
сначала четыре основные точки S, А, В и С, взяв их на ребрах и
в вершине многогранного угла (24=S, А, В, С). Построим
наибольшее расширение системы Е4 (относительно
изображения Ф). Оно, очевидно, состоит из граней Sab и Sbc.
Присоединим к системе Е4 независимую точку D. Получим систему
независимых точек 25 = S, А, В, С7 D. Построим наибольшее
расширение (Е5)ф. Оно, очевидно, содержит грани Sab, Sbc и Scd,
Черт. 68.
но не содержит остальных граней изображения Ф. Присоединим
независимую точку Е. Получим систему Е6 = S, А, В, С, D, Е,
которая допускает наибольшее расширение (26)ф. Последнее
содержит грани Sab, Sbc, Scd и Sdey но не содержит остальных
двух граней. Наконец, включая независимую точку F, получим
систему_Е7 =Sj А, В, С, D, Е, F. Для нее, очевидно, имеем:
(Х7)ф =Ф. Следовательно, система Е7 является точечным
базисом изображения'Ф. Изображение Ф многогранного угла является
неполным с коэффициентошнеполноты:
k = n — 4 = 7 — 4 = 3.
Очевидно, в случае m-гранного угла (т>3) будем иметь п =
= т -f- 1, k = п— 4 = m -f- 1 — 4 = m — 3, или k = т — 3. В
случае трехгранного угла (т = 3) получим k = О, .т. е. полное изоб-,
ражение.
. Предположим, что на изображении Ф задана секущая
плоскость \ следами АВ и ВС (или точками А, В, С). Требуется
1 Термином «позиционные задачи» мы будем пользоваться наряду
с прежним — «задачи на построение инциденций».
S6

построить следы секущей плоскости £ на остальных гранях.
Нетрудно убедиться в том, что эта задача неразрешима. Так,
например, покажем, что след сечения £ на грани Sef является
неопределенным. Для этого можно применить формулированный
выше признак. В данном случае изображение ф состоит из двух
компонент: грани Sef и плоскости £. Выберем следующую
систему 2*4= Л, В, С, S точек, принадлежащих изображению ф.
Тогда изображение (24)ф состоит из граней SAB, SBC и
сечения 1==АВС. Грань Sef не входит в это изображение: ф^ (24) ф.
Это значит, что след EF не может быть построен, — он остается
неопределенным. То же можно сказать о следах плоскости £ на
гранях Scd, Sde и Sfa. Итак, требуемое доказано.
Так как следы сечения £е= ABC на всех остальных гранях
(кроме граней SAB и SBC) остаются неопределенными, то их.
можно задать произвольно. Проводя след CD произвольно,
находим точку D (на ребре Sd). Далее, проводя след DE
произвольно, получаем точку Е. След EF проводим также
произвольно и получаем точку F. Наконец, последний след FA
определяется точками F и А. Произвольный выбор следа на каждой
из граней SCD, SDE и SEF соответствует заданию одного
параметра (например, угла, образуемого следом с ребром этой
грани). Таким образом, для получения полного изображения
задается т — 3 параметра (на всех гранях, кроме трех). Итак,
сечение (ABCDEF) многогранного угла можно провести на изоб^
ражений совершенно произвольно, и после этого изображение
станет полным.
Предположим, что на поверхности многогранного угла
проведены два незаконченных сечения (/ // /// IV) и (34561)
Черт. 69.
(черт. 69). Согласно предыдущему, первое из них требует
задания одного параметра, а второе — двух параметров. Всего для
получения полного изображения должно быть задано три
параметра. Следовательно, изображение должно быть полным, если
оно является верным. Предположим, что речь идет о построении
87

следа сечения (34561) на грани (S // ///). Применим
признак разрешимости такой задачи. В данном случае
неизвестным является прямая х:
x = SIIIIIX {34561), <p = SIIIII+(34561)f
24 = S, //, ///, 4.
Относительно системы Е4 как основной имеем следующие
определенные элементы:
пл. 5 // ///, пл. S III IV . . . . нулевого класса
ил. (I II III IV) 1-го класса,
пл. S I II 2-го класса,
пл. (345 61) 3-го класса.
Таким образом, обе компоненты инциденции (S II III),
(34561) принадлежит наибольшему расширению (24)ф.
Задача имеет решение. Изображение (черт. 69) верное,
полное.
Случай полного изображения дан также на чертеже 70. Два
незаконченных заданных сечения, построенных по точкам (/ //
Черт. 70.
III IV) и (23456), делают изображение верным, полным.
Следовательно, оба сечения могут быть достроены.
При произвольном задании сечений многогранного угла,
например сечений (/ // /// IV) и (12 3 4 5) на чертеже 71, задача
становится невозможной, так как полученное изображение в
своей части (S I II III IV) было бы сверхполным и неверным.
Случай построения инциденции при задании трех сечений
многогранника (IIIIIIIV), (12 34 5) и (3*4*5*6*)
представлен на чертеже 72. С точки зрения параметража изображение
должно стать полным, так как каждое сечение определяет один
88

параметр. Поставим вопрос о возможности построения следа
сечения (3* 4* 5* 6*) на грани S / //. Будем иметь:
x = S I ПХ{3* 4* 5* б*); ф = S / // + (3* 4* 5* 6*);
S4 = S, /, //, 3*.
Черт. 71.
Относительно системы 24 как основной имеем следующие
определенные элементы:
пл. (5 / //), пл. (S II III) . . . нулевого класса,
пл. (/ // /// IV) 1-го класса,
пл. (S III IV) 2-го класса,
пл. (2 3 4 5) 3-го класса,
пл. (S 4 5) .... * 4-го класса,
пл. (3* 4* 5* 6*) 5-го класса,
S
/А
^^^^^-^^-^^^ ///,////////, -г
Черт. 72.
Таким образом, наибольшее расширение (24) ф содержат обе
компоненты инциденции (S I II) и (3* 4* 5* 6*). Следовательно»
инциденция может быть построена. Изображение верное, полное.
89

Пример 2. Дано изображение многогранника ABCDEFGHK
(черт. 73). Оно неполное, так как, например, точка /(независима
от системы остальных точек (вершин) многогранника.
Покажем, что сечение (123) может быть построено на поверхности
многогранника полностью. Применим признак возможности
построения для грани CDEH. Будем иметь ф = пл. CDEH +
+ пл. (/ 2 3); 24с: CDEL
Наибольшее расширение (24)ф
содержит поверхность ABCDEFGH
я плоскость (12 3).
Следовательно, изображение ф полное
(относительно Ф) и след сечения
(12 3) на грани CDEH может
быть построен. Построение всего
сечения (12 3 4 5) показано на
чертеже.
Напротив, сечение (/ // ///)
не может быть достроено . ни на
одной грани. Покажем это для
грани BCGH. Будем иметь ф =
= rp.BCGH + пл. (/ // ///);
Tlh^BCHH. Наибольшее
расширение (24)Фз пл. ABCDEFGH,
Точка /С, а следовательно, и точка
/ — независимы от него. Поэтому
<р ф (24)ф, и построение инци-
денции невозможно.
Пример 3. Изображены два конуса (S\) и (S2), имеющие
общую плоскость оснований (черт. 74). Первый конус Пересе*
Черт. 73.
Черт. 74.
кает прямая АС. Прямая А В пересекает оба конуса. Требуется
найти следы прямых АС и АВ на плоскости оснований конусов.
90

Рассмотрим задачу о построении следа прямой АС. В этом
случае изображение ф состоит из прямой АС и плоскости
оснований конусов. Систему точек 24 составим из трех любых точек
плоскости основания и точки А. Тогда наибольшее расширение
(24)ф содержит изображение всего первого конуса, а
следовательно, также плоскость его основания и прямую СА.
Построение искомой инциденции видно из чертежа.
Переходим к задаче построения следа прямой АВ.
Изображение ф будет состоять из прямой АВ и плоскости оснований
конусов.. Систему точек 24 назначаем так же, как и в
предыдущем случае. Наибольшее расширение (24)ф содержит
изображение первого конуса, включая плоскость его основания, а
следовательно, и основание второго конуса. Однако точка S2, а
значит и точка В остаются независимыми от системы 24.
Поэтому ф/(24)ф, и построение следа прямой невозможно.
Присоединение точки S2 к системе независимых точек 24.
дает точечный базис изображения. Поэтому k = n — 4 =
= 5 — 4=1, т. е. требуется задать одиц параметр. Зададим на
прямой вершин S\S2 ее след Р (черт. 75). Теперь изображение
Черт. 75.
стало полным и след прямой АВ может быть найден путем
соответствующих построений.
Пример 4.- Изображена комбинация двух цилиндров,
соединенных при помощи общего основания, а также пересекаю-
щие их прямые АВ, CD и BD (черт. 76). Требуется построить
следы этих прямых на плоскостях оснований цилиндров
(проекция параллельная).
Методами, аналогичными тем, какие были применены в
предшествующих примерах, легко устанавливается, что для прямой
ЛД можно построить ее следы на плоскостях обоих оснований
нижнего цилиндра. Построение показано на чертеже. Для пря-
91

мой CD можно построить ее следы (S и R) на плоскостях
оснований верхнего цилиндра. Однако след прямой АВ на плоскости
(6—8) основания верхнего цилиндра, равно как след прямой
CD на плоскости (1—3) основания нижнего цилиндра,
построить нельзя.
В самом деле, попробуем, например, найти след прямой CD
на плоскости (J—3) основания нижнего цилиндра. В этом
случае изображение ф состоит из прямой CD и плоскости (1—3);
систему 24 составим из трех точек плоскости (1—3) основания
цилиндра и 'точки R. Наибольшее расширение (24)ф будет
содержать изображение поверхности нижнего цилиндра с его
основаниями, точку R и прямую АВ [плоскость, (5—7) основания
Черт. 76.
цилиндра определяется точкой R и несобственной прямой
плоскости (1—с?)]. Прямая CD не принадлежит изображению (24)ф
и имеет лишь с ним общую точку R. Следовательно, построить
след прямой CD на плоскости (1—3) нельзя. Следов прямой BD
нельзя построить ни на одной из трех плоскостей оснований
цилиндров. Так, для плоскости (2—4) мы имеем: ф состоит из
плоскости (2—4) и прямой BD> 24 составим из точек 2, 4, 5 и
точки В. (24) ф не содержит точки D\ этим и объясняется
невозможность построения искомой инциденции.
Положение меняется, если задать след какой-либо
образующей первого цилиндра на верхнем основании второго цилиндра.
Обозначим след образующей (1—2) буквой V. Тогда все
изображение окажется полным (24-=2, 4, 5, 6). Теперь след
каждой прямой на любой плоскости изображения можно построить.
92

В частности, след U прямой CD на пл. (1—3) получим при
помощи пропорции ^7 = ^Т- Построение следа G прямой BD
видно из чертежа.
§ 21. ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
Черт. 77.
Изображение многогранника представляет собой
изображение его сетки, т. е. совокупности вершин и ребер. Оно
может быть полным или
неполным.
Докажем следующие теоремы
об изображениях
многогранников.
Теорема 1. Изображение
многогранника, все углы при
вершинах которого трехгранные, всегда
полное.
Две какие-либо грани с общим
ребром на изображении
многогранника будем считать
основными плоскостями (на черт. 77 эти
грани обозначены цифрами /
и 2). Пусть А вершина общего
ребра основных граней 1У 2. Так
как у угла при вершине Л,
трехгранного по условию, две его грани приняты за основные,
то третья грань является определенной (своими следами на
основных плоскостях). Обозначим ее цифрой 3. Вторую вершину
граней 2 я 3 обозначим буквой В. В трехгранном угле В две
грани 2 и.З — определенные.
Поэтому третья грань 4
этого угла также определенная.
Беря следующий
трехгранный угол с вершиной С,
снова получаем
определенную грань, которую
обозначим цифрой 5. Этот процесс
мы можем применить ко
всякому трехгранному углу,
две грани которого
являются определенными. Покажем,
что указанный процесс
распространяется на весь мно»
гогранник. Будем исходить
от противного. Пусть часть поверхности (нештрихованная)
оказалась не включенной после. того, как принцип присоединения
Черт. 78.
93

граней применен для всех трехгранных углов где это возможно
(черт. 78). Остальная часть поверхности (штрихованная)
оказалась определенной. Граница обеих областей представляет собой,
очевидно, одну или несколько замкнутых пространственных
ломаных, звеньями которых служат ребра многогранника *,
Пусть М — одна из вершин. Из точки М (по условию) выходят
три ребра: два из них принадлежат границе областей (ребра ML
и MN), третье ребро МО не может лежать внутри штрихованной
области, так как в этом случае к трехгранному углу М можно
применить принцип присоединения, и тогда нештрихованная
грань LMN оказалась бы определенной, что противоречит
нашему предположению. Следовательно, третье ребро вершины М
должно лежать внутри нештрихованной области. То же самое
можно повторить и о всякой другой вершине границы обеих
областей. Но это значит, что внутри штрихованной области нет
ребер многогранника, т. е. штрихованная область состоит из одной
грани. Однако это невозможно, так как штрихованная область
содержит две основные грани. Полученное противоречие
показывает, что сделанное допущение неверно и вся поверхность
многогранника является определенной, т. е. изображение
многогранника полное.
Теорема 2. Если п — число вершин многогранника (п > 4),
имеющего лишь треугольные грани, то его изображение
является неполным с
коэффициентом неполноты, равным
k = п — 4.
Так как все п вершин
многогранника с
треугольными гранями являются
точками общего положения и,
кроме того, они определяют
все ребра и грани
многогранника (черт. 79), то
можно сказать, что
изображение многогранника в
данном случае может быть
заменено изображением его
вершин, т. е. системой п
точек общего положения (точечный базис' 2П изображения. Но,
как было показано, такое изображение неполное; коэффициент
неполноты k — п — 4.
Посмотрим, как теоремы 1 и 2 могут быть связаны с
правильными многогранниками Платона. Три из этих
многогранников (тетраэдр, куб и додекаэдр) имеют только трехгранные
1 Если нештрихованную область предполагать несвязной, то рассуждение
можно провести по отношению к какой-либо ее односвязной части. Штрихо*
ванная область связна по построению.
94

углы при своих вершинах. Поэтому теорема 1 имеет силу для
всех многогранников, сетки которых топологически
эквивалентны' сеткам упомянутых трех правильных многогранников,
т. е. могут отличаться от последних лишь метрическими
условиями (длиной ребер, величиной углов между ребрами).
С другой стороны, все грани октаэдра и икосаэдра
треугольные, поэтому для всех многогранников, сетки которых
топологически-эквивалентны сеткам этих правильных многогранников,
имеет место теорема 2. Отсюда заключаем:
1. Изображения многогранников, имеющих топологически-
эквивалентные сетки с тетраэдром, кубом или додекаэдром,
являются полными (из теоремы 1).
2. Изображения многогранников, имеющих топологически-
эквивалентные сетки с октаэдром или икосаэдром, являются
неполными (из теоремы^2).

ГЛАВА IV
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПОЛНЫХ
ИЗОБРАЖЕНИИ
§ 22. МЕТРИЧЕСКАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И ПАРАМЕТРАЖ
ПОЛНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
При установлении понятия «полное изображение» нами были
рассмотрены все определяющие его основные факторы: опре-<
деленные элементы (точки, прямые, плоскости), связанные цепью
инциденций с основными плоскостями, в качестве которых могли
быть выбраны две любые плоскости полного изображения.
Полнота изображения позволяет находить на изображении любые
инциденций его элементов. Однако оригинал полного
изображения, как легко видеть, остается неопределенным. Остаются
также неопределенными как центр проекции, так и положение
основных плоскостей. С другой стороны, зная положение центра
проекции 5 и основных плоскостей а/ и а2' относительно
плоскости изображения, мы вполне определяем все элементы
оригинала как отнесенные к основным плоскостям. В самом деле, все
элементы полного изображения являются определенными,
причем, как было выяснено в § 12, все они определяются при
помощи построения следов соответствующих прямых и плоскостей
на основных плоскостях. Имея на изображении эти следы, мы
получим их оригиналы на основных плоскостях в пространстве,,
проектируя их из заданного центра S соответственно на
плоскости в\ и 02'. Найденные на этих плоскостях следы элементов
определяют самые элементы: прямые и плоскости. Точки,
принадлежащие последним, определяются проектированием их
изображений из центра проекций S.
Так как при параллельном переносе основных плоскостей
(при условии неизменности изображения и центра проекций)
оригинал подвергается преобразованию гомотетии с центром в
точке S, то мы будем определять положение основных
плоскостей лишь до гомотетии с центром в этой точке. При этом форма
оригинала вполне определяется, а сам оригинал определяется
до преобразования подобия.
Такие изображения, оригинал которых определен до подобия,
мы будем называть метрически определенными. Все
построения, выполняемые на полном, метрически определенном
96

изображении, не могут содержать никаких элементов произвола,
так как им соответствуют вполне определенные построения в
оригинале. Напротив, полное изображение до его метрического
определения допускает некоторый произвол в отношении
метрических операций, выполняемых на этом изображении. Этот
произвол зависит от того запаса свободных параметров, задание
которых делает изображение метрически определенным. Подсчет
этого запаса параметров мы будем называть параметражем
изображения.
Параметраж полного изображения может быть произведен
следующим образом. Для определения положения центра
проекции S требуется задание трех параметров (координаты центра).
Для определения положения плоскости а{ (до ее параллельного
перенесения) требуется два параметра (например, два угла
наклона следов плоскости а{ на двух плоскостях координат к
соответствующей координатной оси). Наконец, для определения
положения плоскости сгг', след которой на плоскости cti'
определяется по данному изображению, достаточно задания одного
параметра (например, угол наклона плоскости а2' к
плоскости G\). Следовательно, запас параметров полного изображения
выражается числом 6. Будем говорить, что параметрическое
число полного изображения р=6.
Если какие-либо параметры изображения заданы, что может
быть сделано при помощи условий, наложенных на оригинал,
то запас свободных, неиспользованных параметров выражается
разностью параметрического числа р и числа заданных
параметров. Изображение становится метрически определенным, если
эта разность обращается в нуль.
Иллюстрируем эту мысль примерами.
Пример 1. Полное изображение Ф содержит центральную
проекцию прямоугольного триэдра О'а'Ь'с. Изображение
несобственной (или бесконечно удаленной) плоскости w' также
входит в состав изображения Ф. На изображении Ф могут быть
построены точки Лоо, Boo и Соо как изображения
несобственных (бесконечно удаленных) точек ребер а\ Ь\ с триэдра. При
этих условиях фигура SA^ooCoo является прямоугольным
триэдром с ребрами, соответственно параллельными ребрам
данного триэдра О'а'Ь'с. По треугольнику Аа&о£<х» который, как
известно, должен быть остроугольным, находим вершины S и
Si двух прямоугольных триэдров, проходящих через три точки,
образующие треугольник Доо#оэСоо («точки Лагерра»,
расположенные симметрично относительно плоскости изображений) К
1 Треугольник ЛооЛооСооможно рассматривать как сечение
прямоугольного триэдра SAooBooCoo плоскостью изображений. В начертательной
геометрии доказывается, что такой треугольник (треугольник следов) всегда
является остроугольным. Кроме того, показывается, как построить самый
триэдр в пространстве (определить его вершину S). Ясно, что имеем два
97

Безразлично, какую из этих двух точек будем считать центром
проекций. Пусть это точка S. Вершина О' прямоугольного^
триэдра О'а'Ь'с должна лежать на прямой SO. Выберем ее в
произвольной точке этой прямой, так как мы определяем оригинал
лишь до гомотетии. Ребра а\ Ь' и с триэдра находим, проводя
через точку О' прямые а! || SA^ V || SB ^ и с' || SCoo- Таким
образом, как положение центра проекций 5, так и положение (до
гомотетии) прямоугольного триэдра O'db'c определены, и,
следовательно, данное полное изображение Ф является метрически
определенным.
Легко видеть, что на изображении были заданы шесть
параметров: три (прямые в оригинале) угла триэдра Oabc и три
параметра, определяющие положение несобственной плоскости
(например, параметры ОАоо, ОВоо и ОСоо). Заметим, что если
заранее задано положение центра проекций 5, то запас
параметров полного изображения (параметрическое число) убывает
до трех.
Пример 2. Полное изображение Ф содержит проекцию
прямоугольного триэдра Oabc. Положение центра проекций S
относительно плоскости изображений дано.
Рассмотрим три проектирующие плоскости Sa, Sb и Sc, а
также проектирующий луч SO. Если пересечем эти три
плоскости, проходящие через луч 50, перпендикулярной к нему
плоскостью v, то получим в сечении прямые 0\й{9 0\Ь\ и 0\си
являющиеся ортогональными проекциями ребер О'а'', O'V и О'с'
прямоугольного триэдра (оригинала). По этим проекциям
можно построить треугольник следов прямоугольного триэдра
O'db'c на плоскости v (до гомотетии), а следовательно, и
самый триэдр х. Таким образом, данное изображение Ф является
метрически определенным. В этом примере р = 3. Заданы три
параметра (прямые углы изображения триэдра Oabc).
Рассмотрим теперь случай параллельной проекции. Центром
параллельной проекции является бесконечно удаленная точка,
которую мы обозначаем буквой 5со. Так как для определения
ТОЧКИ «Ьоо (направления проектирования) требуются лишь два
параметра, то параметрическое число для полных изображений
в параллельной проекции р = 5. Наконец, в случае паралельной
проекции с данным направлением проектирования имеем
положение, совпадающее по существу с тем, когда центр проекций
задан. Как мы видели, в этом случае параметрическое число
Р~=3.
триэдра, симметрично расположенных относительно плоскости изображений
(см. об этом: Н. А. Глаголев, Начертательная геометрия, ОНТИ, 1936,
стр. 130—131).
1 При этом должно быть соблюдено условие разделенности тройки
проектирующих плоскостей направления 50 (см. об этом работу автора: «Gera-
dentripel als Projektion von rechtwinkligen Achsenkreuzen im Raume», Мате*
матический сборник, т. 40, 4, 1933, стр. 494).
98

Пример 3. Дано изображение прямоугольного триэдра a
ортогональной проекции.
Как известно, в этом случае можно построить треугольник
следов изображенного триэдра на плоскости изображений (до
гомотетии), а затем определить положение (до параллельного
переноса) самого триэдра в пространстве1 (р = 3). Таким
образом, изображение является метрически определенным.
Сравнив изображения в собственно центральной и в
параллельной проекциях, обнаружим, что первые обладают большим
параметрическим числом (р = 6), а следовательно, и большим
запасом свободных параметров. Это является преимуществом
изображений в центральной проекции. Однако не следует
забывать, что на изображениях в параллельной проекции
несобственная плоскость определена, — обстоятельство, имеющее весьма
большое значение, особенно в практических построениях. Если
потребовать, чтобы на центральном изображении была
определена несобственная плоскость, то параметрическое число такого
изображения снизится до трех (р* = 3), так как на определение
несобственной плоскости потребуются три параметра. Таким
образом, в этих условиях параллельное изображение обладает
значительными преимуществами перед центральным (р\ =5).
§ 23. АФФИННАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
Для практических целей и, в частности, для той
педагогической проблемы, разрешение которой лежит в основе развития
метода условных изображений, весьма целесообразно изучить
изображения в параллельной проекции. По ряду причин 2 (в
особенности вследствие простоты изображений в параллельной
проекции) преподаватель должен предпочесть такую проекцию
центральной (с собственным центром). Практика показывает,
что изображения пространственных фигур в условиях
педагогического процесса почти всегда выполняются в параллельной
проекции. Поэтому в дальнейшем изложении будет предполагаться
параллельная проекция (если не сделано специальных оговорок).
Предположим, что мы имеем полное изображение в
параллельной проекции некоторой пространственной фигуры Ф'.
Изображение этой фигуры обозначим через Ф. Выберем четыре точки
общего положения Л, В, С и D на изображении Ф (черт. 80).
Фигуре ABCD будет соответствовать в оригинале некоторый
тетраэдр A'B'C'D'. Назовем его основным (или фундаментальным)
1 При этом изображение прямоугольного триэдра должно удовлетворять
условиям разделенности (см. сноску первую на стр. 98).
2 См. об этом Н. Ф. Чет1верухин, Введение в высшую геометрию,
гл. 1, § 1, 1934, М. Л. Франк, Геометрический чертеж в курсе
стереометрии, § 3, Л., 1941,
7*
99

Черт. 80.
тетраэдром. Пусть М—произвольная точка нашего изображения.
В оригинале ей соответствует точка М\ проекцией которой
является точка М. Положение точки М' относительно тетраэдра
А'В'CD' может быть определено при помощи координат,
выраженных через простые отношения трех точек и, следовательно,
инвариантных в параллельной проекции. Поэтому упомянутые
координаты могут быть найдены по изображению. Соединяя
точку М с вершиной А, находим точку пересечения Р прямой AM
с гранью BCD (что можно сделать, так как изображение, по
предположению, полное). На грани BCD отметим точку Q
пересечения прямой DP с прямой ВС. Для определения положения
точки М' относительно
тетраэдра A'B'C'D' установим
следующие координаты:
x' = (5'C'Q'); / = (jD'Q'P');
z' = (A'P'M')1.
Так как простые отношения
трех точек не изменяются в
параллельной проекции, то
можем написать:
;c'=;c = (£CQ); y'=y = {DQP)
z' = z = (APM).
Предположим, что нам дано полное изображение Ф. Фигуре
ABCD этого изображения должен соответствовать в оригинале
некоторый (основной) тетраэдр A'B'C'D', форма которого по
теореме Польке — Шварца может быть выбрана произвольно2.
После того как основной тетраэдр задан, все остальные точки
оригинала находятся по их аффинно-инвариантным
координатам, которые определяются по изображению Ф. Предположим,
что, задавая два различных основных тетраэдра A/B/C/Di' и
A2B2C2D2\ мы получим два различных оригинала ФГ и Ф2' для
нашего изображения Ф. Аффинное преобразование, определяемое
тетраэдрами A\B\C\'D\ и A^B^C^D^, преобразует оригинал
Ф\ в оригинал Фг', так как при этом каждая точка М\ первого
оригинала переходит в соответствующую точку М2' второго
(х\ = х2' = х; у{ = у2 = У\ Z\ = Z2 = z). Отсюда можно
сделать следующий вывод:
Полное изображение в параллельной проекции определяет
оригинал до его аффинных преобразований.
Будем называть аффинно-определенным такое изображение
в параллельной проекции, которое определяет оригинал до
аффинного преобразования. Тогда будем иметь следующее
предложение:
1 (£'CQ')=~^ (см. гл. II, § 4).
2 См. § 9.
100

Для того чтобы изображение в параллельной проекции было
аффинно-определенным, необходимо и достаточно, чтобы оно
было полным.
Достаточность этого условия вытекает из вывода, сделанного
выше. Необходимость его можно обосновать следующим
образом. Предположим, что какое-нибудь неполное изображение Ф
имеет оригинал Ф'. Так как изображение неполное, то по
крайней мере для одной из его точек М можно задать произвольно
положение точки Р (черт. 80) на прямой AM (1 параметр).
Пусть один раз для точки Р мы зададим положение Р\.
Соответствующий оригинал обозначим через Ф/. Другой раз мы дадим
точке Р новое положение Р.2. Соответствующий оригинал
обозначим через Ф2'. Так как аффинно-инвариантные координаты точки
М\ (при Pi) будут отличаться от координат точки М2 (при Я2)>
то оригинал Ф/ не может быть преобразован аффинно в
оригинал Ф2'. Следовательно, неполное изображение не может быть
аффинно-определенным, и требуемое доказано.
Рассмотрим вопрос об афинной определенности изображений
плоских фигур.
Предположим, что плоская фигура Ф', принадлежащая
плоскости в' (плоскому полю а'), проектируется параллельно на
плоскость проекций а (плоское поле проекций). Проекция Ф
оригинальной фигуры Ф' соответствует последней в аффинном
соответствии точечных полей о и а', которое устанавливает на
плоскостях а и а7 параллельное проектирование. Отсюда ясно, что
фигура Ф' является аффинным преобразованием фигуры Ф, т. е.
параллельная проекция плоской фигуры Ф всегда определяет
оригинал Ф' до аффинных преобразований. Следовательно,
всякое изображение плоской фигуры в параллельной проекции
является аффинно-определенным.
§ 24. О МЕТРИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПЛОСКИХ ФИГУР. ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Как известно (см. § 5), аффинное соответствие вполне
определяется, если дана пара соответственных треугольников
(треугольник-изображение ABC и треугольник-оригинал А'В'С')*
Тогда каждая точка М изображения, отнесенная к треугольнику
ABC, определяет положение оригинала М' относительно
треугольника А'В'С.
Таким образом, изображение оказывается
метрически-определенным, если наложенные на него условия позволяют определить
истинную форму А'В'С какого-либо треугольника ABC этого
изображения.
Это требование является также и необходимым, ибо, если
оригинал метрически определяется, то он содержит какой-либо
треугольник P'Q'R\ которому соответствует на изображении
треугольник PQR*
101

Форма треугольника определяется двумя параметрами,
например двумя отношениями его сторон. Отсюда следует, что
изображение плоских фигур в параллельной проекции содержит
два свободных параметра, которые могут быть определены
условиями, наложенными на оригинал (р = 2).
Таким образом, преподаватель, приступающий к выполнению
изображения плоской фигуры, располагает двумя параметрами,
которые он может израсходовать, налагая в ходе рассуждения те
или иные метрические условия на оригинал.
Исследуем подробнее вопрос о том, какое число параметров
соответствует тому или другому условию, налагаемому на
оригинал изображения. Исходным пунктом нам будет служить
следующее положение: Всякие условия, определяющие форму
оригинала какого-либо треугольника изображения, приводят к
метрической определенности этого изображения. Так, будем иметь:
1°. Если оригиналом какого-либо параллелограмма ABCD
изображения является (по условию) квадрат, то изображение
метрически определенно.
Если, согласно условию, параллелограмм ABCD изображения
представляет собой в оригинале ромб, то это условие
эквивалентно заданию одного параметра (отношение двух смежных
сторон, равное в натуре единице). Если же, кроме того, дано второе
условие, согласно которому отношение диагоналей оригинала
равно единице, то параллелограмм изображает квадрат, т. е.
изображение метрически определенно.
2°. Если условия устанавливают отношения истинных длин
трех любых (попарно непараллельных) отрезков изображения, то
изображение метрически определенно. Установление отношения
двух отрезков эквивалентно
заданию одного параметра, а
отношение трех отрезков —
заданию двух параметров.
Этот случай также может
быть сведен к определению
формы треугольника. В самом
деле, если отношения длин
отрезков а,Ьис по условию
даны, то можно перенести
параллельно отрезки Ь и с в
положение Ь\ и с\ так, чтобы три
отрезка 01, Ь\ и С\ составили
ломаную (черт. 81). Дополняя последнюю до треугольника
ABC, можем определить истинную форму последнего. Так,
принимая для отрезка а' длину его изображения как истинную, т. е.
полагая а' = а и зная отношение —, (которое может быть задано
графически или численно), можем построить отрезок Ь'=А'С\
Точно так же построим отрезок с', а затем и отрезок А'В\ Таким
В
<*-^— -о
Черт. 81.
102

образом, форма треугольника ABC будет определена, причем
ВГС = ВС.
3°. Условие сопряженности двух каких-либо направлений на
изображении (т. е. ортогональность их в оригинале) равносильно
заданию одного параметра. Условие сопряженности двух пар
направлений изображения равносильно заданию двух
параметров. В этом случае изображение является метрически
определенным.
С А,
Черт. 82.
В самом деле, пусть ВС и BD (черт. 82) по условию
представляют пару сопряженных направлений, т. е. для оригинала будем
иметь ВС J_ B'D\ Проделаем следующее построение. Отложим
d; (б)
Черт. 83.
отрезки АВ = ВС и соединим точки Л и С с точкой D,
произвольно выбранной на прямой BD. Треугольник A'C'D' оригинала,
соответствующий треугольнику ACD изображения, является,
очевидно, равнобедренным, так как А'В' = B'C't А'С JL B'D' и, сле-
103

довательно, A'D' = C'D' (черт. 83). Но это и значит, что для
определения формы треугольника ADC известен (задан) один
параметр. Пусть, кроме одной пары сопряженных направлений:
ВС и BD, имеем по условию вторую пару сопряженных
направлений: B\CX и BiDi. Следовательно, в оригинале В\С\ J_ B\'D\'<
Сделаем следующее построение. Отложим отрезки А\В\ = BiCL
и проведем C\DX \\ CD (черт. 82). Точку пересечения прямых
C\DX и B{D\ обозначим буквой Du Соединяя точки А\ и D\9
получим треугольник A\C\DU оригиналом которого является
равнобедренный треугольник A\C\D\, следовательно, A\D\ =
z=C\D\' [черт. 83(a)]. Так как отрезки CD и Сф\ параллельны,
О' Dr CD
то , , ==■ , , .Но это значит, что для изображения известно
C1D1 ^i^i
отношение длин трех непараллельных отрезков A\Di:CD:AD.
Заметим, что отрезок A\D\ не может быть параллелен AD, так
как в этом случае два равнобедренных (в оригинале)
треугольника A'C'D' и Ai'C\Dx либо были бы расположены гомотети-
чески, и мы имели бы BX'D\ || B'D'\ А{СХ' || А'О [черт ЬЦб)\
либо эти треугольники имели бы две пары сторон соответственна
параллельными, а стороны А'С и А\С\ перпендикулярными.
В этом случае [черт. 83(e)]: Bi'ZV || Л'С и Л/С/ || В'Н9 т. е.
опять имели бы параллельность данных пар сопряженных
направлений. Соответственные им прямые изображения также были
бы параллельны, чего не предполагается по условию. Итак,
положение, высказанное в условии 3°, сводится к условию 2° и,
следовательно, является доказанным.
Черт. 84.
4°. Условие, что некоторая прямая на изображении есть
биссектриса угла, равносильно заданию одного параметра.
Два таких условия равносильны заданию двух параметров и
приводят к метрической определенности изображения.
Это предложение легко сводится к предыдущему. В самом
деле, пусть прямая m (по условию) изображает биссектрису
104

в оригинале угла aSb (черт. 84). Тогда можно построить
четвертую гармоническую п к прямой т относительно прямых а,Ь
[(abmn) =— 1]. Прямая п изображает, как известно, биссектрису
внешнего угла прямых а,Ь. Поэтому в оригинале прямая т'
перпендикулярна прямой п\ Следовательно, прямые тип
представляют пару сопряженных направлений.
Если условимся, что, кроме того, прямая р также является
изображением биссектрисы оригинала угла cTd, то, строя
четвертую гармоническую прямую q к прямой р относительно пары
c,d, получим вторую пару сопряженных направлений р и q. Но
согласно условию 3° при этих предположениях изображение
становится метрически определенным.
Примечание. Следует отметить, что две пары mf JL п' и р' JL q'
ортогональных направлений всегда разделяют друг друга. Поэтому две пары
т, п и р, q сопряженных направлений (изображающих ортогональные) также
должны быть взаимно разделяющимися. Это требование должно быть
принято во внимание и выполнено на чертежах.
5°. Задание истинной величины какого-либо угла на
изображении эквивалентно одному параметру; если условиями
устанавливаются истинные величины двух каких-либо углов
изображения, то изображение является метрически определенным.
ш
Черт. 85д.
Предположим, что истинные величины ф и -ф двух углов ASB
и CTD изображения (черт. 85а) определяются из условий.
Перенесем угол CTD параллельно, так чтобы его вершина совпала
с вершиной S первого угла, в положение C\T\D\. Примем
произвольную прямую 5 изображения за ось родства (плоскости
изображения и плоскости оригинала), что, как известно, всегда можно
сделать. Тогда угол оригинала AS'B, родственно соответственный
углу ASB, должен иметь свою вершину S' на окружности,
проходящей через точки А и В и вмещающей угол ф. Аналогично
105

угол оригинала CXT\'D\, родственный углу C\T\D\y должен иметь
свою вершину 7Y на окружности, проходящей через точки С\ и
D\ и вмещающий угол ф. Так как, однако, точки S и Тх
совпадают, то и родственные им точки S' и 7Y должны совпадать. Но
это возможно лишь в точках пересечения S' и S обеих
упомянутых окружностей. Как видно из чертежа, решение этой задачи
дает лишь точка S', устанавливающая родственное соответствие
оригинала с изображением (ось родства s; пара соответственных
точек S и S').
Поэтому оригинал оказывается метрически определенным.
Вторая точка Si должна быть отброшена, так как в родстве
(S, Si) данным углам ASB и CiSDx соответствовали бы углы
ASiB и QSJDi, имеющие соответственно величины (180° — ф)
и (180° — г|)). Из чертежа также видно, что задача определения
оригинала всегда будет иметь решение и притом единственное,
если данные углы разделяют друг друга (как это показано на
чертеже). Если данные углы не разделяют друг друга, то
построенные окружности могут: пересекаться в двух точках по
одну и ту же сторону оси родства (черт. 856) — ив этом случае
Черт. 85<Г.
получим два решения, — касаться в точке S' (черт. 85в), и тогда
имеем одно решение — и, наконец не иметь общих точек
(черт. 85г)—задача не имеет решения.
Два угла треугольника на изображении могут согласно
условиям иметь произвольно заданную истинную величину ф и ф
(ф -+- Ф <С 180°). При этом изображение является метрически
определенным.
В самом деле, задание истинных величин двух углов
треугольника-оригинала А'В'С определяет форму последнего и
106

устанавливает аффинное соответствие полей изображения
(ДЛВС) и оригинала (ДЛ'В'С). Отсюда и следует метрическая
определенность изображения.
Черт. 85в.
6°. Если на изображении дано отношение истинных длин двух
каких-либо отрезков (1 параметр) и, кроме того, известна истин-
пая величина какого-либо угла (1 параметр), то изображение
метрически определенно.
Черт. 85г.
Предположим, что на изображении даны: отношение
истинных длин отрезков АА* и В В*, а также истинная величина угла"
COD (черт. 86). Через вершину О угла COD проводим отрезки
ОА\ U А*А и OBitt В*В. Прямую АХВХ == 5 примем за ось
родственного соответствия. Тогда отрезкам ОА\ и ОВ\ должны
соответствовать такие отрезки 0711 и 0Ви отношение которых
имело бы данную величину. На этом основании можно сказать,
что точка О' должна лежать на окружности Аполлония,
построенной на отрезке PQ (причем точки Р и Q делят отрезок А\ВХ
внутренним и внешним образом в данном отношении).
107

С другой стороны, угол CO'D, как соответственный углу COD,
должен иметь заданную величину. Поэтому вершина его О'
должна лежать на дуге окружности CO'D, вмещающей данный
угол и проходящей через точки С и D. Таким образом, точка О'
определится как точка пересечения построенных геометрических
мест. Родственное соответствие (О, 0'\ s) будет установлено и
оригинал найден. Следует обратить внимание на условия
существования решения. Полуокружности PO'Q и COfD должны
пересекаться. Для этого достаточно, что из двух точек С и D
одна лежала на отрезке PQ, а другая вне его.
7°. Выбор на изображении ABC треугольника А'В'С точки О,
в оригинале служащей ортоцентром О' треугольника 1 (в
соответствующей области существования), влечет за собой метрическую
определенность изображения.
Предположим, что треугольник А'В'О изображается
треугольником ABC (черт. 87). Рассмотрим изображение СС\ высоты
С'С\' треугольника А'В'С'. Прямые С\С и АВ являются
сопряженными, так как они изображают перпендикулярные прямые
оригинала. Точно так же изображение высоты ВВХ сопряжено
стороне АС треугольника. Отсюда на основании условия 3° уже
следует метрическая определенность изображения.
Найдем область существования изображений О ортоцентров
0/ оригинальных треугольников. Будем перемещать точку О по
прямой СС\ и проследим при этом изменение сопряженных
направлений. Цара сопряженных направлений ССЬ АВ остается
при таком перемещении неизменной. В паре сопряженных
направлений ВВи АС перемещение точки О по прямой С\С
вызывает-вращение (вокруг точки В) прямой ВВ\ при неподвижной
прямой АС. Но пары сопряженных направлений должны
разделять одна другую, поэтому:
1 Ортоцентр является точкой пересечения высот оригинального треуголь^
ника А'В'С.
108

(CCV Afys-iBBu AC) К
Отсюда можно заключить о возможном положении точки О на
прямой ССь Эту прямую можно разбить на три части: СС\,
ССоо и CiCco. Если точка О находится на отрезке СС\У то, как
Черт. 87.
видно из чертежа, обе пары сопряженных направлений
разделены; на чертеже 87 обе пары сопряженных направлений
центрированы и проходят через точку С[(ССи CDoo) -г- (СВсо, СА)}.
Одна пара сопряженных направлений изображена штриховыми,
а другая пара — пунктирными линиями. Так как из четырех
направлений три неподвижных {CCU CDoo, СА)У то четвертое
направление (СВоо) должно в силу требования о разделенностй
пар проходить внутри области, отмеченной на чертеже волнистой
линией и ограниченной прямыми CCi и CDoo. Это требование
выполняется, если точка О находится на полупрямой С\СС^ и
не выполняется, если точка О находится на дополнительной
полупрямой CiCoo. При этом, если точка О совпадет с точкой Сь
получим:
О^С,; ВО = ВСV,
С5оо = CZ)oo.
При совпадении точки О с точкой Соо имеем:
ОееееСоо; ВО^ВС^
О £Зоош==к-/ С> со»
т. е. эти крайние точки дают границы области и должны быть
исключены (так как одному и тому же направлению, например
СБоо^ее CDoo, не могут быть сопряжены два различных
направления С А и ССоо).
1 Знак -ь указывает на разделенность пар прямых.
109

Отсюда заключаем, что при любом положении линии СС\
внутри угла АСВ точки отрезка С\Соо не могут быть
ортоцентром О, а значит, вся внешняя область, отсекаемая стороной АВ
от угла AG В, не может быть местом ортоцентров О. Очевидно,
это относится и к внешним областям, отсекаемым сторонами АС
и ВС соответственно от углов ABC и ВАС. Наоборот, каждая
точка О внутри треугольника ABC или внутри угла,
противоположного углу ЛСВ, определяет две разделенные пары
направлений, которые, как мы знаем (условие 3°), могут быть приняты
за сопряженные пары — условие, приводящее к метрической
определенности изображения. Это значит, что при надлежащем
выборе точки О как изображения ортоцентра оригинал А'В*С
треугольника ABC определяется (до подобия). Заметим, что
вершины треугольника ABC должны быть включены в состав
области существования изображений О ортоцентра АА'В'С. В самом
деле, в случае совпадения, например, точки О с вершиной С мы
имели бы в оригинале прямоугольный треугольник А'В'С с
прямым углом при вершине С. Таким образом, областью существо-
вания точек О является вся заштрихованная на чертеже 88 часть
плоскости, причем ограничивающие ее прямые не включаются
в состав этой области.
Черт. 88. Черт. 89.
8°. Выбор на изображении ABC треугольника А'В'С точки
Р, служащей в оригинале центром Р' описанного около
треугольника круга (в области существования), делает все изображение
метрически определенным.
Центр Р' описанного около треугольника А'В'С круга
является в то же время ортоцентром треугольника А\В{С\',
образованного средними линиями данного треугольника. В самом
деле, как видно из чертежа 89,
Р'А[±В'С; ^£±€'4; Р'С'хА_Хв'-
Отсюда следует, что область существования изображений Р
центров описанных кругов Р' для треугольника А'В'С является
в то же время областью существования изображений ортоцентров
треугольника А\В\С'\. На изображении эта область, согласно
условию 7°, будет иметь вид заштрихованного поля (черт. 90),
ПО

Она ограничена прямыми АхВХу Bid и С\А\. Как и в
предыдущем случае, эти прямые не входят в состав области, а вершины
треугольника А\, В\ и Сг должны быть включены в нее.
Так как выбор точки Р изображения центра Рг описанного
около треугольника А'В'С круга является, как выше было
показано, вместе с тем выбором
изображения ортоцентра
треугольника А\В'\С\, то
такой выбор на основании
условия 7° делает
изображение метрически
определенным.
Точка Р и три вершины
треугольника ABC
определяют эллипс, изображающий
описанный круг.
Построенная область есть область
Черт. 90. центров эллипсов,
проходящих через три точки.
9.° Выбор на изображении ABC треугольника А'В'С точки
Q, служащей в оригинале центром Q' вписанного в треугольник
круга (в области существования), делает все изображение мет-»
рически определенным.
Предположим, что треугольник ABC служит изображением
некоторого оригинального треугольника А'В'С, биссектрисы
которого пересекаются в точке Q', являющейся центром вписанного
круга. Предположим, что на
изображении треугольника выбрана точка
Q — проекция центра вписанного в
треугольник А'В'С круга. В таком
случае прямые AQ> BQ и CQ
являются изображениями биссектрис
треугольника (черт. 91).
На основании условия 4° уже
можно утверждать, что это
изображение является метрически опреде- Черт. 91.
ленным.
Определим на чертеже область существования изображений
Q центров Q'. Обозначая стороны оригинального треугольника
А'В'С через а\ Ь' и с и помня, что в параллельной проекции
АСЛ а/с/ ьг
(АВС\) = (A'B'C'i) будем иметь = , ) = — (по свой-
ВС± B\Ci о>
ству биссектрис треугольника А'В'С). Составив аналогичные
отношения для других сторон треугольника ABC, получим
следующие формулы:
ACt J/_. BAt __ с/_ СВХ _ а^
ВСг а'' САг ~~ Ъ>' АВ1 ~~ с' '
111

Из них можно получить (для каждой вершины) формулу
следующего вида:
АСУ ■ АВг Ь' + с'
ВС1 "•" СВг ~ а' '
Так как стороны а', Ь' и с образуют оригинальный
треугольник, то
Ь' + с'
а'
АСХ , АВХ
И
ВСг r CBt
>1
>1-
(I)
Аналогичные формулы можно написать, применяя круговой
порядок букв, и для других вершин.
Условия, выраженные формулами (I), являются, очевидно,
необходимыми условиями. На этом основании можно установить
точек Q изображений центра
вписанного в треугольник
круга, а именно, границу эту
составят такие точки Q, для
которых формулы (I)
представляют граничный случай:
АСХ , ABi
границу области существования
С
ВС,
св.
1.
(I*)
Докажем, что этому
условию удовлетворяют точки Q*,
лежащие на средней линии
£*С* треугольника ABC, параллельной стороне а (ВС), Как
видно из чертежа 92, имеем: (АХС*В) — (ACB*Y), так как оба
ряда перспективны с центром в точке Q*. Отсюда получим:
(АХС*) _ (АСВ*)
АС*
хс*
АВ*
CB*
и далее
(АХ В) (ACY) ' А В ~
ХВ
2ХС* AY
XB ~ СУ
2 (АС* — АХ) 2 AC" — 2АХ
ХВ ~ ХВ ~
2АС—АХ АХ AY
ХВ ХВ ~ CY
' AY
CY
AY .
СУ
но 2АС* = АВ, следовательно,
АВ — АХ __ АХ . AY
ХВ ~ ХВ *~ СУ
112

и, наконец,
~ВХ~Т"СУ
АХ AY _ ,
(ч. т. д.).
Таким образом, точка Q*, взятая на средней линии В*С*,
действительно удовлетворяет граничному условию (I*).
Нетрудно далее убедиться, что точки той части внутренней
области треугольника ABC, которая лежит внутри треугольника
АВ*С*, не удовлетворяют условию (I). Наоборот, точки
остальной части треугольника ABC этому условию удовлетворяют.
В самом деле, если, например, точка Qi лежит внутри
треугольника АВ*С*, то для нее будем иметь:
AYt AY
CYt ^ CY
и, следовательно,
-вх+-с7[<Х <ч'т-'д->
Применив аналогичные рассуждения для средних линий В*С*
и Б*Л*, придем к заключению, что точки Q, удовлетворяющие
всем трем условиям, должны
находиться внутри области,
ограниченной треугольником Л*В*С*,
составленным средними линиями
треугольника ABC (черт. 93).
При этом точки, расположенные
на сторонах треугольника средних
линий, удовлетворяют
граничному условию (I*) и должны
быть исключены, так как в этом
случае оригинальный треугольник
вырождается в отрезок.
Таким образом, область изображений центра вписанного в
треугольник А'В'С круга представляет собой -часть плоскости,
ограниченной срединным треугольником Д*В*С*.
Докажем теперь, что всякая точка Q, выбранная в области
существования, является изображением центра вписанного круга
для некоторого оригинального треугольника А'В'С, который
может быть построен. Другими словами, убедимся в достаточности
найденного условия. Пусть, например (черт. 94), имеем
изображение ABC некоторого треугольника А'В С. Возьмем
произвольную точку Q внутри области существования (заштрихована)
в качестве изображения центра вписанного круга треугольника
А'В'С (точка пересечения биссектрис). Покажем, как построить
оригинал — треугольник А'В'С.
Для решения задачи будем предполагать, что оба
треугольника (данный — изображение и искомый — оригинал) приведены
113

в параллельно-перспективное расположение, причем осью
родства будем считать прямую АВ. В таком случае АВ=А'В'. Так
как прямые ААи ВВ\ и СС\ являются изображениями бис-
сектрис, то
ВАг В'А[ с' СВх __ С'В[ а'
CAt ~ С'А[ ~ ~У АВХ ~ А'В[ ""с7*
Проведем через точку С прямую ССа\\АА\ и прямую
ССв\\ВВ\\ тогда получим:
ВАг __ АВ _с' АВ± _ АВ _с'
САХ ~ АСА ~ V ' СВХ ~ ВСВ а' '
Но, принимая во внимание, что АВ = А'В' = с', найдем:
АСА = Ъ' и ВСв = а'.
Таким образом, стороны искомого треугольника оригинала
построены, после чего и самый треугольник может быть легко
Черт. 94.
построен (см. чертеж). Оба треугольника (данный—ABC и
искомый — А'В'С) занимают параллельно-перспективное
расположение. Этим можно воспользоваться для построения
биссектрис оригинального треугольника и центра вписанного в него
круга. Из трех отрезков а, Ь\ с' всегда можно построить
оригинальный треугольник, так как эти отрезки удовлетворяют
условию (I). Следовательно, требование, предъявленное нами к
выбору точки Q (изображения центра вписанного круга) в области
существования, является не только необходимым, но и
достаточным.
Центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника
А'В'С изображается, как известно, центром тяжести
треугольника ABC. Поэтому в качестве изображения центра тяжести
114

оригинального треугольника А'В'С не может быть выбрана
какая-либо другая точка, кроме центра тяжести изображения —
треугольника ABC. В данном случае область существования
свелась к одной точке.
10°. Условие, что произвольно выбранный на изображении
эллипс является в оригинале окружностью, делает изображение
метрически определенным.
Предположим, что на плоскости а произвольный эллипс k
является изображением окружности. Проведем две параллельные
хорды эллипса. Разделим их пополам в точках М и N. Тогда
диаметр MN сопряжен проведенным хордам 1. Поэтому, проводя
через середину найденного диаметра диаметр, параллельный
хордам, получим пару сопряженных диаметров эллипса k. В
оригинале диаметры эти перпендикулярны. Следовательно, можем
построить две пары сопряженных направлений. Отсюда ясно, что
условие 10° эквивалентно условию 3°. Изображение оказывается
метрически определенным.
Итак, в плоскости а можно любой эллипс считать
изображением окружности, при этом плоскость а является метрически
определенной (2 параметра).
§ 25. ПРИМЕРЫ
1°. Взаимно-сопряженные направления, изображающие
ортогональные пары
а) Выбор сопряженных направлений. Предположим, что
прямые SA =а и SAi =а\ изображают две взаимно
перпендикулярные прямые оригинала. Такие прямые (а, а,\) мы назвали
сопряженными. Пусть, кроме того, на изображении имеется третья
Черт. 95.
прямая Ь=ААи по условиям задачи требуется провести на том
же изображении (для определенности, например, через точку 5)
прямую Ь\у сопряженную прямой Ь (черт. 95).
По условию 3° § 24 сопряженность прямых а и а\ равносильна
i См. гл. II, § 10.
115

заданию одного параметра. Поэтому прямая Ь\ может быть
выбрана произвольно, но так, чтобы соблюдалось требование
разделенное™ (см. примечание к условию 4° § 24, стр. 105) э
Этому требованию будет, очевидно, удовлетворять всякая
прямая &i, проходящая через точку 5 и пересекающая отрезок
АА\. После проведения сопряженной прямой Ь\ изображение, как
это вытекает из условия 3° § 24, становится метрически
определенным.
б) Построение направления, сопряженного данному
направлению, по способу треугольника. Как было показано в условии 3°
§ 24 (стр. 103), изображение является метрически определенным,
если на нем даны две пары сопряженных направлений. Поэтому
приходится встречаться со следующей задачей:
На изображении даны (или могут быть выбраны произвольно)
две пары сопряженных направлений (а, а\) и (6, &i). Требуется
для произвольно выбранного направления (с) построить ему
сопряженное (С\).
Такая задача, естественно, встает перед нами как только
изображение окажется метрически определенным. Мы покажем
здесь простое решение ее, основанное на свойстве высот
треугольника.
Черт. 96.
Через произвольную точку А данной прямой с (черт. 96)
проводим две прямые: одну, параллельную какой-либо прямой
первой сопряженной пары (например, AQ \\ а), и другую,
параллельную какой-либо прямой второй сопряженной пары
(например, АР\\Ь). Аналогичным образом проводим две прямые через
вторую произвольную точку В прямой с, причем эти прямые
должны быть соответственно параллельны двум остальным
прямым данных пар сопряженных направлений {ВР\\ах\ BQ\\b\).
Обозначим через Р и Q точки пересечения прямых разных пар,
проведенных соответственно через точки А и В. Тогда треуголь-
116

ник АРВ является изображением некоторого треугольника
А'Р'В'. Прямые AQ и BQ изобразят, очевидно, высоты этого
треугольника, следовательно, точка Q явится изображением
ортоцентра Q' оригинального треугольника. Отсюда следует, что
прямая PQ, проходящая через ту же точку, изображает третью
высоту треугольника А'Р'В'', а значит, она сопряжена
противоположной ей стороне АВ. Таким образом, прямая с\ = PQ есть
искомая, сопряженная прямой с=АВ.
в) Дано изображение ABC некоторого треугольника А'В'С\
Выбрана также (в области существования) точка Q, изображаю-
шля ортоцентр треугольника А'В'С. Построить оригинальный
треугольник.
Как следует из условия 7°, § 24, выбор изображения
ортоцентра в области его существования делает изображение
метрически определенным. Следовательно, оригинал может быть
построен. Приводим это построение.
Пусть ABC — данное изображение треугольника А'В'С\
а точка О—изображение его ортоцентра (черт. 97). Точка О
принадлежит области существования. Следовательно, по
условию, направления ОА и ВС являются сопряженными; точно так
же сопряжены направления ОС и АВ.
Проведем какую-нибудь прямую 5 (удобно пересекающую
обе пары сопряженных направлений) и выберем ее в качестве
оси перспективно-аффинного соответствия. Обозначим через Р, Pi
и Q, Qi точки, в которых ось родства пересекает соответственна
первую и вторую пары сопряженных направлений. Тогда прямые,.
11?

соответственные сопряженным прямым ОР и ОРи должны быть
взаимно перпендикулярны. Также взаимно перпендикулярными
должны быть прямые, соответственные сопряженным прямым
OQ и OQu Это позволяет построить ортоцентр О' как точку
пересечения двух окружностей, построенных «а отрезках РР\ и
QQu как на диаметрах.
Таким образом, перспективно-аффинное соответствие
определяется парой точек О, О'. В силу выбора точки О (в области
существования) упомянутые выше окружности непременно
пересекаются и точка О' существует. После этого построение
оригинального треугольника А'В'С (по родству с его изображением
ABC) не представляет затруднений (выполнено на чертеже).
2°. Изображение правильных многоугольников.
Часто приходится изображать правильные многоугольники,
.лежащие в заданной плоскости, — например, когда они являются
основанием призмы или пирамиды. Изложенное в настоящем
параграфе дает возможность получить простые и в то же время
верные изображения.
а) Согласно § 5 (стр. 32), истинная форма треугольника ABC
в данной плоскости а может быть выбрана произвольно, в
частности этот треугольник можно считать изображением
правильного треугольника А'В'С. При этом изображение становится
метрически определенным и все дальнейшие построения не могут
быть произвольными. Итак, любой треугольник ABC на
плоскости а может быть принят за изображение правильного
треугольника. Плоскость а при этом метрически определенна.
Черт. 98.
б) Положение, изложенное в пункте 1° (стр. 102),
устанавливает, что любой параллелограмм ABCD может быть принят за
изображение квадрата, причем плоскость изображения
становится метрически определенной.
Приняв, например, параллелограмм ABCD на плоскости а
(черт. 98) за изображение квадрата, получим две пары
сопряженных направлений: А'В'l.B'C'\ ACJ_B'D', и все дальнейшие
метрические построения уже не свободны.
118

в) Изображение правильного пятиугольника А В'CUE*
(черт. 99а) уже не может быть задано произвольно. В самом
деле, А А'В'С имеет вполне определенную форму. Поэтому на
плоскости а можно выбрать произвольный треугольник ABC как
изображение треугольника А'В'С (черт. 996). При этом, конечно,,
(а) (б)
Черт. 99.
изображение метрически определяется и пятиугольник можег
быть достроен на нем вполне определенным образом. Это
построение легко выполнить, так как СЕ' \\ А'В\ а точка F' делит
диагональ СЕ' в крайнем и среднем отношении. В самом деле,
из чертежа имеем:
или, обозначая Е'С = А'С = сГ, E'D' = А'В' = FC = а',
получим:
й' — а'_ а'
а' ~~dFi
что означает, что точка F' делит отрезок СЕ' в крайнем и
среднем отношении. Так как золотое деление отрезка сохраняется
в параллельной проекции (и вообще в родственном
соответствии), то на изображении точка F также должна делить отрезок
ЕС в крайнем и среднем отношении. Отсюда получаем
следующее построение изображения правильного пятиугольника.
Треугольник ABC чертим произвольно и достраиваем до
параллелограмма. (Иначе, чертим произвольный параллелограмм ABCF,)
По его стороне CF = а находим диагональ СЕ = d (как весь
отрезок по большей части его золотого деления). Наконец,
проводя ED || АС и AD || ВС, находим последнюю вершину D.
Точка Е строится исходя из следующих соображений:
119>

Делим отрезок CF = а пополам в точке 1 и строим
перпендикуляр F2 = F1. Тогда отрезок С2 = у l-^j + а2,
а отрезок
C3 = ± + }/~(±)* + (*=d = CE.
При беглом чертеже нет, конечно, необходимости выполнять
такое построение. Точка Е строится на глаз. Для этого полезно
заметить, что, принимая отрезок CF за единицу (CF = 1), будем
лметь:
а— 2 ~ 2 '
т. е. сторону параллелограмма CF надо увеличить примерно на
половину ее длины, чтобы получить вершину Е.
г) Изображение правильного шестиугольника весьма просто
получается из изображения правильного треугольника. Выбрав
на изображении какой-либо треугольник ABC, можно, согласно
пункту а, считать его изображением правильного треугольника
(черт. 100). Тогда медианы AAif ВВ{ и СС\ определят центр О
Черт. 100.
описанного около треугольника круга. Проводя прямые АВ\\\СО,
В\С || АО и т. д., получим изображение АВ\СА\ВСХ правильного
шестиугольника.
д) Изображение правильного восьмиугольника аналогичным
образом получается из изображения квадрата. Чертеж 101(a)
представляет собой оригинал, а чертеж 101(6)—изображение
его, а также плоскости а', в которой он лежит. Произвольный
параллелограмм ABCD на плоскости а может быть принят за
■изображение квадрата A'B'C'D' после чего изображение
становится метрически определенным (§ 24, 1°). Проводим средние
-линии КМ и LN параллелограмма. Тогда простые отношения
(ОРК) и (О'Р'К) должны быть равны: {ОРК) = (О'Р'К').
Но, как показывает чертеж 101(a), отношение Q,K, = Q,r,
есть отношение стороны квадрата к его диагонали. Таким же
ОР
должно быть и отношение -qjt. Поэтому, принимая ОР за сто-
120

рону квадрата, строим диагональ его OQ и откладываем OK =
= OQ. Получим вершину К правильного восьмиугольника.
Построение остальных вершин видно из чертежа.
(о) (6)
Черт. 101.
3°. Изображение плоскости. Следует отметить, что как
в учебниках, так и в школьном преподавании распространено изо*
бражение плоскости в виде параллелограмма (черт. 102). При
С
К
Черт. 102.
этом учащиеся мысленно воображают плоскость в виде
прямоугольного листка, расположенного горизонтально. Так именно
говорится об изображении
плоскости у А. П.
Киселева (Геометрия, ч. II, —
Стереометрия; стр. 3).
С точки зрения
условных изображений
предположение о прямоугольной
форме плоскости уже
налагает на изображение Черт. ЮЗ.
одно условие, и,
следовательно, расходуется один параметр. Поэтому в нашем
распоряжении остается лишь один свободный параметр, и мы уже не
можем больше считать, как прежде, произвольный треугольник
KLM изображением правильного треугольника. Если не обратить
внимания на это обстоятельство, то легко допустить ошибки в
изображении. Такие ошибки и встречаются как в учебниках,.
12L

так и в чертежах на доске у преподавателя. Из
сказанного следует, что выгоднее изображать плоскость в виде
площадки неправильной произвольной формы (черт. 103). В этом
случае на изображение не налагается никаких предварительных
условий. Тогда предположение, что AKLM на чертеже 103 есть
изображение правильного треугольника, не содержит никакой
ошибки и делает плоскость метрически определенной.
§ 26. О МЕТРИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Мы условились называть метрически определенными те
изображения, которые позволяют восстановить оригинал до подобия,
В случае параллельной проекции основу для решения вопроса
дает теорема Польке — Шварца \ которую можно называть
теоремой существования. В самом деле, из этой теоремы следует,
что при произвольном метрическом задании какого-либо
тетраэдра (до подобия) всегда существует проекция (направление
проектирования и положение тетраэдра относительно плоскости
изображения), которая дает изображение его, совпадающее
•с имеющимся. С другой стороны, можно решать обратную задачу.
Оригинал, все точки которого могут быть аффинно определены
относительно упомянутого тетраэдра по их изображению,
оказывается при этом метрически определенным. Следовательно, для
метрической определенности полного изображения достаточно
произвольного метрического определения какого-либо тетраэдра
на этом изображении. Как известно, метрическое определение
тетраэдра, т. е. определение его формы, требует задания пяти
условий, или параметров, например пяти отношений ребер
тетраэдра, пяти его двугранных или пяти плоских углов. Поэтому для
тугетрической определенности изображения достаточно наложения
пяти подходящим образом выбранных метрических условий
(задание пяти параметров).
С другой стороны, как легко убедиться, задание меньшего
числа условий (параметров) недостаточно для метрической
определенности изображения. В самом деле, если число изложенных
условий (параметров) было бы меньше пяти, то никакой
тетраэдр изображения не был бы метрически определен. Поэтому
можно было бы добавить еще одно условие (задать новый
параметр), в зависимости от которого получать различное
метрическое определение какого-либо тетраэдра на изображении и
соответствующие оригиналы. Следовательно, такое изображение
не являлось бы метрически определенным, так как его оригинал
«е был бы определен до подобия.
Из этих соображений следует, что для метрической
определенности полного изображения необходимо и достаточно нало-
» См. гл. II, § 9.
122

жения пяти условий (задание пяти подходящим образом
выбранных параметров), позволяющих определить форму какого-либо
тетраэдра изображения.
Наша задача сводится теперь к следующему. Необходимо
выяснить, скольких параметров требуют те или другие операции,
обыкновенно встречающиеся в изображениях пространственных
фигур, а также установить области существования таких
параметров с тем, чтобы им соответствовали реальные оригинал и
аппарат проектирования. С этой целью докажем ряд теорем,,
предполагая, что рассматриваемое
изображение является полным.
Теорема 1. Если две какие-либо не параллельные плоскости
аир данного изображения метрически определенны (четыре
параметра), то они на всякой третьей плоскости y определяют
сопряженную пару (один параметр).
Доказательство. Если третья плоскость y параллельна
одной из плоскостей а или р, то она также метрически
определенна. В самом деле, прямые на плоскости y, соответственно
параллельные прямым той из плоскостей — а или р, — которая
параллельна плоскости y>
образуют соответственно равные
(с ними) углы. В частности,
прямые, параллельные прямым
сопряженной пары, образуют
на плоскости y сопряженную
пару.
Таким образом, будем
предполагать, что три плоскости а,
р и у не параллельны. Тогда
может быть два случая: 1)
плоскости а, Р и y образуют
трехгранник (трехгранный угол);
2) плоскости а, Р и y
образуют призму (призматическую
поверхность).
Рассмотрим первый случай (черт. 104). Обозначим через S"
точку пересечения трех плоскостей, а через а, Ъ и с ребра
трехгранника, противолежащие соответственным граням а, р и у К
Отметим на ребре с произвольную точку С. Так как по условию
теоремы грани аир метрически определенны, то можно на
изображении построить точки А и В (соответственно на ребрах a vl
b)\ такие что в оригинале будем иметь
&А' = S'B' = S'C.
Следовательно, &ABS является изображением
равнобедренного треугольника A'B'S'. Отметим буквой М середину отрезка
1 Прямые ,а, Ь, с, равно как и точка S, могут быть найдены на
изображении, так как последнее является полным (по предположению).
125

АВ. Тогда прямая SM = т явится изображением высоты
S'M' == т' равнобедренного треугольника A'B'S'. Поэтому АВ и
SM — сопряженная пара.
Переходим ко второму случаю: плоскости а, р и у образуют
призму (черт. 105). Как и раньше, отметим на ребре с призмы
Черт. 105. Черт. 106.
произвольную точку С. Построим прямую СВ, сопряженную
прямой с в плоскости а, и прямую СА, сопряженную прямой с в
плоскости р. Тогда плоскость А'В'С оригинала перпендикулярна
к ребру с'. Значит, прямая А'В' перпендикулярна к ребрам а и
Ь'. Следовательно, прямая АВ сопряжена прямым а и Ь
(ч. т. д.).
Следствие. Если две (непараллельные) плоскости а и |3
полного изображения метрически определенны (четыре
параметра), то достаточно задать один подходящим образом
выбранный параметр на любой непараллельной им третьей плоскости^
■например пару сопряженных направлений, чтобы все
изображение стало метрически определенным.
В самом деле, при этом плоскость г становится метрически
определенной (двумя параметрами), и, следовательно, будем
иметь три метрически.определенные плоскости: а, Р и у. Тогда
в случае, если эти три плоскости образуют трехгранник
(черт. 104), то тетраэдр ABCS изображения оказывается
метрически определенным, так как все пять отношений его шести ребер
заданы. Если же плоскости а, р и у образуют призму (черт. 106)
то, отметив на одном из ребер, например с, произвольную точку
£, получим метрически определенный тетраэдр ABCS К
1 Отношение ребер АВ и ВС легко определяется при посредстве какого-
нибудь отрезка BD на ребре Ь, так как отношения -57ч и -777=; находятся из
£>JL/ BU
метрической определенности плоскостей Y и а.
124

Прежде чем перейти к следующей теореме, введем понятие
пространственной сопряженной пары на изображении. Мы будем
называть пространственной сопряженной парой на изображении
такие плоскость и прямую, которым в оригинале соответствуют
взаимно перпендикулярные плоскость и прямая. Предположим,
что на чертеже изображена пространственная сопряженная пара:
плоскость а и прямая а
(черт. 107). Тогда в
оригинале ar La'.
Как нетрудно понять,
задание пространственной
сопряженной пары
эквивалентно заданию двух
параметров. В самом деле оно
сводится к двум условиям —
заданию двух плоскостных
сопряженных пар (а, Ь) и
(а, с), так как в оригинале
a!Lb' и a'Lc\ Поэтому
всегда можно через произвольную точку А плоскости а провести
произвольную прямую а и считать ее пространственно
сопряженной плоскости а, причем это условие выражается лишь
двумя параметрами (из пяти).
Теорема 2. Если на изображении имеем пространственную
сопряженную пару (а, а) (два параметра), плоскость а которой
метрически определенна (два параметра), то на любой плоскости
(Р) изображения определяется сопряженная пара.
Черт. 107.
Черт. 108.
Доказательство. Предположим, что плоскость р
пересекает прямую а в точке S, а плоскость а — по прямой sl
(черт. 108). Через точку А (Л = аХа) проводим прямую АВ,
1 Как точка S, так и прямая s могут быть построены на изображении,
так как последнее предполагается полным.
125

сопряженную на плоскости а прямой s. Точку пересечения
прямой АВ с прямой 5 обозначаем буквой В. Тогда прямая BS
сопряжена прямой 5 на плоскости р. В оригинале имеем: B'S'±.s\
так как BA'Ls.
Если плоскость р' параллельна прямой а\ т. е. плоскость Р'
перпендикулярна к плоскости а', то построение сопряженной пары
выполняется так (черт. 109): через точку А проводим прямую ЛВ„
Черт. 109.
сопряженную прямой 5 на плоскости а, и обозначаем точку
пересечения этих сопряженных прямых буквой В\ проводим через
точку В прямую Ь, параллельную а. Прямая 6, как легко видеть,
лежит в плоскости р и сопряжена прямой 5. В самом деле, Ь'\\а'
и s'La, поэтому u'-Ls'.
Следствие. Если на изображении имеем
пространственную сопряженную пару (а, а) (два параметра), плоскость а
которой метрически определенна (два параметра), то для
метрической определенности всего изображения достаточно задать
надлежаще выбранный один параметр на любой плоскости р этого
изображения (всего пять параметров).
Действительно, в этом случае будем иметь три метрически
определенные плоскости: а, Р и плоскость у — ABS,
пространственно сопряженную прямой 5 (черт. 108).
Форма треугольника A'B'S' определяется, так как этот тре-
угольник прямоугольный и отношение его сторон -^j находится
при посредстве линии пересечения 5 плоскостей аир (см. сноску
на стр. 124). Но, согласно следствию к теореме 1, в случае трех
метрически определенных плоскостей все изображение является
метрически определенным.
Рассмотрим теперь две пространственные сопряженные пары
(а, а) и (р, Ь) (черт. 110). Построим на изображении линию «г
пересечения плоскостей аир, что возможно, так как
изображение предполагаем полным. Через произвольную точку S линии s
проводим прямые, параллельные прямым а и Ъ (чтобы не услож-
126

Черт. ПО.
нять обозначения, сохраним за этими прямыми обозначения
буквами а и 6). Тогда так как a'.La' и 6'JLp', то прямые а и 6
определяют плоскость а, в оригинале перпендикулярную к плоскостям
а' и р' и линии их пересечения s. Обозначим, далее, через ах
линию пересечения плоскости а с плоскостью а и через Ь\ линию
пересечения плоскости а с плоскостью р. В плоскости а
будем иметь две сопряженные пары
(а, а\) и (b, Ь\). В самом деле,
в оригинале а \.а\ и Ъ'Lb\. Так
как сопряженные пары
разделяют друг друга, то должно
выполняться условие (a, ai) -=-
— (6, b\). Это условие только
необходимое; в соединении с
условием a' J_ sr оно становится
достаточным для изображения двух
пространственных сопряженных
пар. Это видно из чертежа.
Действительно, из условия o'Jls'
(два параметра) следует s'J^a' и
s'±.br. Так как пары (а, ах),
(by b\) разделяются, то их можно считать сопряженными (два
параметра), т. е. a La\ и Ъ'Lb\. В соединении с предыдущим
это дает: а'±.а и br±.$\ т. е. (а, а) и (р, Ь)—пространственные
сопряженные пары.
Это дает нам методы построения (задания)
пространственных сопряженных пар. Можно, например, поступить следующим
образом (черт. 111). Строим линию 5
пересечения плоскостей аир. Через
произвольную точку S этой линии проводим
прямые SA и SB, перпендикулярные в
оригинале к прямой 5 и лежащие
соответственно в плоскостях а и р. Получим
плоскость a (SAB)t пространственно
сопряженную прямой 5 (два параметра).
Далее, через произвольную точку О
плоскости а проводим в этой плоскости
произвольную прямую ОА и принимаем
ее за сопряженную прямой SA (один
параметр). Затем проводим прямую ОВ
в плоскости а произвольно, но соблюдая
лишь условие (ОВ, SB) -f- (ОА, SA) -т- (ОА,
SA). Тогда прямые ОВ и SB можно
принять за сопряженную пару (один параметр). Другими словами,
на чертеже 111 изображено построение перпендикуляров из
данной точки 0/ к плоскостям а' и р'.
Построение это весьма необходимо в преподавании. Оно
применяется, например, при построении линейного угла данного дву-
Черт. ш.
127

гранного угла (а', р')- При выполнении его в таком порядке,
какой представлен на чертеже 111, не только получим верное
изображение, но и сохраним в запасе один свободный параметр.
Теорема 3. Если на полном изображении имеем две
пространственные сопряженные пары (а, а) и (р, Ь), то на любой
плоскости изображения определяется сопряженная пара.
Доказательство. Как мы знаем, изображение двух
пространственных сопряженных пар может быть сведено к такому,
какое дано на чертеже ПО. Отсюда ясно, что от двух
пространственных сопряженных систем можно перейти к метрически
определенной плоскости (плоскость о на черт. ПО) и сопряженной с
ней прямой (прямая s на черт. 110), и, следовательно, все
сведется к условиям теоремы 2. Поэтому теорема 3 доказана.
Можно также формулировать и аналогичное следствие.
Следствие. В условиях теоремы 3 для метрической
определенности изображения достаточно задать один надлежаще
выбранный параметр на любой плоскости этого изображения,
отличной от плоскости а или ей параллельных плоскостей.
§ 27. ПРИМЕРЫ. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
1°. Построить изображение треугольной пирамиды, имеющей
данное основание (ДЛ'В'С) и данную высоту (Л = P'Df).
Строим произвольный треугольник ABC, изображающий
основание пирамиды (два параметра) (черт. 112). Затем, выбрав
Черт. 112.
произвольную точку Р в плоскости основания, проводим
перпендикуляр PD к основанию также произвольно (пространственно
сопряженная пара — два параметра). Отметив произвольную
точку D на этом перпендикуляре, примем ее за вершину
пирамиды. При этом PfD' = h (один параметр). Таким образом, все
изображение может быть выполнено произвольно. Однако при
этом было израсходовано пять параметров, и изображение ABCD
оказалось метрически определенным. В самом деле, положение
точки Р' на плоскости ABC может быть найдено по чертежу, и,
следовательно, тетраэдр A'B'C'U легко может быть
реконструирован. Поэтому всякое новое метрическое построение на
изображении уже не может быть выполнено произвольно.
128

2°. Изобразить правильную четырехугольную пирамиду,
сторона основания которой (АВ = а) и апофема (SF = d) должны
иметь данную величину (черт. 113).
Черт. 113.
На заданной стороне АВ строим произвольный
параллелограмм ABCD, изображающий квадратное основание пирамиды
(два параметра). Через точку пересечения его диагоналей £
проводим произвольно (лучше вертикально) прямую ES,
изображающую направление высоты пирамиды (два параметра).
Отмечаем вершину пирамиды S, тоже произвольно, на этой прямой
и соединяем ее с вершинами основания. Изображение пирамиды
готово. Отрезок SF (F — середина стороны ВС) изображает
апофему и должен иметь заданную длину (SF=d) (один параметр).
Черт. 114.
Нетрудно видеть, что изображение пирамиды правильно и
метрически определенно.- В самом деле, мы имеем на нем изображение
тетраэдра SABC, форма которого известна, так как его
основанием служит прямоугольный треугольник ABC с двумя углами
SF d
по 45°. Кроме того, имеем: SA = SB = SC и -7ттт = — •
3°. Изобразить правильную шестиугольную пирамиду.
Произвольный треугольник АСЕ принимаем за изображение
правильного треугольника (два параметра). По нему строим
изображение правильного шестиугольника (черт. 114), как это
129

было показано в § 25, (стр. ПО). Через центр Р шестиугольника
проводим произвольно направление высоты пирамиды PS (два
параметра) и на нем тоже произвольно выбираем вершину S.
Соединяя последнюю с вершинами основания ABCDEF, получим
изображение пирамиды. Как видно из подсчета и выбора
параметров (четыре параметра), изображение пирамиды верное, но
метрически еще не определенное (остается в запасе один
свободный параметр). Поэтому на изображении можно задать один
параметр дополнительно (например, отношение высоты SP к
стороне шестиугольника; плоский угол при вершине; двугранный
угол боковой грани с основанием и т. п.). Только тогда
изображение станет метрически определенным.
4°. Решить следующую задачу на построение, сопровождая ее
чертежом: дана форма двух боковых граней треугольной
пирамиды и образованный ими двугранный угол. Требуется найти
форму основания пирамиды.
Изобразим пирамиду SABC произвольно [черт. 115(a)]. Так
как форма двух боковых граней, например A'B'S' и B'C'S', дана,
Черт. 115.
то начертим эти грани (в каком-либо масштабе) на плоскости,
сохраняя их общую сторону B'Sr [на черт. 115(6) грани
обозначены через AiBiSi и BiCiS{\. Построим линейный угол данного
двугранного угла граней, который представится в развернутом
виде линией CiF\Du если предположить, что плоскость линейного
угла проходит через вершину пирамиды d. Этот линейный угол
(нормальное сечение) можно показать на изображении
пирамиды, сохраняя равенство отношений:
(BFS)^(B1F1S1) и (BDA) = (B&AJ К
1 Что большей частью достаточно сделать на глаз.
130

Теперь из чертежа видно решение задачи. Надо по двум
сторонам CF' и F'D' и углу между ними CF'D' = ф построить
треугольник CFD'. Затем по трем сторонам CD', B'D' и В'С
построить треугольник B'CD' и, наконец, треугольник А'В'С. Все
эти построения (в избранном масштабе) выполнены на чертеже.
По сторонам C]FU D\F\ и углу ф построен /\C\FiD2 со /\CF'D'.
Далее, по трем сторонам C\D2i B\DX и В\С\ построен
ABiC{D3 a>/\fi'C'D'. Построено отношение {A2D3Bl) = (AlDlBl)
и, наконец, найден /\A2BiCico /^А'В'С Задача решена.
Заметим, что по условиям задачи форма двух граней
пирамиды известна (четыре параметра) и задан двугранный угол этих
граней (один параметр). Следовательно, действительная форма
пирамиды задана, и мы могли изобразить ее совершенно
произвольно. При этом получили бы верное, метрически определенное
изображение. Поэтому именно изображение нормального сечения
CFD уже не могло содержать никаких элементов произвола.
По этой же причине метрически определенной являлась и
грань ABC.
5°. Изобразить прямой круговой цилиндр (цилиндр
вращения), если даны диаметр d основания цилиндра и его высота h,
Черт. 116.
Произвольный эллипс ABCD принимаем за изображение
основания кругового цилиндра (два параметра) (условие 10°,
стр. 115). Через центр О эллипса проводим произвольно
направление OS высоты цилиндра (два параметра) и отмечаем на нем
произвольно точку 5 — центр верхнего основания цилиндра
(черт. 116). Так как отрезок O'S' должен иметь данную вели-
O'S' h _
чину, то отношение А,в, =-^- также дано. Таким образом,
форма тетраэдра SAOC {А'О' А. О'С) известна, и изображение
цилиндра является верным и метрически определенным.
131

6°. Изобразить треугольную наклонную призму, у которой
даны: 1) стороны основания А'В' = су В'С' = а, СА'~Ь\
2) боковое ребро В'В\ = /; 3) плоский угол ф = /_А'В'ВГ\, обра-
зованный сторонами грани А'В'В'х, 4) двугранный угол г|), обра-
зованный той же гранью с плоскостью основания.
Начертим изображение треугольной призмы вполне
произвольно и посмотрим, что дают наложенные на нее условия
(черт. 117). Условие, что оригинал треугольника ABC задан,
равносильно двум параметрам и метрически определяет плоскость
Черт. 117.
основания. Боковое ребро / и плоский угол ф грани А'В'А\'В\
оригинала вместе со стороной с метрически определяют грань
ABA\B\ (два параметра). Задание двугранного угла г|) дает
пятый параметр. После этого изображение призмы становится
метрически определенным. Таким образом, наше изображение
правильно и метрически определенно.
Некоторые из условий могли бы быть заменены другими.
Например, вместо условий 3) и 4) можно было бы потребовать,
чтобы диагонали боковых граней призмы имели данную величину
(например, A'B\=d\, СВ\ =d^). Из чертежа видно, что эти
условия вместе с условиями 1) и 2) метрически определяют
тот же самый тетраэдр A'BfCrB\ , и все дальнейшие построения
уже не могут быть произвольными.
7°. Изобразить цилиндр вращения, описанный около прямой
призмы.
Предположим, что на изображение призмы АВСА\ВХС\ не
наложено никаких условий (черт. 118). Тогда центр О эллипса,
изображающего в оригинале окружность, описанную около
основания ДЛ'В'С призмы, можно выбрать произвольно, но в
области существования центра. Эта область, как известно (§ 24,
-стр. 101), ограничена трехсторонником средних линий AqBqCu.
По центру О и трем точкам А, В, С эллипс вполне определяется.
J 32

При беглом выполнении чертежа его можно вычертить от руки
по шести точкам (см. на чертеже верхнее основание цилиндра).
Выбор точки О изображения центра описанного круга задает два
параметра и метрически определяет плоскость основания призмы
и цилиндра. Вместе с тем, следовательно, определяется форма
треугольника А'В'С основания призмы. Условие, что прямая 00\
изображает высоту призмы и цилиндра, равносильно заданию
двух параметров (пространственная сопряженная пара). Таким
Черт. 118.
образом, изображение остается ещё метрически неопределенным
с одним свободным параметром. Этот параметр можно
использовать, например, задавая отношение высоты цилиндра (призмы)
к его диаметру. После этого изображение станет метрически
определенным.
8°. Изобразить треугольную пирамиду, описанную около
конуса.
Если будем предполагать, что конус, изображенный на
чертеже 119, является прямым и круговым, тогда плоскость
основания конуса (пирамиды) является метрически определенной (два
параметра); кроме того, задана пространственно сопряженная
пара (плоскость ABC, прямая 05), что дает еще два параметра.
Следовательно, изображение имеет один свободный параметр.
Этот параметр может быть использован для определения
боковой грани 1 пирами/Ты путем задания плоского угла грани или ее
высоты, не служащей апофемой 2, отношения двух сторон и т. д.,
после чего изображение становится метрически определенным.
Предположим теперь, что конус вписывается в пирамиду,
изображенную на чертеже 119. Если конус имеет круговое
1 Форма основания пирамиды определяется из метрической
определенности плоскости основания конуса.
2 Апофема боковой грани является образующей прикосновения.
133

основание, то центр О основания конуса можно выбрать
произвольно, но обязательно в области существования (§ 24, стр. 103),
ограниченной треугольником A0B0Cq средних линий (два пара-
Черт. 119.
метра). Эллипс основания конуса вполне определяют центр О и
три касательные: АВ, ВС и СА. Если других условий не
наложено, то изображение является
метрически неопределенным с
тремя свободными
параметрами.
Вторая теорема
существования. Полный
четырехугольник и отрезок, соединяющий
одну из его вершин с любой
точкой, лежащей внутри
треугольника, образованного тремя
остальными вершинами, можно
рассматривать как
параллельную проекцию тетраэдра,
имеющего прямоугольный
трехгранный угол, и его высоты,
опущенной из вершины
упомянутого угла на противолежащую
грань.
Доказательство.
Предположим, что фигура
(ОАВС, ОР) является изображением тетраэдра О'А'В'О и
высоты О'Р', опущенной из вершины О' прямоугольного
трехгранного угла тетраэдра на противолежащую грань А'В'С (черт. 120),
Докажем необходимость условия: на изображении
основание Р высоты должно лежать внутри треугольника ABC. В са-
Черт. 120.
134

мом деле, проведем прямую СР до пересечения в точке Сл со
стороной А В. Тогда плоскость ОСР, как проходящая через прямые
ОС и ОР, должна быть в оригинале перпендикулярна к
плоскостям ОАВ и ABC, а следовательно, и к линии их пересечения АВ<
Поэтому имеем: А'В' JL 0'С\ и, далее, А'В' J_ С'С\. Это значит,;
что прямая СС\ изображает высоту треугольника ABC. Так как,
кроме того, имеем: 0'C'\LA'B', то точка С'\ должна лежать на
гипотенузе А'В' прямоугольного треугольника О'А'В'. Поэтому
линия СС\ должна проходить внутри треугольника ABC. То же
самое можно сказать о высотах ВВ\ и АА\. Отсюда и следует,
что ортоцентр Р лежит внутри треугольника ABC (и,
следовательно, треугольник ABC остроугольный).
Достаточность условия. При этом условии прямая ОС\
проходит внутри треугольника ОАВ, и должно быть 0'C\LA'B'.
Следовательно, плоскость АО В метрически определенна
(O'A'JlO'B'; 0'C[JlA'B'). По этой же причине метрически
определенны плоскости ВОС (О'В'Ю'С; O'A/IB'C) и
СО A (О'С'Ю'А'; 0'B\LCA').
Построим отрезки OK, OL и ОМ1 так, чтобы О'К' = O'L'
(в плоскости О'А'В') и O'L' = О'М' (в плоскости О'В'С).
Рассмотрим теперь фигуру OKLM как изображение системы
прямоугольных осей с отложенными на них единичными отрезками
О'К! = O'L' = О'М' = 1 (масштабный триэдр). По теореме
Польке существует параллельная проекция, в которой
масштабный триэдр изобразится фигурой OKLM. Это изображение
метрически определенно. Из построения точек К и L следует, что в
плоскости О'А'В' линия 0'С\ JlA'B'. Аналогично, в плоскости
О'В'С линия 0'Ax'LB'C. Поэтому должны иметь: CC\LA'B'
и A'A'xLB'C. Следовательно, В'В'Х\_С'А' и 0'B{LCA'.
Это показывает, что в построенной нами проекции
масштабного триэдра линия ОР явится изображением перпендикуляра
к плоскости А'В'С. Поэтому данное изображение является
верным и метрически определенным.
9°. Изобразить прямоугольную систему осей координат, про-
извольную плоскость и перпендикуляр на нее, опущенный из
начала координат.
Прямоугольную систему осей координат OXYZ можно
изобразить произвольно, затратив при этом три параметра
[пространственная сопряженная система (плоскость OXY и ось OZ)\
прямой угол в плоскости OXY]. Задав затем какую-либо плоскость
ABC, можно, также произвольно, обметить на ней основание Р
упомянутого перпендикуляра, поместив, однако, точку Р
обязательно внутри треугольника следов ABC данной плоскости
(черт 121).
Условие, что ОР является перпендикуляром к плоскости ABC,
равносильно заданию двух параметров. Таким образом, получаем
1 На чертеже 120 это построение не показано.
135

верное и метрически определенное изображение. Любое
дальнейшее построение не может содержать элементов произвола.
10°. Дано изображение прямоугольного параллелепипеда.
Требуется через данную на его ребре точку (М) провести сечение,
перпендикулярное к диагонали параллелепипеда.
Черт. 121.
Начинаем строить изображение параллелепипеда с его
верхнего (видимого) основания. Последнее можно представить
произвольным параллелограммом. Изображение параллелепипеда
Черт. 122.
(произвольное) соответствует заданию трех параметров.
Предположим, что требуется провести через точку М ребра ВВ\ сечение,
перпендикулярное к диагонали BDX (черт. 122). Такое сечение
136

можно изобразить произвольно, так как в нашем распоряжении
остаются еще два свободных параметра. Зададим его следами
МК и ML] получим сечение в виде параллелограмма MLNK.
Точку его пересечения Р с диагональю BD\ легко построить при
помощи вспомогательной плоскости BMD\N и линии MN
пересечения этой плоскости с плоскостью сечения KMLN. Таким
образом, в этом случае как изображение прямоугольного
параллелепипеда, так и сечения, перпендикулярного к его диагонали, можно
было сделать произвольно. После этого изображение стало
метрически определенным.
11°. Дано изображение куба. Через данную на его диагонали
(А\С) точку (М) требуется провести сечение, перпендикулярное
к этой диагонали.
Изображение куба всегда является метрически определенным.
В самом деле, произвольно вычертив изображение куба
(разумеется, с соблюдением должных параллельностей), получим
тетраэдр (например, тетраэдр A\AB\D\D), имеющий заданную
форму (масштабный тетраэдр). Поэтому цсе построения на
изображении являются определенными и не допускают никакого
произвола.
Так как плоскость AB\DX в оригинале перпендикулярна к
диагонали А\С, то искомое сечение должно быть параллельно этой
плоскости (черт. 123). Следовательно, след искомого сечения на
Черт. 123.
любой плоскости должен быть параллелен следу плоскости AB\D\
на той же плоскости. Отсюда л^гко получаем решение задачи.
Через точку М проводим прямую MF \\ АЕ (так как эти прямые
являются следами перпендикулярных сечений на диагональной
плоскости А]С\СА). Находим точку F пересечения прямой MF
с прямой Aid. Точка F есть точка следа искомого сечения на
плоскости верхнего основания куба. Проводя через точку F
прямую, параллельную прямой B{Dit получим след сечения /—2.
137

Далее, через точку 2 проводим прямую, параллельную
прямой АВи получаем точку 3. Через точку 3 ведем прямую,
параллельную прямой D\A, получаем точку 4 и т. д., пока не
возвратимся в точку 1. В результате получим изображение искомого
сечения в виде шестиугольника 123456. В отличие от
предыдущего примера, полученное сечение не может быть
выполнено произвольно. Оно построено как вполне
определенное.
12°. Дано изображение ящика кубической формы. Требуется
изобразить крышку ящика в положении, определенном данным
направлением CD ее края (черт. 124).
Черт. 124.
Как было выяснено ранее (в предыдущем примере),
кубический ящик можно изобразить произвольно. Это изображение
является метрически определенным. Ребро CD крышки, когда
крышку ящика открывают, описывает в оригинале окружность.
Она изобразится эллипсом, полудиаметры СА и СВ которого
являются сопряженными, так как им соответствуют в оригинале
два взаимно перпендикулярных диаметра (СА', СВ'). Эллипс,
как известно, строится по двум сопряженным полудиаметрам
(построение можно сделать от руки, вписывая эллипс в
параллелограмм). Заданное направление края крышки определяет
полудиаметр CD, по которому легко построить всю крышку ящика
в требуемом положении. Здесь, как и в предыдущем примере, все
построение вполне определенно,
138

§ 28. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СОПРЯЖЕННЫХ
СИСТЕМ. ВЫСОТЫ ТЕТРАЭДРА
Задание пространственной сопряженной системы эквивалентно
израсходованию двух параметров. Так, если на чертеже 125
примем, что прямая АА\ изображает перпендикуляр к плоскости а,
то получим верное изображение, где бы ни была выбрана
Черт. 125.
точка А\ (в оригинале — основание перпендикуляра, опущенного
из точки А'). В этом легко убедиться, так как натуральная
форма тетраэдра АВСАХ все еще неопределенна. Если точка А
Черт. 126.
выбрана заранее на плоскости |3, то положение точки А\ — в
оригинале основание перпендикуляра А'А'\ на плоскость а' —
остается совершенно произвольным на плоскости а.
Посмотрим теперь, каким ограничительным условиям должен
удовлетворять второй перпендикуляр, опущенный из какой-либо
точки плоскости а на плоскость (3 (черт. 126). Пусть АА\—вори-
139

гинале перпендикуляр, опущенный из точки А' плоскости р' на
плоскость а'. Основание перпендикуляра обозначим буквой А\.
Вообразим далее, что из точки А\ плоскости а опущен
перпендикуляр AXY на плоскость р. Тогда плоскость ЛЛ]У, как
содержащая перпендикуляры к плоскостям аир, сама перпендикулярна
к прямой 5 (линии пересечения плоскостей а и Р). Обозначим
через X точку пересечения плоскости AA\Y с прямой s. Будем
иметь в этой плоскости две пары сопряженных направлений
(ААьХАг) и (Л,У, АХ).
Таким образом, при заданном первом перпендикуляре АА\
можем произвольно на оси 5 выбрать точку X, определяющую
нормальную плоскость АА\Х. Далее, так как прямая АА\
сопряжена с прямой А\Х, то прямой АХ может быть сопряжена (в силу
условия разделенности, — см. стр. 116) любая прямая A\Y,
пересекающая отрезок АХ. Следовательно, каждому положению
точки X на прямой 5 соответствует отрезок ХА как
геометрическое место оснований У перпендикуляров, опущенных из точки Аи
Заметим, что каждое из таких изображений A\Y не только
возможно, но и является верным, т. е. представляет собой
действительную проекцию оригинала. В самом деле, как было
установлено в § 26 (стр. 127), любая плоскость АА\Х может быть
принята за нормальную к оси s (два параметра), а две любые в ней
разделенные пары (АА\, ХА\\ A\Y9 АХ) —за сопряженные пары
(два параметра).
Предположим теперь, что перпендикуляр на плоскость р
опущен не из точки Аи а из произвольной точки В плоскости а.
Тогда он изображается отрезком ВВ\, параллельным A\Y.
Перпендикуляр ВВ\ лежит, очевидно, в плоскости A\BY, имеющей
следы AXS и YS на плоскостях аир, вполне определяющие
точку В\. Проведя через перпендикуляр ВВХ нормальную
плоскость ВХ\Ви параллельную плоскости A\XY, мы заметим, что
каждому положению перпендикуляра A\Y (в плоскости ХА\А)
соответствует определенное положение перпендикуляра ВВХ [в
плоскости Х\ВВ* *]. Поэтому отрезок Х\В* является геометрическим
местом всех возможных положений точки Ву основания
перпендикуляра, опущенного из точки В на плоскость р. Так как, кроме
того, можно изменить положение точки X (а значит и точки Х\)
на оси s, то совокупность всех различных положений отрезков
Х\В* заполнит полосу, образованную прямыми s и b (прямая Ь
проходит через точку £* параллельно оси s), внутри которой
любая точка может служить точкой Вь При этом обе граничные
линии должны быть исключены (так как в этом случае два
направления перпендикуляров совпадают, но имеют различные
сопряженные направления).
1 Знаком В* обозначена постоянная точка пересечения прямых В В*
(\\A\A) и AS. Весь чертеж представляет собой преобразование гомотетии
с центром S, в которой точка А соответствует точке В*.
140

Обратно, выбрав основание перпендикуляра (точку Si) где
угодно внутри полосы (b,s), мы получим верное изображение,
так как по этой точке весь чертеж может быть реконструирован
(проводим B*J3i и находим Хь а затем и нормальную плоскость
BXiJ3*, удовлетворяющую условию разделенное™ сопряженных
направлений).
Приходим к следующему выводу: если перпендикуляр АА\
к плоскости а задан, то основание В\ второго
перпендикуляра ВВ\ к плоскости Р должно принадлежать внутренней
области полосы, ограниченной прямыми bus, причем прямая Ь
параллельна оси s и проходит через точку В* (J3*—Л5ХБВ*).
Итак, выбор второго перпендикуляра (вторая
пространственная сопряженная система) уже не является вполне
произвольным. Основание перпендикуляра должно лежать внутри полосы,
ограниченной параллельными bus (область существования).
Последняя зависит от положения плоскостей аир, первого
перпендикуляра и положения вершины В второго перпендикуляра К
Применим полученные выводы для построения на
изображении A BCD тетраэдра его высот, проведенных через вершины А
и В фигуры ABCD (черт. 127). Предположим, что выбрали
Черт. 127.
точку А\ основания высоты АА\ внутри противолежащей грани
(A BCD). Строя область существования точки В\—основания
высоты ВВ\ тетраэдра по правилу, сформулированному выше,
получим полосу, ограниченную прямой 5 и параллельной ей
прямой Ь, проходящей через точку J3*. При этом мы будем
SB SB* п SB ^ Л
иметь: -ёт- = -тт. С другой стороны, видим, что -^-т-> 1 и,
1 Нетрудно убедиться в том, что, рассматривая перпендикуляр ВВ\ как
первый, всегда будем иметь выполнение условия принадлежности основания
Ах (перпендикуляра АА{) к соответствующей ему области существования.
141

следовательно,-^->> 1 и SB*y>SA. Отсюда можем заключить,
что полоса, ограниченная параллелью Ь, проведенной через
вершину В*, будет включать в себя грань ACD тетраэдра.
Таким образом, приходим к выводу, что, выбирая основание
первой высоты произвольно, но внутри противолежащей грани
тетраэдра, можно всегда выбрать основание второй высоты так-
же произвольно внутри противолежащей грани.
Рассмотрим теперь, каким ограничительным условиям должен
удовлетворять третий перпендикуляр (третья пространственная
сопряженная система). Предположим, что три плоскости а, р и х
пространственных сопряженных си'стем пересекаются в точке 5
(черт. 128). Линии пересечения (ребра трехгранника 5сфу) °^°"
Черт. 128.
значим буквами аи Ь\ и с\. Рассмотрим далее три
перпендикуляра пространственных сопряженных систем, выходящих из
точки S, и обозначим их соответственно буквами а, Ь и с, причем
а'±а', fc'-LP', c'i-Y'.
Таким образом, мы получим два трехгранника Saibid 1 и Sabc.
Докажем, что эти трехгранники гомологичны. Для этого
достаточно доказать, что три плоскости (a,ai), (bybi) и (с,с\) проходят
через одну прямую. Эту прямую обозначим буквой 5 и будем
называть орто-осью трехгранника Sctf^-
Тот же трехгранник мы обозначили через SaPy,
142

Следовательно, надо убедиться в существовании орто-оси
трехгранника. Построим какое-либо сечение трехгранника 5аРт
плоскостью о^АВС. Пусть прямые АА\, ВВ\ и СС\ представляют
линии пересечения плоскости о соответственно с плоскостями
(а, ах)у (6, Ь\) и (с, с\). Обозначим через О точку пересечения
прямых АА\ и ВВ\ : О = АА\ X ВВХ и докажем, что третья
прямая СС\ также проходит через точку О.
Предположим, что сечение о проведено ортогонально к линии
пересечения 5 плоскостей (а, а,\) и (byb\)y которую мы назвали
орто-осью трехгранника 5аРу- Тогда имеем: S'O'i-cr';
пл. (a', a/JXa'; пл. (а', а/) -Let'; следовательно, пл. (а', а\)1.В'С'
и А'Ах'LB'C Аналогично получим: В'В\±.А'С. Отсюда
вытекает, что точка О' явилась бы в этом случае ортоцентром
треугольника А'В'О. Но это означает, что третья прямая С\С,
проходящая через О', также перпендикулярна к стороне А'В', и
поэтому плоскость S'C'C'\ перпендикулярна к плоскости S'A'B'
=у'. Но через ребро S'C'=c'\ трёхгранника проходит лишь одна
плоскость, перпендикулярная к грани S'A'B'=f'. Следовательно,
плоскость (с', с\) совпадает с плоскостью S'C'C'i, а это значит,
что она проходит через прямую S'O' = s'0
Итак, три проектирующие плоскости (a, ax)f (b9b\) и (с, с\)
проходят через орто-ось 5 трехгранника Safif* Этим
существование орто-оси трехгранника доказано.
Но отсюда видно также, что трехгранники Sabc и Sa\bxc\
гомологичны. Поэтому третий перпендикуляр с пространственной
сопряженной системы (у, с) не может быть проведен
произвольно. Он должен лежать в плоскости, определяемой орто-осью
и ребром а трехгранника SaPf.
§ 29. ИЗОБРАЖЕНИЕ ВЫСОТ ТЕТРАЭДРА
Предположим, что мы имеем изображение произвольного
тетраэдра ABCD. Требуется изобразить высоты этого тетраэдра
(черт. 129).
Основание А\ высоты АА\ может быть выбрано вполне
произвольно в плоскости BCD. Следовательно, первую высоту
изобразим произвольным отрезком ААХ. Основание В\ второй
высоты должно лежать внутри области существования (некоторой
полосы в плоскости ACD) (построение полосы см. на черт. 127).
Если, однако, мы выбрали основание А\ первой высоты внутри
грани BCD, то, -как было показано, основание Вх второй высоты
можем выбрать в произвольной точке грани ACD.
После того как высоты ААХ и ВВ\ изображены, могут быть
построены соответствующие орто-оси, т. е. орто-оси вершин Си/).
Именно, орто-ось СС0 строится следующим образом. Прямые АС
и AAi определяют проектирующую плоскость, которая на грани
ABD дает след (А4). Подобным же образом прямые ВС и ВВХ
определяют вторую проектирующую плоскость, которая на грани
143

ABD дает след (В5). Точка пересечения С0 прямых (Л4) и (В5)
вместе с вершиной С определяет искомую орто-ось СС0.
Совершенно так же строится орто-ось DD0.
Высота СС\ должна лежать в проектирующей плоскости,
проходящей через прямые CD и DD0. На грани ABD эта плоскость
дает след (D3). Поэтому точка С\ может быть выбрана на от-
резке (D3) в любой его точке.
Черт. 129.
После того как изображены три высоты АА\, ВВХ и ССи чет-
вертая высота DD\ может быть построена вполне строго.
Действительно, эта высота проходит через вершину D и пересекает
орто-оси, которые могут быть теперь все построены.
Воспользуемся, например, для построения высоты DD\ орто-осями ССо и
ААо (последняя определяется как линия пересечения
проектирующих плоскостей АВВ\ и АСС\). Теперь высота DD\
находится и строится как линия пересечения плоскостей DCC0 и
DAAq (точка D{ легко находится по следам этих плоскостей на
грани ЛВС). Проведенный здесь анализ показывает, что с
каждой новой высотой постепенно уменьшается степень произвола
144

в выборе следующей высоты. Последняя высота строится
строго {.
Все полученные выводы вполне согласуются с подсчетом
параметров. В самом деле, задание первой высоты
(пространственная сопряженная система) соответствует расходу двух
параметров, задание второй высоты — еще двух параметров. На выбор
третьей высоты остается лишь один параметр, поэтому основание
С\ ее может быть выбрано на определенном отрезке. После
задания третьей высоты изображение становится метрически
определенным, и четвертая высота строится строго.
1 Заметим кстати, что существование орто-осей тетраэдра дает
доказательство следующей теоремы Штейнера: Высоты тетраэдра принадлежат
одной серии образующих линейчатого гиперболоида. Действительно, каждая
высота тетраэдра пересекает его четыре орто-оси; последние принадлежат
второй серии образующих гиперболоида.

ГЛАВА V
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕПОЛНЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
§ 30. ПАРАМЕТРАЖ НЕПОЛНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Как было показано в главе III, параметрическое число р
полного изображения в параллельной проекции равно пяти.
Понятно, что чем больше параметрическое число изображения, тем
большей свободой выбора мы располагаем при выполнении
изображения пространственной фигуры. Следовательно, повышение
параметрического числа изображения (запаса свободных
параметров) имеет существенное значение в построении условных
изображений. Такую возможность доставляют нам неполные
изображения. Именно, легко убедиться в справедливости следующей
теоремы:
Теорема 1. Параметрическое число р неполного изображения
Ф выражается формулой: р_= р + &, где k — коэффициент не-
полноты изображения Ф, а р — параметрическое число полного
приведенного изображения.
В самом деле, надо задать k параметров, чтобы неполное
изображение стало полным приведенным, дополнительно надо
задать еще р параметров, чтобы изображение стало метрически
определенным. Для параллельной проекции р = 5; формула
примет вид: р = k -f- 5.
Следствие. Если неполное изображение сводится к системе
из п {п^>4) точек общего положения, то его параметрическое
число выражается формулой: р = /г+1, так как k = п — 4 и
р = 5.
Мы рассматривали параметраж неполного изображения в
целом (общий параметраж). В некоторых случаях бывает полезно
рассматривать неполное изображение, как состоящее из
нескольких полных и поставить вопрос о параметраже каждого из этих
изображений (частный параметраж), учитывая в то же время
их принадлежность к одному и тому же неполному изображению.
С этой целью предварительно выясним вопрос о метрической
определенности изображений, для которых известно направление
проектирования (относительно плоскости проекций). Ответ на
это дают следующие теоремы.
146

Теорема 2. Если направление проектирования для полного
изображения, содержащего не менее четырех точек общего
положения, известно, то его параметрическое число выражается
формулой р = 3.
Рассмотрим проекцию ABCD какого-нибудь тетраэдра на
полном изображении. Проведем через его вершины
проектирующие прямые по заданному направлению. Оригинальный тетраэдр
A'B'C'D' должен лежать на этих четырех прямых. Чтобы его
определить (до параллельного переноса), достаточно задать
три параметра, например три отношения отрезков:
AAf: ВВ': СС : DD'. Метрическое определение тетраэдра влечет,
как известно, метрическую определенность всего полного
изображения.
Теорема 3. Если одно из полных изображений, на которые
разбивается данное неполное изображение, является метрически
определенным, то параметрическое число каждого из остальных
полных изображений, содержащих не менее четырех точек общего
положения, равно трем; содержащих только три точки общего
положения, равно двум.
Предположим, что одно из полных изображений метрически
определено. Это означает, что направление проектирования для
всего данного изображения (как полного, так и всего неполного)
установлено. Тогда (по теореме 2) получаем параметрическое
число, равное трем для каждого из полных изображений,
содержащих не менее четырех точек общего положения.
Для изображения плоских фигур получаем параметрическое
число, равное двум. Это следует также из теоремы о том, что
проектирующую призму для какого-либо треугольника
изображения всегда можно пересечь по треугольнику любой заданной
формы (оригинал), т. е. метрическая определенность
изображения плоской фигуры при заданном направлении проектирования
зависит от двух параметров (формы треугольника).
§ 31. ПРИМЕНЕНИЕ НЕПОЛНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Как было показано в § 30, параметрическое число неполного
изображения определяется формулой р = р + £, где k —
коэффициент неполноты изображения. Поэтому применение неполных
изображений представляет преимущества, так как дает
возможность повысить параметрическое число изображения. Мы
рассмотрим здесь три задачи, широко применяемые в преподавании:
одна — преимущественно в стереометрии, другая — в
аналитической геометрии и третья — в начертательной геометрии.
1°. Изображение пространственных сопряженных пар
Предположим, что дано изображение двугранного угла, грани
которого обозначим буквами а и Р, а линию их пересечения —
ребро двугранного угла — буквой 5 (черт. 130). Выберем
147

произвольную точку О (не заданную относительно плоскостей
аир). Требуется изобразить перпендикуляры, проведенные через
точку О к плоскостям аир двугранного угла. Проведем
произвольные прямые ОА и ОВ, изображающие перпендикуляры,
опущенные из точки О пространства на плоскости аир. Таким
образом, получим неполное, условное изображение. Это
изображение состоит из полного изображения (двугранный угол а, Р) и
точки О. Следовательно, его
.Soo параметрическое число
выражается формулой:
р = k-\- 5 = 1 + 5 = 6.
Произведем параметраж
условий. Согласно условиям
задачи, имеем две
пространственные сопряженные пары:
(ОЛ, а) и (ОБ, р),
следовательно, задано четыре
параметра. Отсюда видно, что в
нашем распоряжении остается два
свободных параметра. С этой
точки зрения наше
изображение не только законно, но
остается еще неопределенным.
Посмотрим теперь, является ли
наше изображение законным с
точки зрения областей
существования параметров, которые
были заданы путем наложения
условий.
Предположим, что
.нормальная плоскость, проходящая через перпендикуляры ОА и OJ3,
пересекает ребро 5 двугранного угла в точке X. В этой плоскости
мы должны иметь две сопряженные пары:
(ОЛ АХ) ^-(05, ВХ). (1)
Если условие разделенности пар выполняется, то будем иметь
верное изображение, которое можно рассматривать как полное
с одним свободным параметром [так как четыре параметра уже
заданы условием, что мы имеем пространственную сопряженную
систему (s, пл. ОАВ) с метрически определенной плоскостью].
В этом случае можно сказать, что точка X принадлежит области
ее существования. Если же условие разделенности пар не
выполняется, то это показывает, что точка X не принадлежит
области ее существования. Чтобы определить эту область, построим
линии ВР\\ОА и i4Q||OJ3, а также обозначим через Т точку
пересечения прямой АВ с осью s. Возвращаясь к условию
разделенности пар (1), заметим, что из четырех прямых, фигурирующих
Черт. 130.
148

в этом условии, две являются постоянными, или неподвижными,
для нашего изображения (прямые ОА и ОВ)у в то время как две
другие могут менять свое направление в зависимости от
положения точки X (прямые АХ и ВХ).
Так как речь идет об условии разделенности двух пар
прямых, то их можно центрировать, как это и сделано на
чертеже 131. На этом чертеже прямые одной сопряженной пары
Черт. 131.
изображены сплошными, а другой сопряженной пары —
пунктирными линиями. Предположим, что точка X движется по прямой s.
Тогда прямые АХ и ВХ будут вращаться вокруг центра С.
Отношение разделенности может измениться лишь в том случае,
"если какая-либо подвижная прямая совпадает с неподвижной
прямой или со второй подвижной. Будем говорить, что в первом
случае мы имеем совпадение 1-го рода, а во втором случае —
2-го рода.
При совпадении 1-го рода подвижная прямая, например АХ,
может совпадать либо 1) со своей сопряженной неподвижной
прямой ОА, либо 2) с неподвижной прямой другой пары ОВ.
В первом случае совпадение их не изменит отношения
разделенности, так как и до и после такого совпадения пары не
разделены. Во втором случае отношение разделенности, очевидно,
изменится на противоположное. Если применить эти выводы к
чертежу 130, то отношение разделенности не будет меняться при
Х^М и при X=N\ оно изменится на противоположное при
Х=Р и при X=Q.
Если имеем совпадение 2-го рода, то при этом совпадают две
подвижные прямые из разных пар. Поэтому отношение
разделенности изменяется на противоположное. На чертеже 130 видно,
что совпадения 2-го рода будут иметь место в точках Х= Т и
XeeeSoo и только в этих точках.
Теперь уже ясно, что отношение разделенности сохраняется
в интервалах PQ; QSoo; S ооТ и ТР. Те из этих промежутков,
в которых рассматриваемое отношение разделенности совпадает
с условием (1), образуют, очевидно, область существования
149

точки X. Этот вопрос легко решается, так как вблизи точек М
и N, как мы видели выше, пары не разделены. Следовательно,
сегмент Soo МТ должен быть выброшен из прямой 5. Так как
в точке Т отношение разделенности изменяется, то интервал ТР
входит в состав области существования. Затем сегмент PQ
выбрасывается, а интервал QSoo сохраняется. Таким образом,
получим несвязную область существования точки X, состоящую из
двух интервалов: ТР и QSoo. Точки Т, Р, Q и Soo, как легко
видеть, не принадлежат области существования. Вместе с тем мы
доказали, что изображение, сделанное вполне произвольно,
является верным и содержит два свободных параметра. Если
задать точку X (в области существования), т. е. изобразить
нормальную плоскость, то останется лишь один свободный параметр.
2°. Изображение проектирования на ось
На изображении имеем пространственную ломаную ABCDEFG
и прямую 5. Спроектировать ортогонально данную ломаную на
ось s.
Предположим, что ось проекций 5 и пространственная
ломаная ABCDEFG уже изображены. Это изображение, конечно,
неполное и может быть сведено к системе т-\- 2 точек общего
положения (т — число вершин ломаной; две точки заменяют ось
проекций s). Отсюда заключаем, что параметрическое число
изображения: р = /г+У = т + 2 + У = т + с5. Изобразим теперь
перпендикуляры, опущенные из вершин ломаной на ось s,
произвольными отрезками: АА\9 ВВЬ СС\, ..., GG\ (черт. 132). Эта
операция занимает т параметров (условие перпендикулярности
двух прямых — один параметр). Таким образом, наше
изображение после проектирования ломаной на ось 5 все еще остается
метрически неопределенным с тремя свободными параметрами. В
то же время оно является теперь полным и, следовательно,
аффинно-определенным. В самом деле, перенесем параллельно
перпендикуляр В\В в положение АХВ*. Тогда плоскость АА\В*У
-содержащая два перпендикуляра к оси s, является нормальной
J 50

к оси s. Примем точки Af Аи B*f S за вершины основного
тетраэдра. Легко видеть, что все остальные вершины ломаной
окажутся определенными относительно упомянутого тетраэдра.
Так например, вершина С есть точка определенной прямой C*Soo,
точки С*, Soo которой принадлежат основному тетраэдру. Отсюда
ясно, что теперь (после проектирования ломаной на ось s) наше
изображение стало полным. Так как оно содержит
пространственную сопряженную систему (прямая s, плоскость ААХВ ), то
имеем лишь 5—2 = 3 свободных параметра. Этот результат
совпадает с найденным выше.
3°. Изображение операции проектирования фигуры
на плоскость
а) Коэффициент неполноты и параметрическое число
изображения. Предположим, что изображены фигура F' и плоскость
проекций а'. Их изображения обозначим буквами t и о
Черт. 133.
(черт. 133). Проведем на изображении прямую /, которую
примем за направление параллельного проектирования. Рассмотрим
теперь изображение Ф, состоящее из фигуры F, плоскости а и
проектирующих линий, параллельных прямой / (Ф = г + с + /).
Определим коэффициент неполноты изображения Ф. Он
складывается из коэффициента неполноты k изображения F, одного па-
раметра проектирующих линий / и трех параметров плоскости
проекций о. Следовательно, имеем:
I5t

Параметрическое число р изображения Ф находим по
формуле: /? = /? + йф. Для параллельной проекции эта формула
примет вид:
Следует выделить случай, когда фигура F плоская. В этом
случае фигура F вместе с проектирующими линиями составляет
полное изображение. Поэтому коэффициент неполноты k<* = 3,
а параметрическое число р = къ +5 = 8. Так, например,
проектируя грань (12 3 4) пирамиды F на плоскость а по
направлению /, можем задать произвольно точки U, 23 и За на
проектирующих прямых (три параметра), после чего положение
последней вершины грани 43 будет строго определенным (на
основании аффинного соответствия треугольников (12 3) и (/ДД).
Таким образом, изображая операцию проектирования плоской
фигуры на плоскость а, можно провести проектирующие линии
по произвольному направлению / и задать произвольно проекции
трех точек фигуры, после чего изображение становится полным и
проекции всех остальных точек фигуры строятся на чертеже.
Рассмотрим теперь изображение операции проектирования
всей пирамиды F^= (1 2 3 4 5) на плоскость а по направлению
прямой /. Будем иметь
kp—Q\ &<j> = &F -)-4=: 4.
Поэтому на чертеже 133 точки 1а,29,За,4а и 5 а можно выбрать
на проектирующих прямых произвольно (четыре параметра),
после чего все изображение Ф станет полным. Пятая
вершина 4,, как мы уже видели, строится по остальным.
б) П р и м е р. На чертеже 134 изображена операция
параллельного проектирования гексаэдра A'B'C'D'E' на плоскость
проекций а. В этом случае будем иметь kp=\ (так как точечный
базис гексаэдра F состоит из пяти точек). Следовательно,
Аф=А^+4 = 5. На этом основании все пять вершин
изображения гексаэдра на плоскости проекций а могут быть выбраны
произвольно на проектирующих прямых (направление / которых
также можно выбрать произвольно). Получим проекцию
гексаэдра A JSJ2sDQE^=zFs* Теперь имеем полное изображение Ф,
неполной частью которого является изображение гексаэдра
F = ABCDE.
Если бы на изображении F = ABCDE гексаэдра до его
проектирования провели сечение плоскостью (/ 2 3), то остальные
следы этого сечения на гранях гексаэдра нельзя было бы
построить, так как изображение F является (абсолютно) неполным
(kF =1). Однако после проектирования изображение Ф стало
(абсолютно) полным, a F — относительно полным. Поэтому все
следы сечения могут быть построены. В самом деле,
проектирующие линии можно рассматривать как ребра призмы, что
позволяет находить на любой проектирующей точку пересечения с дан-
152

ной плоскостью (12 3). Так, например, точку L пересечения на
ребре ССа найдем следующим образом. Проекция сечения
(1 2 3 L) известна. Это четырехугольник (1а2аЗсСа). Диагонали
последнего пересекаются в точке Ка> которая является проекцией
точки К пересечения диагоналей четырехугольника (12 3L).
Через точку К проводим диагональ 1К, которая и пересечет ребро
СС 0 в искомой точке L. Совершенно аналогично находим точку
пересечения N на проектирующей ААа, используя для этого
точки М0 и М. Так как прямая LN лежит в плоскости сечения
(12 3) и, очевидно, пересекает ребро АС в точке 4, то эта точка
« является искомой вершиной сечения.
Черт. 134.
Метод, примененный в этом примере, позволяет легко
выполнять построения сечений многогранников. Его можно было бы
назвать методом внутреннего проектирования К
в) Изображение операции аксонометрического
проектирования. Предположим, что изображается операция проектирования
координатных осей O'X'YZ' на плоскость проекций а' (черт. 135).
В данном случае на изображении проектируемой фигурой F'
является система координатных осей O'X'YZ' с отмеченными на
осях точками А', В' и С\
Будем иметь: fep= О, &ф = 4, р = йф + 5 = 9. Отсюда
следует, что на изображении можно задать девять параметров.
1 Подробно этот метод изложен в книге: Н. Ф. Четверухин,
Стереометрические задачи на проекционном чертеже, М., 1955,
153

Поэтому, проведя проектирующие прямые по произвольному
направлению /, можно задать на них произвольно точки: 0J} Аа,
В^ С5, являющиеся аксонометрическими проекциями точек О',
А\ В\ С (четыре параметра).
Далее можем поставить требование взаимной
перпендикулярности осей трехгранника О'А'В'С в пространстве (три
параметра) и, наконец, равенства отрезков по осям О'А' = О'В' =
= О'С (два параметра). Теперь все девять параметров
израсходованы, и изображение стало метрически определенным.
Черт. 135.
Таким образом, изображая операцию проектирования
«масштабного тетраэдра» О А'В'С на плоскость проекций а, можно
сделать это изображение совершенно произвольным образом,
требуя лишь, чтобы прямые, соединяющие соответственные точки,
т. е. проектирующие линии, были параллельны. Полученное
таким образом изображение, удовлетворяя всем наложенным на
него условиям, остается верным К
Можно наложить на то же самое изображение другие
условия, т. е. иным способом израсходовать содержащийся в нем
запас параметров (р = 9). Предположим, что изображена
операция ортогонального проектирования системы координатных осей
O'X'YZ' на плоскость а. На последней получаем изображение
аксонометрической системы O^X^Y^Z^.. Подсчитаем условия,
наложенные на все изображение в целом. Выбор точек 05, А9, В^
Са соответствует расходу четырех параметров; требование
ортогональности направления проектирования / к плоскости проек-
1 Как полное изображение, тетраэдр ОАВС которого является метрически
определенным.
154

ций — двух параметров, требование взаимной
перпендикулярности координатных осей O'X'YZ' в пространстве — трех
параметров. Таким образом, весь запас параметров израсходован, и
изображение стало метрически определенным. Его верность должна
быть дополнительно проанализирована. Так как наше
изображение после произведенных построений стало полным, то мы можем
его рассматривать, как аналогичное представляемому чертежом
121 (на котором мы имеем выполнение тех же условий). Этот
чертеж, как мы видели
(см. § 27) является верным
при условии, что точка 03 —
основание перпендикуляра
000 — лежит внутри
треугольника следов,
образованного плоскостью а с
трехгранником O'X'YZ'.
Применяя это требование к
чертежу 135, замечаем, что оно
не выполняется, так как
точка Оз не лежит в области
существования— внутри
треугольника следов. По этой
причине (хотя число
израсходованных параметров не
превышает их запаса)
изображение, представленное
на чертеже 135, является
неверным в случае, когда
наложено условие ортогональности аксонометрического
проектирования / (мы уже раньше видели, что то же изображение
является верным при других наложенных на него условиях,
так же исчерпывающих запас параметров изображения).
Верное изображение дано на чертеже 136. На этом
изображении точка 0Q лежит в области существования (внутри
треугольника следов). Так как изображение метрически определенно, то
на него не могут быть наложены новые условия. Например^
нельзя предполагать равенства отрезков О А' = О'В' = ОС
(ввиду отсутствия свободных параметров). Форма тетраэдра
О'А'В'С уже определяется по изображению, и упомянутый
тетраэдр не является в общем случае масштабным.
Черт. 136.

ГЛАВА VI
УСЛОВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ОРТОГОНАЛЬНОЙ
ПРОЕКЦИИ
§ 32. ВИДИМЫЙ КОНТУР И ОЧЕРТАНИЕ ТЕЛА
В ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
Предположим, что тело F' проектируется по направлению /
•на плоскость а. Проекцию тела обозначим буквой F. Представим
себе совокупность всех касательных к поверхности тела,
параллельных направлению проектирования /. Это геометрическое
место касательных представляет собой цилиндр, описанный около
Черт. 137.
тела Р, с образующими, параллельными направлению /. Будем
называть этот цилиндр контурным. Линию прикосновения
контурного цилиндра к поверхности тела F' будем называть
видимым, контуром тела F'. Обозначим видимый контур буквой k\
Проекцию его на плоскость изображений о обозначим буквой k.
Линию k назовем очертанием тела F. Из чертежа 137 видно, что
очертание является линией пересечения контурного цилиндра с
156

плоскостью изображений а. Видимый контур k' делит
поверхность F' на две части. Та часть поверхности, которая находится
между видимым контуром и плоскостью изображений а,
считается невидимой, вся остальная часть с видимым контуром
включительно считается видимой. Это находит свое объяснение
в следующих соображениях. Луч А'В' проектирует точки А' и В'
поверхности F' в одну точку А = В. Так как по направлению
проектирующего луча первой оказывается точка А', а второй —
точка В\ то и считают, что точка А' закрывает точку В\ Поэтому
па изображении точка А является видимой, а точка В —
невидимой. То же можно сказать и о других точках видимой и
невидимой частей поверхности тела F'.
Рассмотрим на поверхности F' какую-либо кривую g\
пересекающую видимый контур в точке М'. Касательную к кривой g'
в точке М обозначим через р. Касательную к видимому контуру
в точке М' обозначим буквой t'. Проведем, наконец,
проектирующий луч через точку М'\ он, конечно, также является
касательным к поверхности F', так как принадлежит к контурному
цилиндру. Итак, в точке М имеем три касательных к поверхности
F'\ прямые р\ f и ММ. Все они должны лежать в касательной
плоскости т к поверхности в точке М'. Плоскость т, как
проходящая через проектирующий луч М'М сама является
проектирующей плоскостью. В таком случае она изображается на плоскости
<т своим следом, с которым должны совпадать изображения всех
прямых, лежащих в проектирующей плоскости т. Это значит, что
изображения (проекции) касательных р' (к линии g') и ? (к
видимому контуру k') должны совпадать: p^t, что в свою
очередь означает, что изображение g линии g' и очертание k
капаются в точке М% так как они имеют в этой точке общую
касательную.
Получаем следующее предложение: Если линия g' на
поверхности тела пересекает видимый контур тела в некоторой точке
М\ то ее изображение g касается очертания этого тела на
плоскости изображений в точке М, изображающей точку М\ При
этом точка М является точкой раздела видимой части линии g'
(на ее изображении — g) от ее невидимой части.
Так как проекции всех точек тела лежат внутри его очертания
(это видно из того, что проектирующие лучи всех точек тела
находятся внутри контурного цилиндра), то очертание является
границей области точек, представляющих собой изображения
точек данного тела.* В этом смысле очертание может считаться
.изображением тела на плоскости изображений.
§ 33. ВИДИМЫЙ КОНТУР И ОЧЕРТАНИЕ ШАРА
Предположим, что телом, которое хотят изобразить на
плоскости а, является шар. Так как всякий цилиндр, описанный
около шара, всегда является цилиндром вращения, то контурный
157

цилиндр в данном случае также оказывается цилиндром
вращения. Линия прикосновения его к шару, т. е. видимый контур
шара, есть окружность. Обозначим эту окружность через k'
(черт. 138). Очертание k шара на плоскости а является, как мы
видели (§ 32), линией пересечения контурного цилиндра с
плоскостью а. Если имеем косоугольную параллельную проекцию, то
Черт. 138.
плоскость о пересекает контурный цилиндр по эллипсу.
Следовательно, в случае косоугольной проекции очертанием шара
служит эллипс.
В случае ортогональной проекции плоскость изображения о
перпендикулярна к образующим контурного цилиндра (черт. 139)
и дает его нормальное сечение, представляющее собой
окружность, конгруентную окружности видимого контура. Таким
образом, в ортогональной проекции (и только в ортогональной
проекции) очертание шара есть окружность.
Сделаем некоторые выводы. Мы видели, что в любой
параллельной проекции видимый контур k! шара всегда является
окружностью (большого круга шара). Что же касается
очертания шара k, т. е. его изображения на плоскости а, то лишь в
случае ортогональной проекции оно является окружностью,
идентичной окружности видимого контура; в общем же случае
косоугольной проекции очертание оказывается эллипсом. Можно ли
изображать шар в виде эллипса? Конечно, нет. Хотя такое
изображение и было бы верным, но оно создавало бы совершенно
иное представление о фигуре, чем то, которое получается при
рассматривании шара человеческим глазом. Причина этого
заключается в том, что контурный конус, который в центральной
158

проекции заменяет контурный цилиндр, является конусом
вращения, а поверхность сетчатки глаза, играющая роль плоскости
изображений а, расположена нормально к ею оси и дает в
сечении контурного конуса окружность. Следовательно,
изображение на сетчатке глаза (очертание шара) оказывается
кругом К
Естественно, что и в педагогической работе и в учебных
пособиях шар почти всегда изображают в виде круга. Поэтому в
Черт. 139.
наших чертежах, которые мы условились выполнять в
параллельной проекции, нам придется во всех случаях, когда требуется
изобразить ша<р, пользоваться ортогональной проекцией. Если
на чертеже изобразим шар в виде круга, то это, конечно,
означает, что все изображение должно выполняться в ортогональной
проекции, так как нельзя допускать, чтобы одна часть оригинала
изображалась в одной проекции, а другая часть того же
оригинала — в другой. Такое изображение нельзя было бы назвать
верным. К сожалению, однако, такого рода чертежи нередко
можно видеть на страницах очень хороших и распространенных
учебников.
Приведенные здесь причины обязывают нас исследовать
условные изображения, выполненные в ортогональной проекции.
При этом особенное внимание должно быть обращено на
изображения, так или иначе связанные с шаром и расположенными
на нем линиями.
1 В книге М. Л. Франка «Геометрический чертеж в курсе стерео*
метрии» (Л. 1941, стр. 38) дано другое объяснение этого факта, которое,
однако, представляется мало вероятным.
159

§ 34. О МЕТРИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПОЛНЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ В ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
В случае ортогональной проекции можно воспользоваться
теми выводами, которые были получены для изображений с
заданным направлением проектирования (§ 22, стр. 98). В
частности имеем:
Параметрическое число полных изображений в
ортогональной проекции равно трем (р = 3).
Базируясь на этом основном положении для изучения
условных изображений в ортогональной проекции, мы докажем ряд
теорем, устанавливающих метрическую определенность таких
изображений.
Теорема 1. Если известно, что какой-либо трехгранник
полного изображения в ортогональной проекции является в
оригинале прямоугольным (три параметра), то все изображение
метрически определенно.
Доказательство сводится к построению треугольника следов
упомянутого трехгранника на плоскости проекций а. Это
построение основывается на использовании некоторых свойств
треугольника следов, о которых выше уже была речь (стр. 135).
Предположим, что прямоугольный трехгранник О'ABC пересекает
плоскость а по треугольнику следов ABC (черт. 140). Как мы уже
Черт. НО.
видели (см. § 27, стр. 135), этот треугольник всегда
остроугольный. Проекции ребер трехгранника являются высотами
треугольника следов, а проекция вершины О' трехгранника —
ортоцентром О треугольника следов1:
AA,±_BCt BB,±CAt CCl±AB.
Наконец, отметим, что проекции ребер трехгранника, прямые
ААи ВВи СС\, удовлетворяют условию разделенности. Это
условие заключается в том, что внутри каждого тупого угла,
образованного двумя из трех прямых, непременно проходит третья пря-
1 В самом деле: А\0' J_ ВС, следовательно, АО J_ ВС.
160

мая. Так, например, внутри тупого угла, образованного в
оригинале прямыми ВВ) и ССЬ проходит прямая АА\. (Разделенный
угол ВОС должен быть тупым, так как он является внешним по
отношению к прямому углу ВС\0.)
Условие разделенное™ как необходимое должно быть
выполнено на изображении прямоугольного трехгранника в
ортогональной проекции. Как будет видно из дальнейшего, это условие
в то же время является достаточным.
Предположим, что имеем изображение OXYZ прямоугольного
трехгранника в ортогональной проекции, причем условие
разделенное™ выполнено (черт.
141). Тогда стороны
треугольника следов ABC
должны быть
соответственно
перпендикулярными к изображениям
ребер трехгранника: ОХ,
OY и OZ. Поэтому,
выбрав произвольную точку
А на прямой ОХ,
проводим через нее прямые
AB10Z и AC10Y. Если
теперь соединим точки В
и С, то получим
треугольник ABC, для которого
точка О явится
ортоцентром, и, значит, получим:
ВС10Х.
Таким образом, треугольник следов ABC построен. В силу
условий разд елейности этот треугольник окажется
остроугольным.
Заметим, что треугольник следов ABC определен лишь до
подобия, так как точка А на прямой ОХ выбрана произвольно. Это
обстоятельство, однако, не имеет никакого значения для
изучения изображения. Теперь оригинальный тетраэдр О А'В'С вполне
определяется по его изображению ОАВС. Так, основание А'В'С
тетраэдра имеем в натуральную величину на плоскости
изображений: /\А'В'С' = /\АВС.
Все остальные грани тетраэдра также легко находятся. Так,
например, грань -О'АС находим, совмещая ее плоскость с
плоскостью изображения, для чего достаточно повернуть ее вокруг
следа АС. Совмещенное положение вершины О' (обозначено на
чертеже буквой 02) легко определяется как точка пересечения
окружности, диаметром которой служит прямая АС, и прямой
OY^OB. Таким образом, метрическая определенность
изображения доказана.
Рассмотрим в качестве примера ортогональное изображение
куба. Согласно предыдущему, на изображении можно задать
Черт. 141.
161

произвольно лишь направление трех ребер куба. После этого
длины ребер на изображении могут быть построены. Пусть ОЛ,
ОВ и ОС направления ребер куба (черт. 142) на изображении.
Построим треугольник следов ABC, по которому плоскость
изображения а пересекает трехгранный угол куба. Чтобы найти
изображения ребер куба, совместим грань АОВ с плоскостью
изображений а, вращая эту грань вокруг следа АВ. При этом, очевидно,
точка О окажется совмещенной с точкой О] и отрезки АО, ВО
представятся совмещениями АО\ и ВО\. Так как совмещение дает
совмещаемые отрезки в натуральную величину, то можно
построить равные отрезки (ребра), как это и должно иметь место
для куба. Примем отрезок 0\А за натуральную длину ребра
куба. Отложим 0\DX = 0\А. Затем от совмещений перейдем
обратно к изображению. Получим отрезки ОА и OD,
изображающие два ребра куба.
Аналогичным образом поступим, совмещая грань АОС с
плоскостью изображений вращением вокруг следа АС. Откладывая
на совмещении этой грани отрезки 02А = 02Е2 = 0\А и
возвращаясь к проекции, мы получим изображение ребер куба
отрезками О А и ОЕ. Следовательно, отрезки ОА, OD и ОЕ
изображают три ребра куба, выходящие из вершины О. После этого
уже не представляет затруднений достроить изображение куба.
Теорема 2. Если одна из плоскостей полного изображения
в ортогональной проекции метрически определенна (два
параметра) и дан двугранный угол, который она составляет с другой
162

плоскостью этого изображения (один параметр), то все
изображение является метрически определенным.
Предположим, что на изображении метрически определенна
плоскость PQR (черт. 143). Это значит, что форма
оригинального треугольника P'Q'R' известна и, следовательно, положение
этого треугольника относительно проектирующей призмы
определяется (см. § 8, стр. 40) до параллельного переноса по
направлению проектирования. Так как, кроме того, известен двугранный
Черт. 143.
угол, образованный гранью P'Q'R' с другой гранью, например с
гранью P'Q'S', то положение вершины S' относительно грани
P'Q'R' определяется. Таким образом, тетраэдр P'Q'R'S'
определен метрически, и теорема доказана.
Теорема 3. Если на данном изображении одна из граней
какого-либо тетраэдра метрически определенна (два параметра)
и дано отношение двух ребер другой грани (один параметр), то
все изображение является метрически определенным.
Предположим, что, кроме метрической определенности грани
P'Q'R', задано отношение ребер ртрг второй грани (черт. 143)
Согласно предыдущему, положение грани P'Q'R' относительно
проектирующей призмы определяется до параллельного
переноса. Следовательно, положение и длина ребра P'Q' также из*
P'S'
вестны. Так как, кроете того, дано отношение р,0, , то длина
ребра P'S' также известна. Остается определить положение
вершины S' относительно грани P'Q'R'.
Вершина S' находится как точка пересечения проектирующей
прямой SS' со сферой, описанной из точки Р' радиусом P'S'.
Ясно, что можем иметь два, одно и ни одного решения, в зави-
163

P'S'
симости от величины отношения r,q, . Мы будем иметь
действительное решение, если ребро P'S' не слишком мало, — так что
упомянутая сфера пересекает проектирующую SS'. Из чертежа
ясно, что расстояние от точки Р' до проектирующей SS' равно
длине отрезка PS. Следовательно, P'S' должно удовлетворять
требованию P'S'^- PS. Это условие определяет область
значений P'S\ при которых существует оригинальный тетраэдр.
Предположим теперь, что в той же задаче дано отношение
P'S'
ребер туе?- второй грани. Тогда для определения положения
вершины S' на проектирующей SS/ будем иметь геометрическое
место точек, отношение расстояний которых до точек Р' и Q' равно
P'S'
данному отношению -7у$г . Это геометрическое место
представляет собой, как известно, сферу Аполлония, диаметром которой
является отрезок прямой, концами которого служат точки,
делящие отрезок P'Q' внутренним и внешним образом в отношении
P'S'
~q,<,, . Ясно, что и в этом случае заданное отношение ребер
второй грани должно удовлетворять некоторому условию (типа
неравенства), чтобы существовал оригинальный тетраэдр.
Из дальнейшего будет видно, что для изображений в
ортогональной проекции особенное значение 'имеют следы плоскостей и
прямых на плоскости изображений. Поэтому выгодно задавать
следы геометрических фигур на плоскости изображений.
Теорема 4. Если дано изображение двугранника проекцией
его ребра и следами граней на плоскости изображений, то след,
равноделящей плоскости двугранника, может быть выбран
произвольно внутри некоторой области существования.
Предположим, что на плоскости изображений а дано
изображение двугранника (двугранного угла) следами SA, SB и
проекцией ребра двугранника SD^s (черт. 144). Изображение
является, конечно, полным, причем сама плоскость изображения а
задана следами SA и SB на гранях двугранника, которые можно
считать основными плоскостями. Равноделящая плоскость задана
ребром 5 = SD двугранника и следом SP на плоскости а.
Предположим, что мы хотим построить нормальное сечение данного
двугранного угла К След такого сечения должен быть
перпендикулярен к проекции ребра двугранника (см. сноску на стр. 160
этого параграфа). Пусть это прямая АВ. Зная след АВ
нормального сечения, постараемся найти ело изображение или, точнее,
изображение линейного угла, производимого сечением. Будем
рассуждать следующим образом. Если совместим нормальное
сечение с'плоскостью изображений, вращая его вокруг следа АВ,
1 Т. е. сечение, перпендикулярное ребру двугранного угла.
164

то вершина С линейного угла должна упасть на линию s = SD.
С другой стороны, нормальное сечение пересечет равноделяшую
плоскость по биссектрисе С'Р линейного угла. Отсюда получаем
АС АР
~В(У^~ВР ' Обозначим через С0 совмещение вершины С
линейного угла. Мы можем построить С0 как точку пересечения прямой
5 = SD с окружностью Аполлония, построенной на отрезке PQ,
как на диаметре (точка Q делит отрезок АВ внешним образом
AQ АР и -
в отношении ~яо~ = "ярг# ДРУГИМИ словами, точка Q — четвертая
гармоническая к точкам Л, В, Р). По совмещению линейного
угла ACQBf дающему его истинную величину, легко построить
Черт. 144.
проекцию С его вершины С. Для этого воспользуемся
совмещением треугольника AC'S с плоскостью изображений а, вращая
его вокруг стороны AS. Так как угол AC'S прямой, то
совмещение С\ вершины С' должно лежать на окружности, построенной
на отрезке AS, как на диаметре. С другой стороны, АС\ — АС0=
= АС. Это позволяет построить точку Ci, а затем, проводя
CiC±.SA, построить точку С. Следовательно, нормальное
сечение изобразится линиями АС и ВС. Вместе с тем ясно, что все
изображение метрически определенно. Так, например, истинная
величина всех ребер тетраэдра ABCS известна.
Заметим, что условия теоремы 4 эквивалентны заданию трех
параметров. В самом деле, мы имеем в составе данного
изображения плоскость изображений а, которая, конечно, метрически
определенна, так как она не искажена. Это дает два параметра,
а равноделящая плоскость — один параметр. Всего,
следовательно, три параметра.
Рассмотрим вопрос о существовании оригинала в зависимости
от задания следа SP равноделящей плоскости двугранника.
165

Можно ли задать след равноделящей плоскости двугранного угла
произвольно? Для существования оригинала необходимо и
достаточно выполнения двух следующих условий, которые вытекают
из произведенного выше построения. Первое условие: окружность
Аполлония, построенная на диаметре PQ, должна пересекать
прямую 5 ee=SD. Второе условие: окружность (Л, ЛС0) должна
пересекать окружность, построенную на диаметре AS. Первое
условие, очевидно, выполняется, если след SP равноделящей
плоскости проходит внутри угла DSM, где М — середина отрезка АВ.
Второе условие сводится к требованию: ЛС0<^45, т. е.
граничным является тот случай, когда аполлониева окружность
проходит через точку S. Это произойдет тогда, когда след SP примет
положение SR биссектрисы угла ASB. Таким образом, приходим
к следующему выводу:
След SP равноделящей плоскости двугранника должен
проходить внутри угла, образованного ребром (s) двугранника и
биссектрисой (SR) угла между следами двугранника К
Как видно из построения, это условие является необходимым
и достаточным для существования оригинала и для его
метрической определенности.
Посмотрим, останется ли это условие действительным для
данного изображения и в том случае, если проекция ребра
двугранного угла лежит вне угла, образованного следами его граней
(см. тот же чертеж).
Имеем смежный двугранный угол. Следы его изобразятся на
плоскости проекций а линиями SA и SB *. Проекция ребра 5
лежит теперь вне угла следов. Этот случай легко исследуется
потому, что равноделящая плоскость смежного двугранного угла'"
перпендикулярна к равноделящей плоскости первого угла и
обе равноделящие плоскости вместе с плоскостями граней
образуют гармоническую четверку. Следы этих четырех
плоскостей также образуют гармоническую четверку. Поэтому, если
SP — след равноделящей плоскости первого двугранного угла,
то SQ — след равноделящей плоскости смежного угла, причем
(А, В, Р, Q) =—1. Отсюда легко определяется угол, внутри
которого должен проходить след SQ. Этот угол имеет, очевидно,
своими сторонами прямые, гармонические к прямым SD^=s и
SR относительно следов SA и SB. Такими прямыми являются
SD*, причем (Л, В, D, £>*) =—1, и SR* — биссектриса угла
ASB*. Таким образом, след SQ равноделящей плоскости
смежного двугранного угла должен проходить внутри угла D*S/?*.
Можно, однако, и в этом случае свести положение к
предыдущему и воспользоваться предложением, формулированным для
следа SP. Для этого достаточно помнить, что верное задание
следа SP влечет за собой и верное изображение равноделящей
1 Как легко убедиться, граничные случаи, а именно: SP— SD и SP— SRy
должны быть исключены.
166

плоскости смежного двугранного угла, так как (SP, SQ, SAr
SB) = -1.
Теорема д. Если дано изображение тетраэдра в
ортогональной проекции, то всякое плоское сечение, проведенное через его
ребро, может быть принято за равноделящую плоскость
двугранного угла тетраэдра.
Пусть, например, имеем изображение тетраэдра ABCD
(черт. 145). Предположим, что через ребро BD проходит
произвольное сечение DBE; условимся
считать его равноделящим
двугранный угол ребра BD.
Покажем, что будем иметь верное
изображение.
Построим точку F—четвертую /г^
гармоническую к точке Е относи- °^~z
тельно пары А, С. Выполним
следующее построение в про- в
странстве. Три точки В', D', Е' Черт. 145.
выберем на проектирующих
прямых произвольно, они определяют плоскость B'D'E'. Через ребра
B'D' проведем плоскость B'D'F'', перпендикулярную к плоскости
B'D'E'. Она определит точку F' на соответствующей
проектирующей. Строим прямую F'E'y которая определит на
соответствующих проектирующих точки А' и С. Таким образом, получим
тетраэдр А'В'CD' в пространстве, проектирующийся фигурой ABCD.
Так как (F, £, Л, С) =—1, то четверка плоскостей B'D'F',
B'D'E', B'D'А' и B'D'С — гармоническая. Но плоскость B'D'F'L
J_ B'D'E', а следовательно, плоскости B'D'А' и B'D'C одинаково
наклонены к ним. Таким образом, в построенном тетраэдре
A'B'C'D' плоскости B'D'E' и B'D'F' являются равноделящими
для двугранного угла B'D' тетраэдра (ч. т. д.).
Добавим к этому, что условие, которому должна
удовлетворять плоскость B'D Е' как равноделящая плоскость угла B'D\
требует одного параметра, поэтому два параметра остаются
свободными.
§ 35. ИЗОБРАЖЕНИЕ ШАРА И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ЗАДАЧИ
Применяя для изображения шара ортогональную проекцию,
всегда будем иметь его очертание в виде окружности (см. § 33) ►
При этом диаметр окружности очертания шара равен его
действительному диаметру.
Теорема. Изображение поверхности шара (сферы) в виде
ее очертания является полным и метрически определенным.
Если имеем очертание шара, то истинный диаметр шара дан
и положение шара в пространстве определено до параллельного
переноса по направлению проектирования. Так как этот перенос
не влияет на относительное положение точек на сфере и на их
изображение на плоскости проекций, то можно принять для оп-
167

ределенности, что плоскость проекции а проходит через центр
шара О'.
Такое положение плоскости проекций представляется удоб-
кым, как это будет видно из дальнейшего, поэтому мы на нем и
остановимся, но оно может быть и иным, по желанию. Покажем
теперь, что при этом условии (т. е. когда положение плоскости
о фиксировано) высота любой точки сферы легко находится. Так,
например, высота точки А', лежащей на поверхности шара над
плоскостью а, может быть определена следующим образом. Пусть
на изображении задана произвольная точка сферы А (черт. 146).
Представим себе
проектирующую плоскость, проходящую
через точку А' и центр шара
О'. След этой плоскости на
плоскости изображений совпадает
с линией ОА. Плоскость
пересекает сферу по большому
кругу. Если совместим эту
проектирующую плоскость с
плоскостью изображений путем
вращения вокруг следа ОЛ, то
большой круг совместится с
очертанием шара и точка А'
упадет в точку Л0 на очертании.
При этом AqALOA.
Следовательно, отрезок ААо
представляет собой высоту точки А' над
плоскостью изображений.
Таким образом, получаем простой
способ определять высоту точки сферы, заданной очертанием.
Для этого надо соединить изображение точки прямой линией с
центром очертания и восставить перпендикуляр к этой линии
до пересечения с очертанием шара. Полученный отрезок
представляет высоту точки *. Умея определять высоту любой точки
сферы, мы можем находить расстояния между двумя
произвольными точками на сфере, т. е. имеем метрически определенное
изображение. Покажем, как решаются простейшие задачи.
1) Расстояние между двумя точками на сфере. Пусть имеем
на изображении сферы две какие-либо ее точки А и В (черт. 146).
Находим, как было указано, высоты hA = AA0 и hB=BBQ этих
точек. Восставляя перпендикуляры в точках Л и В к линии А В
и откладывая на них отрезки АА{ = АА0 и ВВ{ = ВВ0, получим
трапецию АВВ\А\, которая представляет собой совмещение
трапеции АВВ'А' проектирующей плоскости. Следовательно, отрезок
1 Из построения видно, что точки, -более удаленные от центра, имеют
меньшую высоту. Высота центра очертания равна радиусу шара,' высота
точки очертания равна нулю.
Черт. 146.
Ш

AiBi = A'B' и представляет истинное расстояние между точками
А' и В'.
2. След прямой, соединяющей две точки сферы.
Предположим, что на изображении имеем две точки сферы А и В
(черт. 147). Требуется построить след прямой А'В' на плоскости
изображений. Находим высоты точек А' и В': hA=AA0\ h в=
= ВВ0. Если высоты отложить перпендикулярно к прямой А В,
то получим совмещения точек А' и В', а также и прямой А'В'
с плоскостью а. Тогда точка пересечения S совмещенной
прямой с ее проекцией АВ будет искомой. Замечая, что
точка S не зависит от того, по какому направлению отложены
высоты точек А' и В\ лишь бы они были параллельны между
собой, можем упростить решение. Откладываем высоту hB==BBQ
параллельно высоте АА0. Получим ВВ\ = ВВ0 и ВВ\ \\ АА0.
Теперь прямая AQB\ пересекает прямую АВ в искомой точке S.
3. След плоскости, проходящей через три данные точки
сферы. Предположим, что на изображении сферы даны три
произвольные точки Л, Б и С (черт. 147). Находим след S прямой
А'В' и след Т прямой А'С. Тогда линия ST и явится, очевидно,
искомым следом плоскости А'В'С, так как обе упомянутые
прямые лежат в этой плоскости.
4. След плоскости, касательной к шару в данной его точке.
Если требуется построить плоскость, касательную к шару в точке
А\ то через точку А' проводим радиус шара О'А',
перпендикулярный к искомой плоскости. След 5 плоскости (черт. 148)
должен быть перпендикулярен к изображению ОА радиуса (см.
сноску на стр. 160). Поэтому можем построить линию ската
16*

плоскости ] в точке А\ для чего проводим проектирующую
плоскость, перпендикулярную к следу 5 искомой плоскости через
точку А'. След ее — прямая OAS — будет также проекцией линии
ската. Совместив проектирующую плоскость с плоскостью
изображений (вращением вокруг следа OAS), получим совмещенное
сечение шара, совпадающее с его очертанием, совмещение Ах
точки А' и совмещение линии ската A\S. Прямая A\S должна
•быть касательной к очертанию шара в точке А\, так как сама
линия ската касательна в точке А' к сечению шара
проектирующей плоскостью. Строим A\SLOA\. Получим совмещение линии
ската. Точка S, в которой совмещенная линия ската пересекает
свою проекцию ОА, является следом линии ската. Через S
проходит след искомой касательной плоскости (так как линия ската
лежит в этой плоскости), который должен быть, как мы видели,
перпендикулярен к линии ОА. Строим прямую s, проходящую
через точку S и перпендикулярную к прямой ОА. Это и есть
искомый след касательной плоскости к шару в точке А'.
5. Обратная задача. Яо данному следу s касательной
плоскости к шару, изображенному очертанием, требуется
построить изображение точки ее прикосновения.
Решение задачи видно из чертежа (черт. 148). Из точки О
опускаем перпендикуляр OS на данный след 5 плоскости.
Находим точку пересечения S прямых OS и 5. Из точки S проводим
касательную SA\ к очертанию шара. Точка прикосновения ее Ai
явится совмещением искомой точки А. Проводя A\A±.OSt
получим и самую точку А.
Примечание. Как видно из чертежа, точки Л и S делят гармонически
диаметр ВС. Поэтому каждая из них может быть построена как четвертая
гармоническая, если дана другая.
§ 36. СЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЯМИ
1. Очертание шара является проекцией (изображением) его
видимого контура, а видимый контур есть сечение шара
плоскостью, параллельной плоскости изображений и проходящей через
центр шара (см. черт. 139). Таким образом, очертание шара
можно рассматривать как изображение сечения этого шара
плоскостью, параллельной плоскости проекций, или как изображение
сечения шара самой плоскостью проекций, если последняя
проходит через центр шара.
2. Экватор и полюсы. Каждое сечение шара плоскостью,
проходящей через его центр, дает большой круг. Для лучшей
ориентировки рассматриваемых сечений условимся сечение
горизонтальной плоскостью называть экватором, а сечение любой
вертикальной плоскостью, проходящей через центр шара,—мери-
* Линиями ската плоскости называются прямые перпендикулярные к ее
следу.
170

дианом. Плоскости меридианов проходят через диаметр шара,
перпендикулярный к его экватору, т. е. образуют пучок
плоскостей. Ось этого пучка (будем называть ее осью шара),
перпендикулярная к плоскости экватора, пересекает сферу в двух
точках — полюсах, из которых полюс, лежащий над экватором,
будем называть северным, а под экватором — южным.
Так как ортогональная проекция круга есть эллипс (см.
§ 11), то экватор и меридианы изобразятся эллипсами.
Предположим, что на чертеже 149 эллипс ABCD представляет собой
изображение экватора шара.
В оригинале экватор A'B'C'D'
пересекает видимый контур
шара в точках А' и В'. Как было
показано в § 32, на
изображении проекция экватора
должна касаться очертания шара в
точках А и В. Перпендикуляр
к плоскости экватора (ось
шара) изобразится прямой,
совпадающей с малой осью
эллипса экватора (см. стр. 50).
Найдем изображения полюсов.
Для этого вообразим
проектирующую плоскость, след
которой совпадает с малой осью
CD эллипса экватора. В этой
проектирующей плоскости лежат диаметр шара CD' и ось
шара. Совмещая проектирующую плоскость с плоскостью
изображений (вращением вокруг прямой CD), получим
совмещение Ci точки С' и совмещение ОС\ радиуса О'С. Совмещение оси
шара как прямой, перпендикулярной к плоскости экватора,
должно быть перпендикулярно к совмещению ОС\ радиуса О'С.
Поэтому, проводя прямую ON\, перпендикулярную к ОС\,
найдем совмещение оси шара, и точка N\ пересечения этой прямой
с очертанием шара представляет, очевидно, совмещение
полюса N'. По совмещению N\, проводя прямую NXNLCD,
находим изображение N полюса N'. Замечая, что прямоугольные
треугольники ОСС\ и NxNO равны (OCi=CWi; / COG= /_NNxO)y
будем иметь: ON = СС\ и NN\ = ОС. Это дает простой способ
построения изображения полюса по данному изображению
экватора. Расстояние' изображения полюса от изображения центра
шара (ON) равно высоте (СС\) точки экватора (С"), наиболее
удаленной от плоскости изображений К
Совершенно так же может быть построено изображение
южного полюса S(OS = ON = CCi). Различие обоих изображений
Черт. 149.
1 Плоскость изображений для простоты рассуждений будем предполагать
проходящей через центр шара О'.
171

заключается в том, что в то время как один из полюсоз лежит
на видимой половине сферы, другой лежит на невидимой ее
половине. Так, например, на нашем чертеже видимым является
северный полюс N, а невидимым — южный полюс S. Из того же
чертежа ясно, что видимый полюс N лежит на стороне
невидимого полуэкватора ADB, а невидимый полюс 5 — на стороне
видимого полуэкватора АСВ.
Таким образом, на изображении полюсы вполне определяются
по положению экватора, и, обратно, по данному изображению
полюса можно построить изображение экватора. В этом втором
случае удобнее воспользоваться равенством отрезков NN{ = ОС,
которое показывает, что малая полуось эллипса, изображающего
экватор, равна высоте полюса.
После всего сказанного становится очевидным, что
распространенное в учебной литературе изображение полюсов и экватооа.
показанное на чертеже 150, является неверным. Если полюс N*
Рис. 150. Рис. 151.
-или S лежит на очертании шара, то его высота равна нулю, т. е0
ОС = NNX = 0.
А это значит, что малая ось эллипса равна нулю и эллипс-
экватор вырождается в отрезок. Для полюсов, лежащих на
очертании шара, будет верным изображение, представляемое
чертежом 151, но такое изображение не является наглядным.
3. Меридианы и параллели. К числу больших кругов
относятся также меридианы (сечения, образованные плоскостями,
проходящими через ось шара). Если экватор уже изображен, то,
задавая какой-либо диаметр экватора, определяем плоскость
меридиана и можем изобразить соответствующий меридиан. Так,
диаметр PQ вместе с осью NS определяет эллипс-меридиан, для
которого они являются парой сопряженных диаметроа
(черт. 152) ].
1 Так как в оригинале диаметры P'Q' и N'S' окружности меридиана
взаимно перпендикулярны.
172

Эллипс, изображающий меридиан, строится от руки или по
точкам (если требуется более точное изображение). Он должен
проходить через точки Р, Q, N и S — концы обоих сопряженных
диаметров — и касаться очертания шара в точках F и G,
являющихся концами большой оси эллипса (диаметр FG эллипса равен
диаметру очертания шара). На чертеже 153, кроме сечения шара
Черт. 152.
по экватору, имеются еще два взаимно перпендикулярных
сечения по меридианам. Следы этих сечений на плоскости экватора
являются в изображении сопряженными диаметрами эллипса,
изображающего экватор.
Для того чтобы наглядно представить изображение
параллельных кругов на шаре, свяжем их построение с каким-либо
выбранным нами меридианом (ABNS на черт. 154). Так как
параллельные круги расположены в плоскостях, параллельных
экватору, то они изобразятся подобными и подобно
расположенными эллипсами. Меридиан ABNS сечет все параллельные круги
по параллельным диаметрам. Если один из этих диаметров на
изображении является большой осью эллипса-экватора (диаметр
АВ), то и для всех остальных эллипсов, изображающих
параллельные круги, соответствующие диаметры будут служить
большими осями. Следовательно, концы большой оси каждого
эллипса, изображающего параллельный круг, должны лежать на
меридиане ABNS. Отсюда получаем простое построение
параллельных кругов по заданному центру.
Пусть 0\ — центр параллельного круга. Проводим через 0\
прямую АХВ\ || АВ. Получаем в пересечении с меридианом ABNS
большую ось А\В\ эллипса параллельного круга. Так как все
эллипсы подобны, то для построения малой оси достаточно
провести А\С\ II АС; находим точку С\ конца малой оси эллипса.
Теперь уже нетрудно вычертить по осям на глаз или по точкам
Черт. 153.
173

(если хотят более точного построения) эллипс, изображающий
параллельный круг. Этот эллипс может касаться очертания шара
(например, эллипс A\B\CiD\) или лежать внутри него, в
зависимости от того, пересекает ли параллельный круг видимый контур
шара или не пересекает его (см. стр. 157). Промежуточный
эллипс между двумя указанными видами эллипсов касается
Черт. 154.
очертания в одной точке (на черт. 154 точка D2)> в которой
сливаются обе точки прикосновения. Этот эллипс легко может быть
построен, так как A2D2 должно быть параллельно AD. Строя
A2D2 II AD, находим конец А2 большой оси упомянутого
промежуточного эллипса. Далее, проводя А2В2 II АВ, найдем центр его
02 и второй конец В2 большой оси. Затем находим точку
С2(02С2 = 02D2) и вычерчиваем эллипс по осям.
Умея изображать экватор, полюсы, меридианы и
параллельные круги, можно при их помощи изобразить части шара и его
поверхности, как, например: шаровой сегмент A\B\C\N, шаровой
пояс А\В\С\А2В2С2, а также шаровой сектор.
4. Произвольные сечения шара. Каждое сечение шара можно
рассматривать как параллельный круг при соответствующем
выборе экватора. Поэтому можно воспользоваться теми
соображениями, которые были проведены для параллельных кругов, и в
174

случае произвольного сечения. Рассмотрим некоторые задачи на
построение сечения шара.
• 1. Дан какой-либо радиус шара и точка 0{ на нем.
Изобразить круговое сечение шара с центром в точке 0\.
Предположим, что ON— данное изображение радиуса шара,
а точка 0\ — изображение центра сечения (черт. 154). Будем
считать точку N полюсом и построим, как ранее было показано,
экватор ABCD. Далее проводим меридиан ABNS. Тогда, проводя
через точку 0\ прямую A\B\l_ONy найдем в пересечении с
меридианом концы А{ и В\ большой
оси искомого сечения. Малую ось
находим при помощи прямой
А\С\\\АС. Таким образом, оси
сечения, а затем и само сечение
найдены.
Можно указать другое
решение этой задачи, не связанное с
проведением экватора и
меридиана. Предположим, что дано
изображение радиуса ON и точки О*
на нем, служащей центром
сечения (черт. 155). Совместим
плоскость, проектирующую радиус
ON, с плоскостью изображений.
Получим точку N\ как
совмещение точки N и точку 0\ * как
совмещение точки О*. Плоскость
сечения должна быть перпендикулярной к радиусу
§тому отрезок C\D\ _L ON\ представит собой диаметр
лежащий в совмещенной проектирующей плоскости. Откладывая
его по ABLON, получим концы А и В большой оси, а проектируя
его на ON, — концы С и D малой оси эллипса сечения. Затем по
осям строим эллипс ABCD, изображающий искомое сечение.
Заметим, что плоскость сечения пересекает плоскость проекций по
прямой ТТ\ и, следовательно, точки Тх и Т2 являются точками
видимости, в которых эллипс касается очертания шара.
Аналогичным образом можно построить центр и оси первого
видимого или невидимого на сфере параллельного круга
(на черт. 155 приведено построение первого невидимого круга).
2. На изображении сферы дана большая ось эллипса сечения.
Построить малую ось.
Предположим, что АВ — большая ось эллипса сечения,
причем ABLOO*; О* — центр эллипса (черт. 156). Отрезок 00*
есть проекция перпендикуляра, опущенного из центра шара О
на плоскость сечения. Истинную длину этого перпендикуляра
можно построить как расстояние от центра шара до хорды
длины АВ. Для этого строим А\В\=АВ и получаем искомую
длину перпендикуляра OOi*. Теперь совместим проектирующую
Черт. 155.
ON. По-
сечения,
175

плоскость 00* с плоскостью изображения. Тогда точка 0>*
представляет собой совмещение центра сечения (002* = OOi*)t
а следовательно, хорда C2D2(C2D2J_002*) — совмещение того
диаметра сечения, который проектируется на плоскость
изображений малой осью эллипса CD. Отсюда и получаем простой
способ построения малой оси эллипса сечения.
Из решения задачи видно, что большая ось эллипса сечения
может быть выбрана произвольно и вполне определяет сечение.
Однако следует не забывать, что она расположена всегда
перпендикулярно к проекции радиуса, проходящего через центр сечения
и перпендикулярного к его плоскости. Так, например,
изображение сечения на чертеже 157, очевидно, неверное. На этом
изображении большая ось АВ эллипса сечения не перпендикулярна
к проекции перпендикуляра 00*.
Черт. 156. Черт. 157.
3) На поверхности шара даны три точки: А, В и С.
Изобразить сечение шара, проходящее через эти точки.
Найдя высоты точек А и В, как было показано в § 35
(стр. 168), построим затем след прямой А'В' на плоскости
изображений (черт. 158). Для этого откладываем в точках Л и В их
высоты АА\*\\ВВ\ и проводим прямую А\*Ви Последняя
пересекает прямую АВ в точке Q. Точка Q и есть след прямой А'В'
(см. стр. 169). Аналогичным образом находим след Р
прямой А'С. Следовательно, линия PQ представляет собой след
плоскости сечения. Строим OD.LPQ. Тогда прямая OD
изображает линию ската (см. стр. 170) плоскости сечения. Совместим
проектирующую плоскость с плоскостью изображений. Так как:
точка С0 линии ската, лежащая на одной горизонтали с точкой С,
имеет одинаковую с ней высоту, то совмещение точки С0 можно
построить следующим образом. В точке С0 построим
перпендикуляр С0С2 к линии ОД причем С0С2 = СС\. Далее, соединив
точку D с точкой С2, получим совмещение DC2 линии ската. Эта
176

прямая пересекает очертание шара в точках F\ и G\. Отрезок
F\Gi представляет собой диаметр сечения в натуральную
величину, а точка 0\ — совмещение центра сечения. Теперь уже
нетрудно построить большую и малую оси эллипса, изображающего
Черт. 158.
искомое сечение. По совмещению 0\ находим центр О* эллипса
сечения. Проекция диаметра F\G\ сечения на линию OD дает
малую ось FG эллипса (малая ось эллипса должна лежать на
линии OD, перпендикулярной к следу плоскости сечения). Большую
ось эллипса получим, откладывая отрезок KL = Fid. После
этого вычерчиваем эллипс по его осям.
§ 37. ПОЛНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ОЧЕРТАНИЯ ШАРА
Предположим, что имеем полное изображение, в котором
содержится также изображение шара в виде его очертания. Так
как все точки поверхности шара (сферы) на его изображении
метрически определенны, то можно сказать, что наше полное
изображение содержит тетраэдр, вполне определенной, выбранной
по желанию, формы. Отсюда ясно, что и все данное изображение
является метрически определенным. Итак: всякое полное
изображение, содержащее очертание шара, метрически
определенно.
177

Пример. Дано изображение шара (очертанием) и две
прямые, пересекающие поверхность шара в точках М, N и Р, Q. На
прямых лежат точки А и В. Требуется найти истинное
расстояние между точками А и В.
Задача легко решается, если построить совмещения прямых
MN и PQ (черт. 159) (предварительно определив высоты точек
М, N, Р, Q, как показано на
черт. 146). Затем находим
высоты точек А и Ву лежащих на
данных прямых. Наконец,
искомое истинное расстояние
найдем, построив совмещение
отрезка АВ (см. черт. 159 и
черт. 146).
§ 38. ШАР, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО
ТЕТРАЭДРА. МНОГОГРАННИКИ,
ВПИСАННЫЕ В ШАР
Если дано изображение
тетраэдра в ортогональной
проекции, то, как известно (§ 34),
его форма определяется тремя
параметрами. С другой сторо-
Черт. 159. НЫ) каждый тетраэдр
определяет описанный около него шар.
Следовательно, форма тетраэдра может быть определена при
помощи изображения шара. Предположим, что имеем изображение
шара (очертанием) и проекцию
ABCD вписанного в него
тетраэдра A'B'C'D' (черт. 160). Так
как изображение шара
метрически определенно, то истинная
форма тетраэдра A'B'C'D' вполне
определяется по его изображению
ABCD 1. Таким образом, имея
изображение ABCD тетраэдра,
можно определить его форму, задавая
очертание описанного около него
шара. Очертание шара (центр и
радиус) требует для своего
определения задания трех
параметров, что вполне согласуется с вы- Черт. 160.
сказанным выше положением.
Отсюда, между прочим, следует, что если дано изображение
тетраэдра ABCDy форма которого неизвестна, и требуется изо-
1 При этом, конечно, относительно каждой из точек Л, В, С, D должна
быть известно, находится ли она на видимой или невидимой полусфере
шара.
178

бразить шар, описанный около него, то для этого достаточно
задать произвольное очертание шара, заключающее изображение
тетраэдра. В самом деле, как видно из предыдущего, шар,
изображенный таким очертанием, можно принять за описанный
около тетраэдра A'BrCD\ причем форма тетраэдра вполне
определяется. Наоборот, если форма тетраэдра определяется из
условий, наложенных на его изображение, то центр и радиус
описанного шара вполне определенны и на изображении может быть
построено очертание шара.
Предположим, что шар задан на изображении своим
очертанием. Отметив на этом изображении некоторое количество (п)
точек, не выходящих за круг очертания шара, можно
рассматривать их как лежащие на поверхности шаря. Если примем эти
точки за вершины многогранника, то получим многогранник
(с п вершинами), вписанный в шар. Все элементы этого
многогранника являются метрически определенными.
В педагогической работе часто приходится изображать
пирамиду или призму, вписанную в шар \ Поэтому мы рассмотрим
здесь несколько примеров таких изображений.
Пример 1. Изобразить пирамиду, вписанную в шар.
Дело сводится к изображению основания пирамиды, которое
должно быть вписано в сечение шара. Отсюда и получаем
следующую последовательность
выполнения изображения (черт. 161).
Изображаем один из параллельных
кругов шара, так как обыкновенно
целесообразно считать основание
пирамиды расположенным
горизонтально. Далее отмечаем на
параллельном круге точки, изображающие
вершины основания (Л, Ву С, D, Е)у
и, соединяя их штриховыми
линиями, получаем изображение
основания пирамиды. Затем отмечаем на
поверхности шара вершину S и
соединяем штриховыми линиями с
вершинами основания пирамиды. Таким
образом, получаем изображение
пирамиды SABCDE, вписанной в шар.
Следует подчеркнуть, что полученное изображение является
метрически определенным, и никаких произвольных условных
операций на нем выполнять нельзя.
Пример 2. Изобразить прямую призму с квадратным
основанием, вписанную в шар.
Изображаем шар очертанием и строим один из параллельных
кругов (верхний). Проводя в нем пару сопряженных диаметров
1 См., например, статью В. Падучева, «Математика в школе», 1940, № 6.
17^

(AC, BD), строим квадратное основание (верхнее) призмы ABCD\
осью призмы является диаметр 0*0*i шара, в оригинале
перпендикулярный к плоскости сечения, следовательно, и к плоскости
основания призмы (черт. 162).
Находим центр нижнего основания Oi
(Oi*0 = 0*0) и проводим АХСХ\\АС
и SjDi || BD. Наконец, строим боковые
ребра и нижнее основание призмы.
Изображение призмы (прямой, с
квадратным основанием), вписанной в шар,
построено. Само собой разумеется, что
оно метрически определенное.
Пример 3. Изобразить куб,
вписанный в шар.
По сравнению с предыдущим
изображением, при вычерчивании куба мы
можем выбирать лишь его
расположение, но не свободны в отношении его
размеров, которые вполне
определяются очертанием шара. В самом деле, ребро вписанного куба может
быть построено, если дан радиус шара. Чтобы установить поло-
Черт. 163а.
жение вписанного куба, зададим радиус шара,
перпендикулярный к основанию куба и проходящий через центр О* основания.
Пусть это радиус ON, где N конец радиуса на поверхности шара
(черт. 163а). Чтобы найти истинную величину расстояния 00*
180

от центра шара до основания куба, воспользуемся диагональным
сечением куба АА\С\С. Это сечение изображено в натуральную
величину на чертеже 1636. Если сторону_куба примем за
единицу, то будем иметь: АА\ = \, AC = Y% (как диагональ
квадрата), Alc = V^locr
тогда получим:
ААЛ 1
—-—- = у. Проведем радиус OF \\ АС;
OF-
АХС __ УЗ
и далее:
*L<*0-2$-\i4-
Y5'
откуда:
/_OFO* = 30°
Д.
л}
А_ t
/i
Г
D
Wfr
А
~v
<c
Возвратимся к чертежу 163а. Совместим проектирующую
плоскость ON с плоскостью изображения. Тогда отрезок ON\
представит совмещение радиуса ON.
Чтобы определить на нем
положение точки 0\ — совмещение
центра основания куба, —
воспользуемся построением,
указанным на чертеже 1636. Строим
OF_\_ON\ и откладываем угол
OFO\, равный 30°. Тогда и
находим точку Оь которая
проектируется точкой О*. Проведя через
точку 0\ хорду S\Ri±ONu
получаем тот диаметр сечения,
который проектируется на плоскость
изображений малой осью SR
эллипса сечения. Большая ось PQ
эллипса сечения, очевидно,
равняется отрезку S\Ri. Построив после этого самый эллипс
сечения, можно изобразить верхнее основание куба ABCD, выбрав
в качестве его диагоналей пару сопряженных диаметров АС и
BD эллипса сечения. Далее, строим боковые ребра ААи ВВЬ
СС\ и DDU проводя их параллельно оси 00*, по величине
равными удвоенному расстоянию 00*. Наконец, вычерчиваем
нижнее основание куба.
Таким образом, получим изображение куба, вписанного в
данный шар, причем направление четырех параллельных ребер
куба задано на изображении радиусом ON.
Черт. 163<Т.
181

§ 39. МНОГОГРАННИКИ, ОПИСАННЫЕ ОКОЛО ШАРА
Рассмотрим следующие примеры:
Пример 1. Изобразить прямую треугольную призму,
описанную около шара.
Предположим, что изображение шара в виде его очертания
дано (черт. 164). Дополним это изображение экватором PQR и
Черт. 164.
полюсами 5 и N. Выбор экватора является вместе с тем и
выбором горизонтальной плоскости, на которой стоит описанная
прямая призма, а именно: горизонтальная плоскость проходит через
точку 5 и параллельна плоскости экватора; так как точки
прикосновений призмы к шару лежат, очевидно, в плоскости
экватора, то мы и зададим их произвольно на изображении экватора.
Пусть это будут точки Р, Q и R. Построив в этих точках
касательный (к экватору) треугольник ABC, получим среднее сечение
призмы. Через точки А, В и С проводим боковые ребра призмы,
параллельные оси SN шара и равные ей, так что: ААХ = АА2 =
= BBi = ВВ2 = ССх = СС2 = OS = ON. Наконец, соединяя
точки Аи В\ и Ci, получим нижнее основание А\В\С\ призмы,
а соединяя точки А2, В2 и С2,—верхнее основание А2В2С2 призмы.
Вписанный в нее шар касается ее граней в точках 5, N, Р, Q
и Д.
Пример 2. Изобразить шар, вписанный в куб.
Изображение куба в ортогональной проекции уже не может
быть в такой степени произвольном, как в косоугольной
параллельной проекции. Как видно из теоремы 1 гл. VI (стр. 160),
задание на изображении прямоугольного трехгранника (трех
ребер куба, выходящих из одной вершины) уже метрически
определяет изображение (три параметра). Поэтому построение ребра
182

куба явится вполне определенной операцией (выполнена на
черт. 142). Чтобы избежать необходимых для этого построений,
можно также воспользоваться одной из известных в
начертательной геометрии ортогональных проекций, т. е. выбрать на
изображении такие направления ребер куба, для которых известны
отношения длин лежащих на них отрезков *. Воспользуемся
ортогональной диметрией, оси которой образуют следующие углы:
ребро D\D расположено вертикально, ребро D\A\ образует с ним
угол примерно в 131°; такой же угол образует.ребро D\A\ с
ребром DiCi, а ребро D\C\ образует с вертикально расположенным
ребром D\D угол примерно в 97° (черт. 165). Для такого
расположения осей, как известно из начертательной геометрии, три
Черт. 165.
лежащих на них и равных в оригинале отрезка изобразятся тремя
отрезками со следующими отношениями длин (по
направлениям D\D, D\A\ и D\C\): 1 :-^-: 1. Другими словами, две грани
куба D\DCC\ и А\АВВ\ изобразятся равными ромбами (так как
DlD = DlCl=DC=CiC = AlA=AlBl=AB = BBl)t а четыре
остальные грани: DXDAAU D\AXB{C\, ABCD и BBiCiC
изобразятся равными параллелограммами (0^=0 A = -^ DDX = -^АА^
и т. д.). Выполнить такое изображение куба даже на глаз
(например, мелом на доске) не представляет затруднений, если
1 Необходимые справки читатель может найти в курсах начертательной
геометрии, например Н. Ф. Четверухин и др., Курс начертательной
геометрии, М, 1956, стр. 394 и следующие.
183

принять во внимание, что ребро DD\^A\A и проводится
вертикально, а ребра D\AX #DA и DiC\#DC образуют с
горизонтальным направлением углы соответственно в 41° и в 7°
(приближенно). Такое изображение куба полезно в тех случаях, когда
приходится применять ортогональную проекцию, например, в
задачах, требующих изображения шара К
Построить изображение шара, вписанного в куб, не
представляет никаких затруднений. Центр шара О определяется как
точка пересечения диагоналей куба. Точки прикосновения Р, Q,
R и Г, а также N я S (полюсы шара) находятся как точки
пересечения диагоналей граней куба или из соображений симметрии.
Дальше по сопряженным диаметрам можно построить экватор
PQRT и меридианы шара PQNS и RTNS. Наконец, большая ось
любого из эллипсов, изображающих большой круг шара
(например, экватор PQRT), дает диаметр очертания шара2. Таким
образом, построив очертание шара, получим наглядное
изображение шара, вписанного в куб.
Пример 3. Описать тетраэдр около данного шара.
Предположим, что шар изображен своим очертанием
(черт. 166). Построим (произвольно) его экватор PiQiRiTiUiV^
и полюсы 5 и N. Вообразим плоскость, касательную к шару в
точке 5. Эта плоскость параллельна плоскости экватора; будем
считать ее плоскостью основания тетраэдра. Само основание ABC
тетраэдра можно задать на изображении произвольно (но это,
конечно, не значит, что форма его в оригинале неопределенна, —
наоборот, она вполне определяется выбором треугольника ABC3.
найдем теперь точки прикосновения боковых граней тетраэдра
(см. задачи 4 и 5 § 35). Если через ось SN шара проведем
плоскость, перпендикулярную к грани ABD тетраэдра, то след SP
этой плоскости должен быть перпендикулярен (в оригинале)
к ребру АВ тетраэдра.
Найдя для прямой АВ сопряженное ей направление SP (для
чего можно воспользоваться эллипсом экватора: диаметр P\Q\
сопряжен прямой АВ), определим точку Р пересечения
проектирующей плоскости SPN с ребром АВ. Сечение шара
проектирующей плоскостью определяется парой сопряженных диаметров
P\Q\ и SN и может быть построено (или вычерчено от руки).
Касательная из точки Р к эллипсу PiQiSN дает точку
прикосновения К грани ABD к шару. Прямая РК является линией пере-
1 Если воспользоваться изображением куба в ортогональной триметрии,
то искажения его ребер выразятся отношениями (1:0,5:0,95); ребра
образуют углы в 120° и 97° (см. Франк, Геометрический чертеж в курсе
стереометрии).
2 Если желательна большая точность, то диаметр очертания шара
(большая ось эллипса) можно принять равным SW'1,06, как это показывается
в курсах начертательной геометрии (см. сноску на стр. 183).
s Действительно, все наше изображение метрически определяется
заданием шара. В частности, плоскость ЛВС метрически определяется эллипсом
Экватора.
184

Черт. 166,

сечейия грани ABD с проектирующей плоскостью NSP.
Обозначим через Рч точку пересечения прямой РК с диаметром PiQi.
Если через точку Р2 проведем прямую A\Bi, параллельную АВ,
то она, очевидно, будет представлять собой горизонталь грани
ABD, расстояние которой от плоскости ABC равно радиусу шара.
Аналогично строится точка прикосновения L грани BCD и
горизонталь этой грани ВХС\, имеющая ту же высоту, что и
горизонталь АХВ\. Отсюда следует, что обе построенные горизонтали
пересекаются и точка их пересечения Si должна лежать на ребре
тетраэдра. Таким образом, соединяя точки В и Ви построим одно
из ребер тетраэдра.
Совершенно так же находится точка прикосновения М третьей
грани CAD, а затем при помощи горизонтали С\А\ этой грани
находим ребра СС\ и ААх тетраэдра. Три ребра: АА\, ВВ{ и СС\ —
сходятся в точке D 1, которая является вершиной тетраэдра.
Таким образом, получим изображение тетраэдра ABCD, описанного
около данного шара. Изображение, конечно, является метрически
определенным.
Более простое и вместе с тем точное решение можно
получить, задаваясь на поверхности шара точками К, L, М и N, в
которых грани описанного тетраэдра касаются шара. Задача при
этом примет следующий вид:
На поверхности шара даны точки К, L, М и N. Требуется
построить описанный тетраэдр, касающийся шара в упомянутых
точках.
Примем одну из граней описанного тетраэдра (например,
ABC) за плоскость проекций, тогда проекция соответственной
точки прикосновения (N) совпадет с проекцией центра шара
(черт. 167). Построение описанного тетраэдра сведется к
отысканию следов плоскостей, касающихся шара в данных точках
К, L и М, на плоскости проекций, а также на плоскости, ей
параллельной и проходящей через центр шара. Так, например,
построив совмещение Кх точки К, строим затем касательную
к очертанию шара в точке Ки Тогда точки /Сг и Ко пересечения
этой касательной с прямыми N1K2 и NK (N1K2 II NK и NNilNK)'
являются точками искомых следов. Последние, как мы видели
(см. § 351, имеют направление, перпендикулярное к радиусу Л/Х
Таким образом, получаем следы АС и А0С0 плоскости,
касательной к шару в точке К, на плоскости проекций и плоскости,
параллельной el. .Подобным же образом построим следы плоскостей,,
касательных к шару в точках L и М. Пусть это соответственно
прямые АВ, А0В0 и ВС, B0CQ. Тогда прямые AAQ, ВВ0 и ССо —
ребра искомого тетраэдра 2. Кроме того, следы АВ, ВС и СА
также ребра тетраэдра, так как плоскость проекций есть одна из
1 Так как стороны треугольников ABC и AiBxC\ соответственно
параллельны.
2 Прямые AAq ВВо и СС0 должны пересекаться в одной точке D, так
как /\АВС и /\AqBqCq гомотетические.
186

его граней. Следовательно, Л BCD —искомый описанный
тетраэдр.
Пример 4. Шар, вписанный в данный конус. Конус,
описанный около данного шара.
Предположим, что дано изображение конуса (вращения)
SABC (черт. 168). Круговое основание конуса изображено
эллипсом ABCD. Совместим проектирующую плоскость CS с
плоскостью изображений (последнюю будем предполагать
проходящей, например, через точку 02), вращая ее вокруг следа CS.
Черт. 167.
Тогда совмещение G точки С получим, проводя CCiA.CS и
02С\ = ОВ. Совмещение Si точки S получим как точку
пересечения прямой SSiA.CS и прямой 02Si±02Cu После построений
отрезок C\S\ представит совмещение образующей CS. Таким
образом, Д 02C\Si представляет собой половину осевого сечения
конуса в натуральную величину. Отсюда и получаем построение
центра вписанного шара. Совмещение 0\ центра должно лежать
на совмещении 02S\ оси и на биссектрисе С\Ох угла 02CiSx. Круг,
описанный из центра 0\ радиусом 0\02, касается сечения конуса
187

в точках 02 и C*i, причем Сх02 = CiC*b По точке
прикосновения C*i можно построить центр 0*i круга прикосновения шара
к конусу в совмещенном положении. Наконец, по точке 0*\
находим точку О* — изображение центра круга прикосновения.
Большая ось эллипса, изображающего этот круг, равна
удвоенному отрезку 0*iC*b Малую ось 0*С* построим, проводя
лрямую А*С* параллельно прямой АС. Эллипс, изображающий
Черт. 168.
круг прикосновения, касается очертания шара и очерковых
образующих конуса в точках Р и Q, являющихся также точками
касания очертаний шара и конуса.
Обратная задача — описать конус около данного шара —
требует следующих построений (черт. 168): отмечаем полюсы Ог
и N шара и его сечение О*А*С*, изображающее круг
прикосновения (см. задачу 1 на стр. 175). В точках Р и Q прикосновения
эллипса к очертанию шара строим касательные к очертанию
шара, которые изобразят очерковые образующие конуса и
пересекутся в его вершине 5. Точка 02 является, очевидно,
изображением центра основания конуса. Проводя прямую AB±02S>
лолучим направление большой оси эллипса основания. Прямая
SA* пересекает прямую АВ в точке А — конце большой оси
эллипса основания. Точку С — конец малой оси эллипса —
получим, проводя прямую АС || А*С*. Основание конуса строим по
осям АВ и CD. Все изображение является, конечно, метрически
определенным.
188

§ 40. НЕПОЛНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ОРТОГОНАЛЬНОЙ
ПРОЕКЦИИ
Теория полноты изображений, развитая в главе III,
предполагает любую проекцию, в том числе и ортогональную. Все
положения этой теории остаются, следовательно, в силе и в случае
ортогональной проекции. В частности, могут быть использованы
неполные изображения как обладающие большим запасом
свободных параметров. Последнее обстоятельство особенно важно
для проекций с данным центром проектирования, так как
параметрическое число р изображений в этом случае снижается до
трех (см. § 22).
Каждое неполное изображение может быть сделано полным
(приведенным) путем задания недостающих инциденций
(параметров). Параметрическое число неполного изображения
выражается формулой: р = р -f- k, где р — параметрическое число
полного изображения (равно трем), a k — коэффициент
неполноты данного неполного изображения. Следовательно, р = k-j-3.
Если неполное изображение состоит из нескольких полных,
не связанных между собой
изображений, то
параметрическое число может быть
подсчитано следующим
образом. Пусть, например,
имеем неполное
изображение, состоящее из га полных
изображений, не имеющих
попарно общих точек: (01
Ф = ср1+ср2= . . .+срт.
Коэффициент неполноты k
этого изображения выра- X
жается формулой: k= Черт. 169.
= 4(т—1), так как
точечный базис изображения Ф, очевидно, состоит из 4 га вполне
независимых точек. Следовательно, для параметрического числа р
получим:
p=zA{m— 1) + 3 = 4/7Z—1.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Изображена система прямоугольных осей
координат OXYZ и сфера (С). Требуется изобразить прямую ОС,
соединяющую начало координат с центром сферы, и показать точки
ее встречи со сферой (черт. 169).
В данном случае изображение Ф состоит из двух полных
изображений (система осей и сфера). Следовательно, для
параметрического числа имеем:
р = 4/п— 1=8— 1=7.
189

Так как каждое из двух полных изображений является
метрически определенным, что равносильно заданию шести
параметров, то остается один лишь свободный параметр. Поэтому
точку встречи А прямой ОС с поверхностью шара можем выбрать
произвольно (внутри очертания или на нем, но не в центре С).
Вторая точка встречи В находится по симметрии.
Черт. 170.
Замечание I. Отметим распространенную ошибку,
которую можно нередко встретить в солидных учебниках и
руководствах. Речь идет об изображении, аналогичном чертежу 170.
Такое изображение
является неверным, так как оно
состоит из двух полных
изображений,
выполненных в разных проекциях
(шар в ортогональной, а
система осей — в
косоугольной).
Замечание II.
Особое внимание следует
обратить на возможность
другой ошибки более
тонкого характера.
Анализируемое нами
изображение (черт. 169)
состоит из двух полных
изображений. Каждое из
этих полных изображений
в отдельности метрически определенно. Изображение
прямоугольной системы осей — три параметра; изображение шара — три
параметра. Вследствие этого оригиналы обоих изображений
определены метрически и по положению относительно плоскости изо-
Черт. 171.
190

бражений (до параллельного переноса). Отсюда следует, что
несобственные элементы оригиналов определены вполне и
являются неподвижными. Подсчет параметрического числа р всего
изображения (см. выше) показал, что один параметр остается
неиспользованным. Это позволило нам задать точку А встречи
прямой ОС с поверхностью шара произвольно. Такой выбор ин-
циденции А делает точку О определенной относительно
изображения шара. Однако этого нельзя было бы сделать, если бы
Черт. 172.
взамен точки О мы соединили с центром шара С несобственную
точку оси OZ (или какую-либо другую несобственную точку
изображения осей OXYZ) (черт. 171).
В самом деле, положение несобственной точки оси OZ
является вполне определенным,
и направленная в нее прямая
СА строго определяется
построением. Именно, строим
треугольник следов LMN и
находим совмещение 0\N оси OZ.
Совмещение СА\ прямой С А
должно быть параллельно
OxN{CAx || OiN). По
совмещению А\ находим затем точку Л,
в которой прямая,
соединяющая центр шара с
несобственной точкой оси OZt пересекает
поверхность шара.
Пример 2. Изображены два шара с проницающими их
прямыми АВ и CD (черт. 172).
Как и в предыдущем случае, данное изображение Ф состоит
из двух полных: Ф = ф1 + ф2. Параметрическое число р
изображения Ф равло 7 (р = 7). Так как оба частных изображения <pi
Черт. 173.
191

и ф2 метрически определенны, то шесть параметров
израсходованы и остается лишь один свободный параметр. Можно
потребовать поэтому, чтобы прямые АВ и CD пересекались (в точке
М). Такое требование равносильно заданию одного параметра
(точка М изображения ф1 становится определенной относительно
изображения фг). Поэтому изображение остается верным.
Однако такое требование было бы невозможно для прямых
А'В' и C'Df (черт. 173), так как изображения этих прямых АВ и
CD параллельны и точка их пересечения оказалась бы
'несобственной. Как было уже выяснено выше, такое условие не может
быть наложено. Наоборот, положение прямых А'В' и CD' в
пространстве определено до параллельного переноса.

ГЛАВА VII
ПРАКТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ И ПРИМЕРЫ
§ 41. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ
Метод построения изображений, описанный в этой книге,
может быть применен каждым преподавателем в его
педагогической работе. Для этого надо овладеть лишь тем несложным
материалом, который изложен в главах III—VI предлагаемой
книги. Однако надо иметь в виду, что иногда даже в курсе
средней школы встречаются сложные для выполнения изображения
пространственных фигур. Они требуют от преподавателя
предварительной подготовки для успешного выполнения их в
классной обстановке (например, мелом на доске). Педагог,
готовящийся к очередному уроку, не должен упускать из виду
подготовки всех чертежей и изображений, которые потребуются
в процессе занятий. Вообще, помимо теоретического вооружения,
преподавателю необходима еще практика, которая может
складываться как из выполнения изображений во время
преподавания, так и из тренировочных упражнений перед уроками.
С целью облегчить преподавателю применение
параметрического метода построения изображений, в настоящей главе
разобраны примеры изображений, взятых из основных школьных
учебников и пособий. Эти изображения сопровождают ту или
другую теорему или задачу. Их выполнение в условиях классных
занятий зависит от многих факторов, которые должны быть
учтены педагогом. Так, мы уже говорили (см. гл. I), что эти
изображения должны обладать принципиальной верностью и
быть в то же время наглядными и хорошо передающими
содержание задачи или теоремы. Вместе с тем они не должны
содержать ничего лишнего, что не требуется по смыслу рассуждения.
Как уже было выяснено, предлагаемый метод в условиях
педагогического процесса обладает преимуществами перед обычными
методами начертательной геометрии. При этом все теоретические
предпосылки и подсчеты преподавателя остаются незаметными
для аудитории, так как они нужны лишь ему самому. Но, кроме
этого, преподаватель должен обдумать еще, какое именно
изображение желательно сделать в данном случае, какие детали
могут быть опущены без ущерба для дела.
193

Особенно существенным является вопрос о
числовых данных. Те числовые данные в условиях задачи
или теоремы, которые не оказывают непосредственного влияния
на геометрическую сторону задачи и геометрическое ее решение,
не следует учитывать. Изображение выполняется так, как будто
эти числовые величины не заданы, а соответствующие им
геометрические элементы могут быть выбраны произвольными по
размерам. Ясно, что это позволяет отказаться от некоторого
количества условий, которым должен удовлетворять оригинал, а
следовательно, упрощает построение изображения. Применение этого
принципа показано на рйде примеров, разобранных ниже. После
прочтения теоретической части книги преподаватель обратится
к изучению изображений, помещенных в последней главе.
Внимательный анализ этих изображений постепенно приведет
преподавателя к выводу о необходимости применять принципы
параметрического метода в повседневной педагогической работе.
Останется лишь путем практики выработать у себя навыки
выполнения таких изображений.
Примеры, приведенные ниже, умышленно взяты из тех
пособий, которые являются «настольными книгами» каждого
преподавателя математики. На этом хорошо знакомом материале
преподаватель скорее всего добьется успеха в выполнении
изображений.
Перейдем к анализу таких примеров. Вначале рассмотрим те
чертежи, которые предполагаются при решении геометрических
задач. Вот несколько при-
1а меров из задачника Рыб-
I кина (Н. Рыбки н, Сбор-
1 ник задач по геометрии,
ч. II,- 1940).
Задача 10. (§ 1).
Определить
геометрическое место точек
в пространстве,
равноудаленных
от всех точек
данной окружности
или от трех точек,
Черт. 174. не лежащих на
одной прямой.
Искомым геометрическим местом является прямая а,
проходящая через центр О окружности (во втором случае —
окружности, определяемой тремя данными точками Л, В и С) и
перпендикулярная к плоскости этой окружности.
Изобразим плоскость а и на ней окружность совершенно
произвольным эллипсом (черт. 174). В центре эллипса проведем,
вообще говоря, произвольную прямую а. Однако лучше выбрать
направление прямой, совпадающее с направлением малой оси
1У4

эллипса, как это имеет место в ортогональной проекции (см.
§ 11), потому что мы смотрим на предмет обычно прямо, т. е. по
направлению, ортогональному к сетчатке глаза (§ 1).
Примерно в том же роде можно иллюстрировать и второй
вариант задачи (черт. 175). При этом можно и не проводить
эллипса, изображающего окружность, описанную около Д ABC.
Основание О перпендикуляра а (являющееся центром этой
Черт. 175.
окружности) можно выбрать произвольно, но внутри области
центров (см. § 24). Эта область изображена и даже
заштрихована на чертеже, чего, конечно, не следует делать преподавателю
во время выполнения чертежа. Он должен, однако, иметь в виду,
что изображение будет верным лишь при выполнении этого
условия.
Что же касается подсчета параметров, то, как это очевидно,
оба изображения являются полными (их точечный базис состоит
из четырех точек), параметрическое число каждого из них равно
пяти: р = 5. Условия, наложенные на оригинал, требуют задания
четырех параметров [пространственная сопряженная пара (а, а),
плоскость а которой метрически определенна (см. § 26)]. Таким
образом, в обоих случаях остается свободным один параметр.
Задача 15 (§ 1). Из некоторой точки М
проведены к плоскости Р три равные наклонные:
МА = МВ = МС = 1. Показать, что точки Л, В и С
основания наклонных на плоскости Р) 4ежат
на одной окружности, центром которой
служит точка О — проекция точки М.
Окружность, лежащую в плоскости Р, можно изобразить
произвольным эллипсом (эллипс ABC на черт. 176). При этом
плоскость Р становится метрически определенной (два параметра).
Из центра О этого эллипса проводим по произвольному
направлению (однако лучше вертикально) проектирующую ОМ (два
195

параметра) и отмечаем на ней точку М. Наконец, выбрав на
эллипсе, изображающем круг, три произвольные точки А, В и С,
соединяем их отрезками с точкой М. Получим изображение
наклонных: MA, MB и МС. Выполненный чертеж является верным
и имеет в запасе один свободный параметр.
Черт. 176.
Задача 17 (§ 1). Из некоторой точки
пространства проведены к данной плоскости
перпендикуляр, равный
6 см, и наклонная
длиной 9 см. Найти
проекцию
перпендикуляра на
наклонную.
Ясно, что числовые
значения (длина
перпендикуляра — 6 см и длина
наклонной — 9 см) не
влияют на геометрическое
решение задачи. Поэтому
и чертеж к <ней может
быть выполнен без учета
этих данных. Мы получим
условное изображение, в котором ее все условия задачи
использованы, что упростит выполнение изображения.
Проводим из точки М произвольно перпендикуляр МА (два
параметра) и наклонную MB (черт. 177). Также произвольно
изображаем перпендикуляр из точки А на прямую MB (один
параметр), соблюдая лишь требование, чтобы точка С лежала
на отрезке ВМ. (Если числовые значения, указанные в задаче,
были бы приняты во внимание, то точка С строилась бы и не
могла бы быть выбра-на произвольно. Действительно треугольник
А'В'М был бы метрически определен. В нашем построении
форма этого треугольника определяется двумя парами сопряжен-
Черт. 177.
196

ных направлений: A'Mf_}_А'В'\ CM'J^B'M'.) Изображение
сохраняет два свободных параметра.
Задача 1 (§ 2). Ребра основания
прямоугольного параллелепипеда имеют длину 4 см и 3 см\
высота параллелепипеда равна 5 ^. Найти его
диагональ и угол диагонали с плоскостью
основания (черт. 178).
Черт. 178.
Параллелепипед изображен совершенно произвольно (пять
параметров, если считать, что форма его определена числовыми
данными задачи). Имеем классический пример применения
первой теоремы существования (теорема
Польке, § 9), откуда и заключаем о
верности изображения.
Задача 4 (§ 4). Определить
величину двугранного угла, если
точка, взятая на одной из
граней, отстоит от ребра
вдвое далее, чем от другой
грани.
Изобразим двугранный угол (а, (3)
(черт. 179). Отметим произвольную точку
А на грани а и проведем линию АС
(произвольного направления), сопряженную
ребру двугранного угла s (^'C'-Ls')-
Проведем (также произвольно) из
точки А прямую АВ, сопряженную
плоскости p^'B'-Lp'). Плоскость А'В'С,
очевидно, перпендикулярна к прямой s'
(A'B'C'A-s'). Следовательно, имеем пространственную
сопряженную пару (s, пл. ABC). С другой стороны, форма прямоугольного
треугольника А/В/С/ известна, так как по условию А'С — 2А'В\
Таким образом, имеем случай (теорема 2, § 26), соответствую-
Черт. 179.
197

щий заданию четырех параметров. Следовательно, чертеж 179
верно передает условия задачи. Один параметр изображения
остается свободным.
Задача 10 (§ 5). В трехгранном угле ребра
взаимно перпендикулярны. Внутри его из
вершины проведен отрезок, проекция которого
на каждое из ребер равна 1. Найти его
проекции на грани. Сделать чертеж.
На этот раз требование сделать чертеж входит в условие
самой задачи. При его выполнении должно быть обращено
внимание на хорошую
видимость (.наглядность)
изображения, а также на
порядок
(последовательность) изображения его
элементов. Этот порядок
должен соответствовать
содержанию задачи
(вначале изображаются
данные, а затем искомые
элементы).
Изображаем
произвольно прямоугольный
трехгранник OXYZ (черт.
180). Проводим также
произвольно отрезок ОМу
о котором идет речь в
условии задачи. Наконец,
произвольным отрезком МА изображаем перпендикуляр,
опущенный из точки М на ребро трехгранника ОХ. Получаем точку А,
причем отрезок 07Р= 1 (по условиям задачи). После этого
изображение стало метрически определенным.
Все остальное в нашем чертеже может быть построено. Так,
проводя ММ3 || OZ и АМ3 \\OY, получим точку М3 — проекцию
точки М на грань OXY. Далее, проводя М3В \\ ОХ, находим
точку В, являющуюся проекцией точки М на ребро OY. Затем
находим аналогичным образом точки Mi, С и М2.
Таким образом, получили верное изображение, так как
фигура OAM3BCM2MMi представляет собой в оригинале куб
(О'А' = 0'ВГ = О'С = 1), а отрезок ОМ — диагональ этого
куба, удовлетворяющая всем условиям задачи. Отрезки ОМ3,
ОМ2 и ОМ\ являются в оригинале проекциями отрезка ОМ на
грани данного трехгранного угла.
Следует отметить, что произвольный выбор некоторых
элементов изображения позволяет нам сделать чертеж хорошо
видимым (наглядным). Этого могло бы не оказаться при
предварительном выборе способа проектирования. Например, если бы
изображение было выполнено в прямоугольной диметрической
Черт. 180.
198

п^екции (-2-:1:1) (см. черт. 4) или во фронтальной
косоугольной проекции (у: 1 : 1) (см. черт. 3), то изображение отрезка
ОМ накладывалось бы на изображение его проекции на грань
OYZ.
Задача 8 (§7). Ребро куба равно а. Найти
кратчайшее расстояние от диагонали до не
пересекающего ее ребра (черт. 181).
Д
Черт. 181.
Куб изображаем как обычно, задавая произвольно
прямоугольный масштабный трехгранник В (Л, Ви С). В задаче речь
идет о кратчайшем расстоянии от диагонали BD\ до ребра СС\,
Чтобы определить кратчайшее расстояние этих двух
скрещивающихся прямых, проектируем их ортогонально на плоскость
верхнего основания куба. Диагональ BD\ спроектируется
отрезком B\D\, а ребро СС\ —точкой Си Поэтому кратчайшее
расстояние этих двух прямых изображается отрезком С\Р\
{С\Р\'A-B\D\f). Отрезок PQ — есть их общий перпендикуляр.
Задача 8 (§9). В правильную четырехугольную
пирамиду вписан куб так, что четыре его
вершины находятся в плоскости ее основания.
Определить ребро куба, если в пирамиде
сторона основания равна а, а высота равна Н
(черт. 182).
Примем произвольный параллелограмм ABCD за квадратное
основание пирамиды. Затем строим диагонали основания АС и
BD и проводим высоту OS произвольного размера. Соединяя
вершину 5 с вершинами основания ABCD, получаем
изображение правильной четырехугольной пирамиды. Далее, на
диагоналях АС и BD основания, отмечаем вершины Л о, Во, С0 и DQ ооно-
199

вания вписанного куба так, чтобы параллелограмм A0BoCoDo бЖл
подобен параллелограмму ABCD. После этого находим верхнее
основание куба, вершины которого лежат на ребрах пир^лиды,
проводя через вершины нижнего основания прямые,
параллельные высоте пирамиды.
Черт. 182.
Задача 22 (§ 10). Основанием пирамиды служит
равносторонний треугольник со стороной а;
одна из боковых граней также
равносторонний треугольник и перпендикулярна к
плоскости основания. Определить боковую
поверхность этой пирамиды (черт. 183).
Черт. 183.
Изобразив при помощи произвольного треугольника ABC
основание пирамиды, являющееся в оригинале равносторонним
треугольником (два параметра) строим затем вторую грань Л CD,
перпендикулярную к первой (один параметр). Так как
J\ACD является изображением равностороннего треугольника в
200

оригинале, то плоскость ACD метрически определенна (два
параметра). Построенное изображение пирамиды является
верным и метрически определенным, так как форма тетраэдра ABCD
в оригинале известна (пять параметров).
Задача 10 (§ 13). Через верхний конец
образующей цилиндра под углом в 45° к ней проведена
касательная к цилиндру. Радиус основания 1 м,
высота цилиндра 4 м. Определить расстояние
касательной от центра каждого основания.
Черт. 184.
К этой задаче в задачнике Рыбкина дается чертеж (22),
который воспроизведен на чертеже 184. Чертеж этот неверен '.
Основная ошибка его заключается в том, что линия пересечения
координатных плоскостей, ось XN, является сопряженной как
направлению другой оси; так и диаметру ON, хотя две последние
прямые не параллельны.
Верное изображение дано на чертеже 185. Оно может быть
выполнено в значительной мере произвольно, и лишь строится
перпендикуляр NL, так как на вертикальной (касательной к
цилиндру) плоскости имеются две сопряженные пары (стороны и
1 В последних изданиях задачника Рыбкина чертеж 22 дан в
улучшенном виде.
201

диагонали квадрата). Очевидно, что прямая NL должна быть
проведена параллельно второй диагонали этого квадрата/
Задача 30 (§ 3). Около правильного октаэдра
описан цилиндр (ось цилиндра совпадает с осью
октаэдра). Две вершины октаэдра лежат в центрах
оснований цилиндра, а остальные четыре — на
боковой поверхности его. Ребро октаэдра а =
= 10 см. Найти боковую поверхность цилиндра*
Черт. 185.
Удобнее выполнить соответствующие этой задаче построения
в следующем порядке (черт. 186). Строим произвольно среднее
плоское сечение цилиндра (эллипс). В последнее вписываем
параллелограмм, позаботившись, однако, о том, чтобы диагонали^
параллелограмма (с которых и начинается построение послед»
него) были сопряженными диаметрами эллипса. Все остальное
ясно из чертежа. Полученное изображение является верным и,
конечно, метрически определенным \
Задача 12 (§ 14). О б р а зу ю щ а я конуса 13 см,
высота 12 см. Конус этот пересечен прямой MN>
1 В самом деле, форма любого тетраэдра, являющегося частью изобра-»
женного правильного октаэдра, определена в оригинале.
202

параллельной основанию; расстояние ее от
основания равно 6 ел*, а от высоты 2 а Найти
отрезок этой прямой, заключенный в конусе.
Черт. 186.
Эта задача может быть иллюстрирована чертежом 187.
В данном случае, выполняя чертеж, нет необходимости
учитывать данные размеры отрезков, так как геометрическое решение
Черт. 187.
задачи не зависит от числовых данных. Поэтому, согласно
выраженному выше принципу (стр. 176), можно упростить задачу
построения изображения, игнорируя числовые данные.
Предложенный чертеж строим совершенно произвольно: сначала конус,
затем сечение в точке 0\ его высоты и, наконец, прямую ММ
203

в плоскости этого сечения. Перпендикуляр 0\В проходит через
середину В хорды CD.
Задача 34 (§14). В конус вписан цилиндр, у
которого полная поверхность равновелика
боковой поверхности конуса. Наибольший угол
между образующими конуса равен прямому.
Доказать, что расстояние от вершины конуса
до верхнего основания цилиндра равно
половине образующей конуса.
Чертеж, иллюстрирующий эту задачу, может быть выполнен
следующим образом (черт. 188). Строим эллипс, изображающий
Черт. 188.
основание конуса, вполне произвольно (два параметра). В
центре его О проводим произвольно высоту конуса 05 (два
параметра). Касательные из точки 5 к эллипсу основания являются
очерковыми. Если АВ — диаметр эллипса, то SAB — осевое
сечение. Треугольник S'A'B' — прямоугольный {/_AfS'B' = 90°) и
равнобедренный (A'S'= B'S') по условию. Поэтому имеем:
O'S' = О'А' (один параметр). Таким образом, мы получили
верное, метрически определенное изображение (пять параметров).
Далее можем построить вписанный в конус цилиндр, выбрав
центр верхнего основания в произвольной точке 0\ на оси OS
конуса. Тогда на диаметре 0\ВХ строим верхнее основание
цилиндра — эллипс, подобный эллипсу основания конуса.
Остальные построения уже не представляют затруднений. Заметим, что
после того как требуемое в задаче будет доказано, а именно, что
/ / A'S'
OiS =—2~> возникает вопрос о построении на нашем
(метрически определенном) изображении точки Оь удовлетворяющей
этому условию. Такое построение показано отдельно на том же
чертеже. Именно, берем CS — -^OS и строим равнобедренный
204

прямоугольный треугольник SCD. Тогда SOi = SD представляет
искомое расстояние.
Задача 44 (§ 16). Основанием наклонного
параллелепипеда служит параллелограмм ABCD,
вкотором АВ = 3 дм, AD = 7 дм и BD = 6 дм.
Диагональное сечение АА\С\С перпендикулярно
к плоскости основания и равно 1 ж2. Определить
объем параллелепипеда.
Изображаем произвольно основание ABCD наклонного
параллелепипеда (черт. 189) и весь параллелепипед ABCDAiB\C\D\~
Черт. 189.
Наложенные на параллелепипед условия определяют форму
треугольника ABD (два параметра), устанавливают
перпендикулярность сечения АА\С\С к плоскости основания (один
параметр) и дают величину площади сечения (один параметр). Таким
образом, получаем верное изображение с одним свободным
параметром.
Задача 52 (§ 16). Основанием наклонной призмы
служит равносторонний треугольник со
стороной а; одна из боковых граней
перпендикулярна к плоскости основания и представляет
собой ромб, у которого меньшая диагональ
равна с. Определить объем призмы.
Выполним изображение призмы произвольно (черт. 190).
Тогда форма тетраэдра АВСА\ в оригинале определена
условиями задачи: /\А'В'С' равносторонний; ДЛ'С'Л'] имеет стороны
А'С = А'А\ = а и С'А'\ = с\ плоскости этих треугольников
взаимно перпендикулярны. Так как изображение наше полное,,
то оно и метрически определенное.
Задача 15. (§ 18). Правильная четырехугольная
усеченная пирамида срезам а с двух
противоположных боков двумя плоскостями,
205

проведенными через концы диагонали
верхнего основания перпендикулярно к этой
диагонали. Определить объем оставшейся части
усеченной пирамиды, если ее высота Л, а
стороны оснований а и Ь. Сделать чертеж.
Черт. 190.
Произвольный параллелограмм ABCD принимаем за
основание пирамиды (в оригинале квадрат) (черт. 191). Проводим
высоту 05 пирамиды по произвольному направлению (лучше
Черт. 191.
вертикальному). Затем через произвольную точку А\ ребра AS
проводим диагональ А\С\ верхнего основания и строим само
верхнее основание i4iBiCiDi усеченной пирамиды. Через концы
А\ и С\ диагонали проводим секущие плоскости A\LK и C\MNy
перпендикулярные к этой диагонали, а следовательно, и к пло-
.206

скостям обоих оснований. Таким образом, требуется определить
объем тела (многогранника) A\BXC\D\KLBNMD.
Задача 9 (§ 19). В усеченном параллелепипеде
три боковых ребра по порядку имеют следую-
щу ю дл и ну: 15 см, 23 см и 18 см. О п редел и ть
четвертое боковое ребро.
В этой задаче числовые значения боковых ребер не
оказывают влияния на ход решения задачи и соответствующий
чертеж. Поэтому последний разумно выполнить, игнорируя
числовые величины ребер параллелепипеда (черт. 192). Построение
Черт. 192.
чертежа начинаем с основания ABCD, которым может служить
произвольный параллелограмм. Направление боковых ребер
выбираем произвольно (но не вертикальное). Верхнее основание
параллелепипеда ^iBiCiDi строим при помощи проектирования
нижнего основания по направлению боковых ребер (образующих
параллелепипеда). При этом три точки (например, А\, В\ и С\)
можем задать на ребрах параллелепипеда произвольно. Затем
строим диагональ А\Си находим на ней точку 0\
(проектированием точки О) и определяем точку D\, как точку пересечения
диагонали В\0\ с соответствующим ребром. Сама задача легко
решается, если принять во внимание, что
ОО.^^АА+СС^^ВВг + ОО,).
Задача 1 (2) (§ 20). Через середину радиуса
шара проведена перпендикулярная к нему
плоскость. Как относится площадь
полученного сечения к площади большого круга?
(Черт. 193).
Проводим произвольный радиус ON шара и строим его
совмещение ON и Через середину Mi радиусп ONx проводим
207

совмещенный диаметр C\D\ сечения. Проектируя его на линию
ON, получаем точки С и D — вершины эллипса, изображающего
сечение (CD — его малая ось). Большая ось АВ = C\D\. По осям
строим эллипс — сечение ABCD. Следует помнить, что при
изображении шара в виде круга мы
имеем ортогональную проекцию.
Изображение является метрически
определенным.
Задача 27 (§ 23). В о к р у г ш а-
ра описан цилиндр. Найти
отношение их
поверхностей и объемов.
Строим очертание шара с
центром в точке О, экватор и полюсы
N и S (черт. 194). Экватор
является, очевидно, линией прикосновения
Черт. 193. шара к описанному цилиндру, а
полюсы N и S—точками
прикосновения шара к основаниям цилиндра. Основания цилиндра кон-
груентны экватору шара и расположены с ним в параллельных
плоскостях. Отсюда получаем простой способ изображения
описанного цилиндра: строим два эллипса с центрами в точках N и
Черт. 194.
S, конгруентных и одинаково расположенных с экватором шара;
крайние (очерковые) образующие параллельные оси цилиндра
NS и касаются трех эллипсов.
Примечание. В задачах на вписанные и описанные тела
более сложного типа бывает выгодно придать изображаемой
фигуре простейшее (каноническое) положение. В таком
положении построение изображения весьма упрощается, хотя и
происходит за счет некоторого проигрыша в наглядности. Однако
20S

для решения задачи наглядность такого канонического
изображения остается достаточно удовлетворительной. Иллюстрацией
сказанному могут явиться следующие задачи.
Задача 19 (§25). В равносторонний конус
вписан полушар так, что большой круг полушара,
находится в плоскости
основания конуса. В каком
отношении окружность касания
делит боковую поверхность
полушара и боковую
поверхность конуса?
Ось конуса 05 располагаем
параллельно плоскости изображений (черт.
195). Тогда очертанием конуса явится
равносторонний треугольник ABS.
Круг основания конуса изобразится
отрезком АВ, а центр основания —
точкой О. Эта точка является по условию
и центром полушара, вписанного в
конус. Очертанием полушара будет полукруг с
О, касающийся очерковых образующих AS
Отрезок CD, соединяющий точки касания С и
Черт. 195.
центром в точке
и BS конуса.
Д является
изображением линии прикосновения
полушара к конусу.
Задача 22 (§ 25) .В
равносторонний конус с
образующей а вписан шар, а в него
вписан куб. Определить
ребро куба.
Конус, как и в предыдущем случае,
изобразим в виде равностороннего
треугольника ABS (черт. 196). Высоту
конуса SSo делим в отношении 2:1.
Получим центр вписанного шара О.
Очертание шара изобразится кругом,
вписанным в треугольник ABS. Грань
куба, вписанного в шар, предполагаем параллельной плоскости
изображений. Тогда для построения проекции грани куба KLMN
поступаем следующим образом. Откладываем S0D = S0C и
соединяем точку D с центром О. Прямая DO пересекает
окружность очертания в точке Е. Опускаем из точки Е перпендикуляр
ЕК на диаметр ОС. Будем иметь:
Д КОЕ со Д S0DO;
поэтому
КО
S0D У 2
так как S0D = S0C = S0OV%.
КЕ ~ SQ0 ~ 1
Это отношение и должно иметь место, так как КО — половина
209

диагонали грани куба, а КЕ — половина его ребра (ср. § 38,
черт. 1636). Откладывая OL = OM = ON = OK, получаем
проекцию KLMN грани вписанного куба.
Заканчивая примеры построения изображений (чертежей),
необходимо еще раз подчеркнуть особое положение тех
изображений, которые содержат очертание шара (ср. гл. VI, § 35). Эти
изображения приходится выполнять в ортогональной проекции;
они являются к тому же метрически определенными
(предполагая полноту
изображений). Отсюда следует, что
в изображениях такого
рода параметрический
метод иногда должен
уступить место обычным
приемам начертательной
геометрии. Поэтому задача
заключается здесь в том,
чтобы выбрать наиболее
Черт. 197а. подходящие способы
проектирования с точки
зрения их осуществления в условиях педагогического процесса. Как
было видно из приведенных примеров (в гл. VI и VII),
построение наглядных изображений выполняется сравнительно просто
не во всех случаях. Так, в двух последних задачах, взятых нами
из задачника Рыбкина, построение наглядных чертежей
потребовало бы значительной затраты времени, и, следовательно, оно
Черт. 1976.
неудобно в условиях педагогической работы. Мы
воспользовались в этих случаях «каноническими» изображениями, хотя и не
обладающими большой наглядностью, но дающими
геометрическую схему решения задачи.
Отметим, что в учебной и методической литературе
встречаются попытки разрешить тем или иным способом указанную
проблему. Так, в цитированной уже статье В. Падучева (см.
сноску на стр. 179) автор стремится получить наглядное
изображение при помощи косоугольной («кабинетной») проекции, но
210

при этом он вынужден отказаться от изображения шара его
очертанием и довольствоваться лишь тем или другим сечением шара.
В большинстве же случаев авторы руководств изображают на
одном и том же чертеже шар в ортогональной проекции,,
а остальные фигуры — в косоугольной. Чертеж 138 из учебника
Киселева (Геометрия, ч. II, 1940) является типичным примером
такого изображения (черт. 197«). Как он должен выглядеть,
если сохранить ортогональную проекцию для всего изображения,
показано на чертеже 1976. Вообще ясно, что при выборе для
изображений фигур косоугольной проекции (кабинетной или
какой-либо другой) приходится отказываться от изображения
шара в виде круга.
§ 42. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Как видно из предшествующего, в обстановке
педагогического процесса является необходимость прибегнуть к
параметрическому методу изображений. Этот метод наиболее отвечает
специфическим условиям аудиторного преподавания (см. гл. I).
Напротив, обычно рекомендуемые приемы построения
изображений по правилам кабинетной или какой-либо другой проекции
не всегда применимы и удобны в условиях педагогического
процесса. Чаще всего преподаватель делает изображение
произвольно, стараясь придать ему наибольшую наглядность. При
этом он, не опираясь ни на какую теорию, впадает в ошибки
и не может отличить верных чертежей от неверных. Изучение
изложенного здесь параметрического метода может, как полагает
автор, оказаться полезным в этом случае. Метод этот вполне
доступен каждому педагогу-математику; требуется лишь
дополнительно к ознакомлению с теорией проделать некоторое
количество упражнений. Материалом для последних могут служить
примеры и задачи, обычно предлагаемые в средней школе
(в частности, из задачников Л. М. Лоповка, Н. Рыбкина,
Б. Б. Романовского и др.)- Кроме того, педагог, усвоивший
изложенные в этой книге положения, без труда найдет обширный
материал для упражнений из практики своего собственного
школьного преподавания. Однако, как уже было упомянуто,
овладение в совершенстве приемами построения
стереометрических изображений дается лишь в результате серьезных занятий
и упражнений. Необходима подготовка к каждому уроку.
В преподавании можно различить два совершенно различных
по своим целям момента применения изображений
пространственных фигур. Первый — изображения,
сопровождающие объяснения учителя (иллюстрирующие
чертежи); второй — изображение фигуры, заданной
по условиям задачи, на котором должно быть
найдено построением решение задачи
(решающие чертежи).
211

В первом случае преподаватель, пользуясь параметрическим
методом, может расширить свои возможности, применяя
неполные изображения. При этом он стремится избегать решения*
посторонних задач. Во втором случае, наоборот, чертеж,
предназначен для решения на нем задачи построением. Поэтому
преподаватель должен позаботиться о полноте и даже метрической
определенности изображения. Метод решения будет зависеть от
выбранной проекции. Отсюда видно, что педагогу-математику,
наряду с параметрическим методом построения изображений,
нужно хорошо владеть и уметь применять классические методы
начертательной геометрии. Особенно необходимы ортогональные
проекции — как аксонометрические, так и некоторые другие
(с высотными отметками, комплексные эпюры).
Учащиеся получат соответствующие сведения из курса
черчения, если только программы стереометрии и черчения будут
согласованы в этом отношении. Преподаватель геометрии со
•своей стороны должен позаботиться об овладении учащимися
некоторым минимумом по вопросу о построении
стереометрических чертежей. Во всяком случае, он может обосновать ;и развить
на примерах позиционные задачи для полных изображений.
Опыт показал, что упражнения в решении стереометрических
задач на проекционных чертежах вполне доступны учащимся,
развивают их пространственное представление, дают хорошую
подготовку к практическим применениям.

ЛИТЕРАТУРА
Б. Б. Романовский, Задачи на построение в стереометрии, Учпедгиз,
М., 1940.
Б. Б. Романовский, Дополнительный сборник задач по стереометрии,
Учпедгиз, М, 1940.
М. Л. Франк, Геометрический чертеж в курсе стереометрии, Л., 1941.
Н. Ф. Четверухин, Чертежи пространственных фигур в курсе геомет*
рии, Учпедгиз, М, 1946.
Н. Ф. Четверухин, Вопросы методологии и методики геометрических
построений в школьном курсе геометрии, «Известия АПН РСФСР», вып. 6,
1956.
М. X. К е к ч е е в а, Из опыта решения стереометрических задач на
проекционном чертеже, «Математика в школе», 1948, № 5.
Н. П. И р о ш н и к о в, Из опыта обучения решению задач на построение.
Сборник «Из опыта передовых учителей математики», изд. АПН РСФСР, М.,
1950.
Н. Ф. Четверухин, Стереометрические задачи на проекционном
чертеже, изд. 3, Учпедгиз, М., 1951—1952 и 1955.
В. Ф. Китаенко и Н. Н. Поспелов, Как решать задачи по
стереометрии, Рига, 1952.
Н. С. Воробьев, Решение задач по стереометрии методом прямоуголь*
ных проекций, «Математика в школе», 1953, № 3.
Г. А. Назаревский, О развитии пространственных представлений на
уроках геометрии, «Математика в школе», 1951, № 5; 1953, № 3.
A. А. Панкратов, К вопросу об изображении пространственных фигур
в курсе стереометрии, «Математика в школе», 1954, № 3.
К. С. Б о г у ш е-в с к и й, Первые уроки по стереометрии в IX классе,
Учпедгиз, 1955.
Л. М. Л о п о в о к, Збирник задач з стереометрии, изд. Радянська
школа, Киев, 1955.
Г. А. Владимирский и С. Ю. Калецкий, Черчение, ч. II,
Учпедгиз, 1954.
B. А. Волов ник, Проекщйний рисунок при развъязуванш стереоме-
тричних задач у середшй школ1 (Науков записки Мел!топольского
державного педагогичного шституту, т. III, 1956).
213

М. Б. Г е л ь ф а н д, О решении задач на построение сечений
многогранников, «Математика в школе», 1956, № 4.
А. Р. 3 е н г и н, Основные принципы построения изображений в стерео*
метрии, Учпедгиз, М., 1956.
Е. С. К о ч е т к о в а, Сборник задач на построение по стереометрии,
Учпедгиз, М., 1956.
С. Е. Л я п и н, Методика преподавания математики, ч. II, 1956.
М. П. Л я п и н, Что должен знать учащийся средней школы об
изображении пространственных фигур, «Математика в школе», 1956, № 4.
Б. В. Меньших, Задачи на построение в курсе стереометрии,
«Математика в школе», 1956, № 4.
А. А. Панкратов, О построении изображений в стереометрии,
«Математика в школе», 1956, № 4.
Р. С. Черкасов, Сборник стереометрических задач, Учпедгиз, М., 1956.
А. И. Фетисов, Геометрия. Учебник для 9—10 классов средней школы,
ч. II, § 5. Учпедгиз, 1957 г.
И. Г. Польский, Сборник задач на построение на проекционном чер*
теже. Учпедгиз. М. 1958 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
Глава I
Проблема изображения окружности фигур в условиях
педагогического процесса
§ 1. Педагогическая постановка задачи о построении изображений . . 8
§ 2. О методе построения изображений, применимом в условиях
педагогического процесса 15
Глава II
Некоторые вопросы геометрической теории проекций
§ 3. Центральная проекция. Перспективное соответствие плоскости
оригинала с плоскостью изображения 23
§ 4. Параллельная проекция. Перспективно-аффинное соответствие
плоских полей 27
§ 5. Аффинное соответствие двух плоскостей в общем случае.
Приведение аффинных полей в параллельно-перспективное расположение 31
§ 6. Главные направления аффинно-соответственных полей 35
§ 7. Приведение двух аффинно-соответственных полей в ортогонально-
перспективное расположение 37
§ 8. Следствия из теоремы об ортогонально-перспективном
расположении аффинных полей 40
§ 9. Теорема Польке — Шварца (первая теорема существования) ... 43
§ 10. Эллипс как кривая, аффинная окружности 44
§11. Оси эллипса. Эллипс как ортогональная проекция окружности . . 49
Глава III
О полноте изображений
§ 12. Основные плоскости и изображение элементов пространства ... 51
§ 13. Понятие о полных изображениях 54
§ 14. Приемы решения позиционных задач на полных изображениях. 57
§ 15. Примеры ошибочных изображений (сверхполные изображения) . . 70
§ 16. Неполные изображения. Коэффициент неполноты 72
§ 17. Изображение системы точек общего положения 72
§ 18. Приведенные изображения. Относительно полные и неполные
изображения 74
215

§ 19. Отыскание коэффициента неполноты данного изображения.
Точечный базис изображения 76
§ 20. О задачах на построение инциденций на изображении
(позиционные задачи) 83
§ 21. Изображение многогранников 93
Глава IV
Параметрическое исчисление полных изображений
§ 22. Метрическая определенность и параметраж полных изображений 96
§ 23. Аффинная определенность изображений в параллельной проекции 99
§ 24. О метрической определенности изображений плоских фигур.
Области существования 101
§ 25. Примеры 115
§ 26. О метрической определенности изображений пространственных
фигур. Основные положения и теоремы 122
§ 27. Примеры Вторая теорема существования 128
§ 28. Изображение пространственных сопряженных систем. Высоты
тетраэдра 139
§ 29. Изображение высот тетраэдра 143
Глава V
Параметрическое исчисление неполных изображений
§ 30. Параметраж неполных изображений 146
§ 31. Применение неполных изображений 147
Глава VI
Условные изображения в ортогональной проекции
§ 32. Видимый контур и очертание тела в параллельной проекции . . . 156
§ 33. Видимый контур и очертание шара 157
§ 34. О метрической определенности полных изображений в
ортогональной проекции 160
§ 35. Изображение шара и связанные с ним задачи 167
§ 36. Сечение шара плоскостями 170
§ 37. Полные изображения, содержащие очертания шара 177
§ 38. Шар, описанный около тетраэдра. Многогранники, вписанные
в шар 178
§ 39. Многогранники, описанные около шара 182
§ 40. Неполные изображения в ортогональной проекции 18,9
Глава VII
Практические выводы и примеры
§ 41. Анализ примеров 193
§ 42. Заключительные замечания 211
Литература 213-