/
Author: Кадомцев Б.Б
Tags: физика плазмы теоретическая физика сборник статей физические явления
ISBN: 0235-9286
Year: 1990
Text
ISSN 0235-9286
ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
ПЛАЗМЫ
СБОРНИК НАУЧНЫХ СТАТЕЙ
Выпуск 18
Под редакцией академика
Б. Б. КАДОМЦЕВА
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1990
УДК 533.9.01
Вопросы теории плазмы: Сб. науч. ст. Вып. 18/ Под ред.
Б. Б. Кадомцева. — М.: Энергоатомиздат, 1990.—320 с.
Приведены обзоры по динамике сверхзвуковой ленгмю-
ровской турбулентности, теории регулярной и стохастической
динамики, термоядерных а-частиц в токамаке и обзор физиче-
физических явлений в пристеночной плазме токамаков.
Для научных сотрудников в области физики плазмы.
Редколлегия: А. А. Галеев, В. В. Параил, О. П. Погуце,
Д. Д. Рютов
1604120000-283
В051@1)-90 22"9° © Авторы, 1990
УДК 533.951
ДИНАМИКА СВЕРХЗВУКОВОЙ
ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Б. Н. Брейзман, К- Юнгвирт
1. Введение
Ленгмюровская турбулентность традиционно привлекает
внимание, с одной стороны, как важный фактор в задачах о
пучковом и лазерном нагреве плазмы, а с другой — как объект,
изучение которого позволяет успешно продвигаться в понима-
понимании общих проблем теории плазменной турбулентности. Так, в
частности, именно с ленгмюровскими волнами были связаны
первые работы по квазилинейной теории [1, 2], положив-
положившие начало созданию кинетики слаботурбулентиой плазмы.
Термин слаботурбулентная означает, что волны в плазме можно
рассматривать как слабонеидеальный газ квазичастиц, взаимо-
взаимодействующих вследствие нелинейных эффектов [3—7]. Сово-
Совокупность всевозможных элементарных процессов с участием
квазичастиц описывается кинетическими уравнениями, вывод
которых основан на теории возмущений и включает в себя про-
процедуру усреднения по случайным фазам взаимодействующих
волн. Такой подход оправдан до тех пор, пока сами волны не
приводят к заметным искажениям дисперсионных свойств сре-
среды. Первая попытка выйти за рамки этого ограничения была
предпринята А. А. Веденовым и Л. И. Рудаковым [8], обнару-
обнаружившими так называемую модуляционную неустойчивость, свя-
связанную с модификацией закона дисперсии ионного звука под
влиянием интенсивных ленгмюровских волн. Следующий важ-
важный шаг был сделан В. Е. Захаровым [9], предложившим упро-
упрощенные динамические уравнения для описания, нелинейной
стадии этой неустойчивости и ряда других явлений, не уклады-
укладывающихся в схему слабой турбулентности. На трехмерном ва-
варианте этих уравнений базируются исследования ленгмюровско-
го коллапса [10, 11]. В одномерном случае, где коллапс отсут-
отсутствует, уравнения Захарова служат основой рассмотрения ди-
динамики солитонов [12].
Несмотря на внешнюю простоту этих уравнений, возможно-
возможности их аналитического решения оказались весьма ограниченны-
ограниченными, из-за чего в работах по сильной ленгмюровской турбулент-
турбулентности наметился ощутимый крен в сторону численного модели-
моделирования, усиливающийся по мере расширения возможностей
3
вычислительной техники. Отдавая должное численному подходу,
следует вместе с тем отметить, что он, как правило, требует все
же предварительного качественного анализа динамики иссле-
исследуемого процесса. В противном случае подчас складывается
ситуация, когда режимы, наиболее привлекательные с чисто
вычислительной точки зрения, оказываются недостаточно пред-
представительными физически. В особенности это относится к зада-
задачам, в которых встречается тот или иной малый параметр. Для
задач, обсуждаемых в настоящем обзоре, таким параметром
является отношение скорости звука к характерной групповой
скорости ленгмюровских волн. Термин сверхзвуковая турбулент-
турбулентность, входящий в название обзора, подчеркивает малость дан-
данного параметра.
Наиболее существенным упрощением при описании сверх-
сверхзвуковых плазмонов является переход к адиабатическому при-
приближению. Он дает возможность расширить круг аналитически
решаемых задач, что, в свою очередь, помогает объяснить ряд
закономерностей, выявленных ранее при численном моделиро-
моделировании. Концентрируя внимание на адиабатических эффектах,
мы тем самым намеренно сужаем тему данного обзора по срав-
сравнению с обзорами [10—15J, где проблема сильной ленгмюров-
ской турбулентности рассматривается более широко. Это позво-
позволит нам, не дублируя работ [10—15], уделить основное внима-
внимание тем результатам, которые были получены после выхода в
свет этих работ.
2. Основные уравнения
Картина турбулентности в плазме без магнитного поля во
многом определяется взаимодействием трех известных ветвей
колебаний такой плазмы: ленгмюровской (/), электромагнитной
(t) и ионнозвуковой (s)*. Дисперсионные соотношения для
этих ветвей имеют следующий вид [16]:
V|; B.1)
2; B.2)
, B.3)
где сор — плазменная частота; гр — дебаевский радиус; с — ско-
скорость света; cs — скорость ионного звука; k — модуль волново-
волнового вектора.
Ленгмюровские и электромагнитные волны представляют со-
собой электронные и потому высокочастотные возмущения. Час-
* Хотя собственно ионный звук существует только в неизотермической
плазме с 7\>>Гг, влияние ионных возмущений на ленгмюровскую турбулент-
турбулентность оказывается весьма важным и при сопоставимых значениях Те и 7Y
4
тоты звуковых волн, связанных с движением ионов, лежат зна-
значительно ниже. Это делает возможным усредненное описание
воздействия /- и t- волн на звуковые в терминах пондеромотор-
ной силы, возмущающей плотность плазмы. Что касается обрат-
обратного влияния звуковых волн на высокочастотные, то оно в ос-
основном обусловлено локальными отклонениями плазменной
частоты сор от среднего значения.
Приступая к выводу упрощенных уравнений, описывающих
упомянутое взаимодействие волн, определим прежде всего, сле-
следуя [17], среднюю силу, действующую на частицу сорта а в
высокочастотном электромагнитном поле:
E_ = Re[Eexp(—ia>OJ; B-4)
H^=Re[Hexp(—icoOJ. B.5)
Комплексные амплитуды поля Е и Н считаются здесь достаточ-
достаточно плавными функциями координат и времени, а скорость час-
частицы предполагается малой по сравнению со скоростью света и
с фазовой скоростью высокочастотной волны. В этом случае ра-
радиус-вектор г(/) на траектории частицы можно представить в
виде
r(t) = R(t)+r^(t), B.6)
где R(t)—плавно меняющееся слагаемое, а г ^(t)—малая
осциллирующая добавка, удовлетворяющая линеаризованному
уравнению
d г. _ а р /р. /\ /о 7"»
Для отыскания средней силы F необходимо выделить в силе
Лоренца квадратичные по осциллирующим величинам добавки.
Это дает
}[^]} B.8)
Подставив сюда приближенное решение уравнения B.7)
г~ = — ИП^ Е~ B-9>
и воспользовавшись тем, что согласно уравнениям Максвелла
Н«-—rotE, B.10)
со
получим окончательно
F = __^_v | Ер. B.11)
5
В дальнейшем при использовании формулы B.11) в качест-
качестве и будем выбирать невозмущенную плазменную частоту. Это
подразумевает, что частота близка к сор не только у ленгмю-
ровских, но также и у электромагнитных волн. Ограничиваясь
рассмотрением только таких /-волн, исходим из того, что в ре-
реальных условиях электромагнитные волны с частотами, заметно
превышающими «р, очень быстро покидают плазму, поскольку
их групповые скорости сопоставимы со скоростью света.
При гидродинамическом описании медленных движений
плазмы средняя сила, действующая на частицы данного сорта,
складывается из пондеромоторной силы B.11), а также сил,
обусловленных низкочастотным электрическим полем и газоки-
газокинетическим давлением. Для электронов, инерция которых в
медленных движениях пренебрежимо мала, суммарная сила
должна быть близка к нулю, что позволяет найти низкочастот-
низкочастотное поляризационное поле Е':
E' = -_^_V |E|» Т-^^п:. B.12)
4тсоР2 еп0
Здесь п0 —невозмущенная плотность, а п'е — низкочастотное
возмущение плотности электронов. При подстановке в формулу
B.12) электронного давления учтено, что в медленных движе-
движениях эффективный показатель адиабаты для электронов равен
единице [16]. Отметим, что вследствие потенциальности понде-
пондеромоторной силы поляризационное поле также потенциально.
Пондеромоторная сила B.11), действующая на ионы, пре-
пренебрежимо мала (из-за их большой массы). Если к тому же
ионы имеют низкую температуру {Ti^Te), то можно пренебречь
и их давлением. В этом случае движение ионов целиком опре-
определяется поляризационным полем
М— vi = eE'i B.13)
и в силу уравнения непрерывности линейное по полю Е7 возму-
возмущение ионной плотности n'i удовлетворяет уравнению
?л''+ i"*o<HvE' = 0. B.14)
В случае квазинейтральных возмущений (n'e=n'i==n) получа-
получающаяся система сводится к звуковому уравнению
— п — с*Ьп =—— Д [ Е|2, B.15)
правая часть которого содержит пондеромоторную силу. В бо-
более общем случае условие квазинейтральности заменяется урав-
уравнением Пуассона
divE'=4ne(tt'(— n'e). B.16)
6
Приведенные уравнения для низкочастотных возмущений не-
нетрудно обобщить на случай горячих ионов. Для этого следует
перейти к описанию ионов с помощью кинетического уравнения
-J-Ь + v-i- /, + eE'-±-U = 0, B.17)
at or dp
решение которого определяет входящую в уравнение B.15) ве-
величину tl'i'.
nt'=$ftdp-n0. B.18)
Кинетический подход позволяет, в частности, учесть затухание
Ландау звуковых волн на ионах.
Обратимся теперь к высокочастотным возмущениям. Из ли-
линеаризованных уравнений гидродинамики для электронов сле-
следует, что высокочастотная составляющая j^ плотности элект-
электронного тока, создаваемого полем B.4), удовлетворяет урав-
уравнению
^-L-^-(«o + «)E- + ^V^. B.19)
где пе„ — возмущение плотности электронов, связанное с полем
Е^ уравнением Пуассона:
divE^ = — \тепе„. B.20)
Из всех нелинейностей в уравнении B.19) учтена только основ-
основная. Она связывает высокочастотные возмущения с низкочас-
низкочастотными и имеет вид (е2/т)пЕ„, где п — низкочастотное воз-
возмущение плотности. При этом опущены, в частности, электрон-
электронные нелинейности. Для такого упрощения требуется, чтобы
длины всех рассматриваемых волн были достаточно велики по
сравнению с дебаевским радиусом. Наряду с возможностью
пренебречь электронными нелинейностями это требование обес-
обеспечивает также малость затухания Ландау ленгмюровских волн
на электронах и квазинейтральность низкочастотных возму-
возмущений.
Подстановка тока B.19) в уравнения Максвелла с учетом
медленности изменения амплитуды высокочастотного поля во
времени дает для амплитуды Е следующее уравнение [18]:
i — E-f— cv?,graddivE ?lrotrotE=— — E. B.21)
dt 2 p S 2cv 2 n0 У '
В однородной плазме решениями уравнения B.21) являются
невзаимодействующие продольные (/) и поперечные (t) волны.
При наличии неоднородности эти волны связаны друг с другом
и требуют, вообще говоря, совместного рассмотрения. Однако
имеется ряд ситуаций, когда потенциальная часть поля преоб-
преобладает над вихревой, так что
E«-V<p. B.22)
В этих случаях векторное уравнение B.21) сводится к скаляр-
скалярному уравнению для ф [9J:
iA-^ + xm^AA? = div(ir iirVCf)" B-23)
Заметим, что для выделения потенциальной части поля недо-
недостаточно просто положить в уравнении B.21) Е—— Vcp, а не-
необходимо предварительно применить к этому уравнению опера-
операцию div, исключающую слагаемое rot rot E, вклад которого
подчеркнут большим множителем ~ c2/vj.e.
Уравнения B.15), B.22), B.23) образуют замкнутую систе-
систему, полученную В. Е. Захаровым [9].
Для сокращения дальнейших выкладок приведем получен-
полученные уравнения к безразмерном виду, выполнив с этой целью
замену переменных:
г — k^r, Е -* (Шп0ТеУ>* VDE; \
t-~-±-t, n-+3n0klrln, B'24)
где выбор волнового числа k0 определяется соображениями
удобства.
В новых переменных уравнения B.15), B.21) принимают
следующий вид:
— п — Д« = Д1Е|2- B.25)
\ g — Е + grad di v Е — a rot rot E = пЕ, B.26)
где а = c2/Cv2Te).
Входящий в уравнение B.26) безразмерный параметр
ё 3k0rD \ М ) К
представляет собой удвоенное отношение скорости ионного зву-
звука к групповой скорости плазмонов с k = k0.
3. Вариационный подход и интегралы движения
Для уравнений B.25), B.26) удается сформулировать ва-
вариационный принцип [19]. Соответствующий лагранжиан име-
имеет вид
* — Е — Е-^-Е*\— «I rotE|а — I divEI
* )
|^J^] C.1)
Обобщенными координатами здесь являются величины Е, Е* и
потенциальный вектор смещения ионов от положения равнове-
равновесия %, связанный с возмущением плотности п соотношением
«=—div|. C.2)
Варьирование лагранжиана по этим переменным приводит к
уравнениям
i g — Е -f- grad div E — a rot rot E = — E div ?; C.3)
^-i-graddivl = -grad|E|2, C.4)
первое из которых с учетом C.2) идентично B.26), а второе
сводится к B.25) с помощью операции div.
Лагранжиану C.1) соответствуют следующие выражения
для плотности импульса:
C.5)
и момента импульса
Щс = ig[E X Е J -f- [гХ J ' J- C-6)
Вследствие инвариантности лагранжиана по отношению к про-
пространственному сдвигу и повороту и по отношению к "вменению
начала отсчета времени полный импульс
Р = { SVr, C.7)
момент импульса
М = J Шг C.8)
и энергия системы
Я= Г Га | rot Е I2 + I divE]2— | Е |2div | + — (— |У+
J L 2 \dt J
+ 4 (div IJ] dx C.9)
являются интегралами движения. Из инвариантности лагран-
лагранжиана по отношению к преобразованию E-^-Eexp(iO), где Ф —
вещественная константа, следует, что сохраняется полное число
высокочастотных волн
N = j | E|Vr. C.10)
9
К перечисленным законам сохранения следует добавить еще
законы сохранения числа и потока частиц:
f ndx — const; C.11)
— l)dr = const. C.12)
dt I
От лагранжевой записи уравнений B.25), B.26) нетрудно
перейти к их гамильтоновой записи [19]. С учетом комплекс-
комплексной сопряженности обобщенных координат Е и Е* гамильтони-
гамильтониан системы имеет следующий вид:
- (rot E rot F) — — (di v E div F) +
g
+ — (EF) div I + — ti2 + — (di v \)Л dr. C.13)
g 2 2 J
Канонически сопряженными величинами являются здесь две
пары переменных: Е, F и \, ц, причем F=igE*, a i\ = d%/dt.
Поведение рассматриваемой системы, равно как и других
гамильтоновых систем, во многом зависит от свойств ограни-
ограниченности гамильтониана при заданных значениях прочих инте-
интегралов движения. В одномерной задаче гамильтониан при лю-
любых фиксированных значениях Р и JV ограничен снизу [19],
причем его минимальное значение достигается на решении, опи-
описывающем ленгмюровский солитон [13, 14]
PSX \
E(x;t) =
exp I i -—— ihit-j-ivn !
»Ч „ "Г год
-'а
ch
1/2 (i-
\1/2
C.14)
4 2g A — s2)
п (v i\ \ F (г- Л12/П с2\ I с I ^ 1 /oi с;ч
Здесь ?*, х0, фо и s — вещественные константы. Для солитона
интегралы C.7), C.9), C.10) имеют вид
iV = 23/2 | ?, | A —s2I72; C.16)
P=J?-N+-!*- ' ; C.17)
2 12 A—s2K
Н = A±-N + — ь ~—. C.18)
4 48 A —а3K
В двумерной и трехмерной задачах нижней границы гамиль-
гамильтониана не существует [19]. Чтобы продемонстрировать неогра-
неограниченность гамильтониана в случае двух и трех измерений, рас-
10
смотрим распределение поля Е, зависящее только от радиуса,
и выберем возмущение плотности п в виде
«=-|Е|2. C.19)
Импульс и момент импульса системы равны при этом нулю, а
выражение для гамильтониана принимает вид
5 п_,
Н=С1 ' 1
г2р-2
дг
C.20)
где С>0, а параметр р (р = 2, 3) указывает размерность за-
задачи. Подвергнем теперь распределение C.19) преобразованию
подобия (сжатию)
кг); п-+к?п (кг), C.21)
сохраняющему число волн и число частиц. Подставив соотно-
соотношение C.21) в формулу C.20), получим следующую зависи-
зависимость Н от к:
Н=Ак2-ВкР, C.22)
где А и В — положительные константы. Отсюда сразу видно,
что в трехмерной системе гамильтониан при увеличении к мо-
может принимать сколь угодно большие отрицательные значения.
В двумерном случае необходимо дополнительно показать, что
существуют ситуации, когда разность коэффициентов А и В
отрицательна. Для этого достаточно заметить, что коэффициент
А зависит от числа волн N линейно, а коэффициент В — квад-
квадратично. Поэтому при достаточно больших значениях N раз-
разность А—В действительно отрицательна.
Существование систем с отрицательной энергией означает,
что среди решений уравнений B.25), B.26) имеются решения с
захваченными в потенциальную яму высокочастотными волна-
волнами. В отсутствие у системы минимума энергии, т. е. в двумер-
двумерных и трехмерных задачах, законы сохранения допускают само-
самопроизвольное сжатие таких состояний с излучением избыточной
энергии в виде звука. Этот процесс, приводящий в конечном
счете к диссипации высокочастотной энергии, получил название
коллапса [9]. Специфика одномерной задачи состоит в том, что
здесь сжатие может остановиться до включения диссипативных
эффектов.
4. Адиабатическое приближение и приближение
геометрической оптики для сверхзвуковых плазмонов
Характер решения системы уравнений B.25), B.26) сущест-
существенно зависит от того, велик или мал входящий в эту систему
параметр g, равный удвоенному отношению скорости звука
к групповой скорости плазмонов с k = k0. Величина k0 предпо-
п
лагается здесь равной обратному пространственному масштабу
задачи, определяемому начальными условиями. Чтобы пояснить
роль параметра g, рассмотрим одномерную ситуацию, в которой
уравнения B.25), B.26) принимают вид
ig—+ — = «?; 4.1
dt дх2
^_^^ = _^
dt2 дх2 дх2 ' ' ;
Большие значения g соответствуют здесь медленным (дозвуко-
(дозвуковым), а малые — быстрым (сверхзвуковым) плазмонам. В пер-
первом из этих двух случаев скорости плазмонов столь малы, что
возмущения плотности п успевают без запаздывания «следить»
за распределением высокочастотного давления. Это позволяет
пренебречь в уравнении D.2) инерцией ионов и, получив, таким
образом, соотношение п= — \Е\2, свести исходную систему к
нелинейному уравнению Шредингера
[s^- + ~-+ |?|2? = о, D.3)
которое, как известно, интегрируется методом обратной задачи
рассеяния [20].
Распространить метод обратной задачи на случай малых
значений g, отвечающий сверхзвуковым плазмонам, не удается.
Трудности на этом пути связаны с качественным изменением
динамики системы при замене дозвуковых плазмонов сверхзву-
сверхзвуковыми. Ясно, однако, что наличие малого параметра g облег-
облегчает анализ уравнений D.1), D.2) и дает надежду если не на
полное их исследование, то, по крайней мере, на получение
интересных частных результатов.
Упрощения, возникающие при g-<Cl, связаны с возможно-
возможностью воспользоваться квантовомеханической аналогией и перей-
перейти в уравнениях D.1), D.2) к адиабатическому приближению.
Малость g означает, что возмущение плотности, играющее роль
потенциальной энергии в уравнении Шредингера D.1), изменя-
изменяется медленно в масштабе собственных частот плазмонов, на-
находящихся в этом потенциале. Переходы плазмонов с уровня
на уровень в этом случае сильно подавлены. Если полностью
пренебречь такими переходами, то решение уравнения D.1)
удобно записать в виде суммы адиабатических собственных
функций Ei, удовлетворяющих уравнению
g<OiEt + -^- = nEt, D.4)
дх2
где gco; — адиабатические собственные значения, зависящие от
времени как от параметра. При этом у системы появляются
12
дополнительные интегралы движения: числа заполнения уров-
уровней
Eil'dx. D.5)
В том случае, когда частоты заселенных уровней со,- не слиш-
слишком близки друг к другу, пондеромоторная сила в уравнении
D.2) содержит слагаемые, по-разному зависящие от времени:
медленные (диагональные) и быстро осциллирующие (интер-
(интерференционные). В пределе Аа),^>1, когда частоты интерферен-
интерференционных осцилляции велики по сравнению со звуковыми часто-
частотами, основную роль в уравнении D.2) играет медленная часть
пондеромоторной силы, что позволяет с хорошей точностью за-
записать уравнение D.2) в виде
dt2 дх2 дх2
Здесь v — полное число заселенных плазмонами уровней, при-
причем для простоты считается, что полная длина системы L ко-
конечна, так что весь спектр собственных значений дискретен.
Фактически, однако, используемое приближение можно распро-
распространить и на случай непрерывного спектра. Для этого необхо-
необходимо, чтобы в системе отсутствовало пересечение первоначально
далеких друг от друга уровней и чтобы распределение плазмо-
нов по уровням было достаточно плавным.
Заметим, что пренебрегая переходами с уровня на уровень,
мы, в частности, пренебрегаем спектральной перекачкой плаз-
монов, обусловленной процессом распада ленгмюровских волн
на ленгмюровские и ионно-звуковые. Полученная нами упро-
упрощенная система уравнений D.4), D.6) предназначена для опи-
описания более быстрых процессов. К их числу относятся модуля-
модуляционная неустойчивость, взаимодействие солитонов и другие
явления, характерные для плазмы с высоким уровнем ленгмю-
ленгмюровских волн.
Примечательно, что переход к адиабатическому приближе-
приближению оставляет рассматриваемую систему гамильтоновой. При
этом из гамильтониана исключаются переменные, отвечающие
наиболее «быстрым» степеням свободы, что проявляется в заме-
замене динамического уравнения D.1) кинематическими соотноше-
соотношениями D.4), D.5), определяющими заселенности уровней и
функциональную зависимость собственных частот ю; от профи-
профиля плотности плазмы. Зная эту зависимость, можно записать
«адиабатический» гамильтониан одномерной системы в следу-
следующем виде:
\ЬШ\х+8%ы*- DJ)
1=1
13
Чтобы получить отсюда уравнение D.6) для возмущения плот-
плотности
п=—дЦдх, D.8)
достаточно учесть, что для уравнения Шредингера вариацион-
вариационная производная собствеаного значения ?со( по потенциалу п
равна квадрату нормированной на единицу собственной функ-
функции [21J.
Адиабатическое приближение требует медленности измене-
изменения плотности плазмы лишь во времени и не налагает ограни-
ограничений на пространственный масштаб профиля плотности. Если
этот масштаб велик по сравнению с характерными длинами
ленгмюровских волн, то задачу можно дополнительно упростить,
воспользовавшись приближением геометрической оптики. Ленг-
мюровские волны в этом приближении описываются как набор
квазимонохроматических пакетов с функцией распределения
N(k; r; t), удовлетворяющей «бесстолкновительному» кинетиче-
кинетическому уравнению [22J, которое в безразмерных переменных
имеет вид
i ^ ? 0. D.9)
° dt дт дт дк
Это уравнение эквивалентно системе гамильтоновых уравнений
движения частиц
— -_ — Н; J±--.JLfi D.10)
dt dr dt дк
с гамильтонианом H=(k2-\-n)/g.
Интеграл от функции 7V(k; r; t) по волновым векторам равен
плотности плазмонов. В безразмерных переменных
= |Е|г. D.11)
Подстановка |Е|2 из этого соотношения в уравнение B.25) да-
дает в дополнение к D.9) следующее уравнение для возмущения
плотности:
б2
п — Д«= Д Гм?к. D.12)
Отметим, что приближение геометрической оптики (так же как
и адиабатическое приближение) не учитывает корреляции фаз
плазмонов. Формальным выражением этого является независи-
независимость уравнений D.9), D.12) от фаз и описываемое соотноше-
соотношением D.11) сложение интенсивностей волн с разными волно-
волновыми векторами.
14
В заключение приведем непосредственно следующие из
уравнений D.9), D.12) уравнения непрерывности, соответству-
соответствующие сохранению числа плазмонов, импульса и энергии:
— ftfdk + -?- -?-f Mfe.dk = 0; D.13)
dt J g oxa j
D.15)
Здесь учтено, что п=—div|, где вектор % удовлетворяет урав-
уравнению C.4).
5. Составные солитоны
В этом параграфе мы, следуя работе [23], покажем, что
адиабатические уравнения D.4) — D.6) допускают существова-
существование локализованных объектов, более сложных, чем обычные со-
солитоны. В рамках упрощенной системы D.4) — D.6) эти объек-
объекты стационарны. Как приближенные решения исходных уравне-
уравнений D.1), D.2) они примечательны тем, что являются долго-
живущими, т. е. сохраняют свою структуру значительно дольше
того времени, за которое звук проходит расстояние порядка
размера солитона.
Известно, что потенциальная яма, соответствующая обычно-
обычному солитону, обладает свойством безотражательности. Рассмат-
Рассматриваемые ниже составные солитоны также объединены этим
свойством, но в отличие от обычного солитона, имеющего лишь
один дискретный уровень, они могут иметь сколь угодно много
уровней.
Напомним, что безотражательные потенциалы имеют следу-
следующий вид (см., например, [24]):
t/(A) = -2-J^-ln[det(/ + C)I, E.1)
где 7 — единичная матрица, а С — симметричная матрица с эле-
элементами
Cik = -^- ехр[- (xt + xk) я]. E.2)
15
Положительные константы и,->0 определяют собственные зна-
значения
gu>i = —K2i, .E.3)
а константы с, остаются в нашей задаче свободными парамет-
параметрами.
Нормированные на единицу собственные функции, соответ-
соответствующие потенциалу E.1), определяются системой линейных
уравнений
J] ?к (*) %c.*\k exp[- (xt + х,) *{ = ct ехР (- х,а). E.4)
k=i
Весьма примечательно, что потенциал E.1) складывается из
квадратов своих собственных функций ([24], с. 90)
v
f/(A)=-4 2«l?l'(A)- E-5)
1=1
Из последнего соотношения сразу следует, что при
Ni=:4xi(l—s2) E.6)
система D.4) — D.6) имеет решения вида
jB'r: E-7)
(l-s*)<ft(x-st), E.8)
отвечающие равномерному движению потенциальной ямы с
произвольной дозвуковой скоростью s. Нетрудно убедиться в
том, что при надлежащем выборе констант с,- рассматриваемые
решения представляют собой совокупность удаленных друг от
друга и взаимно неподвижных обычных солитонов. Однако кон-
константы С{ можно выбрать и так, что солитоны, оставаясь в рав-
равновесии, потеряют индивидуальность, т. е. волновые функции
различных состояний окажутся сильно перекрывающимися.
Примечательно, что энергия Н и импульс Р системы, а также
масса пг = \ ndx вытесненного из каверн вещества остаются
при изменении с,- точно такими же, как у набора неперекрываю-
неперекрывающихся солитонов с одинаковыми скоростями s. Это делает со-
содержательным термин составной солитон. Сохранение массы
при изменении с,- следует из формул E.6), E.7). Что же каса-
касается энергии и импульса, то здесь для доказательства достаточ-
достаточно воспользоваться независимостью от с,- интеграла j n2dx —
одного из интегралов движения уравнения KdV (см. [25], с. 48).
Обращает на себя внимание тот факт, что потенциал E.7) по
16
Рис. 1. Эволюция двухуров- Рис. 2. Распад несогласованного двухуровнево-
невого составного солитона го состояния
форме совпадает с многосолитонным решением уравнения KdV,
но его зависимость от времени в данном случае иная. Так, в
частности, нетрудно проверить, что система D.4) —D.6) не
имеет решения типа E.1) в виде свободно проходящих друг
через друга солитонов. Это наводит на мысль, что столкновения
солитонов, описываемые системой D.4) —D.6), обязательно
сопровождаются излучением звука. Отметим в этой связи, что
решение E.7), E.8) реализует минимум гамильтониана систе-
системы уравнений D.4) —D.6) при заданных значениях импульса Р
и чисел заполнения уровней Л/,-.
Чтобы проиллюстрировать «жизнеспособность» составных
солитонов, обратимся к рис. 1,2, на которых представлены ре-
результаты численного интегрирования системы D.1), D.2) при
g=0,05 и двух различных начальных условиях. Рисунок 1 от-
отвечает начальному условию в виде двухуровневого составного
солитона с d = c2=l, s=0, xi = l, и2=1,5, а рис. 2 — тому же
исходному профилю плотности и не согласованному с ним рас-
распределению плазмонов:
(число плазмонов на нижнем уровне в этом случае вдвое мень-
меньше равновесного). Для распределения E.9) газокинетическое
давление заметно превышает давление плазмонов, а масса вы-
вытесненного из каверны вещества превышает массу, вытесняе-
2—6856 17
мую парой неподвижных солитонов с Ni—4 и jV2=3. Сами
уровни при этом заселены инверсным образом.
Как видно из рис. 2, несогласованное состояние быстро (за
время порядка звукового) разрушается, и, излучая звук, пре-
превращается в два расходящихся солитона. Составной же солитон
перестраивается безызлучательно и гораздо медленнее. Его эво-
эволюцию можно охарактеризовать как плавное изменение пара-
параметров С\ и с2 при сохраняющихся собственных значениях и
числах заполнения. Рисунок 1 свидетельствует о том, что малые
поправки, отброшенные при выводе уравнений D.4) — D.6),
приводят к медленному распаду составного солитона на два
обычных. Вычисление соответствующих поправок к гамильто-
гамильтониану системы показывает, что такой распад выгоден энерге-
энергетически, но его скорость пропорциональна малому параметру g.
6. Автомодельный коллапс ленгмюровских волн
Попытки точно сформулировать необходимые и достаточные
условия коллапса и количественно описать его динамику пред-
предпринимаются с момента появления работы [9J, т. е. уже более
15 лет. Большая часть этих попыток связана с использованием
адиабатического описания плазмонов. В сочетании с дополни-
дополнительным упрощающим предположением об автомодельности
коллапса это позволило к настоящему времени построить кон-
конкретные примеры коллапсирующих решений. Два таких приме-
примера приведены в данном параграфе. Они примечательны тем, что
коллапсирующая каверна обладает в одном случае цилиндри-
цилиндрической, а в другом — сферической симметрией. Пример решения
с более низкой симметрией (коллапс сильно сплюснутой кавер-
каверны) построен в [26].
6.1. Квазиклассическая модель коллапса [27]. При рас-
рассмотрении динамики коллапса обычно подразумевается, что
длина ленгмюровской волны сопоставима с размером потенци-
потенциальной ямы, в которой заперты ленгмюровские колебания, а
число имеющихся в яме уровней невелико. Эта ситуация весьма
сложна для аналитического исследования, поскольку здесь тре-
требуется искать точные «волновые функции» плазмонов. Дело
обстоит гораздо проще, если яма квазиклассическая (содержит
много уровней). Плазмоны в такой яме можно описывать кине-
кинетическим уравнением D.9), а эволюцию самой ямы — уравне-
уравнением D.12).
Постановка задачи о коллапсе в рамках системы D.9),
D.12) представляет интерес по той причине, что качественные
соображения, запрещающие одномерный коллапс и указываю-
указывающие на возможность коллапса в двумерном и трехмерном слу-
случаях [28], справедливы и в квазиклассической ситуации. Под-
Подчеркнем, что эти соображения не связаны с какими бы то ни
18
было предположениями относительно фаз ленгмюровских волн
и, следовательно, полностью применимы в случае быстрого фа-
фазового перемешивания запертых в каверне плазмонов.
Предположим, что распределение плотности плазмы в ка-
каверне цилиндрически-симметрично. Ввиду адиабатической мед-
медленности эволюции каверны распределение находящихся в ней
плазмонов М(к; r; t) зависит только от интегралов движения
плазмона: момента импульса M=krfr и радиального адиабати-
адиабатического инварианта
/ = j {gH — n — Мг/г*I/24г.
Здесь В — энергия плазмона [см. D.10) J. Вид функции N(М; I)
определяется начальными условиями.
При надлежащем выборе начального состояния возмущение
плотности п эволюционирует по автомодельному закону:
« = -—/(р); ? = ——, F.1)
(ts—tf ts — t
где ts — момент образования особенности. Такая автомодель-
ность имеется не только в квазиклассической, но и в традиционной
задаче о коллапсе (см., например, [29J). Существенно, что при
выполнении соотношения F.1) граница, отделяющая запертые
плазмоны от пролетных на плоскости переменных М и /, не
зависит от времени. Поэтому можно принять, что функция
N(M; I) отлична от нуля только для запертых плазмонов и рав-
равна некоторой константе No. Теперь нетрудно вычислить вклад
плазмонов в давление
и получить из уравнения D.12) следующее уравнение для /(р):
Отсюда
~ (Р7) + (*# о - 1) -j- P ~ f = 0. F.2)
dp2 ф ф
<6-3>
При достаточно высокой интенсивности ленгмюровских волн
(М0>1/я) формулы F.1), F.3) описывают коллапс начального
распределения, причем легко проверить, что условие квазиклас-
квазиклассичности потенциальной ямы и критерий применимости адиаба-
адиабатического приближения автоматически выполняются в течение
всего процесса коллапса, если только они выполнены в началь-
начальный момент времени.
Рассмотренная квазиклассическая модель хотя и демонст-
демонстрирует возможность коллапса, но обладает тем недостатком,
2* 19
что каверна подвержена неустойчивости как относительно мо-
модуляции в продольном направлении, так и относительно мелко-
мелкомасштабной азимутальной модуляции. Физическая причина
разрушения каверны состоит в том, что в характерном для кол-
коллапса режиме плотность энергии плазмонов существенно пре-
превышает порог неустойчивости Веденова — Рудакова [8]. В этом
•случае мелкомасштабные по отношению к каверне возмущения
плотности с размером в несколько характерных длин волн плаз-
плазмонов растут быстрее, чем эволюционирует сама каверна [30].
Стремление построить решение, свободное от этого дефекта,
заставляет вернуться от квазиклассической модели к ситуации,
когда в коллапс вовлечены лишь плазмоны с небольшими кван-
квантовыми числами. Устойчивостью относительно мелкомасштаб-
мелкомасштабных азимутальных возмущений должна обладать, в частности,
рассмотренная в [31] цилиндрически-симметричная яма плот-
плотности с вращающимся высокочастотным полем (первая азиму-
азимутальная мода). Напомним, что коллапсирующее решение с чис-
чисто радиальным электрическим полем не может реализоваться
вследствие малости высокочастотного давления в приосевой
части каверны [32]. Для трехмерной задачи решение с малыми
номерами мод в симметричной каверне было построено в [33].
Соответствующие результаты составляют дальнейшее содержа-
содержание этого параграфа.
6.2. Сферически-симметричный коллапс [33]. В трехмерной
задаче о коллапсе давление захваченных плазмонов растет су-
существенно быстрее, чем газокинетическое давление [29]. Это
дает возможность пренебречь в уравнении B.15) слагаемым,
содержащим An. После перехода к адиабатическому приближе-
приближению и безразмерным переменным B.24) система уравнений
¦ B.15), B.23) принимает следующий вид:
V (g®i — п — ^)VcPt = O; F.4)
v
= Д V V9,- > F.0)
J | v<Pi|'rfr = #f, F.6)
где срг — адиабатически меняющиеся собственные функции элек-
электростатического потенциала (Е,-=—Vcp;).
В сферически-симметричной яме связанные состояния плаз-
плазмонов нумеруют тройками целых чисел (k, I, m), где fe^l —
главное квантовое число, /^зЮ — орбитальный момент, а пг = О,
±\,...,±1 — проекция момента. Собственные частоты со; в дан-
данном случае зависят от k и /, но не от т. В силу такого 2/+1-
кратного вырождения возникает, вообще говоря, вопрос о
фазовой корреляции плазмонов, относящихся к одному и тому
20
Рис. З. Решение системы уравнений F.10), F.11):
а — радиальная собственная функция дипольного (/=1) потенциала высокочастотного
поля; б—профили давления плазмонов ФE) и возмущения плотности плазмы и(\)
же мультиплету. Однако в адиабатическом пределе уже очень
малого возмущения, нарушающего симметрию каверны, доста-
достаточно для того, чтобы снять вырождение и тем самым устранить
корреляцию фаз, обеспечив применимость уравнений F.4) —
(.6.6). Сохранение симметрии сжимающейся ямы обеспечивает-
обеспечивается при этом равной заселенностью расщепленных уровней.
Уравнения F.4) — F.6) допускают автомодельную подста-
подстановку:
0
— 1/3
М*Ы = — Vs — 1
F.7)
F.8)
F.9)
где ts — момент образования особенности; g = r/(/s—1J/3 — эе-
томодельная радиальная переменная; fife;—автомодельная «соб-
«собственная частота»; ЯыA) —радиальные собственные функции,
а Уim — сферические функции. В автомодельных переменных
система F.4) — F.6) сводится к системе обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений для радиальных собственных функций
Rki(?,) и формы потенциальной ямы и (|):
/LL JL
1A
F.10)
21
kl
F.П)
Эта система была проинтегрирована в работе [33] численно в
предположении, что заселен лишь один триплет с 1=1, энергию
связи которого Qh можно без ограничения общности считать
равной единице. Результаты интегрирования представлены на
рис. 3.
7. Законы сохранения при формировании
и взаимодействии солитонов
Как уже упоминалось в § 3, в одномерной задаче энергети-
энергетически наиболее выгодным состоянием ленгмюровских волн яв-
является солитон C.14), C.15). Однако при возбуждении ленгмю-
ровской турбулентности внешним источником в однородной
плазме рождающиеся плазмоны первоначально свободны. По-
Поэтому возникает естественный вопрос о динамике превращения
свободных плазмонов в солитон. В этом параграфе мы выясним,
какие ограничения на данный процесс и некоторые другие про-
процессы с участием солитонов налагают законы сохранения в
сочетании с условиями адиабатичности.
7.1. Излучение звука при формировании солитона из свобод-
свободных плазмонов [34]. Нас будут интересовать солитоны доста-
достаточно большой амплитуды (N^>g), у которых собственная час-
частота Q связанных плазмонов существенно превышает частоту
звука Qs, отвечающую размеру такого солитона [см. C.14),
C.16)]. Поскольку оценка энергии связанного состояния опре-
определяется достаточно грубыми параметрами потенциальной ямы,
неравенство Q»QS характеризует не только солитон с N^>g,
но и любую другую яму сопоставимой глубины и ширины. Если
в такой (отличной от солитона) яме имеется N захваченных
плазмонов, то яма будет деформироваться с характерным вре-
временем порядка Q-'s, излучая звук и превращаясь в солитон.
При этом в силу адиабатичности плазмоны не могут ни поки-
покидать яму, ни захватываться в нее. Чтобы вероятность захвата
была заметной, уровень энергии в яме должен лежать гораздо
ближе к границе непрерывного спектра, чем в соответствующем
солитоне. Иными словами, необходимость нарушения адиаба-
адиабатичности в процессе захвата означает, что по сравнению с соли-
тоном яма в момент захвата мелкая, т. е. захват происходит при
очень малой амплитуде возмущения плотности плазмы. После-
Последующее углубление ямы в процессе формирования солитона
приводит к тому, что энергия связи и кинетическая энергия
22
находящихся в ней плазмонов существенно возрастают по срав-
сравнению со своими значениями в момент захвата. Ясно также, что
при заданном начальном профиле плотности вероятность захва-
захвата должна расти с увеличением начальной скорости плазмы v,
поскольку увеличение скорости способствует нарушению адиа-
батичности. Отсюда можно сделать вывод, что в процессе за-
захвата величина п=—дЦдх мала по сравнению с v = dl[dt.
Малость возмущения плотности плазмы и кинетической
энергии плазмонов в момент захвата позволяет считать полную
энергию системы равной исходной энергии звука е@) =A/2) \vsdxt
а импульс —равным нулю.
Величина е@) представляет собой суммарную энергию двух
встречных звуковых волн, сфазированных таким образом, что
на стадии захвата плазмонов суммарное возмущение плотности
мало по сравнению с амплитудой каждой из этих волн. Пред-
Предполагая, что в конечном состоянии имеется солитон с парамет-
параметрами N и s и расходящиеся от него звуковые волны с энергия-
энергиями е+ и е- (знаки «+» и «—» указывают направление распро-
распространения волны), можно представить законы сохранения в
виде
H(N; s)+6++e_=e@); G.1)
P(N; s)+e+-8_=0. G.2)
Ввиду положительности величин е+ и е_ законы сохранения
могут выполняться только в том случае, когда
H(N; s) + \P(N; s) |<e@). G.3)
Для солитонов с N^$>g это ограничение с учетом формул C.17),
C.18) имеет следующий вид:
48 A—s2K
Полученное неравенство показывает, что неподвижные и мед-
медленно движущиеся солитоны (|s|<l/5) могут рождаться даже
при е@)=0, т. е. без участия затравочного звука. Что же ка-
касается более быстрых солитонов, то для них пороговая энергия
звука отлична от нуля, причем по мере увеличения скорости
солитона этот порог возрастает.
Кроме энергии и импульса излучаемые звуковые волны уно-
уносят также вещество, выдавливаемое из формирующегося соли-
солитона. В частном случае рождения солитона без затравочного
звука [п(х; 0)=v(x; 0)=0] законы сохранения C.11), C.12)
дают:
/я++«г_—АЛ/ A — s2) =0; G.5)
m+—m-—sN/(l—s2)=0, ?7.6)
23
где m±=J n±dx (величины п+ и л_ представляют собой возму-
возмунах).
G.7)
щения плотности в уходящих от солитона звуковых волнах).
Отсюда
Формула G.7) и соотношение
96 A—saK ' V ;
следующее при е@) =0 из формул G.1) и G.2), показывают,
что при s^=0 звуковые волны, бегущие в направлении движения
солитона, уносят меньше энергии и импульса, но больше мас-
массы, чем волны, бегущие в противоположную сторону.
7.2. Разрушение солитона звуковыми импульсами. Под раз-
разрушением солитона будем понимать высвобождение находящих-
находящихся в нем плазмонов. Специфика адиабатической задачи заклю-
заключается в том, что уходящие плазмоны обладают пренебрежимо
малыми значениями энергии и импульса, поскольку их излуче-
излучение происходит в момент слияния дискретного уровня с непре-
непрерывным спектром, нижняя граница которого соответствует
нулевой энергии. Это позволяет записать законы сохранения
для рассматриваемого процесса в следующем виде:
е+@)+1е_@)+Я=е+(оо)+е-(оо); G.9)
е+@)-е-@)+Р = Моо)-е-(оо), G.10)
где аргументы 0 и оо энергий звуковых волн отвечают началь-
начальному и конечному состояниям. С учетом выражений C.17),
C.18) для Н и Р при A?>g формулы G.9), G.10) дают
±ч ' - ' 96 (l--i2K
Поскольку энергии е+ и е- положительны, интересующий нас
процесс возможен только в том случае, когда для обоих знаков
(«+» и «—») имеет место неравенство
* W 96 A-s2K '
Осюда, в частности, следует, что неподвижный или достаточно
медленный (|s|<l/5) солитон нельзя разрушить звуковым им-
импульсом (пусть даже очень сильным), набегающим с какой-ли-
какой-либо одной стороны. У такого импульса отлична от нуля лишь
одна из величин е±@), что делает невыполнимым условие
G.11), поскольку при |s|<l/5 второе слагаемое в левой части
G.11) отрицательно. Вместе с тем законы сохранения допус-
допускают разрушение солитона двумя встречными импульсами, если
только последние не сл.ишком малы.
24
0 20 X 0 20 X
Рис. 4. Столкновение неподвижного солитона с бегущим звуковым импульсом
Эффект «живучести» солитона при столкновениях с одиноч-
одиночным звуковым импульсом был обнаружен в численных расчетах
[35] уже довольно давно, однако оставался без объяснения
(возможно, потому что расчеты [35] велись фактически при
g~l). Чтобы проиллюстрировать критерий G.11) в более адек-
адекватных условиях, в [23] были выполнены расчеты при g=0,05.
Их результаты представлены на рис. 4 и 5 (на рис. 4 — взаимо-
взаимодействие солитона с одиночным импульсом, а на рис. 5 — раз-
разрушение солитона двумя встречными импульсами меньшей
амплитуды).
Подчеркнем, что будучи необходимым, неравенство G,11)
отнюдь не является достаточным условием разрушения солито-
солитона звуком. Последнее видно, например, из решения задачи о
взаимодействии солитона с плавными звуковыми возмущения-
возмущениями [36, 37]. Вместе с тем при оптимально выбранном профиле
возмущения энергетический порог разрушения вплотную подхо-
подходит к границе G.11) [23].
7.3. Столкновения солитонов. В адиабатическом пределе ре-
результатом столкновения двух солитонов может быть лишь из-
изменение их скоростей, сопровождаемое излучением звука. За-
25
л
д
Л
3,2
6,О
<?,*
6,8
7,6
9,6
Г
-20 О 20 X
Рис. 5. Вытеснение плазмонов из солитона
-20
20
селенности солитонных уровней Nx и N2 в этом процессе сохра-
сохраняются. Изменение заселенностей уровней возможно только при
нарушении адиабатичности. В принципе мыслимы два варианта
такого нарушения: вытеснение верхнего уровня в сплошной
спектр (т. е. разрушение солитона солитоном) и обмен плазмо-
нами при сближении двух уровней. Хотя первый процесс и не
противоречит законам сохранения энергии и импульса, в чис-
численных расчетах он не наблюдался. Причина здесь, видимо, в
том, что законы сохранения числа и потока частиц C.11),
C.12) не позволяют системе выйти при f-+oo на состояние с
одним лишь дискретным уровнем. Действительно, при высво-
высвобождении плазмонов с верхнего уровня условия C.11), C.12)
дают
N' N" N '-m++m_; G.12)
1 — Si2 1 — S22
I ^2
sN
1-52
-f m h — m_,
где
N =
N1 при
при
1 — si
G.13)
G.14)
26
Используя эти соотношения, нетрудно проверить, что хотя бы
одна из величин т+ и т_ отрицательна, т. е. по крайней мере
одна из разлетающихся звуковых волн представляет собой по-
потенциальную яму, способную удерживать плазмоны.
Перейдем теперь к случаю резонансного столкновения соли-
тонов, в котором из-за близости собственных частот Qi и Q2
возможно изменение чисел заполнения М{ и N2 вплоть до пере-
перехода всех плазмонов в один солитон. Наличие резонанса Qi«Q2
означает, что сталкивающимся солитонам отвечают одинаковые
потенциальные ямы и что
sh). G.15)
Ширина этого резонанса пропорциональна малому параметру g.
Можно показать [34], что при выполнении условия G.15) за-
законы сохранения действительно разрешают слияние двух соли-
тонов в энергетически более выгодный солитон с суммарным
числом плазмонов N=Ni-\-N2. Однако однозначно предсказать
результат столкновения по известным значениям N{, su N2 и s2
не удается, поскольку он существенно зависит от разности фаз
электрического поля в исходных солитонах.
Для слияния двух солитонов наиболее благоприятен случай,
когда исходная волновая функция в симметричном потенциале
сближающихся солитонов четная (у таких солитонов Ni = N2 и
S\ = —s2). В этом случае все плазмоны с самого начала нахо-
находятся на нижнем уровне, который может адиабатически перей-
перейти в уровень, отвечающий одному солитону (рис. 6). Что же
касается состояния с нечетной волновой функцией и соответст-
соответственно более высокой энергией, то при слиянии солитонов оно,
оставаясь незаполненным, вытесняется в непрерывный спектр.
Заметим, что описанный здесь процесс происходит вообще без
изменения заселенностей уровней, т. е. наиболее легким в адиа-
адиабатической ситуации способом. Если же фазы солитонов разли-
различаются на я, т. е. волновая функция нечетна, то плазмоны, на-
находясь в симметричной яме, не могут перейти в основное
(четное) состояние и, следовательно, слияние солитонов запре-
запрещено (рис. 7).
Примечательно, что вследствие узости резонанса G.15) пере-
переход плазмонов с уровня на уровень возможен лишь при малом
перекрытии солитонных потенциальных ям, так как сильное их
перекрытие привело бы к расталкиванию уровней. Тот факт,
что для солитонов достаточно большой амплитуды слияние раз-
разрешено лишь в весьма узком диапазоне параметров, был отме-
отмечен еще в [38J, где предпринималась попытка аналитически
рассчитать излучение звука сталкивающимися солитонами, од-
однако из-за необоснованного использования теории возмущений
этот расчет был выполнен некорректно [14]. Малость перекры-
перекрытия солитонов в момент обмена плазмонами дает принципиаль-
27
г >
-20
О
20
Рис. 6. Адиабатическое слияние соли-
тонов при четном распределении по-
поля Е(х)
Рис. 7. Столкновение солитонов при
нечетном распределении поля Е{х)
ную возможность провести расчет слияния солитонов более ак-
аккуратно.
В заключение отметим, что рассмотренные в этом параграфе
эффекты отнюдь не исчерпывают всех возможных процессов с
участием солитонов. Мы выделили здесь лишь те примеры,
которые наиболее отчетливо показывают роль адиабатичности.
Обсуждение других процессов можно найти в обзорах [13, 14J.
8. Образование солитона из сгустка ленгмюровских волн
8.1. Постановка задачи. Вернемся к вопросу о захвате сво-
свободных плазмонов в солитон и рассмотрим ситуацию, когда на-
начальные возмущения плотности и скорости ионов отсутствуют,
а исходное распределение плазмонов представляет собой от-
отдельный сгусток, ширина которого X удовлетворяет условию
гв<Я</-д(М/тI/2, (8.1)
означающему, что плазмоны в большинстве своем сверхзвуко-
сверхзвуковые. Здесь и в дальнейших оценках для простоты подразумева-
подразумевается, что у сгустка нет дополнительного внутреннего масштаба,
т. е. характерная длина волны плазмонов оценочно равна X.
Тогда в безразмерных переменных B.24) с Ао~^~' условие
(8.1) сводится к неравенству g<Cl.
В процессе разлета плазмонов пондеромоторная сила, воз-
возмущающая плотность плазмы, создает потенциальную яму, в
результате чего некоторая часть исходного сгустка переходит в
связанное состояние. Благодаря высокой скорости разлета воз-
возмущение плотности оказывается относительно малым, что, как
28
отмечено в [39J, позволяет описать обратное воздействие этого
возмущения на плазмоны в терминах квантовомеханической
задачи о частице в мелкой потенциальной яме [21J. Приближе-
Приближение мелкой ямы адекватно рассматриваемой задаче еще и по-
потому, что в силу адиабатических ограничений, обсуждавшихся в
§ 7, захват плазмонов в яму идет лишь до тех пор, пока уро-
уровень энергии, отвечающий связанному состоянию, очень близок
к границе непрерывного спектра. По мере углубления ямы этот
уровень постепенно опускается и захват в конце концов прекра-
прекращается, так как зависимость параметров ямы от времени ста-
становится адиабатически медленной. Отметим, что в этот момент-
яма еще может оставаться мелкой.
Захватываемые в яму плазмоны составляют, как мы увидим,
лишь малую часть исходного сгустка, тогда как в создании ямы
участвует весь сгусток. Это дает возможность разделить реше-
решение задачи о захвате на две части: описание ямы, создаваемой
свободно разлетающимся сгустком (п. 8.2) и определение числа
плазмонов, захватываемых в яму, изменяющуюся по известно-
известному закону (п. 8.3).
По окончании захвата яма в течение некоторого времени
продолжает углубляться по инерции, а затем постепенно пере-
перестраивается под влиянием захваченных плазмонов, излучая
звук и превращаясь в солитон. На этой стадии процесса, про-
протекающей адиабатически, число плазмонов в яме сохраняется.
Сохранение числа плазмонов, а также энергии и импульса по-
позволяет найти амплитиду образующегося солитона и энергию
излучаемого звука (п. 8.4).
8.2. Возникновение потенциальной ямы при разлете сгустка.
Используемое ниже приближение мелкой ямы предполагает, что
амплитуда п и пространственный масштаб / возмущения плот-
плотности удовлетворяют неравенству
пР<1. (8.2)
При g-Cl это требование легко выполнимо. Действительно, со-
согласно уравнению D.1) время разлета сгустка с начальной
шириной порядка единицы можно оценить как g, а скорость
роста создаваемого этим сгустком возмущения плотности оце-
оценочно равна [см. D.2)]
dn/dt~g\A\\
где А — амплитуда электрического поля в сгустке. Пространст-
Пространственный масштаб этого возмущения равен начальному размеру
сгустка, т. е. в неравенстве (8.2) следует положить 1=1.
После разлета сгустка возмущение плотности продолжает по
инерции линейно расти со временем, но не далее чем до /~1,
поскольку к этому моменту становится существенным звуковой
разлет возмущения. Таким образом, возмущение во всяком слу-
2»
чае ограничено сверху величиной n~g\A\2. Из этой предвари-
предварительной оценки видно, что применительно к плотности энергии
плазмонов ограничение (8.2) весьма мягкое.
Неравенство (8.2) означает, что характерные длины волн
захватываемых в яму плазмонов велики по сравнению с разме-
размерами самой ямы. По отношению к таким плазмонам яму можно
считать точечной, что соответствует переходу от уравнения D.1)
к уравнению с 6-функционным потенциалом
^? E. (8.3)
Коэффициент т] при б-функции должен обеспечивать тот же
перепад производной электрического поля по х, что и на реаль-
реальной яме. В первом порядке по параметру nl2 теория возмущений
дает
00
¦4=-- — J ndx,
— 00
но эта величина в силу сохранения числа ионов равна нулю.
В следующем (втором) порядке
оо х та
4= j dx J n(x')dx'\ . (8.4)
—00 —00 I
Входящая сюда функция
х
% = — ]' п(х'; t)dx'
—00
удовлетворяет одномерному уравнению C.4):
— $ — ? = -—|?|г. (8.5)
dt* дх* дх '
В интересующей нас задаче начальные значения | и dl,/dt рав-
равны нулю. Соответствующее решение уравнения (8.5) имеет вид
Считая разлет плазмонов, создающих яму, свободным, мы по-
положим
! Е(д; 0 р = j EklFk2exp [i(k,-kt)x-it (V-V)/gWK (8-7)
где Eh — фурье-компоненты исходного поля. В интеграле (8.7)
удобно ввести вместо k\ и k2 новые переменные q=ki—k2 и
30
p= (&J-J-&2) jg. Выполнив затем в формуле (8.6) интегрирова-
интегрирование по времени, можно представить | (х; t) в виде
X ^cfpdq^^ [cos (90 - cos (/*7QJG+
+ X.^dpdq -^^ \P sin (^) - sin (pqt)) G_ (gp; q), (8.8)
где G+ и G_ — четная и нечетная по р части функции
G(gp; q) =
Малость параметра g и тот факт, что характерные масшта-
масштабы изменения функции G по р и q равны соответственно \jg и
1, позволяют при t^>g заменить в формуле (8.8) функцию
G+(gp; q) на G+@; q). С функцией G- так поступить не удает-
удается, поскольку остающийся интеграл по р расходится при р->-
->±<х>. Значение интеграла, содержащего G_, определяется,
следовательно, большими значениями р, что дает возможность
опустить в подынтегральной функции величину sln(pcjt), a
также пренебречь в знаменателе единицей по сравнению с р2.
В итоге | (х; t) приобретает следующий вид:
j^ (8.9)
где
R О/) = lira J j^- ?(P+?)/2 Ё'и^т. (8.10)
Эта формула для g справедлива во всей области изменения
t, за исключением очень малых времен, сопоставимых со вре-
временем удвоения ширины исходного сгустка плазмонов. Посколь-
Поскольку при не слишком высокой энергии сгустка столь малые вре-
времена в задаче о захвате плазмонов несущественны, формула
(8.9) применительно к этой задаче может рассматриваться как
точная. Подставив теперь g(x; t) в формулу (8.4), получим
(8.11)
Выпишем также приближенные выражения для ц при
/>1
; (8.12)
(8.13)
Множитель |7?@)|2 в формуле (8.13) следует понимать как
значение \R{q)\2 при \q\ ~l/t<gi\. Хотя сама функция R(q),
вообще говоря, испытывает скачок при смене знака q [см. фор-
31
мулу (8.10) J, ее модуль при условии гладкости Е изменяется
непрерывно, что и позволяет ввести величину |Л@)|2.
Характер зависимости ц от t при <<Cl объясняется тем, что
ионы, испытав короткий толчок со стороны плазмонов, вначале
движутся по инерции, и возмущение их плотности растет про-
пропорционально времени. Коэффициент ц, будучи квадратичным
по п, изменяется при этом как t2. С началом звукового разлета
ямы квадратичный рост ц сменяется линейным. Граница линей-
линейного роста со стороны больших значений t определяется нару-
нарушением приближения мелкой ямы [39].
8.3. Захват плазмонов. Число захваченных плазмонов N==
= |Л0|2 определяется амплитудой Ао связанного состояния в
разложении электрического поля по собственным функциям
уравнения (8.3), отвечающим мгновенному значению г\:
Е(х; 9 = Л0|/2I/2ехр(- 1 хф | )+J ak(t)tyk(x; t)dk. (8.14)
Здесь ak — амплитуды состояний непрерывного спектра, харак-
характеризуемых ВОЛНОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ l()fc.
После разлета исходного сгустка амплитуда Ао с точностью
до множителя B/т|I/2 совпадает со значением электрического
поля при х=0, поскольку все свободные плазмоны в конце
концов покидают область локализации ямы. Таким образом,
задача сводится к отысканию асимптотики функции Е@; t) при
больших значениях t.
Согласно (8.3) коэффициенты разложения функции Е(х; t)
в интеграл Фурье по х удовлетворяют уравнению
ig-JL^-fc'^-JL,, (8.15)
где е = ?@; t). Отсюда
t
Ek (t) = Ek exp (- i kH/g) +-^- j -n (t) s (x) exp [i V (x - i)lg\d*, (8.16)
e
где Ёп — начальные значения коэффициентов Фурье. Функция
Eu(t) связана с s(t) соотношением е = \Ekdk. Поэтому интег-
интегрирование обеих частей формулы (8.16) по k дает для е@ сле-
следующее интегральное уравнение:
о
В силу линейности уравнения (8.17) его решение может быть
записано в виде е it) = j Ekekdk,
32
где функция &k удовлетворяет уравнению
1+1
(8.18)
При этом на адиабатической стадии, где ./V не зависит от вре-
времени,
N = — \\ Ek4dk
(8.19)
При степенном законе изменения глубины ямы T] =
уравнение (8.18) путем естественных замен
приводится к универсальному виду:
Наличие такой универсальности позволяет сразу найти зависи-
зависимость величины N, определяемой формулой (8.19), от парамет-
параметров Q и g. Приняв во внимание, что при g<Cl в яму захваты-
захватываются преимущественно длинноволновые плазмоны, и заменив
в формуле (8.19) функцию ?>, ее значением при /е = 0, получим
N= |?o|2(gmQI/Bm+1)Cm, (8.21)
где
(8.22)
Формула (8.21) задает искомую зависимость N от Q и g с
точностью до численного множителя Ст, определяемого асимп-
асимптотикой решения уравнения (8.20). Для т=1 и т = 2 (а имен-
именно эти два случая представляют для нас интерес) множитель
Ст удается найти аналитически. Результат соответствующих
вычислений (сами вычисления изложены в приложении 1)
имеет вид
8п*D/125I/5 . ,й ооч
г _
2 ~
С1 = 7t6I/3 Г2 B/3), (8.24)
где Г — гамма-функция Эйлера. Объединив формулы (8.12),
(8.13) и (8.21) — (8.24), получим окончательно, что
3—6856
33
в случае квадратичного роста ямы, описываемого формулой
(8.12), и
N=31/3я5/3Г2 B/3) g | ?„121R @) 12'3 (8.26)
в случае линейного роста (8.13).
8.4. Динамика формирования солитона. Чтобы уточнить об-
область применимости результатов, изложенных в § 8.2 и 8.3, рас-
рассмотрим на уровне оценок сценарий формирования солитона в
том случае, когда захват плазмонов происходит на стадии инер-
инерционного углубления потенциальной ямы (^<С1), т. е. число
захватываемых в солитон волн определяется формулой (8.25).
Действуя сходным образом, можно проанализировать и второй
режим захвата (это сделано в [39]).
Длительность tN процесса захвата задается соотношением
неопределенности
Qfor~l, (8.27)
где ?2~ (\/g)tf(tN)—собственная частота связанного состоя-
состояния в момент tN. Приняв во внимание, что согласно формуле
(8.12)
4~g2N20t2, (8.28)
где No — число плазмонов в исходном сгустке, получим
tN~g-*'W0-*/s. (8.29)
Чтобы захват успел произойти до окончания инерционной ста-
стадии (^v^l), должно выполняться условие
N0>g-3/i. (8.30)
Вместе с тем мы предполагали, что в момент захвата яма оста-
остается мелкой, т. е. ее размер, равный в безразмерных переменных
единице, мал по сравнению с областью локализации связанного
состояния r\~l(tN). Это дает ограничение на No сверху:
N0<g-2. (8.31)
Последнее неравенство обеспечивает также малость числа за-
захватываемых в яму плазмонов по сравнению с No. Отметим,
что вследствие малости параметра g имеется широкий диапазон
значений No, в котором неравенства (8.30) и (8.31) могут вы-
выполняться одновременно.
Оценим теперь влияние захваченных плазмонов на форму
ямы. Из уравнения D.2) следует, что в момент захвата допол-
дополнительное возмущение плотности, создаваемое этими плазмо-
нами, оценочно равно
&n~N-t\*{tN)t*N. (8.32)
Используя выражение (8.25) для N и оценку (8.29), нетрудно
проверить, что при выполнении неравенства (8.31) имеет место
соотношение
6ЖТ12, (8.33)
34
показывающее, что в момент захвата поправка к энергии свя-
связанного состояния за счет продавливания ямы захваченными
плазмонами пренебрежимо мала. Иными словами, захватив
плазмоны, яма в течение некоторого времени продолжает углуб-
углубляться по инерции. При этом захваченные плазмоны адиабати-
адиабатически сжимаются и их давление возрастает. Соответственно
возрастает и деформация ямы 8п. Время tD, начиная с которо-
которого деформация становится существенной, определяется момен-
моментом нарушения неравенства (8.33) и равно (см. [39])
/d~?-14/2(Wo-17/20. (8.34)
При t~tD начинается сверхзвуковое сжатие ямы под влиянием
находящихся в ней плазмонов. Динамика сжатия описывается
автомодельным законом (см., например, [42J)
\E\2oo(ts-t)-2; 8n оо {ts-t)-\ (8.35)
В ходе этого сжатия газокинетическое давление растет быстрее,
чем давление плазмонов, вследствие чего сжатие в конце кон-
концов прекращается, яма превращается в солитон, а вытесненное
из нее вещество уносится уходящими звуковыми волнами.
Параметры образующегося солитона должны удовлетворять
законам сохранения числа плазмонов, энергии и импульса сис-
системы после захвата. Эти законы сохранения сводятся к соотно-
соотношениям G.1), G.2), в которых следует положить е@)=0, так
как энергия, выделяющаяся при формировании солитона, су-
существенно превышает энергию звуковых возмущений в момент
захвата. Из положительности входящих в G.1) и G.2) величин
е+ и е- следует, что скорость солитона s ограничена сверху
неравенством
|s|<l/5. (8.36)
Численная малость этой скорости позволяет с высокой точно-
точностью найти амплитуду электрического поля в солитоне ?* =
= jV/y8, ширину солитона Д —4/iV и суммарную энергию излу-
излучаемых звуковых волн e++e_=iV3/48. Значение .V в этих фор-
формулах определяется в рассматриваемом случае формулой
(8.25).
Описанная последовательность превращения сгустка плазмо-
плазмонов в солитон показана на рис. 8, 9, представляющих результа-
результаты численного решения системы D.1), D.2) с g=l/8. Началь-
Начальные значения п и п в этом расчете полагались равными нулю,
а начальное распределение электрического поля считалось гаус-
гауссовым:
Е(х; 0)=Лехр(-х2) (8.37)
с Л = 5.
Чтобы продемонстрировать первоначальный разлет плазмо-
плазмонов, последовательность значений времени на рис. 8 сгущена к
3* 35
10
/
V
1
я
/1\
/ 1 \
^ A N
i i
t = 0
0,1
0,2
0,4
0,8
1,6
3,2
6, U
4^ 12,8
n
i
10
\
t =
1,6
3,2
4,5
6 A
8,0
9,6
12,8
1
0
1
U
II
i i
ул|л v^
—.1/ v^4^
\f/ \ A^s^
w—n
W \\
V , \ \
-10
0
10
-10
10
Рис. 8. Разлет и стягивание в солитон
плазмонов с гауссовым начальным
распределением. Штриховыми линия-
линиями показаны траектории, соответст-
соответствующие движению со скоростью звука
Рис. 9. Эволюция профиля плотности
при образовании солитона. Штрихо-
Штриховыми линиями выделены расходящие-
расходящиеся звуковые волны
началу, тогда как на рис. 9 выбран постоянный временной шаг.
Из рис. 8 видно, что после разлета свободных плазмонов остав-
оставшаяся часть сгустка сжимается, принимая в конечном счете
форму солитона. На рис. 9 отчетливо прослеживается уход от
солитона звуковых волн.
В ходе расчетов была найдена также зависимость числа
плазмонов в солитоне от числа плазмонов в начальном сгустке
Л^о= (я/2)и2А2. При изменении амплитуды А от 2,5 до 7,5 эта
зависимость совпадает с аналитическим результатом (8.25) с
точностью не хуже 20% [39]. Такое согласие вполне удовлетво-
удовлетворительно, так как при Л = 7,5 в солитон захватывается уже
довольно большая (около 40%) часть энергии исходного сгуст-
сгустка, т. е. сравнение ведется фактически на пределе применимо-
применимости теории.
Вернемся еще раз к моменту захвата плазмонов в мелкую
яму. Тот факт, что пространственный масштаб волновой функ-
функции плазмона в такой яме существенно превышает размер ис-
исходного сгустка, позволяет сделать интересный вывод [23]: два
неперекрывающихся, но находящихся не слишком далеко друг
от друга сгустка могут образовать общий солитон, положение
которого не совпадает с положением ни одного из сгустков.
36
-20
20
Рис. 10. Образование общего со-
литона из ленгмюровских сгуст-
сгустков с четным распределением по-
поля Е(х)
ЕМ
J
s
1
„—¦
1
\ л
LJl
i
- it
1
1
2
-
16
-20 0 20 X
Рис. П. Образование солитонов из
сгустков с нечетным распределением
поля Е(х)
Слова «не слишком далеко» подразумевают, что расстояние
между рассматриваемыми сгустками меньше или порядка дли-
длины волны плазмонов, захватываемых в мелкую яму.
Чтобы проиллюстрировать особенности формирования соли-
тона из двух сгустков, обратимся к рис. 10, 11. Рисунок 10 по-
показывает, что солитон действительно может возникать в проме-
промежутке между сгустками. Рисунок 11 требует дополнительных
пояснений. Начальное распределение интенсивности волн здесь
то же, что и на рис. 10, но рис. 10 соответствует четному, а
рис. 11—нечетному начальному распределению электрического
поля. В приближении мелкой ямы волновая функция связанно-
связанного состояния является четной. При нечетном начальном условии
захват плазмонов в такую яму запрещен; он становится воз-
возможным только после появления в потенциале п(х) второго
уровня. Плазмоны, захватываемые на этот уровень, не могут
37
сформировать один солитон, так как в солитоне волновая функ-
функция должна быть четной. В итоге возникают два одинаковых по
амплитуде солитона с противоположными знаками высокочас-
высокочастотного электрического поля.
Отметим, что на рис. 10 наряду с центральным солитоном
видны также боковые солитоны относительно малой амплиту-
амплитуды. Их появление обусловлено захватом некоторой части плаз-
монов в каверны, остающиеся на месте локализации затравоч-
затравочных сгустков после стягивания плазмонов в центральный соли-
солитон. При увеличении расстояния между сгустками доля
плазмонов, захватываемых в боковые солитоны, возрастает и
картина, представленная на рис. 10, постепенно переходит в
картину рождения- солитонов каждым из сгустков в отдельно-
отдельности.
9. Модуляционная неустойчивость (линейная теория)
Задачи, представленные в § 5—8, объединены тем, что все
они посвящены динамике пространственно локализованных и
притом не слишком протяженных волновых пакетов. Для по-
постановки вопроса о турбулентности характерна несколько иная
ситуация. Здесь приходится иметь дело с неограниченной сис-
системой, в которой задана не полная энергия волн, а средняя
плотность их энергии. Простейшими из имеющихся здесь задач
являются рассматриваемые ниже задачи об устойчивости от-
отдельной монохроматической волны и набора ленгмюровских
волн со случайными фазами. Термин «модуляционная» в назва-
названии этого параграфа означает, что нас будет интересовать не-
неустойчивость, адиабатическая по отношению к высокочастотным
волнам, т. е. не связанная с резонансными процессами типа
трехволнового распада или индуцированного рассеяния, приво-
приводящими к изменению чисел заполнения Nt вследствие спект-
спектральной перекачки плазмонов. Такое понимание термина «мо-
«модуляционная» несколько шире общепринятого, поскольку мы не
предполагаем, что длина волны возмущения велика по сравне-
сравнению с характерными длинами высокочастотных волн. Ориента-
Ориентация на неустойчивости адиабатического типа мотивирирована
тем, что в случае достаточно широкого спектра ленгмюровских
волн именно эти неустойчивости определяют картину перехода
от слабой турбулентности к сильной.
9.1. Неустойчивость монохроматической ленгмюровской вол-
волны. Система уравнений B.15), B.21) имеет точное решение, в
котором плотность плазмы однородна (п=0), а электрическое
поле представляет собой бегущую ленгмюровскую волну конеч-
конечной амплитуды
E = (k/Jfe)Eoexp(ikr —iQ^); Qfc -- C/2)cop^r|. (9.1)
38
Добавив к этому решению возмущение плотности вида
я со cos (qr—Ш) (9.2)
и линеаризовав исходную систему, получим для Й и q следую-
следующее дисперсионное соотношение:
О2 2 2 2 Ы? I Е° I' Г COS2 8 г ¦
Q2 — а2с,2 = а2 —; ;— -f-
32Mn [
cos29_ i sin28v ¦ 'sin29_
Г —; -t i } }
l
^k-^k-q-^
, о (к, k + qJ „/ 1 k2c2
где cos2 6± = '¦;- 4; ; Qt = — ю
к ± q |2 "• 2 "а/
Переход к адиабатическому приближению состоит в том, что
в правой части формулы (9.3) частота Q полагается равной
нулю. В полученном выражении можно, кроме того, пренебречь
слагаемыми, содержащими частоты виртуальных поперечных
волн Qk, поскольку Qfe ^> Q'k.
В итоге дисперсионное соотношение существенно упрощает-
упрощается и приобретает вид
0.4)
nj q,g . ^ g, m" ' ?о I Г (k.k^-qJ 1 ...
s V 32^n0 [^|k+q|2 ^^
+ (k' k~q)a -Г-Ц—
Отсюда сразу следует, что волновые векторы наиболее неустой-
неустойчивых возмущений лежат вблизи резонансной поверхности
Gk, (9.5)
причем максимум инкремента отвечает возмущениям плотности
с |q|=2k, приводящим к рассеянию ленгмюровской волны на-
назад. Для возмущений, удаленных от резонанса (9.5), неустой-
неустойчивость имеет порог по интенсивности волны. Так, в частности,
для |q|S>^ этот порог лежит при
\E0\2/(n0T)=24nq2r*D. (9.6)
Более тщательный анализ уравнения (9.3) в окрестности резо-
резонанса с учетом частоты Q в резонансном знаменателе позволя-
позволяет найти максимальный инкремент неустойчивости, зависимость
инкремента от длины волны возмущения и провести классифи-
классификацию возможных режимов неустойчивости. Этот анализ, про-
проделанный в [8, 9, 43], подробно описан в обзоре [10], и мы не
будем повторять его здесь, поскольку нашей основной целью
39
является рассмотрение устойчивости широкого спектра волн.
Сделаем только несколько замечаний, помогающих лучше по-
понять ситуацию в случае широкого спектра.
Роль резонанса (9.5) в этом случае должна, очевидно, сни-
снижаться, поскольку наличие разброса волн по частотам не по-
позволяет выполнить условие (9.5) сразу для всего спектра.
Вместе с тем следует иметь в виду, что частотный спектр ленг-
мюровских волн вырожден (частота не зависит от направления
волнового вектора), и если числа заполнения вырожденных
состояний не совпадают, то резонансный процесс может приво-
приводить к быстрому перераспределению этих чисел, т. е. к рассея-
рассеянию волн без существенного изменения их энергии. Поскольку
характерное время этого процесса меньше времени развития
модуляционной неустойчивости [44J, будем в дальнейшем счи-
считать распределение волн эргодическим, т. е. зависящим только
от частоты. Отметим, наконец, что вследствие подавления резо-
резонанса (9.5) модуляционная неустойчивость широкого спектра
должна иметь конечный порог по интенсивности волн, сходный
с порогом (9.6).
9.2. Неустойчивость широкого спектра волн. Первый шаг в
исследовании этой неустойчивости был сделан в работе [8], ав-
авторы которой, действуя в рамках приближения геометрической
оптики [уравнения D.9), D.12)J, показали, что при достаточно
высоком уровне ленгмюровской турбулентности в плазме воз-
возможен самопроизвольный рост возмущений плотности. Из ре-
результатов [8] следует, что инкремент этой неустойчивости уве-
увеличивается с уменьшением длины волны возмущения. Между
тем уравнение D.9) не позволяет проанализировать возмуще-
возмущения с малыми пространственными масштабами. Поэтому для
вычисления максимального инкремента (равно как и для опре-
определения порога неустойчивости) необходимо воспользоваться
более точным описанием ленгмюровских волн, т. е. обратиться
к уравнениям B.15), B.21).
В отличие от монохроматической волны, являющейся точным
решением системы B.15), B.21), суперпозиция волн этим свой-
свойством уже не обладает, так как пондеромоторная сила содер-
содержит интерференционные члены. Поскольку исходное состояние
в виде набора волн нестационарно, сама постановка задачи о
его устойчивости нуждается в уточнении. Если, однако, выпол-
выполнены условия применимости адиабатического приближения, то
этот вопрос снимается: интерференционные эффекты в такой
ситуации пренебрежимо малы, и пондеромоторную силу в урав-
уравнении B.15) можно заменить ее усредненным по фазам волн
значением. Модифицированная таким образом система B.15),
B.21) имеет стационарное решение в виде произвольного эрго-
дического распределения ленгмюровских волн iV(k), где iV(k) —
спектральная плотность волн, постоянная на энергетических по-
40
верхностях q^ = const и нормированная условием
j N (к) dk = [ 1, (8™>р)] ( | Е И = Г/сор (9.7)
(угловые скобки означают усреднение по фазам).
Ввиду того что в адиабатическом приближении вклады раз-
различных плазмонов в пондеромоторную силу аддитивны, дис-
дисперсионное уравнение в случае широкого спектра можно полу-
получить из уравнения (9.4) посредством замены величины
]?о|2/(8я) на copiV(k) и интегрирования по k [45J:
Mn0 J
4Mn0
2)-.V(k-q 2) rf|g
;2-4_q/2
(9.8)
При записи этой формулы дополнительно проведены замены
переменных, приводящие оба слагаемых в правой части (9.4)
к общему знаменателю.
Заметим, что полученное уравнение нетрудно обобщить на
случай плазмы, находящейся в слабом внешнем магнитном по-
поле (о)яе<Со)ре)- Для этого следует лишь соответствующим обра-
образом «подправить» закон дисперсии волн Q^ и учесть влияние
поля на движение ионов, для чего достаточно домножить вели-
величину Q2 в формуле (9.8) на следующую дробь [46]:
Рассмотрим сначала с помощью уравнения (9.8) поведение
длинноволновых возмущений. С этой целью разложим подын-
подынтегральное выражение в ряд по q с точностью до квадратичных
членов включительно. В результате получим
\ 1
(9.9)
где
W = сор j Ndk;
/?02 = j PNdk I \ Ndk;
V», Г п dN
I 1_ I nil*
1— W J (kn) dk '
^о4 шл Г I na.narly d3N 1 ! Г / кга \2 ,1
== \ { ?_!_ -4 | .— In
1 w J { 24 dkadk^dk^ k2 [\ k j J
(9.
(9.
(9.
av | dk
идк \ (k/.)
(9.
10)
")
12)
13)
41
Безразмерные формфакторы Л и /2 введены таким образом,
что для спектра с шириной порядка ka они по модулю оценочно
равны единице. В зависимости от вида функции N(k) эти вели-
величины могут быть как положительными, так и отрицательными.
Если порог неустойчивости соответствует возмущениям с
<?->0, то /i<0, а /о>0. Эти неравенства необходимы, но, вооб-
вообще говоря, не достаточны для того, чтобы на пороге росли
именно длинноволновые возмущения, однако примеры спектров,
для которых порог действительно лежит в длинноволновой об-
области, существуют. Обозначив е относительное превышение
энергии волн над порогом, можно переписать формулу (9.9) в
виде
Q3 = д*сяг | — е -+- -iL -A_ . (9.14)
Отсюда следует, что максимум инкремента достигается при
<7 = ?o|e/i/B/2)|1/2<&o и Равен (l/.2)e^0cs| /i//2|1/2, а область
неустойчивости простирается от q=0 до ^- = Ло| e/i//211/2-
Если /i>0 или /г<0, то на пороге неустойчивости волновое
число q отлично от нуля. В этом случае в уравнении (9.8) удоб-
удобно провести разложение в окрестности наиболее «неустойчиво-
«неустойчивого» значения q, которое обозначим qo- В результате получим
Q2 = <7V24-?+H/?2o) (<7-<7oJJ, (9.15)
где А — положительный коэффициент, зависящий от формы
спектра. Ширина неустойчивой зоны по q—q0 в данном случае
оценочно остается такой же, как и при длинноволновой неус-
неустойчивости, но максимальный инкремент теперь пропорциона-
пропорционален не е, а е1/2.
Формулы (9.14) и (9.15), соответствующие малой надпоро-
говости, пригодны вплоть до е~1. На пределе их применимо-
применимости [WI (n0T) ~k20r2D] максимум инкремента достигается при
q~k0 и дается оценкой
ymzx~koCs. (9.16)
По мере увеличения W область неустойчивости охватывает все
большие значения q. Так, при W/ (no7) >&V2r> становятся не-
неустойчивыми возмущения с q^$>k0. Для этих возмущений дис-
дисперсионное соотношение (9.8) дает
Q2-q2c*s==-Wl(9MnQr2D). (9.17)
Верхняя граница области неустойчивости по q лежит в этом
случае при
q==(ll3rD)(W/n0T), (9.18)
а максимальный инкремент равен
ш, / m W \ 1/2
Тшах = — [
42
Отметим, что, несмотря на расширение области неустойчивости,
инкремент по-прежнему достигает максимума при q~k0.
9.3. Неустойчивость в плазме с горячими ионами [47J. Об-
Обсуждая в п. 9.2 модуляционную неустойчивость в плазме с хо-
холодными ионами, мы фактически ограничились той областью
параметров, где отношение инкремента у к волновому числу q
велико по сравнению с ионной тепловой скоростью vu:
y/q>vTi. (9.20)
Вблизи порога неустойчивости, где инкремент мал, это ограни-
ограничение может оказаться весьма жестким. Последнее видно, в
частности, на примере изотермической плазмы с Те~Г,-, в кото-
которой уравнение B.15) вообще непригодно для рассмотрения ре-
режима малой надпороговости (е^ 1). Исследование модуляцион-
модуляционной неустойчивости в условиях, когда неравенство (9.20) нару-
нарушено, требует перехода от уравнений гидродинамики к описа-
описанию ионов с помощью кинетического уравнения B.17).
Найдем из этого уравнения линейное по низкочастотному
полю Е' возмущение плотности ионов. В представлении Фурье
где fi — невозмущенная функция распределения ионов, проин-
проинтегрированная по поперечным по отношению к q составляющим
импульса; эту функцию в дальнейшем будем считать максвел-
ловской. Исключив из (9.21) EqQ с помощью формулы B.12)
и воспользовавшись условием квазинейтральности, получим
следующую связь Ч2 с компонентами Фурье пондеромотор-
ной силы:
Второе соотношение между | Е |q2 и п^, получающееся из урав-
уравнения B.21) с использованием адиабатичности и усреднения по
фазам, выглядит точно так же, как и в рассмотренном ранее в
п. 9.2 случае холодных ионов. Объединив его с (9.22), получим
в итоге следующее дисперсионное уравнение:
M (923)
"о J J qvQ
где
t (Ч) ~ 4V J I k + q/2 |2 1 k - q/2 |2 а{^ q _ Q^_q
(9.24)
В пределе Г, = 0 это уравнение переходит в (9.8).
43
Покажем прежде всего, что при учете теплового движения
ионов модуляционная неустойчивость остается апериодической,
т. е. в неустойчивой ситуации Re?2 = 0. Для этого заметим, что
вследствие вещественности ^(q) мнимая часть интеграла по
импульсам ионов должна обращаться в нуль, т. е.
^ ОР = 0. (9.25)
Воспользуемся четностью функции распределения ионов и вы-
выделим в подынтегральном выражении четную по v часть:
dp) . _0 ,926)
(Re Q)a + ч2]2 — 4$ V(
о
Ввиду знакоопределенности функции v dfi/dp это соотношение
дает ReQ = O.
Из приведенного рассуждения видно, что на пороге неустой-
неустойчивости Q = 0. Поэтому пороговая интенсивность ленгмюров-
ских волн определяется соотношением
F(qo)=-(Te+T,)lno, (9.27)
где <7о — точка минимума функции F [см. (9.24)]. Вблизи поро-
порога, т. е. при
/ (9.28)
инкремент неустойчивости у можно найти в явном виде, по-
поскольку интеграл по импульсам в этом предельном случае легко
вычисляется:
Отсюда
(9.30)
Если порог отвечает длинноволновым возмущениям, то
где е — относительное превышение интенсивности волн над по-
порогом, а величины k20, h и /2 определены формулами (9.11) —
(9.13). В отличие от случая холодных ионов максимальное
значение инкремента здесь пропорционально не е, а е3/2. Если
же на пороге возбуждается волна с конечным значением q, то
(9.32)
у я ¦' 4 1 '* I
44
где
^(ff) >0. (9.33)
В максимуме инкремент (9.32) пропорционален е. При до-
достаточно больших значениях е, когда начинает выполняться
неравенство (9.20), неустойчивость переходит в гидродинамиче-
гидродинамический режим, и ее инкремент определяется формулами, приве-
приведенными в п. 9.2.
10. Нелинейная динамика модуляционной
неустойчивости в одномерной модели
В одномерной задаче, где исключена возможность ленгмю-
ровского коллапса, нелинейность уравнений B.15), B.21)
должна в конечном счете останавливать рост модуляционных
возмущений. В зависимости от поведения амплитуды нелиней-
нелинейных колебаний при переходе через порог неустойчивости приня-
принято различать два режима роста возмущений: мягкий и жесткий.
В первом из них амплитуда при небольшом превышении над
порогом оказывается малой, а во втором она при сколь угодно
малой надпороговости достигает конечного значения.
Покажем, что в случае длинноволновой неустойчивости всег-
всегда реализуется жесткий режим; если же неустойчивость корот-
коротковолновая, то ситуация зависит от спектрального распределе-
распределения плазмонов и возможны оба варианта (см. п. 10.2).
10.1. Длинноволновая неустойчивость [45]. Чтобы вывести
упрощенное уравнение, описывающее нелинейную стадию неус-
неустойчивости, вернемся к дисперсионному соотношению (9.14).
Домножив обе его части на nqQ и выполнив обратное преобра-
преобразование Фурье, получим, что в одномерном случае
JLa+ .,,._?_„+ _^_.?И_-*_л==о. (ЮЛ)
dt2 дх* | Ix | k02 дх* '
Входящие сюда величины k0, I\ и /2 определяются одномерны-
одномерными аналогами выражений (9.11) — (9.13) и имеют вид:
dN
w
'*~ 24W J kx dk,? aK"
где N (kx) — одномерная спектральная функция, нормированная ус-
условием
45
Требование равнораспределения волн по энергетической поверх-
поверхности означает, что функция N(kx) должна быть четной.
Сравнение уравнения A0.1) с исходным уравнением для п
[см. B.15)] показывает, что в линейной задаче роль пондеро-
моторной силы сводится к перенормировке скорости звука и до-
добавлению дисперсии. Дисперсия в данном случае обусловлена
малыми поправками порядка q2/k20. Поэтому при вычислении
нелинейной добавки к пондеромоторной силе ею можно прене-
пренебречь. Это позволяет определить искомую добавку с помощью
уравнения D.9), которое в размерных переменных имеет вид
dt
dN _ -_1_ J^_ J?n_ dN _ 0
дх
дх dkx
A0.2)
Поскольку неустойчивость развивается адиабатически медлен-
медленно, распределение плазмонов успевает подстраиваться под воз-
возмущения плотности плазмы. При этом линейная по п добавка
к невозмущенной спектральной функции плазмонов N(kx) вно-
вносит в пондеромоторную силу вклад, приводящий к уравнению
A0.1) с нулевой дисперсией. Квадратичная же добавка к N(kx)
равна
1
1
72/г„
dkx
dkt
-N(kx), A0.3)
где угловые скобки означают усреднение по пространству. Раз-
Разложение здесь ведется по параметру п/(n0k20r2D), малость кото-
которого означает малость числа захваченных плазмонов по сравне-
сравнению с числом пролетных.
Учет поправки A0.3) приводит к замене правой части урав-
уравнения A0.1) величиной
дх2
^L<\W*)(kx; x;t)dkx.
В результате имеем
л2 s s ax2
п
I Л1
-п =
— п\ A0.4)
где /3 =
W
/2. В полученном уравнении удобно сделать
следующие замены:
1/2
л; t
/2
¦ей.
46
Посредством этих замен уравнение A0.4) приводится к виду
д2 . д2 , 1 д* 3 д2 , /1П гч
и-\ и -\ И = и2. A0.5)
дР дх2 4 их4 4 дх2
Отметим, что в новой записи рассматриваемое уравнение уже
не содрежит малого параметра е. Поэтому при мягком режиме
насыщения неустойчивости все его решения, отвечающие малым
начальным возмущениям, обязательно ограничены. Жесткому
же режиму, напротив, соответствуют неограниченно растущие
решения.
Уравнение A0.5) относится к числу нелинейных уравнений,
интегрируемых методом обратной задачи рассеяния [48J, что
дает возможность построить ряд его аналитических решений
(см. приложение 2). Приведем простейшее из них:
1
2k2 [p — cos(/w+6)]2 '
ехр( ^ ы) + (l )ехс(
ехр(— ^— ы) + —(l — — )ехс-(— Ы
2 * ' V 2 / ^ 2k \ х2) ' \ 2
A0.6)
Входящие сюда константы а, 6, k и % вещественны, причем а и
8 произвольны, аЬи связаны соотношением
&2+Зх2=4. A0.7)
Решение A0.6) примечательно тем, что оно демонстрирует
возникновение сингулярности при нелинейной эволюции синусо-
синусоидального возмущения малой амплитуды (рис. 12). У такого
возмущения р@K>1, а знаки k и к одинаковы. На не слишком
больших временах формула A0.6) описывает линейную стадию
неустойчивости:
и«— 4а/гехр [C^2/2)kxt]cos(kx+Q). A0.8)
С ростом возмущения его форма начинает отклоняться от си-
синусоидальной: максимумы становятся более пологими, а мини-
минимумы—резкими (рис. 12,6). При р = 2 обращаются в нуль
первые три производные функции и(х\ t) в ее максимумах.
Затем на месте каждого прежнего максимума возникает мини-
минимум, а в его окрестности появляются два симметрично располо-
расположенных максимума (рис. 12,б). При р->1 новые максимумы
приближаются к точкам x=xs= Bns—Q)/k, где функция и(х)
имеет абсолютные минимумы и решение становится сингуляр-
сингулярным.
Особенность возникает в момент времени
t — t — —Пъ~.—
31/2 /гх
47
0,2
0,1
-ж
0,5
-ж
Ж кх
S)
-Ж
Л кх
в)
Ж кх
Рис. 12. Эволюция неустойчивого возмущения плотности с малой начальной
амплитудой
Приближение к ней происходит по автомодельному закону
и (л ; t) =
31/2 (ts-t)
(ts-П
A0.9)
Эта функция является точным решением уравнения
-2-u+ — — u- -i__?_u» = o, A0.10)
Л2 4 дх* А дх2 Х '
получающегося из A0.5), если пренебречь вблизи особенности
второй пространственной производной и по сравнению с четвер-
четвертой. Примечательно, что особенность (когда она возникает)
имеет вид A0.9) не только для начального условия в виде от-
отдельной синусоидальной волны, но и при любом другом началь-
начальном условии. Начальное условие определяет лишь место xs и
время ts появления особенности [45J.
Приведенное решение показывает, что в области примени-
применимости уравнения A0.5) неустойчивость не стабилизируется.
Независимо от значения надпороговости возмущения плотно-
плотности плазмы достигают уровня n/no^k2or2D, соответствующего
границе применимости нашего подхода. Пространственный мас-
масштаб возмущений при этом сравнивается с характерной длиной
волны ленгмюровских колебаний ko~K
48
В системе, близкой к порогу неустойчивости, глубокие ка-
каверны на профиле плотности возникают на большом удалении
друг от друга (расстояние между ними пропорционально е~1/2).
Эти каверны внешне напоминают ленгмюровские солитоны, но
в отличие от солитона структура каверны определяется не толь-
только захваченными, но и пролетными плазмонами. Аналитически
описать всю эволюцию каверны, включая остановку сжатия, не
удается. Можно, однако, воспользовавшись адиабатичностью
задачи, найти число плазмонов, попадающих в связанное со-
состояние. Для этого заметим, что возмущение с пространствен-
пространственным периодом 2я//?о уже на линейной стадии неустойчивости
расслаивает спектр плазмонов на энергетические зоны, пере-
переходы между которыми в адиабатическом приближении запре-
запрещены. С увеличением амплитуды возмущения нижняя зона, ку-
куда входят плазмоны с исходными волновыми числами |&ж|^
^qo/2, сдвигается в сторону меньших частот и, сужаясь, пре-
превращается в набор солитоноподобных состояний. Если прене-
пренебречь возможным спонтанным нарушением периодичности сис-
системы, то можно сделать вывод, что плазмоны, находящиеся в
нижней зоне, образуют на каждом периоде исходного синусо-
синусоидального возмущения по одному солитону с числом плазмонов
<?о/2
^с=— \ N{kx)r'kx. A0.11)
-9о/2
Отсюда, в частности, следует, что основная доля плазмонов мо-
может захватиться в солитоны только при достаточно большой
надпороговости.
В заключение укажем, что вывод о жесткости нелинейной
стадии длинноволновой неустойчивости справедлив не только в
рассмотренном здесь случае нулевой температуры ионов, но
также и при конечной ионной температуре [47].
10.2. Коротковолновая неустойчивость [51J. Коротковолно-
Коротковолновая модуляционная неустойчивость характеризуется тем, что на
ее пороге волновое число нарастающего возмущения q0 отлично
от нуля и в общем случае сопоставимо с волновыми числами
плазмонов. В плазме с холодными ионами инкремент такой не-
неустойчивости задается формулой (9.15). Выше уже упомина-
упоминалось, что возбуждение коротковолновых возмущений может
быть как жестким, так и мягким. Из дальнейшего будет видно,
что в одномерной задаче характер возбуждения определяется
плазмонами с волновыми числами, близкими к qo/2, находящи-
находящимися в резонансе с рассматриваемым возмущением. Роль этого
резонанса зависит от знака производной спектральной функции
плазмонов N(k) в точке k^=\q0j2\. При положительной произ-
производной резонанс оказывается дестабилизирующим, что соответ-
4—6856 49
ствует жесткому нелинейному режиму. Ьсли же ——
dk
то наличие резонанса ведет к стабилизации неустойчивости и
реализации мягкого режима.
Перейдем к обоснованию сделанных утверждений. Исходны-
Исходными уравнениями при этом будут служить уравнения, получаю-
получающиеся из адиабатического гамильтониана D.7). Их в данном
случае удобно записать в следующем виде:
-п = ¦
д'2 ' л ' - ¦ A0.13)
Числа заполнения энергетических уровней Np являются здесь
интегралами движения. Для нумерации уровней считается, что
система занимает конечный объем —L/2<x<L/2. Собственные
значения «энергии» Хр определяются из уравнения A0.13) (с
периодическими граничными условиями) и рассматриваются
как функционалы п(х; t). В отсутствие возмущения
Xp=BnpjLJ, p = 0; ±1; ±2... A0.14)
В дальнейшем будем нумеровать уровни значениями волнового
числа
kp = 2np/L, A0.15)
полагая Kp = X(kp). При этом числа заполнения Np связаны
с невозмущенной спектральной плотностью плазмонов N(k) со-
соотношением
Np = 2nN(kP),
где множитель 2я отвечает следующей
v Г Г
нормировке:
| Е г dx.
A0.16)
A0.17)
Заметим, что дисперсионное соотношение линейной задачи
можно получить из уравнения A0.12), рассчитав X(k) по обыч-
обычной теории возмущений (см., например, [21]) с точностью до
квадратичных по п членов. Обозначим X соответствующее при-
приближенное выражение для X. Тогда
^тЭ?? 00-18,
L/2
J
50
/
nq = — \ ne^p(—iqx)dx. A0.19)
4
Подстановка X в уравнение A0.12) и переход в этом уравнении
к представлению Фурье дают одномерный аналог соотношения
(9.8):
При малой надпороговости @<e<Cl)
где a — положительный коэффициент порядка единицы.
На линейной стадии неустойчивости возмущение представ-
представляет собой волну с волновым числом <7о и плавной огибающей.
Пространственный и временной масштабы изменения огибаю-
огибающей пропорциональны е~1/2. В нелинейном режиме к основной
волне добавляются кратные ей пространственные гармоники и
возмущение приобретает вид
п—ио+ [«1 exp (.i<7o#) +к.с] + [ы2 exp Biq0x) 4-к.с] A0.22)
Огибающие гармоник ыг по-прежнему можно считать плавными.
Чтобы выделить в уравнении A0.12) вклад нелинейности, вве-
введем нелинейную добавку У (k) к «энергии» плазмона:
X'(k)=K(k)—l(k). A0.23)
Представив возмущение плотности в виде A0.22) и приняв во
внимание соотношения A0.20), A0.21), получим из уравнения
A0.12) следующие уравнения для огибающих:
l A0.24)
У _. 9 _ i U~U\ _9 u Г I if / L\ И-Г / Z.\ JL /1П 9S\
r>2. A0.26)
Ввиду того что в линейном приближении неустойчива только
основная гармоника, а все остальные рождаются из нее вслед-
вследствие нелинейного взаимодействия, амплитуды гармоник с /\^2
должны быть пропорциональными иг\ и, следовательно, относи-
относительно малыми. Поэтому в системе A0.24) —A0.26) достаточно
ограничиться учетом лишь основной, нулевой и второй гармо-
гармоник. Кроме того, в силу медленности изменения огибающих в
уравнении для второй гармоники можно пренебречь производ-
производной d2u2/dt2 и записать это уравнение в виде
и,= —[l'{k)N(k)dk. A0.27)
Si fi* J
2<Ь
4* 51
В действительности даже нулевая и вторая гармоники в боль-
большинстве случаев несущественны, поскольку их вклады в урав-
уравнение A0.25) малы по сравнению с обсуждаемым ниже резо-
резонансным вкладом.
Роль резонанса проще всего показать на примере монохро-
монохроматического возмущения, у которого огибающая их не зависит
от х. При этом нулевая гармоника отсутствует, а вторая гармо-
гармоника вносит в уравнение A0.25) вклад, пропорциональный и3и
имеющий ту же природу, что и кубичные по амплитуде члены
в простейшей задаче о нелинейном осцилляторе [52]. Что же
касается резонансного вклада, то он связан с появлением в
энергетическом спектре плазмонов запрещенной зоны и квадра-
квадратичен по щ.
При малой амплитуде возмущения положение запрещенной
зоны соответствует плазмонам с km ±qo/2. В окрестности этой
зоны X(k) можно найти посредством теории возмущений с дву-
двукратным вырождением. С достаточной для дальнейшего сте-
степенью точности
2. (Ю.28)
График этой функции изображен на рис. 13. Там же показана
зависимость
B\k\-qo)qo
A0.29)
«Энергия» Я, вычисленная по формуле A0.29), больше истин-
истинной, если |&|><7о/2, и меньше нее, если \k\<qo/2. Поэтому
знак входящей в уравнение A0.25) величины j К'(k)N(k)dk,
которую можно интерпретировать как нелинейную добавку к
плотности энергии газа плазмонов, противоположен знаку
N'==—^— . Если iV'>0, то возмущению энергетически
dk k=qo/2
выгодно расти и режим нелинейной стабилизации является
жестким: стабилизация наступает только при |ui|~<720. В про-
противоположном случае (/V'<0) монохроматическая волна воз-
возбуждается мягко. Вычислив J X'(k)N(k)dk и подставив резуль-
результат в A0.25), получим уравнение
, | N'), A0.30)
из которого следует, что нелинейная стабилизация в случае
JV'<O наступает при |ui| ~ъц\
Укажем теперь область применимости приближения моно-
монохроматической волны. Возмущение можно считать монохрома-
монохроматическим, если масштаб / изменения огибающей и{(х) велик по
52
Рис. 13. Окрестность резонанса:
точная зависимость
показана сплош-
сплошной линией, зависимость X(k), отвечающая
линейной теории неустойчивости,— линией,
составленной из точек, а невозмущенная
дисперсионная кривая X=k2—штрих-
пунктирной линией
сравнению с длиной пробега плазмона за время развития неус-
неустойчивости. Поскольку групповая скорость плазмонов считается
здесь сверхзвуковой, а неустойчивость развивается медленно,
ограничение на / содержит параметр адиабатичности g и ока-
оказывается весьма жестким:
/>e-1/2?-1og-1- A0.31)
В этом смысле интересен вопрос о стабилизации возмущений,
растущих из шумов, для которых огибающая является случай-
случайной функцией. Пространственный масштаб изменения огибаю-
огибающей такого возмущения определяется шириной области неус-
неустойчивости (l~ q-l0E~1'2) и удовлетворяет неравенству, проти-
противоположному A0.31). Оценим значение амплитуды и, при
котором становится существенной нелинейность данного возму-
возмущения. Если предположить, что и удовлетворяет условию
A0.32)
1/2<72о
|и|<е1/2<7
то ширину резонансной области для рассматриваемого возму-
возмущения можно оценить как
Aq~qoe
1/2
A0.33)
Для отдельной монохроматической волны ширина резонанса
определяется ее амплитудой и согласно формуле A0.26) равна
\щ\/д0.
[10.34)
Область Д<7 может вместить Aqjbq монохроматических волн,
каждая из которых взаимодействует со своей группой резонанс-
резонансных плазмонов и, достигнув амплитуды е<?2о, становится нели-
нелинейной. Поскольку волны независимы, средний квадрат возму-
53
щения плотности равен сумме квадратов их амплитуд, т. е.
|м|2~<74ое2Л<?/F<7)~е3/2<74о. A0.35)
Отметим, что при e<Cl полученное значение \и\ действительно
удовлетворяет первоначально введенному условию A0.32).
По аналогии со случаем монохроматической волны естественно
предположить, что нелинейность является стабилизирующей
при JV'<0 и дестабилизирующей в противоположном случае.
Точное решение задачи о случайном возмущении, построенное
в [51J, подтверждает справедливость этого предположения и
оценки A0.35), а решение соответствующей задачи для плазмы
с горячими ионами [47] показывает, что резонансная нелиней-
нелинейность здесь играет ту же роль, что и в случае нулевой ионной
температуры.
11. Флюктуационное формирование солитонов
Тенденцию ленгмюровских волн к образованию солитонов,
проявляющуюся, в частности, при одномерном численном мо-
моделировании плазменной турбулентности [42, 53J, обычно свя-
связывают с модуляционной неустойчивостью. При достаточно вы-
высоком уровне турбулентности, когда энергия волн заметно
превышает порог неустойчивости, это вполне оправдано. Однако
численные расчеты свидетельствуют также о том, что солитоны
могут рождаться и в подпороговом режиме [54]. Здесь их появ-
появление обязано флюктуациям плотности свободных плазмонов
[34]. Двигаясь независимо друг от друга, плазмоны время от
времени образуют сгустки, которые и служат зародышами со-
солитонов. Превращение спонтанно возникшего сгустка в солитон
демонстрирует способность устойчивой нелинейной системы со-
сохранять память о достаточно сильных флюктуациях.
Динамика образования солитона из отдельного сгустка была
рассмотрена в § 8. Высказанные там качественные соображе-
соображения помогают оценить пространственный масштаб и амплитуду
флюктуации, выступающих в роли затравочных сгустков.
Вернемся к уравнениям D.1), D.2) и рассмотрим комплекс-
комплексное электрическое поле Et(x), представляющее собой суперпо-
суперпозицию большого числа фурье-гармоник со случайными фазами
(индексом / обозначен пространственный корреляционный мас-
масштаб поля).
В любой точке х вещественная R и мнимая I части Et(x) явля-
являются статистически независимыми величинами, распределенны-
распределенными по нормальному закону
^(^ A1.1)
54
где Woi=(\Ei(x) |2> (угловые скобки означают усреднение по
ансамблю).
По распределению A1.1) нетрудно оценить вероятность то-
того, что число плазмонов на некотором интервале порядка кор-
корреляционной длины I превышает Nf.
]. A1.2)
Если на оси х выделено несколько таких интервалов, то по
смыслу величины / числа плазмонов на непересекающихся ин-
интервалах можно считать статистически независимыми.
Допустим теперь, что поле Et(x) представляет собой длин-
длинноволновую часть полного поля плазмонов Е(х), корреляцион-
корреляционный масштаб которого равен единице. Кроме того, предполо-
предположим, что рассматриваемые длинноволновые плазмоны все еще
можно считать сверхзвуковыми, т. е.
'<?-'. (П.З)
Если спектр гармоник поля Е(х) сходен с гауссовым, то ве-
величину Woi для длинных волн можно оценить как WQ/l, где
W0=(\E(x)\2y. В результате формула A1.2) приобретает вид
), A1.4)
не зависящий от конкретного значения корреляционной длины /.
Из-за экспоненциального убывания P(Nt) с увеличением
./V; солитоны с числом плазмонов N>W0 рождаются прежде
всего из тех флюктуации, которым отвечает достаточно высокая
(порядка единицы) вероятность перехода плазмонов в связан-
связанное состояние. Соответствующий процесс уместно назвать само-
самозахватом.
Для самозахвата сгустка плазмонов, имеющего ширину / и
не обладающего дополнительным внутренним масштабом, глу-
глубина п потенциальной ямы, создаваемой этим сгустком за вре-
время его свободного разлета
ti~gl2, A1.5)
должна быть сопоставимой с характерным значением кинети-
кинетической энергии плазмона 1~2. Оценив значение п с помощью
уравнения D.2) как
n~x\Nl-\ A1.6)
можно записать условие п~1~2 в следующем виде:
N~g-4~3. A1.7)
Заметим, что благодаря неравенству A1.3) ширина солито-
на с числом плазмонов A1.7), равная по порядку величины g2/3,
оказывается малой по сравнению с /. Поэтому сгусток плазмо-
плазмонов, образовавший при самозахвате связанное состояние, дол-
55
жен в дальнейшем сжаться в g~4~2 раз. Длительность такого
сжатия, имеющего автомодельный характер (8.35), по порядку
величины не превышает длительности самозахвата. Это позво-
позволяет оценить время формирования солитона с числом плазмонов
N по формуле A1.5), положив в ней /~ (g2N)-]/z:
Согласно соотношениям A1.4), A1.8), плотность солитонов
v(N; t) с числом захваченных плазмонов, превышающим N,
растет со временем по закону
\(N;t)~gNtexp(—N/W0) A1.9)
до тех пор, пока в исходном спектре не исчерпается запас плаз-
плазмонов с k^g2/3Ni/3. В этой оценке учтено, что область формиро-
формирования отдельного солитона имеет ширину порядка размера за-
захватываемого в солитон сгустка, т. е. (g2N)~U3.
Чисто формально из оценки A1.9) следует, что для рассмат-
рассматриваемой системы наиболее характерны солитоны с A/~W0.
Здесь, однако, необходимо сделать два замечания. Во-первых,
под порогом модуляционной неустойчивости, т. е. при WQ<1,
локальное значение \Е\2 в солитонах с N~W0, равное по по-
порядку W20, мало по сравнению со средним по длине системы
значением \Е\2, равным Wo. Такие солитоны практически не-
неразличимы на фоне исходного распределения плазмонов и, сле-
следовательно, не представляют большого интереса (солитоны
начинают заметно выделяться из фона только при N~Wl/20).
Во-вторых, по мере рождения солитонов с N~ Wo в них посте-
постепенно захватываются все имеющиеся в исходном спектре плаз-
моны с длинами волн порядка (g2W0)~1/3, после чего образование
таких солитонов прекращается, и основную роль начинают иг-
играть солитоны с большим числом плазмонов.
Предположим теперь, что основная часть плазмонов с k^.
s^fe<Cl благодаря самозахвату перешла в связанные состояния,
а плазмоны с k>k остались свободными. Тогда согласно фор-
формуле A1.7) для рассматриваемой системы наиболее типичны
солитоны с
N~Pg~2. A1.10)
Характерное расстояние LN между такими солитонами опреде-
определяется полным числом плазмонов с k^.kB исходном спектре и
равно
. A1.11)
При N^>W0 это расстояние существенно превышает размер об-
области формирования солитона Ч~К Отсюда видно, что при обо-
обогащении спектра плазмонами ck<^ik в промежутках между име-
56
ющимися солитонами могли бы сформироваться новые солито-
ны с тем же значением N.
Согласно формулам A1.9), A1.10) время захвата из перво-
первоначального спектра большинства волн с k^.k возрастает с k
пропорционально exp(kz/ (g2W0)). Поэтому должно существо-
существовать некоторое пороговое значение к, при котором процесс за-
захвата становится столь медленным, что его скорость сравнива-
сравнивается со скоростью пополнения длинноволновой части спектра
вследствие слаботурбулентной перекачки плазмонов. Перекачка
может быть обусловлена распадным взаимодействием свобод-
свободных плазмонов с ионным звуком и индуцированным рассеянием
плазмонов на электронах. С ростом уровня возмущений плот-
плотности первый из этих двух механизмов частично подавляется
[34, 55] (см. § 12). Что же касается рассеяния на электронах,
то оно, напротив, ускоряется, поскольку появление неоднород-
ностей плотности увеличивает разброс ленгмюровских волн по
частотам, приближая тем самым фазовую скорость биений сво-
свободных и связанных волн к тепловой скорости электронов. За-
Заметим, что рассеяние на электронах способно не только постав-
поставлять свободные плазмоны в длинноволновую область спектра,
но и непосредственно «подпитывать» плазмонами уже сформи-
сформировавшиеся солитоны.
Описанная здесь флюктуационная картина рождения соли-
тонов не требует, как мы видели, перехода через порог модуля-
модуляционной неустойчивости. Ясно, что определяющая роль флюк-
флюктуации сохраняется и в том случае, когда порог неустойчивости
слегка превышен, но система находится в непосредственной
близости от него. Если же надпороговость е удовлетворяет ус-
условию *
е>?1/3, A1.12)
то источником солитонов становится модуляционная неустойчи-
неустойчивость, поскольку в этом случае время ее развития меньше вре-
времени формирования солитонов с Af~l путем самозахвата.
Обсуждая флюктуационное рождение солитонов, мы огра-
ограничились здесь случаем свободной турбулентности, т. е. прене-
пренебрегли накачкой и затуханием волн. В присутствии накачки
ситуация может существенно измениться, поскольку открыва-
открывается новая возможность попадания плазмонов в связанное со-
состояние: прямое возбуждение волн в областях пониженной
плотности плазмы. Этот механизм лежит в основе так называе-
называемого процесса нуклеации, рассмотренного в [56].
* Параметр е представляет собой относительное превышение интенсив-
интенсивности волн над пороговым уровнем.
57
12. Генерация ионного звука самолокализованными
плазмонами *
Локализованные состояния плазмонов, рассмотренные вы-
выше, характеризовались тем, что глубины соответствующих по-
потенциальных ям сопоставимы с кинетической энергией плазмо-
плазмонов. Однако известно, что для квазичастиц, описываемых
одномерным уравнением Шредингера, локализация может
иметь место и при существенно меньших перепадах потенциала
[57], т. е. в ситуации, где по грубой оценке применима теория
возмущений. В этом случае поведение плазмонов должно, на
первый взгляд, описываться моделью слабой турбулентности.
Но в действительности картина несколько иная, причем сущест-
существенную роль здесь, как и в ранее рассмотренных задачах, игра-
играет параметр адиабатичности. Покажем это на примере задачи
о генерации плазмонами ионного звука. Соответствующие оцен-
оценки для наглядности будут проведены в размерных переменных.
Предположим, что характерное волновое число плазмонов k
удовлетворяет условию
krD>Vm/M, A2.1)
причем разброс плазмонов по волновым числам оценочно равен
k. Тогда в элементарном акте индуцированного излучения звука
каждый плазмон взаимодействует лишь со своими ближайшими
соседями по частотному спектру. Зазор между ними равен час-
частоте звука cos. Если под влиянием какого-либо возмущения часто-
частоты взаимодействующих плазмонов расходятся более чем на
cos, то скорость генерации звука падает. В роли такого возму-
возмущения могут, в частности, выступать и сами звуковые волны,
накапливающиеся в системе. Заметим, что соответствующее
расщепление частот плазмонов может, в свою очередь, быть
очень малым по сравнению с полной шириной их спектра.
Обсуждаемый эффект тесно связан с локализацией плазмо-
плазмонов в случайном поле звуковых возмущений**. В одномерной
задаче длину локализации плазмона lh можно оценить по тео-
теории возмущений как длину его свободного пробега в поле слу-
случайных неоднородностей плотности. Считая характерный прост-
пространственный масштаб неоднородностей сопоставимым с длиной
волны плазмона, получаем
)]2y, A2.2)
* Содержание этого параграфа основано на работе [55].
** Другие интересные последствия локализации плазмонов обсуждаются
в [58].
58
где угловые скобки означают усреднение по пространству.
Оценка A2.2) справедлива до тех пор, пока «потенциальная
энергия» плазмона, равная (<вр/2)бп/По. остается малой по
сравнению с его «кинетической энергией», равной B>/2)<j)pk2r2D;
отсюда, в частности, видно, что /г/й^1.На границе применимо-
применимости этой оценки длина локализации сравнивается с характерной
длиной волны, что качественно напоминает картину локализа-
локализации плазмонов в солитоне.
Допустим теперь, что в плазме выбран некоторый промежу-
промежуток шириной порядка /&. Характерное расстояние Асой между
соседними уровнями энергии плазмонов, локализованных на
этом промежутке, можно оценить как
С учетом соображений, высказанных в начале параграфа, мы
рассмотрим здесь ситуацию, когда Асой значительно превышает
характерную частоту звука kcs. Взаимодействие плазмонов,
приводящее к излучению звука, требует в этом режиме сбли-
сближения соседних уровней до расстояния бсой, существенно мень-
меньшего, чем Acoft. Процесс излучения можно, следовательно, опи-
описать в терминах последовательных «столкновений» энергетиче-
энергетических уровней (рис. 14). Эти столкновения обусловлены неста-
нестационарностью возмущений плотности плазмы. Чтобы оценить
интенсивность излучения, введем в рассмотрение величину <Ы —
длительность отдельного столкновения. Относительно б/ пред-
предполагается, что ?cs<l/F/) <A«fe. Левое из этих неравенств
означает, что в масштабе звукового времени столкновение уров-
уровней представляет собой короткий толчок, а правое — что время
б/ достаточно велико для того, чтобы соотношение неопределен-
неопределенности 6сой6^~1 позволяло с хорошей точностью различать
уровни в масштабе Асой.
При столкновении двух уровней пондеромоторная сила соз-
создает возмущение скорости ионов бо, равное
где Ek и ?¦-?•—адиабатические волновые функции взаимодействую-
взаимодействующих плазмонов. Эта формула позволяет написать для плотно-
плотности энергии звука 6WS, излучаемого в отдельном столкновении,
следующую оценку:
Если принять, что частотная ширина спектра плазмонов оценочно
равна (Op^V^j и выразить здесь величины \ Ек\2 и | Е% |2 через
59
CO I
• . -—-^
Рис. 14. «Столкновение» энергетических уровней плазмонов в нестационарном
потенциале
среднюю по пространству плотность энергии плазмонов W, то
оценка A2.3) дает
Домножив bWs на число состояний, приходящихся на длину
локализации 4, и на частоту столкновений уровней v, получим
в итоге следующее выражение для мощности излучения, гене-
генерируемого в единице объема:
д w ^
dt
Мпп
(S/Jv.
A2.4)
Входящая сюда частота столкновений уровней v должна в рас-
рассматриваемой ситуации оцениваться по характерной частоте
звука kcs, поскольку это единственный временной масштаб, ха-
характеризующий нестационарность профиля плотности.
Чтобы оценить время отдельного столкновения 6/, необходи-
необходимо знать вероятность Р(Дсо&; Ы) сближения уровней на рас-
расстояние (бг1) при среднем расстоянии между уровнями
Положим здесь
где показатель степени р характеризует расталкивание уровней.
В отсутствие расталкивания этот показатель равен единице;
при наличии расталкивания р>1. В связи с трудностями, возни-
возникающими при попытке самосогласованного отыскания вероятно-
вероятности Р(А(йй; Ы), мы вынуждены в данном случае ограничиться
заданием модельного выражения, содержащего свободный па-
параметр р. Это, разумеется, вносит в конечный результат извест-
известную неопределенность. Однако несмотря на присущий ему про-
произвол такой подход обладает тем достоинством, что он позво-
позволяет выявить связь обсуждаемых эффектов с расталкиванием
уровней.
По смыслу величин Ы и v вероятность Р совпадает с произ-
произведением v8/. Отсюда видно, что
bt
60
Подстановка в формулу A2.4) явных выражений для 6t, Дон и
v дает окончательно
f nj / \ "
M J ' К ' '
Здесь учтено, что среднеквадратический уровень возмущений
плотности ионов связан с плотностью энергии звука соотноше-
соотношением n0T<(8n/n0J>~Ws.
Выражение A2.6) для мощности излучения содержит по
сравнению со стандартной оценкой, получающейся в прибли-
приближении слабой турбулентности, дополнительный множитель
jl(p-i)/(p+i)) где 1^= (щТ/Ws)k3r3D{mjM)V2, причем в обсуждае-
обсуждаемом нами режиме [г^1. При наличии расталкивания уровней
этот множитель делает мощность излучения убывающей функ-
функцией интенсивности накопленного в системе звука.
Заметим, что вместе со скоростью генерации звука меняется
также характерное время спектральной перекачки плазмонов
т. Оценку этого времени можно получить из формулы A2.6),
положив в ней
Ws~Wk2r2D, A2.7)
поскольку относительное уменьшение энергии плазмона в про-
процессе перекачки оценочно равно k2r2D. При этом
М nJk*r2D ( w
т. u>flW \ n0TkrD У т J
Соотношение A2.7) позволяет выразить параметр ц через плот-
плотность энергии плазмонов
W -, / М
n0TkrD у m
Условие \х^. 1 в данном случае означает, что влияние локализа-
локализации сверхзвуковых плазмонов на их спектральную перекачку
становится существенным при W~n0TkrD(tn/M)U2, т. е. раньше,
чем плотность энергии плазмонов достигает значения W~
~n0Tk2r2D, соответствующего порогу модуляционной неустой-
неустойчивости.
Приложение 1
Вычисление С[. При /п=1 преобразование Лапласа
= ( ех (x)exp(i WT)dx (П1.1)
О
61
переводит уравнение (8.20) в дифференциальное уравнение первого порядка
для е(ш):
Здесь все функции определены в верхней полуплоскости комплексной пере-
переменной со @<argw<cn), так что Re"|/co>0. Решение уравнения (П1.2) име-
имеет вид
X2
(П1.3)
где интегрирование ведется но любому контуру, расположенному в верхней
полуплоскости и уходящему в бесконечность вдоль вещественной оси, чем обес-
обеспечивается убывание подынтегрального выражения при «i->-oo и выполнение
начального условия для функции еи(т):
Восстановив по функции е(со) функцию еУ.(т), получаем
ех(х) =ехр( — ix!i)-
ехр[-D/3)шР]
J
J
—oo + iO
Для определения коэффициента С] здесь достаточно удержать только второе
слагаемое. Его асимптотика при т-»-оо определяется точкой перевала, распо-
расположенной при больших отрицательных значениях со (ю = —т24). Это позво-
позволяет заменить в формуле (III.5) нижний предел интегрирования по Wi на
—оо, после чего вычисление интеграла по со методом перевала дает
Г ехр[ — D/3)co1]3/2dw,
4^(П16)
Проинтегрировав обе части (П1.6) по х, находим
+оо-МО
— i)Gcx, 2)'/2exp(ix3 12> j exp[ —D;3)to1]3/2d(o1.
j
—oo + iO
Выполнив теперь интегрирование по Wi (см. [40]) и подставив результат
в формулу (8.22), получаем в итоге для Ci выражение (8.24).
Вычисление С2. При т = 2 уравнение (8.20) переводится преобразовани-
преобразованием (П1.1) в уравнение второго порядка
i Э2 i
е+ 7= е= • (П1.7)
62
Замены независимой переменной
z = -i.A-_j)co5/4 (ПК8)
О
и неизвестной функции f=s/(o1/2 сводят уравнение (П1.7) к неоднородному
уравнению Бесселя, решение которого удобно выразить через функции Ган-
келя Я2(Д и н?\.
Получающееся в итоге выражение для е имеет вид
J
—оо+iO
oc +
I
Так же как и в формуле (П1.3), интеграл» здесь берутся по контурам, ле-
лежащим в верхней полуплоскости переменной wi и уходящим в бесконеч-
бесконечность вдоль вещественной оси. Этим достигается выполнение начального
условия (П1.4).
Исследование выражения (П1.9) показывает, что при отыскании асимпто-
асимптотики функции ех(т) в формуле (П1.9) достаточно удержать лишь последнее
слагаемое, поскольку, так же как и в случае /п=1, асимптотика 8х.(т) опре-
определяется поведением е при больших отрицательных значениях со. Используя
асимптотическое выражение для функции Н^Х(г)
//$(*)= B/пI'2 A,гI/2 ехр[1(г-9п/20)]
(см. [41]) и заменяя нижний.предел интегрирования по «и на —оо, получаем,
что для интересующих нас частот
е(со) = - ;7/Г7 ехр | -^-( 1 + i)W5'4 - I3«i/4O
J_j*, (ы1-х2K
При переходе от е(со) к еи(т) интеграл по со можег быть вычислен методом
перевала (точка перевала лежит при со=—т4/4). Результат вычисления име-
имеет вид
j
—oo+iO
Интегрирование этого выражения по у, дает
+ oo+iO
Вычисление здесь интеграла по Wi (см. [40]) (при интегрировании удобно пе-
перейти от coi к переменной г, (см. (П1.8)) и подстановка результата в фор-
формулу (8.22) дают в итоге для С2 формулу (8.23).
63
Приложение 2
Чтобы построить решения уравнения A0.5), введем, следуя схеме Ша-
бата [48, 49], вспомогательное интегральное уравнение
00
К(х; у, t) --=F(x\ у; t)+ f tf(x; 5; t)F(s\ y\ t)ds, (П2.1)
X
которое в сокращенной записи имеет вид
и рассмотрим пару дифференциальных операторов:
D.=
JL,_L + _E_. D _ 3'/2 I * _ д2 ) , д
ду3 дх ду ' 2 2 ', их2 ду2 j ^ dt
Каждому из операторов ?>,- (t=l, 2) соответствует «одетый» оператор 5г,
определенный таким образом,
Операторы Л,- задаются следующими формулами [48]:
и
; 0
= -
+ |-
-2
дх.
d
dx
К(х;
х;
0-
0
д
дц
дх дх
где
d
(П2.3)
1
Соотношение (П2.2) показывает, что при соответствующих ограничениях на
функции К и F уравнения Z)jF=O и ВгК=0 эквивалентны друг другу. Сле-
Следовательно, если F удовлетворяет двум уравнениям
DiF = 0; ?>2F = 0, (П2.4)
которые заведомо совместны, то К будет решением системы
Л,/(=0; Л2/С=0. (П2.5)
Условие совместности этой системы сводится к уравнению A0.5). Таким
образом, каждое решение интегрального уравнения (П2.1) с ядром F, удов-
удовлетворяющим условиям (П2.4), порождает некоторое решение уравнения
A0.5).
Для исходной физической задачи представляют интерес периодические
по х решения. Их можно получить путем предельного перехода из решений,
соответствующих вырожденному ядру F, убывающему при х-»-оо.
Рассмотрим вырожденное ядро:
f(У' У- П = ?f«(«; OTnte; О- (П2.6)
п
64
Подставив его в уравнения (П2.4), найдем функции /п и ф„
Г Ч1/2 9
iknxx+-±~ knXt-t
2
(П2.7)
Здесь а„ и 0„— произвольные вещественные постоянные, knx и й„у — комп-
комплексные числа, связанные соотношением
k2nx-knxkny+k2ny=l. (П2.8)
Относительно knx и &П!/ дополнительно предполагается, что
1т/гп*>0, lmfen»>0. (П2.9)
Ядро F в дальнейшем считается составленным из пар комплексно сопря-
сопряженных слагаемых /пфп + /?1*фп*, так что оно автоматически оказывается
вещественным.
Для ядра (П2.6) решение интегрального уравнения (П2.1) записывается
в следующем виде:
К(х\ У, 0 = 2ф"(х; *)?"^; 'Ь
п
где функции \\>п определяются из системы линейных алгебраических урав-
уравнений:
fm(s; t)>fn(s; t)ds. (П2.10)
т х
Решив эту систему и воспользовавшись затем соотношением (П2.3), можно
получить следующее выражение для и(х; t) (см., например, [50]):
а2
и= — 2—-1пЛ, (П2.11)
где
A=detAmn. (П2.12)
В области своей регулярности функция и(х; t), определенная формулами
(П2.11) и (П2.12), с необходимостью удовлетворяет уравнению A0.5).
Устремим теперь мнимые части чисел knx и kny к нулю, считая допол-
дополнительно, что ни одна из величин knx + kmv в нуль не обращается. Функция Л,
которая получается в результате такого предельного перехода, регулярна
на всей оси к и не убывает при х-»-±оо. В простейшем случае, когда сумма
(П2.6) состоит всего из двух комплексно сопряженных слагаемых, Л зада-
задается следующей формулой:
Л= 1-2—ехр (jL_^jcos(b-p6)+__ ^1—— ) ырC1>2 kxt).
(П2.13)
Здесь fea + 3x2=4, a константы а и 9 произвольны. Подстановка Л в форму-
формулу (П2.11) дает решение A0.6).
5—6856 65
Список литературы
1. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3.// Ядерный синтез. 1961.
Т. 1. С. 82—100.
2. Drummond W. E., Pines D.// Nucl Fus., Suppl. 1962. Vol. 3. P. 1049—
1058.
3. Веденов А. А.// Вопросы теории плазмы- Сб. статей/ Под ред.
М. А Леонтовича. М.- Госатомиздат, 1963. Вып. 3. С. 203—244.
4. Кадомцев Б. Б.// Там же. М.: Атомиздат, 1964. Вып. 4. С. 188—339.
5. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3.// Там же. 1973. Вып. 7. С. 3—145.
6. Пустовалов В. В., Силин В. П.// Тр. Физ. ин-та АН СССР. 1972. Т. 61.
С. 41—281.
7. Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М/ Наука, 1967.
8. Веценов А. А., Рудаков Л. И.// Докл. АН СССР. 1964. Т. 159.
С. 767—770.
9. Захаров В. Е.// Журн. эксперим. и теорет. физ. 1972. Т. 62. С. 1745—
1759.
10. Захаров В. Е.// Основы физики плазмы: Сб. статей/ Под ред. А. А. Га-
леева и Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1984. Т. 2. С, 79—118.
11. Шапиро В. Д., Шевченко В. И.// Там же. С. 119—174.
12. Горев В. В., Кингсеп А. С., Рудаков Л. И.// Изв. вузов. Радиофизика.
1976. Т. 19. С. 691—720
13. Rudakov L. I., Tsytovich V. N.// Phys. Reports. 1978. Vol. 40. P. 1—73.
14. Thornhill S. G., Ter Haar D.// Ibid. 1978. Vol. 43. P. 43—99.
15. Литвак А. Г.// Вопросы теории плазмы: Сб. статей/ Под ред.
М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1980. Вып. 10. С. 164—244.
16. Шафранов В. Д.// Там же. М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 3. С. 3—140.
17. Гапонов А. В., Миллер М. А.// Журн. эксперим. и теорет. физ. 1958.
Т. 34. С. 242—243.
18. Кузнецов Е. А.// Там же. 1974. Т. 66. С. 2037—2047.
19. Gibbons J., Thornhill S. G., Wardrop M. J., Ter Haar D.// J. Plasma
Phys. 1977. Vol. 17. P. 153—170
20. Захаров В. Е., Шабат А. Б.// Журн. эксперим. и теорет. физ. 1971.
Т. 61. С. 118—134.
21. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М : Наука, 1974.
22. Vedenov A. A., Gordeev А. V., Rudakov L. I.// Plasma Phys. 1967. Vol.
9. P. 719—735.
23. Астрелин В. Т., Брейзмаи Б. Н„ Седлачек 3., Юнгвирт К.// Физика
плазмы. 1988. Т. 14. С. 706—715.
24. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и соли-
тоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений: Пер. с англ.
М: Мир, 1975.
25. Теория солитонов: Метод обратной задачи/ В. Е. Захаров, С. В. Ма-
наков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский/ Под ред. С. П. Новикова, М.: Наука,
1980.
26. Захаров В. Е., Щур Л. Н.// Журн. эксперим. и теорет. фаз. 1981. Т. 81.
С. 2019—2031.
27. Breizman В. N.// Journal de Physique. Colloque C7, supplement au.
Vol. 40, № 7. 1979. P. 7—563.
28. Галеев А. А., Сагдеев Р. З., Шапиро В. Д., Шевченко В. И.// Журн.
эксперим. и теорет. физ. 1977. Т. 73. С. 1352—1369.
29. Захаров В. Е., Мастрюков А. Ф., Сынах В. С.// Физика плазмы. 1975.
Т. 1. С. 614—622.
30. Малкин В. М.// Журн. эксперим. и теорет. физ. 1984. Т. 87. С. 433—449.
31. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е., Рудаков Л. И.// Физика плазмы. 1976.
Т. 2. С. 438—449.
32. Литвак А. Г., Фрайман Г. М., Юнаковский А. Д.// Письма в ЖЭТФ.
1974. Т. 19. С 23—28.
66
33. Малкин В. М, Цидулко Ю. А.// Физика плазмы. 1985. Т. 11. С. 964—970.
34. Брейзман Б. Н., Седлачек 3., Юнгвирт К-/ Препринт ИЯФ СО АН
СССР № 87—154. Новосибирск, 1987.
35. Дегтярев Л. М., Маханьков В. Г., Рудаков Л. И.// Журн. эксперим. и
теорет. физ. 1974. Т 67. С. 533—542.
36. Чукбар К. В., Яньков В. В.// Физика плазмы. 1977. Т. 3. С. 1398—1400.
37. Курин В. В., Фрайман Г. М.// Физика плазмы. 1981. Т. 7. С. 716—725.
38. Lebedev A. N., Tsytovich V. N.// Physica Scripta. 1975. Vol. 11. P.
266—268.
39. Астрелин В. Т., Брейзман Б. Н., Васильев В. В. и др.// Журн. экспе-
эксперим. и теорет. физ. 1986 Т. 91. С. 2039—2052.
40. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М : Физматгиз, 1963.
41. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.:
Наука, 1966.
42. Дегтярев Л. М., Сагдеев Р. 3., Соловьев Г. И. и др.// Физика плазмы.
1980. Т. 6. С. 485—508.
43. Ichikawa Y. H., Suzuki Т., Taniuti Т.// J. Phys. Soc. Japan. 1973. Vol.
34 P. 1089—1092.
44. Малкин В. M.// Физика плазмы. 1982. Т. 8. С. 357—364.
45. Брейзман Б. Н., Малкин В. М.// Журн. эксперим. и теорет. физ. 1980.
Т. 79. С. 857—869.
46. Pozzoli R., Ryutov D. D// Phys. Fluids. 1979. Vol. 22. P. 1782—1789.
47. Брейзман Б. Н., Пеккер М. С, Розенраух Ю. М.// Физика плазмы.
1983. Т. 9. С. 836—844.
48. Захаров В. Е., Шабат А. Б.// Функциональный анализ. 1974. Т. 8.
С. 54—62.
49. Шабат А. Б.// Докл. АН СССР. 1973. Т. 211. С. 1310—1313.
50. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975»
Гл. 5.
51. Брейзман Б. Н , Малкин В. М.// Физика плазмы. 1983. Т. 9. С. 288—299.
52. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: Наука, 1965.
53. Pereira N. R., Sudan R. N., Denavit J.// Phvs. Fluids. 1977. Vol. 20.
P. 936—945.
54. Sedlacek Z., Jungwirth K., Stavinoha P., Breizman B. N.// 12 Rurop.
Conf. on Control. Fus. and Plasma Phys. Budapest, 1985. Vol. 2. P. 338—341.
55. Брейзман Б. Н., Юнгвирт К. Препринт ИЯФ СО АН СССР № 88—1.
Новосибирск; Физика плазмы. 1988. Т. 14. С. 1504 1507.
56. Doolen G. D., DuBois D. F., Rose H. A.// Phys. Rev. Lett. 1985. Vol.54.
p. 804—807.
57. Лифшиц И. М., Гредескул С. А., Пастур Л. А. Введение в теорию не-
неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982.
58. Escande D. F., Souillard В.// Phys. Rev. Lett. 1984. Vol 52 P 1296—
1299.
УДК 533.951
ПРИСТЕНОЧНАЯ ПЛАЗМА В ТОКАМАКАХ
А. В. Недоспасов, М. 3. Токарь
Введение
На протяжении всей истории работ по магнитному удержа-
удержанию горячей плазмы одной из главных задач экспериментато-
экспериментаторов была борьба с поступлением примесей.
Первые успехи в этой деятельности на токамаках и стелла-
раторах были связаны с использованием методов прогрева сте-
стенок в вакууме и введением специальных лимитеров (диафрагм),
ограничивающих поперечный размер плазменного шнура. Под-
Подвергаясь сильному и сосредоточенному воздействию плазмы,
лимитер существенно уменьшает попадание заряженных частиц
на основные стенки камеры.
Следующими шагами явились способы очистки поверхностей
специальными индукционными или тлеющими разрядами, а
также замена диафрагм из тугоплавких металлов графитовыми,
так как плазма менее чувствительна к примесям с меньшим
атомным номером.
Дальнейший прогресс был обусловлен применением дивер-
торных конфигураций магнитного поля. В них в некотором слое
вблизи первой стенки, получившем название scrape-off layer
(SOL) силовые линии выводятся «наружу», на специальные
диверторные пластины, по возможности максимально удален-
удаленные от основной плазмы. Эксперименты с диверторами подтвер-
подтвердили, что эти устройства эффективно повышают чистоту
плазмы.
В термоядерном реакторе степень чистоты можно характе-
характеризовать тем, насколько содержание в плазме той или иной
примеси мало по сравнению с предельной ее концентрацией,
при которой самоподдерживающаяся реакция синтеза становит-
становится невозможной из-за радиационных потерь энергии. Зависи-
Зависимость предельных («летальных») концентраций ряда примесей
от температуры плазмы показаны на рис. 1. Так как предпола-
предполагается, что в первых реакторных установках температура соста-
составит 10—15 кэВ, содержание в них легких примесей не должно
превышать нескольких процентов, а металлических — долей
процента.
68
0
Рис. 1. Зависимость летальной для
термоядерного горения концентрации
неона A), железа B) и молибдена
C) от температуры плазмы
a
Температура
Медленные
нейтральные
нейтраль
ные час-
/глицы
Рис. 2. Качественная картина
стеночной области [2]
при-
В современных крупных токамаках уже достигается доста-
достаточная для получения термоядерного горения чистота плазмы.
Однако проблема взаимодействия горячей плазмы со стенками
становится все острее из-за увеличения длительности разряд-
разрядных импульсов и применения мощных дополнительных источни-
источников нагрева плазмы. В экспериментальном реакторе с квази-
квазистационарным горением воздействие на стенки возрастает мно-
многократно по длительности и интенсивности по сравнению с уров-
уровнем сегодняшнего дня. Поэтому желательно, чтобы теоретиче-
теоретические исследования пристеночной плазмы не только объяснили
имеющиеся экспериментальные данные, но и служили бы доста-
достаточно надежной базой для проектов установок следующего
поколения.
Явления вблизи материальных поверхностей начали обсуж-
обсуждаться уже в первых A951 г.) работах по теории магнитного'
термоядерного реактора [1—3J. Качественная картина процес-
процессов вблизи стенок показана на рис. 2. Образовавшиеся при
поверхностной рекомбинации плазмы медленные атомы водо-
водорода перезаряжаются на ионах. Ионизация возникающих при
этом быстрых нейтралов электронами приводит к появлению
заряженных частиц, которые вновь уходят на стенку. В резуль-
результате в пристеночной области возникает кругооборот вещества,
названный позднее рециклингом.
69-
Рис. 3. Сечение магнитных поверхностей
в токамаке с полоидальным дивертором:
/ — сепаратриса; 2 — SOL; 3 — диверторный
объем; 4 — пластина
Непосредственно материаль-
материальной поверхности тепловой поток,
поступающий из центральных
областей разряда, передается
частицами. Тогда, чем интенсив-
интенсивнее рециклинг, т. е. больше по-
поток плазмы на стенку, тем ниже
энергия взаимодействующих с
ней частиц и меньше эрозия. В
[3] было показано, что при плот-
плотности потока тепла в пристеноч-
пристеночную область 10 Вт/см2, плотно-
плотности плазмы на ее границе nw=
= 1015 см~3 и классическом ха-
характере процессов переноса по-
поперек магнитного поля темпера-
температура плазмы вблизи стенки со-
составит 10 эВ. В то время предполагалось, что столь высокое
значение nw, на порядок превышающее плотность в центре ре-
реактора, будет поддерживаться благодаря термодиффузии.
Количественной характеристикой (коэффициентом) рецик-
линга может служить отношение потоков плазмы на стенку и
из центральной области разряда. В [3] этот коэффициент был
бесконечно большим. В другом предельном случае слабого
рециклинга, когда коэффициент близок к единице, температура
плазмы, контактирующей с поверхностью, составит несколько
килоэлектрон-вольт и неизбежно возникнет труднопреодолимая
проблема эрозии стенок. Поэтому режимы с сильным рециклин-
гом представляются наиболее предпочтительными для реактора
и им в обзоре уделяется особое внимание. Рассматриваются
ситуации с рециклингом на стенке, параллельной магнитному
полю, на пластинах полоидального дивертора (рис. 3), на ли-
лимитере. В последнем случае в пристеночной области выделяется
SOL и периферийная область с замкнутыми магнитными по-
поверхностями, в которой существенна роль нейтралов, возникаю-
возникающих при рециклинге.
Изучение поведения примесей на периферии разряда явля-
является важной задачей физики пристеночной плазмы. С одной сто-
стороны, потоками частиц на стенки, их энергиями, характером
процессов переноса в пристеночной области определяется интен-
интенсивность поступления примесей в ценр токамака. С другой сто-
стороны, излучение примесей, особенно легких, с богатыми линей-
70
чатыми спектрами, может сильно влиять на энергетический ба-
баланс пристеночной плазмы. В обзоре рассмотрен ряд моделей
описания транспорта примесных частиц, исследуется их роль в
формировании состояний с излучающей периферией, в сущест-
существовании предела по плотности плазмы.
Возрастающий в последнее время интерес к исследованиям
природы процессов переноса в пристеночной плазме обусловлен
рядом причин. Поперечной диффузией и теплопроводностью
определяется интенсивность рециклинга и температура перифе-
периферийной плазмы, плотность теплового потока на пластины ди-
верторов и лимитеров. Отмечена связь этих процессов с различ-
различными режимами удержания энергии в основной плазме. В обзо-
обзоре приведена теория конвективного и турбулентного переносов
частиц и тепла в SOL токамаков с полоидальными лимитерами,
связанных со спецификой условий протекания токов равнове-
равновесия.
Обзор не охватывает всего круга явлений, известных в при-
пристеночной плазме токамаков. Это относится, в частности, к элек-
электродуговым разрядам на стенках, по которым имеется большой
экспериментальный материал, но нет последовательной теории;
к взаимодействию плазма — стенка на начальной и конечной
стадиях разряда, при срывах тока; т. д. Физика пристеночной
плазмы еще не завершена и будущие исследования, без сомне-
сомнения, обогатят ее новыми явлениями и теоретическими моде-
моделями.
Глава 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПИСАНИЯ
ПРИСТЕНОЧНОЙ ОБЛАСТИ
1.1. Гидродинамическое приближение для плазмы
Уравнение переноса. Для пристеночной плазмы современных
токамаков и будущих реакторов, как правило, характерны усло-
условия, при которых длины пробега ионов и электронов до куло-
новских столкновений Хс и их ларморовские радиусы малы по
сравнению с размерами изменения параметров соответственно
вдоль и поперек магнитного поля, Ьц.^.В этом случае для опи-
описания заряженных компонентов плазмы может быть использо-
использована система уравнений гидродинамики [4], дополненных объ-
объемными источниками и стоками частиц, импульса и энергии,
которые обусловлены взаимодействием с нейтралами, возника-
возникающими при рециклинге на материальных поверхностях, а также
неводородными примесями в процессах ионизации, диссоциации,
перезарядки, возбуждения.
71
Толщина пристеночной области мала по сравнению с радиу-
радиусом плазменного шнура а. Поэтому геометрия области прини-
принимается плоской и все магнитные поверхности параллельны пер-
первой стенке. В первых пяти главах из процессов переноса в то-
родиальном и полоидальном направлениях учитываются только
течение и теплопроводность плазмы вдоль силовых линий, а
поперек магнитных поверхностей — аномальные диффузия и
теплопроводность ионов и электронов с коэффициентами Dj_,
K''ej_, значительно превышающими классические. Протеканием
тока и связанным с ним джоулевым тепловыделением пренебре-
гается ввиду низкой проводимости пристеночной плазмы.
В рамках сделанных допущений уравнения непрерывности,
движения вдоль магнитного поля и теплового баланса плазмы
в целом имеют вид:
dnidt+dTJdx+dnV afdl=Sn; A.1)
д (m.nV,) + -±- (mir±V]l) + -L- (Pe + П,) = Rn; A.2)
dt v ' "' ' dx v ' ^ '" dl
+-^+-5|—«¦-*• (I-3>
Здесь / — координата вдоль силовых линий; х—координата,
перпендикулярная магнитным поверхностям (далее принимает-
принимается, что положительным х соответствует периферийная область
разряда с замкнутыми поверхностями, отрицательным — SOL);
п — плотность плазмы; Т-ие— температуры ионов и электронов;
V|| —скорость течения плазмы вдоль поля;
PLe = nTUe- П, = Pt + 2еи п; s н = m»V2 /2; Г± = - D± дЩдх;
qL = E/2) Г± (Те + Tt) - ^ dTjdx - x[ дТ./дх;
в продольном тепловом потоке учитываются конвекция и теп-
теплопроводность более подвижных электронов
<7„ =nVn [8|| +E/2) G; + Те)]-х>п дТе/д1; к\ = 3,l6'iTeze/tne.
Фигурирующие в правых частях Sn, Rn, Qn описывают взаимо-
взаимодействие заряженных частиц с нейтралами водорода; Q/ — поте-
потери энергии электронами на возбуждение примесей.
Далее часто используется приближение изотермической плаз-
плазмы; Ti^Te=T; условия его применимости оговариваются.
Граничные условия. В зависимости от рассматриваемой кон-
конфигурации материальных поверхностей, ограничивающих плаз-
плазму, граничные условия уравнений A.1) — A-3) выбираются из
совокупности условий: на поверхности лимитера или дивертор-
72
ной пластины (l=Ls); в плоскости симметрии SOL вдоль маг-
магнитного поля (/ = 0); на поверхности первой стенки (x=xw);
на магнитной поверхности, касающейся лимитера, или сепарат-
сепаратрисе (х=0); на условной границе пристеночной и полностью,
ионизованной областей (х=х0).
При контакте плазмы с изолированной проводящей поверх-
поверхностью между ними устанавливается разность электрического
потенциала фе, обеспечивающая равенство полного тока нулю,.
При отсутствии эмиссии электронов с поверхности [i]
2 '
A.1)
Разность потенциала сосредоточена в слое толщиной порядка
дебаевского радиуса, который в пристеночной плазме мал по
сравнению с Хс. Из условия монотонности распределения потен-
потенциала в слое объемного заряда следует [6], что на его границе
должно выполняться условие Бома:
V и S^Vj, где Vs = ]/Ge-j- T^/m-i — скорость полного звука.
Граница дебаевского слоя обычно отождествляется с грани-
границей области применимости гидродинамического приближения.
Если на расстояниях от материальной поверхности, превышаю-
превышающих толщину дебаевского слоя, течение плазмы дозвуковое, из
условия Бома следует:
В [7] область, переходная между гидродинамической и сло-
слоем объемного заряда, рассмотрена на основе введения априорно
заданных функций распределения по скоростям ионов и элект-
электронов. Из непрерывности моментов функций распределения
получено граничное условие, предполагающее возможность
Более детальное рассмотрение переходной области проведе-
проведено в [8, 9J, где из решения кинетических уравнений с учетом
столкновений заряженных частиц показано, что A.5) является
достаточно точным приближением к реальной ситуации. Далее
условие A.5) считается выполненным, за исключением § 3.6,
где учитывается возможность перехода плазмы в сверхзвуковое
течение вблизи пластин. При l=Ls также имеет место условие
конвективности потока тепла:
<7„ =Yo«V|1G'e + 7l)/2, A.6).
где 7о= Bre+2,57\-+eq>s) 1,{Те+Т{)/2.
Обобщение формул A.4) — A.6) на случай с электронной
эмиссией с поверхности приведено в [5].
73"
Из соображений симметрии следует:
v и /=о = ~^г
01
дТр
=0
61
1 = 0
= 0. A.7)
В [10] показано, что между плазмой и первой стенкой, на
которую заряженные частицы диффундируют поперек магнит-
магнитного поля, также устанавливается разность потенциала q>s и
выполняются условия:
; A.8)
vi\x=xw = nVw\x=x,,t, A.9а)
где Vw — скорость ухода частиц плазмы на поверхность в кине-
кинетической бесстолкновительной области. Как правило, Vw вели-
велика по сравнению с характерной скоростью диффузии в присте-
пристеночной области, и вместо A.9а) часто можно использовать
n\x=Xw = 0. A.96)
При х=х0 принимается
На условной границе пристеночной области заданы поток теп-
тепла из центра разряда
*lU.=*o A.11)
и плотность плазмы
л|*=*„ = л„. A.12)
Через процессы переноса в центральной части разряда п0 свя-
связано со средней плотностью плазмы в токамаке п. В разрядах
с напуском газа по~О,7ч-О,8п [11J. При инжекции таблеток
вглубь плазмы л0 может быть значительно ниже п.
1.2. Кинетическое описание плазмы
Бесстолкновительная плазма. В случае Xr^$>Ln , обратном
рассмотренному выше, уравнения A.1) — A.3) не применимы и
плазма SOL должна описываться на основе кинетического под-
подхода [12, 13J. Поскольку столкновения между ионами отсутст-
отсутствуют, в области ионизации нейтралов, например вблизи нейт-
рализационной пластины дивертора или лимитера, в ионном
компоненте целесообразно выделить две составляющие — горя-
горячие частицы, приходящие из основной плазмы, и холодные, по-
появляющиеся при ионизации и перезарядке с нулевой энергией.
Из-за высокой концентрации холодных ионов распределение
электрического потенциала ф(/) в области ионизации имеет
максимум (рис. 4).
74
Рис. 4. Профиль электрического потенциала в бесстолкновительной плазме
вблизи материальной поверхности при рециклинге холодных атомов
В [12] предполагается, что функция распределения горячих
ионов вдали от поверхности близка к максвелловской. В этом
случае их плотность в области ионизации и поток на матери-
материальную поверхность даются соотношениями:
о О
где знак "—„ относится к области /, „ + " —к области 2; w h,j=
• Wm— el ——— ; (?/ — потенциал плазмы
на границе области ионизации с SOL; A' — плотность горячих
ионов с w и ^0 при 4^=0.
Плотность холодных ионов согласно [12] равна
Здесь р — коэффициент пропорциональности между источником
холодных ионов и ГНР; если все нейтралы, возникающие при ре-
рекомбинации заряженных частиц на поверхности, возвращаются
75
в плазму, p=l/fx, где fx — доля холодных ионов, возникающих
в области 1; Н (W) — функция источника, нормализованная на
«диницу W и связанная с Sn соотношением
pTHPH(W)dW=Sn(l)dl.
Электроны описываются распределением Больцмана я=
=ЛеЛ/ехр(тЧг), где т=Г,/Ге; ^ — отношение полной плотности
ионов к плотности ионов с W ц^О при Чг=0.
Из условия квазинейтральности плазмы получаем уравнение
для n = Ym-T:
±
о
которое после преобразования Абеля приводится к виду
, A.13)
)
х
где D(a) = J e' dt— интеграл Д^усона.
о
Уравнения для определения параметров Хе, fx, Wm и норми-
нормированного потенциала плазмы на границе слоя объемного заря-
заряда Ws находим из интегралов A.13) по областям 1 и 2:
р е'Н = jk: D (JA~4Q - erf [уТт) - 1 + е"";
_v^ * г/ , A-14)
и условий обращения Я(т)) в нуль при ^ = 4^ (граница обла-
области ионизации) и т\ = л?т—Vs (граница области квазинейтраль-
квазинейтральности) :
= erf (|/f^,) + e-v'»/V^+ 1; AЛ5а)
= e-^erf {ywm-Ws) + e'"'//^^-^)- e~v'• A.156)
76
Условия #|»|=(р .ф-чг = 0 следуют из A.13). Первое из них
соответствует обращению в нуль физического источника холод-
холодных ионов Sn, второе —тому, что в дебаевском слое электриче-
электрическое поле, пропорциональное dW jdl, значительно больше, чем в
области ионизации. Уравнения A.14), A.15) могут быть реше-
решены, даже если распределение физического источника Sn(l) не-
неизвестно. В [12] уравнения A.13) — A.15) обобщены на случай
сильно неоднородного магнитного поля, который имеет место,
например, в конфигурации с бандл-дивертором.
Поправки в электронном теплопереносе. Условие примени-
применимости столкновительного приближения для кондуктивной со-
составляющей теплового потока вдоль магнитного поля наруша-
нарушается при Кс "?> Lr/40 [14J, где LT — характерный размер измене-
изменения температуры, т. е. значительно раньше, чем становится
несправедливым гидродинамическое приближение. Действитель-
Действительно, в приближении Xc<giLT, qj определяется на основе реше-
решения кинетического уравнения для поправки первого порядка к
максвелловской функции распределения электронов по скоро-
скоростям fe о:
q[v(
Ч" 3 dl J 2ГС I 2Те
При кулоновских столкновениях %e~v3 и, следовательно, основ-
ной вклад в q* ц дают надтепловые электроны с u~3,5]/Te/me.
Для них длина пробега до столкновений Кк приблизительно в
40 раз больше, чем для тепловых частиц.
При Kx^Lt теплоперенос носит нелокальный характер, по-
поскольку надтепловые электроны переносят энергию на расстоя-
расстояние больше LT. Для его моделирования необходимо кинетиче-
кинетическое описание электронов с учетом столкновений. Однако вклю-
включение такого описания в транспортные модели плазмы не
представляется возможным даже при современном уровне раз-
развития вычислительной техники. Поэтому используются прибли-
приближенные методы учета нелокального характера переноса, разви-
развитые премущественно для описания взаимодействия лазерного
излучения с веществом.
В [15] для <7» предложено феноменологическое выражение
l'rUow(l> '')> AЛ6)
где
2М
77
При XX^LT из A.16) следует соотношение
q*n^q*l[tOlll + (ljLTy}. A.17а)
В другом предельном случае с очень крутым градиентом темпе-
температуры и однородной плотностью из A.16) получаем
<ГП = Ята^-0Лдр5, A.176)
где qFS = пТе]/Те/те — поток тепла, который переносит свобод-
свободный поток электронов.
Результаты расчетов с использованием A.16) хорошо согла-
согласуются с данными исследований, полученными с использовани-
использованием уравнения Фоккера — Планка.
Аналогичный A.16) вид <7* найден в [16] на основе аналити-
аналитического решения усеченного уравнения Фоккера — Планка для
надтепловых электронов с учетом малости их вклада в полную
плотность заряженных частиц:
где 0 =
ц — напряженность электрического поля;
р (б, «, р) = 62+23Tdy.yPexP[-e'V2- i/y] frfy' г^ттгX
J J (l—у)
о о
X ехр —нелокальный транспортный пропагатор.
1^A ~у') \
При малых 0 справедливо разложение р(9)~р@)+р'F)9;
при 0Э-1 р(В) экспоненциально мал:
где константы р@), р'@)> ^> 7 табулированы в [16].
Отметим также, что соотношение, близкое к A.16), получе-
получено в [17] на основе 20-моментного метода Грэда.
1.3. Описание нейтрального компонента
Процессы с участием нейтральных частиц. Источником ато-
атомов и молекул водорода в пристеночной плазме токамака явля-
является нейтрализация плазмы на ограничивающих ее материаль-
материальных поверхностях. Современные представления о взаимодейст-
взаимодействии плазмы с поверхностью подробно изложены, например, в
78
обзоре [18J. Кратко они сводятся к следующему. Результатом
взаимодействия ионов или атомов с кинетической энергией Е с
материальной поверхностью может быть:
а) отражение в виде атомов с энергией Е';
б) адсорбция, термализация, рекомбинация атомов в моле-
молекулы, выход термализованных атомов и молекул в плазму в
результате процесса диффузии;
в) поверхностная ионизация атомов и отражение ионов без
нейтрализации (при энергиях ниже 1 кэВ, представляющих для
нас интерес, эти процессы не существенны);
г) эрозия поверхности, приводящая к загрязнению плазмы
примесью, которая будет рассмотрена в гл. 5.
Вероятность отражения частиц R(E, E') зависит от углов
падения, отражения, зарядовых (ZU2) и массовых {Ми2) чисел
ядер падающих частиц и атомов мишени. Для количественного
описания процесса отражения вводятся коэффициенты отраже-
отражения потока частиц RN(E) = \R(E, E')dE' и энергии RE(E) =
= I R{E, E')E'dE'/E. Информация о методах расчета Rm,e
может быть найдена в [18J. При нормальном падении частиц
на поверхность экспериментальные зависимости Rn,e(E) хоро-
хорошо аппроксимируются формулами:
R» (Е) = [A + 3,2s?-3V5 + A,ЗЗе['5)Г0>67; 1
в интервале е*.^ 0,005, где eL=E/EL, ?z,=30,8(M1+M2) X
X2|Z2(Z2/3i-t-Z2/32I/3/M2 — энергия Линдхарта, эВ. Например,
при бомбардировке никеля ионами дейтерия с ? = 50 эВ, ед^
2*0,018, tfjv-0,55, Яв«0,35.
При наклонном падении коэффициенты отражения возрас-
возрастают, но так как из-за ускорения в дебаевском слое скорбеть
ионов почти перпендикулярна поверхности, формулы A.18)
могут приближенно использоваться и в этом случае.
В плазме нейтральные частицы участвуют в большом числе
элементарных процессов. Некоторые вычислительные модели
[19J, претендующие на точное количественное описание нейт-
нейтрального компонента, включают до нескольких десятков таких
процессов. В настоящем обзоре мы ограничимся учетом только
тех из них, которые имеют наибольшие скоростные константы
|сгу| и оказывают существенное влияние на материальный и
энергетический балансы плазмы токамака. К ним относится
ионизация атомов электронами и их перезарядка на ионах,
диссоциация и ионизация молекул электронным ударом. Инфор-
Информация о зависимости констант этих процессов (kai, kc, kd и kmi
соответственно) от энергии сталкивающихся частиц приведена
в [20]. В интересующем нас диапазоне параметров 1 эВ^Г(- е^
79
константы, усредненные по максвелловскому распреде-
распределению заряженных частиц, аппроксимируются соотношениями
0,73 ¦ Ю
,01Те
0,76 • 10-s
1+0,0087"/
ехр (~ 15-4'/Ге)
A.19)
I -+0,005Гс ;
где ka'mi, kc,d измеряются в см3/с, 7\,е— эВ.
Процессы на материальных поверхностях и в плазме при-
приводят к появлению в ней нескольких групп нейтральных час-
частиц, каждая из которых характеризуется определенной средней
кинетической энергией. К первой группе отнесем молекулы и
атомы, десорбирующие с поверхностей и имеющие ее темпера-
температуру Tw. Вторая группа — атомы, возникающие при отражении
ионов, ускоренных в дебаевском слое до энергии ?;~ C/2O*;+
+ (Ге/2)+е<р<;. Третья группа — атомы с энергией ?/«3 эВ, по-
появляющиеся при диссоциации молекул и молекулярных ионов
при франк-кондоновских переходах. Четвертая группа — ато-
атомы, которые возникают при перезарядке; их энергия ?* опре-
определяется температурой ионов. Отражение атомов двух послед-
последних групп от поверхности еще более усложняет картину. Далее
все нейтралы, поступающие с поверхности, называются первич-
первичными. Представления об энергетическом спектре нейтральных
частиц в пристеночной плазме токамаков, приведенные выше,
подтверждаются данными экспериментов. На рис. 5 приведено
распределение интенсивности излучения атомов дейтерия по
длинам волн, измеренное вблизи лимитера токамака TEXTOR
[21J. Форма распределения обусловлена допплеровским сдви-
сдвигом из-за движения атомов с различными кинетическими энер-
энергиями (см. приведенную шкалу энергий). Температура присте-
пристеночной плазмы 20 эВ.
Кинетическое уравнение для нейтралов. В настоящем обзоре
рассматриваются только ситуации, когда плотность нейтрально-
нейтрального компонента в плазме достаточна низка и столкновения
нейтралов между собой несущественны. В этом случае для их
описания используются кинетические уравнения для функций
распределения по скоростям [22, 23]:
молекулы
vVfm=-(kmi+kd)nfm; A.20а)
первичные атомы
vVfh= — {k*t+kc)nfh A.206)
80
Длина волны,нм
ZOO 100 50 10 О
Энергия атомов, эВ
Рис. 5. Зависимость интенсивности излучения атомов водорода на линии На
от длины волны вблизи лимитера токамака [21]:
1 — полная интенсивность; 2 — вклад франк-кондоновских атомов; 3 — вклад атомов, воз-
возникающих при перезарядке; 4 — вклад холодных атомов
(индексы &=1ч-4 соответствуют различным группам первич-
первичных нейтралов, рассмотренным выше);
атомы, возникающие при диссоциации
v • Vff=- (k»i+kc) nff+ Bkd+k™i) wtmip/ (о); A .20b)
атомы, возникающие при перезарядке
V • V/* = - (k°i + kc) nf^ + kcuafi, ( 1.2ОГ)
где fm,k,f,*,i — функции распределения нейтралов и ионов;
nm,k,f,*== f fm,k,f,*dv; na^Snft+/Z/+/i»; ф/(и) — зависимость ис-
источника франк-кондоновских атомов от их скорости.
В A.20) пренебрегается нестационарными членами, посколь-
поскольку характерные времена элементарных процессов с участием
нейтралов, как правило, малы по сравнению с временами из-
изменения параметров плазмы.
Переход к координатной записи уравнений A.20) удобно
сделать в системе координат ?, т], где | перпендикулярна
материальной поверхности, с которой взаимодействует плазма,
г\ параллельна ей, причем направление г\ определяется взаим-
взаимной ориентацией магнитного поля и поверхности. В дальнейшем
будут рассмотрены ситуации с двумя вариантами ориентации:
6—6856 81
1) поверхность параллельна тороидальной составляющей поля;
2) поверхность перпендикулярна тороидальной составляющей.
К первому варианту относятся случаи первой стенки, нейтрали-
зационных пластин полоидального дивертора и тороидального
откачного лимитера (см. рис. 3); ко второму — полоидальный
лимитер (см. рис. 54). При первом варианте связь между коор-
координатами | и г) дается соотношениями | = xcose—(Ls—
—/) sin if sine; т) = л: sin e+(Ls—/) sin ip cose, где if — угол, кото-
который магнитное поле составляет с тороидальным направлением;
е — угол между материальной и магнитной поверхностями. При
втором \ = LS—I; ч\ = х.
Далее предполагается, что в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном | и т), контакт плазмы с поверхностью однороден. Тем са-
самым из рассмотрения исключаются ситуации, когда область
контакта плазмы с поверхностью имеет существенно трехмер-
трехмерный характер.
В дальнейшем предполагается, что потоки частиц из плазмы
уравновешены потоками нейтралов с поверхности. Для гранич-
граничных функций распределения первичных нейтралов примем мо-
модельную форму [22]:
(би.А)[(чт.А) + (ч + т,А)],
~°m,k 2
A.21)
где о„ = УТш1ть\ и, =
а потоки нейтральных частиц связаны с ^-составляющей потока
плазмы на поверхность IV соотношениями, следующими из ус-
условий баланса частиц:
/2 = TpRlV (Et); /,,4 = RN (?M.
Щш + AH/* [ 1 -Kn (E^IRm {Ed + j3\1-Rn (E,)]/Rn (Ef) +
+ /4[1-ЯИ?х.I/Ял'(?*). A-22)
Доля атомов в общем потоке десорбирующих нейтралов — бо =
= /i/,B/m-f-/i) принимается в качестве параметра.
Условия A.21) позволяют получить аналитические решения
уравнений A.20а), A.206) и в то же время достаточно адек-
адекватно отражают реальную ситуацию. Для //,*, описывающих
атомы, рождающиеся в плазме, имеем:
В заключение приведем выражения для членов 5n, Rn, Qn,
описывающих в уравнениях переноса плазмы A.1) — A.3) взаи-
взаимодействие с нейтралами. Атомарные ионы появляются при
ионизации атомов и диссоциации молекулярных ионов на ион и
атом с энергиями франк-кондоновского перехода. Скоростная
82
константа последнего процесса значительно превышает kmt [20J
и его можно считать «мгновенным». Следовательно,
nm)n. A.24)
Сила трения плазмы о нейтралы Rn обусловлена обменом
импульсами первичных и франк-кондоновских атомов с ионами
при перезарядке и поступлением в плазму импульса атомов
при ионизации:
A.25)
где ? — угол между магнитным полем и материальной поверх-
поверхностью.
В потерях энергии плазмой можно выделить электронную и
ионную составляющие: Qn = Qen-\-Q'n.
Электроны теряют энергию при диссоциации, ионизации и
возбуждении атомов и молекул. Последние два вида потерь
обычно объединяют, вводя так называемую цену ионизации
Ea'mi, учитывающую суммарные затраты энергии на ионизацию
одной нейтральной частицы:
Qen^={[2Efkd-{-{Ef+Emi)k^i\nm+E''ik''ina}n. A.26)
Согласно [24] цена ионизации молекул Em-t близка к потен-
потенциалу ионизации /т~15,4 эВ. Цена ионизации атомов Ea-t рас-
рассчитана в [25] с учетом многоступенчатых процессов и зависи-
зависимость Eat от плотности и температуры электронов хорошо ап-
аппроксимируется формулой
с а Гоп 1С л I 5-Ю13 \Л { 5,45
Et ?« 30 — 16,4 ехр — ехр '
Тгехр
Г\
\1,37-1014
где п измеряется в см~3, Eat и Те — в эВ. Например, при Те=
= 10 эВ, /г=1014 см-3 ?я,-да25 эВ.
Ионный компонент плазмы обменивается энергией с нейт-
нейтральным при перезарядке и приобретает энергию атомов при
ионизации:
Q"« = {[п2Е<+ (лз+л/)Et+ (л4+л.)?*] (kai+
+ke)—kcnaE.}n. A.27)
Потери энергии электронами на возбуждение примесей бу-
будут рассмотрены в гл. 5.
Диффузионное приближение для нейтралов. Если темпера-
температура электронов в пристеночной плазме заметно ниже потен-
потенциалов ионизации нейтралов водорода, то глубина проникнове-
проникновения атомов в плазму /*, которая определяется константой иони-
6* 83
зации, существенно превышает длину пробега до перезарядки
/с. В этом случае движение атомов носит характер случайных
блужданий между актами перезарядки и может быть описано
в диффузионном приближении [26] при условии, что парамет-
параметры плазмы слабо меняются на расстояниях порядка /с. Рассмот-
Рассмотрим случай, когда все параметры изменяются только в направ-
направлении |. Уравнения диффузионного приближения получим,
интегрируя A.20г) по пространству скоростей с весами 1 и v%,
учитывая, что /* близка к максвелловскому распределению с
температурой ионов. Принимая во внимание, что на расстоя-
расстояниях от материальной поверхности больше 1е плотность первич-
первичных и франк-кондоновских атомов пренебрежимо мала, имеем
Уравнения A.28) позволяют, в частности, оценить глубину
проникновения атомов в плазму [26J:
/„ =* VTtKmikfkJ/n. A.29)
При условии kai<tikcU действительно велика по сравнению
С /с
Глава 2
РЕЦИКЛИНГ ПЛАЗМЫ НА СТЕНКЕ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
МАГНИТНОМУ ПОЛЮ
2.1. Аналитические методы решения кинетических
уравнений для нейтралов
Теоретические исследования конфигураций без SOL с реци-
клингом на стенке, параллельной магнитному полю, были на-
начаты в ставших классическими работах [2, 3]. В дальнейшем
интерес к ним усилился в связи с развитием идеи создания без-
диверторной конфигурации в реакторе на основе концепций
газового бланкета [26J, турбулентного плазменного бланкета
[27, 32] и эргодического лимитера [81].
При определенных условиях результаты этих исследований
могут использоваться для описания периферийной области раз-
разряда в конфигурации с лимитерами. Кроме того, в последние
годы в токамаках применяют так называемые бампер-лимите-
бампер-лимитеры, которые по существу представляют значительную часть
первой стенки, с которой плазма взаимодействует достаточно
однородно в тороидальном и полоидальном направлениях.
84
Изучение пристеночной области при рециклинге плазмы на
стенке, параллельной магнитному полю, начнем с рассмотрения
нейтрального компонента. В данном случае ?=* и vV = vxd/dx.
Уравнения A.20) проинтегрируем по составляющей скорости,
перпендикулярной оси х, v±.
Получаем уравнения для функций FmJif^ = J fmJlijrlt2iiv1d.v
аналогичные A.20) при условии замены ft и <рг на Ft = \ ffiw.dv
и Ф/= j ff-2w dv
Если температура электронов превышает потенциал иониза-
ионизации атомов водорода /н, константу йа, можно считать слабо за-
зависящей от параметров плазмы. Уравнение для полной функции
распределения атомов F=F*-{-2j Fh записывается в виде [22]
±>
р
±
к
wdF/du + F =. A — рг) g (w) j Fdw, B.1)
—00
X
где w =- vjv^, vt = Y'ZTlnii, и = j n (kta -j- kc) dx /vt —безразмерная
координата; g (w) = Ft (vx)/n; p = V kflik? + kc).
В [3, 22, 28, 29] решение уравнения B.1) было найдено при
различных предположениях относительно вида функции источ-
источника g(w) и профиля температуры плазмы в пристеночной об-
области.
Двухскоростное распределение ионов, постоянная температу-
температура. В [22, 28] для получения аналитического решения B.1)
было принято двухскоростное распределение ионов, т. е.
g(w) = [8(w-\)+8(w+l)\l2. B.2а)
Кроме того, предполагалось, что температура плазмы постоян-
постоянна по ширине пристеночной области.
Ниже приводятся результаты [22], обобщенные на случай,
когда в плазме представлены все группы нейтралов, описанные
в гл. 1. По аналогии с B.2а) для Ф^ил) принята зависимость
Ф/ (Ох) = [б (vx-Vf) +6 {vx+Vf) J. B.26)
Решения уравнений для Fm,k,f,* ищем в виде
Fm,h = Am,h (и) б {Vx—Vm,h) ;
Fh;= .47, (и) 5 (vx - vfj + Л,", (и) 8 (vx + о,, J,
85
где коэффициенты А(и) удовлетворяют уравнениям
J A,n
du
m,k '
2 '
du
= -A*
B.3)
где
.с,,.
При решении B.3) учтем сильное различие средних энергий
нейтральных частиц, принадлежащих различным группам: Tw<^.
<^Ef<giE*?zTi~Ei. Кроме того, примем во внимание, что в ин-
интересующем нас диапазоне энергий частиц, взаимодействующих
с поверхностью, коэффициенты отражения частиц и энергии
различаются слабо, т. е. отражение происходит практически с
сохранением энергии. В результате с учетом граничных условий
\1.21)— A.23) получим следующие соотношения для плотно-
плотностей нейтралов и их потоков jm,h,f,*'-
-z,uY
пг = ехр (— zv и); п2 — —- Re ехо (— г2 и);
Vi 1 — «a V2
п, =
RfE) ехр (— zf и);
п» = (Гр/oJ [р» ехр (—рм) — A — pi2) а2 ехр (— г2 и);
L.k = nm,kvm,b, if = ГРр»5, [A + RfE) ехр(— zf и) —
— 2ехр(— zmu)};
U = ГР (р- р ехо (- ри) - A - р») [B8О Р*/A - 8а)) X
X ехр (— 2ju) + 22а2 ехр (— ,г2«) + A + RfE) ^ +
+ (Cexp(-z,«)]},
B.4)
где
2/d -efl) --if(i-4)-°'*a'«
am = 25a/(l-8a)
; а,
„ Ef, E
86
Из B.4) следует, что плотность атомов, возникающих при
перезарядке, спадает с удалением от стенки пропорционально
ехр (— |3ы), т. е. в однородной плазме глубина проникновения
нейтралов /* = 1/Т,7 [mikai{kai-\-ke) J /п, что при kai/kc-^O совпада-
совпадает с A.29), полученным в диффузионном приближении.
Влияние градиента температуры. В [30] рассмотрено влия-
влияние на профиль плотности нейтралов поперечного градиента
температуры. Предполагалось, что характерная длина измене-
изменения тепловой скорости ионов Lv. = du/d\nVi не зависит от и.
В этом случае, вводя функцию fn = Vi(u)F(w, и), перепишем
уравнение B.1) в виде
wdfn/du+fn-(wiLv.)d(fnw)/dw^{\-$2)nag(w). B.5)
Заменой переменных tyn = wfn exp (L0./ay), t* = LVi In w оно
сводится к квазилинейному уравнению в частных производных
первого порядка:
д-фп/ди—d^njdt*= (I—|32)«ag'(^*)exp(La t/w), которое может
быть решено методом характеристик. Вводя х=—и—i*, п=и,
для полубесконечной плазмы получаем
} t
6
X A — Т) па (и1) du', w > 0; B.6)
00
ф„ (и, П = - j g (- и'- х) ехо [- L0Jw (-п'-х)]A~ [f) X
и
Xna{u')d~u', w<0,
где go(#) соответствует граничным условиям для a|)n-
Если для g(w) принять B.2а), из B.6) можно получить
обыкновенное дифференциальное уравнение для па. Для этого
B.6) проинтегрируем по пространству скоростей и дважды про-
продифференцируем по и. Если, следуя [30], принять, что со стенки
в плазму поступают первичные атомы с приведенной скоростью
w0, то
d°-njdu2 — L~' dnjffu — ^tia — 2njLlt = d'njdu" — «1; B.7)
где пл — плотность первичных атомов. Общее решение B.7)
имеет виа,:
Ло (") = ?» ) "^« ?1J ^Г +ClC?1> ( ' ^
где 9! 2 = ехр(— Хх 2м); ^,2 = — 1/BЦ) ± 1/9/B10.J + р2;
Л =
87
Из B.8) следует, Что при ш0 < 1 длина спада плотности нейтра-
нейтралов определяется величиной Хг и при pLa.<^l в rp/[\/~9lBLv.yjr-pi!—
— l/BLy.)l раз меньше, чем в случае, когда градиент температуры
плазмы в пристеночной области отсутствует. Это обусловлено
ростом средней скорости нейтралов с удалением от стенки: если
даже поток атомов \а сохраняется (р = 0), их плотность спада-
спадает с ростом х как ]alvt ^ ехр (— u/Lv.).
В [31] влияние градиента температуры плазмы на нейтралы
рассматривалось в предположении, что для последних справед-
справедливо диффузионное приближение.
Максвелловское распределение ионов. Более адекватным ре-
реальной ситуации по сравнению с B.1а) является зависимость
g{w), соответствующая максвелловскому распределению ионов
по скоростям:
B.9)
В [22] уравнение B.1) было решено с g(w) в виде B.9)
численно. Позднее в [29] было найдено решение данной задачи
в квадратурах методом собственных функций.
В [22] проведено сравнение результатов решения уравнения
B.1) с g(w) в виде B.2а) и B.9) и показано, что различия в
g(w) слабо сказываются на моментах функции распределения
атомов, таких как плотность, потоки частиц и энергии. На рис. 6
представлены профили плотности па{и), рассчитанные в [22]
для обоих случаев.
Аналогичные выводы следуют и из результатов [29]. Выра-
Выражения для альбедо плазмы Ai, равного отношению потоков
перезарядившихся атомов из плазмы и нейтралов со стенки,
при к»о<С1 совпадают для двухскоростного и максвелловского
распределения ионов: Лг~1—р. В случае wQ=l Лг=A—р)A +
+Р) для?(^) в виде B.2а) иА= A— р2)/A+2р—р2) при?=?т.
Так как р^0,6, эти значения раз-
различаются не более чем на 15%.
Таким образом, при рассмот-
рассмотрении транспортных свойств
плазмы для па с хорошей точно-
точностью можно использовать анали-
аналитические соотношения, получен-
полученные для двухскоростного рас-
распределения ионов по скоростям.
ш
0,5
1,5 и
Рис. 6. Профили плотности атомов при
двухскоростном A) и максвелловском
B) распределении ионов по скоростям
2.2. Стационарное состояние плазмы
в пристеночной области
Перейдем к рассмотрению плазмы в пристеночной области
при рециклинге частиц на первой стенке. В этой и последующих
главах предполагается, что условия гидродинамического при-
приближения выполнены и оправдано использование системы урав-
уравнений A.1) —A.3).
Основные допущения. Рассмотрим стационарные однород-
однородные вдоль магнитного поля состояния пристеночной плазмы,
считая ее изотермической: Tf2iTe=T (условия применимости
этого приближения обсуждаются ниже). Полагая в уравнениях
A.1), A.3) производные по времени и координате / равными
нулю, получаем:
dT1/dx=Sn; (fq±/dx = -Qn B.10)
(влияние излучения примесей рассмотрено в гл. 5).
Аналитическое решение B.10) получено в [32] в предполо-
предположении, что изменение температуры плазмы по ширине присте-
пристеночной области AT мало по сравнению с ее значением на
стенке — ТР. При А7^ГР можно пренебречь градиентом темпе-
температуры при описании нейтрального компонента. Оценим харак-
характерную безразмерную длину изменения vr. Lv. = duld\nVi =
= 2dujid\n Г» B/рOР/ДГ, так как ширина пристеночной об-
области в единицах и порядка 1/р>. Следовательно, коэффициент,
характеризующий спад плотности атомов, равен Xi»p[yi +
+ (9/16)(А7/ГрJ—Д77DГЯ)]. Отсюда О.Эбр^Х^р, т. е. для
плотностей и потоков атомов можно использовать соотношения
B.4), полученные в предположении 7"(x)=const и дающие
В первом приближении по АТ/ТР изменение температуры в
пристеночной области учтем введением ее среднего значения
T=QTP, где коэффициент 9 подбирается из условия наилучшего
совпадения аналитических и численных результатов, получен-
полученных с учетом изменения Т [27]. Введение Т не вносит значи-
значительной погрешности, если ТР^(п, так как в противном случае
изменение константы ионизации по ширине пристеночной обла-
области велико.
Балансы тепла и частиц в пристеночной области. Первый
интеграл уравнения непрерывности соответствует равенству
нулю полного потока вещества — как заряженных, так и нейт-
нейтральных частиц:
r1+2/m+/1+/2+/f+/. = 0, B.11)
поскольку мы рассматриваем ситуацию сильного рециклинга на
стенке, когда поток плазмы в пристеночную область из центра
разряда Го мал по сравнению с Тр.
89
Для коэффициента поперечной диффузии зависимость от
параметров плазмы примем в виде
Dr-=DonnTT. B.12)
В этом случае первый член в B.11) преобразуем следующим
образом:
X
D0J
dx dx
dna D0T о di
andx yn -J- 2 du
Согласно B.4) сумма потоков нейтралов может быть пред-
представлена в виде Гр%(и) и B.11) приводится к уравнению для
яТп+2 как функции и:
BЛЗ)
du DofT8
Интегрируя B.13) с граничным условием A.9а), получаем
г т +2 "
ятя+. /_М» +Jn±l_Tp{X(u)du. B.14)
v Uw I D0TT a 0'
Если Яо>Гр/у«,, B.14) позволяет связать ГР с плотностью
плазмы на границе пристеночной области. Полагая м(х0) = оо и
проводя интегрирование, выразив %(и) с помощью B.4), нахо-
находим:
Dwn02a
- р =
B.15)
где Dw = DJ1non.
Уравнение баланса тепла проинтегрируем, полагая в Qn T=
= Т. В результате имеем
q0 = Гр[ч0Тр -RiEEi + ?:E, + Eai + Е'Г], B.16)
где Ei = ?п — (Ei — Щ); Р# = as [am р^г + a2 ( — р)].
k^ -j- Й_;
Соотношения B.15), B.16) позволяют определить границы
области применимости приближения изотермической плазмы.
Интеграл от члена, учитывающего обмен энергией между иона-
ионами и электронами при кулоновских столкновениях,
90
по ширине пристеночной области не превышает <?о- Так как Хо~
»1/(«оа*), где а*=^а — сечение, определяющее глубину про-
проникновения атомов в плазму, имеем
| Te—Ti | /Te^qoO.Xemi/ {ЗтеТР).
Используя характерные значения числовых констант, находим,
что условие \Те—Tt\ <^Te заведомо справедливо при
q0* <D±n0\
где q0— в Вт/см2, D±—в м2/.с, По — в 1013 см~3, что практиче-
практически всегда выполняется для плазмы токамаков.
При заданных параметрах q0, «о, А), Уп, ут соотношения
B.15), B.16) позволяют найти температуру плазмы вблизи
стенки ТР, определяющую характер ее взаимодействия с мате-
материальной поверхностью в отношении эрозии стенки и загрязне-
загрязнения плазмы примесью. Введенный выше коэффициент 8 опре-
определялся из условия совпадения числовых значений ТР, получен-
полученных из решения уравнений B.15), B.16) и численного решения
уравнений переноса для плазмы и кинетических уравнений для
атомов по модели, описанной в [27J. В случае бомовских коэф-
коэффициентов (Yn = 0; yt=1)8 равно 1,2. Если зависимость D.,x.
от Т более слабая, отличие б от 1 еще незначительнее, так что
учет различия Т и ТР превышает точность.
Проанализируем влияние энергетического спектра нейтра-
нейтралов, поступающих со стенки на параметры плазмы вблизи нее.
Рассмотрим два в некотором смысле предельных случая.
1. Все нейтралы, поступающие со стенки, являются атомами
со средней энергией ?* = ЗГР/2. Тогда
р— ip,\=———; 'р = 1 p,i=
——; 'р = 1 p,i=jzо,9\г ,
2-j-fn (To — с>11)Ур
2. Со стенки поступают атомы с
B.18)
Холодные атомы ионизуются на малых расстояниях от стенки.
Поэтому во втором случае градиент плотности плазмы более
крутой и Гр,2 превышает ТРЛ в 1/A —C) раз. Значения энергий
ионов, взаимодействующих со стенкой в двух рассмотренных
выше случаях, могут различаться в 2—3 раза.
На рис. 7 представлена зависимость температуры присте-
пристеночной плазмы от параметра tP = q0B-\-yn) / {Dwti20oo), Oo=
= 10~14 см2 при ут = 0 для «идеализированных» спектров пер-
первичных нейтралов и для случая, когда учтены все группы ней-
91
80
66
40
20
«&
1 /
/
/
/
/
Рис. 7. Зависимость температуры пе-
периферийной плазмы Тр от tp в приб-
приближении горячих (/), холодных B)
первичных нейтралов и в случае их
расширенного энергетического спек-
спектра C)
100
ZOO
тралов, описанные в § 1.3; материал стенки — нержавеющая
сталь. Типичным экспериментальным условиям (<7о=3 Вт/см2,
Dw=\ м2/с, ло=3-1О13 см-3) соответствует ^200 эВ. При
расчетах коэффициент 8а, определяющий соотношение молеку-
молекулярной и атомарной составляющих в потоке частиц, десорби-
рующих со стенки, был принят равным 0,5. Его фактическое
значение зависит от состояния поверхности, наличия дефектов в
материале и интенсивности потоков падающих частиц. Анализ
показывает, что изменение бо в диапазоне от 0,05 до 0,95 при-
приводит к варьированию ТР на 15—20%.
Из рис. 7 следует, что приближение горячих первичных ней-
нейтралов адекватно реальной ситуации при малых ТР, когда коэф-
коэффициенты отражения близки к единице. При ТР^ 20 эВ более
точным является приближение холодных первичных атомов.
Профили параметров плазмы. При известных числовых зна-
значениях Гр и ТР профиль плотности плазмы в пристеночной об-
области может быть найден из уравнения B.14). Используя связь
п= (l/a)du/dx, приводим B.14) к виду
du
dx
B.19)
где ею = «|ж=о/«о = /(Х
Профили и(х), п{х) можно найти, интегрируя B.19) числен-
численно с граничным условием н|х=о=О. Однако в некоторых слу-
случаях, представляющих практический интерес, уравнение B.19)
имеет аналитические решения в элементарных функциях, когда
между энергиями первичных атомов и температурой пристеноч-
пристеночной плазмы справедливы соотношения, рассмотренные выше:
?,{<Гр, Eh= C/2) ТР.
1) Коэффициент диффузии, не зависящий от плотности плаз-
плазмы: уп = 0. В таком случае
92
du/dx = ол0 К1 — A — 4) fxp (—
•s.2ch [Arch
v~.
B.20)
где s = a*nox.
2) Скейлинг Alcator: уп = — 1. При этом
du/dx = an0 A + sw
exp (
= пп
1
B.21)
ехр[— (l+ejs] /еш )
Соотношения B.20), B.21) позволяют уточнить вид профи-
профиля температуры плазмы в пристеночной области, которая выше
считалась не зависящей от х. При Eh= C/2OV или EhT
первый интеграл уравнения теплового баланса имеет вид:
= q0 - Гх C,57 + ?«).
B.22)
Принимая я. = <x^nDу-, гДе ах — числово! множитель, не завися-
зависящий от параметров плазмы, и полагая в первом приближении
в правой части B.22) 7=7Р, находим:
1) при Yn = 0
2) при у„ = — 1
B.23)
B.24)
где 71 = <
2.3. Неустойчивость состояния с рециклиигом плазмы
на стенке
Качественные соображения. Состояние пристеночной плазмы
с рециклингом на стенке может быть неустойчиво по отноше-
отношению к двумерным возмущениям [33J. Качественно механизм
неустойчивости объясняется следующим. Рассмотрим возмуще-
возмущение плотности, представленное на рис. 8. При D^ (x) = const
93
Рис. 8. Стационарный (/) и возму-
возмущенный B) профили плотности
плазмы
оно приводит к увеличению
потока заряженных частиц на
стенку и понижению темпера-
температуры. Так как из соотношений
B.17), B.18) следует ТР~
•— 1/п20, давление в области
возмущения при х^х0 падает
и возникает течение плазмы
вдоль магнитного поля, кото-
которое способствует нарастанию
возмущений. К росту возму-
возмущения приводят и усиление
потока нейтралов со стенки и
их ионизация в области х^.
^х0.При х^х0 температура
плазмы возмущается слабо,
поскольку здесь основным механизмом теплопереноса является
теплопроводность. Следовательно, в этой области давление
плазмы при возникновении возмущения увеличивается по срав-
сравнению с соседними участками, расположенными на той же маг-
магнитной поверхности. В результате плазма растекается от воз-
возмущения, что компенсирует поток за счет поперечной диффузии.
Линеаризованные уравнения переноса. При количественном
анализе неустойчивости воспользуемся приближением горячих
первичных атомов.
Возмущения плотности Я, температуры Т и скорости течения
вдоль магнитного поля V ц примем в виде f(x)exp(yt-\-ikJ).
X X
Введем переменные и = j ndx, ш = J nVndx. Предполагая, что
о о
в пристеночной области Т, как и Т, слабо зависит от х, линеа-
линеаризованные уравнения A.1) —A.3) проинтегрируем по х:
D±
J±
dn
x0 ds
du
ds
Ъ 1P
B.25)
B.26)
3y {uTP + 4- f j + qL @) -q± (x) + x* x0 kjs + 5iTP w = 0, B.27)
где o* = o*yoT/Tp; ya=d\no*/d\nT; tn==2/,((l—'Р)оГя) - вре-
время передачи импульса от ионов атомам при перезарядке.
94
Граничные условия уравнений B.25) — B.27) при s==l вы-
выберем, полагая, что здесь возмущения плотности (рис. 8) дости-
достигают максимума:
d2u/ds2ls=i = 0, B.28а)
а поперечный тепловой поток при sJSs 1 не возмущается, так как
возмущения температуры подавлены высокой продольной теп-
теплопроводностью:
?lL, = 0. B.286)
При s = 0 граничные условия получаем, линеаризуя A.8), A.9)
и считая Vw~Vs~yT:
qL |s=0 = То flV Т + Тр ТР); B.29а>
ТР/ГР = п/п |s=0 + TIBTP). B.296)
При рассмотрении случая с уи = 0 воспользуемся условием еи,<С
<С 1 и вместо B.296) примем
ЯД=0=0. B.29в)
Кроме того,
r7/s=0=0. B.29г)
При s=l из уравнений B.26), B.27) с учетом B.28) находим
где аг = Cv* + 5ijJ/<i0; а2 = tJdQ; d0 = Зу, + 5т]„ + у0
Выразив Й5 с помощью B.26) и подставив в B.25), получим
уравнение для п:
D\ d2u . тр 'in du r r, , , 1Ч ,
+ ГР J!- [Ь - ft, - Ta) p«] - TP = 0. B.30)
Результаты. Коэффициенты, входящие в уравнение B.30) и
зависящие от невозмущенных параметров плазмы, разложим в
ряд по степеням s с точностью до первого члена, воспользовав-
воспользовавшись соотношениями B.20), B.21). При уп=ут = 0, е~Р"~1,
uc^.s2j$ B.30) приводится к уравнению с постоянными коэф-
коэффициентами
Л[^ ^]0. B.31)
где &26 = 2(v*+r]*—1).
95
Подставляя решение B.31) в граничные условия, получаем
характеристическое уравнение, связывающее у и ?„:
«5 СП «х= ; ; тт~, г~- B.62)
Оно имеет решения только с действительными v», так что рас-
рассматриваемая неустойчивость носит апериодический характер,
поскольку отсутствуют процессы, аналогичные действию воз-
возвращающей силы в осцилляторе.
Границы неустойчивости определяются уравнением ?2в=
= 2(|*—1). Один из корней &бл = 0 и ему соответствует возму-
возмущение, тождественно равное нулю. При 0 ^ k^. 1 правая часть
B.32) растет с ?6 быстрее, чем левая, а при k& ^ 1 ситуация ме-
меняется на обратную. Поэтому существует корень B.32) fee,2—1-
Третий корень B.32) есть в силу того, что знаменатель правой
части обращается в нуль при ?* = |*т, удовлетворяющем усло-
условию
5|*m + Yo + X*l*m S*m — Ys
Для условий пристеночной плазмы %*<^1, так как
Учитывая это, получаем:
B.33)
При k(,t2<k&<k г,з инкремент возмущений положителен. Вол-
Волновые числа ?,min'max, соответствующие нижней и верхней гра-
границам неустойчивости, можно оценить на основе следующих
качественных соображений. Возмущения нарастают, если ско-
скорость притока плазмы вдоль магнитного поля превышает ско-
скорость рассасывания за счет поперечной диффузии.
Так как V^ ^ V/ k^ т„, характерное время „подпитки" возму-
возмущения т+ ^ 1/(^V||) ^ 1/(VS2 k^ xn). Для характерного времени рас-
рассасывания имеем т_^/ a'02/Dj_'>^ l/(aJTp). Условие роста возмуще-
возмущений т+< " выполняется при &*>?™ш =^= ]/Трз^/(У/тп). Верхняя
граница неустойчивости соответствует коротковолновым возмуще-
возмущениям, которые стабилизируются продольной теплопроводностью
плазмы: /%™ах ^ ]/у0Гр/(х'|] л0). Поскольку в условиях пристеночной
плазмы %ел мало, ^шах может значительно превышать kmin
По порядку инкремент нарастания неустойчивых возмуще-
возмущений с &*min<?*<./e*max равен у* = ГРа* &D± i20o2*.
96
1
1
1
\
\
Рис. 9. Зависимость безразмерного
инкремента двумерных полоидальных
возмущений от номера моды (у*=
=2,5 103 с-1)
20
во во т
Рисунок 9 демонстрирует зависимого величины y/t* от н0"
мера моды чисто полоидальных возмущений, для которых &* =
= msinij5/a. Расчет сделан для параметров установки реактор-
реакторного масштаба: <уо=2О Вт/см2, «o=lO14 см~3, О±<=\ m2-c-1,
a=150 см. Неустойчивость развивается в широком диапазоне
значений т. Длина волны возмущений, соответствующих мак-
максимальному Y> A,max« 15 СМ.
Развитие данной неустойчивости в пристеночной области
энергетического реактора-токамака может привести к усилению
эрозии стенки в областях повышения температуры, возникнове-
возникновению неоднородной тепловой нагрузки. Неустойчивость подавле-
подавлена при Гр^/н из-за сильной зависимости сечения ионизации от
температуры. Это видно из B.33): с ростом уак^,ъ убывает.
2.4. Турбулентный плазменный бланкет
Из результатов предыдущего параграфа следует, что усиле-
усиление рециклинга на стенке приводит к уменьшению температуры
пристеночной плазмы. При этом падает эрозия стенки и снижа-
снижается поступление примесей. Тем самым задача контроля при-
примесей в реакторе-токамаке может быть в принципе решена без
создания диверторной конфигурации. Распределение теплового
потока по большой поверхности стенки позволило бы избежать
трудностей эксплуатации рабочих поверхностей лимитеров и
диверторных пластин в условиях сильно концентрированных
тепловых нагрузок.
Усиления рециклинга на стенке можно добиться за счет
увеличения коэффициента поперечной диффузии в пристеноч-
пристеночной области. Эта идея была положена в основу концепции тур-
турбулентного плазменного бланкета (ТПБ), предложенной в [27].
Необходимый уровень Dj_ для создания эффективного ТПБ
может быть оценен из следующих соображений. В реакторе-то-
реакторе-токамаке наиболее опасны в отношении эрозии стенки ионы три-
трития. Их энергия с учетом ускорения в амбиполярном скачке
потенциала ?<«ЗГР не должна превышать порог распыления
7—6856
97
материала стенки Et. Например, в случае стенки из нержавею-
нержавеющей -стали ?*»23 эВ. Если принять qQ=2b Вт/см2, по==
= 1014 см~3, то согласно рис. 7 Dw ^ 4м2/с. Такой уровень по-
поперечной диффузии значительно превышает бомовский и необ-
необходимы каки-либо специальные меры для его поддержания.
Помимо ограничения на безопасном уровне поступления
примесей способ организации процессов на периферии разряда
в термоядерном реакторе должен обеспечивать решение задач
вывода несгоревшего топлива и гелиевой золы. Обсудим прин-
принципиальную возможность вывода водорода при реализации
ТПБ [32]. Вопрос о выводе гелия рассматривается в гл. 5.
При рециклинге плазмы на первой стенке в результате пе-
перезарядки и диссоциации молекул и молекулярных ионов фор-
формируется поток атомов, направленный к стенке. Часть этого
потока может выводиться из рабочей камеры в систему откачки
через специальные отверстия в первой стенке. В дальнейшем
атомы термализуются на стенках и рекомбинируют в молекулы.
В стационарном состоянии в системе откачки установится плот-
плотность газа ng, которая определяется удельным потоком несго-
несгоревшего топлива из реактора Го и объемной скоростью откач-
откачки V:
ng=T0S0/BV),
где So — площадь поверхности первой стенки.
Поток атомов из плазмы в отверстия уравновешен обратным
потоком термализовавшихся молекул и частичной их откачкой
где Si — площадь поверхности отверстий; vs — тепловая ско-
скорость частиц газа.
Плотность потока атомов из плазмы находим из B.4):
;„ = Dw п\ ор»,
где
Таким образом, необходимый для вывода несгоревшего топ-
топлива коэффициент поперечной диффузии дается соотношением
Dw = [Го/(«20 р» о~I EО/5Х + vgS0/4V).
Для реактора-токамака масштаба INTOR [34] (Г0~ЗХ
ХЮ15 см-2-с-1, ио»Ю14 см-3, So«330 м2, У»3-108 см3/с) не-
необходимый уровень Dw составляет D—5) -104 см2/с, т. е. близок
98
к тому, который необходим для решения проблемы эрозии
стенки.
Возможность реализации ТПБ при искусственном увеличении
коэффициентов переноса в пристеночной области рассматрива-
рассматривается в гл. 6.
2.5. Сравнение с экспериментом
Условия применимости. В современных токамаках без ди-
верторов плазменный шнур ограничивается лимитерами той или
иной конфигурации. В этом случае уравнения B.10) можно ис-
использовать для расчета параметров плазмы, усредненных по
магнитным поверхностям в периферийной области внутри маг-
магнитной поверхности, касающейся лимитера. Средние значения
могут, вообще говоря, существенно отличаться от параметров
вблизи лимитера. Причиной неоднородности является локали-
локализация источника заряженных частиц и стока энергии в резуль-
результате ионизации нейтралов, возникающих при рекомбинации
плазмы на лимитере. Однако в некоторых условиях неоднород-
неоднородность вдоль магнитного поля несущественна и представления,
изложенные в настоящей главе, применимы к описанию пери-
периферийной области.
Заряженные частицы, появляющиеся при ионизации нейтра-
нейтралов, поступающих с лимитера, растекаются вдоль магнитного
поля со скоростью V||, которая определяется перепадом давле-
давления плазмы ДцЯ на магнитной поверхности:
Пренебрегая диффузионным поперечным переносом плазмы
вблизи лимитера из уравнения непрерывности, получаем
к<>1Пап~пУЦ{1а), B.34)
где 1а — длина пробега атомов.
Если нейтралы не ионизуются в SOL, полный поток плазмы
на лимитер не превышает потока в SOL Ts и na^.Ts/(vJaL0), где
Lo —длина контакта плазмы с лимитером; va — средняя ско-
скорость атомов. Для Гя примем оценку l\j=rp,iSo, где Гр,1 дается
B.17), а 50 — площадь магнитной поверхности, касающейся
лимитера. В результате из B.34) имеем
где
v\
ад,
Следовательно, перепад давления вдоль магнитного поля
можно считать малым, если выполнено условие
по<л*о. B.35)
7* 99
Полагая иа~105 см/с, для токамака масштаба JET (So=
= 200 м2, L0^50 м) при 7"Р~50 эВ, Dw=l м2/с получаем л*0~
~5-1013 см-3.
Перепад температуры вдоль магнитного поля в периферий-
периферийной области А\\Т оценим, приравняв потери энергии на иони-
ионизацию нейтралов подводу тепла за счет продольной теплопро-
теплопроводности электронов:
где ^ и — к^А^Т/Ь^ Ls^zS0/L0 — длина силовой линии.
Плотность плазмы в области, где ионизуются первичные
нейтралы, поступающие с лимитера, оценим, считая, что гради-
градиент плотности в периферийной области порядка п01х0л:п20о*:
откуда n~y
Оценивая ТР из условия конвективности теплового потока
A.6), получаем
^TlT^Q,W^LUl°lql-\ B.36)
где Dw — в м2/с; Ls — в м; п0 — в 5-Ю13 см~3; q0 — в Вт/см2,
откуда следует, что для токамака масштаба JET A.\\T/Tp<g. I
вплоть до п0 = л0*.
При выводе B.35) было использовано условие прозрачности
SOL для нейтралов, которое может быть записано в виде
о
уа/?;а> \ пdх. Линейную плотность в SOL оценим, считая,
что весь поток частиц из периферийной области выходит на
о
лимитер: Ts =sr Lo \ riVsdx. В результате условие прозрачно-
сти сводится к B.35).
Таким образом, при выполнении условия B.35) периферий-
периферийная область токамака с лимитером может описываться так же,
как и в случае рециклинга на стенке. Vw может быть найдено
из баланса частиц в SOL: Ts==nsVsL05, где ns — плотность
плазмы в SOL; 6^DsLsj Vs — характерная ширина SOL; Ds —
коэффициент поперечной диффузии в SOL. Следовательно,
VW=^VSDS/LS.
Данные экспериментов. При уп=ут = 0 из A.9а) и B.15)
следует ns~n20~ii2. Близкая по характеру зависимость между
плотностью плазмы в лимитерном слое и средней плотностью в
токамаке получена на установках Т-10 [35J, JET. В JET также
обнаружена зависимость ТР~пг2 [36J, следующая из B.16).
100
Рис. 10. Профили параметров плазмы
в TEXT:
ф — плотность; О ~ температура — дан-
данные измерений [37]; кривые — результаты
расчета
На рис. 10 представлены
измеренные профили темпера-
температуры и плотности плазмы в
пристеночной области токама-
ка TEXT [37] и зависимости,
рассчитанные по формулам
B21) B2 С [37]
' эВ
-200
-150
-100
- 50
*
/
(
п
^-
¦)
-у
)
0
Z 3
р фру
B.21), B.24). Согласно [37] при расчете принималось до=
= 2 Вт/см2, я = 4-1013 см-3, ло = О,75Я, D±=AD/n, AD =
= 1017 см~'-с, аи=4, Ds=\ м2/с, Ls=3 м; относительно пер-
первичных атомов предполагалось, что их энергия мала по срав-
сравнению с ТР. Отметим, что помимо удовлетворительного
совпадения экспериментальных и расчетных профилей парамет-
параметров имеется согласие между измеренным и вычисленным зна-
значениями времени жизни частиц в разряде тр==па/BГр): 8 и
7,6 мс соответственно.
Развитием неустойчивости, описанной в § 2.4, возможно,
объясняется «полосатая» структура свечения нейтралов водо-
водорода в периферийной области токамака TFTR [38] в разрядах,
когда плаьма контактировала с поверхностью бампер-лимитера.
Длина волны в полоидальном направлении у структуры поряд-
порядка 10 см, что согласуется с величиной Кт, полученной в § 2.4.
Глава 3
РОЛЬ РЕЦИКЛИНГА В КОНФИГУРАЦИИ
С ДИВЕРТОРОМ
3.1. Характерные области SOL
В конфигурации с дивертором взаимодействие плазмы с ма-
материальной поверхностью — нейтрализационными пластинами —
локализовано в специальном объеме. В него заряженные час-
частицы попадают в результате поперечной диффузии через сепа-
сепаратрису и последующего движения вдоль магнитного поля. Ме-
Меридиональное сечение магнитных поверхностей в конфигурации
с полоидальным дивертором, рассмотрением которого мы огра-
ограничимся, показано на рис. 3.
В SOL можно, до некоторой степени условно, выделить не-
несколько областей, где поведение плазмы определяется различ-
различными физическими процессами.
101
X О
Рис. 11. Конфигурация плазмы в диверторе:
/ — область рециклинга; 2 — область взаимодействия с
газом; 3 — основная часть SOL; 4 — нейтралнзационная
пластина; 5 — камера откачки; 6 — сепаратриса; 8 — угол
между пластиной и магнитной поверхностью
Непосредственно к поверхности ди-
верторной пластины примыкает область
рециклинга (рис. 11), где в плазме при-
присутствуют нейтралы, образующиеся при
поверхностной рекомбинации. Толщина
этой области (|0) зависит от соотноше-
соотношения характерной ширины SOL (б) и
глубины проникновения нейтралов в
плазму L&\/(пго*), где пг — средняя
плотность плазмы в области рециклинга.
При /*>6 нейтралы проходят слой без
ионизации и покидают SOL на расстоя-
расстояниях от пластины порядка б: ?о^6. В случае /*<6 реализуется
состояние сильного рециклинга плазмы на пластине — вероят-
вероятность ионизации нейтралов в SOL близка к 1 и поток ионов на
поверхность значительно превышает поток нейтралов из слоя.
В этом случае |0~^*, как и при рециклинге плазмы на первой
стенке.
Часть нейтралов, возникающих при поверхностной реком-
рекомбинации, проникает сквозь плазменный слой в диверторе и по-
попадает в камеру откачки. Здесь они передают энергию стенкам,
сорбируются на них и частично откачиваются. При конечной
скорости откачки в камере накапливается нейтральный газ, ко-
который взаимодействует с плазмой.
В основной части SOL, вне диверторной камеры, поведение
плазмы в основном определяется процессами переноса заряжен-
заряженных частиц вдоль и поперек магнитного поля. (В этой главе
рассматривается ситуация, когда расстояние от сепаратрисы до
первой стенки А настолько велико, что можно пренебречь взаи-
взаимодействием плазмы со стенкой, в том числе и влиянием на
плазму нейтралов, поступающих со стенки.)
3.2 Одномерное приближение для плазмы
в диверторном объеме
Рассмотрим конфигурацию, когда длина силовой линии в
диверторном объеме мала по сравнению с длиной линии в ос-
основной части SOL, что характерно для реальных устройств с
диверторами. При этом профили плотности и температуры плаз-
плазмы поперек магнитного поля формируются в основной части
SOL и слабо меняются в диверторном объеме. В таком случае
102
для описания плазмы в диверторе можно использовать одно-
одномерное приближение, учитывающее переносы частиц, импульса
и энергии только вдоль силовых линий магнитного поля. Стаци-
Стационарные уравнения одномерного приближения получаем, пре-
пренебрегая в уравнениях A.1) — A.3) производными в направле-
направлении х:
C.1)
Rn; C.2)
dqn/r>l=-Qn. C.3)
Граничные условия уравнений C.1) — C.3) на диверторной
пластине (l=Ls) даются A.5), A.6); кроме того, заданы пол-
полные потоки частиц и тепла в диверторный объем:
^A; C.4)
О
Qo = ^оJ Qu\i=Ldsm<\»dx, C.5)
xw
где L0 = 2nRpmP — суммарная длина диверторных каналов в
тороидальном направлении; RP — большой радиус области кон-
контакта плазмы с пластиной; тР — число пластин (принято, что
все они находятся в одинаковых условиях). В стационарном
состоянии поток Го должен тем или иным образом откачивать-
откачиваться из диверторной камеры.
Угол if, который силовые линии составляют с тородиальным
направлением, меняется с х. Далее это изменение не учитыва-
учитывается и ip принимается постоянным, равным его значению вдали
от сепаратрисы. Соответственно считаются не зависящими от
х длины отрезков силовой линии в основной части SOL (La) я
в диверторе ld = Ls—La.
Для поперечных профилей параметров плазмы в дивертор-
ном объеме, не описываемых уравнениями C.1) — C.3), в [23,
39, 40] принималось приближение «ступеньки»: п, Т не зависят
от л: в слое —б^х^О, а вне его плазма отсутствует (см. рис. 11).
В [23, 39] 6 задавалось, а в [40] было связано с самосогласо-
самосогласованно определяемыми характерными длинами спада плотности
и температуры в основной части SOL.
Можно получить приближенные аналитические решения
уравнений C.1) — C.3), позволяющие провести качественный
анализ процессов в диверторной плазме.
Область рециклинга. Здесь условие изотермичности плазмы
практически совпадает с условием применимости гидродинами-
гидродинамики. В широком диапазоне параметров температура плазмы сла-
103
бо меняется по ширине области рециклинга. Перепад темпера-
температуры в области АГТ оценим, приравняв поток тепла за счет про-
продольной электронной теплопроводности его граничному значе-
значению:
« sin ф sin s) ^ (Yo - 5) Пр ТР V?,
где пР, ТР — параметры плазмы у пластины; l/ps=y27V/m,-.
Отсюда условие малости отношения АГТ/ТР эквивалентно не-
неравенству
;Р
Yo — 5
V
S
Пг sin ф Sine
C.6)
Учитывая, что пР^.пг и полагая sin ф sin e=0,1, находим, что
C.6) выполняется при ТР >; ЗэВ. До тех пор, пока не будет
оговорено особо, это условие считается выполненным и измене-
изменением Т в области рециклинга пренебрегается.
При условии T(l) =const = TP один из интегралов уравнений
C.1), C.2) находим аналитически, учитывая следующее. В кон-
конфигурации с полоидальным дивертором угол между магнитным
полем и пластиной близок к 0 и согласно A.25) Rn практически
не зависит от скорости первичных нейтралов. Кроме того, глу-
глубина проникновения перезарядившихся атомов /* значительно
больше длины пробега первичных нейтралов, и в области ре-
рециклинга можно выделить две подобласти: подобласть, где со-
сосредоточены первичные нейтралы, и подобласть, где происходит
ионизация перезарядившихся атомов. В первой из них п*>С
na и согласно A.24), A.25) имеем:
Введем новые переменные tn --¦= In (n/np), у = (nVn/(npVs)J- Из
C.1), C.2) получаем уравнение
dy/dtn=[y-expBtn)\-2№l A-р2),
решая которое, находим:
/IV i| = flpVs [(I -+- р ) (П/flp) — Р (П/Пр) ].
Найдем связь потока плазмы на границе подобластей лока-
локализации первичных и перезарядившихся атомов, (лУц), с пото-
потоком на пластину. Для этого уравнение A.206) проинтегрируем
по пространству скоростей. В результате получим
djk,ildz+djhl1i/di\ = -{k°i+kc)nnk, C.7)
где jk,t,n~nkVh — составляющие потока первичных атомов. Ха-
Характерный размер изменения jk,i no g не превышает /*, а харак-
характерный размер изменения /ь)Т1 по ч\ порядка б sine. В случае
сильного рециклинга плазмы на пластине, который наиболее
104
интересен для нас, /*<6 и вторым членом в левой части C.7)
можно пренебречь. Комбинируя C.7) с уравнением непрерыв-
непрерывности, для плазмы получаем
Отсюда после интегрирования находим:
Ps2J/
ft
.p
Поток первичных атомов с пластины SJ /ft связан с npVs через
k
альбедо плазменного слоя Л,: ? /? = «pVf sinC/(l — Д).
k
Таким образом, уравнение, связывающее пР и плотность
плазмы на границе подобласти локализации первичных атомов
пи, имеет вид:
2p!/<132) - F («"/«рГ = 1 - PVA ~ Л,). C.8)
При сильном рециклинге на пластине для Л; можно восполь-
воспользоваться результатами гл. 2 для полубесконечной плазмы. Рас-
Рассмотрим два предельных случая соотношения энергии первич-
первичных нейтралов и ТР:
1) при Ek<g.TP Ai=\—р. На рис. 12 кривая / дает зависи-
зависимость отношения пи/п.р от р, найденную из численного решения
C.8);
2) при Eh=C/2)TP Лг=A —Р)/A+'Р). Зависимость пи/пР
от р дается кривой 2 на рис. 12.
В обоих рассмотренных случаях величина nujnP слабо меня-
меняется в широком диапазоне значений — 0,01s^p^0,5, который
соответствует ТР ^ЗэВ. Поэтому в дальнейшем принимается
пи /tip « const = 2,5.
Перейдем к рассмотрению подобласти локализации атомов,
возникающих при перезарядке. Здесь можно пренебречь плот-
плотностью первичных нейтралов, тогда из A.24), A.25) следует,
что
так что уравнение, связывающее переменные у, tn, имеет вид
dy/dtn = 2[y—fixpBtn)\.
Интегрируя, получаем:
п = «,ехр —
2 \ Vp
C.9)
\
105
"и
J
z
1
^^
1
/
5
1
1 т~
/
2
Рис. 12. Отношение плот-
плотностей плазмы на грани-
границе подобласти первич-
первичных нейтралов и у пла-
пластины в приближении хо-
холодных A) и горячих
B) первичных атомов,
на границе области ре-
циклинга и подобласти
первичных нейтралов C)
0,01 0,02 0,04- 0,08 0,16 0}52 J3
Первый член в фигурных скобках преобразуем следующим об-
образом:
пр
Пр Vps
1я второго чле-
на имеем оценку:
. [пУц/(прУ%)]* и, следовательно, он
пренебрежимо мал на границе области рециклинга.
Окончательно получаем следующее соотношение, связыва-
связывающее плотность на границе области рециклинга nv с пР, пи:
(ЗЛ0)
Зависимость отношения nvjna от р также представлена на
рис. 12 (кривая 5). Во всем диапазоне значений р эта величина
отличается от 1 не более чем на 5% в обоих рассмотренных
случаях соотношения Eh и ТР.
Таким образом, плотность плазмы возрастает от пР до nv~
ж2,ЬпР в подобласти локализации первичных атомов (так как
здесь градиент давления должен компенсировать силу трения
ионов с атомами при перезарядке) и практически не меняется
в подобласти ионизации атомов, возникших при перезарядке.
Следовательно, средняя плотность плазмы в области рециклин-
рециклинга близка к nu,v '¦ Пг=АгПр, где Лгж2,5. Учет процессов с учас-
участием молекул не приводит к сколько-нибудь существенному
изменению соотношения между пг, пР.
Уравнение непрерывности C.1) проинтегрируем по области
рециклинга, учитывая, что из уравнений A.20) следует
C.11)
Sn = - div Bjm + У jk + j, + jA.
V k I
При условии равенства нулю полного потока частиц на пласти-
пластине получаем:
106
где Тг — поток плазмы в области рециклинга; -С ft f *=
= ?<)(' jm,k,f,*;X *^° tiz—потоки нейтралов в области рециклинга из
плазмы в камеру откачки.
Интегрируя уравнения баланса тепла C.3) по области ре-
рециклинга, находим
Qr = ТоГ% +{]%- ]\) Et + (Jf -i I)) E] +
+ (JP + JI) E, + [Гр- Гг - 2 (JPm- fm) Ё\] + (JPm-fm) El C.13)
где Qr — поток тепла в область; rp=L06«ptipssin^, /,*—ин-
/,*—интегральные потоки заряженных и нейтральных частиц на плас-
пластины; ]ртк — потоки первичных атомов с пластин в плазму.
Величины /*'р должны определяться из рассмотрения нейт-
нейтрального компонента в области рециклинга диверторного объ-
объема. Для этого в [23] было использовано приближение малого
угла е, который составляют диверторные пластины с магнитны-
магнитными поверхностями. При этом d\mux, а производными функций
распределения нейтралов по ц в уравнениях A.20) можно пре-
пренебречь, что позволяет использовать метод решения, описанный
в § 2.2. Отметим, что величина е ограничена снизу условиями
применимости одномерного приближения для описания плазмы.
Действительно, с е->0 возрастает относительный вклад отбро-
отброшенных в уравнениях C.1) — C.3) членов, учитывающих пере-
перенос частиц и тепла поперек магнитного поля. Оценки сверху
этих членов можно получить, если использовать результаты
гл. 2, где рассмотрен предельный случай магнитного поля, па-
параллельного материальной поверхности: е=0. Согласно § 2.3
соответствующий член в уравнении непрерывности по порядку
равен Dj_/7r//f. Для члена в правой части уравнения C.1)
имеем оценку Vpsnpsin?//«, т. е. поперечным переносом можно
пренебречь, если выполнено условие
D±nrAraJ(ys sin •!/) < sin e. C.14)
Для оценок примем бомовский коэффициент при магнитном
поле 5 Тл; sin т|) = 0,1; nr= 1014-=-1015 cm~3; ГР=10-М00 эВ;
C.14) выполняется при е»ео=О,О5. Расчеты, проведенные в
[41J, показали, что при нарушении условия C.14) состояние с
сильным рециклингом на диверторных пластинах не реализу-
реализуется.
Для случая, когда с пластины в плазму поступают первич-
первичные атомы с энергией Ек, в приближении е<1 получены следу-
следующие соотношения для плотности и потока атомов:
па = пр sin С {а0 ехр [— а (и — иг)] +
107
+ a+ ехр [— (и — иг)} — а_ ехр [— (цг — «)]}; C.15)
1а.х = npVPs sin С • ]3 [(ао/а) ехр [— а (и — ыг)] +
+ а+ ехр [— (ы — иг)\ + я_ ехр [— (иг — «)], C.16)
где и = os GV) /ггх, мл =-; о# (Гр) «Г5, ыг = os (TP) nrztg e,
cOi± =
I 1 - Р «Р +
Плотность потока атомов, возникающих при перезарядке,
на пластину равна
!=? a0 + A - р) а+ - A - р) й_е"^]. C.17)
Для интегральных потоков нейтралов из области рециклинга в
камеру откачки и на пластину
LxU^-idz; C.18)
о
*0
В двух рассмотренных ранее предельных случаях соотноше-
соотношения Еь. и ТР интегралы в C.18), C.19) выражаются через эле-
элементарные функции:
1) при ?ft<7p, a = oo:
^ [ (I^fl^")] C.18a)
ur I 5ll+P/
¦/" = ^\1-?+-^ln[e""''(ch"r + TTP5sh^)]}; (ЗЛ9а)
2) при ?, = C/2) Гл, а=1/р:
108
ЧК i + P/ \К l + P
ь-р V
/
C.186)
C.196)
Как следует из приведенных соотношений, /*, /р* не зави-
зависят явно от е. Поэтому эти формулы дают правильные оценки
для потоков нейтралов и при е~1, что будет показано в гл. 4,
где рассмотрен случай е=л/2.
Условия перехода к сильному рециклингу. Потоки заряжен-
заряженных частиц и тепла в область рециклинга Гг, Qr определяются
ниже из рассмотрения основной части SOL и области взаимо-
взаимодействия плазмы с газом. Здесь же, считая их параметрами,
исследуем зависимость решений уравнений баланса частиц и
тепла C.12), C.13) от величины Гг, Qr. При этом удобно перей-
перейти к потокам, отнесенным к длине контакта плазмы с пласти-
пластинами: jr=TrlL0, j* = J* /Lq, qr=QrjL0.
В правой части C.13) оставим только первый член, соответ-
соответствующий передаче энергии заряженными частицами пласти-
пластинам, что правомерно при ТР^> Ei/vo~34-4 эВ. Используя опре-
определения Гр и иг, из C.13) находим:
То sm Ф vPsTp
C.20)
При фиксированном qT иг является функцией температуры, име-
имеющей максимум: при малых ТР иг~ехр[—/н/BГР) J, при боль-
больших иг~ТР-3/2. Чтобы оценить максимальное значение ur, umaxr
количественно, для константы ионизации используем формулу
Томсона:
kat = (KeVIn) VZTe/(wne) exp (— 1н/Те).
Для константы перезарядки примем kc=ac^2Tjmi, где ас=
= 5-10-15 см2. Тогда
u ! 4 Ус ¦
7Н me Yo Sin Ф
Исследуем характер зависимости /* от ТР при различных
значениях цтах/-:
1) итахг<1 (малые qr). Из C.18а), C.186) следует, что при
всех TPj* mTpILottqrl(уоТр) все нейтралы, возникающие при ре-
рекомбинации плазмы на пластине, проходят SOL без ионизации;
2) ытахг>1 (большие ц,, малые ty). И в этом случае при
больших и малых Гр «Г<С1 и jr7aqrj {yaTP). Однако при ТР, близ-
близких к значению, соответствующему максимуму иг, /*«
109
Гр,эВ
100
60
20
i
1
\
\
I
а'
а)
\
}'
10
в
6
и
2
-г
2
/
/
Л
^3
0 1
Jr/sin Ч>,
Рис. 13. Зависимость температуры (а) и плотности (б) плазмы в области ре-
циклинга от /V/sin if:
1 — qr/sin Ф —2 кВт/см; 2 — qrls\n ф =12 кВт/см
r) ж Vpssin\|)/a*~exp[/H/BTp)])/7p. Следовательно,
при ГрЗЗг/н /* возрастает с увеличением ТР, т. е. при umaxr^l
зависимость j*{TP) является немонотонной. Это означает, что в
некотором интервале значений /г температура в области рецик-
линга не определяется однозначно из равенства jr—j*(TP), ко-
которое следует из C.12).
Качественные рассуждения, приведенные выше, иллюстри-
иллюстрирует рис. 13, где показаны зависимости ТР и линейной плотно-
плотности плазмы в области рециклинга Nr=tir8=urlo* от /V, рассчи-
рассчитанные в [42] на основе численного решения уравнений C.12),
C.13) для двух значений qr. При большем qr увеличение /V вы-
выше некоторого критического значения приводит к скачкообраз-
скачкообразному переходу плазмы вблизи диверторных пластин в состояние
с низкой температурой и высокой плотностью*. Он вызван тем,
что из-за увеличения Nr с ростом /V происходит запирание ней-
нейтралов в плазменном слое и их поток через боковую поверх-
поверхность SOL в камеру дивертора, /*, не может компенсировать /г.
Плотность плазмы вблизи пластин нарастает, а температура па-
падает до тех пор, пока ситуация не стабилизируется уменьшением
ТР до значения порядка потенциала ионизации атомов, когда до-
достаточная проницаемость плазмы для нейтралов обеспечивается
низкой константой ионизации. Новое состояние есть состояние
с сильным рециклингом. Ему соответствует ыг=б//* = Гр/Гг>1.
* Пороговый характер перехода, впервые обнаруженный в [23], был так-
также показан в [143, 144J
ПО
Из сказанного выше следует, что состояния сильного рецик-
линга существуют при каких-либо значениях /г, если umaxr^l.
т. е. qr превышает критическое значение (Лг=2,5; yo=7,5):
?кр^2-^-|-8тф. C.21а)
При q>qKp переход к сильному рециклингу на пластине про-
происходит при /г больше
/3/2 wl/4
}т =%= —^ — sin ф. C.22а)
Р i>l/— 3/4 Т
Для дейтерий-тритиевой смеси qKv~2sinty; /Kp~4-1020sini|),
где <7кр — в кВт/см, /кр — в см-1-с-1.
В [43] <7кР, 7кр были оценены из условия, что для реализа-
реализации состояния сильного рециклинга длина пробега атомов до
ионизации должна быть меньше б. Это дает:
iH; C.216)
Jm
р ^ sin^. C.226)
Числовые значения, даваемые C.216), C.226), близки
к полученным из формул C.21а), C.22а). Таким образом, кри-
критические для перехода в состояние сильного рециклинга потоки
частиц и тепла могут быть выражены через мировые константы.
На рис. 14 показано разбиение плоскости в координатах
/r/sini|), gv/sinij) на области, в которых реализуются состояния
с различной интенсивностью рециклинга, найденное на основе
численного решения уравнений C.12), C.13).
Устойчивость состояний с сильным рециклингом. Нестацио-
Нестационарные балансы частиц и тепла в области рециклинга имеют
вид:
dt \ sin e
-j- (-г— ^o ¦ 3«r Т'я) = Rr — lonpvs TP sin ф.
dt \ Sin e J
C.23)
На основе соображений, изложенных в § 3.1, для толщины об-
области приближенно примем !о~б/*/F-Н*).
Уравнения C.23) линеаризуем вблизи положения равновесия
по отношению к малым возмущениям параметров вида пг=
= n°r-\-nexp(yt), Tp=TQP-\-Texp(yt), считая при этом qr, jr
ill
10
8
6
2
3
I
I
/
г
Рис. 14. Области состояний с различной
степенью рециклинга:
1 — слабый рециклинг; 2 — сильный рециклинг;
3— область неоднозначных параметров плазмы
постоянными. В результате, используя соотношение C.186), в
случае состояний с сильным рециклингом (/*<б, ur> l,jrTP<^.qr)
находим выражение для инкремента:
у =
sin s • v0
din
где
Va =
¦ arCtg
v к l + i
In a*
dlnVf
dlno*
—1.
Следовательно, устойчивы состояния с va<0, что соответствует
Тр^Ы- Промежуточные состояния равновесия на рис. 13 с vo>
>0, для которых dTp/djr>0, неустойчивы. Качественно причи-
причины неустойчивости состоят в следующем. Рассмотрим, напри-
например, случайное уменьшение температуры плазмы по сравнению
с равновесной. В результате Vps и, следовательно, поток плазмы
на пластину и обратный поток нейтралов падают. Поскольку
v<j>0, глубина проникновения нейтралов в плазму /* — I/a*
возрастает в меньшей степени, чем убывает Гр, и поток атомов
из слоя плазмы уменьшается. За счет притока заряженных час-
частиц из области взаимодействия с газом плотность плазмы вбли-
вблизи пластины нарастает, а температура еще больше падает.
Важной особенностью состояний с сильным рециклингом
является то, что скорость течения плазмы вдоль магнитного
поля вне области рециклинга мала по сравнению со скоростью
звука [39]:
В этом случае давление слабо меняется вдоль магнитного
поля, а перенос тепла обусловлен теплопроводностью электро-
электронов. Для отношения конвективного и кондуктивного потоков
112
тепла имеем оценку:
5nVJ nVnT
dT/dl\ ~" \/'mi/menVs%cT/Ls Vs~kc I/ m.
т. e. оно мало при Vц/Vs < Ущ1щ^-С1^&-
Область взаимодействия плазмы с газом. В области взаимо-
взаимодействия плазмы с газом реализуется одна из двух возможных
ситуаций: а) взаимодействие с нейтралами не приводит к су-
существенному изменению теплового потока в SOL вдоль магнит-
магнитного поля, и он в основном передается заряженными и нейт-
нейтральными частицами пластинам; б) значительная часть тепло-
теплового потока Qo, который поступает в дивертор, рассеивается в
результате элементарных процессов с участием нейтралов, по-
поступающих из газа. Последняя ситуация, получившая название
газовой мишени, рассмотрена в § 3.6.
Диссипация теплового потока в области взаимодействия с
газом несущественна, если rg?a;<cQo, где Yg — изменение по-
потока частиц плазмы за счет ионизации газа. В этом случае из
уравнения C.3) следует, что qn =^—x^T/dl = Qo/{Lobsm<\>).
Отсюда
T = [fP + T7J2{Ls~l)lldfi\ C.24)
где T7J2= G/2)Q0/d/(?08 sin ф• Лх); Ас=К||/'6/а=*1О!Осм-'-с-1.эВ-5/2.
Для параметров реактора-токамака масштаба ИНТОР [34J
Т*«40 зВ. Если Тр^Т*, то температура плазмы в диверторе
всюду близка к ТР. При сильном рециклинге на пластине TP<^L
^/н<С^*- Однако и в этом случае за исключением лишь незна-
незначительного участка вблизи /=LS изменение Т в диверторном
объеме невелико. Например, значения температуры при l=Ls—
—/d/4 и l=Ld различаются не более чем в 1,5 раза. Поэтому с
неплохой точностью температуру плазмы в области взаимодей-
взаимодействия с газом можно считать постоянной и равной ее значению
на входе в дивертор:
C.25)
Для плотности из постоянства давления имеем:
nxnd=nrTP/Td. C.26)
Нейтральный компонент в плазме в области взаимодействия
с газом описывается с учетом того, что длина слоя в диверторе
U велика по сравнению с б. В [44] для случая SOL, окружен-
окруженного в диверторном объеме с двух сторон атомарным газом с
плотностью ng и температурой Tg, получено распределение плот-
8—6856 113
ности и потока атомов в плазме:
"¦а = -^7- (Cg (еХР (— а") + еХР [« (" ~ ud)]} +
4- с# [ехр (— и) 4- ехр (и — ud)]),
i = j ((S/а) с„ [ехр (— аы) — ехр Га (и — ud)]} 4
4- ?с# [ехр (— ы) — ехр (« —«„)]),
где
— Р) 1+аР + A — «Р)ехр( — <шб)
C.27)
= а(«Р1) =
g )P ' *
—P)exp(—
djTg; jg=ngvg/4 —
удельный поток атомов, падающих на слой плазмы из газа,
Vl{)
В [23] рассмотрена ситуация, когда в плазму из камеры
откачки поступают молекулы с температурой стенок Tw. Пред-
Предполагалось, что плазменный слой непрозрачен как для молекул,
так и для франк-кондоновских атомов, т. е. выполнено условие
nd6>Vf/ (kai~{-kc) ss 1013 см^2. В этом случае jg, фигурирующий
в C.27), находится из следующих соображений. При попадании
молекулы в плазму в результате диссоциации и ионизации (с
последующей «мгновенной» диссоциацией молекулярного иона)
возникает kmi/ (kmi-\-kd) атомарных ионов и Bkd-\-kmi) / (Am,-)-
-\-ka) франк-кондоновских атомов.
Скорости атомов направлены хаотично и их длина пробега
в плазме значительно больше длины пробега молекул. Следо-
Следовательно, половина франк-кондоновских атомов будет выходить
обратно в газ, а половина — двигаться вглубь плазменного
слоя. Таким образом, имеем: jg=ngvgsg/4; sg= (kd-\-kmij2) I (kd-{-
k
Интегрируя уравнение непрерывности C.1) по области взаи-
взаимодействия с газом, получаем
р р _i_p С\ 9Я1
\г — \§-\-\.g, \о.?о)
где Тв = SenevePJ4; р = 2A — s.) + sjd—-—
Se=Lold sin г|) — поверхность SOL в диверторе, открытая для
контакта с газом, р<*=РG\г).
3.3. Плазма в основной части диверторного слоя
Средние параметры и длины спада. При сильном рециклин-
ге плазмы на диверторных пластинах, когда кондуктивный пе-
перенос тепла является основным, стационарные уравнения не-
114
прерывности и баланса тепла в основной части SOL имеют вид:
Приближенные решения уравнений C.29), C.30) ищем в
виде л=ге(/)ехр(— \х\ /бп), Т=Т(Z)exp( — \x\ /6т), который
учитывает спад плотности, температуры в SOL поперек магнит-
магнитных поверхностей из-за выноса частиц и тепла вдоль них в ди-
верторный объем.
Интегрируя C.30) по х в пределах от 0 до оо, получаем
уравнение для температуры плазмы на сепаратрисе [45]:
Его решение с граничными условиями A.7) и T\[=i — Td имеет вид:
7, C.31)
где ТЦ2 = 49Q0L2dl'(8S0A^T).
Плотность плазмы в основной части SOL
п = njjf = nrTP/T = NrTPl(bt). C.32)
/ L.
Для средних параметров на сепаратрисе я), (Г). I (...) = J ...dV,Ll
\ о
(Т) ъ ТоA — О,1«о— 0,02а02); C.33)
(к) ъ (#г/8) (ГР/Г0) A + 0,1а0 + О,ОЗа§), C.34)
т /т7/2 | т7/2ч2/7 /т ,r N7/2
где 10 = (I d + •* „ ) ; а0 = (у ^/у 0) .
Из уравнений C.29), C.30) следует bn/bT^QoD^ni (Ton±T),
т. е. при сильном рециклинге в диверторе 6г<С8и и характер-
характерная ширина SOL определяется длиной спада температуры.
Интегрируя C.30) по х и /, получаем [40J:
xjdl, C.35)
о
что с к — aj) n и Dj_ в виде B.12) дает
115
A „ } , (o. 60)
Рассмотрим в качестве примера случай Dj_ = Do = const
Yr = 0). С учетом C.20) из C.36) находим
C-37)
что совпадает с обычно используемой оценкой для би, справед-
справедливой в случае слабого рециклинга (см. § 4.2). Существенное
отличие состоит в том, что в C.37) Vs вычисляется при темпе-
температуре плазмы вблизи пластин, которая при сильном рециклин-
ге значительно ниже среднего значения Т в SOL.
Таким образом, формулы C.36), C.37) можно использовать
для расчета характерной ширины SOL в случаях как сильного,
так и слабого рециклинга плазмы на диверторных пластинах.
Вообще говоря, в последней ситуации длина пробега заряжен-
заряженных частиц в SOL, как правило, сравнима с La, и гидродина-
гидродинамическое описание плазмы неприменимо. Тем не менее C.31),
C.32) можно использовать для определения параметров плаз-
плазмы в SOL и в этом случае. Поскольку при слабом рециклинге
поток частиц в диверторе меняется незначительно (Гр«Го),
TpttQa/iyoTo). В то же время <f)^Qo/ EГ0), так как в поток
тепла через сепаратрису некоторый вклад дает поперечная теп-
теплопроводность. Поскольку 7о численно близко к 5, (Т}хТР.
Итак, температура плазмы незначительно меняется в SOL
при слабом рециклинге. Этот же результат следует и из
C.31). Так как AKTd^ = 3,l6ndimJmeh:VsTd, Q0=y0ndVsTdbS0ILd,
отношение первого и второго членов в C.31) по порядку равно
Xc/Ld. При Xc^Ld C.31) дает отличие Т от Та не более чем на
20%.
На основе описанной выше модели или близких к ней были
проведены расчеты параметров плазмы в диверторном объеме
и основной части SOL реактора-токамака масштаба INTOR. На
рис. 15 представлены зависимости плотности и температуры
плазмы вблизи диверторных пластин и в основной части SOL
от скорости откачки в диверторной камере V.
Было принято: Q0=80 МВт; Г0=1022 с; 50=350 м2; Ls=
=40 м; mP=2; sinij>=O,l; /d=5 м. Плотность молекулярного
газа в камере откачки определяется из условия стационарно-
стационарности: Г0=2%У.
При реакторных параметрах переход в состояние сильного
116
•150
100
эв
d
с
2
—
у
г'
\
I
I
I
1
8
6
0,8 1,2 1,6 ng,1015cvT5
ч
"С
¦ ..
-.
V
2
f)
0,8 1,2 1,6 ng,10isctA'
Рис. 15. Зависимость температуры (а) и плотности (б) плазмы вблизи дивер-
торных пластин (/) и в основной части SOL B) реактора-токамака от давле-
давления газа в камере откачки
рециклинга происходит с уменьшением скорости откачки до
5-Ю8 см3/с. Он сопровождается многократным уменьшением
температуры пристеночной плазмы, увеличением ее плотности.
Характерная ширина SOL возрастает в несколько раз как
Т Р. Резкое уменьшение энергии ионов, бомбардирующих
поверхность пластин, приводит к падению на несколько поряд-
порядков поступления примесей в плазму. Подробнее этот вопрос
рассматривается в гл. 5. Увеличение б снижает удельную теп-
тепловую нагрузку на пластины, а уменьшение <?> — энергию
перезарядившихся атомов, бомбардирующих первую стенку.
Оценки показывают, что учет нелокальных эффектов в элект-
электронном теплопереносе вдоль магнитного поля приводит к уве-
увеличению <?> и уменьшению <я> в 1,2—1,5 раза.
Характер течения плазмы в SOL. Течение плазмы в SOL
при сильном рециклинге может иметь весьма сложный характер.
В этом случае источник заряженных частиц в диверторном объ-
объеме за счет ионизации нейтралов, поступающих из камеры от-
откачки, значительно превышает Го. Он локализован вблизи по-
поверхности контакта плазмы с газом в слое толщиной порядка
длины проникновения нейтралов, которая мала по сравнению с
б. В результате возникает градиент давления, заставляющий
плазму растекаться в обоих направлениях вдоль магнитного
поля — к пластине и из диверторного объема в основную часть
SOL [46J.
Картину течения плазмы в SOL характеризует распределе-
распределение числа Маха M = VnlVs на входе в диверторный объем
(l = Ld). В предположении, что с пластины и из газа в плазму
поступают атомы с температурами Tw и Те соответственно, ин-
117
тегрируя C.1) с учетом C.16), C.27), получаем
M(s)-=
A — §riirs [ а0 exp (— aru) + a+ exp (— u) —
— a_ exp (u — ur)]}jAr — M ?d ¦ («d/cov) • (cg {exp (— agw) +
+ exP К (w — «<*)]} + c* [exp (— w) + exp (w — ud)]), C.38)
где я = */8 (l/?) K^
ar,d =
и =
—l
usvg>-
На рис. 16 представлена зависимость M(s), построенная для
параметров INTOR в случае wv=0,15, который соответствует
У=3-108 см3-с~!. В большей части слоя скорость течения зна-
значительно меньше скорости звука. Однако вблизи поверхностей
плазмы, контактирующей с газом, заряженные частицы с
У и ^ ^s уходят из диверторного объема. Это течение проник-
проникнет в основную часть SOL на расстояние порядка L^ =*=
?«S-Vs/Dj_^ Ld прежде, чем произойдет его перемешивание с
основным потоком за счет поперечного переноса. Более подроб-
подробный анализ этого эффекта требует последовательного двумер-
двумерного описания плазмы в SOL.
Автоколебания диверторной плазмы между состояниями с
сильным и слабым рециклингом. Неоднозначность зависимости
параметров плазмы в SOL от плотности газа в камере откачки
может приводить к возбуждению автоколебаний между состоя-
состояниями с сильным и слабым рециклингом плазмы на пластине.
Качественная картина этих колебаний следующая. Из-за неус-
неустойчивости промежуточного состояния с сильным рециклингом,
соответствующего участку кривой TP(jr) с dTp/,djr>0, рассмот-
рассмотренной в § 3.2, при квазистационарном изменении \г плазма в
области рециклинга эволюцио-
эволюционирует либо по высокотемпе-
высокотемпературной, либо по низкотемпе-
низкотемпературной ветви кривой. С при-
приходом в состояние с dTPldjr=
' -о,
8 -О
6 -О
it -О,
г ^
OS
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
Рис. 16. Профиль числа Маха на вхо-
входе в дивертор реактора-токамака
118
=оо происходит скачкообраз-
скачкообразный переход с одной ветви
кривой на другую. Изменение
параметров плазмы в области
рециклинга в результате тако-
такого перехода приводит к изме-
изменениям градиентов давления и
температуры в основной части
SOL, которые определяют
потоки частиц и тепла в
область рециклинга. Например, если плазма вблизи пластины
перешла в состояние с низкой температурой и высокой плот-
плотностью, то ее давление здесь возрастает, поток частиц в об-
область рециклинга из основной части SOL начинает умень-
уменьшаться и плазма эволюционирует по участку АА' (рис. 13).
С приходом в точку А' происходит перескок в состояние В,
давление у пластин падает и поток в область рециклинга воз-
возрастает — имеет место эволюция по участку ВВ'. В дальней-
дальнейшем описанная картина повторяется.
Интегрируя уравнения A.1) —A.3) по основной части SOL
и области взаимодействия с газом, получаем:
dt
¦ пгТР) —
So Л- 38 (nf) =Q0-L0
+ ^ V
\ ,r
+ q* ,r § sin*],
C.39)
где ns — n |г_0; Ts = f |/=0; V n ,r = /r/E sin <\>nr) — скорость плазмы;
<7* r—кондуктивная составляющая теплового потока на границе
областей рециклинга и взаимодействия с газом; параметры газа
вблизи пластин определяются из уравнений C.23).
В первом приближении примем, что в процессе автоколебаний
сохраняются соотношения (п) =*= ns\ (T) ^Ts; (nV\\) я=* nrVw у,
д* >г = (8Лх/49) (T7S12 — T7J2)/LS, справедливые для стационарных сос-
состояний.
Введем переменную «s—nsaoS (ао=Ю~4 см2) и учтем, что
из условия Го, rigV^Tg следует сохранение полного числа час-
частиц в системе, состоящей из SOL и камеры откачки объемом Ус:
В таком случае уравнения C.39) приводятся к виду
dujdt = (и0 — us)/x — hojr;
ur
dasT,
dt
i ГЛ т112-тУ2 \
3 IA т™ )
где и0 = iV0o0/S0; os = os (TP)/o0; xg =
т '9 I//C1 \ l/1^
C.40)
/g); ho = o0LQlS0;
K/2)(/r/Esint.«r)J.
119
20
10
1
/
/
/.
/
г и.
Рис. 17. Области нестацио-
нестационарных A) и стационарных
B) состояний плазмы в
SOL. По оси ординат от-
отложена до в Вт/см2
20 50?,мкс
Рис. 18. Изменения во времени
потоков частиц и тепла на ди-
верторные пластины
Состояния равновесия системы C.40) определяются из ра-
равенства нулю правых частей. В результате получаем для Тг:
(«о— V* ir)\l +
1 —
nt ur
|2/7
C.41)
Если C.41) имеет единственное решение с dTPjdjr, то у сис-
системы C.40) нет устойчивых стационарных состояний. В то же
время легко показать, что решения C.40) не могут неограничен-
неограниченно возрастать. Следовательно, они описывают автоколебания
[47].
На рис. 17 область нестационарных состояний приведена в
плоскости параметров щ, <?о для случая реактора-токамака мас-
масштаба INTOR [34].
Отметим, что «номинальный» режим работы дивертора, ко-
которому соответствуют «о~1, </о~ЗО Вт/см2, является нестаци-
нестационарным. Временную зависимость параметров плазмы в этом
режиме демонстрирует рис. 18. Здесь представлены изменения
потоков частиц Гр и энергии Qp на пластины в процессе авто-
автоколебаний. Максимальная тепловая нагрузка на пластины за-
заметно превышает поток тепла через сепаратрису.
Характерный период колебаний т0 определяется временем
изменения потока плазмы в область рециклинга /V между зна-
значениями, соответствующими dTP/djr=oo. Как следует из
рис. 14, изменение jr при этом порядка /кр. Из уравнения для
)г и C.20) получаем то~ (jKP/qr)m.iLsVps, что дает хорошее со-
120
гласие с численным расчетом: То~5-10~5 с. Оценки показывают,
что за времена такого масштаба относительное изменение сред-
средних значений плотности и температуры не превышает 10%. По-
Поэтому во втором уравнении системы C.40) первый член в пра-
правой части можно считать постоянным во времени. В этом случае
уравнение для jr аналогично уравнению для релаксационных
электрических колебаний в цепи с неоновой лампой [47]:
it R0C0
В нашей ситуации давление плазмы в основной части SOL иг-
играет роль э. д. с. батареи Ев, а зависимость п,Тр(/г) —вольт-
амперной характеристики лампы 1Л(УЛ).
3.4. Разделение дейтерия и трития в диверторном
слое реактора-тохамака
Соотношение концентраций изотопов водорода в рабочем
объеме реактора и в газе в камере откачки дивертора является
важной характеристикой. При прочих равных условиях мощ-
мощность реактора максимальна при стехиометрическом равноком-
понентном составе топлива. Снижение же концентрации трития
в откачиваемом газе облегчит решение проблем тритиевого
цикла.
Есть по крайней мере две причины различия изотопных сос-
составов плазмы в основной части SOL и газа в камере откачки.
Во-первых, это различие масс нейтралов и констант элементар-
элементарных процессов; во-вторых — действие в SOL продольной тер-
термосилы, которая приводит к лучшему удержанию более тяже-
тяжелых тритонов в горячих областях плазмы вдали от пластин.
Роль этих факторов рассматривалась в [48, 49], а вопрос о
разделении изотопов водорода в плазме и нейтральном компо-
компоненте в случае рециклинга на первой стенке — в [50J, где по-
показано, что из-за различия в длинах пробега нейтралы будут
заметно обогащены тритием.
Состав плазмы в SOL и газа в камере откачки будем харак-
характеризовать концентрациями: Xj = n>g/ng — атомов в газе; |г/ =
= п*г/пг — ионов в области рециклинга; ?dj = n-'<;/ttd— ионов в
области взаимодействия с газом; \Qj = n^sjns — ионов в плоско-
плоскости симметрии SOL; /=1 соответствует дейтерию /=2 — три-
тритию.
Нейтралы в диверторе. В случае смеси изотопов нейтралы в
плазме SOL описываются кинетическими уравнениями для
функций распределения A.20), которые необходимо дополнить
членами, учитывающими перекрестную перезарядку между ио-
ионами и атомами различных изотопов. При этом в правую часть
121
уравнения A.20г) нужно добавить слагаемое
где k*c — константа перекрестной перезарядки. Зависимость kc
от массы сталкивающихся частиц определяется в основном от-
относительной скоростью, так что
Н б
р /^^) / ()
Нейтралы в области рециклинга описываются в приближе-
приближении e<Sl и Ek— C/2) TV. Для потока атомов из плазмы в каме-
камеру откачки имеет место следующее соотношение:
42 ° д *
// = /*/osin<f> X 2]Е/Уы J^?* exp(/y?r*)rfA, C.42)
k=\l=l -S °
где <pxfe=l; 9гЬ = (к — гк/Ь)/аи ?.*=—VTi;, ?** = —»"*?i*/Yi;
а,- = *с*Й-л р,- = «, + V/f»^ Ту = fo + V 5//о*у5 г* == «* ((PiTi +
+ ргТг)/2 + a; {[(PxTi - р2тг)/2]г+ «ia,TjJI/2>I/2; \ = 8, = sx = а; =
= -1; 8,=\ = 82 = 8,= 1; <2 = <Рз,4, Тз.4 = exp(/yir*)(<pf.2-
— ср*>4); До = det II W || ; А*—адъюнкта элемента Ч?"?; V?L — ско-
скорость, с которой ионы сорта / выходят на пластину вдоль маг-
магнитного поля.
Нейтральный компонент в плазме в области вазимодействия
с газом рассматривается в предположении, что газ состоит из
атомов с температурой Tg<^TP. Получено следующее выраже-
выражение для потока заряженных частиц сорта / в область рецик-
рециклинга:
2
k,i=\
X A - Р*/Т*) ?Гк ?/^/(?!?2 -?i &), C.43)
где f[ — <flk — <f 1+2> величины а;-, ру, у7-, ср;- вычисляются при Г =
= 7d; gj- = |dj; VJg — средняя скорость атомов сорта / в газе, с
которой они поступают в SOL.
Условия Tir=J*j дают уравнения для определения концен-
концентрации изотопов в газе при известных параметрах плазмы в
SOL.
Роль термосилы. Для описания ионных компонентов дейте-
риево-тритиевой плазменной смеси используем уравнение дви-
движения вдоль магнитного поля с учетом действующих между
ионами различных изотопов силы трения и термосилы:
с! (mjrijVl i + n}T)ldl = en,E „ + 0,7 in/iT/dl —
_ F'f34 - njns_jmdtadt (V |, / - V „ зч), C.44)
122
где mdt = mdmt/(md + mt); adt = 4 |/2it Лсе4/C YmdtTw), а выра-
выражение для термосилы, действующей между ионами с зарядами
za,p и массами та,р, взято из [51]:
г If^wv^fo^' C-45)
где S. = 0,53МлМ\>12 (zjz^f - 1,5Ma Mp + 3Mg (M« - Мр); Qa =
= 0,53/ИР/2 (?а/гр)г FМ* + 2,6Ml + 3MaMp); QaP = 0,56 (МаМэI/2 +
+ 7,8 (Ма — М?у + 12,8МаМр; AJa,p — та?I{тл + mp); у величин
5р, Qp индексы аир переставляются.
Сила трения препятствует отрыву скоростей ионов различ-
различных изотопов и изменению их концентраций; термосила концен-
концентрирует более тяжелые тритоны в горячих областях плазмы.
Соотношение между этими силами меняется с расстоянием от
пластин: в области рециклинга, где потоки заряженных частиц
велики и 1Л| порядка Vs, превалирует сила трения, и |j(/)~
~const; вдали от пластин, где скорости течения малы по срав-
сравнению с Vs, изменение изотопного состава определяется термо-
термосилой. В основной части SOL с учетом обратного течения из
области взаимодействия с газом для этого требуется выполне-
выполнение условия (Ldjur)^To/Tp<^Ke, что, как показывают оценки,
справедливо для реактора.
Согласно C.44), C.45) условие равенства силы трения и
термосилы в некоторой точке, где Т=Т„, можно записать
в виде
C.46)
При сильном рециклинге на пластине поток заряженных
частиц спадает с расстоянием от пластины как
nV „ = npVFs exp ( - f <yzd A C.47)
Условие C.46) можно переписать в виде
так как в рамках применимости гидродинамического приближе-
приближения характерный размер изменения температуры вдоль магнит-
магнитного поля LT велик по сравнению с длиной пробега между ку-
лоновскими столкновениями. Поэтому при интегрировании в
C.47) давление плазмы можно считать постоянным вдоль поля,
а перенос тепла — чисто теплопроводностным:
п = rirTp/T, — ке{[ dT/dl =-¦ tJpnpVs-
123
Показатель экспоненты в C.47) преобразуем следующим
образом:
= \ ojtr —!— sin 1
Как будет показано, 71* превышает /н и в большей части интер-
интервала интегрирования a*»const = 5-Ю-15 см2. Нижний предел
можно положить равным нулю, так как в режиме с сильным
рециклингом ГР</н. В результате получаем
nV„ (TJ = npVps exp f _ 4- sin СайЛ, J^.). C.48)
\ 5 Yo^f /
Подстановка C.48) в C.46) дает уравнением для Т*:
2 YoV^ l
откуда следует, что величина Г* слабо зависит от параметров.
Принимая для них типичные значения, получаем Г*»20 эВ.
В области Гр^Г^Г* концентрация ионов изотопов водорода
изменяется несущественно. При Г>Г* в уравнении C.44) мож-
можно пренебречь силой трения и инерционным членом.
Напряженность электрического поля Е {[ находим из урав-
уравнения движения электронов, которое в отсутствие продольного
тока в SOL имеет вид [4]:
— 0,71пдТе/д1 = 0. C.49)
Подставив ? и в C.44), получаем:
Использовав C.45), где коэффициенты S я Q вычислены для
дейтериево-тритиевой плазмы, и проведя интегрирование, полу-
получим
1,16-6.' у.65 (Jl\o-«Zs C.50)
1,15-Е, / \ Ъ 1 ~ Т '
?Ы \0.
Если в плоскости симметрии SOL плазма имеет стехиомет-
рический состав (|02 = 0,5), для реактора-токамака масштаба
ИНТОР (Ts«250 эВ) из C.50) находим: ^2 = |2(Г*) «0,16;
|d2:= \,i(Та) »0,2. Расчет концентрации трития в газе дает
Х2=0,17.
Таким образом, в режиме сильного рециклинга плазмы на
пластинах дивертора реактора-токамака следует ожидать зна-
значительного обеднения газа в камере откачки тритием.
124
3.5. Переход с «конденсацией» плазмы в области
рециклинга
Роль потерь энергии на ионизацию водорода. С ростом плот-
плотности плазмы в SOL температура в области рециклинга падает
и согласно C.13) возрастает доля теплового потока, расходуе-
расходуемая на ионизацию и возбуждение нейтралов, поступающих с
диверторных пластин. В результате, как показано в [52], при
некоторых условиях возможно развитие неустойчивости баланса
тепла.
Следуя [52J, рассмотрим отдельную силовую трубку в SOL.
При некоторых условиях, которые обсуждаются ниже, различ-
различные трубки в достаточной степени независимы друг от друга, т.е.
в первом приближении можно считать, что процессы в SOL не
приводят к изменениям полного числа частиц в каждой из них.
Учтем в уравнении баланса тепла в области рециклинга потери
энергии электронами на ионизацию и возбуждение нейтралов
водорода. Для плотности плазмы пг имеем:
nr=qtAr/[Vp,sin${yoTp+E*i)\, C.51)
где qt=Qol (^о'б).
Подставляя C.51) в C.34), получаем для средней плотности
плазмы в основной части SOL:
nig.(y0Tp/E°i), C.52)
l/ -^-; р„ (у) = 2 Vyl{y + 1); ?„ (у)
где tit = —^— l/ -^-; р„ (у) = 2 Vyl{y + 1); ?„ (у) имеет
максимум, равный 1 при у=\ и стационарные состояния суще-
существуют при (rCy^JXi. При фиксированном <я><п; из двух воз-
возможных состояний состояние TP<CEai/y0 неустойчиво: потери
энергии в области рецинклинга, обусловленные в основном за-
затратами на ионизацию и возбуждение атомов, составляют
Fa ,,Р Ра (п\ (Т) VP 1
lp Vtp
т. е. возрастают при флюктуационном падении ТР.
В [52] показано, что ситуация меняется, если учесть вклад
в <п> области рециклинга, где число частиц пропорционально
nrl*=lla*. Поскольку а*^аоехр [—/н/BГр)], где ао^5Х
X 10~15 см2, вместо C.52) имеем:
C.53)
где у=у0Тр1Еаг, П(=(ао^е)~1; р = ^н?о/ BЯаг); Le = Ls sin ф—
длина SOL в полоидальном направлении.
Графически зависимость </г> от у, даваемая C.53), пред-
представлена на рис. 19 для двух значений соотношения tiijtit. При
второй член в C.53) превалирует над первым во всем
125
интервале y^l и неустойчи-
неустойчивый участок с d(,n}/dTP>0
отсутствует. В состояниях с
«;<<«> заряженные частицы
в SOL сосредоточены в основ-
основном в области рециклинга.
При tii^>tit неустойчивый уча-
участок сохраняется и зависи-
зависимость <л> от у имеет АА-образ-
ный вид. В данном случае уве-
увеличение <п> выше некоторого
критического значения, близ-
близкого к щ, приводит к скач-
скачкообразному переходу в состояние с «конденсацией» заряжен-
заряженных частиц в области рециклинга.
Немонотонная зависимость <п> от у имеет место, если tii/nt
превышает критическое значение. По аналогии с критической
температурой для кривых Ван-дер-Ваальса оно определяется
из условий одновременного обращения в нуль d{n}jdy и
d2(n)/dy2, которые имеют вид:
Рис. 19. Зависимость средней плотно-
плотности плазмы в силовой трубке SOL
от обезразмеренной температуры
+ 6y-
= п, — ехр"(р/и);
у2
Отсюда находим уравнение для у:
У3+у2 (
При р»1 искомый корень равен 0,7, а критическое значение
отношения nt/nt=70.
Для критического значения qt—q* — .используя определение
То, получаем следующую зависимость от параметров:
C.54)
где ^ = 3400
^
У]
Подставляя типичные значения параметров, находим q* —
= 0,3 МВт/см. Для реактора-токамака масштаба INTOR из
C.54) имеем q*?z0,\5 кВт/см2, что значительно ниже ожидае-
ожидаемой тепловой нагрузки пластины.
Область применимости приведенных результатов ограничена
достаточно большими ТР, так как в модели не учитываются
процессы объемной рекомбинации и изменение температуры по
ширине области рециклинга. В качестве оценки можно, по-ви-
по-видимому, принять Tminp&l,5 эВ. Кроме того, должно выполнять-
126
ся условие, что состояние с «конденсацией» является состоянием
с сильным рециклингом:
Это требует выполнения неравенства
Тр \?/2
8
При TP<.Eai/yo из C.36) для ZI=D0=const имеем
/ а. П I AT '/2
Подставив это выражение в C.55), получим
7/4
При Тр^Тт[пР для параметров INTOR находим д**^4 кВт/см2,
что гораздо выше q*. Найденное значение </** близко к уровнк>
qt в INTOR и переход к состоянию с «конденсатом» возможен
при <«>^/гг«2-1014 cm~3.
Автоколебания между разными состояниями с сильным ре-
циклингом. Неоднозначность зависимости ТР от <п> и неустой-
неустойчивость состояний с dTP/d(n}>0 должны, как показано в [53],
приводить к возбуждению автоколебаний в плазме SOL между
высокотемпературной и низкотемпературной ветвями кривой
Тр((п}). Рассмотрим, следуя [53J, ситуацию, когда обмен час-
частицами между соседними трубками обусловлен переносом попе-
поперек магнитного поля нейтралов, возникающих при рециклинге
плазмы на пластине. В этом случае приближение независимых
силовых трубок применимо, если LsjVs<^b2nP-kc/v2i, что дает
ограничение на qt:
Qt > ГЪ Sln
Для высокотемпературной ветви Тр^-Ь эВ и при Z)^ = l м2/с,
sinifi=O,l имеем qt ^20 кВт/см2. Если данное условие выпол-
выполнено, уравнение непрерывности для плазмы, проинтегрирован-
проинтегрированное по длине силовой трубки, в диффузионном приближении для
нейтралов имеет вид:
д(п) f
д f
дх J
о
„ 7 I |
dt дх J \ kcnnii дх-
о
где я* экспоненциально падает с расстоянием от пластины: и*»
л;пР sin t,exp (—пго*\), поэтому параметры плазмы при интег-
127
рировании по I в первом приближении можно считать постоян-
постоянными. В результате получаем
dt
дх
дх
C.57)
где Da=
s)д(ТР/о*)/д(п).
Используя C.20) и условие постоянства давления вдоль маг-
магнитного полл, находим, что для высокотемпературно5! ветви Тр*-«
It! ffj.
— 1, т. е. Da<0 при
Отрицательный коэффициент диффузии обусловлен тем, что
в силовых трубках, где <«> ниже, глубина проникновения ато-
атомов больше и большее их число уходит в соседние трубки, где
<я> выше. При Дг<0 высокотемпературная ветвь неустойчива,
что следует из уравнения C.57), линеаризованного по отноше-
отношению к малым возмущениям плотности, пропорциональных
exp(yt-\-ikxx): у — —Dak2x. Согласно [53] такая неустойчивость
может быть причиной автоколебаний плазмы в полоидальном
диверторе, обнаруженных в [54] при двумерном нестационар-
нестационарном численном моделировании плазмы в SOL INTOR.
3.6. Режим газовой мишени
При сильном рециклинге плазмы на пластинах увеличение
плотности в разряде сопровождается нелинейным ростом плот-
плотности газа в камере дивертора. Действительно, из C.12), C.18),
( /*1[/B7')J И C20)
C.28) следует /Zg
{3.31), находим:
Таким образом,
рр () ()
/*~«-1r~exp[/H/B7'p)J. Используя C.20),
Р
то sin Ф (п) (Г)
C.58)
где
То
С ростом ng все большая доля теплового потока, сбрасывае-
сбрасываемого в дивертор, рассеивается в результате процессов с участи-
участием нейтралов, поступающих в плазму из газа. При этом сни-
снижается тепловая нагрузка на диверторные пластины, которая
в реакторе превысит 1 кВт/см2. Режим со значительной дисси-
диссипацией мощности в газе получил название газовой мишени и
реализован в установках ASDEX, PDX.
128
Плазма в условиях сильного взаимодействия с газом. При
описании режима газовой мишени необходим более точный, чем
принято выше, учет особенностей поперечных профилей пара-
параметров плазмы в диверторе. Нейтралы, поступающие из газа
в плазму, проходят области с различной ее температурой. Так
как длина пробега атомов до перезарядки мала по сравнению с
характерными размерами изменения параметров, от профиля
Т(х) существенно зависят энергии атомов, выходящих из плаз-
плазмы в газ. Примем приближенно: п(х, I) = пA)г\(х), Т(х, I) =
= T(l)Q(x), V(x, l) = V(l)v(x). Данным экспериментов и дву-
двумерных численных расчетов не противоречит относительно
простой вид функций, описывающих зависимости параметров
от х: щ, б, v = ехр(—л2/^,8,„).
Характерный размер изменения температуры в основной
части SOL, дт, связан с бе условием сохранения потока тепла,
откуда следует 6е=У2я/76г« 1,058г. Интегрируя уравнения од-
одномерного приближения C.1) — C.3) по ширине слоя плазмы
в диверторе, получаем:
—
dl
C.59)
ttf) = Г Rndx; C.60)
J
A
ndx, C.61)
Дг Аг Да Дз
где 81 = JT!vcfx; 82 = j -qv^dж; S3 == J -jje^/л; 84 = j -цчЧх;
Ai Ai Ai Ai
Аг А2
85— ] 7]6vc/a; 86 = I 67/2с/л; Д1г — границы плазмы в диверторе.
Ai А»
В режиме с диссипацией тепла в газе условие Бома, накла-
накладываемое на скорость течения плазмы на границе гидродинами-
гидродинамической области, не всегда автоматически сводится к его про-
простейшему варианту A.5) [44]. Перепишемуравнение движения
C.60), введя переменные M=9/Vs и T = nV:
^^—W, C.62)
dl
FM
(l
где
У Г 2Г dl
9—6856 129
А.
dx I
Ьг | гЪп1
В величине W, известной в газовой динамике как действие,
первые два члена, обусловленные соответственно трением плаз-
плазмы о нейтралы при перезарядке и появлением заряженных час-
частиц от ионизации, положительны. Последний член отрицате-
отрицателен, поскольку температура плазмы падает по направлению к
пластине. Вдали от пластин, вблизи входа в дивертор течение
плазмы дозвуковое (М<1), a W положительно, поскольку член,
обусловленный ионизацией, основной. Следовательно, dMjdl>0
и число Маха растет до тех пор, пока либо оно станет равным
1, либо действие обратится в нуль. Первый случай соответст-
соответствует ситуации, рассматривавшейся ранее, с дозвуковым течени-
течением плазмы в SOL и достижением скорости звука на пластине.
Если же имеет место значительная диссипация мощности в газе,
последний член в W возрастает и действие обращается в нуль
при некотором l=l\<.Ls. Действительно, со снижением Т интен-
интенсивность ионизации падает E-*-0, r->const) и согласно A.6)
dT/dl\i-L растет как Т~1'5р, т. е. последний член в W растет как
Т~2>ЪР, в то время как первый меняется пропорционально Т~и2Р.
При Li</<LS dM/dl<0, если М<1, и dM/dl>0, если М>\.
С условием Бома совместима только ситуация, когда M(/>Li)>
>1, т. е. в точке l=L{ одновременно с обращением действия в
нуль скорость потока плазмы должна равняться скорости зву-
звука. Таким образом, имеем систему уравнений M\i=Li — 1;
W\t=Lt = 0, которые дают граничное (точнее «промежуточное»)
условие и позволяют определить координату L\ точки перехода
через скорость звука.
Описание нейтралов в плазме. Решение кинетических урав-
уравнений в области взаимодействия плазмы с газом с учетом неод-
неоднородности температуры по ширине слоя дает распределение
плотностей нейтралов в плазме [55J:
X
dx';
x'
A,
130
exp —
\dx'lL,
C.63)
где lm = vj[n (kd + &/")]; /„* = vj[n (kd + k?
'a,f,* = ya,f,;/lrt {$ + ^c)]i /m;a — уДеЛЬНЫв ПОТОКИ МОЛекуЛ И ЭТОМОВ
из газа с температурой Tg; удельные потоки нейтралов из плазмы
в газ:
t Г /f \ ft М
/f =•- vm j («,„//,„) exp I — J cf^'//f I + exp I — J dx'/lf Vdx"\
д, L V Ai / V * / J
/»= A/2) j Vi (п* + nas + «/) A - ?2) exp I — | dx'lU +
Ai L V д, /
' Д а \ "I
— \ dx'/L \(
exp
потоки энергии, переносимые нейтралами из плазмы в газ:
да
= A/2) j (Л# + «/ + л,) A - р2) v{T [C/2) + Л12] X
X expf—f
д2
5 sB^ = 2/«4-/«-/,-/,;
д3 Г / Х \
= J (я* + «/ + л/) ^^ ехр — \ dx'lk
д. L V д, /
ехр(-
где <7rad = j [k?E?nm + ka.Et(n^ + na + ftf)] cfx — потери энергии
электронами на возбуждение и ионизацию нейтралов.
Решение интегрального уравнения C.63) для плотности ато-
атомов, возникающих при перезарядке, значительно увеличивает
9* 131
вычислительные трудности. Однако в случае, типичном для ус-
условий диверторной плазмы в установке реакторного масштаба,
когда /* мало по сравнению с б, вместо C.63) можно использо-
использовать следующее из него уравнение A.28), существенное досто-
достоинство которого состоит в том, что его численнное решение
может быть получено методом прогонки.
Газ в камере дивертора. Состояние газа в диверторной ка-
камере в значительной степени определяется взаимодействием с
атомами, возникающими в плазменном слое при диссоциации и
перезарядке нейтралов, поступающих из газовой оболочки.
В [44] во внимание была принята передача энергии от горячих
атомов газа, давление же газа считалось постоянным по объему
камеры откачки. На важность учета обмена импульсом при
столкновениях, приводящего к нарушению условия p = const,
было указано в [56].
Эффекты сжатия и нагрева газа могут быть учтены одно-
одновременно в гидродинамическом приближении. Рассмотрим плос-
плоский слой газа между поверхностью плазмы (х=0) и стенкой
(х=А). Характерные размеры изменения параметров в направ-
направлениях, перпендикулярных х, велики по сравнению с А. Из
плазмы в газ поступают атомы с температурой Та, значительно
превышающей температуру газа Tg. Горячие атомы, пролетаю-
пролетающие слой газа без столкновений, с вероятностью Ra отражаются
зеркально от стенки без потери энергии, остальные — диффузно
в виде холодных атомов и молекул с температурой стенки Tw.
Оценки показывают, что при интересующих нас условиях мож-
можно пренебречь диссоциацией молекул в газе.
В рамках сделанных допущений система гидродинамических
уравнений для газа имеет вид:
d(nmU)jdx=0; C.64)
d{naU)/dx=Sa-dja/dx; C.65)
d[(na+2nm)maU2+ (пт+па) X
XTg\/dx=-dMaldx; C.66)
d{[(na+2nm)maU2 /2+57gx
X {Па+пт) /2] U-xgdTg/dx} \dx= -dqa/dx, C.67)
где U — скорость течения; >cg — теплопроводность газа; Sa=
= /*/.E;А) — поступление частиц в газ при нейтрализации
плазмы на диверторных пластинах; /о, Ма, qa — потоки частиц,
импульса и энергии, которые в газе переносят горячие атомы из
плазмы.
132
Граничные условия уравнений C.64) —C.67)
х = 0: dTg/dx = 0; U = — ]/ -J-
V
а 2п
х =-- Д: — xg
пп
dx
2 —0,83ae
C.68
nJJ = -/о A - SJ/2; «af/ = -;e8a,
где ae — коэффициент аккомодации энергии стенкой [57].
Горячие атомы в газе описываются на основе кинетических
уравнений в т-приближении для функций распределения по ско-
скоростям fa:
Vxdfa/dx=^ - (fa-Pa) /Ta, C.69)
) Va\ иа = У2Та/та; ааа, ват,—СеченИЯ уру
гих столкновений горячих атомов с частицами в газе. По поряд-
порядку оа=лр2т, где рт — расстояние между рассеивающимися час-
частицами, на котором энергия взаимодействия UT сравнивается с
Та. В интересующем нас диапазоне энергий: 5^7о^100 эВ
Ur описывается потенциалом Борна — Майера [18J.
Граничные условия C.69) имеют вид:
Х = 0: fa (VX>O) = (pajVa) 6 (Vs — Va) \
Х = Д: fa(Vx<0)=Kafa(Vx>0),
где j°a — плотность потока атомов из плазмы.
Поскольку fa — это функция распределения атомов в газе с
Tg<^Ta при энергиях порядка Та, fa<Cfa- В этом случае решение
C.69) является суперпозицией взаимно проникающих потоков
в направлениях ±х. Соотношения для ja, Ma, Ца имеют вид:
qa = C/2) j0T°gfa,
\а = /о/;-; ма = jomavofM;
где
fj =
k=\
W = 2 h
k=i
2
/, = 2
k=\
— akw) — Ra exp [ak (w — 2дао1);
- «*«>) + Rl exp [ak (w - 2a-0)]} Кг*/Г °;
[аА^-2аH)]}^/Г°;
133
л
w = о0 j (иа + pamnm) d.\; ш0 = ш |х=д; o0 = 105 см2; ak = o*a/o0,
о
Pa = /° fe//o— коэффициенты, которые определяются при рассмотре-
рассмотрении нейтралов в плазме; k=l соответствует франк-кондонов-
ским атомам; й = 2 — атомам, возникающим при перезарядке;
9am — °ат1°аа СЧИТЭеТСЯ Не ЗЭВИСЯЩИМ ОТ k.
Интегрируя уравнения C.64), C.65) и используя определе-
определение w, получаем:
nmU=—j0(pm; naU=— /Офй; U=—jo
где <pm = (l-8n)fJ/2; <pa = /,+ (l-/°)(l-s)- (l-8fl),};yg =
= 2(pm + cpu; ]fl = /;-|и=0,Шо; s = ;/A; точка обозначает дифферен-
дифференцирование no s.
Распределение температуры и кондуктивной составляющей
теплового потока в газе qx=z—%sdTgjdx находим из уравнения
C.66) и его интеграла:
I = 1 g —. ¦ \м — 1м г— ; F. /U)
а2 - aiw), C.71)
О 0 ¦ О' Л1 w 0 т> ум М ^ j
'. fa \ ii i bte \ ' 2t"?e ,
— — l /м — /m r=-1 — Ы r^- f ; штрих
обозначает дифференцирование по w.
Из интеграла уравнения C.67) получаем уравнение для ш:
C-72)
где f°g = fg|u,==0.
Граничные условия C.72): !^|s=o=O; w\s=o=b/y\—фт.
Неизвестные параметры T°g и ш0 определяются из условий,
что при s—1 выполняется C.68) и w = w0. Численный анализ
показывает, что такой выбор — единственный.
134
На основе изложенной мо-
модели описания плазмы и газа ?/>,?w,кВт/см
в диверторе в условиях значи- 1,0к '
тельной диссипации тепла в
газовой оболочке в [55] были
проведены расчеты для уста-
установки с зажиганием самопод-
самоподдерживающейся термоядерной
реакции масштаба CIT. На
рис. 20 представлены зависи-
зависимости удельных тепловых на-
нагрузок на диверторные пласти-
пластины qP и стенки камеры дивер-
тора qw от давления газа вбли-
вблизи стенок камеры Pwg. Увели-
Увеличение Р»в свыше 30 Па приво-
приводит к снижению qP в 3 раза,
тепл°передача__ пластине обусловлена в основном выде-
потенциальнои энергии при поверхностной рекомбина-
юстиц. Отметим, что при этом градиенты па-
в газе велики: его плотность возрастает от 1,ЗХ
О
10
Л а
Рис 20. Зависимости удельных пото-
ков тепла на пластины и стенки ди-
вертоРа Установки CIT от давления
ции
-3
хТпнм з Т КИ: его пл°тность возрастает от 1,З
ХШ см вблизи поверхности плазменного слоя до 8-Ю14 см3
0 2™°*' Э ТемпеРатУРа паДает соответственно от 1,4 эВ до
вбли?иТи'Й "ейтрализат°Р- ПРи снижении температуры плазмы
вблизи диверторных пластин до 1 эВ важную роль в энергети-.
ческом и материальном балансе начинают играть процессы объ-
объемной рекомбинации и возникающие при этом высоковозбуж-
высоковозбужденные атомы водорода. Как показано в [58], излученийиз об-
области рекомбинации может приводить /заметному снижению
тепловой нагрузки на пластины. Кроме того, образующиесТато
мы не удерживаются магнитным полем, что также способствует
делокализации теплового потока. Таким образом есть основа
ния говорить о принципиальной возможности реализаций в да--
верторе реактора-токамака так называемого газового нейтраТи-
затора - ситуации, в которой поступающий из разряда поток
тепла равномерно передается всем стенкам в камере откачки
Расчеты показывают [44, 55], что режим объемной рекомби^
ции при реакторных условиях может быть совместим с доста-
топН°ПпиТИМИ ПЛОТНОСТЬЮ и температурой на входе в дивер-
тор При этом плазменная пробка в горле дивертора будет
эффективно препятствовать истечению нейтрального газа в ра-
рабочий объем реактора. pd
135
3.7. Сравнение с экспериментом
Физические эксперименты. Основные представленные в на-
настоящей главе результаты, многие из которых оказались теоре-
теоретическими предсказаниями ранее неизвестных явлений, получи-
получили экспериментальное подтверждение на токамаках с диверто-
рами. Впервые режимы с сильным рециклингом плазмы на
диверторных пластинах были получены на установке AISDEX
[59J. Измерения, в частности, подтвердили вывод теории о том,
что скорость течения плазмы вне диверторного объема в этих
режимах мала по сравнению со скоростью ионного звука: на
входе в дивертор число Маха не превышало 0,1. На рис. 21
представлены экспериментальная и расчетная зависимости
плотности плазмы у диверторных пластин ASDEX от мощности
W, вкладываемой в разряд. При расчетах принималось Qo=
= 0,8№. Характер зависимости объясняется тем, что в состоянии
сильного рециклинга ТР ограничено на уровне потенциала иони-
ионизации атомов водорода (в экспериментах с ростом Qo TP прак-
практически не менялось и держалось на уровне 7—10 эВ). Посколь-
Поскольку Qo~yonpTpVs6L0sm\!p, nP~Q0.
Пороговый характер перехода в состояние сильного рецик-
рециклинга на диверторных пластинах продемонстрирован в экспери-
экспериментах на токамаках Dili [60], JT-60. На рис. 22 приведена
измеренная зависимость плотности плазмы в диверторе Dili от
средней плотности в разряде с нейтральной инжекцией (W=
= 4 МВт). Здесь же представлена расчетная зависимость ,пг от
10
у
V
/
/
/ °
О
О
IV, МВТ
Рис. 21. Зависимость плотности
плазмы у диверторных пластин
токамака ASD ЕХ от W:
точки—данные эксперимента [59]; кри-
кривая— результаты расчета
136
8
ff
2
4-
J
(
¦ i ,
4
о
Рис. 22. Зависимость плотности
плазмы в диверторе D III от сред-
средней плотности в разряде:
точки—данные эксперимента [60]; кри-
кривая — результаты расчета
Таблица 1. Параметры плазмы в ASDEX
Параметр
<?>, эВ
<я>, 1013 см-3
Тр, эВ
nr, 103 см-3
8Т, см
?а, см
Теория
60
1,4
7
12
1,8
3
Эксперимент
90
1
7
10
1,5
2,5
п, которая получена с учетом экспериментально обнаруженной
связи Г0=1,2- 10221пA—Я/8-1013)-1. Критический для существо-
существования режимов с сильным рециклингом на пластине тепловой
поток в дивертор в случае Dili составляет около 1 МВт.
В табл. 1 представлены результаты расчетов параметров
плазмы в диверторе и в основной части SOL токамака ASDEX
и данных экспериментов [59].
Видно, что давление слабо меняется вдоль магнитного поля,
однако существует большой перепад температур и, следователь-
следовательно, перенос тепла имеет кондуктивный характер. В состоянии
сильного рециклинга в диверторе ширина SOL в соответствии
с теоретическими результатами определяется длиной спада тем-
температуры.
Возможность истечения плазмы из диверторного объема в
основную часть SOL вблизи поверхности контакта с газом в
камере откачки подтверждена экспериментально на установке
DITE с бандл-дивертором [56]. На рис. 23 представлены дан-
данные измерений поперечных профилей плотности плазмы и числа
Маха в основной части SOL вблизи входа в диверторный объ-
объем. В данном случае диверторный слой непроницаем для холод-
холодных нейтралов из газовой оболочки и прозрачен для атомов,
возникающих при перезарядке и диссоциации. Поэтому обрат-
обратное течение плазмы локализовано на длине пробега холодных
нейтралов. Отметим, что косвенным доказательством существо-
существования таких течений, по-видимому, является высокая эффектив-
эффективность подъема плотности в разряде при напуске газа в дивер-
торы токамаков ASDEX, PDX.
В экспериментах на DITE [56] обнаружена также сильная
неоднородность параметров газа в камере откачки и показана
важность ее учета при расчетах параметров плазмы. На рис. 24
представлена измеренная зависимость интегрального излучения
нейтрального водорода в диверторе в линии На от давления
газа вблизи стенок диверторной камеры. Кривая 1 построена в
предположении об однородности параметров газа, кривая 2 —
137
л,
M
12 >- 0,5
- О
-'0,5,
О
*~*-~ о ~
\
\п
\
4
^1
ft) Q
*s е-
I'2
I о
1
Гоо/ о
/</
У
'2
7 °
О
о
о
Рис. 23. Измеренные профили плотно-
плотности плазмы и числа Маха в основной
части SOL токамака DITE [56]
Рис. 24. Зависимость интенсивности
излучения линии На атомов водоро-
водорода в диверторе DITE от давления
газа:
точки —данные эксперимента; /, 2 — оцен-
оценки [56]; 3 — результаты расчетов по моде-
модели § 3 6
с учетом полной передачи импульса франк-кондоновских атомов
частицам газа [56J. Результаты расчетов по модели, описанной
в § 3.6, демонстрирует кривая 3. Принималось, что На связано
с Гр через параметр Хиннова: #а=Гр/14, Д=10 см, ,/?а=0,5.
При малых Pwg кривая 3 близка к кривой 1, так как газ про-
прозрачен для всех горячих атомов. При промежуточных давлени-
давлениях длина пробега франк-кондоновских атомов в газе становится
меньше Д и зависимость, даваемая кривой 2, удовлетворитель-
удовлетворительно описывает реальную ситуацию. При достаточно больших Pwg
в газе «застревают» и атомы, возникающие при перезарядке и
имеющие температуру 30—40 эВ. Это приводит к дальнейшему
ослаблению зависимости На от Pwg, так как перепад давления
в газе возрастает, температура газа вблизи поверхности кон-
контакта с плазмой увеличивается, а поток нейтралов из газовой
оболочки падает как fpg/]/7°g, где Ppg — давление газа у
плазмы.
Результаты теоретического описания режимов с газовой ми-
мишенью, исследовавшиеся на токамаках ASDEX, PDX, показаны
на рис. 25. Здесь приведены расчетные [40, 61] и эксперимен-
экспериментальные [62] зависимости доли теплового потока, поступающего
в дивертор ASDEX, которая передается пластинам, от средней
плотности в токамаке. Видно, что результаты теории удовлет-
удовлетворительно согласуются с данными экспериментов и позволяют
объяснить достаточно высокую эффективность диссипации мощ-
мощности в газе.
138
Рис. 25. Доля передаваемого пласти-
пластинам теплового потока в дивертор-
точки — данные эксперимента [62]; / — ре-
результаты [40]; 2 — расчет по двумерной
модели [61J (зависимость QpIQ0 от плот-
плотности нейтралов, полученная в [61], пере-
пересчитана с использованием данных [62])
12 3 4nJOf*CtA-
Таким образом, можно говорить о достаточном уровне по-
понимания физической природы процессов в диверторной плазме,
изложенных в данной главе. Это понимание может быть базой
для дальнейшего совершенствования теоретического описания и
повышения его точности, необходимых при проведении инже-
инженерных плазмо-физических расчетов в рамках проектирования
будущих дорогостоящих реакторных установок, таких как CIT,
NET, ITER, ОТР. Основным направлением такого совершенст-
совершенствования стало создание больших компьютерных моделей.
Вычислительные эксперименты. Современные компьютерные
модели описания поведения плазмы и нейтралов в SOL и ди-
верторе токамака [54, 61, 41] позволяют учитывать значительно
более широкий спектр процессов, чем это возможно при исполь-
использовании аналитических и полуаналитических методов, описан-
описанных выше.
Важнейшим элементом численных моделей является исполь-
использование вероятностных методов Монте-Карло для описания' ней-
нейтрального компонента. Развитые для их формализации коды,.
например DEGAS [19J, включают несколько десятков реакций
с участием атомов, молекул и молекулярных ионов водорода в
плазме, позволяют описывать трехмерные конфигурации, орга-
органичным образом объединяются с программами для численного
описания процессов взаимодействия заряженных и нейтральных
частиц с материальными поверхностями [19]. В качестве при-
примера использования таких методов на рис. 26 показана картина
уровней равной плотности атомов водорода в диверторном объ-
объеме проектируемой установки CIT.
Компьютерные модели позволяют получить достаточно точ-
точные численные решения двумерных нестационарных уравнений
переноса плазмы в SOL. На рис. 27 представлены рассчитанные
в [61] поперечные профили плотности и температуры плазмы
в SOL и диверторе токамака ASDEX; здесь же приведены дан-
данные экспериментов [59J. Использование быстродействующих-
компьютеров позволяет моделировать поведение плазмы с уче-
учетом реальной геометрии магнитных и материальных поверхно-
139
Рис. 26. Уровни равной плотности нейтралов в диверторе CIT (числа соответ-
соответствуют значениям \gna)
rP>Ts>
ЭВ
100-
10
-1015
-/ 10
np,ns
5
см
ff*
Ч0г
/\
— в
** Тр а
о
—.
-2
О
г-г5)гм
Рис. 27. Поперечные профили температуры электронов и плотности плазмы у
пластин и в плоскости симметрии токамака ASD ЕХ:
г\ ,Q, ф , О —данные эксперимента;— результаты расчета [61]
140
1 -
—^
—.
Рис. 28. Геометрия магнитных по-
поверхностей и диверторных пластин в
реакторе-токамаке 1NTOR
10
Рис. 29. Профили температуры элек-
электронов n SOL ASD EX без учета A)
и с учетом B) поправок на нелокаль-
нелокальность теплопереноса
стей [63]. Пример такой геометрии в случае INTOR демонст-
демонстрирует рис. 28.
Численное моделирование позволяет также учесть нелокаль-
нелокальный теплоперенос электронов вдоль магнитного поля. Напри-
Например, учет этого явления при описании SOL ASDEX [64] дал
значительно лучшее согласие с экспериментом по сравнению
с результатами, учитывающими чисто кондуктивный перенос
тепла (рис. 29).
Точность численного моделирования диверторной плазмы в
дальнейшем будет возрастать. Но с увеличением числа процес-
процессов, включенных в модели, для понимания и интерпретации ре-
результатов будет необходимо развивать относительно простые
аналитические модели, подобные описанным в настоящей главе.
Глава 4
ПРИСТЕНОЧНАЯ ОБЛАСТЬ В ТОКАМАКЕ
С ЛИМИТЕРОМ
4.1. Плазма в лимитерном слое, проницаемом
для нейтральных частиц
Ввиду того что для реактора диверторная конфигурация
считается более предпочтительной, теоретические исследования
плазмы в пристеночной области токамаков с лимитерами не-
немногочисленны.
Существуют принципиальные трудности в непосредственном
перенесении моделей, развитых для дивертора на конфигурацию
с лимитером. Они связаны с тем, что нейтралы, появляющиеся
при рециклинге на лимитере, попадают в периферийную область
с замкнутыми магнитными поверхностями, и непосредственно
141
влияют на параметры плазмы в ней. В связи с этим теоретиче-
теоретическое изучение лимитерного слоя проводится до сих пор в основ-
основном на базе аналитических и полуаналитических моделей.
Если выполнено условие B.35), в лимитерном слое можно
пренебречь взаимодействием плазмы с нейтралами, поступаю-
поступающими с лимитера и первой стенки. В этом случае материальный
баланс в SOL описывается C.29), уравнение движения вдоль
магнитного поля имеет вид
температура плазмы, как показано в § 3.3, меняется слабо:
?7(x:<o*;const=7\5. Значение ^определяется из балансов тепла
и частиц в периферийной области B.15), B.16).
Первоначально рассмотрим ситуацию, когда длина отрезков
силовой линии 2LS между последовательными пересечениями по-
поверхности лимитера одинакова для всех его точек. Если коэф-
коэффициент поперечной диффузии в SOL не зависит от параметров
плазмы D1|J-<o = const = D5, то, интегрируя уравнения C.29),
D.1) вдоль магнитного поля, получаем:
LsD/i2 (n)/dx2 = npVs; 1
LsDsd({Vvdnldx))/dx = 2np V/ — nsVs
где nsJ> = n \i=0,ls.
Средняя плотность плазмы и плотность в плоскости сим-
симметрии близки: </2> = an«s, где an»l. Кроме того, в SOL, про-
прозрачном для нейтралов, поток плазмы вдоль поля меняется за
счет поступления заряженных частиц из периферийной области
(х^О) почти линейно с /, так что (nV ц) =s: $nnpVs, где
рп«1/2; изменение лУц с х обусловлено в основном спадом
плотности: dlnfijdInV{l ^> 1.
В таком случае приближенное решение уравнений D.2) с
граничным условием A.96) имеет вид:
/ у лг \ / V v
\ 5 / V 8 i
D.3)
п.р = а+12 sh (я+ -——) + a_X2_sh (я_
где 8 = VDSLJVS; Я± = V(I ± /l - $п1*пЩп.
Коэффициенты а± определяется из граничных условий на
магнитной поверхности, касающейся лимитера (х=0). Одно из
них — заданный интегральный поток частиц Г8 в SOL из пери-
периферийной области. Кроме того, фиксируем отношение т]* =
142
= пР/(гС)\х—0, которое должно определяться из самосогласован-
самосогласованного рассмотрения SOL и периферийной области. В результате
находим:
При 6<СЛ=|Х(с| изменение плотности в SOL описывается
двумя экспонентами. Так как 1+>1, А_<1, относительный вклад
составляющей с меньшей длиной спада в пР больше, чем в <«>.
Следовательно, при ]х|^б/Л+ плотность плазмы вблизи лими-
лимитера спадает быстрее, чем вдали от него.
В случае рельсового лимитера длина силовой линии зависит
от положения точки ее пересечения с лимитером. В [65] пока-
показано, что это должно приводить к появлению зависимости дли-
dx
ны спада плотности в SOL Ь„ =
от х и полоидального уг-
d In n
ла 6. Полная картина изменения плотности получена на основе
численного решения трехмерных уравнений переноса.
В гл. 6 показано, что полоидальная асимметрия параметров
плазмы в SOL может быть также обусловлена влиянием торо-
тороидального дрейфа заряженных частиц, который не учитывается
в уравнениях переноса A.1) — A.3). Отметим также работу [66],
где рассмотрена асимметрия в случае конфигурации с торо-
тороидальным лимитером, обусловленная характером протекания
токов равновесия в лимитерном слое.
4.2. Влияние рециклинга на лимитере на плазму SOL
Исследование этого влияния может быть в основном прове-
проведено на базе моделей, развитых в гл. 3. Здесь же ограничимся
изложением результатов, полученных при рассмотрении собст-
собственно лимитерных конфигураций, которые дополняют теорети-
теоретические представления о роли рециклинга в пристеночной плазме.
Проницаемость SOL для нейтралов, поступающих с лимите-
лимитера [42]. Как показано в гл. 3, для определения параметров
плазмы в SOL необходимо найти связь их значений в области
рециклинга с потоком из слоя плазмы нейтралов, возникающих
при рекомбинации заряженных частиц на материальной поверх-
поверхности. В § 3.2 приведено решение этой задачи в приближении
малого угла е между материальной и магнитной поверхностями.
Приближенное решение для случая е=я/2 получено в [42].
При этом для решения двумерных кинетических уравнений был
использован метод, близкий к изложенному в [67]. Основные
его моменты рассмотрим на примере приближения «горячих»
первичных нейтралов [предполагается, что с материальной по-
поверхности в плазму поступают только атомы с энергией ?* =
143
= C/2) 7VJ. В таком случае выкладки значительно упрощаются,
однако обобщение метода на случай более сложного энергети-
энергетического спектра первичных атомов не представляет принципи-
принципиальных трудностей.
Примем, что параметры плазмы в области рециклинга вбли-
вблизи лимитера имеют не зависящие от координат значения пг и ТР
в слое толщиной б (см. рис. 30). При х<—б плазма отсутству-
отсутствует, что при х>0 находится периферийная область. Уравнение
A.20г), записанное в координатах х и |, проинтегрируем по |
и U|. В результате получаем:
oJFjdx = U |*=о - (К + К) nrF« + kcN,Fu D.4)
00 00 ОС 00 00
где F, = J# J dv-J,- lA = j Vif*dv%; N, = j FJvx; Ft= J ftdVi.
0 —эо —oo —oo —oo
Источник атомов на поверхности лимитера принимается од-
однородным по х, а его зависимость от vx, так же как и Fit —
двухскоростной:
j:l k=o = npVs sin ф • g (ox); Ft = nrg (vx),
где g (vx) = A/2) [8 (ox-ot) + 8 (vx + vt)].
Решение D.4) ищем в виде F*—A+6(vx—Vi)-\-A-8(vx+Vi)
при условии, что потоки атомов в область рециклинга через бо-
боковые поверхности SOL пренебрежимо малы. В результате
имеем:
А± = ПрВ2^'6 A-{A + p)exp(«rs)± A ±
Xexp[-«r(H-s)]}/[l+p4-(l-p)exp(-«r)]>, D.5)
где Ur=t
Используя соотношения D.5), находим выражение для ин-
интегрального потока атомов из SOL в области рециклинга:
00 ОО ОО 00
х=0
У* = L0^d% j dv, j dvxvxfJxZlb = Lo J dVxoxF«
х=—Ъ
0 —00 —oo
D.6)
где Гр = nPys sin ij)-i6Lo —поток плазмы на лимитер; Lo — полная
длина контакта плазмы с лимитером в направлении, перепенди-
кулярном х и |; предполагается, что Lo!>6.
Чтобы найти профиль плотности атомов, усредненной по ши-
0
рине SOL, т. е. n(|)= ^n^dx/8, уравнение A.20г) проинтегри-
— 5
144
руем по х и vx:
V;.d(bjd?, = — j*,x Г=о — (&" + kc) пгФх + ксп.АФь D.7)
ОО
где , у| * j J
5 —00 —00
Приближенное решение уравнения D.7) находим, полагая,
что Ф* и i*,x\xZ° связаны так же, как и их интегралы по
оо оо 0 оо
О —оо —5 —оо
00 00 00
J ^ J *»*/•.* |*~°_& = j do^AF, C:!.5,
О —эо —оо
которые могут быть вычислены с помощью D.5). Таким обра-
образом, вместо D.7) получаем приближенное уравнение:
v% d<$>Jdi = - (kta + kc) пгФ« + Асл»Ф*. D-8>
где kta — k,a + -^^ • у„ = , аналогичное ки-
нетическому уравнению для перезарядившихся атомов в полу-
полубесконечной плазме с точностью до замены kai эффективной
константой «исчезновения» нейтралов /га;, учитывающей как
ионизацию, так и уход атомов через боковые поверхности лими-
терного слоя. Методика решения таких уравнении описана в
гл. 2.
Отметим, что качественно зависимости /* от иг, даваемые
D.6) и C.18а), близки. Поэтому результаты, полученные в § 3.2,
в частности, вывод о пороговом характере перехода в состояние
сильного рециклинга в SOL, применимы и при е=я/2. Одна-
Однако в этом случае из структуры D.8) видно, что пороговые по-
потоки тепла и частиц в область рециклинга должны оцениваться
из условия мтах,(Гр) «2: если при е<С1 нейтралы покидают
SOL только через одну боковую поверхность, то при е=я/2 —
через две.
В [42] при рассмотрении нейтрального компонента учитыва-
учитывались две составляющие — атомы, возникающие при отражении
ионов, ускоренных в дебаевском слое, и перезарядившихся ато-
атомов. Значение <7кР было найдено на основе численного решения
уравнений C.12), C.13). Получено, что дкр через коэффициенты
отражения энергии слабо зависит от материала лимитера: в
случае углерода ^Kp/sinif=5,9 кВт/см, молибдена — 5,1 кВт/см.
10-6856 145
Поток частиц плазмы в область рециклинга [68J. Часть по-
потока нейтралов из SOL в области рециклинга поступает в пери-
периферийную область плазмы, часть — на первую стенку вблизи
лимитера [в идеализированной модели, рассмотренной выше,
обе части составляют (l/2)/*J. Доля атомов, попадающих в пе-
периферийную область, равная альбедо Ai, «отражается» к стенке
в результате перезарядки. Следовательно полный поток атомов,
возникающих при рециклинге плазмы на лимитере, на первую
стенку равен J*/2(l-\-Ai).
Результат взаимодействия нейтралов со стенкой зависит от
ее состояния. Если стенка обезгажена, то доля рте атомов, сорт
бируемых стенкой, равна 1—RN; если стенка насыщена
рабочим газом, рш = 0. Часть потока атомов на стенку, равная
1—p«;, вновь поступает в плазму. Здесь опять происходит час-
частичное отражение нейтралов из-за перезарядки, и описанная
цепочка процессов повторяется. Полный поток, поглощаемый
стенкой, Фю находим, суммируя потоки, сорбируемые при каж-
каждом акте взаимодействия со стенкой:
фш = ^хл~\к + A -р») Арш + О -р») А A -ри.) Ар* + •••] =
Некоторая доля ps потока нейтралов со стенки ионизуется в
лимитерном слое. Зависимость р., от параметров плазмы в SOL
найдена в [40J. Следовательно, полное число атомов, ионизу-
ионизующихся в периферийной области в единицу времени, и равный
ему в стационарном состоянии диффузионный поток плазмы в
SOL составляют:
~ 2 1-A-РшМ/
Поток Г., может быть связан с плотностью плазмы на границе
пристеночной и полностью ионизованной областей разряда, п0,
на основе соображений, развитых в гл. 2.
В случае, когда SOL непрозрачен для нейтралов, параметры
плазмы неоднородны вдоль магнитного поля не только в лими-
лимитерном слое, но и, как показано в § 2.6, в периферийной обла-
области. Примем, что здесь вблизи лимитера на глубине проникно-
проникновения атомов температура близка к ТР, а плотность меняется
по х от пг до «о- Следовательно, для толщины периферийной
области хо имеем оценку: x0M[nwo*{Tp)J, где ято=(«о+
+лг) /2 — средняя плотность в месте ионизации атомов, посту-
поступающих из SOL.
146
Находим rs,. полагая поперечный градиент плотности в пе-
периферийной области приближенно равным (га0—<«>) 1х0:
r^S0Dl^^^^-^S0Dl а, (л0-(*»(/?„ + пг), D.11)
где Dj_— средний в области коэффициент диффузии. В случае
о + т) . D.12)
>
Щ + ч«>
В пределе слабого рециклинга в SOL <«}^яг<Ся0 и D.11)
переходит в B.17).
Параметры плазмы в основной части SOL (n, f) ив области
рециклинга (п,, ТР) связаны соотношениями, приведенными в
§3.3.
Соотношения D.10), D.11) позволяют связать поток нейт-
нейтралов из области рециклинга /* с величиной п0, которая опре-
определяется средней плотностью плазмы в разряде п, измеряемой
экспериментально. Это дает возможность рассчитывать пара-
параметры плазмы в SOL токамака с лимитером при заданных зна-
значениях ii и потока тепла из центра разряда в пристеночную
область Qo.
В разрядах с напуском газа стационарное состояние плазмы
поддерживается за счет компенсации потоком газа Фя погло-
поглощения атомов в стенке: Фе = Ф№. В этом случае D.9) позволяет
найти связь Фг с ио> п.
4.3. Откачные лимитеры
Откачные лимитеры являются механическими аналогами ди-
верторов. При этом роль сепаратрисы, вне которой силовые ли-
линии пересекают диверторные пластины, играет магнитная по-
поверхность, касающаяся кромки лимитера. Принцип действия
откачных лимитеров основан на том, что часть потока атомов
из SOL, /* попадает в специальный объем, где тем или иным
образом организована откачка. Рассмотрим откачные лимитеры
различных типов.
Открытый откачной лимитер. Простейший лимитер такого
типа схематически изображен на рис. 30. В данном случае по-
поверхность лимитера, воспринимающая тепловой поток, являет-
является одновременно поверхностью, на которой формируется поток
нейтралов, поступающий в систему откачки.
Важной характеристикой эффективности работы открытого
откачного лимитера является доля ?р потока нейтралов из плаз-
10* 147
7777
6
Рис. 30. Открытый откачной лимитер:
1 — область рециклинга; 2 — основная часть
SOL; 3 — периферийная область; 4 — основная
часть разряда; 5 — лимитер; 6 — стенка; 7 —
откачиваемая полость
мы, попадающих в откачиваемый
объем. В [69] ?р найдено в
предположениях: а) для ионов,
падающих на лимитер, RN, RE~
^0,5; б) SOL прозрачен для от-
отраженных атомов, имеющих ко-
синусоидальное распределение по
направлениям скорости:
ехр(х/о-г)!-(Л
¦dz, D.13)
где бг »'бп — характерная длина спада потока плазмы на ли-
лимитер.
На рис. 31 представлены зависимости \р от Ьр, построенные
в [69] для ряда значений бг при А=3бг.
Баланс частиц в откачиваемом объеме Vv имеет вид:
Vpdng/dt=~Vn8+J*lP/2-L0bpngv8/4,
D.14)
где ng — плотность газа (предполагается, что это молекулы с
температурой стенок и тепловой скоростью vg); V — объемная
скорость откачки.
Интегрируя D.14), получаем:
где Tc=VPlg/)
В квазистационарном пределе t^>xc ng~J*. В случае SOL,
прозрачного для нейтралов, /*-~Гр«Г8, т. е. с ростом средней
плотности в разряде давление газа в системе откачки увеличи-
увеличивается пропорционально потоку плазмы в SOL: если коэффици-
коэффициент диффузии в периферийной области не зависит от п, ng~n2;
в случае скейлинга Alcator для Djjig~ii.
Ситуация качественно меняется, если Qo достаточно велик и
с ростом п и Г« происходит переход в состояние с сильным ре-
циклингом плазмы на лимитере [70]. При этом, как следует из
C.58), ng сильно нарастает с увеличением плотности плазмы в
SOL.
На рис. 32 представлена зависимость от п0 скорости откачки
V, необходимой для вывода из реактора-токамака масштаба
INTOR потока несгоревшего топлива Го=1О22 с~'. При расчете
148
V,10
J 10 15 6d,cm
Рис. 31. Зависимость
Ъв и 6r.
от
8
Рис. 32. Зависимость скорости откач-
откачки от плотности плазмы на границе
пристеночной области реактора-тока-
мака с открытым откачным лимите-
лимитером
принято: L0bP=l3 м2; |р=1; коэффициент диффузии в пери-
периферийной области и в SOL 1 м2/с.
Закрытый откачной лимитер. В лимитере такого типа
(рис. 33) поверхность, в основном воспринимающая тепловой
поток (огневая), и поверхность, на которой формируется поток
нейтралов в откачиваемый объем, разделены. Для обеспечения
однородной тепловой нагрузки на огневую поверхность торо-
тороидального лимитера ее профиль должен описываться уравнени-
уравнением [69J:
,j/(x)=6?{(c-2-lI/2-arctg[(c-2-lI/2]-[c-2x
Хехр Bх/6д) -l]1/2+arctg[c-2expBx/6g)-l]1/2},
где c = Lo69^i./,Qo; Ql — удельный тепловой поток на огневую
поверхность; bq — характерная длина спада продольного потока
тепла в SOL.
Если откачной канал до-
достаточно удален от магнитной
поверхности, касающейся
кромки лимитера, 63^|xi,2|,
процессы в нем слабо влияют
на параметры плазмы в SOL.
В этом случае их значения на
входе в канал определяют-
определяются рециклингом на огневой
Рис. 33. Закрытый откачной лимитер:
/ — огневая поверхность; 2 — SOL; 3 —
откачной канал; 4 — нейтрализационная
поверхность; 5 — система откачки
149
поверхности. По этой же причине плотность плазмы в
нем достаточно низка, так что канал прозрачен для атомов с
температурой ионов, возникающих при перезарядке на холодных
нейтралах, поступающих с нейтрализационной поверхности:
^с«<СУ(,'Ас. Далее предполагается, что последние являются ато-
атомами с температурой стенок Tw.
Функция распределения по скоростям холодных атомов удов-
удовлетворяет уравнению A.206). Интегрируя A.206) по ширине
канала, получаем:
V'^T = ~ W 4 ^ nF» - /».* С -^-. D-15)
где Fo=. J d>jbc J forlux\ jOiX= J vj^vx.
Xt —oo —00
Если со стенок поступают атомы с функцией распределения
Фо=A/2)[вA>г-1/о)+6(оН-Оо)],то
lo.x U=jf, — 'о'о i™ or'o ~г Н-чРи ?о>
где Vo=~V2Tu-/ma; No, n* — плотности холодных и перезарядив-
перезарядившихся атомов.
При перезарядке атомы приобретают продольную скорость
ионов F|| и баланс частиц для них имеет вид
d (n»V и )ldl = kcnN0 — njotlbc.
На стенку канала приходят горячие атомы, возникающие при
/-ДсУ„/о,.
С учетом сказанного в предположении малости Дс по срав-
сравнению с характерным размером изменения параметров вдоль /
из D.15) находим уравнения для Л'о и плотности потока холод-
холодных атомов /0
—- \
o. D.16)
Здесь Da = Acfo/(l+Ac//o) — коэффициент диффузии, обуслов-
обусловленной хаотизацией импульса атомов при столкновениях со
стенками канала; Va = b.ckcnV ц /vt —скорость конвекции
из-за наличия направленной скорости у атомов, возникающих
при перезарядке; l~\=l~xi+l~\; /c=i>o/ {Kn); h = vol (kain).
Совместно с уравнениями переноса заряженных частиц
D.16) позволяет рассчитать параметры плазмы и газа в откач-
ном канале. Мы же ограничимся рассмотрением качественной
зависимости плотности холодных нейтралов от параметров
плазмы в SOL.
150
Считая, что с удалением от нейтрализационной поверхности
No и параметры плазмы меняются с некоторым характерным
размером L, из D.16) и C.1), C.2) находим:
; D.17)
vo _ Q
L2 lcltL h
Из D.18) следует, что при A2C<CWC L»"|/AJ/; в обратном
случае L«/c/,-/Ac. Поэтому с ростом плотности в SOL меняется
характер зависимости NQ от «s:
ПрИ
С увеличением «s возрастает роль перезарядки, которая приво-
приводит к компрессии газа вблизи нейтрализационной поверхности.
Полученный результат качественно согласуется с данными
численного моделирования с использованием метода Монте-
Карло для описания нейтралов в откачном канале [65].
4.4. Сравнение с экспериментом
Приведенные результаты теоретических исследований плаз-
плазмы в SOL токамака с лимитером хорошо согласуются с данны-
данными экспериментов.
Различие характерных длин спада плотности плазмы в SOL
вблизи и вдали от лимитера обнаружено в токамаке TEXTOR
[21J: 0,75 и 1,6 — 3 см соответственно. Вычисления по форму-
формулам D.3) при типичных значениях #s=l м2/с; Ls=nR = 5,5 м;
7"s=15 эВ; аи = 0,8; Р„ = Т1* = О,5 дают значения 0,8 и 2,2 см.
Важность учета зависимости длины силовой линии от поло-
идального угла в случае рельсового лимитера показана в [65].
В хорошем согласии с данными экспериментов расчеты показа-
показали, что уровни плотности в SOL T-10 при различных значениях
8 различаются в несколько раз.
Переход в состояние сильного рециклинга плазмы в лими-
терном слое наблюдался в токамаках Dili, Alcator и др. На
рис. 34 показана измеренная зависимость интегральной интен-
интенсивности излучения атомов водорода в линии На вблизи рель-
рельсового лимитера Dili, расположенного на внешнем обводе тора,
от средней плотности плазмы в токамаке [71]. Здесь же приве-
приведена расчетная зависимость потока плазмы на лимитер Гр от п.
Зависимости согласуются количественно, если учесть, что Da и
151
Гр связаны через множитель Хиннова: Яа^Гр/14. В расчете
принималось яо=О,8Я; Q0=l,2 МВт; S0=24,6 м2; L0=0,5 м;
коэффициенты переноса плазмы в SOL — бомовские; в перифе-
периферийной области принят скейлинг-D^ = AD/nc Ар = 1017см~'-с~'.
Переход в состояние сильного рециклинга может быть од-
одним из механизмов, стимулирующих развитие явлений типа
MARFE [72] — полоидально-несимметричных сильноизлучаю-
щих областей холодной плотной плазмы преимущественно на
внутреннем обводе тора. Иной механизм возникновения MAR-
MARFE из-за охладительной неустойчивости на примесях рассмат-
рассматривается в гл. 5. Как показано в [43, 68], MARFE может по-
появиться в результате касания плазменного шнура первой стен-
стенки. Область касания локализована в полоидальном направле-
направлении и играет роль тороидального лимитера. При потоке тепла
в SOL, превышающем критическое значение Qkp=2X
X2rc^wqrKpSin\|), происходит переход в состояние сильного ре-
рециклинга. Здесь Rw — большой радиус области контакта плаз-
плазмы со стенкой; sinifi«fie/?q>- Так как тороидальное магнитное
поле меняется как R~lw, Qkp~R2w. Следовательно, переход в
состояние с холодной плотной плазмой на внутреннем обводе
происходит при меньших Qo, чем на внешнем обводе. При Qo,
превышающем QKp для любого Rw, с ростом плотности плазмы
состояние с сильным рециклингом на первой стенке может воз-
возникать как на внутреннем, так и на внешнем обводах. Сказан-
Сказанное может объяснить результаты экспериментов на токамаке
Т-10 [68]. Их демонстрирует рис. 35, где показаны радиальные
профили плотности на стадиях с чисто омическим нагревом и
при включении ЭЦР-нагрева
мощностью 1,9 МВт. Кривые 2
и 3 соответствуют различным
значениям п. При достаточно
больших п и мощности вкла-
вкладываемой в разряд область с
высокой плотностью возникает
на внешнем обводе. Отме-
Отметим, что условия развития ох-
охладительной неустойчивости
требуют, напротив, уменьше-
уменьшения потока тепла на перифе-
периферию (см. § 5.6).
»-f
15 -
О L
1020
фотон/
25
- 20
- 15
- 10
о
- 0
С
<
/
/о
о
i
/
г °
о
о
о°
2 3 if- п,1013см~
Рис. 34. Экспериментальная зависи-
зависимость интенсивности На излучения
атомов водорода на линии вблизи
лимитера Dili (точки) [711 и расчет-
расчетная зависимость потока плазмы на
лимитер (кривая) от средней плот-
плотности il
152
Рис. 35. Измеренные профили плотности плазмы в Т-10 при различных значе-
значениях мощности ЭЦР-нагрева и п:
1 — W=O, л^=3-1013 см-3; 2 — №=1,9 МВт, л=3-1013 см-3; 3 — №=1,9 МВт, п —
= 1,6-10" см-3
О
<000^ о
> °о
о
°о°
О
о I
о II
°о°/
>у
о о/
6 ns,f0f3CM-3
Рис. 36. Зависимость давления га-
за в откачном лимитере AIcator-A
от плотности плазмы в SOL:
точки —данные измерений; кривая—
результаты расчета
4
5
1
/о
81'о/
8о°
о
/
0
о о
о
f
1
г
2
О
Рис. 37. Зависимость давления га-
газа в откачном лимитере Т-10 от
js:
точки— данные эксперимента; / —ре-
зультаты расчетов методом Монте-Кар-
Монте-Карло [65]; 2 — результаты вычислений по
формулам D.17), D.18)
Переход в состояние сильного рециклинга в SOL был обна-
обнаружен при исследовании в Alcator-A откачного лимитера с от-
открытой геометрией [69]. На рис. 36 показана эксперименталь-
экспериментальная зависимость давления газа в системе откачки Pg от плот-
плотности плазмы в SOL; здесь же представлена расчетная зависи-
зависимость, полученная в [70].
153
Режимы с высокой компрессией газа в откачном патрубке
лимитера с закрытой геометрией получены на установке Т-10.
Рисунок 37 демонстрирует измеренную зависимость давления
в откачиваемом объеме Pg от ионного тока на зонды на входе
в откачной канал /s. Сильно нелинейная зависимость Pg от /s
в режиме компрессии (js^ 1019 см~2-с~') объясняется следую-
следующим. При заданном потоке тепла на лимитер температура
плазмы падает обратно пропорционально /s. Поскольку /s=
= nsVs, получаем ns~j3/2s и jV0~ Vsn2s~/5/2s.
Глава 5
ПРИМЕСИ В ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЕ
ТОКАМАКА
5.1. Поступление примесей в плазму
Механизмы поступления примесей в плазму токамака с ог-
ограничивающих ее материальных поверхностей широко изучают-
изучаются экспериментально и теоретически [18, 73].
На квазистационарной стадии разряда основным источни-
источником металлических примесей является физическое (катодное)
распыление. Другие каналы эрозии, такие как электрические
дуги, плавление при локальном нагреве, играют и, по-видимо-
по-видимому, будут играть существенную роль в реакторах лишь на ко-
конечной и начальной стадиях разряда, при больших срывах.
Процесс физического распыления имеет пороговый харак-
характер. Пороговая энергия Et зависит от энергии сублимации ма-
материала мишени Ев и отношения масс атомов мишени и рас-
распыляющих частиц, nil и tiii, соответственно. Согласно [18] Et =
= ?в/A— у7) /yt при т,^0,3/п7 и Et^8EB(mijm/J^ при т,>
^0,Зт7, где yi = 4niini,/'(m,--fWjJ. В настоящее время для
описания распыления используется кинетическая теория каска-
каскадов столкновений атомов мишени, вызванных взаимодействием
с бомбардирующей частицей [74]. Она дает хорошее согласие
с опытными данными. Однако на практике обычно применяют
аппроксимационные полуэмпирические соотношения для коэф-
коэффициента распыления У, определяемого как отношение потока
распыленных частиц к потоку падающих частиц, имеющих энер-
энергию Е и угол падения 8.
Вблизи порога распыления зависимость Y(E, 6) описывает-
описывается соотношением, приведенным в [75]:
^^) (^)/(в). E.1)
154
При 6^70° f(8)^cosv0, где v меняется в зависимости от ? и
вида распыляющих частиц в интервале l^v^2. При 8 = 70ч-
80° / достигает максимума, а затем убывает с увеличением 9,
что обусловлено отражением бомбардирующих частиц от по-
поверхности.
Коэффициент распыления достигает максимума при Ew
7nEm=b0ZiZi, где Z;j — атомные номера бомбардирующих
частиц и атомов мишени; Е, Ет—в эВ. Вблизи максимума для
У справедливо соотношение [76]
У (Е, Щ = -J5- гЩ -^- - / F). E.2)
Основной вклад в распыление материальных поверхностей
в термоядерных установках вносят ионы изотопов водорода и
примесей, которые ускоряются в дебаевском скачке потенциала
<ps. В слой объемного заряда ионы водорода входят со средней
скоростью в направлении, перпендикулярном поверхности, близ-
близкой к скорости ионного звука. Функция распределения ионов
на поверхности имеет вид [77]
Y
где ji — плотность потока ионов; v, й—составляющие скоро-
скорости, перпендикулярно и параллельно поверхности; cpi={e-'-f-
+Ул [1+erf A) J }-J / Bjt) — нормировочная константа; 60=
— e(psjT; в случае примесей с зарядом z eo=ze<fS/T-
Интенсивность распыления характеризуется усредненным
коэффициентом распыления:
(
f v fivjV^J^t f о„ (hlh) Y[(mil2) (v\ + v])t
6 ; ° E.3)
)}d
Зависимости S; от Т, рассчитанные в [78], представлены на
рис. 38.
При фиксированных ? и 8 У зависит от энергии Es и угла 0s
между нормалью к поверхности и направлением скорости рас-
распыленных частиц. Согласно [79] Y~Esj (?s-f-?BK; при нор-
нормальном падении бомбардирующих частиц y~cos8s. Средняя
скорость распыленных частиц равна
E.4)
Распыление большинства материалов происходит в виде
нейтральных атомов, которые могут проникать достаточно глу-
глубоко в плазму. Ряд веществ с высокой работой выхода распы-
155
10
10'
-i
10-
10
-4
10
10-
-Л
(l
1
I
1
1
/
i
¦~" -~.
Рис. 38. Зависимость коэффициента распыле-
распыления углерода (/), железа B) и молибдена C)
ионами трития, ускоренными в ленгмюровском
скачке потенциала, от температуры плазмы
ляется в виде ионов. Если магнитное
поле наклонено к поверхности под
малым углом, то большинство распы-
распыленных ионов сталкиваются с ней при
первом же обороте по ларморовской
окружности, что приводит к снижению
эффективного коэффициента распыле-
распыления [80].
Важным каналом поступления лег-
легких неметаллических примесей (С, О)
является стимулированная десорбция и химическое
распыление в результате реакции на поверхности с обра-
образованием таких соединений, как СНЦ, СО и т. п. Теоретически
эти процессы изучены еще недостаточно и при рассмотрении
влияния легких примесей на энергетический баланс пристеноч-
пристеночной плазмы их концентрацию будем считать заданной.
10
100 Т,эВ
5.2. Перенос примесей в периферийной области
Уравнения баланса частиц. В периферийной области (вне
SOL) балансы частиц примеси описываются системой одномер-
одномерных уравнений непрерывности для атомов и ионов разной крат-
кратности ионизации [81]:
dn°IvI/dx=— n^nk^+Rxfiti1,;
- пТх,
.2—1
E.5)
Rz+1,.nz+1, E.6)
где rfi, nzi — плотности атомов и ионов примеси, k°'zi — кон-
константы ионизации; R — скорости рекомбинации.
Для пристеночной плазмы основными видами рекомбинации
являются излучательная и диэлектронная. При некоторых ус-
условиях важную роль играет перезарядка на атомах водорода.
Данные о константах элементарных процессов приведены в
[82].
В случае так называемого коронального равновесия, когда
в балансе частиц примеси основную роль играют ионизация,
излучательная и диэлектронная рекомбинация, распределение
ионов по зарядовым состояниям определяется только темпера-
температурой электронов. Зависимости среднего заряда в корональ-
ном приближении zc от Те приведены в [82] практически для
всех элементов периодической таблицы.
В поперечном потоке ионов Г^ учитываются следующие
156
составляющие [83]: поток, обусловленный аномальной диффу-
диффузией
где коэффициент D\,a принимается обычно одинаковым для всех z
и совпадающим с коэффициентом для основной плазмы Dj_; нео-
неоклассический поток Т\<п; оценки показывают, что для типичных
параметров пристеночной плазмы ионы примеси находятся в пфирш-
шлютеровском режиме процессов переноса [84]:
где q — коэффициент запаса; Л«= D/3)У2лт;(е2с2Лс/б2о); Во—
напряженность магнитного поля.
Конвективной составляющей в Г^, например, за счет ано-
аномального пинч-эффекта, в пристеночной области пренебрега-
ется.
Конфигурация без SOL [81, 83]. Если плазма ограничена
только первой стенкой, уравнения E.5), E.6) применимы во
всей пристеночной области. Поскольку оценки показывают, что
ионизация атомов примеси, как правило, превалирует над их
источником за счет рекомбинации, решение E.5) в данном
случае имеет вид
И(\*1-йх\, E.7)
где \i — поток примесных атомов со стенки.
Суммируя уравнения E.5), E.6) по всем г и интегрируя по
х при условии отсутствия потока примеси в пристеночную об-
область из центра разряда, получаем:
(f^)O, E.8)
где п, = 2 п'\ г= Ъгп.уп,\ Dn = 2Aiq
При выводе E.8) учтено, что коэффициент неоклассической
диффузии Dn мал по сравнению с D±, a T меняется в присте-
пристеночной области слабее п.
Длина пробега атомов примеси до ионизации /i = Wi/(&°,-n)
мала по сравнению с толщиной периферийной области xq, ко-
которая близка к /* = 2/(л00«), из-за различия в массах основных
157
и примесных частиц. Поэтому можно выделить две подобласти.
Подобласть 1 (xsglJj), где происходит ионизация атомов
примеси. Здесь неоклассический перенос несуществен, посколь-
поскольку характерный размер изменения параметров основной плазмы
порядка L, а плотности ионов примеси U. Для рассмотренных
в гл. 2 частных случаев зависимости D^{n) профиль п^х) на-
находится аналитически:
а) In — О, D±(*) — const. Разлагая B.20) в ряд при s<l и
интегрируя E.8), получаем
/i/ = «/iIerf(^/i1)-f n,\x=o,
где п,л = \Гк jj /1/BD1); lx = 2/«0 /Щ5);
б) Yn = — 1, Dj_ = AD/n. Используя B.21), находим
пг ¦¦= «/,2 {* - ехР {~
где «/2 jKAk0)
Если плотность ионов на стенке мала по сравнению с п1Лг2,
эти значения можно принять для tij на границе подобласти 1.
Подобласть 2 (л;^/,). Здесь последний член в E.8) пре-
пренебрежимо мал и для плотности примеси на границе перифе-
периферийной области имеем:
a«)> E.9)
тде г = J zDndnl(D± п); <хп = j Dndnl(Dx n);
о о
а„ = DB (rto)/D± при Тл = 0; а„ = Dn («0) л0/B
при Yn = —1.
Для типичных значений параметров (? = 3, Во=3 Тл, По1^
= 3-1013 см-3, 7р = 20 эВ, D±= I M2/c) ап=0,2. Следовательно,
при г, превышающем агхп^Ь, неоклассический перенос приво-
приводит к сильному возрастанию плотности примесных ионов в под-
подобласти 2.
Для определения z необходимо решить систему уравнений
E.6), при этом в первом приближении можно воспользоваться
следующими соображениями. Характерное время, которое ионы
примеси находятся в периферийной области, равно Tro»
«/2*/(Z)n+.DjJ. При этом они успевают ионизоваться до со-
состояния с зарядом zw таким, что
г=1
158
Рис. 39. Зависимость относительной концен-
концентрации примеси в реакторе-токамаке от ко-
коэффициента диффузии в периферийной обла-
области для первой стенки из стали (/) и мо-
молибдена B)
10
-г
\
V
Если zw меньше zc(TP), то z^zw, 10~s
в противном случае z=zc, так как
рекомбинация препятствует увели- у^-4
чению z по сравнению с zc.
При определении // примем, что
в водородной плазме помимо ме- 10~5 —¦ ,? М2/С
таллических примесей, распыляе- 1?
мых со стенки, присутствуют легкие примеси. В таком случае
li = Tp(oi-\-aiSi) / A—Ss), E.10)
Si, Ss — коэффициенты распыления стенки легкими примесями
и собственными ионами (самораспыления); а; — отношение по-
потока легких примесей на стенку к Тр.
Используя B.17), находим:
Плотность примесей в центре разряда пропорциональна nwi
и E.11) позволяет исследовать эффективность повышения коэф-
коэффициентов переноса в пристеночной области — турбулентного
плазменного бланкета — как способа уменьшения содержания
примесей в реакторе. Отметим, что вывод [81] о падении nwi
с ростом D^ из-за усиления переноса примеси неверен, по-
поскольку в [81] не учитывалось, что при этом также растет Гр,
а следовательно и поток распыленных атомов. Как следует из
E.11), основная причина снижения nws — уменьшение коэффи-
коэффициентов распыления и заряда примесей в пристеночной области
из-за падения температуры плазмы.
На рис. 39 представлены результаты расчета зависимости
концентрации примеси li = nwjjп0 от коэффициента диффузии
в периферийной области установки масштаба INTOR с первой
стенкой из нержавеющей стали и молибдена. При вычислениях
принималось, что у„ = 0, заряд металлических примесей, бом-
бомбардирующих стенку, равен 2, легкие примеси отсутствуют.
Увеличение Z)j_ до уровня 5 м2/с ограничивает концентрацию
примесей на уровне ниже опасного для термоядерного горения.
5.3. Динамика примесей в SOL
Гидродинамическое описание. Для изучения поведения при-
примесей в SOL часто используется так называемая модель проб-
пробной жидкости [7, 85], основанная на раздельном гидродинами-
159
ческом описании ионов с разными зарядами в предположении
их низкой концентрации — Zj nziZ2jn<^.l. В этом случае можно
г
пренебречь столкновениями примесных ионов и их влиянием
на движение водородной плазмы. Каждое ионизационное сос-
состояние связано с другими через процессы ионизации и реком-
рекомбинации, с фоновой плазмой — через кулоновские столкновения
и продольное электрическое поле. Температура ионов примеси
принимается равной Т..
Уравнения непрерывности и движения вдоль магнитного
поля для примеси имеют вид:
d/fi/dt + д (п' V\)ldl = - (k* п + ^2,2_i) ifi +
+ kTxnnzrl + Rz+liZri+'; E.12)
d{9zV\)ldt + d[Pz {V\f + n',Tt]/dl = n'izeEn + ?z (У „ -V\)hz +
+ arfdTtldl + fotidTt/dl + йГ'яРг-^Г1 + Rz+1,zPz+1V?\ EЛЗ)
где рг = т. rij- х = ЗТ3/2т2/ [4 У^27с/И; е4ггпА. (т, + /п,I; а., В2 —
коэффициенты термосил, обусловленных столкновениями с ио-
ионами примеси электронов и фоновых ионов соответственно:
_ _ 1 — Mj — 5\/2(\,W5r/2 — 0,35^f3/2)Z2
2,6—ЯМ^ЪАЩ /g j^\
yVf/ — mI/(m[ + ^г).
Термосила направлена в сторону увеличения температуры
плазмы, т. е. она препятствует уходу примеси вдоль магнитного
поля в диверторный объем. Этот эффект наиболее существен
в режиме сильного рециклинга плазмы в диверторе или на ли-
лимитере, когда в SOL имеется большой перепад температур, а
скорость течения в основной части SOL мала по сравнению со
скоростью звука. Как видно из уравнения E.13), при V\\/Vs<g.
<^kcd\nT/dl силой трения можно пренебречь. Суммируя E.13)
по всем z, для сильноионизованной примеси в изотермической
плазме находим (djdt=O):
Tdrtjldl ъ 3,36?я, дТ/д!, E.15)
где z2 = 2 22/г//й/. Отсюда следует: щ ^ Г3'36г2, т. е. в резуль-
г>1
тате действия термосилы плотность примеси в основной части
SOL должна резко нарастать с удалением от дивертора или
лимитера. Эти оценки подтверждают результаты [85], где
160
"' , т
11^1=0 Tlj
0,75
0,5
0,25
1=0
*
—.
V
\
2
\
О з в 9 г,м
Рис. 40. Изменение вдоль SOL то-
камака ASD ЕХ отношений плот-
плотностей ионов железа с 2=9 A),
2=8 B) и полной плотности при-
примеси C) к значению tii в плоско-
плоскости симметрии SOL
r
V
2,5
7,5
Рис. 41. Профили плотности одно- и
двухзарядных ионов железа, посту-
поступающих с лимитера, рассчитанные по
кинетической модели ( ) и
модели пробных частиц ( )
уравнения E.12), E.13) решались численно. На рис. 40 пред-
представлены расчетные профили в SOL относительных концентра-
концентраций ионов железа с различным z. При расчетах принималось,
что источник примеси сосредоточен в плоскости симметрии SOL.
Параметры плазмы и геометрические размеры были приняты
соответствующими установке ASDEX, число Маха в основной
части SOL не превышало 0,03.
Кинетическое описание. Гидродинамическое приближение, как
правило, справедливо для частиц примеси, поступающих в SOL
из основной плазмы или с первой стенки. Для них характерный
размер изменения параметров порядка Ls и превышает длину
пробега до кулоновских столкновений с частицами фоновой во-
водородной плазмы. Иная ситуация с примесями, возникающими
при распылении лимитера или диверторных пластин. Их рас-
распределение по скоростям сильнонеравновесно, и необходимо ки-
кинетическое описание.
Кинетическая модель описания примесей в SOL развита в
[77, 86J. Уравнение для функции распределения по скоростям
/2 (/, и(|, v^) ионов с зарядом z принято в виде
II dl
— %, E-16)
где Qz — источник ионов.
Фоккер-планковский оператор ds/dt, описывающий кулонов-
ские столкновения примеси с водородными ионами, в прибли-
11-6856 161
жении mi<^mi приводится к дифференциальной форме
где wn = vn/Vi; w± = v±/{viV2ei); au p., fu st — интегралы от
функции распределения фоновых ионов, приведенные в [77].
С новой переменной т\ = с{1, у,,)у2, уравнение E.16) приводится
к виду
E.17)
+/ „ . д In I с I , о
(ар — р х)-) !—¦—\- 2^i.
Дифференциальный оператор
E.18)
имеет собственные функции /^("п), когда выполняется соотно-
соотношение
Ai=8eiV2iC E.19)
При условии lira Fk (i)) = 0 собственные значения и собственные
функции E.18) имеют вид Ai,k = kAr, ^(т]) =Lh(r))exp(—ц),
где Lft — полиномы Лагерра порядка k.
Из E.19) получаем дифференциальное уравнение для ко-
коэффициентов c(l, vl{), которое может быть решено аналитиче-
аналитически методом характеристик.
Представив fz, Qz в виде fz = %ak(l, vn)Fk(i\), Qz =
k
= V Qft(/, vn) Fk (tj), изE.17) находим уравнения для коэффициентов
k
разложения ак:
„ дак п «fP||-P»P< dak
ак = 0. E.20)
L xz J
162
Уравнение E.20) решается методом характеристик. Для ко-
коэффициентов Qk в пренебрежении рекомбинацией и перезаряд-
перезарядкой на атомах водорода в [86] получено:
( оо
?, z=i;
к
где Qn — источник за счет ионизации атомов примеси; Я.„ =
( ] — биноминальные коэффициенты.
\т/
Если известны коэффициенты разложения аи, то моменты
функции распределения легко вычисляются. В частности, для
плотности и потока ионов примеси вдоль поля получено:
J . I II J
11 а«A>
E.21)
Для силы, действующей на примесь, имеет место соотношение
E.22)
Результаты расчетов по данной модели, проведенные в [86],
демонстрирует рис. 41. Здесь показаны профили вдоль магнит-
магнитного поля ионов железа с различным г. Предполагалось, что
примесь поступает с поверхности в виде атомов с температурой
Т0=2 эВ; плотность и температура плазмы в SOL: n=3,2X
Х1012см-3, 7=29 эВ.
В кинетическую модель могут быть включены источники и
стоки ионов примеси за счет объемной рекомбинации и пере-
перезарядки на атомах водорода. Однако за время пребывания в
SOL примесей, поступающих с материальной поверхности, они
не успевают ионизоваться до состояния, соответствующего ко-
рональному равновесию, так что скоростью рекомбинации мож-
можно пренебречь по сравнению со скоростью ионизации. Что каса-
касается перезарядки, ее роль может быть весьма существенной.
Модель пробных частиц. В качестве приближения к кинети-
кинетической модели для примесей в SO'iL в [87, 88] была использо-
использована модель пробных частиц. В ней движение ионов вдоль
магнитного поля рассматривается как движение сгустков час-
частиц в сплошной среде фоновой плазмы, без учета перемешива-
перемешивания сгустков.
11* 163
Рассмотрим эволюцию сгустка ионов, возникающего при ио-
ионизации вблизи точки (хо, /о) атомов, имеющих составляющую
скорости вдоль магнитного поля vi. В момент рождения плот-
плотность ионов в сгустке равна:
dn){x0, /0, у,)= (-^-\dlodvl [ ,°{vx, у,; х0, lo)dvx,
где f°j — функция распределения атомов примеси по скоростям.
С течением времени заряд ионов в сгустке возрастает.
В [88] было принято, что z увеличивается на 1, если с момента
предыдущей ионизации прошло время Д?= (frV*).
Изменение координаты сгустка во времени описывается
уравнением
^(^)^+^ + Р)^ E-23>
Модель пробных частиц не позволяет учесть максвеллиза-
цию ионов примеси при кулоновских столкновениях с основны-
основными ионами, которая приводит к диффузионному расплыванию
вдоль магнитного поля и перемешиванию отдельных сгустков.
Оценки показывают, что за время движения ионов примеси, по-
поступающей с лимитера или диверторной пластины, в SOL эти
эффекты не должны качественно менять картины, следующей
из модели пробных частиц. При отсутствии перемешивания ли-
линейная плотность примесных ионов в сгустках, равная интегра-
интегралу от плотности по координате, перпендикулярной магнитному
полю, меняется обратно пропорционально их скорости.
В [88] по модели пробных частиц рассчитывали профили в
SOL вдоль магнитного поля плотностей ионов примеси с раз-
разными z. Параметры фоновой плазмы были приняты такими же,
как и в [86]. Результаты расчетов представлены на рис. 41
штриховыми кривыми. Удовлетворительное согласие с данны-
данными, полученными по кинетической модели, имеется для одно- и
двухзарядных ионов, времена ионизации которых малы по срав-
сравнению с временем пребывания примеси в SOL. Для более вы-
сокоионизованных примесей это условие нарушается и модель
пробных частиц слишком груба: даваемые ей плотности суще-
существенно ниже приведенных в [86]. Однако таких примесей
мало.
5.4. Экранирующие свойства SOL
Экранировка плазмы термоядерного реактора от примесей,
возникающих при эрозии материальных поверхностей, является
одной из основных функций, возлагаемых на SO(L. Идея экра-
экранировки состоит, во-первых, в том, чтобы примесь, поступаю-
поступающая со стенок, ионизовалась в SOL и увлекалась течением плаз-
164
мы вдоль силовых линий магнитного поля в диверторный объем
или на лимитер, а во-вторых, в уменьшении потока плазмы,
достигающего стенки.
Экранировка примесей, поступающих с первой стенки [89].
В данном случае воспользуемся уравнениями E.12), E.13),
дополнив их членами, учитывающими перенос частиц и продоль-
продольного импульса при поперечной диффузии. В ситуации со слабым
рециклингом на пластинах дивертора, рассмотренной в [89],
скорость течения плазмы вдоль магнитного поля в SOL поряд-
порядка скорости ионного звука и в E.13) справа доминирует сила
трения примесных ионов об основные. Для оценок в уравнении
движения дифференцирование заменим делением на характер-
характерные размеры изменения параметров (вдоль поля примем его
равным Ls, поперек —А). В стационарном состоянии
[<У\ У - V?]/Ls = (Vg - V^, )hz + DLV\ /Д2,
откуда
-Vj-Vs]-^^-} E.24)
L
s
где . Ls _ Ls *mt. _
При aT<a±, aL > Vmt/mr V\ = V//(VsaT). В этом случае SOL
не эффективен, так как за время поперечной диффузии примесь
не успевает выйти на материальную поверхность вдоль силовых
линий. Если a^<aT, то диффузионный перенос продольного
импульса несуществен. В такой ситуации при ax^.mijmI при-
примесь движется вдоль поля с тепловой скоростью VV; при
mijmI^.ax^\ примесные ионы в той или иной степени увлече-
увлечены течением фоновой плазмы; если же ат^ 1, то V* ~-Vs. Для
типичных параметров SOL«^3-1012 см~3, 7^20 эВ — и железа
в качестве примеси ат>1 при г^З, так что основная масса
примеси увлекается движением водородных ионов. В таком слу-
случае уравнение непрерывности для заряженной примеси в SOL
имеет вид [89]
где принято д/dlcal jLs.
Длина пробега нейтралов до ионизации мала по сравнению
с Ls и профиль n°z описывается E.7) с учетом того, что стенка
находится при x=xw.
В качестве граничных условий примем условия обращения
плотности ионов примеси и их потока в нуль соответственно на
стенке и при х—х0. Последнее условие дает равенство потоков
165
ионов и атомов примеси во всей периферийной области, где
V || =0. Следовательно, вместо него можно принять условие на
сепаратрисе или магнитной поверхности, касающейся лимитера
/^Uo = 0.
При D± (к) — const = Ds решение E.25) имеет вид:
shfxpff^
ch(JW«) J V « / KV J °' /
E.26)
где 8 = ]/?)sLs/V5. Из E.26) находим поток ионов примеси на стен-
стенку Г^ \x=Xw = ]j A — 7]s), где коэффициент
6 J sh(xw/S) Fl J •/
ч
*w Aw
характеризует эффективность SOL с точки зрения ионизации
атомов примеси.
Таким образом, в рассматриваемом случае вместо E.10)
имеем
E.27)
где Tsp — поток плазмы на стенку в конфигурации с SOiL.
Для Т3р и профиля плотности плазмы в SOL воспользуемся
результатами § 4.2.
Экранирующие свойства SOL для примесей, поступающих
со стенки, количественно характеризуются коэффициентом г\*,
который равен отношению потока атомов примеси в периферий-
периферийной области (лг^О) при наличии SOL и без него:
¦% = ¦ !^^ —^ '-. E.28)
Рисунок 42 демонстрирует зависимость коэффициентов t)s и
¦ц* от глубины SOL. При расчете принималось: Dj_ = l м2/с,
/го=3-1013 см-3, ТР=20 эВ, 6=1 см, заряд примесей, распыля-
распыляющих стенку, соответствует корональному равновесию.
Экранировка примесей, поступающих с лимитера. Если А
достаточно велико, основным источником примеси является
распыление лимитера или диверторных пластин. Вопрос об эк-
166
Рис. 42. Зависимости коэффициентов r\s
и т)«, характеризующих эффективность
экранировки разряда от примесей, по-
поступающих с первой стенки, от отноше-
отношения Д/6
ранирующих свойствах SOL для
примесей, поступающих с лими-
лимитера, теоретически рассматривал-
рассматривался в [88, 90] для случая, когда
материальная и магнитные по-
поверхности перпендикулярны друг
другу. Для профилей параметров
фоновой плазмы в SOL принима-
принималось приближение «ступеньки»: " *. ч- v
п(х, 1)=пA); Т(х, 1)=Т{1); — 6<x<0; я=Г=0; х<—б.
Поведение распыленных атомов примеси в плазме SOL опи-
описывается двумерным кинетическим уравнением для функции
распределения по скоростям f°i(vx, t>g; x, I):
-k°inf'>I, E.29)
*л*\
0,8
0,6
0,2
\
/
V
1
А
где dg = — sin ф-d/.
Общее решение E.29) имеет вид:
f°(vx, v{, x, S) = /J(ox, v^ xL,
где —д^Хь^О — координаты источника атомов на лимитере;
функция распределения атомов на лимитере принимается в мо-
модельной форме:
О,
(^_0/) [8 (^
xL<— 8,
xL <0,
Параметры плазмы меняются слабо вдоль магнитного поля
на глубине проникновения атомов примеси, которая определя-
определяется как /°/ = min(S, //). Действительно, если рециклинг на ли-
лимитере слабый, то характерные размеры изменения п и Т по-
порядка Ls^>6. В случае сильного рециклинга плотность и тем-
температура фоновой плазмы меняются существенно на расстояни-
расстояниях от лимитера порядка /*^>//. Плотность атомов примеси, ус-
усредненная по ширине SOL, дается выражением
— 5
0 —оо
E.30)
167
Для потока атомов примеси из SOL в основную плазму име-
имеем
E.31)
При описании движения ионов примеси в SOL вдоль маг-
магнитного поля в [88] была использована модель пробных частиц.
В системе отсчета, связанной со сгустком таких частиц, ионы
диффундируют поперек магнитных поверхностей. Связанное с
диффузией изменение плотности частиц в сгустке описывается
уравнением
i??H?)a <5-32>
Граничные условия E.32) определяются характером движения
заряженных частиц вне SOIL. В [88] рассмотрен случай, когда
вне плазмы (х<—б) диффузия примеси отсутствует (D± — 0),
а в основном объеме токамака (х>0) коэффициент диффузии
такой же, как в SOL. Кроме того, рассмотрение было ограни-
ограничено стадией накопления примеси, когда ее плотность в центре
разряда далека от стационарной. В этом случае
L = 0; дп, = Ь.
дх х=—ь х))ъ
Ионы, возникающие при ионизации атомов в точке (лг0, U),
появляются в точке наблюдения (х, I) через интервал времени
At, который связан с /, U, vt уравнением движения E.23). Плот-
Плотность таких ионов находится через функцию Грина уравнения
E.32):
drij (x, I) —- ux^Iq
где vi = —sinty-vi; lo=Ls—10/sin ty.
В E.33) должны учитываться как частицы, идущие от ли-
лимитера (dlIdt,<.0), так и двигающиеся к нему (dllflt>0), из-
изменившие первоначальный знак скорости под действием элект-
электрического поля, столкновений с частицами фоновой плазмы.
Полная плотность ионов примеси п+(х, I) определяется при
интегрировании E.33) по х0, /о, vi. Воспользуемся тем, что для
современных и будущих токамаков 8>h, так что
о
/^ \\,dxlb.
— 5
168
77;
6
5
з
2
1
л
I
\
\
i у
уд
\
\
^——
\
10 21
1020
1019
10i8
1017
101B
-
-
-
Jl
/ V \
/ it
/ -1
^ //
//
// x
/
/in iii
5-/^7
5-/(?e K,
Рис. 43. Профили плотности атомов Рис. 44. Зависимость потоков приме-
и ионов железа, рассчитанные с уче-
учетом их движения поперек магнитных
поверхностей
си в реакторе-токамаке с открытым
откачным лимитером от скорости
откачки:
/; — поток атомов молибдена, распыляе-
распыляемых с нейтрализационной поверхности!
/;°+ — потоки атомов и ионов из SOL
В результате для средней по ширине SOL плотности полу-
получаем:
X
H (i
2erf
+ erf
8— х
Для определения плотности ионов конкретной кратности иони-
ионизации интегрирование должно проводиться по соответствующей
области изменения l0, vt. Аналитическое определение этих об-
областей довольно громоздко, однако при численном интегриро-
интегрировании принадлежность d«z какой-либо из них непосредственно
определяется зарядом г данного сгустка ионов. На рис. 43
представлены профили вдоль магнитного поля усредненных
поперек SOL плотностей атомов, одно- и двухзарядных ионов
железа, рассчитанные для тех же параметров фоновой плазмы,
что были приняты в [86], при D± = l м2/с. Сравнение рис. 41
и 43 показывает, что поперечный перенос примеси существенно
меняет распределение ее плотности в SOL.
169
Для потока заряженной примеси, поступающей в рабочий
объем токамака, в [88] получено:
Xexp(- VMo/"/) (l - jr) [l ~erf
1]
E.34)
где y0 -= 8/]/Dj_x (f0); t (Eo) — время, за которое ион, возникший в
точке i = |oi приходит в плоскость |=0.
На основе формул E.31), E.34) в [90] были проведены
расчеты зависимости интегральных потоков: распыленных ато-
атомов с нейтрализационной поверхности Ji = L08ji, атомов и ио-
ионов из SOL в рабочий объем (/°1( /+/ соответственно) реакто-
ра-токамака масштаба INTOR в конфигурации с открытым
откачным лимитером. При расчетах учитывалось самораспыле-
самораспыление молибденового лимитера ионами, которые не выходят из
SOL, и ионами, поступающими в SOL из рабочего объема.
Заряд последних принимался равным среднему заряду при ко-
рональном равновесии с Т=ТР. На рис. 44 представлена зави-
зависимость потоков Ji, J°'+i от скорости откачки. При переходе
основной плазмы в состояние сильного рециклинга на нейтра-
нейтрализационной поверхности при 1/^5-108 см3/с потоки примесей
с лимитера и в рабочий объем падают на несколько порядков.
В стационарном состоянии с сильным рециклингом поток
примеси из SOL в виде ионов с малым г компенсируется об-
обратным потоком сильноионизованных частиц. Установившийся
уровень плотности последних в рабочем объеме можно оценить
сверху как
где D^_ — коэффициент диффузии в центральных областях разряда.
Полагая D\ — 0,5 м2/с, находим, что в режимах g сильным ре-
рециклингом ncj^l010 см, т. е. существенно ниже уровня, опас-
опасного для термоядерного горения.
В [91] влияние поперечного переноса примесей в SOL рас-
рассматривалось на основе кинетического подхода к описанию дви-
движения ионов вдоль силовых линий. Полученные там результаты
близки к результатам [88, 90].
В заключение отметим, что в последнее время разработаны
численные коды для двумерного моделирования поведения при-
примесей в SOL методами Монте-Карло [92, 93]. Они позволяют
учесть все многообразие процессов, происходящих с атомами и
170
ионами примеси^ повысить точность описания до уровня, необ-
необходимого для проведения инженерных расчетов реакторных ус-
установок.
5.5. Вывод гелия из реактора-токамака
Необходимым требованием к способу организации процес-
процессов в пристеночной области реактора-токамака является обес-
обеспечение вывода из рабочего объема гелиевой золы при доста-
достаточно низком уровне ее концентрации, который не должен пре-
превышать 5% [34J. В [32, 70, 92, 139] показано, что эта задача
может быть решена как при создании конфигурации с турбу-
турбулентным плазменным бланкетом, так и при реализации режима
с сильным рециклингом плазмы на нейтрализационных пласти-
пластинах дивертора или откачного лимитера.
Турбулентный плазменный бланкет (ТПБ) [32]. В конфигу-
конфигурации с ТПБ откачка гелия может быть организована так же,
как и вывод несгоревшего топлива — в виде атомов, которые
попадают в специальные отверстия в первой стенке. Поток
таких атомов к стенке формируется в результате упругих
столкновений и перезарядки атомов гелия, рециклирующих со
стенки, на ионах водорода и гелия.
Для описания атомов в [32] было использовано кинетиче-
кинетическое уравнение для функции распределения по скоростям в
т-приближении:
где k(iec — константы ионизации и перезарядки атомов гелия; fa, па—
функция распределения и плотность гелиевых ионов; х^ = ke n-\-
-\-к^епа, к^'Ие — константы упругих столкновений с ионами водо-
водорода и гелия соответственно; учтено, что константы перезаряд-
перезарядки и упругих столкновений атомов гелия с одно- и двухразряд-
двухразрядными ионами близки [19].
Равновесная функция распределения /^е и fa принимаются в
виде
/Не, /в = J^L. [8 (рх — Va) + 8 (Vx +Va)],
где va =
Граничные условия E.35) учитывают поступление со стен-
стенки в плазму двух групп атомов гелия: десорбирующих с тем-
температурой стенки (&=1) и отраженных с энергией, близкой к
171
Tp (k = 2). Решая E.35) методом, использованным в § 2.2 при
решении кинетического уравнения для нейтралов водорода, по-
получаем следующие соотношения для плотности и потока атомов
гелия:
l_-L)exp (-«*«„)]; E.37)
4k I J
здесь Tj, = vjwk; p. = #V«, оде ?а = ??e + *? + (/?е -(- ^?е)«а/«;
ГНе, даА —суммарный поток и
скорости первичных атомов гелия.
Перенос гелиевых ионов описывается уравнением E.6). Пре-
Пренебрегая неоклассическим потоком, интегрируем сумму урав-
уравнений переноса. В результате получаем выражение для плотно-
плотности а-частиц на границе пристеночной области nwa. В случае
сильного рециклинга на стенке (Га0<СГне, где Га0 — поток
из зоны термоядерного горения) имеем:
nw= CJn±dx+n I . E.38)
О
Поток атомов гелия на стенку
Гне = A - VK) ^ J+VT^* E-39>
к л
Если стационарное состояние поддерживается откачкой атомов,
попадающих в отверстия в стенке, то имеем связь между
Г^е и Го (см. §2.5):
Г^е/Го* = FolF1 + FoWl/DV). E.40)
Соотношения E.38) —E.40) позволяют найти концентрацию
а-частиц на границе пристеночной области lwa=nwa/n0. При-
Приближенное аналитическое выражение для |№а получается в
предположении, что со стенки поступают только атомы водоро-
водорода и гелия с температурой пристеночной плазмы. В этом случае
иа выражается как функция х с помощью B.20) и интеграл в
172
E.38) оценивается методом перевала, учитывая, что
Гне/Го == Гю/Г0 при Па>па\х=0 находим:
ku — Vkukia г*
P04Sн^ о
где ku=kai+kc.
Если в центре разряда поперечный перенос фоновой плазмы
и «-частиц одинаков, среднюю концентрацию последних можно
связать с ?№а следующим образом:
Константу упругих столкновений атомов гелия с ионами
оценивают исходя из того, что взаимодействие описывается по-
потенциалом Борна — Майера [18]. Данные о константах пере-
перезарядки и ионизации Не взяты из [19J. При 7V~15 эВ /гне»
ж?Не,ж2Ч0-9 смз-с-1. При п/«о=1,4, Г«о/Го=Ю-2 это дает
E№<x = 4%, ?a=3%. Следовательно, ТПБ позволит в принципе
решить проблему поддержания достаточно низкого уровня кон-
концентрации гелия в термоядерном реакторе.
Конфигурация с SOL. Вопрос о выводе гелия из реактора
в конфигурации с SOL рассматривался в [70, 92, 139] на осно-
основе описания движения ионов гелия вдоль магнитного поля в
приближении пробной жидкости. В режиме с сильным рецик-
лингом плазмы на нейтрализационных пластинах термосила
препятствует выходу а-частиц, имеющих большие по сравнению
с фоновыми ионами массу и заряд, в диверторный объем. В ос-
основной части SOL их плотность согласно § 5.3 меняется про-
пропорционально Т а. При вычислении Eа учтем зависимость рг
от Mi, а также члены в E.13), имеющие порядок ниже z2; на-
находим, что ра» 3,6.
Расчеты, проведенные в [70], показали, что несмотря на
влияние термосилы относительная концентрация а-частиц в
SOL реактора-токамака |sa не должна превышать 3—4%. Этот
результат может быть понят из следующих соображений. Со-
Согласно § 3.4, ?«^ ?а((-О/^*) "> где Sra — концентрация
в области рециклинга, Г* — температура, при которой сравни-
сравниваются сила трения об основные ионы и термосила. |ra может
быть оценена из баланса частиц. С учетом того, что в систему
откачки попадают нейтралы, возникающие при рекомбинации
заряженных частиц на расстоянии от границы слоя плазмы не
более длины пробега до ионизации,
173
где /*, /*<х — потоки нейтралов в патрубок откачки, концен-
концентрация атомов гелия в системе откачки. Так как 7><с/не,
Результаты, полученные в [70J, согласуются с данными рас-
расчетов, которые в [92] проводились на основе двумерного моде-
моделирования гелия в SOL методом Монте-Карло: в [92] найдено,
что на сепаратрисе реактора-токамака gsa=0,05.
В заключение отметим результаты [94], где показано, что в
режиме работы реактора с автоколебаниями плазмы в SOL
уровень |sa может быть существенно ниже.
5.6. Роль примесей в тепловом балансе периферийной
плазмы
Как уже отмечалось, излучение сильноионизованных средних
и тяжелых примесей, таких как Fe и Мо, может вносить суще-
существенный вклад в энергетический баланс центральной части
разряда. Легкие примеси (О, С) сильнее влияют на периферий-
периферийную плазму, поскольку в ней присутствуют ионы с малыми z,
имеющие богатые спектры линейчатого излучения. Удельные
потери энергии из электронного компонента, связанные с воз-
возбуждением таких ионов, примерно в 103 раз превышают потери
на тормозное излучение на полностью ионизованных примесях
из центральных областей разряда [82].
Охладительная неустойчивость на примесях. В [95] рас-
рассмотрена устойчивость теплового баланса периферийной плаз-
плазмы, содержащей легкие примеси, в предположении, что распре-
распределение ионов примеси по состояниям с разным разрядом опи-
описывается корональным равновесием. В этом случае для удель-
удельной мощности радиационных потерь, фигурирующей в уравне-
уравнении теплового баланса A.3), справедливо соотношение
QI = nnIL(Te). E.42)
Зависимости L(Te) для угле-
углерода и кислорода представле-
представлены на рис. 45. Из них следует,
что при достаточно низких Те
равновесное состояние пери-
периферийной плазмы может быть
неустойчиво: флюктуационное
уменьшение Те должно приво-
приводить к увеличению радиацион-
радиационных потерь энергии и, если
Рис. 45. Зависимость излучательной
способности ионов углерода (/) и
кислорода B) от температуры элек-
электронов в корональном равновесии
174
L, Вт -см5
они не компенсируются подводом тепла из более горячих обла-
областей разряда, к дальнейшему падению температуры.
Рассмотрим малые стационарные возмущения температуры
плазмы Т в ситуации, когда исходное и возмущенное состояния
однородны вдоль магнитного поля. Если радиационное излу-
излучение примесей является основным каналом объемных потерь
энергии, линеаризованное по отношению к таким возмущениям
уравнение теплового баланса имеет вид
E.43)
dx J- dx L ' dx '
где принято V = dLjdT; F = exp — j i
\ о /
Граничное условие для уравнения E.43) при х=0 находим,
линеаризуя A.8):
dT
dx
из условия сохранения потока тепла из центра разряда следует
dT
dx
= 0.
х-*оо
Для вывода критерия устойчивости невозмущенного состоя-
состояния в [95] был использован вариационный метод, согласно ко-
которому устойчивость имеет место, если функционал
№4 (nn,L'
(nn,L + ) dxFT
V ' dx ) \ dx
i=0
положителен при любых Т, удовлетворяющих граничным усло-
условиям.
Функция V (Т) принимает большие отрицательные значения
в узком интервале температур ДТ вблизи Т=Ть. Например, в
случае кислорода ДГлПО эВ, Г&«30 эВ. Поэтому в [95] для
L'(Т) была принята аппроксимация вида L' = — |L'|max; Ть-<.
<Г<ГЬ+Д7; L' = 0; T<Tb; Т>ТЬ+АТ.
В пренебрежении конвективным теплопереносом при и, =
= const критерий устойчивости имеет вид:
1 ( | U | ma
где хь — координата точки, в которой Т=ТЬ; Дх& — ширина об-
области с L'= — |L'|max; пь = п(хь); Ахь<^хь.
Если, следуя [95], считать, что на периферии разряда гра-
градиент температуры меняется слабо, так что АТь/АхьжТъ/Хъ, и
175
учеСТЬ ЧТО, |Z/|marAr&«Lmax, TO КрИТврИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МОЖНО
записать следующим образом:
л*< q° -=nhm, E.44)
где h = /
Влияние конвективного теплопереноса в периферийной об-
области на критерий устойчивости рассмотрено в [96], где вместо
E.44) получено
пь<пть!{1ь). E.45)
Здесь |ь = л:ь«осг*/2, а функция / имеет весьма громоздкий вид,
причем /->-0 при |ь-НЗ и /«1 при |ь^ 1.
Соотношениями E.44), E.45) определяется максимальная
допустимая плотность при хь, при превышении которой разви-
развивается охладительная неустойчивость на примесях.
Баланс тепла периферийной области. Принятые в [95, 96J
зависимость L(T) и профиль температуры в периферийной
плазме являются достаточно грубыми. Действительно, так как
температура возрастает к центру разряда, условия развития
охладительной неустойчивости прежде всего выполняются в
периферийной области, где Т меняется слабо с х и L практиче-
практически постоянно. С учетом излучения примесей условие баланса
энергии в области имеет вид:
qo^QiXo+yoTpTp, E.46)
где Qi = liL(TP)n2ol4, последний член в правой части — поток
тепла, передаваемый материальным поверхностям (считается,
что на лимитере плазма не находится в состоянии сильного ре-
циклинга).
Примем, что в периферийной области D± = AD/n. В этом
случае TP^ADnoa* и E.46) переписывается в виде
F(Tp) = lIL(Tp)l,Bo*)+y0ADa*Tp=q0ln0=p. E.47)
Вблизи Т—Ть зависимость L(T) достаточно точно аппрок-
аппроксимируется выражениями
L = ехр (-2,64 In2 Г+9,44 In 7-23)
в случае углерода и
L = exp (-1,71 In2 Г+9,94 In Г-28,8)
в случае кислорода, где Т выражено в эВ, L — в эВ-см3-^1.
Зависимости F от ТР (рис. 46) (при расчете принималось
уо = 7,5; gj == 1 %, Ad=№17 см^1-с) позволяют проанализиро-
проанализировать эволюцию периферийной плазмы при изменении парамет-
параметра р. Если первоначально плотность в разряде достаточно
низка, так что р превышает значение, соответствующее макси-
максимуму F, то с ростом По и уменьшением р температура в пери-
176
F,1O'1I>
Вт-см
У
2
1
r
- ¦*
60 80 Гр,SB
Рис. 46. Зависимость F(Tp) при
1%-ном содержании углерода (/)
и кислорода B)
0,4
0,8 1,0 1,2
Рис. 47. Зависимость критического
значения параметра рс от концен-
концентрации углерода (/) и кислоро-
кислорода B)
ферийной области меняется вдоль участка АВ кривой F(TP).
При достижении р критического значения рс, равного значению
F(TP) в минимуме, разряд скачком через развитие охладитель-
охладительной неустойчивости переходит в состояние С, в котором тепло-
тепловой баланс периферийной плазмы определяется в основном
излучением примесей.
Потери тепла и частиц из плазмы токамака носят, как из-
известно, асимметричный характер — они более интенсивны на
внешнем обводе тора, чем на внутреннем. Учтем это, приняв
<7o=<7of (8), AD=ADf{Q), где q0, AD — значения q0, AD, усреднен-
усредненные по полоидальному углу 9, f убывает с ростом 9. В таком
случае вместо E.47) имеем
*-' \ * P/Sf "— /7 —
Анализ показывает, что при уменьшении f значение F в мини-
минимуме возрастает. Следовательно, при уменьшении р условия
перехода в состояние с излучением прежде всего выполняются
на внутреннем обводе, где f минимально.
Изменение / в E.47а) можно рассматривать как изменение
концентрации примеси и, естественно, чем больше |/, тем при
больших р начинается развитие охладительной неустойчивости.
Однако учет реальной нелинейной зависимости L(T) в E.47)
дает существенно более слабую зависимость критического зна-
значения р от |/, чем это следует из E.44). На рис. 47 показана
зависимость рс от |j, найденная из условия минимума F(TP, 9)
для /=0,2, что является типичным значением / на внутреннем
обводе [37J. Изменение ?j на порядок приводит к изменению
Рс в 1,35 раза.
12—6856 177
Возмущения, неоднородные вдоль магнитного поля [97—99J.
При их рассмотрении необходимо учитывать изменения плотно-
плотности, так как в области с отрицательным возмущением темпера-
температуры давление плазмы падает и возникает течение вдоль сило-
силовых линий, которое приводит к росту плотности. Поскольку Qi
зависит от щ этот фактор является дестабилизирующим. Из-за
перепада температуры плазмы вдоль поля возникает дополни-
дополнительный тепловой поток в область возмущения, который его
стабилизирует.
В [99] уравнения A.1) —A.3), в которых из переносов по-
поперек магнитного поля учитывалась только теплопроводность,
были линеаризованы по отношению к возмущениям вида п, Т,
V|| "\^ cos (/г и/) cos(/t_L-*)exp (у/). В результате получено следую-
следующее дисперсионное соотношение:
+ ((о0тя)-1— (\xq—vQ) (ю0Тг)-1 = 0, E.48)
где у* = у/(о0) ю02 = 2Th\ /mf; %r = ЗпТ/Qi; t-i = т-' + x-j; ,#|| =
= Зл/(х|1А2); xH± = Зя/(х,Л*_); vQ=d]nQt/d\nT; \iQ=diaQiJd\nn.
Если возмущения не приводят к изменению плотности приме-
примесей, hq=1; если примесные ионы движутся вместе с основны-
основными, gj = const и (j,q = 2.
Из E.48) следует, что неустойчивость развивается при vq<
<|л<з<тг/тн, т. е. для достаточно длинноволновых возмущений—
даже при положительном vq. Это обусловлено изменением п с
ростом возмущения Т.
Временная эволюция нелинейных возмущений в [99] рас-
рассматривалась на основе численного решения уравнений A.1) —
A.3), E.12), E.13). На рис. 48 представлена зависимость от
времени температуры плазмы у материальной поверхности,
ограничивающей плазму вдоль магнитного поля. Вначале плаз-
плазма однородна, содержит углерод с плотностью 3-Ю11 см3. При
определении Qi учитываются отклонения от коронального рав-
равновесия. Колебательный характер эволюции обусловлен тем,
что из-за падения температуры в области развития возмущения
примесь увлекается термосилой в область более горячей плаз-
плазмы и возмущение растет там из-за увеличения |/.
Картина развития возмущений меняется, если учесть зави-
зависимость теплового потока на периферию от полоидального уг-
угла. В [99] было принято <7о~ехр[—B//L,J], где /=0 соответ-
соответствует внешнему обводу тора, a l=Lt — внутреннему. Профили
плотности и температуры, рассчитанные для установки масшта-
масштаба JET для двух моментов времени, показаны на рис. 49; в
данном случае эволюция возмущений носит апериодический
178
Г,эВ
30
15
0,09 t,c
Рис. 48. Изменение температуры плаз-
плазмы вблизи материальной поверхности
во времени при развитии охладитель-
охладительной неустойчивости (колебательный
режим)
0 0
П,1С
1,5
¦f
0,5
-ч
\/
\_
Т
1—.,
п
|
п
20
7 ^ 50 1,М
Рис. 49. Развитие охладительной не-
неустойчивости при полоидальной асим-
асимметрии теплового потока на перифе-
периферию (апериодический режим):
профили параметров плазмы
вдоль SOL при t=& мс; при
/=60 мс
характер, поскольку условия для роста возмущений выполнены
только на внутреннем обводе.
Состояния с излучающей периферией и предельная плот-
плотность. Если плотность плазмы в разряде достаточно высока и
выполнено условие р<рс|е=о, периферийная область должна
полностью перейти в состояние, когда излучение примесей до-
доминирует в тепловом балансе плазмы. При этом, однако, сооб-
соображения, использованные при построении кривых на рис. 46,
не применимы потому, что ТР<Тъ, и в плазме есть область, где
L = Lmax>b(T'p). При выводе уравнения E.47) наличие таких
областей не учитывалось.
Если малый радиус сильноизлучающей области а* велик по
сравнению с ее толщиной А*, уравнение баланса тепла в обла-
области имеет вид:
dqJdy = -n%L(T), E.49)
где у = г — a*; q. ——K.dT/dy; у —0 соответствует границе из-
излучающего слоя с горячей плазмой; г/=Д* — границе с холод-
холодной периферией, т. е. справедливы неравенства
Т+ = Т\у=о "> Ть; Т_ = Т \y=Af < Г,;
L (Т+, Т_) « Lmax; q± |,=д# « д± \у=о = q0.
Умножив уравнение E.49) на q±, проинтегрируем его в
пределах О^у^Д*:
ql = 2nb4[K1gI, E.50)
12* 179
где я6 — плотность при Т = Гь; qf = Г L(T)dT; в случае углерода
м^с-1, кислорода ^7«1,7-10-5 эВ2-см3-с-!.
В разряде с чисто омическим нагревом qo=IpVL/ Dя2я*'/?о).
где /р — ток в плазме; У? — напряжение на обходе. Из E.50)
находим а*:
В [141] показано, что данное состояние является устойчивым.
С ростом плотности плазмы радиус излучающей области
уменьшается, т. е. разряд контрагирует. При этом коэффициент
запаса устойчивости на границе излучающего слоя, которая
фактически является границей шнура плазмы, меняется как
С достижением q± значения, равного 2, начинается развитие
крупномасштабных МГД-возмущений, которые, как известно,
приводят к срыву разряда. Следовательно,
E.51)
можно считать предельной плотностью плазмы на периферии
разряда в токамаке.
Роль перезарядки примеси на атомах водорода [100]. При
некоторых условиях перезарядка примесей на нейтралах, обра-
образующихся на первой стенке, может существенно влиять на рас-
распределение примесных ионов по состояниям с разным z. Ско-
Скорость рекомбинации, обусловленной перезарядкой, равна
nzikzcnwa, где kzc — константа перезарядки ионов с зарядом z.
Далее рассматривается ситуация, когда SOL прозрачен для
нейтралов водорода. Подавляющее число нейтралов успевает
перезарядиться до ионизации, и их плотность в периферийной
области оценивается как nwa~ewTp/Vi, где ewfvch~1lxw/8n) —
доля потока плазмы в SOL, достигающая стенки. Для D. при-
примем AD/n и ТржАвЩо*. В этом случае скорость перезарядки
превышает скорость излучательной и диэлектронной рекомби-
рекомбинации с суммарной константой kzr, если
ew>kzrl{ozcADo*), E.52)
где azc = kzc/Vi — сечение перезарядки, слабо зависящее от Т.
При развитии охладительной неустойчивости, например на
углероде, основную роль играет процесс рекомбинации гелий-
180
подобных ионов в литийподобные, имеющие богатый спектр
линейчатого излучения. Из-за отсутствия переходов без изме-
изменения главного квантового числа диэлектронная рекомбинация
в данном случае подавлена, а константа излучательной реком-
рекомбинации оценивается по формулам [82].
В случае гелийподобных ионов углерода при Т да 20 эВ &гда
да2-10~13 см3-с~'. Следовательно, перезарядка на атомах водо-
водорода является основным каналом рекомбинации при 8^^0,2
(асдаЗ-10-15 см2 [101J, Лп=1017см-1-с-1).
Если условие E.52) выполнено, то из процессов рекомби-
рекомбинации в уравнениях баланса E.5) можно учитывать только
перезарядку [100]. В этом случае для концентраций ионов с
z^.zc имеем
где «2=1; ocz_1 = aznawkczj(nkizy, концентрация ионов с z^>zc
мала.
Удельная мощность радиационных потерь энергии
где Lz = 2 &// E?if, kZj — константы возбуждения между состояни-
состояниями i, }', EZij-—энергия перехода.
Скорости радиационных потерь Lz имеют резкие максимумы
для литий- и берилийподобных ионов. В случае углерода [82]
L1==5-10-10, L2=10-8, L3=5-10-8, L4=10-9 эВ-см^с.
Как следует из § 4.2, при заданных коэффициенте диффузии
и геометрических размерах SOL e№ и, следовательно, концен-
концентрации ионов примеси с разными z являются функциями только
температуры плазмы в периферийной области. Это же относит-
относится и к эффективной скорости радиационных потерь энергии:
к- 2«zLzj 2г«,
Температура периферийной плазмы определяется из урав-
уравнения E.47) с заменой L на L*. Зависимости F{TP) оказыва-
оказываются близки к изображенным на рис. 46 с некоторым сдвигом
максимумов и минимумов в сторону больших ТР.
При рассмотренном механизме рекомбинации переход в со-
состояние, когда излучением примеси определяется баланс тепла
в периферийной плазме, полоидально симметричен даже при
асимметричном характере потерь тепла и частиц их разряда.
Действительно, вблизи состояния В (см. рис. 46) плотность
сильноизлучающих литийподобных ионов мала и пропорцио-
181
нальна nwa и, следовательно, Гр, т. е. зависит от полоидального
угла так же, как AD. Поэтому все члены в уравнении E.47)
пропорциональны одной и той же функции 0. Это означает, что
в данном случае рс не зависит от 0.
5.7. Сравнение с экспериментом
При условии прозрачности SOL для нейтралов, рассмотрен-
рассмотренном в § 2.6, результаты § 5.2 можно использовать для интерпре-
интерпретации экспериментальных данных о содержании примесей в раз-
разрядах с лимитерами. Рисунок 50 демонстрирует эксперименталь-
экспериментальную зависимость концентрации никеля в плазме TFTR от сред-
средней плотности в разряде [102] и результаты вычислений
?ш по формуле E.11). При расчетах согласно [102] при-
принималось, что помимо дейтерия лимитер распыляется иона-
ионами кислорода с z = 4, аг=0,07. Зависимость температуры при-
пристеночной плазмы от п рассчитывали по формулам § 2.3 при
типичном значении аи = л0/Я, равном 0,75. При Я^4-1013 см~3
имеется хорошее согласие экспериментальных и расчетных дан-
данных; расхождение их при больших п можно объяснить тем, что
SOL становится непрозрачным для атомов примеси.
Развитие MARFE-областей холодной плотной плазмы на
внутреннем обводе тора с сильным излучением примесей и ней-
нейтралов водорода — в большинстве случаев (см. § 4.5) объясня-
объясняется охладительной неустойчивостью на примесях. Согласно
[72] во многих установках MARFE возникает, когда параметр
р = яа2Я//р превышает критическое значение рс, меняющееся в
узком интервале численных значений: рс= @,4-=-0,7) 1012 А~'Х
Хсм~'. Этот факт согласуется с показанной выше слабой зави-
зависимостью параметра рс от концентрации примесей. В омическом
разряде между р и р есть связь:
Р = -^- 4- —¦ E-53)
где ад — доля мощности, которая выносится на периферию раз-
разряда теплопроводностью плазмы.
Входящие в E.53) параметры близки для различных уста-
установок. Принимая их типичные значения (Ro/a=3,5; an = ag=
= 0,75; VL=l В) и определяя рс из рис. 47, находим, что при
изменении содержания кислорода в разряде от 0,2 до 2%
рс должно меняться от 0,4-1012 до 0,55• 1012 А-1-см-1.
В установке TEXTOR переход в состояние с сильноизлуча-
ющей периферией — detached plasma — полоидально симмет-
симметричен [103]. Этот факт может быть объяснен особенностями
способа поддержания положения равновесия шнура таким об-
образом, чтобы обеспечить одинаковую плотность на внутреннем
182
10-
10-
o*o
o»
f
I
120
П
4
J/7,/0WCM"
Рис. 50. Зависимость концентрации никеля в TFTR от п:
ф. О —Данные измерений [103]; —результаты вычислений по формуле E.11)
при
W
D
= 1 м2/с
Рис. 51. Зависимость теплового потока на лимитер токамака TEXTOR от п:
данные измерений; 1 — результаты расчета [100] с учетом перезарядки приме-
примеси на атомах водорода; 2 — вычисления по E.46) в предположении полоидально-симмет-
рвчного характера тепловых потерь и потерь частиц из разряда
и внешнем обводах тора, а также влиянием на развитие охла-
охладительной неустойчивости атомов водорода, поступающих с
первой стенки. На рис. 51 представлена экспериментальная
зависимость теплового потока, передаваемого лимитеру QL, от
п. Здесь же приведены результаты расчетов [100J, полученные
в предположении о доминирующем характере перезарядки на
водороде, а также данные вычислений на основе E.46) при
условии полоидально-симметричного характера потерь тепла и
частиц из плазмы. Обе расчетные кривые согласуются с ре-
результатами измерений, что не позволяет выделить тот или иной
механизм перехода в состояние с detached plasma.
Переходу разряда в состояние с MARFE или detached plas-
plasma предшествует сильно нелинейный рост плотности плазмы в
SOL при р-*-рс [72J. С этим согласуются теоретические резуль-
результаты. Так как ns=T^>/{SODS) = (rs/S0)VLs/ (VSDS), то, исполь-
используя связь р и р, получаем
d\nns 1 d\n(Vs/Ds) d\nTp
dlnp ~~ 2 d\nTp d\np '
С ростом п0 и приближением к точке В (см. рис. 46)
dlnTp/dlnp-^-oo и d\nns/td\пр также стремится к со при
d\n(VsDs) /йИпГр>0. Это, в частности, так для DS—const и
183
'«CM
о
y
/a
/о
¦Jo/
1
/°°b
A
5
2
1
Рис. 52. Экспериментальная (точки)
и расчетная (кривая) зависимости
плотности плазмы на границе SOL
TEXTOR (х=0) от Я
.«CM"
j
о
О 100 200 500 /Р,КА
Рис 53. Экспериментальная [ЮЗ]
(точки) и расчетная (кривая) зави-
зависимости предельной плотности в
TEXTOR от тока в разряде
бомовского коэффициента диффузии: DS~TP. Эксперименталь-
Экспериментальная и расчетная зависимости ns от п для токамака TEXTOR
представлены на рис. 52. Числовые значения параметров, ис-
использованные при расчете, взяты из [21]. Коэффициент попе-
поперечной диффузии принят в SOL 1 м2/с, в периферийной обла-
области D± = 10" см-1-с-1/п.
На рис. 53 показана зависимость предельной средней плот-
плотности в TEXTOR, при превышении которой происходит срыв,
от тока в разряде, рассчитанная по формуле E.51). При рас-
расчете принималось: п6 = 0,75й, В0—2 Тл; примесь — кислород с
5/=O,5%, Hj_=5-1017 см-'-с. Здесь же представлены данные
экспериментов [103].
Таким образом, теоретические представления о механизмах
развития охладительной неустойчивости на примесях, перехода
в состояние с излучающей периферией достаточно адекватно
описывают такие явления в токамаках, как MARFE, datached
plasma, существование предельной плотности. В то же время
необходимо еще раз отметить, что в настоящей главе, как и в
предыдущих разделах данного обзора, были использованы экс-
экспериментально найденные коэффициенты поперечного переноса
примесей и основной плазмы в пристеночной области токама-
ков. Вопрос о их физической природе до сих пор остается от-
открытым. Рассмотрению некоторых подходов к его решению по-
посвящена следующая глава.
Глава 6
ПЕРЕНОС ЧАСТИЦ И ТЕПЛА В ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЕ
6.1. Общие сведения
Из всей совокупности экспериментальных данных, многие
из которых были получены еще на первых токамаках, виден
аномальный характер процессов переноса в пристеночной
плазме. О нем свидетельствует, в частности, проникновение
плазмы в тень лимитера на значительные расстояния. Вдоль
магнитного поля нет равновесия и плазма вытекает на лимитер
со скоростью ионного звука Vs. Если образующиеся нейтралы
покидают SOL без ионизации, Vs определяется температурой в
основном объеме SOL (см. § 3.3). Для круглого полоидального
лимитера время жизни плазмы х = r.R/Vs. При этом класси-
классические и неоклассические законы движения заряженных частиц
дают характерный размер экспоненциального спада плотности
в SOL порядка ларморовского радиуса иона р; [104]. Измерен-
Измеренные зависимости вида я~ехр(—rjd) соответствуют обычно
эффективному коэффициенту поперечной диффузии, определя-
определяемому как Z?j_ = fiP/тц порядка бомовского, т. е. d^$>pi. Уже в
первом токамаке [140] с помощью ленгмюровских зондов была
обнаружена сильная турбулентность пристеночной плазмы, ко-
которая может быть причиной аномальных переносов.
Бомовская диффузия и теплопроводность включаются в рас-
четно-теоретические модели и периферийной плазмы. Эти до-
достаточно грубые эмпирические величины используются и при
расчетах реакторов-токамаков, хотя изменение коэффициентов
только в несколько раз повлечет за собой серьезные проблемы
технического характера. Поэтому настоятельно необходимо
изучение физики аномальных процессов в пристеночной области
токамаков и создание средств управления ими.
Имеется большое число теоретических работ, связывающих
пристеночную турбулентность с развитием различных извест-
известных неустойчивостей плазмы (см. обзор [105]). Наибольшее
внимание в последние годы обращается при этом на токовые
резистивные неустойчивости неоднородной плазмы [106—108],
и, в частности, на неустойчивость на примесях, вызывающую
флюктуации эффективного заряда zef [109]. Специфика пери-
периферийной плазмы учитывается в этих работах относительно
низкой проводимостью, большими поперечными градиентами,
более высокими значениями zet и т. д. Однако и для гра-
граничащих с лимитером замкнутых магнитных поверхностей тео-
теоретические оценки дают коэффициенты турбулентной диффузии
заметно меньше измеренных. В SOL должны дополнительно
185
действовать такие стабилизирующие эффекты, как отсутствие
основного тока и малое время жизни плазмы х у.
Недавно начали развиваться представления об аномальных
переносах в плазме SOL, связанных с электрическим взаимо-
взаимодействием между плазмой и лимитером. Плазма в SOL распо-
расположена на силовых линиях магнитного поля, упирающихся в
материальную поверхность, т. е. это система с открытыми кон-
концами. Как известно, в токамаке благодаря тороидальному дрей-
дрейфу ионов и электронов вдоль магнитного поля течет электри-
электрический ток. Он встречает на своем пути эту поверхность и из-
изменяет разность потенциалов Аф между ею и плазмой. При
положительном токе на стенку Аф становится больше плаваю-
плавающего скачка потенциала ф«, при отрицательном — меньше. Из-
Изменение скачка потенциала должно быть порядка Те. Так как
знак тока зависит от расположения силовой линии в поло-
идальном направлении, из сказанного следует существование
в плазме SOL полоидального электрического поля порядка
Teja [110, 111J. В силу потенциальности это поле при обходе
по малому радиусу будет знакопеременным. Оно должно вы-
вызывать радиальный электрический дрейф плазмы, направление
которого зависит от полоидального угла.
Уже это конвективное движение способно обеспечить за
время хц проникновение плазмы довольно глубоко в тень
лимитера. Соответствующие решения задачи о стационарной
ламинарной конвекции в тени полоидального лимитера [111,
112] согласуются качественно с рядом экспериментальных фак-
фактов. Однако эти решения неустойчивы. Существует специфиче-
специфическая неустойчивость плазмы в SOL, связанная с взаимодейст-
взаимодействием со стенкой и приводящая к турбулентности, зависящей
от полоидального угла [113J.
6.2. Уравнение для потенциала плазмы
(полоидальный лимитер]
Характерный размер спадания плотности плазмы по радиу-
радиусу в тени лимитера, как говорилось выше, много больше цикло-
циклотронного радиуса ионов, а основное дрейфовое движение плаз-
плазмы не зависит от частоты столкновений. Поэтому будем поль-
пользоваться гидродинамическим описанием, полагая плазму неизо-
неизотермической. Введем правую систему тороидальных координат
(г — малый текущий радус, ф — тороидальный угол, 9 — поло-
полоидальный угол, отсчитываемый от внешнего экватора тора)
(рис. 54). Полоидальный лимитер расположен при 1|з —0. Маг-
Магнитные поверхности будем считать концентрическими окружно-
окружностями с осью, совпадающей с круговой осью тора.
Примем для определенности, что основной ток в плазме ан-
типараллелен внешнему магнитному полю. Магнитные силовые
186
Рис. 54. Геометрия половины тора и выбор координат с кольцевым полоидаль-
ным лимитером A)
линии, проходя от ионной стороны диафрагмы до электронной,
поворачиваются на угол 0 = 2я/<7. Каждый такой отрезок будем
характеризовать углом Эо, соответствующим его середине.
Из уравнения непрерывности тока и условия равновесия по
малому радиусу j± = суР X В/52 имеем известное уравнение
для тока вдоль магнитного поля
Принимая потенциал лимитера таким, что плотность тока на
него обращается в нуль при нулевом потенциале ср плазмы,
имеем следующее краевое условие:
/и = enVs [ 1 - ехр (- е?1Те)}. F.2)
Здесь п — плотность плазмы на внешней границе ленгмюров-
ского слоя. При ср>0 максимальная плотность тока ограничена
ионным током насыщения jo=enVs. Вторичная эмиссия элект-
электронов пренебрежимо мала.
Температура плазмы в отсутствие сильного рециклинга вы-
равнена вдоль магнитного поля теплопроводностью. Плотность
также изменяется вдоль / несильно (см. § 4.2). Поэтому для
упрощения будем полагать n=const на каждом отрезке сило-
силовой линии. Аналогично пренебрежем изменением потенциала
вдоль отрезка силовой линии из-за конечной проводимости и то-
тороидального электрического поля по сравнению с изменением по-
потенциала при переходе с одного отрезка на другой. Например,
дополнительное полоидальное поле, связанное с конечной про-
проводимостью, мало, если {me/mi)l/2R/Xe<^.l-
Градиенты температуры в тени лимитера обычно значитель-
значительно меньше градиентов плотности. С учетом этого, интегрируя
уравнение F.1) вдоль силовых линий и используя F.2), полу-
187
чаем следующее уравнение для потенциала плазмы:
F.3)
где ?*=-^-; « = 1пл; Л= 2(^ + ^L?g-sin(^), F.4)
В условиях, когда потенциал определяется током на лимитер,
он зависит от пространственных производных плотности и ха-
характерного размера A=2qpism(n/q). Хотя продольный ток
вызван тороидальным дрейфом, величина Л не зависит от боль-
большого радиуса и практически пропорциональна только лармо-
ровскому радиусу ионов в SOL, т. е. мало меняется для раз-
различных экспериментальных установок. Уравнение F.3) опре-
определяет многие особенности плазмы в SOL, важнейшей из них
является ее неустойчивость.
6.3. Волны дрейфового типа в SOL и их устойчивость
Примем простейшую модель плазмы, в которой стационар-
стационарный профиль плотности я=лоехр(—x/d) (х=г—a; d=
= const@)) удовлетворяет уравнению непрерывности для ио-
ионов
(Vj_ л) = — я/* „, F.5)
где vx /г = ^V?; + -^- (В X V«). F.6)
Стационарному состоянию соответствует радиальная скорость
Vox = d/r п, которая может иметь как конвективную, так и диф-
диффузионную составляющие. Рассмотрим малые возмущения
плотности вида n'exp[—xjd-\-\(k%y—co^)J, которым согласно
F.3) соответствуют возмущения потенциала ф*'=
= i^eAcos60/[l + (A/d)sin 9о]/(п7"о)- Используя выражения
для л*, ф*' в линеаризованном уравнении F.5) — icon'+
-\-(ikecy*'/B)dno/dx—O, получаем
—ш = у = а* |(JfeeA)|cos0o/i[l —(A/d)sin9oJ, F.7)
где использовано общепринятое обозначение частоты дрейфо-
дрейфовых волн со*= (kecTe/eBn)dno/dx. Так как dtio/dx<cO, плазма не-
неустойчива при cos 6о>О. Неустойчивость связана с возмущени-
возмущением тока на лимитер, которое, в свою очередь, изменяет распре-
распределение потенциала и создает флюктуацию полоидального
электрического поля в противофазе с флюктуацией плотности.
В геометрии полей, принятых на рис. 6.1, положительное воз-
возмущение плотности при этом смещается в сторону меньшей
концентрации, т. е. имеет место неустойчивость конвективного
188
характера на внешнем обходе тора. По существу это желобко-
вая неустойчивость неоднородной плазмы в магнитном поле,
напряженность которого убывает с увеличением малого радиу-
радиуса на внешнем обходе. Хотя желобки касаются поверхности
лимитера, полной стабилизации проводящими торцами не про-
происходит в силу существования растущей вольт-амперной харак-
характеристики на границе плазма — стенка F.2).
В рассмотренной модели не учтены такие детали, как не-
несимметрия плазмы по полоидальному углу и зависимость d(Qo);
радиальное и полоидальное электрические поля, также завися-
зависящие от 60; вращение плазмы и т. д. Они несколько изменяют
инкремент и границы неустойчивой области, но не влияют на
основной результат. Большие fee в F.7) ограничены эффектами
конечного ларморовского радиуса ионов и широм магнитного
поля. Применительно к данной неустойчивости они учтены в
[114J, где рассмотрена краевая задача при условии, что на
границе SOL (r=a) возмущения равны нулю. Шир, как извест-
известно, ограничивает отношение &9/&||, а значение &ц не должно
превышать R~l. В [114] показано, что максимальное значение
волнового числа равно
/г9_—__р. | _____ j , (b.8)
а значение инкремента при этом
\ 2/3
F.9)
Вблизи ут полное дисперсионное уравнение имеет следую-
следующий вид (плазма считается изотермической):
¦ 1 (Ох „ —
I 2d
iAfe0
F.10)
Здесь K=nR/[2aqsm(nlq)]; <p*o определяется выражением
F.3), в котором duo/dr=—d~{ и пренебрегается производной
du/rdQa^d-1. Действительная часть частоты при максималь-
максимальном инкременте
(^2/8[^ I/3 F.11)
Полагая, что kr c^k^ — k^ для сильной турбулентти, к ко-
которой приводит развитие неустойчивости, оценим с помощью
189
F.7) коэффициент турбулентной диффузии по формуле [115]
D± ^ ^ cTfJ^h_ с«ЛЬ-(±)т COs2/3 б0> F.12)
1.
где
+ Tt)qsin(n/q) \ 1/3
"¦(¦
Как видно из формулы F.12), D±^DE и не зависит от мас-
масштаба турбулентных пульсаций, а также слабо зависит от раз-
размера установки.
В [114] получено выражение для/)_)_, полностью совпада-
совпадающее с формулой F.12).
6.4. Конвекция турбулентной плазмы в тени
полоидального лимитера [116]
Рассмотрим стационарную задачу о конвекции в усреднен-
усредненном по времени электрическом поле. Потоки электронов и ио-
ионов в поперечном магнитному полю направлении будем описы-
описывать суммой
. F.13)
Здесь первое слагаемое определяется обычными уравнениями
движения F.6), а второе соответствует турбулентной диффузии
из-за дрейфа на флюктуациях электрического поля. Плотность
плазмы также является средней по времени величиной. Коэф-
Коэффициент Dj_ будем полагать константой.
Из уравнения непрерывности для ионов:
д(пи„) с Г 2Т{ I дп дп \ Чп I д<?
= \bsm6 + cosSJ bsin6 +
— — ~ — 1 + D±ALn F.14)
+ Cos б ^ + 1
гдЬ } гд% дг дг гдв J
Так как плотность плазмы и температура в SOL спадают по
малому радиусу гораздо быстрее, чем изменяются в полоидаль-
ном направлении, для значительного интервала углов
дп
дг
sini
дп
cos б
F.15)
Будем в дальнейшем считать это условие выполненным.
Краевое условие для потоков ионов и электронов на лими-
лимитер, потенциал которого принят нулевым, имеет вид:
190
Введем обозначения: u=\n(njna); ф* = еф/Та; т=\п(Те1Та),
где ла и Та — плотность и температура электронов при г=а.
Интегрируя F.14) по / с учетом постоянства п и Т на силовой
линии и используя F.3), получаем:
x (e + T,*) -j— -4- 7 sin 8D>- F.17)
Здесь 77 = 7V7V, Л, = 2c^n (eB) (mt/2TaL*sm(vlq)
= тг/? Bа^ sin (it/^)); s2 = ir/?Dj_ (mi/BTa)I'2. В тех же обозначени-
обозначениях уравнение непрерывности для электронов имеет вид:
г дЬ0 of) or i
(ет) ^ - ^Jsin б0 + s2 [Ри/дг* + (ди/дгП F.18)
Из уравнений переноса и движения можно получить следу-
следующее уравнение для температуры электронов:
E/2) div (nTevJ>) - div [пхуТ, + C/2) ±
+ E/2) (cnTJeB1) (В X V^)] - пТв di v (D±v±n/n) = ve°
F.19)
Отношение nTediv (D^yn/n) к div(Difev_L«) поря,дка d/аи
последним членом слева в F.19) можно пренебречь. Коэффи-
Коэффициент температуропроводности % также будем считать турбу-
турбулентным и не зависящим от координат.
Краевое условие для переносимого электронами потока теп-
тепла на лимитер имеет вид
{^ve|l-nxBvr,
F.20)
Потери энергии электронами при прохождении тормозящего
скачка потенциала идут на ускорение ионов и передаются ими
поверхности. Ускорение ионов до скорости Vs на внешней гра-
границе скачка потенциала учитывается членом v y(| (пТе).
191
Подставим F.6) в F.19) и проинтегрируем вдоль силовых
линий магнитного поля. Вычитая из полученного выражения
умноженное на C/2)Те уравнение F.18), получаем
sin fl] =
\+(y\ + s + N)
ldr* \ dr j JT \2 j dr dr
+ AlK(
2 \ ae0 *¦ ar dQQ
. . / 7 ' ft i * du df* \ • с /C oi\
+ Л' Vе V + e V- , sin8»' F-21>
V 2 dr dr dr J
где sr = ¦KRx±(mi/BTa)I12; N = .527/s2.
В отличие от электронов ионы покидают плазму со своей
средней энергией и их температура должна изменяться относи-
относительно мало. Поэтому будем полагать 7*г=1. Граничные усло-
условия для системы уравнений F.16), F.17) и F.21):
«=т=0 при г-+а; т->—оо при г-*-оо. F.22)
Полученную систему уравнений F.16), F.17). и F.21)
можно приближенно решить разложением по малому парамет-
параметру Ails, т. е. в предположении, что конвективный перенос мал
в сравнении с турбулентной диффузией. При относительно не-
небольших изменениях Те можно для упрощения положить
[(е^+1)/2]'/2=1 и ln[m,eVBnme(ei;+l))]1/2=const=^i.
С точностью до членов второго порядка имеем
и = -х + (Ajs)\(x/2) + /СхA -а)/B + /С,)] sin 60 +
+ (A1/,sJf— *sin26u/8+ fll(l_o)+ а2ла + а3A — а2)]. F.23)
Здесь х=--г/а— 1; Кг= [VBN + ЗJ +Тб A + /Ci)Л^ —2N—3] /D/V);
а^ехр (—/С2х); а^г.з зависят от N и 6о-
Например, для токамака «среднего размера» с параметрами
Та=20 эВ, 5 = 2 Тл; ^=3; 7?= 1,5 м; а = 0,35 м прих± = 5О1 =
= DB входящие в F.23) величины равны (для дейтерия): Ai =
= 0,12 см; s = 0,37 см; ^! = 2,84; ^2=0,44. Для температуры
электронов при этих параметрах справедливо уравнение
т = -0,44х+ (Ai/s) [0,1 Зх+0,22 A -a) J sin 80. F.24)
Ha рис. 55—58 приведены результаты расчетов по F.23) и
F.24) для указанных параметров. Рисунок 55 показывает из-
изменение масштаба спада плотности при г=а от угла Во. Мас-
Масштаб спада Те примерно вдвое больше. Зависимость спада
плотности от малого радиуса вблизи экстремумов кривой на
192
-JT
о
3(r-a)/s
Рис. 55. Зависимость величины Рис. 56. Зависимость величины
— (s-ди/дг)-1 от угла 00 при г=а —(s-ди/дг)-' от (г—a)Is для 00=л/2
(/) и 6„=-я/2 B)
Рис. 57. Зависимость еср/Ге от полои-
дального угла бо для г=а A) и
r=a+s B)
2 (r-a)/s
Рис. 58. Потенциал плазмы как
функция (г—a)/s для 90=я/2 A) и
6о=-я/2 B)
рис. 55 приведена на рис. 56. Из этих рисунков видно, что
имеет место значительная асимметрия плазмы в SOL в поло-
идальном направлении. Она связана с радиальным электриче-
электрическим дрейфом, обусловленным зависимостью потенциала от
угла 6о (рис. 57). Эта зависимость возникает из-за тороидаль-
тороидального дрейфа, дополнительно заряжающего плазму относительно
лимитера положительно в стороне дрейфа ионов и отрицатель-
отрицательно в стороне электронного дрейфа. Из рис. 58 видно, что есть
радиальное электрическое поле, обусловленное остыванием
электронов и убывающее при удалении от края в тень лимитера.
Таким образом, плазма дрейфует по радиусу в тень лимите-
лимитера на внешнем обводе тора и в полоидальном направлении в
сторону роста 8о. Часть ее дрейфует обратно из SOL в основ-
основной объем токамака на внутреннем обходе тора. Это конвек-
конвективное движение накладывается на турбулентный перенос и
сопровождается уходом вдоль магнитного поля на лимитер.
Упрощающее предположение о постоянстве турбулентных ко-
13—6856 193
эффициентов D_l и %, не согласуется с картиной неустойчиво-
неустойчивости и оценкой F.12). Естественно думать, что эти коэффициен-
коэффициенты больше при cos6o>0, что значительно усилит отмеченную
асимметрию плотности. При этом в области бо^п условие
F.15) может быть несправедливым. Краевые условия для урав-
уравнений, описывающих основную плазму, также являются функ-
функциями полоидального угла, что до сир пор не учитывалось при
расчетах.
Неамбиполярность радиального переноса. С асимметрией
плазмы связано появление радиального электрического тока в
SOL. Плотность тока на лимитер из F.2), F.3), F.15)
/ = — 2ehVs — sin в0. F.25)
дг
Как видно из рис. 55,
1 дп
больше при тех углах, где на ли-
п дг
митер протекает электронный ток. У края лимитера плотность
слабо зависит от Эо и интегральный ток отрицателен. Глубоко
в тени лимитера больше плотность плазмы в стороне ионного
дрейфа, поэтому там преобладает ионный ток. За счет того, что
в области с меньшими градиентами п вертикальный электриче-
электрический ток, созданный тороидальным дрейфом, меньше ослабля-
ослабляется продольным, возникает неамбиполярность переноса по
радиусу.
Полный радиальный ток в плазме 1(г) через поверхность
г=го>а равен току на лимитер при г~>г0. С точностью до
гс ТС
/ (г0) - J с?б0 J \гдг = 2eAaVs J п (г0, 80) sin б/б0. F.26)
— тс Го —я
Полный радиальный поток плазмы через ту же поверхность
Го
J n(r0,
F.27)
Отношение 1/(еГ) при больших г0—а порядка Ai/Bs), т. е.
неамбиполярность составляет заметную долю полного потока.
Существование заметного полоидального электрического по-
поля в SOL не согласуется с условиями на замкнутых магнитных
поверхностях в периферийной плазме, и полученные решения
терпят разрыв при г=а. В [117] показано, что поляризацион-
поляризационный дрейф ионов на границе SOL создает радиальный ток,
194
который часть продольного тока замыкает на периферийную
плазму, минуя лимитер. Толщина переходной зоны для реше-
решения уравнений F.23) и F.24) при этом порядка 5р*.
6.5. Структура турбулентности
Чтобы найти распределение амплитуды колебаний плотности
по спектру турбулентных пульсаций, необходимо учесть нели-
нелинейное взаимодействие волн. Применительно к турбулентности
в SOL задача эта не решалась. Некоторые суждения об этом
распределении можно сделать из следующих энергетических
соображений.
Как известно, при движении плазмы поперек удерживаю-
удерживающего магнитного поля механическая работа преобразуется в
электроэнергию. Подставив в уравнение равновесия v^=
= (l/c)(jxB) простейший закон Ома j = ofЕ + ^-^—}, най-
найдем, что выделяющаяся в единице объема мощность
vyP = -f/a+)E. F.28)
При диффузии в однородном магнитном поле она соответству-
соответствует столкновительной джоулевой диссипации. При конвекции
Пфирша — Шлютера работа расширения на внешнем обходе
тора затрачивается в основном на сжатие на внутреннем обхо-
обходе, а малая разность этих работ также равна джоулевой дис-
диссипации в объеме. В SO^L преобладает диссипация не в объеме,
а при протекании тока через ленгмюровские слои у поверхно-
поверхности лимитера. Их эффективное сопротивление и играет роль
внешней нагрузки внутреннему МГД-генератору электроэнер-
электроэнергии.
Сложив уравнение непрерывности и движения для ионов
F.14) с аналогичным уравнением для электронов, получим
w -¦? (-2--»•+&»Ч - -я-(v«+v'>- F-29)
При этом опущены добавленные в них члены с аномальной
диффузией. Они содержатся в флюктуационной части уравне-
уравнения F.29) и будут найдены ниже. Второй член в этом выраже-
выражении отражает уход плазмы как целого вдоль поля. С генераци-
генерацией электроэнергии связан первый член. Приняв для простоты в
дальнейшем Te=Ti = const и что потенциал лимитера при г=
==а равен плавающему, т. е. на него нет внешнего тока, не-
нетрудно получить из F.1) тождество
eAVs Г п (-3L sin 80 + -%- cos б0) dS = 2 Г /.. <fdS. F.30)
.) V дг гд% I J "
s 5
13* 195
Интегрирование ведется по всему поперечному сечению SOL.
Работа, совершаемая при расширении плазмы в одном месте,
может диссипировать или идти на сжатие плазмы в других
местах, что видно из решений, полученных в [111, 112, 116].
При разделении лимитера на изолированные элементы, находя-
находящиеся под разными потенциалами, часть вырабатываемой элек-
электроэнергии можно выделить на внешней нагрузке [112].
Многочисленные эксперименты показывают, что турбулент-
турбулентные пульсации в SOL коррелированы лишь на поперечных раз-
размерах, много меньших малого радиуса а. При этом и диссипа-
диссипация пульсаций электроэнергии происходит локально в пределах
масштаба корреляции независимо от пульсаций вне его.
Фрактальная размерность хаотических колебаний в SOL по
данным эксперимента не превышает 5—10 [38], т. е. они под-
поддерживаются взаимодействием небольшого числа независимых
мод. Поэтому в качестве первого приближения для определе-
определения спектра турбулентности применим требование локальности
к отдельной нелинейной волне, т. е. вместо F.30) будем рас-
рассматривать равенство
п (-?- sin 60 + -?_ cos О « ? (-fL. sin 60 + -|f- cos 80) F.31)
\ dr rd3 I \ dr rdS ]
как уравнение для амплитуды волны, при которой она не об-
обменивается энергией с другими волнами.
Относительный уровень флуктуации в SOL практически не
зависит от малого радиуса. Поэтому решение уравнений F.3)
и F.31) будем искать в виде я = /го+йехр (\krr-\-\tn%—i(oO +
+й* exp (ico^—\krr—imBo), причем n0, n, «*~exp(—rid); n и
n* — комплексно-сопряженные амплитуды колебаний. Для бо-
мовской диффузии d~3A и всегда d<gia. Будем полагать kra,
й9а=иг3>1, а также выполненным условие F.15). Обозначим
kr=Akr sin 60; fee = Am/(flcosSo). Разложим F.3) в ряд, под-
подставим в F.31) и усредним по времени. Пренебрегая степенями
Asm Q0/d = 8 выше второй, а в выражении X={kr-\-
-f-йеJ (nii*i)/n2 — выше третьей, получаем приближенное квад-
квадратное уравнение для X:
12Х2A+5б)-ХB+6-30б2)-б(б+1/2)=0. F.32)
Его решение слабо зависит от угла Во, а Х~1/4-ь-1;6. Величи-
Величина d, которая входит в F.32) как параметр, сама зависит от
уровня турбулентной диффузии.
Из полученного решения видно, что естественным масшта-
масштабом поперечных длин волн является Л, не зависящая от разме-
размеров токамака.
196
Уровень относительных флуктуации, на которых диссипация
в пристеночном слое ограничивает рост волны, меняется как
я2/(яJ ^ kj2 F.33)
при &_lP;^ Ю п'1(пУ порядка единицы. Отношение kr/k6 и уро-
уровень турбулентности сильно зависят от полоидального угла.
Уравнение F.32) определяет для данного волнового векто-
вектора максимальную амплитуду, до которой может нарасти рас-
рассмотренная в § 6.3 неустойчивая волна. Для больших значений
Я2/</г2> потери <р/.. превышают выделение энергии в объеме,
и такие флюктуации затухают. При этом выполнение уравнения
F.31) соответствует обращению в нуль усредненного инкремен-
инкремента колебаний.
В заключение отметим, что рассмотренные в § 6.2—6.4 явле-
явления должны в той или иной мере проявляться в SOIL с другими
конструкциями лимитеров, а также в диверторных конфигура-
конфигурациях. Их физическую основу составляют тороидальный дрейф
зарядов и условия протекания тока из плазмы на ограничиваю-
ограничивающую поверхность. Например, в случае рельсового лими-
лимитера разделение зарядов будет закорочено током вдоль
магнитного поля, если силовые линии соединяют беспрепятст-
беспрепятственно верх и низ токамака. Но на концевых отрезках, где они
упираются в ионную и электронную стороны лимитера, будут
возникать токи на лимитер, как это показано выше для про-
простейшего случая круглого полоидального лимитера, со всеми
вытекающими последствиями. Для определения их роли нужны
конкретные теоретические исследования.
6.6. Сравнение с экспериментом
Асимметрия плазмы в SOL. Сильная зависимость плотности
плазмы в SOL от угла 0 была найдена в ряде токамаков [118—
120]. В [119] наблюдали более медленное спадание плотности
в тени лимитера в стороне ионного дрейфа, что согласуется
качественно с рис. 55. Вблизи внешнего экватора в ионную
сторону лимитера (соответствующую движению на нее ионов
в тороидальном вихревом электрическом поле) упираются от-
отрезки силовых линий с 6>0, на которых ф>0, а с электрон-
электронной— на которых ф<0 (рис. 57). Соответствующая разность
плавающих потенциалов достигала вблизи кромки лимитера
80 В при ГР~20 В, а отрицательный ток на электронную сто-
сторону примерно вдвое превышал положительный ток на ионную.
В [65] была измерена большая плотность плазмы возле ионной
стороны лимитера в Т-10. Столь значительная разница пара-
параметров с двух сторон лимитера может быть естественно связана
с асимметрией по углу 6: она соответствует отрезкам разных
197
Рис. 59. Радиальный турбулентный
поток частиц плазмы в пристеноч-
пристеночной области токамака TEXT [124]
(а=27 см):
1 — эксперимент; 2 — теория токово-ре-
зистивной турбулентности; 3 — теория
турбулентности на дрейфовых волнах
силовых линий. В [119] на-
наблюдалось также радиаль-
радиальное электрическое поле, со-
согласующееся с рис. 57. Ча-
Чаще всего локальные измере-
измерения в SOL производят на
0,9 OfSS 1,0 1,05 г/а внешнем обводе вблизи эква-
экваториального сечения тора. На установке Alcator С [120] были
проведены зондовые измерения по всему периметру для 0^0^
^2л. Обнаружена зависимость d от G, причем характерная
толщина на внутреннем обходе была примерно в 5—8 раз мень-
меньше, чем на наружном. Асимметрия потоков тепла на локальные
лимитеры, расположенные равномерно по углу 0, наблюдалась
в токамаке FT [121]. В PLT поток тепла на ионную сторону
зонда был в 2—4 раза больше, чем на электронную. Неамби-
полярный перенос в тени круглого полоидального лимитера
был обнаружен и изучен на токамаке ТВ-1 [122]. Можно за-
заключить, что явления, описанные в § 6.2 и 6.4, получили в це-
целом качественное, а в некоторых случаях и количественное
экспериментальное подтверждение.
Пристеночная турбулентность. На современном уровне изу-
изучение турбулентности было начато Звебеном и ведется на
ряде токамаков и стеллараторов [105, 38, 123—125]. Использо-
Использование электрических зондов позволяет измерять локальные
флюктуации плотности и потенциала и их спектры, а также
проводить корреляционный анализ, т. е. непосредственно на-
находить турбулентный поток из соотношения
т
^ F.34)
тде п и Ъ —флюктуации плотности и поперечной скорости, опре-
определяемой электрическим дрейфом по разности плавающих по-
потенциалов двух зондов, деленной на расстояние между ними.
Поперечный турбулентный поток частиц имеет резко выра-
выраженный максимум в периферийной плазме непосредственно воз-
возле границы SOL, что наглядно показывает связь турбулентно-
турбулентности с взаимодействием с лимитером. На рис. 59 приведены в
"качестве примера данные [124] о Г. Спектры и уровень турбу-
198
Рис. 60. Зависимости
* а II05]
от
-150 -50
150 9
Рис. 61. Интенсивность излучения на линии На в зависимости от полоидально--
го угла, измеренная в TEXT
лентности мало различаются для установок разного масштаба
от ТВ-1 (# = 23,5 см) до TFTR (i? = 2,65 м). Распределение'
флюктуации по спектру частот и волновых чисел \n(k, ш)|2 =
= S(k, и) показывает, что фиксированному значению k соот-
соответствует много частот с Дсо/й)~1. Интегрирование S(k, со) ,по»
частотам дает типичную зависимость S(k), показанную на1
рис. 60. При больших ke n2~k-%, где 2,5<9<3 и не зависит or
малого радиуса. Граница изменения зависимости S(k) лежит
при Aepi~0,l4-0,15. Ей соответствует среднеквадратический
уровень флюктуации Я/п~0,Зч-0,6. Эти данные неплохо согла-
согласуются с результатами предыдущего параграфа, согласно кото-
которым такой уровень должен достигаться при A^e^l^lO-'&ep*-
Более крутой спад Я2 с ростом kg (рис. 60) по сравнению с
F.33) не противоречит энергетическим оценкам, если энергия
передается от коротких волн более длинным. В экспериментах
была отмечена та особенность пристеночной турбулентности,,
что зависимости п/п0 и е<р/7е ведут себя по-разному в проти-
противоречии с линеаризованным уравнением Больцмана п^пйе^/Те.
Несправедливость этого уравнения в плазме SOL для волн с-
? и Я 4=1 следует из F.3).
На рис. 61 приведена зависимость от угла 8о источника'
плазмы в периферийной области токамака TEXT с круглым по-
лоидальным лимитером [37]. Видно, что поток плазмы в SOL.
на внешнем обходе тора почти на порядок больше, чем на внут-
внутреннем. Столь сильную асимметрию можно объяснить совмест-
совместным действием конвекции, рассмотренной в § 6.4, и зависимо-
зависимостью D_lF0) F.12), вытекающей из желобкового характера не-
неустойчивости. Турбулентность может проникать из теин
199»
лимитера в периферийную плазму на расстояние порядка дли-
длины перемешивания. Диамагнитные флюктуирующие токи могут
при этом связывать плазму вне SOL с током на лимитер. Мож-
Можно ли объяснить пик турбулентного потока вблизи границы
SOL развитой выше теорией или в его образовании играют
роль иные неустойчивости, покажут дальнейшие исследования.
В двухнулевом диверторе турбулентность наблюдается лишь
на внешнем обходе [142], что подтверждает развитые выше
представления о ее природе. Смена знака Г при cos 6o<O на-
наблюдалась в токамаках ТФ-1 и ТМИ [145].
6.7. Перенос плазмы при стационарных возмущениях
магнитного поля
Сильно стохастизированное поле. Начиная с [126] стохасти-
зация магнитного поля рассматривалась как одна из наиболее
вероятных причин аномального переноса в токамаках. В [127]
показано, что в диверторных конфигурациях образование сто-
стохастического слоя при разрушении сепаратрисы может быть
причиной аномальной диффузии в пристеночной области. Изу-
Изучение плазмы при искусственной стохастизации магнитного
поля стимулировалось' развитием концепций эргодического лими-
лимитера, турбулентного плазменного бланкета [27, 128].
Если на магнитное поле токамака наложено возмущение с
радиальной составляющей Br=bm,k .So sin Ч1", где frm,ft<Cl, 4r=
= mQ—&ф, 6, ф — полоидальный и тороидальный углы, то вбли-
вблизи резонансных магнитных поверхностей с коэффициентом за-
запаса устойчивости q, равным mlfc, возникают магнитные остро-
острова [129] (рис. 62). Возмущенные магнитные поверхности опи-
описываются уравнением
где % = г0—г; г0 — малый радиус резонансной поверхности; по-
полуширина острова равна [129]
-i/ 2^0, / dp
У
t o-i/ 2^0,
Ып — " 1/ °т,к
У m
т,к 7
m \ dr
Если острова, создаваемые модами с различными m, k, пере-
перекрываются, т. е. выполнено условие [129] s= (|n> + E'm) \r'o—
—го\^>\, движение силовых линий в области перекрытия яв-
является стохастическим. При смещении вдоль линии на расстоя-
расстояние / происходит среднеквадратическое смещение в направле-
направлении малого радиуса <(ДгJ> = 2Шта, где коэффициент диффу-
диффузии Dm в квазилинейном приближении дается формулой
m,k
200
Рис. 62. Конфигурация магнитных по-
поверхностей при резонансном возму-
возмущении магнитного поля
Характер переноса плазмы
в стохастизированном магнит-
магнитном поле зависит от соотноше-
соотношения между длиной пробега за-
заряженных частиц между куло-
новскими столкновениями и
длиной корреляции различных мод возмущения Lc. В случае
мод с одинаковыми т и разными k Lczszn.R0/\n(ns /2) [129].
Если Lc<c^c, среднеквадратическое смещение частиц в ра-
радиальном направлении за время Д^ равно 2v\tDm, где v — теп-
тепловая скорость, и для поперечных коэффициентов диффузии и
теплопроводности электронов имеем [130, 131]
D *l=Dmvr, %sl = Dmven.
Для случая Xc<giLc D±, к найдены в [132, 133J, где из урав-
уравнение двужидксстнол гидродинамики, линеаризованных по отноше-
отношению к малым возмущениям поля Вг, получены соотношения для
возмущений плотности п, температуры Т и составляющих скорости
Vr, V|| плазмы. Коэффициент диффузии определяется соотношением
— Dj^dn/dr = nVtiBr/B0 + nVr — где 777— усреднение по всем мо-
модам. Это дает D*l = D/vi)(b0(di/k1)\ где Ь02 = ? ^,bv;—частота
ион-ионных столкновений; со;—ионная ларморовская частота; &j_—
характерный поперечный волновой вектор возмущения.
Коэффициент теплопроводности дается соотношением
С целью увеличения коэффициентов переноса плазмы в SOL
для понижения тепловой нагрузки на лимитер в [128] было
предложено стохастизовать магнитное поле винтовой обмоткой,
навитой на тор, с чередующимися направлениями тока в про-
проводниках. Возможности этого подхода для создания турбулент-
турбулентного плазменного бланкета рассматривались в [134]. Из-за
тороидальной геометрии проводников обмотка, замыкающаяся
после то обходов по ф и k0 — по Э, создает возмущения Вг с
m = m0, то±1, то±2 и т. д. [135]. Дополнительные моды воз-
возникают также из-за конечности проводников в полоидальном
направлении. Составляющие Вг генерируют острова на магнит-
магнитных поверхностях с разными q, пересечение которых приводит
201
-К стохастизации магнитного поля. Чтобы локализовать возму-
возмущение поля в пристеночной области, обмотку следует выпол-
выполнить с достаточно высокой мультипольностью и расположить ее
близко к плазме, так как ftmft~exp (т г ~~ °), где Ьо — радиус
поверхности, на которой находятся оси проводников.
Расчеты показывают [136], что для увеличения коэффици-
коэффициента диффузии в периферийной области до уровня 4—5 м2/с,
необходимого для эффективности ТПБ, сила тока в обмотке
составляет относительно небольшую долю тока в плазме. Рас-
Располагать резонансные обмотки нужно непосредственно вблизи
'.стенки, что может представить известные технические трудно-
трудности для реактора.
Транспортные свойства плазмы в конфигурации с магнит-
магнитными островами [137]. Влияние резонансных возмущений маг-
тнитного поля на переносы в периферийной плазме эксперимен-
экспериментально изучалось на токамаке TEXT [138]. Было показано, что
существенное увеличение коэффициентов поперечной диффузии
и теплопроводности наблюдается при относительно малых воз-
возмущениях, когда острова, созданные разными гармониками, не
перекрываются. В связи с этим в [137] была предложена тео-
теоретическая модель для транспорта плазмы в конфигурации с
магнитнымин островами. При этом предполагалось, что коэф-
коэффициенты переноса поперек возмущенных магнитных поверхно-
поверхностей такие же, как при отсутствии возмущения: Dj_, x±. Внутри
острова течение плазмы и электронная теплопроводность вдоль
силовых линий приводят к дополнительному переносу частиц и
тепла по малому радиусу. Продольная скорость в [137] найде-
найдена из приближенного решения уравнения движения, которое в
координатах go и / имеет вид:
дп
dV , дп
+D
а~де tj т] —коэффициенты продольной и поперечной вязкости ио-
знов; gt = 1 _ A — So*) sin2 —; s0 = is*-; Lm = -^2L _ период фа-
зовых колебаний в острове вблизи его оси.
В результате усреднения по 0 и ширине острова получены
следующие соотношения для эффективных потоков частиц и
Рис. 63. Зависимость потока частиц
плазмы в SOL TEXT от тока в обмот-
обмотках эргодического лимитера:
точки — данные измерений, кривая —ре-
—результаты расчета
тепла по малому радиусу:
dn р. п dT
~dT Т Т 1Г
dT СГ1 _,
11 = —
1
F.35)
'р>'
3,6
3,2
3,0
СМ-С"
.—-1
1
У
о
S
с
/
I/
/
0 12 3
где
$ П "^m P
5D i = v.- V-
16
Pr — "m,k
Orn.k
16 " l + pr2
При рг<1, когда движение в острове определяется попереч-
поперечной вязкостью ионов, добавка в коэффициенте диффузии.
8D± ^ bm,k\ в противоположном случае более существенна про-
продольная вязкость, и 8Dj_ <-ч^ bm k.
Уравнения F.35) и B.10) были использованы в [137] для
расчета параметров периферийной плазмы токамака TEXT с:
резонансными возмущениями поля [138]. В периферийную об-
область попадают острова с т, равным 7, 8, 9 и k = 3, которые не-
неперекрываются при токе в обмотке /0 ниже 5 кА. Для невоз-
невозмущенных коэффициентов переноса на основе данных [138]
принималось: Ох*= х ,/5/z, х = 4-1017 см-'-с-1; гсо:=2,5Х'
ХЮ13 см-3. На рис. 63 представлена расчетная зависимость,
потока плазмы в SOL, TP, от /0. Здесь же приведена экспери-
экспериментальная зависимость, полученная из спектроскопических
измерений. Имеется хорошее согласие результатов теории и,
эксперимента.
Список литературы
1. Тамм И. Е.// Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных-
реакций: Сб. статей/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Изд-во АН СССР 1958
Т. 1. С. 3—19.
2. Сахаров А. Д.// Там же. С. 20—30.
3. Зубарев Д. Н., Климов В. Н.// Там же. С. 138—160.
4. Брагинский С. И.// Вопросы теории плазмы: Сб. статей/ Под ред.
М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 1. С 183—272.
5. Stangeby P. С.// Physics of Plasma—Wall Interactions in Controlled
Fusion: Col. articles/ Ed. by D. E. Post, R. Behrisih. N. Y.: Plenum Press, 1986:
P. 41—138.
20$
6. Chodura R.// Phys Fluids. 1982. Vol. 25, No. 9. P. 1628—1633.
7. Игитханов Ю.Л., Пистунович В. И., Пожаров В. А. Препринт ИАЭ
№4217/8. М.: ИАЭ, 1985.
8. Chodura R./ Proc 12th Europ. Conf. on Controlled Fusion and Plasma
Physics, Budapest. 1985. Vol. 9F, Part 2. P. 472—475.
9 Takiztika Т., Tani K., Azumi M., Shimizu K// J. Nucl. Mater. 1984. Vol.
128—129. P. 104—110
10. Daybelge U., Bein B.//' Phys. Fluids. 1981. Vol. 24, No. 6. P. 1190—
1194.
11. Stangeby P. C.,// J. Nucl. Mater. 1987. Vol. 145—147. P. 105—116.
12. Bailey A. W., Emmert G. A.// Nucl. Fusion. 1984. Vol. 24, No 11. P
1439—1450.
13 Сизоненко В. Л., Шергин Г. Г.// Физика плазмы. 1981. Т. 7, С. 1258—
1272.
14 Bell A. R., Evans R. G., Nicholas M. N.// Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 46,
No. 4. P. 243—246.
15. Luciani J. F., Mora P.// Ibid. 1983. Vol. 51, No. 18. P. 1664—1667.
16 Albritton J. R., Williams E. A., Bernstein I. В., Swartz K. P.// Ibid.
1986. Vol. 57, No. 15. P. 1887—1890.
17. Игитханов Ю. Л., Юшманов П. Н.// Вопросы атомной науки и техни-
техники. Сер. Термоядерный синтез. М.: ИАЭ, 1988. Вып. 2. С. 61—63.
18. Мартыненко Б. В.// Итоги науки и техники Сер. Физика плазмы//
Под ред. В. Д. Шафранова. М: ВИНИТИ, 1982. С. 119—175.
19. Haifeiz D. В.// Physics of Plasma-Wall Interactions in Controlled Fu-
Fusion: Col. articles/ Ed. by D. E. Post, R. Behrisch. N. Y.: Plenum Press, 1986.
P. 695—771.
20. Janev R. K., Langer W. D., Evans K., Post D. E.// Princeton Plasma
Phys. Lab. Rep. PPPL// TM-368, 1985.
21. Samm U., Bogen P., Hartwig H. e. a./ Proc. 8th Int. Conf. on Plasma
Surface Interactions in Controlled Fusion Devices. Julich. 1988. P. 14.
22. Rehker S., Wobig- H.// Plasma Phys. 1973. Vol. 15. No. 11 P. 1083—
1097.
23. Недоспасов А. В., Токарь М. 3.// Докл. АН СССР. 1983. Т. 270, № 6.
С. 1376—1380.
24. Walker J. D., John R. M.// J. Chem. Phys 1974. Vol. 61, No. 6. P.
2394—2407.
25. Janev R. K-, Post D. E.. Langer W. D. e. a // J. Nucl. Mater. 1984. Vol.
121. P. 10—16.
26. Lehnert B.// Nucl. Fusion. 1986. Vol. 8, No. 2. P. 173—181.
27. Vasilyev N. N.. Nedospasov A. V., Petrov V. G., Tokar' M. Z./ Proc.
8th Europ. Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, Prague. 1977. Vol.
1. P. 164.
Васильев Н. Н., Недоспасов А. В., Петров В. Г., Токарь М 3.// Атомная
энергия. 1978. Т 44, вып. 4. С. 336—339.
28. Константинов О. В., Перель В. И.// Журн. техн. физ. 1960. Т. 30 № 12
С. 1485—1488.
29. Connor J. W.// Plasma Phys 1977. Vol. 19. No. 9, P. 853—873.
30. Tendler M./ Proc. 9th Europ. Conf. on Controlled Fusion and Plas-
Plasma Physics, Oxford. 1979. Vol. 1. P. 112.
31. Игитханов Ю. Л., Стаханов И. П.// Физика плазмы. 1978. Т. 4. Вып. 5.
С. 1004—1014.
32. Васильев Н. Н., Недоспасов А. В., Токарь М. 3.// Там же. 1982. Т. 8
Вып. 1. С. 37—44.
33. Tokar' M. Z./I Physica Scripta. 1985. Vol. 31. P. 411—414.
34. INTOR. Phase Two A Part 2. Vienna: IAEA, 1986.
35. Alexander K. F., Giinter K., Hintze W. e. a.// Nucl. Fusion. 1986. Vol.
26, No. 12. P. 1575—1590.
204
36 Erents S. K-, Tagle J. A., Me Gracken G. M.// Proc. 14th Europ. Conf.
on Controlled Fusion and Plasma Physics, Madrid. 1987. Vol. 11D, Part 1. P.
740—743.
37. Rowan W. L., Klepper С. С, Ritz С. P. e. a// Nucl. Fusion. 1987. V. 27,
No. 7. P. 1105—1118.
38. Zweben S. J., Manos D., Budny R. V. e. a.// J. Nucl. Mater. 1987. Vol.
145—147. p. 250—254.
39. Nedospasov A. V., Tokar' M. 1.1 Proc. 10th Europ. Conf. on Controlled
Fusion and Plasma Physics, Moscow. 1981. Vol. 1. P. J 10.
40. Токарь М. 3.// Атомная энергия. 1984. Т. 56, Вып. 3. С. 165—172.
41 Petravic M., Heifetz D. В., Kuo-Petravic G., Arzt Т.// J. Nucl. Mater.
1987. Vol. 145—147. P. 841—843.
42. Токарь M. 3.// Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, № 1. С. 99—104.
43. Недоспасов А. В., Токарь М. 3.// Там же. 1986. Т. 287, № 6. С. 1387—
1393.
44. Колесников В. К-, Недоспасов А. В., Токарь М. 3.// Докл. 3-й Всесоюзн.
конф. по инженерным проблемам термоядерных реакторов, 1984. М.: ЦНИИ-
атоминформ, 1984. Т. 4. С. 18—25.
45 Mahdavi M. A., DeBoo J. С, Hsich С. L. e. a.// Phys. Rev. Let. 1981.
Vol. 47, No. 22. P. 1602- 1605.
46. Nedospasov A. V., Tokar' M. Z./ Proc. 11th Europ. Conf. on Controlled
Fusion and Plasma Physics, Aachen. 1983. Vol. 7F, Part 2, P. 21.
47. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Нау-
Наука, 1981.
48. Tokar' M. Z./ Proc. 12th Europ Conf. on Controlled Fusion and Plas-
Plasma Physics, Budapest. 1985. Vol. 9F, Part 2. P. 496—499.
49. Tokar' M. Z./ Proc. 8th Int. Conf. on Plasma Surface Interaction in
Controlled Fusion Devices, Jiilich. 1988. P С 3.
50. Potters J. H. H. M., Goedheer W. T.// Nucl. Fusion. 1985. Vol. 25,
No. 7. P. 779—794.
51.Чепмен С, Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.
ИИЛ, 1960.
52. Крашенинников С. И., Пожаров В. А. Препринт ИАЭ № 4217/8. М.:
ИАЭ, 1985.
53. Krasheninnikov S. I., Kukushkin A. S., Pistunovich V. I., Pozha-
rov V. A.// Nucl. Fusion. 1987. Vol. 27, No. 11. P. 1805—1816.
54. Крашенинников С. И., Кукушкин А. С, Пистунович В. И., Пожа-
Пожаров В. А.// Письма в ЖТФ. 1985. Т. 11, № 7. С. 1061—1065.
55. Nedospasov A. V., Tokar' M. Z./ Proc. 4th Tech. Com. Meet, and Work-
Workshop, on Fusion Reactor Design and Technology 1986, Vienna: IAEA, 1987.
Vol. 2. P. 113—124.
56. Harbour P. J., Johnson P. C, Proudfoot G. e. a.// J. Nucl. Mater. 1984
Vol. 128-129. P. 359—367.
57. Пярнпуу А. А., Шидловский В. П.// Молекулярная газодинамика: Сб.
статей/ Под ред. В. В. Струминского. М.: Наука, 1982. С. 99—107.
58. Krasheninnikov S. I., Pigarov A. Yu./ Proc. 11th Int. Conf. on Plasma
Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, 1986 Vienna: IAEA, 1987.
Voll. 3. P. 387—394.
59. Shimamura Y., Kcilhacker M., Lackner K. e. a.// Inst, Plasma Phys.
Rep IPP 111/80, 1982.
60. Ohyabu N., Chase R, Kahn С. е. a.// I Nucl. Mater. 1984. Vol. 128—
129. P. 275—279.
61. Игитханов Ю. Л., Кукушкин А. С, Пигаров А. Ю., Пистунович В. И.//
Докл. АН СССР. 1984. Т. 278, № 2. С. 338—343.
62. Keilhacker M., Becker G., Behringer К. е. a./ Proc. 9th Int. Conf. on
Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, 1982. Vienna- IAEA,
1983. Vol. 1. P. IAEA-CN-41/R-2.
205
63. Petravic M., Heifetz D., Kuo-Petravic G., Post D.// J. Nucl. Mater.
1984. Vol. 128—129. P. 111—113.
64. Lackner K-, Ditte U., Fussmann G. e. a./ Proc. 10th Int. Conf. on Plasma
Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, 1984. Vienna: IAEA, 1985.
Vol. 1. P. IAEA-CN-44/A-V-4.
65. Alexander K. F., Dietrich L., Grote H. e. a./ Proc. 11th Int. Conf. on
Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, 1986. Vienna: IAEA,
1986. Vol. 1. IAEA-CN-47/A-IV-5.
66. Petrov V. G.// Nucl. Fusion. 1984. Vol. 24, No. 3. P. 259—266.
67. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего ана-
анализа. М.: Наука, 1965. С. 163.
68. Nedospasov A. V., Tokar' M. Z., Vasin N. L.// Contr. Plasma. Phys.
1988. Vol. 28, No. 4/5. P. 453—458.
69. Mioduszewski P.// J. Nucl. Mater. 1982. Vol. 111—112. P. 253—267.
70. Токарь М. 3.// Атомная энергия. 1986. Т. 61, Вып. 6. С. 440—443.
71. Nagami M., Kasai M., Kitzunezaki A. e. a.// Nucl. Fusion. 1984. Vol. 24,
No. 2. P. 183—200.
72. Lipschultz B.// J. Nucl. Mater. 1987. Vol. 145—147. P. 15—25.
73. McGracken G. M, Stott P. E.// Nucl. Fusion. 1979. Vol. 19, No. 7, P.
889—981.
74. Sigmund P.// Phys. Rev. 1969. Vol. 184, No. 2. P. 383—416.
75. Roth J., Bohdansky J., Ottenberger W.// Inst. Plasma Phys. Rep. IPP
9/26, 1979.
76. Smith D. L.// J. Nucl. Mater. 1978. Vol. 75, No. 1, P. 20—31.
77. Claassen H. A., Repp H.// Nucl. Fusion. 1981. Vol. 21, No. 5. P. 589—
601.
78. Абрамов В. А., Игитханов Ю. Л., Пистунович В. И., Пожаров В. А.
Препринт ИАЭ № 4189/6. М.: ЦНИИатоминформ. 1987.
79. McGracken G. M.// Rep. Prog. Phys. 1975. Vol. 38. P. 241—327.
80. Войценя В. С, Васильев В. В.// Поверхность: Физ., химия, мех. 1985.
№ 6. С. 146—148.
81. Engelhardt W., Feneberg W.// J. Nucl. Mater. 1978. Vol. 76—77. P.
518—520.
82. Post D. E., Jensen R. V., Tarter С. В. е. a.// Princeton Plasma Phys.
Lab. Rep. PPPL—1352, 1977.
83. Токарь М. 3.// Физика плазмы. 1982. Т. 8, Вып. 3. С. 453—457.
84. Hirshman S. P.// Phys. Fluids. 1976. Vol. 19, No. 1. P. 155—158.
85. Neuhauser J., Schneider W., Wunderlich R., Lackner K.// J. Nucl. Ma-
Mater. 1984. Vol. 121. P. 194—198.
86. Claassen H. A., Repp H.// Nucl. Fusion. 1983. Vol. 23. No. 5. P. 597—
607.
87. Harbour P. J-, Morgan J. G./ Proc. 12th Europ. Conf. on Controlled
Fusion and Plasma Physics, Aachen. 1983. Vol. 7D, Part 2. P. 427—430.
88. Tokar' M. Z.//Nucl. Fusion. 1985. Vol. 25, No. 6. P. 713—719.
89. Nedospasov A. V., Tokar' №. Z.// Ibid. 1981. Vol. 21, No. 4. P. 465—
472.
90. Токарь М. 3./ Докл. 3-й Всесоюзн. конф. по инженерным проблемам
термоядерных реакторов, 1984. М.: ЦНИИатоминформ, 1984. Т. 4. С. 3—10.
91. Claassen H. A., Gerhauser H.//Inst. Plasma Phys. Rep. Jfll—1971, 1985.
92. Brooks J. N.// J. Nucl. Mater. 1987. Vol. 145—147. P. 837—840.
93. Stangeby P. C, Wood L., Hoskins S./ Proc. 14th Europ. Conf. on Cont-
Controlled Fusion and Plasma Pbvsics, Madrid. 1987. Vol. 11D, Part 2, P. 714—
717.
94. Krasheninnikov S. I.// Contr. Plasma Phys 1988. Vol. 28, No. 4/5. P.
433—437.
95. Obyabu N.// Nucl. Fusion. 1979 Vol. 19. No. 11. P. 1491—1497.
96. Tokar' M. Z.I I Ibid. 1983. Vol. 23, No. 10. P. 1395—1398.
206
97 Stringer T. E./ Proc. 12th Europ. Corn, on Controlled Fusion and Plas-
Plasma Physics, Budapest, 1985. Vol 9F, Part 1. P. 86—89.
98. Neuhauser J., Schneider W., Wunderlich R.// Ibid. Part 2. P. 476—479.
99. Neuhauser J., Schneider W., Wunderlich R.// Nucl. Fusion. 1986. Vol. 26,
No. 12. P. 1679—1692.
100. Tokar' M. 1-1 Phoc. 15th Europ. Conf. on Controlled Fusion and Plas-
Plasma Physics, Dubrovnick. 1988. Vol. 123. Part 2. P. 675—678.
101. Phaneuf R. A., Janev R. K-, Pindzola S.// Oak-Ridge Nath. Lab, Rep.
ORNL—6090. 1987.
102. Dylla H. F., Bell M. G., Blanchard W. R. e. a.// J. Nucl. Mater. 1987.
Vol. 145—147. P. 48—60
103. Castracane J., Demers Y., Pospieszczyk A.// Ibid. 1987. Vol. 27, No. 11.
P. 1921—1925.
104. Boozer A. H.// Phys. of Fluids. 1976. Vol. 19, No. 8. P. 1210—1216.
105. Liewer P. C.// Nucl. Fusion. 1985. Vol. 25, No. 5, P. 543—621.
106. Callen J. D., Carreras B. A., Diamond P. H.// Proc. 9th Int. Conf. on
Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, 1982. IAEA, 1985.
Vol. 1. P. IAEA-CN-41 D—2-2.
107. Thayer D. R., Diamond P. H., Wootton A. J.// J. Nucl. Mater. 1987.
Vol. 145—147. P. 803—806.
108. Terry P. W., Diamond P. H.// Phys. Fluids. 1985. Vol. 28, P. 1419—
1439.
109. Недоспасов А. В., Закиров Р. M.// Письма в ЖТФ. 1984. Т. 10, Вып. 3.
С. 165—168.
ПО. Motley R. W.// Nucl. Fusion. 1981. Vol. 21, No. 12. P. 1541—1548.
111. Nedospasov A. V., Petrov V. G.. Fidel'man G. N.// Ibid. 1985. Vol. 25,
No. 1. P. 21—27.
112. Фидельман Г. Н.// Физика плазмы. 1987. Т. 13. Вып. 10. С. 1176—1185.
113. Колесников В. К., Недоспасов А. В.// Докл. АН СССР. 1987. Т. 294,
№ 4. С. 845—847.
114. Петров В. Г.// Физика плазмы. 1987. Т. 13. Вып. 11. С. 1295—1300.
115. Кадомцев Б. Б., Погуце О. П.// Вопросы теории плазмы: Сб. статей/
Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат. 1967. Вып. 5. С. 209—350.
116. Nedospasov A. V., Petrov V. G.// Nucl. Fusion. 1986. Vol. 26, No. 11.
P. 1529—1536.
117. Петров В. Г.// Физика плазмы. 1987. Т. 13, № 11. С. 909—914.
118. Бугаря В. И., Грашин С. А., Чанкин А. В. Препринт ИАЭ № 3866/7.
М., ИАЭ, 1983.
119. Fidel'man G. N., Ivanov R. S., Stotsky G. J./ Proc. 11th Europ. Conf.
on Controlled Fusion and Plasma Physics. Aachen. 1983. Vol. 7F, Part 2. P.
409—412.
120. La Bombard В., Lipchultz B.// Nucl. Fusion. 1987. Vol. 27, No. 1.
P. 81—89.
121. Ivanov R. S., Nedospasov A. V., Fidel'man G. N./ Proc. 10th Europ.
Conf on Controlled Fusion and Plasma Physics, Moscow. 1981. Vol. 1. P. J—3.
122. Ferro C, Franconi E., Maddaluno G. e. a.// Ibid. Proc. 12th Europ.
Conf. Budapest. 1985. Vol. 9F, Part 1. P. 555—558.
123. Levinson S. J., Beali J. M., Powers E. J. e. a.// Nucl, Fusion. 1984.
Vol. 24, No. 5. P. 527—540.
124. Ritz С P., Bravenec R. V., Bengtson R. D. e. a.// J. Nucl. Mater. 1987.
Vol. 145—147. P. 241—244.
125. Weisen H., Hollenstein Ch., Behn R.// Plasma Phys. Contr. Fusion.
1988. Vol. 30, No. 3. P. 293—309.
126. Rosenbluth M. N., Sagdeev R. Z., Toylor J. В., Zaslavsky G. M.// Nucl.
Fusion. 1966. Vol. 6. No.3. P. 297—302.
127. Морозов Д. X., Погуце О. П.// Физика плазмы. 1982. Т. 8. Вып. 3.
С. 444—452.
207
128. Feneberg W,// Proc. 8tb Europ. Conf. on Controlled Fusion and Plas-
Plasma Physics, Prague. 1977. Vol. 1 P. 4.
129. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука,
1984.
130. Stix Т. Н./у Nucl. Fusion. 1978. Vol. 18, No. 3. P. 353—359.
131. Rechester А. В., Rosenblulh M. N.// Phys. Rev. Lett. 1978. Vol. 40,
No. 1. P. 38—41.
132 Yamagishi Т., Hinton F. L., Bliadra D. K-, Miller R. L.// Nucl. Fusion.
1983 Vol. 23, No. 2. P. 189—194.
133. Yamagishi Т., Shu M. S., Bhadra D. K., Hinton F. L.// J Nucl. Mater.
1984. Vol. 128—129. P. 118—122.
134. Токарь M. 3.// Физика плазмы 1979. Т. 5, Вып. 2. С. 454—457.
135. Морозов А. И., Соловьев Л. С.// Вопросы теории плазмы: Сб. статей/
Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 2. С. 3—52.
136. Nedospasov A. V., Tokar' M. Z.// J. Nucl. Mater. 1980. Vol. 93—94.
P. 248—251.
137. Tokar' M. Z./ Proc. 14th Europ. Conf. on Controlled Fusion and Plas-
Plasma Physics, Madrid. 1987. Vol. 13F, Part 2. P. 687—690.
138. Ohyabu N., deGrassie J. S., Brooks N. e. a.// Nucl. Fusion. 1985. Vol.
25, No. 11. P. 1684—1688.
139. Крашенинников С. И.// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Тер-
Термоядерный синт»з. М.: ИАЭ, 1988. Вып. 2. С. 8—12.
140. Пистуновкч В. И.// Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций: Сб. статей/ Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Изд-во АН
СССР, 1958. Т. 4. С. 134—155.
141. Крашенинников С. И.// Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 48, Вып. 5
С. 287—289.
142. Rudyj A., Bengtson R. D., Carlson A. e. a./ Proc. 16th Europ. Conf.
on Controlled Fusion and Plasma Physics, Venice. 1989. Vol. 13B, Part 1. P.
27—30.
143. Post D. E., Langer W. D., Petravic M.// J. Nucl. Mater. 1984. Vol. 121.
P. 171—177.
144. Saito S., Kobayashi Т., Sugihava M. e. a.// Nucl. Fusion. 1985. Vol.25,
№ 7. P. 828—834.
145. Бычков С. С, Зыков Н. М., Иванов Р. С. и др. Препринт ИВТАН
№ 7—273. М.: ИВТАН, 1989.
УДК 533.9.01
АЛЬФА-ЧАСТИЦЫ В ТОКАМАКЕ
С. В. Путвинский
Введение
В ближайшем будущем термоядерные исследования на то-
камаках вступят в новую фазу — фазу тритиевых эксперимен-
экспериментов на смеси дейтерия с тритием. Задачей тритиевых экспери-
экспериментов будет демонстрация возможности осуществления и
исследования режимов с достаточно мощным термоядерным
энерговыделением, характерным для реакторов-токамаков.
В настоящее время с целью снижения радиационной опасности
все эксперименты проводятся на слабо реагирующем дейтерии
или водороде.
Основное отличие тритиевых экспериментов от нынешних
будет заключаться в появлении в плазме энергичного компо-
компонента— термоядерных сс-частиц, рождаемых в ядерных реакци-
реакциях с энергией 3,52 МэВ. Нейтроны, выделяющиеся в термо-
термоядерных реакциях, будут уходить из плазмы и поглощаться в
бланкете реактора, а а-частицы, в которых выделяется 20%
полной термоядерной мощности, должны удерживаться в плаз-
плазме и передавать свою энергию основным компонентам.
Для того чтобы почувствовать, что представляет собой
быстрый компонент термоядерных а-частиц, выполним некото-
некоторые оценки.
Плотность энергичных, надтепловых а-частиц па определя-
определяется временем их охлаждения ts:
где п — плотность плазмы, состоящей из дейтерия и трития;
nd=nt = nj2\ от — сечение термоядерных реакций. Учитывая,
что Ts~jT3/2/rt, где Т — температура плазмы, получаем, что от-
относительная плотность а-частиц
A)
зависит только от температуры плазмы. При Г=10 кэВ па/п=
= 7,5-10~4. При этом энергосодержание в a-частицах гФа.
сравнимо с энергосодержанием основной плазмы. С ростом тем-
температуры плотность потока a-частиц быстро нарастает: па/п~
~Г'2. Например, при Г=30 кэВ na/n=2,5-l0~2, что в усло-
14—6856 209
виях ограниченного р приводит к заметному снижению мощно-
мощности термоядерных реакций.
Скорость а-частиц при рождении иа=1,3-109 см/с меньше
тепловой скорости электронов: vTi<va<vTe. Ее ларморовский
радиус в поле В = 5 Тл равен рл^5 см, что составляет пример-
примерно 1/20 малого радиуса плазменного шнура в реакторе-тока-
маке.
Роль а-частиц в токамаке и, следовательно, актуальность их
исследований проиллюстрированы рис. 1, на котором изобра-
изображены две крайние возможности в поведении а-частиц в услов-
условном реакторе мощностью 1 ГВт. Рис. \,а соответствует само-
самоподдерживающейся термоядерной реакции — а-частицы хорошо
удерживаются в плазме, передают ей всю свою энергию и пол-
полностью компенсируют потери энергии из плазмы. Другой пре-
предельный случай, изображенный на рис. 1,6, соответствует пол-
полной потере а-частиц на стенку. При этом для поддержания
заданной температуры потребуется использовать дополнитель-
дополнительный нагрев мощностью ~200 МВт, и стоимость термоядерного
реактора возрастет как минимум на 30%. Кроме того, удвоит-
удвоится тепловая нагрузка на первую стенку, причем дополнительные
200 МВт будут выходить в виде энергичных а-частиц, глубоко
проникающих в материал стенки и приводящих к ее сильному
разрушению.
Следует отметить, что выделение энергии а-частиц в плазме
еще не гарантирует осуществления самоподдерживающейся ре-
реакции. Эксперименты, выполненные в последнее время на тока-
маках, показывают, что энергетическое время жизни хЕ зависит
от профиля источника нагрева. В частности, использование
дополнительных методов нагрева приводит, как правило, к
ухудшению удержания энергии в плазме и к уменьшению энер-
энергетического времени г е- Может оказаться, что нагрев плазмы
термоядерными а-частицами будет ухудшать удержание энер-
энергии и частиц настолько, что самоподдерживающаяся реакция
станет невозможной. Основанием к таким опасениям служит
известная неустойчивость термоядерного горения.
До сих пор исследования поведения термоядерных а-частиц
в плазме токамака проводилось в основном теоретиками. Лишь
в последнее время в связи с появлением крупных установок,
таких, как JET, TFTR и других, с высоким значением парамет-
параметров появилась возможность исследовать в эксперименте дина-
динамику продуктов термоядерных реакций. Широкое исследование
физических процессов, связанных с термоядерными а-частица-
а-частицами, возможно лишь в тритиевом эксперименте, который должен
дать новую физическую информацию и, возможно, привести к
изменению классических теоретических представлений, сформи-
сформировавшихся в отсутствие реальных экспериментов. Тем не ме-
менее представляется целесообразным собрать существующие
210
^- 800 МВт
200
*- 800МВт
Д ополнительньш
нагрев 200 МВт
Рис. 1. Баланс энергии в токамаке:
а — самоподдерживающаяся реакция; б — все а-частицы теряются на стенку
теоретические представления и идеи относительно поведения
термоядерных а-частиц в плазме токамака.
Некоторые важные проблемы остались вне рамок настояще-
настоящего обзора. Не будут рассмотрены кинетические неустойчивости
плазмы, возбуждаемые термоядерными а-частицами. Изложе-
Изложение этого вопроса можно найти в обзоре [1J. Обсуждение ряда
интересных физических явлений, связанных с появлением в
плазме термоядерных а-частиц, содержится в обзорной рабо-
работе [2].
Глава 1
КИНЕТИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕРМОЯДЕРНЫХ ПРОДУКТОВ
В ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
1.1. Ядерные реакции в термоядерной плазме
В реакторе-токамаке для производства энергии, по-видимо-
по-видимому, будет использоваться реакция дейтерия с тритием, которая
имеет большое сечение при низких температурах плазмы G*~
~20 кэВ), характерных для токамака. Однако в смеси дейте-
дейтерия с тритием кроме d—t протекают и другие реакции, приво-
приводящие к образованию энергичных термоядерных частиц. Хотя
выделение энергии в таких дополнительных реакциях мало по
сравнению с d—^-реакцией, их продукты могут быть использо-
использованы для диагностики плазмы в токамаке. Кроме того, в ряде
работ рассматривается возможность использования для произ-
производства энергии безнейтронной реакции d — 3Не. Поэтому
представляется целесообразным рассмотреть все реакции, про-
14* 211
Таблица 1. Ядерные реакции в смеси протонов, дейтерия, трития и 3Не
Номер
реакции
Реакция yi энергетический выход (кэВ)
1а
16
2а
26
2в
За
36
4а
46
4в
5а
56
6а
66
7
d + t = a C518) + п A4072) + 17590
d + t = вне + у + 16632 = а + п + у + 17590
d + d = 3Не (817) + п B452) + 3269
d + d=t A008) -f р C025) + 4033
d + d -— а + Y + 23843
t+t = a-{-n + n+ 11332
t + t= 5He A729) + n (8645; + 10374 = а + n + n (8645)+ 11332
t + зне = d (9547) + а D774) + 14321
t + 3He = Ще A856) !¦ /? (9282) + 11138 = « + « + /' (9282) + 12096
t+ 3He = « _(- n + /г + 12096
d+3He = p A4683)+ «C671)+ 18354
d + 3He = 5Li + y + 16384 = а + p + Y + 18354
3He + 3He = jo H- p + а + 12860
3He + 3He= 5Li A816) + p (9078) + 10894 = « + p + /? (9078) + 12860
p + d = 3He + y + 5494
/; + < = 3He + n — 763
текающие в смеси протонов, дейтерия, трития и 3Не. Ядерные
реакции, возможные в такой смеси, представлены в табл. 1
[3, 4J. У каждой реакции указан энергетический выход (кэВ).
Реакции 16, 36, 46, 56, 66 идут с образованием промежуточных
короткоживущих ядер 5Не и 5Li. Если в результате реакции
образуются две частицы, то их энергия однозначно определя-
определяется законами сохранения энергии и импульса. В этом случае
энергия продуктов (в системе центра масс) указана в табл. 1.
Все реакции, кроме последней, идут с выделением энергии.
Последняя реакция эндотермическая и имеет порог по энер-
энергии 763 кэВ.
В настоящее время сечения реакций при низких энергиях
известны с хорошей точностью. Так в [5] сечение d — /-реакции
было измерено с погрешностью ^1,4% в диапазоне энергий
5 кэВ^?^50 кэВ. Выполнены точные измерения сечений реак-
реакций d — d (экспериментальная погрешность <3%) и / — / (по-
(погрешность <5%) в том же диапазоне энергий [6]. При боль-
больших энергиях сечения известны с погрешностью ±10% [7].
С той же точностью измерено сечение реакции 3Не — 3Не [8].
Зависимость сечения реакции /—3Не от энергии приводится в
[9J.
При низких значениях энергии реагирующих частиц величи-
величина сечения определяется кулоновским экранированием ядер,
которое входит в выражение для сечения в виде множителя
?~'ехр(—В/^Е), где Е — энергия в системе центра масс час-
частиц;
B = vZ1Zi(ei/hc)BpciI12; A.1)
212
| / {tnl-\-m2)—приведенная масса реагирующих частиц;
Zu Z'i — их заряды [10J. Поэтому для описания сечений реак-
реакций обычно используют функцию S(E):
В
A.2)
Функция S(E) достаточно плавная, что позволяет подобрать
единую аппроксимационную формулу для основных реакций из
табл. 1:
S (Е) =
A.3)
В табл. 2 приведены значения констант So, a, b, с, Ео и констан-
константы В из выражения A.2). Размерность констант в табл. 2 та-
такова, что в A.2) и A.3) Е — в кэВ и о — в 10~24 см2. Там же
приведена относительная погрешность б аппроксимационных
формул A.2) и A.3). В отличие от аппроксимационных формул,
приведенных в [11], выражение A.3) правильно описывает
сечения при больших энергиях реагирующих частиц.
На рис. 2 показаны зависимости сечений реакций № 1—6 от
энергии реагирующих частиц в системе центра масс, получен-
полученные с помощью формул A.2), A.3). Там же приведено сечение
реакции № 8, взятое из [.12],.
Часть реакций из табл. I идет с образованием -у-излучения
(реакции № 16, 26, 56 и 7). Последнее время эти реакции при-
привлекают внимание в связи
с возможностью их исполь-
использования для диагностики
термоядерной плазмы [13,
14]. Экспериментальные из-
измерения показали, что сече-
сечения канала реакций с обра-
образованием у-квантов невели- Ю
ко и составляет 10^4—10~7
полного сечения реакции.
-15
Для термоядерного син-
синтеза представляют интерес
зависимости скоростей ре-
реакций y(T)=(av} от темпе-
температуры ионов плазмы [угло-
[угловые скобки означают усред-
Рис. 2. Зависимость сечения реак-
реакций из табл. I от энергии реаги-
реагирующих частиц в системе центра
масс. Для d— d-реакции приве-
приведено суммарное сечение по двум
каналам
10
-26
10
-27
10
-28
I
1
d-i
г
/d-d
/ )
il
1
/
\
p-t
10
100
1000 Е,кэЪ
213
I
a.
I
I
s
3
в
?
сз
s
4
214
НОЮ
00
So
о
CO
V
о
Ю
I
<M
I
о
о
о
о
о
s
о
Л
о
s
i
о
с»
V/
л
(N
<M
00
CO
o
о
1
о
Й
о
со
V
л\
V
CM
s
t
V
5?
00
о
о
о
6
о
s
о
о
о
V
л
V
t
CD
00
СО
S
О Ф
^- о
|
со
к 1
о.
со с
¦Ч* -а-
00
со я
V
Таблица 3. Константы для аппроксимационных формул A.7) и A.8)
Лом ер
реакции
1а
2а
26
6а
8,9720-
1,741-
1,1763-
1,8766-
ю_13
ю-"
ю-;б
ю—13
'0
— 1,0134
—93,320
—136,46
3,2179
6
0
0
4
,386-
,771-
10-3
ю-4
е
1,877
— 16,847
— 15,957
13,705
Номер
реакции
1а
2а
26
6а
0,16176
0,3843
0,3807
0,05204
1
0
0
1
V
— ел ел ел
ОО
С
19,9826
18,8085
18,8085
31,7126
Продолжение табл. 3
8, %, Г. кэВ
1, 7"<50
2, Т < 100
1,5, Г < 100
1,5, 7'<100
нение по максвелловским функциям распределения реагирую-
реагирующих частиц fI (v) и /2 (v) ]:
Vi)-/,(v,)o( | vx — v2 | ) | vx — v2 | d'v^v,. A.4)
Переходя от vi и v2 к относительной скорости u=Vi—v2 и ско-
скорости центра масс V= (m1v1+im2v2)/(m1-|-m2), последнее вы-
выражение можно привести к виду
A.5)
При малой температуре интеграл в A.5) вычисляется методом
перевала, что для A.2) дает асимптотическую зависимость
Y~r-2/3exp (—С/Г'*). A.6)
Поэтому аппроксимационные формулы для у(Т) удобно вы-
выбрать в виде
7(Г) = УG;)Г-2/Зехр(-С/Г/з). A.7)
Константа С в A.7) однозначно определяется константой В,
входящей в выражение для сечения реакций A.5). Такой под-
подход использовался в работах [11, 15, 16]. Ниже приведены
аппроксимационные формулы для реакций № 1а, 2а, 26, 6а, со-
согласованные с выражениями для сечений A.2) и A.3)"
gexp(—
. A.8)
215
10
10
20 3040Т,кэВ
рость реакций
Рис. 3. Зависимость скорости
реакции y(T) = <av> от темпе-
температуры максвелловской плазмы:
l — d(d, 3Не)«; 2 — d{d, t)p
В табл. 3 приведены кон-
константы Vo, To, d, g, jji, v, С.
Размерность этих констант
такова, что [Т] выражена в
кэВ, [у] —в см3/с. Там же
указана максимальная отно-
относительная погрешность фор-
формул A.8).
На рис. 3 показаны за-
зависимости скоростей термо-
термоядерных реакций от темпе-
температуры ионов максвеллов-
максвелловской плазмы для некото-
некоторых реакций из табл. I.
Следует отметить, что
при низкой температуре ио-
ионов основной вклад в ско-
надтепловые частицы с
у дают
энергией, в несколько раз превосходящей температуру ионов.
Для примера на рис. 4 изображена зависимость подынтеграль-
подынтегрального выражения в A.5) от безразмерной энергии ци2/BТ) для
значений температуры Т, равной 2, 10, 20 кэВ, рассчитанная
для реакции d — t. Там же для сравнения пунктиром показано
максвелловское распределение е-8Уе. Вполне вероятно, что в
плазме токамака функция распределения ионов в области да-
далекого хвоста отличается от максвелловской, и поэтому при
низкой температуре надежность формул A.9) невысока. В ряде
работ учитываются эффекты, приводящие к искажению функ-
функции распределения при больших энергиях и, следовательно, к
изменению скоростей реакций при низкой температуре (см., на-
Рис. 4. Зависимость g=exp [—ци2/
/BГ)]сг(«)ы3 от e=n«7B7") при
различной температуре. Пунктир —
максвелловское распределение
пример, [17]). Однако, поскольку плазма в токамаке далека от
термодинамического равновесия, надежность подобных расче-
расчетов не выше тех, которые основаны на максвелловском распре-
распределении.
1.2. Энергетические спектры источников термоядерных
частиц
В том случае, когда в результате реакции рождаются две час-
частицы, законы сохранения энергии и импульса однозначно опре-
определяют энергию продуктов в системе центра масс, а распреде-
распределение источника по энергии — моноэнергетическое:
}o-vo), A.9)
где v — скорость термоядерных частиц в системе центра масс;
mv2oj2 — энергия рождения частицы.
В случае реакции с образованием трех частиц, например За,
распределение частиц в системе центра масс можно описать сле-
следующей зависимостью [18]:
{O-0?}1'2, A.10)
2
где 1тах — ^ 3— Де; Де—полная кинетическая энергия
2 т1 + тг + «з
трех частиц.
Рассмотрим теперь реакции, проходящие с образованием
промежуточного ядра, например, реакцию № 36. Ядро 5Не и
первый нейтрон имеют моноэнергетические распределения, ко-
которые легко рассчитать с помощью законов сохранения. Через
10~20 с после своего рождения ядро 5Не распадается на сс-час-
тицу и второй нейтрон с выделением энергии ?д = 957 кэВ:
5Не = а+/г+957. A.11)
В системе координат, движущейся вместе с ядром 5Не, скоро-
скорости а-частицы и нейтрона равны соответственно
t c\p m \ 1 /9
V = < ;
( 2?Л т„
Г'
1/2 A.12)
Здесь та и тп — массы а-частицы и нейтрона. Обозначим Еяе
энергию ядра 5Не и оНе — его скорость; ине = |2?'не/^не. Воз-
Возвращаясь в систему центра масс, получаем
o2 = v'2 + vl +2u'yu y A.13)
217
где 5C=cos0, a 0 — угол между скоростью а-частицы v'a и ско-
скоростью ядра 5Не. Можно считать, что вылет продуктов реакции
A.11) происходит изотропно и поэтому их распределение по
углам вылета описывается формулой ср(х)^У.— A/2)rfjC- Пере-
Переходя от х к va, с помощью A.13) получаем
гр (г)а) = 1 НН1_— 1 SHS , A.14)
где
тНе
Распределения A.10), A.11) и A.14) нормированы таким
образом, что j <p (v)d3v— 1.
Зная скоростные спектры продуктов реакций в системе цент-
центра масс, можно найти их спектры в лабораторной системе
координат:
5*е W = 1 F«v К - «О 9 К) rf4- A-15)
Здесь
A.16)
— функция распределения по скоростям центров масс реаги-
реагирующих частиц сортов у и |3; Д,, /р — их скоростные функции
распределения. В случае максвелловских функций распределе-
распределения реагирующих частиц Fy$ легко вычисляется:
с лл / м \3/2
где iW=mv-|-mp; Г — температура; щ, п$ — плотности реагиру-
реагирующих компонентов; у(Т) — скорость реакции A.7). Поскольку
температура плазмы мала по сравнению с энергией частиц, то
доплеровское уширение, которое описывает формула A.15),
важно лишь для реакций с моноэнергетическим источником
A.9). В этом случае из A.15) легко получить распределение
источника термоядерных частиц [19]:
где mavl0/2 — энергия родившейся частицы в системе центра масс.
vl0
218
10
Рис. 5. Энергетические спектры
термоядерных источников нейтро-
нейтронов и протонов в максвелловской
плазме с температурой Т=
= 10 кэВ, состоящей из смеси d,
t и 3Не (na=nt=nHe=\0u см-3)
В том случае, когда в
результате образуются час-
частицы с широким энергетиче-
энергетическим спектром A.10),
A.14), доплеровское ушире-
ние приводит лишь к не-
небольшому сглаживанию
резкой границы спектра и
поэтому его можно не учи-
учитывать.
На рис. 5 и 6 для примера показаны энергетические спект-
спектры источников термоядерных продуктов, рождающихся в макс-
максвелловской плазме с температурой 10 кэВ, состоящей из рав-
нокомпонентной смеси дейтерия, трития и 3Не, с плотностью
rtd = n(=nHe==1014 см. Спектры рассчитаны с помощью фор-
формул A.9), A.10), A.14), A.15), A.17). Такие распределения
по энергиям имеют частицы, сразу уходящие из плазмы за про-
пролетное время. К ним относятся нейтроны и часть заряженных
частиц, траектория которых выходит на стенку. Пики нейтронов
при энергии 2,45 МэВ и протонов при энергии около 3 МэВ свя-
связаны с d — ^-реакциями; d — /-реакции дают пик нейтронов при
10 w
10 9
10 8
Ю7
-
-5He
-
-
-
.t
I
/
/
i >
a.
\
\
\
i i \ i
d
A
8
Рис. 6. Энергетические спектры термоядерных источников а-частиц, трито-
тритонов t, дейтронов d и ионов 3Не в максвелловской плазме с температурой
7"=10 кэВ, состоящей из смеси d, t и 3Не (п<<=п/=/гне=1014 см~3)
219
энергии 14 МэВ, а протоны с той же энергией рождаются в
реакции d — 3Не. При температуре Г=10 кэВ скорость реак-
реакций d— 3Не примерно на три порядка ниже скорости d — ^-ре-
^-реакций (си. рис. 3).
1.3. Взаимодействие энергичных термоядерных
частиц с плазмой
Те термоядерные частицы, которые удерживаются в токама-
ке, передают свою энергию плазме в результате кулоновских
столкновений с ионами и электронами. Торможение пробных
ионов в плазме описывается следующим уравнением [20]:
dt~ va j3,/ir те\ [J
P
где 8a — энергия ионов; fa, %e — кулоновские логарифмы для
ионов и электронов плазмы; пе, Те — плотность и температура
электронов, Zp, Лр и mp — заряд, плотность и масса ионов сор-
сорта р. Первое слагаемое в A.19) описывает торможение на
электронах, второе — на ионах плазмы.
Для термоядерных температур в токамаке Г~10ч-20 кэВ
скорость заряженных продуктов реакций va лежит в диапазоне
VTi<V*<VTe, A.20)
где у г/, Уте — тепловые скорости ионов и электронов плазмы.
Поэтому правую часть A.19) можно упростить и представить
в более удобном виде:
где
з «.
z' = — : -=U,U1| — II I-
E* = tnav2*/2 — энергия частицы, при которой сравниваются ско-
скорости торможения на ионах и электронах плазмы; тр — масса
протона;
,1/3
/ 3 1. л Л,- т., Ж" ^я"ч
?\. =
Часто вместо tes используется время торможения ts = 2ts«.
220
Рис. 7. Зависимость доли энергии
а-частицы, передаваемой электронам
плазмы, от электронной температу-
температуры ео/е„ ~Те~1
Для сс-частиц энергия е*
мала по сравнению с энергией
рождения е*<Сео, и поэтому
большую часть своей энергии
а-частицы передают электро-
электронам плазмы. Действительно,
используя A-21), можно
записать выражения для
Л?
10 20 30
долей энергии, переда-
передаваемых ионам и электронам плазмы при полном охлаждении
а-частицы:
уЗ/2 J,
ео ео J
о
*0 ~ *0 J
1 +Х3'
/2
На рис. 7 показана зависимость Aee/eo от бо/е*. В частности,
при температуре Г=10 кэВ для а-частиц в дейтериево-тритие-
вой смеси имеем
ео/,е*~15; Aeg/eo^O,87. A-26)
Рассеяние а-частиц по углу в пространстве скоростей мало.
Рассеяние на электронах мало из-за большой разницы масс, а
рассеяние на ионах начинает сказываться, когда энергия а-час-
а-частиц заметно уменьшится и достигнет значения е*. Угол, на
который рассеется а-частица за время торможения до энергии
Ео/2, можно оценить следующим образом:
.. т, 'M3/2<<L A.27)
ео /
т„
1.4. Вторичные реакции
В термоядерной плазме возможны ядерные реакции, в ре-
результате которых образуются частицы, способные сами всту-
вступать в реакции. Примером тому является реакция d-^-d^t-^-p,
проходящая с образованием ионов трития с энергией ~ 1 МэВ.
Высокоэнергетические тритоны могут участвовать в d-\-t = n-\-
-f-a-реакции и генерировать d — ^-нейтроны и a-частицы. Не-
Несмотря на малую плотность энергичных термоядерных частиц
мощность реакций второго поколения заметна на фоне
221
реакций в основной плазме, что связано с сильной зависимо-
зависимостью сечения реакций от энергии частиц. В частности, в чисто
дейтериевой плазме нейтронный выход вторичных реакций мо-
может использоваться для исследования удержания продуктов
термоядерных реакций [21].
Для расчета спектров источников вторичных реакций нам
понадобится функция распределения быстрых первичных про-
продуктов. В этом параграфе функция распределения термоядер-
термоядерных частиц будет найдена в приближении однородной плазмы.
Явления, связанные с неоднородностью плазмы и ее конечными
размерами, будут рассмотрены ниже.
Функция распределения термоядерных частиц /а описывает-
описывается следующим кинетическим уравнением:
%- = Ste(fa) + Stt(U) + ST, A.28)
где Ste(fa), St,(/a) — интегралы столкновений с электронами и
ионами плазмы; Sa — мощность источника термоядерных час-
частиц. Учитывая условие A.20), электронный интеграл столкно-
столкновений можно записать в виде
SUM = —{—, -f-*% + ±- V-}- A-29)
ts { V2 dv ma. )
Первое слагаемое в A.29) описывает торможение а-частиц,
второе — рассеяние на электронах. Отметим, что второе слагае-
слагаемое в A.29) в Г/еа раз меньше первого.
Ионный интеграл столкновений при условии A.20) выгля-
выглядит следующим образом:
st,(W{rTy*^ +
ts { v2 dv
2 ™a У2 dv V dv 2 «a V )'
где Ae — угловая часть лапласиана в пространстве скоростей.
Из сравнения слагаемых, описывающих угловое рассеяние быс-
быстрых частиц на ионах и электронах плазмы, видно, что ионное
рассеяние превосходит электронное в vTeIV^>l раз. В то же
время диффузия по v оказывается в (ea/TK/2(tnejtrii)l/2 раз
больше на электронном компоненте. Таким образом, оставляя
в A.28) лишь главные члены, получаем
+ 5
m* v* dv dv
222
Следует отметить, что малой диффузией по скорости в формуле
A.30) обычно можно пренебречь. Кроме того, в приближении
однородной плазмы функция распределения энергичных частиц
изотропна в пространстве скоростей, и поэтому третье слагае-
слагаемое в A.30) обращается в нуль. В результате получаем
Уравнение A.31) можно решить в общем виде. Для этого вос-
воспользуемся функцией
fo(t. U, o,f0) = exp^3 f-J^-W-gS(CI/3(D, t)-v0), A.32)
где C = ()
о * 0
которая является решением уравнения
dt xsv* dv * "" "
С помощью /о общее решение A.31) можно записать в виде
00 00
/-(о, 0= 1 JfoC 'о, о, 0o)S"('o, vo)dto<fvo. A.33)
—оо О
В частности, для стационарного случая и моноэнергетического
источника частиц из A.32) и A.33) следует:
0-
где nv, np — плотности реагирующих компонентов основной
плазмы. Плотность быстрых частиц в плазме равна
na= (l/3)vvP«v«pTsln2. A.35)
Вернемся теперь ко вторичным реакциям, которые могут про-
происходить между термоядерными частицами и ионами основной
плазмы. Так как энергия термоядерных частиц существенно
превышает температуру плазмы, то можно пренебречь тепло-
тепловым движением ионов основной плазмы и считать их непод-
неподвижными. Подставляя в A.16) fp=%6(v), получаем
223.
Здесь индекс а относится к термоядерным частицам, р — к ио-
ионам основной плазмы. Перепишем выражение A.15) в виде
ар (v) = 2n j Fap (и) <р {V- + и2 — 2uvy) u2dud% =
, v)udu,
где
G (u, и) = j <p (у
j
—l
Используя в A.37) выражение A.36), имеем
м
м
м
A.37)
A.38)
A.39)
Выражения для G(u, v) для функций (f(v), задаваемых фор-
формулами A.9), A.10) и A.14), легко получаются в результате
интегрирования в A.38). Например, в случае моноэнергетиче-
моноэнергетического источника A.9) получаем
vu
f i
и < п
7)
A.40)
о
На рис. 8 показаны скоростные спектры а-частиц и нейтронов,
рождающихся во вторичных реакциях d — t в дейтериевой
плазме с Г=10 кэВ и плотностью «d=1014 см^3.
Рис. 8. Скоростные спектры а-частиц и нейтронов п, рождающихся во вто-
вторичных d—f-реакциях в дейтериевой плазме; 7=10 кэВ, nd=1014 см~3
,224
0,
МЭВ
Рис. 9. Зависимость коэффициента
усиления энергии Q тритонов в дей-
териевой плазме от энергии трито-
тритона при различной температуре
плазмы
Рис. 10. Зависимость коэффициента
усиления энергии Q дейтонов в дей-
териевой плазме [реакция Bа)]. Мас-
Масштаб по вертикальной оси увеличен
в 103 раз
Рис. 11. Зависимость коэффициента
усиления энергии Q для ионов 3Не в
дейтериевой плазме
Ч?1
7
О, 5
о л
J
0,3
0,2
0,1
О2 Т=1кэ5
г ГО
-
-
-
L
\Гх\ю
.NX is
/ \\Х 20
I 1 1 1
Если проинтегрировать 5ар(о) по скоростям, используя
A.40) и выражение A.34) для функции распределения fa, в
котором мощность источника первичных реакций уу$ПуЩ=1, то
получим вероятность того, что быстрая частица прореагирует
за время своего охлаждения:
= 2па%
(и) u3du
A.41)
Последнее выражение позволяет рассчитать коэффициент уси-
усиления энергии при торможении быстро реагирующей частицы
15-6856 225
в плазме:
Q=1 + (Ae/eo)W, A.42)
где Ае — полная энергия, выделяющаяся в реакции; ео=
"=mavOal2 — начальная энергия частицы. Величина Q представ-
представляет интерес для ряда практических приложений.
На рис. 9—11 показаны зависимости Q(eo), рассчитанные
для реакций d — t, d — d и d — 3He.
1.5. Функция распределения «-частиц в нестационарной
плазме
В стационарной плазме функция распределения а-частиц
A.34) монотонно спадает со скоростью: fa~a~3. В то же время
ясно, что при мгновенном включении источника функция рас-
распределения в начальный момент будет немонотонной (df/dv>
>0). В реальных условиях токамак выходит на режим горения
за конечное время, которое может изменяться от десятков мил-
миллисекунд в токамаке-игниторе ТСП [22], где для нагрева ис-
используется адиабатическое сжатие плазмы, до нескольких се-
секунд в условии полномасштабного реактора. Поскольку поло-
положительная производная df/dv может приводить к развитию в
плазме микронеустойчивостей [1J, представляет интерес полу-
получить условие на скорость нагрева плазмы [23—25], обеспечи-
обеспечивающее монотонность функции распределения а-частиц.
Аппроксимируя источник а-частиц в уравнении A.31)
б-функцией
S'@,t)=Q^=^- A.43)
и следуя работе [25], введем в правую часть A.31) дополни-
дополнительное слагаемое f/xu которое феноменологически описывает
потери а-частиц из токамака. В результате A.31) можно пере-
переписать в виде
Предположим, что плотность и температура меняются со вре-
временем так, что Xs-Xs(t), v* — v*(t), Q = Q(t) и xL=xL(t). Ре-
Решение A.44) будет отличаться от решения уравнения A.31)
тем, что в выражении для фундаментального решения A.32)
(Г I
— J dt'hL I . В ре-
226
зультате с помощью A.43) и A.33) получим общее решение
уравнения A.44):
f-fr, Q =
to
Функция to=to(t, v) определяется из решения уравнения
/ ' ' ' / ''
и3. = v3 ехр ( 3 \ 1- 3 \ -^— exp i 3 \ ] dt'.
0 \ J ts(<') J %(t') \ J xs(/") у
tQ to to
В частности, в стационарном случае, при постоянных значениях
Та, у*, Ti и Q, выражение A.45) переходит в
При малых потерях частиц tb>Ts функция распределения
A.46) совпадает с функцией A.34). С уменьшением времени
жизни xL наклон функции распределения уменьшается, и при
tl<ts/3 она становится нарастающей по скорости df/dv>0.
В общем нестационарном случае условие, при котором
df/dv<0, можно получить, дифференцируя функцию распреде-
распределения A.45) по скорости:
_L^2_4-—— 1 dv^ з 1_ п 47)
Q dt is dt v^ + „3 dt ^ zs Ч'
Допустим, что в процессе выхода на режим зажигания с по-
помощью дополнительного нагрева плазмы ее температура воз-
возрастает со временем. Положим для простоты, что плотность
плазмы не меняется (Те=АТ{) и дополнительных потерь
а-частиц нет (тг-»-оо). Тогда из A.47) получим [25]:
FT(Tt, A). A.48)
dt
А3'2
Основной вклад в FT(T{, А) дает первое слагаемое в A.47), и
поэтому функция FT{Ti, А) слабо зависит от А. На рис. 12 по-
показана зависимость FT от температуры ионов для двух значе-
значений A = Te/Ti [25]. Там же приведена максимальная скорость
изменения температуры для случая реакции между основной
дейтериевой плазмой и пучком ионов трития с энергией инжек-
15* 227
Рис. 12. Зависимость максимальной ско-
скорости нагрева от температуры ионов
плазмы:
у Аз/2110и CM3/n)dJi
е dt
F, = A0Н ш~г1пе)
й1л
dt
ции 120 кэВ. В последнем случае
dTe
dt
Функция распределения а-частиц немонотонна в области выше
кривых на рис. 12. Как показывают расчеты, выполненные для
всех крупных установок (JET, TFTR, INTOR), их параметры
соответствуют нижней области, где df/dv<0. Иная ситуация
характерна для ТСП-токамака с адиабатическим сжатием
плазмы [22], в котором нагрев происходит за очень короткое
время. Именно такой случай рассмотрен в [23], где выполнены
расчеты функции распределения а-частиц при мгновенном
включении источника в начальный момент времени ?=0. Пер-
Первая порция а-частиц, родившихся сразу после включения ис-
источника, появляется в области v~vQa и затем смещается в
сторону меньших скоростей, так что стационарная функция
распределения A.34) начинает заполняться со стороны боль-
больших энергий. Ширина фронта на функции распределения, ко-
который движется в сторону меньших скоростей по мере охлаж-
охлаждения а-частиц, может определяться различными процессами.
В [23] учитывалась конечная ширина источника A.18); Ди~
c^vti. Для того чтобы доплеровское уширение определяло ши-
ширину фронта, нагрев плазмы должен быть очень быстрым. Дей-
Действительно, при xs=const и u*/foa<l из A.45) следует, что
h~Q{t—xs\n(voa/v)), откуда
Av Q
v ~ Q'
At
где А^ —время нарастания температуры (считалось, что Q~
~Т2). Даже в условиях ТСП последняя величина существенно
превышает доплеровское уширение.
228
Глава 2
УДЕРЖАНИЕ а-ЧЛСТИЦ В АКСИАЛЬНО-
СИММЕТРИЧНОМ ТОКАМАКЕ
2.1. [R, Z, ^-представление для дрейфовых
поверхностей
Приближение однородной плазмы, рассмотренное выше, до-
довольно грубо для реального токамака, поскольку при большой
энергии, характерной для термоядерных частиц, их радиальные
экскурсии в плазме сравнимы с размерами шнура. Например,,
в условиях реактора-токамака INTOR [26] ларморовский ра-
радиус частиц с энергией 3,52 МэВ составляет примерно 1 /2О
малого радиуса плазмы, а дрейфовое отклонение траектории
от магнитной поверхности, которое в <7/Уе раз превышает лар-
ларморовский радиус, составляет 1/4—1/5 радиуса. В установках
меньшего масштаба радиальные экскурсии частиц могут быть
сравнимы с размерами шнура.
В этой главе рассмотрены эффекты, связанные с конечными
размерами дрейфовых орбит в аксиально-симметричном маг-
магнитном поле токамака.
Для описания движения энергичных термоядерных частиц
в токамаке, как правило, можно использовать дрейфовое при-
приближение, точность которого определяется малым параметром
рл/jR<C 1, где рл — ларморовский радиус частицы; R — большой
радиус тора, равный характерному масштабу изменения маг-
магнитного поля. Уравнение движения ведущего центра выглядит
следующим образом [27]:
jfr В
+
dt И В 2еВ3
2
4--irlExB] + -^f[[BXrotB]XBl. B.1).
Здесь В — магнитная индукция; Е — напряженность электриче-
электрического поля; u]| = (v-B)/B — продольный компонент скорости
частицы, который можно выразить через координаты ведущего'
центра г, используя законы сохранения энергии
mu2/2+e<p?=e0=const B.2),
и магнитного момента
У2уЯ = u = const, B.3)-
где ф? — потенциал электрического поля. Если продольную ско-
скорость у л выразить с помощью B.2) и B.3) в виде функций
229)
координат ведущего центра, то уравнение B.1) можно привести
к более удобному виду [27]:
dr я,, / шеи,, \ [ тс v„ В
AL(BtB))iB+
Для магнитного поля токамака второе слагаемое в круглых
скобках мало [~рл/{Rq), где q — запас устойчивости], поэто-
поэтому в дальнейшем им будем пренебрегать. В результате получим
dr v,, ( тс о„В )
Воспользуемся теперь наиболее общим выражением для ак-
аксиально-симметричного магнитного поля токамака
B = 5r.tfV<p-r-(l/2K)i[VicpXV1FJ. B.6)
Здесь Вт — магнитная индукция тороидального поля; Чг=
=W(R, z) —поток полоидального магнитного поля Вр; R, z и
Ф — координаты в цилиндрической системе координат с осью,
совпадающей с осью тора. Для определенности положим, что
на магнитной оси Чг=0.
В токамаке тороидальное поле BT=Bof(W)Ro/R (Bo — поле
на магнитной оси с радиусом Ro) примерно на порядок превы-
превышает полодиальное BT~BpRq/a и поэтому в B.5) можно счи-
считать, что |fi| = (B2T+B2P)I/2^BT[l+(l/2)fi2P/.B2T]^ST. Тогда,
проецируя уравнение B.5) на меридиональную плоскость (<р =
= const), получаем выражение для полоидального компонента
скорости частицы
5fh{ ^}| B.7)
Отсюда видно, что в аксиально-симметричном поле B.6) дрей-
дрейфовые траектории частиц лежат на дрейфовых поверхностях:
monR — eW(R, z)/Birc) = const. B.8)
Это уравнение является следствием сохранения обобщенного
момента импульса в аксиально-симметричном магнитном поле
токамака.
Обычно при исследовании дрейфовых траекторий частиц в
токамаке предполагают малое отклонение частиц от магнитной
поверхности. В случае энергичных термоядерных частиц такое
приближение, вообще говоря, неприменимо. Поэтому восполь-
воспользуемся (R, z, W) -представлением дрейфовых поверхностей [28].
Прежде всего пренебрежем электрическим полем, потенциал
которого в токамаке по порядку равен электронной температу-
температуре Те, и поэтому электрическое поле дает малые поправки Ге/ео
к скорости магнитного дрейфа энергичных частиц. Обозначим
230
Рис. 13. Траектория представляет собой линию пересечения двух поверх-
поверхностей:
/ — поверхность B 11);^—ф (R, z)=const; 3 — проекция траекторий на плоскость R, г
X=vjv,
, z),'Bntnc), v=\iB0R0/v2 и перепишем
, z)=p;
уравнения B.3) и B.8) в виде
B.9)
B.10)
где р и V — интегралы движения, которые однозначно задают
дрейфовую траекторию частицы. Исключая из B.9) и B.10) %,
получаем
R2—v/(if)/?— (if—pJ/v2=-0. B.11)
Зависимость if от координат R, z задается распределением
плазменного тока, давления плазмы и внешних полоидальных
полей:
if:=if(/?, Z).
B.12)
Рассмотрим трехмерное пространство R, z, if, в котором
уравнения B.11) и B.12) задают две поверхности, причем по-
поверхность B.11) —это цилиндрическая поверхность с образую-
образующей параллельной оси г (рис. 13). Магнитным поверхностям, в
том числе границе плазмы, соответствуют линии уровня if =
= const на плоскости R, z. В пространстве R, z, if траектория
частицы представляет собой линию пересечения поверхностей
B.11) и B.12).
Традиционному представлению траекторий соответствует
проекция трехмерных кривых на плоскость R и z. Одна из та-
таких траекторий показана на рис. 13. Аналитически такое про-
231
ектирование можно выполнить
только при малой энергии час-
частиц. Однако можно использовать
и более удобные проекции. На-
Например, в случае магнитных кон-
конфигураций, симметричных от-
относительно экваториальной
плоскости тора, ty(R, z)=\p(R,
—z), достаточно ограничиться
половиной траектории (z>-0),
Рис. 14. Граница плазмы и проек- пРое1*иРУя ее на ПЛОСКООСТЬ ф, R.
«ия траекторий на плоскости 1 акие координаты использова-
¦ф, R: лись в [29—32]. Траектории ча-
7 —запертая частица; 2-4 — пролет- СТИЦ И ГрЭНИЦа ПЛЭЗМЫ В Пере-
ные частицы г»
менных \р, R показаны на рис.
14. Если учесть, что в токамаке
значение р обычно невелико (р=8лр/В2< 1), то можно
считать, что тороидальное магнитное поле в плазме равно ва-
вакуумному полю, создаваемому тороидальными катушками. При
этом /(if>) = l, а уравнение B.11) сводится к уравнению гипер-
'бол на плоскости R, гр. Константы v и р задают координаты
вершины гиперболы, в которой продольная скорость частицы
обращается в нуль (точка отражения): %= (if>—p)/(Rv) = 0. Если
вершина гиперболы попадает в область, занятую плазмой, то
такая траектория соответствует запертой (банановой) частице,
имеющей точку отражения. При уменьшении v траектория сме-
смещается влево и распадается на две траектории пролетных час-
частиц (траектории 2 и 3 на рис. 14). Частицам, уходящим из
плазмы, при движении по дрейфовым траекториям соответст-
соответствуют траектории, пересекающие границу плазмы г|) = г|)о. На-
Направление движения частицы на рис. 13 и 14 показано стрел-
стрелками. Оно изменяется на противоположное при изменении на-
направления тороидального дрейфа (тороидального магнитного
поля). На рис. 13 тороидальный дрейф направлен в сторону,
противоположную направлению оси z. Если стенка, окружаю-
окружающая плазменный шнур, симметрична относительно экватори-
экваториальной плоскости тора, то, как легко видеть из рис. 13, частицы,
покидающие плазму по дрейфовым траекториям, выходят толь-
только на одну половину стенки — на ту, в сторону которой направ-
направлен тороидальный дрейф.
Можно показать, что рассмотренное выше представление
применимо и в общем случае фят^О и /(^)#1. Использование
переменных R, z, г|з позволяет наглядно представить себе семей-
семейство дрейфовых поверхностей и для более сложных типов рав-
равновесий, в частности, с несколькими магнитными осями. На
рис. 15 для примера показаны дрейфовые поверхности для кон-
232
Рис. 15. Траектории частиц для магнитной конфигурации с двумя магнитны-
магнитными осями (пунктир — сепаратриса)
фигурации типа «Дублет» с двумя магнитными осями. Пока-
Показанные траектории соответствуют /? = const и различным зна-
значениям V.
2.2. Потери частиц, рожденных на магнитной оси
Обычно дрейфовые потери рассчитывают для термоядерного*
реактора с целью определить коэффициент удержания а-частиц
Ка, т. е. долю удерживаемых в плазме от всех родившихся
а-частиц. Однако ясно, что коэффициент удержания частиц за-
зависит не только от магнитных полей токамака, но и от распре-
распределения источника термоядерных частиц по сечению плазмен-
плазменного шнура, от формы сечения, положения стенки и ограничи-
ограничивающих диафрагм. Поэтому, прежде чем привести результаты
расчетов коэффициентов удержания а-частиц, имеет смысл вы-
выполнить грубые оценки для величины Ка-
Рассмотрим а-частицы, рождающиеся на магнитной оси:
(<ф = 0) [33J, там, где максимальна скорость их рождения. Се-
Семейство траекторий, проходящих через магнитную ось, показа-
показано на рис. 16. Для таких траекторий константы р и v в форму-
формулах B.9) и B.10) можно выразить с помощью %0 — значения ?
в момент рождения частицы:
p = -vRoXo; v=Ro(\-%2o). B.13)
Рассмотрим для простоты плазму с круглыми концентрически-
концентрическими магнитными поверхностями с однородным распределением
23*
V
0 R
Рис. 16. Траектории частиц, прохо-
проходящих через магнитную ось
-i о 1 х„
Рис. 17. Зависимость максимального отклонения частиц, рожденных на оси,
плазменного тока /=const. Тогда ty(R, г)=\рор2/а2, где р —
расстояние от магнитной оси, яро — значение я|з на границе плаз-
плазмы р = а. Подставляя это выражение в уравнение для дрейфо-
дрейфовой траектории B.11), получаем уравнение для координаты
пересечения траекторией экваториальной плоскости тора
B.14)
Здесь &=ajR0, р = я|5о/ {Rqv). Как видно из рис. 16, максималь-
максимальное отклонение от оси имеют частицы, траектория которых со-
соответствует сепаратрисе между запертыми и пролетными час-
частицами. Легко показать, что при {5>е2 на сепаратрисе j?0—
~ — 1,5(е/2р1/2J/3, а ширина траектории р/а~Dе/|32I/3. Части-
Частицы, рожденные на оси шнура, удерживаются, если |32>4е. Вы-
Выражая а|зс через плазменный ток Jp, получаем условие полного
удержания приосевых а-частиц [34]:
eJP/Bmac4<a^2)>l, B.15)
откуда видно, что удержание а-частиц зависит в основном от
полного плазменного тока. Подставляя параметры термоядер-
термоядерных а-частиц, получаем выражение для критического тока
(МА):
B-16)
Равенство B.16) дает масштаб токов, необходимых для хоро-
хорошего удержания а-частиц.
На рис. 17 показана зависимость р/а от %о, полученная из
уравнения B.14) при |J2=4e {Jp=Jvh)- Видно, что отклонение
частиц от оси довольно сильно изменяется с %0. Поэтому даже
при токах, меньших критического, коэффициент удержания
может оказаться достаточно большим.
234
В случае эллиптических магнитных поверхностей формула
B.16) для критического тока была обобщена в [35]:
/pft = 5,4ei/2(F+l)/B?), B.17)
где k — отношение полуосей магнитных поверхностей. Как вид-
видно из последнего выражения, вытягивание поперечного сечения
приводит к ухудшению удержания а-частиц. Если при вытяги-
вытягивании сечения фиксировать значение запаса устойчивости q, то
вытягивание будет сопровождаться ростом плазменного тока
/р~1+&2, так что в результате удержание а-частиц будет улуч-
улучшаться.
Перейдем теперь к результатам расчетов прямых дрейфовых
потерь а-частиц в токамаке, которые подробно изучены в
[34-38J.
2.3. Дрейфовое кинетическое уравнение для а-частиц
Дрейфовые потоки а-частиц на стенку получим с помощью
дрейфового кинетического уравнения [39]:
dfal,dt+\wVfa=St(fa)+S«(v, г), B.18)
где St(/a) —интеграл столкновений; Sa(v, r) —источник а-час-
а-частиц. Скорость дрейфа VAP определяется уравнением B.4). Сле-
Следует отметить, что в дрейфовом приближении 5а представляет
собой источник частиц A.16), усредненный по фазе ср лармо-
ровского вращения частиц:
о
В частности, из-за такого усреднения источник частиц в B.18)
теряет изотропность. В дальнейшем знак усреднения в обозна-
обозначениях источника будем опускать.
В интеграле столкновений учтем торможение а-частиц на
ионах и электронах плазмы и угловое рассеяние частиц:
В случае классических парных столкновений из формулы A.30)
следует, что
D@)==_L J!!LiiL.
Однако в токамаке возможно и аномальное рассеяние а-частиц,
пример которого рассмотрен ниже. Поэтому сейчас не будем
конкретизировать выражение для D(v). функция распределе-
распределения fa в дрейфовом приближении — это усредненная по фазе
235
быстрого ларморовского вращения функция распределения
с-частиц. Поэтому fa=fa{\x, e, R, z). В дальнейшем вместо маг-
магнитного момента ц и энергии частицы е будем использовать
введенную выше константу v и полную скорость а-частицы v.
Если рассматривать константу р, входящую в B.9), как
функцию координат, то выражение для Д/др B.7) можно запи-
записать в виде
B-19)
тде ыю=е(ХВ01 (тас) —циклотронная частота а-частиц на маг-
магнитной оси. С помощью B.19) левую часть уравнения B.18)
можно представить следующим образом:
3R дг dz dR )
Рассмотрим магнитную конфигурацию, симметричную отно-
относительно экваториальной плоскости тора, для которой можно
использовать (R, т|>) -представление для дрейфовых траекторий.
Перейдем в уравнении B.20) от переменных t, R, z, v, % к но-
новым независимым переменным t, ф, р, v, v:
;2A+^ % ^ + St (W + S". B.21)
2a)i0R0 dz дф dt
В новых переменных интеграл столкновений выглядит следую-
следующим образом:
1/2 1 df d2f
2v\D! + 4Dv®p)
2 \
8Dv^^2Щ B 22)
)(+_pJ)l/2 + vJ 5V2 f
Б пространстве переменных р, v, v можно выделить две раз-
различные области, первая из которых — это область прямых по-
потерь, соответствующая дрейфовым траекториям, пересекающим
границу плазмы и выходящим на стенку. Во второй области
траектории целиком лежат внутри плазмы и из нее частицы
могут выходить на стенку за счет рассеяния и вследствие про-
пространственной диффузии. Такая диффундирующая частица вы-
выходит на стенку тогда, когда она попадает на границу между
первой и второй областями.
236
2.4. Прямые дрейфовые потери а-частиц
Рассмотрим область прямых дрейфовых потерь. В области
прямых потерь время жизни а-частиц определяется временем
движения по траектории %b^2nqRlv, которое гораздо меньше
времени кулоновского взаимодействия с плазмой т.4. В условиях
реактора-токамака Tb/TS~1(H. Поэтому в области прямых
дрейфовых потерь торможением и рассеянием частиц можно
пренебречь и оставить в правой части уравнения B.21) только
источник частиц:
Если тороидальный дрейф направлен вниз, то на верхней по-
половине стенки \f>=a|)G, 2>0 и функция распределения равна
нулю: /а=0. Значение функции fa на нижней половине стенки,
куда выходят a-частицы, определяется интегрированием B.23)
вдоль всей траектории:
Фс
f
Ф
Здесь ifmin — минимальное значение if> на траектории частицы,
которое достигается при пересечении частицей экваториальной
плоскости тора. В правой части переменные % и R должны быть
выражены через г|з с помощью соотношения B.11). Так как в
токамаке плотность и температура плазмы являются функция-
функциями магнитных поверхностей n=n(\p), T=T(ty), то и источник
частиц будет функцией магнитных поверхностей:
S«(v, r)=S«(i|>, v). B.25)
Выражение B.24) позволяет получить плотность потока
a-частиц на стенку Ф:
B.26)',
Здесь ^о, фо — координаты выхода дрейфовой траектории на
стенку; %о — косинус питч-угла в момент выхода частицы. Под-
Подставляя выражение B.24) в уравнение B.26), с учетом B.25)
получаем
B.27)
где
- Rv — J ) RdRdty. B.28)
237
-Я-
В выражении B.27) мы перешли от переменных Ra, %а к р и v
с помощью соотношений B.9) и B.10). Отметим, что \dty/dz\ =
=ReaBR/(mac), где BR — радиальный компонент полоидально-
го магнитного поля, и поэтому B.28) можно записать в виде
/ =
Интегрирование в B.28) и B.29) проводится по всей половине
сечения плазменного шнура (z>0). В случае пролетных частиц
одним и тем же значениям р и v соответствуют две пролетные
траектории B и 3 на рис. 14). Для того чтобы исключить тра-
траекторию 3, которая не выходит на стенку, в случае пролетных
частиц в качестве нижнего предела интегрирования по г|з в
B.28) и B.29) нужно выбрать значение р. Таким образом,
формулы B.27) и B.29) описывают распределение дрейфовых
потоков по поверхности стенки.
Для того чтобы получить коэффициент удержания а-частиц,
нужно проинтегрировать B.27) по поверхности стенки и по
скорости v. В результате будем иметь полный поток а-частиц
на поверхность стенки S-, который позволяет определить коэф-
коэффициент удержания
Ка = 1 — S_ / j J SVrrf'v. B.30)
Для того чтобы вычислить интегральный поток S-, можно вос-
воспользоваться следующими простыми рассуждениями. Как вид-
видно из рис. 17, за границу плазмы в первую очередь выходят час-
частицы в некотором интервале питч-углов Ах, которым соответ-
соответствует наибольшее отклонение дрейфовой траектории. Таким
образом, каждой пространственной точке соответствует некото-
некоторый конус потерь а-частиц, из которого частицы уходят на стен-
стенку. Если пренебречь анизотропией источника,связанной с конеч-
конечным ларморовским радиусом, и учесть, что термоядерные час-
частицы рождаются примерно с одной и то же энергией
то выражение B.30) можно переписать в виде
/С. = 1 - ] Y/yipAxd'x/ B J Wtf3x), B.31)
где Дх —ширина конуса потерь Ax=Xmax-—Xmm.
Оценим коэффициент удержания Ка при больших значениях
тока плазмы JP>JPh- В этом случае ширина орбиты а-частицы
Ар, которая пропорциональна Jph/Jp, составляет малую часть
радиуса шнура Др<Са. Поэтому на стенку выходят частицы,
рожденные в узкой периферийной зоне шириной ~Др, причем
238
поскольку максимальное отклонение от точки рождения имеют
запертые частицы, то для оценок в B.31) можно положить
Д%~е1/2. Тогда
a j a
\-Кл^вт ) t«Vp/Jy«VP- B.32)
а—Др / О
Если задаться степенной зависимостью распределения источни-
источника по радиусу шнура n2<0f>~ A —(р/аJ)', то из последнего
выражения следует
1-/Св~в1/2(Др)'+1~е1/2(/р*//р)'*-1.
Таким образом,
Ka=l-CeV2(Jpk/JP)l+\ B.33)
где С — константа, которая может быть определена из более
точных расчетов [35J. Например, при Г= 10-=-20 кэВ скорость
реакций у~Т2, и поэтому при параболических распределениях
температуры и плотности плазмы 1 = 4. Тогда, воспользовав-
воспользовавшись результатами [35], где найдено, что при / = 4 С=0,068,
получим
Ka~l-0H68e1/2(/Pft//pM. B.34)
Видно, что даже при JP=]Pk доля теряемых из плазмы
а-частиц мала и коэффициент удержания близок к единице.
Таким образом, для энергобаланса плазмы прямые дрейфо-
дрейфовые потери а-частиц важны только при малых значениях плаз-
плазменного тока, характерных для токамаков-игниторов небольшо-
небольшого масштаба. В этом случае {JP<Jph) асимптотическая форму-
формула B.33) начинает давать большую погрешность, а само значе-
значение коэффициента удержания оказывается чувствительным к
положению и форме первой стенки. На рис. 18 показана зави-
зависимость коэффициента удержания Ка от плазменного тока для
двух различных расположений стенки. Кривой 1 на рис. 18
соответствует стенка, расположенная на границе плазмы, кри-
кривой 2 — вакуумная камера токамака ТСП [22], которая позво-
позволяет осуществлять адиабатическое сжатие плазменного шнура
по большому радиусу. Пунктиром показана асимптотическая
зависимость B.33). Видно, что при малых значениях тока плаз-
плазмы удаление камеры от границы плазмы позволяет существенно
увеличить коэффициент удержания а-частиц Ка- В результате
в ТСП при токе 1,2 МА коэффициент удержания составляет
70-80%.
Обратимся теперь к пространственному распределению пря-
прямых дрейфовых потоков по поверхности стенки термоядерного
реактора, которое описывается формулами B.27), B.28) и
представляет интерес с точки зрения тепловых и радиационных
нагрузок. Подробные численные расчеты распределения пря-
239
Рис. 18. Зависимость ко-
коэффициента удержания
Ка от тока плазмы
Iplhk при малых токах
0,25
мых дрейфовых потоков можно найти в [41]. В [35] получена
аппроксимационная формула для распределения потока частиц
по полоидальному углу 6 в случае эллиптического сечения
плазменного шнура. Максимум плотности потока частиц дости-
достигается приб г^я/2, причем, как показано в [41], отношение
максимального потока к среднему Фтах/Ф при J~^>JPh слабо
чувствительно к изменению параметров и лежит в пределах
1,5—2,5. На рис. 19 для иллюстрации показаны распределения
потоков термоядерных а-частиц для четырех токамаков: PLT,
TFTR, ORNL-EPR и UWMAK-1 [41]. Два последних представля-
представляют собой проекты реакторов. Параметры этих токамаков сведе-
сведены в табл. 4. Что касается абсолютного значения потока частиц
Ф, то оно оказывается, вообще говоря, чувствительным к про-
профилям температуры и плотности плазмы. Это связано с тем, что
при больших токах плазмы, характерных для реактора (J
Таблица 4.
Параметр
В, Тл
Ip, MA
#о. м
а, м
rw, м
Т{0, кэВ
«to. см~3
«i/«10
Hit
q
i-к.
Зпах/Ф
Ф, м~2-c~x
Параметры токамаков
2
TFTR
5,2
2,5
2,48
0,85
1,1
10
1—0,8r2/o3
1,6-Ю14
1-г2К
1-г7а2
3,03
0,014
1,4
1,1-1015
2
ORNL-EPR
4,8
7,2
6,75
2,25
2,25
22,5
1-г2/а2
8-Ю13
(l—rV)Vl
1—г>2
2,5
3,1-Ю-3
1,8
1,5-Ю16
3
PLT
4,6
1
1,32
0,45
0,48
5
1— 0,8г2/а2
1014
1-~г2аг
1—/-2/О2
3,53
0,48
1,4
1,1-Ю16
4
UWMAK-1
3,82
21
13
5
5,5
11,1
1
1,2'1014
A—О.ЭЭ^/а2I/.
1
1,75
1,4-10—4
2,3
1,6-10й
Примечание, f^—радиус стенки; Т-о—температура в центре плазменного шнура;
п. —плотность ионов в центре плазменного шнура.
240
Рис. 19. Зависимости плотности по-
потока а-частиц фа от полоидального
угла 9 [38]
~>JPk), на стенку выходят а-
частицы, рожденные на краю
плазменного шнура, где тем-
температура плазмы невелика и
где скорость реакций сильно
зависит от температуры.
135 в,град
2.5. Распределение потока а-частиц по углам падения
на стенку
Для исследования процессов повреждения первой стенки и,
в частности, явления блистеринга поверхности под действием
а-частиц необходимо знать распределение потока частиц по уг-
углам падения на стенку. При известном дрейфовом потоке
а-частиц такое распределение легко найти, рассматривая дви-
движение частицы вблизи стенки [37, 42, 43]. Обратимся к рис. 20,
на котором изображена траектория частицы вблизи стенки.
Будем считать, что магнитное поле параллельно поверхности
стенки, а скорость дрейфа направлена под углом 7 к нормали
к стенке. Тогда для нормального компонента скорости частицы
можно записать
vy = Удр cos у + v± sin ?. B.35)
Угол р можно связать с фазой частицы а в тот момент, когда
ларморовская окружность коснется стенки в точке А. Действи-
Действительно, расстояние 00', на которое сместится ларморовский
центр, равно
00' -
¦V
со,-
др-
Учитывая, что 01В = рл, получаем уравнение, связывающее а
Bя-Р-а)
Удр cos y = cos pi.
B.36)
В свою очередь, с помощью соотношения B.35) угол р можно
связать с углом скольжения \ при падении частицы на стенку:
sin \ = (vy/v) = (одр/о) cos y + у^ 1 — x2G sin p, B.37)
гДе Xg = ун/и—значение % в момент падения на стенку. Для то-
того чтобы найти распределение потока по углам скольжения,
16—6856 241
У >
Рис. 20. Траектория частицы вблизи
стенки
учтем, что распределение ча-
частиц по углам ларморовского
вращения а равномерное:
dN={O/2n)da. B.38)
Здесь dN — число частиц,
имеющих фазу ларморовского
вращения а; Ф — поток дрей-
дрейфовых центров, выходящих в
данную точку на камере. Пере-
Переходя в B.38) от а к |3, затем к
|, получаем
dN =
Ф
sing cos %d%
B.39)
В B.39) значение ? лежит в конечном интервале O^g^lmax, a
значение gmax можно определить из B.36) и B.37), полагая в
B.36) а=0. При g>|max вместо B.39) имеем dN=0.
Выражение B.39) можно упростить, учитывая, что дрейфо-
дрейфовое смещение ларморовской окружности за один оборот мало
{2яКдР/(шфл) ¦<!). При этом
1ШЛ V ' у V
и выражение B.39) переходит в
Ф v
Практически для всех падающих частиц выполняется неравен-
ство 1—х2а >¦ I—^cosyj, и поэтому B.40) можно записать
B.40)
в виде
242
Ф
B.41)
где ?max = I—^V~l — Xo cos T| • Например, для частиц, выходя-
выходящих на стенку при ^=0 (над магнитной осью 6 = я/2) с %о = 0,
|тах— {4яУдРД1;}1/2~{4лрл/Я}1/2. Для типичных параметров ре-
актора-токамака рл/а=1/20, aAR = 0,25 это дает ?тах~23°.
2.6. Обратная задача для прямых дрейфовых
потерь термоядерных частиц
При не слишком больших токах плазмы (Jp^Jpk) заряжен-
заряженные термоядерные частицы выходят из всего объема плазмен-
плазменного шнура, включая окрестность магнитной оси. Это позволяет
использовать дрейфовые потоки частиц для пассивной диагно-
диагностики плазмы [31, 32, 44—49]. Выясним, какую информацию о
параметрах плазмы можно получить, измеряя распределения по-
потоков и энергетические спектры уходящих а-частиц.
Родившуюся в плазме a-частицу ожидают два возможных
исхода. Если дрейфовая траектория частицы пересекает стенку,
то частица, не успев испытать кулоновских столкновений (ts^>
^>ть), вылетает на стенку с той же энергией, которую она
получила при рождении. В случае классического взаимодейст-
взаимодействия с плазмой рассеяние оставшихся в плазме частиц мало.
Поэтому в процессе охлаждения отклонения дрейфовых траек-
траекторий a-частиц уменьшаются, и энергичная частица сможет
выйти на стенку лишь при энергии е^е*<Сеоа, когда «включит-
«включится» рассеяние на ионах плазмы. Таким образом, энергетический
спектр выходящих на стенку термоядерных частиц будет со-
состоять из узкого пика в окрестности е=еоа и низкоэнергетиче-
низкоэнергетического хвоста с s^C e*c~2QTe *. Энергетический спектр может
измениться, если термоядерные частицы будут испытывать ано-
аномальное рассеяние, связанное, например, с развитием кинетиче-
кинетических термоядерных неустойчивостей. Для того чтобы частицы
с энергией е*<е<еоа могли попасть на стенку, коэффициент
аномальной диффузии DA должен превышать a2jxs. При реак-
реакторных параметрах (а=102 см, Г=10 кэВ, п=1014 см~3) это
составляет Da>105 см2/с.
Таким образом, термоядерные частицы, выходящие на стен-
стенку за счет прямых потерь, выносят энергетический спектр ис-
источника, который описывается формулами A.19) и B.27),
B.28). Если на поверхности стенки расположен коллимирован-
ный детектор термоядерных частиц, имеющий энергетическое
разрешение, то он регистрирует частицы, приходящие на стен-
стенку с определенными значениями %0, v и R, соответствующие
вполне определенной траектории. Разброс по скорости родив-
* Небольшое количество a-частиц будет появляться в области е»<8<еоа
энергетического спектра, однако их доля мала, ~(у*А>оаK/2 [41].
16* 243
шихся а-частиц мал [Ди~ип<иОа, см. A.19)], и поэтому пучок
траекторий, приходящих в детектор, образованный частицами
с различными значениями скорости, очень узкий (AR/R~
~Av/v~.vTi/voa<?. 1)- Это означает, что в пределах распределе-
распределения A.19) все траектории частиц можно заменить единой тра-
траекторией с v — vOa, что соответствует замене в выражении
B.28) v на voa:
Х б (/?«_ /?v - (ф - />)«/«*,) /Ш*<|>. B.42)
Как легко видеть из этого выражения, задача о восстановлении
параметров плазмы по известному распределению потока на
стенке I(p, v, v) распадается на две. Первая из них — это ис-
использование спектральных измерений для восстановления про-
профиля ионной температуры Ti(ty) и вторая — восстановление
профиля источника О(г|з) и распределение магнитного поля в
плазме.
Первая задача хорошо известна, и в экспериментах на то-
камаках уже выполнены измерения ионной температуры по
доплеровскому уширению спектров термоядерных частиц [44,
46, 49]. Как видно из выражения B.42), задача восстановления
профиля ионной температуры аналогична задаче, которая
возникает при анализе спектров перезарядочных нейтральных
частиц при пассивной корпускулярной диагностике [51]. Отли-
Отличие заключается в том, что источник термоядерных частиц
быстро спадает по радиусу Q(i|)) ~n2P, и поэтому основной
вклад в энергетический спектр дает участок траектории в ок-
окрестности i|)=i|)min, где мощность источника максимальна.
Ближайшая к магнитной оси точка на траектории расположена
в экваториальной плоскости тора, и поэтому детектор факти-
фактически «видит» температуру на экваториальной плоскости в той
точке, через которую проходит траектория, попадающая в де-
детектор. Эти рассуждения проиллюстрированы численными рас-
расчетами [31], результаты которых показаны на рис. 21. Расчеты
выполнены для плазменного шнура с круглыми магнитными
поверхностями, для параболических распределений плотности и
температуры плазмы п=поA— р2/а2), Г, = Г0A—р2/а2) с То=
= 2 кэВ. Как видно из этого рисунка, энергетический спектр
выходящих частиц хорошо соответствует формуле A.19) с тем-
температурой в точке p = pmin. Если детектор не коллимирован, то
энергетический спектр соответствует максимальной темпера-
температуре плазмы.
Таким образом, набор коллимированных детекторов, имею-
имеющих энергетическое разрешение, позволяет восстановить про-
профиль температуры ионов плазмы Г<(^).
544
Рис. 21. Энергетические спектры
Ф(е) выходящих на стенку термо-
термоядерных протонов с е0а=3,03 МэВ.
Наклон прямых соответствует тем-
температуре плазмы в точках p=pmin с
погрешностью <7%
ШФ
3
2
1
¦ \\\
- VX^v
о 0,001 0,002 о.ооз (e/sOa-r)
Другая возможность для диагностики плазмы связана с ана-
анализом пространственного распределения потоков термоядерных
частиц. Проинтегрируем уравнение B.42) по скорости:
F(P, v) =
, v, v)dv =
QW
B.43)
В правой части B.43), так же как и в B.42) и B.38), интегри-
интегрирование для запертых частиц проводится по всему сечению
плазменного шнура. Для пролетных частиц в качестве нижнего
предела интегрирования по г|5 берется величина р. Левая часть
в B.43) однозначно связана с распределением потока по по-
поверхности стенки (RG) и по питч-углам в момент выхода на
стенку (хо) и может быть измерена в эксперименте. Задача
заключается в восстановлении с помощью интегрального урав-
уравнения B.43) неизвестной функции G(R, г|з) = Q(гр)/ \д$/дг\,
которая связана с распределением источника термоядерных
частиц и профилем плазменного тока d^jdz~BR. Как видно
из уравнения B.43), эта задача очень похожа на задачу томо-
томографии [52], однако в отличие от последней интегрирование в
B.43) проводится по кривым второго порядка. Можно показать,
что семейство гипербол топологически не является прямыми
линиями и поэтому не существует преобразования координат,
приводящего B.43) к томографической задаче, в которой инте-
интегрирование проводится по прямым линиям и для которого по-
построено обратное преобразование [53]. Ниже рассмотрены не-
некоторые частные случаи, для которых можно найти аналитиче-
аналитическое решение обратной задачи.
Выясним сначала, какие плазменные параметры могут быть
найдены в результате решения обратной задачи. Геометрию
245
магнитных поверхностей в плазме можно задать в следующем
общем виде:
(R-RoJ=р2A>) +Д Ш (R-RQ)
Я-ДоJ+'№) (R-RoK+ • • • B.44)
Здесь Ro— радиус граничной магнитной поверхности; Д(г|з)
характеризует смещение магнитных поверхностей; e(ty) — их
эллиптичность, t(ty)—треугольность и т. д.; p(if) однозначно
связана с распределением плазменного тока по сечению шну-
шнура. Набор функций р(т|э), Л(ф), е($) ... полностью задает рас-
распределение магнитного поля в плазме.
Теперь можно ввести дополнительное априорное предполо-
предположение. Будем считать, что для плазменных параметров спра-
справедливо уравнение равновесия \𠦦=¦ —И X BJ, которое позво-
с
ляет выразить весь набор неизвестных функций, входящих в
уравнение B.44) через две независимые функции. Обычно при
решении уравнения равновесия в качестве таких функций вы-
выбирают профиль давления и профиль тока [в нашем случае
()]
Ч)
Таким образом, с учетом уравнения равновесия функцию
G(H, г|)), входящую в интегральное уравнение B.43), можно
выразить через три неизвестные функции Q(i|)), p(f) и р(г|>).
Эти функции и следует определять при решении обратной за-
задачи для дрейфовых потерь термоядерных частиц.
Рассмотрим теперь в качестве примера частный случай* ко-
который имеет аналитическое решение обратной задачи. Допус-
Допустим, что магнитные поверхности представляют собой концен-
концентрические окружности, т. е. А(-ф) = е(г|)) = t(i$>) = ¦ • • =0, и
вместо неизвестной функции р (гр) введем обратную функцию
¦ф(р). Переходя в B.43) к интегрированию по р, получаем
v\
\ )
B.45)
Теперь с помощью B.9) и B.10) вернемся от р и v к перемен-
переменным ia и RG и выполним в B.45) интегрирование по R:
Voa J / gQ(P)^ 2 ( l^o ) d9m B.46)
pmin
246
Здесь pmin = pmin(^G, %g) — минимальное значение р на траек-
траектории частицы, а величины R и х. входящие в подынтегральное
выражение, должны быть выражены через р с помощью урав-
уравнений для траектории B.9) и B.10). Распределение плазмен-
плазменного тока входит в выражение B.46) неявно, через уравнение
для траектории частицы.
Учтем теперь, что функция Q(p) быстро спадает по радиусу,
и разложим подкоренное выражение в интеграле в ряд по р в
окрестности точки p = pmin. Кроме того, заменим функцию
A+Х2°) / A+'Х2) ее значением при p=pmin. В результате по-
получим
F{Rg, ta)=F{RG, X0) + (F~F) =
V 1 + tl V1 + ti -
QiP)pdp
^P2-Pmin(^G. Хв)
4-(F — F). B.47)
Как показано в [31], первое слагаемое в правой части
B.47) является хорошим приближением для функции F(Rg,
%g). Для широкого диапазона изменения параметров плазмы
поправка {F—F)/F не превышает 15%- Ниже опустим второе
слагаемое в B.47). Точность восстановления параметров плаз-
плазмы всегда можно повысить, учитывая поправку F—F по методу
последовательных приближений.
Для того чтобы определить две неизвестные функции Q(p)
¦ф(р), достаточно задать функцию F(RG, %g) вдоль двух кривых
Xgi(^g) и xg2{Rg) на плоскости xg, Re Для подходящего выбо-
выбора этих кривых (в эксперименте это означает выбор подходя-
подходящей ориентации датчика, расположенного в точке RQ на стенке)
рассмотрим линии уровня функции х{%с, Rg) — {Rm—Ro)/a, где
Rm — радиус точки пересечения траекторией частицы экватори-
А
0,5
Рис. 22. Линии уровня величины О
х= (Rm—Ro) la для термоядерных
протонов с 8оа=3,ОЗ МэВ на плоско- —о 5
сти Ro, Xa (сплошные кривые), рас-
рассчитанные для /=/оA—р2/я2) и Jp— > _
=0,43 MA. Заштрихованная область '
соответствует запертым частицам
247
альной плоскости тора. Отметим, что pmin—|х|а. Линии уровня
x(Rg, %g) приведены на рис. 22. Пунктиром показаны подходя-
подходящие кривые, которые пересекают все линии уровня pmin от О
до 1. Вдоль этих кривых имеем распределение потока частиц
Fi(Rg)=F(XGiA<g),Rg) и F2(Rg)=F(Xg2(Rg), Rg). Оба рас-
распределения имеют максимум при тех значениях Rg, при кото-
которых pmin = 0 и частицы выходят на стенку из окрестности маг-
магнитной оси. Очевидно, что выбор кривых %Gi и %О2 неоднозна-
неоднозначен; единственное требование — чтобы вдоль этих кривых
функция Rm{Ro) изменялась монотонно. Поэтому эти кривые
можно выбрать для некоторого диапазона плазменных токов и
заранее неизвестного его распределения. В частности, в случае
небольших плазменных токов,
Jp< @,7e/Za) У {та/тр) 8Оа, B.48)
можно выбрать %gi(Rg) = 1 и xg2(Rg)= — 1. Например, для
протонов, рождающихся в реакции dCHe, p)a с энергией
14,7 МэВ, условие B.48) дает /р<0,8ч-0,9 МА.
Выпишем теперь явные выражения для Fi(Ra) и F2(Ra):
<Э(Р)РФ
Vp2-P2minl(Ra) '
cm:
^mini
a
s ,-* /.uj > u" u Ox f O(p)pdp
¦ 2 ^O) = ,r n ,r „ —
B.49)
Здесь и далее используется обозначение ^'m^d^mj4R- Мы не
знаем заранее зависимостей рШ|п 1,2 (Rg), поскольку они опреде-
определяются распределением плазменного тока. Однако в силу вы-
выбора 5Coi и 5СС2 мы всегда можем подобрать такие значения RG\
И Rg2, При КОТОРЫХ pminl(^Gl) ^Pmin2(^O2). Это ПОЗВОЛЯеТ ИС-
ИСКЛЮЧИТЬ неизвестную функцию Q(p) из системы уравнений
B.49):
Ft(RG2) Vl +rZaVl +fie2xmt*m
_ (z.OU)
248
Значения %т\ и %ТО2 можно определить с помощью уравнений
для траектории:
)
B.51)
Система уравнений B.50), B.51) после исключения хт\> Хт2>
Rg\, Rgi сводится к дифференциальному уравнению для неиз-
неизвестной функции я|)т(-К). Напомним, что для рассматриваемого
случая круглых магнитных поверхностей т|э(р) =^m(\R—Ro\)-
Если функция я|э(р) найдена, то вторую неизвестную функ-
функцию Q(p) можно определить из решения уравнения Абеля
B.49).
Для проверки предложенного алгоритма восстановления
функций Q(p) и 1|з(р) рассмотрим случай малых токов B.48) с
^G12= + l. в этом случае система B.50), B.51) упрощается:
— Фт = ?г (Rg2)
B.52)
Исключая из системы уравнений B.52) i|/m, R и tym, получаем
связь между RG\ и RG2:
\ F^(R)dR^ j F1'(R)dR. B-53)
R0—a Ro—a
Первое уравнение системы B.52) можно переписать в виде
.. _ Fi2(RGl)-F24RG2)
¦'" " Fi8(/?G1)+V(/?O2)"- { '
Складывая теперь второе и третье уравнения B.52), имеем
R={Rai+,KG2)/2. B.55)
Система уравнений B.53) — B.55) задает параметрическую за-
зависимость т|/т от R.
Для того чтобы проверить точность описанного выше алго-
алгоритма решения обратной задачи, в [32] были выполнены чис-
численные расчеты профиля тока /(р) и источника термоядерных
реакций Q(p). С помощью точного выражения B.46) по задан-
заданным /(р) и Q(p) рассчитывали распределения потоков Fi(RG) и
F2{Rg) в десяти точках на поверхности плазмы. К полученным
значениям добавляли десятипроцентную случайную относитель-
249
0,5
1,0 р/а
i,Of>/a
Рис. 23. Исходные (сплошные ли- Рис. 24. Исходный (сплошные
нии) и восстановленные (пунктир) линии) и восстановленный (пунк-
профили плазменного тока: тир) профили источника а-частиц.
/ — /=const; 2 — /~i—р2/а2 Расчеты выполнены для /=/оA—
21'
ную погрешность, моделирующую экспериментальную погреш-
погрешность измерения, и по полученным точкам проводили «экспери-
«экспериментальные» кривые Fexi>i(RG) и FexP2(RG). Эти зависимости
использовали в уравнениях B.53) — B.55) для расчета i|/(p) и
в уравнении B.49) для вычисления Q(p). На рис. 23 и 24 пока-
показаны исходные и восстановленные профили тока /(р) и мощно-
мощности источника Q(p). Видно, что описанная выше процедура
в случае малых токов B.48) дает хорошую точность восстанов-
восстановления исходных параметров плазмы.
При больших токах в плазме пролетные частицы с %= ± 1
начинают удерживаться в плазме, и для восстановления про-
профилей необходимо использовать
систему уравнений B.50), B.51)
(см., например, [31]).
Таким образом, энергетичес-
энергетические спектры выходящих на стен-
стенку термоядерных частиц позво-
позволяют определить распределение
температуры ионов по радиусу
плазменного шнура, а простран-
пространственное распределение потоков
дает возможность восстановить
профили источника термоядер-
термоядерных частиц и плотности плазмен-
плазменного тока.
Следует отметить, что в под-
А
ртах
¦> L
1
\
\
\
\
\
\
\
О
Зр,МА
Рис. 25. Качественная зависимость
минимального ларморовского ра-
радиуса а-частиц, пригодных для ,„ ,„.
диагностики плазмы, от плазмен- ынтегральное выражение B.47)
ного тока Jo должно входить распределение
250
источника ларморовских центров 'Ул(р), которое заменяли
выше истинным распределением источника Q(p). Точность та-
такого приближения связана с ларморовским радиусом а-частиц:
Q
B.56)
Поскольку рл~В~1 ~J~}p, то при малых значениях плазмен-
плазменного тока конечность ларморовского радиуса может приводить
к большим погрешностям. Однако при малых токах для диаг-
диагностики плазмы можно использовать частицы с малыми зна-
значениями поперечной скорости о. <w,,у которых ларморовский
радиус мал. Эта ситуация проиллюстрирована качественно на
рис. 25, на котором показано минимальное значение ларморов-
ларморовского радиуса а-частиц, пригодное для диагностики плазмы.
Как видно из этого рисунка, ларморовский радиус не превыша-
превышает ртахл = ае/B<7A-|-е)), и поэтому оценку B.56) можно пере-
переписать в виде
<Эл-<
B.57)
Q Ф2 '
В широком диапазоне изменений параметров правая часть
B.57) не превышает 10%-
2.7. Обратная задача для частиц с большим
ларморовским радиусом
В небольшом токамаке с малым плазменным током может
реализоваться ситуация, при которой диаметр ларморовской
окружности термоядерных частиц сравним или превышает ма-
малый радиус плазменного шнура. Например, для термоядерных
протонов с энергией 14,7 МэВ (реакция 5а из табл. 1) условие
2рл/а>1 выполняется при Бта<110 Тл-см. При таких лармо-
ларморовских радиусах траектория частицы с хорошей точностью
представляет собой дугу окружности *. Зная координаты
выхода частицы на стенку, ее скорость и углы падения, можно
полностью определить ее траекторию: х=лго+рл coscp, у=Уо-\-
+рл5тф, т. е. определить центр окружности и ее радиус
рл = тсо^ЦеВ). Обозначив dN число частиц, выходящих на
* Смещением ларморовского центра из-за тороидального дрейфа др
— Удр/он—рл2е/а и продольного движения Дгц ~ v ц Bs/BTa>i on рле/<7- можно
пренебречь.
251
стенку с данной ларморовской окружности, получим
Ф(*о, Уо, Рл) = ~Т~Г = "Г" fdxdy \Q(*,yLx-Xo-
dxoayod% 4n ,) ,/
s о
— PnCosy)b(у — y0 — Pnsintfd? = -L [q(x, y)b{{x — xof +
+ (г/-г/0J-Рл2]с?л^. B.58)
Интегрирование в B.58) проводится по всему сечению плаз-
плазменного шнура. Для диагностики плазмы представляет интерес
реконструкция плотности источника Q(x, у) по известному
распределению потока по поверхности стенки. Следует отме-
отметить, что преобразование B.58) переводит функцию двух пере-
переменных в функцию трех переменных. Поэтому для решения
обратной задачи не нужно знать Ф(х0, г/о, рл) при всех значе-
значениях параметров, достаточно задать Ф на какой-либо двухмер-
двухмерной поверхности в пространстве хо, г/о, рл- В качестве такой
поверхности можно выбрать плоскость p=const. Однако в этом
случае обратная задача для преобразования B.58) становится
неоднозначной, что отмечено еще в [52J. Действительно, вы-
выполняя в B.58) преобразование Фурье по переменным Хо, г/о в
подынтегральном выражении, получаем
ky)=Q(kx, ky)J0(\k\p), B.59)
где Jo(x) —функция Бесселя. Из B.59) видно, что гармониче-
гармоническое возмущение функции Q(x, у) с длиной волны |&|=цп/р,
где цп — корни функции Бесселя /0 (х), не изменяют левой части
B.58). В нашем случае, когда характерные размеры плазмы
сравнимы с радиусом траектории, использование для диагно-
диагностики плазмы частиц с одинаковым ларморовским радиусом
невозможно.
Рассмотрим теперь другой случай, когда вылетающие из
плазмы термоядерные моноэнергетические частицы регистри-
регистрируются в одной единственной точке на стенке (рис. 26). В этом
случае положение ларморовского центра и ларморовский ради-
радиус однозначно определяются углами падения частицы на стенку
ф0 и Ха — оц/° (Рл~Т/1~Х2<3)- Такая постановка задачи соот-
соответствует фотографированию плазмы в термоядерных частицах
камерой-обскурой. Если перенести начало координат в точку
измерения, то легко получить, что для регистрируемых частиц
х2о-\-у2о=р2- Покажем, что в этом случае преобразование, об-
обратное B.58), становится однозначным. Воспользуемся кон-
конформным преобразованием w=\/z, где z=x-\-\y, w = u-\-[v.
При этом все окружности на плоскости х, у, проходящие через
начало координат, преобразуются в прямые, а интегральное
252
Рис. 26. Траектории частиц с рл> а Рис. 27. Траектории частиц и область,,
(детектор расположен в начале ко- занятая плазмой (заштрихована), на
ординат) плоскости и, v
уравнение B.58) сводится к известному преобразованию Радо-
Радона [52], широко используемому в томографии:
Здесь фо — угол падения частицы на стенку (см. рис. 26); хо=
= pcoscpo; Уо=— psmcpo. На рис. 27 показаны траектории
частиц и граница плазмы на плоскости w. Преобразование
B.60) взаимно однозначное, и для него известно обратное пре-
преобразование, используя которое и возвращаясь к переменным
х, у, получаем решение интегрального уравнения B.58):
Q(*,
dr
B.61)
2ч
где
О
'G'
- 2rx cos <pG — 2ry sin <f G
X
Ь г/2—2rxcosoG — 2r(/sinifG
Отметим, что Ф(фо, Р~])/р не имеет особенности при р = 0,.
и поэтому интеграл в B.61) сходится при любых значениях х,
У и г.
С помощью камеры-обскуры можно определить значение
Ф(фо, р) только для «входящих в точку а частиц, которым
соответствуют углы падения —я/2^фо^гт/2. В принципе, мож-
можно добавить датчики, расположив их на поверхности стенки
так, чтобы они регистрировали частицы, «выходящие» из точки
а, с я/2<фО<Зя/2. При этом будет получена полная информа-
253
ция о распределении источника Q(x, у). Однако обычно на
практике функция Q(x, у) достаточно гладкая и обладает
свойствами симметрии. При реконструкции Q(x, у) можно сде-
сделать и другие априорные предположения. В этом случае воп-
вопрос о том, насколько детально может быть восстановлена функ-
функция источника с помощью регистрации частиц в единственной
точке, должен решаться практически, с помощью численного
моделирования.
2.8. Потери «-частиц из области удержания
в результате рассеяния
В фазовом пространстве а-частиц р, v, v существует конус
потерь, из которого частицы сразу выходят на стенку. Подоб-
Подобные дрейфовые потери были изучены выше. Здесь же рассмот-
рассмотрим потери а-частиц из области удержания. Отметим, что в
приближении аксиально-симметричного магнитного поля, кото-
которое рассматривается в этой главе, потери частиц из области
удержания могут быть связаны лишь с рассеянием частиц в
пространстве скоростей. В область (конус) прямых дрейфовых
потерь частица может попасть в результате рассеяния либо не-
непосредственно, либо из-за пространственной диффузии, связан-
связанной с рассеянием. Для расчета и классификации подобных
диффузионных потоков введем вместо р и v более удобные
здесь переменные: Ro— радиальную координату точки выхода
частицы на стенку и значение ее продольной скорости, которое
задается величиной %в:
A— rWs=v; 1|)G_XGtii?G=p. B.62)
На рис. 14 Ro — координата точки пересечения траекторией
линии ¦ф = 'фс, причем области прямых дрейфовых потерь соот-
соответствуют значения RG, лежащие в интервале Rmin<Ro<Rmax,
где RmSx и tfmin — радиусы внешнего и внутреннего обвода гра-
граничной магнитной поверхности.
Граница между областью удержания и областью прямых
потерь на Rg, %g показана на рис. 28. Для запертых частиц,
т. е. частиц, у которых вершина гипербол (%=0) на рис. 14
лежит внутри области, занимаемой плазмой, границей, разде-
разделяющей области прямых потерь и удержания, является линия
be (RG=Rmax на плоскости Rg, %g). Если вершина гиперболы
лежит левее области, занимаемой плазмой, траектория разде-
разделяется на две траектории пролетных частиц, различающихся
знаком продольной скорости (см. рис. 14). Положительно про-
пролетные частицы (%>0) (на рис. 14 это траектория 2) имеют ту
же границу Re^Rmax для области прямых потерь, что и запер-
запертые частицы (линия аЬ на рис. 28). Отрицательно пролетные
254
/и
1
a f
d' /W. .///с,
*rni.n
///'/ //'¦
e к,
Рис. 28. Области удержания и пря-
прямых потерь (заштрихована). На пло-
плоскости ^G, %g- Нулем отмечена
область удержания запертых частиц,
«+» и «—» — положительно (х>0)
и отрицательно (х<0) пролетных
частиц
О 1 2 5 4 SZef
Рис. 29. Зависимости доли частиц (сплошные кривые) и энергии (пунктир) от
Zef ионов плазмы для различных токамаков (табл. 4)
частицы (х<0) попадают в область прямых потерь при пере-
пересечении линии RG = Rmln (линия de). Кроме того, отрицательно'
пролетные частицы могут попасть на стенку, если в результате
рассеяния они перейдут в запертые. Сепаратрисе между запер-
запертыми и пролетными частицами соответствуют траектории,
касающиеся левой границы области плазмы. На плоскости %а,
Rg на рис. 28 сепаратриса изображена линией dbf. Если части-
частица пересекает сепаратрису на участке db, она попадает в об-
область прямых потерь и выходит на стенку.
При торможении частицы значение Ra изменяется таким
образом, что частица удаляется от границы области прямых
потерь RG = Rmax, Ra = ^mm- Например, в случае запертых
частиц можно считать, что при торможении не меняются коор-
координаты точки отражения, откуда следует, что Ro/RGc^~-2vjv.
Так же можно показать, что отрицательно пролетные частицы
удаляются при торможении влево от границы Ra = Rmin. Поэто-
Поэтому если рассеяние а-частиц не слишком велико, то оно приво-
приводит к уходу частиц в область потерь в основном через сепара-
сепаратрису dbf.
Оценим дополнительную долю частиц и энергии, выносимых
из плазмы за счет кулоновского рассеяния а-частиц на ионах
плазмы. Так как кулоновское рассеяние мало, то за время
охлаждения границы db достигнут частицы из узкой области
2 , B.63)
255
откуда следует, что доля частиц, теряемых из-за рассеяния на
ионах vP, как правило, составляет малую часть от прямых
дрейфовых потерь: vP~Ax(l—Ко)- Для термоядерного диапа-
диапазона температур (Т~10 кэВ) vp~0,l (I— Ka)Zeil/2. Исключение
составляет плазма с высоким содержанием примесей Zef>l,
для которой vP~Ax~^ef1/2 может быть сравнима с шириной
конуса дрейфовых потерь.
В ряде работ [41, 54] выполнены численные расчеты допол-
дополнительных кулоновских потерь а-частиц, основанные на реше-
решении кинетического уравнения A.28) с интегралом столкновений
A.30). Неоднородность плазмы в этих расчетах учитывалась
введением в пространстве скоростей конуса потерь. На рис. 29
приведены результаты расчетов [41] доли частиц и энергии,
теряемых из плазмы при рассеянии на ионах, в зависимости от
Zet плазмы. Для всех трех токамаков различного масштаба
результаты численных расчетов хорошо совпадают с приведен-
приведенной выше оценкой vPs^0,l (I—Ka)Zetl/2.
2.9. Распределение по стенке диффузионных потоков
а-частиц
Распределение диффузионного потока по поверхности каме-
камеры, вообще говоря, зависит от распределения источника рожде-
рождения термоядерных частиц и их пространственного коэффициен-
коэффициента диффузии, т. е. от решения кинетического уравнения для
удерживаемых в плазме частиц (см. § 2.10). Однако оказыва-
оказывается, что в тороидальной плазме значительная часть диффузи-
диффузионного потока локализована и имеет универсальное распреде-
распределение по поверхности стенки, которое практически не зависит
от решения внутренней задачи. Это связано с тем, что в акси-
аксиально-симметричном магнитном поле токамака наиболее близ-
близкая к стенке точка на дрейфовой траектории расположена в
экваториальной плоскости тора, поэтому частицы, быстро дви-
движущиеся по орбите с периодом хь и медленно дрейфующие за
счет диффузии с характерным временем таи, выходят на стенку
в основном в узкой окрестности экваториальной плоскости ши-
шириной (ть/т.(шI/2.
Для расчета диффузионных потоков воспользуемся кинети-
кинетическим уравнением B.21). В области прямых дрейфовых потерь
функция распределения описывается выражением B.24).
В области удержания с замкнутыми дрейфовыми траекто-
траекториями кинетическое уравнение B.21) можно решать разложе-
разложением в ряд по малому параметру 6=ть/т8<С1 (см. § 2.10). Для
того чтобы сшить решения в этих двух областях и тем самым
поставить граничные условия для функции распределения в об-
области удержания, необходимо решить задачу в пограничном
256
слое между двумя областями.
Это решение и определит рас-
распределение диффузионных по-
потерь по поверхности стенки.
В нулевом приближении по
малому параметру 6 функция
распределения частиц в области
дрейфовых потерь равна нулю.
В этом приближении на границе
между областями имеется ска-
скачок на функции распределения.
Диффузионные слагаемые, вхо-
входящие в интеграл столкновений,
приводят к небольшому размы-
размытию разрыва. В этом смысле рассматриваемая задача во мно-
многом напоминает задачу о вязком пограничном слое в гидродина-
гидродинамике. В окрестности границы между областями уравнение
B.22) можно упростить, оставив в правой части лишь вторую
производную в направлении, перпендикулярном границе.
Рассмотрим сначала запертые частицы. Как видно из рис.
28, для таких частиц границей будет линия be, на которой Ra =
— ^max- Оставляя в интеграле столкновений главные члены и
пренебрегая источником частиц, получаем
Рис. 30. Граничные значения ifi,
¦»|J, фз и t|u для дрейфовой траек-
траектории
df
дф
B.64)
Для дальнейшего потребуются некоторые упрощения. Предпо-
Предположим, что плазма имеет круглые концентрические магнитные
поверхности z2+{R—#0J:=р2 (¦»])), так что
дг
dp
B.65)
и вычислим значения if>, при которых для данной траектории
{Rg и %g) функция г(г|)) обращается в нуль. Как видно из рис.
30, таких значений, вообще говоря, четыре, и они соответст-
соответствуют точкам пересечения кривых B.11) с экваториальной плос-
плоскостью тора г|5 = г|з(^?, 0).
Для того чтобы довести аналитические оценки до конца, бу-
будем считать, что ширина траектории мала: |if>i—гр21 l
В этом случае
1-Ф)(Ф-Ф2)(Ф-Фз)(Ф-Ф4)
¦Roto)
min
17—6856
B.66)
257
Здесь Rmax = Ro + a; Rmin = Ro — a;
b = p + vR}ilx (Ятах -RG(l-
^2 = p- vR^l (Rmax - RG A _
I
= P + <7in (Rmin -Ro(l- l))m | '
2. J
Для запертых частиц, у которых Ra(l—%2G)>Rmm, два послед-
последних корня комплексны.
Сделаем в уравнении B.66) еще одну замену переменных:
ф — ф ф —I— ф
Ф= maX 2 т'" cosa + -ma^ mi", B.68)
гАе Фтах = Фх". Фтт = 4V ТоГДа
4
COS2 a
^max
и уравнение B.64), учитывая B.65), можно переписать в виде
A —cosaJ да.
Здесь
л _ *m.n
2
Xg
2Ф0 ' J
В выражении B.69) D(ty) h^ts(i|)) заменены их средними зна-
значениями на траектории D и ts.
В случае положительно пролетных частиц траектория огра-
ограничивается значениями ¦фтаХ='фь <фт1п='фз (см. рис. 30). Ис-
Используя замену B.68), уравнение B.64) для таких частиц при-
приведем к виду
(coscx+ 1/2 1/2 d d»
A—cosaJ да
где Д+ = 4^
(X2g -
-г^ш R R all у JA
D+= wm>8' ° max _ °
- х2 M/2
258
Обратимся теперь к отрицательно пролетным частицам
(%<0). Эти частицы делятся на две группы, которые различа-
различаются знаком xg- Отрицательно пролетные частицы с положи-
положительным значением %с (траектория 3 на рис. 14) могут выйти
на стенку, пересекая границу области потерь на участке db
(см. рис. 28). Распределение таких частиц по поверхности стен-
стенки более или менее равномерно и определяется решением ки-
кинетической задачи в области удержания.
Частицы с 5Сс<0 (траектория 4 на рис. 14) Покидают плаз-
плазму, пересекая границу de, на которой Raz=^min, и поэтому все
выходят в узкой окрестности экваториальной плоскости на
внутреннем обводе стенки. Для таких частиц, так же как и для
положительно пролетных, можно получить универсальное рас-
распределение потока по поверхности стенки. Поэтому, как и ра-
ранее, введем замену B.68) с ¦^тах=^и, ipmin=if>2 и преобразуем
уравнение B.64):
(l+A--cosaI/2 C + A--cosaI/2 j>fa_ _ -й j>%_ /2 73)
A-cosa)» да - д!&'
ГАе д =
~\%в
+2a/i?minI/2
B.74)
Рассмотрим теперь граничные условия для уравнений B.69),
B.71) и B.73). Начнем со случая запертых частиц. В пере-
переменных а и RG стенка располагается на линии ¦ф==г1'о. т. е.
^0 = vRHl (Rmax -Ra(l- Kb)I'2 cos a + p.
Выражая р через RG и %G с помощью соотношений B.63), по-
получаем уравнение для границы
%aRe = Rlil (Rmax -Rod- X2G))I/2 cos a. B.75)
При a=0 стенка расположена в точке Ra = Rmax, а с ростом a
она отодвигается в сторону меньших значений Ra. При а=2я
стенка снова оказывается в точке Ro=Rmzx (рис. 31). Чтобы
понять характер решения в переходном слое, можно использо-
использовать нестационарную аналогию с периодически движущимся
17* 259
а ь
О
Рис. 31. Положение стенки (сплош-
(сплошная линия) на плоскости a, Rg для
запертых частиц. В результате диф-
диффузии частицы выходят в окрестно-
окрестности а=2п (RG=Rmax)
О 1 2 X
Рис. 32. Функция G(x), описываю-
описывающая распределение диффузионного
потока частиц по поверхности стенки
поршнем, рассматривая в качестве времени переменную а. Так
как коэффициент диффузии в уравнении B.69)Г мал (Z)~Tb/Ts<
<Cl), то после того как поршень отодвинется от границы плаз-
плазмы, происходит практически свободный диффузионный распад
разрыва у функции распределения /а. После того как через
время 2я поршень вернется в исходное состояние RG = Rmax, он
в узкой окрестности Ro^Rmax соберет на себя частицы, продиф-
фундировавшие в сторону меньших значений RG. Та же ситуация
характерна для положительно пролетных и отрицательно про-
пролетных частиц с %а<.0. Во всех трех случаях достаточно рас-
рассмотреть задачу о диффузионном размыве свободной границы.
В случае запертых частиц сделаем в уравнении B.69) за-
замену
ср = J (I — cos aJ da/У cos2 а + До,
B.76)
причем а = 2я соответствует
? = 4W = J A - COS аJ ^а/|/со52а + Д0 =
о
= D/х) Bх2 — 1) К (х) + D/х) ^ (х),
где К, Е — полные эллиптические интегралы; х= A+А0)'1/2.
С помощью замены B.76) уравнение B.69) приводится к
стандартному виду
dyd(p=Jbd2f/dR2G. B.77)
260
С учетом начальных условий при ф = 0
/а=={о; Ro<rZ1
из уравнения B.77) следует
/« = — (l— erf( -^Ц^Л-1! B.78);
X
где erf (л) = B/}At) j e~'*dt. С помощью B.78) можно рассчитать.
о
распределение потока частиц:
где G(*) = A1/2(l-erf(x));
^ г 128РЮ1-0<а2х A-%20)Ч1+хЬ-2а/RmaKI/2 %G
^
Константу интегрирования f0 можно выразить через полный,
диффузионный поток Фг: = J <3?c?s:
Аналогичным образом можно получить выражение и для пото-
потока пролетных частиц. В случае положительно пролетных частиц
2|/2(о(-„#0
V^+Ц VW?l **m'q (i + й M/2
X [ХО -(Яш,ЛахI/2 (Хо -2а//гшах)'/2|.
Здесь и+ = B/B + Л+)Г; /,(х) = -f- f ,., ^?\ .
Зл J J/ 1 — x2sin2 a
О
26W
Для отрицательно пролетных частиц с xG<0
где |i = 48^-)^о^пA 1%)т + й + 2a/J?minI/2
K2T^I ^ТдГ^( X2GM''2
XI ("Б ) Xq + "d I I 1q
Здесь „.-
Таким образом, во всех трех рассмотренных случаях рас-
распределение потока по поверхности стенки описывается универ-
универсальной зависимостью, которая изображена на рис. 32.
Оценим ширину распределения ARa для реальных парамет-
параметров энергичных термоядерных частиц в токамаке. В случае
запертых частиц (%2G^ajR0)
а а
Если ввести полоидальный угол 9, то получим
1/7
Например, для a-частиц в реакторе-токамаке с параметрами
Я0=5 м, 7=15 кэВ, п=1014 см-3, q = 3, %а = ги2 имеем Д0~
~0,4/)'/4. Даже при Z):=l Д9<1. С уменьшением энергии час-
частиц ширина распределения увеличивается, но не сильно. Если
рассеяние определяется кулоновскими столкновениями, то D~
~l/v3 и A9~o-1. Однако в выражение для потока входит зна-
значение D на краю плазмы, где коэффициенты переноса обычно
аномальны и поэтому аномальным может быть и рассеяние
a-частиц. Распределение диффузионных потоков по поверхно-
поверхности стенки может дать информацию о характере взаимодейст-
взаимодействия a-частиц с плазмой в пристеночной области.
Мы рассмотрели локализованные распределения частиц,
которые связаны с диффузией через границу de и abc (см.
рис. 28). Поток частиц через границу db, обусловленный пере-
переходом отрицательно пролетных частиц в запертые, обсуждался
в § 2.8. Этот поток не локализован, и выход частиц на стенку
происходит по всей половине стенки. Пространственное рас-
262
пределение потока таких частиц зависит от решения задачи в
области удержания, и в частности от распределения источника
Q и коэффициента диффузии D.
Оценим теперь влияние ларморовского радиуса частиц. Рас-
Распределение потока частиц может отличаться от распределения
потока ларморовских центров B.79), B.81), B.82), особенно в
случае частиц с большой энергией, когда ларморовский радиус
велик, а распределение узкое. Для того чтобы найти распреде-
распределение потока частиц ф, нужно связать координату выхода час-
частицы s = aQ и ее ларморовского центра Sd. С точностью до чле-
членов порядка ер2л/а
Как и в § 2.5, примем равномерное распределение частиц по
фазе ларморовского вращения а. В результате получим
4,
Как видно из последнего выражения, d>(s) оказывается сдви-
сдвинутым относительно <t>(s) в сторону экваториальной плоскости
на расстояние порядка
Даже для а-частиц с энергией в несколько мегаэлектрон-вольт
эта величина значительно меньше характерной ширины распре-
распределения.
Точно так же можно показать, что в случае отрицательно
пролетных частиц, выходящих вблизи внутреннего обвода ка-
камеры R = Rmin, эффект конечности ларморовского радиуса при-
приводит к смещению распределения от экваториальной плоскости.
Более существенную роль может играть нарушение аксиаль-
аксиальной симметрии магнитного поля. Как будет показано ниже, при
наличии возмущений магнитного поля траектория частицы мо-
может испытывать супербанановую прецессию с периодом, превы-
превышающим %ъ, что должно приводить к увеличению характерной
ширины распределения потока частиц.
2.10. Функция распределения удерживаемых а-частиц
с учетом конечной ширины орбит
Перейдем теперь к расчету функции распределения а-час-
а-частиц в области удержания. Конечная ширина орбит а-частиц,
составляющая в токамаке заметную долю малого радиуса плаз-
263
менного шнура, приводит к появлению неоклассических попра-
поправок к функции распределения, в том числе к анизотропии
р A Фр ± и направленной скорости «-частиц — бутстрэп-току.
Для расчета функции распределения можно воспользоваться
малостью параметра :6=Тб/тз<С1 и искать решение кинетиче-
кинетического уравнения B.21) с помощью хорошо известной процедуры
[55] разложения fa в ряд по б: fa=f°a-\-fla...
В нулевом приближении по б
B.83)
откуда следует, что
f°a = f°a(P> V, V). B.84)
Для определения конкретного вида /°а понадобится уравнение
для поправки первого приближения:
!(i±!L Jli[iil Stao) + S-. B.85)
2со,-оЯ„ дг Зф dt u ;
Интегрируя по \|), получаем выражение для /'а:
li (P. % v,ty = g (P, v, v) - j |_ -^ + St (/2)
ф .
mm
X
vHl +x2)
дг J' B.86)
Здесь g — произвольная функция, которую можно определить
только из следующего приближения по б. Интегрирование в
B.86) проводится вдоль траектории частицы при фиксирован-
фиксированных значениях р, v, v. Выражение B.86) описывает функцию
распределения в верхней половине тора (z>0). Выполняя ин-
интегрирование B.85) по нижней половине траектории z<0, по-
получаем
(р, v, v, Ф)|г<0 = g + Г I-41 + St0°) + Sa\
J { dt j
mm
дг J, B87)
В B.87) учтено, что sign(dz/cty>) = sign 2. Очевидно, что в точке
^ = <фгаах (или 2 = 0) на траектории правые части B.86), B.87)
264
должны совпадать, откуда следует условие разрешимости урав-
уравнения B.85):
Фтах о
<— г- St (/») +М —— . B.88)
Фтт
Уравнение B.88) можно переписать в следующем виде:
Угловые скобки в B.89) означают
Фтах
1+Х2
дг
дг
B.89),
B.90).
Рассмотрим энергичные а-частицы (и>У*), для которых в ин-
интеграле столкновений можно пренебречь рассеянием и тормо-
торможением на ионах плазмы. Для таких частиц уравнение B.89)
переходит в
Будем считать, что ток в плазме достаточно большой и радиаль-.
ное отклонение траекторий а-частиц мало по сравнению с ха-
характерным размером неоднородности параметров плазмы.
В этом случае неоднородность можно учесть, раскладывая
Xs(ty) и Sa=Q(if>)F(a—vосе) / Dяо2оа) в ряд и оставляя лишь-
первую производную по if>:
2ЧФ —
1 1 V ,, /tw B.92)=
Значение <г|5> определяется равенством B.90), Q'j
Подставляя разложение B.92) в уравнение B.91), получаем
¦<«¦>
?
+
B.93)
Уравнение B.93) отличается от A.31), описывающего функцию-
распределения в однородной плазме, наличием дополнительного
слагаемого, связанного с изменением обобщенного импульса р-
в процессе торможения. Первое слагаемое в фигурных скобках
265
описывает изменение р за счет уменьшения скорости частицы,
второе — за счет сдрейфовывания частицы из-за неоднородно-
неоднородности силы трения. Например, для запертых частиц <-ф>~р, и
поэтому в однородной плазме точки отражения у банана при
торможении практически не смещаются по радиусу, уменьшает-
уменьшается лишь ширина банана. В неоднородной плазме (тЛ^О) вмес-
вместе с сужением банана происходит его смещение по г|) в сторону
уменьшения xs. Однако полное смещение за время торможения
не превышает начальную ширину банана.
В уравнении B.93) не учитывалось вихревое электрическое
поле, которое всегда существует в токамаке и служит для под-
поддержания плазменного тока. Под действием такого поля про-
происходит линчевание а-частиц, так же как и частиц основной
плазмы. Скорость пинчевания можно оценить, интегрируя ра-
радиальный компонент дрейфовой скорости по периоду движения
частицы по траектории
где 0 — угол вдоль малого обхода тора. При круглых магнит-
магнитных поверхностях ^ — v./(gR) и, следовательно,
"ДР = ^"дрф——
Ч J v II
При отсутствии электрического поля траектория симметрична
относительно экваториальной плоскости, и поэтому VbAp — 0.
Электрическое поле нарушает такую симметрию, поскольку при
движении по банановой траектории вдоль поля частица наби-
набирает энергию. Действительно, для сильнозапертых частиц @<с
<СП имеем
и, следовательно, центр банановой траектории смещен по ази-
азимуту на Дб = 2eEqRj(mv\ e), а скорость дрейфа банана равна
Vb№ =УдрД8 = сЕп/В^
где Ве = 2/р/(са)—полоидальное поле плазменного тока; U —
напряжение на обходе шнура. Полное смещение а-частиц за
время торможения АгЕ можно оценить следующим образом:
= ~ 2 ^ < 1,
a a 4nRJp isk
266
где т$* = с2/Dя0а2)—скиновое время; а—электропроводность
плазмы. В. условиях реактора-токамака последнее отношение
настолько мало, что смещение меньше ширины банана.
Найдем теперь функцию распределения а-частиц [°а в ло-
локальном приближении на магнитной поверхности i|) = \|)i. Будем
считать, что ширина банана Аг|зь мала по сравнению с малым-
радиусом плазмы i|)G (Д-фбЛ|)о<С1), и разложим ts и Q в ряд в
окрестности ¦ф = 'ф1. Тогда уравнение B.91) можно переписать
в виде
1 1 д ^'(Фх) 1 dv3fa° Ip —
Будем искать решение разложением в ряд по параметру
Ч
B.95)
Первое слагаемое соответствует функции распределения а-час-
а-частиц в однородной плазме, а поправку F можно определить, под-
подставляя B.95) в B.94) и оставляя члены первого порядка ма-
малости:
v2 ди
+ А,_ф1]8(о-о0в) = 0. B.96)
Будем считать, так же как и в § 2.9, что магнитные поверхно-
поверхности представляют собой круглые концентрические окружности.
Тогда
z2 = p2(<w-(tf-#oJ; -J-=—-?-. Bl97)
оф г оф
а усреднение B.90) будет выглядеть следующим образом:
тах
Г № , B.98)
267
Вынося в B.98) слабо меняющиеся параметры за знак интегра-
интеграла, получим с точностью до А^ь/чра:
Фтах / Фтах
= С (Ф — P)di/ / С dj>
~ J [ГФ—Ф2) (ФХ—Ф) (Ф—Фз)(Ф—Ф4>]1/2/ J [(Ф1—Ф)(Ф—Ф2)(Ф—Фз)(Ф—Ф*)]1/2 '
^fflin / ?min
B.99)
Значения ipi, t|J, 1|зз. ij?4 соответствуют корням уравнения ,г(^) =
= 0 (см. рис. 30) и даются с требуемой точностью выражения-
выражениями B.67), в которых Rmax необходимо заменить на Ro-\-p(tyi),
a RgA—%2g) на v. В результате имеем:
Фх = р 4- vRog+; Ф2"= р — vRog+; j ^
Фз = Р + oRog-> Ф* = Р— и%оё-> I
где ?±=A±еI/2A±е—v/R0)i/2; e=p(i|)i)/^o- Теперь выраже-
выражение B.99) можно переписать в виде
<4>-p>=#o0Gi(v), B.101)
где
С xdx / С
—— i / I
t/ (g + — * ) (•* — g ) / J (s ^. — -
amin / amin
B.102)
flraai= ("фтах—P) / (RqV) J amin= (tmin—p) / (#0^) •
Возвращаясь к B.96), получаем уравнение
Л^Ш -Mb(v-vJ = 0,
решением которого будет функция
F = ffibl' (p + RoGl (v) о - W 6 (,O1- ,),
Таким образом, при и<уОа
/2
/2 = rr+^rf (^(v)-/W). B.103)
4то3 4nf2
Как видно из B.102), для запертых частиц, у которых v>(l —
—в) Я, а
Ы<A-A-е)#о/ЯI/2, B.104)
.268
в используемом приближе-
приближении G(v)=0. Для положи-
положительно ПрОЛеТНЫХ (ipmax—
—р) I (R0V) = g+, (t|)min—
—p)l(Rov)=g-.n из B.102)
следует
G,(v)=ng+/B/C(jt)),B.105)
F j
-/ 0
Рис. 33. Зависимость поправки к функ-
функции распределения F=F-4nv2l[(Q%s)'Ro]
от х Для периферийной магнитной по-
поверхности в точке R=Ro, tt>=\J)i,
р(Ф0 /Яо=0,25
где x=yg2+—g2/g+. Для от-
отрицательно пролетных час-
частиц выражение для Gi(v)
отличается лишь знаком. На
рис. 33 приведена зависи-
зависимость поправки F к функ-
функции распределения от х
при R = R0. Как ясно из пре-
предыдущего вывода, причина
анизотропии у функции распределения — неоднородность источ-
источника и силы трения. В частности, анизотропия возникает из-за
того, что частицы с разными продольными скоростями приходят
в данную точку из разных областей плазмы, где скорость их
рождения различна.
2.11. Бутстрэп-ток, создаваемый очастицами
С помощью функции распределения можно вычислить бут-
бутстрэп-ток, который возникает из-за наличия направленной ско-
скорости у а-частиц [56]:
' 2 '
Л v =-. I I О, (v) — а — у аХ. B.106)
2 ]\ R I
о
С
Плотность энергичных а-частиц (v>v*) определяется первым
слагаемым в выражении B.103): na=Qxs\n(vOa/v*). С по-
помощью этого выражения равенство B.106) можно переписать
в виде
'о»
1П
LDr
B.107)
где L(.) =
A X -
— 1
Выражение B.107) правильно оценивает величину тока а-час-
а-частиц в средней части плазменного шнура. Вблизи от магнитной
оси становятся неприменимыми формулы B.100), на которых
269
основано решение кинетического уравнения. Вблизи от границы
плазмы необходимо учитывать потери а-частиц на стенку. По-
Поэтому эти две области требуют специального исследования.
Рассмотрим сначала приосевую область [57], размер кото-
которой определяется характерной шириной орбиты приосевых час-
частиц B.14) р/а<Dе/р2I/3, где ^=^Gl(Rov). Так как в услови-
условиях реактора эта область составляет малую часть плазменного
шнура, то распределение тока в ней можно считать однород-
однородным. Тогда запертым частицам на магнитной оси соответствуют
значения %, равные — C/2) (e/2f}1/2J/3<x<0, а значения 1|зь г|>2,
г|з3, г|н можно точно определить из уравнений для дрейфовой
траектории. Это позволяет рассчитать анизотропную поправку
к функции распределения f°a.
Оценим теперь бутстрэп-ток а-частиц на магнитной оси.
Вклад в него дают в основном запертые частицы, плотность
которых п<х^«аЛх—«ае2/3р~1/3, поэтому имеем
1 • I dnnt е2 <1п„
Более точные расчеты [57] дают в последней формуле числен-
численный коэффициент, что приводит к выражению:
= _017 у» *, *1 B.108)
J||a ln@/o) р У°йф К '
Формальное использование формулы B.107) на магнитной оси
р = 0 дает /ца = 0- Однако формула B.108), полученная в
результате более аккуратного рассмотрения приосевой области,
показывает, что бутстрэп-ток на оси не обращается в нуль, а
лишь уменьшается до величины
Рассмотрим теперь область вблизи стенки, где анизотропия
функции распределения увеличивается из-за дрейфовых потерь
частиц [58—60]. Ширина этой пристеночной области равна от-
отклонению дрейфовой траектории от магнитной поверхности и
поэтому мала при больших токах плазмы, характерных для
реактора (/р>5,4е1/2 МА).
Обозначим xmax, %min границы конуса потерь, из которого
а-частицы, родившиеся в пристеночной области, теряются на
стенку. Конус потерь существует лишь при скорости частицы
больше некоторой критической vc. Однако поскольку рассеяние
частиц на электронах мало, конус потерь остается пустым (fa=
= 0 при %min<x<Xmax) вплоть до скоростей о=у*, где сущест-
существенно рассеяние на ионах плазмы. Поэтому при вычислении
270
тока а-частиц можно ограничиться областью у>и*, в которой
функция распределения вне конуса потерь /а~1/о3. В резуль-
результате С ТОЧНОСТЬЮ ДО и*/УОа ПОЛуЧИМ
' maX ~ т1П'' ^ '
Поскольку из плазмы теряются в основном запертые частицы,
ТО ПО ПОрЯДКу ВеЛИЧИНЫ /max— У-mla — S. ТОК B.109) рЭС-
пределен неравномерно по магнитной поверхности и поэтому
имеет смысл среднее значение тока
</„„> = A/2.)J /^6 = ^^ <Х2тах-/4п>. B.110)
На рис. 34 показана зависимость <%тах —• ^min^> от Д =
= ]/2/s A — p/fl)/, где 7"-— Ур/2,7, полученная в [58J для случая
однородного плазменного тока. Распределение пристеночного
тока а-частиц по радиусу плазмы зависит от радиальных рас-
распределений плотности и температуры плазмы. В [58] полный
ток а-частиц (МА), возникающий из-за дрейфовых потерь, рас-
рассчитан для Qats=Qaotso(l—p2/a2)h:
« Чо^'С*. B.111)
Здесь Ck — численный множитель порядка 1 (С0=4; С2=2,5;
С4,5=3,55). Формула B.111) получена в предположении, что
стенка расположена на границе плазмы. В этом случае ток
а-частиц течет в ту же сторону, что и ток в плазме.
Оценим бутстрэп-ток а-частиц в реакторе-токамаке:
/ II./;' и р - г3/22™аео*/?е < s3% B.112)
Здесь рР=8лр/В28 — полоидальное значение параметра р. Так
как в токамаке рРе<1, бутстрэп-ток при большом значении плаз-
плазменного тока составляет малую часть тока плазмы.
На краю бутстрэп-ток возрастает, но не сильно. Как видно
из сравнения B.109) и B.107),
что в условиях реактора (а/рл=20; q = 3; e=0,25) дает
}\\ ст/ J || а = ' '
Существует любопытная возможность усилить бутстрэп-ток
в токамаке с малым значением плазменного тока и плохим
удержанием а-частиц, и как следствие — осуществить в нем
271
Рис. 34. Зависимость
расстояния до стенки А=
Д= 1/2/7A — р/ос) I /=/р/2,7
> ОТ
: ~" Amin
max -Хш,-п>/?'
Z A
полностью самоподдерживающую-
самоподдерживающуюся реакцию с высокой температу-
температурой и плазменным током, поддер-
поддерживаемым а-частицами [61].
Обратимся к рис. 17, на кото-
котором изображено максимальное от-
отклонение дрейфовой траектории
для частиц, родившихся на магнит-
магнитной оси. При малом токе /р<
<5,4б1/2 МА часть частиц уходит на стенку и в плазме остаются
два встречных пучка а-частиц. Частицы, движущиеся вдоль тока
(Х>0), и запертые частицы отклоняются в сторону внешнего
обвода, а отрицательно пролетные частицы — в сторону внут-
внутреннего обвода камеры. Поэтому, смещая плазменный шнур по
большому радиусу относительно центра камеры или используя
специальные диафрагмы (рис. 35), можно регулировать суммар-
суммарную направленную скорость а-частиц, оставшихся в плазме.
При очень малых токах /р<2,7е МА в плазме перестают удер-
удерживаться и пролетные частицы. Как известно, направленный пу-
пучок а-частиц, который образуется в плазме при 2,7е</р<С
<5,4е1/2 МА, вызывает появление дополнительного электронно-
электронного тока за счет силы трения электронов о движущиеся а-части-
цы [62]. Суммарный ток равен
/z = y,,.(i—2W.
где Zet — эффективный заряд ионов плазмы. Из последнего вы-
выражения видно, что в чистой дейтериево-тритиевой плазме с
Рис. 35. Смещая плаз-
плазменный шнур / или ис-
используя диафрагму 2,
можно регулировать на-
направленную скорость
а-частиц в токамаке с
малым током 2,7е<;
</p<5,4eI/2 MA. Стрел-
Стрелками отмечены траекто-
траектории а-частиц, родивших-
родившихся на оси
272
Zet = 1 Для поддержания плазменного т,ока ток а-частиц дол-
должен быть направлен против плазменного тока. Для этого нуж-
нужно использовать диафрагму так, как это показано на рис. 35.
Максимальный ток достигается при /р = 2,7е (в МА), при кото-
котором в плазме удерживаются только частицы с —1<%<Хтах=
= —0,526—0,566е. Часть этих частиц выходит за границу шну-
шнура, и поэтому со стороны внутреннего обвода стенка должна
быть удалена от плазмы на расстояние Да~1,65—Л^1. Оценим
полный плазменный ток, создаваемый а-частицами в этом слу-
случае:
~ ^ ¦Ka2eanav ,1 а — TM2eaQ^svOa A — 12тах) JJ1.
•> р
Если выразить плотность плазмы через рр, то получим
eJpvOa$p 2 n<v
Jp - 4l2 U — Zinax) j
Как видно из последней оценки, отношение Ja/Jp сильно зави-
зависит от температуры и достигает максимума при Г~100 кэВ,
при которой /а//р~1. Однако в условиях токамака такая тем-
температура невозможна из-за мощного циклотронного излучения
плазмы. Более аккуратные оценки, выполненные в [61], пока-
показывают, что при реально достижимой температуре Г~30 кэВ
отношение /а//р не превосходит 0,33. Однако это значение ока-
оказывается достаточным для того, чтобы ток а-частиц мог. слу-
служить затравочным для бутстрэп-эффекта, возникающего при
подпитке реактора топливом.
Приведенные результаты получены в локальном приближе-
приближении Ai|)b/i|)G<Cl. В том случае, когда ширина орбиты составляет
заметную долю малого радиуса плазменного шнура, усредне-
усреднение коэффициентов, входящих в уравнение, можно выполнить
лишь с помощью численных методов. Пример подобных расче-
расчетов с описанием численного кода приведен в [63]. Расчеты
выполнены с учетом реальной геометрии магнитного поля для
установки реакторного масштаба JP>JPh. Поэтому эффекты
конечной ширины орбит малы и проявляются в основном на
периферии плазменного шнура, где велики градиенты источ-
источника частиц Q ("ф).
Иная ситуация при малых токах, например, в токамаке
ТСП [22], в котором высокие параметры будут достигнуты с
помощью адиабатического сжатия дейтериево-тритиевой плаз-
плазмы. При небольшом токе, характерном для этой установки,
/р=1,2 МА, ширина банана а-частиц сравнима с малым радиу-
радиусом плазмы, и поэтому неоклассические эффекты будут прояв-
проявляться особенно сильно. На рис. 36 показаны основные харак-
характеристики функции распределения а-частиц, рассчитанные для
условий ТСП (Яо=42 см, а=\2 см, /р=1,2 МА) [50]. Учиты-
18—6856 273
0,15
Ь 0,1
ii 0,01
ft?1
1
\
/
~ #
50 R, CM
/
у
I
I
!
. I
50 /?,CM
-10 -
50
Рис. 36. Распределение анизотро-
анизотропии давления (а) и бутстрэп-тока
a-частиц (б) в экваториальной
плоскости плазменного шнура в
ТСП; в — линии уровня бутстрэп-
тока в сечении шнура. Граница
плазмы отмечена пунктиром
валась реальная форма первой стенки, которая в конечном
сжатом состоянии расположена на большом расстоянии от
внешнего обвода плазмы. Поэтому часть a-частиц удерживается
вне плазмы при R>R0-\-a. На рис. 36,в показаны линии уровня
бутстрэп-тока в сечении плазмы. Несмотря на то что ширина
банана сравнима с размером плазмы, значение бутстрэп-тока
хорошо совпадает с оценками B.108), B.108а).
2.12. Псевдодиффузия a-частиц
Вычислим теперь с помощью дрейфового кинетического
уравнения B.21) неоклассический поток a-частиц в локальном
приближении. Локальное приближение означает, что радиаль-
радиальная ширина дрейфовой орбиты мала по сравнению с характер-
характерным размером неоднородности плазмы и поэтому в выражении
для потока частиц можно оставить лишь слагаемые, пропорци-
пропорциональные первой производной от плотности a-частиц. Общее
274
выражение для потока частиц можно записать следующим об-
образом:
Г„= JJUv.rHV^-rfsKv/S. B.113)
где интегрирование проводится по скоростям и по магнитной
поверхности if> = const, площадь которой S.
Сразу видно, что усредненная функция распределения f°a в
локальном приближении не дает вклада в выражение для по-
потока частиц. Дрейф бананов, связанный с неоднородностью
силы трения, как видно из уравнения B.93), приводит к потоку
частиц, пропорциональному произведениям п'еп'а и Т'еп'а, и
поэтому из-за малости должен быть отброшен. Это означает,
что в рассматриваемом приближении центры дрейфовых траек-
траекторий неподвижны в процессе охлаждения, и для вычисления
потока a-частиц мы должны воспользоваться следующим при-
приближением по малому параметру ть/Ts B.86). Но сначала оце-
оценим поток частиц и выясним его физический смысл.
Если источник частиц Q неоднороден по радиусу плазмы
Q = Qo+Q'(t|'—^i), то в следующем порядке приближения по
параметру t&/ts плотность a-частиц уже не будет постоянной
на траектории. Будем считать, что ts=const, и рассмотрим
трубку, образованную замкнутыми дрейфовыми траекториями,
которая пересекает магнитную поверхность i|> = i|)i в двух точ-
точках (/ и 2, рис. 37). Если мощность источника слева от маг-
магнитной поверхности больше, чем справа, то плотность a-частиц
в точке / будет больше, чем в точке 2, на 6«~Д<2ть:~
~ — (dQ/rfp)Арьть, где Арь — радиальный размах дрейфовой
траектории. Соответственно вариация плотности запертых час-
частиц, которые дают основной вклад в поток, 6я< будет равна:
1/2dQ/d
p/p
Учитывая, что нормальная к магнитной поверхности состав-
составляющая скорости частицы vn~V№, получаем
* _ iV. ±. {2Л 14)
Решение кинетического уравнения [56] дает более точное вы-
выражение
Г =-053 Л* d(QTs) = -0,53 2 qV ^- B.115)
Коэффициент, стоящий в выражении для потока перед произ-
производной от плотности, имеет размерность коэффициента диффу-
диффузии, но это не истинный диффузионный процесс, обязанный
случайным блужданиям частиц, а скорее кинематический
эффект, связанный с размешиванием неоднородного источника
18* 275
Рис. 37. Трубка дрейфовых траекторий пересекает
магнитную поверхность г|)=1|>1 (пунктир) в точках
1 и 2. Направление движения частиц показано
стрелками
при движении частиц по дрейфовой траек-
траектории. Такой поток частиц не приводит к
дополнительным потерям частиц на стенку,
так как ведущий центр дрейфовой орбиты
остается неподвижным в процессе торможе-
торможения частицы. В этом смысле псевдодиффу-
псевдодиффузионный поток а-частиц B.115) напомина-
напоминает обтекающий диамагнитный ток в неод-
неоднородной плазме. Однако если дивергенция
диамагнитного тока всегда равна нулю, то
для псевдодиффузионного потока div Г^
=#0. В стационарном случае баланс плот-
плотности а-частиц обеспечивается наличием стока — превращения
при охлаждении а-частиц в «золу», т. е. тепловой компонент,
который обычно рассматривается отдельно от энергичных а-ча-
а-частиц.
В заключение обсудим некоторые физические явления, свя-
связанные с наличием в плазме энергичных а-частиц.
Функция распределения а-частиц, а следовательно, и их
плотность не постоянны на магнитных поверхностях [2]. Сле-
Следовательно, эквипотенциальные поверхности не совпадают с
магнитными:
где па — переменная составляющая плотности на магнитной
поверхности. Внутри плазмы полоидальное электрическое поле
очень мало из-за малой плотности а-частиц (ла/пе~10~2-ь
10~4). Однако на краю плазмы может образовываться «шуба»
из гелиевой плазмы с высокоэнергетическими немаксвелловски-
ми ионами. Например, это явление может проявиться в токама-
ке ТСП [22], в котором в конечной стадии сжатой плазмы
стенка находится далеко от плазменного шнура. В плазме
удерживаются и те а-частицы, часть дрейфовой траектории
которых лежит вне плазменного шнура. В этой внешней облас-
области, в которой плотность частиц составляет 10" см~3, а силовые
линии выходят на стенку, удержание электронов электростати-
электростатическое. Это может привести к изменению распределения элект-
электрических полей в пристеночной области и, как следствие, к
изменению взаимодействия плазмы со стенкой.
Оценим теперь амбиполярное электрическое поле, которое
возникает в токамаке из-за потерь энергичных а-частиц. Плот-
276
ность радиального электрического тока, выносимого из плазмы
а-частицами, уходящими на стенки, равна
] =eQ -=-A —К) = -?-2-A — К). B.116)
Здесь Qa — средняя по радиусу мощность источника а-частиц;
Ка — их коэффициент удержания. Радиальный электрический
ток a-частиц приводит к накоплению в плазме отрицательного
заряда и вращению плазмы в результате дрейфа в радиальном
электрическом поле. Как известно [64J, продольная вязкость
препятствует вращению плазмы в токамаке в полоидальном
направлении, поэтому под действием электрического поля плаз-
плазменный шнур вращается в тороидальном направлении со ско-
скоростью
V —rp / R. /О 1 17\
Скорость Уф можно определить из тороидальной проекции урав-
уравнения баланса импульса основной плазмы:
0=j9Be/c—mtnV4l4CM. B.118)
Второе слагаемое в правой части уравнения B.118) феномено-
феноменологически описывает затухание тороидального вращения, кото-
которое наблюдается в экспериментах на токамаках с инжекцией
нейтральных пучков.
В стационарных условиях /р=—/а и, следовательно,
Vv=—jaBetM I (cmiti).
Подставляя в последнее выражение ток а-частиц B.116), по-
получаем
vTi 2 V п I \ ts / »' \ q } \ рл / '
где Vti — тепловая скорость ионов плазмы. В условиях полно-
полномасштабного реактора-токамака (е=0,3, q = 3, Г=20 кэВ, л=
= 1014 см-3, #a=0,9, а=150 см, В = 5 Тл)
Vq,lvTi=2,5(na/n)xMIXs. B.120)
Для токамака ТСП (Г=7 кэВ, и=1015 см-3, Ка=0,7, а=
= 12 см, В=12Тл)
VlvTi=2,4(na/n)xMIXs. B.121)
В настоящее время окончательно не выяснено, какой механизм
отвечает за торможение тороидального вращения плазмы в то-
277
камаке. Однако в современных экспериментах Хы оказывается
небольшим (тм=Т?^т8). Как видно из B.120) и B.121), при
таком затухании тороидального импульса ток а-частиц легко
компенсируется радиальным током плазмы уже при малой
скорости вращения и соответственно [см. B.117)] малом элек-
электрическом поле.
Глава 3
ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА УДЕРЖАНИЕ а-ЧАСТИЦ В ТОКАМАКЕ
3.1. Характерные частоты невозмущенного движения
а-частиц
В токамаке на фоне основного симметричного поля всегда
существуют аксиально-несимметричные возмущения, связанные
с развитием в плазме различного рода неустойчивостей, в том
числе и крупномасштабных МГД-возмущений, а также с кон-
конструкцией тороидального магнита (гофрировка). Как показали
исследования последних лет, такие малые возмущения могут
приводить к заметному ухудшению удержания а-частиц.
При рассмотрении динамики а-частиц в аксиально-симмет-
аксиально-симметричном поле было достаточно исследовать интегралы движения
частиц. Характер движения а-частиц во времени не играл су-
существенной роли, поскольку время не входит явным образом в
выражения для р, е и v. При наличии возмущений временной
характер движения частиц становится важным.
Движение частиц в токамаке характеризуется тремя основ-
основными частотами: частица быстро вращается по ларморовской
окружности с циклотронной частотой со;, совершает квазипери-
квазипериодическое движение вдоль силовых линий с частотой со& (для
пролетных частиц шг, определяется временем облета тора соь^
~2л#/Уц) и дрейфует поперек магнитного поля, в результате
чего ее траектория испытывает прецессию в тороидальном на-
направлении с частотой (о<г- Частоты соь и Wd могут быть определе-
определены в рамках дрейфовых уравнений движения.
В этой главе будем использовать простейшую модель маг-
магнитного поля с круглыми концентрическими магнитными по-
поверхностями Вф=Вт^о/^. Be=Bp(p)RolR, где р —расстояние
от магнитной оси R=Ro-\-f)COsQ, 0 — угол вдоль полоидального
обхода тора. Кроме того, положим, что скорость тороидального
дрейфа ^p=const и направлена вдоль оси г. В результате
придем к стандартной модельной системе дрейфовых уравне-
уравнений, правильно описывающей характер движения частиц в то-
278
камаке:
9 = (V<?tfo)-(^p/p)cos6; C-1)
Здесь q = pBTl (ROBP) —запас устойчивости, а продольная ско-
скорость v N должна быть выражена как функция от координат.
Опуская малые слагаемые ~е2, имеем
„2, .._. v2-v.B = 4о[1 - уГ2sin2(8/2)],
где х2 = t^|o/Bt>j_os)- В нулевом приближении по параметру рл//?,
которое можно получить, полагая в уравнении C.1) Удр=0,
получаем:
р = р0 = const;
<р — ^8 = cp0 = const; I C.2)
Здесь о= ± 1 учитывает изменение знака продольной скорости
у запертых частиц в точках отражения (иц=0), а параметр
Фо характеризует силовую линию на магнитной поверхности
р=const, вдоль которой происходит движение частицы.
Интегрируя последнее уравнение по времени, легко полу-
получить, что для пролетных частиц (х>1)
t = 2am[lfx.vJlBqR0)], C.3)
где am(z) —эллиптическая функция — амплитуда z [66]. У за-
запертых частиц (х<1) движение по 8 ограничено точками отра-
отражения I sin (в/2) | =х, поэтому для интегрирования C.2)
можно воспользоваться стандартной заменой переменных
(l/x)sin@/2) =sinг], в результате чего имеем:
6= (vu0/qR0) costj;
C.4)
t) = am [x, у J/B<7/?oh)];
где en (z) = cos (am (z)).
Прих»1 (сильнопролетные частицы) б — vnQt/(qR0), при
(сильнозапертые) f}^2xsm(vj_\fet/(Y'2qR0)). Определяя период
движения и характерную частоту Ть — фс?б/в и ©6= 2%/Ть, по-
279
лучаем для запертых с частиц
A)
b
К (И)
)
C.5)
где К (к) —полный эллиптиче-
эллиптический интеграл второго рода.
Для пролетных частиц A)
дольных колебаний @^=
. Iv
1Ю
«6 = ^— л — I . C.6)
•2* Зависимость соь(х) изображе-
Рис. 38 Зависимость частоты про- на на Рис- 38- Отметим, что
вблизи от сепаратрисы х=1
частицы начинают задержи-
от х = [>цО/у^0|/ 2s ваться на внутреннем обводе
тора, где магнитное поле мак-
максимально, и поэтому Ть-^-оо, а фурье-разложения C.3), C.4) по
времени содержат большое количество гармоник с частотами,
кратными (о&.
В следующем приближении по рл/Я частица сдрейфовывает
с исходной силовой линии магнитного поля:
q (Po)
Ро
¦(cos6 +s(po)esin8),
C.7)
где s= (p/q)dq/dp~;шир магнитного поля. Скорость дрейфа
вдоль большого обхода тора можно найти, усредняя второе
уравнение C.7) по периоду продольных колебаний:
C.8)
Переходя в C.8) к интегрированию по 0, с помощью C.2)
получаем в случае запертых частиц (х<1):
'яр
Ро
C.9)
Для пролетных частиц
Ро
В последнем случае скорость дрейфа со<* показывает, насколько
вращательное преобразование дрейфовых траекторий q* отли-
280
чается от вращательного преобразования силовых линий, ха-
характеризуемого q [67J: q*—</ = (о<г/соь. Будем рассматривать
взаимодействие а-частиц с медленными возмущениями магнит-
магнитного поля, частота которых со не превышает дрейфовые часто-
частоты а<С(?>*~сТ (еВа2). В этом случае возмущения можно счи-
считать неподвижными, поскольку для энергичных а-частиц их
частота колебаний со меньше самой медленной характерной
частоты:
3.2. Винтовые возмущения магнитного поля
Известно, что наличие одной моды винтового возмущения
приводит к образованию островной структуры в окрестности
резонансной магнитной поверхности т—nq = 6 [67]. При нали-
наличии многих мод острова могут перекрыться, и магнитные по-
поверхности окажутся разрушенными. Это явление, по-видимому,
лежит в основе аномальной электронной теплопроводности в
токамаке. Однако при исследовании удержания а-частиц нуж-
нужно следить за разрушением не магнитных, а дрейфовых поверх-
поверхностей, которые, как видно из предыдущего рассмотрения, мо-
могут существенно отличаться от магнитных поверхностей.
Будем считать, что структура возмущений магнитного поля,
так же как и равновесное магнитное поле, определяется основ-
основной плазмой, и рассмотрим сначала влияние одной винтовой
МГД-моды на движение а-частиц. В качестве возмущения вы-
выберем одну винтовую гармонику
^ф], C.11)
где \!p = na2BT\p(p)cos(mQ—пар).
Радиальную зависимость -ф (р) аппроксимируем следующей
модельной функцией:
Ф(р)='фо(р/а)ехр{-(Р-р8J/Ар2}. C.12)
Здесь ps — радиус резонансной магнитной поверхности т =
= nq(ps). Для мелкомасштабных винтовых мод т, п»1 шири-
ширина локализации возмущений Др=р8/т [68] может оказаться
меньше ширины банана. При малых значениях т область ло-
локализации возмущений сравнима с малым радиусом плазмен-
плазменного шнура, и поэтому C.12) можно заменить на i|> = i|)op/a.
Можно считать, что возмущение полоидального поля C.11)
не меняет абсолютное значение магнитной индукции \В\ и по-
поэтому в уравнениях движения C.1) появятся дополнительные
281
слагаемые, связанные лишь с искривлением силовых линий маг-
магнитного поля:
-^- COS I
p
"li Bb
C.13)
Рассмотрим сначала пролетные частицы, траектории кото-
которых охватывают магнитную ось. Введем вместо р переменную
р(р, 0) [см. B.9) J, которая для круглых магнитных поверхно-
поверхностей выражается через р и 0 следующим образом:
6).
Вместо тороидального угла ф будем использовать фазу возму-
возмущений | = т0—щ, а в качестве «времени» т=0. Тогда, комби-
комбинируя уравнения C.13), получаем
dp
—
^8 V
= т — па
В последнем уравнении опущены слагаемые, содержащие воз-
возмущения магнитного поля, поскольку они приводят к эффектам
второго порядка малости по амплитуде возмущений. В правых
частях уравнений C.14) переменная р должна быть выражена
через р и 0 с помощью равенства B.9).
Выделим теперь в уравнении для фазы | среднюю скорость
дрейфа йЦйх=ш(р) + {дIдх)Цр, х),
где соы =s A/2я) f (d%ldt)di\ J(p, t) — периодическая функция по
ТЕ
аргументу т, и введем вместо g новую переменную
Тогда второе уравнение системы C.14) можно переписать в
виде
dr> _ „ /„ч «37 dP
282
Второе слагаемое пропорционально амплитуде возмущений и
поэтому его можно опустить. В результате имеем
dpjdx = аи (р, х) sin (tj + f{p, x)) + bu (p, %) cos (tj -f lip. ')); 1 ,о ,«
где аи (р, т) = ш|§/?,рВ /?т;
ер л — </ Удр cos т Вт
Здесь Вр и В9 — амплитуды возмущений винтового магнитного
поля.
Подобным образом можно преобразовать уравнения и для
запертых частиц, однако для таких частиц угол 0 ограничен
точками отражения, и поэтому в качестве времени можно вы-
выбрать величину т, связанную с 0 равенством
sin(9/2)=K(p)sinr. C.16)
После несложных, но громоздких преобразований, аналогичных
выполненным выше для пролетных частиц, получим
dp/di =-- at (p, x) sin (i) + Jt (p, x))— bt (p, x) cos (i| + U (р, ¦«)); 1 /3 17)
где
5р 2(о,-0рЛ0х (еи н 0 cos х + ^Удр П — 2x2sin2x))
D I/ 1 у2 ciri2 «г /eft __
Дт |^ 1 —X Sin Т ^U|lfl —
1 — f/Vnti COSX
Правые части уравнений для р C.15), C.17) можно разложить
в ряд Фурье по т:
x = 2 D,/•"(/>) COS (ч- + Д^)); )
C.18)
Индексы t и и означают запертые и пролетные частицы. В об-
общем случае коэффициенты Dh можно вычислить лишь с по-
помощью численных методов. Ниже будут приведены результаты
численных расчетов. Однако прежде выполним аналитические
оценки для случая сильнопролетных (х^>1) и сильнозапертых
(х<1) частиц. Начнем со случая пролетных частиц, для кото-
которых можно положить | Уц |= v. Невозмущенная траектория
283
таких частиц с точностью до к2, где А—<7рл<ро, описывается
уравнением
p = po+Acos 0.
Здесь ро=р(р) — значение координаты частицы при 9=я/2.
С той же точностью уравнение для фазы записывается в виде
d\ \dx=m—nq (р0) — (nq%/p0) A +s0) cos т,
где so=s (po) — шир магнитного поля. Отсюда следует, что
(uu = m—nq(p0), lu= — (K/po)nq(l+so)sinr.
Оставляя в C.14) главные слагаемые и используя C.12), полу-
получаем:
^Р_= «йРтФа. ^ f ^?->!l Sin [Ч - (Яя^/р.) A + s.) sin ,];
dx 2 I Apa I C.19)
d-nldt — m~nq(p0).
В зависимости от соотношения размера области локализации
Ар и радиального отклонения дрейфовой траектории от магнит-
магнитной поверхности "К можно рассматривать два предельных слу-
случая. Первый из них соответствует нелокализованным возмуще-
возмущениям Х/Ар<€.1, что выполняется при малых значениях т.
В этом случае легко получить
% ? '* {~A +*«)) sincn + k,). C.20)
k=— 00
Здесь Jk(x)—функция Бесселя. Таким образом, из-за конеч-
конечного значения скорости дрейфа одна винтовая мода восприни-
воспринимается частицей как набор гармоник, амплитуда которых убы-
убывает с ростом k. Помимо основного резонанса (т—nq = O) по-
появляются дополнительные дрейфовые резонансы [69], соответ-
соответствующие значениям р0 (или р), при которых m—nq(po)=k.
При больших значениях т возмущения становятся локали-
локализованными (Я/Лр^>1). Для пролетных частиц это условие вы-
выполняется при рл<р«/т<рл<7, откуда рз/рл>т>р8/(рлд). Левое
неравенство отражает условие применимости дрейфового при-
приближения. При Х/Ар^>1 радиальную зависимость возмущения
ехр{—(р—psJ/Ap} можно заменить предельным выражением
УяАрб(р—ps), а затем вычислить коэффициенты Фурье в раз-
разложении правой части первого уравнения C.19). При |ро—
—ps|<A,H3 C.19) следует
J^_ со^ФоРоАр/о [X (пд/ро) A + !,)]_ V cos (Ks) sin (tj + Ь). C.21)
284
В последнем уравнении ts = 9s обозначает значение угла 0, при
котором происходит пересечение траекторией частицы с резо-
резонансной магнитной поверхностью: р0—ps+^cosTs=0. При
[ ро—ps|>^ траектория лежит полностью вне резонансной
зоны, и поэтому коэффициенты Фурье равны нулю. Как видно
из уравнения C.21), для локализованных возмущений ампли-
амплитуда дрейфовых резонансов в KjAp раз меньше по сравнению
с однородным возмущением, однако спадает с ростом k мед-
медленнее, чем для однородных возмущений. В окрестности резо-
резонансных значений ро, где т—nq(p0) =k, траектория частицы
испытывает прецессию с амплитудой
ДРо - И>0р5аДр/0ЛГ/г5Я)}1/2 • C.22)
При достаточно большой амплитуде 1|H резонансы, соответст-
соответствующие различным значениям k, могут перекрыться, и дрей-
дрейфовые траектории окажутся разрушенными. Соответствующий
критерий Чирикова [70] выглядит следующим образом:
ф0 > Фсг = V* loj(nq2smb.?a). C.23)
При выполнении последнего неравенства частица испытывает
случайные смещения в области шириной ~К. Для того чтобы
оценить, насколько велико полученное критическое значение
амплитуды if>cr, сравним его с характерным значением -фм, ко-
которое для локализованных возмущений оценим следующим
образом. При малой амплитуде возмущений ширина магнитно-
магнитного острова Арм меньше ширины локализации Ар и определяется
амплитудой возмущений в точке p==ps.
При очень большой амплитуде Арм стремится к ширине обла-
области локализации. Определим tyM, приравнивая C.24) к ширине
локализации Ар:
ifM=Ap2n|s|/Bmaps). C.25)
Тогда
C.26)
Как видно из последней оценки, разрушение дрейфовых по-
поверхностей под действием одной моды локализованных возму-
возмущений возможно лишь при большом шире (s>l) и Др~Я[т~
—Ps/(Рл^)] • В противном случае для этого потребуется слиш-
слишком большая амплитуда возмущений фо>1|зм.
Обратимся теперь к запертым частицам (х<С1), уравнение
траектории которых с помощью C.16) можно представить в
виде р = р*—4x2(Acost, где р* = р*(р)—координаты точки от-
285
ражения. С точностью до К2 уравнение для фазы можно запи-
записать следующим образом:
с/?Д?т=2Л*л<7*х*/|р,—2/ttx*(«<7*/m— 1)cost
(символ «*» означает, что соответствующая величина вычис-
вычислена в точке отражения). Из последнего уравнения следует
ft {р, х) = —2тх* (nq*/m— I) sin т= —a sin т.
В случае локализованных мелкомасштабных возмущений
р,/рл > т > (р4./Рл) У7
которые оказывают большее влияние на динамику а-частиц,
чем крупномасштабные моды; как и раньше, можно заменить
радиальное распределение возмущения б-функцией:
^ у cos(k)sin(
Здесь ts — значение фазы т в резонансной точке. Резонансные
значения р* (или р*) определяются из условия
ю<(р)=—2А,.я?.к./р. = —*. C.28)
Резонансное условие C.28) означает следующее. Запертая час-
частица совершает колебания вдоль силовых линий с частотой соь
C.4) и дрейфует вдоль тороидального обхода со скоростью ю<г.
Поскольку для таких частиц среднее за период значение 0 рав-
равно нулю, то фаза возмущений изменяется со скоростью яш.
При этом частица попадает в резонанс с возмущениями, когда
nwd=k(Ob- Учитывая выражения C.4) и C.8), с помощью по-
последнего равенства приходим к условию C.28). Очевидно, что
отношение ш/^ь-^рл/./? мало, и поэтому резонансное условие
для запертых частиц выполняется лишь в случае мелкомас-
мелкомасштабных мод и частиц высокой энергии.
В окрестности резонансных значений ри траектория запер-
запертой частицы испытывает супербанановую прецессию с ампли-
амплитудой
АР* _ I <7*Арфоа У'2 C 29)
При ширине локализации порядка ширины банана Дрс^4Х*х2*,
¦^0 = 115^ и s=l имеем
286
В случае запертых частиц х<1, для перекрытия дрейфовых
резонансов требуется амплитуда возмущений ¦фо^2"|/яр*/(атог),
что примерно в т>1 раз превышает г|зм, и, следовательно, ло-
локализованная мода не может разрушить дрейфовые поверхно-
поверхности запертых частиц. Этот вывод остается справедливым и в
случае небольших значений тип, соответствующих крупно-
крупномасштабным, нелокализованным возмущениям.
Приведенные аналитические оценки согласуются с резуль-
результатами численных расчетов, в которых критическая амплитуда,
соответствующая выполнению критерия Чирикова, рассчиты-
рассчитывалась численно. Для того чтобы при численных расчетах про-
продвинуться в область мелкомасштабных возмущений с Др^рл, в.
[71] возмущенное магнитное поле усреднялось по фазе лармо-
ровского вращения:
<В> = — \ В (г + рл (ех cos a + e2 sin а)) da.
Ha рис. 39 показаны области с различной критической ампли-
амплитудой, необходимой для перекрытия дрейфовых резонансов
пролетных частиц. По осям отложены значения дрейфовой ско-
скорости и координаты р на траектории при 8 = я. Эта величина,
которая является функцией р, рл=ря(р), более наглядна, чем
р. Расчеты выполнены для частицы, у которой точка отражения
находится при R = 0,8Rq. Отметим, что даже при наличии вин-
винтовых возмущений магнитный момент частицы не изменяется,
и поэтому не меняется и радиальная координата точки отра-
отражения. Результаты, представленные на рис. 39, получены для
моды т = 25, п=20 и параболического распределения плотно-
плотности тока. Верхняя граница области соответствует таким значе-
значениям дрейфовой скорости, при которых частица перестает
охватывать магнитную ось и которые требуют специального
?&.
Рис. 39. Области с различными зна-
значениями критической амплитуды
фсг для частиц с v=0,8; m=25; n—
=20;
Ар2 ns
У= (Фсг/Фи) :
aps m
1 — 0,К'У<0,2; 2 —0,033<v<0,I; 3 —
0,02<'Y<0,033; 4 — Y<0,02; ps — положе-
положение резонансной магнитной поверхности;
границы области локализации воз-
возмущений
рассмотрения. Правая граница, отмеченная пунктиром, соответ-
соответствует сепаратрисе, разделяющей пролетные и запертые части-
частицы. Частица взаимодействует с возмущением тогда, когда ее
траектория заходит в область локализации, т. е. рл^ ps и р@=
= 0)<Cps. С ростом дрейфовой скорости (энергии) увеличива-
увеличивается отклонение частицы от магнитной поверхности р(я)—р@),
и поэтому область с малыми значениями критической амплиту-
амплитуды расширяется. Появление области с малыми г|)сг при малой
скорости дрейфа @,005<рл/ро<0,01) соответствует оценке
C.23) и объясняется тем, что в этой области А/Др~1. При
дальнейшем уменьшении скорости дрейфа возмущения уже
нужно рассматривать как нелокализованные. Как следует из
C.20), у таких возмущений амплитуда дрейфовых резонансов
быстро спадает с увеличением k и поэтому область с малыми
критическими амплитудами сужается.
Как и следовало ожидать, вблизи от сепаратрисы располо-
расположена узкая область с очень малыми значениями г|)сг. Это свя-
связано с тем, что вблизи от сепаратрисы (о<г/сог,—>-оо и поэтому
резонансы расположены очень часто и легко перекрываются.
Однако эта область, как обычно [70], оказывается экспоненци-
экспоненциально узкой и слабо влияет на общую картину.
Расчеты показывают, что запертые частицы имеют сущест-
существенно большее значение критической амплитуды возмущений
i|5cr>ij3M вплоть до таких значений энергии, при которых они
перестают удерживаться в токамаке.
Рассмотрим теперь влияние нескольких винтовых мод на
дрейфовые поверхности энергичных частиц. С одной стороны,
ширина основного острова k = 0 на дрейфовой поверхности
меньше, чем ширина соответствующего магнитного острова, с
другой, на дрейфовых поверхностях появляются дополнитель-
дополнительные дрейфовые резонансы и поэтому заранее неясно, какие по-
поверхности будут разрушаться при меньших амплитудах — маг-
магнитные или дрейфовые.
В качестве примера рассмотрим набор мелкомасштабных
винтовых мод (т, /г^>1), которые имеют резонансные точки,
т—nq(pSk) =&, расположенные на равном расстоянии друг от
друга, 6p = pSk+i—psft=l /(«<?'):
\ V
k
с одной и той же шириной локализации Ар. Так как винтовые
возмущения оказывают слабое влияние на запертые частицы,
достаточно рассмотреть пролетные частицы. При к^> 1 траекто-
траекторию можно представить в виде p = p0+A,cos8.
288
Тогда уравнение, описывающее возмущение р, будет отличать-
отличаться от C.19) только наличием суммы по к:
dp дко,-оРФ0/п ri/n + fe ( (p—pskJ\
dz~ 2 Urn F\ Др2 / .
X sin U — (Xnq/p0) A + s0) sin i + kz);
= m — nq(p0),
C.30)
где t] = mQ—Пф. В дальнейшем, учитывая, что т^>\, положим
(m-\-k)/m—l. Будем считать, что резонансы расположены до-
достаточно часто, бр<Са, и разложим правую часть второго урав-
уравнения C.30) в ряд в окрестности po=pSm'-
dr\/d"r:=— nq'(psm) (p0—pSm).
Вводя вместо р новую переменную y—nq'(psm) (р0—psm), при
1 получаем:
I (Лр/SpJ /
е |
dx 28p Zj I (Лр/SpJ /
Po
Теперь, используя разложение Фурье, выделяем в правой части
одну N-ю гармонику:
dyldz = фо(?(у) sin^; I ,g 31.
dyjdz = —y. )
Здесь y-^=y—N; ц — ц+NQ;
n +
Видно, что для выбранных возмущений амплитуда iV-ro резо-
резонанса не зависит от номера N. Система уравнений C.31) легко
У
интегрируется с помощью замены переменных z= f dy/G(g), в
о
результате чего можно получить соотношение, связывающее
19—6856 289
Рис. 40. Зависимость критической ам-
амплитуды от ширины локализации
возмущений. Разные кривые соответ-
соответствуют различным отклонениям
дрейфовой траектории от магнитной
поверхности:
;_Дрь=0 (магнитные поверхности); 2 —
Дрь/Лр = 4; 3 —Др6/6р = 8
0,5 0,4- 0,6 0,8 1,0&./>/(&/>)
амплитуду возмущений и полуширину сепаратрисы ут:
Ут
фо = A/2) Г ydy/G(y).
По оси у резонансы отстоят на расстоянии Ajf=l, и поэтому
для их перекрытия требуется критическая амплитуда возмуще-
возмущений, равная
фсг = A/2) f ydy/G(y). C.32)
6
В частности, для магнитных силовых линий X-+Q
2йр
откуда
2aqm
C.33)
При большой ширине локализации Ар^>бр из C.33) получаем
хорошо известную оценку для перекрытия магнитных островов:
При произвольных значениях К оценку C.32) можно выпол-
выполнить лишь с помощью численных методов. На рис. 40 показана
критическая амплитуда возмущений, необходимая для разру-
разрушения дрейфовых поверхностей пролетных частиц в зависимо-
зависимости от ширины локализации возмущений. Видно, что для раз-
разрушения дрейфовых поверхностей при не слишком малой ши-
ширине локализации требуется большее значение амплитуды, чем
для разрушения магнитных поверхностей (А,=0). Отметим, что
при Ap = psm/m отношение Ар к бр зависит только от шира
290
Ap/Fp)=s, и поэтому при s~l, по-видимому, раньше будут
разрушаться магнитные, а не дрейфовые поверхности частиц.
Можно ожидать, что даже при разрушенных магнитных поверх-
поверхностях, сопровождающихся аномальной электронной теплопро-
теплопроводностью, мелкомасштабные винтовые возмущения не сильно
ухудшат удержание термоядерных а-частиц.
В [72—75] выполнено численное моделирование удержания
частиц в токамаке при наличии нескольких крупномасштабных
мод винтовых возмущений. В [74, 75] рассмотрено воздейст-
воздействие трех винтовых мод с радиальной структурой вида C.12) на
движение тепловых частиц. В расчетах, которые проводились
по методу Монте-Карло, вводилось небольшое рассеяние час-
частиц, и критическое значение амплитуды для разрушения дрей-
дрейфовых поверхностей определялось из условия резкого возраста-
возрастания коэффициента диффузии частиц по сравнению с неоклас-
неоклассическим. Получено, что электронный коэффициент диффузии
становится аномальным при меньшем значении амплитуды, чем
ионный. Этот результат не противоречит приведенному выше
рассмотрению.
В [73] приводятся результаты измерений на токамаке PDX
выходящих из плазмы потоков термоядерных протонов с энер-
энергией 15 МэВ, рождающихся во вторичных реакциях dCHe, p)a.
Мощность вторичных реакций позволяет судить об удержании
термоядерных ионов 3Не, рождающихся в d(d, 3Не)я-реакции.
В этих экспериментах наблюдалась корреляция между потоком
вторичных протонов и вспышками МГД-активности, связанны-
связанными с развитием fishborn-неустойчивости. И хотя существует
несколько возможных причин этого явления, авторы считают,
что уменьшение выгорания 3Не связано с ухудшением их удер-
удержания. Это мнение основано на результатах численных экспе-
экспериментов, выполненных с помощью численного кода [72], мо-
моделирующего движение частиц 3Не методом Монте-Карло. Рас-
Расчеты проводили для гармоник я=1, т=1, 2, 3, представляю-
представляющих возмущение магнитного поля при развитии fishborn-неус-
fishborn-неустойчивости. Было получено, что даже при малой амплитуде
возмущений ?/Бт<10~3 возмущения приводят к значительному
ухудшению удержания термоядерных ионов 3Не. Теоретическое
объяснение этого явления отсутствует. Возможно, что этой ам-
амплитуды достаточно для перекрытия дрейфовых резонансов.
3.3. Гофрировка тороидального поля
Характерное возмущение магнитного поля, присущее любо-
любому токамаку — это гофрировка тороидального поля, возника-
возникающая из-за конечного числа катушек тороидального магнита
[76]. Подробное изложение влияния гофрировки на процессы
переноса в токамаке, и в том числе энергичных термоядерных
19* 291
Рис. 41. Характерная картина ли-
линий уровня глубины магнитных
ям A(R, г) в сечении плазменно-
плазменного шнура и характерные траекто-
траектории запертых частиц (области с
Д=0 заштрихованы)
частиц, можно найти в обзо-
обзоре [77]. Поэтому здесь при-
приведем лишь основные ре-
результаты, касающиеся
энергичных термоядерных
частиц.
Прежде всего рассмот-
рассмотрим, как изменяется геомет-
геометрия орбит частиц при наличии гофрировки. Гофрировка с хоро-
хорошей точностью представляет собой одну моду с азимутальным
числом п, совпадающим с числом тороидальных катушек N [76]:
fiT=B0(#o/#)(H-6cosiVcp). C.34)
Неоднородность магнитного поля в 6(R, z)=§BjB в тока-
маке обычно мала F<С1). В случае круглых тороидальных ка-
катушек линии уровня гофрировки 6{R, г) представляют собой
вложенные окружности, центр которых смещен в сторону глав-
главной оси тора [76], причем б обычно довольно резко нарастает
при удалении от центра к периферии плазменного шнура. Рас-
Раскладывая C.34) в ряд по е<1 и используя обозначение C.2),
получаем формулу, описывающую изменение магнитного поля
вдоль силовой линии:
| В | =B0[l-е cos 6+6 cos (iVgG+ЛГфо) ]. C.35)
На плавное изменение магнитного поля из-за тороидально-
сти, которое описывается вторым слагаемым в уравнении
C.35), гофрировка накладывает мелкомасштабные возмуще-
возмущения, которые могут приводить к появлению локальных магнит-
магнитных ям глубиной Д= (Bmax—BmiXi)/B. Однако локальные ямы
и, следовательно, локально запертые частицы могут существо-
существовать лишь в той области, где поле немонотонно, т. е. v=
= ej sin Э j j{bNq) <1. На рис. 41 изображена характерная для
токамака картина линий уровня Л в плоскости сечения плаз-
плазменного шнура. _
Скорость пролетных частиц велика (з /u>]/s ^>у"Д), и та-
такие частицы практически не чувствуют влияние гофрировки
магнитного поля. У запертых частиц продольная скорость в
точке отражения обращается в нуль, поэтому такая частица
может оказаться захваченной в локальной магнитной яме. За-
Захват обусловлен тороидальным дрейфом частиц. Действитель-
292
но, из-за тороидального дрейфа частица, приближаясь к точке
отражения и удаляясь от нее, имеет различную радиальнук>
координату р (конечная ширина банана) и, следовательно, чув-
чувствует различную горфрировку б(р) [78]. Кроме того, изменя-
изменяется и фаза гофрировки Що из-за дрейфа банана в тороидаль-
тороидальном направлении mp0=Mod?, и поэтому частица воспринимает
гофрировку как бегущую волну с частотой а=Ыш. При отра-
отражении частица, прошедшая над ближайшей к точке отражения
локальной магнитной пробкой, возвращаясь, может встретить,
более высокий потенциальный барьер и превратиться в лока-
локализованную.
Период колебаний частицы в локальной ловушке можно»
оценить следующим образом:
7\ « 2-kRI(Nv „) =* 2vR[(Nv VS).
За это время фаза гофрировки Ыщ изменится на
При типичных значениях параметров реактора-токамака*
последняя величина для а-частиц превышает 2я:
Это означает, что а-частицами (из-за их большой скорости
дрейфа) гофрировка воспринимается как быстро бегущая вол-
волна, и поэтому для расчета в вероятности трансформации орбиг
обычно используемое адиабатическое приближение [79, 80J
неприменимо. Тем не менее можно утверждать, что запертые
частицы, имеющие точки отражения в области у<1, могут пре-
превратиться в локализованные. Траектория частицы становится:
случайной — часть времени частица проводит в виде запертой,,
часть в виде локализованной (см. рис. 41). Однако в реакто-
ре-токамаке условия отсутствия дополнительных гофрировоч-
ных потерь основной плазмы [77] требуют достаточно малок
гофрировки -у —е/(М?й)>1. При этом область / на рис. 41, в
которой отсутствуют локальные магнитные ямы, занимает
практически все сечение плазмы, за исключением узкой окрест-
окрестности экваториальной плоскости тора 2 = 0. В случае у^$>1
основной эффект дает бесстолкновительная банановая диффу-
диффузия, обнаруженная Голдстоном, Байтом и Бузером [81].
3.4. Бесстолкновительная банановая диффузия
в гофрированном магнитном поле
Бесстолкновительная банановая диффузия, которая играет-
важную роль в удержании термоядерных а-частиц, изучена до-
довольно подробно [75, 81—86]. Здесь мы рассмотрим это явле-
явление, исследуя движение отдельных частиц в гофрированном
магнитном поле.
29$
Основной эффект гофрировки сводится к появлению у про-
продольной скорости частицы небольших осцилляции, связанных с
возмущениями поля |5| C.35):
C.36)
Здесь v Q — продольная скорость частицы при 6 = 0. Как можно
показать [77], возмущения радиального и полоидального компо-
компонентов магнитного поля приводят к эффектам более слабым и по-
поэтому их можно не учитывать. При этом уравнения движения
сохраняют прежний вид C.7), но &(| теперь будет определяться фор-
формулой C.36). Ограничиваясь линейным приближением по малому
параметру Удр/у||0<1, можно положить Ь = v]]/(qR()). Тогда урав-
уравнения движения C.7) удобно переписать в виде
)
Для того чтобы получить приращение радиальной координаты
Ар из-за гофрировки, проинтегрируем первое уравнение систе-
системы C.37) по периоду движения частицы:
Ар = - УдР <7#о § sin bdb/v „. C. 38)
Легко видеть, что при отсутствии гофрировки F = 0) частица
возвращается на исходную магнитную поверхность Ар = 0. Для
пролетных частиц, у которых продольная скорость не обраща-
обращается в нуль, малые осцилляции, связанные с гофрировкой,
усредняются, и в результате смещение оказывается малым:
Др~6/ (NqJ.
Рассмотрим теперь запертые частицы (х<1). Из-за наличия
точек поворота (о — 0) амплитуда смещения таких частиц
существенно больше, чем у пролетных. Как будет показано,
основной вклад в C.38) дают точки отражения, поэтому инте-
интеграл C.38) удобно разбить на две части, соответствующие ин-
интегрированию по верхней и нижней половинам траектории час-
частицы: Др=Др++Др_. Для того чтобы оценить Ар+, введем в
<3.38) замену 6->|:
-\ /sin5 J-+— [cos (Nqb + N9o) — cos (N<?,)]! - sin2 ? C.39)
так, чтобы точкам поворота 0ц=О соответствовали значения
|=±я/2. Замена C.39) взаимно однозначна только при
294
6Af2<72/e<l. При 6N2q2/s>l в окрестности экваториальной плос-
плоскости |9|<6iV<7/e существуют локальные магнитные ямы, и
поэтому в этой области левая часть C.39) немонотонна по 9-
Однако при 6Nq!e<^\ эта область узкая и ее вкладом в интег-
интеграл C.38) можно пренебречь:
4хТ
но J sin О (I) - (SNq/e) sin (Nq% + N<f0)
C.40>
где ^i^SNq/s. Раскладывая правую часть C.40) в ряд по ё и
выделяя слагаемое ~6, получаем смещение радиуса частицы
из-за гофрировки:
Но, с^ —¦
J ^ПТТЕ
2е3/2 •' l/r-^2sin2i
В подынтегральном выражении зависимость 8(|) достаточно
определить из C.39) в нулевом приближении по 6. При x<Cl
6~2xsing, после чего интеграл C.41) можно вычислить мето-
методом перевала [75, 81J:
Ар+= —A sin BNqx-\-N(f0—л/4), C.42);
Для нижней части траектории аналогичным образом получаем
Ар-=—Asin(iV<po—2Nqx-\-nj4). C.43)
Теперь для того, чтобы получить разностные уравнения, необ-
необходимо воспользоваться уравнением C.8). В результате имеем
[81J:
= р, — Д cosi,
C.44)
Первая пара уравнений соответствует верхней точке отраже-
отражения (р,- — координата частицы до точки отражения, р,+1 — после
ее прохождения). Вторая пара уравнений описывает прираще-
приращение р в нижней вершине банана. При большом значении А, при
котором, согласно критерию Чирикова, выполняется неравен-
неравенство
U 2Nqt Д^)>1, C.45).
U — 2Nqtt, Д^)>1,
{dp ф !
фазы в первом и третьем уравнениях можно считать случайны-
случайными, и движение частиц становится стохастическим. Обычно в-
295'.
условиях токамака (dim/dp) j (dNqQt/dp) »<7рл/(аУе) <1, и
поэтому неравенство C.45) ведет к следующему выражению
для критической гофрировки [81J:
'. C.46)
Поскольку правая часть в C.46) обратно пропорциональна
скорости частицы, то при малой гофрировке бесстолкновитель-
ная банановая диффузия характерна лишь для частиц высокой
энергии, и в том числе для термоядерных а-частиц. Соответст-
Соответствующий коэффициент диффузии, который возникает при б>6Сг,
должен приводить к быстрым потерям запертых а-частиц.
В дальнейшем были предприняты усилия для построения
более точных, чем C.44), разностных уравнений. В частности,
уравнения C.44), вообще говоря, не сохраняют фазового объе-
объема (фазовый объем сохраняется только при A = const). Этот
дефект был исправлен в [75], где для его устранения в правую
часть второго и четвертого уравнений системы C.40) были до-
добавлены слагаемые, пропорциональные амплитуде гофрировки.
В [82] было выполнено численное моделирование дрейфово-
то движения частиц в токамаке с гофрированным магнитным
полем. Для гофрировки использовали реальную зависимость от
координат, соответствующую токамаку INTOR. Результаты
расчетов показали, что разностные уравнения правильно опи-
описывают критическую гофрировку, хотя при численном решении
дрейфовых уравнений разрушение дрейфовых поверхностей
происходило при несколько большем значении б.
В [84] авторы учли в разностных уравнениях дополнитель-
дополнительные слагаемые, пропорциональные следующим членам разло-
разложения по амплитуде возмущений б. Было получено, что с рос-
ростом параметра y-l = &Nq/ (esinQt) критическое значение б
уменьшается.
В стохастической области 6>бСг смещения банановой час-
частицы становятся случайными и поэтому потери а-частиц носят
диффузионный характер. Коэффициент диффузии можно оце-
оценить следующим образом: ?>~А2со&. Даже при б^бсг смещение
достаточно велико [Д/а~1/(njVg)], и поэтому а-частица может
уйти из плазмы за 102—104 периодов движения по траектории,
что существенно меньше времени ее охлаждения. В реакторе-
токамаке это явление дает один из основных каналов потерь
термоядерных а-частиц. Поэтому для расчета динамики а-час-
а-частиц важно вычислить их коэффициент диффузии в стохастиче-
стохастической области. Такие расчеты были выполнены в [85], где коэф-
коэффициент диффузии был найден в результате решения кинетиче-
кинетического уравнения в гофрированном магнитном поле:
D (v, р, ц) = (А2/Ть) [1+ехр F,9-5,5а) ]->, C.47)
.296
где a=2^2A(dldp) (NqQt); Ть — период колебаний запертых
частиц C.5).
Выражение C.47) справедливо лишь для тех частиц, у ко-
которых точки отражения лежат в области 6A^/(esin0f<l), где
нет локальных магнитных ям. Формула C.47) получена в ре-
результате аппроксимации результатов численных расчетов и ох-
охватывает как режим сильно развитой стохастичности (a^l)v
так и режим с частично разрушенными дрейфовыми поверхно-
поверхностями (сс<С1). Значение а=1 соответствует критической ампли-
амплитуде C.46), следующей из критерия Чирикова. При меньших
энергиях a-частиц, при которых а<1, диффузия связана со-
столкновениями и носит довольно сложный характер. В этой
области в диффузионные потоки основной вклад дают резонанс-
резонансные частицы с Л/*АфО = /гя, диффузия остальных частиц прене-
пренебрежимо мала [77J:
G"bvcJ-l- sin2 (WAipo) + 0,46«2
Здесь vc — эффективная частота рассеяния а-частиц:
Vc = \ —K-L — COS2
Если усреднить последний коэффициент диффузии по фазовому
пространству, то можно получить
Д2
.46а*/G>с)»]
C.47а>
Зависимость коэффициента гофрировочной диффузии а-час-
а-частиц от параметра а приведена на рис. 42 (а2 — порядка энергии
частиц). Между стохастической областью а>1 и так называе-
называемой областью гофрировочного плато a<Tbvc существует об-
область с низким коэффициентом диффузии. Коэффициент диффу-
диффузии C.47а) мал в области a^l, поэтому сумма C.47) и C.47а)
описывает коэффициент диффузии во всем диапазоне энергии
а-частиц:
expF,9-5,5a)
. C.48>
Поскольку величина D резко меняется в окрестности а=1*
заранее трудно оценить влияние этого эффекта на энергетиче-
энергетические характеристики a-компонента в условиях реального рас-
распределения параметров в реакторе-токамаке. Для этого, вооб-
вообще говоря, необходимо выполнить трехмерные численные рас-
расчеты кинетического уравнения для функции распределения
a-частиц. Чтобы избежать громоздких трехмерных расчетов, а
[86] был использован модельный подход, при котором бес-
297
Рис. 42. Зависимость нормирован-
нормированного коэффициента гофрировоч-
ной диффузии от параметра
а (а2—энергии а-частиц):
/ — столкновительная диффузия C.47);
2 — бесстолкновительная диффузия
C.46)
ОС
«столкновительная банановая диффузия учитывалась с по-
помощью конечного времени жизни а-частиц: те= (я—р) /D.
В результате в кинетическом уравнении A.28) появилось до-
жолнительное слагаемое
где а — малый радиус плазменного шнура. Расчеты были вы-
этолнены для реактора-токамака INTOR и соответствующего
ему реального распределения магнитного поля. Основные па-
параметры установки: Я0 = 520 см. iV= 12, ?0=5,5 Тл. Обычно
(в том числе и в рассмотренном в [86] примере) гофрировка
распределена очень неравномерно по сечению плазмы. Она до-
достигает наибольших значений в районе внешнего обвода тора,
вблизи от экваториальной плоскости. Поэтому запертые части-
частицы, имеющие точки отражения в этой области, могут быстро
теряться из плазмы, в результате чего при большой гофриров-
же в токамаке образуется своеобразный конус потерь. Как по-
показали результаты расчетов кинетического уравнения C.48),
-это приводит к 10%-ным потерям энергии а-частиц на стенку
при гофрировке на внешнем обводе тора 6=1,2%. Прямые
дрейфовые потери в токамаке INTOR при тех же параметрах
-составляют 3—4%. При 6 = 0,3% потери, связанные с гофри-
гофрировкой, незначительны, а при 6 = 5% они приводят к потерям
50% энергии а-компонента.
Оказалось, что модель, использованная в [86J, дает доволь-
довольно точные результаты. Это видно из сравнения с результатами
численного эксперимента, выполненного в [83] примерно для
тех же параметров, с целью исследовать влияние гофрировки
на удержание а-частиц. В этой работе гофрировку рассчитыва-
рассчитывали численно для реальной формы катушек тороидального маг-
лита. Для невозмущенного поля использовали модель B.65).
Численное моделирование заключалось в расчете дрейфовых
траекторий большого числа а-частиц с учетом их торможения
и рассеяния на ионах плазмы методом Монте-Карло. Прежде
всего исследовали влияние гофрировки на прямые дрейфовые
потери а-частиц. Для этого расчет траектории начинали в эква-
экваториальной плоскости и прекращали, когда частица выходила
298
Рис. 43. Область прямых потерь а-частиц в токамаке с гофрировкой 6=0,75%\
Расчеты выполнены [83] для частиц, родившихся в точке р/а = 0Д 6 = 0°,
<р=15°
на стенку или снова возвращалась на экваториальную плос-
плоскость.
На рис. 43 показаны области потерь в пространстве скоро-
скоростей [83] для частиц, родившихся при р/а=0,8, 0 = 0°, ф = 30°.
Результат получен для значения гофрировки на внешнем обво-
обводе шнура, равного 6 = 0,75%. Гофрировка приводит к дополни-
дополнительному дрейфовому конусу потерь при малых значениях Оц„
который связан с потерей локализованных частиц на стенку.
Однако этот конус исчезает при уменьшении радиуса р, по-
поскольку при меньших значениях р тороидальный дрейф выно-
выносит частицу в область без локальных магнитных ям (рис. 43).
Наличие «усов» на границе конусов потерь связано с явлением
бесстолкновительной трансформации орбит. Полная доля пря-
прямых потерь составляет 2, 3 и 7% при значениях б, равных 0,5,
1 и 1,5%. Если расчет траекторий частиц не прекращался после'
первого оборота по траектории, а продолжался дальше, то доля
теряемых а-частиц начинала нарастать со временем. Эти более
медленные потери обязаны бесстолкновительной банановой,
диффузии. Было обнаружено, что критическое значение ампли-
амплитуды хорошо согласуется с оценкой C.46). На рис. 44 приве-
приведена полученная в расчетах доля частиц и энергии, теряемых
из плазмы в зависимости от гофрировки. При 6~1,5%, в тока-
маке INTOR на стенку уходят практически все запертые час-
частицы v /и<^У~е .При 6=1% численный эксперимент [83] да-
дает примерно 10% потерь из-за бесстолкновительной диффузии,,
что хорошо согласуется с результатами, полученными на про-
простой модели [86].
Отметим, что так как большая часть теряемых из плазмы
а-частиц выходит на стенку в результате диффузии, распреде-
29»
1,0
0,5
0,1
0,05
-
-
<Ye>
Рис. 44. Зависимость доли теряемых
из плазмы частиц J и энер1ии 2 от
гофрировки; <5У'е> — усредненное
по источнику а-частиц значение
обратного аспектного отношения
О
JQ1 1°
ление выходящих частиц по поверхности локализуется в окрест-
окрестности внешнего обвода тора (см. § 2.9). В численных расчетах
наблюдалась локализация потока не только по углу 0, но и по
тороидальному углу ф, что связано с зависимостью знака ра-
радиального смещения банана от угла ср [см. C.42) J.
Таким образом, как показали результаты исследований по-
последних лет, бесстолкновительная банановая диффузия являет-
является основным механизмом потерь а-частиц из-за гофрировки в
условиях реактора-токамака с большим плазменным током.
Доля теряемых частиц довольно сильно зависит от распре-
распределения профиля тока и мощности источника а-частиц на пери-
периферии плазменного шнура. Это связано с тем, что область
стохастических потерь расположена вблизи края плазмы, а ее
граница C.46) очень чувствительна к профилю q. Условие
C.46) можно рассматривать как условие на величину q: в за-
заданной гофрировке потери а-частиц накладывают ограничение
на нее сверху. Гофрировочные потери малы при малых значе-
значениях q и малом аспектном отношении плазмы.
3.5. Циклотронное взаимодействие а-частиц
с гофрировкой
В токамаках с сильным магнитным полем катушки торо-
тороидального магнита, как правило, расположены близко к плаз-
плазменному шнуру, и уменьшение гофрировки достигается увели-
увеличением их числа. При большом числе катушек может проя-
проявиться специфический циклотронный механизм взаимодействия
«-частиц с гофрировкой [87—89]. Для неподвижных возмуще-
возмущений условие циклотронного резонанса выглядит следующим
образом: knv{] == ыь где k{] -=N/R.
Так как продольная скорость из-за тороидальности изменя-
изменяется при движении частицы, то условие циклотронного резонан-
300
са выполняется лишь в отдельных резонансных точках на си-
силовой линии. Эта ситуация во многом похожа на циклотронное
взаимодействие частиц в адиабатических ловушках [90]. Если
рассмотренные в предыдущих параграфах механизмы взаимо-
взаимодействия а-частиц с гофрировкой приводили к нарушению ин-
инварианта р, то циклотронное взаимодействие связано с враще-
вращением частицы по ларморовской окружности и поэтому ведет к
изменению магнитного момента частицы ц. (В постоянном во
времени магнитном поле энергия частицы не изменяется.)
Уравнение, описывающее изменение магнитного момента,
можно получить, формально дифференцируя fx ¦— v\jB по вре-
времени и используя уравнения движения частицы в магнитном
поле [91J:
{2v\ + v]) (n v I B | ) + ...; C.49)
C.50)
Здесь n=ei sin ct+e2cos a; a—фаза ларморовского вращения;
e,= Vi|>/| Vi|?|; e2=[(B/|B|)+ei]. В правых частях C.49),
C.50) опущены несущественные для дальнейшего слагаемые,
пропорциональные sinBa), cos Bа). Легко видеть, что в акси-
аксиально-симметричном поле усреднение C.49) по а дает нуль в
правой части, что соответствует сохранению магнитного момен-
момента. При наличии гофрировки в C.49) появляются дополнитель-
дополнительные слагаемые порядка ехр[Цсог — Nv,/R)t], и поэтому
при выполнении резонансного условия юг =/Vn //? магнит-
магнитный момент испытывает малое конечное приращение Д|л~6.
Для исследования циклотронного взаимодействия важно вы-
выбрать для возмущений магнитного поля модель, удовлетворяю-
удовлетворяющую условию divB = 0. В противном случае в уравнении
C.49) появятся большие слагаемые порядка ~divB, которые
будут приводить к быстрому и нефизичному изменению маг-
магнитного момента. Воспользуемся простейшей моделью:
В =(NBJ?R) sin (Л» Up dp;
р
C.51)
В пределе p/R-+0, уравнение rotB = 0 дает зависимость б(р) =
= 6o/o(Afp//?), где Io(x) —функция Бесселя мнимого аргумента.
При большом числе катушек, т. е. когда л:=Л/р/./?> 1,
301
С помощью C.51) можно найти функцию потока магнитного
поля
W * Wo (?) + Wo" ^Ш- Г 8 (р) р dp. C.52)
Р J
о
Оставляя в C.49) линейные по б члены и используя C.51),
C.52), получаем
2S2 Jy dp
P
-f-—— sin(iVcp)cosa -|—-— cos 6cosa sin(Arcp) \
о
(
о
— (- -^ ] — sin F — a) cos (N9)\. C.53)
V 2 4t>V R J
В нашей модели 6(р) резко меняется по радиусу, и поэтому
основной вклад в C.53) дает первое слагаемое. Таким образом,
3/2
-exp[i(JV<p + a)]}; C.54)
dajdt=— кою A— ecos6). C.55)
Для того чтобы проинтегрировать уравнения C.54), C.55)
в линейном по б приближении, понадобятся уравнения невоз-
невозмущенного движения C.1). Для упрощения вычисления скачка
Aji в резонансной точке пренебрежем в C.1) скоростью дрейфа
6 = v „ /(?/?„); «Р = о |, /Я; Р = Рс + (Oj/ю*) cos a,
где рс — координата ларморовского центра. Подставляя за-
зависимость б(р) в виде
5 (р) = 8 (Рс) exp [NvJ(Roaio) cos a] =
= 8 (P.) 2 '»[^Oj
и оставляя в C.54) только резонансные слагаемые, получаем
3/2M(pc) г/ / ч
*+)]. C.56)
302
Рис. 45. Резонансные точки на траектории пролетных (а) и запертых (б) ча-
частиц отмечены крестиком
где х = Nv l((oi0R0). Выражения для фаз Ф+ = Л/9 ± а перепишем
в виде
t
T&w ±D".)' C-57)
где v.. = <ai0RJN = const. В последнем уравнении можно перейти
от интегрирования по времени к интегрированию по углу 6:
9
)(ии ±vn )ROIR. C.58)
Из C.58) видно, что размер резонансной области, на которой
происходит набег фазы ДФ~1, мал (Ab — vn/(v.\reqN)<^ 1),
и поэтому резонансное взаимодействие носит локальный
характер. Вычислим теперь скачок Ajo, в резонансной точке.
Рассмотрим сначала пролетные частицы к>1, траектория кото-
которых проходит через две резонансные точки 0!* и б2* (рис. 45).
Для определенности положим v у~0, для у <Г 0 вы-
выкладки аналогичны. Обозначим jin значение магнитного мо-
момента до прохождения первого резонанса F = 6'*), [Xn+i/г и
цп+i — соответственно после прохождения резонансных точек
01* и 82*. Тогда, интегрируя C.56) методом стационарной фазы,
получаем разностные уравнения
— V-n = —A (мл) cos (?„ —
= — А
cos
C.59)
303
Соответствующие приращения фаз получаются в результате ин-
интегрирования C.55) между резонансными точками:
C.60)
2
Здесь \п = ап — Мр0 — 2%nNq; Д = Nqb* + тс/4; sin FJ2) =
"^ fl = wii>no".
К(%) и F(x, 6/2) —эллиптические интегралы первого и второго
рода. Заметим, что для существования резонансной точки необ-
необходимо, чтобы выполнялись условия а<1 и х2>1—а2. Эти не-
неравенства определяют на плоскости у(|, и, область, где воз-
возможен циклотронный резонанс (рис. 46). Рисунок соответству-
соответствует параметрам установки ТСП, для которой v/vnt — 2.
Траектории запертых частиц х<1 имеют четыре резонанс-
резонансные точки, как это схематично показано на рис. 45,6. Соответ-
Соответственно вместо C.59), C.60) получим четыре пары разностных
уравнений:
— Рп = — A (ty?)cos '
~fi«-l/4= "~ Л ({!„,,,,,) COS I
C.61)
.».,,. . „4.,,., к,,,, cosi
Для набега фаз:
art + l/4 a« = ^
an+3/4"
C.62)
где у^ = arcsin ]/1 — a2; L (к) — 4qNaxK (и)—M; M (x)— AqNaxX
X Y.)
Уравнения C.59) —C.62) не сохраняют фазового объема.
При этом нарушается важное свойство гамильтоновых систем.
Это связано с тем, что мы пренебрегли скачком фазы лармо-
ровского вращения. Можно, однако, как это обычно делается
304
Рис. 46. Области циклотронного
взаимодействия частиц с горфиро-
ванным магнитным полем (заштри-
(заштрихованы) на плоскости v ц , v,
(пунктиром показана граница между
запертыми и пролетными, частицами)
cr
ю-'3 -
10
-5
10
-6
_
0,5
0
//a?
Рис. 47. Зависимость критической
гофрировки бсг от х при различных
значениях параметра "цфА'ох
[70], слегка «огрубить» разностные уравнения, чтобы обеспе-
обеспечить сохранение фазового объема. Покажем, как это можно
сделать в случае пролетных частиц. Введем новые фазы т)п =
= ?n—A, T|n+i/2=!n+i/2+A и перейдем от \i к новой переменной
y. = [v\0/Bsv2L0)]U2. Тогда из C.59), C.60) можно найти Ах~
л+1/2
"^П + 1/2
cos
_J
Z "
*п+ 1/2/
Д(з<„) + Д|
C.63)
— A(^rt+l) д(к„+1/2)-
Для того чтобы уравнения C.63) сохраняли фазовый объем,
достаточно положить
20—6856
305
A(xn+i)+A(«n+i/2) заменить на 2A\xn+i), а Д(х„+1/2)+Д(х„) —
на 2Д(х„+1/2). Введем обозначения:
MK{llx)-l}; 1
8J2) —2Д(х). j
Тогда система C.63) примет следующий вид:
ип+1 = *« + Л cos v 1 3 65
Ч»+1 = 1»+[До/2 + (Д0/2-Ai) cos (iw)]|x=>b+i. J
Четные значения индекса соответствуют первой, а нечетные —
второй паре уравнений C.60). Аналогичным образом можно
преобразовать и разностные уравнения для запертых частиц
C.61), C.62). Оказывается, что четыре пары уравнений можно
свести к виду C.65) с точностью до преобразования До и Дь
так что каждый шаг по п будет соответствовать прохождению
через одну резонансную точку. Полная траектория запертой
частицы соответствует обращению к C.65) четыре раза. Окон-
Окончательно получим:
}, J
. C-66)
l= ~Чп + {До/2 + (До/2— ДО cos (т.п) + Д3 sin (тс/г/2)},'
где для запертых частиц Ao—4NqxaK.{x); Ai = 4NqxaF(x, у*) —
—2Д(х); A3=2JVcpio. Для пролетных частиц До и Ai определя-
определяются формулами C.64), а Дз = 0.
Поскольку в правую часть разностных уравнений C.66)
входит индекс п, то, вообще говоря, критерий Чирикова, опре-
определяющий области стохастичности, к этим уравнениям непри-
неприменим. Формальное применение этого критерия,
minj Л(х)—( —+ ( — —АЛ cos (ид) ) И > 1, C.67)
позволяет правильно оценить критическую гофрировку бег, при
которой уравнения C.66) описывают стохастическую диффу-
диффузию. Зависимость бсг от х, которая следует из C.67), приведе-
приведена на рис. 47. Как видно из этого рисунка, в окрестности гра-
границы между запертыми и пролетными частицами х~1, бсг-^-0,
т. е. вблизи х~1 всегда существует область со стохастически-
стохастическими траекториями. В зависимости от гофрировки изменяется
лишь ширина стохастической зоны.
Перейдем теперь к вычислению коэффициента диффузии
частиц, предварительно преобразовав уравнения C.66). Харак-
Характерный масштаб по х в уравнениях C.66), который обозначим
Дх, определяется из условия изменения функций До(х) и Ai(x)
на 2л:
До(х+Ах) —До(х) =2я; Ai (х+Д^) —Ai (x) =2л.
306
Так как Д0) Д,>1, то Ах~тахBл/Д'о, 2jt/A'i) ~1/ BnqN). По-
Поэтому функции Ао и Ai можно разложить в ряд и оставить
лишь линейные члены разложения А0^А0(хо)+А/о(х—х0), Ai =
^Ai(ko)+A'i(x—ко). Выберем в качестве ко такое значение х,
при котором Ao=2nk и А1(яо)=2ят. Тогда, опуская члены,
кратные 2я в уравнении для фазы, и обозначая х=А'0(к—
—ко) /2, получаем
os'(\n; C.68)
(nn)]xn+i+A3sin (яп/2). C.69)
Здесь А=ЛА'0/2; Я = 2Д'1/Д/0-1.
Значение величины % характеризует разницу в набеге фазы
частицы при движении между резонансными точками. В част-
частности, когда набег фазы при движении частицы в интервале
6'*<6<92* равен набегу фазы в интервале В2*<9<61*+2я
(см. рис. 41), т. е. Ai=A0/2, то Л=0. При х=1, когда частица
большую часть времени проводит вблизи 8=д, Ai—»-До и Я-И.
Ниже будем исследовать систему C.68), C.69), считая, что
параметр К заключен в интервале O^^^l. Для простоты рас-
рассмотрим случай пролетных частиц с Аз —0.
При А=0 система C.68), C.69) переходит в хорошо изу-
изученную стандартную систему разностных уравнений [70]
xn+i = хп ~Н A c°s i\n; I ,g ^^
для которой условием стохастизации траекторий (перекрытие
«островов») будет условие А>1. При А3>1 коэффициент диф-
диффузии
где угловые скобки означают усреднение по ансамблю частиц,
стремится к величине А2/4. Если "к=\, то уравнение C.68)
можно просуммировать по двум шагам по п:
хп+2 = xn + 2Acosrin; 1
""Jfi+2 ~ "Цп + 2х„+2. J
Легко видеть, что D(l=\) /0A=0) =2 при Л>1. При про-
произвольных значениях X и А для расчета D в [89] использова-
использовались численные методы. При этом во втором уравнении C.69)
для фазы была добавлена случайная величина ип, моделирую-
моделирующая случайный сбой фазы частицы [89, 92]:
-4+1 = хп + Я cos 71,,; 1
¦Пп+1 = tin + [1 + Л-COS (ТП)] (Хп + 1 + И, + 1). J
20* 307
Значения ип для различных п считались б-коррелированны-
ми, <w,Wfe> = a6i,ft, а распределение ип — нормальным
Наличие случайной величины в C.72) приводит к появлению
диффузии и при А~<1. С помощью метода последовательных
приближений по А [92] нетрудно получить аналитическое вы-
выражение для D:
Л^ 1 -p4*+cos (х+х„) р?у2+ A - $*-) +cos(X_x0) ^-(l-p2^),
~ 4 l+P4S-2P2ScosBx0)
C.73)
где Хо — начальное значение координаты х; р = ехр (—a/2);
X±=l±k; s=l+X2. При о<1 C.73) переходит в
_ 0/2 ^2_cos (X+x0/2)+*2+ cos (Х_х„/2)
8 sin2x0
Для того чтобы вычислить средний по начальным значениям
коэффициент диффузии, необходимо использовать формулу
[92]
D(x0)
о
На рис. 48 приведена зависимость D = 4D/A2 от А при раз-
различных значениях параметра Я. Осциллирующий по А характер
зависимости D(A) типичен для разностных уравнений типа
C.68) [93]. Характерный выброс D при Я=0 связан с «уско-
«ускорительным режимом», исследованным в работе [94]. На рис. 49
показана зависимость D(k) при А = 30. Во всем диапазоне из-
изменения Я, за исключением узкой окрестности точки Я=1, ко-
коэффициент диффузии практически не зависит от Я и равен
значению D при Я=0, Z)~A2/4. При Я->1 D->-A/2. Более де-
детальные расчеты вблизи точки Я~1 показывают, что изменение
коэффициента диффузии от D=A2/4 до D=A~2/2 происходит в
очень узкой области |1—Я|<10~5 и сопровождается резкими
осцилляциями, которые в масштабе рис. 49 не видны. В режи-
режиме развитой стохастичности (А^>1) фазовая корреляция при пе-
переходе от одного резонансного акта к другому нарушается и
для частиц справедливо квазилинейное описание. Это возмож-
возможно лишь в области циклотронного резонанса, показанной на
рис. 46, причем для запертых частиц (х<1) условие А>1 при-
приводит к критической гофрировке
/У||0. C.75)
308
Рис. 48. Зависимость коэффициента
диффузии D=4DIA2 от Л
Рис. 49. Зависимость коэффициен-
коэффициента диффузии от X при Л=30
Для пролетных частиц у(| и »L имеем
S / / ч 1/2 / / д г \3/2 /о 7К\
0cr = {VjV,, )S I (Ъ1\Cj) • yO.IOJ
Аномальное рассеяние частиц в пространстве скоростей будет
сопровождаться и усиленной пространственной диффузией, ско-
скорость которой можно оценить следующим образом.
Вне узкой резонансной зоны траектория частицы определя-
определяется уравнением р(р, 0, ji)=const, см. B.9). В резонансной точ-
точке сс-частица получает приращение импульса Др~(др/дх)Д>с~
~Л<Зр/,дх и поэтому ее траектория оказывается незамкнутой, а
радиальная координата в момент пересечения частицей эквато-
экваториальной плоскости изменится на
'Рл5 .../-j'* 9.1/2 ¦ C-77)
Для пролетных частиц ех2>1 получаем
Лп~ (ттЫп3 /р31 1/2п Л С^ 78^
В случае запертых частиц х<1 имеем
По порядку C.78) и C.79) сравнимы со смещениями частиц
при бесстолкновительной банановой диффузии C.42), и поэто-
поэтому циклотронное взаимодействие также сопровождается быст-
быстрой радиальной диффузией а-частиц с коэффициентом диффу-
диффузии /)~Др2сйь, причем в случае циклотронного резонанса диф-
диффундируют не только запертые, но и пролетные частицы. Од-
Однако область циклотронного взаимодействия в пространстве
имеет конечную ширину Дх (см. рис. 46), и поэтому частица
пребывает в этой области конечное время Д^~(ДиJ/ (Асо&). За
309
это время g-частица успевает уместиться по радиусу на рас-
расстояние 8р = YD9At а^^рлДх/[]/е A -[- 2гх2)]3'2 .
При х~1 Дх~1, и поэтому 6р~дрл/Уе. При больших токах
в плазме, характерных для реактора, бр<а, и поэтому за время
пребывания в резонансной области частица не успеет уйти на
стенку. Однако явление циклотронного резонанса характерно
для токамаков-игниторов с умеренными значениями тока и не-
неполным удержанием а-частиц [22]. В этих условиях 6р~а и
циклотронный резонанс может приводить к аномальным поте-
потерям а-частиц.
Допустим, что все а-частицы, попавшие в зону циклотрон-
циклотронного взаимодействия, теряются из плазмы, и оценим потери
энергии а-частиц на стенку. Если пренебречь малым кулонов-
ским рассеянием на ионах плазмы, то а-частицы, родившиеся
2 2 2
на окружности vn -f-и^ = 0Оя, в пространстве скоростей будут
приближаться к центру v\ + v\ = 0 за счет охлаждения на
электронах. Те а-частицы, у которых в момент рождения
I v (| 0 | O|U, полностью передадут свою энергию плазме (см.
рис. 46). Остальные частицы окажутся в резонансной области
(уйдут на стенку) либо сразу в момент рождения, либо в про-
процессе охлаждения. Для простоты заменим реальную область
циклотронного взаимодействия, показанную на рис. 46, тонкой
полосой при Уц =Рц .
Именно такой конус потерь был рассмотрен Я. И. Колесни-
ченко [1] для некоторой гипотетической неустойчивости с фа-
фазовой скоростью возмущений w/^ц — v« ~ const. В этом слу-
случае с помощью A.21) легко получить зависимость доли
энергии, передаваемой плазме, от фазовой скорости <*=у jv :
Здесь W— энергия, передаваемая а-частицами плазме; еоа5а —
полная энергия рождающихся в термоядерных реакциях а-час-
а-частиц. Видно, что последнее
выражение имеет минимум
при а=0,5, равный Wmin=
Таким образом, максималь-
максимальные потери энергии при нали-
наличии конуса Колесниченко со-
составляют 25%, и поэтому
Рис. 50. Зависимость долей энерго-
энерговклада в ионную (() и электронную
(е) компоненты от параметра а =
0,2 0,4 0,6 0,8 ОС
310
можно ожидать, что циклотронное взаимодействие не будет
приводить к сильному снижению энерговклада а-частиц.
На рис. 50 отдельно показаны зависимости энерговклада в
ионный и электронный компоненты от параметра а, рассчитан-
рассчитанные по формулам A.21) при разных значениях отношения ео/е*.
Этот эффект не дает и существенного перераспределения энер-
энерговклада в различные компоненты. В то же время циклотрон-
циклотронное взаимодействие может изменить распределение плотности
энерговклада по сечению плазменного шнура и перераспреде-
перераспределить потоки а-частиц по поверхности первой стенки.
Заключение
В настоящем обзоре были изложены теоретические пред-
представления о рождении, термализации и удержании в магнит-
магнитном поле токамака заряженных продуктов термоядерных реак-
реакций. Будущие экспериментальные исследования на токамаках,
работающих на дейтериево-тритиевой смеси, покажут, какие из
рассматриваемых эффектов окажутся действительно важными
для успешного осуществления управляемого термоядерного го-
горения.
В обзоре не рассматривалась неустойчивость плазмы при
наличии в ней энергичных а-частиц. Этому вопросу посвящена
обширная литература, которую можно найти, например, в об-
обзорах [1, 95]. Исследования последних лет показали, что а-час-
тицы могут как изменять условия устойчивости крупномасштаб-
крупномасштабных МГД-мод, так и приводить к кинетическим термоядерным
неустойчивостям [1]. Скорость а-частиц превышает альфвенов-
скую скорость Vа, и поэтому появление в плазме сс-компонента
может приводить к развитию специфических неустойчивостей,
характерных для реактора-токамака. Заранее трудно оценить,
как скажутся такие термоядерные неустойчивости на удержа-
удержании а-частиц в токамаке. Можно попытаться смоделировать в
эксперименте на токамаке а-компонента быстрыми ионами, на-
например, с помощью нейтральной инжекции. Однако оказывает-
оказывается, что выполнить моделирование сразу по двум параметрам
(voa/VA и параметру удержания рл/а) в небольшом экспери-
эксперименте невозможно. Легко показать, что для этого требуются те
же значения произведения па2, что и в полномасштабном реак-
реакторе.
В обзоре не рассмотрен очень важный для осуществления
термоядерного горения вопрос об устойчивости теплового ба-
баланса в токамаке. При некоторых зависимостях тепловых по-
потерь от температуры плазмы термоядерное горение может ока-
оказаться неустойчивым, так что небольшое возмущение темпера-
температуры будет приводить к дальнейшему разогреву плазмы или
311
ее охлаждению и затуханию термоядерных реакций. Эта не-
неустойчивость медленная, с характерным временем нарастания
возмущений, равным энергетическому времени жизни хЕ.
Тепловая неустойчивость изучалась в большом количестве
работ (см. [96—99]). Очевидно, что результаты исследования
теплового баланса зависят от теоретической модели, использо-
использованной для описания процессов переноса. Однако в настоящее
время нет полной ясности в понимании механизмов переноса
энергии в токамаке. По-видимому, аномальные потери энергии
по электронному каналу определяются развитием в плазме не-
устойчивостей и, возможно, имеют нелокальный характер. Тео-
Теория этого вопроса в настоящее время находится в стадии раз-
разработки [100]. Поэтому надежность теоретических результатов,
полученных при исследовании неустойчивости термоядерного
горения, не очень высока, а решение этой проблемы в условиях
реактора-токамака будет достигаться за счет создания надеж-
надежных систем управления термоядерным горением.
Список литературы
1. Kolesnichenko Ya. I.// Nucl. Fusion. 1980. Vol. 20. P. 727—780.
2. Anderson D., Hamnen H., Lisak M.// NET Report EUR—FU/80/88—90.
3 Lauritsen Т., Ajzenberg-Selove F.// Nucl. Physics. 1966. Vol. 78. P. 1—
185.
4. Ajzenberg-Selove F.// Ibid. 1984. Vol. A413. P. 1-214.
5. Jarmie N., Brown R. E., Hardkopf R. A.// Phys. Rev. 1984. Vol. C29. P.
2031—2046.
6. Jarmie N., Brown R. E.// Nucl. Instrum. and Methods. 1985. Vol. В 10/11.
P. 405—410.
7. Barnett С F., Ray J. A., Ricci E. e. a.// Atomic Data for Controlled
Fusion Research ORNL-5207. 1977. Vol. 2.
8. Dwarakanath M. R.// Phys. Rev. 1974. Vol. C9. P. 805—808.
9. Barnett С F., Ray J. A., Tompson J. C.// Atomic and Molecular Collision
Cross Sections of Interest in Controlled Thermonuclear Research. ORNL-3113.
1964.
10. Мухин К. Н. Введение в ядерную физику. М.: Атомиздат, 1965.
11. Козлов Б. Н.// Атомная энергия. 1962. Т. 12. С. 238—240.
12. Jarvis О. N. Preprint JET-P (85J2. 1985.
13 Cecil F. E., Cole D. M., Wilkinson III F. J., Medley S. S.// Nucl.
Instrum. and Methods. 1985. Vol. B10/11. P. 411—414.
14. Weller H. R., Colby P. e. a.// Phys. Rev. 1986. Vol. C34. P. 32—37.
15. Peres A.// J. Appl. Phys. 1979. Vol. 50. P. 5569—5571.
16. Hively L. M.// Nucl. Fusion. 1977. Vol. 17. P. 873—876
17. Zaitsev F. S., Smirnov A. P., Yushmanov P. N.// 14th European Conf.
on Contr. Fusion and Plasma Phys. Madrid. 1987. Vol. 1 ID. Part III. P. 1088—
1089.
18. Балдин А. М., Гольдинский В. И., Розенталь И. Л. Кинематика ядер-
ядерных реакций. М.: Физматгиз, 1959.
19. Колесниченко Я. И., Ораевский В. Н.// Атомная энергия. 1967. Т. 23.
С. 289-291.
20. Сивухин Д. В.// Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича.
М.: Атомиздат, 1964. Вып., 4. С. 81—335.
21. Bittoni E., Fubini A. e. a// 12th Europ. Conf. on Contr. Fusion and
Plasma Phys. 1985. Vol. 9F. Part 1. P. 211—212.
312
22. Азизов Э. И., Алексеев Ю. А., Бревнов Н. Н. и др.// Атомная энергия.
1982. Т. 52. С. 108—113.
23. Колесниченко Я. И., Фурса А. Д.// Физика плазмы. 1975. Т. 1.
С. 806—814.
24. Колесниченко Я. И.// Там же. 1980. Т. 6. С. 973—976.
25. Cordey J. G., Coldston R. J., Mikkelsen D. R.// Nucl. Fusion. 1981.
Vol. 21. P. 581—588.
26. International Fokamak Reactor. Phase Two A. Part 1. IAEA. Vienna,
1983.
27. Морозов А. И., Соловьев Л. С.// Вопросы теории плазмы/ Под ред.
М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 2. С. 177—261
28. Путвинский С. В.// Физика плазмы. 1988. Т. 14. С. 1245—1247.
29. Rome J. A., Peng Y-K-M.// Nucl. Fusion. 1979. Vol 19. P. 1193—1206.
30. Hively L. M., Miley G. H., Rome J. A.// Ibid. 1981. Vol. 21. P. 1431—
1446.
31. Карулин Н. Е., Путвинский С. В. Препринт ИАЭ-3806/6. 1983.
32. Karulin N. Е., Putvinskij S. V.// Nucl. Fusion. 1985. Vol. 25. P. 961—
970.
33. Яворский В. А. Препринт КИЯИ-77-4.1977.
34. Колесниченко Я. И., Фурса А. Д., Яворский В А.// Физика плазмы.
1976. Т. 2. С. 911—922.
35. Колесниченко Я. И., Яворский В. А.// Там же. 1979. Т. 5. С. 126—136.
36. Ohnishi ГЛ., Tokunada H., Wakabayashi J.// Nucl. Fusion. 1976. Vol. 16.
P. 690—693.
37. Bauer W., Wilson K. L., Bisson С L. e. a.// Ibid. 1979. Vol. 19. P. 93—
103.
38. Hively L. M., Miley G. N.// Ibid. 1977. Vol. 17. P. 1031—1046.
39. Волков Т. Ф.Ц Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича.
М.: Атомиздат, 1964. Вып. 4. С. 3—19.
40 Pfirsh D. Physics of Plasmas Close to Thermonuclear Conditions/ Pro-
Proceedings of the Course held in Varenna, Italy, 1979. Vol. 1.
41. Hively L. M.// Ph. D Thesis. University of Illinois. 1980. COO-2218-156.
42. Miley G. H., Hively L. M.// J. Nucl. Mater. 1978. Vol. 76, 77. P. 389—
395.
43. Беликов В. С, Колесниченко Я. И., Яворский В. А.// Физика плазмы.
1977. Т. 3. С. 178—180.
44. Chrien R. E., Kaita R., Strachan J. D.// Nucl. Fusion. 1983. Vol. 23.
P. 1399—1401.
45. Heldbrink W. W., Chrien R. E., Strachan J. D.// Ibid. P. 917—931.
46. Chrien R. E., Strachan J. D.// Phys. Fluids. 1983. Vol. 26. P. 1953—
1964.
47. Heidbrink W. W., Hay R., Strachan J. D.// Phys. Rev. Lett. 1984. Vol.
53. P. 1905—1908.
48. Murphy T. J., Strachan J. D.// Nucl. Fusion. 1985. Vol 25. P 383—385
49. Heidbrink W. W., Strachan J. D.// Rev. Sci. Instrum. 1985. Vol. 56. P.
501—525.
50. Гореленков Н. Н., Путвинский С. В.// Физика плазмы. 1989. Т 15.
С. 145—150.
51.. Кисляков А. И., Крупник Л. И.// Там же. 1981. Т. 7. С. 866—906.
52. Radon J.// Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat. Kl. 1917.
Vol. 69. P. 262—286.
53. Мюллер Р. К., Кавех M, Уэйд Г.// ТИИЭР. 1979. Т. 67. С. 146—169.
54. Ohnishi M., Ao N., Wakabayashi J.// Nucl. Fusion. 1978. Vol. 18. P.
859—866.
55. Hastie R. J. e. a.// Ann. Phys. 1967. Vol. 41. P. 302—331.
56. Nocentini A., Tessarotto M., Engelmann F.// Nucl Fusion. 1975 Vol.
15. P. 359—370.
313
57. Goloborodko V. Ya., Kolesnichenko Ya. I., Yavorskij V. A.// Ibid. 1983.
Vol. 23. P. 399—407.
58. Kolesnichenko Ya. I., Reznik S. N.. Yavorskij V. A.// Ibid. 1980. Vol.
20. P. 1041—1046.
59. Kolesnichenko Ya. Г., Reznik S. N., Yavorskij V. A.// Plasma Phys. and
Contr. Nucl. Fus. Res. IAEA. Vienna, 1981. Vol. 1. P. 653—662.
60. Lisak M., Anderson D., Hamnen H., Wilhelmson H. Preprint
CTH-IEFT// PP-1981-10.
61. Колесниченко Я. И., Путвинский С. В., Резник С, Н. и др.// Физика
плазмы. 1981. Т. 7. С. 803—809.
62. Ohkawa Т.// Nucl. Fusion. 1970. Vol. 10. P. 185—197.
63. Hively L. M., Miley G. H., Rome J. A.// Ibid. 1981. Vol. 21. P. 1431 —
1446.
64. Hirshman S. P.// Phys. Fluids. 1978. Vol. 21. P. 224—229.
65. Boozer A. H.//Ibid. 1976. Vol. 19. P. 149—158; Suckewer S.,
Eubank H. P., Goldston R. J. e. a.// Nucl. Fusion. 1981. Vol. 21. P. 1301—1309.
66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970.
67. Соловьев Л. С, Шафранов В. Д. Вопросы теории плазмы/ Под ред.
М. А. Леонтовича. М: Атомиздат, 1967. Вып. 5. С. 3—207.
68. Wesson J. A.// Nucl. Fusion. 1978. Vol. 18. P. 87—109.
69. Brambiila M., Lichtenberg A. J.// Ibid. 1973. Vol. 13. P. 517—524.
70. Chirikov B. V.// Phys. Reports. 1979. Vol. 52. P. 263—345.
71. Konovalov S. V., Putvinskij S. V.// Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fus.
Res. IAEA. Vienna, 1987. Vol. III. P. 1089—1090.
72. White R. В., Goldston R. J., McGuire K. e. a.// Phys. Fluids. 1983. Vol.
26. P. 2958—2965.
73. Коновалов С. В., Путвинский С. В.// Физика плазмы. 1988. Т. 14.
С. 785—795.
74. Boozer A. H., White R. В.// Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49. P. 786—789.
75. White R. В., Boozer A. H., Goldston R. J. e. a.// Plasma Phys. and
Contr. Nucl. Fus. Res. IAEA Vienna, 1982. Vol. 3. P. 391—398.
76. Грибов Ю. В., Цаун С. В., Юшманов П. Н. Препринт ИАЭ-3681/7.
1982.
77. Юшманов П. Н.// Вопросы теории плазмы/ Под ред. Б. Б. Кадомце-
Кадомцева. М.: Энергоатомиздат, 1987. Т. 16. С. 102—208.
78. Goldston R. J., Towner H. H.// J. Plasma Phys. 1981. Vol. 26 P.
283—307.
79. Dobrott D., Green J. JVU/ Phys. Fluids. 1971. Vol. 14. P. 1525—1531.
80. Goloborodko V. Ya., Yavorskij V. A.// Nucl. Fusion. 1984. Vol. 24. P.
627—630.
81. Goldston R. J., White R. В., Boozer A. H.// Phys. Rev. Lett. 1981. Vol.
47. P. 647—648.
82. Hitchon W. N. G. Hastie R. J.// Nucl. Fusion. 1983. Vol. 23. P. 533—
544.
83. Tani K., Takizuka Т., Azumi M., Kishimoto H.// Ibid 1983. Vol. 23. P.
657—666.
84. Goloborodko V. Ya., Kolesnichenko Ya. I., Yavorskij V. A.// 12th Europ.
Conf. on Contr. Fus. and Plasma Phys. Res. Budapest, 1985. Vol. 1. P. 90—92.
85. Yushmanov P. N.// Nucl. Fusion. 1983. Vol. 23. P. 1599—1612.
86. Zaitsev F. S., Smirnov A. P., Yushmanov P. N.// Ibid. 1986. Vol. 26.
P. 1311—1318.
87. Hinton F. L..// Preprint FRCR-212. Univers. of Texas, 1980.
88. Путвинский С. В.// Письма в ЖЭТФ. 1982. Т. 36. С. 326—328.
89. Путвинский С. В., Шурыгин Р. В.// Физика плазмы. 1984. Т. 10.
С. 933—940.
90. Тимофеев А. В.// Там же. 1975. Т. 1. С. 88—101.
314
91. Сивухин Д. В.// Вопросы теории плазмы/ Под ред. М. А. Леонтовича.
М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 1.
92. Путвинский С. В., Тимофеев А. В.// ЖЭТФ. 1975. Т. 69. С. 221—233.
93. Rechester А. В., White R. В.// Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 44. P. 1586—
1589.
94. Karney С F., Rechester А. В., White R. B.// Physica 4D. 1982. P. 425—
444.
95. Tang W. m.l/ Nucl. Fusion. 1978. Vol. 18. P. 1089—1159.
96. Kolesnichenko Ya. I., Reznik S. N., Yavorskij V. A.// Ibid. 1976. Vol. 16.
P. 105—111.
97. Furth H. P., Rosenbluth M. N., Rutherford P. H., Stodiek W.// Phys.
Fluids. 1970. Vol. 13. P. 3020—3030
98. Minardi E.// Nucl. Fusion. 1983. Vol. 23. P. 83—86.
99. Абрамов В. А., Бесполуденнов С. Г. и др.// Докл. III конф. по инже-
инженерным проблемам термоядерных реакторов. М.: ЦНИИатоминформ, 1984.
Т. 3. С. 570—576.
100. Кадомцев Б. Б.// Физика плазмы. 1987. Т. 13. С. 771—789.
СОДЕРЖАНИЕ
ДИНАМИКА СВЕРХЗВУКОВОЙ ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ТУРБУЛЕНТ-
ТУРБУЛЕНТНОСТИ. Б. Н. Брейзман, К- Юнгвирт 3
1. Введение 3
2. Основные уравнения . 4
3. Вариационный подход и интегралы движения 8
4. Адиабатическое приближение и приближение геометрической
оптики для сверхзвуковых плазмонов 11
5. Составные солитоны . 15
6. Автомодельный коллапс ленгмюровских волн 18
7. Законы сохранения при формировании и взаимодействии соли-
тонов . . . 28
8. Образование солитона из сгустка ленгмюровских волн ... 28
9. Модуляционная неустойчивость (линейная теория) .... 38
10. Нелинейная динамика модуляционной неустойчивости в одно-
одномерной модели . 45
11. Флюктуационное формирование солитонов 54
12. Генерация ионного звука самолокализованными плазмонами 58
Приложение 1 . . 61
Приложение 2 . 64
Список литературы . . . 66
ПРИСТЕНОЧНАЯ ПЛАЗМА В ТОКАМАКАХ. А. В. Недоспасов,
М. 3. Токарь 68
Введение . . 68
Глава 1. Теоретические модели описания пристеночной области 71
1.1. Гидродинамическое приближение для плазмы .... 71
1.2. Кинетическое описание плазмы 74
1.3. Описание нейтрального компонента 78
Глава 2. Рециклинг плазмы на стенке, параллельной магнитному полю 84
2.1. Аналитические методы решения кинетических уравнений для
нейтралов . . 84
2.2. Стационарное состояние плазмы в пристеночной области . . 89
2.3. Неустойчивость состояния с рециклингом плазмы на стенке 93
2.4. Турбулентный плазменный бланкет 97
2.5. Сравнение с экспериментом 9д
Глава 3. Роль рециклинга в конфигурации с дивертором . . . . 10 \
3.1. Характерные области SOL . 101
3.2. Одномерное приближение для плазмы в диверторном объеме 102
3.3. Плазма в основной части диверторного слоя 114
316
3.4. Разделение дейтерия и трития в диверторном слое реактора-
токамака . 12Г
3.5. Переход с «конденсацией» плазмы в области рециклинга I2&
3.6. Режим газовой мишени 128
3.7. Сравнение с экспериментом 136
Глава 4. Пристеночная область в токамаке с лимитером .... 141
4.1. Плазма в лимитерном слое, проницаемом для нейтральных
частиц . . 141
4.2. Влияние рециклинга на лимитере на плазму SOL . . . 143
4.3. Откачные лимитеры . 147
4.4. Сравнение с экспериментом . 151
Глава 5. Примеси в пристеночной плазме токамака 154
5.1. Поступление примесей в плазму 154
5.2. Перенос примесей в периферийной области 156
5 3. Динамика примесей в SOL 159
5.4. Экранирующие свойства SOL 164
5.5. Вывод гелия из реактора-токамака 171
5.6. Роль примесей в тепловом балансе периферийной плазмы . 174
5.7. Сравнение с экспериментом 182'
Глава 6. Перенос частиц и тепла в пристеночной плазме .... 185
6.1. Общие сведения . 185-
6 2. Уравнение для потенциала плазмы (полоидальный лимитер) 186
6.3. Волны дрейфового типа в SOL и их устойчивость . . . 188
6.4. Конвекция турбулентной плазмы в тени полоидального лими-
лимитера 190
6.5. Структура турбулентности 195'
6.6. Сравнение с экспериментом 197
6.7. Перенос плазмы при стационарных возмущениях магнитного
поля . 200
Список литературы 203
АЛЬФА-ЧАСТИЦЫ В ТОКАМАКЕ. С. В. Путвинский
Введение . 209
Глава 1. Кинетика заряженных термоядерных продуктов в однородной
плазме . 211
1.1. Ядерные реакции в термоядерной плазме 211
1.2. Энергетические спектры источников термоядерных частиц 217
1.3. Взаимодействие энергичных термоядерных частиц с плазмой 220
1.4. Вторичные реакции . . 221
1.5. Функция распределения сс-частиц в нестационарной плазме 226
Глава 2. Удержание а-частиц в аксиально-симметричном токамаке 229
2.1. (R, Z, i|i) -представление для дрейфовых поверхностей . . 229
2.2. Потери частиц, рожденных на магнитной оси .... 233
2.3. Дрейфовое кинетическое уравнение для а-частиц . . • 235
2.4. Прямые дрейфовые потери а-частиц 237
2.5. Распределение потока а-частиц по углам падения на стенку 241
2 6. Обратная задача для прямых дрейфовых потерь термоядерных
частиц . 243
317
2.7. Обратная задача для частиц с большим ларморовским ра-
радиусом . . 251
2.8. Потери а-частиц из области удержания в результате рассеяния 254
2.9. Распределение по стенке диффузионных потоков а-частиц 256
2.10. Функция распределения удерживаемых а-частиц с учетом ко-
конечной ширины орбит . .... .... 263
2.11. Бутстрэп-ток, создаваемый а-частицами 269
2.12. Псевдодиффузия а-частиц 274
Глава 3. Влияние возмущений магнитного поля на удержание альфа-
частиц в токамаке 278
3.1. Характерные частоты невозмущенного движения а-частиц 278
3.2. Винтовые возмущения магнитного поля 281
3.3. Гофрировка тороидального поля 291
3.4. Бесстолкновительная банановая диффузия в гофрированном
магнитном поле . 293
3.5. Циклотронное взаимодействие а-частиц с гофрировкой . . 300
Заключение 311
Список литературы . 312
РЕФЕРАТЫ СТАТЕЙ, ОПУБЛИКОВАННЫХ В ВЫПУСКЕ
УДК 533.951
Б. Н. Брейзман, К. Юнгвирт. Динамика сверхзвуковой ленгмюровской
турбулентности// Вопросы теории плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1989.—
Вып. 18.
Представлена теория нелинейного взаимодействия ленгмюровских и
ионно-звуковых волн в условиях, когда групповые скорости ленгмюровских
волн велики по сравнению со скоростью звука. Подробно рассмотрены адиа-
адиабатические ограничения, связанные с медленностью звуковых возмущений
плотности плазмы Проанализирован ряд элементарных процессов образо-
образования и взаимодействия ленгмюровскнх солитонов. Описана нелинейная
стадия модуляционной неустойчивости широкого спектра ленгмюровских
волн. Обсуждены последствия локализации ленгмюровских волн в случай-
случайном поле звуковых возмущений.
Ил. 14. Библиогр. 58.
УДК 533.951
Недоспасов А. В., Токарь М. 3. Пристеночная плазма в токамаках// Во-
Вопросы теории плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1989. —Вып. 18.
Дан обзор теоретических моделей описания пристеночной области тока-
маков, приведены решения уравнений переноса плазмы и кинетических урав-
уравнений для нейтральных частиц в ситуациях с рециклингом на первой стенке,
лимитерах, диверторных пластинах. Рассмотрены условия перехода плазмы
в состояние с сильным рециклингом в SOL, исследованы особенности этого
состояния: характер течения плазмы, разделение изотопов, переход с конден-
конденсацией плазмы в области рециклинга. Проанализирован режим «газовой ми-
мишени». Рассматриваются различные подходы к описанию переноса примесей
в SOL и в периферийной плазме, исследовано влияние излучения легких при-
примесей на энергетический баланс пристеночной области. Изучается конвектив-
конвективный перенос частиц и тепла в SOL, неустойчивость и турбулентность плазмы,
обусловленная спецификой процессов в SOL. Проводится сравнение резуль-
результатов теории с данными экспериментов. Для специалистов, занимающихся
физикой плазмы и проблемами управляемого термоядерного синтеза
Ил. 63. Библиогр. 140
УДК 533 9.01
Путвинский С. В. Альфа-частицы в токамаке.// Вопросы теории плазмы.
М. Энергоатомиздат, 1989.—Вып. 18
В обзоре изложена теория удержания термоядерных а-частиц в реакто-
ре-токамаке. Рассмотрены как неоклассические эффекты, так и явления, свя-
связанные с нарушением аксиальной симметрии магнитного поля токамака. За-
Заметное влияние уделено диагностике плазмы на основе регистрации уходя-
уходящих из плазмы а-частиц.
Для специалистов по физике плазмы, проблемам термоядерной энерге-
энергетики.
Ил. 50. Табл. 4. Библиогр. 100.
319
Научное издание
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ
Выпуск 18
Редактор 3. Д. Андреенко
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Технический редактор Г. В. Преображенская
Корректор Н. А. Войтенко
ИБ № 3108
•Сдано в набор19.09.89 Подписано в печать 14.02.90
Т-06729 Формат 60X88Vie. Бумага типо-
типографская № 2 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 19.6 Усл.
кр.-отт. 19.6 Уч.-изд. л. 20.48 Тираж 1150 экз.
Заказ 6856 Цена 4 р. 40 к.
Энергоатомиздат. 113114. Москва, М-114, Шлюзо-
Шлюзовая наб., 10.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудо-
Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая
типография» Государственного комитета СССР по
печати. 113054, Москва, Валовая, 28.