Д. И. Блохинцев
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
Лекции
по избранным
вопросам
2-е издание, дополненное
Под редакцией А. В. ЕФРЕМОВА
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебного
пособия для студентов физических специальностей вузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1988

УДК 530.145 (075.8)
Блохинцев Д. И. Квантовая механика. Лекции ио и бран-
ным вопросам: Учеб, пособие. — 2-е изд. — М.: Изд во МГУ,
1988. — 112 с. - ISBN 5-211—0G098-6.
В книге основное внимание уделяется интерпретации кван-
товой теории. Вводится фундаментальное понятие квантового ан-
самбля и широко используется квантовомехаиическая матрица
плотности. Детально прослеживается связь квантовой и класси-
ческой статистической физики. Подробно излагается теория
квантовых измерений (в качестве примера рассмотрена работа
фотопластинки и пузырьковой камеры). Лекции основаны па
результатах исследований автора по фундаментальным пробле-
мам квантовой теории, которым посвящена его книга «Прин-
ципиальные вопросы квантовой механики» (М.; Наука, 1987).
Для студентов, изучающих квантовую механику. Может
быть рекомендовано изучающим философские вопросы естест-
вознания и вопросы интерпретации квантовой теории, а также
молодым научным работникам.
Ил. 10. Биб.шогр.: 27 назв.
Рецензент: кафедра теоретической ядерной физики МИФИ
Блохинцев Дмитрий Иванович
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Лекции, по избранным, вопросам
Зав. редакцией С. И. Зеленский
Редактор Г. Е. Горелик
Художественный редактор Ю. М. Добрянская
Технический редактор Н. И. Смирнова
Корректоры И. А. Мушникова, Т. II. Алейником
ИВ № 2917. Учебное издание
Сдано в набор I (is S7.
Подписано в печ.ыь И* Ol.ss
Л-36516 Формат	.и Бумага, тип. № 1
Гариип’ра литературная Печать высокая
Усл. печ. л. 5>8 Уч.-изд л. 5,89.
Тираж 91(К> экз. Заказ 168. Изд. Ле -1656
Цена 25 коп.
Ордена «Знак Почета» издательство
Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы
1704020000(4309000000)—(»49
----------------------- —  98—88
077(02)—88
© Атоми.здат, 1981 г.
© Издательство
Московского
университета, 1988 г.,
с дополнениями.
ISBN 5—211—00098—6
Б
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга принадлежит перу выдаю-
щегося советского физика Дмитрия Ивановича Бло-
хинцева, соратника И. В. Курчатова по созданию и
развитию атомной науки и техники в нашей стране.
Имя Д. И. Блохинцева связано с проектировани-
ем и сооружением первой в мире атомной электро-
станции, с созданием и становлением Физико-энерге-
тического института в Обнинске и международного
Объединенного института ядерных исследований в
Дубне. Он внес выдающийся вклад в физику твердо-
го тела и статистическую физику, акустику, физику
реакторов и атомную энергетику, квантовую механи-
ку и квантовую теорию поля, физику высоких энер-
гий и атомного ядра, философию и методологию на-
уки.
К разработке вопросов квантовой механики
Д. И. Блохинцев неоднократно возвращался на про-
тяжении всей своей научной деятельности. Он — ав-
тор первого учебника «Основы квантовой механики»,
выдержавшего с 1944 г. шесть изданий в нашей стра-
не и шестнадцать изданий в других странах мира на
девяти языках, он также автор монографии «Прин-
ципиальные вопросы квантовой механики» и учебного
пособия «Квантовая механика (лекции по избранным
в опросам)».
Принципиальным основам квантовой механики, ее
материалистической интерпретации и методологии,
«без овладения которой, — как писал Д. И. Блохин-
цев, — даже самый отличный ум приобретает отте-
нок ремесленничества», Дмитрий Иванович придавал
особенно большое значение. Он был одним из лиде-
ров так называемой московской школы в квантовой
механике.
3
Основу объективной материалистической трактов-
ки волновой функции (вопреки субъективной трактов-
ке классиков так называемой копенгагенской школы)
составляет разработанная Д. И. Блохинцевым кон-
цепция квантовых .ансамблей — статистических кол-
лективов, состоящих из независимых тождественно
приготовленных микросистем, находящихся в одной
и той же макрообстановке. Такой подход, обладая
большой эвристической силой, помогает устранить
ряд внутренних противоречий в интерпретации кван-
товой механики и установить тесную связь между
квантовой механикой и статистической физикой. Кро-
ме того, он имеет большое принципиальное значение
для правильного понимания проблемы измерений в
квантовой механике.
Решающим заключительным шагом в этой интер-
претации была разработка Д. И. Блохинцевым тео-
рии измерений в квантовой механике на основе осо-
бой роли классического прибора как неустойчивого
состояния макросистемы, тем самым окончательно
исключив понятие наблюдателя из формулировки ос-
нов квантовой механики. Это был важный шаг в пре-
одолении барьера, поставленного авторитетом Нильса
Бора, который считал, что не имеет смысла объеди-
нять измерительный прибор с микроскопической сис-
темой, так как тогда потребуется новый классический
прибор для изучения получившейся системы. Теория
измерений позволила Д. И. Блохинцеву дать полное
и четкое обоснование концепции квантовых ансамб-
лей.
Следует также сказать, что разработанная
Д. И. Блохинцевым трактовка квантовой механики
наиболее адекватна квантовой теории поля, где по-
нятие волновой функции частицы включает как опе-
ратор квантового поля, так и анализатор (макроско-
пический прибор), выделяющий определенное состоя-
ние этого поля.
Д. И. Блохинцеву принадлежит решающая роль
в установлении соответствия между квантовым опи-
санием системы частиц в фазовом пространстве и
классической функцией распределения. При этом, в
частности, выявляются невозможность непосредствен-
ного переноса в классику квантового условия нераз-
личимости частиц и принципиальное отличие некоге-
рентного статистического ансамбля от когерентного,
4
выступающего как максимально упорядоченная сис-
тема с нулевым значением энтропии, т. е. несущего
максимально возможную информацию о системе.
В данной книге, основу которой составляют лек-
ции, прочитанные Д. И. Блохинцевым на физическом
факультете МГУ в последние годы жизни, изложены
позиции Д. И. Блохинцева, сложившиеся на основе
многолетних размышлений и дискуссий (порой горя-
чих и даже резких) как с противниками диалектиче-
ского материализма (явными или неявными), с од-
ной стороны, так и с его примитивными защитника-
ми — с другой. Представление об остроте этих дис-
куссий дает добавленная во втором издании по за-
мыслу автора лекция 16, посвященная критике ко-
пенгагенской трактовки квантовой механики и про-
тивопоставлению ей позиции московской школы. Ос-
новная часть этой лекции была написана автором в
конце сороковых годов для его учебника «Основы
квантовой механики». Как нам кажется, она пред-
ставляет не только исторический интерес, поскольку
споры о мнимых «парадоксах» квантовой механики
не утихают и по сей день. Кроме того, несколько рас-
ширено заключение е использованием набросков авто-
ра и включены более подробные выводы в некоторые
из глав.
Книга, безусловно, будет с интересом встречена
как студентами, изучающими основы квантовой ме-
ханики, так п специалистами, которым она может
помочь уяснить узловые вопросы этой науки.
Д-р физ.-мат. наук Л. В. Ефремов
or АВТОРА
В этих лекциях квантовая механика рассматри-
вается как теория квантовых статистических ансамб-
лей, как прямое обобщение классической статисти-
ческой механики. Такой подход к основам квантовой
механики имеет преимущество перед традиционным
ее изложением на основе волновой функции, так как
позволяет включить теорию квантовых измерений в
качестве раздела квантовой механики.
Первостепенную роль в этом подходе приобретает
статистический оператор, описывающий состояние
микросистемы в квантовом ансамбле общего типа.
Волновая функция описывает специальный тип кван-
тового ансамбля — когерентный ансамбль. В таком
изложении отпадают парадоксы, связанные со скач-
кообразным изменением волновой функции в резуль-
тате измерения («стягивание волнового пакета» и из-
менение состояния микросистемы без прямого воздей-
ствия на нее измерительного прибора, обсуждавшие-
ся Эйнштейном, Розеном и Подольским).
Для всей ситуации в квантовой теории измерений
решающим оказывается влияние микросистемы на
состояние измерительного прибора, который должен
быть макроскопически нестабильной системой.
Предпринятое в этих лекциях изложение кванто-
вой механики существенно базируется на идеях фон
Неймана, которые в свое время привлекли интерес
московской школы теоретиков. Эту школу в 30-х го-
дах возглавлял акад. Л. И. Мандельштам. Сущест-
венный вклад в паше понимание квантовой механи-
ки был внесен проф. К. В. Никольским.
Я надеюсь, что в этих лекциях мне удалось за-
полнить все пробелы в этом «московском» понимании
квантовой механики, дополнив ее теорией измерений.
ЛЕКЦИЯ 1.
ВВЕДЕНИЕ
В современной физике все более широкое приме-
нение находят статистические методы, основанные па
понятии вероятное 1 и. Особенно возросла роль этих
методов после открытия квантовой механики. Суще-
ствует строгий, аксиоматический подход к теории ве-
роятностей. Мы будем понимать вероятность как ме-
ру потенциальной возможности того или иного со-
бытия. В простейших случаях вероятность события
/1 определяется как отношение 'тела возможностей
гп, благоприятных событию А, к общему числу воз-
можностей п:Р=пц'п. Экскурс в эту область отвлек
бы нас от основного предмета лекций — статистиче-
ской интерпретации квантовой механики и теории
квантовых измерений.
Несмотря па широкое развитие статистических
методов в современной науке, часто сохраняется но-
стальгия по детерминистическому, строго причинному
описанию явлений. При этом обычно упускается из
виду очень важная деталь детерминистического опи-
сания. которая делает его фактически условным.
Суть дела заключается в том, что при детермини-
стическом описании явлений недостаточно задать
значения динамических переменных в начальный мо-
мент времени /-0 в некоторой пространственной об-
ласти АВ (рис. 1), но необходимо задать еще и
граничные условия па границах области АА', ВВ'
для />0, т. е. для будущего времени. Иными слова-
ми, следует высказать гипотезу о будущем на
границах области АВ. Такого рода гипотезы уводят
от детерминистической механики в область статисти-
ки. Например, траекторию космического корабля
можно вычислить по его начальным данным, но воз-
можное взаимодействие корабля с метеоритом мож-
но оцепить методами статистики. Распространение
классической механики на системы с большим чис-
7
лом степеней свободы (молекулы газов, турбулент-
ное движение) ведет нас в область классической ста-
тистической механики. Классическая статистическая
механика опирается па классическую механику. Од-
нако связь здесь односторонняя. Сама классическая
механика не нуждается в статистической механике.
В отличие от классической
физики в области квантовых
явлений статистическое описа-
ние явлений оказывается со-
вершенно неизбежным и ле-
жит в самой ее основе. Кван-
Рис. 1. /1В - - область, для которой
задачи начальные условия. Указа-
ны траектории корабля КК' и слу-
чайною метеорита МЛ'!'
товая механика оперирует с волновой функцией ф,
квантовая статистическая механика оперирует со ста-
тистическим оператором р, иначе названным матри-
цей плотности по аналогии с плотностью вероятно-
сти в классической статистической механике. Однако
соотношения между механикой и статистической ме-
ханикой в классической и квантовой областях совер-
шенно различны. Квантовая механика сама по себе
является статистической теорией.
Важнейшую роль в квантовой механике играет
теория измерений. Теорию измерений нельзя по-
строить без квантовой статистической механики —
связь здесь взаимная. Эти соотношения поясняются
следующей схемой.
Классическая механика
Описание траекториями
или функцией действия
I
Классическая
статистическая механика
Описание плотностью ве-
роятности р (р, q) в
2/-мерном фазовом прост-
ранстве 5? (р, 7)
Квантовая механика
Описание волновой функцией ф
It
II
Квантовая
статистическая механика
Описание статистическим операто-
ром р в f-мерном пространстве кон-
фигураций, импульсном щростран-
стве 3? (р) и др.
Здесь р, q — сокращенные обозначения для им-
пульсов /?1, р2, ..., р; и сопряженных координат
8
qi, q2, ..., qp, f — число степеней свободы изучаемой
системы.
В дальнейших лекциях изложение квантовой ме-
ханики будет построено па расширенном ее понима-
нии, в которое как неотъемлемая часть входят тео-
рия квантовых измерений и вместе с тем квантовая
статистическая механика.
Такому изложению квантовой механики будет
предшествовать небольшой экскурс в классическую
механику и классическую статистическую механику,
носящий характер напоминания.
ЛЕКЦИЯ 2.
КЛАССИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ
ГИББСА
Напомним основные положения классической ме-
ханики системы материальных точек. Движение та-
кой системы можно описать с помощью канониче-
ских уравнений Гамильтона, оперирующих с обоб-
щенными координатами <7=(щ, q2, ..., <?f) и сопря-
женными им импульсами p=(pi, р2, ..., pf). Здесь
f — число степеней свободы рассматриваемой систе-
мы.
Состояние системы определяется точкой (q, р) в
фазовом 2/-мерном пространстве р), /-мерное
пространство &(q) называется пространством конфи-
гураций, а /-мерное пространство J?(p) — импульс-
ным пространством. Задача механики заключается
в нахождении траектории системы q(t) в простран-
стве конфигураций $?(<?) по начальному состоянию
системы при t=0, заданному точкой в фазовом про-
странстве:
(<7°, р°) =qi°, q2°, • • •, рА P20, • • • , Pf°-
Ввиду связи, существующей между ps и qs, вместе
с тем определяется траектория и в пространстве фаз
5?(р, q) и в пространстве импульсов 5£(р).
Важнейшую роль в классической механике игра-
ют скобки Пуассона, которые для любых двух ди-
намических переменных A (q, р)=А и B(q, p)=sB
определяются формулой
9
[Л, s) = y[A	Д'! ),	(9.|)
L J \ dp. t):p da dp. J
s~l
где сумма распространена по всем степеням свобо-
ды s=l, 2, f. Обобщенные импульсы ps и коор-
динаты </,- называются канонически сопряженны-
ми, если они удовлетворяют скобкам Пуассона:
[ps,^]=6Sr; k, Рг]-=0; [qs,qr] = O. (2.2)
Эти скобки выражают независимость и достаточ-
ность избранных обобщенных импульсов и коорди-
нат.
От 2/ переменных (р, q) можно перейти к другим
2f переменным (5я, Q). Эти новые переменные долж-
ны быть опять канонически сопряженными. Для них
должны выполняться скобки Пуассона:
ks, <2Г]=ЛГ,	^1 = о, [Qs, =	(2.3)
Такие преобразования называются канонически-
ми. Бесконечно малое каноническое преобразование
определяется формулой
&s=Ps+[ps, /<]АХ, Qr=-qr+[qr, К]М, (2.4)
где К(<7, р, X) — произвольная функция переменных
(q, р) и параметра преобразования X, АХ — бесконеч-
но малое приращение этого параметра. Пользуясь
(2.1), эти формулы можно написать в виде 
^5 = Рб + фхАХ,	Qr = сргАХ, (2.5)
где
^s = dKldqs, qr^—dKJdpr.
Для доказательства каноничности преобразования
(2.4) подставим (2.4) в (2.3). Получим
[k, Qrl = [(Ps + [Ps. KI AM. k+k, KjAX)] =
= [Ps. <7Л + [Л, k. КЦАХ-[qrt [A, Я]] AX + О (AX2).
Далее, пользуясь (2.5), найдем
[Л, Qr]=k, <М+О (АХ2)-+\ps, qr]=bsr. (2.6)
Подобным же образом доказываются два других со-
отношения в (2.3).
10
Применяя к переменным (J3, Q) бесконечно ма-
лое каноническое преобразование с параметром ДА/,
мы перейдем к новым канонически переменным
( Р', Q') и т. д. Тем самым доказано, что канониче-
ские преобразования образуют однопараметрическую
группу и скобки Пуассона служат представителем
лого преобразования. Деля разности Q—q и Д- р на
Л7„ запишем уравнения преобразования (2.4) в диф-
ференциальной форме:
К],	К].	(2.7)
Основные условия канонического характера преобра-
зования (7,	Д) можно выразить не только
формулами (2.4) или (2.5), по и в дифференциальной
форме. Если образовать разность
У(с/3Ж — psdqs),
(2.8)
то, пользуясь (2.5), нетрудно показать, что
У (<?Ш-Л<) - - d (К-- VЛ ЛХ> (2-9>
S • 1	s-—1
т. е. разность (2.8) должна быть иодным дифферен-
циалом от функции, указанной в (2.9) в скобках, та-
кие преобразования носят название контактных
|2, с. 334].
Если в качестве параметра X взять время t, то
уравнение (2.7) превращается в каноническое урав-
нение движения рассматриваемой мехап”ческой си-
стемы.
к	(2-10)
dt	al
Функция K{q, р, I) в этом случае называется
функцией Гамильтона н обычно обозначается через
//(г/, р, Н), что и сделано в (2.10). Если функция
Гамильтона не зависит явно от времени, то она яв-
11
ляется интегралом движения. Действительно, пользу-
ясь (2.10), находим
— = [Н, Я] = 0.	(2.11)
dt
Можно доказать, что H(q, р) есть полная энергия
системы.
Уравнения (2.10) содержат важный результат.
Они показывают, что движение динамической систе-
мы, описываемой координатами и импульсами (q, р),
можно рассматривать как последовательность бес-
конечно малых канонических преобразований:
&s=Ps+[ps, H]\t, Qr = qr+[qr, H]\t,
где	=ps(t+А/) и Qr=<7r(/+Af).
Обращаясь теперь к (2.9), получим
f	f
У (&\dQ,-p<dq,) =	\t.
S=1	S=1
Функцию
называют функцией Лагранжа, а функцию
S = \ Ldt
to
— функцией действия. Эта функция имеет тесную
связь с волновой функцией ф в квантовой механике,
именно в приближении	ф ~ ехр (iS/й), а ка-
нонические преобразования классической механики
имеют в квантовой механике аналогию в виде уни-
тарных преобразований квантовых операторов.
В отличие от описанной выше постановки пробле-
мы, характерной для классической механики, в клас-
сической статистической механике состояние системы
задается не какой-либо определенной точкой (q, р)
в пространстве фаз Й?(<7, р), а вероятностью dW или
ее плотностью р:
dlF(<7, р, t)=p(q, р, t)dqdp, (2.12)
12
указывающей вероятность того, что рассматриваемая
система в момент времени t имеет координаты в ин-
тервале
qs, qs+dqs; ps, ps+dps\ s=l, 2, f. (2.13)
Но смыслу вероятности функция p(g, p) неотрица-
тельна и нормирована на единицу:
fp(q, р, f)dqdp=l	(2.14)
(детально эти вопросы изложены в курсах статисти-
ческой физики [3, 4]).
Вероятностное описание предполагает наличие
некоторого статистического коллектива,
или, иначе, ансамбля, который должен быть оп-
ределен физически, и тем самым должно быть ука-
зано, к какому коллективу событий относится теоре-
тическая вероятность.
В рассматриваемой ниже статистической теории
таким ансамблем является ансамбль Гиббса*. Суть
его такова: предполагается, что изучаемая механиче-
ская система р (это может быть атом, молекула,
кристалл, газ и т. п.) находится в определенной мак-
роскопической обстановке М, которая определяется
макроскопическими параметрами (температурой, ве-
личиной внешних полей и т. п.). Обратное влияние ц
на М считается малым. Напротив, обстановка М
вполне, в статистическом смысле, определяет состоя-
ние системы ц. Предполагается, что такая ситуация
повторяется N раз (Л5-»-оо). На рис. 2 изображено
такое повторение. Измеряются динамические пере-
менные (q, р) системы ц. В первом случае получено
(<7(|>, Р* (1)), во втором — (7(2), р(2>), в п-м — (q(n\ р(п))
и т. д. Предполагается, что в этой серии независимых
измерений возникает вполне определенное, продикто-
ванное обстановкой распределение результатов изме-
рений, которое и предсказывается вероятностью
dWM(q, р, t)=pM(q, р, t)dqdp. (2.15)
Индекс М указывает параметры обстановки М. Про-
стейшим, но и крайне важным случаем обстановки М
* Термины «статистический коллектив», «статистический ан-
i чмбль», «статистическая совокупность» равнозначны. Мы бу-
дем чаще пользоваться термином «ансамбль», связанным с име-
нем Гиббса [3, 4].
13
является большой термостат температуры Т, с ко-
торым система обменивается энергией. Гиббс пред-
положил, что в этом случае плотность вероятности
является функцией только полной энергии Е=
= Н(р, q) системы ц, и, исходя из рас-
смотрения составной системы ц=ца +
4-р.б, доказал, что плотность р дол-
жна иметь вид [3, 4]
Рт(<7» ГЬ-^Р,	(2Л6)
здесь /г — постоянная Больцмана.
Функция F, зависящая от Т, опреде-
ляется из условия нормировки (2.14).
Рис. 2. Ансамбль Гиббса: М — макроскопи-
ческая обстановка; ц — система, погружен-
ная в эту обстановку. Ситуация воспроизво-
дится много раз: Л'-*оо
Как доказывается в статистической термодинами-
ке, F есть свободная энергия системы. Формула
(2.16) называется каноническим распреде-
лением. Оно описывает ансамбль системы, находя-
щихся в термодинамическом равновесии с термоста-
том.
Гиббс был первым ученым, который не стремился
«вывести» статистику из детерминированной механи-
ки. Он предпочитал изучать следствия из простых
статистических предположений. Предложенное Гибб-
сом каноническое распределение лежит в основе тер-
модинамической статистики.
Обратимся теперь к описанию движения в этом
ансамбле. Плотность p(q, р. t) удобно представить
себе множеством независимых точек, плотность кото-
рых пропорциональна p(q, р, /). Ясно, что число этих
точек должно сохраняться. Поэтому в 2/-мерном
фазовом пространстве 52(7, р) плотность p(q, р, t)
должна подчиняться многомерному уравнению непре-
рывности
+ У (°- (2-17)
s»I
14
С другой стороны, это Выражение есть не что иной,
как полная производная плотности по времени вдоль
траектории. Пользуясь уравнениями (2.10), мы мо-
жем написать вместо (2.17)
+ р] — 0.	(2.18)
d t	ot
Эта формула выражает основной закон движения
плотности р(7, р, t). Она позволяет определить
p(q, р, t) для t>0, если плотность p(q, р, 0) дана
для 7 = 0. Из этого уравнения следует постоянство ус-
ловия нормировки (2.14). Действительно, скобка
[Н, р] имеет свойство дивергенции вектора и исчезает
при интегрировании по объему в Й? (<?, р) по теореме
Гаусса. Следовательно,
(Р(Р- <7, t)dqdp = Q	(2.19)
(действительно, dldqs(pqs) + djdps (pps) =
Эр • dp •
7- + л Р*+
ops
/	д2Н д2Н
р-----------р--------
\ dq.dps	dpsdqs
а выражение в скобках равно нулю).
Приведем теперь важнейшие формулы для ансамбля
Гиббса, фиксированного макроскопической обстанов-
кой М. Нормировка плотности вероятности рм(<7, р)
имеет вид
/рм(<7, p)dqdp=\.	(2.20)
Среднее значение любой динамической величины
7(7, р) системы ц
T=fpM(q, p)I(q, p)dqdp.	(2.21)
Среднее квадратическое отклонение переменной I
tf2=fpM(q, p)[I(q, p)-I]2dqdp. (2.22)
Вероятность данного значения I величины I (q, р)
равна
dW(I)=fpM(q, p)b(I(q, p)-I)dqdp (2.23)
(здесь д(х) — б-функция Дирака).
15
Вероятность той или иной конфигурации системы
ц в пространстве Й?(7) равна
бШ(7)=/рм(<7, p)dp.	(2.24)
Вероятность данного импульса
dW (p)=fpM(q, p)dq.	(2.25)
Для упрощения формул мы часто будем опускать
индекс М у плотности рм, но всегда следует помнить,
что р соответствует определенной макрообстановке М.
ЛЕКЦИЯ 3.
КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА В ПРОСТРАНСТВЕ 5?(q, q')
Глубокие связи между классической статистиче-
ской механикой и квантовой механикой особенно ясно
обнаруживаются, если обратиться к представлению
классической статистической механики в сдвоенном
пространстве конфигураций Й?(7, q') вместо обычного
рассмотрения ее в пространстве фаз й?(</, р) [1, 5].
Такое рассмотрение можно осуществить, если вместо
точки (р) пространства фаз ввести вторую точку в
пространстве конфигураций (q') посредством следую-
щего преобразования Фурье любой динамической пе-
ременной L(q, р):
p)=fL(q, l)exp(ipl,/tl')dZ, (3.1)
здесь ^=q'—q, h' — некоторая произвольная постоян-
ная размерности действия. Подобным же образом
р(<7, P)=fp(d, l)exp(ipl//l')dl. (3.2)
Обратные формулы имеют вид
L(q, q') = L(q, ®^L(q, р)	dp, (3.3)
Р(7, q')^P(q, g)=fp(<7. р) ~Х~	dp. (3.4)
J	2ЛП'
Это представление сближает классическую статисти-
ческую механику с квантовой механикой. Замеча-
тельным образом динамические переменные класси-
ческой статистической механики в новом представле-
16
пии оказываются обобщенными функциями. В част-
ности, имеем в этом представлении
Pw	pexp(—ipl/H’) ~г =
-= Щ' -I'MIL ih'	(3.5)
dt,	dq'
= q^ = ( qexP(— ipWi') =
= фба)^7'б(<7-ф).	(3.6)
Эти выражения для р и q полностью совпадают с
выражениями для операторов р и q в квантовой ме-
ханике (в координатном представлении). В рассмат-
риваемом представлении динамические переменные
статистической механики перемножаются как компо-
ненты Фурье:
AB(<J, £,)—fA(q, u)B(q, %-u)du.	(3.7)
Поэтому AB=BA. В частности, легко проверить, что
(pq-qp)o,t=o	(3.8)
в отличие от квантовой механики, где это выражение
не равно нулю. Запишем теперь важнейшие формулы
в новом представлении. Нормировка плотности р, как
следует из (3.2), теперь гласит:
/р(7, p)dqdp=$p(q, |)6=0^=1	(3.9)
или
/р(7, q')dq=\.
Формула (2.21) для среднего значения величины
L(q, р) после подстановки в нее выражений (3.1) и
(3.2) приобретает вид
t=/p(?. Z)dqd^,
или
£=/р(<7, Ч')ЦР, q')dqdq'.	(3.10)
Далее, вероятность конфигурации (2.24) будет равна
р(<7)=р(<7, ёД=о=р(<7, q),	(3.11)
и, наконец, имеет место соотношение
(ДВ-ВД)?>6=0.	(3.12)
17
Подробности выкладок, Приводящих к этим <(><>рму
лам, даны в дополнении I.
Приведем уравнение движения для ii.ioi нос i н р в ко
ординатном представлении в пространстве J?(//, q')
Чтобы получить это уравнение, необходимо выразить
все величины в уравнении (2.18) через их компонен-
ты Фурье согласно преобразованию (3.1) и (3.2) н
воспользоваться законом умножения (3.7). Ограни-
чимся случаем одной степени свободы q и простым
гамильтонианом:
H(q, p)=p2/2m+V(q),	(3.13)
здесь р — импульс частицы, т. — масса, V(q) — по-
тенциальная энергия. Уравнение для р (<7, р, I), как
легко найти из (2.18), теперь гласит:
Jp. + JL.	2р_ = о. (3.14)
dt т dq dq др
Выполняя указанное преобразование, в результате
выкладок, приведенных в дополнении 1, получим вме-
сто (3.14) уравнение для p (q, g, t):
№	_£2р (4. а + _L_	о.
dt	т dqdt,	h’ dq
(3.15)
Приведем два простых случая, когда уравнение (3.15)
решается несложно.
А. Свободное движение: V=const. Положим
р(<7, S> ^)=Jp(a,P)exp[W-~!(a7+Pg)]TWp,
(3.16)
где р(а, р) — произвольная функция, которую следу-
ет выбрать по начальным данным. Подстановка в
(3.15) приводит к дисперсионному уравнению
i© (а, р) + — ар = 0.	(3.17)
т
Если подставить (3.17) в (3.16) и перейти с помощью
преобразования Фурье от р(<7, В, Z) к р(<7, Р, 0, то
получается, что р(р, р, t)=f (р, q—pt/m), где функция
/(р, q) описывает начальное распределение при t=0.
Нетрудно проверить, что это решение удовлетво-
ряет уравнению (3.14) при dV/dq=0.
18
Б. Осциллятор: V=m&02q2l2. В этом случае сле-
дует ввести переменную z=q£j А2, где A2 = h'/ma)0.
Преобразуя уравнение (3.15) с помощью подстанов-
ки для специального случая гармонической зависимо-
сти р от t:
р (z, t) =р (z)exp (iat),
получим уравнение
+ J_ fl +	J_\p = o, (3.18)
<9z2	2 dz \ (oo г /
которое имеет решение*
р(г) =ехр (±z) (F| ('/2±fi)/«o; 1; ±2z).	(3.19)
ЛЕКЦИЯ 4
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
КАК ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Объектом применения квантовой механики яв-
ляется квантовый ансамбль. Подобно ансамблю Гибб-
са, квантовый ансамбль образован неограниченным
повторением ситуаций, состоящих из определенной
макроскопической обстановки М и погруженной в
эту обстановку микроскопической системы ц (см.
рис. 2). Пусть система ц характеризуется набором
переменных L=(Li, L2, . ••, Lj) (f — число степеней
свободы). Пусть в первом измерении L=L', во вто-
ром L=L", в n-м L=LKn'> и т. д. Предполагается, что
в этих условиях результаты измерений L имеют оп-
ределенное воспроизводимое распределение dW (L)
(для непрерывной переменной dW (L) =р(L) dL). Од-
нако это распределение основано на совсем новых за-
конах движения, характерных для квантовых явле-
ний.
Наиболее важной чертой квантового ансамбля
является тот факт, что среднее квадратичное откло-
нение координаты Ад2 зависимо от среднего
квадратичного отклонения сопряженного ей импуль-
* См.: Ватсон Г. II. Теория бсссслсвых функций. Ч. 1.
М„ 1949. С. 110—119.
19
са Др2. Они связаны знаменитым соотношением
«неопределенностей» Гейзенберга [6]:
Д}Г2Д^>Й2/4.	(4.1)
Это соотношение может рассматриваться как ма-
тематическое выражение принципа дополнительно-
сти Н. Бора. Согласно этому принципу динамиче-
ские переменные, характеризующие микросистемы,
распадаются на два взаимно дополняющих друг дру-
га класса: пространственно-временные переменные Q
и импульсно-энергетические переменные Р, относя-
щиеся к исключающим друг друга, несовместимым,
измерениям. Из (4.1) следует, что никаким выбором
результатов измерений нельзя получить квантовый
ансамбль, в котором отсутствовала бы статистическая
дисперсия по всем динамическим переменным, иными
словами, ансамбль, в котором все динамические пере-
менные L имели бы определенное значение L = L'.
Всегда найдутся переменные, для которых среднее
квадратичное отклонение AL2#0. Поэтому в кванто-
вой области статистика не устранима в принципе.
Будем рассматривать квантовую механику как обоб-
щение классической статистической механики, дан-
ной в координатном представлении в сдвоенном про-
странстве конфигураций 52(7, /).
Суть необходимого обобщения заключается в за-
мене коммутативной алгебры (3.12) динамических
переменных и их функций на некоммутативную ал-
гебру, в которой АВ¥=ВА. Эта программа реализует-
ся заменой классических компонент Фурье A(q, %) =
=Л(7, q'), изображающих классические динамиче-
ские переменные в пространстве 52(<у, q'), на эле-
менты матриц A(q, q'), закон умножения С=АВ ко-
торых имеет вид
C(q, q’)=AB(q, q')=\A(q, q")B(q", q')dcf. (4.2)
В общем случае АВ^АЁА, так что возникает новая не-
коммутативная алгебра.
Исходными динамическими переменными, харак-
теризующими квантовую систему, являются канони-
ческие импульсы ps (s=l, 2, ..., f), изображаемые
теперь операторами ps, и сопряженные им координа-
20
ты qs (s=l, 2,	f), изображаемые оператора-
ми qs-
Другие динамические переменные, аналоги клас-
сических 2 (q, р), изображаются операторами £,
которые являются функциями операторов р, q:
q).	(4.3)
Операторы, представляющие действительные фи-
зические величины, должны быть эрмитовы, т. е.
2=2+	(4.4)
Это условие в раскрытом виде записывается так:
S’* (7, q')=2* (q', q) (* — знак комплексного сопря-
жения). Условие канонической сопряженности вели-
чин, изображаемых операторами р, cj, постулируется
в форме
[Я, =	[Я. Я] = 0; [Я. Я1 = б5м (4-5)
где [4, 5] — квантовая скобка Пуассона:
[АВ]^-1(АВ~ВА)/П.	(4.6)
Условия (4.5) должны рассматриваться как условия
«квантования» классических величин, впервые уста-
новленные Гейзенбергом (историю их см. в [7]).
Операторы р и q, удовлетворяющие каноническим
условиям (4.5), в представлении в пространстве
^?(7, q') имеют вид
p(q, =	(4.7)
oq
Q(q, q')=q'b(q'-q)	(4.8)
и отличаются от соответствующих классических обоб-
щенных функций pqq’ и qqq’ (3.5) и (3.6) только за-
коном умножения (4.2) вместо (3.12) и заменой про-
извольной постоянной h' на постоянную Планка Й.
Доказательство того, что (4.7) и (4.8) удовлетворя-
ют условиям (4.5), дано в дополнении 2.
В соответствии с развиваемой программой постро-
ения квантовой механики предполагается, что кван-
товый ансамбль, состоящий из микросистемы р,
определяемый макроскопической обстановкой М, опи-
21
сывается статистическим оператором, или матрицей
плотности:
Рм-Р.м.	(4.9)
Мы будем пользоваться первым термином и обычно
в сокращенной форме: р,ц называют статоператпром.
Этот оператор был введен фон Нейманом [8]. Он
имеет в пространстве 5?(q, q') матричные элементы
р.и(7> /) и играет в квантовой механике ту же роль,
что и фурье-компонента плотности вероятности
рм(ц, 1)=рм(ц, q') в классической статистической
физике*. Оператор р нормируется па единицу:
Spp=l,	(4.10)
где знак Sp означает сумму диагональных элементов
оператора (след матрицы). Связь с наблюдаемыми
величинами устанавливается определением среднего
значения L величины L, изображаемой оператором
S в ансамбле, описываемом статистическим опера-
тором р:
Z- Sp(pjf).	(4.11)
В дополнении 3 показано, что формулы (4.10) и
(4.11) отличаются от соответствующих формул клас-
сической статистической механики (3.9) и (3.10) толь-
ко изменением закона умножения.
Операторы S и S" считаются эквивалентными,
т. е. представляющими одну п ту же физическую ве-
личину L, если они связаны друг с другом унитар-
ным преобразованием
^'^SSS-\	(4.12)
где S — унитарная матрица; .S’’ - обратная ей мат-
рица, которые определяются соотношениями
1;	(4.13)
т. е. комплексно-сопряженная матрица S* равна об-
ратной S”1. Унитарное преобразование обладает важ-
нейшим свойством: оно сохраняет канонические со-
отношения (4.5), так что новые переменные q'---
* В последующем будем опускать индекс И но ei о неявно'-
присутствие не должно забываться.
22
= SqS~’ и fi'=SpS~' подчиняются также соотношени-
ям (4.5) (см. дополнение 4). Поэтому унитарное
преобразование можно также называть каноническим.
Это преобразование оставляет также неизменным ус-
ловие нормировки (4.10) и формулу для вычисления
среднего (4.11), т. е. Spp'=Spp и £=£'. Эти утверж-
дения вытекают из известной возможности перестав-
лять циклически множители, стоящие под знаком Sp
(доказательство см. в дополнении 4).
Рассмотрим теперь бесконечно малое унитарное
преобразование динамических переменных. Его мож-
но записать в виде
S — exp(i(4da//i) — (1 + \Ada/h -)-...),	(4.14)
где А — некоторый эрмитов оператор (А+=А); а —
параметр преобразования. Подставляя (4.14) в фор-
мулу (4.12), получаем
= +	(4.15)
Оператор Г2' —2) Ida следует рассматривать как
оператор d2jda, представляющий производную опе-
ратора по а. Если оператор 2 явно зависит от а, то
необходимо учесть частную производную д21да\ та-
ким образом, можно написать
dj2/da — d2/da + [Л, <£].
(4.16)
Это важное соотношение позволяет придать смысл
понятию производной оператора по параметру.
В классической механике движение можно рас-
сматривать как последовательность бесконечно малых
канонических преобразований от <?(/), р(1) к q(t+At),
p(t+&t). Такое понимание движения переносится и
в квантовую механику. Если в бесконечно малом
унитарном преобразовании под параметром а разу-
меть время, то формула (4.16) определяет производ-
ную оператора по времени. Оператор А в этом спе-
циальном случае называется оператором Гамильтона
Я=Я(... р ... q, t). Он характеризует каждую кван-
товую систему. В частном случае, когда этот опера-
тор не зависит от времени t, он совпадает с операто-
23
ром полной энергии системы. Согласно (4.16) опе-
ратор производной по времени
djg/dt =d<£jdt + [Я, ^].	(4.17)
Если fl — оператор полной энергии, то из (4.17) по-
лучаем
diildt = [Я, Я] = 0,	(4.18)
что выражает па языке операторов закон сохранения
энергии. Применяя (4.17) к статистическому опера-
тору р, получаем
dpldt = dpldt + [Я, р].	(4.19)
По аналогии с законом движения для классиче-
ской плотности р (2.18) па основании (4.19) посту-
лируется закон движения для статистического опе-
ратора р:
dp/dt = O или dp/dt + [Н, р] = 0.	(4.20)
Из этого уравнения получаем сохранение нормиров-
ки оператора р (4.10) *:
Sp	Sp р= -Sp [Я, р] = 0.	(4.21)
Основное уравнение (4.20) допускает формальное ре-
шение (для случая dfl/dt=O):
р (t) = exp ) р (0) exp (— iHtjh), (4.22)
где p(0) — статоператор при t=0-, p(t) — этот же
оператор при t>0. Однако раскрытие лаконичной
операторной записи (4.22) редко бывает легче ре-
шения уравнения (4.20), которое обычно оказывается
дифференциальным уравнением в частных производ-
ных. Во многих важных задачах оператор Гамильто-
на можно разложить на сумму:
Я=Я0+№,	(4.23)
* Следует заметить, что при обращении с операторными
формулами необходимо соблюдать осторожность: в некоторых
случаях такие выражения, как ЭрД, могут расходиться; тогда
полезно прибегать к ограничениям, а потом переходить к нуж-
ному пределу.
24
где /?о представляет энергию рассматриваемой кван-
товой системы, состоящей из двух или более частей,
без взаимодействия их между собой, W - - энергию
их взаимодействия. Величина Йо может также пред-
ставлять энергию системы саму по себе («свободной»
системы), al?' - энергию ее взаимодействия с внеш-
ним полем. В этих случаях оказывается целесообраз-
ным перейти к представлению, называемому пред-
ставлением взаимодействия. Оно определяется с по-
мощью следующего унитарного преобразования:
р'=ехр (177О//Й) р exp (—1/?0//Й),	(4.24)
_^'=ехр (i/?0^//l)^exp (—i/70///i),	(4.25)
и в отличие от (4.22) вычисление явного вида р' и
S" не представляет труда.
Энергия взаимодействия 1?"’, конечно, преобразует-
ся так же, как и любой другой оператор Z:
W"=exp (i/?0///i) W ехр (—i/?0//ft).	(4.26)
Операторы р',	, Z' будут теперь явно зависеть от
времени даже и в том случае, если р, I?7, 3? не зави-
симы от времени. Выражая р и IF через р' и и
подставляя эти выражения в (4.20), получаем новое
уравнение для р':
др'/дЖ$", р']=0.	(4.27)
Это уравнение выгодно отличается от (4.20) тем, что
оператор р' при слабом взаимодействии W" (/) мед-
ленно зависит от времени (при V^'^0 dp’\dt = ti). По-
этому представление взаимодействия полезно при
решении уравнения (4.20) методом теории возмуще-
ний.
ЛЕКЦИЯ 5.
ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОГО
АНСАМБЛЯ
В этой лекции будем рассматривать специаль-
ный, но очень важный класс квантовых ансамблей,
который характеризуется тем, что статистический
25
оператор подчиняется условию
р'2=р:	(5.1)
Такой ансамбль называют когерентным, или чис-
тым *.
Рассмотрение такого ансамбля позволит нам вве-
сти в теорию важнейшее понятие волновой функции
и показать эквивалентность описания когерентного
ансамбля с помощью статоператора рис помощью
волновой функции ф. Рассмотрим среднее квадра-
тичное отклонение какой-либо динамической перемен-
ной, изображаемой оператором S’. Обозначим через
X среднее его значение L. Оператор отклонения от
среднего будет AS=S—K, а оператор квадратично-
го отклонения — AS2.
Среднее значение оператора квадратичного откло-
нения на основании общей формулы дтя среднего
(4.11) будет иметь вид •
A^2=Sp(oA^2).	(5.2)
В частном случае когерентного ансамбля (5.1) мож-
но заменить в (5.2) р па р2; тогда получим
AL2-Sp(p2A^2).	(5.3)
Пользуясь возможностью циклической перестанов-
ки множителей над знаком Sp, заменим р2.!?2 на
A.S’ppAJ?. Обозначая теперь (О^А.З’р, имеем С'г=
=р+А2ч; в силу эрмптовости р и А?7 С' -дт\2’.
Поэтому (5.3) можно переписать в виде
AT2=Sp(CC^).	(5.4)
Рассмотрим теперь такой специальный случай,
когда
AL2=0.	(5.5)
Тогда из (5.4) следует
Sp(CC1-)—О,	(5.6)
* Термин когерентный анслмбл!, бил введен К. В. Николь-
ским [9], термин чистый апс.'шб.'н. - <|>он 1 ieiiмн.>\; [8]. Тер-
минология Никольского, пл мой ВЗГЛЯ7. точнее (>;обр.'|;;о':ет суть
дела.
26
иными словами, взят такой ансамбль, в котором ди-
намическая переменная L имеет лишь одно опреде-
ленное значение L='K. Это возможно лишь в том
случае, когда
С=С+ = 0	(5.7)
(см. дополнение 5). Имея в виду получение операто-
ров С, б4 и оператора	к, получаем из (5.7)
два уравнения:
27р=Лр,	р^==%р,	(5-8)
или в раскрытом виде:
f^(q, q")p(q", q')dq"=Kp(q,	q'),	(5.9)
fp(q, q")^(q", q')dq"=kp(q,	q').	(5.10)
Такие- уравнения для матричных элементов	статопе-
ратора р можно свести к уравнению для «волновой»
функции фД<7) и уравнению для функции 1|д* (<?'),
комплексно-сопряженной фл(<7'):
\^(7, о") ^(q")dq"= Хфх(<у); (5.11)
(q") X (q”, q') dq" Мт (/)	(5-12)
В силу эрмитовости 2, Z (q", q')~2*(q', q"), так
что уравнение (5.12) попросту комплексно-сопряжен-
но к (5.11). Поэтому достаточно рассматривать толь-
ко (5.11). Коротко оно записывается в виде
=	(5.13)
а искомый матричный элемент оператора р, принад-
лежащий значению оказывается равным
Р>.(<7. </) = Ф?,(<7)Фх (<?')•	(5.14)
Доказательство этой формулы приведено в дополне-
нии 5.
Статоператор (5.14), удовлетворяющий уравнению
(5.8), будем называть собственным статоператором
оператора 2. Из теории линейных уравнений с само-
сопряженными операторами (2'=5’+) известно, что
уравнение (5.13) имеет корректные (регулярные) ре-
27
Шёния только для определенных значений параметра
X=Xi, Аг, ..........Эти значения называются соб-
ственными значениями оператора S’, а соответствую-
щие функции фл(<?) — собственными функциями это-
го оператора. Во многих случаях спектр собственных
значений Л может быть и непрерывным или кусочно-
непрерывным.
Собственные функции фх (7), принадлежащие раз-
личным X, ортогональны. Их можно нормировать в
пространстве 3?(<?) на единицу. Последовательность
функций ф?., (q), фЦд), • • •, Ф\.(<7), ••• образует орто-
нормироваппую систему функций в функциональном
пространстве Гильберта 1р. Условие нормировки и ор-
тогональности записывается следующим образом:
для дискретного спектра X
jj Фь(<7)	(5.15)
для непрерывного спектра X
^М<7)Фх (q)dq-8 (X — X').	(5.16)
Оба уравнения можно записать в виде символическо-
го скалярного произведения
(Фъ Фц) = бхц-	(5-17)
Собственные функции фх(<у) обладают также свойст-
вом полноты:
Фх('7)Фх(7')^ =6(7—<?'),	(5.18)
которое можно записать кратко в виде символическо-
го разложения единицы по операторам проектирова-
ния:
J^=l,	(5.19)
где = Ф\ (/?) Ф*.(q')dk для непрерывного спектра
или Фа.=^Фх(<?)Фх(/)6(Х—X„)dX для дискретного
п
(X=Xi, Х2, ..., Хп, ...). Мы не будем более подробно
останавливаться на теории уравнения (5.13), посколь-
ку она хорошо описана в курсах квантовой механики.
28
Важно, что, исходя из теории статистического опе-
ратора, мы пришли к понятию собственных функций
операторов S?, образующих в пространстве Гильбер-
та ортонормированные последовательности функций
фх (7). Это позволяет нам определить любую волно-
вую функцию ф(7) — вектор в пространстве Гильбер-
та $(ф) — спектральным разложением по ортонорми-
роваппым функциям фх(7):
Ф(7)^- ^k(q)dcK,	(5.20)
где det. - амплитуда волны фх(7). Запись этого раз-
ложения в виде (5.20) пригодна как для непрерыв-
ного спектра, так и для дискретного. В первом слу-
чае de с (X) dk; во втором =	с(%)6(Х—X„)d%,
п
и интеграл (5.20) переходит в сумму по дискретным
значениям %==%п, с (к) = с (кп) сп- Разложение
(5.20) — представление любой волновой функции в
виде когерентной суперпозиции частных волновых
функций фх. Статоператор р когерентного ансамбля
можно построить не только на основе собственных
функций фх(<7) какого-либо оператора S [см. (5.14)],
по и па основе любой их когерентной суперпозиции
(5.20):
Р(7- </')- Ф(7) Ф’(<?')•	(5-21)
Подставляя сюда ф (7) из (5.20), мы увидим, что воз-
никают интерференционные члены типа Фх(7)Фг (7').
Это обстоятельство и послужило основанием для на-
звания рассматриваемых ансамблей когерентными.
Нетрудно показать, что общий статоператор (5.21)
так же, как и более частный (5.14), удовлетворяет
условию р2=р.
Условие (5.1) позволяет назвать статоператор ко-
герентного ансамбля оператором проектирования.
Рассмотрим любой вектор в пространстве Гильберта
Ф(7), подействуем на него оператором р (5.21) и по-
лучим (см. дополнение 5)
рФ(7)--=ф(7)(Ф, ф),	(5.22)
где <Ф, ф> — определенное выше скалярное произ-
ведение.
23
Из вектора Ф(<?) оператор р (5.21) вырезает ку-
сок, параллельный ty(q), и длина функционального
отрезка равна <Ф, ф>. Это и есть проектирование Ф
на ф. Полагая в (5.22) Ф (<?) =ф (<?), получаем
рф(<7) = ф(</)	(5-23)
(так как <ф, ф>=1). Из этого видно, что любой про-
екционный оператор имеет одно-единственное собст-
венное значение Х=+1.
Отметим еще одну важную формулу: любой эрми-
тов оператор 9? можно записать в виде разложения
по операторам проектирования
(5.24)
где к — собственные значения оператора статопе-
ратор р — собственный статоператор оператора Z.
Оператор dpx был определен ранее. Соотношение
(5.24) проверяется подстановкой его в (5.13).
В заключение покажем, что изменение волновой
функции ф(<?) во времени подчиняется уравнению
Шредингера. Для этого применим уравнение движе-
ния для статоператора р (4.20) к специальному слу-
чаю когерентного ансамбля, когда элементы р имеют
вид ф (<?) ф* (<?'). В раскрытом виде уравнение (4.20)
гласит:
Эр (j;q>1	?')-
01	п J
-p(q, q")H(q", q’)}dq" = 0,	(5.25)
где Fl(q, q') — матричный элемент оператора Гамиль-
тона. Подставим в это уравнение p(q, q') в виде
(5.21) и разделим результат на ф (q) ф* (q'); затем
соберем члены, зависящие от q и q'. В результате по-
лучим
Ф (<7) I dt h J
-7777	q')dq'\^.
ф (<? )	& й J	J
(5.26)
30
Это равенство возможно только в том случае, если
каждое из выражений, зависящих одно от q, другое
от q', постоянны и равны друг другу с обратным зна-
ком. Если обозначить эту постоянную (i/^)E0, то вы-
бор постоянной Ео, как нетрудно проверить, означает
выбор отсчета потенциальной энергии. Поэтому без
ограничения можно положить Ео—0. Тогда из (5.26)
получаем уравнение
л ^Ш_=СЙ(<7,	(5.27)
dt J
и второе уравнение, комплексно сопряженное к при-
веденному. Уравнение (5.27) есть уравнение Шредин-
гера в координатном представлении. Таким обра-
зом, доказано, что описания когерентного ансамбля
статоператором и волновой функцией эквивалентны.
В связи с этим заметим, что волновую функцию
нельзя считать величиной, которую можно приписать
отдельной микрочастице. Никаким способом ее нельзя
измерить, экспериментируя с одной частицей. Волно-
вая функция ф(д) так же, как и статоператор р, ха-
рактеризует принадлежность микрочастицы к опре-
деленному квантовому ансамблю, суть которого бы-
ла описана в лекции 4. Измерением в когерентном
ансамбле волновая функция ф(<?) может быть найде-
на, но, конечно, с точностью до постоянного норми-
ровочного множителя.
ЛЕКЦИЯ 6.
ВЕРОЯТНОСТИ И КВ,\ДРАТИЧНЫЕ
ОТКЛОНЕНИЯ
Обратимся сначала к унитарным преобразованиям
операторов р и S’. В пространстве Гильберта такое
преобразование можно рассматривать как поворот,
т. е. переход от одной ортонормированной системы
векторов ^(q) к другой фДд).
Покажем теперь, что эти функции могут высту-
пать и в другой роли; в роли матричных элементов
унитарного преобразования S. Определим элементы
этого преобразования с помощью соотношения
3(к, q)=^(q),	(6.1)
31
а элементы обратного преобразования S ' через
соотношения *

(6.2)
Перемножим теперь матрицы (6.1) и (6.2); по зако-
ну умножения матриц
р(%, q")dq"S-A(c/", 7/)dq"^
(7"И1 (q")dq" ^ б(Х-Х').
(6.3)
Условие полноты системы ортонормированных функ-
ций (5.16) позволяет доказать также и равенство
S_|S=1. Именно из него следует, что
^S~l(q, Г)$(Г, q’)dK" ^d(q-q').	(6.4)
Далее, согласно (6.1) и (6.2) S-I=S*, поэтому пре-
образование с такими матричными элементами —
унитарное. Это преобразование позволяет нам пере-
ходить из одного представления операторов в другое.
В частности, преобразование с элементами (6.1) и
(6.2) позволяет переходить из координатного пред-
ставления в пространстве переменных q — &(q) в
пространство переменных X — 5?(Х), которое являет-
ся пространством собственных значений некоторого
оператора S’, представляющего динамическую пере-
менную L.
Если оператор S' задан в пространстве R(q) свои-
ми матричными элементами S(q, q'), то унитарное
преобразование (6.1) приведет его к диагональному
виду. Действительно, элементы преобразованного опе-
ратора ЗУ равны элементам S3S~X. В раскрытом
виде элементы оператора ЗУ в L-представлении
(в пространстве 5?(Х)) следующие:
Л'(Х, Г) = jj фД<7) dq3 (q, q')'\\(q’)dqdq' =
= ^K(q)^v(q')dqdq' — X').	(6.5)
* Заметим, что в формулах (6.1)	(6.2) строчки и колонки
матриц нумеруются в разных пространствах Й(?) и 3?(Х).
32
Для^дискретного спектра X=Xj, Х2, ..., кп, • • • элемен-
ты Z' имеют вид
^'(n, т) = Х„6га,	(6.6)
где п — номер собственного значения X. При выво-
де (6.5) и (6.6) было использовано то обстоятельст-
во, что 1|д есть собственная функция оператора Z,
т. е. уравнение (5.13).
Преобразуем этим же унитарным преобразованием
статоператор р, заданный первоначально в простран-
стве $?(д) формулой (5.21). Элементы оператора р'
в /.-представлении согласно определению унитарного
преобразования (6.1) и (6.2) будут равны
р' (X, X') =Л Фх (7) Ф (?) Ф* (?') Фк' (?') dqdq'	(6.7)
Подставляя в (6.7) ф(^) в виде суперпозиции (5.20),
получаем
для непрерывного спектра X
р'(Х, Х')=с(Х)с* (X'),	(6.8)
для дискретного спектра X
p'(n, m)=c(n)c*(m).	(6.9)
Эти формулы дают элементы статоператора р в
/.-представлении.
Воспользуемся этими формулами, чтобы вычис-
лить среднее величины L в состоянии, описываемом
статоператором р в /.-представлении. Как было по-
казано ранее, унитарное преобразование не меняет
следа матриц:
Sp(p2’)=Spfp^').
Это означает, что в формуле для среднего значения
величины L, измеряемой в ансамбле, можно написать
произведение р£ в форме произведения p'L', взятых
теперь в /.'-представлении. В раскрытом виде след
этого произведения равен
L=Sp QZ) -Jp (X, X") Z (к", X) dk"dk.	(6.10)
2 Зак. 168
33
Замечая, что в /.-представлении матрица Z ди ато-
нальна	А") =А<6 (А—А"), получаем из (6.10)
Z=jAdp(A, А)	(6.11)
при условии Sp р= 1, т. е. при
/4/fT(X, А) = 1.	(6.12)
Для непрерывного спектра dp (A, А) = [с(А) |2(/А, а для
дискретного спектра dp(A, А)-.= £ |с(А))26(А—A,„)dA.
п
Поэтому имеем для этих случаев
L = fX|c(X)|MX,	(6.13)
или
L = ^n\c(n)\\	[(6.14)
п
Сравним эти выражения с общим определением сред-
него, принятым в теории вероятностей.
Среднее значение случайной величины L, прини-
мающей значения Ai, Аг, ..., А„, ... с вероятностями
Р1, Р2, ..., Рп, • •. (2РП=1), равно
Z = £W	(6.15)
ft
Сравнивая (6.13) с (6.15), видим, что величину
|с (п)|2 необходимо трактовать как вероятность наб-
людения в ансамбле р значения динамической пере-
менной L=Ln, т. е.
Рп= |с(п) |2.	(6.16)
Нетрудно видеть, что для непрерывного спектра ве-
роятность того, что A<LcA+AA, будет равна
Р (A) dA= | с (А) 12dk	(6.17)
Рассмотрим теперь две динамические величины L и
М, изображаемые операторами 2 и Л соответствен-
но. Нас будет интересовать случай, когда
\£,	(6.18)
34
Пусть ансамбль будет когерентным и определяется
статоператором
р(<7, 9/)='Ф(^)1’*('7/)-
(6.19)
Если волновая функция ф(7) не является собственной
функцией ни того, ни другого оператора, то ясно, что
в таком ансамбле ни величина L, ни величина М не
имеют определенного значения. Поэтому АЛ2>0 и
ДЛ42>0. Установим соотношения между этими квад-
ратичными отклонениями. В дополнении 6 показано,
что если А и В — два эрмитовых оператора, а с — их
коммутатор, с={А, 5], то
Л2В2> — к2!2,
4
(6.20)
где А2, В2 — средние значения квадратов операторов
А и В (при условии, что эти средние значения конеч-
ны). Полагая в (6.20) А=2?—L и B=Jl—М, где L и
М — средние значения величин 9? и Л соответствен-
но, получаем важное соотношение:
АЛ2АЛ12^ — | [&, М] |2.
4
(6.21)
В частности, если S'=ps и Jf=qs, пользуясь услови-
ем квантования (4.5), находим соотношение Гейзен-
берга в самой общей форме:
* 2 , 2_____К2 с
Aps Ar/f > — 6sr.
4
(6.22)
Существование соотношений вида (6.21) и фун-
даментального соотношения (6.22), как уже отмеча-
лось ранее, показывает, что никаким выбором подан-
самблей рх когерентного ансамбля р невозможно по-
лучить ансамбль, в котором все средние квадратич-
ные отклонения были бы равны нулю.
Как видно из (6.21), если коммутатор (6.18) ра-
вен нулю, то возможно одновременное равенство
ДЛ2=АЛ12=0, т. е. обе величины, L и М, могут иметь
определенные значения 1 и ц. Из равенства нулю
2*
35
коммутатора (6.18)' следует, что уравнения для соб-
ственных функций оператора £ и
(6.23)
v#T])=p.i|>	(6.24)
могут быть удовлетворены одной общей волновой
функцией ф. Чтобы убедиться в этом, следует подей-
ствовать на уравнение (6.23) оператором Л, а на
уравнение (6.24) — оператором £ и взять разность
результатов.
ЛЕКЦИЯ 7.
НЕКОГЕРЕНТНЫЙ АНСАМБЛЬ
Рассмотрим такую ситуацию, когда не определе-
но, какому когерентному ансамблю рх из возможных
в заданной макроскопической обстановке Л’ принад-
лежит частица ц. Однако будем предполагать, что
нам известны вероятности того, что частица ц может
оказаться принадлежащей соответствующему коге-
рентному ансамблю рх.
Вероятности Р>.. являются постоянными числами
(Рх>0, SPX=1), характеризующими заданную инфор-
мацию о квантовом ансамбле. Набор статоператоров
рх и вероятностей Рх (%=1, 2, ..., N) можно заме-
нить одним статоператором р, характеризующим са-
мый общий квантовый ансамбль:
Р = £
Рь(<7,	=
(7-1)
(7-2)
Такой ансамбль называют некогерентным, или сме-
шанным *. Основанием для такого названия является
то обстоятельство, что волновые функции фх(<7), опре-
деляющие когерентные подансамбли, складываются
в (7.1) своими интенсивностями |фх(<?)|2 (при q=
* Термин смешанный принадлежит фон Нейману, термин
некогерентный — К- В. Никольскому.
36
= q') и поэтому не интерферируют между собой. На-
помним, что в когерентном ансамбле складываются
амплитуды волновых функций с учетом их фаз:
Частные операторы проекции рх,
а.	л
определяющие полный статоператор р для некогерент-
ного ансамбля (7.1), ортогональны друг другу:
рфц=0,	(7.3)
и определяют статистически независимые события.
Сумма вероятностей входящих в определение
р (7.1), подчиняется условию вероятностей незави-
симых событий:
£Рх=!.
А.
(7-4)
Собственные значения операторов рх, как и всякого
оператора проекции, равны +1 и 0. В результате соб-
ственные значения оператора р (7.1) равны вероят-
ностям Рь Р2, ..., Рх, ..., Pn. Поэтому оператор р
(7.1), будучи приведен к диагональному виду, приоб-
ретает вид
(7.5)
Заметим, что общая запись оператора (7.1), пригод-
ная как для непрерывного, так и для дискретного
спектра, имеет вид
p=JP(X)dpx,
(7.6)
при этом, конечно, dpx не обязательно задавать в
координатном представлении в пространстве 5?(q, q').
С помощью унитарного преобразования можно перей-
ти к любому другому представлению М.
Если собственные значения Мь ..., Мп, ..., Мт
оператора Л дискретны, то оператор р в пространст-
ве М') приобретает вид
р(п,т)==£Рхфх(п)фх(т),	(7.7)
к
37
где 1|д(п) — амплитуды в разложении
^(<7) = £Ы«)ФЛ<7)>	(7-8)
п
а Ф„(<7) (п=1, 2, ...) — собственные функции опера-
тора М. В силу того что вероятности входят в
матрицу р линейно, не зависят от времени, а отра-
жают нашу информацию об ансамбле, все соотноше-
ния и уравнения, установленные ранее для когерент-
ного ансамбля, остаются верными и для ансамбля
некогерентного, конечно, за исключением условия
р2=р, характерного только для когерентного ан-
самбля. В некогерентном ансамбле
P2 = £^Pv	(7-9)
х
Собственные значения р2 суть 1.
Вычислим теперь среднее квадратичное отклоне-
ние какой-либо величины L, изображенной опера-
тором 3?.
Если среднее значение L есть L, то
ЛР = Sp [р (^—L)2] = £ Р>. Sp р, (J?- L)2 =
к"
= £	Sp р, {(£-LJ2 + (L-IJ2} =
х
= £/\1ЛГ2+ (L—Тх)2],	(7.10)
к
где L>. — среднее значение L в подансамбле рх;
ЛЦ — среднее квадратичное_ отклонение в том же
подансамбле; величина (L—Ек)2 — дополнительная
статистическая дисперсия, характерная для некоге-
рентного ансамбля, которая устранима применением
анализатора, разлагающего некогерентный ансамбль
р на когерентные подансамбли р?., которые уже не
разложимы на бездисперсионные подансамбли.
Обратимся теперь к уравнению движения для
оператора р (7.1). Из постоянства вероятностей РК
заключаем, что уравнение движения для статопера-
тора р некогерентного ансамбля не будет отличаться
38
от уравнения движения для статоператора когерент-
ного ансамбля (4.20). Действительно,
=-е^й-^=-[й-2?4
X	tx	X]
(7.11)
Поэтому уравнение^
А-+[Д,р] = 0	(7.12)
at
сохраняет свое значение и для самого общего кван-
тового ансамбля, каким является ансамбль некоге-
рентный. В этом выводе строго учитывается требова-
ние dPJdt=O. Подчеркнем еще раз, что величины Р>.
меняются только с изменением нашей информации.
Разумеется, если эта информация меняется очень
медленно (например, термостат, в который погру-
жена система ц, очень медленно меняет свою темпе-
ратуру 0) и если при этом наша микросистема ц
приходит в тепловое равновесие, то в (7.1) величи-
ны Рл = Рл(0), 0 = 0(1) можно считать зависящими
от времени, пренебрегая все же величиной dP^/dt.
Если же изменения температуры 0 быстрее, то и
сам термостат нужно изучать средствами квантовой
механики и определить новую макроскопическую об-
становку JP, такую, что Л погружено теперь в Л'.
Новая обстановка JC должна быть достаточно ста-
бильна, как и всякая хорошая система отсчета.
Рассмотрим теперь, как изменяется со временем
р(п, /) — вероятность найти в момент времени t
значение какой-либо динамической величины L, рав-
ное л. Для определенности будем считать, что спектр
оператора S дискретен: Л = Х|, %2, • ••, Хл, .... Х,п.
По определению вероятность р(п, t) равна диаго-
нальному элементу матрицы р, взятой в L-представ-
лении:
p(n, f)=p(n, n; I) =s(n|p(Q |и).	(7.13)
Часто интересуются не самой вероятностью, а ско-
ростью ее изменения со временем. Ответ на этот воп-
рос дается непосредственно уравнением (7.11), кото-
рое удобнее для нашей цели написать в представле-
39
нии взаимодействия. Согласно (4.27) в этом пред-
ставлении уравнение (7.11) приобретает вид
dp/dt+ [№(/), р] =0,	(7.14)
где W — энергия взаимодействия, из этого уравне-
ния следует
dt dt ' 1 V '
=-T2«n^(<)in")(n"ipin>-(nipi4x
n"
x{n"\W(t)\n)} = --i. J} {(n|^(0|n">(n//|p'k>-
n”
— (n"\p\n)*{nlW(t)\n")*},	(7.15)
откуда
dp(n, t)/dt= (2//г)1т(п|Г(0р(0|«>- (7.16)
Если было известно, что при t = 0 система р находи-
лась в состоянии Л = Хт, так что при /=0 только один
матричный элемент (m|p(0)|m)=l отличен от нуля,
то формула (7.16) дает вероятность перехода систе-
мы р в единицу времени из состояния m в состоя-
ние п.
Эта вероятность имеет простой вид в том случае,
когда можно ограничиться первым неисчезающим
приближением теории возмущения. В этом прибли-
жении из уравнения (7.14) получим
а<п|р^)|^ = _ j (/)) - (0)] । т} =
=	i-(n|r(0|m)(m|p(0)|m).	(7.17)
п
Имея в виду, что (m|p(0)|m) ~ 1, получаем
t
(n|p(0|m) = -y-J(n|^(T)|m)dT.	(7.18)
о
40
Все остальные матричные элементы (и| р (t) | п"), n"^=
=£--т, в рассматриваемом приближении равны нулю.
Подставляя эти результаты в (7.15), находим
(Ф(№) =	|f М»(.)ИЛ
(7.19>
Эта известная формула теории квантовых переходов
определяет в первом приближении вероятность пере-
хода системы в единицу времени из состояния с L =
= Лт в состояние с L = %n.
ЛЕКЦИЯ 8.
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
В РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
Рассмотрим уравнения движения для статистичес-
кого оператора р:
dp/dt+ [Й, р] = 0	(8.1)
в раскрытом виде в координатном представлении в
пространстве (q, q').
Ограничимся случаем одной степени свободы. Со-
ответственно возьмем оператор функции Гамильтона
(оператор полной энергии) в виде
Й=р2/2т+У (q),	(8.2)
где р — оператор импульса; т — масса частицы;
V (q) — оператор потенциальной энергии. В коорди-
натном представлении матричные элементы этого
оператора имеют вид
^(<7.9')=-^-^=^L + V(^)6(Q-7'). (8.3)
Подставляя это выражение в (8.1), применяя прави-
41
ла умножения матриц и используя при этом интег-
рирование по частям, получаем
ifi q,'> — Л2 d2p(g, д')  д2р(д, д')
dt	2т dq2 2т Эд'2
+ {V(9)-V(9')}P(9,<7')=O.	(8.4)
Если ввести новые переменные %, — q'—q и Q= (*7'4-
+ <?)/2, то
dp(Q. Е)'h	d2p	i	(у	_|_\	__
dt	т	dQdl	h	(	2 /
-V(Q—|}}рШ)-=0.	(8.5)
Это уравнение формально можно записать в виде
разложения по степеням Е- (п — нечетные)
dp(Q, Е)__jft s2p i г . /JLVV —x
dt m dQd~ "ft [ 5Q5	\ 2 / л! £ /
n=3
XP(Q,g) = O.	(8.6)
Уравнение (8.6) переходит в уравнение для класси-
ческой плотности p(q, р), представленной в простран-
стве q').
Действительно, если потенциал V(Q) и матрица
p(Q, s) — достаточно гладкие функции, то в (8.6)
можно пренебречь высшими производными dnV/dQn,
начиная с п=3. В этом случае уравнение (8.6) отли-
чается от соответствующего уравнения классической
статистической механики заменой в (3.15) произволь-
ной постоянной h' на постоянную Планка Й.
В этой связи рассмотрим еще одно важное пред-
ставление для статистического оператора р. Подобно
тому как классическую плотность р(д, р) можно
представить в пространстве 5?(</, </'), так и квантовый
оператор р(7, q'~) можно представить в пространстве
•фаз &l(q, р). Для этой цели колонки матрицы р(р, q')
будем нумеровать не переменной q', а переменной р.
Этого можно достигнуть, если выполнить «поло-
винное» унитарное преобразование, вводя вместо
42
p(q, q') величину p(q, p), определенную преобразо-
ванием колонки q':
p(<7, P)=fp(q, 4")S(q", p)dq", (8.7)
где матрица унитарного преобразования S имеет
элементы
(8'8)
В таком представлении, называемом «смешанным»,
квантовые операторы отображаются в пространстве
фаз 52(7, р) и возникает новая связь с классической
статистической механикой [1, 10—12].
Было замечено, что целесообразней вместо мат-
ричных элементов p(q, р) ввести новые элементы, от-
личающиеся от (8.7) множителем ехр(—ipqjh) /У'2л1г,
не обращающимся нигде ни в 0, ни в оо.
Эти новые элементы мы обозначим R(q, р):
R(q, р) = р(7, р)ехр(—ip^M)^2nh.	(8.9)
Такому преобразованию следует подчинить и все
другие операторы. Вместо матричных элементов
S’(7, 7') будем иметь
L(7, р)=^(7> Р)ехР(—1Р7М)/У2лЛ (8.10)
и
^(7, p)=j^(7, 7") exp (—ipq”lh')dq"l'\2nh. (8.11)
Пользуясь этими преобразованиями, нетрудно убе-
диться, что новые матричные элементы L(q, р) в
простейших случаях в точности совпадают с соответ-
ствующими классическими величинами. Именно
Рч,р~Р> Чч,р=с1>	(8.12)
/7(7, p)==P2/2m+V(7)	(8.13)
(доказательство см. в дополнении 7).
Там же показано, что формула для среднего зна-
чения величины L(7, р) принимает «классический»
вид:
L = J/?*(7, p)L(q, p)dqdp. (8.14)
43
Вероятность найти систему ц в точке (q) простран-
ства конфигураций имеет также классический
вид:
р(?)ЧШ P)dp.	(8.15)
Подобным же образом для импульсного пространства
p(p)=5R(q, P)dq	(8.16)
при условии нормировки
^R(q, p)dqdp=\.	(8.17)
Однако /?(<?, р) не является вероятностью найти сис-
тему ц в точке (7, р) фазового пространства J?(7, р),
что противоречило бы принципу дополнительности.
Это обстоятельство находит свое выражение в том,
что величина R{q, р), как можно доказать, всегда
комплексная, т. е.
R(q, p)^R*(q, р).	(8.18)
В силу линейности выполняемых преобразований
уравнение движения (8.1) сохраняется и для величи-
ны R(q, р):
dR/dt+[R, R]=0.	(8.19)
Однако конкретный вид операторной скобки Пуассо-
на [Й, Я] совершенно меняется. Именно, в раскры-
том виде уравнение (8.19) теперь записывается так
(см. дополнение 7):
+ fexp(iM{tf(7,p+n)/?(7 + g,p)-
dt J
—T?(7, p + n)T/(7+g, р)НШ	(8.20)
Если заметить, что интеграл
Inm = J exp(ign/fi)= (± \К)п+тт\8пт (8.21)
—со
имеет конечное значение, то можно разложить
H(q+%, р+ц) и Я (<7+1, Р+ц) по степеням и т] и
44
выполнить интегрирование по этим переменным. Тог-
да получается (см. дополнение 7)
dR(q, р)__р dR(q,	р)	дУ dR(q, р)  ift	d2R(q,	р)
dt	т	dq	dq dp 2m	dq2
y!	(-ift)n-i dnV(q) dnR(q,p)	(822)
jO	n\	dqn dpn
n^2
В случае достаточной гладкости функций R(q, р) и
V(q) можно пренебречь правой частью в (8.22). При
этом условии уравнение (8.22) для R(q, р) превра-
щается в уравнение для классической плотности
p(q, р). Представление квантовой механики в прост-
ранстве фаз &l(q, р) сближает ее с классической ста-
тистической механикой в том же пространстве.
Это позволяет нам сделать вывод о том, что обе
теории, классическая и квантовая, работают в оди-
наковых пространствах: &(q, q') и St(q, р) (возмож-
но еще и представление в импульсном пространстве
&(р, р'))- Некоторое расширение набора динамичес-
ких переменных, характеризующих микроскопические
системы ц, по сравнению с набором классических
переменных происходит за счет дискретных кванто-
вых переменных, таких, как механический спин час-
стицы о или ее изотопический спин т. Непрерывные
же переменные полностью умещаются в классических
пространствах.
ЛЕКЦИЯ 9.
СИММЕТРИИ В СИСТЕМАХ
тождественных частиц
Система ц, состоящая из N тождественных час-
тиц, обладает симметриями, имеющими фундамен-
тальное значение для физики микрочастиц.
Оператор Гамильтона Й такой системы должен
быть симметричным относительно перестановок час-
тиц. Это свойство гамильтониана —- математическое
выражение самого понятия тождественности частиц:
тождественные частицы одинаково взаимодействуют
между собой и с внешними полями, имеют одинако-
вые массы, заряды и другие признаки. Если через
45
&ik обозначить операцию перестановки i-й и /г-й час-
тиц, то для тождественных частиц имеет место ра-
венство
0>1кЯ=Й.	(9.1)
Однако это тривиальное соотношение, справедливое
и в классической механике, в квантовой области ве-
дет к особенным последствиям. Для выяснения этих
последствий следует обратиться к изучению возмож-
ных симметрий статистического оператора р для N
тождественных частиц. Ясно, что оператор р может
быть симметричным в отношении перестановки час-
тиц. Нетривиальная симметрия относится к переста-
новкам ^tk(q) и	переставляющим частицы
только в строках матрицы р(</, q') и только в ее ко-
лонках соответственно. Если вспомнить, что любой
статистический оператор р — сумма билинейных
выражений типа ((7)'Ф* (здесь ty(q) — волновая
функция), то ^ik(q) и &ik(q') означают перестанов-
ки частиц в волновой функции ф(<7) и соответственно
в функции ф* (<?')• Поэтому симметрия статистичес-
кого оператора при подобных перестановках пол-
ностью определяется симметрией волновых функций
Ф(<7)-
Рассмотрим волновые функции N тождественных
частиц ф(<71, ..., qi, , qk, , qn), являющиеся
собственными функциями оператора перестановки
Фае-
^tk^^qi, ...,qi,...,qk,...,qN) =
= Хф(?ь ..., qi...qk,...,qN),	(9.2)
где X — собственное значение оператора 9>ik. Приме-
няя к уравнению (9.2) вторично перестановку SPtk и
замечая, что о^?й=1, придем к заключению, что
Х2=1. Следовательно, возможные собственные зна-
чения оператора перестановки равны Х=±1.
Поэтому волновые функции системы тождествен-
ных частиц распадаются на два класса: симметрич-
ные функции фз(<7) и антисимметричные функции.
фа(^):
Piktys (... q • • •) = + Ф« (...?...);
^ik^a(q) = — фа(?)	(9.3>
46
для любой пары частиц i, k. Соответственно этим
двум классам волновых функций возникают два
класса статистических операторов для систем тожде-
ственных частиц: ps и ра, построенных на функциях
или фа(<?). Матрица ps(g, q') имеет структуру
суммы 1М7)фз*(</), а матрица pa(q, q') — структу-
ру суммы фа(<7)фа*(q'). Первая симметрична относи-
тельно перестановок &ik(q), ^tk(q'). Вторая анти-
симметрична относительно этих же перестановок.
В обоих случаях статистические операторы р сим-
метричны относительно перестановок частиц &>цг =
=&>ik(q)&ik(q'). Рассмотренные свойства симметрии
статистического оператора не зависят от представле-
ния. В приведенных выше рассуждениях под перемен-
ными q можно понимать не только координаты час-
тиц, но и любые другие переменные L, которые пол-
ностью характеризуют состояние микросистемы р.
При изменении статистического оператора с тече-
нием времени симметрия его сохраняется. Согласно
основному уравнению движения приращение статис-
тического оператора р за время dt равно
dp= —[Н, p]dt.
(9-4)
В силу симметрии оператора Й при перестановке
частиц скобка Пуассона имеет симметрию или ря,
или ps. Вместе с тем dp имеет симметрию dpa или
dps соответственно (см. подробнее дополнение 8).
Поэтому если в какой-то момент времени опера-
тор р принадлежал классу симметричных р5 или
к классу антисимметричных ра статистических опе-
раторов, то это его свойство инвариантно при дви-
жении. Деление операторов на два класса носит
абсолютный характер.
В согласии с экспериментальными данными ан-
самбли частиц с целым спином принадлежат к клас-
су симметричных ансамблей, ансамбли частиц с по-
луцелым спином — к классу антисимметричных ан-
самблей (это разделение можно теоретически обос-
новать в квантовой теории поля [12]).
В соответствии с этим делением различают два
типа квантовых статистических ансамблей — две ста-
тистики: статистику Бозе—Эйнштейна ps и статисти-
47
ку Ферми—Дирака ра. Для статистики Бозе—Эйн-
штейна
&ik(q)ps = +ps-, 'ps^ik(q') = +ps. (9.5)
В случае статистики Ферми—Дирака
&>ik(q)pa = — Ра, Pa^ik(q') =—ра (9.6)
для любой пары частиц (i, k). Заметим, что свойства
симметрии на языке оператора R(q, р), описываю-
щего квантовый ансамбль в фазовом пространстве
<%(q, р), выражаются более сложно, а именно:
p) = ±R(q, p)exp[i(p— pk) (х,—хк))П]. (9.7)
Это справедливо при перестановке координат. При
перестановке импульсов знак у фазы противополож-
ный. При перестановке частиц R.(q, р) не меняется.
В предыдущих лекциях указывалось, что квантовое
уравнение движения для статистического оператора
р(/) формально переходит в классическое при /г->0
и при дне।а।очной гладкости потенциала и началь-
ною с । а । нс । пчсского операюра (>(()).
В этой связи следует подчеркнуть, что свойства
симметрии не могут исчезнуть при Й->0. Симметрич-
ный или антисимметричный статистический оператор
обычно содержит существенную особенность по h
как параметру. Это свойство ясно видно из формулы
(9.7), когда статистический оператор дан в простран-
стве <%(q, р).
Простым примером поясним суть дела. Пусть
имеются две тождественные свободные частицы 1 и
2, имеющие координаты xt и х2, импульсы Pi и р2.
Несимметризованная волновая функция ф имеет вид
произведения двух волн:
ф(хь х2) =exp(ipiXi//j)exp(ip2x2M). (9.8)
Диагональный элемент соответствующего статистиче-
ского оператора определяется равенством
р(хь х2; хь х2)=ф(хь х2)ф*(хь х2).	(9.9)
Для симметризованных состояний
ф(хь х2) = {exp(ipIx1//i)exp(ip2x2/^) ±
± exp (ip2Xi/ft) exp (ipiX2//l)}/ ^2.	(9.10)
48
Здесь знак выбирается в зависимости от статистики,
отсюда получим
Pa,s(xi, х2; Х\, х2) = 1+cos[(Pi—р2) (^1—х2)//1]. (9.11)
При й->0 возникают осцилляции, частота которых
неограниченно нарастает; точка й = 0 — существенно
особая.
Рассмотренный здесь пример реализуется в при-
роде при рассеянии одинаковых частиц, например
протона на протоне (случай статистики Ферми —Ди-
рака), или при рассеянии а-частиц на Не (случай
статистики Бозе—Эйнштейна).	При определенном
классическом рассмотрении, когда точность измере-
ний недостаточна, чтобы различать области фазового
пространства Я (q, р) размером | (pi—р2) (Xi—л2) |
~Й, осциллирующий член в (9.11) становится ненаб-
людаемым, но не исчезает сам по себе [11].
ЛЕКЦИЯ 10.
ЭНТРОПИЯ и ИНФОРМАЦИЯ
В статистической термодинамике энтропия S сис-
темы определяется известной формулой Больцмана:
-kyp^p^ £/\ = i, (10.1)
л	‘л"
где k — постоянная Больцмана; Рк — вероятность
возможных состояний X системы. Согласно (7.4) ве-
роятность — собственное значение статистического
оператора р. Поэтому формулу (10.1) можно запи-
сать в виде, инвариантном относительно выбора
представления статистического оператора р, а именно
в виде*
S=-k Sp (р In р); Spp = l.	(Ю-2)
Собственное и единственное значение оператора р
для когерентного ансамбля есть /\=1. Поэтому энт-
ропия для когерентного ансамбля
S-0.	(10.3)
* Эти формулы впервые даны фон Нейманом [8].
3 Зак. 168
49
Для некогерентного ансамбля, как следуп in (10.1),
3>0.	(10.4)
С другой стороны, когерентный и некогереи i iir.iii ан-
самбли отличаются с кибернетической точки «рения
различным содержанием информации.
Когерентный ансамбль содержит максимум ин-
формации о микросистеме р, совместимый «• принци-
пом дополнительности. Такой ансамбль, песмо|ря на
наличие в нем статистической дисперсии, является
максимально упорядоченным ансамблем, полому его
энтропия равна нулю и не может быть уменьшена.
Некогерентный ансамбль отбором результатов н «ме-
рений можно разбить на чистые, когерентные ансамб-
ли рх, в каждом из которых энтропия Sx=O.
Мерой информации I в теории информации при-
нимается величина, пропорциональная разности >нг-
ропий [13]:
7—3 (до измерения)—3(после измерения). (10.5)
При этом энтропию 3 обычно измеряют в единицах
информации — в битах. Если перейти к этим едини-
цам, то (10.5) перепишется в виде
1 = Н(до измерения)—Н(после измерения). (10.6)
Величина
Я=-£7\log27\ = S/(£ln2)	(10.7)
х
принимается за меру неопределенности информации.
Если имеются только две возможности, то рх=1/2 и,
следовательно, 77=1 бит.
Измерения в некогерентном ансамбле, определяе-
мом статистическим оператором рм, даны на рис. 3, а.
Энтропия этого ансамбля Зм>0- После измерений
величины L, имеющей собственные значения Xi,
Х2, ..., Хп, ..., все экземпляры микросистемы р,
имеющие Ь = "м, помещают в первый ящик, экземпля-
ры, имеющие L = X2, — во второй ящик и т. д. После
этой операции внутри ящика номера s имеется коге-
рентный ансамбль частиц с Е=Х,. Энтропия этого
ансамбля 35 = 0. Сумма энтропий всех этих ансамб-
лей 3 = 0.
50
К рассматриваемом случае S'(до измерений)=
^S’m>0, S (после измерений) =SSs = 0. Информация
/ оказывается положительной: 7 = S/(& In 2) >0.
Измерения в когерентном ансамбле даны па
рис. 3,6. Предполагается, что ансамбль задан значе-
нием некоторой динамической переменной L = A, опи-
Рис. 3. Измерение в некоге-
рентном (а) и когерентном
(б) ансамблях: а — исходная
энтропия 5Л1>0; после изме-
рения величины L в каждом
ящике с определенным
величина 5^=0; объем инфор-
мации возрос; б — исходная
энтропия 5х = 0; после измере-
ния величины М в каждом
ящике энтропия Зф-0; объем
информации не изменился
сываемой оператором S’. Ансамбль .S\ когерентен:
в этом ансамбле AL2 = 0. Мы будем интересоваться
некоторой другой динамической переменной М, опи-
сываемой оператором Л, причем предполагается, что
\&, Л\
(10.8)
В силу соотношения (6.21) в исходном ансамбле
ДЛ42>0. Если собственные значения оператора Л
есть pi, |л2, • • -, pis, ..., а собственные функции суть
<Ри(<7), то волновая функция фД?), описывающая ис-
ходный ансамбль, — когерентная суперпозиция функ-
ций <р(1(7):
Фх (?) = УЧ(Н) Фв (?)	(Ю-9)
р.
Анализатор прибора раскладывает эту суперпозицию
на пучки, каждый с определенным значением M =
Экземпляры с определенным М собираем в соответ-
ствующие «ящики». Таким путем из одного чистого
исходного ансамбля рх возникло несколько чистых,
когерентных ансамблей pgl, pg2, ... , р^, .... Во
всех этих ансамблях энтропия равна пулю. Поэтому
полученная информация I в этом случае равна пулю.
3
51
Этот результат не должен казаться странным, так
как во вновь__возникших когерентных ансамблях
ДЛ12 = 0, но Д£2>0. Мы получили информацию о ве-
личине М, но потеряли информацию о L. В частнос-
ти, если L и М — канонически сопряженные величи-
ны, то
[S, jf]=l,	(10.10)
дГ2ДЛЁ>й2/4.	(10.11)
Измерять изменение информации в когерентных
квантовых ансамблях в терминах энтропии уже не-
возможно, поскольку она все время остается равной
нулю. Поделим (10.11) па й2/4 и введем безразмер-
ные квадратичные дисперсии ДГ2 и ДЛ12. Беря лога-
рифм от полученного выражения, найдем
(—In ДЕ2)-}- (—1пДМ2)^0.	(10.12)
Если каждое из слагаемых рассматривать как меру
информации о L и М (соответственно) в когерентном
ансамбле, то (10.12) указывает верхнюю границу
для этой информации и взаимную дополняемость ин-
формации об L и М.
В заключение приведем некоторые формулы, от-
носящиеся к квантовому ансамблю, находящемуся
в равновесии с термостатом температуры 0 = /?Г
(Г — абсолютная температура). Макроскопическая
обстановка М вполне определяется таким термоста-
том.
Это равновесный квантовый ансамбль Гиббса.
Распределение в данном случае является канониче-
ским:
Px~exp(-£J0),	(10.13)
где £г. — энергия микросистемы ц в состоянии Л.
Условие нормировки	приводит к выра-
жению
Р, = ехр{ (F (0) -EJ/Q},	(10.14)
где F (0) — свободная энергия системы. Из условия
нормировки на единицу имеем
exp(F/0) —Z-’ (0); Z(0) = £ ехр( — £Л/0), (10.15)
х'
где 2(0) называется суммой состояний.
52
Подставляя 1\ в < (10.14), найдем ш формулы
(10.1) для энтропии
S = —/г{/70-Е/О} (/> Л)/7',	(10.16)
где £ — средняя энергия системы. Из (10.16) следу-
ет известная формула F —£—TS. Статистический
оператор для канонического ансамбля имеет матрич-
ные элементы:
JexpI(F--£J/0jipx(7)4u(9'), (10.17)
%
где фх(7) — собственная функция оператора энер-
гии Й:
ЯтМ?) = £гфДр),	(10.18)
отсюда
(Ю.19)
Это соотношение позволяет записать (10.17) в сим-
волическом виде:
ро = exp (F/0) Jexp [-/? (7)/@]	(Ю.20)
и, следовательно, величина	——р9ехр(—F/0) удов-
летворяет уравнению
<Жф = /?(?)Л	(10.21)
Здесь р= 1/0. Это уравнение замечательным образом
совпадает с уравнением Шредингера с «мнимым»
временем /=1йр. Причем £=0 отвечает (3 = 0, т. е.
бесконечно высокой температуре 6.
ЛЕКЦИЯ И.
ТЕОРИЯ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ
И ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
Под открытой квантовой системой понимается сис-
тема Л с ограниченным числом степеней свободы
1а, взаимодействующая с другой системой В, имею-
щей неограниченное (или очень большое) число сте-
пеней свободы fjj. Координаты системы А обозначим
д-= (хь ..., Х[а), а координаты системы В обозначим
Q==(^h ..., ецп); [в»1. Пусть состояния системы А
сосредоточены в гильбертовом пространстве §(, в
котором заданы ортонормированные функции тра(х).
53
Состояния системы В сосредоточены в пространстве
S3, в нем заданы ортонормированные функции
ф₽(<2) (а — динамические переменные системы А;
Р — динамические переменные системы В). Оператор
Гамильтона всей системы (Л + В)
Я=ЯА(х)+ WAB(x, Q),	(11.1)
где ЙА(х) — гамильтониан изолированной системы
A; BB(Q) — гамильтониан изолированной системы
В; $дв(х, Q) — энергия взаимодействия систем А и
В. Предполагается, что для /^0 WAB(x, Q)=0. В
момент / = 0 состояние системы А характеризуется
статистическим оператором рл (0), определенным в
пространстве у, а состояние системы В — статисти-
ческим оператором рв(0), определенным в простран-
стве 25.
Статистический оператор для всей системы обо-
значим рлв, и действует он в пространстве
Согласно предположению при t = 0
рлв (0) = рл (0) рв (0).	(11-2)
Чтобы найти оператор рАВ(1), описывающий состоя-
ние взаимодействующей системы (А + В) для />0,
необходимо решить уравнение
dpABjdt-[- [7/, рдд] =0	(11.3)
с начальным условием (11.2) и гамильтонианом
(11.1).
Решение уравнений подобного типа, содержащих
большое число переменных (система В), представ-
ляет собой труднейшую математическую проблему.
Существенный вклад в преодоление этих трудностей
внес Н. Н. Боголюбов [14, 15].
Формальное решение уравнения (11.3) можно за-
писать с помощью унитарного преобразования:
рлв(0 =ехр(1/В)рл(0)рв(0)ехр(—iflt), (11.4)
где /7 — оператор Гамильтона (11.1). Это же реше-
ние можно представить в виде ряда Тейлора по сте-
пеням времени i:
рлв(/)=ехр(7/)рл(0)рИ0),	(11.5)
54
где Z — оператор взятия скобок Пуассона, т. е.
/()=[//, р]. Разлагая (11.5) по степеням t, получаем
ряд, коэффициенты которого суть н-кратпые (п - О,
1, 2, ...) скобки Пуассона. Эти скобки имеют смысл
n-й производной по времени от р: Znp = dnp/dtn. По-
этому представление (11.5) эквивалентно ряду Тей-
лора.
Часто интересуются не столько совместным сос-
тоянием систем А и В, сколько состоянием малой
системы А. Статистический оператор рл(/), опреде-
ляющий состояние системы А, в момент времени t
при любом состоянии системы В выражается через
статистический оператор рлв(/) с помощью следую-
щей формулы:
Пл(0=5р(в>рлВ(0,	(П.6)
где след Sp(C) берется только по переменным систе-
мы В, т. е. в пространстве S3.
Построить точное уравнение движения только для
оператора рл (О невозможно. Однако возможны раз-
личные приближения. Если влиянием системы А на
большую систему В можно пренебречь, то рв(0 =
= рв(0), и следовательно, рлв(/) = рл (Орв(О). Под-
ставляя это выражение для статистического опера-
тора в уравнение (Н.З) и замечая, что
Sp(B)pB(O) = 1; SpW[//B, рв(0)]=0,	(11.7)
получаем уравнение для рл(/):
dpA(t)/dt+[HA, рл(0] + [Wa, рД0]=0, (Н.8)
где оператор
WA = SpWWAB	(11.9)
и представляет собой взаимодействие 1ГлВ, усреднен-
ное по состояниям системы В. В таком приближении
система В создает некоторое внешнее поле, действу-
ющее на систему А. Нетрудно доказать, что из
условия Wab = Wab следует эрмитовость WA = WA
и сохранение нормировки
-А5ррл = 0.	(11.10)
at
55
Возможность сведения общего уравнения (11.3) к
«управляющему» уравнению (11.8) (система Б уп-
равляет системой Л) представляет собой серьезное
упрощение проблемы, но все же это уравнение может
быть очень полезным в тех случаях, когда сущест-
венно среднее поле, создаваемое системой В*. Такое
приближение можно взять также в качестве нулевого
приближения с тем, чтобы позднее учесть отклонения
координат системы В от их средних значений.
Возможны и такие любопытные случаи, когда сис-
тему В можно описать классической статистической
механикой. В этом случае состояние системы В зада-
ется плотностью р(<7, р) в фазовом пространстве
&(q, р) или в пространстве 52(7, q') с помощью
фурье-образа р(7, g);	—q (см. лекцию 3). По
поводу теории открытых систем существует обширная
литература. Помимо классических работ Н. Н. Бого-
любова [14—16] см. также [17—20].
Важным классом открытых систем являются сис-
темы, в которых малая, микроскопическая система А
управляет состоянием большой, макроскопической
системы В. Такая ситуация осуществляется во всех
приборах, предназначенных для измерении в области
квантовых макроскопических явлений**; образно
можно сказать, что микросистема р обязана в этом
случае сдвинуть «стрелку» прибора, поставив ее в по-
ложение, определяемое микросистемой р. Ясно, что
такое течение явлений возможно лишь в том случае,
когда измерительный прибор (большая система В)
является макроскопически неустойчивой системой.
В противном случае частица р (малая система Л) не
сможет изменить макроскопическое состояние боль-
шой системы В из-за недостаточности у нее энергии
и импульса.
Найдем условия, налагаемые на статистический
оператор, описывающий процедуру измерения. Пусть
малая система А — микрочастица р, описываемая
динамическими переменными х=(Х|, х2, ..., Xf), а
система В — макроскопически неустойчивая система,
описываемая переменными Q=(Qi, Qi, , Qm)
* Например, Л есть атом, погруженный в электронную плаз-
му В.
** Существуют макроскопические кнантоные системы, напри-
мер сверхпроводники и сверхтекучие жидкости. В дальнейшем
они не обсуждаются.
56
(N — большое число). Эта система и будет служить
измерительным прибором. При 1 = 0 их общий стати-
стический оператор рдв(О) имеет вид (11.2), причем
p i (0) и рв(0) имеют матричные элементы:
рд (0)=(л’|<>1 |.г'>; рв (0) =<Q | рв| Q').	(11.11)
Оператор рв(0) описывает неустойчивое состояние
системы В при /-(). Оператор рдв(() вычисляется из
(11.3), которое в представлении взаимодействия при-
нимает следующий вид:
<5рлв(0/^1-[Глв(/), p^b(/)]=0.	(11.12)
Для краткости матричные элементы оператора
рлв(/) обозначим p(,r, Q |х', Q'; I), где чертой отде-
лены строки от колонок. Разложим этот оператор по
собственным функциям некоторого оператора
который представляет измеряемую величину L, име-
ющую собственные значения Ln и собственные функ-
ции фл(х). Тогда получим
P(x,Q]x',Q';0 = £	0%(х)Ф™(х'). (11.13)
п,т
Макроскопическая система В будет служить изме-
рительным прибором для определения величины L,
присущей микрочастице р, если с течением времени t
исчезнут интерференционные члены в (11.13), т. е.
требуется, чтобы для некоторого />7\>0
tf™(Q|Q'; 0=0, ti^m. (11.14)
Тем самым выполняется условие о том, что прибор
действует как спектральный анализатор, разлагая
общее состояние в спектр по «пучкам» фы(х), каждый
с определенным значением L=Ln. Иными словами,
статистический оператор (11.13) превращается в ста-
тистический оператор, представляющий смесь состоя-
ний по признаку L = Ln для />7\:
P(x,Q|x',Q';0 = £/?„(QIQ';0^,(x) Ф^(х'). (11.15)
п
Интересующая нас вероятность того или иного сос-
тояния пашей системы определяется диагональными
57
Членами этого статистического оператора. Из (11.15)
видно, что эти члены
Р(Х, Q|x, Q; /) = £ Rn (QJQ; /)]%(х)|а.	(11.16)
п
В дальнейшем с течением времени при 1>Т2>
>71>0 наш прибор должен свести сумму (11.16)
к одному члену. Допустим, что пространство пере-
менных Q—$?(Q) можно разбить на такие непересе-
кающиеся области	, что если Q^£2n,
то при t>T2 все Rm(Q\Q; t)=°, кроме 7?«(Q|Q; i).
Интегрируя тогда (11.16) по переменным Q, най-
дем для системы ц
pm(x,Z)= J P(x,Q\x,Q-i)dQ = Pn\^n(x)\i, (11.17)
где
Рп =$ RnkQ\Q^t)dQ	(11.18)
о
й п
— вероятность того, что измеряемая величина L рав-
на Ln и микрочастица ц находится в состоянии, опи-
сываемом функцией фл(х).
При этом система В сосредоточивается в некото-
рой области Qn(Q) пространства 52(Q). В силу пред-
полагаемой макроскопичности В число переменных
Qs — большое число N. Сосредоточение их в области
означает изменение макроскопического состояния
В, которое можно выразить в макроскопических тер-
минах, например, сосредоточение переменных Q в
области означает изменение температуры, силы
тока, цвета и т. п. Микрочастица ц (система Л) не
может вызвать таких глобальных изменений системы
В, если в ней заранее не была заложена неустойчи-
вость. Эта неустойчивость может быть электрической,
термодинамической, механической и т. п.
Работа измерительного прибора при t>T2, приво-
дящая к исчезновению всех	/), кроме
7?„(Q|Q; О, т. е- все Q лежат в есть вторая функ-
ция измерительного прибора — функция детектора.
Из практики эксперимента хорошо известно, что
все детекторы — системы неустойчивые. Например,
искровая камера неустойчива электрически; пузырь-
ковая камера или камера Вильсона — термодинами-
58
чески. Во всех случаях детектирование состояния
микрочастицы является «взрывом» макроскопической
системы, инициированным микрочастицей |21]. Раз-
деление функций измерительного прибора па функ-
цию анализатора А и функцию детектирования D
показано на рис. 4. Источник частиц S и диафрагма
Рис. 4. Схема типичного измере-
ния. Обстановка М создана ис-
точником S и диафрагмой 00'.
Образуется пучок ри; Л4+ц. Ди-
фракционная решетка dd' раз-
лагает пучок в спектр по при-
знаку L =	Л.2, ... . Это аналп-
кттор А. Детекторы па пучках
/?i, Да, ... образуют детекторную
систему D. Внешними контурами
обведены (ц + М) и (A+D)
--------(ц-1 — d------------------
00' — макроскопическая обстановка М, задающая
состояние рм частиц пучка ц. Дифракционная решет-
ка является анализатором А.
Здесь ставится вопрос: что хотим измерять? Де-
текторы Д|, D2, ... отвечают на вопрос, в каком имен-
но состоянии оказалась частица р, или, используя
язык оптики, какого она цвета? В этом примере
источник излучает «белый» свет. Статистический опе-
ратор рм описывает некогерентный ансамбль:
Рм=уХрь.	(11.19)
К
Анализатор А разлагает этот некогерентный ан-
самбль на «чистые» ансамбли р1( р2, ... фазовые со-
отношения между различными цветами были нару-
шены уже в исходном ансамбле, и после анализатора
пучки разного цвета остались некогерентпыми.
Рассмотрим другой случай, когда исходный ан-
самбль — когерентный ансамбль, описываемый вол-
новой функцией ф = а1ф1 + а2ф2- Состояния ф] и
фз отличаются правой и левой поляризациями. Схема
постановки эксперимента для измерения поляризации
частиц приведена на рис. 5.
Исходное состояние ф создается поляризатором П,
который вместе с источником частиц ц играет роль
макроскопической обстановки М. Анализатор А раз-
59
лагает ф на право- (фц) и. лево- (ф2) поляризованные
пучки. В этом случае пучки ф] и ip2 остаются коге-
рентными, и их можно вновь свести в когерентный
пучок ip. Детекторы D} и D2, будучи макроскопичес-
кими системами, нарушают эту когерентность, более
того, их роль обязательно сопровождается необрати-
мыми процессами, увеличением энтропии. Это увели-
чение энтропии, как было разъяснено в лекции 9,
есть плата за информацию.
В рассмотренных выше примерах исходная мак-
роскопическая обстановка М и вместе с ней сам ис-
х(/д/+ф
Рис. 5. Измерение в когерентном
ансамбле. S — источник частиц;
П — поляризатор (система М+
+ ц). Анализатор А раскладыва-
ет пехотный пучок на пучки ip,
и фг с различной круговой по-
ляризацией; Г),, Г)-, — детекторы
частиц различной поляризации
ходный ансамбль (М + ц.) задаются экспериментато-
ром. Это, конечно, особый случай. Квантовые ан-
самбли существуют в природе и сами по себе, неза-
висимо от экспериментаторов. Они существовали и
тогда, когда вообще никаких экспериментаторов не
было на свете [1, 2]. Примером природного ансамб-
ля является ансамбль космических лучей. Этот ан-
самбль определяется солнечной деятельностью и маг-
нитным полем Земли. В данном случае эксперимен-
татор ставит своей задачей выяснить природу ан-
самбля, уяснить состав частиц и спектр их энергий
на входе лучей в атмосферу, т. е. определить p,u(0k
и изучить дальнейшее развитие этого ансамбля, т. е.
определить рм(0- Время t отсчитывается в этом слу-
чае высотой Н, на которой изучается ансамбль. Час-
тицы космических лучей имеют скорость, близкую
к скорости света с, поэтому / = (77—Н0)1с, где Но —
какая-нибудь заатмосферпая высота (рис. 6). При
этом изучаются разные экземпляры частиц р. Но все
они объединены принадлежностью к одному кванто-
вому ансамблю, описываемому статистическим опе-
ратором рм(0). На рис. 6 это обстоятельство отмече-
но указанием на то, что из .(V падающих первичных
частиц используются для измерений па высоте Но
60
( гля получения информации о рЛ( (())), а Л' ч.н иш
и ivr на измерения на высоте // (для iio ivnviiioi ни
формации о рм(0)- Другим интересным примером
природного квантового ансамбля является приро uii.iii
томный реактор, обнаруженный в Габоне (Западная
Рое, 6. Космические лучи иссле-
дуют на большой высоте И» в
полях выяснения их первичного
состава (определение р(0)); изу-
чая их па меньших высотах И,
получают сведения об их разви-
тии (определение р(/))
Африка), который существовал примерно два милли-
арда лет тому назад и работал более полмиллиона
лег [22].
Всюду, где в природе протекают квантовые про-
цессы, мы имеем дело с квантовыми ансамблями. Та-
кие ансамбли обычно принадлежат к числу некоге-
рентных и открытых ансамблей.
ЛЕКЦИЯ 12.
ПРОСТЕЙШИЙ ПРИМЕР
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МИКРОЧАСТИЦ
С ИЗМЕРИТЕЛЬНЫМ ПРИБОРОМ
Рассмотрим измерение, относящееся к микрочас-
тице ц, которая имеет массу ц. Ее координату обо-
значим х (для простоты ограничиваемся одним изме-
рением); импульс — k. Предположим, что исходное
состояние частицы является суперпозицией двух
плоских волн:
дц(х) =А4ехр (ikx) +Л~ехр (—\kx); (12.1)
два частных состояния с + k и —k в этом случае ко-
герентны.
Мы хотим узнать, каково направление движения
частицы? Иными словами, хотим определить знак ее
61
импульса k [1, 21j. В качестве прибора для такого
измерения используем макроскопическое устройство:
«шарик» массы	расположенный па вершине
усеченного конуса и способный свободно, без трения
двигаться по поверхности конуса. Потенциальная
энергия этого шарика U(Q) как функция координа-
ты его центра тяжести Q приведена на рис. 7. На
Рис. 7. Потенциальная энергия
U(Q) шарика М, расположенно-
го на вершине усеченного кону-
са:
Q — координата центра масс
шарика. Указаны два уровня
энергии £о и Е11 = рг1г1 М; U» —
энергетическая высота конуса
вершине конуса имеется неглубокая ямка шириной
2а. Энергия е, необходимая для освобождения шари-
ка из этой ямки, считается очень малой: ъ — Ер—Ео^_
— кинетической энергии частицы ц (е* = Й2&2/2ц).
В силу малости е шарик находится в неустойчивом
равновесии, и после рассеяния па нем микрочастицы
он движется направо или налево по вершине усечен-
ного конуса. При достижении края вершины (Q =
= ±&) шарик начнет падать вниз и может приоб-
рести как угодно большую энергию ЕР = Р2/2М = Uo
(здесь Р — импульс шарика, a U(] — энергетическая
высота конуса, которая может быть очень большой).
Таким образом, микроскопическое явление — рассе-
яние частицы ц на шарике — порождает явление
макроскопическое.
Мы будем считать температуру шарика равной
О К и будем игнорировать его сложную структуру*.
При этих предположениях исходное состояние шари-
ка можно считать «чистым» и приближенно описы-
вать его волновой функцией осциллятора:
Ф0(ф)=згехр(—Q2l'a.2)!y^na.	(12.2)
* Поскольку опа явно несущественна в рассматриваемом
процессе.
62
Ширину вершины конуса b будем считать мНогО
большей ширины ямки а. Волновую функцию шарика
после получения импульса Р в области —b<Q< + b
можно считать плоской волной:
0>P(Q) = exp(iPQ)//2n.	(12.3)
Ниже будет показано, что после рассеяния частицы ц
па шарике он оказывается в двух пеинтерферирую-
ншх между собой состояниях. Одно из них отвечает
движению шарика направо (Р>0), а другое — дви-
жению палево (Р<0) в зависимости от того, в каком
состоянии рассеялась на шарике микрочастица ц:
имея импульс k или —k. Поэтому движение шарика
по вершине конуса выполняет функцию анализатора,
а дальнейшее падение его вниз — функцию детекто-
ра. Таким образом, в пашем простом примере при-
бор, как это и должно быть, выполняет обе функции,
.характерные для измерительных приборов.
Обратимся теперь к математической теории этого
прибора. Предположим энергию взаимодействия ша-
рика и микрочастицы в простейшем виде:
*) Для t > 0;
1₽лв = 0	для i < 0,
(12.4)
где д константа взаимодействия, которую можно
считан, малой. Это позволит нам пользоваться тео-
рией возмущений. Обозначим волновую систему
«частица прибор» в начальный момент времени
Q):
‘Fo(x, Q)=<Do(Q)qM*)-	(12.5)
Волновую функцию системы Ч7(х, Q, Р) для />0
будем искать, исходя из уравнения Шредингера
iftd'Y/dt — {НА (х) + Нв (Q) + &АВ (х, Q)} = 0, (12.6)
здесь /?л(х), /?b(Q) — гамильтонианы свободного
движения частицы ц и шарика М. Положим
Чг(х, Q, /) = Уо(л‘, Q)exp[—i(£0 + eft)/] + и(х, Q, t),
(12.7)
где п рассеянная волна. Подставляя (12.7) в
(1'2.6) и пренебрегая произведением Ф'и (величиной
63
Порядка g2), получаем уравнение для рассеянной
волны
ihdu(x, Q, t)!di—{RA(x)-}-Hi3(Q.)}u(x, Q, I) -=
~=Wab(x, Q)4ro(-v, Q, 0exP I—i(E0 + e,k)t\. (12.8)
Эту волну будем искать в виде разложения
и(х, Q, t) — ФР(ф)ехр[— \EptlK\iip (х, i)dP. (12.9)
Подставляя теперь (12.9) в (12.8), умножая получен-
ное уравнение на Фр- (Q), интегрируя по Q и поль-
зуясь условием ортогональности:
?Ф^(С)Фр((2) dQ — d(P'-—P),	(12.10)
V
получаем уравнение для
\h.duP(x, t)/dt — НА(х)иР(х, 0 —
=	(х) Фо (х) <Pfe (х) exp [ 1 (Ер — ek)/h — i<ofe//^ ],(12.11)
здесь
h<i)k — h2k2/2p; RA (х) = — (h2/2p)d2/dx2.
Уравнение (12.11) разрешаем с помощью функции
Грина 9 (х—х', t—t') свободного уравнения, т. е.
уравнения (12.11) при g = 0:
t
иР(х, t) = Sji(a:—x', t — t')di'dx'p(x', t')dx'dt',
о
(12.12)
где согласно (12.11) источник p(x', t') равен
p₽ (x', t') =
=£фр*(х)Ф0(х)(р/г(х)ехр[1(Ер—E0)tlh—ito^] • (12.13)
Амплитуды A+, A~ входят в (12.13) линейно, по-
этому достаточно вместо <р&(х) рассматривать функ-
цию A±exp(±iifex) и соответствующие рассеянные
волны иР±(х, t).
Как известно, функция 9 (х, i) для свободного
движения частицы с массой ц равна [21]
(%,/)=	ехр(1рх2/2'У)(12.14)
F	у I
64
Подставляя теперь ир(х, /) в (12.9), мы видйм, что
в (12.9) войдет интеграл
•^m(Q—х',	сгРФр(2)Фр-(x')exp[iEp(t — /')],
(12.15)
который есть не что иное, как функция Грина для
свободного движения частицы М (шарика). Поэтому
t
(х, Q, t)^=gA± (А^(х—х', t — t')%M(Q—x', t—
о
— Г)(/х'Л'Ф0(х')ехр(± i^%/) exp [—’	(12.16)
или в раскрытом виде, полагая т = /—
и±(х, Q, O==g,n±exp(iwoi') U ~\/ —— f dx' х
F 2л1Д г 2л1Й J
X f — exp [ ip ('х~х-~ + iM	I ехр(± ikx’) X
J т I 21М	21Лт J
о
X Фо (х') exp(— i®0T).	(12.17)
В этом интеграле можно выполнить интегрирование
по dx' (см. дополнение 9). Тогда получим
___ t
и'~ (х, Q, t) --gA+ exp(i<aoO - у"л(—-exp (— ia>0-t)X
2 л i /2 j it
0
X —^-exp[—B± (t) + C(t)1,	(12.18)
Л (t)
причем
U	t	л/l	it f,	J
c =-L(iix2 + W).	(12.19)
2йт
Если теперь использовать исходное предположение
то ReS±2 принимает вид
Re В2± = [Q ± от]2/а2,	(12.20)
65
здесь v = hk!M — скорость шарика (см. дополне-
ние 9).
Отсюда следует, что функция и4 (Q, /) спередин>
чена в области положительных Q: 0<Q<i'/, а функ-
ция «“(Q, /) сосредоточена в области отрицательных
Q: —o/<Q<0, так что u+(Q, i)«_(Q, /)~0. Даль-
нейшее движение шарика М в область Q> |b| прак-
тически будет совпадать с классическим движением
падающего с «горки» шарика.
Таким образом, доказывается, что при движении
шарика в области —b<Q<b уничтожается интер-
ференция состояний, принадлежащих различным на-
правлениям движения шарика. По достижении об-
ласти Q> |&| шарик будет падать направо или пале-
во, набирая как угодно большую энергию Uq. Этим
восполняется детекторная функция нашего измери-
тельного устройства: по падению шарика справа или
слева мы узнаем знак импульса частицы р.
ЛЕКЦИЯ 13.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИ
НЕУСТОЙЧИВЫЙ ДЕТЕКТОР
В этой лекции рассматривается измерительный
прибор, предназначенный для определения направле-
ния спина микрочастицы ц [21]. Предполагается, что
эта частица обладает магнитным моментом ц:
р = цо(Л	(13.1)
где а — матрица Паули. Пучок частиц ц будем
считать деполяризованным. Поэтому исходный ан-
самбль некогерентен и описывается статистическим
оператором р, имеющим матричные элементы:
р(х, x')=Pl^1(x)^i*(x') + P2^2(x)ip2*(x'), (13.2)
где волновая функция ф, — состояние частицы ц
с проекцией спина на ось OZ, равной +1/2, а волно-
вая функция ф2 представляет состояние с проекцией
спина на OZ, равной —-1/2. Эти состояния равноверо-
ятны, так что Pi = P2=1/2.
С помощью неоднородного магнитного поля, па-
раллельного оси OZ, пучки ф1 и ф2 можно разделить
пространственно так, что каждый направляется в
66
свой детектор D\ или D2 (см. рис. 5). Этим выпол-
няется первая функция прибора—функция анализа-
тора. Эта функция в рассматриваемом случае триви-
альна, и мы ее рассматривать далее не будем, а сос-
редоточимся исключительно на работе детекторов.
Достаточно рассмотреть один из них.
В качестве детектора рассмотрим макроскопичес-
кое собрание осцилляторов, обладающих магнитным
моментом, которое находится в термодинамически
неустойчивом состоянии. Магнитный момент осцил-
ляторов ЭД можно выразить через заряд е и механи-
ческий момент М согласно известной формуле ЭД=
=еМ/2тс, где т — масса осциллятора; с — ско-
рость света.
Энергия взимодействия частицы р с одним из ос-
цилляторов детектора будет равна
ЭДН(х).	(13.3)
В этой формуле Н (х) — магнитное поле, воздейству-
ющее на осциллятор со стороны частицы ц. Это поле
выражается формулой
Н (х) =ц//?3-R(p,R)/^5.	(13.4)
В этой формуле — расстояние от частицы ц до ос-
циллятора. Для нашей цели достаточно ограничиться
рассмотрением двумерной задачи. Будем считать, что
осцилляторы образуют в плоскости ху двумерный
кристаллик размером а. Далее будем считать, что
длина волны частицы '^>а.
Предположим, что частица поляризована в нап-
равлении оси OZ. При этих условиях скалярное про-
изведение (p.R) в (13.4) равно нулю. Условие
позволяет заменить величину 1/R3 в (13.4) на ее
среднее значение, так что 1/7?3~1/а3. При этих пред-
положениях энергия взаимодействия частицы и s-ro
осциллятора принимает простой вид:
Ws= ±\h&d/dq>s,	(13.5)
1 е
где частота ------------ц0; 1й<Э/<3(р4=ЛГг4 — оператор
с? 2тс
проекции механического момента s-ro осциллятора
на ось OZ; ср4- — полярный угол. Знаки отвечают
двум возможным ориентациям спина частицы ц.
Достаточно ограничиться одной из возможностей.
67
Невозмущенный гамильтониан системы из осциллято-
ров можно записать в виде
+ (-т-<+т^)1-	(13'6)
Причем в этой формуле энергии и все координаты
сделаны безразмерными путем выбора единицы дли-
ны / = ]/Й/27П(оо, единицы энергии е = /ко0; ю0 — часто-
та колебаний осциллятора. На основании (13.5) энер-
гия возмущения всей системы
<1з-7>
s—I	S=1
Из (13.6) видно, что паши осцилляторы обладают
симметрией относительно вращения около каждого
из узлов решетки, поэтому
[Я, 1Г]=0.	(13.8)
Предположим, что в начальный момент времени
t=0, т. е. в отсутствие частицы ц, система осцилля-
торов находилась в неравновесном состоянии: колеба-
ния по оси ОУ были «заморожены», они имели тем-
пературу 0 = 0, а колебания по оси ОХ были «нагре-
ты» до температуры 0 = ^7'>О.
Будем вычислять теперь элементы матрицы плот-
ности р(х, у\х', у') для одного из осцилляторов при
указанных условиях. Временно будем опускать ин-
декс s у xs, ys, х/, уs', так как все осцилляторы на-
шего плоского кристаллика находятся в равных ус-
ловиях. Из определения матрицы плотности канони-
ческого ансамбля следует
р(х, у\х’, у'У-~-У, exp[(F—£„—Eo)/O]ip„(x)i|);(x')z
п=0
X	(13-9)
Здесь сумма взята по всем, уровням энергии осцил-
ляторов Еп=Йсоо(/г+1/2), колеблющимся вдоль осп
68
0Х-, ф„(х) — собственная функция такого линейного
осциллятора, принадлежащая n-му уровню; Ео =
—йсоо/2 — энергия нулевых колебаний по оси ОУ;
Фо (у) — соответствующая волновая функция. Эта
функция, в указанных ранее безразмерных перемен-
4_
пых, равна ф0(у)=ехр(—у2/2)/]/л; F(0) — свободная
энергия одного из N осцилляторов. Проблему пред-
ставляет суммирование по п. Эта сумма
00
Z(x, х') = £ ехр( — ₽£„)фп(х)ф;(*'), (13.10)
п=0
где р = ййО/0. Чтобы найти эту сумму, применим
прием, описанный в лекции 10. Заменим ехр(—$Еп) X
XWn(x) на ехр[—р^(х)]фл(х) и продифференцируем
сумму по р, тогда получим уравнение Шредингера
с мнимым временем / = ip:
dZ(x, x')/5p + /?(x)Z(x, х')=0.	(13.11)
В раскрытом виде это уравнение записывается так:
dZ(x, x')/d$ + {—(l/2)d2/dx2 + x2/2}Z(x, x')=0.
Заметим, что переменная х' входит в (13.11) как па-
раметр.
Однако ясно, что такое же уравнение можно на-
писать, действуя в (13.10) оператором Н(х') па
фп(х'). Поэтому в переменных х и х' функция
Z(x, х') симметрична. «Начальное условие» при
Р = 0, что соответствует бесконечно большой темпе-
ратуре 0, определим из естественного предположе-
ния, что при 0->оо осциллятор испаряется, его дви-
жение по оси ОХ становится свободным. Значение
суммы Z0(x, х') для свободного движения хорошо
известно:
Z0(x, х')=-- -1___-ехр[—(х—х')2/(2р)]. (13.12)
У 2Лр
Оно совпадает с функцией Грина для свободного
движения частицы [21], если в (13.12) положить
i/ = P (m=l). В дополнении 10 показано, что реше-
ние уравнения (13.11), удовлетворяющее этому на-
чальному условию и имеющее необходимую симмет-
69
рию, как можно убедиться прямой подстановкой
в (13.11), имеет вид
Z (х | х') = ехр [—-А— (Вх2—2Схх' + Вх'2) /2] /Ул. (13.13)
Причем коэффициенты А, В, С оказываются рав-
ными:
B = cthp; C = l/shp; A=In(shp)/2+ln2/2. (13.14)
Учитывая множитель ехр(—Во/0) ф0 (у) ф0 (у') в
(13.9), получаем окончательно
Р(х, у\х',	+ х
Я
хехр
—1—(Вх2—2Схх' + Вх'2)
ехр |-----(У2 + у'2)].
(13.15)
Оставшаяся неопределенной свободная энергия F
находится из условия нормировки Sp р = 1. В раскры-
том виде это условие имеет вид
+«>
р(х, у]х, y)dxdy~ 1.	(13.16)
— гх>
Полагая В—C = a2 = th(P/2) и вводя для удобства
&2=1, получаем из (13.15) и (13.16)
ехр fJ>F — (А 4- р/2)} (“Г г , „ , । 1.2 2\i j а 1
—“-----------~—L I 1 ехР [ — (о х + b2y2)] dxdy = 1,
(13.17)
откуда ехр [pF—(А+р/2)]=а&, так что
pB = p/2 + ln[2sh(p/2)].	(13.18)
Таким образом, окончательно матричный элемент
р(х, у]х', у') принимает простой вид:
р(х, у[х', у') = (а6/л)ехр[—(Вх2—2Cxx' + Bx'2)j2—
_(yt+y'2)i2].	(13.19)
Обратимся теперь к вычислению матрицы плот-
ности для />0. В момент t = 0 в кристаллик влетает
частица р, и, взаимодействуя с осцилляторами, изме-
70
ияёт их состояние. Характер йозмущения описай
выше. В силу того что оператор возмущения (13.7)
коммутирует с исходным гамильтонианом Н [см.
(13.8)], оператор (13.7) имеет одинаковый вид
в шредингеровском представлении и в представлении
взаимодействия. Поэтому в последнем представлении
уравнение движения для матрицы плотности р запи-
сывается так;
dp/dt + [р, №] =0.	(13.20)
Имея в виду (13.7), нетрудно показать, что в ко-
ординатном представлении это уравнение в раскры-
том виде имеет вид
dp(...xs...ys... |х'...у'...; i)
dt
Л ,dp(...xs...ys...\...xtl...ys...-, I)
± CO У ---------------------------------+
[	dtps
s—1
+	I...,;..
dcPs	J
где знаки ± соответствуют двум возможным проек-
циям спина частицы ц на ось OZ. То, что обе произ-
водные <5/<Эфз и dld^s' входят в уравнение (13.20)
с одним знаком, следует из того, что в скобке Пуас-
сона (13.20) оператор dldqs' действует на р справа
налево. Интегрированием по частям он переносится
налево и при этом меняет свой знак. Уравнение
(13.21) есть уравнение в частных производных, но
очень простое. Общее решение этого уравнения, удов-
летворяющее избранному при ^ = 0 начальному зна-
чению р(... xs... ys... | .. • xs'... ys' • • •; 0), получа-
ется простой заменой углов <ps и q>sz на q>s + ®Z и
ф/+со( соответственно. Поэтому
р (... xs... ys... | ... xs'... у s'. •t) —
= p(...Xs(0 . ..уДО ... I ...Xs'(t) ...ys'(t) .. .; 0).
(13.22)
71
В полярной системе координат при t = 0 имеем сле-
дующие выражения:
xs = rs cos cps; ys — rs sin <ps;
xs' = rs' cos ф/; ys' = rs' simp/. (13.23)
Как пояснено выше, в этих формулах следует за-
менить ф, на cps+coZ и фа' на ср/+ю/ и подставить в
(13.22). Заметим, что радиусы г, п г./ выступают как
параметры. Из этого обстоятельства следует, что под
воздействием возмущения, вызванного частицей р, ос-
цилляторы кристаллика, не деформируясь, прецесси-
руют с частотой о:
х5(0"^с°з(ф5т ojH, y.(t) =r: rs sin (ф, --I- (at), 1
<(0 = <со5(ф; + ®/), y's (t) = r's sin (ф; + <bt).	(13.24)
Далее нас будут интересовать лишь диагональные
члены оператора р. Пользуясь (13.24), на основании
(13.22) получим из (13.19)
p(xs, ys|x.,, ys; i) = (а&/л)ехр[—a2xs2(t) — b2ys2(t)],
(13.25)
где x(i) и y(t) даются формулой (13.24).
Формула (13.25) справедлива для всех осцилля-
торов независимо от их положения в кристаллике.
Поэтому в (13.25) индекс $ можно опустить. Вычис-
ляя с помощью (13.25) среднее значение величин
х2/2 и у2/2, имеем
/ — х2\ =	С ехр [ — а2ха (t)—b2y2(t)] — x2dxdy,
(13.26)
"ПГ 5 exP[~fl2x2(0 — b2y2(t)] — y2dxdy.
(13.27)
Для этого заметим, что
a2x2(t) + b2y2(t) =r2(a2+b2)/2 +
+ [г2 (a2—b2) cos t|)]/2=Z(Af + .V costp), (13.28)
где Z = r2/2; ф = 2((о/ + ф); M = a2 + b2-, N = a2—b2>0;
NIM = &. Далее,
x2(t)/2 = Z [1 + (cos ф cos2co/ + sin ф sin 2a>t)]/2,
(13.29)
72
y2(t)/2 = Z [1— (cos ф cos 2o)^ +sin ф sin 2co/) ] /2. (13.30)
Переходя в (13.26) и (13.27) к полярной системе ко-
ординат и подставляя (13.29), (13.30), получаем (см.
дополнение 11)
<х2/2>= (1/8) (1/а2+1/62) + (1/8) (1/а2—l/b2)cos 2ui,
(13.31)
(у2/2) = (1/8) (1/а2 + 1/Ь2) — (1/8) (1/а2 - 1/й2) cos 2<al.
(13.32)
Следовательно, эти величины осциллируют с частотой
2и. Средняя потенциальная энергия (U'r=(x2)/2 +
+ (у2)/2, а вместе с тем и полная энергия всей сис-
темы остаются, конечно, постоянными. Частица ц ме-
няет только распределение энергии между степе-
нями свободы.
Напомним, что при относительно высокой темпе-
ратуре 0(0-4)) величина а2 = 0/2, а Ь2=1. Поэтому
до взаимодействия с частицей ф ПРИ мы имели
<х2/2>0 =--1 /4а2 = 1/20 = 0/2/iwo> 1,	(13.33)
(у2/2)о=1/4Ь2=1/4.	(13.34)
После взаимодействия при />0 получим
(х2/2)/= (0/2)/2/iwo + 1/8+осц. член, (13.35)
{y2/2)t= (0/2)/2/нооЬ 1/8 -росц. член. (13.36)
Таким образом, при ^>2л/и энергия перераспре-
деляется по обеим степеням свободы, а температура
кристаллика 0 падает вдвое: 0'=0/2. Это утвержде-
ние сделано в предположении, что макроскопический
термометр не успевает следить за поведением осцил-
лирующих членов, среднее значение которых равно
нулю.
В заключение вычислим изменение энтропии. Энт-
ропия определяется формулой
S=—^Sp(plnp)	(13.37)
(черта сверху указывает на усреднение по времени).
Из (13.25) имеем
р In р=р {In(ab/n)— a2x2(t) —b2y2(t)}.	(13.38)
73
Поэтому
— Sp(p lnp) = 2a2 (x2(/)/2) + 2b2 (y2 (0/2)-— ln(ab/n).
(13.39)
Пользуясь (13.35) и (13.36) найдем из (13.39) для
изменения энтропии
AS = — &[Sp(plnp)(—Sp(plnp)0] =
= 1/4а2+.. .= (k/2)&/ha0 + .. .>0.	(13.40)
Итак, частица ц восстановила равновесие в кристал-
лике. При этом общая температура стала равной 0/2,
а энтропия возросла на величину /г (0/2)/йи0. Срав-
ним эту энтропию с энтропией исходного некогерент-
ного ансамбля, описываемого статистическим опера-
тором (13.2). Его энтропия
S0 = -fe(PilnPi + P2lnP2>)=— /?2 1п(1/2)/2 =
=/г1п2>0.
После разделения пучка имеем два пучка, каждый
из которых принадлежит когерентному ансамблю
Pi =-ф1 (x)$i (х') и р2 = 4>2(х)гр2(л'/) соответственно. Их
энтропия Si = S2 = 0. Таким образом, анализатор
уменьшил энтропию на величину Si—S0 = feln2 и
вместе с этим увеличил нашу информацию на 1 = In 2.
Получение этой информации сопровождалось ростом
энтропии детектора на (13.40), которая много больше
k In 2. Это положение носит совершенно общий ха-
рактер, и рассмотренный пример является иллюстра-
цией необходимости расплачиваться за приобретен-
ную информацию увеличением энтропии.
ЛЕКНИЦ 14.
ДЕТЕКТОР С ЦЕПНОЙ
РЕАКЦИЕЙ
Рассмотрим последствия взаимодействия микро-
частицы ц, влетающей в неустойчивую макроскопиче-
скую систему, способную к размножению частиц, с
этой системой. Такой системой может являться газ
или жидкость, на которые наложено внешнее элек-
трическое поле достаточно высокого напряжения. Это
74
поле и является причиной неустойчивости рассматри-
ваемой системы. Влетающая в такую систему элек-
трически заряженная частица, например электрон,
вызовет ионизацию атомов и молекул этой среды, что
поведет к появлению нового электрона. Ускоряясь в
приложенном поле, этот новый электрон способен
ионизацией освободить еще один электрон и т. п.
В результате возникает макроскопическое явление —
электрическая искра.
Другим примером может служить попадание ней-
трона в среду, которая образована атомами, способ-
ными делиться с испусканием новых нейтронов.
В этом случае может возникнуть цепная реакция, ко-
торая инициирована нейтроном, вторгшимся в деля-
щееся вещество.
Явления, разыгрывающиеся в приведенных приме-
рах, весьма сложны. Рассмотрим очень упрощенную
модель подобных явлений, ограничивая к тому же
анализ этих явлений изучением лишь одной стороны
дела — возникновением необратимых явлений в ма-
кроскопической системе под воздействием одной мик-
рочастицы.
В качестве такой модели изучим среду, в которой
возможны только два процесса, обратные друг другу,
которые можно записать в следующем виде:
n'j+n'z + B^ni + Tl; Д=(В + п2).	(14.1)
Частицы «!, «2 и «'i, п'% можно рассматривать как
электроны; частицу В — как ион А+ и частицы А —
как атом. Процесс, читаемый справа налево, — про-
цесс ионизации атома А, процесс, читаемый слева на-
право,— процесс рекомбинации иона В=А+ с элек-
троном. Частицы п можно считать нейтронами. То-
гда процесс n'i + Л->-П1 + л2+В можно рассматривать
как простейший случай деления, происходящий с об-
разованием одного нового нейтрона и «осколка» В.
Обратный процесс — процесс «синтеза» ядра А из
ядра В (захват нейтрона). Для необратимости про-
цессов, возникающих под действием залетевшей из-
вне частицы, определяющим является то обстоятель-
ство, что процесс «деления» n'( + X->-ni+«2+ В воз-
никает в результате столкновения двух частиц п и
А, обратный процесс, процесс синтеза, — результат
тройного столкновения частиц /г,, п2 и В.
75
Теория тройных столкновений очень сложна. По-
этому изложим ее, основываясь па простой модели.
Существенные для нашей проблемы выводы ие будут
зависеть от этих упрощений. Предположим, что га-
мильтониан системы частиц имеет вид
Й (xi, х2, Хз) = Йп (xi — х3) + Йп (хг — х3) +
+	(х3) + W(xt + х2),	(14.2)
где Йп(х) =р2/2т+U (х); ЙА(х)—р2/2М. Здесь хь
х2 — координаты электронов (или нейтронов); т —
масса; х3— координата иона (или ядра атома); М —
его масса (М>-т); U — энергия взаимодействия элек-
трона с ионом В (или нейтрона с осколком В);
W(xi — х2)—энергия взаимодействия электронов
(или нейтронов).
Рассмотрим переход п/+п2' + B->-ni+A. Импуль-
сы участвующих в нем частиц положим равными р/,
р2', Рз, Р\, Рз соответственно. Этот процесс описы-
Рис. 8. Диаграмма синтеза, или
захвата. Процесс и/+п2' + В->-
вается диаграммой рис. 8. Волновую функцию на-
чального состояния для процесса а представим в виде
%'рУ (*!’	*з) = Фр'(*1~*з)ФР'(*2—*з)%'(*з)- (14-3)
12 3	1	2	3
Волновую функцию связанного состояния А обозна-
чим фл(х2 —Хз). Функция непрерывного спектра
(р3> (х) имеет вид
Фр (х) [exp(ipx) 4 Up(x)]/Vl/2,	(14.4)
где Пр(х)—рассеянная волна; они нормированы на
единицу в объеме V (V — объем нашей системы) и
ортогональны, так что
(фрг(^). Фр, W) = W	(I4-5)
76
Волновая функция, описывающая конечное состояние,
Фр.Лр,(^1, Х2,	—Х3)Ы*2~*зЖ(*з)- (14-6)
Если ввести обозначения xj—Xi— х3, х2—х2— х3, то
матричный элемент энергии возмущения W для рас-
сматриваемого квантового перехода принимает вид
Р2, Рз1^1Р1> а< Рз)
~х2) <рр; (х) q/ (хх) qy (х2) <рл(х2),	(14.7)
2
где_Х1 = Х1— хз; х = х2— х3. Вводя переменные х —
= %1 —х2, У = Х\ + х2, получим
(Pi- Р2, Рз1^1Рк 4, Рз>-\Рз-^7Г^(7)<Р(^—?)•
(14-8)
здесь IF и ср — компоненты Фурье от F(x) и <р(х) со-
ответственно; q = p\—pi'—передача импульса от ча-
стицы П\ к частице п2. Произведение W(q)ty(p2'— ?)
обозначим сокращенно f(q, р2). Существенно, что
амплитуда f(q, р2) не зависит от объема V, в кото-
ром разыгрывается изучаемый процесс.
Вероятность перехода, который приведен на
рис. 8, рассчитана на 1 с и равна
Р(р{р'р'3\Р1Ар3)^^-6^Е)&р:Рз ±\f(q, р')|2, (14.9)
причем
АЕ= Е/ +Е2 ЕЕ3—Е\ — 8а — Е3.	(14.10)
Умножим теперь эту вероятность на число частиц
dN(pi) в малом интервале в окрестности импульса
Pi', далее — на dN (р2') число тех же частиц в окрест-
ности импульса р2 , а также на число NB частиц В и
на число состояний в окрестности импульса р\
VdQ.(pi). Тогда получим дифференциальную скорость
реакции I, рассчитанную на 1 см3:
Отт
dRi ^ — \t (q, Р2) 12 6 (ЛЕ) dn (pj) dn (p’2) nB dQ(pt), (14.11)
где гр, n2, Пв — плотности частиц.
77
Вычислим теперь скорость прямого процесса Л +
+ п^В + п1' + п2' (процесса ионизации или «деле-
ния»), описываемого диаграммой рис. 9. Сечение
для этого процесса
=~ I f (Я, Р’2) 125 (VdQlp’^V dQ (р’2) /	,
(14.12)
где ц(Р1)—скорость частицы щ. Умножая это сече-
ние на поток частиц v(pi)/V, на полное число атомов
Рис. 9. Диаграмма деления, или
ионизации. Процесс щЧ-Д-^-ВЧ-
Ч-ч/Ч-тц7
А — и на число падающих электронов (нейтронов)
dn(pt), получим для скорости этой реакции
d/?H =— IО 2 6 (Л£) dQ № dQ (РР dn (Pl) ПА-
(14.13)
Заметим, что dQ (р) =d3p/(2nh)3.
Допустим теперь, что электронный газ (или газ
нейтронный) имеет максвелловское распределение
для температуры <d = kT. Тогда
dn(p, 0)=пехр(—p2/pe2)dQ(0, р),	(14.14)
где п — полная плотность частиц; p02=2m0, dQ. (0,
р) —N(pe)dQ (р); N (рв) = 1/л3/2Хв3; he=2nh/p&— дли-
на волны частицы с импульсом рв. Учитывая это рас-
пределение, получим для полных скоростей реакций
/?! =	п2пв J | Л2 6 (ДД) Nl ехр {-(/? +
+ p’l)/pl} dQ (р{) dQ (р2) dQ(p[),	(14.15)
= ППа J । П 2 б (д£) N& ехр (-р2/р2) х
X dQ^JdQ^;) dQ (/?').	(14.16)
78
В силу равенства р\12т + еа = (р[2 + р'2)/2т условие
равновесия Rl = Rli приводит к соотношению
tin 1 — п2пв ехр (—ед/0).	(14.17)
В этой формуле п — плотность электронов (или ней-
тронов); п к плотность атомов (ядер) А; пв—плот-
ность ионов (или «осколков») В. Из сравнения фор-
мул (14.15) и (14.16) следует, что скорость реакции
I—-реакции рекомбинации (или «синтеза»)—пропор-
циональна и2пц, а скорость реакции II — реакции
ионизации (пли «деления»)—пропорциональна ппА.
В самом начале процесса, когда в среду влетает лишь
один электрон (или один нейтрон), скорость реакции
I пропорциональна nB/V2, а скорость прямой реакции
ионизации (или «деления») —nA/V, причем пв<^пА.
С учетом этих соотношений реакция в рассматри-
ваемом случае будет идти односторонне, нарастая ла-
винообразно. Равновесное соотношение (14.17), кото-
рое характерно для всей системы, помещенной в тер-
мостат с температурой 0, будет недостижимо из-за
утечки частиц из конечной системы. Таким образом,
одна микрочастица, попавшая в неустойчивую среду,
может вызвать необратимый процесс, носящий харак-
тер взрыва или искры.
ЛЕКЦИЯ 15.
РАБОТА ФОТОПЛАСТИНКИ
ИЛИ ПУЗЫРЬКОВОЙ КАМЕРЫ
Рассмотрим два атома А и В, погруженных в не-
которую среду или даже укрепленных в ней. Это об-
стоятельство отражает макроскопический характер
изучаемого измерительного устройства. Ради упроще-
ния расчетов не будем рассматривать движение са-
мих атомов; ограничимся предположением, что коор-
динаты их центров тяжести QA сосредоточены около
Qi±AQi, Qb — около Q2±AQ2. Размеры областей
AQi, AQ2<|Qa — Qb|- Пусть координата электрона
атома А будет щ, координата электрона атома В—
у2, координату электрона, влетающего в среду, обо-
значим х.
79
Прибор предназначается для измерения положе-
ния влетающего в среду электрона. Гамильтониан па-
шей системы (атомы Л, В и три электрона)
Й=Й°(х) + Й°(ух - Qi) + /?°(у2- Q2) +
+ W(x-yx) + W(x-y2)	(15.1)
(взаимодействие атомных электронов рассматривать
не нужно). Волновая функция системы при 1^0, до
начала взаимодействия, есть
Фо(х, уь уй =exp(ikx) ф0 (у, — Qi)ipo(«/2-~ Q2),
(15.2)
где k — импульс налетающего электрона; ф0 — волно-
вая функция электрона, находящегося в атоме А или
В. Волновую функцию для обозначим
ф(х, Уь у2)=фо(х, Ух, уй+и(х, ух, уй, (15.3)
где и(х, ух, уй—волна, возникающая в результате
взаимодействия. Разложим ее по собственным функ-
циям связанных состояний в атоме ф„ (у — Q) (непре-
рывный спектр не будем рассматривать):
W(X, У1, Уз) =/Е- Фл (У1' Q1) Фт (У2	(15.4)
п,т
Исходя нз гамильтониана (15.1), обычными мето-
дами получаем уравнение для рассеянной волны:
(*) + knmUnm (х) = (2т/л2) {1ГПО (х—Q,) -1-
+ rm0(x— Q2)}exp (i kx),	(15.5)
где
co
w\o(*—Qi) = J) <p«(i/i—1/1)Фо(1/1—Qt)^i,
(15.6)
и тот же смысл имеет величина W„t0(x— Q2) для ато-
ма В- кпт = (2т/Л?) [k2—e-п — е,п]; еп и ет — энергия
возбуждения н-го и т-го уровней атомов А и В.
80
Из (15.5) методом функции Грина получим
Un:n (*) =	рХР^<Х;~Х')1 еХр(!кх'){Г„0(х'-
Й3 4л J |х —х 1
— Qi) + U7m0(x' —Q2)}d3x' = exp(i kQx) (£, х—QJ +
+ exp (i kQ2)/„, (k, x—Q2).	(15.7)
Первая из этих волн изображает рассеяние на ато-
ме Л и возможное его возбуждение (если «=#0), при
этом атом В не участвует в процессе. Вторая волна
означает то же рассеяние, происходящее на атоме В.
Первая из этих волн сосредоточена около x=Qi, вто-
рая— около, x = Q2. Из-за большого предполагаемого
расстояния IQ, — Q21 ^>а (а — размер атома) произ-
ведение мало. Далее следует отметить, что сами
положения атомов А и В случайны в пределах ДQi и
AQ2> поэтому случайны и фазы (kQj) и (kQ2), поэто-
му f nf m 11-
Таким образом, рассмотренное устройство нару-
шает интерференцию состояний с различными воз-
можными позициями электрона (около Q, пли около
Q2) и, следовательно, служит анализатором состоя-
ния электрона х по «спектру» его координат <*> •
<Х< +оо.
Возбужденный атом, скажем Л, может передать
свою энергию возбуждения соседним с ним атомам
среды, что поведет к нагреванию окрестности Л, в
частности, к локальному вскипанию жидкости в пу-
зырьковой камере. Подобное же возбуждение для фо-
топластинки послужит инициатором цепных химиче-
ских реакций в чувствительном зерне фотоэмульсии.
В обоих случаях возникают необратимые процессы,
которые выполняют роль детектора.
ЛЕКЦИЯ 16.
НЕКОТОРЫЕ ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЕ
ВОПРОСЫ
С развитием квантовой механики теоретическая
мысль в области физики вступила в период новой
ломки основных физических представлений, казав-
шихся очевидными и нерушимыми. Эта радикальная
перестройка основных физических представлений ка-
4 Зак. 168
81
салась главным образом понятия частим и принци-
пов ее движения.
Философы-идеалисты стремилйен пре шапить эту
ломку как кризис материализма.
Известно, что в период выхода книги В. И. Лени-
на «Материализм и эмпириокрптици км» некоторые
философы также пытались опровергнун. материализм
с помощью новейших данных тогдашней физики. Ле-
нин показал несостоятельность этих попыток и разъ-
яснил, что научные положения диалектического мате-
риализма не могут быть поколеблены открытием
«электромагнитной» или какой-либо другой природы
вещества. Что же касается ломки физических поня-
тий, то с точки зрения материалистической гносеоло-
гии она является необходимым моментом в процессе
развития познания. Ленин объяснил, в какие дебри
философской путаницы может забраться исследова-
тель, не различающий ломки конкретных физических
представлений о материи от проповедуемого реакцио-
нерами кризиса материализма.
Буржуазная философская мысль в соответствии с
самой ее социальной природой, опираясь на идеали-
стическую философию, пытается и теперь использо-
вать развитие естествознания в реакционных целях.
Идеалистическая философия оказывает свое влия-
ние на толкование сущности и значения квантовой
механики во многих зарубежных научных школах.
Копенгагенская физическая школа еще при самом
своем возникновении связывала себя с позитивизмом
и в дальнейшем весьма способствовала развитию
субъективистских взглядов па сущность квантовой
механики.
Н. Бор в своем толковании квантовой механики
[21] исходил из принципа дополнительности. Соглас-
но этому принципу возможны два класса эксперимен-
тальных установок: первый класс допускает опреде-
ление импульсно-энергетических соотношений, вто-
рой — пространственно-временных. Одновременное
применение обеих установок принципиально исклю-
чается. Таким образом, «квантовое описание» явлений
распадается на два взаимоисключающих класса, ко-
торые являются дополнительными друг к другу в
том смысле, что их совокупность в классической фи-
зике дает полное описание.
«2
Из изложенного содержания принципа дополни-
тельности видно, что в нем подчеркивается не факт
существования новых по своей природе объектов, а
возможности макроскопических измерительных при-
боров. Иными словами, на первый план выдвигаются
не объективные особенности микромира, следствием
которых и является невозможность изучать их мето-
дами'классической физики, а возможности наблюда-
теля, оперирующего с макроскопическими величина-
ми и понятиями.
Такая направленность воровского принципа до-
полнительности ведет к двоякого рода последствиям.
Во-первых, Бор и в еще большей степени его по-
следователи развивали этот принцип в особую фило-
софскую концепцию дополнительности, которая ведет
к отрицанию причинности и объективности микрояв-
лений [24]. Исходя из этой концепции, Бор говорил
«о непригодности обычной точки зрения натуральной
философии для описания физических явлений того
типа, с которыми мы имеем дело в квантовой меха-
нике» [23]. П. Иордан же прямо заявлял о «ликви-
дации материализма» [25].
Во-вторых, применение рассматриваемого принци-
па в физике ведет к субъективному толкованию вол-
новой функции и понятия состояния в квантовой ме-
ханике. Волновая функция рассматривается не как
объективная характеристика квантового ансамбля, а
как выражение сведений наблюдателя, полученных в
результате измерений. Реальность того или иного со-
стояния микросистем становится в таком понимании
тождественной со сведениями наблюдателя о микро-
системе, т. е. превращается из объективной категории
в субъективную.
При анализе этих воззрений следует иметь в виду,
что копенгагенская школа исходит из позитивистских
позиций, т. е. с самого начала отрицает объективное
существование материи, «ограничиваясь» упорядоче-
нием «результатов наблюдателя». В позитивистском
понимании как классическая, так и квантовая физика
не являются отображением объективного мира, а
представляют собой математические конструкции.
Для первой из этих «конструкций» характерна воз-
можность разделения понятий субъекта и объекта, а
для второй это невозможно, так как субъект измере-
нием «приготавливает физическую реальность». Та-
4*
83
Ким образом, речь идёт не об анализе отношений по-
знающего субъекта и объекта как частей объектив-
ного мира, а об анализе этих конструкций, т. е. об
анализе в сфере понятий.
С этих позиций позитивисты пытаются опроверг-
нуть материализм таким путем, что сначала его свя-
зывают с определенными, ограниченными физически-
ми и философскими представлениями, а затем объяв-
ляют несостоятельными.
С точки зрения материализма сама возможность
познания обусловлена наличием материальных связей
между познающим субъектом и объектом исследова-
ния. В физике эта связь осуществляется с помощью
различных приборов. Такие приборы всегда влияют
на объект, и, обратно, объект влияет на прибор.
В классической физике предполагалось, что это взаи-
мовлияние может быть сделано как угодно малым; в
квантовой области обнаружилось, что это влияние не
может быть как угодно малым. Мы видим, что изме-
рительные приборы на самом деле меняют состояние
систем н тем самым превращают один ансамбль в
другой.
Было бы, однако, абсурдом связывать материа-
лизм с принципиальной малостью взаимодействий.
Открытая в квантовой области конечность взаимо-
действий не подрывает материализма и не ставит ка-
ких-либо границ познанию.
Так, изучая космические лучи, применяют счетчи-
ки или другие приборы. Эти приборы изменяют со-
стояние обнаруживающихся в них отдельных частиц,
переводят их в новый ансамбль, но не меняют того
квантового ансамбля, который можно назвать ансам-
блем космических лучей. Вносимое этими приборами
нарушение в ход явления космических лучей в це-
лом, конечно, ничтожно, и поэтому ничто не мешает
выяснению объективных закономерностей, свойствен-
ных космическим лучам.
Таким образом, квантовая механика на самом
деле изучает объективную, существующую независи-
мо от наблюдателя природу квантового ансамбля.
При этом свойства единичного микроявления кван-
товая механика исследует посредством изучения ста-
тистических закономерностей. Эти статистические за-
кономерности имеют совершенно объективный харак-
тер. Так, например, распад радиоактивных атомов,
84
протекающий статистически закономерно, происходит
в природе сам по себе, без какого-либо вмешатель-
ства измерений.
Поэтому неправильно утверждать, что статистика
вносится в явление измерением: статистическая зако-
номерность существует независимо от измерений как
объективная закономерность природы.
В классической физике закономерность может
быть сформулирована в другой форме, нестатистиче-
ской: состояние изолированной системы в любой мо-
мент времени однозначно определяется ее состоянием
в некоторый начальный момент времени. Такое вы-
ражение закономерных связей, господствующих в
мире физических явлений, на самом деле приближен-
но. Изоляция системы может осуществляться в при-
роде лишь с некоторой степенью точности и на са-
мом деле, даже в классической области, возможна
лишь при выражении простейших закономерностей.
Будучи распространена па все явления, такая при-
чинность ведет к предопределенности. Позитивисты
навязывают материализму эту ограниченную точку
зрения на причинность, и когда оказывается, что опа
не является универсальной, то объявляют несостоя-
тельным материализм [25].
В квантовой области возможна изоляция только
ансамбля в целом. Волновая функция, выражающая
состояние ансамбля, однозначно определяется урав-
нением Шредингера:
=	(16.1)
для любого момента времени, если она известна в
начальный момент. Таким образом, простейшая фор-
ма причинной связи сохраняется для ансамбля.
Единичные же события управляются статистиче-
ской закономерностью. Эта закономерность не есть
результат отсутствия закономерных связей внутри
мира единичных явлений, как это утверждают пози-
тивисты; напротив, статн-тическая закономерность
как раз и есть выражение общего, закономерного в
единичных явлениях.
Было бы неправильно полагать, что можно приме-
нять (или что впоследствии станет возможным при-
менить) к отдельным микроявлениям понятие класси-
ческой причинности, пригодное для изолированных
85
систем. Скорее всего, такой изолированности в мире
атомных явлений вообще не существует.
Если это так, то и последующее развитие атомной
физики пойдет по пути развития и углубления стати-
стического метода, сквозь призму которого будут вы-
являться дальнейшие закономерности в строении ато-
мов, атомных ядер и самих элементарных частиц *.
Открытие квантовых уровней атомов, затем их
тонкой, и, наконец, сверхтонкой структуры (разности
энергий порядка 10 12, 10~15, 10 18 эрг соответствен-
но), достигнутое развитием техники статистического
эксперимента, может служить прекрасной иллюстра-
цией мощи этого метода и замечательным подтвер-
ждением ленинского тезиса о познаваемости материи
и о неисчерпаемости ее свойств.
Обратимся теперь к рассмотрению позиции копен-
гагенской школы в понимании волновой функции.
С наибольшей ясностью эта позиция может быть
разобрана в связи с дискуссией Эйнштейна и Бора
[23, 26]. В этой дискуссии был рассмотрен такой
пример. Имеются две частицы 1 и 2, претерпевающие
столкновение. Пусть их состояние до столкновения, в
начальный момент времени, характеризуется волно-
вой функцией
Ф°(-П, х2) =-1р°(Х1)ф0(х2)-	(16.2)
Волновую функцию этих частиц после столкновения,
по истечении достаточно большого времени, обозна-
чим через 4>(xi, х2)  Эта функция уже не будет про-
изведением функций, зависящих от Xi и х2 порознь.
Измерим теперь какую-либо величину, относящую-
ся только к первой частице, для определенности, ска-
жем, импульс этой частицы pi. После этого измере-
* Впоследствии могут обнаружиться такие новые физиче-
ские явления, о которых мы сейчас нс в состоянии и подозре-
вать и которые, быть может, позволят построить пестатистиче-
скую теорию микроявлеиий. Сочетания утверждений, представ-
ляющихся сейчас противоречивыми, могут гармонически согла-
соваться в будущем. Так, во время расцвета классической тер-
модинамики всякое утверждение о том, что тепло может само
перейти от холодного тела к более теплому, было бы воспри-
нято как, очевидно, не научное, противоречащее «второму на-
чалу» термодинамики. Но мы знаем, что позднейшее развитие
примирило подобную возможность с классической формулиров-
кой второго начала в рамках кинетической теории материи.
86
ния волновая функция первой частицы будет фР1(Х]).
Разложим 4>(xi, Л'г) по функциям фр(л’1):
Ф(Х!, *2)= j <рр(Х2)Фр(*1Ж	(16.3)
где срр(л:2)— амплитуды в разложении ф(лй, х2) по
Если измерение импульсов, произведенное над
первой частицей, даст импульс щ, то волновая функ-
ция редуцируется к одному члену суперпозиции
(16.3):
ф(%1, x2)->(pPl(x2)^Pl(Xj).	(16.4)
Таким образом, меняется и состояние второй части-
цы, хотя над пей не производилось никаких измере-
ний и она уже давно перестала взаимодействовать с
первой. Следовательно, говорят, изменились «сведе-
ния» об этой частице, а стало быть, и ее состояние,
т. е. понятие состояний в такой трактовке оказы-
вается равносильным понятию «сведения о состоя-
нии».
Это и есть субъективная трактовка волновой
функции. Эта трактовка связана с тем, что копенга-
генская школа вообще отодвигает на задний план
статистический характер квантовой механики.
В квантовой механике состояние частицы харак-
теризуется, действительно, не «само по себе», а при-
надлежностью частицы к тому или иному ансамблю
(чистому пли смешанному). Эта принадлежность
имеет совершенно объективный характер и не зави-
сит от сведений наблюдателя. Если эти сведения не
соответствуют природе ансамбля, то из них никаких
новых сведений, кроме разве нелепых, получиться не
может.
Измерительные приборы, как мы пояснили в кур-
се, являются спектральными анализаторами: они раз-
лагают исходный ансамбль по подансамблям, харак-
тер которых зависит не только от природы ансамбля,
по и существенным образом от рода самого прибо-
ра — анализатора.
В рассмотренном выше примере производится ана-
лиз по признаку, относящемуся к первой частице.
Но так как в исходном ансамбле ф(лд, х2) существо-
вала корреляция между обеими частицами, обуслов-
ленная их взаимодействием, то разложение по при-
знаку р одновременно выделяет подапсамбль для вто-
рой частицы, т. е. после измерения она оказывается
принадлежащей другому подансамблю, характери-
зующемуся волновой функцией срг, (х2).
Поэтому измерение состояния второй частицы вы-
звано не изменением «сведений» о ней, а взаимодей-
ствием первой и второй частиц до измерения. Если
бы такого рода взаимодействия не было, то и изме-
рение состояния первой частицы не оказывало бы
влияния па состояние второй (волновая функция
ф(%1, х2) оставалась бы произведением функций от
и функции от х2). В нашем примере особенно ясна
сущность корреляции, вызванной взаимодействием.
Действительно, пусть до столкновения импульс пер-
вой частицы был pt°, второй — /ь°. Тогда если после
столкновения импульс первой частицы оказывается
равным pi, то импульс второй частицы, в силу закона
сохранения импульса, обязан быть равным р2==
=pi° + p2°— Pi (стало быть, срР1 (х2) есть волна де
Бройля с импульсом p2=pi° + P2° — Pi) - Поэтому сор-
тировка частиц 1 по их импульсу является в то же
время сортировкой по импульсу частиц 2.
Мы видим, таким образом, что субъективная трак-
товка волновой функции покоится на забвении ее ста-
тистической сущности.
Волновая функция, или, в более общем случае,
матрица плотности на самом деле дает совершенно
объективную характеристику квантового ансамбля*.
Задание ф (пли матрицы плотности) определяет все
возможные разложения данного ансамбля по отно-
шению к любым анализаторам-измерителям.
Процесс разложения исходных ансамблей по ка-
кому-либо признаку па подансамбли осуществляется
не только в лаборатории, но и непосредственно в
природе. Во всех случаях, когда возникает такая си-
туация, что фазовые соотношения между различными
состояниями фп(х), входящими в суперпозицию
ф (%) з= У С„ф„ (%),
п
(16.5)
становятся несущественными, мы можем говорить об
«измерении» величины п, так как в этих случаях чи-
* Значение волновой функции как характеристики квантово-
го ансамбля весьма основательно подчеркивал К- В. Николь-
ский [9].
88
стое состояние ф(х) может быть заменено смесью со-
стояний 4>n (х) с вероятностями* | С„ |2.
После этого анализа мы можем обратиться к рас-
смотрению самой сути дискуссии Эйнштейна и Бора.
В своей статье Эйнштейн и его соавторы [26] выска-
зывали утверждение о неполноте квантовой механи-
ки**. Именно они указали, что невозможно одновре-
менно измерить р п х у частицы, несмотря на то что
каждую из этих величин порознь можно измерить, не
влияя непосредственно на саму частицу. В приведен-
ном примере берется специальный вид функции
со
ф(хг, х2) = | dpexp	х2~хо)Р
—со
= 2л6 (хх— х2—х0),
(16.6)
где хо — некоторая постоянная. Пусть мы измеряем
сначала импульс первой частицы и получаем значе-
ние р, тогда из разложения (16.6) непосредственно
видно, что импульс второй частицы равен —р. Коор-
дината же ее х-2 будет совершенно неопределенной.
Вместо импульса мы могли бы также измерить коор-
динату первой частицы х,=х. Тогда из (16.6) сле-
дует, что волновая функция второй частицы будет
~8(х — х2— %о), что соответствует х2=х— х0, т. е.
мы определили координату второй частицы х2. Им-
пульс же второй частицы р в этом состоянии оказы-
вается полностью неопределенным. Эйнштейн и его
соавторы сделали отсюда заключение, что квантовая
механика неполна, так как она не дает возможности
определить одновременно р2 и х2, хотя при измере-
ниях на вторую частицу прибором не воздействовали.
Бор в своем ответе Эйнштейну и его соавторам
опровергает эту точку зрения, исходя из принципа до-
* Так, например, получается, если пучки, принадлежащие
различным (х), пространственно расходятся. Заметим еще,
что если бы указанное разложение ансамбля не происходило в
природе объективно, то не имело бы никакого смысла исполь-
зовать вычисляемые из квантовой механики вероятности в кине-
тических уравнениях. Между тем это приложение квантовой ме-
ханики практически оказывается, пожалуй, одним из самых
важных.
** Речь идет о полноте квантовой механики внутри области
ее применения. То, что развитие физической теории микромира
не закончилось на квантовой механике, не оспаривается никем.
89
полнйтельности. Именно Бор утверждает, что измери-
тельные приборы в принципе всегда устроены так, что
возможно определение или только р, или только х.
Поэтому квантовая механика полна, так как пол-
ностью соответствует возможностям микроскопиче-
ских приборов. Ответ Бора был только полуправдой.
Беря за основу своего ответа принцип дополнитель-
ности, Бор выдвигает на первое место возможности
Измерительных приборов, между тем как суть дела
заключается в новой природе объектов измерения —
микрочастиц, к которым неприменимо классическое
понятие движения по траектории. Далее, Бор остав-
ляет в стороне статистическое толкование волновой
функции. Из этого толкования, как это впервые с
полной ясностью было показано Л. И. Мандельшта-
мом [27], следует, что в приведенном Эйнштейном
примере речь идет о разложении исходного ансамбля
ф(Х|, х2) на различные, исключающие друг друга
ансамбли (один раз по признаку рь другой раз по
признаку %i). Изменение же «состояния» второй ча-
стицы, как мы это поясняли выше, связано не с воз-
действием прибора, а с корреляцией состояний пер-
вой и второй частиц, обусловленной взаимодействием
этих частиц, имевшим место до измерения.
Таким образом, Эйнштейн и его соавторы, крити-
куя квантовую механику в связи с невозможностью
измерить р и х одновременно, даже в случае отсут-
ствия прямого вмешательства прибора, упускают из
виду принципиально иную природу микрочастиц: они
неявно допускают, что микрочастицы не отличаются
от классических частиц и только воздействие прибо-
ра является причиной соотношения неопределенно-
стей. Однако измерительные приборы являются клас-
сическими как в макроскопической, так и в кванто-
вой физике. Стало быть, дело не в приборах, и не-
возможность одновременно измерить х и р вытекает
не из дефектов современных измерительных аппара-
тов, а обусловлена иной сущностью микрочастиц, от-
личной от сущности частиц классических.
Вообще неверно думать, что современный физиче-
ский эксперимент недостаточен по точности для изме-
рений «истинных» одновременных значений импульса
и координаты микрочастиц. Напротив, он достаточно
точен для доказательства того, что для микрочастиц
одновременно эта пара величин не существует в при-
90
po le. Приведем пример, иллюстрирующий это утвер-
ждение. Из рассеяния рентгеновских лучей пли элек-
тронов на атомах можно найти распределение элек-
тронов внутри атомов, т. е. |г|’(т)|2. Этот экспери-
мент означает определение координат электронов
внутри атома. На рис. 10 приведен результат такого
Рис. 10. Плотность электриче-
ского заряда атома гелия
4лр(т)г2 в функции расстоя-
ния г, полученная:
/ по рассеянию электронов,
2 -- по рассеянию рентгенов-
ских лучен, 3 -- геореи!чеекч
опыта для атомов гелия. Из него следует, что значи-
тельная часть электронов обнаруживается столь да-
леко от центра атома, что полная энергия Ео исход-
ного состояния оказывается меньше потенциальной
U(r). Если мы допустим, что электрон в атоме имеет
и некоторый импульс р и некоторую координату г, то
полная энергия будет равна Ео = р2/2т+U (г), и для
всех электронов, обнаруживающихся на расстоянии,
большем, нежели 0,6 А, окажется, что р2/2т<0, т. е.
импульс будет мнимым. Это очевидный абсурд с лю-
бой точки зрения. Другая возможность заключалась
бы в предположении, что истинная энергия электрона
в атоме все же равна Е=р2/2т+ U (г) (р2/2т>0), а
рассматриваемая в квантовой теории энергия Ео есть
лишьнекоторое среднее из этих «истинных» энергий:
Ео—Ё. Такое предположение означает, что энергия
ионизации различных экземпляров атомов одного и
того же вещества, находящихся с точки зрения кван-
товой механики в одном и том же состоянии Ео, на
самом деле различна. Разброс этой энергии ЕЕ — Е —
— Elt по порядку величины равен Ео, что составит для
атома Не около 20 эВ; число электронов, заведомо
участвующих в этом разбросе (т. е. электроны с
U(r)>E), будет равно 20%. Этот вывод полностью
91
противоречит любому опыту по определению энергии
ионизации, например опыту Франка—Герца или опы-
там по определению границы фотоэффекта. Ничего
подобного такому разбросу в значении энергии иони-
зации в действительности не наблюдается.
Таким образом, предположение о том, что элек-
трон в атоме, в состоянии с заданной энергией, имеет
какие-то скрытые значения пары величин (р, х), про-
тиворечит опыту.
Из того факта, что классическая пара величин
(р, х) не является характеристикой движения микро-
частиц, позитивисты делают вывод о существовании
частиц вне времени и пространства. При этом они
рассматривают частицы не как объективную реаль-
ность, а лишь как понятие, служащее для приведения
в стройную математическую схему результатов на-
блюдения.
Между тем в квантовой механике имеется простое
выражение того факта, что частица существует неза-
висимо от наблюдателя в пространстве и времени,
именно условие нормировки:
У|ф(х, 012^=1-	(16.7)
Это условие означает, что в любой момент време-
ни частица может быть локализована в одной из то-
чек пространства. Иначе говоря, частица всегда мо-
жет быть приведена в такое взаимодействие, что она
обнаружит свою корпускулярную природу. При этом
она перейдет в такое состояние, в котором импульс
как физическая характеристика состояния частиц по-
теряет свой смысл. Если же мы имеем дело с состоя-
нием, в котором импульс частиц имеет определенное
значение (очень широкая группа волн де Бройля), то
в этом состоянии частицы могут быть локализованы
в любой точке большой (по сравнению с длиной вол-
ны) области пространства, в любой момент времени.
Поэтому нет такого случая, когда квантовая ме-
ханика оперировала бы с объектами вне времени и
пространства; реальный квантовый ансамбль всегда
осуществляется в конечной области пространства и
как таковой существует конечное время. Квантовая
механика показывает, однако, что движение микро-
частиц в пространстве и времени нельзя отождест-
влять с движением материальных точек по траекто-
риям. Движение по траекториям, согласно квантовой
92
ме\.'11111ко, является частным случаем движения, реа-
.имующимся лишь приближенно при определенных
условиях.
Кажущаяся парадоксальность квантовой механи-
ки возникает только в тех случаях, когда новые,
устанавливаемые ею закономерности стремятся по-
нять с точки зрения классической механики. Между
тем квантовая механика обобщает классическую, рас-
ширяет и углубляет понятие движения за узкие пре-
делы представлений классического атомизма. В силу
этого было бы неверно рассматривать представление
о движении частиц по траектории как «истину в по-
следней инстанции». Основное для материалистиче-
ской гносеологии, как подчеркивал В. И. Лепин, есть
признание объективности природы и объективности
свойственных ей закономерностей.
Квантовая механика показала ограниченность
классического атомизма и вскрыла качественно но-
вые особенности микромира, нашедшие полное под-
тверждение в практике физического эксперимента и
в технике.
Поэтому с точки зрения диалектического материа-
лизма квантовую механику следует рассматривать
как важнейший этап в развитии атомистики XX сто-
летия. Этот этап свидетельствует об исключительной
силе человеческого разума, сумевшего обнаружить в
кажущемся хаосе микроявлепий поразительные по
своей общности и точности закономерности.
* * *
Мое понимание квантовой механики принципиаль-
но отлично от понимания ее копенгагенской школой
(Н. Бор и др.), а также и от понимания ее В. А. Фо-
ком, который лишь несущественно уклонился от кон-
цепции Н. Бора.
Различие моей позиции от копенгагенской заклю-
чается в том, что я всегда стремился исключить осо-
бую роль наблюдателя в квантовой теории, приписы-
ваемую ему школой Н. Бора; я ставил своей целью
сделать квантовую механику такой же объективной,
не зависящей от какой-либо роли наблюдателя, как
и все другие пауки.
В частности, ясно, что роль современного наблю-
дателя и экспериментатора в изучении квантовых яв-
93
лении ничем не отличается от его роли в классиче-
ских естественных пауках. Современный эксперимен-
татор также стремится исключить какое-либо свое
субъективное влияние на изучаемое явление, ставя
единственную, свойственную пауке задачу получить
объективную информацию об изучаемом явлении.
Между тем в тридцатых годах очень любили под-
черкивать особую роль наблюдателя квантовых яв-
лений. Эта методологически и фактически неправиль-
ная тенденция сохранилась и до сих пор у привер-
женцев копенгагенской школы. Я всегда боролся про-
тив такой тенденции, по никак не против квантовой
механики, которую я считаю вполне совершенной
теорией.
Возможность того необоснованного субъективизма,
когда волновую функцию приходится рассматривать
как «записную книжку» наблюдателя, исключается в
моей теории квантовых ансамблей.
Подчеркну суть расхождения. Приверженцы ко-
пенгагенских взглядов оперируют исключительно с
понятием волновой функции. На этом пути их аргу-
менты кажутся вполне логичными и автоматически
ведут к субъективному толкованию основного поня-
тия квантовой механики — понятия волновой функ-
ции. Начинающие изучать квантовую механику, еще
не подавленные авторитетами, справедливо спраши-
вают: «Если это так, то законы квантовой механики,
видимо, неприложимы к ситуациям, когда наблюда-
тель отсутствует? Например, к физическим событиям,
которые имели место в эпоху динозавров?»
Оперирование только с волновой функцией осно-
вывается на ошибочной аналогии с классической фи-
зикой, в которой существуют две принципиально от-
личные механики: а) классическая, полностью детер-
минированная механика и б) механика статистиче-
ская.
Квантовая механика с самого начала — статистиче-
ская теория. Со времени работ фон Неймана (1927)
известно, что в квантовой механике существуют два
типа ансамблей:
а)	чистый, «когерентный», ансамбль, который опи-
сывается одной волновой функцией, и
б)	ансамбль смешанный, который не может быть
описан одной волновой функцией.
94
Второй тип ансамбля аналогичен классическому
ансамблю статистической механики. Приверженцы
копенгагенской школы полагают, что квантовые ан-
самбли типа (б) могут быть исключены из области
квантовой механики и по аналогии с ситуацией в
классической физике должны бы ть отнесены к стати-
стической квантовой механике.
Однако в квантовой теории это невозможно сде-
лать, так как в результате взаимодействия с макро-
скопическими объектами (в частности, при измере-
ниях) чистые квантовые ансамбли (а) превращаются
в смешанные ансамбли (б). Поэтому в квантовую ме-
ханику должны быть включены оба типа ансамблей.
Это расширение квантовой механики на оба типа
(а) и (б) и составляет суть моего понимания кванто-
вой механики и суть отличия моей позиции от копен-
гагенской.
Полагая в основу квантовой механики понятие
объективно существующего квантового ансамбля
(пример тому — космические лучи, существовавшие,
разумеется, до всякого наблюдателя и тем не менее
подчиняющиеся законам квантовой механики), я из-
бегаю всех хорошо известных парадоксов квантовой
теории измерений, ставлю наблюдателя на положен-
ное ему место и даю способы математически рассчи-
тать взаимодействие микрообъектов с макроскопиче-
скими системами, в том числе и с измерительным
прибором.
ЛЕКЦИЯ 17.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение обратимся к связи макро- и микро-
скопических явлений, к их родству.
С точки зрения физики они различаются по роли
постоянной Планка h: &phq^>h или \p\q^h. Другое
важное различие — детерминированность в макро.
Образцом причинной (детерминистической) науки
долгое время считалась классическая механика, в ко-
торой знание в начальный момент времени t=t0, ко-
ординат частиц Хо и их скоростей v0 достаточно, что-
бы полностью предсказать движение частиц для t~>
>t0, для любого более позднего момента времени.
Иными словами, начальные данные определяют по-
95
следующие состояний механической системы одно-
значно.
Развитие механики на основе такой концепции
причинности сопровождалось значительными практи-
ческими успехами. Поэтому возникло представление
о том, что с помощью такой механики в принципе
можно полностью описать весь мир, лишь бы удалось
определить координаты и скорости всех частиц мира
в некоторый «начальный» момент времени t = 0.
На самом деле осуществление этой программы не-
возможно и в принципе. Дело в том, что получение
информации о координатах и скоростях частиц тре-
бует времени, необходимого для посылки локацион-
ного сигнала и обратного его получения. Если рас-
стояние до частицы равно Д, то это время не мень-
ше, чем x=Rlc, где с — скорость света*. Отсюда
следует, что знание координат и скоростей частиц в
момент времени to = O требует, чтобы измерения на-
чались раньше этого момента, в момент времени I —
=—R/c. Если же мы ограничимся сведениями о ча-
стицах, находящихся на расстоянии меньше R, то бу-
дет необходимо высказать условное предположение:
если удаленные частицы не будут влиять на изучае-
мую частицу, то она будет двигаться так-то и так-то.
Учет же влияния всех частиц потребует бесконеч-
но большого времени, 1=оо. Таким образом, детер-
министические предсказания носят условный харак-
тер. Они обязательно содержат условное предполо-
жение о будущем. Значимость этих предположений
обычно оценивается на основе понятия вероятности,
т. е. на основе статистических данных.
Другая сторона дела относится к точности изме-
рений. Неточности, заложенные в определении на-
чальных данных: Дл:о, h.vQ=\p0/m (здесь р0— им-
пульс, т — масса частицы) с течением времени пове-
дут, вообще говоря, к большим отклонениям реаль-
ного движения тела от предсказываемого.
Простой пример иллюстрирует сказанное: по на-
чальным координатам спутника можно предсказать
будущую его орбиту. Но нельзя однозначно предска-
зать возможное нарушение его движения в результа-
те попадания в него метеора. Информация о двнже-
* Класзичгская физика допускал i cnrici.ri:.i. распрострапяю-
Е'сся с как угодно большой скороеп'о: полому K.iiecn еская
механика логически безукоризненна; при с т 0.
96
ими метеоров носит статистический характер. Поэто-
му это предсказание может быть сделано только па
основе статистики, т. е. вероятностным образом. Да-
лее, неточности, заложенные в начальные данные
при запуске ракет, должны быть скорректированы,
если настаивают на выводе спутника на расчетную
орбиту.
В этом примере видны все особенности детерми-
нистических предсказаний: необходимость предельной
точности измерений и необходимость условных огра-
ничений па будущее — «граничные условия» (см.
рис. 1).
Конечно, можно думать, что явления в природе
сами по себе протекают детерминистически, пол-
ностью предопределенно. Можно думать, что описан-
ные принципиальные затруднения в классическом ме-
тоде описания явлений относятся не к самим явле-
ниям, а лишь к возможности получения необходимой
о них информации, к предсказуемости событий. Ины-
ми словами, явления природы по отношению к на-
блюдателю выглядят так, как если бы они были не-
детерминированы.
Развитие атомной физики на рубеже XIX и
XX столетий показало, что отсутствие точной детер-
минированности явлений не означает хаоса. Стати-
стические закономерности оказались очень содержа-
тельными, и знание их позволило построить физику
газов, жидкостей и твердых тел — систем, состоящих
из большого числа частиц.
Вопрос о том, является ли статистический метод
только методом описания явлений, о которых иссле-
дователь имеет неполную информацию, или статисти-
ческий метод отражает объективную ситуацию, был
решен после открытия квантовых явлений.
Изучение квантовых явлений показало, что клас-
сическое описание явлений возможно лишь огрублен-
но. Если произведение неточности в определении им-
пульса Др на неточность в определении координаты
частицы Дх становится сравнимым с постоянной
Планка й : ДрДх^/z, то классическое описание стано-
вится несостоятельным. На место классического опи-
сания становится квантовомеханическое, которое в
принципе исключает детерминизм.
Статистический характер квантовой механики не
есть результат неполного описания. Он является от-
97
ражением объективно существующего типа причинно-
сти, которая допускает неоднозначность — выбор сре-
ди возможностей.
Явления микромира протекают по очень своеоб-
разным законам, тем не менее они тесно связаны с
макромиром и способны оказывать влияние па тече-
ние событий в нем. Таким путем индетерминизм,свой-
ственный микромиру, обнаруживает себя в мире ма-
кроскопическом.
Для математического описания этой связи недо-
статочно пользоваться понятием волновой функции
ф; необходимо пользоваться статистическим операто-
ром р (матрицей плотности), который позволяет со-
четать описание микро- и макроявлений в одной ма-
тематической схеме.
Построение квантовой механики на основе стати-
стического оператора р объединяет идеологию кван-
товой механики с идеологией классической статисти-
ческой механики, в частности с ансамблем Гиббса,
Описание с помощью волновой функции становится
характерным для специального случая — когерентно-
го ансамбля.
Во всех случаях волновая функция ф или опера-
тор р не являются величинами, принадлежащими од-
ному экземпляру микрочастицы (или вообще одному
экземпляру квантовой системы). Напротив, фм или
рм- указывают на то, какому квантовому ансамблю,
определяемому макроскопической обстановкой М,
принадлежит изучаемый экземпляр (экземпляр кван-
товой системы микрочастиц).
Такое понимание квантовой механики на основе
квантового ансамбля позволяет избежать парадок-
сов, характерных для обычного понимания квантовой
механики на основе субъективной трактовки ф-функ-
ции, которые уже на первых порах развития кванто-
вой механики были поставлены, но не были разре-
шены удовлетворительно (см. лекцию 16), парадок-
сов, основанных на субъективном понимании кванто-
вой механики.
Квантовые ансамбли позволяют сделать теорию
Измерений предметом математического расчета.
Влияние макросферы на микроскопическую обста-
новку несомненно. Это и большие молекулы в среде
(растворе, термостатической среде), ДНК, РНК, их
98
энергия, их «питание». Это и появление случайных
фаз в микросистеме и ее «выживаемость».
Можно было бы думать, что явления в микромире
не влияют на макроскопические явления. Но это не-
верно [lj. Микроскопические явления способны вы-
звать и вызывают явления макроскопические в тех
случаях, когда макроскопическая ситуация неустой-
чива. Всякое взаимодействие микрочастицы с изме-
рительным прибором вызывает явление типа взрыва
(см. лекции 11 —15).
Если в тридцатых годах всех заботило влияние
прибора па состояние частицы, то теперь пора воз-
вратиться к более традиционной постановке вопро-
сов— о влиянии микрообъекта на состояния макро-
системы. Это не только теория измерений, это теория
порождения макроявлеиий микроявлением. Она мо-
жет оказаться значительной для эволюционной био-
логии, в вопросах теории высокочувствительных ор-
ганизмов.
Так, разряд молнии может быть инициирован кос-
мической частицей, залетевшей в заряженное облако.
Попадание гамма-кванта в хромосому способно из-
менить генетический тип индивидуума. Сюда же мож-
но отнести и реакцию насекомых на запах, глаза на
фотоны. Здесь сделаны лишь первые шаги.
Тем не менее внедрение случайности в жизнь Все-
ленной не порождает хаоса. В жизни Вселенной осу-
ществляется безмерно великое число проб и испыта-
ний. В этом многообразии событий обнаруживаются
свои законы величайшей Красоты и Гармонии.
Иллюстрацией этому утверждению может слу-
жить квантовая механика, законы которой основаны
на статистической концепции, отвергающей предопре-
деленность событий. Именно на этой основе были
вскрыты изумительные закономерности атомного ми-
ра, позволившие понять строение атомов и молекул,
закономерности их воздействия.
Концепция квантовой механики, дополненная тео-
рией относительности, позволяет успешно проникать
и в мир элементарных частиц.
Великий опыт квантовой физики со статистически-
ми закономерностями показал нам, что допущение
«индетерминизма» нисколько не обедняет возмож-
ность познания мира, физических явлений. Напротив,
именно отказ от претензий классической физики по
99
«начальным» данным однозначно предсказать буду-
щее создал основу для грандиозных успехов совре-
менной атомной физики. Современные генетика и ки-
бернетика также опираются на понятие вероятности,
на статистические методы.
Все это заставляет прийти к заключению, что
именно Случай, возможность выбора того или иного
пути развития событий, составляет объективную ос-
нову жизни Вселенной, ее развития и творчества.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Блохинцев Д. И. Принципиальные попросы квантовой
механики. М., 1966.
2.	Уиттекер Т. Аналитическая динамика. М., 1937.
3.	Г и б б с Дж. Основные принципы статистической механики.
М„ 1946.
4.	Ландау Л., Лифшиц Е. Статистическая физика. М.,
1951. Гл. 1.
5.	Блохинцев Д. И., Бр иски на Ч.//Вестник МГУ. 1942.
№ 10. С. 115; Блохинцев Д. // УФН. 1977. Т. 122. С. 745.
6.	Гейзенберг В. Физические основы квантовой механики.
М., 1932.
7.	Блохинцев Д. И.//УФН. 1977. Т. 122. С. 745.
8.	ф о н Нейман И. Математические основы квантовой ме-
ханики. М., 1964.
9.	Никольский К. В. Квантовые процессы, М., 1940.
10.	Б л о х и и ц е в Д. H.//J. Phys. USSR. 1940. Т. 2. Р. 71.
11.	Блохинцев Д. И., Немировский П. Э.//Физический
журнал СССР. 1940. Т. 3. С. 191.
12.	Блохинцев Д. И.//ЖЭТФ. 1940. Т. 10. С. 1263.
13.	Яглом А. М., Яглом И. Вероятность и информация.
М., 1960.
14.	Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах
в математической физике. Киев, 1945.
15.	Bogolubov N. N. On the stochastic processes in the dy-
namical systems. E 17—10514. Dubna, 1977.
16.	Боголюбов H. H. Проблемы динамической теории в ста-
тистической физике. М., 1946.
17.	Шелест А. В. Препринт ИТФ 67—11. Киев, 1967.
18.	Davies Е. В. Quantum theory of open systems. L., 1976.
19.	Uhlmann A. Zur Beschreibung irreversibler Quantum pro-
zesse. Sitz. Ber. Ak. Wiss. DDR. N. 14. B., 1976.
20.	Ingarden R. S., Kossakowski A.//Ann. Phys. 1975.
V. 29, N 2.
21.	Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М., 1976.
22.	Петров Ю. В.//УФН. 1977. Т. 123. С. 473.
23.	Бор Н.//УФН. 1936. Т. 16. С. 446.
24.	В о h г N. Atomteorie und Naturbeschreibung. В., 1931.
25.	Jordan Р. Physics of 20th century. N. Y., 1944.
26.	Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н.//УФН.
1936. T. 16. С. 440.
27.	Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относи-
тельности и квантовой механике. М., 1972.
ДОПОЛНЕНИЯ
1.	Вычисление средних в пространстве
q')
Формула (3.10) для среднего L величины L по-
лучается на основании (3.1) и (3.2) из общей фор-
мулы
L=\p(q,p)L(q,p)-^-	(Д.1)
J	2лп
при условии нормировки
$p(q,p)dqdp=l	(Д.2)
следующим образом. Подставим в (Д.1) выражения
Р(<7» Р) = У P(Q»B)exp(i р^/Д)ДВ,	(Д-З)
А (<7, р) =4 Z (q, I) exp (- i р%'/П) d£.	(Д.4)
Тогда
L (р, p) = exp [-----------I L (q, V) p (q, I)
j	[ ft л j	2лл
- j d&qd^ (Г- Ю L (q, Г) p (q, B) = j d^qL (q, |) p (q, £).
(Д-5)
Заменяя обозначения p(q, g)=p(p, q')-t L(q, g) =
= L(q, q'), получаем результат
Z = L (p, p) = J p (q, q') L (q, q') dqdq',	(Д.6)
приведенный в (3.10). С помощью такого же рода
преобразований из уравнений (3.14) получается урав-
нение (3.15).
2.	Операторы р и q
Рассмотрим некоторую функцию ip(<z) и применим
к ней сперва оператор q, а затем р, представляющий
импульс, сопряженный координате q. Имеем
(<7) = f qb (q—q") Ф (q") dq" = qy!i> (?) = F(q). (Д.7)
101
Далее
р (7)== pF = \П db{qdg„-~-' F(q")dq"^
=	U(p)+p2tj. (Д.8)
dq	(	dq )
Выполняя операции в обратном порядке, найдем
qp-ф (q)=—ifiqdtp(q)/dq.	(Д.9)
Поэтому
(fiq — рр)ф(р)= — i/i^(q).	(Д.Ю)
Следовательно,
[р, ?]1[ = ф.	(Д-Н)
Ввиду произвольности функции ф(р) из (Д.Н) полу-
чаем
\p,q]-i-	(Д.12)
В координатном представлении имеем
i^8(q-q').	(Д.13)
Нетрудно доказать, что если р и q относятся к раз-
ным степеням свободы, то в (Д.12) вместо единицы
будем иметь нуль.
3.	Связь классических и квантовых
формул
В лекции 3 было показано, что нормировка клас-
сической плотности в пространстве q') гласит:
5р(р, q)dq=A,	(Д-14)
а выражение для среднего значения L имеет вид
L = )p(p, q')L(q, q')dqdq' (Д1г>)
[см. (3.9) и (3.10)]. С другой стороны [формула
(4.9)],
Spp=l.	(Д-16)
След есть сумма диагональных элементов
Р(<7> q’)<i'=<i~P(q, q)- Для непрерывной переменной, ка-
102
кой является переменная q, след матрицы по опреде-
лению есть интеграл по этой переменной:
9)Л<7 - - 1.	(Д-17)
Поэтому формулы (Д.14) и (Д.16) совпадают. Да-
лее, если в (Д.15) рассматривать L (q, q') как мат-
ричный элемент эрмитова оператора SP, то £*(<?,
q')=L(q', q). Поэтому замена коммутативного зако-
на умножения в (Д.15) на закон умножения матриц
позволяет записать (Д. 15) в «квантовом» виде:
L = )p(q,q')L(q',q)dq'dq.	(Д-18)
В соответствии с законом умножения матриц и опре-
делением следа матрицы получаем, что формула
(Д. 15) после изменения закона умножения переходит
в (4.10):
L==Sp(p^).	(Д.19)
Укажем важное равенство
Sp (А5) =Sp (BA).	(Д.20)
Действительно,
SpG4B) =.££ AnsBsn =S£Bs,As = Sp (BA). (Д.21)
ns	s n
To же самое легко доказать для непрерывных мат-
риц, заменяя суммирование по дискретным индексам
s, п па интегрирование по непрерывным переменным:
Sp (АВ) =))dqdq"A(q, q”)B(q", q)=Sp(BA). (Д.22)
Таким же путем доказывается возможность цикли-
ческой перестановки операторов:
Sp (A£C)=Sp (CAB)	(Д.23)
и т. п. Заметим, что равенства (Д.21) и (Д.23) пред-
полагают сходимость входящих в них сумм или инте-
гралов.
4.	Инвариантность канонических
соотношений и формул для средних
Пусть
[Pr,	(Д-24)
103
Введем новые переменные с помощью унитарного
преобразования S:
Pr=SprS^-	(Д.25)
Qs = SqsS~\	(Д.26)
Отсюда имеем для обратного преобразования:
	p,. = S-'PrS; <7s = S->&S.	(Д.27) (Д.28)
Перемножая SS-I = 1, найдем	(Д.27) и (Д.28),	учитывая, что
	Ms=S-'PrQsS,	(Д.29)
	qspr = S~lQsPrS.	(Д.30)
Поэтому	S~l[Pr, ^s]S = I6rs.	(Д.31)
Умножая (Д.31)	слева на S и справа	на S-1, заме-
чая, что	sTs-'Sr^TSrs,	(Д.32)
получаем	Pr, &] = 16rs.	(Д.ЗЗ)
Таким образом, переменные Pr, Qs образуют систему
новых канонически сопряженных переменных.
Обратимся теперь к формулам для средних. Для
преобразованных операторов р' и S" имеем
Spp'=Sp (SpS-1)	(Д.34)
и
L'=Sp (р'25') = Sp (SpS-'S^S -1) = Sp (S (p^)S-1).
(Д.35)
Применим теперь циклическую перестановку операто-
ров в (Д.34) и (Д.35), возможность которой доказа-
на в дополнении 3, и получим
Sp(SpS-')=Sp(S-'Sp')=Spp (Д.36)
и из (Д.35)
Sp (S (pS>) 5->) = Sp (S-’S (р^)) = Sp (р^). (Д.37)
104
Тем самым доказано, что Sp р и Sp(p27) суть инва-
рианты унитарных преобразований.
Ясно, что это утверждение можно распространить
на след любого оператора
Sp#'=SpA\	(Д-38)
5.	О собственных функциях и
собственных значениях операторов
Для выводов лекции 5 существенно выражение
Sp(cC+)=0.	(Д.39)
Напишем его в раскрытом виде, ограничившись слу-
чаем дискретного спектра операторов С и С+, имеем
Sp(CC+) = £C„sC+ = £C„sC:s = y |Cns|a. (Д.40)
п, S	п, S	п, S
Поэтому равенство (Д.39) возможно лишь в том слу-
чае, когда все элементы Cns = 0. Для непрерывного
спектра доказательство получается, если заменить в
(Д.40) суммы на интегралы.
Таким образом, из (Д.40) следует С = С+=0. Об-
ратимся теперь к доказательству формул (5.10) и
(5.11). Сравнение уравнений (5.8) и (5.10) показы-
вает, что в уравнение (5.8) переменная q' входит как
произвольный параметр — оператор 2? не действует
на эту переменную.
Поэтому зависимость р от переменной q в (5.10)
совпадает с зависимостью от q функции фД<?) в
(5.10). Отсюда следует, что матричный элемент
р(<7, Д) пропорционален функции фДд). Сравнение
уравнений (5.9) и (5.11) показывает, что p(z?, q')
пропорционально фД(Д). Следовательно,
рД<7, Д)~ФДДфД(Д)- (Д-41)
Учитывая условие р2—р, найдем, что множитель про-
порциональности в (Д.41) должен равняться едини-
це. Это вытекает из условий нормировки собственных
функций [см. (5.15), (5.16) ]. Действительно,
Рх (9- Д) = ,С Рх (<7. Д) Рх (Д'- Д) <*Д' =
=4 Фх (7) Фх (9") Фх (Д') Фх (7') W = Фх (Д Фх (7') =
= PxW)-	(Д-42)
105
Докажем теперь формулу (5.22). Имеем
р Ф (<?) = f р (<7, <?") Ф (<?") dq" = f ф (<?) ф’ (q") Ф (q") dq" =
= Ф (q) J Ф* (9") Ф Ю dq" = Ф (7) (Ф, Ф) 	(Д.43)
6.	Соотношение неопределенностей
для произвольных величин А и В
Пусть А и В — два эрмитовых оператора, изобра-
жающих динамические величины Л и В, а р — стати-
стический оператор.
Рассмотрим вспомогательную величину
/ (g) = Sp {[?Лр + iBp] [g (Лр) + - i (Вр) Ч},
(Д.44)
где g— вещественное число. Очевидно, что 7(§)^0.
Раскрывая это выражение, получаем
^2 + &§ + с>0,	(Д.45)
где
а = 5р{(Лр) (Лр)+) = Sp (р2Л2) = Sp (рЛ2) = Л2, (Д.46)
b = i 5р{Вр(Лр)+ + Лр(Вр)+} = i Sp [р {ВА—ЛВ)] =
=/г Sp{[B, Л] р) — Й [В, Л],	(Д.47)
с= Spf(Bp)(Bp)4 = S2.	(Д.48)
При выводе (Д.46) — (Д.48) мы воспользовались эр-
митовостью операторов А п В и возможностью цик-
лической перестановки множителей под знаком Sp.
Из условия (Д.45) следует, что
4ас^Ь2.	(Д.49)
Подставляя сюда значения а, с, Ь, получаем
Л2 В2>Й2|[Л, В]|2/4.
(Д.50)
В частности, если А=р — р, B = q— q, где р, q —
средние значения операторов р и q, то (А, В]=
= [р, q] = 1, и мы получаем соотношение Гейзен-
берга:
Ар2 Ар2	Й2/4.
(Д-51)
106
7.	Вычисления с матрицей /?(</, р)
Для вывода формул (8.14), (8.20) и некоторых
других необходимо вычислить матричный элемент
произведения дву.х операторов Л и В в новом пред-
ставлении в пространстве ^(7, р). Обозначим это
произведение С=АВ. Согласно определению (8.10) и
(8.И)
С (Д Р) “ f С (q, q"~) exp [i p (q" — q)] dq", (Д.52)
zjt *J
где C(q, q") — матричный элемент оператора С, в ко-
ординатном представлении
С (7> 7") = I' Л (7, 7'") dq’" В (q'", q").	(Д. 53)
Далее, согласно тому же определению
А(7, 7"'М А (7, Р"’) exp[—i р'” (q'"-q')\ dp'”, (Д.54)
В (q"', q") =)‘ В (q"', р") exp [ — i р" (7"—7"')] dp". (Д.55)
Подставляя эти выражения в (Д.53) и результат —
в (Д.52), получаем после интегрирования по 7", кото-
рое приводит к появлению под интегралом функции
б(р"— р), что позволяет выполнить интегрирование и
по р", следующее выражение:
С (q, р) J A (q, р + ц) В (q + g, р) exp (—i §Ц) d&fr], (Д-56)
где
£ = 7"/~7; Ц = Р///-Р-	(Д-57)
Заметим, что во всех этих формулах мы временно
положили й=1. Для вычисления Sp(S’p) обозначаем
С = 2?р. Полагая в (Д.53) и (Д.55) q"=q, подстав-
ляя (Д.54) и (Д.55) в (Д. 53) и интегрируя C(q, q)
по 7, получаем
Z = Sp (_£р) = Sp С = ) С (q, q) dq =-- ( dqdq'" J L (qs, p"') X
X exp [ — i p'" (7" — 7)] dp”' ]'	p") x
xexp[ — ip" (7—q'")]dp",	(Д.58)
откуда
Z- (q,p) R(q+ £,p + n)exp(i &n) d^dndqdp. (Д.59)
107
Пользуясь формулой, обратной (Д.54):
Л(?, Р"/)=М((7, q"')exp[\(p'"q"'—ip"'q)]dq'", (Д.60)
и эрмитовостью матричного элемента A(q, q"'), не-
трудно показать, что для любого оператора имеет ме-
сто соотношение
A* (q, р) = М (<7 + £, Р + г1) ехР (‘	(Д-61)
Эта формула позволяет выразить в (Д.59) R(q+1,
p + i]) через R*(q, р). Поэтому из (Д.59) и (Д.61)
получаем результат:
L=\R*(q,p)L(q,p)dqdp,	(Д.62)
приведенный в лекции 8 [см. (8.14)]. Из формулы
(Д.56) можно найти выражение для скобок Пуассона
в пространстве 3t{q, р), для этого положим С =
= (АВ— ВЛ)/Иг и воспользуемся законом умножения
(Д.56). Тогда
[Л, В]^ р = J- J'exp (— i §ц/Й) d^/ц {A (q, р +ц)В(<7+ р)—
— B(q, р+П) А (<? + §, р)}.	(Д.63)
Полагая здесь A (q, p)=H(q, р) и B(q, p)=R(qt р),
получаем формулу (8.20).
8.	О сохранении симметрии матрицы
плотности
Обратимся к уравнению
dp = [Д, p]dt= (Йр— pH)dl/ih, (Д.64)
здесь dp — приращение матрицы р за время dt. Пусть
в момент времени t матрица р симметрична или ан-
тисимметрична при перестановке любой пары частиц
t, k, в строках или колонках. Действуя на колонки
уравнения (Д.64) оператором этой перестановки
£Pik(q'), т. е. справа, рассматривая сначала поведение
члена Др, имеем
Rp^ik (<?') = ± Др-	(Д-65)
108
Действуя теперь этим же оператором на член рЙ, по-
лучаем
pfl&ih(q') = p^ill(q',)Jiih[q")ftSPih(q'). (Д-66)
Так как по внутренним переменным q" при перемно-
жении матриц р и Й идет интегрирование, то встав-
ленные между р и Й операторы <Pih (q") не меняют
результата. В силу симметрии оператора Й при пере-
становке частиц
Поэтому
pH&ih, (q') =	(q") Й—±рЙ. (Д.67)
Отсюда следует, что скобки Пуассона в (Д.64) об-
ладают симметрией оператора р при перестановке
аргументов (q'i, q'n.) в колонках. Таким же путем до-
казывается симметрия или антисимметрия при пере-
становке аргументов (qit qh) в строках.
В силу этого приращение dp оператора р(/) за
время di имеет симметрию оператора p(t). Таким
образом, свойство симметрии или антисимметрии при
перестановках частиц в строках и в колонках стати-
стического оператора р сохраняется при движении.
Иными словами, операторы ^ik(q) и ^ik(q') явля-
ются интегралами движения.
9.	Вычисление интеграла в формуле
(12.17)
Интеграл по х, входящий в формулу (12.17),
имеет вид
dx' ехр [0 (x')J,	(Д-68)
— QO
где
0(х') = Д-[р(х—х')2 -\-M(q—x')2 ± \kx'\~^-.
(Д-69)
Представим эту фазу в виде
О (х') = — [Ax' + IB]2 — В2 4 iC=— Z2 — В2 + iC,
(Д-70)
109
где
Л = 1/а2 —1(иН-Л4)/2Ат,	(Д.71)
B-=(\/hx)[([ix + MQ)^k]/2A,	(Д.72)
C=i(ux2^AfQ2)/2Atr.	(Д.73)
Произведенная замена переменных х' на z, dz=Adx',
позволяет выполнить интегрирование в (Д.68). Ре-
зультат следующий:
/± = /л ехр [—(В*)2-|-i С]/4.	(Д.74)
Пользуясь (Д.72), представим (В±)2 в виде
Re (В±)24-1 1т(В-Д2 и мнимую часть добавим к фазе
iC. Тогда
л exp[-Re(B±)2 + iC']M. (Д.75)
Из (Д.72) получаем при ц<Л4
Re (В’-) 2=[Qh-ut]2/cz2,
(Д.76)
где v = hk/[i — скорость шарика после рассеяния. За-
метим, что более точный знаменатель в (Д.76) есть
а2 + 4Д2т2/а2Л12, который учитывает расплывание вол-
нового пакета. Это расплывание при большой массе
шарика М несущественно. Из (Д.76) видно, что
функция Re(B*)2 сосредоточивается в области Q =
= ±ит, что отображает движение шарика направо
или налево.
10.	Матрица плотности для осциллятора,
находящегося в тепловом равновесии
Уравнения для величины Z(x, х'), пропорциональ-
ной матрице плотности, в раскрытом виде гласят:
dZ(x, V)/B|3+ [—(l/2)(d2/dx2)+x2/2]Z(x, х')=0.
(Д.77)
Полагая
Z(x, х’) = ехр[—А — ф(х, х')]/Ил’ еГ(Д-78)
и
Ф(х, х') = (Вх2 — 2Схх' + Вх'2)/2	(Д.79)
110
и подставляя (Д.79) в (Д.78), а (Д.78) в (Д.77), по-
лучаем
дА	1	дВ	2 . дС	,	1	ЭВ	,,
ар	2	ар ар 2	ар
—[Вх2 + С2х' 2~2ВСхх' — В—х21 = 0. (Д.80)
Откуда, приравнивая нулю коэффициенты при х2,
хх' и х'2, найдем систему уравнений:
а)	Д4/др—В/2=0,
6)	(ЗС/0р+ВС = 0,	(Д81)
в)	вв/ар+в2—1 = о,
г)	дВ/др + С2 = 0.
Уравнение в) интегрируется элементарно и приводит
к решению B = cth|3. Из уравнения г) определяем ко-
эффициент С — ±l/shp и, наконец, из уравнения а)
находим квадратурой A =ln(sh p)/2 + const. Гранич-
ное условие (13.12) определяет выбор знака у коэф-
фициента С (следует брать знак « + »), а также кон-
станту для A: const = ln2/2. Таким образом,
H = ln(sh р)/2 + 1п 2/2; B = cth|3; C = csch|3.
(Д.82)
Отсюда
а2 = В — C=th (0/2).	(Д.83)
11.	Вычисление средних значений
<х2) и (у2)
Вычисление этих средних сводится к вычислению
интегралов (13.26) и (13.27). Удобно перейти к по-
лярной системе координат г, ср и вместо г взять пе-
ременную z=r2/2. Типичные интегралы, которые при
этом появятся в (13.26) и (13.27), на основании
(13.28) — (13.30) имеют вид
Д (Л1, N) — dtp ехр [—z (М + N cos ф)] dz, (Д.84)
о о
I2(M,N)= dtp ехр [—z (М 4- N cos ф)] z dz, (Д. 85)
б 6
111
/3(Л4,ЛГ) = I* cos ф dtp exp[—z(M + N cos<()]zdz, (Д.86)
d 6
= sin ф dip ^exp[—z(M +2Vcosip)] zdz = 0.
(Д.87)
Первый интеграл /ДМ, У) после интегрирования по
z сводится к интегралу
2л	4л+б
Д (М, N) = [----— С --------------------------
I М + Л/ cos ф	М2 J 1 + е cos ф
о	6
2л
- — f-------------= — -7-Л.„ .	(Д.88)
М J 1 + 8 cos ip М j/ l t 2
о
Напомним, что угол 6 = 2<М и е= |М/М| <1 *. Так
/ДМ, М)=2л/(М2 —М2)1/2.	(Д.89)
Далее, интеграл
/ДМ, N)=—dIl(M, ЛД/<ЗМ=2лМ/(М2—М2)3/2; (Д.90)
наконец, интеграл
/3(М, N)=—dh(M, N)/dN ——2aN/(M2 — №)3/2.
(Д.91)
Согласно (13.26), (13.27) и (13.29), (13.30) имеем
(х2(0/2> = МД/2(М, N) + h(M, A0cos2w/}/2n.
(Д.92)
Окончательно, полагая M2=a2 + b2, N2=a2—b2, по-
лучаем
(х2(Д/2>= (1/а2+ 1/Ь2)/8+ (1/а2— l/&2)cos 2ю//8,
(Д.93)
О/2(/)/2)= (1/а2+1/62)/8 - (1 /а2-1 /&2) cos 2®//8.
(Д-94)
Эти формулы и приведены в лекции 13.
* См.: Гр адштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы ин-
тегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971. С. 380, форму-
ла (3.613).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................... 3
Огавтора .............................................. 6
Лекция 1.	Введение............................... 7
Лекция 2.	Классический ансамбль Гиббса	....	9
Лекция 3, Классическая статистическая механика в про-
странстве X(q, q')...........................16
Лекция 4. Квантовая механика как обобщение класси-
ческой статистической механики	....	19
Лекция 5.	Теория когерентного ансамбля...........25
Лекция 6 Вероятности и квадратичные отклонения .	.	31
Лекция 7.	Некогереитнып ансамбль.................36
Лекция 8. Уравнение движения для статистического опе-
ратора в различных представлениях	...	41
Лекция 9 Симметрии в системах тождественных частиц 45
Лекция 10	Энтропия и информация..................49
Лекция 11.	Теория открытых систем и процесс	измерения	53
Лекция 12. Простейший пример взаимодействия микроча-
стиц с измерительным прибором	....	61
Лекция 13.	Термодинамически неустойчивый	детектор	66
Лекция 14.	Детектор с цепной реакцией..........74
Лекция 15. Работа фотопластинки или пузырьковой ка-
меры ..................................................79
Лекция 16.	Некоторые гносеологические вопросы ...	81
Лекция 17	Заключение .................................95
Литература....................................100
Дополнения............................................101
1.	Вычисление средних в пространстве Sl{q, q') .	.	101
2.	Операторы р и q...............................101
3.	Связь классических и квантовых формул .	102
4.	Инвариантность канонических соотношений и фор-
мул для средних..................................103
5.	О собственных функциях и собственных значениях
операторов..................................105
6.	Соотношение неопределенностей для произвольных
величин А и В...............................106
7.	Вычисления с матрицей l№(q, р)...........107
8.	О сохранении симметрии матрицы	плотности	.	.	108
9.	Вычисление интеграла в формуле (12.17)	...	109
10.	Матрица плотности для осциллятора, находящего-
ся в тепловом равновесии.....................НО
11.	Вычисление средних значений <х->	и (у2)	.	.	.	111