Дидактические
материалы
Подготовка к экзаменам
Контрольные работы
Решение задач для поступающих в вузы
Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник,
М.В.Чинкина
Алгебра
и начала анализа
	
УДК 372.851
ББК 74.262.21
3-42
Серия «Дидактические материалы»
основана в 1999 году
Звавич Л. И.
3-42 Алгебра и начала анализа. 8—11 кл.: Пособие для
школ и классов с углубл. изучением математики /
Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник, М. В. Чинкина. —
3-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2002. — 352 с.:
ил. — (Дидактические материалы).
ISBN 5—7107—5433—1
Пособие содержит контрольные работы для 8—11 классов, зада-
ния выпускных экзаменов но математике в 9 и 11 классах с углуб-
ленным и профильным изучением математики, а также практикум
для поступающих в вузы. Ко всем заданиям даны ответы.
Книга может использоваться в качестве задачника в классах с
сильным составом учащихся, а также для самостоятельных занятий.
УДК 372.851
ББК 74.262.21
Учебное издание
Серия «Дидактические материалы»
Звавич Леонид Исаакович
Шляпочник Леонид Яковлевич
Чинкина Марина Викторовна
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
8—11 классы
Пособие для школ и классов
с углубленным изучением математики
Зав. редакцией М. Г. Циновская
Редактор А. М. Суходский. Оформление А. В. Кузнецов
Художник В. А Иващук. Технический редактор Н. И. Герасимова
Компьютерная верстка Н. И. Салюк. Корректор Е. Е. Никулина
Изд. лиц. № 061622 от 07.10.97.
Подписано в печать 17.12.01. Формат 84 х 1О8'/з2.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. псч. л. 18,48. Тираж 10 000 экз. Заказ № 2994.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа»
обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики,
д. 6, стр. 1А. Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в полиграфической фирме «КРАСНЫЙ ПРОЛЕТАРИЙ»
103473, Москва, Краснопролетарская, 16
ISBN 5—7107—5433—1	© ООО «Дрофа», 1999
От авторов
Настоящая книга предназначена для работы в классах с
углубленным изучением математики, классах с профилем,
рассчитанным на расширенное изучение математики, об-
щеобразовательных классах с сильным составом учащихся,
интересующихся математикой. Может быть использована
для самообразования и самопроверки.
В первом разделе содержатся тексты контрольных работ
по алгебре и математическому анализу. Контрольные рабо-
ты составлены в соответствии с почасовым планированием
для классов с углубленным изучением математики, приве-
денным в конце книги.
В соответствии с методической концепцией авторов
контрольные работы несколько перенасыщены материа-
лом. Это сделано для того, чтобы учитель мог сам, ориенти-
руясь на конкретные условия, разгружать контрольную ра-
боту, снимая определенную часть примеров или заменяя их
на более легкие. Если учитель считает, что само количество
контрольных работ избыточно, то он может часть их провес-
ти как самостоятельные работы или использовать в качест-
ве домашней контрольной работы по типу «проверь себя».
Все контрольные работы снабжены подготовительным
вариантом. Подготовительный вариант может быть исполь-
зован: для задания на дом или решения в классе непосредст-
венно перед контрольной работой; для задания на дом после
разбора контрольной работы (в качестве самостоятельной
работы над ошибками); как третий вариант контрольной ра-
боты; как дополнительный вариант для тех учащихся, кото-
рые пропустили по болезни контрольную работу и хотят ее
написать.
Во втором разделе приводится тематическая подборка
задач, предлагавшихся на государственных выпускных эк-
заменах в 11-х математических классах в последние годы.
Здесь представлено 360 заданий, разбитых на 20 основных
групп соответственно основным темам курса алгебры и ма-
тематического анализа 10—11 классов. Этот материал ока-
жется полезным подспорьем для учителей при подготовке
учащихся к выпускным экзаменам. (Подробные решения
задач тематической подборки приведены в [19—21]. По-
скольку некоторые задания можно отнести к двум-трем
темам, они намеренно дублированы в соответствующих
4
Дидактические материалы
От авторов
группах. По своему опыту знаем, насколько трудно учи-
телю выискивать задачи по определенной теме при под-
готовке к очередному уроку.) Заметим, что аналогичную
подборку для повторения курса 8—9 классов можно найти
в «Сборнике задач по алгебре для 8—9 классов» (Галиц-
кий М. Л. и др.).
В третьем разделе приведены тексты государственных
экзаменационных работ в 9 и 11 классах с углубленным и
профильным изучением математики за последние годы.
Четвертый раздел включает практикум по изучению
важных, с нашей точки зрения, тем курса, мало представ-
ленных в учебной литературе: «Задачи на касательную» и
♦ Решение уравнений методом замены переменной». Прак-
тикум содержит большое количество примеров.
Все задания контрольных и экзаменационных работ, те-
матической подборки задач и практикума снабжены отве-
тами.
В 8—9 классах (с углубленным изучением математики)
мы считаем вполне возможным использовать любой из
имеющихся учебников алгебры для обычных классов в со-
вокупности с учебниками для классов с углубленным изуче-
нием математики (Виленкин Н. Я. и др.); в качестве задач-
ников мы считаем необходимым использование всеми уча-
щимися «Сборника задач по алгебре для 8—9 классов»
(Галицкий М. Л. и др.) и сборника «Задания для проведе-
ния письменного экзамена по математике в 9 классе» (Зва-
вич Л. И. и др.). В 10—11 классах мы имеем в виду исполь-
зование как основных учебников «Алгебра и математиче-
ский анализ» для 10—11 классов (Виленкин Н. Я. и др.),
так и многих других книг, указанных в списке литературы.
Авторы будут благодарны за все замечания, присланные
по адресу: 121086, г. Москва, а/я 534, Звавичу Л. И.
I. Контрольные работы
8 класс
КМ-8-1
Повторение материала 7 класса
Подготовительный вариант
1.	Вычислите:
»(17п)г-1вй  18й;
б)	а2 + 2аЬ + Ь2 - 7а - 7Ь при а = 4^ , b = 2^;
1о	1 о
3	3
в)	3,8 Л"-  3’82 “ 1’52-
□ ,о
2.	Решите уравнение
(Зх - 2)2 - 2 (2х + I)2 = (х + 1)(х - 1).
3.	Разложите на множители:
а)	а2 + ЗаЬ + 2а2 - Ь2 - 5Ь2;
б)	х4 + Зх + 2;
в)	а2 - ЗаЬ - 4Ь2;
г)	х4 + 7х2 + 16;
Д)	х4 + 4.
Дидактические материалы
8 класс
4.	При каких значения q уравнение
(х - q)2 + (х + I)2 = 2(х - 3)(х + 3)
не имеет решений?
5.	Докажите, что число 31-34-37-40 + 81 можно
представить как произведение двух одинаковых
натуральных чисел.
Вариант 1
1.	Вычислите:
z о \2	о	о
-18п-20п=
б)	а2 - 2аЬ + Ь2 - За + ЗЬ при а=1|;Ь = -1^;
в)	12,52+ 1,22-1243-Л23-
2.	Решите уравнение
(2х + I)2 - 3 (х - 5)2 = (х + 3)(х - 3).
3.	Разложите на множители:
а)	2а2 - 4аЬ - 4а2 + 2Ь2 + 4&2;
б)	х2 - Зх + 2;
в)	а2 - ЗаЪ + 2Ь2;
г)	х4 + 5х2 + 9;
д)	а4 + 4Ь4.
4.	При каких значениях а уравнение
(Зх - а)2 + (4х + I)2 = (5х - I)2
не имеет решений?
5.	Докажите, что число 370 • 371 • 372 • 373 + 1 мож-
но представить как произведение двух одинако-
вых натуральных чисел.
Дидактические материалы	у
Контрольные работы
Вариант 2
L. Вычислите:
/	7л2	7	7
а>(13э) -14s'l2s:
б)	а2 - 5а - Ъ2 + 5Ъ при а = з|,Ь=1|;
в)	j-g----- + 2,5 + 4,4 .
2.	Решите уравнение
(Зх - I)2 - 8(х + I)2 = (х + 2)(х - 2).
3.	Разложите на множители:
а)	5а2 - 5Ь2 + 20аЬ - 10а2 - 10b2;
б)	х4 + 4х + 3;
в)	а2 + 4аЬ + ЗЬ2;
г)	х4 + Зх2 + 4;
д)	64 + с4.
4.	При каких значениях р уравнение
(2х - Зр)2 + (х - I)2 = 5(х - 2)(х + 2)
не имеет решений?
5.	Докажите, что число 107 • 109 • 111 • 113 + 16 мож-
но представить как произведение двух одинако-
вых натуральных чисел.
КМ-8-2
Повторение материала 7 класса
Подготовительный вариант
1. Упростите выражение
С 1 + 2 . 1 + f > . *
U - * t3-l’l + t + t2J'1 + t’
		
Дидактические материалы
8 класс
2. Найдите значение выражения
/	2	_	1	\ .	1_______6z_
l(2z+l)2 1 - 4z2J ’ (1 + 2z)2 2г-!
при z = 0,75.
3. Сократите дробь:
v а4 + 64
Э-)	Q О >
а4 + 4а + 8а
4. Пусть - = 2. Найдите значение выражения
X2 - ху + у2
X2 + ху + у2'
Вариант 1
1.	Упростите выражение
< 1	+ b + 1 . 4Ь2 + 2& + П .	1
1г - 46	863 _ ! ’	1 + 2b J ' 4Ь - 2 ’
2. Найдите значение выражения
при х = -1,5.
2
(1 - ж)2
Зх
х + 1
3. Сократите дробь:
а4 + 4
&) 3	2	’
а - 2а + 2а
4.
Пусть - = 4. Найдите значение выражения
X2 + ху - у2
X2 - ху + у2
Дидактические материалы
Контрольные работы
Вариант 2
1.	Упростите выражение
/	1	+	1	#	1 + За \ ф 2 + 6а
\2 - 6а 27а3 - 1	1 + За + 9а2) а
2.	Найдите значение выражения
( 9 +	3 А 6	+ 1 - 2у
1/-9	(3 - у)2 ) • (у - З)2	3 + У
при у = -3,2.
3.	Сократите дробь:
4Ь4 + 1
&)	3	2	’
2Ь + 2b + Ь
4.	Пусть = 3. Найдите значение выражения
2	2
Зу - 2ху + х
х2 + ху + у2
КМ-8-3
Линейные неравенства.
Простейшие системы неравенств
Подготовительный вариант
1. Решите неравенство:
. 8х + 3 2х - 5 у 11 - 7х,
16	3	"	12	’
б) (4х - З)2 + (7х + I)2 < (5х - 4)(13х + 1).
Дидактические материалы
10
8 класс
5.
Для всякого
значения Ь решите систему вера
2. Решите систему неравенств:
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
a)	J х > 2, б) J х > 5» в) J х < -3,
I х < 9;	I х > -7;	| х > 1.
При каких значениях х график функции у = -Зх2 +
+ 2х + 13 расположен не ниже, чем график функ-
ции у = (Зх + 5)(1 - х)?
При каких значениях а корень уравнения а + 2t = 1
не больше, чем корень уравнения 3t - 4а = 9?
Для всякого значения b решите систему нера-
венств
J 2(х - Ь) < 9(1 - х),
1 -4х < Ь.
Укажите на координатной плоскости все точки,
абсциссы которых удовлетворяют неравенству
—3 < х < 2.
Вариант 1
Решите неравенство:
, х + 2 7х - 1 , 5 - 2х
а> Л5------—	9“ ?
б)	(2х - I)2 + (Зх + 2)2 > 13(х - 5)2.
Решите систему неравенств:
a)J*>7, б) I х > 3, B)Jx<-ll,
]х<13;	1 х > -15;	[ х > 7.
При каких значениях х график функции у = 2х2 -
- Зх - 11 расположен не ниже, чем график функ-
ции у = (1 - х)(3 - 2х)?
При каких значениях а корень уравнения 2х - а =
= 7 не больше, чем корень уравнения 5а + Зх = 11?
венств
6.
3(х - Ь) > 2(1 - х),
-Зх > Ь.
Укажите на координатной плоскости все
абсциссы которых ;
2.
точки,
удовлетворяют неравенству
Вариант 2
Решите неравенство:
ч х + 1 4х + 1 . 7 - Зх
а) —--------— < “10“ ;
б) (Зх - 2)2 + (5х + I)2 > 34(х - З)2.
Решите систему неравенств:
'	Г7
.. при ___значениях х график функции у =
= (2 -х)(3 + 4х) расположен не ниже, чем график
функции у = -4х2 - Зх + 22?
4.	При каких значениях а корень уравнения а +
+ 4у = 3 не больше, чем корень уравнения 5у -
- 2а = 7?
5.	Для всякого
венств
3. При каких
значения Ь решите систему кера-
4(х-Ь)<3(2-х),
—I координатной плоскости все точ-
ки, ординаты которых удовлетворяют неравенству
6. Укажите на
Дидактические материалы
* “	8 класс
КМ-8-4	4
Доказательство неравенств
Подготовительный вариант	g
1.	Докажите неравенство:
а) и3 - и3 > Зи2v - Зии2, если и > и;
о) -уу + —	8 (знаки а и о одинаковы);	1
в) Зх2 + 2ху + у2 + 6х - 2у + 9 > 0.
2.	Докажите, что если х > у, у > 4, то 19х > Ту + 48.
3.	Оцените значение выражения 4а - ЗЬ, если извест-
3	1
но, что -1- < а < 5 и -3g < b < 2. Сколько цело-
численных значений может принимать это выра-
жение?
4.	Пусть f (х) = 4х + 7. Докажите, что из хг > х2 сле-
дует /(Xi) > /(х2).
5.	Докажите, что если х + у > 4, то х2 + у2 > 8.
Вариант 1
1.	Докажите неравенство:
а)	а3 + Ь3 > а2Ь + аЬ2, если а + b > 0;
25х , 2у	.
б)	+ -у > 10 (знаки хну одинаковы);
в)	Зх2 + у2 + 8х + 4у - 2ху + 22 > 0.
2.	Докажите, что если а > b, Ъ > 2, то 10а > ЗЬ + 14.
3.	Оцените значение выражения 2,4п - 7т, если из-
2
вестно, что -3 < п < -0,5 и - ? < т < 4. Сколько це-
лочисленных значений может принимать это вы-
ражение?
Дидактические материалы
Контрольные работы
13
Пусть f (х) = Зх + 2. Докажите, что из хх > х2 сле-
дует f (х0 > f (х2).
. Докажите, что если а + 6" = 8, то |а + б| < 4.
Вариант 2
L. Докажите неравенство:
а)	х2у - ху2 < х3 - у3, если х - у > 0;
б)	тт +	> 4 (знаки а и b одинаковы);
4о За
в)	х2 + 2ху + Зу2 + 2х + бу + 3 > 0.
2.	Докажите, что если а < Ъ, b < 3, то 13а < 46 + 27.
3.	Оцените значение выражения 6а - 56, если извест-
но, что -1| <а<4и-3<6< 2,4. Сколько цело-
О
численных значений может принимать это выра-
жение?
4.	Пусть f (х) = 2х + 5. Докажите, что из xt > х2 сле-
дует /(х^ > /(х2).
5.	Докажите, что если а + 6 > 6, то а2 + 62 > 18.
КМ-8-5
Квадратный корень
Подготовительный вариант
1. Вычислите:
в) л/152 + 7(-10)2 - (V7)2 - 7(-12)2.
. _	Дидактические материалы
8 класс
2. Сравните л/г2 - у2 и х - у при х = 17, у - 15.
2	2
х + у при:
а) х =-4; у = 3;	б) г =713; у = 6;
в)х = Зл/2; у = -Зл/2.
4.	Вычислите наиболее рациональным способом:
>7(3Пр2'3П'2ЙЧ2М;
б) J(26|)2-27|-25|.
5.	Упростите выражение 7а2Ъг Ja4&6 + ab4 Ja6b4 при
а < О, b > 0.
6.	Постройте график функции:
а)	у = (74х - З)2 + 1;
б)	у = 7(4х - З)2 + 1.
Вариант 1
1.	Вычислите:
а) З-Д +0,270^625; б) Д • Д ;
в) J132 + 7^8? - (78)2- 7(-6)2.
2.	Сравните Jx2 - у2 их - у при х = 13, у = 5.
3.	Вычислите Jx2 + у2 при:
а) х = 8, у = -6; б) х = J7 , у = 3;
в)х = -7Т2 , J/ = 7T2.
Дидактические материалы
Контрольные работы
15
4.	Вычислите наиболее рациональным способом:
Г 4 \2	4	7	7 7 \2
а)	а/(5п) + 2'5п ‘ 3й + (3п) ’
б)	J(13|)2 - 14g-12g.
4	/ 4 4	3 / 6 6
5.	Упростите выражение 4х y*Jx у + х *jx у при
х > 0, у < 0.
6.	Постройте график функции:
а) у = (73х + I)2 - 1; б) у = 7(3х + I)2 - 1.
Вариант 2
1.	Вычислите:
а) 6 • jl| + 170,0196 ;
в) J172 + 7(-16)2 - (710)2 - 7(-8)2 -
2.	Сравните Ja2 - b2 и а + b при а = 10, Ъ — 6.
3.	Вычислите Jx2 + у2 при:
а) х = 6, у = -8;	б)х=Т5,у = 2;
в)х = 572,у = -572.
4.	Вычислите наиболее рациональным способом:
»J(7I)2+ 2'7г81 + (81)! •
б7(19п)2-18п-20п-
. . ________Дидактические материалы__________
®	8 класс
5.	Упростите выражение 3x2JxSyS + x3yjx6y6 при
х < 0, у > 0.
6.	Постройте график функции:
а) у = 7(2х - I)2 +2; б) у = {^2х - I)2 + 2.
КМ-8-6
Преобразование выражений,
содержащих квадратный корень
Подготовительный вариант
1.	Упростите:
а)	Т0Д5 - Л08 - ^7192 + 7147 ;
б)	(77 - З)2 (16 + 6л/7 ) - 4^3^ ;
751 -<Л -11(1
2.	Удовлетворяет ли число
710 - 4л/б - 710 + 476
неравенству 5х2 + 34х + 51 < О?
3.	Расположите в порядке возрастания числа: 2 719
6-	743; 77П; 1875 -37245; 729 + 717.
4.	Решите уравнения и неравенство:
а)	72-х = 5;
б)	7х - 3 +2 = 0;
в)	7х - 4 < 2.
Дидактические материалы
Контрольные работы
17
5.	Упростите выражение
______________1 1
(Ja + Jx	л/а + х	(Ja - Jx _ Ja + х
л/а + x	-/g + Vx,	Ja + x Ja - Jxj
л TT	c + 10 . -
6.	Докажите, что .	— 2 о.
7c + 1
Вариант 1
1.	Упростите:
а)	ТбЗ - 371,75 - 0,5 J343 + Л12 ;
б)	(75 - 2)2 (9 + 4 V5 ) - 2	;
в)	V	+-^—- - (11 - 5л/5 )(2 + 75).
J2 + J5 272 + 1
2.	Удовлетворяет ли число
734 - 2472 - 734 + 2472
неравенству 7х2 + 58х + 13 > 0?
3.	Расположите в порядке убывания числа: 5 - 731;
49ТЗ-7Т147; 375; 2ТП; 7П + 722.
4.	Решите уравнения и неравенство:
а) 7х - 3 = 2; б) 72-х +5 = 0; в) 7* - 2 < 3.
5.	Упростите выражение
f----\	: f 1 + la + ь \
\7а - Ja - b Ja + Ja + b) \ Ц а - b )
й тг	д2 + 2	0
о. Докажите, что . — 2.
7д2 + 1
g Дидактические материалы
8 класс
Вариант 2
1.	Упростите:
а)	УГ25 + 780 - ^7245 - 7180;
б)	(2- ТЗ)2(7 + 4ТЗ) + 3 /1Л;
'у 4
в)2ТЗ + 0,25 (7И- 5)(77 +373)+
1+77
2.	Удовлетворяет ли число 79 - 475 - 79 + 475
неравенству Их2 + 26х - 73 < 0?
3.	Расположите в порядке возрастания числа:
ЭТЗ -3727; 573; 2719; 731 + ТЗО; 77-4.
4.	Решите уравнения и неравенство:
а) 74-х = 3; б) 7* - 5 +1 = 0; в) 7* - 5 < 3.
5.	Упростите выражение
I х . ( ~/х - Jx - а2 7х + 7х - а2>|
тх - а v7x + 7х - а2 7х - 7х - а2 /
с гг	Ь2 + 5 . .
о. Докажите, что	> 4.
КМ-8-7
Квадратные уравнения
Подготовительный вариант
1.	Решите неполное квадратное уравнение:
а) 5х2 + 2х = 0;	б)18х2-11 = 0;
в) Зх2 + 21,3 = 0.
Дидактические материалы
Контрольные работы
2.	Решите по общей формуле квадратное уравнение:
а) х2 - 7х - 8 = 0;	б) 5х2 + 4х - 57 = 0;
в) Зх2 - 4х + 94 = 0;	г) х2 + (4а - 3)х - 12а = 0.
3.	Решите квадратное уравнение с четным вторым ко-
эффициентом:
а)	Зх2 - 4х - 7 = 0;
б)	Зх2 - 46х - 469 = 0;
в)	169х2 - 182х + 49 = 0;
г)	х2 + 2 (Ь - 4) х + Ь2 - 8Ь - 9 = 0.
4.	Решите уравнение:
а)	(Зх + 4)(11х - 6) = 0;
б)	(Зх + 4)(11х - 6) = 1;
в)	(Зх + 4)(11х - 6) = Зх + 4;
ч 9х2 + 1 Зх + 1 , 6х + 1
Г)-^— = —Г- +-Т-;
5.	Между какими соседними целыми числами нахо-
дится каждый из корней уравнения
2х2 - 13х - 25 = 0?
6.	Для каждого значения а найдите число корней
уравнения ах2 + Зх - 2 = 0.
Вариант 1
1.	Решите неполное квадратное уравнение:
а)Зх2-7х = 0; б) 8х2 - 7 = 0; в) 7х2 + 111 = 0.
2.	Решите по общей формуле квадратное уравнение:
а) х2 - 13х - 14 = 0;	б) 5х2 - Зх - 140 = 0;
в) 6х2 - 5х + 171 = 0;	г) х2 - (За + 2) х + 6а = 0.
Дидактические материалы
S класс
3.	Решите квадратное уравнение с четным вторым
коэффициентом:
а)	5х2 + 2х - 7 = 0;
б)	7х2 - 20х - 1067 = 0;
в)	289х2 - 102х + 9 = 0;
г)	х2 + 2 (Ь - 2) х + Ь2 - 46 - 21 = 0.
4.	Решите уравнение:
а)	(7х + 1) (5х + 3) = 0;
б)	(7х + 1) (5х + 3) = 1;
в)	(7х + 1)(5х + 3) = 7х + 1;
. Зх2 + 1 5х + 1 . 7х + 1
Г>	—~2~ = “— +~8— ;
5.	Между какими соседними целыми числами нахо-
дится каждый из корней уравнения
Зх2 - 17х - 18 = 0?
6.	Для каждого значения а найдите число корней
уравнения ах2 - 2х - 1 = 0.
Вариант 2
1.	Решите неполное квадратное уравнение:
а) 7х2 + Зх = 0; б) 27х2 - 5 = 0; в) 8х2 + 31,1 = 0.
2.	Решите по общей формуле квадратное уравнение:
а) х2 + 15х+ 14 = 0;	б) 4х2 - 36х + 81 = 0;
в) 5х2 - Зх + 108 = 0;	г) х2 - (2а - 5) х - 10а = 0.
3.	Решите квадратное уравнение с четным вторым
коэффициентом:
а)	7х2 + 2х - 9 = 0;
б)	5х2 - ЗОх - 360 = 0;
Дидактические материалы
Контрольные работы
21
в)	9х2 - 102х + 289 = 0;
г)	х2 - 2 (д + 2) х + Ь2 + 4Ь - 21 = 0.
4.	Решите уравнение:
а)	(5х + 2) (9х + 7) = 0;
б)(5х + 2) (9х + 7)= 1;
в)	(5х + 2) (9х + 7) = 5х + 2;
, 5х2 + 1 7х + 1 , 8х + 1
г)	s----- = ---— Н------~;
4
7
2х + 1
5.	Между какими соседними целыми числами нахо-
дится каждый из корней уравнения
5х2 - Их - 19 = 0?
6.	Для каждого значения а найдите число корней
уравнения ах2 - 4х + 3 = 0.
КМ-8-8
Теоремы Виета
Подготовительный, вариант
1. Составьте квадратное уравнение, корнями которо-
го являются:
а) X! = 0,4; х2 = -2|; б) х1 = 1 - Уз ; х2 = 1 + Уз ;
в)х1 = х2 = -г|.
2. Не решая квадратное уравнение 4х2 - х - 4 = 0,
найдите:
2 .	2
б) х, + х2;
Дидактические материалы
8 класс
г) Составьте квадратное уравнение, корнями кото-
рого являются числа — и — .
Х1 х2
3.	Разложите на множители:
а) 4х2 + х - 14;	б) —+ * ~ 5 .
9х - х - 10
4.	Решите уравнение
Зх2 + 8х + 19 = 3 (4 - Тб )2 + 8 (4 - Тб ) + 19.
5.	Решите уравнение:
а) Э^Зх +	- 1б[3х + |У - 25 = 0;
Вариант 1
1.	Составьте квадратное уравнение, корнями которо-
го являются:
a) Xj = 2g ; х2 = -0,2; б) х1 = 3 - J5 ; х2 = 3 + Тб ;
.	, 3
в) Xi = X2 = -lg.
2.	Не решая квадратное уравнение Зх2 - х - 8 = 0,
найдите:
11	2	2	Х1 х9
а)Г+Г; б)х2+х2;	в)-*+-2.
1	2	х2 Х1
г) Составьте квадратное уравнение, корнями кото-
1 1
рого являются числа — и — .
Х1 Х2
3.	Разложите на множители:
а)	Зх2 + х - 30;
о
8х + х - 34
б)	---2---------
5х - х - 18
Дидактические материалы
Контрольные работы
23
4.	Решите уравнение
2х2 + Зх - 17 = 2 (2 - 75 )2 + 3 (2 - 75 ) - 17.
5.	Решите уравнение:
«) 9(| +	+ ng + |)2 - 8 - 0;
б)	—-— + —= ю.
’ 2х + 3 х + 2
Вариант 2
1.	Составьте квадратное уравнение, корнями которо-
го являются:
a) Xj = —1 , х2 = 0,6;	б) Xj = х2 g ;
в)	Xj = 2 + 77 , х2 = 2 - 77 .
2.	Не решая квадратное уравнение 2х2 - х - 11 = 0,
найдите:
. 1	,	1	,..2.2	ч Х1 , Х2
а)- + —;	б)Х!+х2;	в)— +—.
Xj Х2	х2
г)	Составьте квадратное уравнение, корнями кото-
1 1
рого являются числа — и — .
Х1 х2
3.	Разложите на множители:
' - 2 ло	7х2 + х - 26
а) 5х - х - 42;	б) —;--------.
Зх - х - 14
4.	Решите уравнение
4х2-9х-11 = 4(75 + 73)2-9(75 + 73)-И.
5.	Решите уравнение:
а)4(2х -	+7(2х - |)2 - 2 = 0;
х + 5
х - 3
б)
х - 3
х
= 3.
Дидактические материалы
8 класс
КМ-8-9
Текстовые задачи,
квадратные уравнения с параметром
Подготовительный вариант
1.	а) Площадь прямоугольника равна 120 см2, а его
диагональ равна 17см. Найдите периметр прямо-
угольника.
б) Площадь прямоугольника равна 168 см2, а его
периметр равен 62 см. Найдите стороны прямо-
угольника.
2.	При каких значениях а уравнение
ах2 - 4х + За + 1 = 0
имеет один корень?
3.	При каких значениях р имеют общий корень урав-
нения х2 - х - р = 0 и 5х2 -х+р-8 = 0?
4.	Решите уравнение:
а)	|х2 + Зх - 3| - х — 1;
б)	|х2 + 5х + 4| + х + 4 = 0.
5.	а) Два тракториста вместе могут вспахать поле за
24 ч рабочего времени. Если же сначала один из
них вспашет половину поля, а затем его сменит
другой, то все поле будет вспахано за 49 ч. За ка-
кое время каждый из них вспашет поле?
б) Двое землекопов, из которых первый начинает
работать на 20 мин позже второго, могут выкопать
траншею за 1 ч 20 мин. Если бы эту работу выпол-
нял каждый землекоп в отдельности, то первому
потребовалось бы на 1 ч больше, чем второму. За
какое время каждый из них, работая в отдель-
ности, может выкопать траншею?
Дидактические материалы
Контрольные работы
25
Вариант 1
1.	Площадь прямоугольника равна 60 см2, а его ди-
агональ равна 13 см. Найдите периметр прямо-
угольника.
2.	При каких значениях а уравнение
ах2 + 8х + а + 15 = 0
имеет один корень?
3.	При каких значениях р имеют общий корень урав-
нения х2 + Зх - р = 0 и 2х2 + х + р- 7 = 0?
4.	Решите уравнение |х2 - Зх| + х = 2.
5.	Два плотника, выполняя задание вместе, могли
бы закончить его за 12 дней. Если же сначала бу-
дет работать только один из них и выполнит поло-
вину всего задания, а затем его сменит другой, то
все задание будет выполнено за 25 дней. За сколь-
ко дней каждый из них выполнит это задание?
Вариант 2
1.	Площадь прямоугольника равна 72 см2, а его пе-
риметр равен 36 см. Найдите стороны прямоуголь-
ника.
2.	При каких значениях а уравнение
ах2 - 6х + 2а +7 = 0
имеет один корень?
3.	При каких значениях р имеют общий корень урав-
нения х2 + 2х + р = 0 и Зх2 + х + р-1=0?
4.	Решите уравнение |х2 + 4х + 3| - х - 3 = 0.
5.	Двое рабочих, из которых второй начинает рабо-
тать на 1,5 дня позже другого, могут отремонтиро-
Дидактические материалы
8 класс
вать квартиру за 7 дней. Если бы ремонт выпол-
нял каждый рабочий в отдельности, то первому
потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму.
За сколько дней каждый из них, работая в отдель-
ности, может сделать ремонт квартиры?
КМ-8-10
Квадратичные
и кусочно-квадратичные функции
Подготовительный вариант
1.	Постройте график функции:
а) у = х2 + 2х - 3;	б) у = |х2 + 2х - 3|;
в) у = х2 + 2 • |х| - 3;	г) у = |х2 + 2 • |х| - 3|.
2.	Постройте график функции у = 4х • |х| + х2 - 15х и
найдите:
а)	область определения и множество значений;
б)	промежутки монотонности, точки экстремума и
экстремумы;
в)	точки пересечения с осями координат;
г)	промежутки знакопостоянства.
3.	Для каждого значения с укажите число корней
уравнения 4х • |х| + х2 - 15х = с.
4.	Найдите такую квадратичную функцию у = ах2 +
+ Ьх + с, чтобы ее график пересекал ось абсцисс в
точках (-2; 0) и (4; 0), а ось ординат в точке (0; 24).
5.	Дана квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с такая,
что у (-4) > 0, у (2) > 0, у (0) < 0. Сравните с нулем:
а) а;	б) Ь2 - 4ас;	в) .
У\&)
Дидактические материалы
Контрольные работы
27
Вариант 1
1.	Постройте график функции:
а) у = х2 - 4х + 3;	б) у = |х2 - 4х + 3|;
в) у = х2 - 4 |х| + 3;	г) у = |х2 - 4 |х| + 3|.
2.	Постройте график функции у = 2х • |х| + х2 - 6х и
найдите:
а)	область определения и множество значений;
б)	промежутки монотонности, точки экстремума и
экстремумы;
в)	точки пересечения с осями координат;
г)	промежутки знакопостоянства.
3.	Для каждого значения с укажите число корней
уравнения 2х • |х| + х2 - 6х = с.
4.	Найдите такую квадратичную функцию у = ах2 +
+ Ьх + с, чтобы ее график пересекал ось абсцисс в
точках (-3; 0) и (1; 0), а ось ординат в точке (0; -9).
5.	Дана квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с такая,
что у (-2) < 0, у (3) < 0, у (1) > 0. Сравните с нулем:
а) а;	б) Ь2 - 4ас;	в) у (-4) • у (6).
Вариант 2
1.	Постройте график функции:
а) у = х2 + 4х - 5;	б) у = |х2 + 4х - 5|;
в) у = х2 + 4 |х| - 5;	г) у = |х2 + 4 |х| - 5|.
2.	Постройте график функции у = Зх • |х| + х2 - 8х и
найдите:
а)	область определения и множество значений;
б)	промежутки монотонности, точки экстремума и
экстремумы;
в)	точки пересечения с осями координат;
г)	промежутки знакопостоянства.
Дидактические материалы
28
8 класс
3.	Для каждого значения с укажите число корней
уравнения Зх  |х| + х2 - 8х = с.
4.	Найдите такую квадратичную функцию у = ах2 +
+ Ьх + с, чтобы ее график пересекал ось абсцисс в
точках (2; 0) и (-5; 0), а ось ординат в точке (0; 20).
5.	Дана квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с такая,
что у (-2) > 0, у (3) < 0, у (7) > 0. Сравните с нулем:
а) а;	б) Ь2 - 4ас;	в) у (-5) + у (8).
КМ-8-11
Квадратные неравенства
Подготовительный вариант
1.	Найдите область определения функции
2-х
У= I =2-
л/2 - х - Зх
2.	Решите неравенство 2х2 - 2х - 4 < 7 • |х - 2|.
3.	Решите систему неравенств
х + 3	5-2х^..1
, ~2------— <42’
2х2 - Зх - 9 > 0.
Укажите какие-нибудь два значения х, являю-
щиеся решением системы.
4.	Найдите все значения параметра а, для которых
неравенство
(а - 2)х2 - (За - 2)х + За + 2 > 0
выполняется при всех действительных х.
Дидактические материалы
Контрольные работы
5.	При каких значениях а система неравенств
х2 + Зх - 4 > О,
|х + а\ < 1
имеет ровно одно решение? Для всех таких а най-
дите это решение.
Вариант 1
1.	Найдите область определения функции
_ ______X_____
7зх2 +4х+1
2.	Решите неравенство х2 - 2х - 8 < 7|х - 4|.
3.	Решите систему неравенств
х + 4	4-3x1
J 2	4	6 ’
Зх2 + 7х - 6 < О.
Укажите какие-нибудь два значения х, являю-
щиеся решением системы.
4.	Найдите все значения параметра а, для которых
неравенство
(а + 4)х2 - 2ах + 2а - 6 > О
не выполняется ни при каком действительном х.
5.	При каких значениях а система неравенств
I х2 - 7х - 8 < О,
| |х - а| < 3
имеет ровно одно решение? Для всех таких а най-
дите это решение.
_	Дидактические материалы
* '*	8 класс
Вариант 2
1.	Найдите область определения функции
1 + х
I	2’
J2 + Зх - 5х
2.	Решите неравенство х2 - 7 > |3х - 7|.
3.	Решите систему неравенств
7х - 2 5х + 1	1
.	3	2
4х2 - 7х - 2 > 0.
Укажите какие-нибудь два значения х, являю-
щиеся решением системы.
4.	Найдите все значения параметра а, для которых
неравенство
(а - 3)х2 - (а + 1)х + а + 1 > 0
выполняется при всех действительных х.
5.	При каких значениях а система неравенств
|х + а| < 2,
х2 + 8х - 9 > 0
имеет ровно одно решение? Для всех таких а най-
дите это решение.
КМ-8-12
Простейшие рациональные неравенства
Подготовительный вариант
1. Найдите решение неравенства 2х2 + 5х + 2 < 0,
принадлежащее промежутку 1-^; 2I.
Дидактические материалы
Контрольные работы
31
2.
Решите неравенство:
4 л 3 . л 2
. х - 4х + 4х - ,
а>-------5------з С (
(х + 4) (5 - х)
х2 - 2х - 2	,
в) i„ ol > !•
б) (х + 2) СО;
*|х + 5
3. Найдите все такие х, при которых выполняются
только два из трех неравенств:
1 . 1
|х + 1| + 2	4 '
4. При каких значениях а множеством решений не-
равенства ——д^х +-— < 0 является луч?
Вариант 1
1.	Найдите решение неравенства 2х2 - 5х - 3 < О,
принадлежащее промежутку (2,7; 5).
2.	Решите неравенство:
а) (х2 - 7х - 8)(х - 8)* > 0;
 (х + 2) (5 - х)
6)(х + 3) fJHZ >0;
N15 - 4х
ч х2 - 8х + 3	.
в) к-11	>:-
3.	Найдите все такие х, при которых выполняются
только два из трех неравенств:
1_________6
х - 2 х - 5
2х - 1 < X х.
О
> 0;
х - 3
Дидактические материалы
8 класс
32
4.	При каких значениях а множеством решений не-
равенства
(х - а)(х - 1)
х - 3
> 0 является луч?
Вариант 2
1.	Найдите решение неравенства 2 - 5х - Зх2 > О,
принадлежащее промежутку [-7; О].
2.	Решите неравенство:
4 п 3 . 2	/—г-<
а) ---- 3	< 0; б) (х + 1)	< 0;
(х + 7) (3 - х)	А/х + 7
. х2 - 4х + 3	1
"> к-1|	> '•
3.	Найдите все такие х, при которых выполняются
только два из трех неравенств:
____I__ >1
|х - 2| + 1	3 •
4.	При каких значениях а множеством решений не-
равенства ————— < 0 является луч?
КМ-8-13
Системы уравнений
Подготовительный вариант
1. Решите систему уравнений:
а)
<
1
2х + у
+ У = 4,
б)
=3;
2х + у
Зх2 - ху - у2 = -3,
х2 + Зху + Зу2 = 49;
Дидактические материалы
Контрольные работы
33
в)
Jx + у - 1 = 2,
«/Зх + 2у + 4 = 8 - 2х;
г)
|х - 1|	. .	. у - X + 1	.
1----1 = 4х + у + г------------4,
У	* У
у2 + 2х = 2 |х - 1| - у + 4.
।	2i	2
2. Постройте график уравнения |у - 4х | = 2(2х - х).
Вариант 1
1. Решите систему уравнений:
а)
1
х + Зу
+ у = 5,
= 6;
б)
х2 - 4у2 = 9,
ху + 2у2 = 3;
У
. х + Зу
в)
<
7х + Зу + 1 = 2,
л/2х - у - 2 = 7у - 6;
Г)
х2 + 2 |у| = 2у - х + 6,
ху - |у| = У + Зх.
I 2|	2
2. Постройте график уравнения |у - х | = х - х.
Вариант 2
1. Решите систему уравнений:
х2 + ху + 2у2 = 37,
2х2 + 2ху + у2 = 26;
2 Зах. 394
Дидактические материалы
34
8 класс
Г)
й -у= У—± + 4х,
У	У
у2 + 2х = 2 |х| - у + 2.
I 2|	2
2. Постройте график функции |г/ + х | = х + х.
КМ-8-14
Делимость натуральных чисел
Подготовительный вариант
1.	При каких натуральных значениях k число
fe3 - 5fe + 10
k + 2
является натуральным?
2.	Найдите значения, которые может принимать
пропущенная цифра (*), чтобы число а делилось
на число Ь:
а) а = 765*8, Ь = 4; б) а = 1387*, b = 3;
в) а = 24*379, Ь= 11.
3.	Пусть остаток от деления числа х на 11 равен 7.
Найдите остаток от деления на 11 числа х2 + 6х.
4.	Докажите, что число п2 + 14п + 45 составное при
любом натуральном значении п.
5.	Докажите, что число п* + 64 является составным
при любом натуральном п.
6.	Найдите такое натуральное число п, что 357!
делится на 17", но не делится на 17п + *.
7.	Решите диофантово уравнение Зх + 2у = 7 и укажи-
те такое его решение, для которого модуль |4х - у\
является наименьшим.
Дидактические материалы
Контрольные работы
35
8.	Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие
уравнению 2х2 + ху - у2 = 5.
9.	Найдите количество различных натуральных де-
лителей числа 125 • 154 • 107.
Вариант 1
1.	При каких натуральных значениях k число
fe3 - 2fe2 - 2Л + 19
k + 1
является натуральным?
2.	Найдите значения, которые может принимать
пропущенная цифра (*), чтобы число а делилось
на число Ь:
а) а = 234*6, Ъ = 4; б) а = 21*74, b = 3;
в) а = 222*34, Ъ = 11.
3.	Пусть остаток от деления числа х на 7 равен 5.
Найдите остаток от деления на 7 числа х2 + 5х.
4.	Докажите, что число п2 + 13л + 42 составное при
любом натуральном значении л.
5.	Докажите, что число л4 + 4 только при п = 1 явля-
ется простым, а при всех остальных натуральных
л — составным.
6.	Найдите такое натуральное число л, что 231!
делится на 11п, но не делится на 11п + 4.
7.	Решите диофантово уравнение 7х - Зу = 17 и
укажите такое его решение, для которого модуль
|5х + 2у| является наименьшим.
8.	Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие
уравнению 4х2 - 9у2 = 7.
9.	Найдите количество различных натуральных де-
лителей числа 615 • 217.
Дидактические материалы
8 класс
36
Вариант 2
1.	При каких натуральных значениях k число
k3 - 2fe2 + 21
k - 1
будет натуральным?
2.	Найдите значения, которые может принимать
пропущенная цифра (*), чтобы число а делилось
на число Ъ:
а) а = 1235*2, 6 = 4;
б)а = 2*1255,6 = 3;
в) а = 34*734, 6 = 11.
3.	Пусть остаток от деления числа х на 9 равен 7.
Найдите остаток от деления на 9 числа х2 + 5х.
4.	Докажите, что число п2 + 15п + 56 составное при
любом натуральном значении п.
5. Докажите, что число 4n4 + 1 только при п = 1
является простым, а при всех остальных нату-
ральных п — составным.
6. Найдите такое натуральное число п, что 260!
делится на 13", но не делится на 13п + 1.
7. Решите диофантово уравнение 5х + 4у = 19 и
укажите такое его решение, для которого модуль
|7х - Зу| является наименьшим.
8. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие
уравнению 9х2 - у2 = 5.
9. Найдите количество различных натуральных де-
лителей числа 1511 • 215 6 7 8 9.
Дидактические материалы	jy
Контрольные работы
КМ-8-15
Повторение
Подготовительный вариант
1.	Упростите выражение
/	1	Ух + 1 4х + 2л/х + 1\ .	1
<2 - 4 Ух + 8хУх - 1	1 + 2Ух J ’ 4jx - 2 '
2.	Постройте график функции у = х2 - 5 |х| + 6; ука-
жите промежутки ее убывания.
3.	Решите неравенство
о 2	5
(х - 8) (х + 2)
(5 - 2х)х4
4.	Решите уравнение
1+ 12_ =—§—
1	2	2	2 ,
(X + X) X + X
5.	Дано выражение
Найдите область его определения и упростите.
6.	При каких значениях а всякое решение уравне-
ния 2х2 - х - 6а = 0 является решением уравнения
х2 - ах + а - 2 = О?
Вариант 1
1. Упростите выражение
Ух + 1	.	1
X Ух + х + Ух х2 - Ух
_ _	Дидактические материалы
* ®	8 класс
2.	Постройте график функции у = х2 - 4 |х| + 3; ука-
жите промежутки ее возрастания.
3.	Решите неравенство
4(х - 1)4(2х + 5)3
5	U.
(3 - х) х
4.	Решите уравнение
1 _	15	_	2
1	2	2	2	. •
(х - 4х) х - 4х
5.	Дано выражение
л , х Ifx2 + I5»2 ? 4х
-1 •
Найдите область его определения и упростите.
6.	При каких значениях а всякое решение уравне-
ния х2 - ах + 4 = 0 является решением уравнения
х2 - 5х - 2а + 14 = 0?
Вариант 2
1. Упростите выражение ——-—р :	---.
Хл/Х - х + Jx х + Jx
2. Постройте график функции у = х2 - 3 |х| + 2; ука-
жите промежутки ее убывания.
3. Решите неравенство
(5 + х)3(18 - 5х)2	0
9(х - 2)5х6
4. Решите уравнение
х , 6(х2 - 2) = _
х2 - 2 х
Дидактические материалы
Контрольные работы
5. Дано выражение
fM- -4 •
J	х - 4
Найдите область его определения и упростите.
6. При каких значениях Ъ всякое решение уравне-
ния х2 - Ьх + 4 = 0 является решением уравнения
х2 + 5х + 2Ъ + 14 = О?
КМ-8-16
Повторение
Подготовительный вариант
1.	Иррационально ли число
л/бл/2 - 1 + (72 - 3)772 + 1 ?
2.	Для функции f (х) = х2 - бах + 8а:
а)	докажите, что при всех значениях а и х выпол-
няется неравенство f (х) > -10а2 - 16;
б)	постройте график функции у — \f (х)| при а = 1;
в)	выясните, при каких значениях а график функ-
ции у = f (х) касается оси абсцисс;
г)	выясните, при каких значениях d уравнение
f (х) = d разрешимо при всех d > -1 и только при
таких d.
3.	Решите уравнение
л/х + 5 - 47jc + 1 + Jx + 5 + 2*Jx + 4 = 4.
4.	Для каждого а решите систему неравенств
х2-х-2<0,
х2 - а2 < 0.
Вариант 1
1.	Иррационально ли число
(7з -2)77з + 1 + 7з7з - 5?
Дидактические материалы
8 класс
40
2.	Для функции f (х) = х2 - 2ах + 6а:
а)	докажите, что при всех значениях а и х выпол-
няется неравенство: f (х) > -2а2 - 9;
б)	постройте график функции у = \f (х)| при а = -2;
в)	выясните, при каких значениях а график функ-
ции у = f (х) касается оси абсцисс;
г)	выясните, при каких значениях а уравнение
/(х) = b разрешимо при всех Ь > -16 и только при
таких Ъ.
3.	Решите уравнение
7х + 2 - 4д/х -2 - Ух - 1 - 2л/х - 2 = 1.
4.	Для каждого а решите систему неравенств
х2 - 5х + 4 > 0,
х - а <0.
Вариант 2
1.	Иррационально ли число
(2 - Уб) • 7«/б + 1 + УбУб - 11 ?
2.	Для функции f (х) = х2 - 4ах + 6а:
а)	докажите, что при всех значениях а и х выпол-
няется неравенство /(х) > -ба2 - 9;
б)	постройте график функции у = \f (х)| при а = 2;
в)	выясните, при каких значениях а график функ-
ции у - f (х) касается оси абсцисс;
г)	выясните, при каких значениях а уравнение
f (х) = с разрешимо при всех с > -4 и только при
таких с.
3.	Решите уравнение
л/х + 3 — 4 Ух — 1 + У х + 3 + 2 Ух + 2 = 4.
4.	Для каждого а решите систему неравенств
х2 - 6х - 7 < 0,
х2 -а2>0.
Ответы
КМ-8-1
Подготовительный вариант
1. а) 1; б) 0; в) -5,7. 2.	. 3. а) 3 (а - 5) (а + 25); б) (х 4 1)х
х (х3 - х2 + х + 2); в) (а 4- 5) (а - 45); г) (х2 - х + 4) (х2 4- х 4- 4);
д) (х2 -2x4-2) (х2 + 2х + 2). 4. q = 1.
Вариант 1
1. a) 1; б) 0; в) 15. 2. 1. 3. а) 2 (а + 35) (5 - а); б) (х - 2) (х - 1);
в) (а - 25)(а - 5); г) (х2 - х + 3)(х2 4- х 4- 3); д) (а2 + 252 - 2а5) х
х (а2 + 252 + 2а5). 4. а = 3.
Вариант 2
1.	a) 1; б) 0; в) -И. 2.	. 3. а) 5 (а - 5)(35 - а); б) (х + 1)(х3 -
- х2 + х + 3); в) (а 4- 5)(а + 35); г) (х2 + 2 - х)(х2 4- 2 + х);
д) (8 + с2 - 4с)(8 4- с2 + 4с). 4. р = -|.
КМ-8-2
Подготовительный вариант
1,-i 2. -2.3. a) a2-42a + 8;6)x6-x3 + 1.4.
*	а
Дидактические материалы
42
8 класс
Вариант 1
о
*	• гЫ 2- "2- ’• > - ‘	' • б> х'°+ S 1 Гз 
Вариант 2
2
1. -- . 2. 10. 3. а) 2Ь ~1Ъ + 1 ; б) х12 + х® + 1. 4. 1^ .
Л	и	1 о
КМ-8-3
то х е
Подготовительный вариант
9	14
1. а) х > - ; б) х < - 37.2. а) [2; 9); б) (5; +“); в) нет решений.
1 К	17	о	17
3.	х > -2. 4. а >	. 5. Если b = -1 хх , то х = хх; если Ь > -1 хх ,
11	1У	1У	1У
 b 2Ь + 9
. 4’ И
, ,17
; если о < -1 jg , то решении нет.
Вариант 1
1	22
1. а) х > -х ; б) х > 2 хх . 2. а) [7; 13); б) (3; +“); в) нет решений.
О	ОУ
1	3	13
3. х > 7. 4. а <	хх	. 5.	Если ft = -х , то х = х ; если ft < -=	, то
1о	( (	{
г2 + 3ft fti
L 5 : ”з]
х е
_ 3
если ft > - ? , то решении нет.
Вариант 2
1. а) х > --jx ; б) х > 1	. 2. а) [4; 10); б) (7; +<»>); в) нет реше-
ний. 3. х > 2. 4. а > -1. 5. Если ft > -11, то х 6 |^-|; —-у—;
,1	2	г , 1
если ft = -1 х , то х = х; если ft < -1 х , то решении нет.
У	У	У
КМ-8-4
Подготовительный вариант
3. (-13; 30); 42 целочисленных значения.
Дидактические материалы	ДЗ
Ответы
Вариант 1
3. (-35,2; 0,8); 36 целочисленных значений.
Вариант 2
3. (-20; 39); 58 целочисленных значений.
КМ-8-5
Подготовительный вариант
1. а) 9,98; 6)5; в) 6. 2. Jx2 - у2 > х - у. 3. а) 5; 6)7; в) 6.
4. а) 6; 6) 1.5. 6aV.
Вариант 1
1. а) 5,05; 6) 0,5; в) 7. 2. Jx2 - у2 > х- у. 3. а) 10; 6) 4; в) 14.
4. а) 9; 6) 1.5. Зх6у3.
Вариант 2
1. а) 8,02; 6) 0,5; в) 15. 2. Jo.2 - b2 < a + 5. 3. а) 10; 6) 3; в) 10.
4. а) 16; 6) 1. 5. 2х6<Д
КМ-8-6
Подготовительный вариант
1. а) |73; б) -3; в) 2. 2. Да. 3. 18^5 - 37245; 6- 743 ; 2719 ;
729 + 717 ; 77П . 4. а) -23; 6) 0; в) [4; 8). 5.	.
Вариант 1
1. а) 277; 6)-^; в) 2. 2. Нет. 3. 7П + 722; 375; 27П ;
О
4973 - 7 7147 ; 5 - 731 • 4. а) 7; 6) 0; в) [2; 11). 5. Ь .
Вариант 2
1. а) -275 ; 6) у ; в) 3. 2. Да. 3. 77 - 4; 9Тз - 3727 ; 5ТЗ ;
2
2719 ; 731 + ТЗО . 4. а) -5; 6) 0; в) [5; 14). 5. -|.
4(а - х)
_	Дидактические материалы
Д Д-----------------------------------------------.
8 класс
КМ-8-7
Подготовительный вариант
2	1	1
1. а) 0; -д ; б) g J22 ; -gT22 ; в) нет решений. 2. а) -1; 8; б) -3,8;
7	17
3; в) 0; г) 3; -4а. 3. а) -1; s ; б) -7; 22х ; в) 75 ; г) -Ь - 1; 9 - Ь.
О	Old
. . 4 6 „ 7994+13 7994 - 13 „ 4 7	„,	3
4-а>-3:Й:б)------33---------=-33-;в)-3:Й;г)1:~28:
д) 2; -3 » . 5. —2 и -1; 8 и 9. 6. Если а = 0 или а = -1 | , то один
о	о
корень; если а > -1х и а * 0, то два корня; если а < -1 i то
о	8
корней нет.
Вариант 1
1. а) 0; 3 ; б) 0,25714 ; -0,25714 ; в) нет решений. 2. а) 14; -1;
б) 5,6; -5;в)0; г) 2; За. 3. а) 1; -1,4; б)-11; 13® ; в) р— г) 7 — Ь;
L о ,	1 . 3	-13 + ЗТП -13 - 37Й , 1	„ .
-Ь - 3. 4. а) -? ; -j ; б) -------------; в) ; -0,4;
5	1
г) 1; §g ; д) 1; -2 j . 5. 6 и 7; -1 и 0. 6. Если а = 0 или а = -1, то
один корень; если а > -1 и а * 0, то два корня; если а < -1, то
корней нет.
Вариант 2
1. а)0; -?; б)-^715; ^715 ; в) нет решений. 2. а)-1; -14;
9	2
б) 4,5; в) 0; г) 2а; -5. 3. а) 1;-= ; б) -6; 12; в) 65 ; г) Ь + 7; b - 3.
•	о
2	7	-53 + 7469 -53 - 7469 ,2	2	1
4. a)-g;-g;6)----; в)	г) 1; _ .
д) 3; -17.5. 3 и 4; -2 и -1. 6. Если а = 0 или а = 1|, то один
корень; если а < 11 и а* 0, то два корня; если а > 11, то кор-
ней нет.
Дидактические материалы
Ответы
45
КМ-8-8
Подготовительный вариант
1. а) 20х2 + 47х -	22	- 0;	б) х2 - 2х -	2 =	0; в) 9х2	+ 48х + 64 = 0.
2. а) ; б) 2^ ;	в) -2-^	;	г) 4х2 + х	- 4	= 0. 3. а)	(х	+ 2)(4х - 7);
(X + 1)(6х -	5)	/к .	/й	R-	Ч	- •
б) ——	л	• 4.	4	л/6,	л/6	э.	a) q , q »
' (х + 1)(9х - 10)	3	3	9
5 -ДЗ 5 + ТЗЗ
б)---2	’	2	‘
Вариант I
1. а) 40х2 - 77х - 17 = 0; б) х2 - 6х + 4 = 0; в) 25х2 + 80х + 64 = 0.
2. а) -5 ; б) 51; в) -2; г) 8х2 + х - 3 = 0. 3. а) (х - 3)(3х + 10);
б) (Х ~ 2)(8х +-1--^ . 4. 2 - л/5 ; -3,5 + ./5 . 5. а) -3; -1; б) -1;
(х - 2)(5х + 9)	3
41
24’
Вариант 2
1. а) 20х2 + 13х - 15 = 0; б) 64х2 + 80х + 25 = 0; в) х2 - 4х - 3 = 0.
2. а)-д; б) 11|; в) -2-^; г) Их2 + х - 2 = 0. 3. а) (х - 3) х
х (5х + 14); б) (Х + 2)( 7Х ~ 13)  4. 75 + Л ; 2,25 - Л - Л .
(X + 2)(аХ - ()
,	1	1	-1 + 2j7 -1 - 2j7
5. а) о ; z ; о) Q , п
КМ-8-9
Подготовительный вариант
4	4	г
1. а) 46 см; б) 7 см и 24 см. 2. 0; -g ; 1. 3. g и 2. 4. а) Л ~ 1;
Л ~ 2; б) -4. 5. а) За 42 ч и 56 ч; б) за 3 ч и 2 ч.
Дидактические материалы
46
8 класс
Вариант
14
1. 34 см. 2. 0; -16; 1. 3. -у
4. 4. 2 -72; 1 -7з.
5. За 20 дней и 30 дней.
Вариант 2
1. 12 см и 6 см. 2. 0; -4,5; 1. 3.
3
4 и -3. 4. 0; -3; -2.
1
и
5. За 14 дней и 11 дней.
КМ-8-10
Подготовительный вариант
2. a) D(y) = R, Е(у) = R; б) возрастает на (-«>; -2,5] и на [1,5; +~);
убывает на [-2,5; 1,5]; точки экстремума -2,5 и 1,5; экстрему-
мы 18,75 и -11,25; в) (-5; 0), (3; 0), (0; 0); г) положительна на
(-5; 0) и на (3; +>«); отрицательна на (-«>; -5) и на (0; 3). 3. Если
с < -11,25 или с > 18,75, то один корень; если с = -11,25 или
с = 18,75, то два корня; если -11,25 < с < 18,75, то три корня.
4. у = -Зх2 + 6х + 24. 5. а) а > 0; б) Ь2 - 4ас > 0; в) > 0.
У(°)
Вариант 1
2. a) D (у) = R, Е (у) = R; б) возрастает на (-«о; -3] и на [1; +»»);
убывает на [-3; 1]; точки экстремума -3 и 1; экстремумы 9 и -3;
в) (-6; 0), (2; 0), (0; 0); г) положительна на (-6; 0) и на (2; +~);
отрицательна на (-~, -6) и на (0; 2). 3. Если с < -3 или с > 9, то
один корень; если с = -3 или с = 9, то два корня; если -3 < с < 9,
то три корня. 4. у = Зх2 + 6х - 9. 5. а) а < 0; б) Ь2 - lac > 0;
в) у (-4) • у (6) > 0.
Вариант 2
1. a) D (у) = R, Е (у) = R; б) возрастает на (-~; -2] и на [1; +<»);
убывает на [-2; 1]; точки экстремума -2 и 1; экстремумы 8 и -4;
в) (-4; 0), (2; 0), (0; 0); г) положительна на (-4; 0) и на (2; +~);
отрицательна на (-<»; -4) и на (0; 2). 3. Если с < -4 или с > 8, то
один корень; если с = -4 или с = 8, то два корня; если -4 < с < 8,
то три корня. 4. у = -2х2 - 6х + 20. 5. а) а > 0; б) Ь2 - lac > 0;
в) у (-5) + у (8) > 0.
Дидактические материалы
Ответы
47
КМ-8-11
Подготовительный вариант
1. (-1;	2. (-4,5; 2) U (2; 2,5). 3. (-<»; U [3; напри-
3	10
мер, х = - g и х — 3. 4. а > -д-. 5. бц = 3; Х| = —4; а2 — 0; х2 — 1.
Вариант 1
1	2
1. х < -1 или х > -3.2. (-9; 4) U (4; 5). 3. -3 < х < -д ; напри-
мер, х = -2 и х = -1. 4. а < -6. 5. Qj = 11, Xj = 8; а2 — -4; х2 = -1.
Вариант 2
1. -| < х < 1. 2. (-=»; 3 2^] U [3; +~). 3. -1 < х <
7 ИЛИ
4
х > 2; например, -0,5 и 3. 4. а > -д-. 5. aj — 1, х1 — 1; а2 - 7,
х2 = —9.
КМ-8-12
Подготовительный вариант
1.
3. Il
2 ’ 2J
; 2. а) (-~; -4) U (5; +~) U (0; 2); б) {-3} U [-2; +~);
Вариант 1
1. (27; 3]. 2. а) [-1; 5) и (8); б) [-3; 3,75); в) (9 %—; +°°) и
U	7 2^} : 3‘ U (3: 1 * * * 5)’ 4’ ПрИ а = Г
Вариант 2
1. [-2; 0]. 2. а) (--; -7) U {0} U {1} U (3; +<»); б) (-~; -7) U [-4; -1];
в) (-«•; 1) U (4; +~). 3. (-~; -3,5) U [-2; 0]. 4. При а = 5.
Дидактические материалы
48
8 класс
КМ-8-13
Подготовительный вариант
1. а) (-1; 3); f-|; б) (2; 3); (-2; -3); (2; -5); (-2; 5); в) (2; 3);
г) (1,2;-2);	Л).
Вариант 1
1. а) (-8,5; 3); (-б|; 2);	J2T).
в) (0; 1); г) (-3; 1,8); (0;-1,5).
Вариант 2
1. а) (1; 1,5); (-2; -3); б) (-5; 4); (1; 4); (5; -4); (-1; -4); в) (5; 1);
г) (0,2;-2);	* А 7з).
КМ-8-14
Подготовительный вариант
1. 1; 2; 4; 10. 2. а) 0; 2; 4; 6; 8; 6)2; 5; 8; в) 7. 3. 3. 6. 22.
7 f х=1-2Л, keZ. Г х=1,
| у = 2 + 3k,	[ у = 2.
8. (2; 3), (-2; -3), (2;-1), (-2; 1).
9. 2160.
Вариант 1
1. 1; 2; 5; 8; 17. 2. а) 1; 3; 5; 7; 9; б) 1; 4; 7; в) 1. 3. 1. 6. 22.
7. -[ Х " 2Л3!’, t е Z; J х = 2> 8. (2; 1), (-2; -1), (2; -1), (-2; 1).
I у — _1 + I у = -1.
9. 2944.
Вариант 2
1. 2; 3; 5; 6; 11; 21. 2. а) 1; 3; 5; 7; 9; б) 0; 3; 6; 9; в) 9. 3. 3.
6. 21. 7. J х ~ 3 - 4(>
I у = 1 + 5t,
(-1, 2). 9. 2520.
х-3,
У"1.
8. (1; 2), (-1; -2), (1; -2),
Дидактические материалы
Ответы
49
КМ-8-15
Подготовительный, вариант
1. ----=—= . 2. (-~; -2,5] и [0; 2,5]. 3. [-2; 0) U (0; 2,5) U
1 + 2jx
U {-2 Л ; 2 72 }. 4. -3; -2; 1; 2. 5. D (f) = R \ -|; 0; | ;
Вариант 1
1. х - 1. 2. [-2; 0] и [2; +«). 3. (-»; 2,5) U (0; 1) U (1; 3). 4. -1; 1;
ЪЧЧ П/Л-В\(-Ь0'1Н(х1 = Р’еСЛИХ6 (1; 0) U (1;+~);
3, 5. 5. D(f)-R\{ 1,0,1), f (х) ] _2, если хе -1) U (0; 1)
6. а = 5.
Вариант 2
1. х - 1. 2. (-«; -1,5] и [0; 1,5]. 3. [-5; 0) U (0; 2) и {3; 6}.
4. -11; -1; 1,5; 2. 5. D (f) = R \ {-2; 0; 2};
Г(х1 = Р’еслихе (-2; °) и (2; +~), 6 ь = _5
'(х>	1-1, если х е (-<*>;-2) U (0; 2).	°
КМ-8-16
Подготовительный вариант
1. Нет. 2. в) 0; |; г) 1; -|. 3. 0; 3,84. 4. Если а е (-==; -2] U
U [2; +~), то х е [-1; 2]; если а е (-2; -1] U [1; 2), тох е [-1; |а|];
если а е (-1; 0) U (0; 1), то х е [-|а|; |а|]; если а = 0, то х = 0.
Вариант 1
1. Нет. 2. в) 0; 6; г) -2; 8. 3. 2 < х < 3. 4. Если а е (-~; -4) U
U (4; +~), то х е (-|а|; 1] U [4; |а|); если а е [-4; -1) U (1; 4], то
х е (-|а|; 1]; если а е [-1; 0) U (0; 1], то х е (-|а|; |а|); если а = 0,
то решений нет.
Вариант 2
1.	Нет. 2. в) 0; 1,5; г) 2;	. 3. 2; 5,84. 4. Если а е (-<»; -7] U
U [7; +“), то решений нет; если а е (-7; -1] U [1; 7), то х е (|а|; 7];
если а е (-1; 1), то х е [-1; -|а|) и (|а|; 7].
9 класс
КМ-9-1
Степень с целым показателем
Подготовительный вариант
Постройте график функции у =
3|х| - 1
2|х| - 1
и укажите
с его помощью область определения, множество
значений, промежутки монотонности.
2.	Упростите выражение
9х2(3х + 1)	х2 .	х~6 - 272
Зх - 1	9 + 3 +	9_ бх-1 + х-2 •
х х2
3.	Решите уравнение 17 (х + х”1) - 4 (х2 + х-2) = 8.
4.	Решите неравенство (х2 - Зх + 4)’1 < 0,5.
5.	Найдите число, если 25% его равны:
1000-1,5 + [18,02 - 4°n’8fi12V
\	и,о )
+ м2 - ~'
0,52
Дидактические материалы
Контрольные работы
51
Вариант 1
2.
|х|
Постройте график функции у = ——- и укажите
|х| - 2
с его помощью область определения, множество
значений, промежутки монотонности.
Упростите выражение
-1	и"1	2,2
а - b . а Ь
_q	Q •	О
а + Ь (а + Ь) - ЗаЬ
Решите уравнение 2 (х2 + х 2) - 3 (х + х *) = 1.
Решите неравенство (Зх2 + х + 1) 1 > 0,2.
Найдите число, если 25% его равны:
(81,624 : 4,8 - 4,505)2 + 125 • 0,75
((0,442 : 0,88 + 3,53)2 - 2,752) : 0,52
2	,2-1
а - b
ab J
3.
4.
5.
Вариант 2
1.
тт -	2|х| - 1
Построите график функции у = —-------— и укажите
2.
с его помощью область определения, множество
значений, промежутки монотонности.
Упростите выражение
-6
х - 64
_9
4 + 2х + х
х2 _ 4х2(2х 4- 1)
.	4	1	1 - 2х
+ “г
3.
4.
5.
Решите уравнение 3 (х2 + х 2) + 2 (х + х г) = 2.
Решите неравенство (2х2 + 2х + 1) 1 < 0,2.
Найдите число, если 12,5% его равны:
((5,22 : 2,6 + 8,1)2 - 6,52) : 0,025
2
(60,192 : 2,4 - 1,08) - 0,24 • 1400
Дидактические материалы
КМ-9-2
Корни n-й степени
Подготовительный вариант
1.	Постройте график функции 23Jx - 3 |1 - Vx| и
с его помощью укажите промежутки монотоннос-
ти, точки экстремума, экстремумы.
2.	Упростите выражение
, № - w
а + b + 3Ja2b + 3Jab2 а - b - 3Ja2b + 3Jab2
3	3
3.	Вычислите значение выражения + х у, если
Ci	Ci
у = 3jj2 + 1 - VT2 - 1 .
4.	Докажите, что число 3«/4 - 3j2 является корнем
уравнения х3 + бх - 2 = 0.
5.	Сравните без таблиц и микрокалькулятора V4 и
73 - 1.
6.	Решите уравнение 3Jx + 1 + 37б - х = 1.
Вариант 1
1. Постройте график функции у = 3Jx + 2 |1 - 3Jx | и
с его помощью укажите промежутки монотоннос-
ти, точки экстремума, экстремумы.
2. Упростите выражение
Дидактические материалы
Контрольные работы
53
3
3.	Вычислите значение выражения у - г, если
г = 377з + 72 + 377з - 72.
4.	Докажите, что число а = 3Т5 + 3Т25 является кор-
нем уравнения х3 - 15х - 30 = 0.
5.	Сравните без таблиц и микрокалькулятора 37б и
75-1.
6.	Решите уравнение 3J1 - х + 37х + 7 = 2.
Вариант 2
1.	Постройте график функции у = 3 |37х - 1| - 37х и
с его помощью укажите промежутки монотоннос-
ти, точки экстремума, экстремумы.
2.	Упростите выражение
{х2 - АЭД + ЭД) _(зу^ + зур
v? +	- V?? - ф
3.	Вычислите значение выражения х3 + Зх, если
х = 377б + 2 - 377б - 2 .
4.	Докажите, что число 37э “ З73 является корнем
уравнения х3 + 9х - 6 = 0.
5.	Сравните без таблиц и микрокалькулятора 3720 и
7з +1.
6.	Решите уравнение 37х + 1 + 37з - х = 3.
Дидактические материалы
54
9 класс
КМ-9-3
Степень с рациональным показателем
Подготовительный вариант
1. Постройте фигуру, ограниченную графиками функ-
ций
1 1 /
у=|(х - I)3; у = 2(3 - х)2 -1; у = 3 (1 - х) .
v >
2. Упростите выражение 13 * * 16
х + 2х2 + 1
1
Jx
13	1
3. Решите уравнение х27х - 26х10 - 27х10 =0.
1 1
4. Решите неравенство х2 - Зх4 + 2 > 0.
1
5. Существует ли треугольник со сторонами 43;
1 1
163; 683?
Вариант 1
1. Постройте фигуру, ограниченную графиками функ-
1	1	14
ций у=2х3; у=(2-х)3-1; i/=|^(-x)2^ .
Дидактические материалы
Контрольные работы
55
2.	Упростите выражение
1 з
3.	Решите уравнение х15 - 8х5 = 21/х.
2	1
4.	Решите неравенство х - 5х 4- 4 > 0.
1 1
5.	Существует ли треугольник со сторонами 23 ; 43 ;
153?
Вариант 2
1.	Постройте фигуру, ограниченную графиками функ-
1 1/1?
цийу = (х + 1)3;у=(7 - X)2 + 2;у = (-х - I)2 .
1-х"2	2	2 -
2.	Упростите выражение —-----j j 4—j-------- .
2	2	2	2	2
x - x	x	x - x
5
3.	Решите уравнение x2 Jx -33 Jx 3Jx 4- 32x 6 = 0.
i i
4.	Решите неравенство 2x3 - Зх6 4- 1 > 0.
i i
3	3
5.	Существует ли треугольник со сторонами 3 ; 9 ;
З13 ?
Дидактические материалы
9 класс
56
КМ-9-4
Функции двух переменных.
Системы уравнений
Подготовительный вариант
1.	Изобразите на координатной плоскости множест-
во точек, удовлетворяющих условию:
а) (х - 3) (у - 4) = 1; б) х - 1 = (у - 2)2;
в) |х| + |у - 21 = 3;	г) х2 + у2 = 4 |у|.
2.	Решите систему уравнений:
а)(х-у = 7,	б) J х2 + у2 + 7 (х - у) = О,
I ху “ 1;	2х2 - 5ху + 2у2 = 0;
В) 2х + у
|	4У._
2х + у
+ у + 2 — 0,
-3 = 0;
г) J Зх + 4у = 10,
1 4х + 3 |у| = И.
3.	Докажите, что при любых числовых значениях
букв выполняется неравенство
4х2 + 8ху + 4у2 - 4х - 4у + 1 > 0.
Вариант 1
1.	Изобразите на координатной плоскости множест-
во точек, удовлетворяющих условию:
а) (х + 2) (у - 3) = 1; б) х + 2 = (у + I)2;
в) |х| + |у - 3| = 4;	г) х2 + у2 = 2 |х|.
2.	Решите систему уравнений:
а) [ х - у = 5,	б) Зх2 - 8ху + 4у2 = 0,
1ЖУ = 3;	|х2 + у2 + 13(х-у) = 0;
Дидактические материалы
Контрольные роботы
57
___1
х + Зу
У
х + Зу
+ У = 5,
= 6;
г)
х + 2у = 3,
2х + 5 |у| = 7.
з.
Докажите, что при любых числовых значениях
букв выполняется неравенство
х2 + 2ху + Зу2 + 2х + бу + 3 > 0.
Вариант 2
1.
2.
Изобразите на координатной плоскости множест-
во точек, удовлетворяющих условию:
а) (х - 1) (у + 2) = 1;	б) 1 - х = (у - I)2;
в) |х + 1| - |у| = 2;	г) х2 + у2 = 2 |у|.
Решите систему уравнений:
а)
х + у = 3,
ху = -1;
б)
<
х2 + 2у2 = 17,
бх2 -ху - 12у2= 0;
+ х + 1 = 0,
х - у
+ 2 = 0;
г) I 2х + 1у = 5,
] 3 |х| + у = 4.
3.	Докажите, что при любых числовых значениях
букв выполняется неравенство
Зх2 + у2 + 8х + 4у - 2ху + 22 > 0.
КМ-9-5
Тригонометрические функции
числового аргумента
Подготовительный вариант
1.	На тригонометрической окружности отметьте точ-
ки, соответствующие числам:
a)(-l)n + 1 • Н + тем, пе Z; 6)^,keZ.
о	о
Дидактические материалы
58
9 класс
2.	Пусть ctg а = -7б,	< а < 2п. Найдите sin а,
Z
cos а, tg а.
3.
„ соза - 2 sin а
Пусть  -------;—
2cosa + sina
= 5. Найдите tg а.
4.	Найдите sin а, если sin а + cos2 а = 1	.
ZO
5.	Вычислите:
а) (4-Уз + cos 30°)(3 - 5 cos 60°)(7 - 3tg 45°);
sinfа + 5 ) • cos(a - л) • tg (-а)
б)—"—	;
sin(a - л) • cosla ~ -у I ’ ctg(n - а)
в) sin 10 + |sin 10|.
6.	Упростите выражение
• 2	,	75
sin а	п , (1 + cosa)
2	+ " +	2
1 + 2 cos а + cos a	sin а
Зл
при П < а <	.
Z
Вариант 1
1. На тригонометрической окружности отметьте точ-
ки, соответствующие числам:
а) I + nk, k e Z;	б) ™ , т е Z.
2. Пусть tga = 7,л<а<	. Найдите sin a, cos a,
4	Z
ctg a.
3
„ 2cosa - 3sina _ TT - x
Пусть —------------ = 7. Найдите ctg a.
2sina + 5cosa
Дидактические материалы
Контрольные работы
2	,6
4.	Найдите sin а, если sin а + cos а = 1 jg .
5.	Вычислите:
a)	(1 + sin 30°)(2 73 - sin 6O°)(5tg 45° - 4);
sin(n + a)cos|5 - a]tg(-a)
6)	-----------------------
(it A . , XX	\
cosl 2 + a lsin(-a)ctgl 2 - al
в) sin 16 + |sin 16|.
6.	Упростите выражение
M - sing - -Д- при 5 < a < п.
\tga + sina sina 2
Вариант 2
1.	На тригонометрической окружности отметьте точ-
ки, соответствующие числам:
а)(-1Г- н +пт, те Z; 6)^,keZ.
О	о
2.	Пусть ctg a = -2 72, | < a < it. Найдите sin a,
cos a, tg a.
3.	Пусть 331na + 5 cos a = g Найдите tg a
2sina - 3cosa
2	5
4.	Найдите sin a, если cos a + sin a = g .
5.	Вычислите:
а)	(Зл/З - sin 60°)(2 + 3sin 30°)(2 - 3tg 45°);
sinf? - a|cos(7t + a)ctg(-a)
6)	• f37t \	,	.. ГЗя
sinl-gT + alcos(7t - a)tgl-jj- + al
в)	tg 15 + |tg 15|.
Дидактические материалы
60
9 класс
6.	Упростите выражение
1 + sina
1 - sina
'1 - sina ______
1 _1_ При
1 + sina
7t . ЗЯ
2 <a<Th
KM-9-6
Тригонометрические формулы
Подготовительный вариант
1.	Постройте график функции:
а) у = 4sin fx - ; б) у = |f-4— + 1-Д—I).
у	k 4>’	2^sinx |sinx|J
2.	Вычислите:
а) cos 2400°;
4.	29,1
б) ctg -g- .
3.	Докажите, что Vsin9° + Vcos9° > 1.
4.	Вычислите:
а)	cos а, если sin fa -	, л < a - 5	;
k 6J л/ 6	6	2 ’
6)	a + p, если | < a < л, л < p < у , tg a =	, tg p = 2.
5.	Найдите наименьшее значение выражения:
а) Л cos a - J2 sin a; б) 4 sin a - 5 cos2 a.
Вариант 1
1.	Постройте график функции:
а) у = 2 cos (х -	; б) у = | (tg х + |tg х|).
Дидактические материалы
Контрольные работы
61
a) sin a, если cos a + =
\
2.	Вычислите:
a) cos 3180°;	б) tg ф.
3.	Докажите, что 7sin 17° + 37cosl7° > 1.
4.	Вычислите:
3 п я
5’2 а+ 3	715
б)	а + р, если 0<a<2,tga=|,7r<P<^,tgP=|.
Ci	О	Ct	о
5.	Найдите наибольшее значение выражения:
а) л/3 cos a + sin a; б) 3 cos2 a - 2 sin a.
Вариант 2
1.	Постройте график функции:
а) у = 3 sin (х +	; б) у = | (ctg х - |ctg х|).
2.	Вычислите:
а) sin 3300°;	б) ctg .
3.	Докажите, что cos3 16° + sin4 16° < 1.
4.	Вычислите:
л
6'“
б)	a + Р, если TC<a<y,tga=i,0<P<2,tgP=|.
5.	Найдите наименьшее значение выражения:
а) cos a - J3 sin a; 6) 3 cos a - 7 sin2 a.
2У2 Tt 7t
3 ’26
a) cos a, если sin
Дидактические материалы
62
9 класс
КМ-9-7
Преобразование
тригонометрических выражений
2.
Подготовительный вариант
Упростите выражение
cosa - cos4a + cos7a - coslOa
sina + sin 4 a + sin7a + sinlOa’
Докажите тождество
2 cos2 a - -------1 = «/2 sin (7 -
tga + ctga	<4
3.	Вычислите —— -------- , если tg a = 0,1.
3 sin 2a + 2
4.	Докажите справедливость равенства
COS — + COS у + COS у = -g .
5.	Зная, что А, В и С — внутренние углы некоторого
треугольника, докажите справедливость равенства
sin 4А + sin 4В + sin 4С = -4 sin 2А sin 2В sin 2С.
Вариант 1
1. Упростите выражение
cos2a - cos6a + coslOa - cosl4a
sin 2 a + sin6a + sinlOa + sin!4a’
2.
Докажите тождество tg a + cos 1 a - 1 =
-72sin2
3.	Вычислите -----„ , если tg a = 0,2.
6 + 7sin2a b
4.	Докажите справедливость равенства
sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° =	.
Дидактические материалы
Контрольные работы
5.	Зная, что А, В и С — внутренние углы некоторого
треугольника, докажите справедливость равенства
sin А + sin В + sin С = 4cos х cos х cos х .
и	и	6
Вариант 2
1.	Упростите выражение
cos7a - cos8a - cos9a + coslOa
sin7a - sin8a - sin9a + sinlOa ’
2.	Докажите тождество
, , ,	. . -1	V2cosa
1 + ctg a + sm a =-------------.
a . fit a\
2sm5sm^ -
2
3.	Вычислите --------— , если tg a = 0,2.
3 + 4cos2a 6
4.	Докажите справедливость равенства
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = A .
lo
5.	Зная, что А, В n С — внутренние углы некоторого
треугольника, докажите справедливость равенства
sin 2А + sin 2В + sin 2С = 4 sin A sin В sin С.
КМ-9-8
Числовые последовательности.
Арифметическая прогрессия
Подготовительный вариант
1.	Дана последовательность ап = 32п - 5п2 + 7.
Сколько в ней положительных членов? Найдите
наибольший член последовательности.
е л	Дидактические материалы
о 4	—— -----------------
9 класс
2.	Пусть аг = -21 — первый член арифметической
прогрессии, п = 17, Sn = 595. Найдите ап и d —
разность прогрессии.
3.	Второй член арифметической прогрессии состав-
ляет 96% от первого. Сколько процентов от перво-
го члена составляет 17-й член этой прогрессии?
4.	Найдите сумму всех трехзначных чисел, не деля-
щихся на 19.
5.	При каких значениях а корни уравнения
Зх3 - (а + 1) х2 + (а - 2) х = О,
взятые в некотором порядке, составляют арифме-
тическую прогрессию?
Вариант 1
1.	Дана последовательность ап = Зл2 - 38л - 11.
Сколько в ней отрицательных членов? Найдите
наименьший член последовательности.
2.	Пусть Oj = -5 — первый член арифметической про-
грессии, п = 23, Sn — 1909. Найдите апи d — раз-
ность прогрессии.
3.	Второй член арифметической прогрессии состав-
ляет 107% от первого. Сколько процентов от пер-
вого члена составляет 10-й член прогрессии?
4.	Найдите сумму всех трехзначных чисел, не деля-
щихся на 13.
5.	При каких значениях а корни уравнения
х3 - ах2 + (а - 1) х = 0,
взятые в некотором порядке, составляют арифме-
тическую прогрессию?
Вариант 2
1.	Дана последовательность ап = 52л - Зл2 + 11.
Сколько в ней положительных членов? Найдите
наибольший член последовательности.
Дидактические материалы
Контрольные работы
65
2.	Пусть а1 = 81 — первый член арифметической
прогрессии, п = 34, Sn = 510. Найдите ап и d —
разность прогрессии.
3.	Второй член арифметической прогрессии состав-
ляет 88% от первого. Сколько процентов от перво-
го члена составляет 5-й член прогрессии?
4.	Найдите сумму всех трехзначных чисел, не деля-
щихся на 17.
5.	При каких значениях а корни уравнения
2х3 - (а + 1) х2 - (1 - а) х = 0,
взятые в некотором порядке, составляют арифме-
тическую прогрессию?
КМ-9-9
Геометрическая прогрессия
Подготовительный, вариант
1.	Пусть первый член геометрической прогрессии
= 2, знаменатель q = -3, а сумма п первых ее
членов Sn = -364. Найдите число п и n-й член про-
грессии.
2.	Прирост населения города-мегаполиса составляет
10% в год. В конце 1997 г. население мегаполиса
составляло 15 млн человек. Сколько человек будет
проживать в городе в конце 2001 г.?
3.	При каких значениях t числа 4f - 2, 6 - 2t, 6 + 2t,
24 - 8t являются четырьмя последовательными
членами геометрической прогрессии?
4.	Сумма трех первых членов геометрической про-
грессии равна 13, а сумма их квадратов равна 91.
Найдите третий член и знаменатель прогрессии.
3 Зак. 594
Дидактические материалы
5.	Три различных числа х, у, г, сумма которых равна
52, являются тремя последовательными членами
геометрической прогрессии. Одновременно эти
три числа х, у, г являются соответственно 4, 6
и 12-м членами арифметической прогрессии. Най-
дите х, у, 2.
Вариант 1
1.	Пусть первый член геометрической прогрессии
&! = 6, знаменатель q = -2, а сумма п первых ее
членов Sn = -510. Найдите число п и n-й член дан-
ной прогрессии.
2.	Банк выплачивает вкладчикам 25% годовых. Че-
му станет равен вклад 100 000 р. через два года?
3.	При каких значениях х числа 2х, 5-х, 7 + х,
20 - 4х являются четырьмя последовательными
членами геометрической прогрессии?
4.	Произведение 1-го и 5-го членов геометрической
прогрессии равно 12. Частное от деления 2-го чле-
на на 4-й равно 3. Найдите второй член прогрес-
сии.
5.	Три различных числа а, Ъ, с, сумма которых равна
124, являются тремя последовательными членами
геометрической прогрессии. Одновременно эти
три числа а, Ъ и с являются соответственно 3, 13
и 15-м членами арифметической прогрессии. Най-
дите а, Ь, с.
Вариант 2
1.	Пусть первый член геометрической прогрессии
Ьг = 3, знаменатель q = 2, а сумма п первых ее чле-
нов Sn = 93. Найдите число п и n-й член данной
прогрессии.
Дидактические материалы
Контрольные работы
ы
2.	Снижение себестоимости производства товара со-
ставляет 5% в год. Первоначальная себестоимость
товара равна 10 000 р. Чему станет равной его се-
бестоимость через два года?
3.	При каких значениях k числа 2k - 1, 2k + 1, 9/г,
k + 26 являются четырьмя последовательными
членами геометрической прогрессии?
4.	Сумма трех первых членов геометрической про-
грессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189.
Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
5.	Сумма пяти первых членов геометрической про-
грессии равна 62. Известно, что 5, 8 и 11-й члены
этой прогрессии различны и являются соответ-
ственно 1, 2 и 10-м членами арифметической про-
грессии. Найдите первый член геометрической
прогрессии.
КМ-9-10
Метод математической индукции.
Суммирование
Подготовительный вариант
1.	Докажите методом математической индукции:
а)	I2 + З2 + 52 + ... + (2n - I)2 = п^2-3~- В;
б)	(2 • 4л + 4 • 13") : 6;
в)	7" > 23п + 2 при п > 2.
2.	Сумма бесконечно убывающей геометрической про-
4	,
грессии в X раза больше суммы квадратов всех
О
ее членов. Найдите знаменатель прогрессии, если
ее первый член равен 1.
_ _	Дидактические материалы
9 класс
3.	Сумма первых п членов последовательности вы-
числяется по формуле S. = -5л3 - и2 + 571. Найди-
о	о
те третий член последовательности. Докажите,
что все члены последовательности отрицательны.
4.	Даны две арифметические прогрессии
ап = 1 + 2 (п - 1) и Ьп = 2 (п - 1) - 2.
Найдите сумму а1Ь1 + а2Ь2 + ... + апЬп. (Один из
возможных способов решения получается, если
использовать формулу из примера 1а данного ва-
рианта.)
Вариант 1
1.	Докажите методом математической индукции:
а)	I2 + 22 + З2 + ... + п2 = п(п-+ 1}.(2п +	;
О
б)	(5Л + 2 • 3" - 3) : 8; в) Зп > 5п + 1 при п > 3.
2.	Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии (д„) равна 7, а сумма квадратов всех ее
членов равна 14. Найдите Ьг и Ь2.
3.	Сумма первых п членов последовательности вы-
числяется по формуле Sn = п3 + Зп2 - п. Найдите
третий член последовательности. Докажите, что
все члены последовательности положительны.
4.	Даны две арифметические прогрессии
р„ = 3 + 2(п-1)и9л = 2 + 3(п-1).
Найдите сумму р^ + p2q2 + ... + pnqn.
Вариант 2
1.	Докажите методом математической индукции:
2	2
а)	I3 + 23 + ... + п3 = —(-п4+	;
Дидактические материалы
Контрольные работы
69
б)	(42п + 1 + 32п + 1 - 7) : 84;
в)	5" > 11п + 3 при п > 3.
2.	Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии в 1,75 раза больше суммы кубов всех
ее членов. Найдите знаменатель прогрессии, если
ее первый член равен 1.
3.	Сумма первых п членов последовательности вы-
числяется по формуле Sn = -п3 - Зп2 + Зп. Найди-
те третий член последовательности. Докажите,
что все члены последовательности отрицательны.
4.	Даны две арифметические прогрессии
р„ = 3 + 5(п-1)ид„ = п.
Найдите сумму р^2 + p2q22 + ... + pnq2-
КМ-9-11
Повторение (Уравнения. Текстовые задачи)
Подготовительный вариант
1.	Решите уравнение:
а)	|3х2 + 7х - 3| = Зх2 + Зх - 1;
б)	7зх3 + 13х2 + 17х + 7 =
= 7зх3 + 25х2 + 63х - 1 ;
.	1	4	1
в)	----------- - ---------- = z .
(х + 4)(х + 8) (х + 3)(х + 9)	6
2.	В сплаве олова с медью содержалось 11 кг меди.
После того как в сплав добавили 7,5 кг олова, со-
держание олова повысилось на 33%. Какова была
первоначальная масса сплава?
Дидактические материалы
9 класс
70
3.	Три одинаковых комбайна, работая вместе, убра-
ли первое поле. Затем двое из них убрали второе
поле (имеющее другую площадь). Вся работа заня-
ла 12 ч. Если бы три комбайна выполнили полови-
ну всей работы, а затем оставшуюся часть сделал
один из них, то работа заняла бы 20 ч. За какое
время два комбайна могут убрать первое поле?
4.	Теплоход отплыл из порта А в порт В. Через 7,5 ч
вслед за ним из порта А вышел катер. На половине
пути от А до В катер догнал теплоход. Когда катер
прибыл в В, теплоходу осталось плыть 0,3 всего
пути. Какое время потребовалось теплоходу на
весь путь от А до В, если скорости катера и тепло-
хода постоянны на протяжении всего маршрута?
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
а)	|х2 - 4х - 1| = х2 + 6х + 1;
б)	л/зх3 - 5х2 + х + 1 = 7зх3 + 7х2 - х - 51;
’ (х - 1)(х + 3) (х - 2)(х + 4)
2.	Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг,
содержащий 40% меди. Сколько чистого олова на-
до прибавить к этому куску, чтобы получившийся
новый сплав содержал 30% меди?
3.	При одновременной работе двух насосов разной
мощности бассейн наполняется водой за 8 ч. После
ремонта насосов производительность первого из
них увеличилась в 1,2 раза, а второго — в 1,6 раза,
и при одновременной работе обоих насосов бассейн
стал наполняться за 6 ч. За какое время наполня-
ется бассейн при работе только первого насоса пос-
ле ремонта?
Дидактические материалы
Контрольные работы
71
4.	Два туриста одновременно отправились навстречу
друг другу из пунктов А и В, расстояние между ко-
торыми 33 км. Через 3 ч 12 мин расстояние между
ними сократилось до 1 км (они еще не встрети-
лись), а еще через 2 ч 18 мин первому оставалось
пройти до В втрое большее расстояние, чем второ-
му до А. Найдите скорости туристов.
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
а)	|3х2 + х - 7| = Зх2 - Зх - 1;
б)	л/бх3 + Зх2 - х + 10 = л/бх3 + 2х2 - х + 14 ;
в)	2 (х2 +	- 3 (х+ -4) = 1.
k X“J k XJ
2. Один раствор содержит 20% (по объему) соли,
а второй — 70% соли. Сколько литров первого и
второго растворов нужно взять, чтобы получить
100 л 50%-ного соляного раствора?
3. Два трактора разной мощности, работая одновре-
менно, вспахали поле за 2 ч 40 мин. Если бы пер-
вый трактор увеличил скорость вспашки в 2 раза,
а второй — в 1,5 раза, то поле было бы вспахано за
1 ч 36 мин. За какое время вспахал бы поле первый
трактор, работая с первоначальной скоростью?
4. Из городов М и N, расстояние между которыми
70 км, одновременно выехали навстречу друг дру-
гу автобус и велосипедист, которые встретились
через 1 ч 24 мин. Продолжая движение с той же
скоростью, автобус прибыл в N и после 20-минут-
ной стоянки отправился в обратный рейс. Найдите
скорости автобуса и велосипедиста, зная, что авто-
бус обогнал велосипедиста через 2 ч 41 мин после
первой встречи.
Дидактические материалы
72
9 класс
КМ-9-12
Повторение (Неравенства.
Более сложные текстовые задачи)
Подготовительный вариант
1. Решите неравенство:
. (х2 - 4х + 3)(х2 + 2х - 3)
в) |х2 + 9х + 5| < |3х2 + 22х + 16|;
г)	(х2 - 4х - 6) Jx + 2 < 0.
2.	На строительстве железной дороги работали две
бригады. Первая бригада ежедневно прокладыва-
ла на 40 м пути больше второй и проложила 270 м
пути. Вторая бригада работала на 2 дня больше
первой и проложила 250 м. Сколько дней работала
каждая бригада?
3.	От турбазы до озера 8 км. Сначала дорога идет в
гору, затем лесом, потом под гору. До озера турис-
ты шли 1 ч 27 мин, а обратно 1 ч 51 мин. Скорость
их в гору 4 км/ч, лесом 5 км/ч, а под гору 6 км/ч.
Сколько километров туристы шли лесом в одном
направлении?
4.	Две машинистки, работая вместе, печатают в час
44 страницы текста. Первые 25% рукописи в 200
страниц печатала первая машинистка, затем к ней
присоединилась вторая, а последние 20% текста
печатала только вторая машинистка. Сколько
страниц в час печатает каждая машинистка, если
на перепечатывание всей рукописи было затраче-
но 6 ч 40 мин, а первая машинистка работает бы-
стрее второй?
Дидактические материалы	у
Контрольные работы
Вариант 1
1.	Решите неравенство:
2	Ч
а)	(X + 2х - 8)(х - 4х) > 0;
х + 7х + 10
б)	—Ц + 1 > —Ц ;
х - 5 х + 1
в)	|х2 + Зх - 5| < |х2 + 7х - 9|;
г)	(х2 - бх - 1) Jx + 1 < 0.
2.	Два экскаватора, работая совместно, могут вы-
рыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из
них может вырыть котлован, работая в отдельно-
сти, если первому нужно для этого на 40 ч больше,
чем второму?
3.	Глиссер, собственная скорость которого равна
20 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 60 км,
и вернулся обратно. Определите скорость течения
реки, если на весь путь глиссер затратил 6,25 ч.
4.	Две бригады должны были изготовить по 180 книж-
ных полок. Первая бригада в час изготовляла на
2 полки больше, чем вторая, и поэтому закончила
работу на 3 ч раньше. За какое время каждая
бригада выполнила задание?
Вариант 2
1.	Решите неравенство:
о	2
а) ^--.6х + 8)(х -4) >
х3 - 8
в) |х2 + 7х - 3| > |3х2 + 16х - 3|;
г) (х2 - 8х - 1)7х + 2 < 0.
Дидактические материалы
9 класс
74
2.	Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за
12 ч. Первая труба, работая в отдельности, напол-
няет бассейн на 18 ч быстрее, чем вторая. За какое
время наполняет бассейн вторая труба?
3.	Теплоход прошел по течению реки 48 км и столько
же обратно, затратив на весь путь 5 ч. Определите
собственную скорость теплохода, если скорость те-
чения реки 4 км/ч.
4.	На фабрике за смену в первом цехе сшили 320 кос-
тюмов, а во втором — 270 костюмов. В первом це-
хе шили в час на 2 костюма меньше, чем во вто-
ром, и работали на 5 ч больше. Сколько костюмов
в час шили в первом цехе?
КМ-9-13
Повторение (Функции, их свойства и графики)
Подготовительный вариант
1.	При каких значениях а график функции у = 2х2 +
+ х - а проходит через точку К (-3; 2)?
2.	Постройте график функции у = f (х), где
/(*) = <
х2 + 4х + 3 при х С 0,
3-х при 0 < х < 3,
х — 3
х - 2
при х > 3,
и, используя его, решите уравнение f (х) = а при
а = -1, а = 0, а = 3.
3.	Найдите промежутки возрастания функции
о . 13х . 15х
у = cos х - 2 sin-x- sin -5- .
Ct	и
Дидактические материалы
Контрольные работы
75
4.	Найдите длину наибольшего отрезка, параллель-
ного оси Оу и лежащего внутри фигуры, ограни-
ченной параболами i/ = x2-5x + 3hz/ = 1-x2.
5.	Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и
олова. Известно, что первый сплав содержит 25%
цинка, а второй — 50% меди. Процентное содер-
жание олова в первом сплаве в 2 раза выше, чем во
втором. Сплавив 200 кг первого сплава и 300 кг
второго, получили новый сплав, в котором оказа-
лось 28% цинка. Сколько меди содержится в по-
лучившемся новом сплаве?
6.	Сумма квадратов цифр некоторого двузначного
числа на 4 больше удвоенного произведения этих
цифр. После деления этого двузначного числа на
сумму его цифр в частном получается 4 и в остат-
ке 9. Найдите исходное число.
Вариант 1
1.	При каких значениях а график функции у = ах2 -
- 5х - 3 проходит через точку К (-1; 3)?
2.	Постройте график функции у = f (х), где
J-X - 1 - 1 при х < -1,

Зх + 2
5
при -1 < х < 1,
при х > 1,
и, используя его, определите множество значений
функции, а также решите уравнение f (х) = а при
а = 1 и а = -1.
3.	Найдите промежутки возрастания функции
у = cos 7х - 2 sin Зх sin 10х.
Дидактические материалы
76
9 класс
4.	Найдите длину наибольшего отрезка, параллель-
ного оси Оу и лежащего внутри фигуры, ограни-
ченной параболами у = х2 - 4х - 7 и у = 9 - х2.
5.	Сплавлено 40 г золота одной пробы и 60 г золота
другой пробы и получено золото 62-й пробы. Ка-
кой пробы было золото в первом и втором слитках,
если при сплаве их равных масс получается золото
61-й пробы?
6.	Сумма квадратов цифр некоторого двузначного
числа на 1 больше утроенного произведения этих
цифр. После деления этого двузначного числа на
сумму его цифр в частном получается 7 и в остат-
ке 6. Найдите исходное число.
Вариант 2
1.	При каких значениях а график функции у = Зх2 +
+ ах - 1 проходит через точку К (-2; 1)?
2.	Постройте график функции у = f (х), где
х + 2	„
---— при х < -2,
, .	= X + 1
1-Х-2	при-2<х<1,
6х - х2 - 8 при х > 1,
и, используя его, решите уравнение f (х) = а при
а = 0, а = -3иа= 1.
3.	Найдите промежутки убывания функции
у = 2 cos Зх cos 1 lx - cos 14х.
4.	Найдите длину наибольшего отрезка, параллель-
ного оси Оу и лежащего внутри фигуры, ограни-
ченной параболами </ = х - 10 и г/ = 6 - 4х - х2.
5.	Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля
5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих
сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содер-
жанием никеля 30% ?
Дидактические материалы
77
Контрольные работы
6.	После деления некоторого двузначного числа на
сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке
6. После деления этого же двузначного числа на
произведение его цифр в частном получается 3 и в
остатке 11. Найдите исходное число.
КМ-9-14
Повторение (Преобразование выражений.
Уравнения и неравенства с параметрами)
Подготовительный вариант
1. Упростите 7П - л/З —.	8  =.
714 +
2 • Узз
Упростите выражение
/ 2
2	1
. 1 - 3Л
Чъ
3. Упростите выражение
2
4. Для каких значений а неравенство х - 2х + а > 0:
а) справедливо при всех х;
б) справедливо при х > 2;
в) справедливо при х < 3?
5. Для каждого значения а решите систему уравнений
[х + у = 3,
I ху = а.
6. Постройте график функции у = х2 - 2х и для каж-
дого а найдите ее наибольшее и наименьшее значе-
ния на промежутке [-1; а] (а > -1).
Дидактические материалы
78
9 класс
Вариант 1
1.	Упростите Уб + J5 —	-.
711 - 2^/30
2.	Упростите выражение
(	1	3	ч	1
3.	Упростите выражение
4.	Для каких значений а неравенство х1 2 - 5х + а > 0:
а) справедливо при всех х;
б)	справедливо при х > 3;
в)	справедливо при х < 7?
5.	Для каждого значения а решите систему уравнений
[ х + у = 2,
I 2,2
1х + у = а.
6.	Постройте график функции у = х2 и для каждого а
найдите ее наибольшее и наименьшее значения на
промежутке [-2; а] (а > -2).
Вариант 2
1. Упростите л/7 - ч/2 —===.
+ 2714
2. Упростите выражение
( 1 1
2	1
2 + 2Ь	’2
“3----Г + Ъ
,2 ь2
- О
7ь
b - 2jb + 1 '
Дидактические материалы
Контрольные работы
79
3.	Упростите выражение
1 - sin(2x - 2)
(1 + V3)cosx - (л/З - l)sinx
4.	Для каких значений а неравенство х2 + 6х - а > 0:
а) справедливо при всех х;
б)	справедливо при х > 3;
в)	справедливо при х < 7?
5.	Для каждого значения а решите систему уравнений
X-у = 1,
ху = а.
6.	Постройте график функции у = -х2 и для каждого
а найдите ее наибольшее и наименьшее значения
на промежутке [а; 2] (а < 2).
КМ-9-15
Комплексное повторение
Подготовительный, вариант
1.	Вычислите наиболее удобным способом
(7,42 • | - (-11,48) : 1|) : 0,35.
2.	Решите уравнение ——— + —— =-------------.
х - 1 х + 3 (х - 1)(х + 3)
3.	Найдите область определения функции
2х + 3
У= /	2-
72 + Зх - 5х
4.	Дано: sin а=^,0<а<^. Найдите cos а, ctg а.
Дидактические материалы
9 класс
80
5.	Два крана, работая вместе, разгрузили баржу за
6 ч. За какое время может разгрузить баржу, рабо-
тая отдельно, каждый кран, если одному из них
требуется для этого на 9 ч меньше, чем другому?
6.	Постройте график функции у = -х2 - 2х при
х е [-3; 2]. Определите множество значений функ-
ции при ЭТИХ X.
7.	При каких значениях а три корня уравнения
(х - а) (х2 - 13х + 36) = 0 различны и, взятые в не-
котором порядке, составляют: а) арифметическую
прогрессию; б) геометрическую прогрессию?
Вариант 1
1. Вычислите наиболее удобным способом
(-5,17:1 | +1,67-|) -(-1£).
2.
Решите уравнение
х - 3 х - 5 _ „
X ~ X - 3
3.	Найдите область определения функции
_ ______х_____
7зх2 + 4х + 1
5	Л
4.	Дано: cos а = 75,0 < а < 5 . Найдите sin 2а.
1 о	Z
5.	Два грузовика, работая вместе, перевозили зерно в
течение 4 ч. За какое время перевезет то же коли-
чество зерна каждый грузовик в отдельности, если
первому требуется для этого на 6 ч больше, чем
второму?
6.	Постройте график функции у = -х2 + 4х при
х е (-<*>; +°°). Определите множество значений функ-
ции при этих х.
Дидактические материалы
Контрольные работы
81
7.	При каких значениях а три корня уравнения
(х - а)(х1 2 - 5х + 4) = 0 различны и, взятые в неко-
тором порядке, составляют: а) арифметическую
прогрессию; б) геометрическую прогрессию?
Вариант 2
1.	Выполните действия:
1
(-0,6) • ^0,00812 +(1|J2) = 1^-
2.	Решите уравнение
4х - 6 х =	9
х + 2 х + 1 (х + 1)(х + 2) ’
3.	Решите неравенство
<2х + 9А2 <12 - х\2 „
( 3 J " I 4 J и'
5	л
4.	Дано: sin а=тх,0<а<^. Найдите cos а, ctg а.
10	о
5.	Две бригады рабочих при совместной работе затра-
тили на асфальтирование участка дороги 4,8 ч. Ка-
кое время потребуется на асфальтирование этого
участка каждой бригаде в отдельности, если одна на
эту работу затрачивает на 4 ч больше, чем другая?
1 2
6. Постройте график функции у = -хх - 3 при
О
х 6 (-3; 6). Определите множество значений функ-
ции при этих х.
7. При каких значениях а три корня уравнения
(х - а)(х2 - 10х + 9) = 0 различны и, взятые в неко-
тором порядке, составляют: а) арифметическую
прогрессию; б) геометрическую прогрессию?
Дидактические материалы
82
9 класс
КМ-9-16
Комплексное повторение
Подготовительный, вариант
1.	Вычислите —--inl0° + sin50° .
2sin80° - V3sin50°
2.	Бригада рабочих обязалась изготовить 432 шины
для колес. Однако четверо из них заболели и не
вышли на работу. Каждому из оставшихся рабо-
чих пришлось изготовлять на 9 шин в день боль-
ше, чтобы выполнить обязательство. Сколько ра-
бочих числилось в бригаде?
3.	Постройте график функции у = |3 - |2х + 1|| + х и
укажите ее множество значений. Для каждого
действительного значения а укажите количество
общих точек этого графика и прямой у = а.
4.	Пусть шах {/ (х); g (х)} обозначает наибольшее из
значений функций f (х) и g (х) для данного х. Най-
дите все х, для которых выполняется неравенство
,2
max , х - 1} < — .
'х ’	'	4
5.	Три различных числа а, Ъ, с, сумма которых равна
124, являются тремя последовательными членами
геометрической прогрессии. Одновременно эти
три числа а, Ь и с являются соответственно 3, 13
и 15-м членами арифметической прогрессии. Най-
дите числа а, Ь, с.
6.	При каких значениях а уравнение
(а - 1) х2 + 2х 711 - а2 +1 = 0
имеет два различных действительных корня?
Дидактические материалы
Контрольные работы
83
Вариант 1
1.	Вычислите
________cos20° - 0,5____
cos 110° • JO,75 - sin80°cos70°
2.	Двое рабочих разгружали вагоны с продуктами.
Первый разгружал на 50 ц в день больше второго и
разгрузил 300 ц, при этом он работал на 2 дня
меньше второго. Второй рабочий разгрузил 250 ц.
Сколько дней работал каждый?
3.	Постройте график функции
и укажите ее область определения. Какие значе-
ния функция принимает: а) два раза; б) три раза?
4.	Пусть max {f (х); g (x)} обозначает наибольшее из
значений функций f (х) и g (х) для данного х. Най-
дите все х, для которых выполняется неравенство
max {^ ; 5х - 4} > х2.
5.	Числа tx, t2, t3, t4, t5, сумма которых равна 62, яв-
ляются первыми пятью членами геометрической
прогрессии, а числа i3, - t4, t5 — последовательны-
ми членами арифметической прогрессии. Найдите
первый член и знаменатель геометрической про-
грессии.
6.	При каких значениях а уравнение
(х - а) (ах2 + 6х + 5а) = 0
имеет ровно два различных корня?
Дидактические материалы
9 класс
84
Вариант 2
1.	Вычислите
cosl40°Jsin 10° - cos380°
sin20°
2.	На строительстве железной дороги работали две
путевые бригады. Первая ежедневно прокладыва-
ла на 40 м пути больше второй и проложила 270 м
пути. Вторая бригада работала на 2 дня больше
первой и проложила 250 м. Сколько дней работала
каждая бригада?
3.	Постройте график функции у =	+ ж ~ 4 и ука-
жите ее область определения и множество значе-
ний. Какие значения принимаются функцией бо-
лее чем в одной точке?
4.	Пусть min {f (х); g (х)} обозначает наименьшее из
значений функций f (х) и g (х) для данного х. Най-
дите все х, для которых выполняется неравенство
min {Aj; Зх2 - 2} < х.
х
5.	Числа Up и2, и3, и4, сумма которых равна 5, явля-
ются первыми четырьмя членами геометрической
8
прогрессии, а числа и2, и3,	— последователь-
ными членами арифметической прогрессии. Най-
дите первый член и знаменатель геометрической
прогрессии.
6.	При каких значениях а уравнение
(ах - 1) (2х2 - х - а) = 0
имеет ровно два различных корня?
Ответы
КМ-9-1
Подготовительный вариант
{1 11	/За
2’ 2 I ’	“ t-00’ и (2’ +°°) ’ В03Растает на
^-°°; и на (-|; oj ; убывает на 0; | j и на +°») . 2. Зх +
1. 3. |; 4. 4. (-00; 1] U [2; +=»). 5. 5.
Вариант 1
1. D (у) = R \ {-2; 2); Е (у) = (-=»; 0] U (1; +~); возрастает на
(-оо; -2) и на (-2; 0]; убывает на [0; 2) и на (2; +~).
2.-—Ц . 3. 2; 5. 4. [-1|; 1]. 5. 80.
(а + Ь) 2	3
Вариант 2
1. D (у) = R \ {-1; 1); Е (у) = (-<*>; 1] U (2; +~); возрастает на
(-00; -1) и на (-1; 0]; убывает на [0; 1) и на (1; +==). 2. 1 + 2х.
3. -1. 4. (-«о; -2] U [1; +оо). 5. 400.
КМ-9-2
Подготовительный вариант
1. Возрастает на (-00; 1]; убывает на [1; +»о); х = 1 — точка экс-
тремума; 2 — экстремум. 2. 2. 3. 1.5. 3»/4 > л/З - 1. 6. хх = -2;
х2 = 7.
Дидактические материалы
86
9 класс
Вариант 1
1. Возрастает на [1; +°°); убывает на (~°°; 1]; х = 1 — точка экстре-
мума; 1 — экстремум. 2. (./тп - Jn )2. 3.	.5. Уб - 1 < 3«/5 .
6. Xj = -7; хг = 1.
Вариант 2
1. Возрастает на [1; +<»); убывает на (-°=; 1]; х = 1 — точка экс-
тремума; -1 — экстремум. 2. 3Jx3 . 3. 4. 5. ^/20 < Уз + 1.
6. X] = 0; х2 = 7.
КМ-9-3
Подготовительный вариант
2х2	, 5
2.	- . 3. 0; З2’5. 4. [0; 1] U [16; +~). 5. Да.
Вариант 1
2. Jx . 3. 0; 2'7,5. 4. [0; 1] U [64; +«). 5. Да.
Вариант 2
2. -Ух(1 + 4)  3- 1; 8- 4- [0; и [1; +“)• 5. Да.
КМ-9-4
Подготовительный вариант
2 д) Г7 - ^3- 7 + УбЗА Г7 + 753.-7 + УбЗЛ
Ч 2 ’--------2---J’ I 2 ’	2---)’ б)(0: 0):
(1.4; 2,8); (-2,8;-1,4); в) f-±;-11	; г) (2; 1).
\ £ Ct CtJ \	ct J
Вариант 1
„ . /5 - У37 -5 - У37>	(5 + У37 -5 + У37\
2-а)(—2“2—Ч	—2	J; б><0: о);
(2; 3); (-5,2; -2,6); в) (-8,5; 3); {-б|; 2^ ; г) (1; 1); ^з|;	.
Дидактические материалы
Ответы
Вариант 2
„ , (3 + Лз 3 - J13A (3 - ЛЗ 3 + Лзд
2- а) V 2	;	2	)'• <	2	:	2 J’
б) (3; 2); (-3; -2); (-2Л;	; [гЛ;	;
в) (1; 1,5); (-2; -3); г) (-1; 1); (1^;	.
КМ-9-5
Подготовительный вариант
2. sin а = - Д ; cos а = Д ; tg а-Д . 3. -11. 4. I; |.
AJ О	tyo	у 5	«	□ о
5. а) 9 Л ; б)-1; в) 0. 6.—Д-.
7	7	sina
Вариант 1
„ .	3	4 А 4	17	1 6
2. sina = -5; cos а = ctg а = д. 3. -дд . 4. ?; = .
5. а) 2,25 Л ; б) 1; в) 0. 6. -ctg а.
Вариант 2
о •	1	~2Л t Л „ „ 2	2j2
2. sina =	=;	cos а = —5—; tga	= --т-. 3. 2«-=.	4. ±-5-.
о	о	4	1Э	о
ЗбЛ	2
5.	а) —; б) -1; в) 0. 6.-— .
’	4	' cosa
КМ-9-6
Подготовительный вариант
2. а) ; б) - Л • 4. а) : 6) Ц . 5. а) -2; б) -б|.
Вариант 1
2. а) 5 ; б) 1. 4. а) 0,3 Л + 0,4; б)	. 5. а) 2; б) з|.
Л	4	о
Дидактические материалы
9 класс
88
Вариант 2
2. а) ; б) -1. 4. а)	; б) . 5. а) -2; б) -7^ .
КМ-9-7
Подготовительный вариант
1 fir3a 101
Ь tg 2 • 3’ 262 •
Вариант 1
65
1. tg 2a. 3. ryz .
llo
Вариант 2
,	17a „ 26
i. ctg 2 • 3. 87.
KM-9-8
Подготовительный вариант
1. 6 положительных членов; а3 - 58. 2. ап = 91; d = 7. 3. 36%.
4. 468 653. 5. —1; 3,5; 8.
Вариант 1
1. 12 отрицательных членов; а6 = -131. 2. ал = 171; d = 8.
3. 163%. 4. 456 876. 5. 0; 1,5; 3.
Вариант 2
1. 17 положительных членов; а9 = 236. 2. ап = -51; d — -4.
3. 52%. 4. 465 718. 5. -1; 2; 5.
КМ-9-9
Подготовительный вариант
1. п = 6; Ь6 = -486. 2. 21 млн 961 тыс. 500 человек. 3. 1.
4. Ь3 = 9, q = 3; b3 = 1, q = | . 5. х - 4, у = 12, г = 36.
О
Вариант 1
1. п = 8; &8 = -768. 2. 156 250 р. 3. 1.4. ±6. 5. а = 100; Ь = 20; с = 4.
Дидактические материалы
Ответы
89
Вариант 2
1. п = 5; Ьь = 48. 2. 9025 р. 3. 1. 4. 6, = 3, q = 2; b{ = 12,
<7=|. 5.6, = 2.
КМ-9-10
Подготовительный вариант
2. |. 3. а3 = -29. 4.
О
п(4п2 - 9п - 1)
3
Вариант 1
„ . _ 28 ,140	п(4п2 + 7п + 1)
2. 6, — g , 5g — gi • 3. а3 — 33. 4.	g
Вариант 2
1	_ п(п + l)(5n + 4)(3п - 1)
Q — Q . О. Gg — ol. 4.
12
КМ-9-11
Подготовительный вариант
1. а) 0,5; -2; |; б) |; в) -5; -7. 2. 12,5 кг. 3. За 9 ч. 4. 25 ч.
О о
Вариант 1
13
1. а) 0; б) -g-; в) 0; -2. 2. 5 кг. 3. За 10 ч. 4. 4,5 км/ч; 5,5 км/ч.
Вариант 2
1. а) 1,5; -1; 1|; 6)2; в) 2; 0,5. 2. 40 л; 60 л. 3. За 8 ч. 4. 35 км/ч;
О
15 км/ч.
КМ-9-12
Подготовительный вариант
1. а) (-«>; -3] U (1; 3]; б) (-2; 4); в) (-~; -7] U [-5,5; -1] U	;
г) [2 - 710 ; 2 + 710 ] U {-2}. 2.3 дня; 5 дней. 3.2 км.
4. 26,4 страниц в час; 17,6 страниц в час.
Дидактические материалы
'	9 класс
Вариант 1
1. а) (-5; -4) U (0; 2) U (2; +-); б) (-»; -1) U (5; +~); в) [-2,5-
- 0,5753; 1] и [-2,5 + 0,5753; +=»); г) [3 - 710; 3 + 710 ] U
U {-1}. 2. За 120 ч; за 80 ч. 3. 4 км/ч. 4. За 15 ч; за 18 ч.
Вариант 2
1. а) [-2; 2) U [4; +~); б) -3) U {-1} U (1; +~); в) [-6; -4,5] U
и[0;	; г) [4 - 717; 4 + 717 ] U {-2}. 2. За 36 ч. 3. 20 км/ч.
4. 16 костюмов в час.
КМ-9-13
Подготовительный вариант
1. а = 13. 2. Е (f) = [-1; +~); если а = 0, то х е {-3; -1; 3}; если
а = -1, тох = -2; если а = 3, то хе {-4; 0). 3.	,
k е Z. 4. 11.5. 220 кг. 6. 57.
О
Вариант 1
1. а = 1. 2. Е (/) = [-1; +~); если а = 1, тох е ] -5; -х ; 5 [; если
О
а = -1, то х = -1. 3. - А +	< х <	, k е Z. 4. 18. 5. 56-й
1<5 1и	1О
пробы; 66-й пробы. 6. 83.
Вариант 2
1. а = 5. 2. Е (/) = (-о»; 1]; если а = 0, то х е {-2; 2; 4}; если а = 1,
то х = 3; если а = -3, то х е {1; 5}. 3.	< х < |	, k е Z.
4. 18. 5. 40 т; 160 т. 6. 83.
КМ-9-14
Подготовительный вариант
b	Q
1. 0. 2. --- . 3. 0. 4. а) а > 1; б) а > 0; в) а > 1. 5. Если а > -г
1-0	4
9	3	9
то решении нет; если а = 7 , то х = и = д; если а < -то
4	2	4
Дидактические материалы
91
Ответы
(1,5- 0,5 79 - 4а; 1,5 + 0,5 79 - 4а), (1,5 + 0,5 79 - 4а ;
1,5 - 0,5л/9 - 4а). 6. Если -1 < а < 1, то наибольшее значение
равно 3, а наименьшее значение равно а2 - 2а; если 1 < а < 3,
то они соответственно равны 3 и 0; если а > 3, то они соответ-
ственно равны а2 - 2а и 0.
Вариант 1
2
1. 0. 2.---—. 3. J2 tg (х + 7). 4. а) а > 6,25; б) а > 6;
а - 1	\ 4J
в) а > 6,25. 5. Если а < 2, то решений нет; если а = 2, то х = </ = 1;
. 6. Если -2 < а < 0, то наибольшее значение равно 4,
а наименьшее значение равно а2; если 0 < а < 2, то они соот-
ветственно равны 4 и 0; если а > 2, то они соответственно рав-
ны а2 и 0.
Вариант 2
1. 0. 2.	,	. 3. cos (х +	. 4. а) а < -9; б) а < 27;
О	с \	1 с,)
в) а < -9. 5. Если а <	, то решений нет; если а = -~ , то
fl 1\	1 fl + 71 + 4а -1 + 71 + 4а\
если а > то	j------J,
fl - 71 + 4а -1 - 71 + 4а\ „ „
I-----2-----» -----2-------I- Если а < “2, то наиболь-
шее значение равно 0, а наименьшее значение равно -а ; если
-2 < а < 0, то они соответственно равны 0 и -4; если 0 < а < 2,
то они соответственно равны -а2 и -4.
Дидактические материалы
9 класс
92
КМ-9-15
Подготовительный вариант
1. 30. 2. |; -2. 3. —| < х < 1. 4. cos а =	, ctg а = ^.
£>	D	1 <	о
5.	За 9 ч, за 18 ч. 6. Е (у) = [-8; 1]. 7. Корни различны при
7
а 6 (-о=; 4) U (4; 9) U (9; +<>»); а) -1; 6,5; 14; б) -6, Ц ; 6; 20; 25.
Вариант 1
. 24 „4 + 743 4-743 „	. ,	.	1 . . „
1-	YY - л. -з--; ---з--. 3. х < -1 или х >	. 4. sin 2а =
120
- igg • 5. За 12 ч; за 6 ч. 6. Е (у) = (-<х>; 4]. 7. Корни различны
при а е (-оо; 1) и (1; 4) U (4; +~); а) -2; 2,5; 7; б) 0,25; 2; 16; -2.
Вариант 2
1 Л QO о о 5 о 72	Л	12 х 12
1. —0,39. 2. 3; -х . 3. х < --г- или х > 0. 4. cos a =-rx ; ctg а = -=- •
О	D	АО	О
5. За 12 ч; за 8 ч. 6. Е (у) = [-3; 9]. 7. Корни различны при
а е (-о»; 1) и (1; 9) U (9; +«); а) -7; 5; 17; б) |; 3; 81; -3.
КМ-9-16
Подготовительный вариант
1. 73.2. 16 рабочих. 3. Е (у) = [-2; +~); если а < -2, то таких
точек нет; если а = -2, то одна точка; если -2 < а < 1, то две
точки; если а = 1, то три точки; если 1 < а < 2,5, то четыре точ-
ки; если а = 2,5, то три точки; если а > 2,5, то две точки.
4. хе (-оо;0)U[2;+<»).5. а= 100,6 = 20, с = 4.6. ае (-711; 1)U(1; 3).
Вариант 1
1. —2. 2.3 дня; 5 дней. 3. х е (-°°; 1) U (1; +оо); а)--;
б)уе f-2;-|).4. (0;4].5.t1 = 2,g = 2;tl-32,9= 5.6.
\	с* и О
Вариант 2
Л
1. -— . 2. 3 дня; 5 дней. 3. х е (-~; 2) U (2; +<*>); у е [0; 2]; у = 2.
4.[-|;о) U (0;+<х>). 5. Ы1 = А>д=|.Ы1,||.д=з 6 _1;0;1
10 класс
КМ-10-1
Тригонометрические функции
Подготовительный вариант
1.	Постройте график функции:
а) У = tg х • |ctg х|; б) у = 0,5 (sin х - sin |х|).
2.	Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°.
n t-t	sin2a + sin4a TT „	. „
3.	Пусть — ------— = q. Наити sin 2a.
cos2a - cos4a
4.	Найдите множество значений функции
у = 15 cos х - 8 sin х + 7
на промежутке (-1; 6].
5.	При каких значениях Ъ функция
у = -2cos х + у)
, 2л~1 „
возрастает на промежутке \Ь; Ъ + у I ?
Дидактические материалы
94
10 класс
Вариант 1
1.	Постройте график функции:
а) у = tg х |cos х|;	б) у = 0,5 (ctg х + ctg |х|)
2.	Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
cos 20° cos 40° cos 80°.
„ „ sin3a - sina TT „	„
3.	Пусть —---------- = p. Найдите cos 2a.
cos3a + cosa
4.	Найдите множество значений функции
у = 5 - 4 cos х + 3 sin х
на промежутке (-2; 7].
5.	При каких значениях а функция
с . (2 тел
у = -5 sin I - X + - I
возрастает на промежутке (а; а +	?
Вариант 2
1.	Постройте график функции:
а) у = ctg х • |sin х|; б) у = 0,5 (tg х - tg |х|).
2.	Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
tg 9° - tg 27° - tg 63° + tg 81°.
o „ cos5a + cosa TT -	• »
3.	Пусть —-----——— = q. Найдите sm 6a.
sina + sin 5a
4.	Найдите множество значений функции
у = 5 cos х - 12 sin х - 8
на промежутке [-5; 3).
5.	При каких значениях b функция у = 3 cos f5 - х
о
возрастает на промежутке (Ь - 5 ; &]?
О
Дидактические материалы
Контрольные работы
95
КМ-10-2
Обратные тригонометрические функции
Подготовительный вариант
1.	Найдите: a) sin (arccos ;
б)	arcsin2 (cos 92°); в) arctg (ctg "ур J •
2.	Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
3 , х 1
arctg z + arctg .
и	4
3.	Решите уравнение:
a)	arcsin (х2 - 5х + 1) = |;
б)	arcsin (4х3 - Зх2 - 1) = arcsin (х - 1);
в)	arctg 12х + arctg 5х = ^ .
4.	Решите неравенство:
a) arccos х > -5-; б) arcsin -g + arccos -g > 1;
d	X	X
в) 18 arctg2 х - Зл arctg х < л2.
5.	Постройте график функции у = arctg (tg х).
Вариант 1
1.	Найдите: a) cos (arcsin ;
2	( ЮТГЛ
б)	arcsin (cos 96°); в) arctg I ctg -у-I.
2.	Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
arctg g + arctg д .
Дидактические материалы
10 класс
96
3.	Решите уравнение: a) arcsin (х2 - Зх + 1) = g ;
б)	arccos (2х3 + Зх2 + 0,1)= arccos (х + 2х2 + 0,1);
в)	arctg 6х - arctg х = .
А Т"'*	\
4.	Решите неравенство: a) arccos х < - ;
«5
б)	arcsin - + arccos - < 2;
'	х	х
в)	4 arctg2 х + 5 л arctg х > -я2.
5.	Постройте график функции у = arccos (cos х).
Вариант 2
1.	Найдите: a) sin (arccos ygj;
б)	arccos2 (sin 102°); в) arctg (ctg j.
2.	Вычислите без таблиц и микрокалькулятора
arctg 2 - arctg |.
О
3.	Решите уравнение: a) arccos (х2 + 4х - 1) = ;
О
б)	arcsin (Зх3 - х2 + 1) = arcsin (2х +1);
в)	arctg Зх + arctg 2х = ^ .
4.	Решите неравенство: a) arcsin х > - ;
4	4
б)	arcsin — + arccos — >0,5;
х	х
в)	3 arctg2 х - 2л arctg х < л2.
5.	Постройте график функции у = arcsin (sin х).
Дидактические материалы
Контрольные работы
97
КМ-10-3
Тригонометрические уравнения
Подготовительный вариант
1.	Решите уравнение:
а)	8 cos х sin х (sin х - cos х) (cos х + sin х) = Уз ;
б)	7 sin х + 2 cos 2х - 5 = 0;
в)	4 ctg (х - 2) - tg (х - 2) =	;
г)	2 ctg Зх - 2 tg Зх - 4 tg 6х = 1;
д)	2 sin2 х - sin х cos х - 3 cos2 х = 0;
. .	2 2	„	2 . 2 1 п
е)	4 cos 2 cos - sin--1 = 0;
'	х	хх
ж)15 cos х - 8 sin x = 8,5;
.	2sinx - л/З „
з)	т------г = О.
2cosx + 1
2.	При каких значениях а уравнение cos х = а имеет
наибольшее количество корней на отрезке [-5;	?
3.	Найдите все такие значения Ь, при которых урав-
нение 4 sin Зх - 3 cos 6х = b не имеет корней.
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
a)	sin х cos х cos 2х = 0,125;
б)	5 sin Зх + cos 6х + 6 = 0;
в)	3 ctg x-2tgx = -T3;
г)	ctg - tg | - 2 tg х = 4;
,	О . 2 ЛХ _ . ЛХ ЛХ . п 2 ЛХ п
д) 3 sin -5— 5 sin — cos -х- + 2 cos -5- = 0;
z	z z	z
4 Зак. 594
Дидактические материалы
10 класс
98
е)	cos2 - — 3 cos - sin - +1 = 0;
X	XX
ж)	3 cos (х + 1) - 4 sin (х + 1) = 5;
. 2sinx + 1 n
з)	о-----/х=0-
2cosx - 73
2.	При каких значениях а уравнение sin х = а имеет
„	гп 17пЪ
наибольшее количество корней на отрезке g; -у г
3.	Найдите все такие значения Ь, при которых уравне-
ние 2 cos 2х - cos 4х = b имеет хотя бы один корень.
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
a)	(sin2 х — cos2 х)2 - 4 cos2 х sin2 х = -0,5 J2, ;
б)	3 cos 2х - 5 cos 4х + 8 = 0;
в)	2 ctg (х - 1) + 3 tg (х - 1) = 5;
г)	ctg 2х - tg 2х - 2 tg 4х = -4»/3 ;
д)	7 sin -g— 2 sin у cos — 9 cos у = 0;
v • 2 It . л	7t . 7t q «
e)	sm - + 3 cos - sin-2 = 0
7 x	xx
ж)	12 cos x - 5 sin x = -6,5;
. 2cosx + J2 n
3)	~p------ = U.
72 sin x + 1
2.	При каких значениях а уравнение cos x = а имеет
_	гл ПЯо
наибольшее количество корней на отрезке g; -у I
3.	Найдите все такие значения Ь, при которых урав-
нение 5 cos % - cos £ = b не имеет корней.
О	О
Дидактические материалы
Контрольные работы
КМ-10-4
Тригонометрические уравнения
Подготовительный вариант
1.	Решите уравнение:
a)	sin 2х + cos 2х + sin 6х = 0;
б)	sin = + sin х + sin -х- + sin 2х = 2;
Ct	Ct
\	(	5л>	. /Зп л \
в)	cos х - -х- = sin -г - 2х ;
\ б J \ 4 J
г)	tg Зх = tg х;
д)	4 cos Зх + 3cos х = 0;
е)	4 cos х + |cos х| = sin х;
ж)	cos 7 cos 7 cos х = |;
4	ct	о
з)	x2 + 2x cos (J (1 - 3x) ) + 1 = 0;
и)	cos 4x - sin x - 2 = 0;
к)	cos5 x + sin4 x = 1.
2.	Для каждого значения q решите уравнение
gsinx - 1	_ Q
cosx + sinx
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
a)	sin х + sin Зх + sin 5х = 0;
б)	cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 4х = 2;
в)	sin f Зх - 51 = cos (7 - ^1;
k 67	\4 37
г)	tg 5x = tg x;
д)	3 cos 3x + 2 cos x = 0;
100
Дидактические материалы
10 класс
е)	5 sin х + |sin х| = cos х;
ж)	cos х cos 2х cos 4х = |;
з)	х2 - 2х cos пх + 1 = 0;
и)	cos 5х - cos 2х + 2 = 0;
к)	COS X + sin X = 1.
2.	Для каждого значения q решите уравнение
gcosx - 1	_ q
cosx + sinx
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
a)	cos | + sin х + sin 2х = 0;
б)	sin2 х + cos2 Зх + sin2 5х + cos2 7х = 2;
в)	cos J2х +	= sin - у);
г)	ctg 7х = ctg х;
д)	5 sin Зх - 9 sin х = 0;
е)	8 cos х + |cos х| = 2 sin х;
X	1
ж)	cos 2 cos х cos 2х cos 4х = Yg ;
з)	х2 + 2х sin +1 = 0;
и)	sin 7х - cos 4х + 2 = 0;
к)	Jcosx + Vsinx = 1.
2.	Для каждого значения q решите уравнение
дsinx + 1 _ Q
cosx - sinx
Дидактические материалы
Контрольные работы
101
КМ-10-5
Тригонометрические неравенства
Подготовительный вариант
1.	Решите неравенство:
a) cos Зх > -0,5;	б) sin Г5х -	;
в) tg > 1;	г) cos - 73 sin	< УЗ .
у I О )	Ci	Ct
2.	При каких значения р определено выражение
7sin4p + sin2p ?
3.	Найдите все t, удовлетворяющие условию
tg t cos(Tti) < Q
л/йя2 + Ttt - t2
4.	Для каких значений а неравенство a cos х - 2 < 0
выполняется при всех значениях х?
Вариант 1
1.	Решите неравенство:
a) cos х < -0,5;
• (п ,	Л
б)	sin 2х + X > -5-;
в)	tg	< 1;	г) cos х + »/3 sin х > -1.
2.	При каких значениях р определено выражение
-/sin3p - sinP ?
3.	Найдите все t, удовлетворяющие условию
tg g sin nt
J2n2 - nt - t2
4.	Для каких значений а неравенство a cos х + 3 > 0
выполняется при всех значениях х?
102
Дидактические материалы
10 класс
Вариант 2
1.	Решите неравенство:
. . Тз	(X п\ , 1
a) sm х > —g-;	б) cos [2 ~ 4) < ~2’
в) tg f2x +	> -1;	г) УЗ cos х - sin х < 1.
2.	При каких значениях у определено выражение
л/cosy + cos3y?
3.	Найдите все t, удовлетворяющие условию
ctg nt COS t > Q
Vet - t2 - 5
4.	Для каких значений а неравенство a sin x - 3 < 0
выполняется при всех значениях х?
КМ-10-6
Многочлены
Подготовительный вариант
1.	Дан многочлен (2х2 - 7х + I)16 - (х9 + х2 - З)4.
Найдите:
а)	его степень;
б)	старший коэффициент и свободный член;
в)	сумму всех коэффициентов в каноническом раз-
ложении многочлена;
г)	сумму коэффициентов при четных степенях х.
2.	Произведите деление с остатком и представьте мно-
гочлены f (х) и р (х) как f (х) = р (х) q (х) + г (х),
если f (х) = -Зх5 - 4х4 + 24х3 - 15х2 + х - 2, р (х) =
= х2 + 2х - 7.
Дидактические материалы
Контрольные работы
103
3.	Остаток от деления многочлена Р (х) на 4х - 1 ра-
вен -2,5, а от деления на х + 2 равен -7. Найдите
остаток от деления этого многочлена на трехчлен
4х2 + 7х - 2.
4.	Найдите целые корни многочлена
х5 - 4х4 - 18х3 + 40х2 + 113х + 60.
5.	Найдите все рациональные корни многочлена:
а)	8х5 - 20х4 - 6х3 + 41х2 - 29х + 6;
б)	15х5 - 31х4 - 45х3 + 7х2 + 6х.
6.	Составьте многочлен с целыми коэффициентами,
имеющий корень V16 + V4 , и докажите, что чис-
ло V16 + 3</4 — иррациональное.
Вариант 1
1.	Дан многочлен (х2 - Зх + I)14 - (х5 + х - 2)3. Най-
дите:
а)	его степень;
б)	старший коэффициент и свободный член;
в)	сумму всех коэффициентов в каноническом раз-
ложении многочлена;
г)	сумму коэффициентов при четных степенях х.
2.	Произведите деление с остатком и представьте мно-
гочлены f (х) и р (х) как f (х) = р (х) q (х) + г (х), ес-
ли /(х) = 7х5 - Зх3 + 2х2 - 5х + 3,р (х) = х2 - х - 2.
3.	Остаток от деления многочлена Р (х) на 2х - 3 ра-
вен 5, а от деления на х + 6 равен 3. Найдите оста-
ток от деления этого многочлена на трехчлен
2х2 + 9х - 18.
4.	Найдите целые корни многочлена
х5 - 5х4 - 9х3 + 41х2 + 32х - 60.
104
Дидактические материалы
10 класс
5.	Найдите все рациональные корни многочлена:
а)	12х5 - 44х4 + 23х3 + 4х2 - Зх;
б)	12х5 + 44х4 + 23х3 - 4х2 - Зх.
6.	Составьте многочлен с целыми коэффициентами,
имеющий корень V3 + V9 , и докажите, что число
V3 + V9 — иррациональное.
Вариант 2
1.	Дан многочлен (4х3 - 5х + I)12 + (х7 - х - I)6. Най-
дите:
а)	его степень;
б)	старший коэффициент и свободный член;
в)	сумму всех коэффициентов в каноническом раз-
ложении многочлена;
г)	сумму коэффициентов при нечетных степенях х.
2.	Произведите деление с остатком и представьте мно-
гочлены f (х) и р (х) как f (х) = р (х) q (х) + г (х), ес-
ли /•(%) = -5х5 + Зх4 - 2х2 + 7х - 10, р(х) =
= х2 - Зх - 4.
3.	Остаток от деления многочлена Р (х) на х - 3 ра-
вен 4, а от деления на Зх + 1 равен -1. Найдите ос-
таток от деления этого многочлена на трехчлен
3х2-8х-3.
4.	Найдите целые корни многочлена
х6 - 9х5 + 31х4 - 51х3 + 40х2 - 12х.
5.	Найдите все рациональные корни многочлена:
а)	12х4 - 44х3 + 39х2 + 8х - 12;
б)	12х4 + 44х3 + 39х2 - 8х - 12.
6.	Составьте многочлен с целыми коэффициентами,
имеющий корень 3Т4 + 33</2 , и докажите, что чис-
ло V4 + З372 — иррациональное.
Дидактические материалы
Контрольные работы
105
КМ-10-7
Рациональные уравнения и неравенства
Подготовительный, вариант
Г- 5	2
1.	Пусть g(x)-(,-275)	.
х(х + 9,8)
Решите неравенство:
a) g (х) > 0; 6)g(x)<0; в)^(х)<0; r)g(x)>0.
2.	Решите уравнение х4 - 4х3 - 23х2 + 24х -3 = 0
способом разложения на множители (методом не-
определенных коэффициентов).
3.	Используя однородность, решите уравнение
(х2 + 2х)2 - (х + 2)(2х2 - х) - 6(2х - I)2 = 0.
4.	Произведя замену переменной, решите уравнение
х2 - 2х + 2 х2 - 4х + 2 _ „
2	*2
х - Зх + 2 х - 5х + 2
5. Решите неравенство х4 + 5х3 + 4х2 - 5х + 1 < 0.
Вариант 1
1.	Пусть g (X) - <» - 3НХ -ь 20)<х - ЛО). .
х(х + 8,3)
Решите неравенство:
a)£(x)>0; 6)g(x)<0; B)g(x)<0; r)g(x)>0.
2.	Решите уравнение х4 + 2х3 - 14х2 - Их - 2 = 0
способом разложения на множители (методом не-
определенных коэффициентов).
3.	Используя однородность, решите уравнение
(х2 - 5х - 4)2 - З(х3 - 5х2 - 4х) + 2х2 = 0.
Дидактические материалы
106
10 класс
4.	Произведя замену переменной, решите уравнение
4х Зх _
4х2 - 8х + 7	4х2 - 10х + 7
5.	Решите неравенство х4 + Зх3 - 6х2 - Зх + 1 > 0.
Вариант 2
1 rr	ч х2(х - 12)(х + П.З)13
1.	Пусть g(x)= —»--------------в~-
(х - ./23) (х + 8)
Решите неравенство:
а)Я(х)>0; 6)g(x)<0; в)£(х)<0; r)g(x)>0.
2.	Решите уравнение х4 + Зх3 - 13х2 - х + 2 = 0 спосо-
бом разложения на множители (методом неопреде-
ленных коэффициентов).
3.	Используя однородность, решите уравнение
(х2 + Зх - 2)2 - 2 (х3 + Зх2 - 2х) - Зх2 = 0.
4.	Произведя замену переменной, решите уравнение
х2 - 12х + 15 _____________4х
х2 - 6х + 15 х2 - 10х + 15 ’
5.	Решите неравенство х4 - 4х3 + х2 + 4х + 1 < 0.
КМ-10-8
Числовые функции
1.
Подготовительный вариант
Найдите область определения функции:
/П /з
a)f(x)=-^—
х - X - 2
8arccos т
б) £(х) = -yj--?---- + ctg(Ttx).
х - 2х + 1
Дидактические материалы	107
Контрольные работы
2.	Найдите множество значений функции:
а) у = -х2 + 5х - 3|х|;
б)	Л(х) =15 cos 5 - 8 sin х ; в) v(t) =-—--- .
9 я - 4 arcsin
3.	Найдите наименьший положительный период
функции у = 2 cos + 3 sin .
4.	Найдите промежутки монотонности, точки экс-
тремума и экстремумы функции:
a) s(t) = —5—----; б) у = 4 cos [ Зх -	- 1.
-t + 4t - 6	v
5.	Для функции у = -2х - |х| найдите обратную функ-
цию. Постройте их графики на одном и том же
чертеже.
6.	Найдите функцию, удовлетворяющую условию
ЗДх) - 2/^ = 4х - , и исследуйте ее на четность
и нечетность.
7.	Пусть q(x) = х2 + 4х - 3. Задайте аналитически
функцию, выражающую:
а)	расстояние от точки графика <?(х) до начала ко-
ординат;
б)	сумму расстояний от точки графика <?(х) до осей
координат;
в)	расстояние от точки графика q(x) до прямой
Зх - 4у - 1 = 0.
Вариант 1
1.	Найдите область определения функции:
5arccos =
б)	g(x) = -g-----з---- + tg (лх).
х + 2х + 1
108
Дидактические материалы
10 класс
2.	Найдите множество значений функции:
а) у = х2 - 14х + б|х|; б) Л(х) = 3 cos 5 + 4 sin ;
Ct	Ct
Зтс - 2 arccos 2t ’
3.	Найдите наименьший положительный период
функции у = 3 sin 24х + 5 cos 56х.
4.	Найдите промежутки монотонности, точки экс-
тремума и экстремумы функции:
a)s(f)=—----------; б) у = 2 cos - 2) +3.
-t + 8t - 18	V2 6'
5.	Для функции у = 5х + 2|х| найдите обратную функ-
цию. Постройте их графики на одном и том же
чертеже.
6.	Найдите функцию, удовлетворяющую условию
/(х) + 3/^ = 5х - |, и исследуйте ее на четность и
нечетность.
7.	Пусть q(x) = х2 - 2х - 1. Задайте аналитически
функцию, выражающую:
а)	расстояние от точки графика д(х) до начала ко-
ординат;
б)	сумму расстояний от точки графика д(х) до осей
координат;
в)	расстояние от точки графика <?(х) до прямой
Зх + 2у = 0.
Вариант 2
1.	Найдите область определения функции:
, ,, . *hx - х3
a)	f(x) = —-------;
х - 5х - 6
о • х
3 arcsin
б)	g(x) =	5--- + ctg Злх.
х - 2х + 1
Дидактические материалы
Контрольные работы
109
2.	Найдите множество значений функции:
а) у = -х2 - 10х + 6|х|;
б)	Л(х) = 5 cos 2х - 12 sin 2х;
в) о(«) =
2п
х
5 п - 3 arcsin ?
3. Найдите наименьший
положительный период
функции
у = 3 sin + 5 cos .
4.	Найдите промежутки монотонности, точки экс-
тремума и экстремумы функции:
a) s(i) =
8	.
t2 - 6t + 16 ’
б)	у = -3 cos
(2X-IJ-5.
5.	Для функции у = -7х + 3|х| найдите обратную
функцию. Постройте их графики на одном и том
же чертеже.
6.	Найдите функцию, удовлетворяющую условию
и исследуйте ее на четность и нечетность.
7.	Пусть q(x) = х2 + Зх - 2. Задайте аналитически
функцию, выражающую:
а)	расстояние от точки графика д(х) до начала ко-
ординат;
б)	сумму расстояний от точки графика q(x) до осей
координат;
в)	расстояние от точки графика q(x) до прямой
Зх + 2у = 0.
Дидактические материалы
110
10 класс
КМ-10-9
Числовые последовательности.
Предел функции на бесконечности
Подготовительный вариант
1.	Найдите предел последовательности:
. ..	4п2 + 11п - 720
a) lim ---------5---;
п->-~ 7п + п
б) lim
П —> 4-00
2 • 4П - 3 • 7П + \
8-5" + 7п
в) lim (Jn + 2 - Jn. + 1)(2 - cos n);
п —> 4-oo
r) (4-7 + 7 • 10 + - + (ЗП + 1)(3л + 4)) •
2.	Найдите предел функции:
ч ,.	6х2 - 13х + 1
a)	lim —5-------------;
2х - Зх + 225
б)	lim (л/х2 - 7х - 100 - х);
X —> 4-00
в)	lim (л/16х2 + 5х - 81 + 4х).
3.	Найдите наклонные асимптоты графика функции:
.	2х3 - Зх2 + 5х - 6
а)	у -----------------;
(х - 2)(х + 1)
б)	у = */4х2 - 12х + 64 + 2х.
4.	Дана последовательность ап = ——-. Укажите
5п + 2
какое-либо натуральное число п0 такое, что при
всех п > п0 выполняется неравенство:
а) |а„ - 0,8| < 0,001; б) |а„ + г - а„| < 0,001.
Дидактические материалы
Контрольные работы
111
5.	Известно, что последовательность ап I dj = 1,2;
an + ^A
ап + 1 =  2—~ J имеет предел. Найдите этот пре-
дел. Пользуясь микрокалькулятором, найдите мо-
дуль разности между полученным пределом и
третьим членом последовательности.
Вариант 1
1.	Найдите предел последовательности:
. Зп2 + п - 111
a) lim -------2--;
л 5п - п
в)	lim ((7n + 1 - 7n)sinn);
Л —* +оо
.	( 1 , 1 ,	.	1 А
г)	lim i—5 +	+ ... + —-----7ТТ--Т-77 •
„_>+.» kl'3 3-5	(2п - 1)(2п + 1)>
2.	Найдите предел функции:
а)
б)
7х2 - Зх + 1
lim. п	»
*-»- х - х + 110
lim (лДх2 - х - 1 - 2х);
в) lim (7х2 + х - 11 + х).
3.	Найдите наклонные асимптоты функции:
б)	у = 7х2 + х - 11 + х.
112
Дидактические материалы
10 класс
4.	Дана последовательность ап
Зп + 5
-----. Укажите
2п - 1
какое-либо натуральное число п0 такое, что при
всех п > п0 выполняется неравенство:
а) |а„ - 1,5| < 0,001; б) |а„ + j - а„| < 0,001.
5.	Известно, что последовательность ап = 1, ап + t=
имеет предел. Найдите этот предел.
Пользуясь микрокалькулятором, найдите модуль
разности между полученным пределом и четвертым
членом последовательности.
Вариант 2
1.	Найдите предел последовательности:
...	7 - 11п2 4- 21п	„ ..	7 • 5Л ~ 3 - 2 • Зл
a) lim -----;---------; б) lim -------------------— ;
п + 300	п-»+«> 5п _ зл + 1
в) lim ((7я2 + 1 - n) cos п);
п —> 4-00
г) lim
П —> +оо
о—с	с—о -Ь ... + -------------
2'5	5-8	(Зп - 1)(3п + 2)
2.	Найдите предел функции:
.	..	5х2 + 13х - 1
a)	hm ------=-----;
0,2х - х
б)	lim (^Эх2 + 12х - 91 - Зх);
X —> 4-00
в)	lim (7х2 - 6х - 1 + х).
х —>
3.	Найдите наклонные асимптоты функции:
2	—___________——
. -х + 7х + 3	/7 2	77	77	_
а)у=-------------; б)у= л/9х + 12х - 91 - Зх.
х - 4
Дидактические материалы
Контрольные работы
113
4. Дана последовательность ап =	* • Укажите
какое-либо натуральное число п0 такое, что при
всех п > п0 выполняется неравенство:
а) |а„ - 0,75| < 0,001; б) |а„ + j - а„| < 0,001.
5.
Известно, что последовательность ап
аг = 1,1,
, 2
а" + ^
_____
2
имеет предел. Найдите этот пре-
дел. Пользуясь микрокалькулятором, найдите мо-
дуль разности между полученным пределом и
третьим членом последовательности.
КМ-10-10
Предел и непрерывность
Подготовительный вариант
Найдите предел:
... х3 - 2х2 + 4
a) hm —--------------5- ;
x->-0,6 2х + arccos -g-
б)
г)
.. х3 - 5х - 2
hm -=----------»----------;
с->-2 х + Зх - 2х - 8
7х + 13 - 4.
х505 + 1
в) lim,^ooi---;
е)
lim
х —> 3
. cos2x - 1
Д) hm
х->0
lim
2я
c-> 3
2cosx + 1
. Зх
Sln 2
ж) lim
х->1
|5 - 4х| - |х|
х3 - 4х + 3
х - 3
2
2.
/(2 + fe) - Д2)
2
Пусть f(t) = -= . Найдите lim
h -♦ О
h
Дидактические материалы
114
10 класс
3.	Исследуйте на непрерывность функцию

——— при х < 3,
х + 1
Jx + 1 при х > 3.
4.	Найдите все такие а, для которых функция
У =
2х - 3 при х < а,
2
при х > а
непрерывна на множестве действительных чисел.
5.	Решите уравнение 7sin3x + sinx = Jcosx .
Вариант 1
1. Найдите предел:
а)
lim
х-»0,3
2х3 - 5х + 3
,п 2 ,	10х
10х + arccos -g—
х3 + 7х - 8
х5 - 2х3 + Зх - 2
7х + 12 - 4 .
х'Д’1 X - 4
б) lim
х-> 1
е)
lim
я
Х->6
1 - 2sinx ф
cos3x ’
...	1 - cos3x
д) lim ---------;
х->о х2
ж) lim |4« - 31 ~ 12 -	.
х->1 х3 + X - 2
2. Пусть /(t) = у . Найдите lim -- + hl—.
'	Л—>0	л
3. Исследуйте на непрерывность функцию
2х - 1
при х < 1
при х > 1
Дидактические материалы
Контрольные работы
115
4. Найдите все такие а, для которых функция
У = \
1
- при х < а,
Зх + 2 при х > а
5.
непрерывна на множестве действительных чисел.
Решите уравнение J sin 7 х - sin5x = -/sinx .
Вариант 2
1.
Найдите предел:
„	2х3 - х2 + 3
a) lim -----------------г- ;
х-» 0,4	+ arcsin —
4
б)
3 + 7х - 22
lim -j
*->2х - 2х - Зх - 10
2005 _
в) lim х721 - ;
х-> 1 X - 1
. .. Jx + 8 - 3
г) lim -----------
х-> 1 х - 1
1 - cos^
д) lim -----2---
х->0 х
е)
lim
ТС
Х->3
2cosx - 1
sin3x
ж) lim
х —> 1
|2х - 1| - |3х - 4|
х3 - 5х + 4
2. Пусть g(t) = Jt. Найдите lim +
Л —»0	"
3. Исследуйте на непрерывность функцию
У =
2х + 1
х - 1
при х < 2,
при х > 2.
4. Найдите все такие а, для которых функция
)5х - 2 при х < а,
4
- при х > а
непрерывна на множестве действительных чисел.
5. Решите уравнение -/cos3x + cos5x = J cos x .
Дидактические материалы
116
10 класс
КМ-10-11
Производная
и техника дифференцирования
Подготовительный вариант
1. Пользуясь определением, найдите производную
1
функции -= в точке х0 = 4.
2. Найдите производную функции:
а) у = х sin |;
б) у = х 3 Vx4 Vx 3>^
в) у = /1 + 5cos^ ;
N	э
д) У = Sin3 (2х3);
ж) у = л/cos 4х - 1 .
2
г)у =
е) у = arcsin
1 + X
2 ’
2 + Зх.
2 - Зх ’
о ГТ	(2х - 1)	„
3.	Пусть у —-------г . Решите неравенство:
(х + 1)
а) у' > 0; б) у’ > 0; в) у’ < 0; г) у’ < 0.
4.	Для каких значений а и Ъ функция
[1-х при х > 0,
У — л ч
[ х + ах + b при х < 0
а)	непрерывна в точке 0;
б)	дифференцируема в точке 0?
Вариант 1
1.	Пользуясь определением, найдите производную
функции у = 37х в точке х0 = -8.
Дидактические материалы
Контрольные работы
117
2.	Найдите производную функции:
а) у = x2sin 2х;
в)	у -	- 8sin|;
ff)y = tg‘ 2х;
ж) у = л/sin3Зх - 1 .
б) у = х ^x^x'Jx;
з
ч	х
г) у = ;—2 ’
1-х
.	1-х
е) у = arccos --;
’ *	1 + X
3.	Пусть у = (Зх - I)10 • (2х + 5)7. Решите неравенство:
а) у'> 0; б) у'> 0; в) у'< 0;	г)у'<0.
4.	Для каких значений а и b функция
_ J х3 + ах + Ъ при х < 0,
У [ 1 - 2х при х > 0
а)	непрерывна в точке 0;
б)	дифференцируема в точке 0?
Вариант 2
1. Пользуясь определением, найдите производную
1 л
функции у = — в точке х0 = - 1.
х
2. Найдите производную функции:
ч	з . х
а) у = х sin х ;
О
I
в) у = л/1 + 7 tg 2х ;
д) у = cos2 (Зх2);
б) у = х 1 • 7Jx2 57х 7^ ;
г) у =
е) у = arcsin
2
X
1
- х
3 ’
2х + 1 .
2х - 1 ’
ж) у = Jcos 5 - 1 •
Дидактические материалы
118
10 класс
о тт	(5х + 4) т>
3. Пусть у =-------g- . Решите неравенство:
(х - 3)
а) у' > 0; б) у' >0; в) у' < 0;	г)у'<0.
4. Для каких значений а и b функция
[ Зх + 1 при х < 0,
у = л о
I х + ах + b при х > О
а) непрерывна в точке 0; б) дифференцируема в
точке О?
КМ-10-12
Производная и ее применение
Подготовительный вариант
1.	Напишите уравнение всех касательных к графику
функции у = | х3 - Зх:
а)	в точке графика с абсциссой -4;
б)	проходящих через точку графика с абсциссой -4.
2.	Найдите критические точки и точки экстремума
функции:
а) у = х5(1 - 2х)6;	б) у =	;
в) у = sin 2х + 72 х.
Укажите вид точек экстремума.
3.	Найдите расстояние между линиями у = -х2 и
у = х + 1.
4.	Для каждого значения а е 6) найдите наиболь-
1 3
шее и наименьшее значения функции у = - х - Зх
на отрезке [а; 6].
Дидактические материалы	|	9
Контрольные работы
5.	Докажите, что
max (Зх5 - cos 4х + cos 6х) >
[-5:11]
> min (Зх5 - 2 sin х sin 5х).
[-6:13]
Вариант 1
1.	Напишите уравнение всех касательных графику
функции у = х3 - Зх:
а)	в точке ее графика с абсциссой 2;
б)	проходящих через точку ее графика с абсцис-
сой 2.
2.	Найдите критические точки и точки экстремума
функции:
2
а) у = х8(3х - I)5; б)у=—в) у = х + cos 2х.
Укажите вид точек экстремума.
2
3.	Найдите расстояние между линиями у = х и у =
= 2х - 6.
4.	Для каждого значения а е (-«=; 5) найдите наиболь-
шее и наименьшее значения функции у = х3 - 12х
на отрезке [а; 5].
5.	Докажите, что
max (х2 - cos 2х - cos 8х) >
[-4:8]
> min (х2 - 2 cos Зх cos 5х).
[-5:9]
Вариант 2
1.	Напишите уравнение всех касательных к графику
функции у = х3 - 12х:
а)	в точке ее графика с абсциссой -4;
б)	проходящих через точку ее графика с абсцис-
сой -4.
Дидактические материалы
120
10 класс
2.	Найдите критические точки и точки экстремума
функции:
з
а) у = х7(2 - Зх)4; б) у = —* - ; в) у = х 73 - sin 2х.
Укажите вид точек экстремума.
3.	Найдите расстояние между линиями у = -х2 и у =
= 4х + 21.
4.	Для каждого значения Ь е (-5; +~) найдите наиболь-
шее и наименьшее значения функции у = х3 - Зх
на отрезке [-5; &].
5.	Докажите, что
min (2х3 - sin Зх - sin 5х) <
(-3:12)
< max (2х3 - 2 sin 4х cos х).
[-1:91
КМ-10-13	I
Производные высших порядков.
Полное исследование функции
Подготовительный вариант
1.	Найдите n-ю производную функции в точке 0:
а) Дх) = | х4 - 74 - 6х, п = 2;
t3 t2 4 . 5t 1	„	_
6)Ф«)= ё "2 "i25SlnT + 81 C0S 3*’Л = 5;
. 1 1
в) у =----------, п = 4;
v х - 4 х + 5
.	1	с
г)у=	, п = 5.
х - Зх + 2
2	16
2. Исследуйте функцию Дх) = 2х - х - — и построй-
те ее график. Укажите все такие а, при которых
данная функция имеет хотя бы одну точку переги-
ба на промежутке [а - 4; а).
Дидактические материалы
Контрольные работы
121
3. Найдите множество значений функции
у = Jx - 1 + л/9 - х.
4. Докажите, что х = - 1 является единственным кор-
нем уравнения х3 + Зх2 + 6х + 5 + arctg х +	= 1.
Вариант 1
1.	Найдите п-ю производную функции в точке 0:
а)	Дх) = х2 - 2 J2x + 1 , п = 2;
б)	<p(t) = 3t4 - 5t - sin 4 + 2cos 5t, n = 5;
. 1 1 .
в)	у = ---------- , n = 4;
* x - 2 x + 1
.	3	c
г)	у = -5-----, n = 5.
x + X - 2
2	1
2. Исследуйте функцию Дх) = х - Зх - - и построй-
те ее график. Укажите все такие а, при которых
данная функция имеет хотя бы одну точку переги-
ба на промежутке [а; а + 3).
3. Найдите множество значений функции
у = л/3 - х + Jx - 1 .
4. Докажите, что х = 1 является единственным кор-
нем уравнения J17 - х - Зх3 + arccos х = 1.
Вариант 2
1. Найдите n-ю производную функции в точке 0:
а) Дх) = Зх3 - 71 - 4х , п = 2;
б) cp(t) = 3t2 - 5i3 - 7 sin ~ cos 5t, п = 4;
<5 ZD
Дидактические материалы
122
10 класс
л 1	1	о
В)У=7Т^-—’Л = 3 *’
г) у = -5---, п = 4.
X - 4х + 3
Х^“	А.
2.	Исследуйте функцию Дх) = -х- - 5х - - и построй-
с»	X
те ее график. Укажите все такие а, при которых
данная функция не имеет точек перегиба на про-
межутке (2 - а; 4 - а].
3.	Найдите множество значений функции
у = 74-х + 7х + 2 .
4.	Докажите, что х = -1 является единственным кор-
нем уравнения
5х5 + 3 373х -I- 11 + arcsin (1 + х) = 1.
КМ-10-14
Повторение
Подготовительный, вариант
1. Вычислите cost 0,5 arccos .
\	k 7J)
2. Найдите область определения и множество значе-
ний функции у =
sin3x
3. Многочлен Р(х) делится без остатка на х - 1, а при
делении на х2 - х - 2 дает в остатке 4х + 2. Найди-
те остаток от деления многочлена Р(х) на много-
член х3 - 2х2 - х + 2.
Дидактические материалы	123
Контрольные работы
4. Решите уравнение
cos (х2 - 2х + 2) - cos (х2 - 2х + 4) = 0.
5. Найдите критические точки, промежутки убыва-
ния, точки максимума и точки минимума функ-
ции у = (х - 6)(х + 3)4(х + 10)3.
Вариант 1
1.	Вычислите cos (0,5arccos (-0,125)).
2.	Найдите область определения и множество значе-
ний функции
_ _____sin3x___
1 - 2sin^g - 2х^
3.	Многочлен Р(х) делится без остатка на х + 1, а при
делении на х2 — Зх дает в остатке 7х — 1. Найдите
остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен
х3 - 2х2 - Зх.
4.	Решите уравнение
Зх , т	х гх . Зх /х . х
cos -g- + л/2 cos - = л/3 sin -g— л/2 sm -.
5.	Найдите критические точки, промежутки убыва-
ния, точки максимума и точки минимума функ-
ции у = (х - 9)х4(х + 7)3.
Вариант 2
1.	Вычислите sin (0,5 arcsin (-0,6)).
2.	Найдите область определения и множество значе-
ний функции
созЗх
cos
Дидактические материалы
124
20 класс
3.	Многочлен Q(x) делится без остатка на х - 2, а при
делении на х + х дает в остатке 2 - 4х. Найдите
остаток от деления многочлена Q(x) на многочлен
х3 - х2 - 2х.
4.	Решите уравнение
cos (х2 - х + 12) + sin (х2 - «/З х - 4) = 0.
5.	Найдите критические точки, промежутки возрас-
тания, точки максимума и точки минимума функ-
ции у = (х + 2)х3(х - 4)4.
КМ-10-15
Повторение. Итоговая работа (3—4 ч)
Подготовительный вариант
1. Решите уравнение 1 + 2|sin х| = а • cos 2х, если
один из его корней равен
5 л:
6 •
2.
3.
Решите неравенство arccos —-—
> arccos g.
Найдите уравнения всех общих касательных к
графикам функций г/ = х2-6х + 5и{/ = -х2.
4.	Исследуйте функцию у = 2х + 71-х и для каж-
дого d укажите число корней уравнения
2х + 71-х = d.
5.	Остаток от деления многочлена f(x) цд 2х2 + 5х - 3
равен 4х - 1. Найдите • Д-З),
з
6.	Исследуйте функцию у = ------и постройте ее
график.	1-х
Дидактические материалы	12S
Контрольные работы
Вариант 1
1.	Решите уравнение cos 4х + 3 cos2 х = а, если один
„ л
из его корней g .
„	2 - х 2л
2.	Решите неравенство arccos —-— < -g-.
3.	Найдите уравнение всех общих касательных к
графикам функций у = 4х2 и у = -х2 + 6х - 2.
4.	Исследуйте функцию у = 5х +	- х и для каж-
дого d укажите число корней уравнения
5х + 73 - х = d.
5.	Остаток от деления многочлена flx) на х2 + 4х - 5
равен Зх + 7. Найдите /(1) - /(-5).
з
6.	Исследуйте функцию у =	- и постройте ее гра-
фик.
Вариант 2
1.	Решите уравнение 2 cos 4х - 3 sin2 х = Ь, если
„ л
один из его корней g .
2.	Решите неравенство arcsin —-—	g .
3.	Найдите уравнения всех общих касательных к
2	2 о
графикам функций у = -9х и у = -х -8х.
4.	Исследуйте функцию у = Jx - 4 - 7х и для каж-
дого d укажите число корней уравнения
7х - 4 - 7х = d.
5.	Остаток от деления многочлена /(х) на х2 - 8х + 7
равен 5х + 3. Найдите /"(1) + Д7).
з
6.	Исследуйте функцию у =	+ х и постройте ее
график.
Ответы
КМ-10-1
Подготовительный вариант
2' ^-3-	4. [-10; 24]. 5.
1 + q	» о	Уб
k е Z.
Вариант 1
1 1 - 2
2' 8'3' 7	^2  4- [°! 10Ь 5-	+ 3nk < а <	+ 3nk, ke Z.
1 + р	°	О
Вариант 2
2- 4‘ 3‘ 7 ^~2 • 4‘ f-21: 51- 5- ~3л + 10л:А< а< + lOnk.ke Z.
1 + q	d
КМ-10-2
Подготовительный вариант
2
Г а) 17 : б) 8100 : в) ~^2 ’ 2‘ I • 3> а)	; б) 0; 1; в) .
;7з].
Дидактические материалы
Ответы
127
Вариант 1
а) I: б) Йб: в) "14: 2- 4 • 3-а) ;б) °; в) 2; з •
4. а) ; 1]; б) -1] и [1; + ~); в) [-1; +<*>).
Вариант 2
к а> 0 : б) Йб : В) “Й • 2- 3 • 8- а) 4±2^ ; б) 0; ; в) |.
4. a) Q ; 1] ; б) (-«; -2] и [2; +~); в) [--Уз ; +-).
КМ-10-3
Подготовительный вариант
1. а) (-1)* + 1 тл +	- k е Z’ б) Б + 2я*> (“ifarcsin | + лп; k,
п 4л/3 я	1	„ лЛ
п е Z-, в) g - arctg -у + лЛ, +nn;k,ne Z; г) arctg 8 + 12 ’
k е Z; д) - j + лй, arctg + лп; k, п е Z; е)	•
-----—-----; k, п е Z; ж) -arccos 7= ± х + 2лй, k е Z; з) 5 +
лп - arctg 3	11	6	о
+ 2лй, k е Z. 2. а е ; 1 j. 3. b е (-«»; -з| U (7; +~).
Вариант 1
1.	а) (-1)"	+ р п е Z; б) -^ + у, к е Z; в) + лк;
-arctg у + nl; k, I е Z; г) g + у , п е Z; д) g + 2лй;
2	2	4	1
- arctg 5 + 2л/; k, I е Z; е) —	, —т—„	.; k, I е Z;
л 6 3	л + 4лй arctg 2 + л/
ж) -arccos 1 — 1 + 2лй, k 6 Z; з) —g- + 2лш, т e Z. 2. а е ^у ; 1).
3. b е [-3; 1,5].
128
Дидактические материалы
10 класс
Вариант 2
1. а) ± 77 + тг , п е Z; б) х + лл, п е Z; в) 1 + j + ttk; 1 +
lo Z	Z	4
+ arctg 5 + Tim; k, m E Z; r)
О
5л
48
лл „ . it , 2лл
7,neZ;«)-g+T;
2	,9 2лт „ .	4	л
x arctg x 4—x— ; n, me Z; e)  --— ,----------------, n, me Z;
3	6 7	3’’	' ’ 1 + 4n arctg 2 + nm
2л	5	3л
ж) ± -x- - arcsin 75 + 2л/г, k e Z; з) ~r + 2л7П’ m 6 Z
О	10	Tt
2 •«[-=|4]-8-Н~!'5й)о<в‘+“>-
KM-10-4
Подготовительный вариант
. Л Ttk ,	„ , „,п + 1 It ЯЛ	, л лА л , 2nn
!• a) 4 + 2 ’ k e Z; 24 + 4 ,nE Z;6> 6 + 3 ’ 3 + 3 ’
7л	13	2тсп
k, n e Z; в) -75 + 2л/г, k e Z; 57 л + —5— , n e Z; г) лл, л e Z;
1Z	OD	о
д) x + Ttk, ± x arccos 5 4- лл; k, n e Z; e) arctg 5 + 2лА, k e Z;
Z	Z	о
„	„	, 8лЛ ,	„ ,	„	„ 4л
л + arctg 3 + 2лл, л е Z; ж) -у- , k * 7р, k е Z, р е Z; -д-
+	> л * 9q + 4, л е Z, q е Z; з) -1; 1; и) -5 + 2лй, k е Z;
У
к) 2л&, k е Z; х + 2лл, п е Z. 2. Если q е (-1; 1), то решений
Z
л	л
нет; если д = -1,тох = -х + 2л/г, k е Z; если q = 1, то х = х +
z	z
3 л
+ 2лЛ, k е Z; если q = -J2, то х = --j- + 2л/г, k е Z; если д = «/2,
то х =	+ 2nk, k 6 Z; если q е (-~; - J2 ) U (-J2 ; -1) U (1; J2) U
U (V2 ; +“), to x = (-1/arcsin + /гл, k e Z.
Дидактические материалы
Ответы
129
Вариант 1
1. а) у ,ne Z;6) j(l + 21);	(1 + 2k); I, k е Z; в) (5 + 24Л);
О	4	JLU	О ct
77; (11 + 24Z), k, I е Z; г) яп; 7 +	, n, т е Z; д) 5 + 7tZ;
±| arccos | + яЛ, I, k е Z; е) arctg | + 2nk; arctg + п(21 + 1),
k.leZ; x)^,neZ,n*7l,leZ; 71(1	, feе Z, fe*4+ 9р,
7t
p e Z; 3) -1; и) n + 2nl, I e Z; к) 5 + nk, k e Z; 2nn, n e Z.
Ct
2. Если q e (-1; 1), то решений нет; если q = -1, то x = n + 2nk,
k e Z; если q = 1, тох = 2nk, ke Z; если q = ~J2 , тох = — + 2nk,
k e Z; если g=y2,TOX=^+ 2nfe, k e Z; если q e (-<»; - J2 ) U
U (-72 ; -1) U (1; 72 ) U (J2 ; +~), tox = ±arccos | + 2nfe, ke Z.
Вариант 2
1. а) л + 2uk, k e Z; (-l)"f~) + ~¥~ , n e Z; 6)	, n e Z;
\ 97 о	°
в) -л +	• * e г) , k е Z, k # 61, I е Z; д) Ttk, k e Z;
8	5	о
12	9	7
±2 arccos g + nnt n e Z\ e) arctg + n 6	71 + arctg 2 +
+ 2nl, I g Z\ ж) -yy , n g Z, n Ф 15/n, m g Z;	, k g Z,
k * 17p + 8, p e Z; з) {-1; 1}; и) *(1 4fe), k e Z; к) + 2nk,
ke Z; 2itl, I e Z. 2. Если q e (-1; 1), то решений нет; если
q = -1, то x = ? + 2nk, k e Z; если q = 1, to x = -5 + 2nk,
Ct	Ci
k e Z; если q = J2 , to x = -j + 2nk, k e Z, если q = - J2 , to
5 Зак. 594
130
Дидактические материалы
10 класс
х- -^ + 2nk, ke Z; если q е -72 ) U (-72; -1) U (1; 72) U
U (72 ; +~), то х = (-1)" + 'arcsin | + пп, пе Z.
КМ-10-5
Подготовительный вариант
, „ 2к 2nk 2л , 2itk ,	_ л 2nk л
+— <Х<Т + —.^Z;6)-5 +— <х< jo +
+ ^,4е2;в)Й + 7nk^x< + 7лА, Л е Z; г)-£ + 4лЛ<х<
Э	JLZ	о	«>
< Зл + 4лЛ, ke Z. 2. лА < Р < х + itk,ke Z-, х + ли < Р <	+ лп,
о	О	О
и fit; 5) и f|; U fy; 21t). 4. а е (-2; 2).
Вариант 1
1. а) + 2лА < х < х? + 2nk, ke Z;6) -57 + nk < x < xx +nk,
О	О	^4	^4
k e Z; в) + ЗлА < x < xr + 3nk, k e Z; r) -5 + 2itk < x < л +
4	a	о
+ 2лЛ, k e Z. 2. 2лЛ < |3<	+ 2лА, ke Z\ + 2лл < p< л + 2лп,
ne Z; Ц + 2nZ < p <	+ 2л/, I e Z. 3. t e [-6; -5] U [-4; -л) U
4	4
U [-3; -2] U [-1; 1] U [2; 3]. 4. a e (-3; 3).
Вариант 2
1. a) -5 + 2лЛ < x <	+ 2л&, k e Z; 6) ^4^ + 4л! < x < —+ 4л1,
о	о	0	0
Itk ЭК	К Ttk	\	1 п t	Зк _
ZeZ;e)-z- - 7Г7<х<а+ V .^eZ;r)x 4- 2к/<х<	+ 2к/,
£»	О а	О	ct
leZ.2. +2лЬСу< j + 2лЛ, k е Z; +2я/Су<	+ 2п1<
Дидактические материалы
131
Ответы
(X: 2] U[2:2)U
I е Z; —г + 2лт < у < -5- + 2nm, me 2.3, te
4	А
и [1:3)и И; 4)и Г1; ¥1 •4-а е (-з; з)-
км-10-6
Подготовительный вариант
1. а) 36; б) -1; -80; в) 232 -1; г) 231 + 5 • 1015 - 41. 2. f(x) =
= р(х)(-Зх3 + 2х2 - х + 1) - 8х + 5. 3. 2х - 3. 4. -1; -3; 4; 5.
5. а) 1; I;	; 2; б) 0;	|; -1; 3. 6. х3 - 12х - 20 = 0.
а а	о Э
Вариант 1
65 I 514
1. а) 28; б) 1; 9; в) 1; г) 2	 2. f(x) = р(х)(7х3 + 7х2 +
4	23
+ 18х + 34) + (65х + 71). 3. тнх +	. 4. {1; -2; 3; 5}.
1 и	и
5. а) ] 0; |; 3; б) 1 0;	; -3; 5 к 6. х3 - 9х - 12 = 0.
о	о I	L	О
Вариант 2
1.	а) 42; б) 1; 2; в) 1; г) -2048. 2. f(x) = р(х)(-5х3 - 12х2 - 56х -
- 218) - (871х + 882). 3. 1,5х - 0,5. 4. {0; 2; 1; 3). 5. а) {-0,5; 5 ;
О
2	,
1,5; 2}; б) {-2; -1,5; -5 ; 0,5}. 6. t3 - 18t - 58 = 0.
О
КМ-10-7
Подготовительный вариант
1. а) (-10; -9,8) U (-9,8; 0) U (2 Тб ; 5) U (5; +»); б) (-«>; -10) U
U (0; 2 Тб ); в) (-~; -10] U (0; 2Тб ] U {5}; г) [-10; -9,8) U (-9,8; 0) U
U [276; +-). 2.	:	. з. -3 ± Л1; 1; 3. 4. 0;
Cl	Lt
2±J2.5.	(^Ь®;-1+72).
Дидактические материалы
132
10 класс
Вариант 1
1. а) (-20; -8,3) U (-8,3; 0) U (Ло ; +~); б) (-<»; -20) U (0; 3) U
U (3; ЛО ); в) (--; -20) U (0; Ло ]; г) [-20; -8,3) U (-8,3; 0) U
и{3}и[Л0;+-).2. ^Ц^;^^.3.3± ЛЗ;^^.
4. 0,5; 3,5. 5. (-«>; -2 - Л) U (1	; -2 + Л 1 U f1 ;
Вариант 2
1. а) (-11,3; -8) U (-8; 0) U (0; Лз ) U (12; +~); б) (-~; -11,3) U
U (ЛЗ ; 12); в) (-»; -11,3] U {0} U (Лз; 12]; г) [-11,3; -8) U
и (-8; ЛЗ)и[12;+~). 2.	; 1 - Л;	; 1 +
+ Л • 3. -2 - Л ; - Л ; -2 + Л ; Л • 4. 9 - Лб ; 3; 5; 9 + Лб .
Е (1 - Л з-Лз\,,г1 + Л З + Лзл
Ч-~ ; ------2---Н“~ ' --------2---)•
КМ-10-8
Подготовительный вариант
1. a) D(f) = (--; - Л ) U [0; 2) U (2; Л ]; б) D(g) = (-4; -3; -2;
-1; 0; 1; 2; 3; 4]. 2. а) Е(у) = (-<»; 1]; б) E(h) = [-17; 17];
Г 7	1
в) E(v) = уу; 1 . 3. 140п. 4. а) На (-«>; 2] убывает; на [2; +~)
О	1	«	Г71 2Kk
возрастает; 2 — точка минимума; -1 — минимум; б)на  -I—5— ;
[_О о
п 2Ttki t	Г я . 2я& п 2я/?п , „
- 4—о” , k g Z, убывает; на I -- + —г— ; Ч—— , k е Z, воз-
zoj	L00O0J
п 2пп ,
растает;	-I—5— (п е Z) — точка максимума, 3 — максимум;
О о
л	2пп ,
-z 4- —5— (п g Z) — точка минимума, -5 — минимум.
Z	о
Дидактические материалы
Ответы
133
1
5. у = 1 3
-х
X при X < О,	1	_ . . .
6. Дх) = 2х + - ; нечетная. 7. а) р(х) =
при х > О.
= Jx2 + (х2 + 4х - 3) ; б) р(х) = |х| + |х2 + 4х - 3|; в) р(х) =
_ 1и - 13* - 4*2!
5
Вариант 1
1. a) D(f) = [-76; -2) U (-2; О] U [Тб ; +~); б) D(g) = [-7; 7]\
Л 13 . _11 . 9 . _7 . 5 . 3 . 1 . 1 . з . 5 . 7 . 9 . 11 . 13 1
' I 2 . 2 > 2. g ’ 2’ 2 ’ 2’2’ ’2’2’2’2’ 2’ 2 ['
2. а) Е(у) = [-16; +-); б) Е(Л) = [-5; 5]; в) E(i>) = Г j ; б! . 3. j.
4. а) На (-«о; 4] убывает; на [4; +«>) возрастает; 4 — точка мини-
мума, -1,5 — минимум; б) на Л + 4nZ; + 4nZ^ , I е Z, — убы-
л
вает; на
~ + 4л/; 5 + 4лЯ, I е Z, — возрастает; х + 4лтп
3	«э J	о
3
(т е Z) — точка максимума; 5 — максимум;
7л
+ 4пп (n е Z) —
О
х при х < О,
1
х при х > 0.
2	2
+ (х - 2х - 1) ;
точка минимума; 1 — минимум. 5. у —
2
6. Дх) = -х + - ; нечетная. 7. а) р(х) =
б) р(х) = |х| + |х2 - 2х - 1|; в) р(х) = 12х2
Вариант 2
1. a)D(f) = (-«;-V7]u[0; Л]; D(g) =	{-12,
11}, k е Z. 2. а) Е(у) = (-«•; 64]; б) E(h) = [-13; 13]; в) E(v) =
134
Дидактические материалы
10 класс
4 4"1
13 ; у • 3. 252л. 4. а) На (-«>; 3] возрастает; на [3; +°°) убы-
8
вает; 3 — точка экстремума; ? — экстремум; б) возрастает на
ГЛ , 2я	,	Г2л , l 'Л , ,1 ,
6 + п/г; -g- + nk , k е Z; убывает на -g- + nk; -g- + nk , k e
e Z; x = ? + ^(keZ) — точки экстремума; -2 и -8 — экстре-
О Л
w/taa; 5. у
-^х при х < О,
-^хприх>0.
2
6. f(x)
нечетная
7. а) р(х) = Jx2 + (х2 + Зх - 2); б) р(х) - |х| + |х2 + Зх - 2|;
, , . |гх2 + 9х - 4|
в)р(х)-------ЛВ—
КМ-10-9
Подготовительный вариант
1	5
1. а) 4; б) -21; в) 0; г) . 2. а) 3; б) -3,5; в) -5.3. а) у = 2х - 1 —
1Z	о
двусторонняя асимптота; б) у - 4х - 3 — правосторонняя
асимптота; у = 3 — левосторонняя асимптота. 4. а) Например,
л0 = 4000; б) например, п0 = 500. 5. lim ап = Л ; |а3 - Л1 =
х —»°°
= 0,0373.
Вариант 1
1. а) -3; б) ; в) 0; г) 1 2. а) 7; б) - j ; в) - | . 3. а) у = х - 8 -
Ом	4	м
двусторонняя асимптота; б) у = 2х + х — правосторонняя
м
асимптота; у = -х — левосторонняя асимптота. 4. а) Например,
м
п0 = 4000; б) например, п0 = 200. 5. J3 ; |а4 - л/3 | = 0,000092.
Дидактические материалы
135
Ответы
Вариант 2
ЛлГ- '	•	\	i ’Л . t- . .К .
7	1
1.	а) -11; б) узд; в) 0; г) £ . 2. а) 25; б) 2; в) 3. 3. а) у = -х +
+ 3 — двусторонняя асимптота; б) у = 2 — правосторонняя
асимптота; у = -6х - 2 — левосторонняя асимптота. 4. а) На-
пример, п = 1О50; б) например, п = 1О50. 5. ?/2 ; |а3 - 3-/2 | =
= 0,044.
КМ-10-10
Подготовительный вариант
„ ,	1149	„ 505	.1	2«/з
а) 270 + 250л : 6) 3,5: В) 5001 : г) 8 ’ д) ~2; е> ~: ж) 5-
2.	. 3. Непрерывна на (-~; -1) U (-1; +~). 4. а = 2. 5. 5 + лл,
Y2 + 2 л/г,	+ 2пт;n,k,me Z.
Вариант 1
!• а) ; б) 5; в) ! И §; д) 4,5; е) ; ж) |. 2. -3.
3.	Непрерывна на (~~; 0) и (0; -Но). 4. а = -1. 5. лл, (-1)*	+ nk,
1о
z ,	б л	п 7 л
‘ уд + л/n, (-1у	+ пр, л, k, т,р е Z.
Вариант 2
1	2’712 « 19 . 2005 ч 1 ч 1 ч -УЗ , „	1
1 6 _ 2 ’ 6 53 : В) 721 : г) 6 : д) 50 : е) 3 : ж) 2’5, 2‘ 4 ’
6
3.	Непрерывна на (-оо; 1) и (1; +~). 4. а = — +	. 5. £ + лл,
э	2
+ 11 . „ , , 5л
- 1 о + 2лЛ, ± — + 2лтп, п, k, т е Z.
. _ .	Дидактические материалы
10 класс
КМ-10-11
Подготовительный вариант
sin^
,	1 n х • х . х х 131	81	,	5
1.	-- . 2. a) sin g + g cos * 1 б) --^-х	; в)------ ;
2 1 + 5cosJ
N	о
° ”2	12'S) "• еЛ  ** •’	'
ж) не существует. 3. а) -3,5) U (0,5; +°°); б) (-»=; -3,5] U
U [0,5; +<»); в) (-3,5; -1) U (-1; 0,5); г) [-3,5; -1) U (-1; 0,5].
4.	а) а е R, Ъ = 1; б) а = -1, 5 = 1.
Вариант 1
1	29	cosg
1.	J-? . 2. а) 2х sin 2х + 2x2cos 2х; б) 2 Jq^x 105 ; в)..—=
2 /1 - 8sin£
у	о
, Зх - х , 14 tg 2х	1
г) —-----2 ; Д> ----2----’ е> ----i—Г ’ ж> не сУЩествУет-
(х2 _ J) cos 2х (х + 1)л/х
3. а) -|) U (-| ; U Q ; +оо ) б) -|] U [| ; +=» )
В) f-t; бЬ г) [-Б : 11 и 4- а) а е R, Ь = 1; б) а = -2, b = 1.
\ о о/ L о °J
Вариант 2
х^ ( х	х \	47
1. 2. 2. а) -= 9 sin = + х cos z ; б)---== ;
3 1	3	3 )	70х 70^7
з
В) --2---/ 7		: ’ Г> Х( ч + Х 2 > д) -sin(6x2) • 6х:
cosz2x«/l + 7 tg2x (х3 - 1)
137
Дидактические материалы
Ответы
е)---------т= ; ж) не существует. 3. а) (-<«>; -0,8) U (-0,8; 3) U
(2х - l)J-x
«(»|  +->»<-•з| и Н  Ч ” (3; вД):г> (8; 6Д]и
U {-0,8}. 4. а) а е R, b = 1; б) а = 3, b = 1.
КМ-10-12
Подготовительный вариант
1.	а) у = Эх + 32; б) у - Эх + 32 и у = -4. 2. а) Критические точ-
л 5 i	5	ч 1
ки: 0; 22 ;	: точки экстремума: х = (максимум), х = -
4
(минимум); б) критические точки: 0; z ; 1 (точка разрыва); точ-
о
4
ки экстремума: х = 0 (максимум), х = - (минимум); в) крити-
О
, Зге	Зге
ческие точки: ±-=- + гея, k е И; точки экстремума: х = -х- +
о	о
3.
Зл
+ ren, п е Z (максимум), х = --х- + rem, т е Z (минимум).
О
3J2
—те— . 4. max у - 36 при любом а < 6; если а
8	(а;б)
-4 или 2 < а <
3
< 6, то min у = —— За; если -4 < а < 2, то min у - -4.
[а; 6]	4	[а;6]
Вариант 1
1- а) у = Эх - 16; б) у = Эх - 16 и у = 2. 2. а) Критические точки:
п 8	1	8
и; 39 ’ 3 ’ точки экстремума: х = 0 (максимум), х = (мини-
мум); б) критические точки: 0; -4; -2 (точка разрыва); точки экс-
тремума: х = -4 (максимум), х = 0 (минимум); в) критические
точки: (-1)" J2 + у, п е Z; точки экстремума: х =	+ к1,
5 л
I е Z (максимум), х = тге + reft, k е Z (минимум). 3. «/5 .
138
Дидактические материалы
10 класс
4. max у = 65 при любом а < 5; если а < -4 или 2 < а < 5, то
[а; 5]
min у = а3 - 12а; если -4 < а < 2, то min у — -16.
(а; 5]	[а: 5]
Вариант 2
1. а) у = 36х + 128; б) у = 36х + 128 и у = -16. 2. Критические
„ 2 14	14	2
точки: °; з : зз ; точки экстремума: х = 33 (максимум), х = у
(минимум); б) критические точки: 0; 3; 2 (точка разрыва); точки
экстремума: х = 3 (минимум); в) критические точки: ±ts + nk,
J. С»
k е Z-, точки экстремума: х = “j-j + лп, n е Z (максимум), х =
к	,—
= То + лп, п 6 Z (минимум). 3. 717. 4. Если Ь > -5, то
min у = -110; если -1 < Ь < 2, то max у = 2; если -5 < b < -1
[-5; ft]	[-5; 6]
или Ь > 2, то max у = Ь3 - 3d.
[-5; ft)
КМ-10-13
Подготовительный вариант
9	25	/1	1 \	1
1. а) — б) -у ; в) -24 — + -5 I; г) 118^. 2. а е (2; 6].
\ 4	5 /
3. Е(у) = = [2 72; 4].
Вариант 1
1. а) 4; б) - 3^25 : в> -24.75; г) -118,125. 2. а 6 (-2; 1]. 3. Е(у) =
= [72; 2].
Вариант 2
1. а) 4; б) 25; в) б|| ; г) 23	. 2. а е (-«; 0] U (2; +~). 3. Е(у) =
= [7б; 712].
Дидактические материалы
Ответы
139
КМ-10-14
Подготовительный вариант
1.	2. D(y) = Я\{я + 2яЛ; + 2яп; k, п е Z}; Е(у) =
V	о
= [-2 - 73 ; -3) U Г—3; fl. 3. Зх2 + х - 4. 4. 1 ±Jnk - 2 , k 6 N,
\ О J
k > 1.5. -ю;  №1 -3; Л755*;	~5 "У5*5! и
4	4 V	4 J
Го -5 + л/553“|
-о; ----; точка максимума -3; точки минимума
-5 ± 7553
4
Вариант 1
1.	. 2. D(y) = R\{x - nk, k e 2; x =	+ nl, I e Z}; E(y) =
**	о
,	271, „,,1 , , „ r „ 7 - 7553 „ 7 + 7553
+ 24fe); — (11 + 24Z); k, I g Z. 5. -7; -; 0; -j---;
(	7 - 7553-] rn 7 + 7553-1
i-°o; ------- и 0; -------- ; точка максимума 0; точки
7 - 7553 7 + 7553
минимума: -------; --------.
Вариант 2
1.	; 2. D(y) =Я\{-£ + яп, ne Z}; Е(у) = [-1; 3). 3. х2 - Зх +
+ 2 4 Л±7я(4(-1)-13> 1eN1^2 5 1^93; 0;
1 + 7193 . (-1-7193 1+7193-1 г.
----8----’ 4; ---8--’ -----8-- и 14; +°°)» точка макси-
1 + 7193	1 - 7193
мума-----з; точки минимума: -----z-------; 4.
о	о
Дидактические материалы
140
10 класс
КМ-10-15
Подготовительный вариант
1. ±| + Ttk, k е Z. 2.fg ; +«»). 3. у = -2х + 1; у = -4х + 4.
4. Если d < 2 или d = 2х , то один корень; если 2 < d < 2х , то
о	о
два корня; если d > 2 g , то нет корней. 5. -13.
Вариант 1
л	1	( 1\
1. ±д + л/г; ±g arccos I-- I + лгп; k, т е Z. 2. [1; 4). 3. у =
= 5,6х - 1,96; у = 4х - 1. 4. Если d > 15,05, то нет корней; если
15 < d < 15,05, то два корня; если d < 15 или d = 15,05, то один
корень. 5. 18.
Вариант 2
 (
arcsin --
71	\ о/
1. ±X + лп, ±---------=-----+ лгп; п, т е Z. 2.
О	Z
г 41
1; g . 3. у = -6х + 1;
27	27
у - -12х + 4. 4. Если d > - 27хх , то нет корней; если d = -27^
Zo	Zo
27
или d < -28, то один корень; если -28 < d < -27, то два кор-
Zo
ня. 5. 46.
11 класс
КМ-11-1
Логарифмы и их свойства.
Степенная, показательная
и логарифмическая функции
Подготовительный вариант
1.	Упростите выражение:
a) log64 7 • log49 6 • log676 4;
log272 _ ^212
' 1O&182 log8i2’
в) 4lo,'n - ll'08’*.
2.	Пусть 1g 50 = а. Найдите log20 250.
3.	Найдите область определения функции:
a)/(x) = (3x + l)'/2 - (2 — x)cos 2;
б)	g(x) = 21n (7 - х) + 1g (х2 -7)2.
4.	Найдите множество значений функции:
Дидактические материалы
142
11 класс
5.	Исследуйте на четность и нечетность функцию:
a) f(x) =
3+3
sin X
б) У =
------1------	' + (7 - 4х + 4x2)arctg х.
7 + 4х + 4х )
Вариант 1
1.	Упростите выражение:
a) log49 4 • log25 7 • log ^5 ;
log324 _ log3216
log723 log83
в) »*•’ - T**’.
2.	Пусть loge 18 = а. Найдите log12 54.
3.	Найдите область определения функции:
а)/(х) = (2х - 7)75 -(10-х)2"*;
б)	g(x) = 1g (8 - х) + In (х4 - З)2.
4.	Найдите множество значений функции:
1
1 _COS X
о
5.	Исследуйте на четность и нечетность функцию:
X
X	-X	,	V2 1
а) ftx) = е ~ е ;	б) I/=	.
'	’ COS X	’ У Ц + х)
Вариант 2
1.	Упростите выражение:
a) log0,5 5 • log3^_7 • log49 8;
Дидактические материалы
Контрольные работы
143
4.
log3135 log35	Iog35 10g32
О) i n i	n j	BJ Z*	D
lo&lsS l°?405^
2.	Пусть log15 45 = b. Найдите log75 1 35.
3.	Найдите область определения функции:
а)	Лх) = (21 - х)” - (х - 10)3 - 715 ;
б)	g(x) = 1g (5 - х2)4 + In (х - 2).
Найдите множество значений функции:
а)у=(0,5)х;	б)?(х)=£^
81
5. Исследуйте на четность и нечетность функцию:
а)Лх)=е-^;
/1	. 24arcsin х .	1
б)у = (1-х + х) +------------------
(1 + X + X )
КМ-11-2
Показательные уравнения и неравенства
Подготовительный, вариант
1.	Решите уравнение:
а)	32x* + х-2 =3 • *||-32х;
б)	7бх " 48 -Зл/бх ‘ 52 = 550;
в)	92х ’ ^х’ " 1 - 4 • 32х + 1 ' J*2 ' 1 +27 = 0;
г)	49х-5 • ЦХ ’2 + 4  72х-1 = 4 • ЦХ 2;
1
д)	4х • 3х" 1 =48;
Дидактические материалы
144
7 7 класс
е)	8х + 2 + 15х + 2= 17х'*’2;
ж)	4х + 7х = 16 + cos2 х.
2.	Решите неравенство:
а)	32х2 + X - 2 < g . 4J1 . д2х .
б)	7бх~48 - з7бх" 52 < 550;
В) 92Х-ЛГ^_4. 32х+1-ЛГТ7+27>0;
г)	(72 -1)х< 3-272;	д)(1 + 72)х> 3-272;
х2 - 7
е)	—----- <0;	ж) х • 3х < 18.
4х - 20
3.	При каких значениях параметра а уравнение
4х - (2а + 7)14х + 2а • 72х+1 = 0
имеет ровно один корень?
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
а)	22х2-5х" 1 =0,5 3742х;
б)	7зх ’ 54 - ?7зх ’ 58 = 162;
в)	4х +	~ 2 _ 5 . 2х ' 1 +	” 2 = 6;
г)	25х-1 - 92х~2 + 8 • 52х-3 = 4 • 92х"3;
д)	3х • 8х + 1 = 36;
е)	7х + 24х = 25х;
2	4
ж)	2х + 5х = 2 - tg2 х.
, Дидактические материалы
Контрольные работы
145
2.	Решите неравенство:
а)22х2-5х-1 > 0,5 3742ж;
б)	7з* ’ 54 - 7л/зх-58 < 162;
в)	4х +	" 2 - 5 • 2х " 1 +	" 2 > 6;
г)	(75 -2)ж>9-4л/5;
д)	(75 +2)ж< 9-475;
х2 - 2
е)	—--- <0;	ж) х • 2х > 8.
2 - 3
3.	При каких значениях параметра а уравнение
25х + 0,5 - (5а + 2)10х + а • 4ж + о,5 = О
имеет ровно два различных корня?
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
а)	22ж2 + 5ж - 1 =о,5 37(0,25)2ж ;
б)	7з46 " ж - ?7з42 -х = 162;
В) 4^ж2- 2"х- 5 . 2^2- 2-х'1 = 6;
г)81ж-52ж-4 • 92ж-1 = 4 • 52ж-1;
Д) 8х ’ 1 • 5"ж = 100; е) 12х + 5х = 13х;
ж) 3х + 1 + 5х = 4 - sin2 х.
2.	Решите неравенство:
а)	22ж2 + 5х - 1 <о,5 37(0,25)2ж ;
б)	7з46 ’ х - 7л/з42-х > 162;
л л f	Дидактические материалы
146 ------------ п класс---------------------
в)	4^ " 2-х- 5 • 2^2’ 2-х-1 < 6;
г)	(2- 73)х> 7-4Л;
д)(2+ ТЗ)Х<7-4ТЗ;
ч X2 - 3	„	чЗоХ^л/3
е) —-- >0;	ж) х • 3 >	.
3-5	6 * 8
3.	При каких значениях параметра а уравнение
2 • 9х - (2а + 3)6Х + За • 4х = 0
имеет ровно один корень?
КМ-11-3
Логарифмические уравнения и неравенства
Подготовительный вариант
1.	Решите уравнение:
a)	log2 (4 - х) + log2 (8 - х) - log2 (2 - х) = 4;
б)	log2 (4 - х)2 + log2 (8 - х)2 - log2 (2 - x)2 = 8;
в)	2x-log6 4x+1 = log6 (32x + 2 + 4x - 8) - 2;
r)	x‘°^x = 4x;
д) 31ogf x - 41og3 (2x - 1) • log3 x + log2 (2x - 1) = 0.
2.	Решите неравенство:
a) log2 (x - 3) < 1 - log2 (5 - x);
6) г~---log,3 > 1;
log3x
в) logx + 1 (x2-2x-1) >0;
r) log2(8x)-24 • logx 2 > 13;
д) |log5 (4x2 + 2x + 1)| + |29 - 5x| <
< |29 + log5 (4x2 + 2x + 1) - 5x|.
Дидактические материалы
Контрольные работы
147
3.	Для каждого значения параметра а решите урав-
нение
log6 (х2 - Зх + 3 - а) = log6 (х - а).
4.	Для каждого значения параметра Ь решите нера-
венство
log5 + logs ((* - 3)(b 7 X)) < 2.
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
a)	log4 (х + 2) + log4 (10 - х) = 2 + log4 х;
б)	log4 (х + 2)2 + log4 (10 - х)2 = 4 + log4 х2;
в)	2х - 1g (52ж + 4х - 16) = 1g 4х;
2 - V
г)	х =100;
Д) 31og2(2 - х) - 4 log3 (3 - 2х) • log3 (2 - х) +
+	log3 (3 - 2х) = 0.
2.	Решите неравенство:
a)	1g (х - 2) < 2 - 1g (27 - х);
б)	logx 10 + , *	> 1;
1 - 1g х
в)	logx-2 (х2 - 8х + 14) > 0;
г)	log2 (Зх + 1) • log05 (6х + 2) < -6;
Д) Uog3 (х2 - х + 1) + Зх + 7| >
>	|log3 (х2 - X + 1)1 + |3х + 7|.
3.	Для каждого значения параметра а решите урав-
нение
п
log2 (х - Зх - а) = log2 (5х - а).
<|4ф	Дидактические материалы
11 класс
4.	Для каждого значения параметра Ъ решите нера-
венство
log3 у—+ log3 ((2х - 5)(Ь - х)) < 4.
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
a)	log4 (7 - х) + log4 (5 + х) = 2 4- log4 (5 - х);
б)	log4 (7 - х)2 + log4 (5 + х)2 = 4 + log4 (5 - х)2;
в)	1g 6 - 1g (2х + 1) = х(1 - 1g 5);
д)	31og3(x + 1) - 4 log3 (2х + 1) • log3 (х + 1) +
+ log3(2x + 1) = 0.
2.	Решите неравенство:
a)	log0>1 (х2 + 1) < log0>1 (2х - 5);
б)	(1°£о,1х 10) ’ 0g2 х - 1g х - 4) > 1;
в)	logx _ j (х2 - 6х + 7) < 0;
г)	logx 9 - log3(3x) < -2;
д)	|log2 (х2 + х + 1) - Зх + 17| >
>	|log2 (х2 + х + 1)| + |17 - Зх|.
3.	Для каждого значения параметра а решите урав-
нение
log2 (х2 - х + а) = log2 (а - Зх).
4.	Для каждого значения параметра b решите нера-
венство
logs + log5 ((2х - Ь)(3 - х)) > 2.
о — X
Дидактические материалы
Контрольные работы
149
КМ-11-4
Иррациональные уравнения и неравенства
Подготовительный вариант
1.	Решите уравнение:
a)	J5x - 6 - Jx + 1 = 1;
в)	3Jx + 27 + 37х - 10 = 1;
г)	^2х + 2^2х - 1 + ^2х - 7 - J2x - 1 = 4;
д)	7х - 1 - 3Jx - 2 =1;
е)	л/4 - sin 6х + 710 • cos Зх = 0.
2.	Решите неравенство:
а)	лДх - Зх2 < 5 - х;
б)	(2х2 - 5х + 2) 73 - 2х > 0;
в)	72-х + 710 - Зх < 6;
г)	тгг 3sin х > 72 cos х;
Д) Ух + 6 + 6х + 14 > 3>
е)	372 + х - 5  372 - х > 4 • 674 - х2.
3.	На плоскости (а; Ь) укажите все такие точки N(a; b),
что уравнение 79а - 4х = УЗЬ -3-х имеет хо-
тя бы одно решение.
Вариант 1
1- Решите уравнение:
а) Тбх + 4 - 7х + 3 = 1;
Дидактические материалы
150
11 класс
/2х + 3
б) 5/------
\3х + 2
+ 25/3—+ 2 = 3
а/2х + 3
в)	З735 - х + 3Jx + 2 = 1;
г)	л/х + 9 + 2jx + 8 + 7х + 2 - 7х + 8 = 4;
д)	7х - 2 = 37х + 5 - 1;
е)	71 + 2sin 4х - Тб cos 2х = 0.
2.	Решите неравенство:
а)	79х - 20 < х;
б)	(х2 - 7х + 6) 72-х > 0;
в)	7х - 1 + 74х + 1 < 4;
г)	71-з cos х > sin х;
J2 - х + 4х^3 с „
е) 37б + х - 2 • 37б - х > 6725 - х2.
3.	На плоскости (а; Ь) укажите все такие точки М(а; Ь),
что уравнение 73а - х = Jx - b имеет хотя бы
одно решение.
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
а)	73х + 7 - 7х + 1 = 2;
б)	+ 3 • 7^-^ = 4;
N3 + х \ 5 - х
в)	37х + 34 - 37х - 3 = 1;
г)	*?8 - х + 2^1 — х + л/1 — — 77 —=х = 4;
Дидактические материалы
Контрольные работы
151
д)	7х + 4 = 3Jx + 3 + 1;
е)	71-3 sin 4х + Тб cos 2х = 0.
2.	Решите неравенство:
а)	Тзх - х1 2 < 4 - х;
б)	(х2 - 5х + 4) 73 - х > 0;
в)	71-х + 79 - 4х > 4;
г)	7Г - 2sin х > cos х;
, л/б + х + 5х + 2	,
д)	-------------- > 1;
е)	374 + х - 3 • 374 - х > 2 • 6716 - х2.
3.	На плоскости (а; Ь) укажите все такие точки М(а; Ь),
что уравнение 72а + х = Jb - 5х имеет хотя бы
одно решение.
КМ-11-5
Пределы, связанные с числом е.
Техника дифференцирования
Подготовительный, вариант
1-	Найдите предел:
a)	lim f х ~ 3	_ _4 \ х .
*->- Н128х + 3	х3 J
б)	lim f— ~ IV •
х->«. \4х + 1) ’
1
„ . 2 X
\ 1 •	2 s:n 5
в) lim (cos х) 2 .
Дидактические материалы
152
11 класс
2.	Найдите производную функции:
2	14
а) у(х) = Jx + 1 • ех ; б) z(t) = ln (5t* ~ 4);
в) f(y) = log4	1 ; г) у(х) = х* х.
WO и
3.	Найдите вторую производную функции
y=zJx- 21п2 х.
4.	При каких значениях k функция у = екх удовлет-
воряет условию 4у"' + 15у" + 8у' - Зу = О?
5.	Напишите уравнение касательной к графику
функции у = 2 • 4J1 - 2х + In (5х + 1) в точке его
пересечения с осью ординат.
6.	Найдите расстояние между линиями у = Jx + 1
и у = х + 2.
Вариант 1
1.	Найдите предел:
г
a) lim
X -»
8х - 3
27х + 2
б) lim
х —> ~
3
2х + Зу.
2х - 1) ’
ctg |
в) lim (1 + sin х)
х —»О
2.	Найдите производную функции:
1	,___	з
а) у(х) = Xs •	;	б) z(t) =	~ 3);
=	Dl/(x)=xC0S\
Дидактические материалы
Контрольные работы
153
3.	Найдите вторую производную функции
у = л/х - In2 х.
4.	При каких значениях k функция у = ekx удовлет-
воряет условию Зу'" - 10у" + 9у' - 2у = О?
5.	Напишите уравнение касательной к графику
функции у = 3 *78 - Зх + In (Зх + 1) в точке его пе-
ресечения с осью ординат.
6.	Найдите расстояние между линиями у = </Зх + 1
и у = | х + 10.
Вариант 2
1. Найдите предел:
32х + 7
х - 7
2
в) lim(l + tg2x)c,< 11
a) lim I 5
1 - 4х
2х
б) lim
2 + Зх\*
Зх - 77
£
2
2. Найдите производную функции:
а) у(х) = з/бх + 1 • ех°'3; б) z(t) =	-~5);
в) f(y) = log3 -sin3y . г) у{х) = xsin 2х
° cos у + 2	'
3. Найдите вторую производную функции
у = 5 * * * * *7х + In2 х.
4. При каких значениях k функция у = екх удовлет-
воряет условию 2у"' + 9у" - бу' - 5у = 0?
Дидактические материалы
154
П класс
5. Напишите уравнение касательной к графику
функции у = 5j4x - 32 - In (1 - 2х) в точке его пе-
ресечения с осью ординат.
6. Найдите расстояние между линиями у = 73х - 2
и у = 0,75х + 19.
КМ-11-6
Применение производной в задачах,
связанных с функциями
Подготовительный вариант
1. Найдите предел:
х2 3	х
a) lim	б) lim (sin 5  log, х);
х —»e-Jx	X ->+0
в) lim 1п (2 ~	;	г) lim (x)tgx.
5х - 2	х-»+о
2. Исследуйте функцию у = х2ех и постройте ее гра-
фик. (Определите D(y); промежутки непрерывнос-
ти, у', D(y'), критические точки, промежутки мо-
нотонности, точки экстремума, экстремумы, пове-
дение в точках разрыва и в бесконечностях,
асимптоты, выпуклость и точки перегиба, Е(у); ес-
ли возможно, то найдите корни функции.)
3. Используя результаты предыдущего задания, оп-
ределите:
а) для каждого значения а количество корней
2 х
уравнения хе = а;
б) сколько общих точек имеют парабола у = х2
и график функции у = е~х.
Дидактические материалы
Контрольные работы
155
4* Определите общее число точек графиков функций
<13/
logi,3 х и ^ioj ‘
Вариант 1
1.	Найдите предел:
2
a) lim ;	б) lim (sin 4х • log2 х);
х —> +©о g	х —> +0
в) нт Ь (5 - Зх).	г) Нт хзш зх
х2х + 3	х-»+о
2.	Исследуйте функцию у = (х + 2)2е~х и постройте ее
график. (Определите D(y), промежутки непрерыв-
ности, у', D(y'), критические точки, промежутки
монотонности, точки экстремума, экстремумы,
поведение в точках разрыва и в бесконечностях,
асимптоты, выпуклость и точки перегиба, Е(у); ес-
ли возможно, то найдите корни функции.)
3.	Используя результаты предыдущего задания, оп-
ределите:
а)	для каждого значения параметра а число кор-
ней уравнения (х + 2)2ё~х = а;
б)	сколько общих точек имеют парабола у = (х + 2)2
и график функции у = ех.
4.	Определите число общих точек графиков функций
1OS1,2 * И (I)’ .
Дидактические материалы
156
11 класс
Вариант 2
1. Найдите предел:
а)Д":.7д;
в)
Шп Ш (7-5х).
х —>	Зх — 4
б) lim (sin5 • log5 х);
х -> +0
X
sin -X
г) lim х
х —»+0
2.	Исследуйте функцию у = (х - I)2 • ех и постройте
ее график. (Определите D(y), промежутки непре-
рывности, у', D(y'), критические точки, промежут-
ки монотонности, точки экстремума, экстремумы,
поведение в точках разрыва и в бесконечностях,
асимптоты, выпуклость и точки перегиба, Е(у); ес-
ли возможно, то найдите корни функции.)
3.	Используя результаты предыдущего задания, оп-
ределите:
а)	для каждого значения параметра а число кор-
ней уравнения (х - 1)2ех = а;
б)	сколько общих точек имеют графики функций
х	1
у = е ну = -----2 •
(X - 1)
4.	Определите число общих точек графиков функций
logi.4 ХИ Ы .
КМ-11-7
Первообразная и интеграл
Подготовительный вариант
1.	Найдите первообразную функции Дх) на R, если
ftx) = (3 - х) • |х - 4| + Зх2.
Дидактические материалы
Контрольные работы
157
2.	Найдите:
f ^_4х_+Т2 dx;	б) J	;
й) J 547i	72 - 5х2
в) J х3 • 7бх4 + 1 dx; г) J х^4х + 3 dx ;
Д) [ ——Ъ dx>	е) Ictg (-2ж) dx-
’ J 1 + 4е2'
3.	На множестве R задана функция Дх) = 6х -2х-5.
Найдите корни той ее первообразной, график ко-
торой проходит через точку Af(l; -6).
4.	Является ли функция
F(x) = arccos
7i + х + 7i - х
2
первообразной для функции /(х) = —,	 на
271 - х
промежутке: а) (-1; 0); б) (0; 1)?
Вариант 1
1.	Найдите первообразную функции f(x) на R, если
f(x) = (5 - х) • |х + 2| + х2.
2.	Найдите:
a)j-
27х	7б - х2
в) J х  З73х2 + 1 dx; г) J х • J2x + 5 dx;
Д)1Т^—idx;	e)Jtg^dx.
Дидактические материалы
158
11 класс
3.	На множестве R задана функция f(x) = Зх2 - 2х - 9
Найдите корни той ее первообразной, график ко-
торой проходит через точку ЛГ(1; 0).
X I /i 2
4.	Является ли функция F(x) = arccos -------—~ х~
J2
первообразной для функции /(х) =	1 на про-
71 - х2
межутке: а) ; 1); б) ру;	?
Вариант 2
1. Найдите первообразную функции /(х) на R, если
/(х) = (2 - х) • |х - 3| - х2.
2. Найдите:	
а) Г	Зх + 3/2 dx, 3	з3Л	М-г—; J1 - Зх
в) J х2 • 72х3 - 1 dx;	г) Г ——j- dx;
д) jх • 73х - 1 dx;	е) J ctg (-5х) dx.
3. На множестве R задана функция /(х) = -Зх2 - 2х +
+ 16. Найдите корни той ее первообразной, график
которой проходит через точку М(-1; 0).
4. Является ли функция
тч / \	1 4- дг 4- а/1 — х
F(x) = arccos  ----5—-----
о
1
первообразной для функции /(х) = — - на
2 УГГ2
промежутке: а) (0; 1); б)(-1;1)?
Дидактические материалы
Контрольные работы
159
КМ-11-8
Определенный интеграл и его приложения
Подготовительный вариант
1.	Вычислите:
a)f	б) j (|х + 3| + |х - 6|) dx-,
О 725 - х4	-4
2.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линия-
ми:
а)	у = 4х2 + Зх и у = 1;
б)	у2 - х + 1 и х + у = 5;
в)	у = 2,5х2 - х - 4 и у = -1,5х2 + 2х + 3;
г)	у = 71 - 4х, касательной к графику этой
функции в его точке с абсциссой х0 = -6 и прямой
У=0;
д)	графиком функции у = х2 + 2х + 1 и графи-
ком ее первообразной, проведенным через точку
К(-2; 1).
3.	Найдите все такие значения параметра а, при ко-
торых выполняется условие:
4а
a)	J (х2 - 6х - 4) dx = -25=;
О
2а
б)	площадь, ограниченная линиями ух3 = 1; х = 1;
х = а; у = 0, вдвое больше, чем площадь, ограни-
ченная линиями ух3 = 4; х = 1; х =	; у = 0.
Дидактические материалы
11 класс
Вариант 1
1.	Вычислите:
J8	4
а)	б) j (|х + 2| + |х - 5|) dx;
1	л/Э - х	_з
2
ч г sin х ,
в) 1^—Т dx-
-2х + 1
2.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у = 2х2 - Зх и у = 5;
б)	у2 = х + 3 и 2у + х = 5;
в)	у = -1,5х2 - 9х - 7,5 и у = -х2 - 6х -5;
г)	графиком функции у = 71 - Зх, касательной к
нему в его точке с абсциссой х0 = -5 и прямой у = 0;
д)	графиком функции у = х2 + 6х + 9 и графиком ее
первообразной, проведенным через точку К(-4; 1).
3.	Найдите все такие значения параметра а, при ко-
торых выполняется условие:
За
а)	[ (х2 + х - 2) dx = 81;
о
а
б)	площадь, ограниченная линиями ух2 = 4, х = 2,
х = а и у = 0, вдвое больше, чем площадь, ограни-
ченная линиями ух2 = 4, х = 2, х = 3 и у = 0.
Вариант 2
1. Вычислите:
3Т5 2 .	1	'•
а)	/ Г *3 :	б) I + 3 41 + Iх - 2I) dx’
1	V9 - х	-5
3	3
в) f —£-----dx.
3cos х + 3
Дидактические материалы	i £ 1
------------ Контрольные работы
2	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)у = 2х2 + 3хиу = ~1;
б)	у2 = 3 - х и 2у - х = 5;
в)	у = -1,5х2 + 9х - 7,5 и у = -х2 + 6х - 5;
г)	графиком функции у — J2x - 1 , касательной к
нему в его точке с абсциссой х0 = 5 и прямой у = 0;
д)	графиком функции у = х2 - 4х + 4 и графиком ее
первообразной, проведенным через точку М(1; 1).
3. Найдите все такие значения параметра, при кото-
рых выполняется условие:
2а
a)	J (х2 - Зх - 1) dx = -3|;
а
б)	площадь, ограниченная линиями у J~x = 2, х = 1,
х = а и у = 0, вдвое меньше, чем площадь, ограни-
ченная линиями у Jx = 2,х = 1,х = 4иу = 0.
КМ-11-9
Алгебра комплексных чисел
Подготовительный вариант
1-	Представьте в алгебраической форме число
+(l + 2i)3.
2-	Пусть f(z) = -2z3 - 2z2 + 3z - 4. Вычислите
/(z0) + flz0), где z0 = 1 + 21.
3.	Найдите множество чисел	64 i.
6 Зак-. 594
Дидактические материалы
162
11 класс
4.	Решите на множестве комплексных чисел уравне-
ние 4z4 - 17z3 + 12z2 - 17z + 4 = 0.
5.	Решите систему уравнений
J 5х + (3 + i)y = 7 + 41,
| Six - 4у = 3 - 6г.
6.	Вычислите:
. . . .4 . .7 .	, .1999
a) i + i + i + ... + i ;
6)i-i4 + i7-i10+... + i1999;
в) i + 4i4 + 7i7 + ... + 1999г1"9.
Вариант 1
1.	Представьте в алгебраической форме число
7—7 + (2 - г)3.
2.	Пусть f(r) = -г3 + 4z2 - 5z - 1. Вычислите
Л-г0) + /(z0), где z0 = 1 + Зг.
3.	Найдите множество чисел 3J-8i .
4.	Решите на множестве комплексных чисел уравне-
ние 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + 9 = 0.
5.	Решите систему уравнений
J Зх - (2 + i)y = -7 - 5i,
[ ix - 5у = -7 + 15г.
6.	Вычислите:
ч . . .2 . .3 .	. .1997
а)г + г + г + ... + г ;
б)	i + 2г2 + Зг3 + ... + 1997г1"7.
Вариант 2
1.	Представьте в алгебраической форме число
+ (1 - 2г)3.
1 - I
Дидактические материалы
Контрольные работы
163
2.	Пусть f(z) = 2z3 - 3z2 - z + 3. Вычислите
f(z0) + ftz0), где z0 = 2 - i.
3.	Найдите множество чисел aj27i.
4.	Решите на множестве комплексных чисел уравне-
ние 2z4 - 7z3 + 9z2 - lz + 2 = 0.
5.	Решите систему уравнений
J 2х - (2 - Г)у = 4 - 6г,
| 4х - 21 • у = 16 - 41.
6.	Вычислите:
a)i-i2 + i3-? + ...-i1996 + t1997;
б)	i-2i2 + 3i3 - 4? + ... - 1996г1"6 + 1997г1"7.
КМ-11-10
Геометрическая интерпретация
комплексных чисел
Подготовительный вариант
1.	Отметьте на комплексной плоскости данное число,
укажите его модуль и аргумент:
а)-1+г;	б)-1 + 73г;
в)-8 +15г;	г)-256.
2.	Изобразите на комплексной плоскости все такие
числа г, для которых квадрат мнимой части равен
их действительной части.
3.	Изобразите на комплексной плоскости все такие
числа г, что |гг + 12 + 5г| = 4. В каких пределах из-
меняется модуль этих чисел?
4.	Среди чисел z таких, что |г  z + 5| = |z - 3 + 2г|,
найдите число г, удовлетворяющее условию:
a) Re z = —3;	б) arg z = ^;
в)	его модуль наименьший.
Дидактические материалы
164
77 класс
Вариант 1
1.	Отметьте на комплексной плоскости данное число,
укажите его модуль и аргумент:
а) 1 - г;	б) - 7з + i;
e)-3-4i;	r)-100573 • i.
2.	Изобразите на комплексной плоскости все такие
числа г, для которых квадрат действительной час-
ти равен их мнимой части.
3.	Изобразите на комплексной плоскости все такие
числа z, что \z + 3 - 4i| = 2. В каких пределах изме-
няется модуль этих чисел?
4.	Среди чисел z таких, что |г • z - 3| = |z - 2 - i|, най-
дите число г, удовлетворяющее условию:
a) Re z = 2;	б) arg z = — \
в) его модуль наименьший.
Вариант 2
1.	Отметьте на комплексной плоскости данное число,
укажите его модуль и аргумент:
а) - 1 - i;	б) 1 - 73 • I;
в)-12 + 5г;	г) 1023Т5 • г.
2.	Изобразите на комплексной плоскости все такие
числа z, для которых Re2 z + Im z = 0.
3.	Изобразите на комплексной плоскости все такие
числа z, что |гг - 3 - 4г| = 1. В каких пределах изме-
няется модуль этих чисел?
4.	Среди чисел z таких, что |z + 3| = |г + 2 - i|, найдите
число г, удовлетворяющее условию:
а) мнимая часть равна 4; б) arg z =	;
в) его модуль наименьший.
Дидактические материалы
Контрольные работы
165
КМ-11-11
Тригонометрическая форма
комплексного числа
Подготовительный вариант
1.	Запишите данное число в тригонометрической
форме:
а)-2л/2 +2T2i;
б)	-6(-sin 50° - i • cos 50°);
\	1 — cos а . п
в)	-----	- i, 0 < а < л.
VI + cos а
2.	Решите уравнение z7 = 128i и запишите ответ в
тригонометрической форме.
3.	Выразите cos 6а и sin 6а через тригонометриче-
ские функции угла а.
4.	Изобразите на комплексной плоскости все комп-
лексные числа, пятая степень которых является
действительным числом.
5.	Числа z комплексной плоскости соответствуют
точкам сторон треугольника с вершинами (0; 0);
(-3; 0); (0; -4). Изобразите на комплексной плос-
кости все числа гх, удовлетворяющие условию
= -iz - 5 - i.
Вариант 1
1.	Запишите данное число в тригонометрической
форме:
a)2T3-2i;	б) 2(sin 20° - i • cos 20°);
в) 1 - cos Р + isin Р при 2п < Р < Зл.
166
Дидактические материалы
11 класс
2.	Решите уравнение z° = -i и запишите ответ в три-
гонометрической форме.
3.	Выразите cos 5а и sin 5а через тригонометриче-
ские функции угла а.
4.	Изобразите на комплексной плоскости все комп-
лексные числа, куб которых является действи-
тельным числом.
5.	Числа г комплексной плоскости соответствуют
точкам сторон треугольника с вершинами (0; 0);
(2; 0); (0; 3). Изобразите на комплексной плоскос-
ти все числа zp удовлетворяющие условию
= 2iz + 4-L
Вариант 2
1.	Запишите данное число в тригонометрической
форме:
а)	-5 - 5i;
б)	-3(sin 67° - i • cos 67°);
в)	1 + cos [3 - ism p при it < P < 2л.
2.	Решите уравнение z9 = 512 и запишите ответ в
тригонометрической форме.
3.	Выразите cos 4а и sin 4а через тригонометриче-
ские функции угла а.
4.	Изобразите на комплексной плоскости все комп-
лексные числа, четвертая степень которых явля-
ется действительным числом.
5.	Числа z комплексной плоскости соответствуют
точкам сторон треугольника с вершинами (0; 0);
(-1; 0); (0; 2). Изобразите на комплексной плос-
кости все числа zlt удовлетворяющие условию
Zj = -3iz - 2 + i.
Дидактические материалы
Контрольные работы
167
КМ-11-12
Многочлены и функции
с несколькими переменными
Подготовительный вариант
з з
Х1 х2
1.	Пусть хг + х2 = р', Х\Х2 = q. Найдите — Ч—% •
Х2 *1
2.	Решите систему уравнений
*1 + х2 + х3 = 1,
< хгх2 + хгх3 + х2х3 = -8,
Х1Х2*3 = ~12-
3.	Докажите, что при всех действительных значени-
ях х, у, 2 многочлен
9х2 + 2у2 + 6z2 - 4ху - 4xz + Зг/2
принимает неотрицательные значения.
4.	Пусть F(x, у, г) = ех • cos пу - z2. Найдите:
а)	значение функции F в точке (0;	; 2);
О
б)	производную функции F по у;
в)	f F (х, у, 2) dz.
5.	Изобразите множество точек плоскости, удовлет-
воряющих условию:
4
а) ху < -2;	б) у > - ;
в) х2 + 6х > 2у - у2 - 6.
6.	Постройте график уравнения
У = 1 - \у ~ 8х3| - |8х3 - 1|
и среди множества его точек найдите точки с наи-
большей абсциссой.
Дидактические материалы
168
11 класс
Вариант 1
1.	Пусть Xj + х2 = а и XjX2 = b. Найдите
6 2.	26
*1*2 + х^х2.
2.	Решите систему уравнений
IXj + х2 + х3 = 1,
х1х2 + XjX3 + х2х3 = -5,
*1*2*3 = 3.
3.	Докажите, что при всех действительных значени-
ях х, у, г многочлен
8х2 + у2 + 1 lz2 + 4ху - 12xz - 5yz
принимает неотрицательные значения.
4.	Пусть F(x, у, г) — х2 - Зу • cos z. Найдите:
а)	значение функции F в точке (1; 2; 0);
б)	производную функции F по у;
в)	JF (х; у; 2) dz.
5.	Изобразите множество точек плоскости, удовлет-
воряющих условию:
а) ху < 2;
б)х>—
У
в) х2 + 4х > -у2 - 4у.
6. Постройте график уравнения
и среди множества его точек найдите точки с наи-
большей ординатой.
Дидактические материалы	169
------	Контрольные работы
Вариант 2
з з
Х1 х2
Пусть х^ 4~ х2 a, XjX3 Ь. Найдите g 4" g *
Х2 Х1
2.	Решите систему уравнений
Xj + х2 + х3 = 5,
- XjX2 + XjX3 + х2х3 = 8,
XiX2x3 = 4.
3.	Докажите, что при всех действительных значени-
ях х, у,zмногочлен
5х2 + 5у2 + 5z2 + бху - 8x2 - 8уг
принимает неотрицательные значения.
4.	Пусть F(x, у, г) = e”2xsin (я • у) - 3 Jz . Найдите:
а) значение функции F в точке (0; 1,5; 4);
б)	производную функции F по х;
в)	jF(x, у, г) dy.
5.	Изобразите множество точек плоскости, удовлет-
воряющих условию:
а) ху > -1;
6)j/< j;
в) х2 + 4х < -у2 + 4у + 8.
/
6.	Постройте график уравнения
У = 11/ ~ х3| + |х3 - 1| - |
и среди множества его точек найдите точки с на-
именьшей ординатой.
Дидактические материалы
170
1.
11 класс
КМ-11-13
Системы уравнений
Подготовительный вариант
Решите систему алгебраических уравнений:
а)
а - Ь + с = -6,
a - b - d = -12,
а + с - d = -7,
b - с + d = 8;
б)
<
в) I
Зх2 - ху - у2 = - 3,
х2 + Зхг/ + Зг/2 = 49;
Зг/2 - 2х2 - ху - 5г/ + 2 = 0,
X + у =1.
2.	Решите систему тригонометрических уравнений:
а) J cos х cos Зг/ - sin х sin Зг/ = 1,
[ cos х - cos 2у = 0;
б)	J 2cos у = cos х,
| 4 sin x + sin у = 3.
3.	Найдите все такие а, при которых система урав-
нений
log5 (х + а) = log5 у,
' 2х2 + у2 = 10
имеет непустое множество решений.
Вариант 1
Решите систему алгебраических уравнений:
а) I
х + г/ + / = 17,
х + у + v = -5,
х + t + v = 10,
у + t + и = 8;
б>
х2 + 4г/2 = 5,
2г/2 + ху = 3;
в) 2х2 - у2 + ху + Зг/а -2 = 0,
‘ х2 + г/2 = 1.
Дидактические материалы
Контрольные работы
171
2 Решите систему тригонометрических уравнений:
, j sin х  cos Зу - cos х  sin Зу = 1,
[ cos 2х + cos 8у = 0;
б) J sin у = 5 sin х,
[ 3 cos x + cos у = 2.
3. Найдите все такие значения а, при которых систе-
ма уравнений
log2 (Зх - а) = log2 у,
' х2 + Зу2 = 10
имеет непустое множество решений.
Вариант 2
1.	Решите систему алгебраических уравнений:
а)	xyt = 6,
xyv=-125,
' xtv = -4,
ytv = -9;
б)	x2 + 2y2 + xy = 37,
у2 + 2x2 + 2xy = 26;
в)	2x2 - y2 - xy - 3y - 2 = 0,
x - у =1.
2.	Решите систему тригонометрических уравнений:
a)	J sin х sin 5у - cos х cos 5у = 1,
[ sin Зх - sin 7у = 0;
б)	J cos у = 3 cos х,
( 5 sin х + sin у = 4.
3.	Найдите все такие значения а, при которых систе-
ма уравнений
log3 (а - 2х) = log3 у,
' 5х2 + у2 = 10
имеет непустое множество решений.
172
Дидактические материалы
11 класс
КМ-11-14
Комбинаторика и теория вероятностей
Подготовительный вариант
1.	Слово «компьютер» разрезали на буквы и полу-
ченные 9 букв разложили подряд в произвольном
порядке. Считая исходы равновероятными, най-
дите вероятность того, что:
а)	получилось слово «компьютер»;
б)	в полученном буквосочетании есть слово «метр»;
в) в полученном буквосочетании мягкий знак не
стоит после гласной.
2.	Среди 10 телевизоров имеются три бракованных.
Какова вероятность того, что:
а)	среди выбранных 4 телевизоров половина бра-
кованных;
б)	среди выбранных 5 телевизоров более 60% бра-
кованных;
в)	среди выбранных 7 телевизоров менее 10% бра-
кованных?
3.	Два шахматиста играют матч из семи результатив-
ных партий (ничьи не учитываются). Вероятность
выигрыша первого в отдельной партии 0,4, второ-
го 0,6. Найдите вероятность того, что матч закон-
чится со счетом 5 : 2 в пользу первого игрока.
4.	Среди юношей, учащихся в данном классе, шесть
блондинов, четыре шатена, три брюнета и один
рыжий. Какова вероятность того, что:
а)	два отсутствующих юноши блондины;
б)	цвет волос у всех троих юношей, победивших в
математической олимпиаде, различен?
5.	В белой урне лежат 3 красных, 5 желтых и 2 си-
них шара. В черной урне лежат 1 красный, 4 жел-
тых и 5 синих шаров. Из колоды карт извлекают
Дидактические материалы
Контрольные работы
173
любую карту и, если ее масть «черви», то из белой
урны вынимают один шар, а при другой масти
этот шар вынимают из черной урны. Какова веро-
ятность того, что:
а)	в результате этого опыта будет вынут желтый
шар;
б)	вынутый в результате этого опыта желтый шар
будет шаром из первой урны?
Вариант 1
1.	Шесть мальчиков — Дима, Коля, Сережа, Петя,
Витя и Федор — садятся в ряд на скамейку. Како-
ва вероятность того, что:
а)	Коля и Сережа окажутся рядом;
б)	Федор не будет сидеть с краю;
в)	Витя будет сидеть между Димой и Петей?
2.	Из класса, в котором 14 юношей и 6 девушек, вы-
бирают 8 учащихся. Какова вероятность того, что
среди них:
а)	ровно 5 девушек;
б)	менее чем 5 девушек;
в)	не более чем трое юношей?
3.	Вероятность попадания из орудия в цель равна
0,8. Известно, что орудие совершает три выстрела,
а цель уничтожается не менее чем при двух попа-
даниях. Какова вероятность уничтожения цели?
4.	В урне лежат 5 красных, 3 желтых и 2 черных ша-
ра. Найдите вероятность того, что из урны вынуты:
а) два красных шара;
б)	три шара разных цветов.
5.	На первом заводе выпускают 60% батареек дан-
ной фирмы, а остальные выпускают на втором за-
воде. Вероятность брака на первом заводе состав-
л	Дидактические материалы
11 класс
ляет 3%, на втором 4%. Найдите вероятность то-
го, что:
а) взятая наугад батарейка окажется бракованной;
б) эта бракованная батарейка выпущена на первом
заводе.
Вариант 2
1.	На книжной полке стоят шесть томов шеститомни-
ка А. С. Пушкина. Какова вероятность того, что:
а) тома стоят по порядку (в любом направлении);
б) пятый и третий тома стоят рядом;
в) третий том не стоит после шестого (справа от
него)?
2.	В наборе конфет 10 из них содержат начинку,
а 6 не содержат. Из набора выбирают 8 конфет.
Какова вероятность того, что среди них:
а) ровно половина конфет с начинкой;
б)	более пяти без начинки;
в)	не более чем две с начинкой?
3.	Какова вероятность того, что при пятикратном
бросании игральной кости более чем три раза вы-
падает 6 очков?
4.	В урне лежат 7 красных, 2 желтых и 3 черных ша-
ра. Найдите вероятность того, что из урны вынуты:
а) три красных шара;
б)	два шара разных цветов.
5.	Старшая дочь моет посуду пять раз в неделю. Ве-
роятность того, что она разобьет тарелку, состав-
ляет 5%. Младшая моет посуду в остальные дни.
Вероятность того, что она разобьет тарелку, равна
20%. Какова вероятность того, что:
а)	сегодня во время мытья посуды будет разбита
тарелка;
б)	эту тарелку разбила во время мытья младшая
сестра?
Дидактические материалы
Контрольные работы
175
КМ-11-15
Повторение (Уравнения и неравенства)
Подготовительный вариант
1.	Решите уравнение
л/12 cos2x - 4 sin 2х = </3 - 2 tg х.
Для каждого значения а укажите количество его
корней на отрезке [а; а + 2л:].
2.	Решите неравенство
logx + 3 (2х2 + Зх + 1) < 0.
X + 1
3.	Найдите все решения системы уравнений
g2 - 2х + g2x + У~2 _	- 1
7о,8 - ху = 7о,8 - х.
4.	Решите неравенство |х2 - х - 3| < |3х2 + 11г + 9|.
5.	Решите уравнение
х(1 + 7х2 + 2 ) + (х + 2)(1 + Jx2 + 4х + 6 ) = 0.
Вариант 1
1.	Решите уравнение
л/4 cos х - 6 sin х = 72 - 3 tg х.
Для каждого значения а укажите число корней
данного уравнения на отрезке [а- 2п; а].
2.	Решите неравенство
logx + j (2х2 - 5х + 3) < 0.
X - 1
3.	Найдите все решения системы уравнений
+ 1 । g*/ - 2 = 2 Y . gV + Зх — 3
л/зх2 + 0,1 + ху = Jx + 0,1 .
Дидактические материалы
176
11 класс
4.	Решите неравенство
|х2 - Зх - 1| < |3х2 + 5х + 1|.
5.	Решите уравнение
(2х + 1)(2 + 7(2х + I)2 + 3 ) +
+ Зх(2 + л/9х2 + 3 ) = 0.
Вариант 2
1.	Решите уравнение
л/4 sin х - 6 cos х = л/2 - 3 ctg х.
Для каждого значения а укажите число корней
данного уравнения на отрезке [а; а + 2л].
2.	Решите неравенство
log х (2х2 + 9х + 5) > О.
х + 2
3.	Найдите все решения системы уравнений
32-2х + 3</-2 = 4 . sy-2x-l^
л/2х2 + 0,5 - ху = л/0,5 - х.
4.	Решите неравенство
|3х2 + Зх - 5| < |-х2 - 12х + 5|.
5.	Решите уравнение
(Зх + 1)(3 + 7(3х + I)2 + 2 ) +
+ 2х(3 + Лх2 + 2 ) = 0.
Дидактические материалы
Контрольные работы
177
КМ-11-16
Повторение (Производная и первообразная)
Подготовительный вариант
3	4
,	х , т
1.	При каких значениях т функция у = у + — воз-
растает на отрезке [2; 7]?
2.	Найдите множество значений функции
у = cos Зх + 8 cos2 х.
3.	Найдите все действительные значения параметра Ь,
при которых совпадают множества значений
функций Дх) = х Jx + 1 и <?(х) = Зх4 - 4х3 + Ь.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями:
а) у = V8x + 3 ; у = УЗх ; у = 0;
6)xV = 81; |2х-17|=15.
1	2 т о
5.	Дана функция Дх) = (х - 2)(х - 5) . Найдите ту ее
первообразную, для которой прямая у = -4х + 4
является касательной. Определите экстремумы
этой первообразной.
Вариант 1
2
1.	При каких значениях т функция у = х + — воз-
растает на отрезке [3; 5]?
2.	Найдите множество значений функции
у = cos 4х + 4 cos 2х - 4 cos х.
yg	Дидактические материалы
11 класс
3.	Найдите все действительные значения параметра Ь,
при которых совпадают множества значений
функций f(x) = xln х и q(x) = Зх4 - 4х + Ь.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями:
а)	у = '1/Зх + 2 , у = J2x и у = 0;
б)	х3у2 = 9 и |х - 5| = 4.
5.	Дана функция Дх) = (1 - х)(х - 4)2. Найдите перво-
образную, для которой прямая у = 16х является
касательной. Определите экстремумы этой перво-
образной.
Вариант 2
1.	При каких значениях т функция у = х2 - убы-
вает на отрезке [-3; -1]?
2.	Найдите множество значений функции
у = cos 4х - 4 cos 2х - 12 sin х.
3.	Найдите все действительные значения параметра
а, при которых совпадают множества значений
функций Дх) = хе1 + х и q(x) = х4 - 4х + а.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями:
а)	у = V4x , у = 73х - 2 и у = 0;
б)	ху2 = 4 и |х - 2,5| = 1,5.
5.	Дана функция Дх) = (1 + х)(х + 4)2. Найдите ту ее
первообразную, для которой прямая у = 16х явля-
ется касательной. Определите экстремумы этой
первообразной.
Дидактические материалы
Контрольные работы
— 179
КМ-11-17
Повторение (Комплексные числа —
обобщающая контрольная работа)
Подготовительный вариант
1.	Найдите все комплексные числа, удовлетворяю-
щие условию |z| = 4i(z - 3).
2.	Составьте приведенное кубическое уравнение с дей-
ствительными коэффициентами, если 1 и 4 - 71 —
его корни.
3.	При каких действительных значениях а число
z =
1-1
! + является корнем уравнения
12z3 + 2а2 z2 + 3a2z - 4а + 16 = О?
Для каждого такого а решите данное уравнение.
4.	Комплексное число z таково, что \z + б| = У10 и
|z - 3i| = 5. Какие значения может принимать вы-
ражение \г + 6 - 3i|?
5.	Среди чисел z таких, что \z + 2 + i| < 1, найдите
число с наименьшим модулем.
Вариант 1
1.	Найдите все комплексные числа, удовлетворяю-
щие условию |z| = 2i(z + 1).
2.	Составьте приведенное кубическое уравнение с дей-
ствительными коэффициентами, если 3 и 2 - 5t —
его корни.
3.	При каких действительных значениях а число
1 + i
z = ---7 является корнем уравнения
2z3 - a2z2 + 2a2z - а - 2 = О?
Для каждого такого значения а решите данное
уравнение.
180
Дидактические материалы
11 класс
4.	Комплексное число z таково, что |z - б| = «/б и
|z + 2i| = 5. Какие значения может принимать вы-
ражение \г - 6 + 2i|?
5.	Среди чисел г таких, что |z - 3| = \г + 2z|, найдите
число с наименьшим модулем.
Вариант 2
1.	Найдите все комплексные числа, удовлетворяю-
щие условию |z| = i(2z - 1).
2.	Составьте приведенное кубическое уравнение с дей-
ствительными коэффициентами, если 2 и 3 + 21 —
его корни.
3.	При каких действительных значениях b число
1 - i
z — —— является корнем уравнения
2z3 + b2z2 + 2b2z - b + 2 = 0?
Для каждого такого значения Ъ решите данное
уравнение.
4.	Комплексное число z таково, что \z + 10| = Тбб и
\z - 2i| = л/13 . Какие значения может принимать
Im z?
5.	Среди чисел z таких, что |z - 1 - ijS | < 1, найдите
число с наименьшим положительным аргументом.
Ответы
КМ-11-1
Подготовительный вариант
1. а) 1; б) 3; в) 0. 2.	1. 3. а) Г-1; г]; б) -Л) U
и (-Л ; л) и (Л ; 7). 4. а) (1; +-); б) ; 1024] . 5. а) Не-
четная; б) четная.
Вариант 1
1. а) 1; б) 2; в) 0. 2. 2 ° ~ 1 . 3. а) [3,5; 10); б) (-~; -4Л ) U
о	3 - а
и (-4Л ; 4Л) и (-4Л ; 8). 4. а) (0; 1) U (1; +~); б) ; 32] .
5. Нечетная; б) четная.
Вариант 2
1. а) -4,5; б) 3; в) 0. 2. 26 "-J . 3. а) (10; 21]; б) (2; Л) U
3 — о
U ( Л ; +~). 4. а) (0; 1) U (1; +~); б) [тгк ; 2431. 5. а) Нечет-
ная; б) четная.
Дидактические материалы
182
11 класс
КМ-11-2
Подготовительный вариант
с	5	3
!• а) 1; ~ ; б) 56; в) 1;	; г) % ; д) {2; log4 12}; е) 0; ж) 0.
2. а) ; 1) ; б) (-«>; 56); в) (-==; -1] U [|; +») U {1}.; г) (2; +=о);
д) (-2; +оо); е) (-=»; - Jl) U (log4 20; Ji); ж) (-оо; 2). 3.	0] U
U
Вариант 1
19	3
1-	a) j 0; у }; б) 66; в) 1,5; г) ; д) 2; -log3 2 - 1; е) 2; ж) 0.
2.	а) (-оо; 0) U ^у;	; б) (-оо; 66); в) [1,5; +->); г) (-оо; 2);
д) (-оо; -2); е) (-«о; -Ji ) и (72 ; log2 3); ж) (2; +»о). 3. а е (о; U
/2 Л
U — ; I .
)
Вариант 2
19 1
1. а) 0; -у }; б) 34; в) -1,5; г) 1; д) -2; 1 + log5 2; е) 2; ж) 0.
2. а) у ; О); б) (-оо; 34); в) [-1,5; - Ji ] U [ Ji ; +оо); г) (-=о; 2);
д) (-о=; log3 +J-7 4 - 2); е) (-J3 ; log3 5) U (J3 ; +~); ж) +«=').
3
3.ae(-oo;0]U 2
Дидактические материалы
Ответы
183
КМ-11-3
Подготовительный вариант
1. а){-4; 0}; б) {-4; 0; 14 ± 7132}; в) 2; г) 4
д) 11;	Ч. 2. а) (3; 5); б) (1; 9); в) [1 - 73 ; 1 - Л) U
U [1 + л/з ; +~); г) Го; U Г|; 1| U [4; +~); д)	U
U |~0; -g-j . 3. Если а < 1, то х = 1 и х = 3; если 1 < а < 3, то х = 3;
если а > 3, то решений нет. 4. Если Ь < -2, то х е [-2; 3); если
-2 < Ъ < 3, то х е (&; 3); если Ь = 3, то решений нет; если 3 < b < 8,
то х е (3; Ь); если b > 8, то х е (3; 8].
Вариант 1
1. а) 2; б) {-10; 2; 12 ± 2 741}; в) 4; г) 100; д) 1;
U [1; +~). 3. Если а < 0, то
2. а) (2; 7) U (22; 27); б) (1; 10); в) [4 - 7з ; 4 - J2) U [4 + 73 ; +~);
Г) "Й
х = 0 и х = 8; если 0 < а < 40, то х = 8; если а > 40, то решений
5	/	5 А
; если -2 < д < 5 , то х е I а; - I;
нет. 4. Если Ь < -2, то х €
5	,	5
если а =	, то решении нет; если 5 <ач 7,тохе
Л	£
; если
Вариант 2
Г /Н _ з
1. а) 3; б) {3; 15; -7 ± 2751}; в) 1; г) {10; 0,1}; д) 0;	—
2. а) (2,5; +~); б) (0,1; 10) U (1000; +~); в) (1; 3 - 73 ) U (3 + Л ;
Дидактические материалы
184
11 класс
3+ 73); г) (0; U ; 1) U [3; +-); д) (-«; -1] и [О; у] .
3. Если а < -6, то решений нет; если -6 < а < 0, то х = -2; если
Ь>0, тох = Оих = -2. 4. Если b < 1, то х е Г- ! з)! если
1 < а < 11, то решений нет; если а > 11, то х е
д - 5А
2 J ’
3;
2
; в) [-2; 2]; г) 2nk < х < п + arcsin х + 2nk,
О
3
2
КМ-11 -4
Подготовительный вариант
1. а) 3; б) ±-^д-- или ±Щ ; в) {-54; 37}; г) 5; д) {1; 2; 10};
2+1	513
е) j	| arctg | +	; k, п 6 Z. 2. а) |^0;	;
6)	|
k е Z; д) [-6; -5] U (0; +~); е) I —-- ; 2*1.3. Все такие точки
I 5 + 1 -I
3
N(a; b) лежат выше прямой b = - а + 1 или на этой прямой.
Вариант 1
1. а) 1; б) |l;-g|; в) <62: -29>; г) Д) 3; е) | + nk-,
-0,5arctg 5 + пп; k, пе Z. 2. а) ; 4) U (5; +~); б) (-~; 1] U
U {2}; в) [1; 2]; г) + 2лп; 2п - arccos | + 2nnj , пе Z; д) (0; 1];
А 63
е) I уд ; 5 . 3. Все такие точки М(д; Ь) лежат правее прямой
b = За или на этой прямой.
Дидактические материалы
185
Ответы
Вариант 2
[	5 з® 1
1 а) -1; 3; б) 1; —------ ; в) {-61; 30}; г) -2; д) {-4; -3; 5}.
I 3 + 1J
е) + nk; 0,5arctg 5 + | + пп; k,neZ. 2. а) [0; 3]; б) (-«>; 1] U
[5 7L	А
-д- + 2пп; 2п + 2пп J , п е Z; д) [-5; -1] U
U (0- +оо); е) .	----— ; 41.3. Все такие точки М(а; Ь) лежат
( 3 + 1	-1
правее прямой Ь = -10а или на этой прямой.
КМ-11-5
Подготовительный вариант
1	-j	^2 /
1. а) 8; б) -р ; в) - . 2. а) у\х) = ех
Je е	V
6)zz(t) = -4
t
х cos Зу
sin 2 у - 1
1
2^х + 1
4	20<3	х
• in (5t4 - 4) + -----------; в)
t(51 - 4)
2 cos 2y  cos 3y + 3 sin 3y(sin (2y - 1)).
f(y) = гЧ х
1 In 4
г) у'(х) = X
In х
2
COS X
2o
cos 3y
2
9х
4(1 - In x)
2
4. k е  -3; -1; 7 •. 5.
4
у = 4х + 2. 6.
Вариант 1
1
1- а) 1,5; б) е2; в) е~5. 2. а) у'(х) = х5е 2х '
1
5х "
б)гЧ0=
2t - 3
t2
186
Дидактические материалы
11 класс
в) Л(У)=
-sin у (sin 5у + 2) + 5 cos 5у cos у
(sin 5у + 2)cos у In 2
COS
г)у'(х)=х
х( х
2 C0S 2
X
sin5l”xl , „	1	2 - 2 In х
2 З У	~
/
4. k е 5 ; 1; 2 . 5. у = х + 2. 6. 7.
о	4
Вариант. 2
1
1. а) |; б) е3; в) е4 * * * * 9. 2. у'(х) = ех
2
<37(6х + I)2
+ О,3х~0,7 х
х 3^71) ; 6) z'(t) =	+5)-ln(3t2 + 5); в) г(У) =
'	t (3t + 5)
3 cos 3y(cos у + 2) + sin 3y sin у
(cos у + 2) In 3 sin 3y : r) ^(x>
2xcos 2x In x +
 Sin 2x — 1 * n о //	4	1	rt 1	X
+ x	sin 2x. 3. у = -25	• —= + 2 • -----------------—
X • л/х	X
4. k e {-5; -0,5; 1}. 5. у = x - 2. 6. 14,8.
о V
KM-11-6
Подготовительный вариант
1. a) 0; 6) 0; в) 0; г) 1. 2. D(y) = R; функция всюду непрерывна;
у' - ех • х(х + 2); В(у') = R; критические точки: -2 и 0; на (-°°; -2]
и на [0; +°о) функция возрастает, на [-2; 0] убывает; точки экс-
4
тремума: -2 и 0; экстремумы: -х и 0; lim у = 0, lim у =
g	X —>	х—» +оо
= +°°; горизонтальная асимптота у = 0 при х —> —«», других
асимптот нет; на (-~; -(2 +	)] и на [-(2 - J2 ); +«=) выпукла
вниз, на [-(2 + 72 ); -(2 - J2 )] выпукла вверх; точки перегиба:
-(2 + л/2 ) и -(2 - 72 ); Е(у) = [0; +<*>); единственный нуль функ-
Дидактические материалы
187
Ответы
ции: х = 0. 3. а) Если а < 0, то корней нет; если а = 0 или а > —% ,
е
4	п 4
то один корень; если а =	, то два корня; если О < а <	, то
е	е
три корня; б) одну общую точку. 4. Две общие точки.
Вариант 1
1. а) 0; б) 0; в) 0; г) 1. 2. D(y) = R; функция всюду непрерывна;
у' = -е х • х(х + 2); £)(</') = К; критические точки: -2 и 0; на
(_«>; -2] и на [0; +=») функция убывает, на [-2; 0] возрастает;
точки экстремума: -2 и 0; экстремумы: 0 и 4; lim у = +°о,
х
lim у = 0; горизонтальная асимптота у = 0 при х —> +», дру-
X —* +°°
гих асимптот нет; на (-°°; - «/2 ] и на [ л/2 ; +“) выпукла вниз, на
[-J2 ; 72 ] выпукла вверх; точки перегиба: -«/2 и J2 ; Е(у) =
= [0; +«>); единственный нуль функции: х = -2. 3. а) Если
а < 0, то корней нет; если а = 0 или а > 4, то один корень; если
а = 4, то два корня; если 0 < а < 4, то три корня; б) три общие
точки. 4. Две общие точки.
Вариант 2
1. а) 0; б) 0; в) 0; г) 1. 2. D(y) = R; функция всюду непрерывна;
у' = ех • (х - 1)(х + 1); D(y') - R; критические точки: -1 и 1; на
(-оо; -1] и на [1; +оо) функция возрастает, на [-1; 1] убывает;
4
точки экстремума: -1 и 1; экстремумы: - и 0; lim у = 0,
е	х —> -=
lim у = +~; горизонтальная асимптота у = 0 при х —>
X —> +оо
других асимптот нет; на (-«>; -(1 + J2)] и на [-(1 - J2 ); +°°)
выпукла вниз, на [-(1 + J2 ); -(1 - J2 )] выпукла вверх; точ-
ки перегиба: -(1 + J2 ) и -(1 - 72 ); Е(у) = [0; +<*>); единствен-
ный нуль функции: х = -1. 3. а) Если а < 0, то корней нет; если
4	4
а = 0 или а > - , то один корень; если а = - , то два корня; если
е	е
4
0 < а < - , то три корня; б) три общие точки. 4. Две общие точки.
Дидактические материалы
188
11 класс
КМ-11-7
Подготовительный вариант
2 з 7 2	2
хх + q х - 12х + 26х + С при х > 4,
1-ад-	.	3	2.а)|хх
jx ~ 2х +12х + С при х < 4.
х V? _	+ с. б) ------1---- +
5-473	20х • 1/3	JSarcsinfx-
V 4 2)
в) (5х4 + 1) • 7бх4 + 1 + С; г) | (4х + 3) • ^4х + 3 + С;
д) | arctg (2 • ех) + С; е) In |sin (-2х)| + С. 3. -1;	; 2.
4.	а) Да; б) нет.
Вариант 1
1- Лх) =
2 з 3 2
-х ~ 2 х _ Юх + С при х < -2,
3 2	2
gX +10х + 22- + Сприх>-2.
2. а)
6х3Л
-	+ Л + С; 6) arcsin ± ♦ С; а) + '	* 1 +
+ с. г) (Зх - 5)(2х -а 5)75771 + с _ tall - 2.1 + с.
1о	2
е) -71n |cos + С. 3. —3; 1; 3. 4. а) Да; б) нет.
Вариант 2
1. F(x)= <
-|х2 + 6х+С	прих<3,
~ х3 + X х2 - 6х + 9 + С при х > 3.
«5	d
3 /	2
2. а) |х2- 37Г2 - |х • 37Г2 +	+ С; б) ^csin<^)
о	Э	Z
Дидактические материалы
Ответы
189
3	/ з
в) {-Х ~ У*— * + С; г) arctg е1 + С; д) (9х + 2)(3х -
_ 1) УЗх - 1 + С; е)-ln|S1” 5x1 + С. 3. -4; -1; 4. 4. а) Да; б) нет.
КМ-11-8
Подготовительный вариант
1. а) |; б) 55; в) 0. 2. а) 11|; б) 201; в) 131|; г) 10^ ; д) 2,25.
13 - ЗУ137	13 + ЗУ137	714
3. a) ^2	28	’	28	> б) сц 2 ’
J21
«2	6 ’
Вариант 1
9	7	111
1. a) j ; б) 50; в) 0. 2. а) 14^ ; б) 36; в) 5х ; г) 7х ; д) 2j .
4	О	«7	тс
3. а) а = 1; б) at = 6; а2 = 1,2.
Вариант 2
1. а) |(У2 -1); 6)37; в) 0. 2. а) ; б) 36; в) 51; г) 41; д) 2 J .
„ ч 1	13 ± 3л/137 „	1	„1
3. а) ах = 1; а2------; б) а, = j ; а2 = 2^ .
КМ-11-9
Подготовительный вариант
1. -8. 2. 54. 3. 4/; -2УЗ - 2i; 2 Уз - 2i. 4. 2 - Уз ; 2 + УЗ ;
----”------5~' • 5. х = 2 - /; j/ = 3/. 6. a) 1; б) -1; в) 1000 -
о	о
- 1002/.
Вариант 1
1- -14/. 2. -24. 3. УЗ - /; - УЗ - /; 2/. 4. 3; |; - | + ^ /;
О О	о
1 2У2
~ 3---д— /. 5. х = -3/; у = 2 - 3/. 6. а) /; б) 998 + 999/.
Дидактические материалы
190
11 класс
Вариант. 2
1. -12 +
1 - iJ3
КМ-11-10
;л. 3. 9 < |z| < 17.
Вариант. 1
Вариант 2
КМ-11-11
Подготовительный вариант
; 6) 6(cos 40'
1 sin 40°);
(-!)• г> -5-
1 + 173
---. 5. х = 3 - 1; у = 21. 6. a) i; б) -998 + 9991.
зТз + 31 . „ 1
2----• 4‘ 2: 2 ;
41. 2.-8. 3.-31; - ~2— 31
2лл
Зя
i sin
Подготовительный вариант
1. а) 72 ; -г ; б) 2;	; в) 17; arccos
4	о
3	Q 91
4. а) -3 - ?1; б) 1,5 + 1,51; в) -^ + ^1
1. а) 72 ; -- ; б) 2; jr ; в) 5; -arccos
11	19
3. 3 < |г| < 7. 4. а) 2 - 1,51; б) - = - ±1; в) - fl
о о	0	0
1. а) 72 ;	; б) 2; - 5 ; в) 13; л - arcsin Д; ; г) 102 • 37б ; 5 .
4	О	АО	Z
3. 4 < |z| < 6. 4. а) -6 + 41; б) таких чисел нет; в) - 1 - 1.
Дидактические материалы
Ответы
191
/ л 2пп^
+ ' sin V14 + 7
, п = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.	3. cos 6а =
= cos® а - 15 cos4 а sin2 а + 15 cos2 а sin4 а - sin® а; sin 6а =
= 2 cos а sin а(3 cos4 а - 10 cos2 а sin2 а + 3 sin4 а). 4. Пять
прямых (включая ось абсцисс), проходящих через начало ко-
ординат и таких, что угол между любыми двумя соседними
прямыми равен 36°. 5. Числа z1 соответствуют точкам сторон
треугольника с вершинами (-9; -1), (-5; -1), (-5; 2).
Вариант 1
С	4л ... 4л	7л . 7л
+ 181П ГТб): 2z = cos io + Isln Тб ’ 2з “ cos 10 + tsin Тб :
( л) , . . f я)	f 9лА	,	. . ( 9п\
2< = С08Ы + г31ПЫ:	25 =	cosrToJ	+	‘31ПГТб?
3. cos 5а = cos5 а - 10 cos3 а	sin2 а	+ 5 cos а	sin4	а; sin 5а =
= sin5 а - 10 sin3 а cos2 а +	5 sin а	cos4 а. 4.	у	=	0; у — хТз ;
У —	. 5. Числа Z] соответствуют точкам сторон треуголь-
ника с вершинами (-2; -1); (4; 3); (4; -1).
Вариант 2
1- а) 5,/2(cos	+ isin y): б) 3(cos 157° + isin 157°):
в)-2 cos if cos (п - i
+ isin
2л£ 2лЛ\
cos -g—h ism -g— I,
Дидактические материалы
192
11 класс
k е {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. 3. cos 4а = cos4 а - 6 cos2 а sin2 а +
+ sin4 а; sin 4 а = 4 cos3 а sin а - 4 cos а sin3 а. 4. Ось абсцисс;
ось ординат; прямые Im z = Re г, Im г = -Re г. 5. Числа гх со-
ответствуют точкам сторон треугольника с вершинами (-2; 1),
(4; 1), (-2; 4).
КМ-11-12
Подготовительный вариант
1.	(р4 - 5p2g + 5g2). 2. (2; -3; 2); (2; 2; -3); (-3; 2; 2). 4. а)-з|;
g	z
г3	/1 ч
б) -7texsin пу; в) zexcos пу - — + с(х, у). 6. Для точек j g; у I
, где
у G (-«; 1], абсцисса наибольшая.
Вариант 1
1. aV - 4a2d3 + 2Ь4. 2. (-1; -1; 3); (-1; 3; -1); (3; -1; -1). 4. а) -5;
б) -3 cos z; в) x2z - Зу sin z + с(х; у). 6. Для точек (х; 3), где х е
е [2; 3], ордината наибольшая.
Вариант 2
а4 — 4а25 + 2Ь%
1- ------ь-------• 2. (1; 2; 2); (2; 1; 2); (2; 2; 1). 4. а) -7;
б) -2е 2xsin пу; в)-—- е 2х - 3jzy + с(х; г). 6. Для точек
1
1
, где х е
, ордината наименьшая.
Дидактические материалы
193
Ответы
КМ-11-13
Подготовительный, вариант
1. а) а - -3; Ь = 4, с - 1, d = 5; б) (2; 3); (-2; -3); (2; -5); (-2; 5);
х =
В)(-1;О);(О;1);(1;О);[-А;1|),2. а)
-у(2А + Зп),
О
у (* - л);
k, п е Z-,
х - 2л(3п - 2k),
у = 2n(k - n); k’ п 6 Z’ б)
11
х = arcsin уг
Ct 1
19
у - arcsin
+ 2nk,
k, п е Z;
+ 2пп;
x = л - arcsin y| + 2лА,
k, n,eZ; <
. 19	„
у — л - arcsin + 2лп;
x = у + 2лА,
л
У = ~2 + 2лл;
k, п е Z.
3. а е (-Л; Лб ].
Вариант 1
1. а) (2; 0; 15; -7); б) (1; 1), (-1;
(J2 3-Л| (_J2 3j2\
I 2 ’ 4 Т’ ~J;
в) (1; 0), (-1; 0), (0; 1),	2. а)
х = 2л + л(8лг - Зп),
7t
У = 2 + л(2т - п);
m,n е Z;
х =	(8т +3п),
п	т, п е Z;
у= 7 (-2т + п);
б)
х = 2лл,
у = л + 2лт;
У =
п g Z. 3. а е [-J^p ; 3 Ло j .
7 Зак. 594
Дидактические материалы
194
11 класс
Вариант 2
15	6
2 ' 25’
б) (-5; 4), (5; -4), (1; 4), (-1; -4);
( 5 4а х = ~5 + I (-7m + 5n),
в) (1; 0), (-1; 0), I-2; х I . 2. а) <	*	zn.neZ;
к о о?	л л
\у = 4 + 4 (3m - п);
17л
22
л п1
у~ 22 + 11 :
k, I е Z;
х = - + 2л£,
Зл
k, I е Z.
у=~2
+ 2л/;
5л/	„ ,
- ур + 2лЛ
б) <
3.-2J2 <a<3V2.
КМ-11-14
Подготовительный вариант
2	2	9
112 С7  Сч	। о Сс
Г а) 9! : б) 504 : в) 3 ‘ 2‘ а) г4 : б) 0: в) 120 ’ 3’ 25 • 4- а) Z2" :
G10	с14
6-4-3 + 6-3-1 +6-4-1 +3-4-1 е чп^пс<гч5
б)---------------------------. 5. а) 0,425; б) .
It
С14
Вариант 1
, .215!	,	5!-2	4!-2 „
1- а) 6, ; б) 1 б! ; в) б . 2.
а)
• С?4
“Ze-’ б> 1
с20
с5 • с3 + с4
С820
С5
х 0,2. 4. а) —у-; б)
С6
’-'10
•с,
,6
- ; в)
с6 • с2 + с3 • с5
v6 Н4 + ь14 ь6
с8
'-'20
. 3. 0,83 +	 0,82 х
с! • Со • с\	Q
----5---- . 5. а) 0,034; б) .
Но
Дидактические материалы
Ответы
195
Вариант 2
. 2 дх 5! ' 2 X п Е О х 10 С6 «X С6 С10 х С10 С6
1. а) б! , б) б! , в) 0,5. 2. а) 8	; б) ; в)
С16	с1б	с1б
cl ci • ci + ci • ci + ci
4. а) 4- ; б) 2--Ц-2--2-
с1
сз
, 13 ЕХ 8
5. а) 140 ; б) 13 .
КМ-11-15
Подготовительный вариант
1. х = arctg g + лх; х = -д + 2лп; х = -у + 2лт; k, п, т е Z; если
а — один из корней уравнения, то на отрезке [а; а + 2л] — 5 ре-
шений, в противном случае — 4 решения. 2.	-3) U
3. (О; log3	; 1). 4. (-«о; -3 - 73) U (-| ; -3 + 73 ) U
U(-l;+oo). 5. х = -1.
Вариант 1
,2	л
1. х — arctg д + лА; х = —g + 2лл; k, п е Z; если а — один
из корней уравнения, то на отрезке [а - 2л; а] — 4 решения,
в противном случае— 3 решения. 2. (-<*>; -1) и ; gj.
3. (0; 4 - log2 15); (| ; oj . 4. (-оо; -2 - 73) U f-1 ; 73 - 2^ U
U (0; +оо). 5. — 1
О
Вариант 2
1	_ 5л	2
1ф х ~ g + гик; х — arcctg - + лл; k, п е Z; если а — один из
корней уравнения, то на отрезке [а; а + 2л] — 4 решения,
/	Q1\
в противном случае — 3 решения. 2. (-«о; -4]. 3. I 0; log3 — j ;
fl .	. ( 15 + 7385 „'i	f-15 + 7385 9A c 1
I2’2)’4' I---8---Л---------8---: 2р--5-
196
Дидактические материалы
11 класс
КМ-11-16
Подготовительный вариант
г 7	1	2	19
1- т е [-2; 2]. 2. [-J-; »] . 3. Ь - 1 -	. 4. a) Igg; б) 12.
1	з	11
5. Уб (х - 1)(х - 5) + С; -1 уд (минимум).
Вариант 1
1. т е [-3; 3]. 2. [-4,5; 9]. 3. b = 3^9 - | . 4. а) |; б) 8.
1	з 3
5. —- х(х - 4) ; 6 т (максимум).
4	4
Вариант 2
1. /п < 2. 2. Г-Ц^-3; 17-1.3.0-2.4. а) ; б) 8. 5.7 х(х + 4)3;
27
—— (минимум).
4
КМ-11-17
Подготовительный вариант
1	.г = 3- JIt. 2. х3 - 9х1 2 + 73х - 65 = 0. 3. а = 2; х{ = i, х2 = -г,
2	. 1	_ 2 л/5	. / Уб А
Х3--3.4. 1;5.5. — -2 + ^Т -1J.
Вариант 1
к
1. г = -1 - i. 2. х3 - 7х2 + 41х - 87 = 0. 3. а .= -1; х1 = -i;
1	15	5 .
х2 i; х3 — g . 4. 1; V13.5. 2	•
Вариант 2
1 /з
1. 2 = х —x-i. 2. х3 - 8х2 + 25х - 26 = 0. 3. b = 1, х, = -i; х2 = I;
2	6	1>з
1 , , , с з 7з.
х3 = ~2 • 4. -1; 4. 5. г = g +	•
ц. Тематическая подборка задач
выпускного экзамена
11 класс
1.	Вычисление и сравнение
иррациональных чисел
1.1.	Вычислите
log3 cos Q arccos (-|))) •
1.2.	Вычислите
1о£о,б (sin (j arccos (-|))) •
1.3.	Найдите наибольший отрицательный корень
уравнения sin Зх + cos х = 0.
1.4.	Найдите наименьший положительный корень
Уравнения sin х - cos Зх = 0.
1.5.	Докажите неравенство 4'^ > 5.
1.6.	Докажите неравенство 2^ <6.
1.7.	Не пользуясь микрокалькулятором, сравните
с нулем cos 8/х^ , где х0 — корень уравнения
log9 Iog3 = -log9 log3 10Jx .
Дидактические материалы
11 класс
198
1о«вй
1.8.	Решите уравнение х = 36. Не пользу-
ясь микрокалькулятором, сравните с нулем число
cos Vo , где а — произведение корней уравнения.
1.9.	Не пользуясь микрокалькулятором и таблица-
ми, сравните числа log4 3 и log3 2.
1.10.	Не пользуясь микрокалькулятором и табли-
цами, сравните числа log3 5 и log5 7.
1.11.	Решите неравенство
7-0,5х - 22х + 5 <
1 - 21 " х
Не пользуясь микрокалькулятором, определите,
удовлетворяет ли ему число -0,75.
1.12.	Решите неравенство
log^x х(9 • 23-2х-2х + 1)< 2.
Не пользуясь микрокалькулятором, определите,
удовлетворяет ли ему число 1,75.
1.13.	Сравните без таблиц и микрокалькулятора
числа log2 3 и 3j7 .
1.14.	Сравните без таблиц и микрокалькулятора
log
2.	Многочлены.
Алгебраические уравнения и системы
2.1.	Найдите общие точки графика функции у =
= х3 - 5х2 и прямой у + 7х-3 = 0. Есть ли среди них
точки касания?
Тематическая подборка задач
2.	Многочлены. Алгебраические уравнения и системы
2.2.	Найдите общие точки графика функции
у = х3 - Зх2 - 5
и прямой
У = 9х.
Есть ли среди них точки касания?
2.3.	Найдите все корни многочлена
х3 + 2ах2 - 5х - а - 9,
если остатки от его деления на двучлены х - 2 и х + 1
равны.
2.4.	Найдите все корни многочлена
х3 - Зх2 + ах - 2а + 6,
если остатки от его деления на двучлены х — 1 и х + 2
равны.
2.5.	Найдите все действительные решения системы
уравнений
х3 - у3 = 26,
. х2у - ху2 = 6.
2.6.	Найдите все действительные решения системы
уравнений
X2 + у2 =	,
-	х ~ У
(х + у)2(х - у) = 9.
2.7.	Найдите все общие точки графика функции
у = Зх - х3
и касательной, проведенной к этому графику через
точку N(0; 16).
2qq	Дидактические материалы
11 класс
2.8.	Найдите все общие точки графика функции
У = I х3 - 4х
О
и касательной, проведенной к этому графику через
точку М(0; 18).
2.9.	Одна из общих точек функции
у = 4х3- 15х2 + 12х + 4
и график^ ее первообразной имеет абсциссу 2. Найдите
абсциссы всех общих точек двух графиков.
2.10.	Одна из общих точек графика функции
у = 4х3 + Зх2 - бх - 5
и графика ее первообразной имеет абсциссу -1. Най-
дите абсциссы всех общих точек двух графиков.
2.11.	Многочлен /(х) при делении на многочлен
х3 + х2 - 10х + 8
дает в остатке
х2 - х + 1.
Найдите значение выражения
Л1) • Л2)-Л-4).
2.12.	Многочлен /(х) при делении на многочлен
х3 - 7х2 + 7х+ 15
дает в остатке
х2-8х+ 14.
Найдите значение выражения
ЛЗ) • /(5) - Д-1).
Тематическая подборка задач
3.	Тригонометрические уравнения и системы
3.	Тригонометрические
уравнения и системы
3.1.	Решите уравнение 4 cos Зх + 3 cos х = 0.
3.2.	Решите уравнение 5 sin Зх - 6 sin х = 0.
3.3.	Решите уравнение
sin2 х + sin2 2х + sin2 Зх = 1,5.
3.4.	Решите уравнение
cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх = 1,5.
3.5.	Найдите все решения уравнения
71 + cos х - 72 = Тб sin ,
Х 1\
удовлетворяющие условию cos « ч 0.
3.6.	Найдите все решения уравнения
71 - cos 2х + 2 cos х = 1,
удовлетворяющие условию sin х < 0.
3.7.	Найдите наибольший отрицательный корень
уравнения
sin Зх + cos х = 0.
3.8.	Найдите наименьший положительный корень
уравнения
sin х - cos Зх = 0.
3.9.	Найдите все решения уравнения
sin2 Зх + sin2 5х = 2 sin2 4х,
для которых определено выражение tg 12х + ].
\	о 7
-ь	Дидактические материалы
W	11 класс
3.10.	Найдите все решения уравнения
cos2 4х - 2 cos2 5х + cos2 6х = 0,
для которых определено выражение ctg (2х +	.
3.11.	Решите уравнение Vcos2f - 3sin2< = cos t.
3.12.	Решите уравнение 75sin2u - cos2u = sin и.
3.13.	Решите уравнение 4|cos х| + 3 = b cos 2x, если
„ 2л
один из его корней равен -х-.
О
3.14.	Решите уравнение 1 + 2|sin х| = a cos 2х, если
„ 5л
один из его корней равен .
3.15.	Решите уравнение
/8*+,с‘ех - Jctgf-tgf.
Ct	1	Ct	Ct
3.16.	Решите уравнение
7cos3x - sinx = 7sin3x - cosx.
3.17.	Решите систему уравнений
sin x + sin у = 1,
I i 271
3.18.	Решите систему уравнений
cos x + cos у = - л/3 ,
Ix + jH-
203
Тематическая подборка задач
3.	Тригонометрические уравнения и системы
3.19.	Решите уравнение ctg 2х • cos 5х + sin х = 0.
3.20.	Решите уравнение sin lx ctg 2х = cos Зх.
3,21.	Решите уравнение cos х + cos Зх = |sin 2х|.
3.22.	Решите уравнение sin х - sin Зх = |cos 2х|.
3.23.	Решите уравнение
71 - cosx + /с<
3.24.	Решите уравнение
-71 + cos2x + 37cos(x - л) = 72 .
3.25.	Решите уравнение
3.26.	Решите уравнение
sin3x	о . п
—— = cos Зх + 2 cos х.
ctg X
3.27.	Решите уравнение
I "	2 1	1
cosx + sin2x + sin — + sin— =0.
хг	х
3.28.	Решите уравнение
Г	2
Jsin х - cos 2х + cos - + cos - = 0.
'У	XX
3.29.	Решите уравнение
71 _ 2sin3x-sin7x = 7cosl0x.
3.30.	Решите уравнение
7sin3x = 71 + 2sin4x-cosx.
Дидактические материалы
204----------------------------------------------
11 класс
3.31.	Решите уравнение sin х sin Зх = 0,5.
3.32.	Решите уравнение cos х cos Зх = -0,5.
3.33.	Решите уравнение cos 4х + 5 cos2 х = 0,75.
3.34.	Решите уравнение cos 4х + 3 sin2 х = 0,25.
3.33.	Укажите все значения аргумента, при которых
удвоенное значение функции
f(x) = sin 6х sin 2х - 6
равно значению ее второй производной.
3.36.	Укажите абсциссы всех точек графика функ-
ции g(x) = sin х cos Зх, для которых значение функ-
ции совпадает со значением ее второй производной.
3.37.	При каких р числа cos 6р, sin 4р и cos 2р в
указанном порядке составляют геометрическую про-
грессию?
3.38.	При каких t числа cos 7t, cos 2t и cos lit раз-
личны и в указанном порядке составляют арифмети-
ческую прогрессию?
3.39.	Решите систему уравнений
I sin х cos у - cos х sin у =1,
[ cos х + sin у = 1.
3.40.	Решите систему уравнений
cos х cos у - sin х sin у =	,
sin х - sin у = -1.
3.41.	Решите уравнение
ctg х - tg х - 2 tg 2х - 4 tg 4х = 8 tg х.
3.42.	Решите уравнение sin х cos 2х cos 4х = |.
О
205
Тематическая подборка задач
5.	Показательные уравнения и системы
4.	Тригонометрические неравенства
4.1.	Решите неравенство
(ctg - | sin х) - х2 + 5 > 0.
4.2.	Решите неравенство
(2 sin 2х - tg х) ^2 - х - х2 < 0.
4.3.	Решите неравенство
пх . 2пх о
tg-----5 + sin ----5 > 2.
1 + х	1 + х
4.4.	Решите неравенство
4.5.	Решите неравенство arccos ~ < 3 •
j г т-)	3 л
4.Ь.	Решите неравенство arcsin “ > g •
5.	Показательные уравнения и системы
5.1.	Найдите все пары (у; t), при которых
0,5' + 4у = 3 • 22у '‘ ‘1 = 0,6(4 ' + 16у).
5.2.	Найдите все пары (Ъ, с), при которых
32с" ь = 0,5(9с + З’ь) + 1 = 92с +	- 7.
5.3.	Решите систему уравнений
2х • 4У = 64,
Ji + Ту = 3.
Дидактические материалы
206
11 класс
5.4.	Решите систему уравнений
9х • 3^ = 9,
~/у - Jx = 1.
6.	Показательные
неравенства и системы
6.1.	Пусть /(х) = 3х ” х . Решите неравенство
2/(х) + /(1 - х) < |.
О
6.2.	Пусть /(х) = 2х Зх. Решите неравенство
/(х) + 2/(3 -х)< 0,75.
1
6.3.	Решите неравенство 2х • 5х > 10.
1
6.4.	Решите неравенство 3х • 2х <6.
6.5.	Решите неравенство
2^ ‘ 1 < 4х - 14 • 0,252-х.
6.6.	Решите неравенство
6.7.	Найдите все решения неравенства
g2x2-x + 2_ 52x2-x-1 > 52х2-х + 1 + g2x2 - х - 1
6.8.	Найдите все решения неравенства
2Х2 + X + 1 _ gx2 + X gX2 + X - 1 _ дх2 + X
207
Тематическая подборка задач
6. Показательные неравенства и системы
6.9.	Решите неравенство
4х + 1 - 6х > 2 • 32х + 2.
6.Ю.	Решите неравенство
5 • 32х + 15 • 52х ~ 1 < 8 • 15х.
6.11.	Найдите область определения функции
/(г) = (16 • 0,062572х ' ‘-21 ' 2х)-°-5.
6.12.	Найдите область определения функции
1
g(x)=(64 • 22"х-0,125’2 ' jr~x)2 .
6.13.	Решите неравенство
Не пользуясь микрокалькулятором, определите,
удовлетворяет ли ему число -0,75.
6.14.	Решите неравенство
log^-iCO • 23"2х-2х + 1)< 2.
Не пользуясь микрокалькулятором, определите,
удовлетворяет ли ему число 1,75.
6.15.	Решите неравенство
4х + 6 • 2|х| >
4
и укажите наименьшее натуральное число, ему удов-
летворяющее.
6.16.	Решите неравенство
9|х| + 6 • 3х > 11
и укажите наименьшее натуральное число, ему удов-
летворяющее.
Дидактические материалы
11 класс
7.	Логарифмические
уравнения и системы
7.1.	Решите систему уравнений
I log2(xy)- | log2(x2) = 1,
| logx2 (у2) + log2 (у + 6) = 4.
7.2.	Решите систему уравнений
1о6о,5х + з <XV) + 1 = 1о&4 У2<
log4 + 0,25 log2 у2 = 0,5.
7.3.	Решите уравнение
(3-2x)logl ItT7=I2X-3I-
2
7.4.	Решите уравнение
4 - 3х = |3Х - 4|logi	.
7.5.	Решите уравнение
1 + 1°g6 7V7 = 4 1о8Тб(х “ D •
7.6.	Решите уравнение
1 - log9 (х + I)2 = | log •
2 4з х + 3
7.7.	Решите уравнение
logx [х Vx - 9х + 92  3х"1 - 101 +
+ 2 • З3-х]= 1,2.
Тематическая подборка задач
7. Логарифмические уравнения и системы
7.8.	Решите уравнение
logx [2х + 2 + 25 • 21' х - 3 • 0,25* ’115 - 27 + х 37х ] = |.
7.9.	Решите уравнение
10£х2-2х + 1(7-*) • log7_x(ll+ 0,1х2) = 0,5.
7.10.	Решите уравнение
2 1о&2х+ 1 <3 “ 4х) ' log4x2(2x + 1) = -1.
7.11.	Не пользуясь микрокалькулятором, сравни-
те с нулем cos sJxq , где х0 — корень уравнения
log9 log3 = -log9 log3 107х .
•°geg
7.12.	Решите уравнение х = 36. Не пользуясь
микрокалькулятором, сравните с нулем число
cos 3Ja , где а — произведение корней уравнения.
7.13.	Решите систему уравнений
log2 (11 - 2у2) = log2 (2х2 - 5ух +11),
3 logx у + log2j/ х = 5.
7.14.	Решите систему уравнений
J log3 (3 - бху + 8х2) = log3 (3 - у2),
| logx у - logy 2х + 1 = 0.
7.15.	Найдите все значения параметра а, при кото-
рых система
log2 (4у + 4a - 3) = 1 + log2 (a - х),
имеет решение.
210
11 класс
7.16.	Найдите все значения параметра Ь, при кото-
рых система
1 + log2 (b - 2 - у) = log2 (b - x),

имеет решение.

7.17.	При каких b уравнение
log2x +1 (Зх2 - bx- 0,25b) = 2
имеет ровно два различных корня?
7.18.	При каких р уравнение
logx_p pj- -х+р2
имеет единственный корень?
7.19.	Решите уравнение
3 log2 (х + 1) - i log2 (Зх + 5)2 +
+ 2 log2 (х + 1) • log2 (Зх + 5) = 0.
7.20.	Решите уравнение
| log? (х - 2)3 + 2 log5 (х - 2) log5 (Зх - 4) =
= log3 (Зх - 4).
7.21.	Для каждого значения Ь решите уравнение
log3 (х - 5) - logg (х2 + Зх - Ь).
7.22.	Для каждого значения b решите уравнение
!og0,5 (* + 3) = log0 25 (х2 - 7х - Ь).
Тематическая подборка задач
8.	Логарифмические неравенства и системы
7.23.	Найдите все р, при которых уравнения
log2 х2 + log2 (х + 3) = р
и
log2 X + log4 (х 4- 3) =
равносильны.
7.24.	При каких Ь уравнения
log2 (х + Ь)2 + log2 х= 5
и
2 log2 (х + b) - log0,5 х = 5
равносильны?
8.	Логарифмические неравенства и системы
8.1.	Решите систему неравенств
log2 (21 - х) + log0 5	“ 1) log ’
0,572х + 3 < 2~х.
8.2.	Решите систему неравенств
log i( 12 - х) 4- log3 (х + 3) < log9 |,
. з
0,2х < 0,2л/2"’*.
8.3.	Решите неравенство
lpg2x - i5 < 1Qg2x- 1х-
8.4.	Решите неравенство
log 2х ; < l°gx- I3-
х - 1	2х
212
11 класс
8.5.	Решите неравенство
log2 (х2 - 2х) + log0 5 (х2 - 2х)3 + 2 < 0.
8.6.	Решите неравенство
log^ (х2 - 4х) - 8 log4 (х2 - 4х) + 3 < 0.
8.7.	Решите неравенство
log3 ((Зх2 - 1)(6х - 7)) + logl (6х - 7) > 1.
з
8.8.	Решите неравенство
logl ((5х2 - 11)(3х - 4)) + log2 (5х2 - И) < 1.
2
8.9.	При каких р число 2 является решением нера-
венства
log х Го,5р2 + 0,5 - х2 +
9^
б£-
X _
> -1?
8.10.	При каких t число 1 является решением не-
равенства
log 2 (х2 + tx + St2 - 1) < 1?
х + t
8.11.	Решите неравенство
(х - 6)log5 (х2 - 6х + 8) < 0.
8.12.	Решите неравенство
(х - 7)log2 (х2 - 4х + 3) < 0.
8.13.	Решите неравенство
logx (Зх2 - 6х + 2) < logx —+ 3.
X “Г с»
Тематическая подборка задач	213
8.	Логарифмические неравенства и системы
8.14.	Решите неравенство
logx + j (х2 - 2х - 2) - log t (7 - х) < 1.
х + 1
8.15.	Найдите все значения а, при каждом из кото-
рых уравнение
769 - ЗОх = 9 - Зх
и неравенство
log15ax + з (3*2 " 6’5х + 2 + а) < X
имеют только одно общее решение.
8.16.	Найдите все значения а, при каждом из кото-
рых уравнение
41og0 5 (X + 2) = glog0 2 (2х2 + Зх + 2)
и неравенство
2ах+1_4х + а + 7 . 2х < О
имеют только одно общее решение.
8.17.	Решите неравенство
log9 х2 + logg (-х) < 2.
8.18.	Решите неравенство
log4 х2 + log| (-х) > 6.
8.19.	Решите неравенство
,	7-0, 5х - 22х + 5 < 1
iog	--->----	--- <-1.
-2х + 2	1-2*
Не пользуясь микрокалькулятором, определите,
удовлетворяет ли ему число -0,75.
214
Дидактические материалы
11 класс
8.20.	Решите неравенство
log^^O • 23’2х-2х+1)< 2.
Не пользуясь микрокалькулятором, определите,
удовлетворяет ли ему число 1,75.
9.	Иррациональные
уравнения и системы
9.1.	Решите уравнение ^2х - х3 = 2 - Зх.
9.2.	Решите уравнение Jx3 - 5х = Зх + 1.
9.3.	Найдите все значения а, при каждом из кото-
рых уравнение
7б9 - ЗОх = 9 - Зх
и неравенство
1о^1,5ах + з (3*2 - 6,5х + 2 + а) < х
имеют только одно общее решение.
9.4.	Найдите все значения а, при каждом из кото-
рых уравнение
41оЙ0,5 (* + 2) = glog0 2(2х2 + Зх + 2)
и неравенство
2ах + 1 - 4х + а + 7 • 2х < О
имеют только одно общее решение.
9.5.	Решите уравнение
71 ~ 2 sin Зх sin 7х = Jcos 10 х.
9.6.	Решите уравнение
л/sin Зх = V1 + 2sin 4 • xcos х.
215
Тематическая подборка задач
9. Иррациональные уравнения и системы
9.7.	Решите систему уравнений
2х • 4У= 64,
Jx + Jy = 3.
9.8.	Решите систему уравнений
9х • Зу = 9,
Л) - Jx = 1.
9.9.	Найдите такую первообразную функции
g(x) = -U + 2,
л/-Х
график которой имеет с графиком функции g(x) един-
ственную общую точку.
9.10.	Найдите такую первообразную функции
f(x) = 2 -	,
72 х + 1
график которой имеет с графиком функции f(x) един-
ственную общую точку.
9.11.	Изобразите множество точек М(а; Ь) коорди-
натной плоскости ОаЬ таких, что уравнение
л/Зх + а = Jx2 - 2Ьх + а
имеет два различных корня (по х).
9.12.	Изобразите множество точек М(а; Ь) коорди-
натной плоскости ОаЬ таких, что уравнение
л/2х - b = Jx2 + Зах - Ь
имеет два различных корня (по х).
_ . -	Дидактические материалы
216------------------—--------------------------
11 класс
10.	Иррациональные
неравенства и системы
10.1.	Решите неравенство
3 Je + х - х2 > 4х - 2.
10.2.	Решите неравенство ^2х2 - 7х > х - 2.
10.3.	При каких значениях аргумента график
функции Дх) = х + 5 лежит выше графика функ-
Ч2х + 1
ции ф(х) = 75х - 3 ?
10.4.	При каких значениях аргумента график
/ X + 7
функции g(x) = I-——— лежит ниже графика функ-
ции /(х) = а/х + 4 ?
10.5.	Решите неравенство
(ctg 5 - 5 sin х) л/4х - х2 + 5 > 0.
С. о
10.6.	Решите неравенство
(2sin 2х - tg х)«/2 - х - х2 <0.
10.7. Изобразите на координатной плоскости мно-
жество решений двойного неравенства
0 < л/х + 2у - л/х + 2 < 1.
10.8.	Изобразите на координатной плоскости мно-
жество решений двойного неравенства
-2 < 7х - 4 - 7х + 2у - 2 < 0.
Те матическая подборка задач	217
Ц. Уравнения, неравенства, системы
,	11. Уравнения,
неравенства, системы
11.1.	Решите систему неравенств
log2 (21 -х) + log0 5 (х - !) 1о^Т23,
0,572х + 3 <2’х.
11,2.	Решите систему неравенств
log J (12 - х) + log3 (х + 3) < log9 |,
. з
0,2х < 0,2'/2^*.
11.3.	Сумма трех чисел, составляющих геометри-
ческую прогрессию, равна 39, а сумма их логарифмов
по основанию 3 равна 6. Найдите знаменатель про-
грессии.
11.4.	Сумма трех чисел равна 28. Известно, что их
логарифмы по основанию 4 образуют арифметиче-
скую прогрессию, сумма первых трех членов которой
равна 4,5. Найдите разность прогрессии.
11.5.	Решите неравенство
о
lpgx + 2.5<1,5 ~ *> >0
(х + 0,5)(х - 1)
11.6.	Решите неравенство
2
log3 _ Х(Х + 0,5)
--------------V.
х(1 - X)
11.7.	Решите уравнение
(3-2х)1оё1	= |2Х-3|.
з
р g	Дидактические материалы
11 класс
11.8.	Решите уравнение
4-3*-13--41108,^.
11.9.	Решите систему уравнений
(sin х + sin у = 1,
।	। 2тг
1Х-У1=у-
11.10.	Решите систему уравнений
cos х + cos у = - ,/3 ,
‘ |х + ^|=2.
О
11.11.	Решите уравнение
logx (х Vx - 9х + 92 • 3х"1 - 101 + 2 • З3-х)= 1,2.
11.12.	Решите уравнение
logx (2х + 2 + 25 • 21 ~х - 3  0,25х- 1,5 - 27 + х 37х) =
001
11.13.	Решите неравенство
(х - 6)log5 (х2 - 6х + 8) < 0.
11.14.	Решите неравенство
(х - 7)log2 (х2 - 4х + 3) < 0.
11.15.	Решите неравенство
(ctg | - |sin х)^4х - х2 + 5 > 0.
11.16.	Решите неравенство
(2 sin 2х - tg х)72 - х - х2 < 0.
219
Тематическая подборка задач
11. Уравнения, неравенства, системы
11.17.	Решите систему уравнений
sin4 пх + 71 + cos пу = О,
(х3 + у2 + 2ху - 5)Л • 2У + 2 - 3 • 4У - 10 = 0.
11.18.	Решите систему уравнений
tg2 лх + Vsinny = 0,
' (у3 -ху-6) ^4 • З1 ’ х - 2 - (j)' = 0.
11.19.	Сколько различных корней имеет уравнение
7-х2 - 21 ях (sin Зх cos 6х - sin х cos 8х) = 0?
11.20.	Сколько различных корней имеет уравнение
Т25лх - х2 (cos х cos 7х + sin х sin 5х) = 0?
11.21.	Решите неравенство
tg
+ sin
2пх
1 + х2
> 2.
11.22.	Решите неравенство
1 + tg
2лх
х2 + 4
4 тех
х2 + 4 ’
> cos
11.23.	Докажите, что график функции
у = log9 (6х - х2) - |
лежит в нижней полуплоскости.
11.24.	Докажите, что график функции
У = | " log16 (8х - х2)
лежит в верхней полуплоскости.
22Q	Дидактические материалы
11 класс
11.25.	Найдите все значения параметра а, при ко-
торых система
log2 (4у + 4а - 3) = 1 + Iog2 (а - х),
Ь-л
имеет решение.
11.26.	Найдите все значения параметра Ь, при ко-
торых система
1 + log2 (b - 2 - у) = log2 (b - х),
у + 2 7х= 1
имеет решение.
11.27.	Укажите все значения аргумента, при кото-
рых удвоенное значение функции
/(х) = sin 6х sin 2х - 6
равно значению ее второй производной.
11.28.	Укажите абсциссы всех точек графика
функции
g(x) = sin х cos Зх,
для которых значение функции совпадает со значени-
ем ее второй производной.
11.29.	При каких р числа cos 6р, sin 4р и cos 2р в
указанном порядке составляют геометрическую про-
грессию?
11.30.	При каких t числа cos 7t, cos 2t и cos Ilf
различны и в указанном порядке составляют арифме-
тическую прогрессию?
11.31.	Решите неравенство
2	2
32х-1-Зж'1(Зх3 + х) + х -х3 <0.
221
Тематическая подборка задач
12. Исследование функций. Производные
11.32	. Решите неравенство
1 1
22х-1 -2х~\2х2 + х) + х • х2 >0.
12.	Исследование функций.
Производные
12.1.	Найдите промежутки монотонности функции
у = 0,25х4 - 2х3 + 5,5х2 - 6х + In 3.
12.2.	Найдите промежутки монотонности функции
у = 0,75х4 + 2х3 - 28,5х2 - 60х - е3.
12.3.	Найдите множество значений функции
/(х) = cos2 х + 72 sin ^2х -	.
12.4.	Найдите множество значений функции
g(x) = sin2 [х - jP - cos 2х.
12.5.	Найдите область определения функции
12.6.	Найдите область определения функции
1
12.7.	Исследуйте функцию
у = (0,5)4х - (0,5)3ж + xln 2
на монотонность.
222	Дидактические материалы
11 класс
12.8.	Исследуйте функцию
у = (-0,2)4х + 3(0,2)х - xln 5
на монотонность.
12.9.	Исследуйте функцию
f(x) = х2 - 6х + 8 л/х
на монотонность.
12.10.	Исследуйте функцию
g(x) = 9х - 121п х - 2х Jx
на монотонность.
12.11.	Найдите множество значений функции
^(х) = /(х)-/[711),
где Дх) = х + —i—.
X + 1
12.12.	Найдите множество значений функций
g(x) = Дх) +	,
где Дх) = i + —Ь- .
'* Л 1
12.13.	Сколько корней имеет уравнение
4е’х • (х2 + х- 5) = 1?
12.14.	Сколько корней имеет уравнение
ex~i . (х2-3х-3) + 12 = о?
12.15.	Найдите область определения функции
У = 7(ех ” 1 - х)(х - 3) .
223
Тематическая подборка задач
12. Исследование функций. Производные
12.16.	При каких значениях х определено выра-
жение
у = 7(2 - х)(1 + In х - х) ?
12.17.	Докажите, что для всех отрицательных х
выполняется неравенство
, 2х - 3 . х п
In----— + ту < 0.
х - 7 И
12.18.	Докажите, что для всех положительных х
выполняется неравенство
In (7* + 0,5) < х - 0,25.
12.19.	Найдите множество значений функции
у = sin х • ecos 2х.
12.20.	Определите множество значений функции
y = cosx • е1-0082*.
12.21.	Какие значения может принимать сумма
чисел х и у, если
Ы = (х - 2)(4 - х)?
12.22.	Какие значения может принимать разность
чисел у и х, если
Н = -4х(х + 2)?
12.23.	Дана функция Дх) = е2х cos х. Найдите f" (0).
12.24.	Дана функция Дх) = е~х (cos х + sin х). Най-
дите f" (0).
12.25.	Укажите все значения аргумента, при кото-
рых удвоенное значение функции
Дх) = sin 6х sin 2х - 6
равно значению ее второй производной.
Дидактические материалы
224
11 класс
12.26.	Укажите абсциссы всех точек графика
функции
g(x) — sin х cos Зх,
для которых значение функции совпадает со значени-
ем ее второй производной.
12.27.	Найдите производную функции
У = 1оИзх + 4 (7х “ 4)
в точке х = 2.
12.28.	Найдите производную функции
У = 1об9х+1 (Зх + 7)
в точке х = 1.
12.29.	Найдите область определения функции
f(x) = (16 • 0,062 572х ’ 1 - 21_2Т0,5.
12.30.	Найдите область определения функции
1
g(x) = (64 • 22~я-0,125’2-7ГГх)2.
12.31.	Найдите множество значений функции
у = Зх + J7 - 2х .
12.32.	Найдите множество значений функции
у = 7бх - 7 - 2х.
12.33.	Найдите точку графика функции
у = (х + I)2  е~^,
с.	„2
наиболее удаленную от прямой у = ;.
О
Тематическая подборка задач	225
13. Построение графиков функций и уравнений
12.34.	Найдите точку графика функции
у = |х|е* "
наименее удаленную от прямой у = J2 .
12.35.	При каких значениях k функция
у = ekx
удовлетворяет условию
2у'" - Ну" + 19/ - 10г/ = 0?
12.36.	При каких значениях а функция
У = еах
удовлетворяет условию
2у"' + Зу" - 8у' + Зу = О?
13.	Построение графиков
функций и уравнений.
Изображение множеств на плоскости
13.1.	Изобразите на координатной плоскости ли-
нию, заданную уравнением
|г/| = х2 - 4|х| + 4,
и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
13.2.	Изобразите на координатной плоскости ли-
нию, заданную уравнением
Ы = 3 + 2|х| - х2,
и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
13.3.	Изобразите на координатной плоскости мно-
жество решений двойного неравенства
0 < Jx + 2у - Jx + 2 < 1.
к
Зак. 594
F
Дидактические материалы
11 класс
13.4.	Изобразите на координатной плоскости мно-
жество решений двойного неравенства
-2 < л/х - 4 - Jx + 2у - 2 < 0.
13.5.	Постройте график уравнения
Ы = (х - 2)(4 - х).
13.6.	Постройте график уравнения
М = -4х(х + 2).
13.7.	Изобразите множество точек М(а; Ь) коорди-
натной плоскости ОаЬ таких, что уравнение
V3x + а = Jx2 - 2bx + а
имеет два различных корня (по х).
13.8.	Изобразите множество точек М(а; Ь) коорди-
натной плоскости ОаЬ таких, что уравнение
л/2х - b = Jx2 + Зах - b
имеет два различных корня (по х).
14.	Касательная к графику
14.1.	Составьте уравнение касательной к графику
функции
у = е2х ~ 1(-2х2 + 6х - 3)
в точке ее максимума.
14.2.	Составьте уравнение касательной к графику
функции
у = е1 ~ Зх(3х2 + Зх + 1)
в точке ее минимума.
227
Тематическая подборка задач
14. Касательная к графику
14.3.	Найдите общие точки графика функции
у = х3 - 5х2
и прямой
у + 7х - 3 = 0.
Есть ли среди них точки касания?
14.4.	Найдите общие точки графика функции
у = х3 - Зх2 - 5
и прямой
У = 9х.
Есть ли среди них точки касания?
14.5.	Напишите уравнение касательной к графику
функции
у = J1 - 6х,
отсекающей на положительных направлениях осей
координат равные отрезки.
14.6.	Напишите уравнение касательной к графику
1
функции у = (2 + Зх) 3 , высекающей на осях коорди-
нат равнобедренный треугольник.
14.7.	График функции у = 2 - ^2х + 2 пересекает
ось абсцисс в точке К, а касательная к графику пере-
секает ту же ось в точке С. Напишите уравнение этой
касательной, если начало координат является середи-
ной отрезка КС.
14.8.	График функции у = 710 - 4х - 1 пересека-
ет ось абсцисс в точке М, а касательная к графику пе-
ресекает ту же ось в точке 2V. Напишите уравнение
этой касательной, если точка М делит пополам отре-
зок ON, где О — начало координат.
22g	Дидактические материалы
11 класс
14.9.	Составьте уравнения всех общих касатель-
ных к графику функций
у = х2 + х+1 и $/=|(х2 + 3).
14.10.	Составьте уравнения всех общих касатель-
ных к графикам функций
у = х2 - х + 1 и у = 2х2 - х + 0,5.
14.11.	Существует ли касательная к графику
функции
у = х2 - х - |х|,
имеющая с графиком ровно две общие точки? Если
да, то напишите ее уравнение.
14.12.	Существует ли касательная к графику
функции
у = х - х2 + 3|х|,
имеющая с графиком ровно две общие точки? Если
да, то напишите ее уравнение.
14.13.	При каких значениях р из точки В(р; -1)
можно провести три различные касательные к графи-
ку функции
у = х3 - Зх2 + 3?
14.14.	При каких значениях t из точки M(t; -3)
можно провести только одну касательную к графику
функции
z/ = x3-3x- 1?
14.15.	Найдите все общие точки графика функции
у = Зх - х3
и касательной, проведенной к этому графику через
точку N(0; 16).
229
Тематическая подборка задач
14. Касательная к графику
14.16.	Найдите все общие точки графика функции
у = | х3 - 4х
и касательной, проведенной к этому графику через
точки М(0; 18).
14.17.	Найдите все а, при которых касательная к
графику функции
у = sin —2— + 1,5а “ а
в точке графика с абсциссой а не пересекает график
ни одной из двух функций
2
у = 0,5х + 2 и у = -- .
14.18.	Найдите все р, при которых касательная к
графику функции
у = cos 2х + р2 - р + 1
в точке графика с абсциссой р не пересекает график
ни одной из двух функций
з
у = 3 - 2х И U = X + 7- .
»	4х
14.19.	Найдите все отрицательные а, для каждого
из которых касательные к параболе у = (х - I)2, про-
веденные через точку оси Оу с ординатой а, высекают
на оси Ох отрезок длины 4.
14.20.	Укажите координаты всех точек оси Оу,
имеющих положительные ординаты и обладающих тем
свойством, что касательные, проведенные через каж-
дую из таких точек к графику функции у ------,
_	3
высекают на оси абсцисс отрезок длины 5 .
230
Дидактические материалы
11 класс
14.21.	Напишите уравнение такой касательной к
графику функции
у = (2х + 3) л/2х + 3 + х2,
которая не пересекает прямую у = х.
14.22.	Напишите уравнение такой касательной к
графику функции
У = (1 - х)71 - х - х2,
которая не пересекает прямую у = Зх.
14.23.	Найдите а, если известно, что прямая
у = 2х + 1
является касательной к графику функции
у = j4xZ + а + Зх.
14.24.	Прямая у = 5 - х является касательной к
графику функции
у = х - л/х2 - 2х + а .
Найдите координаты точки касания.
14.25.	Найдите уравнения всех общих касатель-
ных к графикам функций
у = -х2 + 9х - 23 и у = х2 + Зх - 6.
14.26.	Найдите уравнения всех общих касательных
к графикам функций
у = Зх2 - 5х - 2 и у = 2х2 - х - 6.
14.27.	На прямой у = 2х - 1 найдите все такие точ-
ки, что через каждую из них проходит ровно две каса-
тельные к графику функции у = х2, а угол между эти-
7t
ми касательными равен j .
Тематическая подборка задач
15.	Экстремумы функции
231
14.28.	На прямой у = 6х - 9 найдите все такие точ-
ки, что через каждую из них проходит ровно две каса-
тельные к графику функции у = х2, а угол между эти-
л
ми касательными равен .
15.	Экстремумы,
наибольшее и наименьшее значения функции
15.1.	Найдите экстремумы функции
у = In (4 - х) + х.
15.2.	Найдите экстремумы функции
15.3.	Составьте уравнение касательной к графику
функции
у = е2х " 1(-2х2 + 6х - 3)
в точке ее максимума.
15.4.	Составьте уравнение касательной к графику
функции
у = е1 ’ Зх(3х2 + Зх + 1)
в точке ее минимума.
15.5.	Для геометрической прогрессии (Ьп) с поло-
жительными членами выполняется условие
Ьг = (fej + d2)(3di + 4b2).
При каком значении знаменателя прогрессии сумма
четырех первых членов принимает наименьшее зна-
чение? Найдите эту сумму.
232
Дидактические материалы
11 класс
15.6.	Для геометрической прогрессии (Ьп) с поло-
жительными членами выполняется условие
bj —	+ b2.
При каком значении знаменателя прогрессии сумма
четырех первых членов принимает наибольшее значе-
ние? Найдите эту сумму.
15.7.	Определите координаты точки графика
функции
Дх) = Jln(2x + |+1),
расстояние от которой до начала координат наимень-
шее.
15.8.	Определите координаты точки графика
функции
Дх) = 71п(3х2 + 4х + 3),
расстояние от которой до точки В(-2; 0) наименьшее.
15.9.	Определите координаты точки графика
функции
сумма расстояний от которой до осей координат ми-
нимальна.
15.10.	Определите координаты точки графика
функции
у = In (х + 2) + In g,
о
сумма расстояний от которой до осей координат ми-
нимальна.
Тематическая подборка задач	233
15.	Экстремумы функции
15.11.	Найдите наибольшее и наименьшее значе-
ния функции
„ Г2л \ 3 .	2лд
у = 2 cos (у - х | - 2 sin I 2х + yj - х
Г 5л 2л-|
на отрезке 1-у ; у I.
15.12.	Найдите наибольшее и наименьшее значе-
ния функции
у = sin \ 2х -	- cos [х +	+
на отрезке [0; yj .
15.13.	При каких х наибольшее значение функции
g(t) = 3t - t3
на отрезке [х; х + 2] не меньше числа 2?
15.14.	При каких х наименьшее значение функции
ДО = t3 - 312
на отрезке [х - 1; х] больше числа (-4)?
15.15.	Найдите наименьшее значение длины от-
резка прямой у = а, концы которого принадлежат
графикам функций
у = у- х и у = 2х + Jx2 + 5 .
15.16.	Найдите наименьшее значение длины от-
резка прямой у = Ь, концы которого принадлежат гра-
фикам функций
у = 2х - 71 + х2 и у = 2х.
» _ .	Дидактические материалы
234---------------------------------------------
11 класс
15.17.	При каких р наименьшее значение функ-
ции
g(x) = -х3 + 2рхг - 2,25рх
на отрезке [-3«/2; 3] достигается в двух различных
точках?
15.18.	При каких а наибольшее значение функции
f(x) = х3 + 5ах2 + 2а
на отрезке [—2 ^/3 ; 2] достигается в двух различных
точках?
15.19.	Докажите, что функция
F(x) = (1 - х2) sin х2 - cos х2
является одной из первообразных функции
Дх) = 2(х - х3) cos х2.
Найдите ту первообразную функции Дх), наибольшее
значение которой на отрезке [0; 3] равно нулю.
15.20.	Докажите, что функция
G(x) = (х2 - 1,5) cos 2х - х sin 2х
является одной из первообразных функции
g(x) = (2 - 2х2) sin 2х.
Найдите ту первообразную функции g(x), наимень-
шее значение которой на отрезке [-1; 3,5] равно
нулю.
15.21.	Найдите наибольший объем цилиндра, пол-
ная поверхность которого равна 2л.
15.22.	Найдите наименьшую полную поверхность
цилиндра, объем которого равен £ .
о
235
Тематическая подборка задач
15. Экстремумы функции
1
15.23.	На графике функции у = х - х4 +1 найдите
точку, сумма расстояний от которой до осей коорди-
нат наименьшая.
15.24.	На графике функции у = . 1 — найдите
J2x - 1
точку, сумма расстояний от которой до осей коорди-
нат наименьшая.
15.25.	Найдите наибольшее и наименьшее значе-
ния функции g(x) = cos Зх + 8 cos2 х, х е R.
15.26.	Найдите наибольшее и наименьшее значе-
ния функции Дх) = 2 sin Зх + 16 sin2 х.хе Л.
15.27.	Найдите точку графика функции
у = (х + I)2 • е-'1',
, - 2
наиболее удаленную от прямой у = .
15.28.	Найдите точку графика функции у = |х|ех "
наименее удаленную от прямой у = л/2 .
15.29.	Найдите точку графика функции у = 4=,
Ух
л	3
сумма расстоянии от которой до прямых у = Т)иу = -^х
наименьшая.
15.30.	Найдите точку графика функции у = In х,
сумма расстояний от которой до оси ординат и до пря-
мой у = 2,4х наименьшая.
15.31.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции у = 3 cos х - 4 sin х + 1 на отрезке	.
236
Дидактические материалы
11 класс
15.32.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции
у = 2 - 3 sin х + 4 cos х
ттО	Г 4тг .
на отрезке I——;
2пп
3 J ‘
16.	Первообразная.
Неопределенный интеграл
16.1.	Докажите, что функция
F(x) = (1 - х2) sin х2 - cos х2
является одной из первообразных функции
f(x) = 2(х - х3) cos х2.
Найдите ту первообразную функции У(х), наибольшее
значение которой на отрезке [0; 3] равно нулю.
16.2.	Докажите, что функция
G(x) = (х2 - l,5)cos 2х - х sin 2х
является одной из первообразных функции
g(x) = (2 - 2x2)sin 2х.
Найдите ту первообразную функции g(x), наименьшее
значение которой на отрезке [-1; 3,5] равно нулю.
16.3.	Одна из общих точек графика функции
у = 4х3 - 15х2 + 12х + 4
и графика ее первообразной имеет абсциссу 2. Найди-
те абсциссы всех общих точек этих двух графиков.
16.4.	Одна из общих точек графика функции
у = 4х3 + Зх2 - 6х - 5
и графика ее первообразной имеет абсциссу -1. Най-
дите абсциссы всех общих точек этих двух графиков.
237
Тематическая подборка задач
17. Определенный интарал
16.5.	Найдите такую первообразную Г(х) функции
ЛХ)--Ц,
4-х
график которой проходит через точку N(l; In 3).
16.6.	Найдите такую первообразную F(x) функции
X - 1
график которой проходит через точку М(2; In 3).
16.7.	Найдите такую первообразную функции
g(x) = 4= + 2,
J-x
график которой имеет с графиком функции g(x) един-
ственную общую точку.
16.8.	Найдите такую первообразную функции
график которой имеет с графиком функции f(x) един-
ственную общую точку.
17.	Определенный интеграл
и вычисление площадей плоских фигур
17.1.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
осью абсцисс и графиком функции
у = |х| • (х- 1).
17.2.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
фиком функции
у = (х + 2) • |х|
и осью абсцисс.
238
Дидактические материалы
11 класс
17.3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = х3 + х2 + 1 и у = 1 - 2х2.
17.4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = 4х2 - Зх - 1 и у = х3 + х -1.
17.5.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ги-
, „ 1 „
перболои у — касательной к этой кривой, прове-
денной в точке с абсциссой х = 1, и прямой х = 2.
17.6.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гра-
, , 1 „
фиком функции у =	, касательной к этой кривой,
проведенной в точке с абсциссой х = 1, и прямой х = -1.
17.7.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = х+1, у=1-|х и у = 1 - (х - 2)3.
О
17.8.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = (х + 2у + 3, у = -4х и у = -5х.
О
17.9.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
о	1
ниями у = (х - 2) , у = X х, у = 0.
О
17.10.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
ч 1
линиями у = (3 - х) , у=5х, у = 0.
Ct
17.11.	Изобразите на координатной плоскости ли-
нию, заданную уравнением
Ы = х2 - 4|х| + 4,
и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
17.12.	Изобразите на координатной плоскости ли-
нию, заданную уравнением
Тематическая подборка задач	239
17. Определенный интеграл
|у| = 3 + 2|х| - X2,
и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
17.13.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = 4 + sin х, у = sin 2х + cos х, х = 0 и х = п.
17.14.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = cos 2х - 6, у = sin х + sin 2х, х = 0 и х =	.
17.15.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
1 -1
линиями у = —--------- И у =	•
х2 + 2х + 1 4х + 7
17.16.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
1 1
линиями у =	-------- и у = ------ .
х2 - 2х + 1 Зх - 5
17.17.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
ЛИНИЯМИ у =	и у = 3 - |3 - х|.
17.18.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями у = |4 - х2| и у = 2|х| + 4.
17.19.	Пользуясь геометрической интерпретацией
определенного интеграла, вычислите
2
_[ л/2х - х2 dx.
0,5
17.20.	Пользуясь геометрической интерпретацией
определенного интеграла, вычислите
4 _________________________
J лДх - х2 dx.
3
240
Дидактические материалы
11 класс
17.21.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций
у = 0,5х2 - 2х - 1 и у = 6,5 - 1,5 • |х - 5|.
17.22.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций
у = -0,5х2 + х + 7,5 и у = 1,5 (|х + 2| - 1).
17.23.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = 4 + Jx + 2 , у = -0,6х + 2,8 и х = 710 - у .
17.24.	Найдите площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями х + 7б - у = 0, у = 74-х + 4 и у = I х + |.
17.25.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у = х2 - 4х + 4 и касательными к
нему, проходящими через начало координат.
17.26.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у = х2 + 6х + 9 и касательными к
нему, проходящими через начало координат.
17.27.	Найдите все такие точки М графика функции
у = х2 - 4х,
что площадь фигуры, ограниченной этим графиком,
касательной к нему, проходящей через точку М, и
осью ординат, равна 72.
17.28.	Найдите все такие точки 7V графика функции
у = 6х - х2,
что площадь фигуры, ограниченной графиком этой
функции, касательной к нему, проходящей через точ-
2
ку N, и осью ординат, равна 415 .
О
Тематическая подборка задач	241
17. Определенный интеграл
17.29.	Докажите, что при всех k > 0 площадь фигу-
ры, ограниченной графиком функции
у = fe2x5 - kx2
и осью абсцисс, не зависит от k.
17.30.	Докажите, что при k > 0 площадь фигуры,
ограниченной графиком функции
и осью абсцисс, не зависит от k.
17.31.	Докажите, что площади фигур, каждая из
которых ограничена графиком функции
у = х3 - 6х2 + 1
и одной из касательных к этому графику, параллель-
ных оси абсцисс, равны.
17.32.	Докажите, что площадь фигуры, ограничен-
ной осью ординат, графиком функции
у = 4х - х2
и касательной к нему в точке с абсциссой х0 0, равна
площади фигуры, ограниченной графиком той же
функции, касательной к нему в точке с абсциссой (-х0)
и осью ординат.
17.33.	На графике функции
Дх) = 712, 5|х| + 3, 5х
найдите все точки с положительными абсциссами та-
кие, что площадь фигуры, ограниченной касательной
к графику, проведенной через каждую из таких то-
. 1
чек, и самим графиком, равна 4 g .
> . _	Дидактические материалы
242---------------------------------------------
11 класс
17.34.	На графике функции f(x) = х(2|х| + х) най-
дите все точки с отрицательными абсциссами такие,
что площадь фигуры, ограниченной касательной к
графику, проведенной через каждую из таких точек,
и самим графиком, равна 36.
17.35.	При каком t площадь фигуры, ограничен-
ной графиком функции у = х4 + 2х2, касательной к
нему, проведенной в точке графика с абсциссой t, и
прямой х = t - 1, наименьшая?
17.36.	Найдите такое р, при котором площадь фи-
гуры, ограниченной графиком функции у = х - х4,
касательной к нему, проведенной в точке графика с
абсциссойр, и прямой х = р + 2, наименьшая.
17.37.	Найдите наибольшее значение площади фи-
гуры, ограниченной линиями у = 2 + cos х, у = sin ,
х = аих = о + л.
17.38.	Найдите наименьшее значение площади фи-
гуры, ограниченной линиями у = cos х, у = sin 2х - 2,
х=Ьих=Ь+5.
О
17.39.	Найдите наименьшее положительное Ь, при
котором для любого действительного а площадь фи-
гуры, ограниченной линиями у = 0, х = а, х = а + 1и
У = -х2, не больше площади фигуры, ограниченной
линиями у = 0, х = а, х = а+1,иу = 2(х - I)2 + Ь.
17.40.	Найдите наибольшее отрицательное р, при
котором для любого действительного а площадь фи-
гуры, ограниченной линиями у = 0, х = а, х = а + 2 и
у = рх2, не меньше площади фигуры, ограниченной
линиями t/ = 0, х = а, х = а + 2и|/ = (х - I)2.
243
Тематическая подборка задач
17. Определенный интеграл
17.41.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями х = у2 - бу + 5 и х = 0.
17.42.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной
линиями х = у2 + 5у + 5 и х = -1.
17.43.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у = 1 - х2 и касательными к нему,
проведенными через точку М(0; 5).
17.44.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у = х2 + 5 и касательными к нему,
проведенными через точку М(0; 1).
17.45.	Найдите площадь криволинейной трапе-
ции, ограниченной графиком функции
у = 2 cos Зх - 5 sin 2х + 10,
_	Зл 5л
осью абсцисс и прямыми х =	, х = -j-.
17.46.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций у = 2х, у = 3 - х и осью ординат.
17.47.	Найдите площадь криволинейной трапе-
ции, ограниченной графиком функции
у = 3 cos 2х + 3 sin Зх + 8,
_	л 5л
осью абсцисс и прямыми х = - л,х = -у .
О	о
17.48.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиками функций у = З-*, у = и осью ординат.
17.49.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у = х3 - 4х и касательной к нему в
его точке с абсциссой 2.
244
Дидактические материалы
11 класс
17.50.	Найдите площадь фигуры, ограниченной
графиком функции у = 9х - х3 и касательной к нему в
его точке с абсциссой 3.
18.	Задачи с параметрами
18.1.	Найдите все корни многочлена
х3 + 2ах2 - 5х - а - 9,
если остатки от его деления на двучлены х - 2 и х + 1
равны.
18.2.	Найдите все корни многочлена
х3 - Зх2 + ах - 2а + 6,
если остатки от его деления на двучлены х - 1 и х + 2
равны.
18.3.	При каких р число 2 является решением не-
равенства
log х I0,5р2 + 0,5 - х2 +
2 + р2
>-1?
18.4.	При каких t число 1 является решением не-
равенства
l°gx + (2 (х2 + tx + 3t2 - 1) < 1?
18.5.	Найдите все такие точки М графика функ-
ции у = х2 - 4х, что площадь фигуры, ограниченной
этим графиком, касательной к нему, проходящей че-
рез точку М, и осью ординат, равна 72.
18.6.	Найдите все такие точки N графика функции
у - 6х - х2, что площадь фигуры, ограниченной гра-
фиком этой функции, касательной к нему, проходя-
щей через точку Д’, и осью ординат, равна 41 х .
О
245
Тематическая подборка задач
18. Задачи с параметрами
18.7.	Докажите, что при всех k > 0 площадь фигу-
ры, ограниченной графиком функции
у = kzx5 - kx2
и осью абсцисс, не зависит от k.
18.8.	Докажите, что при k > 0 площадь фигуры, ог-
„	,	,	1	4	1 о
раниченнои графиком функции у = х j х и осью
абсцисс, не зависит от k.
18.9.	Найдите все такие числа а, для каждого из
которых существует только одно число Ъ такое, что
Ъ2(Ъ + а) = 1.
18.10.	Найдите все такие числа Ь, для каждого из
которых существует ровно три различных числа а та-
ких, что a(b + а2) = 1.
18.11.	На графике функции
Дх) = 712, 5|х| + 3, 5х
найдите все точки с положительными абсциссами та-
кие, что площадь фигуры, ограниченной касательной
к графику, проведенной через каждую из таких то-
л.	А 1
чек, и самим графиком, равна 4 g .
18.12.	На графике функции Дх) = х(2|х| + х) най-
дите все точки с отрицательными абсциссами такие,
что площадь фигуры, ограниченной касательной к
графику, проведенной через каждую из таких точек,
и самим графиком, равна 36.
18.13.	При каких значениях р из точки В(р; -1)
можно провести три различные касательные к графи-
ку функции у = х3 - Зх2 + 3?
•у л •	Дидактические материалы
246---------------------------------------------
11 класс
18.14.	При каких значениях t из точки M(t; -3)
можно провести только одну касательную к графику
функции у = х3 - Зх - 1?
18.15.	При каком t площадь фигуры, ограничен-
ной графиком функции у = х4 + 2х2, касательной к
нему, проведенной в точке графика с абсциссой t, и
прямой х = t - 1, наименьшая?
18.16.	Найдите р, при котором площадь фигуры,
ограниченной графиком функции у = х - х4, каса-
тельной к нему, проведенной в точке графика с абс-
циссой р, и прямой х = р + 2, наименьшая.
18.17.	При каких х наибольшее значение функции
g(£) = 3i - t3 на отрезке [х; х + 2] не меньше числа 2?
18.18.	При каких х наименьшее значение функции
f(t) = t3 - St2 на отрезке [х - 1; х] больше числа (-4)?
18.19.	Найдите все а, при которых касательная к
графику функции у = sin *	11 + 1,5а - а2 в точке
с»
графика с абсциссой а не пересекает график ни одной
9
из двух функций у = 0,5х + 2 и у = — .
18.20.	Найдите все р, при которых касательная к
графику функции у = cos 2х + р2 - р + 1 в точке гра-
фика с абсциссой р не пересекает график ни одной из
з
двух функций у = 3-2хиу = х+ —.
18.21.	Найдите все значения параметра а, при ко-
торых система
log2 (4у + 4а - 3) = 1 + Iog2 (а - х),
имеет решение.
247
Тематическая подборка задач
18. Задачи с параметрами
18.22.	Найдите все значения параметра Ь, при ко-
торых система
1 + log2 (b - 2 - у) = log2 (Ь - х),
у + 2 Ух = 1
имеет решение.
18.23.	При каких значениях а среди комплексных
чисел z таких, что \г - 2 - 2t| < а, найдется ровно одно
такое, что z3 G Я?
18.24.	При каких значениях р среди комплексных
чисел z таких, что \z - 1 + iV31 < р, найдется ровно од-
но такое, что z4 G Я?
18.25.	Найдите наименьшее значение длины от-
резка прямой у = а, концы которого принадлежат
12	Г2
графикам функций У ~ ~ х 1л у — 2х + 4 х +5.
18.26.	Найдите наименьшее значение длины от-
резка прямой у = Ь, концы которого принадлежат гра-
фикам функций у = 2х - 71 + х2 и у = 2х.
18.27.	Найдите наибольшее значение площади фи-
. X
гуры, ограниченной линиями у = 2 + cos х, у = sin % ,
х = аих = а + я.
18.28.	Найдите наименьшее значение площади фи-
гуры, ограниченной линиями у = cos х, у = sin 2х- 2,
х = Ьих = Н j.
О
18.29.	При каких b уравнение
log2x + j (Зх2 - Ьх - 0,25fe) = 2
имеет ровно два различных корня?
248
Дидактические материалы
11 класс
18.30.	При каких р уравнение
logx-p(¥ -х + р2-р^ = 2
имеет единственный корень?
18.31.	Найдите наименьшее положительное Ъ, при
котором для любого действительного а площадь фи-
гуры, ограниченной линиями у = 0, х = а, х = а + 1 и
у = -х2, не больше площади фигуры, ограниченной
линиями у = 0, х = а,х = а + 1иу = 2(х - I)2 + Ь.
18.32.	Найдите наибольшее отрицательное р, при
котором для любого действительного а площадь фи-
гуры, ограниченной линиями у = 0, х = а, х = а + 2 и
у = рх2, не меньше площади фигуры, ограниченной
линиями у = 0, х = а, х = а + 2 и у = (х - I)2.
18.33.	При каких р наименьшее значение функ-
ции g(x) = -х3 + 2рх2 - 2,25рх на отрезке [-3 72 ; 3] до-
стигается в двух различных точках?
18.34.	При каких а наибольшее значение функции
/(х) = х3 + 5ах2 + 2а на отрезке [-2 Уз ; 2] достигается
в двух различных точках?
18.35.	Найдите все отрицательные а, для каждого
из которых касательные к параболе у = (х - I)2, про-
веденные через точку оси Оу с ординатой а, отсекают
на оси Ох отрезок длины 4.
18.36.	Укажите координаты всех точек оси Оу,
имеющих положительные ординаты и обладающих тем
свойством, что касательные, проведенные через каж-
дую из таких точек к графику функции у ------— ,
х + 1
«	3
отсекают на оси абсцисс отрезок длины % .
Тематическая подборка задач	249
18.	Задачи с параметрами
18.37.	Найдите а, если известно, что прямая
у = 2х + 1
является касательной к графику функции
у = л/4х2 + а + Зх.
18.38.	Прямая у = 5 - х является касательной к
графику функции у = х - Jx2 - 2х + а . Найдите ко-
ординаты точки касания.
18.39.	При каких р числа cos 6р, sin 4р и cos 2р в
указанном порядке составляют геометрическую про-
грессию?
18.40.	При каких t числа cos It, cos 2t и cos lit
различны и в указанном порядке составляют арифме-
тическую прогрессию?
18.41.	Найдите все действительные b такие, что
система неравенств
I \г + i| < 3,
| |z + ЗЬ| < 2b
имеет ровно одно решение на множестве комплекс-
ных чисел.
18.42.	Найдите все действительные b такие, что
система неравенств
J |z - i| < 2,
| \z — 4b| < —3b
имеет ровно одно решение на множестве комплекс-
ных чисел.
18.43.	Найдите все р, при которых уравнения
log2 х2 + log2 (х + 3) = р и log2 х + log4 (х + 3) = | р
равносильны.
___	Дидактические материалы
11 класс
18.44.	При каких b уравнения
log2 (х + Ь)2 + Iog2 х = 5
и 2 log2 (х + b) - log0 5 х = 5
равносильны?
18.45.	Изобразите множество точек М(а; Ь) коор-
динатной плоскости ОаЬ таких, что уравнение
•/Зх + а = л/х2 - 2Ьх + а
имеет два различных корня (по х).
18.46.	Изобразите множество точек М(а; Ь) коор-
динатной плоскости ОаЬ таких, что уравнение
л/2х - b = Jx2 + Зах - b
имеет два различных корня (по х).
18.47.	На прямой у = 2х - 1 найдите все такие точ-
ки, что через каждую из них проходит ровно две каса-
тельные к графику функции у = х2, а угол между эти-
71
ми касательными равен .
18.48.	На прямой у = 6х - 9 найдите все такие точ-
ки, что через каждую из них проходит ровно две каса-
тельные к графику функции у = х2, а угол между эти-
п
ми касательными равен - .
18.49.	Для каждого а укажите количество корней
а	_х2
уравнения -—— = е .
18.50.	Для каждого а укажите количество корней
1 2 Я
уравнения In х = - .
Тематическая подборка задач	251
19.	Комплексные числа
18.51.	Для каждого значения Ъ решите уравнение
log3 (х - 5) = log9 (х2 + Зх- Ь).
18.52.	Для каждого значения Ъ решите уравнение
log0i5 (х + 3) = log0,25 (*2 “ 7х - Ь).
19.	Комплексные числа
19.1.	Пусть 2-1 = 3 + 41, 22 = -4 + 3i. При каких дей-
ствительных значениях а и Ь выполняется условие
г.
— = az, + bz9?
г2 1	2
19.2.	Пусть zx = 2 - i, z2 = -0,2 - 0,4/. При каких
действительных значениях а и b выполняется условие
ZjZ2 = агг + &г2?
19.3.	Найдите z12, если z + 2z = 3 + i.
19.4.	Найдите z6, если 3z - z = -4 + 8i.
19.5.	Для комплексного числа d = л/З - i найдите
все комплексные числа z такие, что
|z| = 2|d|, |arg d - arg г| = g .
19.6.	Для комплексного числа
b = -2 - 2i 73
найдите все комплексные числа z такие, что
|z| = 0,5|Ь|, a|arg z + arg &| = ^ .
19.7.	Найдите сумму всех таких чисел г, что
z4 = л/3 - I.
Укажите одно из этих чисел.
_ _ _	Дидактические материалы
11 класс
19.8.	Найдите сумму всех таких чисел г, что
z4=l -»7з.
Укажите одно из этих чисел.
19.9.	Найдите все комплексные числа г, удовлет-
воряющие условию
z2 + 2z + 1 = 0.
19.10.	Найдите все комплексные числа z, удовлет-
воряющие условию
z2 - 2(z + z) + 4 = 0.
19.11.	Среди комплексных чисел z 0 с аргумен-
те	о „
том - найдите все такие, для которых число z - 8z —
действительное.
19.12.	Среди таких комплексных чисел z, что
(z + z)(z - z) = 4/л/З ,
м	Л
найдите числа, аргумент которых равен х .
о
19.13.	Найдите пару комплексных чисел и z2,
для которых одновременно выполняются соотноше-
ния 2zj + z2 + Hi и 2zj - 3z2i =17.
19.14.	Найдите пару комплексных чисел z и со, для
которых одновременно выполняются соотношения
Зг-2со=1иг-/со = —6i.
19.15.	Найдите все комплексные числа, удовлетво-
ряющие условиям z2 = -15 + 8iHlmz>0.
19.16.	Найдите все комплексные числа, удовлетво-
ряющие условиям z2 = 5 + 12i и Re z < 0.
Тематическая подборка задач
253
19. Комплексные числа
19.17.	Решите систему уравнений
2	+	2i	= 1,
2	+	4i	
2	+	2i	= 1
Z	-	1	J2
19.18.	Решите систему уравнений
z - 4 z - 2	= 1,
z - 2 = _L .
г — i
19.19.	Найдите наибольший модуль комплексного
числа z, удовлетворяющего условию |zi - 3i + 4| < |i|.
19.20.	Найдите наименьший модуль комплексного
числа z, удовлетворяющего условию |z — i| = |z + 73 |.
19.21.	Известно, что для комплексного числа z вы-
полняются равенства |z - б| = л/б и |z + 2i| = 5. Найди-
те все значения, которые может принимать выраже-
ние |z - 6 + 2i|.
19.22.	Известно, что для комплексного числа г вы-
полняются равенства |z + 10| = -/б5 и |z - 2г| = ТТз .
Найдите все значения, которые может принимать Im z.
19.23.	Найдите все комплексные числа, для кото-
рых выполняется условие
zRe z + zlm г = 3 - 21.
19.24.	Найдите все комплексные числа, для кото-
рых выполняется условие
----Д-= z(l + 2i).
Re z Im г
чгд	Дидактические материалы
11 класс
19.25.	Множество точек комплексной плоскости
определяется условием
|z-3-4i|< 1.
В каких пределах изменяется Im z : Re z?
19.26.	Множество точек комплексной плоскости
определяется условием
|z + 4-3i|< 1.
В каких пределах изменяется Re z : Im z?
_ 19.27. Из всех чисел z, удовлетворяющих условию
zz = 25, найдите такие, что |z - 7| + |z — 7i| принимает
наименьшее значение.
19.28.	Из всех чисел z, удовлетворяющих условию
z2 - (z)2 = 16i, найдите такие, что |z - 5| + |z - 5i| при-
нимает наименьшее значение.
19.29.	При каких значениях а среди комплексных
чисел z таких, что
|z — 2 — 2г| < а,
найдется ровно одно такое, что z3 e R?
19.30.	При каких значениях р среди комплексных
чисел z таких, что
|z - 1 + iJH1 < р,
найдется ровно одно такое, что z4 е R?
19.31.	Пусть |z| = 2, arg z = - . Найдите модуль и
один из аргументов числа г3 -81.
19.32.	Пусть |z| = |, arg z = . Найдите модуль и
один из аргументов числа 32z4 + 2	.
Тематическая подборка задач	255
---	20. Изображение множеств комплексных чисел
19.33.	Найдите все действительные числа b такие,
чТо система неравенств
f |z + i| < 3,
I |z + 3b| < 2b
имеет ровно одно решение на множестве комплекс-
ных чисел.
19.34.	Найдите все действительные числа b такие,
что система неравенств
I |z-i|< 2,
1 |z - 4b| < -3b
имеет ровно одно решение на множестве комплекс-
ных чисел.
20.	Изображение множеств
комплексных чисел на плоскости
20.1.	Изобразите комплексные числа г, удовлетво-
з 1 - t
ряющие условию z = --:.
20.2.	Изобразите комплексные числа г, удовлетво-
2 -УЗ — i
ряющие условию г =	* .
20.3.	Изобразите множество точек комплексной
плоскости, удовлетворяющих условию
|г + 11
|г - 2|
> 0,5.
20.4.	Изобразите множество точек комплексной
\г + 2i| с,
плоскости, удовлетворяющих условию । _ ,|	2.
Дидактические материалы
11 класс
20.5.	Изобразите на комплексной плоскости мно-
жество точек, удовлетворяющих условию
Re - >Im fl - 1].
z \Z J
20.6.	Изобразите на комплексной плоскости мно-
жество точек, удовлетворяющих условию
Refl + i) < Im |.
20.7.	Изобразите множество точек комплексной
плоскости, удовлетворяющих условию Im  1 + | j >1.
20.8.	Изобразите множество точек комплексной
плоскости, удовлетворяющих условию Im fl - j) > 1.
20.9.	Изобразите на комплексной плоскости мно-
жество точек, удовлетворяющих неравенствам
72 <|(1 -i)z-i\<2j2.
20.10.	Изобразите на комплексной плоскости мно-
жество точек, удовлетворяющих неравенствам
2 < \2iz + 1 - i| < 6.
20.11.	Изобразите на комплексной плоскости все
такие с, что для каждого из них среди решений урав-
нения z2 + z = с найдется решение гг, аргумент кото-
л
рого равен - .
20.12.	Изобразите на комплексной плоскости все
такие числа с, что для каждого из них среди решений
уравнения г2 - cz = 0 найдется решение zx, аргумент
Зл
которого равен — .
Тематическая подборка задач
20. Изображение множеств комплексных чисел
20.13.	Множество М содержит все комплексные
числа г вида
z = cos (р + i sin (р, где 0 < (р < л.
Изобразите множество Мг комплексных чисел со, где
причем г пробегает множество М.
20.14.	Множество N содержит все комплексные
числа 2 вида
I	Л -X	X-
2 = cos ср + I sin ср, где % ч (р ч л.
Изобразите множество N х комплексных чисел v та-
ких, что
где 2 пробегает множество N.
20.15.	Пусть множество М точек комплексной
плоскости, соответствующих числам z, представляет
собой прямую, проходящую через точки (0; 1) и (1; 2).
Изобразите на комплексной плоскости множество
Мр состоящее из всех точек, соответствующих чис-
лам Zj таким, что Zj = 1 + (z - i)2.
20.16.	Пусть множество М точек комплексной плос-
кости, соответствующих числам z, представляет собой
окружность с центром в точке (0; 1) и радиусом 1.
Изобразите на комплексной плоскости множество
состоящее из всех точек, соответствующих числам Zj
таким, что г у — ———-.
1 г - i
9
Зиг 594
258
Дидактические материалы
11 класс
20.17.	Изобразите на комплексной плоскости все
такие числа г, для которых
г + 2г —
z - i
20.18.	Изобразите на комплексной плоскости все
такие числа г, для которых
2z + z _ |
г + 21
20.19.	Отметьте на комплексной плоскости все
точки г, если известно, что треугольник с вершинами
в точках, соответствующих числам zx = 2, z2 = г и
z3 = 21 - z, является равнобедренным.
20.20.	Отметьте на комплексной плоскости все
точки z, для которых точки, соответствующие числам
Zj = 2i, z2 = z и z3 = | z + 1, являются вершинами пря-
моугольного треугольника.
Ответы
1.1. -0,5. 1.2. 0,5. 1.3. -j. 1.4. g. 1.7. cos e/Z < 0.
О	о	W U
1.8. j ; 36
О
; cos 3Jx1x2 < 0. 1.9. log4 3 > log3 2. 1.10. log3 5 >
fl	5	21
> log5 7. 1.11. | g log2 7 - 2 ; ~з I u (0; 1); число -0,75 не яв-
[32	\
- ; - log9 6 ;
2 3 z J
число 1,75 не является решением неравенства. 1.13. log2 3 <
< 3J7 . 1.14. log3 4 > V2 .
2.1. M1(l;-4), Л/2(3; -18)— общие точки; — точ-
ка касания. 2.2. Afj(-1; —9), Л12(5; 45)— общие точки;
— точка касания. 2.3. -2, -«/5,./5. 2.4. 3, -«/б, Тб.
2.5. {(-1; -3), (3; 1)}. 2.6. {(-1; -2), (2; 1)}. 2.7. М( 2; -2);
«(-4; 52). 2.8. М-3; 3); К (6; 48). 2.9. 2;	. 2.10.-1;
5±ЛЗ
—. 2.11.-18. 2.12.-22.
260
Дидактические материалы
11 класс
3.1. 2 + пп; ±jj arccos g + nk; п, k е Z. 3.2. nn,
tarcsin + nk; п, k е Z. 3.3. 2 + j; ±^ + тгп; A, ne Z.
3.4. |	; ± 2 + nn; k, n 6 Z. 3.5. x = 2n + 4nk; ke Z.
3.6. x = — + 2nk; ke Z. 3.7. -2 . 3.8. 2 . 3.9. nn;	,
о о	io о
где k * 4m + 1; n, k, m e Z. 3.10. nn; 4-222 , где m * 5p + 2;
ZU 1 и
n, m, p e Z. 3.11. 2лА; -arctg 6 4- 2nm; k, me Z. 3.12. 2 + 2л/г,
arctg 0,1 + 2nm; k, m e Z. 3.13. ±2 + nk; k e Z (при этом
О
ft = -10). 3.14. ± g + nk; ke Z(при этом a = 4). 3.15. 2 + nn,
neZ. 3.16.x = -2 +2лтп;х=г +	; k, m e Z. 3.17. x =	4-
Z	о Z	о
+ 2л/г; у = 2 + 2л/г; х = х 4- 2лп; у =	+ 2пп; k, п е Z.
о	о	о
3.18. х = у + 2лЛ, у = - у - 2лЛ; х = у + 2лп, у = -	-
- 2пп; k,neZ. 3.19. х = 5 +	; х = ±2 +пп; k,ne Z.
о 4	о
г, пп 71 . 7171 ^т	„	_	л
3.20. х= g + — ; х = —, где т 5р; п,т,ре Z. 3.21.	+
+ nk; ±2 + 2пп; k, п е Z. 3.22. ? +	+ 2пп; -2 +
о	4 Z	О	О
+ 2пт; k,	т, п е Z. 3.23. (-1)" + 1	? + 2пп;	п е	Z. 3.24. х	=
о
= ±^ +2nn;neZ. 3.25.2 +^,±2 + лп; k,neZ.3.26.% +
о	4 Z О	4
+ v ’ ± 5 + пт’ k,me Z. 3.27. -2.3.28. 2.3.29. nn, пе Z.
Z о	ио
3.30. (-1)» у2 + лп; - 2 + 2лЛ; п, k е Z. 3.31. 7 + 2? ;
261
Тематическая подборка задач
Ответы
+ 5 + пп; k, п е Z. 3.32. $ + у; ±;+ м; А, п 6 Z.
"6	4 Z о
3.33. ±| arccos + nn; ±|+ nk; n,k е Z.
3.34. ± j arccos j + nn; ±g + nk; n, k e Z. 3.35. ± g 4- у ,
1	7	. ПП U	<7 О ОС	J.1	5
+ -arccos rr + -y ; k, n, e Z. 3.36. -y ; ±x arccos у + nn;
4	11*	Z Z	34
k, n e Z. 3.37. p =± | arccos | + ^ ; k E Z. 3.38. t = j +	;
n e Z. 3.39. [5 +2nk;l +2nl ];k, IE Z; f-2 + 2nm; у 4- 2nn );
6J	V 3	6
m, n e Z. 3.40. f~ + 2nm; у + 2л/1; m, I e Z; f-— + 2np;
к 6	t> 7	к 6
g +	;	p, q E Z. 3.41. yg	4- у, где p	* 9s +	4; p, s 6 Z.
0^0 д	1 3nm	1	о	&	n	2nk
3-42. yg	+ —— , где m * 9p	+ 2; m, p e	Z;	~ ' где
k # 71 + 5; k, I e Z.
4.1. fo; уЯ U Гл; уЯ U {-1; 5}. 4.2. Г -2; -5) U Г-5; ol U
к о j (_ о j	l J l
U {1}. 4.3. [2 - 73; 1) U (1; 2 + 73 ]. 4.4. [0; 2) U (2; +°°) U
и (-4; ±2 Тз }. 4.5. 2 < х < 4. 4.6. 3 < х < 6.
5.1. (0,5; 0), (0; -1). 5.2. (о;	(-1; 0). 5.3. (4; 1).
6.1. X е (-оо; -1) U (2; +оо). 6.2. [1; 2]. 6.3. (0; 1) U
U (log2 5; 4-ос). 6.4. (-оо; 0) U [log3 2; 1]. 6.5. (5; 4-оо).
6.6. (-оо; 0] U [3; 4). 6.7.	< х < 1.6.8. х Е [-2; 1]. 6.9. х < -2.
Z
Дидактические материалы
262
7 7 класс
6.10. 0 < х < 1. 6.11. Г| ; |] U ; +ооЛ . 6.12. (-оо; -7] и {2).
(1	5	21
6.13. I з log2 7 -3 ; -g U (0; 1); число -0,75 не является
гз 2 л
решением неравенства. 6.14. (0; 1) U - ; — log2 6 J; число
1,75 не является решением неравенства. 6.15. (-°°; -1] U
,, Г1 785-6 , ч ,
и [log2---2----’ +оо': 1 — наименьшее натуральное реше-
ние. 6.16. (~оо; -1] U [log3 (720 - 3); +°°); 1 — наименьшее
натуральное решение.
7.1. (-72;-2), (2; 2). 7.2.
7.3. log2 3.
’ 578
7.4.	-if; log3 4; 2. 7.5. -И; -1; 5. 7.6. -7; -2; 1. 7.7. 3.
4
7.8.	2. 7.9. -10; 5 -Тб . 7.10. | ; 3	. 7.11. cos 8/^ < 0.
7.12.	{|; 36 }; cos з/^ < 0. 7.13. (|; и (|;	.
7.14.	• 7.15. 0,25 < а < 1,5. 7.16.1 < b < 6. 7.17. b < -4.
7.18.	и(-|;о) U ; +OO.J. 7.19.-|; 1.7.20. 2g; 4.
7.21.	Если b < 40, то решений нет, если Ь > 40, то х =
д + 25
13
h 4- О
. 7.22. Если Ъ < 30, то х =-----------, если b > 30, то
1 О
решений нет. 7.23. р > 2. 7.24. Ъ > -6.
8.1. (1; 3). 8.2. [1; 2). 8.3.	; 1) U (5; +оо). 8.4. (6; +оо).
8.5. [1-Т5;1-73]и[1 + 73;1+7б]. 8.6. [2 - 273;
2— Тб ] U [2 + Тб;2 + 2ТЗ]. 8.7. Г1| ;+°°) . 8.8. [1,5;+°°).
9.1. {-5 ± 729 }. 9.2. {5 ±726
Тематическая подборка задач	263
Ответы
8 9 р е (—со; -7) U (1; 1,5]. 8.10. t 6 [-1; -|) U (0; 0,5].
8.11- (-°°; 3 -72 ] U [3 + 72 ; 6]. 8.12. (-оо; 2 -72 ] U [2 + Л ; 7].
8.13. (0; - 1 + 72] U fl + -у ; 21 . 8.14. (-1; 3 -714) U
U (1 + 73 ; 3) U (3+714; 7). 8.15.	(5; 4-°°).
8.16. [0,5; 2). 8.17. (-3,	8.18. (-оо; -4) U (-1 , о].
8.19. [ | log, 7 -|; -|"l U (0; 1); число -0,75 не является ре-
с о oj
[32	\
2 ; £ log2 6 i; число 1,75
не является решением неравенства.
}. 9.3. (-1;-|] U (-|; 1] U
U (5; +оо). 9.4. [0,5; 2]. 9.5. лп; п е Z. 9.6. (-1)п у + пп, +
+ 2лЛ; п, k g Z. 9.7. (4; 1). 9.8. | ; уj. 9.9. -27^ + 2х + 5,5.
9.10. 2х -72х + 1 + 2. 9.11. Искомые точки лежат внутри
и на сторонах тупого угла, представляющих собой лучи
прямых а = 0иа + 6Ь + 9 = 0, за исключением точек пря-
3
мой £» = --. 9.12. Искомые точки лежат внутри и на сторо-
нах тупого угла, представляющих собой лучи прямых 5 = 0
2
и 6а + Ь - 4 = 0, за исключением прямой а = х .
О
10.1.	[-2; 2). 10.2. (-оо; 0] U (4; +°°). 10.3. При всех х е
Е [0,6; 1). 10.4. При х>—1. 10.5. ( 0; у] U [л; у] И{-1; 5}.
Дидактические материалы
264
11 класс
U {1}. 10.7. Искомые точки удов-
летворяют системе неравенств х > -2, р>1,р<1,5 +
+ 7х + 2 . 10.8. Искомые точки удовлетворяют системе нера-
венств х > 4, р > -1, р С 1 + 2 7х - 4 .
11.1.	(1; 3). 11.2. [1; 2). 11.3. q = 3 или q - |. 11.4. | или
О	с,
11.5.	(-2,5; -1,5) U (-1,5; - 0,5) U {0,5} U (1; 1,5).
11.6.	(-0,5; 0) U {0,5} U (1; 2) U (2; 3). 11.7. {log2 3}.
11.8.	(~У?; log3 4; 2). 11.9. (уу + 2л/г;	£ + 2л/г'|,
4	V о	оу
| g + 2лп; у + 2л nJ ; k, п 6 Z. 11.10. (у + 2л/е; -у - 2л/г];
+ 2лп; -у - 2лпЪ k, п е Z. 11.11. 3. 11.12. 2.
11.13. (-оо; 3 -V2] U [3 + 72; 6]. 11.14. (-оо: 2 -72] U
U [2 + 72 ; 7]. 11.15. fo; U Гл; U Н; 5}. 11.16. Г-2; -
U U [-2; о] U {1}. 11.17. (2; -1). 11.18. х = 1, у - 2. 11.19.
Ь27. 11.20. 152. 11.21. [2 - 73 ; 1) U (1; 2 + 73 ]. 11.22. [0; 2)
U U (2; +оо) и {-4; ±273 }. 11.25. 0,25 < а < 1,5. 11.26. 1 < Ь
< 6. 11.27. ±g + у ; ±| arccos ту + у ; A, n e Z. 11.28. у ;
±|arccos Д + лл; k, пе Z. 11.29.р = ±| arccos |	, ke. Z.
11.30.	t = J + у; п 6 Z. 11.31. [|; 1] . 11.32. [О; U
U(l; +оо).
— 265
Тематическая подборка задач
Ответы
12.1. Промежутки возрастания [1; 2] и [3; +°°); про-
межутки убывания (-оо; 1] и [2; 3]. 12.2. Промежутки
возрастания [-5; -1] и [4; +оо); промежутки убывания
(-оо; -5] и [-1; 4]. 12.3. E(f) =	5	‘
П - Л 1 +	- 2л , _	.	, _	„
12.4. —л— I —о— • 12.5.	+ 2лп < х < 2лп, п е Z;
a	Z J	о
— + 2лЛ < х < л + 2л/г; k е Z. 12.6. -5 + 2лп < х < х + 2лп;
3	Z	<5
п е Z; х + 2лЛ < х < лг + 2лЛ; k е Z. 12.7. При х < 0 функ-
&	<5
ция убывает; при х > 0 функция возрастает. 12.8. При х < О
функция возрастает; при х > 0 функция убывает.
12.9.	Функция монотонно возрастает на области своего оп-
ределения [0; +°о). 12.10. Функция монотонно убывает на
области своего определения (0; +°о). 12.11. E(g) = (-оо; -5] U
и(-1; +°о). 12.12. E(g) = (-0°; -3] U (1; +оо). 12.13. Три корня.
12.14. Два корня. 12.15. D(y) = {1} U [3; +<»). 12.16. При х - 1
и при X > 2. 12.19. E(f) =	|,/ё]. 12.20. Е(у) =
= Г_£^; е-£\. 12.21. [1,75; 4,25]. 12.22. -3^ < у - х < 5^ .
L 2	2 j	16	16
12.23.	2. 12.24. 4. 12.25. ±£ + лг , ±| arccos + ^-,k,neZ.
О Z 4	i 1 Z
12.26.	^; arccos + лп; k, п 6 Z. 12.27. 0,41g е.
12.28.	-0,61g е. 12.29. [|; |} и [| 1 +°°) • 12-30- (-°°; ~7] U {2}.
12.31.	(-оо; ю|]. 12.32. (-оо; -1^]- 12.33. (1;
12.34.	(1; 1). 12.35. k е {1; 2; 2,5). 12.36. а е {-3; 0,5; 1}.
2
13.1. 10х . 13.2. 36. 13.7. Искомые точки лежат внутри и
о
на сторонах тупого угла, представляющих собой лучи пря-
мых а = 0 и а + 66 + 9 = 0, за исключением точек прямой
Дидактические материалы
266-
11 класс
b = -g . 13.8. Искомые точки лежат внутри и на сторонах
тупого угла, представляющих собой лучи прямых b = 0 и
2
6а + b - 4 = 0, за исключением точек прямой а = х .
О
2
14.1. у = е3. 14.2. у = у . 14.3. MJ1; -4), М2(3; -18) —
общие точки; — точка касания. 14.4. Mj(-1; -9),
М2(5; 45) — общие точки; Мх — точка касания. 14.5. у =
= -х + |. 14.6. у = -х + |. 14.7. у = -0,25х - 0,25.
14.8. у = -0,5х + 2,25. 14.9. у = х + 1, у = -Зх - 3. 14.10. у = х,
У = -Зх. 14.11. Существует: у = -х - |. 14.12. Существует:
У = х + 2,25. 14.13. (-оо; -1) U (| ; 2 1 U (2; +оо). 14.14. t е
G [ -2; I) . 14.15. М(2; -2); 7С(-4; 52). 14.16. N(-3; 3);
К(6; 48). 14.17. а = 4л - И. 14.18. р = ? . 14.19. а = -15.
4
14.20. (0; 8). 14.21. у = х + 3. 14.22. у = Зх + 8. 14.23. а = | •
14.24. (3; 2). 14.25. у = 11х - 22; у = х - 7. 14.26. у = 7х - 14.
14ЭТ- Н; -!)• (й  I) • 14-28- <!•№ -2.1). (1§; 1 п) 
15
15.1. у = 3 — максимум функции. 15.2. у = ]п 4 + — —
О
1	15
минимум; у = In - -g- — максимум. 15.3. у = е3. 15.4. у =
2
в	Q9
= -3 • 15.5. S4> min = 0,25 при q = 0,5. 15.6. S4> max = при
9=	15.7. (0,5; Jfn6 ). 15.8.	; Jln3 I . 15.9. (-1; 1).
Тематическая подборка задач
Ответы
267
г 1 + V21
15.10. [-/2; In —j—j
15.11. Наибольшее значение равно
СЯ	4^5 , л	. 2
, наименьшее значение равно —у + g - arcsin g .
15.12. Наибольшее значение равно — , наименьшее значе-
ние равноу-  15.13. х е -2] U [-1; 1]. 15.14. х е
е (0; 2) U (3; +«>). 15.15. 1,25. 15.16. 0,5. 15.17. р =
= -^(1972 - 1) и р = 2,25. 15.18. а =
15.19. (1 - х2) sin х2 - cos х2 - у 15.20. (х2 - 1,5) cos 2х -
- х sin 2х + 1,5. 15.21.	. 15.22. л3-/б . 15.23.	.
7	14	(	4\
15.24.	(1; 1). 15.25. 9;	15.26. 18;	. 15.27. 1; - .
Ct I	Ct I	\	c J
15.28.	(1; 1). 15.29. [з^| ; з^| j. 15.30. (| ; -In б) . 15.31. 6; -4.
15.32. 7; -3.
16.1. (1 - x2)sin x2 - cos x2 - у 16.2. (x2 - l,5)cos 2x -
- x sin 2x + 1,5. 16.3. 2;
5±j37
2
16.4. -1;
5±V13
2
9 4- y	X. ~ 1
16.5. F(x) = In^——.	16.6. F(x) = In —— + 21n 3.
2 - x	x + 1
16.7. -2 J^x + 2x + 5,5. 16.8. 2x - -]2x + 1 + 2.
17.1. i 17.2. 1J. 17.3. 67. 17.4. I5. 17.5. In 2 - 5.
О	o	4	О	с»
17.6. In 3. 17.7. 2. 17.8. 5.17.9.1,25. 17.10.1,25. 17.11. ю|.
О
2	1
17.12. 36. 17.13. 4л + 2. 17.14. Зл - 2. 17.15. » - 5ln3.
О	Ct
Дидактические материалы
11 класс
17.16. 5 - I In 2.17.17. 6,5 - 6 In 2.17.18. 32. 17.19.	+ % .
о	о о
17.20. у - у. 17.21. 25,5. 17.22. 25,5. 17.23. 12,5.
17.24. 12g. 17.25. 5g. 17.26. 18. 17.27. (-6; 60) и (6; 12).
17.28. (5; 5) и (-5; -55). 17.33. (4; 8). 17.34. (-3; -9).
17.35. t = 0,25. 17.36. р = -0,5. 17.37. 2л + 2,5.
17 4R	qq ,	23	- — _	5 4- а/21
1/.ОО. -д-----д—. 17.<5У. и \2 *	Р =----------2--*
17.41. 10g. 17.42. i 17.43. 5g. 17.44. 5g. 17.45. 20л.
о	о	о	О
1	2	1
17.46. 2,5 -	. 17.47. 16л. 17.48.	± . 17.49. 108.
Шл	о In о о
17.50. 5467.
4
18.1. 3, -./6, Тб. 18.2. -2, -75, 75. 18.3. (-°°; -7) U
U (1; 1,5]. 18.4. [-1; U (0; 0,5]. 18.5. (-6; 60) и (6; 12).
18.6. (5; 5) и (-5; -55). 18.9. а < | 3Т2. 18.10. b <	3Т2.
« £
18.11. М(4; 8). 18.12. (-3; -9). 18.13. (-оо; -1) и (| ; 2 j U
U (2; +оо). 18.14. t е ( -2; gl. 18.15. t = 0,25. 18.16. р = -0,5.
18.17. х 6 (-оо; -2] U [-1; 1]. 18.18. х 6 (0; 2) U (3; +оо).
18.19. 4л - 11. 18.20. | . 18.21. 0,25 < а < 1,5.18.22. 1 < b < 6.
18.23. а = 73 - 1.18.24. р =	- 72 . 18.25.1,25. 18.26. 0,5.
Ci
18.27.	2л + 2,5. 18.28. v " М • 18.29. b < -4. 18.30. р е
О	О	г
е и ("I: °) и [I ; +°°У 18.31.5= ||. 18.32. р =
269
Тематическая подборка задач
Ответы
=	+ V21 18 33 р = _ 12 (19^ _ 1)( р = 2,25. 18.34. а =
Z	1 ио
= 1_+ 32^. -,а = -1.18.35. а = -15. 18.36. (0; 8). 18.37. а = 5 .
5	5	о
18.38. (3; 2). 18.39. р = arccos | + у; k е Z. 18.40. t =
" + ^; ле Z. 18.41. 0; ^6. 18.42. 0;
4	&	о	<
18.43. р > 2. 18.44. b > -6. 18.45. Искомые точки лежат вну-
три и на сторонах тупого угла, представляющих собой лучи
прямых а = 0иа + 65 + 9 = 0, за исключением точек пря-
3
мой b = - g • 18.46. Искомые точки лежат внутри и на сторо-
нах тупого угла, представляющих собой лучи прямых 5 = 0
2
и 6а + b - 4 = 0, за исключением точек прямой а = 3 .
18-4’- н  -I)  (п  I) •18 48-|1Д5; -2-1»’ (11 •1 п) 
1	2
18.49. Если а = 0, или а < -- , или а > — , то корней нет; ес-
е	Че
1	2	1
ли а = — или а = — , то один корень; если — < а < 0 или
е	Че	е
2
О < а < — , то два корня. 18.50. Если а < 0, то корней нет;
Че
если а = 0 или а > 4е~2, то один корень; если а = 4е~2, то два
корня; если 0 < а < 4е~2, то три корня. 18.51. Если b < 40,
решений нет; если b > 40, то х =	. 18.52. Если b < 30,
то х ----; если о > 30, то решении нет.
1 о
19.1. а = -0,16; b = -0,12. 19.2. а = -0,2; 5 = 2. 19.3. -64.
19.4. 512/. 19.5. Zj = -4i; z2 = 2 «/3 + 2i. 19.6. Zj = -,/3 + i;
z2 = 2i. 19.7. Zj + z2 + z3 + z4 = 0; одно из этих чисел
270
Дидактические материалы
11 класс
1/2 ( cos + i sin (-Д И • 19.8. гг + z2 + z3 + z4 = 0; одно
из таких чисел
472 ( cos
+ i sin (-AY). 19.9. -1,1 - 2i,
\ 1«//
1+ 2i. 19.10. 2, -2i, 2i. 19.11. 2 + 2i. 19.12. 1 + ij3 .
19.13. Zj = 2,5 - 7,5г; z2 = -5 - 4i. 19.14.	z =	3 +	2i, ш = 4 -	3i.
19.15. 1 + 4i. 19.16. -3 - 2г. 19.17. zx =	2	-	3i;	z2 - -4 -	3г.
19.18. Zj = 3 + 2i; z2 = 3 - 4i. 19.19. 6. 19.20. |. 19.21.1 и 713 .
19.22. -1 и 4. 19.23.	- i; 1	+ 2i; -1 -	2г.
19.24. 0,4 - 0,8i; 1 - г; 1+ i. 19.25. 6 ~	< 6 +	.
4 Re г 4
™ -6 - Тб Re z „ -6 + Тб	.
19.26.	< jm г <	4	. 19.27. Zj - 3 + 4г, z2 —
= 4 + 3г. 19.28. z: - 4 + i, z2 = 1 + 4г. 19.29. a = 75 - 1.
19.30. p =	~	19.31. 872; & 19.32. 4;
Z	4	о
19.33. 0; ^6,+ 6 . 19.34. 0; -^„+ 6 .
o	7
20.1. A(0; 1); b(&-|) ; c(-^;
эти точки лежат на
единичной окружности и делят ее на три равные части.
20.2. а(-тг; ; В х) . 20.3. Искомое множество ле-
жит вне круга с центром в точке (-2; 0) и радиусом 2, вклю-
чая границу круга и исключая точку (2; 0). 20.4. Заданная
область — круг с центром (0; 2) и радиусом 2, включая гра-
ницу круга и исключая точку (0; 1). 20.5. Искомые точки
лежат выше прямой у = -Зх, а также на этой прямой, за
исключением начала координат г = 0. (Иначе говоря, эти
точки удовлетворяют условиям у > -Зх, z * 0.) 20.6. Иско-
мые точки лежат ниже прямой х = -2г/, а также на этой
прямой, за исключением начала координат г = 0. (Иначе го-
Тематическая подборка задач
Ответы
271
воря, эти точки удовлетворяют условиям х < -2у, г * 0.)
20.7. Круг с центром [ 0; |) и радиусом |, исключая точку
(0; 0). 20.8. Круг с центром (0; 1) и радиусом 1, исключая
точку (0; 0). 20.9. Открытое кольцо, ограниченное окруж-
ностями с центром Г-|; | и радиусами 1 и 2. 20.10. Откры-
fi
тое кольцо, ограниченное окружностями с центром I I и
радиусами 1 и 3. 20.11. Все точки с = х + iy, лежащие на ду-
ге параболы у = 2х2 - х при х > 0. 20.12. Все точки с = х + iy,
лежащие на луче у = х, х > 0. 20.13. Полуокружность
с центром в точке и = 0 и радиусом 72 , аргументы точек
которой принадлежат отрезку Г^;	. 20.14. Четверть
окружности с центром в точке v = 0 и радиусом 72 , аргу-
г5л 7тг]
менты точек которой принадлежат отрезку -j-; — .
20.15. Afj = {Zjlzj 6 С, Re Zj = 1, Im Zj > 0}, т. e. если гх =
= x + iy, x e R, у 6 R, то искомое множество — это луч
прямой х = 1, находящийся в верхней полуплоскости.
20.16. Окружность с центром в точке г, = 0 и радиусом 2.
20.17. Парабола у =• 0,5 - 4х2, где г = х + iy. 20.18. Парабо-
ла у = 2х2 - 1, где г = х + iy. 20.19. Объединение прямой
у = 2х + 1 (где г = х + yi) и двух равных окружностей ради-
275	24.22.
уса —х— с центрами в точках -х + ;i и ; + xi, за ис-
О	о о	о о
2	2
ключением пяти точек этих трех линий (г, -2 + 2i, х + х i,
о и
-х + | i, 2), лежащих на прямой у = -^ х + 1. 20.20. Объеди-
о о	Z
нение трех окружностей: с центром 1 + i и радиусом 72,
с центром -1 + 3i и радиусом 72, с центром 2i и радиусом
272 , за исключением трех точек касания.
III. Экзаменационные работы
9 класс
ЭМ-9-1
Вариант 1
и найди-
2
7 •
1. Упростите выражение
те его значение при с = 1,6 • 10 3.
2.	Вычислите cos ? cos , если cos а =
&	6
3.	Найдите номер наибольшего члена
тельности (ал), если ап = 3 + 15п - 2п2.
последова-
4,	Две бригады рабочих при совместной работе за-
тратили на асфальтирование участка дороги 4,8 ч.
Сколько времени потребуется на асфальтирование это-
го участка каждой бригаде в отдельности, если одной
на эту работу требуется на 4 ч больше, чем другой?
5.	Решите систему уравнений
х + у - Jx + Jy - Zjxy = 2,
Jx + Jy = 8.
Экзаменационные работы
9 класс
273
6.	Постройте график функции у - f(x), где f(x) =
= ||х + 1| _ 31 - 1, и, используя его, решите неравенст-
во /(х) > 0.
Вариант 2
1. Упростите выражение
1
з
+ а и наиди-
те его значение при а = 2,7 • 10 2.
2.	Вычислите sin a sin За, если cos 2а =	.
О
3.	Найдите номер наименьшего члена последова-
тельности (рп), если рп = 1 - 23п + Зп2.
4,	Две бригады работниц пропололи по 280 грядок
каждая, причем первая бригада, пропалывая в день
на 30 грядок меньше, чем вторая, работала на 3 дня
больше. Сколько дней работала на прополке каждая
бригада?
5.	Решите систему уравнений
(х2 + ху + у2} 7х2 + у2 =185,
(х2 - ху + у2) Jx2 + у2 = 65.
6.	Постройте график функции у = Дх), где Дх) =
= |2 - |2х - 1|| - 2, и, используя его, решите неравенст-
во Дх) < 0.
Дидактические материалы
* *	9 класс
ЭМ-9-2
Вариант 1
1.	Представьте выражение (2х - i/)(2x + у)(16х4 +
+ 4x2z/2 + у4) в виде многочлена стандартного вида и
найдите его значение при х = - -]2 , у = 37б .
2.	Решите уравнение
2х2 + Зх - 17 = 2(2 - Л )2 + 3(2 - 77) - 17
и укажите какое-нибудь рациональное число, заклю-
ченное между его корнями.
3.	Решите систему уравнений
х - У-2- =0,
< х - 3
2х2 + у2 - 2ху = 13.
4.	Решите неравенство 1,5х - |х| + |2х - 4| > 4.
5.	Найдите сумму всех трехзначных чисел, не де-
лящихся на 7 и оканчивающихся цифрой 3.
6.	Пусть А, В и С — углы треугольника. Докажите
тождество
sin 4А + sin 4В + sin 4С = - 4 sin 2А sin 2В sin 2С.
Вариант 2
1.	Представьте выражение (а - 2Ь)(а + 2Ь)(а4 +
+ 4а2Ь2 + 16b4) в виде многочлена стандартного вида и
найдите его значение при а =	, b = -3«/3 .
2.	Решите уравнение
4х2-9х-11 =4(72 + 73)2-9(^ + 73)-П
и укажите какое-нибудь рациональное число, заклю-
ченное между его корнями.
Экзаменационные работы
9 класс
275
3.	Решите систему уравнений
х + 2у + 3
У “ 1
х2 + 4xi/ + 5 г/2 = 10.
4.	Решите неравенство 2х - 5 + 2|х - 3| < |х + 1|.
5.	Найдите сумму всех трехзначных чисел, не де-
лящихся на 11 и оканчивающихся цифрой 5.
6.	Пусть А, В и С — углы треугольника. Докажите
тождество
_. , . OD , . „„	. ЗА ЗВ ЗС
sin ЗА + sin ЗВ + sin ЗС = -4 cos -у cos cos .
ЭФМ-9-31
Вариант 1
1.	Найдите область определения функции
J7x + 1
У=~^Г~-
2.	Выполните указанные действия:
(|7б - ЗТЗ + 572-78^ - 724 + 1872 - 1273 .
3.	Бассейн, содержащий 30 м3 воды, сначала был
опорожнен, а затем снова наполнен до прежнего уров-
ня, для чего потребовалось 8 ч. За какое время запол-
нился бассейн, если вливающий воду насос перекачи-
вает в час на 4 м3 меньше, чем выливающий?
4.	Вычислите sin а, если cos (а + g
3
г, И из-
о
вестно, что 5 < а + 5 < л.
Z	о
ЭФМ — экзаменационная работа в физико-математиче-
ских классах.
Дидактические материалы
276
9 класс
5. Решите систему уравнений ,
1
х + Зу
+ У = Ь,
—£— = 6.
х + Зу
6. Решите уравнение /Ч|лг|) = |/(х)|, где
Лх) = 2|х - 1| + х.
Вариант 2
1.	Найдите область определения функции
У Л - Зх '
2.	Выполните указанные действия:
(|732 -	+ 4^/5 Ъ 712 - 4«/б - 24 J5 .
«5	j
3.	Бассейн объемом 1 м3 заполняется двумя насоса-
ми одновременно. Первый насос перекачивает за 1 ч
на 1 м3 больше, чем второй. Найдите время, за кото-
рое каждый насос в отдельности может наполнить
бассейн, если первому насосу нужно для этого на
5 мин меньше, чем второму.
4.	Вычислите cos а, если sin(g - а) =	, и из-
Л П
вестно, что н < х - а < л.
J о
5.	Решите систему уравнений
+ х + 1 = О
1
х - у
6.	Решите уравнение Л|х| - 1) = |Лх) ~ 3|, где
Лх) = 2х + |х|.
11 класс
ЭМ-11-1
Вариант 1
1.	Пусть |z| = 2, arg z = (z — комплексное число).
О
Найдите модуль и один из аргументов числа z3 - 8г.
2.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
ком функции у = х2 + 5 и касательными к этому гра-
фику, проведенными через точку М(0; 1).
3.	Решите систему уравнений
1
sin х cos у - cos х sin у = g ,
cos х + sin у = 1.
4.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
Функции
g(x) = cos Зх + 8 cos2 х, хе R.
5.	Для каждого значения b решите уравнение
log3 (х - 5) = log9 (х2 + Зх - Ь).
6.	Решите неравенство
2	2
32х’1-3ж-1(3х3 +х) + х • х3 <0.
о	Дидактические материалы
27 о	~	
11 класс
Вариант 2
1.	Пусть |г| = |, arg г = (а — комплексное чис-
ло). Найдите модуль и один из аргументов числа
32г4 + 2V3i.
2.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
ком функции у = 1 - х2 и касательными к этому гра-
фику, проведенными через точку М(0; 5).
3.	Решите систему уравнений
1
cos х cos у - sin х sin у = - g ,
sin х - sin у = -1.
4.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции
f(x) = 2 sin Зх + 16 sin2 х.
5.	Для каждого значения b решите уравнение
1о£о,5 (* + 3) = log0 25 (*2 “ 7х - 6).
6.	Решите неравенство
1 1
22х-1 _ 2х~1(2х2 + х) + х • х2 >0.
ЭМ-11-2
Вариант 1
1. Дана функция Дх) = e'x(cos х + sin х). Найдите
Г(0).
2. Найдите наибольший объем цилиндра, полная
поверхность которого равна 2л.
Экзаменационные работы
11 класс
279
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
ками функций у = 3“х, у = | и осью ординат.
4.	Многочлен Дх) при делении на многочлен
х3 + х2 - 10х + 8 дает в остатке х2 - х + 1. Найдите
значение выражения Д1) • Д2) - Д-4).
5.	Изобразите на комплексной плоскости все такие
числа z, для которых
г + 2г
г - I
6.	Решите уравнение
ctg х - tg х - 2 tg 2х - 4 tg 4х = 8 tg х.
Вариант 2
1.	Дана функция Дх) = e2xcos х. Найдите f "(0).
2.	Найдите наименьшую полную поверхность ци-
_	л
линдра, объем которого равен .
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной графи-
ками функций у = 2х, у = 3 - х и осью ординат.
4.	Многочлен Дх) при делении на многочлен х3 -
~ 7х2 + 7х + 15 дает в остатке х2 - 8х + 14. Найдите
значение выражения ДЗ) • Д5) - Д-1).
5.	Изобразите на комплексной плоскости все такие
Числа г, для которых
2г 4- г
г + 2i
= 1.
6.	Решите уравнение
sin х cos 2х cos 4х = x
О
280
Дидактические материалы
11 класс
ЭМ-11-3
Вариант 1
, „	2 п
1.	Решите неравенство arccos ~	•
2.	Решите уравнение
з log2 (х + 1) - j log2 (Зх + 5)2 +
+ 2 log2 (х + 1) • log2 (Зх + 5) = 0.
3.	Найдите такую первообразную Р(х) функции
2
Дх) = —----, график которой проходит через точку
х - 1
М(2; In 3).
4.	Найдите уравнения всех общих касательных к
графикам функций
у = -х2 + 9х - 23;
у = х2 + Зх - 6.
5.	Найдите все действительные Ъ такие, что систе-
ма неравенств
|z + i| < 3,
jz + ЗЬ| < 2b
имеет ровно одно решение на множестве комплекс-
ных чисел.
6.	Изобразите множество точек М(а; Ь) координат-
ной плоскости ОаЬ таких, что уравнение
л/Зх + а = Jx2 - 2Ьх + а
имеет два различных корня (по х).
Экзаменационные работы
11 класс
281
Вариант 2
.	3 . 71
1.	Решите неравенство arcsin - > g .
2.	Решите уравнение
5 logZ (х - 2)3 + 2 • log5 (х - 2) • log5 (Зх - 4) =
О 5
= log| (Зх - 4).
3.	Найдите такую первообразную Р(х) функции
Лх)--Ц,
4-х
график которой проходит через точку N(l; In 3).
4.	Найдите уравнения всех общих касательных к
графикам функций
у = Зх2 - 5х - 2;
у = 2х2 - х - 6.
5.	Найдите все действительные b такие, что систе-
ма неравенств
\z - i| < 2,
\z - 4Ь| < -3b
имеет ровно одно решение на множестве комплекс-
ных чисел.
6.	Изобразите множество точек М(а; Ь) координат-
ной плоскости ОаЬ таких, что уравнение
л/2х - Ь = 7х2 + Зах - b
имеет два различных корня (по х).
___	Дидактические материалы
282	~
11 класс
ЭФМ-11-4
Вариант 1
1.	Решите уравнение
cos 4х + 5 cos2 х = 0,75.
2.	Найдите производную функции
У = 1°£9х+1<3х+7)
в точке х = 1.
3.	Найдите площадь криволинейной трапеции, ог-
раниченной графиком функции
у = 3 cos 2х + 3 sin Зх + 8,
л	5л
осью абсцисс и прямыми х = - л , х =	.
О	о
4.	Найдите множество значений функции
у = Зх + 77 - 2х .
5.	Решите неравенство
4х + 6 • 2|х| >
4
и укажите наименьшее натуральное число, ему удов-
летворяющее.
6.	На прямой у = 2х - 1 найдите все такие точки,
что через каждую из них проходит ровно две каса-
тельные к графику функции у = х2, а угол между эти-
л
ми касательными равен - .
Экзаменационные работы
11 класс
283
Вариант 2
1.	Решите уравнение
cos 4х + 3 sin2 х = 0,25.
2.	Найдите производную функции
У = 1о£зх + 4 <7х ~ 4)
в точке х = 2.
3.	Найдите площадь криволинейной трапеции, ог-
раниченной графиком функции
у = 2 cos Зх - 5 sin 2х + 10,
„	Зл 5л
осью абсцисс и прямыми х = - -j-, х =	.
4.	Найдите множество значений функции
у = 7бх - 7 - 2х.
5.	Решите неравенство
9|х| + 6 • 3х > 11
и укажите наименьшее натуральное число, ему удов-
летворяющее.
6.	На прямой у = 6х - 9 найдите все такие точки,
что через каждую из них проходит ровно две каса-
тельные к графику функции у = х2, угол между этими
касательными равен .
Ответы
9 класс
ЭМ-9-1
Вариант 1
1
~2	27
1. с ; 25. 2. -gg . 3. п = 4. 4. 12 ч, 8 ч. 5. (12,25; 20,25),
(25; 9). 6. W-образная кусочно-линейная функция с тремя
точками излома (—4; -1), (-1; 2), (2; -1); модуль углового
коэффициента каждой прямой, на которой лежит часть
графика, равен 1; решение неравенства: (-<»; -5] U [-3; 1] U
U [3; +°о).
Вариант 2
1
з	2
1. а ; 0,3. 2. - . 3. п = 4. 4. 7 дней, 4 дня. 5. (4; 3), (3; 4),
(-3; —4), (-4; -3). 6. W-образная кусочно-линейная функ-
модуль углового коэффициента каждой прямой, на кото-
ция с тремя точками излома
рой лежит часть графика, равен 2; решение неравенства:
(-1,5; 0,5) U (0,5; 2,5).
Экзаменационные работы
Ответы
285
ЭМ-9-2
Вариант 1
1. 64х6 - у6; 476. 2. Xj = 2 - Л, х2 = Л - 3,5; - |.
3,(-3;-5). 4. [3,2;+оо) U {0}. 5.42 131.
Вариант 2
1. а6 - 64ft6; -451. 2. х, = Л + Уз , х2 = 2,25 - У2 - Уз ; | .
3. (-1; -1). 4. (-оо; -2) U (0; 4). 5. 45 100.
ЭФМ-9-3
Вариант 1
1.	; о ) U (0; +оо). 2. 6. 3. 5 ч. 4. 3^1()+ 4.5. (-8,5; 3),
(-5^:2). 6. [0; +оо) и {-2}.
о
Вариант 2
!. (-ОО; 1|).
2. -2. 3. 15 мин, 20 мин. 4.
2j2 - УЗ
6
5. (1; 1,5), (-2; -3). 6. [1; +°°) U {-3}.
11 класс
ЭМ-11-1
Вариант 1
1. 872;	2.	3.	+ 271k;	+ 2л/L k, I е Z;
4	о \ о	о	)
(~? + 2лпг, + 2лп )
'о	О	)
7
т, п е Z. 4. 9;	. 5. Если b < 40
то решений нет, если b > 40, то х =	. 6. Г| ; 11.
286
Дидактические материалы
11 класс
Вариант. 2
1.	4;	2. 5;. 3.	+ 2пт; + 2nl 1, т, I 6 Z;
о о \ б	о )
+ 2пр; 5 + 2nq 1, р, q е Z. 4.18; - — . 5. Если b < 30, то
х = -Ь ; если Ь > 30, то решений нет. 6. Г0; U (1; +°°).
Io	Z у
ЭМ-11-2
Вариант 1
14 9 2ть/3	2	_ 1	.	1 о с Г
*• g • о»	g •	1о« 5. Геометрическое
место точек, соответствующих таким числам, — парабола
у = 0,5 - 4х2. 6. yg +	, р * 9s + 4, р, s е Z.
Вариант 2
1. 2. 2. л37б . 3. 2,5 - |^~2 . 4. -22. 5. Геометрическое
место точек, соответствующих таким числам, — парабола
п 2 л о к .	2пт Л	_	п , 2nk
у = 2х2 - 1. 6. уд +	—д— ,	т * 9р	+ 2, т, р е Z;	— + —	,
k * 71 + 5, k, I е Z.
ЭМ-11-3
Вариант 1
2	у — 1
1.2 < х <4. 2.; 1. 3.F(x) = In--------- + 2 In 3.4.у = Их - 22;
о	X + 1
„ е „ -/76 + 6 „ „
у = х - 7. 5. 0;-г--. 6. Искомые точки лежат внутри и на
сторонах тупого угла, представляющих собой лучи прямых
3
2 '
а = 0иа + 66 + 9 = 0, за исключением точек прямой Ь = -
Экзаменационные работы
Ответы
287
Вариант 2
1. 3 < х < 6. 2. 2^ ; 4. 3. F(x) = In . 4. у = 7х - 14.
о	2 — х
л л/б7 + 6 л ТХ
5. 0;---Искомые точки лежат внутри и на сторо-
нах тупого угла, представляющих собой лучи прямых 6 = 0
2
и 6а + b — 4 = 0, за исключением точек прямой а = g .
ЭФМ-11-4
Вариант 1
1. ±5 arccos + лп; ±5 + л/г; п, fee Z. 2. -0,61g e.
Л	\ 4/	«5
3. 16л. 4. (-0O; 101] . 5. (-00; -1] U [log2 -G ; +OO);
1 — наименьшее натуральное решение. 6. Таких точек две:
fl _ЗА (1. Г|
14’ 2) ’ U2’ 6J •
Вариант 2
1. ±| arccos | + лп; ± g + nk; п, k е Z. 2. 0,41g е.
3.20л. 4. (-оо; -Ij^J. 5. (—°0; -1] U [log3(V20 - 3); +°о);
1 — наименьшее натуральное решение. 6. Таких точек две:
<1.15;-2,1), (1g; 1д).
IV. Практикум
Для поступающих в вузы
1. Задачи на касательную
Задачи на касательную встречаются в вариантах
письменных экзаменов по математике при поступле-
нии в высшие учебные заведения довольно часто, од-
нако в школьном учебнике по алгебре и началам ана-
лиза таких задач немного, и все они по преимуществу
элементарны.
Чтобы правильно и рационально решать задачи,
связанные с уравнением касательной, нужно четко
понимать, что такое касательная, владеть техникой
составления уравнения касательной к графику функ-
ции и представлять себе, для решения каких задач
(в том числе и задач с параметрами) можно использо-
вать метод касательной.
На вопрос, что называется касательной, абитури-
ент нередко отвечает: «Прямая, имеющая с данной
кривой единственную общую точку». Абитуриент
помнит определение касательной к окружности, при-
веденное в курсе планиметрии, однако для касатель-
ной к произвольной кривой это определение, вообще
говоря, неверно, в чем мы убедимся, решая последую-
щие задачи, а пока приведем два простых примера.
289
Практикум
I. Задачи на касательную
Прямая х = 1 имеет с параболой у = х2 одну общую
точку М(1; 1), однако не является касательной к па-
раболе. Прямая же у = 2х - 1, проходящая через ту
же точку, является касательной к данной параболе.
Прямая х = 0 не является касательной к графику
у = cos х, хотя имеет с ним одну общую точку К(0; 1),
а прямая у = 1, проходящая через ту же точку, явля-
ется касательной к данному графику, несмотря на то,
что имеет с ним бесконечно много общих точек вида
(2л/?; 1), где k — целое число, в каждой из которых
касается графика.
В учебнике «Алгебра и начала анализа» под редак-
цией А. Н. Колмогорова говорится, что «касательная
есть предельное положение секущей при Дх —* 0». Та-
ким образом, существование касательной в точке тес-
но связано с дифференцируемостью функции в этой
точке: если существует производная функции у = /(х)
в точке х0, то существует и касательная к графику
этой функции в точке с абсциссой х0, причем ее урав-
нение записывается в виде
У = f(x0)(x - х0) + /(х0),
где f'(x0) и f(x0) — числа. Это уравнение задает пря-
мую, проходящую через точку М(х0; у0), лежащую на
графике и имеющую угловой коэффициент Л(х0), рав-
ный тангенсу угла наклона прямой к положительно-
му направлению оси абсцисс.
Отметим, что если функция непрерывна в точке,
но не имеет в этой точке производной (как, например,
Функции у = |х| и у = 3-/х в точке М(0; 0)), то у графи-
ка функции либо вовсе нет касательной (в случае
Функции у = |х|), либо есть вертикальная касательная
(в случае функции у = Vx ).
ю
Зах. 594
290
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
Самая простая задача на касательную — это со-
ставление уравнения касательной к графику функ-
ции у = Дх) в точке М(х0; у0), лежащей на нем.
□	Пример 1. Составить уравнение касательной к гра-
фику функции у = х3 - Зх - 1 в точке М(-2; -3), лежа-
щей на графике.
Решение. Находим у' = Зх2 - 3, у'(х0) = у(-2) =
= 9. Подставляя числа у'(х0) и у0 в уравнение каса-
тельной, получим у = 9(х + 2) - 3.
Ответ: у = 9х + 15.
Поскольку в условии утверждается, что точка ле-
жит на графике, обычно указывают не обе координа-
ты точки, а одну абсциссу (или ординату).
□	Пример 2. Составить уравнение касательной к гра-
фику функции у = х4 - 2х3 + х2 + х + 2 в точке этого
графика с абсциссой х0 = 1.
Решение. Здесь у0 = у(х0) = 3; у' = 4х3 - 6х2 +
+ 2х + 1, у'(х0) = 1. Подставляя эти результаты в урав-
нение касательной, имеем у = 1(х-1) + 3.
Ответ: у = х + 2.
□	Пример 3. Составить уравнение касательной к гра-
,	,	3-х	,
фику функции у = х + в точке графика с ординатой
Уо=1-
Решение. Найдем абсциссу точки касания:
3 — х0
—	—- = 1, откуда х0 = 1. Теперь определим угловой
х0 + 1
291
Практикум
1. Задачи на касательную
4
коэффициент г/(х0): у --------5, t/'(l) = -1. Даль-
(х + 1/
нейший ход решения очевиден.
Ответ-, у = -х + 2.
Замечание. Интересно выяснить, сколько
общих точек имеет каждая из найденных в примерах
1 и 2 касательная с графиком соответствующей функ-
ции.
Для нахождения абсцисс этих точек рассматрива-
ется уравнение вида f(x) = kx + р, где у = kx + р есть
уравнение касательной к графику функции у — f(x).
Один из корней этого уравнения нам известен — это
х0 (абсцисса точки касания), а остальные корни, если
они имеются, дают абсциссы других общих точек.
В примере 1 соответствующее уравнение имеет вид
х3 - Зх - 1 = 9х + 15, т. е. х3 - 12х -16 = 0.
Один корень его хг = -2 известен, что и дает воз-
можность привести уравнение к виду (х + 2)(х2 - 2х -
- 8) = 0, откуда х2 = -2, х3 = 4. Итак, существуют две
общие точки, в одной из них М(-2; -3) имеет место
касание (заметим, что уравнение дает два разных кор-
ня, соответствующих абсциссе этой точки). Что про-
исходит во второй общей точке К(4; 51)? Так как зна-
чение производной в этой точке г/(4) = 45 не равно уг-
ловому коэффициенту прямой у = 9х 4- 15, то в точке
К прямая пересекает график.
В примере 2 соответствующее уравнение
х4 - 2х3 + х2 + х + 2 = х + 2
Дает два корня х1 = 0 и х2 = 1. В точке К(1; 3) имеет
Место касание, а в точке Р(0; 2) данная прямая также
является касательной, поскольку у'(О) = 1 равно угло-
вому коэффициенту прямой, другими словами, пря-
292
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
мая у = х + 2 имеет с графиком две общие точки,
в каждой из которых происходит касание.
В практике вступительных экзаменов часто встре-
чаются задания, связанные с определением того, яв-
ляется ли прямая у — kx + Ь касательной к графику
функции у = f(x). Можно указать два способа реше-
ния таких задач.
1. Находим общие точки графиков, т. е. решаем
уравнение f(x) = kx + b, а затем для каждого из его
решений вычисляем f'(x0). В тех случаях, когда
f'(x0) = k, имеет место касание, в других — пересече-
ние.
2. Находим корни уравнения f'(x) = kvt для каждо-
го из них проверяем, выполняется ли равенство f(x) =
= kx + Ъ. При его выполнении получаем абсциссы то-
чек касания.
Обобщая оба способа, заметим, что для того чтобы
прямая у = kx + b была касательной к графику функ-
ции у = f(x), необходимо и достаточно существование
хотя бы одного числа х0, для которого выполняется
система
f (х0) = k,
kx0 + b = f(x0).
□ Пример 4. При каких значениях b прямая у = Зх + b
является касательной к графику функции у = J~xl
Решение. Записав условие касания
Зх0 + b = Jx~0
получим <
= _1_
хо 36 ’
„	с 1
Ответ: b -	.
Практику.^
1. Задачи на касательную
293
□ Пример 5. При каких значениях а прямая у =
= ах + 2 является касательной к графику функции
У = In х?
Указание.
1
— — а,
хо
In х0 = ах0 + 2
х0 = е3
а = е~3
Ответ: а = е~3.
□ Пример 6. При каких значениях а прямая у =
= Зх - 2 является касательной к графику функции
у = х2 + ах + 2?
Указание.
2х0 + а 3,	I а = 7, J а = — 1,
х02 + ах0 + 2 = Зх0 - 2 1 х0 = -2 ИЛИ [ х0 = 2.
Ответ: а = 7 или а = -1.
Последний пример можно решить и из совершен-
но, казалось бы, других соображений. Действитель-
но, прямая у = Зх - 2 является касательной к парабо-
ле у = х2 + ах + 2, если уравнение х2 + ах + 2 = Зх - 2
имеет одно решение (точнее — два совпавших корня),
т. е. в уравнении х2 + х(а - 3) + 4 = 0 дискриминант
равен нулю. Отсюда aj = 7, а2 = -1. Такой подход, как
правило, возможен, когда мы имеем дело с уравне-
ниями, сводящимися к квадратным.
О Пример 7. При каких значениях k прямая у = А(х -
~ 5) является касательной к окружности х2 + у2 = 9?
У казание. Дискриминант уравнения х2 + (k(x -
~ 5))2 = 9 должен быть равен нулю.
Ответ: k = 0,75 или k = -0,75.
294
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
□	Пример 8. Написать уравнение всех касательных к
графику функции у = х3 - 2х + 7, параллельных пря-
мой у = х.
Решение. Так как касательная должна быть
параллельна прямой у = х, то ее угловой коэффици-
ент, равный г/'(х0), где х0 — абсцисса точки касания,
совпадает с угловым коэффициентом данной прямой,
т. е. р'(х0) = 1. Отсюда х0 = 1 или х0 = -1. Далее со-
ставляем уравнение касательной для каждой точки.
Ответ-. у = х + 5,у = х + 9.
□	Пример 9. Найти расстояние между касательными
к графику функции у = * _ , образующими с поло-
жительным направлением оси абсцисс угол 45°.
Указание. Пусть х0 — абсцисса точки каса-
ния, тогда, поскольку tg45° = 1, имеем у'(х0) = 1. От-
сюда ------= 1, т. е. х0 = 3 или х0 = 1.
(хо “ 2)
Получим уравнение двух касательных у = х - 3 и
у = х + 1, расстояние между которыми равно 2 J2 .
Ответ: 2л/2 .
С составлением уравнения касательной, парал-
лельной данной прямой, связана задача о нахожде-
нии кратчайшего расстояния между графиком неко-
торой функции /(х) и прямой у = kx + b.
Во многих случаях удается найти касательную
к графику у = f(x), параллельную данной прямой
у = kx + Ь и делящую плоскость на две части, в одной
из которых расположен график функции, а в дру-
гой — заданная прямая. Тогда кратчайшим расстоя-
295
Практикум
1. Задачи на касательную
нием между графиком функции и прямой у = kx + Ъ
является расстояние от точки М(х0; у0), в которой
проведена параллельная касательная, до заданной
прямой у = kx + b; это расстояние можно вычислить
|«/о " kxo ~ д|
по формуле р =----.. --— .
Jk + 1
□ Пример 10. Найти кратчайшее расстояние между
параболой у = х2 и прямой у = | х - 2.
Решение. Убедившись, что графики не имеют
о 4 Л
общих точек (уравнение х = х х - 2 не имеет ре-
О
шений), запишем уравнение такой касательной к
графику функции у = х2, которая параллельна пря-
4
мой у= хх - 2. Уравнение касательной имеет вид
о
4	4	4\
у= хх - й, касание происходит в точке М .
«5	У	У у
т~т	"4	9
Прямая у = ~ х - 2 и парабола у = х расположены по
О
разные стороны от касательной. Таким образом, крат-
чайшее расстояние между параболой и прямой равно
расстоянию от точки М до прямой, т. е. равно 77 .
1 о
ГУ	14
Ответ", 7-7 .
Довольно сложной для абитуриентов является
задача составления уравнения всех касательных к
графику функции у = Дх), проходящих через за-
данную точку М(х0; у0), вообще говоря, не лежащую
на графике. Приведем алгоритм решения этой за-
дачи.
296
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
1. Составляем уравнение касательной к графику
функции у = f(x) в произвольной точке графика с абс-
циссой t:
у = f'(t)(x - t) + f(t).	(1)
2. Решаем относительно t уравнение уй = f'(t)(x0 -
- t) + f(t) и для каждого его решения t записываем со-
ответствующую касательную в виде (1).
□	Пример 11. Написать уравнение всех касательных
к графику функции у = х2 - Зх + 1, проходящих через
точку М(2; -2).
Указание. Уравнение касательной в точке с
абсциссой t имеет вид у = (2t - 3)(х - О + t2 - 3t + 1.
Так как эта касательная проходит через точку (2; -2),
то -2 = (2f - 3)(2 - i) + t2 - 3t + 1, откуда = 1, t2 = 3.
Ответ: у = -х, у = Зх - 8.
□	Пример 12. Найти площадь треугольника, образо-
ванного касательными, проведенными к графику
г~	(	3\
функции у = Jx через точку Ml 2; I > и секущей,
проходящей через точки касания.
Указание. Уравнение | =	(2 - i) + Jt дает
два решения: tr - 1, t2 - 4. Таким образом, точки
7Сг(1; 1) и К'2(4; 2) являются точками касания.
Ответ: 0,25.
□	Пример 13. Найти все точки плоскости, через ко-
торые проходят две взаимно перпендикулярные каса-
тельные к графику функции у = х2.
Решение. Пусть М(х0; у0) — такая точка. Тогда
уравнение у0 = 2t(x0 - t) + t2 должно иметь два корня
<1 и t2 таких, чтобы (2ij) • (2f2) = -1 (условие перпен-
Практику.»
1.	Задачи на касательную
297
дикулярности двух прямых состоит в том, что произве-
дение их угловых коэффициентов равно -1). Значит,
в уравнение t2 - 2£х0 + у0 = 0 имеем у0 = txt2 = -0,25.
При этих условиях дискриминант данного уравнения
положителен для любых х0. Итак, у0 — -0,25, х0 —
любое число.
Ответ-, все искомые точки расположены на пря-
мой у = -0,25 (директрисе параболы).
Говорят, что прямая у = kx + р является общей ка-
сательной графиков функции у = /\(х) и у = f2(x), если
она касается как одного, так и другого графиков (но
совершенно не обязательно в одной и той же точке).
Например, прямая у = 4х - 3 является общей каса-
тельной графиков функций у = х2 + 1 (в точке
М(2; 5)) и у = 4х2 - 2 (в точке 7f(O,5; -1)). Сделайте
чертеж и определите взаимное расположение каса-
тельной и этих двух парабол.
Заметим, что графики функций у = ^(х) и у = f2(x)
имеют в точке их пересечения М(х0; у0) общую невер-
тикальную касательную тогда и только тогда, когда
/{(х0) =^хо)-
□ Пример 14. Доказать, что параболы ух = Зх2 - 5х - 2
и у2 = 2х2 - х - 6 имеют в их общей точке общую каса-
тельную. Найти уравнение этой общей касательной.
Решение. Уравнение Зх2 - 5х - 2 = 2х2 - х - 6
имеет единственный корень х = 2, т. е. параболы име-
ют единственную общую точку М(2; 0). Убедимся, что
значения производных для обеих функций в точке
х = 2 равны; действительно, ух(2) = 7 и у2(2) = 7. Да-
лее составляем уравнение касательной.
Ответ: у = 7х - 14.
298
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
Рассмотрим алгоритм нахождения всех общих ка-
сательных к графикам функций у = f^x) и у = f2(x).
1.	Записываем уравнение всех касательных к гра-
фику у = //х) в точке графика с абсциссой t:
У = Л'(О(х - t) + f^t).
2.	Записываем уравнение всех касательных к гра-
фику у = f2(x) в точке графика с абсциссой и:
У = /2(и)(х ~ и) + /2(и).
3.	Так как эти два уравнения должны задавать од-
ну и ту же прямую, то для нахождения и и t надо ре-
шить систему
Л'(0 = /2'(и),
fl(t) -	= f2(u) - f2(u)u.
Каждое решение системы дает общую касательную;
если же решений нет, то нет и общих касательных.
□ Пример 15. Найти уравнение всех общих касатель-
ных к графикам функций у = х2 + 1 иу = 4х2 - 2.
Решение. Уравнение всех касательных к гра-
фику первой функции в точке с абсциссой t имеет вид
у = 2t(x - t) + t2 + 1. Аналогично, уравнение всех ка-
сательных к графику второй функции в точке с абс-
циссой и имеет вид у = 8и(х - и) + 4и2 - 2.
Отсюда
2t = 8u,
1 - t2 = -4zz2 - 2
u = 0,5,
t = 2 или
и = -0,5,
t = -2.
Дальнейший ход решения очевиден.
Ответ-, у = 4х - 3, у = -4х - 3.
299
Практикум
1.	Задачи на касательную
□ Пример 16. Найти уравнения всех общих каса-
тельных к графикам функций у = Зх2 - 5х - 2 и
у = 2х2 - х - 6.
Решение. Покажем другой способ решения,
о котором уже шла речь выше. Пусть у = kx + b — об-
щая касательная. Тогда дискриминант каждого из
уравнений Зх2 - 5х — 2 = kx + b и 2х2 -х — 6 = kx + b
равен нулю. Получим систему
(5 + /г)2 + 12(2 4- b) = О
' (k + I)2 + 8(6 + b) = О,
имеющую единственное решение k = 7; b = -14.
Ответ-, графики имеют одну общую касательную
у = 7х - 14.
В завершение решим еще несколько задач, связан-
ных с касательными.
□	Пример 17. Найти геометрическое место вершин
всех парабол вида у = х2 + ах + Ь, касающихся пря-
мой у = 4х - 1.
Решение. Пусть х0 и у0 — координаты верши-
ны параболы. Тогда, переписав уравнение параболы в
виде у = (х - х0)2 + у0, составим уравнение
(х - х0)2 + у0 = 4х - 1,
приведем его к виду
х2 - 2х(х0 + 2) + у0 + Xq + 1 = О
и запишем условие равенства нулю дискриминанта:
(х0 + 2)2 - г/0 - х£ - 1 = 0.
Таким образом, х и у связаны соотношением
Уо = 4хо + 3-
Ответ: все вершины таких парабол лежат на пря-
мой у = 4х + 3.
300
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
□	Пример 18. Найти уравнение той касательной к
графику функции у = х2 - 2х - 4|х|, которая касается
графика в двух точках. Выполнить чертеж.
Решение. Так как
хг + 2х при х < 0,
х2 - 6х при х > О,
то
, _ J 2х + 2 при х < О,
у ~ I 2х - 6 при х > 0.
Таким образом, уравнение всех касательных в точ-
ках с отрицательными абсциссами t имеет вид
у = (2t + 2)(х - 0 + t2 + 2t,
а в точках с положительными абсциссами — вид
у = (2и - 6)(х - и) + и2 - би.
Так как оба эти уравнения должны задавать одну
и ту же прямую, то составим систему
I 2t + 2 = 2и - 6,
] -t2 = -и2,
откуда и = 2, t - -2.
Ответ: прямая у = -2х - 4 касается данного гра-
фика в точках М(-2; 0) и К(2; -8).
Если вы внимательно прочитали этот раздел, разо-
брали приведенные в нем задачи, то вы научились:
• составлять уравнение касательной к графику дан-
ной функции в заданной на этом графике точке;
•	составлять уравнение касательной к данному гра-
фику, параллельной заданной прямой;
•	составлять уравнения всех касательных к данному
графику, проходящих через заданную точку;
•	составлять уравнения общих для графиков двух
функций касательных;
301
Практикум
1. Задачи на касательную
• использовать свойства квадратного трехчлена для
решения некоторых задач на касательные.
Для самоконтроля выполните небольшое задание,
составленное из задач, предлагавшихся на экзаменах
в различных вузах.
Упражнения
1	(МГТУ). Составить уравнения касательных, про-
веденных к графику функции у = -2х2 - х - 3 в точ-
ках пересечения графика с прямой у = -х - 11. Сде-
лать чертеж.
Ответ-, у = -9х + 5, у = 7х + 5.
2	(МГТУ). Вычислить площадь треугольника, ог-
раниченного касательной, проведенной к графику
функции у=^х2-х + 1в точках с абсциссами *4 = 1
С
их2 = 3, и отрезком прямой, соединяющим эти точки
касания.
Ответ-. 1.
3	(МГТУ). На линии, заданной в плоскости (ху)
уравнением log3 (у + 1) + log3 (3 - х) = 1, найти точку,
расстояние от которой до прямой Зх-4у-12 = 0 бу-
дет наименьшим.
Ответ: М(1; 0,5).
4	(КазГУ). На кривой у = х3 - Зх2 + 2 найти точки,
в которых касательная параллельна прямой у = Зх.
Ответ: (1 -J2 ; 72); (1 + 72; -72).
5	(МЭИС). В какой точке касательная к параболе
У ~ х2 - 7х + 3 параллельна прямой 5х + у - 3= 0?
Ответ: Af0(l; -3).
I
302
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
6	(МЭИС). В каких точках касательные к графику
функции У = 2 sin 2х “ sin х параллельны прямой
у + х - 1 = 0?
Ответ: х =	+ лп; х = ±5 + 2л/г, где п, k G Z.
&	О
7	(МГТУ). Определить, при каких значениях р
прямая у = х + 1 является касательной к графику
функции у = х2 + рх + 2. Сделать чертеж.
Ответ: р = 3; р = - 1.
8	(МИНГ им. Губкина). Через точку М0(х0; у0)
параболы у = х2 + 10 проведена к ней касательная.
Касательная пересекает параболу у = х2 - 1 в точках
уj) и М2(х2; у2), причем Xj < х2. Найти отноше-
ние длины отрезка МгМ2 к длине отрезка М0М2.
Ответ: 2.
9	(МАИ). На оси координат Оу найти точку, из ко-
торой можно провести две взаимно перпендикуляр-
ные касательные к графику функции у = х2 - 2х + 3.
Ответ: М^О; ).
3	3
10 (РГУ). Известно, что прямая у = -- х - явля-
ется касательной к графику функции Дх) = | х3 4 - х.
Найти координаты точки касания.
Ответ: М
15\
32/ ’
I	Практикум	303
1.	Задачи на касательную
11	(МЭИС). Найти уравнение параболы
у = х2 + Ьх + с,
касающейся прямой у = х в точке М(1; 1).
Ответ: у = х2 - х + 1.
12	(МГУ, ф-т психологии). На графике функции
у = х3 - Зх2 - 7х + 6
найти все такие точки, что касательная к этому гра-
фику в искомых точках отсекает от положительной
полуоси Ох вдвое меньший отрезок, чем от отрица-
тельной полуоси Оу. Определить длины отсекаемых
отрезков.
21
Ответ: М(3; -15); Vй21-
13	(МГУ, химический ф-т). Вычислить площадь и
периметр треугольника, образованного осями коорди-
нат и касательной, проведенной к графику функции
.	4л
у = asm х (a > 0) в точке х0 = у .
Ответ: S =
14	(ЛГТУ). Написать уравнение касательной к
графику функции у = -5х + cos х - «/3 sin х в точках
наибольшего наклона касательной к оси Ох, считая,
что абсциссы точек касания принадлежат промежут-
ку (-Зя; -л).
Ответ: у = -7х —у .
Дидактические материалы
Для поступающих о вузы
2.	Решение уравнений
методом замены переменной
2.1.	Составление уравнений,
решаемых методом замены переменной
Рассмотрим один из самых распространенных ме-
тодов решения уравнений, встречающихся на вступи-
тельных экзаменах, — метод замены переменной.
Чтобы понять его сущность и причины появления
многочисленных экзаменационных заданий, при ре-
шении которых используется этот метод, представьте
себе, что вы не абитуриент, готовящийся к экзаме-
нам, а наоборот — преподаватель института, которо-
му поручено составлять варианты для этого экзаме-
на. В каждом варианте вы собираетесь поместить
два-три уравнения или неравенства из числа раци-
ональных, иррациональных, тригонометрических,
показательных или логарифмических. Однако все
эти уравнения и неравенства так или иначе за некото-
рым исключением сводятся к линейным или квад-
ратным.
Рассмотрим, например, квадратное уравнение
2t2-5t + 2 = O,	(1)
имеющее корни 2 и 0,5.
Это уравнение необходимо усложнить и завуалиро-
вать. Разработаем различные варианты усложнений,
подставляя вместо t выражение f(x).
Рациональные уравнения
Пусть f(x) = х2, тогда получим биквадратное урав-
нение:
1. 2х4 - 5х2 + 2 = 0.
Практикум
2. Решение уравнений методом замены переменной
Оно сводится к исходному уравнению (1) подста-
новкой х2 = t. Решив его, приходим к объединению
уравнений х2 = 2 и х2 = 0,5, откуда находим ответ:
~ [о • [о •	, «/2
2'2'
Пусть Дх) = 2х2 - 5х + 2. Тогда исходное уравнение
(1) запишется в виде
2(2х2 - 5х + 2)2 - 5(2х2 - 5х + 2) + 2 = 0.
Произведя ряд преобразований, получим услож-
ненный вид данного уравнения:
2.	2(2х2 - 5х + 2)2 = 10х2 - 25х + 8.
Л	О С Л 5 - л/13	5 + J13
Ответ: 2,5; 0;  —— ; ------г— •
4	4
Теперь положим f(x) = х + и придем к уравнению
2(х + 1У - 5[х + + 2 = 0.
В таком виде решать это уравнение просто, но, пре-
образовав, получим уже весьма непростое для непо-
священного абитуриента уравнение:
3.	2х4 - 5х3 + 6х2 - 5х + 2 = 0.
Уравнение такого типа называется симметриче-
ским. Общий вид симметрического уравнения четвер-
той степени:
ах4 + Ьх3 + сх2 + Ьх + а = 0,
где а 0. Для его решения разделим обе части на х2.
Так как х = 0 не является корнем данного уравнения,
то получим равносильное уравнение:
ах2 + 5х + с+ - + -^ = 0.
х х2

306
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
Произведем группировку:
( 2 , 1 А . , (
а х + —z + Ь х
1
Пусть (х + j) = t, возведем обе части этого равен-
ства в квадрат: х2 + 2 + Д; = t2, т. е. х2 +	= t2 - 2.
х	хг
Таким образом, после замены симметрическое урав-
нение примет вид at2 + Ы + с - 2а = 0. Полученное
квадратное уравнение может не иметь корней, может
иметь единственный корень t или два различных
(i! и t2). Соответственно, и симметрическое уравнение
либо не имеет корней, либо сводится к уравнению
х + | = t, либо к совокупности двух уравнений:
х +	= Ц и х + | = t2- Решая указанным способом
уравнение 3, получим ответ: х = 1.
Приведем еще несколько симметрических уравне-
ний:
4.	Зх4 + 2х3 + 7х2 + 2х + 3 = 0.
Ответ: нет решений.
5.	5х4 - 2х3 - 6х2 - 2х + 5 = 0.
Ответ: х = 1.
6.	9х4 - 6х3 + 19х2 - 6х + 9 = 0.
Ответ: нет решений.
7.	6х4 - З5х3 + 62х2 - 35х + 6 = 0.
Ответ: ||; 2; 3.
Z о
Практикум
2.	Решение уравнений методом замены переменной
307
Если положить f(x) = 2х - - , то после преобразова-
ний получится уравнение, найти решение которого
уже весьма непросто.
8.	8х4 - 10х3 - 22х2 + 15х +18 = 0.
Решив его самостоятельно (ведь вы знаете, какую
подстановку надо сделать), получим ответ-.
1 - 77 . 1+77 1 - 797 . 1 + 797
2	’	2’2*	2
Иррациональные уравнения
Пусть f(x) — л/bx2 + бх + 1 . После подстановки в
(1) и упрощения получим следующее уравнение:
9.	10х2 + 12х + 4 = 5 л/бх2 + 6х + 1 .
Решать его возведением обеих частей в квадрат —
дело практически безнадежное. Нужно догадаться
сделать подстановку J5x2 + 6х + 1 = t, после чего
найдем л/бх2 + 6х + 1 = 2 или л/бх2 + бх + 1 = |.
„	-3 - 2Тб -3 + 2,/б -6-721 -6 + 721
[Зх — 1
Если положить /(х) = 5I-——- , то получим такое
уравнение:
Умножив обе его части на (V5x + 2) , получим
усложненный вариант того же уравнения:
308
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
11.	257эх2 - 6х + 1 - 5V15x2 + х - 2 +
+ 25л/25х2 + 20х + 4 = 0.
Чтобы решить такое уравнение, абитуриент дол-
жен догадаться переписать его в виде
257(Зх - I)2 - б573х - 1 575х + 2 +
+ 257(5х + 2)2 = 0
и после деления обеих частей на V(5x + 2)2 полу-
чить уравнение, приводящееся к уравнению (1) ука-
занной заменой.
„	65	34	,
Ответ: хг =	; х2 = gj . Уравнение 11 относит-
ся к однородным, о них мы поговорим ниже.
Тригонометрические уравнения
Пусть /(х) = tg Зх, тогда получим следующее урав-
нение:
12.	2 tg2 Зх - 5 tg Зх + 2 = 0.
Ответ:
х = | (arctg 2 + nfe); х = | (arctg | + лп), k, п 6 Z.
о	о	Z
Для усложнения домножим обе части уравнения
12 на ctg Зх и получим такое уравнение:
13.	tg Зх + ctg Зх = 2,5.
Оно решается подстановкой tg Зх = t, тогда
ctg Зх = | (t * 0).
Ответ тот же, что и в уравнении 12.
Практикум
2. Решение уравнений методом замены переменной
Взяв f(x) = cos 5 , составим следующее уравнение:
14.	2 cos2 к - 5 cos 5 +2 = 0.
Z	Z
Здесь приводит к цели подстановка t = cos |.
В данном случае tx — 2 — постороннее решение, так
I х I s' 1	х 1
как |cos g | ч 1, т. е. cos = <j •
Ответ', х =	+ 4лп, п g Z.
Используя формулу cos2 | = 1 - sin2 , усложним
уравнение 14:
15.	2 sin2 | + 5 cos 5 -4 = 0.
Св	Св
Ответ тот же, что в уравнении 14.
Так как 2 cos2 | = 1 + cos х, то получим новое урав-
нение:
16.	cos х - 5 cos I +3 = 0.
Cl
Ответ тот же, что в уравнении 14. Если
ч arccos х
то имеем следующее уравнение:
17.	2 arccos2 х - 5л arccos х + 2л2 = 0.
Используя подстановку arccos х = t, t е [0; л], сво-
дим его к совокупности двух уравнений arccos х = 2л,
Л ГТ
arccos х = 5 . Первое из них не имеет решения, из вто-
Св
рого получаем ответ', х = 0.
310
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
При решении уравнений, содержащих обратные
тригонометрические функции, оказываются полез-
ными два тождества:
arctg а + arcctg а = (а 6 R);
arccos а + arcsin а = | (|а| < 1).
Применяя второе из них к уравнению 17, получим
такое уравнение:
2
18.	2 arccos2 х + 5л arcsin х - у = 0.
Оно сводится к квадратному подстановкой
arccos х = t. Ответ тот же, что и в уравнении 17.
Пусть f(x) = cos х - sin х, тогда после подстановки
в (1) получим еще одно уравнение:
19.	2(cos х - sin х)2 - 5(cos х - sin х) + 2 = 0.
Полагая t = cos х - sin х, т. е. t2 = 1 - sin 2х, откуда
sin 2х = 1 - t2, получаем 2t2 - 5t + 2 = 0. Значит,
cos х - sin х = 2 или cos х - sin х = |. В первом случае
имеем У2 cos (х + j =2 (решений нет), во втором
х = ±arccos - 7 + 2лп (n е Z).
4	4	'
Показательные уравнения
Если /(х) = 2х, то получаем такое уравнение:
20.	2 • 4х - 5 • 2х + 2 = 0, или в усложненном виде:
21.	22х + 1-5 • 2х + 2 = 0.
Оно решается заменой 2х = t, приводится к виду
(1), т. е. 2х = 2, 2х = |. Ответ-. хх = 1; х2 = -1.
Практикум
2.	Решение уравнений методом замены переменной
т-т ,	/'44х	/4\2х	/4\х
Пусть/(х) =	, тогда 2{^j	~5[з) + 2 = 0 и пос-
ле преобразований получаем следующее уравнение:
22.	2 • 16х - 5 • 12х + 2 • 9х = 0.
Оно решается делением обеих частей на 9х и заме-
„ <4\х
нои I g I = t. Ответ: ±log4 2.
з
Логарифмические уравнения
Если Дх) — log2 х, то получим следующее уравнение:
23.	2 log2 х ~ 5 log2 х + 2 = 0.
Используя свойства логарифмов, это уравнение
можно усложнить, и тогда оно примет один из ука-
занных видов, где подстановку log2 х = t не так уж
легко усмотреть:
24.	log2 х2 - 10 log2 х + 4 = 0.
25.	2 log2 х2 = 5 log2 (8x) - 17.
26.	log j x + 1 = 5 log2 (5x).
2
2
27. log2 x • logj xp = 2.
— О Ct
2
28. log2 x + log* 2 = 2,5.
Это равносильные уравнения, имеющие одни и те
Же решения: хх = 4; х2 =^2 .
312
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
Пусть f(x) =
tog 3* * * х
log3(x - 2)
, тогда уравнение (1) при-
мет вид:
1Qg3* Г*
^log3(x - 2)J
' lpg 3х '
log 3(х - 2)
+ 2 = 0.
- 5
После преобразований получаем такое уравнение:
29. 2 log2 х - 5 log3 х • log3 (х - 2) + 2 log2 (х - 2) = 0.
Решая его, имеем две возможности:
log3 х = 2 log3 (х - 2) или 2 log3 х = log3 (х - 2).
Ответ: х = 4.
Приведенные примеры показывают, как удобно
использовать метод подстановки при составлении за-
даний вариантов вступительного экзамена. Возьмите
популярный задачник для поступающих в вузы под
редакцией М. И. Сканави (М.: Высшая школа, 1998)
и откройте любую главу, содержащую уравнения.
Думаем, что не менее 40% из них решаются методом
подстановки. Приведем несколько примеров.
Уравнение
г2 - z г2 - г + 2
9	?
г - z + 1 Z -Z-2
24 15
х2 + 2х - 8 х2 + 2х - 3
1	1	= 10
х2 (х + 2)2	9
Подстановка
г2 - z = t
х2 + 2х - 5,5 = t
t = х + 1
Практикум
313
2. Решение уравнений методом замены переменной
(х2 + 2х)2 - (х + 1)2 = 55		(x+ 1)2 = t
	6-	 +	»	 =1 (х + 1)(х + 2) (х - 1)(х + 4)		x2 + Зх - 1 = t
7[х + -1 -2(х2 + Л] =9 v х/ V	х)		X 4- - = t X
х * 1 _1_ х	о к		X2 + 1
„ 1 2 0,0 х	х2 + 1			 = t X
X2 + 2х + 1 X2 + 2х + 2 9	*9 х + 2х + 2 х +2х + 3	_ 7 6	x2 + 2x + 2 = t
V(ax - b)3 - V(t> ~ ах)3 (а 0)	_ 65	
	8	V(ax - b)3 = t
л/х + 8 + 2л/х + 7 +		
		Jx + 7 = t
+ Jx+l-jx + 7= 4		
		Jx + 4 -
Jx + 4 + Jx - 4	, / .2	-16-6	
2	х 1 л		-Jx - 4 = t
—	2	= 3 z + 1	*J г		lz + 1 _ t N г
Jlog з X9 - 4 log9 л/Зх = 1		71og 3 X = t
1g (x2 + 1) = 2 1g'1 (x2 + 1)		lg(x2 + l) = t
71°g 0.04 X + 1 + 710g о 2	x + 3 = 1	log0>04 X = *
71og x J5x = —logx 5		Vlog x J5x = t
•> j »	Дидактические материалы
314---------;—————-
Для поступающих в вузы
7з log 2 X - 1 - 9 log 2 2 = 5 log2 X = t
51 * - 51 x =24	5 х = t
8х + 2х _
—---- =5	2х = t
4-2
Попробуйте сами, просмотрев другие уравнения из
указанной книги, выделить те из них, которые реша-
ются методом подстановки.
2.2. Приемы решения уравнений
методом подстановки
Распознавание завуалированной
обратной величины
ол Зх , 2х + 7	.
oU. ---- + ---- = 4.
2х + 7 х
Решение. Пусть —-— = t, тогда 2х + 7 = - .
2х + 7	х t
Получаем 3t + | = 4, откуда t, = 1 и = |. Значит,
I	х	" о
X ,	X 1
2х + 7	2х + 7	3
Ответ". хг = 7; х2 = -7.
31.	(2 - 73)Х + (2 + У3)х = 4.
Решение. Так как (2 - 73) (2 + J3) = 1, то
при замене (2 - V3)x = t имеем (2 + л/3)х = -. Та-
Практикум
2.	Решение уравнений методом замены переменной
ким образом, t + | = 4, откуда следует tx= 2 - 7з;
t2 = 2 + 7з .
Ответ'. хг = 1; х2 = -1.
32.	з/1 - - -2з/—= 1.
- 3
Решение. Заметим, что з/1 - - = з--------
N х	х
Отсюда видно, что при замене t = 3J1 - | получим
/х - 3	1 Тж	, 2 ,
з/—-— = - . Исходное уравнение примет вид t - - =1.
Тогда tj = -1; t2 = 2.
3
Ответ: х4 = ^ ; х2 = -3.
33.	2 log4x + i (2х + 3) + log2x + 3(4x + 1) = 3.
Решение. Полагая log4x + х (2х + 3) = t, получим
2t + |=3, 2t2 - 3t + 1 = 0, откуда = 1; t2 = |.
Из равенства log4x + х (2х + 3) = 1 следует, что
2х + 3 = 4х + 1,
- 2х + 3 > 0, т. е. х = 1.
4х+ 1 * 1,
Из равенства log4x + г (2х + 3) = | следует, что
[ (2х + З)2 = 4х + 1,
5 2х + 3 > О,
[ 4х + 1*1.
Эта система не имеет решений.
Ответ: х = 1.
316
Дидактические материалы
Для поступающих а вузы
34.	3 tg % + 4 ctg |=7.
X	1
Решение. Так как ctg -х = —, то, полагая
Z	X
tg2
х	1x4
t = tg 2 , имеем - = ctg % и 3t + - = 7. Отсюда = 1;
t = *
12	3 •
Ответ-, х. = £ + 2пп, х, = 2 arctg 5 + 2nk, п, ke Z.
Симме триза ц ия
35.	(2х + З)4 + (2х + 5)4 = 82.
Если раскрыть скобки, мы получим полное урав-
нение четвертой степени, которое решить нам, ско-
рее всего, не удастся. Однако удобно ввести новую пе-
2х + 3 + 2х + 5	„
ременную t = ---=----, т. е. 2х + 4 = t, тогда
(t-l)4 + (t + l)4 = 82. Используя формулу (а + Ь)4 =
= а4 + 4а3Ь + 6а2Ь2 + 4аЬ3 + Ь4, мы получим биквад-
ратное уравнение, поскольку благодаря симметриза-
ции члены с нечетными степенями взаимно уничто-
жатся: t4 + 6t2 - 40 = 0. Решив это уравнение, имеем
q = 2; t2 = -2.
Ответ; хх = -1; х2 = -3.
2
Q/J 2 1	%
36.	X2 +------- = т •
(X + 1/	9
Решение. Разделив числитель и знаменатель
2
второго слагаемого на х , получим
40
9 '
Практикум
2.	Решение уравнений методом замены переменной
ТХ	1	1 ,	1	40
Пусть х = - , тогда -т +----й = -5-.
f	г (1 + t)z 9
тт	1 + t + t	.	1	,,
Положим и =-----2----, тогда t = u- Уравнение
примет вид
l'l2 лгх( 2	1А2
9lu + gj + 91 u - 2) = 401 и -	,
откуда
18и2 + | = 40u4 - 20и2 + |,
С»	Ci
т. е.
40u4 - 38и2 - 2 = 0, и2=1.
Итак,
U1 = 1,	1 = g * Х1 =
или
- -1	- _3	= _3
и2 ~	2 ’ Х2 2 '
Другое решение этого уравнения можно найти в кни-
ге И. Ф. Шарыгина «Факультативный курс по мате-
матике для 10 классов» (М.: Просвещение, 1989).
37. (х2 + Зх)4 + (х2 + Зх + 4)4 = 32.
Решите это уравнение самостоятельно, применяя
подстановку х2 + Зх + 4 = t.
Ответ.: х: = -1; х2 = -2.
Переход к системе
38.37з - х + 37х + 6 = 3.
Решение. Пусть 37з - х = и, Vx + 6 = и, тогда
получим систему
и + и = 3,
и3 + и3 = 9,
318
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
т. е.
и = 3 - и,
27 - 27р + 9u2 - р3 + р3 = 9.
Достаточно найти значения р, т. е. и2 - Зр + 2 = 0.
Отсюда рх = 2, хх = 2, р2 = 1, х2 = -5.
Ответ: х1 = 2; х2 = -5.
39.	^Зх2 + 4х - 3 - л/зх2 + х - 3 = х.
Решение. Пусть
л/Зх2 + 4х - 3 = а;
73х2 + х - 3 = Ь,
тогда
а - b = х,	J а - Ь = х,
а2 - Ь2 = Зх, т- е- [ (а “ Ь)(а + Ь) = Зх.
Отсюда
а - b = х,
а + b = 3.
Значит, 2а = х + 3, т. е. 2 л/зх2 + 4х - 3 = х + 3,
И т. д.
Ответ: х, = 1; х9 = -1тт .
Введение двух неизвестных часто осуществляется
при решении однородных уравнений. Напомним, что
функция двух переменных Ди; и) называется одно-
родной функцией степени а, если f(ku; kv) = kaf(u; u).
Например, f(u; u) = и2 - uv + 3p2 — однородная функ-
ция второй степени, так как
f(ku-, kv) = k2u2 - ku • kv + 3k2v2 = k2f(u; p),
а функция f(u; v) = up2 не является однородной.
Практикум
2.	Решение уравнений методом замены переменной
Если левая часть уравнения f(x) = 0 представляет
собой однородную функцию ftu(x); о(х)) относительно
и и о, то это уравнение бывает проще свести к уравне-
нию с двумя неизвестными f(u; и) = 0 и выразить одну
через другую (см. уравнения 11, 22, 29).
40.	8 • 9х - 7 • 15х - 25х = 0.
Решение. Имеем 8 • 32х - 7 • 3х • 5х - 52х = 0.
Пусть 3х = и; 5х = v, тогда 8и2 - 7uv - V2 = 0.
Решив это уравнение относительно и, получим
~ и = V,
1
Lu = ”8u’
т. е.
3х = 5х,
3х = -|бх.
Ответ: х = 0.
41.	{х + I)2 + 3(х + 1) •	+ 5 + 2х + 10 = 0.
Решение. Пусть (х + 1) = и; Jx + 5 = о, тогда
и2 - Зии + 2и2 = 0. Отсюда
Г и = и,
Lu = 2о,
т. е.
х + 1 = Jx + 5 ,
х + 1 = 2 Jx + 5 .
Решив эту совокупность уравнений, получим
ответ:
х = ^2~ 1; х2 = 1 + 275.
Метод замены переменной с успехом применяется
при решении многих других заданий. Покажем это на
примерах.
320
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
Решение неравенств
Здесь многое происходит почти так же, как при ре-
шении уравнений, однако рекомендуем помнить, что
полученное с помощью замены переменной неравен-
ство нужно, как правило, сначала решить до конца
относительно новой переменной, а затем уже возвра-
щаться к старой.
42.	2 cos2 х - 5 cos х + 2 < 0.
Решение. Произведем замену
cos х = t, 2t2 - 5i + 2 < 0.
Теперь, решив неравенство, получим | < t < 2.
с»
Таким образом, cos х > I.
&
Ответ-. (-? + 2лА; 2 + 2л/г), fee Z.
о	о
Нахождение множества значений функции,
а также наибольшего и наименьшего
значений функции на промежутке
43.	Найти множество значений функции
/(х) = cos 2х + 3 sin х на R.
Решение. Пусть sin х = t, t е [-1, 1]. Тогда пос-
ле указанной замены получается функция
(p(t)= 1 -2t2 + 3t,
множество значений которой на [-1, 1] совпадает
с множеством значений данной функции /(х) на R.
Ответ: Г-4; 2.
О J
44.	Найти наименьшее значение функции
f(x) = cos х sin 2х.
Решение. Положим t = sin х, t е [-1, 1]. Так
как /(х) = cos2 х sin х, то наименьшее значение функ-
Практикум	321
2.	Решение уравнений методом замены переменной
ции /(х) на R совпадает с наименьшим значением
функции <р(£) = 2t(l - t2) на [-1; 1], которое равно
( 1 А _ -4V3
~ •
rs	-4л/3
Ответ-. —д— .
45.	Найти множество значений функции
Дх) = 2 sin х + 2 cos х - 5 sin х cos х
на ее периоде.
Решение. Заметим, что если sin х + cos х = t,
f2 - 1	r~	/—
то sin х cos х = —g— . Но - J2 < sin х + cos х < J2 ,
поэтому задача сводится к нахождению множества
5 9	г~ г~
значений функции ср(£) = 2t -^(t2 ~ 1) на [-J2 ; J2 ].
Ответ-. [2 72 - 2,5; 2,9].
Заметим, что примеры 42 и 43 можно было, разу-
меется, решать без замены переменной, исследуя с
помощью производной заданные сложные тригоно-
метрические функции. В то же время произведенная
замена дала возможность свести исходную задачу к
нахождению наибольшего и наименьшего значений
многочлена на отрезке, причем в примерах 43 и 45
данный многочлен является квадратным трехчленом,
!что позволяет обойтись вообще без всякой производ-
ной.
Решение самых разнообразных заданий
46	(МГУ, ф-т психологии, 1987 г., задание № 6).
Доказать, что все решения неравенства
Jx - 1 + 3Jx2 - 1 > 2
I
ft 11 Зах. 594
322
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
удовлетворяют неравенству
х + 2	~ 1 + 3Л4 - 2х2 + 1 > 1 + 237х2 - 1 .
Решение. Заметив, что множество решений пер-
вого неравенства не пусто (например, число 3 удов-
летворяет этому неравенству), положим Jx - 1 = а;
3Jx2 - 1 = Ь. Тогда надо доказать, что из неравенства
а + Ь > 2 следует неравенство а2 + 2а + Ь2 - 2Ь > 0.
Рассмотрим два неравенства, первое из которых полу-
чается возведением обеих частей неравенства
(а + 1) + (b - 1) > 2
в квадрат, а второе следует из неотрицательности пол-
ного квадрата:
(а + I)2 + 2(а + 1 )(& - 1) + (b - I)2 > 4,
(а + I)2 - 2(а + l)(b - 1) + (Ь - I)2 > 0.
Воспользовавшись свойствами неравенств, произ-
ведем почленное сложение и получим, что
2(а + I)2 + 2(f> - I)2 > 4, т. е. а2 + 2а + Ь2 - 2Ь > 0.
47. Найти f(x), если
2
Ях) + 2/(1)-4^.	(*)
Решение. В равенстве (*) заменим переменную х
1 m
на - . Тогда получим
з-А
/(1)+2«х)-----(**)
X
Равенства (*) и (**) образуют систему
. ««+»© - 
9
2f(x) + /g)
Практикум
2. Решение уравнений методом замены переменной
Решив ее относительно f(x) и f - , находим
Лх) =
7х2 - 5
Зх
48 (ГАУ). При каких а уравнение 6 Jx - 2 = ах + 7
имеет единственное решение?
Решение. Пусть Jx - 2 = t, тогда
f 6* = a(t2 + 2)+ 7,
1 t > 0.
Вопрос задания можно переформулировать так:
при каких а уравнение at2 - 6t + 7 + 2a = 0 имеет ров-
но один неотрицательный корень? (*)
1. При а = 0 условие (*) выполняется.
2. При а * 0 имеем квадратное уравнение с дискри-
минантом D = -8(а - 1)(а + 4,5). Рассмотрим следую-
щие случаи:
a)	D < 0 — решений нет;
б)	D = 0, тогда при а = 1 имеем t = 3, т. е. условие
2
(*) выполняется; при а = -4,5 имеем t = -х , т. е. уело-
О
вие (*) не выполняется;
в)	D > 0. Тогда для выполнения условия (*) один из
корней должен быть неотрицательным, а другой по-
ложительным, т. е. < 0. Воспользовавшись теоре-
мой Виета, получим систему
-S(a - 1)[о + |) > О,
' ^2<0,
а
решениями которой служат все а е (-3,5; 0). При ра-
венстве одного из корней нулю, т. е. при а = -3,5, вто-
324
Дидактические материалы
Для поступающих в вузы
рой корень t =	— отрицательный, т. е. условие (*)
выполняется.
Ответ: уравнение имеет единственное решение
при a G [-3,5; 0].
Еще раз посмотрите решение 48 примеров. Возьми-
те свои задачники и учебники и постарайтесь найти в
них задания, которые удобно решить методом замены
переменной. Запомните этот метод, он пригодится
вам и при решении различных задач высшей матема-
тики, которую вы будете изучать в вузе.
Упражнения
Решите уравнения:
49 (МАДИ). log3x + 7 (5х + 3) + log5x + 7 (Зх + 7) = 2.
Ответ: х = 3.
50 (МГТУ). 2  81^ -3 • 16^ < 36^.
Ответ: хе Го;	.
L 4J
51	(МГУ). 4х+ 3 • 2х + 2 = 64.
Ответ: х = 2.
52	(МГУ). 75 sin 2х- 7Г + 8sinxcosx = 0.
Ответ: х = 7 + nn, п е Z.
53	(МГУ). 710 cos х - 74cosх - cos2x = 0.
Ответ: х = ^ + 2nk, k е Z.
О
54	(МГУ). 3 cos 2х = 4 - 11 cos х.
Ответ: х = ±5 + 2пп, п.Е Z.
О
Практикум
2.	Решение уравнений методом замены переменной
55	(МГУ). 1 + 2|sin х| = 2 cos 2х.
Ответ-, х =	+ nk, ke Z.
56	(МАИ). log2 х4 + log! 2 + 3 < 0.
X
Ответ-. f0; I) U (1; 1/2 ).
57	(МВТУ). Найдите все p, при которых уравнение
(р-3)  9х - 6х + 1 + (р + 5) • 4х = 0
имеет хотя бы одно решение.
Ответ-. (-°°; -3] и [4; оо).
58	(МГУ). Найдите все а, при которых уравнение
(а2 - 6а + 9)(2 + 2 sin х - cos2 х) +
+ (12а - 18 - 2а2)(1 + sin х) + а + 3 = 0
не имеет решений.
Ответ-, (-оо; -3] и (1; 6).
59	(МГУ). При каждом а решите неравенство
х + 2а - J3ax + 4а2 > 0.
Ответ: решений нет.
60	.	(2х + 1)(2 + 7(2х + I)2 + 3 +
+ Зх(2 + 7эх2 + 3)) = 0.
„ 1
Ответ: х = -- .
О
Тематическое планирование
учебного материала
8 класс
Алгебра (5 ч в неделю, всего 170 ч)
Учебник Ш. А. Алимова и др.
Повторение и углубление курса 7 класса (8 ч)
Формулы сокращенного умножения. Понятие о бино-
ме Ньютона. Основные методы разложения на множите-
ли, в том числе разложение на множители многочленов
вида хп - 1; хп - а”; х2п +1 + 1; х2л +1 + а2п + Действия над
многочленами одной переменной. Проценты, пропорции.
Контрольная работа № 1.
Алгебраические дроби и действия над ними. Линей-
ные уравнения и их системы. Модуль. Решение простей-
ших уравнений с модулем. Текстовые задачи, приводящие
к линейным уравнениям. График линейной функции.
Графики функций, содержащих модуль. Простейшие пре-
образования графиков.
Контрольная работа № 2. •
Неравенства(25 ч)
Положительные и отрицательные числа. Действия над
положительными и отрицательными числами. Числовая
прямая. Числовые неравенства и их свойства. Строгие и не-
строгие неравенства. Свойства неравенств с положительны-
ми членами. Решение линейных неравенств и их систем.
Контрольная работа № 3.
Тематическое планирование учебного материала ^27
8 класс
Решение неравенств, содержащих модуль. Примеры
простейших неравенств с параметрами. Основные методы
доказательства неравенств. Сумма двух взаимно обрат-
ных положительных чисел, модуль суммы двух взаимно
обратных чисел. Неравенства, связанные с модулем сум-
мы и разности. Абсолютная и относительная погрешнос-
ти, округление чисел. Оценка выражений при помощи
неравенств. Основные приемы построения графиков (на
примере преобразования графика у = |х|). Область опреде-
ления функции. Простейшие свойства функций и иллюст-
рация их на графике. Возрастание и убывание, промежут-
ки монотонности, экстремумы, наибольшее и наименьшее
значения, корни, промежутки знакопостоянства.
Контрольная работа № 4.
Квадратные корни (24 ч)
Арифметический квадратный корень. Точное и при-
ближенное извлечение корня по таблице квадратов и на
микрокалькуляторе. Тождества, связанные с квадратным
корнем. Основные свойства квадратных корней (в том
числе связанные с неравенствами). Сравнение квадрат-
ных корней. Простейшие преобразования выражений, со-
держащих квадратные корни.
Контрольная работа № 5.
Вынесение множителя из-под корня и внесение его
под корень. Преобразование сложных выражений, содер-
жащих квадратные корни. Среднее арифметическое, сред-
нее геометрическое, среднее гармоническое и среднее
квадратичное двух положительных чисел, связанные с
ними неравенства. Понятие о корнях высших степеней.
Средние величины. Неравенства, связанные с ними (без
доказательства). Простейшие иррациональные уравне-
ния и неравенства.
Контрольная работа № 6.
Квадратные уравнения и квадратный трехчлен (28 ч)
Квадратный трехчлен, его коэффициенты. Значение
квадратного трехчлена при различных значениях пере-
менной. Корни квадратного трехчлена. Неполные квад-
— — _	Дидактические материалы
328	'
8 класс
ратные уравнения и способы их решения. Формула кор-
ней полного квадратного уравнения. Формула решения
полного квадратного уравнения с «четным» вторым коэф-
фициентом. Решение различных квадратных уравнений.
Контрольная работа № 7.
Теорема Виета для корней квадратного уравнения.
Теорема, обратная теореме Виета. Вычисление выраже-
ний, связанных с теоремой Виета. Использование этих те-
орем для «устного» решения квадратных уравнений. Ре-
шение некоторых систем уравнений с двумя неизвестны-
ми с помощью теоремы Виета. Составление квадратного
трехчлена по его корням. Разложение квадратного трех-
члена на линейные множители. Решение уравнений, при-
водящих к квадратным (в том числе биквадратных, сво-
дящихся к квадратным заменой переменной, симметри-
ческих, однородных). Дробно-рациональные уравнения,
сводящиеся к квадратным.
Контрольная работа № 8.
Квадратные уравнения с параметрами. Исследование
корней квадратного уравнения по его дискриминанту.
Примеры квадратных уравнений с модулем. Схема реше-
ния уравнений |/(х)| = |#(х)| и |/(х)| = g(x). Применение
квадратных уравнений к решению текстовых задач.
Контрольная работа № 9.
Квадратичная функция и квадратные неравенства
(29 ч)
Функции у = х2; у = ах2; у = ах2 + Ьх + с, их свойства
и графики. Построение графиков и исследование функ-
ций, связанных с квадратичной функцией, в том числе
графики у = |/'(х)| и у = Д|х|). Наибольшее или наименьшее
значение квадратичной функции. Задачи, приводящие к
их нахождению.
Контрольная работа №10.
Квадратные неравенства и их системы. Исследование
квадратного трехчлена и корней квадратного уравнения.
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами.
Контрольная работа № 11.
Тематическое планирование учебного материала
8 класс
Метод интервалов при решении неравенств (10 ч)
Точки возможной перемены знака рациональной
(многочлена) и дробно-рациональной функции. Проме-
жутки знакопостоянства этих функций. Метод интерва-
лов (промежутков) для решения рациональных и дроб-
но-рациональных неравенств. Особенности метода для
строгих и нестрогих неравенств. Применение метода ин-
тервалов для решения неравенств с модулем. Решение не-
равенств с параметром методом интервалов.
Контрольная работа №12.
Решение систем двух уравнений второй степени (10 ч)
Решение систем уравнений методами подстановки,
алгебраического сложения, сведения к совокупности.
Применение теоремы Виета к решению симметрических
систем уравнений. Примеры систем, связанных с ирра-
циональностью и модулем. График уравнения с двумя
неизвестными, примеры преобразования графиков урав-
нений.
Контрольная работа №13.
Элементы теории делимости (16 ч)
Натуральные числа. Целые числа. Арифметические
действия над натуральными и целыми числами. Дели-
мость натуральных чисел. Свойства делимости. Дели-
мость целых чисел. Теорема о делении с остатком. Прос-
тые и составные числа. Признаки делимости на 2, 5, 4,
25, 3, 9, 11, 7 и 13. Некоторые свойства простых чисел.
Разложение на простые множители. Число делителей
числа. НОК и НОД двух или нескольких чисел. Представ-
ление о решении диофантовых уравнений и других урав-
нений с целыми числами.
Контрольная работа №° 14.
Повторение (20 ч)
Контрольная работа № 15 (повторение).
Контрольная работа № 16 (повторение).
Дидактические материалы
330
9 класс
9	класс
Алгебра (5 ч в неделю, всего 170 ч)
Учебник Ш. А. Алимова и др.
Расширение понятия степени и корня (28 ч)
Степень с целым показателем. Определение степени с
целым показателем и ее свойства. Неравенства, связан-
ные со степенями с целым показателем. Степенная функ-
ция с целым показателем. Ее свойства и график.
Контрольная работа № 1.
Корни произвольных степеней. Определение арифме-
тического корня n-й степени. Свойства корней. Действия
над корнями. Корень нечетной степени из отрицательно-
го числа. Свойства корней, связанные с неравенствами.
Преобразования выражений, содержащих корни разных
степеней. Среднее геометрическое неотрицательных чи-
сел. Функция у = лл/х, п е Z, ее свойства и график. Про-
стейшие иррациональные уравнения и неравенства. При-
меры решения более сложных иррациональных уравне-
ний и неравенств, методы их решения.
Контрольная работа № 2.
Степень с рациональным показателем. Определение
степени с рациональным показателем. Свойства степеней
с рациональным показателем. Степенная функция с ра-
циональным показателем, ее свойства и график. Понятие
о степени с произвольным действительным показателем и
о соответствующей степенной функции. Преобразования
выражений, содержащих степени с рациональным пока-
зателем. Решение простейших уравнений и неравенств,
связанных со степенной функцией.
Контрольная работа № 3.
Функции двух переменных. Системы уравнений и
неравенств(10 ч)
Понятие о функции многих переменных. Функция
двух переменных, ее значения. Уравнение с двумя пере-
менными, решение этого уравнения. Множество точек,
Тематическое планирование учебного материала
9 класс
задаваемых на плоскости уравнением с двумя переменны-
ми. Примеры линий, задаваемых на плоскости уравнени-
ем с двумя переменными. Неравенства с двумя перемен-
ными и области, соответствующие их решению на плос-
кости. Задание фигур на координатной плоскости с
помощью уравнений и неравенств. Системы уравнений с
двумя переменными, основные приемы и методы их ре-
шений. Текстовые задачи, приводящие к системам урав-
нений с двумя переменными. Примеры систем с большим
числом переменных.
Контрольная работа № 4.
Тригонометрия(40 ч)
Радианное измерение углов. Единичная (тригономет-
рическая) окружность. Соответствие между точками еди-
ничной окружности и действительными числами. Форму-
лы, задающие числа, соответствующие определенным
точкам на тригонометрической окружности (в том числе
и формулы, связанные с неравенствами). Тригонометри-
ческие функции числового аргумента. Основные свойства
этих функций и их графики. Связь тригонометрических
функций числового аргумента и тригонометрических
функций острого угла в прямоугольном треугольнике.
Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента. Нахождение тригонометри-
ческих функций угла, лежащего в данной четверти, по
значению одной из этих функций. Формулы приведения.
Преобразования тригонометрических выражений и дока-
зательство тождеств.
Контрольная работа № 5.
Тригонометрические формулы сложения. Синус, ко-
синус и тангенс суммы и разности. Формулы двойного и
половинного аргумента. Преобразование суммы тригоно-
метрических функций в произведение и обратное преоб-
разование. Преобразования выражений типа a cos х +
+ b sin х и связанные с этим преобразованием задачи.
Контрольная работа № 6.
332
Дидактические материалы
9 класс
Решение более сложных примеров, связанных с пре-
образованиями тригонометрических выражений. Постро-
ение графиков, связанных с тригонометрическими функ-
циями. Растяжение и сжатие графиков вдоль осей коор-
динат, симметрия графиков.
Контрольная работа № 7.
Последовательности, индукция (30 ч)
Определение числовой последовательности. Основ-
ные способы задания числовых последовательностей.
Арифметическая прогрессия.
Контрольная работа № 8.
Геометрическая прогрессия.
Контрольная работа № 9.
Предел последовательности. Бесконечно малые после-
довательности, их свойства. Определение предела после-
довательности, свойства пределов. Необходимое условие
предела. Теорема о монотонно ограниченной последова-
тельности (без доказательства). Применение этой теоре-
мы к вопросам, связанным с длиной окружности и пло-
щадью круга. Сумма бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии. Метод математической индукции, его
применение к доказательству тождеств, обоснованию пе-
рехода от рекуррентного соотношения к формуле общего
члена (в частности, на примерах арифметической и гео-
метрической прогрессии и чисел Фибоначчи), доказатель-
ству неравенств, обоснованию делимости и к другим воп-
росам. Суммирование. Понятие о числовом ряде.
Контрольная работа №10.
Повторение(62 ч)
Уравнения и решение текстовых задач.
Контрольная работа №° 11.
Доказательство и решение числовых неравенств, ре-
шение более сложных текстовых задач.
Контрольная работа №12.
Тематическое планирование учебного материала
10 класс
Функции, их свойства и графики. Графическое реше-
ние уравнений и неравенств. Графическая интерпретация
уравнений и неравенств с двумя неизвестными.
Контрольная работа №13.
Преобразования выражений, рациональное выполне-
ние арифметических действий. Уравнения и неравенства
с параметрами.
Контрольная работа № 14.
Комплексные работы на повторение.
Контрольная работа №15. (Комплексное повторение.)
Контрольная работа № 16. (Комплексное повторение.)
Письменный экзамен (итоговая аттестация).
10	класс
I Алгебра и математический анализ (5 ч в первом
и 6 ч во втором полугодии, всего 190 ч)
Учебник Н. Я. Виленкина и др.
Повторение и углубление материала 9 класса (15 ч)
Радианное измерение углов, длина дуги, площадь сек-
тора и сегмента. Единичная окружность и координатная
прямая. Форма записи чисел, задаваемых точками на
координатной окружности. Определение тригонометри-
ческих функций числового аргумента. Четность и нечет-
ность тригонометрических функций. Периодичность
тригонометрических функций. Другие свойства тригоно-
метрических функций, их графики. Связь между тригоно-
I метрическими функциями одного аргумента. Нахождение
значений тригонометрических функций через значение
одной из них. Формулы приведения. Тригонометрические
формулы сложения и другие формулы преобразований
тригонометрических функций, вытекающие из формул
сложения. Формула a cos а + b sin а. Построение более
сложных графиков, связанных с тригонометрическими
функциями.
Контрольная работа №? 1.
334
Дидактические материалы
10 класс
Обратные тригонометрические функции (10 ч)
Определения, свойства и графики arccos х, arcsin х,
arctg х и arcctg х. Преобразования и вычисления, связан-
ные с обратными тригонометрическими функциями. Ре-
шение уравнений и неравенств, связанных с обратными
тригонометрическими функциями.
Контрольная работа № 2.
Тригонометрические уравнения (начало — 10 ч)
Простейшие тригонометрические уравнения. Основ-
ные типы тригонометрических уравнений. Тригонометри-
ческие уравнения, содержащие одинаковые тригономет-
рические функции одного и того же аргумента и сводя-
щиеся к ним. Однородные тригонометрические уравнения
и сводящиеся к ним. Решение уравнений с использовани-
ем формулы a cos а + b sin а.
Контрольная работа № 3.
Тригонометрические уравнения (окончание — 10 ч)
Уравнения вида sin (/(*)) = sin (<р(х)) и аналогичные
им. Решение тригонометрических уравнений методом
разложения на множители. Формулы понижения степени
при решении тригонометрических уравнений. Некоторые
приемы решения трансцендентных уравнений, содержа-
щих тригонометрические функции. Тригонометрические
уравнения с параметрами.
Контрольная работа № 4.
Тригонометрические неравенства (10 ч)
Простейшие тригонометрические неравенства. Их ре-
шение на тригонометрическом круге и на графике. Метод
интервалов при решении тригонометрических неравенств.
Замена переменной при решении тригонометрических не-
равенств. Некоторые приемы решения трансцендентных
неравенств, содержащих тригонометрические функции.
Тригонометрические неравенства с параметрами.
Контрольная работа № 5.
Многочлены от одной переменной (13 ч)
Многочлены. Степень многочлена, коэффициенты
многочлена. Равенство двух многочленов. Метод неопре-
Тематическое планирование учебного материала
10 класс
деленных коэффициентов. Действия над многочленами.
Замкнутость многочленов относительно их сложения и
умножения. Кольцо многочленов. Теорема о делении с ос-
татком. Метод деления многочленов «уголком». Теорема
Безу и следствия из нее. Схема Горнера. Корни многочле-
на. Кратные корни. Теорема о целом корне приведенного
многочлена с целыми коэффициентами. Теорема о раци-
ональном корне многочлена с целыми коэффициентами.
Использование результатов этих теорем для нахождения
корней многочлена, доказательства иррациональности
некоторых чисел, решения задач, связанных с делимо-
стью многочленов и остатками при делении многочленов.
Составление многочлена по его корням. Теорема Виета.
Применение схемы Горнера для нахождения корней мно-
!гочлена и составления многочлена по его корням.
Контрольная работа № 6.
Рациональные уравнения и неравенства (10 ч)
Равносильность уравнений. Уравнения высших степе-
ней. Приемы их решения. Замена переменной и разложе-
ние на множители. Возвратные уравнения. Уравнения,
однородные относительно входящих в них выражений.
Рациональные неравенства. Решение рациональных не-
равенств методом интервалов. Системы рациональных
неравенств. Рациональные уравнения и неравенства, со-
держащие знак модуля. Рациональные уравнения и нера-
венства с параметрами.
Контрольная работа № 7.
Числовые функции (14 ч)
Числовые функции, способы их задания, операции над
функциями, композиция функций. Основные способы пре-
образования графиков функций (симметрия, параллель-
ный перенос, сжатие и растяжение). График функции, взя-
той по модулю, и функция от модуля аргумента. Постро-
ение графиков линейной, квадратичной, дробно-линейной,
тригонометрических и других функций. Основные свойст-
ва функций: область определения, множество значений
функции, нули функции, интервалы знакопостоянства
Дидактические материалы
336
10 класс
функции, четность, нечетность, периодичность. Монотон-
ность функции, интервалы монотонности, экстремумы
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
на промежутке. Уточнение понятия об обратной функции.
Понятие об асимптотическом поведении функции в точке и
на бесконечности. Исследование функции по графику.
Числовые последовательности, рекуррентный способ их за-
дания, переход к формуле общего члена. Повторение ариф-
метической и геометрической прогрессий, метода матема-
тической индукции. Изучение свойств числовых последо-
вательностей. Монотонность и ограниченность.
Контрольная работа № 8.
Предел и непрерывность (начало — 10 ч)
Бесконечно малые числовые последовательности и их
свойства. Примеры бесконечно малых Q ; д'*, где |g| < 1).
Определение предела числовой последовательности. Свой-
ства пределов числовых последовательностей. Приемы на-
хождения пределов числовых последовательностей. Необ-
ходимый признак сходимости (ограниченность). Теорема о
пределе монотонной ограниченной последовательности (без
доказательства). Уточнение понятий о длине окружности и
площади круга. Число е. Сумма бесконечной геометриче-
ской прогрессии. Понятие о числовых рядах и их сходи-
мости. Бесконечно малая функция на плюс бесконечности.
Примеры. Предел функции на плюс бесконечности. Теоре-
мы о пределах. Предел функции на минус бесконечности.
Бесконечно большие функции. Горизонтальная и наклон-
ные асимптоты. Основные методы их нахождения.
Контрольная работа № 9.
Предел и непрерывность (окончание — 12 ч)
Предел функции в точке. Теоремы о пределах. Пре-
дельный переход в неравенствах. Непрерывность функции
в точке. Виды разрывов. Вертикальные асимптоты. Опера-
ции над непрерывными функциями. Непрерывность ос-
новных функций (многочлены, дробно-рациональные, три-
гонометрические функции). Представление о непрерыв-
Тематическое планирование учебного материала
10 класс
ности сложной и обратной функций. Непрерывность
степенной функции с рациональным показателем. Непре-
рывность обратных тригонометрических функций. Пер-
вый замечательный предел [ lim -^7— = 1 Ь Техника на-
хождения пределов. Теорема о промежуточном значении
непрерывной функции. Наибольшее и наименьшее значе-
ния непрерывной функции на отрезке. Другие свойства не-
прерывных функций. Теоретические основы решения не-
равенств методом интервалов. Метод нахождения прибли-
женного значения корня функции половинным делением.
Контрольная работа №10.
Производная и ее применение (начало — 12 ч)
Приращение функции. Определение производной. Гео-
метрический и физический смысл производной. Нахожде-
ние производной по определению (для функций х; х2; х3; ;
7х; sin х; cos х). Непрерывность и дифференцируемость.
Примеры непрерывных в точке функций, не имеющих в
этой точке производных. Критические точки функции.
Производная суммы, произведения и частного. Произ-
водная степенной функции с целым показателем, произ-
водная тангенса и котангенса. Теорема о производной
сложной функции. Теорема о производной обратной функ-
ции, способы нахождения производных обратной функ-
ции. Производная степенной функции с рациональным
показателем. Производные обратных тригонометриче-
ских функций. Техника дифференцирования.
Контрольная работа №11.
Производная и ее применение (продолжение — 14 ч)
Уравнения касательной и нормали. Задачи на каса-
тельную. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. По-
нятие о методе Лопиталя. Исследование функции на мо-
нотонность и экстремумы. Различные случаи поведения
функции в критических точках. Методы нахождения на-
ибольшего и наименьшего значений функции на проме-
жутке. Примеры задач геометрического и физического
J Jg	Дидактические материалы
11	класс
содержания, решаемых с помощью производных. Приме-
нение производной к доказательству неравенств, реше-
нию и исследованию уравнений и неравенств.
Контрольная работа №12.
Производная и ее применение (окончание — 14 ч)
Вторая производная и производные высших поряд-
ков. Выпуклость функции. Исследование функции на вы-
пуклость с помощью второй производной. Примеры дока-
зательства неравенств с помощью второй производной.
Полное исследование функции и построение графика.
Применение производных к приближенным вычислени-
ям. Понятие о разложении функции в ряд Тейлора. Обоб-
щающие задачи на применение производной.
Контрольная работа №13.
Обобщающее повторение (36 ч)
Контрольная работа №° 14.
Итоговая контрольная работа №° 15.
11 класс
Алгебра и математический анализ
(5 ч в неделю, всего 170 ч)
Учебник Н. Я. Виленкина и др.
Показательная, логарифмическая и степенная функ-
ции (48 ч)
Свойства степенной функции с натуральным показа-
телем, ее график. Свойства степенной функции с целым
показателем, ее график. Свойства степенной функции с
рациональным показателем, ее график. Понятие о степе-
ни с иррациональным показателем. Свойства степенной
функции с произвольным действительным показателем.
Показательная функция, ее свойства и график. Постро-
ение графиков, связанных с показательной функцией.
Функция, обратная показательной. Понятие о лога-
рифме. Десятичные и натуральные логарифмы. Логариф-
мическая функция и ее график. Определение и свойства
Тематическое планирование учебного материала
339
11 класс
логарифмов. Основные формулы и примеры преобразова-
ния логарифмов. Сравнение логарифмов (8 ч).
Контрольная работа № 1.
Решение простейших показательных уравнений и не-
равенств на основании свойств показательной функции.
Показательные уравнения, их классификация и способы
решения. Показательные неравенства и способы их реше-
ния. Метод интервалов при решении показательных не-
равенств (8 ч).
Контрольная работа № 2.
Решение простейших логарифмических уравнений и
неравенств на основании свойств логарифмической функ-
ции. Логарифмические уравнения, их классификация и
способы их решения. Случаи потери корней и приобрете-
ния посторонних корней при решении логарифмических
неравенств. Логарифмические неравенства и способы их
решения. Метод интервалов при решении логарифмиче-
ских неравенств(8 ч).
Контрольная работа № 3.
Решение иррациональных уравнений, их классифи-
кация и способы решения. Случаи потери корней и при-
обретения посторонних корней при решении ирраци-
ональных уравнений. Решение иррациональных нера-
венств. Метод интервалов при решении иррациональных
неравенств. Уравнения и неравенства, связанные со сте-
пенной функцией. Трансцендентные уравнения и нера-
венства, связанные со степенной, логарифмической и по-
казательной функциями (8 ч).
Контрольная работа № 4.
Число е. Натуральные логарифмы. Некоторые пределы,
связанные с числом е. Производные показательной, лога-
рифмической и степенной функции. Логарифмическое диф-
ференцирование. Решение задач на применение производ-
ных, связанных с данными функциями, в том числе на ка-
сательные, исследование функций, отыскание наибольшего
и наименьшего значений функции на промежутке (8 ч).
Контрольная работа № 5.
^л	Дидактические материалы
340---------------------------------------------
11 класс
Сравнение роста показательной, логарифмической и
степенной функций и связанные с этим пределы. Нахож-
дение асимптот функций, связанных с показательной,
степенной и логарифмической функциями. Полное иссле-
дование и построение графиков данных функций. Дока-
зательство неравенств и другие вопросы (8ч).
Контрольная работа № 6.
Интеграл и дифференциальные уравнения (26 ч)
Повторение темы «Производная». Техника дифферен-
цирования. Первообразная функция на промежутке. Таб-
лица первообразных. Свойства первообразной. Задача Ко-
ши. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенно-
го интеграла. Нахождение неопределенных интегралов.
Неопределенный интеграл, связанный со сложной функ-
цией. Интегрирование заменой переменной. Понятие об
интегрировании по частям. Техника интегрирования. По-
нятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное
решения дифференциального уравнения. Дифференци-
альные уравнения, решаемые непосредственно интегриро-
ванием. Дифференциальные уравнения гармонического
колебания. Уравнения с разделяющимися переменными
(физические задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям) (14 ч).
Контрольная работа № 7.
Определенный интеграл. Формула Ньютона—Лейбни-
ца. Свойства определенного интеграла. Площадь криво-
линейной трапеции. Квадрируемость. Методы нахожде-
ния площадей плоских фигур с помощью определенного
интеграла. Другие приложения определенного интеграла
в геометрии и физике. Решение задач (12 ч).
Контрольная работа № 8.
Комплексные числа (26 ч)
История развития числа, определение комплексного
числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Усло-
вия равенства двух комплексных чисел. Действия над
комплексными числами в алгебраической форме.
Тематическое планирование учебного материала
11 класс
Сопряженные комплексные числа и их свойства. Воз-
ведение комплексного числа в целую степень. Корень из
комплексного числа в алгебраической форме (8 ч).
Контрольная работа № 9.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексно-
го числа. Примеры множеств точек, задаваемых на комп-
лексной плоскости при помощи уравнений и неравенств,
связанных с комплексными числами (8 ч).
Контрольная работа №10.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Умно-
жение и деление комплексных чисел в тригонометрической
форме. Формула Муавра. Формулы тригонометрических
функций кратных углов. Комплексные числа и геометриче-
ские преобразования на плоскости. Корни n-й степени из
числа 1 и их свойства. Корни из комплексного числа. Реше-
ние задач. Основная теорема алгебры многочленов и ее
следствия. Теорема о комплексном корне многочлена с дей-
ствительными коэффициентами. Разложение многочлена
на множители. Обобщенная теорема Виета. Решение при-
меров, связанных с комплексными числами (10 ч).
Контрольная работа №11.
Многочлены от нескольких переменных. Системы
уравнений и неравенств (18 ч)
Стандартный вид многочлена от нескольких перемен-
ных. Симметрические многочлены, однородные много-
члены. Применение их свойств для доказательства нера-
венств и сведение решения некоторых алгебраических
систем к нахождению корней многочлена (с использова-
нием теоремы Виета). Геометрический смысл уравнения с
двумя переменными. Решение неравенств с двумя пере-
менными (8 ч).
Контрольная работа № 12.
Системы уравнений. Метод исключения, метод алгеб-
раического сложения. Метод замены переменных. Систе-
мы линейных уравнений и метод Гаусса. Примеры реше-
342
Дидактические материалы
11 класс
ния иррациональных, показательных, логарифмических
и тригонометрических систем уравнений. Самостоятель-
ная работа (10 ч).
Контрольная работа №13.
Элементы комбинаторики и теория вероятностей
(16 ч)
Примеры комбинаторных задач. Правило суммы и
произведения. Формулы для вычисления числа переста-
новок и размещений различных элементов. Примеры за-
дач. Сочетания, их свойства. Примеры задач. Формулы
бинома Ньютона. Треугольник Паскаля. Размещения, пе-
рестановки и сочетания с повторениями. Случайные со-
бытия. Классическое определение вероятности. Примеры
задач на нахождение вероятности с применением комби-
наторных методов. Несовместные события и теорема сло-
жения. Независимые испытания, умножение вероятнос-
тей, условная вероятность, представление о формулах
Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли. По-
нятие о геометрической вероятности.
Контрольная работа №14.
Повторение(36 ч)
Уравнения, неравенства и их системы.
Контрольная работа №15.
Производная и ее применение. Первообразная и ее
применение.
Контрольная работа №° 16.
Комплексные числа.
Контрольная работа № 17.
Решение комплексных наборов на повторение, в том
числе примеров тестирования, примеров вступительных
экзаменов в вузы, примеров экзаменационных работ про-
шлых лет.
Четырехчасовая репетиционная контрольная рабо-
та № 18.
Итоговые уроки.
Литература
1.	Алгебра в таблицах. 7—11 классы. Справочное
пособие / Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский. М.: Дро-
фа, 1997.
2.	Алимов Ш. А., Калягин Ю. М„ Сидоров Ю. В. и др.
Алгебра 8. М.: Просвещение, 1992.
3.	Алимов Ш. А., Калягин Ю. М„ Сидоров Ю. В. и др.
Алгебра 9. М.: Просвещение, 1992.
4.	Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа 10—11.
М.: Просвещение, 1991.
5.	Богомолов Н. В. Практические занятия по математи-
ке. М.: Высшая школа, 1998.
6.	Бородуля И. Т. Тригонометрические уравнения и не-
равенства: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1989.
7.	Бортаковский А. С., Закалюкин В. М„ Серегин В. Н.,
Скуридин А. М. Сборник задач по математике для
поступающих в вузы. М.: Изд-во МАИ, 1995.
8.	Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Па-
сиченко П. И. Задачи по математике. Уравнения и не-
равенства. М.: Наука, 1987.
9.	Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н„ Па-
сиченко П. И. Задачи по математике. Начала анализа.
М.: Наука, 1990.
10.	Волошинов А. В. Математика и искусство. М.: Просве-
щение, 1992.
11.	Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И.
Углубленное изучение курса алгебры и математиче-
ского анализа. М.: Просвещение, 1986, 1990.
12.	Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Курс
алгебры в задачах // Квантор. Львов, 1991.
13.	Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сбор-
ник задач по алгебре 8—9. М.: Просвещение, 1992,
1994 и последующие издания.
14.	Говоров В. Н., Дыбов П. Т„ Мирошин Н. В., Смирно-
ва С. Ф. Сборник конкурсных задач по математике.
М.: Наука, 1986.
344
Дидактические материалы
Литература
15.	Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по
элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.
М.: Просвещение, 1991.
16.	Доброва О. Н. Задания по алгебре и математическому
анализу. М.: Просвещение, 1996.
17.	Дорохин Д. П., Плаксенко 3. Е., Бажора Г. Ф. Сбор-
ник задач и упражнений по математике. М.: Высшая
школа, 1986.
18.	Ивлев Б. М., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Щварц-
бурд С. И. Задачи повышенной трудности по алгебре
и началам анализа для 10—11 классов. М.: Просвеще-
ние, 1990.
19.	Звавич Л. И., Аверьянов Д. И., Смирнова В. К., Шля-
почник Л. Я., Бунимович Е. А., Пигарев Б. П. Задачи
письменного экзамена по математике за курс средней
школы: условия и решения. Выпуски 1—6. М.: Шко-
ла-Пресс, 1993—1998.
20.	Звавич Л. И., Аверьянов Д. И., Смирнова В. К. Экза-
менационные задачи по алгебре для школьников и
абитуриентов. М.: Дрофа, 1996, 1997.
21.	Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я. Алгебра и начала ана-
лиза. Решение экзаменационных задач. М.: Дрофа,
1998.
22.	Звавич Л. И., Аверьянов Д. И., Пигарев Б. П., Труша-
нина Т. Н. Задания для проведения письменного экза-
мена по математике в 9 классе. М.: Просвещение, 1994
и последующие издания.
23.	Звавич Л. И., Рязановский А. Р., Поташник А. М.
Сборник задач по алгебре и математическому анализу
для 10—11 классов. Выпуск 1: Интеграл и площадь.
М.: Новая школа, 1996.
24.	Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я. Контрольные и прове-
рочные работы по алгебре. 7—9 классы. М.: Дрофа,
1996.
25.	Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я. Контрольные и прове-
рочные работы по алгебре. 10—11 классы. М.: Дрофа,
1996.
345
Дидактические материалы
Литература
26.	Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анали-
за. 10—11 классы. М.: Просвещение, 1995.
27.	Карп А. П. Сборник задач по алгебре для 8—9 классов
с углубленным изучением математики. СПб.: Образо-
вание, 1993.
28.	Карп А. П. Сборник задач для подготовки к выпуск-
ным экзаменам по алгебре и началам анализа. СПб.,
1996.
29.	Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
и др. Алгебра и начала анализа 10—11. М.: Просвеще-
ние, 1991 и последующие издания.
30.	Кузнецова Л. В., Бунимович Е. А., Пигарев Б. П., Су-
ворова С. Б. Алгебра: Сборник заданий для проведе-
ния письменного экзамена по алгебре за курс основ-
ной школы. 9 класс. М.: Дрофа, 1996.
31.	Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н„ Потапов М. К. За-
дачи вступительных экзаменов по математике. М.:
Наука, 1986.
32.	Олехник С. Н„ Потапов М. К., Пасиченко П. И. Не-
стандартные методы решения уравнений и нера-
венств. М.: Изд-во МГУ, 1991.
33.	Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Ва-
рианты экзаменационных задач по математике для
поступающих в вузы. М.: Дрофа, 1997.
34.	Повышение эффективности обучения математике в
школе: Кн. для учителя. Из опыта работы / Сост.
Г. Д. Глейзер. М.: Просвещение, 1989.
35.	Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи
по алгебре и началам анализа для 10—11 классов. М.:
Просвещение, 1990.
36.	Симонов А. Я., Бакаев Д. С., Эпельман А. Г. и др. Сис-
тема тренировочных задач и упражнений по матема-
тике. М.: Просвещение, 1991.
37.	Сборник задач по математике для поступающих во
втузы: Учебное пособие / Под редакцией М. И. Скана-
ви. М.: Высшая школа, 1988 и последующие издания.
346
Дидактические материалы
Литература
Новое издание (с дополнительной главой «Комплекс-
ные числа»). М.: Столетие, 1997.
38.	Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочник по методам
решения задач по математике для средней школы. М.:
Наука, 1989.
39.	Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: Методиче-
ские указания для поступающих в вузы. М.: Изд. от-
дел УНЦ ДО МГУ, 1996.
40.	Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике.
Решение задач (10 класс). М.: Просвещение, 1989.
41.	Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс
по математике. Решение задач (11 класс). М.: Просве-
щение, 1991.
42.	Шарыгин И. Ф. Математический винегрет. М.: Агент-
ство «Орион», 1991.
43.	Яковлев Г. Н„ Купцов Л. П., Резниченко С. В., Гусят-
ников П. Б. Всероссийские математические олимпи-
ады школьников. М.: Просвещение, 1992.
Содержание
От авторов................................ 3
I. Контрольные работы
8	класс
усл. отв.
КМ-8-1.	Повторение материала 7 класса..... 5	41
КМ-8-2.	Повторение материала 7 класса..... 7	41
КМ-8-3.	Линейные неравенства. Простейшие
системы неравенств................ 9	42
КМ-8-4.	Доказательство неравенств.........12	42
КМ-8-5.	Квадратный корень.................13	43
КМ-8-6.	Преобразование выражений,
содержащих квадратный корень......16	43
КМ-8-7.	Квадратные уравнения..............18	44
КМ-8-8.	Теоремы Виета.....................21	45
КМ-8-9.	Текстовые задачи, квадратные
уравнения с параметром............24	45
КМ-8-10. Квадратичные и кусочно-квадра-
тичные функции....................26	46
КМ-8-11. Квадратные неравенства............28	47
КМ-8-12. Простейшие рациональные
неравенства.......................30	47
КМ-8-13. Системы уравнений.................32	48
КМ-8-14. Делимость натуральных чисел.......34	48
КМ-8-15. Повторение........................37	49
КМ-8-16. Повторение........................39	49
9	класс
КМ-9-1. Степень с целым показателем........50	85
КМ-9-2. Корни n-й степени..................52	85
КМ-9-3. Степень с рациональным показателем 54	86
КМ-9-4. Функции двух переменных.
Системы уравнений.................56	86
КМ-9-5. Тригонометрические функции
числового аргумента...............57	87
КМ-9-6. Тригонометрические формулы.........60	87
КМ-9-7. Преобразование тригонометри-
ческих выражений..................62	88
348
Дидактические материалы
Содержание
усл. отв.
КМ-9-8. Числовые последовательности.
Арифметическая прогрессия..................63	88
КМ-9-9. Геометрическая прогрессия..........65	88
КМ-9-10. Метод математической индукции.
Суммирование...............................67	89
КМ-9-11. Повторение (Уравнения.
Текстовые задачи)..........................69	89
КМ-9-12. Повторение (Неравенства.
Более сложные текстовые задачи) .... 72	89
КМ-9-13. Повторение (Функции, их
свойства и графики)............................74	90
КМ-9-14. Повторение (Преобразование
выражений. Уравнения и
неравенства с параметрами)..................77	90
КМ-9-15. Комплексное повторение................79	92
КМ-9-16. Комплексное повторение................82	92
10	класс
КМ-10-1. Тригонометрические функции...... 93	126
КМ-10-2. Обратные тригонометрические
функции................................. 95	126
КМ-10-3. Тригонометрические уравнения	...	.	97	127
КМ-10-4. Тригонометрические уравнения	...	.	99	128
КМ-10-5. Тригонометрические неравенства ...	101	130
КМ-10-6. Многочлены......................102	131
КМ-10-7. Рациональные уравнения
и неравенства ........................... 105	131
КМ-10-8. Числовые функции................106	132
КМ-10-9. Числовые последовательности.
Предел функции на бесконечности . . 110	134
КМ-10-10. Предел и непрерывность..............113	135
КМ-10-11. Производная и техника
дифференцирования.............................116	136
КМ-10-12. Производная и ее применение......118	137
КМ-10-13. Производные высших порядков.
Полное исследование функции...............120	138
КМ-10-14. Повторение..........................122	139
КМ-10-15. Повторение. Итоговая
работа (3—4 ч)............................124	140
Дидактические материалы	349
Содержание
11	класс
усл. отв.
КМ-11-1. Логарифмы и их свойства.
Степенная, показательная
и логарифмическая функции.......141	181
КМ-11-2. Показательные уравнения
и неравенства .......................... 143	182
КМ-11-3. Логарифмические уравнения
и неравенства .......................... 146	183
КМ-11-4. Иррациональные уравнения
и неравенства ...........................149	184
КМ-11-5.	Пределы, связанные с числом е.
Техника дифференцирования.......151	185
КМ-11-6.	Применение производной в задачах,
связанных с функциями...........154	186
КМ-11-7.	Первообразная и интеграл.......156	188
КМ-11-8.	Определенный интеграл и его
приложения . ...................159	189
КМ-11-9.	Алгебра комплексных чисел......161	189
КМ-11-10. Геометрическая интерпретация
комплексных чисел.........................163	190
КМ-11-11. Тригонометрическая форма
комплексного числа.......................165 190
КМ-11-12. Многочлены и функции
с несколькими переменными................167	192
КМ-11-13. Системы уравнений..............170	193
КМ-11-14. Комбинаторика и теория
вероятностей ........................... 172	194
КМ-11-15. Повторение (Уравнения
и неравенства)...........................175 195
КМ-11-16. Повторение (Производная
и первообразная).........................177 196
КМ-11-17. Повторение (Комплексные числа —
обобщающая контрольная работа) . . 179	196
II. Тематическая подборка задач
выпускного экзамена. 11 класс
усл. отв.
1.	Вычисление и сравнение
иррациональных чисел.....................197 259
2.	Многочлены. Алгебраические
уравнения и системы.................... 198	259
350
Дидактические материалы
Содержание
3.	Тригонометрические
уравнения и системы...................  201	260
4.	Тригонометрические неравенства...... 205	261
5.	Показательные уравнения
и системы...............................205	261
6.	Показательные неравенства
и системы..............................206 261
7.	Логарифмические уравнения
и системы..............................208 262
8.	Логарифмические неравенства
и системы..............................211 262
9.	Иррациональные уравнения
и системы.............................. 214	263
10.	Иррациональные неравенства
и системы.............................. 216	263
11.	Уравнения, неравенства, системы.... 217	264
12.	Исследование функций.
Производные............................ 221	265
13.	Построение графиков функций
и уравнений.
Изображение множеств на плоскости .... 225	265
14.	Касательная к графику.............. 226	266
15.	Экстремумы, наибольшее
и наименьшее значения функции.......... 231	266
16.	Первообразная.
Неопределенный интеграл................ 236	267
17.	Определенный интеграл и вычис-
ление площадей плоских фигур........... 237	267
18.	Задачи с параметрами............... 244	268
19.	Комплексные числа.................. 251	269
20.	Изображение множеств комп-
лексных чисел на плоскости............. 255	270
Ш. Экзаменационные работы
9 класс................................ 272	284
11 класс................................277	285
IV. Практикум для поступающих в вузы
1.	Задачи на касательную.............. 288
2.	Решение уравнений методом
замены переменной......................304
Тематическое планирование учебного
материала ............................. 326
Литература.............................343
Учительская страни ч ка
Уважаемый учитель математики!
Издательский дом «Дрофа» предлагает вашему вниманию про-
граммно-методические, дидактические и справочные материалы по
математике. Эти пособия разработаны в соответствии с современ-
ными образовательными стандартами и школьными программами,
структурно соответствуют действующим учебникам.
- Программно-методические материалы
•	«Математика. Программно-методические материалы.
Сборник нормативных документов». 5—11 классы.
•	«Математика. Программно-методические материалы.
Тематическое планирование». 5—11 классы.
и_ Контрольные и проверочные работы
•	П. И. Алтынов. «Контрольные и проверочные работы
по математике». 5—6 классы.
•	Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник. «Контрольные
и проверочные работы по алгебре». 7—9 классы.
•	Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник. «Контрольные
и проверочные работы по алгебре». 10—11 классы.
•	А. И. Медяник. «Контрольные и проверочные работы
по геометрии». 7—11 классы.
 Тесты
•	Е. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко. «Математика. Тесты».
5—6 классы.
•	П. И. Алтынов. «Алгебра.Тесты». 7—9 классы.
•	П. И. Алтынов. «Алгебра и начала анализа. Тесты».
10—11 классы.
•	П. И. Алтынов. «Геометрия. Тесты». 7—9 классы.
•	П. И. Алтынов. «Геометрия. Тесты». 10—11 классы.
- Экзаменационные сборники
Л. В. Кузнецова и др. «Сборник заданий для проведения пись-
менного экзамена по алгебре за курс основной школы». 9 класс.
• Г. В. Дорофеев и др. «Сборник заданий для подготовки и про-
ведения письменного экзамена по математике за курс средней
школы». 11 класс._______________________________ _____ _______
Эти и многие другие книги Издательского дома «Дрофа»
можно приобрести во всех регионах России и странах СНГ
по минимальным издательским ценам.
Телефоны отдела реализации ИД «Дрофа»:
(095) 795-05-50, 795-05-51, 795-05-52.
_________Адрес: 127018, Москва, Сущевский вал, 49._____________
Кроме того, вы можете
	заказать и получить учебную литературу Издательского дома «Дрофа» по почте
наложенным платежом.
Для получения каталога «Книга—почтой» заявки присылайте по адресу:
105318, Москва, а/я 22, «Дрофа».
	приобрести любое количество книг Издательского дома «Дрофа» в оптово-
розничном магазине издательства — Торговом доме «Школьник» по адресу:
Москва, ул. Малые Каменщики (м. «Таганская», радиальная), д. 6, стр. 1А.
Телефоны для справок: (095) 912-15-16, 911-70-24, 912-45-76._
Оперативная информация об издательстве в глобальной сети Интернет —
по адресу http://www.drofa.ru. E-mail: webmaster@drofa.msk.ru