:гЖ‘
:ч
Я. С . АЛЕКСАНДРОВ и А. НМЛМОГОР^В
Г;:
й; й ': рЧОгфЖПйГ; :*Ь :;ig ;;й: •; :
1111!о®4Н|йЗДв|ш1
В ТЕОРШ фуйшШ
^ШШв'ШЕЛЕЖ^"
9Ш-Л1№В'Вм№м	-I,
ВвеШнШ

''43-fr
Мкт-
nrtj ’:;


\'перШенн&ш
 ' '
: j''!'!' :: j’>;: • ’ !:!’’;j ’-•{••’: U:
;;;:	1. ими»

О' La
Й"Г ТП'Й- ’*


lililfi
а;;.:
1 Г 1'!!!:ШГ
ВО
£
й^й;
I
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные понятия, с которыми читатель встретятся в этой
книге, — понятия действительного числа, функции, непрерывной
функции, производной и интеграла — должны быть знакомы ему
уже из элементарного курса математического анализа. Однако
только после накопления известного запаса аналитических фак-
тов возникает действительно обоснованная потребность вновь
вернуться к упомянутым основным понятиям и исследовать их
со всей логической строгостью. В результате этого углубленного
изучения, помимо выигрыша .в ясности и строгости основных
понятий, приходят естественным путем и к обобщению некото-
рых из основных понятий из анализа. Особенное значение для
дальнейшего развития всей математики имеет обобщение понятия
интеграла.
В пределах этой книги введение интегралов Stieltyes’a и
Lebesgue’a, сколь они ни естественно примыкают к старому поня-
тию интеграла Riemann’a, может показаться читателю преследу-
ющим чисто логические цели построения естественного и иногда
даже упрощающего изложение обобщения классических понятий.
В действительности, однако, новейшее развитие многих отрас-
лей математики, как то: исчисления вероятностей, теории инте-
гральных уравнений или вариационного исчисления было бы
очень затруднено, если бы на помощь не пришли эти новые
концепции интеграла.
Именно к читателю, усвоившему элементарный курс анализа
(например в объеме курса диференциального и интегрального ис-
числения Куранта), уже почувствовавшему необходимость более
глубокого изучения ряда употреблявшихся там основных поня-
тий и предполагающему приступить к дальнейшему изучению
1*
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
как самой теории функций действительного переменного, так и
других, в той или иной степени опирающихся на нее, матема-
тических дисциплин, и обращается эта книга.
Существенным дополнением к последним главам, посвященным
теории интегрирования, может служить появляющаяся вскоре в
русском переводе классическая книга „Lemons sur Integration* Le-
besgue’a. Именно только в расчете на то, что она вскоре ста-
нет доступной русскому читателю, мы позволяем себе ограни-
читься изложением теории интеграла Lebesgue’a для ограничен-
ных функций.
Дальнейшую литературу предмета приходится указывать по
преимуществу на иностранных языках. Желающие глубже озна-
комиться с теорией множеств могут найти чрезвычайно полное
и совершенно ясное и элементарное (несмотря на чрезвычайную
сжатость) ее изложение в книге „Mengenlehre* HausdorfFa. Дан-
ное в главе II изложение теории действительных чисел можно
сравнить с другими, имеющимися на русском языке во многих
больших курсах анализа. Оригинальная работа Дедекинда
„Непрерывность и иррациональные числа*, в которой впервые
был изложен его способ введения Иррациональных чисел, также
имеется в , русском переводе. По поводу разрывных функций
можно посоветовать прочесть небольшую и ставшую уже клас-
сической книжку Вайё’а „Lemons' sur les functions discontinues*;
также скоро выходящей на русском языке.
Для изучения функций многих переменных, также как для ч
пополнения большинства других разделов, можно обратиться к
обстоятельному, обширному руководству Carathecdory, „Vorlesun-
gen fiber’reelle Funktionen*. В качестве своего рода энциклопедии
теорий функции действительного переменного может служить
двухтомная „The Theory of Funktions of a real variable* Hob-
son’a.
He указывая дальнейшей литературы по специальным вопро-
сам, заметим, что особенно для читателя, владеющего только рус-
ским языком, из специальной русской литературы стоит прочесть
диссертацию Н. Н. Лузина „Интеграл и тригонометрический ряд*.
Кроме того, на русском язы .е имеется большая интересная
ПРЕДИСЛОВИЕ

работа А. Я. Хинчина * Исследования о строении Измеримых
функций*, опубликованная в Математическом сборнике.
В заключение авторы выражают благодарность В. А. Ефремо-
вичу, принимавшему участие в обработке некоторых глав книг»
и изготовившему часть чертежей. -
П. С. Александров
и А. Н. Холмогоров.
Клязьма.
21 ноября 1932 г.
Часть первая
Глава первая
О бесконечных множествах
§ /. Понятие множества. На каждом шагу нам приходится
сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выра-
жается словом совокупность. Например, можно говорить о сово-
купности всех людей- присутствующих в данный момент в данной
KOMHaje, о совокупности гусей, плавающих на пруду, и т. п.
В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова
совокупность употребить слово множест^р.
В математике постоянно приходится иметь дело с различными
множествами: например, множество точек, являющихся вершинами'
какого-нибудь многоугольника, множество прямолинейных отрез-
ков, являющихся его сторонами или диагоналями, множество
сочетаний из 13 элементов по 7 и т. д.
Все приведенные примеры множеств обладают одним существен-
ным свойством: все эти множества состоят из определенного конеч-
ного числа элементов, последнюю фразу мы понимаем в том смысле,
что в каждом из упомянутых случаев на вопрос „сколько" (лю-
дей в комнате, гусей на пруду, вершин или диагоналей много-
угольника, сочетаний из 13 по 7) мы можем ответить или прямым
указанием известного нам целого числа (например, число соче-
„	13-12.11-10-8-7
таний из 13 по 7 есть	s 7г—= 1716), или указанием
I • 2 - о • 4 “О - о • 1
на то, что хотя целое число, дающее ответ на вопрос, и суще-
ствует, но нам неизвестно, по тем или другим причинам, каково
оно именно1. Множества, состоящие лишь из конечного числа
элементов, называются конечными множествами.
В математике приходится постоянно сталкиваться и с другими
неконечными, или, как принято говорить, бесконечными, мно-
* Характер и степень этой неизвестности могут быть очень различ-
ными; ответ на поставленный вопрос „сколько* иногда можег быть
8
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
жествами. Таковы, например, множества всех натуральных чисел,
всех четных чисел, всех чисел, дающих при делении на 11
в остатке 7, всех чисел, являющихся 24-й степенью какого-нибудь
простого числа, всех рациональных чисел, всех парабол, прохо-
дящих через данную точку плоскости, всех эллипсов, лежащих
на данной конической поверхности, всех прямых, являющихся
касательными к данной кривой, и т. п.
К числу множеств мы причисляем и пустое множество, т. е.
множество, не содержащее ни одного элемента. Необходимость
рассмотрения пустого множества видна из того, что когда мы
определяем тем или иным способом множество, то мы можем
и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент.
$ 2. Взаимно однозначное соответствие множеств.
Предположим, что мы имеем стадо гусей и стадо уток. Одним из
способов убедиться в том, одинаково ли число птиц в обоих ста-
дах, является следующий: если наши птицы могут быть располо-
жены таким образом, что против каждого гуся окажется утка
(и притом только одна) и в то же время каждая утка будет стоять
против одного (и только одного) гуся, то количество тех и дру-
гих, очевидно, одинаково.
В этом примере мы, как говорят, поставили гусей и уток
во взаимно однозначное соответствие, т. е. мы указали неко-
торое правило, в силу которого каждому гусю соответствует
одна и только одна утка и каждой утке один и только один
гусь. В нашем случае это правило свелось к тому, что мы просто
расставляли гусей и уток друг против друга. Полученный резуль-
тат мы можем (обобщая наш частный пример) формулировать сле-
дующим образом.1
Если два множества состоят из одного и того же конечного
числа элементов, то возможно установить между элементами одного
получен в результате более или менее простого исследования (например,
подсчета, яблок, лежащих в корзине), иногда же* может быть и заведомо
невозможным, по крайней мере, в данное время (например, в случае
множества тюленей в Северном ледовитом океане).
Решающим фактором в нашей оценке данного множества как конеч-
ного является уверенность в том, что в процессе счета (1, 2, 3 и т. д.),
в предположении, что этот процесс не ограничен никаким заранее
поставленным пределом, наверное встретится число (хотя и неизвестно,
какое именно), выражающее количество элементов данного мно-
жества.
Вопрос о конечности и бесконечности множеств, а также и дру-
гие связанные с этим вопросы привели в самое последнее время
к разногласиям, впрочем, более философского, нежели математического
характера.
ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА
и другого множества взаимно однозначнее соответствие, т. е.
такое, при котором каждому элементу одного множества соответ-
ствует один и только один элемент другого множества; если же
в первом множестве элементов меньше, чем во втором, то можно
установить взаимно однозначное соответствие между первым
множеством и частью второго.
Понятие взаимно однозначного соответствия, с которым мы
только что познакомились в применении к конечным множествам^
очевидно, не предполагает, что множества, между элементами
которых устанавливается это соответствие, непременно конечны.
Другими словами, мы легко можем себе мыслить два беско-
нечных множества, элементы которых поставлены во взаимно
однозначное соответствие.
Приведем этому примеры:
L Множество М состоит из всех целых положительных чисел,
множество N—из всех целых отрицательных чисел.
Очевидно получим взаимно однозначное соответствие между
множествами М и N, если каждому положительному числу т
заставим соответствовать отрицательное — т с тою же абсолют-
ной величиной.
2.	Множество М состоит из всех целых положительных чисел,
множество N—из всех положительных четных чисел. Получим
взаимно однозначное соответствие между М и N, если каждому
числу т множества At заставим соответствовать число « =
т. е. если будем считать взаимно соответствующими числа, на-
писанные одно под другим в двух следующих строчках:
1,	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., т, ...
2,	4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ..., 2лг,...
3.	Множество At состоит попрежнему из всех натуральных1
чисел, множество N—из всех простых чисел.
Будем нумеровать подряд всё простые числа. Число 2 по-
лучит, таким образом, номер 1, число 3 — номер 2, число 5 —
номер 3, число 7— номер 4 и т. д. Так как всех простых чисел
бесконечно много, то процесс их нумерации также бесконечен,
так что мы получим следующую последовательность всех простых
чисел:
Pi, Р» Рз> Р*> Рь> Ли •••
(где р,=2, р2 = 3,ра = 5, pt = 7,ps =11, рв = 13, р, = 17,.. >
1 Натуральное число — целое положительное число«
10
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Таким образом установлено взаимно однозначное соответствие
между всеми натуральными и всеми простыми числами: в самом
деле, каждому простому числу соответствует некоторое опреде-
ленное натуральное число — его номер, и полученное таким
образом соответствие взаимно однозначно, так как и обратно —
каждое натуральное число является номером одного и только
одного простого числа.
4.	Множество М состоит из вгех натуральных чисел, мно-
жество N состоит из всех так называемых двоичных правильных
дробей, т. е. из всех чисел вида , где т и п суть натуральные
числа, причем т 2п. Мы предполагаем, что дробь — несокра-
тима, что законно (так как всякую дробь можно привести к не-
сократимому виду). Заметим прежде всего, что ^исла
должны предполагать нечетными, так как в противном
. т	 .
и числитель, и знаменатель дроби — содержали бы
&1
т мы
случае
общий
множитель 2 и дробь не была бы несократимой.
Пусть а есть какая-нибудь двоичная дробь. Так как каждая
дробь допускает лишь единственное представление в виде несо-
кратимой дроби, то существует лишь одно натуральное число п
и лишь одно натуральное число т такие, что дробь а = —
а
является несократимой. Число п назовем рангом двоичного
п.	.	1
числа а. Таким образом имеет ранг 1, — = — имеет ранг 3,
5	5	_ 13	13	_
— =— имеет ранг 3, 32 = 28 имеет Ранг 5 и т. д.
Будем выписывать подряд двоичные правильные дроби раз-
личных рангов: •
Ранг 1 — число
2
	1	3
„ 2 — числа	4 ’	4 *
	1	3	5	7
1 3 ——	—	
я м	»	8 ’	8’8*8*
	1	3	5	7»9	11 13
4- —•	-			 ..
• »	16’	16’ 16’ 16’ 16’ 16’ 16’
15
16
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ МНОЖЕСТВ
ti
32’ 32’	32’	32’	32’	32’	32’	32’ 32’
19 2_1	23	25	27	29	31
32’ 32’	32’	32’	32’	32’	32’
п —
1	3	5	2я—1
2« ’ 2я’ 2Я’“’* 2я
Очевидно, на каждый ранг придется конечное число двоич-
ных правильных дробей, а именно для ранга я их будет 2я-1.
Поэтому можно занумеровать подряд все двоичные правильные
дроби, переходя последовательно от ранга к рангу. Получим,
таким образом, последовательность:
flp at, йд, .  .г ап, ...,	(1)
1'1	3	1	3	5
где «1 — g , а2——, аа—	, а4 — g~ > а5— g » ee— g- >
7	1	3
"т —у» ав~Тб’ а9 —Уб и т- Д-
Каждой правильной двоичной дроби соответствует таким
образом определенное натуральное число — ее номер в последо-
вательности (1); об-
ратно, каждому нату-	У
ральному числу coot-	j
ветствует определенная
и единственнаяправиль-	’’
ная двоичная дробь—
та, которая имеет своим--—<-------у? --------г------——
номером данное нату- I	хх. 1
ральное число.
5.	Множество М со-	ух4^
стоит из всех точек пря-	х^
мой линии (которую	*
примем за ось абсцисс	Черт. L
некоторой координат-
ной системы). Множество АГ состоит из всех точек полуокружности
х2-|_(у—1)^=1,	с центром в точке с = (0;1) (черт. 1).
Концы этой полуокружности [т. е. точки (1, 1) и(—1, 1)] не
принадлежат к ней (в силу условия j<4).
Полуокружность касается нашей прямой в начале координат.
Устанавливаем взаимно однозначное соответствие между множе-
12	О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
ствами Af и N, ставя в соответствие каждой точке S прямой
ту точку 7) окружности, в которой ее пересекает луч, соеди-
няющий центр круга с $.
Приведенными примерами достаточно выяснено, как нам ка-
жется, понятие взаимно однозначного соответствия между двумя
множествами (конечными или бесконечными)1. На основе этого
понятия вводятся следующие определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два множества называются эквивалент-
ными, если между ними возможно установить взаимно одно-
значное соответствие. Таким образом множества М и N в ка-
ждом из предыдущих примеров суть множества эквивалентные.
Примечание 1. Относительно двух эквивалентных множеств говорят
также, что они имеют одинаковую мощность.
Примечание 2. Очевидно, что два конечных множества эквивалентны
тогда и только тогда, когда они состоят из одного и того же конеч-
ного числа элементов.
Примечание 3. Из предыдущего определения эквив;алентности сле-
дует, что два множества М и N, эквивалентные одному и тому же
третьему Р, эквивалентны между собой. В самом деле, пусть' существует
взаимно однозначное соответствие между М и Р и между N и Р. Пусть
т какой-нибудь элемент множества Л4; в силу соответствия между 7И
и Р ему соответствует один и только один элемент р из множества Р>
* Отличие случая конечных множеств от случая множеств беско-
нечных заключается в том, что в первом случае соответствие могло
быть фактически установлено, т. е. можно было перечислить все эле-
менты первого множества, указывая при этом, какой элемент второго
множества соответствует данному элементу первого. Иначе говоря,
можно было бы написать полную таблицу, где в одном столбце пере-
числялись бы все элементы одного множества, а во втором указывались
бы элементы, им соответствующие. В случае же бесконечных множеств
составление такой таблицы никогда не могло бы быть закончено: во всех
наших примерах, когда мы пытались такую таблицу написать, появлялось
в конце многоточие, указывающее, что перечисление не закончено.
Вместо таблицы мы определяли соответствие при помощи общей фор-
мулы или закона соответствия. В примере втором соответствие опре-
делялось формулой п = 2mf выписанная же далее табличка соответствия
вплоть до я =10 служила лишь примером. Закон соответствия указы-
вает нам, как найти элемент второго множества, соответствующий лю-
бому' избранному нами элементу первого множества, — и только.
Однако понятие закона соответствия оказалось при дальнейшем
развитии теории множеств не столь простым и ясным, как могло пока-
заться вначале; именно здесь лежит начало большинства^ возникших
в теорий множеств затруднений. Понятие множества могло показаться
чисто статическим и относящимся только к объекту исследования —
элементам множества, с понятием закона соответствия вводится динамика
и роль исследующего субъекта: закон соответствия кем-то й как-то
устанавливается. Естественно, что соответствующие понятия с большим
трудом * укладываются в рамки законченной формальной системы.
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ	13 '
которому (в силу взаимно однозначного соответствия между Р и N) соот-
ветствует единственный элемент п из множества N. Этот элемент п мно-
жества N мы и ставим в соответствие данному элементу т множества М
Каждому элементу т из М соответствует таким образом определенный
и единственный элемент п из У. Тем же рассуждением убеждаемся, что
каждому элементу п из.М соответствует лишь один элемент т из М
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, эквивалентное множеству
всех натуральных чисел/ называется счетным множеством.
На основании примечания 3 мы заключаем, что: 1) всякое
множество, эквивалентное счетному множеству, есть само счетное
множество, 2) всякие два счетных множества эквивалент ?ы.
На основании примеров 1, 2, 3, 4 мы можем сказать, что
множества всех отрицательных целых чисел, всех положительных
четных чисел, всех положительных простых чисел, всех правиль-
ных положительных двоичных дробей суть счетные множества.
В дальнейшем мы увидим, что, напротив, множество всех точек
прямой линии (см. пример 5) не есть счетное множество.
Определение счетного множества, как 'легко видеть, может
быть формулировано следующим образом: счетное множество —
это такое множество М, все элементы которого могут быть за-
нумерованы в бесконечную последовательность:
М=^{а19 а2, ап9
причем под нумеровайием мы понимаем указание для каждого
элемента множества определенного натурального числа в качестве
номера так, чтобы при, этом каждый элемент получил лишь
один номер, и кажюе натуральное число было бы в качестве
номера дано одному и лишь одному элементу нашего множества.
£<?. Операции над множествами. Введем теперь сле-
дующие основные понятия и обозначения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждый элемент множества М
есть вместе с тем элемент множества N, то множество М z
называется частью множества N.
Например, множество всех четных чисел есть часть множества
всех целых чисел, множество
/п z
всех чисел вида — (где т и п —
£
натуральные числа) есть часть множества всех рациональных чи-
сел и т. д. Вместо того чтобы сказать, что множество М есть
часть множества N, говорят часто, что множество М содер-
жимся в множестве N или что М включено в N и записывают
это так:
MczN или N о М.
14
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Этот знак с называется знаком включения. Он употребляется
также для того, чтобы указать элемент данного множества. На-
пример, вместо того чтобы сказать, что х элемент множеств i
пишут
х.а Ж, или 7И Z) х,
при этом обозначают множества большими буквами, а их эле-
менты — малыми.
Предположим, что мы имеем некоторое конечное число (не-
который конечный „запас") множеств Af2,..., Мп. Рассмот-
рим множество тех элементов, которые принадлежат хотя бы к
одному из множеств 2Ир Af2, ..., Мп Множество этих элемен-
тов называется суммой множеств МА> ТИ2,..и обозначается
/Иг +Л12	* +	> или У2
/=1
Например, множество всех целых чисел есть сумма множества
всех четных и множества всех нечетных чисел; множество всех
действительных (вещественных) чисел есть сумма множеств всех
целых, всех дробных и всех иррациональных чисел; мно-
жество всех нераспадающихся кривых второго порядка, лежащих
на данной плоскости, есть сумма трех множеств: всех эллипсов,
всех парабол и всех гипербол.
При приведенном определении суммы множеств может спу- .
читься, что два или большее число множеств слагаемых имеют
общие элементы (т. е. что существуют элементы, принадлежа-
щие, скажем, и множеству Af1 и множеству ТИ2). Например,
мы можем сказать, что множество всех целых чисел есть сумма
следующих трех множеств:
— множества всех нечетных чисел, не делящихся на три;
Л42 — множества всех четных чисел;
/И3 — множества всех чисел, делящихся на три.
Мы имеем М =Afj 4*	4~Af3. С другой стороны, видим,
что множества М2 и 2И3 имеют бесконечное число общих эле-
ментов: это будут все четные числа, делящиеся на 3, т. е 6,
12, 18, 24 и т. д. Может даже случиться, что одно из слага-
емых множеств есть часть другого. Так, например, дюжно сказать,
что множество всех нераспадающихся кривых второго порядка
есть сумма четырех множеств: множества всех эллипсов, всех
парабол, всех гипербол и всех окружностей (четвертое слагаемое
есть часть первого).
Понятие суммы множеств легко распространяется на тот слу-
чай, когда мы имеем бесконечную совокупность множеств»
ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
15
Под суммой этих множеств мы понимаем снова множество всех
элементов, принадлежащих хоть одному из слагаемых множеств»
Если у нас счетное множество слагаемых: Mv М2,.. •,	...»
то сумму их обозначаем через
М1 4- М2 + • • + МП + • • •
или короче
S м*
п
Все замечания, сделанные о суммах конечного числа множеств,
остаются в силе и в случае бесконечного множества слагаемых.
Пример. Обозначим через множество, состоящее из
двух чисел: 1 и —1, через Л42— множество всех четных чисел
(положительных и отрицательных), через Л43 — множество всех
чисел (положительных и отрицательных), делящихся на 3, вообще
через Мп—множество всех чисел, делящихся на п. Обозначая
через М множество всех целых чисел как положительных, так
неотрицательных, имеем:
оо <
/2 = 1
Легко видеть, что в нашем примере всякие два множества
, и Ма имеют общие точки, если ни одно из чисел р и q не есть 1»
Мы познакомились, таким образом, с первой основной опе-
рацией над множествами — с операцией сложения. Вторая опе-
рация есть операция вычитания. Пусть имеем два множества
Ли В, из которых второе содержится в первом: В с: Л. Разностью’
множеств Л и В называется множество тех элементов Л, кото-
\ рые не суть элементы, множества В. Разность множеств Л и В
обозначается, естественно, через Л — В. Легко видеть, что мно-
гие свойства арифметического сложения и вычитания сохраняются*
для сложения и вычитания множеств.
Так, мы имеем:
л+в=в-|-л, л4-в + с=(л+в) + с=л+(в+с)
и, наконец,
(А-В) + В=А\
Переходим к третьей и последней основной операции над
множествами — к операции взятия общей части, или умноже-
ния множеств. Пусть мы имеем конечную или бесконечную
совокупность множеств: Afp М2,».., Мп,...
* Кроме того, для множеств справедливы многие формулы» невер-
ные, вообще говоря, для чисел; например, для множеств всегда Л+Л —Л*.
16
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Назовем общей частью или произведением этих множеств1
множество тех элементов, которые содержатся во всех данных
множествах (т. е. множество элементов, общих всем этим мно-
жествам). Если нам дано счетное множество множеств Mv Af2,...,
4fn,,.., то общая часть их обозначается так:
1*0	п
Примеры. 1. Пусть есть множество всех четных чисел,
УИ2 — множество всех чисел, делящихся на 3. Произведение *2И2
состоит из всех чисел, входящих как в одно, так и в другое
множество, т. е. из чисел, делящихся одновременно на 2 и на 3
{другими словами, из всех чисел, делящихся на 6).
2. Обозначим через Мп множество всех рациональных чисел,
к	1	,
абсолютная величина которых меньше — (где п— любое нату-
рально число). Произведение всех множеств Мп состоит из одного
числа 0.	*
3. Обозначим через 2Ил множество всех положительных
рациональных чисел, меньших, чем В этом случае нет ни
одного элемента, общего всем множествам Жл, т. е. произведе-
ние всех множеств Мп есть пустое множество.
Доказательство утверждений» содержащихся в приме-
рах 2 и 3.
1.	Число 0 имеет абсолютную величину 0, меньшую чем
любое число — (каково бы ни было натуральное число л),
следовательно, число 0 содержится (в качестве элемента) во всех
множествах Мп и включено поэтому и в произведение этих мно-
жеств. Докажем, что никакое другое число не может принадле-
жать ко всем множествам Мп В самом деле, пусть а есть про-
извольное рациональное число не равное 0; возьмем натуральное
число л0 столь большим, чтобы — была меньше, чем |а|^0;
л0
очевидно, что а не содержится в Л4Ло, следовательно, а не мо-
жет содержаться в произведении всех Мп.
2.	Число 0 не содержится ни в одном из множеств Мп.
(которые по условию примера 2 состоят из положительных
чисел), следовательно, и подавно не может содержаться в их
* См. упражнение 4 в конце этой главы.
ТЕОРЕМЫ О СЧЕТНОСТИ МНОЖЕСТВ
17
произведении. В том, что никакое число а=^=0 не может содер-
жаться во всех ЛГЯ, мы убеждаемся дословно так же, как в преды-
дущем примере.
§	4. Теоремы о счетности множеств. Переходим теперь
к доказательству следующих теорем.
Теорема I
Всякая часть счетного множества есть либо конечное
либо счетное множество Ч
Пусть М — счетное множество. На основании определения
счетного множества мы вправе предположить, что все элементы
множества М занумерованы и, следовательно, само множество
может быть представлено в виде бесконечной последовательности:
• • • > * (1)
Пусть Af0 есть часть множества М9 значит, все элементы
множества ЛГ0 получили определенные места в последовательно-
сти (1). Пусть аЯ1 будет первый элемент последовательности (1),
являющийся вместе с тем элементом множества ЛГ0; пусть а^
будет второй такой элемент в последовательности (1) и т. д.
. Возможны лишь два случая: либо мы после конечного числа
шагов исчерпаем все множество Жо, которое окажется в этом
случае конечным множеством, либо мы пол>чим бесконечную
последовательность:
а . а . а ..... а .....
Пр П<?	• • • >	• • • •
состоящую из всех элементов множества 7И0. Обозначая для
простоты письма &-й элемент этой последовательности, т. е. ank
через bkt мы видим, что множество 2И0 есть не что'иное, как
счетное множество элементов:
‘ • • •
Следствие
Если между множеством М и частью множества всех нату-
ральных чисел возможно установить взаимно однозначное соот-
ветствие, то множество М конечно или счетно, так как М эк-
вивалентно части счетного множества и, следовательно, само либо
конечно, либо счетно.
Теорема П	4
Сумма конечного или счетного множества конечных или
счетных множеств есть конечное или счетное множество.
1 Пустое множество мы причисляем к конечным множествам: оно
является частью всякого множества.
2 Александров и Колмогоров.
18	О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Более подробно: сумма конечного числа конечных множеств есть
(очевидно) конечное множество. Сумма конечного числа счетных
множеств, так же как и сумма счетного множества счетных мно-
жеств, есть всегда счетное множество (как будет сейчас доказа-
но). Что касается суммы счетного числа конечных множеств,
то оно есть либо с» етное множество, либо конечное (в послед-
нем случае слагаемые множества должны, как легко видеть,
иметь общие элемент).
Переходим к доказательству нашей теоремы. Пусть нам даны
множества Лр Д2,..., каждое из которых конечно или
счетно, и пусть всех таких множеств нам дано конечное число,
либо счетное множество.
Пусть pv р2,	суть все простые числа: рх = 2,
Рг = ^> Рз-=5>	= Р6==п и т. д.
Рассмотрим следующие множества, составленные из натураль-
ных чисел:
есть множество всех чисел 2, 4, 8, 16, 32,..., вообще
всех чисел вида 2я,
УИ2 есть множество всех чисел 3, 9, 27, 81, 243,..., вообще
всех чисел вида 3я,
есть множество всех чисел 5, 25, 125, 625,вообще
всех чисел вида 5я,
есть множество всех чисел 7, 49, 343,..., вообще всех
чисел вида 7я,
М5 есть множество всех чисел. 11, 121,..., вообще всех
чисел вида 11я, вообще есть множество всех чисел р& pk2,
pk\>-.,pkn>...
1. Предположим сначала, что множества Av Д2,... не имеют
общих элементов, т. е. что каждый элемент любого множества
Ak принадлежит только этому одному множеству (из всех мно-
жеств нашей системы). Обозначим через А сумму всех мно-
жеств Ак.
Рассмотрим какое-нибудь из наших множеств Если оно
конечно и состоит, например, из rk элементов, то ставим ему
во взаимно однозначное соответствие первые rk элементов мно-
жества Mk. Если же Ak счетно, то, так как Mk также счетно,
возможно установить взаимно однозначное соответствие между
Ak и Mk. Итак, во всяком случае, каждому элементу мно-
жества Ak оказывается поставленным в соответствие один
и только один определенный элемент множества Mk, т. е. одно
и только одно натуральное число (вида pkn), причем двум различ-
ным элементам из Ak поставлены в соответствие два различных
элемента из Mk. Сделаем это для всех Ak (6=1, 2, 3,.. ).
ТЕОРЕМЫ О СЧЕТНОСТИ МНОЖЕСТВ	19
В результате каждому элементу множества А = А1 -|- А 2 4“ • • •
оказывается поставленным в соответствие некоторое единствен-
ное натуральное число. Обратно, никакое натуральное число не
поставлено, таким образом, в соответствие двум различным точ-
кам множества. В самом деле, мы видели, что двум различным
элементам одного и того же множества Ak поставлены в соответ-
ствие всегда два различных числа из если же два элемента
принадлежат к двум различным Ak<t пусть, например, х с: Av
у с А2, то соответствующие им элементы принадлежат к различ-
ным	а именно в нашем случае к	и 2И2, и следовательно,
заведомо различны (так как никакие два Мк не имеют общих
элементов).
Мы видим, таким образом, что между множеством А и частью
множества натуральных чисел установлено взаимно однозначное
соответствие, а отсюда следует, что множество А счетно или
конечно.
2. Рассмотрим теперь общий случай, когда множества Ли
Л2,..., Ля,... имеют, вообще говоря, общие элементы. Пусть
А попрежнему есть сумма всех множеств Ап, Обозначим через
В2 множество всех тех элементов Л2, которые не принадлежат
к Лр через В3 — множество тех элементов Л3, которые не при-
надлежат к Л14~А» и вообще обозначим через Вд+1 мно-
жество тех элементов множества Ля+1, которые не принадлежат
к Л j —Л2 ——р Лй. Каждое множество Вп+1 (л=1, 2,3,...),
полученное таким образом есть, конечно, счетное или пустое
множество (последнее обстоятельство имеет место в том случае,
если Ля+1 с Л] Л2 4- • • • + Лл). Для удобства обозначим
множество Л2 через Вг (т. е. Л3 и Вг суть два обозна-
чения одного и того же множества). Мы утверждаем, ’что
множество Вг 4- В2 4“ • • • + Вп 4“ • • • совпадает С множеством
Л — Л14~Л2 4 .. .4~Л/г4' • • • Для . того чтобы убедиться в
этом, достаточно показать, что каждый элемент множества
Bi 4~В2 + - •	• • есть в то же время элемент множе-
ства Л, и обратно, каждый элемент множества Л есть в то же время
элемент множества Вг 4~ В2 • • “Ь &п + • • • Первое утвер-
ждение очевидно, так как каждый элемент множества Вп есть в
то же время элемент множества Ля, значит, сумма всех Вп со-
держится в сумме в:ех Ля, т. е. в Л. Пусть, обратно, х есть
какой-нибудь элемент множества Л. По < определе <ию суммы
множеств х есть элемент одного или нескольких множеств Ап.
Пусть ЛЯо есть то из множеств Лл, содержащих элемент х,
которое обладает наименьшим указателем л0 Это значит,
что х содержится в ЛЯа, но не содержится ни в одном из мно-
2*
20
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
жесте Ап>, (л'</г0), следовательно, х не содержится и в их сумме
А! + А2+• • •+Лио-1 и поэтому содержится в (ПО самому
определ нию множества Вп^, значит, во всяком случае содер-
жится в В, -]- Я24“ .. •	• • • В частности, если п0 = 1,
т. е. хсЛр то, так как В1=Л1, элемент х содержится в Вг
Наша теорема доказана вполне 1.
Теорема III
Всякое бесконечное множество М содержит счетное под-
множество D.
Пусть дано бесконечное множество М. Так как М беско-
нечно, "мы можем найти в М два различных элемента, которые мы
обозначим через и br М наверное не исчерпывается этими
двумя элементами, так что можно найти в М элемент отлич-
ный от а2 и bv М не исчерпывается также и тремя элементами
^19 а29 так что существует четвертый элемент Ь2, отличный
от уже выбранных трех. . Пусть уже выбраны элементы
#2,( •••> ап> bv Ь2, bn, различные один от другого. Ими
наверное не исчерпывается множество М (так как оно по пред-
положению бесконечно), поэтому можно указать сначала
элемент ая+1, а потом и элемент #я+1, отличные от всех
предыдущих.
Таким образом, продолжая наш процесс, мы выделим из
множества М даже не одно, а два счетных множества:
£)={#!, а2,	ап, ... },
b2, b3, .bn, ... },
чем*доказана наша теорема. То обстоятельство, что мы получили
два счетных множества без общих точек, Позволяет следующим
образом усилить формулировку теоремы III:
Всякое бесконечное множество 7W содержит счетное
множество D, притом такое, что М — D есть бесконеч-
ное множество (так как Л4—D содержит счетно.е мно-
жество Dj).	ф
Заметим, что в нашем доказательстве мы не делали никаких
предположений о счетности или несчетности множества М, так
что теорема верна для всех бесконечных множеств (как счетных,
так и несчетных) 2.
< См. упражнение 6.
ч 2 Доказательство того, что бесконечныз несчетные множества суще-
ствуют. читатель найдет в следующей главе.
ТЕОРЕМЫ О СЧЕТНОСТИ МНОЖЕСГВ
21
Теорема IV
Если М есть несчетное множество, a D конечное или счет-
ное множество, содержащееся в М, то М — D эквивалентно М*
В самом деле, пусть D есть конечное или счетное подмно-
жество несчетного множества Af. Множество М — D есть несчет-
ное множество (так как если бы М — D было пустым, конеч-
ным или счетным множеством, то на основании теоремы II
М = (М — D) -|- D было бы конечным или счетным множеством).
На основании теоремы III, можно выделить из множества М —• D
счетное множество Dv Обозначим оставшуюся часть М — D—D*
множества М — D через N. Имеем:
М — D =	(2)
iM = (D + D1) + ^	(3>
причем множества D, и Af не имеют попарно общих элемен-
тов.	есть на основании теоремы III счетное множество,
следовательно, (D -р эквивалентно Dv
Установим взаимно однозначное соответствие между счетными
множествами DT и	*. Пусть теперь х есть какой-ни-
будь элемент множества AL Если х <z (D 4* DJ, то ему на осно-
вании только что сказанного соответствует некоторый элемент
множества Dt (являющийся, следовательно, элементом множества
Af—D). Если же х есть элемент множества Af, принадлежащий
множеству N, то ставим ему в соответствие этот же самый эле-
мент в множестве А1 — D (замечая, что второе слагаемое в пра-
вой части (2) и (3) есть то же множество N). В силу этого
соответствия, обратно, каждому элементу у множества М — D
соответствует некоторый элемент х множества	(если
у с DJ или тот же самый элемент у в множестве N с (Af — D}
(если у с: N). Полученное соответствие взаимно однозначно,
так как множества 2V и	(следовательно, и подавно N и
D0 без общих элементов.
Теорема V
Присоединяя к бесконечному множеству М счетное или
конечное множество D, получим множество	эквива-.
лент ое множеству М.
< Читателя не должно беспокоить то обстоятельство, что	есть\
. часть множества (D + Г>4): ведь уже на примере 2 мы видели возмож-
ность установления взаимно однозначного соответствия между множе-
ством и его частью. Читателю необходимо, прежде чем итти дальше,
как следует уяснить себе, что между всякими двумя счетными множе-
ствами возможно установить взаимно однозначное соответствие независи-
мо от того, является ли одно из них частью другого, или нет.
22	О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Если М счетно, то M-^-D счетно ня основании теоремы П
и, следовательно, эквивалентно множеству М. Если М несчетно,
то М D также несчетно, мы можем, следовательно, получить
множество М отнятием от несчетного множества M-\-D конеч-
ной или счетной части, а именно множества £>, так что на
основании предыдущей теоремы М 4“ D и М эквивалентны.
Теорема VI
Всякое бесконечное множество М содержит часть N,
эквивалентную всему множеству М (причем можно предпо-
ложить, что М — N есть бесконечное множество).
Если М счетное множество, то, выделяя из него (по теореме III)
счетное подмножество W (так, чтобы М — N было бесконечно),
получим сразу доказательство нашего утверждения.
Если М несчетно, то, выделяя из М счетное множество D,
получим часть M — D, эквивалентную по теореме IV множеству
что требовалось доказать.
Так как очевидно, что никакое конечное множество не со-
держит части, эквивалентной всему множеству, то теорема VI.
выражает характеристическое свойство бесконечных множеств,
т. е. такое свойство, которое принадлежит всем бесконечным
множествам и лишь им. Это позволяет принять свойство, вы-
раженное теоремой VI, за определение бесконечных множеств,
т. е. сказать, что множество М называется бесконечным,
если оно содержит часть N, эквивалентную целому мно*
жеству /И.
Заметим, что полученное определение является положитель-
ным в отличие от отрицательного определения бесконечных
множеств как тех множеств, которые не суть конечные
Докажем, наконец, следующую теорему.
Теорема VII
Множество всех рациональных чисел есть счетное мно-
жество.
Докажем сначала, чт.о множество всех положительных рацио-
нальных чисел счетно. Как известно из элементарной арифме-
тики, всякое положительное рациональное число может быть
единственным образом представлено в виде несократимой дроби
—, где р и q суть полож отельные числа, не имеющие общих
* Это опреде тение принадлежит Дедекинду. Позднее оно возбудило
много критических замечаний, так же как и самые доказательства тео-
рем ill, IV, V, и VL
ТЕОРЕМЫ О СЧЕТНССТИ МНОЖЕСТВ
23
делителей, отличных от 1; в случае если наше рациональнее
число целое, то # = 1; мы будем, таким образом, все ц^лые
числа записывать также в виде дробей, с знаменателем 1. На*
зовем высотою дроби — сумму ее числителя и знаменателя, т. е.
натуральное число p-\-q. Тогда для каждого положительного
рационального числа оказывается однозначно определенным не-
которое натуральное число, а именно, высота той единственной
несократимой дроби, которой равно данное рациональное число
п
(в частности каждое целое число «=»— имеет, очевидно, вы-
соту, равную п 4-1).
Рассортируем .теперь все положительные рациональные числа
по их высоте.
Высоте единицы не соответствует никакого положительного ра~
ционального числа (так как 1 не может быть представлена как
сумма двух целых положительных чисел);
высоте
1
соответствует лишь дробь -р;
высоте 3 соответствуют дроби
высоте 4 соответствуют дроби
1 А.
2’1’
1 3
Таким образом мы получаем таблицу:
Высота
1
2
3
4
&
6
7
Рациональные числа
1
1
4 2
2-’ 1 >
JL А
3’1’
JL А А А
4* 3’ 2’ 1’
1 5
5’ 1»
1 2 3 5 6
б’ 5’ 4’ 2’ 1
2
24
О БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВАХ
На каждое натуральное п > 1 приходится, таким образом, не
более п — 1 несократимых дробей высоты я. Все положительные
рациональные числа распределяются, таким образом, в виде счет-
ного множества конечных множеств, т. е. образуют счетное
множество. Мы можем непосредственно занумеровать положи-
тельные рациональные числа (переходя от высоты п к высоте
/г—{— 1) в последовательность:
Гр Гр г3,,..гя,...,
где
1 %	1	2 о 1	3 о
ri ।	1 > г2 = 2 * г3 —	— 2,	, г5 — — — 3,
_ 1 — 1 _ 3 _ 4 _ 1
4 ’ г7 з ,	2 ’	Лю- g > гп —
_J5	_ 2	_ 3	_ 4	„
— ।	г12— g , г18— 5 , г14—-4-, г15 — —, г15 —
5 6 «
=~2 , г17 = у = 6 ит. д.
Множество всех отрицательных рациональных чисел, очевидно,
эквивалентно множеству всех положительных рациональных
чисел, следовательно, также счетно. Наконец, множество всех
рациональных чисел есть сумма трех множеств: 1) множества
всех положительных рациональных чисел, 2) множества всех
отрицательных рациональных чисел, 3) множества, состоящего из
одного числа 0. Следовательно, на основании теоремы II мно-
жество всех рациональных чисел счетно.
Можно было бы непосредственно занумеровать все рациональ-
ные числа, представляя каждое рациональное число (не равное 0)
единственным образом в виде несократимой дроби — с поло-
жительным знаменателем q 1 и называя высотою такой дроби
натуральное число	Число 0 мы написали бы при этом
0
—; его высота равна единице.
Читателю рекомендуется для упражнения построить соответ-
ствующую таблицу (на каждую высоту придутся все те дроби,
которые фигурируют в соответствующей строке нашей таблицы
(стр. 23), и все отрицательные дроби с той же абсолютной ве-
личиной, за исключением высоты 1, для которой мы имели бы
0 п
одно число —=и.
ТЕОРЕМЫ О СЧЕТНОСТИ МНОЖЕСТВ
25
Примечание. Приведенное доказательство счетности множества
всех рациональных чисел [принадлежащее Кантору (Cantor)] дало нам
простую возможность непосредственного занумерования рациональных
чисел при помощи цеых. Если не стремиться к этому, то самым про-
стым доказательством является следующее (предложенное Л. П. Леоно-
вым): все рациональные числа могут быть записаны в виде несок. а,и-
мых дробей; дробей с данным знаменателем, очевидно, лишь счетное
множество; так как различных знаменателей также счетное множество,
то множество всех несократимых дробей (т. е. всех рациональных ч*сел)
является суммой счетного множества счетных множеств, т. е. счетным
множеством.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. 1
1,	Доказать, что множество всех двоичных дробей (правильных и
неправильных, положительных и отрицательных) есть счетное множестьо.
2.	Доказать, что множество всех точек плоскости, обе координлы
которых суть двоичные дроби, есть счетное множество.
3.	Доказать, что множество всех точек окружности эквивалентно
множеству всех точек прямой.
4.	Доказать, что операция умножения множеств удовлетворяет за-
конам nepewevTHTeabHOCTH, сочетательности и распределительности
отношению к сложению, т. е. что
Л-Я = £.Л;
Л(В.С) = (Л-Я).С=Л-В.С;
Л.(>И* + Л!2+...+^л+...) = Л^ + Л.Л12+... +Л.7Ил+...
5.	Доказать, что (Л — В)«6 = Л-С В-С.
6.	Дать другое доказательство теоремы II (выписав элементы каж-
дого из слагаемых множеств в отдельную С1роч*у и пронумеровав
в простую последовательность полученную таким образом таблицу
с двойным входом).
7.	Доказать, что множество всех полиномов с целыми коэфициен-
тами от одного переменного есть счетное множество (Кантор).
Указание. Назовем „высотою* полинома
а»хя + atx>t-1 + ... 4- х + а„
(с целыми коэфициентамн) число
п + !до1 + l^il + • • •+ |яи|-
8.	Доказать, что множество всех полиномов с рациональными коэ-
фяциентами есть счетное множество.
9.	Доказать теорему Кантора 1 о том, что множество всех алгебраи-
ческих чисел есть счетное множество.
Замечание. Алгебраическим числом называется (вообще говоря,
комплексное) число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению
с рациональными4 коэфициентамн,
10.	Доказать, что множество всех окружностей (на плоскости), ра-
диусы которых рациональны и центры которых имеют рациональные
координаты, есть счетное множество.
11.	Доказать, что множество всех многоугольников (на пл^скостиХ
вершины которых имеют рациональные координаты, есть счетное мно-
жество.
* Георг Кантор (род. в Петербурге в 1842 г., ум. в Галле
в 1918 г.)—немецкий м i тематик, создавший теорию множеств и оказав-
ший этим громадное влияние на развитие всей современной математики.
Глава вторая
Действительные числа
§ 1. Дедекиндовское1 определение иррационального
числа. Начиная с настоящей главы, мы будем иметь дело по пре-
имуществу с множествами, составленными из так называемых
действительных чисел, или с множествами, элементы которых суть
точки прямой линии. Изображение множества всех действитель-
ных чисел при помощи множества всех точек прямой линии
возможно вот на каком основании.
Предположим, что нам дана бесконечная прямая, на которой
отмечена некоторая определенная точка („точка нуль", или
начало). Предположим, кроме того, чю некоторый отрезок пря-
мой принят нами за единицу длины. Откладывая эту единицу
длины направо и налево от точки 0 один, два, три, вообще
п раз (где п — любое натуральное число), мы получим точки
Ч- L +2, +3,..., + л: это так называемые целые точки пря-
мой (т. е. точки, расстояния. которых от начала выражаются
целым числом основных единиц длины). Беря половину нашей
основной единицы длины и откладывая ее направо и налево от
-начальной точки, мы получим все точки, расстояния которых
л	, и „	1
от точки 0 выражаются числами вича + —. Беря — -ю часть
нашей основной единицы и откладывая ее в обе стороны от
начала произвольное число раз, получим все точки, расстояния
А	. П
которых от О суть числа вида ± —.
т
Другими словами, мы получим все так называемые рациональ-
ные точки прямой линии, т. е. все точки, расстояния которых
ют начала выражаются рациональными числами.
1 Рихард Дедекина (род в 1831, ум. 1916), немецкий математик.
Кроме первой по времени строгой теории щ рациональных чисел ему
принадлежат фундаментальные работы в области алгебры и теории
чисел.
ДЕДЕКИНДОВСКОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА
27
Этими рациональными точками не исчерпывается множество
всех точек прямой. В самом деле, из элементарной геометрии
известно, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Следовательно, если взять диагональ квадрата, сторона кото-
рого есть наша единица длины, и отложить ее, например, вправо
от точки 0, то мы получим точку нашей прямой, заведомо
отличную от построенных нами рациональных точек. Таким
образом множество одних р циональных чисел недостаточно для
того, чтобы поставить в соответствие каждой точке прямой
некоторое число, измеряющее расстояние этой точки до начала.
И если мы хотим име*ь ассортимент чисел, вполне достаточный
для арифметического исследования тех геометрических явлений,
которые происходят на прямой линии, нам необходимо пополнить
имеющийся у нас запас рациональных чисел введением новых,
так называемых иррациональных чисел, т. е. нам нужно на не-
которые новые предметы распространить название числа, ибо
объем, который мы раньше приписывали понятию числа, ока-
зался недостаточным.
Рассмотрим множество всех рациональных чисел. Обозначим
это множество через 7?.
Оно обладает следующими свойствами:
1. Из всяких двух (различных) рациональных чисел а и Ь
одно больше другого, причем, если а^>Ь и Ь^>с} то а>с
(свойство упорядоченности).
2. Каковы бы ни были рациональные числа а и Ь (а < Ь),
существует бесконечно много рациональных чисел сг,
сп,.. м заключенных между а и b (т. е. бблыпих чем а, й
меньших чем Ь). Так как среднее арифметическое между двумя
числами заключено между ними, то достаточно взять
а *4~ b	а ~|— Сч
= ~2~ > с2—~2	’ ’ * ”
вообще
После этих предварительных замечаний переходим к самому
изложению дедекиндовского определения иррационального числа.
Назовем сечением множества всех рациональных чисел всякое
разбиение его на два подмножества А и В, удовлетворяющих
следующим условиям:
1. Каждое рациональное число принадлежит к одному и
только к одному из множеств А или В.
28
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
2. Каждое число, принадлежащее к множеству А, меньше
каждого числа, принадлежащего к множеству В.
Мы будем называть множество А левым (или нижним), а
множество В правым (или верхним) классом е и будем опре-
деленное таким образом сечение обозначать так: (Д, В).
Примеры сечений. 1. Пусть А множество всех рациональных
3
чисел меньших или равных —, В — множество всех остальных
рациональных чисел. Разбиение множества всех рациональных
чисел есть, как легко проверить, сечение в указанном только что
смысле. Вообще, если г есть произвольное рациональное число,
то, принимая за множество А множество всех рациональных
чисел меньших или равных г, а за В множество всех остальных
рациональных чисел (т. е. множество рациональных чисел боль-
ших г), получим сечение.
Очевидно, что г есть наибольшее число среди всех чисел,
принадлежащих к нижнему классу (т. е. множеству Д). В самом
деле, число г принадлежит к множеству А (по ^определению
этого множества). С другой стороны, множество А не содержит
никакого числа, большего, чем г (так как всякое такое число
принадлежит к В).
2. Пусть г — произвольное рациональное число; отнесем к
классу А все рациональные числа, меньшие чем г, а к классу В все
остальные рациональные числа (т. е. число г и все числа, большие г).
Таким образом опять установлено сечение. Легко видеть, что
г есть наименьшее число среди всех чисел В.
3. Отнесем к классу А все отрицательные рациональные
числа, число 0 и все положительные рациональные числа, ква-
драт которых меньше 2. Отнесем к классу В все остальные
рациональные числа. Так как не существует рационального числа,
квадрат которого равен 2,1 то квадраты всех рациональных
* Так как z«==|r|t, то достаточно показать, что не существует
положительного рационального числа, квадрат которого равен 2. Целого
числа такого, наверное, не cynv ствует, так как 1а = 1, а для п 2 будет
п2^22=4>2. Пусть существует несократимая дробь —, такая, чго
—^=2. ^Тогта р2==2^2, следовательно, р* — четное число. Так как
квадрат нечетного числа есть нечетное «исло, то р не может быть не-
четным, значит р есть четное число, следовательно, р = 2т (где т —
целое число), т. е. (2 m)2 —2#2 или 2 m2 —<у2; значит q\ а следовательно
и q — четное число, и дробь у, у которой и числитель и знамена-
ДЕДЕКИНДОВСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА
29
чисел, принадлежащих к В, больше 2. Очевидно, каждое число
множества А меньше любого числа множества В
Докажем, что среди чисел, образующих множество А, нет
наибольшего, а среди чисел множества В нет наименьшего.
Предположим, что это не так, и пусть, например, г есть
наибольшее число среди чисел, образующих множество А. Число г,
наверное, больше 1, так как (1,1)2 = 1,21 <*2, т. е. число 1,1
принадлежит к множеству А.
2 — г2
Рассмотрим дробь gr i ’ так как 1 и принадлежит к Л,
то 1<У2<2 и числитель нашей дроби есть положительное
число, меньшее единицы. Знаменатель нашей дроби больше 3,
значит, дробь есть положительное число, меньшее
ч	и
Возьмем натуральное число п сто;ь большим, чтобы
Так как
то
следовательно,
2 — г2 2 — л2
1 п
Заменяя в неравенстве (1) выражение
2 —г2
2^1 через
(1)
2 —г2
(от чего неравенство только усилится), имеем:
тель —летные числа, не была бы несократимой. Полученное противоре-
чие доказывает наше утверждение.
30
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Умножая обе части этого неравенства на 2г4~~> имеем:
или, прибавляя к обеим частям по г2 и раскрывая скобки,
1	/ 1 \2
Г2^2г — -И — | <2,
IV
я /
о	,	1	„
Рациональное число г -4--принадлежит, таким образом, к мно-
п
жеству Л, и следовательно, число г не является наибольшим
среди чисел множества А,
Таким же образом докажем, что никакое число г не является
наименьшим в множестве В. В самом деле, мы можем пред-
положить, что 1<V<2, так как 1 содержится в классе
Л, а 2, наверное, не наименьшее число в множестве В, ибо
(1,5)2 = 2,25>2. Так как г принадлежит к множеству В, то
г2________________________________2
г2>2 и положительная дробь —-—
2г
ший чем 22— 2 = 2, а знаменатель,
г2 — 2
——— есть правильная положительная
имеет числитель, мень-
больший чем 2, значит,
дробь.
I г2_____2
Пусть п есть столь большое натуральное число, что —
имеем и подавно:
2 - г2—2
п
2г — —’
п
— ( 2г-Ц <г2~ 2,
п \	п I
откуда, вычитая
и прибавляя по
2<Г2-----1/
и \
из обеих
2, имеем:
2г — — =
Я /
частей неравенства по
п
1 V
Г п ) ‘
„ 1
Число г-----
п
следовательно, г
принадлежит, таким образом, к
не есть наименьшее число в В.
классу 5, и
ДЕДЕКИНДОВСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА 31
Заметим, что если число а принадлежит к нижнему классу,
то всякое число а'<а также принадлежит к нижнему классу
(так как в противном случае нарушилось бы условие 2, опреде-
ляющее сечение).
Точно так же, если число b принадлежит к верхнему классу,
то всякое число b'>b также принадлежит к верхнему классу.
Отсюда следует, что в нижнем классе никогда не существует
наименьшего, а в верхнем — наибольшего (в самом деле, если
а — любое число нижнего, а b — верхнего класса какого нибудь
сечения, то а — 1 будет число нижнего класса, меньшее чем а,
и b 4-1 — (число верхнего класса, большее чем й).
“ Докажем, наконец, что не может существовать сечения, при ко-
тором одновременно в нижнем классе существует наибольшее число,
а в верхнвхМ классе — наименьшее. В самом деле, пусть а есть наи-
большее число в нижнем, b — наименьшее число в верхнем классе.
Так как а и b оба рациональны и так как а < Ь, то
есть
-также рациональное число, причем а
а-\-Ь
а-\-Ь
~2~
больше
наибольшего числа в нижнем и меньшем наименьшего числа
а 4- b
в верхнем классах, т. е. —-— не может содержаться ни в одном
классе, что противоречит условию 1, определяющему понятие
сечения. Все сказанное может быть формулировано в виде сле-
дующего предложения.
Теорема 1	*
Если имеем сечение в множестве всех рациональных чи-
сел (т. е. разбиение его на два подмножества А и В, таких,
что всякое число, входящее в „нижний класс* А, меньше
всякого числа, входящего в „верхний класс* В), то возможны
следующие три случая:
1)	либо к нижнем классе А имеется наибольшее число (тогда
в верхнем классе нет наименьшего числа);
2)	либо в верхнем классе В имеется наименьшее число
(тогда в нижнем классе нет наибольшего числа);
3)	либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего, ни
в верхнем классе нет наименьшего числа.
* ОПРЕДЕЛЕНИЕ. В случаях 1 и 2 говорят, что сечение
(Д, В) производится рациональным числом г, или что рацио*
нальное число г определяется сечением (Д, В); в случае 3 го-
ворят, что сечение определяет некоторое- иррациональное число»
32
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Таким образом, иррациональные числа определяются сечением
третьегр типа.
Иногда говорят, что иррациональное число есть сечение тре-
тьего типа. Однако в других построениях теории действитель-
ных чисел по существу те же самые иррациональные числа
(например 1^2) связываются с совсем другими образованиями.
Например, можно связывать введение иррациональных чисел
с рассмотрением бесконечных десятичных дробей, при этом
иногда тоже говорят, что иррациональное число есть бесконечная
десятичная дробь. Мы предпочитаем в обоих случаях говорить,
что иррациональное число лишь определяется сечением третьего
рода, или бесконечной десятичной дробью и т. п.
$ 2. Упорядоченность множества действительных
чисел. Покажем теперь, как сравнивать иррациональные числа
с рациональными, а также между собой, иными словами, введем
определения понятий „больше® и „меньше® в применении
к иррациональным числам.
Пусть у нас есть иррациональное число а. Это значит, у нас
есть сечение (Д, В) во множестве всех рациональных чисел.
Введем следующее определение: если а есть число из нижнего
класса Д, то скажем, что а <^а; если Ь ест|> число верхнего
класса В, то скажем, что а<^Ь. Таким образом по определению
всякое иррациональное число больше всех рациональных чисел,
образующих нижний класс сечения, определяющего наше ирра-
циональное число, и меньше всех чисел, составляющих верхний
класс этого сечения. Мы умеем, следовательно, сравнивать вся-
кое иррациональное число С любым 1 рациональным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Иррациональное число а называется поло-
жительным, если оно больше нуля, отрицательным, если оно
меньше нуля.
Предположим, мы имеем два иррациональных числа а и а’,
определенных сечениями (Д, В) и (Д', В*). Рассмотрим множе-
ства А и Д'. Возможны следующие два случая.
1. Каждое рациональное число, входящее в множество А,
входит в множество А\ и каждое рациональное число, входящее
в множество Д', есть элемент множества Д. В этом случае мно-
жества А и Д' совпадают, т. е. состоят из одних и тех же эле-
ментов А так как В = 7? — А и —Д', где 7? есть мно-
жество всех рациональных чисел, то множества В и В' также
совпадают. В этом случае мы имеем не два, а одно сечение
* Ибо каждое рациональное число входит либо в класс А, либо
в класс В.
УПОРЯДОЧЕННОСТЬ МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 33
<Л, В) = (Л', В1), и следовательно, не два, а одно и то же
иррациональное число а = а'; можно сказать также, чго сечения
(Л, В) и (Л', В') совпадают и что числа а и d равны.
2. Имеется хоть одно число, входящее в одно из двух мно-
жеств Л или Л' и не входящее в другое. Этот случай подраз-
деляется на два:
2а. Имеется элемент, принадлежащий к Л, но не принадле-
жащий к Л'.
26. Имеется элемент, принадлежащий к Л', но не принадле-
жащий к Л.
Пусть в случае 2а рациональное число х принадлежит к Л,
но не принадлежит к А1. Так как х не принадлежит к Л1, то
х cz В*, следо-
вательно, все чи* ------------—
сла, входящие в
Л1, меньше, чем ,	—----£	--------
число х, принад-
лежащее к Л, а ------------—
потому все они	fl'
принадлежат так-	Черт. 2.
же к Л. Другими
словами, все множество Л' есть часть множества Л; поэтому вся-
кое число, входящее в множество В, как непринадлежащее к Л,
и подавно не содержится в множестве Л' (которое есть часть
множества Л), следовательно, содержится в множестве Итак,
в случае 2а имеем: А! есть часть множества Л, В есть часть
множества В1. Мы скажем в этом случае, что (черт. 2) ирраци-
ональное число а', определенное сечением (Лг, Z?), меньше ир-
рационального числа а, определенного сечением (Л, В).
Совершенно также мы доказали бы, что в случае 26 мно-
жество Л есть часть множества Л' и, следовательно, В* есть
часть В. В этом случае скажем, что a<^d (аг>а).
Если обозначать иррациональное число а, определенное се-
чением (Л, В), просто через а = (Л, В), то можно высказать
следующую теорему.
Теорема П
Если имеем два иррациональных числа а = (Л, В) и
а' = (Л\ В'), то возможны лишь следующие три случая:
а = а\	*	(1
т. е. А = А\ B = Bf;
а>а',	(2)
3 Александров и Колмогоров.
34
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
т. е. A Z) Д', В с В1 (причем А A1 и. следовательно. В^В9)}
а < а',	(3)
т. е. A9 Z) Л, В9 а В (причем А ^ А9 < следовательно, В ^В9).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Рациональные и иррациональные числа
вместе образуют множество всех действительных чисел. Это
множество мы будем обозначать буквой Z.
Примечание 1. Мы видели раньше, что если даны два числа, одно
рациональное а, а другое иррациональное а, то либо а > а, либо а > а.
Как определяется равенство и неравенство между двумя рациональ-
ными числами, предполагалось известным с самого начала наших рас-
смотрений. '
На основании этого замечания и теоремы II, ясно, что, каковы бы
ни быт и два действительных числа х и у — рациональные или иррацио-
нальные, снова возможны лишь три случая:
1) х — у; 2) х>у; 3) х<у.
Примечание 2. Читатель может проверить, что определение нера-
венства а < а' через соотношения Д'С Д', В1 СВ, данные выше для
иррациональных чисел, может быть распространено и на случай, когда
одно или оба числа рациональны.
Примечание 3, Пусть имеем три действительных числа х, у, z и
пусть х<у, y<z. Читателю предоставляется легким рассуждением
самому доказать, что x<z (отдельно равобрав случаи, когда среди
чисел х, у, z имеется два, одно или ни одного рационального числа,
или воспользовавшись результатом примечания 2).
Теорема III
Среди действительных чисел нет наибольшего и нет наи-
меньшего числа.
Доказательство. Пусть $ есть наибольшее число. £ не может
быть рационально, так как число $ -[~ 1 Если £ иррацио-
нально, то пусть (Д, В) есть определяющее $ сечение. Всякое
рациональное число ЬсВ больше, чем £. Мы получили проти-
воречие. Аналогично доказывается, что в Z нет наименьшего
числа.
Переходим к изучению дальнейших свойств множества вгех
действительных чисел.
Теорема IV
Каковы бы ни были два различных действительных числа
х и х<У> можно найти бесконечно много рациональных чи-
сел. заключенных между ними (т. е. больших, чем х, и мень-
ших, чем у).
Достаточно показать, что существует между каждыми двумя
действительными числами хотя бы одно рациональное число.
Ц	у,	... f
УПОРЯДОЧЕННОСТЬ МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ >35^
В самом деле, если это доказано, то между х и у существует
рациональное число между а и q рациональное с2, между а
и с2 рациональное с3 и т. д.
Теорема верна, если х и у оба рациональны.
, Пусть одно из них, например х, иррационально, х—(А, В)т
а другое рационально. Если у >х, то у принадлежит к верх-
нему классу В сечения, определяющего х, и так как х ирра-
ционально, то в этом клгссе нет наименьшего числа. Поэтому
в В имеется (рациональное) число с, меньшее, чем у, и все же
большее х (так как всякое число, принадлежащее множеству В,
по определению больше, чем х). Если у<х, то доказательство
аналогично: у лежит в классе А и существует <?^>у, которое
все же принадлежит Л.
Пусть теперь оба числа х и у иррациональна. Так как они
различны, то существует хоть одно рациональное число, принад-
лежащее к нижнему классу одного сечения и к верхнему классу
другого сечения и, следовательно, меньшее, чем одно, иррацио-
нальное число, и большее, чем другое.
Теорема V
Пусть дано иррациональное число а = (А, В). Каково бы
ни было положительное число е, можно найти два рацио-
нальных числа аи Ь) удовлетворяющих неравенствам а Ь
и Ь — а<^г.
Достаточно доказать теорему для рационального е. В самом
деле, если бы е было иррационально, то мы взяли бы рацио-
нальное число 6Г так, чтобы 0<^8г<^8 (такое число существует
на основании предыдущей теоремы) и построили бы два числа
а и b так, чтобы а<^си><^ЬпЬ — а <sf<8. Итак, пусть е>0 —
рациональное число. Возьмем два произвольных рациональных
числа а$ из А и Ьо из* В и построим ряд рациональных чисел:
а0, Oj=a0 4* ~аь f #3==#° 3 ~—	п ...
Возьмем
2 gQ
8
; тогда,
очевидно, =
&
так как Ь§ принадлежит к В то ап и подавно принадлежит к В.
Пусть аг (г п) есть первое число среди чисел а2, %...,
принадлежащее к В. Такое число, наверное, существует (так
как ап принадлежит кВ). Так как aQ принадлежит к Л, то
r^i; принадлежит к А (так как аг есть первое число,
принадлежащее к В). Имеем по определению знаков <, >:
а<^аг.
3*
36
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
- £ ~
С другой стороны, очевидно, что аг —	чт0 и тРе*
&
бовалось доказать.
Введем некоторые определения, которые позволят кратко форт
мулировать уже установленные свойства множества всех действи-
тельных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество М называется упорядоченным,
если для его элементов определены понятия > (больше) и <
(меньше) так, чтобы для всяких двух различных элементов
а и b выполнялась одна и только одна из двух возможностей:
либо	(#<а),
либо а < b (Ь>а),
и чтобы из условий а <<Ь, Ь<^с следовало а<с, где а, Ь, с
суть элементы множества Af.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в упорядоченном множестве а<^Ь<^с,
то говорят, что элемент b заключен между элементами а и с.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченное множество М называется
с ^пленным, или лишенным скачков, если между каждыми двумя
его элементами можно указать еще один элемент множества Af.
Если в сцепленном множестве М. существует счетной под-
множество R такое, что между каждыми двумя элементами мно-
жества М существует хоть один и, следовательно, бесконечно
много элементов множества /?, то множество Z? называется счет-
ным. скелетом множества М.
Для множества всех, действительных чисел Z таким скелетом
является множество всех рациональных чисел R.
Мы можем теперь следующим образом резюмировать ранее
полученные результаты:
Z, т. е множество всех действительных чисел, есть упо-
рядоченное сцепленное множество со счетным скелетом, не
содержащее ни наибольшего, ни наименьшего элемента.
§ 3. Сечения во множестве действительных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем сечением множества действитель-
ных чисел Z разбиение его на два множества X и Y так, что
1) каждое число множества Z принадлежит к одному и только
к одному из двух множеств X и Y;
2) каждое число, принадлежащее к X, меньше каждого числа,
<финадлежащего к Y.
Мы будем обозначать сечение множества действительных
чисел через (X, Y) в отличие от (А, В), что попрежнему будет
обозначать сечение во множестве всех рациональных чисел.
СЕЧЕНИЯ ВО МНОЖЕСТВЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ	37
Теорема VI
Каков ) бы ни было сечение (X, Y) в множестве всех дей-
ствительных чисел, всегда либо существует наибольшее число
среди чисел, образующих множество X, либо наименьшее число
среди чисел, образующих множество Y, причем, если в X есть
наибольшее число, то в‘ Y нет наименьшего, а если в Y есть
наименьшее, то в X нет наибольшего.
Обозначим через А множество рациональные чисел, принад-
лежащих к X, через В — множество рациональных чисел, при-
надлежащих к К Каждое рациональное. число принадлежит либо
к А, либо к В; каждое рациональное число, принадлежащее
к А, меньше, чем любое рациональное число, принадлежа-
щее кВ.'
• Таким образом имеем сечение (Л, В) множества рациональ-
ных чисел. Возможны три случая:
1)	либо есть рациональное число, наибольшее в Л;
2)	» я „	„ , наименьшее в В;
3)	либо в А нет наибольшего, а в В нет наименьшего
числа.
Пусть а есть наибольшее число в Л. Докажем, что а есть
наибольшее число среди всех чисел, образующих множество X.
В противном случае мы могли бы указать действительное число а.
большее, чем а, и принадлежащее к X: На основании теоремы IV
существует рациональное число с, заключенное между а и а,
Так как с < а и так как а с X, то и с <z X, следовательно,
с как рациональное число, принадлежащее к X, принадлежит к А,
и так как с^а, то а не было бы наибольшим в Л вопреки
нашему предположению.
' Совершенно аналогично мы доказали бы, что если в В есть
наименьшее число, то оно является наименьшим и в К. Остается
'рассмотреть случай, когда в А нет наибольшего, а в В нет наи-
меньшего числа. В этом случае сечение (Л, В) определяет ирра-
циональное число Так как каждое действительное число со-
держится либо в X, либо в Y, то и S содержится в одном из/ 4
этих двух множеств. Пусть, например, $ а X. Докажем, что $
есть наибольшее число среди всех чисел множеств X. В самом
деле, пусть имеется число а, принадлежащее к Л’ и большее,
чем Е. Возьмем на основании теоремы IV рациональное число а,
заключенное между $ и а. Так как а<^а и ас: X, то асХ
и, следовательно, как рациональное число, принадлежащее к X,
принадлежит к А; так как Л есть нижний класс сечения (Л, В),
определяющею число Е, то а, принадлежащее к А, оказывается
меньше, чем £,. вопреки своему определению.
38	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЕЕ ЧИСЛА
Полученное противоречие доказывает невозможность суще-
ствования в множестве X числа, превосходящего
Если бы $ принадлежало к У, то таким же точно способом
мы доказали бы, что $ есть наименьшее среди всех чисел, обра-
зующих множество У.
Остается доказать, что не могут существовать два числа
Е и из которых $ есгь наибольшее в X, а 7) — наименьшее в X.
В самом деле, так как всякое число х с X меньше всякого
числа у с К, то $ < Tj. На основании теоремы IV существует
число z9 такое, что Z<C.z<^ri. Очевидно, z не может принадле-
жать ни к X (так как тогда £ не было бы наибольшим в X),
ни к У (так как тогда 7) не было бы наименьшим в У); полу-
ченное противоречие доказывает наше утверждение.
Примечание. Таким образом всякое сечение множества действитель-
ных чисел определяет одно и только одно действительное число.
Докажем теперь полноту множества всех действительных чисел Z,
т. е. невозможность присоединения к этому множеству никакого но-
вого элемента, никакого нового „числа* 5, такого, чтобы расширенное
таким образом множество (состоящее из всех действительных чисел и
из нового „числа* 5) было попрежнему сцепленным, упорядоченным мно-
жеством, не содержащим ни наибольшего, ни наименьшего элементов *. ~
В самом деле, пусть $ вновь присоединенный к множеству Z элемент.
Мы предполагаем, что, каково бы ни было действительное число х,
возможно лишь одно из двух обстоятельств: либо х < либо х > 6.
Все действительные числа распадаются по отношению к вновь вводимому
нами „числу" 5 на два класса: класс Хг состоящий из всех действитель-
ных чисел меньших 5, и класс У, состоящий из всех остальных дей-
ствительных чисел (т. е. чисел больших Е). Так как 5 по предполо-
жению не является „числом* большим, чем все действительные числа,
и не является также „числом* меньшим, чем все действительные числа,
то ни одно из множеств X и У не является пустым множеством. Каковы
бы ни были числа х CZ X, у с: У, мы имеем:
(1)
т. е. х<у. Отсюда следует, что разбиение множества всех действитель-
ных чисел на множества X и У есть сечение множества действительных
чисел, а потому на основании теорзмы VI имеется действительное число
z, являющееся либо наибольшим среди действительных чисел, образую-
щих множество Х9 либо наименьшем среди чисел множеств У. Пусть
сначала z есть наибольшее число во множестве X. Тогда £> z (так как
< Если отказаться от последнего требования, то можно пополнить
мн)жество всех действительных чисел двумя „бесконечными* числами,
т. е. двумя новыми элементами, обозначаемыми + оо, — оо, причем мы
связы .аем эти два новых „числа* с прежними при посредству условия
+ оо > х, — оо < х, каково бы ни было действительное число х. Вве-
дение этих двух новых чисел, предложенное впервые Бэром (Baire); пред-
ставляет большие*удобства во многих вопросах теории функций действи-
тельного переменного.
СЕЧВНИИ ВО МНОЖЕСТВЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ	39
5 больше всех элементов множества X, следовательно, больше, чем z,\
вследствие сцепленности нашего пополненного элементом 5 множества,
существует такое действительное число с, что z < с < 5; но число с не
может содержаться в X (так как оно больше чем z) и не может со-
держаться в Y (так как оно меньше чем Е), чго противоречит тому, что
всякое действительное число принадлежит либо к X, либо к У.
Совершенно таким же’ образом мы доказали- бы, что число z не
может быть наименьшим среди чисел множества К Мы получили, сле-
довательно, противоречие теореме VI.
Невозможность пополнения множества действительных чисел новым
элементом Е, таким образом, доказана.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сцепленное упорядоченное множ ство называется
полным, есл^к нему невозможно присоединить никакого нового элемента
так, чтобы пополненное таким образом множество было упорядоченным
и сцепленным множеством, в котором вновь присоединенный элемент не
являлся бы ни наибольшим, ни наименьшим.
Заметим, что „теорема VI выражает не что иное, как совокупность
двух свойств множества действительных чисел, рассматриваемого как
упорядоченного множества: его сцепленности и его полноты.
В самом деле, сцепленность непосредственно следует из теоремы VI,
так как, если бы упорядоченное множество не было сцепленным, то су-
ществовали бы два элемента а и Ь, такие, что между ними не было бы
никакого третьего элемента. Но тогда, отнеся к множеству X все эле-
менты меньшие или равные а и к множеству Y все элементы большие
Или равные Ь, мы получили бы, очевидно, сечение, для которого а было бы
наибольшим элементом в X, a b было бы наименьшим элементом Y
в противоречие с теоремой VI.
Итак, сцепленность упорядоченного множества следует из тео-
ремы VI. Что же касается полноты множества действительных чисел то
мы доказали ее, пользуясь свойством сцепленности и теоремой VI, т. е,
в конечном счете пользуясь одной теоремой VI. Обратно, если упоря-
доченное множество Z обладает обоими свойствами — сцепленностью
и полнотой, — в нем непременно выполнена и теорема VI.
Доказательство. Пусть мы имеем сечение (X, Y) в множестве Z.
Докажем, что либо в X есть наибольший, либо в Y есть наименьший
элемент. Так как Z есть сцепленное множество, то не может существо-
вать одновременно наибольшего элемента а в X и наименьшего эле-
мента b в Y (так как тогда не существовало бы никакого элемента
между а и Н С другой стороны, покажем, что существование такого
Сечения (X, У), что ни в X нет наибольшего, ни в У нет наименьшего
элемента, противоречит требованию полноты. В самом деле, если бы
такое сечение существовало, то мы само это сечение назвали бы новым
„числом" Е и связали бы Е с ранее существовавшими в Z элементами
соотношениями.
(Е>х, если х с: XI	*
. V <Л если У с YJ	-к '
Множество Z, пополненное новым элементом Е, продолжает быть на
основании установленных соотношений (2), упорядоченным. На основа-
нии тек же условий (2) Е не является ни наибольшим элементом, ни наи-
меньшим элементом в нашем пополненном множестве. Для доказательства
того, что наше множество сцеплено, заме i им, чю вследствие сцеплен-
ности множества* Z между любыми двумя элементами а и b из Z суще-
ствует третий элемент с и, значит, бесконечное множество, таки::
40
ДЕЙСТВ ТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
элементов. Остается доказать, что между $ и всяким элементом z из Z
заключен некоторый элемент с. Существование с следует из того, что
в противном случае z было бы либо наименьшим эле^’ёнтом среди всех
элементов, больших S (в случае 5 < г), либо наибольшим элементом среди
всех элементов, меньших $ (в случае 8 > z\ т. е. z было бы либо наи-
меньшим элеменюм в У, либо наибольшим в Хг вопреки нашему пред-
положению.
Итак, множество, полученное присоединением нового элемента Е
к множеству Z, оказывается упорядоченным сцепленным множе-
ством, в котором 5 не является ни наибольшим, ни наименьшим эле-
менте и, а эго противоречит полноте множества Z. Теорема VI, таким
образом, действительно следует из сцепленности и полноты множества Z.
Другими словами, совокупность двух свойств упорядоченного мно-
жества— сцепленности и полноты — логически равнозначна, или, как
принято говорить, эквивалентна требованию, заключающемуся в тео-
реме VI.
Этот результат приводит нас к установлению двух следующих
эквивалентных между собою определений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Упорядоченное множество называется
непрерывным, если оно обладает свойствами сцепленности и
полноты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Упорядоченное множество Z называется
непрерывным, если каково бы ни было сечение его (X, Y),
либо в нижнем классе X есть наибольший, либо в верхнем
классе Y — наименьший элемент, причем ни при каком сечении
нет одновременно наибольшего элемента в нижнем и наимень-
шего элемента в верхнем классах.
Мы можем, таким образом, сказатм
Множество действительных чисел есть непрерывное упо-
рядоченное множество со счетным скелетом, не содержащее
ни наибольшего, ни наименьшего элемента,
§ 4, Геометрическое изображение действительных
чисел. Мы уже видели в начале главы, как рациональные числа
ставятся в соответствие с „рациональными*1 точками геометри-
ческой прямой, на которой выбраны начало координат, положи-
тельное направление и единица длины. Относительно точек пря-
мой мы предполагаем, что
1) между каждыми двумя точками лежит, по крайней мере,
одна рациональная точка;
2) для точек прямой имеет место свойство, аналогичное тео-
реме VI, а именно:
Если мы разобьем множество всех точек прямой на два.
класса X к Y так, что каждая точка класса X лежит влево ст
каждой точки класса У, то существует точка £, которая либо
есть самая правая точка в классе X, либо самая левая точка
в классе К
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 41
Эти две аксиомы позволят нам показать, что, введя иррацио-
нальные числа как было выше изложено, мы, действительно,
решили задачу, поставленную в начале главы: создать числа, при
помощи которых было бы возможно обозначить любую точку
прямой.
Прежде всего, мы имеем взаимно однозначное соответствие между
счетным множеством R рациональных точек прямой и множеством Всех
рациональных чисел. Соответствие это сохраняет порядок, т. е. если
точки а и b соответствуют числам х и .у, то из неравенства х< у
следует, что а лежит левее Ь.
Предположим, что мы имеем иррациональное число Е; это значит,
что мы имеем некоторое сечение (А, В) множества всех рациональных
чисел и, следовательно, соответствующее ему сечение (Л*, В*) множе-
ства всех рациональных точек прямой линии. Рассмотрим на прямой
линий множество X всех тех точек, каждая из которых либо сама при-
надлежит множеству Л*, либо расположена левее, чем хоть одна точка
множества Л*; множество остальных точек прямой линии обозначим
через У (таким образом У состоит из тех точек, коте рые правее всех точек
множества Л*; в частности множество У содержит все множество В\
тогда как X содержит, очевидно, все множество Л*). Каждая точка
х с Хг очевидно, расположена левее каждой точки у СУ, так что
(X, У) есть сечение всех точек прямой линии. Это сечение определяет
вследствие свойства непрерывности прямой одну точку zt которая есть
либо самая левая из точек множества У, либо самая правая из точек
множества X. Точка z не может быть рациональной, так как в этом
случае, будучи самой правой в X (или самой левой в У), она была бы
самой правой в А* (или самой левой в В*); следовательно, Течение
(Л, В) определяло бы рациональное число.
Таким образом мы каждому иррациональному числу поставили
в соответствие некоторую иррациональную, т. е. нерациональную, точку
прямой. Заметим, что точка z, очевидно, правее всех точек Л* и левее
всех точек В*.
Докажем теперь, что каждая иррациональная точка z оказалась,
таким образом, поставленной в соответствие некоторому иррациональ-
ному числу.
Пусть z есть произвольная иррациональная точка прямой, и пусть Л*
есть множество рациональных точек, расположенных влево от z, В* —
множество рациональных точек, расположенных вправо от z\ пусть а*
есть любая точка из Л*, Ь*— любая точка из В*. Между а* и z имеются
рациональные точки, принадлежащие к Л* так же как между z и Ь*
имеются точки, принадлежащие к В*. Таким образом, никакая точка а*
не является самой правой в Л*, и никакая точка 6* не является самой
левой в В*. 'Пусть Л и В суть множества тех рациональных чисел,
которые соответствуют множествам Л* и В* Очевидно (Л, В) есть се-
чение множества всех рациональных чисел, при котором в Л нет наи-
большего, а в В нет наименьшего элемента. Это сечение определяет
иррациональное число Е; этому числу Е в силу предшествующего рас-
суждения ставится в соответствие определенная точка /, лежащая
правее всех точек из Л* и левее всех точек из В* Следовательно,
между z и / нет ни одной рациональной точки, и по аксиоме 1 /
совпадает с zt т. е. точка z соответствует числу Е. Нетрудно видеть,
наконец, что если Ej и Е2 —два различных иррациональных числа, то &
42
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
И22 —две различных иррациональных точки; при этом, если^<Е,
то	fa левее z2). В самом деле, пусть Е£<Е2 и пус ь сечения,
определяющие^ и 52, суть (Ль В£) и (Л2, В2Ч Так как ?£<?2, ю
существует рациональное число а, содержащееся одновременно в Л2
и в Множествам и Л2 соответствуют множества Л£* и Л2* рацио-
нальных точек, множествам В{ и Л?2 — множества и В2* причем
имеется точка а* принадлежащая одновременно к Л2* и к В{*. Строим
точки Zj и z2 согласно изложенному выше правилу z{ правее всех точек
Л£*, но лезее всех точек ВД следовательно, z2 левее точки а*,
z2 правее в ех то4ек Л2* т. е. правее a* z2> а*. Имеем z2>a*>z1}
т. е. z2 > ^1, что требовалось доказать.
Имеем следующий результат:	|
Между множеством .действительных чисел и множеством
всех точек прямой мы установили такое взаимно однозначное
соответствие, что если число $2 меньше числа $2, то точка z{,
соответствующая числу расположена левее точки г^,
соответствующей числу S2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Если между друмя упорядоченными мно-
жествами возможно установить взаимно однозначное соответ-
ствие, причем из соотношения иг<^иг (для двух элементов
одного множества) следует соотношение	(для соответ-
ствующих элементов второго множества), то оба множества
называются одинаково упорядоченными, или подобными друг
другу.
Мы можем, таким образом, формулировать следующий
результат:	.	*
Множество всех действительных чисел и множество всех
точек прямой суть одинаково упорядоченные множества* Это 4
и позволяет рассматривать одно множество . вместо другого, с за- *
меной слова „действительное число" словом „точка* прямой
линии, а слово „больше",, „меньше" словами „правее", „левее". i
Возможность эта имеет громадное значение, так как таким об-
разом отвлеченные понятия, связанные с действительным числом,
приобретают всю наглядность и непосредственную убедитель-
ность, свойственную геометрическим образам: стоит только
сравнить отвлеченное понятие иррационального числа, как сече-
ния множества всех рациональных чисел, с понятием иррацио-
нальной точки, т. е. попросту точки прямой, не являющейся ни
целой точкой, ни одной из точек деления, получающейся при
разбиении каждого отрезка на 2, 3, 4,... равных частей. Мы
-будем в дальнейшем рассматривать прямую линию как множество
точек, уже поставленных раз навсегда в соответствие действи-
тельным числам, будем рассматривать так называемую числовую
прямую. ,
ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ТОЧЕЧНОГО МНОЖЕСТВА
43
£ 5. верхняя и нижняя грани точенного множества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, состоящее из двух действитель-
ных чисел а и Ь, а<^Ь, и из всех чисел, заключенных между
а и Ь, называется сегментом [а; ЭД; а и b называются концами
сегмента [а; 6].
Примечание. На числовой прямой сегмент есть, очевидно, отрезок
с концами а и ЭД причвхМ концы считаются принадлежащими к отрезку.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Множество, состоящее из всех чисел,
заключенных между двумя данными числами а и Ь, называется
интервалом (а; ЭД; точки а и Ь, не принадлежащие к шпер-
валу (л; ЭД, называются его концами.
Примечание. На прямой интервал (а, Ъ) есть, очевидно, промежуток
меж^у двумя точками а и Ъ, причем сами точки а и b не считаются
принадлежащими к этому промежутку.
Присоединив к интервалу (а; Ъ) его концы а и bt получим, оче-
видно, сегмент [а; ЭД. Обратно, выкидывая из сегмента [а; ЭД его два
конца, получим интервал (а; ЭД.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, состоящее из всех точек
интервала (а; Ь) и одного из его концов, называется полуинтер-
валом. Очевидно, что, отправляясь от интервала (а; &), можно
получить два полуинтервала:
1) Присоединяя к интервалу (а; Ь) правый конец ЭД получим
полуинтервал (а; Ь}.
2) Присоединяя к (а; Ь) левый конец а, получим йолуинтер-
вал [а; Ь).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество действительных чисел назы-
вается ограниченным, если существует некоторый интервал,
содержащий все элементы этого множества, т. е. если сущест-
вуют два таких конечных числа а и ЭД что каждое число, вхо-
дящее в наше множество, больше, чем а и меньше, чем Ь.
Множество называется ограниченным сверху, если существует
такое конечное число Ь, что все элементы нашего множества
меньше Ь.
Множество называется ограниченным снизу, если существует
такое конечное число а, что все элементы нашего множества
больше а.
Очевидно, множество ограничено тогда и только тогда,
когда оно одновременно ограничено и сверху и снизу. Всякое
множество, состоящее лишь из конечного числа чисел, очевидно,
ограничено; примерами бесконечных, но ограниченных множеств
могут служить;
44	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
14	1111
1)	множество всех чисел -g, —,.. ., —
пч	1111
2)	множество всех чисел —, — , —, ... и всех чи- >
7	2 4 8 2Л	I
3 7 15	2Л—1	7	J
СбЛ 4’ 8’	2» ’	 (	|
3)	множество всех правильных дробей (положительных и от-
рицательных) ;	.
4)	множество всех правильных двоичных дробей;	i
5)	множество всех действительных чисел интервала (2; 3) и т. д. i
Примеры множеств, ограниченных сверху (но не ограничен-
ных снизу):
1)	множество всех целых отрицательных чисел;	>
2)	множество всех отрицательных рациональных чисел; ?
3)	множество всех отрицательных действительных чисел, абсо- 3
лютная величина которых больше 20.
Получим примеры множеств, ограниченных снизу, если заме- i
ним в последних трех примерах слово „отрицательных* словом ;
„положительных*. Множества всех целых, всех рациональных -
и всех действительных чисел могут служить примерами множеств, j
не ограниченных ни сверху, ни снизу.~
Пусть мы имеем множество Е, ограниченное сверху. Так как
множество Е ограничено сверху, то имеются действительные
числа, превосходящие все числа, входящие во множество Е. i
Обозначим через Y множество всех таких чисел (т. е. множество
всех точек числовой прямой, лежащих вправо от всех точек,
образующих множество Е). Обозначим через X множество всех
действительных чисел, не вошедших в У; очевидно, X состоит
из всех тех точек а;, для каждой из которых имеется хоть одна
точка р множества Е> удовлетворяющая условию следова-
тельно, в частности Е cz X.
Пусть х—произвольная точка множества Х,у— произволь-
ная точка множества К Так как х cz X, то существует такая
точка р cz Еу что х^р\ так как у cz У, то р<С.У. следова-
тельно, х*^р<у и х<у. Отсюда видно, что (X, У) есть J
сечение во множестве всех действительных чисел; это сечение j
на основании теоремы VI определяет действительное число
которое есть либо наибольшее в X, либо наименьшее в У. .
Докажем, что число есть наименьшее из всех действи-
тельных чисел р, удовлетворяющих условию:
'	(3)
каково бы ни было р с Е.

ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ТОЧЕЧНОГО МНОЖЕСТВА	45
В самом деле, есть либо наибольшее число в X, либо
наименьшее в К Й в том и в другом случаях [JE не может быгь
меньше никакого числа, принадлежащего к множеству X.
следоьательно, и подавно не может быть меньше никакого
числа, принадлежащего к Е (так как Е с X). Итак, имеем
каково бы ни было р cz Е.
С другой стороны, никакое число а, меньшее, чем не
удовлетворяет неравенству а^р для всех р с Е\ в самом деле,
если а <	то возьмем некоторое число а1, заключенное между
а и а<так как d т0 с значит, имеется
такая точка р' множества 5, что а!^р\ следовательно,
Таким образом ^сть действительно наименьшее число среди
всех чисел, удовлетворяющих условию (3). Число называется
верхнею гранью множества Е.
Итак:
Верхняя грань множества Е есть наименьшее число среди
всех чисел удовлетворяющих неравенству каково
бы ни было р с Е
Из предыдущего следует, что для всякого множества, огра-
ниченного сверху, имеется верхняя грань. Верхнюю грань мно-
жества Е мы. согласно Гаусдорфу (Hausdorf) \ будем обозначать
так\ sup Е.
Верхняя грань множества в -одних случаях принадлежит
к множеству, в других не принадлежит к нему, как видно из
следующих примеров:
1.	Множество всех целых отрицательных чисел имеет сво£ю
верхнею гранью число — 1, принадлежащее к этому множеству.
2.	Множество всех отрицательных чисел имеет своею верх-
нею гранью число 0, не принадлежащее к этому множеству.
3.	Интервал (0, 1) имеет верхнею гранью число 1, не при-
надлежащее к нему.
4.	Сегмент [0; 1] имеет верхнею гранью число 1, принадле-
жащее к нему._
5.	Множество Е, состоящее из всех права, ьных двоичных
дробей, имеет верхнею гранью число 1, не принадлежащее к
нему.
6.	МножествоЕ. состоящее из всех чисел вида — (л = 1, 2, 3,
„ 1 „ -
имеет sup Е=-х- <zE.
* Гаусдорф (Hausdorf) — один из крупнейших немецких специали-
стов в области теории множеств и смежных областях математики.
46	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13	2я—1
7.	Множество £?, состоящее из всех чисел —, — ,..., -	,...,
£ Чг	£
имеет supE=l (не принадлежит к Е).
Пусть теперь дано множество *£, ограниченное снизу. Отне-
сем. к классу X все числа, которые меньше всех элементов мно-
жества Е, к классу Y—все остальные действительные числа
(т. е. все те числа j/, для каждого из которых существует хоть
одно число удовлетворяющее условию у^р).
Таким образом получаем сечение во множестве всех действи-
тельных чисел, определяющее некоторое число аЕ. Рассужде-
ниями, совершенно аналогичными тем, которые были только что
проведены, мы убеждаемся в том, чтоа£^с/йь наибольшее среди
всех чисел а, удовлетворяющих условию а^р, каково бы ни
de ч а b р;
Черт. 3.
было рсЕ, Число аЕ называется нижней гранью множества Е
и обозначается через inf 2?.
Примеры 1, 2 суть примеры множеств, не ограниченных снизу
и потому не имеющих нижней грани.
В примере 3 нижняя грань есть 0, также как в примере 4.
В примере 5 inf Е=— 1.
В примере 6 infE = O.
В примере 7 mf£ = ~^-.
Читателю самому предоставляется установить, в каких из
этих примеров ipffcZ:, в каких — нет.
Из предыдущих определений следует:
Теорема VII
Нет ни одной точки множества Е, расположенной слева
cm inf Е, но всякий сегмент, имеющий inf Е своим левым кон-
цом, содержит по крайней мере одну точку Е.
В самом деле, если бы сегмент [а£: у] не содержал ни одной
точки Е (черт. 3), то имели бы у<р, каково бы ни было
p<zE, и аЕ не было бы наибольшим из всех чисел, удовлетво-
ряющих этому неравенству. Аналогично доказывается
ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ТОЧЕЧНОГО МНОЖЕСТВА	47
Теорема VIII
Нет ни одной т^чки множества Е, расположенной справа
от supE, но всякий сегмент, имеющий supE св^им правым
концом, содержит хоть одну точку Е,
Если множество Е ограничено, то оно имеет и нижнюю
грань аЕ и верхнюю грань Сегмент [ая; содержит все
множество Е; этот сегмент есть наименьший сегмент, содержа-
щий все множество Е; другими словами, никакой сегмент, со-
ставляющий часть сегмента [ая; Р£], уже не содержит всех точек
множества Е. В самом деле, пусть [а; 6] есть сегмент, состав-
ляющий часть сегмента [а£; Так как [а; Ь} не совпадает
с [а5; то имеет место хоть одно из неравенств
Пусть, например, aE<Za- На основании теоремы VII
z сегмент [ая; а] содержит хоть одну точку $ множества Е,
которая, следовательно, не может попасть в сегмент [а; Ь]
(черт. 3).
Если в множестве Е есть наибольшее (наименьшее) чи-
сло Е, то Е есть верхняя (нижняя) грань,
В самом деле, пусть Е, например, наибольшее среди всех
чисел, образующих множество Е. Каково бы ни было хсЕ, мы
имеем х^Е; с другой стороны, так как ЕсЕ, то Е есть наи-
меньшее число, обладающее только что высказанным свойством.
Следовательно, E = supE.
Докажем несколько простых свойств верхней и нижней
граней.
Теорема IX
Пусть Е ограничено сверху; если Ег есть часть множе-
ства Е, то sup Е1 sC sup Е.
Пусть (X, У) есть сечение, определяющее точку £ = supE,
а (Хр Уг)— соответствующее сечение для sup Ер Y состоит
из чисел, превосходящих все числа множества Е, следовательно
(так, как Е3сЕ), всякое число, входящее в У, и подавно пре-
восходит все числа множества Ег, т. е. входит в множество У3;
итак, УрГ и, следовательно,
Совершенно так же мы доказали бы теорему X.
Теорема X
Если Е ограничено снизу и Е3с:Е, то inf Е^ inf Е.
В частности, если Е ограничено и Е3сЕ, то
х	inf Е inf Е3 sup Е3 sup Е,
48	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Следствие
Если Е состоит из чисел, меньших или равных а (где а —
произвольное действительное число), то sup£ (и тем более inf Е}
не может быть больше а. В самом деле, множество Е является
частью множества А всех чисел х^а, и по теореме IX
sup £<вирД; но зйрЛ==а, так как а есть наибольшее число
во множестве А и, следовательно, supfsCa.
Анатогично, пользуясь теоремой X, мы доказали бы, что
если Е состоит из чисел больших или равных а, то inf £ (и подавно
sup £) также больше или равно а. В частности, если Е состоит
из неположительных чисел, то sup£aC0, если Е состоит из
неотрицательных чисел, то inf Е^ 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием двух рациональных точек а и b
,«а прямой называется абсолютная величина их разности \а — Ь |.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть имеем две различные точки а и р.
Рассмотрим множество Е. состоящее из рациональных чисел,
являющихся расстояниями между какими-либо двумя рацио-
нальными точками сегмента [а; 0J. Верхняя грань 1 множе-
ства Е называется расстоянием между точками а и р; она
же называется длиною сегмента [а; [J] и длиною интер-
<валт.'(а; 0).
Примечание 1. Если а и р рациональны, то приведенное определе-
ние расстояния совпадает, очевидно, с предыдущим.
Примечание 2. Читатель легко докажет, что если
«<«!<₽!<₽>
то длина сегмента [а; больше длины сегмента [q
Докажем теперь нижеследующую во многих случаях полез-
ную теорему.
'Теорема XI
’ Пусть М и N суть два таких множеств z, что каждая
точка - множества М расположена левее, чем любая точка
множества N. если, кроме того, для любого е>0 имеются
две точки ха: М, jc:Af, расстояние между которыми меньше s,
то верхняя грань /И совпадает с нижней гранью N.
Прежде всего, множество /И ограничено сверху (так как лю-
бая точка множества М расположена правее, чем любая точка М,
т. е. все множество 7Й расположено влево от произвольной
* Множество Е ограничено. Чтобы в этом убедиться, возьмем
^рациональные числа end так, чтобы с < а, ₽ < d. Тогда все числа X,
г- входящие в множество Е, удовлетворяют неравенствам: 0 < х < d — с.
ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ТОЧЕЧНОГО МНОЖЕСТВА
49
точки множества N); множество N ограничено, снизу (так как
все множество W расположено вправо от любой точки Л4) Пусть
p==sup7W, a = infAf и пусть (X, Y) есть сечение, определяющееJk
Так как все множество УИ содержится в X и так как все точки
множества N лежат вправо от любой точки множества Л/, то
нет ни одной точки множества N, лежащей влево от {к^если
бы а лежало влево от р, то сегмент [а, с], где с — произволь-
ная точка между а и р, содержал бы (на основании теоремы VII),
хоть одну точку множества N, что невозможно, так как эта
точка была бы левее {к
Итак, р^а.
Пусть теперь а>р. Возьмем два рациональных числа с и d
(черт 4) между аир так, чтобы p<£<d<a. Обозначим че-
рез е рациональное число d—с.
Если а — любая точка М, а Ъ — любая точка N, то
а«СЬ9 значит a<^d<Zc<^b9 а потому длина отрезка [а, 6]
_________	с________d_____
Г	а
Черт. 4.
больше длины отрезка т. е. больше е. Так как точки
а М; b<^N выбраны произ ольно^то мы получили противоречие
условию теоремы XI. Итак, а = р,. что требовалось доказать.
Следствие 1
Пусть множества М и N удовлетворяют условию тео-
ремы XI и пусть G = sup4f = inf N. Если М}аМ и N}cN
суть части множеств М й N, обладающие тем свойством,
что для каждого е > 0 можно найти две точки х с: Мг и
у cz удовлетворяющие условию у — е, то
sup /И, = inf Nx — S.
В самом деле Л?г и удовлетворяют условию теоремы XI, сле-
довательно,
sup Mr = Inf
Но так как	то (на основании теоремы XI)
$ = sup/W1 <sup/W = $/ т. е. SjscS.
С другой стороны, так как A^czN, то (на основании теоремы X)
Si==inf Afj >infW=S, т. е. ^>5.
Отсюда следует, что £ =
4 Александров и Колног ров.
50
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Следствие 2
Если мы имеем сечение ' (Д В) множества всех рацио-.
нальных чисел или сечение (X, Y) Мцфюества всех действи-
тельных чисел и если $ еспгъ число, определяемое этими сече-
ниями, то
$ = inf B = sup/4,
$ = inf y==supX.
В самом деле, каждая пара множеств Л, В и X, Y удовлетворяет
(на основании теоремы V) всем условиям теоремы XI.»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть имеем бесконечную последователь-
ность сегментов:
Д1 = [а1; Д2 = [а2; 6а], ,.., Дл=[ал; 6П], ...	(4)
Эта последовательность называется „убывающей*, если
Д1=Д2=...эДя=...,
т. е. если
Un • • •
И
Следствие 3
Пусть имеем убывающую последовательность сегментов (4),
причем длина сегментов неограниченно убывает при возра-
стании п Ч
Существует одна и только одна точка S, принадлежащая
всем сегментам Дл (т. е. удовлетворяющая всем неравенствам
каково бы ни было п).
В самом деле, множество М, состоящее из всех точек ал,
и множество N, состоящее из всех точек bni очевидно, удовлет-
воряют всем условиям теоремы XI, поэтому
supAf=inf2V=£.
Так как 'S = supAf, то Z^an, каково бы ни было п\ так как
S = infA/, то £*С#Л, каково бы ни было я, т. е. ал*С$^#л, и,
следовательно, ЕсзДл (при всяком л). Докажем, что точка $ есть 4
едийственная точка, принадлежащая всем сегментам Дл. Пусть,
в самом деле, имеется вторая такая точка Так как длина сег-
1 Точный смысл последнего выражения следующий: каково бы ни
было положительное число е, можно найти достаточно большое натураль-
ное число kt такое, что длина сегментов Дл меньше чем г, как скоро л > &.
ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
51
мента [ая; не меньше длины сегмента [$; 5'] (принадлежащего
ко всем сегментам [ая; 6J), то длина [ап; ЬД не могла бы не-
ограниченно убывать (вопреки нашему условию).
£ 6. Действия над действительными числами1. При-
меним теорему XI к определению сложения и умножения дей-
ствительных чисел.
Пусть даны два действительных числа х и у» Число х опре-
деляет сечение (Л, В} во множестве всех . рациональных чисел,
причем А состоит из всех рациональных чисёл, не больших,
чем х, а В — из остальных рациональных чисел. Точно так же у
определяет сечения (Лг Вг) во множестве всех рациональных
чисел, причем Л2 состоит из всех рациональных чисел, не боль-
ших, чем у, а В3 из всех остальных рациональных чисел. Заме-
тим, что на основании теоремы IV можно для всякого положи-
тельного е найти такие числа дЮ, $•); а^\ Ь^\ что
а(8>с:Л, Ь^аВ\
a(s)C24r b^czBy b&—
Рассмотрим теперь множество М всех рациональных чисел вида
p — a-[-av где а — произвольный элемент Л» Oj— произволь-
ный элемент Лр рассмотрим также множество N всех рацио-
нальных чисел вида q = b-\-bA, где Ьс:В и Ь^ВГ Так как
каждое а меньше каждого b и каждое аг меньше каждого bv
то каждое число, входящее в множество 2И, меньше
входящих в множество N. Кроме того, каково бы ни
жительное в, можно найти число ра.М и число
(5)
всех чисел,
было поло-
сам так,
приводящее
В самом деле, достаточно применить замечание,
к соотношению (5) к положительному числу 4- , т. е. найти та-
кие рациональные числа «
а
чтобы
а' *' сД, b
сЛр
* Достаточно подробное и строгое изложение действий над дейст-
вительными числами читатель может найти в книге Ковалевского,
Основы диференциального и интегрального исчисления.
4*
ад
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
и чтобы
Тогда, складывая два последних неравенства, получим:
(й(г) 4- л(г) ) —
\	/	\	f	А
Число q = b^2	Ь^ 2 ) содержится, очевидно, во множе-
стве N9 а число p =	—в0 множестве М. Множе-
ства М и N удовлетворяют, таким образом, всем условиям тео-
ремы XI,'. так что inf/W = supN=2. Число z, являющееся одно-
временно верхней гранью множества М и нижней гранью множе-
ства N, называем суммой двух чисел х и у:
Z=±X 4* у.
Очевидно, что если х и у оба рациональны, то наше опре-
деление суммы хЦ-у превращается в обычное; в самом деле, по
определению множества М число х -|- у в этом случае содер-
жится в М и есть наибольшее число среди всех чисел множе-
ства 2И, следовательно, x-f-y=supM
Заметим, наконец, что, если х— рациональное число, то
x-f-y есть верхняя грань множества М* всех рациональных чи-
сел вида х 4- а, где а любое рациональное число, не превосходя-
щее у. В самом деле, сохраняя наши обозначения, имеем Ж* с:Ж;
так же, как немного выше, мы убеждаемся в том, что множества
У14* и N удовлетворяют всем условиям теоремы XI, поэтому
sup М* = inf 7V= sup 7И=х -f- у.
Отсюда в частности следует, что х-[~0 = х.
Определенное таким образом сложение, очевидно, коммута-
тивно (т. е. х4“У=У4-х).
Для того чтобы доказать, что оно ассоциативно [т. е. что (х +у) + з==
»х -J- (у + z)J, рассмотрим множества:
Мь состоящее из всех чисел вида а' + а/, где а1 — произвольное
рациональное число, меньшее или равное х+у, а а/ — произвольное
рациональное число, меньшее или равное z\
состоящее из всех чисел вида £' + £/, где &'>х-|-у;
Мъ состоящее из всех чисел вида а" + а”> где aff^x, а^^у + ъ
ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ	БУ
У2, состоящее из всех чисел вида Ь" + где
М3> состоящее из всех чисел вида + а2 + я3, где а{^х, а{^у
Оз
У3, состоящее из всех чисел вида Ъ + = £2,где Ъ > х\ Ьг>у,Ьз > 2.
Очевидно,
(М3 с М <; Л43 С М3 I
Vvsctfi; cv2/‘
Любая пара множеств Мь У/, М* N& М& М9 удовлетворяет, как
легко видеть, всем условиям теоремы XI, следовательно,
sup A^ssinfATo
supjU2 = inf^.
s_ip Af3 = inf У3>
откуда на основании (6) и следствия 1 из теоремы XI имеем:
sup Af3 = inf = sup МА = inf Nb
sup M8 = inf У3 = sup Ma = inf N*
t. e.
sup М3 = inf У2 = sup M£ = inf N<,
t. e.
•	(*+y) + z=x + (y + z).
что требовалось доказать.
Для того чтобы определить вычитание действительных чисел,
нужно определить сначала для каждого действительного числа х
число —х Это сделать легко: рассмотрим множество В всех
рациональных чисел Ь х и множество А всех рациональных
чисел а<х. Заметим, что в А нет наибольшего числа, так как,
каково бы ни было рациональное число	? существует ра-
циональное чис/to а9, заключенное между аил. Если же в В
есть наименьшее число, то оно непременно совпадает с х, так.
как x=infB. Обозначим через Л” множество всех чисел (—fr);
оставшиеся, рациональные числа образуют множество В~9 состоя-
щее из всех чисел (—а), где а есть произвольное рациональное
число меньшее х; (Л“, Б") есть сечение множества всех рацио-
нальных чисел (ведь элементы множества Л~ суть числа —£, а
элементы множества В~— числа —а, но ——а, так как
Если в Л“ есть наибольшее число у, то —у есть наимень-
шее число в В, но этим числом может быть только х (которое
в этом случае рационально); тогда и у рационально и, очевидно^
равно —х. Заметим, что в В~ нет наименьшего числа (так как
если бы в В~ было наименьшее, то в Л было бы ^наибольшее
число, чего,' как мы видели, нет). Итак, если в Л" нет наиболь-
шего числа, то сечение (Л~, В") определяет иррациональное
число, которое мы называем числом — х (в этом случае в В нет
наименьшего числа, и так как в Л нет наибольшего числа,
54
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
то и х в нашем случае иррационально). Если х>0, то 0 с: Д,
следовательно, — 0 = 0сВ“, т. е. 0^> — хи обратно. Таким
образом, если х=4 0, то одно из двух чисел хи —х поло;
жительно, другое отрицательно; то из двух чисел хи —х, ко-
торое больше 0, обозначается |х[ и называется абсолютной
величиной числа х.
Читателю предоставляется самому доказать, что из двух отри-
цательных чисел то больше, у которого абсолютная величина
меньше.
Докажем, что х + (— х) = 0. В самом деле, по определению
суммы х + (— х) = sup Ж, где М есть множество всех рацио-
нальных чисел вида с = а-\~а\ причем а^х, d — х.
Заметим прежде всего, что множество М не содержит ника-
кого положительного числа. В самом деле, среди двух чисел х
и —х одно, пусть х, положительно, другое отрицательно, а
потому с! отрицательно и \d |^|х[. Если а отрицательно
или нуЛь, то a-рд' также отрицательно; если же а ‘положи-
тельно, то так как в этом случае я = |я|, .то |а|^'х==|х|»
следовательно, |а|<;|а'| и, значит, |д-|-“аГ| отрицательно или
нуль. Итак, a-\-d не может быть положительным числом.
Так как М состоит из неположительных чисел, то supAf^O.
Докажем, что вирУИне может быть отрицательным.
В самом деле, если supAl<0, то возьмем, во-первых, ра-
циональное число г между sup Ж и 0, во-вторых, два таких ра-
циональных числа ? и г", чтобы
И<х</Л, f? <|г| =— г.
Имеем:
—	— х.
*
Так как / есть некоторое рациональное число, меньшее чем х,
а я— f рациональное число, меньшее чем — х, то —г") —
= /— / содержится в М; с другой стороны, Л—И < — г, зна-
чит, / — Z > гsup М, что противоречит тому, что / — /
содержится в М Итак, sup А! существует и не может быть ни
положительным, ни отрицательным числом; следовательно,
sup о, т. е. х4- (—х) = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью двух действительных чисел х
и у называется действительное число z=x4~(—У)\ оно обо-
значается х—у.
Вычитание, определенное таким образом, есть действие, обрат-
ное сложению. В самом деле,
(*—у) 4- у=[х 4-Х—J)] 4-=х 4- [(— у) 4-у| == * 4- о == х.
Из приведенных свойств сложения, вычитания и умножения еле-
ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
55
дуют, как известно, все излагаемые в элементарной алгебре пра-
вила, касающиеся этих действий1. Докажем, наконец, что абсо-
лютная величина разности двух чисел х и у равна расстоянию
между точками х и у.
Пусть х и у два действительных числа и у<^х. Надо
доказать, что х—у равно расстоянию между х и у, т. е. верх-
ней грани множества Е всех рациональных чисел вида а —
где у а2 < а х (следовательно, — а1^1 —у). Но всякое
число вида а — av есть —^х)» т- е- число вида a-j-a',
где а^х, а'— у.
Обозначая через М множество всех таких чисел а-^-а1,
имеем ЕсМ.
Пусть теперь Е1 множество всех рациональных чисел вида
b— bv где Ь>х, Ьг<^у\ так как Ьг то — Ъг>—у.
Очевидно, всякое рациональное число вида а — а^ (где а^х,
а2^у) меньше всякого числа вида Ь — Ь2 (где Ь2 <_У)>
т. е. всякий элемент множества Е меньше всякого элемента мно-
жества Ev С другой стороны, выбрав (при произвольном е>0)
рациональные числа b19 а, b так, чтобы
bx<V<av «! —*i<-2
а
х
Ь9
6
2 ’
и замечая, что
Ь — b2 — (a — aj -J-(£ — а) + (а, — bj,
имеем	*
(Л —^) —(а—й1) = (д —а)+ (а, —^)<-у + -^ = б.
Так как b — Ь2 и а — а2 рациональны, то (Ь— Ьг)—{а — а2)
есть, по определению, расстояние рациональных точек b — Ь2 и
а — av принадлежащих соответственно к Е и Е2\ так как,
с другой стороны, е — произвольное положительное число, то Е
и Е2 удовлетворяют всем условиям теоремы XI, следовательно,
р(х, j) = sup£ = inf Ег
Если мы рассмотрим множество N всех рациональных чисел
вида Ь + где b > х, Ь' > — у, то увидим, что всякое число
вила £-{-(—Ьг), где (#>х, b2<iy\ входящее в множество Е19
* См., например, »Повторительный курс алгебры* проф. С. П. Ви-
ноградова.
56
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
входит и в множество /V, следовательно, на основании следствия 1
теоремы XI имеем:
Р (*>У) ™ sup £=inf	= sup M=inf AZ= x—y,
что требовалось доказать
Умножение двух действительных чисел х и у мы сначала
определяем в предположении, чго х^О, Мы это делаем
образом, аналогичным тому, как определяли в свое время сло-
жение1: множество М определится как множество всех рациональ-
ных чисел вида ааи где 0 < а < х и 0	< у, а АГ — как мно-
жество всех рациональных чисел вида bb19 где Ь>х и
Ьг>у. Пусть дано произвольное 8 Возьмем два рациональных
числа с и d (0<^c<^x<^d)H два рациональных числа с2 и dr
О < <Zy<Z пусть т есть наибольшее из пяти положительных
чисел 1, с, d, cv dr Выберем рациональные числа а\ bf; а^9 Ьг9
(на основании теоремы V) так, чтобы
c<Lcl
ci
8
<2tn'
aJ <2 —,
Число daj принадлежит множеству M, число b'bj — множеству AZ,
и в то же время
О < b'bf — а!аг9 = br (bf — aj) -|~ aj (Ь9 — a*}<Z
< 1У1. _L 4. la I. -2_eJ_ W
'	2т т* 2т 2 \ т т / ‘
Так как т во всяком случае не меньше, чем любое из чисел а^, If,
i^fi \d 9
то каждая из дробей —, *—11 не превосходит 1, следовательно,
т т
Л \ tn tn I л
Таким образом
О < ЬЩ — а!агг < 8,
а потому мы находимся вновь в условиях теоремы XI, и
supAf=inf/V.
* При определении сложения неравенства у^О, однако, не
предполагались»
РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
67
Число г = sup 214 = inf W мы называем произведением двух чи-
сел х и у. Так же как в случае суммы мы убеждаемся, что умноже-
ние коммутативно и ассоциативно, а кроме того, что оно дистри-
бутивно по отношению к сложению [т. е. что (а -j- Ь) с = ас 4“ #с].
После того как действие сложения определено для положи-
тельных чисел, мы распространяем его и на отрицательные па
формулам:
X (—У) = (— X) • у=— (ху); (— х) (— у)=ху.
Очевидно, что свойства коммутативности, ассоциативности и ди-
стрибутивности остаются в силе.
На этом мы и закончим наш обзор действий над действи-
тельными числами.
Читателю предоставляется самому определить действие деле-
ния (как обратное умножению) по образцу того, как введена
действие вычитания. При этом надо начать с'непосредственного
1 '
определения числа — (указывая соответствующее сечение мно-
х
. 1
жества рациональных чисел), доказать потом, что —= 1, и
X	1 гт
определить, наконец, — как х'~ • Проведение . всех относя-
щихся сюда рассуждений будет хорошим упражнением.
$ 7. Разложение действительных чисел в бесконеч-
ные десятичные дроби. Теорема XI и в частности ее след-
ствие 2 позволяют, наконец, доказать возможность разложения
каждого действительного числа в бесконечную десятичную, а также
в бесконечную двоичную, троичную и т. д. дроби.
Покажем, что под этим надо понимать.
Пусть нам дано произвольное . действительное число х. Для
простоты предположим его не отрицательным. Если х есть це-
лое число п9 пишем х = п900.. .0... (л целых, 0 десятых^
0 сотых и т. д.).
Если х не есть целое число, то оно заключено между двумя
целыми числами п и Предположим сначала, что число х
не есть число вида	(где Р и г — натуральные числа^
Разделим сегмент [/z; /z—1] на 10 сегментов:
[”+го; ”+^]..................[»+та!	“+']•
58
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
которые мы обозначим через До, Дп ... , Д9. Длина каждого
сегмента равна Точка х попала лишь в один из этих сег-
ментов, пусть в Д^ ^так как если бы она принадлежала двум
сегментам, то была бы и общим концом и имела бы, следова-
. р \
тельно, вид л + уд I •
’ Целое числа Zp 0^Z1^9, назовем Первым десятичным зна-
ком числа х. Рассмотрим сегмент Д^ = п
Разбиваем его на десять сегментов:
А Г I 11 I '1 ।	1 1
Д/«° L"+10’ ”“^1O"HooJ’
А — Г Г Z1 I 1 .1	.	2 1
дм [й + ю+юо- «+ю+ 100J’ •••
а Г I Zi । 9 I h “1“ Ч
••• /.9— [И + ц)+ JOO5	10“J*
тт	1
Длина каждого сегмента равна - Точка х (не имея вида
Iqq) принадлежит к одному и только к одному из наших
сегментов; пусть к Д^. Целое число Z2 назовем вторым десятич-
ным знаком числа х.
Разбивая сегмент Д/л на 10 сегментов Д/1/зо> Д/Л1> ..., Д^9
и выбирая из них тот сегмент, пусть AZiZsZs, который содержит х,
определим третий десятичный знак числа х. Этот процесс, оче-
видно, никогда не кончится, и мы получим бесконечную после-
довательность чисел
zr • • •» 4’ • • •»
каждое из которых равно или 0, или 1, или 2,... или 9,
Число п называется целой частью числа х (и обозначается [х]),
числа Zv Z2, Z3, ..., Zfc, ... называются 1-м, 2-м, .. •, #-м деся-
тичными знаками.
Пишем:
х=л, Z* Z2 Z3 ... ik.. •
РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
59
"	р
Пусть теперь х имеет вид п . Другими словами, х раз-
’ лагается в конечную десятичную дробь:
х=п-\
А । А 
10“ 100 ‘
Pk
10* *
(где рг, ps, ... ,pk суть целые числа 5= 0 и «S 9).
Это значит, что х попадает внутрь сегментов:
[10*-!’	+	Ю*-1 ]•
При разбиении же последнего из этих сегментов:
Гл+^4-.. 4- Рк~1 '
[ Т Ю“ “ 10*-!’
~ I Pk-i + п
•т 10й-1 j
п
на десять частей точка х окажется одной из точек деления,
а именно, будет правым концом сегмента
— L Р± 4-	-L Pfe~1 -4- /fcl  л 4- 4-	4- Pk~l -4- Рк}
L ’ 10 ‘	+ 10*-< + 10* ’ n + 1q + ’“ + 10*-* ‘ 1U*J
и левым концом сегмента
[«+Й+--- +
Pk-i _i_Pk_. „ I A t I Pk-i f £1+21
K*-i^lU*’ “^10^’e’^10*-i^~10*Je
Таким образом для й-го десятичного знака числа х мы по-
лучаем не одно, а два значения: pk — 1 и pk. При дальнейших
подразделениях сегментов ДР1Ра... р&_1 и ДР1Л,.Рк на
10 меньших сегментов точка х будет все время оказываться
в самом правом из подразделений сегмента Д^... Рк_г и
в самом левом из подразделений сегмента ДР1Ра.. .Рк.
Сообразно с этим мы получим для х два разложения в бес-
конечную десятичную дробь, а именно:
х=л,Р1Р2 ...pft_r р4 —1,999...,
х=п, ргр2... pk_v pk, 000...,
из которых первое состоит, начиная с некоторого места, из одних
девяток, второе из одних нулей. Это выражает известный из на-
чальной арифметики факт, что всякая конечная десятичная дробь
(т. е. дробь, все десятичные знаки которой, начиная с некото-
60
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
рого, суть нули) может быть записана также в вице бесконечной
(вообще говоря, смешанной) периодической дроби, • имеющей
в периоде 9 (например, 0,1=0,0999...).
Итак:
Всякому действительному числу х соответствует одно
разложение в бесконечную десятичную дробь:
X — /2,	•
т. е.
*=«+io+i(fe+--- + n^+ •••»
- если
•*=/=«+
если же
*=л+10*’
то ему соответствуют два разложения, из которых одно
содержит, начиная с некоторого места» одни нули» второе
о^ни девятки.
Обратно, всякой бесконечной десятичной дроби соответ-
ствует единственное вполне определенное действительное
число.
В самом деле, пусть дана бесконечная десятичная дробь
n,r2r2...rk...
(каждое rk есть одно из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9).
Возьмем сегменты
[я;/1-1-1],
Имеем убывающую последовательность сегментов, такую, что
длина А-го сегмента равна	На основании следствия 3
теоремы XI эта последовательность ; определяет единственную
точку х» принадлежащую ко ёсем указанным сегментам. Точка х
НЕСЧЕТНОСТЬ МНОЖЕСТВА ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 61
имеет своим разложением разложение (7), причем это разложе-
ние единственное, если нет такого номера &, начиная с которого
все rk либо равны 9, либо равны 0. Если же rk « rft+1 = ... = О
(или 9), то х имеет вид	т. е. есть конечная десятич-
ная дробь, допускающая 2 представления в виде бесконечной
дроби.
Совершенно аналогичными рассуждениями можно показать,
что всякое действительное число может быть представлено в виде
бесконечной двоичной, бесконечной троичной, вообще бесконеч-
ной /w-ичной дроби. Для этого нужно только вместо деления на
10 сегментов производить каждый раз деление на 2, или на 3,
или вообще на т сегментов. Числа вида А будут при т-ичном
тпг
разложении допускать два представления, причем при одном
представлении все /яичные знаки, начиная с (&+U будут нули,
а при другом — они будут равны единице. Читателю предоста-
вляется самому провести все относящиеся сюда рассуждения,
представляющие точную копию того, что было сказано о деся-
тичной дроби.
Для того чтобы достигнуть однозначности изображения ка-
ждого действительного числа бесконечной десятичной, двоичной,
вообще /и-ичной дробно, надо только условиться, какое из двух
бесконечных разложений одного и того же числа браты Условимся-
же брать всегда то разложение, которое содержит бесконечное
число нулей.
Например, из двух бесконечных разложений числа —, а именно
а
0,50000... и 0,49999... условимся всегда брать первое.
$ 8. Несчетность множества всех действительных
чисел.'Возможность представления каждого действительного числа
в виде бесконечной десятичной дроби послужит для нас основа-
нием, на котором мы докажем следующую фундаментальную
теорему.
Теорема XII .
Множество всех действительных чисел есть несчетное
множество.
Достаточно показать, что множество Z всех действительных
чисел интервала (0,1) есть несчетное множество. Предположим,
в самом деле» что оно счетно. Это означает, что все действи-
62	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
тельные числа интервала (0; 1) могут быть занумерованы в одну
последовательность
«*1> х2, • • • » хп9 • • •	(8)
Каждое число хп может быть представлено единственным
образом в виде бесконечной десятичной дроби
х„ = 0,	с№, .... а(*\ ....
не являющейся периодической дробью с периодом 9.
Построим это разложение для каждого действительного числа
x2 = Q,a&a&...dW...
хп=0, a№afg> ...	..
и рассмотрим все десятичные знаки, расположенные на диаго-
нали полученной таблицы, т. е.
44 Ч2). 43).......<п)>	•  •
Каждое есть одно из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Возьмем теперь числа
^2> ^3’ • • • >	• • • >
где каждое Ьп есть одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, причем
отличное от Числа Для определенности мы, например, по-
лагаем:
если 1,	пусть bn = 1,
если с№ = 1,	пусть Ьп = 2.
Рассмотрим теперь бесконечную десятичную дробь *
од Ь2Ь3... ьп...
Она определит некоторое число х интервала (0; 1), более
точно: число х принадлежит даже к интервалу (0,1; 0,3).
Так как мы предполагаем, что последовательность (8) содер-
жит все действительные числа интервала (0;1), то число х зани-
мает в нашей последовательности (1) определенное, пусть, на-
пример, т-t место.
Тогда
х=0, а^а№а№ ... дИ) . е.
1	* о	т
НЕСЧЕТНОСТЬ МНОЖЕСТВА ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
63
и, следовательно,
^(т) _ А . л(т) _ h •	•	#(*и) — Ь ,. . .,
1	1*	2	2> • • • ’ т т* '*
так как
O.aWaW ... в(«)...
12^	т
И
о,М2...*т •••
есть одна и та же бесконечная десятичная дробь.
В частности
____h
т —°т'
что невозможно, так как мы выбирали Ьт так, чтобы оно не
равнялось (ведь, если а^О^], то мы полагали #м = 1,
а если	то Z>w = 2).
Полученное противоречие доказывает теорему, которая дает
нам основание назвать множества, эквивалентные множеству всех
действительных чисел, особым именем; с этой целью вводится
нижеследующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, эквивалентное множеству
всех действительных чисел, называется множеством мощ-
ности континуума, или, проще, множеством мощности с.
Легко доказать, что множество всех действительных чисел
эквивалентно множеству всех точек интервала (0; 1). В самом
деле, подстановка х =	— заставляет каждому неотрица-
тельному числу х соответствовать одно и только одно действительное
число х\ причем двум различным значениям х соответствуют
два различные значения кроме того, каково бы ни было х 0,
, х	1
число х —	—- всегда меньше —.
2(1 +х)	2
влено взаимно однозначное соответствие
Таким образом устано-
межлу всеми действи-
, л 1
х\ 0	л' < —, при-
At
х' = 0. Таким же обра-
тельными числами х и всеми точками
чем х — 0 соответствует, очевидно, точка
зом1 осуществляется взаимно однозначное соответствие между
всеми точками х<0 и всеми точками х' — —	при-
&
чем опять точке л: = 0 соответствует точка л/=0. Отсюда еле-
* Подстановкой д/ = —------
2(1 X)
64
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
дует, что все действительные числа могут быть поставлены во
/	1	П
взаимно однозначное соответствие с точками интервала I — —; — I,
\	* <* /
а значит, и с точками интервала (0; 1),
Нетрудно убедиться, что любой интервал (а; Ь) может быть
поставлен во взаимно однозначное соответствие с интервалом (0; 1).
тт	J х—а
Для этого достаточно подстановки	.
о— а
Так как всякий сегмент отличается от интервала на две точки,
а всякий полуинтервал — на одну, то можно формулировать пред-
ложение.
Теорема XIII
Всякий сегмент, интервал и полуинтервал числовой пря-
мой имеют мощность с, и потому все эти множества экви-
валентны между собой. .
Предположим, что мы имеем счетное множество множеств Elf
•••>£«> • • •, попарно без общих точек, каждое из кото-
рых имеет мощность с. Отобразим взаимно однозначно Ег на
(б; у J, Е2	на(т> т] ’ ’ * вообще
(п— 1 п 1
------; —г“г I •
Получим взаимно однозначное соответствие между
И
= (0,1).
Если бы всех множеств Et было конечное число Elt Eit
Ек, то мы установили бы взаимно однозначное соответствие между
Е, и
Et и
с Г* ~ 1 ,1
И I k : Ч ’
Итак, имеем нижеследующее предложение:
НЕСЧЕТНОСТЬ МНОЖЕСТВА ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
65
Теорема XIV
Сумма конечного или счетного множества множеств, имею-
щих мощность континуума^ имеет мощность континуума.
Йаконец, предлагаем читателю доказать (пользуясь теоремой IV
гл. I), что множество одних только -иррациональных точек лю-
бого интервала, сегмента или полуинтервала имеет мощность
континуума.
УПРАЖНЕНИЯ
J. Доказать,
(т. е. всех чисел
что множество
вида
есть
всех двоично-рациональных чисел
множество упорядоченное, сцеплен-
ное, но не непрерывное, подобное множеству всех рациональных чисел.
2.	Доказать, что множество всех действительных чисел подобно лю-
бому интервалу.
3.	Множество всех действительных чисел, пополненное двумя »бес-
конечно большими" числами + оо и —оо есть множество упорядочен-
ное, сцепленное, обладающее с наибольшим и наименьшим элементами;
Доказать, что к нему нельзя присоединить никакого нового элемента
так, чтобы пополненное таким образом множество было упорядоченным
и сцепленным. Доказать, что это множество подобно сегменту.
4.	Рассмотрим сумму двух интервалов: (0; 1) и (2; 3). Чем отличается
полученное множество, рассматриваемое как упорядоченное множе-
ство^ от множества всех действительных чисел?
5.	В чем заключается порядковая особенность множества всех дей-
ствительных чисел, из которого исключена одна точка 0?
6.	Доказать, что множество всех иррациональных чисел есть упоря-
доченное, сцепленное множество без наибольшего и без наименьшего
элементов, обладающее счетным скелетом. Будет ли это множество непре-
рывным?
7.	Доказать, что, выкидывая из множества всех рациональных точек
одну, две и т.д. , вообще, любое конечное число точек, получим множе-
ство/подобное первоначальному.
8.	Доказать предыдущее утверждение в применении к множеству
всех иррациональных чисел.
9.	Фактически указать взаимнооднозначное соответствие между мно<
жеством всех точек окружности, множеством всех точек сегмента, интер-
вала и полуинтервала.
10.	Доказать, что сумма конечного или счетного множества сегмен-
тов, интервалов или полуинтервалов Д2, ... имеет мощность конти-
нуума, не предполагая, что Az-Aft = 0.
11.	Фактически , указать взаимнооднозначное соответствие между
множеством всех' -иррациональных чисел и множеством всех действи-
тельных чисел.
5 Александров и Колмогоров
Глава третья
О предельных точках множеств
§ 1.	Определение и примеры предельных точек.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Окрестностью данной точки $ числовой
прямой называется всякий содержащий точку $ интервал. Дру-
гими словами, взяв произвольно две точки ^<5, д:2^>£,
получим окрестность точки Е, состоящую из всех точек, заклю-
ченных между хг и л*2. Так как можно бесконечным числом
различных способов взять точки *!<£, х2>Е, то каждая
точка £ имеет бесконечное число различных окрестностей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ П. Пусть имеем бесконечное множество £;
точка Е называется предельной точкой множества Е, если во вся-
кой окрестности точки Е содержится хоть - одна точка х а. Е,
отличная от самой точки £ (последняя оговорка может стать су-
щественной лишь, если точка Е с Е).
Примечание 1. Из приведенного определения следует, что во вся-
кой окрестности предельной точки $ содержится бесконечное множество
точек множества Е. В самом деле, предположим, что существует окрест-
ность (Х|, х2) точки 5, содержащая лишь конечное число точек множе-
ства Е. Докажем, что в этом случае точка С не может быть предельной
точкой для множества Е В самом деле, в интервале (х15 х2) имеется
по предположению лишь конечное число точек множества Е\ пусть это
будут z* ... ,"zN. Среди точек zi} z.2, ..., zN есть одна (или две)
ближайшие к 5 точки. Пусть эти ближайшие точки расположены на рас-
стоянии 3 от точки 5, тогда ишервал (S — 3, 5 + $), очевидно, не содер-
жит ни одной точки множества Е (кроме, может бьнь, самой точки 5,
если 5 С В); итак, 5 не есть предельная точка.
Примечание 2. Из приведенного определения непосредственно сле-
дует, что если Е§ С £, то всякая точка предельная для Е$ есть и по-
давно предельная точка множества Е. Точно так же очевидно, что еслиЁ
есть предельная точка множества М и Af0 содержит .все точки множе-
ства М кроме, может быть, конечного числа этих точек, то $ есть пре^
дёльная точка множества Л40.
Дадим несколько примеров предельных точек.
1.	Рассмотрим множество Ег всех целых чисел. Ег есть бес-
конечное множество; докажем, что Е. не имеет ни одной пре-
дельной точки. В самом деле, пусть £ есть произвольная точка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК
67
числовой прямой. Если Е не есть целое число, то существует
пара целых чисел	таких, что л<'Е<л4~1» и ин-
тервал (л; #4~ 1) есть, очевидно, окрестность точки Е, не со-
держащая ни одной точки множества Е^ Е, следовательно, не
есть преде-ьная точка для В2. Если S есть целое число, пусть
Ез==я, то интервал (п—1; есть окрестность точки Е не
содержащая никакой точки множества Ег кроме самой точки Е;
Е также не может быть предельной точкой для Ег Итак, ни-
какая точка числовой прямой не есть предельная точка для
множества Ev которое, следовательно, может служить примером
бесконечного множества без предельных точек.
е 1
2.	Рассмотрим множество Ev состоящее из всех точек ~, где
п принимает значения 1, 2, 3,...; точка 0 есть предельная
точка для множества Е2. В самом деле, пусть (х2; х2), хг <0<х2,
есть произвольный интервал, содержащий точку 0, т. е. произ-
вольная окрестность этой точки. Для достаточно больших зна-
чений натурального числа п все положительные дроби — оказы-
п
ваются меньшими, чем х2, т. е. содержащимися в интервале
(0; х2) и подавно в (х; х2). Таким образом каждая окрестность
точки 0 содержит бесконечное число точек множества Ev сле-
довательно, 0 есть предельная точка для множества Е2.
Никакая точка Е=^0 не является предельной для множества Е2;
в самом деле, если Е <0, то, взяв любое число Xj^E, видим,
что интервал (х^, 0) не содержит ни одной точки множества Е2;
если же S > 0, то пусть W есть первое натуральное число, такое,
1 > > 1 - > >
что если = т0 точка 5 не есть предельная для мно-
’ ’ ( 1 1
жества Е2> так как интервал	не солеРжит
никакой дочки множества £2, отличной от точки Е, если
же — то интервал I	J содержит точку Е,
не содержа никакой точхи множества Е2, Итак, 0 есть един-
ственная предельная точка множества Е2\ она не содержится
в множестве Е2.
3.	Множество Е2 состоит из всех точек вида ~ (л = 1, 2,3, ...)
и — 1
и вида ------ (я=з1, 2, 3,...). Предельными точками этбТа
п
5*'
68
о придельных ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
множества являются лишь точки 0 и 1. Ни одна из этих точек
«е содержится в множестве F3.
4.	Множество Е4 состоит из всех точек вида (п— 1, 2, 3,...)
и из всех точек вида	(6=1, 2, 3,п = 1, 2, 3, ...),
т. е. точки множества Е4 суть:
1	1	1 1 1	1			
2’4’		8 ’ 16’ 32* * ’	•’ 2«’ ’ ' ’			
1	1	1.1 1.1	1 1		1	
2 +4 9		2 + 8 ’ 2 + 16’ 2 ‘32’		2	г 2<+р•••	
1	1	1.1 1.1	1 . 1	1	1	
4 + 8 ’		4+16’ 4+32’	т+б4’	4*^	22+*’	
1	1	1.1 1.1	1 . 1	1	1	
8 + 16’		8 +32’ 8+64’	Т+128		8Н	' 23+*’ •"	k= 1,2,3,...
1	1	1 1 11	1 J. 1 *	1	, 1	
16 ’32’		16+64’ 16+128	’ 16 1 256’	16	I 2<+V •••	
1 +	1+_L
“ 2л+Р 2Л ‘ 2л+2
. . . . -+ —
’2« ‘ 2Л+*-
6.............. • • •
п = 1,2,3, ..
Читатель легко докажет, что множество Е4 имеет бесконечное
л 1	1	1	1
число предельных точек, а именно, точки О,—, —, —,..., —, ...
2 4 8	2*
Все эти предельные точки за исключением одной лишь точки О
принадлежат к Множеству Е4.
5.	Множество Е$ состоит из всех рациональных точек. Ка-
ждая то^ка числовой прямой есть предельная точка для Е^1.
6.	Множество Е$ состоит из всех точек интервала (0; 1),
множество всех предельных точек для £6 есть сегмент [0; 1].
7.	Множество Е7 есть сегмент [0; 1]; множество всех пре-
дельных точек совпадает с Е7.
8.	Множество Е8 состоит из всех точек сегментов
г Л Г—- 31 Г4- 51 г6- 71 Г 2п + Ч
[ ’ V] ’ L3 ’ 4J ’ [5 ; 6J ’ [7 *, 8]’ ••• 9 \2п 4- 1; 2п -Н 2-Г
(n = 0, 1, 2,3, ...)
1 В самом деле, какова бы ни были точка Е числовой прямой и ее
окрестность (х£; х2),	< Е < х2, в интервале (х£; х2) содержится бес-
конечное множество рациональных точек, т. е. точек множества Е.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК	69
и из точки 1. Множество всех предельных точек множества
совпадает с множеством Е3\
9.	Множество EQ состоит из всех точек множества Е3 пре-
дыдущего примера и из всех точек вида----- (л=1, 2, 3,...);
множество всех предельных точек множества Е3 совпадает с мно-
жеством Е8.
4 В самом деле, всякая точка, принадлежащая к одному из сегмен-
[2л 2л 11
2лНН1 ’ 2л + 2J ’ еСТЬ’ очевидно> предельная точка для этого сег-
Г 2л
Т0В |2^+1:
мента, следовательно, и подавно для всего множества £8 Рассмотрим
теперь точку 1. Пусть (х^ х2) есть произвольная окрестность точки 1,
т. е, х{ < 1 < х2. Существует натуральное число Nt достаточно боль-
шое для того,
к . 2W	1	1
чтобы 1 —	==2ДГ + 1 был0 о°льше> чем
это значит, что
Г 2АГ
меНТ [2tf+l:
тельно, и подавно в интервале (х>; х2). Заметим, что все сегменты
сегмент олГТл > * I » следовательно, и подавно сег»
2W +1-] J ?
2дг ^2] содеРжится в полуинтервале (xt; 1]), следова-
[2л 2л -|- 11
2л + 1 ’ 2л + 2J ’
Г 2W 2W4- П
где n>Nt как лежащие вправо от сегмента	; глт—— ,
L2/V 1 Z/V -f- 2 J
но влево от точки 1, также принадлежат к окрестности (л^; х%) точки 1.
Итак, и точка 1 есть предельная точка для множества Е8; другими сло-
вами, каждая точка множества Е8 есть предельная для этого множества,
т. е.	(где Е* есть множество всех предельных точек множе-
ства Е3 (см. ниже определение произвольного множества).
Докажем, что	т. е. что никакая точка, не принадлежащая
f	к £8, не может быть предельной для Е8, Пусть $ есть точка, не прина-
длежащая к В8; если 6 не принадлежит к Сегменту [0; 1J, то, очевидно,
Е не есть предельная точка для F8; если же Е принадлежит к сегменту
.	[9; 1]> не принадлежа к множеству £8, то, значит, Е входит в один из
Р	интервалов	z
'	/ 1 # 2 X / 3 . 4 \ ’/ 5 , 6 \	/2л + 1 2л +
\2‘ 3/’ \4 ’ 5/’ \б'; 7 / ’ ” ‘ ’ \2л + 2 ’ 2л-4-3/’ ' ” :
(л = 0, 1, 2, ,.
Этот интервал, содержа точру Е и не содержа никакой точки мно-
жества £g, является окрестностью точки Е, не содержащей никакой точки
множества Е* Е не есть, стало быть, предельная точка для Е8.
70	О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
$ 2. Основные определения теории точечных мно-
жеств. Теорема Больцано-Вейерштрасса Ч
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество предельных точен множе-
ства Е называется производный множеством или производной
множества Е и обозначается Е9.
На предыдущих примерах мы видим, что бесконечное мно-
жество может иметь в качестве своей производной пустое
множество (пример 1), множество, состоящее из одной точки
(пример 2), из двух точек (и вообще из фобого конечного числа
точек) {пример 3), из счетного множества точек (пример 4)
и, наконец, из несчетного множества точек (остальные примеры).
Далее, может случиться, что множество не содержит ни одной
своей предельной точки (примеры 1 и 2), часть множества своих
предельных точек (примеры 4, 5 и 6), все свои предельные точки
(примеры 3, 7, 8, 9). Наконец, в некоторых множествах имеются
точки, не являющиеся предельными для этого множества (при-
меры 1, 2, 3, 4, 9), другие множества, напротив, состоят из одних
предельных точек (примеры 5, 6, 7, 8), хотя могут и не содер-
жать всех своих предельных точек (примеры 5 и 6).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ^ Точка множества Е, не являющаяся
предельной точкой для множества Е, называется изолирован-
ной точкой (другими словами, изолированные точки суть точки
множества Е—Е-Е').
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, состоящее из одних изоли-
рованных точек, называется изолированным множеством
(примеры 1 и 2).
Примечание. Из того, что множество Е изолировано, не следует,
что оно не имеет ни одной предельной точки, предельные точки не должны
только принадлежать к множеству Е (пример 2); мы увидим в сле-
дующей главе даже пример изолированного множества, производная
которого есть несчетное множество2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, не содержащее ни одной
изолированной точки, называется плотным в себе (примеры
5, 6, 7, 8). Другими словами, множество Е плотно в себе тогда
и только тогда, когда ЕсЕ'.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, содержащее все свои
предельные точки, называется замкнутым множеством
< * Больцано — математик и философ первой половины XIX века
предвосхитивший многие понятия современной теории множеств. Карл
Вейерштрасс (род* 1815, ум. 1896) один из виднейших математиков,
XIX века, вместе с Коши и Дедекиндом основавший так называемое
арифметическое направление в математическом анализе.
2 См. упражнения к гл. IV (упражнение »).
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 71^
(примеры 3, 7, 8, 9). Другими словами, множество Е замкнуто
тогда и только тогда, когда Е z> Е.
Примечание, Если множество ±’г — пустое, т. е. если Е вообще не
имеет никакой предельной точки, то Е также считается замкнутым
(пример 1). В частности множество, состоящее лишь из конечного
числа точек (в том числе и множество, состоящее лишь из одной точ-
ка), а также пустое множество являются согласно этому определению
замкнутыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, одновременно замкнутое
и плотное в себе, называется совершенным (примеры 7 и 8).
Другими словами, совершенное множество — это множество, со-
держащее все свои предельные точки и не содержащее ни одной
изолированней точки, т. е. множество, совпадающее с множеством
всех своих предельных точек. Иначе говоря, множество Е есть ,
совершенное множество в том и только в том случае, когда
Е — Е.
Мы видели пример бесконечного множества Ev лишенного
предельных точек. Легко видеть, что множество Ег есть мно-
жество неограниченное. Фундаментальным результатом в теории
множеств является следующая
Теорема 1 Больцано-Вейерштрасса 4
Всякое бесконечное ограниченное множество имеет хоть
одну предельную точку.
Пусть дано произвольное бесконечное ограниченное мно-
* жество Е. Рассмотрим множество М всех тех точек х числовой пря-
мой, которые обладают следующим свойством: вправо от точки х
имеется бесконечное множество точек множества Е. Множество М
не пусто: в самом деле, он<^ содержит, например, нижнюю
грань множества Е (и все точки числовой прямой, лежащие
слева от ая). Множество М ограничено сверху: в самом деле,
вправо от верхней грани множества Е нет уже ни одной точки
множества М.
Раз множество М не пусто и ограничено сверху, то оно
имеет верхнюю грань, которую мы обозначим через Ъ. Докажем,
что Ь есть предельная точка для Е. В самом деле, пусть (х^, х2)
есть произвольная окрестность точки b, (x1<^b<^x2). По основ-
ному свойству верхней грани1 сегмент [х2; 6] содержит хоть
одну точку х множества М9 в то же время справа от b нет ни
одной точки множества М. Следовательно, х2 не есть точка мно-
жества М. Так как х есть точка множества М9 то вправо от х„
1 Гл. II, теорема VIII.
72
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
Следовательно, и подавно вправо от хг имеется бесконечно
много точек множества Е. Так как х2 не есть точка множе-
ства 2И, то вправо от х2 имеется лишь конечное число точек
множества Е; следовательно, бесконечное множество точек
множества Е расположено на интервале (х3; х2). Но (хх; х2) —
произвольная окрестность Ь. Мы доказали таким образом, что Ь
есть предельная точка множества Е.
Мы доказали больше того: Ь есть предельная точка множе-
ства Е> следовательно, Ъ есть точка множества нетрудно
видеть, что b есть самая правая из всех точек множества EL
В самом деле, пусть $ есть произвольная точка, лежащая вправо
от Ь\ возьмем произвольную точку х2 между b и £: Ь<^хг<^\
так как b есть верхняя грань множества 2И, то точка хг не при-
надлежит множеству Ж, а потому вправо от и тем более
в любой окрестности точки S, левый конец которой есть х1,
лежит "не более конечного числа точек множества Е, так что
(см. примечание 1 к определению II) $ не может быть предель-
ной точкой множества Е.
Совершенно таким же способом, можно найти точку а, являю-
щуюся самой левой точкой множества Е\ Для этого надо только
рассмотреть множество N всех точек у числовой прямой, кото-
рые удовлетворяют условию:
влево от точки у имеется бесконечное множество точек мно-
жества Е.	'
Множество N содержит верхнюю грань множества Е и потому
не пусто; множество N лежит вправо от нижней грани множества Е
и потому ограничено снизу. Так же как в предыдущем случае,
мы убеждаемся в том, что нижняя грань а множества N есть
предельная точка множества Е, следовательно, а с: Е'*9 повторяя
с очевидными видоизменениями рассуждения, только что прове-
денные для точки Ьг убеждаемся в том, что а есть самая левая
точка множествя Е\ Итак, имеем нижеследующее предложение:
Теорема II
Производное множество Ег бесконечного^ ограниченного
множества Е имеет самый правый и самый левый элементы.
Другими словами, среди всех предельных точек бесконечного
ограниченного множества Е имеется самая левая точка аЕ и самая
правая точка ЬЕ. Точка аЕ называется нижним пределом мно-
жества Ей обозначается ая= limЕ, точка ЬЕ называется верх-
ним пределом множества Е и обозначается bE == lim Е. Оче
видно, что аЕ^ЬЕ и что все остальные предельные точки
множестве! Е (если они существуют) расположены между аЕ и ЬЕ.
СХОДЯЩИЕСЯ МНОЖЕСТВА
73
£ <?. Сходящиеся множества. Может случиться, что
аЕ=ЬЕ. В этом случае точка аЕ—ЬЕ есть, очевидно, единст-
венная предельная точка ограниченного множества Е (см. при-
мер 2). Обратно, если у ограниченного множества Е имеется
лишь одна предельная точка, то она является, по необходимости,
одновременно и верхним и нижним пределом множества Е.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ограниченное множество Е с единственной
предельной точкой $ называется сходящимся к точке а един-
ственная предельная точка £ множества Е называется пределом
сходящегося множества. Это записывается так: Е—или
£==НтЕ. Мы можем также сказать, что сходящееся множество
это такое ограниченное множество, у которого верхний И нижний
пределы совпадают. Пример 2 может служить примером схож-
щегося множества.
Имеет место нижеследующая теорема:
Теорема Ш
Если (ограниченное) множество Е сходится к £ (т. е.
имеет S своим пределом), то какова бы ни была окрестность
(х^ х2) точки S, вне этой окрестности имеется не более
конечного числа точек множества Е. Обратно, если послед-
нее условие выполнено и если множество Е бесконечно, то Е
сходится к точке S.
Пусть Е—и пусть Xj^S^x^ Если бы вне интервала
(Xj; х2) существовало бесконечное множество £0 точек множе-
ства Е, то в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса имелась бы
некоторая точка i), предельная для множества Е$. Так как все
множество Е$ лежит вне окрестности (х^; х2) точки £, то £
не есть предельная точка множества £0 и потому отлична от
точки 1). Точка q, будучи предельной для множества £0 с: Е,
и подавно есть предельная точка для множества Е, которое
имело бы, таким образом, по крайней мере, две предельные точки
($ и I]). Обратно, если высказанное в теореме III условие вы-
полнено, то Е—►£. В самом деле, если для множества Е можно
указать точку S такую, что, какова бы ни была окрестность
(л^; х%) точки S, вне этой окрестности существует не более
конечного множества точек, то множество Е прежде всего огра-
ничено.; В самом деле, пусть j2, ..,, yN суть все точки
множества Е, лежащие вне (xf, х2). Пусть а — самая левая из
точек ХрУру2,.. .,yN, b — самая правая из точек х2,УрУ2,,.
Очевидно, Е целиком лежит на сегменте [а; д], т. е. ограничено.
Точка S является предельной точкой, так как вне произволь*
ной окрестности (хй; х2) точки £ лежит лишь конечное число
74
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
точек Е, следовательно, в самой окрестности (х2; х2) их должно
быть бесконечно много (ведь, иначе и все множество было бы
конечно). Допустим теперь, что кроме $ множество Е имеет еще
хоть одну предельную точку 7] й пусть, например, £ < q. Возьмем
точки х2 и х3 так, чтобы
Xj Х2 1]	х3,
так как$ и 7] обе суть предельные точки множества Е, то интер-
валы (х3; х2) и (х2; х3) содержат каждый бесконечно много
точек множества Е, следовательно, в частности вне окрестности
(xf, *2) точки $ имеется бесконечно много точек множества Е
(вопреки нашему условию).
Мы можем, наконец, выразить предложение III словами:
Теорема ПТ
Для того чтобы множество Е сходилось* к точке £, необ-
ходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было число е > О,
Черт. 5.
всякая точка х множества Е за возможным исключением
конечного числа точек удовлетворяла условию:
1$-х|<8.	(1)
В самом деле, если Е —> $, то вне интервала (S — е; £ -р s)
заключается согласно теореме III не более конечного числа точек
множества Е; все же остальные точки xczE, как попавшие
в интервал ($ — е; £ 4- е) отстоят от точки $ на расстояние,
меньшее е, т. е. — х|<$. Обратно, пусть условие предложе-
ния III выполнено; докажем, что и условие предложения IIV
выполнено. В самом деле, пусть (х2; х2)— произЕОльная окре-
стность точки £, и пусть 8 — положительное число, меньшее,
чем оба числа | $ — х2 | и | (• — х2 |. Лишь конечное число точек Е
может оказаться вне интервала ($ — s; $4“^)» заключенного
в интервале (Xj; х2) (черт. 5), следовательно, и подавно не более
конечного числа точек Е может оказаться вне (xf, х2).
Теорема IV
Если точка $ есть предельная точка для множества Е,
то существует счетное. множество EQ, заключенное в Е и
сходящееся к $.
СХОДЯЩИЕСЯ МНОЖЕСТВА
75
В самом деле, каково бы ни было положительное число 5,
можно найти точку множества £, отличную от $ и отстоящую
от £ на расстояние меньшее, чем 8. Имея в виду это замечание,
выберем прежде всего точку	отстоящую от S меньше
чем на 1. Предположим теперь, что мы уже построили точки
х0,	xk так, что
|*21 > • ••>!$ xkI>О
И
|£ Х1 | <С 1 > | 2 х2 I	Xk\<~k'
Обозначим теперь на минуту через 8 наименьшее из двух
ie I	1
чисел ]5 — хй| и	и через хй+1— какую-либо опреде-
ленную точку множества £*, отличную от £ и отстоящую от G
меньше, чем на 6, так что
15	•*> I X $ “ Xfe+1 | >
,5—х‘^1<грт-
Таким образом, шаг за шагом, мы последовательно строим
счетное множество
*1>	• • М • • • >
причем все точки хк попарно отличны между собою и удовлет-
воряют для каждого значения к условию 0 < |£ — xk |
Пусть (jCj; ха) произвольная окрестность точки $. Выбираем
столь большое А, чтобы 4- было меньше обоих чисел: £— х,
k	1
и х2 — S. Тогда все точки хк, хА+1, ... лежат в (х2; х2)9 и наша
теорема доказана.
Теорема V
Всякое сходящееся множество счетно.
В самом деле, пусть множество Е сходится к точке $. Рас-
смотрим интервалы
К-1; S+H, (»-|1 «+-!•), Л., (е—1-. « + !-),
Для каждой точки х, множества Е, отличной от можно
указать такой интервал	•—) , что х окажется вне
76
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
его. В самом деле, пусть х — произвольная точка множества Е,
отличная от точки S; возьмем натуральное число п столь большим,
чтобы —— х|; видим,, что х оказалось вне интервала
Отсюда следует, что множество Е есть сумма
счетного числа множеств Еп, где Еп (при л=1, 2, 3, . ..)есть
совокупность всех точек Е, лежащих вне интервала
сумма, к которой, в случае если G с Е, присоединена, кроме
того, точка S.
Но каждое из множеств Еп в силу теоремы III, состоит не
более как из конечного числа точек, следовательно, Е как сумма
счетного числа конечных множеств есть счетное множество (что
требовалось доказать).
£ 4. Сходящиеся последовательности. К понятию г ре-
дельной точки близко, но «все же отлично от него, понятие
предела последовательности. Пусть каждому натуральному
числу п поставлен в соответствие элемент хп, тогда говорят,
что дана последовательность
^2» • • м • •	(2)
В дальнейшем хп будут действительными числами. При этом,
числа хп, получившие различные номера, могут не быть различ-
ными между собой: числа хп, равные для любого п некоторому
постоянному а, также образуют последовательность.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность хр х2, ..., хя, ...
называется сходящейся я точке S, если, какова бы ни была
окрестность (xf; х") точки S, все хп, начиная с некоторого
номера п, попадают в интервал (хг; х”}.
Обозначение: $ <== lim хп или хп—
п—>оо
Примечание. Отсюда следует, что никакая последовательность
не может сходиться более чем к одной точке (в самом деле,
если бы были две точки S, 7], то взяли бы интервалы (х'\
и (х*; х'") где х'<2<хЙГ<7)<х"'; каждый из этих интерва-
лов должен был бы заключать все элементы нашей последова-
тельности, начиная с некоторого, что невозможно, так как наши
интервалы — без общих точек).
СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	77
Это определение позволяет не беспокоиться о том, содержит
ли последовательность (2)
«^2»	«*л> • ••
совпадающие точки или нет. Дело в том, что если в последова-
тельности (2) различных точек лишь конечное число, т. е. если
существует лишь различных точек:
xh>	xiN>
(3)
так что каждое хп совпадает с одной из точек (3), то говорить
о предельных точках множества точек (2) не приходится [так
как все это множество состоит лишь из конечного числа раз-
личных точек (3), обозначенных бесконечным числом различных
символов (2)]. О сходимости же последовательности (2) в только
что указанном смысле можно говорить, если, например, все хп,
начиная с некоторого номера, совпадают; обозначая через а
их общее значение, видим, что все точки последовательности (2)
за исключением конечного числа совпадают с точкой а, следо-
вательно, и подавно содержатся в любой окрестности а; таким
образом последовательность (2) сходится к точке аГ
Докажем, что никакого другого случая быть не может, т. е.
докажем, что если сходящаяся последовательность (2) содержит
лишь конечное число различных точек (3), то все элементы
нашей последовательности, начиная с некоторого, совпадают.
В самом деле, пусть £ есть предел последовательности (2). Пусть п
1
столь велико, что — меньше расстояния от точки 5 до любой
отличной от $ точки (конечного) множества (3). Тогда все точки
последовательности (2), находящиеся в окрестности
точки 5, непременно совпадают с точкою £ [так как каждая такая
точка совпадает с одной из точек (3), но при этом не может
сов адать ни с одной из точек множества (3), отличающейся
от точки 5, значит, непременно совпадет с £]. Но все точки
последовательности (2), начиная с некоторой, попали в интер-
вал I S------; S -1---), значит,
\ п 1 п г
все точки последовательности,
начиная с некоторого номера, совпадают с $ — пределом после-
довательности (2).
t 1
(хотя и нельзя сказать, что множество точек — ,
А
78	о предельных точках множеств
Пример. Последовательность
1	£ 1_ 15
2	’ 4 ’ 8 ’ 16’ ’ ’ .........
в которой все члены, начиная с пятого равны 1, сходится к 1
3_ 7_ 15
4 ’ 8 ’ 16’ 1
сходится к 1).
Таким образом всякое сходящееся множество, будучи счетным
и удовлетворяя условию нашего последнего определения, может
быть рассматриваемо как сходящаяся последовательность. Обратно,
если сходящаяся последовательность (2) содержит бесконечное
множество различных точек, то это множество сходится (к той
же точке, что и последовательность); если же последователь-
ность (2) содержит лишь конечное число различных точек, то
нельзя говорить о сходимости множества этих точек, сходимость
же последовательности (2) в этом случай означает только, что
все числа этой последовательности, начиная с некоторого, сов-
падают между собой.
Пример. Последовательность
-^2» • • • > хю • • •>
где 1, если п нечетное число и хл=2, если п четное число,
есть последовательность расходящаяся 1, так как члены ее не сов-
падают ни с какого номера п. В расходимости нашей последо-
вательности легко убедиться также непосредственно, прилагая
определение сходящейся последовательности или прилагая сле-
дующее предложение:
Теорема VI
Если последовательность (2)
•*!> *^2* ^3» • • •>	• * •
сходится к Е, то всякая ее подпоследовательность
•*/.. х/,> Ч’ ”•	<2')
также сходился к Е2. * з
* Под расходящейся последовательностью мы понимаем всякую не-
сходящуюся последовательность. В примёнейии к множествам устано-
вилась другая терминология — расходящимся множеством называется
бесконечное множество, не имеющее ни одной предельной точки.
з Прилагая это предложение к предыдущему примеру, сразу убе-
ждаемся в том, что последовательность 1; 2; 1; 2; 1; 2; ... расходится.
СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
79
В самом деле, если окрестность (У, х") точки G содержит все
точки последовательности (2), начиная с некоторой, то она и по-
давно содержит все точки последовательности (3), начиная
с некоторой.
Докажем теперь так называемый принцип сходимости Коши
(Cauchy):
Теорема VII
Критерий сходимости Коши. Для то, о чтобы последова-
тельность (2)
• • • > • • •
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для каж-
дого положительного числа 8 можно было указать такое на-
туральное число N, чтобы было
\‘хр—хя\<9
для всех значений р и q, больших, чем N.
Условие необходимо. В самом дел*>, пусть хп—►
возьмем натуральное число т столь большое, чтобы — < е, рас*
смотрим окрестность I $ — —; * “г “ I точки 5; все точки по-
следовательности (2), начиная х некоторой, номер которой обо-
* /1	1 \
значим через N, находятся в интервале IS-----; $ -I--1 и^
\ т	т /
следовательно, отстоят друг от друга меньше, чем на длину
2
этого интервала, т. е. на — <Г 8, а это и значит, что
/и
\хр —	как скоро р и q оба больше, чём N.
Условие достаточно. Обозначим (для k = 1, 2, 3,...)
через Ek множество всех точек
Xk> Xk + V	• • •
последовательности (2).
Имеем, очевидно,
. Z) Ё2 Е3 ... z> Ek о Ёк¥1 z) ...	(4>
Обозначим
aft=inf^; ^==sup£t4 1 *
1 Легко видеть, что все множества Е& ограничены. Действительно,
возьмем произвольное s > 0 и соответствующее N (выбранное согласна
80
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
На основании (4) и теорем IX и X гл. II имеем,
«J «S а2 <	< ... «С < ...,
причем	Если ak—$k> то все точки х^ xft+1, ... сов-
падают, и тогда последовательность (2) сходится к точке S = xft =
=xft+1 =-£л+2 = ... Если же ни при каком значении k точка ak
не совпадает с ЭД то сегменты [а^;*ЭД, [а2* ЭД,..., [aft:ЭД, ...
образуют убывающую последовательность. Докажем, что каково
бы ни было е>0, можно указать такое натуральное число X,
что для всех длина сегмента [аА; ЭД меньше, чем е.
3
Возьмем натуральное число т столь большим, чтобы—<е,
tn
и к столь большим, чтобы для и к иметь
I X- — X. |< — ,
* р ч' т '
Выберем, наконец, Чточки х’ и х" так, чтобы для данного
k > X иметь
<х”ak<~;	х’<^-
Так как ak = iniEk и Pft = sup£'ft, то имеются точки хр и xq
множества Ek) так что
следовательно,
а
К т *
так как р и q больше, чем 1, то
Очевидно, что длина сегмента [aft; ЭД есть
(*Р— ЭД + (^ — ЭД +
. 0	.	- 1 . 1	3
“4~ {Pfc —	<------1-----]---=== — ®
.	ч т ' т ' т tn
условию Коши); Ejy+i* очевидно, ограничено, ибо целиком помещается
на интервале (x#+i — е; *2V4i + s)- Всякое другое Ek отличается от
Ед+1 лишь на конечное число точек и потому также ограничено.
*	СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	81
Итак, длина сегментов [а&; неограниченно убывает, зна-
чит, существует одна и только одна точка Е, принадлежащая
всем сегментам [afe; .
Докажем, что Е = Иш хп
л->00	*
Возьмем произвольную окрестность (хг; хп) точки $ и столь
большое число k, чтобы длина сегмента [afe: Pfe] была меньше, чем
каждое из чисел 5 — У и х"— Е; тогда весь сегмент [ал
содержа точку Е, необходимо содержится в интервале (х, х").
Все точки Ek содержатся в сегменте [ай; PJ, значит, и подавно
в интервале (xf; х"), а это значит, что все точки последователь-
ности (3), начиная с А-й, попали в (х'; х").	*
Так как (xf; х№) — произвольная окрестность точки Е,
то
Е = Пш х
л-*оо
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность х1,х2, х3, ,.., хя, .. <
называется возрастающей, если хх х2 х3 . «С хп ,
убывающей, если хг х2 х3 ... хп ... 2.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяются
одним названием монотонных последовательностей.
Теорема VIII
Всякая монотонная ограниченная последовательность есть
последовательность сходящаяся, причем всякая ограниченная
возрастающая последовательность сходится к своей верхней
грани, а убывающая—к своей нижней грани.
< Доказательства в случае возрастающих и убывающих после-
довательностей совершенно аналогичны друг другу;, рассмотрим
поэтому лишь случай возрастающих последовательностей. Пусть
имеем возрастающую последовательность
Xj Xg Хд	хп • • • >	(7)
и пусть Е есть верхняя грань множества всех точек, являющихся
элементами нашей последовательности. Пусть (хг; х") есть произ-
вольная окрестность точки Е (хг <^Е<^х") и пусть х* есть
точка, лежащая между х' и Е (х’<х*<Е); сегмент [х*; Е]
содержит, по крайней мере, одну точку последовательности (7),
пусть, например, точку хл; так как никакая точка хп, для кото-
i Следствие 3 теоремы XI гл. II.
з Таким образом, если последовательность является одновременно и
возрастающей и убывающей, то все ее элементы равны между собой,
6 Александров и Колмогоров.
82
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
рой п> k, не лежит влево от хк и никакая вообще из точек хп
не лежит вправо от £, то все точки xft+1, хл+2, xft+3, ... лежат
на сегменте [х*; Е], составляющей часть интервала (У; х").
Итак, какова бы ни была окрестность точки Е, все хп, начиная
с некоторого, лежат в этой окрестности, а это значит, что
хл—>5, что требовалось доказать.
Очевидно, если то все точки хя+1, хя+2, ... хя+л, ...
совпадают с точкой £ (так как не могут лежать ни вправо, ни
влево от нее).
Следовательно, если среди элементов хп последовательности (7)
имеется бесконечное число различных точек числовой пря-
мой, то E = limxrt не может совпадать ни с одной из них.
«->оо
$ 5. Производные множества и замыкания
Теорема IX
Производное множество любого множества Е замкнуто.
Примечание. Так как производное множество конечного множества
пусто, следовательно, замкнуто, то при формулировке этой теоремы
можно не делать оговорки о бесконечности множества Е.
Доказательство теоремы. В самом деле, пусть Е* есть
производное множество множества Е\ докажем, что Е* есть зам-
кнутое множество. Пусть $ есть произвольная предельная точка
множества Е* и пусть (х*; х") есть произвольная окрестность
точки $ (л/ < Е < хк); так как Е есть предельная точка множе-
ства Е\ то в интервале (xf; х") содержится бесконечно много
точек пусть 7] одна из этих точек Е1. Так как интервал (х1; х")
содержит точку q, то он является одной из окрестностей а
так как 7] с: то т) есть предельная точка для Е; всякая окрест-
ность точки т), в частности интервал (а/; х"), содержит, следо-
вательно, бесконечно много точек множества Е; но (х9; х")—
произвольная окрестность точки Е, поэтому Е есть предельная
точка для Е, значит, Е а Е. Итак, любая точка Е, предельная
для Е\ оказалась принадлежащей к £г, значит, Е9 есть замкну-
тое множество.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество	обозначав :ся Е (чи-
тается „Е с чертою"); операция присоединения к множеству всех
его предельных точек называется операцией замыкания мно-
жества.
Примечание. Читатель сам построит множества Е для множеств
Еь Е*...,Е9 § 1.
ПРОИЗВОДНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАМЫКАНИЯ
83
Теорема X
Каково бы ни было множество Е, множество Е есть зам-
кнутое множество.
Докажем сначала, что каждая точка, предельная для множе-
ства Е, является предельной и для множества Е. В самом деле,
если Е— предельная точка множества Е и (х'; х")— любая ее
окрестность, то (х'; х") содержит точку 1] с В, отличную от
точки Е; докажем, что (хг; х*) содержит точки множества Е,
отличные от точки £; 7] cz Е, следовательно, либо 7] с Е, либо
7) с: £'•, в первом случае наше утверждение доказано; если же
Tj cz 2?, то окрестность (х'; х") точки 7) содержит бесконечно
много точек множества Е.
Итак, каждая точка предельная для Е, есть предельная и
для Е, т. е. содержится в Е', а следовательно, и подавно в £;
Е есть замкнутое множество.
Очевидно, каково бы ни было множество Е, имеем Е о Е;
если, обратно, Е zd Е, то и подавно Е о Е, т. е. Е есть зам-
кнутое множество; обратно, если Е — замкнутое множество, то
оно содержит £г, а потому совпадает с Е. Таким образом, зам-
кнутое множество может быть определено как множество,
совпадающее со своим замыканием. Из предыдущих рассуждений
следует, что производное множество Е* от Е совпадает с произ-
водным множеством от Е.' Беря производное множество от Е\
получим так называемую вторую производную от множества Е,
которую обозначаем Е№, вообще, если определена (п — 1)-» про-
изводная то л-я производная определяется так:
£*(«) = (£(«-!)/.
Теорема XI
Производное множество суммы двух множеств А и В
совпадает с суммой производных множеств А и В:
(А+5/ + ЛЧВ'.
Доказательство. Так как если х есть предельная точка мно-
жества А (или множества В), то х и подавно является предель-
ной точкой множества A -f- В, то соотношение
д'-Ьв’сЩ-в)'
6*
$4
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
может считаться очевидным. Для доказательства теоремы XI
остается, таким образом, доказать обратное соотношение:
(А4-В)'а Д' -|~В'.
Для этой цели в свою очередь достаточно показать, что если
точка Е не является предельной точкой ни для А, ни для В, то
оно не может быть предельной точкой и для множества А -|- В.
Из того что $ не является предельной точкой для А, следует,
что существует окрестность (х'; х") точки Е, не содержащая ни
какой отличной qt Е точки множества А; из тою что Е не есть
предельная точка множества В, следует существование окрест-
ности (хх; х2) той же точки Е, не содержащей никакой отлич-
ной от £ точки множества В. Общая часть интервалов (л/; х")
и (хг есть интервал, содержащий точку Еон образует
окрестность точки Е, не содержащую никакой отличной от Е
точки множества А~|~В. Таким образом Е не есть предельная
точка множества А-|-£» что требовалось доказать. Последова-
тельным применением только что доказанной теоремы доказываем:
Следствие 1
Производное множество суммы конечного числа множеств
совпадает с суммой производных этих множеств:
И14-л84-... + л„)=л; + л-+... + д„'.
Теорема ХИ
Сумма конечного числа замкнутых множеств есть зам-
кнутое множество.
Достаточно доказать это предложение для случая двух зам-
кнутых множеств F2 и В2. Имеем:
^2 ^jF^y
следовательно,
г/4-г/=(^4- г8у,
что требовалось доказать.
Примечание. Мы предоставляем читателю доказать, что замыкание
суммы конечного числа множеств совпадает с суммой замыканий
этих множеств.
* Если как всегда xr < Е < х” и х£ < Е < х2, то обозначим через
ту из точек хг и х4, которая ближе к Е; точно так же пусть Х2 есть
ближайшая к Е из двух точек х" и х* Общая часть интервалов (хг; х")
и (х4; х2) есть интервал (АГ4; Х2),
ПРОИЗВОДНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАМЫКАНИЯ
85
Легко привести примеры незамкнутых множеств, являющихся сум-
мой бесконечного множества замкнутых множеств — интервал (0; 1), кото-
рый, очевидно, не есть замкнутое множество, может быть представлен
как сумма сегментов
_1_ 31	Г1_. 21	[1 15]	Г±- 1_.11
4’ 4_|* [»’ 8Г [16:
Точно так же полуинтервал [0; 1),
множеством, есть сумма сегментов
также не являющийся замкнутым
Га. 11 Г1. 21 Г2 31	г^—1 ’ k 1
L’ 2? [2’ 3J’ [3 ’ 4J’" ’И5 i+U””
Таким образом утверждение теоремы XII не может быть усилено для
случая бесконечных совокупностей замкнутых множеств. В противовес
этому докажем нижеследующее предложение.
Теорема XII
Произведение любого (конечного или бесконечного числа)
замкнутых множеств есть замкнутое множество (могущее*
впрочем, оказаться пустым).
Доказательство. Пусть дана произвольная совокупность
©з!/7} замкнутых множеств и пусть Ф есть произведение всех
множеств, входящих в эту совокупность. Другими словами, Ф есть
множество всех точек, каждая из которых принадлежит ко всем
множествам совокупности ©; если $ есть предельная точка мно-
жества Ф, то она и подавно есть предельная точка любого
множества F совокупности ® (так как Ф с F) и, следовательно,
содержится в множестве F (так как F замкнуто). Таким обра-
зом каждая предельная точка множества Ф содержится в любом
множестве F совокупности @, а потому и в произведении всех,
этих множеств, т. е. во множестве Ф. Множество Ф является,
таким образом, замкнутым множеством, что требовалось до-
казать.
1Мы уже указывали, что множество Ф, о котором говорится
в только что доказанной теореме, может оказаться пустым (до-
статочно взять, например, совокупность состоящую из двух
замкнутых множеств без общих точек, например, из ‘ сегмента
[0; 1] и сегмента [2; 3]). Во многих вопросах оказывается чрез-
вычайно важным установить случаи, в которых можно утвер-
ждать непустоту множества Ф. Важнейшим из этих случаев является
следующий:
1
В6
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
Теорема XIII Кантора
Произведение непустых ограниченных замкнутых множеств,
образующих последовательность
Fр ^2* • • • 9 Fn> • • • >	(5)
каждый член которой содержится в предыдущем \ есть не- .<
пустое замкнутое множество.	J
Что Ф замкнуто, следует из предыдущей теоремы. Докажем,
что Ф содержит, по крайней мере, одну точку.	i
Начнем доказательство нашей теоремы с того, что будем
искать в последовательности (5) первое множество, не совпадаю I
щее с Fr Если такое существует, то пусть это будет F^. После
этого будем искать в последовательности (1) первое множество,
не совпадающее с F и имеющее номер больше п^. Пусть это
будет FKi. Точно так же обозначаем через F^ первое из мно-
жеств Fn с n>nv которое не совпадает с Fn \ т. д.
Возможно одно из двух:
1) Либо наш процесс оборвется после конечного числа шагов
(в частности, может быть, уже на первом шаге), тогда мы по-
лучим конечную подпоследовательность	я	।
• • • > |
последовательности (5), обладающую тем свойством, что для I
всякого n>nfc
F=Fnu
п nk'
В этом случае все Fn, начиная с F совпадают между собою,
так что F является и их произведением. Так как
м..........j
содержат в себе Fn то Fnk совпадает с произведением всех Fn	-
и это произведение, следовательно, не пусто (так как Fn^ по	j
предположению является непустым множеством). Итак,	в	нашем	|
первом случае теорема XIII доказана. 4 * * * *
4 Т. е. для всякого п выполнено условие	।
Л1+1 с	I
последовательности множеств, удовлетворяющие	этому условию,	убы-	J
вающие.	|
j
ПРОИЗВОДНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАМЫКАНИЯ
87
2) Либо наш процесс продолжается бесконечно, так что мы
получаем бесконечную подпоследовательность последователь-
ности (5)
А = Fn, = Fn, =« • • • => Fnk = • • • »
состоящую из попарно различных множеств. Обозначим через xk
какую-либо точку, принадлежащую к но не принадлежащую
к F Бесконечное множество Л/, состоящее из всех точек хЬ9
ограничено (так как содержится в ограниченном множестве F )
и, следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса имеет, по
крайней мере, одну предельную точку Е.
Мы утверждаем, что точка £ принадлежит ко всем множе-
ствам Fn. Пусть, в самом деле, Fn произвольное множество по-
следовательности (1). Возьмем k столь большим, чтобы
Тогда множество F„ а следовательно, и все точки
х& xk+v • • *
содержатся во множестве Fn. Другими словами, все точки мно-
жества М за исключением k — 1 точек х2, ... , этого
множества содержатся в F^ так как Е есть предельная точка
множества М9 то (на основании следствия теоремы XI) £ является
предельной точкой и для множества состоящего из точек
Х& • • • »
но множество Mk содержится в Fn> значит, £ есть предельная
точка и для множества так как Fn замкнуто, то £ cz что
требовалось доказать.
Вернемся теперь к понятиям верхней (и нижней) грани, верх-
него (и нижнего) предела множеств. Заметим прежде всего тео-
рему XIV.
Теорема XIV
Если верхняя (нижняя) грань S множестве? Е не содер-
жится в Е9 то Е есть предельная точка для Е.
В самом деле, пусть Е есть, например, верхняя грань множе-
ства Е и пусть (У; х") есть произвольная окрестность точки £
возьмем точ<у у так, чтобы х'<^у<^£; сегмент
[у; Е] содержит хоть одну точку множества Е (на основании
теоремы VIII гл. II), непременно отличную от Е (так как Е по
предположению не входит в Е); так как (*'; х") есть произ-
вольная окрестность точки Е, то отсюда следует, что Е есть пре-
дельная точка множества Е*
88
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
Следствие 1
Всякие непустое ограниченное замкнутое множество со-
держит сзою верхнюю и свою нижнюю грань (т. е. другими
словами, верхняя грань замкнутого множества есть самая правая
точка, а нижняя грань самая левая точка Этого множества).
Теорема XV
Верхняя грань произвольного непустого множества Е вспь
самая правая точка множества £, нижняя грань множе-
ства Е есть самая левая точка множества Е.
В самом деле, верхняя грань множества Е содержится во мно-
жестве £*; она есть самая правая точка множества £, так как вправо
от нет ни одной точки множества Е и, следовательно, нет ни
одной предельной точки множества Е (ведь, если £> то, взяв
х' >Е, видим, что окрестность xf) точки Е не содержит ни
одной точки множества 5, а потому Е не может быть предельной
точкой для множества £); так как Е— Е -^-Е1, то это значит,
что вправо от нет ни одной точки множества Е, т. е< точка
(принадлежащая, как мы видим, к Е) есть самая правая точка
множества Е.
Совершенно так же мы доказали бы, что нижняя грань аЕ
есть самая левая точка' множества Е. Вспоминая определения
верхнего и нижнего пределов множества, получаем следующее
общее замечание.
Верхняя грань и нижняя грань, и ограниченного мно-
жества Е суть соответственно самая правая и самая левая точки
замкнутого множества Е; верхний предел и нижний предел мно-
жества Е суть соответственно самая правая и самая левая точки
замкнутого можества Е*,
Если (соответственно аЕ) есть предельная точка множе-
ства Е (содержащаяся в Е или нет), то содержится в Е1 и
[будучи, очевидно, самой правой (соответственно, самой левой)
точкой множества £'] является верхним (соответственно нижним)
пределом множества Е.
Если (соответственно аБ) не есть предельная точка мно-
жества Et то (соответственно аБ) есть изолированная точка
множества Е — самая правая (соответстенно, самая левая) из всех
точек Е.	z
Примеры на все случаи читатель, найдет среди множеств
2—9 § 1 этой главы.
TQ4j<H КОНДЕНСАЦИИ
89
§ 6.	Точки конденсации
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка S называется точкой конденсации
(несчетного) множества Е, если во всякой окрестности точ-
ки S содержится несчетное множество точек множества Е.
Примеры
1.	Множества Е§ и Еч (§1) имеют своими точками конден-
сации все точки сегмента [0; 1].
2.	Каждая точка числовой прямой. есть точка конденсации
множества иррациональных точек.
3.	Множество Е3 совпадает с множеством своих точек кон-
денсации.
4.	Множество f9 имеет множество Е3 множеством своих точек
конденсации.
5.	Множество Е10 состоит из всех точек множества Е9 и из
точек
1+4, i+|, 1+4,..., 1+^,-
Множество точек конденсации множества £10 есть множе-
ство Е3.
Мы сейчас увидим, что всякое несчетное множество имеет
точки конденсации.
Предварительно, однако, мы докажем некоторые вспомога-
тельные предложения, которыми мы постоянно будем пользоваться
в дальнейшем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем рациональным интервалом вся"
кий интервал (х'\ х?)у концы которого xf и х" суть рацио-
нальные точки.
Теорема XVI
Множество всех рациональных интервалов на числовое
прямой есть счетное множество.
Пусть, в самом деле,
^1» ^2’ • • • »	• • •
— все рациональные точки прямой.
Рассмотрим сначала все те рациональные интервалы, у кото-
рых левый конец есть данная произвольно выбранная рациональ-
ная точка zn.
Так как второй конец есть произвольная рациональная точка,
лежащая вправо от точки zn<t то мы получим всего счетное мно-
90
О ПРЕДеЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
жество рациональных интервалов, имеющих своим левым концом
точку zn, а именно, все интервалы
(г„: zk), (г„; zj, ... , (z„: zkp ), ...,
где	zk э . суть все рациональные точки, лежащие
вправо от zn.
Итак, все рациональные интервалы распадаются на:
1)	Счетное множество рациональных интервалов, имеющих
левым концом точку
2)	Счетное множество рациональных интервалов, имеющих
левым концом точку #2.
3)	Счетное множество рациональных интервалов, имеющих
левым концом точку zr
ri) Счетное множество рациональных интервалов, имеющих
своим левым концом точку zn..
Имеем, таким образом, счетное множество счетных множеств,
т. е. всего счетное множество рациональных интервалов, и пред-
ложение XII доказано. Мы будем предполагать, начиная с настоя-
щего момента, что все рациональные интервалы раз навсегда
занумерованы в счетную последовательность
Ар А2, Д«р

(6)
Теорема XVII
Какова бы ни была точка $ и ее окрестность (лг; х"),
существует рациональный интервал (/; у"), со-
держащий точку £ и лежащий в интервале (х1; х").
В самом деле, достаточно взять рациональные точки У и У
так, чтобы хг	и <х"> интервал (У; у") удо-
влетворяет всем требованиям предложения XVII.
Если называть всякий рациональный интервал (У; У), содер-
жащий точку £, рациональной окрестностью точки £, то можно
формулировать предложение XVII сокращенно так:
Всякая окрестность всякой точки £ содержит хоть одну 1 ра-
циональную окрестность той же точки £.
Докажем теперь следующую теорему.
* Легко видеть, что бесконечно много.
ТОЧКИ КОНДЕНСАЦИИ
91
Теорема XVIII
Всякое неаетное множество Е содержит не более, чем
счеггное множество точек, не являющихся точками конден-
сации множества Е. (Остальные точки Е, которых несчетное
множество, суть, таким образом, точки конденсации.)
Другими словами, всякая точка множества Е за исклю-
ч наем, может быть, счетного множества точек Е, есть
точка конденсации множества Е\ всякое несчетное множество
рмеет, следовательно, не только одну, но даже несчетное мно-
жество точек конденсации, причем имеет даже несчетное мно-
жество точек конденсации, принадлежащих данному множеству.
Доказательство. Пусть $ есть точка несчетного множества F,
не являющаяся точкой конденсации этого множества. Раз точка £
не есть точка конденсации множества 5, то существует окрест-
ность (х'\ х") точки S, (xf	содержащая не более счет-
ного множества точек множества Е. На основании теоремы XIV
можно найти рациональный интервал (/, У), содержащий точку £
и лежащий в инт.рвале (х'; х'), л/<СУ <С S <СУ <С Интер-
вал (У; у') содержит не более счетного множества точек мно-
жества Е. Ит~к, если т чка £ не есть точка конденсации
множества Е, то S принадлежит некоторому рациональному
интервалу, содержащему не более счетного множества то-
чек Е.
Отметим в последовательности (6) все рациональные интер-
валы, содержащие не более счетного множества точек множе-
ства Е.
Пусть это будут
.....А--
Так как каждый интервал Д, содержит не более счетного мно-
жества точек множества Е и так как все эти интервалы обра-
зуют не более, чем счетное множество, то все точки Е, по-
павшие хоть в один из интервалов Д/А> образуют также не более,
чем счетное множество. Мы видели, с другой стороны, что вся-
кая точка множества Е, не являющаяся точкой конденсации, по-
пала в один из рациональных интервалов, содержащих не более
счетного множества точек Е, т. е. в один из интервалов Д.
стало быть, всех таких точек множества Е не более, чем счетное
множество.
Наша теорема доказана вполне.
92	О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
Примечание. Все точки множества Е, не являющиеся точками кон-
денсации этого множества, принадлежат, как мы видим, к интерва-
лам С другой стороны, нетрудно видеть, что никакая точка 5, при-
надлежащая хоть одному из интервалов не есть точка конденсации
множества Е (так как сам этот интервал Д , является окрестностью
точки содержащей не более счетного множества точек Е).
Таким образом точки множества Е, не являющиеся точками
конденсации для Е, суть те и только те точки Е, которые по-
пали в рациональные интервалы, содержащие не более счетного
множества точек Е. Все остальное (несчетное) множество точек Е
состоит из точек конденсации множества £. Кроме того, могут
быть еще точки конденсации множества Е, не принадлежащие
к Е, и они могут образовывать, как мы увидим в следующей
главе, несчетное множество.
Теорема XIX
Множество точек конденсации любою несчетного мно-
жества Е есть совершенное множество. Обозначим через Q
множество всех точек конденсации несчетного множества Е. Для
того чтобы доказать теорему XIX, нам надо показать, 1) что Q
есть замкнутое множество, 2) что Q не содержит никакой изо-
лированной точки.
1) Пусть $ есть произвольная точка, предельная для мно-
жества Q, и пусть (х'; х") есть произвольная окрестность точки
(x'^S^x*); так как £ есть предельная точка для Q, то в
(а/; Xм) можно указать, по крайней мере, одну точку г; множе-
ства Q; так как 7) содержится в (х'; х"), то (хг; х*) есть окрест-
ность точки ?), а так как т) как точка множества Q есть точка
конденсации для Е, то всякая окрестность точки 7), следовательно,
и интервал (хг; х") содержит несчетное множество точек Е. Но
(хг; х*)— произвольная окрестность точки S, следовательно, $
есть точка конденсации множества Е, т. е. Sa Q. Итак, мно-
жество Q содержит всякую свою предельную точку, т. е. Q есть
замкнутое множество.
2) Пусть $ есть точка множества Q, докажем, что $ есть
предельная точка множества Q.
Пусть (х'; х") есть произвольная окрестность точки ;
Возьмем две точки У и У* так, чтобы х1 <У <£, £,<^УСх".
Обозначим через Ео множество всех точек Е, попавших на (х\ хг/).
Множество Ео несчетно (так как £ есть точка кЪнденсации мно-
жества Е), следовательно, на основании теоремы XV имеется не-
ТОЧКИ КОНДЕНСАЦИИ
93
счетное множество точек конденсации множества Ео, принадле-
жащих множеству Ео. Все это несчетное множество лежит на
интервале (хг; л/'). Так как каждая точка конденсации множества^
есть и подавно точка конденсации множества Е, т. е. точка
множества Q, то мы пришли к тому, что произвольная окрестность
(xf; х") точки Е содержит несчетное множество точек Q, т. е.
£ есть предельная точка множества Q. Итак, каждая точка зам-
кнутого множества Q есть предельная . точка для множества Q,
а это и значит, что Q есть совершенное множество.
Пусть Е есть несчетное замкнутое множество; совершенное
множество Q всех точек конденсации Е содержится в Е (каждая
точка конденсации есть и подавно предельная точка); с другой
стороны, множество Е — Q всех остальных точек Е не более
как счетно, так что получается нижеследующая теорема Кантора-
Бендиксона (Cantor-Bendixson):
Теорема XX
Всякое несчетное замкнутое множество Е есть сумма
совершенного множества Q своих точек конденсации и не
более чем счетного множества остальных точек.
Введем, наконец, следующее определение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Замкнутое множество называется связным,
если оно не может быть представлено как сумма двух замкну"
тых множеств без общих точек.
Теорема XXI
Сегмент есть связное множество.
Предположим, в самом деле, что сегмент [а; 3] может быть
представлен как сумма двух замкнутых множеств и F2. Пред-
положим, что точка а принадлежит, например, множеству /у и
обозначим через Е самую левую точку множества F2. Точка Е
заведомо отлична от а и, следовательно, правее ее Полуин-
тервал [а; Е) целиком принадлежит к /у, точка Е как предель-
ная для этого полуинтервала есть предельная точка множества F3;
следовательно, Ес/у/у т. е. множества Ег и F2 имеют по
крайней мере одну общую точку.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Доказать теорему Больцано-Вейерштрасса следующим методом
берем некоторый сегмент [а; #|, содержащий данное бесконечное огра-
ниченное множество Е\ разбиваем этот сегмент пополам точкой
q^^-фД берем один из сегментов [а\ q] и [q; #], такой, чтобы он
94	О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ МНОЖЕСТВ
содержал бесконечно много точек., данного множества, разбиваем его
снова пополам и т. д. Получаем убывающую последовательность сег-
ментов с неограниченно убывающими длинами, причем каждый из этих
сегментов содержит бесконечно много точек данного множества. Точка 5,
поинадлежащая ко всем этим сегментам, есть предельная точка нашего
множества.
2.	Доказать, что ряд с положительными членами расходится, лишь
когда его частные суммы (ал = а{ + а3 + • • • + л«) стремятся к беско-
нечности. Показать на примере, что ряд, среди членов которого имеются
как положительные, так и отрицательные члены, может расходиться,
хотя его частные суммы остаются ограниченными.
3.	Исследовать ряд Эйлера 1 — 1 + 1—. 1 + 1 —1+1—...
.	4. Исследовать сходимость бесконечной геометрической прогрессии
5.	Обосновать теорию действий над иррациональными числами, рас-
сматривая их как данные их разложениями в бесконечную десятичную,
двоичную, троичную,... дробь. Показать, что результат не зависит от вы-
бранной системы счисления.
6.	Обосновать теорию действий над иррациональными числами,
рассматривая их как пределы сходящихся последовательностей рацио-
нальных чисел.
7.	Пусть дано множество £ и не принадлежащая ему точка 5. На-
зовем расстоянием точки $ от множества F нижнюю грань р(5, Е) рас-
стояний от точки $ до каждой из точек множества Е. Доказать, что р(£, Е)
равно нулю тогда и только тогда, когда 5 есть предельная точка мно-
жества В.
8.	Доказать, что если 5 не принадлежит к замкнутому множеству Е9
то существует точка хС Е, такая, что р(5,	=	х), где р(5, х) обо-
значает расстояние от точки Е до точки х.
9.	-Назовем „предельной* точкой (в кавычках) множества Е такую
точку 5, что во всякой рациональной окрестности точки 5 содержится
хоть одна точка множества Е, отличная от точки 5. Доказать, что таким
образом определенные .предельные" точки множеств совпадают с обы-
кновенными предельными точками. Доказать то же самое, принимая за
окрестности точек лишь одни двоично-рациональные окрестности (т. е.
m
интервалы, концы которых имеют вид где т и п— целые чиста).
10.	Доказать существование (хотя бы одной) точки конденсации для
всякого несчетного множества, пользуясь методом, которым в настоящей
главе доказана теорема Больцано-Вейерштрасса, а также методом упраж-
нения 1.
И. Доказать, что если ЛГ + #=К и множества М и /V несчетны,
то множество точек конденсации множества К есть сумма множеств
точек конденсации множеств М и N»
Г льва четвертая
Строение замкнутых множеств
§ 1. Канторово совершенное множество. 1. Мы уже
видели в предыдущей главе примеры замкнутых ограниченных
множеств: 1аковы были множества Е7, Ев, Ев> Е10.
Анализируя эти примеры, мы легко убеждаемся в том, что
они построены комбинированным повторением следующих про-
стых операций:
1)	Построение счетного множества, сходящегося к одной
точке (пример £3).
2)	Построение одного или вообще конечного числа сегмен-
тов (пример Е7).
3)	Построение счетного множества сегментов, сходящихся
к одной точке (в смысле, который сейчас будет указан более
подробно) (пример Ев).
Комбинирование перечисленных операций (например £э) в ко-
нечном. или счетном числе можно разнообразить до бесконеч-
ности.
Указанные способы построения замкнутых множеств на пря-
мой, однако, не единственны. Мы сейчас познакомимся с при-
мером замкнутого (и притом совершенного) множества совсем
другой природы; Это так называемое канторово совершенное
множество.
2. Рассмотрим сегмент [0; 1] = Д. Разделим его на 3 равные
1	2
части точками — и —. Вычтем из сегмента [0; 1] средний ин-
3	3
/ 1	2 \
тервал [—; — 1, который мы обозначим U („первое вычита-
\ о 3 /
ние*). Оставшееся после этого вычитания множество состоит из
Г2	1	х .
и -у; 1 , очевидно, без общих то-
[ о	J
/'11	|2	1
чек. Обозначим сегмент 0; — I через До, сегмент 11
1 з 1	L з 1
двух сегментов:
г 96
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
через Д2, Для удобства письма будем иногда говорить, что
имеем два сегмента Д,, где принимает значение 0 и 2. Эти
сегменты не имеют общих точек.
С каждым из сегментов До и Д2 проделываем то же самое,
что	с основным	сегментом	Д,	т.	е.	делим	каждый	из сегментов До
а	1	2	,	. ч	2	.	1
и Д2 на	три	равные	части	точками	—	и	—	(для	До)	и	—
У	У	о	У
-+-
3'9
(для Д2) и вычитаем средние интервалы:'
тг _( 1 . 2\	/2.1	2 . 2\
U° \ 9 ’ 9} И Ui (з7^9’3"^9/
(„второе вычитание"). Интервалы L7, Uo и U29 очевидно, без
общих точек и без общих концов. Мы получаем в результате
~ 1
четыре сегмента, каждый длины —:
У
а _Гп И а _ГА. И а —Г2 2_1_И
Л00—р 9"J» а02 —[9 » -jj-J- fl20— [3- yr'gj;
А — Г2 I 2. ll
Д82	[ 3 + 9»
Это — сегменты 2-го ранга, или сегменты Д/Л (где каждый из
указателей i2 принимает значения 0 и 2, так что имеем все
комбинации: 00, 02, 20, 22). С каждым из этих сегментов по-
ступаем так же, а именно, вычитаем из него его среднюю треть,
Л	тг ( 1	2\
т. е. вычитаем из Доэ интервал £700 = Ь—; —), из Д02 ин-
\ А/ Atl /
тервал
л — (2 । 1 . 2 । 2 \
02	9 -Г 27' 9 т 27/>
из Д20 интервал
п —/2 _1_ 1 . 2 . 2\
^20—(-3+27- т + 27^
из Д22 интервал
U — / А _|_ А _|_ 1_. А_1_А_1_А^
^22—	+ 9 + 27’ 3 + 9 + 27;
{„третье вычитание"); короче можно сказать так: из каждого Д/(/>
вычитаем среднюю треть — интервал получаем два сегмента:
KAHTOPOBO СОВЕРШЕННОЕ МНОЖЕСТВО	97
Д/i/j0 и	Всего получаем после этого 8 сегментов 3-го ранга
попарно без общих точек:
^000» ^002* ^020: ^022» ^203» ^202* ^220’ ^222»
каждый длины 7^. Это сегменты Д^, где /п z2, i3 принимают
независимо друг от друга значения 0 и 2. Между сегмен-
тами Д/1/1/з лежат интервалы 17, Ц, которые не имеют по-
парно общих точек.
Пусть после (А—1)-го вычитания мы получаем 2*~1 сег-
ментов (А— 1)-го ранга	без общих точек, где
fp t2, ik^ суть всевозможные комбинации из А — 1 цифр,
каждая из которых есть либо 0, либо 2; каждый из сегмен-
тов	имеет длину Вычтем из каждого сегмента
A;t-его среднюю треть, интервал	(А-е вычита-
ние). Получаем вместо каждого сегмента Д/, - z два сегмента
1
Д/</*_<□ и	длины р-. Проделав это с каждым сег-
ментом	получаем вдвое больше, т. е. 2й сегментов
А-го ранга Д^,	причем А цифр zlt /2,	, ik принимают
в произвольных комбинациях значения О и 2. Наш процесс
определен, таким образом, для каждого А= 1, 2, 3, .до беско-
не шости.
Пусть £ есть произвольная точка сегмента [0; 1]; возможны
лишь два случая: либо £ попала в один из интервалов
т. е. в один из вычтенных интервалов, либо £ не попала ни
в какой из этих интервалов. Во вюром случае Е содержится
в множестве
Ро = [О; 1]-{^+(Ц,+Ц)+(У0о + Ц)з+Цо+^«)4----}.
т. е. попросту говоря, в множестве точек, не оказавшихся выч-
тенными ни при каком из наших вычитаний. Вот это-то мно-
жество Ро мы и изучим сейчас подробнее.
3. Посмотрим, какие именно точки мы каждый раз вычитали
из сегмента [0; 1]. Первый раз мы вычли все точки интервала
/ 1	2 \
I-Х-; -5J, т. е., все те точки сегмента [0; 1], которые при раз-
\ о О /
ложении в бесконечную троичную дробь, имеют первым троич-
1 г	[\ 11 Г2 J
ным знаком непременно 1. Сегменты же I 0; -у и —? Ч
L 3 1 I о I
7 Александров в Колмогоров
98
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
состоят из точек, троичныз разложения которых могут быть за-
писаны так, чтобы на первом месте было всегда либо 0, либо 2 Ч
п	/ 1	2\
При втором вычитании мы вычли интервалы I тр -тт) и
\ У У у
(2	12	2 \
-р -Q-; — 4" тг ) • Все точки первого ’интервала принадлежат
О	У и	У /
к интервалу [0; -^-1, поэтому их первый троичный знак есть 0;
\	о /
образом
их второй троичный знак есть необходимо 1. Таким
/ 1	2 \
• интервал I —~ | состоит из точек, первый троичный
\ Уг У J
торых есть 0, а второй 1. Точно так же интервал
знак
ко-
2,
за-
есть
быть
состоит из точек, у которых первый троичный знак
а второй 1. Заметим, что все точки сегмента До могут
писаны в виде троичных дробей с первой цифрой после запя-
той 0, а все точки сегмента Д2 — в виде троичных дробей с пер-
вой цифрой 2, короче говоря, точки сегмента имеют первую
цифру iv Итак, при втором вычитании мы вычли из сегмента
[0; 1] все те точки, у которых первый троичный знак отличен
от 1, но второй троичный знак непременно 1. Замечая, что
точки, у которых первый знак необходимо равен 1, были
вычтены при первом вычитании, мы можем сказать, что после
второго вычитания из сегмента [0; 1] оказались удаленными
все те точки, в троичном разложении которых по крайней
мере один из первых двух троичных знаков необходимо равен 1,
причем точки оставшихся сегментов Д^ имеют первыми двумя
троичными знаками и ir Из точек, уцелевших после первых
двух вычитаний, третье вычитание удаляет интервалы, состоящие
из точек, троичное разложение которых необходимо имеет своим
третьим знаком 1, так что после первых трех вычитаний оказы-
ваются удаленными все те и только те точки сегмента [0; 1],
1 „Могут быть записаны так..." — дело в том, что точка сегмента
о
0; "o'I может быть в троичной системе записана в двух видах:
0,1000... и 0,0222..,; интервал у j состоит из точек, которые не
могут быть записаны так, чтобы на первом месте после запятой был 0
или 2.
KAHTOPOBO СОВЕРШЕННОЕ МНОЖЕСТВО
99
в троичном разложении которых, по крайней мере, один из
первых трех троичных знаков необходимо равен 1.
Продолжая это рассуждение, мы убедимся таким же точна
образом, что после первых п вычитаний удаленными оказы-
ваются все те и только те точки сегмента [0; 1], в троичном
разложении которых хоть одна из первых п цифр необходимо
равна 1, причем троичные разложения точек сегмента
начинаются с цифр 0, iv ..., ik.
Таким образом уцелевшими при всяком из наших вычитаний
окажутся лишь те точки, которые могут быть записаны в бес-
конечную троичную дробь, ни один троичный знак которой не
есть единица; с другой стороны/все такие точки на основании
только что сделанных рассуждений уцелеют, т. е. не будут уда-
лены из сегмента ни при каком из наших вычитаний. Именно
эти точки образуют интересующее нас множество Ро. Итак, мно-
жество PQ есть множество всех точек сегмента [0; 1], ко-
торые могут быть записаны в бесконечную троичную дробь,
состоящую лишь из цифр 0 и 2.
Заметим, что множество [0; 1] — Ро слагается из счет-
ного числа „вычтенных* интервалов, никакие два из которых
не только не имеют общих точек, но даже не имеют общих
концов.
В самом деле, назовем рангом вычтенного интервала номер
того вычитания, при котором он вычтен. Для интервалов первых
рангов непосредственно очевидно, что они не имёют ни общих
точек, ни общих концов [например, интервалы первых двух ран-
L . —V I— ЛУ1
3: 3 7; V 9 ; 9/’ \ 9; 9 / J
гов суть интервалы
Пусть до-
казано, что интервалы рангов равных или меньших k^— 1 попарно
не имеют общих точек и общих концов; докажем то же для
интервалов рангов, не превосходящих k. В самом деле, после
вычитания интервалов рангов, равных или меньших А—-1, мы
имеем конечное число сегментов А-го ранга попарно без общих
точек; каждый интервал А-го ранга есть средняя треть некото-
рого сегмента А-го ранга; так как каждый интервал А-го ранга
лежит, таким образом, внутри некоторого сегмента А-го ранга и
не содержит его концов, то он не может иметь общего конца
и тем более не может пересекаться ни с каким из интервалов
ранга меньшего А (эти интервалы ведь лежат вне сегментов А-го
ранга); так как сегменты А-го ранга не пересекаются между со-
бою, то их средние трети и подавно не пересекаются и не
имеют общих концов, т. е. интервалы ранга А также не имеют
ни общих точек, ни общих концов. Таким образом интервалы
7*
100
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
ранга равного или меньшего k не пересекаются между собою и
не имеют общих концов. Так как (в силу полной индукции)
это предложение верно для всех натуральных k, то никакие два
вычтенные интервала не имеют ни общих точек, ни общих
концов.
Занумеруем, наконец, счетное множество всех вычтенных ин-
тервалов в последовательность
Ц. Ц........Ц,....
/ окажем следующие свойства множества Pq
1.	Ро есть замкнутое множество, В самом деле, всякая не
принадлежащая к множеству Ро точка $ содержится в некотором
вычтенном интервале, который — как интервал, содержащий
точку Е, — есть окрестность этой точки, окрестность, не содержа-
щая ни одной точки множества Ро; отсюда следует, чтоЕ не
может быть предельной точкой для Ро.
2.	Pq не содержит никакой изолированной точки. Заметим
прежде всего, что PQ содержит концы всех интервалов U (именно
потому, что вычитались лишь интервалы, а не сегменты, и что
конец одного из интервалов U никогда не попадал в другой ин-
тервал U, — иначе интервалы пересекались бы).
Пусть Е есть произвольная точка множества Pq и (х'; х")
есть произвольная окрестность точки Е (х7 <Е<х"). Докажем,
что интервал (х7; xff) содержит точки множества Ро, отличные
от точки Е. Предположим противное. Тогда каждый из интерва-
лов (х7; S) и (Е; Л*) свободен от точек множества PQ и состоит,
следовательно, из точек интервалов U. Докажем, чго (х7; Е) со-
держится целиком в одном и том же интервале U\ в самом
деле, если бы точка уг интервала (xr; £) принадлежала к неко-
торому U, пусть к Un, а точда у2 интервала (х'; Е) не принад-
лежала бы к Un, то между точками уг и у2 [значит в (х7; El]
был бы заключен конец интервала Un, т. е. точка множества PQ.
Итак, весь интервал (xf; Е) содержится в интервале 67я; правый
конец Ьп интервала Un удовлетворяет, таким образом, условию:
£„^Е, а левый конец а —услозию ал«Сх7<£. С другой сто-
роны, неравенство #Л>С невозможно, так как тогда и точка Е
содержалась бы в Un, тогда как £ с: PQ и поэтому не содер-
жится ни в каком из интервалов U. Итак, Е есть правый конец
интервала Un, Точно так же убедились бы, что весь интервал
(Е; л?) содержится в некотором интервале Um, левый конец ко-
торого ат совпадает с точкой Е, т. е. с правым концом интер-
вала Un1 чго противоречит доказанному свойству интервалов U
не иметь общих концов.
KAHT0POBO СОВЕРШЕННОЕ МНОЖЕСТВО
101
Полученное противоречие доказывает предложёниё.
Докажем^ наконец, что
3.	Замкнутое множество Ро является разрывным^ т. е. что
оно не содержит в себе никакого интервала. В самом деле,
если бы интервал (хг; х") целиком принадлежал к Ро, то он бы
не мог пересекаться ни с одним из интервалов С/я; возьмем на-
туральное число k столь большим, чтобы	— хг|> и рас-
смотрим сегменты ^Л-го ранга; так как множество Ро
целиком лежит на этих сегментах, то интервал (х1; х"), если он
состоит целиком из точек множества Ро, должен уместиться на
одном из этих сегментов (так как если бы он имел точки на
двух сегментах, то содержал бы заключенные между этими сег-
ментами
ститься
интервалы U)\ однако интервал (хг; х") не может уме-
ни на одном из сегментов Д^ так как длина
из них есть ~, т. е. меньше, чем длина интервала
ок
каждого
(А X*).
Итак, множество Ро есть совершенное разрывное множество.
Заметим, наконец, что если (хг; х") не содержит никакой
точки Ро, то (хг; х") целиком принадлежит к одному из
интервалов Un (в самом деле, если бы точка у1 интервала
(л?; х") принадлежала к Un) а точка у" не принадлежала к этому
самому Un, то между У и у” находился бы один из концов ин-
тервала с7я, т. е. точка множества Ро, лежащая на (хг; х").
При чтении предыдущих рассуждений мало вдумчивому чита-
телю могло показаться, что множество Ро не содержит никаких
точек кроме концов интервалов С7П- Докажем, что это не так 1.
Докажем, белее того, чго всякий интервал (л/; х*), содержащий
хоть одну точку множества Ро, содержит бесконечно много то-
чек этого множества, не являющихся концами вычтенных интер-
валов.
Пусть £ есть точка Ро, принадлежащая к (хг, х*); возьмем
натуральное число k столь большим, что
1 _ . 1 >
и зГ<^ -S.
Точка $, принадлежа к Ро, не принадлежит ни к одному из выч-
тенных интервалов С7Я, в частности ни к одному из Un ранга k\
* Читателю рекомендуется попробовать провести это доказательство
самому и лишь потом проверить свои рассуждения, сравнив их с ни-
жеследующим текстом.
102
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
следовательно, $ принадлежит к одному и только к одному сег-
менту £-го ранга, пусть к Д; так как Д, t f о $ и так
как длина Д^ равна —, т. е. меньше, чем рассгоя ия от
точки $ до каждого конца интервала (х1; х"), содержащего точку Е,
то весь сегмент t {к содержится в интервале (хг; х").
Рассмотрим интервал Umi = U.^	т. е. среднюю треть сег-
мента Д^ и возьмем сегмент Д, (т. е. левый из двух
сегментов, оставшихся после вычитания из Д*. интервала
Рассмотрим интервал £7^==^ z (т. е. среднюю
треть сегмента Д/р^Лл0) и возьмем сегмент	(т. е. пра-
вый из двух сегментов, оставшихся на Д после вычитания
Рассмотрим интервал	(т. е. среднюю
треть сегмента	и возьмем сегмент Д^ /ft020 (т. е. ле-
вый из двух сегментов, оставшихся после вычитания ,Uf
Рассмотрим l/ms = tAiZj...4o2o и возьмем сегмент	(г е.
правый из двух сегментов, оставшихся после вычитания U, . . non).
Продолжая по очереди брать то правый, то левый сегмент, по-
лучим убывающую последовательность сегментов:
\zs...4O2O* \zs... 40202,.'. •
Длина я-го сегмента этой последовательности есть, очевидно,
1 '
3Л+Я“
Пусть Е есть точка, принадлежащая ко всем этим сегментам.
Точка Е принадлежит ю множеству Ро, в чем можно убедиться
двумя способами:	-
1°. Троичное разложение точки Е есть, как нетрудно убе-
диться,
,	0,^2 >..7*02020202...,	*	(2)
т. е. (так как все z2, • • • ** СУТЬ 0 или 2) не содержит
цифры 1.
2°. Какова бы ни была окрестность (z'i z") точки £
(z1	в ней содержится бесконечно много концов
сегментов	Az.1*020202...
В самом деле, достаточно взять п столь большим, чтобы
было меньше, чем Z — Е и Е — тогда все сегменты (1),
КАНТОРОВО СОВЕРШЕННОЕ МНОЖЕСТВО	103
начиная с п го, содержатся в интервале (а/; аг"), следовательно,
содержатся в интервале (Z; z") и концы этих сегментов, како-
вые (будучи концами интервалов Un) являются точками множе-
ства PQ. Таким образом точка $ есть предельная точка множе-
ства PQi следовательно (так как Ро замкнуто), £ есть точка
множества Ро. Нетрудно убедиться в том, что Е есть так назы-
ваемая двухсторонняя предельная точка для множества Ро; это
значит, что, какова бы ни была окрестность (гг; z") точки
£(-?'<£ <2"), в этой окрестности имеется бесконечное число
точек множества Ро и справа и слева о г точки Е. В самом деле,
возьмем опять п столь большим, чтобы было меньше, чем
оба положительных числа г*— S и Е — тогда все сегменты
А/z. .4020202...» начиная с л-го, содержатся в (zf; Z), причем
все левые концы этих сегментов расположены в интервале (zr; Е),
т. е. слева от Е, а все правые концы — в интервале (Е; 2м),
т. е. справа от Е.
‘Отсюда следует, что точка Е, будучи точкой совершенного
множества Р^ не является концом никакого из интервалов
Un. В самом деле, если бы точка Е была левым или правым
концом интервала Un = (an\ bn), то, если Е = #п, интервал (ап\ Е)
не содержал бы никакой точки множества Ро; если же % = ап,
то интервал (Е; Ьп) не содержал бы никакой точки Ро. В обоих
случаях Е не была бы двухсторонней предельной точкой.
В том, что Е не есть конец какого бы то ни было интер-
вала Un> можно было бы убедиться и непосредственно из разло-
жения (2). В самом деле, ведь концы интервалов Un суть числь
р
вида где р, п — натуральные числа.
Такие числа (будучи конечными троичными дробями) при
разложении в бесконечную троичную дробь дают бесконечные
дроби вида
0, 1\г2 .., rft000...
или
0, sxs2 ... ^222...,
тогда как в разложении точки Е нули и двойки все время чере-
дуются. Заметим еще следующее:
Интервал	имеет длину и левый конец, совпада-
ющий с правым концом
104
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
Интервал	имеет длину и правый конец, совпа-
дающий с левым концом
Интервал	имеет длину р1— и левый конец, совпа-
дающий с правым концом ,Д., ,
Интервал Ц1/1фф>4020 имеет длину и правый коней, сов-
падающий с левым концом	и т. д.
Взяв л достаточно большим, чтобы Д. . лежало'в (/: г"),
мы видим, что все интервалы Цт. е. все интервалы
начиная с я-го, попали в (г1; (так как они лежат все
в /fc), причем интервалы
Ч4/,..Л02’ ^4ZS... 7ЛО2О2’ ^/<^.../«020202
и т. д. лежат в интервале ($; 2^), а интервалы
Ц4/,...7*020» Ч4 7,... 7*02020’	7,...7*020202
и т. д. лежат в интервале (z'\ $).
- Мы доказали существование, по крайней мере, одной двухсто-
ронней точки £ в произвольном интервале (У; j?), содержащем
точки Ро. Докажем, что их бесконечно много. В самом деле,
так как 5 есть двухсторонняя точка множества Ро, то в интерва-
лах (хг; £) и (S; х") содержатся точки множества Ро, следова-
тельно, по доказанному, в каждом из интервалов (лг; $) и ($; х!')
можно найти еще, по крайней мере, по одной двухсторонней
точке S/ и	$/<•*")> точно так же можно
найти двухсторонние точки и в интервалах (£/; $) й
(5; $/), (Sir<S2,<CS<CV<^V)» Далее, двухсторонние точ-
ки £3' в интервалах ($/; S) и ($; $/) и т. д.
Подводя итоги всему этому исследованию, можем сказать:
Всякий, произвольно выбранный интервал х") либо не
содержит ни одной точки множества Ро и тогда лежит це*
ликом в одном из интервалов Un, либо содержит хоть одну
точку множества Ро и тогда обладает следующими двумя
свойствами:
1) (*'; X) содержит бесконечно много интервалов Un;
2) (х'; хп) содержит бесконечно много „двухсторонних*
точек совершенного множества Ро, т. е. таких точек ко*
торые не являются концами никакого из интервалов Un.
КАНТОРОВО СОВЕРШЕННОЕ МНОЖЕСТВО
105
Отсюда следует, что всякая окрестность любой точки со*
вершенного множества PQ содержит бесконечно много интер-
валов Un и бесконечное число точек Ро (в том! числе беско-
нечное число двухсторонних точек), В частности в любой окре-
стности (z*\ z") двухсторонней течки Е множества Pq№<Z
имеется бесконечное число интервалов Un, располо-
женных слева от £, т, е, в. интервале Е), бесконечное
число интервалов Uni расположенных справа от Е, т, е. в
• интервале (Е; £*)> и бесконечное число (даже двухсторонних}
точек PQi расположенных в (г'; Е) и в (£; z№).
Так как всех интервалов Un — счетное множество, и у
каждого интервала есть лишь два конца, то множество всех
жконцевых“ 1 точек множества Ро счетно.
Докажем, что, напротив того, множество всех двухсто-
ронних точек есть множество мощности континуума.
Обозначим это множество через Q и рассмотрим на интер-
вале (0; 1) множество I всех так называемых двоичноирра-
циональных точек (т. е. всех точек, которые не могут быть
р
представлены в виде , где р и п суть положительные целые
числа). Множество I есть, очевидно, множество мощности кон-
тинуума (так как отличается от множества всех точек интервала
(0; 1) лишь на счетное множество точек вида ^). Докажем*
что множества Q и I эквивалентны. Заметим прежде всего, что
точки вида содержащиеся во множестве Ро, суть концы ин-
тервалов U и потому не содержатся в Q. Еспи Е есть произ-
вольная точка множества Q, то, не будучи точкой вида
точка Е имеет троичное разложение вида:
5 — 0, i\i2 ... ik . ♦.
(3)
(каждое есть либо 0, либо 2), обладающее тем свойством, что
нет никакого номера л, начиная с которого все in суть сплошь
нули, и нет такого номера л, начиная с которого все in суть
* To-есть точек, каждая из которых является концом некоторого выч-
тенного интервала Un,
103	СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
сплошь двойки (ибо если бы такое п существовало, то точка Е
была бы точкой вида ).
Поставим в соответствие троичной дроби (3) бесконечную
двоичную дробь
4 = 0.A/2 •••/«•••
по такому закону:
если /я = 0, полагаем уд = /я = 0;
если i„ = 2, полагаем /я= 1.
Данное таким образом двоичное разложение числа 1) обла-
дает тем свойством, что нет такого номера zz, начиная с кото-
рого все jn были бы нули, и нет такого номера я, начиная с
которого все jn были бы единицами, так как, если бы, начиная
с некоторого я, все jn обратились в нули, то соответствующие in
были бы тоже нулями (чего, как мы видели, нет); если же все Jni
начиная с некоторого п, оказались бы единицами, то это озна-
чало бы, что соответствующие 1п были двойками, чего также не
было.
Раз двоичное разложение 0,/j/2	обладает только что
установленным свойством, то определяемое им число 1) не есть
р
число вида — и, следовательно, принадлежит к множеству I.
&
Таким образом мы имеем закон, позволяющий каждой точке
Е с Q поставить в, соответствие одну определенную точку т; с /.
При этом двум различным точкам Ег и %* множества Q постав-
лены в соответствие различные точки и rf множества 7, так
как, если Е' и Е* различны, то хоть один троичный знак Ц
в разложении Е' отличается от соответствующего знака в раз-
ложении Е", так что, например, = 0, a Z/ = 2; но тогда в раз-
ложениях if и будет /я'=0, а //=1, следовательно, двоич-
ные разложения точек и г/':
чг=о,л7Л-./;...,
<=о,...
различны. Но так как цифры этих двоичных разложений не об-
ращаются, начиная с какого бы то ни было п, ни сплошь в нули,
ни сплошь в единицы, то и чиста т/ и rf, соответствующие этим
разложениям, различны (так как два различных двоичных разложе-
ния могут соответствовать одному и тому же числу, лишь если
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
107
все знаки одного разложения, начиная с некоторого, суть нули,
а все знаки другого, начиная с соответствующего знака, суть
единицы).
Установленное нами правило отнесения к каждой точке
$ с: Q некоторой точки ij с I обладает тем свойством, что. и
обратно, каждая точка ц с: /
Ч = 0,/1/2
(в двоичном разложении) оказывается этим способом поставлен-
ной в соответствие одной точке $ множества Q (что не более,
чем одной, мы только что доказали). В самом деле, точка
ц = 0, /j/2 ... jn ... оказывается поставленной в соответствие
точке £, троичное разложение которой есть
£ = 0, ZjZg . •. in ...,
где in=jn если /я = 0, и in — 2, если /я=1. Точка $ есть
точка множества Ро, так как ее троичное разложение состоит
лишь из нулей и двоек; она не есть концевая точка, так как
0,yit/2 ... in ... не есть периодическая двоичная дробь ни с
периодом 0, ни с периодом 1, поэтому 0, ZjZ2 ... ia .. не есть
троичная периодическая дробь ни с периодом 0, ни с периодом 2,
>	Р
значит, Е = 0,	. 1п ... не есть точка вида — и не мо-
жет быть концевой точкой; а это и значит, что G есть точка
множества Q.
Мы видим, таким образом, что между множествами Q и 1
установлено взаимно однозначное соответсгвие, доказывающее
наше предложение. Из доказанного следует (так как множество
Ро есть сумма множества Q мощности континуума и счетного
множества концевых точек), что множество Ро имеет мощность
континуума.
Мы так подробно остановились на исследовании канторова
совершенного множества Ро потому, что оно является типичным
примером всех вообще совершенных разрывных множеств.
Мы вскоре исследуем строение произвольного совершенного
разрывного множества Р. Мы увидим, что оно очень похоже и
даже с некоторой точки зрения тождественно со строением мно-
жества Ро. Но сначала мы займемся замкнутыми множествами
вообще.
£ 2. Произвольные замкнутые множества. Пусть нам
дано замкнутое ограниченное множество F. Пусть а и £ суть
нижняя и верхняя грани множества F. Рассмотрим так назы-
ваемое дополнительное множество к множеству F, т. е. мно-
108
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
жество всех точек числовой прямой, не принадлежащих к F
(короче говоря, множество Z—F, где Z есть множество всех
действительных чисел). Множество Z — F содержит прежде всего
два так называемых „бесконечных интервала** а именно, бес-
конечный интервал, состоящий из всех точек, расположенных
влево от а [„интервал (—оо; а)“], и бесконечный интервал,
состоящий из всех точек, расположенных вправо от £ [„интервал
(?; 4-оо)“]. Точки а и р как грани замкнутого множества
принадлежат этому множеству.
Возможны два случая:
•1. Замкнутое множество F содержит все точки интервала
(а; Р), и тогда, содержа точки а и р и не содержа никакой
точки, лежащей влево от а или вправо от р, очевидно, совпа-
дает с сегментом [а; р]; в этом случае Z — F есть совокупность
двух бесконечных интервалов (—оо; а) и (р; 4"°°)-
2.	В интервале (а; р) содержится хоть одна точка не при-
надлежащая к F.
Исследуем этот случай. Нетрудно убедиться, что вместе с
точкой £ в интервале (а; р) имеется бесконечное число точек, не
принадлежащих к F, и среди них бесконечное число рациональ-
ных точек. В самом деле, пусть S есть точка интервала (а; Р),
не принадлежащая kF. Так как F есть замкнутое множество, тэ
5 не есть предельная точка для F, следовательно, существует
окрестность (xr; х") точки $ (хг <С^<х"), свободная от точек
множества F\ интервал (х'; х”) содержит бесконечнее число
рациональных точек, которые, таким образом, все оказываются
не принадлежащими kF.
Так как все рациональные точки интервала (а; Р) образуют
счетное множество, то в частности все рациональные точки ин-
тервала (а; Р), не принадлежащие к F, образуют также счетное
множество и могут быть занумерованы в последовательность:
- Рр р2> Рз>	(4)
Рассмотрим произвольную точку ря этой последовательности.
Так как рЛ не принадлежит к F и, следовательно, не есть пре<
дельная точка множества F, то существует интервал (х'; х"),
(х1 <рЛ<х"), свободный от точек множества F. Рассмотрим
теперь все точки у\ обладающие следующими свойствами:
ПУ<р„, ,
2) сегмент [у; ря] не содержит ни одной точки множества F.
Обозначим через Ап множество всех таких точек у. Множе-
ство Ап не пусто (так как содержит, как легко проверить, на-
пример, весь интервал (хг; ря).
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
109
Множество Ап ограничено снизу (так как, например, никакая
точка, лежащая влево от точки а, не принадлежит к множе-
ству Обозначим через ап нижнюю грань множества Ля;
ая<ря. Интервал (ая; ря) целиком принадлежит к множе-
ству Ап и потому йе содержит ни одной точки множества F
В самом деле, пусть z есть точка этого интервала. Так как
ая = 1пЫя, то сегмент [ая; z] содержит хоть одну точку т) мно-
жества Ля, значит, по определению множества Ля, весь
сегмент [q; ря] и подавно весь сегмент [z; ря] свободен от
точек множества F. Итак, г<ря, [г; ря] не содержит никакой
точки множества F, следовательно z, по определению множества
А„, есть точка множества А„.
Отсюда следует, что ап есть точка множества г. В самом
деле, в противном случае можно было бы найти окрестность (z\ z№)
точки ая,	свободную от точек множества F. Взяв
точку С между z' и ап, видим, что
1) С<Р„,	2) [С; ря] = К; Z) + (**; р„]
и так как оба слагаемые в правой части не содержат ни одной
точки F, то и [С; ря| не содержит никакой точки F: итак, £с:Ля,
чтб — в силу неравенства ая>£— противоречит тому, что ап
есть нижняя грань множества Ап,
Итак, ая а F, тогда как (ая; ря) не содержит никакой точки
множества F.
Обозначим через Ва множество точек у\ обладающих свой-
ствами:
2) сегмент ,[ря; у] не содержит никакой точки множества F.
Множество Вп не пусто [содержит, например, весь интервал
(ря; х*)1 и ограничено сверху (так как ни одна точка, лежащая
правее, чем 0, не может принадлежать к Вя).
Обозначим через Ря, Ря>ря верхнюю грань множества Вп^
Рассуждением, совершенно аналогичным тому, которое мы про-
вели для множества Ля, убеждаемся в том,, что (ря; ря)аВя
[и, следовательно, (ря; 0Я) - не содержит никакой точки мно-
жества F], тогда как Ряс:Л
Рассмотрим теперь интервал (ая; ря). Его концы ап и Ря
принадлежат к F, он содержит точку ря и не содержит никакой
точки F [так как (ая; Вя) состоит из всех точек (зя: ря), точки
ря и всех точек (ря; ря) и ни одна из перечисленных точек не
принадлежит kF].’.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интервал, несодержащий никакой точки
замкнутого множесгва F, но имеющий концы, принадлежащие
к F, называется смежным интервалом к множеству F.
по
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
Мы доказали, что всякая точка рй последовательности (4)
принадлежит к интервалу (ал; рл), смежному к множеству F. *
Итак, имеется последовательность интервалов:	|
(av ?1)> (а2» (U • • •	• • • >	<5)
смежных к множеству Д лежащих на сегменте [а; Й и содер-	|
жащих все точки рл, т. е. все рациональные точки сегмента	]
[а; не принадлежащие к множеству F.
Докажем, что всякая точка х, лежащая на сегменте [а; ЭД и
не принадлежащая к множеству Д принадлежит, по крайней
мере, к одному из интервалов (ап; рл); в самом деле, так как х
не принадлежит к замкнутому множеству Д то существует неко-
торая окрестность (х'; х") точки х, (а<х'<х<х''<Й>
бодная от точек множества Д возьмем произвольную рацио-
нальную точку, лежащую в интервале (V; х"); так как эта
рациональная точка, принадлежа к сегменту [а; не принадле-
жит к множеству Д то она есть одна из точек последователь- _
ности (4), пусть точка рл. Рассмотрим интервал (ал; ^л); так как
имеем; с одной стороны,
< Рл <
с другой стороны,
*'<ря<^
то
<С Рп
И
* > Рп >
т. е. х' лежит влево от [5Л, а х лежит вправо от ал. Но xf,
находясь влево от ^л, не может находиться влево от ал[так как
тогда точка ал, принадлежащая к Д находилась бы в интервале
(хг; х"), по предположению свободном от точек множества Д.
Точно так же х", находясь вправо от ал, не может быть пра-
вее, чем £л-
Итак, имеем
ал<хг<х<х"<^,
т. е. интервал (xr; х"), а значит, и точка х принадлежат к
?«)•
Мы взяли произвольную рациональную точку рл, принадле-
жащую к интервалу (х; х"), и доказали, что хс(ая,
Но точек рл в интервале (хг; х") бесконечно много, значит,
точка х принадлежит к бесконечному числу интервалов (ал; £л).
Мы сейчас увидим, однако, что на самом деле точка х при-
надлежит лишь к одному интервалу, смежному к множеству F.
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА	111
ДеЗю в том, что, как мы сейчас докажем, все интервалы (ая:
к которым принадлежит одна и та же точка аг, совпадают между
собою, так что один и тот же интервал несколько (и даже бес-
конечно много) раз встречается в последовательности (5), полу-
чая различные номера в этой последовательности.
Итак, докажем, что если два интервала (az; и (afe;
смежных к множеству F, имеют хоть одну общую точку х9 то
они совпадают. В самом деле, пусть точка х принадлежит к
(az; ₽z) и (ak; т. е.
at<Zx, >х,
<h<x> h>x-
Докажем, что ai—ak. Предположим противное, и пусть,
например,	Тогда	т. е. точка а*
Черт. 6.
множества F лежала бы в интервале (az; fz), свободном от точек
множества F, что невозможно.
Докажем, что	в самом деле, предположим противное,
и пусть, например,	Тогда	т* е- точка
р, множества F лежала бы в свободном от точек F интервале
?*)•
Проще говоря, если бы два интервала (а*; РД и (ал; РД име-
ли общую точку х и не совпадали между собою, то конец
одной из них лежал бы внутри другого (черт. 6), что в нашем
случае невозможно, так как концы интервалов (az; рД и (аА;
принадлежат к F, тогда как сами интервалы свободны от точек F
Итак, всякие два интервала (а/. РД и (aft; Pft) либо совпадают,
либо не имеют ни одной общей точки.
Занумеруем же их заново так, чтобы в новой последователь-
ности каждый интервал был бы занумерован лишь один раз*
Сделаем это так. Возьмем ^ = (2^, рД; через У2 обозначим
первый интервал последовательности (5), отличный от.интер-
вала Vu через V3 — первый интервал, отличный от и V2>
и т. д.
Таким образом получим конечную или счетную последова-
тельность всех смежных интервалов к множеству F:
Vv v2,v3	(6)
112
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
При этом никакие два интервала Vt и Vk не имеют общих
точек.
Каждая точка сегмента [а; р], не принадлежащая к множе- •
ству F, попала в один и только один интервал Vnf и обратно,
ни один из интервалов Vn не содержит точек F. Мы можем,
таким образом, формулировать теорему.
Теорема /
Всякое ограниченное замкнутое множество F с нижней
гранью а и верхней гранью 0 либо совпадает с сегментом
[а; Р], либо получается вычитанием из этого сегмента ко-
нечного или счетного числа попарно непересекающихся интер-
валов, смежных к множеству F.
Легко доказать обратную теорему.
Теорема //
Вычитая из сегмента [а; р] конечное или счетное число
попарно непересекающихся интервалов, получим замкнутое
множество F, имеющее точки а, Р своими нижней и верхней
гранями, а вычтенные из [а; р] интервалы — своими смеж-
ны ни интервалами.
В самом деле, обозначим через F множество точек, остав-
шихся на сегменте [а; Р] после вычитания некоторых интервалов, ’
к,'v2, К,,.. Vn...
(в конечном или счетном числе), попарно непересекающихся.
Заметим прежде всего, что по данному в гл. I определению
вычитания, все интервалы V2. ... Vn ... принадлежат к сег-
менту [а; р]. Отсюда следует, что ни одна из точек q. и р не
попала ни в один из интервалов Гл; обе точки аир при-
надлежат, таким образом, к F и являются, очевидно, нижней
и верхней гранями множества F (будучи соответственно самой
левой и самой правой точками среди всех точек множества F).
Множество F замкнуто. В самом деле, если точка $ не при-
надлежит к F, то Е либо лежит вне сегмента [а; р] и тогда,
конечно, не может быть предельной ни для какого множества,
помещающегося на этом сегменте1; либо £ принадлежит к од-
ному из интервалов Vn, который сам уже является в этом слу-
1 Если 5 лежит, например, вправо от ₽, то достаточно взять окрест-
ность (р; х) точки 5, где х— произвольная точка справа от Е; окрест-
ность (Р; х) не содержит ни одной точки сегмента [а; р].
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ЗАМКНУТЕЕ МНОЖЕСТВА
113
|	чае окрестностью. точки Е, свободной от	точек множества Л
d	Итак, никакая точка Е> не принадлежащая	к F, не может быть
I	предельной для F, а это и значит, что F	есть замкнутое мно-
жество.
|	Остается показать, что интервалы Vn — смежны к множе-
ству F, т. е. что Vn не содержит ни одной точки множества F'
тогда как оба конца интервала Vn принадлежат к F. Первое
очевидно (ведь, множество F и получилось вычитанием интер-
валов Vn из сегмента [а; ^]). Чтобы убедиться во втором, рас-
смотрим какой-нибудь, конец интервала Vnf например, левый
конец
Если бы точка ап не принадлежала к F, то она принадле-
жала бы к одному из выкинутых интервалов. К Vn она не при-
й надлежит по самому определению понятия „интервал". Если бы ап
% принадлежала к Vm=(aCT; b„), то, значит, ат<ая<Ьт, и
все точки, достаточно близкие к ап и расположенные справа от
6ц 6л
Черт. 7.
ani принадлежали бы к юбоим интервалам Vn и Vm вопреки
условию, что никакие два интервала Vni Vm не пересекаются
между собой. Теорема II доказана вполне.
Заметим, что из условия, что никакие два интервала Vn,
Vm не пересекаются, не следует, что они не имеют общих кон-
цов (так как концы не принадлежат к интервалам). Посмотрим,'
чтб будет, если Vn — (a^ и Vm — (am\ Ьт) имеют общий
конец (этот конец должен быть левым концом одного интервала
и правым концом другого, так как, если бы оба интервала имели,
например, общий левый конец ап = ат. то обе точки Ъп и Ьт
лежали бы справа от ап и один интервал содержался бы
в другом (черт. 7). Итак, пусть, например, левый конец ат
интервала Vm совпадает с правым концом Ьп интервала Vn
(черт. 8); тогда точка Е = ат = 6я есть точка множества, F,
а интервал (ап\ Ьт) [составленный из интервала (ая; точки
ат = Ъп и интервала (ат; есть окрестность точки £, не содер-
жащая никакой, отличной от Е, точки множества F. Другими сло-
вами, точка Е есть изолированная точка множества F. Дока-
жем, что, обратно, всякая изолированная точка замкнутого мно-
жества F есть общий конец двух смежных к множеству F
интервалов. В самом деле, пусть Е есть изолированная точка
8 Александров и Кэздогоров
114
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
множества F и пусть (У; У), х’ < £ < х* есть окрестность
точки Е, не содержащая никакой, отличной от точки 5, точки
множества Л Все точки интервала (xr; S) принадлежат к одному
и тому же интервалу Уя, смежному к F и имеющему, следова-
тельно, точку $ своим правым концом1. Точно так же дока-
зали бы, что интервал (5; х") целиком принадлежит некоторому
смежному интервалу Vm, имеющему точку Е левым концом.
Итак, имеем предложение:
Теорема III
Всякая изолированная точка замкнутого множества F
есть общий конец двух смежных к множеству F интервалов;
обратно, всякая точка, являющаяся общим концом двух смеж-
Черт. 8.
ных к множеству F интервалов, есть изолированная точка
множества F,
Из предыдущего следует:
Теорема IV
' Всякое дграниченное совершенное множество Р с нижней
гранью а и верхней гранью р либо совпадает с сегментом
[a; либо получается вычитанием из этого сегмента ко-
нечного или счетного множества интервалов, не имеющих ни
общих точек, ни общих концов; эти интервалы являются
смежными интервалами к совершенному множеству Р.
И обратно:
*. Вычитая из сегмента [а; конечное или счетное число
интервалов, не имеющих попарно ни общих точек, ни общих
концов, получим совершенное множество Р, имеющее точки
а и $ соответственно своей нижней и верхней гранями, а
вычтенные из [а; £] интервалы — своими смежными интер-
валами.
* Если бы точка У интервала (х'\ £) принадлежала к Vp, а У к дру-
гому смежному интервалу то между у и У лежал бы конец ин-
тервала Vp, т. е. точка множества F.
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
115
Итак, если F—ограниченное замкнутое множество, то не
принадлежащие к F точки числовой прямой образуют, как мы
видели, множество, состоящее из двух бесконечных интервалов
(— оо; а), (р; оо) и из смежных интервалов Vn.
Бесконечные интервалы (— оо; а), и (^;	°0) мы также на-
зываем смежными (так как они свободны от точек F, тогда
как единственный конец каждого из них принадлежит к мно-
жеству- F).
Если бы множество F не было ограниченным ни сверху, ни
снизу, то все предыдущие рассуждения оказались бы справедли-
выми слово в слово, только со следующими изменениями:
1) Бесконечных интервалов (—оо; а) и (£; -J-оо) вовсе не
существовало бы (так каю не существовало бы точек а и f —
нижней и верхней грани множества).
2) За точки рл нужно было бы взять все рациональные точки,
не принадлежащие к F.
Мы получили бы в результате:
Теоремы Г и IT
Всякое неограниченное (ни сверху, ни снизу) замкнутое
множество F либо совпадает со всей числовой прямой, либо
получается вычитанием из нее конечного или счетного числа
интервалов, попарно без общих точек, являющихся смежными
к множеству F. Обратно, вычитая из числовой прямой ко-
нечное или счетное число (конечных) интервалов, попарно без
общих точек, получаем замкнутее (неограниченное) множе-
ство, имеющее вычтенные интервалы своими смежными ин-
тервалами.
Теорема III остается, очевидно, в силе и для неограниченных
множеств.
Для совершенных неограниченных в обе стороны множеств
получаем теорему, отличающуюся от I1 и II1 лишь тем, что смеж-
ные интервалы не имеют не только общих точек, но и общих
концов.
Наконец, если замкнутое множество ограничено лишь с одной
стороны, то получаем один бесконечный интервал, свободный от
точек множества1 и конечное или счетное число обычных смеж-
ных интервалов (не имеющих в случае совершенных множеств
1 (— оо; а) или (f; + оо) в зависимости от того, существует ли ниж-
няя грань а или верхняя грань Соответственно и при доказательстве
придется брать за точки ря не все рациональные числа, а рациональные
числа, большие а или меньшие 0.
8*
11,6	СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
не только общих точек, но и общих концов, как между собой,
так и с бесконечным интервалом).
§ 3.	Области и внутренние точки,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть дано на числовой прямой какое-
нибудь множество Е\ множество точек числовой прямой, не при-
надлежащих к множеству Е, называется дополнительным множе-
ством к Е и обозначается Z— Е (где Z — множество всех точек
числовдй прямой).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество, дополнительное к некоторому '
замкнутому множеству, называется линейной областью.
Мы называем в дальнейшем' линейные области просто
областями, так как никаких других областей мы рассматривать
не будем.
После этих определений мы можем следующим образом сфор-
мулировать предыдущие результаты.
Всякая область О есть сумма конечного или счетного числа
попарно непересекающихся интервалов, среди которых имеются
два, один, или ни одного „бесконечных интервала" [(—оо; а)
или (£; 4“ °0)]- ®се эти интервалы суть интервалы, смежные к
замкнутому множеству Z — О. Обратно, всякое множество, явля-
ющееся суммой конечного или бесконечного числа попарно не-
пересекающихся интервалов, есть область (так как дополнитель-
ное множество замкнуто) *.
Примеры. 1. F есть сегмент [0; 1]. Дополнительное к Fмно-
жество есть область, состоящая из двух бесконечных интерва-
лов (—оо; 0) и (1;-|-оо).
2.	F есть множество, состоящее из двух сегментов [0; 1] и
[2;3]; Z — F есть область, состоящая из интервалов (—оо ; 0),
(1; 2) и (3, + оо).
3.	F состоит из всех целых чисел1 2. Смежные kF интервалы
суть все интервалы вида (л; п -р 1)> где' п есть 0 или любое
целое положительное или отрицательное число. Эти смежные
интервалы и образуют область Z—F. Каждая т^чка F есть об-
щий конец двух интервалов (п— 1;л) и (п; п —1), - что соот-
ветствует тому, что F3 состоит из изолированных точек.
4.	F есть множество Е3 (гл. Ill); Z — F состоит из смежных
_	/1	1	\	(п—: 1	п \
к F интервалов вида —; ——г и вида ---------------; —— ,
\ п п -|-1 /	\ п л-|- 1 / ’
где п = 2, 3, 4 ... , и из интервалов (— оо; 0) и (1; + оо).
1 Можно было бы легко доазтгь (и в гл. VI § I будет доказано),
чго сумма любого множества — хотя бы пересекающихся интервалов —
есть область (и, следовательно, может быть представлена как сумма не
более чем счетного множества интервалов, попарно вепересекающихся).
2 Множество гл. 1IL
ОБЛАСТИ И ВНУТРЕННИЕ ТОЧ^И
117
5.	F есть множество Z?8; Z — Р состоит из смежных к F
интервалов:	z
М, /Д. 4\	/5 л 6\	/2л + 2. 2« + 3\
\2 ’ 3 /’ \4 ’ 5/’ \ 6 5 7 /’”е,\2«4-3; 2п -f~ 4/
и из интервалов (—оо; 0) и (1; Ц-оо).
6.	F есть множество £g; Z — F состоит из смежных интер-
валов предыдущего примера и из интервалов вида:
/ 1 1 \
\ п ’ п 4- 1 / ’
где л=»1, 2, 3,..., и из интервалов (—оо ; 2), (1;
7.	F есть канторово совершенное'множество, Z — F состоит
из конечных смежных интервалов U и из бесконечных интервале з
(—оо; 0) и (1; 4-оо).
В тесной связи с понятием области стоит понятие вну-
тренней точки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Пусть имеем на числовой прямой произ-
вольное множество М. Точка $ с: М называется внутренней точ-
кой множества Ж, если существует окрестность (х'; х") точки $,
(х1 < $ < х"), целиком принадлежащая к Ж.
Докажем следующее предложение.
Теорема V
Множество внутренних точек любого множества М есть
область2.
В самом деле, обозначим через I множество внутренних то-
чек множества М, Докажем, что Z—I есть замкнутое множе-
ство. Пусть, в самом деле, $ есть точка множества L Так как S
есть внутренняя точка множества Ж, то существует окрестность
(xf; х") точки $ (xr<E<x")> целиком принадлежащая к М.
Весь интервал (х\ х”) принадлежит к множеству I (так как ка-
ждая точка этого интервала, имея окрестность — самый этот ин-
тервал (х1; х"),— принадлежащую к Ж, есть внутренняя точка
множества Ж)А Итак, (х'; х") есть окрестность точки Е, содержа-
щаяся в I и, следовательно, не содержащая ни одной точки
множества Z —1\ точка $ не может поэтому быть предельной
точкой множества Z—/. Так как Е была выбрана произвольно
среди точек множества /, то никакая предельная точка множе-
ства Z — /не принадлежит к /, следовательно, Z — I содержит
1 Пустое множество, т. е. множество Z—Z, следует также считать
за область — как множество, дополнительное к замкнутому множеству Z.
118
СТРОЕНИе ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
все свои предельные точки, т. е. есть замкнутое множество,
а это означает, что 1 есть область/
Из теоремы V следует, что множество* состоящее из од-
них внутренних точек* есть область. С другой стороны, если G
есть любая область, то каждая ее точка есть внутренняя точка.
В самом деле, если S есть любая точка области G* то $ не есть
предельная точка для замкнутого множества Z— G; а это зна-
чит, что существует окрестность точки £, не содержащая ни
одной точки Z — G и, следовательно, лежащая в G. Мы полу-
чаем, таким образом, новое определение области:
Область есть множетзо* сс стоящее из одних только
внутренних точек.
Заметим, что всюду разрывное замкнутое множество — это
как раз такое множество, которое не содержит ни одной внут-
ренней точки.
Рассмотрим теперь любое замкнутое множество F, и пусть G
есть множество всех его внутренних точек. G есть, как мы только
что видели, область, т. е. (в предположении, что 0^=0) сумма
конечного или счетного множества интервалов без общих точек:
<? = S(c/. dt).
Замкнутое множество F—G1 мы обозначим через Ф. Множество
Ф не содержит, очевидно, никакой внутренней точки, оно, стало
быть, есть разрывное замкнутое множество.
Имеем, таким образом, следующее предложение:
Теорема VT
Всякое замкнутое множество Р или само разрывно^ или
есть сумма разрывного замкнутого множества Ф и линейно!
области О, не имеющей общих точек с Ф.
Эту теорему можно уточнить. Ф состоит из точек F* не при-
надлежащих к О, а это значит, что G — F—Ф.
Рассмотрим интервалы (с^ d^* на которые распадается об-
ласть G — F—Ф. Концы этих интервалов, являясь предельными
точками для G (следовательно, для F), содержатся в F. С другой
стороны, эти концы, являясь концами интервалов, смежных к за-
мкнутому множеству Z—G* принадлежат к Z — G* т. е. не
принадлежат к G. Итак, концы тех интервалов, на которые рас-
падается область О, принадлежат к F* не принадлежа к G, т. е.
* Каждая предельная точка F—G принадлежит F (ибо F есть зам-
кнутое множество); очевидно, она не может принадлежать G, следова-
тельно, необходимо должна принадлежать F— G, а это и означает, что
множество F—G замкнуто.
КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО
119
принадлежат к Ф; сами же интервалы, содержась в G, свободны
от точек множества Ф. Отсюда следует, что интервалы, обра-
зующие область G, суть не что инее, как некоторые из смеж-
ных интервалов к множеству Ф, так что все множество F по-
лучается из множества Ф присоединением к нему части смежных
к множеству Ф интервалов (так сказать, „заполнением" неко-
торых из интервалов, смежных к множеству Ф). Мы можем,
следовательно, формулировать такой общий результат.
Теорема VII
Всякое замкнутое множество F может быть получено из
некоторого замкнутого разрывного множества Ф присоедине-
нием к нему некоторых из его смежных интервалов.
Нетрудно убедиться в том, что и обратное предложение спра-
ведливо: присоединяя к любому замкнутому множеству Ф неко-
торые из его смежных интервалов, мы получим вновь замкнутое
множество F (смежными интервалами к которому будут остав-
шиеся „незаполненными" смежные интервалы к Ф).
§ 4. Канторово множество как прототип всех со-
вершенных разрывных множеств. Пусть теперь Р есть огра-
ниченное совершенное разрывное множество, с нижней гранью а
и верхней гранью 0.
Множество всех интервалов, смежных к Р, бесконечно. В са-
мом деле, если бы мы имели лишь конечное число смежных ин-
тервалов к Р, то и Р состояло бы из конечного числа сегмен-
тов IFj, IF2, .,. , WNi которые остались бы после вычитания из
[а; [5] конечного числа интервалов без общих точек и общих
концов (черт. 9), и не было бы разрывно. Итак, пусть
(6)
суть все интервалы, смежные к множеству Р.
Пусть, с другой стороны,
Ult U2,	(7)
суть все интервалы, смежные к канторову совершенному мно-
жеству Ро. Интервалы последовательности (7) распределяются
как мы выдели, на интервалы различных рангов, а именно, на
и
Ц)0	4)2	4о	4?2
4)00	4)02 14)20	4)22	4й00 4&20 4г0	4^22
> (8)
причем мы имеем 2я интервалов ранга я (я = 0, 1, 2, 3,...).
120	СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
Отметим следующее правило для определения того, какой из
двух интервалов,. £7/^...^,	лежит влево от другого
на числовой прямой.
1) Пусть сначала число указателей у каждого из двух ин-
тервалов одинаково: k = /. Обозначим через is первый из указа-
телей i2 ... 1к9 отличный от соответствующего указателя hs.
Нетрудно убедиться в том, что £7^, ...Xkt лежит влево от £7A1Ag...Afc
тогда и только тогда, когда ^ = 0, а А^ = 2. Действительно,
интервалы любого А-го ранга расположены, очевидно, на прямой
слева направо в том порядке, в каком они записаны в А-й
строчке1 схемы (8).
2) Пусть количества указателей у интервалов £7^,..^,
£7A1A,...Af различны, и пусть, например, k<£J. Рассмотрим пер-
вые 'А указателей А1А2 ... Afc. Если они совпадают соответственно
с 1г i2... ik, то £7/^...**...^ лежит влево или вправо от
£7^.,.^ в зависимости от того, является ли (А1)-й указатель
Aft+1 нулем или двойкой2.
t-----тжж/я ——«йвта------им
а
Черт. S.

Если указатели hr h2... Afe не совпадают соответственно
с 4 • • • то пусть hs есть первый среди А, А, .. • Afe, от-
личный от (с тем же номером 5).
Если А^=0 (следовательно, ^=2), то £7^.,.^... hi лежит
на ДА1л,...А,_<о и, следовательно, влево от £7/4/,/к (лежащего
на
Если hs=2 (следовательно, 1£ = 0), то £7A1Ag... А1 t„hi ле-
жит (по тем же соображениям) вправо от £7ijs...Zj.../к.
Покажем теперь, как установить точно такое же распределе-
ние на ранги интервалов последовательности (6), т. е.'интерва-
лов, смежных к любому совершенному разрывному множеству Р.
Среди интервалов (6) имеется прежде всего один или конеч-
ное число наибольших по длине. В самом деле, возьмем любой
из интервалов (6), например интервал Vr Обозначим его длину
через dr Мы утверждаем, что среди интервалов (6) имеется лишь
конечное число интервалов Vn, длина которых удовлетворяет
1 Начиная счет строчек с нулевой, т. е. соответственно рангам.
2 Так как £7/у,.../к есть средняя треть сегмента д/7,..лк, то все ин-
тервалы £77,..’./ко... строятся из д/7,.../ко (т. е.на левой трети Aztz,...k), а
все интервалы £7/7,.../к2... на д/7,...?к2 (т. е. на правой трети д/7, ..4).
КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО
121
условию dn^dr Действительно, если бы* таких интервалов было
бесконечно много, то они, не имея попарно общих точек, не
могли бы поместиться на сегменте [а; конечной длины, так
как W таких интервалов покрывают участок числовой прямой
общей длины, равной или большей Ndv а число Ndt при до-
статочно большом W делается как угодно большим, в частности
больше чем длина сегмента [а; 0].
Итак, рассмотрим заведомо конечную совокупность интер-
валов (6), длина которых равна или больше dt; среди них имеется
один или несколько наибольших. Это и будут наибольшие ин-
тервалы в последовательности (6). Если имеется только один та-
кой интервал, то обозначим его через IF; если же их несколько,
то пусть будет W тот из них, который лежит левее всех остальных.
Интервал IF будем считать по определению интервалом нулевого
ранга. Оставшаяся часть сегмента [a; |J] состоит из двух сегмен-
тов О0 = [а; с] и D2 — [d; 0]. Выбираем в последовательности (6)
наибольший интервал среди попавших в О0 (т. е. влево от IF) н
наибольший среди попавших в D2. Первый из них обозначаем
через IF0, второй — через IF2 (причем опять, если имеется не-
сколько наибольших интервалов той или другой категории, то
выбираем самый левый из них). Интервалы и IF2 называем
интервалами 1-го ранга1. Интервалы IF0, IF2 определяют на
сегментах Do и D2 по два сегмента, которые мы обозначим со-
ответственно через Doo, D02 и D20, D22. Пусть построены ин-
тервалы &-го ранга: IF^ . ; предполагаем, что они расположены
слева направо согласно правилу, установленному для интерва-
лов	(очевидно, это правило справедливо для- k ^2).
Часть сегмента [а; р], оставшаяся после вычитания всех интер-
валов [Л z ранга меньшего или равного k, состоит из сегмен-
тов	• -44+1ВСе с^ть н^ли или двойки)- На. каждом
из этих сегментов берем наибольший заключающийся в нем интервал
последовательности (6), причем, если есть несколько наибольших, то
берем тот из них, который расположен левее всех других. Этот
интервал обозначаем через W.&	• Все таким образом построен-
ные интервалы IF4/ называем интервалами (k1)-г°ранга.
Один из них есть самый левый из наибольших среди всех ин-
тервалов (6), оставшихся после избрания интервалов А-го ранга.
Непосредственно убеждаемся в том, что они расположены на
числовой прямой слева направо согласно правилу § 6.
* Заметим, что IF0 является самым левым из наибольших интервалов,
оставшихся в последовательности (6) после выбора IF. Это будет нужно
для дальнейших рассуждений.
122
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
Покажем, что каждый интервал последовательности (6) полу-
чил, таким образом, определенный ранг k и определенную систему
указателей ,,.ik (равных каждый 0 или 2). В самом деле,
если бы существовали интервалы (6), не получившие никакого
места среди интервалов ^-то среди всех таких интерва-
лов существовал бы один или несколько наибольших. Пусть это
будет Vr (причем, если наибольших интервалов несколько, то
пусть Vr самый левый из них). Обозначим его длину через dr
и рассмотрим все интервалы (6), длина которых больше dr9 а
также те из интервалов (6) (если такие существуют), которые, имея
длину dn расположены влево от Vr. Все эти интервалы (по опре-
делению интервала Fr) получили определенные места среди ин-
тервалов	и пусть высший из рангов, приписанных им,
есть Z. Тогда Vг есть самый левый из наибольших интервалов,
оставшихся после избрания интервалов	рангов, равных
или меньших Z, и потому Vr необходимо является одним из интер-
валов	• Таким образом Vr получил определенное место
среди интервалов	Мы пришли к противоречию, кото-
рым и доказывается наше утверждение.
Таким образом между всеми интервалами Vn9 смежными к
произвольному ограниченному совершенному разрывному множе-
ству Р, и всеми интервалами, смежными к Ро, установлено
взаимно однозначное соответствие: оно получается, если мы за-
ставим соответствовать друг другу два интервала £7 и IF, полу-
чившие одну и ту же систему указателей ixi2 .., ik, Так как
правило для рассуждения о том, какой из двух интервалов
UV,...V Uhh...JK (или	Расположен левее дру-
того, одно и то же в обоих случаях, то наше соответствие со-
храняет порядок расположения интервалов на числовой прямой
в том смысле, что из двух интервалов IFf* и	пер-
вый расположен левее второго тогда и только тогда, когда
U.f f лежит левее чем Uit .
Заставляя левый конец каждого интервала IF^ соответ-
ствовать левому же концу интервала	а правый — пра-
вому, получим взаимно однозначное соответствие между множе-
ством 50 всех концевых точек Р§ и множеством 5 всех конце-
вых точек Р, причем это соответствие сохраняет порядковое
расположение (слева направо) точек на числовой прямой.
Покажем, как „распространить** это соответствие на все точки
обоих множеств Р и Ро.
Рассмотрим для этой цели любое сечение (Д, В) множества 5,
КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО
123
т. е, любое разбиение множества 5 на два класса А и В, удо-
в етворяющих условиям § 2 гл. II Будем рассматривать лишь
сечения, обладающие тем свойством, что в А нет наибольшего,
а в В — наименьшего элемента. Докажем, что всякое такое се-
чение (если оно существует)1 определяет одну и только одну
двустороннюю точку Е cz Р, являющуюся верхней гранью мно-
жества А и нижней гранью множества В. В самом геле, если бы
sup А было меньше, чем inf В, то (sup Л; inf В) было бы смеж-
ным интервалом к Р, а концы его sup4 и inf В, принадле-
жа к 5, являлись бы соответственно наибольшим элементом
в А и наименьшим в В (вопреки нашим предложениям). Итак,
имеем точку В =sup Д ==inf В. Точка £, как предельная для А
и для В, есть, очевидно, двусторонняя точка множества Р, До-
кажем, что и, обратно, всякая неконцевая точка $ совершенного
разрывного множества Р определяет некоторое сечение (Д, В)
множества 5, причем £ = sup Д ==inf В (и, следовательно, в А
нет наибольшего, а в В нет наименьшего элемента), В самом
деле, рассмотрим множество А всех концевых точек, меньших
чем $, и множество D всех концевых точек, больших чем Е.
Так как £ не есть концевая точка, то разбиений 5=А В
есть сечение во множестве S,
Докажем, что £ = sup А = inf В. Пусть, в самом деле, хоть одна
из двух точек inf В, эирД отлична от £; пусть, например,
5ирД<?г Интервал (эирД; Е) свободен от точек Р*, тогда
как его концы, очевидно, принадлежат к Р; этот интервал есть,
таким образом, смежный интервал к Р, что противоречит тому,
что $ есть неконцевая точка Р. Итак, действительно,
E = sup A = inf В.
Рассмотрим теперь какую-нибудь неконцевую точку Ео мно-
жества Ро. Она определяет во множестве 50 всех концевых то-
чек Ро сечение (До, Во), причем До не содержит наибольшего,
а Во — наименьшего элементов. Множествам До и Во соответ-
ствуют (в силу установленного нами соответствия между Во и 5)
множества Д и В, причем разбиение В =» А -|-В есть сечение во мно-
жестве 5 (так как наше соответствие сохраняло порядок располо-
жения). По той же причине во множестве А нет наибольшего, а во
множестве В — наименьшего элементов, так что sup А = inf В — £,
где Е есть некоторая двусторонняя точка множества Р.
*	В чем мы убедимся через несколько минут.
*	Так как если бы, например, точка у интервала (sup Д; 5), принад- •
лежала к Р, то между sup А и у находился бы непременно хоть один
интервал, смежный к Р; правый конец этого интервала, находясь влево
от принадлежит к Д и, следовательно, не может быть правее» чем sup Л.
124
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
Таким образом каждой двусторонней точке множества Ро
соответствует вполне определенная двусторонняя же точка $
множества Р, причем порядковые соотношения между точкой $
и точками 5 те же, что между точкой Во и соответствующими
точками 50 (так как £ лежит правее всех точек А и левее всех
точек В, а — правее всех точек До и левее всех точек Во).
Пусть £0 и Еог суть две различные двусторонние точки Ро и
пусть, например, £0 < Sof. Соответствующие им точки множества Р
обозначим через S и Возьмем точку *oc:So, лежащую на Ро
правее $0 и левее чем Sor, соответствующая точка xcS лежит
на множестве Р правее чем S, и левее чем следовательно,
е<с‘.
Заметим, наконец, что в силу соответствия каждая двусто-
ронняя точка Р соответствует некоторой двусторонней точке Ро.
Если $ есть двусторонняя точка Р, то имеем сечение (Д, В)
множества 5 без наибольшего элемента в Л и наименьшего
в В; этому сечению соответствует такое же сечение (До, Во)
множества So; оно определяет двустороннюю точку £0 множества Ро,
которой и соответствует течка $.
Мы полумили, таким образом, взаимно однозначное соответ-
ствие между всем множеством Ро и всем множеством Р, причем
это соответствие сохраняет порядок расположения точек на чис-
ловой прямой.
Из доказанного следует, что всякое совершенное разрывное
множество подобно канторову множеству Ро, а так как два
множества, подобные третьему, подобны между собой, то имеем
предложение:
Теорема VTJI
Все совершенные разрывные множества подобны между
собой.
Заметим, что из доказанного следует не толь1 о существова-
ние двусторонних точек на всяком совершенном разрывном мно-
жестве, но и все, что было относительно них доказано в приме-
нении к канторову совершенному множеству. Далее, помня, что
кантсрово совершенное множество имеет мощность с, мы непо-
средственно заключаем из теоремы VIII, что всякое сов р-
шенное разрывное множество имеет мощность с. Наконец, на
основании теоремы XIX гл. III всякое несчетное замкнутое раз-
рывное множество есть сумма совершённого (очевидно, разрыв-
ного) множества и не более чем счетного множества. Отсюда
КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО
125
следует (на основании теоремы V гл. I), что всякое замкну гое
разрывное множество либо счетно (или конечно), либо имеет мощ-
ности с.
Теперь легко решить вопрос о мощности всех замкнутых мно-
меств. В самом деле, на основании теоремы VI всякое замкну-
тое множество есть сумма замкнутого разрывного множества Ф
и некоторой области G. Так как всякая линейная область есть
сумма счетного (или конечного) множества интервалов, следова-
тельно, есть множество мощности с, то выводим из теоремы VIII
и уже доказанных результатов о мощности разрывных замкнутых
множеств следующий общий результат.
Теорема IX
Всякое замкнутое множество либо конечно, либо счетно,
либо имеет мощность континуума.
В частности:
Теорема X
Всякое совершенное множество имеет мощность конти-
нуума.
Вернемся снова к совершенным разрывным множествам. Мы
видели, что всякое такое множество подобно канторову множе-
ству Ро, а следовательно, подобно всякому другому совершенному
разрывному множеству П.
Мы выведем сейчас другое свойство установленного в § 7
соответствия между множествами Р и Ро.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть дано соответствие между дву*я
множествами М и М0 такое, что каждой точке множества М
соответствует лишь одна точка множества 2И0 и каждая точка Мо
поставлена в соответствие хоть одной точке М. Мы скажем,
что эго соответствие непрерывно в точке Sc2l4, если выполнено
следующее условие: обозначим через So точку множества 2И0,
соответствующую точке Sc/И, и через (70 — произвольную окрест-
ность точки So* тогда требуется существование такой окрест-
ности U точки 5, чтобы всякой точке х множества М., ле-
жащей в U, соответствовала точка х$ множества Л40, лежащая
в С70< Если данное соответствие непрерывно в каждой точке
множества М, то оно называется непрерывным на В этом
'случае говорят также, что множество Л/о является непрерывным
образом множества М.
Если данное соответствие взаимно однозначно, не-
прерывно в каждой точке Sc Ж и одновременно в каждой точке
SoC/Wq, то оно называется взаимно непрерывным или mono-
логическим соответствием.
126
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
Так вот, докажем, что соответствие, установленное нами
между множествами Р и Ро, есть соответствие взаимно непре-
рывное. Пусть х — любая точка множества Р. Обозначим че-
рез £70 произвольную окрестность точки х0 (соответствующей
в множестве Ро точке х); обозначим через S* множество тех
точек So, которые попали в (70, и пусть a* = infS£, [J* = supS* ;
а* и ?о СУТЬ точки множества Ро, им соответствуют точки а*
и р* множества Р. Если х (и, следовательно, х0) двусторонняя
точка, то х непременно лежит в интервале (а*; р*), и всем точ-
кам Р, попавшим в этот интервал, соответствуют точки Ро, по-
павшие в интервал (а*; [>*), следовательно, попавшие в С70, и
соответствие непрерывно в точке х.
Если же точка х концевая, то возможны два случая: либо
х не совпадает ни с одной из точек а*, £*, тогда х лежит
в (а*, р*) — и наше рассуждение, доказывающее непрерывность
соответствия в точке х, остается в силе. Либо х совпадает
с одной из точек a*, [J*, пусть, например, с а*.' Тогда х есть
самая левая точка множества S* (значит, х0 — самая левая точка
множества 3£), следовательно, в достаточной близости слева от х
нет точек множества 5 значит, нет и точек множества Р.
Точка х в этом случае есть правый конец некоторого смежного
интервала. Обозначим через с левый конец этого смежного
интервала. Интервал (с; [}*) не содержит точек множества Р,
кроме тех, которые попали в (а*; [}*), и всем этим точкам со-
ответствуют точки ^множества Ро, попавшие в (а*; £*), т. е в £70.
Интервал (с; [}*) может быть принят, таким образом, за окрест-
ность U точки х, причем точкам Р, попавшим в эту окрест-
ность, соответствуют точки Ро, лежащие в данной окрестности (70
точки х0.
Итак, мы доказали, что наше соответствие непрерывно в каж-
дой точке х множества Р. Совершенно так же мы доказали бы,
что оно непрерывно в каждой точке множества Ро, т. е. что
оно взаимно непрерывно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два множества, между которыми возможно
установить топологическое соответствие, называются гомеоморф-
ними.
Мы можем, ’таким образом, сказать:
Теорема XI
Все совершенные разрывные множества гомеоморфны кан*
торову совершенному множеству «, следовательно, гомео-
морфны между собой.
КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО	127
Заметим, наконец, что свойства множеств, сохраняющиеся
при топологических соответствиях между множествами (т. е.
свойства, принадлежащие всем гомеоморфным между собой мно-
жествам, как скоро они принадлежат одному из них), называются
топологическими свойствами; их изучением занимается топология.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Исследовать множество точек, в десятичном разложении которых
не встречается цифр 2 и 6.
2.	Исследовать множество точек, в десятичном разложении которых
не встречается комбинации цифр 2, 6 (в указанном здесь порядке).
3.	Исследовать множество иррациональных чисел, разложение кото-
рых в бесконечную непрерывную дробь не содержит цифры 5.
Будет ли это множество замкнутым? Какое множество получится
при его замыкании?
4.	Рассмотрим последовательность всех рациональных точек
гь • • • > гп» •• •
Из числовой прямой удаляются все интервалы (л = I, 2, 3,..
е
с центром в га и длины	где е — произвольно данное положительное
число.— Какое множество останется?
5.	Счетное множество Е состоит из середин интервалов, смежных
с множеством Каково будет множество Е*> множество £? Доказать,
что £—изолированное множество (гл. III).
6.	Множество Е состоит из Ро и из множеств Еп, построенных
в каждом интервале Unt смежном к P9t причем Еа состоит из точек сп, ,
где спк отстоит от левого конца ап интервала ип
на -£• длины этого интервала.
Каковы будут множество Е и его смежные интергалы?
7.	Заполнением каких смежных интервалов какого разрывного замкну*
того множества получается множество F, состоящее из канторова множе-
ства Ро, сегментов	; а„ + и из точек ап + , ап +	,
где ап есть левый конец смежного с Р® интервала (7Л, а — длина £/л?
8.	Разложить множество F предыдущего примера на совершенное
множество и счетное множество.
9.	Будет ли множество всех двусторонних точек совершенного раз-
рывного множества подобно множеству всех иррациональных чисел?
Будут ли эти два множества гомеоморфны? Будет ли множество всех
рациональных чисел подобно:
а)	множеству всех концевых точек совершенного разрывного мно-
жества;
Ь)	множеству одних левых (одних правых) концов?
10*. Фреше (Frechet)* говорит, что два множества Ап В имеют один
и тот же размерный тип (type de dimension), если множество А гомео-
1 Французский математик, внесший в теорию множеств ряд значи-
тельны к идей общего характера; основатель так называемой „аксиома-
тической топологии*.
128
СТРОЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
мэрфно части множества В, а множество В гомеоморфно части множе-
ства А. Доказать, чю множество всех иррациональных точек имеет тот
же размерный тип, что и любое совершенное разрывное множество.
И*. П. С. Урысон1 называет точку х замкнутого множества F точкой
размерности 0, если, какова бы ни'была окрестность U точки х, можно
представить Р как сумму двух замкнутых множеств и без общих
точек, причем одно из этих замкнутых множеств содержит х и содер-
жится в U. Множество F называется множеством размерности 0, если
все его точки суть точки размерности 0.
Доказать, что точка х есть точка размерности 0 тогда и только
тогда, когда х не принадлежит ни к какому сегменту, содержащемуся
в F. Доказать, что для того чтобы замкнутое множество, лежащее на
числовой прямой, было размерности 0, необходимо и достаточно, чтобы
оно было всюду разрывным.
12*. Доказать, что все свойства множеств, указанные в упражне-
ниях 10* и 11*, суть свойства топологические.
13. Доказать подобие множеств Р и Рв, не располагая смежные к Р
интервалы по длине, а пользуясь расположением их в последователь-
ность Vit V8,..., Vat...
i П. С. Урысон—московский математик, впервые в России начав-
ший заниматься топологией и получивший в этой об^ас^и математики
.результаты фундаментальною значения (род. 1898, ум. 1924).
Гл1ва пятая
Непрерывные функции
§ 1. Определение и примеры непрерывных функций.
Понятие функции, с которым читатель уже знаком из элементар-
ных курсов анализа, в наиболее общем своем виде совпадает
с понятием отображения одного множества на другое:
Если каждому элементу х множества М поставлен в со-
ответствие один и только один элемент у множества N,
причем каждый элемент множества N оказываете* поста-
вленным ь соответствие хот* бы одному элементу множе-
ства М, то по определению имеется функция /(х), опреде-
ленная на множестве М и имеющая множество N множе-
ством своих значений.
Если каждой группе п элементов (xv х2,хя), принадле-
жащей некоторому множеству 7И таких групп, поставлен в со-
> ответствие один и только один элемент у множества Л/, то го-
ворят, что этим задана функция j=/(xp х2, ...,хя) от и пере-
менных.
В такой общности определение функции было впервые фор-
мулировано немецкими математиками Дирихле1 и Риманом2.
Отчетливое овладение общим понятием функции является одним
из очень важных моментов в развитии математики XIX века,
подготовивших и сделавших необходимым систематическое по-
строение теории множеств.
В дальнейшем мы будем при этом предполагать, что множе-
ства М и W состоят из действительных чисел (или, что то же
самое, из точек числовой прямой).
1 Дирихле (Р. G. Lejeune — Dir’chlet), poi. 1805, ум. 1859. Работал
главным образом в теории чисел, к которой систематически прилагал ме-
тоды анализа.
2 Риман (Bernhard Riemann), род. 1826, ум. 1866 — один из крупнейших
и наиболее влиятельных математикоз XIX века; ему принадлежит ряя
основополагающих работ в области теории функций, анализа, гео/етрии
и теории чисел.
9 АлвЁсанДгов и Кол коз оров
130
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Мы часто будем делать еще дальнейшее ограничение, пред-
полагая в большинстве случаев, что множество М замкнуто и
ограничено или даже, что оно есть сегмент числовой прямой.
В этом последнем случае множество М называема также полем
изменения переменной величины (принимающей все значения,
принадлежащие сегменту Ж). Переменная х называется незави-
симой переменной, или аргументом, в отличие от зависимой
переменной у, которой и присваивается наименование функции',
y=f(x).
В соответствии с определениями, данными в конце преды-
дущей главы, мы следующим образом формулируем понятие
непрерывности функций. Функция f(x) называется непрерыв-
ной в точке $ множества М (относительно этого множе-
ства), если, каково бы ни было положительное число е,
можно найти такую окрестность (хг; х") точки Е, что
!/(£)-/(*) I <8
для всех точек множества М, принадлежащих окрестной
ста (х1; хп).
При этом функция f(x) может быть определена либо только
на множестве Ж, либо на некотором множестве /Уз)Ж (в част-
ности на некотором интервале или сегменте, содержащем множе-
ство Ж, или, наконец, на всей числовой прямой).
Примечание, Приведенное определение можно, очевидно, заменить
таким: f(x) непрерывна в точке $ множества Ж (относительно этого мно-
жества), если для каждого числа s > 0 можно найти 3 > 0 так, что
|/(5) — /(х) |< е, как скоро 15 — х [ < 8 и х С Ж. В самом деле, доста-
точно взять за 8 наименьшее из двух положительных чисел 5 — х'
и х" — 5.
Определение непрерывности функции принадлежит Коши, до
которого понятие непрерывности, вообще строго не определяв-
шееся, связывалось с возможностью изобразить функцию единым
аналитическим выражением. В случае функции многих перемен-
ных определение непрерывности аналогично: функция /(х, yf z)
(для определенности — трех переменных) непрерывна в точке
х0, у0, zQ, если любому положительному е соответствуют такие
окрестности (хг; х№), (у1( у"), (zf-t гЛ) точек х, у, z, что для
любой группы х, у, z принадлежащих множеству Ж чисел х, у, z,
попавших соответственно в окрестности (х'; х") (у';'у"), (zr; z'),
имеем
|/(х, у, z)—f(x0, у0, г0)|<е.
Читатель сам построит геометрическую интерпретацию этого
определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 13F
Если в точке £ функция /(х) не-непрерывна, то эту точку
называют точкой разрыва функции /(х). Тогда существует та-
кое s > о, что для сколь угодно мало* о 8	0 найдутся точки х,
отстоящие от $ меньше, чем на §, и удовлетворяющие тем не
менее неравенству |/($)—f(x)\^t. Давая § значения 1, ~ >
1	1
— , ..., —,... получим последовательность точек xv х2,... ^
о	а	я
стремящуюся к $ и удовлетворяющую неравенству
1/(2)—/(^я)|>е,
каково бы ни было п.
Напротив, если /(х) непрерывна на множестве М в точке
то из сходимости последовательности
*1,	• • > хп. ...	(1>
к точке $ вытекает сходимость последовательности
/(*1), /(*2Х • • • >	«	(2>
к точке /($), если только все хп принадлежат М.
В самом деле, для любого е^>0 существует окрестносгь
(хг; х”) точки S такого рода, что из ха(хг; х") вытекает
I/W— /($)!<«•	(з>
В силу сходимости последовательности (1) к точке S, все хл,
начиная с некоторого, лежйт внутри (х'; х"); для них, следова-
тельно, выполнено неравенство (3), что и доказывает наше
утверждение.
Заметим, наконец, что функцию, непрерывную (относительно
в каждой точке М мы будем называть просто функцией, непре-
рывной на М
Из элементарных курсов анализа известны многочисленные
примеры непрерывных функций: таковы, например, функции
у = kx + b, у = сх*9 у = -|- j/a2 — х2 (| х | «С а), у = sin х
и ,т. д.
Мы приведем примеры другого типа, в которых закон функ-
ционального отображения будет дзн не формулой, а непосред-
ственным геометрическим построением. Но для этого прежде всего
вспомним о х так называемом геометрическом или графическом
изображении функций. Графическое изображение функции /(х)
заключается, как известно, в том, что на некоторой плоскости
9*
е
132
НЕПРЕРЫВНЫЕ фУНКЦИИ
берется прямоугольная система координат, и в каждой точке х,
лежащей на оси абсцисс и входящейв поле изменения незави-
симого переменного, восставляется перпендикуляр длины |у| =
= |/(х)|, направленный вверх или вниз в зависимости от того,
будет ли соответствующее значение /(л) положительным или
отрицательным. Концы таким образом пос । роенных перпендикуля-
ров образуют некоторое множество точек плоскости, называемое
графическим изображением или графикой функции /(х). Как
известно, в пэостейиих примерах непрерывных функций (та-
ких, как y = x2f y = sinx и т. д.) эта графика еаь кривая в
обычном элементарном смысле этого ciosa.
Можно проделать предыдущее рас-
УК	суждение в обратном порядке и начать
/ \	с некоторого множества Q, состоящего
/	\	из точек плоскости и проектирующе! ося
/	\ на ось абсцисс в виде некоторого сег-
7	\ мента [а; Ь}\ предположим, кроме того,
/у " К что каждая прямая, параллельная оси
/	\ ординат, пересекает множество Q не
Z----Li---------—А более чем в одной точке. Значение
1	функции /(х) определяется тогда для
Черт. 10. данного хс[а; &] как ордината той
точки множества Q, абсцисса которой
имеет данное’ значение х. ~
Пример 1. На сегменте [0; 1], как на основании, построен
равносторонний ’ треугольник (черт. 10), y—f(x) изображается
двумя остальными crop нами этого треугольника; нетрудно убе-
диться в том, что эта же функция /(х) мо*ет быть аналитиче-
ски определена следующим образом у=^)ЛЗх для всех значе-
ний х, лежащих в сегменте [0; — | ; у==г]/г3 (1 —х), когда
I 2 1
1 ’
х 1.
Пример 2. Геометрическим изображением функции у_/(х)
является совокупность двух полупрямых — биссектрис первого и
второго координатных углов. Нетрудно убедиться в том,
-что /(х) = | х|.
Пример 3. Функция Д (х) определена на сегменте [0; 1] сле-
дующим образом: Д(х) = 0, если xcPq (где Ро есть канторово
совершенное множество). На каждом же из смежных интервалов
« множеству PQ функция fy (х) имеет геометрическим изображе-
нием дугу полуокружности, построенную на данном смежном
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	133
интервале как на диаметре и расположенную в полуплоско-
сти у > 0.
Геометрическое изображение функции Д (х) на всем сегменте
[0; 1] дано на черт. 11. Аналитически она изображается так:
' /1(х) = 0, если хсР0;
I . AW=+	+
если ап х
(aj Ьп) — любой смежный интервал к множеству Р&
Можно было бы видо-
изменить этот пример, за-
меняя полуокружности рав-
носторонними треугольни-
ками; тогда получится функ-
ция /2 (х), аналитически изо-
бражаемая так:
Черт. 11.
II
/2(-v) = о, если лсР0;
. . ч х — ап	.А—а,
/г(х) = -57^’ егли ап^х^аЛ~л~^
у О	2
, . . Ь*—х	, Ьп — а„
= если а*+ 2
Обе функции Д(х) и /2(х) (так же, как и предыдущие) не-
прерывны в каждой точке х0 сегмента [0; 1]. Это очевидно, если
точка х0 принадлежит к одному из смежных интервалов (ал;
Если же точка х0 принадлежит к^Р0, то, взяв достаточно малую
окрестность ее (х0 — 5; аг0 —8), можно достигнуть того, чтобы
смежные интервалы (ая; 6Л), пересекающиеся с (х0 — §; х0-|-8}>
имели длину, меньшую чем е (где е — произвольное малое по-
ложительное число). Обозначая через /(х) любую из функций
Л (*)> /а (*)» видим, что значения и в этих интервалах буду?
меньше, чем е, следовательно, мы будем иметь
0</(А)<е
во всем интервале (х0 — 8; х0 i), что дает, ввиду того что
Л)=0,
I/W-/MK*
для всякого х, удовлетворяющего неравенству |х0 — х| <8. Каж-
дая из функций Д (дс), /2 (х), таким образом, непрерывна во всем
сегменте [0; 1].
134
непрерывные функции
Пример 4 (ступенчатая кривая).
Рассмофим опять ктиторово совершенное множество и его
смежные интервалы. Нумеруем эти интервалы при посредстве
двоичных дробей Следующим образом. Среднему интервалу
„	/ 1	2 \	1 о
€/=—,— I ставим в соответствие дробь —. Далее
\ о о /	2
	интервалу	и0 <	ставим	в	соответствие	дробь	1 4 ’
		<4	я	я	я’	я	3 4 ’
	»	Цю	я	я	я	я	1 8 ’
	я	Ц)2	я	я	я	я	3 8 ’
	я,	^20	я	»	я	я	5 8 ’
	я	ц2	я	я	п	я	7 8 ’
	я	Чюо	я	я	я	я	1 16’
1	я	Ц)02	я	я	я	я	3 16’
	я	Ц)20	я	я	я	•	5 16’
	я	Ц)22	я	я	! я	я	7 16’
	я «	^200 ^202	я я	я я	я я	я я	9 16’ 11 16’
)	» z	^220	я	я	я	я	13 16’
	я	^222	я	я	я	я	15 16‘
Это построение можно продолжать без конца, так как, с одной
стороны* между всякими двумя непосредстЕенно следующими
друг за другом интервалами вида U. ,	, помещается один
и только один интервал вида Ц, .......
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	135
равны каждое 0 или 2), а с другой стороны, между всякими двумя
-	25—1
непосредственно следующими друг за другом дробями вида ——
2$___1
имеется лишь одна дробь вида . Таким образом все смеж-
ные интервалы к множеству Ро оказались занумерованными
двоичными дробями; при этой нумерации, очевидно, оказываются
использованными все правильные двоичные дроби, причем интер-
валы расположены на прямой в том же порядке^ как и соот-
ветствующие им дроби. В виде общей формулы полученное со-
ответствие записывается так: интервалу	соответствует
дробь
1	I Ч 1 I ^2	1 |	|	1
2	4	8 “ ’ “ 2Л+1 *
Пусть Теперь х есть неконцевая точка совершенного множе-
ства Ро. Мы получаем „сечение“ во множестве всех интерва-
лов	если отнесем к классу А все интервалы, лежащие
влево от х, а в классе В — все интервалы, лежащие вправо
от х. Этому сечению во множестве всех смежных с Ро интер-
валс/Ь соответствует сечение во множестве всех двоичных дробей
(причем к классу Ло отнесем все двоичные дроби, соответствую-
щие интервалам класса А, а к классу Во отнесем все двоичные
дроби, соответствующие интервалам класса В). Это сечение
(Ло, Bq) определяет единственное число: sup 40 = inf Во, кото-
рое, таким образом, поставлено в соответствие точке х и кото-
рое поэтому мы обозначаем Читатель сам легко докажет,
что	тогда и только тогда, когда х<х9. Определим те-
перь на сегменте [0; 1] функцию f(x) следующим образом:
если х есть точка, принадлежащая к интервалу	или
являющаяся его концом, то /(х) равняется дроби, соответству-
ющей этому интервалу; если же х есть точка второго рода мно-
жества Ро, To-jf(x) —наконец, /(0) = 0, /(1) = 1.
Из предыдущего легко видеть, что /(х) есть функция не
убывающая на сегменте [0, 1]: если x's^x", то /(х')^/(х").
Кроме того, функция /(х) постоянна в каждом смежном интер-
вале к совершенному множеству PQ (и, следовательно, непре-
рывна на нем).
Для того чтобы доказать, что /(а) непрерывна во всем сег-
менте [0; 1], остается обнаружить, что она непрерывна относи-
тельно [0; 1] во всякой точке совершенного множества PQ.
136
"НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть х0— концевая точка множества Ро и пусть, например, хе
есть левый конец какого-нибудь интервала	соответству-
ющего двоичной дроби г (или точке 1; случай, когда х есть пра-
вый конец или точка 0 совершенно аналогичен). Взяв
двоичную дробь так1, чтобы г—обозначим через
(х*; хп) интервал, левый конец которого х* совпадает с одним из
концов интервала, соответствующего И, а правый конец х* сов-
падает с правым концом интервала U. i, соответствующего г.
Значения функции /(х) в интервале (xF; х") не меньше, чем И,
и не более, чем г, т. е. отличаются от значения г, принимаемого
в точке х0, меньше, чем на е. Пусть теперь х0 есть неконцевая
точка множества Ро. Рассмотрим точку и две двоичные
дроби И и f такие, чтобы	и чтобы
f — / < s.
Обозначим через х* один из концов интервала, соответству-
ющего /, а через хп — один из концов интервала, соответству-
ющего Мы имеем, очевидно, х'	следовательно, ка-
кова бы ни была точка х интервал (х\ х*),
/ =/(/)</ (х)</ (Z) = г",
!/(*о)— /W:<s
Итак, /(х) непрерывна на всем сегменте [0; 1].
В заключение этого параграфа докажем следующую теорему»
Пусть (х) и ft(x) суть две функции, непрерывные в точке £
относительно множества М. Функции
F(x) =Л(х)±/2(х),
Ф (*)=/,
а также — если только /2 (£)	0 — и Ф (х) — ' { не пре-
.	?2\Х)
рывны в точке £ относительно множества М.
Доказательство. 1) Непрерывность функции F(x). Выбе—
рем произвольные е>0 и столь малое 8, чтойл для точек х
множества 44, отстоящих от £ меньше чем на е, выполнялись
неравенства:
е
lA (5) -A WI <4-
£
1 Ecih xe= 1, то вместо / надо взять 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	137
Тогда для тех же точек х будет выполнено и неравенство
I F(:) - F(x) I = I [/, (•;) -/,(х)] ± ГЛ (£) -Л (*)] I <
G Й
<А(-)-А(*)1 + 1А(5)-4(*)1<у+у=®.
что требовалось доказать.
2) Непрерывность функции Ф (х). Обозначим через р наи-
большее из чисел 1, \fy (S) | -|- 8 и |Д (?) | -|- s и выберем 3 столь
малым, чтобы для точ^к х множества 2И, отстоящих от £ меньше
чем на 3, имели место неравенства
©
lA^-AWKr:.
©
lA^-AWK^-
Для названных точек х будет и подавно справедливо неравен-
LA (5) - AW к 8, 1ЛФ- A(v)|<8,
следовательно,
14 (*)1<1ЛФЦ-е<М>
1/2(*)1<1А^)1 + е<Ц.
Пользуясь этими неравенствами, имеем для всех упомянутых
точек х:
| Ф (5) - Ф (х) | = Л (5)/2 ($) -л W4 (х) | =
= IЛ (?) LA (5) - Л (*)] +4 (*) [А (5) -A (*)] I <
< 1Л (2) | • 14 (5) -4 (*) I +14 (*) 114 ® - А (*) I <
£ ©
< g IА (*) — А	I + и IA (5)—А (•*) I < м 2^+м 2ji=е>
что требовалось доказать.
3) Непрерывность функции Ф(х).
По предположению /2(£) = ст^0. Выберем е>0 произ-
вольно малым, во всяком случае меньшим чем с. Обозначим
через ц наибольшее из чисел 1, lAC^I + v» 14(5)1 +-5-.
Z	л
через р* — наименьшее из чисел 1 и — . Выберем, наконец^
л
138
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
8 > О столь малым, чтобы для всех точек множества Af, отстоя-
щих от Е меньше чем на 8, выполнялись неравенства:
1ЛО-
Тогда для тех же точек х имеем:
1/1 (*) I < Р>
|/2(*)|<р.
i/2wi>l/2<g)i-|>^-
Л (g) /, (•*) _
/2 (g) г Zi (Х)
и, далее,
|<|>(g) — ф(х)| =
s= |/,(g7,(*)~/1(x)/2(g)t	=
l/2 (g) I * 1/2 {х) I	с
С' 2
e { 1А (х) l-1/i Ф “Л (*) I + l/i (*) 11/2 (g) —/2 (*) I } <
. , / pg's . gg'e \
<|хЬ£-+ж)=|1 **='
что требовалось доказать
Следствие. Если (х) и /2 (л) непрерывны на Af, то (х) ±
±/2(х) и /1 (х)-/2 (х), а также — если только /2(х) нигде на М
«е обращается в нуль — и непрерывны на Af.
§ 2. Элементарные свойства непрерывных функций.
Теорема I
Если f(x) непрерывна на замкнутом множестве F, то ка-
ково бы ни было действительное число ct множество тех
точек, принадлежащих F, в которых f(x)^c, точно так же
как множество тех точек, принадлежащих F, в которых
f(x)^c, есть замкнутое множество1.
Доказательство совершенно одинаково в обоих случаях.
1 Читатель не должен забывать, что пустое множество также
является замкнутым.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 139
*
Докажем, например, замкнутость множества N, состоящего
из всех точек х, в которыхДокажем для этого, что
никакая точка, не принадлежащая к множеству N, не может быть
предельной для него. Пусть точка xQ не принадлежит к N.
Если х0 не принадлежит к F, то х0 не может быть пределтой
точкой для F (так как F замкнуто), следовательно, и для N.
Если же х0 a. F, но не входит в N, то /(х0) < с.
Обозначим через s положительное число с—/(х0). Так как
функция /(х) непрерывна в точке х0, то можно найти такую
окрестность (хг; хп) точки х0, что t
|/(*о)-/(*) 1<8
для всех точек х этой окрестности.
Так как всякое число, равное или большее <?, отличается от
/(х0) не меньше чем на е, токакова бы ни была точка х
интервала (У; х”). Если так, то (хг; х") не может содержать
ни одной точки N, т. е. точка х0 не может быть предельной
для N (что требовалось доказать).	*
Легко доказуемым следствием теоремы I является следующее
предложение:
Теорема II
Если функция> непрерывная на сегменте [а; #], принимает
два значения: q и с2, то она принимает и всякое промежу-
точное значение с, с1<^с<^с2.
В самом деле^ пусть М есть замкнутое (на основании тео-
ремы I) множество тех точек сегмента [а; &], в крторых функ-
ция /(х) с9 а W— замкнутое множество тех точек, в кото-
рых f(x)^c, Так как сегмент [а; 6] есть связное замкнутое
множество (на основании теоремы XV11I гл. Ш), то существует
хоть одна точка Е, общая обоим множествам М и N. Так как,
с одной стороны, / (Е) «Ся (так как EczM), а с другой стороны,
/(Е) с (так как Е с N), то непременно/(Е) = с, что требовалось
доказать.
Рассмотрим теперь так называемое свойство равномерной
непрерывности функции. Оно заключается вот в чем. Пусть
дано положительное число е. Если f(x) непрерывна во всех
точках ограниченного замкнутого множества F, то для данного е
и любой точки Е cz F можно найти S>0 такое, что
!/(£)—/(*) |< в,
когда
| Е — х | < 8? х <z F.
Однако из этого определения непосредственно следует' только
140 "
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
возможность определения (при данном е) надлежащего числа 9
для каждой данной точки 5 с Л Но оказывается, что о функ-
циях, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах, можно
утверждать значительно больше, а именно, возможность подобрать
для каждого е такое 5, которое годится сразу для всех точек £
множества F. Это последнее свойство может быть формулиро-
вано в виде следующего определения:
Функция f(x) называется равномерно непрерывной на мно-
жестве ЛИ, если для всякого е>0 можно подобрать 8>0
так, чтобы
!/(•»')— f(x") |< ё,
каковы бы ни были две точки х* и х* множества ЛИ, отстоя-
щие друг от друга меньше чем на 9.
Заметим прежде всего, что функция может быть непрерывной
на интервале, не будучи равномерно непрерывной на этом интер-
вале. В самом деле, рассмотрим функцию /(х) = ~ на интер-
вале (0; 1). Она непрерывна в каждой течке на интервале (0, 1).
Действительно, пусть даны произвольная точка х0 с (0; 1) и про-
.	xQ
извольное число s. Возьмем о меньше чем — и чем , Имеем
для всех точек х интервала (0; 1), отстоящих от х0 меньше
чем на

и так как
*0
то

= ।	<- |х~ Уо1
Л0Х JCo(^'O
29 .
Х2 <-
2
О
2ех2 _
2x2-S
Функция /(х) в то же время не равномерно непрерывна
в интервале (0; 1). В самом деле, каково бы ни было 8>0,
можно найти на этом интервале две точки хг и х" так, что
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
141
для этого достаточно выбрать на интервале 0 < х <4 точку
Тогда две точки х' и х” = ~ х' отстоят друг, от друга на
А
а в то же время
2	111
Как уже было упомянуто выше, для замкнутых множеств имеет
место следующая теорема Кантора:
Теорема III
Всякая функция f(x), непрерывная на замкнутом ограни-
ченном множестве F, равномерно непрерывна на этом мно-
жестве.
В самом деле, пусть дана функция /(х), непрерывная на F.
Предположим, что она не является равномерно непрерывной на F.
Это значит, что существует такое что, каково бы ни
было й>0, можно найти две точки х' и х", принадлежащие F
и отстоящие друг от друга меньше чем на й, причем
/(л*) |>е.
Дадим числу $ последовательно значения
111 1
2 ’	3 ’	4 ’ • ‘ ’	п""
и найдем пары точек
(х*\ х^ ), («х2^ xt),. • •, (хя , хп ), . . '
такие, что одновременно выполняются оба неравенства:
к—Vi < 4*
!/(*«)— /Ю1> ••
Так как последовательность точек х/, х/,..., хяг,... ограни-
чена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность
xnt»Хп^ • • •> хпь* • • • Пусть $ есть предел этой подпоследователь-
ности. *Так как F—замкнутое множество, то $ с F. Мы имеем
142
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
причем при растущем k правая часть этого неравенства, неогра-
ниченно убывает и, следовательно, р—х^| стремится к нулю;
таким образом последовательность
я/ • • •» лпк> ’ • •
сходится к той же точке что и последовательность
х' , х' ..	.
Л,’	’Л*’
В точке функция /(х) непрерывна; можно,
найти такую окрестность (х';х") этой точки, что
(4)
(5)
значит,
1/(2) —/(х)|
для всех точек х множества F, попавших в (xr; х").
Так как последовательности (4) и (5) сходятся к £, то суще-
ствует, далее, такое число что все точки хп ' и хп * при р > k
содержатся в (V; х"). Но тогда
ж;)-/(ч)нлч)-' <Е> ।+1'® -/«)! <5+1- •
вопреки определению точек хп' и Полученное противо-
речие доказывает предложение.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема IV
Функция f(x)' непрерывная на замкнутом ограниченном
множестве F ограничена на этом множестве.
' Примечание. Фу-кния f(x) называется ограниченной на множестве Mt
если множество значений, принимаемых ею в точках М, есть ограни-
ченное множество.
Если бы теорема IV была неверна, то функция /(х) прини-
мала бы на множестве F значения, как угодно большие по абсо-
лютной величине, так что существовала бы точка хп с: F,
в которой
Последовательность точек хп ограничена и, следовательно, имеет
хоть одну предельную точку $, принадлежащую непременно
к множеству F (так как F замкнуто). В точке $ функция /(х)
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	143
не может быть непрерывной, так как в любой окрестности этой
точки имеется бесконечно много точек хп, следовательно, имеются
точки, в которых /(х) принимает какие угодно большие по абсо-
лютной величине значения, в частности значения, абсолютная
величина которых, например, больше, чем |/(Е) |-}-1.
Примечание, Теорема IV также не может быть обобщена
на случай функций, непрерывных на незамкнутом множестве, на-
пример, непрерывных на интервале: достаточно рассмотреть функцию
/ (х)= -i- на интервале (0; 1).
Теорема V
Множество значений, принимаемых функцией f(x), непре-
рывной на замкнутом множестве F, есть замкнутое множество.
* Доказательство, Обозначим через Ф множество значений,
принимаемых функцией /(х) на множестве F, и докажем, что
всякая предельная клочка 7| множества Ф принадлежит к Ф. Рас-
смотрим какую-нибудь последовательность точек множества Ф,
сходящуюся к т). Пусть это будет
Уп..... Kmv„=ij.
•	л->00
Каждое число уп есть значение функции /(х), принятое ею,
по крайней мере, в одной точке множества F. Обозначим че-
рез хп какую-нибудь точку из точек множества F, в которой
функция /(х) принимает значение уп:
К*Л=Уп-
Так как F есть ограниченное замкнутое множестго, то множе-
ство точек хп(п~ 1, 2, 3, ...) имеет хоть одну предельную
точку G, при этом непременно принадлежащую к F.
Так как /(х) непрерывна в точке $ (как принадлежащей
множеству F) и последовательность хп сходится к S, то точки
уя=/(хл) должны сходиться к /(£), т. е. f ($) = 7], следовательно,
7j как значение функции /(х) веточке $ с: F есть точка множе-
ства Ф, что требовалось доказать.
Так как Ф есть замкнутое множество, то верхняя и нижняя
грани множества Ф содержатся в Ф,' являясь соответственна
наибольшим и наименьшим значениями функции /(х) на мно-
жестве F
Из только что доказанного вытекает, таким образом, в ка*
честве следствия известная теорема Вей рштрасса.
144
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема V7
Если функция /(г) непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве F, то среди ее значений существует наибольшее
и наименьшее 1.
Если F есть сегмент, то, принимая на F некоторое наиболь-
шее значение и некоторое наименьшее значение а, функция /(х)
принимает, кроме того (на основании теоремы II), все значения,
удовлетворяющие условию	Так как /(*) не может
принять никакого значения, большего чем а, и никакого значе-
ния, меньшего чем р, то в этом случае множество значений
функции /(х) есть как раз сегмент [a; [Jj Итак, мы можем фор-
мулировать следующий общий результат.
Если f(x) непрерывна на ограниченном замкнутом мно-
жестве F, то множество значений, принимаемых функ-
цией f(x) на множестве F, есть замкнутое ограниченное
мн жество Ф. В частности, если F есть сегмент, то Ф ес пь
также сегмент.
§ 3. Простейшие примеры разрывных функций.
Пример 5.
f(x) = х, когда 0 х -i-
£
й 1,1
= у когда у<х^1.
Функция /(х) непрерывна во всех точках сегмента [0; 1] за исклю-
1^1
чением точки х0= —. Точка х0 = —- является, таким образом,
единственной точкой разрыва функции /(х).
Эта точка разрыва обладает следующими свойствами: когда
точка*х неограниченно приближается к точке х0=-х
справа,
/(х) неограниченно приближается к 1, тогда как, когда х при-
1	л.	1
ближается к х0 = — слева, то функция приближается к
л	£
Это дает повод к введению следующего определения.
Точка х0 интервала (а\ Ь), в которой f(x) не непрерывна,
называется точкой разрыва первого рода функции f(x), опре-
1 Для функций, рассматриваемых на незамкнутых множествах (в ча-
стности на интервалах), теорема, вообще говоря, не верна: уже функ-
ция > = х не принимает на интервале (0; 1) ни наибольшего, ни наи-
меньшего значения
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	145
деленной на (а\ &), если существуют два числа cud такие*
что* каково бы ни было е>0, можно найти положительное
число удовлетворяющее условию:
|с—/(*)|<st как скоро х0—
I d f (*) I <	% < хо “F
Число d называется иногда правосторонним пределом функ-
ции f(x) в точке х0 и обозначается условно через У(лг0—0),
.число с называется левосторонним пределом и обозначается
условно через f(xQ — 0). Абсолютная величина разности
|rf-d = l/(*o + O)-/(*o-O)|
называется скачком функции в точке х0. Если этот скачок ра-
вен 0, тогда точка х0 называется точкой поправимого разрыва
(hebbare Unstetigkeit), так как тогда, изменяя значение функ-
ции /(л) в одной только точке х0, мы получим функцию, не-
прерывную в этой точке. В самом деле/ если
/(хо4-0)=/(хо-0),
то, заменяя значение функции в точке х0 через
/(^о + °)=/(хо —°)>
мы видим, что точка х0 является точкой непрерывности таким
образом измененной функции. Для. того чтобы получить примем
поправимой точки разрыва^ достаточно положить f(x) = 0,
когдах^О, и /(0)=1. Заметим, наконец, что в точках не-
прерывности
/(х4-0)=/(х-0)=/(х).
Рассмотрим еще пример точки разрыва, не являющейся точ-
кой первого рода, но приближающейся по своим свойствам к этим
последним.
Пример 5а,
f(x) = 0, когда — 1 «С * «С 0,
=	-»	0<*<1.
Л
Здесь/(0 — 0) —0 и /(0 -|- 0) = -J- оо.
Примечание, Точный смысл выражения /(а-|-0) = + со заключается
в том, что для всякого (сколь угодно большого) числа N можно найти
такое 8, что для всех х, удовлетворяющих условию а<х<а-|-8,
имеем f(x) > N. Точно так же f(a + 0) =— оо, если для каждого /V > О
10 Александров в Колмогоров^.
146
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
можно найти такое 8>0, что для а<х<а-}-8 имеем/(х) <— М
Аналогично определяется и смысл выражений
/(а —0) = + оо, f(a — 0) = — оо
(нужно только вместо а < х < а + 3 брать а — 8 < х < а).
Такие точки разрыва уместно называть точками разрыва
с бесконечным скачком.
Пример 5Ь.
f(x) = tgx, х^ —, 0<Jf<Tt.
2^
Черт. 12.
Здесь — является точкой с бесконечным скачком, так как
л
(и .	\
— 4'0j=—oo,
(Я Л\ I
у—01=4-оо.
Точки разрыва, не вошедшие в только что указанные кате-
гории, назывнотся точками разрыва второго рода.
Пример 6. Точка разрыва второго рода.
* • 1 .
/(х) —sin —, ху^О;
х
Геометрическое изображение функций имеет вид, указанный
на черт. 12.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
147
Точка х — 0 есть точка разрыва второго рода. Всамомделе^
в любой ее окрестности справа и слева /(х) принимает все зна-
чения, заключенные между —1 н+1, следовательно, когда х
приближается к точке 0 (справа или слева), /(х), колеблясь
бесконечно между и — 1, не может стремиться ни к ка-
кому пределу.
Дадим примеры функций с бесконечным числом точек
разрыва.
Пример 7. /(х)=£=0 для всех недвоичных точек сегмента [0; 1}
(т. е. для точек, которые не могут быть представлены в виде
дроби, знаменатель которой есть целая степень 2). Если же х
есть двоичная точка, то х единственным образом может быть
2s—1	х 1
представлено в виде х =	, и мы полагаем /(х) = -^.
2	At
Докажем, что каждая недвоичная точка х0 есть точка непре-
рывности функции /(х). В самом деле, каково бы ни было
можно взять натуральное число» столь большим, чтобы ~ было
£
меньше, чем е. Разобьем сегмент [0; 1] на 2й равных сегментов:
Г	1 I П 21 Г 2- 31 Г 1	Г2*-1 11
L 2й J [2Л’2я J L2'1’2/zJ>’* м |^2Я’ 2й J........| 2й **]“
Точка х0, не будучи двоичной, попала в одиЙ из интервалов
/ / / 1 \ л	х
вида I —; —х-- I • Какова бы ни была точка х этого интервала»
\2	# 2 у	4
очевщщр,
/м<|.
т. е.
!/(*)— /(*0)!<^<е>
что доказывает непрерывность функции /(х) в точке х0. Если,
наоборот, х0 есть
/(-Го) = тогда
недвоичные точки
2s —1
двоичная точка, например х0=*———, то
2'
как в любой окрестности точки х0 имеются
х, в которых /(х) = 0 и, следовательно,
/(v0)-/Gv)=^.
ю*
148>	НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Отсюда следует, что любая двоичная точка есть точка разрыва
функции /(х) (и при этом поправимого разрыва первого рода),
Пример 8. /(х) =0 во всех точках сегмента [0; 1], за исклю-
чением точек канторова совершенного множества в которых
/(х) = 1. Нетрудно видеть, что множество PQ есть как раз
множество точек г а рыва функции /(х).
Пример 9 (функция Dirichlet). •
/(х) = 0, если х — иррациональная точка числовой прямой;
/(х) = 1, если х— рациональная точка;
/(х), очевидно, разрывна в каждой точке числовой прямой.
Мы до сих пор рассматривали лишь примеры точек непре-
рывности и точек разрыва функций относительно некоторого
сегмента (или интервала). Легко построить примеры, иллюстри-
рующие поведение функций относительно замкнуиях разрывных
множеств. Так, функция /(х) примера 8, очевидно, непрерывна
«а множестве PQ (она даже постоянна на всем этом множеств).
Положим /(х) = 0 для всех точек х^С-^-,/(х) = 1 для всех
точек х>~. Читатель легко сам убедится в том, что функ-
2
ция /(х) непрерывна на всем множестве Ро, хотя принимает
на нем лишь два значения. Из этого примера следует, что пред-
ложение, аналогичное теореме II, неверно для функций, непре-
рывных относительно совершенного разрывного» множества.
Пример 10 функции, разрывной во всех точках совершенного
множества Ро (относительно этого множества).
Полагаем /(х) = 0 во всех двухсторонних, /(х) = 1 во всех
концевых точках множества Ро. Легко видеть, что /(х) раз-
рывна относительно Р$ в каждой точке х0 с: Ро. В самом деле,
если х0 — концевая точка, то /(х)==1, тогда как в любой
окрестности точки х0 имеются неконцевые точки х множества Ро,
в которых /(х) = 0 щ следовательно, /(х0)—/(х) —1. Если х
неконцевая точка то / (х0) = 0, тогда как в любой окрестно-
сти х0 имеются концевые точки, в которых /(х) =1 Ч
< Легко построить функцию /(х), определенную «а всем сегменте
(0; 1], не постоянную ни в каком интервале и разрывную во всех точ-
ках совершенного множества Ро. Достаточно положить
/(x)=-j + (x —а„),
если иа^х^Ьп [где (ап'*Ьп) лю*ой смежный интервал к Ро], У(х) = 0
в остальных точках сегмента [0; 1].
ПРЕДЕЛЫ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН	14$
§ 4. Пределы переменных величин. Когда мы определяли
в предшествующем параграфе числа /(хо-|-О) и /(х0— 0), то
мы уже имели дело с пределом функции f(x) при х, стремя*
щемся к х0. Это понятие существенно отличается от понятия
предела последовательности,' определенного в § 4'гл Ш, где
переменное хл, предел которого определяется, принимает лишь
счетное число различных значений. Следует отметить, что во мно-
гих курсах анализа до настоящего времени Определяется е только
предел последовательности, пределы же функций от непрерывно
меняющихся величин употребляются без всякого определения.
В этом параграфе мы дадим общее определение предела, годное
во всех случаях. ’	х
Пусть функция f(x) определена на множестве М и х&
является предельной точкой множества М. Число а назы-
вается пределом f(x) при х, стремящемся к х0 по множеству М9
если выполнено следующее условие: каково бы ни было ej>0?
можно найти такое 8	0, что из | х — х01	8 следует
!/(*).—-«I <е.
лишь бы х принадлежало множеству М.
Если /(х) определена только на множестве /И, то указание
что х стремится к х0 по множеству /И, обычно опускается.
Введенные выше числа/(х0— 0) и /(х0-р 0) теперь могут быть
определены так: / (х0 + <0 еС1Ь предел /(х) при х, стремящемся
к х0 по множеству точек х, удовлетворяющих неравенству х>х0,
а /(х0 —0) — предел по множеству х<х0.
Как и в случае предела последовательности может существо-
вать только один предел а. Если предел а существует, то гово-
рят, что функция /(х) непрерывна в точке х0 по отношению
к множеству М.
Если /(х0 4- 0) существует, то говорят, что f(x) непрерывна
в точке х0 справа^ в Случае же существования /(х0— 0) функ-
ция f х) называется непрерывной в х0 слева.
Кроме предела при х, стремящемся к х0, определим еще
предел при х, стремящемся к +оо. Допустим, что множество
на котором определена функция /(х), не ограничено сверху.
Число а называется пределом /(х) при х, стремящемся к -j- оо
по множеству Л7, если, как< во бы ни было е>0, можно найти
такое Н9 что из х>Н следует
*)/(*)—«1<»>
лишь бы х принадлежало М. Аналогично определяется предел
150	НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
при х, стремящемся к —оо, только требование х>7/ заме-
няется требованием х<^Н.
Допустим, что множество М состоит из всех натуральных
9 чисел я, и положим f(n) — xn. Наше определение предела хп
при п—►-|-оо 1 совпадает с определением предела последова-
тельности § 4 гл. Ш.
Для пределов, определенных выше, сохраняются общеизвестные
свойства пределов: предел суммы равен сумме пределов, предел	1
произведения равен произведению пределов и т. д. Естественно,	*
что предел берется при этом по одному и тому же множеству М	,
и в одной и той же точке х0, т. е. (в случае суммы) из	•
f(x)—>а npji х—> х0 по множеству Af;	’
£(*) — b . X—*х0 ,	„	м	;
следует:
f(x)'+g(x)-*a+b	!
при х—>х0 по множеству М ’	।
Аналогично записываются • теоремы о пределе произведения
и т. д.	* - J
Функция / может зависеть кроме х от каких-либо других |
переменных у, z, и, ... Пусть, например, дана функция f(x,y).
Говорят, что f(x,y) при х—►Хф стремится к пределу а неза- *
висимо от характера изменения у, если, каково бы ни было
£>0, можно найти такое 3>0, что из |х — х01<§ следует
\f(x,y) — а|<е,	. '
-каково бы ни было у. Такого типа пределы будут употреблены -j
в гл. VII при определении интеграла.	i
Если /(х) не имеет в точке х0 предела, то для изучения
характера изменения /(х) вблизи точки х0 будут необходимы
два новых понятия: верхнего и нижнего пределов.
Пусть х0 предельная точка множества Е, на котором опреде-
лена функция/(х). Рассмотрим интервал (х0 — е; х0-|-е) и обо-
значим Л4в верхнюю и т* нижнюю грани значений функции /(х),
принимаемых в точках'множества Е, лежащих внутри выделенного	>
интервала. При уменьшении е^>0 верхняя грань 2Ив может	j
только убывать, а нижняя грань тв только возрастать, поэтому2
4 Зчак -> везде дальше заменяет слова .стремится к“.
2 Теорема VIII из § 4* гл. III о моното н^х поел довательностях
сможет быть перенесена на функции непрерывного аргумента.

ПРИМЕРЫ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
151
при в, стремящемся к нулю, стремится к пределу М, а тл —
к пределу т; М называется верхним пределом*.
Af = lim/(x), х—>я0>
а т нижним пределом*.
/тг = lim/(x), х—>х0
функции /(х) при х—>х0 по множеству Е.
Очевидно,	и М^т. Если М^т, т. е. верхний
и нижний пределы совпадают, то f(x) стремится по Е при
х—>Xq к определенному пределу* -
lim/(x) = lim/(x)==lim/(x), х—>х0.
Если при любом е>0 функция f{x) остается в части мно-
жества Е, заключенной в интервале (х0— е; х0-р е), неограни-
ченной сверху, то пишут	ч,
=~|-°°> х—>хо-
Аналогично, в случае неограниченности f(x) снизу пишут
lim/(x) = — оо, х—>х0.
В случае УИ6, стремящегося к — оо при уменьшении е,
полагают
lim/(x)=—оо, х—>х0.
Наконец, если тг стремится с уменьшением е к -|-оо, то
х—* xq*
Пусть f(x) и g(x)— две функции, определенные на одном
и том же множестве Е. Тогда справедливы неравенства*.
Пт/(х)4-Пп1£(х)<Пт {/(х)4-^(х) } <|7т/(х) + | (6)
4-Нт^(х), х—>х0;	J	v
{/(х)+£(*) } <Нт/(х) + у
H-jinig(x), х—>х0.	i
Доказательство. Обозначим через L6, 2Ив и Л/^ верхние
и через /6, т* и п* нижние грани функций /(л), g(x) и f(x) -f-g(х)
в интервале (х — s; х -f- s). Тогда
152
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Переходя теперь к пределу при е—>0 и получаем неравен-
ства (6) и (7).
В частном случае
=	lira g(x)
неравенства (6) и (7) переходят в равенства
lira	} =lim/(x)4-lim^(x), х —>х0; (8)
Ит {/(х)-}-#(«) } = lim/(x)-|-lim^(x), х—>х0. (9)
$ 5. Последовательности функций.
Последовательность функций
~ /1W,	(К)
определенных на некотором множестве Е, называется сходящейся
на этом множестве, если, какова бы ни была точка xQ<^E> чи-
словая последовательность
Л(*о)» /2(*о)» • • • » /л(*о), • • •
сходится к некоторому пределу, который мы обозначим через
/(лг0). Определенная таким образом функция /(х0) называется
предельной функцией последовательности (10) и обозначается
/(х) = ПшД(х), п —>оо.
Мы можем формулировать это определение следующим образом:
Последовательность (10) называется сходящейся на множе-
стве Е к функции если, каково бы ни было положи-
тельное число е и точку х0 с Е, можно указать такое на-
туральное число k, что
1/(*о>—/«(*)! <е>	(П)
как скоро n^k
Число А, определенное в последнем предложении, зависит от
выбора числа е<0 и точки х0 с Е, так что для того, чтобы
выполнить условие (9), приходится, вообще говоря, для различ-
ных точек множества Е брать при том же е различные значе-
ния А. Поясним сказанное на примере.
Пример 11. Рассмотрим последовательность функций
Л(х), да, ..., да,...,	(12)
определенных следующим образом:
Ш = 2л+1^м
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
153
/„(*) =
f^x) = 0	для < х < 1.
Геометрически изображение функции fn(x) имеет вид черт. 13,
так что вся последовательность выглядит, как это изображено
на черт. 14.
Последовательность сходится к предельной функции /(х) = 0>
0	J
В самом деле, если xo = O, то /яОго) = О, каково бы на
было п и, следовательно,
НшД(0)=/(0)=0.
Если же О^хо то можно найти столь большое натураль-
ное число Л, *)то число ^<х0, и тогда /Л(ло) = О для всех
п k. Мы вновь имеем lim/Л(^р)=/(х0) = 0.
С другой стороны, каково бы ни было натуральное число k
: / — |
'Л I 2Л+Л /	1 ’
А	\	® I *
Итак, при е < 1 нельзя найти число удовлетворяющее
вышепоставленным условиям для всех значений х сегмента [0; 1J.
Последовательность (12) сходится, как говорят, неравномерна
на сегменте [0; 1]. „Неравномерность" заключается в том, что
154
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
для того, чтобы было выполнено условие (9) для данного е>0,
приходится выбирать различные значения k в зависимости от того,
где лежит точка х0: так, например, если xQ лежит, вправо от
точки то можно (при всяком е) полржить А=1, если х0
Г1 11	* '
лежит на сегменте I —; — , то для всякого е будет годиться
1 *	" I
k — 2, a k = 1 уже не годится для е < 1; вообще, если ха
Г 1 1 1	t '
лежит на сегменте —, то можно положить k = n для
всякого е, но для е < 1 нельзя взять k меньшим.
Изложенное дает повод к введению следующего фундамен-
тального определения:
Последовательность функций
/2(х), •••> //*)»•••>
определенных на некотором множестве Е, сходится равно-
мерно на Е'к предельной функции f(x), Ъсли для всякого
положительного чела е можно подобрать такое натураль-
ное число А, что во всех точках множества, Е выполняется
неравенство'.
|< 6,
если n^k.
Понятие равномерной сходимости принадлежит к числу наи-
более важных понятий во всей современной математике. Оно
было подготовлено работами Дирихле, впервые встречается в ра-
ботах Зёйделя (Seidel) и Стокса (Stokes); но первым математиком,
ставшим систематически его применять в самых разных вопросах
диализа, был Вейер нтрасс.
Примеры равномерно сходящихся последовательностей функ-
ций строятся легко. Рассмотрим, например, последовательность
функций /л(х) на интервале (0; I, причем
\ 2t /

/«(»)=14- х 4-л2	л".
Из элементарной алгебры известно, что
Нт/П(х) =,
£ г ‘— Л
аричем
1 00
Р — J
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
155
Далее
очевидно, что на интервале

ОО	00
= J _х ~~?п(х) =У] Х”+Р<^ 2пГр~
Р=1	Р=1
1
2*-г
Взяв k столь большим, чтобы
1 -
<е, где s — произвольно
малое положительное число, видим тотчас же, что последова-
/л 1 \
тельность сходится равномерно на всем интервале ( 0; I.
Таким же точно образом можно убедиться, что наша последо-
вательность сходится равномерно на всяком интервале (0; а),
где 0 < а < 1, а также и на сегменте с теми же концами 0 и а,
Кроме того, последовательность сходится и на всем интервале
(0; 1), но уже неравномерно (доказательство мы предоставляем '
провести читателю).
Докажем следующую теорему:
Если последовательность функций, непрерывных на мно-
жеств Е, сходится равномерно на этом множестве, то пре-
дегьная функция этой последовательности также непрерывна
на множестве Е.
Пусть дана последовательность функций
-	,/я(х),........... (13)
ч
сходящаяся равномерно на некотором множестве Е к функции /(х),
причем все функции fn(x) непрерывны на Е.	<
Возьмем произвольную точку xQ с Е и докажем, что/(г)
непрерывна в точке х0 относительно множества Е. Пусть дано
произвольное положительное число е. Выберем натуральное число k
столь большим, чтобы для любой точки хсЕ выполнялось
g
неравенство |/(х)—/я(х)К*т» каково бы ни было
о
В частности мы имеем для n==k
i/w—fk(x>  < 4
о
(14)
какова бы ни была точка х с Е.
Функция Д(х) непрерывна в точке х0 относительно множе-
ства Е, Значит, существует такая окрестность (х1; хп) точки
156	*	неЙреЙыЙные функции
что, какова бы ни была точка х/принадлежащая одновременно 4
этой окрестности и множеству £, выполнено неравенство
£
|/*(*о)-амк4-	о») 
о
Пусть х— любая такая точка. Для нее, стало быть, выпол-
нены неравенства (14) и (15), Кроме того, подставляя в_ нера-
венство (14) х0 вместо х, получим
iw-wi<4- об)
о
Из неравенств (14), (15), (16) имеем
i/(*0)-/(x);</(x0) -Л(х0)| + !4(х0)-Л(х)| + |Л(х)-/(л)1 <
_ е . е . s
+ т +	.
что требовалось доказать.
Равномерная сходимость последова-
тельности непрерывных функций пред-
ставляет, таким образом, достаточное ус-
ловие для того, чтобы предельная функция
была непрерывной; однако, это условие не
является необходимым, как видно из при-
мера 11.
В начале XX в. было найдено условие, од-
новременно необходимое и достаточное; в
рассмотрение этого условия мы, к сожа-
лению, в настоящем сочинении войти не
можем. Для нас интересен сейчас другой
факт, а именно, существование последовательностей непрерыв-
ных функций, сходящихся к разрывным функциям. Вот примеры
таких последовательностей:
< Пример 12. Функция fn(x) определена (для любого п) сле-
дующим образом:
, , ч	Л п— 1
fn (х) — 0, когда 0 гС х «С —-—;
ч	/ п — Ц	п—1	^-1
f(x) — n[x-------, когда -----<х<1.
ЛЧ 7	\ п I	п
Последовательность имеет вид, изображенный на черт. 15.
Легко видеть, что Кт/Я(х) существует и есть функция /(х\	|
равная нулю во всех точках сегмента [0; 1] кроме точки 1, где
$
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ фуНКЦИЙ
157
она равна 1. В самом деле, /л(1) = 1 для всех значений п, зна-
чит, и Ит/я(1)=/(1) = 1. Если же 0^х<Ч,то существует
, * — 1
натуральное число в столь большое, что х<;—г— и тогда все
К
функции /л(х\ начиная с £-й, равны нулю в точке х\ следова-
тельно, и 1ш1/л(х)=/(х) = 0. Функция /(х), очевидно, разрывна
в точке х = 1.
Пример 13. Сделаем следующее построение. Мы видели, что
смежные интервалы к. канторову совершенному множеству
распределяются на ранги, причем имеется один интервал нуле-
вого ранга, 2 интервала 1-го ранга, вообще 2Л+1 интервалов
ранга п. Мы обозначили интервалы нулевого ранга через U, а
интервалы ft-го ранга через 67/^...^, где iv li9 ... 9 ik суть нули
или двойки. Длина каждого интервала А-го ранга есть Обо-
значим через 0!/^.../^ левый, а через — правый конец интер-
вала
Построим для каждого натурального числа п функцию fn(x)
следующим образом:-
/я<х) = 0 во всех интервалах
/ . 1 , 1 \
«4 I 3/1 + 2»	3/1 + 2 у
ранга k < п\
если
। 1 \
х	ay....4"T" 3« + 2’ *	П'>
если
' ' 1 ,
&hh*• -ifc	3^+2 Х	»
— \ во всех остальных точках сегмента [0; 1].
Функции Д(х), /2(х), /3(х) изображены на черт. 16, 17» 18.
Читатель легко докажет, что последовательность /j(x),
/2(х), ... , /л(х), ..состоящая из непрерывных функций, схо-
дится к функции примера 4 предыдущего параграфа.
158
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пример 14. fn(x) изображается геометрически ломаной ли-
нией, полученной последовательным соединением прямолиней-.
ными отрезками точек плоскости с координатами
(0./(0)], [2„, /Ц], [2„,
где /(х). есть функция
примера 3 предыдущего
параграфа. Последователь-
ность fn(x) сходится к
упомянутой функции/(х),
причем ни в каком ин-
тервале эта последова-
тельность не сходится
равномерно (так как f(x)
ни в каком интервале
не является непрерывной)
Легко видеть, что
функции Цх), /2(х),
/3(г) изображаются так,
как на черт. 19.
Упражнения.
1.. Доказать, чт) функция
/ (х) =xsin -- непрерывна на
всей числовой прямой. По-
г строить ее геометрическое
3 изображение.
2. Доказать, что,функция
/(х)= —------р непрерывна
1
во всех точках числовой пря-
мой, за исключением х = 0.
Черт. 18.
где она имеет точку разрыва первого рода. Построить графику этой
функции.
3.	Обозначим через [х] наибольшее целое число, не превосходя-
щее х. И .следовать функцию / (х) = [х|.
4.	Исследовать функцию Римана /(х) = 0, если х число иррацио-
нальное; /(х) = -~, если х есть несоизмеримая дробь с знамен телем q.
Доказать, чго f(x) непрерывна во всех иррациональных и раз-
рывна во всех рациональных точках.
Доказать, что все точки разрыва первого рода (поправимые).
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
159.
5.	Доказать, что равномерная непрерывность функции f(x) на огра-
ниченном множестве Е есть условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы существовала функция <р(х), непрерывная на Е> и совпа-
дающая в точках множества Е с/(х).
6.	Доказать, что теоре-
ма П верна для всех функ-
ций, непрерывных на неко-
тором интервале.
7.	Исследовать функ-
х 1 . 1
ЦИЮ /(х) = — SH1
8.	Назорем колебанием
ограниченной функции / (х)
на сегменте А неотрицатель-
ное число <•>(/, А), равное	Черт. 19.
разности между верхней и
нижней гранями функции / (х) на этом сегменте/ Легко видеть, что
$сли А* С А, то ©(/, А*) ^<о(/, А). Вывести отсюда, что, когда сегмент А,
имеющий своею (ередиаой точку Е, неограниченно уменьшается подлине,
то со(/, А) стремится к определенному неотрицательному пределу <о(/, ЕК
называемому колебанием функции /(х) в точке 5.
9.	Доказать, что для того, чтобы /(х) была непрерывна в точке Ег
необходимо и достаточно, чтобы <о(/, Е) = 0.
10.	Доказать замкнутость множества точек 5, в котором произвольная
функция / (х) имеет колебание ш(Д Е) с (при этом с есть любое число)*
11.	Доказать (на основании результата предыдущего упражнения^
что множество точек разрыва любой функции есть (пустое или нет}
множество, явчяющееся суммой не более как счетного множества
замкнутых мн жеств.
12.	Построить пример функции, у которой множество точек непре-
рывности, так же как и множество точек разрыва, несчетно и всюду
плотно на [0, 1].
Часть вторая
Глава шестая
Измеримые множества и измеримые функции
В настоящей главе мы подойдем к изучению свойств мно-
жеств с иной стороны, чем мы это делали до сих пор. Внима-
тельный читатель мог заметить, что основным инструментом
нашего исследования в предыдущих главах было понятие окрест-
ности. Правда, не желая делать изложение чересчур отвлечен-
ным, мы иногда отступали от этого метода рассуждения при по-
мощи понятия окрестности, но суть дела от этого не менялась: те
свойства множеств, которые мы исследовали, существенно зависели
ют небольшого числа простых аксиом, которым удовлетворяют
окрестности точек на прямой. От измерения отрезков на прямой,
т. е. от точной количественной оценки длин, большинство до
сих пор рассмотренных результатов не зависело: все бы они
остались справедливыми, если бы мы вообразили себе нашу
прямую сделанной из резины и если бы мы ее как угодно рас-
тягивали, сжимали и изгибали, остерегаясь, однако, разорвать
ее. Другими словами, все те свойства множеств, которые мы
исследовали, не менялись при взаимно однозначных и взаимно
непрерывных отображениях, так как порядковые соотношения,
господствующие на прямой, не нарушаются при таких отобра-
жениях, а на порядковые соотношения только и опирались наши
результаты. Читателю будет полезно проследить с этой стороны
еще раз все сделанные нами выводы и постараться ясно увидеть
порядковую природу большинства доказанных до сих пор теорем.
Короче говоря, почти все исследованные нами свойства множеств
^ыли свойствами топологическими, они не зависели от мет-
рики прямой, т. е. длин и расстояний. Если топологические
свойства суть свойства прямой, остающиеся в силе в том слу-
чае, когда моделью этой прямой служит резиновая нить, то метри-
ческие свойства прямой — это те свойства, для формулировки
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ	161
которых прямую надо мыслить как твердый, неизменяемый стер-
жень. К исследованию этих метрических свойств множеств мы
сейчас и перейдем Для упрощения обозначений мы будем в этой
главе, вообще говоря, предпола! ать, что исследуемые нами мно-
жества помещаются на сегменте [0; 1] числовой прямой; мы
будем обозначать этот сегмент через 5, обозначая попрежнему
через Z всю числовую прямую в целом. Все определения и вы-
воды-*бере носятся, однако, без затруднений на множества, лежа-
щие целиком на любом сегменте [а; 6], т. е. налроизвольные огра-
ниченные множества.
§ L Дальнейшие свойства замкнутых множеств.
Займемся сначала некоторыми предложениями (по большей
части все еще топологическими), необходимыми для дальнейшего
и имеющими, впрочем, самостоягельный интерес. Так, например,
вспомним, что произведение любого числа замкнутых множеств
есть, пустое или не пустое, но всегда замкнутое множество,
а также, что сумма двух (и, следовательно, любого конечного чи-
сла) замкнутых множеств есть множество замкнутое. С другой
стороны, сумма счетного числа замкнутых множеств может не
быть замкнутым множеством. Так, например, полуинтервал [0; Г,
не будучи замкнутым множеством, есть сумма счетного числа
замкнутых множеств, а именно, сегментов
Г1 11. 1 гч г 1 •11
l2;	|_з: 2j’•••• Uh-i; л]””
Множество, которое может быть представлено как сумма конеч-
ного или счетного числа (различных или одинаковых) замкнутых
множеств, называется „множеством F/ В частности любое
замкнутое множество есть согласно этому определению множе-
ство Fe. Другим примером множества Fe может служить любое
счетное множество точек (так как множество, состоящее из
одной точки, замкнуто).
Докажем теперь следующее общее предложение, которое нам
будет очень полезно в дальнейшем. Пусть Elt £2, ... , Еп,...
суть произвольные множества (в конечном или бесконечном
числе), расположенные на S Тогда имеют место равенства:
5-П£„=5(5-£„),	(1)
$-2£я=П($-Ея),	(2)
где знаки произведения и суммы распространены на все данные
множества Еп. Совокупность равенств (1) и (2) называют иногда
1 Обозначение принадлежит Гаусдорфу (Hausdorff).
11 Александров в Колмогоров
162	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
законом двойственности (в применении к операциям сложения
и умножения множеств). Доказательство обоих предложений
очень просто.
1) Пусть хс5—П£*я; это значит, что х не принадлежит
хоть одному Еп, т. е. чю х принадлежит хоть одному 5—Ел
и, следовательно, принадлежит сумме	—Еп). Итак,
5-П£яс^(5-£л).
Пусть, обратно, ха	—Еп); это значит» что х принадлежит
хоть одному 5—Еп, следовательно, х не может принадлежать
реем Еп, т. е, х не принадлежит П2?я, значит, х принадлежит
S—Пбя. Таким образом %($— EJaS—и так как
выше мы имели —^я) э —ПЕд, т0
2($-£я) = 5-П£я.
2) Формула (2) есть простое следствие формулы (1). В самом
деле, обозначим через £** множество S—En и напишем фор-
мулу (1) для множеств £*. Получим
S-S(S-£„*) = nz?B,
или, заменив £* через S—Еп- л S — E* через Еа,
S-^En=^S-En).
Формулу (2) можно было бы доказать и непосредственно.
Из закона двойствейности следует, что всякой теореме, утвер-
ждающей нечто о ‘суммах или. произведениях замкнутых мно-
жеств, соответствует теорема, двойственная первой, полученная
заменой слов „замкнутое множество" словом „область*, слова
„сумма" словом „произведение", и наоборот. Так, например,
имеем двойственные предложений:
А. Произведение любого числа
'(конечного или беско-
нечного) замкнутых гно-
жест в есть замкнутое
множество (гл. Ш, § 5).
В. Сумма конечного числа зам-
кнутых множеств есть
замкнутое множество.
А'. Сумма любого числа (ко-
нечного или бесконеч-
ного) областей есть об-
ласть.
Вг. Произведение конечного чи-
сла областей есть об
ласть.
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ
163
С. Сумма счетного числа зам- Сг, Произведение счетного чи-
кнутых множеств может ела областей может не
не быть замкнутым мно- быть областью,
жеством.
Докажем-для примера предложение Вг, пользуясь предложе-
нием В и законом двойственности.
Пусть имеем конечное число областей Gv G2, ., Gn.
На основании формулы (1) имеем
п	п
Z = 1	/=3 1
Все 5—Gt суть замкнутые множества, значит, на основании В,
2(5—G^ — S—ПС, будет также замкнутым множеством и,
следовательно, ПС?, есть область.
Точно так же доказываются и остальные предложения.
Множество, могущее быть представленным как произведение
конечного или счетного числа совпадающих или не совпадающих
областей, называется согласно Гаусдорфу множеством О8. В част-
ности всякая область есть множество О8.
Из закона двойственности сразу следует, что если М есть
множество О8, то 5—-М есть Fo, и наоборот, если М есть Лс,
то 5—М есть G8.
Отсюда выводим, например, что множество всех иррациональ-
ных точек сегмента есть множество О8 (так как множество всех
рациональных точек, будучи счетным, есть множество Ло). Вся-
кий интервал есть множество F9 (в самом деле,
00
(а; *) = £[*„; *„1,
«=3
, Ь — а '	,	Ь — а\
где ад = а-|-----— и bn — b---------—I. Отсюда следует, что
всякая область (как сумма счетного числа интервалов)1 есть
также множество Fe. По закону двойственности легко выводим
из последнего предложения, что всякое замкнутое множество
есть множество Gz.
Заметим еще следующие очевидные соотношения, верные дли
любых множеств, лежащих на Ж	'
если Л о В, то S—A a. S — В\	(3)
если А 3) В, то А — B — A-(S—В).	(4)
< Ибо очевидно, что сумма счетного числа множеств типа F9 есть
также множество F9.
11*
164	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Так как произведение двух областей есть область, то из (4)
следует, что, вычитая из области содержащееся в ней зам-
кнутое множество, получим опять область.
Пусть на сегменте 5 даны множество Е и какая-нибудь
точка Е. Назовем расстоянием точки £ от множества Е ниж-
нюю грань множества расстояний от точки £ до каждой из
точек множества Е, т. е. нижнюю грань множества всех не-
отрицательных чисел |Е— х |, где х—любая точка множества Е.
Расстояние от точки $ до множества Е будем обозначать через
р(Е, Е\. Так как все числа |£— х| неотрицательны, то и их
нижняя грань неотрицательна, т. е. р (Е, F) 0. Если Е с: Е,
то среди интересующих нас чисел |Е— х|, хсЕ найдется чи-
сло |Е— В| = 0, так что р(Е, Е) = 0.
Если 5 с 5 — Е, то, как легко видеть, р(Е, Е) есть нуль
тогда и только тогда, когда £ есть предельная точка для Е.
Отсюда следует, что множество точек Е, удовлетворяющих усло-
вию р(Е, Е) = 0, совпадает с множеством Е. Непосредственным
следствием определения числа р(Е, Е) является также и то, что
если Е замкнуто и Е не принадлежит к Е, то р(Е, Е)>0.
Пусть теперь Et и Е2—какие-нибудь два множества сегмента 5,
Рассмотрим все числа | хх — х21, где х, есть любая точка мно-
жества Ev а х2— любая точка множеств! Е2. Нижняя грань
всех этих чисел обозначается через р(Еп Е2) и называется рас-
стоянием между множествами Е\ и ЕТ Расстояние между двумя
множествами, очевидно, всегда равно нулю в случае, если мно-
жества имеют общие точки. Но может случаться, что р(Ег Е2) = 0
и в том случае, когда Ej-Eg^O (достаточно взять Е3 = /о; ~ )
и Е3— \ 2 ’ /
Пусть теперь на сегменте 5 даны два замкнутых множества
Е/ и Е2. Покажем, что существует пара точек х и у, х a
uyaFi такая, чщо
|*-у| = р(Л, Fg).
По определению числа p(Flt Fg) можно для любого нату-
рального числа л найти такую пару чисел хя с Fg и уя с Fg,
чго
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ	165
Выберем из последовательности точек:	,
сходящуюся подпоследовательность; пусть это будет
хп^ хп^ • • • > хпк'> • • •	(5)
с пределом х=Пшлглточка х принадлежит множеству ибо
,	*-*оо 4
она является предельной точкой точек хт^ хп^ .принадле-
жащих замкнутому множеству Fv Выделим из последователь-
ности
......
сходящуюся подпоследовательность
У*’ Упе •••	<7>
с пределом y=slimjr ; очевидно, что у a F^
к
Рассмотрим последовательность
хпе	....	(8)
являющуюся частью последовательности (5).
Имеем
limх„ = limх„ , =х.
Кроме того, очевидно, что
|x—	— у
*->00	*	*
но по определению p(Fv Л2) имеем
₽(Рр	^4-Л-
отсюда	"л
I * — У I =lira I Хик —Упк । = P(F1> Fa)-
*->00
В том случае, когда замкнутые множества F, и F2 не имеют
общих точек, |х—«у|>0 и, следовательно, p(Fv F2)>0.
Примечание. Мы рассматриваем все время множества, распо-
ложенные на отрезке. Для неограниченных множеств последняя
теор ма не имеет, вообще говоря, места.
Из доказанного следует в частности, что если F замкнутое
множество и £ не принадлежащая к F точка, то имеется
точка ха F такая, что | £ — х| = р(£, F)>0.
Обозначим через 5 (F, е) множество всех точек х таких, что
p(r,	где F — замкнутое множество, а а — произвольное
положительное число. Докажем прежде всего, что S(F, а) есть
166	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
область. В самом деле, пусть Е есть любая точка множества
5(F, е) Достаточно показать, что Е есть внутренняя точка этого
множества, т. е. что существует окрестность точки, принадлежа-
щая к 5/, е). Пусть х есть такая точка множества F, что
]Е—х| = р(Е, F)<s,
и обозначим через 8 положительное число s — р(Е, F).
Пусть у—любая точка, отстоящая от Е меньше чем на 8.
Мы имеем:	*
РСу. —	51+р—*! = ь — 5| + р(£> ?)<\
<S-|-p(t, F)=e.
Итак, р Су, F)<e, следовательно, j/a5(F, е), а так как у
была любая точка интервала (Е— 8; Е -Ь 8), то наше предложе-
ние доказано. Заметим еще, что, очевидно, S(F, s)z^F при лю-
бом е>0. В самом деле, если х есть точка множества F, то
р(х, F) = 0<8.
Докажем, наконец, следующую фундаментальную теорему:
Любые два замкнутые множества Fj и F2, не Имеющие
общих точек, можно отделять друг от друга неперешсаю-
щимися областями, т. е. можно построить две такие области
и С2, чт9 Oj’O2 = 0 и OjZsFj, G2z>F2.
В самом деле, достаточно положить
Oj = 5	-g- j, О2»S ^Fa, -g-J,
где a=p(Fv F2). О,, и G2 суть по доказанному области, при-
чем GjZjFj, GarsF2. Остается доказать, что G1-G2 = 0. Пред-
положим противное, т. е. пусть имеется точка £cGj>02. Обо-
значим через х и у точки, принадлежащие соответственно мно-
жествам Fa и Fa и удовлетворяющие условиям:
|ж-£| = Р& Л),
'	|у-е|=йе, f2).
Точки х и у существуют на основании предыдущих резуль-
татов. Имеем:
|x-$|=pG, лх-у,
Ь—^ |=р (S, f2)	-g-,
откуда
\х—у\<вг
ТЕОРЕМА ВОРЕЛЯ-ЛЕБЕГА
167
что невозможно, так как
xcfp jcFj
и, следовательно,
|x—jjSspCFp f2) = o.
§ 2. Теорема Бореля-Лебега (Borel-Lebesgue).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть нам дана некоторая совокупность
интервалов; мы скажем, что интервалы этой совокупности покры-
вают замкнутое множество F, если каждая точка множества F
содержится хоть в одном из интервалов данной совокупности.
Теорема Бореля-Лебега. Если имеется некоторая беско-
нечная совокупность ЭЛ интервалов, покрывающая ограничен-
ное замкнутое множество F, то среди интервалов системы ЭЛ
можно найти конечное число, покрывающее множество F.
Доказательство (от противного). Предположим, что из дан-
ной совокупности ЭЛ нельзя выделить конечного числа интерва-
лов, покрывающих множество F. Обозначим через а и Ь ниж-
нюю и верхнюю границы множества F, через Д — сегмент [а; й],
через с его середину, через Fa— множество всех точек F, ле-
жащих на [а; с], через Fb—множество всех точек F, лежащих
на [с; 6]. Очевидно, F—Fa-\-Fb, причем каждое из множеств
Fa и Fb замкнуто как произведение множества F на сегмент.
Из нашего предположения следует, что, по крайней мере, одно
из двух множеств Fa и Fb не может быть покрыто никаким ко-
нечным числом интервалов системы ЭЛ (так как, если бы можно
было найти конечное число интервалов, покрывающих Fa и ко-
нечное число интервалов, покрывающих Fb, то совокупность тех
и других дала бы нам конечное число интервалов, покрывающих
Обозначим через Fx то из двух множеств Fa и Fb, которое
не может быть покрыто конечным числом интервалов системы ЭЛ1,-
через Дх—ту из двух половин сегмента Д, на которой лежит Fv
Предположим, что мы построили уже сегменты
Д0=Д, Др Да,, Д* -
и замкнутые множества
^2» • • • > ^*6
таким образом, что сегмент Az(/=1, 2,... , й) является воло-
виной сегмента Ам1, что F. лежит на Д, и содержит в себе FM,
* Если ни одно из двух множеств Fa и Fb не может быть покрыто
конечным числом интервалов совокупности ЭЛ, то обозначаем через Fi
любое из множеств Fa и Fb.
168
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫ В ФУНКЦИИ
что, наконец, ни одно из множеств Ff не может быть покрыто
конечным числом интервалов системы 9ft. Это справедливо для
любого i^k, в частности для i—k. Обозначим через ск сере-
дину сегмента ДА =	через Fak множество всех точек F&
лежащих на [аЛ: ^], через Fb— множество всех точек F# ле-
жащих на [еЛ; #А]. Очевидно, Fk — Fa^Fb^ причем каждое из
множеств Fa и Fbk является замкнутым (как произведение мно-
жества Fk на сегмент). Так как Fk не может быть, по предполо-
жению, покрыто никаким конечным числом интервалов системы 9Й,
то то же справедливо, по крайней мере, для одного из мно-
жеств Fa^ и Fbj это множество обозначим через Fk+1; оно ле-
жит на одной из двух половин сегмента ДЛ, и эту половину мы
обозначим через ДЛ+1.
Мы получаем, таким образом, бесконечную последовательность
сегментов
Д0 = Д, Др Д2, ... , Д&, • • •
и замкнутых множеств
< 0--* > ' ] , 1 2»
причем для каждого Л»1, 2, „
ной сегмента ДЛ-1, мпижс^юи i к
жат в себе множество Fk+r
и содер-
ожество
сегмент Д* является полови-
множество Fk лежит на сегменте ZL и содер-
Наконец, ни одно множество
не может быть покрыто конечным^числом интервалов системы 9ft.
b— а
Так как длина сегмента ДА равна -, значит, стремится
к 0 при возрастающем k9 то существует одна единственная точ-
ка £, принадлежащая ко всем сегментам Д*. Так как, с другой
стороны, ограниченные замкнутые множества Fk образуют убы-
вающую последовагельносгь, то произведение всех Fk не* пусто.
Но Fk(zlk9 поэтому ПГлс:11Ал, следовательно, П/^ состоит из
одной точки $ Точка $, таким образом, заведомо принадлежит
множеству F и, следовательно, содержится, по крайней мере, в
одном из интервалов системы 9ft. Пусть (хг; х”) — интервал си-
стемы 9ft, содержащий точку g. Обозначим через s наименьшее
из двух положительных чисел 5 — х? и л* — 5 и возьмем столь
большое k, чтобы - <С 8. Тогда сегмент Д^ содержа $ и
имея длину , целиком лежит на интервале (л ; х ); на этом
интервале лежит и подавно множество Fk, которое, таким образом,
ПОНЯТИЕ МЕРЫ МНОЖЕСТВА
169
оказывается покрытым одним из интервалов. системы $01 — во*
предки нашему предположению, что никакое конечное число ин-
тервалов системы не покрывает множества F. Полученное про-
тиворечие доказывает теорему.
$ 3. Понятие меры множеств. Измеримые множе-
ства. Теперь нам легко и удобно будет ввести и исследовать
понятие меры множеств. Понятие меры множеств, лежащих на
сегменте 5, есть обобщение понятия длины отрезков сегмента S.
Получается оно следующим образом. Пусть сначала мы имеем
какую-нибудь область QczS. Область О распадается на конечное
или счетное множество интервалов без общих точек: G — ^U^
' это распадение происходит единственным и вполне определенным
образом, так как интервалы, о которых идет речь, суть не что
иное, как смежные интервалы к замкнутому множеству 3—G.
Естественно рассматривать сумму длин этих интервалов как
общую длину или „меру" области О. Мы так и сделаем. Бу-
дем обозначать длину какого-нибудь интервала U (т. е. расстояние
между его концами) через ц ({/). Тогда, обозначая меру области,
через ц (О), будем иметь по определению ц(О) — S
(где сумма берется по всем интервалам Un, слагающим
область О). Заметим, что если интервалов Un бесконечно
оо
много, то ряд (С7Я), все члены которого положительны, схо~ ф
/2 = 1
п=к
дится, ибо при любом конечном k мы имеем 2 |t(C4)<L
/2 = 1
После того как определено, что такое мера области, определим
меру замкнутого множества. Раз мера должна быть обобщением
понятия длины отрезка, то естественно определить ее так, чтобы
сумма мер множества AczS и множества 3 — А равнялась длине
отрезка 5, т. е. единице. Пусть нам дано замкнутое множество F*
множество 5—F есть область. На основании только что
сказанного естественно назвать мерою замкнутого множества F
число р (F) = 1 — ji(£ — F). Это определение лает нам, в самом
деле, p(F)-|-J*(O) = p(S)=l в соответствии с равенством
^ + □==5.
Заметим сейчас же следующие Свойства только что устано-
вленного нами мероопределения замкнутых множеств и областей:
p(F) есть нижняя юань множества всех p(GF), где Gp.
есть любая область, содержащая F.
В самом деле, покажем сн1чала, что если GroF, то p(0F)^
^p(F). Обозначим через Г область S — F и предположим, что*
M(0/?Xp(F). Пусть Gp распадается на интервалы
170
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
, а область Г на интервалы Ц, Ц, ... , Un, ... Каждая
точка х сегмента S принадлежит некоторому интервалу V (если
xt^F) и некоторому интервалу U (если — F). Значит,
совокупность всех интервалов Vn и Un удовлетворяет условиям
теоремы Бореля-Лебега и, следовательно, существует конечное
число интервалов Un и Vfft покрывающих в своей совокупности
весь сегмент S; пусть это будут Uv U2,..., Uh и Vv V2, Vk.
Тогда очевидны следующие соотношения:
k
£g(lQ<g(OF)<g(n,
1=1
л
2>(Ц)^МГ),
/=1
откуда
/=«	/=й
ц u (vz)+g (t/z) <	+g (Г)=1,
1=1	/=1
т. е. сегмент (0;1) оказался покрыт конечным числом интерва-
лов, сумма длин которых меньше единицы. Очевидная нелепость
этого вывода доказывает, что (F)< р (OF), какова<бы ни была
область GjsOF, следовательно р (F) < inf р(Ог).
Для того чтобы показать, что g(F) есть нижняя грань всех
д(Ор), QpHFy остается показать, что, каково бы ни было
g> 0, можно найти область Qf:dF, мера которой меньше чем
ji(F)-{-s. Пусть Г = есть попрежнему область 5—F
Возьмем натуральное число k столь большим, чтобы
6

{если всех интервалов Un конечное число, то за k можно взять
число этих интервалов, если же интервалов Un бесконечное.
число, то существование k следует из сходимости ряда
Рассмотрим первые k интервалов Uv U2>..., Uk S — U
есть cyMMg^j-f“l сегментов [az; (/“1, 2,...,
ЗаключаезЖаждыЙ из этих сегментов интервалы V/=(ap
так, чтобы
8	8
в/=~ Ь‘ +
ПОНЯТИЕ МЕРЫ МНОЖЕСТВА
171
Имеем
. -	^^ = ^^+40ГЙ)’
*4-1	*4-1	, t=k
Ew-E^^+^-l+li-E*1^
1=1	/=1	\ /=1
Прибавляя к правой части последнего равенства положитель-
ное число
с’ 00
-о - Е м(Ц),
/=*4-1
мы получим неравенство
Л+1	/	со	ч
Ём(^)<«+(1-£|*(Ц))=в+и(л.
1=1	\ /=1	/
следовательно, конечная сумма интервалов У1 "h • • • 4“
и является областью, удовлетворяющей выставленным
требованиям.
Докажем, с другой стороны, что если О есть область, то
ji(G) есть верхняя грань всех	где (F®) есть любое
Злмкнутое множество^, лежащее в G. Прежде всего, так как
Gz>F°, то по только что доказанному, p(G)^p(F°); остается
показать, что для всякого 8^>0 можно найти FQ такое, что
pi(Fo)> p(G) — е. Пусть G=^Uj возьмем натуральное число
k столь большим, чтобы было
n=k
Ен(^>и(О)~2
Л = 1
и возьмем внутри каждого Un сегмент ДЛ, отличающийся по
S
длине от Un меньше чем на . Тогда сумма всех сегментов Дл,
1^л«СА, есть замкнутое множество F°c:O, и мы имеем, оче-
видно,
к	k
кр°)=(д„) > Е ита - 4 > и (о) - •.
Я=1	Л=1
Все до сих пор изложенное побуждает к установлению сле-
дующих определений: пусть дяно произвольное множество Ес S
Мы будем через ОБ всегда. обозначать произвольную область,
172	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
содержащую Е, и через FE — любое замкнутое множество, со-
держащееся в Е.
1. Назовем внешней мерой множества Е нижнюю грань мно-
жества всех неотрицательных чисел g(G£).
2. Назовем внутренней мерой множества Е верхнюю грань
множества всех неотрицательных чисел g(F£).
Обозначая внешнюю меру множества Е через g*(E), а внут-
реннюю — через g* (Е), заметим прежде всего, что g* (Е) щ (Е),
каково бы ни было множество Е. В самом деле, мы имеем всегда
ОлоЕоЕя, т. е. GEz^FBy а потому
g(Oe)>p(F₽),
каковы бы ни были область GezzE и замкнутое множество
FE<zE\ следовательно,
ц (ОЕ) > sup jx (F6) = g* (Е),
каково бы ни было Gez>E, и поэтому
g*(£) = Infji(G£)>M£).
Введем, наконец наше основное определение:
Если g* (Е) = g# (Е), то множество называется из мери-
мым, а неотрицательное число g (Е) = g* (Е) = g* (Е) назы-
вается мерой множества Е.	*
Заметим, прежде всего, что на’основании только что дока-
занных результатов любая область и любое замкнутое множество
изм римы.
Докажем, что если множество Е измеримо, то измеримо
и S—Е, причем g (Е) -|- g (3 — Е) — 1. Докажем для этого
равенство:
g*E=l-g*(S-E)
[чем в силу равноправия Е и 5—Е будет доказано и равенство:
рД5-5)=1-р*(£Л.
В самом деле, если замкнутое множество FE содержится в Е, то
область 5 — FE = GS~E содержит S — Е. Отсюда следует, что
— g(Os_E) так, что всякое число g(F£), где есть
произвольное замкнутое множество, содержащееся в £, может
быть рассматриваемо, как некоторое число 1 — g(Os_£), где
есть некоторая область, содержащая 5—Е. Обратно,
всякое число вида 1—g есть некоторое gfF^), так как
если Os^etdS—Е, то замкнутое множество FE—S—Gs_e<zE.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О МЕрЕ МНОЖЕСТВ	173
Итак, множество всех чисел g (FE) тождественно с множеством
всех чисел 1—g(Gs_£), а потому
Ц* (Е) = sup Ji (fB) = sup [1 — g (O5_P] = 1 — inf jx (OS_E) =
= 1 —|i*(S—£)
Пусть теперь E измеримо, тогда
g(£) = l-ji*(5-£).
т. e.
- p*(5-£) = l-g(£);
но
E) = l — g(£),
отсюда
g*(S-5) = m(5-£),
t. e. 5—E измеримо. Заменив g*(<?— E) через — E), мы
получим
ИЛИ
g(£) + g(S-£)==l.
§4. Основные теоремы о мере множеств. Пусть имеем
два множества А и В, ЛсВ; так как всякое GB есть в то же
время некоторое Ол, то множество W всех g(O^) есть часть
множества М всех g(Gx), а поэтому
g* (А) inf М < inf g* (В),
т. е.
Теорема I
Если А а В, mq g* (Л) «С g* (В)
Теперь докажем второе основное предложение:
Теорема II
Пусть дано конечное или счетное число множеств Лр
Л2,.,. , Лп, ..., удовлетворяющих единственному условию*
что Sg*(An) есть ряд сходящийся1. Тогда имеем соотно-
шение:
где суммирование распространено на все данные Ап.
* Если для всякого расходящегося ряда с неотрицательными чле-
нами ап положить 2ял = + оо и считать, что любое конечное число
меньше+ оо, то и условие сходимости 2!н*И) становится излишним.
174	< ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
-Предположим сначала, что все Ап суть области. Тогда каж-
дое Ап разлагается единственным образом на сумму конечного
или счетного числа попарно не перекрывающихся интервалов:
Ап — ^7+ и2 + •••+	••• »
что мы запишем для краткости так:
тогда, обозначая через А сумму всех Ап, имеем:
А-ЪА'=^
Заметим, что всех интервалов очевидно, конечное или
счетное число. Множество А (как сумма областей) есть область.
Следовательно, А разлагается единственным образом на сумму
конечного или счетного числа интервалов попарно без общих
точек. Обозначим через Wn эти интервалы:
. Так как интервалы Wn не пересекаются, то конец каждого
из них не принадлежит никакому другому Wm, следовательно,
не принадлежит никакому из интервалов Ц*. Отсюда следует,
что каждый интервал U% содержится в одном из интервалов
Wm и не имеет общих точек ни с каким другим интерва-
лом W'm. В самом деле, каждый интервал U% содержится в
А в 2 Wn, следовательно, каждая точка U” принадлежит какому-
.нибудь интервалу Wm. Пусть какая-нибудь точка интервала
принадлежит данному Если бы Ц* не принадлежал целиком
к Wm, то U% непременно содержал бы один из концов интер-
вала \что, как мы видели, невозможно.
Итак, все интервалы U% распадаются на классы, причем
к каждому классу относятся все те интервалы U£ (с раз-
личными п и k), кЬторые попали на один и тот же интер-
вал Wm. При этом весь интервал Wm покрыт целиком попавшими
на него интервалами Обозначим через ат и Ьт концы ин-
тервала пусть s произвольно малое положительное число,
меньшее во всяком случае, чем —	. Возьмем сегмент
ДМ —Га -к—: Ь------------].
т I гп. Г 2’ fn 2J
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О МЕРЕ МНОЖЕСТВ
175
Так как весь интервал Wm покрыт попавшими на Wm интерва-
лами то и подавно сегмент Д^ покрыт этими интервалами.
Выбирая из них, по теореме Боре ля-Лебега, конечное число, ви-
дим, что весь сегмент ДФ покрыт конечным числом попавших
на Wn интервалов t/J*. Следовательно, длина сегмента ДФ во
всяком случае не больше, чем сумма длин этого конечного числа
интервалов и подавно не больше, чем сумма длин всех
U* попавших на IF,. Так как длина сегмента ДФ есть
я	п	щ
ТО
где сумма распространена на все Ц*, попавшие на Так как
предыдущее неравенство верно для всякого е>0, то верно и
следующее неравенство:
(8)
Складывая все неравенства (9), написанные для /и==1, 2,3, ...,
и помня, что каждый интервал U* попал на один и только
на один интервал Wfn, получаем:
00
(»’>
те=1	(л) (Л)
но сумма, стоящая слева, есть как раз g(A), тогда как сумма,
стоящая справа, есть
SSi*(4)=Si*w.
(л) (ft)	(л)
Внося эти данные в (9'), получаем нужный нам результат:
и(Л)<£л(л„)
(в предположении, что все Ап суть области).
Пусть теперь Ап суть произвольные множества, лежащие на
сегменте S. По определению чисел JJt*(4w) существует, каково
бы ни было е>0, область Gn>An такая, что
176
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Мы имеем по доказанному:
g (S °-)	S (*** <л«>+f) 8+21 <л->«
«о сумма всех Gn есть область, содержащая А — ^Ап, поэтому
g*(Л)<g (£Оп) <е + £g*(Л„),
так как последнее неравенство справедливо при любом 8>0, то
Р*(Л)<2р*(Ля),
что требовалось доказать.
Докажем далее:
Теорема Ш
Если множества А и В отделимы непересекающчмася
областями, т. е. если существуют две области без общих
точек Од^Л и OBz>B, то
р* (Л 4- В) = р* A -f- р* В.
Заметим прежде всего, что если две области Ог и Og не
пересекаются, то
g(Ol + O2) = g(O1) + g(<?2).
В самом деле, пусть 0г = 2£/я и — причем никакие
два Ua и Um и никакие два Vn и Vm не пересекаются. Так как
то никакое Ua не пересекается ни с каким Ут.
Область
(Я)	-	(W)
распадается, таким образом, на попарно непересекающиеся ин-
тервалы U„ и Vm, так что
g(G1 + O2) = Sg(4/e) + Sg(^) = g(Oi) + g(O2)-
Пусть теперь А н В суть два множества, удовлетворяющие
условиям теоремы Щ. Обозначим через Г, и Г8 две непересека-
ющиеся области, содержащие соответственно А и В. По опре-
делению числа р*(Л4~В) существует такая область
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О МЕРЕ МНОЖЕСТВ
177
М (О(ДВ) <У* (А + В) + 8(
где е — произвольное положительное число. Рассмотрим области
и
G .Г
U2------------------------UA+B 12‘
Так как области G1 и G2 лежат соответственно в Г2 и Г2 и
^•1^ = 0, то и Gj • G2 = 0* и по предыдущему
g(G1)-|-pi(G2) = p(G1 + G2).
С другой стороны,
и
ВсО^О»,.
так что
р* (4X^(0,), |л*(ВХц(О4)
Gi Ga с Од+д,
откуда
g*(4) | g*(B)<|X(01) + l*(0») = g(01 + 08)<g(0^)<
<ц*И+в)4-8. ,
Так как это последнее неравенство справедливо для любого
е > 0, то справедливо следующее
р*(Л)-|-р*(В)<р*(Л + В);
но по теореме II мы имеем:
р*И)+р*(В)>р*(Д4-в),
так что в нашем случае непременно будет:
g*(4)4-p*(B) = g*(X + B).
Из только что доказанного предложения и из последней тео
ремы § 1 следует, что если F, и F, суть два замкнутых мно
жества без общих точек, то
Все предложения теории меры множеств суть следствия
основных теорем I, II, III и равенства р(5—Е) -|- р (Ё) = 1, не-
12 Александров и Колмогоров.
178	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
посредственно вытекающего, как мы видели в § 3, из определе-
ния измеримых множеств (только для них и определена мера g).
Следствие 1
Если А и В суть два измеримых множества без общих
точек, то А-\-В также измеримо, причем g^)-|-g(B) =
= }х(Л + В).
В самом деле, так как А и В измеримы, то, каково бы ни
было s>0, можно найти д^а таких замкнутых множества Fy q А
и F2aB, что
Ц(В1)>Ц(Л) — -1
и
g(B2)>g(B)-±
Так как FfFt = 0, то, замечая, что F’i-f-Fg есть замкнутое
множество, содержащееся в Л-|-В, имеем:
+ g(^2)>uH)4-g(B)—а
и так как это соотношение верно при всяком е > 0, то
(Л + В) > g* ( А + В) > g (А) + g (В);
но согласно теореме II
g*(4-t-B)<gG4) + g(B)
и, следовательно, в нашем случае мы имеем
g*H + B)=g^n + B)=gM) + g(B),
что требовалось доказать. Доказанное следствие, очевидно, обоб-
щается на случай любого конечного числа множеств.
Следствие 2
Если А и В — измеримые множества, то множества
АЦ-В и А*В суть тоже измеримые множества; если, кроме
того, В с А, то А — В измеримо и
U (л — 5) = g (Л) — g (В).
Так как какова бы ни была область Ga+b^A-]~ В и замк-
нутое множество FA+B<z А -|- В, всегда
М (ОА+В> > g* (Л + В) > g* (Л + В) > g (FA*B),
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О МЕРЕ МНОЖЕСТВ
179
то для доказательства нашего предложения достаточно построить,
каково бы ни было е>0, область GA+B и замкнутое множе-
ство FA+B такие, чтобы было
Р(Од+в)-М(^+в)<е;
тогда будем иметь
и так как е — любое положительное .число, то
Так как Л и В измеримы, то существуют такие замкнутые
множества FA и и такие области ОА и GB что
£ £
М (Л) - -4 < и (FA) < и (Л) < И (Ол) < g (Л)
£ £
g(B)--^<g(FB)< g(B)<g(Os)<g(B) + T,
откуда следует, что
£
0<и(Ол)-g(fA)<
А
&
- 0<g(Gs)-.g(F*)<-t
Л?
Область Ол-|-Ов содэржиг, очевидно, Л-|-£ и есть, следо-
вательно, некоторая область Ол+В Точно так же замкнутое
множество FA-\-FB содержится в А ^В и есть, очевидно, не-
которое FA*B.
Так как 0д+5 = 0л-]-0а и ГЛ4В=ВЛ-]- то
Ол+В - (Ол - FA) + (Ов- FB) \
^(Од+в-^+в)<И(ал-П + м(Ов-^).	(10>
Из результатов § 3 следует, что множества ОА*В — FA+B,
ОА — FA и GB — FB суть области (как разностй области и зам-
1 В самом де е, если хСбА + в- FA+B, то х, как точка множества
Ga+b = Ga + GB, принадлежит, по крайней мере, к одному из множеств
Ga или Gb\ пусть xcfy. Так как точка х не принадлежит к FA*B—
= Fa+ FBt то х не принадлежит к FA и, значит, xczGA — FA.
Если бы xczGBi то мы точно так же убедились бы в том, что
xcOs-FB; таким образом, всякая точка xaGA+B— F^+в содер-
жится, по крайней мере, в одном из множеств GA — FA или GB — FB-
12*
180
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
кнутого множества) и так как всякая область есть измеримое
множество, то имеем, по следгтвию 1:
Н (°Д + в) == И (^+S) + И (°А+В ~ fA+S)-
Аналогично получим:
fl(0x) = g(^)-|-g(G4-F>'),
ц(ал) = ц(^)4-ц(Ов-^)-
Из только что написанных равенств получаем:	>
U (Од+в-^Л+В) = (Оя+в) - М
И(ОД-Р*) = И(ОД)-И(^),
g(GB-F^ = li(GB)-|i(Fe),
и, подставляя полученные выражения в неравенство (10):
Р<Ох+в) - И (^л+в) < И (Од) ~ И tf*) + И (°в) - И (^.
Вспомнив, что по выбору множеств Ол, Вл, Ов и FB каж-
дая из разностей правой части последнего неравенства меньше
s	ш
—, получим
£t
Д(Од+в)-Р(^л+я)< 2+т = е’
что нам и нужно было.
Если А и В измеримы, то S—А и S — В тоже измеримы,
значит, по выше доказанному измеримо и (S—А)-|-(5— В),
т. е. 5—A-В. А если 5 — A-В измеримо, то и А-В =
= S — (S—А*В) тоже измеримо. Наконец, так как А и S — В
измеримы, то А-(5—В) тоже измеримо; в частности, если
Вс А, и А и В измеримы, то А — В измеримо, причем из ра-
венств
Д = (Д-В)4-В, и (А-рВ)-В = 0
я из следствия 1 вытекает, что
|i(4-S)==g(A).-|i(S).
Следствие 3
Если Ар А2,.... Ап, ... суть измеримые множества по-
парно без общих точек, то
оо
А^Ап 
* •
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О МЕРЕ МНОЖЕСТВ
181
измеримо, причем
м И) = £и(Дя).
Я=1
Заметим прежде всего, что ряд	сходится/ В самом
деле, каково бы ни было натуральное число п,
i=n
/=1
есть на основании следствия 1 измеримое множество, причгм
/i-п \	/=я
мп=Iх (У At)=У н (Л)-
\/=1	J	/=1
Так как
п
1=1
то Л4Я*С1; так как все не отрицательны, то Мп обра-
зуют неубывающую и, значит, сходящуюся последовательность
чисел сегмента [0; 1]. Предел М этой последовательности »
есть ио определению сумма ряда	На основании тео-
ремы II имеем:
со
м*(Л)^£нИя) = л1.
71=1
С другой стороны, так как Пт2Ия = 2И, то при вгяком е^>0
можно найти такое натуральное N, чго
при n^N, т. е.
м~~2 > n^N.
Так как
'	/=я
Ел
, 1=1
182
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
— измеримое множество, то существует замкнутое множество
такое, что
/1~п	>
И(Л>1* £4,
4 = 1	<
|>Ж-е.
Так как Fa Л, то ц* (Л) jx (F) >>/И — е при любом е^>0;
отсюда ^(АУ^М, и так как ц*(Д)^Л1, то у* (Д) = ц* (Д) =
= /И, что требовалось доказать.
Следствие 4
Сумма а произведение конечного или счетного числа
измеримых множеств есть измеримое множество.
Случай конечного числа измеримых множеств выводится (оче-
видно, полной индукцией) из следствия 2. Пусть дано счетное
число множеств Др Л2, ,.. , Лп, ... Очевидно, что
Л1 + Л2 = Л1 + (Л2-Л1.Д2),
Л1 + Л24-Л3 = Л1 + (Л2-Л1.Л2) + [Л3-(41 + Л2).Л8],
А + ^2 + • • • 4-Л„=Л1 + (Л,— ЛГЛ2)
• • • iJA»- И1 + Л2+ • • • +Ля-1),Ля]“
Складывая соответственно множества в левой и в правой частях
этих равенств и полагая В1=А1, В2 = Л2 — Л1-Л2 и т. д.,
получим:
со	со
/1=1	/1=1
Так как множества Вп — попарно без общих точек и согласно
следствию 2 все измеримы, то, очевидно (по следствию 3),
А есть измеримое множество.
Измеримость множества
ОО	00
ПЛп = $-£(£-Л„)
/1=1	/1=1	,
вытекает из только что доказанного и из измеримости множеств
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О МЕРЕ МНОЖЕСТВ
183
Следствие 5
Если Аг с: А2 с ... с Ля с ... суть измеримые множе-
ства и Л = Ля, то последовательность:
И=1
н(л2Х... < ц(4Х • • •
сходится к р(Л).
В самом деле,
00
4+JX1-4.M.
причем все слагаемые левой части последнего равенства не имеют
попарно общих точек; поэтому получаем, пользуясь следствием 3:
_ СО	г	'=«	-1
1»(4)=Д(Л1)4-£|»(Ля+1-Ал)=1йп g(A,) + I>A+1-AZ) =
п=1	л-»со|_	/=1	J
[i-n
л1 + Х(Л+1—л? = lim н(ля+1)>
JTf	J П-*00
что требовалось доказать.
К результатам этого параграфа примыкает еще следующее
важное предложение: каково бы ни было измеримое множе-
ство Е существуют два множества А и В такие, что
1)	А с В,
2)	А есть множество В ссхъ множество б8,
3)	м(Л) = р(£)=р(В;.
В самом деле, если Е измеримо, то можно для всякого на-
турального п найти замкнутое множество Fncz Е и (Класть
Оп э Е, такие, что
g(E)—+	<П>
Обозначим через А сумму всех множеств Fn, через В — про-
изведение всех областей Gn. Так как Еп содержатся в £, то их
сумма А также содержится в Е\ так как всеОд содержат Е,
то их произведение В также содержит Е. Кроме того,
А есть, очевидно, Fo, а В есть <78. Так как Fncz А с Е cz В а Од,
то соотношения (11) дают нам, наконец,
J* (£) - 1 < g (А)< ji (Е)	g (В) < g (Е) 4-1.
/>	л
184	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 11* ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Так как эти неравенства верны при всяком я, то
#	g(4)==p(E)===p(B),
что требовалось доказать.
Заметим, наконец, что
p(E-4) = g(E)-g(4) = 0,
и
. g(e-.£) = jx(B)~g(E) = O.
Из доказанного следует, что всякое измеримое множество может
быть представлено как сумма некоторого множества и мно-
жества меры 0 или как разность некоторого множества Gs и
множества меры 0.
Обратно, всякое множество, допускающее одно из таких пред-
ставлений, очевидно, измеримо, Заметим, что множества меры О
могут быть легко определены независимо от всей предыдущей
теории как множества, допускающие покрытие интервалами, сумма
длин которых как угодно мала. Отсюда следует, что мы можем
пдлучитъ новое определение измеримых множес не как мно-
жеств, отличающихся от некоторого множества F9 (или G*)
на множество меры 0.
Из последних результатов яснее, чем из каких-нибудь дру-
гих, видна исключительная важность множеств F* и Gs, с одной
стороны, и множеств меры 0 — с друюй, как основных элемен-
тов^ из которых слагается все разнообразие явлений, представ-
ляемых измеримыми множествами.
Дадим в заключение неско ibko примеров. Из основной тео-
ремы II вытекает, что сумма счетного числа множеств меры 0
есть множество меры 0. Так как множество, состоящее из одной
точки, очевидно, меры 0, то:
1.	Любое счетное множество имеет меру 0. В этом можно
убедиться и непосредственно следующим образом:
Пусть D есть счетное множество (например, множество всех
рациональных точек сегмента [0; 1]):
D = (Хр	; х^, ... )•
Возьмем любое s и построим вокруг каждой точки хп интервал
£
с центром хп и длины —. Состоящая из интервалов область О
л
имеет, очевидно, меру «5 У X —е.
ТЕОРЕМА ВИТАЛИ
185
2.	Дополнительное к D замкнутое множество F имеет
меру 1 — е. Если множество D всюду плотно (например, Z>
является множеством всех рациональных точек), то множество F
будет всюду разрывным множеством меры > 1 — е.
3.	Множество всех иррациональных чисел отрезка [0; 1] есть
множество меры 1.
4.	Канторово совершенное множество Ро имеет мер^
1	/ 1 1 2 f 4 ।	। 2я ।	\ Л
1 (з + 9 “^27’^”*“^ з«+1 “Ь
Заметим, наконец, что всякое замкнутое множество F меры > О
непременно несчетно и, следовательно, есть сумма совершенного
множества Р и не более чем счетного множества О, так что
p(F) = g(P).
Во всех предыдущих рассуждениях можно, следовательно, вместо
замкнутых множеств говорить о совершенных.
§ 5. Теорема Витали (Vitali). В § 2 мы установили
(теорема Бореля-Лебега), что из каждого покрытия 5Л ограни-
ченного замкнутого множества F можно выделить конечную
систему интервалов:
АрД2,	(11)
также покрывающую F. Докажем, что систему (11) всегда можно
заменить такой, в которой каждая точка покрыта не более чем
двумя интервалами. Допустим, что точка х покрыта тремя интер-
валами ч и Ачитатель легко установит (разбором всех
возможных типов их взаимного расположения), что один из трех
интервалов содержится в сумме двух других, его, -следовательно^
можно выкинуть из системы (1), не меняя ее суммы. Продолжая
эту операцию, рано или поздно, придем к системе
а;, д; ..., д;, т<п,	(i2>
дальше уже не приводимой.
Будем, кроме того, предполагать, что система (12) не содер-
жит интервалов, целиком входящих в какой-либо другой интер-
вал той же системы: такие также можно выкинуть. Расположим
интервалы (12) в порядке возрастания их левых концов и рас-
смотрим отдельно систему S' интервалов Д’, получивших при
этом нечетный номер, и систему 5" интервалов Д' с четными
номерами. Легко видеть, что интервалы каждой из этих двух си-
стем не пересекаются между собою. Обозначим через Е' часть мио-
186
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
жества F, покрытую интервалами системы S'; и через Е",— по-
крытую интервалами тогда:
+ = Л
поэтому
g(E') + g(E")>g(E)
и одно^из чисел g(E') и g(E") не меньше -~p(F).
Итак: из покрытия ЭЛ ограниченного замкнутого множе-
ства F можно выделить систему интервалов
51, .....5ftI	(13)
не пересекающихся между собою и покрывающих часть Е мно-
жества F с мерой g (Е) -i- g (F).
£
Допустим теперь, что F покрыто не интервалами, а сегмен-
тами А. Теорема Бореля-Лебега в этом случае уже не приме-
тима. Как всегда, предполагаем для простоты, что F лежит на
отрезке 5=[0; 1]. Поместим каждый сегмент Д-S внутрь неко-
торого интервала д длины, не превышающей
(l-f-eW-S).
Из интервалов § можно выделить систему (13), обладающую
указанными выше свойствами. Сумма разностей длин интерва-
лов 5, и соответствующих им сегментов S«AZ не превышает
i-k	i = k
^g(Sz—ArS)<s^g(ArS)«Ce.
/=1	»=i
Поэтому мера части Ё множества F, покрытой сегментами Az,
удовлетворяет неравенству
g (£') > g (£) - £ g (5Z - Д, • S) > т g (F) - е
Z =1	"
[причем Е обозначает часть множества F, покрытую интерва-
лами (13)].
Так как е>0 произвольно, то нами доказана
Лемма
Из покрытия ограниченного замкнутого множества F
сегментами А можно выбрать конечную систему не пересе-
кающихся сегментов
Ар А2, *.. , Дл,
ТЕОРЕМА ВИТАЛИ
187
покрывающую часть Е множества F меры
Установленные факты помогут нам доказать важную в при-
ложениях теорему:
Теорема Витали
Пусть Е— ограниченное измеримое множество и каждой
точке х, входящей в Е, поставлена в соответствие последова-
тельность сегментов Дя(а), содержащих х (может быть,
в качестве одного из концов), длина которых при п—>оо
неограниченно убывает. Тогда можно из сегментов Дл(х) вы*
брать такую конечную систему попарно не пересекающихся
сегментов*,
ДП\ ДП>....ДЧ	(14)
что мера части Е1 множества Е. не покрытой сегментами
(14), будет меньше любого, наперед заданного е>0.
Допустим вопреки теореме, что мера р (Е}) имеет нижнюю
грань |10>0. Тогда возможно найти некоторую определенную
$
систему (14), для которой ji(E'Xy jiq. Итак,
Mo-
Найдем замкнутое подмножество F множества Е' меры
М(О>-2
Множество F не пересекается с сегментами нашей системы (14*,
поэтому для каждой его точки х найдется хотя бы один (доста-
точно малый) сегмент Дя(лг), тоже не пересекающийся с сегмен-
тами (14). Следовательно, по доказанной лемме из сегментов
Дл(лг), не пересекающихся с сегментами (14), можно выделить
систему попарно непересекающихся сегментов
.....(15)
покрывающих часть F* множества F меры
188
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Мера части £* множества F, не покрытой ни сегментами (14),
ни сегментами (15), удовлетворяет неравенству 9
8	1
ц(£*)<|1 (£') — Ji(F)<у |*о — -g Мо<Ро*
Таким образом вопреки допущению мы нашли систему интерва-
лов (14) 4 (15), оставляющую не покрытой часть множества Е
меры меньше р0. Противоречие и доказывает теорему.
$ 6. Некоторые замечания о так называемых В» и
А~множествахг Среди приведенных следствий основных теорем
о мере наиболее важным является следствие 4: оно дает нам
возможность уяснить себе объем класса измеримых множеств.
Мы видели, в самом деле, что все замкнутые множества и все
области измеримы. Назовем их множествами нулевого класса: На
основании следствия 4 мы убеждаемся в том, что все множества
и G8, которые назовем множествами первого класса, также изме-
римы. Но можно итти дальше. Беря суммы счетного числа мно-
жеств мы, очевидно, получаем множества того же типа,
т. е. Точно так же, беря произведения счетного числа мно-
жеств О8, мы не получаем новых множеств. Но беря произведения
счетного числа множеств Fe, мы получаем, вообще говоря, новые
множества, называемые множествами таким же образом
суммирование множеств О8 дает нам новый тип множеств, так
называемые множества О8з. Множества Fe8 и О8з образуют
второй класс множеств; они измеримы на основании все того
же следствия 4. Зто построение все более сложных типов мно-
жеств можю продолжа в дальше. Суммирование множеств /\8
дает нам множества F68(X, перемножение множеств О8з дает нам
множества G8(y8 (множества Tpeibero класса) и т. д. Продолжая
эти рассуждения, мы получим все множества, которые
могут быть получены, отправляясь от замкнутых множеств
или от областей совершением операций сложения и умно-
жения в применении к конечному или счетному числу мно-
жеств. Этот чрезвычайно обширный класс множеств называется
классом В-множеств (ensembles mesurabhs В), по имени фран-
цузского математика Бореля, впервые обратившего внимание на
эти множества.
Ззпас всех В-множеств не исчерпывается множествами конеч-
ных. классов, закон построения которых мы только что наметили:
складывая последовательность множеств Ех, £2, ... , Еп, •. • , где
* Читатель, которому этот параграф покажется трудным, может опу-
стить его без ущерба для понимания дальнейшего изложения.
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
189
Еп принадлежит я-му классу, можно получить новое В-множе-
ство, не входящее ни в один из ранее определенных классов.
Чтобы действительно исчерпать запас всех В-множеств, необхо-
димо рассмотреть классы множеств, номерами которых будут так
называемые трансфинитные числа. Таким образом была по-
строена теория В-множеств Бэром и Лебегом L Без введения транс-
финитных чисел самое определение В-множеств, данное выше,
не может быть признано -достаточно точным. Более короткий
путь, приводящий к точному определению В-множеств, заклю-
„ чается в следующем:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система 'множеств, заключающая в себе
вместе с последовательностью множеств Ег Е2, ... , Еп, ...
со	со
также и их сумму	их произведение Еп, называется
П = 1	Л = 1
кольцом множеств.
Совокупность всех вообще множеств действительных чисел
есть, очевидно, кольпо.
В-множества, очевидно, тоже должны образовывать кольцо,
так как, если множества Еп могут быть получены указанным
выше способом, то то же верно и для их произведения и суммы.
Докажем, что среди колец, содержащих в себе все замкнутые
множества, есть наименьшее. Для этого дооаточно рассмотреть
общую часть всех таких колец/ т. е. систему В таких множеств, •
которые входят в каждое кольцо, содержащее все замкнутые
множества. Система В, очевидно, тоже содержит все замкнутые
множества; если Elt В2, ... , Еп, ... входят в В, то легко
-	ОО	00
видеть, что и сумма и произведение тоже входят
Я=1	Л=1
в В; наконец, В вхйдит в любую другую систему, удовлетворяю-
щую этим же требованиям, т. е. действительно является наимень-
шим кольцом, содержащим все замкнутые множества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество называется В-множеством,
если оно входит в каждое кольцо* содержащее все замкнутые
множества, т. е. входит в систему В.
Все В-множества оказываются измеримыми. В самом деле,
следствие 4 может быть выражено так: измеримые множества
образуют кольцо; так как замкнутые множества измеримы, то
В-множества по доказанному входят'в это кольцо.
--------2Т“
* Дебет* (Lebesgue), Бэр (Baire) и Борель (Borel) — выдающиеся
современные фзашизские математики, создавшие основные отделы тео-
рии функций действительного переменного.	•
190	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Важность класса всех В-множеств определяется тем, что опе-
рации сложения и умножения суть основные операции теории
множеств, а замкнутые множества и области суть самые доступ-
ные и наиболее изученные множества. Поэтому естественно ока-
залось, чго В-множества, как множества, полученные из замкну-
тых множеств и обласей путем совершения операций сложения
и умножения, стали играть в математике совершенно исключи-
тельную роль: все множества, к которым фактически приводили
проблемы, анализа и геометрии, неизменно оказывались В-мно-
жествами, так что в В-множествах многие математики видели ♦
как бы окончательный запас множеств, построение которых
может быть осуществлено закономерными математическими
операциями. От этой последней точки зрения пришлось, однако,
отказаться, после того как -московский математик М. Я. Суслин *
показал, что возможно выйти за пределы В-множеств, оставаясь
на почве определения множеств закономерными математическими
операциями. Более широкий класс множеств, открытый им, на-
зван им классом Л-множеств.
Любое Л-множество (в том числе каждое В-множество) по-
лучается из сегментов следующим образом. Предполагается, что*
каждой конечной системе целых чисел
*2’ ^з» •
поставлен в соответствие определенный сегмент
...
Тогда каждой последовательности
fj, /2, • • • ,	• • •
целых чисел соответствует последовательность сегментов
А/,; А/„ Д/„	... 5 А/„ i,./„;•••
Произведение всех этих cei ментов называется ядром
Rii.ii...1а.".
Сумма ядер, соответствующих всевозможным последователь-
ностям ilt lt, i3, ... , ln, ..., и называется A-множеством, опре-
деленным системой сегментов А,я.
В настоящее время построена (главным образом, Н. Н. Лузи-
ным) подробно разработанная теория A-множеств. Доказано,
что все A-множества измеримы.
< Род. в 1894 г., ум. в 1919 г.
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
191
Доказано, далее, что для того чтобы множество Ес S было
В-множеством, необходимо и достаточно, чтобы множества Е и
S—Е были оба Л-множествами.
За недостатком места мы не можем здесь излагать те часто
очень глубокие и интересные предложения, из ксторых слагается
теория А- и В-множеств. Упомянем лишь еще, что всякое несчет-
ное Л-множество ^значит, в частности всякое В-множество) со-
держит совершенное множество и потому имеет мощное!ь кон-
тиниума.	\
§ 7. Измеримые функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется измеримой,
если множество М, в котором она определена, есть изме-
римое множество и если для всякого е^>0 можно найти
замкнутое множество F с: М меры, большей чем у. (М)—е,
на котором f(x) непрерывна.
В частности измерима всякая функция /(х), определенная
на измеримом множестве и непрерывная на нем.
Из приведенного определения измеримости непосредственно*
вытекает следующее замечание:
Если f(x) — измеримая функция, М — множество, на ко-
тором она определена, Е — произвольное измеримое подмно-
жество множества М, то существует замкнутое множе-
ство Ff с: Е, на котором /(х) непрерывна и которое по мере
сколь угодно мало отличается от множества Е.
Достаточно, в самом деле, взять множество F, упоминаемое
в определении измеримых функций, и рассмотреть множество E-F.
Оно, очевидно, измеримо, причем, Е — E*F=E*(M—F), сле-
довательно,
Е — E-FccM—F,
g(E —£.F)<g(M —В)<Л
g(E-F)>g(£)-е.
Возьмем такое замкнутое множество ГЕс. E-F, чтобы
g(F£)>}A(E-f) — s;
тогда, очевидно,
так как /(х) непрерывна на FE с F и 2е сколь угодно мало;;
то наше утверждение доказано.
Примечание. Для простоты письма мы вэ всем дальнейшем будем,
обозначать н(Л1) через J.
192	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА. И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Докажем теперь следующую теорему:
Сумма, разность, произведение и частное двух измеримых
функццД, определенных на одном и том же множестве Л1,
есть измеримая функция (если исследуем частное, то предпола-
гаем, кроме того, что делитель не обращается в 0).
Четыре утверждения, содержащиеся в этбм предложении, до-
казываются одинаково.
Лемма
Если Еу и Е2 суть два измеримых множества, мера
каждого из которых больше J — е, то g (Ег • Е2)	J — 2е.
В самом деле,
|1(Л1-£1.£2) = ц[(М—£1ШМ—£2)]<?1(Л1—£1) +
4- g (М — Е2) < s + е=2е,
следовательно,
g {Е1 • Ег) = J-g (М - Ег-Е2) > J— 2s.
Пусть теперь /,(*) и /2(х) суть две измеримые функции.
Бозьмем произвольно малое е и построим два совершенных мно-
g
жества Pt и Р2, каждое меры ——, причем такие, чтобы
/j(x) была непрерывна на а /2(х) непрерывна на Р2. Тогда
Pj’Pg есть замкнутое множество меры	на котором обе
функции А (л) и А(х) непрерывны. Следовательно, на Р непре-
/ U)
рывны и функции /2(х) ±/2(х), /j(v)•/«(*) “/(Tj*
Так как s произвольно, то измеримость каждой из функций
AW±/2(*)> Л(*)72(*) и доказана.
Чтобы итти дальше, нам нужен ряд лемм.
Лемма 1
Если ЕГ Е2,..., Еп,... есть последовательность измери-
мых множеств, включенных в одно и то же измеримое мно-
жество Р, причем
ТО
(00	\
П£„ >g(P)-e.
/1=1	'

ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
193
В самом деле,, лемма 1 следует из неравенств:
/	/ со \	/ оо \ оо	оо
|	\	Л-1	/	\^1	/ Я=Х1	Z
Лемма 2
Пусть
/,W> Л(х)...../„(*),...	0>)
есть сходящаяся последовательность функций, непрерывных
на замкнутом множестве F (меры>Ъ). Каково бы ни
было е>0, можно найти замкнутое множество PqF
меры большей чем p(F) — е, на котором наша последова-
тельность сходится равномерно.
Пусть даны три произвольных натуральных числа h, р, q,
t Обозначим через E^q множество всех тех точек F, в которых
непрерывная функция fp(x)—fq{x) удовлетворяет условию
—{^/р(х)-4(х)<+у.	(17)
На основании теоремы I гл. V, § 2 множество q замкнуто.
Условие (17) можно, очевидно, записать также в виде
14 W-/«(*)
Обозначим теперь через Е^ (где г—произвольное натуральное
число) произведение всех множеств Е*^ в которых индексы р
|и q принимают значения, удовлетворяющие условию q^p^r.
Другими словами, множество Е^ есть множество всех точек х
множества F, удовлетворяющих условию
(,8)
каковы бы ни были натуральные числа р и q, не' меньшие чем г.
Так как Е^ есть множество всех тех точек F, в которых усло-
вие (18) выполнено для всех р и q, начиная с p — q=r, a Е^х
— множество тех'точек, в которых тоже условие выполнено только
для всех р и q, начиная с = то всякая точка мно-
жества Е^ принадлежит и подавно к множеству
Итак:
Е^сЕ^с ... <=.£*<=. ...	09)
13 Александров и Колмогоров
194	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
ОО
Докажем, что множество У* £* совпадает с множеством F.
л—1
Достаточно показать, чго каждая точка х с: F принадлежит
со
к У EJ. Но это прямо следует из сходимости последователь*
z=l
иости (16): в самом деле, так как числовая последовательность
А(*)> f2{x)....................../„(X), ...	*
сходится, то по принципу сходимости Коши существует такое г9
что )/^(х)—4W|<p каковы бы ни были натуральные числа
q^p^r. Следовательно, х с 5*.
Каждое множество Е^ как произведение замкнутых множеств
Ег само замкнуто; обозначим через р* его меру. Так как
00	z
r=l
ТО
lim g* = g = g(F).
г-* CO
Значит, существует такое значение г, назовем его гд, что
g	g
2^=н- —л-
Рассмотрим множества Е^ с F для всех значений Л= 1, 2, 3,...
со
На основании леммы 1, множество	Е^ имеет меру боль*
Л=1
шую чем р (F)----В множестве Е непременно содержится
замкнутое (и даже совершенное) множество Р меры большей чем
£
g(£)-2->g(F)-e.
л
Покажем, что последовательность (16) сходится равномерно на
множестве Р.
В самом деле, пусть дано. произвольно малое число q > О.
1	71
Возьмем h столь большим, чтобы	Мы имеем
h	2
Р а Е С Е^
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
195
следовательно, какова бы ни была точка хсР
лишь бы q^p^>rh. В частности
1Аа(х)-/я(х)|<1<^-,	(21)
каковы бы ни были х с: Р и n^rh. Так как последнее неравен-
ство выполнено для всех n^rh и так как f(x) = lim/n(x), то,
«-►00
заставляя п в (21) стремиться к оо, получаем
<и>
(для всех х с Р) Сопоставляя неравенства (21) и (22), получаем
I/(*)—/„(*) I <= Ч»
каковы бы ни были точка х с: Р и натуральное число л>гй.
А это значит» что последовательность (12) сходится равномерна
на Р, что требовалось доказать.
Мы скажем, что какое-нибудь явление имеет место почти
всюду на некотором измеримом множестве Е меры > 0, если оно
имеет место во всех точках множества £, за исключением, мо-
жет быть, точек некоторого множества меры 0.
Условившись в этом способе выражения, заметим, что преды-
дущими леммами уже доказано следующее предложение:
Теорема Д. Ф. Егорова1
Если последовательность измеримых функций сходится
пойти всюду на измеримом множестве Е, то> каково бы
ни было 8>0, можно найти' совершенное множество
PczE, |д(Р)> ji(£) — s, на котором последовательность
сходится равномерно2.
< Род. в 1859 г., ум. в 1931 г. Кроме этой теоремы, на ко орол
в значительной степени основывается дальнейшее развитие исследования
Московской шкоты в области теории функций действительного пере-
менного, ему принадлежит ряд работ по диференциалыюй геометрии и
различным вопросам анализа.
2 Интересен лишь случай, когда ц(£)>0, так как для |i(E) = 0,
теорема, ооаваксь формально правильной, делается бессодержателнк>й —
множество Р оказывается пустым.
13*
196
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть, в самом деле, дана последовательность
/,(*)./,к).......................(28)
удовлетворяющая условиям теоремы.
Так как последовательность (23) сходится почти всюду на Е,
то она сходится во всех точках некоторого множества Е— R,
где R есть множество меры 0, и Е — R есть, следовательно,
измеримое множество той же меры, что и Е. Обозначим меру
множества Е через Л
е
Существует совершенное множесгво Рос£, р (Ро) (Е) — —;
далее, существует для каждого п совершенное множество Рп
Mepbi>g(£)—2^72, на котором fn(x) непрерывна.
Так как ц(Е —Рп)<^,
ТО
,00	.00	00
'л=1	'	л=1	Л=1
00	00
Но (Е — Рп) есть Е — ПРЙ> следовательно,
Л=1	л-1
/ 00 \
м(5-Пря)<| .
\	п = 1	*
и подавно
значит,
М (Ро • П рп) > И (Ро) —г > м (*) —у •
00
Замкнутое множество Р0*П Ря содержит совершенное множе-
№1
ство Р* той же меры. На множестве Р* все функции jn(x)
непрерывны и последовательность (23) сходится. Следовательно, по
измеримые Функции
197
лемме § 14, существует совершенное множество РсР*, на кото-
ром последовательность (23) сходится равномерно, и когорое
имеет меру большую чем
Д (^*) >g (£)-«,
что требовалось доказать.
Из теоремы Д. Ф. Егорова мы можем сразу сделать заклю-
чение об объеме класса измеримых функций. В самом деле, мы
прежде всего выводим из доказанной теоремы нижеследующее
следствие.
Следствие
Если последовательность (23) измеримых функций^ опреде*
ленных на одном и том же измеримом множестве М, схо-
дится почти всюду на множестве /И к /(х), то J (х) есть
измеримая функция,
В самом деле, мы нашли при доказательстве теоремы Д. Ф.
Егорова такое совершенное множество Р, меры ц(Р)> jx (М) — е,
на котором 1) все /я(х) непрерывны; 2) последовательность (23)
сходится равномерно.
Но тогда и предельная функция /(х) непрерывна на Р и
так как |Л (Р) > g (Л4) — е, где е пр; извольно мало, то /(х)
измерима.
Выведенное сейчас следствие позволяет показать, что объем
класса измеримых функций чрезвычайно велик. Будем называть
функцию /(х) функцией первого класса, если она является пре-
делом сходящейся последовательности(х), f2 (x),..., fn(x), ...
непрерывных функций; каждая такая функция по доказанному
измерима. Предельные функции для сходящихся последователь-
ностей функций первого класса назовем функциями второго
класса и т. д. Функции всех возникающих, таким образом, клас-
сов измеримы. Точно так же как в случае множеств к ассифи-
кация функций может быть продолжена по ряду трансфинитных
чисел. Про все возникающие при э^ом функции говорят, что
они входят в классификацию Бэра или являются В-функциями.
Все В-функции измеримы.
Строгое определение класса P-функций получается или при
помощи трансфинитньх чисел или аналогично тому, как быт
выше определен класс всех В-множеств. Именно, рассматриваются
всевозможные классы функций, содержащие в себе все непре-
рывные функции, и такие, что если в них входят функции схо-
дящейся последовательности, то входит и предельная функция.
198	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА и измеримые функции
Доказывается (так же, как и для множеств), что среди таких
классов есть один наименьший; он то и называется классом
В-функций. Высказанное выше утверждение об измеримости всех
В-функций теперь доказывается без труда: класс измеримых
функций содержит в себе все непрерывные функции и содержит
пределы сходящихся последовательностей своих элементов, а та-
кой класс функций по самому их определению содержит все
В-функции.
Заметим, что такую простоту и ясность понятие измеримо-
сти функций получило только недавно в работах Н. Н. Лузина.
Первоначальное определение свойства измеримости, данное Лебе-
гом (и обычно сохраняемое в качестве определения и сейчас),
совсем иное и гораздо более формальное. Лебег называет функ-
цию f(x) измеримой, если, каково бы ни было действительное
число а, множество tcex тех точек, в которых f(x)^a, так
же как и множество всех тех точек, в которых f[x)^a,
измеримо. Н. Н. Лузин впервые доказал, пользуясь теоремой
Д. Ф. Егорова, что лебеговское понятие измеримости есть не
чго иное, как то свойство „приближенной непрерывности*, ко-
торое мы приняли в настоящем сочинении за определение не-
прерывности. Сохраняя лебеговское определение измеримости,
Н. Н. Лузин формулировал определение измеримости, данное
здесь, как необходимое и достаточное условие измеримости
функций и этим впервые выяснил геометрическую структуру
измеримых функций.* Доказательство эквивалентности по ожен-
ного в основу настоящего изложения условия Н. Н« Лузина и
первоначального определения Лебега может быть построено так:
Лемма
Если замкнутое множество F есть сумма конечного чи-
сла замкнутых множеств F19 F2, ... , Fn попарно без общих
точек, и если функция f(x) постоянна на каждом из мно-
жеств	то f(x) непрерывна на множестве F.
В самом деле, пусть £ есть произвольная точка множества F',
она содержится в одном и только в одном Ft. Обозначим через Ф
сумму всех остальных множеств:
Ф=Л+^4-.-.+^-1 + ^1 + ... + Л,-
Ф есть замкнутое множество, не содержащее точки S, следова-
тельно, существует окрестность (xf; х") точки S, ,не содержащая
ни одной точчи множества Ф. Раз так, то все точки множе-
ства F, попавшие в (х1, х") содержатся в Fr следовательно,
если х есть одна из этих точек, то /(л)=/($) [так как /(х)
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
199
постоянна на FJ, и поэтому |/(S) — /(х)| = 0, какова бы ни
была точка xczF, попавшая в (л?; х"), что требовалось доказать.
Пусть М— попрежнему измеримое множество, на котором
функция /(х) определена.
Обозначим через E\a<^f(x)<^b} множество тех точек М9
в которых выполняется "условие, стоящее в скобках. Выражения
Е(а*^х^Ь), Е(а^х), Е(х^Ь) имеют аналогичный смысл.
Нам нужно доказать следующие два предложения:
А. Если £[as^/(x)] и Е [/(х) «С а] суть при всяком а
измеримые множества, то /(х) есть измеримая функция (в смысле
определения, данного в начале этого параграфа).
В. Если /(х) есть измеримая функция, то множества
£[й5^/(х)] и £[/(х)<а]
всегда измеримы.
Докажем сначала предложение А.
Итак, дано, что £[/(х)^а] и £[/(х)^а] суть всегда изме-
римые множества. Отсюда следует, что множества
Е [a	b] =Е [а </(х)] •£ [Дх)< Ь]
и
£[/(д)—«]=£[/(*)<«]•£ [/(*)>«],
где а и b— произвольные числа, а <6, измеримы, как произве-
дения измеримых множеств. Замесим, далее, что множества
Е [а </(*)] =Е [« </(*)]-Е (а=/(х)]
И
Е [/(аг) < а] = Е [/(х) < а] - Е [/ (х) = а)]
как разности измеримых множеств измеримы; множества
Е [« < fW <Ь]=Е[а </(х)]  Е [Ь >/(х)],
Е [а </(х) < й] = Е \а </(х)].Е [Ь >/(х)]
и
^[а</(х)<6] = £[/(х)>а].^[/(х)<6],
где	являющиеся произведениями измеримых множеств,
также измеримы.
Пусть теперь /(х) есть функция, удовлетворяющая условию
предложения А. В каждой точке множества М функция /(х)
предполагается определенной, следовательно, принимающей неко-
торое действительное значение. Отсюда следует, что каждая
точка хсЛ1 входит в одно из измеримых множеств
£[—пг^/(х)«^л], (л — натуральное число)
Ц
200	ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
и потому
00
М = £ Е [— п </(г) < л].
Л = 1
Так как очевидно, чю
Е [— Ж/(л) < я] сЕ [— (я 4-1 )</(*)< п + 1],
то
J=|t(dl) = liniц {Е[— яе5/(л)<«]},
Л-+00
откуда следует, что для любого е>0 можно найти столь боль-
шое натуральное число N, что
р {Е[—	> J— *•
Обозначим измеримое множество Е[—через Е.
Разобьем сегмент [—ZV; Л/] на 2№i равных частей (где п про-
извольнее натуральное число) точками
(<>=_«+!..........
'!•'=«+1........<« -N
и обозначим через Е* измеримое множество
2Nn.
i=2Nn
Очевидно,	причем En^E^ = Q9 если i=^j. Выделим
/-0
из каждого множества Е* такое замкнутое множество F" что
И (^?) > М (£<•) ™ 2n-2Nn
2Nn
и положим	Замкнутое множество Fa имеет меру
2Мг	2Nn	.
Z=1	v	'
Множества и i 7^/, очевидно, без общих точек. Опреде-
лим функцию /д (х) на замкнутом множестве Ftt следующим
образом:
/nW = /P если xaF".
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИЙ
201
На основании тол! ко что доказанной леммы fn (х) непрерывна на
всем множестве Р1. Пусть, далее х—произвольная точка мно-
жества F"; она содержится в одном и только в одном F". Так как
xczFfciE^, то 4—значит,
о </(х)	(х) < 4») - 4'011,
какова бы ни была точка xcf”.
Рассмотрим замкнутое множество
оо
F=n/„;
п=1
так как g(F„) > g (Е) — и F„cE, то g (Е)> g (Е) — е. Так
как FczFn при всяком п, то для всякого п функция fn(x) не-
прерывна на F и, кроме того, |/(х)—fn (х) | какова бы
ни была точка xtzF. Следовательно, последовательность функций
непрерывных на F, сходится равномерно на F к функции /(х),
а потому и f(x) непрерывна на F. Так как g (F)>y\E)—s> J—2s
и s — произвольное положительное чисто, то /(х) измерима, что
требовалось доказать.
Перейдем теперь к доказательству предложений В.
Пусть /(х) есть измеримая функция (определенная на изме-
римом множестве М) и пусть a ecib любое действительное
число. Докажем, что Е [/(х) а] и £*[/(х)^а] измеримы.
Доказательство совершенно одинаково в обоих случаях. До-
кажем, что Е [/(х) а] = Е измеримо. Обозначим через ^зам-
кнутое множество меры > J — -i-, на котором f(x) непре-
рывна. В силу нашего определения измеримости такое Fn не-
оо
пременно существует. Множество Л = Fn измеримо, причем
Я=1
g (Л) = g (М) = J. В самом деле, при любом п
M—A<=.M — Fn,
ц(Л4-Л)<ц(Л!-Е„)<~,
202*
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
т. е.
— Д) = 0.
Имеем, далее,
Е==£.Л+ Д/И —Л).
Так как g {Е(М— Л)}=0, то измеримость множества Е бу-
дет доказана, как скоро мы докажем, что f-Л измеримо. Но
со
= Е*ВЯ; нужно, значит, только доказать, что всякое
п
E*Fn измеримо. E-Fn есть множество тех точек в которых
функция	Так как /(х) непрерывна на Еп, то это мно-
жество замкнуто (на основании теоремы I, гл. V, § 2), следовательно,
измеримо, что требовалось доказать.
Итак, измеримые функции могут быть определены как
такие функции /(х), для которых все множества Е[/(х) а]
и E{f(x)^a} измеримы.
Интересно задать себе вопрос, каковы те функции, для ко-
торых множества Е[/(х)«Сл] и Е[/(х)^а] суть В-множе-
ства. Оказывается, что это суть все В-функции и только они.
Этот интересный результат принадлежит Лебегу. Из него де-
лается понятной важность класса В-множеств,
УПРАЖНЕНИЯ
1,	Обозначая через Ь(ЕЯ) множество всех точек, принадлежащих
к бесконечному числу множеств Еп последовательности Д, Eg,..., Ёя,..
доказать, что L (Еп) измеримо, если все Еа измеримы.
Доказать, что если Е£EgZO...	Еп . суть измеримые множе-
ства, то
(со \
П -Еп) =НШ(1(БЯ).
я=1	/ я-»00
Доказать, что, если бесконечное число множеств Еп имеет меру К,
то L(E^K.
2.	Доказать, что множество точек сходимости любой последователь-
аости непрерывных функций есть множество F^
3.	Доказать измеримость суммы, произведения, частного двух функ-
ций и предела последовательности измеримых функций, пользуясь пер-
воначальным лебеговым определением измеримости. Рассмотреть, какие
упрощения могут произойти в доказательстве теоремы Д. Ф. Егорова,
предполагая, что измеримость предельной функции уже доказана.
Глава седьмая
Интегралы Римана и Стилтьеса1
$ /. Интеграл Римана, Пусть дана функция /(х), опре*
деленная на сегменте а х «С Ь, Еще Коши определил интеграл
ь
l=^f(x\dx
а
следующим образом: сегмент а «С х b подразделяется на части
при помощи точек
а = бг0<;а1<^а2<;... <Zai<Z •••	=	0)
в каждом промежутке az_1^x^4Z/ выбирается определенная
точка	и образуется сумма
(^/	(2)
1 = 1
Сумма 5 зависит от выбора точек at и xz; если, однако, 5 при
уменьшении разностей at — а^ стремится к определенному пре-
делу, то этот предел и называется интегралом /. Точнее, / дол-
жно удовлетворять следующему условию: для каждого е>0 су-
ществует такое а>0, что, каковы бы ни были точки а, и xz,
расположенные как было выше указано и удовлетворяющие
условию
ai —	/=1,2,..., л,
всегда имеет место неравенство
|Z-S|
s.
* Стилгьес (Stielties) — голландский математик (род. в 1854, ум.
в 1894), являющийся, вместе с Эрмитом (Hermite) и Чебышевым, одним
из последних крупных представителей „классического анализа*.
204
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
Может существовать только одно число 7, удовлетворяющее
высказанному требованию: если бы было два, и 72, то полу-
чилось бы для надлежаще выбранного £
14-5|<8, |/2-5|<з, |71^72|<2s;
так как е>0 при этом произвольно, то 7i = 72. Это единст-
венное число I и называется интегралом f(x) от а до Ь. Если
же такого числа не существует, то говорят, что /(л) на [а;
не интегрируема \
Коши рассматривал только непрерывные функции f(x), для
них интеграл всегда существует. В случае разрывных функций
приведенное выше определение интеграла было изучено Риманом,
и основным вопросом здесь становится выяснение условий, при
которых интеграл 7 существует. При помощи теории меры Ле-
бега мы получим ниже чрезвычайно простое необходимое и до*
статочное условие существования римановско о интеграла. При
этом все исследование будет вестись для ограниченных на [а; 6]
функций, т. е. будет предполагаться, что |/(х)| не превосходит
некоторого постоянного числа М. Если бы f(x) была неограниченна,
то при любом подразделении (1) нашелся бы промежуток [ам; af]f
в котором f(x) неограниченна. Фиксировав точки j^i
в остальных промежутках, можем выбрать xt таким, чтобы
(а1 —	было сколь угодно большим; так как остальные
члены суммы 5 уже . фиксированы, можем и всю сумму сделать
сколр угодно большой. Таким образом, если f(x) неограни-
ченна, то суммы S не стремятся ни к какому конечному пределу.
$ 2 Верхний и нижний интегралы. Когда точки подраз-
деления (1) известны, сумма 5 зависит от выбора т^чек Обозна-
чим через 5 верхнюю грань всех возможных при этом значе-
ний 5, а через S—соответствующую нижнюю грань. Очевидно
fam
У (^/ ai-i) Мр	(3)
.	(4)
Z=1
где М( (т) верхняя (нижняя) грань всевозможных значений
функции /(х) на сегменте	Мы докажем, что при
* Определение интеграла в этой форме было дано Коши. Коши
применил его, однако только к изучению интегралов от непрерывных
функций. Риману принадлежит заслуга полного исследования случаев
применимости этого определения.
ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ИНТЕГРАЛЫ
205
уменьшении разностей ak—сумма S (5) стремится
к определенному пределу / (/), который называется верхним
(нижним) интегралом функции /(х) от а до b и обозначается
/=J/(x)rfe,
а
Ь
_/=J f(x)dx.
а
Достаточно провести доказательство для так как для 5
оно будет вполне аналогичным. Суммы 5, соответствующие все-
возможным подразделениям (1), имеют нижнюю грань, ее то г
обозначим через Z. Нужно будет доказать, что 5 сходятся к 7.
Дня любого е>0 найдем такое подразделение
а — aQ	< а2	ар = Ь,	(5)
что для соответствующей суммы
__	t=p
Z=1
окажется справедливым неравенство
S* — I
(6)
Положим теперь а =
е
ЪрМ'
где р — число сегментов подразде-
ления (5), а М, — предположенная выше существующей, верхняя
грань |/(х) | на всем сегменте [а; Рассмотрим подразделение (1),
удовлетворяющее условию at—и образуем соответст-
вующую сумму 5. Мы’ покажем, что
5-5*< i,
£
тогда из (6) и (7) будет следовать
5— 7<е,
так как 5 не может быть меньше своей нижней грани I и так
как е>0 произвольно, то этим I будет доказано, что 5 схо-
дится к Т при уменьшении а.
206
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
Итак, остается доказать неравенство (7) Сегменты [ew; я,]
подразделения делятся на два класса: одни помещаются целиком
в некотором сегменте а*], другие не помещаются и, сле-
довательно, содержат внутри себя, по крайней мере, одну
точку а*. Сегментов второго класса не более, чем р. Рассмот-
рим сумму
распространенную на все сегменты второго класса. Никакой член
этой суммы не превосходит аМ, следовательно,
S"^paM=~.	(8)
Л
Рассмотрим, далее, все сегменты первого класса, умещаю-
щиеся в сегменте а*]:
1	< ат < аг+ч	as < a#
Для r^i^s имеем	и, следовательно,
__	/=$	i=s
5^ =	(at
= к - аг_1) М*< (£*t)
Сумма же выражений (af—для всех сегментов первого
класса равняется
_	k=p __	|
=	(9)
/?=1	Л=1
Из (8) и (9) получаем
5=S'+^<5*4-4-,
что требовалось доказать.
$ 5. Первое условие интегрируемости по Риману.
Итак, для достаточно малых а имеем
|5—7|<е, |5-Z|<s;	(10)
так как для одного и того же подразделения всегда 5^5, по-
лучаем	~
7>/.	(И)
ПЕРВОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПО РИМАНУ
207
1. Для интегрируемости функции f(x) на [а; Ь\ необхо-
димо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
I=L	(12)
Если это равенство справедливо, то
I=T= L	(13)
Допустим, что (12) верно, и положим 1=1 =1\ надо дока-
зать, что / удовлетворяет определению интеграла. Выберем та-
кое а, чтобы неравенства (10) выполнялись для всякого подразде-
ления с а{ — at_i < а; так как всегда S^s> S, то для каждого
такого подразделения в силу (10) будет
И—/|<е,	' (14)
что и требуется определением интеграла.
Если, наоборот, интеграл / существует, то при достаточно*
малом а выполняется неравенство (14), из которого следует, что
|5—/|^8,	|S— Z |	8.
Так как е>0 при этом произвольно, то это и означает, что
и 5 при уменьшении а сходятся к /, т. е.
1=1=1.
Если интеграл / не существует, то верхний и нижний интегралы
I и I различны, однако, они не находят и в этом случае сколько-
нибудь важных применений, так как вместо них рассматривается
интеграл , Лебега, имеющий для всех обычно встречающихся*
разрывных ограниченных функций (именно, для всех измеримых
ограниченных) вполне определенное единственное значение, ле*
жащее между I и /. Поэтому введение верхнего и нижнего
интегралов интересно больше со стороны изучения при их по-
мощи условий существования определенного в ’начале главна
интеграла Римана.
Так как с уменьшением а сумма S сходится к /, а 5 схо-
дится к 7, то ^разность S—S с уменьшением а стремится^
к определенному пределу

Для интегрируемости функции /(х) необходимо и доста-
точно, чтобы этот предел Q был равен нулю.
208	ИНТЕГРАЛЫ РЙМАНА И СТИЛТЬЕСА
§ 4. Условие Лебега. Если /(х) непрерывна, то, как было
раньше показано, можно найти для любого е>0 такое а>0,
что |/(хг) —	как только |х'— x”\<cl Рассмотрим
подразделение (1) с
Оче видно, колебание функции f(x) на сегменте aj,
т. е. число й)/=2И/—т^ не превосходит е и, следовательно,
i^n
S—S^=^(at—a/.j) (4f, — mt)=»
i-0
i-n	i=n
ai-i) mi <s У- (ai—a/-i)=e (*— <o-
i=0	i=0
Так как e>0 было выбрано произвольно, то S—S с уменьше-
нием а стремится- к нулю и по доказанному интеграл суще-
ствует. Однако интеграл мож т существовать и для разрывной
функции /(х). Окончательный ответ на вопрос дает условие
Лебега.
Условие Лебега. Функция /(х) интегрируема на (а, Ь)
тогда и только тогда, когда она ограничена и множество D
ее точек разрыва на (а, Ь) имеет меру нуль.
Для доказательства нам придется ближе изучить множество D
точек разрыва функции /(х) и ввести новое понятие колебания
функции в данной точке. Рассмотрим сегмент [х0 — е; х0 -|- е];
множество значений функции /(х) для значений х, принадлежа-
щих этому сегменту (х0 — s^x^x0-|-e), имеет верхнюю
грань Д!/(х0, е) и нижнюю грань т/(х0, е). При уменьшении е
верхняя грань Aff(x0, е) не увеличивается, поэтому нижняя грань
значений Л1/(х0, е) при различных е>0 является пределом,
к которому стремится Af/(x0, е) при е, стремящемся к нулю; этот
предел обозначаем 2И/(х0). Аналогично определяется как
предел mf(x0, е) при е—>0. Так как Af/(x0, e)>m/(x0, е), то и
Ж*о) > от/(*о)-
Неотрицательную разность
ю/ (*0) «= Mf (х0) — mf (х0)
п называем колебанием функции /(х) в точке хог. Ясно, что
для непрерывности /(х) в точке х0, необходимо и достаточно
соблюдение равенства
<®/(-^о)вО-
< w/(x, e) = Af/(x, г) — mf(xt е) есть колебание функции hi сегмен-
те [х — е; х4-е]. Очевидно, <о/(х, е)—><о/(х) при е—>“0.
УСЛОВИЕ ЛЕБЕГА
209
Колебание в точке xQ может, таким образом, рассматриваться как
мера разрывности функции в этой точке.
Рассмотрим множество точек х0 с колебанием <о/(хо)^$.
Лемма /
Множество замкнуто,
В самом деле, пусть хявляется пределом точек xv х2,. ♦., хя,...
с колебаниями со/(хд):>£. В каждом сегменте [х—s; х-|-е]
при е>0 содержится хотя бы одна точка хя, откуда следует
Mf(x, е) — mf(x, е) > ю/(хя) > $,
ш/(х) = Mf(x) — mf(x) > £,
т. е. если все хп входят в то и предельная точка х тоже
входит в
Лемма П
Функция f(x) интегрируема на /(х) тогда и только
тогда, когда она ограничена и множество при каждом
имеет меру нуль.
Что условие ограниченности необходимо для интегрируемости,
было уже указано выше. Допустим теперь, что
ji(De) = p>0, 5>0,	(15)
и рассмотрим некоторое подразделение (1). Среди сегментов
aj выделим сегменты, содержащие внутри себя точки
множества Очевидно, для индексов I, соответствующих таким
сегментам, будет
а.—М^ т^Л,
сумма же длин таких интервалов не может быть меньше р (все
множество меры р содержится в них за исключением, может
быть, конечного числа точек, попадающих в концы сегментов
подраз хеления), поэтому
£= У, — at_,) > £ (ai—ai-i> >
г-0 .
^/-1)
где суммирование распространяется на все выделенные сег-
менты. Таким образом в предположении (15) разность 5— 5 не
может стремиться к нулю и /(х) не интегрируема, что и дока-
зывает необходимость нашего условия.
Допустим обратно, что /(х) не интегрируема, т. е.
14 Александров и Колмогоров.
210
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
Положим Е = j и рассмотрим некоторое подразделе-
ние (1). Выделим из него сегменты aj, соответствующие
колебаниям шр<Е.
Сумма
(ai «/->)
распространенная на эти сегменты, не превышает
А
Пусть L есть сумма длин всех сегментов [az_p azb соответст-
вующих колебаниям (oz^E. Так как |Mt| Af, j mt\^M и,
следовательно, ©Z«C22W, то сумма
^2* (at а/ви1) со*,
распространенная на этот второй ряд сегментов, не превышает
2М	(«/ — в/-1) = 2Ж.
Так как, далее,
5-5=£' + £*.
получаем
А	>
£*4Й>°-
Рассмотрим теперь последовательность подразделений сег-
мента [а; Ь] на равные части в числе 2 я (л=1, 2, 3, 4,...).
Каждому такому подразделению соответствует свое число £я,
обозначающее сумму алий всех сегментов	л-го под-
разделения, удовлетворяющих неравенству ф,^Е. Сумму этих
сегментов (рассматриваемых как множества) обозначим через Ег
Очевидно,
M(E„)==L„>^.
Кроме того, Ея+1 содержится в Ея, так как, если для некото-
рого сегмента п --[-1-го подразделения ш^Е, то и для содер-
жащего его (вдвое большего) сегмента я-го подразделения и
иодавно справедливо то же неравенство. Обозначим через Е
ПРИМЕРЫ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕХАНИКИ 211
общую часть всех Ея. По общим теоремам о мере множеств
имеем
ц(Е) = Ишр(Ея)> А.
В каждой точке х множества _Е колебание <о/(х) не меньше
поэтому Е входит в и, следовательно,
g(De) >Ц(Е)	>0,
что и доказывает достаточность нашего условия для интегрируе-
мости /(х); лемма II доказана.
Точки непрерывности функции /(х) характеризуются равенст-
вом ю/(х) = 0, поэтому множество D тохчек разрыва равняется
D = Di-|-Da4-D£ +
s »
1в
Й
Так как множества Di замкнуты, то .мы по пути, доказали,
п
что D есть множество типа Если D* для любого
имеет меру g(£\) = 0> то g(D) также равняется нулю; если же
существует £>• 0, для которого |л(£>$)> 0,’-то из /)эй$ сле-
дует p(D)>0. Условие, интегрируемости Лебега является, таким
образом, простым следствием леммы II,
В частности, функции (ограниченные) с конечным или счет»
ным множеством точек разрыва всегда интегрируемы по
Риману, хотя бы это множество и было всюду плотно 2.
$ 5. Примеры из теории вероятностей и механики.
Мы предполагаем, что основные свойства интеграла Римана из-
вестны читателю из курса анализа. Напомним в частности, что для
Ъ	а
Ь<^а интеграл J f(x)dx определяется как—J f(x)dx. На
а	Ь	*
* В самом деле, если х входит в SD , то <а/(х), дчевидно, поло-
п
жительно и х есть точка разрыва. Если х есть точка разрыва, следова-.
тельно, w/(x) > 0, то существует такое л, чго — < со/(х), так что
й"
^Такова функция примера 7 в гл. V. Функция примера 8 также
интегрируема. Напротив, функция Дирихле (пример 9) не интегрируема
14*
212	ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
этом мы кончаем наше изложение интегрирования в смысле	g
Римана и переходим к ближайшему его обобщению, принадле-	1
жащему Стилтьесу. Изложение'"Мы начнем с примеров, поясняю- Я
щих важность этого обобщения.	Ж
Пусть случайное переменное х 1 принимает значения	Я
• • • >	J
с	вероятностями	Я
Р1> Ръ* * • • • > Рп*	Ж
Математическое	ожидание	некоторой	функции <р(х) нашего	Я
случайного переменного х (например, его квадрата х2) опреде- I
ляется тогда так:	Я
t~n	Ж
£{<?(*)} = £<?(*«) Ar	I
4 = 1	Л
Если же закон распределения случайного переменного	х	не-	Ж
прерывен, т. е. вероятность неравенства хг<^х<^х2	равна	инте-	Ж
тралу	Я
Ж
• Jp(x)dx»,	1
я
то то же самое математическое ожидание равно	ж
+°=	I
£(?(*)} = J	1
— 00	ж
Таким образом в случае разрывного распределения Е выра- Ж
жается конечной суммой, в случае непрерывного — интегралом; Ж
1 Случайным мы называем переменное х, если определены вероят-
ности, с которыми х принимает те или иные значения. Определение мате-
матического ожидания см. Бернштейн, Теория вероятностей, стр. 92.
Законы распределения — там же, стр. 107.
а Особенно часто в теории вероятностей встречается норма 1ьный
закон распределения, характеризующийся функцией
* р(х) =	2а в
l/2iw
где а и а постоянные.
ПРИМЕРЫ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МЕХАНИКИ	213
в случае ^смешанного* распределения получили бы
+ оо
£{<р(х)} = I у [х) р (х) dx^{xjpa.
-СО	/=1
Естественно желание создать общий аппарат, охватывающий
все случаи без усложнения записи; такой аппарат, как мы уви-
дим ниже, и дается интегралом Стилтьеса.
В качестве второ-
го примера рассмо-
трим следующую за-
дачу: на оси х-ов в
пространстве располо-
жены притягивающие
массы (черт. 20). Тре-	' / t 1 >
буется определить со- _ . .	/	1 i \	4_ »
здаваемый ими потен-
циал в точке у == 1 на
оси у-овJ. Единица
массы, расположенная	Черт. 20.
в точке х = х0, создает
в избранной нами точке потенциал С- —т Если наши массы
К 1 т" *^0
на оси х-ов сосредоточены в отдельных точках, именно, в точ-
ках xlt Х2, ... , хя, сосредоточены массы	..., тп, то
полный потенциал, создаваемый этими массами в точке у = 1,
будет
Если же распределение масс непрерывно и в промежутке
Лд<;х<;х2 расположена масса, равная
J/n(x)rfx,
-	*1
1 Притяжение считается обратно пропорциональным квадрату рас-
стояния; тогда потенциал обратно пропорционален расстоянию, рдсстоя-
ние же между точкой (у =»1, х=0) и (у = 0, х==хе) равно У\ -|-хj в
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬВОА
214
то
ф=с С  dx
ОО'
Попробуем теперь определить Ф, не делая никаких предпо-
ложений относительно характера распределения наших масс. Бу-
дем только считать, что вся масса, расположенная на оси х-ов
конечна. Обозначим через ЛЦх0) сумму всех масс, расположен-
ных в точках, лежащих левее х0. В случае непрерывного рас-
пределения
*
2И(х0) = j m(x}dx>
—со 4
в случае же разрывного распределения
где суммирование JT распространяется на, массы, лежащие
в точках хр расположенных левее х0.
Разобьем ось х-ов на мелкие интервалы, при помощи
точек
...	<а_1<а0<а1<... <^< ...
Между1 и at лежит масса, равная
Выберем между a(_t и а{\ без большой ошибки можно счи-
тать, что массы, расположенные между и а/э создают
в точке у—\ потенциал, равный
/1 + Ц
полный же потенциал Ф, создающийся там, приблизительно рав-
няется
* Точнее, в точках х, удовлетворяющих неравенствам
4^-1^ < «у.
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
. 215
Чтобы определить Ф точно, надо перейти к пределу при умень-
шении длин интервалов (а/вв1, а£) нашего подразделения. Этот
предел и будет интегралом Стилтьеса:
+ оо
ф_Г dM(x)
J У1+Й*
-00	'
Мы видим, что в отличие от интеграла Римана значения инте-
> грируемой функции	—- j умножаются на разности
М (az) — М (а^) вместо разностей az — а1А; * в соответствии
с этим в обозначении интеграла вместо dx стоит dM (х).
Переходим теперь к строгому и общему определению инте-.
грала Стилтьеса, оставляя, впрочем, пока в стороне интегралы
с бесконечными пределами, встречавшиеся в примерах.
§ 6. Интеграл Стилтьеса. Пусть на сегменте [а; Ь\
определены две функции /(х) и (х). Точно так же, как в
случае интеграла Римана, сегмент [а; Ь} подразделяется на части
точками
а =	max(az —az-1)=a; (16)
в каждом промежутке ai_l^ix^ai выбирается точка xz и обра-
. зуется сумма
/«л	_	-ч
ОТ)
:= 1
Если 5 при уменьшении а стремится к пределу /, то I на
определению есть интеграл Стилтьеса
/=J/(x)rf<p(x) = lim<S, а—+0.	(»8)
а
Если предел не существует, то интеграл объявляется не суще- -
ствующим.
В точности так же, как в § 1 при определении интеграла
Римана, формула (18) имеет следующий точный смысл: для каждого
е^>0 существует такое 5^>0, чю для всякого подразделения,
для которого максимум а разностей	не превосходит
выполняется неравенство:
И—«Я <8.	.
216
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
В точности так же, как прежде, доказывается, что если такое
число I существует, то оно единственно. Что же касается усло-
вии существования интеграла 7, то мы не намерены искать не-
обходимых и Достаточных условий. Условия, в которых нам
все же удастся доказать существование /, будут следующими:
7. Функция /(л) непрерывна на сегмента [а х < Ь}.
II. Существует такое постоянное число М, что для любого
подразделения (16) сегмента [а; Ь} выполняется неравенство:
i~n
/=1
Естественность условия II выяснится из хода доказательства;
функции, удовлетворяющие этому условию, называются функциями
с ограниченным изменением. Они образуют весьма важный класс
функций, который имеет чрезвычайно разнообразные применения.
Изучению этого класса функций будет посвящен § 7, сейчас же
мы ♦ займемся доказательством существования предела (18) в вы-
сказанных выше предположениях. Метод, который мы употребим
, при этом, естественно, пригоден и в случае интеграла Римана от *
непрерывной функции,, так как интеграл Римана получается в
виде частного случая интеграла. Стилтъеса при у(х}~х.
Что ср(х)=х имеет ограниченное изменение на [а; £], видно
из того, что сумма, стоящая в левой части неравенства (19), для
всякого подразделения равца b—а1.
Так как f(x) непрерывна на сегменте [а; 6], то для любого
е^>0 существует столь малое 8> О, что из — х2>^8 сле-
дует !/(*,)—Рассмотрим подразделение (16) сег-
мента [а; Ь} с а < 8 и соответствующую ему сумму 5 [см. фор-
мулу (17)]. Подразделим каждый сегмент [ам1; aj на более
мелкие части:
ai-i = о <	1	Л/, 2 < • • • <	— аг
Образуем сумму соответствующую новому,, более мелкому
подразделению
1»П Jstkl	4
s'« S S ?	Kxi<I*'
/«1
< В § 7 мы увидим, что всякая монотонная функция имеет ограни-
ченное изменение.
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
217
где	Так как xtj и xt находятся в одно}»
сегменте длины не больше а, то
поэтому, заменяя в 5' все f{xt^ соответствующими со-
вершаем ошибку, не превышающую
/=л iszki
«У У. I <? («,,р - ? lai, /-1) I <8 м •
Z-1 /=1
Но после этой замены внутренние суммы в выражении доказы-
ваются равными {ср (а,)—	а все выражение оказы-
вается равным 5. Следовательно,
|5—
Если даны два подразделения с и соответствующие суммы
и S2, то можно образовать подразделение, являющееся их
«„общим продолжением", т. е. содержащее в качестве точек де-
ления точки общих первоначальных подразделений. Такое третье
подразделение можно получить как дроблением сегментов пер-
вого, так и дроблением сегментов второго. Соответствующая ему
сумма удовлетворяет неравенствам:
|Si —	и |S2 —S’[<еЛ1в.
Следовательно,
|<Si~ 52|^2szW.
Возьмем последовательность сумм
*$2» • * • >	• • • 9
соответствующих подразделениям, для которых соответствующие
максимумы ап разностей а4 — а1_1 стремятся к нулю. Тогда
• л п+рI
с возрастанием п стремится к нулю, так как для любого е^>0
можно найти такое я, что4 все а , q п будут меньше J, соот-
ветствующего выбранному в, и 1 следовательно, рассматриваемая
разность меньше 2sAf, т. е. числа сколь угодно малого. В силу
критерия Коши последовательность Sn имеет предел /.
Если то и любая сумма 5*, соответствующая
отличается от Sq меньше, чем на 2в/И. Так как q может быть
выбрано сколь угодно большим, то
|5* — =	— ^2зМ
218	ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
Отсюда заключаем, что при уменьшении а произвольные
суммы 5* (а не только принадлежащие последовательности Sa)
стремятся к /.
£ 7» Функции с ограниченным изменением и моно-
тонные функции. Пусть <р(х) — функция с ограниченным из-
менением на [а;#]; тогда суммы (19) имеют конечную верхнюю
грань
v=^(<p).
Число V будем называть полным изменением функции / на
(а; #]. Можно условиться говорить, что для функций с неогра-
ниченным изменением [т. е. таких, что суммы (19) не ограни-
чены сверху] полное изменение равно -(-оо.
Теорема /
Сумма двух функций <р(х) и ф(х) с ограниченным изме-
нением на [а; д] обладает тем же свойством.
В самом деле, обозначая
<?(*)4-Ф(*)=х(*).
получим для любого подразделения
/=п	i=n
S11 fa)—I fa-i) I < SI	14-
Z=1	Z=1
/=1
а, следовательно,
v*(X) <	e»>
Теорема II
Каждая монотонная на [а; д] функция имеет ограни-
ченное изменение на [а; д].
Пояснение. Функция /(х) называется монотонно возрастаю-
щей на [а; Ь], если для любых х и у, удовлетворяющих нера-
венствам а^х^у^Ь, имеем:
/Юс/Си).
вели при тех же условиях всегда выполняется неравенство
ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ
219
то /(г) монотонно убывает на [а; й]. Функция монотонна^
если она или монотонно возрастает, или монотонно убываег
(функция одновременно монотонно убывающая и возрастающая
равна постоянной).
Для монотонно возрастающей функции /(х) получаем при
любом подразделении сегмента [ а\ b ]:
£ IM) -/(*,-1) I =£ {/(«/)	-/и.
Предел постоянной величины равен ей самой, поэтому
В случае монотонно убывающей функции аналогично получим
Функция f(xy монотонно возрастает (убывает) на всей дей-
ствительной прямой, если для любых х и у из х<^у следует
/(х)^/(у)	Функция, монотонная на всей прямой,
монотонна и на каждом сегменте. Такова, например, функция
у(х) = х; ее полное изменение на [а; 6] равно b — а, однако,
на всей прямой ее изменение неограниченно, так как b — а
может быть сделано сколь угодно большим.
Примерами непрерывных монотонных функций могут служить:
1)	/(х) = ха {монотонна на любом интервале, не содержащем
нуля, причем убывает на (— оо; 0] и возрастает на [0; со)};
2)	/(х)=— [убывает на (— оо; 0), возрастает на (0; оо)];
х
3)	/(х) = -fj— [убывает на (— оо; 0), возрастает на [0; оо)],
а также функция примера 4 гл. V, монотонно возрастающая
на [0; 1].
Монотонные функции могут быть разрывными,хкак показы-
вает простой пример:
sgn(x)=— 1, х<0,
sgn(x) =	0, х — 0,
sgn (х)==-|~ 1, х>0?
Функция /(х) = [х] (см. упражнение 3 в конце гл. V) есть
(для х 0) монотонно возрастающая функция, имеющая в каждом
целочисленном х точку разрыва.
Следующий пример показывает, что монотонная функция мо-
нметь счетное всюду плотное множество точек разрыва»
220
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
Пример Занумеруем рациональные числа г (0<г«<1):
rV Г2> r8> • • • »	• • •
и определим
причем сумма У*/ распространяется на все nt для которых
гп < х. Легко видеть, что f(x) монотонно возрастает. При
х 0 получим f(x) — 0, для всех х 1 функция f(x) рав-
няется
«
ул 1тта
й»1
В каждой рациональной точке гп интервала (0; 1) получится
точка разрыва, так как для х"^>гк
Важным случаем монотонно возрастающих функций являются
функции распределения масс. Пусть масса М распределена ка-
ким-то образом по действительной прямой. Обозначаем через F(x)
размер массы, расположенной слева от точки х\ F(x) и назы-
вается функцией распределения наших масс. Очевидно,
, F( —оо)= limF(x) = 0,
Jr“*“00	(21)
Г(Д-оо)== limF(jc)=Af.
л->+OO
В частности, если расположим в каждой точке гп массу —,
то в качестве функции распределения получим функцию /(х)
примера 1.
Допустим, что F(x) диференцируема. В промежутке
хв< дг<х04-А
расположена масса
Л!(А) = Л^ + Д)-/?(лго)
и отношение
ЛЦД) ^Ftxe + M — Fixd
ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ
221
стремится к производной /(x0) = Fr(x0). Функция f(x) есть
плотность массы в точке х. Если f(x) непрерывна, то
ж
F(x)=	(22)
-00
„Формула (22) справедлива во всех случаях, когда производ-
ная /(х) существует (и конечна) в каждой точке1,/ Однако уже
в простейшем случае массы М, сосредоточенной в одной точке
х = 0, получаем
F(x) = 0,	х<0,
Г(х)==Л1, х>0,
/(х) = 0,	х^=0,
и при отсутствии производной /(х) в одной точке х —0 фор-
мула (22) неприменима. Аналогично положение в примере 1.
В этих случаях вместо непрерывного распределения масс по фор-
муле (22) имеем положительные массы, сосредоточенные в отдель-
ных точках. Таким массам соответствуют точки разрыва функции
распределения. Возможны, однако, и непрерывные функции рас-
пределения, не могущие быть представленными в виде (22).
Докажем, что точка разрыва монотонной функции всегда бу-
дет первого рода (см. гл, V, § 3). Будем рассматривать моно-
тонно возрастающие функции (для убывающих изменяются
в только знаки: если /(х) убывает, то g(x) =—/(х) возрастает).
Обозначим через /(х — 0) верхнюю грань значений f(y)
для у<х* Если
то то же неравенство справедливо для всех У откуда сле-
дует, что f(y) стремится к f(x — 0), когда у стремится, воз-
растая, к х. Точно так же обозначим через /(x-f-O) нижнюю*
грань f(y) при у>х и покажем, что /(у)—►/(х4~0)< когда
У—*х убывает.
Очевидно,
/(х-0)^/(х)</(х + 0),
т. е. точка разрыва получится только тогда, когда скачок
функции в точке х
<о(х)=/(л; + О)-/(х-О)
1 Только интеграл при этом придется понимать в смысле интеграла
Лебега.
222	ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
больше нуля. Точки „поправимого разрыва®, таким образом, не-
возможны для монотонных функций.
В случае функций распределения масс сумма масс, распо-
ложенных слева от точки х, равняется пределу f(y) при у,
стремящемся слева к х. Поэтому 1
F(x) = F(x — 0),	(23)
т. е. функция распределения непрерывна слева. Аналогично,
в точках, лежащих правее F(x), расположена масса
т3-=М—F(x-|-0);
поэтому скачок <о (х) = F(x —|— 0) — F(x — 0) равняется массе т2>
расположенной в самой точке х:
^1 + ^2 +w3 = F(x — С)4~<*>(*)+ { М — F(x-j-O)} = Л£
Пусть Хр х2, ... , хп суть (все или некоторые) точки раз-
рыва монотонно, возрастающей функции /(х). Будем предпо-
лагать, что все xk лежат между а и Ь и расположены в порядке
возрастания:
“<Л<Л<”-<Х<Л
Тогда
'	/(аХ/^-ОХ/^Ч-ОХ/Сх.-ОХ...^
</(*я-0)</(х,+ 0) </(*),
Е ШЮ= S {/(*» + <>)-/(x*-0) }</(*)-/(в). (24)
й=1	.
Из последнего неравенства заключаем, что точек разрыва со
скачком ш(х)^>г^>0 может находиться между а и Ь не более
{/(6)—/(а) } :s. Так как, таким образом, точек разрыва со
скачком, большим ш(х)>^-, /и=1, 2,..., при каждом т
лишь конечное множество, то всех точек разрыва не более чем
счетное множество. Так как вся действительная прямая может
быть разложена на счетное множество конечных отрезков, полу-
чаем: монотонная функция может иметь не более чем счет-
ное множество точек разрыва. Для всех точек разрыва
< При выводе формул~(21) и (22) мы опирались на невысказанные
механические предположения, которые было бы довольно затруднительно
строго формулировать; часто требуют выполнения условий (21) и ,23)
в самом определении понятия функции распределения.
ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ	' 239
х1? х2,..., хп9 расположенных между а и Ь9 получаем
как непосредственное следствие неравенства (24):
«=оо
Л=1
В случае функций распределения сумма, стоящая слева, обозна-
чает сумму масс, расположенную в точках хп9 a /(b)—/(а) —
полную массу в промежутке а^х<^Ь, Для функции примера 1
неравенство (25) переходит в равенство.
Докажем для "дальнейшего следующую теорему.
Теорема III
Для любых а<Ъ<с
V$(/)=V*(/)+^(/).	(26>
При этом из существования (конечных) V* (/) и У£ (У) сле-
дует существование (конечного) Уа(У).
Доказательство. Пусть даны два подразделения
а=х0 < Xj < ... < хп = Ь,
Ь=хп<хп+1<...<хя+р=^С
сегментов [а; А] и [£; г]. Из них составляется автоматически
подразделение сегмента [а; г], причем
5= 2 IW “/(**-1)1 = + •*,=»
Л«*Я	k=H±p
= Е ।/<**) I + Е !/(**) - (^-i) ь
Vba(f) является верхней гранью Sp а Уб(/) — верхней гранью 52,
поэтому 5 имеет верхней гранью Уа (У) 4~ У* (/)• При этом
полученные нами подразделения сегмента [а; с] являются лишь
частным, случаем всевозможных его подразделений.
Однако, если имеем произвольное подразделение
а=Уо<У1<У,<...У„ = с	(27>
сегмента [а; с], то можем образовать присоединением одной точки
подразделение
а =Л <Л < • • • < Уi-i < ь < У/ < • • • <У„ = с ’
нашего специального типа.
224	ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
Сумма
Л-1
соответствующая подразделению (27), не превышает суммы спе-
циального типа:
Л=г-1
$'= £ 1/(Л)-/(Л-1)14-|/(*)-/(У/-1)1 +
Л=1
+ 1/(л)-/(&)1+ £ 1/(л)-/(л-1)1-
Ъ=Н-1
Поэтому верхняя грань Vca(f\ всевозможных сумм 5 равна
верхней грани Vl(/) 4-V*(/) сумм специального типа, что и
доказывает формулу (23).
Пусть ср(х) и ф(х) -две монотонно возрастающих на сег-
менте [а; b] функции; функции ср (х) и — ф (х) обе имеют огра-
ниченное изменение (вторая как монотонно убывающая), следо-
вательно, по теореме I разность f (х) = <р (х) — ф (х) будет тоже
функцией с ограниченным изменением. Обратно, имеет место ни-
жеследующая теорема.
Теорема IV
Каждая функция с ограниченным изменением на [а; д] мо-
жет быть представлена как разность двух монотонно воз-
растающих функций.
Разложение это осуществляется так: пусть /(х) определена
на сегменте fa; д] и имеет на нем ограниченное изменение. Тогда
имеем тождественно
/(х) =ср(х) —ф(х),
где
ср(х)=^(/), ф(х) = ^(/)-/(х). '
По теореме JII из у х следует
т. е. <р (х) — V* монотонно возрастает. Так как всегда
* Именно:
K»(/)=supS| /(«/)—sup |2{/(а,)— /(«,-«)}(=
= 1/(>)-/(*)|.
ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ '	225
ТО	'	-
ф(^)-фМ = ^(/)-(/)-/(*)+/(*)«
,	{/(J)-/(*)} >0>
т. е. ф(х) тоже монотонно возрастает.
Теорема V
Функция с конечным числом максимумов и минимумов на
(а; Ь) имеет на (а; Ь) ограниченное изменение.
Пусть
а = д0 < ах < а2	. <Z ап = Ъ
и f(x) монотонна на каждом сегменте [а/<в1; аД, тогда
- и“и/) = !/(«/)
и
Va(/) = L ^_.(/-).
Z«=l
что и доказывает ограниченность Vba(f\.
Мы видим, что наиболее обычные, функции (многочлены,
sinx, cosx и т. п.) на каждом сегменте имеют ограниченное
изменение. В качестве примера непрерывной функции без огра*
ничейного изменения приведем
Пример 2.
/(x)=xcos^
Вблизи х=0 функция f(x) имеет бесконечное число макси-
мумов и минимумов (черт. 21). Когда
15 Александров и Колмогоров.
226
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
'х 1» 2
L	А
з п
f(x) принимает значения
А _ А
2 ’	3 ’
(-1)«
Читатель докажет сам, что yJ(/) = 4-ОО.
Пример 3.
*	X , V	Л - К
/(x) = x2 cos —
X
также имеет бесконечное число максимумов и минимумов вблизи
х = 0, но .
’•zo(/)“Vi(/) = l-|-2^4-i-4-^4-...4-^-4- ... ) =
(Доказательство предоставляется читателю.)
$ 8. Основные свойства интеграла Стилтьеса.. Уста-
новим теперь некоторые оснрвные свойства интеграла Стилтьеса,
которые позволяют пользоваться им также легко, как if обыч-
ным интегралом.
ь	ь	ь
I. J /(х) dtf (х) 4- J^(x) dy (х) == j{/(х) 4- g(x) } dy (x),
a	a	a
причем из существования левой части следует существование
правой.
Доказательство:
i=n
? <а1>—'р }{/(*/) + £ (*<)}в
1=1
i=n	1	Г=я
*=£ {<?(«/) — =
Z=1
----	+ *^2 ’
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА
227
Если при уменьшении ю суммы S, и 52 сходятся к пределам
/, и’/2, то S=5j -f*<S2 сходится к 7=Zj-|-/2.
ььь
J/(xM<p(x)4-J/ (х)л?ф(х)=У/(х)^{<р(х)4-ф(х)},
a	a	a
причем из существования левой части следует существова-
ние правой.
Это свойство не появлялось при исследовании обычного ри-
мановского интеграла. Доказательство его проводится в точности
также, как доказательство свойства Z.
III. Если а<^Ь<с, то
ь	с	с
а	b	а <•
Здесь для справедливости равенства требуется существование
всех трех интегралов (существование третьего, вообще говоря9
не следует из существования первых" двух). Первые два интеграла
являются пределами при а—>0 сумм
fc=l
/=я
/=1
Сумма 5=514-5>2, очевидно, должна стремиться к третьему
интегралу, что и доказывает наше предложение. Однако суммы
5=5^4“^ не являются самыми общими суммами, входящими
в определение интеграла
с
J/(x)d<p(x),
а
так как при их образовании мы рассматривали только подразде-
ления, в которых b было точкой деления.
Пример 4. Пусть
/(х) = 0	при	х<:0,
/(*)«« у	"	Х'>0,
<p(*) = jf	»	*<о,
<р(х) = 0	„	№э0.
15»
228
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И СТИЛТЬЕСА
Получаем
О	1
[/(*) d'i (х) = 0, J f(x) dy (x)=0,
-1	0
гак как в первом сегменте f (л) == 0, во втором ср (х) = 0.
Но интеграл
у
J /О) d<f(x)
—1
не существует, так как в соответствующих суммах член, соот-
ветствующий сегменту	(если 0 не является точкой
деления), при *,>0 имеет вид
Я== {<р (а,) —<р («,_,) }/(xz) =---
xi I
Так как xt может быть выбрано сколь угодно малым, то R при
уже заданных а, может быть сделано сколь угодно большим.
Глава восьмая
Производная
§ 1. Множество точек существования производной.
В этой главе будут рассматриваться только производные непре-
рывных функций. Многие свойства производных от непрерыв-
ных функций переносятся и на производные разрывных функций,
но это не представляет для нас сейчас интереса.
Производной f(x) функции f(x) в тоже х называется пре-
дел выражения
I
при h стремящемся к нулю, т. е. такое число /(г), что для
.любого е>0 существует- 8>0, для которого из |Л|<&
следует:
|/(х)-Л(*)|<е.
Если fh (х) не имеет предела при h = 0, то производная в точке х
не существует. Докажем, что множество D точек х, где про-
изводная f\x) непрерывной функции f(x) существует. есть
множество типа FaZ и. следовательно, измеримо.
Обоз «ачим для этого через Fmn множество точек х, для ко^
торых выполнено следующее условие: из
|Л|<—,	—
следует:
I6W-4WK7.	(1>
Легко видеть, что множество Fmn замкнуто. В самом деле, пусть
последовательность точек xk множества Fmn сходится к точке х&
Для любых h и gr удовлетворяющих вышеуказанным неравен-
ствам, справедливо в точках x—xk неравенство (1г). Так как
230	*	ПРОИЗВОДНАЯ
левая часть этого неравенства представляет собою непрерывную >
функцию аргумента х, то тоже справедливо и при х=х01.	;
Обозначим, далее, через Еп сумму	?
=S Лия*	5
т
Точки Еп характеризуются следующим свойством: можно найти
1 1
такое т, что из	следУет наравенство (1).	<
Положим
о=гип.
. п
Полученное множество D является по способу построения
множеством типа Аб8. Надо еще доказать, что определенное та-
ким образом множество D совпадает с множеством точек, в ко-
торых существует производная f (х). Допустим, что f (х) суще-
ствует, тогда для любого п можно найти такое 5, что из | h |	5
следует:
1/(х)—/»(*)!
Если J, то из РI “ и 1^1^“ будет следовать (1).
Таким образом мы видим, что точка х при любом п вхо-
дит в Еп, а следовательно, и в произведение всех Еп, т. е. в мно-
жество D. Допустим, обратно, что х входит в D и докажем,
что /*(х) существует. Рассмотрим последовательность функций
/ t(x). Так как х входит в Еп, то можно найти такое /и0, что
f	1	' 1 \
яри т тл и, следовательно, —	— I выполняется нера-
\	т	Мл /
венство:
1
п
Л(«)-Л(х)	•
«• п
Дак как при этом h было произвольно, то наша последова-
тельность удовлетворяет критерию Коши, т. е. сходится к пре-
делу /*(х). При том же выборе /п0 из | h [ «С — следует:
1
п э
th С*) А.	“»
т	п	.
'	о
г. е. fh(x) сходится к /*(х) при Л, стремящемся к нулю
* См. гл. V.
1
ПРИМЕРЫ РАЗРЫВНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
231
'(0) = 0.
когда h пробегает всевозможные значения, а не только после-
довательность	, й мы можем написать:'/* (х) —f (х).
§ 2. Примеры разрывных производных. Производная
/г(х) (определенная на множестве D) непрерывной функции f{x)^
измерима. В самом деле, функции /£ (х) непрерывны, функция же
я*
/' (х) является их пределом. Мы покажем сейчас, что даже то-
гда, когда /' (х) существует всюду (во всехточках х), она может
и не быть непрерывной
Пример 1.
/(х) — х2sini-, х^О,
/(0) = 0.
Производная /'(*) равна
(черт. 22) при х О
f (х) = 2х sin ---cos —.
Читатель докажет без тр
/
Функция 2xsin— непрерыв!
X
жить ее равной нулю), но второе слагаемое cos-^- в выраже-
нии fix} имеет при х = 0 непоправимый разрыв (сравнить с
примером 6 в гл. V). Следовательно, fix} тоже разрывна при
х =0. При этом разрыв этот второго рода. Мы увидим дальше,
что производная, если она существует в каждой точке, вообще
не может иметь разрывов первого рода.
Пример 2.
/(x) = xssin^, х=И=0,
/(0) = 0.
Здесь, как и в первом примере, f (0) и 0, но при х 0
f (х) = 2х sin — cos <
’ ' ' х2 1 х xl
в ^очке х = О (если там поло-
232
ПРОИЗВОДНАЯ
Таким образом f (х) существует всюду, но ни в какой окрест-
ности точки л=0 не ограничена.
Если /г(л) существует в каждой точке, то она, как предел
непрерывных функций, является функцией первого класса. Отно-
сительно таких функций доказано, что они не могут быть раз-
рывны в каждой точке, однако, производная f(x) (существую-
щая в каждой точке) -может быть разрывна во всех точках
множества положительной меры.
Мы покажем, более того, что f(x) может быть разрывна во
всех точках любого замкнутого, нигде неплотного множества.
(Предположение, что оно расположено на отрезке (0,1), делае-
мое дальше, несущественно.)
Пример 3. Пусть Р — замкнутое множество, расположенное
на отрезке (0,1) и нигде не плотное. Положим /(х) = 0 на мно-
жестве Р и в точках, лежащих правее всего множества Р, так же
как в точках, лежащих левее всего Р. В смежных же интерва-
лах множества Р определим. функцию /(х) следующим обра-
зом: пусть а и Ь концы смежного интервала Д, тогда поло-
жим на Д’
/ W = (X - »)’ и- »)’ sta	
Читатель (которому рекомендуем сделать чертеж) легко до-
кажет, что на Р и во внешних точках (лежащих правее или ле-
вее всего Р) производная f(x) существует и равна нулю.
В точках же смежного интервала Д
' / V) = 2 (X - а) (х - b) (2х - а - b) sin ——+
, | 2	2 |	________1
‘ [х — а ’ х — b J C0S (х — а)2 (х — by *
Первый член выражения для f\x) остается <1, второй же
вблизи точек а и Ь перестает быть ограниченным. Каждая точка х
множества Р является предельной для концевых точек смежных
интервалов, следовательно, в окрестности такой точки х произ-
водная /г(х) неограничена й, тем более, разрывна. Легко можно
подобрать множество Р положительной меры1. Тогда в силу ре-
зультатов гл. VII функция /г(х) не оуд:т интегрируема по Ри-
ману.
* См. глава VI, § 4, пример 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИМИТИВНОЙ ПО ПРОИЗВОДНОЙ	233
$ 5. Определение примитивной по производной. Па
теореме Лагранжа
/(*)-/(*) = (*-*)/'(*),
где х лежит между а и Ь. Отсюда следует, что две функции, име-
ющие в каждой точке одинаковую производную, могут отли-
чаться только на постоянное.
В самом деле из
/'(*)= g^x)
следует, что производная их разности <р(л)=/(л)— g(x) равна
нулю, а по теореме Лагранжа получаем:
f (*) — <? (а) = 0.
/
Возникает вопрос: как, зная производную fr(x\ найти ее
примитивную, т. е. функцию /(х)? Чтобы задача получила
вполне определенный смысл, будем искать примитивную, удо-
влетворяющую дополнительному условию /(0) = 0. Такая прими-
тивная может существовать уже в точности только одна. Еслю
f(x) интегрируема по Риману, то естественно ожидать, чго
(2>
о
Допустим пока, что х>0, и докажем формулу (2). Рас*
смотрим подразделение
° =	-<x ===•*•
По теореме Лагранжа выберем хг(а/м] <х/<аД так, что
/(аД	/(Д/-1) — (#/	/ (-^Д*
Очевидно,
i=n	у
.	•?= £ (at- ajf'tx,} =f(an) -/(?0) =
=/(x)-/(0)=/(x).
Ясно, что суммы S не могут сходиться ни к какому другому
пределу, как к /(х) Мы пользовались при этом специальные
выбором точек xz> однако, по условию интегрируемости /(х}^
234
ПРОИЗВОДНАЯ
никакой иной выбор не может привести к другому пределу
сумм 5. Если бы интегрируемость f(x) не была предположена,
то можно было бы только доказать неравенства
Л
*	о	о
Мы видели выше, ^что производные, не интегрируемые по
Риману, действительно существуют; таким образом, задача оты-
скания примитивной по ее. производной, естественно, приводит
ж проблеме обобщения операции интегрирования. В следующей
главе будет показано, как эта проблема решается, хотя и не
полностью, но в достаточной мере, чтобы иметь возможность
найти примитивную по каждой ограниченной производной. Неин-
тегрируемая производная примера 3 былТ и неогранйчена;
следующий пример показывает, что ограниченная производная
также может не быть интегрируемой по Риману.
Пример 4, Множество положительной меры Р такое же, как
в примере 3, f(x) = 0 на Р и в точках, лежащих правее или
левее всего Р. Но на смежных интервалах Д
/(х) = (х — а}2 (х — b)2 sin —--—;—-——---------г .
х ' '	' '	— я) (х — а) (х — 6)
/f(x) на множестве Р попрежнему равно нулю, а на смеж-
ном интервале Д:
/'(*) =
= 2 (х - о) (X - 4) (2* - о - 4) sifl	—- +
j 2х — а — b ______________1__________
. ’ Ь — а C°4 S (b — а) (х — а) (х — Ь]'
Первый член этого выражения на концах интервала Д обра-
щается в нуль, а второй колеблется между +1и —1. Этого
достаточно, чтобы функция / (х) была разрывна в каждой точке х
множества Р (так как в каждой точке этого множества она
<шеет колебание ^2)4
4 Последнее утверждение очевидно для концевых точек Р9 его спра-
ведливость для любой точки множества Р вытекает из того, что:
а) каждая точка Р есть предельная точка множества концевых точек;
Ь) если во всех точках х некоторого множества М колебание функ-
ции а, то в любой предельной точке множества М оно также
«будет а.
ПРОИЗВОДНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА РИМАНА 235
$ 4. Производная неопределенного интеграла Римана.
Если не каждая производная интегрируема по Риману, то,
с другой стороны, не всякая интегрируемая функции является
производной (в каждой точке) своего неопределенного интеграла.
Например, функция /(х) примера 7 в гл. V интегрируема (мно-
жество ее точек разрыва имеет меру нуль) и интеграл ее
X
О
t
тождественно равен нулю. Производная Р' (х) тоже равна нулю
в каждой точке. В этом примере неопределенный интеграл F(x)
имеет в каждой точке производную, но производная эта не все-
гда совладает с подинтегральной функцией /(х). Существуют
примеры и другого рода, где неопределенный интеграл в неко-
торых точках вообще не имеет производной. Это вытекает из
следующей общей теоремы:
ч
Теорема
Пусть /(х) есть интегрируемая (по Риману) функция.
Полагаем
Q
В каждой точке х, в которой существуют предельные зна-
чения /(х-|-0) и /(х—0), Fa(x) при h, стремящемся к нулю,
сходится к /(x-f-O), когда h пробегает одни положительные
значения, и к f(x — 0), когда й пробегает одни отрицатель-
ные значения.
Доказательство. Пусть й>0, тогда
X
Для достаточно' малого й в каждой точке Е, лежащей ме-
жду х и х-J-Л, выполняются неравенства:
f{x -Ь 0) - е </£) </(х + 0) -f- е.
236
ПРОИЗВОДНАЯ
Следовательно,
*4-Л
{/(х+0)-8}л< р(0Л< {/(*4-0)+8}л,
/(x + 0)-e<FAW</(x + 0) + e. '
Так как при этом е>0 было произвольно, то Fh(x) сыяутъ
при Л, стремящемся к нулю, к Цх-1- 0). Доказательство в слу-
чае Л<0 вполне аналогично.
В каждой точке разрыва первого рода функции /(х) пре-
делы /(* + 0) и /(х— 0) существуют и различны, Fix) не
имеет в. этих точках производной. Напротив, в точках непре-
рывности /(х) имеем /(х + 0)=/(х— 0)=/(х), поэтому по-
лучаем:
Следствие 1
В каждой точке непрерывности интегрируемой функции
/(*) ее неопределенный интеграл F(x) имеет производную F(x),
равную /(х).
Как было доказано в предшествующей главе, точки раз-
рыва интегрируемой функции образуют множество меры нуль,
поэтому получаем:	'
Следствие 2
Неопределенный интеграл Римана имеет производную, рав-
ную пооинтегральной функции почта всюду, т. е. всюду, кроме,
быть может, множества меры нуль.
Естественно стремиться сохранить это свойство интеграла
Римана при обобщении понятия интеграла. Мы увидим, что
в случае интеграла Лебега указанное свойство, действительно, -
сохраняется. Однако, если, зная производную / (х) функции F(x)
в каждой точке, можно было определить по f(x) примитивную
F(x) с точностью до аддитивной постоянной, то, зная производ-
ную почти всюду, этого уже нельзя, вообще говоря, сделать.
В самом деле, функция /(л), определенная в примере 4 гл. V,
имеет почти всюду (вне множества Ро) производную, равную
нулю, точно так же как функция g(x), для всех значений х,
равная некоторому постоянному числу t. Однако функции /(г) и
^(х) не отличаются только на постоянную (так как/(л)—g(x) =
~/(х) — с не есть постоянное число). -
$ 5. Правая и левая производные. Мы видели, что в
важных случаях Д(х) не имеет определенного предела, когда h
стремится к нулю, пробегая как положительные, так и отрица-
тельные значения, и что в то же самое время существуют два
ПРОИЗВОДНАЯ ПРИНИМАЕТ ВСЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 237
различных предела для /А (х) в зависимости от того, остается ли
h при стремлении к нулю положительным или отрицательным*
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в точке х функция fh(x) стре-
мится к определенному пределу Ddf(x)t когда h стремится
к нулю, оставаясь поло жите ль ным> то этот предел назы-
вается правой производной функции / (х) в точке х; анало-
гичный предел для отрицательных h называется левой про-
f изводной и обозначается Dsf(x)1.
Теорема предшествующего параграфа может быть теперь за-
писана так:
DrfF(x)=/(x4-0), D,F(x)=/(x-0y
Пусть х0 — точка максимума функции /(х), т. е. точка, для
которой можно подобрать столь малое 0, что из |х — x0J<q
следует
/(0</(х0).
Известно, что если функция /(х) имеет для х=х0 произ-
водную /'(х0), то она равна нулю. В случае существования пра-
вой или левой производных можно только утверждать, что в точке
максимума
£>4/(хо)>0.
В точке минимума, наоборот,
Ddf(xo)^0,	Dsf (х0)<0.
Читатель легко сам докажет эти формулы.
Пример 5.
/(х) = |х|
Ddt(x) — — 1, х<0,
£?(*)= +1»
Dsflx) ——1»
Ddf(x) = -\-l, х>0.
В точке минимума х = 0
Dd/(x) = + l, Dsf\x}=— 1.
§ 6. Производная принимает все промежуточные
значения. Предшествующий пример показывает, что существуют
функции, у которых Dd и Ds принимают каждая только два
значения. В противоположность этому для настоящей произ-
водной доказывается следующая замечательная теорема.
В этих обозначениях d и у суть начальные буквы латинских слов
dexter (правый) и sinister (левый).
238
ПРОИЗВОДНАЯ
Теорема
Пусть f(x) в каждой течке сегмента [а; д] имеет опре-
деленную производную /*{х). Тогда fl(x) принимает на (а\ Ь)
все значения, лежащие между f(a) и /'(А).
Допустим* что
Ла)<*<т
(Случай /'(^Хг<С/’(а) впоЛне аналогичен.)
Так как fh{a) при неограниченно-убывающем h стремится
к	a fh{b) при тех же условиях стремится к /'(/>)>£,
то можно найти столь малое Л>.0, что
. /(« + *)-/(«)/. __
/А(«) - i <*< j-
=fh(b-h)=f_h(b).
Выбрав такое А, рассмотрим fh(x) как функцию х. При
х — а эта функция меньше г, при х — Ь—h, напротив, больше z;
так как при этом она непрерывна, то существует х0, удовлетво-
ряющее соотношениям:
a<*o<b — h,
/^+*>-/^>._Л(До)=г. (3)
По теореме Лагранжа из (3) следует, что существует X*.
а < лг0 <	< *о-Ь А < ^),
удовлетворяющее равенству
Лх.)дл*<,+ц-/м
что и требовалось доказать.
Следствие
Если производная f(x) существует в каждой точке, то
она не может иметь разрывов первого рода.
§ 7. Верхняя и нижняя производные. Если отношение
FA(x) не стремится к определенному пределу при А—>0, то можно
охарактеризовать поведение Fh (х) при очень малых А с помощью
верхнего и нижнего пределов Fh(x) при А—>0. Определение
верхнего и нижнего пределов (§ 4 гл. V) в нашем случае будет
выглядеть так: пусть /^(х) есть верхняя грань Fh(x) при
| А | Д; когда Д уменьшается, F* (х) не может возрастать, еле-
ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ПРОИЗВОДНЫЕ .
' .239*
дователыю, стремится при Д—>0_к определенному пределу; этот
предел и есть верхний предел Fh (х) при h —> 0, будем называть
его верхней производной функции F(x) в точке х и обозна-
чат^» F*(x). F\(x) может равняться -j-oo, a F+(x) может
быть как конечным, так и равным -f- 00, или — оо. Вполне ана-
логично определяется нижняя производная F~(x), как нижний
предел /^(х) при h—>0. Очевидно, всегда F+(x) ;> F“(x).
В случае конечное ги F+(x) она может быть охарактеризо-
вана такт при любом е>0 существует такое	что,пр»
|А|<»
FA(x)<f(x)4-e,
но при любом S>0 найдется такое А, что |A!<^S и
/=kW>F+(x)-t.
С этим случаем мы и будем иметь дело в следующей главе.
Геометрическое значение верхней и нижней производной та-
ково: пусть y = F(x) изображено при помощи кривой; будете
соединять точку М с координатами {х, y~F{x)} с подвиж-
ной точкой Af с координатами y'—F{xf)} при помощи
прямой (Af, Af). При приближении точки М' к постоянной точке Af
в случае существования производной F'(x) прямая (AfAf) при-
ближается й касательной
y=y4-F'(x)(X-x).
Если же производной F'(x) нет, то прямая (Л, Af) будет ко-
лебаться, но с приближением М' к М эти колебания будут со все
возрастающей точностью заключены в угле между прямыми
y=j,4-F<-(x) (Х-х),
Y—y-^-F~(x)(X—x).
Очевидно, для существования производной F'(x) необхеп
; димо и достаточно, чтобы F*(x) и F~(x) были конечны и
равны:
F*(x) = /?_(x);
в 'этом случае
F'(x) = F+(x)«F"(x).
Если
U[x) = F(x) + Q(x),
то, как известно,
t/'(x) = F'(x)-f-G’(x).
, Для верхней (или нижней) производной аналогичное равен-
ство не было бы справедливо. Однако на основании равенств
' - 
1____________________________
240
ПРОИЗВОДНАЯ
(3) и (4) (в конце § 4 гл. V} из U(x) = F(x) 4~О(х) следует:
и+(х) = Р+(х) + &(х)ъ
t/-(x) = F-(x)-hG'(x),	j
если только О(х) имеет производную Эти равенства понадо* 1
бятся в следующей главе,	j
Нам остается еще доказать, что F*(x) и F~(x) измеримы. "	:
Проведем доказательство только для F+(x). Рассмотрим 7^(x),
равное верхней грани Fh(x), когда 8гС|Л|«сД непрерывно
по х [когда F(x) непрерывна]. В са*ом деле, д->я любого eJ>0
аайдем такое 1] > 0, что из |х'—	1) следует
|F(x') — Г(Г)|<е	1
(на,сегменте [а; F).
Тогда при
|Л|>3 и |х' — Х*|<7], ,	'	>
|FA(x')-Fft(x')t<^-|{|F(x'-F(x*)| +
+ |F(x'-b«)-F(x' + A)|}<s-^.	’j
'		*	d
Очевидно, что и верхние грани Ай (х') и Fh (х*) при 8 «С |й| Д
2g	-I
отличаются не больше, чем на -г-:
о	
Так как а>0 произвольно, то отсюда и следует непрерыв- ’
аость по х
Когда 5 уменьшается, F\(x) не убывает и при 8—>0 стре-
мится к пределу F*(x). Выберем последовательность 8Л—►();
очевидно,
F*(x) = lim F^(x).	/
Как предел последовательности непрерывных (значит, изме-
римых) функций, F\ (х) измеримо. Далее, если Дя —► 0, то
F+(x) = lim F^(x).
Отсюда следует, что F*(x) измеримо, и, даже более того, что
F+(x) есть функция не выше второго класса.
Глава девятая
Интеграл'Лебега
$ 1. Вводные замечания. Интегрирование разрывных функ-
ций мы начнем с простейшего случая функций, принимающих
только два значения. Пусть на сегменте [а; 6] расположено из-
меримое множество Е\ положим /(л) = 1 на £ и /(х) = 0 во
всех точках, не входящих в Е. Такая функция /(х) называется
характеристической функцией множества Е и обозначается
Если Е состоит из конечного числа отрезков (сегментов
или интервалов — безразлично) Ар А2,	то, так как вне
этих отрезков fE(x) равна нулю, Интеграл Римана от fE(x)
мъжы быть легко вычислен:
Ъ	k-n	k—n rt	k~n
t/£(x)	f(x)dx=^ I ldx== £ji(AAW(4
.'i	*=i 4	*=i	*=i'
Здесь р(Лд) обозначает меру или просто длину отрезка А*,
а у.{Е) — меру множества Е. Естественно полученную формулу
обобщить на случай * произвольного измеримого множества Е
и положить для его характеристической функции f(x) nb опре-
делению'.
ft
(1)
Пусть теперь /(л)=с на множестве Е и /(г)=0 вне мно-
жества Е. Тогда j\x) — cfE(x) и столь же естественно положить:
ft	ъ
\f{x)dx*=c^fE(x) dx —с 11(E).	(2)
а	а
Формула (2) доставляет нам определение интеграла функции,
принимающей лишь два значения с и 0.
16 Ад$асаадров'и Колмогоров
. 242
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Допустим, что сегмент [а; 6] разбит на конечное число не-
пересекающихся множеств Ev , Еп. Пусть функция f(x)
равна на множестве Ек постоянной ск. Тогда:
k=n
ЛХ)=£Ск/ЕкЮ-
k=l
Естественно положить:
ь	k=n	&	k^n
Г / (х) dx= 2	(х) dx = S ck (ДО- (3) .
а	*=» а
Формула (3) определяет интеграл для каждой измеримой функ-
ции; принимающей лишь конечное число значений.
Рассмотрим еще более общий случай произвольной измери-
мой ограниченной функции /(х), определенной на сегменте [а; #].
Допустим, что
т«С/(х)<Л1.
Так как мы уже умеем интегрировать функции* принимающие
лишь конечное число значений, то мы постараемся приблизить
равномерным образом /(х) при помощи конечнозначных функ-
ций. Для этого рассмотрим подразделение сегмента [т\ /И]:
т=Ро <Pi <Pi < • • • <РЛ = м-
а (подобно тому как в гл. VII) будет обозначать максимум |
разностей рк—рк_г Выберем yk, удовлетворяющие неравен- з
ствам рк_г ук «С рк- Обозначим, далее, через Ек множество
{ Рк-1 ^f(x)
тех точек сегмента [а; А], в которых выполняются стоящие в скоб- , J
ках неравенства. Образуем функцию:	Ч
_ k=n  |
/(•^)==Х ^^х)-	1
Л=1	' ®
Разность /(х)—/(х) по абсолютной величине не превосхо- I
дит а. В самом деле, если х принадлежит множеству Е& <<
то/£&(х)==1 и /£i(x) = 0, поэтому f(x)—yk> значения
же функции /(х) на Ек лежат, так же как у# между и
следователь «о, на Ек.
!/(*;—(4>
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
24S
Каждая точка х принадлежит одному и только одному из
множеств Ек, так что неравенство (4) доказывает наше утвер-
ждение. По формуле (3) имеем:
р	k=n
f 7(х) dx= £	(£).	(5>
При этом так как f(x) измерима, то все множества Ек тоже
измеримы.
Когда а стремится к нулю, разность f(x) — /(х) равно-
мерно сходится к нулю. Естественно предполагать, что и инте-
грал стремится к определенному пределу, и назвать этот предел
интегралом/(х) на сегменте [а; Л]. Мы увидим сейчас, что пре-
дел этот действительно существует.
§2. Определение интеграла Лебега для ограничен-
ных функций. Итак, пусть /(х) ограничена и измерима на [а;
/и«С/(хХЛ4,
т ==Ра <Pi <Р? < • • • <РЯ = А
Рь-'^Уь^Р»
a==max(pk—pk_1), ,
A=s?l
(Рь-i ^f<Pj} •
А=1
Предел S при а; стремящемся к нулю, существует и на-
зывается интегралом Лебега функции f(x) на сегменте [а;'
Обозначаться интеграл Лебега будет так же, как интеграл Римана:
ъ
J f(x) dx.
а .
Введем для доказательства существования предела сумм 5 но-
вую функцию ф Су)» равную мере множества Еу тех точек сег-
мента [а; £], в которых
ФСу)«м{5(/<у)} = д(£,).
Если / <Zу", то множество Еу входит в множество Еу, по-
этому
. 16*	-	.
244
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Мы видим, что функция ф (у) монотонно возрастает. Мно-
жество E{pb_y^f<ZPk) является разностью множеств ЕРк и
поэтому:
ф(р*)~Ф(Рл-1)- (в)
Подставляя (6) в выражение суммы S, получим:
Л=л
<7)
А=1 *
Но выражение (7) является не чем иным, как суммой, слу-
жащей для определения интеграла Стилтьеса:
м
yd^(y).
(8)
т
Так как ф {у) монотонно, то интеграл (8) существует,
суммы 5 действительно сходятся к пределу:
ь	м
I^^f(x)dx — ^ydtyy),	(9)
а	т
когда (о стремится к нулю. Формула (9) может также слу-
жить для определения интеграла Лебега.
В случае функции /(х), принимающей лишь конечное число
значений, монотонная функция ф(у) делает скачки в точках,
соответствующих возможным значениям /(х), в интервалах же,
не содержащих таких значений, постоянна. Читатель легко убе-
дится, что интеграл Стилтьеса, стоящий в формуле* (9), пре-
вратится при этом в сумму, стоящую в формуле (3). Таким
образом формула (3) действительно является частным случаем
общего определения интеграла Лебега Ч
* В этом легко убедиться и непосредственно: если а меньше, чем
разность между двумя последовательными значениями функции /(х),
то в каждом отрезке р$ будет заключаться не более одного зна-
чения /(х); если на Рь\ действительно лежит значение функ-
ции /(х), то обозначим его через = в противном случае возьмем
а качестве^ любую точку отрезка р&). В этих обозначениях
сумма S =	в точности совпадет с выраже-
fe=i
СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ РИМАНА
24&
В дальнейшем мы предполагаем все рассматриваемые функ-
ции измеримыми^ не оговаривая этого особо.
Кроме того, из определения интеграла Лебега непосредственна
видно, что изменение значений интегрируемой функции на мно-
жестве меры нуль не меняет значения интеграла.
£ 3. Связь с интегралом Римана. Из определения»
интеграла Лебега легко следует:
Теорема 1
(Ь — а)т^^ f(x) dx^(b — а) М9
а
где т нижняя, а М верхняя грань значений функции /(х>‘
на сегменте [а; 6].
Докажем первое неравенство (второе доказывается аналогично}.
При обозначениях § 2 этой главы:
yk&* т, k = 0, 1, 2, ... , п,
k=n
ft=l
— m(b— a).
Переходя к пределу‘при а —*0, получаем требуемое нера-
венство. *
Следствие
Из |/(х)| <е
следует:
ь
J/(x)dx <(6 —а)е.
а
Теорема 2
b
J/(x)dx4-|/(x)rfx
с
dx= J/(x)dA?.
„	а
нием	равенства (3), а потому и предел сумм S (при а0>
*=1
ь
совпадет с интегралом ^f(x)dx, как мы его определили в § 1.
а
246
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
По формуле (9):
ь	м
а	т
с	М
f(x)dx = |у<Уф2(у)>
b	tn
с	M
j f(x)dx=$'ydty3(y).
a	tn
При этом tn и M обозначают верхнюю и нижнюю грани/(л)
«а сегменте [а; с], очевидно, содержащем оба других сег-
мента [а; Ь\ и Р; с]. фх (у) есть мера множества Е“ь точек х,
лежащих на [а; £>] и удовлетворяющих неравенству f(x)<^y,
Фа (у) и Фз (У) меРа аналогично определенных множеств Е?е
ч Е°с. Очевидно	z
рас — РаЬ _1_ pbc
У У ~ У’
ф8 (У) = У	) + И (Е&уе) = Ф1 (У) + Фз (У),
с	М	М	М
J / (х) dx = Jyd^ {у)=J/Йф1 (у) 4- j у d'fa (у) ==»
а	т	т	т
к	с
=J /(*) dx-j- J/(х) dx.
в	ь
Теорема 3
• »	ь	1
^f(x)dx^^f(x)dx^^f(x')dx.
а	а	а
При этом верхний и нижний интегралы понимаются в смысле
тя. VII, а стоящий в середине интеграл — в смысле интеграла
Лебега.
Докажем первое неравенство (второе доказывается аналогично).
При обозначениях § 2 гл. VII в силу теоремы 1:
J/(x) dx > tn^t — ^.j).
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
247
По теореме 2:
j /(х) dx =• У, I f{x) dx > 22 ^а1 ~ ai-J mi~s‘
, I '=» аД i=1
Переходя к пределу при а, стремящемся к нулю, получаем:
»	ь
^f(x)dx^
а
Следствие
Если f{x) интегрируема по Риману, то:
»	ь '
(/?)J f(x)dx = (L)^f(x)dx.
а	а
И
Буквы (/?) и (L) обозначают, что в первом случае интеграл
берется в смысле Римана, во втором — в смысле Лебега. Соб-
ственно, только после доказательства этого предложения стано-
вится понятным, почему мы условились обозначать интеграл
Лебега тем же знаком, который в гл. VII употреблялся для обо-
значения интеграла Римана. Каждая функция, интегрируемая по
Риману, измерима и ограничена, следовательно, интегрируема
по Лебегу. Функция, рассмотренная в примере 4 гл. VIII, пока-
зывает, что существуют функции, интегрируемые по Лебегу, но
не интегрируемые по Риману. Мы получили, действительно, обоб-
щение прежнего Римановского понятия интеграла.
£ 4. Дальнейшие свойства интеграла Лебега. Возвра-
щаемся теперь к исследованию свойств интеграла Лебега. Без
труда доказывается, что если k произвольная постоянная, то
ь	ъ
J kf(x) dx — k J/(x) dx.	(11)
a	a
Читатель сам проследит, что при умножении всех величин,
входящих в определение интеграла, стоящего в правой части ра-
венства, получаются выражения, сходящиеся к интегралу, стоя-
щему слева, когда а стремится к нулю.
, Несколько сложнее устанавливается, что
ь	-ъ	ъ
(f (х)g (х)] dx = J/(x)4x-|- J^(x)Jx. (К)
а	а	а
248
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
ДочустикГ сначала, что /(х) и g(x) принимают каждая лишь
конечное число различных значений на [а; Ь}. Пусть именно /(х)
принимает на множествах 2?р £2, ,Еп значения р19 р2.
... , рп> a g(x) на множествах Fv F2, ..., Fm значения
Тогда /(х)4"^(х) равняется на множестве EkFt
сумме pk -J- ft и, следовательно, принимает то же лишь конечное
число значений (вообще говоря, пт). Поэтому получаем:
ь	ч
a	itft
к i	i к
b	b.
=Ел М (£л) + £ Ъ Н (А) “[/(*) dx + I dx-
к	i	а	X
В общем случае для каждой из двух функций f(x) и g(x)
существуют функции/(х) и g{x) (сц. § 1), отличающиеся от /(х)
и g (х) сколь угодно мало и принимающие лишь конечное число
значений. Если
!/(•*)— 7(*)|<е» !£(*)—
на [а; &], то
|{/(*)+^(*)} — {/(х)+^(х)}|<2е,
ь	ь
^f{x)dx — J / (х) dx
а	. а
^г{Ь — а),
» »
{<(*>-“ ^S(x)dx
а	а
е (5 — а),
ь	ь
I j* (/М + g (*)]dx—J [7(х) 4“^ (•*)] dx | < 2e (b—a).
a	a
(13)
Так как по доказанному для функций, принимающих лишь
конечное число значений,
ъ	.'Ь
f[7(*)+I(*)l^= f/(*)
4	• а
ъ
+Ji(x)rfx,
ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА '	24$
в силу неравенств (13) получаем:
ь	ь	ь
+	а>,|6| <4. (14).
а	а	а
При этом 8>0 было совершенно произвольным, так что
из (14) следует равенство (12), которое и требовалось доказать
Теорема 1
Если для всех точек х сегмента [а; Ь} выполнено неравен-
ство /(*)>£(*), то
ь	ь
J/(x)dx> ^g(x)dx.
а	а
В.самом деле, /(х)—g-(x)>>0,
» » »
J/(x) dx — §g (x) dx—J [/ (x) — g (x)] dx >(X
а	a	a
Теорема 2
*	ь
J /(x) dx < J |/(x) | dx.
a	a
В самом деле,

поэтому, в силу предыдущей теоремы:
»	$	ь
—JI/WI dx	J /(х) dx	J |/(х) | dx.
а	а
Теорема 3
Если |/(х) \^М на всем сегменте [а; 6], |/(х) | «£ 8 во всея .
точках [а; Ь\ кроме множества Е и p(f)^e, то
ъ
j/(x)rfx ^Ь(Ь—а) + гМ.
а
Пусть
/1(x)=f/(x)|, /2(х) = 0, когда х входит в Е;
/,(х)==|/(х)когда х не входит в Е.
250
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Так как всюду на [а; выполнено неравенство |/2 (х) | J, то
ь
J А (*)dx(Ь — а),
а
Обозначим-через h(x) функцию, равную М на множестве В
я нулю вне этого множества; так как (х) h (х), то
ь	ь
J /1 Iх) dx^{ h(x) dx=sAf}i(E)^ еМ.
a	a
J f{x) dx
а
Из двух полученных неравенств заключаем, что
, * ‘ ь
< J|/(ж)\dx= J|A(x)+A(x)|^<J(5-^) + Ш,
а	а
что и требовалось доказать.	—
$ 5. Неопределенный интеграл и отыскание прими-
тивных. Пусть /(х), как и прежде, измеримая ограниченная
функция. Интеграл
х
^ftf}dt=F(x)
а
можно рассматривать как функцию верхнего предела х. Гово-
рят, что F(x) есть неопределенный интеграл функции /(х).
Как и в случае интеграла Римана, полагаем при х<а:
,	х -	а
у/(/)<«=-]*/(/) л.
а	х
Легко проверить, что основные свойства интеграла (тео-
ремы 1, 2, 3 предшествующего параграфа, теорема 2 из § 3)
X
яри этом сохраняются. Если х = а, то J/(/)d/ = O. Два не-
а
определенных интеграла (х) и F2 (х) одной- и той же функ-
ции /(х), соответствующие двум различным значениям нижнего
предела аг и а2, отличаются друг от друга лишь на постоян-
ное число:

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ОТЫСКАНИЕ ПРИМИТИВНЫХ , 251
Рассмотрим приращение F(x2)— Е(хг) неопределенногоинте-
грала. По теореме. 1 § 3 получим:

^К\х, — xj
(15)
I *2 —-ri
где К обозначает верхнюю грань |/ (х) |.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция F(x) удовлетворяет на сег-
менте [а\ /?] условию Липшица, если существует такое поло*
жителъное число М, что из а х1 х2 «с Ь следует:
IF (xj — F(x2) I < М\Xj — хг |.
Каждая функция, удовлетворяющая условию (15), непре-
рывна, но не наоборот. Читатель легко докажет, что функ-
ции F(x) х|, у х9 xsin-i- и многие другие не удо-
влетворяют условию Липшица. Чтобы в этом убедиться, проще
всего воспользоваться следующим, почти очевидным, предложе-
нием: если F(x) имеет неограниченную производную, то она
не удовлетворяет условию Липшица. В самом деле, если для
любого постоянного, М есть такое х0, что
|F'(x0)|>.Af,
то найдется и такое малое А, что
F(x0 + A)-F(x)|
h Г’
|^о + Л)-F(x)|>M|A|,
что противоречит условию.
Неравенство (15) может теперь быть выражено так:
Теорема 1
Неопределенный интеграл ограниченной функции удовле-
творяет условию Липшица.
Установленные свойства неопределенного интеграла Лебега
позволяют решить поставленную в конце § 3 гл. VIII проблему
отыскания примитивной. Допустим, что функция F(x) имеет
в каждой точке производную /(х) — F'(x} и что эта производ-
ная ограничена: |/(х)1 для определенности положим еще
F(0)e0.

252
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Мы докажем, что
F(x) = J/(x)dx\
о
(16)
По теореме Лагранжа из неравенства | F'(x) /С заключаем,
что F(x) удовлетворяет условию (15). Если же принять, что (15)
заведомо справедливо, то, как мы сейчас докажем, уже излишне
предполагать, что /(x) = F(x) в каждой точке, достаточно
предположить, что это равенство справедливо почти всюду,
В самом деле, справедлива следующая, более общая, чем наше 4
первоначальное предложение, теорема.
Теорема 2
Если F(x) удовлетворяет условию Липшица (15) и имеет
почти всюду Я^оЯ^Зд^ю f(x), то
FM = F(0)+ J/(x)rfx.
О
Из (15) следует, что |^(x)| = [Fr (х)|^/С Чтобы иметь
дело с функцией, определенной всюду, положим f(x) = 0 там,
где Ff (х) не существует. Функция /(х) измерима (§ 2 гл. VIII)
и ограничена, поэтому ее интеграл действительно существует.
Почти всюду
. f(x)=lim Fh (х) = lim F (x h}~ F (x).	(17)
Функции Fh(x) также в силу (15) ограничены. При этом <
условии, как увидим дальше (§ 6), можно, проинтегрировав ра-
венство (17), переменить порядок знаков Нт и J . Тогда получим:
J / (7) dt = J lim Fh (7) =lim J	di ==
0	0	0
x+h	h	ч
=	jF(7)d/—Jf(7)<Z7|, (Л—> 0).
л	0
4 Другими словами: если ограниченная измеримая функция /(х) есть
производная некоторой неизвестной функции F(x), то эта функция F(x)
есть неопределенный интеграл Лебега от функции /(х).
i
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
253
Так как в силу (15), функция. Г(х) непрерывна, то послед-
ние интегралы берутся в обычном римановском смысле. Из не-
прерывности ЕЦх) следует далее, очевидно,
х+л *
J F(0^=F(x4-flA), |0|<1,
X
h
^F{f}dt = F^h),
О
значит,
x+h	л
Пш - ( f F(t)dt— ffW/! = lim Р(х-|-0Л) —lim Г(в’Л) =
Л->!> A I j	J J
= F(x) — F(0), и т. д.
§ 6. Интегрирование последовательностей
Теорема
Если последовательность функций fn(x) сходится почти
всюду на Да; 6] к функции f(x) и еде функции fn(x) равно-
мерно ограничены, то последовательность можно интегриро-
л	ъ
вать почленно, т. е. J fn (х) dx сходится к J /(х) dx. При этом
а	а -
сходимость неопределенного интеграла
X
Fп	:==: J* fn (0	а х
а
к неопределенному интегралу
х
а
разномерна по х.
Допустим, что

на [а; £]. Во всех точках сходимости нашей последователь*
ности | / (х) | М На множестве меры нуль, на котором после-
довательность может расходиться, значения /(х) несущественны
при определении интеграла; положим там/(х) = 0.
254	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
По теореме Д. Ф. Егорова можно найти такие множества Е
и F, что
F-|-F=[a;^],
и на F последовательность /п(х) сходится разномерно к /(i).
Найдется такое N, что при n^N
1Л(*)—/(*)1<е
во всех точках множества F, По теореме 3 предшествующего *
параграфа заключаем, что при n^N
X	' X	X
[/„(ол- f/(ndt < С|/„(о -/(о।
а	а	а	. 
Ь
/(0|Л<2Л1}1(Е)4-б(^ — а)^г(2М-\-Ь- а). (18)
а	~
Так как е>0 было выбрано произвольно, то разность интегра-
лов (15), действительно, равномерно по х стремится к нулю
с возрастанием п.
Если бы мы рассматривали интегрирование только^ в смысле
Римана, то предел^ последовательности интегрируемых функций
даже при сходимости в каждой точке, а не только почти всюду, ;
мог бы оказаться неинтегрируемым. После же введения интеграла J
Лебега предел интегрируемых функций оказывается всегда интегри- ' >
руем, если только он ограничен. Эго обстоятельство и позволило
нам доказать теорему предшествующего параграфа о нахождении
примитивной по производной.	; \
£ 7. Сведение интегрирования разрывных функций к |
интегрированию непрерывных. Пусть/(х) измерима на [а; 6]. ~	|
Для любого е>0 можно найти по теореме Н. Н. Лузина такое Ш
расположенное на [а; £] замкнутое множество Рв, что	jT
U — а—s	ч|
и /(х) непрерывна на Рл.	fl
Точки а и Ь будем считать принадлежащими Рв: от их при-
соединения непрерывность /(х) на не нарушится. Определим |г
новую функцию	/6(х) следующими	условиями:	1Г
4 (*)=/(*)	на	Й
(«)	У
ип л	п
1:
СВЕДЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 251
5 на каждом смежном к Рв интервале Дя с концами ап и Ьп.
/ Формула (19) обозначает, что на Дя функция /8(х) линейна,
в концах же ап и Ьп принимает значения /(ая) и /(6Я).
V	Функция /8(х) непрерывна на [а; £]. Докажем, что /€(лг) не*
г прерывна справа (непрерывность слева доказывается совершенна
аналогично). Если х лежит внутри или на левом конце смеж*
кого к Ре интервала, то непрерывность /£(х) в точке х справа
следует из линейности. Пусть теперь х лежит на Р6 и не является
левым концом смежного к Рв интервала. На Рв функция /8(х>
непрерывна, поэтому разрывность ее.справа в точке х могла бы
быть вызвана только наличием сходящейся к х последователь-
ности точек хп(хп>х)> лежащих в смежных к Ре интервалах*
для которой /е(хя) не сходится к /8(х). Пусть хп лежит в смеж*
ном интервале (ая; Лд).
Тогда в силу (19)
Последовательности точек ая и Ьп сходятся к х и, следо»
г вательно, 4 (ая) и /, (йя) сходятся к /, (х), так как точки ап и
принадлежат Р,. Поэтому . .
н«п|/.К)-/.(У1=о>
f	4(х„)|==0,
,	.	Нт/Е(хя)=11т/,(а„)=Д(л).
Установленный сейчас факт, что измеримая на [а; Ь] функ-
ция /(х) совпадает с некоторой непрерывной на [а; £] функ-
цией f* (х) всюду кроме множества сколь угодно малой меры s,
' сам по себе очень важен; мы воспользуемся им для дальнейшего
исследования интеграла.
Если /(х) ограничена и |/(х)| не превышает Af, то,
очевидно,	7
|/,(х)|<Ж.
|/8(х):—/(*)! = О на множестве Рв меры не меньшеШ
Ь— а — е. Множество Ов точек [a; Z>], не входящих в имеет
меру
g(Oe)<s.
На Ов	.
1/. W -/(X) I < I/. (х) I +1/(х) I	2М 8;
< В самом деле, каково бы ни было е > 0, существует лишь конеч-
ное число смежных интервалов, превосходящих по длине е. Поэтому
lim (ЪЛ — а,,) == 0, значит, и подавно lim (bn — хя) = lim (ха —	—
»->оо
Так как Итхл = х, то и lim ад = х и Пт£л = х.
:	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
<io теореме 3 из § 4 получаем отсюда:
ь
J !/.(*)— /(x)|Ac<2Jfs.
а
По теореме 2 того же параграфа заключаем далее, что
ь	ь
J/, М dxr— J/(x) dx
а	а
Ь	»
^22Ие,
limj/,(x)dx = ^f(x)dx, a—>-0.
a	a
(20)
В формуле (20) слева стоят интегралы непрерывных функций,
они мцгут быть определены по Риману; поэтому формулу (20)
можно воспринимать, как новое определение интеграла Лебега:
интеграл /(х) равен пределу интегралов непрерывных функ-
ций ft(x). При этом надо заметить, что определение функций
• /а (х) далеко неоднозначно: для данного е множество Р, можно
выбрать очень многими способами. Для справедливости же фор-
мулы (20) вовсе не необходимо, чтобы /, (х) строилось выше-
 указанным способом, достаточно, чтобы было /е (х) = /(х) на Ра
<и |/, (x)j в каждой точке сегмента [а; £].
$ 8. Производная неопределенного интеграла Лебега.
.Мы видели в § 4 гл. VIII, что неопределенный интеграл
X
F(x)=^f{x}dx
о
непрерывной функции-/(х) имеет в каждой точке производную,
равную f(x)> Установленная в предшествующем параграфе связь
между интегрированием измеримых и непрерывных функций
позволит .нам в известном смысле обобщить этот результат
и на разрывные функции.
'	ч
Теорема		•	'	'
Неопределенный интеграл F(x) ограниченной измеримой
-функции /(х) имеет почти всюду производную, равную /(х).
Доказательство. Мы докажем сначала, что почти всюду
/?+(х)=/(х) 1. Для этого нам понадобится следующая лемма.
* См. § 7 предшествующей главы.
ПРОИЗВОДНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
257
Лемма
Пусть Е множество точек сегмента [0; Ь], в которых
|F+(x)!^5, тогда
ь
о
Для любой точки х множества е существует последователь-
ность таких hn, что hn —► 0 и | Fhn ( а ) | ^ 5 — е, где е произвольно
малое число. Выкинув из Е точки о и Ь, если они к нему при-
надлежат, мы не изменим меры Е и сможем распорядиться так,
чтобы все х hn лежали внутри (0; ьу Обозначим сегмент с кон-
цами х и *-|-Ля через Дл(х). Сегменты Д„(х) удовлетворяют
условиям теоремы Витали 1, следовательно, из них можно выде-
лить конечное число непересекающихся сегментов	•
Д(«,Д(2),-..,Д<4>, •
так, что сумма их длин |Л(/)| будетХ^ольше g(£) — е. В то же
время	\
ди)
§f(x)dx =|F(x(o\-ft(O)_F(x(0)| =
Складывая интегралы по сегментам ДЮ, полуним:
Р	ftp	\	Г
|/(x)|rfx>3 |/(x)|rfx^(5_e){jJL(£)\e}./C0
Так как 8>0 было произвольно, то лемма доказана. \
Построим теперь для функции f (х) и некоторого е > спре-у-^])
деленную на сегменте [0; А] функцию /е(х) способом, указанным
в предшествующем параграфе; рассмотрим ее примитивную
ЮА
О CMK'bcf
в каждой точке у, .
R (л) разность с
= dx.
о
Так как /,(х) непрерывна, то f\(x) имеет
производную F* (х) =/. (х). Обозначим через
F(x)-F'(x).
« См. § 5 гл. VI.
17 Александров и Колмогоров
258
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
На множестве Pt имеем f{x)—ft(x), и, следовательно,
"	S4x) = F*(x)-F;(x)-^(x)—/(х).	(21)
/ . Пусть Е множество, где | R+(х) |	й. Так как /?(х) является
р примитивной от разности /(х)—/, (х) и
—/«W |	2/Ие,
азанной леммы
2/Ие>8р(Е),
Рассмотрим теперь множество N всех точек х, в
которых
Так как во всех точках Рв справедливо равенство (21),
то N-Pt а 2?, следовательно,
g(^Pe)<p(E)<^.
С другой стороны, мера части множества /V, - лежащей вне Рв,
не может превосходить е (;гак как все дополнительное множе-
ство к Рв до' сегмента [6; Ь] имеет меру <^е). Поэтому
Так как е>0 было произвольно, то последнее выражение может
быть сделано сколь угодно малым, откуда следует, что g(7V) — О,
т. е. — /(*)|<С$- почти всюду на [0; £]. Так как й>0
тоже было произвольно, то F+(x)=/(x) почти всюду на [0; #].
Формулированная выше лемма справедлива также для F~(x)
(доказательство то же). Поэтому почти всюду на [0; />]
F-(*)=/(x),
и, следовательно,
/(лг) = Г+(х) = ГЛх) = Г(х).
£ 9. Точки плотности измеримого множества. Дока-
занная теорема о существовании у неопределенного интеграла
Лебега почти всюду производной в применении к функциям,
принимающим лишь два значения, доставляет нам важное свой-
ТОЧКИ ПЛОТНОСТИ ИЗМЕРИМОГО МНОЖЕСТВА	259
ство измеримых множеств. Пусть Е измеримое множество и fE{x)
его характеристическая функция, т. е. функция, равная 1 на Е
и 0 в остальных точках. Рассмотрим примитивную
FE(x)=pE(x)dx
функции fE(x). Разность
ь
FE(b)-FE{a)^fE{x)dx
а
является не чем иным, как мерой той части Е, которая лежит
между а и Ь\ будемобозначать ее Еьа. Пусть Л>0, тогда
FB{x-Yh)-FE{x)V.(E3^h)
h	h
при уменьшении Л в почти каждой точке х стремится к fE(x).
Аналогично, почти всюду будет:
F(x)-F(x-K) t. F(x-h)_F(x)
iim —i—-——=lira--.---------= lira--------------=
h	h	—h
==	(•*) ==Л? (*)
Если а<х<^Ь и а и b стремятся к x, то почти всюду
Jizzi ига ,
b — a [d — a x — a 1 b — a b — x f
_x a . b ~~ x * . \ j / x
“ У—(*) +	— /е (X)-
Так как, если x принадлежит E, то fE(x) = l, то нами дока-
зана следующая теорема.
Теорема
В почти каждой точке х измеримого множества Е
р.(Еь\
lim-т--------=1, а<х<6, а—*х, b—>х.	(22)
b — а	' '
Точки, в которых выполнено соотношение (22), называются
точками плотности множества Е. Если, наоборот,
V^(Eb\
a<x</>, а-^х, Ь—х,
Ь — а	’
17*
260
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
то х является точкой разрежения для множества Е. Таковы
почти все точки, не принадлежащие Е, так как в них
/£(х)=0.
§ 10. Диференцируемостъ функций, удовлетворяю-
щих условию Липшица. В § 5 было установлено, что неопре-
деленный интеграл Лебега от ограниченной^функции удовле-
творяет условию Липшица. Сейчас будет показано, что, обратно,
каждая функция, удовлетворяющая условию Липшица, есть
неопределенный интеграл Лебега от ограниченной функции.
Это следует из теоремы 2 § 5 и следующего предложения:
Теорема
Функция F(x), удовлетворяющая условию Липшица, имеет
почти всюду ограниченную производную.
Дока ательство теоремы основывается на следующем вспомо-
гательном предложении.
Лемма
Если F(x) удовлетворяет условию Липшица и почти всюду
F+(x) — 0t то F(x) есть постоянная.
Рассмотрим сегмент [а; 6J,	Обозначим через Е
множество точек сегмента [а; £], в которых F+(x) = 0. Для каж-
дой точки х, входящей в Е, существует последовательность 0,
сходящихся к нулю с возрастанием п, для которой
где е>0 произвольное заранее выбранное число. Так же как
в доказательстве леммы § 8, обозначим сегмент с концами х
и x-{-hn через Дл(х). Точно так же, как и там, распорядимся
так, чтобы все x-\-hn лежали внутри [а; £], и применим теорему
Витали. Получим систему непересекающихся сегментов
d(J), Д(2),Д<4
Сумма длин этих сегментов больше
11(E) — е = b — а—е.
Можно предполагать, что сегменты Д<0 занумерованы в по-
рядке их расположения слева направо. Обозначим через левый
конец Д^ и через — правый конец.
Тогда
а <	< 6(1) < № < ... <	< *(0 < ,.. <	< Ь.
Бупем подсчитывать F(b) — F(a), представляя эту разность кт к
сумму аналогичных разностей, составленных для отдельных
ДИФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
261
отрезков, на которые распадается отрезок [а; £]. Для отрез-
ков ДМ получаем:	*
|Л*М( —	I = IW*®} I < е | AM 1,
k	k
S|F(AM) — F(aM|<e2|AM|<8(A —a).
i=i	z=i
Остается подсчитать колебания на остальных k 4-1 отрезках
[а; а<«],	а<2>], ..JAW; А].
Сумма их длин не превышает е (все остальное покрыто отрез-
ками ДМ). В силу условия Липшица сумма колебаний F(x)
на этих отрезках не превышает еМ Складывая колебания на всех
частичных отрезках, получим:
| F (Ь) - Л (а) | < | F (a W) - F (а) | +1F № — F (<№) | +
+ |/7(^(2)) — Wn)l+ ... f e(b — a).
Так как е>0 произвольно,, то [ F (А)—F(a)| = 0. А это й озна-
чает, что F(x) постоянна.
После того как наша лемма доказана, доказательство теоремы
Требует лишь нескольких почти очевидных замечаний.
Рассмотрим верхнюю производную F*(x). Так как F(x) „
удовлетворяет условию Липшица:
то, очевидно,
|F+(x)| </И.
Рассмотрим функцию
' $(x)==jr+U)d/
О
4 И ПОЛОЖИМ
47(х) = Ф(х) — F(x).
Функция U (х) удовлетворяет условию Липшица:
| t/(xj) - Щх2) | < |Ф (Xj) -Ф (х2) | +
_|_ | F(x,) -F(x2) К 2Л41 Xj -х21.
Кроме того, почти всюду, а именно во всех точках, в которых
Ф'(х) = ^*(х),
имеем:
t/+ (х) = Ф' (х) — F* (х)» F+ (х) — F+(х)	0.
262
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Условия нашей леммы выполнены, значит, ' U (х) есть по-
стоянная, Щх)=с и
р(х) = Ф(х) —с.
Так как Ф(х), как неопределенный интеграл, почти всюду имеет
производную, то то же справедливо и для Г(х), что и требовалось
доказать.
Из только что доказанной теоремы вытекает (на основании
теоремы 2, § 5).
_ Следствие
Если Г (х) удовлетворяет условию Липшица, то она является
неопределенным интегралом ограниченной измеримой функции.
В самом деле, если f(x) = F'(x) в точках, где F* (х) суще-
ствует, и /(х) = 0 в остальных точках, то в силу упомянутой
теоремы 2, § 5:
X
F(x) = F(0)+f/(/)^.	(1)
О
Примечание, Так как интеграл не меняется при произвольном
изменении подинтегральной функции на множестве меры нуль,
то мы могли бы определять /(х) в точках, где F(x) не суще-
ствует, как нам угодно,— равенство (1) от этого не пострадало бы.
Поэтому говорим коротко: функция, удовлетворяющая ус-
ловию Липшица, есть неопределенный интеграл от своей про-
изводной,
§ 11.	Интеграл Лебега для неограниченных функций.
Если функция /(х) измерима, но не ограниченна, то определение
интеграла Лебега, данное в § 2, должно быть видоизменено.
Пусть
• • • Р-%	< А) <Р\ Рз < • • •
бесконечный в обе стороны ряд чисел, причем pk стремится
к 4-оо при k—►4~°° и к —°0’ если —*—°0- Допустим,
что для любого k
Pk Pk-г
Множества £(p*-i</<P*) определяются также, как в § 2,
тогда из абсолютной сходимости ряда
X	(Рп-1 < Г<рп}} — 5
оо
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 263
для какого-либо выбора рп и ую удовлетворяющих вышеука-
занным условиям» следует, что этот ряд сходится абсолютно
и для любого другого выбора рп и уп, подчиненного тем же
условиям. В этом случае функция f(x) называется суммируемой.
Доказывается, что в случае суммируемой функции сумма S при
уменьшении а стремится к вполне определенному пределу, этот
предел и называется интегралом (в смысле Лебега):
ь
а
Легко видеть, что в случае ограниченной функции f(x) все
члены суммы 5 кроме конечного числа обращаются в нуль
и новое определение интеграла приводится к форме, данной в § 2.
Основные свойства интеграла (теорема 2, § 3, формулы (11)
и (12) и теоремы 1 и 2 из § 4) сохраняются и при новом рас-
ширенном определении. Но неопределенный интеграл может
не удовлетворять теперь условию Липшица; доказывается, однако»
что он будет непрерывной функцией с ограниченным изменением.
Неопределенный интеграл и в случае неограниченной функ-
ции f(x) имеет почти всюду производную, равную подинте-
гральной функции /(х).
Тем не менее, и при этом расширении понятия интеграла
остаются неинтегрйруемые функции даже среди функций, являю-
щихся точными производными. Задача отыскания примитивной
по ее точной производной решается только с помощью еще
более общего процесса интегрирования, принадлежащего Данжуа
(Denjoy). Следует, впрочем, заметить, что при обобщении
понятия интеграла за пределы, данные Лебегом, теряется много
ценных свойств, которыми обладает интеграл Лебега.
УКАЗАТЕЛЬ
(цифры указывают страницы)
А
Алгебраическое число 25.
Л-множества 190, 191.
Б
Бендиксон, теорема Кантора-Б.93.
Бер 38, 189, классификация Б. 197.
Бесконечное множество 22.
Больцано 70, теорема Б.-Вейер-
штрасса 71.
Борель 188, 189, теорема Б.-Ле-
бега 167 — 169.
В
В-множества 188, 189, 202.
В-функции 197 — 198, 202.
Вейерштрасс 70,154, теорема Боль-
цано-В. 71, теорема В. 143, 144.
Верхний интеграл 205.
Верхний предел, множества 72,
функции 151.
Верхняя грань 45.
Верхняя производная 239.
Взаимно непрерывное соответствие
125.
Взаимнооднозначное соответствие 8.
Витали, теорема В. 187 — 188.
Внешняя мера множества 172.
Внутренняя мера множества 172.
Внутренняя точка 117.
Высота, дроби 23, полинома 25.
- Г
Гаусдорф 45, 161, 163.
Геометрическое изображение дей-
ствительных чисел 4) — 42.
Гомеоморфные множества 126.
Грань, верхняя 45, нижняя 46.
д
Данжуа 263.
Двойственность, закон д. относи-
тельно сложения и умножения
множеств 161 — 163.
Двусторонняя предельная точка 203.
Дедекинд 26. *
Дедекиндово сечение 27 — 28, 36.
Действительные числа 34, полнота
множества д. ч. 38, их геометри-
ческое изображение 40 — 42, не-
счетность множества д. ч. 61—63.
Дирихле 129, 154, функция Д. 148,
211.
Дополнительное множество 107 —
108, 116.
Е
Егоров 195, теорема Е. 195.
3
Закон двойственности относитель-
но сложения № умножения мно-
жеств 161 —163.
Закон распределения нормальный
212.
Закон соответствия 12.
Замкнутое множество 70, 83, 107 —
115, 118—119, 125, 161 —167.
Замыкание множества 82.
Зейдель 154.
И
Измеримая функция 191, 192, 195,
197, 198, 202, 255.
Измеримое множество 172, 178—
184.
Изолированная точка 70.
УКАЗАТЕЛЬ
265
Изолированное множество 70.
Интеграл, Римана 203 — 204,
211, условия его существования:
Римана 207, Лебега 208, произ-
водная неопределенного и. Римана
235 — 236; и. Стилтьеса 215,
226 — 228, условия его сущест-
вования 216; и. Лебега для
ограниченных функций 243—244,
247—250, 256, неопределенный и.
Лебега 250,251, его производная
252, 256; и. Лебега для неогра-
ниченных функций 262 — 263;
нижний и верхний и. 205.
Интегрирование последовательно-
сти функций 253 — 254.
Интервал 43, смежный и. 109.
Иррациональное число 31 — 32.
К
Кантор 25, теорема К.-Бендиксона
93.
Канторово совершенное множество
95— 107, 119—127, 134.
Классификация Бера 197.
Колебание функции, на сегменте
159, в точке 208.
Кольцо множеств 189.
Континуум, множество мощности к.
63, 64 — 65.
Коши 130, 204, критерий сходи-
мости К. 79.
Критерий сходимости Коши 79.
Л
Лебег 189, 198, 202, интеграл Л.
243 — 244, 247 — 250, 251, 252,
256, 262 — 263, теорема Боре-
ля-Л. 167—169.
Левая производная 237.
Левосторонний предел 145.
Леонов 25.
Линейная область 116.
Липшиц, условие Л. 251.
Лузин 190, 198.
М
Математическое ожидание 212.
Мера множества 169— 172, внеш-
няя и внутренняя м. 172.
Метрические свойства 160 — 161.
Множество 7, пустое м. 8, эквива-
лентные м. 12, счетное м. 13, 17 —
25, бесконечное м. 22, упоря-
доченное м. 27, 36, 40, 42, огра-
ниченное м. 43, производное м.
70, замкнутое м. 70,<83, 107—115,
118-119, 125, 161 —167, изоли-
рованное м. 70, совершенное м.
71,95—107,119 - 127,134, сходя-
щееся м. 73, 75, связное м. 93,
разрывное м. 101, гомеоморфные
м. 126, м. размерности 0 128,
измеримое м. 172, 178 — 184, м.
меры 0 184.
Множество F. 161, 184.
Множество 163, 184.
Монотонная последовательность 8L
Монотонная функция 218 — 219. .
Мощность 12.
Н
Неопределенный интеграл, произ-
водная н. и. Римана 235 — 236^
и. и. Лебега 250, 251, его произ-
водная 252, 256.
Непрерывная функция 130, 149.
Непрерывное соответствие 125.
Непрерывное упорядоченное мно-
жество 40.
Непрерывный образ множества
Непрерывность, равномерная 139 —
140, 141, н. функции справа и
•слева 149.
Несчетность множества действи-
тельных чисел 61 — 63.
Нижний интеграл 205.
Нижний предел, множества 72,.
функции 151.
Нижняя грань 46.
Нижняя производная 239.
Нормальный закон распределения
212.
О
Область линейная 116. .
Ограниченная функция 142.
Ограниченное множество 43.
Ожидание математическое 212.
Окрестность точки 66.
П
Подобные упорядоченные множе-
ства 42.
266
УКАЗАТЕЛЬ
Полное изменение функции на.
интервале 218.
Полнота множества действительных
чисел 38.
Полуинтервал 43.
Поправимый разрыв 145.
-Последовательность, сходящаяся
76, предел п. 76, расходяща-
яся п. 78, монотонная п. 81, п.
функций 152, 253, равномерно
сходящиеся п. функций 154, 155,
156, интегрирование п. функций
253 — 254.
Правая производная 237.
Правосторонний предел 145.
Предел, верхний и нижний п.
множества 72, п. сходящегося
множества 73, п. числовой по-
следовательности 76, левосторон-
ний и правосторонний п. 145, п.
функции 149, верхний и нижний
п. функции 151.
Предельная точка 66, двусторон-
няя п. т. 103.
Приближенная непрерывность
Примитивная 233.
Произведение множеств 16.
Производная 229, 237—238, п., раз-
рывная на множестве положи-
тельной меры 232, п. неопреде-
ленного интеграла Римана
235—236, правая и левая п. 237,
верхняя и нижняя п. 239, п.
неопределенного интеграла Ле-
бега 252, 256.
Пустое множество 8.
Р
Равномерная непрерывность 139 —
140, 141.
Равномерная сходимость 154, 155,
156.
Размерный тип 128.
Разрывная функция 144 — 148, р. ф.
как предел последовательности
непрерывных функций 156 — 158.
Разрывное множество 101.
Распределение масс, функции р.
- м. 220.
Расстояние точки от множества
164, р. между двумя множест-
вами 164.
Расходящаяся последовательность
78.
Риман 129, 204, функция Р. 158,
интеграл Р. 203 — 204, 207, 208,
211, 235 — 236.
С
Связное множество 93.
Сегмент 43.
Сечение дедекиндово 27 — 28, 36.
Скачок функции 145.
Случайное переменное 212.
Смежный интервал 109.
Совершенное множество 71, канто-
рово с. м. 95 — 107,119 — 127,134.
Совершенное разрывное множе-
ство 119—127.
Соответствие, взаимно однозначное
8, непрерывное 125, взаимно
непрерывное (топологическое)
Стилтьес 203, .интеграл С. 215,216,
226 — 228.
Стокс 154.
Сумма множеств 14.
Суммируемая функция 263.
Суслин 190.
Сходимость, критерий с. Коши 79,
равномерная с. 154,155, 156.
Сходящаяся последовательность,
чисел 76, функций 152.
Сходящееся множество 73, 75, его
предел 73.
Сцепленное упорядоченное множе-
ство 36.
Счетное множество 13, 17 — 25.
Счетный скелет множества 36.
Т
Теорема Больцано — Вейерштрасса
71, Кантора - Бендиксона 93,
Вейерштрасса 143—144, Бореля-
Лебега 167 — 169, Витали 187 —
188, Егорова 195.
Топологические свойства 127.
Топологическое соответствие 125.
Точка, предельная 66, изолирован-
ная 70, т. конденсации 89, двусто-
ронняя передельная т. 103, внут-
ренняя 117, т. размерности 0 128,
т. разрыва 131, т. разрыва первого
рода 144—145,т. поправимого раз-
рыва с бесконечным скачком 146,
УКАЗАТЕЛЬ
267
т. разрыва второго рода 146, т.
плотности измеримого множества
259, т. разрежения измеримого
множества 259 — 260.
У
Упорядоченное множество 27, 36,
непрерывное у, м. 40, подобные
у. м. 42.
Урысон 128.
Условие Липшица 251.
Условия существования, интеграла
Римана 208, интеграла Стил-
тьеса 216.
Ф
Фреше 128.
Функции с ограниченным измене-
нием 216.
Функция 129, непрерывная ф. 130,
149, ограниченная ф. 142, раз-
рывная ф. 144 — 148,156—158, ф.
Дирихле 148, 211, ф. Римана 158,
измеримая ф. 191, 192, 195, 197,
198, 202,255, монотонная ф. 218—
219, ф. распределения масс 220,
характеристическая ф. множе-
ства 241, суммируемая ф. 263.
X
Характеристическая фунция мно-
жества 241.
Ч
Число, алгебраическое 25, ирраци-
ональное 31 — 32, действительное
34, 38, 40 -42, 61—63.
Э
Эквивалентные множества 12.
Я
Ядро 190s
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть первая
Глава первая
О бесконечных множествах
Стр.
§ 1.	Понятие множества..................................  7
§ 2.	Взаимно однозначное соответствие множеств . ........ 8
§ 3.	Операции над множествами . ......... . . . ♦ . • . 13
§ 4.	Теоремы о . счетности множеств...................   17
Глава вторая
Действительные числа
§ 1.	Дедекиндовское определение иррационального числа..26
§ 2.	Упорядоченность множества действительных чисел ...... 32
§ 3.	Сечения во множестве действительных чисел.......... 36
§ 4.	Геометрическое изображение действительных чисел... 40
§ 5.	Верхняя и нижняя грани точечного множества ....... 43
§ 6.	Действия над действительными числами......!	. . . . 51
§ 7.	Разложение действительных чисел в бесконечные десятичные
дроби...............................«................... 57
§ 8.	Несчетность множества всех действительных чисел.... 61
Глава третья
О предельных точках множеств
§ 1.	Определение и примеры предельных. точек ......... 66
§ 2.	Основные определения теории точечных множеств. Теорема
Больцано-Вейерштрасса................................... 70
§ 3.	Сходящиеся множества..............................  73
§ 4.	Сходящиеся последовательности................ . . . •	76'
§ 5.	Производные множества и замыкания...................82
§ 6.	Точки конденсации.................................  89
Глава четвертая
Строение замкнутых множеств
§ 1.	Канторово совершенное множество ............. 95
§ 2.	Произвольные замкнутые множества...................107
ОГЛАВЛЕНИЕ
269
Стр.
§ 3.	Области и внутренние точки.............” ........116
§ 4.	Канторово множество как прототип всех совершенных всюду
разрывных множеств ...................................119
Глава пятая
Непрерывные функции
§ 1.	Определение и примеры непрерывных функций ....... 129
§ 2.	Элементарные свойства непрерывных функций............./138
§ 3.	Простейшие примеры разрывных функций...................144
§ 4.	Пределы переменных величин  ...........................149
§ 5.	Последовательности функций ................ 152
Часть вторая
Глава шестая
Измеримые множества и измеримые функции
§ 1.	Дальнейшие свойства замкнутых множеств	161
§ 2.	Теорема Бореля-Лебега . . .z. . . ......*............167
§ 3.	Понятие меры множества. Измеримые множества...........169
§ 4.	Основные теорейы о мере множеств .....................173
§ 5.	Теорема Витали.....................•................  185
§ 6.	Некоторые замечания о так называемых В и А множествах. . 188
§ 7.	Измеримые функции ................................... 191
Глава седьмая
Интегралы Римана и Стилтьеса
§ 1.	Интеграл Римана ....._.................................... 203
§ 2.	Верхний и нижний интегралы.............................  204
§ 3.	ПервЪе условие интегрируемости	по Риману	..............206
§ 4.	Условие Лебега ..........................................208
§ 5.	Примеры из теории вероятностей	и механики	.... • . . . 211
§ 6.	Интегралы Стилтьеса...................... 215
§ 7.	Функции с ограниченным изменением и монотонные функ-
ции ......................................................... 218
§ 8.	Основные свойства интеграла Стилтьеса....................226
Глава восьмая
Производная
§ 1.	Множество точек существования производной . .........229
§ 2.	Примеры разрывных производных........................231
§ 3.	Определение примитивной по производной	233
§ 4.	Производная неопределенного интеграла Римана........ 235
§ 5.	Правая и левая производная.........................  236
§ 6.	Производная принимает все промежуточные значения .... 237
§ 7.	Верхняя и нижняя производная...........	238
270 ..	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава девятая
Интеграл Лебега
Стр.
§ 1. Вводные замечания ..................... . •	.........241
§ 2. Определение интеграла Лебега для ограниченных функций . . 243
§ 3^ Связь с интегралом Римана............................  245
§ 4.>Дальнейшие свойства интеграла Лебега...................247
§ 5/	'Неопределенный интеграл и отыскание примитивных .... 250
§ 6.	Интегрирование последовательностей.....................253
§ 7.	Сведение интегрирования разрывных функций к интегриро-
ванию непрерывных ........................................ . • 254
§ 8.	Производная неопределенного интеграла Лебега . .......255
§ 9.	Точки плотности измеримого множества .................258
§10.	Диференцируемость функций, удовлетворяющих условию
Липшица.....................................................260
§11.	Интеграл Лебега для	неограниченных функций............262
§ 12.	Указатель........................................    264