Л- КОЛМОГОРОВ
ВВЕДЕНИЕ
В АНАЛИЗ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА•1966
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
А. Колмогоров
При изучении математического анализа перед учащимися мате
магических школ возникает дилемма: обращаться к болью учебни-
кам университетского типа, или к упрощенным учебникам дин техни-
кумов и технических вузов с небольшой программой математики. Нер-
вна очень объемисты, а вторые не удовлетворяют понятному стремле-
нию учащихся математических икол к современному "строгому" и до-
статочно общему изложению основ анализа.
Публикуемое небольшое пособие имеет своей целью помочь тем
учащимся, которые желают хотя бы в предварительном порядке но-
знакомиться с "университетским" стилем отношения к началам ана-
лиза. Оно, конечно, не может заменить настояний полный учебник.
В пособии приведены задачи самой разной трудности. Число
их ограничено и выбор довольно случаен, они не претендуют на
больнее, чем на указание характера задач, которые мне кажутся
желательными при прохождении изложенных в пособии тем. В реаль-
ном школьном преподавании их должно быть значительно больше.
ГЛАВА I
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
§ I.	Арифметика целых неотрицательных чисел /повторение/
Обозначения О. € jA, f 4 6 ЛЬ
/ О, принадлежит множеству ЛЬ t £ не принадлежит ЛЬ /.
I.	Бесконечное множество целых неотрицательных чисел
t о,1,1,... },
Множество натуральных чисел	}
2.	Сложение С = а *
- операция всегда выполнимая в пределах
3.	& < / в том и только в том случае, когда существует
X € У|/ ДЛЯ которого CU * X S % ,
4» С * Ос-6, если в+е = Ои . Вычитание - однозначная опе-
рация, выполнимая в пределах J/ в том и только в том случае
когда / £ & .
5. Умножение
С = Сив
- операция, всегда выполнимая в пределах И/
7. Деление с остатком, ясли Си ь J/ } £ €	, то
однозначно определены / и г е / , для которых
f t 7 Г < 4.
При этом	называется "целой частью частного ",
X - остаток при делении & на ,
Коли t > О , то говорят, что Си делится на ,
2
или Л есть кратное числа в , или & есть делитель
числа (L
8. Десятичная система счисления»
Для любого (X е 4# * последовательным делением на десять
получаем: О, = 10 Сс0 + 40 >	4 10
Сс0- 10	> а : /О3^ +	4 10 ,
ci^ioat-t-€t , cl - /0*^+	+ Ъ } ю ,
Процесс этот заканчивается, когда /на каком-то шагу с номе-
ром / получим
= О
Таким образом, любое число	представляется в виде
а. /*"'4-, <'••••* 'Ч * £ >
где
О <	< 10 f о &	< 10	при Л < Их
Число Си записывается в виде
и-- ij...... <,t.
§ 2. Двоичная система счисления и система счисления с
произвольным основанием.
легко понять, что в § 1.8 вместо числа 10 можно было
взять любое целое of > I. например, в результате последова-
тельного деления на 2
39	I
19	I
91	/в правой колонке записаны
ч	0	остатки/
2	0
I	I
получаем
39 » z5 + г2 + г + i,
т.е. в двоичной системе счисления
39 «Ш01ГГ
/er некоторое время двоичную запись для отличения от десятичной
отмечаем чертой сверлу/.
Пример перехода от двоичной записи к десятичной:
loioiooi » 1 + г3 + г5 + г7 = I + в + зг + 128 » 169.
Следует научиться выполнять четыре арифметических действия
в двоичной и любой другой системе счисления. В двоичной системе
очень просто выполняется и вычисление квадратных корней.
ПРИМЕР:	« ilOi • /3
77?
•iol
—7/001
•LLOOj,
§ 3. Наименьшее общее кратное и наибольшим общим делитель.
В этом параграфе мы будем иметь дело только с натуральны-
ми числами, лишь для остатков при делении в ходе доказательств
будет допускаться значение 0.
Наименьшим кратным двух натуральных чисел Л- и i назы-
вается наименьшее из натуральных чисел, делящихся как на Ос, ,
так и на I . Оно обозначается
/И < [Ъ,£]
так как одним из общих кратных чисел & и / является их
произведение схА и каждое общее кратное чисел а и £
должно делиться на Л , то для нахождения /М достаточно
проверить делимость на £ чисел а*,	всь.
ТЕОРЕМА I. Любое общее кратное ГЛ чисел 6L и £
делится на их наименьшее общее кратное •
4
3 самом даме, Л! можно представить в виде
Л1 =	+ t
Остаток £ делится как на Сь , так и на / . Но, так как
этот остаток меньие /ft , то он может быть только нулем.
Любые два натуральные числа имеют общий делитель I. Так
как каждый их общий делитель не превосходит каждого из них, то
существует их наибольший общий делитель
d «= (а, 6 )
ТЕОРЕМА 2. Всегда
же/ = а£ t
»•••	al
' [аУ]
Любой общий делитель £) чисел О. и I является делителем
их наибольшего общего делителя d .
Доказательство. Так как произведение && есть общее
кратное чисел Л- и I , то в силу теоремы I оно делится
на /ft • Целое число	.
d " ит.
является делителем а. и / , так как
а, _ ж t /п
7 - т • ~гг* ъ
где	и	числа целые.
С другой стороны, если S) е<яъ какой-либо общий дели-
тель й. и / , то	.
= £)
будет общим кратным а. и 6 и в силу теоремы I имеет вид
М = А »п
П08"жу
т.е. d ъетъьп на л© .
2-1882	/
Числа и называются взаимно простыми, если
в) * 1
В силу теоремы 2 числа а в € взаимно просты в том и толь-
ко в том случае, когда	•
ТЕОРЕМА 3. Если делитель X произведения вза-
имно прост с Cl , то он является делителем другого множите-
ля $
Доказательство, Если X взаимно просто е а, то
* Х.0^.
По теореме I число сев , являющееся общим кратным X и а ,
должно делиться на Х<Х , а следовательно $ делится
на X .
Для нахождения общего наибольшего делителя служит алгоритм
Эвклида, с которым мы еще несколько раз встретимся. Если
а, ъ
то для нахождения У » (Q,	) поступают так:
а1 *	' *3 < <*2 ,
<*2 * % *3 * % ,	>
Так как
> $ч > •••• >
процесс должен кончиться на том, что при каком-либо шаге оста-
ток будет равен нулю, т.е. получится
6
Докажите» что
о! —•
и будет наибольшим общим делителем чисел Q& и •
§ 4. Разложение на простые множители.
Натуральное число» большее» чем единица» называется
простым» если оно не имеет других делителей кроме самого себя
и единицы. Т.о. единица к простым числам не причисляется.
Первые десять простых чисел таковы:
2,	3, 5, 7, II» 13» 17» 19» 23, 29.
Теорема. Каждое натуральное число	единственным обра-
зом представляется в виде произведения
* в РЛ Рз...- Рк
где числа
р.^рзл... S рк
простые.
Доказательство основано на лемме:
лемма. Если произведение делится на простое чис-
ло Р » то хотя один из множителей Я и делится на р .
Эта лемма является непосредственным следствием теоремыJ
Я из § 3. Только она и нужна нам сейчас из теории, развитой
1 § 3.
§ 5. Положительные скалярные величины.
Вам уже известно много примеров систем скалярных величин:
длины отрезков, площади плоских фигур, ооъемы пространственных
фигур» промежутки времени /минута, пять минут, сутки и т.п./,
массы тел, скорости и т.д. Две величины одной и той же системы
можно сложить и получить величину той &е системы. Две величины,
7
принадлежание одной я «ой же системе-* можно сравнивать. Срав-
нение приводит в одному из трех результатов:
О. < $ , или Л, » /	, или / < Л
Сравнивать величины разных систем бессмысленно /не имеет
смысла вопрос о том* что больие, минута или метр/.
В математике несколько идеализируют свойства реальных
величин и считают, что система положительных скалярных вели-
чин
s / С С ,	}
должна обладать такими свойствами:
I.	Если A,* S я 4 6 S «то имеет место одно
и только одно из соотношений
2.	Если а <4 и t < с , то О. < С
3.	Для любых й€ $ и /е $ определена величина
С « Л-+ f
которая тоже принадлежит £
Ч,	Всегда и + 4 ~	&
5.	Всегда &.+($ + С,) *(&+
б.	Всегда Сь+ 6 > О-
7.	Если Л > € «то существует одна и только одна
величина С « С- /	* Для которой
•в+е. = 0,
8.	Маковы бы ни были й. * $ и натуральное число Л >
суиестлует величина 4 е S , дня которой
л/ • а,
в
9.	Каковы бы ни были CL* $ я , существует та-
кое натуральное число At , что
> Л .
В свойствах 8 и 9 принято обозначение
s 4 + . * • + С
Свойство 8 выражает неограниченную возможность деления на
равные части. Вместо
н/ =Л
Можно доказать, пользуясь свойствами 1-7, однозначность де-
ления /для данных а и п существует только одна величина £
для которой и$ » Л. /.Мы однако не ставим перед собой
задачи формального вывода из свойств 1-9 всех обычных правил
вычислений с величинами.
Свойство 9 называется аксиомой ЭВДОКСА, или АРХИМЕДА.
Она существенна для построения теории измерения величин,
геометрической теории пропорциональных отрезков и теории
подобия геометрических фигур.
§ 7. Измерение величин /I/.
Выберем величину б в качестве единицы измерения.
В силу аксиомы Архимеда для любой другой величины Cl в
ряду
г, it, зе,...
найдется величина, превосходящая Сс. Обозначим через
первое из натуральных чисел, для которого
(4 + 1 ) е. > а
Тогда
9
3-1882
Q
называется целой частью отношения -gr . Очевидно, что
всегда f у] является неотрицательным целым числом
/если а< е у о /.
Будем последовательно делить единицу измерения попо-
лам и т.д.:
Процесс двоичного измерения величины 6L можно те-
перь изиоразить формулами	к
а « % е + оо (£ )
Ос = %et+of	( а, <
°< ’	( ot <е>.)
Неполные частные могут принимать только два значения
О и 1.
Очевидно, при любом п»
15 некоторых случаях процесс двоичного измерения про-
должается неограниченно, причем остатки при любом /t
положительны, например, для
получаем
*• V * *?’* f-- * fe" >
• 0,01010101...
Если при каком-либо At получается точное равенство
s + ’
то будем счжтать, что все дапвейшге неполные частные
10
и остатки равны нулю. Такое соглашение позволяет очи-
тать» что прж жммяаом иэмеренжм всегда получается бес-
конечная последовательность чисел
•••
Положим
Ans +	К г* ‘
& п * Д » * jf*
lento проверить, что
? е - а0 4 А,	* ...< >4„ * ...< а	i №... *63 ±в,
^Я~АЛ<
Эти неравенства позволяют доказать, что последовательность
А/
однозначно определяет /при заданной единице измерения/ ве-
личину ft. . В самом деже, если бы последовательность /1/
получалась в процессе двоичного измерения двух различных
величин ft и ft' > ft, , то при любом п, выполнялось
бы неравенство
ft'- ft S в„- А„ " "f”
из которого вытекает неравенство
/2/
Но соблюдение неравенства /2/ при любом п противоречит
аксиоме Архимеда.
х/ Покажите, что
Л » /л "рг >
где

н
Получаемая в результате двоичного измерения последова-
тельности /I/ обладает такими свойствами:
/а/	- целое неотрицательное, - нуль, или
единица;
/б/ хотя бы одно на чисел последовательности положитель-
но;
/в/ среди чисел бесконечное число нулей.
Естественно поставить вопрос, что получится, если взять
произвольную последовательность чисел /I/, обладающую свой-
ствами /а/, /б/, /в/. Не будет ли всегда такой последователь-
ности соответствовать величина Л , из которой заданная
последовательность получается при вдоичном измерении? Положи-
тельный ответ на этот вопрос получается, если потребовать,
чтобы система величин ё обладала еще одним свойством:
Ю. Аксиома существования верхней грани у ограниченной
неубывающей последовательности. Если
< Q, 4 ... 4	* ... 6 4 ,
то среда величия, не меиьиих любой величина , существу-
ет наименьшая:
О. »	й*.
§ 8. Положительные действительные числа.
Результаты предаествующего параграфа могут быть изложе-
ны кратко так: выбрав единицу измерения при помощи
процесса двоичного измерения, получаем взаимное соответствие
между величинами системы S » обладающей свойствами 1-10 и
числовыми последовательностями со свойствами /а/ - /в/:
а. — «, М.
У2
Можно по определению считать, что последовательность
d •
есть число, величина же & получается в результате умноже-
ния единицы измерения в на число & :
CL * Лв
Сравните такой подход с § 6 второй части алгебр» Киселе-
ва, где говорится: "десятичные бесконечные непериодические
дроби называются иррациональными числами". Существует еще
много способов введения действительных чисел, которые свя-
зывают самое определение действительного числа с тем или
иным способом записи /обозначения/ числа: по десятичной
или двоичном системе счисления и т.п.
Можно, однако, избежать обращения в самом определении
к специальному способу записи числа. К такому способу вве-
дения действительных чисел мы и переходим.
В формуле
а! - /to,
где Л натуральное число, можно считать натуральное число
"оператором", который любой величине Л системы S
ставит в соответствие новую величину й! той же системы.
Наши операторы обладают свойством аддитивности: при люоых
£	и £	.
n,	i)	пё
Умножением на	натуральные	числа не	исчерпываются	адди-
тивные операторы над	величинами.	Таков же,	например,	опе-
ратор 4 -fib* Ш п”
который можно обозначить
fl - 7С
4-1882
Если не делится на Л , то это дрооное число»
ТЕОРЕМА. Любой аддитивный оператор в системе величин
$ » обладающий свойствами I—10 из §§ 6-7 представляется
в виде
= fl а. = iOf ,
где
= т *-**кг*
и последовательность
обладает свойствами /а/ - /в/ из § 7.
Указание» Докажите сначала такую лемму: аддитивный оператор
на системе положительных величин монотонен, т.е. для аддитив-
ного из &><L вытекает
> У а.
После этого доказательство теоремы уже не трудно.
Теорема окончательно уоеждает нас в разумности такого
определения: положительное действительное число - это адди-
тивный оператор в системе положительных величин со свой-
ствами 1-10.
Замечание. В случае длин отрезков длина
= /За.
получается из длины & таким построением:
На стороне 0А ZA0B откладывается отрезок длины Л
с началом в вершине угла 0. Через конец отрезка проводится
прямая, параллельная направлению, характеризующему оператор
уЗ . Эта прямая на стороне 0В отсекает отрезок длины £.
IV
Теперь мы можем очень просто и естественно определить сложе-
ние и умножение положительных действительных чисел.
I. Оператор	это оператор, преобразующий
X в	,
ух.J3x. .
2. Оператор 'g'aoiyS это оператор, преобразующий
ас в результат последовательного применения операторов
и ck :
yx»<XQ3x.) t
Сформулированная выше теорема допускает обращение:
если последовательность
обладает свойствами /а/ - /в/ из § 7, то оператор ,
определяемый равенствами
будет монотонным и аддитивным.
Таким образом устанавливается взаимно однозначное
соответствие между последовательностями со свойствами
/а/ - /в/ и монотонными аддитивными операторами в системе полам -
тельных величин. Поэтому и получается, что для дальнейшего
развития математической теории не имеет значения, ввели ли
мы действительные числа как последовательности со свойства-
ми /а/ - /в/, или как операторы. От какой система положи-
тельных величин со свойствами 1-10 мы отправлялись, оказы-
вается тоже не существенным, так как они все -’изоморфны.
С понятием "изоморфизма" более глубоко мы познакомимся
позднее.
Замечание. Операторный подход к построению числовых
систем получит далее интересное развитие.. Действительные
числа /здесь имеются в виду не только рассмотренные пока
положительные числа, но и нуль и отрицательные числа/ мо-
гут рассматриваться как операторы, преобразующие вектор
на плоскости е в вектор
ё'~аё
Введем новую операцию
е
поворота на прямой угол против часовой стрелки. Легко ви-
деть, что
4e = -Z
Q + 6 i
(Л и деиствитель-
числа. называется сис-
/см. чертеж/. Система операторов вида
сё
и	гда
ные
темой комплексных чисел.
Сложение и умножение комп-
Ьгё
лексных чисел определяется
е
так, как было сказано выше.
16
Например,
С
есть оператор поворота на 45°
с последующим растяжением в V<r
раз. Возводя С в квадрат,
получим С = (Z+ t J2- £
Это оператор поворота против
часовой стрелки на 90° с после-
дующим растяжением в два раза
/см. чертеж/.
§ 9. Роль теории измерения величин и действитель-
ных чисел в геометрии.
и курсе восьмилетней школы осталась не доказанной тео-
рема, лежащая в основе теории подобия, а через нее и многих
дальнейших разделов геометрии:
Соответствующие отрезки, отсекаемые пучком параллель-
ных прямых на двух секущих, пропорциональны: если
fl fl'IIВ В'НСС'Ц DD' ,
то
CZ> <2z/>Z
~ й'в'
/ср. Никитин, геометрия,
§ 84/. Ее отчетливое дока-
зательство в курсе восьмилет-
неи школы было невозможно
уже потому, что там не бы-
11
5-1882
ло ясно сказано, что такое отношение двух величин, С устранения
этого прешла и начнется наш курс* геометрии 9-го класса.
§ 10. Иррациональные числа, несоизмеримые величины.
Числа вида
О- —
где гн целое неотрицательное и и натуральное, называ-
ются положительными рациональными числами. Легко доказать,
что любое рациональное чмо выражается двоично! дробью,
знаки которой начиная с некоторого места чередуются перио-
дически. Например:
?/г0 ^Ol^lQOiOOlOOl...	) 
В арифметике этот факт был установлен да десятичного пред-
ставления чисел.
Поэтому, число
1'OJOOl OOOiObOVlOOOOO^ k.
/после И -ой единицы н нулей/ не может быть рациональ-
ным. Не рациональные числа называются иррациональными.
Две величины /естественно, однородные, т.е. принада-
жащие одной и той же системе величин со свойствами 1-10/
называются соизмеримыми. если к отношение рационально.
Естественно, что да соизмеримости и необходи-
мо и достаточно существование величины С , которая со-
держится целое число раз как в	, так к в :
аг^ге .
Такая величина С называется общей мерой величия
и С1г .
Общая мера, если она существует /т.е* для соизмери-
мых Qx й /может быть найдена при помощи алгорит-
ма Эвклида: предполагая Ch » ищем последовательно
натуральные числа , да которых
(Л/ =• ^^2 + у	3 э
^2	CL ч 4. Qj
Теорема* Если алгоритм заканчивается на том, что
то величины &х и соизмеримы, величина	является
их общей мерой и целым кратным любой другой общей меры
и С1г .
Если процесс продолжается неограниченно, то величины
□х и несоизмеримы.
Доказательство* Если б есть общая мера &х и С12
т.е.
dx^Hxe , аг-пго. *
то
аз ^е,
т.е. остаток , подобно величинам Qx и йг .
является целым кратным от С . Аналогичное рассуждение
приводит к выводу, что при любом К
ак = мк<2
Натуральные числа Мк идут убывая. Поэтому процесс
19
то
Поэтому
должен кончиться на тон, что
Замечание. Так как С^к натуральные числа и
&K.-JL '^&Ki£
&2*vt
при достаточно большом m становится менвше любой наперед
заданной положительной величины С /это следствие
аксиомы Архимеда/.
При помощи алгоритма Эвклида математики древней Греции
получили первые доказательства существования несоизмеримых
величин /с нашей же точки зрения - и иррациональных чисел!/
ПРИМЕР. Рассмотрим правильный десятиугольник. Радиусы,
проведенные в две смежные вершины вместе с соединяющей их
стороной образуют равнобедренный треугольник с углом 2/5 d
при вершине. Откладываем на отрезке ЯС отрезок
Треугольник &DC подобен перво-
начальному. Поэтому алгоритм
Эвклида будет продолжаться не-
ограниченно, причем неполные
частные будут все время равны
единице:
го
Qt =#C^//£>*DC =аг + a3}
Qa - ec=a3+Q4j
^3 “ &ч + ft 5,
ft-Ч
Аналогично доказывается, что
диагональ квадрата несоизмерима
со стороной /см. чертеж/.
Поэтому отношение диагонали к сто-
роне, т.е. число ^2. иррациональ-
но.
Задача, Докажите чисто арифметически, что не существу-
ет дроби , квадрат которой равен двум /воспользуйтесь
теоремой § 4 о единственности разложения на простые множите-
ли/.
§ II.	Скалярные величины.
Из курса восьмилетием школы вы знакомы с “направленными”
величинами. Их свойства можно опис&ть, изменив в § 5 форму-
лировку свойств 6,7 и У. Формулировка свойства 10, введен-
ного в § 7, останется прежней.
I.	если ае£ и QeS , то имеет место одно и только
одно из соотношений
ft^^, СХ а^> , ‘“ft »
2.	ЕСЛИ	и £ <£ с .то Cl 4С .
3.	Для любых а и 6определена величина
с =сх+&
которая тоже принадлежит <$ .
4.	Всегда CX*&»(> + Gl .
2/
В-1В82
5.	Всегда Q+ ( ё + Ф(аЛ)<с .
Ъ, Если G < с/ , то CX •*	4. (a + &
7.	Для любых (X и существует одна и только одна
величина
с =а-&
для которой
а-ё + с .
8.	Каковы оы ни были G € £ и натуральное Q
существует такое Q G S * что
а = и &.
из 3, ч-, 5, 7 можно вывести, что при любых Q G £ и
В &S	р .
а-а =ь-ь ,
т.е. в системе величин 5 существует один вполне опре-
деленный элемент ’’нуль”, обладающий тем свойством, что всегда
си о •=&
9.	Если & >0 , то для любого (X G существу-
ет такое натуральное Н , что
си .
ю. коли аа 4.-.	»
то среди величин не меньших любой величины СХИ суще-
ствует наименьшая
a=sccpdh .
Позднее мы узнаем, что все это можно высказать коро-
че: скалярная система величин есть коммутативная группа
/свойства 3, 4, 5, 7/ полностью упорядоченная /свойства
I, 2, 6/, с делением /свойство 8/, архимедовская /свойст-
22
во 9/ и удовлетворяющая аксиоме непрерывности 10.
Если 3 система величин, обладающая перечисленными
здесь свойствами, то подсистема тех	, для которых
выполнено неравенство > О , обладает всеми
свойствами системы положительных скалярных величин, опи-
санными ранее. Мы не будем сейчас заниматься доказатель-
ством этого предложения.
§ 12. Действительные числа.
Разумно теперь несколько изменить определение монотон-
ного оператора. Оператор
Е =/СХ
преобразующий скалярные величины системы Л в величины
той же системы называется монотонным, если имеет место
одно из двух:
а/ из (\ £ сС вытекает J3 Q < j3 (X
б/ из (X вытекает	j^CX .
Одно из этих свойств должно выполняться для всех пар вели-
чин (д С о! сразу.
Тогда по-прежнему действительным числом /теперь уже
не непременно положительным!/ можно считать люоой монотон-
ный аддитивный оператор на системе скалярных величин. Нулевой
оператор 0 отображает любую величину Q в нуль
/системы S - мы пользуемся одинаковыми обозначения-
ми для нуля числовой системы и нуля системы о » что
не ведет к неприятностям/:
Положительные числа являются операторами строго воз-
растающими: если J3>O 9 то из а С Ct вытекает
Отрицательные числа J3> сО представляются в виде
J3>=-cA ,
где X положительно и являются операторами строго убываю-
щими.
Среди действительных чисел выделяются:
а/ целые числа
б/ рациональные числа - представимые в виде
И у
где и. натуральное, a w\ целое.
Множество всех целых числе будем обозначать г? ,
множество рациональных числе - R , множество всех
действительных чисел - D .
Для любого действительного числа * можно найти
наибольшее целое число ? < X . Это целое число называется
целой частью числа X и обозначается
[*] .
Действительное число X представляется в виде
* -^4- - • -» h. ,
где
= 0, или I.
Представление это однозначно определяется числом Л ,
если требовать выполнения условия /в/ со стр. 12: среди чисел
имеется бесконечное число нулей.
Примеры:
- ~ ^1,10/010..
в десятичной системе
в двоичной системе.
J Z?<7=-Z, -7	.
Дробная часть X :
Примеры:
t = О
7-1882
ГЛАВА 2
ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
§ I.	Координаты на прямой и на плоскости.
ср q £	Зафиксировав на прямой
-I------*--------1---•* точки О и £ получаем
взаимно однозначное соответствие
между точками прямой и действительными числами:
р X X -
J	J Об
Выбрав на плоскости две перпендикулярные прямые и отложив
от точки пересечения О два равных отрезка О£х , ОЕ* ,
получаем взаимно однозначное
соответствие между точками
_____u 7| Г	плоскости и парами чисел:
---*40	(Х,У) X в	у s
J	'	0£х О£у
§ 2. Числовая прямая и числовая плоскость.
Теперь мн сделаем шаг, которого избегают в обычном школь-
ном преподавании, но который логически законен и позволяет сфор-
мулировать многие математические факты значительно более кратко.
Мы будем называть само множество действительных чисел числовой
прямой, а множество упорядоченных пар действительных чисел
числовой плоскостью.
В соответствии с этим каждое действительное число будет у
нас точкой на числовой прямой, а упорядоченная пара действитель-
ных чисел - точкой на числовой плоскости.
кроме того, мы будем считать, что геометрическая фигура
26
есть множество точек» Например, на числовой плоскости окружность
радиуса единица с центром в начале координат есть множество пар
(X, У) , для которых хг Г V* » /
График функции
((х) » х3
для нас теперь будет просто множеством точек (числовой плоскости)
вида (	х3)	.На обычном школьном языке следовало бы го-
ворить: график функции f(x) » Xs есть геометрическое место
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
У - Х}
Заметьте для дальнейшего формулы расстояния между двумя
точками на числовой прямой
(X, t ) = / X/ — Хг I
и на числовой плоскости
У9 (9 /
§ 8. Множество решений уравнения или неравенства.
С множествами всех решений уравнения или неравенства
вам часто приходилось иметь дело. Если неизвестных одно или
два, то эти множества изображаются в вида множеств, лежащих на
прямой или на плоскости.
1. множество решении уравнения
состоит из точек четырех прямых
Х*1 ,К:-1 , У*£ , Vz-i ,
2. Множество всех решений уравнения
i -/х/ » /x-il
есть сегмент [о,i] .
27
При решении системы уравнений или неравенств ищутся их
общие решения. Иначе говоря, множество решений системы урав-
нений состоит из всех общих элементов множеств решений каждо-
го уравнения в отдельности, или короче - является пересечением
этих множеств ^см. следующий параграф).
4.Множество решений системы
3.Система
1) *0 ,
в у
имеет восемь решений.
/®/<i j /у/< 1
состоит из внутренних точек квадрата.
Задачи для решения после знакомства с функцией { х
qcm. глава 3):
Найти множества решений уравнений и систем
I. +	= o
2.
3-	+	" 1
I re , IM-ir-k
4. Некоторые операции
над множествами и отношения между
§
АП В - множество всех тех X. , кото-
рые принадлежат С9К множеству Д , та* и
множеству В - пересечение множеств.
хеДЛб*®* {х*А )л (xt В )
28
А ив - множество всех тех X ,
которые входят в А или в В , или
в оба множества А и в - соединение
множеств А а В .
хе Див «=> (x&A)V (хе в)
(не разделительное Иилии).
А & В - множество тех X t кото-
рые входят в А t но не входят в В
А°& - множество всех тех х f
которые входят точно в одно из множеств
А и В (в А "или" в В в
разделительном смысле).
Отношение включения:
А с 3
каждый элемент множества А принадлежит множеству В :
АЛб с дее.
де В а До в <= ДМ Е> 
дл 6 х В ЛА , AUB =BUA
Д Л (влс) »^пв)ЛС ? AU(e(/e)=(AU0)UC
АП(ВиС)» (АПВ)и(АПС}
Аи(вДС)^ (АУВ)П(А^С)
(А°В)^(,А^^)а^	( -пустое множество).
Z9
ПРИМЕРЫ
Уравнения		Множество решений
		А
	4(Х,У)»0	в
I.	а, 6 « о	А иВ
2.	аЗ + вг-о	А Л В
3.	к О	А ев
4.		О	А ° В
При проверке 3 и 4 заметьте, что дробь не определена при тех
значениях неизвестных, при которых знаменатель обрацается в
нуль.
§/. Линейные неравенства и выпуклые множества.
Рассматривая неравенства
А»+ Ву*С £ О
мы будем предполагать, что хотя бы один из коэффициентов А
и В отличен от нуля. При этом ограничении имеет место
ТЕОРЕМА. Множество решений неравенства
Ак * #у > О
есть открытая полуплоскость, ограниченная прямой
Ах + By г С * О
Множество решений неравенства
Ах < В& + С ^0
есть замкнутая полуплоскость, ограниченная той же прямой.
(Надо знать доказательство и определения "от-
крытой полуплоскости" и “замкнутой полуплос-
кости". Естественно, что теорема верна и для
неравенств вида < О и £0	.)
30
Система двух линейных неравенств с двумя неизвестными
^,>0	| L<>0 , Lz>0
может иметь в качестве множества решений:
открытый угол
2.	- Г1 7/ 03®РктУЮ полосу
3*	пустое множество
4.
/соос
замкнутый угол
МЦРШ все вовможности, представляющиеся в слу-
чае Htfz линейных неравенств с двумя неизвестными. Запоминать
здесь ничего не надо, но надо научиться находить множества ре-
шений для любой системы линейных неравенств с одним и двумя
неизвестными. Например, для неравенств
а) X > О найдите решения систем
б) У > О (а,о), (а,б,д), (а,о,в)
в) (в,д), (а,в,д), (г,д).
т) Х.+ У > о
д) Х.4 У 4 О
ОНРВДВ1ЕНИВ. Множество на прямой или на плоскости (опре-
деление обобщается и на множества лежащие в трехмерном и в "эн-
мерном*1 пространстве, но пока мы этими случаями не занимаемся)
навивается иьдюшм. если и? того, что оно содержит две точки
4 и 0 вытекает, что QBP содержит и все точи onew
ТЕОРЕМА. Пересеченже
v*/iv,
Ml 11
любого числа выпуклых множеств выпукло.
доказательство надо знать.
можно считать известным (хотя в восьмилетней школе, да и
вообще в школьном курсе геометрии обычно это не доказывают),
что любая полуплоскость (открытая или замкнутая) есть выпуклое
множество, в силу нашей теоремы пересечение любой системы полу-
плоскостей, т.е. множество решений любой системы линейных нера-
венств, является выпуклым множеством.
В частности, к выпуклым множествам принадлежат прямые,
множества, состоящие из одной точки и пустое множество.
ДЛЯ ЯШ ПИИТ:
I	.Теорема верна и для бесконечных систем выпуклых мно-
жеств.
2	.Можно доказать, что любое выпуклое множество на
плоскости есть пересечение некоторой системы полу-
плоскостей. Например, открытый круг есть пересечение
всех открытых полуплоскостей, ограниченных его каса-
тельными и содержащих его центр.
3	.Пересечение всех полуплоскостей, содержащих произ-
вольное плоское множество М , называется "выпук-
лой оболочкой М ". Произведение всех замкнутых
полуплоскостей, содержащих М называется "замк-
нутой выпуклой оболочкой" этого множества, оно состо-
ит из всех точек плоскости, которые нельзя "отделить”
от множества М- при помощи прямой.
зг
§ 6. Выпуклые множества на прямой.
На прямой существуют только такие типы выпуклых множеств:
I. Вся прямая.
2.	Замкнутые полупрямые в / м * }
или ( х [ х 4 Xj
3.	Открытые полупрямые х. / х) или х / х с. а
4.	Замкнутые отрезки (сегменты)	х / Ct, i х « 6 } f <3,< в
5.	Открытые отрезки (интервалы)	X / Сс.< X. < 6 } , О,<-%
б.	Полузамкнутые отрезки	} а <. в
или
7.	Множества из одной точки х = <х
8.	Пустое множество
доказательство этого утверждения не совсем просто, так как
оно может быть построено только на основе “аксиом непрерывности’
(в нашем изложении - аксиомы 9 и 10). Если оы мы сочли за пол-
ную прямую множество точек с рациональными абсциссами, то мно-
жество tja I X1 < Z 'аьльък было бы представить
как интервал
так как "истинные” его “концы” имеют иррациональные абсциссы
- vT и f fz .
Обозначения
f- оо } ею )
О,*о); (-00,Л] } (0.,оо) }
И , 0.
§ 7.	Предельные точки, замкнутые и связные множества.
Различие между интервалами (а,#) и сегментом [% б]
сколько деликатно, как и различие между замкнутым кругом^
К * { хг + и* 1 ]
и открытым кругом
К - {'^)1
нельзя вырезать из бумаги два различные модели, из которых од-
на была бы моделью замкнутого круга, а другая - моделью откры-
того круга.
Тем не менее, такие различия важны для математика^ Замкну-
тый круг как множество точек есть соединение открытого круга и
ограничивающей его окружности: ч
к = к из
3 = 4 (х,у) [	+	1 }
Физически различие между замкнутым кругом и открытым кру-
гом, состоящим из его внутренних точек, неуловимо потому, что
яа практике мы можем различать лишь точки, находящиеся на не
сдияком малом расстоянии, а сколь угодно близко к точке J ,
лежащей на окружности $ э имеются точки, лежащие в откры-
той круге К
ОПРЕДЕЛЕНО 1. Тг-’пса Р называется предельной точкой
множества ЛС	, если при любом £ > 0 существует точка
f*1 в JUL t	р ' на расстоянии меньше 6 от .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Множество называется замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки.
Мы обозначаем *f / А С&) }
ОС, , обладающих свойством А
множество предметов
Я
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Соединение «яожвства и множества его пре-
дельных точек называется замыванием множества Ж х обо-
значается Jjl .
Примеры: сегмент [л>&] является замыканием интервала
замкнутый круг К - зааыкаижем открытого круга
К .
ТЕОРЕМА, оамыкшие М является наименьиим замкнут™
множеством, содержащим М , т.е. а) М содержит М ,
б) если множество Т замкнуто и содержит М , то 3"
содержит М . (Докажите!)
Существуют множества, которые распадаются на "не связан-
ные друг с другом" части. Наоборот, сегмент, окружность, пря-
мая, круг, любое выпуклое множество - "связны". Точное опреде-
ление связности потребует от вас для сознательного усвоения
некоторых усилий. Формально оно таково:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. множество М связно, если при любом
его представлении в виде соединения не пустых множеств
A UB
либо А содержит предельную точку В , либо В содер-
жит предельную точку А , т.е.
бДЛ0)и(внД)*0
Докажите, что замкнутые множества связны тогда и только
тогда, когда их нельзя представить в виде соединения двух не
пересекающихся и не пустых множеств.
ТЕОРЕМА. Любое выпуклое множество связно.
Докажите сначала, что сегмент является связным множеством.
После этого доказательство уже не трудно. Доказательство связ-
ности сегмента существенно опирается на предложение о существо-
33
вании у каждого ограниченного не пустого множества действитель-
ных чисел верхней грани (проведите это доказательство).
Для не замкнутых множеств понятие связности несколько ме-
нее наглядно. Например, график функции	.. 1 / |
V - ^4x1
----7\-----Л” Л ~ ”/\------- (она не<Феделена в точкв
/ \ / | / / \ ) не
l I —у Г~	связным, но при присоеди-
_ SJ. _ Sd _ __ JSs-Z нении к этому графику точ-
ки 0 он делается связ-
ным. Вопрос: каково замыкание этого графика?
Заметьте еще для дальнейшего определение: множество точек
прямой называется ограниченным, если оно помещается на сегмен-
те; множество точек плоскости ограничено, если оно помещается
в некотором круге.
контрольные вопросы (очень легкие;:
I. Приведите примеры на все комбинации свойств
связность - не связность
замкнутость - не замкнутость
ограниченность - неограниченность
(восемь примеров).
2. Какие из этих восьми случаев возможны для выпуклых мно-
жеств?
36
ГЛАВА 3
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§1	. Действительные функции действительного переменного,
их графики.
Пусть каждому х из некоторого множества Е действи-
тельных чисе^олажвено в соответствие вполне определенное
действительное число У . В такой обстановке говорят, что
на множестве £ определена функция
у - Цх)
Множество точек плоскости с координатами (х^ где
£ . У ‘ !(*), называется графиком функции / • Множе-
ство Е называетсяпобластью определения11 функции / •
ПРИМЕРЫ. (В первых трех примерах функции определены всю-
ду, т.е. область определения совпадает оо всей числовой пря-
мой. В четвертом приме,"ре область определения есть числовая
прямая за вычетом целочисленных точек.)
3?
§2	. Вводные примеры к понятию непрерывности•
I, Пусть
У « 5*Х * 2
Спрашивается, с какой точностью надо знать X , чтобы опреде-
лить У с точностью до 0,001 ? Легко видеть, что достаточ-
но знать X с точностью до 0,0002.
Вообще, если
У ® к& + £
ТО из	t	. Л £
/х - Xe / S <5 =
вытекает / У - У о / * & •
2. Для. функции
У - X*
без дополнительных ограничений на допустимые значения X
аналогичная задача не имеет решения. Сколь бы мало ни было
S > о ,можно найти такие X и Ха
/ * - х, / £ 8
что разность
У- Ув = X1- X?
будет сколь угодно велика.
1	3. Но, если заранее известно, что
/*/ 4 а. , /хв1 а.
то из
/Ж- хв] i 8 =
ха
Вытекает
/у-ув / = /х*- X,1/ » /xyxol/x-x^l^ Za.8 £ Е
4» Пусть известно, что
1x1 * 0,1 /V/ < Ю00	|	1®1 < О. , |у I 4 в
Спрашивайся, с какой точностью надо знать х и У , чтобы
Х.У с точностью до
£
ж:	с точностью до
£
Хх
, IH.I « ? ,
можно было определить произведении
о,ст	!
Возможный ответ таков: достаточке
«/Wfl	'	I
и  с точностью до
~	ei°off	I
z	I
В самом деле, если
/X/ tec, /*<>/* ОС, /у/ *
/»-=»./ -h >
то
I ху - Xt Уо / « I X ( У - Ve ) + (X - 3?4 ) Не |
t lx//y-yt/ 4 /у,|/х-агв/ *	« 6.
ХЯ-	2> 9
5. Пусть известно, что
I xj ^а. , I сс ,
при каком 3 из
IX - Хо I 3
вытекает
Ответ:
при
I х- x»l i а2
£ £
Задачи» ( Задачи этого типа надо научиться решать в такой ме-
ре, чтобы в дальнейшем это никогда не представляло затруднений
К £ подобрать S >0 так, чтобы при указанных ограни-
вытекало
/У- У. / < e .
Дать ответ в общей форсе (для любого £>о ) и для t*0,ooi ,
I.	У « 2 llOx-s]
2.	у • Их} - i I
3.	у » + /х*	при неизбежном ограничении, что
Хв и X принадлежат области определения функции У**/х*,
т.е. полупрямой (О, оо )
4.	У * Ю х ’	при ограничении
а;	[-160,190] ,
/со	*) х> Хв *
5.	У -	при ограничении
*•> х, Ха g (-0,4 ,+о,1)
t) х, а?. I С-к., + к)
6.	Показать, что задача 5 билаб бы неразрешима, если в ней
снять ограничение на значения я- и Хс и рассматривать любые
и из области определения функции, т.е. любые X и Ze?
отличные от нуля.
§3. Непрерывность функции одного переменного в точке.
Примеры §2 показывают, что во многих случаях значение
функции изменяется на величину, меньшую сколь угодно малого за-
данного £ > о , если значения аргументов меняются Достаточ-
но мало” - меньше, чем на некоторое А > О , подобранное к
заданному £ • Это наблюдение служит основанием для введения
различных определений "непрерывности" функций. Сейчас мы зай-
мемся простейшим из этих понятий: понятием непрерывности функ-
ции одного переменного
У - f(x)
в точке хс .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция / определена на множе-
стве /И содержащем точку Хе . Функция / называется не-
прерывной в точке Ха , если для любого положительного £
существует* положительное 8 , что и з
х е /И , J я -	& §
вытекает
Kfa)- Пж0)1 * е.
Примеры»
I) При любом Хо функция /(х)г х* непрерывна в Хо
/ Можно положить 8 » min (i , £/$* Я/#«/)/
2) При любом Хо^ О функция /&)* & непрерывна в Хс •
/ Можно положить 3 х хиьп ( j € Xq > ъ l^l)/
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция определенная и непрерывная в каж-
дой точке множества /Ч называется непрерывной на М .
Понятие непрерывности в точке по существу инте-
ресно лишь в случае, когда Ха есть предельная точка области
определения функции, т.е. когда в любом интервале
с я?о - 8 t 8 )
( при любом положительном 8 ) имеются точки области опреде-
ления функции ^отличные от Хв .
Легко видеть, что любая функция непрерывна в любой изоли-
рованной точке своей области определения. Такая "теорема”,
конечно, не очень интересна, но признать ее за истинную необхс
димо,так как иначе можно получить противоречие. Например, фун-
кции	____
/(х) - + ✓jc t
непрерывны в точке X« 0 , первая из них определена только
при х £ О , вторая только при х * О .	Их сумма
определена только в точке х*О и непрерывна в этой точке.
§4. Равномерная непрерывность.
Пусть требуется составить таблицу, при помощи которой по
t лежащему в пределах 0 * t £ 3
можно находить без всяких вспомогательных вычислений
с ошибкой не более 0,1.
Поставим задачу в общем виде. Пределы изменения t даны
неравенствами
i задано формулой	х
t.t/t). Ц- ,
требуется находить с ошибкой меньшей чем £	. Если
/4f / =. / tt I < 8
To	1	L
MS/> /«<-&/ =
' 1 Z I z
= | Its < i**
Выбирая
s
получим, что при
Mt/ < s
и tf и лежащих в указанных выше пределах
/ZIS/ < £
Если составить таблицу с "шагом” к -	< ZS , т.е. таб-
лицу значений

3, *1(0) , 4t , ... ,	= б (nA)* J(a.) ,
то по/дбирая к t лежащему в указанных предела^ближайшее
значение tx = к к имеющееся в таблице, получим
| 4(t) - 4 (tk)\ < е ,
В нашем примере следует выбрать
„	' h < W • 5
Удобно взять -	7
к - Ofoot.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
У » {(.*)
называется равномерно непрерывной на множестве М , если
для любого положительного £ существует такое положитель-
ное S , ЧТО из
вытекает
<Е
Замечание. В определении предполагается, что М есть
подмножество области определения функции.
Задача. Показать, что функция
у в -L-
равномерно непрерывна на любом множестве М , которое не
имеет общих точек с интервалом
( каково бы ни было -положительное и раз на всегда фиксирован-
ное к ).
Показать, что наша функция во всей своей области определения
уже не будет равномерно непрерывной.
§5. Некоторые теоремы о непрерывных функциях.
Понятие равномерной непрерывности почему-то считается
"трудным". Мы им займемся обстоятельно несколько позднее.
Пока нам нужнее понятие непрерывности в точке
Докажите:
I)	Константы
/С*) * с
( как функции X ) непрерывны в любой точке Х9 .
2)	Непрерывность в любой точке функции
/6»; » я
3)	Если две функции /(х)ти непрерывны в точке Х„ , то
в этх)й точке непрерывна и их сумма
* 9 С»)
4)	Аналогичное утверждение для произведения двух функций.
Из I) - 4) легко выводится непрерывность любого много-
члена
ъг*^*'1* a*.tx. .
5)	Если Л^?и непрерывны в точке Хо и	, то
в точке Хо непрерывно и частное
* 77^?
В учебниках анализа доказывают еще одну важную теорему:
Теорема А> Если функция непрерывна в каждой точке сег-
мента	то множество всех значений, которые она прини-
мает на этом сегменте, есть некоторый сегмент [с, d] , или
одна единственная точка.
Это значит, что в каких-то точках и наша функ-
ция принимает свое наименьшее значение С •	и наи-
большее значение d = { (X*) и что в остальных точках сегмен-
та она хотя бы по разу принимает промежуточное значение У ,
С< У <ol ,
Теорема эта является следствием значительно более
общих двух теорем, применимых к любой функции ^.непрерывной в
каждой точке множества М на прямой, плоскости, или в
4 -мерном пространстве;
I.	Если множество М ограничено и замкнуто, то множе-
ство /fM) всех значений, которые непрерывная на /И функция
{ принимает на Л1 , ограничено и замкнуто.
II.	Если множество М связно, то множество для
непрерывной на Л1 функции f тоже связно.
Вы без большого труда выведете теорему А из теорем I и
II. Доказательство теорем I и II несколько труднее. Попро-
буйте все-таки, провести его самостоятельно.
Верна такая замечательная теорема:
Теорема В. Если функция непрерывна в каждой точке сегмен-
та [*, {], то она и равномерно непрерывна на этом сегиенте.
Теорема эта тоже является следствием такой более общей
п^рименимой к функциям,определенным на множествах, лежащих на
прямой, на плоскости, или в И -мерном пространстве:
III.	Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве, то она и равномерно непрерывна на этом множестве.
§6. Примеры разрывных функций.
I)	Функция
^(х)‘ [х]
Разрывна (не непрерывна) в целочисленных точках и непрерывна
во всех остальных.
2)	Функция Дирихле
J Для Я® рациональных X
*	[ О для иррациональных X
разрывна в любой точке»
3)	Функция
( а в рациональной точке ±	, где
(х) r X дробь несократима,
I О в иррациональной точке X
разрывна в любой рациональной точке и непрерывна в любой ир-
рациональной точке.
+§ 7. Предел функции при х *+ Л •
Если функция /(») определена во всех точках некоторой
окрестностжи точки а кроме самой этой точки, то возникает
вопрос о том, можно ли дополнить ее определение, приписав ей
в точке й такое значение М>с , при котором она окажет-
ся непрерывной.
Оказывается, что в тех случаях, когда это возможно, ре-
шение задачи единственно. Это единственное число С назы-
вается пределом
f(x)
X-+OL,
Пример. & Функция {(*)	X X
не определена при X • п	V	х' О Поэтому, ФУНКЦИЯ	О , но j - 2
ъ (X) ’	/ xtc (	1	X 9 О
непрерывна в точке X = О • Мы сейчас строго различаем фун-
кцию от функции / ( у них разные области определения).
Математикам более ранних времен казалось, что сама функция
"естественным образом" принимает в точке Х«С значение / •
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число / называется пределом функции f(xt
при X стремящемся к Оь и обозначается s А
х.-*Сс
если
а) функция f(x) определена во всех точках X некоторой
окрестности точки Ои кроме, может быть, самой этой точки,
б) для любого £ >0 существует такое & >0 , что из
/ х - а / < $
вытекает
(fix)-{ I * е •
Предел у функции в данной точке может быть только один.
Докажите это утверждение и следующую теорему:
Теорема. Если функция 4(х) определена во всех точках
некоторой окрестности точки , то для ее непрерывности
в точке необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке
имела жрж предел и соблюдалось равенство
/ип fix) = f (&)
Из этой теоремы и других предшествующих теорем легко
вывести такие следствия:
I)	Если в некоторой окрестности точки Л
равна постоянному С , то	8
2)	Если в некоторой окрестности точки а
равна X , то	s *
3)	Если существуют пределы fix)
x-*<L
функция fiX,
=с .
функция f Iх
и Лм %(Х) ,
Л-*С
Ьп [4(*) + ?(Х)] • Ли fix) * to fix)
4)	Если существуют пределы	и $СХ) 4 О ,
x-»<t	ж-*а,
то /
Ж. и*» ’ -fctsr
х-#с
Можно доказать эти следствия и в качестве самостаятель-
ных теорем непосредственно на основе определения предела.
Задача, Докажите-, что предел £(*) для функ-
ции примера 3 из §6 существует при любом (L и найдите
его.
Задача. Найдите точки непрерывности и точки разрывности
функций из §1 ( не забудьте, что вопрос о том, является для
функции f(x) точка Хо точкой непрерывности, или точкой раз-
рывности, ставится только для тех точек X© , в которых
функция определена).
§8. Непрерывность в точке справа и слева.
Оказывается полезным ввести понятия "непрерывности спра-
ва" и "непрерывности слева". Причем, эти понятия определяют-
ся здесь только для функций,д1яшфри определенных всюду в
правой и, соответственно, левой полуокрестностях. Более об-
щие определения вы без труда сможете ифр сформулировать сами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция {(я) называется непрерывной
справа в точке CL 9 если она при некотором А > О определе-
на во всех точках X
04 х 6	+ к
и если для любого £ >0 можнх) найти такое 6 >0 , что из
Cl 4 X, 4 CL+ S
вытекает
Вполне аналогично определение непрерывности слева.
Пример. Функции
!(») •
в целочисленных точках непрерывны справа, но не непрерывны
слева.
Если для функциии /6*9 определенной пхри
с^х. с a+k t к>о
“естественное значение"
/6U < С
существует, то возникает понятие "предела справа":
для функции /б»9» определенной при некотором к >0
для всех X из интервала
о. < х < ct + К
число С называется ее пределом справа в точке а, ,
с • f(x) • Ца.+) t
а
если для любого £ >о можно найти такое о >0 , что из
а.< х £ &.+ S
вытекает
///»>-«/«е.
Аналогично определяется предел слева.
Теорема, Если функция /(я) определена во всех точках ива
некоторой окрестности точки О. , то для того, чтобы функция
была непрерывна в точке Л , необходимо и достаточно, чтобы
у нее существовали пределы справа и слева в точке О, и
выполнялись равенства /(d-t) » /{а.-) • /(А,).
Для примера проведения других аналогичных доказательств
проведем доказательство достаточности условия подробно.
Каково бы ни было £ >0 , из определений предела справа и
предела слева вытекает существование таких St>0 и Sz>o
что из
й < X £ СС t St
вытекает
а из
Cl - 31 £ as <
вытекает
U(X) - /^)i--1 /(х) , е. .
Положив
<5 •	(Si, Sx)
получим, что из
/ X - СС / 6 $	(1)
вытекает
/(сь) I t Е (2)
( в случае X = Л разность	равна нулю).
Существование же для любого ё >0 такого 8 >0	, что
из вытекает неравенство (&) и обозначает по определен
нию непрерывность в точке & е
Примеры.
I) Функции ^s£xJ и У = fas} в целочисленных точках име-
ют разные пределы слева и справа.
2) Функция У г в целочисленных точках имеет предел
слева и не имеет предела справа.
$9. Заключительные замечания.
Элементарными функциями называются функции, которые
можно записать при помощи формулы, содержащей лишь констан-
ты, знак независимой переменной, знаки возведения в степень.
50
логарифма, тригонаметрических и обратных тригонаиетрических
функций. Таковы
/(X) - '/х. + /ТГх » X* + (1 -х,)1
/(X) -- (t^x)^x
и т.пв.
Можно доказать„ что элементарные функции непрерывны в каж-
дой точке своей области определения.
Тем не менее, простейшие разрывные функции часто встре-
чаются в практических задачах. Но в практических задачах
это обычно лишь кусочно-непрерывные функции, т.е, функции,
у которых в любом отрезке помещается лишь ковнечное число
точек разрыва и в каждой точке разрыва имеется предел слева
и предел справа. Функции типа "функции Дирихле" (пример в
§6) математики ввели из чисто логических соображений: чтобы
выяснить объем самого понятия "функция".
ПАДКИЕ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ,
§1. Вводные примеры к понятию производной.
Понятие производной возникло в виде математического обо-
бщения понятия скорости. Здесь мы обратим внимание на чисто
математическую сторону дела. Непрерывные функции меняются
"постепенно”, т.е. малым приращениям независимого перемен-
ного соответствуют малые приращения функции. Наиболее важ-
ные в применениях функции не только непрерывны, но облада-
ют известной "плавность?” изменения.
Если вблизи какой-либо точки Х^ выбрать две точки ##
и Хд и рассматривать приращения функции
4/ • / fa) - /fa.)
хо они будут приблизительно пропорциональны прираще^-ниям
независимого переменного
АХ s Xt-X,
Например:
9	41л»	А		в	А
18*20* 0,31454		18*10’ 0,31178
0,00028		а ,	0,00276
18*21’ 0,31482		18*20' 0,31454
. ,	’	0,00028		•	,	0,00276
18*22’ Щ315Ю		18*30' 0,31730
л ,	0,00027		_ ,	0,00276
18*23' 0,31537		18*40’ 0,32006
		. .	0.00276
18*50	0,32282
, ,	’	0,00275
19*00' 0,32557
Uh видим , что в десять раз большим приращениям аргумента
соответствуют в десять раз большие приращения функции*
/2
Если бы мы занялись значениями синуса для углов близ-
о
ких к 34, то кор тина получилась бы аналогичная, но коэф-
фициент в приближенном равенстве
4	- 1с	(углы В МИНуТЗХ)
оказался бы другим ( вблизи 18 е- 19* это приблизительно
0,00028 - 0,00027 , а вблизи 34е- 35вприблизительно 0,00024)
&	Д		0	S	
34’40' 0,56880 „ .	0,00024 34*41' 0,56904 , ,	0,00024 34*42' 0,56928		34*40' 0,56880 „ .	0,00239 34*50' 0,57119 , .	0,00239 35*00' 0,57358	
Рассмотрим еще пример, который легче просчитать в общем виде. Пусть {(*) » X* Здесь б/ s Xi ~	х х	г дзг	X, - X)	х* * х*х‘ * х<			
Если обе точки X, и X2txf близки к х9 , то
а?/ * ж, ж, 4 х2 ‘set Ьхо
Значит для любых X, и as, f х, близких к хд приближенно
4s ЗХ2 ЛХ.
Число
• ЗХ/
и называется производной функции /(х)»х2 в точке Xt .
Таким образом, грубо говоря, производная
*’(Х)
это множитель в приближенном равенстве
д/ ъ кдх
которое делается все более точным при уменьшении прира-

щения независимого переменного 4Х .
§2. Определение производной.
Если существует предел
то он называется производной функции /Z-Ч^в точке X© .
Аналогично определяется правая производная
&п	=
и левая производная
а	- /(V
Ct-
Примеры,
I)	Функция {&) - [я/
в точке X* о имеет левую
(О) -- -1
и правую производную
< (О)	*1
2)	функция {(»)-
имеет в целочисленной точке
’ 1 ,
но не имеет левой производной.
Если функция определена в окрестности точки CL , то
для существования у нее производной в обычном смысле необ-
ходимо и достаточно, чтобы у нее существовали правая и ле-
вая производные и чтобы они были равны. Тогда
я
производную
правую производную
§3	. Гладкие функции.
Отсылая учащихся к учебникам анализа, ограничимся здесь
некоторыми общими замечаниями. Если функция /Zx) имеет при
X - 6L производную, то это значит, что ее график имеет в
точке	касательную, уравнение которой имеет вид
У = {'(О,) (Х-Ct,)*
Таким образом, производная /!($) равна угловому коэффициен-
ту касательной, тйе. характеризует направление графика в
точке	• Если функция /(х) в точке	не имеет
производной, то ее график в точке	не имеет одного
определенного направления. В простейшем случае графика функ-
\	zz ции У = /х/ в точке (0,0) нап-
/|\	равление графика	внезапно (скач-
---------------------- ком) меняется. В	более хитроумном
У	v	случае функции
у г
z	X
график функции при приближении
к точке (0,0) извивается, все чаще меняя направление.
Поэтому функцию, имеющую в точке производную, называ-
ют гладкой в этой точке. Интересно и еще понятие равномерно
гладкой функции.
Функция Цх) называется раномерно гладкой на множестве
М ,если существует определенная на М функция {,
обладающая тем свойством, что при любом £ >0 можно найти
такое 8 > о , что из
IXfXtl <3 } Iхв I < 3, х3 #
вытекает

хк-х,

Понятие равномерно гладкой функции очень полезно, но ш
подобно понятию равномерно непрерывной функции тоже считает-*
ся несколько трудным.
04. Примеры не гладких непрерывных функций.
I.	функция
f(x)-lxl
гладкая отдельно на положительной полупрямой х 4 О и отдель-
но на отрицательной полупрямой но не гладкая на всей
прямой, или на отрезке (-1,+®).
2.	Функция
у= хг4*	$.-0	Х=б?,
гладкая при х*о. , но не равномерно гладкая в окрестности
этой точки.
3.	функция Кантора, определенная для О < X 4 1 заданного
в троичной системе счисления
X » о, Х,хг... Хп,...
тем, что в двоичной системе счисления
где « о 1 V		У : ffa) х 0, У, Vt ... Ун,-- j	
		при	Хц»0 И	ПРИ
1  2	-		если все x,)Xl/ x„.t
V 1	•		равны 0 или 2^и У. • 0^
1	• 1		если среди
i	*	—	1	1 1	встречаются равные I.
	j.	1	
	1 5	t ‘	«
4.	Функция Ван-дер-Вардена		
	У «	7 - 7	п	f	/ {«у - у/
Л-84547. Поди, к печати 2О/УП-ввг.
Печ.л. 3,5. №.-изд.л. 2,9. Зак. 1882.
Нева 8 коп.
Ф.60x90 1/16
Тираж 850
Отпечатано на ротапринтах в тип. Изд-ва МГУ
Москва, Ленинские горы.
Цена 8 коп.