Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов - Сидоров Ю.В., Шабунин М.И., Колягин Ю.М., Федорова Н.Е., Алимов Ш.А.

Author: Сидоров Ю.В. Шабунин М.И. Колягин Ю.М. Федорова Н.Е. Алимов Ш.А.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра анализ математика математический анализ 11 класс 10 класс точные науки
ISBN: 978-5-09-017284-4
Year: 2007
Similar
Математика для чайников. Сборник задач.
Методика преподавания арифметики для учительских институтов
Математика. 6 класс
Математика. Учебник для 6 классов общеобразовательных школ
Text
                    
Алгебра
и начала i
анализа
учебник
для
10-11
классов
общеобразовательных
учреждений
Рекомендовано
Министерством
образования и науки
Российской
Федерации
15-е издание
Москва
• Просвещение
2007
УДК 373.167.1:[512 + 517]
ББК 22.14я72
А45
Условные
обозначения
в учебнике
Авторы:
Ш. А. Алимов
Ю. М. Колягин
Ю, В. Сидоров
Н. Е. Федорова
М. И. Шабунин
выделение основного материала
-	-.1	текст, который важно знать и полезно помнить (не обязательно наизусть)
начало решения задачи
окончание решения задачи
Издание
подготовлено
под научным
руководством
начало обоснования утверждения
или вывода формулы
академика
А. Н. Тихонова
окончание обоснования или вывода
дополнительный более сложный
материал
Учебник занял
третье место
на Всесоюзном
конкурсе
учебников
для средней
школы
обязательные задачи
дополнительные более сложные
задачи
трудные задачи
Алгебра и начала анализа : учеб, для 10—11 кл. об-
А45 щеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин,
Ю. В. Сидоров и др,]. — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2007. —
384 с. : ил. — ISBN 978-5-09-017284-4.
УДК 373.167.1:[512 + 517]
ББК 22,14я72 + 22.161я72
ISBN 978-5-09-017284-4
© Издательство «Просвещение», 2000
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2000
Все права защищены
I
i '’itiaea
- Действительные числа
7 Холодные числа, внешне сухие формулы
математики полны внутренней красоты
г и жара сконцентрированной в них мысли.
А. Д. Александров
; Целые и рациональные
“ числа
1
Изучение математики вы начали с натуральных
чисел, т. е. с чисел 1, 2, 3, 4, 5.При сложении
и умножении натуральных чисел всегда получают-
ся натуральные числа. Однако разность и частное
натуральных чисел могут не быть натуральными
числами.
Дополнением натуральных чисел нулем и отрица-
тельными числами (т. е. числами, противополож-
ными натуральным) множество натуральных чисел
расширяется до множества целых чисел, т. е. чи-
сел 0, ±1, ±2, +3, ... . При сложении, вычитании
и умножении целых чисел всегда получаются це-
лые числа. Однако частное двух целых чисел мо-
жет не быть целым числом.
Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида—,
п
где т — целое число, п — натуральное число, по-
зволило находить частное двух рациональных чи-
сел при условии, что делитель не равен нулю. Каж-
дое целое число т также является рациональным,
т
так как его можно представить в виде у.
При выполнении четырех арифметических дейст-
вий (кроме деления на нуль) над рациональными
числами всегда получаются рациональные числа.
3
Если рациональное число можно представить
в виде дроби , где т — целое число, k — нату-
10*
ральное число, то его можно записать в виде конеч-
327
ной десятичной дроби. Например, число можно
23
записать так: 3,27; число---можно записать так:
10
-2,3.
Существуют рациональные числа, которые нельзя
записать в виде конечной десятичной дроби, на-
1	2 3
пример —, —, —. Если, например, попытаться за-
3	9 7
писать число — в виде десятичной дроби, используя
3
известный алгоритм деления уголком, то получит-
ся бесконечная десятичная дробь 0,3333... . Бес-
конечную десятичную дробь 0,3333... называют
периодической, повторяющуюся цифру 3 — ее пе-
риодом. Периодическую дробь 0,333... коротко за-
писывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три
в периоде».
Вообще, периодическая дробь — это бесконечная
десятичная дробь, у которой начиная с некоторого
десятичного знака повторяется одна и та же цифра
’ или несколько цифр — период дроби.
Например, десятичная дробь
23,14565656... = 23,14(56)
периодическая с периодом 56; читается «23 целых,
14 сотых и 56 в периоде».
27
Задача 1 Записать число в виде бесконечной десятичной
дроби.
► Воспользуемся алгоритмом деления уголком:
_ 27	11_______
22	2,4545...
_ 50
44
_ 60
55
_ 50
44
6...
4
Остатки повторяются, поэтому в частном повторя-
ется одна и та же группа цифр: 45. Следовательно,
= 2,4545... = 2,(45). <
11
Вообще, при делении целого числа т на натураль-
ное число п на некотором шаге остаток может стать
равным нулю или остатки начинают повторяться,
так как каждый из остатков меньше п. Тогда начи-
нают повторяться и цифры частного.
В первом случае в результате деления получается
целое число или конечная десятичная дробь, во
втором случае — бесконечная десятичная периоди-
ческая дробь. Например:
— = 24, — =3,75, — =3,222... = 3,(2).
15	4	9
Заметим, что каждое целое число или конечную де-
сятичную дробь можно считать и бесконечной де-
сятичной периодической дробью с периодом, рав-
ным нулю. Например:
27 = 27,000... = 27,(0), 3,74 = 3,74000... = 3,74(0).
*- Итак, каждое рациональное число можно предста-
вить в виде бесконечной периодической десятич-
,	= ной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: каждая бес-
конечная периодическая десятичная дробь являет-
ся рациональным числом, так как может быть
представлена в виде дроби —, где т — целое чис-
п
ло, п — натуральное число.
Задача 2 Представить бесконечную периодическую деся-
тичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной.
► Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818... . Так как в записи
этого числа до периода содержится только один де-
сятичный знак, то, умножая на 10, получаем
10х = 2,181818... .	(1)
Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому,
умножая обе части последнего равенства на
102 = 100, находим
ЮООх = 218,181818... .	(2)
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
990х = 216. Отсюда х = — = —. <1
990	55
5
Задача 3 Показать, что 2,999... = 3.
► Пусть х = 2,(9). Тогда 10х = 29,(9), откуда 9х = 27,
х = 3. О
Аналогично можно показать, что любую конечную
десятичную дробь можно записать в виде бесконеч-
ной дроби двумя способами: с периодом 0 и с пери-
одом 9. Например,
1,75 = 1,75000... = 1,74999...,
-0,2 = -0,2000... = -0,199999... .
Условимся в дальнейшем не использовать беско-
нечные десятичные дроби с периодом 9. Вместо
таких дробей будем записывать конечные десятич-
ные дроби или бесконечные десятичные дроби с пе-
риодом 0. Например,
5,2999... = 5,30000... = 5,3.
Упражнения
1	Записать в виде десятичной дроби:
1)	2)	3)	4)	5) -8-; 6) —.
3	11	5	4	7	99
2	Выполнить действия и записать результат в виде десятичной
дроби:
1)	—+	2) —+ —;	3) — + 1,25;
11 9	13	3	3
4) ± + 0,33;	5) — 1,05;	6) ±1,7.
6	14	9
3 Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятич-
ную дробь:
1) 0,(6);	2) 1,(55);	3) 0,1(2);
4) -0,(8);	5) -3,(27);	6) -2,3(82).
4 Вычислить:
1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95);
2) JL.9 + 8.M + _9_.A.
36	32 10 18
5 Вычислить:
1) Гз— + 0,24^2,15 + Гб,1625-2 —
I 25	)	<	16^5
2) 0,364 : — + — : 0,125 + 2 ± • 0,8.
25 16	2
6
 Действительные числа
В § 1 было показано, что любое рациональное чис-
ло можно записать в виде бесконечной десятич-
ной периодической дроби и каждая бесконечная
десятичная периодическая дробь является ра-
циональным числом. Если же бесконечная де-
сятичная дробь непериодическая, то она не явля-
ется рациональным числом. Например, дробь
0,101001000100001..., в которой после первой
цифры 1 стоит один нуль, после второй цифры
1 — два нуля и, вообще, после n-й цифры стоит
п нулей, не является периодической. Поэтому
написанная дробь не представляет никакого раци-
онального числа. В этом случае говорят, что дан-
ная дробь является иррациональным числом.
Иррациональным числом называется бесконечная
десятичная непериодическая дробь.
Иррациональные числа, как и рациональные, мо-
гут быть положительными и отрицательными.
Например, число 0,123456..., в котором после за-
пятой записаны подряд все натуральные числа,
является положительным иррациональным чис-
лом. Число -5,246810..., в котором после запятой
записаны подряд все четные числа, является
отрицательным иррациональным числом.
Числа у/~2, \1~7, -у/З, л также являются иррацио-
нальными, так как можно доказать, что они могут
быть представлены в виде бесконечных десятич-
ных непериодических дробей.
Рациональные и иррациональные числа образуют
множество действительных чисел.
Действительным числом называется бесконечная
десятичная дробь, т. е. дробь вида
где а0 — целое неотрицательное число, а каждая
из букв av а2, ... — это одна из десяти цифр: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
7
Например:
1)	в записи действительного числа л = 3,1415...
число а0 = 3, а первые четыре десятичных знака
таковы: аг = 1, а2 = 4, а3 = 1, а4 = 5;
2)	в записи действительного числа -л/234 =
= -15,297058... число а0 = 15, а десятичные знаки
таковы: а4 = 2, а2 = 9, а3 = 7, а4 = 0 и т. д.;
3)	в записи действительного числа 37,19 = 37,19000...
число а0 = 37, а десятичные знаки таковы: а} = 1,
а2 = 9, ап = 0 при п 3.
Действительное число может быть положитель-
ным, отрицательным или равным нулю. Бесконеч-
ная десятичная дробь равна нулю, если все цифры
в ее записи — нули. Положительное действитель-
ное число — это десятичная дробь, не равная нулю,
со знаком «+», а отрицательное — со знаком «-».
Знак «+» перед дробью обычно опускается.
Вам известно, как выполняются действия над ко-
нечными десятичными дробями. Арифметические
операции над действительными числами, т. е. бес-
конечными десятичными дробями, обычно заменя-
ются операциями над их приближениями. Напри-
мер, вычислим приближенные значения 72 + 7з.
С помощью микрокалькулятора находим
72 =1,4142135..., 73 = 1,7320508... .
Поэтому с точностью до единицы
V2+7з» 1,4 + 1,7 = 3,1 « 3,
с точностью до одной десятой
72 + 7з ~ 1,41 + 1,73 = 3,14 « 3,1,
с точностью до одной сотой
72 + 7з « 1,414 + 1,732 = 3,146 « 3,15
И Т. д.
Числа 3; 3,1; 3,15 и т. д. являются последователь-
ными приближениями значения суммы 72 + 7з.
Итак, выполняя сложение 72 + 4%, числа 72 и 7з
заменялись их приближениями — рациональными
числами, и выполнялось сложение чисел по извест-
ным правилам.
Аналогично, вычисляя произведение 72 • 7з, на-
пример, с точностью до 0,1, получаем
72 • 7з « 1,41 • 1,73 = 2,4393 « 2,4.
8
-3
Рис. 1
-2 -<2	1 -0,5 0	0,5	1 V2 2	3 х
Вообще, пусть х,, х2, хп, ... — последователь-
ные приближения действительного числа х с точ-
ностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д. Тогда погреш-
ность приближения |х - х„| как угодно близко при-
ближается к нулю (стремится к нулю). В этом
случае пишут
|х - хл| —> 0 при п -> оо, или lim |х - хл| = 0
П -> ОС
(читается: «|х - хп| стремится к нулю при п, стре-
мящемся к бесконечности» или «предел |х-хп|
при п, стремящемся к бесконечности, равен
нулю»). Это означает, что х„ как угодно близко
приближается к х, т. е.
хп -> х при п -> оо, или lim х„ = х.
П -> «С
Отметим, что все основные действия над рацио-
нальными числами сохраняются и для действи-
тельных чисел (переместительный, сочетательный
и распределительный законы, правила сравнения,
правила раскрытия скобок и т. д.).
Модуль действительного числа х обозначается
|х| и определяется так же, как и модуль рацио-
нального числа:
. . [ х, если х > О,
|х| = 4
[ -х, если х < 0.
Например, если х = -0,1010010001...,
то |хI = —х = 0,1010010001... .
Геометрически действительные числа
изображаются точками числовой пря-
мой (рис. 1).
Покажем, например, как можно гео-
метрически указать на числовой пря-
мой точку с координатой V2. Постро-
им квадрат со стороной 1 (рис. 2) и с
помощью циркуля отложим диаго-
наль ОА на числовой оси.
Заметим, что если бы не было ирраци-
ональных чисел и соответствующих
им точек числовой оси, то прямая
9
оказалась бы с «дырками», в частности, не было
бы на числовой оси точки с координатой 72.
Множество действительных чисел «заполняет» всю
числовую прямую: каждому действительному чис-
лу соответствует единственная точка числовой пря-
мой, и наоборот, каждой точке числовой прямой
соответствует единственное действительное число.
Точку, изображающую число а, также обозначают
буквой а. Отметим, что если а<Ъ, то точка а ле-
жит левее точки Ь.
Множество всех действительных чисел обозначает-
ся R. Запись х е R (читается: «х принадлежит 7?»)
означает, что х является действительным числом.
Упражнения
в (Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются ир-
рациональными числами:
1) 16,9;	2) 7,25(4);
3) 1,21221222... (после n-й единицы стоит п двоек);
4) 99,1357911... (после запятой записаны подряд все нечет-
ные числа)?
7 Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 обра-
зует десятичные приближения числа у 31 с недостатком и
с избытком.
8 Какое из равенств | х | = х или | х | = -х является верным,
если:
1) х = 5-Т7;	2) х = 4-ЗТЗ; 3) х=5-Т10?
9
Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональ-
ным) является числовое
1) (V8-3)(3+2л/2);
3) (>/50 + 4л/2) 72;
5) (7з-1)2 + (7з + 1)2;
значение выражения:
2) (727-2)(2-ЗТЗ);
4) (5Тз + 727):д<3;
6) (Тб-!)2 -(2V5 + 1)2.
10 Вычислить:
1)	4вЗ  V28; 2) V20 • Тб; 3) <50 : 78; 4) 412 : ^/27.
11 Сравнить числовые значения выражений:
1)	у%9 + Т8 и 7M + V17;	2) 411-4%Л и 710-ТЗД-
12 Вычислить:
1)	-^7-2410 + V2) • 2 V5;	2) ^16-6 77 + 47)  3;
3)	^8 + 2 415 -^8-2715) -2 + 7.
10
j Бесконечно убывающая
~ геометрическая прогрессия
Напомним: геометрической прогрессией называет-
ся такая числовая последовательность Ьх, Ь2, Ь3,
Ьп, что для всех натуральных п выполняется ра-
венство bn + j = bnq, где Ьп 0, q * 0.
Например, таковы последовательности:
1, 3, 9, 27..З"1, ... (&! = 1, q = 3);
1 1 1	1 flY’1 (ь -л
’ 5 ’ 25 ’ 125 ’	I 1	’ q 5/
2, -4, 8, -16, ..., -(-2)", ... (bj = 2, q = -2).
По формуле bn = b^q" ~1 вычисляется n-й
метрической прогрессии.
rr . о М1-9Л)
По формуле S =---------- вычисляется
1-9
первых п членов, если q * 1, а если
= Ьхп.
Среди геометрических прогрессий особый интерес
представляют так называемые бесконечно убываю-
щие геометрические прогрессии.
Начнем с примера. Рассмотрим квадраты, изобра-
женные на рисунке 3. Сторона первого квадрата
равна 1, сторона второго равна -,
член гео-
сумма ее
q = 1, то
16
4
сторона третьего и т. д.
22
Таким образом, стороны квадратов
образуют геометрическую прогрес-
сию со знаменателем -:
2
1
2«-
1, 4	-4
2 22	23
Площади этих квадратов образуют
геометрическую прогрессию со зна-
менателем
(1)
i, 4 4-
4 42
1.
4 ’
1
4® ’
(2)
1
4" -1
11
Из рисунка 3 видно, что стороны квадратов и их
площади с возрастанием номера п становятся все
меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из
прогрессий (1) и (2) называется бесконечно убыва-
ющей.
Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию
г _1	1	_J_	(-I)""1
3’ З2 ’ З3 ’	3" 1
Знаменатель этой прогрессии q = —а ее члены
Ь, = 1, Ь9 = - —, bo = i, b, = и т. д.
1	2	3	3 9 4	27
С возрастанием номера п члены этой прогрессии
приближаются к нулю. Эту прогрессию также на-
зывают бесконечно убывающей. Отметим, что мо-
дуль ее знаменателя меньше единицы: |<?| < 1.
Геометрическая прогрессия называется бесконеч-
но убывающей, если модуль ее знаменателя мень-
ше единицы.
Задача 1 Доказать, что геометрическая прогрессия, задан-
О
ная формулой тг-го члена Ъп = —, является беско-
5"
нечно убывающей.
► По условию Ьг = —, Ь2 = -у = —, откуда q = — =
5	5	25	bj 5
Так как | q | < 1, то данная геометрическая прогрес-
сия является бесконечно убывающей. <
На рисунке 4 изображен квадрат со стороной 1.
Отметим штриховкой его половину, затем полови-
ну оставшейся части и т. д. Площади заштрихо-
Рис. 4
ванных прямоугольников образуют
бесконечно убывающую геометриче-
скую прогрессию
1 1 1 1 1
2 ’ 4 ’ 8 ’ 16’ 32’ " '
Если заштриховать все получающие-
ся таким образом прямоугольники,
то штриховкой покроется весь квад-
рат. Естественно считать, что сумма
площадей всех заштрихованных пря-
моугольников равна 1, т. е.
1	+ 1_1 + А + А
2	4 8 16	32
= 1.
12
В левой части этого равенства стоит сумма беско-
нечного числа слагаемых. Рассмотрим сумму пер-
вых п слагаемых:
S
я
2 4 8	2"
По формуле суммы п членов геометрической про-
грессии имеем
1	- -
S„=l-—'^22-=1----L.
2	I-1-	2"
2
Если п неограниченно возрастает, то
-1- как угод-
2"
но близко приближается к нулю, т. е.
—----> О при п оо, или lim —= 0.
2 п	л -> « 2 Л
Поэтому lim 1 —— = 1, т. е. lim S„ = 1.
Л -» X I 2П )	п * х
Бесконечную сумму - + ^ + - + — + — + ... счита-
2 4 8 16 32
ют равной 1.
Итак, сумма бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии есть предел последовательности
sv s2, s3,..., s„,... .
Например, для прогрессии
1, -i, 1,-А
3 9	27
1
3
где bj = 1, q =-1, имеем
S, = 1, s„ = i-l = l,
3	3
S3 = l-1 + - =
3 9
’з
7
9’
S
я
f-l'l
I 3 J
f 11	3
Так как lim —	=0, то lim Sn = —.
n -> x \ 3 )	n —> X	4
13
Выведем формулу суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с помощью формулы
S„ ----------. Запишем ее так:
1-9
Так как |g| < 1, то lim дл = 0, lim -^1—g" = 0,
n><	n х 1 — q
и поэтому lim Sn =	.
n-tx	1 - <7
Таким образом, сумма S бесконечно убывающей
геометрической прогрессии вычисляется по фор-
муле
«=—•	(4)
1-9
Из формулы (4) при b, = 1 получаем S - ——. Это
1 - 9
равенство обычно записывают так:
1	+ q + q2 + ... + qn ' 1 + ... = ——.
1-9
Подчеркнем, что это равенство справедливо при
|^| < 1, в частности при q = 0.
Задача 2 Найти сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии
1 1 1
2’ б’ 18’ 54’
► Так как Ьг = -, Ь2 = то q = — =	, и по формуле
2	6	bj	3
1
8 = &1 получим S =--------= —. <1
1-9	8
I 3 7
Задача 3 Найти сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии, если b3 = -1, q =
► Применяя формулу bn = brqn ~ ’, при л = 3 получаем
откуда = -49. По формуле (4) находим
8 = -^-=-571.
1- „ 6
14
Задача 4 Пользуясь формулой суммы бесконечно убываю-
щей геометрической прогрессии, записать бесконеч-
ную периодическую десятичную дробь а = 0,(15) =
= 0,151515... в виде обыкновенной дроби.
► Составим следующую последовательность прибли-
женных значений данной бесконечной дроби:
а,=0,15 = —, а, = 0,1515 = - + ^-,
1	100 г	100 юо2
а3 = 0,151515 = ^- + ^- + -Д-, ... .
100 юо2 1003
Запись приближений показывает, что данную пе-
риодическую дробь можно представить в виде сум-
мы бесконечно убывающей геометрической про-
грессии: а =	+ 15„ + -15 + ... .
100 ЮО2 ЮО3
15
По формуле (3) получаем а = —— = — = —. <1
1	1	99	33
- 100
Упражнения
13	Является ли геометрической прогрессией последователь-
ность, заданная формулой п-го члена:
1)	5„ = -52п; 2)Ьп = 23п?
14	В геометрической прогрессии найти сумму ее первых пяти
членов, если:
1)	&4 = 88, q = 2;	2) Ъг = 11, Ь4 = 88.
15	Доказать, что геометрическая прогрессия является беско-
нечно убывающей:
1)	1, 1, -1, ... ;	2) A, А, ... ;
5 25	3 9 27
3) -27, -9, -3, ... ;	4) -64, -32, -16, ... .
16 Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконеч-
но убывающей, если:
1) Ьг = 40, Ь2 = -20;	2) Ь7 = 12, &„ =
3) &7 = -30, Ь6 = 15;	4) Ь5 = 9, Ь10 = - —.
15
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Вычислить:
1) lim —;
П -> 00 4 П
2)
lim (0,2)" ;
п -> ос
3) lim 1 +
п —> <х I
lim
п —> ОС
2)
4)
2)
убывающей геометрической про-
3	81
q=— — ,b4=—.
2	4 8
убывающей геометрической про-
-25, -5, -1, .
Найти сумму бесконечно
грессии, если:
1) q=-~, bj
2	1 8
3) g=-|’ bi=9;
Найти сумму бесконечно
грессии:
1) 6, 1, А
6
Записать бесконечную периодическую десятичную дробь
в виде обыкновенной дроби:
1) 0,(5);	2) 0,(8);	3) 0,(32); 4) 0,2(5).
Является ли последовательность бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессией, если она задана формулой п-го
члена:
1) Ьп = 3  (-2)";
л -1V1
3) Ьл=8- 4
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, если:
1)	q = b- = —;	2) q =	, Ь4 =
2	5	16	28
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 30. Найти:
1) если <7 = “
2) Ьп = -5  4";
/ 1\л-1
4)&л=з-4 ?
\ /
2)	q, если Ъ4 = 20.
Вычислить:
1) пт 3^1;
П -> X 2 п
оч г (5"+1)2
3)	lim ----------
Ч-»00	52*
lim 3"-^2
г оо 3 п
На куб со стороной а поставили куб со стороной —, на него
2
куб со стороной —, затем куб со стороной — и т. д. (рис. 5).
4	8
Найти высоту получившейся фигуры.
В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности,
касающиеся друг друга (рис. 6). Радиус первой окружности
2)
16
равен R1. Найти радиусы R2, Rs, Rn, ... остальных окруж-
ностей и показать, что они образуют бесконечно убываю-
щую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма
+ 2 (R2 + /?3 + ... + Rn + ...) равна расстоянию от центра
первой окружности до вершины угла.
Арифметический корень
натуральной степени
Задача 1 Решить уравнение х4 = 81.
► Запишем уравнение в виде х4 - 81 = 0, или
(х2 - 9) (х2 + 9) = 0.
Так как х2 + 9 ф 0, то х2 - 9 = 0, откуда хх = 3,
х2 = -3. <3
Итак, уравнение х4 = 81 имеет два действительных
корня X] =3, х2 = -3. Их называют корнями чет-
вертой степени из числа 81, а положительный ко-
рень (число 3) называют арифметическим корнем
четвертой степени из числа 81 и обозначают V8T.
Таким образом, л/81 =3.
17
Можно доказать, что уравнение хп = а, где п — на-
туральное число, а — неотрицательное число, име-
ет единственный неотрицательный корень. Этот
корень называют арифметическим корнем л-й сте-
пени из числа а.
Определение. Арифметическим корнем нату-
ральной степени п > 2 из неотрицательного чис-
ла а называется неотрицательное число, п-я сте-
пень которого равна а.
Арифметический корень n-й степени из числа а
обозначается так: Va. Число а называется подко-
ренным выражением. Если п = 2, то вместо 2-Ja
пишут -Ja.
Арифметический корень второй степени называют
также квадратным корнем, а корень третьей сте-
пени — кубическим корнем.
В тех случаях, когда ясно, что речь идет об ариф-
метическом корне n-й степени, кратко говорят:
«Корень л-й степени».
Чтобы, используя определение, доказать, что ко-
рень п-я степени Va (а > 0) равен Ь, нужно пока-
зать, что: 1) Ь > 0; 2) Ъп = а.
Например, V64 =4, так как 4 > 0 и 43 = 64.
Из определения арифметического корня следует,
что если а > 0, то (Va)n =а, а также пу1ап =а.
Например, (V?)5 = 7, V136 = 13.
Действие, посредством которого отыскивается ко-
рень п-я степени, называется извлечением корня
п-й степени. Это действие является обратным дей-
ствию возведения в л-ю степень.
Задача 2 Решить уравнение х3 = 8.
► Запишем уравнение в виде х3 - 8 = 0, или
(х - 2) (х2 + 2х + 4) = 0, (х - 2) ((х + I)2 + 3) = 0.
Так как (х + I)2 + 3 * 0, то х - 2 = 0, откуда х = 2.0
Итак, уравнение х3 = 8 имеет один действительный
корень х = 2. Так как 2 > 0, то это число — ариф-
метический корень из 8, т. е. V8 = 2.
Задача 3 Решить уравнение х3 = -8.
► Запишем уравнение в виде х3 + 8 = 0, или
(х + 2) (х2 - 2х + 4) = 0, (х + 2) ((х - I)2 + 3) = 0.
18
Так как (х - I)2 + 3 * 0, то х + 2 = О, откуда
х = -2. <
Итак, уравнение Xs = — 8 имеет один действитель-
ный корень х = —2. Так как -2 < 0, то число -2 яв-
ляется корнем из числа -8, но оно не является
арифметическим корнем. Число -2 называют кор-
нем кубическим из числа -8 и обозначают V~8:
3yf-8 = -2 или = -^/8 = -2.
Вообще, для любого нечетного натурального числа
2k + 1 уравнение x2k ' 1 = а при а < 0 имеет только
один корень, причем отрицательный. Этот корень
обозначается, как и арифметический корень, сим-
волом 2k^\[a. Его называют корнем нечетной сте-
пени из отрицательного числа.
Например, 7457 = -3, 4^32 = -2.
Корень нечетной степени из отрицательного чис-
ла а связан с арифметическим корнем из числа
-а ~ |а| следующим равенством:
2А + 1/—
Уа
2Л + 1/-
V -а
2/S + 1
Например, V-243 = -д/243 = -3.
Задача 4 Вычислить
V-0,027 - Vo,0016 - V?29 - V-128.
► V-0,027 - VO,0016 - V729 - V-128 = V40.3)3 -
- V(0,2)4 - VF -	= -0,3 - 0,2 - 3 + 2 = -1,5.<
Арифметический корень n-й степени обладает сле-
дующими свойствами: если а > 0, Ь > 0 и п,
т — натуральные числа, причем п > 2, т > 2, то
Отметим, что в свойстве 1 число Ь может также
быть равным 0; в свойстве 3 число т может быть
целым, если а > 0.
19
Докажем, например, что n4ab = п4а y[b.
• Воспользуемся определением арифметического
корня:
1) пу[а > 0, так как а > 0 и b > 0;
2) (1/а r'4b)rt =ab, так как ("-/a n4b)n =
= С4а)п C4b)n =аЬ. О
Аналогично доказываются и остальные свойства.
Приведем примеры применения свойств арифмети-
ческого корня.
1)	1/27 1/3 =1/27 3 = 1/81 = VF = 3;
2)	з/256 . з /4 _ з /256 . 4 _ 1/64 _ 4.
У 625 ' V 5 V 625 ' 5	5 ’
3)	= 7(53)7 = 53 = 125;
4)	1/1/4096 = 11/4096 = ’l/F2" = 2;
5)
4
Задача 5
Задача 6
Упростить выражение ——	, где а > 0, b > 0.
Используя свойства арифметического корня, полу-
f4/„3b2 V
чаем . ---i- =	=ab. <
1/л/а12Ь6	1/а12б6 а ь
Отметим еще одно свойство арифметического кор-
ня четной степени.
При любом значении а справедливо равенство
2\1а2к - |а|, где А — натуральное число.
® Воспользуемся определением арифметического
корня:
1)	|а| > 0 по определению модуля;
2)	\а\2к = a2k, так как |а|2 = а2. О
Упростить выражение 1/(х - 5)4 + ^(х-З)6 , если
3	< х < 5.
► 1/(х-5)4 + ву](х -З)8 = |х - 51 + | х - 31. Так как
3<х<5, то |х-5|=-(х-5) = 5-х, |х — 3| =
= х - 3. Поэтому ~5)4 + \](х -З)6 = 5 - х +
+ х - 3 = 2. <
20
Упражнения
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
(Устно.) 1) Найти арифметический квадратный корень из
числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; —.
289
2)	Найти арифметический кубический корень из числа:
1; 0; 125; —; 0,027; 0,064.
27
3)	Найти арифметический корень четвертой степени из
числа: 0; 1; 16; —; —; 0,0016.
81 625
Вычислить (28—30).
1) 7^8;	2) 15/Л;	3)
4)	7-1024;	5) 7-343 ;	6) ТчЗ7.
Решить уравнение:
1) х4 = 256;	2) х5 = - — ;	3) 5х5 = -160;	4) 2х6 = 128.
32
Вычислить (32—36).
1) 7-125+ |Тб4;	2) 732 -0,5 7-216;
О
3) -| 781 + Тб25;	4) 7-1000 - * 7256;
5)	+ 7-0,001 -70,0016.
1) 7343 0,125; 2) 7512-216;	3) 732-100000.
1) 7 53 - 73 ; 2) 7114 • З4 ; 3) 7(0,2)5 -85; 4) 7Д|У-217.
1) 72 7500 ; 2) 7^2  70,04; 3) Тз24 -75; 4) 72 - 716.
1) 7310 -215;
3) 4^312(|У ;
2) 3723  56 ;
I /, >20
4) ю 430. 1
21
371
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Извлечь корень:
1) 37б4х326 ;	2) Va8b12 ;	3) ^32х10у20 ;	4) Va12b18 .
Упростить выражение:
1) ^2аЬ2  Mta2b; 2) МЗа2Ь3  ^27а2Ъ-,
Вычислить (39—40).
«Ж’ 1 2)#	4)s#I-
1) V324 : V4; 2) V128 : ^2000; 3)	; 4)
7г 5Ve
5) (V25-V45): V5; 6) (3>/б25 -^5) : ^5.
Упростить выражение:
1) Ma6b7 : VaP";	2) ^81x4i/ : ®/3xp
3)	: 3J—;	4)4^;4рЕ.
V/ W	У а3 У8Ь3
Вычислить (42—43).
1) (V77)2; 2) (V9)-3; 3) (^^ЗЗ)2; 4) (716)~4.
1) VV729; 2) V71024; 3)	• Тз^; 4) VVfW - ^б3.
Упростить выражение:
1) (V^)6;	2) (VF)3;	3) (V^- W;
4) (VP-- VP”)12;	5) p3/P&J;	6)
При каких значениях х имеет смысл выражение:
1) ^/2х-3;	2) ®/х-3;	3) 6J2x2-x-l;	4) 4J^-^ ?
V 2х - 4
Вычислить (46—47).
3) (V5+>/21 +
1 Здесь и далее буквами обозначены положительные числа, если нет
дополнительных условий.
22
47 1)	2)	з) + V277- дА7б4;
V250	t/5	472
4) 3^з| + 4Л8 • 4^4|-77256;
5) ^/11 - л/57 • 711 +V57;	6) V17-733  ^17 + 433.
Упростить выражение (48—49).		
48	1) а42аЬ  4^а2Ь  л427Ь;	2)	4abc  л/а3Ь2с  \/b5c2 .	
49 1) V Va^ +	;	2)		
з) V7*6y124)	( 5 ; 5/— Г 5/— -\]а	-у!а	wr~9 : л/а .
50 Вычислить:		
1) ДЛэ 2)71^43;	3) (3ЛЛ7б + 3Л)(7з-372) 7з	12Л		
51 Упростить:
1) 3^(х - 2)3 при: а) х > 2; б) х < 2;
' 2) 7(3-х)6 при: а) х < 3; б) х > 3;
3) 47(х + 6)4 + 7(х-3)2 , если -1 < х < 2;
4) 7(2х + 1)6 -V(4+ х)4 , если -3 < х < -1.
52 Сравнить значения выражений:
1) 7з + t/ЗО и V63;	2) Л + V15 и V10 + V28;
53 Доказать, что:
1) 7^+2 7з - 74-2V3 =2;
2) 7э +V80 + 79-V80 = 3.
54 Упростить выражение:
3)
а-b а+ Ь
3/- &ГТ	3/—	Згг
< а - л/ b V а +
а + Ъ
\
-^lab
7
сЛ-W.
23
Степень с рациональным
и действительным показателями
1. Степень с рациональным показателем.
Задача 1 Вычислить Уб12.
► Так как 512 = (б3)4, то Уб42" = У(53)4 = 53 = 125. <
Таким образом, можно записать Уб12 = 125 = б3
12
или Уб12 = 5 4 , так как 3 = —.
4
15
Точно так же можно записать, что 7т~15 =7 5 .
Вообще, если п — натуральное число, т — целое
£	т
число и частное — является целым числом, то
IBggO	п
при а > 0 справедливо равенство
т
=ап .	(1)
• По условию — = k — целое число, откуда т = nk.
п
Применяя свойства степени и арифметического
корня, получаем
\[а™ = Уа*7" = У(аА)" =ак =ап . О
Если же частное — не является целым числом,
п
т
то степень а п , где а > 0, определяют так, чтобы
осталась верной формула (1), т. е. и в этом случае
т ____________________
считают, что а п = Уат .
Таким образом, формула (1) справедлива для любо-
го целого числа т и любого натурального числа
ге > 2 и а > 0. Например:
з
164 = у'1бТ =У2ТГ = 23 =8;
_ 2
27 3 =У27 2 = Уз^ = У(3 2)3 = 3“2 =
У
24
Напомним, что рациональное число г — это число
т
вида —, где т — целое, п — натуральное число.
п
т _____
Тогда по формуле (1) получаем аг = ап = Va"1 .
Таким образом, степень определена для любого ра-
ционального показателя г и любого положительно-
го основания а.
Если г = — >0, то выражение Va™ имеет смысл не
п
только при a > 0, но и при а = 0, причем Vom =0.
Поэтому считают, что при г > 0 выполняется ра-
венство 0г = 0.
Пользуясь формулой (1), степень с рациональным
показателем можно представить в виде корня и на-
оборот.
Так как — = —, где п и k — натуральные числа,
п nk
т — целое число, то при любом а > О
т тк
ап =апк ,	(2)
5	1
Например, 815 = 83 =2.
Можно показать, что все свойства степени с нату-
ральным показателем верны для степени с лю-
бым рациональным показателем и положительным
основанием.
А именно, для любых рациональных чисел р и q
и любых а > 0 и b > 0 верны равенства:
1. apa’ = ap + 9.	2. ар : ад = ар ч.
3.	(ар)д = ар д.	4. (ab)p = apbp.
а _ а р
b) ~ Ър '
Эти свойства получаются из свойств корней. Дока-
жем, например, свойство арач = ар + ч.
• Пусть р = —, q = —, где п и I — натуральные числа,
п I
т и. k — целые числа. Нужно доказать, что
m к т_ fe
an a1 =a n 1.	(3)
25
Приведя дроби — и — к общему знаменателю,
п I
запишем левую часть равенства (3) в виде
т k_ ml kn
ап a1 =anlanl .
Используя определение степени с рациональным
показателем, свойства корня и степени с целым по-
казателем, получаем
т k ml kn
ап а1 = anl anl
 n‘y[a^~ = nlyjaml  акп =
_______ ml+kn n
= пЦат1+кп = a nl = a n 1. О
Аналогично доказываются остальные свойства сте-
пени с рациональным показателем.
Приведем примеры применения свойств степени:
1	з	1+ з
1)	74 • 74 = 74 4 = 7’
2	1	21	1
2)	93 :96 = 93 6 =92 = J9 = 3;
9
[	1 ] 4	1.9	3	3	4.3
3)	lj63J = 163 4 = 164 = (24)4 = 2 4=23=8;
-	^з2-
4)	243 = (23 • З)3 = 2 з-З3 =4V^=43V9;
5)	8 У = 83 _ (23)3	2
ч27>	1	1 з’
273	(З3)3
1	1
Задача 2 Вычислить 255	• 1255.
1 1	1	1
► 255  1255 =(25-125)5	=(55)5 = 5. <
4	4
Задача 3 Упростить выражение а ь +	.
3 I	3 гг
V а + V Ъ
а 1 О i]
а3Ь+ аЬ3 = аь[а3 - Ь3)	.
26
1	7	_ 1	5
a3 - a3 a 3 - a3
Задача 4 Упростить выражение — -----------------p.
a3 - a3 a3 + a 3
1	7	1	5	1	_1
- a3 - a3 a 3 - a3	a3(l-a2) a 3(l-a2)
—1	Г —2	7Г 1 Z1
a3 - a3 a3 + a 3	a3(l-a)	a 3(l+a)
= 1 + a-(1 -a) = 2a. <1
Задача 5* Вкладчик поместил в банк 1000 р. Банк ежегодно
выплачивает вкладчику 3% от суммы вклада.
Какую сумму денег получит вкладчик через 3 года
и 5 месяцев?
► Искомая сумма вычисляется по формуле сложных
процентов:
где a — первоначальная сумма денег, р — число
процентов, начисляемых банком в год, t — число
лет, в течение которых деньги находились в банке.
В данной задаче а = 1000, р = 3, t = 3—. По Форму-
за-
ле сложных процентов находим S = 1000 • 1,03 12 .
Вычисления можно провести на микрокалькуля-
торе. Например, на МК-51 это можно сделать по
программе
5	ч-	12	+	3	=	х —> П	С	1,03
ух	п	X	=		X 1000 =		1106,2684.	
Ответ 1106 р. 27 к. <1
2. Степень с действительным показателем.
Покажем, как можно определить степень с ирраци-
ональным показателем на примере З^2.
Пусть г\, г2, г3, ..., гп, ... — последовательность
десятичных приближений числа V2 (например,
с недостатком):
= 1,4, rz = 1,41, r3 = 1,414, ... .
Эта последовательность стремится к числу -/2,
т. е. lim гп = у/2.
п -4 ОС
27
Числа г\, г2, г3, ... являются рациональными,
и для них определены степени 3Г1, 3Гг, 3Гз, ...,
т. е. определена последовательность
gl,4 31,41 gl.414
Можно показать, что эта последовательность стре-
мится к некоторому действительному числу, кото-
рое обозначают 3^, т. е. Зл2 = lim Зг".
п —> СО .
Вообще, пусть а > 0 и х — произвольное иррацио-
нальное число. Рассмотрим последовательность хр
х2, ..., хп, ... десятичных приближений числа х.
Эта последовательность имеет предел lim хп = х.
п. -> 00
Можно показать, что последовательность аХ1 ,ах2,
аХз, ..., ах", ... также имеет предел. Этот предел
обозначают ах и называют степенью числа а с по-
казателем х.
Таким образом, степень ах определена для любого
а > 0 и любого действительного показателя х.
При любом х е R и любом а > 0 степень ах явля-
ется положительным действительным числом:
ах > 0 прй х e R, а > О.
Если основание степени а = 0, то степень 0х опреде-
ляют только при х > 0 и считают, что 0х = 0 при
х > 0. Например, 0^ =0, О0,1 = 0. При х < 0 вы-
ражение 0х не имеет смысла. Например, выраже-
ния О-1, 0 5/2 смысла не имеют.
При таком определении степени с действительным
показателем сохраняются все известные свойства
степени с рациональным показателем. Доказатель-
ство этих свойств для степени с действительным
показателем проводится в курсе высшей математики.
Сл-1У3+1
Задача 6 Упростить выражение -Ц=----------
а4-у5
► Применяя свойства степени с действительным по-
казателем, получаем
((А1/3'1 _ a(^-D(V3+l) a2
„75-3 .„4-75 „75-3+4-75	a
С*	С*	I»
28
Приведем еще одно свойство степени, также дока-
зываемое в курсе высшей математики с помощью
теории пределов.
Для любого а > 1 и любого х > 0 число ах
больше 1, т. е. ах > 1 при а > 1, х > 0.	(1)
С помощью свойств степени с действительным по-
казателем доказывается следующая теорема:
Теорема. Пусть а > 1 и хг < х2. Тогда а*1 < аХ2.
* По условию r2 - Xj > 0. Поэтому по доказанному
свойству (1) имеем аХг~Х} >1. Умножив обе части
х,
этого равенства на положительное число а 1, полу-
X, Х2 -X, X,
чим а 1 а 1 > а 1 .
Отсюда по свойству умножения степеней получаем
ах‘2 > аХ1, т. е. аХ1 < аХг. О
Следствие 1. Пусть 0 < а < 1 и хг < х2. Тогда
аХх >аХг.
• Так как 0 < а < 1, то —>1. Поэтому из теоремы
а
следует, что при хг < х2
(iV1 fiV2
\ a J < a J
/ \ х
По свойству деления степеней | — | = —. Следова-
\ а ) ах
тельно,	< ——, откуда aX1 >аХ2. О
а*1 аХг
Следствие 2. Пусть а > 0, а * 1, аХх-аХ2.
Тогда Xj = х2.
• Предположим, что равенство xt = х2 не выполняет-
ся. Пусть, например, Xj < х2. Тогда при а > 1
по теореме должно быть аХх <аХг, а при 0 < а < 1
по следствию 1 должно быть аХх >аХ2, что проти-
воречит условию аХх = аХг. О
29
Задача 7 Сравнить числа 52^ и53^.
► Сравним показатели 2 73 и зТ2. Так как2Тз =
= 712, зТ2 = 718 и 12 < 18, то 2ТЗ <з72. Поэто-
му по теореме 52	< 53'2. <1
z у8 z хЗ
Задача 8 Сравнить числа - и -
V 4 ) V 4 у
► Так как 0 < л < 4, то 0 <~ < 1. Сравним показа-
тели: так как 8 < 9, то 78 < 79, т. е. 78 < 3. При-
z хх/8 z хЗ
меняя следствие 1, получаем —	> — . <3
\ 4 )	\ 4 )
Задача 9 Решить уравнение 4х = 24^3.
► По свойствам степени 4х = (22)х = 22х. Поэтому
уравнение можно записать так: 22х = 24'<3. При-
меняя следствие 2, получаем 2х = 4Тз, откуда
х = 2Тз. <
Следствие 3. Пусть 0 < хг < х2. Тогда если
р > 0, то х’ < Хр а если р < 0, то хр>хр2.
• По условию — > 1.
*1
1) Если р > 0, то по свойству (1) получаем
G ?	хр
— >1. По свойству деления степеней —> 1,
I Х1 )	хР1
откуда хр2 > х?, т. е. хр < хр2.
2) Если р < 0, то -р > 0, и по свойству (1) полу-
Х2	.	Х2 -	, р
чаем —	>1, откуда----> 1, — > 1, хр
X,	г р	тр	1
\*1 /	Х1	Х 2
>хр. О
Таким образом, при возведении неравенства с по-
< ,,	: ложительной левой и положительной правой ча-
стями в положительную степень знак неравенства
не меняется, а при возведении в отрицательную
f
степень знак неравенства меняется на противопо-
ложный.
30
Задача 10 Сравнить числа V2 и уЗ.
► По свойствам степени получаем
(V2)6 Ц22] = 23 = 8, (Уз)6 = [з3 J = З2 = 9.
1 1
Так как 0<8<9 и - > 0, то 86<96,
6
V2 <V3. <
т. е.
Упражнения
55 (Устно.) Представить в виде степени с рациональным пока-
зателем:
1)	2) 3-/а^; 3) \/b^; 4) Vx 1; 5) Уа; 6) Vb“3 .
56 (Устно.) Представить в виде корня из степени с целым пока-
зателем:
1	2
1) х4;	2) z/5;	3) а
Вычислить (57—60).
1 1
57	1) 642; 2) 273; 3)
4	11	2	5
58 1) 25 • 2 5 ; 2) 57 • б7
2	2	2
59	1) 95-275;	2) 73 -493;	3) 1444:94;	4)1502:62.
/ 1 \-0,75 f s--	-2
во 1) —	+ - 3;	2) (0,04)~1,5 - (0,125) 3 ;
< 16 /	\ 8 /
9	2	6	4	3
3) 87 : 87 -З5 • З5;	4) J5 5J + (J0,2)4
61 Найти значение выражения:
2) 4b : Vb при b = 27;
4) yfa  \[а  при а = 2,7.
с рациональным показателем:
1) а3 • Та;	2) Ь2 • Ь3  6Jb;	3) Vb :	;
4) а3 : Та;	5) x1-7 • x2-8 : Тл?;	6) у 3-8 : y~2’3 •
63 Вынести общий множитель за скобки:
1	1	1 з 1	11
1) х2+х; 2) (аЬ)3+(ас)3; 3) у4 -у3; 4) 12хг/2 -Зх2у.
5	.1	1	_2
6; 4) Ъ 3;	5) (2х)2;	6) (ЗЬ) 3.
2	3
83; 4) 814; 5) 16-°’75; 6) Э’1’5.
2	1	1 5 f 1V4
; 3) 93 : 96 ; 4) 43 : 46; 5) |^812J .
2	зз	зз
1) д/а • уа при а = 0,09;
h 3Jh2
3)	---- при Ъ = 1,3;
Vti
62 Представить в виде степени
1 1 1
31
64	Пользуясь тождеством а2 - b2 = (а + Ь) (а - Ь), разложить на множители: 1	1	2	1	1 1)а2-Ь2;	2) г/3-1;	З)а3-Ь3; 11 11 4) х-у,	5)4a2-b2;	6) 0,01m6-п6.
65	Разложить на множители, используя тождество а3 + Ь3 = = (а + Ь) (а2 - ab + Ь2) или а3 - b3 = (а - b) (а2 + ab + &2): 3	3	11	1 1) а - х;	2)х2-г/2;	3)а2-б2;	4)27а+с2.
66	Сократить дробь: 1 1 1 1)	2)	;	3) с-2/*1. i -	т + 2 v тп - п	У с - 1 а4 - &4 3	1
67	„	с2	сЬ2	2с2-4сЪ Упростить выражение	1	. 1111	c-b С2 + Ь2 Ь2_с2
68	Вычислить: 1) 2Л -2-73; 2) 32V2 : 9V2; 3) (5V3	; 4) ((0,5)'2)'/¥. Вычислить (69—71).
69	1) 22"3^5 -8^;	2) 31+2V2 : 9^2; 3) (б1^)1-^;	4) (5*-Л)1 + 75"-(7б)°-
70	1) 21~2'^2 • 4'^	2) 32~зЛ  27^3, 3) 91+л • З1-^ • 3"2“^;	4) 43 + ^2 • 21->/2 • 2~4~^.
71	1) ——	;	2) —5	; 22 + 77.5I+-/7	22"^.з1+^ 3) (251+,/2 -б272)-5-1-2V2;	4) (22'3 - 4Л“*) • 2-2,/з .
72	Выяснить, какое из чисел больше: 1) З7™ или 3'Уэ;	2)	или	; 3) 4’73 или 4~'/2;	4) 2^ или 21’7;
73	Сравнить число с единицей: 1) 2~2;	2) (0,013) *;	3)	;	4) 271'5; —	/1 A5^3	( \^-2	/ 1 ';Л-3 3)2-;	6) (1) ;	Т)(£|	;	8) ({)	.
32
74
75
76
77
78
70
80
81
82
2 Алгебра
Упростить выражение:
1)	• а1-2) а73"1 а73*1; 3) (673)73 : Ь2.
Сравнить числа: 1) V2 и V3; 2) t/б и V?.
Вычислить:
,	\-0,75	Z Д	2	.	,_1
1) —	+8Ю 00 0 0’25 - 7— 5; 2) 273 -(-2)-2 + 3^ 3;
\ 16 )	\. 32 у	\ 8 /
-1	2	-11	/ .vi1
3)	(0,001) 3-2~2-643 -8 3; 4) (-0,5)“4 - 6 2 5 0,25 -1 2- 2.
\ 4 J
Упростить выражение (77—78).
Вычислить:
( 5 _1	5	_1Д
1) ^23 -3 3 -З3 -2 3 J - V6;
(13	1 зА
2) ^54 :24 - 24 : 54 J t/ЮОО.
Упростить выражение (80—83).
1 ,---- ± ,------------ ( __________ _1А _________
1) а9 ^а34а;	2) Ь12 \b\fb; 3) (Va&-2 +(ab) eJ >/ab4 ;
( 2	2
4)	(Va + Vfe) la3 + b3 - Mab).
~ fl4 _ b 2 ~	Va - a 2 ft _ л/а2 - a 3b
1	5	1 _i ’	' 1 I -ii.	i
a4-a4 ft2+ft 2	6V^ + a‘37ft
m73-/!73	x7^-u7^ + 1	г- г- г~ i—
1)	™----2_;	2) ----3) (a72-ft73) (a72 + fr'^3);
(mn)2+73	(xi/)77
4) f 2o'0,5 - — &-73 Y—ft-73 + 2a-0’5 \
I 3 Дз	J
и начала анализа 10-11 кл.
33
83	1) (a1-'2)1-7;
3)
f X-^y3 3^5
2) l^m14-^) m~;
4) (aW+^3 + iji-Va.
Решить уравнение (84—85).
84
3) 9* = 32л/2; 4) 16* = 28".
85	1) 7*'/3=V7;
3) (V2)* = 2^2;
2) 25*<2 =5^5;
4) (Vs)3* =з7з.
86 Сравнить числа:
1) V10 и V20; 2) V5 и V7; 3) Л7 и V28; 4) V13 и V23.
Упростить выражение (87—89).
87
з
1
88
а + Ь .
1 1 ’
а3 + Ь3
1
1 1 ’
а3-Ь3
а + Ь а — b„
2	11	2	2	11	2 ’
а3-а3Ь3+Ь3	а3+а3Ь3+Ь3
1 1
я3 - Ъ3	1
а + b 2.	11	2
а3 - а3Ь3 + b3
2	2
Q О
х+ у	Х-у________хл - уа .
2	1^1^	2	2	11 2	1	1_	’
X3	- X3 у3	+ у3	X3	+	X3 у3 + у3	X3 -	у3
(а - Ь)2 +	а2 - Ь2
3	3	/ 1	1\	/	1 1	V’
а2	- Ь2	^а2 +	62J	У	+ a2 b2 +	bj
'	2	1
Зх3 + 5х3	1
х+ 1	1
X3 + 1
1
4х3 +4 + —
1
34
90 Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько
денег получит вкладчик через 3 года?
91 Банк выплачивает ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько
денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если перво-
начальная сумма вклада составляла 2000 р.?
г Упражнения
: к главе I
к
-
325, 32 5, | — |3
92 Вычислить:
1) fo,645:O,3-l—¥^4:6,25-1:5+--1,9б\
I	180 М	7	)
2) (± -0,375^ : 0,125 + f Й -Y (0,358 -0,108).
1г )	12?
98 Представить в виде обыкновенной дроби:
1) 1,3(1);	2) 2,3(2);	3) 0,(248);	4) 0,(34).
94 Вычислить:
z х-1	Z х -2
-	1)48°, 10"2, Ш , (0,3)'3, (-1,2)2, 2-	;
< 3 )	< 4 J
2) V27, 1/81, У32, ^8\ V162", V277;
12	1
3) 83, 273, 100004,
96 Вычислить:
1) 37б3 • 73 , V324 • t/4,
1 1
2) 56° : 8“2, 164 • 252 ,
1	_ 1	7	4
54 • 5 4	73 • 7 3
52	72
Вычислить (96—97).
z х-1	z	x-i	2
96	1)	; 2) - — • 1251 | 3 ; 3) 273 + 9-’;
4 кз/	<27	)
_1	1	!	2
4) (0,01) 2 : 100 2; 5) | — |2|-| ; 6)|2—|3|-
<81J 15) I 27j U
/ , V1 i i ( 1 \4
— 1 :92, 83 - I Лб1;
115J	\2)
(О,3)0-3 • (0,3г1
о,з1>3
35
97
98
99
100
101
102
103
104
105
Расположить числа в
2> 4VI 	;
5) (VV2702;
порядке возрастания:
1) I3-75, 2-1, [1]
Сравнить числа:
1	Г
1) (0,88)6 и | -М8
2) 98°,
1
325.
1
и (0,41) 4;
з / о V'2
3) (4,09) 42 и 4-М ;
I 25 J
2) [ — | 4
Ч12 у
Упростить выражение, представив его в виде степени с осно-
ванием а:
11
а 2 а’0’5
1)
2
а3
7
а"3 а3
2) ----р-
а3
3) (а2’5)2 Та;
4) yfa2 [а1? .
Упростить выражение:
Сравнить числа:
Решить уравнение:
1
1) 62х = 65;	2) 3х = 27;	3) 73х = 710;
4) 22х + 1 = 32;	5) 42 + х= 1.
Сократить дробь:
1	4 4
у- 16у2 .	а5 -Ь5
1	’	2	2'
бу4+ 20	а5-Ь5
Упростить:
з 1	1
а2Ь2-1	а2 + Ь2
36
Проверь себя!
1
2
3
7а4+ 21
б Упростить выражение (Va+Vfe)2- (т/а -л/&)
106 Показать, что геометрическая прогрессия является беско-
нечно убывающей, если:
1) Ь2 = -81, S2 = 162;	2) b2 = 33, S2 = 67;
3) bj + b2 = 130,	- b3 = 120;	4) b2 + &4 = 68, b2 - &4 = 60.
107 Записать бесконечную периодическую десятичную дробь
в виде обыкновенной: 1) 1,10(209); 2) 0,108(32).
108 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии с положительными членами, если сумма первых
трех ее членов равна 39, а сумма их обратных величин
равна
109 Упростить выражение ^/43 + 30 V2 + ^43-30 42 .
110 Упростить выражение а = (4-Зу2)2 + 8^34-2442 -45.
Сравнить полученное число с нулем.
111 Сравнить числа а и 6, если:
37
112
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
113
Вычислить:
1) (V7-WV49+V28+V16);
2) (3T4-Vi0 + V25)(V2+3V5).
118
114
115
Упростить выражение (114—117).
116
117
Доказать, что
^7 + 572 + ^7-5^2 = 2.
38
I Степенная функция
i	Как алгебраисты вместо АА, AAA, ... пишут
А2, А3.так я... вместо —,
а а2 а3
пишу а~г, а~2, <Г3.
.	И. Ньютон
: Степенная функция,
' ее свойства и график
6
Вы знакомы с функциями у = х, у - х2, у = х3,
у = — и т. д. Все эти функции являются частны-
х
ми случаями степенной функции, т. е. функции
у = хр, где р — заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существен-
но зависят от свойств степени с действительным
показателем, и в частности от того, при каких зна-
чениях х и р имеет смысл степень хр. Перейдем
к подробному рассмотрению различных случаев
в зависимости от показателя степени р.
1. Показатель р = 2п — четное натуральное число.
В этом случае степенная функция у = х2п, где п —
натуральное число, обладает следующими свойствами:
—	область определения — все действительные
числа, т. е. множество R;
—	множество значений — неотрицательные чис-
ла, т. е. у > 0;
—	функция у = х2п четная, так как (-х)2я = х2п;
—	функция является убывающей на промежутке
х < 0 и возрастающей на промежутке х > 0.
График функции у = х2п имеет такой же вид, как,
например, график функции у = х4 (рис. 7).
39
2. Показатель р = 2л - 1 — нечетное натуральное
число.
В этом случае степенная функция у = х2п \ где
п — натуральное число, обладает следующими
свойствами:
—	область определения — множество Я;
—	множество значений — множество Я;
—	функция у = х2п ~ 1 нечетная, так как (~х)2п 1 =
_ _х2п - 1.
—	функция является возрастающей на всей дей-
ствительной оси.
График функции у = х2п 1 имеет такой же вид,
как, например, график функции у = х3 (рис. 8).
3. Показатель р = -2п, где п — натуральное число.
В этом случае степенная функция у = х~2п = —
обладает следующими свойствами:
—	область определения — множество Я, кроме
х = 0;
—	множество значений — положительные числа
У > 0;
— функция четная, так как  Ц—
1
,2 л
— функция является возрастающей на проме-
жутке х < 0 и убывающей на промежутке х > 0.
40
График функции имеет такой же вид, как, напри-
мер, график функции (рис. 9).
X2
4. Показатель р = - (2п - 1), где п — натуральное
число.
В этом случае степенная функция у = х“(2л u =
1 ,
=----- обладает следующими свойствами:
—	область определения — множество R, кроме
х = 0;
—	множество значений — множество R, кроме
У = 0;
— функция у = —-— нечетная, так как---------=
х2л-1	(-х)2л-1
1 .
х2 п -1 ’
— функция является убывающей на промежут-
ках х < 0 и х > 0.
График функции у =	- имеет такой же вид,
как, например, график функции у = (рис. 10).
х3
41
5. Показатель р — положительное действительное
нецелое число.
В этом случае функция у = хр обладает следую-
щими свойствами:
—	область определения — неотрицательные чис-
ла х > 0;
—	множество значений — неотрицательные чис-
ла у > 0;
—	функция является возрастающей на промежут-
ке х > 0.
График функции у = хр, где р — поло-
жительное нецелое число, имеет та-
кой же вид, как, например, график
1
функции у = х3 (при 0 < р < 1) или
как, например, график функции
4
у = х3 (при р > 1) (рис. 11, а, б).
6. Показатель р — отрицательное дей-
ствительное нецелое число.
В этом случае функция у = хр обладает
следующими свойствами:
—	область определения — положительные числа
х > 0;
—	множество значений — положительные числа
У > 0;
— функция является убывающей на промежутке
х > 0.
42
Задача 1
НК
Задача 2
График функции у - хр, где р — отрицательное не-
целое число, имеет такой же вид, как, например,
1
график функции у = х 3 = -у- (рис. 12).
хЗ
1	4
Решить неравенство: 1) х3 > х; 2) х3 > х.
1
► 1) Неравенство х3 > х имеет смысл при х > 0. При
х = 0 неравенство не выполняется. При х > 0, воз-
водя неравенство в куб, получаем х > х3, т. е.
х (1 - х2) > 0. Так как х > 0, то 1 - х2 > 0, откуда
х2 < 1; |х| < 1. Следовательно, 0 < х < 1.
4
2) Аналогично, возводя неравенство х3 > х при
х > 0 в куб, получаем х4 > х3, т. е. х3 (х - 1) > 0.
Так как х > 0, то х - 1 > 0, т. е. х > 1.
1) 0 < х < 1; 2) х > 1. <
Решение этой задачи показывает, что график функ-
1
ции у = х3 лежит выше графика функции у = х при
0 < х < 1 и ниже при х > 1 (рис. 13, а); график
4
функции у = х3 лежит выше графика функции
у = х при х > 1 и ниже при 0 < х < 1 (рис. 13, б).
Сравнить числа (З,2)3-л и (З,5)3л.
Так как 3 < л < 4, то 3 - л < 0.
Функция у = х3 ~ л убывает на промежутке х > 0.
Поэтому (З,2)3 л > (З,5)3 л. <
43
Задача 3* Найти точки пересечения графиков функций
4
3 /	Q
У = л/ X и у = X.
Для нахождения точек пересечения этих графиков
4
решим уравнение -/х = х3 . Левая часть этого урав-
нения имеет смысл при всех х, а правая — только
при х > 0.
При х > 0 функция у = >[х совпадает с функцией
1
у = х3, поэтому уравнение можно записать так:
1	4
х3 = х3. Возводя это уравнение (при х > 0) в куб,
получаем х = х4, откуда х (х3 - 1) = 0, х2 = 0,
Xg — 1.
-КурЖЩЙВ' (0; 0), (1; 1). <|
Упражнения
119 Изобразить схематически график функции и указать ее об-
ласть определения и множество значений:
1
1) г/ = х6;	2) у = х5;	3)у = х2;
1
4) у = х-2;	5) у = х 3;	6) у = х3 .
120 (Устно.) Является ли функция у = хр возрастающей (убыва-
ющей) при х > 0, если:
1) p = V7;	2) р = ~;	3) p = l-V3;
Я
4) р =	5) р = 3 - л; 6) р = 0,(3)?
л
121 Изобразить схематически график функции:
2	5
1) у = х5 ; 2) у = х2 ; 3) у = х’5; 4) у = х^3 .
122 Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с еди-
ницей:
1) 4,12’7; 2) О,20,3; 3) 0,79Д; 4) 7з°’2.
123 Пользуясь рисунком 13, найти промежутки, на которых гра-
фик функции:
1) у - х^3; 2) у = хл — лежит выше (ниже) графика функ-
ции у = х.
44
124 Пользуясь рисунком 13, найти промежутки, на которых гра-
фик функции:
1
1) у = хл ; 2) у = xsin45° — лежит выше (ниже) графика
функции у = х.
125 Сравнить значения выражений:
1)	3,17’2 и	4,37’2;	2)	f—У’3 111 J	к 11J
3)	0,3°’3 и	0,2°’3;	4)	2,5-31	и 2,6-3,1;
	(7-V и	Г—у2-	61	3 С—У	3 и
	<9 )	110) ’		115 J	<16; ’
7)	2 (4V3)5	2 и (зТ4)5;	8)	(2 V6)	-°’2 и (6 V2)-°’2
126 В одной системе координат построить графики функций,
находя сначала их области определения и множества зна-
чений:
1 1
1) у = х3 и у = х3 ;	2) у = х4 и у = х4 ;
3) у = х2 и у = х“2;	4) у = х5 и у = х“5.
127 Пользуясь рисунком 13, найти промежутки, на которых гра-
фик функции: 1) у = х1 л; 2) у =	—лежит выше
(ниже) графика функции у = х.
128 Изобразить схематически график функции и найти ее об-
ласть определения и множество значений:
1
1) у = х* + 1;	2) у = х1 -1;	3) у = (х - 2)л;
4) у=(х + 1Н2;	5) у = (х - 2)“2;	6)у = Ц^.
х'12
12^ Построить график функции и указать ее область определе-
ния, множество значений и промежутки возрастания и убы-
вания:
1
1) у = |х|3;	2) у = |х|5;	3) у = |х|3 + 1;
1 1
4) у = |х|3-2;	5) у = |х + 2|3;	6) у = 12х|3.
130 Найти координаты точки пересечения графиков функций:
3	5
1) у = у[х и у = хб ;	2) у = Чх и у = х7.
45
Взаимно обратные функции
Для обозначения функции, кроме известного вам
у = у (х), часто используют буквы f, g, F и т. д.
Например, пишут: дана функция у - f (х) (чита-
ется: «Игрек равен эф от икс») или пишут:
g (х) = 2х - 1, F (х) = х2 и т. п. При этом независи-
мую переменную х обычно называют аргументом
функции. Возрастающие и убывающие функции
иногда называют одним словом — монотонные.
Если задана функция у = f (х), то для каждого зна-
чения х из области определения функции можно
найти соответствующее значение у. Нередко при-
ходится решать обратную задачу: по данному зна-
чению функции у находить соответствующее значе-
ние аргумента х.
Примером может служить формула v = v0 - gt, ко-
торая выражает зависимость скорости и движения
тела, брошенного вверх с начальной скоростью и0,
от времени движения t. Из этой формулы можно
найти обратную зависимость — времени t от скоро-
сти и:
В рассмотренном примере каждому значению функ-
ции соответствует одно значение аргумента. Для
таких функций можно выразить обратную зависи-
мость значений аргумента от значений функции.
Такие функции называют обратимыми.
Если функция У = f (х) принимает каждое свое
значение только при одном значении х, то эту
функцию называют обратылой. -
Например, функция у = 2х - 2 обратима, так как
каждое значение у принимается при единственном
значении аргумента х. Это значение можно найти,
решая уравнение у = 2х - 2 относительно х.
Функция у = х2 не является обратимой, так как,
46
например, значение у = 1 она прини-
.	у = х2.	мает при х = 1 и при х = -1 (рис. 14).
\	/ Пусть у = f (х) — обратимая функция.
\	/ Тогда каждому у из множества зна-
\	/ чений функции соответствует одно
\	/	определенное число х из области ее
\	/	определения, такое, что f (х) = у. Это
\	।	/	соответствие определяет функцию х
г------у	от у, которую обозначим х = g (у).
\	/	В этой записи в соответствии с при-
Jj J ► нятыми обозначениями поменяем ме-
стами х и у. Получим у = g (х).
Рис. 14	Функцию у = g (х) называют обрат-
ной к функции у = f (х).
Задача 1 Найти функцию, обратную к функции
у = Зх + 5.	(1)
Решая это уравнение относительно х, получаем
х = (у - 5). В этой формуле поменяем местами
х и у:
у = |(х-5).	(2)
О
Функция (2) обратна к функции (1). <
Вообще, если обратимая функция у = f (х) задана
формулой, то для нахождения обратной функции
нужно решить уравнение f (х) = у относительно х
и затем поменять местами х и у.
Заметим, что рассмотренная в задаче функция
у = Зх + 5 является обратной к найденной для нее
обратной у = — (х - 5) функции. Поэтому эти функ-
3
ции называют взаимно обратными.
. Из определения обратной функции следует, что
область определения обратной функции совпада-
ет со множеством значений исходной функции,
а множество значений обратной функции совпа-
дает	.фЗДйДОйнМ нйюцнб! функции.
Задача 2 Найти функцию, обратную к функции у---------.
х - 2
► Решая это уравнение относительно х, получаем
х = 2 + ~. Заменив х на у и у на х, находим
У
у-2 + 1. <
X
47
В этой задаче область определения функции
1
у =---- есть множество действительных чисел, не
х - 2
равных 2, а множество ее значений — все действи-
тельные числа, не равные 0. График этой функции
изображен на рисунке 15.
Для обратной функции у = 2 + — область определе-
х
ния — множество действительных чисел, не рав-
ных 0, а множество значений — все действитель-
ные числа, не равные 2. График этой функции
изображен на рисунке 16.
Теорема 1. Монотонная функция является об-
О*™*-,.
> Пусть функция у - f (х) возрастает и пусть у0 — ее
значение в некоторой точке х0, т. е. у0- f (х0).
Тогда если х принадлежит области определения
функции, то при х > х0 выполняется неравенст-
во / (х) > f (х0) = у0, а при х < х0 — неравенство
f(x)<f (х0) = у0.
Следовательно, значение у0 функция f (х) прини-
мает только в одной точке х0 и поэтому является
обратимой. Для убывающей функции доказатель-
ство проводится аналогично. О
Например, функция у = х3 возрастает и поэтому
является обратимой; обратной к ней является
функция у = у[х (рис. 17).
48
Если функция у = f (х) возрастает,
то с увеличением х значения у уве-
личиваются и, наоборот, с увеличе-
нием у увеличиваются х. Это озна-
чает, что обратная функция также
возрастает. Аналогично если функ-
ция у = f (х) убывает, то обратная
к ней функция также убывает. На-
пример, функция f (х) = 1 - 2х убы-
вает и обратная к ней функция
g (х) =-- также убывает.
2
Функция, не являющаяся монотон-
ной, обратной может не иметь. На-
пример, функция у = х2, рассматри-
ваемая на всей числовой оси, не имеет обратной.
Однако если функцию у = х2 рассматривать только
при х > 0, то на этом промежутке она возрастает и,
следовательно, имеет обратную у = х (рис. 18, а).
Функция у = х2, рассматриваемая при х <. О, убы-
вает и также имеет обратную у = -У х (рис. 18, б).
Теоре^А 2.	имеет--обратаую^то
< '  графта?
данной функции относительно прямой у = х.
• Если точка (х0; уа) принадлежит графику функции
у = f (х), то точка (у0; х0) принадлежит графику об-
ратной функции у = g (х) (рис. 19), а точки (х0; уп)
49
и (у0; х0) симметричны относительно прямой у = х
(рис. 20). О
Рисунок 18 иллюстрирует эту теорему.
Отметим, что степенная функция у = хр с обла-
стью определения х > 0 и р ф 0 обратима, так
как она монотонна. Обратной к ней является функ-
ция у = хр .
Упражнения
131 (Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:
1)	у = Зх - 1;	2)	j/	=	x2 + 7;	3)	у = ±-,
X
4)	у = Vx;	5)	у	=	х4;	6)	у = х4, х <	0.
132 Найти функцию, обратную к данной:
1)	у = 2х - 1;	2)	у	=	-5х + 4;
3)	у=-х-^;	4)	у	=	^1-,
у 3	3	у 2
5) у = х3 + 1; б) у = х3 - 3.
133 Найти область определения и множество значений функции,
обратной к данной:
1) у =-2х + 1;	2) у = -х-7;
4
3) у = х3 - 1;	4) у = (х-1)3;
134 Функция у = f (х) задана графиком (рис. 21). Построить гра-
фик функции, обратной к данной.
50
Рис. 21
13d Являются ли взаимно обратными функции:
1)	у = —х3 и у = -Vx;	2) у = -х5 и у = Vx;
3)	у = х~3 и У = -^=;	4) </=VxF и y = xVx2’?
4х
136 Найти функцию, обратную к данной:
13	3	1
1) у = -х3; 2) у = -х3; 3) у = х3 ; 4) у = -х3.
137 На одном рисунке построить график данной функции
и функции, обратной к данной; найти область определения
и множество значений каждой из них:
1) у = Зх - 1;	2)
4)	у = (х - I)2 при х > 1;
6)	у = (х - I)3;	7) у = 7х-1;
3) у = х2 - 1 при х > 0;
5) у = х3 - 2;
8) у - -/х + 1.
51
: Равносильные уравнения
: и неравенства
1. Равносильные уравнения.
Задача 1 Найти точки пересечения графиков функций
у = 3-/х и у = х + 2.
Если (х; у) — точка пересечения данных графиков,
то У = 3^х = х + 2. Следовательно, для нахождения
абсцисс точек пересечения нужно решить уравнение
3 Vx = х + 2.	(1)
Возводя обе части уравнения (1) в
квадрат, получаем 9х = х2 + 4х + 4,
откуда х2 - 5х + 4 = 0. Корни по-
лученного квадратного уравнения
Xj = 1, х2 = 4. Проверка показывает,
что оба корня являются также и
корнями уравнения (1).
Теперь находим ординаты точек
пересечения данных графиков
</1 = Зд/х^ = 3, у2 = 3д/х7 =6. Итак,
данные графики пересекаются в
двух точках (1; 3) и (4; 6) (рис. 22).
Ответ (1; 3), (4; 6). <
При решении задачи 1 исходное уравнение
3Vx = х + 2 заменялось уравнениями
9х = х2 + 4х + 4, х2 - 5х + 4 = 0.
Все эти три уравнения имеют одни и те же корни
xt = 1, х2 = 4. Такие уравнения называют равно-
сильными.
 Уравнения, имеющие одно и то же множество кор-
ней, называются равносильными.
Например, уравнения 4х - 3 = 2х + 3 и 2х - 6 рав-
носильны, так как каждое из них имеет только
один корень х = 3. Уравнения (х - 2) (х + 5) = 0
и х2 + Зх-10 = 0 также равносильны, так как
они имеют одни и те же корни хг = 2, х2 = -5.
52
Уравнения 2х = 4 и Зх2 = 12 не равносильны, так
как первое имеет корень х = 2, а второе — корни
xt = 2 и х2 - ~2. Из определения равносильности
уравнений следует, что два уравнения равносиль-
ны, если каждый корень первого уравнения явля-
ется корнем второго уравнения и, наоборот, каж-
дый корень второго уравнения является корнем
первого уравнения. Уравнения, не имеющие кор-
ней, также считают равносильными.
Из курса 7 класса вы знаете, что можно сделать
следующие преобразования уравнений:
Любой член уравнения ,мо«йно'тереяйсййь' из од-
: «ай «Йв я	знак
положный.	
Обе части уравнения можно умножить или разде-
;	W раййг '4|гл1в. '
При этих преобразованиях исходное уравнение за-
меняется на равносильное ему уравнение.
Заметим, что если некоторое выражение в левой
или правой части уравнения заменить тождествен-
но равным ему выражением, то получится уравне-
ние, равносильное исходному. Однако не при лю-
бом преобразовании уравнение заменяется на
равносильное.
Например, при возведении в квадрат обеих частей урав-
нения yfx = х-2 получается уравнение х - (х - 2)2,
не равносильное исходному: первое уравнение име-
ет только один корень х = 4, а второе — два корня
х1 = 4их2=1. В этом случае второе уравнение на-
зывают следствием первого уравнения.
прнпереходе	другому
у^амаеиие
называют следствием первого уравнения. Иначе,
если все корни первого уравнения являются кор-
нями	второе уравнение на-
зывается следствием первого уравнения. ’
Из этого определения и определения равносильно-
сти уравнений следует, что:
1) '^ли"|й^'^^яеняй^райя<юильны, то каждое из
них	>;<	-;а
. 2)-«ли	след-
ствием другого, .«а от уравнения равносильны.
53
При решении уравнений главное — не потерять
корни, а наличие посторонних корней можно уста-
новить проверкой. Поэтому важно следить за тем,
чтобы при преобразовании уравнения каждое сле-
дующее уравнение было следствием предыдущего.
Задача 2 Решить уравнение
2х _ х + 1 _	4_____ (2)
х-2 х-1 (х-1)(х-2)'	1 9
Умножив обе части уравнения на общий знамена-
тель всех трех дробей, т. е. на (х - 1) (х - 2), полу-
чаем
2х (х - 1) - (х + 1) (х - 2) = 4,	(3)
откуда х2 - х - 2 - 0, хх = 2, х2 = -1.
Проверка. 1) При х = 2 знаменатели двух дро-
бей уравнения равны нулю. Поэтому х = 2 не явля-
ется корнем данного уравнения.
2) При х = -1 левая часть уравнения равна
2 (-1) -1+1 _ 2
-1-2	-1-1	3’
правая часть равна
4	_ 2
(-1-1)(-1-2)	3‘
Ответ х = -1. <
Заметим, что для проверки корня х = -1 достаточ-
но увидеть, что знаменатели дробей уравнения при
х = -1 не равны нулю (если, конечно, при решении
уравнения не допущены ошибки в преобразовани-
ях и вычислениях).
При решении задачи 2 из уравнения (2) получено
уравнение (3), которое является следствием урав-
нения (2). Корень Xj = 2 уравнения (3) не является
корнем уравнения (2). Его называют посторонним
корнем.
Посторонние корни могут получиться при умно-
жении обеих частей уравнения на выражение, со-
держащее неизвестное.
Задача 3 Решить уравнение х2-4 = 7х-14.
Преобразуем данное уравнение так:
(х + 2) (х - 2) = 7 (х - 2),	(4)
54
откуда (х + 2 - 7) (х - 2) = 0, т. е. (х - 5) (х - 2) = О,
следовательно, хг = 5, х2 = 2. <1
Если обе части уравнения (4) разделить на х-2,
то получится уравнение х + 2 = 7, которое имеет
только один корень х = 5, т. е. произойдет потеря
корня х = 2, и решение задачи будет неверным.
Потеря корней может произойти при делении обе-
их частей уравнения на выражение, содержащее
неизвестное.
Итак, при решении уравнения можно делать толь-
ко такие его преобразования, при которых не про-
исходит потери корней. Если при этом получаются
уравнения — следствия данного, то необходима
проверка найденных корней.
2. Равносильные неравенства.
Равносильность неравенств с неизвестным опреде-
ляется аналогично.
Ml Неравенства, имеющие одно и то же множество
МИИ решений, называют равносильными.
х — 3
Например, неравенства —----<0их-3<0 равно-
х2 + 1
сильны, так как имеют одно и то же множество
решений х < 3. Неравенства х2 - 4х < х - 6 и
х2 - 5х + 6 < О равносильны, так как имеют одно
и то же множество решений 2 < х < 3. Неравенства
2х
---->1и2х>х-1не равносильны, так как ре-
х -1
шениями первого являются числа х < -1 и х > 1,
а решениями второго — числа х > -1. При реше-
нии неравенств обычно данное неравенство преоб-
разуется в ему равносильное.
5х — Ч
Задача 4 Решить неравенство —-—- > 1.
х2 + 1
Так как х2 + 1 > 0 при всех действительных значе-
ниях х, то, умножая неравенство на х2 + 1, получа-
ем неравенство 5х - 3 > х2 + 1, равносильное дан-
ному. Решая это неравенство, получаем
х2 - 5х + 4 < 0, (х - 1) (х - 4) < О,
откуда 1 < х < 4. <1
65
Рис. 23	Рис. 24
3	2
Задача 5	Решить неравенство ----->------.
х-1 х+ 1
3_____2	> q Зх + 3 - 2х + 2 > q х + 5	> 0
х-1 х+1	’	(х-1)(х+1)	’ (х-1)(х+1)
Решая последнее неравенство методом интервалов
(рис. 23), получаем -5 < х < -1, х > 1.
Ответ -5 < х < -1, х > 1. <
Задача в Решить неравенство х6 < х2.
х6 - х2 < 0, х2 (х4 - 1) < О,
х2 (х - 1) (х + 1) (х2 + 1) < 0.
Решая последнее неравенство методом интервалов
(рис. 24), получаем -1 < х < 0, 0 < х < 1.
Ответ -1 < х < 0, 0 < х < 1. <
Упражнения
.138 Решить уравнение:
1) (х + 7) 3 = 2х + 14;	2) х2 + —= 4 +—;
х2 - 4	х2 - 4
3) х -2 _ 1 - 2х.	5х -15	_ 2
х2 — 1 х2 - 1 ’	(х-3)(х+2)	х+2
139 Равносильны ли следующие уравнения:
1)	Зх - 7 = 5х + 5 и 2х + 12 = 0;
2)	-(2х-1) = 1 и 3x^l=i;
5	8
3)	х2 - Зх + 2 = 0 и х2 + Зх + 2 = 0;
4)	(х - 5)2 = 3 (х - 5) и х - 5 = 3;
5)	х2 - 1 = 0 и 2х 1 = 0;
6)	|х - 2| = -3 и 3х = (-1)3?
140 Равносильны ли следующие неравенства:
1)	2х -	1 > 2 и	2	(х - 1)	> 1;
2)	(х -	1) (х + 2)	<	0 и х2 + х <	2;
3)	(х -	2) (х + 1)	<	Зх + 3	и х -	2 < 3;
4)	х (х	+ 3) > 2х	и х2 (х	+ 3) > 2х2?
56
141 Установить, какое из двух уравнений является следствием
другого уравнения:
1) х - 3 = 0 и х2 - 5х + 6 = 0;
2) х2~3х+2 = о и х2 - Зх + 2 = 0.
х-1
142 Решить уравнение:
1) х + 2х _ 4х .	2) х-1 _2 _ 1 .
х + 1 х-1 х2 — 1	х-2 х х-2
3) (х - 3) (х - 5) = 3 (х - 5);	4) (х - 2) (х2 + 1) = 2 (х2 + 1).
143 Решить неравенство:
Выяснить, равносильны ли уравнения (144—145).
144 1) |2х- 1| = 3 и 2х - 1 = 3;
2) 3x^2 _4^х-Зх^ =2х_2 и 2х + 3 = —.
3	2	6	3
145 1) 2х - 1 = 4 - 1,5х и 3,5х -5 = 0;
2) х (х - 1) = 2х + 5 и х2 - Зх - 5 = 0;
3) 23х + 1 = 2"3 и Зх + 1 = -3;	4) Vx + 2 = 3 и х + 2 = 9.
146 Установить, какое из двух уравнений является следствием
другого уравнения:
1) |х| = -/5 и Vx2" =5;
2)	и (х - 2) (х + 2) = (х - 3) (х + 3).
х + 3 х + 2
147 Решить уравнение — ---------------—— = ———.
Зх+1 Зх-1 9х2-1	1-9х2
148 Найти корни уравнения:
j) 3____4х-1 _ х2 + 5 5.
Х-1 X + 1 х2 - 1
2) *+2 х(х-4) _ х-2 4(3 + х)
х-2 х2 - 4 х + 2	4-х2
149 Решить неравенство:
1)	х3 - Зх2	+ 2х - 6 > 2х3	-	х2	+	4х	- 2;
2)	х3 - Зх2	- 4х + 12 > -Зх3	+	х2	+ 12х - 2.
150 Решить уравнение:
1) (х-З)*2-*"2 =1;	2)	(х2-х-1)*2-1 =	1;
3)	(х + З)*2	4 = (х + З)“3х;	4)	(х + З)*2-3 = (х +	З)2*.
57
Иррациональные уравнения
В уравнениях 7x +1 = х -1, у 5х - 4 = 2 + -/х неиз-
вестное х находится под знаком корня. Такие урав-
нения называют иррациональными. Приведем еще
примеры иррациональных уравнений:
а/х + 15 = х + 1, л/х + 6 = V6 -х.
Иррациональные уравнения часто получаются при
решении различных задач. Решение иррациональ-
ных уравнений основано на следующем свойстве:
При возведении обеих частей уравнения в нату-
ральную степень получается уравнение-следствие
данного.
• Пусть х — корень уравнения f (х) = g (х), т. е.
f (х) = g (х) — верное числовое равенство. Тогда
по свойствам верных числовых равенств (х) =
= gn (х), где п — натуральное число, также верное
числовое равенство, т. е. х — корень уравнения
Г(х) = ^(х). о
Отметим, что при возведении обеих частей уравне-
ния в натуральную степень (т. е. при возведении
уравнения в натуральную степень) может полу-
читься уравнение, не равносильное данному. На-
пример, уравнение -7б - х = х имеет один корень
х - 2, а уравнение 6 - х - х2 имеет два корня
xt = 2, х2 = -3.
При возведении уравнения в натуральную степень
могут появиться посторонние корни, поэтому про-
верка необходима.
Например, при возведении обеих частей уравнения
у1 х2 + х -1 = -/х в квадрат получается уравнение
х2 + х - 1 = х, т. е. х2 = 1.
Это уравнение имеет два корня х} = 1, х2 = -1. Вто-
рой корень является посторонним для исходного
уравнения, так как подкоренные выражения при
х = -1 отрицательны.
58
Задача 1 Решить уравнение 7х + 6 -7х +1 = 72 х - 5.
►	Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
х + 6 -2 д/(х + 6)(х + 1) + х + 1 = 2х -5,
откуда д/(х + 6)(х + 1) = 6.
Возведем последнее уравнение в квадрат:
х2 + 7х + 6 = 36, или х2 + 7х - 30 = 0.
Корни этого уравнения хг = 3, х2 = -10.
Проверка показывает, что х2 = -10 — посторонний
корень.
Ответ х = 3. <
Задача 2 Решить уравнение
47х2 + 12 = х.	(1)
►	Возведем уравнение в четвертую степень:
х2 + 12 = х4,
откуда х4 - х2 - 12 = 0. Решим это биквадратное
уравнение
9 1 ± 71 + 48	1+7	о л 2 о
х2 =---------= ——, т. е. х = 4 или х = -3.
2	2
Уравнение х2 = 4 имеет два корня х = ±2. Уравне-
ние х2 = -3 не имеет действительных корней. Так
как при возведении обеих частей уравнения (1)
в четвертую степень могли появиться посторонние
корни, то нужно сделать проверку. При х = 2 обе
части уравнения (1) равны 2, т. е. х = 2 — корень
уравнения (1). При х = -2 левая часть уравнения
(1) равна 2, а правая равна -2, т. е. -2 не является
корнем уравнения.
Ответ х = 2. <3
Задача 3 Решить уравнение
37х3-19 = х-1.	(2)
► Возводя обе части уравнения в куб, получаем
х3 - 19 = (х - I)3,
откуда
х3 - 19 = х3 - Зх2 + Зх - 1,
Зх2 - Зх - 18 = 0, х2 - х - 6 = 0.
59
Корни этого уравнения Xj = 3, х2 = -2. Проверка
показывает, что оба значения неизвестного явля-
ются корнями уравнения (2).
Ответ хг = 3, х2 = -2. <1
Иногда при решении иррационального уравне-
ния полезно использовать графики функций.
Задача 4 Выяснить с помощью графиков, сколько корней
имеет уравнение -fx = 1 - х2. Найти
приближенные значения этих кор-
ней.
► Построим на одном рисунке гра-
фики функций р = >/х и у = 1 - х2
(рис. 25). Графики пересекаются
в одной точке при х « 0,5.
Отае» х * о,5. <
Упражнения
151 (Устно.) Решить уравнение:
1) >/х=2; 2) Vx=7;	3)Vx=2; 4) Vx =-3;
5) Vl-Зх =0;	6) Vx = 1;	7) t/2-х =0.
Решить уравнение (152—161).
152 1) -Ух + 1 =3;	2) Vx-2 =5;	3) V4 + x = л/2х-1;
153 1) V2x + 3 = 1;	2) ^/1-x =2;	3) ^2-3 = V8x.
154 1) x +1 = Vl - x;	2) x = 1 + -J x + 11;
3) Vx + 3 = V5-x;	4) jx2-x-3 =3.
155 1) Vx-x = -12;	2) x + Vx = 2(x-l);
3) Vx- 1 = x -3;	4) -Уб + x - x2 = 1 - x.
156	1) >/2x-34 = 1 + Vx;		2) V5x + V14-x = 8;	
	3)	л/15+х 4- -J3 4- x ~ 6;	4)	73-2x -Vl-x =1.
157	1)	yjx2 + 2 + 7 x3 + x2 = 0;	2)	Vl + X4 = у 1 + X2 .
60
158 1) 7б-х-7б+ х = 2;	2) 712 + х -71-х = 1;
3) 7х—2 + 7х + 6 = 0;	4) 7х + 7 + 7х -2 = 9.
159 1) 71-2х -713 + х = 7х + 4;
2) 77х +1 -7б -х = 715 + 2х.
160 1) 7х-2 =2;
3) 725х2-144 = х;
161 1) ^/х3-2 =х-2;
2) 372х + 7 = 73(х-1);
4) х2 =719х2-34.
2) ^х3-5х2 + 16х-5 = х - 2.
162 Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет урав-
нение, и найти приближенные значения этих корней:
1) 7х-6 = -х2;	2) Vx = (х -1)2;
3) 7х + 1 = х2 -7;	4) х3 -1 = 7х-1.
KS Решить уравнение:
1)	д/4х + 2д/3х2 + 4 = х + 2;
2)	3-х = ^9-736х2-5х4 ;
; - I 3) д/ х2 + Зх + 12 - 7*2 + Зх = 2;
4)	7х2 + 5х + 10 -^х2 + 5х + 3 = 1.
^4: Решить относительно х уравнение:
1) 7х +1  7х -2 = а; 2) 7х • 7х + 2 = а -1.
Иррациональные неравенства
Задача 1
Стрельба из спортивного пистолета по круглой ми-
шени диаметром 1 м ведется из точки прямой, пер-
пендикулярной плоскости мишени и проходящей
через ее центр. На каком расстоянии от мишени
должна быть точка выстрела, чтобы разность рас-
стояний от нее до края мишени и до центра была
не больше 2 см?
61
► Пусть А — точка выстрела, О —
центр мишени, В — точка на окруж-
ности мишени (рис. 26). По условию
ВО = 50 см. Обозначим АО = х, тогда
АВ = yjx2 + 2500. По условию задачи
АВ-АО <2, т. е. х/х2 + 25ОО -х < 2,
или
7«2 + 25ОО < х + 2.	(1)
Так как по смыслу задачи х > 0, то левая и правая
части неравенства (1) положительны. Следователь-
но, обе части неравенства (1) можно возвести в
квадрат; при этом знак неравенства не изменится
(см. § 5) и получится неравенство, равносильное
неравенству (1), т. е. х2 + 2500 < х2 + 4х + 4, отку-
да 4х > 2496, х > 624 (см).
r v-fthK» Не меньше 6,24 м. <1
В этой задаче пришлось решать неравенство (1), со-
держащее неизвестное под знаком корня. Такие не-
равенства называют иррациональными.
Задача 2 Решить неравенство л/б - х < 4.	(2)
► Найдем область определения неравенства (2), т. е.
множество таких значений х, при которых имеют
смысл обе части неравенства. Правая часть нера-
венства определена при всех значениях х, а левая —
при 5 - х > 0, т. е. при х < 5. Следовательно, об-
ласть определения неравенства (2) — луч х < 5.
При х < 5 обе части неравенства (2) неотрицатель-
ны, и поэтому при возведении в квадрат обеих час-
тей получается равносильное (на множестве х < 5)
неравенство 5 - х < 16.
Таким образом, неравенство (2) равносильно систе-
[ х < 5,
ме неравенств <
[5-х<16.
Решая эту систему, получаем -11 < х < 5.
Ожег -11<х<5. <
Рассуждения, приведенные при решении задачи 2,
можно провести устно и сразу записать, что нера-
венство (2) равносильно системе неравенств
j 5 - х > 0,
[5-х<16.
62
Задача 3 Решить неравенство
^х2-3х <2.	(3)
► Неравенство (3) равносильно системе
х2 -Зх> 0,
х2 -Зх < 4.
(4)
-10	3 4
Рис. 27
Решая первое неравенство систе-
мы (4), получаем х < 0, х > 3. Ре-
шая второе неравенство систе-
мы (4), получаем -1 < х < 4. Оба неравенства
системы (4) выполняются при -1 < х < 0, а также
при 3 < х < 4 (рис. 27).
-1 < х < 0, 3 < х < 4. О
Задача 4 Решить неравенство
VlO + x-x2 >2.	(5)
► Это неравенство равносильно системе
[ 10 + х - х2 > 0,
1	(6)
[10 + х-х2 > 4.
Так как каждое решение второго неравенства сис-
темы (6) является решением первого неравенства
системы (6), то эта система равносильна одному
второму неравенству
10 + х - х2 > 4.	(7)
Следовательно, неравенство (5) равносильно нера-
венству (7). Решая неравенство (7), получаем
-2 < х < 3.
Ответ -2 < х < 3.0
Задача 5 Решить неравенство
1)	73х-4 < -5;	2) ^2х2 + 5х-3 < 0.
► 1) При всех допустимых значениях х, т. е. при
х> —, значения 73х -4 неотрицательны. Поэтому
3
неравенство а/Зх -4 < -5 решений не имеет.
2)	Неравенство д/2х2 + 5х -3 < 0 выполняется
только тогда, когда ^2x2 + 5х -3 — 0, т. е. когда
2х2 + 5х - 3 = 0, откуда хг = -3, х2 = i. О
63
Задача 6 Решить неравенство
л/Зх +1 < х + 1.	(8)
► Область определения этого неравенства — луч
х> - j. При этих значениях х обе части неравенст-
ва (8) неотрицательны. Следовательно, неравенст-
во (8) равносильно системе
Зх + 1 > О,
Зх + 1> (х + I)2.
Решая эту систему, получаем -i<x<0, х>1.
3
--<х<0, х>1. <1
3
Задача 7 Решить неравенство
>/х + 3 > х + 1.	(9)
► Область определения этого неравенства — луч
х > -3. При всех х > -3 левая часть этого неравен-
ства неотрицательна. Правая часть этого нера-
венства отрицательна при х < -1. Поэтому все зна-
чения х из промежутка -3 < х < -1 являются
решениями неравенства (9).
Рассмотрим случай, когда х > -1. Тогда обе части
неравенства (9) неотрицательны, и поэтому обе час-
ти этого неравенства можно возводить в квадрат:
х + 3 > (х + I)2. Решением этого неравенства явля-
ются значения х из промежутка -2 < х < 1. Отсю-
да, учитывая, что х > -1, получаем -1 < х < 1.
Итак, решениями неравенства (9) являются все
значения х из промежутка -3 < х < -1, а также
из промежутка -1 < х < 1, т. е. из промежутка
-3 < х < 1.
Ответ -3 < х < 1. <1
Неравенство (9) проще решать с помощью графи-
ков. На рисунке 28 построены графики функций
у = д/х + 3 и у = х + 1. Из этого рисунка видно, что
решениями неравенства (9) являются значения х
из промежутка -3 < х < 1.
Задача 8 С помощью графиков решить неравенство
л/х < 2 - х.
► На одном рисунке построим графики функций
у = лГх и у = 2 - х (рис. 29) и выясним, при каких
64
Рис. 29
значениях х точки графика функции у = х лежат
ниже точек графика функции у = 2 - х.
Из рисунка видно, что эти графики пересекаются
в одной точке, абсцисса которой является корнем
уравнения V* = 2 - х. Этот корень х = 1. График
функции у = ->Гх лежит ниже графика функции
у - 2 - х при 0 < х < 1.
О < х < 1. <1
Задача 9* Решить неравенство
^2х2-5х-3 > х -1.	(10)
Найдем область определения этого неравенства,
т. е. решим неравенство 2х2 - 5х - 3 > 0. Так
как корнями уравнения являются числа хх =
2
х2 = 3, то неравенство выполняется при х < -
и при х > 3 (рис. 30).
Таким образом, для решения неравенства нужно
выбирать только такие значения х, которые при-
надлежат его области определения.
1) Если х - 1 < 0, т. е. х < 1, то из этого проме-
жутка области определения неравенства (10) удов-
летворяют только числа х С -- (рис. 31).
3
Рис. 30
3 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
Рис. 31
65
Рис. 32
2) Если х - 1 > 0, т. е. х> 1, то,
возводя обе части неравенства (10)
в квадрат, получаем
2х2 - 5х - 3 > х2 - 2х + 1,
откуда х2 - Зх - 4 > 0.
Так как корнями уравнения х2 - Зх - 4 = 0 яв-
ляются числа хг = -1, х2 = 4, то неравенство
х2 - Зх - 4 > 0 выполняется при х < -1 и х > 4. Из
этих двух промежутков области определения нера-
венства условию х > 1 удовлетворяют только числа
х > 4 (рис. 32).
Ответ х < - х > 4. <
2
Упражнения
165 Решить систему неравенств:
n/3-x<2,	Jx2-l>0,	Г9-х2<0,
[2х + 1 С4;	[х >2;	[х + 5 <0.
Решить неравенство (166—171).
166 1) Vx >2;	2) Vx <3;	3) Vx > 1;
4) V2x < 3;	5) 4%x > 1;	6) Tlx < 2.
167 1) Vx-2 > 3;
3) V3 - x < 5;
5) V2x-3 >4;
7) V3x-5 < 5;
168 1) д/х2-1 > 1;
3) 725-х2 >4;
169 1) 72x2 + 3x-2 > 0;
3) 7бх - х2 < Тб;
5) х2 + 2х > -3 - х2;
170 1) Vx + 2 > л/4-х;
3) V2x-5 < д/5х + 4;
5) V5x+ 11 > х + 3;
171 1) Vx + 1 - ух < 7х -1;
2) Vx-2 < 1;
4) V4-X > 3;
6) Vx+ 1 >
3
8) >/4x + 5 < i.
2
2) 71-х2 <1;
4) 725-х2' < 4.
2) 72 + х-х2 > -1;
4) 7х2 - х > 72;
6) л/4х - х2 > -2 - Зх2.
2) V 3 + 2 х >/ х -ь 1;
4) д/Зх-2 > х- 2;
6) д/З- х < д/Зх -5.
2) д/х + 3 < 77 - х + V10 - х
66
Решить неравенство, используя графики функций (172—173).
172 1) V х > х; 2) 4~х < х; 3) 4х > х - 2; 4) 4х < х-2.
173 l)Vx<2x; 2)Vx>0,5x;	3)Vx>2x-l;	4) 7х > х2 .
174 Решить неравенство (относительно х):
1) у!х -1 < а; 2) >/2ах -х2 > а - х, если а < 0.
7 Упражнения
к главе II
175 Изобразить схематически график функции, указать ее об-
ласть определения и множество значений:
1
1) у = х9;	2) у = 7х4;	3) у = х2;
1
4) у = х3 ;	5) у = х~2;	6) у = х“3.
176 На одном рисунке построить графики функций у = х2
1
и у = х2. Сравнить значения этих функций при х = 0; 0,5;
1;	2; 3; 4; 5.
2
177	Расположить числа в порядке возрастания:
2	/
1)	0,3\ о,3°'5, 0,33, о,33’1415;	2) VF, 1,9", М= >
U2 )
1	2,1	.2	_2	2	_2
3)	5“2, 5“0,7, 53, |	| ;	4) 0,5 3, 1,3 3, л 3, 42 3.
178	Решить уравнение с помощью графиков:
1)	Vx = X2 + х -1;	2) X’2 = 2 - X2.
179	Найти область определения функции:
з
1)	У=М1-Х-,	2) у = (2-х2)5;
3)	у = (Зх2 + 1) 2;	4) y = ^x2-х-2.
67
Рис. 33
180	Найти функцию, обратную данной, ее область определения
и множество значений:
1)	у = 0,5х + 3;	2) у =—;
х - 3
3) у = (х + 2)3;	4) у = х3 - 1.
181 Изобразить график функции, обратной к функции, график
которой изображен на рисунке 33.
182 Являются ли равносильными уравнения:
1)	2x2+3i=22 и х2 + Зх = 2;
2)	д/х2 + Зх = 72 и х2 + Зх = 2;
3)	л/х + 18 = V2-x и х + 18 = 2 - х?
1^ Решить уравнение:
J 1) л/3-х =2; 2) д/Зх + 1 =8; 3) л/3-4х =2х;
4)	л/бх-1 + Зх2 = Зх; 5) ^/х2-17 = 2; 6) \/х2 + 17 = 3.
Проверь себя!
1	Найти область определения функции:
1)	у = 3 (х - I)’8;	2) у = ^/х2-Зх-4.
2	Построить график функции:
1)	у = Vx+l; 2) у = 2х“2;	3) у = —.
2
Для каждой функции указать область определения и зна-
чения х, при которых у > 0.
3	Решить уравнение:
1)	л/х-3 = 5;	2) л/З-х-х2 = х.
68
184 Изобразить схематически на одном рисунке графики функ-
ций:
1) у = 4х$, У = х4х;	2) у = Vx, у = х0’7;
3) у = х-1’5, у = х“2,1;	4) у = х^, у = х”.
185 Являются ли заданные функции взаимно обратными:
1)	у = 10--3* и у = ^+1°; х-4	х+ 3
2)	у = 3^ и у = Л^. Зх-1	З-Зх
3)	у = 5 (1 - х)-1 и у = (5 - х)  х1;
4)	2 + х	1 + х
186 Найти функцию, обратную к данной, ее область определения
и множество значений:
1)	у = 2 + Vх + 2;	2) у = 2 - Vх + 4;
3)	у = х/3- х -1;	4) у = х/1 - х + 3.
Решить уравнение (187—188).
187 1) л/х-4 = х/х-3-х/2х-1;
2)	2 Vx + 3 -х/2х + 7 = х/х;
3)	х/х-3 = х/2х + 1 -х/ х + 4;
4)	V9-2x =2х/4-х-х/1-х.
188 1) x/х + 4-3 x/х + 4 + 2 = 0;	2) х/х-3 = 3 Vx-3+4;
3)	V1 -х -5 х/1 - х = -6;	4) х2 + Зх + 7х2+ Зх = 2;
5)	х/З-х + уЗ+х _ g.
х/3 - х - х/З + х
6)	^/х + 6-4х/х + 2 + ^11 + х -6х/х + 2 = 1.
Решить неравенство (189—190).
189	1)	х/х + 1 < х-1;	2)	х/1 -х >х + 1;	
	3)	са 1 К Л <м 1 н со	4)	х/2х + 1 < х +1.	
190	1)	х2-13х~ 40 < 719х-х2-78		2) У2х2-7х-4 х + 4	< 1. 2*
	3)	х/3+х >|х-3|;		4) х/3-х<х/7 + х+\/10 + х.	
191 При различных значениях а решить неравенство:
1) х/х -2 + -7х -6 < а; 2) 2х + -^а2 - х2 > 0.
69
Ill
4..
т Показательная функция
-	Некоторые наиболее часто встречающие-
ся виды трансцендентных функций, преж-
-	де всего показательные, открывают до-
ступ ко многим исследованиям.
1	Л. Эйлер
j Показательная функция,
’ ее свойства и график
В главе I рассматривалась степень с действитель-
ным показателем. Напомним основные свойства
степени. Пусть а > О, b > 0, х, xt и х2 — любые
действительные числа. Тогда
аж1 а*2 = а*'**2 ,	(1)
^- = ах>-х2, а*2	(2)
(aXl )х* = aXlX‘2,	(3)
(ab)x =ахЬх,	(4)
/ \*	х । а_ 1 _ а lb ) ~ Ьх '	(5)
ах > О,	(6)
ах > 1, если а > 1, х > 0,	(7)
ах1<а*2, если а > 1, Xj < х2,	(8)
axi>aXi, если 0 < а < 1, х} < х2.	(9)
В практике часто используются функции у = 2х,
у = 10х, у =( - ] , у = (0,1)х и т. д., т. е. функция
вида у = ах, где а — заданное число, х — перемен-
70
ная. Такие функции называют показательными.
Это название объясняется тем, что аргументом по-
казательной функции является показатель степе-
ни, а основанием степени — заданное число.
Показательной функцией называется функция
у « ах, где а — заданное число, а > 0, а * 1.
Показательная функция обладает следующими
свойствами:
1)	Область определения показательной функ-
ции — множество R всех действительных чисел.
• Это свойство следует из того, что степень ах, где
а > 0, определена для всех х е R. О
2)	Множество значений показательной функ-
ции — множество всех положительных чисел.
• Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что урав-
нение ах = Ъ, где а > 0, а ф 1, не имеет корней, если
Ь < 0, и имеет корень при любом b > 0. По свой-
ству степени (6) это уравнение не имеет корней,
если b < 0. То, что это уравнение имеет корень при
любом Ь > 0, доказывается в курсе высшей мате-
матики. Это означает, что любая прямая у = Ъ,
где Ь > 0, пересекается с графиком показательной
функции. О
3)	Показательная функция у = ах является возра-
стающей на множестве всех действительных чи-
сел, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.
• Это следует из свойств (8) и (9). О
/ 1 V
Построим графики функций у = 2х и у = - , ис-
\ 2 /
пользовав рассмотренные свойства и построив не-
сколько точек, принадлежащих графику (рис. 34).
Отметим, что график функции у = 2х проходит че-
рез точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если
х < 0 и убывает, то график быстро приближается
к оси Ох (но не пересекает ее); если х > 0 и возра-
стает, то график быстро поднимается вверх. Такой
же вид имеет график любой функции у = ах, если
а > 1 (рис. 35, а).
71
Рис. 34
График функции
точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х > 0
и возрастает, то график быстро приближается
к оси Ох (не пересекая ее); если х < 0 и убывает,
то график быстро поднимается вверх. Такой же
вид имеет график любой функции у = ах, если
0 < а < 1 (рис. 35, б).
Показательная функция часто используется при
описании различных физических процессов. Так,
радиоактивный распад описывается формулой
m (t) = mof | ]г
\ £> J
(10)
где т (t) и т0 — масса радиоактивного вещества
соответственно в момент времени t и в начальный
момент времени t = 0, Т — период полураспада
(промежуток времени, за который первоначальное
количество вещества уменьшается вдвое).
С помощью показательной функции выражается
давление воздуха в зависимости от высоты подъ-
ема, ток самоиндукции в катушке после включе-
ния постоянного напряжения и т. д.
Задача 1 Решить уравнение 3х = 27.
По свойству (2) показательной функции данное
уравнение имеет корень, так как 27 > 0. Одним из
72
Рис. 35
корней является число х = 3, так как З3 = 27. Дру-
гих корней нет, так как функция у = 3х возрастает
на всей числовой прямой, и поэтому 3х > 27 при
г > 3 и 3х < 27 при х < 3 (рис. 36).
х = 3. <
Задача 2* Период полураспада плутония равен 140 суткам.
Сколько плутония останется через 10 лет, если его
начальная масса равна 8 г?
► Воспользуемся формулой (10). В данной задаче
t = 10 • 365 (считаем, что в году 365 дней), Т = 140,
2. _ 365
Т 14 '
Вычисления можно провести на микрокалькуля-
торе так:
365
14
х -> П 0,5 У
8
1,1345 • 10'7.
Через 10 лет плутония останется примерно
1,13 • 10 7 г. <
73
Упражнения
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
Построить график функции:
1)^ = 3-;	2)
У О /
Используя график функции у = 3х, найти приближенное зна-
чение:
2
1)	73;	2) З3;	3)	4) З'1’5.
<3
Изобразить схематически график функции:
1)у = 0,4х;	2) у = (42)х;	3)i/=f-XL	4)p=(V3)Y
(Устно.) Используя свойство возрастания или убывания по-
казательной функции, сравнить числа:
1)	1,73 и 1;	2) 0,32 и 1;	3) 3,215 и 3,2Ь6;
z х1,4
4) 0,2-3 и 0,2“2;	5) ± и Ц ;	6) 3" и З3’14.
V 5 )	\ 5 )
Сравнить с единицей число:
( /ту1’2
1)	(ОД)72; 2) (3,5)0,1; 3) л"2’7; 4)	.
5 J
Найти координаты точки пересечения графиков функций:
1) у = 2х и у = 8;	2) z/ = 3r и
О
3) У = [д) и У = П5;	4)	И y = Q'
(Устно.) Решить уравнение:
/ _ у X
4)	=V7.
(Устно.) Выяснить, является ли возрастающей или убываю-
щей функция:
1) у = 0,3 х; 2) У =	;	3) У = 1,3’2*;	4) у = 0,7“3х.
Используя графики функций, решить неравенство:
1) p'j > 1; 2)	< 1; 3) 5х > 5; 4) 5* < -.
Построить график функции:
1) У = 3х - 2;	2) у=4'Г + 3; 3)у = 2х^; 4) у = 3" 2
У ы /
Доказать, что графики функций у = 2х и у =[ - ] симмет-
\ 2 )
ричны относительно оси ординат.
74
203 Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х
на отрезке [-1; 2].
204 Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 21 х 
на отрезке [-1; 1].
205 Построить график функции:
1) У = 2!х|; 2) z/=f^V; 3) у = |3Х - 21; 4) у = 2 - 3*.
\ 3 7
206 При радиоактивном распаде количество вещества уменьша-
ется вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г
через 1,5 суток? через 3,5 суток? Вычисления провести
на микрокалькуляторе.
207 На некотором лесном участке можно заготовить 4 • 105 м3
древесины. Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько
можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет?
Вычисления провести на микрокалькуляторе.
Показательные уравнения
12
Рассмотрим несколько примеров показательных
уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестное
содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится
к решению уравнения ах = аь, где а > 0, а 1,
х — неизвестное. Это уравнение решается с по-
мощью свойства степени (см. гл. I): степени с
одинаковым основанием а > 0, а Ф 1 равны только
тогда, когда равны их показатели.
Задача 1 Решить уравнение 4  2х = 1.
► Запишем уравнение в виде 2х 2 = 2°, откуда
х + 2 = 0.
Ответ х = - 2. <|
Задача 2 Решить уравнение 23х  3х = 576.
Так как 23х = (23)х = 8х, 576 = 242, то уравнение
можно записать в виде 8х • 3х = 242, или в виде
24х = 242, откуда х = 2.
Ответ х = 2. <
75
Задача	3 Решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3х 2 = 25. ► Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х-2, получаем 3* ’ 2 (З3 - 2) = 25, 3х 2 • 25 = 25, откуда 3х “ 2 = 1, х - 2 = 0, х = 2. 8Т х - 2. <
Задача	4 Решить уравнение 3х = 7х. ► Так как 7х ф 0, то уравнение можно записать в ож	( 3 Л* виде — = 1, откуда — = 1, х = 0. 7х	\1) Й X = 0. <1
Задача Отв	5 Решить уравнение 3  2х + 1 + 2 • 5х ' 2 = 5х + 2х “ 2. ► Запишем уравнение в виде 3 • 2х + 1 - 2х " 2 = = 5х - 2 • 5х-2, откуда 2х 2 (3 • 23 - 1) = 5х’2 (52 - 2), ✓ О\х-2 2х “ 2 • 23 = 5х ~ 2 • 23,	=1, х - 2 = 0. 15 J Й? х = 2. <1
Задача ЛЙЙВй	6 Решить уравнение 9х - 4  3х - 45 = 0. ► Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квад- ратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: tr = 9, t2 = -5, отку- да 3х = 9, 3х = -5. Уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х - -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отри- цательные значения. Hits х = 2. <
Задача	7 Решить уравнение g2x2-5х _ gx2 + 2х-10 ► Так как 5 > 0, 5 * 1, то 2х2 - 5х = х2 + 2х - 10,	(2) откуда х2 - 7х + 10 = 0, хг = 5, х2 = 2. Й. Xj = 5, х2 = 2. <1 Отметим, что при таком способе решения получает- ся уравнение, равносильное исходному, например уравнение (2) равносильно уравнению (1). Поэто- му после решения уравнения (2) проверка не нуж- на (если есть уверенность в том, что не допущены ошибки в вычислениях).
76
Задача 8 Решить уравнение З'х = З'х + 31.
► Так как 3 > О, 3 * 1, то исходное уравнение равно-
сильно уравнению |х-1| = |х + 3|.
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его
следствие (х - I)2 = (х + З)2, откуда
х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8х = -8, х = -1.
Проверка показывает, что х = -1 — корень исход-
ного уравнения.
Ответ х = -1. <1
	Упражнения Решить уравнение (208—223). Г-	(	\3х	( 1 V2
208	1) 4х'1 = 1; 2) 0,33х'2 = 1; 3) 22х = 24Л; 4) ±	= А . \ 3 /	\ 3 /
209	1) 27х = -;	2) 400х = —;	3)(^=25;	4)f-^=-A. 3	20	Is;	1з; 81
210	1) 3 • 9х = 81;	2) 2 • 4х = 64; 3) Г2 -3х-2 =1;	4) 0,5х"7 • 0,512х = 2; П х	1	/ 1 х 5) 0,6х 0,63 = ——;	6) 63х • — = 6 •[ — | .
•	0,65	6 ksj
211	1) 32х - 1 + 32х = 108;	2) 23х + 2 - 23х “ 2 = 30; 3) 2Х +1 + 2х" 1 + 2х = 28;	4) 3х ’1 - 3х + 3х +1 = 63.
212	1) 5х = 8х;	2)	;	3) 3х = 52х;	4)4х = 32.
213	1) 9х - 4 • 3х + 3 = 0;	2) 16х - 17 • 4х + 16 = 0; 3) 25х - 6 -5х + 5 = 0;	4) 64х - 8х - 56 = 0.
214	1) Зх2"х“12 = 1;	2) 2х2-7х+10 =1; *-1	1	i_ 3) 2 х-2 =4;	4) 0,5х =4Х + 1. /	х-х2-2х + 3
215	1) ОЗ1®-*2**"1 =1;	2) (2—I	=1; к 3) 1(х-3)			 3) 5,12	=5,1VM;	4) 100х 1 = 101-5х.
210	1) 10х = ^/100;	2) 10х = 3/10000;	3) 2252х‘ 24 = 15 4) 10х = - 1- -;	5) (V10)x =10х2 х. V ю 000
77
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
1)	/ , \-J-	Z , 4-0,06 2х2=V8;	2) 50>lx-f|)	=5х2;
3)	(гГ1 НгУ =	4) 0’7^12 °’7’2 = 0’77х-
1) 3)	7х-7х-1 = 6;	2) 32у’ 1 + 32у 2 - З2"'4 = 315; 53х + 3 • 53х “2 = 140;	4) 2х + 1 + 3 • 2х ’ 1 - 5  2х + 6 = 0.
1)	7* - 2 = 32 - X;	2) 2х - 3 = З3 х; 1,2	х 3
3)	3 4 =5Х'2;	4) 4 2 =32(х-3).
1)	(0,5)х2-4х*3 =(0,5)2х2 х + 3;	2) (0,1)3 + 2х =(О,1)2-х3;
3)	
1)	2х2 = 2'х + 4’ ;	2) 1,5 5 х! = 1,5 х 11 ;
3)	3lx*i' = З2 х| ;	4) Зх| = 3|2-х| Ч
1) 2) 3) 4)	3х х 3 + 3х = 7х * 1 + 5  7х; 3х + 4 + 3 • 5х*3 = 5х 4 4 + 3х+ 3; 28'х + 73 “х = 74 х + 23" х • 11; 2Х*’ + 2Х 1 - 3х 1 = 3х “2 - 2х 3 + 2 • 3х ‘ 3.
1)	8 • 4х - 6 • 2х + 1 = 0;	2)	-6 =0;
3) 5)	132х *1 - 13х - 12 = 0;	4) 32х +1 - 10 • 3х + 3 = 0; 23х + 8  2х - 6 • 22х = 0;	6) 53х ‘ 1 + 34  52х - 7 • 5х = 0.
При каких значениях х сумма чисел 2х \ 2х 4 и 2х 2 равна
сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии
6,5; 3,25; 1,625; ...?
Решить уравнение (225—226).
1)	32х 6 = 2х ’ 3;	2) 5х 2 = 42х"4;
3)	2х- 3х = 36х2;	4)9“^х1=—. 27
1) 2)	4 • 9х - 13 • 6х + 9 • 4х = 0; 16 • 9х - 25 • 12х + 9 • 16х = 0.
Доказать, что уравнение имеет только один корень х = 1:
1) 4х + 25х = 29;	2) 7х + 18х = 25.
78
: Показательные неравенства
Решение показательных неравенств часто сводится
к решению неравенств
ь или ах < аь.
Эти неравенства решаются с помощью свойства
возрастания или убывания показательной функ-
ции: для возрастающей функции большему значе-
нию функции соответствует большее значение ар-
гумента, а для убывающей функции большему зна-
чению функции соответствует меньшее значение
аргумента.
Задача 1
Решить неравенство 3* < 81.
Запишем неравенство в виде 3х < З4. Так как
3 > 1, то функция у = 3х является возрастающей.
Поэтому решениями неравенства 3х < 81 являют-
ся числа х < 4.
Ответ
Задача 2
Решить неравенство
Запишем неравенство в виде
- | > 22, или I -
2)	12
_ з
1Y2
2 J
( 1 \	о
Так как у = I - I — убывающая функция, то х <
Ответ
3
2
Задача 3
Решить неравенство 3х2 х < 9.
Запишем неравенство в виде 3х2 х<32. Так
как 3>1, то х2 - х < 2, откуда х2 - х - 2 < О,
Ответ
79
Задача 4
Решить неравенство 16х + 4х - 2 > 0.
► Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное нера-
венство t2 + t - 2 > 0. Это неравенство выполня-
ется при t < -2 и при t > 1. Так как t = 4х, то
получим два неравенства 4х < -2, 4х > 1. Первое
неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при
всех х е R. Второе неравенство можно записать
в виде 4х > 4°, откуда х > 0.
Ответ
графически уравнение | i I = х - —
Построим графики функций
Задача 5
Решить
Рис. 37
(11	2
у = — И и - х —
У	*	3
(рис. 37). Из рисунка видно, что графи-
ки этих функций пересекаются в точке
с абсциссой х ® 1. Проверка показыва-
ет, что х = 1 — корень данного уравне-
ния: | — | = —
1з> 3
Покажем, что
И1-Ы.
3	3
других корней нет. Функ-
(1V
ция у = — убывающая, а функция
\ 3 )
у - х - возрастающая. Следователь-
но, при х > 1 значения первой функ-
ции меньше —, а второй больше —;
3	3
при х < 1, наоборот, значения первой
функции больше —, а второй меньше —.
3	3
Геометрически (см. рис. 37) это означа-
ет, что графики этих функций при х > 1 и х < 1
«расходятся» и потому не могут иметь точек пере-
сечения при х 1.
х= 1. <1
Заметим, что из решения этой задачи, в частности,
(1V 2
следует, что неравенство! — I >х~— выполняется
при х < 1, а неравенство
х-^ — при х > 1.
80
Задача 6*
Решить неравенство
л \ J2- х /- _ \ х
2 Г	>|2]
5 }	15 )
► Так как 0 < - < 1, то данное неравенство равно-
5
сильно неравенству 42-х < х.
Область определения этого неравен-
-2
Рис. 38
ства х < 2. При х < 0 оно не имеет
решений, так как 42 ~х 0. Итак,
решения неравенства содержатся в
промежутке 0 < х < 2.
Возводя неравенство в квадрат, получаем 2 - х < х2,
откуда х2 + х - 2 > 0, х < -2 или х > 1 (рис. 38).
1 < х < 2. <1
Упражнения
Решить неравенство (228—229).		
228 1) 3х > 9;	2) 4	3)	< 1 V - <2; к4 )
4) 4х <^;	5) 23х > А; 2	2	6)	1 3 J " 9
229 1) 5I-1<V5;	2) З2 >9;	3) 3*2~4 > 1;	4)52х2-18<1.
230 Решить графически уравнение:
1) - =х+1;	2) a =
кз;	2
3) 2х = -х~--;	4) 3х = 11 - х.
Решить неравенство (231—232).
z \2 х2-3 х
231 1) 2’х2+3х <4;	2) 1
к 9 J	7
Г1ч\х2“3х 121	С 2>6х2 + х	1
3) —	< —;	4) 2-	<7-.
<11J	169	k 3J	9
232 1) 3х + 2 + 3х1 < 28;	2) 2х 1 + 2х + 3 > 17;
3) 22х " 1 + 22х " 2 + 22х " 3 > 448;	4) 53х + 1 - 53х “ 3 < 624.
233 Найти целые решения неравенства на отрезке [-3; 3]:
1) 9х - 3х - 6 > 0;	2) 4х - 2х < 12;
3) 52х + 1 + 4  5х - 1 > 0;	4) 3  9х + 11 • 3х < 4.
81
234 Найти область определения функции:
1) у=^25х-5х-,	2) y=yj4x-l.
235 При каких значениях х значения функции у = - больше
\ 4 J
значений функции у = - +12?
236
237
238
239
Решить графически неравенство:
hV	hV 1
1) - > х+ 1;	2) - < х
3) 2х<9-^х;	4)3Х>-—х- —.
3	3	3
Решить графически уравнение:
1) 2х = 3 - 2х - х2;	2)З х=Тх;
3)	=-3;	4) (1У = х3-1.
<3j X	Ш
Решить неравенство:
1) 11^ >11*;	2) 0,3^ >0,3*.
Решить неравенство:
1) 0,4х - 2,5х + 1 > 1,5;	2) 25 • 0,042х > 0,2х (3 " х);
3) ——<4;	4) rAY-32/lY ^0.
4Х-3*
Системы показательных уравнений
и неравенств
Рассмотрим несколько примеров решения систем
показательных уравнений и неравенств.
Г х + 2у = -1,
Задача 1 Решить систему уравнений „
[4Х + ^ =16.
► Решим эту систему способом подстановки:
х = -2у-1, 4 2.V-1 + .V2 =42,
82
откуда -2у - 1 + у2 = 2, у2 - 2у - 3 = 0, уг = 3,
у2 = -1. Найдем значения х:
Xj = -2 • 3 - 1 = -7, х2 = -2 • (-1) -1 = 1,
Ответ (-7; 3), (1; -1). <
Задача. 2 Решить систему уравнений
[4х-6-Зу +2 =0.
► Обозначим 2х - и, Зу = V. Тогда система запишет-
ся так:
(Зо - и = 5,
[п2-6о + 2 =0.
Решим эту систему способом подстановки:
и = 3v - 5, (3t> - 5)2 - би + 2 = 0,
9о2 - Збо + 27 = 0, и2 - 4v + 3 = 0,	= 1, v2 = 3.
Найдем значения и: иг = -2, и2 = 4. Возвратимся
к принятым обозначениям:
1) 2х = -2, 3^ = 1. Так как первое из этих уравне-
ний корней не имеет, то решений системы в этом
случае нет.
2) 2х = 4, 3* = 3, откуда х = 2, у = 1.
Ответ (2; 1). <
	2х-9У =162,
Задача 3*	Решить систему уравнений < [3Х-4У =48. ► Перемножив уравнения данной системы, получим 6х  36^ = З4 • 2 • 6 • 23, или 6х * 2у = б5, откуда х = 5 - 2г/. Тогда второе уравнение системы примет вид З5 “ 2у4й = 48, или f-') = —, откуда у = 2, х = 1.
Ответ	(1; 2). < (3х 1 < л/з,
Задача 4	Решить систему (О,2)3х2’2 = (0,2)2х24х + 4. ► Решим неравенство 3х-1 < 43, т. е. неравенство 2 3х"1 С З2. Решая, получаем х-1<-|, х < 1,5.
83
Теперь решим уравнение 0,23х2 2 = 0,22х'
Зх2 - 2 = 2х2 + х + 4,
х2 - х - 6 = 0, Xj = -2, х2 = 3.
Так как 3 > 1,5, -2 < 1,5, то х = -2.
х = -2. <
'зх» = з10,
Задача 5*
Решить систему 4х = 47 у,
2х <2«.
[3Xi, = 310,
► Решим сначала систему уравнений <
[ ху = 10,	[ ху = 10,
Получаем <!	(
[х = 7 -у, [х + у = 7.
По теореме, обратной теореме Виета, находим два
решения (2; 5), (5; 2).
Теперь решим неравенство 2х < 2У. Так как 2 > 1,
то х < у.
Решение системы уравнений (2; 5) удовлетворяет
неравенству х < у, а решение (5; 2) ему не удовлет-
воряет.
Ответ (2; 5). <1
Упражнения
Решить систему уравнений (240—243).
240	1)	|2x-i/ = l, [5X + J/ =25;	2) -	ео н »	1 f ч; «С II	11 11	to <0 If-i -
	3)	|х + у = 1, [2Х‘^ =8;	4) -	х + 2у = 3, Зх~у =81.
241	1)	(4Х-2У = 32, [з8х+1 =зЗу;	2) 	ЗЭх-г» =81; 36х-3у = 27.
242	1)	[2х + 2у = 6, [2Х-2У = 2;	2) 	Зх + 5» = 8, Зх-5^ = -2.
243	1)	Г 5х-5^ = 100, [б*-1 + 5</-1 = 30;	2) 	2х-9-3^ = 7, 2Х-3^ = -; 9
84
244
16^ -16х = 24,
16x+s = 256;
[5X+1-3^ = 75,
5) >
I 3Х-5У-1 = 3;
Решить систему (244—245).
I 52х + 1>625,
]Дбх2-10х _
ц9х-15.
4)
3* + 2х+{, + 1= 5,
Зх + 1-2х+у = 1;
3х 2« = 4,
3У-2Х = 9.
О,310х2“47х = 0,3“10х“7,
3,7х' =3,74.
; (5хн = 521,
245 1) < 5х-5^ = 510,
| 3х >Зу;
(0,2^)х = 0,008,
2) < (0,4)^ = 0,43,5-х,
2х 0,5у<1.
246 Сравнить числа:
1) 4 '3 и4 '2:	2) 2'3 и 21,7;
247 Сравнить с единицей число:
248 (Устно.) Является ли функция возрастающей или убываю-
щей:
1) у = 0,78х;	2) у = 1,69х;	;	4) У = 4 х?
249 В каком промежутке находятся значения функции при
г е [-1; 2]:
1) У = 5х;	2) у = 5 х?
85
230
251
252
253
254
1
2
3
4
255
256
257
Решить уравнение (250—252).
z х Х+ 1 1) 1,55х~7 = 1 — 1 ;	/ .45-» 2 ) 0,752х~3 = 1-1	; < з)
3) 5x2-Sx-6 = 1;	4)Г^	=1. 17)	7
1) 2х + 2Х~3 = 18;	2) 3х+4-Зх+1= 13;
3) 2 • 3х1 - 6  3х1 - 3х = 9;
4) 5х + 1 + 3 • 5х “1 - 6 • 5х + 10 = 0.
1) 52х - 5х - 600 = 0;	2) 9х - 3х - 6 = 0;
3) 3х + 9х - 1 - 810 = 0;	4) 4х + 2х +1 - 80 = 0.
Решить неравенство:
/ \*2
1)Зх-2>9; 2) 52х<—; 3) 0,7х*+2х<0,73; 4) | А |
25	U? 81
Решить графически уравнение:
1) 2 х = Зх + 10;	2)	= 2х + 5.
Проверь себя!
Построить схематически график функции:
1)	=	2) I/= 5х.
\ О J
Сравнить числа:
л\»>2	71V’2 1) i и а ; <57	<57 Решить уравнение:	2) 5“0,2 и 5“1,2.
1) Зх + 1 = 27*-1; 3) 2Х + 3 - 2Х + 1 = 12; Решить неравенство:	2) 0,2х2 +4х’5 = 1; 4) 4 • 22х - 5 • 2х + 1 = 0.
1) 7х2 > 49;	2)	0,5х2’2> -. 4
Доказать, что последовательность значений функции у = 2х
при натуральных значениях х = 1, 2, 3, ... является геомет-
рической прогрессией.
За первый год работы предприятие имело а рублей прибыли.
В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на р%.
Какой станет прибыль предприятия за п-й год работы?
Построить график функции:
1) у = 3х - 1;	2)у = Зх-1;	3) у = 22 х + 3.
86
Решить уравнение (258—260).
(	12 ( 97 А3	5"“	•-Т
258 1) 0,6х -	= -££_ ;	2)16 40,25 4 =2-х^.
I 9 )	1125?
х-2
259 1) 2-33х-1 +27 3 =9Х"1 + 2-З2*-1;
2)	2^*2 -2Л + 1 = 12 +2Л-*;
3)	22-9х1-3х*3 + —-Зх + 2 =4;
3	3
4)	5 • 4х1 - 16х + 0,25  22х"2 + 7 = 0.
260
1)	2х + 4 + 2х * 2 = 5х * 1 + 3 • 5х;
2)	52х - 7х - 52х  17 + 7х • 17 = 0;
3)	2х2“4-Зх2 = Зх2-1-2х2-2;
4)	3-4Х + --9Х + 2 =6-4х + 1 - --9х1.
3	2
261
Решить неравенство:
1) 8,4х 4<1;
—— <8Х;
3)
2
2) 2х2 -5х2 < 10-3(103 х)2;
4)	<----1—.
3+5	Зх+1-1
262 Решить систему уравнений:
2х ^ = 128,
2)
2х-5!/ = 10,
5У-2Х = 3.
263 Построить график функции:
1) У = 2Х’1Х1;	2) </ = |3:х1-3|.
264 Решить уравнение:
п ох+0,5	-	-
1)	— = 5 0,04х;	2) 4  3х - 9 • 2х = 5  З2 • 22 ;
V5
3) 2 • 4х - 3  10х - 5 • 25х = 0;	4) 4 • 9х + 12х - 3 • 16х = 0.
265 Решить неравенство:
1) 3ix 21 < 9;	2) 4|x l > 16;
3) 2ix"2! > 4|х 1 11;	4) 5lx~4 <25ix.
; IV
- глава
? Логарифмическая
- функция
Изобретение логарифмов, сократив рабо-
ту астронома, продлило ему жизнь.
П. С. Лаплас
* Логарифмы
Задача 1 Найти положительный корень уравнения х4 = 81.
► По определению арифметического корня имеем
х =t/81 =3. <
Задача 2 Решить уравнение 3х = 81.
► Запишем данное уравнение так: 3х = З4, откуда
х = 4. <|
В задаче 1 неизвестным является основание сте-
пени, а в задаче 2 — показатель степени.
Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую
и правую части уравнения удалось представить
в виде степени с одним и тем же основанием 3.
Но уже, например, уравнение 3х = 80 таким спосо-
бом решить не удается. Однако это уравнение име-
ет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения,
вводится понятие логарифма числа. В § 11 было
сказано, что уравнение ах = Ь, где а > 0, а * 1,
b > 0, имеет единственный корень. Этот корень
называют логарифмом числа b по основанию а
и обозначают loga Ь. Например, корнем уравнения
3х = 81 является число 4, т. е. log3 81 = 4.
88
Логарифмом положительного числа Ъ по осно-
ванию а, где а > О, а 1, называется показатель
степени, в которую надо возвести число а, чтобы
получить Ь.
Например, log2 8 = 3, так как 23 = 8; log3 ^ = -2,
так как 3“2=^; log7 7 = 1, так как 71 = 7;
log4 1 = 0, так как 4° = 1.
Определение логарифма можно кратко записать
так:
alog“b = b.
Это равенство справедливо при b > 0, а > 0, а * 1.
Его обычно называют основным логарифмическим
тождеством.
Например, 4 4 =5, I - I 2 =3, 13	4 = —.
С помощью основного логарифмического тожде-
ства можно показать, например, что х = log3 80
является корнем уравнения 3* = 80. В самом деле,
31овз8° = 80.
Действие нахождения логарифма числа называют
логарифмированием.
Задача 3 Вычислить log64 128.
►	Обозначим log64 128 = х. По определению лога-
рифма 64х = 128. Так как 64 = 26, 128 = 27, то
26* = 27, откуда 6х = 7, х = -.
6
ШШЯЛ log64 128 =^. <
О
Задача 4 Вычислить з-210*®5,
►	Используя свойства степени и основное логариф-
мическое тождество, находим
д-2 log 3 5 _ Г glog3 5J "2 _ д-2 _ 1
47	25
Задача 5 Решить уравнение log3 (1 - х) = 2.
►	По определению логарифма З2 = 1 - х, откуда
х = -8. <1
89
i* — 1
Задача 6 При каких значениях х существует log5-----------?
2-х
► Так как основание логарифма 5 > 0 и 5*1,
то данный логарифм существует только тогда,
х _ 1
когда ---> 0. Решая это неравенство, находим
2-х
1 < х< 2. <
286
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
Упражнения
Найти логарифмы чисел по основанию 3:
3, 9, 27, ;	81,	1, I, I, J_,	9 V3.
		3 9 243	3^3	
Вычислить (267—276). 1) log2 16;	2) log2 64;	3)	log2 2; l)log2|;	2)log2|;	3)	log2 V2; 1) log3 27;	2) log3 81;	3)	log3 3; l)log3b	2)log3|;	3)log3V3; l)logi^-;	2)logi4;	3) log0>5 2 d	2 4)iog0,5|;	5) logo,5 i;	6) logл/ 2 1) log5 625;	2) log6 216;	3)log4^; 16 1) log! 125;	2) logl 27;	3) logj 5	5	;64 1) 3log318; 2) 5log516; 3) 10log’°2 * *; 4) f- \4			4) log2 1. 4) log2 • V2 4) log3 1. 4) log3 Vs 0,125; "2 . 4) 1Og5 125 4) logi 36. 6 \ log i 6 4	.
1) 353 •	2)	/ \6 log t 2 (A 1	2 ; 3) 0,321og0,36;	11°вт9 4) 72
1) 810g25;	2) 9log312; 3) 16log*7; 4) 0,125log<1"> \		
Решить уравнение:
1) log6 х = 3;
4) log3 (х + 2) = 3;
2) log6 х = 4;	3) log2 (5 - х) = 3;
5) log j (0,5 + x) = -1.
6
90
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
Выяснить, при каких значениях х существует логарифм:
1) log t (4 - х);	2) log0 2 (7-х);	3) loge ;
-	1-2х
4)loge—S—;	5)logj(-x2);	6) log0j7 (-2x3).
Л x — 1
Вычислить (279—281).
1) log2V2; 2) log3—;	3) log0 5—^zr;	4) log7 .
3V3	<32	49
l) a ;	; oi -	;
-41ogl5	/ 41 + 2 108! 3
4) 27	3 ;	5) 103-logl°5;	6) ± r
1) log2 log3 81;	2) 1оёз 1о&2 8;	3) 2 log27 log10 1000;
4) | log9 log2 8;	5) 3 log2 log4 16 + log 7 2 .
О	~
Решить уравнение:
1) log* 27 = 3;	2) logx 1 - -1;	3) log* Л = -4.
Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение
(283—284).
1) log6(49-x2); 2) log7 (х2 + х - 6); 3) logj (х2 + 2х + 7).
5
1) log3 (! - х3);	2) log2 (х3 + 8);
3) logj (х3 + х2-6х);	4) log j (х3 + х2-2х).
4	з
Решить уравнение (285—287).
1) 2х = 5; 2) 1,2х = 4; 3) 42х * 3 = 5; 4) 71 2х = 2.
1)	72х + 7х - 12 = 0;	2) 9х -	3х - 12 =	0;
3)	8х*1 - 82х“ 1 = 30;	4)	-5|^У+6=0.
1)	(3х + 2х) (3х + 3 • 2х)	=	8 • 6х;
2)	(3  5х + 2,5 • 3х) (2		3х	- 2 • 5х)	= 8 • 15х.
При каких значениях х имеет смысл выражение:
1) logx (2х - 1);	2) log* _ j (х + 1)?
Решить относительно х уравнение
9х + 9а (1 - а) • 3х ’2 - а3 = 0.
91
При выполнении преобразований выражений, со-
держащих логарифмы, при вычислениях и при
решении уравнений часто используются различ-
ные свойства логарифмов. Рассмотрим основные
из них.
Пусть а > 0, а * 1, b > 0, с > 0, г — любое дейст-
вительное число. Тогда справедливы формулы
logo (be) = loga b + loga c,	(1)
loga - = loga b-loga c,	(2)
c
loga V = r loga b.	(3)
• По основному логарифмическому тождеству
alogab = b,	(4)
1)	Перемножая равенства (4) и (5), получаем
al0gab + lOgac = Ьс>
откуда по определению логарифма loga b + loga с =
= loga (be). Формула (1) доказана.
2)	Разделив равенства (4) и (5), получим
„ log а ь-ioga с _b
ч	— "-,
с
откуда по определению логарифма следует фор-
мула (2).
3)	Возводя основное логарифмическое тождество
aIogab = b в степень с показателем г, получаем
ar log °ь = bг, откуда по определению логарифма сле-
дует формула (3). О
Приведем примеры применения формул (1) — (3):
1)	log6 18 + log6 2 = logg 36 = 2;
2)	log12 48 - log12 4 = log12 12 = 1;
i
3)	log3 37 = |log33 = |.
92
Задача
Вычислить log5 Vs -1 log5 12 + log5 50.
► Применяя формулы (1) — (3), находим
log5 7з -1 log5 12 + log5 50 = log5
2	V12
= log5 25 =2. <1
Упражнения
Вычислить (290—294).
290 1) log10 5 + log10 2;
3) log12 2 + logi2 72;
291 1) log2 15 - log2
16
3) log j 54-log j 2;
????':	з з
2) log10 8 - log10 125;
4) log3 6 + log3
2) log5 75 - log5 3;
4) log8 - log8 32.
1)	log13V169;	2)log11V121;
3) log /7243;	4)log2—U.
'	7128
293 1) logg 12 - logg 15 + log8 20;
2)	logg 15 + logg 18 - log9 10;
3)	| log7 36 - log7 14-3 log7 V21;
4)	2 log! 6 -| logt 400 + 3 logx 3V45 .
3	2	3	3
1) log38 . 2) logs27. 3) logs 36 ~ logs12. 4)	l°g73
logg 16 ’ log5 9	logg 9	’ log715 - log7 30
Я9& Вычислить loga x, если logo 5 = 3, loga c = -2:
1) x = a3fc2Tc; 2) х = ^^Д.
c3
296
Вычислить:
log2 24 - log2 72
1)---------1—
log318 - - log3 72
3)
log24+ log2 710
log2 20+ 3 log2 2 ’
log7 14 - — log7 56
2) ----------3--------
log6 30 - - log6 150
2
3 log7 2 - - log7 64
о -----------1--------•
4 logg 2 + - log5 27
3
93
297 Найти х по данному его логарифму (а > О, Ъ > 0):
1)	log3 х	= 4	log3 а	+ 7	log3 b;
2)	log5 x	= 2	log5 a	- 3	log5 &;
3)	log j x	= |	log! a	-1	log t b;
~	о	—	Э	—
2	2	2
4)	log2	X = |	log2 a	+	log2 b.
3	3	3
298 Вычислить:
1)	3(J'og6 & + 1()1 '°®10	_g'°S2 3.
2)	(si4 21Og94 + 25log’25 8] -49log72;
1 los 5	| log 2 3 * 3 log 8 5
3)	161 i°g45 +42	;
I	— log 7 9 - log 76	,	 I
4)	72-[492	+ 5” ogV5 4J .
299 Доказать, что если a > 0, a * 1, b > 0, p * 0, то
log _b = - loga b. Используя эту формулу, вычислить:
« р
1)	log36 2 - Hog! 3;	2) 2 log25 30 + log02 6.
6
300 Выразить через а и b:
1) log ,g 50, если log3 15 = a, log3 10 = 6;
2) log4 1250, если log2 5 = a.
Десятичные и натуральные логарифмы
Для логарифмов чисел составлены специальные
таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вы-
числяют также с помощью микрокалькулятора.
И в том, и в другом случае находятся только деся-
тичные или натуральные логарифмы.
94
,л Десятичным логарифмом числа называют лога-
> рифм этого числа по основанию 10 и пишут 1g Ъ
вместо log10 Ь.
v Натуральным логарифмом числа называют ло-
4 гарифм этого числа по основанию е, где е — ирра-
•	_ циональное число, приближенно равное 2,7. При
’ * этом пишут In Ь вместо loge Ь.
Иррациональное число е играет важную роль в ма-
тематике и ее приложениях. Число е можно пред-
ставить как сумму:
е = 1 + - + — + —-—
1 12 l-2'З
1
12- 3  ...• п
Вычисление числа е на микрокалькуляторе прово-
дится по программе
1 [f~| |~ё*~| 2,7182818.
Вычисления на МК-51 lg b и In Ъ проводятся соот-
ветственно по программам
b 1g и Ь In
Например, вычисляя 1g 13, получаем
13 1g 1,1139433;
вычисляя In 13, получаем
13 | In | 2,5649493.
Оказывается, что достаточно знать значения толь-
ко десятичных или только натуральных логариф-
мов чисел, чтобы находить логарифмы чисел
по любому основанию. Для этого используется фор-
мула перехода от логарифма по одному основанию
к логарифму по другому основанию.
log. »-!!Ь ",
logc а
(1)
где Ъ > 0, а > 0, а*1, с > 0, с # 1.
Докажем справедливость формулы (1).
•* Запишем основное логарифмическое тождество
alog °ь = Ь. Возьмем от обеих его частей логарифмы
по основанию с:
logc а1ое“ь = logc b.
95
loga b  logc a - logc b; откуда logab = -^-
Используя свойство логарифма степени, получаем
О
с а
Из формулы (1) при с = 10 и с = е получаются
формулы перехода к десятичным и натуральным
логарифмам:
10go&=^, loga6--^.	(2)
lg a	In a
Задача 1
С помощью микрокалькулятора MK-51 вычислить
log3 80.
1) С помощью десятичных логарифмов:
80 1g - 3
lg I = 3,9886927.
2) С помощью натуральных логарифмов:
801 In. | + 3 |1п| = 3,9886928.
logg 80 « 3,99. <
Формула перехода от одного основания логарифма
к другому иногда используется при решении урав-
нений.
Задача 2 Решить уравнение log2 х + log4 х = —.
2
, logo х logo X
► По формуле перехода loga х = —-— = —-—.
log2 4	2
Поэтому уравнение принимает вид log2 х +
+ - log2 х = откуда log2 х = 1, х = 2. <1
2	2
Задача 3* Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный а руб-
лям, через п лет становится равным а (1,02)л,
а трехпроцентный вклад становится равным
а (1,03)л. Через сколько лет каждый из вкладов
удвоится?
► 1) Для первого вклада 2a = а (1,02)л, откуда
(1,02)” = 2, п = logj од 2. Вычисления проведем на
МК-51:
2 In
35,002788.
1,02 In
2) Для второго вклада п = log1 03 2 и программа
вычислений такова:
2 In
23,449772.
1,03 In
По первому вкладу примерно через 35 лет, а по
второму — через 23,5 года. <
96
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
Упражнения
Вычислить с помощью микрокалькулятора (301—302).
1) 1g 23;	2) 1g 7;	3) 1g 0,37;	4) Igi.
3
1) In 81;	2) In 2;	3) In 0,17;	4) ln|.
Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить
на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) log7 25; 2) log5 8; 3) log9 0,75; 4) log0>75 1,13.
Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить
на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) log7 5; 2) log8 15; 3) log0>7 9; 4) logl>1 0,23.
Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:
1) log5 3; 2) 1g 6; 3) log2 7; 4) log5 |; 5) 1g 7; 6) log3 7.
Ig625
Вычислить: 1) 5 lg^6 ; 2) log4 (log3 4-log2 3).
Решить уравнение:
1) log5 x = 2 log5 3 + 4 log25 2;
3) log3 x = 9 log27 8 - 3 log3 4;
5)	log2 x + log8 x = 8;
2) log2 x - 2 log j x = 9;
4) log9 x2 + logx = 3;
6) log4 x - log16 x =
Дано: log7 2 = m. Найти: log49 28.
Дано: 1g 3 = m, 1g 5 = n. Найти: log15 30.
Дано: log6 2 = m. Найти: log24 7 2.
Дано: log36 8 = m. Найти: log36 9.
Вычислить:
log3 216 log3 24'	2) log2 192 log2 24
logs 3 log72 3	log12 2 log96 2
Решить уравнение:
1)	log2 x - 9 log8 x = 4;
2)	16 log46 x + 3 log4 x - 1 = 0;
3)	log3 x + 5 log9 x - 1,5 = 0;
4)	log| x - 15 log27 x + 6 = 0.
Вычислить (не используя микрокалькулятор):
4 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
97
316 Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно
на 8%. Через сколько лет число жителей удвоится?
316 При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется
1,2% имеющегося в нем воздуха. Через сколько качаний на-
1
coca в сосуде останется -- часть первоначальной массы
1016
воздуха?
317 Вычислить на микрокалькуляторе приближенное значение
числа е по формуле е ® 2 + - + —— + — -I- ... -I------
2 2-3 2-3-4	2-3-4 • ...  п
при: 1) п = 7; 2) п = 8; 3) и = 9; 4) п = 10.
Логарифмическая функция,
ее свойства и график
18
В математике и ее приложениях часто встречается
логарифмическая функция
у = loga х,
где а — заданное число, а > 0, а * 1.
Логарифмическая функция обладает свойствами:
I 1) Область определения логарифмической функ-
J ции — множество всех положительных чисел.
•	Это следует из определения логарифма, так как
выражение loge х имеет смысл только при х > 0. О
!) Множество значений логарифмической функ-
ции — множество R всех действительных чисел.
•	Это следует из того, что для любого действительно-
го числа Ь есть такое положительное число х, что
loga х = b, т. е. уравнение loga х = Ь имеет корень.
Такой корень существует и равен х = аь, так как
loga аь = Ъ. О
3)	Логарифмическая функция у = loga х является
i возрастающей на промежутке х > 0, если a > 1,
j и убывающей, если 0 < a < 1.
98
• Пусть а > 1. Докажем, что если 0 < хг < х2, то
У (*1) < У (*2)> т< е- 1о£а Х1 < 1о£а х2- Пользуясь
основным логарифмическим тождеством, условие
х1 < х2 можно записать так: alogo <aloga*2 . Из
этого неравенства по свойству степени с основани-
ем a > 1 следует, что loga хг < loga х2.
Пусть 0 < а < 1. Докажем, что если 0 < Xj < х2,
то loga х1 > loga х2. Записав условие хг < х2 в виде
alog“ X1 < alog“ Х2 , получим loga xt > loga x2, так как
О < а < 1. О
Отметим, что справедливы и следующие два утвер-
ждения:
если a > 1 и loga х1 < loga х2, где Xj >0, х2 > 0,
то хг < х2; если 0 < а < 1 и loga Xj < loga х2,
где Xj >0, х2 > 0, то хх > х2.
4)	Если а > 1, то функция у = loga х принимает
положительные значения при х > 1, отрицатель-
ные при 0 < х < 1. Если 0 < a < 1, то функция
у = loga х принимает положительные значения
при 0 < х < 1, отрицательные при х > 1.
• Это следует из того, что функция у = loga х прини-
мает значение, равное нулю, при х = 1 и является
возрастающей на промежутке х > 0, если a > 1,
и убывающей, если 0 < a < 1. О
Из рассмотренных свойств логарифмической функ-
ции у = loga х следует, что ее график расположен
правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке
39, а, если а > 1, и на рисунке 39, б, если 0 < a < 1.
На рисунке 40 изображен график функции у = log3 х,
а на рисунке 41 — график функции у = log t х.
99
Отметим, что график любой логарифмической функ-
ции у = loga х проходит через точку (1; 0). При
решении уравнений часто используется следующая
теорема:
Теорема. Если logo хх = loga х2, где а > 0, а * 1,
Xj > 0, х2 > 0, то хх = х2.
• Предположим, что хг * х2, например хг < х2. Если
а > 1, то из неравенства хг < х2 следует, что
loga xt < loga х2; если 0 < а < 1, то из неравенст-
ва хг < х2 следует, что loga xt > loga х2. В обоих
случаях получилось противоречие с условием
loga xr = loga х2. Следовательно, хг = х2. О
Задача 1 Решить уравнение log5 (Зх - 2) = log5 7.
► Используя доказанную теорему, получаем Зх - 2 = 7,
откуда Зх - 9, х = 3. <]
Задача 2 Решить неравенство log2 х < 3.
► Пользуясь тем, что 3 = log2 23 = log2 8, запишем
данное неравенство так: log2 х < log2 8. Так как
функция у = log2 х определена при х > 0 и возра-
стает, то неравенство log2 х < log2 8 выполняется
при х > 0 и х < 8.
Ответ 0 < х < 8. <1
Задача 3 Решить неравенство logx х<-2.
з
► Запишем данное неравенство так: logx xClogj 9.
з з
100
Рис. 42
Функция у = log J х определена при х > 0 и убывает,
з
поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х > 9.
Ответ х > 9, О
Логарифмическая функция у = loga х и показа-
,у, . • тельная функция у = ах, где а > 0, а * 1, взаимно
обратны.
• Решая уравнение у = loga х относительно х, полу-
чаем х = ау; меняя местами х и у, имеем у = ах. О
Графики этих функций при а = 3 и а = ~ показаны
на рисунке 42.
Упражнения
318 Сравнить числа:
1) log3 | и log3	2) logj 9 и log! 17;
3) log J е и log, к;	4) log2 — и log2
-	—	Li	Lt
2	2
319 Выяснить, является ли положительным или отрицательным
число:
1) log3 4,5;	2) log3 0,45;	3) log5 25,3;	4) log0 5 9,6.
320 Сравнить с единицей число х, если:
1) log3 х =-0,3;	2) logtx = 1,7;	3) log2 х - 1,3.
з
321 Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функ-
ция:
1) У = logo,075	2) У = 1о£у3 х; 3 * * * * * *) У = lS х; 4) у = In х.
~2
101
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
Построить график функции:
1) У = log2 х; 2) у = logi х.
2
По графику функции у = log2 х найти приближенно
log2 3, log2 0,3, log2 5, log2 0,7.
Изобразить схематически график функции:
1) у = 1g х; 2) у = In х-,	3) у = log04 х; 4) у = log4 х.
5
Решить неравенство (325—326).
1) log5 х > log5 3;
3) lg х < lg 4;
2) log j x <logj
—	— о
5	5
4) In x > In 0,5.
1) log3 x < 2; 2) logo4 x > 2; 3) lo£i x > 16; 4) loSo,4 x < 2.
2
Решить уравнение:
1) logg (5x - 1) = 2;
3) log4 (2x - 3) = 1;
5) lg (3x - 1) = 0;
2) log5 (3x + 1) = 2
4) logy (x + 3) = 2;
6) lg (2 - 5x) = 1.
Найти область определения функции:
1) У = log4 (х - 1);	2) у = log0 3 (1 + х);
3) у = log3 (х2 + 2х);	4) у = log^(4-x2).
и lg5+^-
2	2	’
4) lg lg lg 50 и lg3 50.
Доказать, что функция у = log2 (х2 - 1) возрастает на про-
межутке х > 1.
Сравнить значения выражений:
1) | + 1g 3 и 1g 19 - 1g 2;
3) 3 (lg 7 - lg 5) и Ig9-flg8;
О
Найти область определения функции:
1)
2)
3)
у = logg (х2 - Зх - 4);
. х2 - 9
y = logo’7
А. < О
2)
4)
у = log, (2х - 2);
5)
Построить график функции,
и множество значений:
1) У = log3 (х - 1);
2)
4) у =logj х-1;
з
5)
у =log ^(-x2 + 5x + 6);
y = logl^;
, x^ + 4
о
у = logg (3х “1 - 9).
6)
найти ее область определения
у = logj (х + 1);	3) у = 1 + log3 х;
з
у = 1 + log3 (х - 1).
102
333 Решить графически уравнение:
1) log2 х = -х + 1;	2) logх х = 2х-5;
2
3) lgx = Vx;	4) lg х = 2 х.
334 Построить график функции, найти ее область определения
и множество значений, указать промежутки монотонности:
1) у = |log8 х|;	2) у = logg |х|;
3) у = log2 |3 - х|;	4) у = |1 - log2 х|.
335 Найти область определения функции:
1)	У = log2 |3 - х| - log2 |х3 - 8|;
2)	у = log0,3 7х+ 1 + log04 (1 - 8х3).
~ Логарифмические уравнения
19
Задача 1 Решить уравнение
log2 (х + 1) + log2 (х + 3) = 3.	(1)
► Предположим, что х — такое число, при котором
равенство (1) является верным, т. е. х — корень
уравнения (1).
Тогда по свойству логарифма верно равенство
log2 (х + 1) (х + 3) = 3.	(2)
Из этого равенства по определению логарифма по-
лучаем
(х + 1) (х + 3) = 8,	(3)
х2 + 4х + 3 = 8, т. е. х2 + 4х - 5 = О, откуда хх = 1,
х2 = -5.
Так как уравнение (3) является следствием исход-
ного уравнения, то необходима проверка. Прове-
рим, являются ли числа 1 и —5 корнями уравне-
ния (1). Подставляя в левую часть исходного урав-
нения х = 1, получаем log2 (1 + 1) + log2 (1 + 3) =
= log2 2 + log2 4 = 1 + 2 = 3, т. e. x = 1 — корень
уравнения (1).
103
При х = -5 числа х + 1 и х 4- 3 отрицательны,
и поэтому левая часть уравнения (1) не имеет
смысла, т. е. х = -5 не является корнем этого
уравнения.
Ответ х = 1. <|
Задача 2 Решить уравнение
log2 (1 - х) = 3 - log2 (3 - х).
► Перенесем логарифм из правой части в левую:
log2 (1 - х) + log2 (3 - х) = 3,
откуда
log2 (1 - х) (3 - х) = 3,
(1 - х) (3 - х) = 8.
Решая это уравнение, получаем xt = 5, х2 - -1.
Число X, = 5 не является корнем исходного урав-
нения, так как при х = 5 левая и правая части
уравнения теряют смысл. Проверка показывает,
что число х = -1 является корнем исходного урав-
нения.
Ответ	х = -1. <]
Задача 3	Решить уравнение
1g (2х2 - 4х + 12) = 1g х + 1g (х - 3).
► По свойству логарифмов
1g (2х2 - 4х + 12) = 1g (х2 + Зх),
откуда (по теореме § 18) 2х2 - 4х + 12 = х2 + Зх,
х2 - 7х + 12 = 0, xt = 3, х2 = 4. Проверка показыва-
ет, что оба значения х являются корнями исходно-
го уравнения.
Ответ Xj = 3, х2 = 4. <
Задача 4 Решить уравнение
log7 (Зх + 4) = log7 (5х + 8).
► Приравнивая выражения, стоящие под знаком ло-
гарифма, получаем Зх + 4 = 5х + 8, откуда х - -2.
Выполняя проверку, убеждаемся, что при х = - 2
левая и правая части исходного уравнения не име-
ют смысла.
Ответ
Корней нет. <|
104
Задача 5 Решить уравнение
	log4 (2х - 1) • log4 х - 2 log4 (2х - 1). ► Преобразуем данное уравнение: log4 (2х - 1) • log4 х - 2 log4 (2х - 1) = 0, log4 (2х - 1)  (log4 х - 2) = 0. Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем: 1)	log4 (2х - 1) = 0, откуда 2х - 1 = 1, xt = 1; 2)	log4 х - 2 = 0, откуда log4 х = 2, х2 = 16. Проверка показывает, что оба значения х являют- ся корнями исходного уравнения.
Ответ	xt = 1, х2 = 16. <1
Задача 6	Решить уравнение log3 х + logx 3 = -. ► Уравнение имеет смысл, если х > 0, х * 1.	(4) Пусть t = log3 х, тогда logx 3 = - и уравнение при- 15	9 мет вид t + - = - , или 2t - 5t + 2 = 0, откуда t 2 = 2, t2-~. Если t = 2, то log3 x = 2, x = 9. 2 Если t = -, то log3 x =-, х = л/з. 2	2 Найденные значения x удовлетворяют условиям (4) и являются корнями данного уравнения.
Ответ	V [СО II к II
Задача 7	[ log2 X - log2 у = 1, Решить систему уравнений j 2 ► Из первого уравнения выразим х через у: log2 - = log2 2, — = 2, х = 2у. Подставив х = 2у У	У во второе уравнение системы, получим 4г/2 + 2у - 12 = 0, откуда yi=—, у2 = -2. Найдем 2 значения х: хг = 3, х2 = -4. Проверкой убеждаем- /	о \ ся, что 3; — — решение системы, а (-4; -2) — \	2 ) постороннее решение.
Ответ	f 3; -1 <1 1 2 J
105
Упражнения
336 Установить, какое из данных двух уравнений является след-
ствием другого уравнения:
1) х - 3 = 0 и х2 - 5х + 6 = 0;	2) | х | = 5 и Vx2” = 5;
3)	  Зх_..2 =о и х2 - Зх + 2 = 0;
х-1
4)	log8 х + log8 (х - 2) = 1 и log8 х (х - 2) = 1.
Решить уравнение (337—341).
337	1)	log2 (х	- 5)	+ log2	(х + 2) = 3;
2)	iog3 (х	- 2)	+ log3	(х + 6) = 2;
3)	1g (х + V3) + lg (х - V3) = 0;
4)	lg (x -	1) +	lg (x + 1) = 0.
338	1)	lg (x -	1) -	lg (2x	- 11) = lg 2;
2)	lg (3x - 1) - lg (x + 5) = lg 5;
3)	log3 (x3 - x) - log3 x = log3 3.
339 1) - lg(x2 + x-5) =lg5x + lg—;
2	5x
2) lg (x2 - 4x - 1) = lg 8x - lg 4x.
340 1) log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5);
2) logt (3x - 1) = logx (6x + 8).
2	2
341 1) log7 (x - 1) log7 x = log7 x;
2)	log; xlogj (3x-2) =logj (3x-2);
3	3	3
3)	log2 (3x + 1) log3 x = 2 log2 (3x + 1);
4)	log^ (x - 2) log5 x = 2 log3 (x - 2).
342 Решить систему уравнений:
|lgx-lgy = 2,	flog3 x + log3 i/ = 2,
' [х-10г/=900;	[x2i/-2y + 9 =0.
Решить уравнение (343—345).
343	1)	log5 x2	= 0; 2) log4 x2 = 3; 3) log3 x3 = 0;	4) log4 x3 =	6;
5)	lg x4 +	lg 4x = 2 + lg x3; 6) lg x + lg x2 =	lg 9x.
344	1)	log4 (x	+ 2) (x + 3) + log4 = 2;
x + 3
2) log2	+ log2 (x -1) (x + 4) = 2;
x + 4
3) log3 x2-log3 —— - 3;	4) log2 x ~ 4 + log2 x2 = 5.
x + 6	x
106
345 1) 23Igx  5lgx = 1600;
3) —— + —-— = 1;
4 + 1g x 2 - 1g x
2) 2log3 *2 • 5log3 x = 400;
4) —— + —-— = 1.
5 - 1g x 1 + 1g x
346 He решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:
1)	23х х 1 = 2~3 и Зх + 1 = -3;
2)	log3 (х - 1) = 2 и х - 1 = 9.
347
Решить систему уравнений:
flgx-lgy = 7,
[lgx+lgi/ = 5;
10&2 х + ~ log2 i = 4,
У
ху=2.
Решить уравнение (348—352).
348 1) log2 х - 2 logx 2 = -1;
3)	log3 х + 2 logx 3 = 3;
349 1) logx2 9 + log — 4 = 2;
2) log2 x + logx 2 = 2,5;
4) log3 x - 6 logx 3 = 1.
2) logx2 16 - log 7 = 2
350 1) 1g (6 • 5х - 25 • 20х) - 1g 25 = x;
2)	1g (2х + x + 4) = x - x 1g 5.
351 1) 1g2 (x + 1) = 1g (x + 1) 1g (x - 1) + 2 1g2 (x - 1);
2)	2 log5 (4 - x) • log2x (4 - x) = 3 log5 (4 - x) - log5 2x.
352 1) 71ogx25 + 3=-^—;
log5 X
2)	^2 log2 x + 3 log2 x - 5 = log2 2 x.
353 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
5	log5 х + loga х - 4 log23 х = а имеет корни.
Логарифмические неравенства
20
При изучении логарифмической функции рассмат-
ривались неравенства вида loga х < Ь и loga х > Ь.
Приведем примеры решения более сложных лога-
рифмических неравенств. Обычный способ реше-
107
ния таких неравенств заключается в переходе от
них к более простому неравенству или системе не-
равенств, имеющей то же самое множество реше-
ний, т. е. к равносильному неравенству или к рав-
носильной системе неравенств.
Задача 1 Решить неравенство
1g (х + 1) < 2.	(1)
► Правая часть данного неравенства имеет смысл при
всех значениях х, а левая часть — при х + 1 > О,
откуда х > -1, т. е. х > -1 — область определения
неравенства (1).
Исходное неравенство запишем так:
lg (х + 1) < 1g 100.	(2)
Так как 10 > 1, то х + 1 < 100, откуда х < 99. Учи-
тывая область определения исходного неравенства,
получаем -1 < х < 99. <1
Задача 2 Решить неравенство
log2 (х - 3) + log2 (х - 2) < 1.	(3)
► Логарифмическая функция определена при по-
ложительных значениях аргумента, поэтому ле-
вая часть неравенства имеет смысл при х - 3 > 0
и х - 2 > 0.
Следовательно, областью определения этого нера-
венства является промежуток х > 3. По свойствам
логарифма неравенство (3) при х > 3 равносильно
неравенству
log2 (х - 3) (х - 2) < log2 2.	(4)
Логарифмическая функция с основанием 2 возра-
стающая. Поэтому при х > 3 неравенство (4) вы-
полняется, если (х - 3) (х - 2) < 2.
Таким образом, исходное неравенство (3) рав-
носильно системе неравенств
(х-3)(х-2) <2,
х > 3.
х— ------ Решая первое неравенство этой си-
____,__стемы, получаем х2 - 5х + 4 < 0, от-
0	1	3	4	куда 1 < х < 4. Совмещая этот отре-
зок с промежутком х > 3, получаем
Рис. 43	3 < х < 4 (рис. 43). <1
108
__	&7////+	*
-4	0	2	-6	0	4
a)	6)
-6 -4	0	2	4
в)
Рис. 44
Задача 3* Решить неравенство
logj (х2 + 2х-8) > -4.	(5)
2
► Область определения неравенства находится из
условия х2 + 2х - 8 > 0. Неравенство (5) можно
записать в следующем виде:
log 1 (х2 + 2х -8) > log1 16.
2	2
Так как логарифмическая функция с основанием -
2
является убывающей, то для всех х из области
определения неравенства получаем х2 + 2х - 8 <
< 16. Таким образом, исходное неравенство (5) рав-
носильно системе неравенств
х2 + 2х-8>0,	[х2 + 2х-8>0,
или (
х2 + 2х-8<16,	[х2 + 2х-24<0.
Решая первое квадратное неравенство, получаем
х < -4, х > 2 (рис. 44, а). Решая второе квадрат-
ное неравенство, получаем -6 < х < 4 (рис. 44, б).
Следовательно, оба неравенства системы выполня-
ются одновременно при -6 < х < -4 и при
2 < х < 4 (рис. 44, в).
Otter -6 < х < -4, 2 < х < 4.<1
Упражнения
354 Найти область определения функции:
1) у = 1g (Зх - 2);	2) у = log2 (7 - 5х);
3) p = logi(x2-2);	4) у = log7 (4 - х2).
2
Решить неравенство (355—357).
355 1) log3 (х + 2) < 3;	2) log8 (4 - 2х) > 2;
109
3) log3 (x + 1) < -2;
5) log t (4-3x) > -1;
5
1) 1g x > 1g 8 + 1;
3) log2 (x — 4) < 1;
366
367
368
359
360
361
362
363
364
365
366
367
4) logi (x-1) > -2;
з
6) log2 (2-5x) <-2.
з
2) 1g x > 2 - 1g 4;
4) logi (3x -5) > logj (x + 1).
5	5
1)	log15 (x - 3) + log15 (x - 5) < 1;
2)	log । (x — 2) + log j (12-x) > 2.
3	3
Найти область определения функции:
1) У = log5 (*1 2 - 4х + 3);	2) у = log6 3 *—
1-х
3)	у = 71gx + lg (х + 2);	4) у = ^lg (х -1) + lg (х + 1).
Решить неравенство (359—36
l)log5^f^>0;	2) log!
х + 1	2
3) 1g (Зх - 4) < 1g (2х + 1);
4) logj (2х + 3) >logj (х + 1).
2	2
1) log8 (х2 - 4х + Зх) < 1;
3) log3 (х2 + 2х) > 1;
1) 1g (х2 - 8х + 13) > 0;
3) log2 (х2 + 2х) < 3;
1) logj log2 х2 >0;	2) lo
з
2х2+3 п
-----<0;
х- 7
2) log6 (х2 - Зх + 2) > 1;
4) log2 (х2 - 2,5х) <-1.
з
2) log j (х2 - 5х + 7) < 0;
5
4) log! (х2-5х-6) > -3.
2
з logjx2-1) <1.
2
1) log0 2 х ~ 1оёэ (х - 2) < 1о£о,2 3;
2) 1g х - logo,! (X - 1) > logo 1 °’5 * *-
1) log§ 2 х - 5 log0>2 x < -6;	2) logo,! x + 3 log0il x > 4.
1) -Ц— +	< 1;	2> log3 (2 - 3-*) < x + 1 - log3 4
5 - 1g x 1 + Igx
3) logx2_3(4x+ 7) >0;	4) log x_j (V6-2x) < 0.
5 x -6
2	7
3*-l " 9*-2"
4х (^16i-x-l + 2) < 4 14х -1|.
110
Упражнения
к главе IV
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
Вычислить (368—372). 1) log15 225;	2) log4 256;	3) log3 -i-; Z4o 1) log4 64;	2) logl 81;	3) logl ±; 4	3	3	4> 106’ мз' 4> log| X.
1) logll 1;	2) log7 7;	3) log16 64;	4) bg27 9.
1) (0,l) lg0,3;	2) 10-lg4;	3) 5’log,i3;	4) Ш 
1) 41ogj 3-|logl 27-2 log j 6;
2	2	2
2) I lg0,001 + lg 371000 -1 lg 10 000 .
о	о
Вычислить с помощью микрокалькулятора:
1) logg 7;	2) log3 12;	3) log1>3 0,17; Построить график функции:	4) log03 8,1.
1) У = log4 х; 2) у =logiX.
4
Какая из данных функций является возрастающей? убываю-
щей? При каких значениях х каждая функция принимает
положительные значения? отрицательные значения? значе-
ния, равные нулю?
Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функ-
ция:
1) у = log0,2 х’ 2) y = log<5x; 3) i^logjx; 4) y = log/3x.
е	~2~
Решить графически уравнение:
1)	log3 х = 5 - х;	2) log j х = Зх.
з
Найти область определения функции:
1) У = log7 (5 - 2х);	2) у = log2 (х2 - 2х).
Решить уравнение (378—380).
1) logi(7-8x)=-2;	2) 1g (х2 - 2) - 1g х.
2
111
379 1) lg (х2 - 2х) = lg 30 - 1;
2)	logg (2x2 + x) = logg 6 - log3 2;
3)	lg2 x - 3 lg x = 4;	4) log2 x - 5 log2 x + 6 = 0.
380 1) log2 (x - 2) + log2 (x - 3) = 1;
2)	log3 (5 - x) + logg (-1 - x) = 3;
3)	lg (x - 2) + lg x = lg 3;
4)	log ,6(x-l) + logVg (x + 4) =log/e 6.
Решить неравенство (381—383).
381 1) log2 (x - 5) < 2;	2) log3 (7 - x) > 1;
3) log1(2x + l) >-2;	4) logJS-Sx) <-3.
2	2
382 1) logg (5 - 4x) < log3 (x - 1);
2) log03 (2x + 5) > log03 (x + 1).
383 1) lg (x2 + 2x + 2) < 1;	2) log3 (x2 + 7x - 5) > 1.
Проверь себя!
1 Вычислить:
1) log5 125; 2) IgO.Ol; 3) 2log23; 4) 321ogs7;
5) log2 68 - log2 17.
. 2 Построить схематически график функции:
1) У = log0 2 х> 2) У = 1о8г х-
3	Сравнить числа:
1)	log02 3 и log0 2 2,5;	2) log2 0,7 и log2 1,2.
4	Решить уравнение:
1)	log5 (Зх + 1) = 2;	2) logg (х + 2) + log3 х = 1;
3)	In (х2 - 6х + 9) = In 3 + In (х + 3).
_	f Inx-In у =1пЗ,
5	Решить систему уравнении 1
[ х -2 у - 5.
6	Решить неравенство:
1)	log3 (х - 1) < 2;	2) log i(2 -х) > -1.
5
384 Вычислить:
1)	log^ -4^;	2) log -±-;	3) 22 1о®г5;
3 3V3	75 25 Тб
4)	3,6log ад10 +1;	5)2 log5 V5 + 3 log2 8;
6)	log2 log2 log2 216.
112
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
Сравнить числа: 2 log 2 5 * log ] 9
1) 1о&Д и log*;	2) 2	’ и V8. — О	-
2	3
Вычислить log30 64 с точностью до 0,001, зная, что
lg 3 ~ 0,4771, lg 5 = 0,6990.
Вычислить log36 15 с точностью до 0,001, зная, что
1g 3 й 0,4771, 1g 5 « 0,6990.
При каких значениях х справедливо неравенство:
1) logx 8 < logx 10;	2) logx -3 < logx * ?
Решить графически уравнение:
1) log3x = -;	2) 2x = log1x. x	- 2
Решить уравнение (390—395).
z \5 +4 х
1) 34х = 10; 2) 23х = 3; 3)1,33х-2 = 3; 4) (| \	=1,5;
5) 16х - 4х + 1 - 14 = 0;	6) 25х + 2 • 5х - 15 = 0.
1)	log3 х + log9 х + log27 х =
2)	log3 x -r log^3 x + log i x = 6;
з
3)	log3 x  log2 x = 4 log3 2;
4)	log5 x  log3 x = 9 log3 3.
1)	log3 (2 - x2) - log3 (-x) = 0;
2)	log5 (x2 - 12) - log5 (-x) = 0;
3)	log2 Vx-3 + log2 л/Зх -7 = 2;
4)	lg(x + 6)-lg 72x-3 =lg4.
1) log ,^ x + 4 log4 X + log8 x = 13;
2) log0 5 (x + 2) - log2 (x - 3) =| log x (-4x-8).
2	42
1) logx 5 +log 12 + | logx3 = 1;
x	X2
2) - log...7-log J 3-log ,28 = 1.
2	4-x
1) I°g2	=1°S2 x;	2) logj-^—= logj x;
27~X	2
3)lg^4=lgx;	4)lg^4=lgx.
113
396
397
398
399
400
401
402
403
404
403
406
Решить неравенство (396—397).
1)	log^ (x-4) + log^(x + l) <2;
2)	log3V2 (x-5) + log37g (х + 12) <2;
3)	log3 (8x2 + x) > 2 + log3 x2 + log3 x;
4)	log2 x + log2 (x - 3) > log2 4;
5)	logi(x-10)-logi(x + 2)> -1;
5	5
6)	log ! (x + 10) + log J (x + 4) > -2.
7?	7?
1) 4 log4 x - 33 logx 4 < 1;	2) logx 3 < 4(1 + logj x).
з
Доказать, что если последовательность положительных чи-
сел является геометрической прогрессией, то их логарифмы
по одному основанию образуют арифметическую прогрес-
сию.
Найти три последовательных члена геометрической прогрес-
сии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных лога-
рифмов равна 3.
Построить график функции:
Решить уравнение (401—403).
. .	,	31g3x-|lgx 3 ------
1) xg9 + 9gx = 6;	2) х 3	=100 710.
1)3 + 2 logx + 1 3 = 2 log3 (х + 1);
2)1 + 2 logx + 2 5 = log5 (х + 2).
1)	log2 (2х - 5) - log2 (2х - 2) = 2 - х;
2)	lo£i - * (3 - х) = log3 х (1 - х);
3)	log2 (2х + 1) • log2 (2х’ 1 + 2) = 2;
4)	log3x + 7 (5х + 3) = 2 - log5x х д (Зх + 7).
Решить неравенство:
1) logt(2x + 2 -4х) > - 2;	2) log } (6Х + 1 - 36х) > - 2.
з
Решить уравнение
log2 х • log2 (х - 3) + 1 = log2 (х2 - Зх).
Решить неравенство
-----------------—
loga х - 1 10ga X2 + 1	2
114
J V
. глава
t Тригонометрические
- формулы
~ Математика есть такая наука, которая
показывает, как из знаемых количеств
~ находить другие, нам еще неизвестные.
£	Д. С. Аничков
Радианная мера угла
21
Пусть вертикальная прямая касается
в точке Р окружности с центром О радиу-
са 1 (рис. 45). Будем считать эту прямую
числовой осью с началом в точке Р, а по-
ложительным направлением на прямой
направление вверх. За единицу длины
на числовой оси возьмем радиус окруж-
ности. Отметим на прямой несколько то-
чек ±1, ±—, +3, ±л, где л и 3,14 — ирра-
2
циональное число. Вообразив эту прямую
в виде нерастяжимой нити, закрепленной
на окружности в точке Р, будем мыслен-
но наматывать ее на окружность. При
этом точки числовой прямой с коорди-
натами, например, 1,	-1, -2 перейдут
соответственно в точки окружности Mv
М2, Ма, М4, такие, что длина дуги РМ},
равна 1, длина дуги РМ2 равна и т. д.
Таким образом, каждой точке прямой
ставится в соответствие некоторая
точка окружности.
115
0Так как точке прямой с координатой 1 ста-
К вится в соответствие точка Mv то есте-
ственно считать угол РОМг единичным
и мерой этого угла измерять другие углы.
Например, угол РОМ2 следует считать рав-
ным Такой способ измерения углов ши-
роко используется в математике и физике.
В этом случае говорят, что углы измеряют-
Рис. 46	ся в радианной мере, а угол РОМг называ-
ют углом в один радиан (1 рад). Длина дуги окруж-
ности РМХ равна радиусу.
Рассмотрим окружность радиуса R и отметим
на ней дугу РМ длины R и угол РОМ (рис. 46).
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина
которой равна радиусу окружности, называется
углом в один радиан.
Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как
дуга длиной nR (полуокружность) стягивает цент-
ральный угол в 180°, то дуга длиной R стягивает
угол в л раз меньший, т. е.
1рад= I»®
к л
Так как л ® 3,14, то 1 рад ® 57,3°.
Если угол содержит а радиан, то его градусная
мера равна
а рад a'l .	(1)
к л J
Задача 1 Найти градусную меру угла, равного:
1)	л рад; 2) | рад; 3) рад.
► По формуле (1) находим:
1) л рад = 180°; 2) ~ рад = 90°;
3) — рад=(-^^-—) =135°. <
4	к л 4 J
Найдем радианную меру угла в 1°. Так как угол
180° равен л рад, то
1° = рад.
180
Если угол содержит а градусов, то его радианная
мера равна
а° = а рад.	(2)
116
Задача 2 Найти радианную меру угла, равного:
1) 45°; 2) 15°.
► По формуле (2) находим:
1) 45° =	 45 рад = — рад;
180	4
2) 15° = —-15 рад = — рад. <
Приведем таблицу наиболее часто встречающихся
углов в градусной и радианной мере.
Градусы	0	30	45	60	90	180
Радианы	0	Л б	Л 4	л 3	Л 2	Л
Обычно при обозначении меры угла в радианах на-
именование «рад» опускают.
Радианная мера угла удобна для вычисления дли-
ны дуги окружности. Так как угол в 1 рад стяги-
вает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол
в а рад стягивает дугу длиной
I = aR.	(3)
Задача 3 Конец минутной стрелки Кремлевских курантов
движется по окружности радиуса R » 3,06 м. Ка-
кой путь проходит конец стрелки за 15 мин?
► За 15 мин стрелка поворачивается на угол, равный
- рад. По формуле (3) при а = — находим
2	2
l=^R«	.3,06 м ® 4,8 м.
2	2
Ответ 4,8 м. <
Особенно простой вид формула (3) имеет в случае,
когда радиус окружности R = 1. Тогда длина дуги
равна величине центрального угла, стягиваемого
этой дугой, в радианах, т. е. I = а. Этим объясняет-
ся удобство применения радианной меры в матема-
тике, физике, механике и т. д.
Задача 4 Доказать, что площадь кругового сектора радиу-
са R, образованного углом в а рад, равна
S = — а, где 0 < а < л.
2
► Площадь кругового сектора в л рад (полукруга)
— о2
равна ----. Поэтому площадь сектора в 1 рад
117
в л раз меньше, т. е. равна : л. Следовательно,
d2
площадь сектора в а рад равна — а. <
Упражнения
407 Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:
1) 40°; 2) 120°; 3) 150°; 4) 75°; 5) 32°; 6) 140°.
408 Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:
1)	2)	3) | л; 4) 2; 5) 3; 6) 0,36.
409 (Устно.) Определить градусную и радианную меру углов:
а) равностороннего треугольника; б) равнобедренного пря-
моугольного треугольника; в) квадрата; г) правильного
шестиугольника.
410 Вычислить радиус окружности, если дуга длиной 0,36 м стя-
гивает центральный угол в 0,9 рад.
411 Найти радианную меру угла, стягиваемого дугой окружно-
сти длиной 3 см, если радиус окружности равен 1,5 см.
412 Дуга кругового сектора стягивает угол в — рад. Найти пло-
4
щадь сектора, если радиус круга равен 1 см.
413 Радиус круга равен 2,5 см, а площадь кругового сектора рав-
на 6,25 см2. Найти угол, который стягивается дугой этого
кругового сектора.
414 Заполнить таблицу.
Градусы	0,5	36	159	108				
Радианы					К ю| со	3 — л 10	2,5 		1,8
415 Заполнить таблицу.
Угол, °	30					
Угол, рад		ТЕ 5			2	
Радиус, см	2		10	5		
Длина дуги, см		2	5			10
Площадь сектора, см2				50	25 , 50	
118
: Поворот точки вокруг
~ начала координат
В предыдущем параграфе использовался наглядный
способ установления соответствия между точками
числовой прямой и точками окружности. Покажем
теперь, как можно установить соответствие меж-
ду действительными числами и точками окружно-
сти с помощью поворота точки окружности.
Рассмотрим на координатной плоскости окруж-
ность радиуса 1 с центром в начале координат.
Ее называют единичной окружностью. Введем по-
нятие поворота точки единичной окружности во-
круг начала координат на угол а рад, где а — лю-
бое действительное число.
1. Пусть а > 0. Предположим, что точка, двигаясь
по единичной окружности от точки Р (1; 0) против
часовой стрелки, прошла путь длиной а (рис. 47).
Конечную точку пути обозначим М.
В этом случае будем говорить, что точка М получе-
на из точки Р поворотом вокруг начала координат
на угол а рад.
2. Пусть а < 0. В этом случае поворот на угол
а рад означает, что движение совершалось по ча-
совой стрелке и точка прошла путь длиной | а |
(рис. 48).
Поворот на 0 рад означает, что точка остается
на месте.
119
Примеры.
1)	При повороте точки Р (1; 0) на угол — рад
2
(рис. 49) получается точка М (0; 1).
2)	При повороте точки Р (1; 0) на угол рад
(рис. 49) получается точка N (0; -1).
3)	При повороте точки Р (1; 0) на угол рад
(рис. 50) получается точка К (0; -1).
4)	При повороте точки Р (1; 0) на угол -л рад
(рис. 50) получается точка L (-1; 0).
В курсе геометрии рассматривались углы от 0°
до 180°. Используя поворот точки единичной
окружности вокруг начала координат, можно рас-
сматривать углы, большие 180°, а также отрица-
тельные углы. Угол поворота можно задавать как
в градусах, так и в радианах. Например, поворот
точки Р (1; 0) на угол означает то же самое, что
и поворот на 270°; поворот на — это поворот
на -90°.
Приведем таблицу поворотов на некоторые углы,
выраженные в радианной и градусной мере
(рис. 51)
Отметим, что при повороте точки Р (1; 0) на 2л,
т. е. на 360°, точка возвращается в первоначальное
положение (см. рис. 51). При повороте этой точки
на -2л, т. е. на -360°, она также возвращается в
первоначальное положение.
120
Рис. 51
Теперь рассмотрим примеры поворотов
точки на угол, больший 2л, и на угол,
меньший -2л. Так, при повороте на
угол = 2 • 2 л + точка совершает два
полных оборота против часовой стрел-
ки и еще проходит путь - (рис. 52).
2
При повороте на угол -^ = -2-2л-^
точка совершает два полных оборота
по часовой стрелке и еще проходит
путь в том же направлении (рис. 53).
Заметим, что при повороте точки
Р (1; 0) на угол — получается та же
2
самая точка, что и при повороте на
угол ~ (рис. 52). При повороте на угол
9 л
—— получается та же самая точка, что
и при повороте на угол (рис. 53).
121
Вообще, если а = а0 + 2лА, где k — целое число,
то при повороте на угол а получается та же самая
точка, что и при повороте на угол а0
Итак, каждому действительному числу а соответ-
ствует единственная точка единичной окружно-
сти, получаемая поворотом точки Р (1; 0) на угол
а рад.
Однако одной и той же точке М единичной окруж-
ности соответствует бесконечное множество дей-
ствительных чисел а + 2лй, где k — целое число,
задающих поворот точки Р (1; 0) в точку М
(рис. 54).
Задача 1 Найти координаты точки, полученной поворотом
точки Р (1; 0) на угол: 1) 7л; 2)
► 1) Так как 7л = л + 2л • 3, то при повороте на 7л
получается та же самая точка, что и при повороте
на л, т.е. получается точка с координатами (-1; 0).
2) Так как ~ -2 л, то при повороте на
получается та же самая точка, что и при поворо-
те на т. е. получается точка с координата-
ми (0; -1). <1
Задача 2 Записать все углы, на которые нужно повернуть
। \Гз 1 I
точку (1; 0), чтобы получить точку М —; - .
► Из прямоугольного треугольника АОМ (рис. 55)
следует, что угол АОМ равен —, т. е. один из воз-
6
можных углов поворота равен —. Следовательно,
6
122
все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0),
чтобы получить точку	выражаются так:
- + 2л/г, где k — любое целое число. <
Упражнения
416 Найти координаты точки единичной окружности, получен-
ной поворотом точки (1; 0) на угол:
1) 4л; 2) л; 3) -6,5л; 4)	5)	6) -45°.
На единичной окружности построить точку, полученную по-
воротом точки (1; 0) на заданный угол (417—419).
417 1)	2) -^; 3) -- л; 4)	5) -- л; 6) -225°.
4	3	4	3	4
418 1) - + 2л; 2) -^ + 2л; 3) ^Ь±6л; 4) -^±8л.
4	3	3	4
о —	о
419 1) —+ 2л/г, k — целое число; 2) -—л + 2л/г, k — целое
2	2
число; 3) -л + 2л/г, k — целое число; 4) -~ + 2л/г,
4
k — целое число.
420 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол:
1) Зл; 2) -^л; 3) -у л; 4) 5л; 5) 540°; 6) 810°.
421 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол (k — целое число):
1) -— + 2 л/г; 2) —+ 2л/г; 3) ^ + 2 л/г; 4) -^ + 2я/г.
2	2	2	2
422 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол (/г — целое число):
1) —+л; 2) — ± л; 3) -—+ л/г; 4) -л + л/г.
2	4	2
423 Найти все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0),
чтобы получить точку с координатами:
1) (1; 0); 2) (-1; 0); 3) (0; 1); 4) (0; -1).
424 Определить четверть, в которой расположена точка, полу-
ченная поворотом точки Р (1; 0) на угол:
1) 1; 2) 2,75; 3) 3,16; 4) 4,95.
123
425 Найти число х, где 0 < х < 2л, и натуральное число k,
такие, чтобы выполнялось равенство а = х + 2nk, если:
1) а = 9,8л; 2) а =7 -л; 3)а= —л; 4) а = — л.
3	2	3
426 На единичной окружности построить точку, полученную по-
воротом точки Р (1; 0) на угол:
1) 4,5л; 2) 5,5л; 3) -6л; 4) -7л.
427 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол (k — целое число):
1) -— + 2л/г;	2) ^ + 2л£;	3) —+ 2я/г;	4) -^ + 2л/г.
2	2	2	2
428
Записать все углы, на которые нужно повернуть точку
Р (1; 0), чтобы получить точку с координатами:
Определение синуса, косинуса
и тангенса угла

В курсе геометрии были введены синус, косинус
и тангенс угла, выраженного в градусах. Этот угол
рассматривался в промежутке от 0° до 180°. Синус
и косинус произвольного угла определяются сле-
дующим образом (рис. 56):
Определение 1. Синусом угла а называется
ордината точки, полученной поворотом точки
(1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозна-
чается sin а).
Определение 2. Косинусом угла а называется
абсцисса точки, полученной поворотом точки
(1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозна-
чается cos а).
В этих определениях угол а может выражаться как
в градусах, так и в радианах.
124
Например, при повороте точки (1; 0)
на угол т. е. угол 90°, получается
точка (0; 1). Ордината точки (0; 1)
равна 1, поэтому sin = sin 90° = 1;
абсцисса этой точки равна 0, поэтому
cos — = cos 90° = 0.
2
Заметим, что приведенные определе-
ния синуса и косинуса в случае, когда
Рис. 56
угол заключен в промежутке от 0° до 180°, совпа-
дают с определениями синуса и косинуса, извест-
ными из курса геометрии. Например,
sin — = sin 30° = i, cos л = cos 180° = -1.
6	2
Задача 1 Найти sin (-л) и cos (-л).
►	Точка (1; 0) при повороте на угол -л перейдет в
точку (-1; 0) (рис. 57). Следовательно, sin (-л) = 0,
cos (-л) = -1. <
Задача 2 Найти sin 270° и cos 270°.
►	Точка (1; 0) при повороте на угол 270° перейдет в
точку (0; -1) (рис. 58). Следовательно, cos 270° = 0,
sin 270° = -1. <
Напомним, что меру угла а (в радианах) можно
рассматривать как действительное число. Поэто-
му sin а и cos а можно рассматривать как число-
вое выражение. Например, в уравнении sin х = а,
где а — заданное число, считается, что х — неиз-
вестное число.
Задача 3 Решить уравнение sin х = 0.
►	Решить уравнение sin х = 0 — это значит найти
все углы, синус которых равен нулю. Ординату,
равную нулю, имеют две точки единичной окруж-
125
ности (1; 0) и (-1; 0) (рис. 57). Эти точки
получаются из точки (1; 0) поворотом
на углы 0, л, 2л, Зл и т. д., а также на
углы -г., -2л, -Зл и т. д. Следователь-
но, sin х = 0 при х - л/г, где k — любое
целое число. <
Множество целых чисел обозначается
буквой Z. Для обозначения того, что чис-
ло k принадлежит Z, используют запись
k е Z (читается: «k принадлежит Z»).
Ответ к задаче 3 можно записать так:
х - лй, k e Z.
Задача 4 Решить уравнение cos х = 0.
► Абсциссу, равную нулю, имеют две точки единич-
ной окружности (0; 1) и (0, -1) (рис. 59). Эти точки
получаются из точки (1; 0) поворотом на углы
— + л, — + 2 л и т. д., а также на углы — - л, — - 2 л
2	2	2	2
и т. д., т. е. на углы — + л/г, k е Z.
Ответ х = — + л/г, /г g Z. <1
2
Задача 5 Решить уравнение: 1) sin х = 1; 2) cos х = 1.
► 1) Ординату, равную единице, имеет точка (0; 1)
единичной окружности. Эта точка получается из
точки (1; 0) поворотом на углы + 2 л/г, k е Z.
2) Абсциссу, равную единице, имеет точка, получен-
ная из точки (1; 0) поворотом на углы 2л/г, h е Z.
Ответ 1) х = + 2л/г, k е Z; 2) х = 2л/г, k е Z. <
Определение 3. Тангенсом угла а называется
отношение синуса угла а к его косинусу (обозна-
чается tg а).
Таким образом,	,	sin а tg а =	. cos а
Например,	л \ 2
tgO°=^°- = cos 0°	sin —	— Л = о, tg- = —4_ = -^ = 1. 1	4 cos я- 4	2
126
Иногда используется котангенс угла а (обозначает-
ся ctg а), который определяется формулой
J cos а
ctg а =-----.
sin а
Например,
ctg 270°=	= 0, ctg* —L,l = l.
sin 270°	-1	4 tg -	1
Отметим, что sin а и cos а определены для любо-
го угла, а их значения заключены от -1 до 1;
, sin а
tg а =---- определен лишь для тех углов, для
cos а
которых cos а * 0, т. е. для любых углов, кроме
к	,	„	cos а
а = — + лк, к е Z; ctg а =-- определен лишь
2	sin а
для тех углов, для которых sin а * 0, т. е. для
любых углов, кроме а = л/г, k е Z.
Приведем таблицу часто встречающихся значений
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
а'	0 (0°)	л 6 (30°)	Jt 4 (45°)	л 3 (60°)	л 2 (90°)	71 (180°)	3 — л 2 (270°)	2л (360°)
sin а	0	1 2	ч/2 2	Уз 2	1	0	-1	0
cos а	1	Уз 2	У2 2	1 2	0	-1	0	1
tg а	0	1 Уз	1	Уз	Не суще- ствует	0	Не суще- ствует	0
ctg а	Не суще- ствует	Уз	1	1 Уз	0	Не суще- ствует	0	Не суще- ствует
Задача 6 Вычислить 4 sin — + Уз cos -- tg —.
6	6	4
► Используя таблицу, получаем
4 sin — + Уз cos - - tg - =4 • 1 + Уз  —-1 = 2,5. <1
6	6	4	2	2
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса
для углов, не вошедших в эту таблицу, можно
127
на микрокалькуляторе с точностью
найти по четырехзначным математическим табли-
цам В. М. Брадиса, а также с помощью микрокаль-
кулятора.
Задача 7 Вычислить
до 0,01:
1) sin 25°;
2) cos 3) tg 5.
5
микрокалькуляторе вычисления про-
водятся нажатием одних и тех же клавиш,
► На любом
sin ,
cos , tg , но перед этим нужно нажимать клави-
шу F . Перед вычислением нужно установить пе-
реключатель Р — Г (радиан — градус) в нужном
положении.
1) 25	F	sin	0,42261825;
2) F	Л	__5	3 И lcosl 0,80901703;
3) 5 | F		tg	-3,380514.
1) 0,42; 2) 0,81; 3) -3,38. <]
 4*ям?'
Упражнения
429 Построить на единичной окружности точки, соответствую-
щие числу а, если:
1) sin а = 1; 2) sin а = 0; 3) cos а = -1; 4) cos а = 0;
5) sin а =-0,6; 6) sin а = 0,5; 7) cosa = ^.
430 Вычислить:
1) sin —+ sin—;	2) sin f--') + cos —;
2	2	I 2 J 2
3) sin л - cos л;	4) sin 0 - cos 2л;
5) sin л + sin 1,5л;	6) sin 0 + cos 2л.
431 Найти значения синуса и косинуса числа р, если:
1) Р = Зл;	2) р = 4л;	3) р = 3,5л;
4) р = | л;	5) Р = л/г, /г g Z; 6) р = (2k + 1) л, k & Z.
Вычислить (432—433).
432 1) sin Зл-cos—;
2
2) cos 0 - cos Зл + cos 3,5л;
128
433
434
3) sin Ttk + cos 2л/г, k e Z;
(2й+1)л	. (4/г + 1)тг
4) cos---------sin---------, k e Z.
2	2
1) tg л + cos л;	2) tg 0° - tg 80°;
3) tg л + sin л;	4) cos л - tg 2л.
Найти значение выражения:
436
436
437
438
1)	3 sin — + 2 cos — - tg —;
6	6	3
2)	5 sin — + 3 tg — - 5 cos — -10 ctg —;
4	4	4	4
3)	(2 tg--tg-^1 :cos —;
I 6 3j 6
4)	sin - • cos — - tg -.
3	6	4
Решить уравнение:
1) 2 sin x = 0;	2) -cosx = 0;
2
3) cos x - 1 = 0;	4) 1 - sin x = 0.
Может ли sin а или cos a быть равным:
1) 0,049; 2) -0,875; 3) -V2; 4) 2 + V2?
439
Найти значение выражения:
1)	2 sin a + V2 cos a при a = ~;
2)	0,5 cos a - 7з sin a при a = 60°;
3)	sin 3a - cos 2a при a =
4)	cos — + sin — при a = —.
2	3	2
Найти значение выражения:
1)	sin — cos — - sin — cos —;
4	4	3	6
2)	2 tg2 - - ctg2 — - sin - cos —;
3	6	6	3
3)	(tg^-ctg^Yctg^+tg A
\	4	3 A 4	6 )
4)	2 cos2 — - sin2 — + tg — ctg —.
6	3	6	3
Решить уравнение:
1)	sin х = -1;	2)	cos х = -1;
3)	sin Зх = 0;	4)	cos 0,5х = 0;
5)	sin [ — + 6л| = 1;	6)	cos (5х + 4л) = 1.
5 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
129
440 Используя микрокалькулятор, проверить равенство:
1) sin 60° ~ 0,866;	2)
3) cos « 0,996;	4)
5
441 Вычислить с точностью до
лятор:
1) sin 1,5;	2) cos 4,81;
5) sin -;	6) cos — л;
5	7
cos 45° » 0,707;
sin « 0,225.
13
0,01, используя микрокальку-
3) sin 38°;	4) cos 45°12';
7) tg 12°;	8) sin л.
Знаки синуса, косинуса и тангенса
24
1. Знаки синуса и косинуса.
Пусть точка (1; 0) движется по единичной окруж-
ности против часовой стрелки. Для точек, нахо-
дящихся в первой четверти (квадранте), ордина-
ты и абсциссы положительны. Поэтому sin а > 0
и cos а > 0, если 0 < а < (рис. 60, 61).
Для точек, расположенных во второй четверти,
ординаты положительны, а абсциссы отрица-
тельны. Следовательно, sin а > 0, cos а < 0, если
— < а < л (рис. 60, 61). Аналогично в третьей чет-
2
верти sin а < 0, cos а < 0, а в четвертой четвер-
ти sin а < 0, cos а > 0 (рис. 60, 61). При дальней-
шем движении точки по окружности знаки синуса
130
и косинуса определяются тем, в какой четверти
окажется точка.
Если точка (1; 0) движется по часовой стрелке,
то знаки синуса и косинуса также определяются
тем, в какой четверти окажется точка; это показа-
но на рисунках 60, 61.
Задача 1 Выяснить знаки синуса и косинуса угла:
1)	2) 745°; 3)
4	7
► 1) Углу — соответствует точка единичной окруж-
4
ности, расположенная во второй четверти. Поэтому
sin — >0, cos — <0.
4	4
2)	Так как 745° = 2 • 360° + 25°, то повороту точки
(1; 0) на угол 745° соответствует точка, располо-
женная в первой четверти. Поэтому sin 745° > 0,
cos 745° > 0.
3)	Так как -л <	то ПРИ повороте точки
(1; 0) на угол получается точка третьей че-
А]<0. <
7 )
2.	Знаки тангенса.
ТТ	,	Sin ГТ	,	. _
По определению tg а =------. Поэтому tg а > 0,
cos а
если sin а и cos а имеют одинаковые знаки, и
tg а < 0, если sin а и cos а имеют противопо-
ложные знаки. Знаки тангенса изображены на ри-
сунке 62.
Задача 2 Выяснить знак тангенса угла: 1) 260°; 2) 3.
► 1) Так как 180° < 260° < 270°, то tg 260° > 0.
2)	Так как < 3 < л, то tg 3 < 0. <1
Упражнения
442 В какой четверти находится точка, полученная поворотом
точки Р (1; 0) на угол а, если:
1)а=-; 2)а=—; 3)а=-^; 4)а=^; 5)а = -^;
6	4	4	6	6
6) а = 4,8; 7) а = -1,31; 8) а =-2,7?
тверти. Поэтому sin i <0, cos
< 7 )
131
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
Пусть 0 < а < —. В какой четверти находится точка, полу-
ченная поворотом точки Р (1; 0) на угол:
1) --a; 2 4) - + a; 2	2)	a - л;	3) — - a; 2
	5)	a - —;	6) л - a?
		2
Определить 1) a = ^;	знак	числа sin a, если: 2) a = -^;	3) a = — л;
4 4) a - —0,1л		7	3 5) a = 5,1;	6) a =-470°
Определить 1) a = ^ л;	знак	числа cos a, если: 2) a = - л;	3) сс = --л;
3 4) a = 4,6;		6	5 5) a = -5,3;	6) a = -150°,
Определить 1) a = - л;	знак	числа tg a, если: 2) a = ^ л;	3) а = -^л;
6 4) a = 3,7;		5	4 5) a = -1,3;	6) a = 283°.
Определить	знаки чисел sin a, cos a, tg a, если:	
1) л < a <— 2	тс;	2) — л < a < 2	4
3)	~ < а < 2 л; 4) 2л < а < 2,5л.
Определить знаки чисел sin а, cos а, tg а, если:
1) а = 1; 2) а = 3; 3) а =-3,4; 4) а =-1,3.
3) cos (a - л);
6) sin (л - a).
ctg a, если:
Пусть 0 < а < \ Определить знак числа:
1) sin | — -а];	2) cos | — + а|;
< 2 J	12 J
4)	tgfa-—\	5) tgf-л-а'!;
х 2 у	\ 2	/
Каковы знаки чисел sin a, cos a, tg a,
1) 3л < a <	2) — < a < ^ ?
3	2	4
Для каких значений аргумента а, заключенных в промежутке
от 0 до 2л, знаки синуса и косинуса совпадают (различны)?
Определить знак числа:
1) sin^sin-^; 2) cos cos 3)tg^+sin^.
3	4	3	6	4	4
Сравнить значения выражений:
1) sin 0,7 и sin 4;	2) cos 1,3 и cos 2,3.
132
454 Решить уравнение:
1) sin (5л + х) = 1;
2) cos (х + Зл) = 0;
। 5	i
3) cos - л + х = -1;
<2	)
4) sin I - л + х
12
455 В какой четверти находится точка, соответствующая чис-
лу а, если:
1) sin а + cos а = -1,4;	2) sin а - cos а = 1,4?
Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла
Выясним зависимость между сину-
сом и косинусом.
Пусть точка М (х; у) единичной
окружности получена поворотом точ-
ки (1; 0) на угол а (рис. 63). Тогда по
определению синуса и косинуса
х = cos а, у = sin а.
Точка М принадлежит единичной
окружности, поэтому ее координа-
ты (х; у) удовлетворяют уравнению
х2 + у2 = 1. Следовательно,
sin2 а + cos2 а = 1.	(1)
Равенство (1) выполняется при любых значениях а
и называется основным тригонометрическим
тождеством.
Из равенства (1) можно выразить sin а через cos а
и cos а через sin а:
sin а - ±^/1 - cos2 а,	(2)
cos а = ± д/1 - sin2 а.	(3)
В этих формулах знак перед корнем определяет-
ся знаком выражения, стоящего в левой части
формулы.
133
Задача 1 Вычислить sin а, если cos а = -— и л < а < —.
5	2
►	Воспользуемся формулой (2). Так как л < а <—,
2
то sin а < 0, т. е. в формуле (2) перед корнем нуж-
но поставить знак «-»:
sin а = -Jl -cos2 а - -J1- — = --. <1
у	V 25	5
Задача 2 Вычислить cos а, если sin а = — и < а < 0.
3	2
►	Так как -^ < а < 0, то cos а > 0, поэтому в форму-
ле (3) перед корнем нужно поставить знак «+»:
cos а = д/1 - sin2 а = 1 -	= ~~~ 
Выясним теперь зависимость между тангенсом
и котангенсом. По определению тангенса и котан-
sin а	, cos а
генса tg а =---, ctg а =----.
cos а	sin а
Перемножая эти равенства, получаем
tg а  ctg а = 1.	(4)
Из равенства (4) можно выразить tg а через ctg а
и наоборот:
tga=—!—,	(5)
ctg a
ctg a =	.	(6)
tg a
Равенства (4) — (6) справедливы при a * k, k e Z.
Задача 3 Вычислить ctg a, если tg a = 13.
►	По формуле (6) находим ctg a = —. <1
tga 13
Задача 4 Вычислить tg a, если sin a = 0,8 и |- < a < л.
►	По формуле (3) находим cos а. Так как < a < л,
то cos a < 0. Поэтому
cos a = -д/1 - sin2 a = - д/1 -0,64 = -0,6.
sin a	0,8	4
Следовательно, tg a =----=---------= —. <4
cos a	-0,6	3
134
Используя основное тригонометрическое тождест-
во и определение тангенса, найдем зависимость
между тангенсом и косинусом.
Разделим обе части равенства sin2 а + cos2 а = 1
на cos2 а, предполагая, что cos а * 0. Получим
9	• 2
cos а + sm а i
равенство-----------= —-—, откуда
cos2 a cos2 а
l + tg2a=—.	(7)
cos а
Эта формула верна, если cos a * 0, т. е. при
а * + nk, k е Z. Из нее можно выразить тангенс
через косинус и косинус через тангенс.
Задача 5 Вычислить tg а, если cos a = и - < a < л.
5	2
► Из формулы (7) получаем
Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому
tg а = - —. <1
3
Задача 6 Вычислить cos а, если tg a = 3 и л < а <
► Из формулы (7) находим
Так как л < a < то cos а < 0, и поэтому
cos а = - д/0,1 • <3
Упражнения
456 Может ли синус (косинус) принимать значения:
0,03, -, -, —,	, V2?
3 3 13	11
457 Могут ли одновременно выполняться равенства:
..	.	у/2
1) sin ot = —— и cosa=-—;
3	3
2) sina=-- и cosa=- —;
5	5
135
. 7з	V23
3) sin а =-----и cos а =-------;
5	5
4) sin а = 0,2 и cos а = 0,8?
458
459
460
461
462
463
464
Вычислить:
1)	sin а, tg а и ctg а, если
2)	cos а, tg а и ctg а, если
Вычислить значение каждой
ций, если:
1) cos а = — и — < а < 2 л;
13	2
3)	tg а = и л <а <—;
8	2
5) cos а = 0,8 и 0 < а < —;
2
7) tg а = -2,4 и < а < л;
3 л
cos а = — и — < а < л;
5	2
sin а =-- и л<а<—.
5	2
из тригонометрических функ-
2) sin а = 0,8 и — < а < л;
2
4) ctg а = -3 и — < а < 2л;
2
6) sin а = и — < а < 2 л;
13	2
8) ctg а = — и л < а < —.
24	2
Какие значения может принимать:
2 у!~3
1) cos а, если sin а =-;
5
2)	sin а, если cos а =
Л
о
3)	sin а, если cos а = —;
3
4)	cos а, если sin а = —jL ?
V3
Могут ли одновременно выполняться равенства:
1	1	я
1) sin а = - и tg а = —=;	2) ctg а = — и cos а = - ?
5	V24	3	4
Пусть а — один из углов прямоугольного треугольника.
„ „	.	.	2V10
Наити cos а и tg а, если sin а =---.
Известно, что tg а = 2.
ctg а. + tg а .
ctg а - tg а
2 sin а + 3 cos а
3)	 - ,
3 sin а - 5 cos а
Найти значение выражения:
2) sin а - cos а .
sin а + cos а
.. sin2 а + 2 cos 2 а
4)
Известно, что sin а + cos а
• 2	2
sin* а - cos а
Найти:
2
1) sin а • cos а; 2) sin3 а + cos3 а.
136
Тригонометрические тождества
26
Задача
Задача
Задача
1 Доказать, что при а * л/г, k е Z, справедливо ра-
венство
1 + ctg2 а =—.	(1)
sin а
► По определению ctg а = cos а, и поэтому
sin а
9	‘9	2
, о _ cos а sin^ а + cos а i
1	+ ctg2 а = 1 + -— = -—-——-—— = ——-—.
sin2 а sin2 а sin2 а
Эти преобразования верны, так как sin а Ф 0 при
а Ф л/г, k е Z. <]
Равенство (1) справедливо для всех допустимых
значений а, т. е. таких, при которых его левая
и правая части имеют смысл. Такие равенства на-
зывают тождествами, а задачи на доказательство
таких равенств называют задачами на доказатель-
ство тождеств.
Обычно при доказательстве тригонометрических
тождеств или при упрощении выражений допусти-
мые значения углов не устанавливают, если это не
требуется в условии задачи.
2	Доказать тождество
cos2 а = (1 - sin а) (1 + sin а).
► (1 - sin а) (1 + sin а) = 1 - sin2 а = cos2 а. <
3 Доказать тождество — scl— = —+	.
1	- sin а cos а
Чтобы доказать это тождество, покажем, что раз-
ность между его левой и правой частями равна
нулю:
cos а _ 1+ sina = cos2 а -(1- sin2 а) =
1 - sin а cos а cos а (1 - sin а )
2	2
cos а - cos а
=-------------=0. <
cos а (1 - sing)
137
При решении задач 1—3 использовались, следую-
щие способы доказательства тождеств: преобра-
зование левой части к правой; преобразование пра-
вой части к левой; установление того, что разность
между левой и правой частями равна нулю. Иногда
удобно доказательство тождества провести преоб-
разованием его левой и правой частей к одному
и тому же выражению.
О	4 тт	1 - tg2 а 4	. 4
Задача 4 Доказать тождество ----------------= cos а - sin а.
1 + tg2 а
. о
1 sin а
.	1 - tg2 а cos2 а cos2 а - sin2 а 9	. 9
► --------— =---------— = —------------— = cos а - siir а,
1 + tg2 а sin2 a cos2 а + sin2 а
1 + г~
cos а
cos4 а - sin4 а = (cos2 а - sin2 а) (cos2 а + sin2 а) =
2	• 2
= cos а - sin а.
Тождество доказано, так как его левая и правая ча-
сти равны cos2 а - sin2 а. <1
Задача 5 Упростить выражение---------------------.
tg а + ctg а
1	1	_ sin а cos а _
tg а + ctg а sina cos а sin2 а + cos2 а
cos а sin а
= sin а cos а. <1
Упражнения
465 Доказать тождество:
1)	(1 - cos а) (1 + cos а) =
2)	(1 - sin а) (1 + sin а) =
sin2 а 2
3)	------— = tg2 а;
1 - sin а
5) ---Ц-— + sin2 а = 1;
1 + tg2 а
466 Упростить выражение:
1) cos а • tg а - 2 sin а;
. 9
3) Sln а ;
1 + cos а
sin2 а;
cos2 а;
cos2 а	,
4) -------— = ctg2 а;
1 - cos а
6) -----—-— + cos2 а = 1.
1 + ctg2 а
2) cos а - sin а • ctg а;
2
.. cos а
4) - ;	•
1 - sin а
138
467 Упростить выражение и найти его значение:
1-cos а	4
2)	cos2 а + ctg2 а + sin2 а при а = —;
6
3)	—\----1 при а =
cosz а	3
4)	cos2 а + tg2 а ctg2 а + sin2 а при а = —.
3
468 Доказать тождество:
1) (1 - sin2 а) (1 + tg2 а) = 1;
2) sin2 а (1 + ctg2 а) - cos2 а = sin2 а.
469 Упростить выражение:
1)	(1 + tg2 а) cos2 а - 1;	2) 1 - sin2 а (1 + ctg2 а);
3)l + t^a + -L-;
sin”5 а	1 + ctgz а
470 Доказать тождество:
1)	(1 - cos 2а) (1 + cos 2а) = sin2 2а;
2)	s^n а ~ -1
cos2 а 1 + sin а
3)	cos4 а - sin4 а = cos2 а - sin2 а;
4)	(sin2 а - cos2 а)2 + 2 cos2 а sin2 а = sin4 а + cos4 а;
n sina 1 - cos a 2 .
1 + cos a sin a sin а
6)	в1па = 1 + cos а .
1 ~ cos a sin а
7)-----	Ц— --------Ц- = 1;
1 + tg2 а 1 + ctg2 а
8)	tg2 а - sin2 а = tg2 a sin2 а.
4КГ1 Найти значение выражения sin a cos а, если sin a - cos a = 0,6.
472 Найти значение выражения cos3 a - sin3 a, если cos a -
- sin a = 0,2.
473 Известно, что tg a + ctg a = 3. Найти tg2 a + ctg2 a.
474 Решить уравнение:
1)	2 sin x + sin2 x + cos2 x = 1;
2)	2 sin2 x + 3 cos2 x - 2 - 0;
3)	3 cos2 x - 2 sin x = 3 - 3 sin2 x;
4)	cos2 x - sin2 x = 2 sin x - 1 - 2 sin2 x.
139
Синус, косинус и тангенс углов а и -а
Пусть точки Мх и М2 единичной окружности по-
лучены поворотом точки Р(1; 0) на углы а и -а
соответственно (рис. 64). Тогда ось Ох делит угол
Мг0М2 пополам, и поэтому точки М\ и М2 симмет-
ричны относительно оси Ох.
Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отли-
чаются только знаками. Точка Мг имеет коорди-
наты (cos a; sin а), точка М2 имеет координаты
(cos (-a); sin (-а)). Следовательно,
sin (-а) =-sin а,	(1)
cos (-а) = cos а.	(2)
Используя определение тангенса, получаем
sin (-a) -sin а
tg (-а) =-------------   =------= -tg а.
cos (-а) cos а
Таким образом,
tg(-a) = -tga.	(3)
Формулы (1) — (2) справедливы при любых а,
а формула (3) — при a *- + nk, k е Z.
Можно показать, что если a * nA, k е Z, то
ctg (-a) = -ctg a.
Формулы (1) — (3) позволяют сводить
вычисление значений синуса, коси-
нуса и тангенса отрицательных углов
к вычислению их значений для поло-
жительных углов. Например,
 . I Л )	Л	1
sin — = — sin — - —,
I б)	6	2
cos
140
Упражнения
475
Вычислить:
1)
3)
4)
5)
6)
1 + tg2 - -
cos | -- ] sin I -- | + tg |	];	2) -------7-—
{ ej l з; 4 4}	’ . л
2 sin fcos f-—) + tg f+ sin2 f-—\
I 6 J <6? I. 3) к 4 J
cos (-л) + ctg ~sin ^2 л^ + ctg
3 - sin2 f - — - cos2 f - —
______к 3 7____к 3 J .
2 cos I - — |
к 4 7
2 sin f+ 3 + 7,5 tg (-л) + i cos — n.
к 67	8	2
476 Упростить выражение:
1) tg (-a) cos a + sin a; 2) cos a - ctg a (-sin a);
cos (-a) + sin (-a) _
2	~~2	’
cos a - sin a
4) tg (-a) ctg (-a) + cos2 (-a) + sin2 a.
477
Вычислить:
2 - sin2 1+ cos21 - —
i) —
2 cos [ - — I + sin | — I
к 37 к 67
478
— + 4 cos f л
4 7 к 2
Упростить выражение:
sin3 (-a)+ cos3 (-a).
1 - sin (- a) cos (- a)
2) л/ 3 sin
1-(sina + cos (-a))2
") --------------------
-sin (-a)
479 Доказать тождество:
1)	cos a sin (6л - a) • (1 + ctg2 (-a)) = ctg (-a);
l-sin2(-a) sin (a-2л)
2)	----------------------=ctg a.
cos (4 л-a) l-cos2(-a)
480 Решить уравнение:
1) sin (-x) = 1;	2) cos (-2x) = 0;
3)	cos (~2x) = 1;	4) sin (-2x) = 0;
5) cos2 (—x) + sin (—x) = 2 - sin2 x;
6) 1 - sin2 (-x) + cos (4л - x) = cos (x - 2л).
141
: Формулы сложения
Формулами сложения называют формулы, выра-
жающие cos (а ± Р) и sin (а ± Р) через синусы и ко-
синусы углов аир.
Теорема. Для любых а и р справедливо ра-
венство
cos (а + Р) = cos a cos Р - sin a sin р.	(1)
• Пусть точки Ма, и Ма _ р получены поворотом
точки Мо (1; 0) на углы а, -р и а+р рад соответ-
Рис. 65
ственно (рис. 65).
По определению синуса и косинуса эти
точки имеют следующие координаты:
Ма (cos a; sin а),
Af_p (cos (~Р); sin (-Р)),
Ма ~ р (cos (а + Р); sin (а + р)).
Так как АМ0ОМа + р = ZAf_pOMcl, то
равнобедренные треугольники М0ОМа + р
и М_^0Ма равны и, значит, равны
их основания М0Ма , р и М_рМа. Сле-
довательно, (М0Ма ~ р)2 = (М„рМа)2.
Используя формулу расстояния меж-
ду двумя точками, известную из курса геомет-
рии, получаем
(1 - cos (а + Р))2 + (sin (а + р))2 =
= (cos (-р) - cos а)2 + (sin (~Р) - sin а)2.
Преобразуем это равенство, используя формулы (1)
и (2) из § 27:
1-2 cos (а + Р) + cos2 (а + р) + sin2 (а + Р) =
= cos2 Р - 2 cos Р cos а + cos2 а + sin2 р +
+ 2 sin р sin а + sin2 а.
Используя основное тригонометрическое тождест-
во, получаем
2-2 cos (а + Р) = 2 - 2 cos а cos р + 2 sin а sin р,
откуда cos (а + Р) = cos а cos р - sin а sin р. О
142
Задача 1 Вычислить cos 75°.
► По формуле (1) находим
cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° -
- sin 45° sin 30° =	. <
2	2	2	2	4
Заменив в формуле (1) p на -p, получим
cos (a - p) = cos a cos (~P) - sin a sin (-P),
откуда
cos (a - P) = cos a cos p + sin a sin p. (2)
Задача 2 Вычислить cos 15°.
► По формуле (2) получаем
cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° +
+ sin 45° sin 30° = — •	= ^-+	. <
2	2	2	2	4
Задача 3 Доказать формулы
cos — - a I = sin a, sin — - a = cos a.	(3)
12	)	12	)
► При a = по формуле (2) получаем
cos - - p ] = cos - cos p + sin — sinp = sin p, t. e.
cos (-2- - p^j = sin p.	(4)
Заменив в этой формуле Р на а,
cos --a =sina. Полагая в формуле (4)
получим
Р=--а,
2
имеем sin — - a = cos a. <]
V2 )
Используя формулы (1) — (4), выведем формулы
сложения для синуса:
sin (a + Р) = cos
= cos — - a I cos P + sin — - a sin p =
<2	)	U )
= sin a cos P + cos a sin p.
sin (a + P) = sin a cos P + cos a sin p. (5)
Заменяя в формуле (5) p на -P, получаем
sin (a - p) - sin a cos (~P) + cos a sin (~P).
sin (a - p) = sin a cos P - cos a sin p. (6)
143
Задача 4 Вычислить sin 210°.
► sin 210° = sin (180е + 30°) = sin 180° cos 30’ +
+ cos 180° sin 30° = 0 — + (-l)  1	<
2	2	2
Задача 5 Вычислить sin — cos — - sin — cos —.
7	7	7	7
► sin — cos — - sin — cos — - sinf — - — = sin n = 0. <1
7	7	7	7	\ 7	7 )
Задача 6* Доказать равенство
+ B =	(7)
1 - tga tgp
ь. , ,	sin(a + B) sin a cos В + cos a sin В
► tg (a + p) =--------=--------------------.
cos (a + p) cos a cos p - sin a sin p
Разделив числитель и знаменатель последней дро-
би на произведение cos a cos р, получим форму-
лу (7). <
Формула (7) может быть полезна при вычислени-
ях. Например, по этой формуле находим
tg 225° = tg (180° + 45°) =	^5° = 1.
1-	tg 180° tg45°
Упражнения
481 С помощью формул сложения вычислить:
1)	cos 135°; 2) cos 120°; 3) cos 150°; 4) cos 240°.
482 Вычислить, не пользуясь таблицами:
1)	cos 57°30' cos 27’30' + sin 57’30' sin 27°30';
2)	cos 19°30' cos 25’30' - sin 19’30' sin 25°30';
3)	cos — cos - sin — sin
9	9	9	9
4)	cos — cos — + sin — sin —.
7	7	7	7
483 Вычислить:
1) cos | - + a I, если sin a = —L и 0 < a < - ;
U )	/3	2
2) cos I a - — j, если cos a = и — < a < л.
I 4j	3	2
484 Упростить выражение:
1)	cos 3a cos a - sin a sin 3a;
2)	cos 5p cos 2p - sin 5p sin 2£;
144
3)	cos | — + a | cos I — - a | - sin [ — + a | sin |	- a
к 7 J 114	) к 7	) к 14
4)	cos f — +	a | cos	[ —	+ a j	+ sin f —	+ a |	sin \ — +	a
к 5	)	к 5	) к 5 J к 5
485 Вычислить, не пользуясь таблицами:
1)	sin 73° cos 17° + cos 73° sin 17°;
2)	sin 73° cos 13° - cos 73° sin 13°;
3)	sin — cos — + sin — cos —;
12	12	12	12
4)	sin — cos — - sin — cos —.
12	12	12	12
486	Вычислить:						
	1) sin	a + - ], ,	6 J	если cos a =	3 5	И n <	: a <	„ 3л 2
	2) sin (	— - a\ <4	)	если sin a =	/2 3	и — < 2	c a *	i 7t.
487 Упростить выражение:
1)	sin (a i- P) + sin (-a) cos (-₽);
2)	cos (-a) sin (~P) - sin (a - P);
3)	cos sin -p^j - sin (a-P);
4)	sin (a + p) + sin - aj sin (-P).
Q
488 Вычислить cos (a + p) и cos (a - P), если sin a = —,
5
—	жа<2л, и sin P = —, 0<p<—.
2	17	2
489 Вычислить sin (a - p), если cos a = -0,8,	< a < л, и
sinp = -—, 7i<p<—.
13	2
490 Вычислить tg (a + P), если sin a = -, — < a < л, и cos P = —,
5 2	17
—	л<В<2я.
2
491 Упростить выражение:
1)	cos (a - p) - cos (a + p);
2)	cos I — + a | cos I — - a I + - sin2 a;
k4 J k4 ) 2
3)	cos 3a + sin a sin 2a;
4)	cos 2a - cos a cos 3a.
145
492 Доказать тождество:
sin (а + Р) _ tg а + tgP .
sin (а~Р) tga-tgP
cos (а-р) _ ctga • ctgp + 1.
J	-   	'	 J
cos(a + P) ctgactgp-1
3)	cos — +	(cos a - sin a);
U )	2
cos (a + p)	,
4)	----------- ctg P - tg a;
cos a sin p
5)	cos a cos P = ~ (cos (a + P) + cos (a - p));
6)	sin a sin P = - (cos (a - P) - cos (a + P)).
2
493 Вычислить:
tg29°+ tg31° .
1-tg 29° tg310’
1 + tglO° tg55°.
’ tg55°-tgl00’
. 494 Вычислить:
1) tg (a + P), если
tg — я - tg я
2) ___16_______16_
1 + tg — я tg — я
16	16
,4 l-tgl3°tgl7°
4) --------------•
tg 17° + tgl3°
tg a
| и tg p = 2,4;
2) ctg (a - P), если ctg a = — и ctg p = -1.
495 Упростить выражение
496 Упростить выражение:
1) sin a cos 2a + sin 2a cos a;
2) sin 5p cos 3p - sin 3p cos 5p.
497 Решить уравнение:
1)	cos 6x cos 5x + sin 6x sin 5x = -1;
2)	sin 3x cos 5x - sin 5x cos 3x = -1;
3)	42 cos I - + x - cos x = 1;
\4	)
4)	42 sinf---^1 + sin - = 1.
\4 2 J 2
146
Синус, косинус и тангенс
двойного угла
Выведем формулы синуса и косинуса двойного
угла, используя формулы сложения.
1.	sin 2а = sin (а + а) = sin а cos а + sin а cos а =
= 2 sin а cos а. Итак,
sin 2а - 2 sin а cos а.	(1)
Задача 1 Вычислить sin 2а, если sin а = -0,6 и л < а < —.
2
► По формуле (1) находим
sin 2а = 2 sin а cos а = 2 • (-0,6) • cos а = -1,2 cos а.
3 л
Так как л < а < —, то cos а < 0, и поэтому
cos а = -41 - sin2 а = -д/1 -0,36 = -0,8.
Следовательно, sin 2а = -1,2 • (-0,8) = 0,96. <]
2.	cos 2а = cos (а + а) = cos а cos а - sin а sin а =
- cos2 а - sin2 а. Итак,
cos 2а = cos2 а - sin2 а.	(2)
Задача 2 Вычислить cos 2а, если cos а = 0,3.
► Используя формулу (2) и основное тригонометриче-
ское тождество, получаем
cos 2а = cos2 а - sin2 а = cos2 а - (1 - cos2 а) =
= 2 cos2 а - 1 = 2  (0,3)2 - 1 = -0,82. <
Задача 3
__	sin a cos а
Упростить выражение ---------------.
1-2 sin2 а
sin a cos а	2 sin а cos а
1-2 sin2 а 2 (sin2 а + cos2 а - 2 sin2 а)
sin 2 а
2 (cos2 а - sin2 а)
sin 2 а 1 , „
---------= A tg 2 а. <
2 cos 2 а 2
147
Задача 4 Вычислить tg 2а, если tg а = - .
2
tg а + tg В
► Полагая в формуле tg (а + Р) =------(см. § 28)
1 - tgа tg₽
Р = а, получаем
Если tg а = -, то по формуле (3) находим
2
2-
tg 2а =--^- = |.
1-М 3
V2 )
Задача 5* Вычислить sin За, если sin а - i.
4
► sin За = sin (а + 2а) = sin а cos 2а + cos а sin 2а =
= sin а (cos2 а - sin2 а) + cos а 2 sin а cos а =
= sin а cos2 а - sin3 а + 2 sin а cos2 а =
= 3 sin а cos2 а - sin3 а = 3 sin а (1 - sin2 а) -
- sin3 а = 3 sin а - 4 sin3 а = sin а (3 - 4 sin2 а).
При sin а = - получаем sin За=-|3--| = —. <]
4	4 \	4 7	16
Упражнения
Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы
двойного угла (498—499).
498	1) sin 48°; 2)	cos 164°; 3) tg 92°;	4) sin	4 л. 3 ’	5) cos — 3
499	1) sin — + а ; \2	)	2) sin^ + p^j;	3)	cos	12	)
	4) cosf — + а\ 1 2	)	5) sin а;	6)	cos	a.
Вычислить, не используя калькулятор (500—502).
500 1) 2 sin 15° • cos 15°; 2 tg15° . o’ 1- tg2 15° 501 1) 2 sin — cos—; 8	8 2 tg^ 3) 	M l-tg27[ 8 148	2) cos2 15° - sin2 15°; 4) (cos 75° - sin 75°)2. 2) cos2 — - sin2 —; 8	8 4) — -fcos — + sin — 'j . 2	\	8	8 J
602
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
1) 2 sin 75°  cos 75°;
оч 6tS75° •
9	’
1- tg2 75°
2) cos2 75° - sin2 75°;
tg2 22°30'-l
4) ------------.
tg22°30'
Вычислить sin 2a, если:
3 7Г
1) sin a = — и — < a < л;
5	2
2) cos a = -- и л < a < —.
5	2
Вычислить cos 2a, если:
1) cosa = -;	2) sin a = - —.
5	5
Вычислить tg 2a, если tg a = 0,5.
Упростить выражение (506—507).
1) 2 cos 40° • cos 50°;	2) 2 sin 25° • sin 65°;
3) sin 2a + (sin a - cos a)* 1 2 3;	4) cos 4a + sin2 2a.
sin 2a	g) 1+cos 2 a
(sin a + cos a )2 - 1	1 - cos 2 a
Доказать тождество:
1) sin 2a = (sin a + cos a)2 - 1;
2) (sin a - cos a)2 = 1 - sin 2a;
3) cos4 5 6 a - sin4 a = cos 2a;	4) 2 cos2 a - cos 2a = 1.
Вычислить sin 2a, если:
1) sin a + cos a = -;	2) sin a - cos a = - —.
2	3
Доказать тождество:
cos 2a	,	, sin2a-2cosa „ ,
1) -------------- = ctg a -1; 2) ----------—-— = -2 ctg a;
sin a cos a - sin2 a	sin a - sin2 a
„ ,	„	. „ 1 - cos 2 a + sin 2a,
3) tg a (1 + cos 2a) = sin 2a; 4) ----------------- ctg a = 1;
1 + cos 2 a + sin 2 a
(1-2 cos2 a) (2 sin2 a - 1)	2
5) -----------------------=ctg2 2a;
4 sin a cos a
o . 2( л	 ггч sin a + sin 2 a
6) 1-2 sin2 i- — =sma; 7)--------------------— = tg a.
V 4	2 )	1 + cos a + cos 2 a
Доказать тождество
sin2 a	cos2
cos a (1 + ctg a) sin a (11
Решить уравнение:
1) sin 2x - 2 cos x = 0;
3) 4 cos x = sin 2x;
5) sin - cos - + - = 0;
2	2	2
2 У 2 sin | a - — |
a	\	4 J
tg a)	sin 2 a
2) cos 2x + sin2 x = 1;
4) sin2 x = -cos 2x;
6) cos2 — = sin2 —.
2	2
149
Синус, косинус и тангенс
половинного утла
30
По известным значениям sin а и cos а можно най-
ти значения sin—, cos— и tg —, если известно,
2	2	2
в какой четверти лежит угол а.
Из формулы cos 2х = cos2 х - sin2 х при х = — по-
2
лучаем
cos а = cos2 — - sin2 —.	(1)
2	2
Запишем основное тригонометрическое тождество
в виде
1	= cos2 — + sin2 —.	(2)
2	2
Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равен-
ства (2) равенство (1), получаем
1 + cos а = 2 cos2 —,	(3)
2
1 — cos а = 2 sin2 —.	(4)
2
Формулы (3) и (4) можно записать так:
2 а 1 + cos а
cos2 — =-------,	(5)
2	2
. , а 1 - cos а
sin2 - =-------.	(6)
2	2
Формулы (5) и (6) называют формулами синуса и
косинуса половинного угла. Иногда их называют
также формулами понижения степени.
Если известен cos а, то из формул (5) и (6) можно
найти sin — и cos — с точностью до знака. Знак мо-
2	2
жет быть определен, если известно, в какой четвер-
ти лежит угол
150
Задача 1 Вычислить cos —, если cos а = -0,02 и 0 < а < л.
2
ТТ Л,	/кч 2 а 1+соза 1-0,02
► По формуле (5) cos2 — =-----=-------= 0,49.
2	2	2
Так как 0 < а < л, то
и поэтому
0 <^ <^,
2	2
2
cos —>0. Следовательно, cos — = J0,49 = 0,7. <
2	2 v
Разделив равенство (6) на равенство (5), получим
формулу тангенса половинного угла
tg
1 - cos а
1 - cos а
(7)
2 а
2
Задача 2 Вычислить tg если cos а = 0,8 и л < а < 2л.
► По формуле (7) имеем
, а 1 - cos а 1-0,8 0,2 1
tg2 — =------------------=-----=-----= -.
2 1 + cos а 1 + 0,8 1,8 9
По условию л < а < 2л, поэтому ^<^-<nHtg-^-<0.
Ct	/1	1
Следовательно, tg — =	= —. <
2	V9	3
г,	„	,,	1-cos с. , а 1* cos а
Задача 3 Упростить выражение--------------ctg2------------.
1	+ cos а 2	2
2	sin2 а
> l-c°sa . ctg2 “ - 1±™8а =-----2 ctg2 а _ cog2 а =
1	+ cos а 2	2	9	2 а 2	2
2	cos -
2
= tg2 —  ctg2 — - cos2 — = 1 - cos2 — = sin2 —. <]
2	2	2	2	2
Задача 4 Решить уравнение 1 + cos 2x = 2 cos x.
► Так как 1 + cos 2x = 2 cos2 x, то данное уравнение
примет вид 2 cos2 х = 2 cos х, откуда
cos х (cos х - 1) = 0.
1) cos x = 0, x = - + л/г, k 6 Z.
2
2) cos x = 1, x = 2лп, n e Z.
Итак, исходное уравнение имеет две серии корней
х = - + л/г, k e Z, и х = 2лп, п е Z. В ответе можно
2
записывать обе серии с одной буквой (k или и).
Ответ х = — + л/г, х = 2л/г, k е Z. <]
2
151
Задача 5 Выразить sin a, cos а и tg а через tg —.
2
>- 1) sina = sin f 2 • — ] = 2 sin— cos— =
<	2)	2	2
2 sin — cos —	2 sin — cos —	2 tg —
_	2	2 =	2	2	=	2
1	sin2 cos2 l+tg2a’
2	2	2
Итак,
2tg|
sin a =-----.
1+ tg2
2
2)	cos a = cos [ 2 • — 'l = cos2 — - sin2 — =
I 2J 2	2
cos2 — - sin2 a cos2 — - sin2 —	1 - tg2 ®
=	2 2 =	2 2^ =2^
1	cos2a + sin2^ l+tg2“’
2	2	2
Итак,
1 ’ tg2 t
cos a =---------.
l + tg2
2
Л A 2 tg“
3)	tg a = tg 2  — I =--—.
<	2?	!_t2a
2
Итак,
2tg“
tg a =-----—.
1-tg2
2
(9)
(10)
Эту формулу можно также получить почленным
делением формул (8) и (9). <]
Итак, по формулам (8) — (10) можно находить си-
нус, косинус и тангенс угла а, зная тангенс угла —.
Упражнения
513 Выразить значения функции данного аргумента через значе-
ния функции удвоенного аргумента:
1) sin2 15°;	2) cos2-; 3) cos2 f—-al; 4) sin2f— + a\
4	\ 4	)	< 4 J
152
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
Найти числовое значение выражения:
1) 2 cos2 — -1;	2) 1-2 sin2—;
_	8	12
3)	+ 2 sin2 15°;	4)	+ 2 cos2 15°.
2	2
Пусть cos а = 0,6 и 0 < а < ^. Вычислить:
1) sin	2) cos|;	3) tg	4) ctg |.
Пусть sin а ~ “ и < а < л. Вычислить:
1) sin	2) cos	3) tg	4) ctg
2	2	2	2
Вычислить:
1) sin 15°; 2) cos 15°; 3) tg 22°ЗО'; 4) ctg 22°30'.
Упростить выражение:
1 - cos а	sin а	1 - cos 2 а + sin 2 а .
sin а	1 + cos а	1 + cos 2 а + sin 2 а
. „ 1 + cos 4 а	_ „ 1 + cos 2 а + sin 2 а
4) --- -----;	5) ---------------;
sin 4 а	sin а + cos а
6) (1 -cos 2а) ctg а.
Доказать тождество (519—520).
1) 2 cos2 f- - — 'l = 1 + sin a; 2)
\4 2J
3 - 4 cos 2a + cos 4a , .
3) -------------------= tg3 4 a;
3 + 4 cos 2 a + cos 4 a
2 sin2 — - — I = 1 - sin a;
14 2 )
1 + sin 2 a + cos 2 a
4) -------------------= ctg a.
1 + sin 2a - cos 2a
1-cos 2a
1) ---------- ctg a = 1;
sin 2 a
1-2 sin2 a 1 - tg a
О)	—	>
1 + sin 2 a 1 + tg a
2)
4)
sin 2 a
1 + cos 2 a
= tg a;
1 + sin 2 a ,	( тг
----------= tg - + a
cos 2 a \ 4
Доказать, что если 0<a <—, то ^/1 + sin a -д/1-sina = 2 sin — .
Упростить выражение ---------------.
tg 4 a - tg 2 a
Решить уравнение:
1) 1 - cos x = 2 sin —;	2)
2
3) 1 + cos - =2 sin f \	4)
2	14	2 )
5) 2 sin2 - + i sin 2x = 1;	6)
2 2
1 + cos x = 2 cos
2
1 + cos 8x - 2 cos 4x;
2 cos2 x - - sin 4x = 1.
2
153
Формулы приведения
Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и
котангенса составляются для углов от 0° до 90°
(или от 0 до —). Это объясняется тем, что их значе-
2
ния для остальных углов сводятся к значениям для
острых углов.
Задача Вычислить sin 870° и cos 870°.
► Заметим, что 870° - 2 • 360° + 150°. Следователь-
но, при повороте точки Р (1; 0) вокруг начала ко-
ординат на 870° точка совершит два полных обо-
рота и еще повернется на угол 150°, т. е. получится
та же самая точка М, что и при повороте на 150°
(рис. 66). Поэтому sin 870° - sin 150°, cos 870° =
= cos 150°.
Построим точку симметричную точке М отно-
сительно оси OY (рис. 67). Ординаты точек М
и Мг одинаковы, а абсциссы различаются только
знаком. Поэтому sin 150° = sin 30° = cos 150° =
= cos 30° =
2
Ответ sin 870° = -, cos 870° = - — . <1
2	2
154
При решении задачи 1 использовались равенства
sin (2  360° + 150°) = sin 150°,
cos (2  360° + 150°) = cos 150°,	( '
sin (180° - 30°) = sin 30°,
cos (180° - 30°) = -cos 30°.	( ’
Равенства (1) верны, так как при повороте точки
Р (1; 0) на угол а + 2nk, k е Z, получается та же
самая точка, что и при повороте на угол а.
Следовательно, верны формулы
sin (а + 2лй) = sin а,
cos (а + 2nfe) = cos а, k е Z.
(3)
Равенства (2) являются частными случаями формул
sin (л - а) = sin а, cos (л - а) = -cos а. (4)
Докажем формулу sin (л - а) = sin а.
• Применяя формулу сложения для синуса, получа-
ем sin (л - а) = sin л cos а - cos л sin а = 0 cos а -
- (-1) • sin а = sin а. О
Аналогично доказывается и вторая из формул (4),
которые называются формулами приведения. Вооб-
ще, формулами приведения для синуса называют
следующие шесть формул:
sin — - а = cos а,
12	)
sin (л - а) = sin а,
sin I — - а I = - cos а,
12 J
sin — + а = cos а,
12	)
sin (л + а) = -sin а, (5)
( О -	\
sin — + а = - cos а.
12	)
Следующие шесть формул называют формулами
приведения для косинуса:
cos — - а = sin а,
12 J
cos (л - а) = -cos а,
cos | — - а ] = - sin а,
12	)
cos — + а = - sin а,
12	)
cos (л + а) = -cos а, (6)
cos | — + а | = sin а.
V 2 J
Формулы (5) и (6) справедливы при любых значе-
ниях а.
Задача 2 Вычислить sin 930°.
► Используя первую из формул (3), получаем
sin 930° = sin (3  360° - 150°) = sin (-150°).
155
Задача 3
По формуле sin (-а) = -sin а получим sin (-150°) =
= -sin 150°. По формуле (4) находим
-sin 150° = -sin (180° - 30°) = -sin 30° = - j.
sin 930° = --. <1
2
15 л
Вычислить cos----.
4
► COS	= cos (4л --1 = cos f- — = cos — - —. <1
4 I 4j I 4j 42
Покажем теперь, как можно свести вычисление
тангенса любого угла к вычислению тангенса ост-
рого угла.
Заметим, что из формул (3) и определения тангенса
следует равенство tg (а + 2nk) = tg а, k е Z. Ис-
пользуя это равенство и формулы (4), получаем
tg (а + л) = tg (а + л - 2л) = tg (а - л) =
, ч sin (л - а) sin а
= -tg (л - а) ---------------- =-------= tg а
cos (л - а)	- cos а
Следовательно, справедлива формула
tg (а + nfe) = tg а, k е Z.	(7)
Аналогично доказывается формула
ctg (а + л/г) = ctg а, k е Z.	(8)
Следующие четыре формулы называют формулами
приведения для тангенса
tg — + а = - ctg а,
\ 2 у
-tg а,
и котангенса:
tg I ~ - а ] = ctg а,
ctg I — - а I = tg а.
х 2 J
(9)
Формулы (9) справедливы при всех допустимых
Задача 4
значениях а.
Вычислить: 1) tg HiE; 2) tg
3	4
► 1) tg^ = tgf4H-^ = tgf-^ = -tg|=-V3.
2) tg —= tgf3x + -l = tg- = l. <
4 V 4)	4
Формулы приведения для синуса и косинуса до-
казываются с помощью формул сложения ана-
логично тому, как доказана первая формула (4).
Формулы (9) можно получить из формул (5) и (6),
sin а
зная, что tg а =----.
cos а
156
Формулы приведения запоминать необязательно.
Для того чтобы записать любую из них, можно ру-
ководствоваться следующими правилами:
1) В правой части формулы ставится тот знак, ко-
торый имеет левая часть при условии О < а <
2) Если в левой части формулы угол равен — ± а
2
или — ± а, то синус заменяется на косинус,
2
тангенс — на котангенс и наоборот. Если угол
равен л±а, то замены не происходит.
Например, покажем, как с помощью этих пра-
вил можно получить формулу приведения для
cos — + а . По первому правилу в правой части
\ 2	)
формулы нужно поставить знак «-», так как если
0<а<^,то^<^ + а<л, а косинус во второй чет-
верти отрицателен. По второму правилу косинус
нужно заменить на синус, следовательно,
cos — + а = — sin а.
\2 J
Итак, формулы (3), (7) и формулы приведения по-
зволяют свести вычисление синуса, косинуса, тан-
генса и котангенса любого угла к вычислению их
значений для острого угла.
Упражнения
524 Найти острый угол а, при котором выполняется равенство:
1)	cos 75° = cos (90° - а);	2)	sin 150° = sin (90° + а);
3)	sin 150° = sin (180° - а);	4)	cos 310° = cos (270° + а);
5)	sin - л = sin (л + а); 4	6)	tg^ = tgfi-a\ 5	\ 2 J
7)	у _	( q	А cos — = cos — л + а ; 4	k2	J	8)	ctg — л = ctg (2 л - a). 6
	Используя формулы приведения, вычислить (525—526).				
525	1)	cos 150°;	2) sin 135°;	3) ctg 135°;	4) cos 120°;
	5)	cos 225°;	6) sin 210°;	7) ctg 240°;	8) sin 315°.
526	1)		2) sin—; 6	3) cos 3	4) ctg 0
	5)	slnf-Hl'l; \ 6 J	6) cos f-—\ I 3 J	7) tgf-^\ v <5 /	8) ctg(-^\ \ 4 J
157
527
528
Упростить выражение (527—528).
— - a|-tg(n + a) + sin | - - - a
2 J___________________к 2
cos (л + a)
т - a) + cos — + a I + ctg (л - a)
__________<2	)___________
tgf 3л _a^
\ 2	)
. (3л	") . (л
sin------ha tg —на
1)  L?-------L-----
ctg (2 л - a) sin (л + a)
529
530
531
Вычислить:
1) cos 750°;	2) sin 1140°;	3) tg 405°;	4) cos 840°;
5) sin—;	6) tg—;	7) ctg—;	8) cos—.
6	4	4	4
Найти значение выражения:
1)	cos 630° - sin 1470° - ctg 1125°;
2)	tg 1800° - sin 495° + cos 945°;
3)	3 cos 3660° + sin (-1560°) + cos (-450°);
4)	cos 4455° - cos (-945°) + tg 1035° - ctg (-1500°).
Вычислить:
1)	cos23£_sin157L_ctgf_ll’-\
4	4 I 2 J
2)	Sin -cos f - tg —;
3 I 2 )	3
3)	sin (-7 л)-2 cos ^-tg^;
Доказать тождество (532—533).
532 1) sin f — + a -cos f — - a 'l = 0;
<4	)	<4	)
sin I — - a | ctg | - + a |
Oi <2 J <2 J
3) ---------- —-------- - -sm a.
tgU+a) 7a _ 3л )
S I 2 /
158
533
1)	sin	4 6	,	= - sin	\ - + a |; <6	)
2)	sin	ч 4	= - sin	U )
3)	cos	ч	3 )	= -cos	f^ + a\ U 7
4)	cos	<	3 )	= cos	a + ^1 3 )
534 Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треуголь-
ника равен синусу его третьего угла.
535 Решить уравнение:
1)	cos ( - - х^| = 1;	2) sin [ — + х I = 1;
<2	)	I 2	)
3) cos(x-n)=0;	4) sin^x-^ = l;
5) sin (2 х + Зя) sin Зх +	- sin Зх cos 2 х = -1;
6) sin I 5х I cos (2х + 4л) - sin (5х + л) sin 2х =0.
536 Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тан-
генса любого угла можно свести к вычислению их значений
для угла, заключенного в промежутке от 0 до
4
Сумма и разность синусов.
Сумма и разность косинусов
Задача 1 Упростить выражение
sin а + — + sin а - —	sin —.
I 12 J I 12>;	12
► Используя формулу сложения и формулу синуса
двойного угла, получаем
sin а + — + sin а - —	sin — = sin а cos — +
I 12 J I 12JJ 12 I	12
• Л 	Л	• It I  я
+ cos a sin — + sm a cos-----cos a sin — sin — =
12	12	12 J 12
= 2 sin a cos — sin — = sin a sin — = - sin a. <
12	12	62
159
Эту задачу можно решить проще, если использо-
вать формулу суммы синусов:
sin а + sin 0 = 2 sin - +-^ cos ——(1)
2	2
С помощью этой формулы получаем
sin а + — I + sin а - — sin — =
к к 12) к 12))	12
= 2 sin а cos — sin — = - sin а.
12	12	2
Докажем теперь справедливость формулы (1).
Л пе.	« + Р а ~ ₽ m
• Обозначим -------= х, -----= у. Тогда х + у = а,
2	2
х - у = 0, и поэтому sin а + sin 0 = sin (х + у) +
+ sin (х - у) = sin х cos у + cos х sin у + sin х cos у -
п 	п • а+ В	а - В ~
- cos х sm у = 2 sin х cos у = 2 sin--- cos----. О
2	2
Наряду с формулой (1) используется формула раз-
ности синусов, а также формулы суммы и разности
косинусов:
• о о • а - В а + В
sin а - sin 0 = 2 sin-- cos-----,	(2)
2	2
cos а + cos 0 = 2 cos —+— cos -—-,	(3)
2	2
cos а - cos 0 = - 2 sin а + sin ——
2	2
(4)
Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и фор-
мула (1); формула (2) получается из формулы (1)
заменой 0 на -0. (Докажите самостоятельно.)
Задача 2 Вычислить sin 75° + cos 75°.
► sin 75° + cos 75° = sin 75° + sin 15° =
„ . 75° + 15°	75°-15° „ .
= 2 sin------cos--------= 2 sin 45 cos 30 =
2	2
= 2 —  — =—. <
2	2	2
Задача 3 Преобразовать в произведение 2 sin а + -Уз.
► 2 sin а + -Уз = 2 \ sin а + — | = 2 ( sin а + sin —
I 2 J к 3
= 4sinf —+ —'icosf—\ <
V2 в) <2 6j
160
Задача 4*
Доказать, что наименьшее значение выражения
sin а + cos а равно -72, а наибольшее равно 72.
► Преобразуем данное выражение в произведение:
•	•	• ( л
sin а + cos а = sin а + sin---а
12
= 2 sin — cos а - - I = 72 cos I а - —
4 I 4)	V 4
Так как наименьшее значение косинуса равно -1,
а наибольшее равно 1, то наименьшее значение
данного выражения равно 72 • (-1) = -72, а наи-
большее равно д/¥ • 1 = л/2 . <]
Упражнения
537 Упростить выражение:
	1) 3)	sin — + a I 13	) sin2 f - + а V4	+ sin - - V 3 )-sin2f — 1	<4	a j; - а ; 7	2) cos 4) cos2	2L_p -cos + P ; <4 J	\4 J (a "'I - cos2 ( a + —	
						V 4)	<	4
538	Вычислить:						
	1)	cos 105° + cos 75°;		2)	sin 105°	- sin 75°;	
-	3)		  11л ,   5 л . cos	f cos —; 12	12		4)	cos^_ 12	5 л. cos —; 12	
	5)	7Л „• sin	sin 12	К . 12*	6)	sin 105°	+ sin 165°.	
539 Преобразовать в произведение:
1) 1 + 2 sin а; 2) 1 - 2 sin а; 3) 1 + 2 cos а; 4) 1 + sin а.
540 Доказать тождество:
,, sin а + sin За ,
1) ------------------- tg 2 а;
cos а + cos 3 а
sin 2 а + sin 4 а
2) ----------------= ctg а.
cos 2 а - cos 4 а
541 Упростить выражение:
2 (cos а + cos За).
2 sin 2 а + sin 4 а
1 + sin а - cos 2 а - sin 3 а
2 sin2 а + sin а - 1
542 Доказать тождество:
1)	cos4 а - sin4 а - sin 2а = 72 cos 2 а - —
I 4
2)	cos а + cos I — + а | + cos | — - а | = 0;
I 3	) к 3	)
sin 2а + sin 5а - sin За „ .
3)	----------------------= 2 sin а.
cos а + 1 - 2 sin2 2 а
6 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
161
543 Записать в виде произведения:
1) cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°;
2) cos — + cos — + cos —.
12	4	6
ТГ	,	, c sin(a + P)
544 Доказать тождество tg a + tg p =------------ и вычислить:
cos a cos p
1) tg 267° + tg 93°;	2) tg + tg
12	12
545 Разложить на множители:
1) 1 - cos a + sin a;	2) 1 - 2 cos a + cos 2a;
3) 1 + sin a - cos a - tg a; 4) 1 + sin a + cos a + tg a.
7 Упражнения
' к главе V
546
Найти:
1)	cos а, если sin a = и
3
2)	tg a, если cos a - и
л
2
< a < л;
л <
3)	sin a, если tg a = 2 -^2 и 0 < a < —;
2
4)	cos a, если ctg a = V2 и л < a < —.
2
547 Упростить выражение:
1)	2 sin (л - a) cos | - a | + 3 sin2 f — - a | -2;
\2	)	\2 J
sin( л + a) cos I - a I tg I a - — |
2)	-----------12----)--1---2 2ф
cos I — + a I cos I — — + a|tg(rt+a)
k2 J < 2 J
Вычислить (548—549).
548 1) sin—; 2) tg —; 3) ctg—; 4) cos—.
6	4	4	4
549 1) cos^-sin^; 2)sin^-tg^;
4	4	3	3
3)	3 cos 3660° + sin (-1560°); 4) cos (-945°) + tg 1035°.
162
550
551
552
553
554
555
556
1
2
3
4
Упростить выражение (550—551).
i \ 11+ cos2 a • I 1 j.
1) -----_ sin a I - tg a;
I sin a	12
ctg a 1-+-^n2	- cos a
I cos a
2)
sin —
1)
sin I —
- cos — + a
k 4
2)
sin — - а + cos — - а
<4	)	^4
sin
Доказать тождество:
1) l-ngatgp.”111--1»;
cos a cos р
Вычислить (553—554).
1)
2)
sm(a-P)
tg a - tg P =------
cos a cos p
2)
1)
2 sin 6а cos2 — + За | - sin 6а
14	)
cos 3a + 2 cos (л - 3a) sin2 — - 1,5a
\ 4
при a = —;
24
5 л
при a =—
36
1-2 sin2 15
Доказать тождество:
„, 2 sin 2 a - sin 4 a	Q
1) ----------------= tg2 a;
2 sin 2 a + sin 4 a
2 cos2 — - 1
2) ------------§-----
1+8 sin2 — cos2
8
2 cos 2a - sin 4a
) --------------------
2 cos 2 a + sin 4 a
Показать, что:
1) sin 35° + sin 25° = cos 5°;	2) cos 12° - cos 48° = sin 18°.
Проверь себя!
Вычислить sin a, tg а, cos 2а, если cos
Найти значение выражения:
1) cos 135°;	2) sin^; 3) tg
3	3
Доказать тождество:
1) 3 cos 2a - sin2 a - cos2 a = 2 cos 2a;
Л. sin 5a - sin 3a
2) -------------= sin a.
2 cos 4a
Упростить выражение:
1) sin (a - P) - sin I — - a | • sin (- P);
x 2 J
4) cos2
i-Sin2^
8	8
2)
3)
cos2 (л - а) - cos2 — а J;
2 sin а sin В + cos (а + В).
л
8
а = --
5
л
2
163
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
,T	I cos В sin В |	1 - cos 4 a .
Упростить выражение------------1---------------------.
sin a cos a J cos ( л - 0 + a )
Доказать тождество (558—559).
7 л , о
— + 2a
6
1)
sin (2a - 3л) + 2 cos
2 cos| — - 2a | - у!~3 з!п(2,5л - 2a)
2) —U-----------)------------------
л/З ctg 2 a;
tg 2 a
_ 1 - cos a + cos 2 a
1) ——-------:---=ctga; 2)
sin 2 a — sin a
a	3
Вычислить tg —, если cos a = — и
2	5
sin a + sin —
2
1 + cos a + cos -
2
= tg|.
л
2
Вычислить значение выражения
sin2 a cos a	•	1
-------------, если sm a - cos a = -.
cos a sin a-2
Вычислить значение выражения
4 sin 2a + 5 cos 2a	, i
-----------------, если ctg a = —.
2 sin 2a - 3 cos 2a	3
Доказать тождество (563—564).
1) sin2 (a + 0) = sin2 a + sin2 0 + 2 sin a sin 0 cos (a + 0);
2) sin a + 2 sin 3a + sin 5a = 4 sin 3a cos2 a.
sin a + sin 3a + sin 5a , „
------------------------ tg 3a.
cos a + cos 3 a + cos 5 a
tt »	sin a
Наити значение выражения —-------------------—, если tg a = 2.
sin3 a + 3 cos3 a
Доказать тождество (566—567).
sin2 a + cos — - a cos I - + a I = -.
<3	) V 3 J 4
1) sin6 a + cos6 a = (5 + 3 cos 4a);
2) sin8 a + cos8 a = — (cos2 4a + 14 cos 4a + 17).
32
164
VI
7 глава
; Тригонометрические
i уравнения
7 Уравнение есть равенство, которое еще не
является истинным, но которое стремят-
ся сделать истинным, не будучи уверен-
:	ным, что этого можно достичь.
А. Фуше
Уравнение cos х = а
I..........................I..............................I...............................I..............................I
Из определения косинуса следует, что
-1 < cos а < 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение
cos х = а не имеет корней. Например, уравнение
cos х = -1,5 не имеет корней.
Задача 1 Решить уравнение cos х = -.
► Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной
окружности, полученной поворотом точки Р (1; 0)
вокруг начала координат на угол х. Абсциссу,
имеют две точки окружности Мх и М2
(рис. 68). Так как = cos	то точка Мj
получается из точки Р (1; 0) поворотом
на угол Xj = —, а также на углы
3
х = — + 2лй, где k = ±1, ±2, ... . Точка М2
3
получается из точки Р (1; 0) поворотом
на угол х2 = - j, а также на углы
-- + 2rcfe, где k = ±l, ±2, .... Итак, все
165
корни уравнения cos х = - можно найти по форму-
2
лам x = — + 2nk, х =	+ 2nk, k е Z. Вместо этих
3	3
двух формул обычно пользуются одной:
х = ± — + 2 nk, k е Z. <1
3
Задача 2 Решить уравнение cos х =
Абсциссу, равную имеют две точки окружно-
сти Мг и М2 (рис. 69). Так как -- =cos —, то угол
2	3
2л
потому угол х2 =--.
3
Следовательно, все корни уравнения
1
cos х = — можно наити
2
x=-— + 2nk, k e Z. <
3
по формуле
„	2 л „
х, = —, а
1	3
Рис. 69
из уравнений
имеет бесконеч-
каждое
= _1
2
корней. На отрезке
Таким образом,
cos х = - и cos х
2
ное множество
О < х С л каждое из этих уравнений
имеет только один корень: хг = — — ко-
3
рень уравнения cos х - ~ и xi —
1	г*
корень уравнения cos х =—. Число — называют
арккосинусом числа i
число — — называют
3
и записывают arccos
и записывают arccos - = —;
2	3
арккосинусом числа
—М = —. Вообще, уравне-
ние cos х = а, где -1 < а < 1, имеет на отрезке
О < х < л только один корень. Если а > О, то ко-
рень заключен в промежутке 0;
если а < 0, то
в промежутке ; л . Этот корень называют аркко-
синусом числа а и обозначают arccos а (рис. 70).
166
Арккосинусом числа а е [-1; 1] называется такое
' число а е [0; л], косинус которого равен а:
arccos а = а, если cos а = а и 0 < а < л. (1)
Например, arccos —= —, так как cos — = — и
2	6	6	2
0 < — < л; arccos |	, так как cos — = - —
6	2 )	6	6	2
и 0 < — < л.
6
Аналогично тому, как это сделано при решении
задач 1 и 2, можно показать, что все корни урав-
нения cos х = а, где |а| < 1, можно находить по
формуле
х - ±arccos а + 2лп, п е Z.	(2)
Задача 3 Решить уравнение cos х = -0,75.
► По формуле (2) находим
х = ±arccos (-0,75) + 2ли, п е Z. <]
Значение arccos (-0,75) можно приближенно найти
по рисунку 71, измеряя угол РОМ транспортиром,
или с помощью микрокалькулятора. Например, на
МК-51 по программе
РЕЖ 0,75
/—/	F cos 1
2,4188584.
Итак, arccos (-0,75) « 2,42.
Задача 4* Решить уравнение (4 cos х - 1) (2 cos 2х -г 1) = 0.
► 1) 4 cos х - 1 = 0, cos х = —,
4
х = ±arccos - + 2лга, п е Z.
4
167
2) 2 cos 2x + 1 - 0, cos2x = --, 2x-±— + 2nn,
2	3
x = ± — + лп, n e Z.
3
Ответ x = ±arccos - + 2im, x -±- + ~n, n e Z. <]
4	3
Можно доказать, что для любого а е [-1; 1] спра-
ведлива формула
arccos (-а) = л - arccos а.	(3)
Эта формула позволяет находить значения аркко-
синусов отрицательных чисел через значения арк-
косинусов положительных чисел. Например:
arccos I -- | = к -arccos - = л,
I 2/	233
( у/2}	V2	л Зл
arccos----= л - arccos — = л — = —.
2 J	2	4	4
Из формулы (2) следует, что корни уравнения
cos х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можно находить
по более простым формулам:
cos х = 0, х = — + лп, п е Z,	(4)
2
cos х = 1, х = 2пп, neZ,	(5)
cos х = -1, х = л + 2лп, п е Z. (6)
Задача 5 Решить уравнение cos- = -l.
3
► По формуле (6) получаем — = л + 2лл, п е Z, отку-
3
да х = Зл + блл, п e Z. <|
Упражнения
Вычислить (568—569).
/2
568 1) arccos 0;	2) arccos 1;	3) arccos —;
2
1	кч	( /2^1
4) arccos-; 5) arccos-----------;	6) arccos --— .
2	< 2 J	I 2 J
569 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1;	2) 3 arccos (-1) - 2 arccos 0;
( 1A
3) 12 arccos-----3 arccos -- ;
2	I 2 J
I л/з" I	1 I
4) 4 arccos------+ 6 arccos-----. I
I 2 J	I	2 J
168
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
Сравнить числа:
1) arccos — и arccos-; 2) arccos
2	2
3) arccos -— и arccos ( -- |.
2	V 2j
3^
4 )
и arccos (-1);
Решить уравнение (571—573).	
1) cosx=—;	2) cos x = - —;	3) cos x =	_ 1
2	2	Л ‘
Q 1) cos x = -;	2) cos x = -0,3;	3) cos x =	_ Л
4	2
1) cos 4x = 1;	2) cos 2x = -1;	3) V2 cos	- = -1; 4
4) 2 cos — = 43;	5) cos | x + — I = 0;	6) cos f 2 x - — 1=0.	
з	< з;	<	4 )
1) cos x cos 3x = sin 3x sin x; 2) cos 2x cos x + sin 2x sin x = 0. Выяснить, имеет ли смысл выражение: 1) arccos (VfJ-3);	2) arccos (Л-2);	3) arccos	(2-Л0);
4) arccos (1-V5);	5) tg ^3 arccos Решить уравнение: 1) cos2 2x = 1 + sin2 2x;	2) 4 cos2 x = 3; 3) 2 cos2 x = 1 + 2 sin2 x;	4) 2 Л cos2 x =	1 +Л;
5)	(1 +	cos x) (3 -	2	cos x) = 0; 6)	(1 -	cos x) (4 +	3	cos 2x) = 0; 7)	(1 +	2 cos x) (1	-	3 cos x) = 0; 8)	(1-2 cos x) (2	+	3 cos x) = 0.	
Найти все корни уравнения cos 2х = ~ на отрезке	1О 1 1
V2 Найти все корни уравнения cos 4х = —, удовлетворяющие 2	
неравенству | x | < -.
4
Решить уравнение:
1) arccos (2х - 3) = —;
3
2) arccos —----
3
2л
3 '
Доказать, что при всех
выполняется равенство
1) cos (arccos 0,2);
значениях а, таких, что -1 < а < 1,
cos (arccos a) = а. Вычислить:
f	( 2 A
2) cos arccos — ;
l	ил
169
(	3
3) cos л + arccos — ;
<	4 J
5) sin arccos - I;
I 5 J
4) sin [ - + arccos —
<2	3
I	3 i
6) tg arccos -= .
I	Vio J
581 Доказать, что arccos (cos a) = a при 0 < a < л, Вычислить:
1) 5 arccos (cos	2) 3 arccos (cos 2);
3)	arccos (cos	4) arccos (cos 4).
582 Вычислить:
. x	1	2 V2	(	4	3 A
1) sin i arccos — + arccos- ;	2) cos arccos —arccos — .
I 3	3 J	<5	5 J
583 Упростить выражение cos (2 arccos а), если -1 < a < 1.
584 Доказать, что если -1 < a < 1, то 2 arccos = arccos a.
585 С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) cos х = 0,35;	2) cos x = -0,27.
Уравнение sin x = a
Из определения синуса следует, что -1 < sin a < 1.
Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin х = а
не имеет корней. Например, уравнение sin х = 2
не имеет корней.
Задача 1 Решить уравнение sin х = ±.
► Напомним, что sin х — ордината точки единичной
окружности, полученной поворотом точки Р (1; 0)
вокруг начала координат на угол х. Ординату,
равную -, имеют две точки окружности Мх и М2
2
(рис. 72). Так как - = sin-, то точка М1 получа-
170
ется из точки Р (1; 0) поворотом на угол хт = —,
6
а также на углы х = — + 2лй, где k = +1, ±2, ... .
6
Точка М2 получается из точки Р (1; 0) поворотом
5п	5 it
на угол х2 = —, а также на углы х = — + 2 л/г, т. е.
на углы х = л - — + 2 л А, где k = ±1, ±2, ....
6
Итак, все корни уравнения sin х ~ ~ можно найти
по формулам х - — + 2 лй, х = л - — + 2 лА, k е Z.
6	6
Эти формулы объединяются в одну:
х =(-1)п - + лп, п е Z.	(1)
6
В самом деле, если п — четное число, т. е. п = 2k,
то из формулы (1) получаем х = — + 2 лй, а если
6
п — нечетное число, т. е. п = 2k + 1, то из фор-
мулы (1) получаем х = л + 2лА.
6
Ответ х =(-1)п - + лп, п е Z. <
6
Задача 2 Решить уравнение sinx = -|.
► Ординату, равную имеют две точки единичной
окружности Мх и М2 (рис. 73), где х1 =	, х2 =	.
6	6
Следовательно, все корни уравнения sin х = -—
2
можно найти по формулам
х = -- + 2лА, х = -—+ 2лА, AeZ.
6	6
171
Эти формулы объединяются в одну:
х =(-1)" f-—+ пп, п е Z.
< б)
(2)
Ответ
В самом деле, если п - 2k, то по формуле (2) по-
лучаем х =	+ 2 л/г, а если п = 2k - 1, то по фор-
6
5тг
муле (2) находим х =---+ 2r.k.
6
х =(-!)" |	| + Tin, п е Z. <1
Итак, каждое из уравнений sin х - 1 и sin х = - ~
имеет бесконечное множество корней. На отрезке
< х < каждое из этих уравнений имеет только
Л	•	1
один корень: xi ~ ~ — корень уравнения sin х = —
и Xj =	— корень уравнения sin х = -1 . Число
называют арксинусом числа 1 и записывают
arcsin 1=^; число называют арксинусом чис-
ла -- и пишут arcsin ||
2	I 2)	6
Вообще, уравнение sin х = а, где -1 < а < 1, на от-
резке - — < х < — имеет только один корень. Если
а > 0, то корень заключен в промежутке 0; —
если а < 0, то корень заключен в промежутке
; 0 . Этот корень называют арксинусом числа а
и обозначают arcsin а (рис. 74).
172
число а е
Арксинусом числа а е [-1; 1] называется такое
, синус которого равен а:
arcsill а = а, если sin а = а и < а < —. (3)
2	2
тт	• V 2 7Г
Например, arcsin — = —, так
и < - < —; arcsin f-—Y
2 4	2	I 2 ;
Г	л	>/з	„ л	л	п
sin — =--------и — ч — Ч —.
V	3)	2	2	3	2
как
з’
sin — =
4
= Т2
2
так как
Аналогично тому, как это сделано при решении
задач 1 и 2, можно показать, что корни уравне-
ния sin х = а, где |а| < 1, выражаются формулой
х = (-1)" arcsin а + тт, п е Z.	(4)
о
Задача 3 Решить уравнение sin х - —.
2
► По формуле (4) находим х = (-1)" arcsin —
3
+ ли,
РЕЖ
п е Z. <1
2
Значение arcsin — можно приближен-
но найти из рисунка 75, измеряя угол
РОМ транспортиром.
Значения арксинуса можно находить
с помощью специальных таблиц или
микрокалькулятора. Например, значе-
ние arcsin — можно вычислить на мик-
3
рокалькуляторе МК-51 по программе
3 = F sin 1
7,2972769 • КГ1.
2
о
Итак, arcsin — « 0,73.
3
Задача 4* Решить уравнение (3 sin х - 1) (2 sin 2х + 1) = 0.
► 1) 3 sin х - 1 = 0, sin х = —,
3
х = (-1)” arcsin — + тт, п е Z;
3
2) 2 sin 2х + 1 = 0, sin 2х =
2
173
2х = (-1)л arcsin] --|+яп = (-1)л|	| + лп =
к 2j	к в)
= (-1)л+1- + пп, X =(-1)л +1 ~ + —, П Е Z.
6	12	2
х = (-1)л arcsin - + Tin, х =(-1)л + 1 — + —, п е Z. <
3	12	2
Можно доказать, что для любого а е [-1; 1] спра-
ведлива формула
arcsin (-а) = -arcsin а.	(5)
Эта формула позволяет находить значения аркси-
нусов отрицательных чисел через значения аркси-
нусов положительных чисел. Например:
arcsin I -- I = -arcsin - = -—,
I 2j	2	6
arcsin f -— | = -arcsin — = -—.
2 J	2	3
Отметим, что из формулы (4) следует, что корни
уравнения sin х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можно
находить по более простым формулам:
sin х = 0, х = пп, п е Z,	(6)
sin х = 1, х = — + 2тсп, п е Z,	(7)
2
sin х = -1, х = --^ + 2 лп, п е Z. (8)
Задача 5 Решить уравнение sin 2х = 1.
► По формуле (7) имеем 2х = + 2пп, п е Z, откуда
х = — + лп, п е Z. <
4
	Упражнения Вычислить (586—587).
686	1) arcsin 0;	2) arcsin 1;	3) arcsin^-; 1	।	i	i 4) arcsin-;	5) arcsin -— ;	6) arcsin --— . 2	I 2 J	I 2 J
587	1) arcsin 1 - arcsin (-1);	2) arcsin + arcsin —; V2	< V2) 1	Л/3	1 v3 1	( 1 3) arcsin - + arcsin -—;	4) arcsin --— + arcsin — 1 2	2	l2J	\ 2 J
174
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
и arcsin (-1).
Сравнить числа:
1) arcsin- и arcsin ("1;
4	к 4 J
( 3
2) arcsin —
V 4
Решить уравнение (589—592).			
1)	sin х =	2) sin х = —;	3) sin x = —L.
	2	2	41
1)	sin х = -;	2) sin х =	3) sin x = —.
	7	4	3
1)	sin Зх = 1; 2)	sin 2x = -1; 3)	42 sin — = -1; 3
4)	2 sin - = 4з;	5) sin f x + — 1 =	0; 6) sinf2x + —1 = 0
	2	k 4 )	k	2)
1)	sin 4х cos 2х =	; cos 4x sin 2x;	
2)	cos 2х sin Зх =	: sin 2x cos 3x.	
Выяснить, имеет ли смысл выражение:
1) arcsin (>/5 -2);
3) arcsin (3-V17);
5) tg f 6 arcsin
к	2 7
2) arcsin (л/5 - 3);
4) arcsin (2 - 410);
6) tg f 2 arcsin — ]•
Решить уравнение (594—596).
1) 1 - 4 sin x cos x = 0;	2) >/3 + 4 sin x cos x = 0;
3) 1 + 6 sin — cos — = 0;	4) 1-8 sin — cos — = 0.
4	4	3	3
1) 1 + cos 5x sin 4x = cos 4x sin ox;
2) 1 - sin x cos 2x = cos x sin 2x.
1) (4 sin x - 3) (2 sin x + 1) = 0;
2) (4 sin Зх - 1) (2 sin x + 3) = 0.
Найти все корни уравнения sin2x = -, принадлежащие
2
отрезку [0; 2л].
х 4з
Найти все корни уравнения sin — =—, удовлетворяющие
2	2
неравенству logn (х - 4л) < 1.
Доказать, что sin (arcsin а) = а при -1 < а < 1. Вычислить:
1) sin	arcsin i ]; v.	7 J	2)	sin arcsin I -- | | k	k
3) sin 1	3 A л + arcsin — ; 4	4 J	4)	cos I — - arcsin — k 2	3
5) cos	'	 4^ arcsin - ; <	5 J	6)	tg arcsin	. 1	л/10 J
175
600
Доказать, что arcsin (sin а) = а при < а < Вычислить:
1) 7 arcsin sin —
I 7
3) arcsin I sin —
2) 4 arcsin ( sin -
I 2
4) arcsin (sin 5).
Вычислить (601—603).
601	1) cos 3) cos	arcsin arcsin	3 Y 5 / < з JJ	2) 4)	cos ^arcsin cos ^arcsin	1 _4 | >	
						p 4>	
602	1) sin	arccos	-1; 3j	2) sin 1	arccos | -- I 2		
603	1) sin	arcsin	1	2/2} — + arccos	 ; 3	3 J		2) cos	arcsin — + arccos - 5	5	
604 Решить уравнение:
1) arcsin (— -з! =	2) arcsin (3 - 2x) =--.
12 J 6	4
605 Доказать, что если О < а < 1, то 2 arcsin а = arccos (1 - 2а2).
606 С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
•	1) sin х = 0,65; 2) sin х = -0,31.
Уравнение tg х = а
Из определения тангенса следует, что tg х может
принимать любое действительное значение. По-
этому уравнение tg х = а имеет корни при любом
значении а.
Задача 1 Решить уравнение tg х = -Уз.
► Построим углы, тангенсы которых равны -Уз.
Для этого проведем через точку Р (рис. 76) пря-
мую, перпендикулярную РО, и отложим отре-
176
зок PM = л/З; через точки М и О проведем прямую.
Эта прямая пересекает единичную окружность
в двух диаметрально противоположных точках Мх
и М2. Из прямоугольного треугольника РОМ на-
ходим = — = л/з = tg х,, откуда х, = —. Таким
РО 1	3
образом, точка Мг получается из точки Р (1; 0)
Л
поворотом вокруг начала координат на угол —,
3
а также на углы х = — + 2 лА, где k = ±1, ±2, ....
3
Точка М2 получается поворотом точки Р (1; 0) на
угол х9 = — + я, а также на углы х = — + л + 2 лА, где
3	3
k = ±1, ±2, ... .
Итак, корни уравнения tg х = -Уз можно найти по
формулам х = - + 2 л/г, х = — + л (2 k + 1), k е Z. Эти
3	3
формулы объединяются в одну:
х = — + пп, п е Z. <
3
Задача 2 Решить уравнение tg х = --Уз.
► Углы, тангенсы которых равны -4з, указаны на
рисунке 77, где PM ± РО, РМ-у[3. Из прямо-
угольного треугольника РОМ находим ZPOM - —,
177
Рис. 78
т. е. хт = Таким образом, точка Мг
получается поворотом точки Р (1; 0)
вокруг начала координат на угол
х, = а также на углы х =	+ 2л/г,
1	3	3
где k = ±1, ±2, ... . Точка М2 получает-
ся поворотом точки Р (1; 0) на углы
х =	+ л (2 k + 1), k е Z. Поэтому кор-
ни уравнения tg х = --Уз можно найти
по формуле
х -	+ кп, п е Z. <
3
Итак, каждое из уравнений tg х = -Уз
и tg х = - -Уз имеет бесконечное множе-
ство корней. На интервале < х <
каждое из этих уравнений имеет толь-
ко один корень: х1 = — — корень урав-
3
нения tg х = и xt = -— — корень
3
уравнения tg х = --Уз. Число — назы-
3
вают арктангенсом числа д/З и запи-
сывают arctg л/3 = —; число называ-
3	3
ют арктангенсом числа --Уз и пишут
arctg (—Уз) = --
3
tg х = а для любого а е R
х < | только один корень. Если а
заключен в промежутке Гб; если а < 0,
Вообще, уравнение
яй
7Т
2
рень
то в
имеет на интервале
О, то ко-
промежутке O^j. Этот корень называют
арктангенсом числа а и обозначают arctg а (рис. 78).
Арктангенсом числа а е R называется такое чис-
ло а	2}’ тангенс которого равен а:
arctg а = а, если tg а = а и - — < а < —.	(1)
2	2
178
Например,
Л < n 2£,
2 4	2 ’
и
3	2
arctg 1 = —, так
4
irctgf-^ | = -J,
как tg - = 1 и
4
так как tg =
\ 6 )
7t < Л
6	2
Аналогично тому, как это сделано при решении
задач 1 и 2, можно показать, что все корни урав-
нения tg х = а, где а е R, выражаются формулой
х = arctg а + кп, п е Z.	(2)
Решить уравнение tg х = 2.
Задача 3
Рис. 79
По формуле (2) находим
х = arctg 2 + пп, п е Z. <1
Значение arctg 2 можно приближенно
найти из рисунка 79, измеряя угол
РОМ транспортиром.
Приближенные значения арктангенса
можно также найти по таблицам или
с помощью микрокалькулятора.
Например, значение arctg 2 можно
вычислить на МК-51 по программе
РЕЖ	2	F	tg 1	1,1071487.
Итак, arctg 2 » 1,11.
Задача 4* Решить уравнение (tg х + 4) (ctg х-73) =0.
► 1) tg х + 4 = 0, tg х = -4, х = arctg (-4) + Tin, п е Z.
При этих значениях х первая скобка левой части
исходного уравнения обращается в нуль, а вторая
не теряет смысла, так как из равенства tg х = -4
следует, что ctg х = Следовательно, найденные
4
значения х являются корнями исходного уравне-
ния.
2) ctg х-л/З =0, ctgx = y3, tgx = ^=,
V3
1	71
х = arctg —— + Tin = — + Tin, n e Z.
7з	e
Эти значения x также являются корнями исход-
ного уравнения, так как при этом вторая скобка
179
левой части уравнения равна нулю, а первая скоб-
ка не теряет смысла.
Ответ х = arctg (-4) + лп, х = — + лп, п g Z. О
6
Можно доказать, что для любого а e R справедли-
ва формула
arctg (-а) = -arctg а.	(3)
Эта формула позволяет находить значения арктан-
генсов отрицательных чисел через значения арк-
тангенсов положительных чисел. Например:
arctg (-V3) = -arctg V3 = - —,
3
arctg (-1) = -arctg 1 =	.
Упражнения
607
608
609
610
611
612
Вычислить (607—608).
1) arctg 0; 2) arctg (-1); 3) arctgf-— 4) arctg-Тз.
1)	6 arctg л/3 -4 arcsin —;
I V2 J
2)	2 arctg 1 + 3 arcsin ( -- j;
3)	5 arctg (—Vs)-3 arccos (
Сравнить числа:
f /з А	г	1
1) arctg (-1) и arcsin I; 2) arctg \3 и arccos
3)	arctg (-3) и arctg 2;	4) arctg (-5) и arctg 0.
Решить уравнение (610—612).
1)	tgx = -^;	2) tgx = V3;
V3
4)	tg x = -1;	5) tg x = 4;
1)	tg 3x = 0;	2) 1 + tg - = 0;
3
1)	(tg x - 1) (tg x + V3) = 0;
2)	(V3 tg x + 1) (tg x - V3) = 0;
3) tg x = -VS;
6) tg x = -5.
3) V3 + tg - = 0.
3)	(tg x - 2) (2 cos x - 1) = 0; 4) (tg x - 4,5) (1 + 2 sin x) = 0;
5)	(tg x + 4) | tg -1"| = 0;	6) f tg ^ + 1") (tg x - 1) = 0.
180
613 Найти наименьший положительный и наибольший отрица-
тельный корни уравнения 3 tg х - -/з =0.
614 Решить уравнение:
1) arctg (5х - 1) = j; 2) arctg (3 - 5х) = -^.
615 Доказать, что tg (arctg а) = а при любом а. Вычислить:
1) tg (arctg 2,1);	2) tg (arctg (-0,3));
3) tg (л - arctg 7);	4) ctg f — + arctg 6 \
k 2	)
616 Доказать, что arctg (tg a) = а при < a < ^. Вычислить:
1) 3 arctg [ tg — \	2) 4 arctg (tg 0,5);
k 7 J
3) arctg (tg—'h	4) arctg (tg 13).
\	8 /
617 Вычислить:
1) arctg f ctg—\	2) arctg f ctg— \
k 6 J	k 4 J
3) arctg | 2 sin — |;	4) arctg | 2 sin —
k 6 )	k 3)
618 Доказать, что при любом действительном значении а спра-
ведливо равенство cos (arctg а) = , 1
л/1+ а2
619 С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) tg х = 9;	2) tg х = -7,8.
" Решение тригонометрических уравнений
В предыдущих параграфах были выведены фор-
мулы корней простейших тригонометрических
уравнений sin х = a, cos х = a, tg х = а. К этим
уравнениям сводятся другие тригонометрические
уравнения. Для решения большинства таких урав-
нений требуется применение различных формул
181
и преобразований тригонометрических выражений.
Рассмотрим некоторые примеры решения тригоно-
метрических уравнений.
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Задача 1 Решить уравнение sin2 х + sin х - 2 = 0.
► Это уравнение является квадратным относительно
sin х. Обозначим sin х = у, получим уравнение
у2 + у - 2 = 0. Его корни уг = 1, у2 = -2. Таким
образом, решение исходного уравнения свелось
к решению простейших уравнений sin х = 1 и
sin х = -2.
Уравнение sin х = 1 имеет корни х- - 2 ли, п е Z;
уравнение sin г = -2 не имеет корней.
Ответ х = — + 2лп, n е Z. <
2
Задача 2 Решить уравнение 2 cos2 х - 5 sin х + 1 = 0.
► Заменяя cos2 х на 1 - sin2 х, получаем
2 (1 - sin2 х) - 5 sin х + 1 = 0, или
2 sin2 х + 5 sin х - 3 = 0.
Обозначая sin х = у, получаем 2у2 + 5у - 3 = 0,
откуда уг = -3, у2 =|.
1) sin х = -3 — уравнение не имеет корней, так
как |-3| > 1;
2) sin х = -, х = (-1)” arcsin - * лп = (-1)” - + лп,
2	2	6
п е Z.
Ответ х = (-1)" — - лп, п е Z. <1
6
Задача 3 Решить уравнение 2 sin2 х - cos х - 1 = 0.
► Используя формулу sin2 х = 1 - cos2 х, получаем
2 (1 - cos2 х) - cos х - 1 = 0,
2 cos2 х + cos х - 1 = 0, cos х = у,
2у2 - у - 1 = 0, z/j = 1, у2 = -|.
1) cos х = 1, х = 2лп, п е Z;
2) cos х = х = ±arccos I -- I + 2лп =
2	k 2 J
182
= ± I it - arccos -| + 2лп= + |л- — i + 2 лп =
к	2)	к 3j
= ± — + 2лп, п е Z.
3
ОЙИ# х = 2лп, х = ±— +2лп, п е Z. <1
3
Задача 4 Решить уравнение tg х - 2 ctg х + 1 = 0.
► Так как ctg х = ——, то уравнение можно записать
tg х
В виде
tg х---------------------1-1 = 0.
tg х
Умножая обе части уравнения на tg х, получаем
tg2 х + tg х - 2 = О,
tg х = у, уг + у - 2 = О, = 1, у2 = -2.
1) tg х = 1, х = — + Tin, п е Z;
4
2) tg х = -2, х = arctg (-2) + лп = -arctg 2 + лп,
п е Z.
Отметим, что левая часть исходного уравнения
имеет смысл, если tg х * 0 и ctg х * 0. Так как
для найденных корней tg х * 0 и ctg х * 0, то
исходное уравнение равносильно уравнению
tg2 х + tg х - 2 = 0.
. ЛИяйЙ ; х = — + лп, х = -arctg 2 + лп, п е Z. <1
4
Задача 5 Решить уравнение 3 cos2 6х + 8 sin Зх cos Зх - 4 = 0.
► Используя формулы
sin2 6х + cos2 6х = 1, sin 6х = 2 sin Зх cos Зх,
преобразуем уравнение:
3 (1 - sin2 6х) + 4 sin 6х - 4 = О,
3 sin2 6х - 4 sin 6х + 1 = 0.
Обозначим sin 6х = у, получим уравнение
Зу2 - 4у + 1 = 0, откуда уг = 1, у2 =
О
1) sin 6х = 1, 6х = — + 2лп, х = — + —, п е Z;
2	12	3
2) sin6x = —, 6х = (-1)л arcsin— +лп,
3	3
(-1)"	. 1 лп
х ----— arcsin — ч---, п е Z.
6	3	6
„	Л лп (-1)"	.	1 лп	„л
Ответ х = — + —, х = ---------arcsin + —, п е Z. <1
12	3	6	3	6
183
Задача 6
Задача 7
Ответ
2. Уравнение a sin х + Ь cos х = с.
Решить уравнение 2 sin х - 3 cos х = 0.
Поделив уравнение на cos х, получим 2 tg х - 3 = 0,
tg х = , х = arctg + яп, п е Z. <1
При решении этой задачи обе части уравнения
2 sin х - 3 cos х = 0 были поделены на cos х. На-
помним, что при делении уравнения на выраже-
ние, содержащее неизвестное, могут быть поте-
ряны корни. Поэтому нужно проверить, не явля-
ются ли корни уравнения cos х = 0 корнями
данного уравнения. Если cos х = 0, то из уравне-
ния 2 sin х - 3 cos х = 0 следует, что sin х = 0.
Однако sin х и cos х не могут одновременно рав-
няться нулю, так как они связаны равенством
sin2 х + cos2 х = 1. Следовательно, при делении
уравнения a sin х + b cos х - 0, где а 0, b * 0,
на cos х (или sin х) получаем уравнение, равно-
сильное данному.
Решить уравнение 2 sin х + cos х = 2.
Используя формулы sin х = 2 sin — cos —, cos х =
2	2
ч X  2 х
= cos — sinz — и записывая правую часть уравне-
sin2 — + cos2 —
2	2
4 sin - cos - + cos2 — - sin2 — = 2 sin2 — + 2 cos2 —,
2	2	2	2	2	2
3 sin2 — - 4 sin — cos — + cos2 — = 0.
2	2	2	2
Поделив это уравнение на cos2 получим равно-
сильное уравнение 3 tg2 - 4 tg | + 1 = 0. Обозна-
чая tg — = у, получаем уравнение Зу2 - 4у + 1 = 0,
2
откуда z/, = 1, у2 = |.
О
1) tg — = 1, — = — + яп, х = — + 2яп, п е Z;
2	2	4	2
2) tg - = —, - = arctg i + лп, х = 2 arctg — + 2яп,
2 3	2	3	3
п е Z,
х = — + 2яп, х = 2 arctg — + 2яп, п е Z. <1
2	3
, получаем
ния в виде 2=21=2
184
Уравнение, рассмотренное в задаче 7, является
уравнением вида
a sin х + b cos х = с,	(1)
где а * о, b * 0, с * 0, которое можно решить дру-
гим способом. Разделим обе части этого уравнения
на у]а2 + Ь2 :
, а	sin х + — b — cos х = -, с —(2)
•/а2 ~ Ь2	/а2 + Ь2	у]а2 + Ь2
Введем вспомогательный аргумент ф, такой, что
а 	b
cos <р = —	, sin ф = ~=—= .
fi^Tb2	+ Ь2
Такое число <р существует, так как
Таким образом, уравнение (2) можно записать в
виде
sin х cos ф + cos х sin ф = с —,
Ja2 + b2
sin (x + ф) = . c- .
^Tb2
Последнее уравнение является простейшим триго-
нометрическим уравнением
Задача 8 Решить уравнение 4 sin х + 3 cos х = 5.
► Здесь а = 4, b = 3, ija2 +b2 = 5.
Поделим обе части уравнения на 5:
- sin х + — cos х = 1.
5	5
Введем вспомогательный аргумент ф, такой, что
cos ф - -, sin ф = — . Исходное уравнение можно
5	5
записать в виде
sin х cos ф + cos х sin ф = 1, sin (х + ф) = 1,
откуда х + ф = — + 2яп, где ф = arccos
2	5
х = ~ - arccos - + 2 пп, п е Z.
2	5
Ответ	х = — - arccos - + 2 лп, п е Z. <]
2	5
185
3. Уравнения, решаемые разложением левой час-
ти на множители.
Многие тригонометрические уравнения, правая
часть которых равна нулю, решаются разложением
их левой части на множители.
Задача 9 Решить уравнение sin 2 х - sin х = 0.
► Используя формулу синуса двойного аргумента, за-
пишем уравнение в виде 2 sin х cos х - sin х = 0.
Вынося общий множитель sin х за скобки, полу-
чаем sin х (2 cos х - 1) = 0.
1) sin х = 0, х = яп, п е Z;
2) 2 cos х - 1 = 0, cos х =	х = ±— -г 2 лп, п е Z.
2	3
Ответ х = лп, х = ±— + 2яп, п е Z. <1
3
Задача 10 Решить уравнение cos Зх + sin 5х = 0.
► Используя формулу приведения sin а = cos (- а ),
запишем уравнение в виде cos Зх + cos — -5х = 0.
\ 2	)
Используя формулу суммы косинусов, получаем
2 cos - - х cos 4х - - I - 0.
<4	) V 47
1)	cos I — - х | = 0, x — — = — + лп, х = — л -i- яп, и е Z;
14	)	42	4
2)	cosf4x- — = 0, 4х-— = — + яп, х = —л + —,
I 4 )	4	2	16	4
и e Z.
Ответ х = — л + лп, х = — л + —, n е Z. <1
4	16	4
Задача 11 Решить уравнение sin 7х + sin Зх = 3 cos 2х.
► Применяя формулу для суммы синусов, запишем
уравнение в виде
2 sin 5х cos 2х = 3 cos 2х,
2 sin 5х cos 2х - 3 cos 2х = 0,
Л	о Л
откуда cos 2x1 sin 5х - — I = 0.
Уравнение cos 2х = 0 имеет корни х = ^ + ^-,
О
п 6 Z, а уравнение sin 5х = — не имеет корней.
Ответ х-- + —, neZ. <
4	2
186
Задача 12	Решить уравнение cos Зх cos х = cos 2х. ► Так как cos 2х = cos (Зх - х) = cos Зх cos х + - sin Зх sin х, уравнение примет вид sin х sin Зх = 0. 1) sin х = 0, х = яп, п е Z; 2) sin Зх = 0, х = —, п е Z. 3 Заметим, что числа пп содержатся среди чисел вида х = —, п е Z, так как если п = З/г, то — = яй. 3	3 Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
Ответ	х=^, п е Z. 0 3 Часто бывает трудно усмотреть, что две серии кор- ней, полученных при решении тригонометриче- ского уравнения, имеют общую часть. В этих слу- чаях ответ можно оставлять в виде двух серий. Например, ответ к задаче 12 можно было записать и так: х = яп, х = —, п е Z. 3
Задача 13*	Решить уравнение (tg х + 1) 2 cos — - 7з = 0. \	3	J ► 1) tg х + 1 = 0, tg х = -1, х =	+ яп, п е Z. 4 Эти значения х являются корнями исходного урав- нения, так как при этом первая скобка левой части уравнения равна нулю, а вторая не теряет смысла. 2) 2 cos — --Уз = 0, cos-=^l, — =+—-2яп, 3	3	2	3	6 х = ± — + 6 яп, п е Z. 2 При этих значениях х вторая скобка левой части исходного уравнения равна нулю, а первая скобка не имеет смысла. Поэтому эти значения не являют- ся корнями исходного уравнения.
Ответ	х = -— + яп, п е Z. <1 4
Задача 14*	Решить уравнение 6 sin2 х + 2 sin2 2х = 5. ► Выразим sin2 х через cos 2х. Так как cos 2х = = cos2 х - sin2 х, то cos 2х = (1 - sin2 х) - sin2 х, cos 2х = 1 - 2 sin2 х, откуда sin2 х = - (1 - cos 2х). 2
187
 Ответ
Задача 15*
Ответ
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1- cos 2х) + 2 (1 - cos2 2х) = 5,
или 2 cos2 2х + 3 cos 2х = 0, откуда
cos 2х (2 cos 2х + 3) = 0.
1) cos 2х = 0, х = - + —, п е Z;
4	2
з
2) уравнение cos 2х = -— корней
„ 7t . ТТЛ „ _	>\
х = — н-----, п е Z, <J
4	2
Решить систему уравнений
не имеет.
sin х cos у =
2
cos х sin у = -.
Складывая уравнения данной системы и вычитая
из второго уравнения первое, получаем равносиль-
f sin х cos у + cos х sin у = 0,
ную систему (
[cos х sin у - sin х cos у = 1,
х + у - кп,
у - х = — + 2nk, n,keZ.
2
Решая последнюю систему, находим
24	<2	4)
y = — -- + nk -	+
24	12	4J
f sin (х + у) = 0,
откуда ( .
[ sin (у - х) = 1,
xf^ + fc-ДА п, k е Z. <1
<2	4/	<2 4JJ
Отметим, что в равенствах -
х + у = тт,
у - х = — + 2~k
У 2
буквы п и k могут принимать различные целые
значения независимо друг от друга. Если в обоих
равенствах написать одну букву п, то будут поте-
ряны решения. Например:
х + у = 0,
у — х = — + 2п,
У 2
Т. е. х--— -71, у = — + 71.
4	4
188
Упражнения
Решить уравнение (620—644).
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
1) sin1 2 3 4 х =
4
3)	2	sin2	х	+ sin х - 1	=	0;
1)	2	cos2	x	- sin x + 1	=	0;
3)	4	sin2	x	- cos x - 1	=	0;
1) tg2 x = 2;
3) tg2 x-3tgx-4 = 0;
1) 1 + 7 cos2 x = 3 sin 2x;
3) cos 2x + cos2 x + sin x cos
4) 3 cos 2x + sin2 x + 5 sin x
i) 4з cos x + sin x = 0;
3) sin x = 2 cos x;
1) sin x - cos x = 1;
3) V3 sin x + cos x = 2;
1) cos x = cos 3x;
3) sin 2x = cos 3x;
1) cos 3x - cos 5x = sin 4x;
3) cos x + cos 3x = 4 cos 2x;
2) cos2 x = - ;
2
4)	2 cos2 x +	cos x	-	6	= 0.
2)	3 cos2 x -	sin x	-	1	= 0;
4)	2 sin2 x +	3 cos	x	=	0.
2)	tg x = ctg	x;
4) tg2 x - tg x + 1 = 0.
2) 3 + sin 2x = 4 sin2 x;
= 0;
cos x = 0.
2) cos x = sin x;
4) 2 sin x + cos x = 0.
2) sin x + cos x = 1;
4) sin 3x + cos 3x = 42.
2) sin 5x = sin x;
4) sin x + cos 3x = 0.
2) sin 7x - sin x = cos 4x;
4) sin2 x - cos2 x = cos 4x.
1) (tg x --/З) | 2 sin — + 1 ] = 0;
2) 1-V2 cos-1(1 + 7з tg x) =0;
\	4)
3)
2 sin x - — I -1 (2 tg x + 1) = 0;
\	6)	)
4)
1 + V2 cos x +
1)	73 sin x cos x = sin2 x;	2)	2 sin x cos x = cos	x;
3)	sin 4x + sin2 2x = 0;	4)	sin 2x + 2 cos2 x =	0.
1)	2 sin2 x = 1 + — sin 4x;	2)	2 cos2 2x - 1 = sin	4x;
3
3) 2 cos2 2x + 3 cos2 x = 2;	4) (sin x + cos x)2 = 1 + cos x.
1) 2 sin 2x - 3 (sin x + cos x) + 2 = 0;
2) sin 2x + 3 = 3 sin x + 3 cos x;
3) sin 2x + 4 (sin x + cos x) + 4 = 0;
4) sin 2x + 5 (cos x + sin x + 1) = 0.
189
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
1) 1-cos (л - х) + sin I — + — I = 0;
\ 2	2 J
2) 72 cos^x-^ =(sin x + cos x)1 2.
1)	8 sin x cos x cos 2x = 1;	2) 1 + cos2 x - sin4 * x.
1)	2 cos2 2x + 3 sin 4x + 4 sin2 2x = 0;
2)	1 - sin x cos x + 2 cos2 x = 0;
3)	2 sin2 x + cos3 2x = 1; 4) sin2 2x + cos2 3x = 1 + 4 sin x.
4
1)	cos x cos 2x - sin x sin 2x; 2) sin 2x cos x = cos 2x sin x;
3) sin 3x = sin 2x cos x; 4) cos 5x cos x = cos 4x.
1)	4 sin2 x - 5 sin x cos x - 6 cos2 x = 0;
2)	3 sin2 x - 7 sin x cos x + 2 cos2 x = 0;
3)	1 - 4 sin x cos x + 4 cos2 x = 0; 4) 1 + sin2 x = 2 sin x cos x.
1) 4 sin 3x + sin 5x - 2 sin x cos 2x = 0;
2)	6 cos 2x sin x + 7 sin 2x = 0.
1) sin2 x + sin2 2x = sin2 3x;
2) sin x (1 - cos x)2 + cos x (1 - sin x)2 = 2.
1) sin x sin 2x sin 3x = - sin 4x;
4
2) sin4 x + cos4 x = - sin2 2x.
2
1) cos2 x + cos2 2x = cos2 3x + cos2 4x; 2) sin6 x + cos6 x = —.
4
cos 2 x cos x	1	. 2 i
1) -----h-------= 1;	2) sin x +----= snr x н-------.
cos x cos 2x	sin x	sin2 x
1) sin x sin эх = 1;	2) sin x cos 4x = -1.
1) 75cos x -cos2x = -2 sinx; 2) 7cosx + cos3x = -72 cosx.
1) 4 |cos x| - 3 = 4 sin2 x; 2) | tg x| + 1 = —.
cos2 x
Решить систему уравнений:
|cos(x + у) =0,	| sin x-sin у = 1,
[cos (x -y) = 1;	[ sin2 x + cos2 у = 1.
Найти все значения а, при которых уравнение
4 sin2 х + 2 (а - 3) cos х + За - 4 = 0
имеет корни, и решить это уравнение.
Найти все значения а, при которых уравнение
sin2 х - sin х cos х - 2 cos2 х = а
не имеет корней.
190
: Примеры решения простейших
: тригонометрических неравенств
Задача 1 Решить неравенство cos х > .
► По определению cos х — это абсцисса точки еди-
ничной окружности. Чтобы решить неравенство
1
cos х > нужно выяснить, какие точки единичной
2
окружности имеют абсциссу, большую i.
Абсциссу, равную —, имеют две точ-
2
ки единичной окружности М} и М2
(рис. 80).
Точка Mj получается поворотом точки
Р (1; 0) на угол ---, а также на углы
3
- — + 2 ли, где п = ±1, ±2, ... . Точка М2
3
7Г
получается поворотом на угол —, а так-
3
же на углы — + 2лп, где п = ±1, ±2, ....
3
Абсциссу, большую i, имеют все точки М дуги еди-
ничной окружности, лежащие правее прямой МАМ2.
Таким образом, решениями неравенства cos за-
являются все числа х из промежутка -~ < х <
Все решения данного неравенства — множество
интервалов
+ 2 пп
3
— + 2 лп, п е Z. <1
3
Задача
Решить неравенство cos х < .
► Абсциссу, не большую i, имеют все точки дуги
МХММ2 единичной окружности (рис. 81). Поэто-
2
191
му решениями неравенства cos х < являются чис-
ла х, которые принадлежат промежутку — < х < —.
3	3
Все решения данного неравенства — множество от-
резков
- + 2яп < х < — + 2ли, п е Z. <1
3	3
Задача 3 Решить неравенство sin х > -1.
► Ординату, не меньшую имеют все точки дуги
2
МХММ2 единичной окружности (рис. 82). Поэтому
решениями неравенства sin х > - являются чис-
ла х, принадлежащие промежутку < х < —.
6	6
Все решения данного неравенства — множество от-
резков
+ 2лп < х < — + 2 ли, п е Z. <1
6	6
Отметим, что все точки окружности, лежащие
ниже прямой МуМ2, имеют ординату, меньшую --
(рис. 82). Поэтому все числа х е|	| явля-
<6	6)
ются решениями неравенства sin х <	. Все реше-
ния этого неравенства — интервалы
Г- — +2лп; - —+ 2лп |, п € Z.
I 6	6	)
192
(х ।	V 2
Задача 4 Решить неравенство cos I — — 1 I < — —.
► Обозначим — -1 = z/. Решая неравенство cos у < - —
4	2
(рис. 83), находим
— + 2пп < у < — + 2лп, п е Z.
4	4
Заменяя у = ~ -1, получаем
---hZitn ч 1ч — + 2 ли,
4--4	4
откуда
1+Зл+2лп < - < 1 + — + 2пн,
4	4	4
4 + Зл + 8лп < х < 4 + 5л + 8лга,
п е Z.
4 + Зл + 8лп < х < 4 + 5л + 8лга, п е Z. <1
Упражнения
Решить неравенство (648—654).
648 1) cos х > —;
2
3) cos х > - —;
2
2) cos x < —;
2
/2
2
4) cos х
649 1) cos x <	2)
630 1) sin x >
2
651 l)sinx>-V2;
3) sin x < -1;
652 1) V2 cos 2 x < 1;
3) sinfx + ->|<—;
\ 4j 2
653 1) cos f — + 2^1 >
k3 J 2
cos x < -2; 3) cos x > 1; 4) cos x < -1
2) sin x
—; 4) sin x >--------
2	2
2) sin x > 1;
4) sin x > 1.
2) 2 sin 3x > -1;
4) cosf x~—
I 6J 2
2)	sinf —-3^1 <.
<4	)	2
/2 .
2 ’
654 1) sin2 x + 2 sin x > 0;
7 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
2) cos2 x - cos x < 0.
193
Упражнения
к главе VI
665 Вычислить:
\13	f 1
1)2 arcsin — + 3 arcsin —
2	I 2
/	1 A
3) arccos — -arcsin -—;
I 2 J 2
5) 2 arctg 1 + 3 arctg —=
l 7з
2) arcsin -4 arcsin 1;
V2
4) arccos (-1) - arcsin (-1);
6) 4 arctg (-1) + 3 arctg ^3.
Решить уравнение (656—665).
656	1) cos (4 - 2x) =	2) cos (6 + 3x) =
	3) V2 cos |2x + — | + l = 0;	4) 2 cos f--3x1-^3 =0.
	I 4)	13 J
657	1) 2 sin f 3x- —1 + 1 = 0;	2) l-sn/- + -l =0;
	I 4 J	<2	3 J
	3) 3 + 4 sin (2x + 1) = 0;	4) 5 sin (2x - 1) - 2 = 0.
658	1) (1 + V2 cos x) (1 - 4 sin x	cos x) = 0;
	2) (1 - V2 cos x) (1 + 2 sin 2x cos 2x) = 0.	
659	1) tgf2x + —1 = -1;	2) tgf3x-^] = -t;
	I 4 J	<	4; /3
	3) 7з -tg \ x --1 = 0;	4) l-tgrx + -l = 0.
	V 5)	<	7 J
660	1) 2 sin2 x + sin x = 0;	2) 3 sin2 x - 5 sin x - 2 = 0;
	3) cos2 x - 2 cos x = 0;	4) 6 cos2 x + 7 cos x - 3 = 0.
661	1) 6 sin2 x - cos x + 6 = 0;	2) 8 cos2 x - 12 sin x + 7 = 0.
662	1) tg2 x + 3 tg x = 0;	2) 2 tg2 x - tg x - 3 = 0;
	3) tg x - 12 ctg x + 1 = 0;	4) tg x + ctg x = 2.
663	1) 2 sin 2x = 3 cos 2x;	2) 4 sin 3x + 5 cos 3x = 0.
664	1) 5 sin x + cos x = 5;	2) 4 sin x + 3 cos x = 6.
665	1) sin 3x = sin 5x;	2) cos2 3x - cos 3x cos 5x = 0;
	3) cos x = cos 3x;	4) sin x sin 5x - sin2 5x = 0.
194
Проверь себя!
1
2
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
Найти значение выражения:
( 1	л/з
1) arccos 1 + arcsin 0;	2) arccos — -arcsin —.
к 2j	2
Решить уравнение:
1) sin Зх cos х - sin х cos Зх = 1;
2) 2 cos2 х + 5 cos x = 3;	3) tg x - 3 ctg x = 0;
4) sin 3x - sin x = 0;	5) 2 sin x + sin 2x = 0.
Вычислить (666—667).
1)	. (	/з к sin arccos — ; к	2 J	2)	tg (	arccos^; 3) tgj	42 arccos — ч	2
1)	sin (4 arcsin 1);	2)	sin	3 arcsin -— ; к	2 J	
3)	cos (6 arcsin 1);	4)		\	-72^1 4 arcsin — . 2 J	
Решить уравнение (668—675).
1) sin 2x + 2 cos 2x - 1;	2) cos 2x + 3 sin 2x - 3.
1) 3 sin2 x + sin x cos x - 2 cos2 x = 0;
2) 2 sin2 x + 3 sin x cos x - 2 cos2 x = 0.
1) 1 - 2 sin x = sin 2x + 2 cos x;
2) 1 - 3 cos x = sin 2x + 3 sin x.
1)	sin x + - - cos x + — = 1 + cos 2x;
к	ej	к	з;
2)	sin x - — + cos x - — = sin 2x.
V	4 J	к
1)	cos3 * 5 x sin x - sin3 x cos x = -;
4
2) sin3 x cos x + cos3 x sin x = - .
4
1) sin2 x + sin2 2x = 1;	2)	sin2 x + cos2 2x - 1;
3) sin 4x = 6 cos2 2x - 4;	4)	2 cos2 3x + sin 5x = 1.
1) sin2 x - cos x cos 3x = - ;	2)	sin 3x = 3 sin x;
4
3) 3 cos 2x - 7 sin x = 4;	4) 1 + cos x + cos 2x = 0;
5) 5 sin 2x + 4 cos3 x - 8 cos x = 0.
1) sin x + sin 2x + sin 3x = 0;
2) cos x - cos 3x = cos 2x - cos 4x.
195
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
Вычислить (676—677).
1) sin I arcsin — |;
l з;
3)	sin f л -arcsin — \
I 4/
/	к \
1)	tg 1л + arctg - ;
к + arcsin — |.
3 J
-arctg 2 .
Решить уравнение (678—684).
1)	sin 2х sin х	2)	sin 3x sin x		3)	cos 2x _ COS X	0;
4)	cos 3 х COS X	5)	sin x о sin 5x		6)	COS X cos 7x	0.
1)	cos x sin 5x	= -l;		2)	sin	x cos 3x	= -1.
1)	2 cos 3x = 3	sin x	+ cos x;	2)	cos	3x - cos	2x = sin 3x.
1) sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1;	2) sin 2x - cos 2x = tg x,
cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = —.
2
^/-4 cos x cos2 x = ^7 sin 2x .
| cos x | - cos 3x = sin 2x.
Решить систему уравнений:
sin у cos у = -,	[ sin x + sin у = 1,
1)	2	2) <
sin2x + sin 2y =0;	[cos x-cos у = V3.
	• 1
2) •	sin X cos и = - , 2 cos x sin У = ~~
	
а уравнение sin4 х + cos4 х = а име-
sin x 5
sin у 3 ’
1) 1
COS X 1 _
cos у 3
При каких значениях
ет корни? Найти эти корни.
Найти все значения а, при которых уравнение
sin10 х + cos10 х = а имеет корни.
Найти все значения а, при которых уравнение
sin 2х - 2а V2 (sin х + cos х) + 1 - ба2 = 0
имеет корни, и решить это уравнение.
Решить неравенство:
1) 2 cos2 х + sin х - 1 < 0;	2) 2 sin2 х - 5 cos х + 1 > 0.
196
VII
т глава
: Тригонометрические
7 функции
Я не мог понять содержание вашей
статьи, так как она не оживлена
иксами и игреками.	m
У. Томсон
Область определения
и множество значений
тригонометрических функций
Вы знаете, что каждому действительному числу х
соответствует единственная точка единичной
окружности, получаемая поворотом точки (1; 0)
на угол х рад. Для этого угла определены sin х
и cos х. Тем самым каждому действительному чис-
лу х поставлены в соответствие числа sin х тл. cos х,
т. е. на множестве R всех действительных чисел
определены функции
у = sin х и у = cos х.
, ч v Таким образом, областью определения функций
У = s^n х и У = cos х является множество R всех
действительных чисел.
Чтобы найти множество значений функции
у = sin х, нужно выяснить, какие значения может
принимать у при различных значениях х, т. е.
установить, для каких значений у есть такие зна-
чения х, при которых sin х = у. Известно, что урав-
нение sin х = а имеет корни, если |а| < 1, и не име-
ет корней, если |а | > 1.
Следовательно, множеством значений функции
у = sin х является отрезок -1 < у С 1.
Аналогично множеством значений функции
у = cos х также является отрезок -1 < у < 1.
197
Задача 1 Найти область определения функции
У = -— ------•
sm х + cos х
► Найдем значения х, при которых выражение
------------- не имеет смысла, т. е. значения х,
sin. х + cos х
при которых знаменатель равен нулю. Решая
уравнение sin х + cos х = 0, находим tg х = -1,
х = -- + хп, п е Z. Следовательно, областью опре-
4
деления данной функции являются все значения
х *	+ хп, п е Z. <1
4
Задача 2 Найти множество значений функции
у = 3 + sin х cos х.
► Нужно выяснить, какие значения может при-
нимать у при различных значениях х, т. е.
установить, для каких значений а уравнение
3 + sin х cos х = а имеет корни. Применяя фор-
мулу синуса двойного угла, запишем уравнение
так: 3 + sin 2х = а, откуда sin 2х = 2а - 6. Это
уравнение имеет корни, если \2а - 6| < 1, т. е.
-1 < 2а - 6 С 1, откуда 5 < 2а < 7, 2,5 < а 3,5.
Следовательно, множеством значений данной
функции является промежуток 2,5 < г/ < 3,5. <1
Функция у = tg х определяется формулой
, sin х
у = tg х =---. Эта функция определена при тех
cos х
значениях х, для которых cos х 0.
Известно, что cos х = 0 при х = + хп, п е Z.
Следовательно, областью определения функции
у = tg х является множество чисел х * + хп,
п е Z.
Так как уравнение tg х = а имеет корни при лю-
бом действительном значении а, то множеством
значений функции у = tg х является множество R
всех действительных чисел.
Функции у = sin х, у - cos х, у = tg х называются
тригонометрическими функциями.
198
Задача 3 Найти область определения функции
у = sin Зх + tg 2х.
► Нужно выяснить, при каких значениях х выра-
жение sin Зх + tg 2х имеет смысл. Выражение
sin Зх имеет смысл при любом значении х, а вы-
ражение tg 2х — при 2х * — + пп, п е Z, т. е. при
2
х	, п е Z. Следовательно, областью опреде-
4	2
ления данной функции является множество дейст-
вительных чисел х* — + —, neZ. <1
4	2
Задача 4* Найти множество значений функции
у = 3 sin х + 4 cos х.
► Выясним, при каких значениях а уравнение
3 sin х + 4 cos х = а имеет корни. Поделим урав-
нение на ^З2 + 42 = 5:
3-4	а
— sin X + - cos X = —.
5	5	5
о
Так как 0 < — < 1, то можно найти такой угол а
5
первой четверти, 0 < а < —, что cos а = — (этот угол
2	5
. Тогда sin2 а = 1 - cos2 а = 1 - — = —,
25	25
откуда sin а = —, так как О < а < —. Уравнение
5	2
примет вид sin х cos а + cos х sin а = —, т. е.
5
sin (х + а) = —. Это уравнение имеет корни, если
5
-1 < < 1, т. е. -5 < а < 5.
5
Ответ -5 < у < 5. <1
Упражнения
691 Найти область определения функции:
1) у = sin 2х;	2) y=cos^;	3)
2	/—
4) у = sin —;	5) у = sin ух;	6)
х
692 Найти множество значений функции:
1) у = 1 + sin х; 2) у = 1 - cos х;
а = arccos -
5
у = cos —
у = cos
199
	3) у = 2 sin х + 3;	4) у = 1 - 4 cos 2х; 5) у = sin 2х cos 2х + 2;	6) у = 1 sin х cos х-1. Найти область определения функции (693—695).
693	1) у = —^—;	2) у = ——;	3) y = tg^; 4) у = tg 5х. COS X	sin X	3
694	1) i/= ^/sin х + 1;	2) у = д/cos х “I?	3) у = lg sin х; 4) у = yj2 cos х -1;	5) у = ^/1-2 sin х;	6) у - In cos х.
695	D	 2 1 . ;	2) У- -2 2 	’ 2 sin* х - sin X	cos х - sin* X 3) у = 		L—4) У = —		• sin X - sin 3 X	cos'5 X + cos X
696	Найти множество значений функции: 1) у = 2 sin2 х - cos 2х;	2) у = 1 - 8 cos2 х sin2 х; 3) у =	;	4) у = 10 - 9 sin2 Зх; 4 5) у = 1 - 2 |cos х|;	6) у = sin х + sin х + - . V. 3 J
697	Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 cos 2х - 4 sin 2х.
698 699	Найти множество значений функции у = sin х - 5 cos х. Найти множество значений функции у = 10 cos2 х - 6 sin х cos х + 2 sin2 х.
Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций
Вы знаете, что для любого значения х верны равен-
ства
sin (-х) = -sin х, cos (-х) = cos х.
Следовательно, у = sin х — нечетная функция,
а у = cos х — четная функция. Так как для лю-
бого значения х из области определения функ-
ции у = tg х верно равенство tg (-х) = -tg х, то
у - tg х — нечетная функция.
200
Задача 1 Выяснить, является ли функция
2,	•	I 3 7Т |	**	*-*
+ sin х cos — + х четной или нечетной.
I 2	)
► Используя формулу приведения, запишем дан-
ную функцию так: у = 2 + sin2 х. Имеем у (—х) =
= 2 + sin2 (-х) = 2 + (-sin х)2 = 2 + sin2 х = у (х),
т. е. данная функция является четной. <]
Известно, что для любого значения х верны ра-
венства sin (х + 2л) = sin х, cos (х + 2л) = cos х.
Из этих равенств следует, что значения синуса
и косинуса периодически повторяются при измене-
нии аргумента на 2л. Такие функции называются
периодическими с периодом 2л.
Функция / (х) называется периодической, если су-
ществует такое число Т * 0, что для любого х из
области определения этой функции выполняется
равенство f (х - Т) = / (х) = f (х + Т).
Число Т называется периодом функции f (х).
Из этого определения следует, что если х принад-
лежит области определения функции / (х), то чис-
ла х + Т, х - Т и вообще числа х + Tn, п е Z, так-
же принадлежат области определения этой перио-
дической функции и f (х + Tri) = f (х), п е Z.
Покажем, что число 2л является наименьшим по-
ложительным периодом функции у = cos х.
ф Пусть Т > 0 — период косинуса, т. е. для любого х
выполняется равенство cos (х + Т) = cos х. Поло-
жив х = 0, получим cos Т = 1. Отсюда Т = 2лА,
k е Z. Так как Т > 0, то Т может принимать зна-
чения 2л, 4л, 6л, ..., и поэтому период не может
быть меньше 2л. О
Аналогично можно доказать, что наименьший
положительный период функции у - sin х также
равен 2л.
Задача 2 Доказать, что f (х) = sin Зх — периодическая функ-
2 л
ция с периодом —.
3
► Если функция f (х) определена на всей число-
вой оси, то, для того чтобы убедиться в том, что
она является периодической с периодом Т, доста-
201
точно показать, что для любого х верно равенст-
во / (х + Т) = f (х). Данная функция определена
для всех х е R, и f | х + — I = sin 3 | х + — ] =
I 3 ) I 3 )
= sin (Зх + 2л) = sin Зх = f (х). <3
Покажем, что функция у = tg х является периоди-
ческой с периодом л.
ф Если х принадлежит области определения этой
функции, т. е. х * - — + лп, п е Z, то по формулам
2
приведения получаем
tg (х - л) = -tg (л - х) = -(-tg х) = tg х,
tg (х + к) = tg х.
Таким образом, tg (х - л) = tg х = tg (х + л). Сле-
довательно, л — период функции у = tg х. О
Н Покажем, что л — наименьший положительный
период функции у = tg х.
ф Пусть Т — период тангенса, тогда tg (х + Т) = tg х,
откуда при х = 0 получаем tg Т = О, Т = кл, k <= Z.
Так как наименьшее целое положительное k рав-
но 1, то л — наименьший положительный период
функции у = tg х. О
Задача 3 Доказать, что у = tg — — периодическая функция
с периодом Зл.
► Так как tg х -	= tg | — + л | = tg —, tg
3	\ 3	/	3
= tg I — - л = tg -, то tg - — периодическая функ-
ция с периодом Зл. <
У
Рис. 84
202
Периодическими функциями описываются многие
физические процессы (колебания маятника, вра-
щение планет, переменный ток и т. д.).
На рисунке 84 изображены графики некоторых пе-
риодических функций. Отметим, что на всех после-
довательных отрезках числовой прямой, длина
которых равна периоду, график периодической
функции имеет один и тот же вид.
	Упражнения Выяснить, является ли данная функция четной или нечет- ной (700—701).
700	1) у = cos Зх;	2) у = 2 sin 4х;	3) у = ~ tg2 х; 4) у = х cos	5) у = х sin х;	6) у = 2 sin2 х.
701	1) у = sin х + х;	2) у = cos ^х -	- х2; 3)	у =3-cos + х^ sin (л - х); 1	( 3	\ 4)	у = - cos 2 х sin — л - 2 х +3; 2	<2	) „	sin х ,	„	1 + cos х 5)	у =	sin x cos x;	6) у = xz н	. x	2
702	Доказать, что данная функция является периодической с пе- риодом 2л, если: 1) у = cos х - 1;	2) у = sin х + 1;	3) у = 3 sin х; 4) У =	~ ;	5) y = sin^x-^;	6) i/=cos^x+^^.
703	Доказать, что данная функция является периодической с пе- риодом Т, если: 1) у = sin 2х, Т = л;	2) у = cos Т = 4л; 3) у = tg 2х, Т = ^;	4) j/ = sin^, Т = | л. 2	и	а
704	Определить, является ли данная функция четной или не- четной: 1 - cos х	-/sin2 х	cos2x-x2 1) у =	;	2) у =1	;	3) у =	.	; 1 + COS X	1 - cos 2х	sinx 4) у ~х, + sin 2x;	5) y = 3№S*; 6) у = х |sin х| sin3 х. COS X
203
Найти наименьший положительный период функции
(705—706).
705 1) </ = cos|x; 2) у = sin ~ х; 3) y = tg^; 4) у = |sin х|.
706 1) у - sin х + cos х; 2) у = sin х + tg х.
707 Пусть функция f (х) определена на всей числовой прямой.
Доказать, что:
1)	f (х) + f (-х) — четная функция;
2)	f (х) - f (-х) — нечетная функция.
Используя эти функции, представить f (х) в виде суммы чет-
ной и нечетной функций.
Свойства функции у = cos х и ее график
Напомним, что функция у = cos х определена на
всей числовой прямой и множеством ее значений
является отрезок [-1; 1]. Следовательно, график
этой функции расположен в полосе между прямы-
ми у = -1 и у = 1.
Так как функция у = cos х периодическая с перио-
дом 2 л, то достаточно построить ее график на
каком-нибудь промежутке длиной 2л, например
на отрезке -л < х < л; тогда на промежутках,
получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2лп,
п е Z, график будет таким же.
Функция у = cos х является четной. Поэтому ее
график симметричен относительно оси Оу. Для
построения графика на отрезке -л < х < л доста-
точно построить его для 0 < х < л, а затем сим-
метрично отразить его относительно оси Оу.
| Прежде чем перейти к построению графика, пока-
I жем, что функция у - cos х убывает на отрезке
| 0 < х < л.
• В самом деле, при повороте точки Р (1; 0) вокруг
начала координат против часовой стрелки на
угол от 0 до л абсцисса точки, т. е. cos х, умень-
шается от 1 до -1. Поэтому если 0 < хг < х2 < л, то
cos х, > cos х2 (рис. 85). Это и означает, что функ-
ция у = cos х убывает на отрезке [0; л]. О
204
Рис. 86
Рис. 87
строенный на
Используя свойство убывания
функции у - cos х на отрезке
О < х < л и найдя несколько то-
чек, принадлежащих графику, по-
строим его на этом отрезке
(рис. 86).
Пользуясь свойством четности
функции у = cos х, отразим по-
отрезке [0; л] график симметрично
относительно оси Оу, получим график этой функ-
ции на отрезке [-л; л] (рис. 87).
Так как у = cos х — периодическая функция с пе-
риодом 2л и ее график построен на отрезке [-л; л]
длиной, равной периоду, распространим его по
всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2л, 4л
и т. д. вправо, на -2л, -4л и т. д. влево, т. е. вооб-
ще на 2лп, п е Z (рис. 88).
Итак, график функции у = cos х построен геомет-
рически на всей числовой прямой, начиная с по-
строения его части на отрезке [0; л].
Поэтому свойства функции у - cos х можно полу-
чить, опираясь на свойства этой функции на от-
резке [0; л]. Например, функция у = cos х возра-
стает на отрезке [-л; 0], так как она убывает на
отрезке [0; л] и является четной.
205
Перечислим основные свойства функции у = cos х.
1)	Область определения — множество R всех дей-
ствительных чисел.
2)	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3)	Функция у = cos х периодическая с периодом 2л.
4)	Функция у = cos х четная.
5)	Функция у = cos х принимает:
—	значение, равное 0, при х = + тт, п е Z;
—	наибольшее значение, равное 1, при х = 2лп,
п е Z;
—	наименьшее значение, равное -1, при х =
= л + 2лга, п е Z;
—	положительные значения на интервале ( -
и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
тервала на 2лтг, п = ±1, ±2,
—	отрицательные значения на интервале
и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
тервала на 2лп, п = ±1, ±2, ....
6)	Функция у = cos х:
—	возрастает на отрезке [л; 2л] и на отрезках, по-
лучаемых сдвигами этого отрезка на 2лп, п = ±1,
±2, ...;
—	убывает на отрезке [0; л] и на отрезках, полу-
чаемых сдвигами этого отрезка на 2ли, п = ±1,
±2, ... .
Задача 1 Найти все корни уравнения
жащие отрезку -л С х < 2л.
► Построим графики функций
cos х = принадле-
у = cos х и у = на
данном отрезке (рис. 89). Эти графики пересекают-
ся в трех точках, абсциссы которых хх, х2, х3 явля-
ются корнями уравнения cos х -
На отрезке [0; л] корнем уравнения cos х = -- яв-
ляется число х, = arccos — = —
I 2)	3
Из рисунка
видно, что точки х2 и Xj симметричны относитель-
206
х
Рис. 89
но оси Оу, т. е. х2 = -х1 = -^, а х3 = х2 + 2л =
2л . <,„ 4л
------h Z Л =  .
3	3
Ответ х, = —, х2=	, х3 = —. <
1	3	3	3
Задача 2 Найти все решения неравенства cosx>-^, при-
надлежащие отрезку -л < х < 2л.
► Из рисунка 89 видно, что график функции
у = cos х лежит выше графика функции у = ~ на
промежутках Г - —; — и ( —; 2л .
к 3	3 ) к 3
Ответ
2 л <	< 2 л 4 л
3	3 ’ 3
< 2л. <
Упражнения
708
709
Пользуясь графиком функции у = cos х, выполнить упраж-
нения (708—713).
(Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих
отрезку [0; Зл], функция у = cos х
1) значение, равное 0, 1, -1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить,
у = cos х на отрезке:
1) [Зл; 4л];
принимает:
710
2)
4)
5)
возрастает
[-2л; -л];
[1; 3];
или убывает функция
3) 2л; —
L 2
6) [-2; -1].
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном
из них функция у = cos х возрастала, а на другом убывала:
4) |"-я; - .
L 2 J
1)
_л . Зтг
2 ’ 2
3) 0;
L 2
_ п ,
2 ’
0 ;
2) ’	-
L 2 2 J
207
711
712
713
714
715
716
717
718
719
Используя свойство возрастания или убывания функции
у = cos х, сравнить числа:
1) cos — и cos —;
7	9
3) cos (- —1 И cos (
I 7 ) I 8
2) cos — и cos
7	7
4) cos fи cos f1;
I 7 ) I 7 )
5) cos 1 и cos 3;
6) cos 4 и cos 5.
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зя]:
1) cosx = i; 2) cos х = —; 3) cosx = -—; 4) cosx = --.
2	2	2	2
Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку
[0; Зл]:
1) cos х >	2) cos х > - —;
2	2
3)	cos х <	;	4) cos x <
2	2
3) cos — и sin —;
8	8
6) cos — и sin —.
8	10
Выражая синус через косинус по формулам приведения,
сравнить числа:
1)	cos —	и	sin	—;	2)	sin —	и	cos —;
5	5	7	7
4)	sin —	и	cos —;	5)	cos —	и	sin —;
5	5	6	14
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
-- < х < —•
2 "	2 ’
1) cos 2х = -
2
2) cos 3x = —
2
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-
ку <х<
2	2
1) cos2x<-; 2) cos Зх > —.
2	2
Построить график функции и выяснить ее свойства:
1) у = 1 + cos х; 2) у = cos 2х;	3) у = 3 cos х.
Найти множество значений функции у = cos х, если х при-
надлежит промежутку:
1) Г-; л~|;	2) (
1.3 J I 4	4 )
Построить график функции:
1) у = |cos х |;	2) у = 3 - 2 cos (х - 1).
208
Свойства функции у = sin х и ее график
Функция у = sin х определена на всей числовой
прямой, является нечетной и периодической с пе-
риодом 2л. Ее график можно построить таким же
способом, как и график функции у = cos х, начи-
ная с построения, например, на отрезке [0; л].
Однако проще воспользоваться формулой
sin х = cos х - —
\	2
Эта формула показывает, что график функции
Г У = s^n х можно получить сдвигом графика функ-
ции у = cos х -вр/аль оси абсцисс вправо на — (рис. 90).
График функции у = sin х изображен на рисунке 91.
Кривая, являющаяся графиком функции у = sin х,
называется синусоидой.
Так как график функции у = sin х получается
сдвигом графика функции у = cos х, то свойства
функции у = sin х можно получить из свойств
функции у = COS X,
209
Перечислим основные свойства функции у = sin х.
1)	Область определения — множество R всех дей-
ствительных чисел.
2)	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3)	Функция у = sin х периодическая, Т = 2л.
4)	Функция у = sin х нечетная.
5)	Функция у = sin х принимает:
—	значение, равное 0, при х = ли, п е Z;
—	наибольшее значение, равное 1, при
х = — + 2лп, п eZ;
2
— наименьшее значение, равное -1, при
х =	+ 2 пп, п g Z;
2
— положительные значения на интервале (0; л)
и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
тервала на 2лга, п = ±1, ±2, ...;
— отрицательные значения на интервале (л; 2л)
и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
тервала на 2лга, п = ±1, ±2, ...
6) Функция у = sin х:
— возрастает на отрезке
получаемых сдвигами
п = ±1, ±2, ...;
— убывает на отрезке
и на отрезках,
этого отрезка на 2лп,
л . 3 л
2 ’ 2
и на отрезках,
получаемых сдвигами этого отрезка на 2лп,
п = ±1, +2, ... .
Задача 1 Найти все корни уравнения sinx = -, принадле-
2
жащие отрезку ~ти < х < 2я.
► Построим графики функций у = sin х и У ~~ на
данном отрезке (рис. 92). Эти графики пересекают-
ся в двух точках, абсциссы которых являются кор-
Рис. 92
210
Ответ
Задача 2
Л_
2’ 2.
1 л
корень Xj = arcsin - = —. Второй
пииеиь л9= л—=—, так как sin | л I = sin —.
66	< б) 6
V -Я V _5л	<1
1 6	2	6
Найти все решения неравенства sin х <-|, принад-
нями уравнения
уравнение имеет
корень х2= л - —
720
721
722
723
Ответ
sin х = . На отрезке
лежащие отрезку -л С х < 2л.
Из рисунка 92 видно, что график функции
у = sin х лежит ниже графика функции у = | на
промежутках -л; — | и [ —; 2 л .
L 6 ) \ 6
2л. <
л 5 л
б’ 6
Упражнения
Пользуясь графиком функции у = sin х, выполнить упраж-
нения (720—725).
(Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих
отрезку [0; Зл], функция у = sin х
1) значение, равное 0, 1, -1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить, возрастает
у = sin х на промежутке:
1)
принимает:
или убывает функция
4)
Зл. 5л .
2 ’ 2 J’
Зл . _ л
2 ’	2.
5) [2; 4];
-я;
2
6) (6; 7).
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном
из них функция у = sin х возрастала, а на другом убывала:
1) [0; я]; 2)
л
.2
Используя свойство возрастания или убывания функции
у = sin х, сравнить числа:
1) sin — и sin——;
10	10
3) sin Г-— и sin f- —
I 7 ) I 8
2л ; 3) [-л; 0]; 4) [-2л; -л].
2) sin — и sin
7	7
4) sin 7 и sin 6.
211
724
725
726
727
728
729
730
731
732
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зл]:
1) sinx=^^;	2) sinx=^-;
2	2
3) sin х =-—;	4) sinx = -^-.
2	2
sin x <----.
2
приведения,
Найти все решения неравенства, принадлежащие отрез-
ку [0; Зл]:
1) sinx>-; 2) sin х < —; 3) sinx>-^; 4)
2	2	2
Выражая косинус через синус по формулам
сравнить числа:
1) sin — и cos —;	2) sin — и cos —;
9	9	8	8
3) sin — и cos —;	4) sin — и cos —.
5	14	8	10
Найти все
-^<хС
2
корни уравнения, принадлежащие
промежутку
л:
1) sin 2х - —1;
2
2) sin Зх = —-
2
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-
ку < х < л:
2
1) sin2x>--;	2) sin3x<^^.
2	2
Построить график функции и выяснить ее свойства:
1) у = 1 - sin х; 2) у = 2 + sin х;
3)	у = sin Зх;	4) у = 2 sin х.
Найти множество значений функции у = sin х, если х при-
надлежит промежутку:
5 л
4 ?
Построить график функции:
1)	у = sin |х|;	2) y = |sinx|.
Сила переменного электрического тока является функцией,
зависящей от времени, и выражается формулой
I = A sin (coi + ср),
где А — амплитуда колебания, <о — частота, <р — начальная
фаза. Построить график этой функции, если:
1) А = 2, to = 1, <р =	2) А = 1, со = 2, ф =
212
“ Свойства функции у = tg х и ее график
Напомним, что функция у = tg х определена при
х | + лп, n е Z, является нечетной и периодиче-
ской с периодом л. Поэтому достаточно построить
ее график на промежутке 0; — . Затем, отразив
2 /
его симметрично относительно начала координат,
получить график на интервале - —; — . Наконец,
используя периодичность, построить график функ-
ции у = tg х на всей области определения.
Прежде чем строить график функции на проме-
жутке 0; покажем, что на этом промежутке
функция у = tg х возрастает.
• * Пусть 0 < xt < х2 < ^. Покажем, что tg xr < tg х2,
sin х2
cos х2
По условию 0 < хх < х2 < —, откуда по свойствам
2
функции у = sin х имеем О
свойствам функции у = cos х
cos хг > cos х2 > 0, откуда 0 < —
sinx,
т. е. ------
cos х.
sin xt < sin х2, а по
также имеем
1< 1
cos хх
sin х1
sin х2
cos х2
cos х2
2 и
Перемножив неравенства
1	1	sin х,
-----<------, получим ----
COS Xj COS Х2	COS Xj
Используя свойство возрастания функции у = tg х
на промежутке 0 < х < — и найдя несколько то-
2
чек, принадлежащих графику, построим его на
этом промежутке (рис. 93).
Пользуясь свойством нечетности функции у = tg х,
отразим построенный на промежутке 0; — гра-
213
фик симметрично относительно начала координат,
получим график этой функции на интервале
(-1; (рис. 94).
Напомним, что при х = ±— функция у = tg х не
2
определена. Если х < — и х приближается к —, то
2	2
sin х приближается к 1, a cos х, оставаясь поло-
жительным, стремится к нулю. При этом дробь
sinx = tg х неограниченно возрастает, и поэтому
cos х
график функции у = tg х приближается к верти-
кальной прямой х = —. Аналогично при отрица-
тельных значениях х, больших ~~ и приближаю-
щихся к ~ , график функции у = tg х приближа-
ется к вертикальной прямой х = ~.
Перейдем к построению графика функции у = tg х
на всей области определения. Функция у = tg х пе-
риодическая с периодом л. Следовательно, график
этой функции получается из ее графика на интер-
вале - —; - (рис. 94) сдвигами вдоль оси абсцисс
\ 2 2)
на ли, п е Z (рис. 95).
214
Итак, весь график функции у = tg х строится с по-
мощью геометрических преобразований его части,
построенной на промежутке 0;
Поэтому свойства функции у = tg х можно полу-
чить, опираясь на свойства этой функции на про-
межутке , 0; — Например, функция у = tg х воз-
L 2)
растает на интервале	так как эта Функ-
ция возрастает на промежутке
0; — и является
2 J
нечетной.
Перечислим основные свойства функции у = tg х.
1) Область определения — множество всех дейст-
вительных чисел х * — + пп, п е Z.
2
2)	Множество значений — множество Я всех дей-
ствительных чисел.
3)	Функция у = tg х периодическая с периодом к.
4)	Функция у = tg х нечетная.
5)	Функция у = tg х принимает:
—	значение, равное 0, при х = пп, п е Z;
—	положительные значения на интервалах
пп; — + Tin , п е Z;
2	)
—	отрицательные значения на интервалах
+ ип; пп , п е Z.
2 J
6)	Функция у = tg х возрастает на интервалах
+ пп; — + пп , п 6 Z.
2	2	)
215
Задача 1 Найти все корни уравнения tg х = 2, принадлежа-
щие отрезку -л < х <
► Построим графики функций ^ = tgxnc/ = 2Ha дан-
ном отрезке (рис. 96, а). Эти графики пересека-
ются в трех точках, абсциссы которых хр х2, х3
являются корнями уравнения tg х = 2. На интер-
вале	уравнение имеет корень хг - arctg 2.
Так как функция у = tg х периодическая с перио-
дом л, то х2 = arctg 2 + л, х3 = arctg 2 - л.
Ответ х, = arctg 2, х2 = arctg 2 + л, х3 = arctg 2 - л. <|
Задача 2
Ответ
Найти все решения неравенства tg х < 2, принад-
лежащие отрезку -л < х < —.
Из рисунка 96, а видно, что график функции
у = tg х лежит не выше прямой у = 2 на промежут-
ках
[-л; х3], j: *i
-л < х < -л + arctg 2,	< х < arctg 2;
2
~ < х < л + arctg 2. <
Задача 3 Решить неравенство tg х > 1.
Построим графики функций у = tg х и у ~ 1
(рис. 96, б). Рисунок показывает, что график
функции у = tg х лежит выше прямой у = 1 на про-
межутке —; — , а также на промежутках, полу-
ченных сдвигами его на л, 2л, Зл, -л, -2л и т. д.
Ответ — + л«<х< — + лп,деИ. <1
4	2
Тригонометрические функции широко применяют-
ся в математике, физике и технике. Например,
многие процессы, такие, как колебания струны,
маятника, напряжение в цепи переменного тока
и т. д., описываются функцией, которая задается
формулой у = A sin (сох + ср). Такие процессы на-
зывают гармоническими колебаниями, а описы-
вающие их функции — гармониками (от грече-
ского слова harmonikos — соразмерный). График
функции у = A sin (сох + ср) получается из сину-
соиды у = sin х сжатием или растяжением ее
вдоль координатных осей и сдвигом вдоль оси Ох.
216
Обычно гармоническое колебание является функ-
цией времени: у = A sin (cot + <р), где А — ампли-
туда колебания, со — частота, ср — начальная фаза,
— — период колебания.
<о
Упражнения
(Устно.) Выяснить, при каких значениях х из промежутка
-я < х < 2л функция у = tg х принимает:
1) значение, равное 0;	2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить, является ли функция у = tg х возрастаю-
щей на промежутке:
1)
2)
<2 J
3)	(
4)	[2; 3].
л .	л.
4 ’	3
2 ’ 8
Используя свойство возрастания функции у = tg х, сравнить
числа:
1) tg | и tg 2) tg и tg 3) tg
и tgf-^;
8 ) I 9 7
4) tg I и tg -- ; 5) tg 2 и tg 3; 6) tg 1 и tg 1,5.
k 5)	\ 7)
217
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
(-л; 2тг):
1) tgx = l; 2) tg х = УЗ; 3) tg х = -УЗ; 4) tg х = -1.
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-
ку (-л, 2л):
1) tg х > 1; 2) tg х < —; 3) tg х <-1; 4) tgx>-V3.
3
Решить неравенство:
1) tg х < 1; 2) tg х > -УЗ; 3) tg х С ; 4) tg х > -1.
3
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
[0; Зл]:
1) tg х = 3;	2) tg х = -2.
Решить неравенство:
1) tg х > 4;	2) tg х < 5;	3) tg х < -4;	4) tg х > -5.
Найти все решения неравенства, принадлежащие проме-
жутку [0; Зл]:
1) tg х > 3;	2) tg х < 4;	3) tg х < -4;	4) tg х > -3.
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
1) tg2x = y3;	2) tg3x = -l.
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-
ку С; л1:
4 2	)
1) tg 2х < 1;	2) tg Зх < -Уз.
Построить график функции и выяснить ее свойства:
1) y = tg(x + -^;	2) у = tg |.
Найти множество значений функции у = tg х, если х при-
надлежит промежутку:
1) ["--J -"I;	2) f —; — \	3) (0; л); 4) Г-; — .
4 3j V 4	2 J	|_4	4 _
Построить график функции (746—748).
1) у = tg |х|;	2) z/ = |tgx|; 3) у = ctg х; 4) (/ = —!—.
ctg х
1) У = tg х ctg х;
1) у = tg Гзх
\	4 J
2) у = sin х ctg х.
2) у = ctg | 3 х + —
Решить неравенство:
1) tg1 2 х < 1; 2) tg2 х > 3; 3) ctg x > -1;
4) ctg x > УЗ.
218
Обратные тригонометрические функции
1.	Функция у = arcsin х.
По определению арксинуса числа для каждого
х е [-1; 1] определено одно число у = arcsin х.
Тем самым на отрезке [-1; 1] задана функция
у = arcsin х, -1 < х < 1.
Покажем, что функция у = arcsin х является об-
ратной к функции у = sin х, рассматриваемой на
отрезке < х < \
•	Рассмотрим уравнение sin х = у, где у — заданное
число из отрезка -1 < у < 1, а х — неизвестное.
На отрезке < х < это уравнение по определе-
нию арксинуса числа имеет единственный корень
х = arcsin у.
В этой формуле меняем местами х и у, получаем
у - arcsin х. О
Таким образом, свойства функции у = arcsin х
можно получить из свойств функции у = sin х.
График функции у = arcsin х симметричен гра-
фику функции у = sin х, < х < — относительно
N3I a
219
Перечислим основные свойства функции
у = arcsin х.
1)	Область определения — отрезок [-1; 1].
2)	Множество значений — отрезок
Л .	7Г
2 ’ 2
3)	Функция у - arcsin х возрастает.
4)	Функция у = arcsin х является нечетной, так
как arcsin (-х) = -arcsin х.
2.	Функция у = arccos х.
По определению арккосинуса числа для каждого
х е [-1; 1] определено одно число у = arccos х.
Тем самым на отрезке [-1; 1] определена функция
у = arccos х, -1 < х < 1.
Эта функция является обратной к функции
у = cos х, рассматриваемой на отрезке 0 < х < л.
График функции у = arccos х симметричен гра-
фику функции у = cos х, 0 < х < л, относительно
прямой у = х (рис. 99, 100).
Перечислим основные свойства функции
у = arccos х.
1)	Область определения — отрезок
2)	Множество значений — отрезок
3)	Функция у = arccos х убывает.
[-1; 1].
[0; л].
Рис. 100
220
Рис. 101
3.	Функция у = arctg х.
По определению арктангенса числа для каждого
действительного х определено одно число
у = arctg х. Тем самым на всей числовой прямой
определена функция у = arctg х, х е R.
Эта функция является обратной к функции
у - tg х, рассматриваемой на интервале < х < \
График функции у = arctg х получается из графи-
ка функции г/ = tg х, < х < (рис. 94), симмет-
рией относительно прямой у = х (рис. 101).
Перечислим основные свойства функции у = arctg х.
1)	Область определения — множество R всех дей-
ствительных чисел.
2)	Множество значений — интервал ~
3)	Функция у = arctg х возрастает.
4)	Функция у = arctg х является нечетной:
arctg (—х) = -arctg х.
Функции у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х
называются обратными тригонометрическими
функциями.
Задача 1
Сравнить числа:
1	1	( 2	/ i Л
1)	arcsin — и arcsin2) arctg I I и arctg I -- I.
► 1) Так как > j и функция у = arcsin х возраста-
ет, то arcsin — > arcsin -.
3	4
2	1
2) Так как — < — и функция у = arctg х возрас-
3	2
тает, то arctg I ] < arctg |	“3
221
Задача 2 Решить уравнение arccos (2х + 1) = —.
4
► Так как — е [0; л], то по определению арккосину-
4
са числа данное уравнение равносильно уравнению
2х + 1 = cos —, откуда 2х + 1 =	, х=-2 +	<
4	2	4
Задача 3 Найти область определения функции
. х - 1
у = arcsin--.
3
► Так как функция у = arcsin х определена при
-1 < х < 1, то функция у = arcsin-- определена
3
для тех значений х, для которых выполняются не-
v. _ I
равенства -1 <----< 1. Отсюда
3
-3 < х - 1 < 3, -2 < X < 4. <1
Упражнения
	Сравнить числа (750—752).
750	1	2	Л	о	(	3 А 1) arcsin —= и arcsin -==;	2) arcsin — и arcsin — . /з	Vio	1	з)	I	4 J
751	1) arccos -jL и arccos -4=;	2) arccos | — — | и arccos I |. Л	V5	I 5j	I 3)
752	1) arctg 2 и arctg 3^2;	2) arctg —| и arctg I -~^= |. 1 V2j	k V5 ) Решить уравнение (753—755).
753	1) arcsin (2 - Зх) = ^;	2) arcsin (3-2x) = ^; 3) arcsin —;	4) arcsin — - = - —. 4	4	2	3
754	1) arccos (2x + 3) = —;	2) arccos (3x + 1) = 3) arccos	= 271;	4) arccos	1 = л. 3	3	3
755	1) arctg —— = -;	2) arctg 1 4 2x = 4	3	3	4 3) arctg (2x + 1) -	4) arctg (2-3x) = -
222
756 Найти область определения функции:
у О
1) у = arcsin	2) у = arccos (2 - Зх);
—	2	5
3) у = arccos (2 ух - 3);	4) у = arcsin-----.
3
757 Доказать, что график функции у = arccos х симметричен от-
носительно точки 0; — .
\ 2 J
Упражнения
к главе VII
.............f.............I • •
758
Найти область определения функции:
1) у = sin х + cos х;
3) у - д/sin х;
5) г/ =------—------
2 sin х-1
2) у = sin х + tg х;
4) у = д/cos х;
cos х
6) У =	:—
2 sin х - sin х
759 Найти множество значений функции:
1) у = 1 - 2 sin2 х;	2) у = 2 cos2 х-1;
3) у = 3 - 2 sin2 х;	4) у = 2 cos2 х + 5;
5) у = cos Зх sin х - sin Зх cos х + 4;
6) у = cos 2х cos х + sin 2х sin х - 3.
760 Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:
1) у = х2 + cos х;	2) у = х3 - sin х;
3) у = (1 - х2) cos х; 4) у = (1 + sin х) sin х.
761 Найти наименьший положительный период функции:
1) у = cos 7х;	2) у = sin у.
762 Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; Зл]:
1) 2 cos х + V3 = 0;	2) д/3 - sin х = sin х;
3) 3 tg х = д/3;	4) cos х + 1 = 0.
763 Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-
ку [-2л; -л]:
1) 1 + 2 cos х > 0;	2) 1 - 2 sin х < 0;
3) 2 + tg х > 0;	4) 1 - 2 tg х < 0.
764 Используя графики, найти число корней уравнения:
1) cos х = х2;	2) sinx = —.
2
223
Проверь себя!
1
2
3
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
Найти область определения функции у = tg 4х. Является
ли эта функция четной?
Построить графики функций у = sin х, у = cos х на отрез-
ке [—л; 2л]. Для каждой из этих функций найти значе-
ния х из данного отрезка, при которых у (х) = 1, у (х) = -1,
У (х) ® 0, у (х) > 0, у (х) < 0.
Построить схематически график функции у = tg х на от-
. Найти значения х, при которых tg х = 0,
Зл. л
2 ’ 2.
tg х < 0, tg х > 0 на данном отрезке.
Найти область определения функции:
1) У = tgf2x + ^\	2) y = ^tgx.
k 6/
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) у = cos4 х - sin4 х; 2) у = sin f х + — | sin | х - —
К 4)	\	4
3) у = 1 - 2 |sin Зх|; 4) у = sin2 х - 2 cos2 х.
Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
1) у = sin х + tg х; 2) у = sin х tg х; 3) у = sin х |cos х|.
Найти наименьший положительный период функции:
1) у = 2 sin (2х + 1);	2) у = 3 tg i (х +1).
4
Решить графически уравнение:
1) cosx = |x|;	2) sin х = -|х + 11.
Найти нули функции:
1) у = cos2 х - cos х; 2) у = cos х - cos 2х - sin Зх.
Найти все значения х, при которых функция у = 1,5 -
- 2 sin2 принимает положительные значения.
Найти все значения х, при которых функция у = tg 2х - 1
принимает отрицательные значения.
Построить график функции:
1) у = 2 sin
2)
у = cos х - Vcos2 X.
Найти множество значений функции:
1) у = 12 sin х - 5 cos х; 2) у = cos2 х - sin х.
Решить неравенство:
1) sin х > cos х; 2) tg х > sin х.
224
VIII
- глава
' Производная
т и ее геометрический смысл
У каждого человека есть определенный
кругозор. Когда этот кругозор сужается
до бесконечности малого, то он обращает-
ся в точку. Тогда человек и говорит, что
это есть его точка зрения.
Д. Гильберт
Производная
Задача 1 На станции метро расстояние от тормозной отмет-
ки до остановки первого вагона равно 80 м. С ка-
кой скоростью поезд должен подойти к тормозной
отметке, если дальше он двигается равнозамедлен-
но с ускорением 1,6 м/с2?
► Для решения задачи нужно найти скорость дви-
жения поезда в момент прохождения тормозной
отметки, т. е. мгновенную скорость в этот момент
времени. Тормозной путь вычисляется по форму-
а/2	.
ле s = —^~, где а — ускорение, t — время тормо-
жения. В данном случае s = 80, а =1,6, поэтому
80 = 0,8?2, откуда t = 10 с. По формуле v = at
находим мгновенную скорость и = 1,6 10 = 16,
т. е. v = 16 м/с. <1
От мгновенной скорости зависит решение многих
практических задач. Например, от скорости вхож-
дения в воду спортсмена, прыгающего с вышки, за-
висит глубина его погружения; от скорости за-
пуска спутника зависит выход его на заданную
орбиту. При нахождении мгновенной скорости ис-
пользуется средняя скорость движения за малый
промежуток времени. Рассмотрим, как связаны
8 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
225
между собой средняя и мгновенная скорости дви-
жения.
Пусть точка движется вдоль прямой и за время t
от начала движения проходит путь s (f), т. е. зада-
на функция s (t).
Зафиксируем какой-нибудь момент времени t и
рассмотрим промежуток времени от t до t + h, где
h — малое число. За время от t до t + h точка про-
шла путь длиной
з (t + h) - s (f).
Средняя скорость движения точки за этот проме-
жуток времени равна отношению
8 (t + Л) - 8 (£ )
Из курса физики известно, что при уменьшении h
это отношение приближается к некоторому числу,
которое называется мгновенной скоростью в мо-
мент времени t и обозначается v (t). Число v (t)
называют пределом данного отношения при h,
стремящемся к нулю, и записывают так:
,.ч	s(t+h)-s(t)
v(t) = hm -----------.
л -> о h
s(t+h)-s(t)
Это равенство означает, что отношение---------
можно рассматривать как приближенное значение
мгновенной скорости v (£)• Если й, уменьшаясь,
стремится к нулю, то погрешность приближения
становится сколь угодно малой, т. е. также стре-
мится к нулю.
Например, если s (Z) = 3i2, то
s(t+h)-s(t)	3(t+h)2-3t2
= §^-+.342. = Qt + 3/i.
h
Если й —> О, то 6t + Зй -> Gt, т. е. Рср -> и (t) = Gt.
s(t+h)-s(t)
Отношение ------------ называют разностным
h
отношением, а его предел при й —> О называют
производной функции s (t) и обозначают s'(t) (чи-
тается: «Эс штрих от тэ»).
Вообще, пусть функция f (х) определена на неко-
тором промежутке, х — точка этого промежутка
и число й Ф 0, такое, что х + й также принадле-
226
жит данному промежутку. Тогда предел разност-
f (х + h)-f (х)
ного отношения ------------- при Л -> О (если
этот предел существует) называется производной
функции f (х) в точке х и обозначается f (х)
(читается: «Эф штрих от икс»). Таким образом,
(х) = lim
h ~»о h
(1)
Отметим, что в формуле (1) число h, где h * 0, мо-
жет быть как положительным, так и отрицатель-
ным, при этом число х + h должно принадлежать
промежутку, на котором определена функция f (х).
Если функция f (х) имеет производную в точке х,
то эта функция называется дифференцируемой
в этой точке. Если функция f (х) имеет производ-
ную в каждой точке некоторого промежутка, то го-
ворят, что эта функция дифференцируема на этом
промежутке. Операция нахождения производной
называется дифференцированием.
Задача 2 Найти производную функции f (х) = х2.
► Составим разностное отношение:
f (х+ h)-f(x) = (х + Л)2-х2 = 2xh + h2 =2x+h
h	h	h
Если h -> 0, to 2x + h -> 2x, поэтому
f (x+ h)-f (x)
lim ------------= lim (2x + h) =2x.
h -->0	h	h ->0
Следовательно, (x2)' = 2x. <1
Задача 3 Найти производную функции f (х) = х3.
► Найдем сначала разность f (х + /г) - f (х) =
= (х + h)3 - х3 = х3 + Зх2Л + Зхй2 + Ь3 - х3 =
= h (Зх2 + Зхй + Л2).
Составим теперь разностное отношение:
f(x+h)-f(x)	й(3х2 + ЗхЛ+ h2)	2	2
h	h
Если /г —> 0, то h2 —> 0 и Зх/г —> 0, поэтому
Зх2 + Зх/г + h2 —> Зх2. Следовательно,
f(X+ h)- f (х) g	г 3v о 2 <1
lim ------------= Зх , т. е. (х ) = Зх .
h	h
227
Задача 4 Найти производную функции f (х) = С, где- С — за-
данное число.
f(x + h)-f (х) С-С п гг
р- ------------=-----= 0. Так как разностное от-
h	h
ношение равно нулю при любом h * 0, т. е. его
значение не меняется при h -> 0, то предел этого
отношения также равен нулю. Таким образом, про-
изводная постоянной равна нулю, т. е. (С)' = 0. <1
Задача 5 Найти производную линейной функции
f (х) = kx + b.
f(x+h)-f(x)_k(x+h)+b-(kx+b)_kh_,
h	h	h.
Так как разностное отношение равно k при любом
й # 0, то и предел этого отношения при Л —> 0 так-
же равен k. Следовательно, (kx + &)' = k. <1
Применяя формулу
(kx + Ъ)' = fe,
например, получаем
(Зх + 7)' = 3, (-2х + 1)' = -2, (5х)' = 5, (х)' = 1.
Изучение теории пределов не входит в программу
средней школы. По этой причине в школьном кур-
се математики некоторые формулы производных
строго не доказываются или вообще принимаются
без доказательства.
При нахождении производных простейших функ-
ций мы пользуемся наглядными представлениями.
Например, мы считаем наглядно понятным, что
если Л -> 0, то 5Л —> 0, Л2 -» 0, 5 - Зй -> 5 и т. п.
Тем не менее приведем здесь строгое определение
предела функции в точке и поясним его.
Определение. Число А называется пределом
функции f (х) в точке х0 и обозначается
lim f (х) = А, если для любого числа е > 0 суще-
X ->х0
ствует такое число 8 > 0, что для всех х, удовле-
творяющих условию |х - х0| < 8, где х * х0, вы-
полняется неравенство | f (х) - А | < а.
Поясним это определение предела функции. Число
А является пределом функции f (х) в точке х0, если
значения f (х) при х, достаточно близких к х0, ста-
новятся как угодно близкими к числу А, т. е. зна-
чения |/(х) - А| становятся как угодно малыми.
228
Это означает, что можно взять сколь угодно малое
положительное число е и убедиться в том, что для
всех х, отличающихся от xQ меньше чем на неко-
торое число 8, модуль разности между f (х) и чис-
лом А будет меньше взятого числа е.
Например, если f (х) = (х - 2)2 + 3, то lim f (х) = 3.
X->2
Действительно, |/ (х) - 3| = |х - 2|2. Пусть задано
Е > 0, тогда неравенство \f (х) - 3| < е, т. е. нера-
венство | х - 212 < £, равносильно неравенству
|х — 2| <-/ё. Поэтому для всех х, таких, что
|х — 2| < 8, где 8 = 7ё, справедливо неравенство
\f (х) - 3| < £. Например, если е = 0,01, то 8 = 0,1,
а если е = 0,0001, то 8 = 0,01.
Производная функции является одним из особых
пределов, имеющих большое практическое значе-
ние.
Понятие предела функции тесно связано с поняти-
ем непрерывности.
Если график функции на некотором промежутке
представляет собой непрерывную линию, т. е. ли-
нию, которую можно провести, не отрывая каран-
даша от листа бумаги, то эту функцию называют
непрерывной на этом промежутке (рис. 102).
Приведем примеры функций, которые не являются
непрерывными. Например, на рисунке 103 изобра-
жен график функции, которая непрерывна на про-
межутках [а; с] и (с; Ь], но разрывна в точке х = с
и потому не является непрерывной на всем отрезке
[а; д]. Все элементарные (линейная, квадратичная,
тригонометрические и др.) функции, которые изу-
чаются в школьном курсе математики, являются
непрерывными на каждом промежутке, на котором
они определены. Сформулируем теперь строгое
определение непрерывности функции.
229
Определение. Функция f (х) называется не-
прерывной в точке х0, если lim f (х) = f (х0).
х -> *0
Если функция непрерывна в каждой точке некото-
рого интервала, то ее называют непрерывной на
этом интервале.
Например, функция f (х), график которой изобра-
жен на рисунке 103, непрерывна на интервале
(а; с), но не является непрерывной на интерва-
ле (а; Ь).
Отметим, что если функция имеет производную на
некотором интервале, то она непрерывна на этом
интервале.
Обратное утверждение неверно. Функция, непре-
рывная на промежутке, может не иметь производ-
ную в некоторых точках этого промежутка. Напри-
мер, функция у = | х | непрерывна при всех значе-
ниях х, но
не имеет производной в точке х = О.
Действительно,
f(x)-f(O) _ |х| _ Г1, если х>0,
г-0	х 1-1, если х<0,
и поэтому разностное отношение
/(x)-f(O)
--------- не имеет предела при
х
х —> 0.
Еще пример: функция у = | log2 х |
непрерывна на промежутке х > 0,
но не имеет производной в точке
х = 1 (рис. 104).
Задача 6* Выяснить, в каких точках непрерывна функция
[ х2-9
f (*) = 1 х-3
при х ф 3,
при х = 3.
5
► Если х * 3, то f (х) - х - 3, поэтому данная функ-
ция непрерывна во всех точках х 3, так как
lim (х + 3) = х0 + 3, если х0 3.
X -> *о
Если х0 = 3, то х0 + 3 = 6, а по условию f (3) = 5,
т. е. lim f (х) f (3), и поэтому данная функция
х -»з
не является непрерывной в точке х - 3. <1
230
Упражнения
776 Точка движется по закону s (t) = 1 + 3t. Найти среднюю
скорость движения за промежуток времени:
1)	от t = 1 до t = 4;	2) от t = 0,8 до t = 1.
777 Найти среднюю скорость движения точки на отрезке
[1; 1,2], если закон ее движения s = s (t) задан формулой:
1) з (t) = 2t;	2) s (t) = t2.
778 Найти мгновенную скорость движения точки, если:
1)	з (t) = 2t + 1;	2) з (t) = 2 - St.
779 Закон движения задан формулой s (t) = 0,25t + 2. Найти:
1)	среднюю скорость движения от t = 4 до t = 8;
2)	скорость движения в моменты t = 4 и t = 8.
780 Используя определение производной, найти f (х), если:
1) f (х) = Зх + 2;	2) f (х) = 5х + 7;
3)	f (х) = Зх2 - 5х;	4) / (х) = -Зх2 + 2.
781 С помощью формулы (kx + b)' = k найти производную функции:
1) f (х) = 4х;	2) f (х) = -7х +5;	3) f (х) = -эх - 7.
782 Найти мгновенную скорость движения точки, если закон ее
движения з (t) задан формулой:
1) s(t) = |*2;	2) s(t) = 5t2.
783 Определить скорость тела, движущегося по закону
з (t) = t2 + 2, в момент времени:
1) t = 5;	2) t = 10.
784 Закон движения точки задан графиком зависимости
пути s от времени t (рис. 105). Найти среднюю скорость дви-
жения точки на отрезках [0; 1], [1; 2], [2; 3].
785 Закон движения точки задан графиком зависимости
пути s от времени t (рис. 106). Найти среднюю скорость дви-
жения точки на отрезках [0; 2], [2; 3], [3; 3,5].
786 Используя определение предела функции в точке, выяснить,
является ли верным равенство:
1) lim (2х + 1) = 3;	2) lim х2 = 4.
231
: Производная степенной функции
Задача 1 Доказать, что — =---------
\ х J X2
► Пусть f (х) = —, х * 0. Тогда
х
/ (х + Л) - /(х) = —-1 = *~(х+ А) =-----,
x+h х (x+h)x (x+h)x
f (х + h)-f(x) _ i
h.	(x + h) x
Если h -> 0, to x + h -> x, и поэтому знаменатель
дроби стремится к х2. Следовательно, f (х) = —
х2
При этом предполагалось, что если х > 0, то и
х + h > 0, а если х < 0, то и х - h < 0. Таким обра-
зом, формула | — I = —справедлива при х * 0.
\Х) X2
Задача 2 Доказать, что (Ух)' = -Ур=.
2 7 х
► Пусть f (х) = Ух, х > 0, х + h > 0. Составим раз-
ностное отношение:
/(х+ h)-f(x) = Ух + й - Ух
h	h
Умножим числитель и знаменатель на сумму
Ух + й + -Ух. Получим
/ (х+ й)~/ (х)
h
(х + Л) - х
h ( Ух + h - Ух )
(Ух + h - у[х) (Ух + h + Ух)
h (Ух + h + -Гх)
h 1
h (Ух + h + yfx) 4~х + /г + Ух
Если h —> 0, то Ух + й стремится к Ух, поэтому
знаменатель последней дроби стремится к 2Ух.
Следовательно, f (х) = —
2 Vx
232
Задача 3
Таким образом, формула (-/х)' = —~ справедлива
2 Vx
при х > 0. <
Итак, в этом и предыдущем параграфах получены
следующие формулы для производных:
С = О, (х)' = 1, (х2)' = 2х, (х3)' = Зх2,
М =-Л-	(^г=Ц= (*>о).
\xj х2
Четыре последние формулы являются формулами
производной степенной функции / (х) - хр для
р = 2, 3, -1, i. Их можно записать так:
2
(х2)' = 2х2 ’ 1 = 2х, (х3)' = Зх3 1 = Зх2,
( 1Y 1 !
(х-1)'= (-1) х 1 1 =- —, U2J=-x2 =-А=.
х2	2	2 ух
Вообще, справедлива формула производной сте-
пенной функции для любого действительного по-
казателя:
(хрУ = рхр -1.	(1)
Эта формула применима при тех значениях х, при
которых ее правая часть имеет смысл.
Г iV -- Г -7	-
Например, (х5)' = 5х4, ^х3^ = ~х 3 , ^x2J = х2 ,
(х<2) = 42 xv2 ‘
Вычислить f (9), если f (х) = ~^=.
\ X
( _ 1\'	3	_3
► f (х) = lx’2J =-| х"2, Л(9)=-^92	<
2	2	54
Пользуясь формулами (х₽)' = рхр~1 и (kx + b)' = k,
можно найти производные степенной и линей-
ной функций, например (х7)' = 7х6, (Зх - 1)' = 3.
В более сложных случаях, например при нахож-
дении производной функции (Зх - I)7, можно вос-
пользоваться следующей формулой:
((fex + Ь)р)' = pk (kx + Ъ)р	(2)
По формуле (2) при k = 3, b = -1, р = 7 имеем
((Зх - I)7)' = 21 (Зх - I)6.
233
Задача 4 Вычислить f (-3), если f (х) = У4- 7х.
1
► Запишем данную функцию так: f (х) = (-7 х + 4)2 .
1
По формуле (2) находим f' (х) =	(-7х + 4) 2.
_ А
При х = -3 получаем f (-3) = -- 25 2 = -0,7. <]
2
Задача 5* Доказать, что (Ух) = —на промежутке:
зУ^
1)	х > 0; 2) х < 0.
► 1) Если х > 0, то Ух = х3 и по формуле (1) полу-
2
чаем (Ух) = — х 3 =—_____
з зУх2
1
2)	Если х < 0, то Ух = —У(—х) = - (—х)3 и по
формуле (2) получаем
2
(3У^)'=(-1).1(-1)(-х/3 =—-L= = _1	о
3	зУ(-х)2 зУ^
Упражнения
Найти производную функции (787—792).
787	1)	х6;	2) х7;	3) X11;	4) х13.
788	1)	х“2;	2) х-3;	3) х'4;	4) х"7.
		1	1	2	
789	1)	х2;	2) х3;	3) х 7;	4) х73.
790	1)	4; 2> X5	3> ха	Сх; 4)	5) -±; 6) -L, У1 х	Vxd
791	1)	(4х - З)2;	2) (5х + 2) 3;		3) (1 - 2х) 8;
	4)	(2 - 5х)4;	5) (2х):	3.	6) (-5х)4.
792	1)	У2х + 7;	2) Уг=	Зх;	3) Узх;	4) У5х.
793 Найти f (х0), если:
1) 3)	f (х) = X6, х0 = f (х) = 4х, х0 = 4;	2) 4)	f (х) = х 2, х0 = 3; /(х) = Ух, х0 - 8;
5)	f (х) = Уб-4х, х0 = 1;	6)	f (х) -	*—, х0 - 1. V3x+ 1
234
794 Построить график функции у = х*
и график функции, являющейся ее
производной.
795 На рисунке 107 изображен график
функции, являющейся производной
одной из функций у - х2, у = х3
или у = х2. Установить функцию.
796 Найти производную функции:
1)----L-v;	2)	-;
(2 + Зх)2	(3-2х)3
3) 37(Зх-2)2 ;	4) V(3-14x)2 ;
5) , — ;	6)
МЗх-7	V(l-2x)2
797 При каких значениях х производная функции f (х) равна 1,
если:
1) / (х) = х3;	2) f (x)=V^?
798 Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону
s (t) = Vi + 1, в момент времени t = 3.
799 При каких значениях х выполняется равенство f (х) = f (х),
если:
1) f (х) = (2х - I)2;	2) f (х) = (Зх + 2)3?
800 По данному на рисунке 108 графику квадратичной функ-
ции написать формулы, задающие саму функцию и ее произ-
водную.
801 Найти значения х, при которых значения функции
у = л/Зх-7 равны значениям функции, являющейся ее про-
изводной.
Рис. 108
235
Правила дифференцирования
46
При вычислении производной используются следу-
ющие правила дифференцирования суммы, произ-
ведения и частного:
,	’ 1. Производная суммы равна сумме производных:
 9--	(f W + g (х)У = Г (х) + g'(x).	(1)
Подробно это свойство производной формулируется
так: если каждая из функций f (х) и g (х) имеет
производную, то их сумма также имеет производ-
ную и справедлива формула (1).
• * Обозначим f (х) + g (х) = F (х). Тогда F (х + h) -
- F (х) = f (х + h) - f (х) + g (х + h) - g (х). Поэто-
му разностное отношение равно
F (х + h) - F (х) f (х + h) - f (х) g(x+h)-g(x)
h	h	h
При h -> 0 первая дробь в правой части имеет пре-
дел, равный Г (х); вторая дробь имеет предел, рав-
ный g' (х). Поэтому левая часть имеет предел,
равный F' (х) = f (х) + g' (х), т. е. справедливо ра-
венство (1). О
Аналогично доказывается, что производная суммы
нескольких функций равна сумме производных
этих функций, производная разности равна разно-
сти производных.
Задача 1 Найти производную функции:
1)	f (х) = х3 - х2 + х - 3; 2) /(x)=Vx--L.
V х
► 1) г (х) = (х3)' - (х2)' + (х)' - (3)' = Зх2 - 2х + 1;
( 1V ( _1У	1 з
2)	f'(x) = lx2J - 1х 21 =-х 2 + - х 2. <
v 7	4 '	2	2
2. Постоянный множитель можно вынести за
знак производной:
(cf (х))' = cf (х).	(2)
236
• * Обозначим cf (х) = F (х), тогда
F(x+A)-F(x) cf (х + h) - cf (x)	f(x+h)-f(x)
	=	= c	,
h---------------------------------------h-h
откуда при h -> 0 получаем F' (x) = cf (x). О
Задача 2 Вычислить f (-2), если f (x) = - x5 - Зх3 + 7x - 17.
4
► f (x) = f i x5 Y -(Зх3)' + (7x)' - (17)' = (xs)' -
\ 4	)	4
- 3 (x3)' + 7 (x)' = x4 - 9x2 + 7,
4
f (-2) =	(-2)4 - 9 (-2)2 + 7 = -9. <
4
Приведем без доказательства формулы производ-
ной произведения и частного.
3. Производная произведения:
S Y7 '	(f(x)g(x))' = f (х) g (х) + f (х) g' (х).	(3)
Задача 3 Проверить справедливость формулы (3), если
f (х) = Зх2 - 5, g (х) = 2х + 7.
► В левой части формулы (3) получаем
(f (х) g (х))' = ((Зх2 - 5) (2х + 7))' =
= (6х3 + 21х2 - 10х - 35)' = 18х2 + 42х - 10.
В правой части формулы (3) получаем
f (х) g (х) + f (х) g' (х) =
= (Зх2 - 5)' (2х + 7) + (Зх2 - 5) (2х + 7)' =
= 6х (2х + 7) + (Зх2 - 5) 2 = 18х2 + 42х - 10. <1
Задача 4 Найти значения х, при которых значение про-
изводной функции f (х) = (х - I)9 (х + 2)6 равно
нулю.
► По формуле (3) получаем f (х) = 9 (х - I)8 (х + 2)6 +
+ 6 (х - I)9 (х + 2)5 = 3 (х - I)8 (х + 2)5 (Зх + 6 + 2х -
- 2) = 3 (х - I)8 (х + 2)5 (5х + 4).
Решая уравнение 3 (х - I)8 (х + 2):> (5х + 4) = 0, на-
ходим, что f (х) = 0 при
Xj = 1, х2 = -2, х3 = -0,8. <
•	4. Производная частного:
<	( Нх)У _f'(x)g (x)-f (x)g'(x)
Y-Y	g2(x)
237
Задача 5
Задача 6
Найти производную функции F (х) = —-----.
х2 + 1
► Обозначим х3 = f (х), х2 + 1 = g (х). По форму-
(х3)'(х2+ 1)-х3(х2 + 1)'
ле (4) находим F (х) =------------------------=
(х2 + I)2
_ Зх2(х2 + 1)-х32х _ х4+ Зх2
(х2+1)2	(х2+1)2‘
Найти значения х, при которых значение произ-
водной функции f (х) = —:
х2 + 3
1) положительно; 2) отрицательно.
—2 х
► По формуле (4) получаем f (х) =---------.
(х2 + З)2
—2 х
1)	Решая неравенство --------> 0, находим, что
(х2+ З)2
f (х) > 0 при х < 0.
—2 х
2)	Решая неравенство---------< 0, находим, что
(х2 + З)2
f'(x) < 0 при х > 0. <
5. Производная сложной функции.
Рассмотрим функцию F (х) = log2 (х2 + 1). Эту функ-
цию можно рассматривать как сложную функ-
цию f (у) = log2 у, где у = g (х) = х2 + 1, т. е. как
функцию f (у), аргумент которой также является
функцией у = g (х). Иными словами, сложная функ-
ция — это функция от функции F (х) = f (g (х)).
Производная сложной функции находится по
формуле F' (х) = Г (у) g'(x), где у = g (х), т. е.
по формуле
(ffg (*)))' = Г (£(*)) £'(*)•	(5)
Рассмотрим примеры.
1) Пусть F (х) = (2х + I)2 + 5 (2х + 1).
Здесь f (у) = у2 + 5у, у = g (х) = 2х + 1.
По формуле (5) находим F' (х) = (2у + 5)  (2х + 1)' =
= (2у + 5) 2 = (2 (2х + 1) + 5) 2 = 8х + 14.
3	з
2) Пусть F (х) = (х2 + I)2. Здесь f (у) = у2, у = g (х) =
= х2 + 1. По формуле (5) находим
1 1
F' (х) =| у2 (х2 + 1)' = j(x2 +1)2 2х = Зх д/х2 +1.
238
Упражнения
Найти производную функции (802—803).
802 1) х2 + х;	2) х2 - х;	3) Зх2;	4) -17х2;
5) -4х3;	6) 0,5х3;	7) 13х2 + 26;	8) 8х2 - 16.
803 1) Зх2 - 5х + 5;	2) 5х2 + 6х - 7;	3) х4 + 2х2;
4) х5 - Зх2;	5) х3 + 5х;	6) -2х3 + 18х;
7) 2х3 - Зх2 + 6х + 1;	8) -Зх3 + 2х2 - х - 5.
804 Построить график функции у = 3 (х - 2)2 + 1 и график функ-
ции, являющейся ее производной.
805 Найти производную функции:
1) х2 + 4г;	2) х3 + -^-;	3) 2Vx-Vx; 4)3Vx + 71Vx.
х3	х2
806 Найти f (О) и f (2), если:
1) f (х) = х2 - 2х + 1;	2) f (х) = х3 - 2х;
3) f (х) = -х3 + х2;	4) / (х) = х2 + х + 1.
807 Найти f'(3) и если:
1) f(x) = i + -J-;	2) f(x) = yHc + ± + l-,
х X1	X
3	3
3)	4) f(x) = x2-x’2.
Vx X3
808 Дифференцируема ли функция у = f (х) в точке х, если:
1)у = -^- х = 1;	2) у = Зх-J , х = 3;
х-1	(х-3)2
3) у = л/х + 1, х = 0;	4) у = л/5-х, х = 4?
809 Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно 0, если:
1)	f (*) = х3 - 2х;
2)	f (х) = -х2 + Зх + 1;
3)	f (х) = 2х3 + Зх2 - 12х - 3;
4)	f (х) = х3 + 2х2 - 7х + 1;
5)	f (х) = Зх4 - 4х3 - 12х2;
6)	f (х) = х4 + 4х3 - 8х2 - 5.
810 Найти производную функции:
1) (х2 - х) (х3 + х);	2) (х + 2) Vx; 3) (х -1) Vx.
811 Найти /' (1), если:
1) f (х) = (х - I)8 (2 - х)7;	2) f (х) = (2х - I)5 (1 + х)4;
3) f (х) = V2-x (3-2х)8;	4) f (х) = (5х-4)6 V3x-2.
239
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
Пересекается ли график функции, являющейся производной
функции у = х3 + 2х1 2 3 - Зх + 4, с графиком функции у = Зх + 1?
При каких значениях х значение производной функции
у = (х - З)5 (2 + 5х)6 равно 0?
Найти производную функции:
х5 + х3 + х	Vx + х2 + 1
1)	-	;	2)	-	.
х+ 1	х-1
Найти /'(1), если:
_ „ , , „ х2 -1	„	2х2
1) /(*)= —j--’	2)	=
х2+1	1-7х
Найти функцию f (g (х)), если:
з
1) g (х) = 1 - X, f (£) = g2;	2) g (х) = In х, f (g) = y[g.
Представить в виде сложной функции:
1) F (х) = у/2х2 -7;	2) F (х) = sin (х2 + 1).
Найти производную функции (818—821).
х3 + х2 + 16
х
Зг~
Ху/ X 4- Зх + 18
V X
1) (2х - З)5 (Зх2 + 2х + 1);	2) (х - I)4 (х + I)7;
3) VЗх + 2 (Зх-1)4;	4) ^2х+ 1 (2х-3)3.
2х2-Зх+1 Зх2 + 2х-1	2-х	4 х
1) ---------; 2) ----------;	3) —-—I-----.
х +1	2х + 1	ух 2-х
При каких значениях х значение производной функции
f (х) = 2х3 - Зх2 - 12х + 1 равно 0?
При каких значениях х значение производной функции
2х -1
f (х) =---- равно 3?
х + 1
При каких значениях х значение производной функции
f (х) = (х - 1) (х - 2) (х - 3) равно 11?
Выяснить, при каких значениях х производная функции
принимает положительные значения:
1) f (х) = х4 - 4х2 + 1;	2) f (х) = Зх4 - 4х3 - 12х2 + 3;
3) /(х)=(х + 2)2 -/х;	4) f (х) = (х-3) Ух.
240
826
827
828
829
830
Выяснить, при каких значениях х производная функции
принимает отрицательные значения:
1) у = (5 - Зх)4 (Зх - I)3;	2) у = (2х - З)2 (3 - 2х)3;
Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от
времени t по закону <р (i) = 0,lt2 - 0,5t + 0,2. Найти угловую
скорость (в рад/с) вращения тела в момент времени t - 20 с.
Тело, масса которого т = 5 кг, движется прямолинейно
по закону s = 1 - t + t2 (где s измеряется в метрах, t — в се-
кундах). Найти кинетическую энергию тела через 10 с
после начала движения.
В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса
(в граммах) распределена по закону пг = 2Z2 + 3/, где
I — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти ли-
нейную плотность:
1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;
2) в конце стержня.
Найти производную функции f (х) - х2 -5х + 6 при х < 2
и при х > 3.
Производные некоторых
элементарных функций
Элементарными функциями называют степенную,
показательную, логарифмическую и тригономет-
рические функции, а также их различные комби-
нации. При решении многих практических задач
часто приходится находить производные таких
функций.
Например, напряжение в цепи переменного тока
выражается формулой U (£) = A sin (wt + <р); для
нахождения силы тока I (/) нужно уметь находить
производную U' (/), так как I (i) = U'(f).
241
Задача 1
1.	Производная показательной функции.
Показательная функция f (х) = ах, где а > 0, а # 1,
определена на всей числовой прямой и имеет про-
изводную в каждой ее точке. Любую показатель-
ную функцию можно выразить через показатель-
ную функцию с основанием е по формуле
ах = ех}па,	(1)
так как ех 1п ° - (е1п а)х = ах. В курсе высшей мате-
матики доказывается, что функция ех обладает за-
мечательным свойством: ее производная также
равна ех, т. е.
(ехУ = ех.	(2)
Применяя правило дифференцирования сложной
функции, получаем
(екх - ЬУ = kekx + ь.	(3)
Например, (е3х * *)’ = Зе3х ' ’, (е’2х ’ 4)' = -2е“2х ~ 4.
Найти производную функции ах, где а > 0, а 1.
► Используя формулы (1) и (3), находим (ахУ =
= (ех 1П “)' = In а • ех 1,1 а = In а • ах. <1
Итак,
(ахУ = ах In а.	(4)
Например, (3х) = 3х In 3, (0,7х)' = 0,7х in 0,7.
2*. Производная логарифмической функции.
Логарифмическую функцию loga х с любым осно-
ванием а > 0, а 1 можно выразить через лога-
рифмическую функцию с основанием е с помощью
формулы перехода
10g.	<S>
Ina
Производная функции In х выражается формулой
(In х)' = —, х > 0.	(6)
х
Применяя правило дифференцирования сложной
функции, получаем
(ln(b b))'-	\.	(7)
kx + b
Например, (ln(4x-3))' =———, (ln(l-2x))' =
4x - 3
-2 _	2
1-2x 2x- 1
242
Задача 2 Найти производную функции loga х, где а > О,
а 1.
► Используя формулы (5) и (6), находим
(loge ХУ = [Y = A- (In ХУ = -А—. <
\ In а ) In a	х in a
Итак,
(logax)'- J .	(8)
x Ina
Например, (log3 x)' =	, (lg x)' = A .
x In 3	x In 10
3. Производные тригонометрических функций.
Покажем, как можно вывести формулу производ-
ной синуса. Обозначим f (х) = sin х, составим раз-
ностное отношение:
/(x+/i)-f(x) sin(x + Л) - sinx
h	h
2 sin -- cos | x + - | sin -
=_____2	_____2_ cos f г + — ^	(9)
h	h I 2)
2
Если h —> 0, to x + — —> x и cos ( x + — I —> cos x.
2	k 2 J
Можно доказать, что lim - 1. Тогда
t ->o t
lim ----- = 1,
h - ♦ 0 h
2
и поэтому правая часть (9) имеет предел, равный
cos х. Следовательно, левая часть (9) также имеет
предел, который по определению равен f' (х).
Таким образом, (sin х)' = cos х.
Аналогично можно убедиться в том, что (cos х)' =
= -sin х.
Итак, справедливы формулы
(sin х)' = cos х, (cos х)' = - sin х.	(10)
Справедливы также формулы
(sin (kx + Ь)У = k cos (kx + b),
(cos (kx + Ь)У — -k sin(kx + b).
Например, sin [ - x - 1 ] I =A cos [ i x -1
V \4	))	4	\4
(cos (3 - 4x))' = -(-4) sin (3 - 4x) = 4 sin (3 - 4x).
243
Задача 3 Найти производную функции tg х.
► Используя правило дифференцирования частно-
го и формулы (10), находим (tg х)' = sin х -
COS X J
(sin х)' cos х - sin х (cos х)' cos2 х + sin2 х _ i
cos2 x	cos2 x cos2 X
Итак, (tg x)' = —. <!
cos2 x
4. Применение правил дифференцирования и
формул для производных к решению задач.
Приведем сводную таблицу.
(f (х) + g (х))' = f (х) + g' (х), (cf (х))' = cf' (х),
(f (х) g (х))' = f'(x) g (х) + f (х) g' (х),
[ LLffl ' = ^'<х> f(x) S'(x)
l#(*)J	g2(x)
f (g (x))' = f (g (x))  g' (x).
((x)p)' = pxp ~ \ (e*)' = ex, (In x)’ = —,
X
(a*)' = ax In a, (loga x)' =—-—,
x In a
(sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x.
Задача 4 Найти производную функции:
1) f (х) - sin (2х -i- 1) - 3 cos (1 - x);
2) f (x) = e 3x sin (5x - 1); 3) f (x) = ln 3x.
x + 1
1)
2)
3)
f (x) = 2 cos (2x + 1) - 3 sin (1 - x);
f (x) = -3e“3x sin (5x - 1) + 5e“3x cos (5x - 1);
Q
- (x + 1) - 1 • In 3x	, o
л . .	X -b 1 - x In 3x
Г(Х)=^----------------=----------<
(x+1)2	x(x+l)2
Задача 5* Найти значения x, при которых значение произ-
водной функции f (х) = х2 - 2 In х равно нулю;
положительно; отрицательно.
тт „	,, , . о 2	2 (х2 -1)
► Найдем производную f (х) =2х — =------------.
х х
Заметим, что равенство (х2 - 2 In х)' = 2х спра-
х
ведливо при тех значениях х, при которых обе ча-
сти имеют смысл, т. е. при х > 0.
244
Выражение
2(х1 2-1)	.	_
------- равно нулю при хг 2 = ±1,
положительно на промежутках -1<х<0их>1;
отрицательно на промежутках х<-1и0<х<1.
Так как х > 0, то f (х) = 0 только при х = 1;
Г(х) > 0 при х > 1; f'(x) < 0 при 0 < х < 1. <
Упражнения
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
Найти производную функции (831—839).
1) ех + 1;	2) ех - х2;	3) е2х + —;	4) е Зх + Vx.
х
1 X -1	___ 1
1)е2х’1 + 2х3;	2) е2	-7х-1;	3) е0'3**2+-L;
V X
4) е1 -х + х“3;	5) ех'г;	6) е2х3.
1) 2х + ех\ 2) 3х - X’2; 3) е2х - х; 4) е3х + 2х2; 5) 3х2 +2.
1) 0,5х + е3х; 2) 3х - е2х; 3)e2“x + Vx; 4)е3-х + —.
х4
1) 2 In х + 3х;	2) 3 In х - 2х;	3) log2 х + —;
2х
4) 3 х“3 - log3 х; 5) In (х2 - 2х);	6) (Зх2 - 2) log3 х.
1) sin х + х2; 2) cos х-1; 3) cos х + ех; 4) sin х - 2х.
1) sin (2х	- 1); 2)	cos (х + 2);	3) sin	(3	-	х); 4) cos (х3).
1)	cos f — -11 + е3х;	2) sin f —	+ з1 + 2х;	3) 3cos4x——.
<2	)	1.3	J	2х
1) C°S Х;	2) ——;	3) In х 	cos Зх;	4)	log3 х • sin 2х.
ех	sin х
Найти значение производной функции f (х) в точке х0:
1) f (х) = е2х 4 + 2 in х, х0 = 2;
2) f (х) = е3х’2 - In (Зх - 1), х0 = —;
3
3) f (х) = 2х - log2 х, х0 = 1;
4) f (х) = log 0 5 х - 3х, х0 = 1.
Выяснить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) равно 0:
1) f (*) = х - cos х;
3) f (х) = 2 In (х + 3) - х;
5) f (х) = х2 + 2х - 12 In х;
2) f (х) =- х - sin х;
4) f (х) = In (х + 1) - 2х;
6) f (х) = х2 - 6х - 8 In х.
245
842
843
844
845
846
847
848
849
.850
851
852
853
854
855
856
Выяснить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) положительно:
1) 1 (х) = ех - х;	2) f (х) = х In 2 - 2х;
3) 1 (х) = ехх2;	4) f(x)=exJx.
Найти производную функции (843—851).			
1)	Jgx^j+1п 2х+_3	2) V 3	5	Jk^_21n2zi5x V 6	3	
	1-х	2-х	
3)	2е 3 +3cos1^;	4) 2	Зе 3 -2 sin 4	X
			Х-4
1)	3 —-3cos^^;	2) V 2 - х	3	2 	—- -5е } (х+ 2)3	5
1)	0,5х  cos 2х;	2) 5д/х е	-*;	3) е3-2х	• cos (3 - 2х).
1)	In ух - 1;	2) е <3*х;	3) In (cos х);	4) In (sin х).
1)	2cosx + i. 2) 0,51 + sinx;	3) cos л/х + 2 ;	4) sin (In х).
1)	у/х2 + 2х-1;	2) ^/sinx;	3) ^/cos х;	4)	x.
1)	1 + cos *.	2J у'Зх . sin х	3х + 1	₽0,5х 3) —		; cos 2 х - 5	4) —5	. sin 3 х + 7
1)	ех - е х X	2)	2х- log2 х In 2 • х
1)	sin х - cos х » X	2)	1 - sin 2x sin x - cos x
Выяснить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) равно 0:
1) f (х) = 5 (sin х - cos х) + у1~2 cos 5х;
2) f (х) = 1 - 5 cos 2х + 2 (sin х - cos х) - 2х.
Найти значения производной функции f (х) в точках, в кото-
рых значение этой функции равно 0:
1) f (х) = е2х In (2х - 1);	2) f (х) = — x~cos *.
Вычислить f (х) + f (х) -г 2, если f (х) = х sin 2х, х = я.
Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции / (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f (х) = х - In х;	2) f (х) = х In х;
3) f (х) - х2 In х;	4) f (х) = х3 - 3 in х.
Найти производную функции In (х2 - 5х + 6) при х < 2
и при х > 3.
246
Геометрический смысл производной
Напомним, что графиком линейной функции
у = kx + Ъ является прямая (рис. 109). Число
k = tg а называют угловым коэффициентом прямой,
а угол а — углом между этой прямой и осью Ох.
iy Если ft > О, то 0 < а < — (рис. 109, а); в этом слу-
2
чае функция возрастает и говорят, что прямая на-
правлена вверх.
Если k < 0, то < а < 0 (рис. 109, б); в этом слу-
2
чае функция у - kx + b убывает и говорят, что
прямая направлена вниз.
Выясним геометрический смысл производной диф-
ференцируемой функции у = f (х).
Пусть точки А и М принадлежат графику функции
У = f (х) (рис. 110).
Пусть х и х + Л — абсциссы точек А и М (рис. 111),
тогда их ординаты равны f (х) и f (х + й). Из тре-
угольника АСМ (рис. 111), где С (х + ft; f (х)), най-
дем угловой коэффициент k прямой AM, который
зависит от й (его можно рассматривать как функ-
цию от й и писать k (ft)). Имеем ft (ft) = tg ZCAAf =
= где MC = f (x + ft) - f (x), AC = ft, t. e.
AC
247
Пусть число х фиксировано, a h -> 0, тогда точка А
неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стре-
мится к точке А (рис. 111). При этом прямая AM
стремится занять положение некоторой прямой,
которую называют касательной к графику функ-
ции у = f (х), потому что lim k (h), существует
л -»о
и равен f (х). Итак,
Г (х) = tg а.
(2)
Геометрический смысл производной состоит в том,
что значение производной функции f (х) в точке х
равно угловому коэффициенту касательной к гра-
фику функции в точке (х; f (х)).
Задача 1 Найти угол между касательной к графику функ-
ции у = sin х в точке (О; 0) и осью Ох.
Найдем угловой коэффициент касательной к кри-
вой у = sin х в точке (0; 0), т. е. значение производ-
ной этой функции при х - 0.
Производная функции f (х) =
= sin х равна f (х) = cos х.
По формуле (2) находим
tg а = f (0) = cos 0=1,
а = arctg 1 = - (рис. 112). <3
4
Отметим, что это свойство по-
лезно для построения графи-
ка у - sin х: в точке (0; 0)
синусоида касается прямой
у = х (рис. 112).
248
Задача 2 Найти угол между касательной к параболе у = х2
в точке (1; 1) и осью Ох и написать уравнение этой
касательной.
► Производная функции / (х) = х2 равна /' (х) = 2х.
По формуле (2) находим tg а = f (1) = 21=2,
откуда а = arctg 2 (рис. 113).
Найдем теперь уравнение касательной АВ к пара-
боле у = х2 в точке А (1; 1) (см. рис. 113). Если
у = kx + Ь — уравнение прямой АВ, то k = tg а = 2,
т. е. уравнение касательной имеет вид у = 2х + Ь.
Подставляя в это уравнение координаты точки
(1; 1), получаем 1 = 2 • 1 + Ь, откуда b = -1. Следо-
вательно, у = 2х - 1 — уравнение искомой каса-
тельной. <1
Задача 3
Аналогично тому, как это сделано в задаче 2, выве-
дем уравнение касательной к графику дифферен-
цируемой функции в точке (х0; f (х0)) (рис. 114).
Если у = kx + Ъ — искомое уравнение, то по фор-
муле (2) находим k = tg а = f (х0), т. е. уравнение
касательной имеет вид у = f (х0) х + Ь. Подстав-
ляя в это уравнение координаты точки (х0; f (х0)),
получаем f (х0) = Г (х0) х0 + Ь, откуда b = / (х0) -
- Г (х0) хо-
Итак, уравнение касательной у = f (х0) х + f (х0) -
- f (х0) х0, или
У = f (х0) + f (х0) (х - х0). О (3)
Найти уравнение касательной к графику функции
у = cos х в точке с абсциссой х0 = —.
6
Найдем значения функции f (х) = cos х и ее произ-
водной в точке х0 = —:
6
249
Задача 4*
Используя формулу (3), най-
дем искомое уравнение каса-
тельной: у = — --(х-—\
2	2 I 6)
или у = -- X + I — + — |. <1
2	2	12)
Касательная к графику функ-
( л
ции у = cos х в точке —; -—
\ ® 2 )
изображена на рисунке 115.
Показать, что касательная к параболе у = х2 в
ке с абсциссой х0 пересекает ось Ох в точке
Пусть / (х) = х2, тогда
точ-
*0
2 ‘
Г (х) = 2х, f (х0) = х% и f (х0) = 2х0.
По формуле (3) находим уравнение касательной:
у = х% + 2х0 (х - Xq) = 2хох - х%.
Найдем точку пересечения этой касательной с осью
абсцисс. Из равенства 2хох - Xq = 0 находим
х = ^. <
2
Отсюда следует простой геометрический способ
построения касательной к параболе у = х2 в точ-
ке А с абсциссой х0: прямая, проходящая через
точку А и точку — оси абсцисс, касается параболы
2
в точке А (рис. 116).
250
Построив касательную к параболе, можно постро-
ить ее фокус F. Напомним, что фокусом является
точка, в которую нужно поместить источник света,
чтобы все лучи, отраженные от параболического
зеркала, были параллельны оси симметрии пара-
болы. Для построения фокуса F нужно построить
прямую АВ, параллельную оси Оу, и прямую AF,
образующую с касательной такой же угол, как и
прямая АВ (рис. 117).
Упражнения
857	Найти значения k и Ъ, если прямая у - kx + b проходит через точку (х0; г/0) и образует с осью Ох угол а: 1) а = у, х0 = 2, уй = -3;	2) а = у, х0 = -3, у0 = 2; 4	4 3) а = -у, х0 = 1, г/0 = 1;	4) а = -^, х0 = -1, у0 = -1. 3	о
858	Найти угловой коэффициент касательной к графику функ- ции у = f (х) в точке с абсциссой х0: 1) f (х) = х3, х0 = 1;	2) f (х) = sin х, х0 = —; 4 3) f (х) = In х, х0 = 1;	4) f (х) = ех, х0 = In 3.
859	Найти угол между касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0 и осью Ох: 1) f (х)	х3, х0 = 1;	2) f (х) =-, х0 = 1; о	X 3) /(х) =2/х, х0 = 3;	4) f (х) = ^L, х0 = 3; V х Зх - 1 5) f (х) = е 2 , х0 = 0;	6) f (х) = In (2х + 1), х0 = 2.
860	Написать уравнение касательной к графику функции у - f (х) в точке с абсциссой х0: 1) f (х) = х2 + х + 1, х0 - 1;	2) / (х) = х - Зх2, х0 = 2; 3) / (х) = —, х0 = 3;	4) / (х) = —, х0 = —2; X	X 5) f (х) = sin х, х0 = -;	6) f (х) = ех, х0 = 0; 4 7) f (х) = In х, х0 = 1;	8) f (х) = Vx, х() = 1.
861	Функция у - f (х) задана своим графиком (рис. 118, а, б). В каких точках А, В, С, D, Е, F, G производная этой функ- ции принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения; в) значения, равные 0?
251
Рис. 118
862 Написать уравнение касательной к графику функции
у = f (х) в точке с абсциссой х = 0:
1) f (х) = х + —-—;	2) f (х) = sin 2х - In (х + 1).
х+ 1
863 Найти угол между осью Оу и касательной к графику функ-
ции у = f (х) в точке с абсциссой х - 0:
1) f (х) = х + е~х; 2) f (х) = cos х; 3) f (х) = Vx + 1 + е2.
864 Под каким углом пересекаются графики функций (углом
между кривыми в точке их пересечения называют угол меж-
ду касательными к этим кривым в этой точке):
1) у = 8 - х и у = 4 л/х + 4;	2) у -1 (х + I)2 и у = | (х-I)2;
3) г/ = In (1 + х) и i/ = In (1 - х);	4) у = ех и у =е~х 2
865 Показать, что графики двух данных функций имеют одну
общую точку и в этой точке общую касательную. Написать
уравнение этой касательной:
1)	у = х4 и у = х6 + 2х2;
2)	у = х4 и у = х3 - Зх2;
3)	у = (х + 2)2 и у = 2 - х2;
4)	у = х (2 + х) и у = х (2 - х).
866 Найти точки графика функции у = f (х), в которых касатель-
ная к этому графику параллельна прямой у - kx:
1) f (х) = ех + е~х, k =	2) f (х) = V3x-1, k =
3) f (х) = sin 2х, k = 2;	4) f (х) = х + sin х, k = 0.
у О
867 В каких точках касательная к графику функции у =---------
х-2
образует с осью Ох угол, равный -—?
4
868 Найти точки, в которых касательные к кривым
f (х) = х3 - х - 1 и g (х) - Зх2 - 4х + 1
параллельны. Написать уравнения этих касательных.
252
Упражнения
к главе VIII
Найти производную функции (869—874).	
869	1) 2х4 - х3 + Зх + 4;	2) -х5 + 2х3 - Зх2 - 1; 3) б7х + 4-;	<) -^-8Vx;	5) (2х + 3)8; х2	X3 6) (4 - Зх)7;	7) V3X-2;	8) , 1	 Vl-4x
870	1) ех - sin х;	2) cos х - In х;	3) sinx-Vx; 4) 6х4 - 9е*;	5) -+4ех;	6) —+ -1пх. х	Зх3 2
871	1) sin 5х + cos (2х - 3);	2) е2х - In Зх; 3) sin (х - 3) - In (1 - 2х);	4) 6 sin — -е1-3* . 3
872	1) х2 cos х;	2) х3 In х;	3) 5хех; 4) х sin 2х;	5) е~х sin х;	6) ех cos х.
873	1) ф1; 2)	з)	4> X4 + 1	X4 + 1	X + 1	1-х
874	1) sin3 х;	2) 8СОЗЛ;	3) cos4 х;	4) In (х3).
875	Найти значения х, при которых значение производной функ- ции / (х) равно нулю; положительно; отрицательно: 1)	f (х) = 2х3 - х2;	2)	f (х) = -Зх3 + 2х2 + 4; 3)	f (х) = х5 - 5х3 -	20х;	4)	f (х) = (х + З)3 (х - 4)2; 5)	/(х) = 3х±1;	6)	/ (х) = х2 х-2	х
876	Найти значение производной функции f (х) в точке х0, если: 1) f (х) = cos х sin х, х0 = —;	2) f (х) = ех In х, х0 = 1; 6 3)/(х)- .	, х0=’7;	4) / (х) - х , х0 - 0. sin х	4	1 + ех
877 Написать уравнение касательной к графику функции в точ-
ке с абсциссой х():
1) у = х2 - 2х, х0 = 3;	2) у = х3 + Зх, х0 = 3;
3) у = sin х, х0 = —;	4) у - cos х, х0 = -.
6	3
253
878 Закон движения тела задан формулой s (£) = 0,5t2 + St + 2
(s — в метрах, t — в секундах). Какой путь пройден телом
за 4 с? Какова скорость движения в этот момент времени?
Проверь себя!
1 Найти значение производной функции f (х) = Зх3 + 4х - 1
в точке х = 3.
2 Найти производную функции:
1) — + 2 -/х -ех ; 2) (Зх - 5)4; 3) 3 sin 2х cos х; 4) *
х	х2 + 5
3
4
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = cos Зх в точке с абсциссой х0 =
л
6 
Найти угол между касательной к графику функции
у = х4 - 2х3 + 3 в точке с абсциссой х0 = - и осью Ох.
Найти производную функции (879—881).
879 1) у = cos2 Зх;	2) у = sin х cos х + х;
3) у = (х3 + 1) cos 2х;	4) у = sin2 —; 2
5) у = (х + 1) л/х2 ;	6) у = у/х -1 (х4 -1).
880 1)^12^;	2>У-^;
1 + cos 2х	4 х
у	sin х + cos х
и —	Л	.	ЛД it —
У	I	>	L) У
aJ х + 2	Sin х - COS X
881 1) log2 (x3 - x2 + 1); 2) (log2 x)3; 3) sin (log3 x); 4) cos 3х.
882 На каком из рисунков 119 (a—г) изображены эскизы гра-
фиков функций, являющихся производными следующих
функций: у = е х, у = In (-х), у = sin 2х, у = 2 cos х?
883 Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f (х) = 2х + 2“х;	2)	/	(х)	=	32х - 2х In 3;
3) f (х) = х + In 2х;	4)	f	(х)	=	х + In (2х + 1);
5) f (х) = 6х - х Vx;	6)	f	(х)	=	(х + 1) л/х + 1 -Зх.
884 Найти все значения а, при которых f (х) > 0 для всех дейст-
вительных значений х, если f (х) = х3 + Зх2 + ах.
885 Найти все значения а, при которых f'(x) < 0 для всех дейст-
вительных значений х, если f (х) = ах3 - 6х2 - х.
254
Рис. 119
886 Найти все значения а, при которых уравнение f (г) - О
не имеет действительных корней, если:
1) /(х)=ах2—2) f(x)=ax + —;
X2	X
3) f (х) = ах3 + Зх2 + 6х;	4) f (х) = х3 + 6х2 + ах.
887 Найти все значения а, при которых неравенство f (х) < О
не имеет действительных решений, если:
1) f (х) = ах7 + х3 - 1;	2) / (х) = х5 + ах3 + 3;
3) / (х) = (х + а) Vx;	4) f(x)=x + —.
х
888
Под каким углом пересекаются графики функций:
1) у = 2 Vx и у = 2 л/б -х; 2) у = V2x + 1 и у = 1?
889 Написать уравнение касательной к графику функции в точ-
ке с абсциссой х0:
1) У = 2 sin х0 -	;	2) у = 2~* - 2 2\ х0 = 2;
Y I О
3) у =----, х0 = 2;	4) у - х + In х, х0 = е.
3-х
255
890 Найти уравнения касательных к графику функции
у = — х3 - - х2, параллельных прямой у = 6х.
3	2
891 Прямая касается гиперболы у = — в точке (1; 4). Найти
х
площадь треугольника, ограниченного этой касательной
и осями координат.
892 Прямая касается гиперболы у = ~, где k > 0, в точке
х
с абсциссой х0.
1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой
касательной и осями координат, не зависит от положения
точки касания. Найти эту площадь.
2) Доказать, что эта касательная проходит через точки
х0; — I и (2х0; 0).
I *о )
893 Выяснить, при каких значениях р касательная, проведенная
к графику функции у = х3 - рх в его точке с абсциссой
х0 = 1, проходит через точку М (2; 3).
4х-2**1
894 Найти все такие точки графика функции у =--------------,
In 4
в которых касательная к этому графику параллельна пря-
мой у = 2х + 5.
895 Найти расстояние от начала координат до той касательной
к графику функции у = х In х, которая параллельна оси
абсцисс.
896 Выяснить, при каких значениях параметра а прямая
у = ах - 2 касается графика функции у = 1 + In х.
897 Найти общие касательные к графикам функций
f (х) = х2 - 4х + 3 и g (х) = -х2 + 6х - 10.
898 Две параллельные касательные к графику функции
у = х3 - 6 пересекают оси координат: одна — в точках А и В,
другая — в точках С и D. Найти площадь треугольни-
ка АОВ, если она в 4 раза меньше площади треуголь-
ника COD.
IX
. «ВнаЖ
т глава
? Применение производной
- к исследованию функций
7 Теория без практики мертва или бесплод-
на, практика без теории невозможна или
7 пагубна. Для теории нужны знания, для
практики, сверх всего того, и умение.
'	А. Н. Крылов
Возрастание и убывание функции

1. Производная широко используется для иссле-
дования функций, т. е. для изучения различных
свойств функций. Например, с помощью производ-
ной можно находить промежутки возрастания и
убывания функции, ее наибольшие и наименьшие
значения.
Рассмотрим применение производной к нахожде-
нию промежутков возрастания и убывания функ-
ций.
Пусть значения производной функции у = f (х) по-
ложительны
9 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
на некотором промежутке, т. е.
/' (х) > 0. Тогда угловой коэффици-
ент касательной tg а = f (х) к гра-
фику этой функции в каждой точке
данного промежутка положителен.
Это означает, что касательная к гра-
фику функции направлена вверх,
и поэтому график функции на этом
промежутке «поднимается», т. е.
функция f (х) возрастает (рис. 120).
Если f'(x) < 0 на некотором про-
межутке, то угловой коэффициент
касательной tg а = f' (х) к графику
257
функции у = f (х) отрицателен. Это означает, что
касательная к графику функции направлена вниз,
и поэтому график функции на этом промежутке
«опускается», т. е. функция f (х) убывает (рис. 121).
Итак, если /' («) > О на промежутке, то функция
возрастает на этом промежутке.
Бели f (х) < О на промежутке, то функция f (х)
убывает яа этом промежутке.
Строгое доказательство этого утверждения выхо-
дит за рамки школьного курса математики.
2. При доказательстве теорем о достаточных усло-
виях возрастания или убывания функции исполь-
зуется теорема 1, которая называется теоремой
Лагранжа.
Теорема 1. Если функция / (х) непрерывна на
отрезке [в; 6} и дифференцируема на интервале
(а; 4), то.«ущертвует тццка .< е (а; Ь) такая, что
= (1)
Доказательство формулы (1) приводится в курсе
высшей математики. Поясним геометрический
смысл этой формулы.
Проведем через точки А (а; / (а)) и В (&; f (&)) гра-
фика функции у = f (х) прямую I и назовем эту
прямую секущей. Угловой коэффициент секущей
равен----------.
Ъ - а
Запишем формулу (1) в виде
= (2)
b - а
258
Согласно формуле (2) угловой коэффициент ка-
сательной к графику функции у - f (х) в точке С
с абсциссой с (рис. 122) равен угловому коэффи-
циенту секущей I, т. е. на интервале (а; Ь) найдет-
ся такая точка с, что в точке графика с абсцис-
сой с касательная к графику функции у = f (х)
параллельна секущей. Сформулируем и докажем
с помощью теоремы Лагранжа теорему о доста-
точном условии возрастания функции.
Теорема 2. Если функция f (х) дифференци-
руема на интервале (а; &) и Г (х) > 0 для всех
х с (а; Ь), то функция возрастает на интервале
ф Пусть Xj и х2 — произвольные точки интервала
(а; Ь) такие, что Xj < х2. Применяя к отрезку
[Хр х2] теорему Лагранжа, получаем
f (*2) _ f (*i) = f (с) (х2 - х1)> гДе с е (Хр х2).
Так как f (с) >0 и х2 - xt > 0, то из последней
формулы получим / (х2) - f (Xj) > 0, т. е.
f (х2) > f (xt). Это означает, что функция f (х) воз-
растает на интервале (а; Ь). О
Таким же способом можно доказать, что если функ-
ция f (х) непрерывна на отрезке [a; fe] и f (х) > 0
на интервале (а; Ь), то эта функция возрастает на
отрезке [а; Ь].
Аналогично доказывается, что функция f (х) убы-
вает на интервале (а; Ь), если f (х) < 0 на (а; д);
если, кроме того, функция / (х) непрерывна на от-
резке [а-, 6], то она убывает на отрезке [а; 6].
Задача 1 Доказать, что функция f (х) = х + - возрастает на
х
промежутке х > 1.
1 х2 — 1
► Найдем производную: /'(х) = 1 — =—-—. Если
х2 х2
х2 — 1
х > 1, то —-— >0, т, е. f ’ (х) > 0 при х > 1, и по-
х2
этому данная функция возрастает на промежутке
х > 1. <5
Промежутки возрастания и убывания функции ча-
сто называют промежутками монотонности этой
функции.
259
Задача 2 Найти интервалы монотонности функции
/ (х) = х3 - Зх2.
► Найдем производную: f' (х) = Зх2 - 6х.
Решая неравенство f'(x) > 0, т. е. неравенство
Зх2 - 6х > 0, находим интервалы воз-
растания: х < 0, х > 2.
Решая неравенство f (х) < 0, т. е.
неравенство Зх2 - 6х < 0, находим
интервал убывания 0 < х < 2. <1
График функции у = х3 - Зх2 изобра-
жен на рисунке 123. Из этого рисунка
видно, что функция у = х3 - Зх2 воз-
растает не только на интервалах х < О
и х > 2, но и на промежутках х < 0 и
х > 2; убывает не только на интервале
О < х < 2, но и на отрезке 0 < х < 2.
Упражнения
890 Доказать, что функция f(x) = x2 + — возрастает на проме-
х
жутке х > 1, убывает на промежутках х<0и0<х<1.
900 Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1)	у = х2 - х;	2)	у	=	5х2 - Зх - 1;
3)	у = х2 - 2х;	4)	у	=	х2	+ 12х - 100;
5)	у = х3 - Зх;	6)	у	=	х4	- 2х2;
7)	у = 2х3 - Зх2 - 36х + 40;	8)	у	=	х3	- 6х2 + 9.
901 Построить эскиз графика непрерывной функции у - f (х),
определенной на отрезке [а; 6], если:
1)	а = О, Ъ = 5, Л(х) > 0 при 0 < х < 5, f (1) = 0, f (5) = 3;
2)	а = -1, b = 3, f (х) < 0 при -1 < х < 3, f (0) = 0, f (3) = -4.
Найти интервалы возрастания и убывания функции (902—905).
902 1) у = —^—; 2)у = 1 + —; 3) i/ = -7x-3; 4) г/ = 1 + Зд/'х-5.
х + 2	х
•03
х2 + 3	х2
3)	у = (х - 1) е3х;	4)	у	= хе~3х.
904	1)	у=ех2~3х;	2)	у	=	Зх2~х.
905	1)	у = х - sin 2х;	2)	у	= Зх + 2	cos Зх.
260
906 Изобразить эскиз графика непрерывной функции у = f (х),
определенной на отрезке [а; Ь], если:
1) а = -2, 5 = 6, /(-2) = -1, 7 (6) = 5, 7(3) = О, 7'(3) = О,
7'(х) > 0 при -2 < х < 3, f'(x) < 0 при 3 < х < 6;
2) а = -3, 5=3, 7 (—3) =-1, /(3) = 4, 7'(2) = 0, f'(x) < О
при -3 < х < 2, f'(x) > 0 при 2 < х < 3.
907, При каких значениях а функция возрастает на всей число-
вой прямой:
1) у = х3 - ах; 2) у = ах - sin х?
908 При каких значениях а функция у - х3 - 2х2 + ах возра-
стает на всей числовой прямой?
9$9 При каких значениях а функция у = ах3 + Зх2 - 2х + 5
” i убывает на всей числовой прямой?
Экстремумы функции
На рисунке 123 изображен график функции
у = х3 - Зх2. Рассмотрим окрестность точки х = О,
т. е. некоторый интервал, содержащий эту точку.
Как видно из рисунка, существует такая окрест-
ность точки х = 0, что наибольшее значение функ-
ция х3 - Зх2 в этой окрестности принимает в точке
х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее
значение, равное 0, функция принимает в точке
х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума
этой функции.
Аналогично точку х = 2 называют точкой миниму-
ма функции х3 - Зх2, так как значение функции
в этой точке меньше ее значения в любой точке не-
которой окрестности точки х = 2, например окрест-
ности (1,5; 2,5).
Точка Хд называется точкой максимума функции
f (х), если существует такая окрестность точки х0,
261
Например, точка х0 = 0 является точкой максиму-
ма функции f (х) = 1 - х2, так как f (0) = 1 и при
всех значениях х * 0 верно неравенство f (х) < 1
(рис. 124).
Точка х0 называется точкой минимума функции
f (х), если существует такая окрестность точки х0,
что для всех х & х0 .из этой окрестности вьшолвд-
ется неравенство f(x)>
Например, точка х0 = 2 является точкой миниму-
ма функции f (х) = 3 + (х - 2)2, так как f (2) = 3
и f (х) > 3 при всех значениях х 2 (рис. 125).
Точки минимума и точки максимума называются
ИИИ1 точками экстремума.
Рассмотрим функцию f (х), которая определена в
некоторой окрестности точки х0 и имеет производ-
ную в этой точке.
Теорема. Если х0— точка экстремума диффе-
ренцируемой функции f (х), то f (х0) »0.
Это утверждение называют теоремой Ферма1.
Теорема Ферма имеет наглядный геометрический
смысл: касательная к графику функции у = / (х)
в точке (х0; f (х0)), где х0 — точка экстремума функ-
ции у = f (х), параллельна оси абсцисс, и поэто-
му ее угловой коэффициент f (х0) равен нулю
(рис. 126).
1 Пьер Ферма (1601—1665) — французский математик, один из
основоположников теории чисел и математического анализа.
262
Например, функция / (х) = 1 - х2 (рис. 124) имеет в
точке х0 = 0 максимум, ее производная f (х) = -2х,
Г (0) = 0. Функция f (х) = (х - 2)2 + 3 имеет мини-
мум в точке х0 = 2 (рис. 125), f (х) = 2 (х - 2),
Л(2) = 0.
Отметим, что если f '(x0) = 0, то этого недостаточно,
чтобы утверждать, что х0 обязательно точка экст-
ремума функции f (х).
Например, если f (х) = х3, то f (0) = 0. Однако точ-
ка х - 0 не является точкой экстремума, так как
функция х3 возрастает на всей числовой оси (рис. 127).
Итак, точки экстремума дифференцируемой функ-
ции нужно искать только среди корней уравнения
Г (х) = 0, но не всегда корень этого уравнения яв-
ляется точкой экстремума. Точки, в которых про-
изводная функции равна нулю, называют стацио-
нарными.
Заметим, что функция может иметь экстремум и в
точке, где эта функция не имеет производной. Напри-
мер, х = 0 — точка минимума функции f (х) = | х [,
а /' (0) не существует (см. § 44). Точки, в которых
функция имеет производную, равную нулю, или
недифференцируема, называют критическими точ-
ками этой функции.
Таким образом, для того чтобы точка х0 была точкой
экстремума функции f (х), необходимо, чтобы эта
точка была критической точкой данной функции.
Приведем достаточные условия того, что стационар-
ная точка является точкой экстремума, т. е. усло-
вия, при выполнении которых стационарная точка
есть точка максимума или минимума функции.
263
Теорема. Пусть функция / (х) дифференцируе-
ма на интервале (а; Ь), х0 е (а; &), и Г (х0) = 0.
Тогда:
1)	если при переходе через стационарную точку х0
функции f (х) ее производная меняет знак с «плю-
са» на «минус», т. е. Г(х) > 0 слева от точки х0
nf (х) < 0 справа от точки х0, то х0 — Точка мак-
симума функции f (х) (рис. 128);
2)	если при переходе через стационарную точку х0
функции f (х) ее производная меняет знак с «ми-
нуса» на «плюс», то х0 — точка минимума функ-
ции f (х) (рис. 129).
Для доказательства этой теоремы можно восполь-
зоваться формулой Лагранжа на отрезках [х; х0],
где а < х < х0, и [х0; х], где х0 < х < Ь.
Задача 1 Найти точки экстремума функции f (х) = х4 - 4х3.
► Найдем производную:
f (х) = 4х3 - 12х2 = 4х2 (х - 3).
Найдем стационарные точки:
4х2 (х - 3) = 0, х5 = 0, х2 = 3.
Методом интервалов устанавливаем, что производ-
ная f (х) = 4х2 (х - 3) положительна при х > 3,
отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.
Так как при переходе через точку Xj = 0 знак про-
изводной не меняется, то эта точка не является
точкой экстремума.
При переходе через точку х2 = 3 производная ме-
няет знак с «-» на «+». Поэтому х2 = 3 — точка
минимума. <1
264
Задача 2 Найти точки экстремума функции / (х) = х3 - х
и значение функции в этих точках.
► Производная равна
/' (х) = Зх2-1 =3| X + -L И х~4= I-
< ч/зД л/з J
Приравнивая производную к нулю, находим две
стационарные точки: х, = —и х2 = При пере-
Уз ч/з
ходе через точку хх = —производная меняет знак
ч/З
с «+» на «-». Поэтому хг = —— точка максиму-
ч/З
ма. При переходе через точку х2 = -7= производная
V3
меняет знак с «-» на «->-», поэтому х2 = -Д — точка
ч/З
минимума. Значение функции в точке максиму-
ма равно f\—Д I = 2 , а в точке минимума
ч/З J Зч/З
Дз; зч/з
Упражнения
910 На рисунке 130 изображен график функции у = f (х). Найти
точки максимума и минимума этой функции.
911 На рисунке 131 изображен график функции у = f (х). Найти
критические точки этой функции.
912 Найти стационарные точки функции:
1) у = А + 8.	2) у = 2х3 - 15х2 -г 36х;
3)	у = е2х - 2ех;	4) у = sin х - cos х.
265
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
Найти стационарные точки функции:
1)	=	2) у = ^^-',	3)у = е*г-'',	4) у = 2х2"х.
х	2х
Найти точки экстремума функции:
1) у = 2х2 - 20х +1;	2) у = Зх2 + 36х - 1;
3)	4)1/.^ + ^.
5 х	х 16
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) у = х3 - Зх2;	2) у = X4 - 8х2 + 3;
3) у = х + sin х;	4) у = 2 cos х + х.
Имеет ли точки экстремума функция:
1) у = 2х + 5; 2) у = 7 - 5х; 3) у = х3 + 2х; 4)у = ---7
2 х
Построить эскиз графика непрерывной функции у = f (х),
определенной на отрезке [а; &], если:
1) а = -1,	Ь=7,	/	(1)	= О, /(7)= -2,	f’(x)	>	0	при
-1 < х < 4,	f'(x) < 0 при 4 < х < 7, f (4)	= 0;
2) а = -5,	b = 4, f (-5) =1, f (4) = -3,	f'(x)	<	0	при
-5 < х < -1, f (х) > 0 при -1 < х < 4, /' (—1) = 0.
Найти критические точки функции:
1) г/ = V2-3x2 ;	2) i/ = 7x3-3x;
3)у = |х-1|;	4) у = х2 - |х| - 2.
Найти точки экстремума функции:
в
1) у = х + л/3-х;	2) z/ = (x-l)7;
3) у = х - sin 2х;	4) у = cos Зх - Зх.
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
(2-х)3	х3+2х2	3
1) У =------2) у —------------3) у = (х-1)е3х;
(3-х)2	(х-1)2
4) у = sin х + sin 2х;	5) у = е^3~х2;	6) у - ^ех - х.
Построить эскиз графика функции у = f (х), непрерывной на
отрезке [а; д], если:
1) а = -6, b = 6,	/(-6)	= -6, 7(6) =	1, Л(х)>0	при
-6 < х < -4,	-1 <	х < 4,	Г(х) < 0	при -4 < х	< -1,
4 < х < 6, f' (-4) = 0, f (-1) = 0, f (4) = 0;
2) а = -4, b = 5,	f (-4)	= 5,	f(5)=l,	f'(x) < 0	при
-4 < х < -3,	0 <	х < 3,	f'(x) > 0	при -3 < х	< 0,
3 < х < 5, f(-3) = 0, f'(0) = 0, /' (3) = 0.
Исследовать на экстремум функцию у = (х + 1)" е~х, где
п — натуральное число.
266
 Применение производной
' к построению графиков функций
Задача 1 Построить график функции f (х) = х3 - 2х2 + х.
► Эта функция определена при всех х е R. С по-
мощью производной найдем промежутки моно-
тонности этой функции и ее точки экстремума.
Производная равна f (х) = Зх2 - 4х + 1. Найдем
стационарные точки: Зх2 - 4х + 1 = О, откуда
X. =	, Хо = 1 •
1 3
Для определения знака производной разложим
квадратный трехчлен Зх2 - 4х + 1 на множители:
f (х) =зГх-1\х-1).
\	3 /
возрастает, а справа
в этой точке равно
Производная положительна на промежутках х < —
3
и х > 1, следовательно, на этих промежутках функ-
ция возрастает.
При - < х < 1 производная отрицательна, следо-
3
вательно, на этом интервале функция убывает.
Точка Xj = — является точкой максимума, так как
3
слева от этой точки функция
убывает. Значение функции
f (Ш 1V-2 f if + 1 = А
' IsJ IsJ I3J 3 27'
Точка х2 = 1 является точкой минимума, так как
слева от этой точки функция убывает, а справа воз-
растает; ее значение в точке минимума равняется
/ (1) = 0.
Результаты исследования представим в следующей
таблице:
X	х<А 3	1 3	1<х<1 3	1	х > 1
Г (X)	+	0	-	0	+
f (X)		4 27		0	
267
Знак «/*» означает, что функция воз-
растает, а знак «\» означает, что
функция убывает.
При построении графика обычно на-
ходят точки пересечения графика с
осями координат. Так как f (0) = О,
то график проходит через начало ко-
ординат. Решая уравнение f (х) = О,
находим точки пересечения графи-
ка с осью абсцисс:
х3 - 2xz + х = 0, х (х2 - 2х + 1) = 0, х (х - I)2 = 0,
откуда х = 0, х = 1. Для более точного построе-
ния графика найдем значения функции еще в двух
точках: f
= -Л f (2) = 2.
8
1
2
Используя результаты исследования, строим гра-
фик функции у = х3 - 2х2 - х (рис. 132). <]
Для построения графика функции обычно сначала
исследуют свойства этой функции с помощью ее
производной примерно по такой же схеме, как и
при решении задачи 1.
При исследовании свойств функции полезно найти:
1) область ее определения;
2)	производную;
3)	стационарные точки;
4)	промежутки возрастания и убывания;
5)	точки экстремума и значения функции в этих
точках.
Результаты исследования удобно записать в виде
таблицы. Затем, используя таблицу, строят гра-
фик функции. Для более точного построения гра-
фика обычно находят точки его пересечения с ося-
ми координат и, быть может, еще несколько точек
графика.
Задача 2 Построить график функции / (х) = 1 -1 х2 - х5 .
► 1) Область определения — множество R всех дей-
ствительных чисел.
2)	f’(x) = -5х - 5х4 = -5х (1 + х3).
3)	Решая уравнение -х (1 + х3) = 0, находим ста-
ционарные точки xt = —1 и х2 = 0.
4)	Производная положительна на интервале
-1 < х < 0, следовательно, на этом интервале
268
Рис. 133
функция возрастает. На промежутках
х < -1 и х > 0 производная отрица-
тельна, следовательно, на этих проме-
жутках функция убывает.
5)	Стационарная точка хг = -1 являет-
ся точкой минимума, так как при пе-
реходе через эту точку производная ме-
няет знак с «-» на «+»; / (-1) = -0,5.
Точка х2 = 0 — точка максимума, так
как при переходе через нее производ-
ная меняет знак с «+» на «-»; f (0) = 1.
Составим таблицу.
X	X < -1	-1	-1 < х < 0	0	х > 0
Г(х)	-	0	+	0	-
f (X)		-0,5		1	
Используя результаты исследования, строим гра-
фик функции </ = 1--х2-х5 (рис. 133). <1
2
График функции у - 1 -1 х2 - х5 построен с помо-
щью исследования некоторых свойств этой функ-
ции. По графику можно выявить и другие свойства
данной функции. Например, из рисунка 133 видно,
что уравнение 1 -1 х2 - х5 =0 имеет три различ-
ных действительных корня.
Для построения графика четной (нечетной) функ-
ции достаточно исследовать свойства и построить
ее график при х > О, а затем отразить его симмет-
рично относительно оси ординат (начала координат).
Задача 3 Построить график функции f (х) = х + —.
х
► 1) Область определения: х ф 0.
2)	Данная функция нечетная, так как f (-х) =
= -х + — = -I х + — ] = —f (х). Поэтому сначала иссле-
-х \ X )
дуем эту функцию и построим ее график при х > 0.
3)	гМ = 1-Л = '-+-|(-2Л
269
4)	На промежутке х > 0 функция имеет одну ста-
ционарную точку х = 2.
5)	Производная положительна на промежутке
х > 2, следовательно, на этом промежутке функ-
ция возрастает. На интервале 0 < х < 2 производ-
ная отрицательна, следовательно, на этом интерва-
ле функция убывает.
6)	Точка х = 2 является точкой минимума, так как
при переходе через эту точку производная меняет
знак с «-» на «+»; f (2)= 4.
Составим таблицу.
X	0 < х < 2	2	х > 2
f (х)	—	0	
f (X)		4	
Найдем значения функции еще в двух точках:
г (1) = 5, г (4) = 5.
Используя результаты исследования, строим гра-
фик функции у = х + — при х > О. График этой
х
функции при х < 0 строим с помощью симметрии
относительно начала координат (рис. 134). *3
270
Для краткости записи решения задач на построе-
ние графиков функций большую часть рассужде-
ний, предшествующих таблице, можно проводить
устно.
В некоторых задачах требуется исследовать функ-
цию не на всей области определения, а только на
некотором промежутке.
Задача 4 Построить график функции / (х) = 1 + 2х2 - х4 на
отрезке [-1; 2].
► Найдем производную
f (х) = 4х - 4х3 = 4х (1 + х) (1 - х).
Составим таблицу.
X	-1	-1	С х	' 0	0	0 <	' X <	1	1	1 < х < 2	2
Г (х)	0	—			0	+			0	—	-24
fix)	2				1				2		-7
Используя эту таблицу, строим график функции
у = 1 + 2х2 - х4 на отрезке [-1; 2] (рис. 135). <3
У пражнения
923 Используя график функции у = f (х) (рис. 136), найти:
‘	1) область определения и множество значений функции;
2)	нули функции;
3)	промежутки возрастания и убывания функции;
4)	значения х, при которых функция принимает положи-
тельные, отрицательные значения;
5)	экстремумы функции.
924 Построить эскиз графика функции у = f (х), непрерывной на
отрезке [а; &], если:
1) а = -2, b = 4, f (-2) = -2, у = f (х) возрастает на отрезке
-2 < х < 1 и f (х) = х при 1 < х < 4;
2) а = 1, Ь - 7, f (7) = 1, f (х) = х2 при 1 < х < 2, у = f (х)
убывает на промежутке 2 < х < 7.
925 На отрезке [0; 6] изобразить эскиз графика непрерывной
функции у = / (х), пользуясь данными, приведенными в таб-
лице. Учесть, что f (2) = 0, f (5) = 0.
X	0	0 <	X <	1	1	1	С X <	4	4	4	X < 6	6
Г(х)		+			0	—			0	+		
fix)	0				2				-2			3
271
Построить график функции (926—927).
926 1) у = х3 - Зх2 + 4;
3) у = -х3 + 4х2 - 4х;
927 1) у = -х4 + 8х2 - 16;
2) у = 2 + Зх - х3;
4) у = х3 + 6х2 + 9х.
2) у = х4 - 2х2 + 2;
4) у = 6х4 - 4х6.
928 Построить график функции:
1)	у = х3 - Зх2 + 2 на отрезке [-1; 3];
2)	у = х4 - 10х2 + 9 на отрезке [-3; 3].
929 На рисунке 137 изображен график функции у = g (х), являю-
щейся производной функции у - / (х). Используя график,
найти точки экстремума функции у = f (х).
Построить график функции (930—933).
930
931
932
933
1) у = 2 + 5х3 - Зх5;	2) у = Зх5 - 5х3;
3)	у = 4х5 - 5х4;	4) у = х5 х3 + 2х.
1) г/ = 3х + ^-;	2) у = ±-х-,	3) у = х-^.
ox	X	у] X
1) у = хе~х; 2) у = хех; 3) у = ех2; 4) у- е~х2 .
_ 4 + х-2х2
(х-2)2
934 Найти число действительных корней уравнения:
1) х4 - 4х3 + 20 = 0;	2) 8х3 - Зх4 - 7 = 0.
— 4
935 Построить график функции у =----------. Сколько действи-
(Х-1)3
х3 - 4
тельных корней имеет уравнение --------- = С при различ-
(х-1)3
ных значениях С?
272
Наибольшее и наименьшее
значения функции
1. На практике часто приходится решать задачи,
в которых требуется найти наибольшее или наи-
меньшее значение из всех тех значений, которые
функция принимает на отрезке.
Рассмотрим, например, график функции f (х) =
= 1 + 2х2 - х4 на отрезке [-1; 2]. Этот график был
построен в предыдущем параграфе (рис. 135).
Из рисунка видно, что наибольшее значение на
этом отрезке, равное 2, функция принимает в двух
точках х = -1 и х = 1; наименьшее значение, рав-
ное -7, функция принимает при х = 2. Точка х = О
является точкой минимума функции f (х) =
- 1 + 2х2 - х4. Это означает, что есть такая окрест-
ность точки х - 0, например интервал
- I, что
2 J
наименьшее значение в этой окрестности функция
принимает при х = 0. Однако на большем проме-
жутке, например на отрезке [-1; 2], наименьшее
значение функция принимает не в точке мини-
мума, а на конце отрезка. Таким образом, для
нахождения наименьшего значения функции на
отрезке нужно сравнить ее значения в точках ми-
нимума и на концах отрезка.
Вообще, пусть функция f (х) непрерывна на отрез-
ке [а; Ь] и имеет несколько критических точек на
этом отрезке.
Для нахождения наибольшего и наименьшего зна-
чений функции на отрезке [а; 5] нужно:
1)	найти значения функции на концах отрезка,
т. е. числа f (а) и f (6);
2)	найти ее значения в тех критических точках,
которые принадлежат интервалу (а; Ь);
3)	из найденных значений выбрать наибольшее
и наименьшее.
273
Задача 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f (х) = Xs + — на отрезке 2 .
х	L2
1) =
Ш в
Г (2) =9 j.
2)	f (х)=Зх2-4 =^Д Зх4 - 3 = О, х1 = 1,
X2 X2
х2 = -1.
Интервалу^; 2^ принадлежит одна стационарная
точка Xj = 1, f (1)= 4.
3)	Из чисел 6 -, 9 - и 4 наибольшее 9 наимень-
8	2	2
шее 4.
1
Ответ Наибольшее значение функции равно 9-, наи-
меньшее равно 4. <1
Задача 2 Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f (х) = х + - на отрезке [2; 4].
х
► 1) f (2) = 2,5, f (4) = 4,25.
2) Л(х)=1-4> 1-4-=°’ xi =-!’	1-
X2	X2
На интервале (2; 4) стационарных точек нет.
3) Из чисел 2,5 и 4,25 наибольшее 4,25, наимень-
шее 2,5.
Ответ Наибольшее значение функции равно 4,25, наи-
меньшее равно 2,5. <1
2. При решении многих задач часто приходится
находить наибольшее или наименьшее значение
функции не на отрезке, а на интервале.
В практических задачах обычно функция f (х) име-
ет на заданном интервале только одну стационар-
274
ную точку: либо точку максимума, либо точку ми-
нимума. В этих случаях в точке максимума функ-
ция f (х) принимает наибольшее значение на
данном интервале (рис. 138, а); а в точке миниму-
ма — наименьшее значение на данном интервале
(рис. 138, б).
Задача 3 Число 36 записать в виде произведения двух поло-
жительных чисел, сумма которых наименьшая.
► Пусть первый множитель равен х, тогда второй
множитель равен —. Сумма этих чисел равна х + —.
х	х
По условию задачи х — положительное число. Та-
ким образом, задача свелась к нахождению такого
значения х, при котором функция f(x) = x + —
х
принимает наименьшее значение на интервале
х > О.
Найдем производную:
{ , ,	36 (х + 6)(х-6)
х'	хл
Стационарные точки х] = 6их2 = -6. На интервале
х > О есть только одна стационарная точка х = 6.
При переходе через точку х = 6 производная меня-
ет знак с «-» на «-», и поэтому х = 6 — точка ми-
нимума. Следовательно, наименьшее значение на
интервале х > 0 функция f (х) = х + — принимает
х
в точке х = 6 (это значение f (6) = 12).
Ответ 36 = 6 6. <1
3*. При решении некоторых задач на нахождение
наибольшего и наименьшего значений функции по-
лезно использовать следующее утверждение:
Если значения функции f (х) неотрицательны на
некотором промежутке, то эта функция и функ-
ция (/ (х))", где п — натуральное число, прини-
мают наибольшее (наименьшее) значение в одной
и той же точке.
Задача 4* Из всех прямоугольников, вписанных в окруж-
ность радиуса R, найти прямоугольник наиболь-
шей площади.
► Найти прямоугольник — это значит найти его раз-
меры, т. е. длины его сторон. Пусть прямоуголь-
ник ABCD вписан в окружность радиуса R (рис. 139).
275
Обозначим АВ = х. Из ДАВС по теореме
Пифагора находим ВС = ^AR2 - х2 . Площадь
прямоугольника равна
S (х) = х ^47?2 - х2 , где 0 < х < 2R.
Задача свелась к нахождению такого зна-
чения х, при котором функция S (х) прини-
мает наибольшее значение на интервале
О < х < 2R. Так как S (х) > 0 на интервале
О < х < 2R, то функции S (х) и f (х) = (S (х))2
принимают наибольшее значение на этом
интервале в одной и той же точке.
Таким образом, задача свелась к нахождению тако-
го значения х, при котором функция
f (х) = х2 (47?2 - х2) = 4Т?2х2 - х4
принимает наибольшее значение на интервале
О < х < 2R. Найдем производную
f (х) = 87?2х - 4х3 = 4х (7? V2 + х) (R 42 - х).
На интервале 0 < х < 2R есть только одна ста-
ционарная точка х = R 42 — точка максимума.
Следовательно, наибольшее значение функция
f (х), (а значит, и функция <S (х)) принимает при
х =R 42.
Итак, одна сторона искомого прямоугольника рав-
на R 42, другая равна ^4R2-(R 42)2 =R 42, т. е.
искомый прямоугольник — квадрат со стороной
R 42, его площадь равна 2R2. <
Упражнения
936 Используя график функции (рис. 140), найти ее точки экст-
ремума, а также наибольшее и наименьшее значения.
937 Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (х) = 2х3 + Зх2 - 36х:
1) на отрезке [-4; 3]; 2) на отрезке [-2; 1].
938
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f (*) = х4 - 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2];
2) f (х) = х + — на отрезке [-2; -0,5];
х
3) f (х) = sin х + cos х
на отрезке
Л-. Зя
л; —
2
276
Рис. 140
939 Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:
1) f (х) = х2 + на интервале х > 0;
х2
2) f (х) = — - х2 на интервале х < 0.
х
940 Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов ко-
торых наименьшая.
941 Записать число 625 в виде произведения двух положитель-
ных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
942 Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоуголь-
ник наибольшей площади.
943 Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2,
найти прямоугольник с наименьшим периметром.
944 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f (х) = In х - х на отрезке 3 ;
_ 2
2) f (х) = х + е х на отрезке [-1; 2];
2) f (х) = 2 cos х - cos 2х на отрезке [0; л].
945 Найти наибольшее значение функции:
1) 3 л/х - х уГх на промежутке х > 0;
2) Зх-2х у[х на промежутке х > 0.
277
946 Найти наименьшее значение функции:
1) е3х - Зх на интервале (-1; 1);
2) — + In х на интервале (0; 2).
х
Найти наибольшее значение функции:
1)	х V5 - х на интервале (0; 5);
2)	х <4 — х на интервале (0; 4);
3)	х2 (1-х) на интервале (0; 1);
4)	д/х2 -4х + 5 на интервале (-1; 5).
94® Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать
; : открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по
краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141).
Какой должна быть высота коробки, чтобы ее объем был
наибольшим?
949 Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со
стороной а так, что одна сторона квадрата лежит на основа-
нии треугольника (рис. 142). Обозначая ВК = х, найти такое
значение х, при котором площадь треугольника наимень-
шая.
950 Из всех прямоугольников, у которых две вершины лежат
на оси Ох, а две другие — на параболе у = 3 - х2, выбран
* прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту пло-
щадь.
951 Найти на параболе у = х2 точку, ближайшую к точке
А (2; 0,5).
952 Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб.
При каком угле наклона боковых стенок к основанию пло-
щадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
278
; Выпуклость графика функции,
” точки перегиба
1. Производная второго порядка.
Пусть функция f (х) дифференцируема на интерва-
ле (а; Ъ). Ее производная Г (х) является функцией
от х на этом интервале. Производную /' (х) данной
функции f (х) называют также первой производной
или производной первого порядка функции f (х).
Если функция / (х) имеет производную (дифферен-
цируема) на интервале (а; Ъ), то эту производную
называют второй производной или производной
второго порядка данной функции f (х) и обознача-
ют /" (х), т. е.
f" (х) = (/' (х))'.
Например, если f (х) = х4 - Зх2, то f' (х) = 4х3 - 6х,
Г(х) = 12х2-6, а если f (х) = sin 2х, то f'(x) =
= 2 cos 2х, /"(х) = -4 sin 2х. Производную от вто-
рой производной функции f (х) называют третьей
производной или производной третьего порядка
этой функции и т. д. В § 49 и 50 было показано,
как с помощью первой производной можно нахо-
дить промежутки возрастания (убывания) функ-
ции и точки экстремума. Рассмотрим свойства
функции, которые устанавливаются с помощью
второй производной.
2. Выпуклость функции.
На рисунке 143 изображены графики функций,
имеющих первую и вторую производные на интер-
279
Выясним, в чем заключается различие в поведении
этих функций и какие свойства являются для них
общими. На рисунке 143, а изображен график воз-
растающей, а на рисунке 143, б убывающей функ-
ции; функция, график которой представлен на ри-
сунке 143, в, не является монотонной.
Однако все кривые, изображенные на рисунке 143,
обладают общим свойством: с возрастанием х от а
до Ь угловой коэффициент касательной к каждой
из данных кривых уменьшается, т. е. производная
каждой из соответствующих функций убывает на
интервале (а; Ь), и поэтому f" (х) < 0.
Из рисунков видно, что для любой точки х0 ин-
тервала (а; Ь) график функции у = f (х) при всех
х е (а; Ь) и х * х0 лежит ниже касательной к это-
му графику в точке (х0; f (х0)).
Поэтому функции, графики которых изображены
на рисунке 143, называют выпуклыми вверх. Да-
дим теперь определение выпуклости. Функция
у = f (х), дифференцируемая на интервале (а; Ь),
называется выпуклой вверх на этом интервале,
если ее производная f (х) убывает на (а; &).
Аналогично функция f (х) называется выпуклой
вниз на интервале (а; Ь), если f (х) возрастает на
этом интервале (рис. 144), и потому f" (х) > 0.
Если х0 — любая точка интервала (а; &), то график
функции, выпуклой вниз, при всех х е (а; &) и
х * х0 (рис. 144) лежит выше касательной к этому
графику в точке (х0; f (х0)).
Отметим еще, что если функция у = f (х) выпукла
вверх, а Мг и М2 — точки этого графика (рис. 145),
то на интервале (хг; х2), где а < хг < х2 < Ь, график
функции у = f (х) лежит выше прямой, проведен-
ной через точки Мх и М2.
280
Рис. 145
Интервалы, на которых функция вы-
пукла вверх или вниз, называют ин-
тервалами выпуклости этой функ-
ции.
Покажем, как с помощью второй
производной можно находить интер-
валы выпуклости.
Пусть функция f (х) имеет на интер-
вале (а; Ь) вторую производную. То-
гда если f" (х) < 0 для всех х е (а; Ь),
то на интервале (а; Ь) функция f (х)
выпукла вверх, а если f" (х) > О
на интервале (а; Ь), то функция f (х) выпукла
вниз на интервале (а; Ь).
Задача 1 Найти интервалы выпуклости вверх и вниз функ-
ции f (х), если:
1)	f (х) = х3; 2) f (х) = sin х, -л < х < л.
► 1) Если f (х) = х3, то f" (х) = 6х. Так как /" (х) < О
при х < 0 и f" (х) > 0 при х > 0, то на промежут-
ке х < О функция х3 выпукла вверх, а на проме-
жутке х > 0 выпукла вниз (рис. 146).
2)	Если f (х) = sin х, то f" (х) = - sin х. Пусть
-л < х < 0, тогда sin х < 0 и f" (х) > 0. Следо-
вательно, функция sin х (рис. 147) выпукла вниз
на интервале (-л; 0). Аналогично функция sin х
выпукла вверх на интервале (0; л), так как
- sin х < 0 при 0 < х < л. <1
Задача 2 Доказать, что если 0 < х < —, то sin х > — х.
2	л
► Прямая у = — проходит через точки (0; 0) и | ; 1 |
л	к 2	)
(см. рис. 147). Так как функция у = sin х выпукла
281
вверх на интервале
то ее график на этом
интервале лежит выше прямой у = — х. Это и озна-
л
чает, что на интервале 0; — справедливо неравен-
\	2 J
ство sin х > — х. <|
л
3. Точка перегиба.
В задаче 1 были рассмотрены функции х3 и sin х,
для которых точка х = 0 является одновременно
концом интервала выпуклости вверх и концом ин-
тервала выпуклости вниз.
Точка х0 дифференцируемой функции f (х) назы-
вается точкой перегиба этой функции, если х0
является одновременно концом интервала выпук-
лости вверх и концом интервала выпуклости вниз
для f (х).
Иными словами, в точке перегиба х0 дифферен-
цируемая функция меняет направление выпукло-
сти.
Отметим, что при переходе через точку перегиба х0
функции f (х) график этой функции переходит
с одной стороны касательной к этому графику в
точке х0 на другую сторону.
С помощью второй производной можно находить
точки перегиба.
Пусть функция f (х) имеет на интервале (а; Ь) вто-
рую производную. Тогда если f" (х) меняет знак
при переходе через х0, где х0 е (а; Ь), то х0 — точ-
ка перегиба функции f (х).
Задача 3 Найти точки перегиба функции:
1) f (х) = хе~х; 2) f (х) = х4 - 2х3.
► Найдем первую и вторую производные функции.
1)	f'(x) = ех -хе х = ех(1- х),
f"(x) = -е х (1 - х) — е х = е х (х - 2).
Так как f" (х) < 0 при х < 2 и f" (х) > 0 при х > 2,
то х = 2 — точка перегиба функции хе~х. Других
точек перегиба нет.
2)	Г (х) = 4х3 - 6х2, f" (х) = 12х2 - 12х = 12х (х - 1).
Функция /" (х) меняет знак при переходе через
точки 0 и 1 (и только в этих точках). Следователь-
но, х = 0 и х = 1 — точки перегиба функции
f (х) = х4 - 2х3. <
282
Упражнения
958 Найти f" (х), если:
1) f (х) = х2 cos х;	2) / (х) = х3 sin х;
3)	f (х) = х5 + 2х3 - х2 + 2;	4) / (х) = х4 - Зх3 + 5х + 6.
954 Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпукло-
’ J сти вниз функции f (х), если:
1) f (х) = (х + I)4;	2) f (х) = х4 - 6х2 + 4;
3)	f (х) = (х2 - Зх -г 2) е*;	4) f (х) = х3 - 6х In х.
955 Найти точки перегиба функции f (х), если:
• 1) f (х) = cos х, -к < х < л; 2) f (х) = х5 - 80х2;
3) f (х) = 12х3 - 24х2 + 12х;
4) f (х) = sin х - - sin 2х, -л < х < л.
~ Упражнения
 к главе IX
956 Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1) у = 2х3 + Зх2 - 2;	2) у = | х3 - х2 - 4х + 5;
3)у=^-1;	4) у = -2-.
х	х - 3
957 Найти стационарные точки функции:
1) у = х4 - 4х3 - 8х2 + 1;	2) у = 4х4 - 2х2 + 3;
3) у = -~ —;	4) у = cos 2х + 2 cos х.
3 х
958 Найти точки экстремума функции:
1) у = х3 - 4х2;	2) у = Зх4 - 4х3.
959 Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) у = х5 - 2,5х2 + 3;	2) у = 0,2х5 - 4х2 - 3.
960 Построить график функции:
1) у = ^- + 3х2;	2) у = -^ + х2.
961 Построить график функции:
1) у = Зх2 - 6х + 5 на отрезке [0; 3];
2) у = ~ х4 х3 - х2 т 2 на отрезке [-2; 4].
283
962
963
964
965
1
2
3
• 4
5
966
967
968
969
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	f М = х3 - 6х2 + 9 на отрезке [-2; 2];
2)	f (х) = х3 + 6х2 + 9х на отрезке [-4; 0];
3)	f (х) - х4 - 2х2 + 3 на отрезке [-4; 3];
4)	f (х) = х4 - 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2].
Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра
наименьшую диагональ имеет квадрат.
Из всех равнобедренных треугольников с периметром р най-
ти треугольник с наибольшей площадью.
Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в
основании лежит квадрат и площадь полной поверхности
равна 600 см2, найти параллелепипед наибольшего объема.
Проверь себя!
Найти интервалы возрастания и убывания функции
у » 6х - 2х8.
Найти точки экстремума функции у = — +
3 х
Построить график функции:
1) у = 2х4 - хг + 1:	2) у = х3 - Зх.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у -х + — на отрезке [1; 5].
х ;
Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м,
а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основа-
ния, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?
Доказать, что функция у = 1,8х5 -2 - х3 + 7х + 12,5 возра-
3
стает на всей области определения.
Доказать, что функция у - х (1 + 2 -Jx) возрастает на всей
области определения.
Найти точки экстремума функции:
1)	у = х In х; 2) у = хех; 3) у =	-------—.
7-х 3-х
На рисунке 148 изображен график функции у = g (х), явля-
ющейся производной функции у = f (х). Найти:
1)	интервалы возрастания и убывания функции у = f (х);
2)	точки экстремума функции у - f (х);
3)* точки перегиба функции у = f (х).
284
б)
Рис. 148
970
971
972
973
Построить график функции:
х-4	+ 4
3)	у = (х - I)2 (х + 2);	4) у = х (х - I)3.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
О
1) f (х) = 2 sin х + sin 2х на отрезке 0; — л ;
2
2) f (х) = 2 cos х + sin 2х на отрезке [0; л].
Тело движется по закону s (t) = 6t2 - t3. Какова наибольшая
скорость тела?
Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма од-
ного катета и гипотенузы равна I, найти треугольник с наи-
большей площадью.
974 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Ка-
кую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треуголь-
ника была наибольшей?
976 Сумма диагоналей параллелограмма равна а. Найти наи-
меньшее значение суммы квадратов всех его сторон.
976 Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса R
так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре
полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь.
Найти эту площадь.
977 Найти наибольший из объемов всех пирамид, у каждой из
которых высота равна 12, а основанием является прямо-
угольный треугольник с гипотенузой 4.
285
978 Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения
равен р, выбран цилиндр наибольшего объема. Найти этот
объем.
979 Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямо-
угольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S.
Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его
объем был наибольшим, а отношение длины к ширине рав-
нялось - ?
2
3 i 2
980 Найти точки экстремума функции у =-----------.
х2 + Зх+ 2
981 Построить график функции:
1) у = (х2 - 1) Vx+ 1;
- 1 . 2) у = |х| • Яу/Т+Зх-,
3) у = х2е“х;
4) у = х3е~х.
F
Рис. 149
982 Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдви-
нуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149).
j Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при
котором величина силы будет наименьшей, если коэффи-
циент трения груза равен k.
- Интеграл
i Нет ни одной области математики, как
бы абстрактна она ни была, которая
- когда-нибудь не окажется применимой
к явлениям действительного мира.
т	Н. И. Лобачевский
~ Первообразная
54
Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть
за время t от начала движения точка прошла путь
s (t). Тогда мгновенная скорость v (t) равна произ-
водной функции з (t), т. е. v (t) = s'(t).
В практике встречается обратная задача: по задан-
ной скорости движения точки v (/) найти пройден-
ный ею путь з (t), т. е. найти такую функцию s (£),
производная которой равна и (t). Функцию s (t),
такую, что s'(t)=v(t), называют первообразной
функции v (Z).
Например, если v (t) = at, где а — заданное число,
at2
то функция s (i) =--- является первообразной
2
( at2 А'
функции v (Z), так как s' (Z) = - = at = о (t).
Функция F (х) называется первообразной функ-
i ций f :'йекоторей' пройежутйе, есищЛдля
"  weefc’M-:промежутка F' (х) = f (х). ’ '
Например, функция F (х) = sin х является перво-
образной функции f (х) = cos х, так как (sin х)' =
х4
= cos х, функция F (х) =— является первообраз-
4
ной функции f (х) = х3, так как | — | = х3.
287
Задача 1 Доказать, что функции —,-----------1-1,---4 являют-
ся первообразными функции f (х) = х2.
3	2
► 1) Обозначим Ft(x) = —, тогда F{(x)=3 — =
3	3
= х2 = f (X).
т3
2) F2(x) = ^ + 1,
г3
3) F3(x) = ^—-4,
«5
/ ^*3	\ г
F2 (X) = I у + 1 I =Х2 = /(Х).
^(x)=f^--4Y = x2 = f (х). <1
X3
Вообще, любая функция-------н С, где С — постоян-
3
ная, является первообразной функции х2. Это сле-
дует из того, что производная постоянной равна
нулю. Этот пример показывает, что для заданной
функции ее первообразная определяется неодно-
значно.
Пусть Fx (х) и F2 (х) — две первообразные одной
и той же функции f (х). Тогда F{ (х) = f (х) и
F'2 (х) = f (х). Производная их разности g (х) =
= Fx (х) - F2 (х) равна нулю, так как g' (х) = F\ (х) -
- F' (х) = / (х) - f (х) = 0.
Если g' (х) = 0 на некотором промежутке, то каса-
тельная к графику функции у = g (х) в каждой точ-
ке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому
графиком функции у = g (х) является прямая, па-
раллельная оси Ох, т. е. g (х) = С, где С — некото-
рая постоянная. Из равенств g (х) = С, g (х) =
= Fx (х) - F2 (х) следует, что Fx (х) = F2 (х) + С.
Итак, если функция F (х) является первообразной
функции f (х) на некотором промежутке, то все
первообразные функции f (х) записываются в виде
F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
Рассмотрим графики всех первообраз-
ных заданной функции f (х). Если
F (х) — одна из первообразных функ-
ции f (х), то любая первообразная этой
функции получается прибавлением к
F (х) некоторой постоянной: F (х) + С.
Графики функций у = F (х) + С полу-
чаются из графика у = F (х) сдвигом
вдоль оси Оу (рис. 150). Выбором С
можно добиться того, чтобы график
первообразной проходил через задан-
ную точку.
288
Задача 2 Для функции / (х) = х найти такую первообраз-
ную, график которой проходит через точку (2; 5).
► Все первообразные функции f (х) = х находятся по
„2
формуле F (х) = — + С, так как F' (х) = х. Найдем
х2
число С, такое, чтобы график функции у = — + С
проходил через точку (2; 5). Подставляя х = 2,
22
у = 5, получаем 5 =-1- С, откуда С = 3. Следова-
2
г2
тельно, F (х) = — + 3. <]
2
Задача 3 Доказать, что для любого действительного р * -1
хр + 1
функция F (х) =----- является первообразной
Р + 1
функции / (х) = хр на промежутке х > 0.
► Так как (хр + 1)' = (р + 1) • хр, то \ ——| = —-- =
р+1)	р+1
= хр. <
Упражнения
983 Показать, что функция F (х) является первообразной функ-
ции f (х) на всей числовой прямой:
1) У(х) = —, / (х) = х6;	2) F(x) = — + 1, /(х) = х4.
6	5
984 Показать, что функция F (х) является первообразной функ-
ции f (х) при х > 0:
1) F(x) = ^, Г(х) = -4;	2) F(X) = 1 + V^, f(x)= —Ь
XX*	2 VX
985 Найти все первообразные функции:
2
1) х4; 2) х3; 3) х’3; 4) х 2.
986 Для функции f (х) найти первообразную, график которой
проходит через точку М:
1) /(х) = х, М (-1; 3);	2) f (х) = Vx, М (9; 10).
987 Показать, что функция F (х) является первообразной функ-
ции f(x) на всей числовой прямой:
1) F (х) = Зе3 , f (х) = е3; 2) F (х) = sin 2х, / (х) = 2 cos 2х.
10 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
289
Правила нахождения первообразных
Напомним, что операцию нахождения производной
для заданной функции называют дифференцирова-
нием. Обратную операцию нахождения первообраз-
ной для данной функции называют интегрирова-
нием (от латинского слова integrare — восстанав-
ливать).
Таблицу первообразных для некоторых функций
можно составить, используя таблицу производных.
Например, зная, что (cos х)’ = -sin х, получаем
(-cos х)' = sin х, откуда следует, что все перво-
образные функции sin х записываются в виде
-cos х + С, где С — произвольная постоянная.
Приведем таблицу первообразных.
Функция	Первообразная
хр, р * -1	rP + 1 		+ C P+ 1
о Л н	In x + C
ех	ex + C
sin х	-cos x + C
cos X	sin x + C
(kx + b)p, p -1, k # 0	(kx-rb)ptl ' c k(p+l)
—i, k * 0 kx + b	— In (kx + b) + C k
ekx~b, k*0	1 ekx-b + C k
sin (kx + b), k * 0	- — cos (kx + b) + C k
cos (kx + b), k * 0	± sin (kx + b) + C
290
Отметим, что во всех рассмотренных примерах и
в дальнейшем функция F (х) является первообраз-
ной функции f (х) на таком промежутке, на кото-
ром обе функции F (х) и f (х) определены. Напри-
мер, первообразной функции —-— является функ-
2х - 4
ция - In (2х - 4) на таком промежутке, на котором
2
2х - 4 > 0, т. е. на промежутке х > 2. Правила ин-
тегрирования можно также получить с помощью
правил дифференцирования. Приведем следующие
правила интегрирования:
S Пусть F (х) и G (х) — первообразные соответствен-
I но функций f (х) и g (х) на некотором промежут-
I ке. Тогда:
I 1) функция F (х) ± G (х) является первообразной
| функции f (х) + g (х);
> 2) функция aF (х) является первообразной функ-
ции
af (x).
Задача 1
Задача 2
Ответ
Найти одну из первообразных функции
f (х) = х2 + 3 cos х.
Используя правила интегрирования и таблицу пер-
вообразных для функций хр при р = 2 и для cos х,
находим одну из первообразных данной функции:
F (х) = — + 3 sin х. <1
3
Найти все первообразные функции
е1 “ х - 4 sin (2х + 3).
По таблице первообразных находим, что одной
из первообразных функции е1 х является функ-
ция -е1 х, а одной из первообразных функции
sin (2х + 3) является функция ~cos(2x + 3). По
правилам интегрирования одна из первообразных
данной функции: -е1 ~ х + 2 cos (2х + 3).
-е1 ~х + 2 cos (2х + 3) + С. <1
Найти
988 1) 2х5
Упражнения
одну из первообразных функции (988—990).
- Зх2;
2) 5х4 + 2х3;
4)4-Ь
хл X
5) 6х2 - 4х + 3;
з) ^+4;
X хг
6) 4 у[х -6 Vx.
291
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
1) 3 cos x - 4 sin x;
3) ex - 2 cos x;
5) 5 -e x + 3 cos x;
7) 6 Vx-^+3ex;
X
1) (x + l)4;	2) (x - 2)3;
5) —-—h4cos(x + 2);
x -1
2) 5 sin x + 2 cos x;
4) 3ex - sin x;
6) 1 + 3ex-4cos x;
8) 4- + --2e x •
V x X
3)	-=£=;	4) ^т=Ь=;
V x - 2	yj x + 3
6) —-----2 sin (x - 1).
x — 3
Найти все первообразные функции:
1) sin (2х + 3);	2) cos (Зх + 4);	3) cos | — — 1 j;
х 2 J
X + 1
4) sinf—+ 5\	5)	6) e3x"5;	7)	8) —1—.
\4	)	2x 3x-l
Для функции /(x) найти первообразную, график которой
проходит через точку М:
1) f (х) = 2х + 3, М (1; 2);	2) f(x) = 4х - 1, М (-1; 3);
3) f (х) = sin 2х, М б);	4) f (х) = cos Зх, М (0; 0).
Найти одну из первообразных функции (993—996).
1)	е2х - cos Зх;
3)	х 2х +1 2 sin — - 5е 3 ;
5)	5 +4 sin (4х + 2);
1)	2х4-4х3+х 3	’	>
3)	(1 + 2х) (х - 3);	4)
1)	(2х + 1) Vx;	2) (Зх
1) sin х cos х; 2) sin
2) е4 + sin 2х;
х Зх о
4) 3cos—+ 2е 2;
7
6) ,.-1=------—.
л/Зх+1 2х-5
6 х3 - 3 х + 2
5
(2х - 3) (2 + Зх).
-2)Vx;	3) ^±1;	4)
V х
: cos Зх - cos х sin Зх.
Найти первообразную функции у = 2 sin 5х + 3 cos , кото-
рая при х = — принимает значение, равное 0.
3
Найти одну из первообразных функции:
1)	——;	2) —о х ~	;	3) cos2 х; 4) sin Зх cos 5х.
х - 3	х2 + х-2
292
Площадь криволинейной трапеции
и интеграл
Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке 151.
Эта фигура ограничена снизу отрезком [а; Ь] оси
Ох, сверху графиком непрерывной функции
y = f(x), принимающей положительные значения,
а с боков отрезками прямых х = а и х = Ь. Такую
фигуру называют криволинейной трапецией. Отре-
зок [а; Ь] называют основанием этой криволиней-
ной трапеции.
Выясним, как можно вычислить площадь S кри-
волинейной трапеции с помощью первообразной
функции f (х).
Обозначим 8 (х) площадь криволинейной трапеции
с основанием [а; х] (рис. 152), где х — любая точка
отрезка [а; 6]. При х = а отрезок [а; х] вырождает-
ся в точку и поэтому 8 (а) = 0, при х = Ь имеем
S (Ь) = S.
Покажем, что S (х) является первообразной функ-
ции /(х), т. е. S' (х) = f (х).
9 Рассмотрим разность S (х + h) - 8 (х), где h > О
(случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта
разность равна площади криволинейной трапеции
с основанием [х; х + Л] (рис. 153). Если число h
мало, то эта площадь приблизительно равна
f (х) • Л, т. е. 8 (х + Л) - S (х) » f (х) • й.
S (х + /г)-S (х)	» z , тт ,	«
Следовательно, --------------® f (х). При п —> О
h
левая часть этого приближенного равенства по
293
определению производной стремится к S' (х), а по-
грешность приближения при h —> 0 становится как
угодно малой. Поэтому при h —> 0 получается ра-
венство S' (х) = f (х). Это означает, что S (х) явля-
ется первообразной функции f (х). О
Любая другая первообразная F (х) функции f (х)
отличается от S (х) на постоянную, т. е.
F (х) = S (х) + С.	(1)
Из этого равенства при х = а получаем F (а) =
= S (а) + С. Так как S (а) = 0, то С = F (а) и равен-
ство (1) можно записать так:
S (х) = F (х) - F {а).
Отсюда при х = b получаем
S (b) = F (&) - F (а).
Итак, площадь криволинейной трапеции (рис. 151)
можно вычислить по формуле
i-V 'J	S = F (b) - F (а),	(2)
$ где Г (х) — любая первообразная функции f (х).
Таким образом, вычисление площади криволиней-
ной трапеции сводится к отысканию первообраз-
ной F (х) функции f (х), т. е. к интегрированию
функции f (х).
Разность F (&) - F (а) называют интегралом от
функции f (х) на отрезке [а; &] и обозначают так:
ъ
J f (x)dx (читается: «Интеграл от а до b эф от икс
а
дэ икс»), т. е.
6
jf (x)dx = F (b)~F (a).	(3)
a
Формулу (3) называют формулой Ньютона — Лейб-
ница в честь создателей дифференциального и ин-
тегрального исчисления.
Из формул (2) и (3) получаем
ь
•S=jfU)dx.	(4)
а
294
Задача 1 Найти площадь криволинейной трапеции, изобра-
женной на рисунке 154.
з
► По формуле (4) находим S = j х2 dx. Вычислим этот
1
интеграл с помощью формулы Ньютона — Лейб-
ница (3). Одной из первообразных функции
з
f (х) = х2 является F (х) = —. Поэтому S - Г х2 dx -
3	J
1
оЗ 13	9
= Р(3)-Р(1)=^-^-=8| (кв. ед.). <
Формулы (3) и (4) справедливы и для случая, когда
функция f (х) положительна внутри отрезка [а; Ь],
а на одном из концов отрезка или на обоих концах
равна нулю.
Задача 2 Найти площадь криволинейной трапеции, изобра-
женной на рисунке 155.
► Функция F (х) = -cos х является первообразной для
функции f (х) - sin х. По формулам (3) и (4) полу-
Л
чаем S =j sin xdx=F (n)-F (0)=(-cos л)-(-cos 0) =
о
= 1 + 1 = 2 (кв. ед.). <
Исторически интеграл возник в связи с вычисле-
нием площадей фигур, ограниченных кривыми,
в частности в связи с вычислением площади криво-
линейной трапеции. Рассмотрим криволинейную
трапецию, изображенную на рисунке 156. На этом
рисунке основание трапеции — отрезок [а; Ь] —
разбито на п отрезков (необязательно равных) точ-
ками xv х2...хп __ !•
295
Рис. 156
Через эти точки проведены вертикальные прямые.
На первом отрезке [х0; xj выбрана произвольно
точка ср и далее на этом отрезке построен прямо-
угольник высотой /(cj; на втором отрезке [г,; х2]
выбрана точка с2, и на этом отрезке построен пря-
моугольник высотой f (с2) и т. д. Площадь данной
криволинейной трапеции приближенно равна сум-
ме площадей построенных прямоугольников:
S„ = f(Cj) Axt + f (c2) Дх2 + ... + f (сп) Дхп, (5)
где Axj — длина первого отрезка, т. е. Axj =
= Xj - х0, Дх2 = х2 - Xj ит. д. Таким образом, пло-
щадь S криволинейной трапеции можно при-
ближенно вычислять по формуле (5), т. е. S ® Sn.
Сумму (5) называют интегральной, суммой функ-
ции f (х) на отрезке [а; Ь]. При этом предполагает-
ся, что функция f (х) непрерывна на отрезке [а; б]
и может принимать любые значения (положитель-
ные, отрицательные и равные нулю). Если и —>
и длины отрезков разбиения стремятся к нулю,
то интегральная сумма Sn стремится к некоторо-
му числу, которое и называют интегралом от функ-
ь
ции f (х) на отрезке [а; б] и обозначают J f (x)dx.
а
При этом также справедлива формула Ньютона —
Лейбница.
Упражнения
999 Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:
1)	графиком функции у - (х - I)2, осью Ох и прямой х = 2;
2)	графиком функции у = 2х - х2 и осью Ох;
296
1000
1001
1002
1003
о
3)	графиком функции у = —, осью Ох и прямыми х = 1, ,х = 4;
х
4)	графиком функции у = Vx, осью Ох и прямой х = 4.
Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной пря-
мыми х = а, х = Ь, осью Ох и графиком функции у = f (х):
1)	а	=	2,	b = 4,	f (х)	= х3;
2)	а	=	3,	b = 4,	f (х)	= х2;
3)	а = -2, b = 1, f (х) = х2 + 1;
4)	а	-	0,	b = 2,	f (х)	= х3 + 1;
5)	а	=	—,	Ъ = —, f (х) = sin х;
3	3
6)	а = - b = 0, f (х) = cos х.
6
Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой:
1) у = 4 - х2;	2) у = 1 - х2;	3) у = -х2 + 4х - 3.
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а,
х = Ь, осью Ох и графиком функции у = f (х):
1) а = 1, b = 8, f(x) = Vx; 2) а = 4, b = 9, f(x) = 4x.
Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х = Ь, осью
Ох и графиком функции у = f (х):
1) b = 2, /(х) = 5х - х2, 2 < х < 5; 2) b = 3, f (х) = х2 + 2х;
3)fe = l, f(x) = ex~l; 4) t> = 2, f(x) = l-^.
X
' Вычисление интегралов
Интегралы можно приближенно вычислять с по-
мощью интегральных сумм. Такой способ требует
громоздких вычислений. Его применяют в тех слу-
чаях, когда не удается найти первообразную функ-
цию f (х) и для вычислений обычно используют
ЭВМ, составляя специальные программы. Если же
первообразная функция известна, то интеграл
можно вычислить точно, используя формулу Нью-
тона — Лейбница.
297
Приведем примеры вычисления интегралов по фор-
муле Ньютона — Лейбница с помощью таблицы
первообразных и правил интегрирования.
1
Задача 1 Вычислить интеграл J(x-l)dx.
о
► Одной из первообразных функции х-1 является
1
х2	Г
функция------х. Поэтому (х - l)dx =
о
2	)	2	2
При вычислении интегралов удобно ввести следую-
щее обозначение:
F(b)-F(a) = F(x)\ba.
Тогда формулу Ньютона — Лейбница можно запи-
сать в виде
ь
J f (x)dx = F (х)|* .
а
а
Задача 2 Вычислить интеграл J sin xdx.
- а
а
► J sin xdx = (-cos х) | ° а = (-cos a) -(-cos (-а)) =
= -cos а + cos (-а) = 0, так как cos (-а) = cos а. <1
з
Задача 3 Вычислить интеграл Г 1 dx.
Д V2X+ 3
3 3 _1 1 3
► [ —=L=dx = f(2x + 3) 2 dx =(2х + 3)2	=
Д 42х+ 3 Д	j
1 1
= (2-3 + 3)2 -(2(-1) + 3)2 =3-1=2. <
Задача 4 Вычислить интеграл [cos 2х + — \dx.
J V 4)
п
2
► [cos | 2х + — \dx = - sin (2х + - I
J I 4 J 2 I 4 J *
”	2
2
298
3
Задача 5 Вычислить интеграл j х Vx + Idx.
о
з
з
► jх V х + 1 dx=j(x + l-l) л/х + 1 dx =
о	о
3
= | (х + I)2-(х + I)2 dx
О I
(	5	3 V
|(Х + 1)2 -|(Х+I)2 I
э	о	|
J о
з 1 >
Г — .32--•8>|-f---'] = 7 —. <1
\5	3	) ^5 3j 15
Упражнения
Вычислить интеграл (1004—1011).
1			3	2	3
1004	1)	j xdx;	2) 0 3	jx2dx;	3) j3x2dx; 0	-1 2	4	4) ^2xdx; -2 9
	5)	6) J у'* 2	j^-dx;	7) JVxdx; i x	i In 2	8) f^dx. J4 Vx 2л
1005	1)	(idx; J X i л	2) jexdx;	3) 0	jcos xdx; - П 0
	4)	j sin xdx; -2 л 2	5) Jsin2xdx;	6) -2 я -1	j cos 3xdx. -Зя 2
1006	1) 4)	j(2x-3)dx; -3 i j( x2 + l)dx; -i	2)	J(5-4x)dx;	3) • 2 2 5) J(3x2 -4x + 5)dx. 0	j(l-3x2)dx; -1
1007	1) 3)	4 |(x-3 -/x)dx; 0 2 |e3xdx; 0	9 / \ 2) Г I 2x—L dx; { \	yl x J 3 4) j2e2xdx. 1	
299
1008
1)
1
J x (x + 3) (2x - l)dx;
2
2
0
2)	J(x + 1) (x2-2)dx;
i
1009
1010
1011
3)
1)
1)
1)
-2
dx.
^dx;
—3— dx;
2x - 1
J sin2 xdx;
-7Г
2)
2)
4
3)	J (cos2 x - sin2 x)dx;
0
3
5)	Jx2 -yjx + 1 dx;
о
Зх- 1
dx;
dx;
2)
dx.
2
[ sin I 2x + -
J I 3
о
x cos xdx;
71
4)	J (sin4 x + cos4 x)dx;
о
4	9
f x4-4x+ 5
6)------------dx.
J x-2
2
2
2
3
о
4
3x + 2
2
о
1012
7
Г 4
2
Найти все числа b > 1, для которых выполняется равенство
ь
j (b-4x)dx > 6 - 5b.
i
Вычисление площадей
с помощью интегралов
Задача 4 Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной осью Ох, прямыми х = -1, х = 2
и параболой у - 9 - х2.
► Построим график функции у = 9 - х2 и изобразим
данную трапецию (рис. 157).
300
Искомая площадь S равна интегралу
2
S = j(9-x2)dx.
-i
По формуле Ньютона — Лейбница находим
2	2	,
S = J(9-x2)dx = |9х-— |	=19-2-— j-
1	\	J -1	\	J
9(-1)-—1 = 24. <1
I 3
Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
у = х2, у = 2х - х2 и осью Ох.
► Построим графики функций у = хг, у = 2х - х2
и найдем абсциссы точек пересечения этих графи-
ков из уравнения х2 = 2х - х2. Корни этого уравне-
ния хг = 0, х2 = 1. Данная фигура изображена на
рисунке 158. Из рисунка видно, что эта фигура со-
стоит из двух криволинейных трапеций. Следова-
тельно, искомая площадь равна сумме площадей
этих трапеций:
12	1	.2
S = [х2 dx+ f(2x-x2)dx = — +|х2-^-| =1. <1
J J	3 0	3 J .
О	1	О \	'II
Задача 3
Найти площадь S фигуры, ограниченной отрез-
л .
2 ’
ком
оси Ох и графиком функции у = cos х
на этом отрезке.
► Заметим, что площадь данной фигуры равна пло-
щади фигуры, симметричной данной относитель-
но оси Ох (рис. 159), т. е. площади фигуры, огра-
301
оси Ох и графиком
ниченной отрезком
функции у = -cos х
отрезке -cos х > О,
л . 3jt
.2 ’ 2
Зя
2
и поэтому S = J(-cos x)dx =
на отрезке
. На этом
= (-sin х)
2
Зя
2
л,
.2 ’ 2
Вообще, если f (х) < 0 на отрезке [a; t>], причем ра-
венство нулю может быть лишь на его концах
(рис. 160), то площадь S криволинейной трапеции
ь
равна S = |(-f (x))dx.
а
Задача 4 Найти площадь S фигуры, ограниченной парабо-
лой у = х2 + 1 и прямой у = х + 3.
Построим графики функций у = х2 + 1
и у = х + 3. Найдем абсциссы точек
пересечения этих графиков из урав-
нения х2 + 1 = х + 3. Это уравнение
имеет корни хг = -1, х2 = 2. Фигу-
ра, ограниченная графиками данных
функций, изображена на рисунке 161.
Из рисунка видно, что искомую пло-
щадь можно найти как разность пло-
щадей Sj и S2 двух трапеций, опираю-
щихся на отрезок [-1; 2], первая из
которых ограничена сверху отрезком
прямой у = х + 3, а вторая — дугой
параболы у = х2 + 1. Так как
302
2	2
Sj = J(x + 3)dx, S2 = j (x2 + 1) dx,
-1	-1
2	2
to S = Sj - S2 = j(x + 3)dx - J(x2 + l)dx.
-i	-i
Используя свойство первообразных, можно запи-
сать S в виде одного интеграла:
2
8= j((x + 3)-(x2 + l))dx =
/ 2	з \ I
(х + 2 - x2)dx = — + 2х- — . = 4,5.0
U	3 JL1
| Вообще, площадь фигуры, изображенной на ри-
I сунке 162, равна
*	8 = J(f2(x)-f1(x))dx.	(1)
а
Эта формула справедлива для любых непрерыв-
ных функций (х) и f2 (х) (принимающих значе-
ния любых знаков), удовлетворяющих условию
f2 (х) >	(х).
Задача 5 Найти площадь S фигуры, ограниченной парабо-
лами у = х2 и у = 2х2 - 1.
► Построим данную фигуру (рис. 163) и найдем абс-
циссы точек пересечения парабол из уравнения
х2 = 2х2 - 1.
303
Это уравнение имеет корни хг 2 = ±1. Воспользуем-
ся формулой (1). Здесь f1 (х) = 2х2 - 1, f2 (х) = х2.
1 1
S = j(x2 -(2х2 - l)dx = j(-х2 + l)dx =
-1	-1
1
= ^. <
Упражнения
1013 На рисунке 164 изображены криволинейные трапеции. Най-
ти площадь каждой из них.
Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
(1014—1023).
1014 1) Параболой у = (х + I)2, прямой у = 1 - х и осью Ох;
2)	параболой у = 4 - х2, прямой у = х + 2 и осью Ох;
3)	параболой у = 4х - х2, прямой у = 4 - х и осью Ох;
4)	параболой у = Зх2, прямой у = 1,5х + 4,5 и осью Ох.
1015 1) Графиками функций у = -Гх, у = (х - 2)2 и осью Ох;
2)	графиками функций у = х3, у - 2х - х2 и осью Ох.
1016 1) Параболой у = х2 + Зх и осью Ох;
2)	параболой у = х2 - 4х + 3 и осью Ох.
1017 1) Параболой у = х2 + 1 и прямой у = 3 - х;
2)	параболой у = (х + 2)2 и прямой у = х + 2;
3)	графиком функции у = уГх и прямой у = х.
1018 1) Параболами у = 6х2, у = (х - 3) (х - 4) и осью Ох;
2) параболами у = 4 - х2, у = (х - 2)2 и осью Ох.
304
1019 1) Графиком функции у = sin х, отрезком [0; л] оси Ох
и прямой, проходящей через точки (0; 0) и 1^;
2) графиками функций у - sin х, у = cos х и отрезком 0;
оси Ох.
1020 1) Параболой у = 6х - х1 2 и прямой у = х + 4;
2) параболой у ~ 4 - х2 и прямой у - х + 2.
1021 1) Параболой у = 2 - х2 и прямой у = -х;
2) прямой у = 1, осью Оу и графиком функции у = sin х при
О < х < —.
2
1022 1) Параболой у = -х2 + 4х - 3 и прямой, проходящей через
точки (1; 0) и (0; -3);
2) параболой у = -х2 и прямой у = -2;
3) параболами р = 1-х2 и у = х2 - 1;
4) графиком функции у - х3 и прямыми у = 1, х = -2.
1023 1) Параболой у = х2 + 10 и касательными к этой параболе,
проведенными из точки (0; 1);
2) гиперболой у = —, прямой х = 1 и касательной к кривой
х
у = — з точке с абсциссой х = 2.
х
1024 Фигура ограничена линиями г/ = х2 + 1, у - 0, х - 0, х = 1.
Найти точку (х0; уп) графика функции у = х2 + 1, через кото-
рую надо провести касательную к этому графику так, чтобы
она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.
: Применение производной и интеграла
7 к решению практических задач
1. Простейшие дифференциальные уравнения.
До сих пор рассматривались уравнения, в которых
неизвестными являлись числа. В математике и ее
приложениях приходится рассматривать уравне-
ния, в которых неизвестными являются функции.
305
Так, задача о нахождении пути s (t) по задан-
ной скорости v (t) сводится к решению уравне-
ния s'(t) = v (t), где и (t) — заданная функция,
a s (t) — искомая функция.
Например, если v (t) = 3 - 4t, то для нахождения
s (£) нужно решить уравнение s'(t) = 3 - 4t. Это
уравнение содержит производную неизвестной
функции. Такие уравнения называют дифференци-
альными уравнениями.
Задача 1 Решить дифференциальное уравнение у' = х + 1.
► Требуется найти функцию у (г), производная кото-
рой равна х + 1, т. е. найти первообразную функ-
ции х + 1. По правилам нахождения первообраз-
на
ных получаем у =---ь х + С, где С — произвольная
2
постоянная. <]
Решение дифференциального уравнения определя-
ется неоднозначно, с точностью до постоянной.
Обычно к дифференциальному уравнению добавля-
ется условие, из которого эта постоянная определя-
ется.
Задача 2 Найти решение у (х) дифференциального уравне-
ния у' = cos х, удовлетворяющее условию у(0) = 2.
► Все решения этого уравнения записываются фор-
мулой у (х) = sin х + С. Из условия у (0) = 2 нахо-
дим sin 0 + С = 2, откуда С ~ 2.
Ответ у = 2 + sin х. <1
Решение многих физических, биологических, тех-
нических и других практических задач сводится
к решению дифференциального уравнения
У' = ky,	(1)
где k — заданное число. Решениями этого уравне-
ния являются функции
У = Cekx,	(2)
где С — постоянная, определяемая условиями кон-
кретной задачи.
Например, скорость т' (£) размножения бактерий
связана с массой т (t) бактерий в момент времени t
уравнением
т' (t) = km (t),
где k — положительное число, зависящее от вида
бактерий и внешних условий. Решениями этого
уравнения являются функции
т (f) = Сем.
306
Постоянную С можно найти, например, из усло-
вия, что в момент t = 0 масса т0 бактерий извест-
на. Тогда т (0) = т0 = Сек ° - С, и поэтому
т (i) = moeki.
Другим примером применения уравнения (1) явля-
ется задача о радиоактивном распаде вещества.
Если т' (t) — скорость радиоактивного распада
в момент времени t, то т' (t) = -km (t), где k —
постоянная, зависящая от радиоактивности ве-
щества. Решениями этого уравнения являются
функции
m(t) = Ce~ki.
Если в момент времени t масса равна т0, то С = т0,
и поэтому
т (t) = moe~kt.	(3)
Заметим, что на практике скорость распада радио-
активного вещества характеризуется периодом по-
лураспада, т. е. промежутком времени, в течение
которого распадается половина исходного вещества.
Пусть Т — период полураспада, тогда из равенст-
ва (3) при t = Т получаем = тое~кт, откуда
2
In 2
k	Поэтому формула (3) запишется так:
_ £
m (t) = mQ - 2 т .
2. Гармонические колебания.
В практике часто встречаются процессы, которые
периодически повторяются, например колебатель-
ные движения маятника, струны, пружины и т. д.;
процессы, связанные с переменным электрическим
током, магнитным полем и т. д. Решение многих
таких задач сводится к решению дифференциаль-
ного уравнения
у" = -со2!/,	(4)
где со — заданное положительное число, у - у (х),
У" - (у' (*))'• Решениями уравнения (4) являются
функции
у (х) = Сг sin (сох + С2),	(5)
где Ср С2 — постоянные, определяемые условиями
конкретной задачи. Уравнение (4) называют диффе-
ренциальным уравнением гармонических колебаний.
307
Например, если у (t) — отклонение точки свободно
колеблющейся струны от положения равновесия
в момент времени t, то
у (t) = A sin (cof + ср),
где А — амплитуда колебания, со — частота, ср —
начальная фаза.
Графиком гармонического колебания является
синусоида.
3. Примеры применения первообразной и интег-
рала.
Задача 3 Цилиндрический бак, высота которого равна 5 м,
а радиус основания равен 0,8 м, заполнен водой
(рис. 165). За какое время вытечет вода из бака
через круглое отверстие в дне бака, если радиус от-
верстия равен 0,1 м?
► Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R,
радиус отверстия г (длины измеряем в метрах,
время — в секундах).
Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты
столба жидкости х и вычисляется по формуле Бер-
нулли
v = ст J2gx ,	(6)
где g = 9,8, о — коэффициент, зависящий от свой-
ства жидкости; для воды о = 0,6. Поэтому по мере
убывания воды в баке скорость вытекания умень-
шается (а не постоянна).
Пусть t (х) — время, за которое вытекает вода
из бака высотой х с тем же радиусом основания R
и с тем
Рис. 165
же отверстием радиуса г (рис. 165). Най-
дем приближенно разностное отноше-
t (х +h) -t(х)
ние-------------, считая, что за время
= t (х + ft) - t (х) скорость вытекания во-
ды постоянна и выражается формулой (6).
За время Ц объем воды, вытекшей из
бака, равен объему цилиндра высотой h
с радиусом основания R (рис. 165),
т. е. равен nR2h. С другой стороны, этот
объем равен объему цилиндра, основа-
нием которого служит отверстие в дне
бака, а высота равна произведению
скорости вытекания и на время tp
т. е. объем равен 7ir2vt1. Таким обра-
308
зом, nl&h = nr2uij. Отсюда, учитывая формулу (6)
и обозначение = t (х + й) - t (х), получаем
f(x+ h)-t(x)	j
й	г2 <5 y[2g 4х
причем погрешность приближения стремится к
нулю при й —> 0. Следовательно, при й -> 0 получа-
ется равенство
Ответ
Задача 4
г2 ст -J2g VX
откуда
t(x) = —д2	-2Vx+C.
г2о^
Если х = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, поэтому
С = 0. При х = Н находим искомое время
t{H) = Ri .
г2 о у/g
Используя данные задачи, вычисляем
, (5) . W*? -Ги> . 108.
(0,1)2 0,6- д/9,8
108 с. <
Вычислить работу силы F при сжатии пружины
на 0,08 м, если для ее сжатия на 0,01 м требует-
ся сила 10 Н.
По закону Гука сила F пропорциональна растяже-
нию или сжатию пружины, т. е. F = kx, где х —
величина растяжения или сжатия (в м), k — по-
стоянная. Из условия задачи находим й. Так как
при х = 0,01 м сила F = 10 Н, то k = = 1000.
х
Следовательно, F (х) = kx = 1000х.
Работа силы F (х) при перемещении тела из точ-
ь
ки а в точку Ь равна А = JF (x)dx.
а
Используя данные задачи, получаем
°’08	2 0,08
А = j lOOOxdx = 1000	=3,2 (Дж). <1
*	2 п
309
Упражнения
1025 Тело движется прямолинейно со скоростью и (t) (м/с). Вы-
числить путь, пройденный телом за промежуток времени
от t = tr до t = t2:
1)	v (f) = 3t2 + 1,	= 0, t2 = 4;
2)	v(t) = 2t2 + t, Zj = 1, t2 = 3.
1026 Скорость прямолинейно движущегося тела равна
v (t) = 4f - t2. Вычислить путь, пройденный телом от начала
движения до остановки.
1027 Решить дифференциальное уравнение:
1)	у'	= 3 - 4х;	2)	у'	-	6х2 -	8х + 1;
3)	у'	= Зе2х;	4)	у'	=	4 cos	2х;
5)	у'	- 3 sin г;	6)	у'	=	cos х	- sin х.
1028 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетво-
ряющее данному условию:
1)	у'	= sin х, у (0) =	0;
2)	у'	= 2 cos х, у (л)	= 1;
3)	у'	= Зх2 + 4х - 1,	у (1)	= -2;
4)	у'	= 2 + 2х - Зх2,	у (-1)	= 2;
5)	у' = ех, у (1) = 1;
6)	у' = еЛ у (0) = 2.
1029 Показать, что функция у = (\ cos сох + С2 sin сох при лю-
бых значениях С\ и С2 является решением дифференциаль-
ного уравнения у" + оз2у = 0.
1030 Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась
до 0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится
до 0,5 г?
1031 Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии
пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину
на 1 см.
1032 Вычислить работу, которую нужно затратить при растяже-
нии пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину
на 1 см.
7 Упражнения
 к главе X
I..........................I..............................1...............................I..............................I...............................I..............................I...............................I..............................I
1033 Для функции f (х) найти первообразную, график которой
проходит через точку Mt
1) f М = cos х, М (0; -2);
3) f(x) = -^, М(4; 5);
V х
5) f(x) = Зх2 + 1, М (1; -2);
2) f (х) = sin х, М (-л; 0);
4) f (х) = е\ М (0; 2);
6) f (х) = 2 - 2х, М (2; 3).
1034 Вычислить интеграл:
2	2	з
1) ^2dx;	2)	J(3-x)dx;	3)	J(x2-2x)dx;
-1	-2	1
1	8	2	2
4)	J(2x-3x2)dx;	5) JVxdx; 6) J 7) j cos xdx.
-1	1	1 x
2
1035 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)	у - 4~х, х = 1, х = 4, у = 0;
2)	у = cos х, х = 0, х = —, у = 0;
3
3)	у = х2, у = 2 - х; 4) у = 2х2, у = 0,5х + 1,5.
Проверь себя!
1
2
3
4
Показать, что функция F (х) = е2х + х3 - cos х является
первообразной для функции f (х) = 2е2х + Зх2 + sin х на
всей числовой прямой.
Для функции f (х) = Зх2 + 2х - 3 найти первообразную,
график которой проходит через точку М (1; -2).
Вычислить:
2 1) j 3x8dx;	4 2) (	Я 2 3) Г cos xdx;	Я 4) J sin 2xdx.
1	2 Х	J 0	Jt
			2
Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой у = х2 + х - 6 и осью Ох;
2) графиками функций г/ = х2 + 1 и у = 10.
311
Вычислить интеграл (1036—1037).
1036 1) f(5x4-8r3)dx;
о
4
3)	[ Jx (з--Ъх;
j V X)
1
3
5)	J Vх + ldx;
о
4
1037 1) Г - cos J х + - \dx;
J 2 I 4 J
о
з
3) |з sin (Зх-6)о?х;
2
2) J(6x3-5x)dx;
-i
6) jy/2x -3dx.
2
n
3	.
2) f i sin | x |dx;
J 3 I 3J
о
з
4) |8 cos (4x - 12)dx.
о
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1038—1039).
1038 1) у = —, у = 4х, х = 1, у = 0;
х
2) у =Ц-, у = х, х = 2, у = 0;
xz
3) у = х2 + 1, 4) у - х2 + 2,	у = х + 1; у = 2х + 2.
1039 1) у = х2 - 6х	+ 9, у = х2 + 4х + 4, у = 0;
2) у = х2 + 1,	у = 3 - х2;
3) у = х2, у =	2 V2x;
4) y = Vx, у =	= л/4-Зх, у = 0.
1040 Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой у = х2 - 2х + 2, касательной к ней, проходя-
щей через точку пересечения параболы с осью Оу, и пря-
мой х = 1;
2) гиперболой у — — , касательной к ней, проходящей через
х
точку с абсциссой х = 2, и прямыми у = 0, х = 6.
1041 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) у = х3 - Зх2 - 9х + 1, х = 0, у - 6, х < 0;
2) у = х4 - 2х2 + 5, г/=1, х = О, х = 1.
1042 При каком значении k площадь фигуры, ограниченной
параболой у = х2 + рх, где р — заданное число, и прямой
у = kx + 1, наименьшая?
312
: Упражнения
’ для итогового повторения
t курса алгебры
- и начал анализа
Умение решать задачи — практическое
искусство, подобное плаванию, или ката
нию на лыжах, или игре на фортепьяно:
научиться этому можно, лишь подражая
избранным образцам и постоянно трени-
руясь...	ГТ ГТ -
* ”	71 ТТпип
Д. Пойа
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1. Числа и алгебраические преобразования
Найти 2,5% от 3,2.
Найти число, если 42% его составляют 12,6.
Какой процент составляет 1,3 от 39?
Сколько процентов составляет 46,6 от 11,65?
Найти число, 175% которого составляют 78,75.
Найти 180% от 7,5.
Цена товара была снижена сначала на 24%, а затем на 50%
от новой цены. Найти общий процент снижения цены товара.
В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди.
Каково процентное содержание составных частей сплава?
Стоимость товара и перевозки составляет 3942 р., причем
расходы по перевозке товара составляют 8% стоимости само-
го товара. Какова стоимость товара без учета стоимости его
перевозки?
Высота пирамиды равна 5 см, а площадь ее основания рав-
на 4 см2. На сколько процентов увеличится объем этой пи-
рамиды, если и площадь ее основания, и высоту увеличить
на 10% ?
313
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
При делении некоторого числа на 72 получится остаток, рав-
ный 68. Каким будет остаток, если это же число разделить
на 12?
Сумма двух чисел равна 1100. Найти наибольшее из них,
если 6% одного числа равны 5% другого.
По вкладу, вносимому на срок не менее года, Сбербанк вы-
плачивает 3% годовых. Вкладчик внес в Сбербанк вклад в
размере 600 р. Какую сумму денег он получит в конце второ-
го года со дня вклада? в конце третьего года со дня вклада?
По обычному вкладу Сбербанк выплачивает 2% годовых.
Вкладчик внес 500 р., а через месяц снял со счета 100 р.
Какая сумма денег будет на его счету по истечении года
со дня выдачи ему 100 р.?
Вычислить (1057—1058).
1) 23,276 : 2,3 - 3,6  (17,2 • 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25  3,2;
2) 9,25 • 1,04 - (6,372 : 0,6 + 1,125 • 0,8) : 1,2 + 0,16 • 6,25.
|28:1—+7 — :22 + 1—-9—+ 14:1-1-3 —
п <43 3	4 2 J 7.
10 1 - 9 -
2	4
2)	(± -0,3751: 0,125 + Г- - — 1; (0,358 -0,108).
<2	)	<612/
Найти неизвестный член пропорции:
1)10:- = х:1-;	2) х : 0,75 = 9 - : 14-;	3) —
8	4	2	4	15	1,05
Вычислить (1060—1064).
< 125 3	)У	7
1) log27 729;	2) log9 729;	3) log! 729.
1) log j л/64;
2) log8log4 log2 16.
16
i V8
2) (272Ф'3 -23.
1) 12^.
1) log3-^ + log6V86;
7з
314
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
Сравнить числа:
1	2	3
1) 2,57 и 2,50,5;	2) 0,23 и 0,24;
3)	log31710 и log3д 3;	4) log0>3^ и log0.3
о	4
Какому из промежутков 0 < а < 1 или а > 1 принадлежит
число а, если:
1) а0,2 > 1;	2) а’13 > 1;	3) а"3-1 < 1;
4)	а2’7 < 1;	5) loga 0,2 > 0;	6) loga 1,3 > О?
Какое из чисел больше:
, 	log2 3 - log4 —	3, 	/ 1 xlog6 2-llog^S
1)	718 или 4	11;	2) 718 или - i	?
16;
Между какими целыми числами заключено число:
1) 1g 50;	2) log2 10?
Упростить (1069—1070).
1) зД-^Т20+3V180-4Л,^;
V9 2	\ 4
2)	--г^~г - г4 г
7б-7б 75 + 72 76-72
1) д/а4(9а2-6а + 1);	2) ^b2 (4ft4 + 4ft2 + 1).
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
1)	2)	;	3)	12	•	4)	8
7з-72 7б + 7б 710-7? 7п + 7з
Освободиться
от иррациональности в числителе дроби:
3)
7?-7s
2
Записать в виде обыкновенной дроби число:
1) 0,(4);	2) 2,(7);	3) 0,(21);
4) 1,(36);	5) 0,3(5);	6) 0,21(3).
Записать в виде десятичной периодической дроби число:
1)	2) 2-;	3) А; 4) 5—.
6	9	7	11
Может ли быть рациональным числом:
1)	сумма двух положительных иррациональных чисел;
2)	произведение двух иррациональных чисел;
3)	частное от деления суммы двух неравных иррациональ-
ных положительных чисел на их произведение?
315
1076 Доказать, что если а и b — натуральные числа и 4аЬ —
17
рациональное число, то — также рациональное число,
v b
а если ^ао — иррациональное число, то и J— — иррацио-
нальное число.
1077 Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число,
а * О, b 0. Доказать, что а + Ь, а • Ь, — — иррациональ-
b а
ные числа.
1078 Имеют ли общие точки промежутки:
1)	[1; 3 V2 + 2 V7] и [3 7з + 4; 15];
2)	(0; V27 +7б) и (748-1; 10);
3)	[2; 2 Тб + 2 Тб] и (3 72 + 722; 11);
4)	[1; 1 + 73] и | -Д—; 4 |?
U3-1	)
1079 Пусть 0 < а < Ь. Доказать, что на числовой оси:
1) точка а + ь — середина отрезка [а; &];
2
2) точка а +- Ьс, где с > 0, лежит внутри отрезка [а; Ь].
1 + с
•1080 1) Вычислить диаметр х круга, вписанного в равносторон-
ний треугольник (рис. 166), если а = 6 см.
2) Вычислить угол а заготовки, изображенной на рисун-
ке 167, если а = 4 см.
1081 Вычислить ширину I ущелья по данным, указанным на ри-
сунке 168.
1082 Вычислить длину моста по данным, указанным на рисун-
ке 169.
1083 Найти числовые значения всех остальных тригонометри-
ческих функций по данному значению одной из них
fo < а <-"1:
V 2)
1) cos а = 0,8; 2) sin а = —; 3) tg а = 2,4; 4) ctg а = —.
Рис. 166
Рис. 167
316
Рис. 168
1084 Вычислить cos 2а, если sin а = -.
3
1085 Найти значение выражения sin + cos 690° -cos
Вычислить (1086—1091).
1086 1) 2 arctg 1-3 arcsin —;	2) 8 arccos — + 6 arctg д/з.
2	2
1087 1) sin ^2 arcsin	2) tg (2 arctg 3).
1088 1) log4 sin —;	2) log10 tg —;	3) log8 sin — тс;
4	4	4
4) log2 cos - it; 5) log3 1 - log4 tg - • log5 cos 0.
3	4
1089 1) ctg (arctg V3);	2) ctg (arctg 1);	3) sin (arctg(-V3));
4) sin arctg-jL ;	5) cos (arctg 1);	6) cos (arctg (-V3)).
к V3 )
I	v2 I
1090 1) cos 6 arccos — I; 2) sin (5 arccos 0).
sin a cos a	3
Ю91 1) —-----------— при tg a = - ;
sin a - cos a	4
2) sin a cos a, если sin a + cos a - —.
3
Упростить выражение (1092—1094).
1092
1) Д + 2 f 2a2-a - 3 _ 2a- з\ 2jf2_lA|
а — 2 I а2 + 5 a + 6 а—2 I \ b J
862 + 8b + 2 26+1
b2-46	6
317
1093
1)
а
а2-1
а2 + а - 1
а3 - а2 + а - 1
а2 - а - 1	2а3
3 + а2 + а + 1 а4 - 1'
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
2)
1)
1
а2 + 5а + 6
2а
2 j_ А л
1
2
а + 3
1
1
2 -2а
1
а
2) -
Упростить выражение и найти его значение:
1)
2)
при а = 5, х = 4;
при а = 3, х = л/5.
Упростить выражение (1096—1103).
1)
1)
1)
х2
2
х2
1-х2
1
,2
2)
1
т + 2т2 + 1
1
2т2
1
2т2
1
т2 -1
4т2
т - 1
6п •
тп;
2)
а - 1
3 1
а4 + а2
а2 - а4
а2 + 1
•а4

2)
1+byb
Ь 
1-Ь
а 2 - а
36"2 - b
а
1)
2)
2^-i	2 1
—-------а3Ь3.
5
За-2
fab	J ab + Ь2
9а-25а-1
За2- 5а 2
-2
2аЬ
2 1а 2 + b 2
а + 7 + 10а 1
а2 + 2а 2
4
318
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
3 \lb
VF _ 9 s4b
- (b2 + 18fe + 81)0,5.
-2
1) * 1 + tg J* ;	2) (1 + tg a) (1 + ctg a) - ----------.
1 + ctg a	sin a cos a
1 - (sin a + cos a )2	2
Доказать тождество ----------------------=2 tg15 a.
sin a cos a - ctg a
Упростить выражение (1105—1106).
1) sin2 (a + 8л) + cos2 (a + 10л);
2) cos2 (a + 6л) + cos2 (a - 4л).
sin 2 a	sin a cos (л - a)
2(1-2 cos2 a)	1-2 sin2 a
2	‘ 2
cos X	sin X
Доказать тождество-------------------= - sin x - cos x.
1 + sin x 1 - cos x
Разложить на множители:
1) 1 + cos a + sin a;	2) 1 - cos a - sin a;
3) 3 - 4 sin2 a;	4) 1 - 4 cos2 a.
Доказать, что если a + 0 + у = л, то:
1) sin a + sin В - sin у = 4 sin — sin - cos
2	2	2
2) sin 2a + sin 20 + sin 2y = 4 sin a sin 0 sin y.
Известно, что tg a = 2. Найти значение выражения:
sin2 a + sin a cos a	2 - sin2 a
1) у	>	2)	-	.
cos a + 3 cos a sin a	3 + cos a
Известно, что tg a + ctg a = 3. Найти tg2 a + ctg2 a.
Упростить выражение (1112—1117).
cos a + sin a x ( K A	, ,, ( л A 1 - sin 2 a
1)------------tg - + a ;	2) tg2 - - a---------.
cos a - sin a \ 4	)	(.2/1+ sin 2 a
1) tg a + tg p .	2) (sin a + cos a)2 + (sin a - cos a)2;
ctg a + ctg p
319
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1) tg2° 	2) * 1 + ctg2 a •
1+ ctg2 * * a	ctg2 a
3)
ctg a + ctg p ’
4) (tg a + ctg a)2 - (tg a - ctg a)2.
1	+ cos 2 a _
2	cos a
sin a + sin 3a + sin 5a
3)		;
cos a - cos 3a + cos 5a
sin 2a + cos 2a + 2 sin2 a .
sin (-a) - sin (2,5 л + a)
Доказать тождество:
1-соэ(2л-2а) _
1 - cos (a + я)
tg a - sin a
*
tg a + sin a
„ „ 2 sin 2 a + sin 4 a
4)	-----------------_
2 sin 2 a - sin 4 a
2)
cos 2a - sin 2a - 2 cos2 a
cos (-a) - cos (2,5 л + a)
sin2 (a + 90°)
1 + sin ( - a )
= 1 + cos (a - 90 °).
Упростить выражение (1119—1124).
5 cos x - 3 sin x
sin 2 x - 8 sin2 x
sin — - x + sin (- x)
<2	)
cos 2x
sin (x -2л) cos
— x J + tg (л — x) tg
1) cos2 (a + 2P) + sin2 (a - 2|3) - 1;
2) sin2 (a + 2P) + sin2 (a - 2p) - 1.
cos 4a - cos 2a_	2)	+ C°S a + C°S + cos
sin 3a sin a ’	cos a + 2 cos2 a - 1
4 sin2 a - sin2 2 a
4-4 sin2 a - sin2 2 a
-/2 - cos x - sin x
*
sm x - cos x
2)
tg2 2a tg2a - 1
"/9	9	*
tg a - tg 2 a
1 - cos x + sin x + tg x
sin x + cos x
_	sin a cos a	,	3
Вычислить —--------------, если ctg a = —
• 9	9	0 л
sin a - cos a	4
Упростить выражение и найти
2-3 sin2 a
данном значении a: -----------
cos 2 a
его числовое значение при
sin a + 2 cos a n
---------------; a =----.
sin a + cos a	8
Доказать тождество (1127—1135).
tg(a-p)+tgp _ cos (a + p)
tg(a+p)-tgp cos(a-p)
1) 1 + sin a - 2 cos2 f —	\	2) 1 - sin a = 2 sin2 f— - —
U 2j	(42
320
1129
ИЗО
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
6
6
1)
—------= sin a;
tg | + ctg |
(1 + cos a) tg = sin a.
2 cos 2 a
1) 1-tg2 a =------—;
cos a
1) sin [ а + — I-sin I а - — = -/з cos а;
k 3J I 3J
2) cos I - + а I + cos I — - а I = -/з cos а.
ctg а - tg а
2) ------------= cos 2 а.
ctg а - tg а
1	4-2 -COS 2a
2	) 1 - ctg2 a =------.
sin a
1 + cos a + cos 2a = 4 cos a cos — + — cos - - — .
<6 2 J I 6 2 )
1-2 sin2 a _ 1 - tg a ,	1________________	(1 - tg2 a)2 ,
1 + sin 2a 1 + tg a	4 sin2 a cos2 a	4 tg2 a
x (я	1+sin 2a , 1-sin 2a , л
3)	tg - + a =-------------;	4) ---------= ctg2 - + a .
к 4	) cos 2 a	1 + sin 2 a	к 4	)
1) 4 sin x sin — - x sin — + x = sin 3x;
13 J <3	)
2) cos 3x cos 6x cos 12x =------------.
8 sin 3x
2. Уравнения
Решить уравнение:
Зх - 16 j _ х + 6 _ х + 3.
12	4	6 ’
3	7 I 3 J
При каком значении а уравнение а (х - 3) + 8 = 13 (х + 2)
имеет корень, равный 0?
При каком значении b уравнение 1 - b (х + 4) = 2 (х - 8)
имеет корень, равный 1?
Решить уравнение (1139—1150).
1)	х (х +	1) - (х	+ 2)	(х +	3) + 9 = х (х + 4) -	(х +	5) (х	+ 2);
2)	2 (х +	3) (х +	1) +	8 =	(2х + 1) (х + 5).
1)	2)—^—	+ —^—	=__“____.
х+3	х-3	х2-9	х-2 х-4	х2-6х+8
1)	(а - Ь) х = а2 + (а + Ь) х;	2)	a2x = а + b + Ь2х.
1)	х2 - 2х - 15 = 0;	2)	Зх2 + 4х - 4 = 0.
1)	(х - 3) (х - 2) = 6 (х - 3);	2)	х2_Их+1 =0.
321
и начала анализа 10-11 кл.
11 Алгебра
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1)_^ + _£_=0;	2) -З*1 2 - - 2 = 2х + !.
х+1	х-1	Зх-1 Зх+1
Зх-1 7 _ 7х2-28 ! 18 .	2) х+ 1	12 = 2-х
х + 2	2 + х х2-4	2-х’	х+3 х2-9	3-х
2 1 _2х-1
х2 - х + 1 х+1	х3+1
1) х-4 + —=0;	2)^------10- + 4 = 0.
х	х + 2 х + 2
1) х4 - Их2 + 30 = 0;
1) 2х-2 + 4х-1 -3 = 0;
1) х2 + ах-Ь2 + — = 0;
2) 2х4 - 5х2 + 2 = 0.
2) (х2 - х)2 + 12 = 8 (х2 - х).
2) 2х х _	5а2
2х-а 2х+а 4х2-а2
При каком условии трехчлен ах2 + Ъх + с является квадра-
том двучлена?
Доказать, что корни уравнения ах2 + Ъх + а = 0 есть взаимно
обратные числа, если а * 0.
Решить уравнение (1153—1154).
1) |2х-3| = 7;	2) | х + 61 = 2х;	3) 2х - 7 = |х - 4|.
1) |6 - 2х| = Зх + 1;	2) 2 |х - 2| = |х| - 1.
Найти наименьший корень уравнения |х2 - Зх - 6| = 2х.
Найти наибольший рациональный корень уравнения
|х2 - 8х + 5| = 2х.
Решить уравнение (1157—1173).
1) V2x + 7 = х + 2;	2) х = 2 -д/2х-5.
1) Зх7 = 81;	2) 2 х2 “ 5х *6,5 = V2 ;	3) (д’4*) = 22х + 6.
1) 95х - 95х’ 1 = 8;	2) 2Х + 4-2х = 120.
(5х-6)	„	Л 1 V
1) 52х'5 • 73х + 1 = 352	;	2) 0,2 х -52х + 2 = - .
1) 2,43-2х = 2,43х-2; 2)f-^|=f->|	; 3) — = (— 1
VsJ <5 J	116 J
1) f4'') /27Л =2;	2) V27 • VF =216.
loj I 8 J 3
1) 5х’1 + 5х + 5х ’ = 155;
2) 32x - 2 • 32x 1 - 2 • 32x 2 = 1;
3) 7х - 7х -1 = 6;	4) 3х * 2 + 3х = 10.
1) 32х - 3х = 72;	2) 4х - 2х + 1 = 48.
322
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1) (log2 x)2 - 3 log2 x + 2 = 0;	2) (log3 x)2 + 5 = 2 log3 x3.
1) In —-— = ln(x + 2);	2) log3 73x -6 -log3 Vx -3 = 1.
x + 1
1) lg f-+ x^l = lg --lg x; 2) 2 lg x =-lg—Ц-.
к 2 J 2	6 - x2
1)	log2 (2x - 18) +	log2 (x -	9) =	5;
2)	lg (x2 + 19) - lg	(x + 1) =	1.
1)	5log3 x2 - 6 • 5log3	x + 5 = 0;	2) 25log3 x - 4-5log3 x +1 = 125.
l)xlgx=10;	2)xlog3* = 9x;
3)	xlg x - 1 = 10 (1 - x lg x);	4) x- = Vx7.
1)	7 • 4*2 - 9  14х2 + 2 -49х2 = 0;
2)	5х + 4 + 3 • 4х 3 = 4х + 4 + 4  5х + 3.
1) log4(2 - 7x + 3) = 1;	2) logt Jx2-2x = -±;
з	2
3)	| log3 (x + 1) = log3 Vx + 4 - 2 log3 V2 .
1) x1+ lgx = lOx; 2)xlgx=100x;
3) log2 (17 - 2х) + log2 (2х + 15) = 8;
4) log2 (3 + 2х) + log2 (5 - 2х) = 4.
Могут ли корни уравнения (х - т) (х - и)= k2 быть чисто
мнимыми, если т, п и k — действительные числа?
Решить уравнение (z — комплексное число):
1) z2 + 4z + 19 = 0;	2) г2 - 2z + 3 = 0.
Решить графически уравнение:
1) 0,5х = 2х - 1;	2) 2х = 3 - х2;
4) logj х =4х2;	5) 2х = log0 5 х;
2
Используя графики синуса или косинуса,
уравнения, принадлежащие промежутку [-л; Зл]:
1) cosx = --;	2) sinx = -^-.
2	2
Решить уравнение (1178—1200).
1) sin2x = ^;	2) cos3x = -^-;	3) 2 tg х + 5 = 0.
1) 3 cos2 х - 5 cos x - 12 = 0;	2) 3 tg2 x-4tgx+5 = 0.
1) (3-4 sin x) (3 + 4 cos x) = 0;
2) (tg x + 3) (tg x + 1) = 0.
3) log3 x = 4 - x;
6) =log3 x.
\ о J
найти все копни
323
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1)	sin 2x = 3 sin x cos2 x;	2)	sin 4x = sin 2x,
3)	cos 2x + cos2 x = 0;	4)	sin 2x = cos2 x.
1)	sin 2x = 3 cos x;	2)	sin 4x = cos4 x - sin4 x;
3)	2 cos2 x = 1 + 4 sin 2x;	4)	2 cos x + cos 2x = 2 sin x.
1)	cos x + cos 2x = 0;	2)	cos x - cos 5x = 0;
3)	sin 3x + sin x = 2 sin 2x;	4)	sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
1)	2 cos x + sin x = 0;	2)	sin x + >/3 cos x = 0.
1)	4 sin4 x + sin2 2x = 2;	2)	X .	X	5 sin	—i- cos	—	=	—. 3	3	8
1)	л/з sin 2 x - cos 2 x = V3;	2)	6 sin x + 5 cos x = 6.
1) tg3 x + tg2 x-2tgx-2 = 0;
2) 1 - cos x = tg x - sin x.
1)	sin x + sin 2x = cos x + 2 cos2 x;
2)	2 cos 2 x = л/б (cos x - sin x).
cos 2x
-------= cos x + sin x.
1 - sin 2 x
1) 3)	sin3 x + cos3 x = 0;	2) 2 sin2 x + sin2 2x = 2; 8 sin x cos 2x cos x = V3;
4) 1) 2) 1) 2) 1) 2) 1) 3) 1)	4 sin x cos x cos 2x = cos 4x. sin4 x - cos4 x + 2 cos2 x = cos 2x; 2 sin2 x - cos4 x = 1 - sin4 x. sin3 x	cos x	+ cos3 x sin x = cos	2x; 2 + cos2	x +	3 sin	x cos x	= sin2	x. 4 sin2	x	- 8	sin x	cos x +	10 cos2 x = 3; 3 sin2	x	- 2	sin x	cos x =	1. sin 5x = sin 3x;	2)	cos	6x + cos 2x	= 0; sin 3x + cos 7x = 0;	4)	sin	x = cos 5x. sin x + sin 5x = sin 3x;	2)	cos	7x - cos 3x	= 3 sin 5x.
1) 2)	cos x sin 9x = cos 3x sin 7x; sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.
1) 2) 1) 2) 1)	5 + sin 2x = 5 (sin x + cos x); 2 + 2 cos x = 3 sin x cos x + 2 sin x. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x - 0; cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0. tg2 3x - 4 sin2 3x = 0;	2) sin x tg x = cos x + tg x;
3)	ill	9	Q ctg x ctg x +	 = 1;	4) 4 ctgz x = 5	. 1	sin x )	sin x
324
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1) tg 2x = 3 tg x;
3) tg [ x + — 1 + tg J x
\	4 /	\
2) ctg 2x = 2 ctg x;
4) tg (2x + 1) ctg (x + 1) = 1.
Решить графически уравнение:
1) cos x = Зх - 1;	2) sin x = 0,5x3;
3)	cos x = -/x;	4) cos x = x2.
3. Неравенства
Решить неравенство (1202—1203).
1) x + 8 > 4 - Зх;	2) Зх + 1 - 2 (3 + х) < 4х + 1.
1 \ 4 — Зх 5 — 2х 2.	2^ 5х — 7 х + 2
8	12	’	6	7
При каких значениях х положительна дробь:
5х — 4 . g-к Зх+10. о\ х4- 2 ,	jv 8 — х
7 7x4-5’	7 40-х ’	} 5-4х’	' 6 + Зх ‘
При каких значениях х отрицательна дробь:
3 - 2х. 2) 10 — 4х,	18 - 7х о
' Зх-2’	7 9x4- 2 ’	’ -4х2-1 ’
Решить неравенство (1206—1209).
1)5x4L4L<4;	2)2<1; з) _2_ < 4.
х-3	х - 4	х 4- 3
1) 8х2 - 2х - 1 < 0;	2) 5х2 + 7х < 0.
_ Q
1) —— < 0;	2) (2х2 - 3) (х + 4)3 > 0.
х2 - 4
1)	Зх-15	2)	х-1	<0.	3) «^2х-8 >0
х24-5х-14	х2 + 4х-ь2	х -2х-3
При каких значениях х выражение 1g (х2 4- 8х + 15) не
имеет смысла?
При каком наименьшем целом значении т уравнение
(т - 1) х2 - 2 (т 4- 1) х 4- т - 3 = 0
имеет два различных действительных корня?
При каких целых значениях т уравнение
(т - 7) х2 + 2 (т - 7) х 4- 3 = 0
не имеет действительных корней?
При каком наибольшем целом значении х выражение
х2 + з
—- ------ принимает отрицательное значение?
х2 - 9х 4-14
325
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
При каком наименьшем целом значении х выражение
х2 - х - 6	„
-----— принимает положительное значение?
Решить неравенство (1215—1230).
1) |2х - 3| < х;
3) |х2 - 7х + 12| < 6;
5) |2х2 - х - 1| > 5;
1)	а.б1 *-* > 2,5-3х;
2)	14 — х | > х;
4)	|х2 - Зх - 4| > 6;
6) |Зх2-х-4| < 2.
2) 0,13х ’4 > 0,132 х;
4) 3’4х >>/3.
1) 2“х + 5 <i;
4
1) 5х2*3**!'5 <5л/5;
Х-1
1) Зх+1 9 2 > 3V3;
2) 0,2х2’6х + 7 > 1.
2) 3Хг 1 + 3х’1 < 10.
2 х
1) 22х-4х ’1 + 83 *  2 4 >52;
2)	2х + 2 - 2х 3 + 5х ' 2 > 5х +1 + 2х + 4.
1) 3,3х2+6х < 1;
1.
2’
х-3
3)	8,4х2 + 6х + 11 < 1;
z X 2х - 3
4)	22х +1 -214 | 1	+2 > 0;
/ 1 \2 Зх
5)	З4’3х-35(	+6>0.
1) 3 8г 1 + 2 <-	2) 5log2 *х2 ~ 4х + 3,э) > -1
1) log6 (2 - х) < logg (2х + 5);
2) logj (х2-2) > -1.
з
1) y[\g~X <
1.
2’
2) logj x < log j (2x + 6) + 2.
1) log0>5 (1 + 2x) > -1;
1) log0,5 <*2 - 5x + 6) > -1;
1)
log 1 log 1
2 I 2
Зх- 1
x - 1
7
< 0;
2) log3 (1 - 2x) < -1.
2) log8 (x2 - 4x - 3) < 1.
2) log x (log4 (x2 - 5)) >0.
2	2
326
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1) (х2 ~ 4) log0 5 х > 0;
1) х1’1** < 0,Г2;
2)	(Зх - 1) log2 х > 0.
2) Jx4'-gx < 10х;
3)	х + 3 > log3 (26 - 3х);
4)	3 - х < log5 (20 + 5х).
1) cos (-Зх) >2)
Л	_	1
cos 2х — < —.
к	з;	2
С помощью графика решить неравенство:
1) sin х < —; 2) sin х >	3) tg х - 3 < 0; 4) cos х > - .
4	4	3
Используя графики тригонометрических функций, найти все
решения неравенства, заключенные в промежутке [-Зл; л]:
1) 2 cos х -7з < 0;	2) у[2 sin х + 1 > 0;
3) 7з + tg х < 0;	4) 3 tg х - 2 > 0.
Доказать неравенство (1233—1235).
п3 । 1)3	/	, \3
2) -------> I а + I , если а > 0, Ь > 0, а * Ь.
2 I 2 J
1) (а + b) (ab + 1) > 4аЬ, если а > 0, Ъ > 0;
2) а4 + 6а2&2 + b4 > 4аЬ (а2 + Ь2), если а Ь.
1) - + - + - > 3, если а > 0, b > 0, с > 0;
b с а
2) 2а2 + Ъ2 + с2 > 2а (Ъ + с).
4. Системы уравнений и неравенств
Решить систему уравнений (1236—1237).
Г5х-7у = 3,
[6х + 5у = 17;
J 2х - г/ -13 = 0,
[ х + 2у + 1 = 0.
	Х-у	-^=10,		х+ у	! Х-у	= 6,
1)	5	2	2)	2	3	
	|Н + 1 «г	= 10;		х+ у	Х-у	= 0.
	5 2			4	3	
Найти действительные
(1238—1240).
решения системы уравнений
(у + 5 = х2,
[ х2 + у2 = 25;
ху = 16,
- =4;
У
Jx2 + 2i/2 = 96,
[х = 2г/.
х2-г/2 = 13,
х-у = 1;
х2 -Зу = -5,
7 х + 3// — 23.
327
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1)
х _ У = 3
ух 2 ’
^ + *=з1,
х у 3
х2 + у2 = 20;
х2 = 13х + 4у,
у2 = 4х + 13у;
т2 „2 _ о .
I X ~у -О,
 Зх2 + у2 -4х =40,
4) -i
[2х2 + у2 + Зх = 52.
Решить систему уравнений (1241—1246).
х I 2Х + У = 32,
|33л/-х = 27;
3х-2^ = 576,
log72(t/-x) =4;
11g х + 1g у = 4,
[xlg» = 1000.
2) |х2 + у4 = 16,
[ log2 х + 2 log2 у = 3.
Тх + у[у = 16,
Vx -Ту =2;
Тх-Ту = 1,
Тх + Ту = 19.
Jx+y-1 =1,
ylx-y+ 2 =2у-2;
ТЗу + х + 1 = 2,
Т2х-у + 2= 7 у-6.
2)
sin х + cos у = 1,
sin2 х + 2 sin х cos у = —;
sin x + sin у = -,
У 2
cos2 x + 2 sin x sin у + 4 cos2
У =4.
Isin x cos у =
У 2
tg x ctg у = 1;
2)
sin x sin у = -,
4
3 tg x = ctg y.
Найти наименьшее и наибольшее целые решения систем!
2х - 3 _ Зх + 5 _ х < £ _ х + 4
2	3	6	2 ’
1	2х-8	4- Зх о х + 2
3	2	3
Решить систему неравенств
х + 1 _ х + 2 < х - 3 + х - 4
5	4	3	2 ’
х - 2 > । х - 5
3	15
328
а.	Текстовые задачи
1249 Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за
3 мин, а по движущемуся за 45 с. За какое время поднимает
эскалатор неподвижно стоящего на нем пассажира?
1250 Теплоход прошел расстояние между двумя пристанями по
течению реки за 7 ч, а против течения за 9 ч. Определить
расстояние между пристанями, если скорость течения реки
2 км/ч.
1251 Пароход должен был пройти некоторое расстояние за
2,25 суток, но оказалось, что он проходил за каждый час
на 2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошел на-
меченный путь за 2 суток. Какое расстояние должен был
пройти пароход?
1252 Один рабочий выполняет некоторую работу за 24 дня, дру-
гой рабочий ту же работу может выполнить за 48 дней. За
сколько дней будет выполнена эта работа, если рабочие бу-
дут работать вместе?
1253 При уборке урожая было собрано 4556 ц яровой пшеницы
с общей площади 174 га, причем на целинных землях собра-
но по 30 ц с 1 га, а на остальной площади — по 22 ц. Сколь-
ко гектаров целинных земель было освоено?
1254 Разность двух чисел относится к их произведению как
1 : 24, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти
эти числа.
1255 Три дроби имеют числители, равные единице. Сумма этих
дробей равна 1. Разность между первой и второй дробями
равна третьей дроби. Сумма первых двух дробей в 5 раз боль-
ше третьей дроби. Найти эти дроби.
1256 Бригада рабочих должна была к определенному сроку изго-
товить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 де-
талей, бригада за день до срока перевыполнила плановое за-
дание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку,
если будет продолжать работать с той же производительно-
стью труда?
1257 Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя
36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за
10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился
одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обрат-
но, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного прича-
ла. Найти собственную скорость катера.
1258 Две организации приобрели театральные билеты. Первая
организация израсходовала на билеты 300 р., а вторая, ку-
пившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый
билет на 3 р. меньше первой организации, уплатила за
329
билеты 180 р. Сколько театральных билетов купила каждая
организация?
1259 От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч
20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась мо-
торная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Какова
скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки
по течению больше скорости плота на 48 км/ч?
1260 При уборке урожая с каждого из двух участков собрано
по 210 ц пшеницы. Площадь первого участка была на 0,5 га
меньше площади второго участка. Сколько центнеров пше-
ницы собрано с одного гектара на каждом участке, если
урожай пшеницы на первом участке был на 1 ц с 1 га боль-
ше, чем на втором?
1261 Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает
ученик, проходя путь от дома до школы, если его старший
брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов
меньше?
1262 Найти четыре числа, являющиеся последовательными чле-
нами геометрической прогрессии, если третье число больше
первого на 9, а второе больше четвертого на 18.
1263 Найти сумму первых двенадцати членов арифметической
прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна нулю,
а сумма четырех первых членов равна 1.
1264 Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются
тремя последовательными членами геометрической прогрес-
сии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма
первого и четвертого чисел равна 16, а второго и третьего
равна 12.
1265 Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии рав-
на 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый ее чле-
ны являются соответственно первым, вторым и десятым чле-
нами арифметической прогрессии. Найти первый член
геометрической прогрессии.
1266 Произведение пятого и шестого членов арифметической про-
грессии в 33 раза больше произведения ее первого и второ-
го членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше
второго, если известно, что все члены прогрессии положи-
тельны?
1267 В треугольнике, площадь которого равна 12 см2, середины
сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треуголь-
нике точно так же образован новый треугольник и т. д. Най-
ти сумму площадей всех получающихся таким построением
треугольников.
330
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
6.	Функции и графики
5
График линейной функции у = -— х + Ь проходит через точ-
ку (-2; 3). Найти Ъ.
График линейной функции у = kx + 3 проходит через точку
(-1; 4). Найти k.
Найти коэффициенты k и Ь линейной функции у = kx + Ь,
если ее график проходит через точки А и В;
1) А(-1; -2), В (3; 2);	2) А (2; 1), В(1; 2);
3) А (4; 2), В (-4; -3);	4) А (-2; -2), В (3; -2).
Через точку А(-3; 2) проходит прямая, параллельная пря-
мой, проходящей через точки В (-2; 2) и С(3; 0). Записать
формулы, задающие линейные функции, графиками кото-
рых являются данные прямые.
Выяснить, принадлежит ли прямой х + = 1 точка А:
1)Л(-1;4);	2) Л (0; 3);	3>Л(1;0>;
О
Линейная функция задана формулой у = —х + 2. Найти:
4
1) точки А и В пересечения ее графика с осями координат;
2) длину отрезка АВ;
Q
3) расстояние от начала координат до прямой у = — х + 2.
4
Найти значения х, при которых график функции у = Зх - 1
расположен:
1) выше оси Ох; 2) ниже оси Ох.
Найти значения х, при которых значения функции
у = -2х + 1:
1) положительны; 2) отрицательны.
Найти значения х, при которых график функции у = 2х - 1
лежит ниже графика функции у = Зх - 2.
Найти значения х, при которых график функции
у = (7з - 2) х - 7з
лежит выше графика функции у = (1 + 73) х + 2-Уз.
Доказать, что функция у = 2х - 3 возрастает.
Доказать, что функция у = -7з х-3 убывает.
Выяснить, пересекаются ли графики функций:
1) у = Зх - 2 и у = Зх 1;	2) у = Зх - 2 и у = 5х + 1.
331
1281 Построить график функции:
1)	у = 2 - |х|;	2) г/ = |2 —х|;	3) у = |2 - х| + |х - 3|.
Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функ-
ций прямую у = 3. В случае утвердительного ответа найти
координаты точек пересечения.
1282 Дана функция у = х1 2 - 2х - 3.
1)	Построить ее график и найти значения х, при которых
У (*) < 0.
2)	Доказать, что функция возрастает на промежутке [1; 4].
3)	Найти значение х, при котором функция принимает наи-
меньшее значение.
4)	Найти значения х, при которых график функции
у = х2 - 2х - 3 лежит выше графика функции у = -2х + 1.
5)	Записать уравнение касательной к параболе
у = х2 - 2х - 3 в точке с абсциссой, равной 2.
1283 Дана функция у = -2х2 + Зх + 2.
1)	Построить ее график и найти значения х, при которых
У (х) < 0.
2)	Доказать, что функция убывает на промежутке [1; 2].
3)	Найти значение х, при котором функция принимает наи-
большее значение.
4)	Найти значения х, при которых график данной функции
лежит ниже графика функции у = Зх + 2.
5)	Записать уравнения касательных к параболе
у = -2х2 + Зх + 2 в точках с ординатой, равной 3.
1284 Выяснить, пересекаются
1) у = х2 и у = х + 6;
3) У = 1 х2 и у =—*,
8	х
1285 Выяснить, является ли ’
ли графики функций:
2) у = - и у = 4 (х + 1);
X
4) у = 2х- 1 и у=
х
[етной или нечетной функция:
1) у = 2х + 2~х;
3) у = 1п
О — X
2) у = 3х - 3 х;
4) у = In
5 - х
1286 Исследовать функцию на четность и нечетность:
1) у - 2х2 - 1;	2) у = х - х3;	3) у-х5--;	4) у = ^~
х	х
1287 Выяснить, является ли четной или нечетной функция:
1) у = х sin х;	2) у = х2 cos 2х;
3) у = х + sin х;	4) у = х + cos х.
332
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
Найти наименьший положительный период функции
(1288—1289).
1) i/=cos^;	2) у = 2 sin 0,6х.
1) у = cos Зх;	2) z/= sin —;
5
3) у - tg 5х;	4) у = sin х + tg х.
Исследовать функцию на четность и нечетность и построить
ее график:
1) у = —х4 + 4х2 - 5;	2) у = х3 - 4х.
Найти наибольшее или наименьшее значение функции
у = ах2 + Ъх - 4, если у (1) = 0 и у (4) = 0.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) у = sin 2x-V3 cos 2х;	2) у = 2 cos 2х + sin2 х.
Найти точки пересечения графика квадратичной функции
с осями координат:
1) у = 2х2 - 5х + 6;	2) у = 2х2 - 5х + 2.
Построить график функции у = ах2 + Ьх + с, если у (-2) = 15,
1/(3) = 0, 1/(0) = -3.
Построить график функции у = д/25 - х2 . Указать по графи-
ку промежутки монотонности функции. Доказать, что гра-
фик данной функции симметричен относительно оси Оу.
5
Построить график функции у = ——. Доказать, что функция
х-2
убывает на промежутках х<2их>2.В какой точке гра-
фик функции пересекает ось ординат?
Выяснить основные свойства функции и построить ее график:
1) У = 3* + 1;	2) у = (|У~3;
3) у = log2 (х + 1);	4) у = logl (х -1).
з
Построить график функции:
3) у = 2х - 1 - 3;	2) у = log2 (х + 2) + 3.
Найти область определения функции (1299—1302).
1) у = 2х + 1g (6 - Зх); 2) у = 3 '* - 2 In (2х + 4);
3)l/=—A—;	4)l/ = tgy.
cos 2х	4
333
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1)г/ = -\Г4;	2)i/=/log3^.
V х+ 3	\ х - о
I — 6х — 16	।
1)	У = л ~2----;	2) У= 10ё1(*-3)-1.
\ X2-12Х+11	у] ±
1) y = 71Og0.8(x2“5X+7);	2) = V1Og0,5 (х2 "9) •
Найти множество значений функции (1303—1304).
1) у = х2 + 6х + 3;	2) у = -2х2 + 8г - 1;
3) у = ех + 1;	4) у = 2 + -.
х
/
1) у = 0,5 + sin х — ;	2) у = 0,5 cos х + sin х.
к 4)
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = / (х) в точке с абсциссой х0:
1) / (х) = sin х + cos х, х0 = —;	2) f (х) = cos Зх, х0 = -.
2	6
Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ-
ции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) f {х) =-4х, х0 = 1;	2) f (х) = 2х >[х, х0 = —.
4х2	3
Написать уравнение касательной к графику функции
у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) f (х) = —^-=, х0 = -;	2) /(х) = 2х4 - х2 + 4, х0 = -1.
4х Vx 4
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = х3 - х + 1 в точке пересечения его с осью Оу.
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = Зх3 - 1 в точке с ординатой у ~ 2.
Прямая у = 4х - 3 является касательной к параболе
у = 6 - 2х + х2. Найти координаты точки касания.
Найти точки, в которых касательные к графику функции
у = 4х3 - 9х2 + 6х + 1 параллельны оси абсцисс.
На параболе у = Зх2 + 7х + 1 найти такую точку, в которой
касательная к параболе образует с осью абсцисс угол —.
4
Написать уравнение касательной к графику функции
у = / (х) в точке с абсциссой х0:
1) f (х) = х In 2х, х0 = 0,5;	2) f(x) = 2~х, х0 = 1.
334
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ-
ции у = х3 - х2 - 7х + 6 в точке М (2; -4).
Найти тангенс угла, который касательная к графику функ-
ции у = х2 • е~х в точке с абсциссой х = 1 образует с осью Ох.
Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ-
ции у = — cos | Зх-—I в точке с абсциссой х = —.
3	\	6)	3
Записать уравнение касательной к графику
х3 + 1
/ (х) =--- в точке его пересечения с осью Ох.
Записать уравнение касательной к графику
функции
функции
/ (х) = 7х3 +1 в точке с абсциссой х = 4.
Найти промежутки монотонности функции:
Найти точки экстремума функции (1320—1321).
1) У = (X - I)3 (х - 2)2;	2) у = 4 + (6 - х)4.
Зх2 + 4х + 4	х2+6х+3
1) У =—X-----—;	2) y=—
х2 + х + 1	Зх + 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
(1322—1324).
Г Зл:
1) у = 2 sin х + sin 2х на отрезке 0; — ;
2) у = 2 sin х + cos 2х на отрезке 0; £
1) у = 7х + 5 на отрезке [-1; 4];
2) у = sin х + 2 72 cos х на отрезке
0; -
2
1) у = In х - х на отрезке [0,5; 4];
2) у = х 71 - х2 на отрезке [0; 1].
Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиу-
се основания цилиндра его объем будет наибольшим?
Найти наибольший возможный объем цилиндра, площадь
полной поверхности которого равна 54л см2, если известно,
что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.
В правильной пирамиде SABC из вершины S проведена
высота SO. Найти сторону основания пирамиды, если объ-
ем пирамиды является наибольшим при условии, что
SO + АС = 9 и 1 < АС < 8.
335
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
В правильной четырехугольной призме диагональ равна
2 7з. При какой высоте призмы ее объем наибольший?
Для функции f (х) = х~2 + cos х найти первообразную, гра-
/	о А
фик которой проходит через точку М 0,5л; — .
\	л)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (х) = х2 (2х - 3) - 12 (Зх - 2) на отрезке -3 < х < 6.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
з
f (х) = 2 In3 х - 9 In2 х + 12 In х на отрезке е4 < х < е3.
На параболе у = х2 найти точку, расстояние от которой до
точки А I 2; - 1 является наименьшим.
I 2>
На координатной плоскости даны точки А (3; -1) и D (4; -1).
Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является
одним из оснований, а вершины другого основания лежат на
дуге параболы у = 1 - х2, заданной на отрезке [-1; 1]. Среди
этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую пло-
щадь. Найти эту площадь.
На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматри-
ваются треугольники, у которых две вершины симметричны
относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, за-
данной на отрезке [-1; 1], а точка К является серединой
одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, ко-
торый имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Каковы должны быть коэффициенты р и q квадратичной
функции у = х2 + рх + q, чтобы при х = 5 она имела мини-
мум, равный 1?
Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм,
чтобы его объем был наибольшим?
Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр,
если его объем равен У?
Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар ра-
диуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверх-
ности.
Найти высоту цилиндра наибольшего объема, вписанного
в шар радиуса R.
Найти высоту конуса наибольшего объема, вписанного в шар
радиуса R.
В конус с заданным объемом V вписана пирамида, в основа-
нии которой лежит равнобедренный треугольник с углом
при вершине, равным а. При каком значении а объем пира-
миды будет наибольшим?
336
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения
равен р, выбран цилиндр наибольшего объема. Найти этот
объем.
Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы
радиуса R, найти цилиндр наибольшего объема.
Консервная жестяная банка заданного объема должна иметь
форму цилиндра. При каком соотношении между диаметром
основания и высотой расход жести будет наименьшим?
Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны
в сферу радиуса R, выбрана призма наибольшего объема.
Найти высоту этой призмы.
Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основа-
ния R и высотой Н, найти цилиндр наибольшего объема.
Найти экстремумы функции:
1) f (х) = Xs + Зх2 - 9х + 4;	2) /(х) = х4 - 2х5 + 5.
Исследовать с помощью производной функцию
у = х3 - Зх + 2 и построить ее график. Найти точки, в кото-
рых касательные к графику параллельны оси Ох.
Исследовать с помощью производной функцию
у = х3 - 5х2 - х + 5 и построить ее график. Записать уравне-
ние касательной к графику этой функции в точке с абсцис-
сой, равной 4.
Исследовать функцию у = f (х) и построить ее график
(1350—1352).
1)	f (х) = 4х3 + 6х2;	2)	f (х) = Зх2 - 2х3;
3)	f (*) = - х3 -х; 3	4)	f (х) = х4-—х2. 2
1)	X4	9 у =	+ х2; 4	2)	у = х4 - 2х2 - 3.
1)	у = - х3 - х2 -Зх + 9; У 3		2) у = -х4 + 6х2 - 9;
	Х2+1		х2 + 2
3)	у	; X		4) У=~	• 2х
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1353—1357).
1)	У = >/х-1, у = 3 - х, у = 0;	2) у = у = х2, у = *-.
х	8
1)	у = 4х - х2, у = 5, х = 0, х = 3;
2)	у = х2 - 2х + 8, у = 6, х =-1, х = 3;
3)	у = sin х, у = 0, х = х = л;
4)	у = cos х, z/ = 0, х = ", х = ~-
337
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1) у - у/х, у = 2, х - 9;	2) у = х2 + 3, у - х + 5.
1) у = 9 - х2, у = (х - I)2 - 4;	2) у = х2, у =Чх.
1) у = cos х, х = -, у = 0;	2) у = 3х, х = -1, х = 1, у = 0.
4
7. Производная и интеграл
Найти значение производной функции f (х) в точке х0:
1) f (х) = х3-~ + х, x0 = i;	2) f(x)=^, х0 = 1;
2	3	х
3) /(х) = х’3--|- + 3х, х0 = 3;	4) у = ^-^-, х0 = ~.
х	sin х 4
Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно 0:
1) f (*) = sin 2х - х;	2) f (х) - cos 2х + 2х;
3) /(х) = (2х - I)3;	4) f (х) = (1 - Зх)5.
Показать, что f (1) = f (0), если f (х) = (2х - 3) (Зх2 + 1).
Найти значения х, при которых значения производной
функции /(х) = х3 - 1,5х2 - 18х + -/з отрицательны.
Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 360 м/с.
Найти скорость пули в момент t = 10 с и определить, сколь-
ко времени пуля поднимается вверх. Уравнение движения
пули h = vot - 4,9Z2.
Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорцио-
нален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом
за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после
начала вращения.
Найти производную функции (1364—1366).
х5 - Зх3 + 2х2 - х + 3
Зх2 - 2х + 1.
1) г/=(2х + 1)2 Vx-1;
3) у = sin 2х cos Зх;
2х2 - Зх + 1
2) у =----------.
2х+ 1
2) у = х2 V(x + 1)2 ;
4) у - х cos 2х.
Найти значения х, для которых производная функции
f(x) = (х - 1) (х - 2) (х - 3) равна -1.
Определить знак числа /'(2), если:
1) f (х) = е3 2х • х2;
2) Их)-
338
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
ТТ .1.	» , ч l+sin2x „	(п
Дана функция f (х) =-------. Наити f(O), f —
1 - sin 2 х	\ 6
Найти значения х, при которых f (х) < g' (х), если
f (х) = х3 + х2 + х л/З, g (х) = х 7з + 1.
Для функции f (х) = cos 4х найти первообразную F (х), если
ff-^K-1.
< 24 J
Найти первообразную функции:
1)
Вычислить интеграл
9
J а/х - ldx;
2
1)
2)
2)	у = —^—.
У 4х-1
(1373—1374).
Л
4
j (2 cos2 х - l)dx;
Л
6
f х2 + 3
------dx.
J х-2
з
1)
2)
4)
2
2
j (х2 -6х + 8)dx;
з
j cos xdx;
Л
6
3)
j (х2 + 2х + 3)dx;
- 2
з
5) | (х2 + l)dx;
—^—dx.
5 - 4х
8.	Задания, предлагавшиеся на выпускных экзаменах
1)
Гуманитарные классы
Решить уравнение cos | Зх — — ] = — и указать любой его
V 4) 2
положительный корень.
2)	Решить неравенство log2 (3 - 2х) < -1.
3)	Найти все числа а, для которых выполняется условие
а2
4  23а =0,25 2 .
4)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у = х (4 - х) и осью абсцисс.
Г 9	1
5)	Найти область определения функции у = 4-----ь----.
V х+1 х- 3
6)	При каком значении а наибольшее значение функции
у = х3 - Зх + а на отрезке [-2; 0] равно 5?
1)	Решить уравнение sin2 х - 4 sin х - 5 = 0.
339
2)	Найти наибольшее значение функции f (х) = Зх2 (1 - х)
на отрезке [0; 1].
3)	Решить уравнение lg х - 1g 3 - 1g (Зх - 8).
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = (х - З)2
и у = 9.
( 1
_	(х-5) 21’1 +0,2 I „
5)	Решить неравенство -------—---------- С 0.
6)	При каких значениях а графики функций у = х2 - 4х + 2
и у = -2х + а имеют общие точки?
Общеобразовательные классы
1377 1) Решить неравенство 2log0,7 (1 + 2х) > 4.
2)	Составить уравнение касательной к графику функции
f (х) = х2 - х3, проходящей через точку графика с абсцис-
сой х0 = -1.
3)	Решить уравнение д/х4 - Зх -1 = х2 - 1.
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4~х
и и = — х.
2
5)	При каких значениях а функция у = х3 - Зах2 + 27х - 5
имеет единственную стационарную точку?
6)	Решить уравнение sin х = х2 - 4х + 5.
1378 1) Найти значение выражения V36log®5 -5logs9 .
X
2) Найти все точки графика функции f (х) = е3 , в кото-
рых касательная к этому графику проходит через начало
координат.
3) Решить систему уравнений
<	А	( з	А
cos — + х + sin — л - у = 1,
 V2	)	\2	)
4)	Решить неравенство (3 - х) log3 (х + 5) < 0.
6
5)	Вычислить интеграл | л/36 - х2 dx.
6
6)	Решить уравнение cos V2 -х2 = —.
340
Профильные классы
1379 1) Решить уравнение cos xcos Зх = -0,5.
2)	Решить неравенство log4 х2 + log2 (-х) > 6.
3)	Решить систему уравнений
9* 	=9,
7?-Vx = i.
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у = 9х - х3 и касательной к этому графику в его точке
с абсциссой 3.
5)	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2 - 3 sin х + 4 cos х на отрезке	.
6)	Сравнить без таблиц и микрокалькулятора числа log3 4
и V2.
1380 1) Решить уравнение cos 4х + 3 sin2 х = 0,25.
2)	Найти производную функции у = log3j. + 4 (7х - 4) в точ-
ке х = 2.
3)	Найти площадь криволинейной трапеции, ограничен-
ной графиком функции у = 2 cos Зх - 5 sin 2х + 10, осью
Зтс 5 л
абсцисс и прямыми х = -—, х = —.
4)	Найти множество значений функции у = убх - 7 -2х.
5)	Решить неравенство 91х'ч-6 -Зх>11и указать наимень-
шее натуральное число, ему удовлетворяющее.
6)	На прямой у = 6х - 9 найти все такие точки, что через
каждую из них проходят ровно 2 касательные к графику
функции у = х2 и угол между этими касательными равен -.
Задачи
для внеклассной работы
1.	Разные задачи
Решить уравнение (1381—1387).
1381 1) х2 —6х + 9 4- 7254- 10x4- х2 =8;
2)	д/х2 4-4х 4-4-д/х2-6х 4-9 =6;
3)	^(8-х)2 -®/(8-х)(27 + х) + ^/(27 4-х)2 = 7;
4)	^8 - х 4-1/89 4- х = 5.
1382 1) 16sin 2х + 16 cos2 х = 10;
2)	(v3 + Vs)X 4- (73-Vs)X = 34.
1383 1) x3 - Зх2 4- x = 3;	2) x3 - Зх2 - 4x 4- 12 = 0;
3)	x5 4- x4 - 6x3 - 14x2 - llx - 3 = 0;
4)	x4 - Зх3 - 2x2 - 6x - 8 = 0.
1384 1) tg x 4- ctg x = 2 ctg 4x;
ox sin 4 x f-
2)		----- = л/2 (sin. x 4- cos x).
- f	л
sin x —
k	4
____ ,. sin 3x cos Зх о	~	„	>
1385 1) --------4- —----= —------;	2) tg 2x 4- ctg x = 8 cos2 x.
cos 2 x sin 2 x sin 3 x
1386
sin x sin 3x
342
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
log2 (4 cos x + 3) log6 (4 cos x + 3) = log2 (4 cos x + 3) +
+ log6 (4 cos x + 3).
Пересекает ли график функции у = х3 - 6х2 + Их - 6 ось Ох
в точках, абсциссы которых являются целыми числами?
Уравнение 2х3 + тх2 + пх + 12 = 0 имеет корни xr = 1,
х2 = -2. Найти третий корень этого уравнения.
Решить систему уравнений и установить, при каких значе-
ниях параметров а и b она имеет решение:
1) log, x + logx у = |,	2 (х2 + у2 = а2,
[х + у=а + а2-,	[\ogbx + logby = 2.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
а2 -2 д/з|а| у + х2 + 2ху - у2 -2 = 0,
х2 + у2 -2у - cos (х</) + 11-6а + а2 = 0.
Решить систему уравнений (1392—1394).
1)
42 sin х = sin у,
4% cos х = -УЗ cos у;
о	*9	1
cos^ пх - sin"5 пу = -;
cos х sin у = -,
2
sin 2х + sin 2у - 0.
6 sin х cos у + 2 cos х sin у = -3,
5 sin х cos у - 3 cos x sin у = 1.
S'og* 2 = у ,
2 lo81 3 — x log 7 X _
Решить неравенство (1395—1399).
1) x ig2 x з ig x +1 > 1000.	2) 3lg x + 2 < 3lg *2 + 5 - 2.
log|2x . 2| (1 - 9х) < log;2x + 2| (1 + 3х) + log 2x 12	+ 3х-* 1 ).
x3 + x2 -4x - 4
x3 + 6x2 + 5x - 12
1) V2x-7 < 76x + 13;	2) 73-x < V3x-5.
343
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
Зх3-22х2 + 40х
-------------> Зх -10.
х - 4
При всех а решить неравенство | х - эа | < 4а - 3 и указать
все значения а, при которых решения этого неравенства яв-
ляются решениями неравенства х2 - 4х - 5 < 0.
Построить график функции			(1401—1404).
1)	7 х2 у =	;	2) у = X	2 .	.31 и-3х+2-	4) и— 2х
		1-2х’	У 2х-3’	4) У 2—|х|
1)	2	2)	и * •	3) и - 1
	У (х-1)(х-3)’		У	’	У , cos х	In X
1)	у = log2 sin х;	2)	у = yfcos х;
3)	y = y]tg х;	4)	у = sin2 х.
1) 3)	у = arcsin х; .._ 1 .	2) 4)	у = arccos х; 1
	У — .	9 sin X		log2*
Доказать тождество log,, а  logc Ь logd с = logd а.
Вычислить:
1) cos (arcsin —'l;	2) sin f arccos	'P.
I 5 J	I I 13 J J
Доказать, что при -1 < x < 1 сумма arcsin x + arccos x рав-
на С, где C — постоянная. Найти С.
Найти все значения Ь, при каждом из которых функ-
ция /(х) = sin 2х - 8 (Ь + 2) cos х - (462 + 166 + 6) х явля-
ется убывающей на всей числовой прямой и при этом не
имеет стационарных точек.
Найти все значения х, при которых касательные к графи-
кам функций у = 3 cos 5х и у = 5 cos Зх + 2 в точках с
абсциссой х параллельны.
(	12 А
Через точку А 2;-----проведена касательная к параболе
\	5 )
у = -- х2, пересекающая ось абсцисс в точке В, а ось орди-
5
нат в точке С. Найти радиус окружности, вписанной в тре-
угольник ВОС (О — начало координат).
Через точку А (3; -4) проведена касательная I к гиперболе
12 тт -
у =---. Наити радиус окружности с центром на оси орди-
х
нат, касающейся прямой I и оси абсцисс.
344
1412 Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии
1 мили. Корабль А идет на юг, делая 3 мили в час, и в на-
стоящее время находится в 5 милях к западу от кораб-
ля В, который идет на запад со скоростью 4 мили в час.
Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приема
сигнала?
1413 Графику функции у = -х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат точ-
ки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Каса-
тельные к этому графику в точках А и В параллельны
между собой. Одна из этих касательных проходит через
точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти значе-
ния а, Ь, с.
1414 Графику функции у = х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат точки А
и В, симметричные относительно прямой х = -2. Касатель-
ные к этому графику в точках А и В параллельны между со-
бой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 1),
а другая — через точку (0; 5). Найти значения а, Ь, с.
1415 График функции у = х3 + ах2 + Ьх + с, с < 0, пересекает
ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки М и N
с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точ-
ке М, проходит через точку А. Найти а, Ь, с, если пло-
щадь треугольника AMN равна 1.
1416 График функции у = -х3 + ах2 + Ьх + с, с > 0, пересекает ось
ординат в точке D и имеет ровно две общие точки А и В
с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точ-
ке В, проходит через точку D. Найти а, Ь, с, если площадь
треугольника ABD равна 1.
1417 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
у = 0,5х2 - 2х + 2 и касательными к ней, проведенными че-
рез точки А ^1; и В (4; 2).
1418 Через точку графика функции у = Vx с абсциссой а, где
^<а<2, проведена касательная к этому графику. Найти
значение а, при котором площадь треугольника, ограничен-
ного этой касательной, осью Ох и прямой х = 3, будет наи-
меньшей, и вычислить эту наименьшую площадь.
1419 Дана фигура, ограниченная кривой у = sin х и прямыми
у = 0, х =	^0 < х < Под каким углом к оси Ох нужно
провести прямую через точку (0; 0), чтобы эта прямая разби-
вала данную фигуру на две фигуры равной площади?
345
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
2. Задания, предлагавшиеся на вступительных
экзаменах в вузы
Решить уравнение:
1) 7х + 3 - 72х -4 = 73х -2 ;
2)_1 +_i =л£.
1-vl-x 1 + vl-x vl-x
Найти все действительные корни уравнения
12 7х + 1-х| + |х-2 Тх + 2 | = 7.
Решить уравнение (1422—1426).
111
1)	9 • 4* + 5• 6* = 4 • 9х;
2)	log2 (х2 - 3) - log2 (6х - 10) + 1 = 0;
3)	2 log, х - 2 log2	= 3 Jlog2 x;
72
4)	logx (2x2 - 3x - 4) = 2.
1)1 + logx (5 - x) = log? 4 • logx 7;
2)	(log9 (7 - x) + 1) log3 _ ж 3 = 1.
1)	cos x + cos 2x + cos 3x = 0;
2)	cos3 x - 3 cos2 x + cos x + sin 2x - 2 cos | - + — | sin | — - — |;
<2 4J U 4j
3)	sin2 x + cos2 3x = 1;
4)	ctg x + sin 2x = ctg 3x.
1) sin x + cos x = 71 + tg x;
2) 7 5 sin 2x - 2 = sin x - cos x.
2 sin x i . . г(	д')
cos x - cos 3x3	\	4)
Найти все корни уравнения cos х + (1 + cos х) tg2 х - 1 = 0,
удовлетворяющие неравенству tg х > 0.
Найти все корни уравнения sin4 х + sin4 х +	= sin2
удовлетворяющие неравенству 1g (х - 72 х + 24) > 0.
Найти наибольший на интервале ; — корень уравнения
1 6 2 J
cos 5х + — + 2 sin х cos 2х = 0.
I 2)
Найти все значения а, при которых уравнение
sin8 х + cos8 х = а имеет корни, и решить это уравнение.
346
Решить систему уравнений (1431—1433).
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1)
х-Зу = -5,
х _2у = 23.
Зу х 6
2)
х+ У X-у = 10
х - у х + у 3
х* 2 * + у2 = 5.
1бх-2 -3^ = 2,
1 6Х-3* = 12;
7-2х + 6у = 2,
3-2х + 1-5у = 93.
[ 27 • 32х ~ + З*2 = 4 V3,
[lg(y-4x) = 2 1g (2 + 2х — г/) — 1g у,
[lg (х + 4у) = 2 1g (2 -x-2y)-lg х.
При каких значениях а система уравнений
(log3(У-3)-2 log9 х =0,
[(х + а)2-2у-5а=0
имеет хотя бы одно решение?
Решить неравенство:
1) 2xz_3 >1;	2)
4-х х
2 х + 5 > 1
Найти все значения
всех значениях х неравенство:
,. 8х2 -4х + 3	„ч Зх2-4х+8
1) ---------<а;	2) -----------
4х2-2х+1	9х2-12х+16
а, при которых является верным при
а.
Решить неравенство (1437—1440).
Z X? - 5х +6
1) -	<1;	2) 5х - 3х * 1 > 2 (5х ~ 1 - 3х 2).
\5 У
1) log j (1 + х-д/х2-4 <0;
2
2) -----1---------------1---<0.
log5(3-2x) 4-log5(3-2x)
i) log'|2x * 1| xZ > 2>	2) loSx2 |3x + l|< j.
7 - 3 x + y/x2 + 3 x - 4
x - 3
Найти все значения а, при которых неравенство
logj (х2 + ах + 1) < 1
2
выполняется для всех х из промежутка х < 0.
347
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450
1451
В какой точке графика функции у = (х - I)2, 0 < х < 1,
нужно провести касательную к графику, чтобы площадь
треугольника, ограниченного этой касательной и осями ко-
ординат, была наименьшей?
На параболе у = 2х2 - Зх + 8 найти точки, касательные в ко-
торых проходят через начало координат.
При каком значении k площадь фигуры, заключенной меж-
ду параболой у = х2 + 2х - 3 и прямой у = kx + 1, наимень-
шая?
Парабола у = х2 + рх + q пересекает прямую у = 2х - 3 в точ-
ке с абсциссой 1. При каких значениях р и q расстояние от
вершины параболы до оси Ох является наименьшим? Найти
это расстояние.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4х - х2
и касательными к ней, проходящими через точку М 6^.
Найти все значения х, при которых функция у - 6 cos2 х +
+ 6 sin х-2 принимает наибольшее значение.
Найти все значения а, при которых наименьшее значе-
ние функции у = х2 + (а + 4) х + 2а + 3 на отрезке [0; 2]
равно -4.
Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее
значение квадратичной функции у - 4х2 - 4ах + а2 - 2а + 2
на отрезке [0; 2] равно 3.
Найти все значения параметра а, при которых вершины
двух парабол у - 4х2 + 8ах - 9 и у = 4ах2 - 8х + а - 2
лежат по одну сторону от прямой у - -5.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 cos4 х + sin2 х
// =---л-------
2 sin х + 3 cos х
Краткие теоретические сведения
по курсу алгебры
и начал анализа
Арксинус, арккосинус и арктангенс числа.
Арксинус числа а, -1 < а < 1 (обозначается arcsin а),— такое
число а, -—, синус которого равен а; arcsin (-а) = -arcsin а.
2	2
• Например, arcsin — = —, arcsin f --''l = -arcsin - =	.
24	I 2)	26
Арккосинус числа a, -1 < a < 1 (обозначается arccos a),—
такое число a, 0 < a < л, косинус которого равен a; arccos (-a) =
= л - arccos a.
Например, arccos — = —, arccos f -- ) - л - arccos - = —.
26	<2?	23
Арктангенс числа a, a e R (обозначается arctg a),— такое чис-
ло a, ~ < a < ^, тангенс которого равен a; arctg (-a) = -arctg a.
Например, arctg -/З = ^, arctg (-1) = -arctg 1 = --j.
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений:
sin х = а, | а | < 1;	х =	(-1)" arcsin а + лп, п е Z;
cos х = а, | а | < 1;	х =	±arccos а + 2лп, п е Z;
tg х = а, а е й;	х =	arctg а + пп, п е Z.
Интеграл от функции у = f (х) на отрезке [а; Ь] (обозначается
ъ
| f (x)dx) — предел интегральных сумм f (cj Ах, + f (c2) Ax2 + ... +
a
+ f (c„) Дхп при условии, что длина наибольшего из отрезков [хА _ х; хА]
349
стремится к нулю. Здесь а=х0<х1<...<хп_1<хп = Ъ,
^xk = xk-xk-v cnElxk-vxkl
Формула Ньютона — Лейбница'.
ь
j f (x)dx = F (b) -F (а),
a
где F (x) — первообразная функции f(x) на отрезке [а; Ь].
Площадь криволинейной трапеции с основанием [а; Ь], ограни-
ченной сверху графиком функции f (х), принимающей положи-
тельные значения, равна
ь
S =| f (x)dx.
а
Логарифм положительного числа х по основанию а, а > 0, а * 1
(обозначается loga х),— показатель степени, в которую надо возве-
сти число а, чтобы получить х, т. е. alog“ х = х.
Например, log, 27 = 3, logj-=2, log3i=-2, 3log34 = 4.
2 4	9
Свойства логарифмов (а > 0, а * 1, х > 0, хг > 0, х2 > О,
р е R):
1.	10ga (XjX2) = 10ge Xj + logo x2.
2.	loga — =loga Xi - loga x2.
X2
3.	loga xp = p loga x.
4.	Если loga Xj = loga x2, a >0, o* 1, to Xj = x2.
Десятичный логарифм числа — логарифм этого числа по осно-
ванию 10, обозначается 1g а.
Натуральный логарифм числа — логарифм этого числа по осно-
ванию е, обозначается In а.
Число е — иррациональное число, е « 2,718.
Формула перехода от одного основания логарифма к другому:
Например, log3 5 = —— , log5 6 = —-.
lg 3	In о
Логарифмическая функция — функция
у = loga х, где а > 0, а * 1.
Свойства логарифмической функции:
1.	Область определения — множество всех положительных чи-
сел.
2.	Множество значений — множество R всех действительных
чисел.
350
3.	Возрастающая, если а > 1; убывающая, если 0 < а <1.
4.	Принимает положительные значения при х > 1, отрица-
тельные — при 0 < х < 1, если а > 1; положительные — при
О < х < 1, отрицательные — при х > 1, если 0 < а < 1.
Нечетная функция — функция f (г), обладающая свойством
f (-х) = -f (х) для каждого х из области ее определения.
Например, f (х) = х3, f (х) = sin х — нечетные функции.
Обратная функция к функции у = f (х) — функция у = g (х),
которая получается при решении уравнения f (х) = у относитель-
но х и заменой х на у и у на х.
X I 1
Например, у = 2х - 1 обратная к функции у =----; логариф-
2
мическая функция у = loga х является обратной к показательной
функции у = ах. Графики взаимно обратных функций у = f (х)
и у = g (х) симметричны относительно прямой у = х.
Первообразная функции f (х) на промежутке — такая функция
F (х), что F' (х) = f (х) на этом промежутке.
Если F (х) — первообразная функции f (х), то все первообраз-
ные можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная посто-
янная.
Правила нахождения первообразных:
Если F (х) и G (х) — первообразные функций f (х) и g (х) соот-
ветственно, то:
 1) F (х) + G (х) — первообразная функции / (х) + g (х);
2) aF (х) — первообразная функции af (х).
Первообразные некоторых функций:
Функция	Первообразная
хр, р * -1	~— + с р+1
А, X > 0 X	In х + С
ех	ех + С
sin х	-cos х + С
cos X	sin х + С
Периодическая функция — функция f (х), обладающая свой-
ством f (х - Т) = f (х) = f (х + Т) для каждого х из области ее оп-
ределения и для некоторого Т 0. Число Т называют периодом
этой функции.
Например, f (х) = sin х — периодическая функция с наимень-
шим положительным периодом, равным 2л.
351
Показательная функция — функция у = ах, где а > 0,. а =£ 1.
Свойства показательной функции:
1.	Область определения — множество R всех действительных
чисел.
2.	Множество значений — множество всех положительных чисел.
3.	Возрастающая, если а > 1; убывающая, если 0 < а < 1.
Производная функции f(x) в точке х — предел разностного
отношения
f < х i- f (х+ h)- f (х)
f (x) = lim
h ->0
h
где с — постоянная; (х)' = 1; (х2)' = 2х;
( - I =—V’ г«е ** °-
\Х) X2
3. (ах)' = ах In а.
5. (logа х)' = —-—, х > 0, а > 0, а * 1.
х 1п а
7. (cos хУ = -sin х.
Дифференцирование — операция нахождения производной.
Правила дифференцирования:
1. (f (х) + g (х))' = f (х) + g' (х).
2.	(cf (х))' = cf (х).
3.	(/ (х) • g (х))' = f (х) • g (х) + f (х) • g' (х).
. f/(x)Y /'(x)g(x)-f(x)g'(x)
^g(x)J	g (x)
Производные некоторых функций:
1.	(xp)' = pxp ~
Например, (c)' = 0,
(Vx)' = —, где x > 0;
2 Vx
2.	(exy = ex.
4.	(In x)' = —, x > 0.
X
6. (sin x)' = cos x.
Геометрический смысл производной: f (x) есть угловой коэф-
фициент касательной к графику функции у = f (х) в точке (х; f (х)).
Уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке
(х0; f (х0)):
У = f (х0) + f (х0) (х - х0).
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же
множество корней.
Например, уравнения х2 - 5х + 6 = 0 и (х - 2) (х - 3) = 0 равно-
сильны; уравнения log2 х = Зи2х-16 = 0 равносильны.
Уравнение называется следствием данного уравнения, если
множество его корней содержит все корни данного уравнения.
Например, уравнение х2 + х - 6 = 0 является следствием урав-
нения -Уб - х = х.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое
из них является следствием другого.
352
Тригонометрические формулы.
Основное тригонометрическое тождество:
sin2 а + cos2 а = 1.
Зависимость между
нусом:
тангенсом, котангенсом, синусом и коси-
tg а
tg а • ctg а = 1,
sin а
cos а
ctg а
cos а
sin а
Формулы сложения:
+ Р) = sin
- р) = sin
+ Р) = cos
- Р) = cos
sin (а
sin (а
cos (а
cos (а
а
а
а
а
cos
cos
cos
cos
tg а + tg p
+ cos
- cos
- sin
+ sin
sin р,
sin р,
sin р,
sin р,
tg (а +Р)
tg (а -р) =
1 - tg a tg p ’
tg а - tg p
1 + tg a tg p
Формулы двойного угла:
sin 2а = 2 sin а cos а,
cos 2а = cos2 а - sin2 a,
2 tg a
1 - tg2 a
Формулы преобразования суммы и разности синусов и косину-
сов в произведение:
sin а + sin Р = 2 sin - +-—
'	2
ct — В
sin а - sin р = 2 sin---
н	2
а + Р
tg 2а =
cos а + cos р = 2 cos
cos а - cos р = - 2 sin
cos —— -,
2
а - р
cos — — ,
2
а - р
sin------
2	2
Формулы приведения получают по следующим правилам:
1.	В правой части формулы ставится тот знак, который имеет
левая часть при условии 0 < а < —.
2
2.	Если в левой части формулы угол равен ± а или ± а,
то синус заменяется на косинус, тангенс — на котангенс и наобо-
рот. Если угол равен к ± а, то замены не происходит.
( Зя А
Например, sin — ± a = -cos a, cos (л - a) = -cos a.
12 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
353
Р
Р
Р
а
а
а
а - В
cos------ ,
2
Тригонометрические функции — функции
у = sin X, у - COS X, у = tg X, у = ctg X.
Свойства тригонометрических функций.
Функция у = sin х.
1.	Область определения — множество R всех действительных
чисел.
2.	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3.	Периодическая, наименьший положительный период равен
2л, т. е. sin (х + 2л) = sin х.
4.
5.
п е Z;
убывающая на промежутках
Нечетная: sin (-х) = -sin х.
Наибольшее значение, равное 1, принимает при х - — + 2лп,
наименьшее значение, равное -1, принимает при
х = - — + 2кп, п е Z; значение, равное нулю, принимает при
2
х - ли, п е Z; положительные значения — на интервалах
(2лп; л + 2лп), п е Z; отрицательные значения — на интервалах
(—л + 2пп; 2ли), п е Z.
6.	Возрастающая на промежутках -^ + 2лп;^ + 2лп , п е Z;
— + 2 пп; — + 2 пп , п е Z.
_2	2
Функция у = COS X
1.	Область определения — множество R всех действительных
чисел.
2.	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3.	Периодическая, наименьший положительный период ра-
вен 2л.
4.	Четная: cos (-х) = cos х.
5.	Наибольшее значение, равное 1, принимает при х = 2лп,
п е Z; наименьшее значение, равное -1, принимает при х -
= л + 2лп, п е Z; значение, равное нулю, принимает при х = -^ + лп,
п е Z; положительные значения — на интервалах ^--^- + 2лп;
^- + 2лп^, п е Z; отрицательные значения — на интервалах
Г- + 2лп; —+ 2лп\ п е Z.
<2	2	)
6.	Возрастающая на промежутках [-л + 2лп; 2лп], п е Z; убы-
вающая на промежутках [2лп; л + 2лп], п е Z.
354
Функция у = tg X
1.	Область определения — множество всех действительных чи-
сел, кроме + nfe, k е Z.
2.	Множество значений — множество R всех действительных
чисел.
3.	Периодическая, наименьший положительный период ра-
вен л.
4.	Нечетная: tg (-г) = -tg х.
5.	Значение, равное нулю, принимает при х = пп, п е Z; поло-
( \
жительные значения — на интервалах , яп; — + яп , п е Z; отри-
цательные значения — на интервалах + г-п’ п е Z.
6.	Возрастающая на интервалах +	| + п e Z.
Четная функция — функция f (х), обладающая свойством
/ (—х) = f (х) для каждого х из области ее определения.
Например, f (х) = х2, f (х) = cos х — четные функции.
Экстремум функции.
Возрастание и убывание функции. Если f'(x) > 0 на промежут-
ке, то функция f (х) возрастает на этом промежутке. Если f (х) < О
на промежутке, то функция f (х) убывает на этом промежутке.
'	Точка максимума функции f (х) — точка х0, такая, что для
всех х ф х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется нера-
венство f (х) < f (х0).
Точка минимума функции f (х) — точка х0, такая, что для всех
х * х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство
f(x) > (х0).
Точка экстремума функции — точка максимума или мини-
мума.
Стационарная точка функции — точка, в которой производ-
ная функции равна нулю.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Если диффе-
ренцируемая в точке х0 функция f (х) имеет в этой точке экстре-
мум, то /' (х0) = 0.
Достаточное условие экстремума. Если при переходе через
стационарную точку х0 производная функция меняет знак с «+»
на «-», то х0 — точка максимума этой функции, если производная
меняет знак с «-» на «+», то х0 — точка минимума.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функ-
ции на отрезке нужно найти значения этой функции в точках экст-
ремума и в концах отрезка, а затем выбрать из них наибольшее
и наименьшее.
355
Ответы и указания
1. 2) 0,(72); 4) -0,75; 6) 0,(13). 2. 2) 1,(282051); 4) 0,49(6); 6) 1,3(2).
3. 2) 1-; 4) -^; 6) -2^. 4. 1) 4; 2) 4^. 5. 2) 5,8. 8. 2) |х| = -х;
9	9	990	4
3) |х| = х. 9. 2) Иррациональное; 4) рациональное; 6) иррациональное.
10. 2) 10; 4)	11. 2) Тп-Тм >Л0-,/ЗЛ. 12. 2) 3; 3) 2+Тз.
3
9
13. 2) Да. 14. 2) 341. 16. 2) Да; 4) да. 17. 2) 0; 4) -2. 18. 2) 1,5; 4)
о
19. 2) -311. 20. 2) |; 4)	21.	2) Нет; 4) да. 22. 2) 2^3 (2+7з).
23. 2) 9 = |. 24. 1) -1; 2) 9; 3) 1. 25. 2а. 26. Rrl = ——--R}. 28. 2) 2;
4) 15. 29. 2) 81; 4) —. 30. 2) -1; 4) -4; 6) -8. 31. 2) х = -±;
81	2
4) х1 = -2, х2 = 2. 32. 2) 5; 4) -11; 5)	33. 2) 48; 3) 20. 34. 2) 33;
4) 7.	35. 2) 0,2;	4) 2.	36. 2) 50;	4) 16.	37. 2) a2fc3; 4) Л3.
38. 2) 3at>; 4) -. 39. 2)	4)	40. 2) -; 4) 2; 6) 4. 41. 2) Зх;
Ь	3	2	5
4) 2—. 42. 2) -; 4) i. 43. 2) 4 V2; 4) 5. 44. 2) у2; 4) aV; 6) За.
а	3	4
45. 2) х >-3; 4) |<х<2. 46. 2) 2. 47. 2) 6; 4) j; 6) 4. 48. 2) ab2c.
49. 2) Зх; 3) 0; 4) а - 1. 50. 2) 7; 3) 1. 51. 2) (3 - х)3 при х < 3,
(х-З)3 при х > 3; 4) -Зх - 5. 52. 2) 77+V15 <78 + 728. 54.3) 1.
57. 2) 3; 4) 27; 6)
58.
27
2) 5; 4) |; 5) |.
59. 2) 49; 4) 125. 60. 2) 121;
4) 150. 61. 2) 3;
1 1 ( 1
4) Зх2 у2 (4х2 - у2 I.
4)
2,7.
62. 2) Ь; 4) а;
64. 2) ч/3-1
6) у 4 * 6. 63. 2) а3 Id3 + с3);
356
(	1 1Y 1 —ГI iY - 1
6) fo.lm12 - n12 Jfo,lm12 + n12J. 65. 2) fx2 - </2J\x + x2 y2 + j/J; 4)
f 2	1 1 1Л	11
x k9a3 - За3c6 + c3J. 66. 1) a4 - b4 ;	3) Vc-1.	67. 3c.
( - A
fia3 + c6Jx
68. 2) 1;
4)	69. 2) 3; 3) i;
10	0
/ i \v3 / , >V2
;4)
72. 2)
4) -Щ. 70. 2) 9; 4) 8. 71. 2) 18; 4) 0,75.
2'/3>21’7;6) flT<f-Y’1 .73. 2) (0,013)-1 > 1;
4) 271’5 > 1; 6)
2) V5<V7.
1 1
76. 2) 9-—;	4) 10—.	77. 2) a2b. 78. 2) 1;	4) as b2.	79. 2) 3.
80.	2) ft2 ; 4) a + b. 81. 2) —; 4) 2 4b. 82. 2) y; 4) 4a"1 - i i,’2 .
3V^ + 3a/6	9
-	1	з 4i
83. 2) m2; 4) a-2. 84. 2) x = —; 4) x = 2я. 85. 2) x =---------; 4) x = 1.
2	8
__	2 3r-
86. 2) Vf>< V7; 4) V13 > 5V23. 87. 2) 2y, 4) 23Vb. 88. 2) 234b; 4) =-^-.
a+b
( 1 А з
89. 2) 2l.a2 - b2J ; 3)	. 90. 5306 p. 4 к. 91. 2158 p. 70 к. 92. 2) 2.
x+ 1
93. 2) 2—; 4)	94. 1) 1; 0,01;	37—; —; —; 3) 2; 9; 10; 4;
•	90	99	2	27 36 81
1; —. 95. 2) 64; 10; 5; 2; 3) —; 1; 111. 96. 2) 15; 4) 1000;
8	16	25	7	9
1	i	i
6)	97. 2) |; 4) |; 6) 4. 98. 2) 98°; 325; f|1 . 99. 2) f-M 4 <
ZOu	2	4	\ t J	\ U 7
-1	/ . . --/s Z19\-V5	3
<(0,41) 4; 4)	>1 3 J ’ 10°’ 2) a~1; 4) “7‘ 10L 2) a'
I/ i 1if i i A^
102.	2) 5. 11-li	>5 i4-i 4 1	103. 2) x = 3; 4) x = 2; 5) x =-2.
Vk 4 5J К 6 7j
104.	2) a5 + b5. 105. 2) 41^4. Ю7. 2)	108. —. 109. 10.
a-b	24750	2
110.	a = 2-41, a < 0. 111. 2) a < fe; 4) a < b. 112. 2) 5 ^~5	4)
15	3
11(3V9 -34в + SJ4) 3I- 31-	,1—	x+y
6) —----------8) V3-4/2. 113. 2) 7. 114. 2) 2 3J^; 4) —=.
5	jxy
115. 2)(3V^-Vft)2; 4) a2 + b2. 116. 2) 1. 117. 2) a-1; 3) 1. 122. 2) 0,2°’3 > 1;
z-~ 0.2
4) л/З >1. 123. 2) Выше при x > 1, ниже при 0 < х < 1. 124. 2) Выше
при 0 < х < 1, ниже при х > 1. 125. 2) f— | <f—j ; 4) 2,5 3,1 >
357
3	3
>2,6-3,1; 6) f — ?<f—?; 8) (2'Тб)-°’2 >(63V2)-°'2; 126. 2) у = x4:
<157	<167
область определения — х е R, множество значений — все числа у > 0;
1
у = х4 : область определения — все числа х > 0, множество значений — все
числа г/ > 0; 4) у = х5: область определения — х е R, множество значе-
ний — у е R; у = х-5: область определения — х ф 0, множество значе-
ний — у * 0. 127. 2) Выше при 0 < х < 1, ниже при х > 1. 128. 2) х > 0,
у > -1; 4) х > -1, у > 0; 5) х 2, у > 0; 6) х > 0, у > О. 129. 2) х е R,
у > 0, возрастает при х > 0, убывает при х < 0; 4) х е R, у > -2, возраста-
ет при х > 0, убывает при х < 0; 5) х е R, у > 0, возрастает при х > -2,
убывает при х < -2; 6) х * 0, у ф 0, убывает при х > 0, возрастает при
х < 0. 130. 2) (0; 0), (1; 1). 132. 2) у = ^^-, 4) у=Л^±± 6) у=ух- 3.
5	3
133. 2) Все действительные числа; 4) все действительные числа; 6) х * 0,
у * 4. 135. 2) Нет; 4) да. 136. 2) у - -Vx5 ; 4) у = -х3. 137. 2) Все дейст-
вительные числа; 4) у = (х - I)2, х > 1, у > 0, у = -J~x +1: х > 0, г/ > 1;
6) у = (х - I)3: все действительные числа; у = лГх 1: все действительные
числа; 8) у = -Jx +1: х > 0, у > 1; у = (х - I)2: х > 1, у > 0. 138. 2) Нет
корней; 4) нет корней. 139. 2) Равносильны; 4) не равносильны; б) рав-
носильны. 140. 2) Равносильны; 4) не равносильны. 141. 2) Первое.
142. 2) Нет корней; 4) х = 4. 143. 2) 3,5 < х < 5. 144. 2) Равносильны.
145. 2) Равносильны; 4) равносильны. 146. 2) Оба. 147. х = 3. 148. 2) х = 6.
149. 2) -2 < х < 1, х > 2. 150. 1) хх =	-1, х2	= 2,	х3 = 4; 2) х4	= -1,
х2 =1, х3 = 2; 3) xt = -4, х2 = -3, х3 =	-2, х4	= 1;	4) Xj = -2, х2	= -1,
х3 = 3. 152. 2) х = 27; 3) х = 5. 153. 2) х =-7; 3) х1 = 3, *2 = -|-
154. 2) х = 5; 4) х, = -3, х2 = 4. 155. 2)	х = 4;	4) х	= -1. 156. 2) х = 5;
4) хх = -3, х2 = 1. 157. 2) Xj = -1, х2 = 0,	х3 = 1.	158.	2) х = -3; 4) х	= 18.
159. 1) х =-4; 2) х = 5. 160. 2) х = 10; 4) x12=+V17, x34=±V2.
161. 2) х, = -1, х2 = -3. 162.
х2 3 = ±2; 2) Xj =0, х2 = 2;
164. 1) х = -- (1 + д/4а2 + 9) при
2
+ ^а2-2а + 2 при а > 1, нет
2)	Два; 4) один, х = 1. 163. 1) Xj = 0,
3) X] = -4; х2 = 1; 4) хг = -6, х2 = 1.
а > 0, нет корней при а < 0; 2) х = -1 +
корней при а < 1. 165. 1) 1 < х < 1,5;
3)	х < -5. 166. 2) 0 < х < 9; 4) х < 13,5; 6) 0 < х < 2. 167. 2) 2 < х < 3;
4)	х < -5; 6) х>--; 8) -- < х С . 168. 2) -1 < х < 1; 4) -5 < х < -3,
9	4	16
3 < х < 5. 169. 2) -1 < х < 2; 4) х < -1, х > 2; 6) 0 < х < 4. 170. 2) х > -1;
4)	- 7 х<6; 6) 2 < х < 3. 171. 1) х 2) -3 < х < 6. 174. 1) 1 < х < а2 + 1
з	7з
при а > 0, нет решений при а < 0; 2)	(2 1 д/2 ) < х < 0. 177. 2)	’
2	2	2	2
(V2)\ (1,9)п,	4) г. 3, (V2) 3, (1,3) 3, (0,5) 3. 178. 2) х] = -1, х2 = 1.
358
179. 2) -72 <х< 72; 4) х < -1, х > 2. 180. 2) у = - + 3, х * 0, у * 3;
х
3 I-
4) у = Vx+1, все действительные числа. 182. 2) Являются; 3) являются.
183. 2) х = 21; 4) х± = х2 =	6) х1 2 = ±8. 185. 2) Являются; 4) не яв-
ляются. 186. 2) у = х2 - 4х, х < 2, у > -4; 4) у = 6х - х2 - 8, х > 3, у < 1.
187. 2) х = 1; 4) х = 0. 188. 2) х = 259; 4) х1>2 =	5) х=- —;
2	5
6) 2 < х < 7. 189. 2) х < 0; 4)х>-|. 190. 1) 6 < х < 8; 2) х <-4,
< х < |; 3) 1 < х < 6; 4) -6 < х < 3. 191. 1) Если а < 2, то решений нет;
а4 + 16а2 + 16	|а!	,
если а > 2, то 6 < х <----------; 2)	< х < \а при а * 0, нет кор-
4а2	V2
ней при а = 0. 196. 2) Больше 1; 4) больше 1. 197. 2) х = -1; 4) х = -2.
200. 2) х > 0; 4) х < -1. 206. 88,4 г, 22,1 г. 207. 4,87 • 105 м3. 208. 2) х = -;
3
4) х = --. 209. 2) х = -0,5; 4) х = 4. 210. 2) х = 2,5; 4) х = 9; 6) х = 0,4.
3
211. 2) х = 1; 4) х = 3. 212. 2) х = 0; 4) х = 0. 213. 2) Xj =0, х2 = 2;
4) х = 1. 214. 2)х1 = 2, х2 = 5; 4)х = -|. 215. 2) xt = 1, х2 = -3;
4) хх = 0,5, х2 = -3.	216. 2) х = 0,8;	4) х = -1.	217. 2) xt = 0,3,
х2 = -0,2; 4) х = 4. 218.	2)	у = 3; 4) х = 2.	219. 2) х =	3; 4) х	=	3.
22Q. 2) х = -1;	4) х = 1. 221.	2) х = 3; 4) х = |.	222. 2) х =	-3; 4) х	=	4.
223. 2) х =-1; 4) Xj = 1, х2 = -1; 6) х =-1. 224. х = 4. 225. 1) х =-3;
2) х = 2; 3) Xj	= 0, х2 = -;	4)	х = 3,25. 226. 1)	Xj = 0, х2 =	2; 2) хг	=	О,
х2 = 2. 228. 2)	х < 2; 4) х	< -0,5; 6) х > 3. 229. 2) х > 4; 4) -3 < х	<	3.
230. 2) х = 1; 4) х= 2. 231. 2)	4) -|<х<^. 232. 2) х > 1;
4) х < 1. 233. 2) х < 2, (-3; -2; -1; 0; 1); 4) х < -1, (-2; -3). 234. х > 0.
235. При х > -2. 238. 1) 0 < х < 3, -6 < х < 0; 2) 5 < х < 30.
239. 1) х < -1; 2) -2 < х < 1; 3) х < 0, х > 1; 4) -|<х<2. 240. 2) (0; -2),
(-1; -3); 4) (з|; -|j. 241. 2) f|; -lj. 242. 2) (1; 1). 243. 2) (3;-2);
4) (0; 1); 6) (0; 2). 244. 1) х = 1^; 2) х = |. 245. 1) (7; 3); 2) (3,5; 2).
3	5
246. 2) 2^>21’7; 4)	247. 2) Ij^^l; 4)	3>1-
249. 2)	0,04 < у	< 5. 250. 2) х =-2;	4) х,	= 3, х2	= -1.	251. 2)	х =	0;
4) х = 2.	252.	2)	х = 1;	4) х = 3.	253.	2)	х <	-1;	4) -2 <	х <	2.
256. а(1 + 0,01р)га ’.	258. 2) х = 24.	259. 2) х = 9;	4) х = 1.
260. 2)	х = 0; 4)	х = -0,5. 261. 2) -3 <	х	< 1;	4)	-1 <	х < 1.	262. 2)	(1;	1).
264. 2)	х = 4; 4)	х = 1. 265. 2) х < -3,	х	> 1;	4)	х<-1 |, х	> 4. 266. 1;	2;
О
359
3; 4; 0; -1; -2; -5; -; -1^; 2-. 267. 2) 6; 4) 0. 268. 2) -3; 4)
3	2	4	4
269. 2) 4; 4) 0. 270. 2) -1; 4) -i. 271. 2) -2; 4) 1; 6)	272. 2) 3;
4	3
4)	-3.	273.	2) -3; 4) -2. 274. 2) 16; 4) 6. 275.	2) 64; 4) 3. 276. 2) 144;
4)	1.	277.	2) г = 625, 4)	x = 25; 5)	x = 5,5.	278. 2) x < 7; 4) x>|;
6)	x <	0. 279. 2) -1,5; 4)	-1|. 280.	2) |; 4) 512; 6) 1|. 281. 2) 1;
4)	i;	5) 2.	282. 2) x = 7;	3) x = —.	283. 2)	x < -3, x > 2; 4) x e R.
6	8V5
284. 2) x > -2; 4) -2 < x < 0, x > 1. 285. 2) x = logy 2 4; 4) x = -(l-log7 2).
’	2
286. 2) x - log3 4; 4)	= -1, x2 = logj 2. 287. 1) Xj = 0, x2 = logj 5 3;
3
2) x = log06 2. 288. 1) |<x<l, x > 1; 2) 1 < x < 2, x > 2. 289. Если
a > 0, a = -1, to x = log3 а2; если a < 0, а * -1, to Xy = log3 a2, x2 = log3 (-a).
290. 2) 3; 4) 2. 291. 2) 2; 4) -3. 292. 2) -; 4) -1-. 293. 2) 1,5; 4) -4.
3	6
294. 2) 1,5; 4) -3. 295. 2) 11. 296. 2) 1-; 4) 0. 297. 2) x = —; 4) x = Va • Уб7.
3	b3
298. 1) 3; 2) 16^; 3) 475; 4) 22,5. 299. 2) 1. 300. 1) 2 (a + b - 1); 2) 2a + ±.
301. 2) 0,845; 4) -0,176. 302. 2) 0,693; 4) -0,154. 303. 2) 1,29; 4) -0,42.
10g7 6	о	j
304. 2) 1,3; 4) -15,42. 305. 2) ———; 4) ---------; 6) —±—. 306. 1) 25;
log7 10 log7 5 logy 3
2) -i. 307. 2) x = 8; 4) x = 3; 6) x = 2. 308. - + m. 309.^^.
2	2	m + n
310. 2 + m . 311. l-~/n. 312. 1) -2; 2) -3. 313. 2) x. = 9, x„ = 27; 4) x, = -,
l+2m	3	i 2	i 4
x2 = V2. 314. 2) 1. 315. 9 лет. 316. 3052 качания. 317. 2) 2,7182788;
4) 2,7182819. 318. 2) logy 9 >logy 17; 4) log2 — >log2 —.
3	3
319. 2) log3 0,45 < 0; 4) log0 5 9,6 < 0. 320. 2) x < 1; 3) x > 1. 325. 2) x>|;
4) x > 0,5. 326. 2) 0 < x < 0,16; 4) x > 0,16. 327. 2) x = 8; 4) x = 46;
6) x = -1,6. 328. 2) x > -1; 4) -2 < x < 2. 330. 2) Ig5+lg^<lg
4) lg lg lg 50 < lg3 50. 331. 2) -1 < x < 6; 4) x > 4; 6) x > 3. 332. 2) x > -1,
у e R;	4) x > 0, у e	R; 5) x	> 1,	у e R.	333. 2) x = 2; 4)	x «	2.
334. 1)	x > 0, у > 0;	убывает	при	0 < x <	1, возрастает при	х >	1,
2) х Ф 0, у е R, убывает при х < 0, возрастает при х > 0; 3) х * 3, у е R,
убывает при х < 3, возрастает при х > 3; 4) х > 0, у > 0, убывает при
0 < х <	2, возрастает	при х >	2. 335. 1) х	* 2, х * 3; 2) -1 <	х <	^.
336. 2)	Каждое из двух — следствие	другого; 3) второе. 337. 2)	х =	3;
360
4) х = V2. 338. 2) Корней нет; 3) х = 2. 339. 2) х = 5. 340. 2) Корней
нет. 341. 2) х = 1; 4) х, = 3, х2 = 5. 342. 2) (1; 9). 343. 2) xt 2 =+8;
4) х = 16; 6) х = 3. 344. 2) х = 3; 4) Xj = 4, х2 = -8. 345. 2)’ х = 9;
4) хг = 100, х2 = 1000. 346. 2) Да. 347. 2) (в;	348. 2) хг = 4, х2 = у2;
3) Xj = 3, х2 = 9; 4) х1 = 27, х2 = |. 349. 2) х = |. 350. 2) х =-4.
1
351. 1) Xj = V2, х2 = 3; 2) хг = ~, х2 = 2. 352. 1) х = 53; 2) х = 4.
j	a log5 “
353. а > 0, а*1, а*5 3, x = 531ogsa+1. 354. 2) х<|; 4) -2 < х < 2.
355. 2) х <-30; 4) 1 < х < 10; 6) х <-0,05. 356. 2) х > 25; 4) |<х<3.
357. 2) 2 < х < 3; 11 < х < 12. 358. 2) -~<х<1; 4) х> V2. 359. 2) х > 7;
3
4) решений нет. 360. 2) х < -1, х > 4; 4) х < -0,5, х > 3. 361. 2) х < 2,
х > 3; 4) -2 < х < -1, 6 < х « 7. 362. 2) -V2<x<--^=, -^—<х<42.
2 42 2 42
363. 2) х > 2. 364. 2) 0 < х < 0,1, х > 10 000. 365.
х > log3 2; 4) х<^, |<х<^. 366. -log3 2 <
Л О	Z
1	2
2) 1°&з ~<x<log3
Z	о
х < 0, log3 42 < х < 1.
367. 2 - log4 5 < х < 1. 368. 2) 4; 4) -3. 369. 2) -4; 4) 6. 370. 2) 1;
4) |. 371. 2) |; 4) 4. 372. 2) -2,2. 373. 2) 2,26; 4) -1,73. 375. 2) Воз-
растающая; 4) убывающая. 377. 2) х < 0, х > 2. 378.
1) х = |; 2) х = 2.
379. 2) Xj = 1, х2 = --|; 4) хх = 4, х2 = 8. 380. 2) х = -4; 4) х = 2.
381. 2) х < 4; 4) х < -1. 382. 2) Решений нет. 383. 2) х < -8, х > 1.
2 log 2 5 + log j 9
384. 2) -4,5; 4) 36; 6) 2. 385. 2	° >48. 386. 1,223. 387. 0,611.
388. 0 < х < 1. 390. 2) х = -^ log2 3; 4) x = — flogx 1,5 -б\ 6) x = log5 3.
3	4	J	'
v з J
391. 2) x = 27; 4) Xj = 27, x2 = 4L. 392. 2) x = -4; 4) Xj = 14, x2 = 6.
£ (
393. 2) Корней нет. 394. 2) x = 4,5. 395. 2) x4 = 2, x2 = 5; 4) корней нет.
396. 2) 5 < x < 6; 4) x > 4; 6) -4 < x < -3. 397. 2) 0 < x < 1, x = V3.
399. 2, 10, 50 или 50, 10, 2. 401. 2) x4 = 10, x2 = 0,1. 402. 2) xr = 23,
x2 = -1,8.	403. 2) x = 2-V2;	3) x = 0;	4) x = 2.	404. 2) x < 0,
logfi 5 < x < 1. 405. 5. 406. — < x< ~^=, 4a <x<a, если a > 1;	< x<
a 4a	4a a
a < x < 4a , если 0 < a < 1. 407. 2)
<540 А0	Г64.8У
3) 135°; 5)	; 6) — .
\ n J	{ я )
—; 3)	5) —; 6) —. 408. 2) 20°;
3	6	45	9
410. 0,4 m. 411. 2 рад. 412. — см2.
8
361
413. 2 рад. 416. 2) (0; 1); 3) (0; -1);	5)
Г
420. 2) (0; 1); 4)(-l; 0); 6) (0; 1). 421. 2) (0; 1); 4) (0; -1). 422. 2)1	;
I 2	2 j
4) (1; 0), (-1; 0). 423. 2) л + 2лЛ, где k — любое целое число; 4) - ^ + 2лЛ,
тд,е k — любое целое число. 424. 2) Вторая; 4) четвертая. 425. 1) х = 1,8л,
k = 4; 2)х = —л, Л = 3; 3)х = ^л, k = 2. 427. 2) (0; 1); 4) (0;-1).
3	3
2) --- + 2лЛ, Ле Z; 4) - — + 2лЛ, k е Z.
4	6
2) 0, 1; 4) 1, 0; 6) 0, -1. 432. 2) 2;
430. 2) -1; 4) -1; 6) 1.
428.
431.
434. 2) -7; 4) - j. 435. 2) х = | + лЛ, k е Z; 4) х =
4) нет. 437. 2)	4)	438. 2) 2,75; 4)
4	9 тгЛ
k е Z; 4) х = л + 2лЛ, k е Z; 6) х = -- л + -—, k
5	5
4) -1. 433. 2) 0; 4) -1.
| + 2лЛ, k sZ. 436. 2) Да;
1-i. 439. 2) x = г. + 2лЛ,
12
e Z. 440. 2) Верно; 4) не-
верно. 441. 2) 0,09; 4) 0,7; 6) -0,22; 8) 0,36. 442. 2) Во второй; 3) в треть-
ей; 5) во второй; 6) в четвертой; 8) в третьей. 443. 2) В третьей;
4) во второй; 6) во второй. 444. 2) sin | - J < 0; 3) sin,-^)>0;
7
4) sin (-0,1л) < 0; 5) sin 5,1 < 0; 6) sin (-470°) < 0. 445. 2) cos-жО;
6
3) cos ^-^л^ >0; 4) cos 4,6 < 0; 5) cos (-5,3) > 0; 6) cos (-150°) < 0.
446. 2) tg —л >0;	3) tg | — л^сО; 4) tg 3,7 > 0;	5) tg (-1,3) < 0;
5	, 4 )
6) tg 283° < 0.	447. 2) sin a < 0, cos a > 0, tg a < 0;	4) sin a > 0,
cos a > 0, tg a > 0. 448. 2) sin 3 > 0, cos 3 < 0, tg 3 < 0; 4) sin (-1,3) < 0,
cos (-1,3) > 0, tg (-1,3) < 0. 449. 2) cos[-+al<0; 4) tg[a--l<0;
V 2	/	\	2 /
6) sin (я - a) > 0.	450. 2) sin a > 0, cos a < 0, tg a < 0, ctg a < 0.
451. Знаки совпадают для 0 < a < - и для л < a < —, знаки различны
2	2
для - < a < л и для — < a < 2л. 452. 2) cos — cos — <0; 3) tg — + tg — >0.
2	2	36	4	4
453. 2)
455. 2)
cos 1,3 > cos 2,3. 454. 2) x = + Ля, k e Z; 4) x = л + 2лЛ, k e Z.
2	5	11	13
Во второй. 456. 0,03 — да, — — да, - — нет, — — да,-----------— нет,
3	3	13	11
11
13
13
11
/—	2
V2 — нет,-да. 457. 2) Могут; 3) не могут; 4) не могут. 458. 2) cos a =
3
V21 х 10	V21	,	4
-----, tga = --7=, ctg a =-.	4o9. 2) cos a =-0,6, tg a =—,
25	/21	1°	3
3	13	1	12
ctg a = —; 4) sin a =—cosa=—. tg a = ; 6) cos a = —, tg a =
4	<10	<10	3	13
= - —, ctga = - —; 8) sina = -—, cosa = ~ —, tg a = —. 460. 2) ±-7=;
12	5	25	25	7	<5
362
4) ± —. 461. 2) Не могут. 462. cos а = tg а =	 463. 2)	4) 2.
3	119	3
464. 2) —. 466. 2) 0; 4) 1 + sin а. 467. 2) 4; 4) 2. 469. 2) 0; 4) tg2 а.
16
471. —. 472. —. 473. 7. 474. 2) х = - + л/г, k е Z; 4) х = - + 2л/г.
25	125	2	2
475. 2)	4) -3; 6) 2. 476. 2) 2 cos а; 4) 4. 477. 2) 0,5. 478. 2) -2 cos а.
3
480. 2) х = -- —, k е Z; 4) х= —, h е Z; 6) х=-+л/г, k е Z. 481. 2) —;
4	2	2	2	2
4) -i. 482. 2)	4) -1. 483. 2) 4 ~	484. 2) cos 3(3; 4) -1. 485. 2)
2	2	6	2
4) 1. 486. 2)	487. 2) -cos р sin а; 4) sin а cos (3. 488.
6	85 85
489. - —. 490. 2	491. 2) 1 cos2 а; 4) sin а sin За. 493. 2) 1; 4) /з.
65	36	' 2
494. 2)	495. V3tga. 496. 2) sin 2(3. 497. 2) х=-+л/г, k s Z;
7	4
4) x = 4л/г, k g Z. 499. 2) 2 sin | — + — | cos | — + - |; 4) cos2 f| -
’	1^8 2)	^8 2)	I 4 2 J
— sin2^——6) cos2 --sin2 -. 500. 2)	4) -. 501. 2) —; 4) -1.
<42/	2	2	22	2
502.	2) - —; 4) -2. 503. 1)	504. 2) —. 505.	506. 2) sin 50°;
2	25	25	3
4)	cos2 2а. 507. 2) ctg2 a. 509. 2) —. 512. 2) x = л/г, k e Z; 4) x = ^~ nk,
9	2
14 cos i 1-cosf—+ 2a^	r-
k g Z; 6) x = - + л/г, k e Z. 513. 2)-4)----~514. 2)
2	2	2	2
4)1. 515. 2) 5/0,8; 4) 2. 516. 2) 5/0Д; 4)-. 522. cos 4a. 523. 2) x = 4л/г,
3
x = л + 2л/г, /г e Z; 4) x = —, x = —+ —, k e Z; 5) x = 8л/г, x = 2л + 4л/г,
2	8	4
/г e Z; 6) x =	/г e Z. 524. 2) a = 60°; 4) a = 40°; 6) a = —; 8) a = -.
4	2	10	6
525. 2)	4)	6)	8)	526. 2)	4)	6)	8) 1.
527. 2)	-1. 528.	2)^—.	529.	2)	4) —;	6) 1; 8)	- —. 530.	2)-/2;
cos a	2	2	2
4) Y -1. 531. 2) - Y; 4)
-1. 535. 2) x = n + 2tik, /г g Z; 4) x = л + 2лй,
k e Z; 6)
x = - + —, k g Z. 537. 2) 2 sin-sin P; 4) — sin 2a. 538. 2) 0;
6	3	8	2
6) —.	541. 2) 2 sin a. 543. 2) 2 ^3 cos2 --.	546. 2)
2	24	/5
4)	547. 2) ctg2 a. 548. 2) 1; 4)	549. 2) - —; 4) -1—
^'3	42	2	/2
363
550. 2) 2 sin a. 551. 2) -ctg a. 553. 2) 0. 554. 2) —. 557; 4 sin 2a.
4
560.
570.
-4. 561. 1^. 562.	568. 2) 0; 4)	6) —. 569. 2) 2л; 4) 8л.
6	9	3	4
2) arccos ^-|j<arccos(-l); 3) arccos
/з i	iA
— >arccos  — . 571. 2) x =
2 J к 27
= + — + 2лге, re g Z; 3) x = ± — + 2ли, n e Z. 572. 1) x = ± arccos — + 2 лп,
6	4	4
re g Z. 573. 2) x = — + лп, re g Z; 4) x = + — + блп, n g Z; 6) x =
2	2	82
n
g Z. 574. 2) x = + лп, n e Z. 575. 2) Да; 4) нет; 5) да. 576. 2) x = ± — +
2	3
2лп, n e Z; 4) x = ± — + лп, n e Z; 6) x = 2лп, n e Z; 8)
8
x = ± — + 2 лп,
3
X = + — + ЛП,
16
6; 4) 2л - 4.
f 9 ।	tt
x = ± arccos — - 2лп, n e Z. 577. x = ± — + nk, k = 0,2. 578.
к 37	3
n g Z. 579. 2) x =-2,5. 580. 2)	4)	6) -. 581. 2)
3	3	3
582. 2)	583. 2a2 - 1. 585. 2) x ® ±1,84 + 2r.n, n e Z. 586. 2)	4) -;
25	2	6
6)	587. 2) 0; 4)	588. 2) arcsinf-|] >arcsin(-l). 589. 2) x = (-l)n x
3	2	\ 4 J
X “ + лп, n G Z. 590. 1) x = (-l)n  arcsin + ли, n g Z; 3) x = (-l)n x
x arcsinлп, ne Z. 591. 2) x = - — + лп, n g Z; 4) x - (-1)"  — + 2лп,
3	4	3
n g Z; 6) x =	+	’ n e Z. 592. 2) x = ял, re g Z. 593. 2) Да; 4) нет;
6) нет. 594. 2) x = (-l)n + 1 -
“ 6
q
x = (-l)n arcsin —
4
13л
12 ’
. —, n g Z; 4) x = (-l)n — arcsin — +
6	2	' 2	4	2
n e Z. 595. 2) Xj = - — + 2лп, n g Z, x2 = — + 2 лп, n g Z, x3 = — + 2лп, n g Z.
°	л	6
+ лп, re g Z; 2) x = (-1)" — x
3
598. —. 601. 2)
12	3	5
6+л^; 606. x = (-l)n + 1 x
2
596. 1) x = (-1)" +1 — + лп,
6
x arcsin- + —, n g Z. 597. —, —,
4	3	12	12
4)	602. 2) —. 603. 2) —. 604, 2) x =
4	2	25	4
x 0,32 + лп, n e Z. 607. 2) -^; 4) \ 608. 2) 0; 3)	 609. 4) arctg (-5) <
< arctg 0. 610. 2)
x = + лп, n g Z; 4) x = - + лп, n g Z; 6) x = -arctg 4,5 +
+ лл, n e Z. 611. 1) x = —, n g Z. 612. 2) x = — + лп, x = - — + лп, n g Z;
3	3	6
4) x = arctg 4,5 + лп, x = (-l)n + 1 — + лп, re g Z; 6) x = — + лп, n g Z.
6	4
613.	614. 2)	615. 2) -0,3; 4) -6. 616. 2) 2; 4) 13 - 4л.
6	6	5
617. 2) --; 4) -. 619. 2) x =-1,44 + лп, re g Z. 620. 2) x=- + —;
4	3	4	2
364
3) х =	+ 2лл, х = (-1)" + пп, п е Z; 4) корней нет. 621. 2) х =	+ 2лл,
х = (-1)" arcsin — -г пл, п е Z; 4) х = + — + 2лл, п е Z. 622. 2) х = — + —,
3	3	4	2
л е Z; 3) х = - — + лл, х = arctg 4 + лл, п е Z; 4) корней нет. 623. 2) х =
4
~|
= — + лл, х = arctg 3 + лл, л е Z; 4) х = arctg 3 + лл, х = - arctg - + лл,
4	2
л е Z. 624. 2) х = J + лл, л e Z; 4) х = - arctg + лл, п е Z. 625. 2) х = — +
+ 2лл, х = 2ли, л е Z; 4) х = — + —, л е Z. 626. 2) х = -^, х = -- + ™,
12	3	2	6	3
л е Z; 4) х = - + лл, х = — + —, л е Z. 627. 2) х = - + —, х =(-1)п — +
4	82	8418
+ —, п е Z; 4) х = — + —, л е Z. 628. 2) х = - — + 2пл, х = +л + 8лл, л е Z;
3	63	6
4) х = arctg 3 + лл, х = л + 2лл, л е Z. 629.
2) х = J + лл, х = (-1)" — + лл,
2	6
л е Z; 4) х = — + лл, х = - — + лл, л £ Z. 630. 2) х = — + —, л е Z; 4) х = - +
2	4	16	4	2
+ лл, х = (-1)"	+ лл, n е Z. 631. 2) х = + 2лл, х = 2лл, n е Z; 4) х - л +
+ 2лп, х = — + 2лл, л е Z. 632. 2) х = - — + лл, х = — + 2лл, х = 2лл, л е Z.
2	4	2
633. 2) х = ^ + лл, л е Z. 634. 2) Корней нет; 4) х = лл, л е Z. 635. 2) х = лл;
4)- х = —, п е Z. 636. 2) х = arctg 2 + лл, х = arctg — + лл, л е Z; 4) кор-
5	3
1	л
ней нет. 637. 2) х = лл, х = + arccos — + 2лл, п е Z. 638. 2) х = —+ лл,
3	4
х = - - + (~l)n arcsin +т,пе Z. 639. 2) х = -+™, п е Z. 640. 2) х =
4	УГ2	42
= -+—, л е Z. 641. 2) х = —+ 2л/г, k е Z. 642. 2) х = -- + 2лл, л е Z.
4	2	2	2
643. 2) X] = ^ + ли, х2 = + ~ + 2лл, и е Z. 644. 2) х = л/г, х = + ^ + л/г, k е Z.
645. l)x = ^ + ^p-,j/ = ^-£fe, л, k е Z; 2)х=(-1)" + лл, у = (-l)fe + 1	+
4	2	4 2	6	6
+ л/г, л, k е Z. 646. |а| < 2, х = +arccos + 2 л/г, k е Z. 648. 2)—+ 2лл<
2	6
< x<i^ + 2лл, л е Z; 4) — + 2 лл < х <	+ 2 лл, л е Z. 649. 4) х =
6	4	4
= л + 2лл, л е Z. 650.
2)-----— + 2лл < х < — + 2т.п,
4	4
л g Z; 4) - — + 2лл <
3
4л
3
л е Z.
651. 2) Решений
нет;
4) х = —+ 2лл,
2
л е Z.
ох 2лл	7 л 2 лл	™
652. 2)-----+----<х< — н------, л е Z;
18	3	18	3
4) 2лл<х< —+ 2лл, neZ,
653. 2) 12 - Зл + 8лл < х < 12 - л - 8лл, л е Z.
654. 2)	+ 2лл<х<
2
365
< —+ 2лп, п е Z. 655. 2)4)— . 656. 2) х = -2 ± - —, п е Z; 4) х =
2	4	2	43
= 1±JL + ^IL> п е Z. 657. 2) х = - + 4пп, п е Z-, 4) х = - + (-1)п - х
9 18	3	3	2	2
х arcsin -+—, n е Z. 658. 2) х = ±—+2пп, х=-~^™, п е Z. 659. 2) х =
5	2	4	8	2
= 5л+™ z 4) Зл+	z 660 2) х = (-1)" *1 arcsin-+ пп,
36	3	28	3
п £ Z; 4) х = ± arccos+2 лп, п е Z. 661. 2) х = (-1)п
О
. >/39-3
arcsin-------и ли,
4
п е Z. 662. 2) х = - — + пп, х = arctg 1,5 + пп, п е Z; 4) х = — + пп, п е Z.
4	4
663. 2) х = - —arctg - + —, п £ Z. 664. 2) Корней нет. 665. 2) х = —, я е Z;
3	4	3	2
4) х = ^, х = ^, х = ^ + —, п е Z. 666. 1)	3) 1. 667. 2) 0; 3) -1; 4) 0.
5	2	6	3	2
668. 2) х = — + пп,
4
х = arctg + пп, п е Z. 669. 2) х = arctg + пп,
- -arctg 2 + пп, п е Z. 670. 2) х = — + пп, п е Z. 671. 2) х - пп, х = ±-- + 2пп,
4	4
п е Z. 672. 2) х = (-!)" — + —, п е Z. 673. 2) х = пп, х = + - + пп, п е Z;
12	2	3
4)	х = — + 2пп, х=—П-+ п z. 674. 2) х = пп, п s Z; 4) х = — + пп,
2	22	11	2
х = ± — + 2ля, п е Z; 5) х = — + пп, х = (-1)" — + пп, п е Z. 675. 1) х = —,
3	2	6	2
х = + — + 2ля, п е Z; 4) х = 2лл, х = ^+—, п е Z. 676. 2) -1; 4)
3	5	5	4	3
677.	1) |; 2) 2. 678. 2) х = + + пп, п е Z; 4) х = ±^ + пп, п е Z; 6) кор-
ней нет. 679. 2) Корней нет.
п	42
х = — +(-1)" arcsin----пп, пе2
4	2
+ пп, х ~	, п е Z. 683. х
8	4
684. х = 2пп, х=~ + пп, х = ~-
2	6
г/ = — + 2nk, nsZ, keZ. 687. -<
6	2
688. -i- < a < 1. 689. При -1 < a < -
16	3	3
+ (-1)" * 1 arcsin a + nn, n e Z; при
- nn, n e Z; при \a >1 нет корней,
JO. 2) x = - — + nn, x = 2nn, x = - — + 2nn,
4	2
. 681. 2) x = ^ + —, neZ. 682. x = ±- +
4	2	3
л	. f7-V65>|	v
= — + nn, x = arcsin --------- - nn, n e Z.
2	4	)
:n, n e Z. 685. 2) x = — + 2n (n + k),
6
a < 1, x = x arccos (4a - 3)+	, n e Z.
x = - — + (-1)" arcsin 3a + nn, x = - — +
4	4
< | a | < 1 x = -- (-1)л + 1 arcsin a +
, 690. 2) — + 2nn < x < — + 2nn, n e Z.
3	3
692. 2) 0<g<2; 6) -1,25 < у < -0,75. 693. 2) x * nn, n e Z; 4) x*^ +
+ —, n e Z. 694. 2) x = 2nn, n e Z; 3) ~	+ 2nn < x < — + 2nn, n g Z;
5	6	6
366
6) - — + 2лп < x < — + 2тт, n e Z. 695. 2) x^ —+—, n e Z; 4)	+ тт,
2	2	42	2
n e Z. 696. 2) -1 < у < 1; 4) 1 < у < 10; 6) -i/3 < у < i/3. 697. 5 и -5.
698. -V26 < у <726. 699. 1 < у < 11. 700. 2) Нечетная; 4) нечетная;
6) четная. 701. 2) He является четной и нечетной; 4) четная; 6) чет-
ная. 704. 2) Четная; 4) нечетная; 6) четная. 705. 2)	4) л. 706. 2л.
О
8 л	Юл
— < cos----;
7	7
9 л.	2	л
4 ’	’ 3 ’
13л
6
710. 2) --; 0 i
L 2 J
4) [-л; 0],
711. 2) cos
4) cos
4 л
3 ’
714.
Ил
18 ’
718.
723.
724.
7 л
'4’4’
82£; 4) ^<х<“\
3	6	6
< cos —— i; 6) cos 4 < cos 5. 712. 2) —
к 7 )	*
713. 2) 0 C x< —,
3	3
2) sin — < cos —; 4) sin — > cos —; 6) cos — > sin —. 715. 2) - —
' у	<7 7	К	К ’ '	О	1Л	7	1 Q
13л 23л
18 ’ 18 ’
1/2
-Т<у<
. 13л	. л±л.
sin---> sin----;
7
Зл
4
4л
3
Зл.
2)
2)
л
4’
i^<x
4
< Зл;
4)
727. 2)
7 ’ *'	5 '	5 ’	8 '	10
25л. 716. 2) -2L<X<2L, 112<х<13л,
18	18	18	18	18
—. 722. 2)|”-;—1;2лП|; 4)Г-2л;- —
2	|_2 2 J L 2 J 'L 2
3)
4)
4
5л
.х< з .
_ 5л _ 4л
9 ’	9 ’
_„_л 2л
9
__ л
18’ 18’
23л х<25л
18	18 '
— ;-л
2
sin
> sin' -
sin 7 > sin 6.
9 л
4 ’
•ч-
10 л
9 ’
9
4 л
3 ’
726.
9’
л
4’
3* <х<9л
4	4
.9л	9л ... . тт	Зл
2) sin — >cos—; 4) sin - < cos -—.
8	8	8	10
Li. Зл. 728. 2)	< x< — ———,
9	2	9
725. 2) 0
3
л ____________
9’ 9 ’ 9 ’ 9
2л
7 л 8л
9 ’ 9
11л
9 ’ ’
_10л<х<_5Л1
9	9
735. 2) tg^<tg^; 4) tg[-fVtg
tL	о У	\ О /
2L, 4п	_д Зл 7л 737. 2 _л<.
3	3	4	4	4
—<х<2л; 4) — л<х< — —-,
2	2
< х< —
2
л , л 2л ,
-<х<-,т <х<
п е Z; 4) - — + тт < х < — + тт,
4	2
л. 730. 2) -^-<у<
; I, tgl<tgl,5. 736. 2)
)	з
5л _л л л	7 л
6’2	6’2	6 ’
— <х<2л; 738. 2) + тт <
2	3	3
п е Z. 739. 2) -arctg 2 + л,
-arctg 2 + 2л, -arctg 2 + Зл.
740. 2) - — + тт < х < arctg 5 + лм, п е Z-,
2
4) -arctg 5-^ ип < х< — - тт, п е Z. 741. 2) 0 < х<arctg 4, ~ < х<arctg 4 + л,
2	2
-^<x<arctg4+2л, ^~<х<3л; 4) 0<х<^, -arctg Зт л<х<^
+2л<х< —, -arctg 3 + Зл < х < Зл. 742. 2)
2	12	12	4
743 2)	<х<— _я <х<~—	2£<х<?_:£	л<х<5_л.
’2	9’	6	9’6	9’2	9 ’
- arctg 3 +
7 л 11л
12’	12
^<х<л
9
745. 2) у > 1; 4) у > 1, у < -1. 749. 2)
- — т тт < х < - — + лп, — + тт < х <
2	3	3
367
<^ + лп, n e Z; 4) кп<х< — + лл, neZ. 750. 1) arcsin -jL < arcsin	;
2	6	7з Ло
2) arcsin II >arcsin I - —	751. 1) arccos< arccos2) arccos |--| >
I 3j I 4j	Л 75 V 5;
>arccos I - — |. 752. 1) arctg 2 7з < arctg 3 V2; 2) arctg -	< arctg -	.
3'	I V2J I 75)
753. 2) x = 6	; 4) x = -3-73. 754. 2) * = -|; 4) x =-1. 755. 2) x= 1;
4) x = 1. 756. 1) 1 < x < 5; 2) | < x < 1; 3) 1 < x < 4; 4) -2 < x < -1,
О
1 < x < 2. 758. 2) x * -J + m, n e Z-, 4) - — + 2лл < x < — + 2nn, n e Z-,
2	’	2	2
6) x * Tin, x*(-l)n — + nn, n e Z. 759. 2) -1 < у < 1; 4) 5 < у < 7; 6) -4 <
6
< у < -2. 760. 2) Нечетная; 4) не является четной и нечетной. 761. 2) 14л.
762.	2) £,	4) л, Зл. 763. 2) - —<х<- —; 4) arctg--2x<
333	3	6	6	2
<х<- —. 765. 2) лл<х<- + лл, п е Z. 766. 2) i и 4) 1 и -2.
2	’	2	'22
767. 2) Четная; 3) нечетная. 768. 2) 4л. 770. 1) х = —+ лп, х = 2лп, п е Z;
2
2)	х —, х = —+лп, х=-- + 2лл, neZ. 771. - — + 2лл<х< —+ 2лп,
3	4	2	3	3
п е Z. 772. -^+^<х<^ + ^-,	л е Z. 774. 2)	-1 < у	<	775. 2) лп <
4	2	4	2	'	* 4
<-х<| + лп, п е Z. 776. 2) оср =	3. 777. 2) vcp	= 2,2.	778.	2) n(t) = -3.
779. 2) v (4) = 0,25, v (8) = 0,25. 780. 2) f'(x) = 5, f'(x) = -6x. 781. 2) f (x) = 4;
3)	f (x) = -5. 782. 2) v (t) = lOt. 783. 2) v (10) = 20. 784. t>cp = 1,5; i>cp = 1;
ocp = 0,5. 785. acp = j, ocp = 2, rcp = 2. 787. 2) 7x6; 4) 13x12. 788. 2) -3x 4;
1
4)	-7x"8. 789. 2) — x 3 ; 4) Л хЛ A 790. 1) 9—; 3) ——; 5)--------?---.
x 3 Vx	4x Vx3
791.	2) -15 (5x + 2)“4; 4) -20 (2 - 5x)3; 6) 2500x3. 792. 2)- 3	;
447(7-3x)3
3 r~
4) ~^=. 793. 2)	4) -b 6)	795. у = x3. 796. 2) -----®—-;
зУ^Г	27	12	16	(3-2x)4
4) -	4	6)---------Ip...	.... 797. 2) x = -^~. 798.
V(3-14x)5	3(l-2x)3V(l-2x)2	27	4
799. 2)	801. 2|. 802. 2) 2x - 1; 4) -34x; 6) l,5x2; 8) 16x.
3 3	6
803. 2) lOx + 6; 4) 5x4 - 6x; 6) -6x2 + 18; 8) -9x2 + 4x - 1. 805. 2) 3x2 - —;
x3
4) -7^+—1==. 806. 2) f(0) = -2, /'(2) = 10; 4) f(0) = l, /'(2) =5.
2	2 14x^3
368
807. 2)Г(3) = -^=-|,	=	4) Л(3) = ^Д, /'(1)= 3. 808. 2) Нет;
2 V3 9	2	9
4) да. 809. 2) х = 1,5; 4) хх =1, х2 =	6) х} - 0, х2 = 1, х3 = -4.
О
810. 1) 5х4 - 4х3 + Зх2 - 2х; 3)	811. 2) 192; 4) 31,5. 812. Да.
2 7х
813. xt = 3, х2 = -0,4, х3 = 1 —. 814. 2) 2	С*2-2*"1)-*-1 815> 1} 1;
12	3 И	2Vx(x-l)2
2) -^. 816. 2) F(x)= 71п х. 817. 2) f (у) = sin у, у = g (х) = х2 + 1.
1о
818. 1) 2x + l--i|;	2) 1+-^---.	819. 1)	2)
х2	Vx xvx	2xVx 2 vx
820. 2) (х - I)3 (х + I)6 (11х - 3); 4) 4 (2— ~ 3 )2/1 ° *±11*. 821. 2)	+ 6-~ 4;
337(2х+1)2	(2х+1)2
3) (х+-3)^х-~х ~-4). 822. Xj = -1, х2 = 2. 823. хА = 0, х2 = -2. 825. 2) -1 <
2х у/х (2 - г)2
< х < 0, х > 2; 4) х > 1. 826. 2) х * 1,5; 4) х > 0,5. 827. 3,5 рад/с.
828. 902,5 Дж. 829. 2) 103 г/см. 830. —-AXZ_5 _ . 831. 2) ех + 2х;
2 л/(х-2)(х-3)
1 -1
4) -Зе~3х + —^-=. 832. 2) -е2*---jL=; 4) -е1 х - Зх"4; 6) 6х2е2х3.
2 Ух	2	2 Ух-1
833. 2) 3х In х + 2х“3; 4) Зе3х + 4х; 5) 2х • 3х + 2 In 3. 834. 2) 3х In 3 -
- 2е2х; 4)-е3 х--^. 835. 2)^-2х 1п2; 4) -9х"4-; 6) Зх(1+2 lnxJ_
х5	х	х In 3	In 3
----—836. 2) -sin x; 4) cos x - 2х In 2. 837. 2) -sin (x + 2); 3) -cos (3 - x);
x In 3
4) -3x2 sin x3.	838. 2) i cos |-+ 3 |+ 2х ln2; 3) -12 sin4x+.
3	\3 J	2x2
839. 2) 3*(--3 Sln*~cos *). 4) X . gin 2x + 2 j x cos 2x 84Q 2) 0;
sin2 x	x In 3
4)--i--3!n3. 841. 2) x = ± — + 2itn, neZ; 4) x =-0,5; 6) x = 4.
In 2	3
2_x
842. 2) x < 0; 4) x > 0. 843. 2)-— —+ -0- ; 4) -e 3 -^cos—
2 л/б-бх 2-5x	2	4
844.	1) ---------- + sin^h 2)-----------------3 -	- e 5 .
3(2-x)V2-x	3	2(x+2)V(x+2)3
845.	2) —(1 - 2x) e"x; 3) 2e3 " 2x (sin (3 - 2x) - cos (3 - 2x)).
2 Vx
846.	2)	4) ctgx. 847. 2) 0.51 + sin x In 0,5 cos x; 4) COS (lnx).
2V3+x	x
848.	2) X 4) —	1 -------. 849. 2) -3(1+-3X)~2x^3 3*ln3;
3^/sin2 x 2^/log2 x - x ln2	2Vx(3x + l)2
369
4) 52x(2b5sin3x+14 In5-3cos3x) 2) J J x2x ln2 _ 2x
~	’	x2 ln2 \	ln2
(sin Зх+ 7)2
+ log2 x . 851. 2) sin
854. 2 + 2л. 855. 2)
при 0 < x < e-1; 4)
при 0 < x < 1. 856.
x + cos x. 852. 2) x = -| + 2nn, x = 2лп, n e Z. 853. 2) 2.
f (x) = 0 при x = e'1, f (x) > 0 при x > e x, f (x) < 0
f (x) = 0 при x = 1, f'(x) > 0 при х > 1, f'(x) < О
~х ^—. Указание. Записать данную функцию
х2 -5х + 6
при х > 3 в виде In (х - 3) + In (х - 2), а при х < 2 в виде In (3-х) +
+ In (2-х). 857. 2) fe = 1, 6 = 5; 4) Л = -^, 6 = -1-^. 858. 2)
3	3	2
4) 3.859. 2) -р4) -|; 6) arctg |. 860. 2) у = -11х + 12; 4) у=1х+|;
6) г/= х + 1; 8) y = ix-i 862. 1) у = 1; 2) у = х. 863. 2) £; 3)
2	2	2	4
864. 2)	4)	865. 2) у = 0; 4) у = 2х. 866. 2) (1; 2); 4) (л + 2лп;
л + 2лп), п ё Z. 867. (0; -1), (4; 3). 868. (1; -1), у = 2х - 3; (1; 0), у = 2х - 2.
869. 2) -5х4 + 6х2 - 6х; 4)	-----; 6) -21 (4 - Зх)6; 8) -----
хл \i х3	(l-4x)Vl-4x
870. 2) -sin х-1; 4) 24х3 - 9ех; 6) - J-+-L. 871. 2) 2е2х-1; 4) 4 cos +
х	X4	2 х	х	3
+ 3e1-3jr.	872. 2) х2 (1 + 3 In х);	4) sin 2х + 2х cos 2х;	6) ех (cos х -
- sin х). 873. 2) 2х~*4 ; 4) 1~х+ xlnxt 874. 2) -8COS х In 8 sin х; 4)1.
(х3 + 1)2	х(1 —х)2	х
875. 2) f'(x) = 0 при х = 0 и при х =	f'(x) > 0 при 0 < х < 1, f'(x) < О
4
при х < 0 и при х >-; 4) f (х) = 0 при х = 4, х = -3 и х = 1,2, f (х) > 0 при
х < -3, -3 < х < 1,2, х > 4, f'(x) < 0 при 1,2 < х < 4; 6) f'(x) = 0 при х = 1,
f' (х) > 0 при х > 1, f'(x) < 0 при х < 0, 0 < х < 1. 876. 2) е; 4) 0,5.
877. 2) у = ЗОх - 54; 4) у = - х+ j 4-	878.	s (4) = 22 м, v (4) =
= 7 м/с. 879. 3) Зх2 cos 2х - 2 (х3 + 1) sin 2х; 4) 1 sin х; 6) —1_+
2	3*!(хИ)2
+ 4х3 л/х —1. 880. 2) —______; 4) ----?--. 881. 2)	4) _sin 3* х
8х2л/х+4 sin2x-l	х In3 2
х 3х In 3. 883. 2) f (x) = 0 при x = 0, f (x) > 0 при x > 0, f (x) < 0 при
x < 0; 4) f'(x) > 0 при x>-|; 6) f (*) = О ПРИ x = 3, f'(x) > 0 при x > 3,
f'(x) < 0 при -1 < x < 3. 884. a > 3. 885. a < -12. 886. 2) a < 0; 4) a > 12.
887. 2) a ? 0;	4) a < 0.	888.2)-.	889. 2) у = -1 In 2x+ — + 1 In 2;
4	8	16 4
4) у = (1 + e 1) x. 890. у = 6x+ —, у = 6x - 54. 891. 8 кв.ед. 892. 2k кв.ед.
6
893. При p = 0,5. 894. (1; 0). 895. 1. 896. a = e2. 897. у = -1 и у = 2x - 6.
370
о
898. —. 900. 2) Возрастает на промежутке х > 0,3, убывает на промежут-
ке х < 0,3; 4) возрастает на промежутке х > -6, убывает на промежутке
х < -6; 6) возрастает на промежутках -1<х<0их>1, убывает на про-
межутках х < -1 и 0 < х < 1; 8) возрастает на промежутках х < 0 и х > 4,
убывает на интервале 0 < х < 4. 902. 2) Убывает на промежутках х < 0
и х > 0; 4) возрастает на промежутке х > 5. 903. 2) Возрастает на проме-
жутке 0 < х < 3,2, убывает на промежутках х < 0 и х > 3,2; 4) возрастает
на промежутке х< —, убывает на промежутке х > —. 904. 2) Возрастает
3	3
на промежутке х>-, убывает на промежутке х<^. 905. 2) Возрастает на
2	2
интервалах - — +	<х< — + n^Z. 907. 2) а > 1. 908. а< —.
18	3	18	3	3
909. а < -1,5. 910. хг = -5, х2 = 5 — точки максимума, х3 - 3 — точка ми-
нимума. 911. Xj =-7, х2 =-4, х3 = -3, х4 =-2, х-=-1, х6 = 1, х7 = 3,
х8 = 4. 912. 2) х4 = 2, х2 = 3; 4) х = -^ + л,г> п е 913. 2) х12 = ± 7з,
х3 = 0; 4) х1 = -|. 914. 2) х = -6—точка минимума; 4) х = -8—точка
максимума, х = 8 — точка минимума. 915. 2) х = 0 — точка максимума,
у (0) = 3, х = -2, х = 2 — точки минимума, у (-2) = у (2) = -13; 4)
+ 2лп, п е Z,— точки максимума, у f	2 хп j = v'3 + + 2 пп,
,5л , п	Гбл о	/‘о5л„„
х = — х 2 лл — точки минимума, у I-i- 2 лл i = -Voi-2яп,
6	< 6	)	6
л
6
п е Z.
п е Z.
916. 2) Нет; 4) да. 918. 2) хг 2 = ±1, х3 4 = ±уЗ, х5 = 0; 4) х12 = ± х3 = 0.
919. 2) Точек экстремума нет; 4) точек экстремума нет. 920. 2) х = -1 —
точка максимума, у (-1) = 0,25, х = 0, х = 4 — точки минимума, у (0) = 0,
2	(л	3 л/з"
у (4) = 10	4) х = — + 2хп, п е Z,— точки максимума, z/^ + 2nnj = —-—,
х-- — + 2 яп, п е Z,— точки минимума, у
3
---. 922. Если
4
п — нечетное число, то х = п - 1 — точка максимума; если п — чет-
ное число, то х = п - 1 — точка максимума, х = -1 — точка минимума.
929. Xj = -6, х2 = -3, х3 - 1, х4 = 4, х- - 6. 934. 2) 2. 935. Один корень
4	4	4
при с < -, с > 4, два корня при с - -, с - 1, с - 4, три корня при - < с < 1,
1 < с < 4. Указание. Дополнительно к общему исследованию функции
сравнить значения функции с числом 1. 936. б) Наибольшее значение
функции равно 3, наименьшее значение функции равно -3; г) наибольшее
значение функции равно 4, наименьшее значение функции равно -2.
937. 2) Наибольшее значение равно 68, наименьшее значение равно -31.
938. 2) Наибольшее значение равно -2, наименьшее равно -2,5; 3) наи-
большее значение равно -1, наименьшее равно -V2. 939. 2) Наибольшее
371
р
значение равно -3. 940. 25 + 25. 941. 25  25. 942. Квадрат со стороной —.
4
943. Квадрат со стороной 3 см. 944. 2) Наибольшее значение равно
2 + е~2, наименьшее равно 1; 3) наибольшее значение равно 1,5, наимень-
шее равно -3. 945. 2) 1. 946. 2) 1. 947. 2) 3; 4) 1. 948.	949. х = а.
6
950. 4. 951. (1; 1). 952. - п. 953. 2) (6х - х3) sin х + 6х2 cos х; 4) 12х2 - 18х.
3
954. 2) Выпукла вниз на интервалах х < -1 и х > 1, выпукла вверх на
интервале -1 < х < 1; 4) выпукла вверх на интервале 0 < х < 1, выпукла
вниз на интервале х > 1. 955. 2) 2; 4) arccos—. 956. 2) Возрастает на
4
промежутках х < -1 и х > 2, убывает на интервале -1 < х < 2; 4) убывает
на промежутках х < 3 и х > 3. 957. 2) х4 = 0, х2 3 = ±0,5; 4) х = пп,
х - +—+ 2пп, п е Z. 958. 2) х = 1 — точка минимума. 959. 2) х = 0 —
3
точка максимума, у (0) = -3, х = 2 — точка минимума, у (2) = -12,6.
962. 2) Наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно -4;
4) наибольшее значение равно 14, наименьшее равно -11. 964. Равносторон-
р
ний треугольник со стороной —. 965. Куб с ребром 10 см. 968. 2) х = -1 —
3
точка минимума; 3) х = -3 — точка максимума, х = 4,5 — точка миниму-
ма. 969. 1) Функция возрастает при -10 < х < -8, -4 < х < -2, 0 < х < 4,
6 < х < 7, функция убывает при -8<х<-4, -2 < х < 0, 4 < х < 6;
2) Xj = -8, х2 - -4, х3 = -2, х4 = 0, х5 = 4, х6 = 6, 3) х4 = -6, х2 = -3,
3 -\Гз
х3 = -1, х4 = 2, х5 = 5. 971. 2) Наибольшее значение равно-, наимень-
2
/	2/
-^=, гипотенуза —. 974. 20
V3	3
979. 2./—. 980. x = -V2 —
V 15
шее равно - ——972. 12. 973. Катеты — и
2	3
и 20. 975.	976. Л2. 977. 16. 978.
2	216
г~	x4
точка максимума, х = V2 — точка минимума. 982. arctg k. 985. 2) — + С;
4
1	3 In х-
х2
5)	2х3 - 2х2 + Зх; 6) 3xVx-4xVx. 989. 2) 2 sin х - 5 cos х; 4) Зе* +
+ cos х; 6) х + Зех - 4 sin х; 8) 8 Vx + 3 In х - 2е~х. 990. 2)	(х-2)4;
4
-37(х+ З)2 ;	6) 3 In (х - 3) + 2 cos (х - 1).	991. 2) i sin(3x + 4)+ С;
2	3
8) — ln(3x-l)+C. 992. 2) 2х2 - х;
3
5 + —; 4) - — - 3 In x;
2
4)
4)
-4 cos
+ C; 6) -c3*~5 + C;
3
— sin Зх.
3
Q Зх - 1
4	2
+ — е ;
3
4)
993. 2) 4e4 - 1 cos2x;
2
3) -10 cos- -- e 3; 4) 21 sin- +
5 2	7
5) --—cos(4x+2);
3 V5
6) -| J3x + 1-| ln(2x-5).
rf 5
2	2
3
372
994. 2) 3x4 3x2 +4х; 4) 2х3 -- х2 -6х. 995. 2) (x-^l x3V^; 4)	х-з'] х
'	10	2	47	2) Чз )
*2>Гх. 996. 2) -cos2x. 997. 6 sin — - — cos 5х-2,8. 998. 2) In (х + 2);
2	2 5
4) i cos 2х-—cos 8х. 1000. 2) 124) 6; 6) i. 1001. 2) 1^; 3) 1-.
4	16	3	2	3	3
1002. 2) 12 —. 1003. 2) 18. 1004. 2) 9; 4) 5; 6)	8) 2. 1005. 2) 1; 4) 2; 6) 0.
3	о
1006. 2) 11; 4) 2—; 5) 10. 1007. 2) 68; 3) e6 - ez. 1008. 2) -ii; 4) 5.
3	12
1009. 2) 4-/3; 3) 8. 1010. 2) |ln2,5; 3) 0,5. 1011. 1) л; 2) 0,5; 3) 0,5;
О
4)	5) 16—; 6) 1,5 + In 2. 1012. b = 2. 1013. 1) 8-; 2) 1-;
4	105	3	3
3) 2 In 4. 1014. 2) б|; 4) 4. 1015. 2) И. 1016. 2) 1|. 1017. 2)	3) |.
6	12	366
8 -х/й”
1018. 2) 8. 1019. 2) 2-V2. 1020. 2) 4,5. 1021. 2) --1. 1022. 2) —;
2	3
4) 6,75. 1023. 1) 18; 2) 1п2-Ч 1024. (0,5; 1,25). 1025. 2) 21|м.
8	3
1026.10 | м. 1027. 2) у = 2х3 - 4х2 + х + С; 4) у = 2 sin 2х + С; 6) у = sin х +
+ cos х + С. 1028. 2) у = 2 sin х + 1;	4) у = 2х + х2 - х3 + 2;	6) у =
= 3 - е~х. 1030. 10 1П°-5 « 6927 лет. 1031. 0,09 Дж. 1032. 0,96 Дж.
In 0,999
1033. 2) -cos х - 1; 4) ех + 1; 6) 2х - х2 + 3. 1034. 2) 12; 4) -2; 6)
О
7) 2. 1035. 2) —; 4) 1^1. 1036. 2) 0; 4) -3; 6) 8^. 1037. 2)
2	192	3	6
4) 2 sin 12. 1038. 2) 1; 4) 1-i. 1039. 2) 2^; 4) 4 1040. 1) А;
3	3	9	3
2) 4 In 3. 1041. 1) 1,75; 2) 3—. 1042. k = р.
Упражнения для итогового повторения
курса алгебры и начал анализа
1043. 0,08. 1044. 30. 1045. зЧ 1046. 400%. 1047. 45. 1048. 13,5.
3
1049. 62%. 1050. 30%, 10%, 60%. 1051. 3650 р. 1052. 21%. 1053. 8.
1054. 600. 1055. 636 р. 54 к., 655 р. 64 к. 1056. 408 р. 85 к. 1057. 2) 1,02.
1058. 2) 2. 1059. 2) 0,5; 3) 20,8. 1060. 1083. 1061. 2) 3. 1062. 2) 0.
2 з
1063. 2) 64. 1064. 2) 160. 1065. 2) (0,2)3 >(0,2)4; 4) log0 3 -< log0 3 ~.
’ 5	’ 4
1066. 2) 0<а<1; 4) 0 < а < 1; 6) а > 1. 1067. 2) Первое. 1068. 2) 3 <
< log2 10 < 4. 1069. 2) 0. 1070. 2) |b|  (252 + 1). 1071. 2) 3(7б-75);
4) V11-V3. 1072. 1) -J—; 2)	3) -=Л—. 1073. 2) 2 4) 1-^; 6) —.
2 Л Тб -/7 + V5	9	11	75
1074. 2) 2,(1); 4) 5,(18). 1075. 2) Да. 1078. 2) Имеют; 4) не имеют.
373
1080. 2) 2 arcsin “ =68,5°. 1081. 120 tg 36= « 87 м. 1082. 130 (tg 22° +
+ tg 44°) к 178 м. 1083. 2) cos a = —, tg a = —	4) tga = --, sin a = —,
13	12	7	25
cosa = —. 1084. -. 1085. -0,5. 1086. 2) 4л. 1087. 2)	1088. 2) 0;
25	9	4
4) -1; 5) 0. 1089. 2) 1; 4)	6) -. 1090. 2) 1. 1091. 2) --. 1092. 2)
2	2	9	2 b
1093. 2) 0. 1094. 2)	1095. 2) 4,8. 1096. 2) 1+	. 1097. 2) V^-l.
V2
2	2
1098. 2) l-Vd. 1099. as+b3. 1100. 2) —. 1101. 16a2. 1102. -6V&.
ab
1103. 2) 2. 1105. 2) 2 cos2 a. 1106. -tg 2a. 1108. 2) 2 42 sin sin
4) 4 sin
(
a -
1110. 2) |. 1111. 7. 1112. 2) 0. 1113. 2) 2;
4) 43 ctg a. 1114. 2) tg a. 1115. 2) —; 4) 4. 1116. 2) tg2 4) ctg2 a.
cos2 a	2
1117. 2) -sin a - cos a. 1119. —-—. 1120. cos2 x. 1121. 2) -cos 2a cos 4p.
cos 2 a
1122. 2) 2 cos a. 1123. 2) ctg a ctg 3a. 1124. 2) 1+—. Ц25. 1-.
cos x	7
1126. -|. 1136. 2) x = 8. 1137. a =-6. 1138. 5 = 3. 1139. 2) x = 3.
1140.2) x = 5.	1141.	2) x = —1142.	2) x, =-2, x2 =-.
a - b	3
1143. 2) Xi = |« x2=|. 1144' 2) x= 3- 1145- 2) Корней нет. 1146. x = 2.
1147. 2) х1>2 = ^^-—. 1148. 1) x1i2 = ±V5, х3 4 = ±Тб; 2) x12 = ±V2,
хзл = ±у-. 1149- 2) x1>2 = ±2,	x3	= -1, x4 = 3.	1150.	1) x12 = -|±f>;
2) Xj = a, x2 = -2,5a. 1151. a	>	0,	ft2 = 4ac. 1153. 2) x	= 6; 3) x = 3 - .
3
1154. 2) Xj = 3, x2 = |. 1155.	x	= 3. 1156. x = 5.	1157.	2) Корней нет.
1158. 2) x} = 3, x2 = 2; 3) Xj =	3,	x2	= -1. 1159. 2)	x = 3.	1160. 2) xx = 4,
x2 =-2. 1161. 2) xx = 1; 3) x = -|. 1162. 2) x = 9.	1163. 2) x=l;
4) x = 0. 1164. 2) x = 3. 1165. 2) Xj = 3, x2 = 243. 1166. 2) x = 3,5.
1167. 2) x=V3. 1168. 2) Xj = 1, x2 = 9. 1169. 2) x = 9. 1170. 2) x1 = i,
3
x2 = 9; 4) Xj = 1, x2 = 4. 1171. 2) x = -3. 1172. 2) x> = -1, x2 = 3; 3) x = 0.
1173. 2) Xj = 100, x2 = 0,1, 4) x = 0. 1174. Нет. 1175. 2) z12 = l±iV2.
1177.2)-—,	1178. 2) x = ±"+2-—, neZ; 3) x =
3	33	3	43
= -arctg 2,5 + nn, n e Z. 1179. 1) Корней нет; 2) корней нет. 1180. 2) х =
= - — + пп, х = -arctg 3 + пп, п е Z. 1181. 2) х = —, х=± -+лп, п е Z;
4	2	6
374
4) х = — + т.п, х = arctg — + пп, п е Z. 1182. 2) х = — + —, х = (-1)" — + —,
2	2	42	12	2
neZ; 4) х = ^+пп, neZ. 1183. 2) х= —, х = —, п 6 Z; 4) х = Ш,
4	3	2	2
х = + — + 2пп, п е Z. 1184. 2) х = - 4- пп, п е Z. 1185. 2) *= + —+—,
3	3	2	2
п е Z. 1186. 2) х = ^ + 2пп, х = 2 arctg ~ +2пп, п е Z. 1187. 2) х = 2пп,
х = — + пп, nsZ. 1188. 2) х = — + пп, х=~~ + 2пп, х = —+2пп, п е Z.
4	4	12	12
1189.	х = - — + пп, х = - — +	2пп, х = 2пп,	п g Z.	1190. 2) х - — + ти,	х = — +
4	2	2	4
+ —, и е Z; 4) х =, /г = Z. 1191. 2) х = —+ —, n eZ. 1192. 2) Кор-
2	16	4	42
ней нет. 1193. 2) х = arctg + лп, п е Z. 1194. 2) х = — + —, х = — +
2	4	2	8
ТС Л	/у	.	ТС ТС Л	37С , ТТЛ	^у i 1 лс *11 ТС Л	ту
4-—,	п е Z;	4)	х - — -г—,	х = — + —,	л е Z. 1195. 2)	х =—,	п е Z.
4	12	3	8	2	5
1196.2)* = —, х = -+—, n е Z. 1197. 2) х = п + 2пп, х = - + 2пп,
’	8	8	4	2
х = — + (-1 )п arcsin —+	пп, п е Z. 1198.	2) х = — + пп, х =	~ + —,	тг	е Z.
4	Зх/2	2	5	5
1199.	2)	х = (-1)" +1	+ пп, п е	Z; 4)	х = (-1)" 1 1 arcsin 4- пп,	п	е Z.
1200.	2)	Корней нет;	4)	х = пп,	п е Z. 1202. 2) х > -2.	1203. 2)	х	> 5.
1204. 2) -3 —<х<40; 4) -2 < х < 8. 1205. 1) х<~, х>-; 2) х<-~, х>~;
3	3	2	9	2
3)	х<2-. 1206. 1) -16 < х < 3; 2) х < 4, х > 6; 3) х <-3, х >-2,5.
1207. 2) -1,4 < х < 0. 1208. 2) х > -4. 1209. 1) -7 < х < 2, х > 5; 2) х<
<-2-72, -2 + V2<x<l; 3) х < -4, -1 < х < 2, х > 3. 1210. -5 < х < -3.
1211. m = 2. 1212. m = 8, m = 9. 1213лх = 6. 1214.
4)	х < 2, 1 < х < 2, х > 5, 6) 1-^73 <х<-|, -
х = -1. 1215. 2) х <-2-,
2	. .	1+л/73
- < X < 1, 1 < X <-!--.
3	6
1216. 2) х < 3; 4) х<-~. 1217. 2) -1 < х < 5. 1218. 2) 3 - V2 <х<3+/2.
8
1219. 2) х < 1. 1220. 2) Решений нет. 1221. 2) х е R; 3) х < 3; 5) х <
< 1-- log3 5. 1222. 2) х < 1, х > 3. 1223. 2) - Тб < х<-V2, 72 <х< Тб.
3
1224. 2) х > 3.	1225. 2) |<х<|.	1226. 2) -1 < х < 1,	3 < х < 5.
1227. 2) -3 < х < - Тб, /б < х < 3. 1228. 2) 0 < х < 1, х > 1. 1229. 2) -^= <
3	Т10
<х<10. 1230. 2) — + пп < х < — + пп, пе Z. 1231. 2) -arcsin - + 2пп < х<
2	6	4
<arcsin - + п + 2пп, п е Z; 4) -arccos — + 2пп < x<arccos — - 2пп, neZ.
4	3	3
1232. 2) -Зл<х<-—, -— < х , -^-<x<7t; 4) arctg - - Зл <
4	4	4	4	3
375
— , arctg —-2л < х	arctg — - л < х< - —, arctg — <х< —.
2	3	2	3	2	3	2
1236. 1) (2; 1); 2) (5; -3). 1237. 1) (-1200; 500); 2) (7; 1). 1238. 2) (-8; -2),
(8; 2); 3) (8; 4), (-8; -4). 1239. 1) (7; 6); 2) (2; 3), Л 9; 28 | j. 1240. 2) (3; 1),
(-3; -1); 4) (3;-5), (3; 5), (4; 2 72), (4;-272). 1241. 2) (4; 1); 4) (10; 1000),
(1000; 10).	1242. 2) (78; Ш).	1243. 2) (100; 81).	1244. 2) (0; 1).
1245. 2) ( лп; (-1)™	+ лт j, m е Z, n е Z, ^(-1)” arcsin у + лл; (-l)m ~1 x
x arcsin — + пт |, m e Z, n e Z. 1246. 2)|-+л(/г + т); — +	- k)\, m e Zt
14	)	<6	6	J
Л
6
- — + л (k + m);
6
n e Z,
+ л (m - k) , m e Z, k e Z. 1247. 2,12. 1248. x > 5.
1249. 1 мин. 1250. 126 км. 1251. 1080 км. 1252. 16 дн. 1253. 91 га.
1254. 8, 12. 1255. -, -1-, i. 1256. 432 детали. 1257. 18 км/ч. 1258. 25
2 3 6
и 20 билетов или 20 и 15 билетов. 1259. 3 км/ч. 1260. 21 ц, 20 ц.
1261. 1400 шагов. 1262. 3, -6, 12, -24. 1263. 27. 1264. 1, 3, 9, 15 или 16,
8, 4, 0. 1265. 2 или 121. 1266. В 3 раза. 1267. 16 см2. 1268. b = -2.
1269. Л = -1. 1270. 2) Л = -1, 6 = 3; 4) k = 0, b = -2. 1271. у=--х--,
5	5
у = -| х+|. 1272. 2) Нет; 4) да. 1273. 2) з|. 1274. 2) х<|. 1275. 2) х > 0,5.
1276. х > 1. 1277. х<-7з. 1280. 2) Да. 1281. 2) (-1; 3), (5; 3).
1282. 4) х < -2, х > 2. 1283. 4) х * 0. 1285. 2) Нечетная; 4) четная.
1286. 2) Нечетная; 4) четная. 1287. 2) Четная; 4) не является четной
и не является нечетной. 1288. 2) —. 1289. 2) Юл; 4) 2л. 1291. 2,25.
3
1292. 2) 3 и -2. 1293. 2) (0; 2), (2; 0), (0,5; 0). 1299. 2) х > -2;
4)	х * 2л + 4лд, neZ. 1300. 2) х <-7, х > 6. 1301. 2) 3 < х < 3 |.
1302. 2) -710 <х<-3, 3<х<7ю. 1303. 2) у < 7; 4) у * 2. 1304. 2) - 7^25 <
< у <^1,25. 1305. 2) -3. 1306. 2) |. 1307. 2) у = -6х - 1. 1308. -1.
1309. 9. 1310. (3; 9). 1311. (1; 2), (0,5; 2,25). 1312. (-1; -3). 1313. 2) у =
= 0,5 (1 + In 2 - х In 2). 1314.-. 1315. е1. 1316.--. 1317. у = х + 1.
4	4
1318. у = Зх - 3. 1319. 2) Возрастает на промежутках х < 0 и х > 0.
1320. 2) х = 6 — точка минимума. 1321. 2) х = 2 — точка минимума,
х = 0 — точка максимума. 1322. 2) 1,5 и 1. 1323. 2) 3 и 1. 1324. 2) 0,5
и 0. 1325. 1 дм. 1326. 54л см3. 1327. 6. 1328. 2. 1329. sinx---l.
X
1330. 132, -57. 1331. 9, 4. 1332. (1; 1). 1333.	1334. 4 72.
1335. р = -10, д = 26.	1336. дм. 1337. З37зли2. 1338. -у=.
376
1339. ^Д. 1340. —. 1341. -. 1342.	. 1343. r=Rj-, HR2.
/3	3	3	216	V 3	7з
1344. R = H. 1345. ^Д. 1346. r = ^, h = —. 1347. 2) x = 0 — точка ми-
V3	3	3
нимума, x = 0,4 — точка максимума. 1348. (1; 0), (-1; 4). 1349. у =
= 7х - 43. 1353. 2) In 2. 1354. 2) э|; 4) 1. 1355. 2) 4,5. 1356. 2)
1357. 2) ——. 1358. 3) 3 Д 4) -2. 1359. 2) х = - + пп, п s Z; 4) х = -
31п3	9	4	3
1361. -2 < х < 3. 1362. v (10) = 262 м/с, t » 37 с. 1363. 12л. 1364. 2) 5х 6
1365. 2) 4*2 + 4х~5 1366. 2) 2х<4х + 3). 4) cos 2х - 2х sin 2х. 1367. х = 2
(2х+1)2	Зл/х+1
1368. 2) /'(2) > 0. 1369. f(0) = 4, f' [-) = 8 (7 + 4 Vi). 1370. --<х<0
\ 6 /	3
1371. — (2sin4x-9). 1372. In |4х-1 |+С. 1373. 1) 11,25; 2) 2~^
8	4	4
./o’ _ 1
3)	5,5 + 7 In 2, 1374. 2)	;
4)	106) а = 3. 1376. 2) Д
з	у
4)	1 —; 6) 2. 1378. 2) (3; е);
3
1379. 2) х <-4, -|<х<0; 4)
4) 1 —; 5) 2—; 6) п 3. 1375. 2)	-
3	3	U 2)
4) 36; 6) а > 1. 1377. 2) у = -5х - 3
I
4) -5 < х <-4, х > 3; 6) +.2- —
V 36
546-; 6) log. 4 >1/2. 1380. 2) —-—
4	5 In 10
4)	6) (1,15;-2,1).
Задачи для внеклассной работы
1381. 2) х > 3. Указание. Ввести обозначение у = -78-х, z = -727 + х, от-
куда ys + z3 = 35 (1). Исходное уравнение записать так: у2 - yz + z2 = 7 (2).
Поделив уравнение (1) на (2), получить у + z = 5 (3). Решая систему урав-
нений (2), (3), найти значение у и далее использовать введенные обозначе-
ния; 4) Xj = 73, х2 = -8. 1382. 2) xt = 4, х2 = -4. 1383. 2) Xj 2 = +2,
х„ = 3; 4) х. = -1, х„ = 4, х, . =±i V2. 1384. 2) х = - + пп, x = (-l)rt + 1 — +
а	1	‘	°’ ’	4	12
т-,пе2. 1385. 2) х = ^ + ли, x = (-l)n -+^,n = Z. 1386. х = л
2	’	2	v ’ 24	4	42
п e Z. 1387. х = ± — + 2лп, п е Z. 1388. xt = 1, х2 = 2, х3 = 3. 1389. х3 = 3.
3
1390. 1) (а; а2), (а2; а), если а > 0 и a 1; (-а - 1; (а + I)2),
((а + I)2; -а - 1), если а < -1 и а * -2. 1391. При а 3 нет решений, при
а = 3 — (0; 1). Указание. Записать второе уравнение системы в виде
х2 + (у - I)2 + (а - З)2 + 1 - cos (ху) = 0. 1392. 2) (1; 1), (2; 4); 4) ( ~| + п;
377
-	+ п \	п е Z; 5) f (—1)* — + nn; (-1)* — + nk + пп \	f ± — + —; — ± — +
6	)	14	4	)	V 4	2 2 4
+ ^ + 2nk], п е Z, k е Z. 1393.	+ (-1)*	+ пп-, --+ (-1)*-’—-
2	)	< 4	12	2	4	12
Ttk
----+ яп , neZ, keZ. Указание. Решить систему как линейную от-
2 J
( -
носительно и и v, где и = cos xcos у, v - sin х sin у. 1394. I 7<logs 3 io&?2) -
A
5(log531og72)3	1395 2)	> 0 Q1 139g _ 3	j _ 1 <x<0 1397. x < _4
J ’	'	2	2
-	3 < x < -2, -1 < x < 1, x > 2. 1398. 2) 2 < x < 3. 1399. 0 < x < -, x = —,
3	3
4 < x < 5. 1400. Если a < то решений нет; если a = то x = если
3
a>—, roa + 3 < x < 9a- 3. Решения первого неравенства являются реше-
ниями второго при -j<a<|. 1406. 2)	1407.	1408. Ь>7з-1,
Ь<-3-/3. 1409. X = пп, X - -- + ~, п е Z. 1410. —. 1411. 3 или 12.
8	4	5
1412. Нет, так как наименьшее расстояние между кораблями будет равно
3 милям через 48 мин. 1413. a = 6, b - -11, с = 6. У казание. Так как
точки А и В симметричны относительно прямой х = 2, то А (Хр г/0),
В (х2; у0), где ху = 2 - t, х2 = 2 + t, t > 0. Из условия /' (хх) = Г (х2) следует,
что а = 6 и f' (xt) = f(x2) = -3t2 + 12 + b, а равенство / (xj = f (x2) можно
записать в виде b = t2 - 12 (так как t > 0), откуда	= -2t2 < 0.
1414. a = 6, t>=ll, c = 5. 1415. a=-4, b=5, c = -2. Указание, а) Если
3	„	3	15	3	„ ,	,
a< —, то решении нет; если а = —, то х= если а> —, то а+3<х<
4	4	4	4
<	9a - 3; б) решения первого неравенства являются решениями второго
при — <а<-. 1416. а = 4, b = -5, с = 2. 1417. А. 1418. а = 1, s = 4.
4	9	8
1419. arctg уу. 1420. 2) х = |; х = -|. 1421. х = 9. 1422. 2) х = 2; 4) х = 4.
1423. 2) х = - 9. 1424. 2) х = + лп, х = 2лп, п > 3; 4) х = - + nn, п е Z.
1425.
2) х
= — + 2пп, х = — + (2п + 1) п, п е Z.
12	12
1426. х = | Н-1)л х
х arcsin - +
3
лп), п е Z. 1427. х = + (2п + 1) п, п е Z. 1428. х = пп,х = -^
+ лп, п Е Z. 1429. х=~. 1430. Если - < а < 1, х = - — arccos (4 ^/2(1+ а) - 7) +
3	8	4
+ ^, п eZ, 1431. 1) (1; 2), f-4; | j; 2) (-2; 1),
d	\ о J
1432. 1) (1; log3 2); 2) (3; -9). 1433. 1)	; -
V л2 2
2) --V2;	; - V2; --L I. 1435. 1) -1 < х
12	42) к 2 V2J
(-2; -1), (2; -1), (2; 1).
+-V2), Г-*--'; f -J'2}’
J [ /2 2 J
< 0, 2 < x < 4; 2) -2 <
378
х < -1, х > -1. 1436. 1) а >	2) а < |. 1437. 1) х < 2, х > 3; 2) х > 3.
и	О
1438. 1) х > 2;	2) -311 < х < -11,	1 < х < 1,5.	1439. 1)	< х<0;
2) - 1<х<--,
2
- i < х<0, 0 < х < 1. 1440. х < -4, 1 < х < 3, х > 5.
4
1441.
а <42. 1442.
. 1443. (-2; 22), (2; 10). 1444. ft = 2. 1445. р = -2,
g=0, d=l. 1446.2,25. 1447. х = (~1)п	+ лп, п е Z. 1448. а =-3,5.
6
1449. a = l-v2, а = 5+-/16. 1450. а < -4, --<а<0. 1451.	—.
4	3 15
Ответы к заданиям «Проверь себя!»
з j.
Глава I. 1. 1) 135; 2) 5—; 3) 4-. 2. 1) —; 2) а х. 3. —
48	2	с	7
Глава II. 1. 1) х * 1; 2) х > 4, х < -1. 2. 1) х — любое действительное
число, у > 0 при х > -1; 2) х * 0, у > 0 при х * 0; 3) х — любое действи-
тельное число. 3. 1) х = 128; 2) х = 1.
/ 1 \0,2 / , \1,2
Глава III. 2. -|	>1-1 ; 5 0)2 > 5 1'2. 3.
<5j	l5>
1) х = 2; 2) х1 = 1, х2 = -5;
3) х = 1; 4) X! = 0, х2 = -2. 4. 1) х > 4; 2) -2 < х < 2.
Глава IV. 1. 3;	-2;	3;	49;	2.	3. 1) log02 3 < log0 2 25;
2) log2 0,7 < log2 1,2. 4. 1) х = 8; 2) х = 1; 3) Xj = 0, х2 = 9. 5. (15; 5).
6. 1) 1 < х < 10; 2) -3 < х < 2.	_
Глава V. 1. sina = -; tg a = - —; cos2a = ---. 2. 1)	2)	3) 4%;
5	4	25	2	2
9
4)	4. 1) sin a cos 0; 2) cos 2a; 3) cos (a - P).
Глава VI. 1. 1) 0; 2) 0. 2. 1) x = -г лп, n e Z; 2) x = ± | + 2лл, n e Z;
3) x = - — + лл, n e Z; 4) x = лп, x = — + —•
3	4	2
n e Z; 5) x = лп, x = л + 2лл,
n e Z.
л	,
—; cos х = 1
2
Глава VII.
1. х* g(l + 2л),
Z; нет. 2.
sin x = 1 при
при x = 0,
2л; sin x = -1 при
cos
-1
при х = -л, л;
sin х = 0 при х = 0, л, 2л; cos х = 0 при x = ~g’
л _
2’ 2
3	. Л
— л; sin х > 0
при
n e
л
2
3
2
0 < х < л; cos х>0 при - — < х < —, - л < х < 2 л; sin х < 0 при -л < х < 0,
2	2 2
ТС 7Т 0
л < х < 2л; cos х < 0 при - л < х < —, - — < х < - л; возрастают: sin х при
379
— <х< —
2	2’
3 о
— л<х<2л, cos
2
х при -л < х < О, -к < х < 2л; убывают: sin х
при — л < х < — —, — < х < — л
2 2	2
cos х при О < х < л. 3. tg х = 0 при х = -л, 0;
—, 0 < х < —; tgx = O при - — л < х
2	2	2
л
2
4. - — +лп<х< — + лл, п е Z.
4	2
Глава VIII. 1. 85. 2. 1) —^+^=-ех; 2) 12 (Зх - 5)3, 3) 6 cos 2х cos х -
X2 л/х
4- 15х2 „ .	„ . л
- 3 sin 2xsin х; -----. 3. k = -3. 4. а = —.
(х2 + 5)2	4
Глава IX. 1. Возрастает при -1 < х < 1, убывает при х < -1, х > 1.
2. Точка максимума (-3; -2); точка минимума (3; 2). 3. См. рис. 170.
4
4. Наибольшее р(5) = 5-, наименьшее у (2) = 4. 5. 2 м.
5
Глава X. 2. F (х) = х3 + х2 - Зх - 1. 3. 1) 11	2)	3) 1; 4) -1.
4	4
К
4. 1) 20— кв. ед.; 2) 36 кв. ед.
6
: Предметный
t указатель
Арккосинус числа 166
Арксинус числа 172
Арктангенс числа 178
Гармонические колебания 307
Геометрический смысл производ-
ной 247
Дифференциальное уравнение 306
Дифференцирование 227
Дифференцируемая функция 227
Интеграл от функции на отрезке
294
Интегральная сумма 296
Интегрирование 290
Касательная к графику функции
249
Косинус 124
Криволинейная трапеция 293
Логарифм числа 88
—	десятичный 94
—	натуральный 95
Логарифмирование 89
Логарифмическая функция 98
Логарифмические неравенства 107
— уравнения 103
Наибольшее значение функции 273
Наименьшее значение функции 273
Непрерывная функция 229
Обратная функция 47
Основное логарифмическое тожде-
ство 89
Первообразная функции 287
Периодическая функция 201
Период функции 201
Площадь криволинейной трапе-
ции 293
Показательная функция 70
Показательные неравенства 79
—	уравнения 7 5
Производная функции 227
—	логарифмической функции 242
—	показательной функции 242
—	произведения 237
—	суммы 236
— тригонометрических функций
243
— частного 238
Равносильные уравнения 52
Разностное отношение 226
Синус 124
Следствие уравнения 53
Стационарная точка 263
Степенная функция 39
Таблица первообразных 290
Тангенс 126
Теорема Ферма 262
Точка максимума функции 261
—	минимума функции 262
—	экстремума 262
Тригонометрические неравенства
191
—	уравнения 165
—	функции 197
Угловой коэффициент прямой 247
Формула Ньютона — Лейбница 294
— перехода для логарифмов 95
Элементарные функции 241
381
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Действительные числа
§ 1.	Целые и рациональные числа......................3
§ 2.	Действительные числа............................7
§ 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. . 11
§4.	Арифметический корень натуральной степени...17
§ 5.	Степень с рациональным и действительным
показателями......................................24
Упражнения к главе 1.........................35
Глава II. Степенная функция
§ 6.	Степенная функция, ее свойства	и	график.......39
§ 7.	Взаимно обратные функции......................46
§ 8.	Равносильные уравнения и неравенства..........52
§ 9.	Иррациональные уравнения......................58
§ 10*. Иррациональные неравенства..................61
Упражнения к главе II.........................67
Глава III. Показательная функция
§11.	Показательная функция, ее свойства и график..70
§12.	Показательные уравнения......................75
§13.	Показательные неравенства....................79
§ 14.	Системы показательных уравнений и неравенств ... 82
Упражнения к главе III........................85
Глава IV. Логарифмическая функция
§ 15.	Логарифмы....................................88
§ 16.	Свойства логарифмов..........................92
§17.	Десятичные и натуральные логарифмы...........94
§ 18.	Логарифмическая функция, ее свойства и график ... 98
§ 19.	Логарифмические уравнения...................103
§ 20.	Логарифмические неравенства.................107
Упражнения к главе IV........................111
Глава V. Тригонометрические формулы
§21.	Радианная мера угла...........................115
§ 22.	Поворот точки вокруг начала координат.........119
§ 23.	Определение синуса, косинуса и тангенса угла .... 124
§ 24.	Знаки синуса, косинуса и тангенса.............130
§ 25.	Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла..............133
§ 26.	Тригонометрические тождества..................137
§ 27.	Синус, косинус и тангенс углов а и -а.........140
§ 28.	Формулы сложения..............................142
382
§ 29.	Синус, косинус и тангенс двойного угла.......	147
§ 30*	. Синус, косинус и тангенс половинного угла...150
§31.	Формулы приведения............................154
§ 32.	Сумма и разность синусов. Сумма и разность
косинусов...........................................159
Упражнения к главе V...........................162
Глава VI. Тригонометрические уравнения
§ 33.	Уравнение	cos х - а.........................165
§ 34.	Уравнение	sin х = а.........................170
§ 35.	Уравнение	tg х = а..........................176
§ 36.	Решение тригонометрических уравнений.........181
§ 37*.	Примеры решения простейших	тригонометрических
неравенств.....................................191
Упражнения к главе VI..........................194
Глава VII. Тригонометрические функции
§ 38. Область определения и множество значений
тригонометрических функций.....................197
§ 39.	Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций...........................200
§ 40.	Свойства функции	у	=	cos х и ее график........204
§ 41.	Свойства функции	у	=	sin х и ее график........209
§ 42.	Свойства функции	у	=	tg х и ее график.........213
§ 43*.	Обратные тригонометрические функции..........219
Упражнения к главе VII.........................223
Глава VIII. Производная и ее геометрический смысл
§ 44.	Производная.................................225
§ 45.	Производная степенной функции...............232
§ 46.	Правила дифференцирования...................236
§ 47.	Производные некоторых элементарных функций. . . 241
§ 48.	Геометрический смысл производной............247
Упражнения к главе VIII......................253
Глава IX. Применение производной
к исследованию функций
§ 49.	Возрастание и убывание функции..............257
§ 50.	Экстремумы функции..........................261
§51.	Применение производной к построению графиков
функций............................................267
§ 52.	Наибольшее и наименьшее значения функции .... 273
§ 53*	. Выпуклость графика функции, точки перегиба .... 279
Упражнения к главе IX........................283
383
Глава X. Интеграл
§ 54.	Первообразная.................................287
§ 55.	Правила нахождения первообразных..............290
§ 56.	Площадь криволинейной трапеции и интеграл .... 293
§ 57.	Вычисление интегралов.........................297
§ 58.	Вычисление площадей с помощью интегралов .... 300
§ 59*	. Применение производной и интеграла к решению
практических задач.................................305
Упражнения к главе X..........................311
Упражнения для итогового повторения
курса алгебры и начал анализа.................313
Задачи для внеклассной работы.................342
Краткие теоретические сведения по курсу алгебры
и начал анализа...............................349
Ответы и указания.............................356
Предметный указатель..........................381
Учебное издание
Алимов Шавкат Арифджанович
Колягин Юрий Михайлович
Сидоров Юрий Викторович
Федорова Надежда Евгеньевна
Шабунин Михаил Иванович
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Учебник для 10—11 классов
общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. Н. Велоновская
Младший редактор Н. В. Ноговицина
Художники В. А. Андрианов, И. П. Ткаченко, Е. В. Соганова
Художественный редактор Е. Р. Дашук
Технический редактор О. Е. Иванова
Корректор Е. Г. Терскова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диа-
позитивов 23.07.07. Формат 60 х 90‘/1в. Бумага офсетная. Гарнитура Школь-
ная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 20,03 + 0,47 форз. Доп. тираж 50 000 экз.
Заказ № 1457.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Моск-
ва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфком-
бинат детской литературы имени 50-летия СССР». 170040, г. Тверь, проспект
50 лет Октября, 46. Ф