Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы - Шабунин М.И., Колягин Ю.М., Федорова Н.Е., Алимов Ш.А., Ткачева М.В.

Author: Шабунин М.И. Колягин Ю.М. Федорова Н.Е. Алимов Ш.А. Ткачева М.В.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика математический анализ 11 класс 10 класс
ISBN: 978-5-09-026651-2
Year: 2012
Similar
Математика для чайников. Сборник задач.
Методика преподавания арифметики для учительских институтов
Системы счисления: учебные и занимательные материалы. Более 100 содержательных задач
Теоретическая арифметика
Text
                    
Алгебра 
и начала
математического
анализа
классы
Учебник
для общеобразовательных
учреждений
Базовый уровень
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
18-е издание
Москва
•Просвещение-
2012
УДК 373.167.1:[512 + 517]
ББК 22.14я72
А45
Авторы:
Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, М. В. Ткачёва,
Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин
Учебник подготовлен под научным руководством
академика А. Н. Тихонова
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 10106-5215/81 от 22.10.2009)
и Российской академии образования (№ 01-5/7д-69 от 10.07.09)
Условные обозначения
выделение основного материала
текст, который важно знать и полезно помнить
решение задачи
обоснование утверждения или вывод формулы
обязательные задачи
дополнительные задачи
трудные задачи
Л дополнительный более сложный материал
Алгебра и начала математического анализа. 10—11 клас-
А45 сы : учеб, для общеобразоват. учреждений : базовый уро-
вень / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягип, М. В. Ткачёва и др.]. —
18-е изд. — М. : Просвещение, 2012. — 464 с.: ил. — ISBN
978-5-09-026651-2.
УДК 373.167.1:[512 + 517]
ББК 22.14 я72 + 22.161 я72
ISBN 978-5-09-026651-2
© Издательство ♦ Просвещение», 2000
© Издательство «Просвещение», 2010,
с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2000
Все права защищены
-	глава
-	Действительные числа
т Холодные числа, внешне сухие формулы
математики полны внутренней красоты
и жара сконцентрированной в них мысли.
А. Д. Александров
Целые н рациональные
* ? числа
• • • ’ I • * • • '1 ‘'ЧШ 1 1   1 1 • ’ • * 1 • ’ ’ ’
1
Изучение математики начинается со знакомства
с натуральными числами, т. е. с числами 1, 2,
3, 4, 5, ... . При сложении и умножении натураль-
ных чисел всегда получаются натуральные числа.
Однако разность и частное натуральных чисел мо-
гут не быть натуральными числами.
Дополнением натуральных чисел нулём и отрица-
тельными числами (т. е. числами, противополож-
ными натуральным) множество натуральных чисел
расширяется до множества целых чисел, т. е. чи-
сел 0, ±1, ±2, ±3, ... . При сложении, вычитании
и умножении целых чисел всегда получаются це-
лые числа. Однако частное двух целых чисел мо-
жет не быть целым числом.
Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида —,
п
где т — целое число, п — натуральное число, по-
зволило находить частное любых двух целых чисел
при условии, что делитель не равен нулю. Каждое
целое число т также является рациональным, так
как его можно представить в виде у.
При выполнении четырёх арифметических дейст-
вий (кроме деления на нуль) над рациональными
числами всегда получаются рациональные числа.
3
Если рациональное число можно представить
в виде дроби где тп — целое число, k — нату-
10*
ральное число, то его можно записать в виде конеч-
327
ной десятичной дроби. Например, число можно
23
записать так: 3,27; число —- можно записать так:
10
2 2 • 2	4
-2,3; число - =-можно записать так: — или 0,4.
55-2	10
Существуют рациональные числа, которые нельзя
записать в виде конечной десятичной дроби, на-
1	2 3
пример -, —, -. Если, например, нопытаться за-
3	9 >
писать число 1 в виде десятичной дроби, используя
3
алгоритм деления уголком, то получится бесконеч-
ная десятичная дробь 0,3333..., которую называют
периодической, повторяющуюся цифру 3 — её пе-
риодом, Периодическую дробь 0,333... коротко за-
писывают так: 0,(3); читается: «Нуль целых и три
в периоде».
Вообще, периодическая дробь — это бесконечная
десятичная дробь, у которой, начиная с некоторо-
го десятичного знака, повторяется одна и та же
цифра или группа цифр — период дроби.
Например, десятичная дробь
23,14565656... = 23,14(56)
периодическая с периодом 56; читается «23 целых,
14 сотых и 56 в периоде».
27
Задача 1 Записать число — в виде бесконечной десятичной
дроби.
► Воспользуемся алгоритмом деления уголком:
- 27 I 11 
22	12,4545...
_ 50
44
_ 60
55
_ 50
44
6...
4
Остатки повторяются, поэтому в частном повторя-
ется одна и та же группа цифр: 45. Следовательно,
= 2,4545... = 2,(45). <1
Вообще, при делении целого числа т на натураль-
ное число п на некотором шаге остаток может стать
равным нулю или остатки начинают повторяться,
так как каждый из остатков меньше п. Тогда начи-
нают повторяться и цифры частного.
В первом случае в результате деления получается
целое число или конечная десятичная дробь, во
втором случае — бесконечная десятичная периоди-
ческая дробь. Например:
360 =24, — = 3,75,	=3,222...= 3,(2).
15	4	9
Заметим, что каждое целое число или конечную де-
сятичную дробь можно считать и бесконечной де-
сятичной периодической дробью с периодом, рав-
ным нулю. Например:
27 = 27,000... = 27,(0), 3,74 = 3,74000... = 3,74(0).
Итак, каждое рациональное число можно предста-
вить в виде бесконечной периодической десятич-
ной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: каждая бес-
конечная периодическая десятичная дробь являет-
ся рациональным числом, так как может быть
представлена в виде дроби —, где т — целое чис-
п
ло, п — натуральное число.
Задача 2 Представить бесконечную периодическую деся-
тичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной.
► Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818... . Так как в заниси
этого числа до периода содержится только один де-
сятичный знак, то, умножая на 10, получаем
1 Ох = 2,181818....	(1)
Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому,
умножая обе части последнего равенства на
102 = 100, находим
1000х = 218,181818... .	(2)
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
990х = 216. Отсюда х = -- = —. <1
990	55
5
Задача 3 Показать, что 2,999... = 3.
► Пусть х = 2,(9). Тогда 10х = 29,(9), откуда 9х = 27,
х = 3. <1
Аналогично можно показать, что любую конечную
десятичную дробь можно записать в виде бесконеч-
ной дроби двумя способами: с периодом 0 и с пери-
одом 9. Например,
1,75 = 1,75000... = 1,74999...,
-0,2 = -0,2000... = -0,199999... .
Условимся в дальнейшем не использовать беско-
нечные десятичные дроби с периодом 9. Вместо
таких дробей будем записывать конечные десятич-
ные дроби или бесконечные десятичные дроби с пе-
риодом 0. Например,
5,2999... = 5,30000... = 5,3.
2
4
5
Упражнения
Записать в виде десятичной дроби:
1)	2) —; 3)	4)	5) -8-; 6) —.
3	11	5	4	7	99
Выполнить действия и записать результат в виде десятичной
дроби:
1) —+ i;	2) —+	3) - + 1,25;
11 9	13	3	3
4) i + 0,33;	5) — 1,05;	6) -1,7.
6	14	9
Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятич-
ную дробь:
1) 0,(6);	2) 1,(55);	3) 0,1(2);
4) -0,(8);	5) -3,(27);	6) -2,3(82).
Вычислить:
1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95);
2) -Z-.9 + 8-Н + .9 . А.
36	32 10 18
Вычислить:
1)	(3—+ 0,24 | 2,15+(5,1625 - 2 — 1-;
к 25	) V	16) 5
2)	0,364: — + — : 0,125 + 2±- 0,8.
25 16	2
6
J Действительные числа
В § 1 было показано, что любое рациональное чис-
ло можно записать в виде бесконечной десятич-
ной периодической дроби и каждая бесконечная
десятичная периодическая дробь является ра-
циональным числом. Если же бесконечная де-
сятичная дробь непериодическая, то она не явля-
ется рациональным числом. Например, дробь
0,101001000100001..., в которой после первой
цифры 1 стоит один нуль, после второй цифры
1 — два нуля и, вообще, после n-й цифры стоит
п нулей, не является периодической. Поэтому
написанная дробь не представляет никакого рацио-
нального числа. В этом случае говорят, что данная
дробь является иррациональным числом.
Иррациональным числом называется бесконечная
десятичная непериодическая дробь.
Иррациональные числа, как и рациональные, мо-
гут быть положительными и отрицательными.
Например, число 0,123456..., в котором после за-
пятой записаны подряд все натуральные числа,
является положительным иррациональным чис-
лом. Число -5,246810..., в котором после запя-
той записаны подряд все чётные числа, является
отрицательным иррациональным числом.
Числа V2, у/7, -v3, п также являются иррацио-
нальными, так как можно доказать, что они могут
быть представлены в виде бесконечных десятич-
ных непериодических дробей.
Рациональные и иррациональные числа образуют
множество действительных чисел.
Действительным числом называется бесконечная
десятичная дробь, т. е. дробь вида
+ а^а{а2а.Л ... или ~а^аха2а2 ....
где а{} — целое неотрицательное число, а каждая
из букв av а2. ... — это одна из десяти цифр: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
7
Например: 1) в записи действительного числа
п = 3,1415... число а0 = 3, а первые четыре деся-
тичных знака таковы: aj = 1, а2 - 4, а3 = 1, д4 = 5;
2) в записи действительного числа -7234 =
= -15,297058... число а0 = 15, а десятичные знаки
таковы: а, = 2, а2 = 9, а3 = 7, а4 = 0 и т. д.;
3)	в записи действительного числа 37,19 = 37,19000...
число а0 = 37, а десятичные знаки таковы: = 1,
а2 = 9, ап = 0 при п > 3. Заметим, что
37,1999... = 37,2000... = 37,2.
Действительное число может быть положитель-
ным, отрицательным или равным нулю. Бесконеч-
ная десятичная дробь равна нулю, если все цифры
в её записи — нули. Положительное действитель-
ное число — это десятичная дробь, не равная нулю,
со знаком а отрицательное — со знаком «-».
Знак «+» перед дробью обычно опускается.
Вам известно, как выполняются действия над ко-
нечными десятичными дробями. Арифметические
операции над действительными числами, т. е. бес-
конечными десятичными дробями, обычно заменя-
ются операциями над их приближениями. Напри-
мер, вычислим приближённые значения 4- 4%.
С помощью микрокалькулятора находим
72 = 1,4142135... , 7з = 1,7320508....
Поэтому с точностью до единицы
72+7з~ 1,4 + 1,7 = 3,1 « 3,
с точностью до одной десятой
72 +7з ~ 1,41 + 1,73 = 3,14 « 3,1,
с точностью до одной сотой
72 + 7з « 1,414 + 1,732 = 3,146 ~ 3,15 и т. д.
Числа 3; 3,1; 3,15 и т. д. являются последователь-
ными десятичными приближениями (нервые два
с недостатком, третье с избытком) значения суммы
72 + 7з. Итак, при отыскании суммы V2 + 7з чис-
ла 72 и 7з заменялись их приближениями — ра-
циональными числами, и выполнялось сложение
чисел по известным правилам.
Аналогично, вычисляя произведение 72 • 7з, на-
пример, с точностью до 0,1, получаем
/2 • 7з ~ 1,41 • 1,73 = 2,4393 = 2,4.
8
-3	-2 -V2 -1 -0,5 0	0,5	1 V2 2	3 x
Рис. 7
Вообще, пусть xn х2, ...» хл, ... — последователь-
ные приближения действительного числа х с точ-
ностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д. Тогда по-
грешность приближения |х - хл| как угодно близко
приближается к нулю (стремится к нулю). В этом
случае пишут
1х - х |	0 при п —> оо, или lim |х - хл| = 0
П — Оо
(читается: «|х - хл| стремится к нулю при п, стре-
мящемся к бесконечности» или «предел |х-хп|
при и, стремящемся к бесконечности, равен
нулю»). Это означает, что хл как угодно близко
приближается к х, т. е.
хл -» х при п —► оо, или lim хп = х.
л —• ао
Отметим, что все основные законы и правила дей-
ствий над рациональными числами сохраняются
и для действительных чисел (переместительный,
сочетательный и распределительный законы, пра-
вила сравнения и т. д.).
Модуль действительного числа х обозначается
|х| и определяется так же, как и модуль рацио-
нального числа:
. .	[ х, если х > 0,
|х| = {
-х, если х < 0.
Например, если х = -0,1010010001...,
то |х| = —х = 0,1010010001....
Геометрически действительные числа
изображаются точками числовой пря-
мой (рис. 1).
Покажем, например, как можно гео-
метрически указать на числовой пря-
мой точку с координатой V2. По-
строим квадрат со стороной 1 (рис. 2)
и с помощью циркуля отложим диаго-
наль О А на числовой оси.
Заметим, что если бы не было ирраци-
ональных чисел и соответствующих
им точек числовой оси, то прямая
9
оказалась бы с «дырками», в частности, не было
бы на числовой оси точки с координатой V2.
Множество действительных чисел «заполняет» всю
числовую прямую: каждому действительному чис-
лу соответствует единственная точка числовой пря-
мой, и наоборот, каждой точке числовой прямой
соответствует единственное действительное число.
Точку, изображающую число а, также обозначают
буквой а. Отметим, что если а < Ь, то точка а ле-
жит левее точки Ъ.
Множество всех действительных чисел обозначает-
ся R. Запись х g R (читается: «х принадлежит Я»)
означает, что х является действительным числом.
Упражнения
6
7
8
9
10
11
12
(Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются ир-
рациональными числами:
1) 16,9;	2) 7,25(4);
3) 1,21221222... (после n-й единицы стоит п двоек);
4) 99,1357911... (после запятой записаны подряд все нечёт-
ные числа)?
Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 обра-
зует десятичные приближения числа \/31 с недостатком и
с избытком.
Какое из равенств |х| = х или |х| = -х является верным,
если:
1) x = 5-VT;	2) х = 4-ЗТЗ; 3) х = 5-Т10?
Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональ
ным) является числовое значение выражения:
1) (78 - 3) (3 + 2 V2);
3) (750+472)72;
5) (73-1)2 + (7з + 1)2;
2) (727 — 2)(2—зТЗ);
4) (бТз + 727): 73;
6) (V5-1)2 3 -(2V5 + 1)2.
Вычислить:
1) ТбЗ 728;
2) 720 -75; 3) 750 : 78; 4) 712 : 727.
Сравнить числовые значения выражений:
1) Тзз+Тё и 71Л+ТТ7;	2) ТТТ-72Л и
710-Тзл.
Вычислить:
1) ^(^7-2vl0 + 72)-2 75;	2) ^16-677 + 7?)• 3;
3)	+ 2 715 - ^8 - 2 715 )• 2 + 7.
10
Бесконечно убывающая
£ геометрическая прогрессия
Напомним: геометрической прогрессией называет-
ся такая числовая последовательность д2, Ь3, ...,
Ьп, ..., где Ь} * 0, что для всех натуральных п вы-
полняется равенство bn । = bnq, где q * 0.
Например, таковы последовательности:
1. 3, 9, 27...З"’1,	...
1 - — — Г-1
’ 5 ’ 25 ’ 125 ’ ”” \ 5 )
(д1 = 1,7 = 3);
, ... (^=1, 7=|
2, -4, 8, -16, ..., —(—2)л, ... (Ь1 = 2, q = -2).
По формуле bn = bxqn ~ 1 вычисляется n-й член гео-
метрической прогрессии.
По формуле Sn = —j------ вычисляется сумма е₽
первых п членов, если q * 1, а если 7=1, то
Sn = h,n.
Среди геометрических прогрессий особый интерес
представляют так называемые бесконечно убываю
щие геометрические прогрессии.
Начнём с примера. Рассмотрим квадраты, изобра-
жённые на рисунке 3. Сторона первого квадрата
равна 1, сторона второго равна
сторона третьего----у и т. д.
Таким образом, стороны квадратов
образуют геометрическую прогрес-
сию со знаменателем -:
2
1 1 1 1 1
2’ 22 ’ 23 ’	’ 2я"1’
(1)
Площади этих квадратов образуют
геометрическую прогрессию со зна-
менателем -:
4
1 1 1 1 1
4’ 42 ’ 43 ’	’ 4» -1 ’
(2)
16	4
Рис. 3
11
Из рисунка 3 видно, что стороны квадратов и их
площади с возрастанием номера п становятся всё
меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из
прогрессий (1) и (2) называется бесконечно убыва
ющей.
Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию
1	_1	1	__L	(-П"'1
’	з’	з2 ’ З3 ’	3я'1 ’
Знаменатель этой прогрессии	а её члены
Ь. = 1,	Ь2 = --, Ь8 = -» Ь4=~ — и т. д.
1	2	3	3	9	4	27
С возрастанием номера п члены этой прогрессии
приближаются к нулю. Эту прогрессию также на-
зывают бесконечно убывающей. Отметим, что мо-
дуль её знаменателя меньше единицы: |g|< 1.
Геометрическая прогрессия называется бесконеч-
но убывающей, если модуль её знаменателя мень-
ше единицы.
Задача
Доказать, что геометрическая прогрессия, задап-
3
ная формулой и-го члена hn= —, является беско-
нечно убывающей.
3	3
По условию Ь] = —, Ь2 = —
3	Ь2	1
—, откуда а = — =
25	*1	5
Так как |g| < 1, то данная геометрическая прогрес-
сия является бесконечно убывающей. <
На рисунке 4 изображён квадрат со стороной 1.
Отметим штриховкой его половину, затем полови-
ну оставшейся части и т. д. Площа-
ди заштрихованных прямоугольников
образуют бесконечно убывающую гео-
метрическую прогрессию
1	1 1
2	’ 4’ 8* 1б’ 32’
Если заштриховать все получающие-
ся таким образом прямоугольники,
то штриховкой покроется весь квад-
рат. Естественно считать, что сумма
площадей всех заштрихованных пря-
моугольников равна 1, т. е.
1 + 1 + 1 + ± + Х
2	4	8	16	32
1.
Рис. 4
12
В левой части этого равенства стоит сумма беско-
нечного числа слагаемых. Рассмотрим сумму пер-
вых п слагаемых:
s„=i + i+i
п 2 4 8
По формуле суммы п членов геометрической про-
грессии имеем
2
Если п неограниченно возрастает, то —у
как угод-
но близко приближается к нулю, т. е.
—---* 0 при л —* оо, или lim —— = 0.
2п	л-» w 2Л
Поэтому lim 1—— = 1, т. е. lim Sn = 1.
п ► ОО	2 П )	П -• ОО
Бесконечную сумму ^ + - + - + —+ —+ ... счита-
2 4 8 16 32
ют равной 1.
Итак, сумма бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии есть предел последовательности
S2, S3, ... , Sn, ... .
Например, для прогрессии
Так как lim
п —• 00
= 0, то lim Sn = -
по "	4
13
Выведем формулу суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с помощью формулы
с МН’) „
Ь. = —------. Запишем ее так:
1-9
S„ =21__Л_.Г.
1-<7	1-</
(3)
Так как |g| < 1, то lim gn = 0, lim gn = 0,
л -* «о	л —♦ оо 1 — q
и поэтому lim Sn = ——.
п -» оо	1 — q
Таким образом, сумма S бесконечно убывающей
геометрической прогрессии вычисляется по фор-
муле
S = -^~.	(4)
1-q
Из формулы (4) при b. = 1 получаем S = ——. Это
1-д
равенство обычно записывают так:
1 + q + q2 + ... + g71’ 1 + ... = ——.
1-g
Подчеркнём, что это равенство справедливо при
|g| < 1, в частности при q = 0.
Задача 2
Найти сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии
1 _1 _1_ __1_
2* б’ 18’	54	** *
.1.1 Ь2 1	.
►	Так как , Ъ2 = —, то q = — = —, и по фор-
2	6	3
1
муле S = —— получим S = —7 = -. <1
1-7	iTTjJ 8
V 37
Задача 3 Найти сумму бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии, если b3 = -1, q = |.
►	Применяя формулу Ьп = b}qn ~ 1, при п = 3 получаем
откуда = -49. По формуле (4) находим
S = ^- = -57i. <
1-1 6
14
Задача 4 С помощью формулы суммы бесконечно убываю-
щей геометрической прогрессии записать бесконеч-
ную периодическую десятичную дробь а = 0,(15) =
= 0,151515... в виде обыкновенной дроби.
► Составим следующую последовательность прибли-
жённых значений данной бесконечной дроби:
а. = 0,15 = —, а2 = 0,1515=-^- + -^
100	100 юо2
а3 = 0,151515= —+ -^ + -Цг.......
100 ЮО2 1003
Запись приближений показывает, что данную пе-
риодическую дробь можно представить в виде сум-
мы бесконечно убывающей геометрической про-
грессии: а = — 4- -Ц_ + -Ц- + ... .
100 ЮО2 ЮО3
15
По формуле (3) получаем а = ——— = — =	<
।	1	99	33
100
Упражнения
13	Выяснить, является ли геометрической прогрессией после-
довательность, заданная формулой п го члена:
1)	Ья=-52п;	2) &п = 23л.
14	Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрес-
сии, если:
1)	Ь* = 88, q = 2;	2) bA = 11, 64 = 88.
15	Доказать, что геометрическая прогрессия является беско-
нечно убывающей:
1)	1, i, —, ... ;	2) i, —, ... ;
5 25	3 9 27
3) -27, -9, -3, ... ;	4) -64, -32, -16, ....
16	Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконеч-
но убывающей, если:
1)	Ь. = 40, Ь2 = -20;	2) Ь7 = 12,	=^;
4
3) fe7 =-30, Ь6 = 15;	4) 55 = 9, Ь10 = -^.
15
17	Вычислить:
1)	lim _L;	2) lim (0,2)" ;
Л —* ОО 4 Л	П —♦ ЛО
3)	lim [1 + J-];	4) lim [-] -2.
л —♦ oo \	7n J	л -* оо I \ 5 / I
18	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, если:
D д = -|,	=	2) <7 = 1 Ь5 = ±;
СО	о	ОI
3)g = -i, 51=9;	4)<7=-1*4 = 1.
о	с	Ъ
19	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии:
1)	6, 1, 1,	2) -25, -5, -1, ....
6
20	Записать бесконечную периодическую десятичную дробь
в виде обыкновенной дроби:
1)	0,(5);	2) 0,(8);	3) 0,(32); 4) 0,2(5).
21	Выяснить, является ли последовательность бесконечно убы-
вающей геометрической прогрессией, если она задана фор-
мулой л-го члена:
1)	= 3 • (—2)";	2)	=-5 • 4я;
( 1 V1	( 1 V’1
3)5я=8.(-1)	;	4)Ья=3.(-1]	.
22	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, если:
1)д=1, 6=^2;	2)<? = ^, fe4=-.
2	5	16	4	2	4	8
23	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 30. Найти:
1)	если g = -;	2) g, если by = 20.
5
24	Вычислить:
1)	Пт	2) lim 3"+2 1 J;	3) Um (5"+1)2 .
л —oo 2”	Л—* оо 3я	n-^oo 52л
25	На куб co стороной а поставили куб co стороной —, на него
2
куб со стороной -, затем куб со стороной - и т. д. (рис. 5, а).
4	8
Найти высоту получившейся фигуры.
26 В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности,
касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружно-
16
a)
Рис. 5
сти равен Rr Найти радиусы Я2, Я8, ...» Rn, ... остальных
окружностей и показать, что они образуют бесконечно убы-
вающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма
R} + 2 (R2 + R3 + ... + Rn + ...) равна расстоянию от центра
первой окружности до вершины угла.
Арифметический корень
натуральной степени
Задача 1 Решить уравнение х4 = 81.
► Запишем уравнение в виде х4 - 81 = 0, или
(х2 - 9) (х2 + 9) = 0.
Так как х2 + 9 * 0, то х2 - 9 = 0, откуда х1 = 3,
х2 = -3. <1
Итак, уравнение х4 = 81 имеет два действительных
корня х1 = 3, х2 = -3. Их называют корнями чет-
вёртой степени из числа 81, а положительный ко-
рень (число 3) называют арифметическим корнем
четвёртой степени из числа 81 и обозначают V81.
Таким образом, №1 = 3.
17
Можно доказать, что уравнение хп = а, где п — на-
туральное число, а — неотрицательное число, име-
ет единственный неотрицательный корень. Этот
корень называют арифметическим корнем л-й сте-
пени из числа а.
Определение. Арифметическим корнем нату-
ральной степени п > 2 из неотрицательного чис-
ла а называется неотрицательное число, п-я сте-
пень которого равна а.
Арифметический корень л-й степени из числа а
обозначается так: Va. Число а называется подко-
2 Г~
ренным выражением. Если л = 2, то вместо уа
пишут <Ja.
Арифметический корень второй степени называют
также квадратным корнем, а корень третьей сте-
пени — кубическим корнем.
В тех случаях, когда ясно, что речь идёт об ариф-
метическом корне л-й степени, кратко говорят:
«Корень л-й степени».
Чтобы, используя определение, доказать, что ко-
рень л-й степени Va (а 0) равен д, нужно пока-
зать, что: 1) b > 0; 2) Ьп = а.
Например, V64 = 4, так как О 0 и 43 = 64.
Из определения арифметического корня следует,
что если а > 0, то (Va)n=a, а также \1ап — а.
Например, (V7)5 = 7, У13®” = 13.
Действие, посредством которого отыскивается ко-
рень л-й степени, называется извлечением корня
пй степени. Это действие является обратным дей-
ствию возведения в л-ю степень.
Задача 2 Решить уравнение х3 = 8.
►	Запишем уравнение в виде х3 - 8 = 0, или
(х - 2) (х2 + 2х + 4) = 0, (х - 2) ((х + I)2 + 3) = 0.
Так как (х + I)2 + 3 # 0, то х - 2 = 0, откуда х = 2.<1
Итак, уравнение х3 = 8 имеет один действительный
корень х = 2. Так как 2 > О, то это число — ариф-
метический корень из 8, т. е. v'8 = 2.
Задача 3 Решить уравнение х3 = -8.
►	Запишем уравнение в виде х3 + 8 = 0, или
(х + 2) (х2 - 2х + 4) = 0, (х + 2) ((х - I)2 + 3) = 0.
18
Так как (х - I)2 + 3 * О, то х + 2 = О, откуда
х = -2. <
Итак, уравнение х3 = -8 имеет один действитель-
ный корень х = -2. Так как -2 < 0, то число -2 яв-
ляется корнем из числа -8, но оно не является
арифметическим корнем. Число -2 называют кор-
нем кубическим из числа -8 и обозначают ’^8:
Задача 4
= -2 или
^8 =_^8 =»2.
Вообще, для любого нечётного натурального числа
2k + 1 уравнение х2* *1 = а при а < 0 имеет только
один корень, причём отрицательный. Этот корень
обозначается, как и арифметический корень, сим-
2k + \r~ „
волом <а. Его называют корнем нечетной сте-
пени из отрицательного числа.
Например, 3^27 = -3, V^32 = -2.
Корень нечётной степени из отрицательного чис-
ла а связан с арифметическим корнем из числа
-а = |а| следующим равенством:
2* + 1
2А + 1
Например, V-243 = -v'243 = -3.
Вычислить
V-0.027 - V0,0016 - V729 - V-128.
► V-0.027 - VO,0016 - V729 - V^128 =V (0,3)’ -
~V(0,2)4 - Тз5"-V^2r=-0,3 -0,2-3 + 2 =-1,5. <1
Арифметический корень n-й степени обладает
следующими свойствами: если а >0, Ь> 0, а п, т
и k — натуральные числа, причем п > 2, т > 2, то
Отметим, что в свойстве 1 число b может также
быть равным 0; в свойстве 3 число т может быть
любым целым, если а > 0.
19
Докажем, например, что Vab = п^а \jb.
• Воспользуемся определением арифметического
корня:
1) п4а ny[b 0, так как а > 0 и д > 0;
2) (пу[а n4b)n - ab, так как (Va ny/b)n =
= (Va)" (Vb)n = ab. О
Аналогично доказываются и остальные свойства.
Приведём примеры применения свойств арифмети-
ческого корня.
1)	1/27 1/з = 1/27 3 = V81 = l/з7 = 3;
2)	я[256 .з[4 _з/256 . 4 _ 1'64 = 4.
V 625 ’ V 5 V 625 ' 5	3/г25	5 ’
3)	Уб2’’ = У(53 )7 = 58 = 125;
4)	У11096 = ‘1/4096 = ‘VF*7 = 2;
5)	(1/9) 2 =V9^ = 4± = 1.
Vol о
(V^F)4
Задача 5 Упростить выражение —_____________ , где a > 0, h > 0.
l/va12^
► Используя свойства арифметического корня, полу-
(Vа3Ь2 )	а3Ь2	а3Ь2	.
чаем .	= —=	= ab.
VVa12fte	Уа,2Ь®	а ь
Отметим ещё одно свойство арифметического кор-
ня чётной степени.
При любом значении а справедливо равенство
2 Va2fc = |a|, где k — натуральное число.
• Воспользуемся определением арифметического
корня:
1) |а| 0 по определению модуля;
2) |а|2* = а2\ так как |a|2 = a2. О
Задача 6 Упростить выражение ^/(х-5)4 + ^(х-3)\ если
3 < х < 5.
► ^/(х-5)4 + ^/(х-3)° = |х - 5| + |х - 3|. Так как
3 < х < 5, то |х-5| = -(х-5) = 5-х, |х-3| =
= х - 3. Поэтому ^/(х - 5)1 + ^/(х-3)° =5 — х +
-hx-3 = 2. <1
20
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Упражнения
(Устно.) 1) Найти арифметический квадратный корень из
числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; —.
289
2) Найти арифметический кубический корень из числа:
1; 0; 125; -L; 0,027; 0,064.
27
3) Найти арифметический корень четвёртой степени из
числа: 0; 1; 16;	—; 0,0016.
81 625
Вычислить (28—30).
1) Узб7;	2)	*Тб4^;	3) ‘J	(й)’=	4>	У2254.
1) V105";	2)	Ув17;	3) 4J	(1) ' 41	
1) УЛ;		2) ‘УЛ;	31	
4) У-1024;		5) У-343;	6) УЛ7.	
Решить уравнение:
1) х4=256;	2) х» =	3) бх5 = -160;	4) 2х6 = 128.
32
Вычислить (32—36).
1) У-125 + 1 Уб4; 2) V32 - 0,5 V-216;
8
3) -|Vei + V625;	4) V-1000 - i V256;
5) s+ 3/-o,ooi -УоГскйб.
V 243
1) ^/343 0,125; 2) </512-216;	3) </32-100000.
1) У53-73 ; 2)У114-34; 3)^(0,2)5-85 1) У2 • <’’500; 2) </0,2 • </0,04; 3) V324 • 1)®/31П-215;	2)У23 - 56 ;	; 4) 7J(lV-2r. </4; 4) </2 • У16.
21
371 Извлечь корень:
1) 3>/б4х3г6;	2) Та 8 612 ;	3) ^x10»20;	4) Va’2b18.
38 Упростить выражение:
1) Т2аб2 • ^4а2Ь;	2) Тза2б3 • t/27a2&;
3)	. 4/дэс.	4) з/1_ва . з/ 1
V с V b ’	V Ь2 V2ad’
Вычислить (39—40).
39 1)8Ж: 2)4Л?: з)ЯД; 4)\FS-
\ 14D	Vol	Vo	V oZ
40	1) У324 : VZ; 2) V128 : ^/2000; 3)	4)
3V2 Vs
5) (Лб-Лб): Тб; 6) (V625-V5): V5.
41 Упростить выражение:
Вычислить (42—43).
42 1) (Тт7)2; 2) (T9)’3; 3) (*У32)2; 4) (УТб)"4.
43 1) ?T729; 2) VT1024; 3) v'V<) • Уз7; 4) VVH • Уб7.
44 Упростить выражение:
1) (Vx)e;	2) (V^7)3;	3) (4a- 3Tb)«;
4) ( Va2 • Vfe3 )12;	5) j »	6) | VV27a3 j .
45 При каких значениях x имеет смысл выражение:
1) >/2х-3;	2) Ух + З;	3) У2х2-х-1;	4) *1^^ ?
V2x-4
Вычислить (46—47).
46 1) ^9 +V17 • >/9-</17;	2) (л/з +Тб - V3-V5 )2;
3) f7б+V21 + 7б-ТИ ?.
1 Здесь и далее буквами обозначены положительные числа, если нет
дополнительных условий.
22
5) V11-V57 • V11 +V57;	6) V17-V33 • V17 +УЗЗ.
Упростить выражение (48—49).
3) V7^F-(V^7)5;
2) Vabc • Ma3b2c • Mbbc2 .
50 Вычислить:
3 г-	3 г~ 4 /
Уз Уо. 2) У7-У343,	3) (3^+*/б+’/4)(^3-У2).
в/з	12Л
51	Упростить:
1)	^/(х-2)3 при: а) х > 2; б) х < 2;
2)	7(3-х)6 при: а) хС 3; б) х > 3;
3)	^/сх + б)7 + 7(х-3)2 , если -1 < х < 2;
4)	^/(2х+ I)6 - 7(4+ х)4 , если -3 < х < -1.
52	Сравнить значения выражений:
1)	7з + >'30 и Тез; 2) V7 + /15 и Ло + >28.
53	Доказать, что:
1)	^4 + 273 - 74-273 = 2;
2)	^9 + V80 + 79-V80 = 3.
54 Упростить выражение:
23
Степень с рациональным
и действительным показателями
1.	Степень с рациональным показателем.
Задача 1 Вычислить V512 .
► Так как 5” = (53)4, то Уб17 = V(53)4 = 53 = 125. <
Таким образом, можно записать Уб’2 = 125 = 53
12
или Уб12 = 5 4 , так как 3 = —.
4
_ 15
Точно так же можно записать, что V?15 =7 5 .
Если п — натуральное число, п 2, т — целое
число и частное — является целым числом, то
п
при а > 0 справедливо равенство
"Уа^"=а"’.	(1)
• По условию — = k — целое число, откуда т = nk.
п
Применяя свойства степени и арифметического
корня, получаем
т
Если же частное — не является целым числом,
п
m
то степень а п , где а > 0, определяют так, чтобы
осталась верной формула (1), т. е. и в этом случае
т
считают, что а п = Vam .
Таким образом, формула (1) справедлива для любо-
го целого числа т и любого натурального числа
п > 2 и а > 0. Например:
з
164 = V167 = V?*7 = 23 = 8;
5
74 = У?гГ = V?4 -7 = 7 У7;
27 3 = ^/27~2 = УТ®" = У(3~2)3 = З-2 = -
9
24
Напомним, что рациональное число г — это число
вида —, где т — целое, п — натуральное число.
п
т
Тогда по формуле (1) получаем а' = а " =	.
Таким образом, степень определена для любого ра-
ционального показателя г и любого положительно-
го основания а.
Если г = — > О, то выражение '\ат имеет смысл
п
не только при а > 0, но и при а = 0, причём
Vom = 0. Поэтому считают, что при г > 0 выпол-
няется равенство 0г = 0.
Пользуясь формулой (1), степень с рациональным
показателем можно представить в виде корня и на-
оборот.
Так как — = —, где п и k — натуральные числа,
п nk
т — целое число, то при любом а > 0
in тЛ
а • = а пк .	(2)
5	1
Например, 815 = 83 = 2.
Можно показать, что все свойства степени с нату-
ральным показателем верны для степени с лю-
бым рациональным показателем и положительным
основанием.
А именно, для любых рациональных чисел р и q
и любых а > 0 и b > 0 верны равенства:
1. арач = ар*4.
2. ар:ач = ар~ч.
3. (а')’ = врЛ
4. (ah)p = apbp.
Ь ' ьр ’
В основе доказательства этих свойств лежат свой-
ства корней.
Докажем, например, свойство арач = ар + д.
k
Г
Пусть р = —, q
п
где п и I — натуральные числа,
т и k — целые числа. Нужно доказать, что
т_ *
а п а 1 = а п 1.
(3)
25
Приведя дроби — и - к общему знаменателю,
п I
запишем левую часть равенства (3) в виде
m й ml kn
ап а1 = anl anl.
Используя определение степени с рациональным
показателем, свойства корня и степени с целым по-
казателем, получаем
m й ml йл _________ _____
ап а1 = a nl a nl = ml • Пу/акп = n!jaml •акп =
_________________ m+й
= пЦат1*кп = a = an l. О
Аналогично доказываются остальные свойства сте-
пени с рациональным показателем.
Приведём примеры применения свойств степени:
1 з 1^3
1) 74 -74 = 74 4 = 7;
2	1	2-1	1
2) 93:96 = 93 °=92 =79=3;
/ \9
I 1|4	1.®	2	2
3) (16*) = 163 < = 164 = (24)4 = 2 4 = 23 = 8;
4) 24я = (23 • З)3 = 2’з.зэ = 4^32" = 4^9;
X 1
Задача 2 Вычислить 255 • 1255.
11 11
255 • 1255 = (25• 125)5 = (55)5= 5.
Задача 3	Упростить выражение 1 4 f 1 > ab3 _	+ fr3J 3/- Згт	1	1 а3 + Ь3	а3д+ ab6 а + <Jb = at>. <1
26
Задача 4 Упростить выражение
17 _1 ®
4* - а3 а 3 - а3
~ Г i 71
а3 - а3 а3 + а 3
11-1^1 -1
а8 - а3 а 3 - а3 _ а3(1-а2) а 3(1-а2)
~ Г 2 71 I Л
а3-а3 а3 + а 3	а3(1-а) а 8(1+а)
= 1 + а-(1-а) = 2а. О
Задача 5* Вкладчик поместил в банк 10 000 р. Банк ежегод-
но начисляет вкладчику 3% от суммы вклада.
Какую сумму денег получит вкладчик через 3 года
и 5 месяцев?
► Искомая сумма вычисляется по формуле сложных
процентов:
где а — первоначальная сумма денег, р — число
процентов, начисляемых банком в год, t — число
лет, в течение которых деньги находились в банке.
В данной задаче а = 10 000, р = 3, t = 3^.
По формуле сложных процентов находим
з —
S = 10 000 • 1,03 12. Вычисления можно провести на
микрокалькуляторе, имеющем клавишу Ух .
Ответ 11 062 р. 70 к.<
2. Степень с действительным показателем.
Покажем, как можно определить степень с иррацио-
нальным показателем, на примере З' 2.
Пусть гр г2, г3, ..., гп, ... — последовательность
десятичных приближений числа 42 (например,
с недостатком):
= 1,4, г2 = 1,41, г8 = 1,414, ... .
Эта последовательность стремится к числу V2,
т. е. lim гп = 42.
п -» оо
27
Числа rv г2У r3, ... являются рациональными,
и для них определены степени 3Г| , 3Гг, 3Га, ...»
т. е. определена последовательность
gl.4 «jl.41 gl.414
Можно показать, что эта последовательность стре-
мится к некоторому действительному числу, кото-
рое обозначают 3V2, т. е. З'2 = lim 3Гл.
П —* оо
Вообще, пусть а > 0 и х — произвольное иррацио-
нальное число. Рассмотрим последовательность хр
х2, ..., хл, ... десятичных приближений числа х.
Эта последовательность имеет предел lim ха = х.
П » Q0
Можно показать, что последовательность ах', aXi,
п Г|, ..., аХя, ... также имеет предел. Этот предел
обозначают а* и называют степенью числа а с по-
казателем х (подробнее см. в Приложении).
Таким образом, степень ах определена для любого
а > 0 и любого действительного показателя х.
При любом х е R и любом а > 0 степень ах явля-
ется положительным действительным числом:
а* > 0 при х е R, а > 0.
Задача 6
Если основапис степени а = 0, то степень 0* опреде-
ляют только при х > 0 и считают, что 0х = 0 при
х > 0. Например, 0v2 = 0, О0,1 = 0. При х 0 вы-
ражение 0х не имеет смысла. Например, выраже-
ния О-1, 0~v2 смысла не имеют.
При таком определепии степени с действительным
показателем сохраняются все известные свойства
степени с рациональным показателем. Доказатель-
ство этих свойств для степени с действительным
показателем проводится в курсе высшей математики.
(в7з-1)Ло
Упростить выражение	.
► Применяя свойства степени с действительным по-
казателем, получаем
(а'3-i)'3*1 _ в(Уя-1)(Л.1) _ а2
,а*-Л аЛ-з+4-Л а
28
Приведём ещё одно свойство степени, также дока-
зываемое в курсе высшей математики с помощью
теории пределов.
Для любого а > 1 и любого х > 0 число ах
больше 1, т. е. ах > 1 при а > 1, х > 0.	П)
С помощью свойств степени с действительным по-
казателем доказывается следующая теорема:
Теорема. Пусть а > 1 и х, < х2. Тогда ах' <аХг.
•	По условию х2 - xt > 0. Поэтому по доказанному
свойству (1) имеем ax*~X1 > 1. Умножив обе части
этого равенства на положительное число ах*, полу-
чим aXl ах* > aXl.
Отсюда по свойству умножения степеней получаем
ах* > аХ1, т. е. ах' < ах*. О
Следствие 1. Пусть 0 < а < 1 и хх < х2. Тогда
аХ} > аХг.
•	Так как 0 < а < 1, то — > 1. Поэтому из теоремы
а
следует, что при хх < х2
( 1 V 1
По свойству деления степеней -	= —. Следова-
\ а ) ах
тельно, —— < ——, откуда ах’ > ах*.1 
Следствие 2. Пусть а > 0, а * 1, ах'=аХ2.
Тогда х, = х2.
• Предположим, что равенство хх = х2 не выполня-
ется. Пусть, например, хх < х2. Тогда при а > 1
по теореме должно быть аХ1 < аХг, а при 0 < а < 1
по следствию 1 должно быть аХ| > аХг, что проти
воречит условию ах' = аХг. О
29
Задача 7 Сравнить числа 52%3 и53<2.
► Сравним показатели 2<3 и 3-/2. Так как2>/з =
= <12, 3>/2 = <18 и 12 < 18, то 2 7з < 3>/2. Поэто-
му по теореме 52>3 < 53^. <1
(\/8	/ \3
4 )	к 4 J
►	Так как 0 < л < 4, то 0 < ^ < 1. Сравним показа-
тели: так как 8 < 9, то <8 < V9, т. е. J# < 3. При-
/	/	\3
меняя следствие 1, получаем |^j > [4/
Задача 9 Решить уравнение 4 х = 24'3 .
►	По свойствам степени 4х = (2а)ж = 22ж. Поэтому
уравнение можно записать так: 22x = 24v\ При-
меняя следствие 2, получаем 2х = 4>/з, откуда
x = 2V3. <
Следствие 3. Пусть 0 < Xj < х2. Тогда если
р > 0, то хр<хр, а если р < О, то хр>х%.
• По условию — > 1.
*1
1)	Если р > 0, то по свойству (1) получаем
/ х у
—	>1. По свойству деления степеней — > 1,
V *1 )	хх
откуда х2>хр9 т. е. хр < х£.
2)	Если р < 0, то -р > 0, и по свойству (1) получаем
( — ] >1» откуда —> 1, — > 1, хр > хр2.
к	*1 )	х\р хр2
Таким образом, при возведении неравенства с по-
ложительной левой и положительной правой ча-
стями в положительную степень знак неравенства
не меняется, а при возведении в отрицательную
степень знак неравенства меняется на противопо-
ложный.
30
Задача 10 Сравнить числа 4~2 и Уз.
По свойствам степени получаем
( -У	( -
(V2)6 =(2*] = 23=8, (Уз)6 = 1^3*
Так как 0<8<9 и i > О, то
6
в
= З2 = 9.
1 1
8е <96,
т. е.
2 < Уз. <1
Упражнения
55
56
57
58
59
60
61
62
63
(Устно.) Представить в виде степени с рациональным пока-
зателем:
1) Тх3"; 2) Та7; 3) Vb3"; 4) V77; 5) Та; 6) VF3".
(Устно.) Представить в виде корня из степени с целым пока-
зателем:
1	2	5	_1	1	_2
1) х4;	2) у5;	3) а’8;	4) b"3;	5) (2х)2;	6)(ЗЬ)’3.
Вычислить (57—60).
1	1	2
1) 642; 2) 27*; 3) 83; 4)
4 И	2	6	2
1) 25 • 2 5 ; 2) 57 • 57 ; 3) 93 :
2	2	?2
1)9*-275;	2) 7*-49*;	3) 1444 : 94;	4) 1502:б2.
/	\-0.7ft	/ х--	-1
1)1 —I + - 35	2) (0,04)*1,5 - (0,125) 3;
\ 16 /	\8 /
9	2	6	4	( _2 V5 (	3
3) 8 7 : 87 - З5 • З5 ;	4) (б 6) + Ц0,2)4
з
81“; 5) 16 0 ТЙ; 6) Э'1-5.
1	1	5 f ±| "4
9*; 4) 43 : 46; 5) ^8,2J .
3	3	S3
Найти значение выражения:
1) у/а • 4а при а = 0,09;
3) ——— при b = 1,3;
V Ь
2) Vb : Vb
.. 3/— 4Г~
4) va • va
при b = 27;
124а^ при a = 2,7.
Представить в виде степени с рациональным показателем:
1 1 1 1
l)a3-Va;	2) b2 • b3 • Vb;	3)Vb:b«;
4) a3 : 3V^;	5) x17 • x2-8: VP”;	6) у-3-8 : у'2-3 • 8^.
Вынести общий множитель за скобки:
1 11
1) х2+х; 2) (ab)3 +(ас)я; 3) у4-у3; 4) 12ху2-Зх21/.
31
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
Пользуясь тождеством а2 — b2 = (а + Ь) (а - Ь), разложить на
множители:
1 1
1)	а2 -Ь2\
4) х - у,
2
2)	у3 -1;
1 1
5) 4а2 -Ь2;
1 1
3)	а3 -Ь3;
1 1
6) 0,01m6 -ne.
Разложить на множители, используя тождество а3 + Ь3 =
= (а + b) (а2 - ab + Ь2) или а3 - Ь3 = (а - b) (а2 + ab + Ь2):
3	8	II	1
1) а - х; 2) х2 - у2;	З)а2-Ь2;	4)27а + с2.
Сократить дробь:
11 1
ja-Jb	т2 + п2	Л. с-2с2 4-1
1) —:	Г;	2) 	=	;	3) — 	
т + 2 Vmn + п	Ч с -1
а'-Ь* 3 1
с2 сЬг 2с2-4сЬ
Упростить выражение —-----j---—j~ +---------
с2 + b2	Ь2-с2
Вычислить:
1) 2Л •2’^®; 2) З2'2 : 9*2;
3) (5'/з)''3; 4) ((000)72)^.
Вычислить (69—71).
1) 22 зЛ -8Л;	2) 3м2’'2 : Э^2;
3) (61+V2J1-V2.	4) (5i-^)i*V5 _(Т5)0
1) 21 2'2 •4Л;
3) 91+'3 • З1’^ • 3-2-Л;
1) 
22+Л .51 + Л
3) (25,+'/2 -52'2)-5 ’-2''2;
Выяснить, какое из чисел
1) 3^ или 3;™;
3) или 4"^2;
2) З2 31/3 • 27Л;
4) 43*'2 • г1"75 • 2 *-^.
~	дЗ + Л
2)		------------;
22♦ /б в +-/б
4)	(22^ -	22j3.
больше:
Сравнить
1) 2 2;
5)	г7®;
число с единицей:
2) (0,013)-*;
4) 27*-5;
32
74
75
76
77
78
79
80
81
82
Упростить выражение:
1)ала*-л; 2)вл-1-вл**; 3)	: b2.
Сравнить числа: 1) У 2 и УЗ; 2) Уб и V7.
Вычислить:
/	\-O,76	Z \-	2	Z
1) — +81OOOO0 25- 7— 5; 2) 278-(-2)"г+ 3- 3
V16 7	\	32)	\	8	7
-1	?	-11	(	,	V11
3)	(0,001) 3-2‘2 • 643 -8 3 ; 4) (-0,5)“*-6250,2S - I 2^ J 2
Упростить выражение (77—78).
2) I 5 . 24 - 2-* : 54
Уад-2 +(аь)’б
Vafe4;
Вычислить:
/ 5	1	5	f 1	8	1 ЗА
1) [г3 -3 3 -3я -2 3 ] Уб;
Упростить выражение (80—83).
1)	a® ^аЧа; 2) ft,z 3Jb ;
/ 2	2	\
4)	( y/a + Vb) ^a3 + fe3 - Vab j.
11	• 21	12+‘Д+vO
1	9	1	3	j	j
3)	fl4 ~ fl4 b 2 ~	y1 a - a 3 b	- д 3 b
' 1	5	1	_1 *	' t _ Г^ГГ	.I
a*-a4 b2 + b 2	V *Va + a 3 \Tb
•n4'3	r~ r- r-
n -----r^T: 2) — /7 	3) (a'2-5^)(a^+^3);
(mn)2^'13	(xyp7
4) (2a-°-5--U-^	+2a-°-5\
\	3 Дз	)
33
83	1) (a1*''2)1"''2;
3) (aV2 + ^3)V7-W+^9.
2)
rn
зЛ
2 .
• m ;
4) Vs+i)i-V5e
Решить уравнение (84—85).
84
85
l)5-=5<; 2)(|f=(if;
3) 9X=32'7; 4) 16х = 2Кя.
1) 7хЛ = У7;
3) (У2)х = 2-У2;
2) 25х'2 = б-Уб;
4) (УЗ)3х = зУз.
86 Сравнить числа:
1) V10 и v20; 2) V5 и V?; 3) У17 и 3У28; 4) V13 и 5У23.
Упростить выражение (87—89).
87
88
89
1)
2)
3)
1)
3)
1)
з	1
Зху-у2 _ у-Уу у Ух .
Х~У Jx-Jy J~x + Уу
. Уд2 -Уд2 _ a -й
* з/~ з/т	2	2 ’
V°"V<’	д3 + У^+д3
____а + b	а- b.
2___11	2__2	11	2 ’
а3-а3Ь*+Ь5 а3 + а3Ь3 + *3
1 1
а3-д3	1
a^b i ГЛ Г’
а3-аяЬ* + Ь3
2	2
X3 - у3 .
“2	11 Г "И 2	11	2	1	1 ’
х3 - X3 у3 + у3 X3 + X3 у3 +• у3 Х3-у3
34
90 Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько
денег получит вкладчик через 3 года?
91 Банк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько
денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если перво-
начальная сумма вклада составляла 2000 р.?
1) I 0,645 :0,3- 1 — ) • f 4 :6,25- 1: 5 + V • 1,96 ];
I	180/V	7 J
2)	( 1 - 0,375 ) : 0,125 + ( 5 - — 1: (0,358 - 0,108).
V2 ) Vo 12/ '
93 Представить в виде обыкновенной дроби:
1) 1,3(1);	2) 2,3(2);	3) 0,(248);	4) 0,(34).
94 Вычислить:
(о \-1	/ \-2
-	, (0,3)Л (-1,2)’2, i2—I ;
3 /	\ 4 /
2) V27, V81, Тз2, V87, V167, V277;
12	1	2	_3 f .2
3) 83, 273, 100004, 32s, 32 5, | — Г.
V 64 )
95 Вычислить:
1) 753 • 73 , Уз24 • t/4, 4J15^ :
V 8 V 5
1 i 7,4-1	1	1/, 44
2) 56° : 8-2, 164-252,	±	:92, 83 Ц :16 »:
1157	V2J
1-1 1-1
54 5 4	73.7 3 О,Зол О.З'1
52	72	О.З1’8
Вычислить (96—97).
/ 4-1	Z	4-1	2
96	1) -- -	; 2) — 125 ’	3; 3) 273 + 9 1;
4 V3j	\27	J
_1	Z 4-1 Z 4-1	Z X-?Z
4) (0,01) 2 .100 2; 5)	2 -	; 6) 2^ 3
V 81J V57 V27J V4
35
97
98
99
100
101
102
103
104
105
г)‘Л'Я!
51 (УЖ)1;
Расположить числа в порядке возрастания:
/ \-3	/ \-1	1
1) I3-78, 2 *, Ц ;	2) 98°, -	, 325.
Сравнить числа:
1 z si	/ U	1
1) 0,886 и 6;	2) — 4 и 0,41 <;
V11J	1127
Упростить выражение, представив его в виде степени с осно-
ванием а:
I1	7	/ \ 2
1—	—	/ Q 1 Л
л 2 ,,-0.5	-3 л3	71-- —I
1) ---------;	2) ----j;	3) (a2,6)2 Va; 4) Va^|a14J .
а3	а»
Упростить выражение:
Сравнить числа:
Решить уравнение:
1
1) 62х= 65;
4) 22х*1 = 32;
Сократить дробь:
1)
йу* + 20
2)	3х = 27;
5) 4а*'= 1.
3)	73х = 7’°;
а8 -Ь5
Упростить:
8	1
ab2 - Ь2
a2b2-1
36
Проверь себя!
1 Вычислить:
- - 1
1) 153	; 2) j 2-(±]3 +4-379°; 3) | :У128 + аД | : V2
5 3
7
з / ab2 з / абд а'3- а3
2	Упростить выражение: 1) J------ • J —— ; 2) ----—.
а3
1
3	Сократить дробь —	.
7а4 + 21
/	\3	, хЗ
4	Сравнить числа и I - I и	•
5	Упростить выражение ( Va + \ib )2 - ('\la - \b)2.
106 Показать, что геометрическая прогрессия является беско-
нечно убывающей, если:
1)	Ъ2 = -81, S2 = 162;	2) b2 = 33, S2 = 67;
3)	bY + b2 = 130, bx - b3 = 120;	4) b2 +	= 68, b2 - b4 = 60.
107 Записать бесконечную периодическую десятичную дробь
в виде обыкновенной: 1) 1,10(209); 2) 0,108(32).
108 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии с положительными членами, если сумма первых
трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин
равна
109 Упростить выражение 4- 30 V2 + ^43-30 V2.
110 Упростить выражение а = (4-3>/2)2 + 8^34-24/2 -Тб.
Сравнить полученное число с нулём.
111 Сравнить числа а и Ь, если:
1)	а =	2	+ —5__, Ь =
V5-V3	3 + 2V2	V8-V5
2)	а = V2 + Л, b = Л0;
3)	a = 5-V15, & = V17-3;
4)	a = Vl3 - -/12, b = V12 - Л1.
37
112
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
113
Вычислить:
1) (3V7 -3V4) (3V49 + V28 + V16);
2) (3Л-’ЛО + V25) (V2 +V5).
114
115
116
117
Упростить выражение (114—117).
118
Доказать, что ^7 + 5>/2 + ^7-5^2 = 2.
38
II
- глава
- Степенная функция
Как алгебраисты вместо АА. ААА,... пишут
А2, А3, ...» так я... вместо —,
7	а а2 а3
пишу а"\ а'2, а~3.
1	И. Ньютон
Степенная функция,
её свойства и график
Вы знакомы с функциями у = х, у = х2, у = х3,
у = i и т. д. Все эти функции являются частны-
X
ми случаями степенной функции, т. е. функции
у = хр, где р — заданное действительное число.
Свойства степенной функции зависят от свойств
степени с действительным показателем и, в частно-
сти, от того, при каких значениях х и р имеет
смысл степень хр.
Познакомимся с некоторыми свойствами функций,
которыми обладают, в частности, отдельные сте-
пенные функции.
Функция у — f (х), определённая на множестве X,
называется ограниченной снизу на множестве X,
если существует число такое, что для любого
х е X выполняется неравенство f (х) > Cv
Это означает, что все точки графика ограниченной
снизу функции у = / (х), х е X расположены выше
прямой у = или на этой прямой (рис. 6, а).
Функция у = f (х), определённая на множестве X,
называется ограниченной сверху на множестве X,
если существует число С2 такое, что для любого
х е X выполняется неравенство f (х) С2.
39
Рис. 6
В этом случае все точки графика функции у - f (х),
х е X, лежат ниже прямой у = С2 или на этой пря-
мой (рис. 6, б).
Например: 1) функция у - х2 - 2х является огра-
ниченной снизу, так как х2 - 2х = (х - I)2 - 1 -1
(рис. 7, а); 2) функция у = -х2 - 2х + 3 ограниче-
на сверху, так как -х2 - 2х + 3 = 4 - (х + I)2 4
(рис. 7, б).
Функцию, ограниченную и сверху, и снизу па
множестве X, называют ограниченной на этом
множестве.
Функция у = f (х) является ограниченной на мно-
жестве X тогда и только тогда, когда существует
число С > 0 такое, что для любого х е X выполня-
ется неравенство | f (х) | С С.
Если существует такое значение х0 из области опре-
деления X функции у = f (х), что для любого х из
этой области справедливо неравенство f (х) > f (х0),
Рис. 7
40
то говорят, что функция у = f (х) принимает наи-
меньшее значение yQ = f (х0) при х = х0. Например,
функция у = х2 - 2х принимает при х = 1 наимень-
шее значение, равное -1 (см. рис. 7, а).
Если существует такое значение х0 из области
определения X функции у = f (х), что для любого
х g X справедливо неравенство f (х) < f (х0), то го-
ворят, что функция у = f (х) принимает наиболь-
шее значение у{) = f (х0) при х = х0.
Перейдём к подробному рассмотрению различных
случаев в зависимости от показателя степени р.
1. Показатель р = 2п — чётное натуральное число.
В этом случае степенная функция у = х2л, где п —
натуральное число, обладает следующими свойствами:
—	область определения — все действительные
числа, т. е. множество R;
—	множество значений — неотрицательные чис-
ла, т. е. у > О;
—	функция у = х2л чётная, так как (~х)2л = х2л;
—	функция является убывающей на промежутке
х С 0 и возрастающей на промежутке х 0;
—	функция ограничена снизу;
—	функция принимает наименьшее значение
у = 0 при х = 0.
График функции у = х2п имеет такой же вид, как,
например, график функции у = х4 (рис. 8, а).
Рис. 8
41
2. Показатель р = 2п - 1 — нечётное натуральное
число.
В этом случае степенная функция // = х2л-1, где
п — натуральное число, обладает следующими
свойствами:
—	область определения — множество Я;
—	множество значений — множество Я;
—	функция у = х2п " 1 нечётная, так как (-х)2л 1 =
= —х2л "1в
—	функция является возрастающей на всей дей-
ствительной оси;
—	функция не является ограниченной;
—	функция не принимает ни наибольшего, ни
наименьшего значения.
График функции у = х2л 1 имеет такой же вид,
как, например, график функции у = х3 (рис. 8, б).
3. Показатель р —~2п, где п — натуральное число.
В этом случае степенная функция у = х"2л = ———
х2п
обладает следующими свойствами:
—	область определения — множество Я, кроме
х = 0;
—	множество значений — положительные числа
У > 0;
—	функция у =	чётная, так как —Ц— = -4—;
x2rt	(-х)2л х2п
—	функция является возрастающей на проме-
жутке х < 0 и убывающей на промежутке х > 0;
— функция ограничена снизу;
—	функция не принимает ни наибольшего, ни
наименьшего значения.
График функции имеет такой же вид, как, напри-
мер, график функции у = -4т (рис. 9).
х2
Прямую у = 0 (ось абсцисс) называют горизонталь-
ной асимптотой (от греч. asymptotes — несовпа-
дающий) графика функции у = х~2л, п € N. Пря-
мую х = 0 (ось ординат) называют вертикальной
асимптотой графика этой функции (при значе-
ниях х, приближающихся к нулю, расстояния от
точек этого графика до прямой х = 0 становятся
сколь угодно малыми).
42
4. Показатель р = -(2п-1), где п — натуральное
число.
В этом случае степенная функция у - х~{2п "1) =
= —i—, где п е N, обладает следующими свойст-
х2”'1
вами:
— область определения — множество R, кроме
х = 0;
— множество значений — множество Л, кроме
У	= 0;
—	функция у -  1 нечётная, так как-------=
х2"'1	(-х)2л“1
_ 1 .
х2я 1 ’
—	функция является убывающей на промежут-
ках х < 0 и х > 0;
—	функция не принимает ни наибольшего, ни
наименьшего значения.
График функции у =  - 1 — имеет такой же вид,
х2”'1
как, например, график функции у = -4- (рис. 10).
х3
Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой,
а ось ординат — вертикальной асимптотой графи-
ка функции.
43
5*. Показатель р — положительное действитель-
ное нецелое число.
В этом случае функция у = хр обладает следую-
щими свойствами:
—	область определения — множество неотрица-
тельных чисел х > О;
—	множество значений — множество неотрица-
тельных чисел у 0;
—	функция является возрастающей на промежут-
ке х > 0;
—	функция не является ни чётной, ни нечётной;
—	функция ограничена снизу;
—	функция принимает наименьшее значение
у = 0 при х = 0.
График функции у = хр, где р — положительное
нецелое число, имеет такой же вид, как, например,
1
график функции у = г3 (при 0 < р < 1) или как,
4
например, график функции у = хя (при р > 1)
(рис. 11, а, б),
6*. Показатель р — отрицательное действительное
нецелое число.
В этом случае функция у = хр обладает следующи-
ми свойствами:
—	область определения — множество положитель-
ных чисел х > 0;
—	множество значений — множество положитель-
ных чисел у > 0;
44
—	функция является убывающей на промежутке
х > 0;
—	функция не является ни чётной, ни нечётной;
—	функция ограничена снизу.
График функции у = хр, где р — от-
рицательное нецелое число, имеет
такой же вид, как, например, гра-
фик функции у = х 3 = -у (рис. 12).
х*
Задача 1 Найти наибольшее и
значения
'ч
наименьшее
у = хв на отрезке
функции
► Функция у = х6 на отрезке
убывает при х 6 [-2; 0], возрастает
при хе 0; -
следовательно, она
Рис. 13
принимает наименьшее значение,
равное нулю, при х = 0. Наибольшее
значение этой функции — наиболь-
шее из чисел у (-2) и у | j. Так как
/ X ✓	\6
>(-2) = (-2)« = в4,
то у(-2)> и наибольшее зна-
чение равно 64. <1
Задача 2 Построить график
функции у = - (х - I)5 + 2.
► Областью определения функции
является множество действительных
чисел. Строим график функции у = -Xй, осуществ-
ляем сдвиг вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо
и сдвиг вдоль оси ординат на 2 единицы вверх.
График изображён на рисунке 13.
Задача 3* Найти точки пересечения графиков функций
4
3 Г~	о
У = VX и у = X3.
► Для нахождения точек пересечения этих графиков
4
решим уравнение Vx = х3. Левая часть этого урав-
45
Ответ
нения имеет смысл при всех х, а правая — только
при х > 0.
При х > 0 функция у = уГх совпадает с функцией
1
у - х3, поэтому уравнение можно записать так:
X 4
х8 = х3. Возводя это уравнение (при х 0) в куб,
получаем х = X4, откуда х(х3-1) = 0, Xj = 0,
х2 = 1.
(0; 0), (1; 1). <
Упражнения
119 Изобразить схематически график функции и указать её об-
ласть определения и множество значений; выяснить, являет-
ся ли функция ограниченной сверху (снизу):
1) р = хв;	2) р = х5;	3) р = х7;
4) у = х-2;	5) у = х"8;	6) у = х6.
120 (Устно.) Выяснить, является ли функция у - хр возрастаю-
щей (убывающей) при х > 0, если:
1) р = 7;	2) р = 16;	3) р = -3;
4) р = -7;	5) р =-4;	6) р = -10?
121 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на за-
данном отрезке:
1) Р = х4, хе [-1; 2];	2) у = х7, хе [-2; 3];
3) у = х 1, х е [-3; -1];	4) у = х"2, х е [1; 4].
122 Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с еди-
ницей:
1) 4,112; 2) 0,23; 3) 0,7е; 4) (7з)“; 5) 1,3 s; 6) 0,8’.
123 Построить график функции, указать её область определения
и множество значений. Выяснить, является ли функция воз-
растающей (убывающей), является ли функция ограничен-
ной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение:
1) У = - (X - 2)3 - 1;	2) у = (х + З)4 + 2.
124 Сравнить значения выражений:
1) 3,17 и 4,37;	2)	| и (
\ 11 7 V
3) 0,38 и 0,2е;	4) 2,52 и 2,62;
7) (4л/з)-3 и (Зл/4)-3;	8) (2 Уб)-5 и (бУ2)’5.
46
125 В одной системе координат построить графики функций,
находя сначала их области определения и множества зна-
чений:
1 1
1) у = х3 и у = х3;	2) у = х4 и у = х4 ;
3) у = х2 и у = х*2;	4) у = х5 и у = х“в.
126 Найти промежутки, на которых график функции:
1
1) £/=х8; 2) у - х3 —лежит выше (ниже) графика функ-
ции у = х.
127 Изобразить схематически график функции и найти её об-
ласть определения и множество значений; выяснить, являет-
ся ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной
сверху (снизу):
1) у = (х-2)7; 2) у = (х + 1)в; 3) // = (х + 2Г2; 4) у = (х-1Г3.
128 Пользуясь рисунком 13 (с. 45), найти промежутки, на кото-
1	5
рых график функции: 1) у = х5; 2) у - х3 — лежит выше
(ниже) графика функции у = х.
129 Построить график функции и указать её область определения,
множество значений и промежутки возрастания и убывания;
выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):
1
1) у = |*|а;	2) у = |х|5;	3)у = |х|3 + 1;
1 1
4) у = |х|®-2;	5) j/ = |x + 2|3;	6)у = |2х|*8.
130 Найти координаты точки пересечения графиков функций:
з	5
1) y = Vx и у = х5;	2) p = Vx и у = х7.
S Взаимно обратные функции
□........................................
-
Если задана функция у = f (х), то для каждого зна-
чения х из области определения функции можно
найти соответствующее значение у. Нередко при-
47
ходится решать обратную задачу: по данному зна-
чению функции у находить соответствующее значе-
ние аргумента х.
Примером может служить функция v (t) = v0- gt,
которая выражает зависимость скорости и дви-
жения тела, брошенного вверх с начальной скоро-
стью о0, от времени движения /. Из этой формулы
можно найти обратную зависимость t = t (и) — вре-
мени t от скорости VI
^0-^
R
В рассмотренном примере каждому значению функ-
ции v = v (О соответствует одно значение аргумен-
та. Для таких функций можно выразить обрат-
ную зависимость значений аргумента от значений
функции. Такие функции называют обратимыми.
Если функция у = f (х) принимает каждое своё
значение только при одном значении х, то эту
функцию называют обратимой.
-1 0
Рис. 14
Например, функция у = 2х - 2 обра-
тима, так как каждое значение у при-
нимается при единственном значении
аргумента х. Это значение можно най-
ти, решая уравнение у = 2х - 2 отно-
сительно х.
Функция у = х2 не является обрати-
мой, так как, например, значение
у = 1 она принимает при х = 1 и при
х = -1 (рис. 14). Пусть у = f (х) — об-
ратимая функция. Тогда каждому у
из множества значений функции со-
ответствует одно определённое чис-
ло х из области её определения, такое,
что f (х) = у. Это соответствие опре-
деляет функцию х от у, которую обозначим
х = g (у). В этой записи в соответствии с при-
нятыми обозначениями поменяем местами х и у.
Получим у = g (х).
Функцию у = g (х) называют обратной к функции
У = f (X).
Задача 1 Найти функцию, обратную к функции
у = Зх + 5.
(1)
48
► Решая это уравнение относительно х, получаем
х=-(|/-5). В этой формуле поменяем местами
3
х и у:
у = \(х-Ъ).	(2)
о
Функция (2) обратна к функции (1). <1
Вообще, если обратимая функция у = f (х) задана
формулой, то для нахождения обратной функции
нужно решить уравнение f (х) = у относительно х
и затем поменять местами х и у.
Заметим, что рассмотренная в задаче функция
у = Зх 4- 5 является обратной к найденной для неё
обратной у = i (х - 5) функции. Поэтому эти функ-
3
ции называют взаимно обратными.
Из определения обратной функции следует, что
область определения обратной функции совпа-
дает со множеством значений исходной функ-
ции, а множество значений обратной функции
совпадает с областью определения исходной функ-
ции.
Задача 2
Найти функцию, обратную к функции
!/ = —Ч;
X ~ £
► Решая это уравнение относительно х, получаем
х = 2 + -. Заменив х на у и у на х, находим
У
у = 2 + ±. <
X
В этой задаче область определения функции
у = —-— есть множество действительных чисел, не
равных 2, а множество её значений — все действи-
тельные числа, не равные 0. График этой функции
изображён на рисунке 15.
Для обратной функции у = 2 + — область определе-
х
пия — множество действительных чисел, нс рав-
ных 0, а множество значений — все действитель-
ные числа, не равные 2. График этой функции
изображён на рисунке 16.
Возрастающие и убывающие функции иногда на-
зывают одним словом — монотонные.
49
Теорема 1. Монотонная функция является об-
ратимой.
•	Пусть функция у = f (х) возрастает и пусть i/0 — её
значение в некоторой точке х0, т. е. yQ- f (х0).
Тогда если х принадлежит области определения
функции, то при х > х0 выполняется неравенст-
во f (х) > f (х0) = i/0, а при х < х0 — неравенство
f (x)<f (х0) = yQ.
Следовательно, значение i/0 функция f (х) прини-
мает только в одной точке х0 и поэтому является
обратимой. Для убывающей функ-
ции доказательство проводится ана-
логично.
Например, функция у = х3 возраста-
ет и поэтому является обратимой;
обратной к ней является функция
У = ‘Ух (рис. 17).
Если функция у = f (х) возрастает,
то с увеличением х значения у уве-
личиваются и, наоборот, с увеличе-
нием у увеличиваются х. Это озна-
чает, что обратная функция также
возрастает. Аналогично если функ-
ция у = f (х) убывает, то обратная
к ней функция также убывает. На-
пример, функция f (х) = 1 - 2х убы-
50
вает и обратная к ней функция g (х) = —- также
2
убывает.
Функция, не являющаяся монотонной, обратной
может не иметь. Например, функция у = х2, рас-
сматриваемая на всей числовой оси, не имеет об-
ратной.
Однако если функцию у = х2 рассматривать только
при х > 0, то на этом промежутке она возрастает и,
следовательно, имеет обратную у = Vx (рис. 18, а).
Функция у = х2, рассматриваемая при х < 0, убы-
вает и также имеет обратную у = - Vx (рис. 18. б).
Теорема 2. Если функция имеет обратную, то
график обратной функции симметричен графику
данной функции относительно прямой у = х.
•	Если точка (х0; yQ) принадлежит графику функции
у = f (х), то точка (yQ; х0) принадлежит графику об-
ратной функции у = g (х) (рис. 19), а точки (х0; |/0)
и (Уц\ х0) симметричны относительно прямой у = х
(рис. 20). О
Рисунок 18 иллюстрирует эту теорему.
Отметим, что степенная функция у = хр с об-
ластью определения х > 0 и р * 0 обратима, так
как она монотонна.
Обратной к степенной функции у = хр при х > 0 и
р Ф 0 является функция у = хр .
51
Упражнения
131	(Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:
1)	у = Зх -	1;	2)	у	=	хг + 7;	8)у = Ь
X
4)	у = Vx;	5)	у	=	х4;	в)	у = х4, х < 0.
132	Найти функцию, обратную к данной:
1)	у = 2х-	1;	2)	р	=	-5х + 4;
3)	у = |х-|;	4)	р	=
о о	Z
5)	£/ = х3+1;	6) //= х3 - 3.
133	Найти область определения и множество значений функции,
обратной к данной:
1)	у =-2х + 1;	2)	у =	±х-7;
3)у = х3-1;	4)	у =	(х-1)3;
5) р = -;	6)	у =	—А-
х	х-4
134 Функция у = f (х) задана графиком (рис. 21). Построить гра-
фик функции, обратной к данной.
135 Являются ли взаимно обратными функции:
1)	у =-х и у = —Ух;
2)	у = -х5 и у = Vx;
3)	у = х я и У = ^=?
4)	у = уГх^ и р = х3^?
52
136 Найти функцию, обратную к данной:
1	3	3	1
1) у = -х2\ 2) i/ = -x*; 3) у = х2; 4) у = -х3.
137 На одном рисунке построить график данной функции
и функции, обратной к данной; найти область определения
и множество значений каждой из них:
1) у = Зх - 1;	=
3)	у = х2 - 1 при х > 0;
4)	у = (х - I)2 при х > 1;
5)	у = х3 - 2;	6) у = (х - I)3;
7)	у = -Ух — 1;	8) у = 4х + 1.
53
7 Равносильные уравнения и неравенства
1. Равносильные уравнения.
Задача 1 Найти точки пересечения графиков функций
у = з/х и у = х 4- 2.
► Если (х; у) — точка пересечения данных графиков,
то зУх = х 4- 2. Следовательно, для нахождения
абсцисс точек пересечения нужно решить уравнение
3Vx = x + 2.	(1)
Возводя обе части уравнения (1) в
квадрат, получаем 9х = х2 + 4х 4- 4,
откуда х2 - 5х 4- 4 = 0. Корни по-
лученного квадратного уравнения
х, = 1, х2 = 4. Проверка показывает,
что оба корня являются также и
корнями уравнения (1).
Теперь находим ординаты точек
пересечения данных графиков
!/1=3/х7=3, y2 = 3jx^=6. Итак,
данные графики пересекаются в
двух точках (1; 3) и (4; 6) (рис. 22).
Ответ (1; 3), (4; 6). <1
При решении задачи 1 исходное уравнение
3>/х = х 4- 2 заменялось уравнениями
9х = х2 4- 4х 4- 4, х2 - 5х + 4 = 0.
Все эти три уравнения имеют одни и те же корни
хг = 1, х2 = 4. Такие уравнения называют равно-
сильными.
Уравнения, имеющие одно и то же множество кор-
ней, называются равносильными.
Уравнения, не имеющие корней, также являются
равносильными.
Например, уравнения 4х - 3 = 2х 4- 3 и 2х = 6 рав-
носильны, так как каждое из них имеет только
один корень х = 3. Уравнения (х- 2) (х 4 5) = 0
и х2 4- Зх - 10 = 0 также равносильны, так как
54
оии имеют одни и те же корни хх = 2, х2 = -5.
Уравнения 2х = 4 и Зх1 2 = 12 не равносильны, так
как первое имеет корень х = 2, а второе — корни
xt = 2 и х2 = -2. Из определения равносильности
уравнений следует, что два уравнения равносиль-
ны, если каждый корень первого уравнения явля-
ется корнем второго уравнения и, наоборот, каж-
дый корень второго уравнения является корнем
первого уравнения.
Из курса 7 класса вы знаете, что можно сделать
следующие преобразования уравнений:
Любой член уравнения можно перенести из одной
части в другую, изменив его знак на противопо-
ложный.
Обе части уравнения можно умножить или разде-
лить на одно и то же число, не равное нулю.
При этих преобразованиях исходное уравнение за-
меняется на равносильное ему уравнение.
Заметим, что если некоторое выражение в левой
или правой части уравнения заменить тождествен-
но равным ему выражением, то получится уравне-
ние, равносильное исходному. Однако не при лю-
бом преобразовании уравнение заменяется на
равносильное.
Например, при возведении в квадрат обеих частей урав-
нения Vx = х - 2 получается уравнение х = (х - 2)2,
не равносильное исходному: первое уравнение име-
ет только один корень х = 4, а второе — два корня
х1 = 4 и х2 = 1. В этом случае второе уравнение на-
зывают следствием первого уравнения.
Если при переходе от одного уравнения к другому
потери корней нс происходит, то второе уравнение
называют следствием первого уравнения. Иначе,
если все корни первого уравнения являются кор-
нями второго уравнения, то второе уравнение на-
зывается следствием первого уравнения.
Из этого определения и определения равносильно-
сти уравнений следует, что:
1) если два уравнения равносильны, то каждое из
них является следствием другого;
2) если каждое из двух уравнений является след-
ствием другого, то эти уравнения равносильны.
55
При решении уравнений главное — не потерять
корни, а наличие посторонних корней можно уста-
новить проверкой. Поэтому важно следить за тем,
чтобы при преобразовании уравнения каждое сле-
дующее уравнение было следствием предыдущего.
Задача 2 Решить уравнение
2х   х +1 	4	(2)
х-2 х-1 (х-1)(х-2)
► Умножив обе части уравнения на общий знаме-
натель всех трёх дробей, т. е. на (х - 1) (х - 2),
получим
2х (х - 1) - (х + 1) (х - 2) = 4,	(3)
откуда х2 - х - 2 = 0, хх = 2, х2 = -1.
Проверка. 1) При х = 2 знаменатели двух дро-
бей уравнения равны нулю. Поэтому х = 2 не явля-
ется корнем данного уравнения.
2) При х = -1 левая часть уравнения равна
2 (-1) -Ы _ 2
-1-2	-1-1	8*
правая часть равна
4	_ 2
(-1-1М-1-2) З’
Ответ х = -1. <
Заметим, что для проверки корня х =-1 достаточ-
но было убедиться в том, что знаменатели дробей
уравнения при х = -1 не равны нулю (если, конеч-
но, при решении уравнения не допущены ошибки
в преобразованиях и вычислениях).
При решении задачи 2 из уравнения (2) получено
уравнение (3), которое является следствием урав-
нения (2). Корень xt = 2 уравнения (3) не является
корнем уравнения (2). Его называют посторонним
корнем.
Посторонние корни могут получиться при умно-
жении обеих частей уравнения на выражение, со-
держащее неизвестное.
Задача 3 Решить уравнение х2 - 4 = 7х - 14.
► Преобразуем данное уравнение так:
(х + 2) (х - 2) = 7 (х - 2),
(4)
56
откуда (х + 2 - 7) (х - 2) = 0, т. е. (х - 5) (х - 2) = О,
следовательно, Xj = 5, х2 = 2. <
Если обе части уравнения (4) разделить на х - 2,
то получится уравнение х + 2 = 7, которое имеет
только один корень х = 5, т. е. произойдёт потеря
корня х = 2, и решение задачи будет неверным.
Потеря корней может произойти при делении обе-
их частей уравнения на выражение, содержащее
неизвестное.
Итак, при решении уравнения можно делать толь-
ко такие его преобразования, при которых не про-
исходит потери корней. Если при этом получаются
уравнения — следствия данного, то необходима
проверка найденных корней.
2. Равносильные неравенства.
Равносильность неравенств с неизвестным опреде-
ляется аналогично.
Неравенства, имеющие одно и то же множество
решений, называют равносильными. Неравенства,
не имеющие решений, также являются равносиль-
ными.
х — 3
Например, неравенства —-----<0 и х - 3 < 0 равно-
сильны, так как имеют одно и то же множество
решений х < 3. Неравенства х2 - 4х < х - 6 и
х2 - 5х + 6 < 0 равносильны, так как имеют одно
и то же множество решений 2 < х < 3. Неравенства
2 х
--->1 и 2х > х - 1 не равносильны, так как ре-
х-1
шениями первого являются числа х <-1 и х > 1,
а решениями второго — числа х > -1. При реше-
нии неравенств обычно данное неравенство преоб-
разуется в ему равносильное.
Задача 4
Решить неравенство
X2 + 1
► Так как х2 + 1 > 0 при всех действительных значе-
ниях х, то, умножая неравенство на х2 + 1, получа-
ем неравенство 5х - 3 > х2 + 1, равносильное дан-
ному. Решая это неравенство, получаем
х2 - 5х + 4 < 0, (х - 1) (х - 4) < 0,
откуда 1 < х < 4. <1
57
-5	-11	-10	1
Рис. 23	Рис. 24
о 2
Задача 5 Решить неравенство —2— > —.
х-1 х + 1
►	—------— > 0, 3xt-3~-2x-+ 2 > о, -----------> 0.
х-1 х + 1	(х-1)(х + 1)	(х-1)(х + 1)
Решая последнее неравенство методом интервалов
(рис. 23), получаем -5 < х < -1, х > 1.
Ответ -5<х<-1, х>1. <1
Задача 6 Решить неравенство Xе < х2.
►	Xе - х2 < 0, х2 (х4 - 1) < 0,
х2 (х - 1) (х + 1) (х2 + 1) < 0.
Решая последнее неравенство методом интервалов
(рис. 24), получаем -1 < х < 0, 0 < х < 1.
Ответ -1<х<0, 0<х<1. <1
Упражнения
138 Решить уравнение:
1) (х + 7) • 3 = 2х + 14;	2) х2 + —— =4+ -Д—;
г2-4	х2-4
3) х ~	— 1-2х,	дч	5х-15	_	2
х2 — 1 х2 — 1 *	1 (х-3)(х+2)	х+2*
139 Равносильны ли следующие уравнения:
1)	Зх- 7 = 5х + 5 и 2х+ 12 = 0;
2)	1(2*-1)=1 и =
5	8
3)	х2 - Зх + 2 = О и х2 + Зх + 2 = 0;
4)	(х - 5)2 = 3 (х - 5) и х - 5 = 3;
5)	х2 - 1 = 0 и 2х' * = 0;
6)	|х-2| = -3 и Зх = (-1)3?
140 Равносильны ли следующие неравенства:
1)	2х - 1 >2 и 2 (х - 1) > 1;
2)	(х - 1) (х + 2) < 0 и х2 + х < 2;
3)	(х - 2) (х + 1) < Зх + 3 и х - 2 < 3;
4)	х (х + 3) > 2х и х2 (х + 3) > 2х2?
58
141 Установить, какое из двух уравнений является следствием
другого уравнения:
1)	х - 3 = 0 и х2 - 5х + 6 = 0;
х2-Зх + 2	_	9 Л Л
2)		= 0 и х2 - Зх + 2 - 0.
х-1
142 Решить уравнение:
1)	х -ь 2х = 4х •	2)	- — = * •
х + 1	х-1	х2—1*	х-2 х х-2’
3)	(х - 3) (х - 5) = 3 (* - 5);	4) (х - 2) (х2 + 1) = 2 (х2 + 1).
143 Решить неравенство:
1)	*-t < 3;	2)	> 1.
2 + х2	5-х
Выяснить, равносильны ли уравнения (144—145).
144	1)|2х-1| = 3 и 2х-1=3;
2)	3xjl2_421x_ 3x^5 = 2х_2 и 2х + 3=—.
3	2	6	3
145 1) 2х-1 =4 - 1,5х и 3,5х-5 = 0;
2)	х (х - 1) = 2х + 5 и х2 - Зх - 5 = 0;
3)	+ 1 = и Зх + 1 = -3;	4) Vx + 2 =8 и х + 2 = 9.
146 Установить, какое из двух уравнений является следствием
другого уравнения:
l)|x|=V5 и Vx2” = 5;
2)	и (X - 2) (х + 2) = (х - 3) (х + 3).
xt3 х+ 2
147 Решить уравнение —-----------------= Зх - .
Зх + 1 8х-1 9х2-1	1-9х2
148 Найти корни уравнения:
1)	^__1х^ = ^_б;
Х-1 X 4-1 X2 — 1
2) х+2	х(х~4) - х-2	4(3 + X)
х-2 х2 - 4	х 4- 2	4-х2
149 Решить неравенство:
1) х3 - Зх2 + 2х - 6 > 2х3 - х2 + 4х - 2;
2) х3 - Зх2 - 4х + 12 > -Зх3 + х2 + 12х - 4.
150 Доказать, что если каждая из функций f (х), g (х) и ф (х)
определена на множестве X и ф (х) * 0 для всех х е X,
то уравнения
f (х) = g (х) и f (х) • ф (х) = g (х) • ф (х)
равносильны.
59
’ Иррациональные уравнения
9
В уравнениях Vx+ 1 = х - 1, V5x-4 = 2 + V* неиз-
вестное х находится под знаком корня. Такие урав-
нения называют иррациональными. Приведём ещё
примеры иррациональных уравнений:
Vx + 15 = х +1, Vx + 6 = >/б - х.
Иррациональные уравнения часто получаются при
решении различных задач. Решение иррациональ-
ных уравнений основано на следующем свойстве:
При возведении обеих частей уравнения в нату-
ральную степень получается уравнение-следствие
данного.
• Пусть х0 — корень уравнения f (х) = g (х), т. е.
f (х0) = б (х0) — верное числовое равенство. Тогда
по свойствам верных числовых равенств fn (х0) =
= gn (х0), где п — натуральное число, также верное
числовое равенство, т. е. х0 — корень уравнения
Г(х) = ^(х). О
При возведении обеих частей уравнения в чётную
натуральную степень может получиться уравне-
ние, не равносильное данному. Например, уравне-
ние 7 6 - х = х имеет один корень х = 2, а уравне-
ние 6 - х = х2 имеет два корня хх = 2, х2 = -3.
Аналогично при возведении обеих частей уравне-
ния 7*2 +	в квадрат получается уравне-
ние х2 + х - 1 = х, т. е. х2 = 1.
Это уравнение имеет два корня Xj = 1, х2 = -1. Вто-
рой корень является посторонним для исходного
уравнения, так как подкоренные выражения при
х = -1 отрицательны.
При возведении уравнения в натуральную степень
могут появиться посторонние корни, поэтому про-
верка необходима.
Если обе части уравнения f (х) = g (х) неотрицатель-
ны на множестве X, то уравнение f (х) - g (х) рав-
носильно уравнению (f (х))л — (g (х))л при п е N.
60
Задача 1 Решить уравнение Vx + 6 - Vx+ 1 = V2x-5.
► Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
х + 6 -2 ^/(x + 6)(x + 1) + х + 1 = 2х - 5,
откуда 7(х + 6)(х + 1) = 6.
Возведём последнее уравнение в квадрат:
х* 2 + 7х + 6 = 36, или х2 + 7х - 30 = 0.
Корни этого уравнения xt = 3, х2 = -10.
Проверка показывает, что х2 = -10 — посторонний
корень.
Ответ х = 3. <]
Задача 2 Решить уравнение
^х2 + 12 = х.	(1)
► Возведём уравнение в четвёртую степень:
х2 + 12 = х4 * * *,
откуда х4 - х2 - 12 = 0. Решим это биквадратное
уравнение
о 1 ± V1 + 48	1 ± 7	2 а 2 о
хг =--------= т. е. х = 4 или х* - -3.
2	2
Уравнение х2 = 4 имеет два корня х = ±2. Уравне-
ние х2 = -3 не имеет действительных корней. Так
как при возведении обеих частей уравнения (1)
в четвёртую степень могли появиться посторонние
корни, то нужно сделать проверку. При х = 2 обе
части уравнения (1) равны 2, т. е. х = 2 — корень
уравнения (1). При х =-2 левая часть уравнения
(1) равна 2, а правая равна -2, т. е. -2 не является
корнем уравнения.
Ответ х = 2. <
Задача 3 Решить уравнение
^х8-19 = х —1.	(2)
► Возводя обе части уравнения в куб, получаем
х8 - 19 = (х - I)3,
откуда
х8 - 19 = х8 - Зх2 + Зх - 1,
Зх2-Зх-18 = 0, х2-х-6 = 0.
61
Ответ
Корни этого уравнения Xj = 3, х2 = -2. Проверка
показывает, что оба значения неизвестного явля-
ются корнями уравнения (2).
х, = 3, х2 = -2. <1
Иногда при решении иррационального уравне-
ния полезно использовать графики функций.
«Задача 4
Выяснить с
Ответ х - 0,5.
помощью графиков, сколько корней
имеет уравнение ух = 1 - х* 1 2 3. Найти
приближённые значения этих кор-
ней.
► Построим на одном рисунке гра-
фики функций у = Vx и у = 1 - х2
(рис. 25). Графики пересекаются
в одной точке при х - 0,5.
Упражнения
151
152
153
154
155
156
157
(Устно.) Решить уравнение:
1)Тх = 2; 2) Тх»7; 3)Тх = 2; 4) 7х =-3;
5) 71-Зх = 0; 6) Vx = 1; 7) 72-х = 0.
Решить уравнение (152—161).
1) Vx + 1 = 3;	2) Vx-2 = 5;	3) V4 + x = V2x-1.
1) 72x + 3 = 1;	2) 71-x = 2;	3) 73x2-3 = Твх.
1) x+l = Vl-x;	2) x = l + Vx + ll;
3) Vx + 3 = V5-x;	4) ^/x2-x-3 = 3.
1) Vx-x = -12;	2) x + 7x = 2(x-l);
3) Vx-1 = x- 3;	4) л/6 + х-х2 = 1 - x.
1) v2x-34 = 1 + Vx;	2)	7бх + 714-х = 8;
3) V15+x + 73+x = 6;	4)	V3-2x-Vl-x = 1.
1) 7 х2+ 2 + 7х3 + jc2 = 0;	2)	71 + x4 = 71 + x2.
62
158 1) V5-X-V5 + X = 2;	2) V12 + х - Vl - х = 1;
3)	Vx-2 + -/7+6 =0;	4) Vx + 7 + Vx-2 = 9.
159 1) Vl-2x--/13+7 = 77+4;
2)	a/7x + 1-V6-x = V15 + 2x.
160 1) 3Vx-2 =2;
3) ^25x2 - 144 = x;
161 1) ^/x3-2 =x-2;
2) ^2x + 7 = 373(x-l);
4) x2 = /19х2-34.
2) ^/x3-5x2 + 16x-5 = x-2.
162 Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет урав-
нение:
1) Vx-6 =-х2;	2)Vx=(x-l)2;
3)	77+1 = х2 - 7;	4) х3 - 1 = Vx + 1.
163	Решить уравнение:
1)	^4х + 2/Зх2 + 4 = х + 2;
2)	3- х = ^9^/збх2-5х4 ;
3)	7х2+ Зх + 12 - 7х2 + 3х = 2;
4)	7х2 + 5х+1О - ^х2 + 5х + 3 = 1.
164	Решить уравнение:
1)	/х + -/бх-9 + 7х-/бх-9 = Тб;
2)	Vх + 77+ 11 + 7х-77+ 11 = 4.
Иррациональные неравенства
10
Задача 1
Стрельба из спортивного пистолета по круглой ми-
шени диаметром 1 м ведётся из точки прямой, пер-
пендикулярной плоскости мишени и проходящей
через её центр. На каком расстоянии от мишени
должна быть точка выстрела, чтобы разность рас-
стояний от неё до края мишени и до центра была
не больше 2 см?
63
Ч*\	► Пусть А — точка выстрела, О —
\ центр мишени, В — точка на окруж-
Р I ности мишени (рис. 26). По. условию
\J	ВО = 50 см. Обозначим АО = х, тогда
у АВ = ^х2 + 2500. По условию задачи
АВ-АО<2,т.е. Jx2 + 2500 - х С 2,
Рис, 26
или
д/х2 + 2500 < х + 2.	(1)
Так как по смыслу задачи х > 0, то левая и пра-
вая части неравенства (1) положительны. Следо-
вательно, обе части неравенства (1) можно возвести
в квадрат; при этом знак неравенства не изменит-
ся и получится неравенство, равносильное нера-
венству (1), т. е. х2 + 2500 С х2 + 4х + 4, откуда
4х 2496, х > 624 (см).
Ответ Не меньше 6,24 м. <
В этой задаче пришлось решать неравенство (1),
содержащее неизвестное под знаком корня. Такие
неравенства называют иррациональными.
Задача 2 Решить неравенство у5-х <4.
(2)
► Найдём область определения неравенства (2), т. е.
множество таких значений х, при которых имеют
смысл обе части неравенства. Правая часть нера-
венства определена при всех значениях х, а левая —
при 5 - х > 0, т. е. при х С 5. Следовательно, об-
ласть определения неравенства (2) — луч (-оо; 5].
При 5 обе части неравенства (2) неотрицатель-
ны, и поэтому при возведении в квадрат обеих
частей получается равносильное (на промежутке
(-оо; 5]) неравенство 5 - х < 16.
Таким образом, неравенство (2) равносильно систе-
1х 5,
ме неравенств <
(5-х < 16.
Решая эту систему, получаем -11 < х С 5.
Ответ -11 < х С 5.
Рассуждения, приведённые при решении задачи 2,
можно провести устно и сразу записать, что нера-
венство (2) равносильно системе неравенств
(5-х^0,
|5-х < 16.
64
Задача 3 Решить неравенство
у1х2-Зх < 2.
(3)
►	Неравенство (3) равносильно системе
-10	3 4
Рис. 27
jx2 -Зх>0,
[х2 - Зх < 4.
Решая первое неравенство систе-
мы (4), получаем х 0, х > 3. Ре-
шая второе неравенство систе-
мы (4), получаем -1 < х < 4. Оба неравенства
системы (4) выполняются при -1 < х 0, а также
при 3 С х < 4 (рис. 27).
Ответ -1 < х 0, 3 < х < 4. <3
Задача 4 Решить неравенство
ч/10 + х-х2 >2.	(5)
►	Это неравенство равносильно системе
(6)
10 + х- х2 4.
Так как каждое решение второго неравенства сис-
темы (6) является решением первого неравенства
системы (6), то эта система равносильна одному
второму неравенству
10 + х - х2 £ 4.	(7)
Следовательно, неравенство (5) равносильно нера-
венству (7). Решая неравенство (7), получаем
-2 <	8.
Ответ	-2 х С 3.
Задача 5	Решить неравенство:
1)	л/Зх-4 < -5;	2) л/2х2 + 5х-3 < 0.
► 1) При всех допустимых значениях х, т. е. при
х> значения V3x-4 неотрицательны. Поэтому
3
неравенство V3x-4 < -5 решений не имеет.
2)	Неравенство у]2х2 + 5х-3 С 0 выполняется
только тогда, когда ^2х2 + 5х-3 = 0, т. е. когда
2х2 + 5х - 3 = 0, откуда х1=-3> х2 = -. <2
65
Задача 6 Решить неравенство
л/Зх + 1 С х + 1.	(8)
►	Неравенство определено при х > — —. При этих зна-
3
чениях х обе части неравенства (8) неотрицатель-
ны. Следовательно, неравенство (8) равносильно
системе
(Зх + 1>0,
|Зх+1£ (х + 1)2.
Решая эту систему, получаем < хС О, х 1.
Ответ -~<х<0, х>1. <
3
Задача 7 Решить неравенство
Vx + 8 > х + 1.	(9)
►	Область определения этого неравенства — проме-
жуток f-З; +оо). При всех х > -8 левая часть этого
неравенства неотрицательна. Правая часть этого
неравенства отрицательна при х < -1. Поэтому все
значения х из промежутка [-3; -1) являются реше-
ниями неравенства (9).
Рассмотрим случай, когда х^-1. Тогда обе части
неравенства (9) неотрицательны, и поэтому обе час-
ти этого неравенства можно возводить в квадрат:
х + 3 > (х + I)2. Решением этого неравенства явля-
ются значения х из промежутка (-2; 1). Отсюда,
учитывая, что х > -1, получаем -1 С х < 1.
Итак, решениями неравенства (9) являются все
значения х из промежутка [-3; -1), а также из про-
межутка [-1; 1), т. е. из промежутка [-3; 1).
Ответ -3^х<1.	1
Неравенство (9) проще решать с помощью графи-
ков. На рисунке 28 построены графики функций
у = Vx + 3 и у = х + 1. Из этого рисунка видно, что
решениями неравенства (9) являются значения х
из промежутка -3 С х < 1.
Задача 8 С помощью графиков решить неравенство
>/х < 2 - х.
►	На одном рисунке построим графики функций
у = \Гх и I/ = 2 - х (рис. 29) и выясним, при каких
66
Рис. 28
Рис. 29
значениях х точки графика функции у = Vх лежат
ниже точек графика функции у - 2 - х.
Из рисунка видно, что эти графики пересекаются
в одной точке, абсцисса которой является корнем
уравнения 4~х = 2 - х. Этот корень х=1. График
функции y=Jx лежит ниже графика функции
Ответ
у = 2 - х при 0 х < 1.
О х < 1. <
Задача 9* Решить неравенство
72х2-5х-3 > х-1.
(Ю)
► Найдём область определения этого неравенства,
т. е. решим неравенство 2х2 - 5х - 3 0. Так
как корнями уравнения 2х2 - 5х - 3 = 0 являются
числа хх = -i, х2 = 3, то неравенство выполняется
при х - и при х > 3 (рис. 30).
2
Таким образом, для решения неравенства (10) нуж-
но выбирать только такие значения х, которые
принадлежат его области определения.
1) Если х - 1 < 0, т. е. х < 1, то из этого промежут-
ка области определения неравенства (10) удовлет-
воряют только числа хС - i (рис. 31).
Рис. 30
'////Л.
3
67
С	/	Если х - 1 > 0, т. е. х > 1, то,
возводя обе части неравенства (10)
1	3 4	в квадрат, получаем
Рис. 32	2х2 - 5х - 3 > х2 - 2х + 1,
откуда х2 — Зх — 4 > 0.
Так как корнями уравнения х2 - Зх - 4 = 0 яв-
ляются числа хх=—1, х2 = 4, то неравенство
х2 - Зх - 4 > 0 выполняется при х < -1 и х > 4. Из
этих двух промежутков области определения нера-
венства условию х > 1 удовлетворяют только числа
х > 4 (рис. 32).
Ответ х^--, х > 4. <
2
Упражнения
165	Решить систему неравенств:			
		3-х^ 2,		х2-1>0,	9-х2«0,
	1)	<	2) j	3)
		[2х + 1 < 4;		х > 2;	[х + 5 < 0.
	Решить неравенство (166			—171).
166	1)	Vx > 2;	2).	/х <	3;	3) Vx>l;
	4)	V2x <3;	5) ,	J3x ;	► 1;	6) V2x < 2.
167	1)	Jx-2 > 3;	2)	7 х - 2 <1;
	3)	73-х < 5;	4)	J 4 - х > 3;
	5)	V2x-3 > 4;	6)	7х + 1 & -; 3
	7)	V3x-5 < 5;	8)	V4x + 5< i. 2
168	1)	7х2 - 1 > 1;	2)	71-х2 <1;
	3)	725-х2 > 4;	4)	725-х2 <4.
169	1)	^2х2 Зх - 2 >0;		2) 72 + х-х2 > -1;
	3)	7бх- х2 < Тб;		4) 7х2 - х > 72;
	5)	7*2 + 2 х > -3-х2	9	6) 74х-х2 > -2-Зх2.
170	1)	•Jx + 2 > Т4- х;		2) >/3 + 2х > -/Г+ 1;
	3)	>/2х-5 < V5x + 4;		4) л/Зх-2 > х-2;
	5)	Т5х + 11>х + 3;		6) V3-X < л/Зх-5.
171	1)	Vx+l-Vx < у/х-	1;	2) >/х + 3 < >/7 - х + V10 - х.
68
Решить графически неравенство (172—173).
172 1)Ух>х; 2)Vx<x; 3)Vx>x-2; 4)Vx<x-2.
173
1)
3)
vx< 2х;
•J~x > 2х-1;
2) -Jх > 0,5х;
4) Vx S5 х2.
174 Решить неравенство:
1) -Зх + 2 > х + 3;	2) ^2х2 -7х-4 > -х - -.
• Упражнения
175 Изобразить схематически график функции, указать её об-
ласть определения и множество значений:
1) У = х9-,	2)р = 7х4;	3) p = Vx;
4) у = 'Ух;	5) у = х’2;	6) у = х-3.
176 На одном рисунке построить графики функций у = х2 и
у xvX. Сравнить значения этих функций при х, равном
0; 0,5; 1;	2; 3; 4; 5.
2
177 Расположить числа в порядке возрастания:
2	___ /
1) 0,3”, о,3°’5, 0,33, 0,38 H15;	2) У2Г- , 1,9я, ~ ’ л“5
I.	V2 )
3) 5“2, 5-°1T,53,fi)2 *;	4) 0,5®, 1,3 ®,я 3,(V2) 3.
\ 5 /
178 Решить уравнение с помощью графиков:
1) Ух = х2 + х - 1;	2) х"2 = 2 - х2.
179 Найти область определения функции:
1) // - ;У 1 - х;	2) </ = У2 - х2 ;
3) у = (Зх® + 1) ®;	4) у = Vx2-x-2.
69
180 Найти функцию, обратную данной, её область определения
и множество значений:
1)	0 = 0,5*+ 3;	2)0 = -^;
3)0 = (х + 2)3;	4)0 = х3-1.
181 Изобразить график функции, обратной к функции, график
которой представлен на рисунке 33.
182 Являются ли равносильными уравнения:
1)	2Х*+,Ж= 23 и х2 + Зх = 2;
2)	^/х2 + Зх = V2 и х2 + Зх = 2;
3)	>/x+18 = V2-x и х + 18 = 2 - х?
183 Решить уравнение:
1) л/3-х = 2; 2) л/Зх + 1 = 8; 3) V3-4x = 2х;
4)	>/5х-1 + Зх2 = Зх; 5) V*a-17 = 2; 6) V*2 + 17 = 3.
Проверь себя!
1	Найти область определения функции:
1)	у - 3 (х - I)-3;	2) у = V*z-3x-4.
2	Построить график функции:
1)	0 = V7TT; 2) 0 = 2х‘2;	3)0 = ^-.
Для каждой функции указать область определения и зна-
чения х, при которых у > 0.
3	Решить уравнение:
1)	Vx-3 = 5;	2) л/З-х-х2 = х.
70
184 Изобразить схематически на одном рисунке графики функ-
ций:
1) у = /х*, у = хЛ; 2) у = Ух, у = х~5.
185 Являются ли заданные функции взаимно обратными:
1) у = 1^3х и у = 4£±10.
х-4	х +3
3) у = 5 (1 - х)-1 и у = (5 - х) • х"1;
186 Найти функцию, обратную к данной, её область определения
и множество значений:
1)	у = 2 + 7х + 2;	2) j/ = 2-Vx + 4;
3)	у = V3-X-1;	4) j/ = Vl-x + 3.
Решить уравнение (187—188).
187 1) Vx-4 = Vx-3-V2X-1;
2)	2 Vx + З - >/2х + 7 = Vx;
3)	Vx-3 = V2x + l-Vx+4;
4)	V9-2x = 2 V4-x - Vl-X.
188 1) Vx + 4 -3 Vx + 4 + 2 =0;	2) Vx-3 = 3Vx-3+ 4;
3)	Vl-x-5^/1-x = -6;	4) x2 + 3x + Jx2+3x = 2;
5)	/E**^=2;
v3-x~V3+x
6)	Jx + 6-4Vx + 2 + Jll+ x- 6Vx + 2 = 1.
Решить неравенство (189—190).
189 1) Vx + l < x-1;	2) Vl-x > x + 1;
3) V3x-2 > x-2;	4) V2x + 1 < x +1.
3) л/З+х > |x-3|;	4) V3-x < V7 + x + V10 + x.
191 При различных значениях а решить неравенство:
1) Vx-2 + Vx-6 < a; 2) 2x + yja2 -x2 > 0.
71
Ill
; слава
: Показательная функция
1 Некоторые наиболее часто встречающиеся
виды трансцендентных функций, прежде
всего показательные, открывают доступ
ко многим исследованиям.
£	Л. Эйлер
Показательная функция,
её свойства и график
В главе 1 рассматривалась степень с действитель-
ным показателем. Напомним основные свойства
степени. Пусть а > О, b > 0, х, г, и х2 - любые
действительные числа. Тогда
ах' ах* = аЖ| ,	(1) (аЬ)х = ахЬх, (4)
^ = аж>-*2,	(2)	=	(5)
\Ъ ) Ьх
(а*1 )ж* = а***2 ,	(3)	а*>0,	(6)
ах>1, если а > 1, х>0,	(7)
а*1 <а*2, если а > 1, xi<x2t (8)
ах1>а*а, если 0<а<1, х1<х2.	(9)
В практике часто используются функции у = 2Ж,
у = 10х,	’ </ = 0,1ж и т. д., т. е. функции
вида у = ах, где а — заданное положительное чис-
ло, х — переменная. Такие функции называют
показательными. Это название объясняется тем,
что аргументом показательной функции является
показатель степени, а основанием степени — за-
данное число.
72
Показательной функцией называется функция
вида у = ах, где а — заданное число, а > 0, а # 1.
Показательная функция обладает следующими
свойствами:
1)	Область определения показательной функ-
ции — множество R всех действительных чисел.
• Это свойство следует из того, что степень где
а > 0, определена для всех х е R.
2)	Множество значений показательной функ-
ции — множество всех положительных чисел.
• Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что урав-
нение ах = Ь, где а > 0, а * 1, не имеет корней, если
b < 0, и имеет корень при любом b > 0. По свойству
степени (6) это уравнение не имеет корней, если
Ь С 0. То, что это уравнение имеет корень при лю-
бом h > 0, доказывается в курсе высшей мате-
матики. Это означает, что любая прямая у — Ьу
где Ь > 0, пересекается с графиком показательной
функции. О
3)	Показательная функция у = ах является возра-
стающей на множестве всех действительных чи-
сел, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.
• Это следует из свойств степени (8) и (9).
Построим графики функций t/ = 2xni/=(ij , ис-
пользовав рассмотренные свойства и построив не-
сколько точек, принадлежащих графикам (рис. 34).
Отметим, что график функции у = 2х проходит че-
рез точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если
х < 0 и | х | увеличивается, то график быстро при-
ближается к оси Ох (но не пересекает её). Таким
образом, ось Ох является горизонтальной асимпто-
той графика функции у - 2х. Если х > 0 и | х | уве-
личивается, то график быстро поднимается вверх.
Такой же вид имеет график любой функции у = ах,
если а > 1 (рис. 35, а).
fl V
График функции у = - I также проходит через
х 2 /
точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х > 0
и увеличивается, то график быстро приближается
к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох
73
Рис. 34
является горизонтальной асимптотой графика функ-
ции у = (| j . Если х < 0 и | х | увеличивается,
то график быстро поднимается вверх. Такой же
вид имеет график любой функции у = ах, если
О < а < 1 (рис. 35, б).
Показательная функция часто используется при
описании различных физических процессов. Так,
радиоактивный распад описывается формулой
£
'п(О = то(|]Г,	(Ю)
где т (0 и т0 — масса радиоактивного вещества
соответственно в момент времени t и в начальный
момент времени t = 0, Т — период полураспада
(промежуток времени, за который первоначальное
количество вещества уменьшается вдвое).
С помощью показательной функции выражается
зависимость давления воздуха от высоты подъёма,
ток самоиндукции в катушке после включения по-
стоянного напряжения и т. д.
Задача 1 Решить уравнение 3х = 27.
► По свойству (2) показательной функции данное
уравнение имеет корень, так как 27 > 0. Одним
из корней является число х = 3, так как З3 = 27.
74
Других корней нет, так как функция у = 3х возра-
стает на всей числовой прямой, и поэтому 3х > 27
при х > 3 и 3х < 27 при х < 3 (рис. 36).
Ответ х = 3. <
Задача 2*
Период полураспада плутония равен 140 суткам.
Сколько плутония останется через 10 лет, если его
начальная масса равна 8 г?
Воспользуемся формулой (10). В данной задаче
t = 10 • 365 (считаем, что в году 365 дней), Т = 140,
— - 365 вычисления на микрокалькуляторе, име-
Т 14
У
ющем ячейку памяти и клавишу
х 365
1
2
ют, что т - 8
14 ~ 1,1345 • 10 7.
, показыва-
Ответ
Через 10 лет плутония останется примерно
1,13 • 10 ’7 г. <
75
Упражнения
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
Построить график функции:
1)0 = 3х;	2)f/ = (l'|X.
\ о /
С помощью графика функции у = 3х найти приближённое
значение:
2
1) Л; 2) 3я;	3) -?=;	4) 3 ь5.
V3
Изобразить схематически график функции:
1) у = 0,4*; 2) 0 = (Л)Ж; 3)0 = (-1=1; 4) 0 = (V3)X.
(Устно.) Используя свойство возрастания или убывания по-
казательной функции, сравнить числа:
1) 1,7я и 1;	2) 0,32 и 1;	3) 3,215 и 3,21в;
4) 0,2 3 и 0,2"2;	5) 1-1 и 1	;	6) 3* и З314.
к 5 J \ 5 J
Сравнить с единицей число:
1) (0,1)'2; 2) (3,5)01; 3) п2-7; 4)
Найти координаты точки пересечения графиков функций:
1) у = 2х и 0 = 8;	2) у = 8ж и 0»|;
3
3)у = [1] и 0=-к;	4) 0=Ц) и 0 = 9.
(Устно.) Решить уравнение:
1) 5х = i; 2) 7х = 49; 3) (-1 = VS; 4) Щ =5/7.
5	\7)
(Устно.) Выяснить, является ли возрастающей или убываю-
щей функция:
1)0 = 0,3 х; 2)0 = (|]Х; 3) у = 1,3 ЙХС; 4) у = 0,7 Зх.
Решить графически неравенство:
1)
2)
< 1;
3) 5х >5;
4) 5х <
5
Построить график функции:
1) у = 3х-2; 2) 0=(|У + 3;3) у = 2х + 1;4) у = Зх-2.
Доказать, что графики функций у = 2х и у = [ - I симмет-
ричны относительно оси ординат.
76
203 Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х
на отрезке [-1; 2].
204 Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2 х
на отрезке [-1; 1].
205 Построить график функции:
(л
l)y = 2W;	2) у = 1	; 3)^/ = |Зх-2|;	4) у = 2 - 3х.
V 3 /
206 При радиоактивном распаде количество некоторого вещест-
ва уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется
от 250 г через 1,5 суток? через 3,5 суток? Вычисления прове-
сти на микрокалькуляторе.
207 На некотором лесном участке можно заготовить 4 • 105 мя
древесины. Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько
можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет?
Вычисления провести на микрокалькуляторе.
Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных
уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестное
содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится
к решению уравнения ах = а\ где а > 0, а Ф 1,
х — неизвестное. Это уравнение решается с по-
мощью свойства степени (см. сл. 2, § 5, гл. I): сте-
пени с одинаковым основанием а > 0, а * 1 равны
тогда и только тогда, когда равны их показатели.
Задача 1 Решить уравнение 4 • 2Х= 1.
► Запишем уравнение в виде 2ж + 2 = 2°, откуда
_____ х + 2 - 0.
Ответ х = - 2.
Задача 2 Решить уравнение 23х • 3 х = 576.
► Так как 23х = (23)х = 8х, 576 = 242, то уравнение
можно записать в виде 8 х • 3х = 24я, или в виде
24х = 242, откуда х = 2.
Ответ х = 2. <3
77
Задача 3	Решить уравнение 3х * 1 - 2 • 3х “2 = 25. ► Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х’2, получаем 3х 2 (З3 - 2) = 25, Зх“2 - 25 = 25, откуда 3х " 2 = 1, х - 2 = 0, х = 2.
Ответ	х = 2. <
Задача 4	Решить уравнение 3х = 7х. ► Так как 7х * 0, то уравнение можно записать в ОХ	( Q \Х виде — = 1, откуда — 1 = 1, х = 0. 7х	\ 7 /
Ответ	х = 0. <]
Задача 5 1	Решить уравнение 3 • 2х *1 4- 2 • 5х " 2 = 5х + 2х “ 2. р Запишем уравнение в виде 3 • 2х 41 - 2х " 2 = = 5х-2 -5х’2, откуда 2х ~2 (3 • 23 - 1) = 5х 2 (52 - 2), / \х-2 2х"2 • 23 = 5х “ 2 • 23,	=1, х - 2 = 0. V57
Ответ	х = 2. <
Задача 6	Решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0. ► Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квад- ратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: = 9, t2 = -5, отку- да 3х = 9, 3х = -5. Уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отри- цательные значения.
Ответ	х = 2. <1
Задача 7	Решить уравнение 52хг-5х_5*2+2х-10	Ц) Так как 5 > 0, 5^1, то 2х2 - 5х = х2 + 2х - 10,	(2)
Ответ	откуда х2 - 7х + 10 = 0, хг = 5, х2 = 2. xt = 5, х2 = 2. < Отметим, что при таком способе решения получает- ся уравнение, равносильное исходному, например уравнение (2) равносильно уравнению (1). Поэто- му после решения уравнения (2) проверка не нуж- на (если есть уверенность в том, что не допущены ошибки в преобразованиях и вычислениях).
Задача 8	Решить уравнение З'х " = З х + 3 . ► Так как 3 > 0, 3 * 1, то исходное уравнение равно- сильно уравнению |х-1| = |х + 3|.
78
Ответ
Задача 9
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его
следствие (х - I)2 = (х + З)2, откуда
х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8х = -8, х = -1.
Проверка показывает, что х = -1 — корень исход-
ного уравнения.
х = -1. <
Решить уравнение Уз • У 5 = 225.
Исходное уравнение равносильно системе
। 1
. (3 5)х=225,
х е ЛГ, х > 1.
Преобразовав уравнение системы к виду 15х = 152,
имеем — = 2, откуда х = -. Но х = - не удовлетво-
х	2	2
ряет условию х > 1, х е N, т. е. уравнение не имеет
корней. <1
Упражнения
Решить уравнение (208—223).
208
1) 4х-, = 1; 2) 0,33х'2=1; 3) 22х=2473;
209 1) 27*=—;	2) 400*=-?-;
3	20
210 1) 3 • 9х = 81;
х+‘
3) 3 2-Зх'2 = 1;
п а 2л
5) 0,6х -О.б3 4 *	;
0,66
211 1) З2*"1 +32*= 108;
3) 2**1 + 2*14-2*=28;
212 1) 5х = 8х;	2) | 11 =
213 1) 9х - 4 • 3х + 3 = 0;
3) 25х - 6 • 5х + 5 = 0;
214 1) 3*2**"12 = 1;	2)
2) 2 • 4х = 64;
4) 0,5х* 7 • 0,5*-2х = 2;
1	(1 Vх
6) 63х .1 = 6 -1	.
2) 23х * 2 - 2Ях ‘ 2 = 30;
4) 3х’1 - 3х + 3х*1 = 63.
| ;	3) 3х = 52х;	4) 4Х=3*.
2) 16х - 17 • 4х + 16 = 0;
4) 64х-8х-56 = 0.
2 х2 — 7х + 10 _ |.
х-1
3) 2*-3 =4;
2	_1_
4) 0,5х =4Х + 1.
79
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
1) О.З*’-*1 2**-1 = 1;	2) 2±	=1;
l з)
i(x-3)	,__	,
3) 5,12	=5,17M;	4) 100х*-» = 10‘-6'.
1) 1OX = V1OO; 2) 10x = tyl0000;	3) 2252x’"24 = 15;
4) 10x =	5) (ЛЬ)1 = 10х’ *; 6) 100х’ * = 101-8x.
Vioooo
3) (г) * "Xi) (2 Г*’ 4) 0’7^+,2‘0>7'2= Q<7"x-
1)	7х -7х 1 = 6;	2)	З2"-1 + З2»’2 - 32*'-4 = 315;
3)	53х + 3 • 53х " 2 = 140;	4)	2х * * + 3 • 2х 1 - 5 • 2х + 6 =	0.
1)	7х 2 = 32-х;	2)	2х-8 = 33‘х;
х + 2	х-3
3) 3 4 5 = 5Х+2;	4) 4 2 =32(х-8 * *».
1) (0,5)х’*4х*8 = (0,5)2х’ + х,а;	2) (0,1)3’2х = (0,1)2~х’;
1) 2|х-2| = 2|х + 41;	2) 1,516 х| = 1,5|х‘11 * ;
3) 3|х + 1, = З2'|х| ;	4) 3|х| = 3|2*х|_|.
1) 3х*8 + 3х = 7х*1 + 5 • 7х;
2) 3х + 4 + 3 • 5х * 3 = 5х + 4 + 3х * 8;
3) 28 х +7Я х = 74-х +23 *.Ц;
4) 2х*1 + 2х1 - 3х’1 = 3Х~2- 2х*8 + 2 • 3х’3.
1) 8-4х-6-2х+ 1=0;	2) (|У + (|)1“6 = 0;
3) 132x + 1 - 13х - 12 = 0;	4) 32х + | - 10 • 3х+ 3 = 0;
5) 23х + 8 • 2х - 6 • 22х = 0;	6) 5Ях +1 + 34 • 52х - 7 • 5х = 0.
При каких значениях х сумма чисел 2х 2х-4 и 2х 2 равна
сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии
6,5; 3,25; 1,625; ...?
Решить уравнение (225—226).
1) З2**® = 2Х + 3;	2) 5х"2 = 42х-4;
3) 2х • 3х = 36й;	4) 9
27
80
226 1) 4 • 9х - 13 • 6х + 9 • 4х = 0;	3)	^2 • 2Уз = 12;
2) 16 • 9х - 25 • 12х + 9 • 16х = 0;	4)	^5 • 5х = 25.
227 Доказать, что уравнение имеет только один корень х = 1:
1)	4х + 25х = 29;	2) 7х + 18х = 25.
Показательные неравенства
13
Решение показательных неравенств часто сводится
к решению неравенств
ах > аь или ах < аь.
Эти неравенства решаются с помощью свойства
возрастания или убывания показательной функ-
ции: для возрастающей функции большему значе-
нию функции соответствует большее значение ар-
гумента, а для убывающей функции большему зна-
чению функции соответствует меньшее значение
аргумента.
Задача 1 Решить неравенство 3х <81.
► Запишем неравенство в виде 3х < З4. Так как
3 > 1, то функция у = 3х является возрастающей.
Поэтому решениями неравенства 3х < 81 являют-
ся числа х < 4.
Ответ х < 4. <
( 1 V г-
Задача 2 Решить неравенство l-l > V8.
Запишем неравенство в виде
\2У Так как у = х <	. 2 Ответ х < - —. < 2	3	/ \х / 22 , ИЛИ (i) \2/ > X — убывающая функция, то
81
Задача 3
Решить неравенство Зх3“х <9.
Запишем неравенство в виде 3*2“х<32. Так
как 3 > 1, то х2 - х < 2, откуда х2 - х - 2 < 0,
Ответ
Задача 4
Ответ
Решить неравенство 16х + 4х - 2 > 0.
Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное нера-
венство t2 4- t - 2 > 0. Это неравенство выполняется
при t < -2 и при I > 1. Так как t = 4х, то получим
два неравенства 4х < -2, 4х > 1. Первое неравенство
не имеет решений, так как 4х > 0 при всех xeR.
Второе неравенство можно записать в виде 4х > 4°,
откуда х > 0.
х > 0. <1
Задача
5
2
3’
системе координат построим графики
(л V	о
z/= - и z/=x-- (рис. 37). Из ри-
\ 3 /	3
сунка видно, что графики этих функ-
ций пересекаются в точке с абсцис-
сой х ~ 1. Проверка показывает, что
х = 1 — корень данного уравнения:
flY=l „1-2=1.
\ 3)	3	3	3
Покажем, что других корней нет. Функ-
( 1 V
= - убывающая, а функция
V 3 )
2
у = х - - возрастающая. Следователь-
но, при х > 1 значения первой функ-
ции меньше а второй больше
при х<1, наоборот, значения первой
функции больше —, а второй меньше —.
3	3
Геометрически (см. рис. 37) это озна-
чает, что графики этих функций при
х>1 и х<1 «расходятся» и потому
не могут иметь точек пересечения при
Решить графически уравнение
В одной
функций
ция у
Ответ х = 1. <
82
Заметим, что из решения этой задачи, в частности,
Задача 6*
следует, что неравенство
при х < 1, а неравенство
Решить неравенство | | j
-2
Рис. 38
Ответ
9
► Так как 0 < - < 1, то данное неравенство равно-
5
сильно неравенству >/2 - х < х.
Область определения этого неравен-
ства х < 2. При х < 0 оно не имеет
решений, так как V2 - х 0. Итак,
решения неравенства содержатся в
промежутке (0; 2].
Возводя неравенство в квадрат, получаем 2 - х < х* 1 2,
откуда х2 + х - 2 > 0, х < -2 или х > 1 (рис. 38).
1 < х £ 2. <1
Упражнения
228	1)	3х > 9;
	4)	4х < 1;
		2
229	1)	5х’1 С Тб;
Решить неравенство (228—229).
2) (11 > 1;	3)	(11 <2;
5) 23х>1;	6)	(1Г <1.
2	кЗ/ 9
2)3* >9;	3)3Х,~*>1;	4)52х’-,8<1.
230 Решить графически уравнение:
1) (1Г=х + 1;	2) |ir = x-i;
3) 2х=-х--;	4) 3х = 11 -х.
Решить неравенство (231—232).
/ \2ха-Зх
231 1) 2-х*+3х <4;	2)1-1	>
19J	7
3) 13	<121;	4)(221 С 71.
к 11 7	169	\ 3 )	9
232 1) Зх + 2 + Зх1< 28;	2) 2х ’1 + 2х + 3 > 17;
3) 22х-1 + 22х~2 + 22х-3 > 448;	4) 53х *1 - 53х ~ 3 «S 624.
83
233 Найти целые решения неравенства па отрезке [-3; 3]:
1) 9' - 3х - 6 > 0;	2) 4х - 2х < 12;
3)	52х + 1 + 4 • 5х-1 >0;	4) 3 • 9х + 11 • 3х < 4.
234	Найти область определения функции:
1)	у = Л/25х-5х;	2) у = ,[4*^1.
(I V
235	При каких значениях х значения функции у =	| больше
значений функции	+12?
236	Решить графически неравенство:
1)	fl) > х + 1;	2)	< x-i;
V 3 J	\2У	2
3) 2х<9--х;	4)Зх>--х-—.
3	3	3
237 Решить графически уравнение:
1) 2х = 3-2х-х2;	2)3x=Vx;
3)	(iy=-3;	4)f-V=X*-l.
\ 3 / X	\ 2 /
238 Решить неравенство:
1) 11V**» > 11х;	2) О.З^30-' > 0,3х.
239 Решить неравенство:
1) 0,4х-2,5х + 1> 1,5;	2) 25 • 0,042х > 0,2х (3'х’;
/ \*	/ А'2’1
3) —41	<4;	<) 1 ] _ 32 • 1	<0.
4х—3х	V8J
Системы показательных уравнений
и неравенств
Рассмотрим несколько примеров решения систем
показательных уравнений и неравенств.
Задача 1
Решить систему уравнений
х + 2р = -1,
4х+»г= 16.
► Решим эту систему способом подстановки:
x = -2y-l, 4-2*-1*1'2 = 42,
84
	откуда -2у - 1 + у2 = 2, у2 - 2у - 3 = 0, уг = 3, у2 = -1. Найдём значения х: х, =-2 • 3 - 1 =-7, х2 = -2 • (—1) — 1 = 1.
Ответ	(-7; 3), (1; -1). <1
Задача 2	[з4/+1-2х = 5, Решить систему уравнении 4х-6-3!/ + 2 =0. ► Обозначим 2х = и, Зу = и. Тогда система запишет- ся так: Зи - и = 5, u2-6u + 2 = 0. Решим эту систему способом подстановки: и = 3v - 5, (3u - 5)2 - 6u + 2 = 0, 9v2 - 36u + 27 = 0, и2 - 4.V + 3 = 0, ух=1, v2 = 3. Найдём значения и:	= —2, и2 = 4. Возвратимся к принятым обозначениям: 1) 2х =-2, 3V = 1. Так как первое из этих уравне- ний корней не имеет, то решений системы в этом случае нет. 2) 2х = 4, Зу = 3, откуда х = 2, у = 1.
Ответ	(2; 1). <
Задача 3*	[2х-9* = 162, Решить систему уравнений 3х = 48. ► Перемножив уравнения данной системы, получим 6х • 36* = З4 • 2 • 6 • 23, или 6Х + 2* = б\ откуда х = 5 - 2у. Тогда второе уравнение системы примет вид 35~2*4* = 48, или (-1 =—, (-1 =f-l . откуда з5 \9/	\9У У = 2, х = 1.
Ответ	(1; 2). <1
Задача 4	„	[зх-^7з, Решить систему \ 0,23х 2 = 0,22х +,и. ► Решим неравенство 3х”1 <	т. е. неравенство 1 3xlС З2. Решая, получаем x-l^i, х С 1,5.
85
	Теперь решим уравнение 0,23х’ 2 = 0,22х2+х+4, Зх2 - 2 = 2х2 + х + 4, х2 - х - 6 = 0, хх=—2, х2 = 3. Так как 3 > 1,5, -2 < 1,5, то х = -2.
Ответ	х = -2. < 3х" = З10,
Задача 5*	Решить систему < 4х = 47'*, 2х <2*. [Зх^ = 3IO, ► Решим сначала систему уравнений - 4х =47 < fxi/=10,	[xt/=10, Получаем ;	\ [х = 7-(/,	[х + у = 7. По теореме, обратной теореме Виета, находим два решения (2; 5), (5; 2). Теперь решим неравенство 2х < 2У. Так как 2 > 1, то х < у. Решение системы уравнений (2; 5) удовлетворяет неравенству х < у, а решение (5; 2) ему не удовлет- воряет.
Ответ	(2; 5). <3
Упражнения
Решить систему уравнений (240—243).
240	d i	* л II СЧ II 1 ? И н см ю	2)	so н »	1 ,г' СО |«-
	3) <	х + у = 1, 2Х~* = 8;	4)	[x + 2j/ = 3, [зх-" = 81.
241	1) '	4'-2»= 32, 3»xtl _ 3З,.	2) •	33х-2|' = 81, 3®х-3*=27.
242	1) <	ГС IC и м 1	+ со со *с ч: II II СО 05	2) <	[зх + 5у=8, [з'-б'а -2,
243	1) •	5х-5* = 100, 5х-1 + б»-1= 30;	2) '	2х-9-3*=7 2Х-3»=-;
9’
86
3)
16*-16х=24,
16x + *=256;
4)
3x + 2x+*n=5,
3* + 1-2*+* = 1;
5xtl3*=75,
Зж-5»-’=3;
6)
3x-2*=4,
3»-2x=9.
Решить систему (244—245).
244
52x+t> 625,
цбх 1 -Юх ц9х-15.
2)
O,3i°*s-47x_o,3-i°*-7>
3,7х* = 3,7 0M.
245
1)
(5X)*=521,
5*.5* = 5’°,
3х > 3»;
2)
(0,2*)x= 0,008
0,4*= 0,43-5*x,
2х 0,5* > 1.
* Упражнения
: к главе III
246
247
Сравнить числа:
1) 4’Л и 4
2) 273 и 21Т;
Сравнить с единицей число:
4)
248
(Устно.) Является ли функция возрастающей или убываю-
щей:
1) у = 0,78х;	2) у = 1,69х;	3)j/=[lV;	4) у = 4х?
\ « /
249
В каком промежутке находятся значения функции при
x€[-l; 2J:
1) у = 5х;	2) у = 5 х?
87
250
251
252
253
254
1
2
3
4
255
256
257
Решить уравнение (250—252).
( оV*1	( 1 \5х
1) 1,55х-7 = 4	;	2) 0,752'-3 = 1-	;
\ 3 /	\ 3 /
/ \ха-2х-2
3) 5х* 5*-в_1;	4)	1	-1.
\1)	7
1) 2х + 2х 3 = 18;	2) Зх + 4-ЗхИ = 13;
3) 2 • 3X + I - 6 • 3х*1 - 3х = 9;
4) 5х’1 + 3 • 5х*’- 6 • 5х + 10 = 0.
1) 52х - 5х - 600 = 0;	2) 9х - 3х - 6 = 0;
3) 3Х + 9Х ’-810 = 0;	4) 4х + 2х*1-80 = 0.
Решить неравенство:
/ \х2
1) Зх-2>9; 2) 52х<— ; 3) 0,7х’,2х < 0.73; 4) 1	> —.
25	81
Решить графически уравнение:
1)2х = 8х + 10;	2) fl) *=2х + 5.
\ 3 /
Проверь себя!
Построить схематически график функции:
1) {/=(“)*;	2) у = 5х.
\ о /
Сравнить числа:
Решить уравнение:
1) Зх + , = 27х1;	2) 0,2х,*4х*5=1;
3) 2х + 3 - 2х *1 = 12;	4) 4 • 22х - 5 • 2х + 1 = 0.
Решить неравенство:
1)	7х'2 > 49;	2) 0,5х2 2 >
4
Доказать, что последовательность значений функции у = 2х
при натуральных значениях х = 1, 2, 3, ... является геомет-
рической прогрессией.
За первый год работы предприятие имело а рублей прибыли.
В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на р%.
Какой станет прибыль предприятия за л-й год работы?
Построить график функции:
1)р = Зх-1;	2) у = Зг ’;	3)у = 22~г + 3.
88
Решить уравнение (258—260).
/	\х*-12	/ П'Т \3	/5-- г —
258 1) 0,6х • —	= — 5	2) 16 vo,25 4=2<х+1.
к 9 J 1125 )
х_2
259 1)2-33х1+27 3 =9Х-’+2-32х1;
2)	2^**2-2'/*’1 = 12 +2'г*-1;
3)	229х-1 -1.3х*3 + 1-Зх+2 =4;
3	3
4)	5 • 4х"1 - 16х + 0,25 • 22х ‘ 2 + 7 = 0.
260 1) 2х*4 + 2Х +2 = 5х*1 + 3 • 5х;
2)	52х - 7х - 52х • 17 + 7х • 17 = 0;
3)	2х’ ’-З*2 = Зх2_* - 2х**2;
4)	3.4* +1.д*+2 _6.4x+i _ 1.9*+1.
3	2
261
Решить неравенство:
х -з
1) 8,4х2*1 < 1;
2) 2х2 -5х2 < 10-*(103-*)2;
4х-2х+, + 8 О1
——— <8Х;
4)
—— <
Зх+5
1
Зх+,-1'
262 Решить систему уравнений:
2х~у= 128,
2)
2*-5*= 10,
5У-2Х=3.
263 Построить график функции:
1) у = 2х‘1х|;	2) у = |3|х|-3|.
264 Решить уравнение:
л ох+0,5
1)	— = 5 0,04х;	2) 4 • 3х — 9 • 2х = 5 • З2 • 22 ;
V5
3) 2 • 4х - 3 • 10х - 5 • 25х = 0;	4) 4 • 9х + 12х - 3 • 16х = 0.
265 Решить неравенство:
1) 3|х-2|<9;	2)4|х + ,|>16;
3) 2|х-21 > 4|х+4) 5|х + 4|< 25|х|.
? IV
| глава
i Логарифмическая
- функция
Изобретение логарифмов, сократив рабо-
ту астронома, продлило ему жизнь.
II. С. Лаплас
Логарифмы
Задача 1 Найти положительный корень уравнения х4 = 81.
► По определению арифметического корня имеем
X - V81 = 3. <3
Задача 2 Решить уравнение 3х = 81.
► Запишем данное уравнение так: 3х = З4, откуда
х = 4. <]
В задаче 1 неизвестным является основание сте-
пени» а в задаче 2 — показатель степени.
Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую
и правую части уравнения удалось представить
в виде степени с одним и тем же основанием 3.
Но уже, например, уравнение 3х = 80 таким спосо-
бом решить не удаётся. Однако это уравнение име-
ет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения,
вводится понятие логарифма числа. В § 11 было
сказано, что уравнение ах = Ь, где а > 0, а 1,
b > 0, имеет единственный корень. Этот корень
называют логарифмом числа b по основанию а
и обозначают Iog(J b. Например, корнем уравнения
3х = 81 является число 4, т. е. log3 81 = 4.
90
Логарифмом положительного числа b по осно-
ванию а, где а > 0, называется показатель
степени, в которую надо возвести число а, чтобы
получить Ь.
	Например, log2 8 = 3, так как 23 = 8; log3i = -2, так как 3"2 = ~; log-7 = 1, так как 71 = 7; 9 log4 1 = 0, так как 4° = 1. Определение логарифма можно записать так: а,0*-ь=Ь. Это равенство справедливо при Ъ> 0, а> 0, а * 1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством. z \ log i 3	।	3 Например, 4log«5 = 5,	» =3, 13°”Ч = |. С помощью основного логарифмического тожде- ства можно показать, например, что х = log3 80 является корнем уравнения 3х =80. В самом деле, з'окз 80- 80. Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием. Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.
Задача 3	Вычислить log64 128. ► Обозначим log64 128 = x. По определению лога- рифма 64х = 128. Так как 64 = 2fi, 128 = 27, то 26х = 27, откуда 6х = 7, х = 6
Ответ	log64 128 = ?. <1 6
Задача 4	Вычислить 3'2Iog35. ► Используя свойства степени и основное логариф мическое тождество, находим g-2 log я 5 _ (glog 8 5	_ g-2 _ 1 25
Задача 5	Решить уравнение log3 (1 - х) = 2. ► По определению логарифма З2 = 1 - х, откуда х = -8. <1
91
Задача 6
У ““	1
При каких значениях х существует log5----------?
► Так как основание логарифма 5>0 и 5*1,
то данный логарифм существует только тогда,
г 1
когда ---- > 0. Решая это неравенство, находим
2-х
1 < х <2. <3
Упражнения
266	Найти логарифмы чисел по основанию 3:
	сэ к 1 [СО •н| ’“•I гЧ «“< 00 сч о со
	3 9 243	з7з
	Вычислить (267—276).
267	1) log2 16;	2) log2 64;	3) log2 2;	4) log2 1.
268	l)log2l;	2)log2|;	3) log2 Л;	4)log2^.
269	1) log3 27;	2) log3 81;	3) log3 3;	4) log3 1.
270	l)log3|;	2)log3|;	3)log8V3;	4)log3^.
271	1) log, J-;	2) log, 4;	3) log0 5 0,125; 2 32	2 4) log0 1;	5)log0,6l;	6)loglV2. 2	2
272	1) logs 625;	2) logo 216;	3)log4-^;	4) log.,-A-. IO	IZD
273	1) log, 125;	2) log, 27;	3) log, i;	4) log, 36. 5	3	4 64	5 /	\ log I 6
274	1) 3log’18; 2) 50*’16; 3) 10lue,°2; 4) i < . \ 4 /
275	/ . \6 log । 2	1 log 79 1) З81***’; 2)	г ; 3) О.З210*0-3®; 4) 72
276	1) 8lo*xB; 2) 9loe’12; 3) 16lo,‘7; 4) 0,125|о,'°-ь 1.
277	Решить уравнение:
	1) logo x = 3;	2) logs x - 4:	3) log2 (5 - x) = 3; 4) log3 (x + 2) = 3;	5) log, (0,5 + x) =-1.
92
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
Выяснить, при каких значениях х существует логарифм:
1) log,(4-х);	2) log0 2 (7 - х);	3)log6—1—;
г
4) 1о«8	5) l°gi(-x2);	6) log07(-2x3).
2х -1
4
Вычислить (279—281).
1) log2V2; 2) log3—; SJlog^-^; 4)log7-^.
ЗТЗ	>/32	49
-4 log ] 5
4)	27	’ ;
1)	log2 log3 81;
4) | log9 log2 8;
О
5) 103_|ог1°5;
3)
6)
j \-5 log 2 3
4 '
\l + 2 1ogl 3
-	7
7 )
2)	log3 log2 8;	3) 2 log27 log10 1000;
5)	3 log2 log, 16 + log^ 2 .
2
Решить уравнение:
1) log 27 = 3;	2) log, 1 = -1;	3) log, 45 = -4.
7
Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение
(283—284).
1) log6(49-x2); 2) log7 (х2 + х - 6); 3) log, (х2 + 2х +7).
5
1) log3 (1 - х3);	2) log2 (x3 + 8);
3) log,(x3 + x2-6x);	4) log, (x3+X2-2x).
4	з
Решить уравнение (285—287).
1) 2х = 5; 2) 1,2х = 4; 3) 42х + 3 = 5; 4) 71’2х = 2.
1) 72х + 7х - 12 = 0;	2) 9х - 3х - 12 = 0;
3) 8Х + 1 - 82х-1 = 30;	4) (— ] — 5 ( — ) +6 = 0.
1) (3х + 2х) (3х + 3 • 2х) = 8 • 6х;
2) (3 • 5х + 2,5 • 3х) (2 • 3х - 2 • 5х) = 8 • 15х.
При каких значениях х имеет смысл выражение:
1) logr (2х - 1);	2) (х-Ь 1)?
Решить относительно х уравнение
9х + 9а (1 - а) • Зх"2-а3 = 0.
93
Свойства логарифмов
При выполнении преобразований выражений, со-
держащих логарифмы, при вычислениях и при
решении уравнений часто используются различ-
ные свойства логарифмов. Рассмотрим основные
из них.
Пусть а > 0, а Ф 1, b > 0, с > 0, г — любое дейст-
вительное число. Тогда справедливы формулы
loga (Ьс) = logfl b + loge с,	(1)
loge | = logfl b- logfl с,	(2)
loga br = г loga Ь.	(3)
• По основному логарифмическому тождеству
а1оя“ь=Ь,	(4)
aloe“c = c.	(5)
1)	Перемножая равенства (4) и (5), получаем
откуда по определению логарифма loga b + loga с =
= loga (be). Формула (1) доказана.
2)	Разделив равенства (4) и (5), получим
а log e b - log в е _ Ь
с
откуда по определению логарифма следует фор-
мула (2).
3)	Возводя основное логарифмическое тождество
ah>gab=b в степень с показателем г, получаем
arlo*a ь = Ьг. откуда по определению логарифма сле-
дует формула (3).
Приведём примеры применения формул (1) — (3):
1) logg 18 + log({ 2 = logfi 36 = 2;
2) log12 48 - log12 4 = log12 12 = 1;
i
3) log3 37 = i log3 3 = i.
94
Задача Вычислить log5 v3 - | log5 12 + log5 50.
► Применяя формулы (1) — (3), находим
logs Vs -1 logs 12 + log5 50 = logs =
= logft 25 = 2.
290
Упражнения
Вычислить (290—294).
1)
3)
log10 5 + log10 2;
log|2 2 + log12 72;
2)
4)
logI0 8 + logI0 125;
log3 6 + log3
291
292
293
294
295
log2 15-log2l|;
16
3) log 1 54-logj 2;
3	3
1) logl3 Vl69 ;
3) log 11/243;
3
log3 12 - log3
logy 15 + log9
1 - -- 
2	-•
2 log, 6 - 1 log t 400+31og, V45.
i 2	3	1
logs8 . 2) log«27• 3) logb 36~ logs12. 4) log78
log316 ’ logft 9 ’	log5 9	’ log715 - log7 30
Вычислить logfl x, если loga b = 3, loga c = -2:
1) x = a852Vc;	2)
1)
2)
4)
log5 75 - logs 3;
log 8 ~ " ,o£h 32-
1 n
296
2)
4)
,O*2
1)
2)
8)
4)
1)
15 + logR 20;
18 - loge 10;
— log7 36 - log7 14-3 log7 V21;
з
Вычислить:
log2 24 - 1 log2 72
1)--------t—
log318-ilog3 72
О
3)	;
log2 20+3 log2 2
log714 - | log7 56
2) -------2------
logs 30 _ 2 log6150
31og72- - log764
4)--------i—
4 logj 2 + i 1о«5 27
О
95
297 Найти х по данному его логарифму (а > О, Ь > 0):
1)	log3 х = 4 log3 а + 7 log3 ft;
2)	log5 x = 2 log5 a - 3 log5 ft;
3)	log। x= | log, a-|log, ft;
2	2	2
4)	log2 X = 1 log2 a + - log2 ft.
S 4	3	7 i
298 Вычислить:
1) 366 8 + 101 ~ '°*10 2 _ g 2 a •
2) (ei4 2lu**4 + 25logl2S.49|ов’2;
3)16	;
f -log-9-log-6	,_ Л
4) 72- [492	' +5‘*^J.
299 Доказать, что если a > 0, a * 1, b > 0, p * 0, to
log pb - 1 logu b. Используя эту формулу, вычислить:
а Р
1) >og36 2 - 4 log, 3;	2) 2 log25 30 + log0 2 6.
6
300 Выразить через а и b:
1) log 50, если log3 15 = a, log3 10 = b;
2) log4 1250. если log2 5 = a.
Десятичные и натуральные логарифмы
Для логарифмов чисел составлены специальные
таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вы-
числяют также с помощью микрокалькулятора.
И в том и в другом случае находятся только деся-
тичные или натуральные логарифмы.
Десятичным логарифмом числа называют лога-
рифм этого числа по основанию 10 и пишут 1g b
вместо log10 b.
96
Натуральным логарифмом числа называют ло-
гарифм этого числа по основанию с, где е — ирра-
циональное число, приближённо равное 2,7. При
этом пишут In Ъ вместо logr b.
Иррациональное число е играет важную роль в ма-
тематике и её приложениях. Число е можно пред-
ставить как сумму:
е=1+1- 1 -	1
1
1
1-2-3-...-л
1-2 1-2-3
Приближённое значение числа е можно прочитать
на табло микрокалькулятора после использования
клавиши ех :
2,7182818.
на микрокаль-
и
Вычисления lg b и In b проводятся
куляторе с помощью клавиш 1g
Например, вычисляя 1g 13, получаем
In .
1g 13 - 1,1139433;
вычисляя In 13, получаем
In 13 ~ 2,5649493.
Оказывается, что достаточно знать значения толь-
ко десятичных или только натуральных логариф-
мов чисел, чтобы находить логарифмы чисел
по любому основанию. Для этого используется фор
мула перехода от логарифма по одному основанию
к логарифму по другому основанию.
log, Ь =
log. Ь
log е в ’
(1)
где b > 0, а > 0, а * 1, с > 0, с * 1.
Докажем справедливость формулы (1).
• Запишем основное логарифмическое тождество
а'"*аЬ=Ь. Возьмём от обеих его частей логарифмы
по основанию с:
lograloe“d=logf Ь.
Используя свойство логарифма степени, получаем
log Ь • log,, а = log, b; откуда log. Ь = '°е' Ь. О
‘Ogr в
97
Из формулы (1) при с =10 и с = е получаются
формулы перехода к десятичным и натуральным
логарифмам:
= = (2)
lg a	In а
Из формулы (1) следует формула logab = ———.
log ь а
Задача 1 С помощью микрокалькулятора вычислить log3 80
с точностью до 0,01.
► 1) С помощью десятичных логарифмов по формуле
(2) находим: log4 80 =	~ 3,9886927.
1g 3
2) С помощью натуральных логарифмов:
log., 80 =	~ 3,9886928.
In 3
Ответ log3 80 ~ 3,99.
Формула перехода от одного основания логарифма
к другому иногда используется при решении урав-
нений.
Q
Задача 2 Решить уравнение log2 х + log4 х = “•
_	.	.	logo X logo х
По формуле перехода log, х =	=—-—.
log2 4	2
Поэтому уравнение принимает вид log2 х +
+ i log2 х = откуда log2 х = 1, х = 2.
2	2
Задача 3* Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный а руб-
лям, через п лет становится равным а (1,02)л,
а трёхпроцентный вклад становится равным
а (1,03)л. Через сколько лет каждый из вкладов
удвоится?
► 1) Для первого вклада 2а = а (1,02)л, откуда
(1,02)л = 2, п = logj 02 2. Вычисления проведём на
микрокалькуляторе:
log102 2 ~ 35,002788.
2) Для второго вклада п = log1t03 2 и вычисления
на микрокалькуляторе показывают:
logb03 2 ~ 23,449772.
Ответ По первому вкладу примерно через 35 лет, а по
второму — через 23,5 года.
98
Упражнения
301
302
303
304
305
300
307
308
30»
310
311
312
313
314
315
Вычислить с помощью микрокалькулятора (301—302).
1) 1g 23;	2) 1g 7;	3) 1g 0,37;	4) 1g
3
1) In 81;	2) In 2;	3) In 0,17;	4) In®.
Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить
на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) log7 25; 2) log5 8; 3) log9 0,75; 4) log0 75 1,13.
Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить
на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) log7 5; 2) log8 15; 3) log0|7 9; 4) logltl 0,23.
Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:
1) log5 3; 2) 1g 6; 3) log, 7; 4) log5 |; 5) 1g 7; 6) log3 7.
О
Ig625
Вычислить: 1) 5 ,g2& ; 2) log! (log3 4-log2 3).
4
Решить уравнение:
1) log- x = 2 log3 3 4-4 log25 2;
3) log3 x = 9 log27 8 - 3 log3 4;
5) log2 x 4- log8 x = 8;
2) log2 x — 2 log j x = 9;
2
4) logy x2 + logv- X = 3
6) log4 x- logiex = |.
4
Дапо: log7 2 = m. Найти: log49 28.
Дано: 1g 3 = m. 1g 5 = n. Найти: log15 30.
Дано: log6 2 = т. Найти: log24 72.
Дано: log30 8 = m. Найти: log3ti 9.
)og3 216 log3 24	log2 192 log2 24
Вычислить: 1)	• 2) —-—
I Ogg 3	log72 3	log 12 2	log<ffi 2
Решить уравнение:
1)	logf x - 9 logH x = 4;
2)	16 logj8 x 4- 3 log4 x - 1 = 0;
3)	log2 x 4- 5 log9 x - 1,5 = 0;
4)	log.2 x - 15 log27 x + 6 = 0.
Вычислить (не используя микрокалькулятор):
1)	+	2) [bg7 2 + —Ц] 1g7;
logs 6 log4 6	V	logs 7 )
3)
2 logo 3
log4 9
Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно
на 8%. Через сколько лет число жителей удвоится?
99
316 При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется
1,2% имеющегося в нём воздуха. Через сколько качаний на-
соса в сосуде останется —-— часть первоначальной массы
1016
воздуха?
317 Вычислить на микрокалькуляторе приближённое значение
числа е по формуле е ~ 2 + i	+ —-— + ... +-----------
2 2-3 2-3-4	2-3-4-.. .-п
при: 1) п = 7; 2) п = 8; 3) п = 9; 4) п = 10.
Логарифмическая функция,
её свойства и график
В математике и её приложениях часто встречается
логарифмическая функция
у = loga х,
где а — заданное число, а > 0, а ф 1.
Логарифмическая функция обладает свойствами:
1)	Область определения логарифмической функ-
ции — множество всех положительных чисел.
• Это следует из определения логарифма, так как
выражение loga х имеет смысл только при х > 0.
2)	Множество значений логарифмической функ-
ции — множество R всех действительных чисел.
Это следует из того, что для любого действительно-
го числа b есть такое положительное число х, что
loga х = 6, т. е. уравнение loga х = b имеет корень.
Такой корень существует и равен х = аь, так как
loga аь = Ь. О
3)	Логарифмическая функция не является огра-
ниченной.
• Это следует из свойства (2).
4)	Логарифмическая функция у = loga х является
возрастающей на промежутке (0; +оо), если а > 1,
и убывающей, если 0 < a < 1.
100
• Пусть а > 1. Докажем, что если 0 < xt < х2, то
У (Л) < У (х2), т. е. Ioga X, < loga х2. Пользуясь
основным логарифмическим тождеством, условие
хх<х2 можно записать так: a,oge X1 <a,oge*2. Из
этого неравенства по свойству степени с основани-
ем а > 1 следует, что loga х} < loga х2.
Пусть 0<а<1. Докажем, что если 0 < хх < х2,
то loga хх > loga х2. Записав условие х, < х2 в виде
aIoge Х| < aloga Х2 , получим logfl х, > loga х2, так как
О < а < 1.
Отметим, что справедливы и следующие два
утверждения: если а>1 и logfl х, < loga х2,
где хх >0, х2 > 0, то х1 < х2; если 0 < а < 1 и
10gfl *1 < 1о8а Х2» ГЛе *1 >0, Х2 > °’ Т0 *1 > *2’
5)	Если а > 1, то функция у = logfl х принимает
положительные значения при х > 1, отрицатель-
ные при 0<х<1. Если 0<а<1, то функция
у = logrt х принимает положительные значения
при 0 < х < 1, отрицательные при х > 1.
• Это следует из того, что функция у = loga х прини-
мает значение, равное нулю, при х = 1 и является
возрастающей на промежутке х > 0, если а>1,
и убывающей, если О < а < 1.
Из рассмотренных свойств логарифмической функ-
ции у = loga х следует, что её график расположен
правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисун-
ке 39, а, если а > 1, и на рисунке 39, б, если 0 < а < 1.
На рисунке 40 изображён график функции у = log3 х,
а на рисунке 41 - график функции у = log । х.
з
Ось Оу является вертикальной асимптотой графика
функции у = loga х.
101
Отметим, что график любой логарифмической функ-
ции у = loga х проходит через точку (1; 0). При
решении уравнений часто используется следующая
теорема:
Теорема. Если loga х, = loga х2, где а > 0, а # 1,
xt >0, х2 > 0, то xt = х2.
Задача 1
Задача 2
Ответ
Задача 3
•	Предположим, что х1 * х2, например х1 < х2. Если
а > 1, то из неравенства хх < х2 следует, что
logfl хх < logfl х2; если 0 < a < 1, то из неравенст-
ва Xj < х2 следует, что loga хх > loga х2. В обоих
случаях получилось противоречие с условием
logfl Xj = loga х2. Следовательно, х2 = х2.
Решить уравнение iog5 (Зх - 2) = logfj 7.
►	Используя доказанную теорему, получаем Зх-2 = 7,
откуда Зх = 9, х = 3. <
Решить неравенство log2 х < 3.
>	Пользуясь тем, что 3 = log2 23 = log2 8, запишем
данное неравенство так: log2 х < log2 8. Так как
функция у = log2 х определена при х > 0 и возра-
стает, то неравенство log2 х < log2 8 выполняется
при х > 0 и х < 8.
0 < х < 8. <]
Решить неравенство log, х < - 2.
а
>	Запишем данное неравенство так: logj x<logr 9.
3	3
Функция у = log j х определена при х > 0 и убы-
з
102
Рис. 42
вает, поэтому неравенство выполняется при х > О
и х > 9.
Ответ х > 9. <1
Логарифмическая функция у = logu х и показа-
тельная функция у = ах, где а > 0, а * 1, взаимно
обратны.
Решая уравнение у = loga х относительно х, полу-
чаем х = ау\ меняя местами х и у, имеем у = ах.
Графики этих функций при а = 3 и а = | показаны
на рисунке 42.
Упражнения
318 Сравнить числа:
1) logs f и log3	2) log, 9 и log, 17;
50	si
3) log। e и log] я; 4) log2 и log2
T	La	£
2	2
319 Выяснить, является ли положительным или отрицательным
число:
1) log3 4,5;	2) log3 0,45;	3) log5 25,3;	4) log0 5 9,6.
320 Сравнить с единицей число х, если:
1) log3x = -0,3;	2) log j х=1,7;	3) log2 х = 1,3.
з
321 Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функ-
ция:
1) У = log0.075	2) У =	3) у = 1g х; 4) у = In х.
~2
103
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
Построить график функции:
1) У = log2 х; 2) у = log, X.
2
По графику функции у = log2 х найти приближённо
log2 3, log2 0,3, log2 5, log2 0,7.
Изобразить схематически график функции:
l)y = lgx; 2)«/ = 1пх; 3) у = log^ х; 4)y = log1x.
5
Решить неравенство (325—326).
1) log5 X > log5 3;	2) log, х < log Л ;
— о
5	5
3) 1g x < Ig 4;	4) In x > In 0,5.
l)log3x<2; 2)log04x>2; 3)log,x>16; 4) log,, 4 x < 2.
2
Решить уравнение:
1) log3 (5x - 1) = 2;
3) log4 (2x - 3) = 1;
5) 1g (3x - 1) = 0;
2) log5 (3x + 1) = 2
4) log7 (x + 3) = 2;
6) lg(2-5x)=l.
Найти область определения функции:
1) У = log., (х - 1);	2) у = log,, 3 (1 + х);
3) у = log3 (х2 + 2х);	4) у = log^ (4 - х2).
Доказать, что функция у = log2 (х2 - 1) возрастает на про-
межутке (1; +оо).
Сравнить значения выражений:
1) 1 + 1g 3 и 1g 19 - 1g 2;	2) lg5+lg^ и Ig^2^;
2	2	2
3) 3 (1g 7 - 1g 5) и 1g 9 - lg8; 4) 1g 1g 1g 50 и 1g3 4 50.
3
Найти область определения функции:
1)	у = log„ (х2 - Зх - 4);	2)	у	= log 3 (-х2 + 5х + 6);
3)	У = 1080.7^75;	4)	y	= log,-^;
5)	у = log, (2х - 2);	6)	у	= log3 (3х"1 - 9).
Построить график функции, найти её область определения
и множество значений:
1) у = log., (х - 1);	2) у = log^xH-1);	3) у = 1 + log3 х;
з
4) у = log, х — 1;	5) у = 1 + log3 (х - 1).
з
104
333 Решить графически уравнение:
1) log2 х = -х + 1;	2) log1 х = 2х-5;
2
3) lgx = Vx;	4) 1g х = 2 х.
334 Построить график функции, найти её область определения
и множество значений, указать промежутки монотонности:
l)y = |log3x|;	2) у = log3 |х|;
3) у = log2 |3 - х|;	4) у = |1 - log2 х|.
335 Найти область определения функции:
1) у = 10g2 |3 - х| - log2 |х3 - 81;
2) у = log0,3 Vx + 1 + log0л (1 “ 8*3)-
Задача 1 Решить уравнение
log2 (х + 1) + log2 (х + 3) = 3.	(1)
► Предположим, что х — такое число, при котором
равенство (1) является верным, т. е. х — корень
уравнения (1).
Тогда по свойству логарифма верно равенство
log2 ((х + 1) (х + 3)) = 3,	(2)
Из этого равенства по определению логарифма по-
лучаем
(х + 1) (х + 3) = 8,	(3)
х2 + 4х + 3 = 8, т. е. х2 + 4х - 5 = 0, откуда Xj = 1,
х2--5.
Так как уравнение (3) является следствием исход-
ного уравнения, то необходима проверка. Прове-
рим, являются ли числа 1 и -5 корнями уравне-
ния (1). Подставляя в левую часть исходного урав-
нения х = 1, получаем log2 (1 + 1) + log2 (1 + 3) =
= log2 2 4- log2 4 = 14-2 = 3, т. e. x = 1 — корень
уравнения (1).
105
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны,
и поэтому левая часть уравнения (1) не имеет
смысла, т. е. х = -5 не является корнем этого
уравнения.
Ответ
х= 1.
Замечание. Решение уравнения (1) можно за-
менить решением равносильной ему системы
х + 1 > О,
х + 3> О,
log2((x + l)(x + 3)) = 3.
Задача 2 Решить уравнение log2 (1 - х) = 3 - log2 (3 - х).
► Перенесём логарифм из правой части в левую:
log2 (1 - х) + log2 (3 - х) = 3,
откуда
log2 ((1 - х) (3 - х)) = 3,
(1 - х) (3 - х) = 8.
Решая это уравнение, получаем xt = 5, х2 = -1.
Число х1 = 5 не является корнем исходного урав-
нения, так как при х = 5 левая и правая части
уравнения теряют смысл. Проверка показывает,
что число х = -1 является корнем исходного урав-
нения.
Ответ
х = -1. <1
Задача 3 Решить уравнение
1g (2х2 - 4х + 12) = 1g х + 1g (х + 3).
►	По свойству логарифмов
1g (2х2 - 4х + 12) = 1g (х2 + Зх),
откуда (по теореме § 18) 2х2 - 4х + 12 = х2 + Зх,
х2 - 7х + 12 = 0, хх = 3, х2 = 4. Проверка показыва-
ет, что оба значения х являются корнями исходно-
го уравнения.
Ответ х1 = 3, х2 = 4. <
Задача 4 Решить уравнение log7 (Зх + 4) = log7 (5х 4- 8).
►	Приравнивая выражения, стоящие под знаком ло-
гарифма, получаем Зх + 4 = 5х + 8, откуда х = -2.
Выполняя проверку, убеждаемся, что при х = -2
левая и правая части исходного уравнения не име-
ют смысла.
Ответ Корней нет.
106
Задача 5	Решить уравнение log4 (2х - 1) • log4 х = 2 log4 (2х - 1). ► Преобразуем данное уравнение: log., (2х - 1) • log, х - 2 log, (2х - 1) = 0, log, (2х - 1) • (log, х - 2) = 0. Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем: 1)	log4 (2х - 1) = 0, откуда 2х - 1 = 1, х1 = 1; 2)	log4 х - 2 = 0, откуда log4 х - 2, х2 = 16. Проверка показывает, что оба значения х являют- ся корнями исходного уравнения.
Ответ	Xj = 1, х2 = 16. <1
Задача 6	Решить уравнение log3 х + logx 3 = -. 2 ► Уравнение имеет смысл, если х > 0, х * 1.	(4) Пусть t = log3 х, тогда logx 3 = 4 и уравнение при- мет вид £ + - = -, или 2t2 ~ Ы 4- 2 = 0, откуда t 2 t, = 2, ^2 = р Если * = 2, то log3x = 2, х = 9. Если f = -, то log4 х = х = >/3. 2	2 Найденные значения х удовлетворяют условиям (4) и являются корнями данного уравнения.
Ответ	II со н м II оо! А
Задача 7	„	- (log2 x-log2 у = 1, Решить систему уравнении {	2	д ► Из первого уравнения выразим х через у: log2 “ =	- = 2, х = 2у. Подставив х = 2у У	У во второе уравнение системы, получим 4i/2 + 2у - 12 = 0, откуда	Уа = ~2. Найдём значения х: х{ = 3, х2 = -4. Проверкой убеждаем- (	3 । ся, что 13; -1 — решение системы, а (-4; -2) не является её решением.
Ответ	[ 3; $1. <1 к 2 /
107
Упражнения
336 Установить, какое из данных двух уравнений является след-
ствием другого уравнения:
1) х-3 = 0 и х2 - 5х + 6 = 0;	2) |х| = 5 и л/х2* = 5;
х2 - Зх + 2 л 9
3)		= 0 и х2 - Зх + 2 = 0;
х-1
4)	log8 х + log8 (х - 2) = 1 и log8 (х (х - 2)) = 1.
Решить уравнение (337—341).
337 1) Iog2 (х - 5) + log2 (х + 2) = 3;
2)	log3 (х - 2) + log3 (х + 6) = 2;
3)	lg(x + V3) + lg(x-V3) = 0;
4)	1g (x - 1) + 1g (x + 1) = 0.
338 1) 1g (x - 1) - 1g (2x - 11) = 1g 2;
2)	1g (Зх - 1) - 1g (x + 5) = 1g 5;
3)	log., (x3 - x) - log3 x = log3 3.
339 1) i 1g (x2 + x - 5) = 1g (5x) + 1g
2	ox
2) i 1g (x2 - 4x - 1) = 1g (8x) - 1g (4x).
340 1) log., (5x + 3) = log3 (7x + 5);
2) log, (3x-l) = log, (6x + 8).
2	2
341	1) log7 (x - 1) log7 x = log7 x;
2)	log2 xlog,(3x-2) = log, (3x-2);
8	8	3
3)	log2 (3x + 1) log3 X = 2 log2 (3x + 1);
4)	log Л (x - 2) log5 x = 2 log3 (x - 2).
342 Решить систему уравнений:
(lgx-lgj/ = 2,	[log3 x + log3 jy = 2,
|x-10t/ = 900;	|x2i/-2j/ + 9 = 0.
Решить уравнение (343—345).
343 1) log5 x2 = 0; 2) log, x2 = 3; 3) log3 x3 = 0; 4) log, x3 = 6;
5)	1g x* + 1g (4x) = 2 + 1g x3; 6) 1g x + 1g x2 = 1g (9x).
344 1) log, ((x + 2) (x + 3)) + log, = 2;
x+ 3
2) log2^l + log2((x-l)(x + 4)) = 2;
x + 4
3) log;, x2 - log3 —2— = 3;	4) log2 + log2 x2 = 5.
X + 6	X
108
345 1) 23lgx • 5lgx = 1600;
3) —— + —-— = 1;
4 + Igx 2 - Igx
2) 2lug»x’ .S10*» x = 400;
4) —i—+—-—= 1.
5 - Igx 1+ Igx
346
347
He решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:
1) 23х + ) = 2"3 и Зх + 1 =-3;
2) log3 (х - 1) = 2 и х - 1 = 9.
Решить систему уравнений:
[lgx-lgy= 7,
[lg х + 1g у = 5;
2)
log2 х + | log2 1 = 4,
xy = 2.
Решить уравнение (348—352).
348	1)	log2 x - 2 log, 2 = -1;	2)	log2 x +	logx 2 = 2,5;
3)	log3 x + 2 !ogx 3 = 3;	4)	log3 x -	6	logr 3 = 1.
349	1)	logx,9 + log^4 = 2;	2)	logx,16	-	log/x 7 = 2.
350	1)	1g (6 • 5х - 25 • 20х) - 1g 25 = x;
2) 1g (2х + x + 4) = x - x 1g 5.
351	1) 1g2 (x + 1) = 1g (x + 1) • 1g (x - 1) + 2 1g2 (x - 1);
2) 2 log5 (4 - x) • log2jr (4 - x) = 3 log5 (4 - x) - log5 (2x).
352 1) Jlogx25 + 3 = -J- ;
logs X
2) ^2 log^ x + 3 log2 x - 5 = log2 (2x).
353 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
5 log5 х -h loga х - 4 log2R х = а имеет корни.
Логарифмические неравенства
При изучении логарифмической функции рассмат-
ривались неравенства вида loga х < b и loga х > Ь.
Приведём примеры решения более сложных лога-
рифмических неравенств. Обычный способ реше-
109
ния таких неравенств заключается в переходе от
них к более простому неравенству или системе не-
равенств, имеющей то же самое множество реше-
ний, т. е. к равносильному неравенству или к рав-
носильной системе неравенств.
Задача 1 Решить неравенство
1g (х+1) <2.	(1)
►	Правая часть данного неравенства имеет смысл при
всех значениях х, а левая часть — при х + 1 > О,
откуда х > -1, т. е. х > -1 — область определения
неравенства (1).
Исходное неравенство запишем так:
1g (х + 1) С 1g 100.	(2)
Так как 10 > 1, то х + 1 С 100, откуда х С 99. Учи-
тывая область определения исходного неравенства,
получаем -1 < х С 99.
Задача 2 Решить неравенство
log2 (х - 8) + log2 (х - 2) < 1.	(3)
►	Логарифмическая функция определена при по-
ложительных значениях аргумента, поэтому ле-
вая часть неравенства имеет смысл при х - 3 > 0
и х - 2 > 0.
Следовательно, областью определения этого нера-
венства является промежуток (3; +оо). По свойст-
вам логарифма неравенство (3) при х > 3 равно-
сильно неравенству
log2 (х - 3) (х - 2) С log2 2.	(4)
Логарифмическая функция с основанием 2 возра-
стающая. Поэтому при х > 3 неравенство (4) вы-
полняется, если (х - 3) (х - 2) 2.
Таким образом, исходное неравенство (3) рав-
носильно системе неравенств
f(x-3)(x-2) < 2,
|х > 3.
0	1	3	4
Рис. 43
Решая первое неравенство этой си-
стемы, получаем х2 - 5х + 4 0, от-
куда 1 < х 4. Совмещая отрезок
[1;4] с промежутком (3; +оо), по-
лучаем 3 < х < 4 (рис. 43).
110
-4	0	2	-6	0	4
а)	б)
-6 -4	0	2	4
в)
Рис. 44
Задача 3* Решить неравенство
logl(x2 + 2x-8) > -4.	(5)
2
► Область определения неравенства находится из
условия х2 + 2х - 8 > 0. Неравенство (5) можно
записать в следующем виде:
loHi (х2 + 2х-8) > logj 16.
2	2
Так как логарифмическая функция с основанием |
является убывающей, то для всех х из области
определения неравенства получаем х2 + 2х - 8 С
16. Таким образом, исходное неравенство (5) рав-
носильно системе неравенств
х2 + 2х-8 > 0,	1х2 + 2х-8 > 0,
<	или
х2 + 2х-8 < 16,	[х2 + 2х-24 <0.
Решая первое квадратное неравенство, получаем
х < -4, х > 2 (рис. 44, а). Решая второе квадратное
неравенство, получаем -6 х С 4 (рис. 44, 0). Сле-
довательно, оба неравенства системы выполняют-
ся одновременно при -6 < х < -4 и при 2 <х С 4
(рис. 44, в).
Ответ -6 х < -4, 2 < х 4.
Упражнения
354 Найти область определения функции:
1) у = 1g (Зх - 2);	2) у = log2 (7 - 5х);
3)	y = log,(x2-2);	4) у = log? (4 - х2).
2
Решить неравенство (355—357).
355 1) log3 (х + 2) < 3;	2) log8 (4 - 2х) > 2;
111
3) log2 (x + 1) < -2;
5) log, (4-Зх) > -1;
1) 1g x > 1g 8 + 1;
3) log2 (x - 4) < 1;
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
4)	log,(x-l)> -2;
8
6)	log2 (2 - 5x) <-2.
з
2) 1g x > 2 - 1g 4;
4) log, (3x ~ 5) > log, (x + 1).
&	5
1)	log16 (X - 3) + log)8 (x - 5) < 1;
2)	log, (x - 2) + log, (12 - x) > -2.
3	3
Найти область определения функции:
1) У = logs (** - 4х + 3);	2) у = loge ^2;
1-х
3)	у = yllgT+ 1g (х + 2);	4) у = 71g(x-l) + lg(x + l).
Решить неравенство (359—367).
1) log. > 0;	2) log,—
3) 1g (3x — 4) < 1g (2x + 1);
4) log, (2x + 3) > log, (x + I).
2	2
1) logH (x2 - 4x + 3) < 1;
3) log3 (x2 + 2x) > 1;
1) 1g (x2 - 8x + 13) > 0;
3) log2 (x2 + 2x) < 3;
1) log, log2 x2 > 0;	2) log
2) log8 (*2 - Зх + 2) > 1;
4) log2 (х2 - 2,5х) < -1.
з
2) log, (х2- 5х + 7) <0;
5
4) log, (х2-5х-6) >-3.
2
3 10g, (Х2-1) < 1.
3	2
1)	log0 2 х - log5 (X - 2) < logo 2 8;
2)	1g х - logo , (* - 1) > logo,! °,5.
1) loeo,2 x - 5 1°во,2 x < -6:	2) loRo.1 * + 3 logO ) x > 4.
1) 7-Ц— + ;-2— <1;	2) log3 (2 — 3“x) < x + 1 — log3 4;
5-lfx 1+lgx
3)	logx2 3(4x + 7)> 0;	4) log x_, (>/б-2x) <0.
5x-6
8*-l	9x-2
4х (716‘*x-1+2) <4|4*-1|.
112
£ Упражнения
К к главе IV
Вычислить (368—372).
1) log,5 225;	2) log4 256;	3) log3 -1-;	4) log7 -U
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
1) log, 64;	2)	log,	81;	3) log, X;	4) log, £.
4	3	3 27	2 04
1) log,, 1;	2)	log7	7;	3) log,e 64;	4) log27 9.
1) (0,l)"‘e
2) 10‘”4;	3) 5‘1ов5а;
4)
1) 4log, 3-2 log, 27-2 log, 6;
2	2	2
2) 2 lgO.001 + 1gViooo - 3 lg^/10000.
3	5
Вычислить с помощью микрокалькулятора:
1) log8 7;	2) log3 12;	3) log1>3 0,17;	4) log0.3 8,1.
Построить график функции:
1) j/ = log4x; 2) y = log1x.
4
Какая из данных функций является возрастающей? убываю-
щей? При каких значениях х каждая функция принимает
положительные значения? отрицательные значения? значе-
ния, равные нулю?
Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функ-
ция:
1) y = ^g0.2x> 2> y = }°gj6x' 3> 1/ = 1°81х; 4) 1/ = 1о&лх
«	2
Решить графически уравнение:
1) log3 х = 5 - х;	2) log j х = Зх.
з
Найти область определения функции:
1) У = log? (5 - 2х);	2) у = log2 (х2 - 2х).
Решить уравнение (378—380).
1) log, (7 -8х) =-2;	2) 1g (х2 - 2) = 1g х.
2
113
379
380
381
382
383
1
2
3
4
5
6
384
1)	1g (x2 - 2x) = 1g 30 - 1;
2)	log3 (2x2 + x) = log3 6 - log3 2;
3)	1g2 x - 3 1g x = 4;	4) log2 x - 5 log2 x + 6 = 0.
1)	log2 (x - 2) + log2 (x - 3) = 1;
2)	log3 (5 - x) + log3 (-1 - x) = 3;
3)	1g (x - 2) + 1g x = 1g 3;
4)	log7g(x-l) + log7e(x + 4)=log7i6.
Решить неравенство (381—383).
1) log2 (x - 5) C 2;	2) log3 (7 - x) > 1;
3) logi(2x + l)> —2;	4) log.O-Sx) <-3.
2	2
1) log3 (5 - 4x) < log3 (x - 1);
2) log0.3 <2x + 5) > log0,з (*+!)•
1) 1g (x2 + 2x + 2) < 1;	2) log3 (x2 + 7x - 5) > 1.
Проверь себя!
Вычислить:
1) log, 125; 2) IgO.Ol; 3) г10**3; 4) 321og87;
5) log2 68 - log2 17.
Построить схематически график функции:
1) г/= logu 2 х; 2) y = \og2x.
Сравнить числа:
1) log0 2 3 и log02 2,5;	2) log2 0,7 и log2 1,2.
Решить уравнение:
1) logs (3* + 1) = 2;	2) log3 (x + 2) + log3 x = 1;
3) In (x2 - 6x + 9) = In 3 + In (x + 3).
_	, flnx-lny = ln3,
Решить систему уравнений <
(x-2i/ = 5.
Решить неравенство:
1) log3 (х - 1) С 2;	2) log J2 - x) > -1.
5
Вычислить:
3) г2-10*15;
5) 2 logs Vs + 3 log2 8;
2> |0‘яйк!
4) 3,6|ое’•*10 *1;
6) log2 log2 log2 2,e.
114
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
Сравнить числа:
1) logjj и logij; 2	3	2 log 2 5 + lo< 1 9		
	2) 2	9	и V8.
Вычислить log30 64 1g 3^ 0,4771, lg5«	с точностью 0,6990.	ДО	0,001, зная, что
Вычислить log36 15 1g 3- 0,4771, 1g 5 —	с точностью 0,6990.	до	0,001, зная, что
При каких значениях х справедливо неравенство:
1) logx 8 < logx 10;	2) logx| <10gx|?
Решить графически уравнение:
1) log3x = -;	2) 2x=log,x.
х	а
Решить уравнение (390—395).
/	\5+4х
1) 34х=10; 2) 2Ях = 3; 3) 1,33х2 = 3; 4) I | I	=1,5;
5) 16х - 4Х +1 - 14 = 0;	6) 25х + 2 • 5х - 15 = 0.
1)	log3 X + logg х + log27 X =
2)	log3 x + log -x + log1x = 6;
з
3)	log3 x • log2 x = 4 log3 2;
4)	log5 x  log3 x = 9 log5 3.
1)	log3 (2 - x2) - log3 (-x) = 0;
2)	log5 (xz - 12) - log5 (-x) = 0;
3)	log2 Vx - 3 + log2 >/3x - 7 =2;
4)	lg(x + 6)-lg V2x-3 = lg4.
1) log x -I- 4 log4 x + logg x = 13;
2) logO 5 (x + 2) - log2 (x - 3) = | log , (-4x —8).
Л
1) logi5 + log J 12 + llogx3 = l;
7	2
2) I log, 7 -log । 3-logx2 28 = l.
2	VJ
1) log2 -3- = log2 x; 2) log, зу- = log, x;
X 1	2 7 X 2 3
3) 1g ^-7 = Igx;	4) 1g ^4 = }£X.
x-1	x-2
115
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
Решить неравенство (396—397).
1)	l°g^e(x-4) + log g(x + l)<2;
2)	log3v2 (x-5) + log375 (х + 12) <2;
3)	log3 (8x2 + x) > 2 + log., x2 + log3 x;
4)	log2 x + log2 (x - 3) > log2 4;
5)	log, (x- 10) - log £ (x + 2) > - 1;
5	5
6) log j (x + 10) + log , (x + 4) > -2.
V7	/7
1) 4 log4 x — 33 logx 4	1;	2) logx 3 4 (1+ log1 x).
з
Доказать, что если последовательность положительных чи-
сел является геометрической прогрессией, то их логарифмы
по одному и тому же основанию образуют арифметическую
прогрессию.
Найти три последовательных члена геометрической прогрес-
сии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных лога-
рифмов равна 3.
Построить график функции:
Решить уравнение (401—403).
1) х'« e + 9;« х = 6;	2) X3'6 '-з-*"=100 V10.
1) 3 + 2 logx+I 3 = 2 log., (х + 1);
2) 1 + 2 logx_2 5 = log5 (х + 2).
1)	log2 (2х - 5) - log2 (2х - 2) = 2 - x;
2)	log£_x(3-x) = log3_x(l -x);
3)	log2 (2х + 1) • log2 (2* +1 + 2) = 2;
4)	log*, + , (5x + 3) = 2 - log5x + з (3x + 7).
Решить неравенство:
1)	log,(2x+2 -4х) > -2;	2) log , (6X+1 -36х) > -2.
»	Л
Решить уравнение
log2 x • log2 (x - 3) + 1 = log2 (x2 - 3x).
Решить неравенство
-JL_ +-------1—<_з.
log„x-1 |oge X2 + 1	2
116
I V
д глава
т Тригонометрические
- формулы
Математика есть такая наука, которая
показывает, как из знаемых количеств
находить другие, нам ещё неизвестные.
Д. С. Аничков
? Радианная мера угла
Л
3
Рис. 45
-3
-л
Пусть вертикальная прямая касается
в точке Р окружности радиуса 1 с цент-
ром О (рис. 45). Будем считать эту пря-
мую числовой осью с началом в точке Р,
а положительным направлением на пря-
мой направление вверх. За единицу дли-
ны на числовой оси возьмём радиус окруж-
ности. Отметим на прямой несколько то-
чек ±1, ±~, ±3, ±я, где к ~ 3,14 — ирра-
2
циональное число. Вообразив эту прямую
в виде нсрастяжимой нити, закреплён-
ной на окружности в точке Р, будем мыс-
ленно наматывать её на окружность. При
этом точки числовой прямой с координа-
тами, например, 1, —, —1, —2 перейдут со-
2
ответственно в точки окружности Mv М2,
М3, М4, такие, что длина дуги РМ}, рав-
на 1, длина дуги РМ2 равна — и т. д.
2
Таким образом, каждой точке прямой
ставится в соответствие некоторая
точка окружности.
117
0Так как точке прямой с координатой 1 ста-
вится в соответствие точка М., то есте-
ственно считать угол РОМХ единичным
и мерой этого угла измерять другие углы.
Например, угол РОМ2 следует считать рав-
ным Такой способ измерения углов ши-
роко используется в математике и физике.
В этом случае говорят, что углы измеряют-
Рис. 46	ся в радианной мере, а угол РОМХ называ-
ют углом в один радиан (1 рад). Длина
дуги окружности РМ{ равна радиусу.
Рассмотрим окружность радиуса R и отметим
на ней дугу РМ длины R и угол РОМ (рис. 46).
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина
которой равна радиусу окружности, называется
углом в один радиан.
Найдём градусную меру угла в 1 рад. Из курса гео-
метрии известно, что дуге длиной nR (полуок-
ружность) соответствует центральный угол в 180°,
тогда дуге длиной R соответствует угол, в л раз
меньший, т. е.
1	рад =
Так как л ~ 3,14, то 1 рад ~ 57,3°.
Если угол содержит а рад, то его градусная мера
равна
а рад = I —а I .	(1)
\ л J
Задача 1 Найти градусную меру угла, равного:
1)	л рад; 2) £ рад; 3) — рад.
2	4
► По формуле (1) находим:
1) л рад = 180°; 2) j рад = 90°;
3) — рад =	1 = 135%
4	\ л 4 /
Найдем радианную меру угла в 1°. Так как угол
180° равен л рад, то
1° = — рад.
180
Если угол содержит а градусов, то его радианная
мера равна
а0 = — а рад.	(2)
118
Задача 2 Найти радианную меру угла, равного:
1) 45°; 2) 15°.
► По формуле (2) находим:
1) 45° = — • 45 рад = — рад;
180	4
2) 15° = —-15 рад = —рад. <
Приведём таблицу наиболее часто встречающихся
углов в градусной и радианной мере.
Градусы	0	30	45	60	90	180
Радианы	0	л 6	л 4	л 3	л 2	л
Обычно при обозначении меры угла в радианах на-
именование «рад» опускают.
Радианная мера угла удобна для вычисления дли-
ны дуги окружности. Так как угол в 1 рад стяги-
вает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол
в а рад стягивает дугу длиной
I = аЯ.	(3)
Задача 3
Конец минутной стрелки кремлёвских курантов
движется по окружности радиуса R « 3,06 м. Ка-
кой путь I проходит конец стрелки за 15 мин?
За 15 мин стрелка поворачивается на угол, равный
- рад. По формуле (3) при а = - находим
2	2
I = - Н ~ — • 3,06 м = 4,8 м.
2	2
Ответ I ~ 4,8 м. <1
Особенно простой вид формула (3) имеет в случае,
когда радиус окружности R - 1. Тогда длина дуги
равна величине центрального угла, стягиваемого
этой дугой, в радианах, т. е. I = а. Этим объясняет-
ся удобство применения радианной меры в матема-
тике, физике, механике и т. д.
Задача 4 Доказать, что площадь кругового сектора радиу-
са R, образованного углом в а рад, равна
d2
S = а, где 0 < а < л.
£
► Площадь кругового сектора в л рад (полукруга)
_п2
равна ----. Поэтому площадь сектора в 1 рад
119
в к раз меньше, т. е. равна : п. Следовательно,
площадь сектора в а рад равна —а. <1
407
408
409
410
411
412
413
414
415
Упражнения
Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:
1) 40°; 2) 120°; 3) 150°; 4) 75°; 5) 32°; 6) 140°.
Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:
1)	2) J; 3) | л; 4) 2; 5) 3; 6) 0,36.
(Устно.) Определить градусную и радианную меру углов:
а) равностороннего треугольника; б) равнобедренного пря-
моугольного треугольника; в) квадрата; г) правильного
шестиугольника.
Вычислить радиус окружности, если дуге длиной 0,36 м со-
ответствует центральный угол в 0,9 рад.
Найти радианную меру угла, который соответствует дуге
окружности длиной 3 см, если радиус окружности ра-
вен 1,5 см.
Дуге кругового сектора соответствует угол в — рад. Найти
4
площадь сектора, если радиус круга равен 1 см.
Радиус круга равен 2,5 см, а площадь кругового сектора рав-
на 6,25 см2. Найти угол, который соответствует дуге этого
кругового сектора.
Заполнить таблицу (414—415).
Градусы	0,5	36	159	108				
Радианы					Ь 6	А к 10	2,5	1*8
Угол, °	30					
Угол, рад		к 5			2	
Радиус, см	2		10	5		
Длина дуги, см		2	5			10
Площадь сектора, см2				50	25	50
120
J Поворот точки вокруг
« начала координат
L11111л। • • • • • । • । •   । ।   
В предыдущем параграфе использовался наглядный
способ установления соответствия между точками
числовой прямой и точками окружности. Покажем
теперь, как можно установить соответствие меж-
ду действительными числами и точками окружно-
сти с помощью поворота точки окружности.
Рассмотрим на координатной плоскости окруж-
ность радиуса 1 с центром в начале координат.
Её называют единичной окружностью. Введём по-
нятие поворота точки единичной окружности во-
круг начала координат на угол а рад, где а — лю-
бое действительное число.
1. Пусть а > 0. Предположим, что точка, двигаясь
по единичной окружности от точки Р (1; 0) против
часовой стрелки, прошла путь длиной а (рис. 47).
Конечную точку пути обозначим М.
В этом случае будем говорить, что точка М получе-
на из точки Р поворотом вокруг начала координат
на угол а рад.
2. Пусть а < 0. В этом случае поворот на угол
а рад означает, что движение совершалось по ча-
совой стрелке и точка прошла путь длиной |<х|
(рис. 48).
Поворот на 0 рад означает, что точка остаётся
на месте.
121
Примеры.
1)	При повороте точки Р (1; 0) на угол £ рад
(рис. 49) получается точка М (0; 1).
2)	При повороте точки Р (1; 0) на угол рад
(рис. 49) получается точка N (0; -1).
3)	При повороте точки Р (1; 0) на угол — рад
2
(рис. 50) получается точка К (0; -1).
4)	При повороте точки Р (1; 0) на угол -л рад
(рис. 50) получается точка L (-1; 0).
В курсе геометрии рассматривались углы от 0°
до 180°. Используя поворот точки единичной
окружности вокруг начала координат, можно рас-
сматривать углы, большие 180°, а также отрица-
тельные углы. Угол поворота можно задавать как
в градусах, так и в радианах. Например, поворот
точки Р (1; 0) на угол означает то же самое, что
и поворот на 270°; поворот на — это поворот
на -90°.
Приведём таблицу поворотов на некоторые углы,
выраженные в радианной и градусной мере
(рис. 51)
Отметим, что при повороте точки Р (1; 0) на 2л,
т. е. на 360°, точка возвращается в первоначальное
положение (см. рис. 51). При повороте этой точки
на -2л, т. е. на -360°, она также возвращается
в первоначальное положение.
122
Рис. 51
Теперь рассмотрим примеры поворотов
точки па угол, больший 2л, и на угол,
меньший -2л. Так, при повороте на
угол — = 2 • 2 л + - точка совершает два
полных оборота против часовой стрел-
ки и ещё проходит путь (рис. 52).
При повороте на угол - — = -2 • 2 я - —
2	2
точка совершает два полных оборота
по часовой стрелке и ещё проходит
путь - в том же направлении (рис. 53).
2
Заметим, что при повороте точки
Р (1; 0) на угол — получается та же
самая точка, что и при повороте на
угол — (рис. 52). При повороте на угол
2
получается та же самая точка, что
и при повороте на угол -- (рис. 53).
123
Вообще, если а = а0 + 2лЛ, где k — целое число,
то при повороте на угол а получается та же самая
точка, что и при повороте на угол а0.
Итак, каждому действительному числу а соответ-
ствует единственная точка единичной окружно-
сти, получаемая поворотом точки Р (1; 0) на угол
а рад.
Однако одной и той же точке М единичной окруж-
ности соответствует бесконечное множество дей-
ствительных чисел а + 2л&, где k — целое число,
задающих поворот точки Р (1; 0) в точку М
(рис. 54).
Задача 1 Найти координаты точки, полученной поворотом
точки Р (1; 0) на угол: 1) 7 л; 2) - —.
2
► 1) Так как 7л = л + 2л • 3, то при повороте на 7л
получается та же самая точка, что и при повороте
на л, т.е. получается точка с координатами (-1; 0).
2) Так как -^=-^-2л, то при повороте на -
получается та же самая точка, что и при поворо-
те на т. е. получается точка с координата-
ми (0; -1). <1
Задача 2 Записать все углы, на которые нужно повернуть
I -Уз 1 I
точку (1; 0), чтобы получить точку М I - I.
► Из прямоугольного треугольника АОМ (рис. 55)
следует, что угол АОМ равен -, т. е. один из воз-
6
можных углов поворота равен Следовательно,
а)	б)
Рис. 54	Рис. 55
124
все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0),
чтобы получить точку
, выражаются так:
2 ’ 2
- + 2лА, где k — любое целое число.
Упражнения
416 Найти координаты точки единичной окружности, получен-
ной поворотом точки (1; 0) на угол:
1) 4я; 2) я; 3) -6,5я; 4)	5)	6) -45°.
На единичной окружности построить точку, полученную по-
воротом точки (1; 0) на заданный угол (417—419).
417 1)	2)-—; 3)-^я; 4)	5) --я; 6) -225°.
4	3	4	3	4
418 1) — ±2л; 2) -^±2я; 3) ^±6л; 4) -^±8л.
4	3	3	4
419 1) — + 2л£, k — целое число; 2)--л + 2л/г, k — целое
2	2
число; 3)	+ 2nk, k — целое число; 4) -- + 2к£,
4
k — целое число.
420 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол:
1) Зя; 2) -|я; 3) -^я; 4) 5я; 5) 540°; 6) 810°.
421 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р(1; 0) на угол (k — целое число):
1)	+ 2яЛ; 2) ^ + 2лЛ; 3) —+ 2яА; 4)	+ 2хА.
2	2	2	2
422 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол (А — целое число):
1) —±я; 2) £±я; 3)-^ + яА; 4) -л + nk.
2	4	2
423 Найти все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0),
чтобы получить точку с координатами:
1) (1; 0); 2) (-1; 0); 3) (0; 1); 4) (0; -1).
424 Определить четверть, в которой расположена точка, полу-
ченная поворотом точки Р (1; 0) на угол:
1) 1; 2) 2,75; 3) 3,16; 4) 4,95.
125
425 Найти число х, где О С х < 2л, и натуральное число /?,
такие, чтобы выполнялось равенство а = х + 2nfc, если:
1) а = 9,8л; 2)а = 7—л; 3)а = Цл; 4)а = ^л.
3	2	3
426 На единичной окружности построить точку, полученную по-
воротом точки Р (1; 0) на угол:
1) 4,5л; 2) 5,5л; 3) -6л; 4) -7л.
427 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол (k — целое число):
1)	+ 2лЛ; 2) —+ 2л&;	3) —+ 2л*;	4) ~^ + 2nk.
2	2	2	2
428 Записать все углы, на которые нужно повернуть точку
Р(1;0), чтобы получить точку с координатами:
1)	2)	3) [-1;-^]; 4)
( 2	2 )	(2	2 /( 2	2 /( 2 2j
Определение синуса, косинуса
и тангенса угла
В курсе геометрии были введены синус, косинус
и тангенс угла, выраженного в градусах. Этот угол
рассматривался в промежутке от 0° до 180°. Синус
и косинус произвольного угла определяются сле-
дующим образом (рис. 56):
Определение 1. Синусом угла а называется
ордината точки, полученной поворотом точки
(1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозна-
чается sin а).
Определение 2. Косинусом угла а называет-
ся абсцисса точки, полученной поворотом точки
(1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозна-
чается cos а).
В этих определениях угол а может выражаться как
в градусах, так и в радианах.
126
Рис. 56
Например, при повороте точки (1; 0)
на угол т. е. угол 90°, получается
точка (0; 1). Ордината точки (0; 1)
равна 1, поэтому sin = sin 90° = 1;
абсцисса этой точки равна 0, поэтому
cos — = cos 90° = 0.
2
Заметим, что приведённые определе-
ния синуса и косинуса в случае, когда
угол заключён в промежутке от 0° до 180°, совпа-
дают с определениями синуса и косинуса, извест-
ными из курса геометрии. Например,
sin — = sin 30° = cos n = cos 180° = -1.
6	2
Задача 1 Найти sin (-я) и cos (-я).
►	Точка (1; 0) при повороте на угол -я перейдёт в
точку (-1; 0) (рис. 57). Следовательно, sin (-я) = 0,
соэ(-я) = -1. <
Задача 2 Найти sin 270° и cos 270°.
►	Точка (1; 0) при повороте на угол 270° перейдёт в
точку (0; -1) (рис. 58). Следовательно, cos 270° = 0,
sin 270°=-l. <1
Напомним, что меру угла а (в радианах) можно
рассматривать как действительное число. Поэто-
му sin а и cos а можно рассматривать как число-
вое выражение. Например, в уравнении sin х = а,
где а — заданное число, считается, что х — неиз-
вестное число.
Задача 3 Решить уравнение sin х = 0.
►	Решить уравнение sin х = 0 — это значит найти
все углы, синус которых равен нулю. Ординату,
127
равную нулю, имеют две точки единич-
ной окружности (1; 0) и (-1; 0) (рис. 57).
Эти точки получаются из точки (1; 0)
поворотом на углы 0, л, 2л, Зл и т.д.,
а также на углы -л, -2л, -Зл и т. д. Сле-
довательно, sin х = 0 при х = л/г, где
k — любое целое число. <1
Множество целых чисел обозначается
буквой Z. Лля обозначения того, что чис-
ло k принадлежит Z, используют запись
keZ (читается: «Л принадлежит Z»).
Ответ к задаче 3 можно записать так:
х = л/г, k е Z.
Задача 4 Решить уравнение cos х = 0.
► Абсциссу, равную нулю, имеют две точки единич-
ной окружности (0; 1) и (0; -1) (рис. 59). Эти точки
получаются из точки (1; 0) поворотом на углы
- + л, — + 2л и т. д., а также на углы - - л, — - 2л
2	2	2	2
и т. д., т. е. на углы — + л/г, k е Z.
2
Ответ х = - 4- nk, k е Z. <1
2
Задача 5 Решить уравнение: 1) sin х = 1; 2) cos х = 1.
► 1) Ординату, равную единице, имеет точка (0; 1)
единичной окружности. Эта точка получается из
точки (1; 0) поворотом на углы ^ + 2л/г, k е Z.
2) Абсциссу, равную единице, имеет точка, получен-
ная из точки (1; 0) поворотом на углы 2л/?, k е Z.
Ответ 1) х = + 2 л/?, k е Z; 2) х = 2л/?, /? g Z.
Определение 3. Тангенсом угла а называется
отношение синуса угла а к его косинусу (обозна-
чается tg а).
Таким образом,
sin а
соя а
Например,
tgOu =
sin 0е
cos 0 °

128
Иногда используется котангенс угла а (обозначает-
ся ctg а), который определяется формулой
ctg а =
cos а
sin а
Например,
Ctg 270"= ^^ = -^ = 0, ctg!-_L = ki
sin 270°	-1	4 tg к 1
Отметим, что sin а и cos а определены для любо-
го угла, а их значения заключены от -1 до 1;
sin а
tg а =---- определен лишь для тех углов, для
cos а
которых cos а * 0, т. е. для любых углов, кроме
п	, ,	„	cos а
а = - + л£, k е Z; ctg а =--- определен лишь
2	sin а
для тех углов, для которых sin а 0, т. е. для
любых углов, кроме а = лАс, k е Z.
Приведём таблицу часто встречающихся значений
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
а	0 (0й)	л 6 (30°)	п 4 (45°)	л 3 (60°)	л 2 (90°)	л (180°)	«л 2 (270°)	2л (360°)
sin а	0	1 2	V2 2	V» 2	1	0	-1	0
cos а	1	х 3 2	у[2 2	1 2	0	-1	0	1
tg (х	0	1	1	х/З	Нс суще- ствует	0	Не суще- ствует	0
ctg а	Не суще- ствует	Уз	1	1 7з	0	Не суще- ствует	0	Не суще- ствует
Задача 6 Вычислить 4 sin — + х/З cos — - tg —.
6	6	4
► Используя таблицу, получаем
4 sin — + >/з соа — — tg — = 4 • i +-Уз •	- 1 = 2,5.
6	6	4	2	2
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса
для углов, не вошедших в эту таблицу, можно
129
найти по четырёхзначным математическим табли-
цам В. М. Брадиса, а также с помощью инженер-
ного микрокалькулятора.
Задача 7
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью
до 0,01:
1) sin 25°; 2) cos 3) tg 5.
б
► На любом микрокалькуляторе вычисления про-
водятся с
помощью клавиш sin
CO8 , tg
но
перед их нажатием нужно нажимать клавишу F .
Перед вычислением нужно установить переключа-
тель Р — Г (радиан — градус) в нужном положе-
нии. Требуемое приближённое значение можно
прочитать на табло микрокалькулятора.
1)	sin 25° - 0,42261825;
2)	cos 0,80901703;
5
3)	tg 5 ~ -3,380514.
Ответ 1) 0,42; 2) 0,81; 3) -3,38. <]
Упражнения
429
Отметить на единичной окружности точки, соответствующие
числу а, если:
1) sina=l; 2) sin а = 0; 3) cosa = -l; 4) cos а = 0;
5) sin а =-0,6; 6) sin а = 0,5; 7) cosa = -.
430
Вычислить:
1) sin — + sin —;
2	2
3) sin л - cos л;
5) sin n + sin 1,5л;
2) sin | -- I +cos —;
I 2)	2
4) sin 0 - cos 2л;
6) sin 0 + cos 2л.
431 Найти значения синуса и косинуса числа 0, если:
1)	0 = 3л;	2) р = 4л;	3) 0 = 3,5л;
4)Р = |я;	5) р = **,*« Z;	6) р = (2k + 1) к, k 6 Z.
Вычислить (432—433).
432 1) sin Зл-cos —;
2
2)	cos 0 - cos Зл + cos 3,5л;
130
433
434
435
436
437
438
439
3)	sin nk + cos 2nk, k e Z;
..	(2* + l)it . (4А + 1)я ,	_
4)	cos-----------sin-------k eZ.
2	2
1) tg я + cos л;	2) tg 0е - tg 1801*;
3) tg л +• sin я;	4) cos я - tg 2л.
Найти значение выражения:
1)	3 sin - + 2 cos — - tg -;
6	6	3
2)	5 sin -+3 tg - - 5 cos - - 10 ctg-;
4	4	4	4
3)	(2tgJ-tg^:cosJ;
\ О d / О
4)	sin — • cos - - tg -.
3	6	4
Решить уравнение:
1) 2 sin x = 0;	2) lcosx = 0;
3) cos x - 1 = 0;	4) 1 - sin x = 0.
Может ли sin а или cos a быть равным:
1) 0,049; 2) -0,875; 3) -V2; 4) 2 + V2?
Найти значение выражения:
1)	2 sin a + 42 cos a при a = - ;
4
2)	0,5 cos a - 7з sin a при a = 60е;
3)	sin 3a - cos 2a при a = —;
6
4)	cos - + sin - при a = —.
2	3	2
Найти значение выражения:
1)	sin — cos - - sin - cos -;
4	4	3	6
2)	2 tg2--ctg2 - - sin - cos-;
3	6	6	3
3)	[ tg y ~ ctg ( ctg у + tg j;
\	4	d / \	4 О /
4)	2 cos2 — - sin2 - + tg - ctg -.
6	3	6	3
Решить уравнение:
1) sinx = -l;	2) cosx = -l;
3) sin 3x = 0;	4) cos 0,5x = 0;
5) sin | — + — ) = 1;	6) cos I 5x + — | = 1.
4237	V 5 )
131
440 Используя микрокалькулятор, проверить равенство:
1) sin 60° = 0,866;	2) cos 45° ~ 0,707;
3) cos - » 0,996;	4) sin — ~ 0,225.
5	13
441 Вычислить с точностью до 0,01, используя микрокальку-
лятор:
1) sin 1,5;	2) cos 4,81;	3) sin 38°;	4) cos 45°12';
5) sin —;	6) cos я;	7) tg 12°;	8) sin — я.
5	7	9
Знаки синуса, косинуса и тангенса
1.	Знаки синуса и косинуса.
Пусть точка (1; 0) совершает поворот против ча-
совой стрелки. Для точек, находящихся в первой
четверти (квадранте), ординаты и абсциссы поло-
жительны. Поэтому sin а > 0 и cos а > 0, если
0<а<| (рис. 60, 61).
Для точек, расположенных во второй четверти,
ординаты положительны, а абсциссы отрица-
тельны. Следовательно, sin а > 0, cos а < 0, если
< а < я (рис. 60, 61). Аналогично в третьей чет-
верти sin а < 0, cos а < 0, а в четвёртой четвер-
ти sin а < 0, cos а > 0 (рис. 60, 61).
132
При повороте точки по часовой стрелке на угол,
больший 2л, а также при повороте точки на любой
угол по часовой стрелке знаки синуса и косинуса
определяются тем, в какой четверти окажется точ-
ка. Это показано на рисунках 60, 61.
Задача 1 Выяснить знаки синуса и косинуса угла:
1)	2) 745°; 3) -у.
► 1) Углу — соответствует точка единичной окруж-
4
ности, расположенная во второй четверти. Поэтому
sin — > 0, cos — < 0.
4	4
2)	Так как 745° = 2 • 360и + 25°, то повороту точки
(1; 0) па угол 745° соответствует точка, располо-
женная в первой четверти. Поэтому sin 745° > 0,
cos 745° > 0.
3)	Так как - л < - ^ < то при повороте точки
(1; 0) на угол получается точка третьей чет-
верти. Поэтому sin I I < 0, cos I - — I < 0.
\ 7 J	\	7 )
2. Знаки тангенса.
По определению tg а = 8Ш а . Поэтому tg а > 0,
cos а
если sin а и cos а имеют одинаковые знаки, и
tg а < 0, если sin а и cos а имеют противопо-
ложные знаки. Знаки тангенса в различных чет-
вертях показаны на рисунке 62.
Задача 2 Выяснить знак тангенса угла: 1) 260°; 2) 3.
► 1) Так как 180° < 260° < 270°, то tg 260° > 0.
2) Так как < 3 < л, то tg 3 < 0.
Упражнения
442 В какой четверти находится точка, полученная поворотом
точки Р (1; 0) на угол а, если:
1)а = -; 2) а = —; 3)а = -—; 4) а = —; 5)а = -—;
6	4	4	6	6
6) а = 4,8; 7) а = -1,31; 8) а = -2,7?
133
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
Пусть 0<а<—. В какой четверти находится точка, полу-
ченная поворотом точки Р (1; 0) на угол:		
1) |-а;	2	) а-л;	3) -у-	а;
4) | + а;	5) а-—;	6) л-а?		
Определить знак	числа sin а, если:	
1) а = ^Е;	2) а = -^;	3) а = -- л;
4	7	3
4) а =-0,1л;	5) а = 5,1;	6) а = -470°.
Определить знак	числа cos а, если:	
1) а = “ л;	2) а = - л;	3)	а = -- л;
3	6	5
4) а = 4,6;	5) а = -5,3;	6)	а = -150°.
Определить знак	числа tg а, если:	
1) а = 5 л;	2) а = — л;	3)	а = -- л;
6	5	4
4) а = 3,7;	5) а = -1,3;	6)	а = 283°.
Определить знаки чисел sin a, cos a, tg а, если:		
1) п < а < - л;	2) - л < а < —;	
2	2	4	
3) — <а < 2л;	4) 2л < а < 2,5л.	
4		
Оиределить знаки чисел sin a, cos а, tg а, если:
1)а=1; 2) а = 3; 3)а = -3,4; 4) а = -1,3.
Пусть 0 < а < - . Определить знак числа:
2
1) sin I - - а I;	2) cos - + а ;	3) cos (а-л);
\ 2	/	\ 2	/
4) tg[a--|;	5) tgf-K-a|;	6) sin (л-а).
Каковы знаки чисел sin a, cos a, tg a, ctg a, если:
1) Зл < (x <	2) — < a < — ?
3	2	4
Найти значения углов a, заключённых в промежутке от 0 до
2л, знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны.
Определить знак числа:
П. 2я	Зя, ___ мм.» л	4-^ 5л , я
sin — sm —; 2) cos — cos —; □) tg-------н sin —.
3	4	3	6	4	4
Сравнить значения выражений:
1) sin 0,7 и sin 4;	2) cos 1,3 и cos 2,3.
134
454
Решить уравнение:
1) sin (5л + х) = 1;
3) cos I - п + х I = -1;
\2	)
2) cos (х + Зл) = 0;
4) sin I - п + х = -1.
V2 )
455 В какой четверти находится точка, соответствующая чис-
лу а, если:
1) sin а + cos а = -1,4;	2) sin а - cos а = 1,4?
Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла
25
Выясним зависимость между сину-
сом и косинусом.
Пусть точка М (х; у) единичной
окружности получена поворотом точ-
ки (1; 0) на угол а (рис. 63). Тогда по
определению синуса и косинуса
х = cos а, у = sin а.
Точка М принадлежит единичной
окружности, поэтому её координа-
ты (х; у) удовлетворяют уравнению
х2 + у2 = 1. Следовательно,
sin2 а + cos2 а= 1.	(1)
Равенство (1) выполняется при любых значениях а
и называется основным тригонометрическим
тождеством.
Из равенства (1) можно выразить sin а через cos а
и соя а через sin а:
sin а = ±^1 “ cos2 а,	(2)
cos а = ±71 - sin2 а.	(3)
В этих формулах знак перед корнем определяет-
ся знаком выражения, стоящего в левой части
формулы.
135
Задача 1 Вычислить sin а, если cos а = - - и л < а < —.
5	2
►	Воспользуемся формулой (2). Так как л <(Х <
то sin а < 0, т. е. в формуле (2) перед корнем нуж-
но поставить знак <-»:
sin а = - J1 - cos2 а = - J1 - — =
v	V 25	5
Задача 2 Вычислить cos а, если sin а = -- и - — < а < 0.
3	2
►	Так как < а < 0, то cos а > 0, поэтому в форму-
ле (3) перед корнем нужно поставить знак «+>:
П----Г1 Г 2^2
cos а = JI - sin2а = 1 — =----.
*	V 9	3
Выясним теперь зависимость между тангенсом
и котангенсом. По определению тангенса и котан-
sin а	х cos а
генса tg а -----, ctg а =---.
cos а	sin а
Перемножая почленно эти равенства, получаем
tgactga=l.	(4)
Из равенства (4) можно выразить tg а через ctg а
и наоборот:
tga = -J_,	(5)
ctg а
ctg « =	(6)
tga
Равенства (4) — (6) справедливы при a * — Л, k е Z.
Задача 3 Вычислить ctg а, если tg a = 13.
►	По формуле (6) находим ctg a = —.
tga 13
Задача 4 Вычислить tg а, если sin a = 0,8 и — < a < л.
2
►	По формуле (3) находим cos а. Так как < a < л,
то cos a < 0. Поэтому
cos а = -	- sin2 а = — 7^ -0,64 = - 0,6.
sin а	0,8	4
Следовательно, tg а =-----=-----=-----.
cos а	-0,6	3
136
Используя основное тригонометрическое тождест-
во и определение тангенса, найдём зависимость
между тангенсом и косинусом.
Разделим обе части равенства sin2 а + cos2 а = 1
на cos2 а, предполагая, что cos а 0. Получим
cos2 а + sin2 а i
равенство ------------= ——, откуда
cos 2 a cos2 а
1 + tg2 а = —Ь-.
сов * а
(7)
Эта формула верна, если cos а * 0, т. е. при
а | + nk, k е Z. Из неё можно выразить тангенс
через косинус и косинус через тангенс.
Задача 5
з
Вычислить tg а, если cos а = —
и — < а < к.
2
► Из формулы (7) получаем
tg2 а =
= —Ц.-1 = -.
cos2 а / 8 у 9
I 5 J
Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому
tga = -|. <
Задача 6 Вычислить cos а, если tga = 3 и к < a <
► Из формулы (7) находим
cos2
1+ tg2cx
1
10 ’
Так как я < a < —, то cos a < 0, и поэтому
2
cos a = -д/0,1. <]
Упражнения
456 Может ли синус (косинус) принимать значения:
0,03, -,	, V2?
3 3 13	11
457 Могут ли одновременно выполняться равенства:
v 2	\ 3
1) sin a = — и cosa = —;
3	3
2) sina = -- и cosa = - —;
137
3) sin а = - —
5
4) sin а = 0,2 и cos а = 0,8?
458
Вычислить:
1) sin а, tg а
2) cos а, tg а
о
и ctg а, если cos а = - —
2
и ctg а, если sin а = —
и - < а < л;
2
и л < а < —
2
459
По значению одной из тригонометрических функций (sin а
cos (х, tg а, ctg а) найти значения остальных трёх:
1) cos а = — и — < а < 2 л;
13	2
3) tg а = — ил<а< —;
8	2
5) cos а = 0,8 и 0 <а <-;
2
7) tg а = -2,4 и | < а < л;
2) sin а = 0,8 и - < а < л;
2
4) ctg а = -3 и у <а < 2л;
6) sin а = и — < а < 2 л;
13	2
8) ctg а = — и л < а < —.
24	2
460 Какие значения может принимать:
2 <3
1)	cos а, если sin a =-;
5
2)	sin a, если cos a =
V5
2
3)	sin a, если cos a = —;
3
4)	cos a, если sin a = —~ ?
V3
461 Могут ли одновременно выполняться равенства:
1) sin a = i и tg a =	2) ctg a = — и cosa = Ъ
5	<24	3	4
462 Пусть a — один из углов прямоугольного треугольника.
„ „	.	•	2V10
Найти cos а и tg а, если sm a =----.
463
Известно, что tg a = 2. Найти значение выражения:
ctga + tga
ctga - tga ’
2 sina + 3 cos a
3)	- —
3 sina - 5 cos a
2 j sina - cos a ,
sina4 cosa’
sin2 a + 2 cos2 a
• 2	2
sura - cos4 a
464 Известно, что sin a + cos a = i. Найти:
2
1) sin a • cos a; 2) sin3 a + cos3 a.
138
Тригонометрические тождества
Задача 1 Доказать, что при а * nk, k е Z, справедливо равен-
ство
1 + ctg2 а = —L-.	(1)
sin А а
► По определению ctg а = £2^, и поэтому
sin а
„ х 9	. cos2a sin2a+cos2a i
1 + ctg2 а = 1 + —— =----—-------= —!"•
she a	sur a sin4 a
Эти преобразования верны, так как sin ex О при
а ф nk, k g Z. <3
Равенство (1), справедливое при всех допустимых
значениях входящих в него букв (т. е. таких, при
которых его левая и правая части имеют смысл),
называют тождеством, а задачи на доказатель-
ство таких равенств называют задачами на доказа-
тельство тождеств.
Обычно при доказательстве тригонометрических
тождеств или при упрощении выражений допусти-
мые значения углов не устанавливают, если это не
требуется в условии задачи.
Задача 2 Доказать тождество
cos2 a = (1 - sin a) (1 + sin a).
►	(1 - sin a) (1 + sin a) = 1 - sin2 a = cos2 a.
Задача 3 Доказать тождество —— a = 1 —— .
1-sina cos a
►	Чтобы доказать это тождество, покажем, что раз-
ность между его левой и правой частями равна
нулю:
cos a _ 1 4 sina _ cos2 a (l-sin2(x) _
1-sina cosa cosa (1-sina)
_ cos2 a - cos2 a _ q
cosa (1 - sina)
139
При решении задач 1—3 использовались следую-
щие способы доказательства тождеств: преобра-
зование левой части к правой; преобразование пра-
вой части к левой; установление того, что разность
между левой и правой частями равна нулю. Иногда
удобно доказательство тождества провести преоб-
разованием его левой и правой частей к одному
и тому же выражению.
Задача 4
Доказать тождество
1+ tg2a
sin2 a
1 - tg2a cos2 a
cos2 a - sin2 a
2	• 2
cos* a 4- sin a
= cos2 a - sin2 a,
cos2 a
cos4 a - sin4 a = (cos2 a - sin2 a) (cos2 a 4- sin2 a) =
= cos2 a - sin2 a.
Тождество доказано, так как его левая и правая ча-
сти равны cos2 a - sin2 a.
Задача 5 Упростить выражение----------------.
tg a 4- ctg a
sin a cos a
tg a + ctg a
sin a + cos a
cos a sin a
sin2 a + cos2 a
= sin a cos a.
Упражнения
465 Доказать тождество:
1) (1 - cos a) (1 + cos a) = sin2 a;
2) (1 - sin a) (1 + sin a) = cos2 a;
5) -----— 4- sin2 a = 1;	6) ---- 4- cos2 a = 1.
1 + tg2 a	1 + ctg2 a
466 Упростить выражение:
1) cos a • tg a - 2 sin a; 2) cos a - sin a • ctg a;
sin2 a
cos2 a
14- cos a
1 - sin a
140
467
Упростить выражение и найти его значение:
1)
sin2 а -1	л
------— при а = -
1 - cos2 а	4
2)	cos2 а + ctg2 а + sin2 а
при а =
3)	-А--1 при а = £;
cos4 а	3
4)	cos2 а + tg2 а ctg2 а + sin2 а при а = -.
3
468 Доказать тождество:
1)	(1 - sin2 а) (1 + tg2 а) = 1;
2)	sin2 а (1 + ctg2 а) - cos2 а = sin2 а.
469 Упростить выражение:
1) (1 + tg2 а) cos2 а - 1;
3)	l+tg2a + —;
sin4 а
2) 1 - sin2 а (1 + ctg2 а);
4)
1 + tg2a
1+ ctg2 а
470 Доказать тождество:
1)	(1 - cos 2a) (1 + cos 2a) = sin2 2a;
2)	sina _	1	.
cos2 a 1 + sin a
3)	cos1 a - sin1 a = cos2 a - sin2 a;
4)	(sin2 a - cos2 a)2 + 2 cos2 a sin2 a = sin4 a + cos1 a;
p-	x sina 1 + cos a 2	.
1 + cos (x sin a sin a
sina _ 1 + 008 a.
1 - cos a sin a
7) —Ц- + —Ц- = 1;
1 + tg4 a 1 + ctg4 a
8) tg2 a - sin2 a = tg2 a sin2 a.
471 Найти значение выражения sin a cos a, если sin a - cos a = 0,6.
472 Найти значение выражения cos3 a - sin3 a, если cos a -
- sin a = 0,2.
473 Известно, что tg a 4- ctg a = 3. Найти tg2 a 4- ctg2 a.
474 Решить уравнение:
1)	2 sin x + sin2 x + cos2 x = 1;
2)	2 sin2 x + 3 cos2 x - 2 = 0;
3)	3 cos2 x - 2 sin x = 3 - 3 sin2 x;
4)	cos2 x - sin2 x = 2 sin x - 1 - 2 sin2 x.
141
: Синус, косинус и тангенс углов а и -а
Пусть точки М} и М2 единичной окружности по-
лучены поворотом точки Р (1; 0) на углы а и -а
соответственно (рис. 64). Тогда ось Ох делит угол
М}ОМ2 пополам, и поэтому точки М1 и М2 симмет-
ричны относительно оси Ох.
Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отли-
чаются только знаками. Точка имеет коорди-
наты (cos a; sin а), точка М2 имеет координаты
(cos (-a); sin (-а)). Следовательно,
sin (-а) = - sin а,	(1)
cos (-а) = cos а.	(2)
Используя определение тангенса, получаем
z ч sin (-a) -sina
tg (-а) =------------—- =-------= -tg а.
cos (-a) cos а
Таким образом,
tg(-a) = -tga.	(3)
Формулы (1) — (2) справедливы при любых а,
а формула (3) — при a # + nk9 k е Z.
Можно показать, что если а * nk, k е Z, то
ctg (-a) = -ctg a.
Рис. 64
Формулы (1) — (3) позволяют сводить
вычисление значений синуса, коси-
нуса и тангенса отрицательных углов
к вычислению их значений для поло-
жительных углов. Например,
142
Упражнения
475
476
Вычислить:
1) cos (--] sin (--) + tg (-—1;
I 6 J к 37	\ 4 )
1+tg2 -*
2) -------
1 + ctg2 - -
Упростить выражение:
1) tg (-a) cos a + sin a; 2) cos a - ctg a (-sin a);
cos (-a) + sin (-a)
3)	2	73	’
cos a - sin a
4) tg (-a) ctg (-a) + cos2 (-a) + sin2 a.
477 Вычислить:
2 - sin2 (--1 + cos2(-^l
1) -—PA—
2 cos I -- |+ sin -5 I
к 3J к 67
2) V3sin |-—1-2 ctg I-- | + 4cos I л I.
I 37 I 4 7 к 2 7
478 Упростить выражение:
sin3(-ct) + cos3(-a).	g) 1 ~(sin« + cos (-a))2
1 - sin (-a) cos (-a) *	-sin (-a)
479 Доказать тождество:
1) cos a sin (6л - a) • (1 + ctg2 (-a)) = ctg (-a);
2)	sin —~2n^-= ctg a.
cos (4л -a) 1- cos2(-a)
480 Решить уравнение:
1) sin (-x) =1;	2) cos (-2x) = 0;
3) cos (~2x) = 1;	4) sin (-2x) = 0;
5) cos2 (-x) + sin (-x) = 2 - sin2 x;
6) 1 - sin2 (-x) 4- cos (4л - x) = cos (x - 2л).
143
| Формулы сложения
• Пусть
Формулами сложения называют формулы, выра-
жающие cos (а ± Р) и sin (а ± Р) через синусы и ко-
синусы углов а и р.
Теорема. Для любых аир справедливо ра-
венство
= cos a cos Р - sin а sin р. (1)
ки Ма, и получены поворотом
(1; 0) на углы а, -р и а + Р рад соответ-
ственно (рис. 65).
По определению синуса и косинуса эти
точки имеют следующие координаты:
Ма (cos a; sin а),
(cos (-0); sin (-0)),
Ма + р (cos (а + 0); sin (а + 0)).
Так как ZAf0OAfa^p =	то
равнобедренные треугольники	+ р
и М_$ОМа равны и, значит, равны
их основания М0Ма^ и М_^Ма. Сле-
довательно, (М^Ми ♦ р)2 = (М_рМа)2.
Используя формулу расстояния между двумя точ-
ками, получаем
(1 - cos (а + р))2 + (-sin (а 4- р))2 =
= (cos (-р) - cos а)2 4- (sin (-р) - sin а)2.
Преобразуем это равенство, используя формулы (1)
и (2) из § 27:
1-2 cos (а 4- Р) 4- cos2 (а 4- Р) + sin2 (а 4- Р) =
= сов2 Р - 2 cos р cos а 4- cos2 а 4- sin2 р 4-
4- 2 sin р sin а 4- sin2 а.
Используя основное тригонометрическое тождест-
во, получаем
2-2 cos (а 4- Р) = 2 - 2 cos а cos Р 4- 2 sin а sin р,
откуда cos (а 4- р) = cos а cos р - sin а sin р.
144
Задача	1 Вычислить cos 75°. ► По формуле (1) находим cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° - - sin 45° sin 30° = 2	2	2	2	4 Заменив в формуле (1) p на -p, получим cos (a - P) = cos a cos (-p) - sin a sin (- P), откуда cos (a - P) = cos a cos P + sin a sin p. (2)
Задача	2 Вычислить cos 15°. ► По формуле (2) получаем cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + + sin 45° sin 30° = — • — + — • - =	+	<1 2	2	2	2	4
Задача	3 Доказать формулы cos --a = sina, sin --a - cos a. (3) l2 J	\2	/ ► При a = по формуле (2) получаем cos 1 — - P = cos — cos p + sin - sinp = sin P, t. e. \ 2	/	2	2 cos (P ] = sin p.	(4) Заменив в этой формуле р на а, получим cos --a = sina. Полагая в формуле (4) р = --а, \ 2	/	2 имеем sin — - а = cos а. < k2 J Используя формулы (1) — (4), выведем формулы сложения для синуса: sin (а + р) - cos 1 - - (а + Р) 1 = cos - - а 1 - р = \ 2	./	X. х 2	/	/ = cos - - a cos Р + sin - - a sin Р = = sin a cos Р 4- cos a sin р. sin (а + р) - sin a cos Р + cos a sin р.	(5) Заменяя в формуле (5) Р на ~р, получаем sin (a - Р) = sin a cos (~P) + cos a sin (~P).
sin (a - p) = sin a cos P - cos a sin p. (6)
145
Задача 4
Вычислить sin 210°.
sin 210° = sin (180° 4- 30Д = sin 180° cos 30° +
+ cos 180° sin 30° = 0 ^ + (-1) •! = --.<
2	2	2
Задача 5
Вычислить sin — cos — - sin - cos —.
7	7	7	7
sin — cos — - sin - cos— = sin (--—) = sjn я - 0.
7	7	7	7	\ 7	7/
Задача 6* Доказать равенство
tg (a + P) =
tga 4- tgp
1 - tga tgp ‘
(7)
► tg(a + P) =
sin(a + p) sina cos P + cos a sin p
cos(a + p) cos a cos p - sina sin P
Разделив числитель и знаменатель последней дро-
би на произведение cos a cos р, получим форму-
лу (7). <
Формула (7) может быть полезна при вычислени-
ях. Например, по этой формуле находим
tg 225° = tg (180° + 45°) = tglg2°'l~ = i.
1 - tg 180° tg45°
Упражнения
481
482
483
484
С помощью формул сложения вычислить:
1) cos 135°; 2) cos 120°; 3) cos 150°; 4) cos 240°.
Вычислить, не пользуясь таблицами:
1)	cos 57’30' cos 27’30' + sin 57’30' sin 27’30';
2)	cos 19’30' cos 25’30' - sin 19’30' sin 25’30';
3)	cos — cos — - sin — sin —;
9	9	9	9
__ _ 8 71 Л__ Я .	8 Я _ Я
4)	cos — cos — 4- sin — sin —.
7	7	7	7
Вычислить:
1) cos I -4-a
U
2) cos ( a - —
I 4
если sin a =
V3
если cos a = - —
3
и 0 < a < -;
2
и - < a < n.
2
Упростить выражение:
1) cos 3a cos a - sin a sin 3a;
2) cos 5P cos 2p 4- sin 5p sin 2p;
146
3) cos	I 7	- a j cos	— - a ] - sin 1 14 J	I	- + a ] sin 1 — -al; 7	)	114	)
4) cos	[7д I 5	+ a j cos	( — + a | + sin \ 5 J	\ — + a | sin | — + a к 5	J к 5
12	12
486 Вычислить:
1) sin (a + - L
I 6/
2) sin | --a ],
485 Найти значение выражения:
1)	sin 73° cos 17° + cos 73° sin 17°;
2)	sin 73° cos 13° - cos 73° sin 13°;
3)	sin — cos — + sin — cos —;
12	12	12	12
4)	sin — cos — - sin — cos —.
12	12
если cosa = -- и л < a < —;
5	2
. v 2 я
если sin a = — и -<а<л.
3	2
487 Упростить выражение:
1)	sin (a + Р) + sin (-a) cos (-p);
2)	cos (-a) sin (~P) - sin (a - P);
3)	cos f - - a j sin f - - p j - sin (a - P);
4)	sin (a + P) + sin -a) sin (-P).
488 Вычислить cos (a + p) и cos (a — P), если sin a = -
— л<а<2я, и sin P = —, 0 < P < —.
2	17’	*	2
489 Вычислить sin (a — P), если cos a = -0,8, ~ < a < n, и
sin P =	, n < p < —.
13	2
cc|
490 Вычислить tg (a + P), если sin a = -, — < a < я, и cos p = ~,
5 2	17
- n < p < 2n.
2
491 Упростить выражение:
1)	cos (a - P) - cos (a + P);
2)	cos - + a cos I - - a + - sin2 a;
U J k4 J 2
3)	cos 3a + sin a sin 2a;
4)	cos 2a - cos a cos 3a.
147
492 Доказать тождество:
sin(a + P) _ tga + tgfi .
sin(a-p) tga-tgp’
cor (а -р) ctga • ctgP + 1
cos (а + P) ctga - ctgp -1 ’
3) cos ( + a ] ” (cos a ” s^n a)*
4)
5)
6)
cos(a + p) n
------— = ctg p - tg a;
cos a sin p
cos a cos p = | (cos (a + p) + cos (a - P));
sin a sin p = i (cos (a - P) - cos (a + P)).
493
494
Вычислить:
tg29°+tg31° .	__16__16_.
1- tg29" tg31”’	]+t»7«t3K’
ie 16
l+tglO°tg55®	l-tgl3° tgl7°
tg 55° — tglO°	tgl7° + tgl3°
Вычислить:
1) tg (a + P), если tg a = - — и tg P = 2,4;
4
2) ctg (a - p), если ctg a = — и ctg p = -1.
3
495
Упростить выражение
496
497
Упростить выражение:
1) sin a cos 2a + sin 2a cos a;
2) sin 5P cos 3p - sin 3P cos 5p.
Решить уравнение:
1)	cos 6x cos 5x + sin 6x sin 5x = -1;
2)	sin 3x cos 5x - sin 5x cos 3x = -1;
3)	x/2 cos — + x - cos x = 1;
\4 J
4)	V 2 sin (---) + sin — = 1.
U 2 )	2
148
: Синус, косинус и тангенс
: двойного угла
Выведем формулы синуса и косинуса двойного
угла, используя формулы сложения.
1.	sin 2а = sin (а + а) = sin а cos а + sin а cos а =
= 2 sin а cos а. Итак,
sin 2а - 2 sin а cos а.	(1)
Задача 1 Вычислить sin 2а, если sin а = -0,6 и л < а < —.
2
► По формуле (1) находим
sin 2а = 2 sin а cos а = 2 • (-0,6) • cos а = -1,2 cos а.
Так как л < а < —, то cos а < 0, и поэтому
2
cos а = -Vl - sin2 а = -«^1 -0,36 = -0,8.
Следовательно, sin 2а = -1,2 • (-0,8) = 0,96. <1
2.	cos 2а = cos (а + а) = cos а cos а - sin а sin а =
= cos2 а - sin2 а. Итак,
соя 2а = cos2 а - sin2 а.	(2)
Задача 2 Вычислить cos 2а, если cos а = 0,3.
Используя формулу (2) и основное тригонометриче-
ское тождество, получаем
cos 2а = cos2 а - sin2 а = cos2 а - (1 - cos2 а) =
= 2 cos2 а - 1 = 2 • (0,3)2 - 1 = -0,82. <1
Задача 3
Упростить выражение
sin a cos а
1-2 sin2 а
sin а cos а _	2 sin а cos а
1-2 sin2 а 2 (sin2 а + cos2 а - 2 sin2 а)
sin 2а	sin 2а i Л
=-------о--------о— =------------= £ tg 2а. <]
2 (cos2 а - sin2 а) 2 cos 2а 2
149
Задача 4 Вычислить tg 2а, если tg а = “-
tga ч- tg|3
v Полагая в формуле tg (а + р) =---------(см. § 28)
1-tga tgp
Р = а, получаем
tg 2а =	(3)
1 - tg2 а
Если tg а = 4 то по формуле (3) находим
2
2-1
tg 2а = —=	<
1-М 3
\2/
Задача 5* Вычислить sin За, если sin а =
4
► sin За = sin (а + 2а) = sin a cos 2а 4- cos a sin 2а =
= sin a (cos2 а - sin2 а) 4- cos а 2 sin a cos а =
= sin a cos2 а - sin3 а 4- 2 sin a cos2 а =
= 3 sin a cos2 а - sin3 а = 3 sin а (1 - sin2 а) -
- sin3 а = 3 sin а - 4 sin3 а = sin а (3 - 4 sin2 а).
При sin а = получаем sin За = - | 3 - |	.
4	4 4	47 16
Упражнения
Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы
двойного угла (498—499).
498
499
500
501
1) sin 48°; 2) cos 164°; 3) tg 92°;
1) sin^ + a);	2) sin^ + P^;
4) cos(^4-a^;	5) sina;
л \ »;«4k	5It
4) sin —; □) cos —.
3	3
3) cos | — - a I;
42	7
6) cos a.
Вычислить, не используя калькулятор (500—502).
1) 2 sin 15° • cos 15°;	2) cos2 15° - sin2 15°;
3) —^]5° ;	4) (cos 75° - sin 75е)2.
1- tg215°
1) 2 sin - - cos
8	8
2) cos2 - -sin2
8	8
2 tg*
_______8 .
i-tg2!’
/	/	\2
4) — - | cos - + sin - | .
2	4	8
150
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
1) 2 sin 75° • cos 75°;	2) cos2 75° - sin2 75°;
6 tg75"	.. tg222°30'-l
3)	>	4)	•
l-tg2 75°	tg22°30'
Вычислить sin 2a, если:
1) sin a = - и — < a < л; 2) cos a = -- и n < a < —.
5	2	5	2
Вычислить cos 2a, если:
1) cos a =-;	2) sina = -~.
5	5
Вычислить tg 2a, если tg a = 0,5.
Упростить выражение (506—507).
1) 2 cos 40° • cos 50°;	2) 2 sin 25° • sin 65°;
3) sin 2a + (sin a - cos a)2;	4) cos 4a + sin2 2a.
sin 2a .	1+cos 2a
(sina + cos a)2 -1	1 - cos 2a
Доказать тождество:
1)	sin 2a = (sin a + cos a)2 - 1;
2)	(sin a - cos a)2 = 1 - sin 2a;
3)	cos4 a - sin4 a = cos 2a;	4) 2 cos2 a - cos 2a = 1.
Вычислить sin 2a, если:
1) sin a + cos a = i; 2) sin a - cos a = - —.
2	3
Доказать тождество:
cos 2a	x .	sin2a-2cosa
1) ------------z- = ctg a - 1;	2) ----------— = —2 ctg a;
sina cos a + sin* a	sina — sin* a
_v A	Л	1 -cos2a + sin2a .	,
3) tg a (1 + cos 2a) = sin 2a; 4)---------------------ctg a = 1;
1 + cos 2a + sin 2a
5)	(1-2 cos2 a) (2 ein2 a-1) = ctg2
4 sin2 a cos2 a
. .. (я a A .	sin a + sin 2a
6)	1 - 2 sin21 - - - I = sin a; 7) -------------= tg a.
\ 4	2 )	1 + cos a + cos 2a
Доказать тождество
sin2 a	cos2 a
cos a (1 + ctg a) sin a (1 + tg a)
2V2
sin 2a
Решить уравнение:
1) sin 2x - 2 cos x = 0;
3) 4 cos x = sin 2x;
5) sin — cos - + i = 0;
2	2	2
2) cos 2x + sin2 x = 1;
4) sin2 x = -cos 2x;
6) cos2 - = sin2
2	2
151
• Синус, косинус и тангенс
| половинного угла
По известным значениям sin а и cos а можно най-
ти значения sin —, cos — и tg если известно, в ка-
2	2	2
кой четверти лежит угол а.
Из формулы cos 2х = cos2 х - sin2 х при х = по-
лучаем
cos а = cos2 - - sin2 —.	(1)
2	2
Запишем основное тригонометрическое тождество
в виде
1 = cos2 + sin2	(2)
2	2
Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равен-
ства (2) равенство (1), получаем
1 ч-cos а = 2 cos2 —,	(3)
2
1	- cos а = 2 sin2 -.	(4)
2
Формулы (3) и (4) можно записать так:
2	а 1 + cos а
cos2 Т = —«—’
2	2
. 2 а 1 - cos а
sin	.	(6)
2	2
Формулы (5) и (6) называют формулами синуса и
косинуса половинного угла. Иногда их называют
также формулами понижения степени.
Если известен cos а, то из формул (5) и (6) мож-
но найти sin— и cos - . Знаки sin — и cos -
2 I I 2 I	2	2
могут быть определены, если известно, в какой
четверти лежит угол —.
152
Задача	1	Вычислить cos -, если cos а = -0,02 и 0 < а < п. 2
		„ .	, а 1+совя 1-0,02	„ ► По формуле (5) сов2 - =	=	= 0,49. 2	2	2 Так как 0 < а < я, то < 2 < 2 ’ И ПОЭТОМУ cos - > 0. Следовательно, cos - = Jo,49 =0,7. 2	2	* Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла =	(7) 2	1 + cos а
Задача	2	Вычислить tg если cos а = 0,8 и я < а < 2я. ► По формуле (7) имеем х 2а 1-сова	1-0,8 0,2 1 tg2 - =	=	= — = -. 2 1 + cos а 1 + 0,8 1,8 9 По условию я < а < 2я, поэтому	< я и tg < 0. Следовательно, tg	- __	1 - сов а	о а 1 + cos а
Задача	3	Упростить выражение	ctg	. 1 + cos а	2	2 2 sin2 - ► *-СО8а .Ctg2 2	СО8а =	1 ctg2 * - cos2 Z = 1+соза	2	2	2 cos2 — 2 = tg2 - • ctg2 - - cos2 - = 1 - cos2 - = sin2 -. < 2	2	2	2	2
Задача 4 Решить уравнение 1 + cos 2х = 2 cos х.
► Так как 1 4- cos 2х = 2 cos2 х, то данное уравнение
примет вид 2 cos2 х = 2 cos х, откуда
cos х (cos х - 1) = 0.
1) cos х = 0, х = - + ilk, keZ.
2
2) cos x = 1, x = 2nn, n e Z.
Итак, исходное уравнение имеет две серии корней
х = я+ я/?, k е Z, и х = 2яп, п е Z. В ответе можно
2
записывать обе серии с одной буквой (k или л).
Ответ х = — + nk, х = 2л/?, /? € Z. <0
2
153
Задача 5 Выразить sin a, cos а и tg а через tg —.
2
► 1) sina = sin 2 • - = 2 sin - cos - =
V 2)	2	2
2 sin - cos -	2 sin — cos —	2 tg “
_	2	2 _	2	2 ________2_
1	sin1 2 cos2 1+tg2**
2	2	2
Итак,
2 tg|
sin a =----—.	(8)
1+“3i
2) cos a = cos [ 2 • -1 = cos2 - - sin2 - =
I 2J 2	2
cos2 - sin2 cos2 * - sin2	1- tg2 a-
_	2______2 _	2______2 _______2
1	cos2 — + sin2 — 1+tg2^’
2	2	2
Итак,
i-tg2l
cos a =------(9)
1+tg2i
Итак,
2 tg —
tg a =-------------------S-.	(10)
1-tg2^
2
Эту формулу можно также получить почленным
делением равенств (8) и (9).
Итак, по формулам (8) — (10) можно находить си-
нус, косинус и тангенс угла а, зная тангенс угла
Упражнения
513 Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через
косинус угла, в два раза большего:
1) sin2 15°;	2) cos2 3)cos2[--al;	4) sin2 f —4-al.
4	\ 4	/	\ 4	)
154
514 Найти числовое значение выражения:
1) 2cos2—-1;	2) 1-2 sin2—;
8	12
3)^ + 2 sin2 15°;	4) - — + 2 cos2 15°.
2	2
515 Пусть cos a = 0,6 и 0 < a < - . Вычислить:
2
1) sin—; 2) cos—; 3) tg 4) ctg^.
2	2	2	2
516 Пусть sin a = - и " < a < n. Вычислить:
5	2
1) sin-; 2) cos—; 3) tg -;	4) ctg£.
2	2	2	2
517 Вычислить:
1) sin 15°; 2) cos 15°; 3) tg 22°30'; 4) ctg 22°30'.
518 Упростить выражение:
1 - cos a	sin a	1 - cos 2a + sin 2a .
1) -------»	2) -------; o) --------------------:
sin a	1 + cos a	1 + cos 2a + sin 2a
.. 1 + cos 4a	1 + cos 2a + sin 2a
4)	;	5) “	,
sin 4a	sin a + cos a
6) (1 - cos 2a) ctg a.
Доказать тождество (519—520).
519 1) 2 cos2 I - - - | = 1 + sin a;
14 2 J
3-4 cos 2a + cos 4a
3) ----------------= tg4 a;
3 + 4 cos 2a + cos 4a
2) 2 sin2 f— - —1 = 1 - sina;
U 2/
1+ sin 2a + cos 2a
4) ------------------= ctg a.
1 + sin 2a - cos 2a
1 - cos 2a
520 1)---------------ctg a =1;
sin 2a
1-2 sin2 a _ 1 - tg a
3)-----------------------;
1 + sin 2a 1 + tg a
2)
4)
sin 2a
1 + cos 2a
= tg a;
1 + sin 2a
----z—= tg
cos 2a
521
522
523
Доказать, что если 0 <a то ^/1 + sina
- ^1-sina = 2sin
кг |Я
Упростить выражение ------------.
tg 4a - tg 2a
Решить уравнение:
1)1- cos x = 2 sin —;	2)
2
3) 1 + cos — = 2 sin ( — - —	4)
2	v 4	2 J
5) 2 sin2- + -sin 2x = 1;	6)
2 2
1 + cos x = 2 cos -;
2
1 + cos 8x = 2 cos 4x;
2 cos2 x - - sin 4x = 1.
2
155
Формулы приведения
Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и
котангенса составляются для углов от 0° до 90°
(или от 0 до ). Это объясняется тем, что их значе-
ния для остальных углов сводятся к значениям для
острых углов.
Задача Вычислить sin 870° и cos 870°.
► Заметим, что 870° = 2 • 360Л + 150°. Следователь-
но, при повороте точки Р (1; 0) вокруг начала ко-
ординат па 870° точка совершит два полных обо-
рота и ещё повернётся на угол 150°, т. е. получится
та же самая точка М, что и при повороте на 150°
(рис. 66). Поэтому sin 870° = sin 150°, cos 870° =
= cos 150е.
Построим точку Mv симметричную точке М отно-
сительно оси ОУ (рис. 67). Ординаты точек М
и Му одинаковы, а абсциссы различаются только
знаком. Поэтому sin 150° = sin 30° = i, cos 150° =
=—cos 30° = -^.
2
Ответ sin 870° = -, cos 870° = -^.
2	2
156
При решении задачи 1 использовались равенства
sin (2 ♦ 360° + 150°) = sin 150°,	.
cos (2 • 360° + 150°) = cos 150°,	* '
sin (180° - 30°) = sin 30°,	m
cos (180° - 30°) = -cos 30°.	( ’
Равенства (1) верны, так как при повороте точки
Р (1; 0) на угол а + 2л&, k е Z, получается та же са-
мая точка, что и при повороте на угол а.
Следовательно, верны формулы
sin (а + 2л6) = sin а,
cos (а + 2nk) = cos а, k е Z.
Равенства (2) являются частными случаями формул
sin (тс - а) = sin а, cos (л - а) = -сов а. (4)
Докажем формулу sin (л - а) = sin а.
• Применяя формулу сложения для синуса, получа-
ем sin (л - а) = sin л cos а - cos л sin а = 0 • cos а -
- (-1) • sin а = sin а. О
Аналогично доказывается и вторая из формул (4),
которые называются формулами приведения. Вооб-
ще, формулами приведения для синуса называют
следующие шесть формул:
sin — - а = cos а,
к 2	)
sin (л - а) = sin а,
sin I — — а I = — cos а,
V 2	)
sin — + а = cos ос,
\2	)
sin (л + а) = -sin а, (5)
sin — + а = - cos а.
к 2	)
Следующие шесть формул называют формулами
приведения для косинуса:
cos (л - а) = -cos а,
cos — + а = - sin а,
к 2	)
cos (л + а) = -cos а, (6)
соя — + а I = sin а.
к 2 J
Формулы (5) и (6) справедливы при любых значе-
ниях а.
Задача 2 Вычислить sin 930°.
► Используя первую из формул (3), получаем
sin 930° = sin (3 • 360° - 150°) = sin (-150°).
157
Ответ
Задача 3
По формуле sin (-а) = -sin а получим sin (-150°) =
=-sin 150°. По формуле (4) находим
-sin 150° =-sin (180° - 30°) =-sin 30° = -|.
sin 930° = -i. <
2
Вычислить cos -—.
4
COS	= cos I 4 л - — 1 = cos ( - - ) = cos — = —.
4 I 4 I к 4 )	4	2
Покажем теперь, как молено свести вычисление
тангенса любого угла к вычислению тангенса ост-
рого угла.
Заметим, что из формул (3) и определения тангенса
следует равенство tg (а + 2л&) = tg а, k е Z. Ис-
пользуя это равенство и формулы (4), получаем
tg (а + л) = tg (а + л - 2л) = tg (а - л) =
cos (п - а)	- cos а
Следовательно, справедлива формула
tg (а + л6) = tg а, k g Z.	(7)
Аналогично доказывается формула
ctg (а + nk) = ctg а, k е Z.	(8)
Следующие четыре формулы называют формулами
приведения для тангенса и котангенса:
Формулы (9) справедливы при всех допустимых
значениях а.
Задача 4 Вычислить: 1) tg 2) tg^^.
3	4
2) tg = tg [ Зл + -1 = tg - = 1. <
4	\	4 /	4
Формулы приведения для синуса и косинуса до-
казываются с помощью формул сложения ана-
логично тому, как доказана первая из формул (4).
Формулы (9) можно получить из формул (5) и (6),
sin а
зная, что tg а =-----.
cos а
158
Формулы приведения запоминать необязательно.
Для того чтобы записать любую из них, можно ру-
ководствоваться следующими правилами:
1) В правой части формулы ставится тот знак, ко-
торый имеет левая часть при условии 0 < а < ~.
л	3 л
2) Если в левой части угол равен - ±ос или — ±а,
2	2
то синус заменяется на косинус, косинус — на си-
нус, тангенс — на котангенс, котангенс на тан-
генс. Если угол равен л±а, то замены не проис-
ходит.
Например, покажем, как с помощью этих пра-
вил можно получить формулу приведения для
cos(^ + aj. По первому правилу в правой части
формулы нужно поставить знак «-», так как если
О < a < ^, то 2Е < | +а < я, а косинус во второй
четверти отрицателен. По второму правилу коси-
нус нужно заменить на синус, следовательно,
cos - + а = - sin а.
\2	)
Итак, формулы (3), (7) и формулы приведения по-
зволяют свести вычисление синуса, косинуса, тан-
генса и котангенса любого угла к вычислению их
значений для острого угла.
Упражнения
524	Найти значение острого угла а, если:
	1)	cos 75° = cos (90° - а);	2)	sin 150° = sin (90° + а); 3)	sin 150° = sin (180° - а);	4)	cos 310° = cos (270° + а); 5)	sin | n = sin (я +a);	6)	tg* = tg(^-a); 7)	cos — = cos 1 - л + a |;	8)	ctg — n = ctg (2л - a). 4	\ 2	)	6 Вычислить с помощью формулы приведения (525—526).
525	1) cos 150°;	2) sin 135°;	3) ctg 135°;	4) cos 120°; 5) cos 225°;	6) sin 210°;	7) ctg 240“;	8) sin 315°.
526	1) tgy?	2) stay;	3) cos ~;	4) ctg—; 5) sin(-^i); 6)cos(~—]; 7) tgf-^l; 8) ctg f-^0. \	6 /	\	3 /	\	3 /	\ 4 /
159
Упростить выражение (527—528).
ctg j “ _u j _ tg (к + a)+ sin I — -a
527 1) ------—------------------------L?-----
cos (n ♦ a)
529 Вычислить:
1) cos 750°;	2) sin 1140°;	3) tg 405°;	4) cos 840°;
_• 47л	<•\ л 25it	27 л	п» 21л
5) sin----;	6) tg----;	7) ctg-----;	8) cos---.
6	4	4	4
530 Найти значение выражения:
1)	cos 630" - sin 1470° - ctg 1125°;
2)	tg 1800° - sin 495° + cos 945°;
3)	3 cos 3660° + sin (-1560°) + cos (-450°);
4)	cos 4455° - cos (-945°) + tg 1035° - ctg (-1500°).
531 Вычислить:
1) cos 215 - sin — -ctg I1;
4	4	\	2 /
оч oin 25n	( 17л)
21 sin----cos--------— tg-----;
3	I 2 )	3
3) sin (-7л)-2 cos ^-tg^;
4) cos (-9 л)+ 2 sin I |-ctg [-215
\	6 /	\	4
160
533
1)	sin	[ — +a ] I 6 J	=	-sin	f - + a 1 16	/
2)	sin	f — + a ] I 4	)	=	-sin	f —-a I 4
3)	cos	fa - — ] I 3 J	SS	—cos	f - + a] I 3 )
4)	cos	fa- — ] I 3 J	=	cos Ia + — L k 3 )	
534
535
Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треуголь-
ника равен синусу его третьего угла.
Решить уравнение:
1) cos ( - - х | = 1;	2) sin I — + х | = 1;
12	)	\ 2	)
3) cos (х - п) = 0;	4) sin (х - j = 1;
5)	sin (2х + Зл) sin ^Зх + j - sin Зх cos 2х = -1;
6)	sin |5х - j cos (2х + 4я) - sin (5х + л) sin 2х = 0.
536 Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тан-
генса любого угла можно свести к вычислению их значений
для угла, заключённого в промежутке от 0 до
Сумма и разность синусов.
Т Сумма и разность косинусов
Задача
1 Упростить выражение
sin а + — + sin а - — sin —.
I k 12 J k 12))	12
► Используя формулу сложения и формулу синуса
двойного угла, получаем
sin I а + — I + sin а - — I sin — = sin а cos — +
I k 12/ k 127/	12 k	12
+ cos a sin — + sin a cos —— cos a sin — sin — =
12	12	12/	12
= 2 sin a cos — sin — = sin a sin — = i sin a.
12	12	62
161
Эту задачу можно решить проще, если использо-
вать формулу суммы синусов:
• о . Ct + Р	а-B	z- ч
sin a + sm р = 2 sin r cos----(1)
2	2
С помощью этой формулы получаем
= 2 sin a cos — sin — = - sin a.
12	12	2
Докажем теперь справедливость формулы (1).
_	a + Р (х - Р _
Ъ Обозначим -----— = х, ------= и. Тогда х + у = а,
2	2
х - у = Р, и поэтому sin а 4- sin р = sin (х 4- у) +
+ sin (х - у) = sin х cos у + cos х sin у + sin х cos у -
г»-	п . а + р	а-Р
- cos х sin у = 2 sin х cos у = 2 sin-- cos---—.
2	2
Наряду с формулой (1) используется формула раз-
ности синусов, а также формулы суммы и разности
косинусов:
sin a - sin Р = 2 sin -—- cos a	(2)
н	2	2
п	«I	a-i-P	a-p	/O4
cos a 4 cos P = 2 cos--— cos----,	(3)
2	2
o . a + P . a-P
cos a - cos P = - 2 sm--- sin---(4)
2	2
Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и фор-
мула (1); формула (2) получается из формулы (1)
заменой р на ~р. (Докажите самостоятельно.)
Задача 2 Вычислить sin 75° 4- cos 75°.
► sin 75° + cos 75° = sin 75° + sin 15° =
. 75°+15°	75°-15°
= 2 sin-------cos---------= 2 sin 45° cos 30° =
2	2
= 2^.	<J
2	2	2
Задача 3 Преобразовать в произведение 2 sin a + Уз.
► 2 sin a 4- >/з = 2 [ sin a 4- — ] = 2 ( sin a + sin — 1 =
I. 2 ) I	3j
4_»_ | Ot , 7U | ___ I (X Л I
Sin 4- — COS---------.
12 6j 12 6/
162
Задача 4* Доказать, что наименьшее значение выражения
sin а + cos а равно - >^2, а наибольшее равно V2.
► Преобразуем данное выражение в произведение:
sin а + cos а = sin а + sin - - а =
\2	)
= 2 sin — cos | а - - | = V2 cos | а - - |.
4 к 4 )	к 4 )
Так как наименьшее значение косинуса равно -1,
а наибольшее равно 1, то наименьшее значение
данного выражения равно /2 • (-1) = - V2, а наи-
большее равно V2 • 1 = ^2. <1
В преобразованиях тригонометрических выраже-
ний, а также при решении некоторых уравнений
используются формулы преобразования произведе-
ния в сумму или разность:
sin a cos Р = — (sin (а + Р) + sin (а - р)),
2
sin а sin Р = 1 (cos (а - Р) - cos (а + р)),
2
cos а cos Р = - (cos (а + Р) + cos (а - Р)).
2
Задача 5* Доказать тождество
sin a cos Р = 1 (sin (а + Р) + sin (а - Р)).
Приведём правую часть равенства с помощью фор-
мулы сложения к виду левой:
- (sin (а + Р) + sin (а - р)) = - (sin а cos р +
2	2
+ cos а sin Р + sin а cos р - cos а sin Р) =
а cos Р = sin а cos р.
i • 2 sin
2
Упражнения
537 Упростить выражение:
	1)	sin — + cx + sin I - 1з )	кз	- a j;
	3)	sin2 + а j - sin2 (	Z-	X 1 «1
538	Вычислить:		
	1)	cos 105° + cos 75°;	2)
	3)	COS	4-cos —; 12	12	4)
	5)	• 7 к	к . sin — ~ sin —. 12	12	6)
2) cos - - Р - cos I — + р I;
к 4	/	\ 4	/
4) cos2 а — — I - cos2 а + — I.
к 4) I 4)
sin 105° - sin 75°;
Пл   5 л.
cos------cos —;
12	12
sin 105° + sin 165°.
163
539 Преобразовать в произведение:
1)14-2 sin а; 2) 1 - 2 sin а; 3) 1 + 2 соя а; 4) 1 + sin а.
540 Доказать тождество:
„ ч sin а + sin За	sin 2а + sin 4а
1) -----------= tg 2а;	2) ------------= ctg а.
соя а -h cos За	cos 2а - cos 4а
541 Упростить выражение:
1)
2 (cos а ч- cos За)
2 sin 2а 4- sin 4а
2^ 1 -ь sin а - cos 2а - sin За
2 sin2 а 4- sin а -1
542 Доказать тождество:
1) cos4 а - sin4 а + sin 2а = 42 cos
2) cos а 4- cos ( — 4- а j 4- cos |	- а ] = 0;
к 3	)	\ 3	)
sin 2а 4- sin 5а - sin За л ,
3) ----------------------= 2 sin а.
соз а 4-1 - 2 sin2 2а
543 Записать в виде произведения:
1) cos 22° 4- cos 24° 4- cos 26° 4- cos 28°;
2) cos — 4- cos — 4- cos —.
12	4	6
sin (a 4-p)
544 Доказать тождество tg a + tg p =------------— и вычислить:
cos a cos p
1) tg 267° + tg 93°;	2) tg g + tg
12	12
545 Разложить на множители:
1) 1 - cos a 4- sin a;	2) 1 — 2 cos a + cos 2a;
3) 1 + sin a - cos a - tg a; 4) 1 4- sin a 4- cos a + tg a.
7 Упражнения
- • к главе V
546
- < a < л;
2
Найти:
4з
1)	cos a, если sin a = — и
J 5
2) tg a, если cos a = и
3
Зл
2
164
3) sin а, если tg a = 2 42 и 0 < a < —;
4)
cos a, если ctg a = 42 и it < a < —.
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
Упростить выражение:
1)2 sin (it - a) cos f — - a j + 3 sin2 | - a | - 2;
k2 J \2 J
sin( д + a) cos 3 л - a tg I a - K
2)	---у-----г----у-----Ц—-------— .
cos P + a I cos I 3- + a l tg (л + a)
Вычислить (548—549).
1) Sin^; 2) tg^E; 3) ctg—; 4) cos^E.
6	4	4	4
1) cos — - sin —;	2) sin^-tg^;
4	4	3	3
3)	3 cos 3660“ + sin (-1560“); 4) cos (-945°) + tg 1035°.
Упростить выражение (550—551).
ctg a
1 + sin2 a
------------cos a
cos a
o sin(a-|5)
tg a - tg p =--------5-
cos a cos p
Доказать тождество:
D	=	2)
cos a cos p
Вычислить (553—554).
1) 2 sin 6a cos2I - + 3a | - sin 6a при a = —;
14 J	H 24
2) cos 3a + 2 cos (л - 3a) sin21 - - 1,5a | при a = —.
\ 4 J	36
43 (cos 75° - cos 15°)
1-2 sin2 15°
2 cos2 - -1
2) -----------.
1 + 8 sin2 - cos2 -
8	8
Доказать тождество:
.. 2 sin 2a - sin 4a o
D -------------------= tg2 a;
2 sin 2a sin 4a
2 cos 2a - sin 4a л 9 ( л
2) ------------------= tg2 I - - a
2 cos 2a + sin 4a k 4
Показать, что:
1) sin 35° + sin 25° = cos 5°;	2) cos 12° — cos 48° = sin 18°.
165
Проверь себя!
1
2
3
4
Вычислить sin a, tg а, cos 2а, если cos а = --и-<а<я.
5	2
Найти значение выражения:
1) cos 135°;	2) sin—; 3) tg 4) cos2 - sin2
3	3	8	8
Доказать тождество:
1) 3 cos 2а + sin2 а - cos2 а = 2 соя 2а;
2)
sin 5а - sin За
----------------= sin а.
2 cos 4а
Упростить выражение:
1)	sin (а - р) - sin [ - - а ) • sin (-Р);
\ 2 У
2)	cos2 (л - а) - сов2 -а);
3)	2 sin а sin Р + соз (а 4- Р).
| cos В sin Р | 1-cos
557 Упростить выражение --------4----- •------------.
\sina соз а У соз (л -р 4- а)
Доказать тождество (558—559).
sin (2a - Зя)+ 2 cos I 7 71 4- 2a j
558 1) -----------г---------—--— = - <Уз ctg 2a;
2 cos I n - 2a I 4-	cos (2a - 3 я)
Кб J
2 cos — - 2a I - V 3 зш(2,5я - 2a) A
2)___________2____________r=n=^
cos(4,5rc - 2a) + 2 cos f £ + 2a j
,	sin a 4- sin —
i4 1“соя <x4-cos 2a .	2	a
559 1) --------------= ctg a; 2) -------------— = tg
sin2a-sina	1+cosa+cos^ 2
2
560 Вычислить tg —, если cos a = - — и - < a < л.
2	5	2
561 Вычислить значение выражения
sh^.cosla^ есди sina_cosa=l.
cos a sin a	2
562 Вычислить значение выражения
4 sin 2a 4- 5 cos 2a	x i
---------------, если ctg a = —.
2 sin 2a - 3 cos 2a	3
166
Доказать тождество (563—564).
563 1) sin2 (а + р) = sin2 а + sin2 р + 2 sin а sin Р cos (а + Р);
2) sin а + 2 sin За + sin 5а = 4 sin За cos2 а.
л sin а + sin За + sin 5а х л
564 -----------------------= tg За.
cos а + cos За + cos 5а
565 Наити значение выражения — --------------—, если tg а = 2.
sin3 а + 3 сов3 а
Доказать тождество (566—567).
566 sin2 а + cos — - а cos I — + а = -.
к 3	) кз J 4
567 1) sin6 а + cos6 а = | (5 + 3 cos 4а);
2) sin8 а + cos8 а = — (cos2 4а + 14 cos 4а + 17).
VI
- глава
: Тригонометрические
? уравнения
Уравнение есть равенство, которое ещё не
является истинным, но которое стремят-
ся сделать истинным, не будучи уверен
ным, что этого можно достичь.
А. Фуше
Уравнение cos х = а
Из определения косинуса следует, что
-1 С cos а С 1. Поэтому если а| > 1, то уравнение
cos х = а не имеет корней. Например, уравнение
cos х = -1,5 не имеет корней.
Задача 1 Решить уравнение cos х= -.
► Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной
окружности, полученной поворотом точки Р (1; 0)
вокруг начала координат на угол х. Абсциссу,
равную -, имеют две точки окружности и М2
на угол
(рис. 68). Так как 1 = cos —, то точка
2	3
получается из точки Р (1; 0) поворотом
а также на углы
х = — + 2яЛ, где k = ±1, ±2, ... . Точка М2
3
получается из точки Р (1; 0) поворотом
на угол х2 = -~» а также на углы
+ 2nk, где fe = ±l, ±2, .... Итак, все
3
168
корни уравнения cos х = * можно найти но форму-
лам х = — + 2nk, х = - — 4-2 л/?, k е Z. Вместо этих
3	3
двух формул обычно пользуются одной:
х = ±—4-2л/?, k 6 Z.
3
Задача 2 Решить уравнение cos х =
Абсциссу, равную -1, имеют две точки окружно-
сти и М2 (рис. 69). Так как - i = cos , то угол
Рис. 69
нения cos
потому угол х2 = - —.
3
Следовательно, все корни уравнения
cos х = - ~ можно найти по формуле
х = ±— + 2nk, k 6 Z. <1
3
Таким образом, каждое из уравнений
cos х = - и cos х = - - имеет бесконеч-
2	2
ное множество корней. На отрезке [0; л]
каждое из этих уравнений имеет только
один корень: xi = ” — корень уравне-
ния cos х ~ ~ и х1 =	— КОР°ПЬ УРав*
к = Число называют арккосинусом
числа - и записывают arccos ^ = -; число — на-
2	2	3	3
зывают арккосинусом числа и записывают
I 1 j 9
arccos — I = —. Вообще, уравнение cos х = а,
где -1 < а < 1, имеет на отрезке О^х^л толь-
ко один корень. Если а > 0, то корень заключён
в промежутке | 0;	; если а < 0, то в промежут-
ке л . Этот корень называют арккосинусом
числа а и обозначают arccos а (рис. 70).
169
Арккосинусом числа а 6 [-1; 1] называется такое
число а е [0; л], косинус которого равен а:
arccos а = а, если cos а = а и 0 а С л. (1)
Например, arccos —= —, так как cos - = — и
2	6	6	2
0	< л; arccos | -— | = —, так как
6	2 J 6
___ 5 л _	\ 3 n
cos — =------и U	Л.
6	2	6
Аналогично тому, как это сделано при решении
задач 1 и 2, можно показать, что все корни урав-
нения cos х = а, где |а|	1, можно находить по
формуле
х - ±arccos а + 2лп, n 6 Z.	(2)
Задача 3 Решить уравнение cos х =-0,75.
► По формуле (2) находим
х = tarccos (-0,75) + 2лл, п е Z.
Значение arccos (-0,75) можно приближённо най-
ти по рисунку 71, измеряя угол РОМ транспор-
тиром, или с помощью микрокаль-
®кулятора:
arccos (-0,75) ~ 2,42.
О* Задача 4* Решить уравнение
(4 cos х - 1) (2 cos 2х + 1) = 0.
► 1)4 cos х - 1 = 0, cos х = -,
4
х = ±arccos i + 2лп, n e Z.
Puc. 71	4
170
2) 2 cos 2х + 1 = 0, сов2х = --, 2х = ± — + 2ял,
2	3
х = ± - + ял, п е Z.
3
Ответ х = tarccos - + 2пп, х = ± - + ял, п е Z. <1
4	3
Можно доказать, что для любого а с [-1; 1J спра-
ведлива формула
arccos (-а) = я - arccos а.	(3)
Эта формула позволяет находить значения аркко-
синусов отрицательных чисел через значения арк-
косинусов положительных чисел. Например:
arccos - i I = я - arccos - = л - — = —,
I 2)	233
arccos I I = я - arccos — = я - - = —.
2 J	2	4	4
Из формулы (2) следует, что корни уравнения
cos х = а нри а = 0, а = 1, а = -1 можно находить
по более простым формулам:
cos х = О, г = | + то, n g Z,	(4)
cos х = 1, х = 2ял, п е Z,	(5)
cosx = -l, х = я + 2ял, neZ. (6)
Задача 5 Решить уравнение cos - = -1.
3
► По формуле (6) получаем — = я + 2ял, п e Z, отку-
3
да х = Зя + бял, л е Z. <
Упражнения
Вычислить (568—569).
568 1) arccos 0;	2) arccos 1;	3) arccos—;
2
1	I I	I V2 I
4) arccos	5) arccos — -— ;	6) arccos------.
2	I 2 J	I 2 J
569 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1;	2) 3 arccos (-1) - 2 arccos 0;
3) 12 arccos —-3arccos
2	12/
। Jo )	f 1
4) 4 arccos +6 arccos .
2 J	I.	2 J
171
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
Сравнить числа: j 3	1 1) arccos — и arccos	2) arccos 2	2	’ 3) arccos 1	| и arccos (--1. ( 2 J	I 2j	f Q A -- и arccos (-1); 4 J
Решить уравнение (571—573). 1) cos x = —;	2) cos x = - —; 2	2	3) cos x = — V2
1) cos x = —;	2) cos x =-0,3; 4	3) cos x = - —. 3
1) cos 4x = 1;	2) cos 2x = -1;	3) 42 cos - = -1; 4
4) 2cos- = V3;	5) cosfx4-^) = 0; 3	I 3J	6) cos ^2x-	= 0.
1) cos x cos Зх = sin Зх sin x;
2) cos 2x cos x + sin 2x sin x = 0.
Выяснить, имеет ли смысл выражение:
1) arccos (Тб - 3);	2) arccos (V7 - 2);
4)	arccos (1 - V5);	5) tg 3 arccos - .
3) arccos (2 - VTO);
Решить уравнение:
1)	cos2 2x = 1 + sin2 2x;	2) 4 cos2 x = 3;
3)	2 cos2 x = 1 + 2 sin2 x;	4) 2 42 cos2 x = 1 + V2;
5)	(1 + cos x) (3 - 2 cos x) = 0;
6)	(1 - cos x) (4 + 3 cos 2x) = 0;
7)	(1 + 2 cos x) (1 -8 cos x) = 0;
8)	(1-2 cos x) (2 + 3 cos x) = 0.
Найти все корни уравнения cos2x = на отрезке	.
j 2
Найти все корпи уравнения cos 4х = —, удовлетворяющие
неравенству | х | < —.
Решить уравнение:
1) arccos (2х - 3) = ~;
о\ arccos
Сл I	V vUu	—	•
3	3
Доказать, что при всех
выполняется равенство
1) cos (arccos 0,2);
значениях а, таких, что -1 < а 1,
cos (arccos а) = а. Вычислить:
2) cos
arccos
172
3) cos
5) sin
Q
л +arccos -
4
4 "I
arccos - ;
5/
4) sin
6) tg
— + arccos —
2	3
arccos —
V10
581 Доказать, что arccos (cos a) = a при 0 a С п. Вычислить:
1)5 arccos | cos	2) 3 arccos (cos 2);
3) arccos (cos	4) arccos (cos 4).
582 Вычислить:
lx	• (	1	2^2 )	(	4	з"|
1) sin arccos - + arccos- ;	2) cos arccos —arccos — .
'	(	3	3	k	5	5)
583 Упростить выражение cos (2 arccos а), если -1 < a 1.
584 Доказать, что если -1 < a С 1, то 2 arccos= arccos a.
585 С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) cos х = 0,35;	2) cos x = -0,27.
7 Уравнение sin x = a
Из определения синуса следует, что -1 sin 1.
Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin х = а не име-
ет корней. Например, уравнение sin г = 2 не имеет
корней.
Задача 1 Решить уравнение sinx = i.
► Напомним, что sin х — ордината точки единичной
окружности, полученной поворотом точки Р (1; 0)
вокруг начала координат на угол х. Ординату,
равную i, имеют две точки окружности Мх и М2
(рис. 72). Так как - = sin —, то точка М, получа-
2	6
ется из точки Р (1; 0) поворотом на угол хх = —,
6
173
а также на углы х = — + 2я&, где Л = ±1, ±2, ....
6
Точка М2 получается из точки Р (1; 0) поворотом
на угол х2 = а также на углы х - ~ + 2 я/г, т. е.
на углы х = я - — + 2я&, где k = ±1, ±2, ... .
6
Итак, все корни уравнения sin х = ~ можно найти
по формулам х = - + 2я&, х - к - - + 2 nk, k е Z.
6	6
Эти формулы объединяются в одну:
х = (-1)п - + ял, п е Z.	(1)
6
В самом деле, если п — чётное число, т. е. л = 2/?,
то из формулы (1) получаем х = - + 2яЛ, а если
6
п — нечётное число, т. е. л = 2fe + 1, то из фор-
мулы (1) получаем х = я-- + 2я£.
6
Ответ х = (-1)я — + ял, л e Z.
6
Задача 2
Решить уравнение sin х = --.
► Ординату, равную -i, имеют две точки единичной
окружности М1 и М2 (рис. 73), где хх = --,
6
х2 = —Следовательно, все корни уравнения
sin х = - - можно найти по формулам
2
х = -~ + 2яЛ, х = -5*+2я/г, k е Z.
6	6
174
Эти формулы объединяются в одну:
4- ПЛ, п G Z.
(2)
Ответ
В самом деле, если п = 2/г, то по формуле (2) по-
лучаем х =	4- 2 лА, а если п = 2k - 1, то по фор-
муле (2) находим х = - — + 2nk.
6
4- ял, п е Z. <1
х = (-1)
Итак, каждое из уравнений sin х = | и sin х =
имеет бесконечное множество корней. На отрезке
каждое из этих уравнений имеет толь-
я. п
2 ’ 2.
ко один корень: х} = — — корень уравнения
6
sin х = и Xj = -j — корень уравнения sin х = -
Число называют арксинусом числа | и записы-
вают arcsin “ = число ~ называют арксинусом
п
6*
числа -- и пишут arcsin
Вообще, уравнение sin х = а, где -1 а 1, на от-
резке
л . л
2’ 2.
а > 0, то корень заключён в промежутке 0; ~ ;
то корень заключён в промежутке
Этот корень называют арксинусом чис-
имеет только один корень. Если
если а < О
_ п,
_ 2’
а
arcsin а (рис. 74).
и обозначают
ла
175
Арксинусом числа а е [-1; 1] называется такое
число а е
. л
2* 2J
arcsin а = а, если sina = a и
2
синус которого равен а:
(3)
2
Например, arcsin — = -, так как sin - = —
2	4	4	2
и С — < —;	arcsin | - — | = --, так как
2	4	2	2 )	3
sin	— и
I ЗУ 2	2	32
Аналогично тому, как это сделано при решении
задач 1 и 2, можно показать, что корни уравне-
ния sin х = а, где |а| С 1, выражаются формулой
х = (-1)" arcsin а + лп, п е Z.	(4)
9
Задача 3 Решить уравнение sin х=~-
9
►	По формуле (4) находим х = (-l)n arcsin — + nnt
3
п € Z. <1
Рис. 75
2
Значение arcsin - можно приближён-
но найти из рисунка 75, измеряя угол
РОМ транспортиром.
Значения арксинуса можно находить
с помощью специальных таблиц или
микрокалькулятора. Например, значе-
ние arcsin - можно вычислить на мик-
3
рокалькуляторе:
arcsin - » 0,73.
3
Задача 4* Решить уравнение
(3 sin х - 1) (2 sin 2х + 1) = 0.
►	1)3 sin х - 1 = 0, sin х = —,
3
х = (-1)” arcsin - + ли, п е Z;
3
2) 2 sin 2х + 1 = 0, sin 2х =
2
176
2х = (~1)л arcsin I -- | + ял = (-1)п ( - * |+ЯЛ =
I 2J	\ 67
= (-l)n + 1 * + лп, х = (—1)л *1 —, neZ.
6	12	2
Ответ х = (-1)" arcsin i + ял, х = (—1)Л *1 —+ —, л е Z. <
3	12	2
Можно доказать, что для любого а е [-1; 1] спра-
ведлива формула
arcsin (-а) = - arcsin а.	(5)
Эта формула позволяет находить значения аркси-
нусов отрицательных чисел через значения аркси-
нусов положительных чисел. Например:
arcsin I -- I = -arcsin - = - —,
V 2/	2	6
arcsin I - — ! = -arcsin — = --.
2 J	2	3
Отметим, что из формулы (4) следует, что корни
уравнения sin х = а при а = О, а = 1, а = —1 можно
находить по более простым формулам:
sin х = 0, х - яп, n g Z,	(6)
sinx = l, х = — + 2яп, п 6 Z,	(7)
2
sinx = -l, х = -—+ 2ял, neZ. (8)
2
Задача 5 Решить уравнение sin 2х = 1.
► По формуле (7) имеем 2х = ^ + 2яп, л е Z, откуда
X = -+ ЯЛ, п Е Z. <]
4
Упражнения
Вычислить (586—587).
J q
586	1)	arcsin 0; 2)	arcsin	1; 3)	arcsin
4)	arcsin i; 5)	arcsin
587	1)	arcsin 1 - arcsin	(-1);
i	JU
3) arcsin - + arcsin —;
2	2
177
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
Сравнить числа:
1) arcsin i и arcsin
и arcsin (-1).
1
4
2) arcsin
Решить уравнение (589—592).			
1)	sin x = —;	2) sin x = —;	3) sin x =
	2	2	V2
1)	sin x = -;	2) sin x =	3) sin x = —.
	7	4	3
1)	sin 3x = 1; 2)	sin2x = -l; 3)	72 sin - = -1; 3
4)	2 sin — = 73;	5) sin f x + — ] =	0; 6) sin | 2x + — | = 0.
	2	k	4 J	k	2 J
1)	sin 4x cos 2x =	cos 4x sin 2x;	
2)	cos 2x sin 3x =	sin 2x cos 3x.	
Выяснить, имеет ли
1) arcsili (Тб - 2);
3) arcsin (3-717);
5) tg 6 arcsin i I;
к 2)
смысл выражение:
2) arcsin (Тб - 3);
4) arcsin (2-710);
(V2 1
2 arcsin — I.
Решить уравнение (594—596).
1)1-4 sin x cos x = 0;	2) 7з + 4 sin x cos x = 0;
3) 1 + 6 sin — cos - = 0;	4) 1 - 8 sin - cos — = 0.
4	4	3	3
1)1+ cos 5x sin 4x = cos 4x sin 5x;
2) 1 - sin x cos 2x = cos x sin 2x.
1)	(4 sin x - 3) (2 sin x + 1) = 0;
2)	(4 sin Зх - 1) (2 sin x + 3) = 0.
Найти все корни уравнения sin2x = i, принадлежащие
отрезку [0; 2л].
х < з
Найти все корни уравнения sin - = —, удовлетворяющие
2	2
неравенству logn (х - 4л) < 1.
Доказать, что sin (arcsin а) = а при -1 < а С 1. Вычислить:
1) sin arcsin |;	2)
(Q
л + arcsin —
4
5) cos arcsin - I;
(о —	1
— - arcsin —
2	3
6) tg arcsin
k V10
178
600 Доказать, что arcsin (sin а) = а при --<а Вычислить:
2	2
1)	7 arcsin sin — I; 2) 4 arcsin sin - ;
I 7/	I 2/
3)	arcsin sin — I; 4) arcsin (sin 5).
V 7 7
Вычислить (601—603),
601 1) cos I arcsin - I;
I 5 7
3) cos
2) cos
4) cos
602
603
604 Решить уравнение:
1) arcsin | - - 3 j =	2) arcsin (3 - 2x) =	.
V 2 J 6	4
605 Доказать, что если 0Са<1, то 2 arcsin а = arccos (1 - 2а2).
606 С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) sin х- 0,65; 2) sin х = -0,31.
J Уравнение tg х = а
• • • • •.....।..।..। ।...।..।।
35
Из определения тангенса следует, что tg х может
принимать любое действительное значение. По-
этому уравнение tg х = а имеет корни при любом
значении а.
Задача 1 Решить уравнение tg х = V5.
► Построим углы, тангенсы которых равны 7з.
Для этого проведём через точку Р (рис. 76) пря-
мую, перпендикулярную РО, и отложим отре-
179
Рис. 76
зок PM = V8; через точки М и О проведём прямую.
Эта прямая пересекает единичную окружность
в двух диаметрально противоположных точках М{
и М2. Из прямоугольного треугольника РОМ на-
ходим	= Уз = tg х., откуда х. = —. Таким
РО 1	1	1	3
образом, точка Мх получается из точки Р (1; 0)
поворотом вокруг начала координат на угол -,
3
а также па углы х = - + 2 л/?, где k = ±1, ±2, ... .
3
Точка М2 получается поворотом точки Р(1; 0) па
угол х2 = - + л, а также на углы х = - + я + 2лЛ, где
3	3
* = ±1, ±2, ....
Итак, корни уравнения tg х = Уз можно найти по
формулам х = - + 2яЛ, х = — 4- л (2k 4-1), k € Z. Эти
3	3
формулы объединяются в одну:
х = - 4- лп, п 6 Z.
3
Задача
2
Решить уравнение tg х = -V5.
Углы, тангенсы которых равны -Уз, указаны на
рисунке 77, где PM 1РО, РМ = 4&. Из прямо-
угольного треугольника РОМ находим Z.POM = 2,
180
Рис, 78
т. е. х{ = Таким образом, точка
получается поворотом точки Р (1; 0)
вокруг начала координат на угол
х, = - —, а также на углы х = -- + 2л/г,
1	3	3
где k = ±1, ±2, ... . Точка М2 получает-
ся поворотом точки Р (1; 0) на углы
х = -- + п (2k + 1), k е Z. Поэтому кор-
3
ни уравнения tg х = - V3 можно найти
по формуле
х = - - + ли, п е Z. <]
3
Итак, каждое из уравнений tg х = >/3
и tgx = -V3 имеет бесконечное мно-
л. л]
2* 27
каждое из этих уравнений имеет толь-
ко один корень: хх = - — корень урав-
3
нения tg х = и	—корень
3
уравнения tgx = -V3. Число - назы-
3
вают арктангенсом числа V3 и запи-
сывают arctg >/з= - ; число -- называ-
3	3
ют арктангенсом числа ->/з и пишут
arctg (—>/3) = Вообще, уравнение
tg х = а для любого а е R имеет на интервале
- —; — только один корень. Если а 0, то корень
жество корней. На интервале
заключён в промежутке
; если а < 0, то в
промежутке
Этот корень называют арк-
тангенсом числа а и обозначают arctg а (рис. 78).
Арктангенсом числа а е R называется такое чис-
ло а е
л. л
2’ 2
arctg а - а, если tg а = а и - - < а < —.	(1)
2	2
тангенс которого равен а:
181
Например, arctg 1 = —, так как tg — = 1 и
4	4
arctg I I = так как tg f] =
24 2	6	I в J
Аналогично тому, как это сделало при решении
задач 1 и 2, можно показать, что все корни урав-
нения tg х = а, где a € ft, выражаются формулой
х = arctg а + ял, п е Z.	(2)
Задача 3 Решить уравнение tg х = 2.
► По формуле (2) находим
х = arctg 2 + ял, п e Z. <
Значение arctg 2 можно приближённо найти из ри-
сунка 79, измеряя угол РОМ транспортиром.
Приближённые значения арктангенса можно так-
же найти по таблицам или с помощью микрокаль-
кулятора:
arctg 2 ® 1,11.
Задача 4* Решить уравнение (tg х + 4) (ctg х - VS) = 0.
► 1) tg х 4- 4 = 0, tg х = -4, х = arctg (-4) + ял, л е Z.
При этих значениях х первый множитель левой ча-
сти исходного уравнения обращается в нуль,
а второй не теряет смысла, так как из равенства
tg х = -4 следует, что ctg х = Следовательно,
найденные значения х являются кор-
нями исходного уравнения.
2) ctg х - у/з = 0, ctg х = >/3,
tg х = —U, х = arctg —U ч- ял = — 4- пп,
у[3	л/з	6
п € Z.
Эти значения х также являются кор-
нями исходного уравнения, так как
при этом второй множитель левой час-
ти уравнения равен нулю, а первый
не теряет смысла.
Ответ х = arctg (-4) 4- ял,
х = - 4- ял, л € Z. <1
6
182
Можно доказать, что для любого а е R справедлива
формула
arctg (-а) = -arctg а.	(3)
Эта формула позволяет находить значения арктан-
генсов отрицательных чисел через значения арк-
тангенсов положительных чисел. Например:
arctg (-V3) = -arctg
3
arctg (-1) = -arctg 1 =
4
Упражнения
607
608
609
610
611
612
Вычислить (607—608).
1)	arctg 0: 2) arctg (-1); 3) arctg	4) arctg V3.
1)6 arctg Уз - 4 arcsin -	;
I V2 )
2)	2 arctg l + 3arcsin );
3)	5 arctg (-V§) - 3 arccos
I 2 J
Сравнить числа:
1) arctg (-1) и arcsin
2) arctg 7з
и arccos i
2
3) arctg (-3) и arctg 2;
4) arctg (-5) и arctg 0.
Решить уравнение (610—612).
1) tg x =2) tg x= Л;
73
4) tg x = -1;	5) tg x = 4;
1) tg 3x = 0;	2) 1+tg —=0;	3)
3
1)	(tg x - 1) (tg x + Л) = 0;
2)	(V3 tg x + 1) (tg x - V3) = 0;
3)	(tg x - 2) (2 cos x - 1) = 0;
4)	(tg x - 4,5) (1+2 sin x) = 0;
5)	(tg x + 4) ( tg - 1 ] = 0;
\ it /
3) tg x = -VS;
6) tg x = -5.
Уз + tg - - o.
6
6)
(tg J+l)
\ b /
(tgx- l) = 0.
183
613
614
615
616
617
618
619
Найти наименьший положительный и наибольший отрица-
тельный корни уравнения 3 tg х - \/3 = 0.
Решить уравнение:
1) arctg (5х - 1) = —;	2) arctg (3 - 5х) =
4	3
Доказать, что tg (arctg а) = а при любом а. Вычислить:
1) tg (arctg 2,1);	2) tg (arctg (-0,3));
3) tg (л - arctg 7);	4) ctg (- + arctg 6 1.
\ 2	)
Доказать, что arctg (tg a) = a при - - < a < -. Вычислить:
2	2
Г (tg 0,5);
tg 13).
Зя
ctg — ;
4 /
2 sin — 1.
3 7
Доказать, что при любом действительном значении а спра-
ведливо равенство cos (arctg a) = - 1
Vl+a2
С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) tg х « 9;	2) tg х =-7,8.
1) 3 arctg tg - ;	2) 4
\	7 7
3) arctg tg — I;	4) arctg
\	8 7
Вычислить:
1) arctg I ctg — j; 2) arctg
k 6 7
3) arctg I 2 sin — ];	4) arctg
\	6 7
7 Решение тришнпметрическнч уравнений
В предыдущих параграфах были выведены фор-
мулы корней простейших тригонометрических
уравнений sin х = a, cos х = а, tg х = а. К этим
уравнениям сводятся другие тригонометрические
уравнения. Для решения большинства таких урав-
нений требуется применение различных формул
184
и преобразований тригонометрических выражений.
Рассмотрим некоторые примеры решения тригоно-
метрических уравнений.
Задача 1
Ответ
Задача 2
Ответ
Задача 3
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Решить уравнение sin2 х + sin х - 2 = 0.
Это уравнение является квадратным относительно
sin х. Обозначив sin х - у, получим уравнение
у2 + у - 2 = 0. Его корни у} = 1, у2 = -2. Таким
образом, решение исходного уравнения свелось
к решению простейших уравнений sin х = 1 и
sin х - -2.
Уравнение sin х = 1 имеет корни х- 4- 2 пл, л е Z;
уравнение sin х = -2 не имеет корней.
х = — + 2лл, л е Z. <
2
Решить уравнение 2 cos2 х - 5 sin х + 1 = 0.
Заменяя cos2 х на 1 - sin2 х, получаем
2(1- sin2 х) - 5 sin х 4- 1 = 0, или
2 sin2 х + 5 sin х - 3 = 0.
Обозначая sin х = у, получаем 2у2 4- 5у - 3 = 0,
откуда уг = -3, у2 =
1) sinx = -3 — уравнение не имеет корней, так
как |-31 > 1;
2) sin х = i, х = (-1)" arcsin - 4- ли = (-1)л — 4- пл,
2	2	6
л g Z.
х = (-1)л - 4- пл, л € Z. <
6
Решить уравнение 2 sin2 х - cos х - 1 = 0.
Используя формулу sin2 х = 1 - cos2 х, получаем
2(1- cos2 х) - cos х - 1 = 0,
2 cos2 х + cos х - 1 = 0, cos х = у9
2у2 - у - 1 = 0, yi = 1, у2 = -1.
1) cos х = 1, х = 2лл, л е Z;
2) cos х = - i, х = ±arccos | - i + 2лл =
2	k 2)
185
Ответ
= ± I я - arccos - + 2 лп = ± I я - - 1 + 2 пп =
к	27	к 37
= ± — + 2кп, п е Z.
3
х = 2пп, х = ± — + 2пп, п е Z. <
3
Задача 4 Решить уравнение tg х - 2 ctg х 4- 1 = 0.
► Так как ctg х = —, то уравнение можно записать
tg х
в виде
tg х--------------------— + 1 = 0.
tg х
Умножая обе части уравнения на tg х, получаем
tg2 х + tg х - 2 = О,
tg х = у. у2 + у - 2 = 0, ух = 1, у2 = -2.
1) tg х = 1, х = - + ли, п е Z;
4
2) tg х = -2, х = arctg (-2) + пп = -arctg 2 + пп.
п е Z.
Отметим, что левая часть исходного уравнения
имеет смысл, если tg х Ф 0 и ctg х * 0. Так как
для найденных корней tg х * 0 и ctg х * 0, то
исходное уравнение равносильно уравнению
tg2 х + tg х - 2 = 0.
Ответ х = - + пп. х = -arctg 2 + пп. п е Z.
4
Задача 5 Решить уравнение 3 cos2 6х + 8 sin Зх cos Зх - 4 = 0.
► Используя формулы
sin2 6х + cos2 6х = 1, sin 6х = 2 sin Зх cos Зх,
преобразуем уравнение:
3(1- sin2 6х) + 4 sin 6х - 4 = О,
3 sin2 6х - 4 sin 6х + 1 = 0.
Обозначим sin 6х = у. получим уравнение
Зу2 - 4у + 1 = 0, откуда у, = 1, у2 =
3
1) sin 6х = 1, 6х = — + 2пп. х = — + —, п е Z;
2	12	3
2) sin6x = —, 6х = (-1)" arcsin — + пп.
3	3
(-1)"	1 пп	„
х =  ----arcsin — + —, п е Z.
6	3 6
Л	ГС Я 71	(-1)" 1 пп	_
Ответ	х = — + —,	х = -—— arcsin - + —,	п	е Z.
12	3	6 3 6
186
2. Уравнение a sin х + Ь cos х = с.
Задача 6
Задача 7
Ответ
Решить уравнение 2 sin х - 3 cos х = 0.
Поделив уравнение па cos х, получим 2 tg х - 3 = 0,
tg х = -|, х = arctg ± + пп, п g Z,
При решении этой задачи обе части уравнения
2 sin х - 3 cos х = 0 были поделены на cos х. На-
помним, что при делении уравнения на выраже-
ние, содержащее неизвестное, могут быть поте-
ряны корни. Поэтому нужно проверить, не явля-
ются ли корни уравнения cos х = 0 корнями
данного уравнения. Если cos х = 0, то из уравне-
ния 2 sin х - 3 соя х = 0 следует, что sin х = 0.
Однако sin х и cos х не могут одновременно рав-
няться нулю, так как они связаны равенством
sin2 х + cos2 х = 1. Следовательно, при делении
уравнения a sin х + b cos х = 0, где а 0, b * 0,
на cos х (или sin х) получаем уравнение, равно-
сильное данному.
Решить уравнение 2 sin х + cos х = 2.
Используя формулы sin х = 2 sin cos cos х =
= cos* — sin* - и записывая правую часть уравпе-
2	2
ния в виде 2 = 21
, получаем
sin* — 4-cos* —
2	2
4 sin - cos - + cos2 - - sin2 — = 2 sin2 — + 2 cos2 -,
2	2	2	2	2	2
3 sin2 — - 4 sin — cos — + cos2 — = 0.
2	2	2	2
Поделив это уравнение на cos2 получим равно-
сильное уравнение 3 tg2 ^-4tg^ + l=0. Обозна-
чая tg - = у, получаем уравнение Зу2 - 4у + 1 = 0,
2
откуда = у2 = т-.
3
1) tg —= 1, - = - + яп, х = - + 2лп, п е Z;
2	2	4	2
2) tg —= —, - - arctg - + пп, х = 2 arctg 1 + 2пл,
2	3	2	3	3
П € Z.
х = — + 2пп, х = 2 arctg 1 + 2лп, п е Z.
2	3
187
Уравнение, рассмотренное в задаче 7, является
уравнением вида
a sin х + b cos х = с,	(1)
где а * О, b * 0, с Ф 0, которое можно решить дру-
гим способом (при условии, что с2 < а2 + д2). Разде-
лим обе части этого уравнения на у] а2 +Ь2:
г- а. sin х + . b — cos х = . —	(2)
^а2 + Ь2	^а2+ Ь2	yja2 + Ъ2
Введём вспомогательный аргумент ф, такой, что
cos ф =
а
а2 + h2
sin ф =
b
yja2 + b2
Такое число ф существует, так как
= 1.
Задача 8
Ответ
Таким образом, уравнение (2) можно записать
в виде sin х cos ф + cos х sin ф = г с откуда
,ja2 + Ъ2
sin (х + <р) = _с 	(3)
^а2 + Ь2
Изложенный метод преобразования уравнения (1)
к простейшему тригонометрическому уравне-
нию (3) называется методом введения вспомога-
тельного угла.
Решить уравнение 4 sin х + 3 cos х = 5.
Здесь а = 4, b = 3, у]а2 + Ъ2 = 5.
Поделим обе части уравнения на 5:
- sin х + — cos х = 1.
5	5
Введём вспомогательный аргумент ф, такой, что
cos ф = |, sin ф = у . Исходное уравнение можно
записать в виде
sin х cos ф + cos х sin ф = 1, sin (х + ф) = 1,
откуда х + ф — — + 2лп, где ф = arccos -,
2	5
х = — - arccos - 4-2 яп, п е Z.
2	5
х = — - arccos - + 2 ли, п g Z.
2	5
188
	3. Уравнения, решаемые разложением левой час- ти на множители. Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Задача 9	Решить уравнение sin 2 х - sin х = 0. ► Используя формулу синуса двойного аргумента, за- пишем уравнение в виде 2 sin х cos х - sin х = 0. Вынося общий множитель sin х за скобки, полу- чаем sin х (2 cos х - 1) = 0. 1) sin х = 0, х = ли, п е Z; 2) 2 cos х - 1 = 0, cos х = i, x = ± — + 2яп, n e Z. 2	3
Ответ	X = ЯП, X = ± - + 2 ЯП, n E Z. <1 3
Задача 10	Решить уравнение cos Зх + sin 5x = 0. ► Используя формулу приведения sin a = cos 1 — - a , \ 2	/ запишем уравнение в виде cos Зх + cos |	- 5xj = 0. Используя формулу суммы косинусов, получаем 2 cos | — х 1 cos | 4х - - | = 0. \4	/	\	4/ 1) cos	| — - хI	=	0, х - -	= - +	яп, х =	- я + яп,	п	е Z; \4 J	4	2	4 2) cos	( 4х - -1	= 0,	4х	- - =	- + яп,	х = — я + —, к	4	J	4	2	16	4 п Е Z.
Ответ	Х = -Я4-ЯП, X = — Я + —, П G Z, < 4	16	4
Задача 11	Решить уравнение sin 7х 4- sin Зх = 3 cos 2х. ► Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравнение в виде 2 sin 5х cos 2х = 3 cos 2х, 2 sin 5х cos 2х - 3 cos 2х = 0, откуда cos 2х ( sin 5х - j = 0. Уравнение cos 2х = 0 имеет корни х - 4- п е Z, а уравнение sin 5х = не имеет корней.
Ответ	+ neZ. <1 4	2
189
Задача 12
Ответ
Задача 13*
Ответ
Задача 14*
Решить уравнение соз Зх соз х = соз 2х.
cos 2х = соз (Зх - х) = cos Зх cos х + sin Зх sin х,
поэтому уравнение примет вид sin х sin Зх = 0.
1) sin х = 0, х = ян, п е Z;
2) sin Зх = 0, х = —, п е Z.
3
Заметим, что числа ял содержатся среди чисел
вида х = —, п € Z, так как если п — 3k, то — = nk.
3	3
Следовательно, первая серия корней содержится
во второй.
х = —, neZ. <1
3
Иногда при решении тригонометрических уравне-
ний ответ записывают в виде серий корней, имею-
щих общую часть.
Например, для уравнения cos Зх sin 2х = 0 ответ
можно записать в виде двух серий корней:
__ Я . КП ___ КП	rj
X = — 4--, X = -, п G Z.
6	3	2
Так как все корни уравнения cos х = 0 являются
корнями уравнения cos Зх = 0, то ответ можно за-
писать в виде двух непересскающихся серий:
„__ я , ЯЛ ___	п
х + —, х — яп, п е Z.
6 3
Решить уравнение (tg х + 1) 2 cos — - v 3 =0.
\	3	/
1) tg X + 1 = 0, tg X =-1, Х = -- + ЯЛ, П 6 Z.
4
Эти значения х являются корнями исходного урав-
нения, так как при этом первый множитель левой
части равен нулю, а второй не теряет смысла.
2) 2 соз — - 7з = 0, cos — = —- = ±- + 2лп,
3	3	2	3	6
х = ± — 4- 6 ял, п е Z.
2
При этих значениях х второй множитель левой
части исходного уравнения равен нулю, а первый
не имеет смысла. Поэтому эти значения не являют-
ся корнями исходного уравнения.
х = -- + ян, п е Z. <1
4
Решить уравнение 6 sin2 х 4- 2 sin2 2х = 5.
Выразим sin2 х через cos 2х. Так как cos 2х =
= cos2 х - sin2 х, то cos 2х = (1 - sin2 х) - sin2 х,
cos 2х = 1 - 2 sin2 х, откуда sin2 х = | (1 - cos 2х).
190
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3 (1 - cos 2х) + 2 (1 - cos2 2х) = 5,
или 2 cos2 2х + 3 cos 2х = 0, откуда
cos 2х (2 cos 2х + 3) = 0.
Ответ
1) cos 2х = 0, х = — + —, n е Z;
4	2
О
2) уравнение cos2x = -- корней не имеет.
х - + М п е Z. <]
4	2
sin
х cos у =
Задача 15*
Решить систему уравнений
1
2*
cos х sin у = -.
2
Складывая уравнения данной системы и вычитая
из второго уравнения первое, получаем равносиль-
fsin х cos у + cos х sin у = 0,
ную систему <
[cos х sin у - sin х cos у = 1,
откуда
sin (х + у) = 0,
sin(y-x) = 1,
х + у = пп,
у- х = — + 2nk, n,k 6 Z.
*	2
Решая последнюю систему, находим
24	12	4J
ЯП . Я >	_ — I 1 I, 1 1 I
и =-4---Ь пн = 71 —ь /г + — .
24	V2	4J
Ответ
—	+ к +	п, keZ. <
k2 4J V2 4j)
Отметим, что в равенствах
х + у = пп,
у-х = - + 2nk
У 2
буквы п и k могут принимать различные целые
значения независимо друг от друга. Если в обоих
равенствах написать одну букву п, то будут поте-
ряны решения. Например:
х + |/ = 0,
у- х = - + 2п,
2
т. е. х = -—-л, i/ = - + n
4	‘	4
191
Упражнения
Решить уравнение (620—644).
620	1) 3)	sin2 x = i; 4 2 sin2 x 4- sin x - 1 = 0;	2) cos2 x = i; 2 4) 2 cos2 x 4- cos x - 6 = 0.
621	1)	2 cos2 x - sin x + 1 = 0;	2) 3 cos2 x - sin x - 1 = 0;
	3)	4 sin2 x - cos x - 1 = 0;	4) 2 sin2 x + 3 cos x = 0.
622	1)	tg2 x = 2;	2) tg x = ctg x;
	3)	tg2 x - 3 tg x - 4 = 0;	4) tg2 x - tg x 4- 1 = 0.
623	1)	14-7 cos2 x = 3 sin 2x;	2) 3 + sin 2x = 4 sin2 x;
	3)	cos 2x 4- cos2 x 4- sin x cos	x = 0;
	4)	3 cos 2x 4- sin2 x 4- 5 sin x	cos x = 0.
624	1)	V3 cos x 4- sin x = 0;	2) cos x = sin x;
	3)	sin x = 2 cos x;	4) 2 sin x 4- cos x = 0.
625	1)	sin x - cos x = 1;	2) sin x 4- cos x = 1;
	3)	V3 sin x 4- cos x = 2;	4) sin 3x 4- cos 3x = 4~2 .
626	1)	cos x = cos 3x;	2) sin 5x = sin x;
	3)	sin 2x = cos 3x;	4) sin x + cos 3x = 0.
627	1)	cos 3x - cos 5x = sin 4x;	2) sin lx - sin x = cos 4x;
	3)	cos x 4- cos 3x = 4 cos 2x;	4) sin2 x - cos2 x = cos 4x.
628 1) (tg X-V3) 2 sin —+ 1 =0;
к 12	7
2)	[ 1 - V2 cos - ) (1 + 7з tg х) = 0;
\	4 /
3)	I 2 sin (х + £ I -1 I (2 tg х + 1) = 0;
\ X 6 /	/
4)	I 1 + 42 cos I х + - | I (tg х - 3) = 0.
\	\	4 / /
629 1) >/3 sin х cos х = sin2 х;
3) sin 4х + sin2 2х = 0;
630 1) 2 sin2 х = 1 + 1 sin 4x;
3
3) 2 cos2 2x + 3 cos2 x = 2;
2) 2 sin x cos x = cos x;
4) sin 2x + 2 cos2 x = 0.
2) 2 cos2 2x - 1 = sin 4x;
4) (sin x 4- cos x)2 = 1 + cos x.
631 1) 2 sin 2x - 3 (sin x + cos x) + 2 = 0;
2)	sin 2x + 3 = 3 sin x + 3 cos x;
3)	sin 2x + 4 (sin x + cos x) + 4 = 0;
4)	sin 2x + 5 (cos x + sin x 4- 1) = 0.
192
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
1) 1-cos(л - х) + sin - + - = 0;
<2 2 J
2) -s/2 cos x — — I = (sin x + cos x)2.
\	4)
1) 4 sin x cos x cos 2x = sin2 4x;	2) 1 4 cos2 x = sin4 * x.
1) 2 cos2 2x4 3 sin 4x4 4 sin2 2x = 0;
2)1— sin x cos x + 2 cos2 x - 0;
3) 2 sin2 x + i cos3 2x = 1; 4) sin2 2x 4 cos2 3x = 1 + 4 sin x.
4
1) cos x cos 2x = sin x sin 2x; 2) sin 2x cos x = cos 2x sin x;
3) sin 3x = sin 2x cos x; 4) cos 5x cos x = cos 4x.
1)	4	sin2 x - 5 sin x cos x - 6 cos2 x	=	0;
2)	3	sin2 x - 7 sin x cos x 4 2 cos2 x	=	0;
3)	1	- 4 sin x cos x + 4 cos2 x = 0; 4)	1	+ sin2 x = 2 sin x cos x.
1)	4	sin 3x 4 sin 5x - 2 sin x cos 2x	=	0;
2) 6 cos 2x sin x + 7 sin 2x = 0.
1) sin2 x 4 sin2 2x = sin2 8x;
2) sin x (1 - cos x)2 4 cos x (1 - sin x)2 = 2.
1) sin x sin 2x sin 3x = 1 sin 4x;
4
2) sin4 x 4- cos4 x = - sin2 2x.
2
1) cos2 x 4 cos2 2x = cos2 3x 4 cos2 4x; 2) sin6 x 4 cos6 x = К
cos 2x cos x	.	1 s 9	1
1) ------+-------= 1;	2) sin x 4 —— = sin2 x + ——.
cos x cos 2 x	sin x	sin2 x
1) sin x sin 5x = 1;	2) sin x cos 4x = -1.
1) >/5cosx -cos2x = -2 sin x; 2) Vcosx 4cos3x = - V2 cos x.
1) 4 |cos x| 4 3 - 4 sin2 x; 2) | tg x| 4 1 = —.
cos2 x
Решить систему уравнений:
(cos (x 4 у) = 0,	sin x- sin у = 1,
(cos (x - y) = 1;	[sin2 X4cos2 у - 1.
Найти все значения а, при которых уравнение
4 sin2 х 4 2 (а - 3) cos х 4 За - 4 = 0
имеет корни, и решить это уравнение.
Найти все значения а, при которых уравнение
sin2 х - sin х cos х-2 cos2 х = а
не имеет корней.
193
Примеры решения простейших
тригонометрических неравенств
Задача 1 Решить неравенство cos х > i.
► По определению cos х — это абсцисса точки еди-
ничной окружности. Чтобы решить неравенство
1	м
cos х > -, нужно выяснить, какие точки единичной
2л
окружности имеют абсциссу, большую i.
Абсциссу, равную имеют две точ-
ки единичной окружности и М2
(рис. 80).
Точка М । получается поворотом точки
Р (1; 0) на угол , а также на углы
3
+ 2 лл, где л = ±1, ±2, ... . Точка М.,
3
получается поворотом на угол а так-
же па углы - + 2 пл, где п = ±1, ±2, ....
3
Абсциссу, большую i, имеют все точки М дуги еди-
2
ничной окружности, лежащие правее прямой М{М2.
Таким образом, решениями неравенства сов х > |
являются все числа х из промежутка
Все решения данного неравенства — множество
интервалов
+ 2лл; - +
I 3	3
п е Z. <1
Задача 2
Решить неравенство cos х < i.
► Абсциссу, не большую имеют все точки дуги
2
МХММ2 единичной окружности (рис. 81). Поэто-
194
Рис, 81
му решениями неравенства cos х < 1 являются чис-
ла х, которые принадлежат отрезку
п. 5л
.3’ 31
Все решения данного неравенства — множество от-
резков
Задача
- + 2лл; —+ 2лп
L3 з
п € Z.
Решить неравенство sin х > - i.
► Ординату, не меньшую имеют все точки дуги
2
единичной окружности (рис. 82). Поэтому
решениями неравенства sin х > - | являются чис-
я. 7я
б’ б
ния данного неравенства — множество отрезков
+ 2лп; — + 2лп
L б б
ла х, принадлежащие отрезку
Все реша-
3
п е Z. 1
Отметим, что все точки окружности, лежащие
ниже прямой имеют ординату, меньшую --
1 ‘	2
5п.
6 ’	6
ются решениями неравенства sinx<-|. Все ре-
шения этого неравенства — интервалы
(	1 О . я t
-----+ 2 кп;	1-
k 6--6
(рис. 82). Поэтому все числа х с
п € Z.
явля-
195
Задача 4
Решить неравенство cos I " 1 j 2 ’
г	J~9
> Обозначим — 1 = у. Решая неравенство cos у £ * ~
(рис. 83), находим
— 4-2Tin у < — + 2кп, п € Z.
4	4
Заменяя у = ~ - 1, получаем
^ + 2лп <	—+ 2лл,
4	4	4
откуда
1 + —+ 2лл - С 1 + —+ 2лл,
4	4	4
4 4- Зя 4- 8лл С X С 4 4- 5л 4- 8лл,
п е Z.
Ответ 4 4- Зл 4- 8лл С х < 4 4- 5л + 8лл, п е Z. <
Упражнения
Решить неравенство (648—654).
648 1) cos х >	2) cos х < ^;
2	2
3) cos х >	;	4) cos х .
2	2
649 1)СО8Х<ТЗ; 2) соя х <-2; 3) cos х > 1; 4)соях<-1.
650	1)	sin х > -; 2) sin х < —; 3) sin х < - —; 4) sin х > - —. 2	2	2	2
651	1)	sin х > - V2;	2) sin x > 1;
	3)	sin x -1;	4) sin x > 1.
652	1)	\/2 cos 2x < 1;	2) 2 sin 3x > -1;
	3)	CD 5* H + •Ma /Л n О cc H 1 О |Й W
653	1)	о о CD w |h + to \V to CD s* 4b |M 1 CO Л
654	1)	sin2 x 4- 2 sin x > 0;	2) cos2 x - cos x < 0.
196
Упражнения
к главе VI
655	Вычислить:	
656	л/3	( 1 1)	2 arcsin — + 3 arcsin — ; 2	I 2J 2)	arcsin -7— 4 arcsin 1; V2 (	1	V 3 3)	arccos — -arcsin —; k 2)	2 4)	arccos (-1) - arcsin (-1); 5)	2 arctg 1 + 3 arctg -	; I <3 J 6)	4 arctg (-1) + 3 arctg V3. Решить уравнение (656—665). 1) cos (4-2») = --;	2) cos (6 + 3x) = -y>
657	3) 42 cos Ьх + - 1 + 1 = 0; I.	4 J 1) 2 sin (3x - — I + 1 = 0;	4) 2 cos | —-3x |-/3=0. V.3	) 2) 1 - sin | — + — | = 0;
658	k	4?	\2	3/ 3) 3 + 4 sin (2x + 1) = 0;	4) 5 sin (2x - 1) - 2 = 0. 1) (1 + V2 cos x) (1 - 4 sin x cos x) = 0;	
659	2) (1 - V2 cos x) (1 + 2 sin 2x cos 2x) = 0. 1) tg|2x + — | = -1:	2) tg|3x--| = -U;	
660	V	4) 3) 43 - tg [ x - - ) = 0; k 5) 1)2 sin2 x + sin x = 0;	\	4 7 V3 4) l-tg(x + |)=0. 2) 3 sin2 x — 5 sin x - 2 = 0;
661	3) cos2 x - 2 cos x = 0; 1) 6 sin2 x - cos x + 6 = 0;	4) 6 cos2 x + 7 cos x - 3 = 0. 2) 8 cos2 x - 12 sin x + 7 = 0
662	1) tg2 x + 3 tg x = 0;	2) 2 tg2 x - tg x - 3 = 0;
	3) tg x - 12 ctg x + 1 = 0;	4) tg x + ctg x = 2.
197
663
664
665
1
2
666
667
668
669
670
671
672
673
1) 2 sin 2х = 3 cos 2x;
1) 5 sin x + cos x = 5;
1) sin 3x = sin 5x;
3) cos x = cos 3x;
2) 4 sin 3x + 5 cos 3x = 0.
2) 4 sin x + 3 cos x = 6.
2) cos2 3x - cos 3x cos 5x = 0:
4) sin x sin 5x - sin2 5x = 0.
Проверь себя!
Найти значение выражения:
( 1
1) arccos 1 + arcsin 0;	2) arccos — -arcsin —.
к 27	2
Решить уравнение:
1) sin Зх cos х - sin х cos Зх = 1;
2) 2 cos2 х + 5 cos x = 3;	3) tg x - 3 ctg x = 0;
4) sin 3x - sin x = 0;	5) 2 sin x + sin 2x = 0.
Вычислить (666—667).
1) sin (arccos2) tg (arccos 3) tg ^arccos
I	'' 3 1
1) sin (4 arcsin 1);	2) sin 3 arcsin — I;
3) cos (6 arcsin 1);	4) tg I 4 arcsin |.
Решить уравнение (668—675).
1) sin 2x + 2 cos 2x = 1;
2) cos 2x + 3 sin 2x = 3.
1) 3 sin2 x + sin x cos x - 2 cos2 x = 0;
2) 2 sin2 x + 3 sin x cos x - 2 cos2 x = 0.
1)1+2 sin x = sin 2x + 2 cos x;
2) 1 + 3 cos x = sin 2x + 3 sin x.
1) sin x + — +cos x + - =l + cos2x;
I	67	l	3j
2) sin I x — — I + cos x-- =sin2x.
I	4.)	\	4j
1)	cos3 x sin x - sin3 x cos x = i;
4
2) sin3 x cos x + cos3 x sin x = - .
4
1) sin2 x + sin2 2x = 1;	2) sin2 x + cos2 2x = 1;
3) sin 4x = 6 cos2 2x - 4;	4) 2 cos2 3x + sin 5x = 1.
198
674 1) sin2 x - cos x cos 3x = - ;
4
2)	sin 3x = 3 sin x;
3)	3 cos 2x - 7 sin x = 4;
4)	1 4- cos x + cos 2x = 0;
5)	5 sin 2x + 4 cos3 x - 8 cos x = 0.
675 1) sin x + sin 2x + sin 3x = 0;
2)	cos x - cos 3x = cos 2x - cos 4x.
Вычислить (676—677).
676	1)	sin	arcsin - I;	2)	sin	arcsin 1 - - I
	3)	sin	\	3 7 (	3 л - arcsin - ;	4)	sin	I	\ 4) n + arcsin -
677	1)	tg (	\	4 7 it + arctg | j;	2)	ctg |	1	3 [ | - arctg 2 j
Решить уравнение (678—684).
678	1)	*1^ = 0;	2) ^1^ = 0; sin x	sin x		3) ^.0; COS X
	4)	cos 3x	sin x 	= 0;	5) 	= 0; cos x	sin 5x		6) -22LL»O. cos 7 x
679	1)	cos x sin 5x = -1;	2)	sin x cos 3x = -1.
680	1)	2 cos 3x = 3 sin x + cos x;	2)	cos 3x - cos 2x = sin 3x.
681	1)	sin 2x + cos 2x = 2 tg x 4- 1;		2) sin 2x - cos 2x = tg x.
682	cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = -. 2			
683 7”4cos *cos 2 x = у] 7 sin 2x .
684 | cos x| - cos 3x = sin 2x.
Решить систему уравнений (685—686).				
685	1)	sin у cos у = i, 2 sin 2x4- sin 2y = 0;	2)	[sin x 4- sin у = 1, [cos x - cos у = V 3
686	1) -	sin x _ 5 sin у 3 cos x _ i cos у 3	2)	sin x cos и = -, 2 cos x sin у = - -. 1	2
199
687 При каких значениях а уравнение
sin4 х + cos4 х = а
имеет корни? Найти эти корни.
688 Найти все значения а, при которых уравнение
sin10 х + cos10 х = а
имеет корни.
689 Найти все значения а, при которых уравнение
sin 2х - 2а ^2 (sin х + cos х) + 1 - 6а2 = О
имеет корни, и решить это уравнение.
690 Решить неравенство:
1)	2 cos2 х + sin х - 1 < 0;
2)	2 sin2 х - 5 cos x + 1 > 0.
VII
7 глава
т Тригонометрические
j функции
‘	Я не мог понять содержание вашей
статьи, так как она не оживлена
иксами и игреками.	т
:	Г	У. Томсон
: Область определения
и множество значений
•• тригонометрических функций
..‘•*•*••••♦•1•••♦•!.....।.........
38
Известно, что каждому действительному числу х
соответствует единственная точка единичной
окружности, получаемая поворотом точки (1; 0)
на угол х рад. Для этого угла определены sin х
и cos х. Тем самым каждому действительному чис-
лу х поставлены в соответствие числа sin х и cos х,
т. е. на множестве R всех действительных чисел
определены функции
у = sin х и у = cos х.
Областью определения функций у = sin х и
у = cos х является множество R всех действитель-
ных чисел.
Чтобы найти множество значений функции
у = sin х, нужно выяснить, какие значения может
принимать у при различных значениях х, т. е.
установить, для каких значений у существуют та-
кие значения х, при которых sin х = у. Известно,
что уравнение sin х = а имеет корни, если |а|	1,
и не имеет корней, если |а| > 1.
Множеством значений функции у = sin х являет-
ся отрезок [-1; 1].
Множеством значений функции у - сов х также
является отрезок [-1; 1].
201
Функции у = sin х и у = cos х являются ограни-
ченными.
Задача 1 Найти область определения функции
!/ = ---у----•
sin X + COS X
► Найдём значения х, при которых выражение
---------- не имеет смысла, т. е. значения х,
sin х + cos х
при которых знаменатель равен нулю. Решая
уравнение sin х + cos х = 0, находим tg х = -1,
х = — ^ + яп, п g Z. Следовательно, областью опре-
деления данной функции являются все значения
х * -- + яп, п g Z. <1
4
Задача 2 Найти множество значений функции
у = 3 + sin х cos х.
► Нужно выяснить, какие значения может при-
нимать у при различных значениях х, т. е.
установить, для каких значений а уравнение
3 + sin х cos х = а имеет корни. Применяя фор-
мулу синуса двойного угла, запишем уравнение
так: 3 + - sin 2х = а, откуда sin 2х = 2а - 6. Это
2
уравнение имеет корни, если \2а - 6| С 1, т. е.
-1 С 2а - 6 1, откуда 5 С 2а С 7, 2,5 С а 3,5.
Следовательно, множеством значений данной
функции является отрезок [2,5; 3,5]. <]
Функция у = tg х определяется формулой
sin х _
у-------. Эта функция определена при тех значе-
cos х
ниях х, для которых cos х * 0.
Известно, что cos х = 0 при х = ~ + яп, п е Z.
Областью определения функции у = tg х является
множество чисел х * — + яп, п е Z.
2
Множеством значений функции у = tg х является
множество R всех действительных чисел, так как
уравнение tg х = а имеет корни при любом дейст-
вительном значении а.
Функции у = sin х, у = cos х, у = tg х называются
тригонометрическими функциями.
202
Задача 3 Найти область определения функции
у = sin Зх + tg 2х,
► Нужно выяснить, при каких значениях х выра-
жение sin Зх + tg 2х имеет смысл. Выражение
sin Зх имеет смысл при любом значении х, а вы-
ражение tg 2х — при 2х * + Tin, n 6 Z, т. е. при
х * - + —, и g Z. Следовательно, областью опреде-
4	2
ления данной функции является множество дейст-
вительных чисел х*- + —, neZ.
4	2
Задача 4* Найти множество значений функции
у = 3 sin х 4- 4 cos х.
► Выясним, при каких значениях а уравнение
3 sin х 4- 4 cos х = а имеет корни. Поделим урав-
нение на 4- 42 = 5:
- sin х + - cos х = -.
5	5	5
Q
Так как 0 < — < 1, то можно найти такой угол а
5
первой четверти, 0 < а < —, что cos а = — (этот угол
2	5
а = arccos — |. Тогда sin2 а = 1 - сов2 а = 1 - — = —,
5 7	25 25
откуда sina = p так как 0<а<-. Уравнение
примет вид sin х cos a 4- cos х sin a = т. e.
5
sin (x + a) = —. Это уравнение имеет корни, если
5
т. е. -5<а«5.
б
Ответ -5 С у С 5. <
Упражнения
691 Найти область определения функции:
1)	у = sin 2х;	2) z/ = cos~;
2
2	г~
4) z/ = sin-; 5) z/ = sinvx;
х
692 Найти множество значений функции:
1) у = 1 4- sin х; 2) у = 1 - cos х;
3) z/= cos —;
х
6) у = cos J х- -1.
V х + 1
203
	3) у = 2 sin х + 3;	4) у = 1 - 4 cos 2х; 5) у = sin 2х cos 2х + 2;	6) у = - sin х cos х - 1. 2 Найти область определения функции (693—695).
693	1)у = —;	2) у=—;	3)j/=tgi;	4) у = tg 5х. COS X	81П X	3
694	1) j/ = Vsinx + l;	2) у = ^/cos х-1;	3) у = 1g sin х; 4) у = ^2 cos х — 1;	5) y = ^l-2sinx;	6) у = In cos х.
695	в у = 9 .21 . ;	2> у = 2 2 .2 ; 3) у--	-	;	4) у =	-	. sinx-sin3x	cos3 х + cos х
696	Найти множество значений функции: 1) у = 2 sin2 х - cos 2х;	2) у = 1 - 8 cos2 х sin2 х; 3) у = —8 cos *;	4) у = ю - 9 sin2 Зх; 4 5) у = 1 - 2 | cos х |;	6) у = sin х + sin х + - |. \	3 /
697	Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 cos 2х - 4 sin 2х.
698 699	Найти множество значений функции у = sin х - 5 cos х. Найти множество значений функции у = 10 cos2 х - 6 sin х cos х + 2 sin2 х.
Чётность, нечётность, периодичность
? тригонометрических функций

Каждая из функций у = sin х и у = cos х опреде-
лена на множестве Я, и для любого значения х
верны равенства sin (-х) = -sin х, cos (-х) = cos х.
Следовательно, у = sin х — нечётная функция,
а у = cos х — чётная функция. Так как для лю-
бого значения х из области определения функ-
ции у = tg х верно равенство tg (-х) = - tg х, то
у = tg х — нечётная функция.
204
Задача 1 Выяснить, является ли функция
у = 2 + sin х cos I — + х j чётной или нечётной.
►	Функция определена на множестве R. По фор-
муле приведения она примет вид у = 2 + sin2 х.
Так как sin (-х) = -sin х, то (sin (-х))2 = sin2 х,
т. е. 2 + sin2 (—х) = 2 + sin2 х и у (-х) = у (х), т. е.
данная функция является чётной. <3
Известно, что для любого значения х верны ра-
венства sin (х + 2л) = sin х, cos (х + 2л) = cos х.
Из этих равенств следует, что значения синуса
и косинуса периодически повторяются при измене-
нии аргумента на 2л. Такие функции называются
периодическими с периодом 2л.
Функция f (х) называется периодической, если су-
ществует такое число Т * 0, что для любого х из
области определения этой функции выполняется
равенство f (х - Т) = f (х) = f (х + Г).
Число Т называется периодом функции f (х).
Из этого определения следует, что если х принад-
лежит области определения функции f (х), то чис-
ла х + Г, х - Т и вообще числа х + Tn, п е Z, также
принадлежат области определения этой периодиче-
ской функции и f (х + Тп) = f (х), n g Z.
Задача 2 Доказать, что число 2л является наименьшим по-
ложительным периодом функции у = cos х.
►	Пусть Т > 0 — период косинуса, т. е. для любого х
выполняется равенство cos (х + Т) = cos х. Поло-
жив х = 0, получим cos Т = 1. Отсюда Т = 2itk,
k € Z. Так как Т > 0, то Т может принимать зна-
чения 2л, 4л, 6л, ..., и поэтому период не может
быть меньше 2л.
Аналогично можно доказать, что наименьший
положительный период функции у - sin х также
равен 2л.
Задача 3 Доказать, что f (х) = sin Зх — периодическая функ-
ция с периодом —.
3
►	Если функция f (х) определена на всей числовой
оси, то, для того чтобы убедиться в том,
ляется периодической с периодом Т,
показать, что для любого х верно
что она не-
достаточно
равенство
205
Задача 4
Задача 5
f (х 4- Г) = /(х) = f (х - Т). Данная функция опреде-
лена для всех х е Я, и
4х+¥)
= sin 3
= sin (Зх + 2л) = sin Зх = f (х).
f [ Х- —Ksin(3x-2n) = /(x). <.
k 3 )
Аналогично,
Доказать, что функция у = tg х является периоди-
ческой с наименьшим положительным периодом л.
Если х принадлежит области определения этой
функции, т. е. х * - - + ли, и е Z, то по формулам
2
приведения получаем
tg (х - л) = -tg (л - х) = -(-tg х) = tg х,
tg (х + л) = tg х.
Таким образом, tg (х - л) = tg х = tg (х + л). Сле-
довательно, л — период функции у = tg х.
Пусть Т — период тангенса, тогда tg (х + Т) = tg х,
откуда при х = 0 получаем tg Т = О, Т = /гл, k е Z.
Так как наименьшее целое положительное k рав-
но 1, то л — наименьший положительный период
функции у = tg х.
Доказать, что у = tg х- — периодическая функция
с периодом Зл.
Так как tg х* 3* = tg | - + л | = tg tg х~3* =
= tg Iх - л I = tg х, то у = tg - — периодическая
\ 3	/	3	3
функция с периодом Зл.
Периодическими функциями описываются многие
физические процессы (колебания маятника, вра-
щение планет, переменный ток и т. д.).
206
На рисунке 84 изображены графики некоторых пе-
риодических функций. Отметим, что на всех после-
довательных отрезках числовой прямой, длина
которых равна периоду, график периодической
функции имеет один и тот же вид.
Упражнения
700
701
702
Выяснить, является ли данная функция чётной или нечёт-
ной (700—701).
1) у - cos Зх;	2) у = 2 sin 4х;	3) у = tg2 х;
4) г/= х cos —;	5) у = х sin х;	6) у = 2 sin2 х.
2
1) у = sin х + х; 2) у = сов (х-^-х2;
3)	у = 3 - cos | + х | sin (л - х);
4)	у = | cos 2х sin | | п - 2х | + 3;
sin х	о 1 + cos x
5)	у =----+ sin x cos x; 6) у = x4 +---------.
x	2
Доказать, что функция у = f (x) является периодической
с периодом 2л, если:
1) i/ = cosx-l;	2) // = sinx+l;	3) у = 3 sin х;
4) у =—-—;	5) i/ = 8in^x-~J;	6) у = cos ^х + ^-1.
703
Доказать, что функция г/ = /(х) является периодической
с периодом Т, если:
1) у = sin 2х, Т = л;	2) z/ = cos^, Т = 4л;
3) y = tg 2х, Т = £;	4) i/ = sin—, Т = - п.
2	5	2
704
Определить, является ли данная функция чётной или не-
чётной:
1)	1 - COS X у =	; 1 + COS X	2)	^81П2 X 1 + cos 2 х ’
3)	cos 2х- х2 у-	; 81ПХ	4)	х3 + sin 2х у 		; COS X
5)	у = Зсовх;	6)	у = х | sin х| sin3
207
705
706
707
Найти наименьший положительный период функции
(705—706).
1) f/ = cos|x; 2) y = sin^x; 3)	4) y = |sinx|.
о	2	2
1)	у = sin х ч- cos x; 2) у = sin x + tg x.
Пусть функция f (x) определена на всей числовой прямой.
Доказать, что:
1)	f (х) + f (-х) — чётная функция;
2)	f (х) - f (-х) — нечётная функция.
Свойства функции y=cosx и её график
Напомним, что функция у = cos х определена на
всей числовой прямой и множеством её значений
является отрезок [-1; 1]. Следовательно, функция
ограничена и график этой функции расположен
в полосе между прямыми у =-1 и у - 1.
Так как функция у = cos х периодическая с перио-
дом 2л, то достаточно построить её график на
каком-нибудь промежутке длиной 2л, например
на отрезке [-л; л]; тогда на промежутках, полу-
чаемых сдвигами выбранного отрезка на 2лп,
п е Z, график будет таким же.
Функция у = cos х является чётной. Поэтому её
график симметричен относительно оси Оу. Цля
построения графика на отрезке [-л; л] достаточно
построить его для х е [0; л], а затем симметрично
отразить его относительно оси Оу.
Прежде чем перейти к построению графика, пока-
жем, что функция у = cos х убывает на отрезке
[0; я].
< В самом деле, при повороте точки Р (1; 0) вокруг
начала координат против часовой стрелки па
угол от 0 до л абсцисса точки, т. е. cos х, умень-
шается от 1 до -1. Поэтому если 0 хг < х2 л, то
cos х, > cos х2 (рис. 85). Это и означает, что функ-
ция у = cos х убывает на отрезке [0; л].
208
Рис, 85
Рис, 86
Рис. 87
Используя свойство убывания
функции у = cos х на отрезке
[0; л] и найдя несколько точек,
принадлежащих графику, постро-
им его на этом отрезке (рис. 86).
Пользуясь свойством чётности
функции у = cos х, отразим по-
строенный на отрезке [0; л] график симметрично
относительно оси Оу, получим график этой функ-
ции на отрезке [-л; л] (рис. 87).
Так как у = cos х — периодическая функция с пе-
риодом 2л и её график построен на отрезке [-л; л]
длиной, равной периоду, распространим его по
всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2л, 4л
и т. д. вправо, на -2л, -4л и т. д. влево, т. е. вооб-
ще на 2лп, и е Z (рис. 88).
Итак, график функции у = cos х построен геомет-
рически на всей числовой прямой, начиная с по-
строения его части на отрезке [0; л].
Поэтому свойства функции у = cos х можно полу-
чить, опираясь на свойства этой функции на от-
резке [0; л]. Например, функция у = cos х возра-
стает на отрезке [-л; 0], так как опа убывает на
отрезке [0; л] и является чётной.
209
Основные свойства функции у = cos х.
1)	Область определения — множество R всех дей-
ствительных чисел.
2)	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3)	Периодическая с периодом 2л.
4)	Чётная.
5)	Функция принимает:
—	значение, равное 0, при х = -^ + пп, п е Z;
—	наибольшее значение, равное 1, при х = 2пп,
п € Z;
—	наименьшее значение, равное -1, при х =
= п + 2пп, п е Z;
—	положительные значения на интервале “j
и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
тервала на 2пп, п = ±1, ±2, ...;
— отрицательные значения на интервале
л. Зл"I
2 * 2 J
и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
тервала на 2лп, п = ±1, ±2, ... .
6)	Возрастающая на отрезке [л; 2л] и на отрез-
ках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2ли,
п =±1, ±2, ... .
7)	Убывающая на отрезке [0; л] и на отрезках,
получаемых сдвигами этого отрезка на 2 ли,
п = ±1, ±2, ....
Задача 1 Найти все корни уравнения cos х = -~, принадле-
2
жащие отрезку [-л; 2л].
► Построим графики функций у = cos х и у = —1
на данном отрезке (рис. 89). Эти графики пересе-
210
каются в трёх точках, абсциссы которых хр х2, х8
являются корнями уравнения cos х = — ^.
На отрезке [0; л] корнем уравнения cosx = -i
является число xt = arccos
Ответ
. Из рисунка
видно, что точки х2 и х, симметричны относитель-
л *
но оси Оу. т. е. х2 = -х1 =-----, а х3 = х2 4-2л =
3
--	F 2 Л = 	.
3--------------3
„ _ 2л _ 2л „ _ 4л
х, = —, X.»  ---, х о = —. '
1	3	2	3	3	3
Задача 2
Найти все решения неравенства совх>-|, при-
надлежащие отрезку [-л; 2л].
Из рисунка 89 видно, что график функции
у = cos х лежит выше графика функции у = на
Ответ
промежутках	и I /у ’
<х<—, —<хС2л.<3
3	3	3
2л .
708
709
Упражнения
Пользуясь графиком функции у = cos х, выполнить упраж-
нения (708—713).
(Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих
отрезку [0; Зл], функция у = cos х
1) значение, равное 0, 1, -1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить,
у = cos х на отрезке:
1) [Зл; 4л];
принимает:
2)
4)
о ;
2 J
5)
возрастает
[-2л; -л];
[1; 3];
или убывает функция
3) 2л; —
L 2
6) [-2; -1].
710
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы
из них функция у = cos х возрастала, а на другом
л . Зя
_2* 2
1)
2)
я. я
2* 2.
3) 0; —
L 2
4)
на одном
убывала:
-л; - .
L 2 J
211
711	Используя свойство возрастания или убывания функции у =cos х, сравнить числа: 1) cos - и cos —;	2) cos — и cos 7	9	7	7 3) cos ( - — ) и cos f --1;	4) cos I - — 1 и cos ( - — k 7 )	\ SJ	\	7 J	k 7 J 5) cos 1 и cos 3;	6) cos 4 и cos 5.
712	Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зл]: 1) cosx = i; 2) cos х = —; 3) cosx = - —; 4) cosx = --. 2	2	2	2
713	Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; Зл]: 1) cos х > i;	2) cos х > - 2	2 v 3 3) cos x <	;	4) cos x < —. 2	2
714	Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа: 1) cos - и sin —;	2) sin - и cos —;	3) cos — и sin —; 5	5	7	7	8	8 4) sin —	и cos -;	5) cos -	и sin —;	6) cos -	и sin —. 5	5	6	14	8	10
715	Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку Зл . L 2’ 2 J* 1) cos2x = i; 2) cos3x = —. 2	2
716	Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку __ л. Зл . . 2’ 2 J’ 1) cos 2х < i; 2) cos Зх > —. 2	2
717 Построить график функции и выяснить её свойства:
1) у = 1 + cos х; 2) у = cos 2х;	3) у = 3 cos х.
718 Найти множество значений функции у = соз х, если х при-
надлежит промежутку:
719 Построить график функции:
1) у - |сов х|;	2) у = 3 - 2 cos (х - 1).
212
I Свойства функции у = sin х и её график
41
Функция у = sin х определена на всей числовой
прямой, является нечётной и периодической с пе-
риодом 2тг. Её график можно построить таким же
способом, как и график функции у = cos х, начи-
ная с построения, например, на отрезке [0; л].
Однако проще воспользоваться формулой
sin х = cos х-— .
k 2 J
Эта формула показывает, что график функции
у = sin х можно получить сдвигом графика функ-
ции у = соя х вдоль оси абсцисс вправо на - (рис. 90).
Рис. 90
График функции у = sin х изображен на рисунке 91.
Кривая, являющаяся графиком функции у = sin х,
называется синусоидой.
Так как график функции у = sin х получается
сдвигом графика функции у = cos х, то свойства
функции у = sin х можно получить из свойств
функции у = COS X.
213
Основные свойства функции у = sin х.
1)	Область определения — множество R всех дей-
ствительных чисел.
2)	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3)	Периодическая, Т = 2л.
4)	Нечётная.
5)	Функция принимает:
—	значение, равное 0, при х = ял, п е Z;
—	наибольшее значение, равное 1, при
х = - + 2лп, п е Z;
2
—	наименьшее значение, равное-1, при
х = - — + 2ял, п е Z;
2
—	положительные значения на интервале (0; л)
и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
тервала на 2лл, л = ±1, ±2, ...;
—	отрицательные значения на интервале (л; 2л)
и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
тервала на 2лл, п = ±1, ±2, ... .
6)	Возрастающая на отрезке
л
2
и на отрез-
ках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2лп,
п = ±1, ±2, ... .
7)	Убывающая на отрезке
Зл
2
и на отрезках,
получаемых сдвигами этого отрезка на 2 ли,
п = ±1, ±2..
Задача 1 Найти все корни уравнения 81ПХ=-» принадле-
2
жащие отрезку [-я; 2л].
► Построим графики функций у = sin х и у = i на
2
данном отрезке (рис. 92). Эти графики пересекают-
ся в двух точках, абсциссы которых являются кор-
Рис. 92
214
Ответ
Задача 2
Ответ
720
721
722
723
я. я
2* 2.
уравнение имеет корень Xj = arcsin	Второй
нями уравнения sinx=i. На отрезке
корень х2 = л - £ =	, так как sin
<]
6
sin —.
6
п
б’
Найти все решения неравенства sin х <-, принад-
2
лежащие отрезку [-л; 2л].
Из рисунка 92 видно, что график функции
у = sin х лежит ниже графика функции у = - на
2
промежутках
л; - и —
6 ) I 6
-л<х<-, — <х<2л.<]
6 б
л
Упражнения
Пользуясь графиком функции у = sin х, выполнить упраж-
нения (720—725).
(Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих
отрезку [0; Зл], функция у = sin х
1) значение, равное 0, 1,-1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить, возрастает
у = sin х на промежутке:
1)
принимает:
или убывает функция
4)
Зя. 5я .
2 ’ 2 J’
Зя, л
2 ’ 2J
2)
5) Г2; 4];
6) (6; 7).
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном
из них функция у = sin х возрастала, а на другом убывала:
1) 10; л]; 2)
2л ; 3) [-л; 0]; 4) [-2л; -л].
Используя свойство возрастания или убывания функции
у = sin х, сравнить числа:
1) sin — и sin
10	10
2) sin — и sin —;
7	7
3) sin
4) sin 7 и sin 6.
215
724
725
726
727
728
729
730
731
732
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зл]:
1) sinx = —;	2) sinx = —;
2	2
3) sinx = - —;	4) sinx = -—.
2	2
Найти все решения неравенства, принадлежащие отрез-
ку [0; Зл]:
1) sin х >2) sinxC—; 3) sinx>-i; 4) sinx<-—.
2	2	2	2
Выразив косинус через синус по формулам приведения,
сравнить числа:
1) sin - и cos	2) sin — и cos —;
9	9	8	8
3) sin - и cos —;	4) sin — и cos —.
5	14	8	10
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку
; л1:
L 2 J
1) sin2x = -i;	2) sin Зх = —.
2	2
Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку
Г-**;л1:
L 2 J
1) sin2x^-i; 2) sin Зх < —.
2	2
Построить график функции и выяснить её свойства:
1) у = 1 - sin х; 2) у = 2 + sin х;
3) у = sin Зх;	4) у = 2 sin х.
Найти множество значений функции у = sin х, если х при-
надлежит промежутку:
1) я ;	2)
L6 J
Зл . 5я
4 ’ 4
Построить график функции:
1) z/ = sin|x|; 2) j/ = |sinx|.
Сила переменного электрического тока является функцией,
зависящей от времени, и выражается формулой
I = A sin (cot + ф),
где А — амплитуда колебания, со — частота, ф — начальная
фаза. Построить график этой функции, если:
1) А= 2,	1, <р = £;	2) А = 1. со = 2, Ч> = |-
216
Свойства функции у = tg х и её график
Функция у = tg х определена при х # | -f- пп, п е Z,
является нечётной и периодической с периодом я.
Поэтому достаточно построить её график на про-
межутке 0; — . Затем, отразив его симметрично
	2 7
относительно начала координат, получить график
. Наконец, используя пе-
л, к
2’ 2
риодичность, построить график функции у = tg X
па всей области определения.
Прежде чем строить график функции на проме-
, покажем, что на этом промежутке
на интервале
жутке 0;
функция у = tg х возрастает.
• * Пусть 0 х1 < х2 < ^. Покажем, что tg х, < tg х2,
sinx. sinxo
т. е. --------- <----— .
cos х, cos х2
По условию 0 Xj < х2 < —, откуда по свойствам
2
функции у = sin х имеем 0 sin х2 < sin х2, а по
свойствам функции у = cos х также имеем
cos х. > cos х2 > 0, откуда 0 < —-— < —-—.
СОВ Xj сов х2
sin хх < sin х2 и
sinx2
cos х2
Перемножив неравенства
1	1	sin xi
-----< —=—, получим 	-
COS Xj COS х2	cos Xj
Зная, что функция у = tg х возрастает
жутке о
О
на проме-
найдём несколько точек,
нринадле-
жащих графику, и построим его на этом промежут-
ке (рис. 93).
Исходя из свойства нечётности функции у = tg х,
отразим построенный на промежутке 0; — I гра-
фик симметрично относительно начала координат,
217
получим
I• — 1
I 2* 2)
график этой функции на интервале
(рис. 94).
Напомним, что при х = ±- функция у = tg х не
2
определена. Если х < — и х приближается к —, то
2	2
sin х приближается к 1, a cos х, оставаясь поло-
жительным, стремится к нулю. При этом дробь
8—- = tg х неограниченно возрастает, и поэтому
cos х
график функции у = tg х приближается к верти-
кальной прямой х = ~- Аналогично при отрица-
тельных значениях х, больших и приближаю-
щихся к график функции у = tg х прибли-
2
жается к вертикальной прямой х = ~2’ Т* е’
прямые х = - и х = - — являются вертикальными
2	2
асимптотами графика функции.
Перейдём к построению графика функции у = tg х
на всей области определения. Функция у = tg х пе-
риодическая с периодом л. Следовательно, график
этой функции получается из её графика на интер-
вале (“J “ ] (рис. 94) сдвигами вдоль оси абсцисс
на пп, п е Z (рис. 95).
218
Рис. 95
Итак, весь график функции у = tg х строится с по-
мощью геометрических преобразований его части,
построенной на промежутке 0; — .
.	2 7
Свойства функции у — tg х можно получить, опи-
раясь на свойства этой функции на промежутке
0; - . Например, функция у = tg х возрастает на
.	2 7
интервале “ ]• так как эта функция возраста-
ет на промежутке 0; — и является нечётной.
Основные свойства функции у = tg х.
1)	Область определения — множество всех дейст-
вительных чисел х * — + яп, п е Z.
2
2)	Множество значений — множество R всех дей-
ствительных чисел.
3)	Периодическая с периодом я.
4)	Нечётная.
5)	Функция принимает:
—	значение, равное 0, при х = nnt п е Z;
—	положительные значения на интервалах
(ял; — + ял , л g Z;
2 J
— отрицательные значения на интервалах
- — + ял; ял , п € Z.
V 2	)
6) Возрастающая на интервалах ^-^ + яп; ^ + ял^,
п е Z.
219
Задача 1
Ответ
Задача 2
Ответ
Задача 3
Ответ
Найти все корни уравнения tg х = 2, принадлежа-
щие отрезку
Зя
-л; — .
2 „
Построим графики функций z/ = tgxni/ = 2Ha дан-
ном отрезке (рис. 96, а). Эти графики пересека-
ются в трёх точках, абсциссы которых хр х2, х3
являются корнями уравнения tg х = 2. На интер-
уравнение имеет корень Xj = arctg 2.
вале
к. к
2* 2
Так как функция у = tg х периодическая с перио-
дом л, то х2 = arctg 2 + л, х8 = arctg 2 - л.
Xj = arctg 2, х2 = arctg 2 + л, х3 = arctg 2 - л. <1
Найти все решения неравенства tg х 2, принадле-
жащие отрезку
л; — .
2 J
Из рисунка 96, а видно, что график функции
у = tg х лежит не выше прямой у = 2 на промежут-
ках [-л; х3‘
и
х2 .
2 J
-л < х < -я + arctg 2,	< х < arctg 2;
< х < я + arctg 2. '
Решить неравенство tg х > 1.
Построим графики функций у = tg х и у = 1
(рис. 96, #)• Рисунок показывает, что график
функции у - tg х лежит выше прямой у = 1 на про-
межутке	а также на промежутках, полу-
ченных сдвигами его на л, 2л, Зл, -л, -2л и т. д.
- + лп<х<- + лп, п е Z. <3
4	2
Тригонометрические функции широко применя-
ются в математике, физике и технике. Напри-
мер, многие процессы, такие как колебания стру-
ны, маятника, напряжение в цепи переменного
тока и т. д., описываются функцией, которая за-
даётся формулой у = A sin (сох + (р). Такие про-
цессы называют гармоническими колебаниями,
а описывающие их функции — гармониками (от
греч. harmonikos — соразмерный). График функ-
ции у - A sin (сох + ф) получается из синусои-
ды у - sin х сжатием или растяжением её вдоль
координатных осей и сдвигом вдоль оси Ох.
220
Обычно гармоническое колебание является функ-
цией времени: у = A sin (со£ + ф), где А — ампли-
туда колебания, со — частота, ф — начальная фаза,
— — период колебания,
со
Упражнения
733
734
(Устно.) Выяснить, при каких значениях х из промежутка
[-к; 2л] функция у = tg х принимает:
1) значение, равное 0;	2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить, является ли функция у = tg х возрастаю-
щей на промежутке:
1)
735
л . л
-4’ 3.
С помощью свойства возрастания функции у = tg х срав-
нить числа:
1)	tg£ и tgi; 2) tg и tg 3) tg (и tgf-^1;
□	।	о	У	\ о /	\ У /
- |; 5) tg 2 и tg 3; 6) tg 1 и tg 1,5.
7 /
4) tg
х
5
я
2
4) [2; 3].
И tg
221
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
(-л; 2л):
1) tgx=l; 2) tg х = УЗ; 3) tgx = -V3;	4) tgx = -l.
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-
ку (-л, 2л):
1) tg х > 1;	2) tg х < —;	3) tgx<-l; 4) tgx>-V3.
3
Решить неравенство:
1) tg х < 1;	2) tg х > 73;	3) tgx<- —;	4) tgx>-l.
3
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зл]:
1) tg х = 3;	2) tg х = -2.
Решить неравенство:
1) tg х > 4;	2) tg х 5;	3) tgx<-4;	4) tg х -5.
Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку
[0; Зл]:
1) tg х 3;	2) tg х < 4;	3) tgxC-4; 4) tg х >-3.
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
1) tg2x = V3;	2) tg Зх = -1.
Найти все решения неравенства, принадлежащие проме-
жутку я j:
1) tg 2х 1;	2) tg3x<-V3.
Построить график функции и выяснить её свойства:
l)p = tg[x + i|;	2) y=tgi.
\	4 /	Z
Найти множество значений функции у = tg х, если х при-
надлежит промежутку:
П _ *.. 5 ;	2) ( —;
L 4 3 J I 4
Зл V
2 )'
3) (0; л);
4)[г
Зл
4
Построить график функции (746—748).
l)«/ = tg|x|; 2) y = |tgx|; 3) у = ctg х;
4)
ctg х
1) у = tg х ctg х;
1) g=tg(3x--jQ;
\	4 /
2) у = sin х ctg х.
2) у = ctg [ 3 I х + £
\ \	6
Решить неравенство:
1)	tg1 2 х < 1;	2) tg2 х > 3;	3) ctg х > -1;
4) ctg х > V3.
222
| : Обратные тригонометрические функции
1. Функция у - arcsin х.
По определению арксинуса числа для каждого
х е [-1; 1] определено одно число у = arcsin х.
Тем самым на отрезке [-1; 1] задана функция
у = arcsin х, -1 < х < 1.
Покажем, что функция у = arcsin х является об-
ратной к функции у = sin х, рассматриваемой на
отрезке
л. л
2’ 2
Рассмотрим уравнение sin х = «/, где у заданное
число из
На отрезке
отрезка [-1; 1], а х — неизвестное.
л. Л.
2* 2
это уравнение по определе-
нию арксинуса числа имеет единственный корень
х = arcsin у.
В этой формуле меняем местами х и у, получаем
у = arcsin х.
Таким образом, свойства функции у = arcsin х
можно получить из свойств функции у = sin х.
График функции у - arcsin х симметричен гра-
фику функции у = sin х,	относительно
прямой у = х (рис. 97, 98).
txi I Й
223
л. л
2* 2
Основные свойства функции у = arcsin х.
1) Область определения — отрезок [-1; 1].
2)	Множество значений — отрезок
3)	Возрастающая.
4)	Нечётная, так как
arcsin (-х) = -arcsin х.
2.	Функция у = arccos х.
По определению арккосинуса числа для каждого
х е [-1; 1] определено одно число у = arccos х.
Тем самым па отрезке [-1; 1] определена функция
у = arccos х, -1 < х С 1.
Эта функция является обратной к функции
у = cos х, рассматриваемой на отрезке [0; л]. Гра-
фик функции у = arccos х симметричен графику
функции у = cos х, 0 х л, относительно прямой
у = х (рис. 99, 100).
Основные свойства функции у = arccos х.
1)	Область определения — отрезок (-1; 1].
2)	Множество значений — отрезок [0; л].
3)	Убывающая.
Рис. 100
224
Рис. JOI
3.	Функция у = arctg х.
По определению арктангенса числа для каждого
действительного х определено одно число
у = arctg х. Тем самым на всей числовой прямой
определена функция у = arctg х, х е R.
Эта функция является обратной к функции
у = tg х, рассматриваемой на интервале - —; - .
\ 2 2
График функции у = arctg х получается из графи-
ка функции у = tg х, -- < х < - (рис. 94), симмет-
2	2
рисй относительно прямой у = х (рис. 101).
( _ я. я j
2 * 2 /
Основные свойства функции у = arctg х.
1)	Область определения — множество R всех дей-
ствительных чисел.
2)	Множество значений — интервал
3)	Возрастающая.
4)	Нечётная, так как
arctg (-х) = -arctg х.
Функции у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х
называются обратными тригонометрическими
функциями.
Задача
1 Сравнить числа:
1) arcsin - и arcsin 2) arctg
3	4
► 1) Так как — > i и функция у = arcsin х возраста -
3	4
ет, то arcsin - > arcsin
3	4
2	1
2) Так как	и функция у = arctg х возрас-
3	Л
тает, то arctg
и arctg
1
2
< arctg
<1
225
Задача 2 Решить уравнение arccos (2х + 1) = —.
4
► Так как — е [0; л], то по определению арккосину-
4
са числа данное уравнение равносильно уравнению
2х + 1 = cos —, откуда 2х + 1 = - —, х=- 2
4	2	4
Задача 3 Найти область определения функции
и = arcsin L
3
► Так как функция у = arcsin х определена при
Т* — 1
-1 < х < 1, то функция у = arcsin —— определена
3
для тех значений х, для которых выполняются не-
г — 1
равенства -1 С 1. Отсюда
-3 <х - 1 < 3, -2 С х < 4. <1
Упражнения
Сравнить числа (750—752).
750 1) arcsin -= и arcsin V3	V10 751 1) arccos	и arccos >/3	V5 752 1) arctg2V3 Harctg3>/2; Решить уравнение (753—755) 753 1) arcsin (2 - Зх) = |; 3) arcsin ? = - —; 4	4 754 1) arccos(2x + 3) = |; 3) arccos	; 3	3 755 1) arctg	= 3) arctg (2х + 1) =- — ;	2) arcsin — и arcsin — . k 3J	\ 4) 2) arccos -- 1 и arccos	. 1 5/	I 37 2) arctg —и arctg	. 1 V2 J	1 V5 ) 2) arcsin(3-2x) = ^; 4) arcsin 3 =	. 2	3 2) arccos (3x + 1) = -p 2x — 1 4) arccos	= л. 3 2) arctg	= J; 3	4 4) arctg (2-3x) =- —.
226
756 Найти область определения функции:
1) у = arcsin	2) у = arccos (2 - Зх);
г-	2х2-5
3) у — arccos(2Vx -3);	4) у = arcsin----.
3
757 Доказать, что график функции у = arccos х симметричен от-
носительно точки 0; — .
\	2)
758 Найти область определения функции:
1) у = sin х + cos х;
3) у = х;
5) у =------—-----;
2 sin х -1
2) у = sin х + tg х;
4) у = 7C0S
cos х
6)	—о-----------
2 sin4 х - sin х
759
760
761
762
763
764
Найти множество значений функции:
1) У = 1 - 2 sin2 х;	2) у = 2 cos2 х - 1;
3) у = 3 - 2 sin2 х;	4) у = 2 cos2 х + 5;
5) у = cos Зх sin х - sin Зх cos х + 4;
6) у = cos 2х cos х + sin 2х sin х - 3.
Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной:
1) у = х2 + cos х;	2) у = х3 - sin х;
3) у = (1 - х2) cos х;	4) у = (1 + sin х) sin х.
Найти наименьший положительный период функции:
1) у = cos 7х;	2) y=sin—.
7
Найти корпи уравнения, принадлежащие промежутку [0; Зл]:
1) 2 cos х + 7з = 0;	2) < 3 - sin х = sin х;
3) 3 tg х = V3;	4) cos х + 1 = 0.
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-
ку [-2л; -л]:
1)1 + 2 cos х > 0;	2) 1 - 2 sin х < 0;
3) 2 + tg х > 0;	4) 1 - 2 tg х С 0.
Используя графики, найти число корней уравнения:
1) cos х = х2;	2) sin х = -.
2
227
Проверь себя!
1
2
3
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
Найти область определения функции у = tg 4х. Является
ли эта функция чётной?
Построить графики функций у = sin х, у = cos х на отрез-
ке [-л; 2л]. Для каждой из этих функций найти значе-
ния х из данного отрезка, при которых у (х) = 1, у (х) = -1,
У (х) = 0, у (х) > 0, у (х) < 0.
Построить схематически график функции у = tg х на от-
резке
Зя. к
2 ’ 2.
. Найти значения х, при которых tg х = 0,
tg х < 0, tg х > 0 на данном отрезке.
Найти область определения функции:
1) у = tg ^2х + *1;	2) y = Jtg х.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) у = cos4 х - sin4 х; 2) у = sin х + - sin х - —
\	4 /	\	4 )
3) у = 1 - 2 | sin Зх|; 4) у = sin2 х - 2 cos2 х.
Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:
1) у - sin х 4- tg х; 2) у = sin х tg х; 3) у = sin х |cos х|.
Найти наименьший положительный период функции:
1) у = 2 sin (2х 4- 1);	2) у = 3 tg - (х + 1).
4
Решить графически уравнение:
1) cosx = |x|;	2) sin х = -|х + 1|.
Найти нули функции:
l)i/ = cos2 х - cos х; 2) у = cos х - cos 2х - sin Зх.
Найти все значения х, при которых функция у = 1,5 -
- 2 sin2 принимает положительные значения.
Найти все значения х, при которых функция у = tg 2х - 1
принимает отрицательные значения.
Построить график функции:
1) у = 2 sin ( * + *1 - 2;
\ Л О /
2)
у = cos х - vcos2 X.
Найти множество значений функции:
1) у = 12 sin х - 5 cos х; 2) у = cos2 х - sin х.
Решить неравенство:
1) sin х > cos х; 2) tg х > sin х.
228
VIII
- глава
' Производная
i и её геометрический смысл
У каждого человека есть определённый
кругозор. Когда этот кругозор сужается
до бесконечности малого, то он обращает-
ся в точку. Тогда человек и говорит, что
это есть его точка зрения.
Д. Гильберт
Задача 1 На станции метро расстояние от тормозной отмет-
ки до остановки первого вагона равно 80 м. С ка-
кой скоростью поезд должен подойти к тормозной
отметке, если дальше он двигается равнозамедлен-
но с ускорением 1,6 м/с2?
► Для решения задачи нужно найти скорость дви-
жения поезда в момент прохождения тормозной
отметки, т. е. мгновенную скорость в этот момент
времени. Тормозной путь вычисляется по форму-
ле s = где а — ускорение, t — время тормо-
жения. В данном случае s = 80, а = 1,6, поэтому
80 = 0,8/2, откуда t = 10 с. По формуле и - at
находим мгновенную скорость v = 1,6 • 10 = 16,
т. е. и = 16 м/с. <1
От мгновенной скорости зависит решение многих
практических задач.
Например, от скорости вхождения в воду спорт-
смена, прыгающего с вышки, зависит глубина его
погружения.
При нахождении мгновенной скорости использует-
ся средняя скорость движения за малый промежу-
ток времени.
229
Рассмотрим, как связаны между собой средняя и
мгновенная скорости движения.
Пусть материальная точка М движется вдоль
оси Оз, где О — положение материальной точки
в момент времени t = 0. Если в момент времени t
координата материальной точки равна з, где
s = з (О, то функцию з (t) называют законом дви-
жения точки М.
При неравномерном движении материальная точка
за равные по длительности промежутки времени
может совершать перемещения, разные не только
по величине, но и по направлению. Средняя ско-
рость движения материальной точки за промежу-
ток времени от t до t + h определяется формулой
з (t + Л) - в (О
Уср" h ’
Если рассматриваемое движение пе является равно-
мерным, то иср при фиксированном t будет меняться
при изменении Л, и чем меньше Л, тем лучше оср бу-
дет характеризовать движение точки в момент t.
Скоростью точки в момент t (мгновенной скоро
стью) называют предел, к которому стремится сред-
няя скорость, когда h —> 0, т. е. скорость и в мо-
v s(f + Л)-я(О
мент t определяется равенством v= lim--------.
л -* о Л
Таким образом, скорость движения в момент
t — предел отношения приращения координаты
As = s (t + Л) - а (О за промежуток времени от t
до t + Л к приращению времени Л, когда h -* 0,
если этот предел существует. Например, если ма-
gt2 /
териальная точка движется по закону s = -у- (за-
кон свободного падения), то
= e(t+ft)-»(t)._L((t+ А)2 _|2),
Л	2Л V	'
или
откуда Иш^ оср = gt, т. е. v = gt.
~	S (t + Л)- 8 (/)
Отношение ------------- называют разностным
отношением, а его предел при h 0 называют
производной функции я (О и обозначают s' (0 (чи-
тается: «Эс штрих от тэ»).
230
Вообще, пусть функция f (х) определена па неко-
тором промежутке, х — точка этого промежутка
и число Л # О такое, что х + Л также принадле-
жит данному промежутку. Тогда предел разпост-
/(х+Л)-/(х)	.	_ .
ного отношения---------------при п -* О (если
А
этот предел существует) называется производной
функции f (х) в точке х и обозначается f'(x)
(читается: «Эф штрих от икс»). Таким образом,
Г'(х)= lim	(i)
А - О	Л
Отметим, что в формуле (1) число Л, где h * 0, мо-
жет быть как положительным, так и отрицатель-
ным, при этом число х + h должно принадлежать
промежутку, на котором определена функция f (х).
Если функция f (х) имеет производную в точке х,
то эта функция называется дифференцируемой
в этой точке. Если функция ((х) имеет производ-
ную в каждой точке некоторого промежутка, то го-
ворят, что эта функция дифференцируема на этом
промежутке. Операция нахождения производной
назы вается дифференцированием.
Задача 2 Найти производную функции f (х) = х2.
►	Составим разностное отношение:
Г(х+Л)-/(х)	(х+Л)2-х2 2хй + Л2 „ . .
------------- =-----------=--------= Z X + п.
h	h	h
Если А 0, то 2х + А -► 2х, поэтому
lim	_ Ит (2х+Л) = 2х.
h — о h	л - о
Следовательно, (х2)' = 2х. <3
Задача 3 Найти производную функции f (х) = Xя.
►	Найдём сначала разность f (х + Л) - f (х) =
= (х + Л)3 - х3 = х3 + Зх2Л + ЗхЛ2 + А3 - х3 =
= Л (Зх2 + ЗхЛ + Л2).
Составим теперь разностное отношение:
_Зх2 +3хЛ ,
A	h
Если Л -* 0, то Л2 -» 0 и Зх/i -* 0, поэтому
Зх2 + ЗхЛ + Л2 -* Зх2. Следовательно,
/(х+Л)-/(х) л ..	у л л
Ит 12-----1	= Зх2 , т. е. (х3)' = Зх2. <
л-о Л
231
Задача 4 Найти производную функции f (х) = С, где С — за-
данное число.
. f(x + h)-f (х) с-С А m
►		=---------------= 0. Так как разностное от-
Л	h
ношение равно нулю при любом h * 0, т. е. его
значение не меняется при h —♦ 0, то предел этого
отношения также равен нулю. Таким образом, про-
изводная постоянной равна нулю, т. е. (СУ = 0.
Задача 5 Найти производную линейной функции
f (х) = kx + b.
f (х + Л)-f (X) k (х + Л)+ b-(kx + b) kh .
Г ------------ — ----------------- = -- = R.
h	h	h
Так как разностное отношение равно k при любом
h * 0, то и предел этого отношения при h -*• 0 так-
же равен k, Следовательно, (kx + by = k. <
Применяя формулу
(fex + b)' = fe,
например, получаем
(3х + 7)' = 3, (-2х + 1)' = -2, (5х)'=5, (х)'=1.
Изучение теории пределов не входит в программу
средней школы. По этой причине в школьном кур-
се математики некоторые формулы производных
строго не доказываются или вообще принимаются
без доказательства.
При нахождении производных простейших функ-
ций мы пользуемся наглядными представлениями.
Например, мы считаем наглядно понятным, что
если h -* 0, то 5Л -> 0, Л2 -* 0, 5 - 3/г —* 5 и т. п.
Тем не менее приведём здесь строгое определение
предела функции в точке и поясним его.
Определение. Число А называется пределом
функции f (х) в точке х0 и обозначается
lim f (х) = А, если для любого числа е > 0 суще-
X- ХО
ствует такое число 5 > 0, что для всех х, удовле-
творяющих условию |х - х0| < 8, где х * х0, выпол-
няется неравенство | / (х) - А| < Е.
Поясним это определение предела функции. Число
А является пределом функции f (х) в точке х0, если
значения f (х) при х, достаточно близких к х0, ста-
новятся как угодно близкими к числу А, т. е. зна-
чения |/(х)-А| становятся как угодно малыми.
232
Это означает, что можно взять сколь угодно малое
положительное число е и убедиться в том, что для
всех х, отличающихся от х0 меньше чем на неко-
торое число 8, модуль разности между f (х) и чис-
лом А будет меньше взятого числа е.
Например, если f (х) = (х - 2)2 + 3, то lim f (х) = 3.
Действительно, (х) - 3| = |х - 2|2. Пусть за-
дано е > 0, тогда неравенство |/(х)-3|<е, т. е.
неравенство |х - 2|2 < е, равносильно неравенст-
ву |х - 2| < 4г. Поэтому для всех х, таких, что
|х-2|<8, где б = 4г, справедливо неравенство
| / (х) — 31 < е. Например, если е = 0,01, то 5 = 0,1,
а если £ = 0,0001, то 5 = 0,01.
Производная функции является одним из особых
пределов, имеющих большое практическое значе-
ние.
Понятие предела функции тесно связано с поняти-
ем непрерывности.
Если график функции на некотором промежутке
представляет собой непрерывную линию, т. е. ли-
нию, которую можно провести, не отрывая каран-
даша от листа бумаги, то эту функцию называ-
ют непрерывной на этом промежутке (рис. 102).
Приведём примеры функций, которые не являются
непрерывными. На рисунке 103 изображён гра-
фик функции, которая непрерывна на промежут-
ках [а; с] и (с; Ь], но разрывна в точке х = с и пото-
му не является непрерывной на всем отрезке [а; 5].
Все элементарные (линейная, квадратичная, триго-
нометрические и др.) функции, которые изучаются
в школьном курсе математики, являются непре-
рывными на каждом промежутке, на котором они
определены.
233
* Сформулируем теперь строгое определение непре
рывности функции.
Определение. Функция f (х) называется не
прерывной в точке х0, если lim /(х) = /(х0).
X- х0
Если функция непрерывна в каждой точке некото-
рого интервала, то её называют непрерывной на
этом интервале. Например, функция f (х), график
которой изображён на рисунке 103, непрерывна на
интервале (а; с), но не является непрерывной на
интервале (а; Ь). Отметим, что если функция имеет
производную на некотором интервале, то она не-
прерывна на этом интервале.
Обратное утверждение неверно. Функция, непре-
рывная на промежутке, может не иметь производ-
ную в некоторых точках этого промежутка. Напри-
мер, функция i/ = |x| непрерывна при всех значе-
ниях х, но не имеет производной в точке х = 0.
Действительно,
f (х)-/(0) _ |х| _ fl, если х > 0,
х-0 х [-1, еслих<0,
и поэтому разностное отношение
/(x)-f (0)
---------- не имеет предела при
х
х —► 0.
Ещё пример: функция у = |log2 х|
непрерывна на промежутке (0; +оо),
но не имеет производной в точке
х = 1 (рис. 104). *
Задача 6* Выяснить, в каких точках непрерывна функция
/(х) =
----- при х * 3,
х-3
5 при х = 3.
► Если х * 3, то f (х) = х + 3, поэтому данная функ-
ция непрерывна во всех точках х 3, так как
lim (х + 3) = х0 + 3, если х0 * 3.
х— х0
Если х0 = 3, то х0 + 3 = 6, а по условию f (3) = 5,
т. е. lim f (х) * f (3), и поэтому данная функция
х— з
не является непрерывной в точке х = 3. <1
234
Упражнения
776 Точка движется по закону я (t) = 1 + 3t. Найти среднюю
скорость движения за промежуток времени:
1)	от t = 1 до t = 4;	2) от t = 0,8 до t = 1.
777 Найти среднюю скорость движения точки на отрезке
[1; 1,21, если закон её движения я = я (t) задан формулой:
1) e(t) = 2t;	2) e(t) = t2.
778 Найти мгновенную скорость движения точки, если:
1)	я (0 = 2t + 1;	2) я (0 = 2 - 3L
779 Закон движения задан формулой я (/) = 0,25/ + 2. Найти:
1)	среднюю скорость движения от t = 4 до / = 8;
2)	скорость движения в моменты t = 4 и t = 8.
780 Используя определение производной, найти [' (х), если:
1) f (х) - Зх + 2;	2) f (х) = 5х + 7;
3)	f (х) = Зх2 - бх;	4) f (х) = -Зх2 + 2.
781 С помощью формулы (kx + b)' = к найти производную функции:
1) f (х) = 4х;	2) f (х) = -7х + 5;	3) f (х) = -5х - 7.
782 Найти мгновенную скорость движения точки, если закон её
движения я (/) задан формулой:
1) e(t) = |t2;	2) S(t) = 5/2.
783 Определить скорость тела, движущегося по закону
я (/) = t2 + 2, в момент времени:
1) t = 5;	2) t = 10.
784 Закон движения точки задан графиком зависимости
пути я от времени t (рис. 105). Найти среднюю скорость дви-
жения точки па отрезках [0; 1], [1; 2], [2; 3].
785 Закон движения точки задан графиком зависимости
пути я от времени t (рис. 106). Найти среднюю скорость дви-
жения точки на отрезках [0; 2], [2; 3], [3; 3,5].
786 Используя определение предела функции в точке, выяснить,
является ли верным равенство:
1) lim (2х + 1) = 3;	2) lim х2 = 4.
х — 1	х —2
235
45
Производная степенной функции
...•..•...•...•...'..1...»••••
Задача 1 Доказать, что I — I = —±-.
\ х J х2
► Пусть f (х) = i, х # 0. Тогда
х
Нх + Л)-/(х) = -^—-1= Х~(Х+А) = -	*
х+Л х (х+Л)х (х+Л)х
/(Х4- А)-/(х)	1
Л	(х + h) х
Если h -► 0, то х 4- h -» х, и поэтому знаменатель
дроби стремится к х2. Следовательно, f'(х) =-—.
х2
При этом предполагалось, что если х > 0, то и
х + h > 0, а если х < О, то и х + Л < О. Таким обра-
зом, формула I — I = —справедлива при х * 0/
\х) х2
Задача 2 Доказать, что (Ух)' = -Д=.
2 Ух
► Пусть f(x) = Vx, х > 0, х 4-Л > 0. Составим раз-
ностное отношение:
f (х+ h)-f(x) _ Jx+ h-Jx
h	A
Умножим числитель и знаменатель на сумму
Ух + А 4- Ух. Получим
/ ( X 4- А) - f ( X) _ (Ух 4- Л - Ух) (Ух 4- А 4- Ух) _
Л	Л (У х + А + Ух)
(Х4- А)- х _________А________	1
А ( Ух4- Л 4- Ух ) Л ( Vx-h Л 4- V X ) Ух4- А 4- Ух
Если Л —> 0, то Ух4- А стремится к Ух, поэтому
знаменатель последней дроби стремится к 2Ух.
Следовательно, f'(x) = —±=.
2Ух
236
Таким образом, формула (Vx)' = —справедлива
2 ух
при х > 0. <]
Итак, в этом и предыдущем параграфах получены
следующие формулы для производных:
С' = 0, (х)'=1. (х2)' = 2х, (х3)' = Зх2,
-| =--V <**°>« (7х)'=Ц= (х>0).
х) х2	2vx
Четыре последние формулы являются формулами
производной степенной функции f (х) = хр для
р = 2, 3, -1, i. Их можно записать так:
2
(х2)' = 2х2 1 = 2х, (х3)' = Зх3 1 = Зх2,
(Х-1)' = (-1)Х“1-1 =--у, (х2)=|х2	=—7=.
X2	2	2Vx
Вообще, справедлива формула производной сте-
пенной функции для любого действительного по-
казателя:
(хрУ = рхр-1.
(1)
Эта формула применима при тех значениях х, при
которых её правая часть имеет смысл.
Например, (х5)' = 5х4,
(х^2 )*= 42 х^2 -1.
2
- х 3
3
Задача 3
Вычислить (9), если f (х) =
( -1Y _з	_?
► Г(х) = 1х 2) = - - х 2 , /' (9) = -- • 9 2=	. <
v 7	2	2	54
Пользуясь формулами (х^)' = рхр~* и (kx + b)' = k,
можно найти производные степенной и линей-
ной функций, например (х7)' = 7хв, (Зх 1)' = 3.
В более сложных случаях, например при нахож-
дении производной функции (Зх - I)7, можно вос-
пользоваться следующей формулой:
((Ах + Ь)РУ = pk (kx + b)p -	(2)
По формуле (2) при k = 3, b = -1, р = 7 имеем
((Зх- 1)7)' = 21 (Зх-1)6.
237
Задача 4 Вычислить f' (-3), если f (х) = V4- 7х.
1
► Запишем данную функцию так: f (х) = (-7х + 4)2 .
По формуле (2) находим Г (х) = --(-7х + 4) 2.
2
При х = -3 получаем f'(-3) = -^-25 2 =-0,7. <
1
зУ^
Задача 5*
Доказать, что (Vx) =
на промежутке:
1) х > 0; 2) х < 0.
1
1)	Если х > 0, то Vx = х3 и по формуле (1) полу-
чаем (Vx)'= i х 3 =
3	3У^
1
2)	Если х < 0, то Vx = -У(-х) = - (-х)3 и по
формуле (2) получаем
2
(V7)' = (-1) | (-D (-«)’’ =	— = -±=. <1
з	з\/(-х)2 зУх2
Упражнения
	Найти производную функции (787—792).
787	1) Xе;	2) х7;	3) х”;	4) х13.
788	1) х 2;	2) х-3;	3) х~*;	4) х'7. 1	2	_2
789	1) х2;	2) х3;	3) х’7;	4) х7®.
790	1)	2)	3)	4>	5) 17=;	6) х5	х9	Vx	Vx3
791	1) (4х - З)2;	2) (5х + 2)’3;	3) (1 - 2х)в; 4) (2 - 5х)4;	5) (2х)3;	6) (-5х)\
792 793	1) У2х + 7;	2) t/7-Зх;	3) УЗх;	4) УКх. Найти f' (х0), если:
	1) f(x) = x®, x0=i;	2) /(х) = х 2, х0 = 3;
	3) f(x) = yfx, х0 = 4;	4) /(х) = Ух, х() = 8;
	5) Нх) = л/5-4х, х0 = 1;	6) Г(х) = -=^=, х0 = 1. л/Зх + 1
238
794
795
796
797
798
799
Построить график функции у = х4
и график функции, являющейся её
производной.
На рисунке 107 изображён график
функции, являющейся производной
одной из } функций у = X2, У = X3
или у = х2 . Установить функцию.
Найти производную функции:
1) ---2) ----------------1—;
(2+Зх)2	(3-2х)3
3)	V(3x-2)2 ;	4) 7(3 -14х)2 ;
5) г, 1	?	6) = 1
V3x-7	7(1-2х)2
При каких значениях х производная функции f (х) равна 1,
если:
1) / (х) = х3;	2) /(x) = Vx7?
Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону
з(0 = V/ +1, в момент времени t = 3.
При каких значениях х выполняется равенство f' (х) = f (х),
если:
1) f (х) = (2х - I)2;	2) f (х) = (Зх + 2)3?
800 По данному на рисунке 108 графику квадратичной функ-
ции написать формулы, задающие саму функцию и её произ-
водную.
801 Найти значения х, при которых значения функции
у = Лх -7 равны значениям функции, являющейся её про-
изводной.
Рис. 108
239
В Правила дифференцирования
При вычислении производной используются следу-
ющие правила дифференцирования суммы, произ-
ведения и частного:
1.	Производная суммы равна сумме производных:
(f (х) + g (х))'= f'(х) + g'(х).	(1)
Подробно это свойство производной формулируется
так: если каждая из функций f (х) и g (х) имеет
производную, то их сумма также имеет производ-
ную и справедлива формула (1).
• Обозначим f (х) + g (х) = F (х). Тогда F (х + Л) “
- F (х) = f (х + h) - f (х) + g (х + Л) - g (х). Поэто-
му разностное отношение равно
F (х + Л) - F (х) _ / (х + Л)- / (х) t g(x+h)-g(x)
h	h	h
При h 0 первая дробь в правой части имеет пре-
дел, равный f' (х); вторая дробь имеет предел, рав-
ный g'(x). Поэтому левая часть имеет предел,
равный F' (х) = Г (х) + g’ (х), т. е. справедливо ра-
венство (1). О
Аналогично доказывается, что производная суммы
нескольких функций равна сумме производных
этих функций, производная разности равна разно-
сти производных.
Задача 1 Найти производную функции:
1) f (х) = х3 - х2 + х - 3; 2) f (х) = уГх - у=.
Ч х
► 1) г (х) = (х3)' - (х2)' + (х)' - (3)' = Зх2 - 2х + 1;
( iY Г --Y	--	--
х2] - |х 2] =-х 2 + —- х 2. <
2	2
2. Постоянный множитель можно вынести за
знак производной:
(cf(x)Y = cf'(x).	(2)
240
• Обозначим cf (х) = F (х), тогда
F (х+ h)-F (х) cf (х+	(х) f (х + h)-f (х)
h ” h	C h
откуда при h —► 0 получаем F' (x) = cf'(x).
Задача 2 Вычислить ff (-2), если f (x) = - x5 - 3x8 4- 7x - 17.
4
► /'(r) = (1 x5 Y - (Зх3)'+ (7x)'— (17)' = l(x5)'-
k 4	/	4
- 3 (x3)' + 7 (x)' = £ x4 - 9x2 + 7,
4
f (-2) = ® (-2)4 - 9 (-2)2 + 7 = -9. <J
4
Приведем без доказательства формулы производ-
ной произведения и частного.
3.	Производная произведения:
(/ (X) g (х))' = f' (X) g (х) + f (х) g' (x).	(3)
Задача 3 Найти производную функции f (х) g (х), если
f (х) = Зх2 - 5, g (х) = 2х 4- 7.
►	По формуле (3) находим
(/ (х) g (х))' =
= (Зх2 - 5)' (2х 4- 7) 4- (Зх2 - 5) (2х + 7)' =
= 6х (2х + 7) + (Зх2 - 5) • 2 = 18х2 4- 42х - 10. <
Задача 4 Найти значения х, при которых значение про-
изводной функции f (х) = (х - I)9 (х 4- 2)tt равно
нулю.
►	По формуле (3) получаем f'(x) = 9 (х - I)8 (х 4- 2)6 4-
+ 6 (х - I)9 (х + 2)5 = 3 (х - I)8 (х + 2)5 (Зх4-6 + 2х-
- 2) = 3 (х - I)8 (х 4- 2)5 (5х 4- 4).
Решая уравнение 3 (х - I)8 (х + 2)5 (5х 4- 4) = 0, на-
ходим, что f'(x) = 0 при
х, = 1, х2 = -2, х3 = -0,8. <
4.	Производная частного:
I f (х) У =	(*)“?(*)•£ (*)
g2(x)
Формулы (3) и (4) справедливы при условии, что
функции f (х) и g (х) имеют производную в точ-
ке х, причём в равенстве (4) g (х) Ф 0.
241
Задача 5 Найти производную функции F (*) = —£—.
х2 + 1
Обозначим х3 = f (х), х2 + 1 = g (х). По форму-
(х8)'(х2 +1) - х3 (х2 +1)'
(х2 + 1 )2
ле (4) находим Г'(х) =
Зх2(х2 + 1)-х3 • 2х _ х4 + Зх2
(х2 + 1)2	(х2 + 1)2
Задача 6 Найти значения х, при которых значение произ-
водной функции f(x) = —-—: 1) положительно;
х2 + 3
2)	отрицательно.
► По формуле (4) получаем /'(х) =—.
(х2 + З)2
—2х
1) Решая неравенство —--------- > 0, находим, что
(х2+3)2
Г(х) > О при х < 0.
—2х
2) Решая неравенство —-------— < 0, находим, что
(х2 + З)2
Г(х) < 0 при х > 0. <
5. Производная сложной функции.
Рассмотрим функцию F (х) = log2 (х2 + 1). Эту функ-
цию можно рассматривать как сложную функ-
цию f (y) = log2y, где у = g (х) = х2 + 1, т. е. как
функцию f (у), аргумент которой также является
функцией у = g (х). Иными словами, сложная функ-
ция — это функция от функции F (х) = f (g (х)).
Производная сложной функции находится по
формуле F' (х) = /' (у) g'(x), где у = g (х), т. е.
по формуле
(Kf(x)»'-f «(*))<'(*).	(5)
Рассмотрим примеры.
1) Пусть F (х) = (2х + I)2 + 5 (2х + 1).
Здесь f (у) = у2 + 5у, y = g (х) = 2х + 1.
По формуле (5) находим F' (х) = (2у + 5) • (2х 4- 1)' =
= (2у + 5) • 2 = (2 (2х + 1) + 5) • 2 = 8х + 14.
8	3
2) Пусть F (х) = (х2 + I)2. Здесь f (у) = у2, у = g (х) =
= х2 + 1. По формуле (5) находим
1 1
Р'(х) = | у2 (х2 + 1)' = | (х2 +1)2 -2х = Зх 7х2 +1.
242
Упражнения
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
Найти производную функции (802—803).
1) хг + х;	2) х2 - х;	3) Зх2;	4) -17х*;
5) -4х3;	6) 0,5х3;	7) 13х2+ 26;	8) 8х2-16.
1) Зх2 - 5х + 5;	2) 5х2 + 6х - 7;	3) х4 + 2х2;
4) х4 - Зх2;	5) х3 + 5х;	6) -2х3 + 18х;
7) 2х3 - Зх2 + 6х + 1;	8) -Зх3 + 2х2 - х - 5.
Построить график функции у = 3 (х - 2)2 + 1 и график функ-
ции, являющейся её производной.
Найти производную функции:
1) х2 + Ц-; 2) х3 + Ц-; 3) 2VT-Vx; 4) 3 Vx + 7 *Vx.
X3	X2
Найти /'(0) и /'(2), если:
1) f (х) = г2 - 2х + 1;	2) f (х) = х3 - 2х;
3) f (х) = -х3 + х2;	4) / (х) = х2 + х + 1.
Найти Л(3) и Г(1)» если:
1) /(х) = - + -у;	2) f(x) = Л + i + i;
XX2	X
3	_3
3) f (х) = -%= - -2-;	4) f (X) = х2 - х 2.
vx Xs
Дифференцируема ли функция у = f (х) в точке х, если:
= х = 1;	2)у = 7Г17’ х = 3;
XI	IX- «1)
3) «/ = Vx + 1, х = 0;	4) у = Л^х, х = 4?
Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно 0, если:
1)	f (х) = х3 - 2х;
2)	f (х) = -х2 + Зх + 1;
3)	f (х) = 2х3 + Зх2 - 12х - 3;
4)	f (х) = Xs + 2х2 - 7х + 1;
5)	f (х) = Зх4 - 4х3 - 12х2;
6)	f (х) = х4 + 4х3 - 8х2 - 5.
Найти производную функции:
1) (х2 - х) (х3 + х);	2) (x + 2)Vx;	3)(x-l)Vx.
Найти /'(!)• если:
1) f (х) = (х - 1 )8 (2 - х)7;	2) f (х) = (2х - I)5 (1 + х)4;
3) /(х) = л/2-х(3-2х)8;	4) f (х) = (5х - 4)e V3x-2.
243
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
Пересекается ли график функции, являющейся производной
функции у = х3 + 2х2 - Зх + 4, с графиком функции у = Зх + 1?
При каких значениях х значение производной функции
у = (х - З)5 (2 + 5х)° равно 0?
Найти производную функции:
х5 + х3 + х'	9 Vx + х2 +1
х + 1	х-1
Найти Л(1)» если:
*•2_1	о ~.2
D =	;	2) /(х) = —
х2 +1	1-7х
Найти функцию f (g (х)), если:
8
1) # (х) = 1 - х, f(g) = g2;	2) я (х) = In х, f(g) = y[g.
Представить в виде сложной функции:
1) F (х) = ^2х2 -7;	2) F (х) = sin (х2 + 1).
Найти производную функции (818—821).
х3 + х2 + 16
1) (2х - З)5 (Зх2 + 2х + 1);	2) (х - I)4 (х + I)7;
3) t/3x + 2 (Зх- I)4;	4) ^2х + 1 (2х -3)’.
2х2-Зх + 1	Зх2 + 2х-1
1)	: z j -———
х + 1	2х♦1
3)
При каких значениях х значение производной функции
f (х) = 2х3 - Зх2 - 12х + 1 равно 0?
При каких значениях х значение производной функции
2х-1
f (х) =---- равно 3?
X + 1
При каких значениях х значение производной функции
f (х) = (х - 1) (х - 2) (х - 3) равно 11?
Выяснить, при каких значениях х производная функции
принимает положительные значения:
1) f (х) = х4 - 4х2 +1;	2) f (х) = Зх’ - 4х3 - 12Х2 + 3;
3) / (х) = (х +2)2 Vx;	4) /(х) = (х-3) Л.
244
826 Выяснить, при каких значениях х производная функции
принимает отрицательные значения:
1) у = (5 - Зх)4 (Зх - 1)®;
2) у = (2х - З)2 (3 - 2х)3;
827 Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от
времени t по закону ср (О = 0,If2 - 0,5f + 0,2. Найти угловую
скорость (в рад/с) вращения тела в момент времени t = 20 с.
828 Тело, масса которого т = 5 кг, движется прямолинейно
по закону s = 1 - t + t2 (где я измеряется в метрах, t — в се-
2
кундах). Найти кинетическую энергию тела —•— через 10 с
после начала движения.
829 В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса
(в граммах) распределена по закону т = 212 4- 3/, где
I — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти ли-
нейную плотность:
1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;
2) в конце стержня.
830 Найти производную функции f (х) = ^/х2 - 5х + 6 при х<2
и при х > 3.
Производные некоторых
? элементарных функций
Элементарными функциями называют степенную,
показательную, логарифмическую и тригономет-
рические функции, а также их различные комби-
нации. При решении многих практических задач
часто приходится находить производные таких
функций.
Например, напряжение в цепи переменного тока
выражается формулой U (0 = A sin (art + ф); для
нахождения силы тока I (t) нужно уметь находить
производную U' (0, так как 1 (t) = U'(t).
245
1.	Производная показательной функции.
Показательная функция f (х) = а\ где а > 0, а Ф 1,
определена на всей числовой прямой и имеет про-
изводную в каждой её точке. Любую показатель-
ную функцию можно выразить через показатель-
ную функцию с основанием е по формуле
ax = exlne,	(1)
так как ех ,n а = (е1п а)х = ах. В курсе высшей мате-
матики доказывается, что функция ех обладает за-
мечательным свойством: её производная также
равна ех, т. е.
(ехГ = ех.	(2)
Применяя правило дифференцирования сложной
функции, получаем
(е** + *)' = kekx*b.	(3)
Например, (е3х *1)' = Зе3х * 1, (е~2х “ 4)' = -2е 2х 4.
Задача 1 Найти производную функции ах, где а > 0, а * 1.
► Используя формулы (1) и (3), находим (ахУ =
= (exlne)'= In а • ex,na = In а ах. <]
Итак,
(а*)'= а* In а.	(4)
Например, (3х)1 = 3х In 3, (0,7х)' = 0,7х In 0,7.
2*. Производная логарифмической функции.
Логарифмическую функцию logd х с любым осно-
ванием а > 0, а * 1 можно выразить через логариф-
мическую функцию с основанием е с помощью фор-
мулы перехода
log„x = ^.	(5)
Ina
Производная функции In х выражается формулой
(In х)' = |, х>0.	(6)
Применяя правило дифференцирования сложной
функции, получаем
(1п(*х + Ь))' = —Ц-.	(7)
kx + Ь
Например, (In (4х-3))' = —-—, (In (1-2х))' =
4х- 3
- ~2 - 2
~ 1-2х ~ 2х-Г
246
Задача 2 Найти производную функции loge х, где а > О,
а Ф 1.
► Используя формулы (5) и (6), находим
(logu Х)' = [^0 =
чпа/
(In х)' = ----. <1
Ina	х Ina
Итак,
(log. х)' = —.	(8)
х Ina
3. Производные тригонометрических функций.
Покажем, как можно вывести формулу производ-
ной синуса. Обозначим f (х) = sin х, составим раз-
ностное отношение:
f (х + Л)- f (х) sin(x + Л) - sinx _
~h	~
2 sin Л cos I х + — I	sin — z \
=-----?---------— =----cos I x + - L	(9)
h	h k 2)
2
Если Л —♦ О, то x + —-+x и cos x + - -► cos x.
2	I 2j
Воспользуемся тем, что lim = 1. Это утвержде-
t— о t
ние называют первым замечательным пределом
и обычно доказывают в курсе высшей математики.
Тогда
sin ~
lim —2-»1,
Л - О Л
2
и поэтому правая часть (9) имеет предел, равный
cos х. Следовательно, левая часть (9) также имеет
предел, который по определению равен f (х).
Таким образом, (sin х)' = cos х.
Аналогично можно убедиться в том, что (cos х)' =
= -sin х.
Итак, справедливы формулы
(sin х)' = сов х, (сов х)'=-sin х. (10)
Справедливы также формулы
(sin (kx + b)Y = k cos (kx + b),
(cos (kx + b)Y = -k sin(kx + b).
Например, sin - x - 1	= - cos - x - 1 ,
\ k 4	/ J 4	k 4	/
(cos (3 - 4x))' = -(-4) sin (3 - 4x) = 4 sin (3 - 4x).
247
Задача 3
Задача 4
Задача 5*
Найти производную функции tg х.
Используя правило дифференцирования частно-
,	t х ч I SIB X |
го и формулы (10), находим (tgx)' =----------------- =
cos х )
_ (sin х)' cos х - sin х (cos хУ _ cos2 х+ sin2 х _	]
2	”	2	2	*
COS4 X	COS4 X	COS4 X
Итак, (tg x)' = —1—. <3
cos2 x
4. Применение правил дифференцирования и
формул производных к решению задач.
Приведём сводную таблицу.
(/ (х) + g (х))' = f'(x) + g'(x), (cf (х))' = cf’(x),
(f (x) g (x))' = f (x) g (x) + f (x) g' (x),
I /(y) Г = /'(x)g(x)-r(x)r(x)
U(x)J	g2(x)
(/ (g (X)))' = f (g (x)) • g' (X).
((x)₽)' = pxp~', (e*y = ex, (lnx)' = —,
X
(axY = a1 In a, (loga x)'=	1 ,
x Ina
(sin хУ = cos x, (cos xy = -sin x.
Найти производную функции:
1) f (x) = sin (2x + 1) - 3 cos (1 - x);
2) f (x) = e~3x sin (5x - 1); 3) f (x) = Illi.
x +1
1)
2)
3)
f (x) = 2 cos (2x + 1) - 3 sin (1 - x);
f (x) = -3e 3x sin (5x - 1) + 5e 3x cos (5x - 1);
— (x + l)-l ln3x	„
=	--------------= x In3x
(x+1)2	X ( X + 1 )2
Найти значения x, при которых значение произ-
водной функции f (х) = х2 - 2 In х равно нулю;
положительно; отрицательно.
U «	ч о 2	2(х2—1)
Найдем производную f (х)- 2х-----=--------.
х х
Заметим, что равенство (х2 - 2 In х)' = 2х -- спра-
х
ведливо при тех значениях х, при которых обе ча-
сти имеют смысл, т. е. при х > 0.
248
Выражение ------- равно нулю при х{ 2 = ±1,
х
положительно на промежутках -1 < х < О и х > 1;
отрицательно на промежутках х < -1 и 0 < х < 1.
Так как х > О, то f (х) = О только при х = 1;
f'(x) > 0 при х > 1; f'(x) < О при 0 < х < 1. <1
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
Упражнения
Найти производную функции (831—839).
1)	ех + 1;	2) ех + х2;	3)е2х + ^;	4)e"3x+Vx. X
1)	1х_1 е2х + 1 + 2х3;	2) е2 -Vx-1;	3) е°-3х+2 +-£=; У X
4)	ег~* + х~3;	5) е*2;	6) е2х*.
1)	2х + ех; 2) 3х - х’2; 3) е2х - х; 4) е3х + 2х2; 5) 3х2 +2.
1)	0,5х + е3х; 2) 3х - е2х; 3) e2-' + Vx; 4) e’-' + -U х4
1)	2 In х + 3х;	2) 3 In х - 2х;	3)log2x + —; 2х
4)	3 х“3 - log3 х;	5) In (х2 - 2х);	6) (Зх2 - 2) log3 х.
1)	sin х + х2; 2) cos х — 1; 3) cos х + ех; 4) sin х - 2х.
1)	sin (2х - 1); 2) cos (х + 2); 3) sin (3 - х); 4) cos (х3).
1)	cos |1 | + е3х; 2) sin ( — + 3 | + 2х;	3)3cos4x-—. \ 2	/	1з )	2х
1)	2) —- ;	3) In х • cos Зх; 4) log3 х • sin 2х. sin х
Найти значение производной функции f (х) в точке х0:
1)
2)
f (х) = е2х 4 + 2 In х, х0 = 2;
f (х) = е3х“ 2 - In (Зх - 1), х0 = -
3
f (х) = 2х - log2 х, х0 = 1
f (х) = log o s х - 3х, х0 =
3)
4)
Вылепить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) равно 0:
1) f (х) = х - cos х;
3) f (х) = 2 In (х + 3) - х;
5) f (х) = х2 + 2х - 12 In х;
2) f (х) = i х- sin х;
4) f (х) = In (х + 1) - 2х;
6) f (х) = х2 - 6х - 8 In х.
249
842 Выяснить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) положительно:
1) f (х) = ех - х;	2) f (х) = х In 2 - 2х;
3) /(х) = ехх1 2;	4) f(x) = exJx.
Найти производную функции (843—851).
843 1)	In	2)	-21n^^;
V 3	5	V 6	3
1-x	2-x
3) 2е 3 +3cosl—4) Зе 3 -2sini£*.
2	4
	 	 x-4
844 1) »/_3_-3cos^-^;	2)2*1	3—-5e~.
«2-х	3	\(x+2)3
845 1) 0,5х • cos 2x;	2) бл/х е"*;	3) e3’2x -cos (3 - 2x).
846 1) In Vx - 1;	2)	3) In (cos x);	4) In (sin x).
847 1) 2CMX+1;	2) 0,51,,lnx; 3)cosVx + 2;	4) sin (In x).
848 1) «^x2 + 2x-l;	2) ^/sinx; 3) ^cosx; 4) ^log2 x.
849 1) *±-2,	2)	3)	4)
sin x	3х+ 1	cos2x-5	sin3x+7
850 1) e*~* -;	2) 2*~log2S
x	ln2x
sinx-cosx	l-sin2x
851 1) 	;	2) 	. x	sin x - cos x
852 Выяснить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) равно 0:
1) f (х) = 5 (sin х - cos х) + V2 cos 5x;
2) f (x) = 1 - 5 cos 2x + 2 (sin x - cos x) - 2x.
853 Найти значения производной функции f (х) в точках, в кото-
рых значение этой функции равно 0:
1) f(x) = е2х In (2х - 1);	2) f(x) =----------.
sin х
854 Вычислить Л (х) + f (х) + 2, если f (х) = х sin 2х, х = я.
855 Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f (х) = х - In х;	2) f (х) = х In х;
3) f (х) = х2 In х;	4) f (х) = х3 - 3 In х.
856 Найти производную функции In (х2 - 5х + 6) при х < 2 и при
х > 3.
250
Геометрический смысл производной
Напомним, что графиком линейной функции
у = kx + b является прямая (рис. 109). Число
k = tg а называют угловым коэффициентом прямой,
а угол а — углом между этой прямой и осью Ох.
Если k > 0, то 0 < а < (рис. 109, а); в этом слу-
чае функция возрастает.
Если k < 0, то < а < 0 (рис. 109, б); в этом слу-
чае функция у = kx + b убывает.
Выясним геометрический смысл производной диф-
ференцируемой функции у = f (х).
Пусть точки А и М принадлежат графику функции
У = f (х) (рис. 110).
Пусть х и х + h — абсциссы точек Л и М (рис. 111),
тогда их ординаты равны f (х) и f (х + Л). Из тре-
угольника АСМ (рис. 111), где С (х -f- Л; f (х)), най-
дём угловой коэффициент k прямой ДМ, который
зависит от Л (его можно рассматривать как функ-
цию от h и писать k (Л)). Имеем
k (Л) = tg /САМ =
где МС = f (х + h) - f (х), АС = Л, т. е.
= (1)
h
251
Пусть число х фиксировано, a h —► О, тогда точка А
неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стре-
мится к точке А (рис. 111). При этом прямая AM
стремится занять положение некоторой прямой,
которую называют касательной к графику функ-
ции у = f (х), потому что lim k (Л) существует и ра-
л -* о
вен f (х). Итак,
f(x) = tga.	(2)
Геометрический смысл производной состоит в том,
что значение производной функции f (х) в точке х
равно угловому коэффициенту касательной к гра-
фику функции в точке (х; f (х)).
Задача 1 Найти угол между касательной к графику функ-
ции у = sin х в точке (0; 0) и осью Ох.
► Найдем угловой коэффициент касательной к кри-
вой у = sin х в точке (0; 0), т. е. значение производ-
ной этой функции при х = 0.
Производная функции f (х) =
= sin х равна f (х) = cos х.
По формуле (2) находим
tg a - (0) = cos 0=1,
a = arctg 1 = — (рис. 112).
4
Отметим, что это свойство по-
лезно для построения графи-
ка у = sin х: в точке (0; 0)
синусоида касается прямой
у = х (рис. 112).
252
Задача 2 Найти угол между касательной к параболе у = х2
в точке (1; 1) и осью Ох и написать уравнение этой
касательной.
► Производная функции f (х) = х2 равна f' (х) = 2х.
По формуле (2) находим tg а = (1) = 2 • 1 = 2,
откуда а = arctg 2 (рис. 113).
Найдём теперь уравнение касательной АВ к пара-
боле у - х2 в точке А (1; 1) (см. рис. ИЗ). Если
у = kx + b — уравнение прямой АВ, то k = tg а = 2,
т. е. уравнение касательной имеет вид у - 2х + Ь.
Подставляя в это уравнение координаты точки
(1; 1), получаем 1 = 21 + 6, откуда b = -1. Следо-
вательно, у = 2х - 1 — уравнение искомой каса-
тельной. <1
Задача 3
Аналогично тому, как это сделано в задаче 2, выве-
дем уравнение касательной к графику дифферен
цируемой функции в точке (х0; f (х0)) (рис. 114).
Если у = kx + b — искомое уравнение, то по фор-
муле (2) находим k = tg а = f (х0), т. е. уравнение
касательной имеет вид у - f (х0) х + Ь. Подстав-
ляя в это уравнение координаты точки (х0; f (х0)),
получаем f (х0) = f (х0) х0 + 6, откуда b = f (х0) -
- Г (*о) *о-
Итак, уравнение касательной у = f' (х0) х + f (х0) -
- Г (х0) х0, или
У =Н*о) + Г(хо)(*“*о>- °	(3)
Найти уравнение касательной к графику функции
у = cos х в точке с абсциссой х0= - .
6
Найдём значения функции f (х) = cos х и её произ-
водной в точке х0= - :
6
253
Задача 4*
Используя формулу (3), найдём
искомое уравнение касатель-
ной: у = — --(х--1,
2	2 k 6/
Касательная к графику функ-
ции у = cos х в точке
изображена на рисунке 115.
Показать, что касательная к параболе у = х2 в точ-
ке с абсциссой х0 пересекает ось Ох в точке
Пусть f (х) = х2, тогда
Г (х) = 2х, f (х0) = X* и f (х0) = 2х0.
По формуле (3) находим уравнение касательной:
У = «О + 2хо (х - хо)« У = 2хох - хо-
Найдём точку пересечения этой касательной с осью
абсцисс. Из равенства 2х0х - xj = 0 находим
х = ^-. <1
2
Отсюда следует простой геометрический способ
построения касательной к параболе у = х2 в точ-
ке А с абсциссой х0: прямая, проходящая через
точку А и точку — оси абсцисс, касается параболы
в точке А (рис. 116).
254
Построив касательную к параболе, можно постро-
ить её фокус F. Напомним, что фокусом является
точка, в которую нужно поместить источник света,
чтобы все лучи, отражённые от параболического
зеркала, были параллельны оси симметрии пара-
болы. Для построения фокуса F нужно построить
прямую АВ, параллельную оси Оу, и прямую AF,
образующую с касательной такой же угол, как и
прямая АВ (рис. 117).
Упражнения
857 Найти значения k и Ь, если прямая у - kx + b проходит через
точку (х0; yQ) и образует с осью Ох угол а:
1) а = у, х0 = 2, у0 = -3;	2) а = у, х0 = -3, уп = 2;
4	4
3) а = -5, х0=1, р0=1;	4) а =-£, х0 =-1, у0 =-1.
О	о
858 Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) f (X) = х3, х0 = 1;	2) f (X) = sin х, х0 = у;
4
3) f (х) = In х, х0 =1;	4) f (х) = ех, х0 = In 3.
859 Найти угол между касательной к графику функции у = f (х)
в точке с абсциссой х0
1) Г(х) = | х3, х0= 1;
о
3) /(х) = 2-/х, х0 = 3;
Зх + 1
5) Лх) = е 2 , хо = О;
860 Написать уравнение касательной к графику функции
и осью их:
2) /(х) = 1, х0=1;
X
4) /(х)»Ж х0 = 3;
V х
6) /(х) = In (2x4-1), хо = 2.
у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) f (х) = х2 + х + 1, х0 =1;	2) f (х) = х - Зх2, х0 :
3) / (х) = —, х0 = 3;	4) / (х) = —, х0 =-2;
X	X
5) f (х) = sin х, х0 = -;	6) f (х) = х0 = 0; 4
7) f (х) = In х, х0 =1;	8) f (х) = Vx, х0 = 1.
861 Функция у = f (х) задана своим графиком (рис. 118, а, б).
Из точек А, В, С, D, Е, F, G выбрать те, в которых производ-
ная этой функции принимает:
а) положительные значения; 6) отрицательные значения;
в) значения, равные 0.
255
Рис. 118
862 Написать уравнение касательной к графику функции
у = f (г) в точке с абсциссой х = 0:
1) /’(х) = х + ——;	2) / (х) = sin 2х - In (х + 1).
х+ 1
863 Найти угол между осью Оу и касательной к графику функ-
ции у = f (х) в точке с абсциссой х = 0:
1) f (х) = х + е”ж; 2) f (х) = соз х; 3) f (х) = Vx +1 +е2 .
864 Под каким углом пересекаются графики функций (углом
между кривыми в точке их пересечения называют угол меж-
ду касательными к этим кривым в этой точке):
1) у = 8 - х и у = 4 Vx + 4;	2) у = - (х +1)2 и у = i (х-1)2;
2	2
3) у = 1п(1 + х) и // = 1п(1-х);	4) у = ех и у = е~х?
865 Показать, что графики двух данных функций имеют одну
общую точку и в этой точке общую касательную. Написать
уравнение этой касательной:
1)	У =	и у = х” + 2х2;
2)	у = х4 и у = х3 - Зх2;
3)	у = (х + 2)2 и у = 2 - х2;
4)	у = х (2 + х) и у = х (2 - х).
866 Найти точки графика функции у = f (х), в которых касатель-
ная к этому графику параллельна прямой у = fex:
1) f (х) = е1 + е х, k =	2) f (х) = л/Зх + 1, k =
3) f (х) = sin 2х, k = 2;	4) f (х) = х + sin х, k = 0.
867 В каких точках касательная к графику функции у -
х-2
образует с осью Ох угол, равный — — ?
4
868 Найти точки, в которых касательные к кривым
f (х) = Xя - х - 1 и g (х) = Зх2 - 4х + 1
параллельны. Написать уравнения этих касательных.
256
Упражнения
к главе VIII
Найти производную функции (869—874).
869	1)	2х* - х3 + Зх + 4;		2) -х5 * +	2x3 - Зх2 - 1;	
	3)	X2	4)	A_8Vi;	5) (2x + 3)8;	
	6)	(4 - Зх)7;	7)	V3x-2;	8)	
					VI -4x	
870	1)	е1 - sin х;	2)	cos x - In :	r;	3) sin x -	3/“ - Vx;
	4)	6х4 - Эе1;	5)	—+ 4ex;	6) A+ Зх3	i 1П X.
				X		2
871	1)	sin 5х + cos	(2х - 3);		2)	- In 3x;	
	3)	sin (х - 3) -	In (1 -	2x);	4) 6 sin — -e1"3 3	\x
872	1)	9 х cos х;	2) ха	1 In x;	3) 5xex;	
	4)	х sin 2х;	5) е~	* sin x;	6) ex cos x.	
873	1)	х3 + 1	У2 2)	-;	3)	sin x	.. •	4)	Inx
		X2 + 1’	хл + 1		x +1	1- X
874	1)	sin3 х;	2) 8СО8	*;	3)	cos4 x;	4)	In (X3).
875 Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f (х) = 2х3 - х2;	2)	f (х) = -Зх3 + 2х2 + 4;
3) f (х) = х5 - 5х3 - 20х;	4)	f (х) = (х + З)3 (х - 4)2;
5) /(Х)=3х±2;	6)	/(х) = х2+-.
х-2	х
876 Найти значение производной функции f (х) в точке х0, если:
1)	f (х) = cos х sin х, х()=—;	2) f (х) = ех In х, х0=1;
6
3) Г(х) = ^Д х0=*;	4) f(x) = -JE-, х0 = 0.
sin х	4	1 + ех
877 Написать уравнение касательной к графику функции в точ-
ке с абсциссой х0:
1) У = х2 - 2х, х0=3;	2) у = х3 + Зх, х0 = 3;
3) у = sin х, х0=—;	4) у = cos х, х0=~.
6	3
257
878
1
2
3
4
879
880
881
882
883
884
885
Закон движения тела задан формулой s (t) = 0,5t2 + 3t + 2
(«ч — в метрах, t — в секундах). Какой путь пройден телом
за 4 с? Какова скорость движения в этот момент времени?
Проверь себя!
Найти значение производной функции f (х) = Зх8 + 4х - 1
в точке х = 3.
Найти производную функции:
1)	—+ 2 Vx-ex; 2)(Зх-5)4; 3) 3 sin 2х cos х; 4)-^—.
х	х2+ 5
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = cos Зх в точке с абсциссой х0=
6
Найти угол между касательной к графику функции
у = х4 - 2х3 + 3 в точке с абсциссой х0 = у и осью Ох.
Найти производную функции (879—881).
1) у = cos2 Зх; 3) у = (х3 + 1) cos 2х;	2) у = sin x cos x + x; 4) у = sin2
5) p = (x + l)Vx^;	6) y=Mx-\ (x4-l).
,.	1 - cos 2 х i) у~,	„ ; 1 + cos 2х	2) 4x
3) y = -j=^l Vx+2 1) logz (x3 - x2 + 1);	л.	sin x + cos x 4) y= t 81П X ~ COS X 2) (logz x)3; 3) sin (log3 x); 4) cos 3х.
На каком из рисунков 119 (а—г) изображены эскизы гра-
фиков функций, являющихся производными следующих
функций: у = е~х, у = In (~х), у = sin 2х, у = 2 cos х?
Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) Г(х) = 2х + 2Х;
3) Их) = х + In 2х;
5) f (х) = 6х - х Vx;
2)	f (х) = 32х - 2х In 3;
4)	f (х) = х + In (2х + 1);
6)	f (х) = (х + 1) Vx+1 -Зх.
Найти все значения а, при которых f (х) > 0 для всех дейст-
вительных значений х, если f (х) = х3 + Зх2 + ах.
Найти все значения а, при которых /'(х) С 0 для всех дейст-
вительных значений х, если f (х) = ах3 - 6х2 - х.
258
Рис. 119
886 Найти все значения а, при которых уравнение /'(х) = О
не имеет действительных корней, если:
1) /(х) = ах2--у;	2) /(х) = ах + -;
х2	х
3) 1 (х) = ах3 * + Зх2 + 6х;	4) f (х) = х3 + 6х2 + ах.
887 Найти все значения а, при которых неравенство f (х) < О
не имеет действительных решений, если:
1) f (•*) = ах1 + х3 - 1;	2) f (х) = х5 + ах3 + 3;
3) f (х) = (х + а) V7;	4) Г(х) = х + ^.
888 Под каким углом пересекаются графики функций:
1) I/= 2 Ух и р = 2 Уб - х; 2) у = V2x + 1 и у = 1?
889 Написать уравнение касательной к графику функции в точ-
ке с абсциссой х0:
1) у = 2 sin х0= —;	2) у = 2~х - 2‘2х, х0 = 2;
2	2
3) у = 4^» х0 = 2;	4) у = х + In х, х0 = е.
3-х
259
890 Найти уравнения касательных к графику функции
у = - х3 - - х2, параллельных прямой у - 6х.
3	2
891 Прямая касается гиперболы у = — в точке (1; 4). Найти
х
площадь треугольника, ограниченного этой касательной
и осями координат.
892 Прямая касается гиперболы у = ~, где k > 0, в точке
х
с абсциссой х0.
1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой
касательной и осями координат, не зависит от положения
точки касания. Найти эту площадь.
2) Доказать, что эта касательная проходит через точки
I I и (2х0; 0).
893 Выяснить, при каких значениях р касательная, проведённая
к графику функции у = х3 - рх в его точке с абсциссой
х0 = 1, проходит через точку М (2; 3).
4Х-2Х*1
894 Найти все такие точки графика функции у =--------------,
In 4
в которых касательная к этому графику параллельна пря-
мой у - 2х + 5.
895 Найти расстояние от начала координат до той касательной
к графику функции у = х In х, которая параллельна оси
абсцисс.
896 Выяснить, при каких значениях параметра а прямая
у = ах - 2 касается графика функции у = 1 + In х.
897 Найти общие касательные к графикам функций
f (х) = х2 - 4х + 3 и g (х) = -х2 + 6х — 10.
898 Две параллельные касательные к графику функции
у = х3 - 6 пересекают оси координат: одна — в точках Ли В,
другая — в точках С и D. Найти площадь треугольни-
ка ЛОВ, если она в 4 раза меньше площади треуголь-
ника COD.
i ix
т глава
? Применение производной
- к исследованию функций
Теория без практики мертва или бесплод-
на, практика без теории невозможна или
пагубна. Для теории нужны знания, для
практики, сверх всего того, и умение.
Л. Н. Крылов
Возрастание и убывание функции
1. Производная широко используется для иссле-
дования функций, т. е. для изучения различных
свойств функций. Например, с помощью производ-
ной можно находить промежутки возрастания и
убывания функции, её наибольшие и наименьшие
значения.
Рассмотрим применение производной к нахождению
промежутков возрастания и убывания функций.
Пусть значения производной функции у = f (х)
положительны на некотором промежутке, т. е.
Г (х) > 0. Тогда угловой коэффициент касательной
tg а = Г (х) к графику этой функции
в каждой точке данного промежут-
ка положителен. Это означает, что
касательная образует острый угол
с осью Ох, и поэтому график функ-
ции на этом промежутке «поднима-
ется*, т. е. функция f (х) возрастает
(рис. 120).
Если f'(x)<0 на некотором про-
межутке, то угловой коэффициент
касательной tg а = f'(x) к графи-
ку функции у = f (х) отрицателен.
261
Это означает, что касательная образует тупой угол
с осью Ох, и поэтому график функции на этом про-
межутке «опускается», т. е. функция f (х) убывает
(рис. 121).
Итак, если Л (х) > 0 на промежутке, то функция
f (х) возрастает на этом промежутке.
Если /'(х)<0 на промежутке, то функция f (х)
убывает на этом промежутке.
2. При доказательстве теорем о достаточных усло-
виях возрастания или убывания функции исполь-
зуется теорема 1, которая называется теоремой
Лагранжа.
Теорема 1. Если функция f (х) непрерывна на
отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале
(а; Ь), то существует точка с е (а; Ь) такая, что
/(Ь)-/(а) = Г(с)(Ь-а).	(1)
Доказательство формулы (1) приводится в курсе
высшей математики. Поясним геометрический
смысл этой формулы.
Проведём через точки A (a; f (а)) и В (b; f (b)) гра-
фика функции у = f (х) прямую I и назовём эту
прямую секущей. Угловой коэффициент секущей
равен
b-а
Запишем формулу (1) в виде
Г(с)=ш^).	(2)
Ь-а
262
Согласно формуле (2) угловой коэффициент ка-
сательной к графику функции у = f (х) в точке С
с абсциссой с (рис. 122) равен угловому коэффи-
циенту секущей Z, т. е. на интервале (а; Ь) найдёт-
ся такая точка с, что в точке графика с абсцис-
сой с касательная к графику функции у = f (х)
параллельна секущей. Сформулируем и докажем
с помощью теоремы Лагранжа теорему о доста-
точном условии возрастания функции.
Теорема 2. Если функция f (х) дифференци-
руема на интервале (а; Ь) и /'(х)>0 для всех
х е (а; 6), то функция возрастает на интервале
(а; Ь).
• Пусть х^ и х2 — произвольные точки интервала
(а; Ь), такие, что хх < х2. Применяя к отрезку
[х^ х2] теорему Лагранжа, получаем
f (х2) - f (Xj) = г (с) (х2 - Xj), где с € (Хр х2).
Так как Г (с) > 0 и х2 - хх > О, то из последней фор-
мулы получим f (х2) - f (xj > 0, т. е. f (х2) > f (х0.
Это означает, что функция f (х) возрастает на ин-
тервале (а; Ь). О
Таким же способом можно доказать, что если функ-
ция f (х) непрерывна на отрезке fa; Ь] и /' (х) > 0 на
интервале (a; Ь), то эта функция возрастает на от-
резке la; 6].
Аналогично доказывается, что функция f (х) убы-
вает на интервале (а; Ь), если f'(x)<0 на (а; д);
если, кроме того, функция f (х) непрерывна на от-
резке [а; Ь], то она убывает на отрезке fa; Ь].
Задача 1 Доказать, что функция f(x) = x + - возрастает на
х
промежутке (1; +оо).
1 х2 — 1
► Найдём производную: /*’(х) = 1---- =——. Если
X2 X2
X2 — 1
х > 1, то —— > О, т. е. f'(x) > 0 при х > 1, и по-
х2
этому данная функция возрастает на промежутке
(1; +оо). <1
Промежутки возрастания и убывания функции ча-
сто называют промежутками монотонности этой
функции.
263
Задача 2 Найти интервалы монотонности функции
f (х) = Xя - Зх2.
► Найдём производную: Г (х) = Зх2 - 6х.
Решая неравенство f'(x)>0, т. е. неравенство
Рис. 123
Зх2 - 6х > 0, находим интервалы воз-
растания: (-оо; 0) и (2; +оо).
Решая неравенство f'(x)<0, т. е.
неравенство Зх2 - 6х < 0, находим
интервал убывания (0; 2).
График функции у = х3 - Зх2 изобра-
жён па рисунке 123. Из этого рисун-
ка видно, что функция у = х3 - Зх2
возрастает не только на интервалах
(—оо; 0) и (2; +оо), но и на проме-
жутках (-оо; 0] и [2; +оо); убывает
не только на интервале (0; 2), но и на
отрезке [0; 2].
Упражнения
899 Доказать, что функция /(х) = х2 + - возрастает на проме-
х
жутке (1; +оо), убывает на промежутках (-оо; 0) и (0; 1).
900 Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1)	У = X2 - х;	2)	у = 5х2 - Зх - 1;
3)	у = х2 + 2х;	4)	у = х2 + 12х - 100;
5)	у = х3 - Зх;	6)	у = х4 - 2х2;
7)	у = 2ха - Зх2 - 36х + 40;	8)	у = х3 - 6х2 + 9.
901 Построить эскиз графика непрерывной функции у - f (х),
определённой на отрезке [a; bj, если:
1) а = 0, Ъ = 5, f'(x)>0 при 0 < х < 5, /’(1) = 0, f (5) = 3;
2) а = -1, b = 3, Г(х) < 0 при -1 < х < 3, f (0) = 0, f (3) = -4.
Найти промежутки возрастания и убывания функции
(902—905).
902	1)	{/ = —Ц; 2)у=1 + -; х+ 2	х	3){/ = -Vx-3; 4) у= l+3Vx-5.
903	11	и=	*8	.	
		Xs + 3*	У	.)	» хл
	3)	у = (х - 1) «•*;	4) у = хе“3ж.
904	1)	у = ех *’*;	2) у = 3‘* х.
905	1)	у = х - sin 2х;	2) у = Зх + 2 cos Зх.
		204	
906
907
908
909
Изобразить эскиз графика непрерывной функции у - f (х),
определённой на отрезке [а; 5], если:
1) а=-2, d = 6, /(-2)=1, f (6) = 5, НЗ) = 0, Г(3) = 0,
f'(x)<0 при -2 < х < 3, /'(*)> 0 при 3 < х < 6;
2) а=-3, 5 = 3, / (-3) = -1, / (3) = 4, Л(2) = 0, /'(*)< О
при -3 < х < 2, Г(х) > 0 при 2 < х < 3.
При каких значениях а функция возрастает па всей число-
вой прямой:
1) у = х3 - ах; 2) у = ах - sin х?
При каких значениях а функция у = х3 - 2х2 + ах возра-
стает на всей числовой прямой?
При каких значениях а функция у = ах3 + Зх2 - 2х + 5
убывает на всей числовой прямой?
| Экстремумы функции
На рисунке 123 изображён график функции
у = х3 - Зх2. Рассмотрим окрестность точки х = О,
т. е. некоторый интервал, содержащий эту точку.
Как видно из рисунка, существует такая окрест-
ность точки х = 0, что наибольшее значение функ-
ция х3 - Зх2 в этой окрестности принимает в точке
х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее
значение, равное 0, функция принимает в точке
х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума
этой функции.
Аналогично точку х = 2 называют точкой миниму-
ма функции х3 - Зх2, так как значение функции
в этой точке меньше её значения в любой точке не-
которой окрестности точки х = 2, например окрест-
ности (1,5; 2,5).
Точка х0 называется точкой максимума функции
f (х), если существует такая окрестность точки х0,
что для всех х * х0 из этой окрестности выполня-
ется неравенство f (х) < f (х0).
265
Рис. 124
Рис. 125
Например, точка х0 = 0 является точкой максиму-
ма функции f (х) = 1 - г1 2, так как f (0) = 1 и при
всех значениях х 0 верно неравенство f (х) < 1
(рис. 124).
Точка х0 называется точкой минимума функции
f (х), если существует такая окрестность точки х0,
что для всех х * х0 из этой окрестности выполня-
ется неравенство f (х) > f (х0).
Например, точка х0 = 2 является точкой миниму-
ма функции f (х) = 3 + (х - 2)2, так как f (2) = 3
и f (х) > 3 при всех значениях х 2 (рис. 125).
Точки минимума и точки максимума называются
точками экстремума.
Рассмотрим функцию f (х), которая определена в
некоторой окрестности точки х0 и имеет производ-
ную в этой точке.
Теорема. Если х0 точка экстремума диффе-
ренцируемой функции f (х), то /' (х0) = 0.
Это утверждение называют теоремой Ферма'.
Теорема Ферма имеет наглядный геометрический
смысл: касательная к графику функции у = f (х)
в точке (х0; f (х0)), где х0 — точка экстремума функ-
ции у = f (х), параллельна оси абсцисс, и по-
этому её угловой коэффициент Г (х0) равен нулю
(рис. 126).
1Пьер Ферма (1601 —1665) — французский математик, один из
основоположников теории чисел и математического анализа.
266
Например, функция f (х) = 1 - х2 (рис. 124) имеет в
точке х0 = О максимум, её производная f'(x) = -2х,
Г(0) = 0. Функция f (х) = (х - 2)2 + 3 имеет ми-
нимум в точке х0 = 2 (рис. 125), f' (х) = 2 (х - 2),
/42) = 0.
Отметим, что если Г(хо) = О, то этого недостаточ-
но, чтобы утверждать, что х0 обязательно точка эк-
стремума функции f (х).
Например, если f (х) = х3, то = 0. Однако точ-
ка х = 0 не является точкой экстремума, так как
функция х3 возрастает на всей числовой оси (рис. 127).
Итак, точки экстремума дифференцируемой функ-
ции нужно искать только среди корней уравнения
f (х) = 0, но не всегда корень этого уравнения яв-
ляется точкой экстремума. Точки, в которых про-
изводная функции равна нулю, называют стацио
парными.
Заметим, что функция может иметь экстремум и в
точке, где эта функция не имеет производной. Напри-
мер, х = 0 — точка минимума функции f (х) = |х|,
а /'(0) не существует (см. § 44). Точки, в которых
функция имеет производную, равную нулю, или
недифференцируема, называют критическими точ
ками этой функции.
Таким образом, для того чтобы точка х0 была точкой
экстремума функции f (х), необходимо, чтобы эта
точка была критической точкой данной функции.
Приведём достаточные условия того, что стационар-
ная точка является точкой экстремума, т. е. усло-
вия, при выполнении которых стационарная точка
есть точка максимума или минимума функции.
267
Теорема. Пусть функция f (х) дифференцируе-
ма на интервале (а; д), х0 е (а; Ь), и Л(*о) = О-
Тогда:
1) если при переходе через стационарную точку х0
функции f (х) её производная меняет знак с «плю-
са» на «минус», т. е. /'(*)> 0 слева от точки х0
и Г (х) < 0 справа от точки х0, то х0 точка мак-
симума функции f (х) (рис. 128);
2) если при переходе через стационарную точку х0
функции f (х) её производная меняет знак с «ми-
нуса» на «плюс», то х0 точка минимума функ-
ции f (х) (рис. 129).
Для доказательства этой теоремы можно восполь-
зоваться формулой Лагранжа на отрезках [х; х0],
где а < х < х0, и [х0; х], где х0 < х < Ь.
Задача 1 Найти точки экстремума функции f (х) = х4 - 4х3.
► Найдём производную:
Г (х) = 4х3 - 12х2 = 4х2 (х - 3).
Найдём стационарные точки:
4х2 (х - 3) = О, Х| = 0, х2 = 3.
Методом интервалов устанавливаем, что производ-
ная f' (х) = 4х2 (х - 3) положительна при х > 3,
отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.
Так как при переходе через точку х, = О знак про-
изводной не меняется, то эта точка не является
точкой экстремума.
При переходе через точку х2 = 3 производная ме-
няет знак с «-» па «+». Поэтому х2 = 3 —точка
минимума. <3
268
Задача 2 Найти точки экстремума функции f (х) = х3 - х
и значения функции в этих точках.
► Производная равна
/'(1) = 3х2-1 = 3 х + 4=	Jf—F 
I ОД
Приравнивая производную к нулю, находим две
стационарные точки: х, = —~ и х2=	При пере-
7з V3
ходе через точку х. = - производная меняет знак
Мз
с «+» на «-». Поэтому х.= —-= — точка максиму-
ма
ма. При переходе через точку х2= -L производная
Мз
меняет знак с на «+», поэтому х2= -4= — точка
V3
минимума. Значение функции в точке максиму-
|	1 I 9
ма равно f -~^= 1 = —= , а в точке минимума
I 3 ) 3V3
4-й=—
\>[з)	3V3
Упражнения
910 На рисунке 130 изображён график функции у - f (х). Найти
точки максимума и минимума этой функции.
911 На рисунке 131 изображён график функции у = f (х). Найти
критические точки этой функции.
912 Найти стационарные точки функции:
1) у = | + 8;	2) у = 2х3 - 15х2 + 36х;
3) у = е2х - 2е*;	4) у = sin х - cos х.
269
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
Найти стационарные точки функции:
2 + X2	П\ Х2+3	-Ж.	..
1) У =-----J 2) у=——;	3) у = ех >; 4) у = 2х
х	2х
Найти точки экстремума функции:
1) у = 2х2 - 20х + 1;	2) у = Зх2 + 36х - 1;
3) у=7 + -;	4) У=± + £.
5 х	х 16
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) у = х3 - Зх2;	2) у = х4 - 8х2 + 3;
3) у = х + sin х;	4) у = 2 cos х + х.
Имеет ли точки экстремума функция:
1) у = 2x4- 5; 2) у = 7 - 5х; 3) у = х3 + 2х; 4)у=---?
2 х
Построить эскиз графика непрерывной функции у = f (х),
определённой на отрезке [а; Ь], если:
1)	а=-1, Ь = 7,	/ (-1) = 0,	f(7)	= -2,	/'(х)>0	при
-1 < х < 4, /'(*)< 0 при 4 < х < 7, /'(4) = 0;
2)	а=-5, д = 4, /(-5) = 1,	Г(4)	= -3,	/'(*)< О при
-5 < х < -1, f'(x) > 0 при -1 < х < 4, /'(“1) - 0.
Найти критические точки функции:
1) у = л/2-Зх2 ;	2) у = 7х®-3х;
3)у = |х-1|;	4) у = х2 - |х| - 2.
Найти точки экстремума функции:
6
1) У = x + V3-x;	2) i/ = (x-l)7;
3)	у = х - sin 2х;	4) у = cos Зх - Зх.
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
(2-х)3	х3 + 2х2	3
D = h2) У = ~.--------------3) !/ = (*-1)е3х;
(3-Х)2	(*-1)2__
4)	у = sin х + i sin 2х;	5) y = e'‘3~x* ;	6) у = Je*—x.
Построить эскиз графика функции у = f (х), непрерывной на
отрезке [а; ft], если:
1)а=-6, 5 = 6, Г (-6) =-в, /(6)=1, Г(х)>0 при
-6 < х < -4, -1 < х < 4, Г(х) < 0 при -4 < х < -1, 4 < х < 6,
Г (-4) = О, Н-1) = 0, /'(4) = 0;
2)	а=-4, ft = 5, Г (-4) = 5, f (5) = 1,	/'(х)<0 при
-4 < х <-3,	0 < х < 3,	/'(х)>0 при -3 < х < О,
3 < х < 5, /'(-3) = 0, /'(0) = 0. Г(3) = 0.
Исследовать на экстремум функцию у = (х + 1)" е~х, где
п — натуральное число.
270
♦ Применение производной
к построению графиков функций
Задача 1 Построить график функции f (х) = х3 - 2х2 + х,
► Эта функция определена при всех х е R. С по-
мощью производной найдём промежутки моно-
тонности этой функции и её точки экстремума.
Производная равна /'(*) = Зх2 - 4х + 1. Найдём
стационарные точки: Зх2 - 4х + 1 = О, откуда
х,= Хр = 1.
1	3	2
Для определения знака производной разложим
квадратный трёхчлен Зх2 - 4х + 1 на множители:
/'(х) = з(х-|](х-1).
Производная положительна на промежутках
I -оо; i I и (1;+оо), следовательно, на этих проме-
жутках функция возрастает.
При - < х < 1 производная отрицательна, следо-
3	/	\
вательно, на интервале 1 функция убывает.
Точка ху = -
1 3
является точкой максимума, так как
слева от этой точки функция возрастает, а справа
убывает. Значение функции в этой точке равно
Точка х2 = 1 является точкой минимума, так как
слева от этой точки функция убывает, а справа воз-
растает; её значение в точке минимума равняется
Г(1) = 0.
Результаты исследования представим в следующей
таблице:
X	х<Х 3	х 3	Х<х<1 3	1	х > 1
Г(х)	+	0	—	0	+
/(х)		4 27		0	
271
Рис. 132
Символ <Z» означает, что функция
возрастает, а символ означает,
что функция убывает.
При построении графика обычно на-
ходят точки пересечения графика с
осями координат. Так как f (0) = 0,
то график проходит через начало ко-
ординат. Решая уравнение f (х) = 0,
находим точки пересечения графи-
ка с осью абсцисс:
Xя - 2х2 + х = 0, х (х2 - 2х + 1) = 0, х (х - I)2 = 0,
откуда х = 0, х=1. Для более точного построе-
ния графика найдём значения функции ещё в двух
точках: f I — - I = - -,
I 2)	8
f (2) = 2.
Используя результаты исследования, строим гра-
фик функции у = х3 - 2х2 + х (рис. 132). <
Для построения графика функции обычно сначала
исследуют свойства этой функции с помощью её
производной примерно по такой же схеме, как и
при решении задачи 1.
При исследовании свойств функции полезно найти:
1) область её определения;
2)	производную;
3)	стационарные точки;
4)	промежутки возрастания и убывания;
5)	точки экстремума и значения функции в этих
точках.
Результаты исследования удобно записать в виде
таблицы. Затем, используя таблицу, строят гра-
фик функции. Для более точного построения гра-
фика обычно находят точки его пересечения с ося-
ми координат и, быть может, ещё несколько точек
графика.
Задача 2 Построить график функции f (х) = 1 - | х2 - х5.
► 1) Область определения — множество R всех дей-
ствительных чисел.
2)	f (х) = -5х - 5х4 = -5х (1 + х3).
3)	Решая уравнение -х (1 4- х3) = 0, находим ста-
ционарные точки х1 = —1 и х2 = 0.
4)	Производная положительна на интервале (-1; 0),
следовательно, на этом интервале функция возра-
272
стает. На промежутках (-оо; -1) и
। j у = 1--х2-х5	(0;+°°) производная отрицательна,
2	следовательно, на этих промежутках
| 1 /	\	функция убывает.
----V--/———•——►	5) Стационарная точка хх = -1	являет-
\у -1	\	1	х	ся точкой минимума, так как	при пе-
1	\	реходе через эту точку производная ме-
няет знак с «-» на «+»; /(-1) = -0,5.
_2	\	Точка х2 = 0 — точка максимума, так
как при переходе через неё производ-
Рис. 133	ная меняет знак с «+* на «-»; f (0) = 1.
Составим таблицу.
X	X < -1	-1	-1 < х < 0	0	х > 0
Г(х)	—	0	+	0	—
Г (х)		0.5		1	
Используя результаты исследования, строим гра-
фик функции у = 1 - | х2 - х5 (рис. 133).
График функции у = 1 - - х2 - хб построен с по-
2
мощью исследования некоторых свойств этой функ-
ции. По графику можно выявить и другие свойства
данной функции. Например, из рисунка 133 видно,
что уравнение 1 - - х2 - х6 = 0 имеет три различ-
2
ных действительных корня.
Для построения графика чётной (нечётной) функ-
ции достаточно исследовать свойства и построить
её график при х > 0, а затем отразить его симмет-
рично относительно оси ординат (начала координат).
Задача 3 Построить график функции f (х) = х + -.
► 1) Область определения: х * 0.
2)	Данная функция нечётная, так как f (-х) =
= -х + —= -|х + - |=	Поэтому сначала иссле-
-х \ х/
дуем эту функцию и построим её график при х > 0.
3)	Г'(х) = 1-4 = (Х + 2)г(Х~2)-
273
4)	На промежутке (0; +оо) функция имеет одну
стационарную точку х = 2.
5)	Производная положительна на промежутке
(2; +оо), следовательно, на этом промежутке функ-
ция возрастает. На интервале (0; 2) производная
отрицательна, следовательно, на этом интервале
функция убывает.
6)	Точка х = 2 является точкой минимума, так как
при переходе через эту точку производная меняет
знак с «-* на «+»; f (2) = 4.
Составим таблицу.
X	0 < х < 2	2	х > 2
гм		0	+
/(*)		4	S'
Найдём значения функции ещё в двух точках:
/ (1) = 5, /(4) = 5.
Используя результаты исследования, строим гра-
фик функции у - х 4- - при х > 0. График этой
X
функции при х < 0 строим с помощью симметрии
относительно начала координат (рис. 134). <
274
Для краткости записи решения задач на построе-
ние графиков функций большую часть рассужде-
ний, предшествующих таблице, можно проводить
устно.
В некоторых задачах требуется исследовать функ-
цию не на всей области определения, а только на
некотором промежутке.
Задача 4 Построить график функции f (х) = 1 + 2х2 - хА на
отрезке [-1; 2].
► Найдём производную
f (х) = 4х - 4х3 = 4х (1 + х) (1 - х).
Составим таблицу.
X	-1	-1 < х < 0	0	0 < х < 1	1	1 < х < 2	2
Г(х)	0	—	0	+	0	—	-24
/(х)	2		1		2		-7
Используя эту таблицу, строим график функции
//=14- 2х2 - х4 на отрезке [-1; 2] (рис. 135). <1
923
924
925
Упражнения
Используя график функции у = f (х) (рис. 136), найти:
1)	область определения и множество значений функции;
2)	нули функции;
3)	промежутки возрастания и убывания функции;
4)	значения х, при которых функция принимает положи-
тельные, отрицательные значения;
5)	экстремумы функции.
Построить эскиз графика функции у = f (х), непрерывной на
отрезке [а; 5], если:
1)	а = -2, b = 4, f (-2) = -2, у = f (х) возрастает на отрезке
[-2; 1J и f (х) = х при 1 < х < 4;
2)	а = 1. ft = 7, /(7)=1, /(х) = х2 при 1 < х < 2, у = f (х)
убывает на промежутке (2; 7].
На отрезке [0; 6] изобразить эскиз графика непрерывной
функции у - f (х), пользуясь данными, приведёнными в таб-
лице. Учесть, что f (2) = 0, f (5) = 0.
X	0	0 <х < 1	1	1 < х < 4	4	4 < х < 6	6
Г(х)		4-	0	—	0	+	
/(х)	0		2		-2		3
275
Построить график функции (926—927).
926 1) 0 = х3-Зх2 + 4;
3)	у = -х3 + 4х2 - 4х;
927 1) |/ = -х4 + 8х2- 16;
3)	у = - х‘ - — х6;
4	24
2) 0 = 2 + Зх - х3;
4) у = х3 + 6х2 + 9х
2) у = х4 - 2х2 + 2;
4) у = 6х4 - 4х6.
928 Построить график функции:
1)	У = х3 - Зх2 + 2 на отрезке [-1; 3];
2)	у = х4 - 10х2 + 9 на отрезке [-3; 3J.
929 На рисунке 137 изображён график функции у = g (х), являю-
щейся производной функции у = f (х). Используя график,
найти точки экстремума функции у = f (х).
Построить график функции (930—933).
930 1)0 = 2 + 5х3 - Зх5;	2) у = Зх5 - 5х3;
3)	у = 4х5 - 5х4;	4) у = — х5 - - х3 + 2х.
10	6
931	1) у = 3х + -^-; Зх	2) у = — — х; 3) у = х-4=-	
		X	УХ
932	1) 0 = хе~*;	2) у = хе*;	3) у = е*г	;	4) у = е~*\
933	J D = х-2	2) у»"*2**8*"1;	3)	_ 4 + х~2х2 if “	л • (х-2)2
934 Найти число действительных корней уравнения:
1) х4 - 4х3 + 20-0;	2) 8х3 - Зх1 -7 = 0.
х3-4
935 Построить график функции 0 =----------. Сколько действи-
(х-1)3
х3 — 4
тельных корней имеет уравнение ------— = С при различ-
(Х-1)3
ных значениях С?
276
Наибольшее и наименьшее
: значения функции
52
1. На практике часто приходится решать задачи,
в которых требуется найти наибольшее или наи-
меньшее значение из всех тех значений, которые
функция принимает на отрезке.
Рассмотрим, например, график функции f (х) =
= 1 + 2х2 - х4 на отрезке [-1; 2]. Этот график
был построен в предыдущем параграфе (см.
рис. 135).
Из рисунка видно, что наибольшее значение на
этом отрезке, равное 2, функция принимает в двух
точках х = —1 и х = 1; наименьшее значение, рав-
ное -7, функция принимает при х = 2. Точка х = О
является точкой минимума функции f (х) =
= 1 + 2х2 — х4. Это означает, что есть такая окрест-
ность точки х = 0, например интервал ~
что наименьшее значение в этой окрестности функ-
ция принимает при х = 0. Однако на большем про-
межутке, например на отрезке [-1; 2], наименьшее
значение функция принимает не в точке мини-
мума, а на конце отрезка. Таким образом, для
нахождения наименьшего значения функции на
отрезке нужно сравнить её значения в точках ми-
нимума и на концах отрезка.
Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке (а; Ь]
и имеет несколько критических точек на этом от-
резке.
Для нахождения наибольшего и наименьшего зна-
чений функции на отрезке [а; Ь] нужно:
1)	найти значения функции на концах отрезка,
т. е. числа f (а) и f (д);
2)	найти её значения в тех критических точках,
которые принадлежат интервалу (a; Ь);
3)	из всех найденных значений выбрать наиболь-
шее и наименьшее.
277
►11 '(i
Задача 1 Функция f(x) = x3 + - непрерывна на отрезке 2 .
х	L2 .
Найти её наибольшее и наименьшее значения.
= б|, Г(2) = 9|.
К	2
2)	/'(x) = 3x* 2-4 = ^v^> Зх4 - 3 = 0, х, = 1,
X2 X2
х2 = — 1.
Интервалу (|; 2 j принадлежит одна стационарная
точка Xj = 1, f (1) = 4.
3)	Из чисел 6 -, 9 - и 4 наибольшее 9 1, наимень-
8	2	2
шее 4.
Ответ Наибольшее значение функции равно 9 наи-
меньшее равно 4. <3
Задача 2 Функция /(х) = х + ^ непрерывна на отрезке [2; 4].
Найти её наибольшее и наименьшее значения.
► 1) f (2) = 2,5, /(4) = 4,25.
2)	/'(х) = 1-1	1--А- = 0, х,=-1. х2 = 1.
X2	X2
На интервале (2; 4) стационарных точек нет.
3)	Из чисел 2,5 и 4,25 наибольшее 4,25, наимень-
шее 2,5.
Ответ Наибольшее значение функции равно 4,25, наи-
меньшее равно 2,5.
2. При решении многих задач часто приходится
находить наибольшее или наименьшее значение
функции не на отрезке, а на интервале.
Нередко встречаются задачи, в которых функция f (х)
имеет на заданном интервале только одну стационар-
278
ную точку: либо точку максимума, либо точку мини-
мума. В этих случаях в точке максимума функция
f (х) принимает наибольшее значение на данном ин-
тервале (рис. 138, а); а в точке минимума — наи-
меньшее значение на данном интервале (рис. 138, б)*
Задача 3 Число 36 записать в виде произведения двух поло-
жительных чисел, сумма которых наименьшая.
►	Пусть первый множитель равен х, тогда второй
множитель равен —. Сумма этих чисел равна х + —.
X	X
По условию задачи х — положительное число. Та-
ким образом, задача свелась к нахождению такого
значения х, при котором функция /(х) = х + —
X
принимает наименьшее значение на интервале
(0; +оо).
Найдём производную:
х2	X2
Стационарные точки Xj = 6 и х2 = -6. На интервале
(0; +оо) есть только одна стационарная точка х = 6.
При переходе через точку х = 6 производная ме-
няет знак с «-» на «+», и поэтому х = 6 — точка
минимума. Следовательно, наименьшее значение
на интервале (0; +оо) функция f (х) = х+— при-
х
нимает в точке х = 6 (это значение f (6) = 12).
Ответ 36 = 6 • 6.
3*. При решении некоторых задач на нахождение
наибольшего и наименьшего значений функции по-
лезно использовать следующее утверждение:
Если значения функции f (х) неотрицательны на
некотором промежутке, то эта функция и функ-
ция (/ (х))", где п — натуральное число, прини-
мают наибольшее (наименьшее) значение в одной
и той же точке.
Задача 4* Из всех прямоугольников, вписанных в окруж-
ность радиуса Я, найти прямоугольник наиболь-
шей площади.
►	Найти прямоугольник — это значит найти его раз-
меры, т. е. длины его сторон. Пусть прямоуголь-
ник ABCD вписан в окружность радиуса R (рис. 139).
Обозначим АВ = х. Из ЛАВС по теореме Пифагора
279
Рис. 139
находим ВС = yj4R2 - х2. Площадь прямо-
угольника равна
S (х) = х ^4R2 - х2 , где 0 < х < 2R.
Задача свелась к нахождению такого зна-
чения х, при котором функция S (х) при-
нимает наибольшее значение на интерва-
ле (0; 2R). Так как S (х) > 0 на интервале
(0; 2R), то функции S (х) и f (х) = (S (х))2
принимают наибольшее значение на этом
интервале в одной и той же точке.
Таким образом, задача свелась к нахождению
такого значения х, при котором функция
f (х) = х2 (4Я2 - х2) - 4R2x2 - х4
принимает наибольшее значение на интервале
(0; 2R). Найдём производную
Г (х) = 8Л2х - 4х3 = 4х (R 42 + х) (R 42 - х).
На интервале (0; 2R) есть только одна стационар-
ная точка x = R 42 — точка максимума. Следова-
тельно, наибольшее значение функция f (х), (а зна-
чит, и функция S (х)) принимает при х = R 42.
Итак, одна сторона искомого прямоугольника рав-
на R 42, другая равна ^4Я2^(В 42)2 = R 42, т. е.
искомый прямоугольник — квадрат со стороной
R 42, его площадь равна 2R2. <1
Упражнения
936 Используя график функции (рис. 140), найти её точки экст-
ремума, а также наибольшее и наименьшее значения.
937 Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f (х) = 2х3 + Зх2 - 36х:
1) па отрезке [-4; 3]; 2) на отрезке [-2; 1J.
938 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	f (х) = х4 - 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2];
2)	/*(х) = х + — на отрезке [-2;-0,5];
х
О *
3)	f (х) = sin х + cos х на отрезке л; — .
280
Рис. 140
939
940
941
942
943
944
945
Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:
1) f (х) = х2 3 + на промежутке (0; +оо);
х2
2) f (х) = - - х2 на промежутке (-со; 0).
Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов ко-
торых наименьшая.
Записать число 625 в виде произведения двух положитель-
ных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоуголь-
ник наибольшей площади.
Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2,
найти прямоугольник с наименьшим периметром.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f (х) = In х - х
на отрезке
1.
2*
3
2) f (х) = х + на отрезке [-1; 2];
3) f (х) = 2 cos х - cos 2х на отрезке [0; я].
Найти наибольшее значение функции:
1) 3 Vx - х Ух на промежутке (0; +со);
2) Зх-2х Ух на промежутке (0; +оо).
281
946 Найти наименьшее значение функции:
1) е3х - Зх на интервале (-1; 1);
2) i + In х на интервале (О; 2).
х
947 Найти наибольшее значение функции:
1)	хУб - х на интервале (0; 5);
2)	х34а - х на интервале (0; 4);
3)	^/х2 (1 - х) на интервале (0; 1);
4)	^/(х2-4х + 5)_1 на интервале (-1; 5).
948 Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать
открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по
краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141).
Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был
наибольшим?
949 Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со
стороной а так, что одна сторона квадрата лежит на осно-
вании треугольника (рис. 142). Обозначая ВК = х, найти
такое значение х, при котором площадь треугольника наи-
меньшая.
950 Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит на
оси Ох, вторая — на положительной полуоси Оу, третья —
в начале координат, а четвёртая — на параболе у = 3 - х2,
выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту
площадь.
951 Найти на параболе у = х2 точку, ближайшую к точке
А (2; 0,5).
952 Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жёлоб.
При каком угле наклона боковых стенок к основанию пло-
щадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей?
Рис. 141
282
Выпуклость графика функции,
точки перегиба
*
1. Производная второго порядка.
Пусть функция f (г) дифференцируема на интерва-
ле (а; Ь). Её производная /' (х) является функцией
от х на этом интервале. Производную f' (х) данной
функции f (х) называют также первой производной
или производной первого порядка функции f (х).
Если функция /' (х) имеет производную (дифферен-
цируема) на интервале (а; Ь), то эту производную
называют второй производной или производной
второго порядка данной функции f (х) и обознача-
ют fH(x)9 т. е.
Г(*) = (Г(х))'.
Например, если f (х) = х4 - Зх2, то f'(x) = 4х3 - 6х,
f"(x) = 12х2 - 6, а если f (х) = sin 2х, то f(x) =
= 2 cos 2х, f"(x) = -4 sin 2х. Производную от вто-
рой производной функции f (х) называют третьей
производной или производной третьего порядка
этой функции и т. д. В § 49 и 50 было показано,
как с помощью первой производной можно нахо-
дить промежутки возрастания (убывания) функ-
ции и точки экстремума. Рассмотрим свойства
функции, которые устанавливаются с помощью
второй производной.
2. Выпуклость функции.
На рисунке 143 изображены графики функций,
имеющих первую и вторую производные на интер-
вале (а; Ь).
Рис. 143
283
Выясним, в чём заключается различие в поведении
этих функций и какие свойства являются для них
общими. На рисунке 143, а изображён график воз-
растающей, а па рисунке 143, б убывающей функ-
ции; функция, график которой представлен на ри-
сунке 143, в, не является монотонной на (а; Ь).
Однако все кривые, изображённые на рисунке 143,
обладают общим свойством: с возрастанием х от а
до b угловой коэффициент касательной к каждой
из данных кривых уменьшается, т. е. производная
каждой из соответствующих функций убывает на
интервале (а; 5), и поэтому f"(x) < 0.
Из рисунков видно, что для любой точки х0 ин-
тервала (а; Ь) график функции у = f (х) при всех
х е (а; Ь) и х * х0 лежит ниже касательной к это-
му графику в точке (х0; f (х0)).
Поэтому функции, графики которых изображены
на рисунке 143, называют выпуклыми вверх. Да-
дим теперь определение выпуклости. Функция
y = дифференцируемая на интервале (а; Ь),
называется выпуклой вверх на этом интервале,
если её производная f (х) убывает на (а; Ь).
Аналогично функция f (х) называется выпуклой
вниз на интервале (а; Ь), если f' (х) возрастает на
этом интервале (рис. 144), и потому /"(х)>0.
Если х0 — любая точка интервала (а; Ь), то график
функции, выпуклой вниз, при всех х е (а; Ь) и
х Ф х0 (рис. 144) лежит выше касательной к этому
графику в точке (х0; f (х0)).
Отметим ещё, что если функция у = f (х) выпукла
вверх, а М1 и М2 — точки этого графика (рис. 145),
то на интервале (хг; х2), где а < х, < х2 < Ь, график
функции у = f (х) лежит выше прямой, проведён-
ной через точки и ЛГ2.
284
Интервалы, на которых функция вы-
пукла вверх или вниз, называют ин
тервалами выпуклости этой функ-
ции.
Покажем, как с помощью второй
производной можно находить интер-
валы выпуклости.
Пусть функция f (х) имеет на интер-
вале (а; Ь) вторую производную. То-
гда если (х) < 0 для всех х е (а; д),
то на интервале (а; Ь) функция f (х)
выпукла вверх, а если /"(х)>0
на интервале (а; Ь), то функция f (х) выпукла
вниз на интервале (а; Ъ).
Задача 1 Найти интервалы выпуклости вверх и вниз функ-
ции f (х), если:
1)	f (х) = х3; 2) f (х) = sin х, -п < х < п.
► 1) Если f (х) = х3, то /" (х) = 6х. Так как f" (х) < О
при х<0 и (х) > 0 при х > 0, то на промежутке
(-оо; О) функция х3 выпукла вверх, а на промежут-
ке (0; +оо) выпукла вниз (рис. 146).
2)	Если / (х) = sin х, то /" (х) = - sin х. Пусть
-я < х < 0, тогда sin х < 0 и /* (х) > 0. Следо-
вательно, функция sin х (рис. 147) выпукла вниз
на интервале (-я; 0). Аналогично функция sin х
выпукла вверх на интервале (0; я), так как
- sin х < 0 при 0 < х < я. <3
Задача 2 Доказать, что если 0 < х < —, то sin х > - х.
2	я
9	/ _ \
► Прямая у- — х проходит через точки (0; 0) и —; 1
я	\2 7
(см. рис. 147). Так как функция ty = sin х выпукла
285
вверх на интервале [О; ~ J, то её график на этом
интервале лежит выше прямой у = - х. Это и озна-
п
чает, что на интервале ^0;	| справедливо неравен-
2
ство sin х > - х. <
п
3.	Точка перегиба.
В задаче 1 были рассмотрены функции f (х) = х3 и
f (х) = sin х, для которых точка х = 0 является
одновременно концом интервала выпуклости вверх
и концом интервала выпуклости вниз.
Точка х0 дифференцируемой функции f (х) назы-
вается точкой перегиба этой функции, если х0
является одновременно концом интервала выпук-
лости вверх и концом интервала выпуклости вниз
для f (х).
Иными словами, в точке перегиба х0 дифферен-
цируемая функция меняет направление выпукло-
сти.
Отметим, что при переходе через точку перегиба х0
функции f (х) график этой функции переходит
с одной стороны касательной к этому графику
в точке х0 на другую сторону.
С помощью второй производной можно находить
точки перегиба.
Пусть функция f (х) имеет на интервале (а; Ъ) вто-
рую производную. Тогда если f"(x) меняет знак
при переходе через х0, где х() е (а; Ъ), то х0 — точка
перегиба функции f (х).
Задача 3 Найти точки перегиба функции:
1)/(х) = хех; 2) f (х) = х4 - 2х3.
► Найдём первую и вторую производные функции.
1)	Л(х) = е*-хех = ех(1-х).
/" (х) = -е~х (1 - х) - е~х = е~х (х - 2).
Так как f" (х) < 0 при х < 2 и /" (х) > 0 при х > 2,
то х = 2 — точка перегиба функции хе *. Других
точек перегиба нет.
2)	Г (х) = 4х3 - 6х2, /"(х) = 12х2 - 12х= 12х (х-1).
Функция f"(x) меняет знак при переходе через
точки 0 и 1 (и только в этих точках). Следова-
тельно, х = 0 и х = 1 точки перегиба функции
f (х) = х4 - 2х3. <1
286
Упражнения
953 Найти /"(-к)» если:
1) f (х) = х2 cos х;	2) f (х) = х3 sin х;
3)	f (х) = хб * + 2х3 - х2 + 2;	4) f (х) = х4 - Зх3 + 5х + 6.
954 Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпукло-
сти вниз функции f (х), если:
1) /(х) = (х+1)4;	2) / (х) = х4 - 6х2 + 4;
3) f (х) = (х2 - Зх + 2) ех; 4) f (х) = х8 - 6х In х.
955 Найти точки перегиба функции f (х), если:
1) f(x) = cosx, -л < х < л; 2) f (х) = х5 - 80х2;
3) f (х) = 12х3 - 24х2 + 12х;
4) f (х) = sin х - - sin 2х, -л < х < л.
956 Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1) у = 2х3 + Зх2 - 2;	2) у = - х3 - х2 - 4х + 5:
3
3) у = --1;	4) 1/ = -^.
х	X-3
957 Найти стационарные точки функции:
1) У = х4 - 4х3 - 8х2 + 1;	2) у = 4х4 - 2х2 + 3;
3) у = - - —;	4) у = cos 2х + 2 cos х.
3 х
958 Найти точки экстремума функции:
1) у = х3-4х2;	2)	= Зх4 - 4х3.
959 Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) у = х5 - 2.5х2 + 3;	2) у = 0,2х5 - 4х2 - 3.
960 Построить график функции:
1) у=^- + 3х2;	2) у = -^- + х2.
961 Построить график функции:
1) у - Зх2 - 6х + 5 на отрезке [0; 3];
2) у = | х4 - Xs - х2 + 2 на отрезке [-2; 4].
287
962
963
964
965
1
2
3
4
5
966
967
968
969
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	f (*) = х3 - 6х2 + 9 на отрезке [-2; 2];
2)	f (х) = Xя + 6х2 + 9х на отрезке [-4; 0J;
3)	f (х) = х4 - 2х2 4-3 на отрезке [-4; 3];
4)	f (х) = х4 - 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2].
Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра
наименьшую диагональ имеет квадрат.
Из всех равнобедренных треугольников с периметром р най-
ти треугольник с наибольшей площадью.
Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в
основании лежит квадрат и площадь полной поверхности
равна 600 см2, найти параллелепипед наибольшего объёма.
Проверь себя!
Найти интервалы возрастания и убывания функции
у = 6х - 2х3.
у О
Найти точки экстремума функции у = — 4- -.
3 х
Построить график функции:
1)	у = 2х4 - х2 + 1;	2) у = х3 - Зх.
Функция у = х+- непрерывна на отрезке [1; 5J. Найти её
х
наибольшее и наименьшее значения.
Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м,
а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основа-
ния, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим?
Доказать, что функция у = 1,8х5-2 - х3-1-7х + 12,5 возра-
3
стает на всей области определения.
Доказать, что функция ^/=х(1 + 2 /х) возрастает на всей
области определения.
Найти точки экстремума функции:
1)	у = х In х; 2) у = хе*\ 3) у-—------------—.
7-х	3-х
На рисунке 148 изображён график функции у = g (х), явля-
ющейся производной функции у = f (х). Найти:
1)	интервалы возрастания и убывания функции у = f (х);
2)	точки экстремума функции у = f (х);
3)* точки перегиба функции у = f (х).
288
970 Построить график функции:
3)	у = (х - I)2 (х + 2);	4) у = х (х - I)8.
971
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f (х) = 2 sin х + sin 2х
на отрезке
0; - л
2
2) f (х) = 2 cos х -ь sin 2х на отрезке [0; я].
972 Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма од-
ного катета и гипотенузы равна /, найти треугольник с наи-
большей площадью.
973 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Ка-
кую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треуголь-
ника была наибольшей?
974 Сумма диагоналей параллелограмма равна а. Найти наи-
меньшее значение суммы квадратов всех его сторон.
975 Найти точки перегиба функции:
1) /(х) = 6х2-х3;	2) f (х) = Зх2 4- 4х3.
976 Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса R
так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре
полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь.
Найти эту площадь.
977 Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из
которых высота равна 12, а основанием является прямо-
угольный треугольник с гипотенузой 4.
289
978 Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения
равен р, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот
объём.
979 Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямо-
угольного параллелепипеда с площадью поверхности 28.
Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его
объём был наибольшим, а отношение длины к ширине рав-
нялось - ?
2
поп и -	а.	х2-Зх + 2
980 Наити точки экстремума функции у = —-----------.
х2 + Зх + 2
981 Построить график функции
1)	у = (х2- 1) Vx + 1;
2)	у = |х| •
3)	у = х2е~х;
4)	у = х3ех.
982 Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдви-
нуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149).
Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при
котором величина силы будет наименьшей, если коэффи-
циент трения груза равен k.
F
Рис. 149
X
глава
1 Интеграл
i Нет ни одной области математики, как
бы абстрактна она ни была, которая
- когда-нибудь не окажется применимой
к явлениям действительного мира.
Н. И. Лобачевский
? Первообразная

Рассмотрим движение материальной точки вдоль
прямой. Пусть закон движения точки задан функ-
цией s (О. Тогда мгновенная скорость и (t) равна
производной функции s (0, т. е. и (t) = в'(О*
В практике встречается обратная задача: по задан-
ной скорости движения точки и (I) найти закон
движения, т. е. найти такую функцию s (0, про-
изводная которой равна и (0. Функцию я (0,
такую, что я'(0 = и(0, называют первообразной
функции v (t).
Например, если о (О = at, где а — заданное число,
то функция я(0 = ^— является первообразной
функции v (0, так как s'(t) = ( ^-1 = at = и (0.
Функция F (х) называется первообразной функ-
ции f (х) на некотором промежутке, если для
всех х из этого промежутка F' (х) = f (х).
Например, функция F (х) = sin х является перво-
образной функции /(x) = cosx, так как (sin х)' =
х1
= cos х, функция F (х) = — является нервообраз-
4
ной функции f (х) = х3, так как I — | = Xs.
291
„3 V
~ + 1 I =х2- /(X).
Задача 1 Доказать, что функции —, —+1, *------------4 являют -
3	3	3
ся первообразными функции f (х) - х2.
у 2
► 1) Обозначим F,(x) =—, тогда F'. (х) = 3----------
3	3
= X2 = f (х).
I-3
2)	F2(x) = ^- + 1, Г2'(х) =
г>
8	( 3	Лf
3)	F3(x) = ^--4, ГЯ'(Х) = К--4 =х8=/(х).
3	\ 3	/
хз
Вообще, любая функция — + С, где С — постоян-
3
ная, является первообразной функции х2. Это сле-
дует из того, что производная постоянной равна
нулю. Этот пример показывает, что для заданной
функции её первообразная определяется неодно-
значно.
Пусть Fl (х) и F2 (х) — две первообразные одной
и той же функции f (х). Тогда F{ (х) = f (х) и
Ff2 (х) = f (х). Производная их разности g (х) =
= F1 (х) - F2 (х) равна нулю, так как g' (х) = F\ (х) -
- F2 (х) = Нх) - f (х) = О.
Если (х) = 0 на некотором промежутке, то каса-
тельная к графику функции у = g (х) в каждой точ-
ке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому
графиком функции у - g (х) является прямая, па-
раллельная оси Ох, т. е. g (х) = С, где С — некото-
рая постоянная. Из равенств g (х) = С, g (х) =
= F, (х) - F2 (х) следует, что F} (х) = F2 (х) + С.
Итак, если функция F (х) является первообразной
функции f (х) на некотором промежутке, то все
первообразные функции / (х) записываются в виде
F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
у.	Рассмотрим графики всех первообраз-
		ных заданной функции f (х). Если
F (х) — одна из первообразных фукн-
ув y = F(x) ции / (х), то любая первообразная этой
функции получается прибавлением к
/___________________F (х) некоторой постоянной: F (х) + С.
Графики функций у = F (х) + С полу-
0х чаются из графика у = F (х) сдвигом
У	вдоль оси Оу (рис. 150). Выбором С
можно добиться того, чтобы график
первообразной проходил через задан-
Рис. 150	ную точку.
292
Задача 2 Для функции f (х) = х найти такую первообраз-
ную, график которой проходит через точку (2; 5).
►	Все первообразные функции f (х) = х находятся но
формуле F (х) = - + С, так как F' (х) = х. Найдём
х2
число С, такое, чтобы график функции + С
проходил через точку (2; 5). Подставляя х = 2,
22
у = 5, получаем 5 = — + С, откуда С = 3. Следова-
г2
тельно, F (х) = — + 3. I
2
Задача 3 Доказать, что для любого действительного р Ф -1
функция F(x) = —---------------- является первообразной
р+1
функции f (х) = хр на промежутке (0; +оо).
.	( гР+1 V (х**1)'
►	Так как (хр * !)' = (р + 1) • хр, то - =----=
\Р + 1 )	Р+1
= хр. <1
Упражнения
983 Показать, что функция F (х) является первообразной функ-
ции f (х) на всей числовой прямой:
1) Г(х) = —, /(х) = х5;	2) F(x) = —+ 1, f (х) = х4.
6	5
984 Показать, что функция F (х) является первообразной функ-
ции f (х) при х > 0:
1) F (х) = 1, f (х) = -4;	2) F (х) = 1 + >Пс, f (х) = -Ь.
XX2	2 Vx
985 Найти все первообразные функции:
1
1) х4; 2) х3; 3) х*8; 4) х 2.
986 Для функции f (х) найти первообразную, график которой
проходит через точку Af:
1) /(х) = х, ЛГ(-1;3);	2)/(х) = -/х, М (9; 10).
987 Показать, что функция F (х) является первообразной функ-
ции f(x) на всей числовой прямой:
1) F (х) = Зе3, f (х) = е3 ; 2) F (х) = sin 2х, f (х) = 2 cos 2х.
293
Правила нахождения первообразных
«
Напомним, что операцию нахождения производной
для заданной функции называют дифференцирова-
нием. Обратную операцию нахождения первообраз-
ной для данной функции называют интегрирова-
нием (от латинского слова integrare — восстанав-
ливать).
Таблицу первообразных для некоторых функций
можно составить, используя таблицу производных.
Например, зная, что (cos хУ = -sin х, получаем
(-cos х)' = sin х, откуда следует, что все перво-
образные функции sin х записываются в виде
-cos х + С, где С — произвольная постоянная.
Приведём таблицу первообразных.
Функция	Первообразная
хр, р # -1	xp +1 		+ C p+l
1, х > 0	In x + C
ех	ex + C
sin х	-cos x + C
cos X	sin x + C
(kx + b)p, p * -1, k * 0	(kx+bV’*' fr(P+D
—1—, <r#0 Ax+ b	1 In (kx + b) + C k
Л * 0	1 e*’*‘ + C k
sin (kx + d), k Ф 0	-i cos (kx + b) + C
cos (kx 4- d), k * 0	1 sin (kx + b) + C
294
Отметим, что во всех рассмотренных примерах и
в дальнейшем функция F (х) является первообраз-
ной функции f (х) на таком промежутке, на кото-
ром обе функции F (х) и f (х) определены. Напри-
мер, первообразной функции —-— является функ-
2х-4
ция 1 In (2х - 4) на таком промежутке, на котором
2х - 4 > 0, т. е. на промежутке (2; +сю). Правила
интегрирования можно также получить с помощью
правил дифференцирования. Приведём следующие
правила интегрирования:
Пусть F (х) и G (х) — первообразные соответствен-
но функций f (х) и g (х) на некотором промежут-
ке. Тогда:
1)	функция F (х) ± G (х) является первообразной
функции f (х) ± g (х);
2)	функция aF (х) является первообразной функ-
ции af (х).
Задача 1 Найти одну из первообразных функции
f (х) = х2 + 3 cos х.
►	Используя правила интегрирования и таблицу пер-
вообразных для функций хр при р = 2 и для cos х,
находим одну из первообразных данной функции:
г3
F (х) = — 4- 3 sin х.
3
Задача 2 Найти все первообразные функции
е1 - * - 4 sin (2х 4- 3).
►	По таблице первообразных находим, что одной
из первообразных функции е1 х является функ-
ция -е1 *, а одной из первообразных функции
sin (2х 4-3) является функция -~cos(2x + 3). По
2
правилам интегрирования одна из первообразных
данной функции: -е1 ~х 4- 2 cos (2х 4- 3).
Ответ	— е1 ~ * 4- 2 cos (2х 4- 3) 4- С. <
Упражнения
Найти одну из первообразных функции (988—990).
988 1) 2х6 - Зх2;	2) 5х4 + 2х*;	3) - + -4»
X X2
4)4---:	5) 6х2 - 4х + 3;	6)4^х-бТх
X3 X
295
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
1)3 cos x - 4 sin x;
3) ex - 2 cos x;
5) 5-e~x + 3cos x;
7) 6 Vx-- + 3f>^;
X
2) 5 sin x 4- 2 cos x;
4) 3ex - sin x;
6) l + 3ex-4cos x;
8) -^ + --2ex .
Vx x
1) (x + I)4;	2) (x - 2)8;
3)
Vx-2
4)
3 .
V7+s’
5) —+ 4cos(x + 2);
x -1
6) —-2 sin(x-l).
x- 3
Найти все первообразные функции:
1) sin (2х + 3);	2) cos (Зх + 4);	3) cos | ~ - 1
X f 1
4)sin|—+ б);	5) e~;	6) e3jt’6;	7)—;	8) —.
U )	2x 3x-l
Для функции f(x) найти первообразную, график которой
проходит через точку М:
1) /(х) = 2х + 3, М (1; 2);	2) / (х) = 4х - 1, М (-1; 3);
3)	f(x) = sin 2х, М б);	4) f (х) = cos Зх. М (0; 0).
Найти одну из первообразных функции (993—996).
1) е2х - cos Зх;
„ 2х + 1
3) 2 sin - - 5е * 3 *;
_ 5
5) ^| + 4sin(4x + 2);
2х4-4х34- х
3~“
3) (1 + 2х) (х - 3);
2) е4 + sin 2х;
х Зх~1
4) Зсоз - + 2е 2 ;
7
6) , 4	——.
V3X+1	2х-5
6х3- Зх+ 2
5	’
4) (2х - 3) (2 + Зх).
l)(2x+l)Vx;	2) (3x-2)Vx;
3)
X 4- 4 .
ЗГ" ’
V х
4)
1) sin х cos х;
2) sin х cos Зх - cos x sin 3x.
Найти первообразную функции у = 2 sin 5х + 3 cos кото-
рая при х = принимает значение, равное 0.
Найти одну из первообразных функции:
1) х ;	2) —;	3) cos2 х; 4) sin Зх cos 5х.
х - 3	х2 4- х - 2
296
56
Площадь криволинейной трапеции
и интеграл
-•г- ••.'..•..•..•..•...•..•..'
Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке 151.
Эта фигура ограничена снизу отрезком [а; Ь]
оси Ох, сверху графиком непрерывной функции
У = f (х) такой, что f (х) > 0 при х € [а; А] и f (х) > О
при х е (а; А), а с боков ограничена отрезками пря-
мых х = а и х = Ь. Такую фигуру называют криво
линейной трапецией. Отрезок [а; А] называют осно-
ванием этой криволинейной трапеции.
Выясним, как можно вычислить площадь S кри-
волинейной трапеции с помощью первообразной
функции f (х).
Обозначим S (х) площадь криволинейной трапеции
с основанием [а; х] (рис. 152), где х — любая точка
отрезка [a; AJ. При х = а отрезок [а; х] вырождает-
ся в точку и поэтому S(a) = O, при х = Ь имеем
S (A) = S.
Покажем, что S (х) является первообразной функ-
ции f (х), т. е. S' (х) = f (х).
• Рассмотрим разность S (х + Л) - S (х), где h > 0 (слу-
чай Л < О рассматривается аналогично). Эл а раз-
ность равна площади криволинейной трапеции с
основанием [х; х + Л] (рис. 153). Справедливо утвер-
ждение: найдется точка с е [х; х + Л] такая, что
указанная площадь равна площади прямоугольника
с основанием [х; х + h] и высотой f (с), т. е.
S (х + Л) - S (х) = f (с) А.
Строгое доказательство этого утверждения рас-
сматривается в курсе высшей математики.
297
Пусть h -* 0, тогда с -* х и f (с) —> f (х), так как
f (х) — непрерывная функция. Отсюда следует,
что
S(x+ Zt)-S(x)
--------------= f (с) -* f (х) при Л -> О,
п
т. е. S' (х) = f (х). О
Любая другая первообразная F (х) функции f (х)
отличается от S (х) на постоянную, т. е.
F (х) = S (х) + С.	(1)
Из этого равенства при х = а получаем F (а) =
= S (а) + С. Так как S (а) = 0, то С = F (а) и равен-
ство (1) можно записать так:
S(x) = F(x)-F(a).
Отсюда при х = b получаем
S (d) = F (Ь) - F (а).
Итак, площадь криволинейной трапеции (рис. 151)
можно вычислить по формуле
S = F(6)-F(a),	(2)
где F (х) — любая первообразная функции f (х).
Таким образом, вычисление площади криволиней-
ной трапеции сводится к отысканию первообраз-
ной F (х) функции f (х), т. е. к интегрированию
функции f (х).
Разность F (b) - F (а) называют интегралом от
функции f (х) на отрезке [а; Ь] и обозначают так:
ь
(x)dx (читается: «Интеграл от а до b эф от икс
a
дэ икс»), т. е.
ь
jf (x)dx = F (b)-F (а).	(3)
а
Формулу (3) называют формулой Ньютона — Лейб-
ница в честь создателей дифференциального и ин-
тегрального исчисления.
Из формул (2) и (3) получаем
ъ
S=jf(x)dx.	(4)
298
Рис. 154
Рис. 155
Задача 1 Найти площадь криволинейной трапеции, изобра-
жённой на рисунке 154.
з
► По формуле (4) находим S = j х2 dx. Вычислим этот
1
интеграл с помощью формулы Ньютона — Лейб-
ница (3). Одной из первообразных функции
g	з
f (х) = х2 является F (х) = —. Поэтому S = j х2 dx =
3	•
1
= F (3) - F (1) =	- £ = 8 | (кв. ед.). <1
3	3	3
Формулы (3) и (4) справедливы и для случая, когда
функция f (х) положительна внутри отрезка [н; Ь],
а па одном из концов отрезка или на обоих концах
равна нулю.
Задача 2 Найти площадь криволинейной трапеции, изобра-
жённой на рисунке 155.
► Функция F (х) = -cos х является первообразной для
функции f (х) = sin х. По формулам (3) и (4) полу-
х
чаем S-jsin xdx=F(n)-F(0)=(-cos я)-(-cos 0) =
о
= 1 + 1 = 2 (кв. ед.). <1
Исторически интеграл возник в связи с вычисле-
нием площадей фигур, ограниченных кривыми,
в частности в связи с вычислением площади криво-
линейной транеции. Рассмотрим криволинейную
трапецию, изображённую на рисунке 156. На этом
рисунке основание трапеции — отрезок [а; 6] —
разбито на п отрезков (необязательно равных) точ-
ками Хр х2, ...» хп г
299
У
Рис. 156
Через эти точки проведены вертикальные прямые.
На каждом отрезке [х* Р xj, k = 1, 2, ..., л, вы-
берем точку сА, и обозначим ДхЛ = xk - xk _ г Тогда
f (ck)\xk — площадь прямоугольника с основани-
ем &xh и высотой f(ck), а площадь криволинейной
трапеции приближённо равна сумме площадей по-
строенных прямоугольников:
Sn = / (с,) Ах, + /(с2) Дх2 + ... + f(c„) \хп. (5)
Сумму (5) называют интегральной суммой функ
ции /(х) на отрезке [а; Ь]. Будем увеличивать чис-
ло точек разбиения отрезка [а; 6] так, чтобы наи-
большая из длин отрезков [xbl;xj стремилась
к нулю. В курсе высшей математики доказывает-
ся, что для любой непрерывной на отрезке [a; dj
функции f (х) (не обязательно неотрицательной)
интегральные суммы (5) стремятся к некоторому
числу, т. е. имеют предел, не зависящий от вы-
бора точек ck. Этот предел называют интегралом
(определённым интегралом) от функции f (х) на
ъ
отрезке [а; Ь] и обозначают |/(х)</х. Вычисляют
а
b
интеграл но формуле j f (x)dx = F(b) F(a), где
a
F (x) — любая первообразная для функции f (х) на
отрезке [а; Ь].
Упражнения
999 Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:
1)	графиком функции у = (х — I)2, осью Ох и прямой х = 2;
2)	графиком функции у = 2х - х2 и осью Ох;
300
9
3)	графиком функции у=—, осью Ох и прямыми х = 1,
х
х = 4;
4)	графиком функции y=-J~x, осью Ох и прямой х = 4.
1000 Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной пря-
мыми х = а, х = Ь, осью Ох и графиком функции у = f (х):
1) а = 2, 6 = 4, / (х) = х3;
2)	а = 3, b = 4, / (х) = х2;
3)	а = -2, b = 1, /(х) = х2 + 1;
4)	а = 0, 6=2, / (х) = х3+ 1;
5)	а=±, Ь = Ц, f(x) = sinx;
3	3
6)	а = -—, Ь = О, f (х) = соз х.
6
1001 Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой:
1) у = 4 - х2;	2) у = 1-л ;	3) у = -х2 + 4х - 3.
1002 Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а,
х = Ь, осью Ох и графиком функции у - f (х):
1) а = 1, 6 = 8, /(x)=Vx;	2)0 = 4, 6 = 9, /(x) = Vx.
1003 Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х = д, осью
Ох и графиком функции у = f (х):
1) b = 2, /(х) = 5х - х2, 2 х 5; 2) b = 3, f (х) = х2 + 2х;
3)6=1, /(х) = ех-1; 4)6 = 2, /(х) = 1-±.
X
Вычисление интегралов
Интегралы можно приближённо вычислять с по-
мощью интегральных сумм. Такой способ требу-
ет громоздких вычислений. Его применяют в тех
случаях, когда не удаётся найти первообразную
функции f (х) и для вычислений обычно исполь-
зуют ЭВМ, составляя специальные программы.
Если же первообразная функция известна, то ин-
теграл можно вычислить точно, используя форму-
лу Ньютона — Лейбница.
301
	Приведём примеры вычисления интегралов по фор- муле Ньютона — Лейбница с помощью таблицы первообразных и правил интегрирования.
Задача	1 Вычислить интеграл j(x-l)dx. 0 ► Одной из первообразных функции х-1 является 1	/ \ х2	Г	II2) функция —	х. Поэтому 1 (х - l)dx = -	1 1 - 0	'	' V 2	)	2	2 При вычислении интегралов удобно ввести следую- щее обозначение: F(ft)-F(a) = F(x)|\ Тогда формулу Ньютона - Лейбница можно запи- сать в виде ь J/(x)dx = F(x)|\ a
Задача	a 2 Вычислить интеграл J sin xdx. -a a ► j sin xdx = (-cos x)|= (-cos a) - (-cos (-a)) = - a = -cos a + cos (-a) = 0, так как cos (-a) = cos a.
Задача	3 3 Вычислить интеграл [	dr. V2x+ 3 3 3 _1 1 3 ► [		dx = f(2x + 3) 2 dx = (2x + 3)2	= _Jj2x+3 1 1 = (2-3 + 3)2 -(2(-l) + 3)2 =3-1 = 2. 1
Задача	X	z	X 4 Вычислить интеграл jcos | 2x + ^ jdx. к 2 ► fcos 2x + - \dx = - sin 2x + - I = J k	47	2 k	4 1	2 2
302
Задача
Упражнения
Вычислить интеграл (1004—1011).
1	3	2	3
1004 1) J xdx;	2) j x2a	lx;	3) J3x2dx;	4) J2xdx;
0	0	-1	-2
3	2	4	9
5)	6) J4'	dx;	7) j\/xdx;	8) f-^=dx-
о *	J X3		• Vx
2	1	i	4
е		In 2	2Я
1005 1) [-dx;	2)	[exdx;	3)	[cos xdx;
		J 0	J — Л
Я		я	0
4) jsin xdx;	5)	J sin 2 xdx;	6)	jcos 3xdx.
-2 л		-2 л	-8 л
2		—1	2
1006 1) J(2x-3)dx;	2)	j(5-4x)dx;	3)	J(l-3x2)dx;
3		-2	-1
i		2	
4) J(x2 + l)dx;	5)	j(3x2 -4x + 5)dx.	
1		0	
4		Or	x	
1007 1) f(x-3-/x)dx;	2) f 2x-JL dx;			
0		Л	Vx/	
2		3	
3) Je3xdx;	4) ^2e2xdx,		
0		1	
303
1	о
1008 1) jx(x + 3)(2x-l)dx;	2) J(x + 1) (х2 - 2)dx;
2
1010 1) I —— dx-,
J 2x-l
1
1
2) f —— dx-,
J 3x+2
0
dx.
я
1011 1) Jsin2xdx;
-Я
ж
4
3) J (cos2 x - sin2 x)dx;
0
:<
5) j x2 Vx +1 dx;
о
ж
2
2) j sin x cos xdx;
о
я
4) | (sin4 x + cos4 x)dx;
о
1012
Найти все числа b > 1, для которых выполняется равенство
ь
J(b-4x)dx>6-5Z>.
1
Вычисление площадей
с помощью интегралов
о
Задача 4 Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной осью Ох, прямыми х =-1, х = 2
и параболой у = 9 - х2.
► Построим график функции у =- 9 - х2 и изобразим
данную трапецию (рис. 157).
304
Искомая площадь S равна интегралу
2
S= j(9-x2)dx.
По формуле Ньютона — Лейбница находим
2	z \ 2	✓ л \
Г л	/ V3 1	f	93 1
S = |(9-x2)dx = 9х- —	= 9-2- — -
J	к 3 J . I 3 )
-1 4 -1
- 9(-1)-^- =24. <1
Задача 2
Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
у = х2, у = 2х - х2 и осью Ох.
► Построим графики функций у = х2, у = 2х - х2
и найдём абсциссы точек пересечения этих графи-
ков из уравнения х2 = 2х - х2. Корни этого уравне-
ния Xj = 0, х2 = 1. Данная фигура изображена на
рисунке 158. Из рисунка видно, что эта фигура со-
стоит из двух криволинейных трапеций. Следова-
тельно, искомая площадь равна сумме площадей
этих трапеций:
I	2
S = jx2 dx + J(2x — x2)dx =
о	1
Задача 3
Найти площадь S фигуры, ограниченной отрез-
ком
л. Зд
2* 2
оси Ох и графиком функции у = cos х
на этом отрезке.
► Заметим, что площадь данной фигуры равна пло-
щади фигуры, симметричной данной относитель-
но оси Ох (рис. 159), т. е. площади фигуры, огра-
305
оси Ох и графиком
ниченной отрезком
л. Зл
.2’ 2
функции у = -cos х
на отрезке
отрезке -cos х > О,
и
. На этом
12 2 J
Зх
2
S = |(-cosx)dx =
3 к
2
sin
4
Задача
Рис. 161
2
Вообще, если f (х) < 0 на отрезке [а; Ь], причем ра-
венство нулю может быть лишь на его концах
(рис. 160), то площадь S криволинейной трапеции
ь
равна S = J(”/ (x))dx.
а
Найти площадь S фигуры, ограниченной парабо-
лой у = х2 + 1 и прямой у = х + 3.
► Построим графики функций у = х2 + 1
и у = х + 3. Найдём абсциссы точек
пересечения этих графиков из урав-
нения х2 + 1 = х + 3. Это уравнение
имеет корни Xj = -1, х2 = 2. Фигу-
ра, ограниченная графиками данных
функций, изображена на рисунке 161.
Из рисунка видно, что искомую пло-
щадь можно найти как разность пло-
щадей и S2 двух трапеций, опираю-
щихся на отрезок [-1; 2], первая из
которых ограничена сверху отрезком
прямой у = х + 3, а вторая — дугой
параболы у = х2 + 1. Так как
306
2	2
St = J(x + 8)dx, S2 = J(x2 + l)dx,
—1	—I
2	2
to S = S3 - S2 = j(x + 3)dx- j(x2 + l)dx.
-1	-1
Используя свойство первообразных, можно запи-
сать S в виде одного интеграла:
2
J((x + 3)-(x2 + l))dx =
—1
2
= 4,5. <1
—1
Вообще, площадь фигуры, изображённой на ри-
сунке 162, равна
ь
s = j(f2(x)-fl(x))dx.	(1)
Эта формула справедлива для любых непрерыв-
ных функции (х) и f2 (х) (принимающих значе-
ния любых знаков), удовлетворяющих условию
f2 (*) > Л (*)•
Задача 5 Найти площадь S фигуры, ограниченной парабо-
лами у = х2 и у = 2х2 - 1.
► Построим данную фигуру (рис. 163) и найдём абс-
циссы точек пересечения парабол из уравнения
х2 = 2х2 - 1.
Рис. 162
307
Это уравнение имеет корни xlt 2 = ±1* Воспользуем-
ся формулой (1). Здесь (х) = 2х2 - 1, f2 (х) = х2.
1 1
S= J(x’-(2x2-l))d*= J(-x2 + l)<fr =
Упражнения
1013 На рисунке 164 изображены криволинейные трапеции. Най-
ти площадь каждой из них.
Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
(1014—1023).
1014	1)	Параболой	у = (х + I)2, прямой у = 1 - х	и осью Ох;
2)	параболой	у = 4 - х2, прямой у = х + 2 и	осью Ох;
3)	параболой у = 4х - х2, прямой у = 4 - х и осью Ох;
4)	параболой	у = Зх2, прямой у - 1,5х + 4,5	и осью Ох.
1015	1)	Графиками	функций у = \Гх, у = (х - 2)2	и осью Ох;
2)	графиками функций у - х3, у = 2х - х2 и осью Ох.
1016 1) Параболой у = х2 + Зх и осью Ох;
2)	параболой у = х2 - 4х + 3 и осью Ох.
1017 1) Параболой у = х2 + 1 и прямой у = 3 - х;
2)	параболой у = (х + 2)2 и прямой у = х + 2;
3)	графиком функции у = \Гх и прямой у = х.
1018 1) Параболами у = 6х2, у = (х - 3) (х - 4) и осью Ох;
2) параболами у = 4 - х2, у = (х - 2)2 и осью Ох.
308
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1 h
1) Графиком функции у = sin х, отрезком [0; оси Ох
и прямой, проходящей через точки
оси Ox.
2) графиками функций у = sin х, у = cos х и отрезком
2
Параболой у = 6х х1 2 и прямой у = х + 4;
параболой у = 4 - х2 и прямой у = х + 2.
Параболой у = 2 - х2 и прямой у = -х;
прямой у = 1, осью Оу и графиком функции у = sin х при
параболой у = -х2 и прямой у = -2;
параболами у = 1 - х2 и у = х2 - 1;
графиком функции у = х3 и прямыми у - 1, х = -2.
Параболой у = х2 + 10 и касательными к этой параболе,
1)
2)
1)
2)
0<х<*.
2
1)	Параболой у = -х2 + 4х - 3 и прямой, проходящей через
точки (1; 0) и (0; -3);
2)
3)
4)
1)
проведёнными из точки (0; 1);
2) гиперболой у = —, прямой х = 1 и касательной к кривой
у = — в точке с абсциссой х = 2.
х
Фигура ограничена линиями у = х2 + 1, у = 0, х = 0, х = 1.
Найти точку (х0; у^) графика функции у = х2 + 1, через кото-
рую надо провести касательную к этому графику так, чтобы
она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.
Применение производной и интеграла
к решению практических задач
1. Простейшие дифференциальные уравнения.
До сих пор рассматривались уравнения, в которых
неизвестными являлись числа. В математике и её
приложениях приходится рассматривать уравне-
ния, в которых неизвестными являются функции.
309
Так, задача о нахождении пути s (t) по задан-
ной скорости v (t) сводится к решению уравне-
ния s' (О = v (О* где и (О — заданная функция,
a s (t) — искомая функция.
Например, если и(/) = 3-4/, то для нахождения
я (О нужно решить уравнение s'(t) = 3 - 4f. Это
уравнение содержит производную неизвестной
функции. Такие уравнения называют дифференци-
альными уравнениями.
Задача 1 Решить дифференциальное уравнение у’ = х + 1.
► Требуется найти функцию у (х), производная кото-
рой равна х+ 1, т. е. найти первообразную функ-
ции х + 1. По правилам нахождения первообраз-
на
ных получаем у = — + х + С, где С — произвольная
постоянная. <3
Решение дифференциального уравнения определя-
ется неоднозначно, с точностью до постоянной.
Обычно к дифференциальному уравнению добавля-
ется условие, из которого эта постоянная определя-
ется.
Задача 2 Найти решение у (х) дифференциального уравне-
ния у’ = cos х, удовлетворяющее условию I/ (0) = 2.
► Все решения этого уравнения записываются фор-
мулой у (х) = sin х + С. Из условия у (0) = 2 нахо-
дим sin 0 + С = 2, откуда С = 2.
Ответ у = 2 + sin х. <1
Решение многих физических, биологических, тех-
нических и других практических задач сводится
к решению дифференциального уравнения
у' = by,	(1)
где k — заданное число. Решениями этого уравне-
ния являются функции
У = секх,	(2)
где О — постоянная, определяемая условиями кон-
кретной задачи.
Например, скорость т'(t) размножения бактерий
связана с массой т (t) бактерий в момент времени t
уравнением
т’ (/) = km (О,
где k — положительное число, зависящее от вида
бактерий и внешних условий. Решениями этого
уравнения являются функции
т (t) = Се*'.
310
Постоянную С можно найти, например, из усло-
вия, что в момент t = 0 масса mQ бактерий извест-
на. Тогда т (0) = т0 = Сек 0 = С, и поэтому
т (t) = moe*'.
Другим примером применения уравнения (1) явля-
ется задача о радиоактивном распаде вещества.
Если т' (О — скорость радиоактивного распада
в момент времени 1, то т'(t) —где k—
постоянная, зависящая от радиоактивности ве-
щества. Решениями этого уравнения являются
функции
т (0 = Се м.
Если в момент времени I масса равна яг(), то С = тп0,
и поэтому
m (О = moe~kt.	(3)
Заметим, что на практике скорость распада радио-
активного вещества характеризуется периодом по-
лураспада, т. е. промежутком времени, в течение
которого распадается половина исходного вещества.
Пусть Т — период полураспада, тогда из равенст-
ва (3) при t = Т получаем = т()е"*г, откуда
k = Поэтому формула (3) запишется так:
m (Г) = т0 2 т.
2. Гармонические колебания.
В практике часто встречаются процессы, которые
периодически повторяются, например колебатель-
ные движения маятника, струны, пружины и т. д.;
процессы, связанные с переменным электрическим
током, магнитным полем, и т. д. Решение многих
таких задач сводится к решению дифференциаль-
ного уравнения
=	(4)
где со — заданное положительное число, у = у (х),
у" = (У' (х))'. Решениями уравнения (4) являются
функции
у (х) = Сх sin (сох + С2),	(5)
где Ср С2 — постоянные, определяемые условиями
конкретной задачи. Уравнение (4) называют диффе
ренциалъным уравнением гармонических колебаний.
311
Например, если у (t) — отклонение точки свободно
колеблющейся струны от положения равновесия
в момент времени t, то
у (0 = A sin ((Of 4- ф),
где А — амплитуда колебания, (О — частота, ф —
начальная фаза.
Графиком гармонического колебания является
синусоида.
3. Примеры применения первообразной и интег-
рала.
Задача 3 Цилиндрический бак, высота которого равна 5 м,
а радиус основания равен 0,8 м, заполнен водой
(рис. 165). За какое время вытечет вода из бака
через круглое отверстие в дне бака, если радиус от-
верстия равен 0,1 м?
► Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R,
радиус отверстия г (длины измеряем в метрах,
время — в секундах).
Скорость вытекания жидкости и зависит от высоты
столба жидкости х и вычисляется по формуле Бер-
нулли
и = о ^2gx ,	(6)
где g = 9,8, а — коэффициент, зависящий от свой-
ства жидкости; для воды и = 0,6. Поэтому по мере
убывания воды в баке скорость вытекания умень-
шается (а не постоянна).
Пусть t (х) — время, за которое вытекает вода
из бака высотой х с тем же радиусом основания R
и с тем
R
же отверстием радиуса г (рис. 165). Най-
дём приближённо разностное отноше-
f(x + h)-t(x)
ние -----------, считая, что за время
t} = t (х + h) - t (х) скорость вытекания во-
ды постоянна и выражается формулой (6).
За время t1 объём воды, вытекшей из
бака, равен объёму цилиндра высотой h
с радиусом основания R (рис. 165),
т. е. равен тгК2Л. С другой стороны, этот
объём равен объёму цилиндра, основа-
нием которого служит отверстие в дне
бака, а высота равна произведению
скорости вытекания v на время
т. е. объём равен яНиГр Таким обра-
312
зом, nR2h = itr2vtr Отсюда, учитывая формулу (6)
и обозначение tx = t (х + Л) - I (х), получаем
Цх + h)-t(x) _ R2_______i_
Л	r2c /2g /х
причём погрешность приближения стремится к
нулю при h —> 0. Следовательно, при h —► 0 полу-
чается равенство
Г(х) = -^=4
г2о V2# V-
откуда
t (х) = —- -2>/х + С.
r2o /2g
Если х = 0 (в баке пет воды), то t (0) = 0, поэтому
С = 0. При х = Н находим искомое время
Используя данные задачи, вычисляем
,|5)д «W-У» ,108
(0,1 )2 0,6- V9.8
Ответ 108 с. <1
Задача 4 Вычислить работу силы F при сжатии пружины
на 0,08 м, если для её сжатия на 0,01 м требует-
ся сила 10 Н.
► По закону Гука сила F пропорциональна растяже-
нию или сжатию пружины, т. е. F = kx. где х —
величина растяжения или сжатия (в м), k — по-
стоянная. Из условия задачи находим k. Так как
при х = 0,01 м сила /’=10Н, то k = — = 1000.
х
Следовательно, F (х) = kx = ЮООх.
Работа силы F (х) при перемещении тела из точ-
ь
ки а в точку Ъ равна А - Jr (x)dx.
а
Используя данные задачи, получаем
°-0в	2 о.О8
Л = J lOOOxdx = 1000 —	= 3,2 (Дж). <1
о	2 о
313
Упражнения
1025 Тело движется прямолинейно со скоростью v (t) (м/с). Вы-
числить путь, пройденный телом за промежуток времени
от t = tY до t - t2:
1)	v(0 = 3t2+ 1, t, = 0, t, = 4;
2)	v(t) = 2t2 + t, tt = 1, t2 = 3.
1026 Скорость прямолинейно движущегося тела равна
и (О = 41 - I2. Вычислить путь, пройденный телом от начала
движения до остановки.
1027 Решить дифференциальное уравнение:
1) у* = 3 - 4х;	2)	у9	= 6х2 - 8х +	1;
3)	у* = Зе2х;	4)	у'	= 4 cos 2х;
5) у’ = 3 sin х;	6)	у"	= cos х - sin	х.
1028 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетво-
ряющее данному условию:
1)	у' = sin х, у (0) = 0;
2)	у' = 2 cos х, у (л) = 1;
3)	/ = Зх2 + 4х- 1, у (1) = -2;
4)	у* = 2 + 2х - Зх2, л(-1) = 2;
5)	у' = е*, у(1) = 1;
6)	у' = у (0) = 2.
1029 Показать, что функция у = Cj cos сох + С2 sin сох при лю-
бых значениях Ct и С2 является решением дифференциаль-
ного уравнения у" + (п2у = 0.
1030 Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась
до 0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится
до 0,5 г?
1031 Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии
пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину
на 1 см.
1032 Вычислить работу, которую нужно затратить при растяже-
нии пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину
на 1 см.
т Упражнения
g к главе X
.. . С. . | И »I . \jwto.w • I...!•»•••!....।	।	|	|....I
проходит через точку М:
1) f (х) = cos х, М (0; -2);
з) /(x) = -J=, м И; 5);
5) /(х) = 3х2 + 1, М (1;-2);
1034 Вычислить интеграл:
2	2
1) J2dx; 2) J(3-x)dx;
-1	-2
1	я
1033 Для функции f (х) найти первообразную, график которой
2) /(x) = sin х, М (-л; 0);
4) / (х) = е*, М (0; 2);
6) f(x) = 2-2x, М (2; 3).
з
3) j(x2-2x)dx;
1
X
2	2
4) J(2x-3x2)dx;	5) JVxdx; 6) J 7) j cos xdx.
-1	I	1 X
2
1035 Найти илощадь фигуры, ограниченной линиями:
1)	у = Vx, х = 1, х = 4, у = 0;
2)	у = cos х, х = 0, х = —, у = 0;
3)	у = х2, у = 2 - х; 4) у = 2х2, у = 0,5х + 1,5.
Проверь себя!
1
2
3
4
Показать, что функция F (х) = е2х + х3 - cos х является
первообразной для функции f (х) = 2е2х + Зх2 + sin х на
всей числовой прямой.
Для функции f (х) = Зх2 + 2х - 3 найти первообразную,
график которой проходит через точку М (1; -2).
Вычислить:
2
1) J 3x3dx;
1
1
2
3) j cos xdx;
о
я
4)	j sin 2xdx.
Я
2
Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	параболой у = х2 + х - 6 и осью Ох;
2)	графиками функций j/ = x2+l и у = 10.
315
Вычислить интеграл (1036—1037).
1
1036 1) |(5х4 - 8x3)dx;
о
4
3)	J Гх (з-^jdx;
3
5)	j /х +1 dx;
о
к
4	/ \
1037 1) Г — cos х + 5 dx;
J2	k	d
3
3)	|з sin(3x-6)dx;
1
2
2) J(6x3-5x)dx;
-1
6
6) p2x-3dx.
2
X
3 / \
2) j i sin lx-- Idx;
0
8
4) j8 cos (4x-12)dx.
о
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1038—1039).
1038 1) </= —, у = 4х, х=1, у = 0;
х
2)	=	^ = х’ х = 2’ У = 0;
х
3)	у = х2 + 1, у = х + 1;
4)	у = х2 + 2, у = 2х + 2.
1039 1) у = х2 - 6х + 9, р = х2 + 4х + 4, у = 0;
2)	у = х2 + 1, у = 3 - х2;
3)	у = х2, у = 2 >/2х;
4)	p = Vx, y = V4-3x, р = 0.
1040 Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой у = х2 - 2х + 2, касательной к пей, проходя-
щей через точку пересечения параболы с осью Оу, и пря-
мой х = 1;
2) гиперболой </ = -, касательной к ней, проходящей через
х
точку с абсциссой х = 2, и прямыми у = 0, х = 6.
1041 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) у = х8 - Зх2 - 9х + 1, х = 0, р = 6 (при х < 0);
2) р = х*-2х2 + 5, р = 1, х = 0, х=1.
1042 При каком значении k площадь фигуры, ограниченной
параболой у = х2 + рх, где р — заданное число, и прямой
у = kx + 1, наименьшая?
316
XI
глава
Комбинаторика
В нашу современную жизнь вторгается ма-
тематика с её особым стилем мышления,
становящимся сейчас обязательным и для
инженера, и для биолога.
Б. В. Гнеденко
Правило произведения
В курсе алгебры основной школы решались эле-
ментарные комбинаторные задачи, связанные с со-
ставлением различных соединений (комбинаций)
из имеющихся элементов. Было сформулировано
правило произведения, упрощающее в ряде случаев
подсчёт числа соединений определённого вида. На-
помним его.
Если существует п вариантов выбора первого эле-
мента и для каждого из них имеется т вариантов
выбора второго элемента, то всего существует
п • т различных пар с выбранными таким обра-
зом первым и вторым элементами.
Задача 1 Сколько различных двузначных чисел можно за-
писать с помощью цифр 0, 1, 2, 3?
► В качестве первой цифры может быть выбрана лю
бая из цифр 1, 2, 3 (т. е. п = 3). Второй цифрой мо-
жет быть выбрана любая из четырёх данных цифр
О, 1, 2, 3 (т. е. т = 4). Согласно правилу произведе-
ния число всевозможных двузначных чисел, со-
ставленных с помощью предложенных цифр, равно
п • т = 3 • 4 = 12.
Ответ 12.
317
Задача 2 Сколько различных трёхзначных чисел можно за-
писать с помощью цифр 0, 1, 2, 3?
► При решении задачи 1 было установлено, что с по-
мощью цифр 0, 1, 2 и 3 можно записать 12 различ-
ных двузначных чисел. К каждому из них можно
приписать любую из четырёх имеющихся цифр,
получая тем самым различные трёхзначные числа.
Таким образом, согласно правилу произведения су-
ществует 12 • 4 = 48 различных трёхзначных чи-
сел, записанных с помощью данных цифр.
Ответ 48. <]
При решении задачи 2 фактически дважды исполь-
зовалось правило произведения. Действительно,
первую цифру числа можно было выбрать 3 спо-
собами, вторую к ней присоединить — любым из
4 способов, третью цифру к каждому образован-
ному двузначному числу можно было приписать
4 способами. Всего трёхзначных чисел с помощью
данных цифр можно образовать (3 • 4) • 4 = 48 спо-
собами. Таким образом, правило произведения мо-
жет быть применено неоднократно для подсчёта
числа соединений из трёх, четырёх и т. д. элемен-
тов, выбираемых из определённых множеств с ко-
нечным числом элементов.
Задача 3 Сколько различных пятибуквенных слов можно за-
писать с помощью букв «и» и «л»? (Словом в ком-
бинаторике называют любую последовательность
букв; среди составленных из данных букв слов
только слово «лилии» имеет смысл в русском язы-
ке.)
► Каждая из пяти букв составляемого слова последо-
вательно выбирается из предложенных двух букв.
Применив 4 раза правило произведения, найдём
число всевозможных пятибуквенных слое, состав-
ленных из двух данных букв:
2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 = 32.
Ответ 32. <3
Упражнения
1043 Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами
можно записать, используя цифры:
1) 1, 2 и 3;	2) 4, 5 и 6;	3) 5, 6, 7 и 8;
4) 6, 7, 8 и 9;	5) 0, 2, 4 и 6;	6) 0, 3, 5 и 7?
318
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
Сколько различных трёхзначпых чисел можно записать
с помощью цифр:
1) 2 и 3; 2) 8 и 9; 3) 0 и 2; 4) 0 и 5?
Сколько различных трёхзначных чисел, не имеющих одина-
ковых цифр, можно записать с помощью цифр:
1) 3, 4 и 5; 2) 7, 8 и 9; 3) 5, 6, 7 и 8; 4) 1, 2, 3 и 4?
Сколько различных четырёхбуквенных слов можно записать
с помощью букв:
1) «м» и «а»; 2) «п» и <а»; 3) «к», «а» и «о»; 4) <ш>, «а»
и «л»?
Путешественник может попасть из пункта А в пункт С, про-
ехав через пункт В. Между пунктами А и В имеются три раз-
личные дороги, а между пунктами В и С — четыре различ-
ные дороги. Сколько существует различных маршрутов
между пунктами А и С?
Чтобы попасть из города М в город К, нужно проехать через
город N. Между городами М и N имеются четыре автодоро-
ги, а из города N в город К можно попасть либо поездом,
либо самолетом. Сколько существует различных способов
добраться из города М в город К?
Сколькими способами могут распределиться золотая и сереб-
ряная медали па чемпионате по футболу, если в нём прини-
мают участие:
1) 32 команды; 2) 16 команд?
Сколькими способами можно составить расписание 5 уроков
на один день из 5 различных учебных предметов?
Сколькими способами можно составить расписание 6 уроков
из 6 разных учебных предметов?
Сколькими способами могут занять очередь в школьный
буфет:
1) 6 учащихся; 2) 5 учащихся?
В классе 18 учащихся. Из их числа нужно выбрать физорга,
культорга и казначея. Сколькими способами это можно сде-
лать, если один ученик может занимать не более одной
должности?
В классе 20 учащихся. Необходимо назначить по одному де-
журному в столовую, вестибюль и спортивный зал. Сколь-
кими способами это можно сделать?
Сколько различных шифров можно набрать в автоматиче-
ской камере хранения, если шифр составляется с помощью:
1) любой из 10 гласных букв с последующим трёхзначным
319
числовым кодом; 2) любой из 8 согласных букв «к», «л*,
♦ м», «н», «п», «р», «с*, «т* с последующим четырёхзнач-
ным числовым кодом (нуль в коде может стоять и на первом
месте)?
1056 Сколько существует пятизначных чисел, в которых все циф-
ры, стоящие на нечётных местах, различны?
1057 Сколько существует шестизначных чисел, в которых все
цифры, стоящие на чётных местах, различны?
1058 Сколько нечётных: 1) трёхзначных; 2) четырёхзначных чи-
сел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если
любую из них можно использовать в записи числа не более
одного раза?
Задача 1 Сколькими способами можно поставить рядом на
полке 4 различные книги?
► На первое место можно поставить любую из четы-
рёх книг, па второе — любую из трёх оставших-
ся, на третье — любую из двух оставшихся и на
четвёртое место — последнюю оставшуюся книгу.
Применяя последовательно правило произведения,
получим 4 3 2 I - 24.
Ответ Книги можно поставить 24 способами.
В этой задаче фактически было найдено число
всевозможных соединений из четырёх элементов,
которые отличались одно от другого порядком рас-
положения этих элементов. Такие соединения на-
зывают перестановками.
Определение. Перестановками из п эле мен
тов называются соединения, которые состоят
из одних и тех же п элементов и отличаются
одно от другого только порядком их располо-
жения.
320
Число перестановок из п элементов обозначают Рп
(Р — первая буква французского слова permuta-
tion — перестановка) и читают «пэ энное*.
В задаче 1 было найдено Р4 = 24.
Последовательно применяя правило произведения,
можно получить формулу числа перестановок Рп из
п различных элементов:
Рп = п (л - 1) (л - 2) • ... -3-2-1,
Рп = 1 • 2 • 3 • ... • (л - 2) (л - 1) л.
Произведение первых п натуральных чисел обо-
значают nl (читается «эн факториал*), т. е.
л! = 1 • 2 • 3 • ... • (л - 1) • л, причём по определе-
нию 1! = 1. Таким образом,
Рп = n!	(1)
Задача 2 Сколькими способами можно положить 6 различ-
ных открыток в 6 имеющихся конвертов (по одной
открытке в конверт)?
► Задача сводится к нахождению числа перестано-
вок из 6 элементов. По формуле (1) находим:
Рв = 6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720.
Ответ 720 способами.
Упражнения
1059 Найти значение:
1) Р5;	2) Р7;	3) Р9;	4) Рй.
1060 Сколькими способами можно рассадить четверых детей на
четырёх стульях в столовой детского сада?
1061 Сколькими способами могут занять места 5 учащихся класса
за пятью одноместными партами?
1062 Сколькими способами можно установить дежурство по одно-
му человеку в день:
1) среди семи учащихся класса в течение 7 дней;
2) среди девяти учащихся класса в течение 9 дней?
1063 Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих
одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2,
3, 4, 5 так, чтобы:
1)	последней была цифра 3;
2)	первой была цифра 4;
3)	первой была цифра 5, а второй — цифра 1;
4)	первой была цифра 2, а последней — цифра 4;
321
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
5)	первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом по-
рядке;
6)	последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом
порядке?
Упростить форму записи выражений (полагая, что k — нату-
ральное число, к > 4):
1) 61 • 7;	2) 10! • 11;	3) 15 • 14!;	4) 12 • 11!;
5) Л! (А + 1);	6) (А - 1)! А; 7) (А - 1)! А (А + 1);
8) (А - 2)! (А - 1)  А; 9) (А - 4)! (А2 - 5А + 6);
10) (А - 3)! (А2 - ЗА + 2).
Найти значение выражения:
1)	26!.	2)	32!.	3)	12!.	4)	14!.
	251’		31!’		10!’		12!’
5)	5! • 3! 7! ’	6)	6!-4! 8! ’	7)	10! . 8! • 3!’	8)	11! 9!-2!
Упростить выражение (буквами пит обозначены натураль-
ные числа):
О1 Р"+г ox m!(/n+l)	(т + 3)!
рп	Р„ + х	(т + 2)!	(m+l)!(m + 2)
Решить уравнение относительно п:
1)	Рп Рп^1	_ 1. 4’	2)	Рп +2 Ял+1	= 5;
3)	Рп Рп-2	= 20;	4)	Рп-1 Рп+1	=х. 12
Сколько различных слов можно составить, переставляя мес-
тами буквы в слове: 1) гипотенуза; 2) треугольник?
Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих
одинаковых цифр и кратных 5, можно записать с помощью
цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6?
Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих
одинаковых цифр и кратных 4, можно записать с помощью
цифр 1, 3, 5, 6, 7 и 9?
Имеются 8 книг, среди которых: 1)6 книг различных авто-
ров и двухтомник одного автора, книг которого не было сре-
ди предыдущих шести книг; 2) 5 книг различных пяти ав-
торов и трёхтомник шестого автора. Сколькими способами
можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги од-
ного автора стояли рядом?
322
Размещения
Задача 1 Сколько различных двузначных чисел можно за-
писать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что
в каждой записи нет одинаковых цифр?
► Перебором убедимся в том, что из четырёх цифр 1,
2, 3, 4 можно составить 12 двузначных чисел,
удовлетворяющих условию:
12, 13, 14,
21, 23, 24,
31, 32, 34,
41, 42, 43.
В записи двузначного числа на первом месте может
стоять любая из данных четырёх цифр, а на вто-
ром — любая из трёх оставшихся. По правилу про-
изведения таких двузначных чисел 4-3=12.
Ответ 12. <
При решении задачи 1 из четырёх данных элемен-
тов (цифр 1, 2, 3, 4) были образованы всевозмож-
ные соединения по два элемента в каждом, причём
любые два соединения отличались либо составом
элементов (например, 12 и 24), либо порядком их
расположения (например, 12 и 21). Такие соедине-
ния называют размещениями.
Определение. Размещениями из т элементов
по п элементов (п т) называются такие соедине-
ния, каждое из которых содержит п элементов,
взятых из данных т разных элементов, и которые
отличаются одно от другого либо самими элемен-
тами, либо порядком их расположения.
Число всевозможных размещений из т элементов
по п элементов обозначают А” и читают «А из эм
по эн». Так, например, при решении задачи 1 было
установлено, что Ад = 12.
Выведем формулу для вычисления Апт — числа
размещений из т элементов по п элементов.
323
• Пусть имеется т различных элементов. Тогда чис-
ло размещений, состоящих из одного элемента,
выбранного из имеющихся т элементов, равно т,
т. е. AJ, = тп.
Чтобы составить все размещения из т элементов
по 2, к каждому из ранее образованных размеще-
ний из т элементов но 1 будем последователь-
но присоединять по одному из оставшихся (тп — 1)
элементов. По правилу произведения число та-
ких соединений равно Ахт • (т - 1). Таким образом,
Агт = т(т - 1).
Для составления всех размещений из т по 3 к каж-
дому из ранее полученных размещений из т эле-
ментов по 2 присоединим по очереди по одному
из оставшихся (т - 2) элементов. По правилу
произведения число таких соединений равно
Агп • (т - 2), т. е. А3т = т (т - 1) (т - 2).
Последовательно применяя правило произведения,
для любого п С т получаем
А^ = т (т - 1) (т - 2) • ... • (тп - (п - 1)).	(1)
Например, А3 = 4 • 3 = 12; А* = 4 • 3 • 2 = 24;
Д’ = 5.4 • 3 = 60.
Отметим, что правая часть формулы (1) содержит
произведение п последовательных натуральных
чисел, наибольшее из которых равно т. Пусть
в формуле (1) m = п. Тогда
А" = л (л - 1) (и - 2) •	• 2 • 1 = Рл,
т. е. число размещений из п элементов по п равно
числу перестановок из этих элементов:
Апп = Ря.	(2)
Задача 2 Сколькими способами можно обозначить данный
вектор, используя буквы А, В, С, D, Е, F?
► В условии задачи даны 6 букв. Для обозначения
вектора используются 2 буквы, причём порядок
записи этих букв в обозначении имеет значение.
Поэтому задача сводится к нахождению числа раз-
мещений из 6 по 2. Находим А§ = 6 • 5 = <30.
Ответ 30 способами.
Задача 3 Решить уравнение Ал = 56.
► Отметим, что п > 2 и п е N. По формуле (1) имеем
Ал = п (п - 1) = п2 - л, т. е. п2 - п — 56, откуда
п2 - и - 56 = 0 и П] = 8, п2 = -7. Так как корнем за-
324
данного уравнения может быть натуральное число
п > 2, то п = -7 — посторонний корень.
Ответ п = 8. <1
Преобразуем формулу (1) для нахождения числа
размещений Алт.
• Запишем формулу (1) следующим образом:
Алт = (т - п + 1) (т - п + 2) • ... • (m - 1) т.
Умножив обе части этого равенства на (т - л)! =
= 1 • 2 • 3 • ... • (т - л), получим
(т - л)! • А" = 1 • 2 • 3 • ... х
х (т - л) (ти - л + 1) (т - л + 2) • ... • (т - 1) /л,
т. е. (/л - л)! • Алт - т\. откуда
А" = —. О	(3)
т (т -п)!
Для того чтобы формула (3) была справедлива не
только для л < /л, но и для л = т (так как имеет
смысл А™ = Рт = /л!), полагают но определению
0! = 1.
А 7 +
Задача 4 Вычислить: ——---------—.
А5
a2U
► Используя формулу (3), находим
20! t 20!
Л20 Л20 _ 13! 14! _ 151 . 16! _
20!	13! 14!
15!
= 14-15+15 = 15 (14+1) = 225.
Ответ 225. <1
Упражнения
1072 Вычислить:
1) А\;	2) А*;	3) А*-,	4) А*;
5) А?;	6) А®;	7) А’о;	8) А®.
1073 В классе изучают 8 предметов естественно-математического
цикла. Сколькими способами можно составить расписание
на пятницу, если в этот день должны быть:
1) 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла;
2) 6 уроков из шести разных предметов этого цикла.
1074 Сколько существует способов для обозначения с помощью
букв А, В, С, D, В, F вершин данного:
1) четырёхугольника; 2) треугольника?
325
1075 В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа мож-
но сделать назначение: 1) физорга и культорга; 2) физорга,
культорга и казначея?
1076 Найти значение выражения:
-Л®	аЮ. д!1	Д-* . А4 Ал • А3
П 15	15 •	18	18 -	9	4 .	6	10
А7 9 А9 9 d Ав 9 4 А7 *
л15	18	8
1077 Решить относительно т уравнение:
1) А2т = 72;	2) Агт = 56;	3) А® = 12m;
4) А® = 20m;	5)А®+1 = 110;	6)А®+г=90;
7) А* =18А* _2;	8) (т - 4) • А* =	21	(т-5)-А®_2.
1078 Упростить выражение:
1) ——р10 —, где л С 9;	2) ---—------, где п С 13.
1079 В шахматном турнире участвуют:
1) 6 юношей и 2 девушки; 2) 5 юношей и 3 девушки. Сколь-
кими способами могут распределиться места среди девушек,
если все участники турнира набирают разное количество
очков.
Сочетания и их свойства
Задача 1 Покупатель из имеющихся в питомнике 10 са-
женцев хочет выбрать 2. Сколькими способами он
может это сделать?
► Пусть х — число всевозможных пар саженцев, вы-
бираемых из 10 имеющихся. Если бы в выбирае-
мой паре был важен порядок расположения сажен-
цев, то таких пар было бы в 2 раза больше числа х,
т. е. 2х. Но число упорядоченных пар из любых
элементов, выбираемых из 10 имеющихся различ-
ных элементов, равно Ai0. Таким образом, 2х = Л210,
т. е. 2х = 90, откуда х = 45.
Ответ 45 способами.
326
При решении этой задачи из 10 саженцев были об-
разованы пары — соединения по 2 саженца, ко-
торые отличались друг от друга только составом.
Такие соединения называют сочетаниями.
Определение. Сочетаниями из т элементов
по п в каждом (п < т) называются соединения,
каждое из которых содержит п элементов, взя-
тых из данных т разных элементов, и кото-
рые отличаются одно от другого по крайней мере
одним элементом.
Число всевозможных сочетаний из т различных
элементов по п элементов обозначают Спт (С — пер-
вая буква французского слова combinaison — со-
четание) и читают Фце из эм по эн*. При решении
задачи 1 было установлено, что С|0 = 45.
Выведем формулу для подсчёта числа сочетаний
из т различных элементов по п элементов в каждом.
• Образуем все соединения, содержащие п элемен-
тов, выбранных из данных т разных элементов,
без учёта порядка их расположения. Число таких
соединений равно С^.
Из каждого полученного соединения перестанов-
ками его элементов можно образовать Рп = п\ сое-
динений, отличающихся одно от другого только
порядком расположения элементов. Тем самым
получим все размещения из т элементов по п,
число которых равно Апт. По правилу произведе-
ния число таких соединений равно С" • Рп. Итак,
Спт  Рп = Апт, откуда
с" ° (1)
Например, С? = —— =	3 — 10.
5 Ря 1-2-3
Ап Р
Заметим, что если т = п, то С" = —— = —= 1.
*л
Учитывая, что Л2 = ——— при т п и Р = л!,
m (m-п)! v	п
формулу (1) можно представить в виде
Например, С< = (7 _	. 4, -	- 35.
327
Задача 2 Сколько существует способов выбора двух карт из
колоды в 36 карт?
► Изымаемые из колоды всевозможные пары карт
без учёта порядка их расположения в наборе обра-
зуют сочетания из 36 по 2. По формуле (2) находим
С2 =--------36!--_ __ 36!_ _ 33^36 _	_
36	(36-2)1 *2!	341-2!	2
Ответ 630 способов. <]
Рассмотрим два свойства сочетаний, которые в ряде
случаев упрощают вычисления при решении задач.
Свойство 1. С" = С™~п.
лх т
•	По формуле (2) имеем
рл _____т!_____
т (т - л)! • п !’
£ п - л _	тп !_____ tn !_____
т (т-(т - п))! • (т - п)!	nl-(m-n)!’
т. е. СХ = С«-».О
Свойство 2 (рекуррентное свойство).
С" + С" 41 = С’+*.
m m	m +1
•	Воспользуемся соотношением (1):
Спп + С" + 1 »^- + ^а2.=
т т Рп	Л. + 1
_	m(m-l)...(m-(n-l))(m-n)_
71	+	(л + 1)!
_ m(m-l)...(m-(n-l))(n + l)+m(m -l)...(m-(n-l))(m-n) _
(n + 1)!
_m(m-l)...(m-(n-l))(j/ + l+ m - «<)_
(п+1)!
д л + 1
_ (m + l)m (m -l)...(/n -(n -1)) _	-1 _ „ + ।
(n + 1)!	Pn+i m*‘’
Задача 3 Найти значение выражения +CJ®.
► Воспользуемся свойством 2, получим С.^ +0^ =
= По формуле (2) имеем
С19 =	21!	= 21! = 20 21 = 210
21	(21-19)! *19!	21-19!	2
Ответ 210. <3
328
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
Упражнения
Найти значение:
1) С*;	2) С>;	3) С2;	4) С?;
5) С?;	6) С®;	7) С®;	8) С%;
9) Ф	Ю) С12;	И) ;	12) С4°о;
13) С*;	14) С“;	15) Cf0;	16) c2w.
Сколькими способами для участия в конференции из 9 чле-
нов научного общества можно выбрать:
1) троих студентов; 2) четверых студентов?
Сколько различных аккордов, содержащих: 1) 4 звука;
2) 3 звука, можно образовать из 12 клавиш одной октавы?
В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов
его освещения, если одновременно должны светиться:
1) 15 ламп; 2) 14 ламп?
На плоскости отмечено: 1) 16 точек; 2) 13 точек, причём ни-
какие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различ-
ных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?
На окружности отмечено: 1) 10 точек; 2) 12 точек. Сколько
различных треугольников с вершинами, выбранными из
этих точек, можно построить?
На окружности отмечено: 1) 7 точек; 2) 8 точек. Сколько
различных выпуклых четырёхугольников с вершинами, вы-
бранными из этих точек, можно построить?
Из колоды карт, содержащей 36 листов, выбирают: 1) 3 кар-
ты бубновой масти и одну карту трефовой масти; 2) одну
карту пиковой масти и две карты червовой масти. Скольки-
ми способами можно осуществить такой выбор?
Имеются 5 тюльпанов и 6 нарциссов. Сколькими способами
можно составить букет: 1) из 3 тюльпанов и 2 нарциссов;
2) из 2 тюльпанов и 3 нарциссов?
В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими спосо-
бами из состава хора можно выбрать для участия в районном
смотре: 1) 5 девочек и 2 мальчиков; 2) 4 девочек и 3 маль-
чиков?
Найти значение выражения, предварительно его упростив:
1) с|’з°	2) С»	4- С13,	3)	с4 • Vz18’
4)	С30;	5) Сд] Решить уравнение:		- С2 • ' «0»	в) с®.	- С2 ь70.
1) С®*, + C®tI = 3) С’=^с; + 2; 5) С|*“} = 120;	7х;	2) С* ,+С*., 4) 5С® = С$ + 2; 6) с22хх;[ = зб.		= 4 (х
-1);
329
Бином Ньютона
64
В теории многочленов часто двучлены называют
биномами. Рассмотрим целые неотрицательные
степени бинома а + b (при условии а + b * 0):
(а + t>)° = 1.
(а + б)1 = 1 • а + 1 • Ь,
(а + b)2 = 1 • а2 + 2ab + 1 • Ь2,
(а + Ь)3 = 1 • а3 + За2Ь + 3ab2 + 1 • Ь3,
(а + Ь)4 = (а + Ь)3 (а + Ь) =
= 1 • а4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1 • Ь4,
(а + Ь)5 = (а + б)4 (а + Ь) =
= 1 • а5 + 5а4Ь + 10а3Ь2 + 10а2Ь3 + 5аЬ4 + 1 • Ь3
и т. д.
Можно доказать справедливость следующей форму-
лы, называемой биномиальной формулой Ньютона:
(а + Ь)т = С£ • ат + С\ • ат ~ Ч> +
+ С2 •am~2b2 + ... + Спт- am~nbn + ... +	(1)
+ С" ’ • abm -1 + С" • Ьт.
ГТ1
Формулу (1) чаще всего называют просто биномом
Ньютона, а числа Сл — биномиальными коэффи-
циентами, которые могут быть найдены по фор-
муле
Сл = т I
т
Биномиальные коэффициенты легко находить с по-
мощью так называемого треугольника Паскаля —
таблицы значений С", составленной на основа-
нии рекуррентного свойства числа сочетаний
Ст + Ст ' ’ = са, м с учётом того, что = С" = 1.
Ниже приводится фрагмент треугольника Паска-
ля, в котором стрелками показан процесс получе-
ния определённых членов таблицы на основании
рекуррентного свойства. Например, при т = 4 име-
ем строку 1, 4, 6, 4, 1, полученную из предыдущей
строки следующим образом: 4=1+3, 6 = 3 + 3,
4 = 3 + 1 (первый и последний члены строки равны
С« = С4 = 1).
330
\ п т\	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1										
1	1®	- 1									
2	1®	*2®	1								
3	1®	3 ®	3 ©	11							
4	1	"L	6	♦ 4	1						
5	1	5	10	10	5	1					
6	1	6	15	20	15	6	1				
7	1	7	21	35	85	21	7	1			
8	1	8	28	56	70	56	28	7	1		
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1	
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
Эта таблица наглядно иллюстрирует свойство 1
числа сочетаний = С™ п, которое можно сфор-
мулировать так: числа, одинаково удалённые от
концов строки треугольника Паскаля, равны.
Задача 1 Записать разложение бинома (х - 2)6.
► По формуле (1) находим
(х - 2)« = (х + (-2))® =
= С^х® + С'х5 • (-2) + С2х‘ • (—2)2 + CgX3 • (—2)3 +
+ С'х2 • (-2)* + С$х  (-2)3 + С® • (-2)® =
= х® + 6х® • (-2) + 15х‘ • 4 + 20х3 • (-8) +
+ 15х2 • 16 + 6х • (-32) + 64 =
= х6 - 12х5 + 60х« - 160х3 + 240х2 - 192х + 64. <1
Заметим, что при записи разложения степени би-
нома полезно контролировать следующие моменты:
1) число членов получаемого многочлена на еди-
ницу больше показателя т степени бинома, т. е.
равно т + 1;
331
	2) показатели степени первого слагаемого бинома последовательно убывают на единицу от т до 0, а показатели второго последовательно возрастают на единицу от 0 до т; 3) биномиальные коэффициенты, равноудалённые от начала и конца разложения по формуле (1), рав- ны между собой.
Задача 2	Доказать свойство элементов строки треугольника Паскаля: С“ + с’ + С1 + ... + С" -1 + С” = 2т.	(2) ► Равенство (2) получается из равенства (1) при а = 6= 1. <
Задача 3*	( Г“ 1 Найти член разложения Vx + -^	, содержа- \	Vx) щий X2. f г~ 1 У0 / -	1 \ю ► V х + J	х2 4- х 2 ) . Общий член разложе- 1 _1 ния десятой степени бинома х2 + х 2 имеет вид с;о(х2 )	«(х 2 ) . Для того чтобы некоторый член этого разложения содержал х2, должно вы- полняться равенство (xi),0".(3)" = x2.	(3) Z 1 \10- л / -1 \ л	5 я Но (х2 )	• (х 2 ) = х 2 • х 2 = х5 “ *. Равен- ство (3) выполняется при 5 - п = 2, т. е. при п = 3. При п = 3 имеем	= 120.
Ответ	120х2. О
Упражнения
1092 Записать разложение бинома:
1) (1 + х)8;	2) (х + I)7;
5) (2х + I)8;	6) (х + 2)8;
3) (а - I)9;
7) (Зх + 2)4;
4) (у- 1)*°;
8) (2а + З)8;
1093 Записать разложение бипома:
(\7
а-,1	;
Ла )
332
1094 Найти четвёртый член разложения бинома:
13
1095
1096
l)(Vx + x)12;	2)(х-Л)и;	3)	;
4) (х + х),1;	5) (в’-'+а02)’;	6) (боа+Ь°-4)8.
С помощью свойства элементов строки треугольника Паска-
ля найти сумму:
1)	С? + С| + С? + Са + С4 + С® + С® + С?;
2)	С® + С® + С4 + Cg + С2 + С°;
3)	С‘+С2 + Са + С4 + С®;
4)	С® + С® + С* + Са + С2 + С);
5)	C^ + Cj + Cf+ Са + С4;
6)	C‘Jj + С,, + Cjj + C2j + C|j + с^,.
Найти член разложения бинома:
/	\12
1) Vx+ —	, содержащий х"1;
\ vx)
(	\1б
2) >/х +	, содержащий х3.
т Упражнения
’ к главе XI
1097
Вычислить:
*>^=
4) 97]	861.
’ 96!	34!’
4!-8!
5) бГ7!;
3) 149!_ 36]
1 1481	35!
6)
7!-6!
1098
Упростить:
(п + 8)!.
9 (п + 1)!’
(п + 2)!.
2 (п-1)!’
6) 1г4^+ЛЬ<п+1>1-
\ (л + 2)! п ! J
333
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1
2
3
4
5
Найти значение выражения:
А4
А3
2)	3)
Л
С 11 _ С7
10	5
Л
А6
Решить уравнение:
1) £111 = 30;	2)-Д- = 42;	3) -L- =
Л-1	Л-2	Л-5	Л-3
4>	=	б) А3 + 1 = 72(х-1);
Л-4	Л-2
6) А* _! = 40 (х - 2) (х - 3);
7)5С3 + 1 = 8С4;	8)С3 = 4С2_2.
Сколькими способами можно составить график очерёдности
дежурства (по одному человеку в день) в школьной столовой
среди: 1) восьми учащихся на восемь дней; 2) семи учащих-
ся на семь дней?
Сколько существует способов выбора троих учёных из числа:
1) десяти; 2) девяти сотрудников кафедры?
Сколькими способами могут распределиться одно первое,
одно второе и одно третье места среди: 1) десяти; 2) восьми
участников соревнования?
Сколькими способами можно рассадить: 1) четверых; 2) тро-
их учащихся на имеющихся в классе 20 стульях?
Найти значение выражения, предварительно его упростив:
2)^+^'°; 3) С« + Cl + С8; 4) С5 + С« + С‘о.
Записать разложение бинома:
1) (2-х)5;	2) (х-2)4;	3) (а + 3)4;
4) (3 + а)5;	5) (х-1)8;	6) (1-х)7;
/ \б	/
7) х + —- ;	8) 2а + 1
х )	12
Проверь себя!
В вазе лежат 7 разных пирожных. Сколько существует ва-
риантов выбора из них двух пирожных?
Сколькими способами можно подарить 6 различных по окрас-
ке мячей шести малышам, вручая каждому по одному мячу?
Сколько существует способов занять 3 одноместные пар-
ты в первом ряду класса, если в выборе мест участвуют
22 школьника?
Найти значение выражения

Записать разложение бинома (1 - х)°.
334
1107 Сколькими способами можно назначить патруль из двух сол-
дат и одного офицера, если в роте:
1) 75 солдат и 6 офицеров; 2) 78 солдат и 5 офицеров?
1108 Сколько диагоналей имеет выпуклый:
1) семиугольник; 2) восьмиугольник?
1109 Найти значение выражения, предварительно его упростив:
1) С* + С* + С3 + С*; 2) С* + С'1 + Сд + С*;
3)	С? + С? + С) + С? + С?	+ С?	+ С? + С*;
4)	С« + С« + С’ + С| + С2в	+ С*	+ С3;
5)	С» + С312 + С*3 + С’4;	6) С$ + С*	+ С®0 +	С®,;
7)	СИ - С^;	8) С®5 -	С®4;	9) С« - С9и;	10)	С«3 - С]2.
1110 Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать:
1) две карты чёрной масти; 2) две карты червовой масти?
1111 Шифр в камере хранения состоит из двух букв, выбираемых
из 10 гласных русского алфавита, и четырёхзначного число-
вого кода (буквы и цифры в шифре могут повторяться; чис-
ловой код 0000 также возможен). Сколько различных шиф-
ров можно использовать в этой камере хранения?
1112 В некотором государстве автомобильный номер составляется
из трёх различных букв алфавита, состоящего из 25 букв,
и трёх цифр (с их возможными повторами). Скольким авто-
мобилям можно присвоить получаемые таким образом но-
мера?
1113 Записать разложение бинома:
/	\7	/	\5
1) (За + I)5; 2) (х + З)6; 3)	; 4) £-1 ;
\	3 )	\ 3	/
/	\7	/	\8
5) (10х —0,1)6; 6) (0,16-10)7; 7)	; 8) - + £ .
\а 2 7	Vе 2 J
1114 Найти член разложения бинома:
( V5	-
1)	Vx+-1=	, содержащий х3;
V vx J
/	\14
2)	-U + \ х I , содержащий х2;
\ V X	)
Г	Vе	--
3)	4- Vx , содержащий, х 12 ;
V Vx	)
(	V3
4)	Vx + -у=-	, содержащий х’0,6.
335
zглава
- Элементы теории
1 вероятностей
Высшее назначение математики... состо-
ит в том, чтобы находить скрытый поря-
док в хаосе, который нас окружает.
Н. Винер
События
Всё, что происходит или не происходит в реальной
действительности, называют явлениями или собы
тиями. Практика показывает, что если некото-
рое событие происходит достаточно часто, то в его
наступлении существует определённая закономер-
ность.
Раздел математики, называемый теорией вероят-
ностей, и занимается исследованием закономерно-
стей в массовых явлениях.
Определение 1. Событие называют случайным
по отношению к некоторому испытанию (опыту),
если в ходе этого испытания оно может произойти,
а может и не произойти.
Например, если испытание состоит в одном броса-
нии игральной кости (кубика), то в ходе этого ис-
пытания возможны следующие события (исходы
испытания): на верхней грани кости окажется чис-
ло 1, число 2, ..., число 6. Каждое из этих событий
является случайным, так как оно может произой-
ти, а может и не произойти.
Случайные события обычно обозначаются началь-
ными буквами латинского алфавита А, В, С и др.
336
Определение 2. Событие U называют дос то
верным по отношению к некоторому испытанию,
если в ходе этого испытания событие U обязатель-
но произойдёт.
Например, достоверным событием будет появление
одного из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одном
бросании игральной кости.
Если испытание заключается в извлечении одного
шара из коробки, в которой лежат только белые
шары, то извлечение белого шара будет достовер-
ным событием.
Определение 3. Событие V называют невоз-
можным по отношению к некоторому испытанию,
если в ходе этого испытания событие V заведомо
не произойдёт.
Например, невозможным событием является выпа-
дение числа 7 при бросании обычного игрального
кубика.
Предположим, что в результате некоторого испы-
тания обязательно происходит одно из взаимоис-
ключающих друг друга событий, причём каждое
из них не разделяется на более простые. Такие со-
бытия называют элементарными событиями (или
элементарными исходными испытаниями).
Например:
1)	в испытании с бросанием игрального кубика
существует шесть элементарных исходов: выпа-
дение числа 1, выпадение числа 2, ..., выпадение
числа 6;
2)	при бросании монеты существует два элемен-
тарных события: появление орла и появление
решки;
3)	при изъятии одного шара из коробки, в кото-
рой находятся два белых и один чёрный шар,
существует три элементарных исхода: изъятие
любого из двух белых шаров и изъятие чёрного
шара;
4)	при одном бросании канцелярской кнопки су-
ществуют два элементарных исхода испытания:
падение кнопки с касанием острия поверхности,
на которую она падает, и падение плашмя — без
касания острия поверхности падения.
337
Рассмотренные в каждом из примеров события не-
совместны (появление одного из них исключает
появление другого) и единственно возможны (обя-
зательно произойдёт одно из них). Однако в пер-
вых трёх примерах элементарные события явля-
ются равновозможными (у каждого из них шансы
появиться равны), а в четвёртом примере (для
большинства реальных кнопок) шансы названных
двух событий различны.
Заметим, что на практике равновозможность собы-
тий иногда удаётся определить из соображений
симметрии.
Кроме элементарных событий, в теории вероятно-
стей рассматриваются и более сложные события.
Например, при бросании игрального кубика может
быть рассмотрено событие А — появление чётного
числа, которое «распадается* на 3 элементарных
события (появление числа 2, 4 или 6).
Упражнения
1115 (Устно.) Каким событием (достоверным, невозможным или
случайным) является событие:
1)	изъятая из колоды одна карта оказалась семёркой треф;
2)	при комнатной температуре и нормальном атмосферном
давлении медь оказалась в жидком состоянии;
3)	при температуре 20 °C и нормальном атмосферном давле-
нии вода оказалась в жидком состоянии;
4)	наугад названное натуральное число оказалось больше нуля;
5)	вынутый наудачу цветок из букета гвоздик оказался розой;
6)	в результате броска игрального кубика появилось число 5?
1116 (Устно.) Перечислить все элементарные события, которые
могут произойти в результате следующего испытания:
1)	бросается на стол игральный кубик и определяется число
очков, появившееся на верхней грани (грани, противопо-
ложной той, которая лежит на плоскости стола);
2)	на поверхность стола бросается игральный тетраэдр (грани
которого пронумерованы числами 1, 2, 3, 4) и определяется
число на той грани, которая лежит на поверхности стола;
3) бросается на пол монета и определяется видимая сторона;
4)	на пол роняют усечённый конус, выточенный из дерева,
и определяют геометрическую фигуру, по которой упавший
конус касается пола;
5)	из всех карт одной масти (взятых из колоды с 36 листа-
ми) случайным образом выбирается одна карта и определя-
ется изображение на ней;
338
6)	из коробки, в которой лежат 5 шаров пяти различных
цветов, извлекается один шар и называется его цвет.
Высказать предположение о том, являются ли перечислен-
ные элементарные события равновозможными.
1117 (Устно.) Выяснить, являются ли события А и В несовместны-
ми, если:
1)	А — появление туза, В — появление дамы в результате
одного изъятия одной карты из колоды карт;
2)	А — появление туза, В — появление карты бубновой ма-
сти в результате одного изъятия одной карты из колоды;
3)	А — выпадение числа 6, В — выпадение чётного числа
при одном бросании игральной кости;
4)	А — выпадение числа 4, В — выпадение нечётного числа
в результате одного броска игральной кости.
Комбинации событий.
Противоположное событие
Пусть в определенном испытании могут произойти
события А и В. Рассмотрим некоторые комбинации
этих событий.
Определение 1. Суммой (объединением) со-
бытий А и В называется событие, которое состоит
в том, что происходит хотя бы одно из данных со-
бытий. Сумму событий А и В обозначают А + В
(или A U В).
На рисунке 166 с помощью кругов Эйлера проил-
люстрировано понятие суммы событий А и В: боль-
шой круг изображает все элементарные события,
которые могут произойти в рассматриваемом испы-
тании, левый круг изображает событие А, пра-
вый — событие В, а закрашенная область — собы-
тие А + В.
339
Рис. 166
Рис. 167
Допустим, испытание состоит в определении числа
на верхней грани игрального кубика после одно-
го броска, при этом событие А — выпало чётное
число, событие В — выпало число, кратное трём.
Тогда событие А + В состоит в том, что на верхней
грани кубика появится либо чётное, либо кратное
трём (либо чётное, кратное трём) число, т. е. собы-
тие А + В означает, что появится одно из чисел
2, 3, 4, 6.
Определение 2. Произведением (пересечением)
событий А и В называется событие, которое состо-
ит в том, что происходят оба этих события. Произ-
ведение событий А и В обозначают АВ (или А П В).
Рисунок 167 иллюстрирует с помощью кругов
Эйлера произведение событий А и В: закрашенная
область (общая часть кругов А и В) иллюстрирует
событие АВ.
Например, если событие А — выпадение чётного
числа, а событие В — выпадение числа, кратно-
го 3, в результате одного броска игрального ку-
бика, то событие АВ — выпадение чётного числа,
кратного 3 (такое число одно — это 6).
Задача 1 Из колоды карт наугад вынимают одну карту
и рассматривают два события: А — вынута карта
пиковой масти, В — вынут король. Описать со-
бытия А + В и АВ.
Ответ Событие А + В — вынута карта пиковой масти или
вынут король; событие АВ из колоды вынут ко-
роль пиковой масти.
Определение 3. События А и В называют рае
ными (равносильными) и пишут А - В, если собы-
тие А происходит тогда и только тогда, когда про-
исходит событие В.
340
Например, если в испытании с одним бросанием
игрального кубика событие А — выпало число б,
а событие В — выпало наибольшее из возможных
чисел, то А = В.	_
Рассмотрим события А и А (читается «а с чертой»),
связанные с одним испытанием.
Определение 4. Событие А называют проти
воположным событию А, если событие А проис-
ходит тогда и только тогда, когда не происходит
событие А.
Например, если событие А — выпа-
дение чётного числа _при бросании
игральной кости, то А — выпадение
нечётного числа; если А — попадание
по мишени при одном выстреле, то
А — непопадание (промах).
На рисунке 168 проиллюстрирована
взаимосвязь событий А и А на множе-
стве всех элементарных исходов испы-
тания (событие А изображено закра-
шенной областью).
Задача 2 Пусть А и В — произвольные события. Записать
с помощью введённых обозначений следующие
события:
1)	Aj — произошли оба события;
2)	А2 — ни одно из двух событий А и В не произо-
шло;
3)	А3 — произошло только событие А;
4)	А4 — произошло по крайней мере одно из со-
бытий А и В;
5)	* А5 — произошло либо только событие А, либо
только событие В.
►	1) Ах =АВ; 2) А2=АВ;
3) А3=АВ; 4) А4=А + В;
5) Аь = АВ + АВ. <
Упражнения
1118 (Устно.) Из колоды карт вынимается одна карта. Пусть со-
бытие А — изъятие из колоды карты с картинкой, В — изъ-
ятие карты червовой масти. Пояснить, в чём заключается
событие А 4- В; АВ.
341
1119
1120
1121
1122
1123
Двадцать карточек пронумерованы числами от 1 до 20. Про-
извольно из них выбирается одна карточка. Пусть собы-
тие А — на карточке записано число, кратное 4; собы-
тие В — на карточке записано число, кратное 6. Выяснить,
в чём состоят события А + В и АВ.
(Устно.) Испытание состоит из двух выстрелов по мишени.
Событие А — попадание по мишени при первом выстреле,
В — попадание при втором выстреле. Пояснить, в чём со-
стоят события А + В и АВ.
На стол бросают две игральные кости. Событие А — на пер-
вой кости выпало число 5, В — на второй кости выпало чис-
ло, не меньшее пяти. Установить, в чём заключаются собы-
тия А + В и АВ.
(Устно.) Установить событие, являющееся противополож-
ным событию:
1)	при одном броске монеты выпала решка;
2)	в результате броска игральной кости выпало число, рав-
ное двум;
3)	в результате броска игральной кости выпало число, боль-
шее четырёх;
4)	в результате броска игральной кости выпало число, не
большее трёх;
5)	из колоды карт изъята карта бубновой масти;
6)	из колоды карт извлечена шестёрка;
7)	хотя бы одна пуля попала в цель в испытании с тремя вы-
стрелами по мишени;
8)	хотя бы на одной из двух брошенных игральных костей
появилось число 6;
9)	в расписании уроков на понедельник первым уроком по-
ставлена физика;
10)	при сдаче экзамена студент получил оценку «отлично».
Пусть С и D — произвольные события. Записать следующие
события:
1)	произошли оба данных события;
2)	произошло только событие С;
3)	произошло только событие D;
4)	ни одно из данных событий не произошло;
5)	произошло, по крайней мере, одно из данных двух со-
бытий;
6)* произошло только одно из данных событий.
Вероятность события
67
Пусть событие А связано с испытанием, имеющим
п равновозможных элементарных исходов. И пусть
событие А наступает тогда, когда осуществляет-
ся любой из т каких-то элементарных исходов
(т С п), и не наступает тогда, когда осуществляет-
ся любой из оставшихся (л - т) исходов. Тогда
говорят, что указанные т исходов, приводящие
к событию Л, благоприятствуют событию А.
Определение. Вероятностью Р (А) события А
в испытании с равновозможными элементарными
исходами называется отношение числа исходов т,
благоприятствующих событию А, к числу л всех
исходов испытания.
Таким образом,
Р(А) = —, где т С л.	(1)
п
Заметим, что вероятность наступления каждого
элементарного события в испытании с п равновоз-
можными исходами равна 1. Так, например, нояв-
п
ление любого из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 после
одного бросания игрального кубика имеет вероят-
ность
6
Из формулы (1) следует, что
О С Р (А) С 1,
а также
Р(П-О, Р(1/)=1,
где V — невозможное событие; U достоверное
событие.
Задача 1 Бросают игральную кость. Найти вероятность со-
бытия: 1) Aj — выпало чётное число; 2) А2 — вы-
пало число, кратное 3.
343
► Число всех возможных элементарных исходов ис-
пытания п = 6.
1) Событию А, благоприятствуют 3 исхода (числа
2, 4 и 6), т. е. т = 3, поэтому P(Al) = ~ = ^ = i.
2) Событию А2 благоприятствуют 2 исхода (чис-
ла 3 и 6), т. е. т = 2, поэтому Р (А2) = ~ = i = -•
п 6	3
Ответ 1) 1; 2)	<1
Z	«5
Задача 2 Бросают две монеты. Найти вероятность собы-
тия А — хотя бы на одной монете выпал орёл.
► Обозначим появление орла на выпавшей монете
буквой «Он а появление решки — буквой «Р».
Тогда равновозможны следующие четыре (п = 4)
элементарных исхода испытания: ОО, OP, РО, РР
(в каждой паре на первом месте записан резуль-
тат появления орла или решки на первой монете,
на втором месте — на второй монете). Событию А
благоприятствуют первые 3 пары исходов (т = 3).
Поэтому Р (А) = — = у.
п 4
Ответ	—. <]
4
Задача 3 Игральная кость бросается дважды. Найти веро-
ятность события А — сумма выпавших очков не
меньше 10.
Ответ
Задача 4
► Результаты двух бросаний игральной кости — рав-
новозможные упорядоченные пары чисел, выби-
раемых из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Согласно ком-
бинаторному правилу произведения число таких
пар равно 6-6-36. Событию А благоприятст-
вуют следующие 6 пар: 4 и 6, б и 4, 5 и 5, 5 и 6,
6 и 5, 6 и 6. Таким образом, P(A) = -^ = i.
36	6
I и
В ящике лежат 3 белых и 4 чёрных одинаковых
на ощупь шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти
вероятность события: 1) А — оба вынутых шара
белого цвета; 2) В — вынуты шары разного цвета.
► Общее число возможных исходов испытания
"-с?=5^=21-
1) Число благоприятствующих событию А исходов
т = Сз = ГьЬ = 3’ поэтому Р(л) = ? = и = 7*
344
2) Так как любой из 3 белых шаров может комби-
нироваться с любым из 4 чёрных шаров, то по пра-
вилу произведения существует 3-4 = 12 пар из бе-
лого и чёрного шаров, т. е. т = 12. Таким образом,
Р(В) = Й=7‘
Ответ 1) 1; 2)	<
Упражнения
1124 (Устно.) Какова вероятность выпадения числа: 1) 2; 2) 5 в ре-
зультате одного бросания игрального кубика?
1125 Какова вероятность того, что при изъятии одной карты из
колоды в 36 листов игрок вынет: 1) даму треф; 2) короля
пик; 3) валета красной масти; 4) семёрку чёрной масти;
5) шестёрку; 6) туза; 7) или даму, или валета; 8) или вось-
мёрку, или девятку; 9) или короля червовой масти, или даму
любой масти; 10) или валета любой масти, или туза пик;
11) не короля треф; 12) не даму?
1126 Какова вероятность того, что на открытом наугад листе от-
кидного календаря на январь окажется: 1) 21-е число;
2) 10-е число; 3) 31-е число; 4) 32-е число; 5) число, содержа-
щее в своей записи цифру 0; 6) число, содержащее цифру 4;
7) число, содержащее хотя бы одну цифру 2; 8) число, содер-
жащее хотя бы одну цифру 1?
1127 В коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара.
Наугад вынимается один шар. Найти вероятность того,
что вынутый шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) красный; 4) бе-
лый или чёрный; 5) белый или красный; 6) чёрный
или красный; 7) или белый, или чёрный, или красный;
8) синий.
1128 В лотерее участвуют 100 билетов, среди которых: 1) 4 выиг-
рышных; 2) 5 выигрышных. Наугад берут один билет. Ка-
кова вероятность того, что взятый билет выигрышный?
1129 Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что:
1) на обеих костях выпали числа 6; 2) на обеих костях вы-
пали числа 5; 3) на первой кости выпало число 2, а на вто-
рой число 3; 4) на первой кости выпало число 6, а на второй
число 1; 5) на первой кости выпало чётное число, а на вто-
рой число 3; 6) на первой кости выпало число 2, а на
второй нечётное число; 7) на первой кости выпало нечёт-
ное число, а на второй чётное число; 8) на первой кости вы-
пало чётное число, а на второй кратное трём; 9) на первой
кости выпало число, большее 2, а на второй число, нс мень-
345
шее 4; 10) на первой кости выпало число, не большее 4, а на
второй число, большее 4; 11) сумма выпавших чисел рав-
на 3; 12) сумма выпавших чисел равна 4; 13) сумма выпав-
ших чисел не больше 4; 14) сумма выпавших чисел не мень-
ше 10; 15) произведение выпавших чисел равно 10;
16) произведение выпавших чисел равно 5; 17) произведе-
ние выпавших чисел равно 6; 18) произведение выпавших
чисел равно 4.
1130 Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные.
Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что:
1) обе детали оказались бракованными; 2) одна деталь брако-
ванная, а другая нет; 3) обе детали не бракованные?
1131 Среди 15 лампочек 4 испорчены. Наугад берут 2 лампочки.
Какова вероятность того, что; 1) обе выбранные лампочки
испорчены; 2) одна лампочка исправная, а одна — испорчен-
ная; 3) обе лампочки исправные?
1132 Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что:
1) на каждой кости выпало число 3; 2) выпали одинако-
вые числа; 3) сумма чисел на всех костях равна 4; 4) про-
изведение всех выпавших чисел равно 2?
1133 Из полного набора домино, не глядя, извлекают две костяш-
ки. Найти вероятность того, что: 1) обе костяшки окажутся
дублями; 2) на каждой из костяшек одна половинка будет
«пустой».
: Сложение вероятностей
।..।...।..।...।..।...»
Напомним, что сумма событий А и В — это собы-
тие А + В, состоящее в наступлении либо только
события А, либо только события В, либо и собы-
тия А и события В одновременно.
Например, если стрелок сделал 2 выстрела по ми-
шени и событие А — попадание в мишень при пер-
вом выстреле, событие В — попадание при втором
выстреле, то событие А + В — это попадание стрел-
ком в мишень хотя бы при одном из выстрелов.
346
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовмест-
ных событий равна сумме вероятностей этих собы-
тий, т. е.
Р (А 4-В) = Р (А) 4-Р (В).	(1)
•	Пусть событиям А и В, связанным с некоторым ис-
пытанием, благоприятствуют соответственно k и I
исходов, а всего имеется п равновозможных исхо-
дов. Так как события А и В несовместны, то среди
и исходов нет таких, которые одновременно благо-
приятствовали бы как событию А, так и собы-
тию В. Поэтому событию А 4- В будут благоприят-
ствовать k + I исходов.
По определению вероятности
Р(А) = ^, Р(В) = ^-, Р(А +В) = ^^ =- +
п	п	п п п
откуда следует равенство (1). О
Следствие. Сумма вероятностей противополож-
ных событий равна единице, т. е.
Р (А) + Р (А) = 1.	(2)
•	События А и А несовместны, поэтому по тео-
реме_ 1 имеем Р (А 4- А) = Р (А) 4- Р (А). Но
А + А = U — достоверное событие, и поэтому
Р (А 4-А) = Р (С7) = 1, т. е. Р(А+А) = Р(А) + Р(А) =
= 1. О
Задача 1 В ящике лежат 9 шаров, из которых 2 белых,
3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар.
Какова вероятность того, что этот шар цветной (не
белый)?
► I способ. Пусть событие А — появление красно-
го шара, событие В — появление зелёного шара,
тогда событие А 4- В — появление цветного шара.
Очевидно, что Р (А) = Р (В) = ^. Так как со-
У о	У
бытия А и В несовместны, к ним применима теоре-
ма сложения вероятностей
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = | + | + ?
о У У
II способ. Пусть событие С — появление бело-
го шара, тогда противоположное ему событие С —
появление не белого (цветного) шара. Очевидно,
347
9
что Р (С) = *, а согласно следствию из теоремы
У
имеем
Р(С) = 1-Р(С) = 1-| = 1.
Ответ 7. <
9
Задача 2 Вероятность того, что при одном выстреле стрелок
попадает в мишепь, равна 0,8. Какова вероятность
того, что, выстрелив по мишени один раз, этот
стрелок промахнётся?
► Если событие А — попадание в цель при одном вы-
стреле, то по условию Р (А) = 0,8. Противополож-
ное событию А событие А — промах, его вероят-
__________ ность Р (А) = 1 - Р (А) = 1 - 0,8 - 0,2.
Ответ 0,2. <1
Задача 3 В группе спортсменов 10 лыжников и 7 велосипе-
дистов. Какова вероятность того, что среди случай-
ным образом выбранных из этой группы пятерых
человек окажется хотя бы один велосипедист?
► Пусть событие А — среди выбранных пятерых че-
ловек окажется хотя бы один велосипедист, тогда
событие А среди выбранных спортсменов нет
ни одного велосипедиста (т. е. все — лыжники).
В данном случае вероятность события А найти про-
ще, чем Р (А). Найдём Р (А).
Число всех способов выбрать из имеющихся 17 спорт-
сменов пятерых равно числу сочетаний из 17 по 5,
т. е. и = Cj7. Благоприятствующими событию А бу-
дут все пятерки спортсменов, выбранных из
10 лыжников. Их число т = Cj0. Таким образом,
10!
„с1о = 5!-5!	101-12!
1 ’ п с5 17!	5! 17!
121-5!
6-7-8-910 _ 9
~ 13-14-15-16-17 ” 221’
Теперь находим Р(А) = 1-Р(А)= 1-^- = ^.
Ответ	<
221
Замечания. 1) Теорема, аналогичная теореме 1,
верна для любого конкретного числа событий, т. е.
Р (А, + А2 + ... + АЛ) = Р (А,) + Р (А2) + ... + Р (Ап),
где Аи ...» Ап — попарно несовместные события.
348
2) Если Ар А2, ..., Ап — все элементарные события
некоторого испытания, то их совокупность назы-
вают полем событий. Очевидно, что эти события
попарно несовместны и Aj + Л2 + ... + Ап = (7, где
U — достоверное событие.
Р((7) = Р(А14-А2 + ...+Ал) =
= Р (АЗ + Р (А2) + ... + Р (Ал), но Р (17) = 1,
поэтому
Р (А}) + Р (А2) + ... + Р(АЛ)=1.
Упражнения
1134 Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта.
Какова вероятность того, что эта карта: 1) либо дама, либо
валет; 2) либо шестёрка, либо туз; 3) либо семёрка треф,
либо карта бубновой масти; 4) либо туз красной масти, либо
карта трефовой масти? Решить задачу двумя способами.
1135 В ящике находятся 3 белых, 4 синих и 5 красных шаров. На-
угад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот
шар: 1) цветной; 2) либо белый, либо красный; 3) либо бе-
лый, либо синий? Решить задачу двумя способами.
11.36 В папке находятся 15 билетов спортивной лотереи, 20 биле-
тов художественной лотереи и 30 билетов денежно-вещевой
лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из
этой пачки один билет окажется билетом: 1) либо спортив-
ной, либо денежно-вещевой лотереи; 2) либо спортивной,
либо художественной лотереи; 3) либо художественной, либо
денежно-вещевой лотереи. Решить задачу двумя способами.
1137 Найти вероятность того, что в результате одного бросапия
игральной кости выпадет число, отличное от 1.
1138 Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного на-
бора домино одна кость окажется не дублем.
1139 Вероятность попадания мяча в корзину, брошенного один
раз некоторым баскетболистом, равна 0,4. Найти вероят-
ность того, что, бросив мяч в корзину, этот баскетболист
промахнётся.
1140 Вероятность выигрыша по одному билету в некоторой лоте-
рее равна 10 ’\ Какова вероятность приобретения невыиг-
рышного билета при покупке одного билета?
1141 В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынима-
ют 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется
по крайней мере один: 1) белый шар; 2) чёрный шар.
1142 В коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. Наугад выни-
мают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажет-
ся по крайней мере один: 1) белый шар; 2) красный шар.
349
1143 Известно, что среди 100 деталей 5 бракованных. Наугад вы-
бирают 4 детали. Найти вероятность того, что среди них ока-
жется: 1) хотя бы одна бракованная деталь; 2) хотя бы одна
не бракованная деталь.
1144 В студенческой группе 24 человека, среди которых только
6 девушек. Случайным образом из числа всех студентов вы-
бирают троих на профсоюзную конференцию. Найти вероят-
ность того, что среди них окажется: 1) по крайней мере одна
девушка; 2) по крайней мерс один юноша.
• Независимые события.
| Умножение вероятностей
Предположим, что из колоды в 36 карт извлекает-
ся одна карта и рассматриваются: событие А — из-
влечена карта трефовой масти, событие В — извле-
чена дама треф. Между событиями А и В очевидно
наличие какой-то зависимости. Действительно, из
9 случаев, благоприятствующих событию А, собы-
тию В благоприятствует один; поэтому при наступ-
лении события А вероятность события В равна |.
Но при отсутствии информации о наступлении со-
бытия А вероятность события В оценивается как
равная i. Так как * > то очевидно, что на-
ступление события А повышает шансы события В.
Существуют, однако, пары событий, для которых
факт зависимости вероятности наступления одного
из них от наступления другого не очевиден.
Определение. События А и В называют неза
висимыми, если выполняется равенство
Р (АВ) = Р (А) • Р (В).	(1)
Рассмотрим опыт с бросанием двух игральных кос-
тей и исследуем два события: А — на первой кости
350
выпало 5 очков, В — на второй кости выпало 5 оч-
ков. Вылепим, будут ли события А и В независи-
мыми.
• Появление любого числа очков па первой кости
(в частности, наступление события А) не влияет
на событие В и на его вероятность. И наоборот,
наступление или не наступление события В не
влияет на вероятность события А. Таким образом,
P(A) = i и Р(В) = |.
О	о
Событие АВ состоит в совместном наступлении со-
бытий А и В. Элементарные исходы испытания —
это пары чисел, в которых на первом месте стоит
число очков первой кости, на втором — число оч-
ков второй кости. Всего элементарных исходов ис-
пытания п = 36. Среди них присутствует лишь
одна пара (5 и 5 очков), благоприятствующая собы-
тию АВ, т. е. тп = 1. Таким образом, Р (АВ) = -^ =
= - • \ = Р (А) • Р (В), т. е. события А и В незави-
6 6
симые. О
Часто о независимости событий удается судить не
на основании формулы (1), а на основании того,
как организован опыт, в котором они происходят.
Независимые события появляются тогда, когда
опыт состоит из нескольких независимых испыта-
ний (как, например, было в рассмотренном опыте
с бросанием двух игральных костей).
Если независимость испытаний не очевидна, то не-
зависимость событий А и В проверяется с помощью
формулы (1).
«Задача 1 Выяснить, являются ли события А и В незави-
симыми, если:
1) Р (А) = 0,2, В (В) = 0,5, Р (АВ) = 0,1;
2) Р(А) = |, Р(В) = |, Р(АВ) = |.
► 1) Так как Р (А) • Р (В) = 0,2 • 0,5 = 0,1 = Р (АВ),
то события А и В являются независимыми.
2) Так как Р(А)  Р(В) = 1-| = 1 * % = Р (АВ), то
о о У У
события А и В не являются независимыми. <]
Задача 2 Пусть наугад называется одно из первых десяти
натуральных чисел и рассматриваются события:
А — названо чётное число, В — названо число,
кратное пяти. Выяснить являются ли события А
и В независимыми.
351
Среди десяти чисел 1, 2, 3, ..., 9, 10 чётных чи-
сел 5, а кратных пяти — 2, поэтому Р (А) =
2	1
Р (В) = — = -. Событие АВ состоит в названии чис-
ла, кратного как числу 2, так и числу 5, т. е. чис-
лу 10. Среди первых десяти натуральных чисел та-
ким является одно число 10, поэтому Р (АВ) =
Так как Р (А) • Р (В) = - •1 = 4г = Р (АВ), то собы-
2 5	10
тия А и В являются независимыми.
Задача 3 За офисом наблюдают две независимые друг от
друга видеокамеры. Вероятность того, что в тече-
ние суток первая видеокамера выйдет из строя,
равна 0,001, а вероятность того, что выйдет из
строя вторая, равна 0,0005. Найти вероятность
того, что в течение суток выйдут из строя обе ви-
деокамеры.
► Пусть событие А — выход из строя в течение рас-
сматриваемых суток первой видеокамеры, В — вы-
ход из строя в течение тех же суток второй каме-
ры. Согласно условию задачи Р (А) = 0,001 = 10’3,
Р (В) = 0,0005 = 5 • 10 4. Событие АВ — выход из
строя в течение суток обеих видеокамер. Считая со-
бытия А и В независимыми, находим
Р (АВ) = Р (А) • Р (В) = 10"8 • 5 • 10‘4 = 5 • 10~7.
Ответ 5 • 10“7. <1
Задача 4 Вероятность попадания в цель при одном выстреле
первым орудием равна 0,8, а вторым оруди-
ем — 0,7. Найти вероятность попадания в цель
хотя бы одним орудием, после того как они оба,
стреляя по цели, сделали по одному выстрелу.
► Пусть событие А — попадание в цель хотя бы од-
ним орудием, а противоположное ему событие А
наступает при промахе как первого, так и второ-
го орудия. Вероятность промаха первого орудия
равна 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность промаха вто-
рого равна 1 - 0,7 = 0,3. Считая промахи ору-
дий при стрельбе по_цели независимыми собы-
тиями, находим Р (А) = 0,2 • 0,3 = 0,06, значит,
Р (А) = 1 - Р (А) = 1 - 0,06 = 0,94.
Ответ 0,94. •']
352
Упражнения
1145 Выяснить, являются ли события А и В независимыми, если:
1)	Р(Д) = |, Р(В) = Ц, Р(АВ) = ±;
2)	Р (А) = 0,75, Р (В) = 0,2, Р (АВ) = 0,15;
3)	Р (А) = 0,3, Р (В) = 0,2, Р (АВ) = 0,6;
4)	Р(А) = £, Р(В) = ^. P(AB) = i.
14	4
1146 Наугад называется: 1) одно из первых двенадцати натураль-
ных чисел; 2) одно из первых тринадцати натуральных чи-
сел. Рассматриваются события: А — названное число явля-
ется чётным, В — названное число кратно трём. Установить,
являются ли события А и В независимыми.
1147 Бросаются две игральные кости и рассматриваются события:
1) А—на первой кости выпало число 6, В — на второй
кости выпало чётное число; 2) А — на первой кости выпало
нечётное число, В — на второй кости выпало число, крат-
ное 3. Убедиться с помощью формулы (1) в независимости
событий А и В.
1148 Вероятность выигрыша на некоторой бирже в течение каж-
дого из двух фиксированных дней равна 0,3. Найти вероят-
ность того, что на этой бирже: 1) выигрыши произойдут
в каждый из этих двух дней; 2) два этих дня не будет выиг-
рышей; 3) выигрыши произойдут хотя бы в один из двух
фиксированных дней.
1149 Для сигнализации об угоне установлены два независимых
датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый
датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти
вероятность того, что при угоне: 1) сработают оба датчика;
2) оба датчика не сработают; 3) сработает хотя бы один из
датчиков; 4) хотя бы один из датчиков не сработает.
1150 В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй
партии из 30 деталей 5 нестандартных. Наугад из каждой
партии изымают по одной детали. Найти вероятность того,
что: 1) обе детали оказались нестандартными; 2) обе дета-
ли оказались стандартными; 3) хотя бы одна деталь оказа-
лась стандартной: 4) хотя бы одна деталь оказалась нестан-
дартной.
1151 В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара,
а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой
коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность
того, что: 1) оба вынутых шара белые; 2) оба вынутых шара
чёрные; 3) хотя бы один шар белый; 4) хотя бы один шар
чёрный.
353
1152 Вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним из
двух выстрелов, равна 0,96. Полагая, что каждый раз веро-
ятность поражения цели при одном выстреле одна и та же,
найти эту вероятность.
1153 Вероятность Р того, что при измерении прибором некоторой
физической величины будет допущена ошибка, превышаю-
щая заданную точность, постоянна. Вероятность того, что
ошибка будет допущена этим прибором хотя бы один раз из
32
двух измерепий, равна Найти Р.
о!
1154 Вероятность попадания по мишени при одном выстреле не-
которым стрелком равна 0,8. Найти вероятность попадания
по мишени этим стрелком: 1) в каждом из трёх выстрелов;
2) хотя бы одним из трёх выстрелов.
1155 Имеются 3 партии деталей. Вероятность того, что вынутая
из первой партии деталь окажется бракованной, равна 0,1.
Вероятность того, что бракованной будет вынутая из второй
партии деталь, равна 0,2. Вероятность того, что бракованной
будет вынутая из третьей партии деталь, равна 0,3. Случай-
ным образом из каждой партии изымают по одной детали.
Найти вероятность того, что: 1) все 3 детали окажутся бра-
кованными; 2) все 3 детали окажутся не бракованными;
3) хотя бы одна деталь окажется не бракованной; 4) хотя бы
одна деталь окажется бракованной.
Статистическая вероятность
Определение вероятности, сформулированное в § 67,
называется классическим определением вероятно
сти. Оно применяется, когда теоретически удает-
ся выявить все элементарные равновозможные ис-
ходы испытания и определить благоприятствующие
исследуемому событию исходы. В этом случае число
элементарных исходов испытания конечно и выра-
жается конкретным числом. Однако на практике —
при изучении случайных явлений н естествозна-
354
Рис. 169
ним, экономике, медицине, производ-
стве — часто встречаются испытания,
число возможных исходов которых
необозримо велико. А в ряде случаев
до проведения реальных испытаний
трудно или невозможно установить
равновозможность исходов испытания. Например,
до многократного подбрасывания кнопки (рис. 169)
трудно представить, равновозможны ли её падения
♦на плоскость» и «на остриё*. Поэтому наряду
с классическим на практике используется и так на-
зываемое статистическое определение вероятно-
сти. Для знакомства с ним требуется ввести поня-
тие относительной частоты.
Определение 1. Относительной частотой со-
бытия А в данной серии испытаний называют
отношение числа испытаний М, в которых это со-
бытие произошло, к числу всех проведённых ис-
пытаний N. При этом число М называют часто
той события А.
Относительную частоту события А обозначают
W (А), поэтому по определению
Ж(А) = ^.	(1)
N
Задача 1 Во время стрельбы по мишени было сделано 25 вы-
стрелов и зарегистрировано 15 попаданий. Како-
ва относительная частота попадания по мишени
в данной серии выстрелов?
► Событие А — попадание по мишени, произошло
в 15 случаях, т. е. М = 15. Общее число испытаний
(выстрелов) ЛГ = 25. По формуле (1) имеем
И’ (А) = — = 1-= - = о 6
25	5
Ответ 0,6. <
Если проводить реальное испытание с подбрасыва-
нием монеты и наблюдать за относительной часто-
той появления, например орла, в каждой серии
испытаний, то можно заметить следующий факт:
чем больше проводится испытаний, тем всё мень-
ше относительная частота появления орла отли-
чается от 0,5, т. е. от значения вероятности этого
события в классическом понимании.
355
Этот факт подтверждают и дошедшие до нас исто-
рические сведения.
Известно, что в XVIII в. французский естество-
испытатель Жорж Луи Леклерк де Бюффон
(1707—1788) провёл 4040 испытаний с подбрасы-
ванием монеты. В результате чего наблюдал появ-
ление орла 2048 раз. Таким образом, Бюффон по-
лучил относительную частоту появления орла, рав-
ную ~ 0,5069. В начале XX в. английский
4040
учёный Карл Пирсон (1857—1936) провёл с по-
мощью своих учеников 24 000 аналогичных испы-
таний и наблюдал 12 012 появлений орла. Относи-
тельная частота события у Пирсона оказалась рав-
ной —12 ~ 0,5005.
24000
Определение 2. Статистической вероятно-
стью называют число, около которого колеблется
относительная частота события при большом чис-
ле испытаний.
Различные исследования с большим числом одно-
типных испытаний проводили учёные в разные
годы. Наблюдая за уменьшением амплитуды коле-
бания относительных частот события около некото-
рого числа при увеличении количества испытаний,
швейцарский математик Якоб Бернулли (1654—
1705) обосновал так называемый закон больших
чисел:
Можно считать достоверным тот факт, что при лю-
бой достаточно большой серии испытаний относи-
тельная частота события Л стремится к некоторому
числу — вероятности этого события. Таким обра-
зом, W (А) ~ р (А) при большом числе испытаний.
Проиллюстрируем ещё одним примером сформули-
рованный закон больших чисел.
Рис. 170
На листе начерчены параллель-
ные линии, расстояния между
которыми равны длине некото-
рой иглы (рис. 170). Эта игла
100 раз бросается на расчерчен-
ный лист, и случаи её пересе-
чения с любой из линий под-
считываются во втором столбце
таблицы, где N — число броса-
356
ний, М — частота пересечения иглой линии, — —
N
относительная частота события в серии из N испы-
таний, подсчитанная с точностью до десятиты-
сячных.
N	м	W = М. N
10	6	0,6
20	14	0,7
30	19	0,6333
40	26	0,65
50	33	0,66
60	40	0,6667
70	46	0,6571
80	54	0,675
90	59	0,6556
100	66	0,66
По результатам 100 бросков можно предположить,
что значения дроби — колеблются около числа
N
2
- ~ 0,6667. Действительно ли вероятность рассмат-
м
о
риваемого события равна -? При увеличении
числа испытаний было обнаружено, что относи-
тельная частота этого события стабилизируется
2 тт
около числа, чуть меньшего, чем —. На основании
понятия геометрической вероятности Бюффоп до-
казал, что вероятность этого события равна —.
Упражнения
1156 В изготовленной партии из 10 000 деталей обнаружено:
1) 350; 2) 220 бракованных деталей. Найти относительную
частоту появления в данной партии бракованной детали.
Результат выразить в процентах.
357
1157 Заполнить последний столбец таблицы (с точностью до ты-
сячных):
№ п/п	Испытание	Число испы- таний (N)	Наблю- даемое событие	Частота события (М)	Относитель- ная частота события [ ж - Ml
1	Брошена монета	200	Выпала решка	98	
2	Брошен игральный кубик	300	Выпало число 4	53	
3	Спортсмен стреляет по мишени	100	Попада- ние по мишени	93	
4	Брошен игральный тетраэдр (с гранями, пронумерованными числами 1, 2, 3, 4)	200	Выпало число 3	49	
1158 Проводились серии из N испытаний с подбрасыванием неко-
торой правильной треугольной призмы, сделанной из стали.
Результаты заносились в таблицу:
Число испытаний (N)	10	50	100	300	500	1000
Частота падения призмы на любую боковую грань (М)	8	34	73	206	353	698
Относительная частота па- дения призмы на боковую грань (W)						
Заполнить последнюю строку таблицы, округляя результаты
вычислений до сотых. Высказать предположение о прибли-
жённом значении (с точностью до одной десятой) вероятно-
сти события А — падение призмы на боковую грань.
1159 Провести серии из N испытаний (где = 10,	= 20,
N3 = 40, N4 = 50) с подбрасыванием игрального кубика, па
блюдая за частотой появления числа 1. Убедиться в том,
что относительная частота события А — появление числа 1
с увеличением N всё меньше отличается от числа | (значе-
6
ния вероятности этого события в классическом понимании).
358
1160
Упражнения
к главе XII
1161
1162
(Устно.) Перечислить все элементарные события, которые
могут произойти в результате следующего испытания: 1) на-
угад называется день недели; 2) перекидной календарь на
апрель месяц открывается наугад и читается записанное
на листе число; 3) на пол роняется тонкий бутерброд и оп-
ределяется — на какую сторону он упадёт; 4) бросают на
пол 2 монеты и наблюдают выпавшие стороны; 5) на пол
бросают 3 монеты и наблюдают выпавшие стороны; 6) по
мишени по одному разу стреляют 3 стрелка; наблюдается по-
падание (П) или непопадание (Н)
по мишени каждым из них; 7) из
пункта А пешеход может попасть
в пункт С по одной из трёх дорог
(на рисунке 171 дороги прохо-
дят либо по сторонам прямоуголь-
ника ABCD, либо по его диаго-
нали АС); оцениваются длины
маршрутов в каждом испытании.
Высказать предположение о рав-
новозможности перечисленных
элементарных событий.
(Устно.) Назвать события А + В и АВ, если: 1) из полного
набора домино извлекается одна костяшка, событие А — вы-
нута костяшка «два — два», событие В — вынут дубль;
2) из колоды карт в 36 листов извлекается одна карта, со-
бытие А — вынута карта с картинкой; событие В — вынут
король.
Двенадцать карточек пронумерованы натуральными числа-
ми от 1 до 12. Случайным образом выбирается одна карточ-
ка. Рассматриваются события: 1) А — на карточке записан
делитель числа 12, В — записано число, кратное 12; 2) А —
на карточке делитель числа 6, В — на карточке число, крат-
ное 6; 3) А — на карточке число, меньшее 10, В — на кар-
точке число, большее 5; 4) А — на карточке число, боль-
шее 7, В — на карточке число, меньшее 9; 5) А — на
карточке число, кратное 2, В — на карточке число, крат-
ное 4; 6) А — на карточке число, кратное 3, В — на карточ-
359
ке число, кратное 6. Установить, в чём состоят события
А + В и АВ.
1163 (Устно.) Установить событие, являющееся противополож-
ным событию: 1) выпало число 4 в результате броска играль-
ного тетраэдра; 2) выпало число, кратное 5, в результате бро-
ска игрального кубика; 3) хотя бы на одном из кубиков
выпало четное число в результате бросания двух игральных
кубиков; 4) хотя бы на одном из двух брошенных игральных
тетраэдров появилось число 1; 5) брошенная на шахматную
доску шашка имеет с клеткой «f2* хотя бы одну общую точ-
ку; 6) брошенная на шахматную
доску шашка легла на чёрную 
клетку.
1164 События А и В изображены с по- /	_	__	\
мощью кругов Эйлера (рис. 172).	/ А В I
Большим кругом изображены у	}
все элементарные исходы испы- \	у
тания, с которым связаны собы-
тия А и В. Перенести рисунок
в тетрадь и штриховкой пока- рис. 172
зать событие, состоящее в том,
что: 1) произошли оба события А и В; 2) произошло или со-
бытие А, или событие В\ 3) произошло только событие А;
4) произошло событие В.
1165 Брошена игральная кость. Найти вероятность события:
1) выпало число, не меныпее 2; 2) выпало число, меньшее 3;
3) выпало число, большее 4; 4) выпало число, не большее 5.
1166 В коробке находятся 2 белых, 5 чёрных и один синий шар.
Наугад вынимают один из них. Найти вероятность события:
1) вынут белый шар; 2) вынут чёрный шар; 3) вынут синий
шар; 4) вынут или белый, или чёрный шар; 5) вынут не чёр-
ный шар; 6) вынут не белый шар.
1167 Из колоды карт в 36 листов наугад вынимается одна карта.
Найти вероятность того, что эта карта: 1) дама красной мас-
ти; 2) шестёрка чёрной масти; 3) семёрка; 4) девятка;
5) с картинкой; 6) не с картинкой; 7) или король, или шес-
тёрка; 8) или семёрка, или туз червей; 9) не король бубен;
10) не валет.
1168 Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету в не-
которой лотерее равна: 1)2- 10 4; 2) 3 • 10“б. Какова вероят-
ность приобрести невыигрышный билет нри покупке одного
билета?
1169 Установить, являются ли события С и D независимыми,
если: 1) Р (А) = 0,75, Р (В) = 0,4, Р (АВ) = 0,3; 2) Р (А) =
= 10 3, Р (В) = 10’2, Р (АВ) = 10 в.
360
1170 Наугад называется одно из первых: 1) девятнадцати; 2) двад-
цати натуральных чисел; рассматриваются события: А — на-
звано число, кратное 4, В — названо число, кратное 5. Вы-
яснить, являются ли события А и В независимыми.
1171 Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени.
Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна
0,65, у второго равна 0,8. Найти вероятность того, что: 1) оба
стрелка попадут по мишени; 2) хотя бы один из стрелков
попадёт по мишени; 3) оба стрелка промахнутся; 4) хотя бы
один промахнётся.
1172 Вероятность того, что лампочка в люстре перегорит в тече-
ние года, равна 0,3. Считая, что каждая из двух таких лам-
почек в люстре перегорает независимо от другой, найти веро-
ятность события: 1) в течение года перегорят обе лампочки;
2) в течение года не перегорит ни одна из лампочек; 3) в те-
чение года перегорит хотя бы одна лампочка; 4) в течение
года не перегорит хотя бы одна лампочка.
1173 Заполнить последний столбец таблицы, округляя результа-
ты вычислений с точностью до тысячных.
№ п/п	Испытание	Число испы- таний	Наблюдаемое событие	Час- тота собы- тия	Относи- тельная частота события
1	Брошены два играль- ных кубика	400	Сумма выпав- ших чисел равна 2	11	
2	Брошены два играль- ных кубика	200	Сумма выпав- ших чисел равна 3	11	
3	Спортсмен стреляет по мишени	300	Попадание по мишени	284	
4	Из колоды карт изв- лекается одна карта	200	Извлечён туз	23	
Проверь себя!
1	Наугад называется одно из первых восемнадцати чисел.
Событие А названо чётное число, событие В — названо
число, кратное 3. Перечислить элементарные исходы испы-
тания, благоприятствующие событию: 1) А + В; 2) АВ;
3) А; 4) В.
361
2	Брошены 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что
на первой кости выпало число 4, а на второй — нечётное
число?
3	Вероятность попадания по цели при одном выстреле у перво-
го орудия равна 0,6, у второго - 0,7. Найти вероятность
того, что по цели попадёт хотя бы одно орудие после того,
как оба сделают по одному выстрелу.
1174 С помощью штриховки (см. рис. 1 72) проиллюстрировать со-
бытие: 1) А + В; 2) АВ, если большой круг на рисунке изоб-
ражает все элементарные события испытания, с которым
связаны события А и В (эти события проиллюстрированы
малыми кругами).
1175 Бросают 3 монеты и определяют выпавшие стороны. Пере-
числить все элементарные исходы, благоприятствующие со-
бытию: 1) хотя бы па одной монете появилась решка; 2) хотя
бы на двух монетах появилась решка.
1176 Бросают 3 монеты и наблюдают за выпавшими сторона-
ми. Перечислить все элементарные исходы, благоприятст-
вующие событию А, если событие А состоит в следующем:
1) только на одной монете появился орёл; 2) хотя бы на од-
ной монете появился орёл.
1177 Бросают две игральные кости. Найти вероятность события:
1) произведение появившихся чисел равно 6; 2) произведе-
ние появившихся чисел равно 4; 3) сумма выпавших чисел
равна 4; 4) сумма выпавших чисел равна 5; 5) сумма выпав-
ших чисел больше 9; 6) сумма выпавших чисел не больше 5.
1178 В коробке лежат 5 белых и 6 чёрных шаров. Наугад вынима-
ют 2 шара. Найти вероятность события: 1) оба шара белого
цвета; 2) оба шара чёрного цвета; 3) один шар белый, другой
чёрный; 4) по крайней мере один шар белый; 5) по крайней
мере один шар чёрный.
1179 В коробке лежат 6 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынима-
ют 2 шара. Найти вероятность события: 1) оба шара белые;
2) оба шара чёрные; 3) один шар белый, другой чёрный;
4) по крайней мере один шар белый; 5) по крайней мере
один шар чёрный.
1180 В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынима-
ют 3 шара. Найти вероятность того, что: 1) все шары белые;
2) все шары чёрные; 3) один шар белый и 2 чёрных; 4) один
шар чёрный и 2 белых.
1181 Клавиатура компьютера имеет 105 клавиш. Найти вероят-
ность того, что при случайном последовательном нажатии
трёх клавиш будет написано слово: 1) дом; 2) око.
362
1182 В первом ящике находятся 8 белых и 9 чёрных шаров, во
втором — 6 белых и 5 чёрных. Наугад из каждого ящика
выбирают по одному шару. Найти вероятность того, что:
1) оба шара оказались белыми; 2) оба шара оказались чёрны-
ми; 3) из первого ящика извлекли белый шар, а из второ-
го — чёрный; 4) из первого ящика извлекли чёрный, а из
второго — белый шар; 5) хотя бы один шар оказался белым;
6) хотя бы один шар оказался чёрным.
1183 Два мальчика играют в игру крестики-нолики на поле 3x3.
Первый случайным образом ставит в одну клетку крестик,
второй случайным образом ставит нолик в одну из оставших-
ся 8 клеток. Найти вероятность того, что после этих ходов
будут заняты заранее зафиксированные наблюдателем две
клетки поля. Решить задачу двумя способами.
XIII
. Ла в Cl
Статистика
Цель математически оформленных тео
рий состоит не только в том, чтобы опи
сать с помощью точных формул уже на-
копленные знания, но и в том, чтобы
предсказать новые явления.
Б. В. Гнеденко
Случайные величины
Статистика занимается сбором, представлением
(в виде таблиц, диаграмм, графиков и др.) и ана-
лизом информации о различных случайных вели-
чинах.
Случайными величинами называют такие величи-
ны, которые в ходе наблюдений или испытаний
могут принимать различные значения. Можно го-
ворить о том, что их значения зависят от случая.
Например, сумма чисел (очков), выпадающая при
бросании двух игральных костей, — случайная ве-
личина. Обозначим её X, тогда X, =2, Х2 = 3,
Х3 = 4, ..., Хп = 12 — значения этой случайной
величины. В таблице 1 указаны суммы выпав-
ших чисел, а в таблице 2 показано распределение
значений случайной величины X (суммы выпав-
ших чисел) по их вероятностям Р: каждой из сумм
Хр Х2, Х3, ...» Хн поставлена в соответствие ве-
роятность, с которой она может появиться в ре-
зультате одного испытания (одного бросания двух
игральных костей).
Например, сумма Х2 = 3 появляется в двух благо-
приятствующих случаях (1 + 2 и 2 + 1) из 36 воз-
можных, поэтому Р2 = /\ = 1 .
36 1о
364
Таблица 1
I кость II кость\.	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12
Таблица 2
X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Р	36	2 36	3 36	4 36	5 36	6 36	5 36	4 36	3 36	2 36	1 36
Для наглядности распределение значений случай-
ной величины ХУ представленное в таблице 2, мо-
жет быть изображено в виде, например, линейной
или столбчатой диаграммы.
Заметим, что сумма вероятностей ХР1 всех значе-
ний величины X (записанных во второй строке таб-
лицы 2) равна 1, как сумма вероятностей всех эле-
ментарных исходов испытания с нахождением сум-
мы очков при одном бросании двух игральных
костей (см. предыдущую главу).
Таблицы распределения значений случайной вели-
чины, аналогичные таблице 2, составляются по ре-
зультатам теоретических расчётов вероятностей.
На практике часто после проведения реальных
испытаний составляются таблицы распределения
значений случайных величин по частотам (или по
относительным частотам), после чего для большей
наглядности распределение данных представляют
либо в виде диаграммы, либо в виде полигона час-
тот (полигона относительных частот).
1 Знак X, введённый Л. Эйлером, используется для записи суммы зна-
чений некоторой величины (в данном случае — суммы всех значений веро-
ятности Р).
365
Задача
Имеются результаты 20 измерений диаметра d
болта (в миллиметрах с точностью до 0,1):
10,1; 10,0; 10,2; 10,1; 9,8; 9,9; 10,0;
10,0; 10,2; 10,0;
10,0; 9,9; 10,0; 10,1; 10,0; 9,9; 10,0;
10,1; 10,1; 10,0.
Представить эти данные с помощью: 1) таблиц рас-
пределения по частотам М и относительным часто-
там Ж; 2) полигона частот.
► 1) Имеющиеся данные (значения случайной вели-
чины d) представим в виде таблицы 3 распределе-
ния по частотам и относительным частотам:
Таблица 3
d	9,8	9,9	10,0	10,1	10,2
м	1	3	9	5	2
	0,05	0,15	0,45	0,25	0,1
Отметим, что ЕМ = N = 20, ЕЖ = 1.
2) На рисунке 173 представлено распределение
значений d в виде полигона частот.
* Рассмотренные в этом параграфе случайные вели-
чины принимали изолированные друг от друга зна-
чения. Такие величины называют дискретными
(от лат. discretus — раздельный, прерывистый).
366
Если случайная величина может принимать любое
значение из некоторого промежутка, то такая ве-
личина называется непрерывной. Например, вре-
мя Т ожидания автобуса на остановке, когда пасса-
жир приходит на остановку случайным образом,
а автобусы ходят с интервалом 10 мин, есть непре-
рывная случайная величина, принимающая любое
числовое значение Т е [0; 10].
Очевидно, число возможных значений непрерыв-
ной случайной величины бесконечно. Однако суще-
ствует способ, с помощью которого можно задать
распределение и непрерывной случайной величи-
ны. Для этого промежуток значений величины раз-
бивают на части (обычно — на равные) и считают
частоты (или вероятности) попадания значений
случайной величины в каждую из них.
Рассмотрим пример. Пусть время горения Т
(в часах) электрической лампочки некоторого вида
Т е [0; 1000]. Тогда промежуток [0; 1000] можно
разделить к примеру на 5 одинаковых по длине
промежутков и результаты горения каждой из
100 экспериментальных лампочек занести в час-
тотную таблицу 4:
Таблица 4
Т	[0; 200)	[200; 400)	[400; 600)	[600; 800)	[800; 1000|
м	1	3	10	18	68
Отметим, что ЕМ = N = 100.
Данные этой таблицы можно представить с по-
мощью так называемой гистограммы частот —
ступенчатой фигуры (рис. 174).
Если основанием каждой ступени служит проме-
жуток длиной Л, то высоту столбца берут рав-
нои —, где М — частота значений величины X
h
на соответствующем промежутке. Тогда площадь
такого столбца будет равна — • h = М, а площадь
h
фигуры под гистограммой равна ЕМ = ЛГ.
Если по данным таблицы 4 заполнить таблицу 5
относительных частот, то построенную на её осно-
ве ступенчатую фигуру называют гистограммой
относительных частот (рис. 175).
367
Таблица 5
X	[0; 200)	[200; 100)	[400; 600)	[600; 800)	[800; 1000]
W	0,01	0,03	0,1	0,18	0,68
Гистограмму относительных частот строят обычно
таким образом, чтобы площадь каждого столбца
под ступенькой была равна соответствующему зна-
чению W. Тогда площадь фигуры под гистограм-
мой будет равна единице (YW = 1). *
Упражнения
1184 Составить таблицу распределения по вероятностям Р значе-
ний случайной величины X — числа очков, появившихся
при бросании игрального кубика: 1) на двух гранях которого
отмечены 3 очка, на одной — 4 очка, на трёх — 5 очков;
2) на одной грани которого отмечено 2 очка, на другой —
3 очка, па двух гранях — по 4 очка и на оставшихся двух —
по 5 очков.
1185 Составить таблицу распределения по вероятностям Р значе-
ний случайной величины X — суммы чисел, появившихся
при бросании двух игральных тетраэдров, грани которых
кронумсровапы натуральными числами от 1 до 4.
1186 На стол бросают обыкновенный игральный кубик и играль-
ный октаэдр, грани которого пронумерованы числами от 1
до 8. Составить таблицу распределения значений случайной
величины X — суммы выпавших чисел по их вероятно-
стям Р.
368
1187 Составить таблицу распределения по частотам М значений
случайной величины X — цифр, встречающихся в выборке
следующих телефонных номеров:
1) 3965184, 6542913, 7902914, 2878858;
2) 1316573, 4336582, 2983412, 3941009.
1188 Построить полигон частот и полигон относительных частот
1189 В таблице записаны результаты 20 взвешиваний (с точно-
стью до 1 г) одной и той же стальной отливки:
99	97	101	100	99	102	100	102	98	101
100	98	100	98	101	97	101	100	100	99
Составить таблицы распределения по частотам (М) и относи-
тельным частотам (W), а также полигон частот значений
случайной величины X — результата определения массы
стальной отливки.
1190 Составить таблицы распределения по частотам (М) и относи-
тельным частотам (VT), а также полигон частот значений
случайной величины У — ростов 30 девушек спортивной
секции гимнастики, приведённых (с точностью до 1 см)
в таблице:
160	163	161	162	165	163	166	159	164	165
163	159	164	158	164	162	165	163	166	162
162	161	161	165	163	164	161	166	160	163
1191 Сроки службы Т приборов некоторого вида (в часах) попа-
дают в промежуток [0; 2500]. Результаты проверки сроков
работы 200 приборов этого вида отражены в частотной таб-
лице:
Т	[0; 500)	|500; 1000)	|1000; 1500)	[1500; 2000)	[2000; 2500]
м	5	10	15	20	150
Проиллюстрировать распределение этих данных с помощью
гистограммы частот.
369
1192
Значения роста Я у 100 жителей дома (в сантиметрах) по-
падают в промежуток [50; 190]. Распределение значений
непрерывной случайной величины Н отражено в частот-
ной таблице:
н	[50; 70)	[70; 90)	[90; 110)	[ИО; 130)	[130; 150)	[150; 170)	[170; 190]
м	5	8	10	12	15	30	20
Проиллюстрировать распределение этих данных с помощью
гистограммы относительных частот.
Центральные тенденции
72

Однотипные объекты можно сравнивать по общим
параметрам, присущим этим объектам. Например,
российские монеты можно сравнивать по номина-
лу, весу, диаметру; юношей одного класса можно
сравнивать по возрасту, весу, росту и др. Каждый
из названных параметров может принимать опре-
делённые числовые значения.
В статистике исследуют различные совокупности
данных — числовых значений случайных величин
с учётом частот, с которыми они встречаются в со-
вокупности. При этом совокупность всех данных
называют генеральной совокупностью, а любую
выбранную из неё часть — выборкой. В статистиче-
ских исследованиях выборку называют репрезен-
тативной (от фр. representative — представитель-
ный), если в ней присутствуют те и только те зна-
чения случайной величины, что и в генеральной
совокупности, причём частоты имеющихся в ней
данных находятся практически в тех же отношени-
ях, что и в генеральной совокупности.
Рассмотрим пример. Пусть некоторая случай-
ная величина X имеет распределение своих значе-
ний по частотам М. представленное в таблице 6,
370
Таблица 6
X	-1	2	6	8
м	200	500	700	300
и пусть совокупность всех значений этой величины
принята за генеральную совокупность. Тогда вы-
борку из этой совокупности, распределение кото-
рой представлено в таблице 7, следует считать
репрезентативной, так как 200 : 500 : 700 : 300 =
= 2 : 5 : 7 : 3 и в выборке присутствуют те и только
те значения X, которые присутствуют в генераль-
ной совокупности. Выборки же, представленные
в таблицах 8 и 9, не являются репрезентативными.
рактеризовать (оценить) одним числом — мерой
центральной тенденции числовых значений её
элементов. К таким характеристикам относятся
мода, медиана и среднее.
Мода (обозначают Мо) — это значение случайной
величины, имеющее наибольшую частоту в рас-
сматриваемой выборке.
Например, мода выборки 7, 6, 2, 5, 6, 1 равна 6;
выборка 2, 3, 8, 2, 8, 5 имеет две моды: MoY = 2,
Мо2 = 8.
Медиана (обозначают Me) — это число (значение
случайной величины), разделяющее упорядочен-
ную выборку на две равные по количеству данных
части. Если в упорядоченной выборке нечётное ко-
личество данных, то медиана равна серединному из
них. Если в упорядоченной выборке чётное количе-
ство данных, то медиана равна среднему арифмети-
ческому двух серединных чисел.
Задача 1 Найти медиану выборки значений случайной вели-
чины: 1) 5, 9, 1, 4, 5, -2, 0; 2) 7, 4, 2, 3, 6, I.
► 1) Расположим элементы выборки в порядке воз-
растания: -2, 0, 1, 4, 5, 5, 9. Количество данных
нечётно. Слева и справа от числа 4 находятся
371
Ответ
по 3 элемента, т. е. 4 — серединное число выбор-
ки, поэтому Me = 4.
2) Упорядочим элементы выборки: 1, 2, 3, 4, 6, 7.
Количество данных чётно. Серединные данные вы-
борки: 3 и 4, поэтому Me =	= 3,5.
1) 4; 2) 3,5. <
Среднее (или среднее арифметическое) выборки —
это число, равное отношению суммы всех чисел
выборки к их количеству. Если рассматривается
совокупность значений случайной величины X, то
её среднее обозначают X.
Задача 2
Найти среднее выборки значений случайной вели-
чины X, распределение которых по частотам пред-
ставлено в таблице 10.
4,75. <
Ответ
* Одной из наиболее распространённых характери-
стик выборки значений случайной величины, чьё
распределение по вероятностям известно, является
так называемое математическое ожидание.
Пусть распределение по вероятностям Р значений
некоторой случайной величины X задано табли-
цей 11.
Таблица 11
X	*1	х2	*3	...	*Л-1	хп
р		^2		...	рп-1	Рп
Тогда число Е, где
Е = Х.Р. + Х2Р., + ХЯРЯ + ... + Хя .Ря . + ХЯРЯ, (1)
11 л л а л	п — I п — к п я’ ' Л
называют математическим ожиданием (или сред'
ним значением) случайной величины X.
Например, для случайной величины X — суммы
чисел, выпавших при бросании двух игральных
372
кубиков (её распределение представлено в табли-
це 2), можно найти её математическое ожидание:
Е = 2 -!- + 3- А+ 4- 1 +5. 4 +б-А+ 7. А+
36	36	36	36	36	36
+ 8.А + 9.А + ю.А + ц.А + 12.А =
36	36	36	36	36
=	(2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12) =
36
= А • 252 = 7.
36
Понятие математического ожидания широко
используется в теории игр.
Рассмотрим пример. Предположим, что в неко-
торой игре с двумя игроками первый игрок может
выиграть Хр Х2, ...» Xk рублей (среди чисел Хр
Х2, ..., Хк могут быть отрицательные и 0, а суммар-
ный выигрыш обоих игроков всегда равен 0). При
этом вероятность того, что первый игрок выиграет
Xt рублей, равна Рг Тогда средний выигрыш перво-
го игрока будет равен Е - XJ\ + Х2Р2 + ... + Х*Рк.
Игра называется справедливой, если Е = 0, т. е.
если XjP, + Х2Р2 + ... + Х*Рк - 0. Игра называется
выгодной (не выгодной) для первого игрока, если
Е > 0 (Е < 0). *
Упражнения
1193 (Устно.) Распределение в генеральной совокупности значе-
ний случайной величины X отражено в таблице:
X	5	7	9	11	12
м	25	60	80	45	15
Установить выборку, являющуюся репрезентативной для за-
данной генеральной совокупности:
1)	X	5	7	9	11	12
	м	5	12	16	9	5
						
2)	X	5	7	11	12	
	м	5	12	9	3	
						
3)	X	5	7	9	11	12
	м	5	12	16	9	3
373
X	5	7	8	9	11	12
м	5	12	14	16	9	3
1194
1195
1196
1197
1198
Найти моду выборки:
1) 4,	15, 6, 7, 3, 6, 8;	2)	18,	9, 5, 3, 7, 9, 1;
3) 1,	3, 5, 1, 4, 3, 2;	4)	6, 8, 5, 4, 8, 3, 6.
Найти медиану выборки:
1) 17, 12, 34, 18, 6;	2)	24,	15, 13, 20, 21;
3) 4,	1, 8, 9, 13, 10;	4)	15,	6, 12, 8, 9, 14.
Найти средпее значение выборки:
1) 24, -5, 13, -8;	2) 7, 16, -9, -2, 10;
3) 0,3, 0,8, 0,2, 0,5, 0,8, 0,2;
4) 1,3, 1,4, 1,3, 0,9, 0,9, 1,4.
Найти моду, медиану и среднее выборки:
1) 3, -2, 1, 0, 2, -1;	2) 7, 4, -1, 3, -3, 0.
Найти среднее арифметическое выборки значений случай-
ной величины X, распределение которых по частотам пред-
ставлено в таблице:
X	-2	0	1	3
М	5	6	7	2
X	—1	2	3
М	4	5	2
X	-1	4	6
М	5	1	2
X	-3	2	3	1
Y	4	3	2	1
1199
1200
Найти моду, медиану и срсдпее выборки значений случай-
ной величины X:
X	-3	-1	0	5
м	2	8	5	2
X	-2	-1	0	1	3
м	1	3	2	4	1
Найти математическое ожидание значений случайной вели-
374
7 Меры разброса
Не каждую выборку имеет смысл оценивать с по-
мощью центральных тенденций. Например, если
исследуется выборка
80, 80, 320, 4600	(1)
годовых доходов (в тысячах рублей) четверых чело-
век, то очевидно, что ни мода (80), ни медиана
(200), ни среднее (1270) не могут выступать в роли
единой объективной характеристики данной вы-
борки. Это объясняется тем, что наименьшие зна-
чения выборки (1) существенно отличаются от наи-
большего — разность наибольшего и наименьшего
значений соизмерима с наибольшим значением.
Определение 1. Разность наибольшего и наи-
меньшего значений случайной величины выборки
называется её размахом и обозначается R.
Так, для выборки (1) размах R - 4600 - 80 = 4520.
Размах показывает, как велик разброс значений
случайной величины в выборке. Одпако, зная толь-
ко размах выборки, невозможно охарактеризовать
отличие её элементов друг от друга, отличие каж-
дого элемента от среднего значения. Возникает во-
прос: как сравнить, например, две выборки, имею-
щие одинаковые размахи и одинаковые средние
значения? Рассмотрим реальную ситуацию на
примере.
На место токаря претендуют двое рабочих. Для
каждого из них установили испытательный срок,
в течение которого они должны были изготавли-
вать одинаковые детали. Результаты работы пре-
тендентов представлены в таблице 12.
Каждый из рабочих за 5 дней изготовил 250 дета-
лей, значит, средняя производительность труда за
день у обоих рабочих одинаковая:
х = У =	= 50 (дет./день).
♦)
375
Таблица 12
День недели	Дневная выработка	
	первого рабочего (X)	второго рабочего (П
Понедельник	52	61
Вторник	54	40
Среда	50	55
Четверг	48	50
Пятница	46	44
LX = 250	LY = 250
Моды у предложенных совокупностей отсутствуют,
а медианы одинаковые (50 и 50). Кого же из этих
рабочих предпочтительнее взять на работу? В дан-
ном случае в качестве критерия сравнения сово-
купностей может выступать стабильность произ-
водительности труда рабочего. Её можно оценивать
с помощью отклонений от среднего значения эле-
ментов совокупности.
Определение 2. Отклонением от среднего
называют разность между рассматриваемым зна-
чением случайной величины и средним значением
выборки.
Например, если значение величины = 52, а зна-
чение среднего X = 50, то отклонение Х1 от средне-
го будет равно - X = 52 - 50 = 2.
Очевидно, отклонение от среднего может быть как
положительным, так и отрицательным числом. Не-
трудно показать, что сумма отклонений всех зна-
чений выборки от среднего значения равна нулю.
Поэтому характеристикой стабильности элементов
совокупности может служить сумма квадратов
отклонений от среднего.
Из предложенной ниже таблицы 13 видно, что
у второго рабочего сумма квадратов отклонений от
среднего больше, чем у первого рабочего:
Z (X - X)2 < £ (У - У)2.
На практике это означает, что второй рабочий име-
ет нестабильную производительность труда: в ка-
кие-то дни работает не в полную силу, а в какие-то
376
Таблица 13
День недели	Значение слу- чайной вели- чины		Отклонение от среднего X = У = 50		Квадраты откло- нений	
	X	Y	X-X	У- У	(х - х)г	(у - у)2
Понедельник	48	50	-2	0	4	0
Вторник	54	40	4	-10	16	100
Среда	50	55	0	5	0	25
Четверг	52	61	2	11	4	121
Пятница	46	44	-4	-6	16	36
Сумма	250	250	0	0	40	282
навёрстывает упущенное, что всегда сказывается
на качестве продукции. Очевидно, что работода-
тель предпочтёт взять на место токаря первого ра-
бочего (у которого сумма квадратов отклонений от
средней производительности меньше).
Если бы рабочие работали разное количество дней
и производили в среднем за день одинаковое число
деталей, то стабильность работы каждого из них
можно было бы оценить по величине среднего
арифметического квадратов отклонений.
Такая величина называется дисперсией (от лат. dis
persio — рассеяние) и обозначается буквой D.
Цля случайной величины X, принимающей N раз-
личных значений и имеющей среднее значение X,
дисперсия находится по формуле
D = (х. -х)2 + (х2-х)2 + ... + (х.у-х)2	.
N	*	' '
Задача 1 Два токаря вытачивали одинаковые детали, причём
первый трудился полную рабочую неделю, а вто-
рой по распоряжению начальника — 4 дня. Сведе-
ния об их дневной выработке представлены в таб-
лице 14. Сравнить стабильность работы токарей.
► Найдём средние значения выборок данных вели-
чин X и У:
— _ 53 + 54 + 49 + 48 + 46 _ 250 _
5	" Т “ ’
- = 52 + 46 + 53 + 49 = 200 = 50
4	4
Очевидно, X = У.
377
Таблица 14
День недели	Дневная выработка	
	первого токаря (X)	второго токаря (У)
Понедельник	53	52
Вторник	54	46
Среда	49	53
Четверг	48	49
Пятница	46	—
С помощью таблицы 15 найдём суммы квадра-
тов отклонений от средних всех значений величин
X и У.
Таблица 15
День недели	Значение слу- чайной вели- чины		Отклонение от среднего		Квадрат отклонения от среднего	
	X	У	X - 50	У - 50	(X - 50)2	(У - 50)2
Понедельник	53	52	3	2	9	4
Вторник	54	46	4	-4	16	16
Среда	49	53	-1	3	1	9
Четверг	48	49	-2	—1	4	1
Пятница	46	—	-4	—	16	—
Сумма:	46	30
Dx = у = 9,2, a Dy =	= 7,5, т, е. Dx > DY.
Ответ
Второй токарь работает стабильнее первого.
Если значения Хр Х2, ...» Xk случайной величи-
ны X повторяются с частотами Л/р М2, ...» Mk
соответственно, то дисперсию величины X можно
вычислить по формуле
(X, -х)2м, + (х2-х)2м2 4-...+ (хЛ -х)2м»
Afi + М2 4- ...+ Mk	9 1 ’
где X =
Х1М1 ч- X2M2 + ... + XkMk
Л/1 + М 2 + ••• + Af .
378
Используя знак суммы Е, формулу (1) можно запи-
сать компактнее:
р = 1((х-х)*м)	=1(хм)
Ем	Ем
Пусть величина X имеет некоторую размерность
(например, сантиметры). Тогда её среднее значе-
ние X и отклонение от среднего X — X имеют ту же
размерность, что и сама величина (в сантиметрах).
Квадрат же отклонения (X - X)2 и дисперсия D
имеют размерности квадрата этой величины
(в квадратных сантиметрах).
Для оценки степени отклонения от среднего значе-
ния удобно иметь дело с величиной той же размер-
ности, что и сама величина X. С этой целью исполь-
зуют значения корня квадратного из дисперсии Ул.
Определение. Корень квадратный из диспер-
сии называют средним квадратичным отклоне
нием и обозначают о, т. е. о = Vd .
Задача 2
Распределение по частотам значений величины X —
числа забитых голов игроками футбольной коман-
ды за период соревнований показано в таблице 16.
Найти среднее квадратичное отклонение от средне-
го значения числа всех забитых голов.
Таблица 16
X	0	1	2	3
м	4	2	3	1
► Результаты последовательных вычислений будем
заносить в таблицу 17, при этом:
= 10, X = 1(Х	= 11 = 1,1.
IM ю
Таблица 17
X	0	1	2	3
м	4	2	3	1
х-х	-1,1	-0,1	0,9	1,9
(X - X)2	1,21	0,01	0,81	3,61
(X - X)2 м	4,84	0,02	2,43	3,61
379
D _ l((X-X)2-M)	4,84 + 0,02 + 2,43+ 3,61 _
IM	10	~
= ^ = 1,09,
10
G = /D = /1.09 • 1,04.
Ответ a « 1,04. <1
Задача 3 Продавец обуви имеет возможность выбрать, в ка-
ком из двух мест (в точке А или точке В) ставить
ио рабочим дням торговую палатку. В первую оче-
редь его интересует объём продаж, а во вторую
стабильность ежедневных продаж. Продавец про-
вёл исследование: по рабочим дням в январе
он торговал в точке 4, а в феврале — в точке В.
Результаты продаж фиксировались, после чего
были составлены две таблицы распределения зпа-
Какой торговой точке следует отдать предпочтение?
► Очевидно, в январе было 22 рабочих дня (1МЛ = 22),
а в феврале было 20 рабочих дней = 20). Най-
дём величины среднесуточных продаж обуви в точ-
ках А и В:
% _ 1(ХА-МЛ) _ 1-2 + 2-7+ 37 + 4-4 + 5-2
А~	1М А	~	22
= 63 = 2,86;
- _ Кхв Мв) _ 1-3 + 2-5 + 3-6 + 4-5 + 6 1
В ~	1 Ми ' “	20
= ^ = 2,85.
20
Среднее значение суточных продаж оказалось
практически одинаковым (примем ХА = Хв = X =
= 2,9), значит, предпочтение следует отдать точ-
ке с более стабильной торговлей. Для этого нуж-
но сравнить средние квадратичные отклонения
совокупностей значений ХА и Хв. Результаты вы-
числений будем заносить в таблицы:
380
ХА	1	2	3	4	5
Мл	2	7	7	4	2
ХА-Х	-1,9	-0,9	0,1	1.1	2,1
(ХЛ-Х)2	3,61	0,81	0,01	1,21	4,41
(ХЛ - X)2 . МА	7,22	5,67	0,07	4,84	8,82
ХВ	1	2	3	4	6
мв	3	5	6	5	1
хв-х	-1,9	-0,9	0,1	1,1	3,1
(хв - X)2	3,61	0,81	0,01	1,21	9,61
(Хв - X)2 • мв	10,83	4,05	0,06	6,05	9,61
Z ((Хл - X)’ • Мл) _ 7.22 + 5,67 + 0,07 + 4,84 + 8,82
ZAf д	22
26,62 i z 2\
=	= 1.21 (пар2),
°л = у1^а = V 1»21 = 1,1 (пар);
Е((Хв -X)2AfB) _ 10,83 + 4,05 + 0,06 + 6,05 + 9,61
Z М в	20
30,6	, -о .	2\
= -тт- = 1,53 (пар2),
а в = у[^в = л/!Д>3 ~ 1,24 (пар).
Так как аА < то точка А предпочтительнее для
организации в ней торговли, чем точка В. <1
Замечание. Дисперсию и среднее квадратичное
отклонение в статистике называют также мерами
рассеивания значений случайной величины около
среднего значения.
Упражнения
1201 Найти размах выборки:
1)	15, -7, 13, -6, 8, 2, 1, -8, -2;
2)	21, 12, -1, 7, -3, 20, 14, 0. 1.
1202 Найти дисперсию выборки:
1) 10 см, 12 см, 7 см, 11 см; 2) 16 г, 14 г, 13 г, 17 г;
3)	11 с, 14 с, 11 с, 12 с, 12 с; 4) 5 м, 13 м, 8 м, 12 м, 12 м.
381
1203 Найти дисперсию совокупности значений случайной величи-
ны X, заданной частотным распределением:
X	2	8	4	6
м	3	2	2	3
X	-1	2	3	4	5
М	3	1	2	3	1
1204 Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значе-
ния элементов выборки:
1) 3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг; 2) 12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м.
1205 Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые
средние значения:
1) 6, 10, 7, 8, 9 и 8, 9, 5, 10;
2) 5, 12, 7, 8, 18 и 17, 6, 11, 7, 9, 10.
1206 Найти среднее квадратичное отклонение величины X, задан-
ной частотным распределением:
X	2	3	4	6
М	2	2	1	3
X	-5	-2	2	3
м	2	3	4	2
1207 Сравнить дисперсии выборок, имеющих разные средние зна-
чения:
1) 4, 6, 8, 9, 8 и 6, 8, 10, 12, 9;
2) 6, 3, 4, 8, 9 и 2, 6, 3, 7, 5, 7.
1208 Двух футболистов, участвующих в играх пяти сезонов и за-
бивших одипаковое количество голов (см. таблицу), срав-
нить по стабильности результатов.
Условный номер сезона	1	2	3	4	5
Число голов, забитых 1-м фут- болистом	18	23	19	17	23
Число голов, забитых 2-м фут- болистом	19	10	22	23	20
1209 Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игро-
вых сезонах, а другой — в шести (см. таблицу), сравнить по
стабильности в забивании голов.
Условный номер сезона	1	2	3	4	5	6
Число голов, забитых 1-м фут- болистом	17	21	20	16	15	19
Число голов, забитых 2-м фут- болистом	—	17	20	18	21	14
382
Упражнения
к главе XIII
1210 Составить таблицу распределения по вероятностям Р значе-
ний случайной величины X — числа очков, появившихся
при бросании кубика: 1) на одной грани которого отмечено
одно очко, а на остальных — 2 очка; 2) на двух гранях кото-
рого отмечено одно очко, а на остальных 2 очка; 3) на од-
ной грани которого отмечено одно очко, на двух — 2 очка,
па остальных — 3 очка; 4) на одной грани которого отмечено
одно очко, на другой — 2 очка, на двух — 3 очка, на осталь-
ных — 4 очка.
1211 Имеются две монеты, у которых на одной из сторон записа-
но число 1, а на другой — число 2. Составить таблицу рас-
пределения по вероятностям Р значений случайной вели-
чины Y — суммы чисел, появившихся при бросании этих
монет.
1212 Дан набор случайно названных двузначных чисел:
1) 27, 31, 49, 25, 74, 99, 30, 12, 22, 58;
2) 19, 46, 54, 28, 67, 88. 37, 92, 71, 33.
Составить таблицу распределения по частотам М значений
случайной величины X — цифр, встречающихся в наборе.
1213 Построить полигон частот и полигон относительных частот
значений случайной величины Z, распределение которых
представлено в таблице:
2) 3, 10, 12, 12, 18;
1215 1) -8, -8, -5, -5, 0, 2;
2) -4, -4, 0, 2, 9, 9;
1216 1) -1, 12, -6, -7, 13, -2, 10, -2, -9;
2) 4, -10, 13, 8, -6, -3, -1, 13, -6;
1217 1) -5, -15, 12, -7, 8, 13, -1. -7;
2) 16, -2, -8, 10, 14, -6, -2, 11.
383
1218
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение вы-
борки:
1) 3, 8, 5, 6;
3) 4, 1, 3, 2, 2;
5) 2, -1, 3. -2, 5;
2) 4, 7, 3, 9;
4) 3, 2, 1, 1, 5;
6) -2, 4, -3, -1, 6.
Проверь себя!
1	На стол бросают монету (на одной из сторон которой записа-
но число 1, на другой — число 2) и игральный кубик (грани
которого пронумерованы числами от 1 до 6). Составить ве-
роятностную таблицу распределения значений случайной
величины X — суммы чисел, появившихся на монете и на
кубике.
2	Найти размах, моду, медиану и среднее выборки:
-5, 6, 3, 8, 3, -2, -4, 0, 3, -2.
3	Найти дисперсию выборки: -2, 3, 1, 0. 4.
1219 Найти размах, моду, медиану и среднее выборки значений
случайной величины X, распределение которых по часто-
там М задано таблицей:
1)	X	-1	0	1	3	5	6
	м	2	3	4	1	1	1
							
2)	X	-2	-1	0	2	3	4
	м	1	2	4	4	1	1
1220 Рост каждой из 50 гимнасток одного спортивного клуба за-
несён в таблицу:
148	148	149	149	1 19	149	149	149	149	149
149	150	150	150	150	150	150	150	150	150
150	151	151	151	151	151	151	151	151	152
152	152	152	152	152	152	152	152	153	153
153	153	153	153	153	153	154	154	154	154
По имеющимся данным составить таблицу распределения
значений случайной величины X — роста гимнасток клуба:
1) по частотам (Л4); 2) по относительным частотам (W). По-
строить полигон относительных частот значений величины X.
384
1221
1222
1223
Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение значе-
ний случайной величины Z, заданных распределением по ча-
стотам М:
1)	Z	-2	-1	1	3	2)	Z	-4	-1	2	3
	м	2	1	3	1		м	1	2	3	1
Сравнить дисперсии выборок:
1) 2, 3, 5, 3, 7 и 4, 7, 5, 6;	2) -1, 3, 4 и -2, 0, 2, 4, 5.
Сравнить стабильность производительности труда двух ра-
бочих, первый из которых работал 5 дней, а второй —
6 дней, при этом они имели одинаковую среднюю производи-
тельность:
Порядковый номер дня недели	1	2	3	4	5	6
Производительность труда I рабочего (дет. / день)	8	11	9	12	10	—
Производительность труда И рабочего (дет. / день)	8	12	11	8	12	9
Порядковый номер дня недели	1	2	3	4	5	6
Производительность труда 1 рабочего (дет. / день)	9	—	11	10	11	9
Производительность труда II рабочего (дет. / день)	9	10	11	11	10	9
1224
Были произведены замеры десяти диаметров d оснований
цилиндров в партии стальных заготовок. Замеры произво-
дились дважды — двумя различными измерительными при-
борами. Результаты измерений (с точностью до 1 мм) пер-
вым прибором представлены в таблице слева, а вторым
прибором — в таблице справа.
dl	58	59	60	61	62		'^2	59	60	61	62
	1	2	4	2	1		м2	2	5	2	1
1225
Сравнить дисперсии значений случайных величин dY и d2.
Среди трёх совокупностей, представленных таблицами рас-
пределения, выявить ту совокупность, значения которой
имеют меньший разброс данных около своего среднего.
X	1	2	4	5		У	-2	0	1	2	3		Z	-5	-4	-2	3
М	2	1	3	2		М	2	3	2	2	1		м	1	3	3	1
385
1226 Массы т пятидесяти детей до года, стоящих на учёте в не-
которой районной поликлинике, попадают в промежуток
[2; 12]. Распределение значений случайной величины т
представлено в частотной таблице:
т	[2; 4)	[4; 6)	[в; 8)	[8; 10)	[Ю; 12]
М	2	3	13	26	6
Построить гистограмму распределения значений величины т.
1227 Найти математическое ожидание значений случайной вели-
чины X, распределение которых по вероятностям представ-
лено в таблице:
X	-3	0	1	2
Р	0,2	0,3	0,4	0,1
X	-2	-1	1	2	4
Р	0,2	0,2	0,3	0,2	0,1
Приложение
§1 М ножества
1. Множество и его элементы.
Буквами /V, Z, Q. R, С обозначают соответственно множества
натуральных, целых, рациональных, действительных и комплекс-
ных чисел.
Если х — элемент множества А, то пишут х € А, а если х не яв-
ляется элементом множества А, то пишут х £ А.
Если каждый элемент множества А является элементом множе-
ства В, то пишут А с В или В э А и говорят, что множество А явля-
ется подмножеством множества В. В этом случае говорят также,
что А содержится в В или что В содержит А.
Например, N cZ, Q с Я, Я с С.
Если А с В и В с А, то А = В. Иначе говоря, множества А и В
равны, если каждый элемент множества А принадлежит множест-
ву В, а каждый элемент множества В принадлежит множеству А.
Для удобства вводится понятие пустого множества (его обозна-
чают 0), которое по определению не содержит элементов и содер-
жится в любом множестве.
Числовые промежутки можно записывать как с помощью нера-
венств, так и с помощью символики, используемой для обозначе-
ния отрезков, лучей, интервалов и др. Один и тот же промежуток
обозначают, например, так:
1) х<5 2 и (-оо; 21; 2) х > -3 и (-3; +оо); 3) -1 < х < 5 и (-1; 5J.
2. Операции над множествами.
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, ко-
торые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В, называется
объединением множеств А и В и обозначается A U В или А + В.
387
Например, если А = [1; 4], В = [2; 7), то A U В - [1; 7).
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, ко-
торые принадлежат как множеству А, так и множеству В, называ-
ется пересечением множеств А и В и обозначается А П В или АВ.
Если А П В = 0, то говорят, что множества А и В не пересекаются.
Например, если А = [2; 6), В = (3; 8J, то А П В = (3; 6), а если
А = [1; 51, В = (6; 9), то А А В = 0.
Множество, состоящее из всех элементов множества А, не при-
надлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В
и обозначается А\В.
Например, если А = [1; 5], В = (2; 4], то А\В = [1; 2J U (4; 5J.
§ 2 Элементы математической логики
1. Высказывание. Отрицание высказывания.
Любое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно
истинно или ложно, называется высказыванием. Сами высказы-
вания будем записывать в фигурных скобках. Например, выска-
зывание A s {число 1352 делится па 4} истинное высказывание,
а высказывание В s {число 2 единственный корень уравпения
х2 = 4) — ложное высказывание.
Из каждого высказывания А можно получить повое высказыва-
ние, отрицая его, т. е. утверждая, что высказывание А не имеет ме-
ста (не выполняется). Такое высказывание (его называют отрица
нием высказывания А и обозначают А), является либо истинным,
либо ложным. Из двух высказываний А и А одно является истин-
ным, а другое — ложным.
Например, если А = {число 132 делится на 3} — истинное вы-
сказывание, тоА= {число 132 не делится на 3} — ложное высказы-
вание.
Пусть А = {во всяким треугольнике три медианы пересекаются
в одной точке}, тогда A ж {нс во всяком треугольнике три медианы
пересекаются в одной точке} = {найдётся треугольник, в котором
три медианы не пересекаются в одной точке}.
Вообще, если высказывание А начинается со слов ♦все», ♦каж-
дый», ♦ любой», то для получения А надо либо, ничего нс меняя,
поставить отрицание »не» перед этими словами, либо заменить эти
слова на ♦найдётся», ♦существует», а утверждение (свойство), ко-
торое стоит после этих слов, заменить его отрицанием.
388
2. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные
условия. Противоположные теоремы.
1)	Формулировка каждой теоремы содержит её условие и за-
ключение. Поменяв местами в формулировке некоторой теоремы
условие и заключение, получим формулировку теоремы, обратной
данной.
Например, теорема Пифагора утверждает, что если в треуголь-
нике АВС угол С прямой, то с2 = а2 + Ь2, т. е. квадрат стороны, ле-
жащий против угла С (гипотенузы), равен сумме квадратов двух
других сторон (катетов). Теорему, обратную теореме Пифагора,
можно сформулировать так: если в треугольнике АВС длины сторон
u, Ь, с связаны равенством с2 = а2 + Ь2, то этот треугольник являет-
ся прямоугольным, а угол С — прямым. Эта теорема верна, и для
её доказательства можно воспользоваться теоремой косинусов.
2)	Пусть А — некоторое высказывание. Тогда всякое высказы-
вание В, из которого следует А, называется достаточным условием
для А, а всякое высказывание С, которое следует из А, называется
необходимым условием для А. В этих случаях пишут В => А, А => С.
Например, если А = (натуральное число п делится на 4),
С = {последняя цифра числа п чётная}, то А => С.
3)	Если высказывания М и N таковы, что каждое из них следу-
ет из другого (М => N, N => ЛГ), то говорят, что каждое из этих вы-
сказываний является необходимым и достаточным условием дру-
гого, и пишут М N.
Это утверждение выражают так:
а)	для справедливости М необходимо и достаточно, чтобы име-
ло место ЛГ;
б)	М имеет место в том и только в том случае, если выполня-
ется N\
в)	М справедливо тогда и только тогда, когда выполняется N.
Например, если М в {квадратичная функция у - ах2 + Ьх + с
принимает положительные значения при всех х е й),
N в {D - Ь2 - 4ас < 0 и а > 0}, то М <-> Лг.
Если в некоторой теореме заменить её условие и заключение их
отрицанием, то получится формулировка теоремы, противополож
ной данной.
Например, справедлива теорема: если многоугольник Q являет-
ся четырёхугольником, то сумма его внутренних углов равна 2п.
Противоположную теорему можно сформулировать так: если
многоугольник Q не является четырёхугольником, то сумма его
внутренних углов не равна 2л. Эта теорема верна.
Можно показать, что исходная теорема и теорема, противопо-
ложная обратной к исходной, либо обе верны, либо обе не верны.
Этот факт лежит в основе так называемого метода доказательства
от противного.
389
Например, если А s (квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с
принимает положительные значения при всех х е К},
В = {D = Ь2 - 4ас < 0}, то А В. Действительно, если предполо-
жить, что D 0, то у = 0 при х = jq и х = х2, где хг, х2 — нули
функции у - ах2 4- Ьх + с, а это противоречит А. Следовательно,
D < 0, т. е. справедливо утверждение В.
Предел последовательности
1. Понятие предела последовательности.
Если каждому числу пс N поставлено в соответствие число хл,
то говорят, что задана числовая последовательность; её обозна-
чают {хл} или (хл); число хп называют членом или элементом этой
последовательности, п называют номером члена хп.
Например, арифметическая и геометрическая прогрессии — по-
следовательности, n-е члены (ап и Ьп) которых задаются соответ-
ственно формулами ап = а, + d (п - 1), где d — разность арифмети-
ческой прогрессии, и Ьп = btqn ~ где q — знаменатель геометриче-
ской прогрессии, Ь} Ф 0, q Ф 0.
Последовательность {хл} называется ограниченной снизу, если
существует число с1 такое, что для всех п е N выполняется нера-
венство с, С хл, и ограниченной сверху, если существует число с2
такое, что хп с2 для всех п е N. Если для всех п е N справедливо
неравенство
С1 < Хп < сг,
где С[ и с2 — некоторые числа, то говорят, что {хп} — ограниченная
последовательность.
Например, последовательность {sin 5л} ограничена, так как
| sin 5л | С 1, т. е. — 1 < sin 5л С 1.
Предваряя определение предела последовательности, рассмот-
рим две числовые последовательности {хл} и {ул}, где
,п = _Ь.
Выпишем несколько первых членов каждой последовательности:
1 Л'* ’2’3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ *** ’
ь V 1. 1,1.x, X. X, ....
Ц/н/ 2 4 8 16 32 64
390
*1	| r	.?« У2 .| r
0 *sl 2	О Уз Ух	1 x
Рис. 176	Рис. 177
Изобразим члены этих последовательностей точками на число-
вой прямой (рис. 176, 177).
Заметим, что члены последовательности {хл} как бы ♦сгущают-
ся» около точки 1 (см. рис. 176), раснолагаясь правее точки 1 при
чётных п и левее точки 1 при нечётных л. С увеличением п рас-
стояние от точки хп до точки 1 уменьшается (стремится к нулю).
Поэтому число 1 называют пределом последовательности {хл} при
п -> оо и пишут
lim хп = 1.
л -* ос
Аналогично члены последовательности {уп} с ростом п «прибли-
жаются» к точке 0 (см. рис. 177), и поэтому
lim уп =0.
Л во
Сформулируем определение предела последовательности.
Определение. Число а называется пределом
последовательности {х„}, если для каждого г > 0
существует такой номер Nr, что для всех п > N(
выполняется неравенство | хп - а | < £.
Если а — предел последовательности, то пишут
lim хп = а шил хл -» а при п —► оо.
Л во
Замечание. Запись Nc указывает на то, что номер, начиная
с которого все члены последовательности удовлетворяют условию
jx„ - а | < Е, зависит, вообще говоря, от £.
Если хп = а для всех п е N (такую последовательность называ-
ют стационарной), то lim хп -а.
Л -♦ 6в
Последовательность, у которой существует предел, называют
сходящейся.
Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют
расходящейся; иначе говоря, последовательность называют расхо-
дящейся, если никакое число не является её пределом.
Обратимся ещё раз к определению предела последовательности.
Согласно определению число а является пределом последователь-
ности {х„}, если при всех п> выполняется неравенство
| хл - а | < £, которое можно записать в виде
а - £ < хл < а + Е.
391
Другими словами, для каж-
а ^°+ е дого е > О найдётся номер Nr,
начиная с которого все члены
Рис. 178	последовательности {хл} принад-
лежат интервалу (а - е; а 4- е).
Этот интервал называют z-окрестностью точки а (рис. 178) и обоз-
начают С7Г (а).
Итак, число а — предел последовательности {хл}, если для каж-
дой Е-окрестности точки а найдётся номер, начиная с которого все
члены последовательности принадлежат £-окрестиости точки а, так
что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последователь-
ности, либо содержится лишь конечное число членов.
Задача 1 С помощью определения предела последователь-
ности доказать, что: a) lim = 1; б) lim дл=0 при |д|<1;
п -* оо П	п -* оо
в) lim (Л + 2 - >/п + 1) = 0.
п — оо
►	. __	л + 1	41	1	« I 1
а)	Если хл =-----, то х = 1 + —, откуда | х„ — 1 | < —. Неравен-
п	п	п
ство | хл - 11 < Е будет выполняться, если — < £, т. е. при п >
П	£
а в качестве N можно взять число N
+ 1, где
— целая
Е
Е
часть числа т. е. наибольшее целое число, не превосходящее 1.
€	Е
б)	Если хл = qn и q * 0, то г = pq > 1, так как | q | < 1. Тогда
г = 1 + а, где а > 0, откуда —— = гл = (1 4- а)л . Можно показать,
\q\n
что (1 4- а)л > ап при а > 0 и любом п е N. Тогда | х | = | q |л < —
ап
и для всех п N , где N
1_
ас
| хп | < — < —1— < £. Это означает, что lim q п = 0, если | q | < 1.
ап ал€	п -* оо
в)	Так как
4-1, справедливо неравенство
1
1
2>/п*
то неравенство —< €, равносильное неравенству п > будет
2<п	4е2
выполняться для всех п & Nr, где ЛГС =
lim (Vn 4-2 - \ln 4-1) = 0. <
+1. Это означает, что
392
2.	Свойства сходящихся последовательностей.
1)	Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
2)	Если последовательности {хл}, {уп}, {zn} таковы, что для всех
п > выполняется неравенство
Х„ С У„ <
П 7Л Я’
и если lim хп = a, lim гп = а, то последовательность {уп} сходится
п -♦ оо	л -* оо
и lim уп = а.
п — оо
3)	Если lim хп=а, lim yn=b, то lim (х„ ± у„) = а ±Ь,
Я —* оо	* л * оо	Л-»ао
lim (xnyn) = ab, lim — = — при условии, что уп * 0 (л е /V) и
А -* ОО	п~~ 00 Уп
ь # о.
4.	Предел монотонной последовательности.
Последовательность {хл} называют: возрастающей, если для
любого п е N верно неравенство хл +, > хл; неубывающей, если
для любого п 6 N справедливо неравенство хл>, > хл.
Последовательность {хл} называют: убывающей, если для лю-
бого п е N верно неравенство хл +1 < х„; невозрастающей, если
для любого п € N справедливо неравенство хл j хл.
Теорема. Если последовательность (хл> явля-
ется возрастающей (неубывающей) и ограничепа
сверху, то она имеет предел.
Если последовательность {хл| является убывающей (невозраста-
ющей) и ограничена снизу, то она имеет предел.
/	\ Я
Например, последовательность хл = 1+- является возрас-
\ л /
тающей и ограничена сверху (хл < 3 при всех п е N), поэтому она
имеет предел. Этот предел равен числу е, где е ~ 2,7182818289045.
Дробно-линейная функция и её график
Функцию вида
где а, Ъ, с, d заданные числа, такие, что с * 0, ad Ьс, называют
дробно-линейной.
393
Если с = 0 и d * О, то у — линейная функция; если ad = be,
то у = const. Дробно-линейная функция определена при всех х е R,
кроме х = --. Преобразуем правую часть равенства (1), выделив
целую часть
ах+ b _ а
ex + d
. ь ad
+ о----	.	,
с а ос — аа
. сМ с * с2
1
. d
Полагая
a be - ad 1
У = 7 +-----i--------Т
С	сл	w , а
A^aB = bc-ad
С	г*
запишем равенство (2) в виде
В
х-х0 ’
(2)
(3)
(4)
У = А +
d
Из формулы (4) следует, что график дробно-линейной функ-
ции (1) можно получить сдвигом гиперболы у- — на |х0| единиц
вдоль оси Ох и IА | единиц вдоль оси Оу (направление сдвига за-
висит от знаков чисел х(> и Д, х0 — корень уравнения сх + d = 0;
запоминать формулы (3) нет необходимости). Точка (х0; А) —
центр симметрии графика функции (4).
Прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика
функции (1), а прямая у=А— горизонтальная асимптота этого
графика при х -» +оо и х -> -оо.
Задача 1
Зх+2
2х + 3 ’
Построить график функции у =
Так как
т. е.
(/ = 1,5-
1,25
х + 1,5 ’
то график данной функции можно получить из графика функции
у = — —— (рис. 179) сдвигом вдоль оси Ох на 1,5 так, что точка
(-1,5; 1,5)— центр симметрии графика, а прямые х = -1,5
и у = 1,5 — его асимптоты. График пересекает ось Ох в точке
а ось Оу — в точке
и изображён на рисунке 179.

394
Рис. 180
13-4х
2х-5 ’
Рис. 179
Задача 2
Построить график функции у =
► Так как
13-4х = -2(2х-5) + 3 = з_____1
2х-5	2х-5	2 *5*
2
т. е. у = -2 +
Г—5’Т0
*~2
прямые х = - и у = -2 — асимптоты графика функ-
£
ции, точка
центр симметрии, а
точки пересечения графика с осями координат (рис. 180).
Уравнения и неравенства
с двумя неизвестными
1. Линейные уравнения с двумя неизвестными.
Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат Оху.
Тогда уравнение
у = kx + b	(1)
определяет прямую I (рис. 181), пересекающую ось Оу в точке
М (0; Ь) и образующую угол а с положительным направлением
оси Ох, где tg а = k — угловой коэффициент прямой Z.
Чтобы построить прямую /, заданную уравнением (1), достаточ-
но найти две точки этой прямой. На рисунке 182 изображены пря-
395
мые и Z2, заданные соответственно уравнениями jy = -x + 2
•>
и у = —X - 1.
Рассмотрим уравнение
Ах + By + С = О,
(2)
предполагая, что хотя бы одно из чисел А, В отлично от нуля
(А2 + В2 > 0).
Пусть В * 0, тогда уравнение (2) можно записать в виде
У = - ъх~ т. е. в виде (1), где k = h = “ъ-
/5/5	в	В
Если В = 0 и А # 0, то уравнение (2), которое можно записать
г
в виде х = -—-, есть уравнение прямой, параллельной оси Оу.
А
Таким образом, при любых А, В9 С, таких, что А2 + В2 > 0,
уравнение (2) является уравнением некоторой прямой.
2.	Линейные неравенства с двумя неизвестными.
Задача 1 Дать геометрическое описание множества точек коор-
динатной плоскости, удовлетворяющих неравенству Зу - 2х - 6 < 0.
► Уравнением Зу - 2х - 6 = 0 за-
даётся прямая (рис. 183), прохо-
дящая через точки (-3; 0) и (0; 2).
Пусть Мх (Xjj ух) — точка, рас-
положенная ниже прямой Z,
а М2 (Хр у2) — точка с абсциссой
х, и ординатой у2, лежащая на
прямой I. Тогда
3//2 - 2Xj -6 = 0,
Зу} - 2х, - 6 < 0,
так как у{ < у2.
396
Аналогично можно показать, что в любой точке М (х; у), лежа-
щей ниже прямой /, выполняется неравенство Зу - 2х - 6 < 0;
в любой точке М (х; у), лежащей выше прямой /, справедливо не-
равенство Зу - 2х - б > 0. <1
Рассмотрим неравенство
Ах + By + С < 0,	(3)
считая, что А2 4- В2 > 0.
Как и в задаче 1, возьмём точки (они лежат на прямой, парал-
лельной оси Оу) Мг (хх; j/j) и М2 (хх1 у2), такие, что лежит ниже
прямой Z, заданной уравнением (2), а М2 — на этой прямой, тогда
У1 < У2-
Если В > 0, то Ву} < Ву2, и поэтому Ахх + Ву{ + С < 0, т. е. ко-
ординаты точки удовлетворяют неравенству (3). Этому неравен-
ству удовлетворяют координаты любой точки, расположенной
ниже прямой /, если В > 0.
Если В < 0, то неравенству (3) удовлетворяют координаты лю-
бой точки, лежащей выше прямой /.
Если В = 0 (А * 0), то неравенство (3) примет вид Ах + С < 0.
Q
Это неравенство равносильно неравенству х < - при А > 0 и пера-
А
венству х >---при А < 0.
Например, неравенство Зх + 4 < 0, равносильное неравенству
выполняется во всех точках, лежащих слева от прямой
Таким образом, прямая, за-
данная уравнением (2), разбивает
плоскость на две полуплоскости,
такие, что во всех точках одной из
этих полуплоскостей выполняется
неравенство (3), а в другой — не-
равенство
Ах + By + С > 0.	(4)
Чтобы решить неравенство (3)
или неравенство (4), т. е. чтобы
определить, в какой из полуплос-
костей оно справедливо, достаточ-
но определить знак левой части
этого неравенства в какой-либо
точке одной из полуплоскостей.
Если С 0 (прямая не прохо-
дит через начало координат), то
в качестве такой точки удобно
взять точку (0; 0).
Рис. 184
397
Например, неравенство 5х - 3// - 15 < 0 при х = у = О явля-
ется верным. Поэтому оно выполняется во всех точках той из
полуплоскостей (их общая граница — прямая 5х - Зу - 15 = 0), ко-
торая содержит точку (0; 0). Эта полуплоскость отмечена на ри-
сунке 184.
3.	Системы линейных неравенств с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему неравенств
(А)х + В1у + С1> 0.
[а2х + В2у + С2 > 0,
предполагая, что А* + В, > 0, А2 4- В2 > 0. Первому неравенству сис-
темы (5) удовлетворяют точки множества Кх, лежащие по одну сто-
рону от прямой Zp заданной уравнением AjX + В{у + Сх = 0.
Аналогично второе неравенство системы (5) является верным
на множестве К2 — одной из полуплоскостей, на которые разби-
вается координатная плоскость прямой /2, заданной уравнением
А2х + В2у + С2 = 0.
Множество решений системы (5) — пересечение множеств К}
И к,.
Если прямые 1Х и /2 пересекаются в точке А, то множество ре-
шений системы (5) — множество точек, расположенных внутри од-
ного из четырёх попарно вертикальных углов с вершиной в точ-
ке А.
Задача 2
Решить систему неравенств
2х-3у + 6 > 0,
х + у+ 1 <0.
(6)
► Найдём точку А, в которой пересекаются прямые 1Х и Z2, задан-
ные соответственно уравнениями системы
2х-3у + 6 = 0,
х + у + 1 = 0.
(7)
получим, что прямые 1Х и 12 пересекают-
ся в точке А
Так как коорди-
Решив систему (7),
наты точки О (0; 0) удовлетворяют пер-
вому неравенству системы (6) и не
удовлетворяют второму неравенству,
то системе (6) удовлетворяют коорди-
наты тех и только тех точек, которые
лежат ниже прямой 1Х и ниже пря-
мой Z2, т. е. точки того угла с верши-
ной А, который содержит точку (-2; 0)
(рис. 185). <1
398
4.	Нелинейные уравнения и неравенства с двумя неизвест-
ными.
а) Нелинейные уравнения с двумя неизвестными.
Задача 3 Найти множество точек координатной плоскости,
удовлетворяющих уравнению:
1)	у2 - 4х2 = 0;
2)	вх2 + ху - у2 = 0;
3)	х2 + у2 - 4х + бу - 3 = 0.
► 1) Запишем уравнение в виде (у - 2х) (у + 2х) = 0.
Множество точек, удовлетворяющих этому уравнению, объ-
единение прямых у = 2х и у = -2х.
2) Разложим левую часть уравнения на множители:
9х2 - у2 - Зх2 + ху = (Зх + у) (Зх - р) - х (Зх - у) = (Зх - у) (2х + у).
Искомое множество — объединение прямых Зх - у = 0 и 2х + у — 0.
3) Применяя метод выделения полного квадрата, получаем
х2 + у2 - 4х -I- бу - 3 = 0,
(х - 2)2 + (у + З)2 - 16 = 0,
(х - 2)2 + (у + 8)2 = 16.
Следовательно, множество решений данного уравнения —
окружность радиуса 4 с центром в точке А (2; -3). <1
б) Нелинейные неравенства с двумя неизвестными.
Если А (а; Ь) — точка координатной плоскости, R > 0, то нера-
венству
(х - а)2 + (у - b)2 < R2
удовлетворяют все те точки, которые находятся от точки А на рас-
стоянии, меньшем R, т. е. все точки (и только они), расположен-
ные внутри окружности С радиуса R с центром в точке А (а; Ь).
Аналогично множество решений неравенства
(х - а)2 + (у - b)2 > R2
есть множество точек, лежащих вне окружности С.
Задача 4 Найти множество точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству:
2х2 + 2у2 + 2х - бу - 13 < 0.
► Преобразуем неравенство, выделяя полный квадрат:
2(x2+x4-i| + 2(jy2-3i/+-| —13 —5<0,
\	* 7	\	4)
(	114 з V
Х+9	+ 4	9	<9-
Множество решений этого неравенства — множество точек, ле-
жащих внутри окружности радиуса 3 с центром в точке I - - ; — L <1
\ & £ }
399

Упражнения
для итогового повторения
курса алгебры и начал
математического анализа
Умение решать задачи — практическое
искусство, подобное плаванию, или ката-
паю на лыжах, или игре на фортепьяно:
научиться этому можно, лишь подражая
избранным образцам и постоянно трени
РУЯСЬ,..	п п г
Д. Пойа
1. Числа и алгебраические преобразования.
1228 Найти 2,5% от 3,2.
1229 Найти число, если 42% его составляют 12,6.
1230 Какой процент составляет 1,3 от 39?
1231 Сколько процентов составляет 46,6 от 11,65?
1232 Найти число, 175% которого составляют 78,75.
1233 Найти 180% от 7,5.
1234 Цена товара была снижена сначала па 24%, а затем на 50%
от повой цены. Найти общий процент снижения цены товара.
1235 В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди.
Каково процентное содержание составных частей сплава?
1236 Стоимость товара и перевозки составляет 3942 р., причём
расходы по перевозке товара составляют 8% стоимости само-
го товара. Какова стоимость товара без учёта стоимости его
перевозки?
1237 Высота пирамиды равна 5 см, а площадь её основания рав-
на 4 см1 2. На сколько процентов увеличится объём этой пи-
рамиды, если и площадь её основания, и высоту увеличить
на 10%?
400
1238
1239
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1249
При делении некоторого числа на 72 получится остаток,
равный 68. Каким будет остаток, если это же число разде-
лить на 12?
Сумма двух чисел равна 1100. Найти наибольшее из них,
если 6% одного числа равны 5% другого.
По вкладу, вносимому на срок не менее года, банк начисляет
3% годовых. Вкладчик внёс в банк вклад в размере 600 р.
Какую сумму денег он получит в конце второго года со дня
вклада? в конце третьего года со дня вклада?
По обычному вкладу банк начисляет 2% годовых. Вкладчик
внёс 500 р., а через месяц снял со счёта 100 р. Какая сум-
ма денег будет на его счету но истечении года со дня выдачи
ему 100 р.?
Вычислить (1242—1243).
1)	23,276 : 2,3 - 3,6 • (17,2	• 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25	• 3,2;
2)	9,25 • 1,04 - (6,372 : 0,6	4- 1,125 • 0,8) : 1,2 + 0,16	•	6,25.
f 28 :1 3 + 7 — : 22 + 1 — • 9	3 + 14 :1 1 | • 3 1
j)	I 4	3	3	4 2/ 7.
10 1 -9 —
2	4
2) ( --0,375]: 0,125+ ( ^-2- ]: (0,358 -0,108).
\ 2	/	\6 12 /
Найти неизвестный член пропорции:
1) 10:- = *:1-;	2) х : 0,75 = 9 -:14
8	4	2	4
15	1,05
Вычислить (1245—1249).
16 82 —2 -72 -49“
Л25 3
1
+ 452
-183 V5.
1) log27 7 29 ;	2) log9 729;	3) log, 729.
з
1) log j V64;	2) log8 log.t log2 16.
16
1)	;	2) (2'37)Л-2-8.
1) log8 ^- + log6 Тзб; 2) i60 51o«4 10 + i
401
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
Сравнить числа:
1
1) 2,5* и 2,5й-5;
3) loga>J /10 и log3,3;
2	8
2) 0,23 и 0,24;
4) logo.3 7 и log0>3 у.
□	4
Какому из промежутков (0; 1) или (1; +оо) принадлежит
число а, если:
1)а0,2>1;	2) а13>1;	3) а"31 < 1;
4) а2,7 < 1;	5) logo 0,2 > 0;	6) log,, 1,3 > О?
Какое из чисел больше:
1) /18 или 4loea3 + log^.
2) /18
ИЛИ 1	?
)
Между какими целыми числами заключено число:
1) 1g 50;	2) log2 10?
Упростить (1254—1255).
1) 7в4(9а2-6а + 1);	2)	(4ft4 + 4ft2 +1).
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
Освободиться от иррациональности в числителе дроби:
Записать в виде обыкновенной дроби число:
1) 0,(4);	2) 2,(7);	3) 0,(21);
4) 1,(36);	5) 0,3(5);	6) 0,21(3).
Записать в виде десятичной периодической дроби число:
1)	2)21;	3)1;	4) 5 Л
6	9	7	11
Может ли быть рациональным числом:
1)	сумма двух положительных иррациональных чисел;
2)	произведение двух иррациональных чисел;
3)	частное от деления суммы двух неравных иррациональ-
ных положительных чисел на их произведение?
402
1261
Доказать, что если а и b — натуральные числа и \аЬ —
л
рациональное число, то
также рациональное число,
а если
4аЬ — иррациональное число, то и
/— — иррацио-
V Ь
нальное число.
1262 Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число,
а О, b * 0. Доказать, что а + Ь, а • б, -, - — иррациональ-
b а
ные числа.
1263 Имеют ли общие точки промежутки:
1)	[1; 3 42 + 2 V7] и [3 7з + 4; 15];
2)	(0; V27 + V6) и (V48 -1; 10);
3)	[2; 2V5 + 2V6] и (3V2 + V22; 11);
4)	[1; 1 +>/3] и ; 4 I ?
KV3-1	)
1264 Пусть 0 < а < 6. Доказать, что на числовой оси:
1) точка - — середина отрезка [а; Ь];
2) точка —, где с > 0, лежит внутри отрезка [а; &].
1+ с
1265 1) Вычислить диаметр х круга, вписанного в равносторон-
ний треугольник (рис. 186), если а = 6 см.
2) Вычислить угол а заготовки, изображённой на рисун-
ке 187, если а = 4 см.
1266 Вычислить ширину I ущелья по данным, указанным на ри-
сунке 188.
1267 Вычислить длину моста по данным, указанным на рисун-
ке 189.
1268 Найти числовые значения всех остальных тригонометри-
ческих функций но данному значению одной из них
0 < а < - ):
2 )
1) cos а = 0,8; 2) sin а = —; 3) tg а = 2,4; 4) ctga = ^-.
Рис. 186
Рис. 187
403
1269 Вычислить cos 2а, если sin а = -.
3
1270
Найти значение выражения
sin — + cos 690° - cos 1^.
3	3
Вычислить (1271—1276).
1271 1) 2 arctg 1-3 arcsin
1272 1) sin 2 arcsin^]; 2)
I 2 J
/ Л	—
2) 8 arccos — + 6 arctg V3.
2
tg (2 arctg 3).
1273 1) log4 sin —;
4
4) log2 cos
«Э
1274 1) ctg (arctg’/З);
4) sin arctg ;
к V3)
2) log10 tg 3) log8 sin
4	4
5) log3 1 - log4 tg n- • log5 cos 0.
4
2) ctg (arctg 1);	3) sin (arctg(-V3));
5) cos (arctg 1);	6) cos (arctg (-V3)).
1275 1) cos I 6 arccos —
I 2
2) sin (5 arccos 0).
1276
1)
sin a cos a
sin2 a - cos2 a
о
при tg a =
2) sin a cos a, если sin a + cos a = i.
Упростить выражение (1277—1279).
1277 1) а + 2 [ 2д2~а~3 . 2д-3 1 2) Г2 ! 1^. 862 + 86+2 26 + 1
a-2 (a2 + 5a + 6	a-2 I I b) h2-4b b
404
1278
a +	а2+а-1	+	а2-а-1	_ 2а3
а2-1	а3-а2+о-1 а3 + а2 + а +1	а4-1
2)
1	+ 2а	1 2
а2 + 5а + 6 а2 + 4а + 3 (а + 1)2+а + 1 а+3
1279 1) ---—=----— +----—
4 +	2-2а 4-4Va
a Vi + а - Vi -1
a Vi -2-Vi + 2а
1280
Упростить выражение и найти его значение:
при а = 5, х = 4;
при а = 3, х = V5.
Упростить выражение (1281—1288).
1281
А (	1	1
т + 2т2 + 1	2т2	4т2
1	1	т -1
2т2	\тп2-1
1282
1) 6л
тп;
а Va -1 г-
——---+ Va
2)
а2 + 1
1283 1)
а -1
1284
а-'Ь~2-а-2Ь-'
----------------а3Ь3
_5	5
а 3Ь-2-Ь За-2
405
4-2
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
—Г V------+------i--	- (b1 2 + 18d + 81)0,s.
4b*-v\[b
I	V& J
1) 1+tg2,a;	2) (1 + tg a) (1 + ctg a) - —-i---.
1 ctgza	sin a cos a
_	1 - (sin a + cos a )2	_ . ..
Доказать тождество -------------------= 2 tgz a.
sin a cos a - ctg a
Упростить выражение (1290—1291).
1) sin2 (a 4- 8k) + cos2 (a + 10л);
2) cos2 (a + 6л) 4- cos2 (a - 4л).
sin 2a sin a cos (л - a)
	4-	.
2(1-2 cos2 a)----1-2 sin2 a
9	• 9
_	COS X 81П4 X
Доказать тождество---------------------- - sm x-cos x.
14- sin x 1 - cos x
Разложить на множители:
1)14- cos a 4- sin a;	2) 1 - cos a - sin a;
3) 3 - 4 sin2 a;	4) 1 - 4 cos2 a.
Доказать, что если a + p + у= л, то:
1) sin a 4- sin В - sin у = 4 sin - sin cos
'	2	2	2
2) sin 2a 4- sin 2p 4- sin 2y= 4 sin a sin p sin y.
Известно, что tg a = 2. Найти значение выражения:
sin2 a 4-sin a cos a .	2-sin2 a
cos2 a 4- 3 cos a sin a	3 4- cos2 a
Известно, что tg a 4- ctg a = 3. Найти tg2 a 4- ctg2 a.
Упростить выражение (1297—1302).
„ v cos a 4- sin a . ( n
1)-----------------tg — + a
cos a - sin a \ 4
4. 2 Г к 1	1 - cos 2a
2) tg|--al-----------.
\ 2	7 14- cos 2a
1) . a *	.	2) (sin a 4- cos a)2 4- (sin a - cos a)2;
ctg a 4- ctg P
2) _sin2a_
14- cos 2a
406
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1) tg2(X .	2) * 1 *ctg2g •	3) **а~**Р .
14 ctg2 a ’	ctg2 a	ctg a + ctg p
4) (tg a + ctg a)2 - (tg a - ctg a)2.
1)
3)
1)
1	4- cos 2a e
2	cos a
siii a 4- sin 3a 4- sin 5a
cos a 4- cos 3a + cos 5a
sin 2a + cos 2a 4- 2 sin2 a
sin (-a) - sin (2,5л 4- a)
Доказать тождество:
1- cos (2л-2а) _
1)		— z: j
1 - cos2 (a4- л)
2)
4)
2)
tg a - sin a
tg a 4- sin a
2 sin 2a 4- sin 4a
2 sin 2a - sin 4a
cos 2a - sin 2a - 2 cos2 a
cos (-a) - cos (2,5 л + a)
2)
sin2(a + 90)	, t „_o.
-------------= 14- cos (a - 90 ).
1 + sin (-a)
Упростить выражение (1304—1309).
5 cos x - 3 sin x sin 2x - 8 sin2 x
f л 1 . • r x cos 2x
Sin - - X J 4- Bin (-x)
sin (х-2л) cos I - X i 4- tg (Л - x) tg | — 4- X
x 2	/	\ 2
1) cos2 (a 4- 2p) 4- sin2 (a - 2[i) - 1;
2) sin2 (a 4- 2p) 4- sin2 (a - 2p) - 1.
cos 4a - cos 2a
sin 3a sin a
4 sin2 a - sin2 2a
4-4 sin2a - sin22a
J 2 - cos x - sin x .
. *
sin x - cos X
1 4- cos a 4- cos 2a 4- cos 3a
cos a 4- 2 cos2 a -1
2) tg2 2(1
tg2a - tg2 2a
1 4- COS X 4- sin X 4 tg X
sin x 4- cos x
sin a cos ex	4
Вычислить —--------—, если ctg a = —
sin2a-cos2a	4
Упростить выражение и найти его числовое значение при
2-3 sin2 a sin a 4- 2 cos a	n
данном значении a:-------------------------♦ a =—.
cos 2a sin a 4- cos a	8
Доказать тождество (1312—1320).
tg(a-|3)4 tgP _ cos (a 4 p)
tg (a 4- P) - tg p cos (a - P )
1) 1 4- sin a = 2 cos2 I - - - ]
\4	2/
л _ a j
4	2 7
2) 1 - sin a = 2 sin2
407
1314
1315
1) sin a + - - sin a - - = >/з cos a;
к	3)	\	з)
2) cos — + a + cos - - a = «Уз cos a.
\6 J	k6 )
2	i	ctg a - tg a
1)		±----= Sln a; 2) ---------------= cos 2a.
tg—+ctg-	ctg a + tg a
2	2
1316
1317
(1 + cos a) tg - = sin a.
2
14 1 x 2 COS 2a
1) l-tg2 * *a =——;
cosza
2)
1 - ctg2 a =
- cos 2a
sin2 a
1318 1 + cos a + cos 2a = 4 cos a cos - 4- - cos - - - .
2)	кб 2)
1319 1) j-l.8to2ot = 1-.t<tt;	2) _____1_______1 + (l-tg2a)2.
1 4- sin 2a 1 + tg a	4 sin2 a cos2 a	4 tg2 a
. ( n	1 + sin 2 a	.. 1-sin 2a л 9(n A
3)	tg I - + a I =-------;	4) --------= ctg2 I - 4- a .
к 4	/ cos 2a	14- sin 2a к 4	)
1320 1) 4 sin x sin — - x sin — 4- x = sin 3x;
U ) 1з J
2)
cos 3x cos 6x cos 12x =
sin 24 x
8 sin 3x
2. Уравнения.
1321 Решить уравнение:
1) 3* -16 + 1 = x + 6 _ x + 3.
12	”4	6 ’
2) -(л-7)-3.г-6(Х~-8 * *-) = -[х + —L
3	7 I 3 )
1322 При каком значении а уравнение a (x - 3) 4- 8 = 13 (x 4- 2)
имеет корень, равный 0?
1323 При каком значении b уравнение 1 - b (х 4- 4) = 2 (х - 8)
имеет корень, равный 1?
Решить уравнение (1324—1335).
1324
1325
1326
1327
1328
1) х (х 4- 1) - (х + 2) (х + 3) 4- 9 = х(х + 4) - (х 4- 5) (х + 2)
2) 2 (х 4- 3) (х + 1) 4- 8 = (2х + 1) (х 4- 5).
D 3 2 _	4	. g) 5 * *	|	2 =	11
Х4-3	х-3	х2-9*	х-2	х-4	х2-6х+8
1) (а - Ь) х = а2 4- (а + Ь) х;
1) х2- 2х - 15 = 0;
1) (х-3) (х-2) = 6 (х-3);
2) а2х = а 4- b 4- Ъ2х.
2) Зх2 4- 4х - 4 = 0.
2) х2- —+ - =0.
6	2
408
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1) -JE- + -£-»0;	2) -2£L-2 = ^L1.
х+1	х-1	Зх-Ы 3x4-1
3x-l 7 _ 7x2-28 t is . q. x + 1 12 _2x-l
x + 2 2+x x2 - 4 2 - x * x + 3 x2-9 3 - x
 2 1 _ 2x-l
X2 - X 4- 1 X 4- 1 Xя + 1
1) X-4 + —= 0;	2)
X
1) x‘ - llx2 + 30 = 0;
1) 2x"2 + 4x~‘+ 3 = 0;
1) x2 + ax-b2 + — = 0;
4
------1®- + 4 = 0.
x4- 2 x+ 2
2) 2x4 - 5x2 + 2 = 0.
2) (x2 - x)2 4- 12 = 8 (x2 - x).
nv 2x x _	5a2
2x - a 2x 4- a 4x2 - a2
При каком условии трёхчлен ax2 4- Ьх 4- с является квадра-
том двучлена?
Доказать, что корни уравнения ах2 4- Ьх 4- а = 0 есть взаимно
обратные числа, если а 0.
Решить уравнение (1338—1339).
1) |2х-3| = 7;	2) |х4-6| = 2х;	3) 2х-7 = |х-4|.
1) |6 - 2х| = Зх + 1;	2) 2 |х - 2| = |х| - 1.
Найти наименьший корень уравнения |х2 - Зх - 6| = 2х.
Найти наибольший рациональный корень уравнения
|х2 - 8х 4- 5| = 2х.
Решить уравнение (1342—1358).
1) V2x + 7 = х + 2;	2) x = 2-V2x-5.
(1 V
-4х = 22х + 6.
4	/
1) 95х - 95х " 1 = 8;	2) 2х+*-2х = 120.
1(6аг + в)	,	(, \в
1) 52ж‘».73»*1= 352	;	2) 0,2х’-52xt2 =	.
1) 2,43'2х = 2,43х"2; 2) (-Г=(-Г 2; 3)4= = (—V-
13J	15/	116 J
1) 5х'1+ 5х+ 5х"1= 155;
2) 32х - 2 • 32х_ 1 - 2 • 32х'2 = 1;
3) 7х-7х’1 = 6;	4) Зх + 2 + Зх = 10.
1) 32х - 3х = 72;	2) 4х - 2х * 1 = 48.
409
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1) (log2 x)1 2 - 3 log2 x + 2 = 0;	2) (log3 x)2 + 5 = 2 log3 x3.
1) In —— = In (x + 2);
x +1
2) log3 >/Зх~6 -log3 Vx-3 = 1.
i)	igfl + x) = lg J-lgx;	2) 2 1g x =-1g —Ц-.
к 2	/	2	6-x2
1) log2 (2x - 18) + log2 (x - 9) - 5;
2)	1g (x2 + 19) - 1g (x + 1) = 1.
1) 510”,a_ 6-5log*'+5 = 0;	2) 25l<*’4-510*8 x + l = 125.
1) x'«x = 10;
2) xlo*3X=9x;
3)	x,R x - 1 = 10 (1 - x *);	4) x<x = Vxx .
1)	7  4х’ - 9 • 14х2 + 2 • 49х’ = 0;
2)	5x + *+ 3 • 4Х + 3 = 4X + 4 + 4 • 5Х + 3.
1) log,(2 + Vx + 3) = 1;	2) log, V*a-2x = - j;
3
3) | log3 (X + 1) = log3 уПГ+ 4-2 log3 -J'2 .
1) х1 + ,«х= lOx; 2)x‘«x=100x;
3)	log2 (17 - 2х) + log2 (2х + 15) = 8;
4)	log2 (3 + 2х) + log2 (5 - 2х) = 4.
Могут ли корни уравнения (х - т) (х - п) = k2 быть чисто
мнимыми, если /и, п и k — действительные числа?
Решить уравнение (г — комплексное число):
1) г2 + 4г + 19 = 0;	2) г2 - 2г + 3 = 0.
Решить графически уравнение:
1) 0,5х = 2х + 1;	2) 2х = 3 - х2;	3) log3 х = 4 - х;
4) log1x = 4x2;	5) 2х = log0 5 х; в) = log3 х.
2	' '
Используя графики синуса или косинуса, найти все корни
уравнения, принадлежащие промежутку [-л; Зл]:
1) cosx = --;	2) sinx = - —.
2	2
Решить уравнение (1363—1385).
1) sin2x = i; 2) cos Зх = —	3) 2 tg х + 5 - 0.
1) 3 cos2 х - 5 cos х - 12 = 0;	2) 3 tg2 x-4tgx + 5 = 0.
1) (3 - 4 sin x) (3 + 4 cos x) = 0;
2) (tg x 4-3) (tg x 4- 1) = 0.
410
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1) sin 2x = 3 sin x cos2 x;
3) cos 2x 4- cos2 x = 0;
1) sin 2x = 3 cos x;
3) 2 cos2 x = 1 4- 4 sin 2x;
1) cos x + cos 2x = 0;
3) sin 3x 4- sin x = 2 sin 2x;
1) 2 cos x 4- sin x = 0;
1) 4 sin4 x 4- sin2 2x = 2;
1) V3 sin 2x-cos 2x = V3;
2) sin 4x = sin 2x,
4) sin 2x = cos2 x.
2) sin 4x = cos1 x - sin4 x;
4) 2 cos x + cos 2x = 2 sin x.
2) cos x - cos 5x = 0;
4) sin x + sin 2x 4- sin 3x = 0.
2) sin x 4- VS cos x = 0.
2) sin1 - 4- cos4 — = - .
3	3	8
2) 6 sin x 4- 5 cos x = 6.
1) tg3 x 4- tg2 x - 2 tg x - 2 = 0;
2) 1 - cos x = tg x - sin x.
1)	sin x 4- sin 2x = cos x 4- 2 cos2 x;
2)	2 cos 2x = >/б (cos x - sin x).
cos 2x
1 - sin 2x
= cos x 4- sin x.
1) sin3 x 4- cos3 x = 0;	2) 2 sin2 x 4- sin2 2x = 2;
3)	8 sin x cos 2x cos x = V3;
4)	4 sin x cos x cos 2x = cos 4x.
1) sin4 x - cos4 x 4- 2 cos2 x = cos 2x;
2) 2 sin2 x - cos4 x = 1 - sin4 x.
1)	sin3 x cos	x 4- cos3 x sin x = cos	2x;
2)	2 4- cos2 x	4-	3 sin	x cos x = sin2	x.
1)4 sin2 x -	8	sin x	cos x 4- 10 cos2 x = 3;
2)	3 sin2 x -	2	sin x	cos x = 1.
1)	sin	5x = sin 3x;	2)	cos 6x 4- cos 2x	=	0;
3)	sin	3x cos 7x = 0;	4)	sin x = cos 5x.
1)	sin	x 4- sin 5x = sin	3x;	2)	cos 7x - cos 3x	=	3 sin	5x.
1) cos x sin 9x = cos 3x sin 7x;
2) sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.
1) 5 4- sin 2x = 5 (sin x + cos x);
2) 2 4> 2 cos x = 3 sin x cos x 4- 2 sin x.
1)	sin	x	4- sin 2x + sin 3x 4-	sin 4x	= 0;
2)	cos	x	4- cos 2x 4- cos 3x 4-	cos 4x	= 0.
1)	tg2	3x - 4 sin2 3x = 0;	2)	sin x tg	x	=	cos	x	4- tg x;
3)	ctg	x	I ctg x + —i— 1 = 1;	4)	4 ctg2 x	=	5--—.
I	sin x I	sin x
411
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
1) tg 2x = 3 tg x;
3) tg I x + - I + tg
\	4 J
2) ctg 2x = 2 ctg x;
4) tg (2x + 1) ctg (x + 1) = 1.
Решить графически
1) cos x = Зх - 1;
3) cos x = Vx;
уравнение:
2) sin x = 0,5x3;
4) cos x = x1 2.
3. Неравенства.
Решить неравенство (1387—1388).
1) x + 8 > 4 - Зх;	2) Зх + 1 - 2 (3 + х) < 4х + 1.
1) 4 ~ 3* - «к:2* < 2;
8	12
2) 5х~? - 3LL2 > 2
6	7
При каких значениях х положительна дробь:
1)	. 2)	+10; 3)	2 ; 4) 8 ~ х ?
7х+5	40-х	5-4х	6 + Зх
При каких значениях
х отрицательна дробь:
3-2х,
Зх-2*
2) Ц»--4*;
9х+2
3)
18-7х ?
-4х2-1
Решить неравенство (1391—1394).
1)5х±4<4	2)-2-<1;	8) —С4.
х-3	х-4	х+3
1) 8х2 - 2х — 1 < 0;	2) 5х2 + 7х С 0.
х2 — 9
1) —— < 0;	2) (2х2 + 3) (х + 4)3 > 0.
х2 - 4
1) „Зж~15 > 0;	2) —	— < 0;	3) х^2ж~8 > 0.
х2+5х-14	х2 + 4х+2	х2-2х-3
При каких значениях х выражение 1g (х2 + 8х + 15) не
имеет смысла?
При каком наименьшем целом значении т уравнение
(т - 1) х2 - 2 (т + 1) х + т - 3 = 0
имеет два различных действительных корпя?
При каких целых значениях т уравнение
(т - 7) х2 + 2 (т - 7) х + 3 = 0
не имеет действительных корней?
При каком наибольшем целом значении х выражение
- х2 । 3
—----- принимает отрицательное значение?
х2 —9х+14
412
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
1412
При каком наименьшем целом значении х выражение
х2 — X — 6
------— принимает положительное значение?
-7 - х2
Решить неравенство (1400—1415).
1)	|2х - 3| < х;	2)	|4 - х| > х;
3)	|х2 - 7х + 121 <6;	4)	|х2 - Зх - 4| >	6;
5)	|2х*-х-1|>5;	6)	|3х2-х-4| <	2.
1) 2,51'х>2,5“3х;	2) 0,18х"4 > ОДЗ2’*;
1)	5x’ + 8xtl s <б7б;	2) 0,2х’вх + 7 > 1.
х-1
1)Зх+,-9 2 > VS; 2) Зх +1 + 3х-1 < 10.
2z
1) 2Zx-4x-l + 83 -2’4 > 52;
2)	2х*2 - 2Х + 8 + 5х"2 > 5X+I + 2х*4.
1) 3,3х’+6х < 1;
2)
_ х"3
3)	8,4х’ + 6х + п < 1;
4) 22х + 1 -21.(|)** * + 2^0;
5)
34-3х-Зэ(|У 3 +6>0.
1) 31Og’ х+2 < i;
9
2) 5|о<»(х’_4х + 3,5) > —.
1) loge (2 - х) < log6 (2х + 5);
1)	* < 2'	2) log,
1) log0,5 U + 2x)>-l;
1) loSo,s <x2 - 5x + 6) > -1;
1) log, log,	CO;
»(	2 *-X J
2) log,(x2-2)> -1.
3
< log । (2x + 6) + 2.
2)	log, (1 - 2x) <-1.
2)	log8 (x2 - 4x + 3) C 1.
2)	log, (log,(x2-5)) > 0.
413
1413
1)	(хг - 4) log,, 5 х > °;
2)	(Зх - 1) log2 х > 0.
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1) х’+ ** х < 0,1’2;
3)	х + з > iog2 <26 + 3х);
1)	cos(-3x)>^;	2)
2)	Vx41<x < 10х;
4)	3 - х < log,, (20 + 5х).
С помощью графика решить неравенство:
1)	sin х < -; 2) sin х > -i; 3) tg х - 3 0; 4) сов х > i.
4	4	3
Используя графики тригонометрических функций, найти все
решения неравенства, заключённые в промежутке [-Зл; л]:
1) 2cosx-V3<0;	2) 42 sin х + 1 > 0;
3) 4з + tg х < 0;	4) 3 tg х - 2 > 0.
Доказать неравенство (1418—1420).
1)
а2 + Ь2
ab <	----
2
а3 । кЗ /	, \3
2) -------> .° *	, если а > О, b > 0, atb.
2	\ 2 /
1) (а + b) (ab + 1) > 4а6, если а > О, Ъ > 0;
2) а4 4- 6а262 + b' > 4аЬ (а2 + Ь2), если а*Ъ.
1) - + - + ->3, если а > О, b > 0, о 0;
Ъ с а
2) 2а2 + Ъ2 + с2 > 2а (Ь + с).
4. Системы уравнений и неравенств.
Решить систему уравнений (1421—1422).
1)	[5х-7 у - 3, [бх + 5у = 17;	2) j	[2х-у- 13 = 0, [ х + 2 у + 1=0.
1) « Най	х-у х+у_ 10 5	2	2)  - + - = 10; [5	2 ти действительные pei		2	3 х+у 4	3 пения системы уравнений
(142 1)	13—1425). у+ 5= х2,	XJ/ 2) к	= 16,	Jx2 + 2y2=96,
1) <	х2 + уг= 25; х2- у2 = 13, х-у- 1;	- = 4;	1 х = 2 у. 11/	1 2 Jx2-3{/ = -5, (7х + 3л = 23.	
414
г
1425	1)  3)	х _ У _ 3 У х 2 ’ х2 4- у2 = 20; х2 = 13x + 4i/, у2 = 4х + 13у;	2) 4)	H|	»	4-	+ 4-	1	сч	« tN н И ^1 и	и	^5	= 3^, 3 2 = 8; 02 - 4x = 40, 02 + 3x = 52.
1426 1427 1428	Реш 1) ‘ 3) 1) 1) •	1ить систему уравнений (142 [2—-32,	. 3»»-х = 27; Зх-2»=576,	I 4) lo«V2 <У " х) ~ 4;	1 flog4 x-log2 0 = 0, [ха-б02 + 4 = О; Jx + yl~y = 16, 1—	г~ 4х-^у = 2;			6—1431). 3«-22*= 77, 32-2»= 7; f 1g x + 1g 0 = 4, [x’«l'= 1000. x2 + y4 = 16, log2 X+2 log2 0 = : Vx-^0 = 1, Vx + y[y = 19.
1429	1) <	•Jx + y- 1 = 1,		2)	т]3у+ x+ 1 =2,
1430	1) -	Jx-y+2 = 20-2; sin X 4- cos у = 1, sin2 х 4- 2 sin х cos		3 . 4*	72x-0 + 2 = 70-
2)
3.
6
sin x + sin у = -,
2
cos2 x + 2 sin x sin у + 4 cos2
У = 4.
1431
1)
sin x cos У~~~
tg x ctg у = 1;
2)
sin х sin у = -
4
3 tg х = ctg у.
1432 Найти наименьшее и наибольшее целые решения системы
2х- 3 _ 3x4-5 _ х < £_ х+ 4
2	3	6	2 ’
1_2xz8 + 42L3x<2x_x+2
3	2	3
1433 Решить систему неравенств
х 4-1 _ х4- 2 < х - 3 + х 4
5	4	3	2
415
5. Текстовые задачи.
1434 Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за
3 мин, а по движущемуся за 45 с. За какое время поднимает
эскалатор неподвижно стоящего на нём пассажира?
1435 Теплоход прошёл расстояние между двумя пристанями по
течению реки за 7 ч, а против течения за 9 ч. Определить
расстояние между пристанями, если скорость течения реки
2 км/ч.
1436 Теплоход должен был пройти некоторое расстояние за
2,25 суток, по оказалось, что он проходил за каждый час
на 2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошёл на-
меченный путь за 2 суток. Какое расстояние должен был
пройти теплоход?
1437 Один рабочий выполняет некоторую работу за 24 дня, дру-
гой рабочий ту же работу может выполнить за 48 дней. За
сколько дней будет выполнена эта работа, если рабочие бу-
дут работать вместе?
1438 При уборке урожая было собрано 4556 ц яровой пшеницы
с общей площади 174 га, причём на целинных землях собра-
но по 30 ц с 1 га, а на остальной площади — по 22 ц. Сколь-
ко гектаров целинных земель было освоено?
1439 Разность двух чисел относится к их произведению как
1 : 24, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти
эти числа.
1440 Сумма трёх чисел равна 1. Разность первого и второго чисел
равна третьему числу. Сумма первых двух чисел в 5 раз
больше третьего числа. Найти эти числа.
1441 Бригада рабочих должна была к определённому сроку изго-
товить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму па 9 де-
талей, бригада за день до срока перевыполнила плановое за-
дание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку,
если будет продолжать работать с той же производительно-
стью труда?
1442 Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя
36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за
10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился
одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обрат-
но, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного прича-
ла. Найти собственную скорость катера.
1443 Две организации приобрели театральные билеты. Первая
организация израсходовала на билеты 3000 р., а вторая,
купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каж-
дый билет на 30 р. меньше первой организации, уплатила
416
за билеты 1800 р. Сколько театральных билетов купила
каждая организация?
1444 От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч
20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась мо-
торная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Какова
скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки
по течению больше скорости плота на 48 км/ч?
1445 При уборке урожая с каждого из двух участков собрано
по 210 ц пшеницы. Площадь первого участка была на 0,5 га
меньше площади второго участка. Сколько центнеров пше-
ницы собрано с одного гектара на каждом участке, если
урожай пшеницы на первом участке был па 1 ц с 1 га боль-
ше, чем на втором?
1446 Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает
ученик, проходя путь от дома до школы, если его старший
брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов
меньше?
1447 Найти четыре числа, являющиеся последовательными чле-
нами геометрической прогрессии, если третье число больше
первого на 9, а второе больше четвёртого на 18.
1448 Найти сумму первых двенадцати членов арифметической
прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна нулю,
а сумма четырёх первых членов равна 1.
1449 Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются
тремя последовательными членами геометрической прогрес-
сии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма
первого и четвёртого чисел равна 16, а второго и третьего
равна 12.
1450 Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии рав-
на 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её чле-
ны являются соответственно первым, вторым и десятым чле-
нами арифметической прогрессии. Найти первый член
геометрической прогрессии.
1451 Произведение пятого и шестого членов арифметической про-
грессии в 33 раза больше произведения её первого и второ-
го членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше
второго, если известно, что все члены прогрессии положи-
тельны?
1452 В треугольнике, площадь которого равна 12 см2, середины
сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треуголь-
нике точно так же образован новый треугольник и т. д. Най-
ти сумму площадей всех получающихся таким построением
треугольников.
417
1453
1454
1455
1456
1457
1458
1459
1460
1461
1462
1463
1464
1465
6. Функции и графики.
График линейной функции z/ = -| Х + Ь проходит через точ-
ку (-2; 3). Найти Ь.
График лилейной функции у = kx + 3 проходит через точку
(-1; 4). Найти k.
Найти коэффициенты k и b линейной функции у = kx 4- д,
если её график проходит через точки А и В:
1) А (-1; -2), В (3; 2);	2) А (2; 1), В (1; 2);
3) А (4; 2), В (-4; -3);	4) А (-2; -2), В (3; -2).
Через точку А(-3; 2) проходит прямая, параллельная пря-
мой, проходящей через точки В (-2; 2) и С(3; 0). Записать
формулы, задающие линейные функции, графиками кото-
рых являются данные прямые.
Выяснить, принадлежит ли прямой х + - = 1 точка А:
2
1)	А(-1; 4);	2) А (0; 3);	3) А(1; 0);	4)а(|;-1).
Линейная функция задана формулой у = х + 2. Найти:
4
1)	точки А и В пересечения её графика с осями координат;
2)	длину отрезка АВ;
о
3)	расстояние от начала координат до прямой у =-х + 2.
4
Найти значения х, при которых график функции у = Зх - 1
расположен:
1)	выше оси Ох; 2) ниже оси Ох.
Найти значения х, при которых значения функции
у = -2х + 1:
1) положительны; 2) отрицательны.
Найти значения х, при которых график функции у = 2х - 1
лежит ниже графика функции у = Зх - 2.
Найти значения х, при которых график функции
У = (7з-2)х-7з
лежит выше графика функции у = (1 + -УЗ) х + 2 VS.
Доказать, что функция у = 2х - 3 возрастает.
Доказать, что функция // = -7з х-3 убывает.
Выяснить, пересекаются ли графики функций:
1) у = Зх - 2 и // = 3x4-1;	2) у = Зх - 2 и у = 5x4-1.
418
1466 Построить график функции:
1)	У = 2 - |х|;	2) у = |2 - х|;	3) у = |2 - х| + |х - 3|.
Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функ-
ций прямую у = 3. В случае утвердительного ответа найти
координаты точек пересечения.
1467 Дана функция у = х2 - 2х - 3.
1)	Построить её график и найти значения х, при которых
У М < 0.
2)	Доказать, что функция возрастает на отрезке [1; 4].
3)	Найти значение х, при котором функция принимает наи-
меньшее значение.
4)	Найти значения х, при которых график функции
у = х2 - 2х - 3 лежит выше графика функции у — -2х + 1.
5)	Записать уравнение касательной к параболе
у = х2 - 2х - 3 в точке с абсциссой, равной 2.
1468 Дана функция у = -2х2 + Зх + 2.
1)	Построить её график и найти значения х, при которых
У («) < 0.
2)	Доказать, что функция убывает на отрезке [1; 2].
3)	Найти значение х, при котором функция принимает наи-
большее значение.
4)	Найти значения х, при которых график данной функции
лежит ниже графика функции у = Зх + 2.
5)	Записать уравнения касательных к параболе
у = -2х2 + Зх + 2 в точках с ординатой, равной 3.
1469 Выяснить, пересекаются ли графики функций:
1) у = х2 и у = х + 6;	2) </=- и|г = 4(х+1);
х
3) у = х2 и у =	4) у = 2х - 1 и у = -.
8	х	х
Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или не яв-
ляется ни чётной, ни нечётной (1470—1472).
1470 1) у = 2х + 2’х;	2) у = 3х - 3 х;
3) у = In	4) у = In .
3-х	а -х
1471 1) у = 2х2 - 1; 2) у = х - х3; 3) 1/ = х*--; 4) у=^-^.
х	х
1472 1) у = х sin х;	2) у = х2 cos 2х;
3) у = х + sin х;	4) у = х + cos х.
419
Найти наименьший положительный период функции
1473
1474
1475
1476
1477
1478
1479
1480
1481
1482
1483
1484
1485
1486
1487
(1473—1474).
1) у = cos
1) у = сов Зх;
2) у = 2 sin 0,6х.
2) у = sin —;
5
3) у = sin х 4- tg х.
Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить
её график:
1) у = —х4 + 4х2 - 5;	2) у = х3 - 4х.
Найти наибольшее или наименьшее значение функции
у = ах2 4" Ьх - 4, если у (1) = 0 и у (4) = 0.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) у = sin 2х - 7з cos 2х;	2) у = 2 cos 2х + sin2 х.
Найти точки пересечения графика квадратичной функции
с осями координат;
1) у = 2х2 - 5х + 6;	2) у = 2х2 - 5х 4- 2.
Построить график функции у = ах2 + Ьх + с, если у (-2) =15,
t/(3) = 0, 1/(0) = —3.
Построить график функции у = V25 - х2 . Указать по графи-
ку промежутки монотонности функции. Доказать, что гра-
фик данной функции симметричен относительно оси Оу.
Построить график функции у = 5 . Доказать, что функция
убывает на промежутках (-оо; 2) и (2; +оо). В какой точке
график функции пересекает ось ординат?
Выяснить основные свойства функции и построить её график:
1) 1/ = 3*4-1;	2) у = log2 (х 4- 1);	3) у = log t (х- 1).
з
Построить график функции:
3) у = 2х 1 - 3;	2) у = log2 (х + 2) + 3.
Найти область определения функции (1484—1487).
1) у = 2х 4- 1g (6 - Зх); 2) у = 3“х - 2 In (2х 4- 4); 3) у = tg
4
1) У = ДЦ; 2) у = Jiog3
V х 4- 3	V	х - 6
хч / X2 - 6х —16	г-------—----7
1) У =	;	2) /ЬсДдг-З)-!.
\ X2 -12x4-11	у 2
1) У = >/logo.8 ( х2 - 5х + 7);	2) г/ = ^'log0i(x2-9).
420
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
1498
1499
1500
1501
1502
Найти множество значений функции (1488—1489).
1) у = х2 + 6х + 3;	2) у =-2х2 + 8х — 1;	3) у = 2 + -.
X
1) I/= 0,5 + sin I х - — I; 2) у = 0,5 cos х + sin х.
\	4 )
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) Их) = sin х + cos х, х0=^;	2) И*) = cos Зх,
Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ-
ции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1)	Л, х0 = 1;	2) Г(х) = 2хТх, х0=|.
4х¥	3
Написать уравнение касательной к графику функции
у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) Г(х) = —х0=|;	2) / (х) = 2х4 - х2 + 4, х0 = -1.
4х у1х 4
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = х3 - х + 1 в точке пересечения его с осью Оу.
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = Зх3 - 1 в точке с ординатой у = 2.
Прямая у = 4х - 3 является касательной к параболе
у = 6 - 2х + х2. Найти координаты точки касания.
Найти точки, в которых касательные к графику функции
у = 4х3 - 9х2 + 6х + 1 параллельны оси абсцисс.
Касательная к параболе у = Зх2 + 7х + 1 в точке М образует
с осью абсцисс угол Найти координаты точки М.
4
Написать уравнение касательной к графику функции
у — f (х) в точке с абсциссой х0:
1) f (х) = х In 2х, х0 = 0,5;	2)/(х) = 2 \ х0=1.
Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ-
ции у = х3 - х2 - 7х + 6 в точке М (2; -4).
Найти тангенс угла, который касательная к графику функ-
ции у = х2 • е х в точке с абсциссой х = 1 образует с осью Ох.
Найти угол между осью Ох и касательной к графику функ-
ции у = cos [Зх - £ ) в точке с абсциссой х =
Записать уравнение касательной к графику функции
х3+ 1
f (х) =---- в точке его пересечения с осью Ох.
421
1503
1504
1505
1506
1507
1508
1509
1510
1511
1512
1513
1514
1515
1516
1517
Записать уравнение касательной к графику функции
f (х) = Vхя + 1 в точке с абсциссой х = 4.
Найти промежутки монотонности функции:
X2 + 1	X2 — 1
2) У=------•
х2 — 1	X
Найти точки экстремума функции (1505—1506).
1) у = (х - I)3 (х - 2)2;	2) у = 4 + (6 - х)4.
,. Зхг + 4х+4	х2 + 6х+3
D У =—;--------;	2) у=
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
(1507—1509).
у = 2 sin х + cos 2х на отрезке 0; - .
»	2.
у = sin х + 2 V2 cos х на отрезке 0; i
у = х V1 - х2 на отрезке [0; 1].
Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиу-
се основания цилиндра его объём будет наибольшим?
Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь
полной поверхности которого равна 54я см2, если известно,
что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.
В правильной пирамиде SABC из вершины S проведе-
на высота SO. Найти сторону основания пирамиды, если
объём пирамиды является наибольшим при условии, что
SO + АС = 9 и 1 С АС С 8.
В правильной четырёхугольной призме диагональ равна
2 >/3. При какой высоте призмы её объём наибольший?
Для функции f (х) = х-2 + cos х найти первообразную, гра-
(2 I
0,5я; — I.
л /
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = х2 (2х - 3) - 12 (Зх - 2) на отрезке [-3; 6].
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
1
f (х) = 2 In3 х - 9 In2 х + 12 In х на отрезке [е4 ; ея ].
На параболе у = х2 найти точку, расстояние от которой до
точки А 2; - является наименьшим.
к 2)
422
1518
1519
1520
1521
1522
1523
1524
1525
1526
1527
1528
1529
1530
1531
На координатной плоскости даны точки А (3; -1) и D (4; -1).
Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является
одним из оснований, а вершины другого основания лежат на
дуге параболы у = 1 - х2, заданной на отрезке [-1; 1]. Среди
этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую пло-
щадь. Найти эту площадь.
На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматри-
ваются треугольники, у которых две вершины симметричны
относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, за-
данной па отрезке [-1; 1], а точка К является серединой
одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, ко-
торый имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Каковы должны быть коэффициенты р и q квадратичной
функции у = х2 + рх + q, чтобы при х = 5 она имела мини-
мум, равный 1?
Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм,
чтобы его объём был наибольшим?
Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр,
если его объём равен V?
Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар ра-
диуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверх-
ности.
Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного
в шар радиуса R.
Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар
радиуса R.
В конус с заданным объёмом V вписана пирамида, в основа-
нии которой лежит равнобедренный треугольник с углом
при вершине, равным а. При каком значении а объём пира-
миды будет наибольшим?
Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения
равен р, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот
объём.
Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы
радиуса Я, найти цилиндр наибольшего объёма.
Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь
форму цилиндра. При каком соотношении между радиусом
основания и высотой расход жести будет наименьшим?
Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны
в сферу радиуса R, выбрана призма наибольшего объёма.
Найти высоту этой призмы.
Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основа-
ния R и высотой Н, найти цилиндр наибольшего объёма.
423
1532
1533
1534
1535
1536
1537
1538
1539
1540
1541
1542
1543
1544
1545
Найти точки экстремума функции:
1) f (х) = х3 + Зх2 - 9х + 4;	2) f (х) = х4 - 2х5 + 5.
Исследовать с помощью производной функцию
у = х3 - Зх + 2 и построить её график. Найти точки, в кото-
рых касательные к графику параллельны оси Ох.
Исследовать с помощью производной функцию
у = х3 - 5х2 - х + 5 и построить её график. Записать уравне-
ние касательной к графику этой функции в точке с абсцис-
сой, равной 4.
Исследовать функцию у = f (х) и построить её график
(1535—1537).
1) f (х) = 4х3 + 6х2;	2) f (х) = Зх2 - 2х3.
1) // = -— +х2;	2) г/= х4 - 2х2 - 3.
4
1) у = i х3-х2-Зх + 9;	2) у = -х4 + 6х2 - 9.
3
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1538—1542).
1) у = у/х-1. у = 3 - х, у = 0; 2) </ = --, у = х2, у = х—.
х	8
1)	у = 4х - х2, у = 5, х = 0, х = 3;
2)	у = х2 - 2х + 8, у - 6, х = —1, х = 3;
3)	у = sin х, у = 0, х = —, х = п;
3
4)	у = соз х, у = 0, х=-—, х=-.
6	6
1) y = Vx, у = 2, х - 9;	2) у = х2 + 3, у = х + 5.
1) у = 9 - х2, у = (х - I)2 - 4;	2) у = х2, у = Vx.
1) у = cos х, х = —, у = 0;	2) у = 8х, х = -1, х = 1, у = 0.
4
7. Производная и интеграл.
Найти значение производной функции f (х) в точке х0:
1) /(х) = х*-^- + х, х0=|;	2) /(х) = —, х0=1;
2	о	X
3) У(х) = х-3--^- + Зх, х0 = 3;	4) y=22Ht х0=-.
х*	sm х 4
Найти значения х, при которых значение производной функ-
ции f (х) равно 0 (1544—1545).
1) f (х) = sin 2х - х;	2) f (х) = сов 2х + 2х.
1) f (х) = (2х - I)3;	2) / (х) = (1 — Зх)’.
424
1546 Найти значения х, при которых значения производной
функции /(х) = х3 - 1,5х2 - 18х + v3 отрицательны.
1547 Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 360 м/с.
Найти скорость пули в момент t = 10 с и определить, сколь-
ко времени пуля поднимается вверх. Уравнение движения
пули h = vnt - 4,9f2.
1548 Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорцио-
нален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом
за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после
начала вращения.
1549 Показать, что f'(l) = Г(0), если f (х) = (2х - 3) (Зх2 + 1).
Найти производную функции (1550—1553).
1550	1)	х5 - Зх3 + 2х2 - х + 3		6х VX 2) У = - т=~- VX
		У ~	з	’ X3		
1551	1)	Зх2 -2х + 1 у я	,	5 х + 1	2)	2х2- Зх + 1 У~ 2х + 1
1552	1)	у = (2х 4-1)2 Vx - 1;	2)	у= х2 ^(х+1)2 .
1553	1)	у = sin 2х сов Зх;	2)	у = х cos 2х.
1554	Найти значения х, для		которых производная функции	
/(х) = (х - 1) (х - 2) (х - 3) равна -1.
1555 Определить знак числа /'(2), если:
1)	/(х) = ₽3-2' х2;	2)	=
е1 х
1556 Дана функция / (х) = ** 8*П-2-. Найти /'(0),
1 - sin 2 х	\ 6 /
1557 Найти значения х, при которых Г (х) < g' (х), если
f(x) = х3 + х2 + х \[3, g (х) = х л/З + 1.
1558 Для функции / (х) = сов 4х найти первообразную F (х), если
F ( — 1 = -1.
\24/
1559 Найти первообразную функции:
425
Задачи
для внеклассной работы
Решить уравнение (1560—1566).
1560 1) А/х24-4х4-4-Л/х2-6х-ь9 = 6;
2)	^/(8 - х)2 - з/(8 - х) (27 + х) + ^/(27+ х)2 = 7;
3)	V8-x +1/89 + х = 5.
1561 1) 16einZx+16сов2*= 10;
2) (7з+78)Т+ (д/3->/8)Х=34.
1562	1)	х3	- Зх2 +	х =	3; 2) х3 - Зх2 -	4х + 12 = 0;
3)	х4	- Зх3 -	2х2	- 6х - 8 = 0.
1563	1)	tg	х + ctg	х =	2 ctg 4х;
sin 4х гт . .
2) ---------- = V2 (sin x + cos x).
sin | at — — j
k 4)
4 sin 3x cos 3x 2	av > Л . a 9
lo64 1) ------4-------=-------;	2) tg 2x 4- ctg x = 8 cos2 x.
cos 2x sin 2x sin 3x
, sin 3 x	sin x
1 обо----------------- 2 cos 2 x.
sin x sin 3x
1566 log2 (4 cos x + 3) log6 (4 cos x 4- 3) = log2 (4 cos x + 3) 4-
4- log6 (4 cos x 4- 3).
426
1567
1568
1569
1570
1571
1572
1573
1574
1575
1576
1577
1578
1579
Пересекает ли график функции у = х3 - 6х2 + Их - 6 ось Ох
в точках, абсциссы которых являются целыми числами?
Уравнение 2хя 4- тх2 + пх + 12 = 0 имеет корни Xj = 1,
х2 = -2. Найти третий корень этого уравнения.
Решить систему уравнений и установить, при каких значе-
ниях параметров а и b она имеет решение:
1} Jog^x + log, у = |,	2 1хг + у2 = а2,
|х + у = а+а2;	(log» x + log6 у = 2.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
а2 — 2 /з |а| jy + х2 + 2ху- у2-2 = 0,
х2 + у2 - 21/ - cos (Xi/) 4-11- 6а 4- а2 = 0.
Решить систему уравнений (1571—1573).
1)
Xs = у2;
2)
х^ = I/,
у*у = х4;
3)
x-y =
cos2 nx - sin2

6 sin х cos |/4-2 cos х sin у = -3,
5 sin x cos у - 3 cos x sin у = 1.
31ogx2 _ ^loc5 y,
2	3 _ log 7 x
Решить неравенство (1574—1578).
1) Xlg*x-»lgx + l > 1000.
2) З1 * ****2 < 3lex'*5 -2.
togisx + sif1 -9X)< log 2x + 2. (1 + 3х) + log12x + 2|
x3 + x2-4x-4
x3 + 6x2 + 5x -12
1) /2x-7 < V6x+13;
2) V3- x < /Зх-5.
J3x3 - 22x2 + 40x
---------------> Зх - 10.
x - 4
При всех а решить неравенство | х - 5а | С 4а — 3 и указать
все значения а, при которых решения этого неравенства яв-
ляются решениями неравенства х2 - 4х - 5 < 0.
427
1580
1581
1582
1583
1584
1585
1586
1587
1588
1589
1590
1591
Построить график функции (1580—1583).
V*2"	2	Зх+2,	„ 2х
!)„ = —;	2),-—;	41
11	2” = ^ 3,й = бЬ'
Доказать тождество logb а • log, b • log<7 с = logu а.
Вычислить:
(	3	( 5 П
1)	cos arcsin - ;	2) sin arccos--.
k 5/	I I 13,U
Доказать, что при -1 x 1 сумма arcsin x + arccos x рав-
на С, где C — постоянная. Найти С.
Найти все значения 6, при каждом из которых функ-
ция /(х) = sin 2х - 8 (Ь + 2) cos х - (4b2 + 16b + 6) х явля-
ется убывающей на всей числовой прямой и при этом не
имеет стационарных точек.
Найти все значения х, при которых касательные к гра-
фикам функций у = 3 cos 5х и у = 5 соя Зх + 2 в точках
с абсциссой х параллельны.
(12
2;--- проведена касательная к параболе
5 )
у = — — х2, пересекающая ось абсцисс в точке В, а ось орди-
5
пат в точке С. Найти радиус окружности, вписанной в тре-
угольник ВОС (О — начало координат).
Через точку А (3; -4) проведена касательная I к гиперболе
12
у-----. Найти радиус окружности с центром па оси орди-
х
нат, касающейся прямой I и оси абсцисс.
Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии
1 мили. Корабль А идёт на юг, делая 3 мили в час, и в на-
стоящее время находится в 5 милях к западу от кораб-
ля В, который идёт на запад со скоростью 4 мили в час.
Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма
сигнала?
Графику функции у = -х3 4- ах2 + дх + с принадлежат точ-
ки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Каса-
тельные к этому графику в точках А и В параллельны
между собой. Одна из этих касательных проходит через
точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти значе-
ния а, Ь, с.
Графику функции у = х3 + ах2 + 6х + с принадлежат точки А
и В, симметричные относительно прямой х = —2. Касатель-
428
ные к этому графику в точках А и В параллельны между со-
бой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 1),
а другая — через точку (0; 5). Найти значения а, Ь, с.
1592 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
у = 0,5х2 - 2х + 2 и касательными к ней, проведёнными
через точки А [ 1; и В (4; 2).
1593 Через точку графика функции у = Vх с абсциссой а, где
| Со<2, проведена касательная к этому графику. Найти
значение а, при котором площадь треугольника, ограничен-
ного этой касательной, осью Ох и прямой х = 3, будет наи-
меньшей, и вычислить эту наименьшую площадь.
1594 Дана фигура, ограниченная кривой у = sin х и прямыми
у = 09 х = “ (о Х 2 )’ ^ОД каким Углом к оси НУЖНО
провести прямую через точку (0; 0), чтобы эта прямая разби-
вала данную фигуру на две фигуры равной площади?
1595 Решить уравнение:
1)	Vx + 3-д/2х-4 = л/Зх-2;
2)—Г +	*
1-Vl-x 1+Vl-x Vl-x
1596 Найти все действительные корни уравнения
|2 Vx +1 - х| + |х-2 Vx +21 = 7.
Решить уравнение (1597—1601).
111
1597 1) 9 •4* + 5«6х = 4*9х;
2)	log2 (х2 - 3) - log2 (6х - 10) + 1 = 0;
3)	2 log2 х-2 log2 4= = 3 71og2 х;
V2
4)	log, (2хг - Зх - 4) = 2.
1598 1) 1 + log,(5—х) = log, 4 • log, 7;
2)	(loge (7 - x) + 1) log3_, 3 = 1.
1599 1) cos x + cos 2x 4- cos 3x = 0;
2)	cos3 x - 3 cos2 x + cos x + sin 2x = 2 cos I - + - | sin I — - -
12 47 I 2	4
3)	sin2 x + cos2 3x = 1;
4)	ctg x + sin 2x = ctg 3x.
429
1600
1601
1602
1603
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610
1611
1) sin x 4-cos x = v'i+tg x;
2) ^/5 sin 2x - 2 = sin x - cos x.
2 sin x i . . 2 f
------------- = 4 sin2 x + - .
cos x — cos 3x3	\	4 /
Найти все корни уравнения cos х + (1 + cos х) tg2 х - 1 = О,
удовлетворяющие неравенству tg х > 0.
Найти все корни уравнения sin4 х + sin4 х + — = sin2
\	4 7	6
удовлетворяющие неравенству lg (х- V2x + 24) > 0.
Найти наибольший на интервале - —; — корень уравнения
\ 6 2 /
cos 5х + — 1 + 2 sin х cos 2х — 0.
\	2)
Найти все значения а, при которых уравнение
sin” х + cos* х = а имеет корни, и решить это уравнение.
Решить систему уравнений (1606—1608).
1)
1)
1)
х-Зу = -5,
= _23.
Зу х 6 '
6х-2•3*=2,
6х- 3* = 12;
27-32x-* + 3x2 = 4 >/3,
2)
х+ у + х-у _ 10
х-у х + у 3’
х2 + у2 = 5.
7-2х + 6у = 2,
3-2х + 1-5у = 93.
1g (у-4х) = 2 1g (2 + 2х - у)-1g у;
(8.2 х-2» + 2»г = 3 V2,
|lg(x + 4y) = 2 1g (2 - х-2у)-lg х.
При каких значениях а система уравнений
Jlog3(y-3)-2 log9 х = 0,
|(х + а)2 - 2у-5а = О
имеет хотя бы одно решение?
Решить неравенство:
1)	> 1.	2) 2x4-5 > 1.
Найти все значения а, при которых является верным при
всех значениях х неравенство:
Зх2-4х + 8
2) —----------а.
9х2 —12х-ь16
1) —2—	< а;
4х2-2х + 1
430
1612
1613
1614
1615
1616
1617
1618
1619
1620
1621
1622
1623
1624
Решить неравенство (1612—1615).
/	\ х2 - 5х + 6
1) ?	<1;	2) 5х-3х*1 >2 (5х1-З*"2).
\ 5 /
1) log । (1 + х) - ^/х2 -4 0;
2
2) ------------------------<0.
logs(3-2x) 4-log5(3-2x)
1) lo»|2x + i| ** > 2;	2) logl2 |Зх + 1|<|.
7 - Зх + Jx2+ Зх-4
-------1---------< -1.
х- 3
Найти все значения а, при которых неравенство
log1 (х2 + ах + 1) < 1
2
выполняется для всех х из промежутка (-сю; 0).
На параболе у - 2х2 - Зх + 8 найти точки, касательные в ко-
торых проходят через начало координат.
При каком значении k площадь фигуры, заключённой меж-
ду параболой у = х2 + 2х - 3 и прямой у = kx + 1, наимень-
шая?
Парабола у = х2 + рх + q пересекает прямую у = 2х - 3 в точ-
ке с абсциссой 1. При каких значениях р и q расстояние от
вершины параболы до оси Ох является наименьшим? Найти
это расстояние.
Найти все значения х, при которых функция у = 6 cos2 х +
4- 6 sin х - 2 принимает наибольшее значение.
Найти все значения а, при которых наименьшее значе-
ние функции г/ = х2 + (а + 4) х + 2н + 3 на отрезке [0; 2]
равно -4.
Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее
значение квадратичной функции у = 4х2 - 4ах + а2 2а 4 2
на отрезке [0; 2} равно 3.
Найти все значения параметра а, при которых вершины
двух парабол у = 4х2 4- 8ах - 9 и у = 4ах2 - 8х 4- а - 2
лежат по одну сторону от прямой у = —5.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 cos4 х 4 sin2 х
У =-----л-------
2 sin4 х 4- 3 cos2 х
431
Ответы и указания
1. 2) 0,(72); 4) -0,75; 6) 0,(13). 2. 2) 1,(282051); 4) 0,49(6); 6) 1,3(2).
3. 2) 15; 4) -5; 6) -2^29. 4. 1) 4; 2) 4	5. 2) 5,8. 8. 2) |х| = -х;
9	9	990	4
3) |х| = х. 9. 2) Иррациональное; 4) рациональное; 6) иррациональное.
10. 2) 10; 4) 2. 11. 2) V11 - 72Д > Ло - ^ЗД. 12. 2) 3; 3) 2 + -/3.
3
13. 2) Да. 14. 2) 341. 16. 2) Да; 4) да. 17. 2) 0; 4) -2. 18. 2) 1.5; 4) -
3
19. 2) -311. 20. 2) ?; 4) 21. 21. 2) Нет; 4) да. 22. 2) 2ЛЙ2+<3).
4	9	90
23. 2) V = l. 24. 1) -1; 2) 9; 3) 1. 25. 2а. 26. Л„=—1—Л,. 28. 2) 2;
з	Зп
4) 15. 29. 2) 81; 4) -L. 30. 2) -1; 4) -4; 6) -8. 31. 2) х = -1;
81	2
4) Х| =-2, х2 = 2. 32. 2) 5; 4) -11; 5) JL. 33. 2) 48; 3) 20. 34. 2) 33;
4) 7.	35. 2) 0.2;	4) 2. 36. 2) 50;	4) 16.	37. 2) azft3; 4) a2ft3.
38. 2) 3aft; 4) ?. 39. 2) 2; 4) ?. 40. 2)	4) 2; 6) 4. 41. 2) Зх;
ft	3	2	5
4) 2 *. 42. 2) 1; 4) 1. 43. 2) 2; 4) 5. 44. 2) у2-, 4) aHfte; 6) За.
а	3	4
45. 2) х>-3; 4) — <х<2. 46. 2) 2. 47. 2) 6; 4) 1; 6) 4. 48. 2) ab2c.
3	2
49. 2) Зх; 3) 0; 4) а - 1. 50. 2) 7; 3) 1. 51. 2) (8-х)3 при х < 3,
(х-З)3 при х>3; 4) -Зх - 5. 52. 2) ^/7 +V15 <-Л0 + 3,/28. 54.3) 1.
57. 2) 3; 4) 27; 6) -L. 58. 2) 5; 4) 1; 5) 1. 59. 2) 49; 4) 125. 60. 2) 121;
27	2	2
-1* if 1 11
4) 150. 61. 2) 3; 4) 2,7. 62. 2) ft; 4) а; 6) у в. 63. 2) a3|ft3 + c3J;
432
( — —V —	(- -У - 1 1 ( -
6) |ОД/п12 - п l2J |o,lm12 + п 12J . 65. 2) |х2 - у2)[х + х2 у2 + /J; 4) (за8 + св )х
( -	1 -	-1
х [оа3 - За3с6 + с3).
4) ±. 69. 2) 3; 3)
16
1 1
66. 1) а4 + Ь4;	3) Vc-l. 67. Зс. 68. 2) 1;
1; 4) -521. 70. 2) 9; 4) 8. 71. 2) 18; 4) 0,75.
5	625
4) 2'/з>21,7; 6)	• 73- 2> (0,013г1 >1;
/1	3
4) 271'5 > 1; 6) (1J <1; 8)
/8-3
>1. 74. 2) а2™; 3) b. 75. 2) 4/б <4Л.
(i)
76.
80.
83.
86.
2) 9—;	4) 10 15.
12	27
1
2) Ьг ; 4) а + Ъ. 81.
в
2) т2; 4) а-2. 84.
2) V5<V7; 4) V13
1 1
77. 2) <Л.	78. 2) 1;	4) а3Ь3.	79. 2) 3.
2) —; 4) 2>[b. 82. 2) у, 4) 4а’1-! Ь~2	.
Ъ + Чь	9
2) х = -1; 4) х = 2л. 85. 2) х = ^--, 4) х=1.
2	8
9 3Jh
> V23. 87. 2) 2у, 4) 2Л4ъ. 88. 2) 2Vb: 4) -£л£.
I—	— I	JJ
а2 - b2 I; 3) -2Е- 90. 5306 р. 4 к. 91. 2158 р. 90 к. 92. 2) 2>
209.
90 ’
93. 2)
1.
8* 16
6) AL. 97.
256
1
< (0,41) 4;
4)	94. 1) 1; 0,01;	37—; —; —; 3) 2; 9; 10; 4;
99	2	27 36 81
2) 64; 10; 5; 2; 3) X; 1; 111. 96. 2) 15; 4) 1000;
25	7	9
1-1	-1
2)	4)	6) 4. 98. 2) 98°; 326; (|) . 99. 2) (А) 4 <
4) (11) 5>(~) ЮО. 2) л*1;	4) а7.	101. 2) а2.
102.
104.
103. 2) х = 3; 4) х = 2;
105. 2) *1*1. 107. 2) -2081.
a~b	24 750
108. 51
2
5) х =-2.
109. 10.
ПО. а = 2-Т5,а<0. 111. 2) а < 6; 4) а < Ъ. 112.2)———х
3	3
6)	8) 3>/3-?/2. 113. 2) 7. 114. 2) 2^ху: 4)
5	-Jxy
115. 2) (Va-Vt)2; 4) а2 + b2. 116. 2) 1--117. 3) 1. 121. 2) Наи-
а (а - Ь)
меньшее значение у = -128 при х = -2, наибольшее значение у = 2187 при
х = 3; 4) наименьшее значение у = — при х = 4; наибольшее значение у - 1
433
при х - 1. 122. 2) 0.23 < 1; 4) Уз22 >1. 123. 2) х е Я; у е Я. у > 2; убы-
вает на (—оо; -3], возрастает на [-3; +оо); не является ограниченной; наи-
меньшее значение у = 2 при х = -3. 124. 2)	<^п1 ’	<2,62;
6) ('И j в< | ^ | в; 8) (23Тб) 5 > (63V2)"5. 125. 2) у = х4: область опреде-
1
ления — х е Я, множество значений — все числа у > 0; у - х1: область
определения — все числа х > 0, множество значений — все числа у > 0;
4) у = х5: область определения — х € Я, множество значений — у 6 Я;
у = х“5: область определения х # 0, множество значений — у * 0.
126. 2) Выше при 0 < х < 1, ниже при х > 1. 127. 2) хе Я, рО, возрас-
тает па [-1; +оо), убывает на (-оо; -1], ограничена снизу. 128. 2) Выше
при х > 1, ниже при 0 < х < 1. 129. 2) хеЯ, р0, возрастает нри х 0,
убывает при х 0, ограничена снизу; 4) х г Я, у > -2, возрастает при
х > 0, убывает при х 0, ограничена снизу; 6) х * 0, у > 0, убывает
нри х > 0» возрастает при х < 0, ограничена снизу. 130. 2) (0; 0), (1; 1).
132. 2) у= 4.-*; 4) у =	+	6) у =	3. 133. 2) Все действитель-
5	3
ные числа; 4) все действительные числа; 6) х # 0, у * 4. 135. 2) Нет;
5
4) да. 136. 2) |/ = (-х)3; 4) у = -х3. 137. 2) Все действительные числа;
4) у = (х - I)2, х > 1, у > 0. у — у/ х 4-1: х > 0, у > 1; 6) у = (х - I)3: все дей-
ствительные числа; p = ’Vx-bl: все действительные числа; 8) ^=Vx + l:
х > 0, у > 1; у - (х - I)2: х > 1, у > 0. 138. 2) Нет корней; 4) нет кор-
ней. 139. 2) Равносильны; 4) не равносильны; 6) равносильны.
140. 2) Равносильны; 4) не равносильны. 141. 2) Второе. 142. 2) Нет
корней; 4) х = 4. 143. 2) 3,5 < х < 5. 144. 2) Равносильны. 145. 2) Рав-
носильны; 4) равносильны. 146. 2) Оба. 147. х = 3. 148. 2) х = 6.
149. 2) -2<х<1, х>2.	152. 2) х = 27; 3) х = 5.	153. 2) х =-7;
3) х2 = 8, х2 = -1. 154. 2) х = 5; 4) = -3, х2 = 4. 155. 2) х = 4;
4) х = -1. 156. 2) х = 5; 4) х1 = -3, х2= 1. 157. 2) хх = -1, х2 = 0, х3 = 1.
158. 2) х = -3: 4) х=18. 159. 1)х=-4; 2) х = 5. 160. 2) х= 10;
4) х1>2 =±717. x34=±V2. 161. 2) Xj = -1, х2=-3. 162. 2) Два;
4) один. 163. 1) х, = 0, х2 3 = ±2; 2) х, = 0, х2 = 2; 3) хх = -4;
х2 = 1; 4) хх = -в, x2=i. 164. 2) х - 5. 165. 1) 1 « х € 1.5;
3) х < -5. 166. 2) 0 <S х < 9; 4) х < 13,5; 6) 0 < х 2. 167. 2) 2 С х < 3;
4) х<-5; 6) х>-£; 8)	168. 2) -1 < х < 0, 0<х«1;
9	4	16
4) -5 < х < -3, 3 < X < 5. 169. 2) -1 х 2; 4) х < -1, х > 2; 6) 0 <5 х «5 4.
170. 2) х>-1; 4) ^«Sx<6; 6) 2 < х С 3. 171. 1) х>-|=: 2) -3 С х < 6.
3	7з
174. 1) х<-~; 2) х<15~^90. х>4. 177. 2) (-1=] > (V2)’. (1.9)*,
9	V-/2)
2	-2	-2
х”;	4) к 3.	(V2) 3,	(1,3) 3,	(0,5) 3.	178. 2) Х|=-1, х2 = 1.
434
179. 2) -V2<x<V2; 4) х<-1, x > 2. 180. 2) ^=^ + 3, x * 0. у * 3;
X
4) у- V* + l» все действительные числа. 182. 2) Являются; 3) являются.
183. 2) х = 21; 4) х, = 1, х2 =	6) х1а = ±8.185. 2) Являются; 4) не яв-
ляются. 186. 2) |/ = х2-4х, х£2, у>-4; 4) у = 6х - х2 - 8, х^З, у^1.
187. 2) х=1; 4) х = 0. 188. 2) х = 259; 4) х12 =	; 5) * =
6)2£х<7.	189. 2) х < 0; 4) х>-1. 190. 1) 6 < х С 8; 2) х <-4.
2
l«Sx<-; 3) 1<х<6; 4) -6<х«3. 191. 1) Если а £ 2, то решений нет;
2	7
если а > 2, то 6 х <	2) -1^1 < х С |а| при а * 0, нет корней
4а2	V5
при а = 0. 196. 2) Больше 1; 4) больше 1. 197. 2) х = -1; 4) х =-2.
200. 2) х > 0; 4) х < -1. 206. 88,4 г, 22,1 г. 207. 4,87 • 105 м3. 208. 2) х =
О
4)	х = -2. 209. 2) х = -0,5; 4) х = 4. 210. 2) х = 2,5: 4) х = 9; 6) х = 0,4.
3
211.	2) х=1; 4) х = 3. 212. 2) х = 0; 4) х = 0. 213. 2) Х|=0, х2 = 2;
4)х=1. 214. 2) х, = 2, х2 = 5; 4)х = -1. 215.	2)	xt = 1,	х2 =-3;
4)	х1 = 0,5, х2 =-3.	216. 2) х = 0,8;	4) х = -1.	217. 2)	Xj	= 0,3,
х2 = -0,2; 4) х = 4. 218. 2) у = 3; 4) х = 2. 219.	2)	х = 3;	4)	х = 3.
220.	2) х = -1; 4) х = 1. 221. 2) х = 3; 4) х = |. 222.	2)	х = -3;	4)	х = 4.
223.	2) х = -1; 4) xt = 1, х2=-1; 6) х = -1. 224. х = 4. 225. 1) х =-3;
2)	х = 2; 3) х, = 0, х2 = 1; 4) х = 3,25. 226. 2) х, = 0. х2 = 2; 4) нет кор-
ней.
230.
228. 2) х<2; 4) х<-0,5; 6) х £ 3.
2) х=1; 4) х = 2. 231. 2) 1сх<1;
2
229. 2) х > 4; 4) -3<х<3.
4) - 2 <х<1. 232. 2) х > 1;
3	2
4) х <5 1. 233. 2) х < 2, (-3; -2; -1; 0; 1); 4) х < -1, (-2; -3). 234. 2) х > 0.
235. При х>-2. 238. 1) -6 < х < 3; 2) 5 < х « 30. 239. 1) х<-1;
2) -2<х<1; 3) х < 0, х>1; 4) -1<х<2. 240. 2) (0;-2), (-1;-3);
3
« (з|;
1). 24,. 2) (|, -1
242. 2) (1; 1). 243.
2) (3; -2); 4) (О; 1);
6) (0; 2).	244. 1) х = 1|;	2) х=|.
246. 2) 2'3 >21,т; 4) |1 |	. 247.
245. 1) (7; 3);
4)
2) (2; 1,5).
249.	2) 0,04	5. 250. 2) х=-2; 4) Xt = 3, х2 = -1. 251. 2) х = 0;
4)	х = 2.	252. 2) х = 1;	4) х = 3.	253. 2) х <-1;	4) -2 < х < 2.
256.	а (1 + 0.01р)" ’	258. 2) х = 24.	259. 2) х = 9;	4) х=1.
260.	2) х = 0; 4) х = -0,5. 261. 2) -3<х<1; 4) -1<х<1. 262. 2) (1: 1).
264.	2) х = 4; 4) х = 1. 265. 2) х < -3, х > 1; 4) х<-11, х > 4. 266. 1; 2;
3
3; 4; 0; -1; -2; -5; 1; -11;
3	2
21. 267. 2) 6; 4) 0. 268. 2) -3; 4) -1.
4	4
435
269. 2)	4; 4)	0.	270. 2) -1; 4) -1.	271. 2)	-2; 4) 1; 6) -1. 272. 2) 3;
4) -3.	273.	2)	-3;	4) -2.	274.	2) 16;	4) 6. 275. 2) 64; 4) 3.
276. 2)	144;	4)	1. 277. 2) х = 625,	4) х = 25; 5) х = 5,5. 278. 2) х < 7;
4) х>1; 6)	х < 0. 279. 2) -1,5; 4) -1^.	280. 2) 1; 4) 512; 6) 1?.
2	3	4	7
281. 2) 1; 4) 1; 5) 2. 282. 2) х = 7; 3) x=-L. 283. 2) х <-3, х > 2.
6	Vs
284.	2) х >-2; 4) -2 < х < 0. х > 1. 285. 2) х = log, 2 4; 4) х = 1(1-log- 2).
286.	2) х = log3 4; 4) xt =-1, x2 = log|2. 287. 1) xt «= 0, x2 = log15 3;
8
2)	x = log0 6 2. 288. 1) 1 < x <1, x > 1; 2) 1 < x < 2, x > 2. 289. Если a > 0,
a = -1, to x = log3 а2; если a < 0, a * -1, to X! = log3 a2, x2 = log3 (—<i).
290. 2) 3; 4) 2. 291. 2) 2; 4) -3. 292. 2) 1; 4) -11. 293. 2) 1,5; 4) -4.
3	6
294.	2) 1,5; 4)-3. 295. 2) 11. 296. 2)11; 4)0. 297. 2)x = ^i; 4)x = \fa-Vb*.
3	b3
298.	1) 3; 2) 19; 3) 475; 4) 22,5. 299. 2) 1. 300. 1) 2 (a + b - 1); 2) 2a+l.
2
301.	2) 0,9451; 4) -0,178. 302. 2) 0,683; 4) -0,154. 303. 2) 1,29; 4) -0,42.
304.	2) 1,3; 4) -15,42. 305. 2) — 87 ?; 4) — 8; 6) —1----- 306. 1) 25;
log7 10 log7 5 log7 3
2)	-1.307. 2) x = 8; 4) x = 3; 6) x = 2. 308. 1+m. 309. "L±l. 310.
2	2	m + n l+2m
311.	1- —m. 312. 1) -2; 2) -3. 313. 2) x,= i, x2 = V2; 4) x. =9, x2 = 27.
3	4
314.	2) 1. 315. 9 лет. 316. 3052 качания. 317. 2) 2,0933; 4) 2,7182819.
318.	2) log^ 9 > log, 17;	4) log2 > log2 319. 2) log3 0,45 < 0;
3	8	2	2
4)	log,, r> 9,6 < 0.	320. 2) 0 < x < 1;	3) x>l. 325. 2) x>l;
4)	x > 0,5. 326. 2) 0<x<0,16; 4) x>0,16. 327. 2) x = 8; 4) x = 46;
6)	x = —1,6. 328. 2) x>-l; 4) -2 < x < 2. 330. 2) 18 5 +	< 1g .
2	2
4)	1g Ig 1g 50 < 1g3 50. 331. 2) -1 < x < 6; 4) x > 4; 6) x > 3. 332. 2) x > -1,
у g R; 4) x > 0, у e R; 5) x > 1, у e R. 333. 2) x = 2; 4) x « 2.
334. 1) x > 0, у > 0; убывает при 0<х^1, возрастает при х > 1,
2) х * 0, у € R, убывает при х < 0, возрастает при х > 0; 3) х * 3, у G R,
убывает при х < 3. возрастает при х>3; 4) х > 0. у 0, убывает при
0 < х < 2, возрастает при х > 2. 335. 1) х * 2, х * 3; 2) -1<х<1.
2
336. 2) Каждое из двух — следствие другого; 3) второе. 337. 2) х = 3;
4) x = V2 . 338. 2) Корней нет; 3) х = 2. 339. 2) х = 5. 340. 2) Корней
нет. 341. 2) х = 1; 4) х, = 8, х2 = 5. 342. 2) (1; 9). 343. 2) х, 2 = ±8;
4)х=16; 6) х = 3. 344. 2) х З; 4) х, = 4, х2 =-8. 345. 2) х = 9;
436
4) хх = 100. х2= 1000. 346. 2) Да. 347. 2) |8; ‘ ]. 348. 2) х, - 4, х2 = <2;
3) х,=3, х2 = Э; 4) хх-27, х2 = |. 349- 2) х =	350- 2) х = -4.
351.
353.
1) x,= V2, х2 = 3; 2) хх=1, х2 = 2. 352.
!	а log5 а
а > 0, а * 1, а*5 3, х = 531оВ4в + ’. 354. 2)
1
1) х = 53; 2) х = 4.
х< 4) -2 < х < 2.
5
355. 2) х<-30; 4) 1 <х<10; 6) х<-0,05. 356. 2) х>25;
4) — <х<3.
3
357. 2) 2 <х С 3; 11 «5 х < 12. 358. 2) - <х<1; 4) х> V2. 359. 2) х > 7;
3
4) решений нет. 360. 2) х<-1, х > 4; 4) х <-0,5, х > 3. 361. 2) х < 2,
х>3; 4) -2<х<-1, 6<xS 7. 362. 2) -V2<x<-_3_<x<^2.
2 Л 2V2
363. 2) х > 2. 364. 2) 0 < х < 0.1, х > 10 000. 365. 2) log3 1 < х< log3
2	3
х > log3 2; 4) х<——i, -<х<—. 366. -log3 2 С х < 0, log3v2<x<l.
2	5	2
367. 2 - log4 5 < х С 1. 368. 2) 4; 4) -3. 369. 2) -4; 4) 6. 370. 2) 1;
4) 2 . 371. 2) 1; 4) 4. 372. 2) -2,2. 373. 2) 2,26; 4) -1,73. 375. 2) Воз-
3	4
растающая; 4) убывающая. 377. 2) х < О, х > 2. 378. 1) х = —; 2) х = 2.
8
379. 2) хх = 1, х2 = -|; 4) х, = 4, х3=8. 380. 2)х = -4; 4) х = 2.
381. 2) х < 4: 4) х<-1. 382. 2) Решений нет. 383. 2) х <-8, х > 1.
2 log 2 5 ♦ 1о<1 9
384. 2) -4,5; 4) 36; 6) 2. 385. 2) 2	9 >-Ув. 386. 1,223. 387. 0,756.
388. 2) 0< х< 1. 390. 2) х = 1 log2 3; 4) х=1 |logx 1,5-5]; 6) х = log5 3.
3	4 * *\ i )
391. 2) х = 27; 4) х, = 27, хг = ±- 392 2> х =-4; 4) х, = 14, х2 = 6.
393. 2) Корией нет. 394. 2) х = 4,5. 395. 2) xt = 2, х2 = 5; 4) корней нет.
396. 2) 5 < х < 6; 4) х > 4; 6) -4 < х <-3. 397. 2) 0 < х < 1, Х = -/з.
399. 2, 10, 50 или 50, 10. 2. 401. 2) хх = 10, х2 = 0,1. 402. 2) х, = 23,
х2 = -1,8.	403. 2) x = 2-V2;	3) Х = 0;	4) х = 2.	404. 2) х^О,
log-5 С х < 1. 405. 5.406. 1 < х < -i=, Va < х < а, если а > 1; — < х < i,
a	Та о
а < х < -/а, если О < а < 1. 407. 2) 2*; 3) 55; 5) —; 6) 2”. 408. 2) 20’;
3	6	45	9
3) 135°; 5) (М2Г; 6)	410. 0,4 м. 411. 2 рад. 412. — см2.
К к ) I, п J	8
413. 2 рад. 416. 2) (0; 1); 3) (О;-1); 5) |1; ^j; 6)
420. 2) (О; 1); 4) (-1; 0); 6) (0; 1). 421. 2) (О; 1); 4) (О; 1). 422. 2)
(V2. _42}
I 2 ’ 2 )
] 2 ’ 2 J’
437
4) (1; 0), (-1; 0). 423. 2) я + 2лЛ, где k — любое целое число; 4)	+ 2лЛ,
где k — любое целое число. 424. 2) Вторая; 4) четвёртая. 425. 1) х = 1,8л,
* = 4; 2)х=-п, Л = 3: 4)х = ^я, k = 2. 427. 2) (0; 1); 4) (0;-1).
3	3
2) -Зя + 2яЛ, keZ; 4) - —+ 2яЛ, k е Z. 430. 2) -1; 4) -1; 6) 1.
4	6
2) 0. 1; 4) 1, 0; 6) 0, -I. 432. 2) 2; 4) -1. 433. 2) 0; 4) -1.
428.
431.
434. 2) -7; 4) -1. 435. 2) x = 5 + nk, k e Z; 4) x = - + 2яА, k e Z. 436. 2) Да;
4	2	2
4) нет. 437. 2) -5; 4)	438. 2) 2,75; 4) 1-L. 439. 2) x = n + 2nk,
4	2	12
k e Z; 4) x = л + 2як, k e Z; 6) х = -_^_я+^~^, k e Z. 440. 2) Верно;
4) неверно. 441. 2) 0.09; 4) 0,7; 6) -0,22; 8) 0,36. 442. 2) Во второй;
3) в третьей; 5) во второй; 6) в четвёртой; 8) в третьей. 443. 2) В тре-
тьей; 4) во второй; 6) во второй. 444. 2) sin
<0; 3) sin
>0;
4) sin (-0,1л) < 0;
3) cos
446. 2) tg —я>0;
5
6) tg 283 < 0. 447.
tga>0. 448. 2)
5) sin 5,1 <0; 6) sin (-470°) < 0. 445. 2) cos-жО;
6
4) cos 4,6 <0;	5) cos (-5,3) >0;	6) cos (-150°) < 0.
3) tg
4) tg 3,7 > 0;	5) tg (-1,3) < 0;
2) sin a < 0, cos a > 0, tg a < 0; 4) sin a > 0, cos a > 0,
sin 3 > 0, cos 3 < 0, tg 3 < 0;	4) sin (-1,3) <0,
cos (-1,3) > 0,	tg(-l,3)<0.	449. 2) cos^+a)<0;	4) tg[a--|j<0;
6) sin (л - a) > 0.	450. 2) sin a > 0, cos a < 0, tg a < 0, ctg a < 0.
451. Знаки совпадают для 0 < a < — и для л < a < —, знаки различны для
2	2
-<а<л и для —<а<2л. 452. 2) cos — cos — <0; 3) tg — + sin - >0.
2	2	3	6	4	4
453. 2) cos 1,3 > cos 2,3. 454. 2) x = - — + kit, k e Z; 4) x = л 4- 2л/г, k e Z.
2
455. 2) Во второй. 456. 0,03 — да, — — да,	- — нет, — —	да,	— пет,
3	3	13	11
V2 — нет. 457. 2) Могут; 3) не могут;	4) не могут.	458.	2)	cos a =
=	tga = t ctg(x = ^l.	459. 2) cos a = -0,6, tga = --,
5	212	3
clga = - —; 4) sina = —£=, cosa = ——, tga = - —; 6) cosa = — ,tga =
4	Л6 410	3	13
= -—, ctga = - —; 8) sina = - —, cos«=--?, tga = —. 460. 2) ±-?=;
12	5	25	25	7	V5
4) ±^. 461. 2) He могут. 462. cosa = ^, tga = ?-^2. 463. 2) 1; 4) 2.
3	11	9	3
464. 2) Ц. 466. 2) 0: 4) 1 +sina. 467. 2) 4; 4) 2. 469. 2) 0; 4) tg2 a.
438
471.	472. 2L. 473. 7. 474. 2) x = ^+irt, k e Z; 4) х = ^+2яЛ.
25	125	2	2
475. 2) 1; 4) -3; 6) 2. 476. 2) 2 cos a; 4) 2. 477. 2) 0.5. 478. 2) -2 cos a.
3
480. 2) * = 5+Д*, keZ; 4) x = ^-, k € Z; 6) x = ^+nk, к e Z. 481. 2) -1;
4	2	2	2	2
4) -1. 482. 2) ^2; 4) -1. 483. 2) 4~^. 484. 2) cos 30; 4) -1. 485. 2)
2	2	6	2
4) 1. 486. 2) "У?4-2. 487. 2) -cos 0 sin a; 4) sin a cos 0. 488. —. —.
6	85 85
489. - —. 490. 2—. 491. 2) lcos2a: 4) sin a sin 3a. 493. 2) 1; 4) 7з.
65	36	2
494. 2) 1.	495. >/3 tga. 496. 2) sin 20.	497. 2) x = £+>tfc. k e Z-,
7	4
4) x = 4nk, k e Z. 499. 2) 2 sin f— + - I cos ( - + — b 4) Cos2f—+-1-
1.8 2 J L8 2 J	I 4 2 J
— elnaf—+—1; 6) cos2—-sin2 -. 500. 2)	4) 1. 501. 2) ^1; 4) -1.
I 4	2)	2	2	22	2
502.	2)	; 4)	-2. 503.	1) -M.	504. 2) —. 505.	1. 506. 2)	sin 50°;
2	25	25	3
4)	cos2 2a. 507. 2) ctg2 a. 509. 2)	512. 2) x = пк, к e Z -, 4) x = ±+nk,
9	2
l+cosl .	n
keZ-, 6) x = — + пк, k eZ. 513. 2)-4) —sln —. 514. 2)	4) 1.
2	2	2	2
515. 2) Vo3; 4) 2. 516. 2) ^/ОД; 4) 1.
3
522. cos 4(x. 523. 2) x = 4itk,
x = к + 2nk, k e Z; 4) x = —. x = - + —, k e Z; 5) 5+ nk, heZ; 6) x = — + —,
2	8	4	2	4	2
keZ. 524. 2)
4)	«) -j
528. 2) —.
cos a
a = 60°; 4) a = 40°; 6) a = ^£; 8) a=5
10	6
8) -X2. 526. 2) -1; 4) - —; 6) 1; 8) 1. 527.
2	2	3	2
529. 2)	4)-1; 6) 1; 8)530. 2)-V2;4)
2) -1.
525. 2) —;
2
3
3
531. 2)	4) -1. 535. 2) x = к + 2nk, k e Z; 4) x = л + 2nk, k e Z;
6) xe«+«*, keZ. 537. 2) V2sin0; 4) sin2a. 538. 2) 0; 4) -/З;
6	3
6)	541. 2) 2 sin a. 543. 2) 2><3 sin sin^. 546. 2)	4)
2	24	8	5	3
547. 2) ctg2 a. 548. 2) 1;	4) —L.	549. 2) -^1;	4) -2t/2.
V2	2	2
550. 2) 2 sin a. 551. 2) -ctg a. 553. 2) 1. 554. 2)	557. -4 sin 2a.
4	4
560. 2. 561. 15. 562. -4. 568. 2) 0; 4)	6) 521. 569. 2) 2л; 4) 8л.
6	9	3	4
439
570. 2) arccos
— ) < arccos (-1); 3) arccos | - — | > arccos
4 7	I 2 I
Й-
571. 2) x =
= ±5А + 2лл, n g Z; 3) x = ± — + 2лл, n € Z. 572. 1) x = ± arccos 5 + 2nnf
6	4	4
n e Z. 573. 2) х = -- + лл, n € Z; 4) x = ±— + 6лл, л g Z; 6) x = —+—,
2	2	8	2
Л 6 Z.
574. 2) x = A + nn, n g Z. 575. 2) Да; 4) нет; 5) да. 576. 2) x = ± A +
2	6
+ nn.
n g Z; 4) x = ± —+дл, л e Z; 6) x = 2лл, n g Z; 8) x = ±— + 2лл,
8	3
x = ± arccos 1+ 2лл, л e Z. 577. x = ± — + nk, k = 0; 1; 2. 578. x = ± —.
I 3j	3	16
579. 2) x =-2.5. 580. 2)	4) 1; 6) 1. 581. 2) 6; 4) 2n - 4. 582. 2) ?4.
3	3	3	25
583. 2a2 - 1.	585. 2) x == ±1,84 + 2лл, n g Z. 586. 2) A; 4) A;
2	6
3
4
6) - A. 587. 2) 0; 4) -A. 588. 2) arcsin
3	2
> arcsin (-1). 589. 2) х = (-1)лх
xj + nn, л g Z. 590. 1) x = (-1)л • arcsinу + лл, л g Z; 3) x = (-l)"x
x arcsin—+лл, neZ. 591. 2) х = -- + ял, л G Z; 4) x = (-1)л • — + 2лл,
3	4	3
л g Z; 6) x = --+—t л g Z. 592. 2) x = лл, л e Z. 593. 2) Да; 4) нет
4	2
6) пет. 594. 2) х = (-1)л *1- +—, п е Z; 4) х = (-1)л 3 arcsin
6	2	2	4	2
neZ. 595.	2)	x =	п g Z. 596. 1) х = (-1)л + 1 А + лл
6	3	6
х = (-1)л arcsin —+ лл. л g Z; 2) х = (-!)* 1 arcsin 1 + — л е Z. 597. —
4	3	4	3	12
Й*, 15л, ИА. 598. 11А. 601. 2) -; 4)	602. 2)	603. 2)
12	12	12	3	5	4	2	25
604. 2) х=6^^2; 606. 2) х = (-1)" ’ 1 0,32 + пп. n&Z. 607. 2) -5
4	4
4)	608. 2) 0; 3) -1Z*. 609. 4) arctg (-5) < arctg 0. 610. 2) х<=^ + яп
3	12	3
n e Z; 4) x = - —-ьлл, л g Z; 6) x =-arctg 5 + лл, л g Z. 611. 1) x = —
4	3
л € Z. 612. 2) x = —+лл» x = - — + лл. л g Z; 4) x = arctg 4.5 + лл
3	6
х = (-1)" ♦‘i+nn, neZ; 6) x = ^+nn. n <= Z. 613.	614. 2)
6	4	6	6	5
615. 2) -0.3;	4) -6.	616. 2) 2;	4) 13 - 4it. 617. 2) -5;	4) A
4	3
619. 2) x =-1.44 + nn, neZ. 620. 2) x = £ + £".;	3)х=-Н + 2лп
4	2	2
х = (-1)л £+ лл, л g Z; 4)	корней нет. 621.	2) х = -^ + 2лл
х = (-1)л arcsin + лл, л 6 Z; 4) х = ± — + 2лл, л 6 Z. 622. 2) х = — + —
3	3	4	2
440
п g Z; 3) x = - —+ ял, x = arctg 4 4 ял, n e Z\ 4) корней нет. 623. 2) x =
4
= - —4ял, x = arctg 3 4 ли, л g Z; 4) x = arctg 3 4 ял, x =-arctg i 4 ял.
4	2
л € Z. 624. 2) x = 4 ял, л g Z\ 4) x = - arctg | + ял, л g Z. 625. 2) x = 4
4 2ял, х = 2ял, л g Z; 4) x = —4?^, л g Z. 626. 2) x = —, x=-4= —,
12	3	2	6	3
л gZ; 4) х = ^+ял, x = -*4^", л g Z. 627. 2) x = — 4 —, x = (-l)n A +
4	8	2	8	4	18
4—, л g Z; 4) x = —4—, л g Z. 628. 2) x = - —4кл, x - ±я + 8ял, л g Z;
3	6	3	6
4) x - arctg 3 4- ял, x = я 4- 2ял, л
g Z. 629. 2) х = - 4 ял, х = (-1)"
2
л eZ; 4) х = - + ял, х = -^4ял, л 6 Z. 630. 2) х = -5- + ^, л g Z; 4)
2	4	16	4
4- ял, х = (-1)л -4- ял, л е Z. 631. 2) х = -4 2ял, х = 2ял, л eZ; 4)
6	2
— 4 ял,
6
х = - +
2
X = Я 4
4- 2ял, х = - — + 2ял, л е Z. 632. 2) х = - —4 ял, х = —4-2ял, х - 2ял, л g Z.
2	4	2
633. 2) х = — 4 ял, л g Z. 634. 2) Корней нет; 4) х = ял, л е Z. 635. 2) х = ял;
2
4) х = —, л g Z. 636. 2) х = arctg 2 4 ял, х = arctg 4 ял, л g Z; 4) кор-
5	3
ней нет. 637. 2) х —ял, x = ±arccos 4-2ял, л g Z. 638. 2) х = - —4ял,
3	4
х = - —+ (-1)л arcsin + пп, п с Z. 639. 2)х=5 + ^, п е Z. 640. 2)х =
4	V2	4	2
= £+™, hgZ. 641. 2) х=-4 2яА;, k е Z. 642. 2) х = -^42ял, л g Z.
4	2	2	2
643. 2) х1 = — 4 ял, х2 - ± — 4- 2ял, л е Z. 644. 2) х = я£, х = ± — + я/г, k g Z.
2	3	4
645. 1)х = 5 + ^1, y=5-2Sfc, п, k eZ; 2)х = (-1)" ±+itn, y = (-l)**1-^ +
4	2	4 2	6	6
4-я/г, л, k g Z. 646. |a|^2, x = ± arccos + 2я/?, k c Z; | a | > 2, корней
нет. 648. 2) —42ял <х<^1^4-2ял, л g Z; 4) — 4 2ял < х <	+ 2ял,
6	6	4	4
neZ. 649. 4) х = х + 2яп, п е Z. 650. 2) -^ + 2лл < х < 5 + 2м,
4	4
л е Z; 4) - —4-2ял < х< — + 2лл. л е Z. 651. 4) х=-4-2ял, n g Z.
3	3	2
652. 2) -2L+2ял < х< 4я + 2ял п е Z; 4) 2ял<х<- + 2ял, ncZ.
18	3	9	3	3
653. 2) 12 - Зя 4 8ял < х < 12 - я 4 8ял, л g Z. 654. 2) --^4 2ял<х<
<2ял, 2ял<х<^4 2ял, л g Z. 656. 2) х = -2±—4^^-, л е Z;
2	4	3
4) Х = ^±^-4^М, л g Z. 657. 2) х=^ + 4ял, л g Z; 4) х = 14(-1)п 1х
9 18	3	3	2	2
441
x arcsin	л eZ. 658. 2) х=±^ + 2ял, х = -^4-^, п g Z. 659. 2) х =
5	2	4	8	2
= !>* + ** п ± Z: 4) Х« —4-ял, п 6 Z. 660. 2) х = (-1)п +1 arcsin 1 + ял,
36	3	28	3
п е Z; 4) х = ± arccos 1+ 2пп, п е Z. 661. 2) х = (-1)л arcsin 1 пп,
3	4
п е Z. 662. 2) х = --+лл, х = arctg 1,5 + пл, л g Z; 4) х = -4-ял, л е Z.
4	4
663. 2) x = -iarctg-+—, neZ. 664. 2) Корней нет. 665. 2) х = -+—,
3	4	3	6	3
х=*+™, Х = ял, hgZ; 4) х=™, х=*+™, л g Z. 666. 1) 1; 3) 1.
4	2	5	6	3	2
667. 4) 0. 668. 2) х=~4-ял, х - arctg 1+ ял, п е Z. 669. 2) х = arctg 1 4-
4	2	2
4-ял, х =-arctg 2 4-ял, л е Z. 670. 2) х = ^4-ял, л g Z. 671. 2) х = ял,
х = ± —+ 2ял, л g Z. 672. 2) х = (-1)л	«eZ. 673. 2) х = ял,
4	12	2
х = ± —4-ял, neZ; 4) х = - + 2ял, х = —4-^^, neZ. 674. 2) х = ял,
3	2	22	11
hgZ; 4) х = —4-ял, х = ± —+ 2ял, л с Z; 5) х=-4-ял, х = (-1)л —4-ял,
2	3	2	6
лег. 675. 1) х = —, х = ± — + 2ял, л е Z; 2) х = ял. х=^4--^,
2	3	5	5
2л^5т-1, т е Z, л € Z. 676. 2) -1; 4) --. 677. 1)	2) 2.
4	3	4
678. 2) х = ± — 4-ял, л g Z; 4) х = ± — 4-ял, л е Z; 6) корней нет. 679. 2) Кор-
3	6
ней нет. 680. 2) х=- —4- ял, х = 2ял, х = - —4- 2ял, х = — + (-1)л arcsin —+
4	2	4	4
+ ял, neZ. 681. 2) х = — + —, neZ. 682. х = ±—+ ял, х = - + —, л с Z.
4	2	3	8	4
683.	х = arcsin 1+ я (2л +1), л g Z. 684. х = 2ял, х = —+ял, х = —4-ял,
4	2	6
лег. 685. 2) х = -4-2я(л4- k), y = ^^2nk, neZ, keZ. 687. l^a^l,
6	6	2
x = ± 1 arccos (4a-3)4- —, neZ. 688. — CaCl. 689. При-l^ad
4	2	16	3	3
x = -~+ (-1)л arcsin 3a+ял, x =- —+ (-1)л *1 arcsin a+ял, л g Z; при
4	4
- < |a |С1 x = ——+ (—1)л + 1 arcsin a + ял, neZ; при |a|> 1 нет корней.
3	4
690. 2) — 4-2ял < x < —-Ь 2ял, л c Z. 692. 2) 0 у < 2; 6) -1,25 у С-0,75.
3	3
693. 2) х * ял, aeZ; 4) х* — + —, л с Z. 694. 2) х = 2пл, л е Z;
10	5
3) 2ял < х< Я4-2ял, л eZ; 6) -—4- 2ял < х< -4-2ял, л gZ. 695. 2) х * — 4-
2	2	4
4-^, hgZ; 4) х*2£+ял, л с Z. 696. 2) -1 С у С 1; 4)1 С у^ 10;
2	2
6) -V3CI/CV3. 697.5 и -5. 698. -V26C|/Cv^26. 699. ICj^Cll.
442
700. 2) Нечётная; 4) нечётная; 6) чётная. 701. 2) Не является чёт-
ной и нечётной; 4) чётпая; 6) чётная. 704. 2) Чётная; 4) нечётная;
6) чётная.
705. 2) 15;
3
4) п.
700. 2) 2л. 710. 2) [-5; о|, jo;
4) [-л; 0], [°: zj- 711. 2) сое ^5 < сое 1^5; 4) cos(-^)<cos (“ур
6) cos 4 < cos 5. 712. 2) 5, 15, ?5; 4) —. 15, !^5. 713. 2)	,
44	4	3	33	3
15<х<85;
3	3
4) Я < Х<И5
в 6
1^5 <Зя. 714. 2) sin-<cos~;
6	7	7
4) sin > cos 5; 6) cos -> sin —. 715. 2) —5-, -5-, 115, —. — , Ц5.
5	5	8	10	18 18 18 18 18	18
710. 2)	<x<—. U®<x<1^5, ?35<x<^. 718. 2)
18	18 18	18	18	18	2	2
722. 2) Г5;	|^5; 2л ; 4) |-2n;	723‘ 2) 8’ПЦ5>
> sin Hi; 3) ein (- —) > sin	4) sin 7 > sin 6. 724. 2) 5, —, —,
7	( 7 )	( 8 )	444
115;	4)15.	51.	725. 2) 0<x<s5,	15<х«^5,	115<х^Зл;
4	3	3	4	4	4	4
4) 4л<х<бл 72в. 2) sin — > cos —: 4) sin5<cos^5. 727. 2) -115,
3	3	8	8	8	10	9
_10я 5я
9 ’
< __ 5л
9 ’
735. 2)
728. 2)	Сх<-У^.
2	9
730. 2) - —
2
_4л л 2л 7л 8л
9 ’	9’9’ 9 * 9 ’ 9
_4л < г< я 2я < х< 7л
(i	Q * Q	Q * Q
*£“»¥’ о <«(-«)««(
4) -5, Эк, Iя. 737. 2) -л<х<-—, -5
4	4	4	6	2
9
2	2
6) tgl<tgl,5. 730. 2) ——
3
7л
6
л л
в’ 2
л 4л
3* 3
— <х<2л; 4) - л<х<-—, - —<х<5, — <х< —, — ^х<2л; 738. 2) — + лл
2	232323	3
<х<5+кп1 neZ; 4) - — + кп < х< — + пп, neZ. 739. 2) -arctg 2 + п,
2	4	2
-arctg 2 + 2л, -arctg 2 4- Зл. 740.
2)
л
2
4- лп < х < arctg 5 4- лл,
л g Z;
4) -arctg 54- лл х < - 4- лл, п g Z. 741. 2) 0 С х< arctg 4, — < х < arctg 4 + л,
^<x<arctg4 4- 2 л, — <х Зл; 4) 0 х< —, -arctg 3 + л<х<^я
2	2	2	2
4-2л<х<—, -arctg 34-Зл<х^ Зл. 742. 2)	.
2	12	12	4
743. 2) -1<х<-1£, -Д<х<-5, 5<х<^, 2£<х<^,
2	96	96	92	9
-arctg 34-
7л Пл
12’ 12 ‘
^5 < х < л.
9
745. 2) у>-1; 4) у > 1, у -1. 749.
2) -_4-ЛЛ<Х^--4-ЛЛ. - 4-лл^х<
2	3	3
< — 4- ли, л g Z; 4) лл<х< —4-лл, ле2. 750. 1) arcsin < arcsin
2	6	Л VTo
443
2) arcsin I-- I >arcsin II. 751. 1) arccos-L <arccos2) arccos i >
I 3J к 4 )	„/J Vs	I 5 J
> arccos (-1 ]. 752. 1) arctg 2 7з < arctg 3 V2; 2) arctg I - — I < arctg I - -L I.
V 37	t 42) I 4b)
753.	2) x = 6-~*2; 4) x =-3 - 43. 754. 2) x = -l; 4) x = -l. 755. 2) x= 1;
4	3
4)	x = 1. 756. 1) Kx<5; 2) l<x<l; 3) 1 < x < 4; 4)-24x4-l,
3
KxC 2. 758. 2) x x —+ nnt n e Z; 4) -- + 2nn £ x C - + 2лп, tieZ\
2	2	2
6)	х*лл, x #(-1)л ^ч-ял, reZ. 759. 2) -1 С у С 1; 4) 5 С у С 7; 6) -4 С
6
С у < -2. 760. 2) Нечётная; 4) не является чётной и нечётной. 761. 2) 14л.
762.	2)	2", 15, ?5; 4) к, Зя. 763. 2) -115<х<-15; 4) arctgl-2n*i
333	3	6	6	2
<х<-^5. 765. 2) лп=»х<5 + лп, neZ. 766. 2) 1 и -1; 4) 1 и -2.
2	2	2	2
767. 2) Чётная; 3) нечётная. 768. 2) 4л. 770. 1) х = -+пп, х- 2пп, п е Z;
2
2) х = ?^, х = — ч-лл, х = -я + 2лл, reZ. 771. - — + 2лл < х < — + 2лл,
3	4	2	3	3
neZ. 772. -* + *!1<х<1+2™, леЯ. 774. 2) -ICyC**. 775. 2) лл <
4	2	8	2	4
<х<^+лл, reZ. 776. 2) нер =3. 777. 2} нср = 2,2. 778. 2) u(t) = -3.
779. 2) v (4) = 0,25, и (8) = 0,25.	780.	2) f'(x) = 5;	4) f'(x) = -6x.
781. 1) f(x) = 4; 3) Г(х) = -5. 782. 2) v (t) = 10L 783. 2) и (10) = 20.
784. i> = 1,5; uc=l; vrn = 0,5. 785. и = - i, и = 2, и = 2. 787. 2) 7xe;
cp. ’ ’ cp. ’ cp. ’	ср. 2 ’ cp. ’ cp.	'	’
_ 1
4) 13xlz. 788. 2) -3x 4; 4) -7x 8. 789. 2) | x 3; 4) Vs x^"1. 790. 2) —5L;
4) —; 6)------?---791. 2) -15 (5x + 2) 4; 4) -20 (2 - 5x)3; 6) 2500x3.
33Л 4xV^
792. 2) -— 3	: 4) —1S-. 793. 2) -A; 4) -1-; 6) --3 . 795. у = x3.
4V(7-3x)3	334S	27	12	16
796. 2) --6---; 4) —	4	: 6)-------4	797. 2) x = A.
(3-2x)4	7(3-14x)5	3(1-2x) V(1-2x)2	27
798. 1.799. 2)-^, 1.801. 2^.802. 2) 2x - 1; 4) -34x; 6) 1.5x2; 8) 16x.
4	3 3	6
803. 2) lOx + 6; 4) 5x4-6x; 6) -6хя+ 18; 8) -9хг + 4х- 1. 805. 2) Зх2—2_;
v.<
4) —i—+------------ 806. 2) f(0) = -2, /'(2)=10; 4) /'(0)=l, f'(2) = 5.
2 Vx5 2
807. 2) f (3) = —1=-1, f (1)=-1; 4)	= —	f'(l) = 3. 808. 2) Нет;
2 4з 9	2	9
444
4) да. 809. 2) х=1,5; 4) Xj = 1, х2 = -~; 6) Xj = 0, х2 = 1. х3 = -4.
3
810. 1) 5х4 - 4х3 + Зх2 - 2х; 3)	811. 2) 192; 4) 31,5. 812. Да.
2 Vx
813.	х.=3, х, = -0,4, х,=1А. 814. 2) 2 ^С*2 72х~1>~х~1. 815. 1) 1;
12	3 Н	2 Ух(х-1)2
2)	-А. 816. 2) F(x) = J\nx- 817. 2) f (у) = sin у, у = g (х) = х2 + 1.
18
818. 1) 2х+ 1	;	2)1+-?----А_.	819. 1) 3x2t_4;	2) ***_.
х*	3Л х’Л	2х^ 2х Ух
820. 2) (х - I)3 (х + 1)в (Их - 3); 4) 4<2х 3>2 <10х + 3>. 821. 2) 6х2 + 6х+4.
Зя7(2х+1)2	(2х+1И
3)	(jLL2>(5x-x2~4) 822 х j 2 823	= 0, хя = -2. 825. 2) -1 <
2хЛ(2-х)2	12
< х < О, х > 2; 4) х>1. 826. 2) х* 1,5; 4)х>0,5. 827. 3,5 рад/с.
828. 902.5 Дж. 829. 2) 103 г/см. 830. —, 2х~8	831. 2) е* + 2х;
2 V(x-2)(x-3)
— JC - 1
4)	-Зе"3* + —1—. 832. 2) 1 ег--------; 4) -е1-х-3х4; 6) 6x2e2x“.
2 4~х	2	2 Ух-1
833. 2) 3х In 3 + 2х'3; 4) Зе8* + 4х; 5) 2х-3*2 + *1п3. 834. 2) 8'In 3-
-Зе2*; 4)-е8 Х--А. 835. 2)2-2* 1п2; 4) -9х 4--J—; 6) Зх(1*2 |пх>_
х®	х	х!пЗ	In 3
- 2 . 836. 2) -sin х; 4) cos х- 2* In 2. 837. 2) -sin (х + 2); 3) -cos (3 - х);
xln3
4)	-Зх2 sin х3.	838. 2) i cos (-+з] +2х In 2;	3) —12 sin 4х+—1—.
3 кЗ J	2х2
839.	2) 3*Qg3.8inx.~CO8X); 4) _L_ . sin 2x + 2 log, x cos 2x. 840. 2) 0;
sin2x	xln3	3
4)	-_L_-31n3. 841. 2) x = ±^ + 2itn, neZ; 4) x =-0,5; 6) x. = 4, x, = -l.
In2	3
2-x
842. 2) x < 0; 4) x > 0. 843. 2)- 1	10 : 4) -e 3 -lcosl±-i.
2Уб-бх 2-5x	2	4
8/~	—
844.	1) ----*8	+ sin^^2;	2)--------3______ - e 5 .
3(2-х)3У2-х	3	2(x+2)V(x+2)3
845.	2)	8 (1 - 2x) e-*;	3) 2e3 2x (sin (3 - 2x) - cos (3 - 2x)).
2Vx
846.	2)	; 4) ctgx. 847. 2) 0.51 + *ln * In 0,5 cos x; 4) C08(lnx).
2>/3+x	x
848.	2) —008 x : 4) _	1_______ 849. 2) '^3^1+ 3x)-2xV8 3х ln3.
3^/sin2 x 2^1og2 x-x In2	2-/x(3x + l)2
52z(2 In5 sin 3x + 14 ln5 - 3 cos Зх)	2х In2(xln2-1)+ lnx-1
 -	---• о OU. Z) - - —	- - 
(sin3x+7)2	x2ln22
445
851. 2) sin x + cos x. 852. 2) x = —+2ял, x = 2ял, x=(-l)"*lx
2
xarcsin —+ nn, neZ. 853. 2) 2. 854. 2 + 2n. 855. 2) f'(x) = O при
5^2 4
x = e-1, f'(x)>0 при x>e"1, /'(x)<0 при 0 < x < e”1; 4) f(x) = O
при x = l, f'(x)>0 при x>l, f'(x)<0 при 0<х< 1. 856. —i_e
x2-5x+6
Указание. Записать данную функцию при х>3 в виде In (х - 3) +
+ In (х - 2), а при х<2 в виде In (3 - х) 4-In (2 - х). 857. 2) Л = 1,
5 = 5; 4)	Ь = -1-Д. 858. 2) —; 4) 3. 859. 2) -2Е; 4)
3	3	2	4	3
6) arctg -. 860. 2) у = -Их + 12; 4) у = -1 х-1; 6) у = х + 1; 8) у=- х + 1.
5	4	2	2
862. 1) у= 1; 2) у = х. 863. 2) 5; 3) 5. 864. 2) 5; 4) 2L. 865. 2) у = 0;
2	4	2	2
4) у = 2х. 866. 2) (1; 2); 4) (л + 2лп; л + 2лп). neZ. 867. (О;-1), (4; 3).
868. (1;-1), у = 2х - 3; (1; 0), у = 2х - 2. 869. 2) -5х4 + 6хг - 6х;
4) -А-_2_: в) —21(4 —Зх)®; 8) ----------2  	870. 2) -sinx-1;
х4 Vx3	(1-4х)л/1-4х	х
4) 24х3 - 9ех; 6) --L+-L. 871. 2) 2е2х-1; 4) 4 cos 2^+Зе*-3х.
X4 2 х	х	3
872. 2) х2 (1 + 3 In х);	4) sin 2х + 2х cos 2х;	6) ех (cos х - sin х).
873.	2) 2х~х< ;	4) 1~х4~х|пх-	874 2) -8е0* х In 8 sin х; 4) 3.
(х3 + 1)2	х(1-х)2	X
875. 2) f’(x) = 0 при х = 0 и при х = - , Г(х) > 0 при 0 < х < —, /'(*)< 0 при
9	9
х<0 и при х>-; 4) Л(*) = 0 при х = 4, х = -3 и х = 1,2, f'(x)>0 при
9
х < -3, -3 < х < 1,2, х > 4, Г(х) < 0 при 1,2 < х < 4; 6) /'(*) = 0 при х = 1,
/"(*)> 0 при х>1, f(x)<0 при х<0, 0<х< 1. 876. 2) е; 4) 0,5.
877. 2) у = ЗОх - 54; 4) р =-/1 х+1 +878. s (4) = 22 м, о (4) =
2	2	6
= 7 м/с. 879. 3) Зх2 cos 2х - 2 (х3 + 1) sin 2х; 4) 4 sin х; 6) —* *	+
2	337(х-1)2
+ 4х3 Vx^l. 880. 2)----—; 4)----------?--881. 2) 8h>2*; 4) -sin 3х х
8x2Vx+4 sin2x-l	xln32
х 3х In 3. 883. 2) /'(х) = 0 при х = 0, f’(x)>0 при х > О, f'(x)<0 при
х < 0; 4) f’(x)>0 при x>-i; 6) f'(x) = O при х = 3, f(x)> 0 при х > 3,
2
Г(х)<0 при -1 < х< 3. 884. а > 3. 885. а <-12. 886. 2) а < 0; 4) а > 12.
887. 2) а > 0;	4) а < 0.	888. 2) 5.	889. 2) у = -11п2х+-5- + 11п2:
4	8	16 4
4) у = (1 + е ’) х. 890. у = 6х+ —, у = 6х - 54. 891. 8 кв.ед. 892. 2k кв.ед.
6
893. При р = 0.5. 894. (1; О). 895. 1. 896. а = ег. 897. у = -1 и у = 2х - 6.
е
898.	900. 2) Возрастает на промежутке (0,3; +оо), убывает на про-
3 ^/3
446
межутке (-оо; 0,3); 4) возрастает на промежутке (-6; +оо), убывает на про-
f 2 1 С 2 I
межутке (-оо;-6); 6) возрастает на промежутках	и —;+оо ,
убывает на промежутках
; 8) возрастает на промежут-
ках (-оо; 0) и (4; +оо), убывает на интервале (0; 4). 902. 2) Убывает на
промежутках (-оо; 0) и (0; +оо); 4) возрастает на промежутке (5; +оо).
903. 2) Возрастает на промежутке (0; 3,2), убывает на промежутках
(-оо; 0) и (3,2; +оо); 4) возрастает на промежутке
, убывает на
промежутке
904. 2) Возрастает на промежутке
вает на промежутке
905. 2) Возрастает на интервалах
neZ. 907. 2) а > 1. 908.	909. а <-1,5.
3 J	3
( 7я + 2 ял . я
118	3 ’18
910. х, = -5, х2 = 5 — точки максимума, хя = 3, х4 = -2 — точки минимума.
911. -7; -4; -3; [-2;-!]; 1; 3; 4. 912. 2)	= 2, х3 = 3; 4) x=-*+nn,
_ я
4
neZ. 913. 2) х12 =
1. 914. 2) х = -6— точка
2
4) х = -8— точка максимума, х- 8 — точка минимума. 915.
точка максимума, i/(0) = 3, х =-2, х - 2 — точки минимума, у (-2) =
»р(2) = -18; 4) х = — + 2яп, neZ,- точки максимума,
6
л e Z, х = — + 2 яп — точки минимума,
6
916. 2), 4) нет. 918. 2) х12 = ±1, х3 4
минимума;
2) х = 0 —
6
*5 = 0; 4) *1.2 =	*3
экстремума нет.	920.
= 0. 919.
2) Точек
экстремума
точка
1/(0) = О,
п е Z.— точки
2) х = —1
х = 4 — точки минимума,
максимума, у | + 2ял | = —-—
4в*2"")"
4¥*2”)"
= ±7з,
нет; 4) точек
максимума,
у(4)=1о|;
О
, х = -- + 2ял, neZ,—точ-
3
у (-1) = 0,25,
4) х = - + 2яп,
3
6
ки минимума,
1 —
Xj = -6, х2 = -3, х8 = 1,
с<-, с >4, два корня
9
1 < с < 4. Указание.
---- 922. Если п — нечётное число,
4
то х = л — 1 — точка максимума; если п — чётное число, то х - п
точка максимума, х = -1 — точка минимума. 929.
х4 = 4, х5 = 6. 934. 2) 2. 935. Один корень при
при с = ~» с»1, с = 4, три корня при | <с<1,
Дополнительно к общему исследованию функции сравнить значения
функции с числом 1. 936. б) Наибольшее значение функции равно 3, наи-
меньшее значение функции равно 3; г) наибольшее значение функции
равно 4, наименьшее значение функции равно —2. 937. 2) Наибольшее
значение равно 68, наименьшее значение равно -31. 938. 2) Наиболь-
447
шее значение равно -2, наименьшее равно -2,5; 3) наибольшее зна-
чение равно -1, наименьшее равно -\2. 939. 2) Наибольшее значе-
ние равно -3. 940. 25 + 25. 941. 25 • 25. 942. Квадрат со стороной —.
4
943. Квадрат со стороной 3 см. 944. 2) Наибольшее значение равно
2 + е 2, наименьшее равно 1; 3) наибольшее значение равно 1.5, наимень-
шее равно -3. 945. 2) 1. 946. 2) 1. 947. 2) 3; 4) 1. 948. £. 949. х = а.
6
950. 2. 951. (1; 1). 952. 2 п. 953. 2) (6х - х3) sin х + 6х2 сов х; 4) 12х2 - 18х.
3
954. 2) Выпукла вниз на интервалах (-со; -1) и (1; +оо), выпукла вверх
на интервале (-1; 1); 4) выпукла вверх на интервале (0; 1), выпукла
вниз на интервале (1; +со). 955. 2) 2; 4) arccos i. 956. 2) Возрастает на
4
промежутках (-оо; -1) и (2; +оо). убывает на интервале (-1; 2); 4) убывает
на промежутках (-со; 3) и (3; +оо). 957. 2) Xj - 0, х2 3 = t0,5; 4) х = пп,
х = ±~ + 2лп, п е Z. 958. 2) х = 1 —точка минимума. 959. 2) х = 0 —
точка максимума. у(0) = -3, х = 2— точка минимума, у (2) = -12,6.
962. 2) Наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно -4;
4) наибольшее значение равно 14, наименьшее равно -11. 964. Равносторон-
ний треугольник со стороной —. 965. Куб с ребром 10 см. 968. 2) х = -1 —
точка минимума; 3) х = -3 — точка максимума, х = 4,5 — точка миниму-
ма. 969. Рис. 148, б. 1) Функция возрастает при -10<х<-8, -4<х<-2,
0<х<4, 6<х<7, убывает при -8<х<-4, -2<х<0, 4<х<6; 2) х, =-8,
х2 = -4, х3 = -2, х4 = 0, х5 = 4, хв = 6, 3) х, = -6, х2 = -3, х3 = -1, х4 = 2,
3 3	3 \ 3
х5 = 5. 971. 2) Наибольшее значение равно , наименьшее-------—-—.
972. Катеты 1 и -L, гипотенуза М. 973. 20 и 20. 974. — . 975. 2) х = -1.
3 <з	3	24
976. Я2. 977. 16. 978.	979. 5.[А, 2	980. х=-42 — точка макси-
216	V15	V15
мума, х -^2 — точка минимума. 982. arctg k. 985. 2) -4 + С; 4) 2 Vx + С.
4
986. 1)	+	2) — xVx-8. 988. 2) х5 + ^1; 4) —L-31пх;
2	2	3	2	х2
5) 2х3 - 2х2 + Зх; 6) 3xVx-4xVx. 989. 2) 2 sin х - 5 cos х; 4) Зех +
4-cos х; 6) х 4- Зех - 4 sin х; 8) 8 4х 4- 3 In Х4- 2е”х. 990. 2) 1(х-2)4;
4
4)
4)
?37(х+3)2; 6) 3 In (х — 3) + 2 cos (х - 1). 991. 2) 1 sin(3x+4)+ С;
2	3
-4 cos
(—+ б1 + С; 6) 1е3ж“6 + С: 8) 11п(Зх-1)+С. 992. 2) 2х2 -
\4	/	3	3
4) i sin Зх. 993. 2) 4е4 - i cos 2х; 3) -10 cos £-5 е	3; 4)21sin^ +
3	2	5 2	7
+ 2(,ЗГ 2.	5) 2£^_cos(4x+2);	6) i ^Зх+Т--ln(2x-5).
3	3 v d	3	2
448
994. 2) Зха+4х
10
4)2х’-|ха-6х. 995. 2)(|x-|jxVx; 4)(|х-з}х
х 2 Vx. 996. 2) lcos2x. 997. 6 sin cos 5х-2,8. 998. 2) In (х + 2),
2	2 5
х*1. 4) i cos 2х—— cos 8х. 1000. 2) 121; 4) 6; 6) 1. 1001. 2)11.
4	16	323
1002. 2) 12	1003. 2) 18. 1004. 2) 9; 4) 5; 6) £; 8) 2. 1005. 2) 1; 4) 2; 6) 0.
3	8
1006. 2) 11; 4) 21; 5) 10. 1007. 2) 68; 3) е6 - е2. 1008. 2) -И; 4) 5.
3	12
1009. 2) 4 %'3; 3) 8. 1010. 2) - 1п2,5; 3) 0,5. 1011. 1) я; 2) 0.5; 3) 0.5;
3
4)	5) 16-HL; 6) 1,5 + In 2. 1012.5 = 2. 1013. 1) 81; 2)11;
4	105	33
3) 2 In 4. 1014. 2) б1; 4) 4. 1015. 2) И. Ю16. 2) 11. 1017. 2) 1; 3) 1.
6	12	3	6	6
1018. 2) 8. 1019. 2) 2-V2. 1020. 2) 4,5. 1021. 2) 2Е-1. 1022. 2)
2	3
4) 6,75. 1023. 1) 18; 2) 1п2-1. 1024. (0,5:1,25). 1025. 2) 211 м.
8	3
1026. 10	1027. 2) у = 2х3 - 4х2 + х + С; 4) у = 2 sin 2х + С; 6) у = sin х +
3
+ cos х + С. 1028. 2) y = 2sinx+l; 4) у = 2х + х2 - х3 + 2;	6) у =
= 3-е"х. 1030. 101п0,5 а 6927 лет. 1031. 0,09 Дж. 1032. 0,96 Дж.
In 0,999
1033. 2) -cos х - 1; 4) е* + 1; 6) 2х - х2 + 3. 1034.
7) 2. 1035. 2) li;
2
4) 2 sin 12.	1038.
4) 1Ш. 1036. 2) 15: 4) -3;
192
2) 1; 4) 11.	1039. 2) 2^;
3	3
2) 12; 4) -2; 6)
6) 8—. 1037. 2) -1;
3	6
4) 5.	1040. 1) 1;
9	3
2) 4 In 3-2. 1041. 1) 1,75; 2) 3-5-. 1042. k = р.
1043. 2) 6; 4) 12; 6) 9. 1044. 2) 8; 4) 4. 1045. 2) 6; 4) 24. 1046. 2) 16;
4) 81. 1047. 12. 1048. 8. 1049. 2) 240 способами. 1050. 120 способами.
1051. 720 способами. 1052. 120 способами. 1053. 4896 способами.
1054. 6840 способами. 1055. 2) 80 000. 1056. 64 800. 1057. 648 000.
1058. 2) 144. 1059. 2) 5040; 4) 40 320. 1060. 24. 1061. 120.
1062. 2) 362 880. 1063. 2) 24; 4) 6; 6) 12. 1064. 2) lit; 4) 12!; 6) М;
8, № 10) ,* - 1». >085. 2, 32; 4, >82; 8, 1> 8> 55. >088. 2, „ , 2;
4) т + 3.	1067. 2) п = 3; 4) п = 3.	1068. Рп. 1069. Р5. 1070. Р5.
1071. 2) Рб • Р3. 1072. 2) 5; 4) 12; 6) 720; 8) 336. 1073. 2) 20 160.
1074. 2) 120. 1075. 6840. 1076. 2) 81; 4)	1077. 2) т = 8; 4) т = 6:
6) т = 8; 8) т. = 7,	= 15. 1078. 2)---А---. 1079. 2) 336. 1080. 2) 6;
2	182-13п
4) 21; 6) 56; 8) 10; 10) 1; 12) 1; 14) 780; 16) 1770. 1081. 2) 126.
1082. 2) 220. 1083. 2) 120. 1084. 2) 78. 1085. 2) 220. 1086. 2) 70.
1087. 2) 324.	1088. 2) 200.	1089. 2) 140.	1090. 2) 105; 4) 190;
449
6) 54 740. 1091. 2) х = 6; 4) х, = 3, х2 = 14; 6) х = 4. 1092. 2) х7 + 7х6 +
+ 21х5 + 35х4 + З5х3 + 21х2 + 7х + 1; 4) у'° - 10/ + 45/ - 120/ + 210/ -
- 252/ + 210/ - 120/ + 45/ - 10u + 1;	6) хв + 12х5 + 60х4 + 160х3 +
+ 240х2 + 192х + 64;	8) 82/ + 240а4 + 720а3 + 1080а2 + 810а + 243;
10) 81х4 - Збх3 + 6х2 - 1х+—. 1093. 2) 1+5/З + 30 + 30>/3+ 45 +9-/3;
9	81
25
4) ft6-3ft4 +У>Ь2-5 + 15ь 2__3 b 4 +J_b-6 1094 2) -364х2 ; 4) 165х 5;
4	2 16	16	64
6) 56ft2’7. 1095. 2) 64; 4) 126; 6) 1024. 1096. 2) 8008х3. 1097. 2) 5±;
5
4)132;	6) 12.	1098. 2) п (п + 1) (п + 2);	4) -2—;	6) — 1 3п_!_3.
п + 1	п + 2
1099. 2) 5; 4) 42 1. 1100. 2) х = 7; 4) х = 13; 6) х = 9; 8) л, =4, п2 = 9.
1101. 2) 5040. 1102. 2) 84. 1103. 2) 336. 1104. 2) 6840. 1105. 2) 66;
4) 330. 1106. 2) х4 - 8х3 + 24х2 - 32х + 16; 4) 243 + 405а + 270а2 + 90а3 +
+ 15а4 + а5;	6) 1 - 7х + 21х2 - З5х3 + 35х4 - 21х5 + 7х6 - х7;	8)	64а° +
+ 96а5 + 60а4 + 20а3+ ^а2+?a+i.	1107. 2) 15 015.	1108.	2) 20.
4	8	64
1109. 2) 30;	4) 64;	6) 924;	8) 735 471;	10) 495.	1110. 2) 36.
1111. 1 000 000. 1112. 13 800 000. 1113. 2) х6+18х5+135х4+ 540х3+
+ 1215х2 + 2430х + 729; 4) — -	- UJ“1+	-1; 6)----1--ft7 -
243 81	27	9	3	10000000
----------ft6 + _21_ b:‘ - 35 ft4 + 350ft3 - 21 000ft2 + 700 000ft - 10 000 000;
100000---1000	10
8) 256 + 512 + 448 + 224 + 7o + i4<.2+ 7f4 + -7_(.e + _l_(.8 1114.2) C*x2;
c* c* c* e*	4	64	256	14
4) С,3х”°'в. 1115. 2) Невозможным; 4) достоверным; 6) случайным.
1116. 2) Появилось число 1; число 2; число 3; число 4 — события равно-
возможные; 4) круг; отрезок — в общем случае события не являются рав-
новозможпыми; 6) пять элементарных событий, определяемых цветом
каждого из шаров, — события равновозможные. 1117. 2) Не являются;
4) являются. 1118. Изъятие либо карты с картинкой, либо карты червовой
масти; изъятие карты с картинкой червовой масти. 1119. Выбрана карточ-
ка с одним из чисел 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20; выбрана карточка с числом 12.
1120. Попадание по мишени хотя бы при одном из двух выстрелов; попа-
дание по мишени при обоих выстрелах. 1121. На первой кости выпало чис-
ло 5, а на второй — любое число, или на первой кости выпало любое чис-
ло, а на второй — одно из чисел 5 или 6; на первой кости выпало 5 очков,
а на второй — одно из чисел 5 или 6. 1122. 2) Выпало одно из чисел 1, 3,
4, «5, 6 (не выпало число 2); 4) выпало одно из чисел 4, 5, 6 (выпало число,
большее трёх); 6) извлечена карта, отличная от шестёрки (извлечена не
шестёрка); 8) число 6 не появилось ни на одной из костей; 10) студент по-
лучил оценку, отличающуюся от оценки «отлично». 1123. 2) CD; 4) CD;
6) CD + CD. 1124. 2) 1. 1125. 2) X; 4) X; 6) 1; 8)	10) A; 12)
6	36	18	9	9	36	9
1126. 2) X; 4) 0; 6) A; 8) 1^. 1127. 2) 1; 4)	6) I; 8) 0. 1128. 2) X.
31	31	31	3	9	9	20
1129. 2) X;	4) X;	6) X;	8) 1?	10) 2;	12) X;	14) 1;	16) X;
36	36	12	6	9	12	6	18
450
18) A.	ИЗО. 2) Al;	3) 55.	1131. 1) A;	2) Al.	1132. 2) A;	4) A.
12	190	95	35	105	36	72
1133. 2)	-1. 1134. 2)	5; 4) A. 1135.	2) 5. 1136.	2) A.	1137. A
18	9	36	3	13	6
1138. ?.	1139. 0.6.	1140. 0.99999.	1141. 51.	1142.	2)	51.
4	22	22
1143. 2) 784^44. 1144. 2) AH. 1145. 2) Являются; 4) не являются.
784245	506
1146. 2) He являются. 1148. 1) 0,09; 2) 0,49; 3) 0,51. 1149. 2) 0.0015;
4) 0,0785. 1150. 2)	4) A. Ц51. 2) AL; 4) 5. 1152. 0,8. 1153. 5.
12	12	140	4	9
1154. 2) 0,992. 1155. 2) 0,504; 4) 0,496. 1156. 2) 2,2%. 1157. 0,49;
0,177; 0,93; 0,245. 1158. 0,8; 0,68; 0,73; 0,69; 0,71; 0,70; P ~ 0.7.
1160. 2) Любое натуральное число от 1 до 30 — равновозможные элемен-
тарные события; 4) орёл — орёл, орёл — решка, решка — орёл, решка —
решка — равновозможные элементарные события; 6) ПИП, ППН, I1H11,
НПП, ПНИ, НПН, ННП, НИН — равновозможные элементарные события.
1161. 1) Вынут дубль; вынута костяшка «два - два»; 2) вынута карта
с картинкой; вынут король. 1162. 2) Вынута карточка с одним из чи-
сел 1, 2, 3, 6, 12; вынута карточка с числом 6; 4) вынута карточка с лю-
бым числом; вынута карточка с числом 8; 6) вынута карточка с числом,
кратным трём; вынута карточка с числом, кратным шести. 1163. 2) Вы
нало число, не кратное 5 (т. е. одно из чисел 1, 2, 3, 4, 6); 4) ни на одном
из кубиков не появилось число 1; 6) шашка легла не на чёрную клетку.
1165. 2) 1; 4) 5. Н66. 2) 5; 4) I; 6) 5. Ц67. 2) А; 4) 1; 6) 5; 8) -А;
3	6	8	8	4	18	9	9	36
10) 5. 1168. 2) 0,99997. 1169. 2) Не являются. 1170. 2) Являются.
9
1171.	2)	0.93;	4) 0.48. 1172.	2) 0,49: 4) 0.91. 1173. 2) 0,055; 4)	0,115.
1175.	2)	РРО,	POP. OPP.	PPP. 1176.	2)	PPP. 1177. 2) A;	4) 1;
6) A. U78. 2) A; 4) А. Ц79. 2) A;	4)	1$. Ц80. 2) A;	4) A.
18	11	11	26	26	44	22
1181. 2) ---1—. 1182. 2) AA; 4) AL; 6) 15$. Ц83. A.
1157625	187	187	187	36
1184. 2)	X	2	3	4	5
	P	1 6	1 6	1 3	1 3
X	2	3	4	5	6	7	8
p	1 16	1 8	3 16	1 4	3 16	1 8	1 16
X	2	3	4	6	6	7	8	9	10	11	12	13	14
p	1 48	1 24	1 16	1 12	5 48	1 8	1 8	1 8	5 48	1 12	1 16	1 24	1 48
451
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
м	2	4	3	6	3	2	2	1	2	3
X	97	98	99	100	101	102
М	2	3	3	6	4	2
W	0,1	0,15	0,15	0.3	0,2	0,1
У	158	159	160	161	162	163	164	165	166
М	1	2	2	3	4	6	5	4	3
И'	1 15	1 15	1 15	L 10	2 15	1 5	1 6	2 15	1 10
1193. 3). 1194. 2) 9; 4) 6 и 8. 1195. 2) 20; 4) 10,5. 1196. 2) 4.4; 4) 1,2.
1197. 2) Моды выборка не имеет; 1,5; 11. 1198. 2) li; 4) 0,4.
1199. 2) 1; 0; А. 1200. 1) -5; 2) 1. 1201. 2) 24. 1202. 2) 2,5 г2;
11	7	2
4) 9,2 м2.	1203. 2) 4,96.	1204. 2) о» 1,9 м. 1205. 2) D, > D2.
1206. 2) с “ 2,9. 1207. 2) Dl>D2- 1208. Второй игрок более стабилен.
1209.	Первый футболист более стабилен.
1210.
X	1	2
р	х 3	2 3
X	1	2	8	4
Р	1 6	1 6	1 3	1 3
1211.	У	2	3		4								
	Р	1 4	1 2		1 4								
													
1212.	X	1		2		3		4	5	6	7	8	9
	м	2		2		3		2	1	2	3	3	2
1214. 2) 15; 12; 12; 11. 1215. 2) 13; -4 и 9; 1; 2. 1216. 2) 23; -6 и 13;
-1; 1|. 1217.2)24; -2; 4; 4.125. 1218. 2) Р - 5,69, о ~ 2,38;
4) D 2,24, 0=1,50; 6) D - 12,56, о « 3,54. 1219. 2) 6; 0 и 2; 0; Ц.
1220.	X	148	149	150	151	152	153	154
	М	2	9	10	8	9	8	4
	W	U.U4	0,18	0,2	0,16	0,18	0,16	0,08
452
1221. 2) /J = 5,4, ст» 2,8.	1222. 2) Dt = 4 |, D2 = 6,56,	£>, < D2.
1223. 2) /), = 0,8, Dn = ?; так как D, > £>п, то второй рабочий имеет более
3
стабильную производительность труда. 1224. D2<Dp 1225. Dx « 2,44,
Dy = 2,45, Dz = 5,5; меньший разброс имеет совокупность значений вели-
чины X. 1227. 2) 0,5.
Упражнения для итогового повторения
курса алгебры и начал математического анализа
1228. 0,08. 1229. 30. 1230. з!%. 1231. 400%. 1232. 45. 1233. 13,5.
3
1234. 62%. 1235. 30%, 10%, 60%. 1236. 3650 р. 1237. 21%. 1238. 8.
1239. 600. 1240. 636 р. 54 к., 655 р. 64 к. 1241. 408 р. 85 к. 1242. 2) 1,02.
1243. 2) 2. 1244. 2) 0,5; 3) 20,8. 1245. 1083. 1246. 2) 3. 1247. 2) 0.
2	3
1248. 2) 64. 1249. 2) 160. 1250. 2) 0,23>0,24; 4) log0.3 ~ < 1оЯо.з 3 •
5	4
1251. 2) (0; 1); 4) (0; 1); 6) (1; +оо). 1252. 2) Первое. 1253. 2) 3<log2 10<4.
1254.2) 0. 1255. 2) |6| • (2b2 + 1). 1256. 2) 3(-/б->/5); 4) -УП-л/з.
1257. 1) -Д=; 2) А; 3)  . 1258. 2) 2?; 4) 1А; 6) 15.
2^ Тб V7 + V5	9 И 75
1259. 2) 2,(1); 4) 5,(18). 1260. 2) Да. 1263. 2) Имеют; 4) не имеют.
1265. 2) 2 arctg 0,5625 » 58,7°. 1266. 120 tg 36° = 87 м. 1267. 130 (tg 22° +
+ tg 44 ’) « 178 м. 1268. 2) cos а = —, tga = —; 4) tga = —, sina = —
13	12	7	25
cosa = —. 1269. I. 1270. -0,5. 1271. 2) 4л. 1272. 2) -5. 1273. 2) 0;
25	9	4
4) 1; 5) 0. 1274. 2) 1; 4) 1; 6) 1. 1275. 2) 1. 1276. 2) -1. 1277. 2)
2	2	9	2b
1278. 2) 0. 1279. 2) -L. 1280. 2) 4,8. 1281. 2) 1 + Vm. 1282. 2) 4a -1.
42
2	2
1283.	2) l-4b. 1284. a3 + b3. 1285. 2) -L. 1286. 16a2. 1287. -6 4b.
ab
1288.	2) 2. 1290. 2) 2 cos2 a. 1291.-tg 2a. 1293. 2) 2 42 sin | sin -Sj;
4)	4 sin(a + £]sinfa-~\ 1295. 2)	1296. 7.	1297. 2) 4coe2<x.
I 3j I 3j	8	sin2 2a
1298.	2) 2; 4) 7з ctga. 1299. 2) tga. 13(H). 2) —1—; 4) 4.
cos2 a
1301.	2) tg2 —; 4) ctg2 a. 1302. 2) -sin a - cos a. 1304.	-	. 1305. cos2x.
2	cos 2a
1306.	2) -cos 2a cos 4p.	1307. 2) 2 cos a. 1308. 2) ctg a ctg 3a.
1309.	2) 1 + —-— 1310. 15. 1311. -1. 1321. 2) x = 8. 1322. a=-6.
cos x	7	2
1323.	6 = 3.	1324. 2) x = 3.	1325. 2) x = 5.	1326.	2)	x = -l—
a-b
453
1327.	2) xl=-2, x2=~. 1328. 2) Xj = l, x2=3. 1329. 2) x = 3.
3	3	2
1330.	2) x = 2. 1331. x=2. 1332. 2)	1333. 1) x1i2 = ±V5,
х84=±7б; 2) x12 = ±V2, х3.4 = ±Л 1334. 2) x1>2 = ±2, x8 = -l, x4 = 3.
2
1335.	1)	Xj 2 = -|±ft;	2)X| = a,	xa=-2,5a. 1336. a > 0, b2 = 4ac.
1338.	2)	x = 6; 3) x= 3	1339. 2)	xt = 3, x2 = |. 1340. x = 3. 1341. x = 5.
1342.	2)	Корней нет.	1343. 2)	x, = 3, x2 = 2; 3) x, = 3,	x2=-l.
1344.	2)	x = 3. 1345. 2) x, = 4,	x2 =-2. 1346. 2) x, = 1; 3) x = -|.
1347.	2)	x = 9. 1348. 2) x=l; 4) x = 0. 1349.	2) x = 3. 1350.	2)	Xj =	3,
x2 = 243.	1351. 2) x = 3,5. 1352. 2) х = л/3.	1353. 2) x, = 1,	x2 =	9.
1354.	2)	x = 9. 1355. 2) *i=|. x2 = 9; 4) x, =	1. x2 = 4. 1356.	2)	x =-3.
1357.	2)	Xj=-1, x2 = 3; 3) x = 0. 1358. 2) x,	= 100, x2 = 0,l,	4)	x =	0.
1359.	Нет. 1360. 2) x,,=l±iV2.	1362. 2)-^,	15,	$5.
3	3	3	3
1363.	2) x = ±5 + ^, neZ; 3) x = -arctg 2,5 + nn, neZ. 1364. 1) Kop-
4	3
ней нет; 2) корней нет. 1365. 2) х = -- + лл, х = -arctg 3 + лл, neZ.
4
1366.	2) х = —, х = ±- + лл, ле2; 4) х = — + лл, х = arctg 1 + лл, п € Z.
2	6	2	2
1367.	2) х = ^+^, х = (-1)я—. neZ; 4)х = ^ + лл, neZ.
4	2	12	2	4
1368.	2) х = —,	х = —, neZ; 4) х = —, х = ± — + 2лл, л е Z.
3	2	2	3
1369.	2) х = -* + лл, лб2. 1370. 2) х = ±-^+^-, леИ. 1371. 2) х = ^ +
3	2	2	2
+ 2лл, x = 2arctg —+ 2ял, л е Z. 1372. 2) х = 2лл, х = —+ лл, л € Z.
И	4
1373. 2) х=-+лл, х = —+ 2лл, х = —+ 2лл, ле2. 1374. х=-- + лл,
4	12	12	4
х = -- + 2лл, х = 2лл, л е Z. 1375. 2) х = - + лл, х = - + —, л е Z; 4) х = — +
2	2	4	2	16
+ ле2. 1376. 2) х = ^ + ^, n^Z. 1377. 2) Корней нет.
4	4	2
1378. 2) х -arctg	ял, л е Z. 1379. 2) х =	х =	л e Z;
2	4	2	8	4
4) х = А + 2Е", х = ^+^-, ле И. 1380. 2) х = ^, л eZ. 1381. 2) х = ^,
12	3	8	2	5	8
л € Z. 1382. 2) х = л + 2лл, х = - + 2лл, х= - + (-1)л arcsin + лл, л е Z.
2	4	3 Л
1383. 2) х = ^+лл, x = ^ + ^L, neZ. 1384. 2) х = (-1)л + 1 - + лл, neZ;
2	5	5	6
4) х = (-l)rt+ 1 arcsin i + лл, л e Z. 1385. 2) Корней нет; 4) х = лл, л g Z.
454
1387. 2) х>-2. 1388. 2) х > 5. 1389. 2) -3±<х<40; 4) -2 < х < 8.
3
1390. 1) х<2, х>—; 2) х< ——, х>5; 3) х<2^. 1391. 1) -16 < х < 3;
3	2	9	2	7
2) х < 4, х > 6; 3) х <-3, х ? -2,5. 1392. 2) -1,4 < х < 0. 1393. 2) х > -4.
1394. 1) -7 < х < 2, х>5;	2)х<-2-Л, -2 + >/2<х<1; 3) х <-4,
-1<х<2, х > 3. 1395. -5«х<-3. 1396. т = 2. 1397. т = 8, т = 9.
1398. х = 6. 1399. х = -1. 1400. 2) х < 2; 4)х<-2, 1 < х < 2, х > б,
6) ?—У£3<х<-2 — —<х<1, 1<х<—1401. 2) х<8; 4) х<-1.
6	3	3	6	8
1402. 2) -1 < х < 5. 1403. 2) 3-V2Cx«3+V2. 1404. 2) х < 1. 1405. 2) Ре-
шений нет. 1406. 2) х € R; 3) х < 3; 5) Х<1-1 logs 5. 1407. 2) х < 1, х > 3.
3
1408. 2) -V5<x<-V2, V2<x<V5. 1409. 2) х > 3. 1410. 2) 1<х<1.
3	2
1411. 2) -1 «х< 1,	3 < х £ 5.	1412.2)	-3<х<-7б, ч/б < х < 3.
1413. 2) 0<х<1, х > 1. 1414. 2) -^<х<10. 1415. 2) 2Е+ЛП<
3	Ло	2
<х< — + пл, neZ. 1416. 2) -arcsin 1- + 2ял <x<arcsini + я + 2ял, neZ;
6	4	4
4) -arccos 1 + 2пл < x<arccos 1 + 2пл, neZ. 1417. 2) - 3n < х С-Hl,
3	3	4
- — <хС- —, -5<x<ir; 4) arctg?-3n<x<- —, arctg--2я<х<-—,
4	44	3	2	3	2
arctg —- л < x <-—, arctg— < x < —.	1421. 1) (2; 1); 2) (5;-3).
3	2	3	2
1422. 1) (-1200; 500): 2) (7; 1). 1423. 2) (-8; -2), (8: 2); 3) (8; 4),
(-8;-4). 1424. 1) (7; 6); 2) (2; 3), (-9: 28 |). 1425. 2) (3; 1), (-3;-1);
4) (3;-5), (3; 5), (4;2л/2), (4;-2V2). 1426. 2) (4; 1); 4) (10; 1000),
(1000; 10).	1427. 2) (v8; t/8).	1428. 2) (100; 81).	1429. 2) (0; 1).
1430. 2) (ял; (-1)" £+яш ), meZ, neZ, ((-1)" arcsin |+ял;	x
xarcsin — + пт I. m eZ, neZ. 1431. 2) I — + л (fe + /п); — + л (/n - A)1 meZ,
14	/	\6	6	/
n E Z,
-^ + n (k + m); -£ +	- k)
meZ,keZ, 1432. 2; 12. 1433. x > 5.
1434. 1 мин. 1435. 126 км. 1436. 1080 км. 1437. 16 дн. 1438. 91 га.
1439. 12, 8. 1440. 1. 1, 1. 1441. 432 детали. 1442. 18 км/ч. 1443. 25
2 3 6
и 20 билетов или 20 и 15 билетов.
1446. 1400 шагов. 1447. 3, -6, 12, -24.
8, 4, 0. 1450. 2 или 12?. 1451. В 3
5
1444. 3 км/ч. 1445. 21 ц, 20 ц.
1448. 27. 1449. 1, 3, 9, 15 или 16,
раза. 1452. 16 см2. 1453. Ь = -2.
1454. k = -l. 1455. 2) k = -1. 5 = 3; 4) k = 0. b = -2. 1456. p=-?x+l.
5	5
p=-2x+6 1457. 2) Нет; 4) да. 1458. 2) 8 1. 1459. 2)х<1. 1460. 2)x>0,5.
5	5	3	3
455
1461. х>1. 1462. х<-4з. 1465. 2) Да. 1466. 2) (-1; 3), (5; 3).
1467. 4) х < -2, х > 2. 1468. 4) х * 0. 1470. 2) Нечётная; 4) чётная.
1471. 2) Нечётная; 4) чётная. 1472. 4) Не является чётной и не является
нечётной. 1473. 2)	-. 1474. 2) Юл; 3) 2л. 1476. 2,25 — наибольшее.
1477. 2) 2 и -1. 1478. 2) (0; 2), (2; 0), (0,5; 0). 1484. 2) х >-2;
3)х*2л + 4лл, neZ. 1485. 2) х -7, х > 6.	1486. 2) 3 < хС 3 1.
2
1487. 2) -Ло <х<-3,	3<х<Л0.	1488.	2)	p<J7;	3) у * 2.
148». 2)-7t25^y«V^25- 1490- 2) -3. 1491. 2)	1492. 2) у = -6х - 1.
1493. -1. 1494. 9. 1495. (3; 9). 1496. (1; 2), (0,5; 2,25). 1497. (-1; -3).
1498. 2) у = 0,5 (1 + In 2-х In 2). 1499.5.	1500. е-1. 1501.-5.
4	4
1502. у = х + 1. 1503. у = Зх - 3. 1504. 2) Возрастает на промежутках
(-оо; 0) и (0; +оо). 1505. 2) х = 6— точка минимума. 1506. 2) х = 0 —
о
точка минимума, х = -° — точка максимума. 1507. 1,5 и 1. 1508. 3 и 1.
1509. 0,5 и 0.	1510. 1 дм. 1511. 54л см*. 1512. 6.	1513. 2.
1514. sinx —— —1. 1515. 132, -57. 1516. 9. 4. 1517. (1; 1). 1518. $5.
х	27
1519. 4 42. 1520. р =-10, q = 26. 1521. дм. 1522. зУзлУ2.
3
1523. А. 1524.	1525. 4Я. 1526. S. 1527. —. 1528.
42 4з	3	3	216	V3
Я = 2* 1529. 2Я = Я. 1530. ^Д. 1531. г = ^5, Л = Н. 1532. 2) х = 0—
4з	4з	з з
точка минимума, х = 0,4 — точка максимума. 1533. (1; 0), (-1; 4).
1534. у = 7х - 43. 1538. 2) In 2. 1539. 2) 9 1; 4) 1. 1540. 2) 4,5. 1541. 2) А.
1542.2)—А—. 1543. 3)3 1; 4) -2. 1544. 2) х = £+лл. neZ. 1545.2)х=1.
3 In 3	9	4	3
.1
1546. -2 < х < 3. 1547. v(10)=- 262 м/с, 1 - 37 с. 1548. 12л. 1550. 2) 5х 6
1551. 2) 4х2'|'4х 5. 1552. 2) (2x4-1)2	2х(4х+3) 1{ИЗ 2) СО8 2х - 2xsin 2х. З^х+1
1554. х = 2.	1555. 2) Г(2)>0.	1556. /'(0) = 4,	г(|) = 8(7 + 4 V3).
1557.	<х<0. 1558. i(2ein4x-9). 1559. 2) 5 ln|4x-l|+ С.
3	8	4
Задачи для внеклассной работы
1560. 2) Указание. Ввести обозначение у = >/8-х, г = ^27 + х, откуда
у3 + г3 = 35 (1). Исходное уравнение записать так: у2 - у г + 22 = 7 (2). По-
делив уравнение (1) на (2), получить у + 2 = 5 (3). Решая систему урав-
нений (2), (3), найти значение у и далее использовать введённые обозна-
чения; 3) Xj =-73, х2 = -8. 1561. 2) xt = 4, х2 = -4. 1562. 2) х, 2 = ±2,
456
х. = 3; 3) х, = -1, х» = 4, х3 4 = +/-/2. 1583. 2)х = -^+хп, х = (-1)"+1-5- +
4	12
f^.neZ. 1564. 2) х = £+ лл, х = (-1)я 2L+л eZ. 1565. х = ^+^-,
2	2	24	4	4	2
neZ. 1566. х = ±^ + 2ял, neZ. 1567. Пересекает (в т. 1, 2, 3). 1568. х3 = 3.
1569. 1) (а; а2), (а2; а), если а>0 и а * 1; (-а - 1; (а + I)2),
((а + I)2; -а - 1). если а < -1 и а # -2. 1570. При а * 3 пет решений, при
а = 3 — (0; 1). Указание. Записать второе уравнение системы в виде
х2 + (у - I)2 + (а - З)2 + 1 - cos (хр) = 0. 1571. 2) (1; 1), (2: 4); 3)
1 + л1, neZ. 1572. [-- + (-1)*-5-+** + лл; - *+(-l)* + 1 21 - ** + лл
6	)	( 4	12	2	4	12	2
и g Z, k g Z. Указание. Решить систему как линейную относительно и
✓ 1 1\
и р. где и = cos х cos у, и = sin х sin у. 1573. r7(,og5 3 lo<i2) 3 • 5(1ов5 з iog7 2)3 j
1574. 2) х>0,01. 1575. -^<х<-1, -1<х<0. 1576. х<-4, -3 < х <-2,
2	2
-1<х<1, х > 2. 1577. 2) 2 < х С 3. 1578. ОСхС8, х = 12, 4 < х < 5.
3	3
1579. Если а<-, то решений нет; если а = 3, то х = —; если а>3, то
4	4	4	4
а + 3<х<9а-3. Решения первого неравенства являются решениями вто-
рого при	1583. 2)	1584. С = 5. 1585. 5>-/3-1, Ь<-3-4з.
4	9	13	2
1586. х = пп, x = 2L+’E", neZ. 1587. ?. 1588. 3 или 12. 1589. Нет. так
8	4	5
как наименьшее расстояние между кораблями будет равно 3 милям через
48 мин. 1590. а = 6, b = -11, с = 6. Указание. Так как точки А и В
симметричны относительно прямой х = 2, то А (хх; у0), В (х2; у0), где
xl = 2-t, х2 = 2 + 1, 1>0. Из условия /'(х1) = Л(х2) следует, что а = 6 и
/' (Xj) = f'(*2) = -3Z2 +12 + 6, а равенство [ (хх) = f (х2) можно записать
в виде b = t2 - 12 (так как t > 0), откуда /'(Xj) =/'(х2) =-2t2 < 0.
1591. а = 6, 6=11, с = 5. 1592. 11, 1593. а = 1, S = 4. 1594. arctg —.
8	л2
1595. 2) х = 1; х = -§. 1596. х = 9. 1597, 2) х = 2; 4) х = 4.
2	3
1598. 2) х = -9. 1599. 2) х = —+ял, х = 2лл, л > 3; 4) х = — + тел, neZ.
2	2
1600. 2) х = ^2Е + 2ял, х = —+ (2л + 1)п, л g Z. 1601. х = 1 [(-1)л х
12	12	2 I
х arcsin 1+ ли 1, л g Z. 1602. х = п + (2л +1) я, л е Z. 1603. х = лл, х = - — +
3	)	3	4
+ лл, neZ, л # 0, л Ф 1, л * 2. 1604. х= —. 1605. Если 1^аС1,
3 8
то х = ± 1 arccos (4 J2(l + a)-7)+—, л е Z. 1606. 1) (1; 2), (-4; 11;
4	2	I	3)
2) (-2; 1), (-2; -1), (2; -1), (2; 1).	1607. 1) (1; log3 2); 2) (3; -9).
457
1609. -|<а<6. 1610. 1) -1 < х < 0, 2<х<4; 2)-2<х<-1, х>-1.
1611. 1) а>1И; 2) а<1. 1612. 1) х < 2, х > 3; 2) х > 3. 1613. 1) х > 2;
3	3
2) -311 < х <-11,	1 < х < 1,5.	1614. 1) -—£х<0:	2) -1<х<-1,
3	2
—1<х<0, 0 < х < 1.	1615. х С-4,	1 < х < 3, х > 5.	1616. а<-/2.
1617. (-2; 22), (2; 10).	1618. А = 2. 1619. р = -2, q = О, d = 1.
1620. х=(—1)" 5+Jtn, neZ. 1621. а =-3,5. 1622. а =1-^2, a = 5+V10.
6
1623. а<-4, ~-<а<0. 1624.
4	3 15
Ответы к заданиям «Проверь себя!»
Глава I. 1. 1) 135;
2) 511;
48
5. 23Vab.
3) 4 1. 2.
2
8 1
1)	2) в“*. 3. a<—?°2 .
с	7
Глава II.	1. 1) х *	1; 2) х >	4, х<-1. 2. 1) х — любое	действительное
число, у >	О при х >	-1; 2) х	0, у > 0 при х * 0; 3) х —	любое действи-
тельное число. 3. 1) х=128; 2) х=1.
Глава III.	2Ц11	>[1| ;	5’0 2 > 51’2. 3. 1) х = 2; 2)	xt = 1, х2 =-5;
3) х = 1;	4) Xj = 0,	х2 = -2.	4. 1) х > 4; 2) -2<х< 2.
Глава IV. 1. 3;	-2;	3;	49;	2.	3. 1) log0 2 3 < log0 2 25;
2)	log2 0,7 < log2 1.2. 4. 1) х = 8; 2) х = 1; 3) xt = О, х2 = 9. 5. (1Ь; 5).
в. 1) 1 < х С 10; 2) -3 < х < 2.
Глава V. 1. sina = -; tga = - —; cos2a = —. 2. 1) - —; 2) —; 3) УЗ;
54	25	22
4)	4. 1) sin a cos р; 2) cos 2а; 3) cos (а - р).
Глава VI. 1. 1) 0; 2) 0. 2. 1) х = —+ял, л 6 Я; 2) х-±— + 2ял, п g Z;
3)	х- ± — ял, п g Z; 4) х - пп, х = - + —
3	4	2
п € Z; 5) х = ял, х = я 1 2ял,
п е Z.
Глава VII.
при х = О
1. х * - (1 + 2л), л е
8
2я; sin х = -1 при
И; нет. 2. sin х = 1 при х = —; cos х = 1
2
х = -А cos х =-1 при х =-я. я;
2	2
sin х = 0 при х = 0, я, 2я; cos х = 0 при х =	sin х > 0 при
О < х < я; cos х > О при - -<х<-, —< х<2я; sin х < О при -я < х < О,
2	2	2
я < х < 2я; cos х < О при -я<х<—, - —<х<—; возрастают: sin х при
2	2	2
458
_я<х<л, Зя < х <2л, cos X при -жх<0, п < х < 2л; убывают: sinx
2	2	2
при -ж х<--, — < х< —, cos х при 0 < х < л. 3. tg х = 0 при х = -л, 0;
2 2	2
tg х > 0 при -п<х< —, 0<х<5; tg х = 0 при <х<-п, ~—<х<0.
2	2	2	2
4.	- — + пп < х < — + пп, п е Z.
4	2
Глава Vni. 1. 85. 2. 1) --L + 4—ех • 2) 12 (Зх - 5)3, 3) 6 сов 2х сов х -
х2 Гх
у I i 1 к
- 3 sin 2х sin х; -----. 3. k = -3. 4. а = - —.
(х2 + 5)2	4
Глава ТХ. 1. Возрастает при -1<х<1, убывает при х<-1, х>1.
2. Точка максимума х =-3; точка минимума х = 3. 3. См. рис. 190.
4. Наибольшее р(5) = 5-, наименьшее у(2) = 4. 5. 2 м.
5
Глава X. 2. F (х) = х3 + х2 - Зх - 1. 3.1)111; 2)1; 3)1: 4) -1.
4	4
Глава XI 1. 21. 2. 720 способами. 3. 9240. 4. 48. 5. 1 - 6х + 15х2 - 20х3 +
+ 15х4 - 6х5 + х6.
Глава XII 1. 1) Названо одно из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,
16, 18; 2) названо одно из чисел 6, 12, 18; 3) названо одно из чисел 1, 3,
5, 7, 9, 11, 13, 15, 17; 4) названо одно из чисел 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,
13, 14, 16, 17. 2. X. 3. 0,88.
12
Глава XIII 1.
У	2	3	4	5	6	7	8
р	1 12	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6	1 12
2. 13; 3; 1,5; 1. 3. 4,56.
459
 Предметный
- указатель
Арккосинус числа 169
Арксинус числа 175
Арктангенс числа 181
Гармонические колебания 311
Геометрический смысл производ-
ной 251
Дифференциальное уравнение 310
Дифференцирование 231
Дифференцируемая функция 231
Интеграл от функции на отрезке
298
Интегральная сумма 300
Интегрирование 294
Касательная к графику функции
252
Косинус 126
Криволинейная трапеция 297
Логарифм числя 90
—	десятичный 96
—	натуральный 97
Логарифмирование 91
Логарифмическая функция 100
Логарифмические неравенства 109
—	уравнения 105
Наибольшее значение функции 277
Наименьшее значение функции 277
Непрерывная функция 233
Обратная функция 48
Основное логарифмическое тожде-
ство 91
Первообразная функции 291
Периодическая функция 205
Период функции 205
Площадь криволинейной трапе-
ции 297
Показательная функция 73
Показательные неравенства 81
—	уравнения 77
Производная функции 231
—	логарифмической функции 246
—	показательной функции 246
произведения 241
—	суммы 240
тригонометрических функций
247
—	частного 241
Равносильные уравнения 54
Разностное отношение 230
Синус 126
Следствие уравнения 55
Стационарная точка 267
Степенная функция 39
Таблица первообразных 294
Тангенс 128
Теорема Ферма 266
Точка максимума функции 265
—	минимума функции 266
—	экстремума 266
Тригонометрические неравенства
194
уравнения 168
—	функции 201
Угловой коэффициент прямой 251
Формула Ньютона — Лейбница 298
— перехода для логарифмов 97
Элементарные функции 245
460
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Действительные числа
§ 1.	Целые и рациональные числа......................3
§ 2.	Действительные числа............................7
§ 3.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. . 11
§ 4.	Арифметический корень натуральной степени.....17
§ 5.	Степень с рациональным и действительным
показателями.......................................24
Упражнения к главе 1..........................35
Глава II. Степенная функция
§ 6.	Степенная функция, её свойства и график........39
§ 7.	Взаимно обратные функции.......................47
§ 8.	Равносильные уравнения и неравенства...........54
§ 9.	Иррациональные уравнения.......................60
§ 10*. Иррациональные неравенства...................63
Упражнения к главе II.........................69
Глава III. Показательная функция
§11.	Показательная функция, её свойства и график...72
§12.	Показательные уравнения.......................77
§13.	Показательные неравенства.....................81
§14.	Системы показательных уравнений и неравенств ... 84
Упражнения к главе III........................87
Глава IV. Логарифмическая функция
§15.	Логарифмы.....................................90
§16.	Свойства логарифмов...........................94
§ 17.	Десятичные и натуральные логарифмы............96
§ 18.	Логарифмическая функция, её свойства и график . . 100
§19.	Логарифмические уравнения....................105
§ 20.	Логарифмические неравенства..................109
Упражнения к главе IV........................113
Глава V. Тригонометрические формулы
§21.	Радианная мера угла..........................117
§ 22.	Поворот точки вокруг начала координат........121
§23.	Определение синуса, косинуса и тангенса угла .... 126
§ 24.	Знаки синуса, косинуса и тангенса............132
§ 25.	Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла............135
§ 26.	Тригонометрические тождества.................139
§ 27.	Синус, косинус и тангенс углов а и -а........142
§ 28.	Формулы сложения.............................144
461
§ 29.	Синус, косинус и тангенс двойного	угла........149
§ 30*	. Синус, косинус и тангенс половинного угла...152
§31.	Формулы приведения............................156
§ 32.	Сумма и разность синусов. Сумма и разность
косинусов..........................................161
Упражнения к главе V..........................164
Глава VI. Тригонометрические уравнения
§ 33.	Уравнение cos х = а...........................168
§ 34.	Уравнение sin х = а...........................173
§35.	Уравнение tg х = а............................179
§ 36.	Решение тригонометрических уравнений.........184
§ 37*. Примеры решения простейших
тригонометрических неравенств......................194
Упражнения к главе VI........................197
Глава VII Тригонометрические функции
§ 38. Область определения и множество значений
тригонометрических функций....................201
§ 39.	Чётность, нечётность, периодичность
тригонометрических функций..........................204
§ 40.	Свойства	функции	у	= cos х и её график.208
§41.	Свойства	функции	у	= sin х и её график.213
§ 42.	Свойства	функции	у	= tg х и её график..217
§ 43*	. Обратные	тригонометрические функции.......................223
Упражнения к главе VII......................................227
Глава VIII Производная и её геометрический смысл
§ 44.	Производная..................................229
§ 45.	Производная степенной функции................236
§ 46.	Правила дифференцирования....................240
§47.	Производные некоторых элементарных функций. . . 245
§ 48.	Геометрический смысл производной.............251
Упражнения к главе VIII......................257
Глава IX. Применение производной
к исследованию функций
§ 49.	Возрастание и убывание функции...........261
§ 50.	Экстремумы функции.......................265
§51.	Применение производной к построению
графиков функций...............................271
§ 52.	Наибольшее и наименьшее значения	функции	....	277
§ 53*	. Выпуклость графика функции, точки перегиба ....	283
Упражнения к главе IX..............................287
462
Глава X. Интеграл
§ 54.	Первообразная.................................291
§ 55.	Правила нахождения первообразных..............294
§ 56.	Площадь криволинейной трапеции и интеграл .... 297
§57.	Вычисление интегралов.........................301
§ 58.	Вычисление площадей с помощью интегралов .... 304
§ 59*. Применение производной и интеграла
к решению практических задач..................309
Упражнения к главе X..........................315
Глава XI Комбинаторика
§ 60.	Правило произведения..........................317
§61.	Перестановки..................................320
§ 62.	Размещения....................................323
§ 63.	Сочетания и их свойства.......................326
§ 64.	Бином Ньютона.................................330
Упражнения к главе XI.........................333
Глава XII. Элементы теории вероятностей
§ 65.	События.......................................336
§ 66.	Комбинации событий. Противоположное событие . . 339
§ 67.	Вероятность события...........................343
§ 68.	Сложение вероятностей.........................346
§69.	Независимые события. Умножение	вероятностей. . . 350
§ 70.	Статистическая вероятность....................354
Упражнения к главе XII........................359
Глава XIII Статистика
§71.	Случайные величины............................364
§ 72.	Центральные тенденции.........................370
§73.	Меры разброса.................................375
Упражнения к главе XIII.......................383
Приложение
§ 1.	Множества.....................................387
§ 2.	Элементы математической логики................388
§3.	Предел последовательности.....................390
§ 4.	Дробно-линейная функция и её график...........393
§ 5.	Уравнения и неравенства с двумя неизвестными . . . 395
Упражнения для итогового повторения
н а а н ебры и начал мал ема I нческого анализа . . • • 400
ъччи 1.1Я внеклассной ।	 426
Ответы и указания.............................432
Предметный указатель..........................460
463
Учебное издание
Алимов Шавкат Арифджанович
Колягин Юрий Михайлович
Ткачёва Мария Владимировна
Фёдорова Надежда Евгеньевна
Шабунин Михаил Иванович
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
10—11 классы
Учебник для общеобразовательных учреждений
Базовый уровень
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. Н. Белоновская
Младший редактор Е. А. Андреенкова
Художники В. А. Андрианов, В. В. Костин, Е. В. Соганова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Технический редактор О. Е. Иванова
Корректоры И. П. Ткаченко, А. К. Райхчин. С. В. Николаева
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 13.09.11.
Формат 60 х 901/1б- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 23,88 + 0,48 форз. Доп. тираж 30 000 экз. Заказ № 33086.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение*. 127521, Мо-
сква, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов,
ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
Тригонометрические
функции
у = sinx
sinx = а
х = (-l)"arcsina + лп
у = tgx	tgx = а
и х = arctga + лл

Логарифмы
а|-ж?= I,
loga С =
log/> С
log/) а
logabc = log(Jb + logaC logab₽ = p\ogab
loga 4 = logab - logeC logab = ]Og—
Производная
ГЧ \ I- fix + b) - f(x)
f (x) = lim---—i-i—7
л-о h
C'-O (fex+b)'=&	(xp)' = pxp~'

n v 1
(Inx) = —
(sinx)'= cos x (cos x )' = -sinx
(/(x) + g(x))' = /'(x) + g'(x)
(C f(x)Y =cf'(x)
(f(x) • g(x))' = f'(x)g(x) + fix)g'(x)
7(x)V /~,(x)g(x)-/(x)g'(x)
^ix)) g2ix)