/
Author: Галеев А.А. Судан Р.
Tags: физика плазмы электродинамика теория колебаний прикладная физика
Year: 1983
Text
ФИЗИКА
ПЛАЗМЫ
Под общей редакцией
академика Р. 3. САГДЕЕВА
и профессора М. РОЗЕНБЛЮТА
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗААТ 1983
основы
ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
В ДВУХ ТОМАХ
Том 1
Под редакцией
профессора А. А. ГАЛЕЕВА
и профессора Р. СУДАНА
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗААТ 1983
УДК 533.9.01
Основы физики плазмы: В 2-х т. Т. I/A. Бернштейн;.
Р. Вайт, Г. Вейтцнер и др.; Под ред. А. А. Галеева и~
Р. Судана. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 640 с. — (Фи-
(Физика плазмы).
В т. 1 приведены обзоры по классической теории плазмы,,
написанные ведущими специалистами по физике плазмы.
СССР и США.
Рассмотрены методы кинетического и магнитогидродина-
мического описания плазмы, колебания и волны в плазме.
Описаны плазменные кинетические, магнитогидродинамические
неустойчивости.
Для научных работников, может быть использована сту-
студентами старших курсов и аспирантами.
Редколлегия: А. А. Галеев, М. Розенблют, Р. 3. Сагдеев>
Р. Судан
А. Бернштейн, Р. Вайт, Г. Вейтцнер, Е. Вильяме,
А. А. Галеев, Г. Грим, Р. Дэвидсон, А. В. Елецкий,
Р. Калсруд, А. Б. Михайловский, К. Оберман,
В. Н. Ораевский, |м. С. Рабинович|, Р. 3. Сагдеев, Д. Свансон^
Б. М. Смирнов, Т. Стикс, А. Фридленд, Ф. Хинтон.
ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
ТОМ 1
Редактор Л. В. Белова
Переплет художника В. Я. Батишева
Художественный редактор А. Т Кирьянов
Технический редактор О. Д. Кузнецова
Корректор Л. С. Тимохова
ИБ 596
Сдано в набор 02.02.83. Подписано в печать 03 08.83. Т-17344. Формат
60x90/i6. Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Уел печ. л. 40,0. Усл. кр.-отт. 40,06. Уч.-изд. л. 48,41.
Тираж 1850 экз. Заказ 137. Цена б р. 50 к.
Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 6 Союзполиграфпрома при Государственном:
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли.
109088, Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24.
1704040000—556
О —¦— Свод. пл. подписных изд. 1983 г.
051@1)—83
© Энергоатомиздат, 1983
ПРЕДИСЛОВИЕ
К СЕРИИ ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
Несколько лет назад Энергоатомиздат и книгоизда-
книгоиздательская фирма North —Holland Publishing Company
(Нидерланды) решили .предпринять совместное издание
серии книг по физике плазмы на двух языках, русском
« английском, и пригласили нас в качестве главных ре-
редакторов этого издания. В ходе многочисленных об-
обсуждений между -нами, консультаций с издательствами
и рядом специалистов мы пришли к единодушному мне-
мнению, что представления физики .плазмы внедрились не
только в различные области фундаментальной науки —
физику твердого тела, астрофизику, космическую физи-
физику и др., но и в прикладные науки и даже в современ-
современную технологию. Поэтому, с нашей точки 3-рения, назре-
назрело время для издания достаточно -полного и исчерпыва-
исчерпывающего 'пособия, где с единой точки зрения излагались
бы не только основные идеи и представления современ-
современной физики ллззмы, но и ее различные приложения и
которое содержало бы обширный фактический материал
и могло бы служить настольной книгой для специали-
специалистов, занятых оригинальными доследованиями до физике
плазмы. Тако-е энциклопедическое издание, содержащее
исчерпывающие сведения о современной физике плаз-
плазмы, безусловно может быть использовано научными ра-
работниками., и-'инженерами, работающими в различных об-
областях науюи.и техники. В результате больших усилий
авторов, редакторов и издателей удалось подготовить к
печати две книги под редакцией А. А. Галеевг, и Р. Су-
Судана, посвященные фундаментальной физике -плазмы.
В дальнейшем предполагается провести работу по под-
подготовке аналогичных книг по физике космической
плазмы, термоядерному синтезу и вычислительной
физике плазмы, а также физике низкотемпературной
плазмы и плазменной электронике, которые представ-
представляли бы собой обзоры по отдельным темам, написан-
написанные крупными учеными, занимающимися этими проб-
проблемами.
Р. 3. Сагдеев
М. Розенблют
ВВЕДЕНИЕ
Понятие о плазме. Бурное развитие физики плазмы в 1950—
1960 гг. в основном было связано с развертыванием работ, на-
направленных на решение 'проблемы управляемого термоядерного
синтеза и магнитогидродинамического преобразования тепловой
энергии в электрическую. Однако было бы неправильным связы-
связывать -развитие этой новой области физики лишь с техническими
•приложениями. Интерес человечества к изучению околоземного кос-
космического пространств?., планет солнечной системы и большого
разнообразия астрофизических объектов, стимулировавшийся соз-
созданием совершенных космических обсерваторий, привел к понима-
пониманию неоспоримого факта, что ллазма—-этоестественное состоя-ние
(Вещества во Вселенной. Действительно, плазмой называют ионизо-
ионизованный газ, в котором атомы (все или значительная их часть) «поте-
«потеряли по одному или по несколько принадлежащих им электронов и
превратились .в положительные ионы. Такая ионизация может проис-
происходить под действием различных факторов. В недрах звезд она
обусловлена нагревом вещества до колоссальных по земным мас-
масштабам температур. Ионизация атмосфер планет и газа в окрест-
окрестностях звезд происходит под действием ультрафиолетового излу-
излучения Солнца и звезд соответственно. Несмотря на то что темпе-
температура плазмы при этом остается низкой, рекомбинация -в такой
плазме оказывается медленным .процессом из-за разреженности
среды и состояние ионизгщи-и поддерживается длительное время.
Плазменные оболочки нейтронных звезд состоят уже не из элек-
электрон-ионной, а электрон-позитронной плазмы, что обусловлено
рождением электрон-по'зитронных пар в экстремально сильных
электрических полях быстровращакяцихся (период составляет от
сотых долей секунды >и выше) нейтронных звезд с магнитным по-
полем порядка 1010—1012 Гс. Несмотря на большое различие видов
естественных плгзм, их объединяет общность физических законов,
описывающих их «поведение. Все они представляют собой коллек-
коллектив частиц, взаимодействующих друг с другом по наиболее про-
простым законам—с помощью электростатических кулоновсюих сил.
Методы описания коллективного взаимодействия частиц в плаз-
плазме к настоящему времени апробированы на большом числе лабо-
лабораторных и астрофизических приложений и служат надежной ос-
основой всех современных исследований по плазме. Поэтому, как
нам кажется, сейчас наступил момент, когда основы физики плаз-
плазмы и основные ее приложения должны быть изложены в единооб-
единообразном стиле 'И с исчерпывающей полнотой.
Однако, .прежде чем перейти к изложению .плана такого изда-
издания, следует уточнить определение плазмы и дг.ть классификацию
плазм, встречающихся в природе. Электрические силы, связывая
разноименные заряды, обеспечивают ее квалинейтральность, т.е.
приблизительное равенство концентрации электронов и ионов. Вся-
Всякое разделение зарядов, обусловленное смещением группы элек-
электронов относительно ионов, должно приводить к возникновению
электрических полей, которые стремятся скомпенсировать создан-
созданное возмущение. Для оценки напряженности поля .предположим,
что в плоском слое размером х произошло полное разделение за-
зарядов и внутри этого объема остались только заряды одного зна-
знака. Электрическое поле в рассматриваемой области удовлетворяет
уравнению Пуассона divE = 4jtp, где р — плотность электрического
заряда. Если концентрация заряженных частиц п, то р = пе и, сле-
следовательно, Е = 4лепх. Потенциал плазмы в области разделения
зарядов изменяется на ц~Ех~4т1епх2. В отсутствие внешних сил
потенциальная энергия частиц еср при самопроизвольном случай-
случайном разделении зг.рядов по порядку величины не может превы-
превышать -их средней тепловой энергии ~ТК Иными словами, значи-
значительное разделение зарядов мож-ет .происходить лишь в области
размером
f Anne2
Физический смысл XD можно уточнить, рассматривая экранирова-
экранирование электрического поля в плазме. Допустим, что в плазму вве-
введен пробный точечный заряд q. На достаточно малом расстоянии г
от этого заряда потенциал будет равен qjr. Однако на большом
¦расстоянии ход потенциальной функции изменится вследствие по-
поляризации -плазмы, вызываемой полем заряда q.
При установившемся статистическом равновесии прострг.нст-
венное распределение электронов и ионов в окрестности пробного
заряда определяется законом Больцмана /г=поехр(—U/T). Здесь
U — потенциальная энергия частицы в поле пробного заряда. По-
Последняя имеет разный знак для ионов и электронов. Вблизи .проб-
.пробного заряда., т. е. пр'И относительно большом абсолютном значе-
значении отношения (//Г, -.концентрация частиц с цротивоположным
знаком заряда является более высокой. Это приводит « экраниро-
экранированию электрического «поля пробного заряда.
Пространственный профиль потенциала ф точечного заряда «на-
«находим, решая уравнение Пуассона в предположении о больцма-
1 Здесь и во многих статьях этого издания температура плазмы выража-
выражается в электрон-вольтах: Т (эв)=Г (град)/11 600. При таком обозначении тем-
температура совпадает с величиной, характеризующей тепловую энергию частиц.
новском распределение зарядов в электрическом поле:
В классической идеальной плазме (см. ниже) (потенциальнг,я энер-
энергия частиц, находящихся на среднестатистическом расстоянии
r~i/.rih от «пробного заряда, значительно меньше их кинетической
энергии. Поэтому, разлг.тая экспоненты в правой части этого
уравнения по малому аргументу, находим его решение в виде
Ф=(<7Л)ехр(—r/ta).
Таким образом, на 'больших расстояниях от заряда q потенциал
убывает экспоненциально, а область существования сильного
электрического поля вокруг него ограничена сферой с радиусом
порядка XD.
Характерная длина экранирования впервые введена Дебаем
при рассмотрении сильных электролитов. В дальнейшем это поня-
понятие было перенесено в физику плазмы. Величину %D принято на-
называть дебаевским радиусом или дебаевской длиной. Если дебгев-
ск<ий радиус характеризует пространственный масштаб областей
декомпенсации заряда, то время, в течение которого эти области
существуют, можно найти, разделив XD нг, тепловую скорость бо-
более быстрых частиц (электронов):
t~'kD/vTe= (me/4nne2I/2.
Чем выше плотность плазмы, тем меньше масштабы декомпенса-
декомпенсации зарядов в пространстве -и во времени. Внутри области, заня-
занятой плотной и холодной плазмой, нарушения квазинейтральности
могут происходить только в пределах достаточно малых объемов.
В разреженной и горячей плазме дебаевская длина может ока-
оказаться значительно больше размеров области, занятой плазмой.
В этом случае реализуется независимое движение ионов и элек-
электронов и отсутствует механизм для автоматического выравнивания
концентрации зарядов противоположных знаков.
С помощью понятия о дебаевской длине можно уточнить опре-
определение -плазмы как особого состояния вещества. Собрание сво-
свободно движущихся разноименно заряженных частиц, т. е. иони-
ионизованный газ, называется плазмой, если дебаевскгл длина мала
по сравнению с размерами области, занятой газом. Это определе-
определение принадлежит Лентаюру— отновоположнику учения о плазме.
Наконец, для классификации различных видов плазм необхо-
необходим еще один важный -параметр — частота характерных плазмен-
плазменных колебаний. Хотя в плазме легко возбуждаются самые различ-
различные виды колебаний и во#н, наиболее важными для характеристи-
характеристики плазмы как упругой среды являются колебания, возникающие
при макроскопическом нарушении квазинейтральности. Для про-
простоты рассмотрим о-пять случай разделения заряда в плоском слое
плазмы, когда все электроны смещаются в этом слое нг. расстоя-
8
ние х. Под действием возвращающей силы движение электронов
лодч»иняется уравнению
х = —еЕх=—4
Отсюда следует, что рассасывание избыточного заряда сопровож-
сопровождается колебаниями с частотой
(х>ре=Dлпе2/теI/2.
Это так называемые ленгмюровские колебания. В этих колебаниях
•ионы плазмы практически не участвуют из-за большой массы.
В отличие от звуковых колебаний незаряженного газа, где упру*
гая тала — градиент давления, здесь главную роль «грают элек-
электрические поля, обусловленные декомпенсацией зарядов. Ленгмю-
Ленгмюровские колебания могут распространяться в плазме в виде волн
с частотой со = (оре, которая при использованном выше упрощенном
подходе оказалась не зависящей от длины волны. При малых дли-
длинах волн следует учесть возвращающую силу — силу давления
плазмы, возникающую «при ее сжатии в волне. При этом в выра-
выражении для квадрата фазовой 'скорости добавляется «квадрат ско-
скорости звука
Здесь k='2n/X — волновое число; X—¦ длима волны; ре — плотность
электронного газа (ре=Аг/гге); ре — его давление. Учитывая, что в
рассматриваемом здесь одномерном случае показатель адиабаты
<у==3, переписываем это выражение в виде, полученном А. А. Вла-
Власовым с помощью методов кинетического уравнения
Второе слагаемое здесь мало, так как о коллективном поведении
плазмы, в том числе и о ее колебаниях, имеет смысл говорить
лишь в случае дл*ин волн, достаточно больших по сравнению сде-
баевской длиной. В против'ном случае следует учитывать влияние
резонансного взаимодействия волн с частицами плазмы (так на-
называемый резонанс Ландау (o = k-v).
Свойства плазмы усложняются, если одновременно с заряжен-
заряженными частицами (ионами и электронами) в ней существуют также
нейтральные атомы и молекулы, т. е. плазма не является пол-
полностью ионизованной.
Степень ионизации плазмы — отношение числа заряженных ча-
частиц к первоначальному числу атомов — определяется конкурен-
конкуренцией между процессами ионизации (развала атомов) и обратным
процессом рекомбинации, т. е. воссоединения электронов и ионов
в нейтральные частицы. В термодинамически равновесной плазме
степень ионизации не зависит от деталей этих «процессов, и в прин-
принципе ее можно установить чисто термодинамическим путем. Наи-
Наиболее просто законы термодинамики выглядят для плазмы, под-
подчиняющейся уравнению идеального газа, т. е. такой, в которой ки-
кинетическая энергия заряженных частиц значительно превышает
энергию из взаимодействия. Допустим, что мы имеем дело лишь
с однократной ионизацией. Согласно общим «принципам статисти-
статистической физики отношение вероятностей нахождения электрона в
состояниях с энергией W\ -и w2 при заданной температуре Т равно:
[— (wi — w2)/T].
Здесь gi и g2 — квантовые веса состояний с энергиями W\ и ^со-
^соответственно. Степень ионизации газа, т, е. отношение числа сво-
свободных электронов к числу нейтральных атомов, определяется
этим выражением, если в нем положить W\—w2^=I, где / — энер-
энергия -ионизации.
В этом случае g\— число квантовых ячеек в фазовом .прост-
.пространстве для свободного электрона; g2— квантовый вес стационар-
наго энергетического уровня в атоме. Если для простоты не учи-
учитывать возможность перехода, электрона на возбужденные уровни
атома и предположить, что основное состояние является невы-
невырожденным, то /—.энергия ионизации для основного состояния
и #2=|1. Свободные электроны имеют сплошной спектр по энер-
энергиям. Квантовый вес свободных состояний .приблизительно .равен
объему фазового -пространства для электрона со средним тепло-
тепловым импульсом BпгеТу1г% деленному на элементарный фазовый
объем:
В этом выражении Vo —геометрический объем, приходящийся на
один электрон, т. е. V0=>Vne. Следовательно,
Используя этот результат, мы получаем так называемую формулу
Саха, которая определяет зависимость степени ионизации газа от
температуры:
Пе/Па= (gl/g2)eXp(—I/T) —
= [ BmeT) W/ne Bnh K] exp (-I/T).
В другой записи (более удобной для вычисления отношения пе/па
при слабой степени ионизации) эта формула приобретает вид:
Пе/па « [ {2шеТ) ш/па1 /2 BкПK /2] exp (-I/2T).
Из формулы Саха следует, что чем меньше плотность (т. е.
концентрация атомов) газа, тем легче его ионизовать. При плот-
плотностях, значительно меньших плотности конденсированного ве-
вещества, высокая степень ионизации достигается еще при темпера-
температурах T<^J. Но при слишком малых плотностях труднее достиг-
достигнуть термодинамического равновесия, «потому что реже происходят
столкновения между частицами, устанавливающие равнораспре-
равнораспределение по степеням свободы. В термодинамически неравновесных
плазмах для определения степени ионизации приходится рассмат-
рассматривать специфику процессов столкновений, приводящих к иониза-
ионизации и рекомбинации.
10
Классификация видов плазмы. Встречающиеся в природе плаз-
плазмы можно классифицировать на ргзреженные и плотные, класси-
классические и квантовые. Внутренняя энергия .плазмы складывается из
кинетических энергий ионов и электронов и из энергии их электро-
электростатического кулоновского взаимодействия (в плазме, нагретой до
релятивистских температур, нужно учитывать и магнитное взаимо-
взаимодействие). Сравним среднюю кинетическую энергию C/2) Г, при-
приходящуюся на одну частицу, со средней энергией взаимодействия.
Из-за дебаевского экранирования взаимодействие заряженной ча-
частицы с далекими частицами несущественно, и «надо учитывать в
основном лишь ближайших соседей. Среднее расстояние до сосед-
соседней частицы r~l/niI39 следовательно, энергия взаимодействия при-
приблизительно равна e2nil3. Поэтому, как правило, плазму можно счи-
считать идеальным газом, если e2ni/3<^T. Если обе части неравенства
возвести в степень 3/2, то неравенство примет следующий вид;
ftA,3D^>l. Таким образом, условие идеальности плазмы можно за-
записать через число частиц в объеме с размерами порядка дебаев-
ской длины. Это число должно быть много больше единицы. При
n%zD^>\ тепловая энергия частиц -превышает как энергию электро-
электростатического взаимодействия, так и равновесную энергию элек-
электронных колебаний плазмы. Межчастичное взаимодействие явля-
является 'слабым, и его можно учесть с помощью хорошо развитых ме-
методов термодинамической теории возмущений. Если «параметры
плазм, существующих в (Природе, нанести на диаграмму температу-
температура—плотность (рис. 1), то большинство из них (космическая, газо-
газоразрядная, термоядерная »и т. п.) попадает здесь в область иде-
идеальной классической плазмы, лежащую выше прямой №l
г, к
ю10
МП
v
хРелятибистскаа плазма
ТЯП-М
СК
СВ Классическая идеальная плазма
ГР
Нет. заметной
ионизации
идеальная плазма
зопш3
10зоп,ш
Рис. 1. Классификация видов плазм:
БК — вырожденный электронный газ в белых карликах; ГР — плазма газового разряда;
-и—плазма ионосферы; МГД — плазма в магнитогидродинамических генераторах; МП —
плазма в магнитосферах пульсаров; С — плазма в центре Солнца; СВ — плазма солнеч-
солнечного ветра; СК — плазма солнечной короны; ТЯП—Л — плазма в условиях лазерного тер-
термоядерного синтеза; ТЯП—М — плазма в термоядерных магнитных ловушках; ЭГМ —
электронный газ в металлах
11
Ниже прямой, где условие nX3D^>\ не выполнено, плазма уже не
является газом, а, скорее, напоминает жидкость, статистическая
термодинамика «которой с трудом поддается изучению. К настоя-
настоящему времени о физических свойствах сильно неидеальной плазмы
судят либо на основе численного моделирования методом ]Чонте-
Карло, либо с помощью качественных эвристических методов. Це-
Целый ряд не очень надежных предсказаний таких теорий (в том
числе о возможности появления (некоторых неожиданных плазмен-
плазменных фазовых -переходов) пока еще не получил экспериментального
подтверждения. При дальнейшем повышении плотности плазмы
можно ожидать ее металлизации. На диаграмме температура—
плотность (см. рис. 1) область неидеальной плазмы оказывается
чрезвычайно малой. В первую очередь это связано с квантовыми
эффектами при 'больших плотностях плазмы. Как только увеличе-
увеличение плотности приведет к выполнению условия h/m€vTe^>l[nil3, т. е.
длина волны де Бройля будет сравнимой или большей среднего
расстояния между электронами, статистика электронов становится
квантовой (распределение Ферми—Дирака вместо больцмановско-
го). Это так называемая квантовая вырожденная плазма, в кото-
которой основным масштабом кинетической энергии электронов яв-
является энергия Ферми EF~h2n2/3/2mey так как при вышеописанном
условии последняя становится 'больше тепловой энергии электро-
электронов (EF>T). С дальнейшим ростом плотности рост энергии Фер-
Ферми обгоняет рост энергии кулоновского взаимодействия и при ус-
условии EF^ егпиъ квантовая плазма становится снова идеальной.
Учет слабого взаимодействия в такой плазме можно провести
в рамках модели Томаса—Ферми. Благодаря этому область не-
неидеальной плазмы на рис. 1 заключена внутри треугольника, об-
образованного прямыми n№D=\ и EF^e2nl/3. При этом левая часть
ее (EF<.T) относится к •болщмг.новской, а правая {EF>T) —
к вырожденной плазме. Кроме того, следует учесть, что при тем-
температурах, меньших -потенциала ионизации Г</, кулоновское вза-
взаимодействие опять является слабым из-за малой степени иониза-
ионизации плазмы. Таким образом, область неидеальной пламы на-
настолько мала, что максимально достижимые значения параметра
неидеальноеги l/n№D являются конечными и не превосходят не-
нескольких единиц. Интересно отметить, что квантовые эффекты в
ленгмюровских колебаниях проявляются при меньших плотностях,
чем для плазмы в целом. Очевидно, что они сказываются тогда,
когда квант энергии плазменных колебаний станет сравнимым со
средней тепловой энергией, приходящейся на один электрон. При
этом условии длина волны де Бройля для электронов с тепловы-
тепловыми скоростями оказывается сравнимой с дебаевским радиусом.
Неидеаль'ная плазма встречается в природе крайне редко. При-
Примером ее могут служить сильные электролиты. Интересным при-
примером почти идеальной квантовой (вырожденной) плазмы являет-
является электронный газ в очень плотном веществе звезд — белых кар-
карликов. Представителем неидеальной квантовой плазмы можно счи-
считать электронный газ в металлах: при плотности конденсирован-
12
ното вещества (п~1023 см~3) квант энергии плазменных колеба-
колебаний по порядку величины оказывается равным единицам элек-
электрон-вольт.
Учитывая, что как неидеальная, так и квантовая вырожденная
плазмы значительно реже встречаются в природе, в первых двух
томах настоящего 'издания, посвященных основам физики плазмы,
мы ограничились рассмотрением идеальной классической плазмы.
Идеальную плазму общепринято также делить на высоко- и низ-
низкотемпературную. Это разделение в значительной степени связа-
связало с ©идами конкретных исследований и приложений. Так, высоко-
высокотемпературная плазма изучается в исследованиях по проблеме
управляемого термоядерного синтеза, а также подавляющее боль-
большинство исследований процессов в космической ллазме. Низко-
Низкотемпературная плазма является рабочим тело'М — газообразным
лроводником для магнитогидродинамических генераторов. Холод-
Холодную плазму в ионосферах планет можно рассматривать как одну
из природных форм реализации низкотемпературной плазмы.
Наконец, широкое использование численных методов в физике
плазмы, первоначально служившее подспорьем при анализе экспе-
экспериментов и их сопоставлении с теорией, привело сейчас к само-
самостоятельному направлению, имеющему дело с так называемой чис-
численной -плаз'мой.
Итак, в двух томах настоящего издания излагаются основы
физики классической идеальной плазмы. Поскольку такая плазма
представляет собой коллектив слабовзалмодействующих заряжен-
заряженных частиц, то в ней довольно легко возбуждаются различного
рода -коллективные колебания. Рассматривая плазму как -оплош-
-оплошную газодинамическую среду, мы обнаруживаем в ней ионно-
звуковые колебания, похожие на обычный звук в газе. Кроме того,
из-за, наличия заряда на частицах в .плазме возбуждаются и спе-
специфические плазменные колебания, например описанные выше
ленгмюровские колебания. Наличие магнитного поля в плазме
приводит к появлению дополнительных ветвей колебаний, часть из
которых поддается описанию в рамках магнитогидродинамическо-
го приближения (альвеновские и магнитозвуковые волны), а часть
требует кинетического рассмотрения (ионно-циклотронные, элек-
электрон-циклотронные -и т. п.).
Кроме того, разреженная плазма редко находится «в состоянии
термодинамического равновесия, поэтому она оказывается не-
неустойчивой по отношению к возбуждению собственных колебаний
и волн. Теория колебаний ллазмы и ее неустойчивостей сейчас
представляет собой самостоятельную ветвь физики плазмы, насчи-
насчитывающую огромное число публикаций. Систематическому изло-
изложению основных результатов в этой области и методов ее исследо-
исследования посвящен т. 1 настоящего издания. Методы магнитогидро-
динамического и кинетического описания плазмы предшествуют
этому изложению.
Исследование неустойчивостей неравновесной плазмы пред-
представляет собой лишь первый ша.г при построении кинетики нерав-
13
новиной плазмы. Конечной -целью здесь является количественный
расчет процессов релаксации плазмы к равновесному устойчивому
состоянию на основе нелинейной теория неустойчивости.
В линейной теории .плазмы произвольное возмущение можно
представить в виде суперпозиции собственных «колебаний, каждое
из которых независимо от других. В нелинейной теории нужно
учитывать взаимодействие колебаний друг с другом. Это взаимо-
взаимодействие во многом напоминает взаимодействие движений разных
масштабов в гидродинамической турбулентности. Для -плазмы,
однако, картину такого взаимодействия часто можно представить
«а знакомом языке суперпозиции линейных собственных колеба-
колебаний, но учитывая слабое взаимодействие между .модами вследст-
вследствие нелинейности. Это означает, что коэффициенты в разложении
по собственным «колебаниям становятся медленно меняющимися
функциями времени и в конце кондов сильно отклоняются от своих
первоначальных значений, предсказываемых линейной теорией.
Такой подход теперь общепринято называть теорией слабой
турбулентности. Уравнения этой теории можно вывести из первых
.принципов с помощью разложения исходных уравнений для плаз-
плазмы по малому параметру — отношению энергий колебаний к пол*
ной энергии плазмы. Источником энергии для возбуждения коле-
баний в этой теории обычно служат различные неустойчивости
плазмы. Изложение методов теории слабой турбулентности плаз-
плазмы завершает т. 1 издания. В т. 2 на основании этих методов рас-
рассмотрены отдельные явления в плазме, наиболее часто встречаю-
встречающиеся в приложениях (аномальное сопротивление и аномальная
диффузия, взаимодействие плазмы с пучками заряженных частиц
-и т. п.). Здесь также изложены некоторые принципиальные проб-
проблемы ллазменной турбулентности, которые не могут быть описаны
в рамках теории слг.бой турбулентности (коллапс ленгмюровских
волн, нелинейное уширение резонаисов волн и частиц). Эти проб-
проблемы вводят нас в еще малоизученную область сильной турбу-
турбулентности.
А. А. Г алее &
М. Розенблют
Р. 3. Сагдеев
Р. Судан
I. ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ И
РАДИАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
М. С. РАБИНОВИЧ
ВВЕДЕНИЕ
При решении многих задач физики плазмы приходится рас-
рассматривать движение заряженных чгсгиц в электромагнитных по-
полях. Такая потребность возникает, например, в бесстол-кновитель-
ной плазме, для которой решение кинетического уравнения являет-
является произвольной функцией интегралов движения. Следовательно,
для этого типа задач существенно определить точные и прибли-
приближенные интегралы движения (адиабатические 'инварианты) (см.
разд. 4). Метод частиц используется и в слабостолкновительной
плазме, для определения захвата частиц магнитной ловушкой или
электромагнитной волной и для рассмотрения явлений переноса
и качественного рассмотрения различных механизмов равновесия
и неустойчивости. В этом случае приходится точ'но или приближен-
приближенно определять орбиты частиц и проводить классификацию этих
орбит. Как правило, точному аналитическому решению поддается
ограниченное число задач, и здесь существенную помощь оказы-
оказывает адиабатическое приближение, о котором речь будет идти
позже. В ф'изике плазмы часто -используются ио'нные и электрон-
электронные пучки и возникает задача их транспортировки и фокусировки.
В этом случае обычно пытаются решать эти задачи по аналогии с
оптикой, вводя понятие «показателя преломления электронных или
ионных линз и определяя их фокусные расстояния и явления абер-
аберрации (см. разд. 2). В электронных и ионных ускорителях, как
правило, легко найти семейство так называемых равновесных ор-
орбит, и задача по существу состоит в определении устойчивости
этих орбит и в устойчивости уравнений движения (ом. разд. 1).
Поперечная устойчивость движения по традиции называется фоку-
фокусировкой, а неустойчивость — дефокусировкой. Продольная устой-
15
чивость называется фазовой устойчивостью, или автофазировкой
(см. п. 1.2). Проблему устойчивости уравнений принято называть
проблемой резонансов, так как именно в резонансных точках при
целочисленных соотношениях между тремя частотами .внешние
возмущения, не учтенные в уравнениях, резко изменяют решение.
Наконец, существенную роль в теории турбулентности и ста-
статистической физ*ике играют проблемы сильно неустойчивого дви-
движения и перехода от динамического движения к стохастическому
(см. разд. 5).
В перечисленных выше случаях, как правило, не принимают во»
внимание эффекты, связанные с излучением электромагнитных
волн. Однако существует множество задач, в которых такое излу-
излучение становится существенным, например при взаимодействии
роли и частиц в плазме или при движении релятивистских элек-
электронов в магнитном поле. Излучение электронов в магнитном:
поле, получившем название синхротронного, проявляется не толь-
только в синхротронах, но и в лабораторной и космической плазмах.
Радиационные неустойчивости могут выступать как в роли вред-
вредных мешающих эффектов, так и в роли полезных явлений, исполь-
используемых в генераторах микроволн. Генераторы микроволн излучают
когерентное индуцированное излучение. Высокий КПД излучения:
возможен лишь при сильной группировке частиц в отрицательной
(замедляющей) фазе волны. Поэтому с точки зрения движения от-
отдельных частиц теория СВЧ-генераторов— это теория группиров-
группировки частиц в поле электромагнитной волны.
Движение отдельных частиц в теории ускорителей, электронной
оптике и управляемом термоядерном синтезе — это довольно боль-
большой самостоятельный раздел, которому иногда посвящают отдель-
отдельные -книги. Здесь мы постараемся сосредоточить свое внимание на
принципах этой теории и приведем несколько иллюстративных
примеров.
1. ЗАМКНУТЫЕ ОРБИТЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
Самым простым примером движения частиц является их дви-
движение в однородных электрических и магнитных -полях. Если мы
направим магнитное поле по оси z цилиндрической системы коор-
координат (г, 9, г), то получим уравнение винтовой траектории (рис.1):
еВг mv, } A)
т
где п — циклотронная частота; р — ларморовский радиус; vx —
компонента скорости, нормальная к В. Из этого решения автома-
автоматически получается движение в скрещенных электрических и маг-"
нитных полях.
Предположим, что в лабораторной системе (х> у, г) имеется
электрическое -поле Е, перпендикулярное магнитному В. Если най-
16
Рис. 1. Движение частиц
по спирали в однород-
однородном магнитном поле
Рис. 2. Движение частиц в скрещен-
скрещенных электрическом и магнитном по-
полях
ти другую инерц'иаль'ную систему (х\ у\ г'), движущуюся со ско-
раатыо vd, в которой электрическое поле Е/=0, то в ней частица
будет двигаться по спирали, кг.к описано выше (рис. 2). Тогда
движение частицы в лабораторной системе есть суперпозиция
двух движений: по спирали (см. рис. 1) и равномерного прямоли-
прямолинейного движения со скоростью vd
Отсюда .получаем, что
vd=(EXB)/52. C)
Для исследования движения в более сложных полях удобно
использовать лагранжиан
D)
— v2/c2+e(\A) —еФ,
где А, ф — векторный и скалярный потенциалы. Рассмотрим неко-
некоторые важные примеры использования лавгранжиана.
Во многих задачах возникает проблема устойчивости орбиты*
Под орбитой по определению понимается замкнутая траектория^
соответствующая данной энергии частиц. В случаях, когда су-
существование орбит очевидно и их нахождение не представляет
трудг., задача состоит в исследовании устойчивости этих орбит и
устойчивости уравнения. Однако можно указать примеры нолей,
когда орбиты не существуют или когда их нахождение нетриви-
нетривиально. Рассмотрим случай аксиально-симметричного магнитного
поля [1, 2], будем считать, что
Ле = 0, Ф (г, 6, г)=0.
Тогда достаточно использовать только азимутальную компонен-
компоненту векторного потенциала AQ (r, z9 t):
V(r, z, t) E)
v=J<
2«
17
Рис. 3. При зеркальной
•симметрии магнитного
ноля существует средняя
плоскость, в которой
Вг=0
Рис. 4. Замкнутая круговая равновесная траекто-
траектория в средней плоскости B = 0) и неравновесная
траектория. Амплитуда отклонения неравновесной
траектории от равновесной обозначена х
где 4я — поток магнитного поля через площадь, ограниченную
окружностью радиусом г. Полная система уравнений в цилиндри-
цилиндрической системе координат имеет вид:
—)=°; i
2п J
dt
— {тг) = тг'Ь2 + -^
dt m
тг'Ь;
i
F)
dt
(nit) =—eBrrb, т =
т0
Средней плоскостью называют плоскость, в которой Br=Q (рис.3).
В этой плоскости могут всегда существовать квазистационарные
замкнутые круговые орбиты, если мы положим, что скорость изме-
изменения «магнитного поля мала: AQ/AQ<^eBzl\m (здесь и далее точка
сверху обозначает производную по времени). Такие орбиты мы
наз'ов-ем равновесными или мгновенно равновесными. Радиус кри-
кривизны равновесных орбит равен мгновенному значению ларморов-
ского радиуса, а частота обращения —мгновенной циклотронной
частоте. Рассмотрим в линейном -приближении отклонение орбиты
от равновесной (рис. 4):
r=p-\-x, z=z, G = — Q+ф.
В нулевом приближении имеем:
2 2гср2 J*
2тЯ
G)
(8)
Круговая орбита стационарна, если выполняется так называемое
бетатронное условие [3]:
18
Орбиты, для которых это условие не .выполняется, являются -ква-
зистационарными «з-за малости параметра адиабг.тичности (см,
разд. 3):
Поэтому в дальнейшем будем считать р^О. В .первом приближе-
приближении уравнение принимает следующий вид:
Q; д: +
+ /: = 0; z-f a>222 = 0; <»x = Q\fT^Hi\ <*z = QVn, A1)
Р
где параметр п — показатель магнитного поля
A2)
dlnr Л=р
Радиальные или вертикальные колебания обычно называются бе-
татронными (или свободными) даже если бетатронное условие (9)
гае выполнено ни для одной орбиты. Эти колебания устойчивы при
значениях параметра п, определяемых неравенством
A3)
В теории ускорителей вместо устойчивости говорят о фокусировке.
Фокусировку принято нячы-вять слабой, если отношение частоты
•колебаний к частоте обращения меньше единицы:
vx=(ox/Q=l/l- я, vz=(oz/Q = ]/n. A4)
Амплитуда бетатронных колебаний:
где xq, y«, 2о, yz — начальные условия, хо, z0 — отклонения от орби-
орбиты, а ух, у2 — углы между «нглравлением скорости частиц и соот-
соответственно касательной к орбите .и средней плоскостью. Поскольку
амплитуды колебаний не могут превышать половину поперечного
размера камеры, то объем фазового 4-мерного пространства, для
•которого это условие выполнено (х, г, уХу yz), определяет так назы-
называемый аксептанс системы. Чем больше аксептанс, тем большее
'число частиц при заданных качествах инжектора может воспри-
воспринять система. Аксептанс системы пропорционален vxvz. Заме-
Заметим, что при выводе уравнений (il)l) мы воспользовались усло-
условием, что rot В=0 (дВг1дг=дВг/дг). В вакуумном осееимметрич-
ном поле, таким обрезом, фокусировка слабая. Примером сильной
фокуси-ровки в осесимметричной системе является стабилизирован-
стабилизированный электронный пучок Будкера [4], при наличии которого
tB0
Заметим, что если мы введем еще полоидальное магнитное поле, то не из-
изменим условия устойчивости, хотя частоты радиальных и вертикальных коле-
19
баний перемешиваются. Уравнение колебаний в этом случае имеет следующий
вид:
О,
где h = BQ/B2.
Неустойчивость уравнений возникает три [целочисленном ¦соот-
¦соотношении между частотами вертикальных и радиальных колебаний
я частотой обращения (.тж, тг, т — целые числа):
mxvx+mzvz=m. A7)
Неустойчивость уравнений вызывается малыми неучтенными чле-
членами, описывающими 'искажения симметрии поля и нелинейные
члены [5, 6].
Резонансы vx=\m или vz=m связаны с периодическими возму-
щениями значения магнитного поля и соответствуют перекачке
энергии вращения по орбите в энергию -колебаний. Искажения
поля, когда vz или v* находятся .вблизи резонансных значений,
приводят .к искажению стационарной орбиты, тем большему, чем
ближе система находится к резонансу. Резонанс vz—^«=0 соот-
соответствует связ'и между вертикальными и радиальными колебания-
м'и, не учтенными в первоначальном уравнении. В результате это-
этого резонанса «происходит перекачка энергии радиальных колеба-
колебаний в энергию вертикальных и обратно. Резонанс 2vz = m или
2vx=\m называется параметрическим. Он появляется из-за нали-
налитая возмущения с азимутальной зависимостью по-казателя магнит-
наго поля п. Рациональным соотношениям между частотами соот-
соответствуют так называемые нелинейные резоналсы, связанные с
опущенными в уравнениях членами, пропорциональными .разным
степеням отклонений от орбиты х и г. Влияние этого резонанса
существенно зависит от амплитуды «колебаний.
Выше мы рассматривали малые колебания частиц около орбиты. Однако
в статическом осесимметричном поле при наличии еще средней плоскости сим-
симметрии задачу о движении в этой плоскости можно свести к квадратурам ме-
методом квазипотенциала. Уравнения F) можно преобразовать к виду:
М = тгЩ + erAQ. A8)
Физический смысл константы интегрирования М очевиден — это сохраняющий-
сохраняющийся обобщенный момент количества движения; U — классическая кинетическая
энергия азимутального движения:
U = (mr9J/2m.
Конечно уравнения A8) являются релятивистскими, если под т понимать по-
постоянную полную массу частиц. Обратим внимание на то что частицы могут
пересечь ось г=0 только в случае, когда М=0. На примере данного уравнения
можно проиллюстрировать теорему Пуанкаре, которая полезна для понимания
теории инжекции частиц в магнитные системы.
20
Теорема Пуанкаре гласит, что в си-
системе материальных частиц, находя-
находящихся под воздействием магнитного
поля и сил, зависящих только от про-
пространственных координат, каждое на-
начальное состояние со сколь угодно
большой точностью должно повто-
повторяться. В применении к одной части-
частице это означает, что любая траектория
или обоими концами уходит в беско-
бесконечность, или сколь угодно близко воз-
возвращается к точке инжекции (рис. 5). Рис 5 Два типа траекторий, иллю-
Таким образом, в статических полях Стрирующих теорему Пуанкаре
нельзя инжектировать частицу извне, r rj r J J r
так как рано или поздно такая части-
частица покинет область действия поля (например, магнитную ловушку); нельзя ее
инжектировать и с помощью материального инжектора, потому что рано или
поздно частица ударится о его край. Для инжекции частиц надо использовать
какие-либо дигсипативные процессы или переменные поля. Часто таким пере-
переменным полем является электромагнитное поле самих инжектируемых частиц.
Рассмотрим однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z в ци-
цилиндрической области г<^а. Вне этой области магнитное поле равно нулю.
Квазипотенциал и все другие величины можно сделать безразмерными. Для
этого за единицу длины примем ларморовский радиус р, за единицу энергии—
mv20/2 (v0 — скорость в поперечном к оси z сечении). Единица времени 1/Q,
единица момента импульса eBzp2
1 Г е а, (г2 —а2)]2 ^
и^"^[т-7м- о I ПРИ
\е |
B0)
U = М*/г2
при
Здесь М — безразмерный момент импульса, а векторный потенциал в области
г^а равен нулю. При инжекции частиц из области нулевого магнитного поля
все они покинут область поля. Характер движения зависит также от знака мо-
момента импульса. Легко рассчитать минимальное расстояние, на которое час-
частицы подходят к оси системы:
V2 + 2
-М-
B1)
при
. М + а2
B2)
при —а*
е\
если а>2, или при — а2;
Л4<0, если
\е
¦ М ^ — —- ,
знак корня в
В случае, если выполнено условие #<2и —.
B2) выбирается из физических условий (г должно быть меньше а и из двух
корней уравнения следует выбрать наибольший).
Рассмотрим движение частиц в поле магнитного диполя ^на-
^направленного вдоль оси z. Азимутальная компонента векторного
лотенциала магнитного поля дшюля:
B3)
21
Как и в предыдущем случае, используем безразмерные единицы..
В качестве единицы выберем единицу Штермера [7]:
с 1/ИБ, B4),
5 г mv v '
mv
где v0—'Полная скорость частицы. Используем единицу времени
CslvOf единицу энергии mvo2/2 и единицу момента импульса
|e|M,/Cs. В 1кваз.и'потенциал в безразмерных единицах не входят
параметры системы:
j7 = J_/liiM-—V. B5>
г2 V е R* J v ;
Закон сохранения запишем в сферической системе -координат (/?,
Ф, в):
" __ V2 V2 /26V
^sin2? \\e\~ R J ' B eo' V P
где veo — безразмерная начальная скорость при R-^oo. Поскольку
^2e^'l, ТО
М sin «р 1
< B7).
R sin у R2
Уравнение B7) определяет области пространства, недоступные
для частиц, которые движутся из бесконечности. Исследуя урав-
уравнение ('25), можно проследить за движением захваленных частиц
в -потенциальной ям-е. Вернемся к .изучению движения заряженных
частиц в осесимметр-ичных лолях, когда будем рассматривать за-
задачи электронной оптики, а сейчас исследуем движение в несим-
несимметричных магнитных полях.
1.1. Сильная фокусировка. Неосесимметричные поля могут обес-
обеспечить сильную фокусировку vx>l, vz>l. Понимание этого фак-
факта пришло относительно поздно [8]. Одно из объяснений много-
многолетней слепоты у ученых, занимающихся теорией орбит, было свя-
связано с тем обстоятельством, что попытки ввести в уравнения маг-
магнитные поля, слабо отклоняющиеся от осесимметричных, ничего
не дали: в первых нескольких порядках теории возмущения эти
отклонения усреднились [см. D6)].
Только в том случае, когда отклонение от осевой симметрии —
сильное, появляется сильная фокусировка. И, ка-к часто оказы-
оказывается в таких случаях, для изучения этих вопросов математиче-
математический аппарат уже существовал ранее. Если рассматривать пло-
плоскую орбиту и считать р в A/2) локальным радиусом кривизны
орбиты, a z координатой локальной цилиндрической системы,
центр -которой совпадает с центром кривизны, то уравнения бе-
татронных колебаний примут простой вид [5, 6]:
B8)
22
Рис. 6. Расположение оди-
одинаковых магнитов вдоль
равновесной траектории для
создания эффекта сильной
фокусировки (система
ФОДО). Справа показан
разрез магнита, создающего
ft» 1:
/ — ярмо магнита; 2 — обмот-
обмотка; 3 — камера
где П и р — периметр и локальный радиус кривизны орбиты соот-
соответственно, а эффективный азимут 6 = 2^—, где 5 — длина траек-
траектории вдоль орбиты. Для круговой орбиты 8 = 9 и B8) переходит
в A1). Показатель магнитного поля является периодической функ-
функцией 6 и, как правило, по абсолютной вел'ичиие з-натательно пре-
превышает единицу. На практике очень часто берут магниты с по-
постоянным большим положительным п и такие же магниты с боль-
большим отрицательным п. Эти ма.гниты разделены -прямолинейным
промежутком («рис. 6). Таким образом, маг-ниты являются одно-
одновременно фокусирующими в одном направления и дефокусирую-
щим'и— в другом. Для одного направления, например радиально-
радиального, фокусирующие и дефокусирующяе участки чередуются. Систе-
Систему периодичности принято 'изображать рядом, в который входят
три буквы: Ф—фокусирующий магнит, Д — дефокусируютций ма>г-
1Н1ит ,и О — прямолинейный промежуток. Простейшая система. — это
ФОДО, на практике используют более сложные системы: до
12 букв в ряду. Уравнения B8) представляют собой уравнения
второго порядка с периодическими коэффициентами. Рассмотрим
одно из этих уравнений, например для х. Решение уравнения пред-
став'им в следующем виде:
х (9) = ВФ (9) е1'V + к. с., B9)
где Ф(в)—-периодическая функция 9 с периодом 0о, равным пе-
периоду системы, которая называется функцией Флоке. Зная Ф(9),
можно полностью описать фокусировку системы. Для удобства
нормируем функции Ф@)е1л;*0 и Ф*@)е~14*0 таким образом, чтобы
их вронскиан равнялся —2i:
Ф (9) Ф*' (9) — Ф (9)' Ф* (9) — 2ivx Ф (9)* Ф (9) = — 2i, C0)
где штрих означг.ет производную по 0, звездочка — комплексное
сопряжение (к. с.).
23
Рис. 7. Зависимость показателя маг-.
нитного поля п от обобщенного ази-
азимута 0 для сильнофокусирующей си.
стемы ФОДО
щ\
ф
/\fl
8
Д
0
/
Ф
S \
У \
а
^ '
0
Я1 i г-
— —— ~—'
0 Ф
0
-Рис. 8. Модуль функции Флоке для'
системы сильной фокусировки, изоб-
изображенной на рис. 7 для фокусирую-
фокусирующего (Ф) и дефокусирующих секто-
секторов (Д). Модуль функции Флоке-
является огибающей траектории ча-
частицы; на рисунке пунктиром показа-
показаны две возможные траектории
Уравнения B9) можно записать явно в действительном виде
х =• 2 1 D || Ф (Э) | cos (v^ + ф @) + 8),
где ф'(8)—аргумент периодической функции Ф@), б — аргумент
константы. Таким образом^г* можно рассматривать как среднюю
частоту колебаний, а |Ф(9)| как огибающую колебаний. Такая
трактовка ©первые была предложена в [5 и 9]. Основная идея
этих работ состоит в том, что вместо того, чтобы рассматривать
колебания частиц, достаточно изучить их огибающую. Можно-
показать, что функция Флоке имеет максимум в фокусирующем
секторе магнита и минимум в его дефокусирующем секторе (рис.7
и 8). Используя свойство функции Флоке, легко пояснить, почему
при равных размерах фокусирующего и дефокусирующего секто-
секторов можно -получить сильную фокусировку. Дело в том., что фоку-
фокусирующая или дефокусирующая сила пропорциональна смещению
частицы х от орбиты (в линейном приближении). В среднем вде-
фокусирующих секторах частица проходит ближе к орбите, чем в
фокусирующих. Таким образом, в среднем величина, фокусирую-
фокусирующей силы получается большей. Средняя частота колебаний также
связана с функцией Флоке. С помощью условий нормировки C0):
ФФ* (ф'Ч-^х) = 1. C2)
Например, в осесимметричном магнитном поле функция Флоке
постоянна
У~п для ^-колебаний;
]/l — п для jc-колебаний.
В несимметричных периодических системах
так как <q/ F)>cp = 0.
24
C3)
Для амплитуды колебаний получаем формулу, отллчную от
Ф(б/)Г(Т,-1
C4)
„ _ .. /<Лп|Ф(9)|»
То —
где ух — угол отклонения скорости от касательной к орбите. Та-
Таким образом, для того чтобы получить минимальную ам-плитуду
колебаний, угол вылета частиц ух должен равняться Yo> а не нулю,
ка-к в осесимметричных системах. Амплитуда колебаний зависит
также от |Ф(9,-)|4~——. Удобно -перейти к такой системе отсчета,
в которой эффективный угол G отсчитывгется на каждом периоде
от нуля и вводится -еще одна переменная т —номер периода:
в/=6—т0о. В дальнейшем штр-их у переменной 0' будем опускать.
Решение уравнения B8) теперь имеет -вид:
. C5)
Сравнивая с уравнением B9), -находим, что
^ при о<е<ёо и |x = v,e0. C6)
«Функция Флоке в представлении C5) является решением уравне-
уравнений B8) ,и поэтому вронскиан функций "*У@) и ^(8)* мы по-
лрежнему считаем равным —2i:
Т (8) ?*' (8) — ?*(ё)^; (8) = — 2i.
Из функций ^('0) и Ч;*@) 1и»меем два решения
+ K. с;
. с. j
Легко видеть, что /11@) и ^@) удовлетворяют следующим нг.чаль-
лым условиям:
fi@)=/2/@) = l; //@)=/2@)=0. C8)
Функции fi и J2 удобно непосредственно вычислять аналитически
или численно.
Поведение траекторий определяется двумя начальными значе-
значениями х и х', которые можно записать в виде столбцов:
)при 1Г=0; xJ^ \риё=ё0 и т. д.
25
Для матрицы перехода М имеем:
Xi=MX0,
где
М = М^ Щ) . C9)
//(в.) U {К)
Поскольку все периоды одинаковы, можно написать с той же мат-
матрицей
Хт+1=МХту D0>
<\
где т — номер периода. Собственные значения матрицы М ком-
плексно-солряжены, «и их произведение равно единице, так как
detЛ1= 1 [см. C8)]. Поэтому собственные значения матрицы
удобно записать в виде ег(Х и е~г>:
Отсюда находим, что
cos fx -SpM/2 = [Д (90) + f2 (%)]/2. D2>
Условие устойчивости
|cosjx|<1.
Наибольшее практическое значение имеет главная область устойчивости
при | \i | <я, хотя имеется счетное множество областей устойчивости.
Рассмотрим для примера систему (ФД) с одинаковыми угловыми разме-
размерами фокусирующего и дефокусирующего секторов 0о/2 и одинаковыми по аб-
абсолютной величине, но противоположными по знаку показателями магнитного
поля п A2). По этой причине сильную фокусировку иногда называют знако-
знакопеременной. Уравнения, которые мы решаем, имеют следующий вид:
;=0; О<0<0о/2;
хГ — к\х= 0; 0О/2<0<0О;
xf = 1 + | я | ; х|= I л I — 1;
Проводя несложные вычисления, находим, что
D3>
х 2 х 2
cos ц = cos 8 ch 3—-*- — sin ^ sh g, D4)
2х,х2
где 6=^i9o/2, a p=x29o/2.
Разлагая выражение D4) в ряд по 90, получаем:
Легко видеть, что в первых двух порядках играет роль пср, т. е. никакой силь-
сильной фокусировки не проявляется. Решающее значение имеет член разложения,,
пропорциональный Э04. Считая, что |я|>1, получаем:
'-li-31--—' D5)
где ^V — число периодов поля на орбите. Если мы хотим работать в центре
26
0,75 в/Вп
Рис. 9. Зависимость квадрата моду-
модуля функции Флоке D7), нормирован-
нормированной к половине периода от 9/9о (для
^ = Х1ео/2 = %20о/2 = р = я/2). Это вы-
выражение входит в C4), так как
т ||
Рис. 10. Зависимость нормированной
логарифмической производной, вхо-
входящей в C4), от 0/9о (| V | = | Ф |).
Расчет проведен для случая 6 =
1е/2 е/2 /
области устойчивости cos м- = 0, то между N и \п\ существует соотношение
7V^2"|/ | п | и безразмерная частота колебаний
vx = N/4& 0,5У~\Т\ D6)
может быть сделана значительно больше единицы. Легко вычислить также
функцию Флоке. Приведем здесь выражение для квадрата модуля функции
Флоке, так как именно квадрат модуля функции Флоке входит в выражение
C4) для амплитуды колебания и модуль функций Флоке для обоих рассмот-
рассмотренных представлений совпадает
при О<9<0о/2;
A — В sin 8 (ch 0 — oh C0 — 2x29)) при 60/2 < 8 < 90,
А = (sin б ch Р + р cos б sh P)/xt sin \i,
B= A +p2)/2x1sin|ii; p = x1/x2. D8)
На рис. 9 приведена зависимость 2|4f|2/0o от отношения 6/0о
при 6=ip=jt/2, а на рис. 10 — зависимость логарифмической про-
лзводной <при тех же значениях б и р. Наличие сильной фокуси-
фокусировки обеспечивает увеличение аксептанса системы, как это вид-
видно ,из уравнений C4). Действительно, амплитуда колебаний менее
чувствительна к отклонениям угла влета чгстиц ух от оптимально-
оптимального угла Yo- Однако при сильной фокусировке существенно умень-
уменьшаются расстояния между резонансами ('17), что требует увели-
увеличений точности изготовления магнитов. Довольио большая об-
область устойчивости D2) испещрена многочисленными резонанса-
резонансами. Рабочую точку системы стараются вы'брать как можно даль-
дальне от резонансных значений. Выше уже упоминалось, что когда
•система находится вблизи целочисленного резонанса vx=m, то
происходит сильное возмущение орбиты.
Предположим, что имеет место возмущение магнитного поля
(ABZ/BZ)\=—h(Q). Тогда уравнение D3) принимает вид:
x"+%2(Q)x=— /i(9), D9)
27
( х* для фокусирующих секторов,
X2 F) = 2 л.
[—К2 Для дефокусирующих секторов.
Рассмотрим уравнение Штурма—Лиувилля:
0, E0)
'где хк и К — собственные функции и собственные значения, соот-
соответствующие периодическому решению E0). Раскладывая в ряд
по нормированным к -единице со-бственным функциям уравнения
E0)
hh=\h{b)xk(b)a\ E1)
6
находим искажения орбиты
+ 00
*(в)= J] -^-М*(в)- E2)
Для рассмотренного выше примера, x2i = x22=|ft| легко найти
собственные функщщ и собственные значения Xh. Для этого в D4)
следует положить:
и рассматривать его как трансцендентное уравнение относительна
Xft. При значениях частот -колебаний v~k резонансный знамена-
знаменатель ЯА-^0 и, следовательно, из всего ряда E2) только резонанс-
резонансный член виосит существенный вклад в искажение орб'иты.
1.2. Фазовая устойчивость. Рассмотрим фазо-вую устойчивость
орбит, которая играет большую роль, есл:и частица движется в поле
электромагнитной -волны. В. И. Векслер [10—¦ li3J впервые обратил
внимание на то, что фазовая устойчивость (а также неустойчи-
неустойчивость) создается самой электромагнитной волной. Поэтому часто-
фазовую устойчивость называют автофазировкои. На основе этой
идеи В. И. Векслером были предложены современные типы уско-
ускорителей: микротрон, синхротрон (и др.
Пусть частица движется в продольном электромагнитном поле
г • ]
Ezcos(f>, где ф =о) 1 р- ; v(z) — фазовая скорость волны. В
уравнении движения будем считать z—v(z)=A<g.v(z), ?2
+ г2, получим следующее фазовое уравнение:
E3)
28
_!_ _!_/ *Ж=^ Jl\ =^_а(со5(р- cos<p0);
«о» dz \V\— v*(z)/c* dz J v(z) T "'
Id v(z) еЕг с
aw dz i/, t)«(z) mc ш
Уравнение E3) указывает, что из двух равновесных фаз фаза
<р =—ф0 устойчива., а фаза ф=фо неустойчива. Из уравнений элек-
тродинам'ики очевидно, что движение в -перпендикулярном направ-
направлении является неустойчивым. Действительно, .переходя в систему
координат, движущуюся с фазовой скоростью волны, можно вос-
воспользоваться теоремой Ирншоу, утверждающей, что в электроста-
электростатике точки равновесия седлообразные. Если мы имеем яму в на-
направлении z (фазовая устойчивость), то должны иметь горб в на-
направлении х -или у. Отметим, однг(ко, что по мере роста энергии
яма и горб сглаживаются, т. е. фазовая фокусировка уменьшает-
уменьшается и ослабевает поперечная неустойчивость. Характер движения
•при больших энергиях ясен из простого, но важного примера
ускорения частицы в продольной волне с постоянной фгзовой ско-
скоростью с. В этом случае уравнение движения принимает следую*
щий вид:
dt
E4)
В этом случае равновесная фаза отсутствует, но фазовое дви-
движение замедляется по мере роста энергии. Оказывается, что для
любого параметра, а и начальной фазы q>*(sincp^il) можно найти
такую начальную скорость zif при которой частица, попав в уско-
ускоряющую фазу волны, будет непрерывно ускоряться и никогда -не
попадет в замедляющую фазу волны. Из E4) 'найдем условие,,
налагаемое на параметр а для непрерывного ускорения:
а>1/A — sincpi). E5>
Мы уже упомянули, что неустойчивость в по-перечном 'направле-
'направлении исчезает, и хотя она не сменяется устойчивостью, аксептаюс
системы оказывается достаточно большим, так >как угол наклона
скорости (к оси z) y=pjpt из-за ростг, продольного импульса рг
и приблизительного постоянства поперечного импульса р± непре-
непрерывно уменьшается. Поэтому смещение в поперечном направле-
направлении, если ъжс, по порядку .величины рг.вно —у In—, гдее — энер-
гая частицы. При нерелятивистских скоростях для фокусировки,
используем магнитные линзы (см. .ниже).
В кольцевых ускорителях, а иногда и в прямолинейных вместо»
электромагнитной волны используют ускоряющие электроды, раз-
ность потенциалов между которыми
J E6)
о
где t—• момент времени, когда частица, находится между ускоряю-
ускоряющими электродами. Электрическое поле
t
Ев = -j*-b(b)cos ^*9(t)dt, E7)
29
где 6(9)—периодическая функция с периодом, равным 2П, а
П—-расстояние между электродами для -прямых систем или пери-
периметр замкнутой орбиты. Угол 9 определен так же, как для уравне-
уравнения B8). Ускорение в электродах эквивалентно ускорению в про-
продольной электромагнитной волне. Разлагая функцию 6(9) в ряд
¦Фурье и опуская все члены, .кроме резонансного, получаем:-
п
где q— целое число, кратность резонанса. Можно показать, что
остальные члены ряда Фурье не окажут существенного влияния ни
на фазовую устойчивость, ни на бетатронные колебания (.вдали
от целочисленных резонансов).
Таким образом, в расчетах скачкообразное ускорение можно
заменить непрерывным ускорением в поле E8). Синхронная части-
частица, для которой ф = 0, должна ускоряться в стационарной фазе! фо
и обращаться с частотой o)s = coo/^. Полную энергию синхронной
частицы обозначим es, а энергию несинхронной частицы е: 8=
= 8S+A. Легко показать, что с точностью до первой степени А
1 de I d^ d
со dt tos dt dt
Здесь А однозначно связана с ф:
?==?шд_А, E9)
где
/С= — ) . F0)
Отсюда находим уравнение фазовых колебаний, впервые получен-
полученное В. И. Векслером:
(_!* L ] ^llU—«(cosср — coscp ). F1)
dt \(usK dt J 2k
Значение соэфо находим из условия синхронизма. Ура;внение F1I
выведено в предположении, что вся энергия получается частицами
в ускоряющих электродах. Если частицы еще ускоряются вихре-
вихревым электрическим полем, то -вид F1) не меняется, а изменяется
лишь значение
-!?]_• cos 90 = — + — , F2)
2п cos dt 2n dt
где Ws—> поток магнитного поля через площадь, охватываемую
синхронной орбитой в направлении оси z. В уравнение F1) вхо-
входит параметр К F0), -который определяется конфигурацией маг-
нитного поля (и связан с собственными значениями задачи Штур-
Штурма—'Лиувиля D9)
„ , О ¦
где v$ — скорость синхронной частицы; ho=ABz/Bz — -постоянная!
относительная добавка к магнитному полю. В осесимметричных
ускорителях ЯЭф=—Яо=1—п. В рассмотренном выше примере
системы ФД ,и х\2=К22= \п\,
4 (sh а A — cos д) — sin 5A — ch д))
В центре области устойчивости cos[i = 0; 8 = —1/]/&| =те/2; ЯЭф =
=0,2061 \п\.
Из двух равновесных фаз ф0 и —ф0 одна является устойчивой, другая —
неустойчивой в зависимости от знака параметра К. При очень больших энер-
энергиях параметр К всегда положителен и устойчивой является положительная*
фаза ф0. При любых энергиях К положителен, если Яэф<1, т. е. для слабой
фокусировки. Для сильной фокусировки К отрицателен при е<е& = тоС2]/гА9ф.
Таким образом, при е=е& происходит перестройка фазовой картины. Легко
показать, что частота фазовых колебаний всегда значительно меньше частоты,
обращений, т. е. фазовая фокусировка слабая. При изменении параметров сис-
системы амплитуда малых фазовых колебаний изменяется адиабатически пропор-
ционально I 1 , а амплитуда бетатронных колебаний пропорциональ-
^ & '
на {Вz) '*. Исследование фазового уравнения E8) более детально легко про-
провести по аналогии с колебаниями маятника. Метод сильной фокусировки мож-
можно использовать также и для фазовых колебаний .[14].
2- ЭЛЕКТРОННАЯ ОПТИКА
В электронной оптике 'изучаются семейства траекторий пучков:
частиц. Чтобы описать поведение пучков частиц, достаточно дока-
доказать существование особых точек или поверхностей системы, в ко-
которых происходит схождение пучков или образование изображе-
изображений истойника. Сопряженными плоскостями, или точками, назы-
называют точки источника и его изображения.
Предметом электронной оптики, таким образо;м, является изу-
изучение оптических свойств электронных пучков. Аналогия между
геометрической и электронной оптикой имеет глубокую природу
и опирается на аналогию между принципом Ферми и принципом
наименьшего действия в форме Мопертюи
1*\ \ ,&* ч
J Nds ) = 0, 8= И (/?- | е | (A-s))ds)=0,
F3>
N — показатель преломления; р — импульс; s—-единичный век-
вектор касательной к траектории от 2Р\ до 5^2. Знак б обозначает ва-
вариацию интеграла при заданных точках 9Ь1 и ?Р2. Сравнивая две
31
вариации F3), можно определить эффективный показатель пре-
преломления электромагнитного пол<я (с точностью до произвольного
постоянного множителя)
= ^—--Li! (As);
тос тос
л/ 1 I / Р \*_\е\Щх, у, z) _
V \ т„с J тос*
F4)
Константу С обычно выбирают таким образом, чтобы электриче-
электрический потенциал Ф обращался в нуль в той точке, где р = 0, т. е. по-
полагают С=>1; Л^эф имеет 'Изотропную и анизотропную части. Одна-
Однако из-за неоднозначности векторного потенциала А всегда можно
сделать Л^ф изотропным в любой точке или -на всей магнитной по-
поверхности. Было бы неправильным думать, что сведение задачи
электронной оптики с помощью соотношений F3) и F4) к геомет-
геометрической оптике сильно упрощает задачу, хотя и существуют по-
попытки последовательно применить этот принцип (см., например,
[|15]). Кажется, что в зависимости от конкретной задачи полезнее
иногда использовать F4), а иногда непосредственно решать зада-
задачи с ПОхМощью уравнений Лагранжа или Гамильтона — Якоби. До-
Довольно толстые книги по электронной оптике [16—18] посвящены
в основном рассмотрению аксигльно-симметричных полей и не-
небольшим отклонениям от симметрии, хотя, как мы видели выше,
сильная фокусировка получается при существенном отклонении
от аксиальной симметрии. Это обстоятельство связано с тем, что
практически для всех аксиально-симметричных систем удается
создавать в параксиальном приближении идеальные оптические
изображения. Это справедливо далеко не для всех несимметрич-
несимметричных систем.
Предметом нашего рассмотрения будет так называемое парак-
параксиальное приближение. Для осесим<метричных систем это эквива-
эквивалентно исследованию движения в линейном приближении по от-
клоненвдо от оси. Однако для получения -параксиального прибли-
приближения иногда так же, как для ускорителей (см. разд. 1), следует
выбрать за ось некоторую 'центральную траекторию, -которая мо-
может отличаться от прямой. Уравнения параксиального приближе-
приближения могут быть сведены к паре уравнений типа B8). Практически
только такие или сводящиеся к ним уравнения и будут рассмат-
рассматриваться. Конечно, не для всех магнитных « электрических шлей
можно получить уравнения типа B8). В общем виде можно пока-
показать, что осесимметричные поля, а также поля с зеркальной сим-
симметрией обладают такими свойствами. Но такими свойствами об-
обладают и <некоторые гаеооесимметричные поля. В частности, силь-
сильная знакопеременная фокусировка, -как мы видим, приводит к
уравнениям типа @8), хотя и не дг.ет гауссово параксиальное
изображение. Однако такое совпадение не всегда возможно, и мы
приведем очень важ-ный пример таких сильнофокусирующих по-
полей, которые не сводятся к B8). Оси х, у, г, в которых уравнения
32
параксиального приближения сводятся к уравнению типа (.28),
назовем главными осями системы. Следует обратить внимание,
что уравнения типа
простой подстановкой x = p-1?2qi и y=p~ilzq2 можно свести к урав-
уравнению типа B8). Весьма важную роль играет случай xi2 = x22, ко-
который называется гауссовым параксиальным изображением.
Рассмотрим сначала движение частиц в осесимметричном электростатичес-
электростатическом поле. Пусть Ф {г) — электростатический потенциал вдоль оси симметрии
(Qz). Тогда вблизи оси поле имеет следующий вид:
Ф(г, *)=Ф(г) -~г*Ф" (г) + -^—г*ф""(г) + .... F5)
4 04
где штрих означает производную по z. Запишем уравнение Лагранжа для
электростатического поля:
TTW = ^rri + (r'J^- F6)
Здесь
рх = -J— = У 20^+Ф!2 , Фх = ^-±-. F7)
тпс тас2
При выводе уравнения F6) мы предположили, что траектории пересекают
ось z и поэтому момент импульса равен нулю. Если в уравнении движения
ограничиться линейными членами по г и r'=dr/dz, то уравнение Лагранжа
упростится
F8)
В нерелятивистском приближении F8) переходит в известное уравнение элект-
электронной оптики для приосевых пучков:
d2r Фг dr Ф"
~^ + W17 + l^r==0' F9)
Следует отметить, что поскольку мы приняли момент имлульса
равным нулю (тг2в = 0), то движение частиц происходит в одной
плоскости. Поэтому под переменной г с равным правом можно по-
понимать и декартовы координаты х и у.
Поскольку F8) и F9)>—^линейные уравнения второго порядка
Для пр,иосевых трг.екторий, они всегда обеспечивают создание
уменьшенного или увеличенного изображения объекта, перпенди-
перпендикулярного оси. Рассмотрим общее решение F8) или F9)
r(z)=Ag(z)+Bh(z),
2 Зак. 137 33
Пространство
предмета
а
Область действия
полей.
Ъ
пространства
' изображения
i Z
Рис. 11. Два решения уравнения F8)
или F9). Изображены сопряженные
плоскости: плоскость предмета z = a
и плоскость изображения г = Ъ. Про-
Промежуточную плоскость г —с называют
плоскостью апертуры
Рис. 12. Схема расположения обла-
области действия электрических и маг-
магнитных полей и свободных от полей
пространств предмета и изображения
где g(z) и h(z) —.решения, удовлетворяющие следующим усло-
условиям:
g{a)=h(c) = \\ g(c)=h(a)=Q.
Точки а и b являются сопряженными, точка с— промежуточной.
Считаем, что предмет находится в плоскости z=a, а изображение —
в плоскости z=b, в которой h(b)=O. Увеличение предмета равно
K=g(b) (рис. Г1). Из теории дифференциальных уравнений из-
известно, что нормировгнный вронскиан системы является интегра-
интегралом движения
G1)
С помощью G0) запишем соотношение Лагранжа
r(a)p(a)h'(a)=r{b)p(b)h'(b)9
где h'(a) и h'(b) —углы вылета частиц в сопряженных плоско-
плоскостях из точек, лежащих на оси. Угловое увеличение, таким обра-
образом, равно К , где К — линейное увеличение.
Вблизи фокуса частицы должны иметь прямолинейные или:
почти прямолинейные траектории. Таким образом, в области пред-
предмета и изображения поле или равно нулю, или очень мало. Будем
считать, что поле сосредоточено в интервале между двумя плоско-
плоскостями, которые пересекают ось z в точках а и Ь. Пространство сле-
слева от z=a называют пространством предмета (или -предметным
пространством), а пространство справа от z=b — пространством
изображения (рис. 12). Термины для электронной оптики выби-
выбираются по аналогии с оптикой. Линза, «роме фокусов и фокаль-
фокальных плоскостей, характеризуется еще главными плоскостями и
главными точками, узловыми плоскостями ,и узловыми точками.
Указанные три пары точек е плоскостей называются кардиналь-
кардинальными точками и кардинальными плоскостями. Если известны кар-
кардинальные точки, то -построение изображения предмета проводит-
34
"Рис. 13. Одно из возможных распо-
расположений правого фокуса Zf и глав-
главных плоскостей hi(z = z%) и
ih2(z=z^). Сплошная линия—тра-
линия—траектория частиц. Штриховой участок
используют для нахождения правого
фокусного расстояния Fb
Рис. 14. Две узловые точки линзы
zau и гъи . Штриховая прямая — про-
продолжение траектории предметного
пространства, она пересекает узловую
точку г^ и параллельна траектории
в пространстве изображения, направ-
направленной в узловую точку zu
.ся автоматически без рассмотрения истинной траектории частиц.
Фокус Fb пространства изображений лежит на главной оси си-
системы. В фокусе Fb сходится пучок траекторий, параллельных
главной оси, идущих в предметном пространстве. Аналогично
строится фокус предметного пространства (-рис. 13).
Главные плоскости линзы позволяют заменить истинную траек-
траекторию тремя отрезками прямых. Между главными плоскостями от-
отрезок параллелен главной оси, а вне линзы — совпадает с истин-
истинными траекториями (рис. 14). Точки пересечения главных плоско-
плоскостей с осями .называют главными точками.
Расстояние от фокуса до соответствующей главной точки назы-
называют фокусным расстоянием. Фокусные расстояния -положитель-
-положительны для действительных фокусов и отрицательны для мнимых фо-
фокусов. Фокусные расстояния предметного пространства и прост-
пространства изображений совпадают, если эти пространства обладают
одинаковым показателем преломления.
В линзе существуют еще две узловые точки. Если из предмет-
лого пространств?, луч ^направлен в узловую точку предметного
пространства, то в пространстве изображений он будет паралле-
параллелен первоначальному направлению луча 'и его .продолжение бу-
будет пересекать главную ось .в узловой точке пространства изобрг.-
."жений.
2.1. Матричный метод. Для того чтобы найти все кардиналь-
кардинальные точки, достаточно построить матрицу преобразований, подоб-
нУю матрице C9), изменяющую координаты и производные при
переходе из плоскости z=a в плоскость z=b, ограничивающих
области действия полей. В общем случае эта матрица, четырехряд-
четырехрядная, но мы рассматриваем только случай, когда поперечные пере-
переменные ортогональны и параксиальное .приближение приводит к
Уравнениям типа B8). В этом случг.е матрицы двухрядные. Для
2* 35
уравнений тала F8) л F9) в точной аналогии с уравнением C9)
запишем:
G2)
x(b)\ Ш; f,(b) (x{a)
x'{b))- Uib)\ ft'{b) \x'{a)
где x и xf—смещение от оси z и производная от смещения по ко-
координате z. Функции fi(z) и fe(z)—решения уравнений, напр'И-
мер, F8) или F9), удовлетворяющие начальным условиям:
П(а) = 1у U'(a)=0, /2(a)=0, f2'(a) = l.
Поскольку при z>b и г<а силовых полей нет, то траектории в
этой о(блг1сти являются прямым-и. Запишем матр'ицы перехода от
точки z=a предметного пространства до области поля z=b и от
области поля z=b до точки zb пространства изображения
1;
0;
а
1
1;
0;
zb — b
1
G3)
Перемножая матрицу G2) «а Ма и Мь ¦соответственно, справа и
слева получаем матрицу перехода, от точки za до точки гь. Точки
za и гь будут сопряженными, если мы потребуем, чтобы член М12
этой матрицы был равен нулю, а увеличение изображения К=Мц
или (M22/(DebM))-u.
=0;
= U(b) + (zb-b)U(b) =
Ч
Видим, что dzb/dza=КУDetM=К2p(b)/p(a).
Легко также найти координаты всех кардинальных точек
zub = - UJW
zua = - 1/f/ + U /f/ + a,
G4)
где zu zh и ^u — коо-рдинаты фокуса, главной точки и узлов соот-
соответственно. Верхние индексы а и Ъ указывают на пространство
предмета и" изображения. DetM=p(a)/p(b) для уравнения F8);
•фокусные расстояния
Fb = zfb - гнь = -\/К\ Fa=zh« - z,° = -Det M/fc. G5)
Итак, оба фокусных расстояния равны, если потенциалы обоих
пространств одинаковы. Следует обратить внимание на равенства*
связывающие узловые точки и фокусы:
ъ z ъ = 1
G6)
36
С ^помощью G3) и G4) ил'и просто по аналогии с геометрической
оптикой можно получить соотношение Ньютона для координат со-
сопряженных точек источника га и изображения гь
Увеличение изображения
K=Fa/(za - zf) =-(zb - zfb)/Fb. G7)
Выше рассмотрен случай, .когда предмет и изображение лежат
вне силовых полей. Если это не соблюдается (а такое нарушение
является характерным для электронной о<птики), то, .конечно, при-
приведенные результаты не применимы. Однако в [17] было предло-
предложено ввести соприкасающиеся кардинальные точки, когда предмет
и .изображения находятся в области поля. Для их нахождения вне
области &>2>а реальные траектории заменяются прямыми, сов-
совпадающими с касательными к реальным лучам в точках z=a и
z = b. Конечно, положение соприкасающихся кардинальных точек
будет зависеть от выбора плоскостей z=a и z=b. Обычно эти
плоскости выбирают сопряженными. В этом случае формулы G4)
применимы. Следует «меть в виду, что, -поскольку z=a и z=b,
сопряженные точки f2(b)=a, а увеличение K = fi(b). Существуют
так называемые ньютоновские поля, когда соотношение Ньютона
выполняется для любого выбора пары сопряженных плоскостей и
постоянных значений фокусных расстояний и положения фокусов.
Пример такого поля приведен <ниже (86).
Изложенный выше матричный метод р-асчета электронно-опти-
электронно-оптической системы очень удобен для получения 'изображения в систе-
системе различных линз. В этом случае матрица системы будет равна
произведению матриц всех Л'инз.
Иногда удобно одну линзу разбирать на отдельные участки,
на которых легко .проводить вычисления матрицы перехода, М9 а
затем -перемножать все полученные матрицы для 'Нахождения па-
параметров линзы.
Рассмотрим ограниченное постоянное поле между областями а и Ъ. Такое
поле можно создать с помощью прозрачной для пучка сетки или фольги*
В этом случае матрица перехода приобретает простой вид; если рассмотреть
нерелятивистский случай F9), то
G8)
0; Кфа/Ф6
где Фа и Фб—потенциалы плоскостей z=a и z=b, a d=b—а Прохождение
лучей в этом случае легко проследить по аналогии с оптикой, используя по-
показатель преломления F4) и закон синусов
sinYa/sinYa = ^$a/$a. G9)
Здесь Ча и чь — углы между траекторией и направлением электрического поля
в областях z<a и z>b.
37
Большую ошибку можно совершить, если воспользоваться матрицей G8)
при .рассмотрении движения частиц через отверстия в пластинах конденсатора,
так как силовые линии поля в силу непрерывности пройдут за пределы отвер-
отверстия. В этом случае матрица перехода будет иметь вид М=МьМ0Ма, где Мю
определено в G8), а матрицы Ма и Мь указывают на изменение координат
и углов в областях z<^a и z>b. Вычисление Ма и М^ для достаточно малого
отверстия можно провести следующим образом. Уравнение F9)
d2r/dz2 = — Ф"г/4Ф
можно проинтегрировать в районе отверстия в пластинах в предположении, что
где ДФ'=(Ф&—Фа)Д/. Сравнивая формулу (80) с G2) и G3), получаем:
1; 0
Афг
1
Аналогичным методом находим:
1
Аф'
Перемножив три матрицы в установленном порядке, имеем:
Ыфь
Зная матрицу М, легко определить все кардинальные точки и фокусные рас-
расстояния, например:
Изложенными методами можно рассмотреть большее число
примеров. В .конкретных случаях часто приходится использовать
численные методы для .вычисления коэффициентов матриц.
2.2. Магнитные линзы. Расчет магнитных линз требует исполь-
использования уже рассмотренных выше уравнений движения. Однако
в отличие от приведенных .там примеров движения частиц вдали
от оси системы для электронной оптики существенно движение
частиц вблизи оси системы. Для приосевого поля
Ле =гВ/2 — г3В"/10"м (81)
где B = Bz(z, 0), штрих} — дифференцирование по z. В линейном
приближении уравнения F) приобретают следующий вид:
тг
(82)
38
В (82) мы положили обобщенный момент движения равным «улю,
т. е. мы рассматриваем траектории, пересекающие ось симметрии:
d2r/dz2==z_e2Bz2r/4p2t (83)
К (83) -применимы все правила и приемы, использованные
выше для электростатического тюля. Приближенно'
Ь +оо
а —оо
Здесь мы считали ]\(z)~\ и воспользовались выражением для фо-
фокусного расстояния G5). Сделанные предложения —1,доста/точно
хорошая аппроксимация для колоколообразного магнитного поля.
Для сравнения рассмотрим участок однородного магнитного поля
протяженностью d=b—а. Решая уравнение (82), легко находим,
что
-f,'(*) = — sin-^=4- = T-- (85)
vz vz Fb Fa
Для тонкой линзы расчеты по формуле (84) и (85) совпадают.
Другим примером 'Колоколоо'браз'ного поля, допускающим г.нали-
тическое решение, является лоле
dy)-K (86)
Подставляя (86) в (82) и вводя безразмерную координату zly по-
получаем:
j*^ _№*_r = 0 jl (87)
dz,2 ^4/?2(l+^2J l d
С помощью подстановки Zi=ctgy находим общее решение (87)
г (<р) = Кг cosec 9 sin (юу -\-К2)\
I
Сопряженные плоскости имеют значения ф, удовлетворяющие ус-
условию . J
фа—фЬ==я/(О. (89)
Увеличение
М = — (sin фа/sin фь). (90)
Легко вычислить соприкасающиеся .кардинальные точки и фокус-
фокусные расстояния
Fa = Fb =dcosec-^-. г,= ± dctg^, zh = ± ^
Положение соприкасающихся кардинальных точек не зависит от
выбора сопряженных плоскостей отсчета, поэтому поле (86) мож-
можно считать ньютоновским.
39
Расчет ino приближенной формуле (84) даег
Fa-i = Fb-1 = 8p2/ne2Bo2d. (92)
Этот результат совпадает «с полученным -по формуле (9.1), если
Как отмечалось выше, осесимметричное поле всегда приводит в паракси-
параксиальном приближении к уравнениям типа B8). Перейдем теперь к несиммет-
несимметричным полям. Воспользовавшись принципом наименьшего действия в форме
F3), получим уравнения траектории в следующем виде:
L „ —1 = 0; 1 ±- = о- (93)
dz дхг дх dz ду1 ду
L, = N (ds/dz).
Ограничиваясь разложением L,\ до второй степени переменных (я, х', у> у')>
получаем в общем виде
1 2 2
Lx = — р(z) (xr + Уг ) +t(г) (хгц — хуг) +
y ^ x*/. (94)
На первый взгляд выражение (94) кажется недостаточно общим, так как в нем
существуют, например, члены х'у', х'х, у'у. Первый член действительно отсут-
отсутствует, а второй и третий могут быть преобразованы при интегрировании в
F3) по частям. При этом будут иметь место следующие преобразования:
х'х-**х\ у'у-+У2, х'у+у'х-^-ух. Путем перехода к новым переменным
х + iy = (ft + tya) exP (iz)
можно разделить переменные, если выполнено условие ортогональности:
Р B) W (*) (*i (z) - е2 (z)) - g (z) (е[ (г) - е2 (г))] =
= t (z) [(е, (г) - е2 (z))« + ^ (z)). (95)
Ниже рассматриваются только электромагнитные поля, удовлетворяющие
195). Приведем очень важный пример использования (95). Легко доказать,
что для осесимметричных полей (95) всегда выполняется.
(Рассмотрим двухзаходное .винтовое стеллар&торное поле в пря-
прямой системе
В = УФБ, ФБ= — r2sin2F — аг). (96)
Лангранжиан L\ можно записать в следующем виде:
Ь^^ + ^-х2 [(^ - 4-) cos2u + xy sin2tt|, (97)
. d% . dy 2 eb
где A:f=—-; yr=~r-\ u = az; x2^ :-.
* du da maz
Легко убедиться, что (97) -не удовлетворяет условию ортогональ-
ортогональности (95). Условие ортогональности будет выполнено, если на
винтовое -поле -наложить постоянное продольное поле Bz вполне
определенной величины, так чтобы t(z) = l (eBz/mvza=l, vz = z).
40
Введем новые ортогональные координаты
= (x+ir/)exp(—ш). Получим уравнения типа B8):
ql-\-iq2=
(98)
Винтовое магнитное поле обеспечивает сильную фокусировку, од-
¦нако с двумя разными з-начениями частот.*'
Vl = V 1+х2, v2 = V 1—х2.
Сопряженные точки находятся на безразмерном расстоянии
щ—u2=nn/vu где п — целое число (i=l,2), увеличение К=1.
Изображение, как правило, получается астигматическим, т. е. точ-
точка изображается линией. Астигматическая разность пщЫъ—Jtn4/vi
характеризует величину астигматизма. Изображение получается
стигматическим, если sin—{и\—w2)=sin — (и\—u2), что возмож-
но, когда разность A/V2—1/vi)—целое число. Стигматическое
изображение возможно создать и на дублете, состоящем из повер-
повернутых нг 90° двух квадруполыных магнитных «или электростатиче-
электростатических линз, хотя и в этом случае не получается гауссово парак-
параксиальное изображение. Уравнение для любой координаты (х или
у) дублета ювадрулольной линзы -полностью эквивалентно уравне-
уравнению D3), в -котором следует заменить координату 6 на z и поло-
положить K2=Ki2=x22 = ea/mvZ9 a=—dBx/dy=—dBy/dx = const. Матрич-
Матричные элементы для координат х и у одинаковы, однако их
последовательность разная. Например, если для координаты х
^N '"Ч «^»
матричный элемент равен MiM0M2, то для координаты у он ра-
•^ '^ ^Ч
вен М2М0Ми где
—xsmx-
COStt
M —
1 d
0 1
f (sh»f)/«
к shx——
2
chx -:^
2
} (99)
где zo/2 — длина каждой из квадрупольных линз дублетг,; d — рас-
расстояние между дублетами. Здесь мы пренебрегли полями рассея-
рассеяния, что допустимо, если за фактическую длину линзы 2о/2 «принять
•величину, равлую ее физической длине плюс 10% расстояния меж-
Ду полюсами. Поскольку вычисления здесь стандартные, уже ис-
использованные выше, дадим сразу окончательный результат:
F^1 =:F^l = x (sin 8 ch 6 — sh 6 cos 8 + xd sh 8 cos 8)=x82 (— S+xS") +...,
8 = x^-; Fa = Fb = F. A00)
41
Поскольку система, не гауссова, т. е. уравнения для координат х
и у разные, то .главные точки для координат х и у получаются раз-
разными. Поскольку различие уравнений для координат х и у сводит-
сводится к разной 'последовательности фокусирующих и дефокусирую-
щих секторов, переход от координаты х к .координате у эквива-
эквивалентен перемене мест пространств предмета и изображения. В со-
соответствии с этим, если увеличение для координат х равно К, то
для координат у—/С~Ь
Zbfx=b+A; zbfy=b+B;
Zafx=a — B; zafy=a — A,
где zfx и zfy — координаты фокусов для -переменных х и у, а верх-
верхние индексы, как обычно, указывают на пространство предмета
(а) и -изображения (Ь)
i — sh 8 sin8 — %i sin 8 ch 8); 1
B = F (cos 8 ch 8 + sh 8 sin 8 -j-ni sh 8 cos 8). j ^ ^
Приближенно
A02)
Поскольку А ФВ, в общем случае получается стигматическое
изображение, т. е. точка изображается отрезком прямой. Астигма-
Астигматическая разность (при d=0)
+Q(S4), A03)
где za — координата, в которой находится изображение; Д =
= zby—zbx — разность точек, сопряженных га в координатах у я х.
Стигматическое .изображение получается для вполне определенно-
определенного лоложения предмета. Однако в этом случае увеличения К для
х и у координат отличны друг от друга
7^-1/A-б2);/^-l/O+d2).
Таким образом, полученное стигматическое изображение не явля-
является гауссовым. Выше упоминалось, что осесимметричные электро-
электромагнитные поля обеспечивают получение гауссо-ва параксиального
изображения. Однако на практике изображение может получиться
неправильным. Причиной искажения могут быть не учтенные в
параксиальном приближении нелинейные члены, искажения сим-
42
метрии, пространственный заряд и магнитное поле пучка и, нако-
наконец, разброс начальной энергии электронов.
Геометрической аберрацией линз называют искажения изобра-
изображений, связанные с 'использованием непараксиальных пучков.
В осешмметричной системе следующий неучтенный в ладогранж-иа-
не член пропорционален полиному четвертой степени отклонений
от оси. Исходную систему считаем гауссовой, а нелинейный член —
малым. Поэтому, подставляя в нелинейные члены решения линей-
линейного уравнения, получаем ура(внение для координаты х:
x"+K2(z)x=g{zi хо, *<>', уо, у0')-
Варьируя постоянные, легко найти матрицу перехода от плоскости
z=a до плоскости z—b:
Lif^ + M, A05)
где М — матрица G2), а
ь ь
lz)dz. (Юб)
Искажения, которые происходят на плоскости изображения z=zby
представим в -виде
где Мъ—^мг.трица, определенная для пространства без поля в G6).
Аналогичный расчет следует провести для координаты у, изучив
зависимость искажения Ас от х и у в предметной плоскости или в
плоскости диафрагмы. Даже в простых полях расчеты довольно
громоздкие -и здесь .не приведены.
Хроматическая аберрация проявляется в зависимости фокус-
фокусного расстояния от энергии частиц. В соответствии со сделанным
определением констг.нты электрического потенциала F4) измене-
изменение энергии пропорционально изменению потенциала ДФ. Под-
Подставляя в уравнение движения вместо Ф значение Ф+АФ и про-
проводя расчеты с точностью до первой степени АФ, находим выра-
выражение для функций g в A04), которая в данном случае не будет
зависеть от констант хо, ХоУо, г/о, а только от АФ.
Отличие от сферической симметрии может проявляться в до-
дополнительных линейных и нелинейных членах уравнения или в
асимметрии граничных условий. Эта асимметрия, окак мы видим,
приводит к астигматизму изображения. Учет аберрации и в этом
•случае приводится по стандартной методике теории возмущений.
Наличие объемного заряда существенным образом меняет ха-
характер фокусировки.
Существуют попытки ликвидации ряда аберраций с помощью
пространственного заряда, но практически пространственный за-
43
ряд приводит к расширению пучка. Если при этом не -нарушается
сферическая симметрия, то в параксиальном приближении полу-
чг.ется правильное изображение.
3. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Выше мы рассматривали малые отклонения от известных ор-
орбит или от осей системы. Однако в физике плазмы значительно
чаще приходится рассматривать движение частиц в "некоторой
ограниченной области, когда отсутствует высокая степень органи-
организации движения, присущая движению частиц -в ускорителях, спек-
спектрометрах, инжекторах или электронно-оптических системах.
К счастью, здесь очень часто появляются малые (параметры типа
A0):
и аналогичные малые параметры для других -компонент магнитно-
магнитного поля. Мы будем считать, что магнитное поле мало изменяет-
изменяется з?, время одного оборота частицы по орбите ('Пропорционально
1/Q) и на длине парморовского радиуса р, т. е. параметр e<Cl.
Приближение, в котором справедливо разложение решения в ряд
ло параметру е, называется адиабатическим приближением. Как
правило, ряды получаются асимптотически расходящимися.
Асимптотические методы, лежащие в основе адиабатического приб-
приближения, были развиты еще в прошлом столетии в связи с задача-
задачами небесной механики. В настоящее время адиабатическое при-
приближение получило достаточное математическое обоснование в ра-
работах ['19—21] и многих других. Во многих трудах содержится
полный библиографический список («например, в [22—27]).
3.1. Движение частиц в постоянном во времени магнитном поле.
Достоинством адиабатического приближения является не только
относительная простота, но <и исключительная физическая -нагляд-
-наглядность адиабатических уравнений движения в первом порядке раз-
разложения по мглому параметру е, -которое только и используется
на практике. Вывод уравнений также можно провести, используя
физические, а не строго математические аргументы.
За нулевое приближение принимаем движение в бесконечно
большом магнитном поле. В дальнейшем нам удобно рассматри-
рассматривать безразмерный параметр е не как конкретную величину, а как
некий условный знак, характеризующий -порядок малости. В окон-
окончательном ответе параметр е следует считать равным 1. Напри-
Например, запишем магнитное поле как — В, тогда уравнение движения
8
будет содержать параметр малости при старшей .производной
8mr=e(rXB).
В нулевом приближении 8=0 получаем i±=v±=0, где v± — ком-
компонента скорости, перпендикулярная силовой линии магнитного
44
поля. Так как мы считаем, что магнитное поле слабо изменяется
во всех направлениях на дли'не ларморовского радиуса, то в -ну-
-нулевом -приближении центр вращения частицы движется по сило-
силовой линии .в йваз'иоднородном поле A). Надо принять во внима-
внимание, что частица совершит много оборотов, прежде чем центр вра-
вращения существенно сместится «поперек магнитного поля. Исполь-
Используя параметр е, оба эти допущения запишем в следующем виде:'
где R(f, e) = Ro@()
— 'радиус-вектор центра вращения, a (t/e) ~Ш=тг — быстрое вре-
время. Радиус орбиты р зависит также от обычного времени t> так
•как наряду с 'быстрым вращением (время т) происходит медлен-
медленное изменение абсолютной величины ларморовского радиуса при
перемещении в слабонеоднородном магнитном поле (время t).
Будем, ^ак обычно, дифференцирование по времени t обозначать
точкой, а дифференцирование -по быстрому времени т—'штрихом.
Таким образом,
Подставляя эти выражения в уравнение движения, получаем:
^ ). A07)
Усредним уравнение по быстрому времени т, -полагая /=const.
Для этого запишем ларморовский радиус-вектор
где еь е2, е3 — тройка ортогональных единичных векторов. Пусть
вектор е3 в точке r=R всегда направлен вдоль магнитного поля.
Тогда легко видеть, что
Здесь угловые скобки—-символ усреднения по быстрому времени
т. После усреднения A07) примет следующий вид:
т т
где \i = ep4i/2=mv2J2B— магнитный момент электрона. Ниже
мы покажем, что эта величина является адиабатическим инвари-
инвариантом. При использовании A08) следует иметь в виду, что оно
является релятивистским и справедливо только с точностью до
первой степени параметра е. Умножая вектор'НО A08) на В, полу-
получаем:
45
Входящее сюда ускорение R выпишем в нулевом порядке
"v II
~~ dt
A09>
где Rk—>радиус крив-изны силовой линии, а п — единичный вектор
главной «нормали к силовой магнитной линии. Заметим, что-
dvJdt=Q при постоянном во времени магнитном поле. Используя
A09), записываем для Rj_ три эквивалентных выражения (пола-
(полагаем 8 = '1)'
Ri =
•(e.Xn)--
v2±/2+v\
QB
(rotB^;
= e3 X
2QB
QRk
ni-
Таким образом, заряженная -частица в -сильном слабонеодно-
род<ном ,и постоянном во времени магнитном поле в нулевом при-
приближении совершает быстрое вращение по орбите с ларморовским
радиусом p—vJQ и движется вдоль силовой линии магнитного
поля со скоростью R = uj e3 (рис. 15, 16). С учетом первого при-
приближения ло «параметру 8 центр кружка совершает еще дрейфо-
дрейфовое движение поперек (Магнитного поля (ЫО). Члены в AЮ), про-
пропорциональные v±, дают значения так называемого магнитного
•или градиентного дрейфа. Природа, магнитного (градиентного)»
я
Рис. 15. Схема скоростей v^1, Vj_, Rj_-
Частица совершает быстрые враще-
вращения по окружности радиуса р со^
скоростью Vj_. Заштрихованный кру-
кружок движется вдоль магнитного поля
со скоростью v (| и медленно дрейфу-
дрейфует поперек магнитного поля со ско-
скоростью Rj_
Рис. 16. Вращение частицы по орбите*
радиуса р со скоростью Vj_ эквива-
эквивалентно (в дрейфовых уравнениях)
взаимодействию магнитного поля с
кружком, имеющим заряд е и магнит-
магнитный момент |jl
дрейфа очень простая. Усредняя 'быстрое движение частиц, мы
фактически заменяем движение -по ларморовской орбите то^еч'ным
круговым током с магнитным моментом ji. Иногда говорят, что
происходит замена электрона или другой заряженной частицы
кружком с зарядом е и с магнитным моментом fi. Магнитный
дрейф возникает в результате взаимодействия магнитного момен-
момента кружка с неоднородным магнитным полем.
Члены A'Ю), пропорциональные и„, дают значение центробеж-
центробежного дрейфа частиц. При движении кружка вдоль криволинейной
силовой линии магнитного поля со скоростью 0ц центр кружка
смещается поперек силовой лини,и. Это смещение происходит под
действием -центробежной силы (в системе «координат, связанной с
центром кружка) mR0. Очевидно, что эта сила направлена вдоль
радиуса кривизны силовой ли-дии (в сторону от центра кривизны)
и приводит к появлению дрейфа частицы, перпендикулярного маг-
магнитному полю В и вектору главной нормали силовой линии п. Из
уравнений A10а) видно, что если rotBx = 0, то направления маг-
магнитного и центробежного дрейфов совпадают.
Если A08) рассматривать формально, то создается впечатле
ние, что центр кружка совершает, наряду с плавным движением
вдоль силовой линии и плавным движением поперек поля A10),
еще быстрые ©ращения вокруг силовой лини.и, как всякое заря-
заряженное тело. Ргдиус быстрого вращения кружка как целого при-
приближенно равен .#j_/Q~Jl/Q2~e2 и является величиной второго по-
порядка малости по е. Итак, полученное нами «из A08) вращение
кружка как целого — результат завышения точности, так как из
A08) можно получать результаты только с точностью до первой
степени параметра 8. Одб?;ко качественно полученный вывод ука-
указывает, что для определения высших приближений по 8 >надо учи-
учитывать -более мелкие быстрые движения, разлагая его в ряд Фурье
по гармоникам циклотронной частоты Q.
Строгий с математической точки зрения метод усреднения в
.любом порядке малости развит в [19] и применен к задг.че движе-
движений частиц многими авторами. В [2] удалось развить метод, удоб-
удобный для описания поведения частиц во всех порядках параметра
8. Движение частиц раскладывается в ряд Фурье по быстрому
времени (при вычислении коэффициентов ряда обычноевремя рас-
рассматривается как параметр). Каждому следующему члену ряда
"Фурье (Приписывается более высокий порядок по е:
*"№,('. е)е«»* + к.с]. A11)
тде f = — [B{R0)dx; * = t(e.
т J
После подстановки AН) в уравнение движения все коэффициен-
коэффициенты ряда Фурье приравниваются -нулю. Таким образом, получаем
зацепляющийся ряд усредненных по быстрому времени уравне-
уравнений. Число членов 'ряда A11), которые надо использовать, равня-
47
ется желаемому порядку точности -по 8. Законность такой проце-
процедуры доказана строго математически [20]. При разложении по па-
параметру е получаем асимптотические ряды. Это означает, что хотя
бесконечный ряд не сходится к искомой функции и вообще не схо-
сходится, конечное число членов ряда сходится к искомой функции
при е-Ю:
где f — искомое решение; sn — сумма п членов ряда. Асимптоти-
Асимптотические ,ряды -приводят иногда к таким ситуациям, когда увеличе-
увеличение числа членов ряда пр'И заданном 8 -не улучшает, а ухудшг.ет
аппроксимацию истинного -решения. В работе [121] показано при-
применение асимптотического ряда -на примере решения зада.чи о ма-
маятнике с -медленно меняющимся -положением равновесия -и боль-
большой частотой колебания:
s*x+x=f(t).
Постараемся найти неооциллирующую часть решения этого урав-
уравнения. Для этого предположим, что х зависит только от времени/
и не зависит от быстрого времени %=t/e. Таким образом, диффе-
дифференцирование по / не понижает порядок величины х. Методом
последовательных приближений найдем, что
Этот ряд в отличие от ряда Тейлора не содержит п\ в знаменате-
знаменателе. Поэтому для того, чтобы ряд сходился, недостаточно потребо-
потребовать даже аналитичность f. Ряд сходится, если разложение f\{t-{-e)
в ряд по s имеет бесконечный радиус сходимости, а если / — пе-
периодическая функция, то еще требуется, чтобы ее разложение
в ряд Фурье содержало конечное число членов.
3.2. Движение частиц в магнитном и электрическом полях.
Выше рассмотрено движение частиц в постоянном магнитном по-
поле. Сделаем следующий шаг, предположим, что магнитное поле
/ 1 дВ \
медленно изменяется во времени ^е и, кроме того, на
частицу действует сила mF=eE+g. Оставаясь в рамках нереля-
нерелятивистского приближения, перейдем в систему координат, движу-
движущуюся со скоростью:
В этой системе координат F±=0 и
^) (ИЗ)
где Rc — скорость кружка в движущейся системе:
R=Rc+vd.
48
Параллельную составляющую силы, так же как и параллельную
составляющую dvjdt, положим порядка е, чтобы не выйти за
рамки адиабатического -приближения. Умножая вектор'НО ургводе-
ние (ИЗ) на В, находим Rcj_:
х v^)+^(B X (Rc + Vd))l; 1 n 1/lv
J A14)
Выражение для Rc следует вычислять в нулевом приближении:
A15)
dt VH — ез dt
Vd ~
dt
Здесь градиенты берутся по координатам •неподвижной системы.
Аналогичным методом мож<но получить уравнение продольного
движения:
dv
m
dt ~~~
Сравним полученные результаты с выражениями для дрейфа
в (МО). Наряду с магнитным и центробежным дрейфами лоявил-
ся электрический дрейф vd, а также дрейфы, связанные с силой
инерции —mvd и с изменением во времени магнитного поля. Об-
Обратим также внимание на то, что выражения для Rc A15) и для
Ro A09) не совпадают, так как мы считали v<z~l. В рассматри-
рассматриваемом приближении надо положить в A15) dv\\ /dt, потому что Rc
вычисляется в нулевом порядке. Отметим, однако, что в A15)
dvJdt=^Q [,в отличие от A09)].
Как известно, в постоянном во времени магнитном поле реля-
релятивистские и нерелятивистские уравнения движения совладают,
если под т понимать полную массу частицы. Аналогичное совпа-
совпадение получается, если считать F± и F{1 малыми величинами по-
порядка е, г, магнитные поля медленно меняющимися во времени.
Мы не будем приводить полное релятивистское уравнение для
F±~l, полученное в [28].
3.3. Движение частиц в поле электромагнитной волны. Рас-
Рассмотрим движение частиц в поле электромагнитной волны. Пред-
Предположим, что частота волны со значительно превосходит частоту
ларморовского вращения. Электрическое и ма-гнитные поля будем
считать одного порядка A/е). Нерелятивистское уравнение движе-
движения имеет следующий вид:
er = -?-Ecos-^-f+-i- rXBcos — U A17)
mem e
Для усреднения уравнения по быстрому времени т применим уже
использованный метод. Положим:
r=R(*, е)+гр(т, *, е), A18)
где x = t/e — быстрое время. В нулевом приближении уравнение
движения имеет простой вид:
р " = _f_Ecosw/, ро= — Ecosan. A19)
т ты2
Запишем уравнение первого .приближения
(pv)Ecoso)T + — Ro X Bcoscot.
o +р (p0v) +
m m
Проводя усреднение по т и считая t = const, получаем:
ii е* /с м? e*E2
Rn = (Еу) Е = — и
0 шо2 V V; V
Таким образом, медленное усредненное движение в электромаг-
электромагнитной волне эквивалентно движению в потенциальном поле
U=e2E2/2rn(o2.
Лег.ко видеть, что частицы обоих знаков концентрируются в обла-
области минимума амплитуды электрического лоля, например в узлах
стоячей волны. Указанное выражение ©первые получено в [29] и
•подробно исследо.вано в [30]. Силу F=—V'f/ называют силой
Миллера. Если помимо поля волны существует постоянное магнит-
магнитное лоле и при этом возможно провести усреднение ло частотам
«со, Q, со—Q, то выражение для силы Миллера примет вид [30]:
где Е„, ?"_l(+), Е±(-> — амплитуды электрического поля трех вол'н,
на, которые разлагается -исходная электромагнитная .волна; Е„ па-
параллельна статическому магнитному .полю; E±w и Ех^—^ам-пли-
туды двух волн с левой и правой круговой поляризацией в пло-
плоскости, перпендикулярной статическому магнитному полю. В этом
случае быстрое движение .происходит с тремя разными частотами:
с частотой волны со, циклотронной частотой Q и разностной часто-
частотой со—Q. Tsik же, .как и >в предыдущем -случае, сила F получает-
получается в результате усреднения воздействия на частицу по этим трем
частотам, -поэтому выражение для F не справедливо при j со—Q| ~
4. ИНТЕГРАЛЫ ДРЕЙФОВЫХ УРАВНЕНИЙ
Из теории уравнений Гамильтона известно, что интеграл дейст-
действия /= jSPdQ, взятый вдоль замкнутой кривой 5, остается по-
S
¦стоянным, если кривая S деформируется во времетаи в соответст-
соответствии с движением точек этой 'кривой согласно уравнениям Га-
50
мильтона. Чтобы найти интегралы движения тг.ким способом, сна-
сначала нужно решить уравнения Гамильтона. Но если уравнение
решено, становится неинтересной задача .вычисления интегралов
действия. Однако ситуация изменяется, если движение периоди-
периодическое или 'Почти периодическое и кривая S заранее известна.
В адиабатическом приближении движение частиц в .плоскости,
перпендикулярной магнитному полю, почти периодично по лармо-
ровским орбитам. Этому почти периодическому движению соответ-
соответствует та.к называемый поперечный адиабатический инвариант,
который легко можно найти -с точностью до первого .порядка по 8.
Перейдем к каноническим переменным ^=р+еА и Q=r, в ка-
качестве кривой 5 выберем ларморовскую орбиту. Если -при вычис-
вычислении интеграла действия считать магнитное поле В постоянным,,
то легко показать, что поперечный адиабатический инвариант с
точностью до постоянного множителя равняется магнитному мо-
моменту частиц:
?!& & A20)
2В бпт
Полезность этого интеграла связана с его локальной зависимостью
от значения магнитно/го поля. Другими словами, значение \х в ма-
малой окрестности (порядка е) любой точки О -не изменяется, как
бы «ни менялись поля всюду В'не этой окрестности.
В адиабатическом приближении -поперечный инвариант всегда
существует. Наличие других полезных интегралов зависит от ха-
характера задачи. При усреднении по быстрому движению мы фак-
фактически исключили фазу вращения частицы -по ларморовской ор-
орбите. Знг;я интеграл движения \х, можно исключить еще одну ка-
каноническую переменную. В [21] показано, что при этом га.м.ильто-
нова форма уравнения сохраняется. Если в 'Новых канонических
переменных меньшей размерности существует почти периодиче-
периодическое движение, то можно усреднить по фазе это движение и полу-
получить новый адиабатический инвариант fSPidQu где ^ и Qi — но*
вые канонические переменные. Очевидно, что максимально воз-
возможное число адиабатических инвариантов равно числу степеней
свободы.
Ади-а'батичеокие инварианты получаются также автоматически,
если последовательно провести усреднение по методу, изложенно-
изложенному выше.
'Рг.ссмотрим для примера движение частиц, захваченных в про-
простую магнитную открытую ловушку. Если магнитное поле ловуш-
ловушки удовлетворяет условиям адиабатичности, то существует попе-
поперечный адиабатический инвариант A20). В магнитной ловушке
запертые частицы совершают еще два типа почти периодических
Движений: колебание между пробкг.ми ловушки и дрейфовое дви-
движение поперек линий магнитного поля (рис. 17). Колебаниям:
между пробками соответствует второй продольный инвариант:
Ib A21)
51
Рис. 17. Магнитное поле адиабати-
адиабатической ловушки и движение заряжен-
заряженной частицы (М — поперечный раз-
разрез двух катушек с током). Частица,
вращаясь по лармаровской орбите,
одновременно совершает квазиперио-
квазипериодическое движение между точками
отражения А и В
где р,| — канонический импульс (компонента ;импульса, параллель-
пая магнитному полю); dl — элемент длины вдоль силовой линии
магнитного поля. Действительно, гамильтониан в этом случае име-
<ет следующий вид:
p\/2m+\iB{l)=H.
Нг,конец, частица медленно дрейфует поперек магнитного поля
(ПО), совершая почтд периодические движения вокруг оси ло-
ловушки. Этому движению соответствует третий, так называемый по-
потоковый инвариант, который в нулевом приближении равен потоку
магнитного поля, охватываемому траекторией частицы:
=Y. A22)
Итак, при учете только дрейфового движения поперек магнитного
поля и при исключении других движений мы имеем кружок боль-
большого радиуса, в котором заморожен поток магнитного поля.
Проведенные здесь 'качественные рассуждения могут быть
обоснованы строгими математическими расчетами [2I]. Более
того, было доказано существование адиабатических инвариантов
во всех порядках разложения истинного решения в ряд по пара-
параметру е. В литературе обычно принято под адиабатическими инва-
инвариантами понимать их значения в первом приближении. Конечно,
вид адиабатических инвариантов с учетом высших степеней пара-
параметра е меняется, и фактический их расчет может оказаться чрез-
чрезвычайно громоздким и сложным делом. Однако теорема о сохра-
сохранении первого адиабатического .инварианта во всех порядках мо-
может быть проверена без фактического вычисления инвариантов в
высших порядках. Для этого следует воспользоваться локальной
зависимостью инварианта от магнитного поля. Если частица нача-
начала двигг.ться из области однородного магнитного поля, то в точ-
точке инжекции 8=0 -и поэтому выражение дл>я инварианта A'20)
является точным. Пусть затем частица попадает в поле, неодно-
неоднородность которого определяется параметром е. Когда частица
вновь вернется в окрестность точки инжекции, значение магнит-
магнитного момента, будет отличаться от первоначального на величину
порядка е~1/8, которая стремится к нулю при е-ИЗ быстрее, чем
любая степень параметра е.
Точное нахождение изменения инварианта \х в рамках адиаба-
адиабатической теории невозможно. Необходимо выйти за рамки асимп-
52
j \ /
1
j
A
A
0
1
1
1
1
i ^
В z
Рис. 18. Колебания значения магнит-
магнитного момента \i при одном колебании
частиц в магнитной ловушке между
точками отражения в пробках А и В
-готического приближения. Воз-
Возможен и другой полуэмпириче-
полуэмпирический подход [31, 32]. На роль
резонансов в изменении адиаба-
адиабатических инвариантов указали
еще в [33].
В [31] было изучено влияние
резонансов между ларморовским
вращением и колебаниями за-
запертой частицы между пробками
магнитной ловушки на сохране-
сохранение адиабатического инварианта
и на этой основе была выска-
высказана полезная идея об условиях,
при которых происходит сильное нарушение постоянства адиаба-
адиабатических инвариантов.
Резо'нан-сы, с которыми мы будем иметь дело, являются 'нели-
'нелинейными: частота колебаний зависит от амплитуды. В магнитной
ловушке частота колебаний зависит от знг.чения .магнитного мо-
момента. Порядок резонанса -в ловушке очень высокий, так как ча-
частоты колебаний между пробками и циклотронная частота разно-
то порядка. Порядок резонанса зависит от значения \х. Сильное
изменение \х (Возможно при переходе от одного резонанса к дру-
другому. В [Э1] сделано -предположение, что .переход частиц от од-
одного резонанса к другому «возможен, .-когда ширины резонансов
становятся больше расстояний между «ими. Предположим, напри-
например (рис. 18), что неадиабатическое (зависящее от ларморовской
фгзы) изменение магнитного момента за время одного прохожде-
прохождения между пробками магнитной ловушки
A[i=\xCe 8 sincpn,
A23)
где е — параметр адиабатичности; С — константа; <рп — фаза вра-
вращения по ларморовскому кружку -в момент n-го прохождения ча-
частицей центральной плоскости между пробками [32, 35]. Величи-
Величины С и 8 можно вычислить для 'конкретной системы (см., -напри-
-например, [34]). Вопрос состоит jb том: будут ли малые изменения A*23)
-накапливаться или они усреднятся за многие прохождения через
центральную .плоскость? Значение Aji зависит от фазы срп, которая
вдали от резонансов между продольным ,и лармороооким колеба-
колебаниями быстро изменяется:
Фп+1 — фп —я?2/со,
где Q—.средняя циклотронная частота; со — частота колебаний
между пробками. При наличии резонанса Q/<o=\N величина ji бу-
будет испытывать большие, но ограниченные (из-за нелинейности)
колебания. Только в том случае, когда из-за наличия возмущений
ширины резонгнсов становятся больше расстояний между ними,
53
возникает блуждание частицы от одного резонанса к другому, что
приводит к сильному изменению магнитного момента. Указанная
неустойчивость связана с переходом от динамического движения
к стохастическому. Эта важная проблема подробно рассмотрена
в других главах. Здесь мы лишь укажем, что пр,и перекрытии ре-
зона-нсов изменение магнитного момента должно происходить па
диффузионному закону с коэффициентом диффузии
24
Укажем на один «метод нахождения интегралов дрейфовых
уравнений в релятивистском приближении [25]. Пусть магнитное
поле В и электрическое поле Е -не зависят от времени. Запишем
законы сохранения энергии и магнитного момента
т0ус2+еФ=г0\ m0y2v2±/2B = iiy A25)
где
Отсюда можно 'найти зависимость v{] от координат при фиксиро-
фиксированных 8о .и \i:
A26)
Здесь скорость частицы рассматриваем в системе, движущейся со
скоростью vd=i(Exe3)/5. Полная скорость кружка в лаборатор-
лабораторной системе
-^^„e. + Ri + v* A27)
где R_l определено в (МО). Используя A26), уравнение A27) пе-
перепишем в -следующем виде:
! +-^-^КТе3). A28)
Рассмотрим случай, когда BrotB = 0:
4=-^го1(а + ^вУ 029)
Здесь А — векторный потенциал магнитного поля.
Введем эффективный векторный потенциал.
ЖВ A3°)
-и эффективное магнитное поле В* = rot А*.
54
Легко видеть, что траектории частиц совпадают с силовыми
линиями эффективного магнитного поля В*. Следовательно, они
лежат на магнитных поверхностях поля В*. Используя это заме-
замечание, можно найти интегралы движения для некоторых случаев,
когда поле обладает симметрией. Например, если А* -не зависит от
2, то A*2(x, #)=eonst. При осевой симметрии rAe(r,z) =const.
При винтовой симметрии A*z+aMQ=const, где шаг винта равен
2л/а.
Рассмотрим для «примера движение частиц в мнсигопробочной
системе с большим -продольным полем Bz. В такой системе су-
существуют з ал ер ты е и пролетные частицы. Для запертых частиц
наряду с поперечным инвариантом существует продольный. Для
пролетных частиц мож-но также найти продольный .интеграл, кото-
который будет отличаться от обычного продольного инварианта. Еслр
е цилиндрической системе координат Вг*/Я**<1, Ве*/52*<1, тс
уравнение магнитной поверхности, усредненной по периоду лаву--»
шек L, имеет вид:
Г(Л2 + -^И _ A^Brdz')dz= const.
о 2 о
Аналогичные инварианты для продольного движения частиц мож-
можно лолучить и в винтовых магнитных полях.
5. НЕАСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Как указывалось выше, в адиабатическом приближении мы до сих пор по-
получали только асимптотические ряды. При вычислении с точностью до первой
степени е не так уже важно, является ли ряд асимптотическим или сходящим-
сходящимся. Однако при использовании асимптотических рядов остается открытым воп-
вопрос о том, будет ли финитным движение на бесконечном интервале времени,
какие условия перехода от динамического описания к статистическому? Многие
вопросы динамики частиц остаются нерассмотренными до конца. Это особен-
особенно относится к проблемам сильно неустойчивого движения при взаимодейст-
взаимодействии нелинейных резонансов. С математической точки зрения трудность расче-
расчетов даже при наличии малого параметра определяется существованием мно-
множества малых резонансных знаменателей в разложении решений в ряд и не-
невозможностью избежать прохождения через резонанс при учете последователь-
последовательности малых возмущений. Изложенная выше методика позволяет избежать
нулевых резонансных знаменателей, однако позволяет сделать ряды сходящи-
сходящимися. Ряды, как правило, оказываются асимптотическими.
Возможности нахождения сходящихся рядов теории возмущения основы-
основываются на двух идеях А. Н. Колмогорова {[36]. Оказалось, что для многих си-
систем, описанных ниже, можно зафиксировать нерезонансный набор частот. Это
удается сделать в результате изменения постановки задачи и использования
зависимости значений частот от начальных условий. При введении последова-
последовательности возмущений, т. е. при построении ряда со все большими степенями
параметра е, следует оставлять выбранный нерезонансный набор частот посто-
постоянным (из-за изменения начальных условий). Вторая идея состоит в построе-
построении так называемого сверхсходящегося ряда. Вместо того, чтобы разлагать
решение в ряд по целым степеням п параметра гп, строится быстро сходящий-
сходящийся ряд по степеням е2. Такие методы известны давно, например метод каса-
касательных Ньютона для нахождения корней алгебраических уравнений. Ниже
такой метод указан для гамильтоновых систем следующего типа:
fc, Ф*. 8), A31)
55
где Д, фй — переменные действия и угловые переменные, индекс k пробегает
значения от 1 до N. Функция V периодична по ф& с периодом 2я. Решение
нулевого приближения уравнений Гамильтона:
Ih = const; yk = щ D) == дН0/д1п. A32>
Движение в нулевом приближении является условно периодическим. В даль-
дальнейшем будет рассматриваться невырожденный случай, когда все N частот со&
независимы, т. е. удовлетворяют условию
Det
= Det
Ф0.
A33)
dltdlk
Таким образом, в фазовом пространстве могут существовать нерезонансные-
инвариантные торы (/А = const) с максимальным набором частот. Множество
нерезонансных торов всюду плотное. Для указанной гамильтоновой системы
нулевого приближения [36] была доказана теорема о том, что при достаточно-
малом возмущении большинство нерезонансных торов не исчезает, а лишь нем-
немного деформируется. Таким образом, в возмущенной системе также имеются
инвариантные торы с числом частот, равным числу степеней свободы. Слово
«большинство» в формулировке теоремы понимается в математическом смыс-
смысле, что мера других тороидов стремится к нулю вместе с возмущениями.
На простом примере покажем построение сверхсходящегося ряда. Факти-
Фактически нахождение ряда сводится к последовательности канонических преоб-
преобразований, уменьшающих порядок той части гамильтониана, которая зависит
от з^гловых переменных. На первом шаге получим:
где 7fc, ерь — новые канонические переменные. Продолжая замену переменных,
мы последовательно переходим к возмущениям более высокого порядка:
Для примера рассмотрим систему:
Р =
где
— целые числа, а система ' невырождена
Det
dlk
Введем'
k
преобразующую функцию, чтобы повысить порядок возмущения, зависящего
от фаз:
F G, 6) =
+
exp [i
Здесь mсо=2/72^@^; упомянутый резонансный знаменатель
h = h — exp(i яг9).
/72@
Исключив из рассмотрения резонансный слой, ограничим снизу резонансный'
знаменатель. Поскольку все частоты фиксированы, это ограничение сохраня-
сохраняется при нахождении следующих членов ряда. Конечно, ширина резонансного-
слоя должна убывать с ростом порядка резонансов. Строгая оценка сходимо-
сходимости рядов при различных условиях на возмущение (теория КАМ) проведена
в [37].
Доказательство устойчивости нерезонансных торов еще не доказывает ус-
устойчивость или финитность траекторий в общем случае. Действительно, хотя
объем резонансных слоев в фазовом пространстве мал, они заполняют всюду
плотное множество. Поэтому почти невозможно с физической точки зрения
локализовать начальные условия в области устойчивости, несмотря на то что
почти все начальные условия приводят к почти периодическому движению да-
56
же при наличии возмущений. Такая картина объясняет, почему траектория
изменяется даже качественно с параметром малости ехр(—1/е), как это было
описано выше.
Однако совсем другая картина получается в системе с двумя степенями
свободы, когда траектория не имеет векового возмущения и остается все вре-
время в области, которую занимала в начальный период времени. Данное утвер-
утверждение справедливо для резонансных и нерезонансных начальных условий.
Действительно, размерность нерезонансных торов равняется ./V— числу степеней
свободы, а размерность гиперповерхности энергии 2N—1. Только для двух сте-
степеней свободы размерность торов на единицу меньше размерности гиперпо-
гиперповерхности энергии. В этом случае, как говорят ^математики, торы делят по-
поверхность энергии, подобно тому как линия (замкнутая или бесконечная) де-
делит плоскость, но %точки не делят плоскость, а линии не делят пространство.
Таким образом, в случае двух степеней свободы переход от одного резонанс-
резонансного тора к другому возможен лишь через инвариантный нерезонансный тор.
Траектория, начавшаяся у резонансного тора, окажется запертой между дву-
двумя нерезонансными торами. Как бы ни запутана была траектория, она не уй-
уйдет из указанного слоя.
Итак, в осесимметричной ловушке возможно вечное существование запер-
запертых частиц, которые могут 'сдвинуться в фазовом пространстве вдоль линии
постоянной энергии на ширину слоя. Следует заметить, что приведенные выше
рассуждения для двумерных систем оказываются неприменимыми и для так
называемых изохронных систем, у которых линия резонансов идет вдоль ли-
линии постоянной энергии.
Нарушение осевой симметрии открытой магнитной ловушки изменяет раз-
размерность задачи и делает возможным переход из одной резонансной зоны в
другую даже при малых 8. Уход частиц из ловушки происходит по диффузи-
диффузионному закону, поэтому он получил название диффузии Арнольда. Подробно
этот вопрос рассмотрен в 1[32, 35, 38, 39].
Теория КАМ широко используется для решения многих задач динамики
частиц :[40], а также для описания перехода 'гамильтоновых систем из дина-
динамического режима в стохастический [39, 41].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Терлецкий Я. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1941, т. 11, с. 96—101.
2. Terletzky Ya. P. —J. Phys., 1945, vol. 9, p. 159—167.
3. Wideroe R. — Arch. Elektrotechnik, 1928, vol. 21, p. 387.
4. Будкер Г. И. — Атомная энергия, 1956, т. 1, с. 9—20.
5. Рабинович М. С —Труды ФИАН, 1958, т. 10, с. 23-н173.
6. Коломенский А. А., Лебедев А. Н. Теория циклических ускорителей. М.:
Физматгиз, 1962.
7. Stormer S. The Polar Auroral. Oxford: University Press, 1955.
8. Christofilos N. Rep. of California University, Livermore, 1950.
9. Балдин А. М., Михайлов В. В., Рабинович М. С. — Журн. эксперим. и
теорет. физ., 1956, т. 31, с. 993—1002.
,10. Векслер В. И. —Докл. АН СССР, 1944, т. 43, с. 346—349.
И. Векслер В. И. —Докл. АН СССР, 1944, т. 44, с. 393.
12. Veksler V. I. — J. Phys., 1945, vol. 9, p. 157—159.
13. Veksler V. I. —Phys. Rev., 1946, vol. 69, p. 244.
14. Файнберг Я. Б. —Журн. техн. физ, 1959, т. 29, с. 568—580.
15. Старрок П. Статическая и динамическая электронная оптика: Пер.
с англ. М.: Изд-во иностр. лит. М., 1958.
16. Рустенхольц Н. — Электронная оптика. М.: Изд-во иностр. лит. 1957.
17. Глазер В. Основы электронной оптики. М.: Гостехтеориздат, 1957.
18. Кельман В. М., Явор С. Я. Электронная оптика. Л.: Наука, 1968.
19. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику.
Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
20. Berkowitz J., Gardner S. — Commun. on Pure and Applied Math., 1959,
vol. 12, p. 501.
57
21. Крускал М. Адиабатические инварианты: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр.
лит., 1962.
22. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео-
теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.
23. Нортроп Т. Адиабатическая теория движения заряженных частиц. М.:
Атомиздат, 1967.
24. Сивухин Д. В. Вопросы теории плазмы. Вып. 1/Под ред. М. А. Леонто-
вича. М.: Атомиздат, 1963.
25. Морозов А. И., Соловьев Л. С. Вопросы теории плазмы. Вып. 2./Под
ред. М. А Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963.
26. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1967.
27. Арцимович Л. А., Лукьянов С. Ю. Движение заряженных частиц в-
электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1972.
28. Vandervoort P. О. —Ann. Phys., 1960, vol. 10, p. 401—459.
29. Гапонов А. В., Миллер М. А. Журн. эксперим. и теорет. физ. 1958, т. 2Г
с. 751—752.
30. Миллер М. А. —Радиофизика, 1959, т. 2, с. 438.
31. Чириков Б. В.— Атомная энергия, 1959, т. 6, с. 630—639.
32. Чириков Б. В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Новосибирск:
Изд-во Новосибирского ун-та, 1978.
33. Андронов А. А., Леонтович М. А., Мандельштам Л. И. — Журн. Рус.
физ.-хим. об-ва, 1928, т. 60, с. 41.
34. Хасти Р., Хобс Г., Тейлор Дж. — В кн.: Конференция по физике плаз-
плазмы и управляемому термоядерному синтезу. Новосибирск, 1—7 авт. 1968 г.„
т. 2. Вена: МАГАТЭ, 1968, с. 389.
35. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: Изд-во Новосибир-
Новосибирского ун-та, 1977.
36. Колмогоров А. М. —Докл. АН СССР, 1954, т. 98, с. 527—531.
37. Арнольд В. И. —Докл. АН СССР, ,1962, т. 142, с. 758—762.
38. Чириков Б. В. — Физика плазмы, 1978, т.'4, с. 521.
39. Chirikov В. V. — Phys. Repts, 1979, vol. 52, p. 263.
40. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.:
Наука, 1974, с. 365.
41. Lichtenberg A. J. Intrinsic Stochasticity in Plasma./Ed. by G. Laval»
D. Gresillon. Orsey, France: Les Editions de Physique Courtaboeuf, 1979, p. 13.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЛАЗМЕ
А. В. ЕЛЕЦКИЙ, Б. М. СМИРНОВ
Основные свойства плазмы определяются присутствием в ней
заряженных частиц, та.к что наиболее важные процессы соударе-
соударения частиц в плазме протекают с участием заряженных частиц.
В данной статье рассмотрены физические механизмы, ответствен-
ответственные за протекание процессов такого рода, представлены основные
характеристики этих процессов.
1. ОБРАЗОВАНИЯ И ИСЧЕЗНОВЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ
ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
Количество заряженных частиц ,в плазме определяется процес-
процессами ионизации атоммых частиц и процессами рекомбинации при
столкновении двух противоположно заряженных частиц. Эти про-
процессы и будут далее рассмотрены.
58
1.1. Ионизация атома электронным ударом. Наиболее эффек-
эффективный способ образования заряженных частиц в плазме происхо-
происходит -при столкновении электрона с атомом и молекулой:
е+А-+2е+А+. A)
Рассмотрим этот процесс. Самый простой способ его описания
опирается на модель Томсона. В рамках этой модели процесс
ионизации является процессом -столкновения налетающего электро-
электрона с валентным, .которому передается энергия,.превышающг»яэнер-
энергия,.превышающг»яэнергию ионизации атома. При этом считается, что в момент столкно-
столкновения электронов связью валентного электрона со -своим ядром
можно пренебречь. Тогда сечение ионизации
°ion= J da, B)
где da — дифференциальное сечение рассеяния электронов; Д? —
энергия, передаваемая от налетающего электрона атомному. Вос-
Воспользуемся формулой Резерфорда [1] для da, считая, что валент-
валентный электрон -покоится в начальный момент времени:
dG=ne4M/EM\ - C)
где Е — энергия налетающего электрона. Подставляя C) в B) и
учитывая, что передаваемая валентному электроду энергия Д<?
меняется от С/ до ?, получг.ем формулу То'мсона для сечения
ионизации
oion=(ne*/E) (l/Cf-l/E), E^Cf. D)
В том случае, если атом или молекула содержит п валентных
электронов, сечение -следует умножить на эту величину.
Отметим важную особенность формулы Томсона для сечения
ионизации — она зависит только от .классических -параметров. При-
Причина этого—.квантовое и классическое сечения упругого столкно-
столкновения заряженных частиц совпадают [2]. Продолжим эту анало-
аналогию дальше. Учитывая модельный характер формулы Томсона,
запишем сечение ионизации в общем виде, опираясь на классиче-
классические параметры атома и процесса столкновения частиц: Еу Cf, е2
и те. При этом сам атом мы характеризуем только одним пара-
параметром У. Из соображений размерности имеем для сечения иони-
ионизации:
oion=(nne*/y*)f(E/Cf)9 E)
где п—• число валентных электронов; /(*')—универсальная функ-
функция, одинаковая для всех атомов, у которых совпадают состояния
валентных электронов. Эту функцию удобно восстановить на осно-
основании эксперимента. На рис. 1 представлены значения этой уни-
В'ерсгльной функции [3], восстановленные на основе измерений для
атомов и ионов с валентными s-электронами. Как видаю, удобная
аппроксимация для универсальной функции имеет вид [3]:
F)
59
7 7,2 7,6 2 3 k 5 6 7 8 W /2 IS 20 W 40 50 x
Рис. 1. Сравнение функции f(x), восстановленной на основании выражения
A.5) из данных по измерению сечения ионизации, с аппроксимационным выра-
выражением A.6)
Отметим, что использованные на рис. 1 сечения ионизации для
атомов и ионов от HeB3S) до Li+ различают более чем на три
порядка, тогда как полученные на их основе значения универсаль-
универсальной функции оказываются близ.ким,и уже .при х—1^0,3, т. е. при
всех энергиях соударения, исключая узкую область вблизи порога.
Принципиальным недостатком «классической теории ионизации
является то, что в пределе больших энергий налетающего электро-
электрона она дает зависимость aion~\IEy тогда как на основе квантовой
механики получается зависимость oiontt\n(cE)/E. Эта проблема
достаточно полно исследована, более подробное ее состояние и об-
обзор литературы см. [4].
Оказалось, что, несмотря на принципиальное различие класси-
классической и квантовой теории, расхождение численных результатов
этих подходов невелико. Для возбужденного электрона снимается
и принципиальное различие этих подходов, так как в этом случае
постоянный член под логг.рифмом в квантовомеханическо-м выра-
выражении становится большим и логарифмическая зависимость сече-
сечения -практически ,не проявляется.
Наряду с рассмотренным процессом ионизации возможен и
другой способ ионизации ато-ма в плазме, при котором атом сна-
сначала возбуждается, дглее .при столкновении с электроном пере-
переходит в более возбужденные состояния, а уже из них ионизуется.
В этом случае атом в результате столкновения с электроном про-
проходит целую серию возбужденных состояний. Такой процесс иони-
ионизации -называется ступенчатой ионизацией. В отличие от нее рас-
рассмотренный ранее процесс ионизации в одну стадию называется
60
прямой ионизацией. Скорости этих процессов мы сравним при ис-
исследовании тройной рекомбинации электрона и иона.
1.2. Ионизация с участием возбужденного атома. Д/ругой ка-
канал образования свободных электронов в плазме обязан столк-
столкновению возбужденных атомов с атомами и молекулами и проте-
протекает по схеме:
А*+В-+АВ++е. (8)
Если атом Л* в процессе G) находится в метастабильном состоя-
состоянии, то процесс называется процессом Пеннинга. Он играет важ-
важную роль в газоразрядной плазме, являясь источником свободных
электронов и влияя на параметры газового разряда. В табл. 1
Таблица 1.
при
в
Н
Аг
Кг
Хе
]-{&
Не B3S)
Na
Zn
Cd
H2
Na
О'
CO
NO
co2
SF6S
Сечения
тепловых
He
2*S
22
5,5
7,8
11,8
270
110
14
22
45
2,4
5,3
14,5
7
17
35
21
2*S
33
9,7
34
50
17
2,4
9
24
14
33
64
53
процесса
G), :
энергиях [4], Кг1
Ne
3P2
2,8
1
16
42
46
0,6
0,9
3
—
iPl
—
4
—
1
3p°!3Pi
2,8
—
—
—
—
2,8
¦—
усредненные пс
> различным измерениям
8 см2 (по горизонтали — атомы Л*)
Аг
—
1
—
30
53
65
0,3
—
1,2
—
—
—
1,8
—
3Л>
—
—
—
—
—
1,8
—
*Рг
—
—
—
—
—
1,6
—
Кг
зр2
—
—
93
108
—
—
1,9
—
—
гРх
—
—
—
. .
—
—
—
—
1,6
—
—
зр°
—
—
—
—
1,8
—
—
—
—
—
—
.—
2,2'
—
—
приведены экспериментальные значения для сечения процесса
«И'нга при тепловых энергиях. (Данные взяты из монографии
'[4].)\
iB процессе Пеннинга энергия возбуждения атома А превышает
•потенциал ионизации атома В. В случае ассоциативной ионизации,
описываемой уравнением (8), энергия возбуждения атома А мо-
может быть меньше потенциала атома В, так что энергия, необходи-
необходимая дл-я ионизации, складывается из энергии возбужденного ато-
атома и энергии связи молекулярного иона АВ+. Механиз-м процесса
(о) мюжно понять из рис. 2. При сближении сталкивающихся
атомов А и В после того, как расстояние между ними стало мень-
61
Рис. 2. Иллюстрация механизмов ас-
ассоциативной ионизации и диссоци-
диссоциативной рекомбинации
ше расстояния пересечения тер-
термов RC9 состояние системы стал-
сталкивающихся атомов становится
автоионизационным. Оно распа-
падается (см. рис. 2, стрелка 1)
с образованием молекулярного
иона и свободного электрона.
Ассоциативная ионизация может
быть ответственной за образова-
образование свободных электронов в низ-
низкотемпературной плазме, содер-
содержащей много возбужденных час-
частиц (например, в пламенах).
1.3. Диссоциативная рекомби-
рекомбинация. В зависимости от пара-
параметров плазмы рекомбинация
электронов и ионов может протекать по разным каналам. В слабо-
ионизованной плазме с невысокой температурой газа, в которой
имеется достаточное количество молекулярных ионов, нейтрализа-
нейтрализация зарядов обусловлена диссоциативной рекомбинацией электро-
электронов и молекулярных ионов:
е+АВ+-+А*+В. (9а)
Этот процесс противоположен ассоциативной ионизации, и его
механизм можно понять из рис. 2. Электрон захватывается на
автоионизационный отталкивательный терм системы Л*Б (стрел-
(стрелка 2), и если ядра успевают разойтись до распада г.втоиониза-
ц-иоН'НОго состояния «на расстояние, превышающее RCf то происхо-
происходит рекомбинация. Сечение этого процесса агес порядка газокине-
тического. Поэтому коэффициент рекомбинации* теплового элек-
электрона и молекулярного ио,на а=<тоГес> ~Ю7 см/сХ'10~~15 см2^
л:10-8 см3/с. В тэбл. 2 представлены экспериментальные значения
коэффициентов рекомбинации электрона и молекулярных ионов
при комнатной температуре. (Данные взяты из {4, 5].I
1.4. Тройная электрон-ионная рекомбинация и ступенчатая
ионизация. Если температура плазмы достаточно высока, так что
молекулярные ионы в ней отсутствуют, то рекомбинация электро-
электрона и иона происходит при столкновении с третьей частицей. Третья
частица уносит избыток энергии (при диссоциативной рекомбина-
рекомбинации избыток энергии переходил в энергию разлета атомов). Чаще
всего третьей частицей является электрон, так что тройная реком-
рекомбинация электрона и иона на электроне протекает по схеме:
Л++2е->Д*+е« (96)
Если тепловая энергия электрона мтюго меньше потенциала
ионизации атома, то процесс тройной рекомбинации протекает в
* Коэффициент рекомбинации а вводится на основании соотношения
dNeldt=—aNeNi, где Net N( —плотность электронов и ионов соответственно.
Таблица 2. Значения коэффициента диссоциативной рекомбинации
молекулярных ионов, усредненные по результатам различных измерений,
выполненных при комнатной температуре (если температура отличается
от комнатной, она указана в скобках)
Ион
н+
NeJ
Аг^
Xef
He+
HeNe+
Hgt
Cs+
Cs+
ot
of
a, 10-7 cm8/c
0,3
0,07
1,8
6,3
8,2
19
34 (80)
0,2
25 D20)
1,7F00)
0,2F00)
1,9
23B00)
3
Ион
N+
NoV
CO4-
N2O+
CO+
H3O4-
H5Of
H3O+
H9O+
» 4
NH+
Na+O2
Na4-CO2
а, Ю-7 см8/с
15
3,5
6,8
17
2,6
10 E40).
20 E40)
38
49
60
18
50
50
несколько стадий. Сначала, образуется атом .в возбужденном со-
состоянии с потенциалов ионизации порядка Ге, а затем после не-
нескольких последующих столкновений с электродами возбуждений,
атом переходит «в основное состояние. Здесь Те — температура
электрона, причем здесь и далее температура выражается в энер-
энергетических единицах.
В рассматриваемом случае Ге< J (С/ — потенциал ионизации
атома) коэффициент рекомбинации а определяется первыми ста-
стадиями процесса, при .которых г.том проходит ряд возбужденных,
состоялий. Поскольку спектр высоковозбужде'нных состояний ато-
атома водородоподобен, то при низких электронных температурах
коэффициент тройной рекомбинации одинаков для всех атомов.
Далее, в силу тройного характера процесса .коэффициент реком-
рекомбинации а пропорционален плотности электронов Ne. Учитывая,,
что движение высоковозбужденного электрона в атоме квазиклас-
сич'но, заключаем, что величина отношения a/Ne определяется
только классическими па!раметрами процесса, каковыми являют-
являются Те — температура электронов, е2 — параметр взаимодействия-
заряженных частиц, m — масса электрона. Из этих параметров
можно построить только одну комбинацию с размерностью a/Ne.
Таким образом, из соображений размерности получаем следующее
выражение для -коэффициента тройной рекомбинации:
Рис. 3. Коэффициент тройной рекомбинации
электронов и атомных ионов, вычисленный
и измеренный при различных температурах:
ф, упрощенные расчеты с учетом кон-
конкретной структуры атомов [6, 7]* расчет
по формуле A.10); +, П — экспериментальные ре-
результаты для Н; X — для Аг; О — для Хе
A0)
10
8 16 32 Т,1ОдК
где С — числовой множитель (С«
-3-6 [4]).
На рис. 3 представлена зависи-
зависимость коэффициента рекомбинации
от температуры электронов, рас-
рассчитанная для разных сортов в ра-
работе [6] с учетом структуры атомов
и деталей процесса, а также при-
приведены экспериментальные значения. Как видно, при низкой тем-
температуре электронов разным сортам рекомбинирующих ионов
отвечают одинаковые значения коэффициента рекомбинации в со-
соответствии с формулой A0).
Процесс тройной рекомбинации детально противоположен про-
процессу ступенчатой ионизации. Учитывая это, определим .константу
скорости ступенчатой ионизации kCTyn. Если плазма находится в
равновесии, то число актов ионизации и рекомбинации, происхо-
происходящих б единице объема в единицу времени, совпадает, т. е.
0NeNi= kcrynN
О О
Плотность заряженных частиц и атомов в термодинамически рав-
равновесной плазме связана формулой Саха [8]
N*Ni = -ML (Л^еУ12 ехр (- Cf/Te), A2)
Na ga V 2яй2 J
где gey gu ga—-статистические веса электрона, иона и атома со-
соответственно. Подставляя A2) в A1) и используя для коэффи-
коэффициента рекомбинации формулу A0), получаем для константы ско-
ро'сти ступенчатой ионизации выражение
lL^.eXp(_//re); A=C. ge_2 {Щ
Сравним константу скорости прямой и ступенчатой ионизации
в случае Te<^Cf . Прямая ионизация определяется энергиями элек-
электрона вблизи порога. Сечение прямой ионизации вблизи порога
равно Огоп = о'(Е— Cf), где Е — энергия электрона. Отсюда нахо-
находим константу скорости прямой ионизации:
Ъ —
"'ступ
где усреднение О проводится .18 2
по максвелловскому распределению '10 ™
электронов. Взяв отношение констант
скоростей прямой A4) и ступенчатой
A3) ионизации и учитывая, что все
параметры в этих формулах, кроме
Те, порядка атомной величины, на-
находим:
кпрям/кступ~(Те/УO'2.
A5)
Рис 4. Зависимость сечения
фотодиссоциации гелия от дли-
длины волны падающего излуче-
излучения [91
Как видно, при низких электронных
температурах константа скорости сту-
ступенчатой ионизации значительно больше, чем прямой. Поэтому
в достаточно плотной плазме, где разрушение возбужденных ато-
атомов происходит в результате столкновений с электронами, иони-
ионизация атомов носит ступенчатый характер.
1.5. Фотоионизация и фоторекомбинация. Особенность фото-
фотоионизации атомов (процесса ионизации атома под действием фо-
фотонов с достаточной энергией) в том, что сечение этого процесса —
кгойстанта у порога. На рис. 4 для примера представлено сечение
фотойоиизации атом-а гелия кш функция энергии налетающего
Ф'о1ч>на [9]. В табл. 3 приведены «пороговые значения сечения фо-
тйи'онизации. (Данные взяты из [10].)
Таблица 3. Пороговые значения сечений фотоионизации
некоторых атомов [10]
Дтом ,
. н ',
Не
Li
Be
В
С
N
Пороговая
длина
волны,
А
912
504
2300
1330
1490
1100
852
Сечение,
10—18 см2
6,3
7,4
2,5
8,2
19
11
9
Атом
О
F
Ne
Na
Mg
Аг
К
Пороговая
длина
волны,
А
910
713
575
2412
1620
787
2860
Сечение,
10—18 см2
2,6
6
4
0,12
1,2
35
0,012
Атом
Са
Ga
Кг
Rb
In
Cs
Tl
Пороговая
длина
волны,
о
А
2028
2070
845
2970
2140
3185
2030
Сечение,
10-18 см2
0,45
0,2
35
0,11
0,3
0,22
4,5
, Приведем формулы для сечений фотоионизации в простейших
конкретных случаях. Сечение фотоионизации атома водорода рав-
равно [il]:
7/2
а сечение фотоионизации сильновозбужденного атома дается фор-
формулой Крамерса [12]
16*
те1
Десь J — потенциал ионизации атома водорода; Йсо — энергия
3 Зак. 137 gg
фотона; п—главное квантовое число; с—^скорость света. Как вид-
видно, выражения для сечений фотоионизации содержат в качестве
множителя малый параметр e2/hc=\l/l37, поэтому численные зна-
значения Ом значительно меньше характерной атомной величины.
Фотореко'М'бинация — процесс, обратный фотоио-низации. Сече-
Сечения этих процессов связаны принципом детального равновесия:
<w = ^4w <18>
gi Я
где g^ gi — стг.тастический вес атома и ио.на соответственно; k —
волновой вектор фотона (k=&/c); со — частота фотона; с — ско-
скорость света; q — волновой вектор электрона (q = mv/h); v — ско-
скорость электрона. В частности, для рекомбинации в сильновозбуж-
сильновозбужденное состояние получаем с учетом формулы Крамерса A7):
= lbn (J— \
зКз V he J
A9)
Фоторекомбинация ответственна за рекомбинацию электронов
и ионов в разреженной не очень холодной плазме. В такой плаз-
плазме молекулярные ио.ны отсутствуют и фоторекомбинация, которая
носит двухчастичный характер, более эффективна, чем тройная
рекомбинация. В частности, для водородной плазмы с темпера-
температурой электронов в области 1000—10000 К коэффициент тройной
рекомбинации ('10) сравнивается с коэффициентом рекомбинации
при плотностях электродов Ме~1010-Ь>1014 см~3.
На рис. 5 представлена зависимость .коэффициента фотореком-
фоторекомбинации электрона и протона от температуры [13].
Приведенные значения .коэффициента рекомбинации усредне-
усреднены по максвелловскому распределению электронов.
1.6. Диэлектронная рекомбинация. Диэлектронная рекомбина-
рекомбинация протекает через образо;ва,ние автоиюнизационното состояния
атома
B0а)
; B06)
B0в)
Здесь Л** — автоионизационное состоя-
состояние атома. Получаем формулу для ко-
коэффициента диэлектронной рекомбина-
рекомбинации за счет определенного автоиониза-
автоионизационного состояния. Будем считать, что
скорость процесса стабилизации авто-
автоионизационного состояния w мала т>
сравнению с частотой спонтанного рас-
распада автоионизационного состояния
Г/й. (Г — ширина автоионизационного>
уровня):
1Б000Т,К
Рис. 5. Температурная за-
зависимость коэффициента фо-
фоторекомбинации электрона и
протона [13}
.66
Тогда автоио'Нйзационное состояние атома находится в термодина-
термодинамическом равновесии с электронами и плотность атомав в г.вто-
ионизационном состоянии согласно формуле Саха A'2) равна:
кт \т at Яа 12пЬ2 \3/2 i о гт \
Na == NeNi^^l—r) exp (- &JTe).
Здесь gay ge, gi — статистический вес автоионизационнаго состоя-
состояния атома, электрона и иона соответственно; Те — температуре,
электронов; <?а — энергия возбуждения автоионизационного со-
состояния. Поскольку wNa—i число рекомбинирующих .пар в едини-
де объема в единицу времени, то коэффициент диэлектронной ре-
рекомбинации [il3]'
ga f 2nh2 \з/2 ,_ oo
a = w -^- (——-) exp (—@JTe). B2)
gegi \ ™Те J
Сравнивая формулы A0) и B2), находим, что при -низкой тем-
лературе электронов тройная злектрон-ионная рекомбинация эф-
эффективнее диэлектро-нной, если тушение ггатоионизадионного со-
состояния происходит при столкновении с электроном. В этом слу-
случае w=>NeKrym9 где «константа скорости тушения автоионизацион-
автоионизационного состояния электроном /(туш порядка атомной величины. По-
Поэтому коэффициент диэлектронной рекомбинации а~МеГе-3/2ехр
~~ а \ тогда как коэффициент тройной электро.н-ионной ре-
а
V Те
комбинации порядка a~NeTe~9/2. Отсюда сле!дует, что диэлектроя-
ная рекомбинация может быть ответственной за рекомбинацию
.в ргзреженной плазме, где стабилизация автоионизационного со-
состояния происходит с излучением фотона по каналу B0в). Кроме
того, этот процесс может быть важным при высоких температурах
ллазмы.
Диэлектронная рекомбинация играет определенную роль в
«астрофизической плазме.
2. СТОЛКНОВЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ
И МОЛЕКУЛАМИ
2.1. Упругое рассеяние электрона на атоме или молекуле. Уп-
ругое рассеяние электрона на атоме и молекуле ответственно за
явления переноса в слабоионизованном газе, оно определяет про-
проводимость слабоионизованного газа. Практически 1всегда сечение
.упругого рассеяния электрона на частицах газа значительно пре-
превышает сечения сопутствующих неупругих процессов, так что рас-
рассеяние электрона в газе и связанные с ним явления обусловлены
Упругими столкновениями. Рассеяние электрона на атомах и моле-
молекулах носит квантовый характер. В пределе низких энергий сече-
яие рассеяния o=4nL2y где L — длина рассеяния электрона на
-атоме и молекуле. В табл. 4 .приведены длины рассеяния для ряда
3* 67
Табл
Атом
L
1,15
и ц а
?
0,3
4.
Г-
<->
—1,5
Длина рассеяния электрона на атоме [15] (S—
- триплетная длина рассеяния в единицах Qo)
&
—3,1
CD
—5,7
в
со
6,8
к
1,9
Li
СО
3,3
—6,4
Na
со
4,1
—6,0
синглетная,
к
со
0,4
—15
Cs
со
4
—25
атомов [16]. При .конечных энергиях полное а и диффузионное а*
сечения рассеяния электрона на атоме или молекуле выражается
через фазы рассеяния 61 -следующими формулами:
где k — волновой вектор электрона. При малых энергиях электро-
электрона разложение для фаз рассеяния электрона на атоме имеет вид:
a B4
B/ — 1) B/+ 1) B/ + 3)
Как 'Видно, если длина рассеяния электрода на г.томе отрицатель-
отрицательна, то нулевая фаза рассеяния электрона на атоме обращается в-
нуль при некоторой энергии, а остальные фгзы рассеяния при этой
энергии еще малы. Поэтому сечение рассеяния (полное и диффу-
диффузионное) имеет резкий минимум вблизи этой энергии. Такое свой-
свойство сечения носит название эффекта Рюмзауэра.
На рис. 6 представлены зависимости диффузионного сечения
рассеяния электрона на атомах инертного газа от энергии столк-
столкновения [16]. Как видно, эффект Рамзауэра наблюдается для ато-
атомов аргона, криптона, ксенона, которым отвечает отрицательное
значение длины рассеяния. В случае гелия и неона, где длины
рассеяния положительны, сечение рассеяния увеличивается с ро-
ростом энергии при малых энергиях электрона.
При рассеянии электрона на атоме инертного газа имеется
одно спиновое состояние у системы электрон — атом. В случае
столкновения электрона с атомами щелочных металлов система
имеет два состояния .и поэтому эффект Рамзауэра замазывается.
Эффект Рамзауэра не наблюдается и при рассеянии электрона на
молекуле, что можно объяснить неаферич'ностью короткодействую-
короткодействующего потенциала взаимодействия электрона с молекулой и нали-
наличием квадрупольного взаимодействия между ними.
2.2. Возбуждение атомных уровней электронным ударом. Рас-
Рассматриваемый процесс протекает по схеме
е+А-+е+А*. B5)
Бороновское приближение, справедливое для больших энергий
столкновения электрона, предсказывает наибольшие сечения для
68
Рис. 6. Зависимости диффузионного сечения рассеяния электрона на атомах
инертных газов от энергии (результаты экспериментальных и теоретических ра-
работ различных авторов [16])
резонансных переходов (т. е. таких, которые возбуждаются под
действием излучения). На рис. 7 представлены измеренные сече-
сечения возбуждения резонансных уровней атомов и молекул элек-
электронным ударом. Эти сечения представлены в приведенных пере-
переменных, которые выбираются с учетом характера резонансного
перехода.
а.е.
7,0
0,8
0,6
0,4
0,2
/
S———
^^^^
/
I i i
Ca^^^^^^
_J 1 ! I 1 1
8
W
Рис. 7. Энергетическая зависимость сечения возбуждения резонансных состояний
атомов электронным ударом, представленная с помощью приведенных перемен-
Е a (A?onJ
~z—, <р(х)=—— (A?On—энергия возбуждения резонансного
ных х=
состояния, fon—сила осциллятора перехода, Е— энергия соударения)
69
2.3. Возбуждение вращательных и колебательных уровней мо-
молекулы электронным ударом. Возбуждение вращательных уровней
молекулы электронным ударом вносит малый вклад в потери
энергии электрона, сталкивающегося с молекулой. Поэтому оста-
остановимся только на простейшем случае — вращательном возбужде-
возбуждении линейной молекулы при соударении с медленным электроном.
Пока энергия электрона достаточно мала (практически меньше
1 эВ), вращательные переходы обусловлены дальнедействующим
взаимодействием электрона с молекулой и их можно найти на ос-
основе теории .возмущений. Если дипольный момент -молекулы отли-
отличен от нуля, то правила отбора допускают (вращательные перехо-
переходы в линейной молекуле с изменением вращательного «квгнтового
числа Д/='±1. При этом сечение возбуждения линейной молеку-
молекулы электронным ударом равно (Д/=1) [17]:
ъе B/+1) \ Ve-VT^
B6)
где D — дипольный -момент молекулы; Е—.энергия электрона.
Пусть В—* вращательная постоянная, тогда изменение вращатель-
вращательной энергии при переходе равно Д?1=аД(/+1).
Если дипольный момент молекулы равен нулю, то вращатель-
вращательное возбуждение обусловлено квгдрупольным взаимодействием
электрона с молекулой. При этом согласно правилу отбора Д/=±2
и сечение возбуждения [18]
(/+!)(/+ 2)
yi-тг.
где Q — квадрупольный момент молекулы.
Наиболее эффективный механизм возбуждения колебательных
состояний молекулы электронным ударом связан с образованием
промежуточного автоионизационного состояния отрицательного
иона и протекает по схеме:
е+АВ (v)-^(AB-) **-^ЛВ (vf) +e, B8)
где в скобках указано колебательное состояние молекулы. Таким
образом, эффективное возбуждение колебательных уровней моле-
молекулы электронным ударом связано с наличием автоио-низационно-
го состояния отрицательного иона молекулы, которое может быть
возбуждено при рассматриваемой энергии электрона. Обычно воз-
возможность образования такого состояния устанавливается на осно-
основе эксперимента, причем максимальное сечение возбуждения ко-
колебательных уровней молекулы, как следует из механизма процес-
процесса, оказывается порядка атомной величины. На рис. 8 в кг.честве
примеров показаны сечения возбуждения колебательных уровней
для молекулы азота и угарного газа.
Отметим, что максимальное сечение возбуждения колебатель-
колебательных уровней молекулы электронным ударом лишь на порядок
меньше характерного сечения упругого рассеяния электрона на
70
Рис. 8. Сечение возбуждения
колебательных состояний моле-
молекул N2 и СО электронным уда-
ударом, измеренное и вычисленное
различными авторами [16]
7,5 2,0 2,5 Д0 5,5 ее,эЪ
молекуле, ,но эяергия колебательного кванта на порядок величины
превышает энергию, требуемую электроном дори упругом рассея-
рассеянии на молекуле. Поэтому <при наличии рассматриваемого меха-
механизма, -возбуждения колебательных уровней потери энергии элек-
электроном, движущимся в молекулярном газе, в основном опреде-
определяются колебательным возбуждением молекул. В табл. 5 пред-
представлены доли энергии, теряемые электроном по различным ка-
каналам при движении его в некоторых молекулярных газах в по-
постоянном электрическом поле. Эти характеристики зависят от от-
отношения напряженности внешнего электрического поля Е к плот-
плотности молекул газа.
2.4. Диссоциация при соударении электрона с молекулой. Дис-
Диссоциация молекулы электронным ударом представляет собой воз-
возбуждение отталкивательного терма молекулы (рис. 9). Поэтому
Рис. 9. Иллюстрация наиболее эффек-
эффективного механизма диссоциации мо-
молекулы электронным ударом. Диссо-
Диссоциация происходит в результате воз-
возбуждения молекулы на отталкива-
тельный терм (показано стрелкой)
10 20 30 40 50 f,3
Рис. 10. Сечение диссоциации молеку-
молекулы водорода электронным ударом
[191:
1 — с образованием двух атомов в основ-
основном состоянии; 2 — с образованием одно-
одного из атомов в возбужденном состоянии
НBР)
71
Таблица 5. Средняя энергия электронов %е и доля энергии ч\е\, T]rot> Hvi
теряемой электронами на упругое рассеяние, вращательное и колебательное
возбуждения в молекулярном газе при разных значениях отношения напряженности
электрического поля к плотности газа [16]
E/N,
10-16 эВх
Хсм2
0,1
0,3
1,0
о
о
10
Параметр
We, ЭВ
T|el. %
%оЬ %
Tlvib, %
We, ЭВ
T|el. %
%ot, %
%ib, %
We, ЭВ
ЛеЬ %
%ob %
%1Ь, %
We, ЭВ
ЛеЬ %
T]rot, %
%ib, %
ri7, эв
ЛеЬ %
Лrot. %
T]vib> %
н2
0,14
25,0
75
—
0,35
29
36
35
0,75
19,4
8,6
72
1,8
12
3
85
4,3
2,5
0,3
97,2
N2
0,4
13,4
49
37,6
0,9
10,3
14
75,7
1,4
2,8
2,2
95
1,8
0,8
0,4
98,8
2>8 ,
0,17 '
0,05
99,8 .
О2
0,2
0,8
0,6
98,6
0,5
0,5
0,2
99,3
1,6
0,9
0,06
99,0
3,3
0,5
0,02
99,4
5,1
0,12
0,002
99,9
СО
0,14
0,6
25
74,4
0,2
0,5
11
88,4
0,8
0,6
2,7
96,7
1,2
0,6
1,0
98,4
2,3
0,2
0,1
99,7
СО2
0,04
0,3
58,4
41,3
0,045
0,11
6,9
93
0,1
0,07
0,9
99
1,6
0,07
0,2
99,7
4,5
0,1
0,1
99,8
сечение диссоциации молекулы характеризуется тем'И же свойства-
свойствами, что и сечение возбуждения атома. Итак, основной вклад в дис-
диссоциацию вносит возбуждение резонансных отталкивательных тер-
термов, сечение диссоциации в максимуме ло порядку величины со-
составляет 1016 см2, максимум сечения расположен недалеко от по-
порога, при больших энергиях Е налетающего электрона сечение
диссоциации падает как In E/E. На рис. 10 в качестве примера
предста;влено сечение диссоциации молекулы водорода электрон-
электронны м ударом [19].
2.5. Прилипание электрона к молекуле. В слабоионизованной
плазме, содержащей молекулы определенных сортов, в результате
столкновения электрона с молекулами могут образовываться отри-
отрицательные ионы. Переход отрицательного заряда плазмы к отри-
отрицательным ионам существенно отражается на свойствах плазмы,
так как при этом изменяется ее проводимость, пробойные пара-
параметры и другие характеристики. Рассмотрим механизмы превра-
превращения электронов в отрицательные ионы при столкновении с мо-
молекулой.
72
J
1
Ь
ff
!
Диссоциативное прилипание элек- 2>°
трона к молекуле протекает по схеме:
Как и в случае возбуждения колеба- ^
тельных уровней молекулы, этот про- *^ h°
цесс протекает через образование JI-
автоионизационного состояния отри-
отрицательного иона молекулы. При раз-
разлете ядер это состояние дает устой-
устойчивый отрицательный ион. Как сле-
следует из физики процесса, энергетиче-
энергетическая зависимость сечения данного
процесса состоит из отдельных резо-
нансов. Сечения в максимумах малы диссоциативного
по сравнению с атомными сечениями,
так как очень мала вероятность раз-
разлета ядер без распада автоиониза-
автоионизационного состояния.
На рис. 11 представлена зависимость сечения диссоциативного
прилипания электрода к молекуле кислорода от энергии, измерен-
измеренная при различных температурах газа [20].
Прилипание электронов к слож.ным молекулам идет по схеме:
е-\-М*±(М~)**\ (М~~)**-\-А-*~М~-\-А. C0)
Здесь А — чг.стицы газа, в котором протекает рассматриваемый
процесс. Автоионизац'ионные состояния отрицательных ионов слож-
сложных молекул обладают большими временами жизни A0~5—10~4с)
и поэтому даже при умеренной плотности газа в последнем успе-
успевают произойти тушащие столкновения. В табл. 6 представлены
0,5 -
12 3 4 5 ?,эб
Рис. 11. Зависимость сечения
прилипания
электрона к молекуле кислоро-
кислорода от энергии налетающего
электрона при разных темпе-
температурах газа [20]
Таблица 6. Константа скорости
прилипания электрона к сложным
молекулам при комнатной температуре
Молекула
SF6
СС14
CC1JF
CC12F2
*atb см3/с
2,410—7
4-10-7
1.Ы0-7
1,2.10-9
Таблица 7. Константа скорости
тройного прилипания электронов
к молекулам в собственном газе
(е-\-2М->М-+М) при комнатной
температуре
Молекула
NO
СО
N2O
/С, Ю-8* смв/с
25
2
2,7
0,06
константы скорости прилипания электронов к некоторым сложным
молекулам. Поскольку данный процесс весьма эффективен, добг.в-
лен(ие небольших примесей сложных молекул в газ улучшает его
пробойные характеристики.
73
Таблица 5. Средняя энергия электронов <&е и доля энергии г]е1, %ot, T)vib>
теряемой электронами на упругое рассеяние, вращательное и колебательное
возбуждения в молекулярном газе при разных значениях отношения напряженности
электрического поля к плотности газа [16]
E/N,
10-16 эВх
Хсм2
0,1
0,3
1,0
о
о
10
Параметр
?е, ЭВ
T|el. %
%ot> %
T]vib> %
We, ЭВ
Т)еЬ %
%оЬ %
%ib> %
We, ЭВ
ЛеЬ %
%ot. %
-Hvib, %
We, ЭВ
ЛеЬ %
Tirot, %
%ib, %
#7, эв
%ь %
%ob %
Tlvib. %
н2
0,14
25,0
75
—
0,35
29
36
35
0,75
19,4
8,6
72
1,8
12
3
85
4,3
2,5
0,3
97,2
N2
0,4
13,4
49
37,6
0,9
10,3
14
75,7
1,4
2,8
2,2
95
1,8
0,8
0,4
98,8
2,8 ,
0,17 '
0,05
99,8 .
О2
0,2
0,8
0,6
98,6
0,5
0,5
0,2
99,3
1,6
0,9
0,06
99,0
3,3
0,5
0,02
99,4
5,1
0,12
0,002
99,9
СО
0,14
0,6
25
74,4
0,2
0,5
11
88,4
0,8
0,6
2,7
96,7
1,2
0,6
1,0
98,4
2,3
0,2
0,1
99,7
со2
0,04
0,3
58,4
41,3
0,045
0,11
6,9
93
0,1
0,07
0,9
99
1,6
0,07
0,2
99,7
4,5
0,1
0,1
99,8
сечение диссоциации молекулы характеризуется тем'И же свойства-
свойствами, что и сечение возбуждения атома. Итак, основной вклад в дис-
диссоциацию вносит возбуждение резонансных отталкивательных тер-
термов, сечение диссоциации в максимуме по порядку величины со-
составляет 1016 см2, максимум сечения расположен недалеко от по-
порога, при больших энергиях Е налетающего электрона сечение
диссоциации падает как \пЕ/Е. На р(ис. 10 в качестве примера
представлено сечение диссоциации молекулы водорода электрон-
электронным ударом [19].
2.5. Прилипание электрона к молекуле. В слабоионизованной
плазме, содержащей молекулы определенных сортов, в результате
столкновения электрона с молекулами могут образовываться отри-
отрицательные ионы. Переход отрицательного заряда плазмы к отри-
отрицательным ионам существенно отражается на свойствах плазмы,
так ка>к при этом изменяется ее проводимость, пробойные пара-
параметры и другие характеристики. Рассмотрим механизмы превра-
превращения электронов в отрицательные ионы при столкновении с мо-
молекулой.
72
Диссоциативное прилипание элек-
электрона к молекуле протекает по схеме:
B9)
0,5 -
2,0
/,5 -
Как и в случае возбуждения колеба- ^
тельных уровней молекулы, этот про- ^ 1,0
цесс протекает через образование ff-
автоионизационного состояния отри-
отрицательного иона молекулы. При раз-
разлете ядер это состояние дает устой-
устойчивый отрицательный ион. Как сле-
следует из физики процесса, энергетиче-
энергетическая зависимость сечения данного
процесса состоит из отдельных резо-
нансов. Сечения в максимумах малы
по сравнению с атомными сечениями,
так как очень мала вероятность раз-
разлета ядер без распада автоиониза-
автоионизационного состояния.
На рис. 11 представлена зависимость сечения диссоциативного
прилипания электро-на к молекуле кислорода от энергии, измерен-
измеренная при различных температурах газа [20].
Прилипание электронов к слож-ным молекулам идет по схеме:
?,э6
Рис. 11. Зависимость сечения
диссоциативного прилипания
электрона к молекуле кислоро-
кислорода от энергии налетающего
электрона при разных темпе-
температурах газа [2Ю'}
; {М-)**+А-+М-+А.
C0)
Здесь А — чг.стицы газа, в котором протекает рассматриваемый
процесс. Автоионизац'иолные состояния отрицательных ионов слож-
сложных молекул обладают большими временами жизни A0~5—10~4с)
и поэтому даже при умеренной плотности газа в последнем успе-
успевают произойти тушащие столкновения. В табл. 6 представлены
Таблица 6. Константа скорости
прилипания электрона к сложным
молекулам при комнатной температуре
Таблица 7. Константа скорости
тройного прилипания электронов
к молекулам в собственном газе
Молекула
SF6
СС14
CC13F
CC12F2
*att, см»/с
2,4-10 7
4-10-7
1,1.10-'
1,2-10-9
температуре
Молекула
o2
NO
CO
N2O
K,
10-31 cMe/c
25
2
2,7
0,06
ко'нстанты скорости прилипания электронов к некоторым сложным
молекулам. Поскольку данный процесс весьма эффективен, добг,в-
Ление небольших примесей сложных молекул в газ улучшает его
пробойные характеристики.
73
В плотном газе орил-ипание электронов к молекулам происхо-
происходит при тройных столкновениях электрона с частицами газа:
C1)
В табл. 7 представлены константы скорости процессов такого типа
для тепловых энергий электрона.
3. ПРОЦЕССЫ, ПРОТЕКАЮЩИЕ С УЧАСТИЕМ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ИОНОВ
3.1. Резонансная перезарядка. Процесс резонансной переза-
перезарядки идет по схеме:
А++А-+А+А+. C2)
Этот процесс характеризуется большим сечением, значительно пре-
превышающим газокинетические сечения, и поэтому играет важную
роль в различных явлениях, протекающих в газе и плазме. Этим
процессом определяются явления переноса положительного заряда
в слабоиойизова'нном газе, им обусловлено торможение потока
атомов водорода 'при инжекции в термоядерную плазму ,и т. д.
Определим зависимость сечения резонансной перезарядки от
скорости. Этот процесс связан с переходом электрода из поля од-
одной атомной частицы в поле другой. Частота перехода электрона
от одной частицы к другой v при заданном расстоянии R между
ядрами, значительно превышающем атомные размеры, определяет-
определяется перекрытием вол-новых функций электрона при нахождении его
у разных ядер и поэтому зависит от расстояния по закону
v(R)~<W(r1)\W(r2)>~exp(-yRI
где у=У2С/ (в атомных единицах); J—потенциал ионизации
атома. Основной вклад в сечение в.носят столкновения с прицель-
прицельными параметрами порядка /?о, для которых v(/?o)tCT«(l. Здесь
Tct~1/p — время столкновения, v — относительная скорость столк-
столкновения. Отсюда для этих прицель'ных параметров 'имеем /?о~
~— In—, где v0 — константа. При таких столкновениях
у v
с вероятностью 7г электрон переходит в поле другою атомного
остатка, так что сечение резонансной перезарядки
Gex=nRo2/2= (n/2y2)\n2(v0/v). C3)
При этом считается, что скорость столкновения v мала по сравне-
сравнению с характерной скоростью электрона в атоме. В табл. 8 пред-
представлены сечения резонансной перезарядки для -некоторых эле-
элементов [22].
3.2. Нерезонансная перезарядка. Этот процесс идет по схеме
C4)
74
Таблица 8. Сечение резонансной перезарядки иона на собственном атоме,
IV СОТ
Элемент
н
Не
Li
С
N
О
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
К
Ca
Cr
Fe
Cu
Br
Kr
Pb
Ag
Cd
In
I
Xe
Cs
Ba
Au
Hg
Tl
Состояние
иона
,s
2S
1S
2p
зр
4S
зр
2p
15
2S
is
2P
зр
4S
зр
2p
is
2S
6S
«D
1S
зр
2P
15
2S
зр
2p
xs
2S
15
2S
2p
Состояние
атома
2S
XS
2S
зр
4S
зр
2P
15
2S
15
2p
зр
4S
зр
2P
1S
2S
7S
2S
2p
XS
2S
2S
2p
2p
is
2S
is
2S
1S
Энергия в
0,1
6,2
3 5
26
6,2
4,9
5,2
3,6
3,2
31
19
16
9,8
8,1
8,7
5,8
5,5
41
26
21
21
19
6,8
4,8
45
20
17
19
8,0
9,1
53
35
17
15
19
лабораторной системе, эВ
1
5,0
2У8
22
5,0
3,8
4,3
2,9
2,5
26
16
13
7,7
6,5
6,7
4,6
4,5
35
21
18
18
16
5,5
3,9
39
17
14
16
6,8
7,5
45
30
14
12
15
10
3,8
2,1
48
3,8
2,9
3,5
2,2
1,9
22
13
10
6,0
5,0
5,5
3,6
3,5
29
18
14
14
13
4,5
3,1
32
14
12
13
5,3
6,0
38
25
11
10
12
и приводит к изменению сорта иона. Процесс ответствен за воз-
ншшов.ение полярных сиятаий при попадании пучка протонов в
верхнюю атмосферу, он проя^вляетоя в различных явлениях, имею-
имеющих м'есто в лабораторных системах и в природе. Характер дан-
данного процесса определяется параметром Месси
l = Aga/hvy C5)
где Д? —энергия электронного перехода; а — характерное рас-
расстояние, на котором совершается переход; v — относительная ско-
скорость столкновения.
Если |<С1, то процесс C4) идет как резонансный и сечение пе-
перехода определяется формулой C3). При |^Ы переход адиабати-
75
-Рис. 12. Сечение перезарядки про-
протона на атоме кислорода Г21]:
'—теория; О— эксперимент
Рис. 13. Зависимость сечения перезарядки атома
водорода на многозарядном ионе от приведенной
скорости в пределе большого заряда иона Z
50
ъ 40
^30
ь-20
10
0
- Ч
: Л
W \0l W / 10
v/u,a e
чеоки маловероятен, его .вероятность порядка ехр—?. Поэтому с
дальнейшим уменьшением скорости столкновения сечение перехо-
перехода экспоненциально убывает. Максимум сечения наблюдается при
?~1. На рис. 12 представлено сечение нерезонансной перезарядки
протона на атоме .кислорода [121].
3.3. Процессы с участием многозарядного иона. Особенность
мнагозарядного иона проявляется в двух отношениях для процес-
процессов, в которых он участвует. Большой заряд иона отвечает силь-
сильному взаимодействию его с партнером по столкновению. Поэтому,
хотя основные закономерности столкновения электрона с много-
зарядным ионом те же, что и в случае столкновения с атомам, ко-
количественные характеристики для сечений переходов в приведен-
приведенных переменных могут сильно возрастать. Другая особенность мно-
многозарядного иона 'проявляется в процессах перезарядки и связа-
связана с большой густотой уровней для электрона .в поле заряда ионг.,
когда потенциал ионизации для этих уровней порядка потенциала
ионизации атома. Это отражается на характере переходов: в поле
многозарядного иона переходящий электрон ведет себя .ка.к ква-
квазиклассический и в переходе участвует большое число состояний
многозарядного иона.
На рис. 13 в приведенных переменных представлено сечение пе-
перезарядки атома водорода на мнотоз ар яд ном ионе в пределе боль-
больших зарядов иона [22]. Этот процесс играет определенную роль
при 'И-нжеквди .потока атомов водорода в термоядерную плазму.
3.4. Образование сложных и комплексных ионов при тройных
столкновениях. Как следует из пп. 1.3 и 1.4, рекомбинация элек-
электрона и положительного иона существенно зависит от сорта иона.
Переход от простых ионов к сложным происходит при тройных
столкновениях ионов с частицами газа
A++B+CW1B++C.
C6)
Для простых ионов А+ механизм этого процесса связан с одно-
одновременным столкновением трех частиц. В момент сильного взаимо-
76
Таблица 9. Константа скорости образования сложных и комплексных ионов
в атомных и молекулярных газах при комнатной температуре [22]
Реакция
Не++2Не+Не++Не
Ne++2Ne-^Ne^+Ne
Ar++2Ar-*Ar+ + Ar
К'++2Кг _Кг++Кг
Xe++2Xe - Xe++ Xe
Cs++2Cs - Cs^+ Cs
Hg++2Hg-^Hg++Hg (Г=700 К)
Ar++Ar+He-^Ar+-f He
Аг?+2Аг-*Аг^"+Аг
Cs++2Cs^Cs+-f Cs
Ne++Ne+He ->¦ He+Ne+
Ar++Ar+ He - Ar++ He
Kr++Kr+He-^Kr++ He
Xe++Xe+He -^Xe++ He
Hg++Hg+He-^Hg++ He (Г=700 К)
Ne++2He-^(HeNe+)+He
Ar++Ar+Ne-->Ai\j"+ Ne
НеН++2Не-^Не2Н++Не(Г=200 К)
H++2Ar~^H3Ar++Ar
№-+N2+He -^N^+ He
N++ 2N2-^N++N2
N++ N2+He -> N++ He
H++2H2->H^"+ H2
D++2D2-^D++ D2
H++2H2->H++H2
D++2D2-^D^"+ D2
O++202-^0++02
O++ O2+He-O^~+He
О++О2 + К2-^О++Кг(Г=180 К)
O++O2+H2O»O++H2O
O++2N2->O2N++N2
N0++2N0 NO+NO+NO
CO++2CO - CO+CO+CO
CO++2CO2-* CO+CO2+CO2
Mg++O2+Ar-^Mg+O2+Ar
Ca++O2+Ar -*. Ca+O2+Ar
/С, Ю-3» смв/с
1,0
0,6
2,2
2,3
2,8
150
1
5,5
32
300
3,0
1,0
0,6
1,3
1,7
0,21
3
0,4
1
1 Я
1 ,o
300
300
850
360
300
300
6,5
4,5
25
15
80
15
8
50
1400
3200
25
66
77
Продолжение табл. 9
Реакция
К, Ю-»1 см«/с
Fe++02+Аг -+. Fe+O2+Ar
N++OA N+O+A
+2+Аг + 2
Na++O2+Ar ->Na+O2
Li++2O2-^Li+O2+O2
Li++2N2 -> Li+N2+N2
NO++2N2-+NO+N2+N2
NO++2O2 - NO+O2+-O2
NO++2CO2 - NO+CO2+CO2
NO++2NH3 -vNO+NH3+NH<
Na++2CO2-^Na+CO2+CO2 '
Na+CO2+2CO2 - Na+(CO2J-
Cs++SO2+N2 -> Cs+SO2+N2
10
2
11
20
2
0,9
240
54
500
0,5
300
действия частиц Л+ и В третья частица С уносит избыток кинети-
кинетической энергии, так что частицы Л+ и В оказываются в связанном
состоянии. При таком механизме константа скорости этого трой-
тройного процесса при тепловых энергиях столкновения порядка
Ю-31 СМ6/С<
Если в процессе C6) участвуют сложные или комплексные
ионы, константа скорости этого процесса может на 'несколько по-
рядков превысить приведенную величину. В этом случае процесс
протекает по схеме:
**, (АВ+)**+С-*АВ++С C7)
и сопровождается образованием долгоживущего промежуточного
комплекса (Л5+)**, .время жизни -которого значительно превышает
характерное время столкновения частиц. Тушение приводит к об-
образованию устойчивого состояния иона ЛВ+.
В табл. 9 представлены -константы скорости тройного процес-
процесса C6) при комнатной температуре для некоторых конкретных
реакций [123], которые позволяют понять, по какому из рассмот-
рассмотренных механизмов протекает этот процесс в каждом -конкретном
случае.
4. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ИОН
4.1. Параметры отрицательного иона. Поскольку электроны, прилипая к мо-
молекулам, образуют отрицательные ионы (см. разд. 5) и сами отрицательные
ионы являются источником 'электронов, с точки зрения свойств слабоионизо-
ванной плазмы представляют интерес как сами отрицательные ионы, так и про-
происходящие с ними процессы. В табл. 10 приведена энергия связи электрона в
отрицательном ионе и его состояние.
4.2. Фотоприлипание электрона к атому и фотораспад отрицательного иона.
Фотоприлипание электрона к атому происходит по схеме:
A + e->A- + h(d. C8)
Этим процессом определяется свечение слабоионизованного нагретого газа.
В частности, свечение Солнца в оптической части спектра определяется фото-
фотоприлипанием электрона к атому водорода. Из закона сохранения энергии сле-
78
Таблица 10. Состояния отрицательных ионов и сродство электронов к атомам
[20]. (Для элементов, пропущенных в данной таблице, отрицательных ионов
не существует или информация недостаточно достоверна)
Атом-
Атомный
номер
1
2
3
5
6
8
9
11
13
14
15
16
17
19
21
22
23
24
26
27
28
29
31
32
33
34
Отри-
цатель-
цательный
ион
н-
Не~
Li-
Ве~
с-
о-
F-
Na~
А1-
Si~
Р-
s-
С1-
к-
Sc~"
Ti-
v-
Сг-
Fe-
Со-
Ni-
Cu~
Ga~
Ge-
As~
Se~
Электронное
состояние
IS2 (*S)
ls2s2pDP)
2s23s BS)
2s22p3 DS)
2s22p3 BD)
2s22p5 BP)
2s22p6 (IS)
3s2 (*S)
3p2 CP)
3p2 (W)
3p3DS)
3p3 (W)
3p3 BP)
3p4CP)
3p5 BP)
3p6 (X5)
4s2 (iS)
Sd4s4p (W)
3d4s4p (W)
3#4s2 DF)
3#4s2 (*D)
3d54s2 (»S)
3d74s2 DF)
3d84s2 CF)
3^94sa BD)
3d104s2 (IS)
4p2 CP)
4p3 DS)
4p4 (*P)
4p5 BP)
Сродство
электрона,
эВ
0,754
0,076
0,61
0,30
1,27
0,034
1,465
3,40
0,548
0,5
0,095
1,39
0,526
0,034
0,77
2,077
3,62
0,501
0,19
0,04
0,08
0,53
0,67
0,16
0,66
1,16
1,23
0,5
1,20
0,8
2,0
Атом-
Атомный
номер
35
37
39
40
41
42
43
44
45
46
47
49
50
51
52
53
55
57
73
74
75
76
77
78
79
81
82
83
84
Отри-
цатель-
цательный
ион
Вг~
Rb-
Y-
Zr~
Nb~
Мо~
Тс~
Ru-
Rh-
Pd~
Ag-
Agin"
Sn-
Sb-
Te-
I-
Cs~
La~
Ta~
w-
Re-
Os-
Ir-
Pt-
Au-
Ti-
рь-
Bi~
Po-
Электронное
состояние
4/7* (IS)
4p65s2 (XS)
4d5s25p(!D)
4d5s25p CD)
4#5s2 DF)
4d45s2 ED)
4d55s2 FS)
4d65s2 ED)
4d752 (*F)
4d85s2 (s/7)
4cf95s2 B?>)
4^105s2 (XS)
5p2 CP)
5p3 DS)
5p4 CP)
2p5 (ap)
2рб (iS)
6s2 (iS)
5d26s2 CF)
5d46s2 (*D)
5d56s2 FS)
5^6s2 FD)
5d?6s2 DF)
5#6s2 CF)
5d»6s2 BD)
5d!06s2 (iS)
6p2 CP)
6p3 DS)
6p4 CP)
6ps Bp)
Сродство
электрона,
эВ
3,37
0,486
0,31
0,16
0,43
0,89
0,75
1,0 "
1,5
1,14
0,56
1,30
0,5
1,25
1,05
1,9
3,07
0,471
0,5
0,32
0,816
0,15
1,4
1*57
2,13
2,31
0,5
1,2
1,0
1,6
дует, что энергия фотона равна сумме кинетической энергии электрона и энер-
энергии сродства атома к электрону (т. е. энергии связи электрона в отрицатель-
отрицательном ионе). Отсюда следует, что фотоприлипание определяет свечение слабо-
ионизованной плазмы в той части спектра, где энергия фотона превышает
энергию сродства атома к электрону. При этом интенсивность свечения за счет
данного процесса существенно выше, чем при тормозном излучении при рас-
рассеянии электронов на этих атомах.
На рис. 14 представлены значения для константы скорости фотоприлипа-
фотоприлипания электронов к атомам галогенов [20].
Фотораспад отрицательного иона—процесс, обратный фотоприлипанию
электрона к атому:
A- + h(d-+A + e. C9)
Он может быть ответственным за образование 'свободных электронов в газе,
содержащем отрицательные ионы. Например, на средних высотах в атмосфере
Земли (/г<100 км) отрицательный заряд ночью связан с отрицательными
ионами, тогда как днем в результате процесса C9) в нем образуются свобод-
свободные электроны, что изменяет проводимость на этих высотах, и из-за этого,
79
vt
lo2i
Ъ
Cl >
OJJZ
0,1
Рис. 14. Сечение фотоприли-
фотоприлипания электрона к атомам га-
галогенов [20}
10 12 Л,102Р
Рис. 15. Сечение фотораспада отрица-
отрицательного иона водорода [20]:
О, А —эксперимент; теория
в частности, отличаются условия дальнего радиоприема на коротких волнах
днем и ночью.
Согласно принципу детального равновесия сечения процесса C8) oatt и
процесса C9) Gdet связаны соотношением A8)
D0)
где #_, ga —статистический вес отрицательного иона и атома соответственно;
k — волновой вектор фотона; q — волновой вектор электрона. Сечение процес-
процесса C9) имеет максимум при энергии 'фотона, несколько превышающей поро-
пороговую. По порядку величины — это максимальное сечение порядка omax ~
~ (e2/hc) (\/ЕА)у где e2/hc — постоянная тонкой структуры; ЕА — выраженная
в ридбергах энергия сродства атома к электрону, что по порядку величины
составляет 10~17—10~16 см2. На рис. 15 представлено сечение фотораспада от-
отрицательного иона водорода [20].
4.3. Взаимная нейтрализация при парном соударении положительного и
отрицательного ионов. Один из каналов исчезновения заряда в плазме связан
с процессом взаимной нейтрализации тгри столкновении положительного и от-
отрицательного ионов:
По сути дела, это есть перезарядка с переходом электрона из поля атома А
в поле иона \В+, причем в поле иона электрон оказывается в возбужденном
состоянии. Из-за кулоновского взаимодействия ионов в левом канале процес-
процесса D1) по мере сближения ионов электронный терм этого состояния пересе-
пересекает целый ряд термов квазимолекулы, отвечающей системе А + В*. В окрест-
окрестности такого расстояния между ядрами, где имеется пересечение термов, вы-
выполняются резонансные условия для перехода электрона в соответствующее
состояние атома В*. Поэтому процесс D1) является резонансным, и при от-
отсутствии упругого рассеяния ядер сечение этого процесса медленно возрастает
с уменьшением скорости примерно так же, как сечение резонансной переза-
перезарядки C3).
Однако при малых энергиях столкновения в игру вступает кулоновское
взаимодействие между ядрами. В соответствии с подбарьерным характером
перехода будем считать, что электрон успевает перезарядиться, если расстоя-
расстояние наименьшего сближения равно Ro. Тогда в пренебрежении кулоновским
взаимодействием сечение процесса D1) равно я/?2о, причем Ro слабо зависит
80
от скорости. Используем связь между при-
прицельным параметром столкновения р и рас-
расстоянием наименьшего сближения Ro'
где Е — относительная энергия столкновения.
Отсюда находим сечение процесса
а = Jtp2 = nR2Q + 7tR0e2/E.
D2)
О 0,1 0,2 0,4 0,8 0,16 0,32 р,1СгЛа'
Видно, что при малых энергиях столкнове-
столкновения сечение оказывается обратно пропорци-
пропорциональным энергии и может достигать боль-
больших значений. Поскольку R0~\Q-7 см, то
при тепловых энергиях столкновения сече-
сечение процесса D1) может быть порядка
Ю-12 см2.
4.4. Взаимная нейтрализация положи-
положительного и отрицательного ионов при трой-
тройных столкновениях. При достаточно высо-
высоких плотностях газа взаимная нейтрализация положительных и отрицатель-
отрицательных ионов происходит преимущественно при тройных соударениях
Рис. 16. Зависимость коэффи-
коэффициента рекомбинации положи-
положительных и отрицательных ио-
ионов в воздухе от давления,,
найденная и вычисленная раз-
различными авторами [20]
А" + ?+ + С -> А + В* + С.
D3)
В этом случае третья частица уносит избыток энергии, так что сталкивающие-
сталкивающиеся ионы оказываются в связанном состоянии. После этого они долгое время
находятся в связанном состоянии по соседству друг с другом, что обеспечива-
обеспечивает в конечном итоге подбарьерный переход электрона, а следовательно, и вза-
взаимную нейтрализацию ионов.
Для выяснения зависимости процесса D3) от плотности ионов введем кри-
критический радиус Ь=е2/Т — характерное расстояние между ионами, при кото-
котором возможно образование их связанного состояния. Здесь Т — температура
газа и учтено, что третья частица уносит энергию порядка Т, так что ионы
могут образовать связанное состояние с энергией связи порядка Т. Характер*
процесса D3) зависит от значения величины параметра [с]Ьг. Если [с]Ьг, то при:
сближении ионов всегда не будет хватать третьей частицы и константа скоро-
скорости процесса будет пропорциональной плотности частиц [с]. Если [с|63^>1, то
частиц третьего сорта слишком много, они будут создавать трение при сбли-
сближении ионов под действием кулоновского притяжения. В этом случае констан-
константа скорости процесса D3) обратно пропорциональна плотности третьего сор-
сорта. Максимальное значение константы скорости процесса D3) имеет место при:
[с}63~1. В этом случае всякое попадание ионов в критическую область приво-
приводит к их рекомбинации, т. е. отвечает сечению процесса порядка яб2, что при
тепловых энериях имеет порядок Ю-10 см2. Отметим, что при тепловых энер-
энергиях это достигается при плотностях газа, отвечающих атмосферному давле-
давлению. На рис. 16 представлена зависимость константы скорости взаимной нейт-
нейтрализации ионов в воздухе от плотности газа {20].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — 3-е изд. М: Физматгиз, 1965.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика — 4-е изд. М.: Наука,
1974.
3. Смирнов Б. М. Физика слабоионизованного газа. М.: Физматгиз., 1972.
4. Смирнов Б. М. Ионы и возбужденные атомы в плазме. М.: Атомиздат,
! Э74.
5. Елецкий А. В., Смирнов Б. М. В кн.: Моделирование и методы расчета
физико-химических процессов в плазме/Под ред. проф. Л. С. Полака. М.: Нау-
Наука, 1974.
81
6. Биберман Л. М., Воробьев В. С, Якубов И. Т. —Успехи физ. наук, 1972,
тт. 107, с. 353; Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 56, с. 1992.
7. Bates D. R., Kingston A. E., McWihirter R. W. —Proc. Roy. Soc, 1962,
-vol. A267, p. 297; vol. A270, p. 155.
8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Физматгиз.,
1964.
9. Weissler G. L.— Handbuch der Physik, 1956, Bd 21, S. 304.
il'O. Хастед Дж. Физика атомных столкновений: Пер. с англ. М.: Мир, 1965.
11. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская
акантовая теория. Ч. 1. <М.: Наука, 1968, с. 234.
12. Kramers H. A. —Philos. Mag., 1923, vol. 46, p. 836.
13. Бейтс Д., Дальгарно А. Атомные и молекулярные процессы/Под ред.
Бейтса: Пер. с англ. М.: Мир. 1964, с. 227.
14. Massey H. S. W., Bates D. R.— Rept Progr. Phys., 1942, vol. 9, p. 62.
15. Смирнов Б. М. Атомные столкновения и элементарные процессы в плаз-
плазме. М.: Атомиздат, 1968, с. 127.
16. Елецкий А. В., Палкина Л. А., Смирнов Б. М. Явления переноса в сла-
-боионизованной плазме. М.: Атомиздат, 1975, с. 173.
17. Crawford О. Н. е.а. —Mol. Phys., 1967, vol. 13, p. 181.
18. Gerjoy E., Stein S. —Phys. Rev., 1955, vol. 95, p. 1971.
19. Словецкий Д. И. — В кн.: Химия плазмы. Вып. 1/Под ред. Б. М. Смир-
Смирнова. М.: Атомиздат, 1974, с. 156.
20. Смирнов Б. М. Отрицательные ионы. М.: Атомиздат, 1978.
21. Смирнов Б. М. Асимптотические методы в теории атомных столкнове-
столкновений. М.: Атомиздат, 1972.
22. Думан Е. Л., Меньшиков Л. И., Смирнов Б. М. — Журн. эксперим.
за теорет. физ., 1979, 76, с. 516.
23. Смирнов Б. М. — Успехи физ. наук, 1977, т. 121, с. 231.
ПРОЦЕССЫ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛАЗМЕ1
Г. ГРИМ
ВВЕДЕНИЕ
Исследование электромагнитного излучения звезд обеспечило
получение большей части информации, на основе которой были
раз1виты современные представления о строении Вселенной. Спек-
Спектроскопические методы оказались также полезными и при изуче-
изучении различных типов лабораторных плазм, особенно на раннем
периоде исследований. Эти методы занимают видное место в диаг-
диагностике плазмы.
Однако электромагнитное излучение чгсто играет и более -важ-
-важную роль в плазменных экспериментах благодаря своей способ-
способности взаимодействовать с плазмой, а именно ионизовать, нагре-
нагребать или охлаждать ее. Эти взаимодействия в астрофизических
объектах могут быть представлены в самосогласованном виде, но
)В экспериментах с лабораторной плазмой они могут в известной
степени находиться под контролем экспериментатора. Разработан-
Разработанные к настоящему времени кол|ичестве)Нгные теоретические описа-
описания различных радиационных процессов, происходящих в астрофи-
астрофизических и лабораторных плазмах, обобщены в данном обзоре.
Пер. с англ. А. Б. Березина.
Электромагнитные радиационные процессы в плазме можно раз-
разделить на две категории. Одна объединяет атомные процессы с
изменением электронных состояний атомов, ионов и возможно
даже молекул, другая включает процессы, обусловленные в боль-
большей степени самой плазмой, для которой излучающие электроны
не могут быть приписаны какой-нибудь определенной атомной или
молекулярной системе. Общим для обоих категорий является на-
наличие ускорения или изменения в электронных состояниях. По
сравнению с этими процессами излучением, связанным с ускоре-
ускорением ионов, почти всегда можно пренебречь.
-Обращаясь поэтому к этим двум категориям, -следует заметить,,
что атомные радиационные процессы имеют много общего с дру-
другими основными атомными процессами, рассмотренными выше.
Кроме того, плазменные радиационные процессы, в частности
излучение циклотронных 'гармоник и коллективное тормозное из-
излучение, более или менее тесно связаны с различными типами
плазменных волн, обсуждаемых пп. 1.2—1.4, особенно когда элек-
электроны излучают когерентно. Коллективные эффекты другой при-
природы проявляют себя менее заметно и не рассматриваются.
Ввиду важности процессов излучения атомов вначале рассмот-
рассмотрены линейчатое (разд. 1) и непрерывное излучения (разд. 2). По-
После обсуждения излучения плазмы (разд. 3) даны сведений о по-
потерях мощности на излучение и диагностике плгзмы (разд. 4).
1. ЛИНЕЙЧАТОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ И ИОНОВ
Хотя многие плазмы состоят почти целиком из полностью обод-
ободранных ядер (например, водорода или его изотопов) и свободных
электронов, переходы относительно малого числа связанных элек-
электронов из возбужденных состояний атомов или ионов в нижеле-
нижележащие состояния могут тем не менее составлять основную часть
излучаемой мощности. Особенно эффективными в этом отношении
являются переходы в основное состояние, приводящие к излуче-
излучению резонансных линий. Хотя переходы между возбужденными
состояниями и дают более слабое линейчатое излучение, они:
тем не менее могут быть использованы для целей диагностики, так
как их сравнительно длинноволновое излучение облегчает спектро-
спектроскопические измерения. Более того, эти линии являются менее
склонными к реабсорбции в плазме или окружающем газе, чем
резонансные линии, до тех пор пока не становятся важными про-
процессы фотоионизации или обрг.тного тормозного излучения.
Спектральные линии характеризуются двумя основными пара-
параметрами: полной интенсивностью безотносительно к частоте или
длине волны и распределением этих частот внутри данной линии
(профиль линии). Теоретические предпосылки этих характеристик
представлены в пп. 1.1 и 1.2 соответственно. Далее обсуждаются
явления переноса излучения в случаях, когда надо учитывать по-
поглощение и переизлучение (см. п. 1.3).
8а
При всей своей важности такой радиационный -перенос пред-
представляет интерес только для наиболее сильных атомных и ионных
линий. Другое важное применение излучательного переноса каса-
касается электронных циклотронных гармоник (см. п. 3.1).
1.1. Интенсивность линий. Основное соотношение для полной
удельной мощности нг. единицу о'бъема, стерадиан и интервал ча-
частоты, т. е. коэффициент 'излучения в линии имеет вид:
8(ш) = (/гсо/4я)Ля*?(со). A)
Это отношение в выражении эйнштейновских коэффициентов спон-
спонтанного излучения А (на единицу объемг.) для соответствующих
переходов представляется очевидным, если рассматривать ft со как
среднюю фотонную энергию в данной линии и д* ка-к концентра-
концентрацию атомов или ионов в соответствующем верхнем состоянии. Мы
также должны определить функцию формы линии L(co), которая
описывает частотный спектр в пределах линии и удовлетворяет
условию нормировки
)rf<o=l B)
с пределами интегрирования, находящимися на достаточно боль-
большом расстоянии от линии.
Средняя энергия фотонов задается разностью энергий верхне-
верхнего и нижнего уровней линии. Эти уровни энергий, а также эйн-
эйнштейновские вероятности перехода или, как их иногда называют,
Л-числа обычно рассматриваются как внутренние свойства, излу-
излучающих ионо© или атомов. Их можно более или менее точно вы-
вычислить квантовомеханически в зависимости от числа связанных
электронов, включаемых в данную излучающую систему [1, 2].
Однако для энергетических уровней экспериментальные данные
часто оказываются более точными, кроме того, они постоянно
уточняются и пересматриваются [3] (ом. также более поздние до-
лолнения и исправления [4]).
Кроме того, существуют таблицы [5], составленные на основа-
основании весьма приближенной теории или косвенных измерений для
относительно малого набора линий. Мы должны уже здесь отме-
отметить, что в применении к расчету энергетических потерь высоко-
высокотемпературной плазмы произведение An* часто хорошо оценивает-
оценивается по скорости в результате ударного возбуждения из основного
состояния. Знание сечений возбуждения (см. выше) является .по-
.поэтому часто более важным, чем знание чисел Л.
Другие величины в формуле A), такие как п* и ?(>со), опре-
определяются параметрами плазмы, в которую помещены излучающие
атомы или ионы. В общем случае плотности населенностей /г*
определяются динамическим балансом большого числа столкнови-
тельных и излучательных процессов [6, 7]. Только для весьма
плотных плазм с умеренно высокой температурой можно предпо-
предположить, что доминируют столкновительные процессы. В этом слу-
случае населенности уровней и статистические веса различных иони-
ионизационных состояний находятся в термодинамическом равновесии
.84
лри условии, что плазменные электроны .имеют максвелловрское
распределение (будем рассматривать только невырожденные плаз-
плазмы). Используя приближенные значения поперечных сечений и
коэффициентов излучения, можно с точностью до порядка величи-
величины написать условия достижения термодинамического равновесия
[8J, при которых плотность атомов в возбужденном состоянии п*
связана с плотностью атомов в основном состоянии nz соотноше-
соотношением Больцмана
n*/nz= (g*/gz) exp (-E*/kT), C)
ллотность ионов на основном уровне в соседних ионизационных
состояниях nZf nz+i и электронная плотность п связгны уравнением
Саха
nenz+jnz = Bgz+llgz) (f^K'2 exp (- EJkT). D)
В этих соотношениях ?* и Ez — энергии возбуждения и иониза-
ионизации соответственно; g — статистический вес, соответствующий вы-
вырождениям рассматриваемых состояний, т. е. g"=2/+l или g=
=Qn2 для систем, вырождающихся только по отношению к маг-
нитнаму квантовому числу водорода, или других одноэлектронных
систем, если пренебречь тонкой структурой (/ — квантовое число
лолного углового момента; я —-главное квантовое число).
Если ионнгя и электронная температуры различны, следует
использовать в вычислениях электронную температуру, так как
именно электроны доминируют в процессах возбуждения и де-
возбуждения, ионизации и рекомбинации в плотных плазмах.
При расчетах населенностей в различных состояниях возбуж-
возбуждения и ионизации на основе формул C) и D) возникает серьез-
серьезная трудность, связанная со схождением уровней энергии возбуж-
возбуждения ,к энергии ионизации и общим увеличением статистического
веса.
Формально это приводит .к расходимости сумм по населенно-
населенности м возбужденных состояний. Эта трудность может проявиться
также и при использовании энергетических уровней, имеющих
смысл для изолированных атомов или ионов, в которых учиты-
учитываются только взаимодействия связанных электронов с ядром и
Друг с другом. Если рассматривать также взаимодействие с плаз-
плазменными электронами и ионами, то необходимо внести существен-
существенные модификации для состояний, чьи энергии связи Ех—?* срав-
сравнимы или даже меньше, чем типичные энергии кулоновекого вза-
взаимодействия между свободными электронами и ионами. В первом
приближении можно учесть эти взаимодействия путем соответст-
соответствующего приведения ионизационных энергий и пренебрежения свя-
связанными состояниями, попадающими между первоначальными и
приведенными энергиями ионизации [8] (см. также [9, 10]).
Этот подход определенно недостаточен для расчета излучения,
происходящего от исчезнувших уровней. Тем не менее простая
модель часто оказывается достаточной для расчета рекомбинг-
85
двойного континуума в соответствии с приведенными должным
образом фото/нными энергиями (ом. п. 2.2). Это приведение грани-
границы серии тесно связано с уширением спектральных линий в ре-
результате взаимодействия между излучающими или логлощающими.
ансамблями и плазменными частицами или 'полями. Пока эти
взаимодействия (они обсуждаются выше) не воздействуют су-
существенно на полные интенсивности уширенных линий, может
быть справедливой экстраполяция рекомбинационного континуума
к пределу И-нглиз— Теллера [11]. В противном случае необхо-
необходимо проводить сложные вычисления, в которых связанные элек-
электроны должны рассматриваться с учетом взаимодействия с само-
сотлгсован'ным потенциалом ядра, другими связанными электро-
электронами и электронами и ионами плазмы [12]. Большая часть таких
расчетов «не идет далее использования средних потенциалов и уче-
учета их воздействия на энергетические уровни и волновые функции.
Они должны поэтому рассматриваться как индикаторы возмож-
возможных отклонений от модели Ингллза—Теллера из-за перераспреде-
перераспределения в силах осцилляторов (вероятностях -переходов) вблизи
реальных границ серий.
Такие изменения должны, вообще говоря, возникать, если ве-
вероятность нахождения г-'плазменных электронов внутри боровской
орбиты возбужденного состояния n2a,o/z достаточно велика., т. е.
если пе^ C?/4ji) (n2a0/z)-z.
Оценки Инглиза—Геллера, .кроме того, предполагают, что для
сохранения дискретности главного'квантового числа электронная
плотность должна удовлетворять условию n^z^/Sa3^15^-1^. Оба
неравенства выполняются только для /г<(г/гI/3, т. е. если глав-
главное .квантовое число п наивысшего дискретного уровня очень мало
или если ядерный заряд z излучающего иона гораздо больше сред-
среднего заряда z. (Для ионов, имеющих более одного связанного элек-
электрона, ядерный заряд должен быть уменьшен на число дополни-
дополнительных связанных электронов леред применением этих оценок.)
Возвращаясь к плазмам с плотностями, значительно меньшими
тех значений, для которых справедливы соотношения теплово/го
равновесия C) и D) для данной температуры и для соответствую-
соответствующих атомиых состояний, отметим, что стационарные решения раз-
различных уравнений равновесия и пренебрежение ионным или атом-
атомным переносом требуют своего обоснования не только в областях
такой низкой плотности, -но также в 'переходных и резко локализо-
локализованных плазмах высокой плотности.
Поскольку не существует никакой общей теории плазмы низ-
низкой плотности, отложим дальнейшее обсуждение проблемы насе-
населенности до 1п. 4.1, где .приведены расчеты потери мощности на из-
излучение.
1.2. Форма линий. В некоторых задачах спектр оскопим плазмы
оказывается достаточным рассматривать спектральные линии как
бесконечно тонкие, т. е. заменять ?(со) в уравнении A) 6-функ-
цией. Однако, действуя таким образом, можно потерять ценную
для диагностических целей информацию или оказаться неспособ-
86
шм решить проблему излучательного переноса (см. ниже). Име-
Имеются три физических эффекта, оказывающих влияние на форму
линии. Два из них универсальны, а именно доплеровское смеще-
смещение или, при усреднении по хмногим гтомам или ионам, доллеров-
ское уширение, связанное с тепловыми или любыми другими дви-
движениями излучающих или поглощающих ионов, и естественное
уширение, обусловленное конечным временем жизни по крайней
мере одного из связанных состояний, между которыми происхо-
происходит данный переход. Третий эффект сводится к взаимодействию из-
излучающих систем с остальной плазмой, которое 1не только смещает
атомные энергетические уровни, но также сокращает их время
жизни в результате переходов 'под действием столкновений. Общее
наименование этих аффектов есть уширение давления, из числа
которых штарковское уширение является наиболее важным под-
подклассом в рассматриваемых системах. Последнее название впол-
вполне приемлемо потому, что плазменно-атомные взаимодействия в
большинстве случаев являются дальнодействующими, т. е. могут
быть аппроксимированы диполем, представляющим собой излуча-
излучатель с электрическим полем, наведенным плазмой в месте нахож-
нахождения излучателя. Прежде чем перейти к обзору теории штар.ков-
ского уширения [13], «которое иногда также называется плазмен-
плазменным уширением, обобщим наиболее важные черты доплеровского
и естественного уширений линий.
Так как нерелятивистское доплеровское смещение Д<о=.0*а>/с
пропорционально компоненте скорости vx вдоль луча зрения, не-
невозмущенный доплеровский контур описывается в терминах одно-
одномерного распределения по скоростям f{vx):
*) E)
Другими словами, для теплового распределения -излучающих
ионов невозмущенный доплеровский контур является гауссовым с
шириной (в пределах между точками, соответствующими У2 мак-
максимума интенсивности в сторону высоких и низких частот)
toD=2BkT/M)(»/c. F)
Здесь Т — ионная температура; М — ионная масса.
Естественное уширение линии в тех случаях, когдг. оно явля-
является единственным механизмом уширения, описывается лоренцо-
вым профилем, чья ширина на лолувысоте обычно .представляется
суммой вероятностей переходов для всех спонтанных переходов,
происходящих с верхнего и нижнего уровней соответствующей ли-
линии. Однако если поглощение или индуцированное излучение так-
также играют важную роль, то необходимо добавить и их вероятно-
вероятности. Аналогичным образом должны быть добавлены соответствую-
соответствующие вероятности, если верхний уровень неустойчив по отношению
к процессам безызлучгтельного затухания, таким, как, например,
автоионизация. В действительности же эти вероятности могут быть
существенно больше вероятности спонтанных излучательных пере-
87
ходов, и в большинстве таких случаев необходимо знать числен-
численное значение естественной шир.ины линии для дальнейших расче-
расчетов.
Надо отметить, что темп излучения имеет тенденцию сильна
возрастать с увеличением заряда излучающего ионг., в то время
как темп автоионизации сл'або зависит от заряда, причем реаль-
реальные значения имеют существенный разброс.
Штарковское уширение требует в .первую очередь изучения от-
отклика г.томов или ионов на более или менее хаотические и стоха-
стохастически меняющиеся электрические поля в плотных плазмах.
Другие аспекты распределения плотности заряда плазмы обычно
входят в рассмотренные только как малые поправки, за исключе-
исключением случая, описанного выше. Природа атомного отклика на
плазменные поля в сильной степени зависит от соотношения меж-
между соответствующими временными масштабами. При рассмотре-
рассмотрении взаимодействия полей с атомами и ионами можбо описать
эволюцию этого взаимодействия, используя интервалы времени
порядка, Дсо-Г1 или Доз соответственно, в зависимости от того,
что представляет наибольший интерес — штарковская ширина ре-
результирующего профиля Acos или точное описание профилей на
расстояниях Дсо от невозмущенной линии, .превышающих A,cos, как»
например, при расчетах излучательного переноса. Откладывая вре-
временно обсуждение коллективных полевых эффектов, мож'но про-
провести сравнение этих атомных временных масштабов с типичными
значениями отношения прицельного параметра к относительной
скорости движения возбуждающей и излучающей частицы для
данного столкновения p/v.
Эта оценка длительности единичного столкновения подразуме-
подразумевает, что ускорение возмущающего электрона в дальнодействую-
щем кулоновском поле «возмущенного иона не слишком велико и
что квантовомеханический предел hfkT для длительности столкно-
столкновения не вносит дополнительного ограничения. Как можно ожи-
ожидать, это ограничение пренебрежимо мало, если рассматриваемые
угловые моменты mpv/h велики. Это действительно имеет место
во всех случаях, за -исключением предельно плотных плазм с высо-
козаря,дным<и ионами, типичных для исследований по инервдально-
му термоядерному синтезу.
Для электронов как возмущающих частиц время столкновений
становится гораздо меньше, чем атомные масштабы времени, осо-
особенно дл? двух и более электронных систем, для которых невоз-
невозмущенные уровни, связанные электрическими дипольными перехо-
переходами, являются невырожденными, т. е. расщепленными на ДЕ.
Это означает, что только столкновения с hv/p^AE или p<.hv/AE
индуцируют переходы между этими уровнями, уменьшают их вре-
время жизни и, следовательно, приводят .к уширению линий, излучае-
излучаемых с участием этих уровней. Детальное временное поведение
атомных волновых функций в этом случае не играет существенной
роли, так как в расчетах, основанных на применении общеприня-
общепринятой теории столкновений, учитываются только конечные изменения
состояний. Форма линий при возбуждении электронным ударом
•описывается лоренцовым контуром с полушириной, рг,вной сумме
вероятностей столкновений на верхнем и нижнем уровнях.
В примциле упругие столкновения также дают свой вклад в
ширину линий, но для них амплитуды рассеяния на верхнем и
нижнем уровнях должны быть вычтены перед расчетом эффектив-
эффективного оптического полеречного сечения. Как следствие чисто куло-
новское рассеяние в потенциале вида 1/г н-е приводит к какому-
либо уширению — это широко известный результат.
Электронные соударения вызывают также смещение линий без
искажения их лоренцовой формы, если только справедливо удар-
ударное приближение, соответствующее сделанным предположениям
о временных масштабах, и если различные атомные уровни оста-
остаются изолированными. Тем не менее для некоторых ионных линий
контуры могут быть искажены даже в таких случаях, если оказы-
оказывается важным тормозное рассеяние на этих ионах; так как это
тормозное излучение интерферирует с излучением в линии, то это
приводит к асимметрии фо.рм линий [14]. Такая асимметрия на-
наблюдалась [15, 16], и ее нельзя путать с асимметрией профиля
из-за большого числа других причин [8, 13], а та,кже с асиммет-
асимметриями из-за квадрупольного и более мультшюльных взаимодей-
взаимодействий [»1«7].
Для одноэлектронных систем или сильно уширенных, перекры-
перекрывающихся линий различных атомов или ионов эффективные при-
прицельные параметры ограничены не величиной -расщепления уровня
Л?, а скорее дебаевской экранировкой, т. е. p^XD. В этих случаях
соответствующий гтомный временной масштаб должен быть боль-
больше, чем XD/v, другими словами, сдвиг по частоте от положения не-
невозмущенной линии должен быть меньше, чем <орв, усредненная по
скоростям электронов.
Если это условие нарушается только при Aco>>(os, то ударное
приближение легко обобщается введением зависящих от частоты
операторов ширины ,и сдвига, действующих на профили спектраль-
спектральных линий, сохраняющих в остальном лоренцову форму. Эта уни-
унифицированная аппроксимация формы линии справедлива для все-
всего контура и позволяет вносить та:кже динамические корреляции
между возмущающими электронами. Пока соответствующие вол-
волны в плазме возбуждаются только до их теплового уровня, воз-
возникающие плазменные сателлиты у атомных линий в видимой об-
области спектра слишком слабы, чтобы быть наблюдг.емым.и и ис-
использованными для практических целей. Тем не менее, если флук-
флуктуации коллективных полей возрастают, скажем, на два-три по-
порядка, то сателлиты могут быть различимы. Они обычно связаны
с диполью запрещенными атомными переходами, от положения
которых смещены в обе стороны на величину основной плазмен-
плазменной частоты. Эти сателлиты, предсказанные в [18], наблюдались
во многих экспериментах с турбулентной плазмой [13]. Имеется
и Другое важное обобщение ударной теории для перекрывающих-
перекрывающихся линий, которое отвечает в физическом смысле за передачу энер-
89
гии возбуждения при столкновении между близко расположенны-
расположенными уровнями, принадлежащими к группам верхних или нижних
уровней, кагда излучение линий обусловлено переходами из одной
группы в другую. Ударное приближение дает в этом случае, кроме
ожидаемой супер-позиции расположенных соответствующим обра-
образом лоренцианов, также еще и дополнительные члены, которые
стремятся подавить спектральные интенсивности между различ-
различными лоренцовыми профилями. За. исключением эффектов взаимо-
взаимодействия линейчатого излучения с континуумом, можно предста-
представить уширения контуров в результате соударений с электронами
в виде [13]
4(со) = - —ImTrZ) [аш-Я-С(со)]-1 р. G)
Здесь Тг — суммл диагональных матричных элементов (шпур) со-
соответствующего операторного произведения по всем состояниям
излучающего атома или иона, дающим в^лад в излучение линии.
(Если нижние уровни т?:кже значительно возмущены, то должны
быть использованы состояния так называемого удвоенного атома,
которые соответствуют произведениям в-ерхнего и нижнего состоя-
состояний). Оператор D определяет относительную силу различных пе-
переходов; Н — невозмущенный атомный гамильтониан, описываю-
описывающий внутренние энергетические уровни; ?(со)'—обобщенный опе-
оператор ударного уширения. Наконец, р — это статистический оперг.-
тор, описывающий относительные вероятности различных началь-
начальных состояний излучательных переходов. Если все компоненты пе-
переходов, принадлежащих к линиям, хорошо разделены и если раз-
различные наблюденные частоты отличаются от невозмущенных ча-
частот на величины, малые по1 сравнению с v/p, то наиболее важны-
важными в рассмотрении оказываются диагональные элементы от ?(а>),
чьей частотной зависимостью можно пренебречь. В этом случае
контуры линий будут лоренцовыми с шириной и сдвигом, описы-
вг.емыми соответственно функциями 1т?(со0) и Re?(coo), где о>о —
невозмущенная частота. Однако, ка,к только линии начинают пере-
перекрываться или соответствующие расстояния между ними по ча-
частотам достигают значений порядка длительности столкновений,
приведенные выше результаты претерпят значительные изменения
по сравнению с (Простой суперпозицией лоренцовых контуров.
/Прежде чем зав ершить об суждение штарковскаго уширения из-за
высокочастотных полей, следует упомянуть об интересной связи
между штарковским уширением и теорией флуктуации (см. 1.3).
В электрическом поле плазмы в приближении атомного дипольно-
го взаимодействия и первом 'борновском приближении типичный
матричный элемент имеет вид [13]:
00
(8)
90
г. е. задается Фурье-образом автокорреляционной функции элек-
электрического поля. Тем не менее частота взаимодействия соответст-
соответствует разности наблюденной и атомной частотсои-г= (<.и"\Н\и">
—<l\H\l>)/h , как можно ожидать на основании сохранения
энергии.
Оператор г предстг.вляет собой положение векторов излучаю-
излучающих электронов л их сумму по соответствующим промежуточным
состояниям и".
Действительную часть интеграла можно выразить через спек-
спектральную плотность поля или плотность флуктуации, а мнимую —
через присоединенное главное значение интеграла.
Для равновесных и других стабильных плазм в пределах ргс-
мотренных приближений методы расчета ?;(со) могут быть заим-
заимствованы из теории рассеяния света. Однако имеется также важ-
важное отличи-е, заключающееся в том, что ограниченная примени-
применимость ударного приближения обычно требует отличного от перво-
первоначального разложения поля. Например, в то время как теория
рассеяния света требует .включения всех флуктуации плотности за-
заряда, связанных с электронами, в том числе и флуктуации в ион-
ионных плазменных волнах, ситуация становится менее ясной в на-
настоящем случае. Из-за низких частот и относительно больших ам-
амплитуд поля обобщенное ударное приближение обычно не приме-
применимо для низкочастотных флуктуации поля. Их воздействие на
форму линии должно быть поэтому описгно на основе дополни-
дополнительного .приближения к общей, но неудобной для практического
использования теории уширения линий. Это дополнительное при-
приближение является квазистатическим, основанным на предельном
предположении, что в атомном масштабе времени порядка Дсо^-1
поля практически не меняются. Тогда можно предположить что
данный излучатель находится под воздействием постоянного воз-
возмущающего поля, вызывающего обычный штарк-эффект [1, 2], а
именно смещение уровней и возможное изменение относительных
интенсивностей.
Суммирование излучения по многим атомам или ионам в этом
случае эквивалентно усреднению излучения от единичного излу-
излучателя в статистически распределенном поле, описываемом функ-
функцией распределения W\E), если, к?.к в случае ударного уширения,
мы предполагаем изотропию плазмы, т. е. рассматриваем только
изменение амплитуды поля.
Так как излучение такого пробного атома или иона подвергает-
подвергается воздействию также со стороны высокочастотных полей, т. е.
будет ударно уширено, комбинированное воздействие квазистати-
квазистатического и ударного уширения приводит к следующей форме линии:
L(co)= $ W(E)L?{®, E)dE, (9)
где Le такое же, как и в уравнении G), за исключением того, что
операторы здесь являются также функциями квазистатического
поля Е.
91
Рис. 1. Функции распределения Р(е)
для приведенных электрических микро-
полей, создаваемых ионами в плотной-
многокомпонентной плазме, которая со-
содержит смесь семнадцатикратно иони-
ионизованных (х= 17) и однократно иони-
ионизованных (г=1) ионов для трех значе-
значений отношения их плотностей R [20].
Реальная напряженность поля E = &F0,
где .Fo — хольтсмарковская напряжен-
напряженность поля, Fo = el/ro2, а распределение
W(E) определяется отношением P(e)/F0-
Сравнение указывает на важность экра-
экранирования и корреляций и на ослаблен-
ослабленную зависимость от ионного заряда при
фиксированной плотности электронов.
Здесь a=ro/XD
Основная трудность с этим стандартным выражением для штар-
ковских контуров спектральных линий заключается в необходимо-
необходимости разделения полей на высокочастотные и низкочастотные в за-
зависимости от отношения их характеристических частот к большей
из интересующих нас частот cos и Асе. До тех пор, пока все поля
могут быть приписаны некоррелированным электронам и жшам,
очевидным решением является включение всех электронных полей
в ?(со) и ионных пол-ей в W(E)y что дает возможность вычислить
стандартным образом форму линии и затем проверить справедли-
справедливость использованных временных масштабов.
Однако в плазмах, которые являются достаточно плотными,
для того чтобы штарковское уширение стало заметным, учет кор-
корреляций также становится «важным. Хупер и сотр. [19, 20] вклю-
включили такие корреляции в расчеты W(E) для ио'нных полей. Как
показг.-но на рис. 1, корреляционные эффекты весьм-а заметны,
хотя остается неясным, как должны быть учтены низкочастотные
поля, создаваемые экранирующими электронами, которые связа-
связаны с возмущающими ионами.
В большинстве расчетов этими низкочастотными электронными
полями пренебрегают. Кроме того, имеются указания н?. то, что
их включение в ?(со) приводит к завышенной оценке их (влияния
на форму линии из-за сомнительной справедливости применения
ударного приближения в этом случае. Это обстоятельство, а так-
также то, что некоторые штарковские ширины Acos являются слиш-
слишком малыми, чтобы устранить серьезные сомнения относительно
справедливости применения квазистгтического приближения для
описания эффектов, вносимых полем ионов, делают необходимым
92
введение поправок или обобщение квазистатического приближе-
приближения, учитывающего малые изменения поля, создаваемые ионами
или ионными волгнами за исследуемый интервал вр-емени. Такие
обобщения являются наиболее необходимыми для линий, подвер-
подвергающихся -воздействию со стороны линейного или квазилинейного»
штарк-эффекта от квазистатических полей, т. е. водородных ли-
линий или сильно уширенных гелиевых линий с перекрывающимися,
компонентами, которые отличаются только орбитальными угло-
угловыми моментами 'верхних уровней. Наиболее систематическим пу-
путем получения желаемых дополнений к стандартной теории явля-
является замещение квазистатического поля медленно меняющимся,
которое можно выразить через степенные, зависящие от времени
ряды. Этот подход был (Введен В. И. Коганом [21], который тем
не менее не только пренебрег электронным ударным уширением и
корреляциями между частицами плазмы, но также использовал
адиабатические волновые функции в системе координат, 'враща-
'вращающейся вместе с ионными полями. Он показал, что поправки к
квазистатическому приближению можно выразить в терминах
функции распределения W(E, Ёь Ё±), которые описывают услов-
условные .вероятности (производных по времени 2?ц и Ё± компонент поля,
параллельных и перпендикулярных начальному направлению поля
Е при заданной Е.
Для некоррелированных ионов эти функции можно взять из-
аналогичных функций для гравитационных полей [22], генерируе-
генерируемых стохастически распределенными звездами с максвелловским
распределением в пространстве скоростей. Эти функции распреде-
распределения являются обобщениями Хольцмарковского распределения
для Е [23].
Два из приближений Когана — предположение об адиабатич-
ности и пренебрежение ударным уширением — были развиты
впоследствии [24] в довольно общей теории для уширения водо-
водородных линий.
Хотя эта работа позволила оценить качественные тенденции
в расхождениях между измерениями [25] и стандартной теорией,
ее нельзя использовать для количественного сравнения потому,
что корреляции не были учтены.
Как будет видно из последующего анализа гравитационного
случая, предположение о стахастичности не реализуется даже ©
пределе, соответствующем ГоАгг-Я), где г0—среднее расстояние
между ионами, определяемое из условия 4яг03пе/3=1. Теоретиче-
Теоретическая модель ['26] для низкочастотных флуктуации полей, созда-
создаваемых частицами и волнг.ми, предполагает, что в этом пределе
действительные значения, например значение Ё±2, ка,к правило,
занижены в 1,5 раза и слабо зависят от отношения ro/XD до тех
пор, пока оно остается меньше единицы.
Применение этой модели к водородной линии с использованием
других случгях в основном метода работы [24], обобщенного на
случай произвольно больших поправок к несмещенным штарков-
ским компонентам, дает действительно очень хорошее соответствие
93
L
10~'
wz
id3
---^
\\
\
—^ч
\
—-. \
\ X
\ \
\\
- \\
л
\
\
\
N
,/G'7
/0'7си
v
\
\
\
\
\
A
\
Рис. 2. Сравнение измеренных (точки)
[27} и рассчитанных (кривые) [26} про-
профилей линии La водорода при различ-
различных плотностях. Штриховыми линиями
показаны результаты расчетов [29], в
которых пренебрегалось движением ато-
атомов относительно ионов. Верхняя кри-
кривая (точки), рассчитанная с учетом
доплеровского уширения, показывает
малость этого уширения даже при са-
самых низких плотностях электронов.
Нижняя кривая (пунктир) соответствует
учету вклада сдвинутых штарковских
компонент в расчеты профиля при са-
самых низких плотностях
10'
10
Юи АЛ,к
с измерениями [27]. Это видно из рис. 2, который также демон-
демонстрирует большое улучшение точности расчета по отношению к
стандартным расчетам [28, 29].
Прежде чем проведем сравнение результатов расчета с экспе-
экспериментальными измерениями формы линий, для которых не имеем-
имеемся несмещенных штарковских компонент, обратим .внимание на
следующие два момента. Прежде всего флуктуации поля, кото-
которые чувствует атом, подвержены влиянию доплеровского смеще-
смещения при его движении через плгзму, т. е. имеется сильная корре-
корреляция между штарковским и доплеровским уширениями. Эта кор-
корреляция нарушает обычную свертку двух основных профилей.
(Эту корреляцию не следует смешивать с эффектом Дике [30],
который может приводить к стол'мювитель'ному сужению долле-
ровского уширения ионных линий в плотных ллазмах [31].) Ком-
Комбинированные штарк-доплеровские контуры для линии La, (вычис-
(вычисленные с учетом этой корреляции [26], продемонстрировали, что
поправки на тепловое доплеровско-е уширелие значительно мень-
меньше, чем поправки, учитываемые обычной обратной сверткой. По-
Поэтому величина расхождения между измеренными и рассчитанны-
рассчитанными штарков-скиМ'И ширинами была даже больше, чем предполага-
предполагалось ранее (-порядка трех вместо двух с половиной). В дальней-
дальнейшем были лредприняты различные попытки [32—34] учесть эти
расхождения включением в оператор ударного уширения ?(со) эф-
эффектов низкочастотного доля. По-видимому, они оказались не бо-
более успешными, чем попытки применения обобщенного квгзиста-
тического приближения, и не дали удовлетворительного согласия,
например, в случае линии Lp. Эта линия является прототипом во-
$4
L
0,10
0,09
0,08 <
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,0/
- Г\
- Jf \
/l \
-
-
-
-
j I
Ne =
T -
I ~
? --
\
\
\
i i
0,f16
\
Xp
0
z
0,/0
0,09
0,08 J
0,07
0,05
0,05
0,03
0,02
0,0/
- /^_J
j\
1
i
j
-
-
-
-
Ne = ix;o"cM'3
\\
\ ?-0,207
\
\
\
\
X
О
Рис. З. Сравнение измеренных (крестики) [270 и рассчитанных (сплошная кривая)
[37} щрофилей линии L^ водорода для двух значений плотности электронов Ne~
Сплошная кривая построена на неподправ ленных профилях [29}. Стрелки вблизи
центрального минимума профиля и сдвинутого максимума указывают на изме-
изменения интенсивности в случае использования неподправленных профилей [2&].
Показаны также (пунктирная кривая) результаты, полученные при использова-
использовании модели микрополей [38Ц. Частота х отложена в единицах штарковского-
сдвига внутренних компонент в хольтсмарковском поле Fo, xp соответствует
электронной плазменной частоте, измеренной по несдвинутой линии. Что каса-
касается линии La, то она предполагается симметричной относительно несдвинутой.
линии, и поэтому здесь показана только половина профиля
дородных линий, не имеющих несмещенных ыгтарковских компо-
компонент.
Линия Lp также была измерена [27, 35, 36]. Сравнение с систе-
систематическими расчетами [37], аналогичными расчетам для La, за
исключением того, что здесь не столь необходимо проводить эк-
экстраполяцию от малых поправок к большим, представлено на
рис. 3. Наибольшее расхождение составляет примерно 5%, она
лишь незначительно превышает аналогичное значение для La.
Единственными методами, способными обеспечить необходимое
соответствие, являются модельные расчеты микрополей [38],.
основанные на замещении действительной временной зависимости
поля процессами типа кенгуру (ступенчатой функцией) [39], при-
приводящими к корректным автокорреляционным функциям и функ-
функциям распределения, а также методы численного моделирования
с помощью ЭВМ [40].
Фактически оба эти метода являются числовыми и поэтому не
пригодны для экстраполяции, например, при переходе от водород-
9S
бых линий к водородоподобным аргоновым линиям, представляю-
представляющим интерес © исследованиях по инерциальному управляемому
термоядерному синтезу (см. .п. 4.2).
Более того, как и различные О1бо'бщения ударного приближе-
приближения, они включают важные эффекты атомного или ионного дви-
движения в весьма произвольной манере, т. е. опираются нг. наблю-
наблюденную зависимость [25] расхождений между экспериментом и
теорией (стандартной) от приведенной массы пары излучатель —
возмущающий ион. Так как квазистатичеекие поля и их зависящие
•от времени производные многочг-стичны, эта простая зависимость
не является полностью очевидной, хотя отклонения от нее действи-
действительно малы в стохастическом пределе работы [22].
1.3. Излучательный перенос. Многие лабораторные плазмы яв-
являются оптически тонкими для большей части электромагнитного
спектра. Это означает, что фотон покидает плазму с большой 'ве-
'вероятностью, как только он возникает в ней или попадает в нее из
внешнего источника. В таких случгях знание коэффициента излу-
излучения е(со) достаточно для расчета интенсивности спектрального
излучения по формуле
а
ix + M»)> 0°)
где х—'Элемент длины вдоль луча, -проходящего сквозь плазму
между некоторой точкой а на противоположной стороне плазмы и
точкой 6, из которой выходящий луч попадает в детектор. Входя-
Входящие и выходящие интенсивности Jb и Ja измеряются в направле-
направлениях распростргления лучей, которые не обязательно параллель-
параллельны, если существенную роль 'начинают играть рефракционные эф-
эффекты.
Коэффициенты излучения для линий представлены в A), а из-
излучение электрон-ионного континуума аппроксимируется уравне-
уравнениями B5) и C0). Эти и любые другие вклады в интенсивность
излучения всегда являются аддитивными, пока рассматри'вгются
элементарные процессы, связанные только с коэффициентом 8, но
по отношению к интегральной интенсивности аддитивность сохра-
сохраняется, если только плазма оптически тонкая на данной частоте
по отношению ко всем излучательным процессам.
Наиболее вероятными процессами поглощения являются атом-
вое или ионное резонансное поглощение в линиях. Сечение элек-
электрического дипольного фотовозбуждения выразим через классиче-
классический электронный радиус го—е2/тс2
аа(со)=2я2г0^(о)). A1)
Отдельные переходы можно характеризовать силой осцилляторов
в поглощении, или f-числом [5]. Последние тесно связаны с ве-
вероятностью перехода в уравнении A) и нормированной функ-
функцией формы линии ?(со), которая рассматривалась выше. Умно-
'96
жая Ga на плотность п атомов или ионов в нижнем состоянии, нг.-
тодим значение коэффициента поглощения &(со), из которого для
определения эффективного коэффициента поглощения надо вы-
вычесть аналогичное выражение, включающее плотность /г* в 'верх-
'верхнем состоянии
k' = oan — Oin* = 2n2r0cf(n — gn*/g*)L{w). A2)
Здесь (У{—'поперечное сечение процесса вынужденного излучения,
.сила осциллятора которого связана с силой осциллятора для по-
поглощения через отношение статистических в'есов g и g* нижнего
и верхнего уровней перехода. (Предположение о равных формах
пиний для обоих процессов широко распространено, но не всегда
оправдывается на практике.) Кроме эффектов поглощения и вы-
вынужденного излучения на интенсивность выходящего из плазмы
.излучения могут оказывать -влияние различные процессы рассея-
рассеяния. Из них всех только резонансная флуоресценция имеет доста-
достаточно большое полеречное сечение, чтобы конкурировать при обыч-
обычных лабораторных условиях с поглощением в линиях. Тем не
менее это на самом деле не самостоятельный процесс, а комбина-
комбинация поглощения с последующим зг ним спонтанным излучением.
Если плотность плазмы достаточно мала для того, чтобы спонтан-
спонтанный распад 'был гораздо более .вероятным процессом, чем любой
вынужденный столкновениями переход из верхнего состояния,
тогда наиболее подходящим будет описание -в форме резонансного
рассеяния. В противоположном случае надо использовать олисг.-
ние, «включающее рассеяние и полностью некоррелированное спон-
спонтанное излучение. Для промежуточных ситуаций применима ли-
линейная суперпозиция [41] обонх описаний с соответствующими ко-
коэффициентами. Если отношение gn*/g* достигает п, то следует
также рассматривать аналогичный процесс вынужденного рас-
рассеяния. С другой стороны, релеевское рассеяние обычно не вы-
выдерживает конкуренции со столкновительными процессами и его
поперечное сечение всегда много меньше поперечного сечения по-
поглощения или резонансного рассеяния.
Строго говоря, релеевское рассеяние не является независимым
процессом. Оно скорее соответствует резонансному рассеянию с
поперечным сечением, указанным в A11), за исключением того,что
•функция формы линии представляет собой предельный случай
¦функции ?(со) для естественного уширения линии. В этом смысле
только томсоновское рассеяние на свободных электронах является
действительно дополнительным процессом с поперечным сечением,
выражаемым также через ('II), где L(ico) заменяется на величину
порядка (с/го)~\ эквивалентную ширине линии, которая больше
атомной частоты, умноженной на a~3^i2,6»106, т. е. 5 • 1022 рад-с*.
Малость сечения томсоновского рассеяния 'объясняет, почему эггот
процесс или его релятивистское обобщение не играют важной роли
А переносе излучения в лабораторной плазме. Но, как было указа-
указано выше, процессы .поглощения континуума или вынужденного из-
4 Зак. 137 97
лучения должны быть учтены в радиационном переносе. Возвра-
Возвращаясь .к уравнению (dl2), определяем:
а
zab = J Kdx A3>
ъ
как оптическую толщину плазмы вдоль луча от b до а.
Дифференцирование интенсивности dJ=&dx—Jk'dx приводит
к простейшей форме уравнения радиационного переноса:
dJ/dr=s/k' —J=S —J, A4)
где 5 — функция источника. В случае термодинамического равно-
равновесия она равна функции Планка1
но © более общем случае для спектральной области в окрестности
сильной линии
s
/ 4п*с* V gn
(считаем, что формы линий е(со) и k'((o) одинаковы).
Но даже >в этом упрощенном случае возникают проблемы
вследствие того, что отношение плотностей зависит не только от
скоростей столкновений, но и от .процессов излучения, т. е. от ло-
локальных значений интенсивностей во в'сех направлениях. Исследо-
Исследование таких проблем освещалось главным образом в астрофизиче-
астрофизической литературе [42, 43J.
Предположение о равной форме линий также весьма спорног
особенно в случае чистого доплеравского уширения и относительно
сильного фотовоз.буждения. В таких случаях необходим детальный
учет перераспределения излученных фотонов по всей области ча-
частот и по всем направлениям для данного поглощенного фотона.
Нахождение функции распределения 'при значительном стол.кнови~
тельном упшрении—'.предмет исследования, .проводимого в настоя-
настоящее в(ремя.
(Возвращаясь к уравнению радиационного переноса A4), за-
м-ечг:ем, что его формальное решение имеет вид:
Ja= j
Ja
Значения т находят из уравнения A3) с заменой а на х. Инте-
Интегрирование ведется вдоль луча на отрезке от Ъ до а. Первый член
учитывает (источники внутри плазмы, второй—-внешние источни-
источники, S(x)=S(x) зависит, в общем, не только от локальных значе-
значений температур и т. д., но тг,кже и от интенсивностей, .как была
отмечено выше.
98
Бели Хаь мало, то в A7) можно олустить член экспоненциаль-
экспоненциального затухания и рассматривать оптически тонкую плазму [см.
•A0)]. Более интересным является другой предельный случай
Таь»1, когда плазму может покинуть только излучение, .находя-
.находящееся в тонком поверхностном слое, и если предположить, что
сохраняется постоянным во всем этом слое, то A7) упрощается
.и принимает вид:
Ja&S(a), A8)
.г в случае выполнения условий локального термодинамического
равновесия
т. е. плазма излучает как черное тело. Итак, чтобы использо-
использовать формулу Планка для описания излучения плазмы, должны
выполняться следующие три условия: большой оптической тол-
толщины, малой пространственной вариации температуры и близ-
близкого к тепловому отношения плотностей верхнего и нижнего
состояния п*/п излучз.тельного перехода. В случае, когда преиму-
преимущественную роль в излучении играют переходы континуума, а не
дискретные «ли генерации циклотронных гармоник, последнее ус-
.ловие становится требованием существования почти максвеллов-
ского распределения для излучающих или поглощающих ионов
или распределения Ферми, если электроны -вырождены. Таким же
«образом должно выполняться ионизационное равновесие Саха для
•связанных уровней, с которых происходит фотоионизащия.
В заключение отметим, что теория излучательного .переноса
является также хорошо разработанной областью математической
¦физики [44, 46] с различными интересными приложениями к
спектроскопии .плотной плазмы [46].
2. НЕПРЕРЫВНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ЭЛЕКТРОН-ИОННЫХ
СТОЛКНОВЕНИЯХ
В то время как излучение атомных линий соответствует пере-
ходам между связанными дискретными состояниями атома или
иона, т. е. между хорошо разделенными энергетическими уровнями
в отсутствие внешних влияний, излучение атомного континуума
обусловлено переходами между состояниями, ,из которых по край-
крайней мере одно соответствует активному свободному электрону;
•обладающему лю'бой кинетической энергией.
Если, действительно, только одно из состояний — свободное
электронное, то такое 'излучение -называют рекомбинационным,
тэ.к как в конечном состоянии электрон рекомбинирует с ионом
или атомом и в последнем случае образует отрицательный ион
Если оба состояния являются свободными, т. е. если электрон
только теряет кинетическую энергию -в процессе замедления, ноне
¦претерпевает захвата, то такое излучение называется тормозным.
4* 99
Следует отметить, что различие между связанными и свободными
состояниями может быть нерезким даже в отсутствии значитель-
значительного -взаимодействия с остальной плазмой.
(Это осложнение возникает для всех систем, ироме одноэлек-
тронных, и состоит в том, что вы.рождение между дважды возбуж-
возбужденными связанными состояниями двухэлектронной системы, в ко-
которых один электрон связан с ls-уровнем, а другой свободен, бу-
будет, ,в лучшем приближении, переводить эти связанные состояния1
в континуум, хотя и со структурой, напоминающей суперпозицию
дискретных уровней с континуумом. Соответствующие линии могут
•иметь значительные естественные уширения из-за безызлучатель-
ного затухания электрона (автоионизация), а из-за интерференции
с нормальным непрерывным излучением их контуры могут сильно
отличаться от лор-енцовых [47]. Процесс обратной автоионизации,
т. е. безызлучгтельный захват, сопровождается возбужде-
возбуждением одного или 'более уже связанных электронов и является пер-
первой ступенью в важном рекомбинационном процессе, ко-
который обычно называют диэлектронным. Следующей сту-
ступенью является излучательное затухание дважды -воз-
-возбужденного состояния, приводящее к излучению диэлектронных
сателлитных линий, которые в зависимости от конкретных условий
модут быть или не быть разрешенными от резонансных линий пер-
первичного иона.
2.1. Тормозной спектр. Электроны и (ионы непрерывно уско-
ускоряются или замедляются в результате их взаимодействия друг с
другом, причем приобретаемое ускорение обратно пропорциональ-
пропорционально отношению м,9сс сталкивающихся частиц. Классические расче-
расчеты мощности излучения Р тормозного спектра, основанные на из-
излучении заряда е при ускорении х=еЕ/т, дают величину Р=
Включение в расчеты электрического поля Е, создаваемого-
более или менее стохастически распределенными ионами со сред-
средней плотностью nz, приводит к следующей формуле для плотности
мощности излучения тормозного спектра:
Электрическое поле отдельного иона с зарядом z в области, зани-
занимаемой электроном,
Е{=геп/Гг\ B0)
где гг(/)—мгновенный вектор от иона к электрону, г{ — модуль
этого вектора. Необходимо провести также Фурье-преобразование
ионного поля Ею*= J ешЕ{^)*сН9 © результате которого получаем
интеграл, используемый также «в полуклассических расчетах по-
поперечных «сечений или электрон-столжноштельного уширения ион-
ионных линий [13].
100
Используя эти результаты, имеем в терминах характерных па-
параметров
V
после умножения \EJ\2 единичного иона на 2nvpdpnz, т. е. на ин-
гегрировальную по всем параметрам удара вероятность того, что
в единичный интервал времени данное столкновение характери-
характеризуется параметром удара, р и скоростью v. Записывая Ег в урав-
уравнении A9) в интегральной форме и используя @1), получаем вы-
выражение для коэффициента излучения, обусловленного электрона-
электронами, в виде
е*(ю)« — z2e2ro2— nzne(a*+b2I/2. B2)
3 v
Функции а и Ь, характеризующие ширину и смещение ионных ли-
линий, уширенных из-за столкновений, зависят в рассматриваемом
подходе только от параметра
?=^_ы_ B3)
hv mv2
а если отождеств-ить (а2+А2I/2/31/г с г ay нт-к}) актором gfi для сво-
свободно-свободных переходов, то B2) будет соответствовать выра-
выражению, получаемому на основе квантовомеха'нических расчетов.
Однако gff 'будет зависеть также от значений кулоновокого пара-
параметра T\ = ze2/%v. Полуклассичеокие расчеты справедливы только
для больших т). После усреднения по машвелловскому распределе-
распределению получаем, что в этом пределе велйч-ины 22Ея/кТ ,и z2En[h<u
должны быть велики, а параметр ? надо заменить на
B4)
Только первый вариант здесь совместим с условием т]^>1 в инте-
интересующем нас диапазоне частот и, как вадно из рис. 4, гаунт-
факторы, оцененные таким способом, действительно довольно хо-
хорошо согласуются с результатами, полученными в квантовой меха-
механике для больших значений z2EK/kT. Более детальное обсуждение
гаунт-факторов мож-но найти в [il]. В [48, 49] имеются также ре-
результаты для случая релятивистских электронов. Полагая g"//=l,
т. е. используя аппроксимацию1 Крамерса и усредняя по максвел-
ловскому распределению выражение B2), получаем:
гПе- B5)
При этом мы исключили из интеграла по скоростям вклад элек-
электродов с кинетическими энергиями, меньшими, чем фотонная энер-
энергия, и выразили энергии частиц через энергию ионизации водо-
водорода ?н. (Напомним, что ro=a2ao, a = e2/hc=l/l37 и Е^ = е2/2а0=
:=ше4/2%2.) После домножения на gff эта формула будет почти
101
Y>m.yA. Гаунт-факторы для свободно-свободных и свободно-связанных перехо-
переходов, усредненные по максвелловскому распределению [5Г]. Штриховая кривая
соответствует полуклассическому приближению, описываемому, уравнениями
B2) - B4)
точным выражением для дипольного тормозного излучения ионов,
однако о'на нуждается в модификации как .вблизи различных хг.-
рактерных плазменных частот [50], так и для столкновений элек-
электронов с ионами, имеющими связанные электроны [1].
Интегрирование B5) по о и домножение на 4я приводит к из-
известной и важной формуле для плотности мощности тормозного
излучения нерелятивистской, полностью ионизованной плазмы:
J/2
¦En
1/2
B6)
где Т — электронная температура, кэВ; Pz — мощность, B
п — плотность, см~3. Эту оценку еще надо помножить на усреднен-
усредненные гаунт-факторы [51] (рис. 5), чтобы она была верной для тор-
тормозного излучения на ободранных ионах. Для многокомпонентной
плазмы равенство B6) надо также просуммировать по г, т. е. по
заряду различных ионов, которые до сих пор считались полностью
ободранными от связанных электронов.
Несмотря на то что излучение в результате столкновений элек-
ipo^OB с примесными ионами, которые полностью не ободраны,
потребовало бы расчета электрон-ионного рассеяния с .возможным
электрон-электронным взаимодействием, тем не менее простая
трактовка .полученных здесь результатов будет достаточной для
многочисленных приложений. Для излучения в тепловом диаяазо-
102
не, т. е.
можно считать, что Ян
Рис. 5. Гаунт-факторы
для свободно-свобод-
свободно-свободных переходов, усреднен-
усредненные по частотам и мак-
свелловскому распре-
распределению в случае рас-
расчетов потерь энергии на
тормозное излучение [51]
характеристический прицельный пара- 1tf0
метр р^с/со имеет вид р~ (kT/H(u))X
X(Ejri/kT)i/2'a0. Его надо сравнить с ха- 7,55
рактеристической удаленностью связан-
связанных электронов от ядра r~n2ia0/z'y где
щ — главное квантовое число некоторого
электрона, а г' — г—5 — экранированный
заряд ядра E считают равным числу
электронов во внутренних подоболочках
плюс половина числа других электронов
подоболочки щ). Если при этом сравне-
сравнении оказывается, что г<р, то тормозное
излучение можно оценить, используя
эффективный заряд, соответствующий
разности заряда ядра и общего заряда
связанных электронов. Иначе говоря,
экранировка ядерного заряда играет
менее важную роль. В любом случае
в рассматриваемой до сих пор спек-
спектральной области тормозное излучение
не столь велико по отношению к излуче-
излучению спектральных линий.
При высоких частотах можно рассмотреть другой предел.
В этом случае следует (учитывать близкие столкновения, когда
эффективный заряд приближается к заряду ядра при энергиях
рентгеновского излучения значительно выше энергии излучения
линий данного элемента ka, k$ и т. д. Для промежуточных вариан-
вариантов сечения тормозного излучения [1,52] следует рассчитывать
с использованием вол-новых функций ионов-мишеней. Кроме рас-
рассмотренных здесь -поправок .к формулам тормозного излучения
имеется еще три, по-видимому, важных физических эффекта.
Прежде всего, электрон-электронные столкновения порождают тор-
тормозное излучение, если учитывать квадрупольный порядок. По
сравнению с доминирующим электрон-ионным тормозным излуче-
излучением этот эффект поэтому имеет порядок (v/cJ [53]. Тогда воз-
возникает вероятность преимущественного испускания двух, а не од-
одного фотонов во .время одного столкновения. Этот эффект имеет
порядок a(v/cJ, т. е. он пренебрежимо мал [54]. Наконец, так
как столкновения с большим прицельным параметром дг.ют свой
вклад, тормозное излучение может уменьшаться из-за дебаевской
экранировки. Эта поправка должна быть ,по(рядка (phDJ~ (,cdp/g)J,
г. е. она мала для большинства представляющих практический ин-
интерес частот (при (u^rkT/h). Числовые расчеты [55, 56] говорят
о том, что соответствующее уменьшение тормозного излучения со-
составляет меньше 1% для обычной плазмы, удерживаемой магнит-
магнитным полем. Однако для плотной -плазмы, возникающей при лазер-
лазерных термоядерных исследованиях, это уменьшение может состав-
103
лять более 10%. Как будет показано ниже, эта оценка может ока-
оказаться завышенной, .поскольку коллективные (взаимодействуя так-
также могут вызьпвать дополнительное излучение.
2.2. Рекомбинационное излучение. Для оценки непрерывного
излучения, связанного с электрон-ионной рекомбинацией, удобно
сначала рассмотреть обратный процесс, а именно фотоионизацию.
Сечение этого процесса тесно связано с сечением дискретного по-
поглощения, выражаемого равенством A1). В равенстве (И) произ-
произведение силы осциллятора / и функции формы линии определяет
долю полного сечения при данной энергии фотона. Соответствую-
Соответствующая доля для непрерывного поглощения определяется дифферен-
дифференциальной силой осциллятора df/d(o=hdffdE. Для одноэлектрон-
ных атомов или ионов можно экстраполировать эту силу осцилля-
осциллятора с помощью асимптотических сил осцилляторов для поглоще-
поглощения при переходах из связанных состояний п в состояния т [57]
f ~
При больших т энергетический интервал, соответствующий Ат=
=il, можно аппроксимировать как АЕ^2г2Еи/[тг. Дифферен-
Дифференциальная сила осциллятора, экстраполированная в область поло-
положительных энергетических состояний, в этом случае принимает
вид:
JL ^ hi!L ^ 2* (*2?нJ 1 B8)
dE Д? ~~ 2>3/2п (fccoK пь
и сечение фотоионизадии для одноэлектронных атомов или ионов
в состоянии п с учетом A1) и B8) можно записать в виде
бяИ~ з3'2 л» (ftco)' ~ З3/2 г-
Это приближение Крамерса, которое надо домножить на соот-
соответствующие гаунт-факторы gfb [1, 8, 51], чтобы оно было спра-
справедливым для одноэлектронных систем. Как следует из рис. 4,
эти коэффициенты лежат в диапазоне от 0,8 до 1,2, т. е. в более
узком диапазоне, чем гаунт-факторы свободных переходов gff.
Поправки становятся более существенными, если равенство B9)
применяется для описания фотоионизации системе двумя или боль-
большим числом электронов [1], хотя равенство B9) и может давать
разумную алпрокеимацию, если домножить его на число электро-
электронов г\п в /г-й оболочке.
Согласно закону Кирхгофа можно получить коэффициент излу-
излучения в результате излучательной рекомбинации, умножая эффек-
эффективный (см. разд. 1.3) .коэффициент поглощения для условной
плазмы в тепловом равновесии k'n=enn*n[\—ехр(—Лы/кТ)] на
функцию Планка /Р из равенства A5) и выражая условную плот-
плотность п*п с помощью уравнения Саха, содержащего плотности
104
ионов nz и электронов пв. Используя равенства C) и (L5), полу-
получаем:
Напомним,, что статистический вес и энергия ионизации /г-го уров-
уровня 2/г2 и z2Eu/n2 соответственно. Это выражение, домноженное на
гаунт-фактор, хорошо описывает вклады свободных состояний в
непрерывное излучение в плазме с полностью ободранными иона-
ми.
Чтобы получить полную интенсивность реком'бинационного из-
излучения такой плазмы, надо .просуммировать по всем п> лри кото-
которых показатель экспоненты в равенстве C0) отрицателен, что со-
соответствует энергиям фотонов за границей различных серий. Что-
Чтобы также учесть излучение от слившихся, т. е. сильно уширенных,
линий (см. § 2.2) вблизи границ серий, ftco может быть и меньше
z2EK/n2 нг. величину, соответствующую энергии ионизации верхне-
верхнего уровня первой линии, у которой ширина становится больше рас-
расстояния до следующей линии оерли. Этот эффект первоначально
обсуждался Инглизом и Теллером [iM], однако до сих пор пол-
полностью не ясен (см. разд. 1.2). Обычно менее важным является
другой эффект, связанный с высокой плотностью, а именно умень-
уменьшение энергии ионизации АЕ^ [8], учесть который можно, если
домножить выражение C0) на ехр(—AEoo/kT) (см. также [58, 59]).
Необходимы специальные расчеты для точного описания ре-
комбинационного излучения частично ободранных ионов или, что
эквивалентно, фотоионизации систем с двумя и более электрона-
электронами [1, 2]. Можно, однако, оценить основные эффекты рекомбина-
ционного излучения двумя простыми модификациями равенства
C0). Во-лервых, заряд ядра z следует заменить -на экранирован-
экранированный заряд из-за присутствия связанных электронов. Во-вторых,
чтобы учесть уменьшение числа возможных состояний в п-и обо-
оболочке, коэффициент излучения надо домножить на A—r\n)f2n2f
где rjn — число электронов на этой оболочке.
Возвращаясь к равенству C0) и сргвиивая его с B5), видим,
что в соответствующих областях спектрг, отношение рекомбина-
ционного излучения к тормозному без учета гаунт-факторов есть
отношение для полностью ионизованной плазмы, состоящей из
ионов одного типа:
Здесь имеет место суммирование по /г, при котором ^H/.
При достаточно больших энергиях фотонов условие преобладания
тормозного .излучения в полностью ионизованной плазме имеет
вид: kT^>z2En, что не всегда справедливо, например, в токамаках,
где плазма им'еет примеси железа. Соответствующее отношение
плотностей мощности, т. е. отношение равенства C0), домножен-
105
ного на 4л; и проинтегрированного по со, к равенству B6) можно
записать в виде
2»Е 1 >? C2)
К-~ kT U пъ kT '
где снова не учтены гаунт-факторы и предполагается полная иони-
ионизация однохомпонентной плазмы.
Из сказанного 'выше следует, что по сравнению с тормозным
излучением реком'бинационное излучение доминирует для тяжелых
и полностью ионизованных примесей. Поскольку для всех приме-
примесей, за исключением полностью ионизованных, диэлектро'нная ре-
рекомбинация преобладает (см. п. 4.1), то, естественно, возникает,
вопрос о возможном доминировании этого процесса над непрерыв-
непрерывным рекомбинавдонным излучением. В интегральном смысле эта
ситуация представляется нормальной. Однако излучаемые фото-
фотоны в основном близ.ки по энергии к различным резонансным ли-
линиям. Поэтому на практике их можно учесть поправками к интен-
сивностям линий, которые не обязательно малы [60, 61].
3. ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛАЗМЫ
Обсуждаемые до сих пор различные радиационные процессы
носили в основном атомный характер, хотя иа них в той или иной
степени оказывали влияние взаимодействуя между излучающими
атомными системами и плазмой, частью которой они являются.
Теперь мы рассмотрим .процессы, которые не имеют прямого отно-
отношения к атомным спектрам, рассмотрим излучение, возникающее
вследствие движения электронов в магнитном поле, проникающем
,в плазму, и излучение, связанное с различными плазменньши
волнами. Первое приводит к электрон-циклотронному излучению,
а второе — к аномальному тормозному излучению в'близи, напри-
например, плазменной электронной частоты.
Необходимость изучения этих процессов очевидна из-за их
влияния на энергетический баланс плазмы и частично из-за их
роли в диагностике плазмы. Основной причиной повышенного
интереса к изучению коллективных радиационных .процессов в
астрофизических и лабораторных плазмах является их большой
вклад в излучение. На это указывалось, например, в [62] и в не-
недавнем обзоре [63] общее описание этих процессов можно найти
[50].
3.1. Электрон-циклотронные гармоники. Так же как в случае
тормозного излучения (см. п. 2.1), запишем формулу Ларморадля
полной мощности, излучаемой ускоренным зарядом: Р=2е2\х\2/3сг,
которая при подстановке в нее x=Vji(x)ce==v±eB/mc примет вид:
P=i2e4B2v2L/3m2cb=2r€2B2v±2/3c. Характеристическое время потери
энергии mv±2/2P можно представить, следовательно, .как tc=
— 3mc/4re2B2^QfiB-2 с, аде В измеряется в теслах. При значе-
значениях Б^ЮТл в условиях выполнения критерия Лоусона
106
см~3 циклотронные радиационные потери будут весьма
существенны, за исключением случаев, когда плотность достаточ-
достаточно высока: /г^4-1015 см^3.
Эту простую оценку циклотронных радиационных лотерь сле-
следует уточнить. Во-первых, излучение не только испускается элек-
электродами, но и сильно поглощается ими. Другими словами, сле-
следует обратиться к п. 1.3, где рассмотрена проблема переноса из-
излучения. Как показано ниже, излучение вблизи сос<? оказывается
пренебрежимо малым во многих случаях. Тем не менее, как было
указано в [64], очень важно помнить, что формула Лармора но-
носит нер'елятивистский характер и является частным случаем более
общих выражений, уже полученных в ранней монографии Шотта
[65]. Важным моментом является то, что релятивистская теория
предсказывает также излучение вблизи гармоник циклотронной ча-
частоты и излучением на этих гармониках нельзя пренебрегать даже
для Ее<^тс2. Детали расчетов радиационных потерь на циклотрон-
циклотронных гармониках были суммированы Б. А. Трубниковым [64], кото-
который приводит для потерь мощности на единицу объема плазмы
следующее выражение:
2 2
Р = Пе ^ cev , 9 = Пе <° се ЬТJf= ~ kJе<Р. C3)
с е зс3 -LT Зс3 с еТ Зпс3 Т
Здесь ф—- фактор прозрачности, включающий не только поглоще-
поглощение в плазме, отражение и поглощение на стенках, но также и ре-
релятивистские эффекты. С учетом последнего и из-за доплеровско-
го уширения ф зависит от безразмерного параметра, включающего
электронную температуру
te=kTe/mc>. C4)
Второй безразмерный параметр должен учитывать оптическую
глубину системы, т. е. быть пропорциональным произведению ха-
характеристической длины в плазме а на плотность плазмы. По-
Поскольку плотность плазмы пропорциональна квадрату электронной
плазменной частоты, а единственная частота, которая нам извест-
известна,—'Это (осе, то естественно в .качестве второго безразмерного па-
параметра выбрать величину
Ра=а(й2ре/с(йсе. C5)
Для плазмы, представляющей интерес с точки зрения термо-
термоядерных исследований, te мало, а ра обычно довольно велико. Кро-
Кроме того, ф является монотонно возрастающей функцией te и имеет
тенденцию к уменьшению с возрастанием ра. При ра-+°° ф должно
изменяться как 1/ра, так что объемный интеграл от Рс пропо!р|цио-
нален площади поверхности плазмы. Поскольку ф=;1 при /v-H),
то можно считать, что ф~1/~|/ра в наиболее интересной промежу-
промежуточной области [66]. Если коэффициент отражения стенки г, то
эффективная длина имеет вид а-Ьаг+аг2-К.. = а/A—г), т. е. в про-
промежуточной области ф.а.ктор прозрачности, а следовательно, и ра-
107
диационные потер-и в ^1—г раз меньше <по сравнению с излучением
плазмы три нулевом отражении стенок.
Числовые значения ф можно найти в [66]. Однако читатель
должен помнить, что величина а не обязательно наименьшая ма-
кроеколичеекая длин?, в ллазме. Если величина магнитного поля,
а следовательно, и циклотронная частота изменяются вдоль соот-
соответствующего направления, то эффективное поглощение возникает
только пр-и ДВ/5^Дсо/со, где Асо—'Локальная ширина линии. При
малых te Асо определяется нерелятивистским доплеровским ушире-
нием, т. е. Дсо/со « (я^е/2) ч\ поэтому вместо а должна использо-
использоваться соответствующая масштабная длина am^ABf(dB/dr)«
ttB(ntep2)ll2/}(dB/dr), если ат существенно меньше а. Учет сдвигов
циклотронных линий вследствие радиальной неоднородности то-
тороидального поля эквивалентен согласно [67, 64] замене аргумен-
аргумента в ф на а/)A+х), где
f/ C6)
Здесь а и R—'малый >и большой радиусы соответственно. При боль-
больших а и- малых te радиационные потери почти не зависят от а и
эффективное значение второго безразмерного параметра
Ра~+ (nte/2) 1 /2#СО2реД:С0се. C7)
Числовые значения в типичных экспериментальных условиях тако-
таковы, что ср~ 1/Ура~1/У#.
Расчеты циклотронного излучения плазмы малой плотности
в тороидальных полях можно найти в [67, 68]. Авторы [68] подроб-
подробно обсуждают радиационные потери и добавочную теплопровод-
теплопроводность, связанную с переносом излучения на циклотронных гармо-
гармониках вдоль температурного градиента. Они также обсуждают
возможность использования циклотронного излучения для диагно-
диагностики (см. п. 4.2 и [69]).
Для этого, так же как и для расчетов циклотронных радиа-
радиационных потерь, необходимо, например, знание коэффициентов по-
поглощения различных циклотронных гармоник т. Пр-и (тсосе/сореJ»
>1, т. е. при небольших .плотностях, сильных лолях и малых ie,
•что соответствует слаборелятивистской плав,ме, эти коэффициенты
для случаев двух мод [67] имеют вид:
2 с (т—1)
C8)
где 9—<угол между нглр-авлением поля и волновым вектором,
а т]тA) «и Цт{2) — относительные вклады мод. Последние нормирова-
нормированы так, что т]A) + т]B>=1 и часто учитывается только необыкновен-
необыкновенная мода. Нормированные функции формы линии Lwi(co) учиты-
учитывают как нерел-ятивиотокий доплеровский эффект,'свжзанныйедви-
эффект,'свжзанныйедвижением электронов параллельно полю, так и релятивистский сдвиг
108
циклотронной частоты, который зависит также от нормальной ком-
компоненты ско.рости. Для максвелловского распределения электро-
электронов Lmi(co) приближается к гауссовому с полной шириной, удов-
удовлетворяющей соотношению
Vmte), C9)
Приведенные выше выражения несправедливы .при т=\ и ког-
когда Асот приближается к сосе, а также когда km -существенно не пре-
превышает km+\. Если 0 достаточно отличается от я/2, то условие
AcDm<Ccoce оказывается более строгим, например, при kTe^\\Q кэВ.
При значительно более высоких температурах более высокие
гармоники неразличимы, ,и тогда уместно говорить о синхротронном
излучении [50], рассмотрение которого требует других приближе-
приближений [66].
3.2. Аномальное тормозное излучение. Дисперсия и другие кол-
коллективные эффекты до сих пор здесь не рассматривались. Они не
только влияют на пер-енос и поляризацию излучения, но и сказы-
сказываются на различных коэффициентах излучения и поглоще-
поглощения. Об одном таком эффекте уже упоминалось &• пп. 2.1 и 2.2,
.а именно о 'влиянии на тормозное излучение дебаевской экрани-
экранировки и соответствующем изменении в интенсивностях линий вы-
шкосерийных компонент, которые практически сливаются в не-
непрерывный спектр. Однако было показано, что расчеты с исполь-
использованием статического дебаевского экранирующего потенциала
или какого-либо другого статического эффективного потенциала
в лучшем случае дают .качественную оценку влияния коллектив-
коллективных эффектов в равновесной плазме. Что же касается дисперсион-
дисперсионных эффектов, то мы их вообще не будем рассматривать и только
отметим, что для большинства высокотемпературных плазм основ-
основная доля излучения приходится на частоты, значительно превы-
превышающие различные характеристические плазменные частоты, так
что эти эффекты, ка,к указано в [50], имеют значение только в от-
относительной узкой части опектра.
Возвращаясь >к рассмотрению влияния коллективных эффектов
на коэффициенты излучения и поглощения, замечаем, что изме-
изменения в тормозном излучении из-за динамических -корреляций не-
непременно возникают вблизи плазменной электронной частоты.
Поскольку даже в равновесной плазме флуктуации электрического
поля на соответствующих частотах до-вольно велики, то компонен-
компоненты Фурье-векторов ускорения электронов, а следовательно, и из-
излучения будут иметь пик вблизи соРе. Однако расчеты [70, 71] по-
показывают, что этот пик очень мал, а его интегральная интенсив-
интенсивность обычно пренебрежимо мала. Включение статических ион-
ионных корреляций приводит к ослаблению пика, в то время как
сильные неравновесные ион-ионные корреляции, соответствующие
надтепловым ионным волнам, способствуют существенному уве-
увеличению его вблизи соре [70]. Физическая причина этого состоит
в том, что вместо того, чтобы излучать полностью некогерентно,
109
электроны теперь испускают частично когерентное излучение, по-
поскольку часть из них имеет одинаковое ускорение.
Если волны электронной плазмы возбуждаются до надтепло-
вых уровней, то излучение «на частоте соре также возрастает, даже
если ионы и не коррелируют между собой. Для стабильной плаз-
плазмы уровень флуктуации поля, а следовательно, и излучение мож-
можно выразить через нетепловую, но стабильную функцию распреде-
распределения электронов [50, 72]. Коэффициент излучения .в основном
пропорционален .плотности энергии волны плазмы, «и это обстоя-
обстоятельство можно использовать для оценки лентмюpoiBCKO.ro излучения
[6,2, 73]. Можно обобщить последние оценки и рассмотреть, «на-
«например, одновременные ленгмюровскую и ионно-авуковую турбу-
турбулентность. Полезной физической моделью будет тогда рассеяние
высокочастотных и низкочастотных электростатических волн друг
на друге. Коэффициент излучения в этом случае пропорциона-
пропорционален произведению плотностей энергии двух начальных волновых
спектров^
Очевидное расширение той же физической модели до учета
рассеяния ленгмюровских волн друг на друге приводит к увеличе-
увеличению интенсивности излучения вблизи частоты 2соре, которое про-
пропорционально квадрату плотности энергии ленгмюровской турбу-
турбулентности. Небольшой пик вблизи этой частоты можно также пред-
предсказать для термической плазмы [71] и снова с пренебрежимо ма-
малой интенсивностью. Другой возможностью возникновения высо-
высокочастотного излучения при услов-ши, -что в плазме нет сильных
магнитных полей, является комптоновское рассеяние волн элек-
электронной плазмы на надтепловых электронах, особенно в реляти-
релятивистской области [62]. Вообще говоря, этот процесс дает непре-
непрерывный спектр, на который следует обратить внимание, прежде-
чем делать оценки, исходя, например, из формы спектральной ли-
линии жесткого рентгеновского излучения релятивистской плазмы.
Здесь следует также упомянуть другой механизм переходаотэлек-
тростатических волн к электромагнитным, а именно линейную*
конверсию в <неоднородной плазме [74, 50].
Перед тем как перейти к рассмотрению плазмы в магнитном
поле, следует напомнить читателю, что большинство оценок из-
излучения, связанного с ленгмюровской турбулентностью, справедли-
справедливо только для относительно малых флуктуации, поскольку .пред-
.предположение об однородности тур1булентности может не оправдать-
оправдаться. Переход энергви электростатической волны в солитоны приво-
приводит к резким изменениям в электромагнитном -излучении [63].
По ряду причин за магниченная плазма является еще более бо-
богатым источником различных излучений по сравнению с плазмой,
свободной от магнитного поля. Кроме излучения вблизи электрон-
циклотронных гармоник и си-нхротронного излучения, имеется воз-
возможность конверсии электромагнитных волн, что приводит к излу-
излучению вблизи сосе, 2сосе и (co2ce+ico2peI/2. Существенной особенностью'
этого случая является большая роль модовой структуры мод и на-
наличие электроматнитных волн с фазовыми скоростями, меньшими
По
скорости света. Благодаря последнему возможно излучение Ва-
Вавилова—Черенкова, особенно если пучок надтепловых электронов
движется вдоль магнитного поля [75]. Однако соответствующие
медленные волны не способны выйти за пределы плазмы.
Другим источником излучения может быть вынужденное рас-
рассеяние слабой низкочастотной волны на .релятивистском электрон-
электронном пучке [76]; физический принцип этого процесса близок ,к ла-
лазерному. В роли гофрированного магнитного поля в последнем
случае могут выступать флуктуации плотности в плазме с дрей-
дрейфующими электронами, и тогда можтсо говорить о плазменном ла-
лазере [63]. Кроме этих и многих других нелинейных процессов,
имеется также ряд линейных неустойчивостей электромагнитных
волн в плазме в магнитном поле, которые могут дать интенсивное
излучение. Краткий обзор таких неустойчивостей можно найти
в работе [63].
4. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ
В экспериментах с плазмой обычно имеется два класса задач, связанных
с электромагнитным излучением, а именно проблема расчета энергетического
-баланса и возможность интерпретации наблюдаемых спектров через плазмен-
плазменные параметры. Для обеих проблем основная теория одна и та же, и посколь-
поскольку излучение носит атомный характер, требуется одна и та же совокупность
атомных данных. Тем не менее имеется различие в подходе. Так, для оценки
радиационных потерь учет всех процессов и полнота атомных данных обычно
более важны, чем точность в измерениях линий, и т. д. Для диагностики же,
наоборот, лучше измерять и рассчитывать отобранные линии как можно точ-
точнее, чтобы свести к минимуму неопределенности в плазменных параметрах.
Естественно, что здесь, конечно, не следует чрезмерно концентрироваться на
отдельных особенностях спектра. Должна всегда присутствовать некоторая пе-
перестраховка в определении требуемых параметров, чтобы убедиться, что лю-
любое согласие теории и эксперимента не случайно.
4.1. Радиационные потери. Так как тормозное излучение всегда присутст-
вует в плазме и крайне редко испытывает самопоглощение в широком диапа-
диапазоне частот, то было бы естественно |8]1 найти соотношение между неизбеж-
неизбежными объемными потерями мощности на тормозное излучение [см. формулу
B6)] и другими видами радиационных потерь.
Для случая тормозного и рекомбинационного излучений при соударении
свободных электронов с полностью «ободранными» тяжелыми примесными
ионами это уже было сделано в п. 3.2. Отношение суммы потерь мощностей
при этих процессах к потере мощности при тормозном излучении на ионах
водорода имеет вид:
где nz — плотность примесных ионов, a ng"— плотность ионов водорода или
его изотопов.
Введение соответствующих гаунт-факторов (см. рис. 4 и 5) может при-
привести к увеличению отношения D0), поскольку средний гаун-фактор для чис-
чистого водорода весьма мал при высоких температурах, например gH~l,l при
?Г«10 кэВ, а гаунт-факторы для тормозного излучения на примесях g^ 1,4.
Поэтому эффективный заряд для радиационных потерь с непрерывным спект-
спектром часто превышает значение, соответствующее электрической проводимости,
даже если рекомбинация несущественна, другими словами, если удвоенная
энергия одноэлектронного иона 2z2En<kT Гаунт-фактор для рекомбинации
с полностью ободранными ионами g=0,8-=-l,0.
Ill
Хотя эти оценки для излучения с непрерывным спектром следует сущест-
существенно корректировать для ионов, имеющих связанные электроны-мишени, тем
не менее поправки к тормозным потерям чисто водородной плазмы в таких
случаях полностью определяются дискретным излучением. Это обстоятельства
устраняет необходимость точных расчетов для излучения с непрерывным спекг-
ром. Главная проблема состоит в получении действительных оценок дискрет-
дискретного излучения примесных ионов в высокотемпературной плазме. Полагая, что*
полная концентрация примесей данного типа /гг- = Е?г2, необходимо прежде все-
всего найти распределение по зарядовым состояниям z.
Что касается концентрации пи то ее зависимость от координат и времени
в основном определяется процессами переноса, которые также могут повлиять
на распределение по зарядовым состояниям, и взаимодействием плазмы со
стенкой.
В большинстве высокотемпературных плазм плотность электронов слиш-
слишком мала, чтобы уравнение Саха D) (см. п. 1.1) было справедливым. Поэто-
Поэтому яадо подробно рассмотреть скорости различных процессов ионизации и ре-
рекомбинации (см. разд. 2) с помощью, например, следующей системы уравне-
уравнений:
1 dnz
пе dt
Коэффициенты скорости ионизации s и рекомбинации а представляют со-
собой максвелловские усреднения произведений соответствующих сечений на ско-
скорость электронов. Для быстро ионизующейся плазмы может быть также при-
принята в расчет одновременная ионизация с двумя и более электронами. Следует
также помнить, что коэффициенты рекомбинации часто не дают действитель-
действительного представления об одиночном элементарном процессе.
Это усложнение возникает потому, что точное описание процессов пере-
переноса плазмы и скоростей атомных реакций требует рассмотрения плотностей
огромного числа возбужденных состояний. Вместо этого делается обычно ра-
разумное предположение, что все ионы находятся в основных состояниях или,
по крайней мере, образуют группу близко расположенных уровней основного-
состояния с энергиями возбуждения E-^kT. В последнем случае различные
коэффициенты в уравнении D1) будут тогда усреднениями по этим возбуж-
возбужденным состояниям, а плотности — суммами плотностей. Погрешности в оцен-
оценке радиационных потерь в силу обычного предположения, что все ионы нахо-
находятся в основном состоянии, могут быть довольно большими, однако это мож-
можно исправить, если воспользоваться приближенными сечениями возбуждения,
которые не слишком зависят от состояния иона-мишени.
Еще более сложная ситуация возникает в случае диэлектронных реком-
бинационных процессов [77], которые происходят быстрее излучательной реком-
рекомбинации на один или два порядка. Рекомбинация на ободранных ионах явля-
является исключением, поскольку элементарной реакцией является электронное
возбуждение, сопровождаемое безызлучательным захватом. Поэтому конечное
состояние в результате этой реакции будет дважды возбужденным, причем
захваченный электрон обычно находится в ридберговском состоянии с кванто-
квантовыми числами п и /. Удобно описать возбуждение первоначально связанного
электрона или электронов, рассматривая возбуждение электронным ударом в
области ниже пороговых энергий. Важным вопросом является вопрос о пере-
переходе в основное состояние дважды возбужденного рекомбинационного иона
в результате радиационного или столкновительного процесса до его повторной
ионизации. Помимо автоионизации это может быть следствием дальнейшего
ступенчатого возбуждения или непосредственного столкновения с электроном.
Чтобы получить эффективные коэффициенты скорости диэлектронной реком-
рекомбинации для уравнения D1), надо первоначальные скорости захвата умножить
на коэффициенты ветвления, полученные из относительных скоростей различ-
различных вторичных процессов, и просуммировать по всем дающим вклад дважды
возбужденным состояниям.
Возможные кумулятивные погрешности в таких расчетах могут оказаться
довольно большими. Кроме того, большинство нужных для расчетов сечений.
112
практически невозможно определить экспериментально, однако, к счастью, в.
двух работах была проведена экспериментальная проверка эффективных ре-
комбинационных коэффициентов по их влиянию на временные вариации плот-
плотности ионов [78, 79]. Результаты этих экспериментов согласуются с расчетами
с точностью до множителя два, за исключением предсказанного уменьшения
эффективного коэффициента рекомбинации при высоких плотностях, не подт-
подтвержденного лишь одним из экспериментов. Являются ли причиной этого не-
несоответствия теоретические погрешности в определении сечений процессов с
участием ионов в высших ридберговских состояниях или неучтенные в экспе-
эксперименте рекомбинационные процессы, пока неясно (см. также J80]1).
Важным атомным процессом, который способствует электронной реком-
рекомбинации, идущей в направлении, обратном ионизации электронным ударом, яв-
является перезарядка, близкая к резонансной (см. разд. 2), между атомным
водородом или его изотопами и примесными ионами в высоковозбужденных
состояниях (81, 82]. Сечение этого процесса настолько велико (порядка z27ta<?
[83, 84]), что концентрация нейтральных частиц порядка ~ 10~7 пе уже ста-
становится заметной [85, 86}. Эта перезарядка может быть причиной относитель-
относительно низкой ионизации железа, наблюдаемой в экспериментах по нагреву плаз-
плазмы интенсивными нейтральными пучками [87TJ.
Обычная практика расчетов потерь на излучение с дискретным спектром
состоит в рассмотрении скоростей процессов, вызванных электронами, и в пред-
предположении, что характеристические времена переноса намного превышают
времена самих процессов. Поэтому в уравнении D1) можно пренебречь про-
производной по времени и воспользоваться корональным ионизационным равно-
равновесием
>W«z-i~<Vi,2/az,z-i D2>
для расчетов относительного заполнения основного состояния. Последующий:
расчет дискретного излучения в принципе весьма прост, поскольку для интен-
интенсивных резонансных линий в высокотемпературной плазме естественно предпо-
предположить, что за возбуждениями при столкновениях следует радиационный рас-
распад. Умножая скорость возбуждения на энергию возбуждения и суммируя па
всем наиболее интенсивным линиям, получаем мощность потерь
Pi « 2 XzifEzifnzne. D3>
Ключевой величиной является коэффициент скорости возбуждения Х^, т. е.
произведение сечения перехода /->/ на скорость электрона, усредненного по
заданному максвелловскому распределению. Различные результаты расчетов
потерь по равенствам D2) и D3) отличаются друг от друга в 2—3 раза, а
также не совпадают в деталях.
Результаты расчетов [88} для железа, основанные на коэффициентах ди-
электронной рекомбинации в предположении автоионизации в возбужденные
состояния, представлены на рис. 6. Из аналогичных расчетов (90} для ионов
других элементов вырисовываются некоторые систематические закономерности,
которые представлены на рис. 7. Сравнение D3) с равенством C0) показыва-
показывает, что радиационные потери на примесях железа могут существенным обра-
образом превышать тормозное излучение из чистого водорода при относительных,
концентрациях п{/пе^\0-5 и kT=\ кэВ и при ai*/azp^10-4 и kT=\O кэВ. При
последних условиях излучение на резонансных линиях составляет около 60%
радиационных потерь на примесях, в то время как излучение на линиях-сател-
линиях-сателлитах в результате диэлектрической рекомбинации на частично ободранных
ионах дает 10—20%; остальное составляет непрерывное рекомбинационное из-
излучение и тормозное излучение на полностью или почти полностью ободран-
ободранных ионах железа, оба из которых дают приблизительно одинаковый вклад
согласно равенству D0) и отношению гаунт-факторов ?/ь/?//~0,8/1,3~0,6 при
2 = 26.
Желая установить закономерности, описывающие радиационные потери на
примесях, можно обобщить результаты расчетов по корональной модели для
113
34- 8b,2 216,5 5ЧН- 1366 5430 Те,дЪ
Излучение 6 линии
Fe
L- оболочка
Диэлекгпрон-
ное реном5а
ционноеиз л
ние
10
г29
Рис. 6. Удельные потери мощности
на излучение для водородной плаз-
плазмы, содержащей примеси железа сог-
согласно расчетам модели короны [88,
89]. Умножение коэффициентов по-
потерь энергии k на электронную и
ионную плотности дает плотность
мощности, излученной в линиях, ди-
электронных сателлитах и в виде ре-
комбинационного и электрон-(Fe)-
ионного тормозного излучения
5,6 ?,0 6,4 6,8 7,2 16
различных элементов и написать для
них довольно простые выраже-
выражения [91]
Pz = A + 0,37) X
D4)
тде Т — температура, кэВ; Z — атомный номер; Pz — мощность, Вт-см~3,
а также оценить, например, критическую примесную концентрацию, при кото-
которой радиационные потери превосходят нагрев а-частицами в D—Г-реакциях
при любой температуре [92, 93}. Для железа эта критическая концентрация
составляет 1%, для молибдена —0,6%, а для вольфрама—0,2%. При работе
iaxiB
wa
10й
,0"
w2i
71 CM5
J
I
f
i
A
f
К
H-оболочка
L
a)
10
8 11 16 20 24 Z
10 -
11 16 20 2? Z
Si Tl Fe Nl
Рис. 7. Максимальные значения рассчитанных [90} коэффициентов потерь k на
излучение различных примесных элементов с &-, L- и Af-оболочек (а) и темпера-
температура, соответствующая этим значениям потерь для случая коронального равно-
равновесия (б)
114
в области энергий частиц плазмы значительно ниже 60 кэВ требуются более
низкие концентрации, поскольку тогда становится существенной диэлектрон-
ная рекомбинация [94}, которую следует учитывать при расчетах.
Не менее критичным в области исследований по термоядерному синтезу
является электрон-циклотронное и синхротронное излучения, которые всегда
возникают в плазме с магнитным удержанием. Несмотря на то что основной
процесс в этом случае весьма прост, расчет поправок, вызванных поглощением
и повторным излучением, настолько сложен [69], что даже трудно сделать об-
общие заключения (см. п. 3.1).
Приведем результаты только для одного простого случая — слабореляти-
слаборелятивистской плазмы в тороидальном магнитном поле, характеризуемом малым от-
отношением R/a. В этом случае градиенты магнитного поля достаточно велики,,
излучение становится в основном локальным, а температурные ограничения
обеспечивают разделение линий. Используя выражение (А2.3) из [66] для фак-
фактора прозрачности с заменой а на а/%, а также равенство C6) в пределе а-й)
и выражения B6) и C3), получаем отношение мощностей электрон-циклотрон-
электрон-циклотронного излучения и тормозного излучения на чистом водороде
з3/240
рс з/240 / *
P
При ?//«1,0 значение первого числового множителя 3-Ю4; a (с//?а)реJ«10-*
далее, принимая В = Б Тл и пе=\0н см~3, находим отношение характеристичес-
характеристических частот о)се/(Оре~2. Поэтому при kT^lO кэВ имеем Рс/Рь~\, т. е. ника-
никаких сколько-нибудь существенных увеличений в общих радиационных потерях
не появляется. Однако при более высоких температурах и магнитных полях,
например ?7^50 кэВ и В =10 Тл, отношение возрастает в 102 раз, а если стен-
стенки отражают, то в 102 A—г) /г раз, где г—коэффициент отражения. Посколь-
Поскольку при таких высоких температурах равенство D5) может оказаться неспра-
несправедливым, то эта оценка носит только ориентировочный характер.
4.2. Диагностика. Использование. спектров электромагнитного излучения для
определения параметров источника этого излучения является старым приемом,,
основанным на теории атомных спектров и излучения плазмы, а также их сов-
совместном применении. Некоторые такие возможности обсуждаются в настоя-
настоящем сборнике; кроме того, имеются книги, посвященные в той или иной сте-
степени этой теме [8, 50, 95], а также работы астрофизического направления, при-
примером которых может служить [7], по интерпретации интенсивностей спект-
спектральных линий. В этой работе, однако, рассматривается относительно разре-
разреженная плазма, и поэтому упомянем еще о работе |[96], посвященной интерпре-
интерпретации дискретного и непрерывного излучения плотной плазмы, в которой ра-
радиационный перенос (см. п. 1.3) приводит к существенной модификации-
спектра.
Физическими параметрами, доступными спектроскопическому анализу, яв-
являются плотности электронов и примесей, электронная и ионная температуры,,
а при измерении динамического эффекта Штарка {13] также и флуктуации
электрического поля, связанные с турбулентностью плазмы. Поскольку невоз-
невозможно обсудить здесь все существующие диагностики, мы закончим статью
обсуждением двух применений количественной спектроскопии к измерению
плотности плазмы в сжатых инерционных термоядерных мишенях и определе-
определению температуры электронов в плазме реакторов-токамаков. В первом случае
полезная часть спектра лежит в диапазоне энергий рентгеновских излучений
от 1 до 10 кэВ. Этот диапазон включает спектральное излучение ионов крем-
кремния и других примесных ионов элементов, содержащихся в стекле. Он также
включает резонансные линии ионов с одним и двумя электронами таких эле-
элементов, как, например, неон и аргон, которые можно добавлять в Д—Г-смесь
для диагностических целей. Во втором случае мы имеем дело с малым числом
электрон-циклотронных гармоник, т. е. с длинами волн в миллиметровом и суб-
субмиллиметровом диапазонах. В зависимости от плотности плазмы и магнитного
поля колебания электронной плазмы также могут оказывать влияние на этот
спектр, расположенный в далекой инфракрасной области.
115
z
0,3
0,2
0,7
0
IP
hi Г
П
—+-*^ i i_
I
V
V_ a)
-6-1+
Рис. 8. Определение электронной плотности в плазме, сжимаемой лазерным
излучением [99], сравнением с рассчитанными профилями Штарка [100] линии
Аг XVII в результате перехода (Is 3p)lP—(lsJ1»S. Профили линии (в атом-
атомных единицах энергии Д?/?н, ?н = 13,6 эВ) ясно указывают на наличие
запрещенной штарковской компоненты и напоминают почти симметричный про-
профиль линии La с двумя пиками (см. рис. 3). Электронные плотности для слу-
случаев (а) и (б) оказываются равными Л^=5-1023 и 7.1023см~3 соответственно
Три характеристики рентгеновских спектров плотной высокотемпературной
плазмы являются в основном функциями плотности, а не температуры. Преж-
Прежде всего это контуры линий ионов с одним и двумя электронами. В силу того,
что соответствующие верхние уровни почти вырождены по энергии с другими
уровнями, имеющими одно и то же главное квантовое число, их линии очень
чувствительны к эффектам Штарка, вызванным низкочастотными электричес-
электрическими микрополями. По той же причине электронные столкновения, порождаю-
порождающие высокочастотные электрические поля, довольно сильно влияют на перехо-
переходы между этими уровнями. Они укорачивают времена жизни, а также расши-
расширяют и сдвигают линии (см. п. 1.2). Если наблюдаемые контуры линий суще-
существенно превышают по ширине доплеровские профили и уширения из-за несо-
несовершенства прибора, не говоря уже о естественном (радиационном) уширении,
и если излучение идет от оптически тонкого (средняя длина свободного про-
пробега фотона превышает характеристические размеры плазмы) и достаточно од-
однородного слоя, то тогда, сравнивая расчетные штарковские контуры с наб-
наблюдаемым спектром, можно судить о плотности электронов (рис. 8) {99}.
Второй характеристикой рентгеновских спектров является граница серии,
которая из-за увеличения штарковского уширения с ростом главного кванто-
квантового числа и из-за уменьшения интервалов между соседними линиями серии
возникает в плотной плазме при более низких энергиях фотонов, чем в плазме
низкой плотности. Следуя работе [11] (см. также п. 1.1), плотность электро-
электронов, соответствующую данному главному квантовому числу nm8iX последней
линии, находящейся ниже такой сдвинутой границы серии, можно определить
следующим образом:
-,9/2
пе-
,1024
Для эксперимента (см. рис. 8) с ионами аргона B=17) в плазме, состоя-
состоящей в основном из однократно заряженных ионов (D—Т, г«1), с плотностью
^тах —6, из D5) находим п ?«5-1023 см-3. Это согласуется со случаем га=3,
хотя следует помнить, что при пШах = 5 концентрация пе уже равна 2-Ю24 см~3.
116
7,5 Г
7,0 -
0,5 -
Спектральная частотами
t,MC
0,5 -
-30 -20 -10 0 10 20 30 г, СИ
Рис. 9. Типичный спектр теплового электронно-циклотронного излучения с
удельной интенсивностью / для ПБТ (Принстонского большого тора), измерен-
измеренный с помощью спектрометра с преобразованием Фурье [103]. Спектр был ис-
искусственно обрезан ниже 3,5 см-1 из-за отсутствия данных калибровки в этой
области. Первая циклотронная гармоника появляется здесь при 3,0 ом-1 для
разряда ПБТ (а). Точки с указанием погрешности измерений соответствуют ра-
радиальному црофилю электронной температуры, измеренной методами томпсо-
новского рассеяния в ПБТ. Сплошная кривая показывает профиль температуры,
полученный по форме линии 2сосе в спектре, измеренном с помощью Фурье-
спектрометра. Профиль, найденный методом томпсоновского рассеяния, смещен
в направлении возрастания большого радиуса тора, чтобы согласовать положе-
положение профиля, полученного по циклотронному излучению. Это смещение необхо-
необходимо частично из-за различных направлений обзора двух диагностик. Профиль
температуры, полученный по циклотронному излучению, нормирован на пик
профиля по томпсоновскому рассеянию {б)
117
Третья спектральная характеристика включает отношения интенсивностей
линий или сателлитов. Эти интенсивности также будут функциями плотности
электронов, если заселенности верхних уровней не зависят от больцмановских
коэффициентов |[см. C)], поскольку в этом случае плотности слишком малы
и столкновительные процессы не доминируют над всеми радиационными. Это
условие выполняется здесь для уровней с п=2, т. е. можно связать интенсив-
интенсивности интеркомбинационной B3Р—+-VS) и резонансной линиями B1Р->115) [7].
Другие возможности связаны с определенными свойствами сателлитов
181, 101, 102]. Однако этот способ труден в экспериментальных условиях, по-
потому что радиационный перенос весьма существен для резонансной линии [96]
и спектральные характеристики, необходимые для анализа, недостаточно раз-
разрешены. Например, интеркомбинационную линию B3Р—y-VS) нельзя отделить
от запрещенной компоненты B!S—1!S), связанной с резонансной линией.
Как указывалось в п. 3.1, авторы [68] довольно детально обсудили диаг-
диагностические возможности использования излучения на циклотронных гармо-
гармониках [69]. Поэтому здесь мы только упомянем о наиболее успешном приме-
применении этого излучения— об измерении электронных температурных профилей
в больших токамаках с достаточно высокой частотой повторения разрядов,
обеспечивающей возможность проследить за временной эволюцией этих про-
профилей. Суть метода заключается в том, что излучение на выбранной соответ-
соответствующим образом нижней гармонике принимается за излучение черного тела,
а также устанавливается однозначное соответствие между значением локаль-
локального поля и действительной частотой в пределах измеряемого спектрального
профиля данной гармоники. Таким образом, этот профиль отражает распреде-
распределение температуры вдоль большого радиуса при наблюдении в этом направ-
направлении. Пример подобного измерения показан на рис. 9 [103] вместе с получен-
полученным профилем температуры. Пространственное разрешение зависит от спект-
спектрального разрешения, градиента магнитного поля и релятивистского доплеров-
ского уширения [см. C9) при 8«я/2]. Временное разрешение ограничено ско-
скоростью сканирования по спектру.
До сих пор мы уделяли основное внимание измерениям температурных
профилей, а не измерениям абсолютной температуры. Для последних же важ-
важно знать не только абсолютные интенсивности, но и решить задачу о поля-
поляризации излучения. Часто предполагают, что только одна из двух основных мод
является оптически толстой, т. е. интенсивность излучения абсолютно черного-
тела, даваемая в обычном случае уравнением A5), должна быть уменьшена
в 2 раза. Вообще говоря, абсолютные значения температуры обычно получают
на основании данных по томпсоновскому рассеянию A04, 105J.
С излучением -плазмы связаны самые разнообразные явления,,
представляющие интерес для различных областей астрономии, фи-
физики ,и техники. Эта, статья носит лишь обзорный характер и мо-
может служить введением .в специальную литературу, представлен-
представленную в основном монографиями. Однако в ней «аряду с обсужде-
обсуждением основных и общих принципов различных радиационных про-
процессов была сделана попытка дать необходимые теоретические ос-
основы для понимания двух главных практических направлений: уче-
учета радиационных потерь энергии в плазме и диагностики. Приве-
Приведенные примеры являются типичными, .но их нельзя считать ис-
исчерпывающими. Наконец заметим, что, несмотря на значительные
успехи, достигнутые в количественной спектроскопии высокотемпе-
высокотемпературной 'плазмы, еще многое остается неизученным и здесь сле-
следует ожидать новых, возможно, неожиданных результатов.
118
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Наука, 1977.
2. Cowan R. D. The Theory of Atomic Structure and Spectra. Berkeley:
University of California Press, 1981.
3. Moore С. Е. Atomic Energy Levels. Vol. SI, II and III, Washington: U.S.
"Govt. Printing Office, 1971 (Пересмотренные и более новые значения см.
in J. Phys. Chem. Reference Data).
4. Kelly R. L., Palumbo L. J. Atomic and Ionic Emission Lines Below
2000 Angstroms. Washington: Naval Research Lab. Rep. 7599, 1973.
5. Wiese W. L., Martin G. A. Wavelengths and Transition Probabilities for
Atoms and Atomic Ions, NSRDS—NBS. Washington: U.S. Govt. Printing Office,
1980.
6. Elton R. C. Atomic Processes. — In: Methods of Experimental Physics.
Vol. 9a/Ed. by H. R. Griem and R. H. Lovberg, N.Y.: Academic Press, 1970.
7. Gabriel A. H., Jordan С Interpretation of Spectral Intensities from Labo-
Laboratory and Astrophysical Plasmas, in Case Studies in Atomic Collision Physics,
¦vol. 2/Ed. by E. McDaniel and C. McDowell. Amsterdam: North-Holland, 1972.
8. Грим Г. Спектроскопия плазмы: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1969.
9. Rogers F. J. —Phys. Rev., 1972, vol. 219, p. 375.
10. Theimer O., Lubowich D. A., Hays J. Т. —Phys. Rev., 1980, vol. A23,
p. 908.
11. Inglis D. R., Teller E. — Astrophys. J., 1939, vol. 90, p. 439.
12. Brush S. G., 1967, Theories of the Equation of State of Matter at High
Pressures and Temperature, in Progress in High Temperature Physics and
Chemistry/Ed, by C. A. Rouse. Oxford: Pergamon Press, 1967.
13. Грим Г. Уширение спектральных линий в плазме: Пер. с англ. М.:
Мир, 1978.
14. Burgess D. D. — Phys. Rev., 1968, vol. 176, p. 150.
15. Baker E. A. M., Burgess D. D. — J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., 1977,
vol. 10, p. L177.
16. Chiang W. Т., Griem H. R. — J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., 1978,
vol. 11, p. L761.
17. Demura A. V., Sholin G. V. —J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer,
1975, vol. 15, p. 881.
18. Baranger M., Mozer В. —Phys. Rev., 1961, vol. 123, p. 25.
19. Hooper C. F., Jr. — Phys. Rev., 1966, vol. 149, p. 77; Ibid., 1968, vol.165,
p. 215.
20. Tighe R. J., Hooper С F., Jr. —Phys. Rev., 1976, vol. A14, p. 1514;
Ibid., 1977, vol. A15, p. 1773.
21. Коган В. И. — В кн.: Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций/Под ред. М. А. Леонтовича. Т. 4, М.: Изднво АН СССР, 1964.
22. Chandrasekhar S., von Neumann J. — Astrophys. J., 1942, vol. 95, p. 489;
Ibid., 1943, vol. 97, p. 1.
23. Holtsmark J. —Ann. Physik, 1919, Bd 58, S. 577.
24. Демура А. В., Лисица В. С., Шолин Г. В. — Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1977, т. 73, с. 400.
25. Wiese W. L., Kelleher D. E., Helbig V. — Phys. Rev., 1975, vol. All,
p. 1858.
26. Griem H. R. — Phys. Rev., 1979, vol. A20, p. 606.
27. Grutzmacher K., Wende В. —Phys. Rev., 1977, vol. A16, p. 243; Ibid.,
1978, vol. A18, p. 2140.
28. Kepple P. C, Griem H. R. —Phys. Rev., 1968, vol. 173, p. 317.
29. Vidal С R., Cooper J., Smith E. W. — Astrophys. Sup. Ser., 1973, vol.25,
p. 37.
30. Dicke R. H. — Phys. Rev., 1953, vol. 89, p. 472.
31. Burgess D. D., Everett D., Peacock N. J. —Proc. V-th Int. Conf. Spectral
Line Shapes. Berlin, 1980.
32. Griem H. R. — Phys. Rev., 1978, vol. A17, p. 214.
33. Lee R. —J. Phys. B: Atom. Molec. Phys., 1978, vol. Bll, p. L167.
34. Greene R. L. — Phys. Rev., 1979, vol. A19, p. 2002.
119
35. Elton R. С, Griem H. R. —Phys. Rev., 1964, vol. 135, p. A1550.
36. Fussmann G. — J. Quent. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1975, vol. 15, p.79L
37. Griem H. R., Tsakiris G. D. —Phys. Rev. А (в печати).
38. Seidel J. —Z. Naturforsch., 1977, Bd. 32a, S. 1207.
39. Brissaud A., Frisch U. —J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1971,.
vol. 11, p. 1767.
40. Stamm R., Voslamber D. —J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1979,
vol. 22, p. 599.
41. Burnett K., Cooper J. — Phys. Rev., 1980, vol. A22, p. 2044.
42. Jefferies J. Т. —Spectral Line Formation. Waltham: Blaisdell Publ. Co.,
1968.
43. Athay G. Radiation Transport in Spectral Lines. Dordrecht: Reidel PubL
Co., 1972.
44. Chandrasekhar S. Radiative Transfer. Oxford: Clarendon Press, 1950.
45. Sobolev V. V. A Treatise on Radiative Transfer. Princeton: Van Nost-
rand, 1963.
46. Преображенский Н. Г. Спектроскопия оптически плотной плазмы. Ново-
Новосибирск: Наука, 1971.
47. Fano U. —Phys. Rev., 1961, vol. 124, p. 1866.
48. Brandt H. E. The Gluckstern-Hull Formula for Electron-Nucleus Brems-
strahlung, Adelphi: Harry Diamond Lab. Tech. Rep. 1884, Md. 20783, 1980.
49. Gluckstern R. L., Hull M. H. — Phys. Rev., 1953, vol. 90, p. 1030.
50. Бекефи Г. Радиационные процессы в плазме: Пер. с англ. М.: Мир,
1971.
51. Karzas W. J., Latter R. — Astrophys. J. Suppl., 1961, vol. 6, p. 167.
52. Pratt R. H., Tseng H. K., Lee С. М. e.a. At. Data Nucl. Data Tables,
1977, vol. 20, p. 175.
53. Maxori M. S., Corman E. G. —Phys. Rev., 1967, vol. 163, p. 156.
54. Hewitt R. —Plasma Phys., 1976, vol. 18, p. 219.
55. Schluter D.— J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1980, vol. 23, p. 467.
56. Grabbe C. L.— Plasma Phys., 1980, vol. 22, p. 785.
57. Bethe H. A., Salpeter E. E. — Quantum Mechanics of One- and Two-
Electron Atoms. Berlin: Springer, 1957.
58. More R. M. — In: Applied Atomic Collision Physics. Vol. II, Controlled
Fusion/Ed, by С F. Barnett and M. Harrison. N. Y.: Academic Press, 1982, Ch. IX.
59. Weisheit Т. —In: Applied Atomic Collision Phys. Vol. II, Controlled'
Fusion/Ed, by C. F. Barnett and M. Harrison. N. Y.: Academic Press, 1982.
Ch. VIII.
60. Bely-Dubau F., Gabriel A. H., Volonte S. —Mon. Not. R. Astron. Soc,
1979, vol. 189, p. 801.
61. Chandra S., Dularey R. —J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1980,.
vol. 23, p. 585.
62. Каплан С. А., Цытович В. Н. Плазменная астрофизика. М.: Наука, 1972,
63. Papadopoulos К., Freund H. P. —Space Sci. Rev., 1979, vol. 24, p. 511.
64. Трубников Б. А. Докл. АН СССР, 1958, т. 118, с. 913.
65. Schott G. А. — Electromagnetic Radiation. Cambridge: University Press,.
1912.
66. Трубников Б. А. — В кн.: Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леон-
товича. М.: Атомиздат, 1973, т. 7, с. 274.
67. Engelmann F., Curatolo M. —Nucl. Fusion, 1973, vol. 13, p. 497.
68. Rosenbluth M. N. — Nucl. Fusion, 1970, vol. 10, p. 340.
69. Boyd D. A. —In: Applied Atomic Collision Physics. Vol. II. Controlled
Fusion/Ed, by С F. Barnett and M. Harrison. N. Y.: Academic Press, 1982.
70. Dawson J. M., Oberman C — Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 517; Ibid.,
1963, vol. 6, p. 394.
71. Bornatici M., Engelmann F. —Nuovo cimento, 1968, vol. 56B, p. 220.
72. Dawson J. M. — In: Advances in Plasma Phys./Ed. by A. Simon and
W. B. Thompson. N.Y.: John Wiley and Sons, 1968, vol. 1, p. 1—66.
73. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. М.: Атомиздат, 1971.
74. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. M.l
Наука, 1967.
120
75. Freund H. P., Lee L. C, Wu C. S.— Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40,
¦p. 1563.
76. Granatstein V. L., Sprangle P. —IEEE Trans. Microwave Th. Tech.
MIT-75, 1977, p. 545.
77. Seaton M. J., Storey P. J. Dielectronic Recombination in Atomic Processes
.and Applications/Ed, by P. G. Burke and B. L. Mosewitsch. Amsterdam: North-
Holland, 1978.
78. Brooks R. L., Datla R. U., Griem H. R.— Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40,
P- Ю7.
79. Breton C, DeMichelis C, Finkenthal M., Mattioli M. —Phys. Rev. Lett.,
1978, vol. 41, p. 110.
80. Brooks R. L., Datla R. U., Krumbein A. D., Griem H. R. — Phys. Rev.,
1980, vol. A21, p. 1387.
81. Dixon R. H., Elton R. C —Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 1072.
82. Isler R. C, Crume F. C —Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 41, p. 1296.
83. Crandall D. H., Phaneuf R. A., Meyer F. W.— Phys. Rev., 1979, vol. A19,
¦p. 504.
84. Ruyfuku HM Watanabe T. — Phys. Rev., 1979, vol. A19, p. 1538.
85. Абрамов В. А., Гервидс В. И., Крупин В. А., Лисица В. С.— Письма
в ЖЭТФ, 1979, т. 29, с. 550.
86. Griem H. R. Ionization, Recombination and Radiation Barriers. — In: Phys.
oi Plasmas Close to Thermonuclear Conditions. Vol. I./Ed. by B. Coppy,
G. G. Leotta, D. Pfirsch, R. Rozzoli and E. Sindoni. Brussels: CEC, 1979, p. 411.
87. Suckewer S., Hinnov E., Bitter M. e.a. —Phys. Rev., 1980, vol. A22,
p. 725.
88. Davis J., Jacobs V. L., Kepple P. C, Blaha M. — J. Quant. Spectros. Rad.
Transfer, 1977, vol. 17, p. 139.
89. Jacobs V. L., Davis J., Kepple P. C, Blaha M. — Astrophys. J., 1977,
vol. 211, p. 605.
90. Davis J., Jacobs V. L. —J. Quant. Spectros. Rad. Transfer, 1950, vol. 24,
p. 283.
91. Vernickel H., Bohdanski J. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 1467.
92. Mead D. M.— Nucl. Fusion, 1974, vol. 14, p. 289.
93. Gervids V. I., Kogan V. L —JETP Lett., 1975, vol. 21, p. 150.
94. Jensen R. V., Post D. E., Jassby D. L. —Nucl. Sci. Eng., 1978, vol. 65,
p. 282.
95. Lochte-Holtgreven W. Plasma Diagnostics. Amsterdam: North-Holland,
1968.
96. Duston D., Davis J. —Phys. Rev., 1980, vol. A21, p. 932; Ibid., 1980,
ло1. А21, p. 1664.
97. DeMichelis C, Mattioli M. — Nucl. Fusion, 1981, vol. 20, p. 191.
98. Key M. H., Hutcheon R. H. —In: Advanced of Atomic and Molecular
Physics. Vol 16/Ed. D. R. Bates and B. Bederson. N.Y.: Academic Press, 1981.
99. Hauer A., Mitchell К. В., van Hulsteyn D. B. e.a. — Phys. Rev. Lett., 1980,
vol. 45, p. 1495.
100. Griem H. R., Kepple P. C. Proceedings of 5-th Int. Conf. on Spectral
Line Shapes, Berlin: de Gruyter, 1981, p. 391.
101. Seely J. F. —Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, p. 1606.
102. Seely J. F., Dixon R. H., Elton R. C — Phys. Rev., 1981, vol. A23,
p. 1437.
103. Jacobs V. L., Blaha M. — Phys. Rev., 1980, vol. A21, p. 525.
104. Tait G. F., Stauffer F. J., Boyd D. A. —Phys. Fluids, 1981, vol. 24,
P 719
105. Kunze H. J. The Laser as a Tool for Plasma Diagnostics. In: Plasma
Diagnostics/Ed, by W. Lochte—Holtgreven. Amsterdam: North-Holland, 1968.
106. DeSilva A. W., Goldenbaum G. C. Plasma Diagnostics by Light Scatte-
Scattering.—In: Plasma Phys. Vol. 9a/Ed. by H. R. Griem and R. H. Lovberg, of
Methods of Experimental Phys., ed. by L. Marton. N. Y.: Academic Press, 1970.
107. Шеффильд Дж. Рассеяние электромагнитного излучения в плазме: Пер.
с англ. М.: Атомиздат, 1978.
МЛГНИТОГИДРОДИНЛМИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ПЛАЗМЫ '
Р. КЛЛСРУД
1. МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПЛАЗМЫ
Плазма — это коллектив заряженных частиц, элементарные за-
заряды и то.ки которых порождают электромагнитные поля. Для того
чтобы найти эти поля, необходимо знать координаты и скорость
каждой частицы в лю'бой момент времени. Движение зарядов,,
в свою очередь, должно определяться полями, генерируемыми ими
и приложенными извне. Решение этой задачи возможно лишь в не-
некоторых простейших ситуациях.
Но существует более грубое описание плазмы, которое во мно-
многих случаях с желаемой точностью дает глобальную картину ее
поведения. Вместо того чтобы следить за -каждой частицей, можно
ограничиться более макросколическим приближением, в котором
плазма выступает ,как жидкость. В зависимости от обстоятельств,
которые обсуждаются ниже, это гидродинамическое описг.ние мо-
может быть одножидкостным, дву жид костным и многожидкостным.
'Сначала рассмотрим одножидкостное описание. Известно, что
каждый кубический сантиметр плазмы содержит определенное
число р граммов плазмы. Скорость изменения данной концентра-
концентрации определяется потоком массы U через стенки этого кубика.
Импульс pU в каждом кубическом сг.нтиметре в свою очередь
определяется действующими на него силами. Обычно это электри-
электрические, магнитные и гравитационные силы, действующие в объе-
объеме, а также силы давления, воздействующие на стенки объема.
Поскольку плазма является -проводящей жидкостью, ее электриче-
электрический ток можно найти из закона Ома в некоторой его форме,
тогдг, как постоянные электрические силы обычно малы. Злая ток,
можно из закона Био и Савара определить магнитное .поле. Пере-
Переменное магнитное поле дает индуцированную часть электрического
поля, тогда как электростатическую часть находят из условия, что
дивергенция тока, управляемого электрическим полем, равна нулю.
Слабым местом одножидкостного приближения, ;как правило, яв-
является определение сил давления, так как обычно давление не-
неизотропно, особенно в бесстолгкновительной шназме. Кроме того,
поток теплоты нередко очень велик (микроскопически, это озна-
чг.ет, что частицы, находящиеся в малом объеме, остаются вместе
только на очень .короткое время). Однако во многих интересных
случаях процессы в .плазме слабо зависят от давления, так что
даже неадекватное уравнение состояния для скалярного давления
может дать разумное описг.ние макроскопической картины явле-
явления. (Многие основные свойства плазмы определяются ее электри-
электрической природой.M
1 Пер с англ. Е. В. Мишина.
122
Для более детального описания плазмы в случаях, когда инте-
интересуются в основном температурой ллазмы и плотностями энер-
энергии, наиболее подходящим является двухжидкостное приближение.
Прл этом электронная и ионная жидкости рассматриваются от-
отдельно. Хотя средние скорости почти одинаковы, электронная и
ионная температуры часто оказываются совершенно (различными
вследствие слабого обмена анергией между электронами и ионами.
Двухжидкостное приближение целесообразно также для сла'бо-
ионизованной плазмы, где ионно-циклотронная частота может
•быть меньше частоты соудгрелий ионов с нейтральными частица-
частицами, тогда как электронная гирочастота больше частоты соударе-
соударений электронов с нейтральными частицами. При этом результи-
результирующие потоки электронов и ионов могут сильно различаться.
Наконец, когда плазма почти бесстолкновительная, а силы дав-
давления играют определяющую роль, используется более детальлое
описалие— приближение ведущего центра. В этом случае магнит-
магнитное поле должно быть достаточно велико, так что в перлендику-
лярном магнитному полю направлении плазма остается замагни-
ченной, поскольку гирочастоты обеих составляющих велики. Одна-
Однако потоки частиц вдоль силовых линий не должны быть жидкост-
лоподобными, так что распределение по скоростям, параллельным
магнитному полю, необходимо находить из одномерного кинетиче-
кинетического уравнения. Даже в этом случге описание может быть све-
сведено к гидродинамическому, которое сохраняет независимость по-
поведения плазмы вдоль и полерек силовых линий. При этом необ-
необходимы два уравнения состояния для двух независимых компо-
компонент тензора давлели-я, которые определяются уравнениями. Чу-
Гольдбергера-Лоу, или двух адиабатических илвариглтов.
Следует отметить, что хотя любая реальная плазма является
необычайно сложной системой, тем не менее некоторые ее важные
свойства могут быть описаны простыми системами макроскопиче-
макроскопических уравнений. Последние способны описать только медленло из-
изменяющиеся макроскопические свойства плазмы, которые харак-
характеризуются достаточно большими пространственными и времен-
временными масштабами, так что микроскопические лроцесеы, такие как
соударения и гировращение, способны установить достаточную со-
согласованность в плазме, чтобы ее можно было рассматривать как
упорядоченную жидкость.
2. СТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА
Как отмечалось выше, гидродинамическое описание плазмы
лаиболее целесообразно, когдг, плазма является, по крайней мере,
слабостолкнавительной. При этом электроны и ионы в отдельности
релаксируют к локальному термодинамическому равловесию за
времена, короткие по сравнению со временем значительного из-
изменения условий в плазме, л в областях, малых по сравнению с
размером плазмы. Тг,ким образом, можно приписать ллотность р,
123
среднюю скорость U и скалярное давление р каждой компоненте
плазмы.
В простейшем одножидкастном описании плазмы можно не учи-
учитывать различия свойств электронов и ионов и просто рассматри-
рассматривать их .как единое целое. Рассмотрим вначале это приближение.
2.1. Одножидкостное описание. В данном приближении плазма
во многих отношениях похожа на выеокопроводящий расплавлен-
ный металл. Запишем гидродинамические уравнения, описываю-
описывающие плотность, скорость и давление плазмы.
; A)
—Vp+pg; B)
Здесь A)—уравнение непрерывности, B)—уравнение Эйлера
для движения жидкости, в левой части которого записано произ-
произведение массы кубического сантиметра жидкости на его ускорение
в любой момент времени. Ускорение вызывается магнитной и гра-
гравитационной силами, воздействующими на этот объем, а также
поверхностной силой, .представляемой градиентом давления; В —
магнитное поле; j—то.к в плазме; g — заданное гравитационное
поле. Давление является суммой парциальных давлений ионов и
электронов, причем предполагается, что градиенты давлений воз-
воздействуют на плазму в целом, а не на каждую компоненту в от-
отдельности.
В уравнении C) d[dt=d/di-\-,(UV)—'полная производная;
Y — показатель адиабаты. Последнее уравнение является уравне-
уравнением состояния для каждого элемента жидкости, участвующего
в движении. Оно справедливо тогда, когда лоток тепла, невелик.
Отметим, что отношение р/рт связано с энтропией единицы массы
элемента жидкости. В более общем случае, когда, например, нуж-
нужно учитывать ионизацию, радиационное давление и т. д., уравне-
уравнение C) должно быть заменено условием постоянства энтропии
каждого элемента, жидкости. Тем не менее в большинстве случаев,
когда используется одножидкостная теория, этот простой степен-
степенной закон, как правило, адекватен. Заметим далее, что противо-
противоположным предельным случаям соответствует y=d (изотермич-
ность) и 7=°° (несжимаемость). Это можно выразить следующим
образом: р/рт является константой движения, но, вообще говоря,
различной для разных элементов жидкости.
Необходимо отметить также, что в B) опущена, электрическая
сила рЕЕ, где рЕ — это плотность электрического заряда; Е — элек-
электрическое поле. Как будет видно, это связано с тем, что данные
силы являются релятивистской поправкой к магнитным силам и
для самосогласованности ими следует пренебречь, так как рас-
рассматриваемая теория является нерелятивистской. Мы видим, что
при известных В и g уравнения A)—C) составляют замкнутую
систему, позволяющую определить эволюцию параметров жидко-
124
сти р, U и р. Действительно, «скорость U, которую необходима
знать, чтобы найти изменение р во времени [см. A)], определяет-
определяется в B). В свою очередь, давление, необходимое для нахождения
U [см. B)], определяется уравнением C) ,и т. д.
Электромагнитные поля подчиняются уравнениям Максвелла:
dB/dt=—cVXB; E)
VB = 0; F)
G)
где с—скорость света. Мы опустили ток смещения в уравнении:
D), тгк как он, как будет ясно, является также релятивистской
поправкой. Далее, поскольку плотность заряда рЕ нигде, кроме
уравнения G), не появляется, то в последнем нет необходимости.
Уравнения для электромагнитного поля и гидродинамические
уравнения связаны друг с другом законом Ома, который в про-
простейшем виде имеет следующий вид ['1]:
E + -^ = ,j, (8).
где г)—-сопротивление плазмы. Комбинация E+UXB/c=E'—
электрическое поле в системе отсчета, движущейся со скоростью
плазмы, так что (8) выргжает параллельность .и пропорциональ-
пропорциональность тока j полю Е' в этой системе.
Уравнение (8) не является абсолютно точным для плазмы.
Из-за анизотропии поля должен возникнуть текущий перпендику-
перпендикулярно Е и В ток Холла, который в действительности может быть
больше, чем предсказываемый уравнением (8). Однако ток в
(8) параллелен Е' и дает, в отличие от тока Холла, диссипацию
энергии. Таким образом, вековые эффекты, вызываемые этим чле-
членом, в общем более значительны, чем вызываемые током Холла.
Поэтому общепринято в простейшей форме одножадкоетных МГД-
уравнений использовать закон Ома в виде (8).
Уравнения D), (,5) и (8) представляют собой три векторных
уравнения для векторов Е, В и j. Они могут быть объединены в
одно уравнение путем решения (8) относительно Е «и исключения
j с помощью D). В результате имеем:
<?B/# = vX(UXB) fvX(wXB). (9)
Если г)—.постоянная величина., то последний член равен просто-
(r\c/4n) V2B, так что
dB/dt = А X (U X В) + -^- у2 В. (9а)
An
Здесь первый член в правой части описывает изменения магнит-
магнитного поля, порождаемые переносом силовых линий плазмой. Вто-
12S
рой дает диффузию магнитного поля, стремящуюся огладить нере-
нерегулярности поля в плазме, вызываемые, возможно, первым членом.
-Если в плазме нет движений, диффузионный член сгладит вое
неоднородности за характерное время порядка 4кЬ2/г\с, где L —
размер неоднородности. (По существу, это L/iR—.время для плаз-
плазмы, рассматриваемой как единая цепь.) Это время затухания по-
порядка Ю P/2L2 с, где Т — температура плазмы, эВ. Для высоких
температур или больших размеров время затухания может быть
довольно большим. Изменения В, вызванные конвекцией плазмы,
часто происходят за времена, настолько короткие по сравнению с
временем магнитной диффузии, что последней можно пренебречь.
При этом мы можем заменить уравнение (9а) уравнением беско-
бесконечной 'проводимости1
dB/<3*=VX(UXB). A0)
Подсистема уравнений A)—.D) и A0) составляют уравнения так
называемой идеальной магнитогидродинамики. Они являются,
•очевидно, аппроксимацией точных уравнений, описывающих плаз-
плазму, однако у них та.к много удобных свойств, что их предпочитают
для описания макроскопических плазменных явлений. Уравнение
*('10) описывает эволюцию В в результате движения плазмы. Из
уравнения D) можно найти j и, следовательно, JXB, чтобы опре-
определить поведение жидкости под воздействием электромагнитных
сил.
В этом приближении нет необходимости знать электрическое
тюле Е, однако его можно найти (из закона О(ма в пределе беско-
бесконечной проводимости
= 0. A1)
Электрическая сила в плазме рЕЕ ценивгется из уравнения G) как
__Е(уЕ)_. и* т
U —, J_» ___________ /«s>_^ _______ ?2 #
Е An AnLc2
Она, ,как отмечалось ранее, является релятивистской лопрг;вкой
к магнитной силе jXB»-32/4jtL. Аналогично можно показать, что
учет тока смещения l/c dE/dt дает ъ уравнениях релятивистски
малый эффект. Добавка последнего к уравнению D) изменит j на
малую величину 6j, и это дгст дополнительный вклад в электро-
электромагнитную силу в уравнении B)
1 (?р д ;ихВ\ UВ2
Апс dt dt \ Апс2 J ~ Ante2 y
где t — время крупномасштабных .изменений. Из сравнения этой
добавки с инерционным чл-еном «в левой части следует, что добав-
добавка мала как В2/4ярс2. Фактически, учет этого члена можно трак-
трактовать кг.к добавку маосы магнитного поля к массе плазмы.
1 В советской литературе это уравнение называют уравнением вмороженно-
ч:ти. — Прим. пер.
126
Полагают, что уравнения идеальной магнитогидродинамики
предпочтительнее для описания плазмы, свойства которой близки
к .идеальной бесконечно проводящей жидкости с адиабатическим
уравнением состояния, чем соответствующая система уравнений
для реальной плазмы.
Представим на мгновение, что исследуется как раз такая иде-
идеальная бесконечно проводящая жидкость, погруженная в магнит-
магнитное поле. Из условия вмороженности магнитного поток?, можно^
описать эволюцию поля через распределение магнитных силовых
линий, переносимых со скоростью U. Это значит, что поле зависит
только от полного смещения каждого элемента жидкости, а не от
предыстории смещений жидкости. Величину JXB можно рассмат-
рассматривать как магнитное натяжение и давление этих силовых линий..
Аналогично кэ,к р, так и давление определяется только смещением
элементов жидкости. Это значит, что сила, действующая на эле-
элемент жидкости, определяется его смещением ,и смещением его со-
соседей. Это, а также и то, что система является динамической (ее
можно задавать лагранжианам) приводит ко многим замечатель-
замечательным свойствам данной идеальной системы. Фактически значи-
значительная часть работ по макроскопической физике плазмы посвя-
посвящена выяснению вопроса, насколько реальная плазма может от-
отличаться от ее идеального двойника. Некоторые из этих вопросов,
например магнитное пересоединение, находятся среди наиболее
важных современных научных проблем [J].
2.2. Двухжидкостное описание. Альтернативным и более точ-
точным описанием полностью ионизованной плазмы является двух-
двухжидкостное приближение. Две жидкости суть электроны и ионы.
Бели -имеется только одна ионная компонента, то можно припи-
приписать плотность, скорость и давление электронам и ионам. Таким
образом, уравнения для одной жидкости A)—C) должны быть-
зг.менены шестью уравнениями (три для каждой жидкости), кото-
которые описывают шесть независимых величин: рг-, ре, Ut-, Ue, ри pe.
Одножидкостные уравнения введены феноменологически и не яв-
являются совершенно точными, кроме предельного случая очень ма-
малых сосете, где сосе и те—¦ циклотронная частота и частота соударе-
соударений электронов соответственно. С другой стороны, большая работа
была проделана для определения системы уравнений, корректных
и для более быстрых, чем скорости изменения рг, ре и т. д., ско-
скоростей соударений. Общепринятой (принимаемой сейчас за стан-
стандарт) является система уравнений Брагинского [3]. Приведем ее-
здесь. Первые два уравнения — это уравнения непрерывности:
dni/dt+V(niVi)=0; A2)
dne/dt+V(neVe)=09 A3)
где пе и п{—i плотности электронов и ионов. Эти уравнения связа-
связаны условием згрядовой нейтральности гпг = пе, где z— число за-
зарядов иона.
127
Следующими являются даа векторных уравнения движения:
Pel
\ от
\ С
Здесь р{ и ре — скалярные давления ионов и электронов; Пг и Пе—
нескалярные части тензора натяжений; Rei—> скор ость передачи
импульса от .ионов к электронам при соударениях. Связь между
этими уравнениями дается уравнением для электрического тока
l=(znie/c){(\Ji—Ue), где е — згряд электрона. Мы полагаем, что
zn{ гораздо ближе к пе, чем U* к Ue. В то же время, так как j не
может быть слишком большим, чтобы не создать электромагнит-
электромагнитные эффекты, можно считать, что U* и Ue также достаточно близ-
близки. Баланс энергии описывается уравнениями:
I. = _ vq. __ П/: vU/ + Q{; A6)
где температуры определяются как рг=п{Т{ и ре=пеТе и даны в
энергетических единицах (постоянная Больцмг.на k=\). Второй
член слева в каждом уравнении — работа сил давления pdV\ q* и
<\е—'тепловые потоки; Пг-:Уи* и IIe:VUe — вызванные неоднород-
неоднородностью скоростей вязкие тепловые потоки, a Q{ .и Qe включают об-
обмен энергией 'между компонентами и джоулев нагрев.
Уравнения A4)—/A7) становятся более точ'ным'и, если время
столкновения т-*0. Они содержат жидкостные и диссипативные
члены, причем последние меньше, чем первые, примерно кг,к xjt.
Поэтому, если т=0, столкновений будет достаточно, чтобы под-
поддерживать изотропное распределение по скоростям в системе по-
покоя жидкости, и П-члены будут малы. Однако, так ,как скорость
U неоднородна, изотропное распределение в одной точке отлича-
отличается от такового в другой точке, отстоящей на длину свободного
пробег?.. Поэтому смесь этих распределений приводит к анизотроп-
анизотропному распределению и недиагональным членам в тензоре натяже-
натяжений. Другой диссипати'вный член Re* является силой трения меж-
между электронами и ионами, 'которая возникла в результате их со-
соударений. Поскольку ток — это разность скоростей электронов и
ионов, сила трения включает сопротивление и термоэлектрические
аффекты. В большинстве интересных случаев U* близко к Ue и мо-
может быть отождествлено с массовой скоростью плгзмы. Если сло-
128
жить уравнения A4) и A5), то сила трения электродов и ионов
уничтожатся, а гравитационными силами и электронной инерцией
можно пренебречь. Таким образом, если не считать вязких сил П*
и Пе, мы возвращаем-ся к одножидкостному уравнению движения
B). С другой стороны, если выразить Ue через U* и j, из равен-
равенства
A8)
получим уравнение, обычно нгзываемое обобщенным законом О'ма
Р , UXB с .YR уре уПе Re/ nQv
Е/ -\ m j /\ о — -j- . l^j
с пе? яв<? пее пее
Уравнения A2) — A7) описывают электронную и ионную жидкости
© отдельности. Для замыкания этой системы необходимо добавить
уравнения Максвелла D)—'F), в которых j определяется A8).
При этом можно пренебречь током смещения в D) и ^положить
гпг=пе, так что в уравнении A3) нет необходимости. (Это спра-
справедливо в случае низкочастотных явлений. Хотя д-вухжидкостные
уравнения при условии малости тепловых эффектов можно исполь-
использовать дл.я описания некоторых высокочастотных волновых явлений,
эти выводы являются недостаточно обоснованными.) Выражения
для различных диссииативных членов даны С. И. Брагинским [3].
Определим теперь ионное и электронное времена столкновений
B0а)
B06)
где In Л — кулоновский логарифм; т{,е—массы частиц.
Далее, рассмотрим случай z= 1 и cocsts»1, где s — сорт ча-
частиц. Из [3] имеем:
П, - V ((bV) (U,b) - -i- VUS) (f± - 2bb) +
+ /±lvu, (ъ1/ j. - V/± - ъ2 ьь) + (b x viy (V/ j-vV bb) -
- (\I± - Vbb)(b X VU,) + ^ vU,(b X /± - /± X b), B1)
где ^
/lS/__bb; V = 0,96лJT^^; -nS = 0,73neTeze;
¦nil = 0,3ntTtf*\t4 -п1в = 0.51*вТв1»\в*в; V = 4V; B2)
Для Rte им'еем:
?^4 bXvrj, B3)
5 Зак. 137 129
где в±—е2пете/те; сГ|,= 1,96сг±; два последних членя в уравнении
B3) — термосилы.
Тепловой поток qs запишем в виде j
qs=-Ks, (bV)Ts -Kslf±vTs+ f
+ f 0,71л, Te (U, - \}e) + 4 ^- b X (U, - Ue)] 8,,, B4)
где
Ke\\ = S9l6neTexJme\ /О ц = 3,9пгТггг/тг]
Kej_= 4№neTe/me<*l%e; KiA_ = 2пгТг/т^%хг. ( }
Множитель перед скобками означает, что этот термоэлектрический
член присутствует только в выражении для qe.
Внутренние наградные члены Q определяются так:
Q,=-Rei(U,-Ue)-QA. B6)
Здесь первое слагаемое описывает джоулев нагрев, а второе —
Q/ = QA=3-^^-(Te-r,) B7)
о-бм-ен элергией между электродами и ионами. Уравнения A2) —
A7) составляют набор уравнений для плазменных параметров
п{=пе, U*, Ue, рг и ре, через которые определяются все величины
в правой части. Они позволяют описать более богатый комплекс
плазменных явлений, чем одножидкостные уравнения, особенно
в случае различных температур электронов и ионов и при учете
неидеальных процессов, таких как теплопроводность, вязкость, со-
сопротивление и термоэлектрические эффекты. Таким образом,
уравнения двухжидкостной гидродинамики более полезны для опи-
описания длительных процессов, в которых существенны отклонения
от идеальности. Учет неидеальных членов возможен и в одножид-
костном уравнении. Однако модифицированное одножидкоетное
приближение о'бычно является некорректным и приводит к невер-
неверным выводам, поскольку у ионов и электронов процессы перено-
переноса играют разные роли и важна их зависимость от температуры.
Поэтому можно определить границы применимости одно- и двух-
жидкостного приближений следующим образом. Одножидкостная
модель предпочтительнее для описания коротколериодных гидро-
гидродинамических процессов, в .которых эффекты неидеальности несу-
несущественны. Главное преимущество этой модели состоит в том, что
ее уравнения решаются значительно проще, чем в двухжидкост-
ном приближении. Наконец, ее можно использовать и jb более дли-
длительных процессах, по крайней мере для оценки поведения .плаз-
.плазмы.
Двухжидкостные уравнения более корректны и необходимы для
уточненного описания явлений, в которых существенны процессы
переноса или диссипации. Они все же довольно сложны для реше-
130
ния, за. исключением задач с простой геометрией. В то же время
их используют для получения оценок точности вычислений в одно-
жидкостном приближении.
3. БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА
Во -второй части обсуждалась плазма, в которой самым корот-
коротким было время соударений, за исключением, может быть, шро-
лериода. Таким образом, малый элемент массы плазмы релакюи-
ровал к максвелло'В'акому быстрее, чем изменялись его свойства,
так что локальное описание через параметры, характеризующие
это максвелловское распределение, было целесообразно. Эта упо-
упорядоченность оправдывает гидродинамическое приближение.
С другой стороны, во 'многих важных случаях Бремя соударений
настолько велико, что соударения можно не учитывать. В такой
бесстолшшвительной плазме гидродинамическое описание непри-
неприменимо. Однако даже для слабых магнитных полей (циклотронный
период остается короче всех макроскопических времен и у плазмы
есть двумерная упорядоченность в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном магнитному полю. Это открывает возможность для гидродина-
гидродинамического описания в ограниченных пределах и является основой
приближения ведущего центра.
3.1. Приближение ведущего центра в уравнениях Власова. Бес-
столкновительная плазма описана полностью, если задана функ-
функция распределения по скоростям /;[/.(*, г, y)d3rdzv—14'исло частиц
в элементе dzrdz\ в момент времени t, с координатой г и ско-
скоростью v]. Эволюция последних подчиняется уравнению Власова
где E(r, t) >и В (r, t)—средние электрическое и магнитное поля,
порожденные сглаженными распределениями Д;
vXB = 4*V-^ff,vd3v + -i-^; B9а)
fsd3v; B96)
VXE; B9в)
VB = 0. B9г)
Эти уравнения сложнее, чем гидродинамические, так как вклю-
включают семь независимых переменных t, г, v вместо четырех (t, r).
Однако асимптотическое разложение в случае малости гирара-
Диуса p = mcv/eB по сравнению с характерным размером плазмы
уменьшает число неза!В'исимых переменных в кинетическом урав-
уравнении на два, та,к ка,к переменная фаза вращения выпадает, а
перпендикулярная скорость определяется константой движения —
адиабатическим инвариантом [4—6].
5* 131
Известно, что в низшем порядке движение частиц состоит из
скорости ЕХВ, (перпендикулярной магнитному полю и одинаковой
для всех частиц независимо от их скоростей или состава, а так-
также параллельного движения вдоль поля. Если параллельное эле-
электрическое поле Е„=ЬЕ, где Ь=В/?, -мало [см. обсуждение после
уравнения C4)], то, .как хорошо известно, магнитным силовым ли-
линиям можно приписать ту же скорость ЕХВ, перпендикулярную
им самим [7]. При этом -все частицы остаются на одной <и той же
силовой лилии, так что появляется возможность сосредоточить
внимание на одной силовой линии и вывести кинетическое урав-
уравнение, в-ключающее только две переменные —координату частицы
вдоль Л'инии и. параллельную скорость.
Для вывода уравнений этой укороченной системы можно про-
провести формальное разложение по степеням отношения т/е [8]1.
В действительности оказывается удобным разложить величины Е,
В, / по степеням обратного заряда 1/е [9].
Рассмотрим вначале уравнение Власова B8), в котором обо-
обозначим f=fo+fu где fi = O(l/e) и т. д. С этого момент?, будем
опускать -индекс 5 там, где это возможно. В низшем порядке име-
имеем:
-LvXB) vvf. = O. C0)
Введем ЕХВ скорость
C1)
и обозначим v=v/+UE, так что уравнение B8) можно переписать
в виде
Введем теперь цилиндрические координаты v±, ср и v,, в v'-проет-
ранстве
v' = xi>j_ cos ф + ybj. sin ф + zv и C3)
и перепишем C2)
В
Есл,и ?1ц=0, то из C4) следует, что /0==|const вдоль некой спирали
© пространстве скоростей, уходящей в бесконечность, что нефизич-
1 Если считать макроскопические длины и времена фиксированными, можно
достичь предела малых гирорадиусов, рассматривая последовательность вообра-
воображаемых заряженных частиц с различными отношениями т/е, стремящимися к
нулю. Можно ожидать, что в этих воображаемых экспериментах результаты
будут близки к их асимптотическому значению при приближении к реальным
значениям т/е, если отношение гирорадиуса к характерному масштабу доста-
достаточно мало.
132
но. Следовательно, разумные решения C0) существуют, лишь ког-
когда ?„ также разложено ,в ряд по 1/е, т. е. Е]]=ОA/е)Е. В против-
противном случае произойдет эффективное ускорение частиц за время
порядка циклотронного периода и ?„ резко уменьшится до более
высокого порядка малости. Результирующая ?„ (резко уменьшен-
уменьшенная) дает значение, сравнимое с другими «силами [см. A9)].
В дальнейшем удобнее не разлагать Ей В, а просто считать ?„
на одну степень е более высокого порядка малости.
Пренебрегая членом с Еп в C4), -видим, что в низшем порядке
уравнение Власова дает независимость f0 от ф, но не дает ника-
никакой информации о зависимости от г, t, v± и г>ц. Удерживая члены
первого порядка, получаем:
^¦ = 0. C5)
В результате преобразования к цилиндрическим координатам v±
и у„ имеем:
—- "-^- = f--^- +(VV) f0) + ~ ?ц 5^~- C6)
тс ду \ dt I m ^v\\
(Члены в круглых скобках не преобразуются, но они должны при-
присутствовать). Это преобразование даволыно сложное, поскольку
для фиксированного v величины v± >и и„ зависят от г и t, так как
b и 1)Е определяются из C1). С другой стороны, видно, что в дей-
действительности преобразование членов в круглых скобках да-ет ря-
ряды синусов и косинусов ф. Когда это преобразование выполнено,
уравнение C6) легко решить относительно f\. Однако любой по-
постоянный член приводит к линейной непер;иодичной зависимости
fi от ф. Таким образом, для получения соответствующ'его решения
для fu необходимо и достаточно, чтобы среднее значение правой
части C6) равнялось нулю. Представим, что правая часть преоб-
преобразована к переменным v± я vb усредним ее по ф. После прямых
вычислений находим, что C6) можно решить относительно fь если
только
,37,
где D\iElDt= dVJE + (и2?+Ьа„) vU?. Это уравнение определяет вре-
временную эволюцию fo. Строго говоря, необходимо решить урав-
уравнение для /i и убедиться в том, что C7) действительно гаранти-
гарантирует возможность этого. Однако, как скоро будет видно, .нет необ-
необходимости определять fi для описания плазмы в приближении низ-
низшего порядка—-приближении ведущего центра.
Чтобы зам.кнуть систему, необходимо использовать уравнения
Максвелла B0а)—<(!29г) для Е и В. Они содержат f, следователь-
133
но, их также ладо разложить по малому параметру 1/е. В низшем
порядке имеем:
j]J C8а)
=4я2е8 J fsod3v. C86)
Уравнение C86) —-условие зарядовой нейтральности, показываю-
показывающее, что >в низшем порядке по 1/е полные заряды каждой компо-
компоненты должлы быть равны. Для однозарядных ионов B=1) это
означает равенство концентраций иолов и электронов. (Конечная
плотность заряда возникает из-за разницы первого порядка в кон-
концентрации вследствие фактора 1/е). Точно та,к же уравнение C8а)
выражает условие отсутствия полного тока. Бели выполнять инте-
интегрирование в цилиндрических координатах, то из C8а) следует:
Первый член исчезает согласно C86), так что имеем:
P0rf'n. C9)
Уравнения C86) и C9) связаны уравнением непрерывности, кото-
которое выводится из C7) или из B8)
D0)
Итак, если C9), а также C86) (и другие уравнения ведущего
.центра) удовлетворяются в некоторый начальный момент времени
t, то уравнение C9) будет справедливо для лю'бых t. И наоборот,
если выполнено условие зарядовой нейтральности и C9)
удовлетворяется в одной точке на каждой линии в каждый
момент времени, то оно будет удовлетворяться везде.
Уравнения C86) и C9) являются дополнительными условиями,
наложенными на /о, они же облегчают определение эволюции Е и
В во времени. Эти условия главным образом контролируют вели-
величину Е |, которая подбирается так, чтобы гарантировать их выпол-
выполнение. Чтобы система уравнений была замкнутой, необходимо ис-
использовать уравнения B9в) и B9г) и учесть члены следующего
порядка малости в разложении B9а) и B96). В результате из
B9а) и B96) получаем:
vflsd3v+dE/dt; D1a)
J fisd3v. D16)
Теперь может показаться, что следует найти fi из C6). Однако в
полной информации о поведении f\ нет необходимости. Действи-
Действительно, при переходе в D1а) к цилиндрическим координатам
134
видно, ;что нужно знать интегралы J fi&p, J ft sin ф dq> и
//i'cos ф Лр. Последние можно найти умножением C6) .на 1,
sincp и coscp соответственно и интегрированием по ф.
Эквивалентный ряд моментов можно получить из точного урав-
уравнения Власова B8), переходя к пределу .нулевого порядка. Но о-ни
являются просто МГД-у равнениями (см. разд. 1 и 2). Таким обра-
образом, j в нулевом приближении определяется из уравнения
nsms (^f- + (U.V) U.) = - VP + J X В, D2)
где массовая скорость U, и тензор напряжений Р определены вы-
выражениями:
nsVs= J fsvd3v;
D3)
Отметим, что (перпендикулярная b компонента U8 есть VE; массо-
массовые скорости, параллельные Ь, согласно C9) одинаковы для обеих
компонент. Таким образом, U=US. При преобразовании к цилин-
цилиндрическим координатам тензор -напряжений можно предста1В<ить
в виде
Ь, D4а)
где / — единичная диагональная матрица, 'причем
D4б)
D4в)
Как уже отмечалось, D2) определяет часть j, перпендикулярную
Ь. Параллельная (компонента j—это момент /ь который также
можно определить из уравнений Максвелла. Можно развивать
дальше эту схему, однако более разумно сейчас рассмотреть U
как первичную переменную, а Е ,как вторичную, определяемую из
C1)
Е=-У>^. D5)
с
Это разумно, та.к как Е ограничена условием перпендикулярно-
перпендикулярности b, a U не имеет ограничений и определяет Е, автоматически
удовлетворяющее этому условию.
Подставляя решение B9а) для jo в D2) и используя D5),
получаем:
rA(UXB)xB+(UXB)J2(UXB), D6)
135
где p=2ne/ns. Подставляя затем D5) в B9в), находим:
aB/^=VX(UXB). D7)
Уравнения D5) и D7) являются почти -самосогласованными, если
не считать, что для определения р и Р необходимо знать fos. В то
аремя 'как р можно найти из уравнения непрерывности
0, D8)
Р можно определить только через fo. Таким образом, уравнение
C7) для h последовательно, для Р можно (рассматривать -как усло-
условие, определяющее уравнение состояния плазмы. Наконец, из анали-
анализа C7) следует, что оно определяет продольное поле Еь -которое
должно быть найдено из условия зарядовой нейтральности C8а)
или из условия на .продольный ток C9). Комбинируя уравнения
для различных моментов /о, можно показать, что
?„ =2(es/ms) (bV)Ps/2(nses*/ms). D9)
Здесь, однако, заключено противоречие, так .как условие D9)
появляется при дифференцировании второго члена в уравнении
зг.рядовой нейтральности C8) и в действительности в состоянии
равновесия ?„ из D9) -исчезает.
Итак, полная система уравнений ведущего центра включает
уравнения D6)—1D8), где Р определено уравнениями D4а) —
D4в), a fo и ?ц —уравнениями C7) и C8а). Так же как и в од-
ножидкостной теории, в нерелятивистоком приближении два по-
последних члена в D6) можно опустить. При этом система уравне-
уравнений похожа на одножидкостную, и главная сложность состоит в
решении пятимеряого уравнения состояния для /о. Однако эти пять
измерений t, r, v±, vn можно свести к четырем заменой v± новой
переменной
!i—1>1/2Я, E0)
являющейся магнитным моментом частицы. При этом уравнение
C7) принимает вид:
Здесь нет дифференцировалия по (г. Магнитный момент входит в
это уравнение просто как 'параметр, тг,к что кро1ме т я t остается
только одна переменная и„.
Отметим, что
UjE=U_L = U — b(bU). E2)
Приближение ведущего центра демонстрирует, как в отсутствие
соударений упорядоченность, почти достаточная для гидродинами-
гидродинамического описания плазмы, создается магнитным полем. Последнее
препятствует движению поперек силовых линий, заставляя все
136
частицы двигаться вместе, так что частицы в дайной сило:вой труб-
трубке в ней и остаются.
Размерность уравнения E1), как отмечалось выше, можно по-
понизить ,на два, используя преобразование Клебша для бездивер-
бездивергентного поля. Как по.кгвано в п. 4.2, любое векторное поле В, та-
такое что VB = 0, можно выразить через скаляры аир следующим
образо'м:
B = VaXVp. E3)
При этом а и C определяются неоднозначно. Однако, если удает-
удается выразить через ,них В в некоторый начальный момент времени
t0, а и р будут «и далее определять В согласно E3) при условии,
что сами они удовлетворяют уравнениям
O E4)
или, другим^ словами, вморожены в жидкость. Поскольку аир
являются как бы метками потокг, силовая линия задается усло-
условиями a=iconst, p=const. Это—-точное математическое выраже-
выражение того, что силовые линии вморожены в плазму. Если заменить
пространственную переменную г на координаты а, р и /, где / —
положение на силовой линии, то E1) переходит в одномерное ки-
кинетическое уравнение
^ = O E5)
при условии, что / подчиняется уравнению dl/dt-\-(VEV)l=O.
Для замкнутости приведем полную систему уравнений веду-
ведущего центра для фундаментальных переменных р, U, В, /0 и Еа:
+ (UB + v „ b) v/w - v± [vUj. - (bv) (Ub) + v „ Vb]
J
3.2. Теория двух адиабатических инвариантов. Как отмечалось
в п. 3.1, бесстолкнов'ительная плазма поддается описанию гидро-
гидродинамическими уравнениями (с той лишь трудностью, что снача-
ла необходимо определить эво-
эволюцию компонент тензора давле-
давления р± ири). Авторы [4,5]
показали, что эти величины мож-
Рис. 1 но выразить через два уравнения
состояния:
±-{pJ9B) = Q- E6а)
±(рпВЧ?) = 0. E66)
которые применяются при тех же ограничениях, что и адиабати-
адиабатическая теория (см. п. 3.1), плюс еще одно существенное ограни-
ограничение: система должна изменяться вдоль силовых линий достаточ-
достаточно медленно, чтобы связь частиц из точек с разными свойствами
вдоль силовой линии была небольшой. Сформулируем это более
точно. Пусть точки Pi и ?2 ('рис. 1) расположены на одной сило-
силовой линии ,и параметры плазмы р, Г, В и т. д. в этих точках зна-
значительно 'различаются. За время tati/v частицы -из этих точек пе-
перемещаются и их нельзя будет рассматривать как независимые.
Однако если в Pi за времена, меньшие t, происходят значительные
¦изменения, то изменения в Рг не могут оказывать заметнаговлия-
иия на Р\. Частицы в Pi остаются практически невозмущенными,
так что для описания поведения плазмы в Р\ можно попользовать
два адиабатических инварианта.
р± пропорционально v2±, усредненному по всем частицам, и
плотности р. В силу инвариантности \х величина <02_l) пропор-
пропорциональна В, так что p±co(v2±)pou рВ. Разумеется, что соотно-
соотношение выполняется вдоль траектории движения, так как важны
и метано частицы, а не их положение в пространстве.
Менее .известен второй инвариант ан/, где / — это протяжен-
протяженность элемента жидкости вдоль силовой линии. В определении /
имеется некоторая неопределенность, поскольку частицы расходят-
расходятся со значительной скоростью. Известно, однако, что даже
при свободном одномерном расширении газа дисперсия скоростей
уменьшается с уменьшением плотности обратно пропорционально
квадрату длины элемента газа. (В случае газа легко заметить, что
при ограниченной длине наиболее медленные частицы остаются
вблизи начального положения.) В рассматриваемом случае дли-
длина / пропорциональна В/р, так ка.к объем силовой трубки обратно
пропорционален р, а ее поперечное сечение обратно пропорцио-
пропорционально В. Таким образом, параллельная составляющая давления
оказывается порядка
Более формально этот результат можно получить следующим
образом. Условие того, что точки Pi и Рг остаются невозмущен-
невозмущенными, очевидно, означает отсутствие значительного теплового об-
138
мена М'ежду ними. Таким образом, в третьем моменте уравнения
Власова можно пренебречь-тензором теплового потока Q. Умно-
Умножим B8) на ms(v—Us) (v—Us) и проинтегрируем по всем скоро-
скоростям в фиксированной точке г. Согласно зарядовой и токовой ней-
тргльностям Us одинакова для ионов и электронов (полагаем, что
имеется од.на ионная компонента). При этом .находим:
+ + (X^^X) 0, E7)
msc
где индекс tr означает транспонирование диады, Ps определено,
как и в D3), a Qs — триада:
Qs^ms J (v - Ue) (v - Us) (v - U8)/d3i;. E8)
Как и прежде, считаем, что доминируют последние два члена
из-за фактора е/тс (разложение по малым гирорадиусам). Таким
образо'М, в низшем порядке малости давление Pso должно удов-
удовлетворять условию
BXPso = PsoXB. E9)
Общим решением этого уравнения является
Pso=Pj_s(/-bb)+p,,sbb, F0)
где два скаляра (до сих пор) являются произвольными функциями
времени и (пространства.
Обозначим левую часть E7) LP0. Тогда в следующем порядке
разложения E7) имеем:
^- = —(/VXB-BX*.,). F1)
msc
где Р8\ поправка первого порядка малости к тензору давления.
Для разрешимости этого уравнения относительно P8i необходимо
и достаточно, чтобы оно имело нулевой след, а также при умно-
умножении на b справа и слева (обкладка) обращалось в нуль. Вы-
Выполняя эти операции, пренебрегая Q и суммируя по s, получаем;
~ B/7± + р „) + {2р± + р „) VU + 2p± [VU - (bv) (Ub)l +
+ 2/7||(bV)(Ub) = 0; F2a)
¦jfP* +PnvU + 2pu (bV)(Ub) = 0. F26)
Здесь U связано со скоростью изменения р и В следующими урав-
уравнениями:
dp/dt=—pVU; F3)
dB/dt=bdB/dt=b[VX (UXB) + (UV) В] =
=B[(bV)(Ub)— VU]. F4)
139
В результате F2) приобретает вид:
d _ 3/>„ d? 2/?(| dB
Жр" ~ ~Г ~лГ+~в-ЧГ>
откуда сразу следует E66). Теперь вычитая F26) из F2а) и -ис-
-используя F3) и F4), находим уравнение, приводящее к E5а)
2dP± _ 2Р± d9 2Р± dB __
dt p dt В dt
Таким образом, два адиабатических уравнения -состояния по-
получаются из ура*внений ведущего центр г, в пренебрежении тепло-
тепловым потоком. Выражение для Q мож.но упростить в частном слу-
случае, когда |f0, как было покаэано выше [см. C4)], не зависит от
фазы вращения ф. Поток Q представим в воде
Q=2q'± (/b+b/+tr)+2^;, bbb, F6)
где
q^=^ms J(t; „ —UbKfrf3t;; F66)
tr означает третью возможную перестановку триады /b; q\, q'l{ —
параллельные составляющие теплового потока перпендикулярной
и параллельной энергии соответственно. Они малы только тогда,
когда f почти симметрична, что .выполняется в случае медленного
изменения вдоль В макроскопических параметров плазмы. Кро-
Кроме того, выражения для следа
VQ = (by) (HVl + 2q\ ) - A0<^ + 2q\) (bV) B/B F7a)
и обкладки
F76)
показывают, что дифференцирование умножает тепловой поток на
малый параметр, пропорциональный медленной скорости измене-
изменения вдоль В.
Следует отметить, что приближение двух адиабатических ин-
инвариантов идентично одножидкост.ной теории, описываемой урав-
уравнениями A) — D) и A0), за исключением того, что Vp заменяет-
заменяется дивергенцией тензора давления Р, содержащей скаляры р±&Р\\,
которые определяются уравнениями состояния E6а) ,и E66).Мож-
E66).Можно видеть, что формализм двух адиабатических инвариантов явля-
является голоноодным, т. е. все величины могут быть выражены с по-
помощью вектора смещения и описаны формализмом Лагранжа.
Эти удобные свойства в сочетании с очевидным обобщением на
случай н©скалярного давления и обеспечили популярность теории
двух адиабатических инвариантов. К сожалению, жесткие требо-
требования на очень медленное изменение вдоль 'магнитных силовых
14G
линий, налагаемые условием пренебрежения Q, сильно ограничи-
ограничивают пределы ее применимости, соответственно когда необходимы
точные результаты. С другой стороны, уравнения иногда исполь-
используются для решения проблем, выходящих за рамки пределов при-
применимости, и полученные ответы, естественно, неверны. Иллюстра-
Иллюстрацией этого служит пример вычисления критерия устойчивости от-
относительно зеркальной 'неустойчивости в однородной замагничен-
ной г;лазме с различными параллельным и перпендикулярным дав-
давлениями (см. приложение).
4. СЛЕДСТВИЯ МГД-ТЕОРИИ
МГД-уравнения и, в меньшей степени, уравнения двух адиаба-
адиабатических инвариантов и ведущего центра обладают некоторыми
свойствами, которые часто используют, чтобы качественно пред-
представить поведение плазмы, не решая уравнений. Эти уравнения
содержат некоторые общие глобальные соотношения, законы сох-
сохранения и теоремы вириала, а также уравнения сохранения пото-
потока ,и силовых линий, которые также можно считать уравнениями
сохранения.
4.1. Законы сохранения. Назо!вем три величины, сохраняемые
в плазме,— это импульс, энергия и угловой момент. Чтобы выве-
вывести их в рамках идеальной одножидкостной модели, запишем
уравнение Эйлера в виде
ди /Ж1 Ч1Т , (vXB)XB ~ /со v
р — = - р (UV) U + vv A/A vp — руФ> F8а)
01 4п
где j исключен с помощью D) и введен гравитационный потен-
потенциал O:g=—VO. Умножая уравнение непрерывности на U и
складывая с F8а), получаем:
А(ри) = -7Г-руФ. F86)
где
fcM)* F9,
представляет собой тензор напряжений, действующих на произ-
произвольную поверхность. Первый член .в F9) —-это релеевские на-
напряжения, второй — магнитные напряжения (магнитное давление
и натяжение), третий член — давление. Интегрируя уравнение
F9) по фиксированному объему V и используя теорему Гаусса,
получаем:
JL j'pU dz= - f T dS + Jpgrfx. G0)
v s v
Здесь левая часть—< скорость изменения импульса плазмы «в объе-
объеме, правая — изменение момента, связанное с поверхностными и
141
гравитационными силами. В изолированной системе в отсутствие
гравитационных сил (g=0) полный импульс сохраняется. (В дей-
действительности, как будет по-казано в теореме вириала, это .невоз-
.невозможно. Однако если сила гравитации является самосогласованной,
т. е. порождаемой самой плазмой, то ее можно записать как ди-
дивергенцию; импульс при этом будет сохраняться, как, например, в
задаче об изолированной звезде.) В любом случае плотность им-
импульса (плазмы pU -не включает <в себя вклада магнитного поля.
Изменение плотности импульса связано с силами, действующими
на поверхность. Вклад электромагнитных сил является реляти-
релятивистской поправкой, он не включен в уравнение.
Более важным является закол сохранения энергии. Он получа-
получается умножением F8а) .на U с учетом уравнения непрерывности
D8): л .^,
В левой части этого уравнения — скорость изменения кинетической
анергии в единице объема. Изменение кинетической энергии про-
происходит вследствие соответствующего изменения магнитной энер-
энергии ('первый член в правой части), давления (второй член) и грг.-
витационной энергии (третий член). Действительно, умножая A0)
на U, получаем:
dt \ 8n J
Из C) и A) имеем:
±rUL\ = _m?_JULm. G3)
dt \y— \J y— * Y — J
Из A) следует также, что
А G4)
(Ф предполагается независимым от времени). Величины в левой
части G0) — G4) —• скорости изменения плотности магнитной анер-
анергии, давления и гравитационной энергии, «соответствующие членам
правой части G1). Другими -словами, любое изменение магнитной
и гравитационной энергии и давления приводит к изменению плот-
плотности кинетической энергии.
Складывая уравнения G1)—G4), интегрируя по конечному
объему V и используя теорему Гаусса, получаем:
dt dt „ ^
G5)
142
Таким обр/азом, можно с уверенностью идентифицировать вы-
выражение в левой части со скоростью изменения полной энергии
Qv в объеме У, а интеграл в правой части—с потерей энергии
через поверхность S; gv содержит четыре компоненты: кинетиче-
кинетическую и магнитную энергии, давление и гравитационную энергию.
Почти любой 'макроскопический плазменный процесс заключается
в обмене различными формами энергии и потерей энергии через
по!верхность. Из G6) видно, что эти потери складываются из пря-
прямых потерь кинетической энергии (первый член), потока Пойнтин-
га (второй член; напомним, что UXB=—сЕ), тепловой энергии и
работы pdV [ypV/(y—l)=pU/(y—l)+pU)] и, наконец, работы
гравитационных сил, связанной с жидкостью, входящей .в объем
при одном потенциале и выходящей при другом. (Поток Пойнтин-
га также можно представить как потери магнитной энергии плюс
работа магнитного давления.)
Если система тщательно изолирована, «например, твердыми
бесконечно проводящими станками, на .которых В-п=0 в некото-
некоторый момент времени, то npo-изведение В«п будет оставаться рав-
равным нулю все время. Поскольку и U-n = 0, то правая часть G5)
будет равна нулю, так что энергия (Внутри объема будет сохра-
сохраняться.
Наконец, закон сохранения для углового момента можно по-
получить ,в полной аналогии с G0). Пусть точка 0 — начало коорди-
координат и г — радиус-вектор, отсчитанный от этой точки. Тогда
. G6)
Видно, что угло.вой момент содержится исключительно в движе-
движениях плазмы. Данное соотношение используется в значительной
мере в задаче о выносе солнечным «ветром углового момента из
Солнца.
Другим важным интегральным соотношением для плазмы яв-
является теорема вириала. Введем относительно начала координат0
тензор момента инерции плазмы внутри заданного объема V
Iv= Jprrdt. G7)
Дважды продифференцировав Tv по времени, используя иде-
идеальные МГД-ура'Внения и пренебрегая поверхностными и грави-
гравитационными членами, получим:
J t; G8)
V
J G9)
Если движение плазмы в течение длительного промежутка време-
времени происходит в ограниченной области пространства, можно ус-
143
реднить G9) по времени и пренебречь левой частью. Таким обра-
образом, ,из G0) находим соотношение
которое носит название теоремы вириала (скобки < ) означают
усреднение по времени). При учете поверхностных членов это со-
соотношение может нарушаться, поэтому его можно применять толь-
только к изолированной системе. Возьмем следующие уравнения (80),
получим:
Поскольку, очевидно, этот интеграл положителен, .из данного ус-
условия следует невозможность существования изолированной (без
катушек), свободной от воздействия системы. С другой стороны,
если учесть самосогласованный гравитационный член, то найдем:
Так как гравитационная анергия всегда отрицательна, то она мо-
может скомпенсировать три других члена. [Отметим, что первый
член есть удвоенная кинетическая энергия, второй — магнитная
энергия, а третий — тепловая энергия, умноженная на 3(y—1)>
тогда как последний член — гравитационная энергия].
Другой важной теоремой для идеальных МГД-систем является
то, что последние могут быть вььведены из лагранжиана,. Чтобы
облегчить понимание этого, необходимо рассматривать каждый
элемент плазменной жидкости как целое. Динамика потока меж-
между моментами t0 и t\ представляется как ряд зависящих от време-
времени смещений 1(г0, /) каждого элемента жидкости от его началь-
начального положения г0 в момент t=t0 до конечного г1=Г{)+| в момент
времени t\. Возможное движение определяется зависимостью сме-
смещения §(г<>, t) от времени t. При этом принцип Гг.мильтона для
идеальных МГД-уравнений гласит, что движение, оставляющее
стационарным величину
L = §?dt, (83)
где
f(^*U, (84)
является действительно динамическим, удовлетворяющим идеаль-
идеальным МГД-уравнениям, и наоборот. Как должно быть понятно, для
любого смещения |(r, t), будь оно динамическим или нет, р, риВ
должны определяться из решения уравнений A), C) и A0) соот-
144
ветственно. Известно, что эпи величины голслюм.ны и не зависят от
детальной зависимости %(то, t) от времени t.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим заданное движение
%(voft) и определим возмущение этого движения, введя функцик>
Эйлера б^(г, t)9 'которая определяется ка.к разность между -поло-
-положением элемента жидкости в момент t, который должен был быть
в г при невозмущенном движении, и г. После этого легко видеть,,
что возмущения р, р и В в точке г под .влиянием возмущения дви-
движения равны соответственно:
Pi = -V(p6S); (85a>
S) - FSV)p; (85б>
(85в)
Остается определить Ui. Возмущение скорости элемента жидкости:
по определению 6% равно:
В то же время — это возмущение -в точке г+б?, так что оно р>а>в~
но Ui+F?V)U. Следовательно,
U, = ^ + (UV) 8§ - F 6V) U- (8бг>
Подставляя эти возмущения в соответствующие возмущения (83).
и (84), получаем:
f
Интегрируя по частям, убеждаемся, что 6L=0 для всех б|, об-
обращающихся в нуль ,в моменты t0 и t\9 и <на границах, если -выпол-
-выполняется B).
Существование принципа Гамильтона для МГД-уравнений яв-
является исключительно важным. Можно показать, что он обуслов-
обусловливает большинство основных результатов магнитной гидродина-
гидродинамики, -нгдример самоограничение, энергетический принцип устой-
устойчивости статического равновесия и сохранение энергии. Мелко-
Мелкомасштабные гадромагнитные волны сохраняют волновые свойства,,
«поэтому их можно рассматривать как волновые кванты. И это так-
также прямое следствие того, что система является лаопранжевой [10].
До сих пор мы обсуждали свойства одножидкостных идеаль-
идеальных МГД-уравнений. Всеми этими (Свойствами обладает и форма-
формализм двух адиабатических инвариантов, если заменить р и у со-
соответствующими выражениями. Например, р/(у—;1) надо заменить
IHa P±+P\J2 в G5), (80) и (84), а в (82) Зр заменить на 2рх+ри.
14S
Аналогичные результаты, по-видимому, будут справедливы и для
теории ведущего центра, хотя до сих пор они в действительности
<были получены только в некоторых предельных случаях.
4.2. Вмороженность потока в плазму. Вероятно, наиболее по-
.леэной среди качественных концепций идеальных МГД-уравнений,
так же, как теории ведущего центра и двух адиабатических инва-
инвариантов, является вмороженность в плазму магнитных силовых
линий. Строгая теорема сохранения потока заключается в сле-
следующем.
Предположим, что в некоторый начальный момент времени маг-
магнитные силовые линии распределены в объеме плазмы так, что их
плотность пропорциональна напряженности толя В и они везде
дасательны В. (Для простоты берется очень большое, но .конечное
число таких линий, так что их плотность, хотя >и не совсем точно
¦определена в каждой точке, «о ее можно найти с любой точ-
точностью, выбирая достаточно большое число силовых линий.) Та-
<к»И'М образом, в момент t0 магнитное поле В полностью представ-
представлено этими линиями. Пусть плазма течет со скоростью U и пусть
эволюция магнитного поля подчиняется A0). В то же время пусть
силовые линии целиком переносятся со скоростью U в некоторую
новую конфигурацию, .как если бы они были вморожены в плазму.
В любой более поздний момент времени t конфигурация силовых
.линий (будет представлять собой магнитное поле как по интенсив-
интенсивности, так 'и по направлению, определяемых плотностью линий и
.касательными к ним соответственно.
Этг, теорема справедлива до тех пор, пока выполняется A0),
т. е. если вследствие 'конечности сопротивления В отличается от
поля A0), то оно будет в той же м-ере отличаться и от поля, опре-
определяемого конфигурацией силовых линий. Поскольку смещение
силовых линий происходит непрерывно, их топология должна со-
сохраняться. Замкнутые линии остаются замкнутыми, эргодические —
эргодическими, существующие в момент t0 (магнитные поверхности
продолжают существовать и в дальнейшем и т. д. Утверждение о
вмороженности потока приводит к далеко идущим следствиям, по-
поэтому важно знать, в каких условиях оно нарушается. В некото-
некоторых случаях плазма не может перейти в состояние с много мень-
меньшей магнитной энергией вследствие вмороженности 'магнитного
потока.
Изменение топологии, которое может быть вызвано нару-
нарушением A0) внутри очень малой области, например в точке х,
может привести, как полагают, к пршргщению значительной ча-
части магнитной энергии в .кинетическую энергию плазмы. Последнее
обычно называют процессом пересоединения, который вызывает
большой интерес, та*к как решение его, возможно, ведет к объяс-
объяснению некоторых наблюдаемых бурных процессов в плазме, та-
таких как разрывы в то,камг,ках, солнечные вспышки, и т. д.
Теорему о 'вмороженности потока можно выразить математиче-
математически двумя способами. Пер|вый из них носит название тождества
Лундквиста, основа второго — формула Клебша [М].
146
Тождество Луадквиста выражает магнитное поле в момент
времени t с координатой г через его значение в момент U и коор-
координату г0
А (Г, t) = — (г0, g v r (г0, t). (87)
р р о о о о
В этой формуле г считается функцией г0 и / и представляет собой
координату в момент t элемента жидкости, который в начальный
момент t0 находился в коордонате г0. И-ндекс нуль в операторе Vo
означает, что дифференцирование проводится по г,0 при фиксиро-
фиксированном t. Пусть В0 = В(г0, t0) и ро=р(го, ^о). Чтобы доказать спра-
справедливость (87), покажем сначала, что оно удовлетворяет урав-
уравнению A0). Используя равенство (dr/<?/)ro = U, получаем:
— Vo^U, (88>
Ро J
где = d/dt 4- (Uy) ^ {d]dt)T . Поскольку
dt °
vX(UXB) = (Bv)U-(Uv)B-B(VU),
то — vX(UXB)= — — (Bv)U + B(vU) =
Р /Г> __- \ ЖI Г ^Р U /Ur-r\ II Р
-— \Jo0Vo/ ^ ** — \*^V/ *** -=
р0 р dt P dt
[(iV.)((eVi))vl (89>
Ро
Здесь выражение в пер>вой строке следует из определения d/dty.
озо второй — из уравнений A) и (88), в третьей — с учетом урав-
уравнения (87). Выражение в .квадратной скобке в третьей строке (89)
обращается в нуль в силу цепного правила дифференцирования.
Таким образом, (87) удовлетворяет уравнению эволюции магнит-
магнитного поля A0) в ¦начальный момент времени. Следовательно, оно*
удовлетворяет ему и в последующие моменты t. Связь (87) с вмо-
роженностью легко видна ,из «геометрии. Действительно,
(BoV,o)r/Bo — это сдвиг единичного элемента линии вдоль перво-
первоначальной -силовой линии, вызванный течением плазмы, и, следо-
следовательно, (87) констатирует, что В остаетоя параллельной сдви-
сдвинутому элементу силовой линии. Пр,и этом происходит также ра-
растяжение линии потоком, однако множитель р/ро показывает
уменьшение объема. Последнее указывает на сокращение попе-
поперечного сечения, т. е. увеличение плотности силовых линий.
Альтернативный математический метод описания сохранения
потока основам на формуле Клебша, которая выражг,ет произволь-
произвольное ¦недивергентное векторное поле, такое как В, через две ска-
скалярные функции
(90)
147"
Рис. 2
Бели существуют такие скаляры а и р, то В, определяемое (90),
очевидно, является бездивергентным. Далее, домиожая уравнение
,(90) на Va и Vp, получаем:
BVa=0; BVp = 0, (91)
так что а и р—постоянные вдоль силовых линий. Пр>и этом сило-
силовую линию можио определить из условий a=iao и Р=)Ро, где ао и
Ро—постоянные величины. Наконец, поскольку /= В- (VaXVp)/B =
— В—|Это якобиан преобразования координат г->-а, р, / (/ — сек-
сектор длины вдоль силовых линий), то видно, что dadp представляет
«собой элемент потока. Это значит, что если взять поверхность S,
•ограничивая силовые линии заданными а и р, то произведение
dadfi является потоком через соответствующий элемент поверхно-
поверхности (рис. 2). Таким образом, если выбрать силовые линии, зада-
задавая одинаковое распределение а и р, то плотность их будет про-
пропорциональна .напряженности магнитного поля В.
Отмеченные свойства аир указывают, как их можно найти,
чтобы удовлетворить (90). Как и на рис. 2, выберем аир' произ-
произвольно на поверхности 5и продолжим их в пространстве, чтобы
выполнялись (91) и (BV)P'=0, т. е. считая их постоянными на
линиях В. При этом
Va— (BVa)Vp'=0,
так что B=ig>(VaXVp/), где g—скаляр. Из условия VB=0 сле-
следует, что
т. е. g—¦конста.нта вдоль силовых линий В и, следовательно, g"=
= ?(«> РО- Выберем р так, чтобы
g(a, P0. (92)
Ка(к легко убедиться, при данных аир уравнение (90) выпол-
выполняется.
148
Очевидно, аир можно выбрать не единственным образом.
Однако если они заданы в какой-то начальный момент времени to,
то ,в последующие моменты ihx можно определить .из условия по-
постоянства на данном элементе жидкости. Послед-нее означает, что
они удовлетворяют уравнениям:
0; (92а)
O. (926)
При этом В, выражаемое (90), удовлетворяет A0) и, следователь-
следовательно, действительно определяет магнитное поле. Вычислим
-?- (V* X vP) ~ V X [U X (V* X VP)] = V -¦?- X VP +
ot ot
v-J- - v X [Uypw - UwvPl = - v(Uv«) X vP -
Ot
Здесь выражение «во второй строке получается после преобразова-
преобразования тройного .векторного произведения в квадранных скобках в
первой строке; в третьей—следует из (92) после взятия ротора от
квадратной скобки ©о второй строке.
Очевидно, свойства а я Р соответствуют свойствам силовых ли-
линий в теореме о сохранении потока,.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Проиллюстрируем формализм теории ведущего центра на примере, кото-
который показывает также ограничения метода двух адиабатических инвариантов.
Рассмотрим однородную замагниченную ионно-электронную плазму с раз-
различными продольной и поперечной температурами. Выберем ось z вдоль Во.
Для простоты будем считать равновесное распределение f0 би-максвелловским
с различными продольной и поперечной температурами
msv2± s\
^ (93)
Рассмотрим синусоидальное возмущение плазмы, пропорциональное ехр(—ic
+ \kxx-\-\kzz). Каковы условия неустойчивости для данного возмущения?
Начнем с гидродинамических уравнений D5) и D7). Если ввести вектор
смещения плазмы \, так что U=—ico?, то получим:
- р<о2§ = - vfЛ —J- v (B.B,) + (B°.v)Bl ; (94)
4т: 4те
-i*xExBoz, (95)
где штрих или единица в индексе означает возмущенные величины. Из D4а)
для возмущения давления имеем:
Pi = Р±! + (р'„ - Р±) bb + (Р „ - Р±) (btb + bbf). (96)
149
Наконец, из (95) следует:
(97а>
(97б>
так что легко находим:
V^i = №хР± — (Ри — Р±) Ь%] х + [ikgp\ — (р D — Р±) kxkzlx\ I. (98>
Подставляя (98) в уравнение движения (94) и проектируя на оси х и г„
получаем два уравнения для ^х и gz:
D 2
^ - Р±) Ьх - (% + k2z) -^ fc; (99а)
+ Aj А (р у — р±) 1Х. (99б>
Для замыкания системы необходимы еще уравнения состояния для р±_
и р\ .
До этого момента теории двух адиабатических инвариантов и ведущего
центра совпадали. Они различаются только в определении р^_ и р'^ . Пусть
замыкание системы происходит благодаря уравнениям состояния теории двух
адиабатических инвариантов E6а) и E66), которые связывают pj_ и р у с
|ж и |г. Подставляя из уравнения непрерывности D8) pi=—i(^x?x + ^z?z)
и учитывая (97а), получаем:
Р±/Р± = Pi/P + BifBo = - 2i^x - i*&; A00a>
P'll /Pи = 3Pl/p - 2BJB0 = - ikJb - 3i^. A006>
Подстановка A00а) и A006) в (94) и (95) приводит к уравнениям для gx и.
?z в отдельности. Приравнивая к нулю определитель этих двух уравнений^
получаем уравнение для собственного значения ю==со(к):
. A01).
Легко убедиться, что решения относительно ю2 действительны. Таким образом,,
неустойчивость возникает, если один из корней со2 является отрицательным..
Это происходит при
- р±/6р„)] + к\ (?2/4я + р± - р „) < 0.
Это выражение может быть отрицательным, во-первых, когда при kx = 0 к
р, >pJL + B\lAn A02)
(случай шланговой неустойчивости); во-вторых, при &*—Ю (но неисчезающем) и
A03)
(случай зеркальной неустойчивости). Уравнения A02) и A03) суть условия
неустойчивости, выведенные в рамках теории двух адиабатических инвариан-
инвариантов.
Используем теперь для нахождения р^_ и р у и замыкания (99а) и (996)
приближение ведущего центра. В действительности можно определить р^_ че-
150
рез lx и рассматривать только (99а); р^ определяется через возмущение
функции распределения f, получаемое, например, из решения E2). Пусть
/=fo+fi. Тогда, поскольку Б —якобиан преобразования к переменным \i и р..
имеем:
f ^ЦЛЛ + -ji-
A04)
Возмущая E2) и используя (93), получаем:
— kxkJix (t/2 . /2) + (
'- -
На границе устойчивости можно пренебречь со в знаменателе
(если ©«fczGVmsI/8) и
Я f'-Тт fs- A06)
fi* хЪх Яг f'Тт
Zl \\s *** \\s
Из условия зарядовой нейтральности можно определить Е ц:
Для иростоты выберем {TjJT^)i=z{T^lT^)e t чтобы ?и =0. Подставляя
с Е ц =0 в A04) и используя (97а), находим:
(т7л"i ^b/?i • A08)
S
Если положить Tj_t=T ±е , то
(^- р±). A09)
Теперь для достаточно малых со (см. выше) из (99а) имеем:
2 &
М снова, если kx = 0, для шланговой неустойчивости получаем условие A02).
Однако при kz-+0 для зеркальной неустойчивости получается условие p\lP\\ >
>Pj_ +?20/8jt, которое отличается множителем 6 от A03).
Причиной такого различия в критерии зеркальной неустойчивости между
теориями ведущего центра и двух адиабатических инвариантов является то,
что частота со должна перейти через нуль. При этом связь частиц устанавли-
устанавливается на расстояниях порядка k~l вдоль силовых линий за времена, меньшие
<о~!, так что условие применимости последней теории нарушается.
Этот пример показывает опасности, присущие теории двух адиабатических
инвариантов, поскольку нарушение условий применимости становится очевид-
очевидным только после применения более точного приближения ведущего центра.
151
Теория шланговой неустойчивости остается справедливой, так как продольный
тепловой поток здесь не играет роли (это ясно из качественной картины не-
неустойчивости) .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа: Пер. с англ. М.:
Мир, 1965.
2. Petschek H. E. The Physics of Solar Flares. AAS—NASA Symposium/Ed.
W. H. Hess. NASA Sp-50, 1964, p. 425.
3. Брагинский С. И. Вопросы теории плазмы/Под ред. акад М. А. Леонто-
вича. М., Атомиздат, 1963, т. 1, с. 183.
4. Chew G. F., Goldberger M. L., Low D. Е.— Proc. Roy. Soc, 1956, vol.236,,
p. 112.
5. Chew G. F., Goldberger M. L., Low F. E. Los Alamos Lecture Notes on-
Physics of Ionized Gases, LA-2055, 1955.
6. Kulsrud R. M. Rendiconti della Scuola Internazionale di Fiscia «Enrico
Fermi» Course XXV/Ed. M. N. Rosenbluth. — N.Y.: Acad. Press, 1962, p. 54.
7. Newcomb W. A. —Ann. Phys., 1958, vol. 3, p. 347.
8. Kruskal M. D. La Theorie des Gas Neutres et Ionises/Ed, by C. Dewitt
and J. F. Detoeuf, 1960.
9. Rosenbluth M. N., Rostoker N. —Phys. Fluids, 1958, vol. 2, p. 23.
10. Dewar R. L. —Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 2710.
11. Lundqvist S. — Phys. Rev., 1951, vol. 83, p. 307.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ*
ф. хитон
ВВЕДЕНИЕ
Процессы переноса в плазме ответственны за потери частиц:
и энергии ,в условиях, при которых в идеальной плазме мож-на
было бы ожидать, что потери отсутствуют, за отклонения от по-
поведения идеальной плазмы в других ситуациях. Процессы перено-
переноса обусловливаются макроскопическими неустойчивостями, турбу-
турбулентностью, вызванной миюронеустойчивостями и .кулоиовскими
соударениями.
В настоящей статье рассматривается только последний меха-
механизм. Сила, действующая на данную заряженную частицу со сто-
стороны других частиц плазмы, обусловливается флуктуаодями элек-
электрических и магнитных полей. Эти флуктуации можно разложить
в ряды Фурье по плоским волнам с различными волновыми векто-
векторами к. Соударениями будем называть действие флуктуации с дли-
длинами волн, меньшими дебаевского радиуса или k%D>\\. Для си-
системы в локальном тепловом равновесии уровень таких флуктуа-
флуктуации хорошо известен [1, 2], а их действие наодночастичнуюфунк-
наодночастичнуюфункцию распределения описывается уравнением Фоккера — Планка
A). В этой статье мы ограничимся столжновительными процесса-
процессами переноса и не будем обсуждать процессы переноса, о-буслов-
1 Пер. с англ. В. В. Красносельских.
152
ленные более длинноволновыми флуктугциями. Причина не толь-
только в том, что стол,кнов,И!телыный перенос более понятен, но и в том,
что он присутствует всегда и задает нижний предел скоростям
возрастания энтропии .и переноса в плазме. При этом мы, разу-
разумеется, предполагаем, что МГД-активность или быстрое -макроско-
-макроскопическое движение отсутствует, так же как и флуктуации, связан-
связанные с микронеустойчивоотями.
В данной статье рассмотрены только процессы переноса в рав-
равновесных МГД-системах, в которых плотность тока и градиент
давления связаны уравнением A61). Предполагается, что скорость
изменения макроскопических величин мала и полностью опреде-
определяется процессами переноса. Поэтому мы не рассматриваем эф-
эффектов перенос?, волнами и неустойчивостями, за исключением
случая, когда их длина волны так велика, а частота та.к мала, что
удовлетворяются предположения, сделанные в п. 2.1. Обзор про-
процессов переноса в ситуациях, изменяющихся более быстро, выпол-
выполнен в [3 и 4].
Свойства переноса в плазме изучаются с использованием раз-
разложения Чепмена—Энскога [5]. Малым параметром является от-
отношение средней длины свободного пробега к характерному раз-
размеру неоднородности вдоль магнитного поля. Предполагается, что
юно одного порядка с отношением среднего гирорадиуса частиц
к характерному размеру неоднородности поперек поля. Потоки ча-
частиц и энергии вычислены с точностью до членов первого порядка
по этим малым .параметрам. Потоки третьего порядка, связанные
с силами вязкости (и тепловыми силами более высокого порядка,
опущены. Предполагается, что зависимость параметров от време-
времени по отношению к скорости вращения частиц в магнитном поле
имеет второй порядок малости. Речь пойдет в основном о переносе
в плазме, удерживаемой магаитным полем, а поэтому сильно за-
магниченной, хотя будут приведены и некоторые общие формулы.
Это соответствует предположению, что средний лирорадиус части-
частицы много меньше средней длины свободного пробега. Более об-
общие результаты можно найти в [6]. Явные формулы для коэффи-
циентов переноса поперек сильного магнитного поля даны для
плазмы с произвольным числом различных сортов частиц (не-
(несколько сортов ионов, которые отличаются зарядом и массой, и
электроны). Перенос параллельно магнитному полю обсуждается
для простой плгзмы, состоящей из электронов «и ионов одного
типа, а также для плазмы с двумя сортами ионов.
В разд. 1 описана диффузия Фоккера — Планка в пространстве
скоростей. Свойства, столкновителыных членов в уравнении Фокке-
ра — Планка получены в п. 1.2. Вопросы о макроскопических вре-
временах релаксации и установлении теплового равновесия обсуж-
обсуждаются в п. 1.3.
Движение пробной частицы описано в п. 1.4, а некоторые важ-
важные приложения приведены в п. 1.5. В п. 1.6 получены приближен-
приближенные выражения столкновительных членов в уравнении Фок-
кера—Планка, которые используются в этой статье.
153
В разд. 2 обсуждаются классические процессы переноса, обус-
обусловленные пространственными неоднор-одностями и электрически-
электрическими и магнитными полями. В п. 2.1 описывается процедура разло-
разложения в общем случае. Перенос перпендикулярно магнитному
полю в пределе сильного поля изучается в п. 2.2. В п. 2.3 рассмот-
рассмотрена простая плазма, указаны изменения в теории удержания при
использовании малости отношения м-ассы электронов к массе
.ионов и приведены плотности тока и потока тепла вдоль поля, пе-
переносимые электродами и иона-ми. Для того чтобы получить соот-
соотношения симметрии Онзатера, используется вариационный форма-
формализм. В п. 2.4 рассмотрен перенос в плазме с двумя сортами
ионов, считается, что отношение массы электронов к м*ассе ионов-
обоих сортов мало, а отношение ионных масс произвольно. Кроме
перпендикулярных потоков представлены еще и результаты чис-
численных вычислений ионных коэффициентов переноса вдоль поля.
В п. 2.5 приведены уравнения для моментов! в плазме с несколь-
несколькими сортами ионов, здесь же обобщены предыдущие результаты.
1. ДИФФУЗИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СКОРОСТЕЙ
1.1. Уравнение Фоккера — Планка. Столкновительный перенос
в плазме является следствием фундаментальной дискретности
структуры среды, которая проявляется в кулоновеком рассеянии
каждого отдельного заряда всеми остальными. При вычислении
свойств переноса необходимо знать влияние этих взаимодействий
заряженной частицы да одночасти-чную функцию распределения
/:(х, v, •/). Эта функция определяется тгжим образом, что
f(x, v, t)dzxdzv пропорционально «вероятности нахождения частицы
данного сорта внутри бесконечно малого элемента объема фазово-
фазового пространства d3xd3v -с центром в точке с координатами х, v
в момент времени t Это выражение эквивалентно величине ста-
статистического ожидания числа таких частиц в элементе объема фа-
фазового 'Пространства в момент времени t. Так как мы не имеем не-
непосредственно дела с флуктуациями, то считаем, что f(x, v, t)
(функция распределения) в действительности является плотностью
непрерывной жидкости в фазовом пространстве. Пространственная
плотность частиц тогда задается интегралом
n(x, t)= J d*vf(x, v, t).
Обычно для приложений теории переноса в плазме считают, что
эффекты взаимодействия заряженных частиц адекватно описы-
описываются уравнением Фоккера—'Планка [7]. Здесь мы обсудим
само уравнение, некоторые приближения, используемые при его
выводе, и пределы применимости.
В однородной /плазме в отсутствие внешних электрических и
магнитных полей предполагается, что зависимость функций рас-
распределения частиц от времени определяется уравнениями Фок-
154
кера—Планка (для каждого сорта частиц а свое уравнение)
где вектор динамического трения описывается выражением*
Здесь u=v—v', г. тензор диффузии по скоростям
Каждый член под зиаком суммирования по (индексу Ъ представ-
представляет в,клад от. рассеяния частиц сорта а н-а частицах сорта Ь. Рас-
Рассеяние частиц одного и того же сорта друг на друге учитывается
членом с а=Ь.
Для тензоров второго ранга используется аффинорное обозна-
обозначение, а I—'единичный аффинор, эквивалентный б-сюмволу Кроне-
кера в тензорных обозначениях. Кроме того,
саъ^2леа2еь2\пА. D)
Кулановокий логарифм определяется следующим 'выражением [в]:
\nA=ln(XD/bo), E)
где XD=(T/4nnee2)l/2—-дебаевский радиус экранирования, а
среднее (Прицельное расстояние для тепловых частиц.
Эквивалентную форму записи уравнения Фоккера — Планка
получим пр<и .использовании равенства
д / I uu \ __ 2и __ д ( I uu \
^v V~ ~~ и3 ) ~ ~ а3 ~~ ~ dvr [ и ~ а3 )
и интегрировании по частям выражения для Аа. Результат
известен как уравнение Ландау [9].
Этот результат получается, если оставить в -интеграле столкно-
столкновений Больцмана только акты .раосеяетия на малые углы и про-
провести обрезание интеграла по параметрам столкновения иа де-
баевском радиусе акр а вир о в ани я, иначе он расходился бы лога-
рифмич-еюки при кулоновкжом законе взаимодействуя. Хотя урав-
иеине Больцмана перво-началыно было предназначено для описа-
описания газа частиц, взаимодействующих лишь при парных соударе-
соударениях, его можно (Применить для описания плазмы, в которой м'но-
го заряженных частиц одновременно взаимодействуют попарно,
если влияние трехчастичных корреляций пренебрежимо мало. Тог-
155
да множество одновременных актов рассеяния на малые углы
оказывает такое же среднее действие на частицу, как и последо-
последовательность независимых парных соударений. Двухчастичная кор-
корреляция эффективно обрезает кулоновский потенциал на расстоя-
расстоянии порядка дебаевского радиуса.
В некотором смысле более общий вывод уравнения Фоккера —
Планка можно получить, используя аналогию между диффузией
заряженной частицы в пространстве скоростей и броуновским дви-
движением. Из предположения о там, что диффузия по скоростям яв-
является марковским процессом, следует, что уравнение имеет вид
уравнения Фоккера—'Плашка [10, 11]. Характерные выражения
для коэффициентов АаЬ, Dab получим, если используем закон пар-
парных соударений с кулоновским потенциалом. Эти коэффициенты
запишем в виде [7, 12, 13]?
^( + 3L)i^; G)
тпь J дх
где
=* JdVfb(v')|v-v'|; (9)
. (Ю)
Июпользуам
д 1 u д2и I uu
dv a u3 ' dvdv а и* у
где u=v—v7, тогда увидим, что уравнения G) и (8) эквивалент-
эквивалентны уравнениям B) и C).
Функции gbt hb называются потенциалами Розенблюта по ана-
аналогии с электростатикой.
Используя ylu = 2/м и у„— = —* 4^8 (и), где у„ — оператор Лап-
Лапласа в пространстве скоростей; б (и)—дельта-функция, имеем
A1)
A2)
Отсюда видно, что потенциал hb аналогичен потенциалу в коорди-
координатном пространстве, обусловленному плотностью заряда /fr; gb —
потенциал, который получается, если ргюсматривать Аь/4я ка.к
плотность заряда. Из этой аналопии следует, что если функция fb
сферически симметрична, то и gb и hb также сферически симмет-
симметричны и яа hb(v) и gb(v) влияет только ^(v') с Iv'l^lvl1.
1 Беляев С. Т., Будкер Г. И. —Докл. АН СССР, 1956, т. 107, с. 807.—
Прим. пер.
156
Таким образом, вектор динамического трения Aa(v) и тензор
диффузии по скоростям De(v),, действующие на частицу с задан-
заданной скоростью v, определяются только взгигмодействиями с более
медленными частицами. Другим следствием является то, что сила
динамического трения, действующая на быстрый электрон, убы-
убывает как и~3 по аналогии с электрическим полем вне сферически
симметричного распределения заряда.
Правую часть уравнения Фоккер?.—'Планка представим в виде
dfa/dt = ZCablfa9fb]. A3)
ъ
Столкновятельные члшы в уравнении Фоккера— Планка с по-
помощью A1) запишем в виде
г к ? 1 г у 2 д ( та dhb ? I d*gb dfa
Cab lta> Ы - ~ 1 а*Ь ~^ [~ ^ ta ~ ~ ~^
где
Здесь, по-видимому, следует заметить, что для получения приве-
приведенных выше выражений необходимо предположить, что lnA^>'L
Так как Л 'прситор'щюшльно числу частиц в дебаевской сфере
(в сфере с радиусом, рашым дебаевюкому), то это число долж>но<
быть очень велико. Если это так, то средняя кинетическая энер-
энергия частицы много больше средней потенциальной энергии двух
заряженных частиц. Большое число актов рассеяния иа малые
углы дает больший суммарный эффект, чем малое число акто»
рассеяния на большие углы. Для большинства интересующих нас
плотностей и температур In Л находится в диапазоне от 15 до 20,.
поэтому это* предположение оправдано.
Еще более общий вывод уравишия Фоккера — Планка начи-
начинается с учета того, что ,кулоно(В1СК1ие соударения между двумя
частицгми видоизменяются остальной плазмой более сложным об-
разом, чем статическое дебаевское экранирование. Дело в том, что*
движущийся электрон имеет искаженное экранирующее облако,.
и бсл.и он движется- быстро, то излучает ленгмюровюше волны на
черенковеко'М резонансе. Уравнение Ленарда—«Б ал веку [14—16] у
которое учитывает эти эффекты, отличается от уравнения Ландау
F) заменой выражения
|v-v'| |v-v'
k*\ e(kv, к) |2
Здесь 8 — продольная диэлектрическая проницаемость, нули кото-
которой определяют дисперсионные соотношения для электростатиче-
157
скшх волн. В интеграле по волновым векторам, .который грубо со-
соответствует интегралу Больцмана по (параметрам столкновения, (не
нужно проводить искусственного обрезанная -на малых k, так как
.интеграл сходится ('из-за того, что г~к~2 при &-Я)). Для частиц,
•скорости которых ненамного больше, чем -среднеквадрати'чная ско-
скорость, можно использовать статическую диэлектрическую прони-
проницаемость
е@, k) = l + l/k*KD2,
тогда уравнение A7) сводится к A6). Таким образом, вновь по-
получилось уравнение Ландау, но с радиусом Дебая, появившимся
в кулоновском логарифме естественно, ,а не вследствие искусствен-
искусственного введения обрезания. Для больших скоростей частиц эффекты
волна —частица, которые не включены в уравнение Ландау, мо-
могут оказаться важными. Однако эти эффекты не могут быть кор-
корректно описаны -и уравнением Ленарда — Балеску. Дело .в том, что
-тгенгмюровские волны с большими фазовыми -скоростями очень
•слабо затухают и начинают «жить собственной жизнью», особен-
особенно в нетепловой равновесной плазме [17]. Поэтому необходимо
отдельное уравнение, описывающее временную зависимость ам-
ллитуды волн. Так как уравнения, которые при этом получг-ются,
-слишком сложны дл»я использования в большинстве приложений
к процессам переноса, то мы просто опустим эту часть спектра
волн (см. разд. 3).
Уравнение Фоккера— Планка в форме Ландау также часто
используется в приложениях, .где присутствует внешнее магнитное
лоле. Обобщение уравнения Ленарда — Балеску, которое включает
магнитное поле, сделано в [18], но оно -намного сложнее, чем
уравнение Ландау. Монтгомери и сотр. [19] сделали вывод, что
единственное изменение, которое нужно сделать в интеграле столк-
столкновений Ландау, когда средний гирорадиус электронов много
меньше дёбаевского радиуса, это заменить последний на первый
в кулоновском логарифме.
Используя уравнение Ландау, мы не рассматриваем переноса
конвективными ячейками, возбуждаемыми потоками тепла [20, 21],
хотя в некоторых случаях он может оказаться более важным, чем
столкновительная диффузия.
1.2. Свойства уравнения Фоккера—Планка. Уравнение Фокке-
Фоккера— Планка имеет некоторые общие свойства, которые важны
для приложений теории переноса, сейчас мы их продемонстрируем.
Положительность функции распределения. То, что fa не может
«стать отрицательной, если она неотрицательна вндаал'е, можно
показать следующим образом. Предположим, что /а обратилась в
.нуль в одной точке v=v0, тогда и dl/a/dv=O в этой точке
158
для малых |v—vo|=7^=O. Тензор (d2f/dvdvH должен поэтому быть
положительно определенным. Уравнение F) при v=v0 приобре-
приобретет ВИД1
где u=v0—v'. Определяя e1 = u/w, е2, е3—любьге два других пер-
певдикуляр-ных ех -и взаимно перпендикулярных единичных векто-
вектора, имеем:
_1_ uu __ е2е2 + е3е3
а иъ и '
и
е, (-*Це31>0.
3\dvdv) 3|
6
Таким образом, fa становится положительной при v=v0: столкно-
столкновения 1стремятся заполнить любые дыры в .пространстве скоростей.
Сохранение числа частиц. Запишем уравнение A6) в виде
dt д\
и проинтегрируем по скоростям, используя теорему о дивергенции,,
чтобы показать, что
Здесь мы (предположили, что fa->0 достаточно быстро при ^->оо,,
чтобы поверхностный член при у=оо был равен нулю.
Остальное законы сохранения проще всего получаются, если.
жшользо<вать следующую альтернативную форму записи уравне-
уравнения A3):
dfa/dt=IiCab, B0>
ь
где
= ^L JL Uy (v)fb{v>)(±-^-)%ab(W); B1)
ma dv J \ a u3 J
B2>
Сохранение импульса. Умножая B0) на mav и интегрируя по
скоростям, получаем выражение
аЬ, B3)
1 Знак «:» соответствует в тензорных обозначениях перемножению матриц,
а и р по формуле 22 <XijP*j. — \Прим. пер.
159»
где
Wv'fa (v) fb (v') (-L _ JE.) tab (V, v') B4)
определяет скорость передач/и импульса или силу трения. Так как
саь = сьа и подынтегральное выражение просто изменяет знак при
замене а<-* 6, v<-> v\ то
ab — —* Ъа* \^°)
Итак, передача импульса при соударениях от частиц сорта Ь
частицам сорта а равнг, по величине и противоположна по на-
направлению передаче от а к 6, что еще раз подтверждает справед-
справедливость третьего закона Ньютона. В частности, при Ь = а имеем:
Faa = 0, B6)
т. е. полный импульс данного сорта частиц сохраняется при соуда-
соударениях частиц этого сорта между собой. Суммируя B3) по воем
компонентам а и используя уравнение B5), имеем равенство
a a b
Итак, полный импульс в-сех сортов частиц при столкновениях сох-
сохраняется.
Сохранение энергии. Умножая уравнение B0) на —^- (v — uaJ
и интегрируя по скоростям, получаем:
где
Qab + na?ab =- ca»j d'v J d*v'fa (v) fb (v') v(± - -2L): %ab (v, V) B9)
определяет -скоро-сть передали энергии. Так как саъ=сЪа> то, заме-
заменяя а <-> by V+-* v\ получаем:
Qab + UjPba ='ab j <l*V J dVfe (v) f, (V) v' (± - ^%ab (V. V'). C0)
Складывая B9) и (Э0) й используя равенство
7 , ч / I UU п
(vf-v)(—_-_ =0.
находим:
Qab + Qba= (Ub — Ua) Fab. C1)
160
Выражение C1) свидетельствует о сохранении энергии пр'и соуда-
соударениях между -компонентами а и Ъ. В частности, если а=Ь, то
Qaa = 0, C2)
т. е. полная энергия данного сорта частиц щ>и столкновениях меж-
между собой сохраняется. Суммируя B8) по всем компонентам а и
используя уравнение C1), имеем:
L=? ЕiQab+UaFa"} в °- C3)
a a b
Итак, полная энергия всех сортов частиц при столкновениях сох-
сохраняется.
Я-теорема. Докажем, что единственные, не зависящие от вре-
времени функции распределения — матсевелловекие. Представим плот-
плотность энтропии в виде
5 = —2 ( d*vfa A11 fa+ka), C4)
а
где ka — константа, определяемая при -квантовомеханическом рас-
рассмотрении [22]. Дифференцируя C4) и используя сохранение чис-
числа частиц, имеем:
ds/dt=— 2 f d*v\nfadfa/dt. C5)
а "
Используя уравнение B0) для dfjdt и интегрируя по частям, на-
находим:
t=SS ^Hw'-wb(v')(?taf-)(T-f )*-<*¦ *¦>•<36)
а Ь
Правую часть C6) можно записать иначе, сделав замену а*^Ьу
v«-» и'. Сложив эти две формы записи, найдем:
it=т Е Sс-* Jd30 JdVf e (v) fft (v'} x
a b
X Xa6 (v. V) (-L _ -S.j Xa6 (v, v'). C7)
Свойство неотрицательносли следует из
где cosa=xu/(|x|^). Для .выполнения равенства в уравнении' C7),
что эквивалентно условию независимости от времени решения
уравнения B0), необходимо, чтобы
6 Зак. 137 161
для некоторой скалярной функции Ga6(v,v'). .Взяв ротор в про-
пространстве скоростей, получим:
Отсюда следует, что
Полагая v' = 0, а затем v = 0, нетрудно показать [23], что
( In
та \ dv
•и
Gab (|v —v/|)=Y=const.
Отсюда следует, что
In fa = $-\-yv, C8)
та dv
что после интегрирования дает:
In fa=ma (aa+p v+7t; 2/2), C9)
т. е. функции pa определения должны быть маковелловскими с об-
общей -средней скоростью и температурой:
D0)
1.3. Макроскопические времена релаксации. Когда два различ-
различных сорта частиц не находятся в тепловом равновесии друг с дру-
другом, то столкновения стремятся изменить их функции распределе-
распределения таким образом, чтобы установить равновесие. Оценку време-
времени релаксации получим, если вычислим скорость из,менения мо-
моментов функций распределения при столкновениях, аппроксимируя
эти распределения макювелловскими.
Время передачи импульса при столкновениях. Скорость пере-
передачи импульса B4) можно записать в терминах вектора динами-
динамического трения
Ft ' fYl I п'яА т/ IVI i Л 1 ^
at) "~~~ '' "GL I *^ ^ **-CLOl Cl\v/* \ * ¦*¦ /
Пользуясь определением АаЬ, уравнением G) и (Интегрируя по ча-
частям, имеем:
Fab = - Zb*Tama (l + J*l) Гd%vhb (v)^l. D2)
\ mb J J dv
Подставш 'максвелловское распределение с 'направленной ско-
скоростью ub
fb (v) = -щ-j exp [— (v — ubJ/vb2] D3)
162
в определение hb [уравнение A0)] и .выполнив интегрирование,
получим:
где y=f(v—\xb)jvb\ Ф(х) — интепрал ошибок:
D5)
Возьмем в качестве fa максвелловскую функцию со средней ско-
скоростью иа, запишем ее через переменную у и предположим, что
|иь—и|<
чтобы разложить до первого порядка по иь—па. Тогда, используя
у как переменную интегрирования в уравнении D2), оценим инте-
интеграл, используя стандартные (интегральные формулы:
tab
где время передачи импульса
4
D7)
Здесь Z2a==ea2/e2, v2a—2TJmay а Га определяется уравнением A5).
Заметим, что так как
^a^aAab = ^b^b/t6a, D8)
то 4 Fa6 =—Fba D9)
в соответствии с законом сохранения импульса. Таким образом,
tab по порядку величины соответствует времени, которое необхо-
необходимо для передачи такой доли импульса от одного сорта частиц
другому, которая нужна, чтобы исчезла разность их направленных
скоростей. Обратим внимание на то, что уравнение D6) дает
только грубую оценку, так как количественные результаты для
скорости передачи импульса нельзя в общем случае получить без
учета отклонения функций распределения от максвелловских.
Время обмена энергией при столкновениях. Скорость обмена
энергией B8) можно записать, используя вектор динамического
трения и тензор диффузии по скоростям:
-|-TrDeb]/a, E0)
где Тг означает след матрицы. Используя определения, т. е. урав*
нения G), (8) и (И), имеем:
)^]e. E1)
6* 163
Взяв fa и fb снова максвелловскими (.но на этот раз с нулевыми
направленными скоростями), можно использовать уравнение D4)
для потенциала Розенблюта hb и получить в результате интегри-
интегрирования следующее выражение:
Qab = 3nama(Tb — Та) /%аъ(ть+та), E2)
где хаЪ определяется формулой D7), которая впервые получена
Спитцером [24]. Из уравнения D8) следует, что
Qab = -Qba, E3)
т. е. имеет место закон сохранения энергии.
Установление равновесия в простой плазме. В простой плазме,
т. е. плазме с одним сортом частиц, можно сравнить скорости,
с которыми устанавливается равновесие электронов и ионов в от-
отдельности и друг с другом. Считая, что а и & в предыдущих фор-
'Мулах относятся к двум различным компонентам фушщии распре-
распределения данного вида, частиц, например электронов, видим, что
обмен импульсом и энергией между этими частями происходит с
характерным временем таа> причем
* 4 i/2 naZa*e* In Л
Таким образом, переход ионов к равновесию с функцией рас-
распределения, стремящейся к максвелловской, происходит со скоро-
скоростью Хц~1<^хее~1, с которой устанавливается максвелловское рас-
распределения электронов, точнее,
"V; E5)
(¦предполагая Те~Тг). Об мен энергией, а следовательно, выравни-
выравнивание температуры между электронами и ионами происходит зна-
значительно медленнее, за время порядка (me\m^)xee~x. Передача им-
импульса и уменьшение разности направленных скоростей пе—иг
происходит за время
T =
E6)
(которое имеет тот порядок величины, что и хее~1), ©ели нет элек-
электромагнитной индукции, которая стремится помешать плотности
тока изменяться так быстро.
1.4. Рассеяние пробной частицы в плазме. Процесс диффузии
по скоростям, описываемый уравнением Фомкера — Планка, про-
проще понять, если рассмотреть пробную частицу, т. е. частицу, ско-
скорость которой предполагается известной в некоторый начальный
164
момент времени. Функцию распределения для этой пробной части-
частицы нормируем так, чтобы пространственная плотность определя-
определялась выражением
Sd*vft=nt. E7)
Пробная частица образует новый сорт частиц, обозначим его ин-
индексом t. Предположим, что функция Д пространственно однород-
однородна, поэтому пространственные градиенты и электрические поля в
задаче отсутствуют. Тогда уравнение, которое надо решить, имеет
вид:
dt
<58»
Сумма по Ь в коэффициентах At и Dt, заданных B) и C), не будет
содержать вклада от пробных частиц, в силу предположения, что
их плотность nt мала по сравнению с плотностями остальных ком-
компонент плазмы. Кроме того, функции распределения остальных
компонент будем считать заданными функциями. Поэтому уравне-
уравнение E8) оказывается линейным по Д.
Пусть скорость частицы при ?—0 задана и равна v0, а ее поло-
положение неизвестно:
ft = nt6(w — v0) при *=0. E9)
Можно ожидать, что для достаточно м-алых промежутков времени
скорость пробной частицы будет оставаться однозначно опреде-
определенной:
ft(v,t)=nt6[w-VL(t)]9 F0)
где u(t)—функция, которую нужно определить, причем u@)=v<j.
Подставляя это выражение в E8), умножая на v и интегрируя
по скоростям, находим дифференциальное уравнение для ожидае-
ожидаемой величины скорости пробной чгстицы
du/dt=At(u). F1)
Скорость пробной частицы не остается строго заданной для
t?=0, а приобретет неопределенность, так как рассеяние из-за ку-
лоиовских соударений приводит к случайным отклонениям ее от
начального значения. Более подходящее приближенное решение
можно получить следующим образом. Пусть
ft(v,t)=ntFt(v,t), F2)
где
w = v—u@ F3)
и u(t) изменяется во времени согласно уравнению F1). Тэ\к как
Ft должна по-прежнему иметь резкий максимум вблизи w=0 в те-
течение небольшого промежутка времени, как и в случае приближе-
165
ния с 6-функцией в уравнении F0), то можно заменить v в A*(v)
и D,(v) на vt(t). Тогда получим уравнение
Dt{u):9 F4)
Используя начальное условие jp<(w,0)=6(w), решение можно по-
получить исшльзуя Фурье-преобразование по переменной w [10, И].
Оно имеет гауссов «вид:
, 0 =
ехр
v..xK/2 [detM@]1/2 '
где detM — детерминант матрицы М:
F5)
хРДи(х)), F6)
а М — обратная ей м-атрица. Неопределенность скорости проб-
пробной частицы через время t теперь «можно получить из моментов
Ft. Пусть ег — единичный вектор, параллельный начальной скоро-
скорости v0, а е2, е3 — два других взаимно перпендикулярных единич-
единичных вектора. Тогда неопределенности в скорости в направлении,
перпендикулярном или параллельном начальной скорости, по оп-
определению соответственно равны:
<(AvxJ> = J Л» [(ve2)^ + (ve3)*] Ft (v - u, /); F7)
((Av „ J> э J (Pv [(v - u) tj* Ft (v - u, t). F8)
Их можяо найпи (для коротких промежутков времени) из у.рав-
иений:
± ((Д v±J) = e2D,e2 + e3D(e3; F9)
A((At,||)«>=e1D<eI. G0)
В -специальном случае изотропных функций распределения поле-
полевых частиц коэффициенты трения и диффузии имеют вид:
A,(v)=-v*s(rj)v, G1)
где скорость замедления
1(jjrHu,@)-5r. G3)
166
Здесь
^b'4®-, G4)
^ G5)
b
есть перпендикулярный и параллельный коэффициенты диффузии
соответственно, а
Tt=4KZt2e4nA/mt2\ G6)
gb(v) и hb(v)—потенциалы Розенблютг, (9) и A0). В этом слу-
случае скорость изменения флуктуации скорости пробной частицы
за короткий промежуток времени найдем из F9) и G0):
-^г((Ду1J)=2?I(«); G7)
J-({bv^)=D\{u). G8)
Скорость изменения ожидаемой величины кинетической эиергии
пробной частицы связана со скоростью замедления vs и коэффи-
коэффициентами диффузии D± и D,,:
Эта величины определяют скорость изменения энергии vB. Эта ско-
скорость необязательно положительна: быстрая частица стремится
потерять энергию, г. 'медленная увеличить ее.
Уравнение Фоккера — Планка для пробной частицы можию за-
записать в более простом виде, когда функции распределения толе-
толевых частиц изотропны !
И ф
р
Используя формулы G1) и G3), уравиеняе 'можно записать в
сферических координатах «в пространстве скоростей
Ж
(80)
= ц, + ± fр (F% + D\
причем
^ = v,y+?i^i + _L^i (81)
5 ~ v ^ 2 dv V ;
и действие оператора L описывается выражением
21/= -^-A - jx2) JL . ! il (82)
BL — угловая часть оператора Лапласа); у, Ф, g — сферические
координаты; (i=cos<K
1 Полевыми автор называет все частицы плазмы, кроме пробных.— Прим. пер.
167
1.5. Приложения задачи о пробной частице. Максвелловские функции рас-
распределения полевых частиц. Для того чтобы вычислить функции vs(v)tDjL (v)
и Z)||(u), в конкретном случае мы зададимся видом функций распределения
электронов и ионов плазмы по скоростям, считая их максвелловскими:
fb= J? ш ехрГ-р/Р»], (83)
где
vb = B7уть)^. (84)
Тогда можно вычислить потенциалы Розенблюта
hb (v) == пъФ (v/vb)/v (85)
и
ёь (v) = ЩРь® (Фь). (86)
где
Ф (х) = (х + 1/2*) Ф (л:) + лГ 1/2е~^2; (87)
—интеграл ошибок D5). Таким образом, из уравнения G2) имеем:
(88)
(
V2b \
ъ
а из G4) и G5)
D±t(у) = "V S Л6^2 [ф {v/Vb) ~ G ^v/vb)];
(90)
b
где G(v/Vb)—функция Чандрасекара [8, 10, 11];
G (л:) = [Ф (*) — хФ' (х)]/2х2. (91)
Скорость изменения энергии, заданная G9), определяется формулой
(92)
ф(-) - (l + —) — Ф' (—) I •
Когда имеется лишь один тип полевых частиц Ь, скорость замедления, задан-
заданная (88), совпадает с ^-1S, где ts— время замедления, введенное Спитцером
[8]. Можно определить скорость отклонения
К (93>
которая в этом случае равна t~lD} где tD — спитцеровское время отклонения.
Кинетическое уравнение для пробной частицы имеет вид:
dt 2 D H
Если полевые частицы всех сортов имеют одну и ту же температуру Т, то
единственным стационарным решением этого уравнения будет максвелловское
с температурой Т. Распределение пробной частицы должно поэтому уширять-
уширяться в пространстве скоростей, начав с б-функции, стать изотропным и, разуме-
168
ется, максвелловским, когда будет достигнуто тепловое равновесие с полевыми
частицами.
Сейчас мы приведем результаты конкретных вычислений в различных пре-
предельных случаях для простой плазмы, в которой ионы имеют заряд Z{« Пред-
Предположим, что заряд пробной частицы Zte. Скорость замедления и перпенди-
перпендикулярный и параллельный коэффициенты диффузии задаются приближенными
формулами, в которых
Г/ =4п2%(*\пЛ/т). (95)
а) При flCflj, ve
v< (v) « D/Зя1/2) neTt [A + mt/me)/v3e + Zt A + mt/mt)/x%\; (96)
D*± (v) ^ D\ (v) ^) D/Зтс1'2) neTt ^— + -^ . (97)
Для очень маленьких скоростей скорость замедления и коэффициенты диф-
диффузии не зависят от скорости, поэтому движение пробной частицы аналогично
броуновскому движению [10, 11].
Ь) При vi < v <tve
v5' (v) ^neVt [ D/Зя1/2) A + mt/me) ,'v\ + zj 1 + — ) / v* \; (98)
#1 (v) « neTt [D/Зя1^)/^ + Zi/ViY, (99)
D'B (t;) « пеГ^ [D/Зя1/а)/уе + Z^/u3]. A00)
В этом диапазоне скоростей столкновения электронов дают тот же резуль-
результат, что и в случае а, в то время как ионный вклад отличается сильно. Диф-
Диффузия при столкновениях с ионами происходит в направлении, перпендику-
перпендикулярном скорости пробной частицы, и как скорость замедления, так и коэффи-
коэффициенты диффузии уменьшаются с ростом скорости пробной частицы.
с) Для vt, ve < v
^ v< (v) w ne (Tt/v*) [A + mtlme) + Z, A + m,//^)]; A01)
D^(t;)«ne(ryi0(l+Zf); A02)
D\ (v) ^ ne (Tt№ (v\ + Ztv2t). A03)
Темп замедления ионной пробной частицы обусловливается в основном
столкновениями с электронами, а для электронной пробной частицы вклады
от соударений с ионами и электронами сравнимы друг с другом.
Макроскопические времена релаксации, вычисленные в п. 1.3, согласуются
с оценками (89) и (92) для частиц с тепловыми скоростями. Однако для ско-
скоростей много больше тепловой значения величин, полученных по формулам
A01) — A03), много меньше. Отсюда следует, что высокоэнергичные хвосты
термализуются намного медленнее, чем тепловая часть функции распределе-
распределения.
Замедление энергичных ионов. Инжекция нейтральных пучков является
методом, который используется в настоящее время в экспериментах по маг-
магнитному удержанию {25]. Энергичные ионы, которые возникают при ионизации
или перезарядке инжектируемых нейтральных частиц, замедляются в резуль-
результате кулоновских столкновений и передают свою кинетическую энергию плаз-
плазме [26]. При условии,.что плотность энергичных ионов не слишком велика, их
функция распределения удовлетворяет уравнению Фоккера—Планка для проб-
пробных частиц. В предположении, что плазма изотропна, оно приобретет вид
Уравнения (80), в которое необходимо добавить также член с источником час-
169
тиц со скоростью, равной скорости инжектируемых нейтральных частиц. Для
плазмы, в которой электроны и ионы имеют максвелловские распределения,
vs определяется согласно (88), a ?>± и D й _ уравнениями (89) и (90).
Для этих энергичных ионов наиболее типичный диапазон скоростей 1>г<С
<СУ<С^е, и тогда уравнения (98) — A00) можно использовать для нахождения
Vs, D.j_ и D и. Так как mt~mi^>mey то скорость замедления
параллельный коэффициент диффузии
здесь электронный член доминирует только при (v/ve) ^>(Zime/mi)ll3J перпен-
перпендикулярный коэффициент диффузии
D^(o)«(*«Wi>), A06)
здесь существенны только столкновения с ионами. Скорость потери энергии
можно приближенно записать в виде
Nfe. A08)
Энергия инжектируемых ионов идет главным образом на нагрев электро-
электронов, если v>vc, в противном случае в основном на нагрев ионов.
В (80) параллельной диффузией можно пренебречь по сравнению с пер-
перпендикулярной, так как D» <C^j_ , поэтому, если включить источник частиц
со скоростями инжекции и0, уравнение приобретает вид:
dft/dt^aeTtZil-^Lft +— -T-ff-^T+O^I) +s*(f-i>i)d(iJ.-K'o).(l09
I v3 mtv2 dv l\vc3 ) J)
где L определяется уравнением (82); v0 и \i0 — скорость и косинус угла ин-
инжекции соответственно. Источник предполагается симметричным относительно
оси полярной системы координат. Это уравнение можно решить аналитически
[27] и получить динамику изменения функции распределения инжектируемых
ионов. Из решений видно, что быстро идет диффузия по углу и уширение по
энергиям вследствие замедления ионов с определенной скоростью. Диффузия
по энергиям, не включенная в A09), приведет к слабому уширению распреде-
распределения по энергиям и ускорит малую часть ионов до энергий, больших, чем
энергия инжекции.
Убегание электронов. Хотя при выводе уравнения Фоккера—Планка и
предполагалось, что электрического поля нет, оно обычно используется и в при-
приложениях, где электрическое поле есть. В дополнение к переносу (ток и по-
поток тепла), вызванному электрическим полем, который рассмотрен в п. 2.3,
интересно рассмотреть поведение функции распределения электронов при боль-
больших энергиях. Так как предполагается, что доля электронов в энергичном
хвосте мала, то применимо уравнение Фоккера—Планка для пробных частиц.
Считая, что V^>ve~>vu и учитывая mt = me, из уравнений A01), A03) полу-
получаем-
D± « пеТе A + Zt)/v; D „ «
170
Запишем теперь уравнение (80), включив в него член с электрическим полем
df A—jx2) df
<L _ _?_ Е ( Ж. +
dt me V dv v др.
= «Л
е
где полярная ось системы координат выбрана вдоль электрического поля. Пе-
Переписывая это уравнение в терминах безразмерной скорости vfve и безразмер-
безразмерного времени t/xc, где т-1с = /геГе/у3е, находим, что решения зависят от безраз-
безразмерного параметра E/ED, где поле
ED = meve/exc A11)
называется драйсеровским [28].
Заметим, что столкновительные члены при больших скоростях становятся
относительно небольшими. В частности, скорость рассеяния по углу D±/v2 па-
падает как v-3, а член с электрическим полем как tr-1. Поэтому член с электри-
электрическим полем становится основным при v^>vR, где скорость убегания
A12)
Убегание одиночного пробного электрона описывается уравнением F1),
дополненным членом с ускоряющим электрическим полем. Скорость изменения
кинетической энергии пробного электрона определяется выражением
d / I \ / 1 \
( — meti* )= — г Eu — v^f теи2 ). A13)
dt \ 2 / \ 2 /
Так же как и скорость, потери энергии в уравнении (92) можно приближен-
приближенно записать в виде
откуда ясно, что кинетическая энергия при u>vR возрастает до бесконечности
и что при W^>vR происходит свободное ускорение электрона. Этому вопросу
было посвящено много теоретических работ (см. [29] и цитируемую там лите-
литературу). Цель этих работ — вычислить скорость убегания yR как функцию от-
отношения Е/Еп, которое определяется следующим образом. Интегрируя уравне-
уравнение (ПО) по скоростям до максимальной скорости ит, находим:
1 vm 1 1 vm
dF \d^\ v4vf (iJ" y) = Ш7 Ev2fn \ ^f(lJ" Vrn^ = "" ^R \ dV* \ v2 dvf (У" у)'
—1 0 —1 —1 0
где скорость vm выбирается достаточно большой, чтобы вклад от столкновений
был мал. При уш>Ун видно, что yR не зависит от vm. Для Е[ЕD^Q,2 и Zt = l
Кулсруд и сотр. [30] нашли, что
где
е = E/2ED.
То, что yR не обращается в нуль, означает что некоторые поверхностные чле-
члены в интеграле по скоростям при интегрировании по частям не обращаются
в нуль, если ЕФ§. Поэтому необходимо пользоваться моментами уравнения
Фоккера—Планка осторожно, когда есть электрическое поле, хотя члены, ко-
которыми обычно пренебрегают в действительности, экспоненциально малы при
малых E/ED.
171
1.6. Приближенные выражения столкновительных членов в
уравнении Фоккера—Планка. Приближение малого отношения
масс. Приближенные выражения для столкновительных членов
Саь и СЬа в уравнении Фоккера — Планка, более простые и удоб-
удобные для приложений, получим, если та/ть<^1. Сначала рассмот-
рассмотрим выражения для СаЬ, записанные в формеу.равиеиия- A4).Член,
содержащий hb, пренебрежимо мал ввиду малости отношения
™>а1т>ъ, так что необходимо вычислить только потенциал gb, опре-
определенный уравнением (9). Используя
| v — v' | = | v — пь — (v' — ub) | « | v — ub |,
т. е. приближение, которое верно для скоростей v (частиц сор-
сорта а) и v' (чгстиц сорта Ь) таких, что
| V — \ХЪ\ ~ Va"> | У' — Ub | ~ Vbf
¦где иь — средняя скорость частиц сорта 6, находим:
A15)
Здесь w=v—nb и поэтому
Это выражение описывает изотропное рассеяние частиц сорта а
в системе координат, движущейся относительно лабораторной си-
системы со средней скоростью иь частиц сорта Ь. Следующая по-
поправка к A16) будет порядка та1тъ, о-бычно ее явный вид не "ну-
"нужен, а второй момент, вычисленный с максвеллобюкими функция-
функциями ftt и /&, 'можно получить из уравнения E2).
Уравнение (Мб) можно линеаризовать, считая, что fa и fb близ-
близки к максвеллавсшм распределениям, т. е.
fa = faO+faU 017)
где
f =-^— е~иЧ A18)
|/al/fao|<l (Н9)
(и аналогично для f6), т. е. иь предполагается величиной первого
порядка малости:
\ub/va\<:l^ „ A20)
Пренебрегая членами, квадратичными по fai, !ы и иь, получаем:
172
где
Пьпь= $ d*vvfbi A22)
представляет собой лилейный оператор, действующий на fa\ и fb\.
Оценка скорости передачи импульса, полученная три исполь-
использовании этого линеаризованного оператора, следующая:
а f d%^-fei(v). A23)
аЬаа
tab
Здесь Хаь определяется уравнением D7), если пренебречь членами
порядка, mjmb.
В пределе малого отношения та/ть СЪа получается аналогично.
Взяв в качестве исходного (выражение
Г (f f \— 7 2Г д { mb dha ? 1 d2ga dfb
необходимо вычиюлиггь приближенные выражения для dhjdv и
d2ga/dvdv. Первое 'получается из определения ha A0) с использо-
использованием u = v—V как переменной интегрирования и разложения fa
в ряд Тейлора в предположении, что
Таким образом,
Мд _ \А!± ^k_Lу Г— d2fa A25)
д\ ^ ) а ди "*" J a dudu ' ;
Аналогично находим:
ffi^^V A26)
dvdv
Линеаризованное выражение для A29) получим, если исполь-
используем уравнения (Ы 7) — A19) и пренебрежем -квадратичными
членами, ка.к и ранее. В результате имеем:
Cba^CbaifbO, fao)+Oba, A27)
где
Сьа (fa.. /«.) = ^- A - -Т-) -О" (vfj. A28)
a tab определяется формулой D7) и
тапь \ 1аь J dv
Щ^аЬ dv \ lbl~ mb \d\ 4na
dvdv ov
Здесь Fa& определено ураЕ(нением A23), a d2ga\/dvdv— A26), если
заменить fa на /ai-
173
Линеаризованные операторы соударений в уравнении Фокке-
Фоккера— Планка. В приложениях теории переноса столкновительные
члены в уравнении Фоккера— Планка B1) обычно линеаризуют,
считая функции распределения близкими к максвеллавоюим, как
в уравнениях A17) — A19). Подставляя формулу A17) и анало-
аналогичное выражение для fb в уравнение B1) и пренебрегая'квадра-
пренебрегая'квадратичными по fa\ и 1ы членами, находим:
Cab[faO+faU fbO+fbl] ^ Cab[/a0, fbo]+Clab, A30)
дде первый член в правой части ргвен нулю, если oi6e максвеллов-
ские функции имеют одинаковую температуру.
Второй член в правой части уравнения A30) представляет
собой линеаризованный оператор столкновений
с'„,-с„([/,,,. Ы+С.Л,,.. Ы;
Здесь fai=fal/fa0 и !ы=}ы/!ъо. Первый член в правой части урав-
уравнения A32) является дифференциальным оператором, действую-
действующим на fa\, в то время кг.к второй интегральный оператор действу-
действует на /ы. Дифференциальный оператор опи'сыв.ает действие столк-
столкновений с М'аксвелловокой частью функции распределения частиц
сорта Ь и является таким же, как оператор столкновений в урав-
уравнении Фоккера — Планка для пробных чг.стиц (94). Интеграль-
Интегральный оператор в уравнении A32) описывает действие возмущений
функции распределения полевых частиц сорта Ь. В (Приложениях
теории переноса уравнение A32) используется толыко, .когда Гь=
= Та. Лишь в случае ma/mb<cl можно взять ТьфТа, тогда удобно
пользоваться 'приближением малого отношения масс, рг.ссмотрен-
ньим в п. 1.6. Линеаризованный оператор столкновений обладает
свойствами, многие из которых присущи нелинейным столкнови-
тельным членам и часто используются в теории переноса
(см. п. 1.2).
Так как уравнение A32) по-шрежнему имеет тот же вид, что
и уравнение A8), то легко получить сохранение числа частиц:
J d*vClab = 0. A33)
Заметим, что подынтегральное выражение в A32) изменяет лишь
знак при замене a^b, v+* v'.
Сохранение импульса и энергии получим как и раньше:
f dzvmavClab + j d3vmbvCia = 0; A34)
^d'v^Cb+U'v^Cla^O. A35)
174
Если Та=ТЬу то тем же способом, -как доказывается Я-теоре-
ода, можио показать, что линеаризованный оператор столкновений
равен нулю
2Clab = 0 A36)
b
в том и только в том случае, когда fa\ имеет вид:
. A37)
(и аналогично для fb\), т. е. возмущение функции распределения
состоит только из воз-мущений плотности, импульса и энерш<и в
первом порядке разложения в ряд Тейлора по этим возмущениям.
Интересно, что линеаризованные операторы столкновений Фок-
.кера — Планка обладают еще одним свойством — самосопряжен-
самосопряженностью. Для оператора столкновений частиц одного сорта друг с
другом оно записывается в виде:
= I d*vfalClaagaV A38)
а для оператора столкновений частиц разных сортов между со-
собой это свойство описывается равенством
2
a,b
tabQai. ?ы) = 2! ld*vfalClabCgav Ы- A39)
a,b
Эти соотношения легко получить, взяв в качестве исходного урав-
уравнение A32) с Та=Ть, проинтегрировав его по частям и сим метр и-
зовав по переменным интегрирования «и индексам, отмечающим
сорта частиц, как это сделано в п. 1.2.
Аналогично можно показать, что каждый из операторов (в от-
отдельности дифференциальный и интегральный) является самосо-
самосопряженным в следующем смысле:
V fbo)'
$d3vgalCab(fb0, fbl) = jd*vfblCbaVm, gal). }
Эти соотношения используются в приложениях теории переноса,
которые рассмотрены в п. 2.4.
2. КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
Рассмотрим теперь перенос в пространстве, обусловленный диф-
диффузией по скоростям, когда в плазме есть пространственные не-
неоднородности, электрические и магнитные поля. Уравнение Фотс-
кера — Пла'нка с учетом соответствующих члено-в имеет вид:
S A42)
ъ
где Е -и В — электрическое <и магнитное 'поля соответственно;
СаЬ — столкновителыный член. Предположим, что столкноиитель-
ный член описывается уравнением A4), даже если есть градиен-
175
ты плазменных параметров и поля. Среди явлений, описываемых
A42), есть классические процессы переноса, локализованные
в пространстве, т. е. потоки частиц и энергии, вызванные силами,
приложенными примерно в тех же областях пространства. Для
того чтобы реализовалась такая ситуация, плазма должна быть
столкновительной со средней длиной свободного пробега много
меньше характерного масштаба неоднородности вдоль магнитного
поля. Кроме того, средняя длина свободного пробега и гирорадиус
тепловых частиц также должны быть много меньше характер-
характерного масштаба неоднородности в направлении, перпендикулярном
направлению магнитного поля. Тогда на частицу в заданной точке
будут действовать только те силы, которые приложены на рас-
расстоянии не более длины свободного пробега или гирорадиуса от
нее. При этом считаем, что средний гирорадиус меньше средней
длины свободного пробега и что он задает расстояние, на кото-
котором локализована частица в направлении, перпендикулярном маг-
магнитному полю.
Когда процессы переноса локальны, (можно считать, что плаз-
плазма состоит из множества почти замкнутых подсистем со слабо от-
отличающим нет плотностями, средними скоростями и температура-
температурами. Столкновения заряженных частиц стремятся установить в каж-
каждой подсистеме локальное термодинамическое равновесие с макси-
максимумом энтропии подсистемы при условии, что число част-иц, им-
импульс и энергия сохраняются. Из-за малых отличий подсистем
друг от друга распределения по скоростям для этих подсистем не-
несколько отличаются от макавелловских. Например, распределе-
распределение по скоростям в направлении градиента температуры несколь-
несколько сдвинуто в ту сторону, куда движутся частицы, приходящие
из более горячих областей. В результате этого есть слабые пото-
потоки частиц, импульса и энергии между подсистемами, .которые в
¦первом приближении линейны по термодинамическим оилг.м (гра-
(градиентам плотности и температуры). В результате потоки энтро-
энтропии между подсистемами стремятся 'привести плазму как целое
в состояние глобального теплового равновесия. Из-за граничных
условий и других внешних ограничений, таких как приложенные
электродвижущие силы, плазма в общем случае не может перей-
перейти в это равновесное состояние, а остается в 'неравновесном ста-
стационарном состоянии. Заряженные частицы и энергия теряются
с той же скоростью, с какой они в ней производятся в этом ста-
стационарном состоянии. Целью теории переноса является вычисле-
вычисление скорости потерь в предположении, что они обусловливаются
кулоновоюими столкновениями.
2.1. Процедура разложения в общем случае. Предполагаемая малость сред-
средней длины свободного пробега и среднего гирорадиуса используется при по-
построении математической процедуры разложения, аналогичной методу Чепме-
на—Энскога в кинетической теории газов E}. Функции распределения раскла-
раскладываются в ряд по степеням малого параметра е, где
176
Здесь X — средняя длина свободного пробега; р — средний гирорадиус; /ц и
/j_—характерные размеры неоднородностей вдоль и поперек магнитного поля;
Е — электрическое поле, ED — драйсеровское поле, заданное A11). Таким об-
образом,
• • , (ИЗ)
где числовой индекс указывает порядок разложения по е. В уравнении Фок-
кера—Планка A42) члены с градиентами и электрическим полем считаются
величинами первого порядка по е, производная по времени второго порядка
по сравнению с членами с магнитным полем и столкновительным. Последние
считаем величинами одного порядка. Уравнение нулевого порядка
1т~ T~B-jr*-=*} Cab{fao> f&o). A44)
IlLn Ь I/ V / Л
Единственными решениями этого уравнения являются максвелловские функции.
Покажем это следующим образом. Умножим A44) на In f а0, проинтегрируем
по скоростям и просуммируем по а, найдем
2 §d*v\nfaoCab = 0. A45)
a, b '
Отсюда согласно C8) следует, что /а0 имеет вид:
fa. = -зТГГ еХР (- v^v^ <146>
где
v2a = 2Ta/ma A47)
и Та=Т для всех а. Общая средняя скорость всех сортов частиц выбрана рав-
равной нулю. Хотя все температуры должны быть равны в этом случае, будем
по-прежнему отмечать их индексом в целях дальнейшего удобства.
Члены первого порядка в уравнении A42) дают:
au fb,)+ Cab (fe.. f6i)]^
-
где Qa = eaBlmac — гирочастота; п=Ъ/В — единичный вектор, касательный к
магнитному полю; ра=ПаТа — парциальное давление частиц сорта а. Уравне-
Уравнения A48) представляют собой систему линейных ик*гегродифференциальных
уравнений для функций /fll и основная проблема состоит в их решении.
После того как решение A48) получено, вычислим поток частиц первого
порядка
Поток тепла определяется как поток энергии за вычетом той его части, кото-
которая переносится при движении частиц
Г 1
qa = J d3v-2~ ma (v - иау (v - ue) fa. A50)
177
Используя A43) и оставляя в нем первые ненулевые члены (первого порядка
по е), получаем поток тепла первого порядка
С f 1 5
4ai = d*v{ -у mav2 —~2~ ^al vfai. A51)
Можно найти выражения для компоненты потока частиц перпендикулярно
магнитному полю, умножая A48) на mav и интегрируя по скоростям
^ ч . Л Паеа ^
1^до \Г#1' /00/ т^ ^ло \fflo» \Ь\)\ ~~\ fr uai /\ — Vr(x llctt^ul-j'
j VPa— V Fab J • A54)
С учетом определения силы трения первого порядка
Fab = \ clsvmav [Cab (fai, f&0) + Cab (ffl0, fbi)] A53)
EXB с
получаем: ^aua±=nac "~gT" H~^~§2~ «>
v
Заметим, что сила трения не является известной величиной, так как ее мож-
можно вычислить лишь после того, как найдены функции fa\ и /ы из A48).
Аналогичное выражение получим для перпендикулярного потока тепла,
(v2 5 \
—- — — \ и проинтегрируем по скоростям и
v\ 2 J
решим полученное уравнение относительно qaj_
где вектор теплового трения (термосила) определяется уравнением
С ( v2 5 \
Ga6S3 I d*V у^Г- — J ПаУ [Cab (fai« Ы + Сab (fao, fbl)]. A56)
Уравнение A55), как и A54), используется в п. 2.2 для получения выражений
для потоков через известные величины. В их настоящем виде эти уравнения
можно использовать, чтобы указать физическую природу потоков.
В A54) первый член связан с электрическим дрейфом ведущих центров
частиц. Второй член обусловливается диамагнетизмом плазмы, микроскопичес-
микроскопическая природа которого связана с вращением частиц вокруг их ведущих цент-
центров. Третий член — это поток, связанный со столкновительным переносом пер-
перпендикулярно магнитному полю. Перенос происходит в направлении, перпен-
перпендикулярном полной силе трения. Заметим, что так как Fao = 0, то столкнове-
столкновения частиц одного сорта друг с другом не дают вклада в перенос, поэтому
член с Ь = а в A54) опущен. Если бы поток частиц был вычислен до третьего
порядка по параметру е, то был бы и вклад от столкновений частиц одного
и того же сорта за счет членов типа вязких напряжений [31, 32]. Вычисление
этих членов выходит за рамки настоящей статьи.
Для того чтобы получить перпендикулярную плотность тока, уравнение
A14) нужно умножить на еа и просуммировать по всем сортам частиц
а*аиа± = W В Х V^'
W
где р=2ра — полное давление.
а
178
Согласно закону сохранения импульса члены с трением сократились B5).
Поэтому столкновительный перенос является амбиполярным и не приводит к
возникновению полного тока. Члены с электрическим полем также сократи-
сократились, так как мы предположили, что плазма электрически нейтральна
=0. A58)
а
Заметим также, что компонента уравнения A52) вдоль поля имеет вид:
Ь
Просуммируем теперь по всем сортам частиц и используем закон сохранения
импульса, уравнение B5), электронейтральность и A58). В результате найдем:
пур = 0. A60)
Уравнения A57) и A60) эквивалентны уравнению баланса сил при МГД-рав-
новесии
В A55) первый член представляет собой поток тепла, связанный с вращением
частиц вокруг своих ведущих центров, а второй — перенос тепла при столкно-
столкновениях. Заметим, что в поток тепла вносят вклады и столкновения частиц
одного и того же сорта друг с другом, и столкновения между частицами раз-
разных сортов. Возвращаясь к разложению A42) по степеням 8, получаем во вто-
втором порядке уравнение
/-if
[Cab (fa2> fbo) + Cab (fai> fbi) + Cab (fae, fb2)] — Qa™ -^ =
A62)
Интегрируя его по скоростям и используя свойство сохранения числа частиц
при столкновениях, находим:
dnjdt + у (nauai) = 0, A63)
где naUa\ — поток частиц первого порядка, определенный A-4(9). Умножая
A62) на mav2/2 и затем интегрируя по скоростям, получаем уравнение энер-
энергетического баланса
gp (-j- паТа) + у (qfli + ~2~ппТаиаЛ = паеаиа1Е + \^ (Qab + uaFabh A64)
ь
где qo! —поток тепла первого порядка A51), a Qab — скорость передачи энер-
энергии B8). Отметим, что Qab не равно нулю за счет вкладов от }а2 и fb2 в
A62). Для того чтобы убрать эти неизвестные вклады, просуммируем урав-
уравнение A64) по всем сортам частиц. Используем также равенство температур
A46) для всех сортов частиц в их максвелловскйх распределениях нулевого
порядка. Тогда
{ ) №> A65)
где п=Хпа — полная плотность частиц; Т — общая температура всех сортов
а
частиц; Q — поток энергии, причем
Q=
179
j — плотность тока:
Сохранение энергии при столкновениях C3) использовалось для того, чтобы
исключить столкновительные члены.
Целью теории переноса является получение выражений для потоков час-
частиц и тепла через градиенты плотностей па и температуры Г, для того чтобы
после этого можно было использовать A63) и A65) и найти зависимости
плотностей и температуры от времени координат.
2.2. Приближение сильного магнитного поля. Мы рассмотрели перенос в
равновесных МГД-системах. В наиболее важных случаях плазма в таких си-
системах сильно замагничена, т. е.
Это соответствует пределу сильного магнитного поля, в котором период вра-
вращения частицы 2я/^а<Стаа, а следовательно, средний гирорадиус ра = ^а/^а<
Чтобы исследовать этот предельный случай, используем цилиндрические
координаты в пространстве скоростей Ид , Vj_, ?
v = v ц n + v± (el cos ? + e2 sin ?) = v „ n + v±y A69)
где п=В/В — единичный вектор, касательный магнитному полю; еь fy— два
других перпендикулярных п и взаимноперпендикулярных единичных вектора.
Запишем поправку первого порядка к функции распределения в виде суммы
двух членов
/<н=7<и + 7ai.
где fai — функция, усредненная по углу вращения,
Усреднение по ? A48) дает:
S_ \fV\\Pa ва п \\(v* 5
[Cab (fan fbo)+Cab(fao> fbi)]=V\\ [\~^~7\ " /~^\v\~~
b
A72)
где V jj и Е у — параллельные компоненты градиента и электрического поля
соответственно. Это уравнение, определяющее перенос параллельно магнитному
полю, рассмотрено в п. 2.3.
Вычитая A72) из A48), получаем:
b
[Cab (Таг. fb.) + Cab (fao> 7bi)\ + ^a ^f ^ Yl [ (^—^ E)
где v± определяется уравнением A69).
Теперь используем предположение A68) и разложим fal по степеням'
180
В нулевом порядке столкновительные члены в A73) отсутствуют, поэтому
уравнение A73) можно проинтегрировать
/al - ^в |l Pa ~Ta ^Г\°Ха~ 2 j Ta
Подставляя A75) в A49), находим первые два члена A54), а подставляя в
A51), — первый член A55). Для того чтобы получить столкновительные чле-
члены в A54) и A55), нужно вычислить силу трения ?аь и вектор термосилы
Gab Это можно сделать, аппроксимируя первую поправку к функции распре-
распределения выражением A75). Заметим, что этой поправки нулевого порядка по
частоте столкновений достаточно, чтобы получить столкновительные потоки
первого порядка, если использовать A54) и A55), в которых столкновительные
члены входят в выражения для Fab и Gab. Поэтому не! нужно вычислять /^ •
Подставим уравнение A75) (и аналогичное выражение для /ы) в A53)
и вычислим интегралы. Используя A32) для С1аЬ при Та = Ть = Т, находим:
тапа с \ЧРь VPa . 3 (l—zama/zhmb) I
^ пХ[7^-^Г+Г *Т\ A76)
2Га (l+ma/mb)
Подставив это выражение в A54), получим:
с namac2r\ \za
ЬФа
3 (\—zama/zhmb)
—
+ (l+ma/mb)
Аналогично можно вычислить Оаь A56), тогда из уравнения A55) имеем:
A) сТ
A77)
¦¦а\\ 2 \Па Zb~
A78)
Отдельные члены под знаком суммы в A77) и A78) можно интерпретировать
как случайные блуждания с шагом, равным среднему гирорадиусу pa = va/&a,
за время передачи импульса при столкновениях хаь. За это время средняя
частица за счет диффузии по скоростям изменила бы свой угол примерно на
90°, если бы не было магнитного поля. В сильном магнитном поле диффузия
по скоростям приводит к диффузии ведущего центра в пространстве: rg =
= r+vXn/Qa, где г и v — положение и скорость частицы соответственно. Таким
образом, коэффициент диффузии, который является сомножителем при
/
фф
/ zana \
Равен:
л 1 ^
2 tab
Именно в такой комбинации в A77) стоят градиенты давлений, так как поток
за счет столкновений пропорционален силе трения, которая в свою очередь
пропорциональна разности направленных скоростей нулевого порядка двух рас-
рассматриваемых сортов частиц:
u()_u()__?_Bx (J?_ __
VL иа±-В> Вх [еапа- ebnbj
181
В отсутствие градиента температуры диффузия за счет столкновений между
частицами двух сортов а и Ь прекратилась бы, если бы их плотности оказа-
оказались связаны соотношением nba/nab =const, так как направленные скорости
нулевого порядка были бы при этом равны друг другу. Для простой плазмы
с za =—1 для электронов, если только электронная плотность не постоянна,
этого быть не может, так как плазма считается нейтральной. Если а и Ь от-
относятся к двум сортам ионов, это может произойти, если частицы с большим
зарядом (примесь) сконцентрированы к центру сильнее, чем остальные сорта
ионов.
Если указанное соотношение между градиентами не выполняется, то
происходит диффузия, которая стремится установить его. В общем случае это
означает, что в гипотетической ситуации, когда есть лишь один сорт примеси,
частицы примеси будут диффундировать внутрь плазмы.
Наличие градиента температуры в A77)—эффект Нернста — связано с тем,
что градиенты температуры приводят к возникновению сил трения вследствие
того, что частота столкновений зависит от энергии частиц. Поэтому вклады
в процесс передачи импульса от соседних областей с различной температурой
отличаются, приводя к суммарному обмену импульсом и как следствие сум-
суммарному потоку числа частиц. Например, если градиенты плотности равны
нулю, то более легкий из двух сортов частиц будет диффундировать в об-
область более высокой температуры в результате столкновений, если считать, что
—— < — < 1 .Направление тепловой диффузии изменится на обратное, если
эти неравенства не выполняются.
Аналогичное явление — эффект Эттингхаузена связано с наличием градиен-
градиента давления в A78) для теплового потока. Более быстрые электроны диффун-
диффундируют медленнее при наличии градиента давления, чем более медленные.
Из-за этого поток тепла противоположен потоку числа частиц, когда гради-
градиент температуры равен нулю.
Полученные выше результаты для потоков частиц и тепла сформулируем
следующим образом. Поток частиц
И @) _| п «| 0) _|_ м it n I \ 80\
где
Паи(а[ = Па^Г Е X В + J^T В X VPa• (*8*)
Скорость и^а^задана A77), а иа ц нужно найти. Первые два члена в A80)
имеют первый порядок малости по параметру E=p/l±, связанному с гироради*
усом, причем первый из них нулевого порядка по параметру (QaTaa)", отно-
отношению частоты столкновений к гирочастоте, в то время как второй — первого
порядка по (fiataa). Поток тепла
Ч_ @) | A) | _ „ /1 go\
а =:= Q I "I Я I ~г~ ЧлII"» \ /
где
, 083)
а qA)aj_ определено выражением A78), а qa§ пока не определено. Параллель-
определено. Параллельные компоненты потоков частиц и тепла
паиа{] = n(navai); A84)
Яа\ =n(bi A85)
182
можно вычислить, если известно решение A72) для fau
ПаПа\\ = Jd3w||/ai; A86)
Яа\\ = \ d?v (-Y mav* - ^ Та) vnfai. A87)
Прежде чем продолжить рассмотрение плазмы с различными плотностями и
массами нескольких сортов частиц, мы остановимся на плазме, в которой один
сорт ионов, а затем рассмотрим плазму с несколькими сортами ионов.
2.3. Перенос в простой плазме. Приближение малого отноше-
отношения масс. Рассмотрим простую плазму, где лишь два сорта ча-
частиц— электроны и ионы одного типа. Это позволит сократить
число параметров, таких как отношение зарядов, и упростить опе-
операторы столкновений между различными сортами частиц с уче-
учетом малости отношения масс те/т{ (см. п. 1.6). Так как общая
процедура разложения, описанная в п. 2.1, несколько отличается,
то для этото .специального случая воспроизведем ее здесь.
В правой части A44) для электронов содержится член Ceiy
описывающий столкновения электронов с ионами. Если пренебречь
поП|р?1в-кам)и порядка me/mh то его можно записать аналогично
A16). В правой части A44) для ионов столкновениями электро-
электронов с ионг.ми, т. е. членом Cie, можно пренебречь. Вывод, сделан-
сделанный в п. 2.1 о том, что функции распределения нулевого порядка
максвелловские с одной и той же направленной скоростью, остает-
остается в силе, но здесь мы можем позволить себе взять температуру
электронов и ионов различной ТефТи Анализ уравнений первого
порядка D48) проводится так же, как и в п. 2.1 и 'п. 2.2, за исклю-
исключением того, что для Clei используется приближенное выражение
('121), а членом С\е пренебрегаем всюду, кроме A72), описываю-
описывающего перенос вдоль поля, который будем о'бсуж'дать в п. 2.3.
В уравнениях второго порядка A62) для электронов удержим по-
поправки порядка О(те/гп{) к Cei и Cie оставим в уравнении для
ионов. В обоих этих членах используются только максвелловские
функции нулевого порядка и только уравнения для энергии, ко-
которые описываются формулой E2) и дают для ионов
^ h_{Te_Ti) (j88)
Qe {ei)
и уравнением C1) дл-я электронов
Q*< =—Q*+(Ui —ib)FP. A89)
Следует рассмотреть A64) для электронов и для ионов, так как
теперь нам нужно определить две температуры.
В приближении сильного магнитного поля вычисления такие
же, как в п. 2.2; перпендикулярный поток электронов описывается
выражением
-±- L A90)
-e^e zei
183
р=ре-\-р{ — полное давление, а перпендикулярный поток ионов
определяется формулой
^Eyni. A91)
Мы использовали условие «нейтральности пе=г{Пг в обоих этих вы-
выражениях. Электронный поток теплоты в перпендикулярном полю
направлении1
A92)
а перпендикулярный ионный поток тепла
Яц. = -Гл'1ЖпХуГ' ^~- A93)
Элек'лро.н-.ио'нное и ион-ионное времена между столкновениями
%ег и Хи определяются выражениями E6) и E9). Поток тепла, пе-
переносимый 'ионами в результате столкновений, превышает соот-
соответствующий электронный 'поток примерно в (тг/теI/2 ,раз, хотя
диамагнитные члены, пропорциональные nV7\, и nV7\-, одного по-
порядка (если считать, что Те/Т{ ,и гг порядка здийицы).
Заметим, что наличие членов с электронной температурой в
A90) и A92) связано с 'использованием «приближенного выраже-
выражения A21) для электрон-ионного стол-иновительного 'члена, которое
не содержит в явном виде ионной температуры. При выводе урав-
уравнения A93) удерживается лишь член, отвечающий «ион-йодным
столкновениям, «поэтому в нем присутствует только ионная темпе-
температура. В уравнении A91) при вычисливший столкновительного
диффузионного члена исполъзов-ано сохранение импульса в форме
Flie=—Fei и выражение A90) для потока электронов.
Параллельный перенос. Рассмотрим сначала уравнение A72)
для электронов
Здесь и в дальнейшем черта CBqpxy — усреднение по углу вра-
вращения частицы, будет опущена для простоты обозначений. Так как
функция распределения ионов входит в уравнение только посред-
посредством параллельной -направленной скорости щь то ее можно
исключить, перейдя в систему координат, где иЧ1 = 0, Это эквива-
эквивалентно преобразованию
о,»
184
Определив ие зависящие от скорости силы
Л, = У || Ре/Ре+еЕ || /Те, A96)
Л2 = У|| Те/Те, A97)
уравнение для ge\ запишем в виде
(^f)]o- A98)
где Vei{v)=ncZiTe/vz; A99)
L = -L_i-(l_^)^-) B00)
так как функция, определяющая процессы переноса вдоль поля,
симметрична относительно вращения 'вокруг поля. Заметим, что
решение для ge\ должно представлять собой линейную комбина-
комбинацию А\ и А2> поскольку такой вид имеет правая часть A98).
Параллельная плотность тока
B01)
и параллельный электронный поток тепла
-тЬ^ B02)
можно вычислить, используя выражение для ge\, и они тажже бу-
будут линейными ком!бинациями А\ и Л2
/1, е/е = (пеТетег/те) (Mi + ^12^2); B03)
= (neTexei/me) (КЛ + КЛУ B04)
Эти результаты можно выразить в несколько иной форме. Для
этого возьмем соответствующие моменты уравнения A94). -Най'дем
выражения для силы трения и вектора теплопередачи
Fe ц = V и ре+пееЕ ц =peAi; B05)
|f B06)
Определяем из уравнений B03) и B04) А\ и Л2, получим соответ-
соответствующую обратную связь между коэффициентами переноса
{]e qel]lTe\; B07)
=~ ("Г —)b*}Je + W,JU. B08)
где [хц=^22/А; p,i2=WA; B09)
[A21=X,2l/A; |Х22 = Яц/Д B10)
185
zi
1
2
4
16
оо
Таблица
1,975
2,320
2,665
3,132
3,395
коэффициентов переноса Спитцера—Харма
1,389
2,107
2,910
4,216
5,093
Х22
4,174
6,830
10,15
16,31
21,22
0,661
0,599
0,546
0,490
0,460
111 2
0,220
0,185
0,157
0,127
0,110
М-2 2
0,313
0,203
0,143
0,094
0,079
Уравнение A94) решалось численно в [33]. В таблице приведе-
приведены значения коэффициентов hj и \ы при г<=1, 2, 4 и 16. Их мож-
можно получить также и вариационным методом (см. п. 2.4). Коэффи-
Коэффициенты Хц и jjty в лорен-цовской плазме, где гг->оо, можно легко
найти аналитически, решая A94), если пренебречь членом Cleeg9\.
Равенство (коэффициентов Хп и %2\ и соответственно jlxi2 и jui2i
представляет собой пример общего соотношения термодинамики
необратимых процессов, одного из соотношений симметрии Онза-
reipa [34]. Такие связи существуют, когда затухание малых флук-
флуктуации описывается макроскопическими уравнениями, учитываю-
учитывающими соответствующие процессы переноса, и когда тензорная кор-
корреляционная функция для этих флуктуации обладает свойством
симметрии в результате обратимости во времени микроскопиче-
микроскопических уравнений движения. Тогда за счет микроскопической обра-
обратимости операторы столкновений оказываются самосопряженны-
самосопряженными. Это свойство будет использовано при доказательстве соотно-
соотношений Онзагера в п. 2.3.
Существование ненулевых недиагональных членов Х\2 и %2\
в соотношениях переноса называется термоэлектрическим эффек-
эффектом и обусловливается зависимостью частоты столкновений от ско-
скорости. Для того чтобы понять «природу этого эффекта, перепишем
соотношения переноса в форме обобщенного закона Ома:
пее
d
¦ — — v,,
и обобщенного закона Фурье
. !е -[!„-
me
B11)
B12)
где электропроводность описывается выражением
o\\=Xnnee2%ei/me, B13)
а термоэлектрический коэффициент
а=Я,2Аи. B14)
Последний член в B11) описывает явление, аналогичное эффекту
Оибека в металлах, который лежит в основе термо-э.д.с. в термо-
термопарах. Даже в отсутствие тока, когда градиент температуры не
186
равен нулю, существует суммарная аила трения, та.к как электро-
электронны, движущиеся в одном направлении, имеют большие энергии и
соответственно меньшие частоты соударений, чем движущиеся в
противоположном направлении. Первый член в уравнении B12)
описывает явление, аналогичное эффекту Пелтье в металлах.
Даже в отсутствие градиента температуры ври (наличии электри-
электрического тока будут существовать потоки тепла из-за асимметрии
функции распределения по скоростям, которая возникает в резуль-
результате зависимости частоты столкновений от скорости.
Теплопроводность
К1]е= (Х22 — A/VM (PeXei/me) B15)
положительна. Это следует из свойства отрицательной определен-
определенности операторов столкновений -и соответствует положительной
определенности производства энтропии, что будет показано в п. 2.3.
Пг.раллельная электронная теплопроводность превышает соответ-
соответствующую, перпендикулярную A78), примерно в (QeXeiJ раз.
Вернемся теперь к A72) для ионов. Линеаризованный элек-
электрон-ионный столкно'вительный член следует удержать, но в упро-
упрощенном виде, учитывая только первый член, пропорциональный
Fei. Связано это с тем, что добавки к функциям распределения и
направленным скоростям для процессов переноса вдоль поля
удовлетворяют соотношению
fal/faO~Ua\\/Va~K/l\\ , B16)
где K=vaxaa одного порядка как для электронов, так и для ионов.
Ион-электронным членам можно пренебречь для «процессов пере-
переноса перпендикулярно полю, так как
fel/feO~pe/l±
Здесь ре и р* —средние гирорадиусы электронов и ионов. Исполь-
Используя A52), видим, что члены с силой трения, так же как и сион-
нььм градиентом давления и электрическим полем, сокращаются,
в результате уравнение для fn .приобретает вид:
^f B17)
Это уравнение решено в [36] с использованием метода моментов.
Раскладывая функцию распределения по полиномам Сонина, под-
подставляя это разложение в уравнение и умножая его на полиномы
Сонина, после интегрирования получаем достаточное число урав-
уравнений для моментов, чтобы определить коэффициенты в функции
распределения. Результат Брагинского для параллельного ионного
¦потока тепла имеет вид:
qill=-319l(niTixu/mi)V^Ti. B18)
Параллельная теплопроводность ионов меньше электронной при-
примерно в (тв/т{)ч% раз.
187
Заметим, что решение, полученное для fn, не является един-
единственным, можно получить другое решение, если добавить член
BvJVi2)AuJi0y соответствующий изменению 'направленной парал-
параллельной скорости на А^||. То, что ионная направленная скорость
и<|, не определена, не является результатом использования 'прибли-
'приближения малого отношения масс, а связано с более общим резуль-
результатом. Направленная скорость центра масс, в общем случае, не
определяется из каких-либо физических соображений, раоомот.рен-
ных здесь, так как они не приводят к возникновению суммарной
параллельной «силы, действующей на (нейтральную) -плазму кгж
делое. Проводя разложение по степеням е до более высокого по-
порядка, можно получить уравнение, описывающее ускорение цент-
центра масс, учитывающее эффекты вязкости. Это слабые эффекты
с учетом предположения, сделанного в этой статье, что скорости
сами по себе малы и что рассматриваются процессы переноса в
равновесных МГД-системах. Так как эти малые эффекты услож-
усложняются эффектами теплопроводности более высокого порядка, «мы
не будем их рассматривать в этой статье. Кажется всерьез в ли-
литературе эти вопросы не рассматривались.
Соотношения Онзагера и вариационный принцип. Соотношения
симметрии Онзагера, упомянутые в п. 2.3, являются следствием
самосопряженности линеаризованных операторов столкновений,
установленной в п. 1.6. Для простой плазмы коэффициенты А,у,
возникающие в B03) и B04), удовлетворяют соотношению сим-
симметрии А,12=А-21, которое является следствием вариационных вы-
выражений для Xij.'
Решение A98) можно выразить в виде линейной комбинации
•переменных А\ и А$
2) B19)
где Ах и А2 заданы уравнениями A96) и A97). Функции h\ и h2
должны быть решениями уравнений
\ B20)
^)f.. B21)
Эти уравнения представляют собой уравнения Эйлера для сле-
следующих задач вариационного исчисления
6Eл-2Ря)=0,у=1, 2, B22)
где функционалы S{j и Pi} определяются выражениями:
SM = J dPvhi (C'jij + veiLhj) ; B23)
B24)
B25)
»E1> B26)
188
Символ б здесь означает первую вариацию, т. е. разность значе-
значений функционала для h-\-bh и h в 'пренебрежении .квадратичными
по Ыг членами. Экстремальные значения, в данном случае макси-
максимальные, .варьируемых величин равны:
8„-2Ри = -Ри, B27)
как следует из B20) и B21).
Эти вариационные принципы можно использовать для получе-
получения приближенных решений уравнений B20) и B21), пользуясь
пробными функциями, линейно зависящими от параметров. Эти
параметры затем определяются из решения системы линейных
алгебраических уравнений [36]. Например, простую пробную
функцию
Ai = U|| (av+bv2)feo,
содержащую лишь два параметра, можно использовать для вы-
вычисления .коэффициента А,ц, при этом он отличается менее чем на
один процент от значения, найденного Спитцером и Хармом, при
Zi=A. Высокая точность полученных таким образом результатов
связана с тем, что неопределенность в значении функционала
пропорциональна погрешности пробной функции. Заметим, что
прямое вычисление (коэффициента переноса из определения потока
[см. B01)] не дает такой точности, даже если использовать най-
найденную вариационным методом пробную функцию.
Получив решения B20) и B01), видим, что следующее выра-
выражение та.кже представляет собой вариационный принцип:
6(S12-Pi2-P2i)=0, B28)
где 5i2, Р\2 и Р2\ по-прежнему заданы B23) и B24). Когда варь-
варьируется h\ при фиксированном Я2, получаем уравнение Эйлера
в виде B21), варьируя же h2 при фиксированном hu находим
B20). Используя выражение для h2, получаем экстремальное зна-
значение функционала
512-P12-P21 = -P2i. B29)
Кроме того, за-метим, что Si2=S2\ из самосопряженности С1ее,
установленной в п. 1.6, и оператора L, заданного уравнением
B00), что легко пожазать. Используя выражение для h\, види'М,
что экстремальное значение дается -выражением-
Sia — Р12 — P2i = S2i — Р\2 — />2i = — Р12, B30)
откуда
P21 = Pl2. B31)
Связь между P{j и ^ находим, подставляя B19) в B01) и B02)
и сравнивая их с ('203) и B04):
Pi5 = —(neTe%ei/me)hj, B32)
в результате чего
А/12=А/21. B33)
189
Эти вариационные принципы непосредственно связаны с уравне-
уравнением C7), определяющим скорость возрастания энтропии. Остав-
Оставляя только линейные по параметру разложения е члены в C7) и
пользуясь малостью отношения маос в члене, описывающем элек-
электрон-ионные столкновения [ом. A21)], находим, что скорость из-
изменения энтропии, связанная с поправкой к функции распределе-
распределения электронов, имеет вид:
Se = - U3vgel [Ciegel + veiLget), B34)
где gei определяется A95); эта скорость больше или рав;на нулю
B35)
•дричем знг)К равенства будет иметь место при gei = 0. Подставляя
выражение B19) для ge\f получаем:
Se=—-ZSijAiA^O, B36)
где Sij определяется B23). Так как экстремальные значения SiS
даются формулой Sy=Py, то, используя еще уравнение B23),
имеем:
Se= (PeXei/me^AiAjXij^O. B37)
Гаким образом, «матрица коэффициентов переноса положительно
определена и симметрична, и, следовательно, диагональные члены
и определитель больш-е нуля:
Яи>0, ^22>0, ЯцХ22 — Я12>0. B38)
2.4. Перенос в плазме с несколькими сортами ионов. Рассмотрим теперь
перенос в плазме, содержащей произвольное число сортов ионов плюс элект-
электроны, которые могут обусловить наличие ионов в плазме. Примеси в плазме
могут обусловить наличие нескольких сортов ионов, как и в реакторе. Отно-
Отношения масс каждой пары сортов ионов будут новыми параметрами задачи.
Эти параметры могут принимать любые значения. Предположим, что все сор-
сорта ионов имеют одну и ту же температуру Та — Т, а электронная температура
Ыожет быть отлична от нее ТефТ. Общие формулы для процессов переноса
поперек поля в сильном магнитном поле приведены в п. 2.2. Поэтому надо
рассмотреть только перенос вдоль поля.
Электронный перенос вдоль поля. Задачу о процессах переноса для элект-
электронов можно свести к той же задаче в простой плазме. Используя уравнение
A21), в котором
*еа= У'" Vet', B39)
Vei = (Зя1/г/4) т^1 (ve/v)s. B40)
*ы f = 2 п/с I 2 Псгс, B42)
190
получаем:
TrE^
B43)
Здесь
2S /Ц2 B44)
Заметим, что
Ъпсгс=пе B45)
С
из условия нейтральности. Сделав подстановку
/«i = pig /«o + gei, B46)
получим A98) для geU где vei теперь определяется уравнением B40). Таким
образом, плотность тока электронов
h\\ = —
и электронный поток тепла
даются уравнениями переноса B03) и B04), в которых %ег определяется B41).
Заметим, что полная сила трения из A94) дается выражением
f ( 2v\\aeU \_C
= J d*WW || Vel \Цех + p2g feej ~ J
f ( \\eU \_C
Fe || = J d*WW || Vel \Цех + p2g feej ~ J d3^^ „ ve/Lgel. B47)
Она выражается через плотность тока электронов и электронный поток теп-
тепла, если обратить уравнения связи потоков с силами, уравнение B07), в кото-
котором тег определяется уравнением B41). Отметим, что je\\ не является полной
плотностью тока
Ионный вклад при этом
It II = * II ~ ^ II =е 2 Vc КII - "eff), B49)
где uett определяется уравнением B44).
Ионный перенос вдоль поля. Задачу q процессах переноса для ионов мож-
можно также рассмотреть в общем случае. Кинетическое уравнение первого по-
порядка для ионов сорта а имеет вид:
(/а,- /«) + С
ае (
191
Используя те же приближения, что в п. 3.3, электрон-ионные столкнови-
тельные члены приближенно выразим формулой
Сае ~ ~ (Fea || Щ »|| Лю = (^ || /Ра) »|| U • № )
Члены с электрическим полем и градиентом давления из A52) запишем в виде
Подставив это выражение в B50), увидим, что члены, пропорциональные Fae у ,
сокращаются и уравнение принимает вид:
J-+(|r—§") Т"]'— B53)
где
Fa==J^Fac,, B54)
с
( v2 5 \
Умножая уравнение B53) на mav ^ I — ——J и интегрируя по скоростям,
V va )
находим, что теплопередача для частиц сорта а
Ga _ j d'vmav „ (^га- 4") J] \Cai (fau fco) + Cac (fa* fex)\ = ~ «aV „ T.
B55)
Будем считать Fa и Ga заданными, выразим через них иа и и qa $ - Приближен-
Приближенное решение уравнения B53) (в действительности по одному уравнению для
каждого сорта ионов) можно найти, используя вариационный принцип
Здесь
/ai, ho)+Cab(fao> fbi)Y> B56)
2
a, b
^Ч'Нй4L B57)
Разложим функции распределения по полиномам Сонина [4]
где
и т. д. Точное решение найдем в пределе при Nr+oo, но, как увидим ниже,
достаточная степень точности получается уже при N=2. Заметим, что коэффи-
коэффициенты с ЬО и 1 пропорциональны направленной скорости и тепловому по-
потоку:
192
Взяв в качестве пробной функции B58), получим:
/> = ^?[«а|,^ + 1Г77(ч|- <261)
а
Используя ортогональность полиномов Сонина и
U} + ^^ B62)
a, b k, j
где
z%e* In Л
M.% и Л^*—безразмерные матричные элементы дифференциальных и интег-
интегральных операторов столкновений соответственно:
^ ^ й) с, f-^ ,r Q.:/..);
Так как и дифференциальный и интегральный операторы каждый в отдельно-
отдельности являются самосопряженными в том смысле, как это понимается в урав-
уравнениях A40) и A41) при Та = Ть, то эти матричные элементы обладают свой-
свойствами симметрии
й& B66)
B67)
B68)
Используя уравнение B5) и закон сохранения импульса, при 1ы = 0 находим
следующие дополнительные соотношения между матричными элементами:
Л$ + Л7Й=°- B69)
Явные выражения для этих матричных элементов при k, /s^2 имеют следую-
следующий вид [37]:
3 (l+ma/mb)
) 0,
.02 _ Ц. A + mjmb) _ 02
аЬ- 8 A + „V?2aO/2 ~~^а>
15 13 1
[(/L + 4(/J+J
[63 69
— (vb/va)* + 6(vb/vay + W
*= ' B71)
7 Зак. 137 193
Г 43ЗТ
A75/8) (vb/va)*+28(vb/vay+Db9/8) {vb/va)*+17 (vb/vaJ + ^^
B72>
27 Ta (vb/VgK vl2 225 Ta
: 4 Tb
22 _ 2625 Ta_ (vb/Vaf
Заметим, что, используя эти матричные элементы в приложениях данной тео-
теории переноса, следует считать Та = Ть, поэтому v2b/v2a = tna/>tnb. Действитель-
Действительно, лишь при Та — Ть соотношения симметрии B06) и B68) не будут противоре-
противоречить остальным выражениям с k, /^2. Отметим, что М^ь и N Jb не зависят or
па, пъ, za и 2ъ, они зависят только от отношения масс та1гпъ и отношения?
тепловых скоростей Vb/va.
Найдем минимум функционала «S—2Р по отношению к вариационным па-
параметрам Uak, ИСПОЛЬЗуЯ СВОЙСТВО
^E-2^ = 0, B75>
что дает:
J иа1 + Nkal<xbi) = Цг (Fadko - Gadkl). B76>
/rrO
Эти линейные уравнения для коэффициентов иак совпадают с уравнениями, ко-
которые получаются, если использовать метод моментов [37). Упрощая B62) с
помощью уравнения B76), находим S—P (тождественно), так что вариацион-
вариационное выражение принимает вид S—2Р=—Р при любом числе членов (N+1)
в пробной функции.
Теперь, считая заданными параметры иа ц , qa ц, выразим через них силу-
трения Fa и теплопередачу Ga. Для этого из системы B76) выразим иак с
k^2 через иа0 и иа\. После этого, подставив эти выражения в B76) с & = О
и 1, получим соотношения вида
^i) B77>
Подставив B77) и B78) в B61) и приняв во внимание, что 5—2/)=—Р, уви*
дим, что значения 1ац% полученные в результате решения системы линейных
уравнений B76) описанным выше способом, являются решениями вариацион-
вариационной задачи. Поэтому можно ожидать высокой точности при небольшом числе:
членов в пробных функциях. Если взять iV=2 в B58), т. е. три члена в проб»
ных функциях, то необходимо решить B76) лишь при k=2
2
i 0. B79)
b /=0
Эти уравнения, по одному для каждого сорта частиц а, необходимо решить
относительно иа2, число которых совпадает с числом уравнений. Решение мож-
можно найти методом, предложенным в [38].
194
Суммирование по сортам ионов Ь можно представить в виде суммы по
различным изотопам (т. е. различным массам ионов) и суммы по различным
ионизационным состояниям (т. е. зарядам гъе) данного изотопа 2=22. Та-
Ъ mbtb
ким образом, индекс сорта частиц Ь эквивалентен паре индексов (ть, 1ь).
Просуммировав уравнение B79) по индексу ионизационных состояний ia, по
.всем состояниям, относящимся к частицам с заданной массой та, и разделив
на I>naz2a, получим:
2 (f2 B ^"Л м2Д Ъч+2 B **'Л ftA - °- B8°)
/=0 I \mb \ ib J J mb\ ib J J
Мы определили средние величины
"°k = f 2 nezl^ / ^2 n«z8«V B8])
V 'a / / V 'a /
которые зависят только от индексов та, k, и использовали то, что М^ и NkJb
зависят только от массовых индексов та, nib. Далее, определив
Lal = ! 2 ^2 n°Z*°\
запишем уравнение B80) в виде
B83)
m6 /=0 m^
Тогда решение можно выразить через обратную кЬ22 матрицу:
1
иаг— ?± ? 2j Уь tad bdbubr \*°*)
i=0mdmb
Так как обычно нас интересует лишь небольшое число различных изотопов,
то можно считать, что размерность матриц L20, L21 и L22 мала.
Число возможных ионизационных состояний в общем случае для каждого
изотопа много больше числа самих изотопов. Однако неизвестные ип2 можно
довольно просто выразить через средние иаъ Разделим B79) на naz2a и выч-
вычтем B80), увидим, что члены, содержащие N%?, сократились, в результате
.имеем:
2
2 \%BnbZ2b)M2a[\(uaj--uaj)==0. B85)
Решая относительно иа2} находим:
Г 1
где У~
195
Таким образом, используя уравнения B84) и B86), получаем выражения
для иа2 с помощью ма0 и ua\. Подстановка в B76) с & = 0 и 1 дает в резуль-
результате обращенные отношения переноса типа уравнений B77) и B78). Предста-
Представим их в виде
B88>
где использованы формулы B84) и B86),
??; B90>
Здесь
иао = иа 0 /оа; uat э (- 2/5) (?в, /р^) B92>
•;и средние значения велиичн, отмеченных чертой сверху, определяются B81).
Эти соотношения для любой конкретной задачи лучше всего вычислять на
ЭВМ. Так как нужно найти функцию и небольшое число линейных уравнений,,
то вычисления не требуют больших затрат времени. Обращение B88) и B89)
для определения средних скоростей и тепловых потоков как функций сил тре-
трения и вектороа теплопередачи или применение B52) и B55) как функций гра-
градиентов давления и температуры, т. е. соотношений переноса, можно выпол-
выполнить на компьютере. В некоторых приложениях нужны обращенные соотноше-
соотношения переноса типа уравнений B88) и B89). Например, при решении задач»
Пфирша—Шлютера о переносе в тороидальных системах [39, 37} параллель-
параллельные потоки иа || , qa ц в силу геометрических и временных связей являются
функциями радиальных градиентов, а радиальные потоки частиц и тепла оп-
определяются параллельной силой трения и теплопередачей. Таким образом,,
B88) и B89) дают непосредственно радиальные соотношения переноса в этою
случае.
2.5. Уравнения для моментов. Чтобы подвести итоги в теории
переноса, приведем уравнения для моментов в плазме с несколь-
несколькими сортами ион ок. В дальнейшем индексы а и Ь будем относить
к сортам ионов, электронные величины будем обозначать индек-
индексом е. Сохранение числа частиц описывается выражениями:'
dne/dt+V (пеие) =0; B93>
drta/dt+V {па\ха) = rieZ sabnb, B94)
где учтены -источники ионов, связанные с ионизацией и рекомби-
рекомбинацией, коэффициенты sab описывают скорости этих реакций.
Обсуждение этих коэффициентов выходит за рамки этой статьи,,
поэтому все остальные атомные эффекты такого типа, как, на-
например, потеря энергии электроном при ионизации опущены. Урав-
196
неяше изменения энергии ионов после суммирования по всем их
сортам принимает .вид:
Fae). B95)
где n=2na—<полная плотность ионов; Т — их общая температу-
а
ра, а
B96)
есть полный поток энергии ионов. Полную скорость передачи энер-
энергии от ионов .к электронам представим в виде
S2 (nbzb2/mb)
Qae= ^ -^ (Те " П B97)
а
где %ег и Zen заданы (J41) и B42) соответственно. Оставшиеся
члены в правой части можно преобразовать, ишользуя соотноше-
соотношение
uai (Fae+2Fab) =uai (Vpa — naedE), B98)
о
которое является следствием того, что ual удовлетворяет уравне-
уравнению
- VPa + паеа (Е + -^ х В^ + ?ае + J Fa, = 0. B99)
Члены, пропорциональные электрическому полю, сокращаются, в
результате остается уравнение
it (тйГ)+vQ=Qi°+SUai К ~ S 4 • C00)
a b
Члены в правой части уравнения, описывающего изменение энер-
энергии электронов, связанные со столкновениями с ионами, равны
соответствующим членам в уравнении, описывающем изменение
энергии ионов, с о'братным знаком. Поэтому уравнение, описы-
описывающее изменение анергии электронов, имеет вид:
Ра- 5] РД C01)
b
рде
C02)
Здесь добавлены члены, пропорциональные электрическому полю,
чтобы учесть скорость джоулева нагрева.
197
Потоки, возникающие в этих уравнениях, являются суммой пер-
перпендикулярного и параллельного потоков по отношению к магнит-
магнитному полю
папа=паПа± +паиа и п; C03)
Qa=qa± +Ща\\ , C04)
тде п — единичный вектор, касательный к силовым линиям маг-
нитного поля.
Перпендикулярные ионные потоки описываются выражением
nanal = na-jrEXB + 7^rBX4Pa+ C05)
где паиа± определяется A77), в мотором опущен электронный член.
Электронный вклад в результате столкновений находим из A76)
как функцию перпендикулярной силы тревия между электронами
и ионами:
Перпендикулярный поток числа электронов
3 „ т \
C07)
Перпендикулярный ионный поток теплоты
^ВХ^ + Ч^ C08)
где qA)ax описывается уравнением A78), в .котором можно пре-
»не|б|речь электронным членом. Перпендикулярный электронный по-
поток тепла к
5
S zbV±Pb
13 ¦ ? * X^Je\. C09)
Параллельный поток электронов
neWej| =— j le/e+neUett, (ЗЮ)
где Meff определяется уравнением B44), а /це — соотношением пе-
переноса, B03). Параллельный электронный поток тепла—соотлоше-
198
нием переноса B04). В уравнениях B03) и B04) xei определяет-
определяется формулой B41).
Параллельные потоми числа .ионов и па-раллелыные ионные по-
потони тепла можно получить обращением соотношений переноса
B88) и B89). Тогда для Fa и Ga используем формулы -B52),, B54)
и B55). Заметим, что в B5-2) член, который описывает силуттре-
«1ия, действующую и а электроны, Faell=—/%а„. Отсюда с помощью
B39), B4F) и B47) юмеем:
feall= ,JT% \Fe*+^-K,-uj\, C11)
где Т7^, опи€Ы!вает»ся выражением B97).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Thompson W. В., Hubbard J. — Rev. Mod. Phys., 1960, vol. 32, p. 714.
2. Rostoker N. —Nucl. Fusion, 1961, vol. 1, p. 101.
3. Kaufman A. Plasma Transport Theory. —In: The Theory of Neutral and
Ionized Gases/Ed, by С de Witt and J. F. Detouf. N.Y.: Wiley, 1960, p. 319.
4. Брагинский С. И. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 1/Под ред.
М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963, с. 183.
5. Чепмен С, Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов: Пер,
с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
6. Shkarofsky I., Bernstein L, Robinson В. —Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 40.
7. Rosenbluth M. M., MacDonald W., Judd D. —Phys. Rev., 1957, vol. 107, p. 1,
8. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа: Пер. с англ. М.:
Изд-во иностр. лит., 1962.
9. Ландау Л. Д. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1937, вып. 7, с. 203.
10. Chandrasekhar S. — Astrophys. J., 1943, vol. 97, p. 255.
11. Chandrasekhar S.— Rev. Mod. Phys., 1943, vol. 15, p. 1.
-12. Трубников Б. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1958, вып. 34, 1341,
13. Трубников Б. А. — В кн.: Вопросы теории плаэмы. Т. 1. Под ред*
М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963, с. 198.
14. Balescu R. —Phys. Fluids, 1960, vol. 3, p. 52.
15. Lenard A. —Ann. Phys., 1960, vol. 3, p. 390.
16. Hubbard J. —Proc. Roy. Soc, 1961, vol. A260, p. 114.
17. Rogister A., Oberman C —J. Plasma Physics, 1968, vol. 2, p. 33.
18. Rostoker N., Rosenbluth M. N. — Phys. Fluids, 1960, vol. 3, p. 1.
19. Montgomery D. C, Turner L., Joyce G. — Phys. Fluids, 1974, vol. 17,
p. 2201.
20. Taylor J. В., McNamara В. —Phys. Fluids, 1971, vol. 14, p. 1492.
21. Okuda H., Dawson J. M. —Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 408.
22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Л.: Гостехтеор-
издат, 1951.
23. Montgomery D. С, Tidman D. A. Plasma Kinetic Theory. N.Y.: McGraw-
Hill, 1964, p. 88.
199
24. Spitzer L. Monthly Notices, Roy. Astron. Soc. (London), 1940, vol. 100,
p\ 396.
25. Stix Т. — Plasma Phys., 1971, vol. 14, p. 367.
26. Сивухин Д. В. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 1/Под ред. М. А. Ле-
онтовича. М.: Атомиздат, 1963, с. 7.
27.Brecht S. H., Hitchcock D. A., Horton W. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21,
p. 447.
28. Драйсер X. — В кн.: Труды Второй международной конференции по
мирному использованию атомной энергии. Избранные доклады иностранных
ученых. Т. 1. М.: Атомиздат, 1959, с. 170.
29. Cohen R. H. —Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 239.
30. Kulsrud R. M., Sun Y. C, Winsor N. K., Fallon H. A. —Phys. Rev. Lett.,
1973, vol. 31, p. 690.
31. Simon A. —Phys. Rev., 1955, vol. 100, p. 1557.
32. Kaufman A. —Phys. Fluids, 1958, vol. 1, p. 252.
33. Spitzer L., Harm R. —Phys. Rev., 1953, vol. 89, p. 977.
34. Де Гроот С, Мазур П. Неравновесная термодинамика: Пер. с англ.
М.: Мир, 1964.
35. Брагинский С. И. — Журн. экспер. и теорет. физ., 1957, т. 33, с. 439.
36. Robinson В. В., Bernstein I. В. —Ann. Phys., 1962, vol. 18, p. 110.
37. Hirshman S. P. —Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 589.
38. Boley С D., Gelbard E. M., Hirshman S. P. —Phys. Fluids, 1979, vol. 22,
p. 1280.
39. Hazeltine R. D., Hinton F. L —Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 1833.
II. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ИДЕАЛЬНОЙ
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКЕ1
Г, ВЕЙТЦНЕР
1. ОБЩИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ИДЕАЛЬНОЙ МГД
1.1. Общее введение и уравнения идеальной магнитогидроди-
магнитогидродинамики как симметричной гиперболической системы. Идеальная
магнитогидродинамика МГД является относительно простой жид-
жидкостной моделью плазмы без учета диссипации и дисперсия.
Она введена и описана в п. 1.5.
Приняв эту М'Одель, мы можем анализировать ее математиче-
математически, чтобы сначала убедиться во внутренней согласованности мо-
модели, а затем получить важные физические свойства идеальной
МГД плазмы. В этом параграфе представлено общее обсуждение
структуры in свойств уравнений идеальной МГД, сопровождаемое
описанием решений различных про'блем (распространения волн и
соответствующих явлений. Вначале статьи дана характеристика
уравнений .идеальной МГД -как симметричной гипер'бодической си-
системы уравнений в частных производных. Затем вводится диспер-
дисперсионное соотношение для идеальных МГД-волн, поверхность вол-
волновых нормалей и характеристические поверхности. Далее дается
описание семейств относительно простых решений уравнений:
простых волн, ударных волн и других точных решений. Затем рас-
рассматривается вопрос: какие проблемы следует решить в идеальной
МГД? Рассмотрены начглыные ,и граничные условия, да.вные на
бесконечности, и другая информация, необходимая для специфика-
спецификации физического решения. В конце статьи разобраны решения не-
нескольких задач распространения линеаризованных волн, рассмот-
рассмотрены функции Грина в двумерном и трехмерном измерениях, дву-
м-ерна-я дифракция волны на проводящей полуплоскости, дву-
двумерное отражение вол'ны от проводника, связи с анализом устой-
устойчивости, МГД-спектры и волны ,на неоднородном фоне. Диапазон
1 Пер. с англ. А. С. Липатова.
201
рассматриваемой тематики очень широк, поэтому здесь представ-
представлены результаты и приведены ссылки на литературу, где читатель
.может найти дополнительную .информацию.
Напомним, что систему уравнений МГД можно написать в
форме:
dp/dt+ v(pu)=0; A)
p[du/dt+(u. v)tt] + VP=JXB; B)
dS/dt+(u- vM=0 C)
и
EB/^=VX(uXB), D)
где p — плотность млаз»мы; u — скорость течения; 5 — удельная
энтропия; р—-давление плазмы; В — магнитное поле; VXB=J.
Для некоторых задач 'необходимо заменить C) уравнением сохра-
сохранения энергии
A{p(^ + u2/2) + B2} + v{pu(^ + «72)-u/;-BX(uXB)} = 0, E)
где е — удельная внутренняя энергия. Однако другой вариант
сохранения энергии имеет вид:
-?-p + (*-V)P + P^(P- S).vu = 0. F)
Из четырех термодинамических переменных р, 5, е, р и четырех
связанных уравнений <A), C), E), F) -можно взять любые две
переменные и соответствующие уравнения как основные, а две
другие определяющиеся по ним. Таким образом, можно взять си-
систему уравнений A), B), C) и D) как основную и задать р=
=р(р,S), e=a(p>S) или взять систему A), B), E), D) как ос-
основную и задать р=р(р, е), S=S(pte). Если прямое следствие D)
-5-'-»-°
удовлетворяет условию
V-B = 0 G)
в один момент времени, то G) будет выполняться в любой момент
времени. Ясно, что для стационарных задач, т. е. установившихся
течений или равновесий, G) является существенным дополнитель-
дополнительным уравнением, в то время как для действительно нестационар-
нестационарных задач оно является лишь начальным условием. Дополнитель-
Дополнительное условие G) будет вызывать второстепенные усложнения на
'протяжении нашего рассмотрения.
Мы могли бы также обсудить уравнения идеальной МГД в ин-
телральной форме. Эта форма тесно связывает уравнения с фунда-
фундаментальными физическими законами сохранения массы, импульса,
энергии и магнитного потока. Рассмотрим произвольный меняю-
202
Щ1ийся во времени объем V(t), так что каждая точка в объеме
движется со скоростью плазмы u (r, t), и введем граничную по-
поверхность dV(t). Аналогично введем открытую поверхность 2@»
каждая точка которой движется со скоростью u (r, t), и определим
граничную линию как <Э2(/). Тогда )мы можем переписать систему
01), B), E) ,и D) в виде
O; (8)
J
V(t)
— f p(r, t)u(v,t)dV = + fdS[-/m+(n-B)B--n-B72]; (9)
dt .) J
dV(t)
J_ Г
1 V(l)
.) J
V(t) dV(t)
— f
dt J
*nt) A0)
,0. A1)
Ясно, что уравнение (8) —• уравнение сохранения массы} (9) —вто-
—второй закон Ньютона, т. е. уравнение сохранения (импульса, с внеш-
внешним тензором напряжений (р+В2/2)пп—ВВ, приложенных .к ло-
¦верхности объема; «A0)—уравнение сохранения энергии с уче-
учетом преобразования энергии, обусловленного заданным напряже-
напряжением, й, -наконец, A1) —уравнение сохранения магнитного потока.
Интеграл, эквивалентный G), есть
J B-ndS>=0, A2)
dV(t)
•который мы должны применять так же, как уравнение A1), или
как начальное условие, или дополнительное ypa-внение в нестацио-
нестационарной задаче. Интегральная форма уравнений .идеальной МГД
иопользуется в последующем обсуждении ударных волн. Здесь же
обсуждается физический смысл интегральных форм и их связь
с уравнениями в частных производных. Следует заметить, что ин-
интегральные формы часто выбираются в качестве базиса -консерва-
-консервативных конечно-разностных схем для исходных уравнений.
Изучать свойства уравнений A) —¦ D) можно с введения ха-
характеристических поверхностей системы [1, 2]. Характеристики
могут вводится различными эквивалентными способами, а уравне-
уравнения для характеристик описывают множество различных физиче-
физических явлений. Начнем с одного простого определения. Допустим,
что V представляет собой восымимерный вектор (р, и, В, 5), запи-
запишем дифференциальное уравнения в форме
где матрицы размерностью 8x8 Аи Ах* Ау и Аг являются функ-
функциями одного только V. Выберем V в виде комбинации (р, и, В, S),
203
тогда матрицы совершенно симметричны и At положительно опре-
определено. Введем поверхность ср(л;, /)=0 и зададим вопрос, при ка-
каких условиях можно найти производную от V по нормали к цо-
верхности при заданном значении V на поверхности, т. е. опре-
определить
при заданном значении V(x, t) на поверхности ф(х, t)=0 [3].
Для определения dV/dy необходимо и достаточно, чтобы линей-
«ая алгебраическая система
(aAt+kxAx+kyAy+kzAz)dV/dq)=Q A4)
•не имела решения. В системе A4)
со = дф/<^; к= у ф. A5)
Поверхности, для которых A4) имеет решения, назывгются харак-
характеристическими. Для такой поверхности
D(o), k)=det\(oAt+kxAx+kyAy+kzAz\=Of A6)
где Г ^ '•
D (со,>) = рс2 (рс2-[(Ъ. кJ) (рY — (pvt + В2) рс2 + pv2T (В \J) к8; A7)
kc=(o+k-u; A8)
v*T~-&-(P. 5). A9)
что vT — скорость звука в среде. Несложно проверить, что
уравнение A6) всегда имеет восемь действительных корней о =
|=ю>(?), подсчитанных с учетом кратности. Здесь введеиа фазо-вая
скорость волны с. В соответствии с данными выше обещаниями
•мы будем давать много различных физических интерпретаций в-ве-
денной терминологии.
Мы -показам, что уравнения идеальной МГД B), C), >D), F)
образуют квазилинейную симметричную гиперболическую систему.
С(ИМ1метр'ИЧ!НЫй гиперболический характер следует из замечаний,
что матрицы Аи Ах, Ау, Аг действ-ительные, симметричные и что
At положительно определена; их квазилинейный характер следует
из того, что 'матрицы являются функциями одного только V. Сим-
Симметричные гиперболические уравнения «изучены подробно © теории
дифференциальных уравнений. Их используют для расчета, задач
с начальными значениями без учета дисперсии и диссипации и за-
задач распространения волн. В физически разумном классе функ-
функций можло задать начальные значения и ожидать решений в том
же классе. Обычно .используемый класс функций требует, чтобы
начальные данные и их производные до некоторого порядка были
квадратично-йнтегрлруемы. Для постановки физически важных
задач недостаточно того, что система нелинейных уравнений явля-
являлась гиперболической, т. е. A6) имело только действительные
корни со(&) [3, 4]. Нам достаточно выяснить, что система симмет-
204
рич'ных гиперболических уравнений -имеет физически реализуемое
решение того типа, которое мы обычно связываем с задачей с .на-
.начальными условиями в динамике жидкости без диссипации в тео-
р-ии упругости или распространения электромагнитных воли. Этот
специальный характер системы уравнений позволяет «нам рассмат-
рассматривать распространение волн или -проблему устойчивости и полу-
получать разумные ответы. Хотя ,мы «е будем ссылаться на эту харак-
характерную особенность уравнений далее, она является существенным
теоретическим обоснованием, которое позволяет нам завершить
анализ .проблемы. Позже мы будем рассматривать граничные ус-
условия применительно к нашим уравнениям.
Перед анализом уравнений A4)—'A9) (см. п. 1.2) мы предла-
предлагаем две непосредственные физические интерпретации символов
<р(со, к) и />(©, k). Мож'но рассмотреть специальное решение урав-
уравнений A3), в которых V является функцией только комбинации
<р(а, х, t), где а есть векторная константа, т. е.
V(x, f)-V(<p(a.xf *)).
Такое решение — обычная простая волна [5], которая является
точным нелинейным частным решением исходной системы A3).
Ниже мы рассмотрим эти простые волны.
Можно рассмотреть уравнения A3)—/A9) и установить связь
их с наиболее известной «интерпретацией обозначений. Предполо-
Предположим, что мы линеаризуем уравнение A3) относительно фиксиро-
фиксированного состояния V@> и получаем систему
+ А: + А; + /? ) V 0. B0)
dt х дх у ду z dz ) К J
где матрицы At(°\ Лж<°\ Л„<°>, Л»<°> также являются константами.
Если рассматривать решение в виде
VO) = Vi expi(«>t+kxx+kyy+kzz)y B1)
то в этом случае со и k связаны условием />(¦©, k)=0 — диспер-
дисперсионным соотношением, а Vi находится из нетривиального реше-
адия A4). Таким образом, в этом отношении можно рассматривать
уравнения A4)—'A9) как описание характеристических поверх-
поверхностей простых волн или распространения линеаризованных волн.
Ниже будут приведены и другие интерпретации.
A.2. Дисперсионное соотношение и характеристики системы для
-линеаризованных волн. Для того чтобы описать волны в идеаль-
идеальной МГД, надо изучить дисперсионное соотношение и характери-
характеристики. Рассмотрим дисперсионные соотношения A6) и A7). Ис-
Исследуем различные возможные волновые возмущения и характе-
характеристические поверхности, которые они генерируют. Полезно пред-
представить решение A4), дУ/дц> или Vi вместе со связанными корнями
дисперсионного соотношения. Будем использовать интерпретацию
линеаризованных волн в идеальной МГД. Рассмотрим однородное
фоновое состояние р0, u0, Bo, po> So и возмущение в форме B1), так
*что возмущенные величины имеют вид: (рь иь Вь pbSi)exp i(o*+
205
+к-х). Исследуем каждый нуль выражения A7) (т.е. точку, в кото-
которой оно равно нулю) отдельно, а также дадим! нормальную моду Vb
Свойства Vi позволяют дать физическую характеристику каждого
типа МГД-вол.нювого возмущения. Начнем с простейшей п^ры
корней, с2=0. Бели с2=0 и к-В,0^=О, тогда легко проверить, что
решение A4) удовлетворяет u1=p1=O, Bi=Xk с возмущенной,
ллотноотью и произвольной энтропией, удовлетворяющей ограни-
ограничению 0 = р1 — — pi -j--^-°Sv Теперь с=0 эквивалентно со=
дРо dS0
='—k'U0 и представляет собой волну, распространяющуюся со ско-
скоростью жидкости.
Таким образом, -можно различить две волны, распространяю-
распространяющиеся со скоростью жидкости, в одной из них только В] = Як от-
отлично нуля, а в другой только pi и S2 отличны от нуля. Эти волны
связаны ограничением pi=0. Первая воля a Bj=Xk никогда не
возбуждается, так как 0=V-Bi=Xk2. Следовательно, имеется
только одна физическая волна этого типа, .которая распространя-
распространяется со скоростью жидкости и возмущает плотность и энтропию,
(но 'не давление. Ясно, что это есть МГД-англог гидродинамиче-
гидродинамической энтропийной волны. Легко проверить, что даже если к-В0=О,
вопреки нашему предположению, волны только что описанного типа
с—О существуют. Тем не менее имеются другие решения с нуле-
нулевыми к-В,0 и с, они рассмотрены ниже. В конечном счете симмет-
симметричный гиперболический характер системы гарантирует существо-
существование такого числа волн, какова кратность данного корня, так что
волны не теряются, когда корни сливаются .Обычно мы пренебре-
пренебрегаем корнями, соответствующими с2=0.
Второй множитель в A7) дает:
сА2=(к.ВоJ/ро. B2)
Эти нули соответствуют обычным алывеновским волнам, для ко-
которых р, Su k-Uj и Bjo-Bi обращаются в нуль, а щ и Bi связаны со-
соотношением
ск X В, = (к • Во) (к X %); рек X Щ = (к. Во) (к X BJ. B3)
Альвеновская волна возмущает только (компоненту Вь перпенди-
перпендикулярную Во,и, следовательно, является поперечной. Возмущения
vii и Ъ\ также поперечные относительно к. Скорость волны являет-
является функцией угла между к и Во и обращается в нуль для к, пер-
перпендикулярных Во. Ниже мы иллюстрируем геометрическое место
скорости волны.
Третий множитель в A7) дает быструю F и медленную 5 вол-
волны
4.s=*~-{D + <$) ± M + W - Ч^(к.§0J]>/2}. B4)
где альвеновская скорость
206
Рис. 1. Поверхности волновых нормалей vT>vA (a); vT=*vA (б) и
Bo — единичный вектор в направлении Во; знак «+» в B4) соот-
соответствует c2F, знак «—» соответствует c2s. Легко проверить, что
B6)
где равенство выполняется только для k-Bo=0, когда с2А=с28=0,
или для к-В,о=О и тогда c2A = c2F или с% в случае v2T = v2A име-
имеем v2A=v28=c2F. Здесь <не приведены уравнения для pi, Ui, Bi и S\.
Следует заметить только, что kiUi, piHB0-Bi отличны от нуля, в
то время как Si обращается в нуль.
Скомбинируем информацию, заключенную в уравнениях B2)
я B4), в так называемую диаграмму скоростей нормальных волн
(приведенную на рис. 1), Во выбрано в на'прггалении х и приня-
принято kXy &y=icos9, sin 6 так, что k-B,0=icos6. (Можно построить ито-
.верхности в трехмерном пространства вращением кривых относи-
относительно оси х). Для волн с волновым BeKTqpOiM k, распространяю-
распространяющихся в направлении «с заданным 0, на луче 0=const отмечены
три скорости волны: с^(9), сА(В) и cs(8). Штриховыми линиями
обозначены волновые фронты альвеновокюй, быстрой шии медлен-
медленной волн, распространяющихся в нгшравл-ении' 0. Поверхность,
обозначенная сАу является геом1етр(И1чески1М местом точек значений
скорости, т. е. годографом скорости альвеновской волны, и со-
состоит из двух о-кружностей (или афер в трехмерном случае). Две
лежащие глубоко внутри кривые являются годографом скорости
медленной волны, в то время как самая отдаленная кривая отно-
относится к быстрой вол:не. Годографы скорости быстрой и медленной
волн есть две чгсти одной 'ншрйводимой алгебраической кривой,
в то время как годограф скорости альъеновокой волны содержит
отдельную неприводимую алгебраическую кривую. Наличие связи
между годографами скорости быстрой и медленной волн приводит
к тому, что обычно мы не можем возбуждать отдельно быструю
или медленную волну, а только комбинацию из двух волн. Боль-
Большое значение имеет то обстоятельство, что годолраф скорости мед-
медленной волны самопересекается при 0 = я/2, c2s=0. Пересечение
годографов скорости альвеновокюй, быстрой и медленной волн ме-
207
Рис. 2. Характеристические поверхности или диаграммы Фридрихса
vT = vA (б) и vT<vA (в)
(я;)
•нее вгжно. Довольно частный случай v2T=v2A имеет много инте-
интересных особенностей. Оценим эти замечания «ниже, когда будем
•исследовать решения общих задач распространения волн, а не
просто плоских или нормальных волн.
Существует другая поверхность, связанная с поверхностью вол-
волновых нормалей, которая имеет большое значение в задг;чах рас-
распространения волн. На рис. 1, а—в штриховыми линиями показа-
показаны фронты плоской волны exp{i&(cF)^+k.x)}, соответствующие
точке (с, 8) на поверхности волновых нормалей. Можно .взять по-
поверхность, которая является огибающей всех этих линий (плоско-
(плоскостей в трехмерном случае), и найти характеристические поверхно-
поверхности для МГД-волн, или диаграммы Фридрихса, рис. 2, а—в. Дей-
Действительно, диаграмма Фридрихса дает волновые фронты для
'возмущений, распространяющихся от начального * возмущения
при #=6 и t={0. Ниже мы исследуем -кривые подробно, а -сейчас
укажем следующие моменты. Точки с координатами [±vTvA/
I(v2t + v2aII2, О, 0] часто называют точками возврата. Штриховая
линия на рис. 2, б соединяет две точки возврата и является, .вооб-
.вообще говоря, частью поверхностей фронта волны. Для некоторых
задач- МГД штриховая линия не существует, а для некоторых су-
существует. Появление или отсутствие пунктирной линии связано
скорее с особыми свойствами МГД-системы, чем просто с поверх-
поверхностью волновых нормалей. Диаграмма Фридрихса для фронта
альвеновской волны сходится к двум точкам (±vA,0), и в некото-
некоторых случаях прямая линия, соединяющая эти две точки, также
(может быть частью поверхности фронта волны. Довольно частный
случай vA = vT имеет еще и другие особые компоненты поверхности
фронта волны, а именно часть линий (плоскостей в трехмерном
случае) x/t=±vA=zkvT. Наследуем значение этих поверхностей
детально ниже, когда будем рассматривать несколько частных чр-
дач в последующих подразделах.
1.3. Простые МГД-волны. Простые волны — это точные реше-
решения нелинейных уравнений идеальной МГД, которые зависят толь-
только от одной пространственной координаты и времени. В динамике
208
жидкости простые волны полезны и необходимы при построении
решений многих задач о течении. Он.и также существенны при ре-
решении многих задач идеальной МГД. Мы .построим простые «вол-
«волны в предположении, что решение V=i(p, u, В, 5) системы A) —
D) является функцией одной комбинации величин ф(х-а, t), где
а—-произвольный постоянный единичный вектор. Без потери общ-
общности выберем в качестве а единичный вектор х, тогда в предпо-
предположении V(jc, /)=V((p(*, /)) найдем, что систему A3) можно
представать в ваде
Теперь сравним B7) и A4)—A9), установим соотношения о=
—d]y/dt, k=\(dff/dx9 О, 0) и, что более существенно, из A8) полу-
получим:
dy/dt+uxdy/dx=c (V) д<р/дх, B8)
где c(V)—один из корней дисперсионного соотношения A7), со-
соответствующих быстрой, медленной, альвеножжой или энтропий-
энтропийной 'волнам. Вектор решения V(cp) определяется из условия, что-
dV/d—¦нулевой вектор системы B7) или
B9)
где N(V)—лю'бой нулевой вектор, соответствующий моде волны.
Поскольку скорость распространения волны с(\) зависит только»
от V, видим, что —— /——и, следовательно, нулевой вектор N(V)
dt I дх
тоже зависят толыко от V. Таким образам, можно решить уравне-
уравнение B9) независимо от конкретных временной и пространствен-
пространственной зависимостей волны. Пространственно-временные свойства
волны даются решением начальной задачи, связанной с B8).
Явно мы решаем систему уравнений:
^L JL + p^i^ = 0; C0)
dt dy l дх
dt d<$ dx dy
dy dB B dy d\x dux
«——— ¦ • LJ y ' ^~~~~~~~ —— ————— Jj ———
dt dy dx dy dy dx
¦^¦-^- = 0; C3>
dt dy
где
j!L^lL+uJSLm C4)
dt dt ~ x dx У ;
Простейшее решение состоит из энтропийной простой волны, для
которой dy/dt=O. В энтропийной волне и=(их, иУ9 иг)—тожде-
209
ственная константа, так что ф(х, t)=x—\tuXy и Вх—? тождественная
константа (V-B=0), а р, 5, Вуу Въ — произвольные функции q>,
удовлетворяющие условию
/>(р. S) + -I-(flJ + ^ = const.
Мы «предположили, что ВХФО. Есл-и Д.=0, тогда иу л az не явля-
являются постоянными, а описываются произвольными функциями ф.
Энтропийная волна является .наиболее элементарной простой вол-
(НОЙ.
Если мы предположим, что A<р/(МФ09 тогда S .и Вх постоянны,
а простые 'волны представляют собой или альвеновские волны, или
быструю и медленную волны. В амьвеновской простой волне р,
их, Вх и S постоянны [см. обсуждение, следующее за уравнением
<22)], а <р(х, t) имеет следующий вид:
ф(д, t)=x-t(ux±Bx/V'p), C5)
тогда как Ву и J5Z — произвольные функции ф, удовлетворяющие
ограничению
Bya+iB22 = const. C6)
Представим иу и uz в 'виде
fYJ <0)? C7)
Здесь Иу<°> и аж<°)—(произвольные константы. Ясно, что альвенов-
ская простая волна является попфечньим возмущением, которое
только вращает компоненты В, перпендикулярные направлению
распространения волны. Следует подчеркнуть, что C5)—<C7)
представляют точное, нелинейное решение системы.
Быстрая «или медленная простые волны изучены лишь в общих
чертах, и мы только 'наметим их структуру. Как и раньше, Вх к S
достоянные, а скорость волны (.быстрой .или медленной) удовлет-
удовлетворяет уравнению
(рс2 - В\) (с2 - v\) =c2 (В\+В\), C8)
так что можно считать, что с — функция параметров состояния р,
Ву и Вz. Для идеального политроетного ггз«а [р(р, S) =Л (S)pY]
В1 - VVC*) (C74 - !)}• C9)
Если в качестве двух независимых переменных ;в уравнении C9)
рассматривать отношения pv2T/B2x и v2T/c2, тогда можно проинте-
проинтегрировать C9), чтобы найти одну (переменную как функцию дру-
другой. Для определенности будем считать р основной переменной.
Уравнение состояния дает v2T как функцию р, так что можно рас-
210
сматривать скорость волны ка.к функцию р. Далее их определяется
как функция р -из выражения
^_rfL+_rfo?_==0 D0)
р df dy
Получим теперь пространственно-временную структуру волны из
выражения
Jl + Ux-*L = C-%-. D1)
dt ' дх дх
Поскольку их и с — -непостоянные функции р, а следовательно, и
Ф, то можно ож.идсчть, что решение D1) будет порождать особен-
особенности, которые можно интерпретировать как образование ударной
волны. Тами-е особенности должны быть заменены удар-ными вол-
нами, или должны лежать за границей интересующей нас физиче-
физической области.
Выражения C8) — D1) полностью не характеризуют быструю
или медленную простые волны; еще надо определить иу, игу Ву и
BZi Отношение By/Bz есть константа, не зависящая от рили ф,три-
чем можно Ву и Вг найти из C8). Окончательно щ и иъ определим
из выражений
pcduy/d(p = BJUBy/dy;
pcdujdy = BxdBz/d<p.
Ясно, что быстрая и «медленная волны могут существовать, и
обычно возникают либо волны сжатия, либо волны разрежения.
Простые и ударные волны (см. ниже) используются для решения
многих простых задач распространения МГД-волн и течений. Мы
не будем здесь касаться этого вопроса, который подробно проана-
проанализирован в работе [6].
1.4. Ударные-МГД волны и контактные разрывы. В настоящее
время существует обширная литература, в которой рассматри-
рассматриваются удацшые-МГД волны и контактные разрывы. Полный ана-
анализ перехода течения через скачок уплотнения очень сложен и
здесь не рассматривается. Подробное описание многих результа-
результатов можно н?йти в [6]. Тем не менее множество вопросов оста-
осталось за ее пределами и, в частности, рад тем, связанных с удар-
ударными волнами, которые обсуждаются в [7, 8]. Ударная волна иле
контактный ра13рыв представляет собой течение, в котором пара-
параметры состояния р, и, В, р и 5 являются 'гладкими и терпят раз-
разрыв при пересечении поверхности q>(x, /)=0. Ясно, что течение
оо скггакамя параметров не удовлетворяет дифференциальным
уравнениям в частных производных A)—'D). Мы должны расши-
расширить определение решения системы, и поэтому предположим, что
разрывное решение должно удовлетворять интегральным соотно-
соотношениям (8)—'A1) [и уравнению A2), когда это необходимо]. Лю-
Любые течения, непрерывно дифференцируемые в области и удовлет-
удовлетворяющие (8) — A1), также удовлетворяют уравнениям в частных
211
производных A) — D) в этой области, но -когда в течении появ-
появляются разрывы, интегральные соотношения накладывают новые
условия на течение.
Таким образом, интегральные соотношения эквивалентны урав-
уравнениям в частных производных для гладких течений, но это не
подразумевает априори очевидность того, что интегральные урав-
уравнения правильны, «когда дифференциальные уравнения уже не при-
пригодны. Это беспокойство усиливается знанием того, что из диффе-
дифференциальных уравнений -следует много других интегральных со-
соотношений, эквивалентных him в случае гладких течений; напри-
например, уравнение C) означает
— f PSdV = 0, D3)
dt J
V(t)
и если использовать D3) вместо E), то удар.ные волны окажутся
совершенно другими. Но дело не только <в том, что надо решить,
каким интегральным соотношениям удовлетворяют параметры те-
течения; мы также должны учитывать, что 'не все решения инте-
интегральных 'соотношений физически возможны. Таким образом, что-
чтобы найти физическое оправдание существованию ударных вол'Н и
контактных разрывов, надо выйти за пределы формулировки об-
общепринятой идеальной МГД.
Были проведены различные условия, пр.и которых .разрывные
течения являются физически оправданными. Простейшее условие
.заключается в требовании, что'бы энтропия была неубывающей
функцией по потоку. Другое условие требует того, что'бы при до-
добавлении диссипации к модели идеальной МГД течение описыва-
описывалось гладким решением, которое в пределе нулевой диссипации
становится безди'осипативяой ударной волной или контактным
разрывом. Большое ограничение налагает требование, чтобы с до-
добавочной диссипацией течение имело единственное решение. Еще
одно условие, .которое можно наложить «на мод ел ы.идеальной МГД,
состоит в том, что течение должно быть эволюционным. В даль-
дальнейшем мы отпишем кратко смысл этой концепции.
Допустим теперь, что все эти условия выполняются для физи-
физически реализуемых течений и »мы должны установить логические
связи между ними, т. е. найти, какое .или какие из них обусловли-
обусловливают остальные условия. Из диссипативных теорий следует, что ос-
основными интегральными соотношениями действительно являются
уравнения (8)—i(l'l); мы не заменяем A0) на D3). Используем
D3) в модифицированной форм-е:
SdV^O, D4)
J
V(t)
соответствующей утвержде-нию, что энтропия является неубываю-
неубывающей в потоке. В гидродинамике можно по.казг;ть, что если выбрать
соотношение, аналогичное A0), тогда все другие нерассмотренные
212
условия физической реализуемости эквивалентны. В идеальной
МГД критерии отличны, и в действительности для двух предель-
предельных случаев они даже не решают вопроса.. Для наших целей ис-
используем интегральные соотношения (8) — A1) и предположим,
что течения должны быть эволюционными (это условие объяснено
ниже). Другие условия, включая D4), будут следовать из этого
требования, исключающего два предельных случая.
Перейдем теперь к изучению интегральных соотношений (8) —
A.1) [иногда и A2)]. Предположим, что течение разрывно при
пересечении поверхности ф(х, t)=0. Единичный вектор, нормаль-
нормальный к поверхности, есть n=V(p/|V(p|. Введем скорость точки на
движущейся поверхности ?/, в результате получим:
хотя такое обозначение будет непоследовательным, введем нор-
нормальную компоненту скорости 'поверхности U
у?|. D5)
Используем индексы 1 и 2 для обозначения .параметров течения
непосредственно на одной или другой стороне поверхности разры-
разрыва и обозначим:
[F]=Fl-F2; <F>=(Fl+F2)/2.
Стандартные для динамики жидкости или электромагнитной тео-
теории .рассуждения о бесконечно малом элементе разрыва переводят
интегральные соотношения (8)—'A1) в условия на разрыве
[p(n.u— С/)]=0; . D6)
[(n-u— и)ри+п(р+Ъу2) - (п.В)В]*=0; D7)
[(п- и - U) (ри2/2+е+В2/2) +
+n-u(p+B2/2)—'n-Bu-B]=0; D8)
[(iT-u — t/)B— "n-Bu]=0. D9)
Перепишем уравнение A2) в виде
[n • В] =0. E0)
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы отличить ударные вол-
ны от контактных поверхностей. Если u-n—U обращается в нуль
на одной стороне ударного фронта, тогда u-n—U обращается в
нуль также и «на другой стороне фронта (или р обращается в нуль
на другой стороне — этот случай рассмотрим ниже). Течения,для
213
которых u-n—V обращается в нуль на обеих сторонах фронта,,
являются контактными разрывами; течения с u-n—U^O на обеих
сторонах являются ударными волнами. Ясно, что жидкость дви-
движется через ударный фронт, в то время как сквозь -контактный
разрыв течение жидкости отсутствует. Для ударных волн удобно-
ориентировать поверхность и присваивать индексы 1 и 2 так, что-
бы оба выражения (n-Uj—U) и (n-u2—U) были положительны, а
плазма 'переходила из состояния 1 в состояние 2. При этих усло-
условиях индекс 1 соответствует области до -скачка уплотнения, а ин-
индекс 2—[.позади. В случае контактных разрывов индексы могут
присваиваться любым образом.
При сделанной формулировке условий допускается возмож-
возможность толо, что состояние нг, каждой стороне поверхности разры-
разрыва может меняться в пространстве и времени. Такие разрывные
течения представляют .практически большой интерес, они обсуж-
обсуждаются ниже. Здесь лишь отметим, что поверхность разрыва
ф(х, t) =0 и течения в этом случае развиваются согласно началь-
начальным и граничным условиям. При этом условия на скачке D6) —
E0) устанавливают ограничения на параметры течения на обеих
сторонах разрыва. В такой сложной постановке задача, не рассмат-
рассматривается, чаще независимую от времени плоскость рассматривают
в пространстве как 'поверхность разрыва и предполагают, что па-
параметры течения на обеих сторонах плоскости постоянны. Не бу-
будем вводить это упрощение явно, а попытаемся сформулировать
задачу в наиболее общем виде.
Если мы введем удельный объем
т=1/р E1)
как новый параметр и поток массы, текущий через фронт,
m=(n-Ui — J7)pi=(n «иг —t/)p2^0, E2)
тогда система D6)—'D9) примет вид:
т[т] = [и.п|; E3)
m[u]+n[p]+n<B> . [В] —
— <JT.B>[B]=O; E4)
/п{[е] + <Р>[т] + [т][В]74}=0; E5)
т<т> [В] + [п- и] <В> — <?. В> [и] =0, E6)
а E0)
?. Bi=n^ В2 = <гГ-В>. E7)
214
Теперь будем считать, что n-В можно представить в любой изза-
данных выше форм: п-Вь п-В2 или <п-В>, которая нам будет
удобна. Если взять n-комлоненту из E6), тогда либо т==0, либо
«^v -s^
[п-В]=0. Ясно, что -корень с т=0 и [п-В] =7^=0 физически не су-
существует и долж'ен быть отброшен. Если исключим [и] и [В] из
<53), E4) ,и( E6), то «найдем связь
/п<т>(<т>т2— (B-nJ){<t>m4 —m2X
^)} = 0. E8)
Можно установить идентичность E8) и дисперсионного соотноше-
соотношения для волн в плазме A7), 'воспользовавшись правилами соот-
соответствия
[р]/[т];
Таким образом, исходная система эквивалентна уравнениям
E5) и E8). Гидродинамическая аналогия состоит в том, что E8)
является кинематическим соотношением, а E5)—соотношением
Рэнкина — Гюгонио [б].
Проанализируем теперь решения системы E5) и E8). Видим,
что каждое уравнение имеет корень т=0, а уравнение A7) имеет
два корня с=0. Как и прежде, один из этих -корней ложный и со-
ответствует ргзрыв'ному решению с [п-В]^=0. Легко проверить,
что этот корень получен из E8) и является п-ко-мшиентой из E6).
Пренебрежем сейчас этим корнем E8). Корень E5) с т=0 есть
ранее введенный контактный разрыв. Если мы вернемся к урав-
уравнениям E3) — E6), то увидим, что значение [т] произвольно и
Ju-n]=0. Конта'ктньге разрывы удовлетворяют различным усло-
•"V. •"V
Виям в зависимости от n-В. Если п-В=0, то [р+В2/2]=0 — един-
единственное дополнительное ограничение на контактный разрыв. Если
fi-B=7^=0, то в контактном разрыве [р] =i[B]=i[u]=0. Оба эти ре-
решения являются очевидными пределами простых волн [см. об-
обсуждение, следующее за уравнением C4)].
Теперь мы вернемся к корням уравнений E5) и E8) с т=#=0,
соответствующим ударным волнам. Аналогия между уравнениями
{17) и E8) позволяет нам ввести стандартную терминологию для
ударных волн. Корень уравнения E8), связанный с множителем
— (В.?J = 0, E9)
215
известен как поперечная ударная волна. Кор™, образованные
полиномом четвертой степени относительно т
<т>/п4 —т2(<В>2 —<т>[р]/[т]) +
З)=0, F0)
известны ка,к быстрая или медленная ударные волны сжатия. Мы
¦вряд л.и можем решить уравнения E5) и E9) или F0), так как
в уравнения входят значения параметров на о'беих сторонах фрон-
фронта ударной волны. Мы можем только использовать уравнения, что-
чтобы образовывать семейства решений ударных воли, а затем изу-
изучать их свойства. Названия быстрая, .медленная или поперечная,
которые мы применяем к удгр-ным волнам, даны в значительной
степени по аналогии и в согласии с (решениями для слабых удар-
ударных волн и с явлениями распространения волн. Поперечные удар-
ударные волны удовлетворяют уравнениям E5) и E9) и имеют про-
простое .представление. Легко проверить, что для них
[т] = М = [р] = [и-5 = [В>]=0, F1)
так что только компоненты и и В, (перпендикулярные п, меняются
в соответствии с ограничениями
2; F2)
[В2]=0 F3)
и уравнением E9). Ясно, что поперечные ударные волны* — эта
«предельные формы альвеновских простых волн, когда профиль
функций, описывающих параметры течения, становится более кру-
крутым. В ударных волнах поперечное магнитное поле поворачивает-
поворачивается на .произвольный угол, а 'поперечная скорость меняется соглас-
согласно F'2). Хотя это действительно ударные волны в том смысле, чта
имеется поток через фронт волны, энтропия не меняется поперек
фронта.
Прежде чем приступить к изучению более общего и сложного
случая быстрых и медленных ударных волн, рассмотрим один
простой специальный случай. Спросим себя при -кг.ких условиях
чисто газодинамическая ударная волна является также ударной
волной в идеальной МГД? Для таких ударных волн мы требуем
[В]=0 и из уравнений E3), E4) и E6) заключаем, что п, [и]
и В параллельны. Следовательно, если В непрерывно илараллель-
но п, то возможна чисто газодинамическая ударная волна с раз-
рывами только в е9 т, р и и-п. Такие ударные волны также удов-
летворяют -всем условиям, которые мы впоследствии наложим на
(физически осмысленные ударные волны. Согласно нашим опреде-
определениям чисто 'газодинамическая ударная волна является быстрой
или медленной в зависимости от того, больше или меньше (п-ВJ
значения <т>>[р]/1[т].
216
Вместо того чтобы характеризовать ударную волну как быст-
быструю или медленную в соответствии с природой корней соотноше-
соотношения F0), можно описать отдельно параметры состояния перед 'И
за ударной волной. Построим годограф нормальных скоростей (см.
рис. 1, а—в) для состояния 1 перед ударной волной и отдельно го-
годограф нормальных скоростей для состояния 2 за ударной волной.
Обозначим различные области пространства на этих рисунках циф-
цифрами: пространство, внешнее по отношению к годографу быстрой
волны /, область м'ежду годографами быстрой и альвеновокой
волн //, область между годографами альвеновской и медленной
волн /// и внутреннюю область по отношению к годографу мед-
ленной -волны IV. Изобразим вектор n(ivn—?/), i='l, 2 в плоско-
плоскостях нормальных скоростей для состояний перед ударной волной 1
•и после ударной волны 2. Тогда можно идентифицировать течения
до и после ударной волны как находящиеся отдельно в состоянии
/, //, ///, IV. В противоположность описанию быстрой или медлен-
медленной ударной волны, основанному на уравнении F0), которое сме-
смешивает параметры до и после ударной волны, новое описание ха-
характеризует состояния до и (после удгрной волны почти независи-
независимо друг от друга, потому что скорость ударной волны U и направ-
направление нормали п связывают состояния до и после ударной волны.
Перечисление всех решений системы E5), F0) типа ударных
волн представляет трудную задачу, требующую большой аналити-
аналитической и вычислительной ра(боты. К тому же связь между только
что введенными состояниями /—IV и быстрой и медленной удар-
ударными волнами на первый взгляд не является очевидной или есте-
естественной. Вместо того чтобы приводить детали вычислений, опи-
опишем критерии, используемые для исключения разнообразных ре-
решений типа ударных волн, и укажем, какие ударные волны в кон-
конце концов остаются. В процессе изложения мы также приведем
дополнительный наглядный материал по физически реализуемым
ударным волнам.
Наиболее известный критерий реализации ударных волн со-
состоит в том, чтобы энтропия не уменьшалась при переходе через
ударную волну. Для быстрых или медленных ударных волн энтро-
энтропия строго возрастает. Из элементарных термодинамических
свойств функции Гюгонио [е] + <Р>'[т] и удельного объема [т]
заключаем, что и давление и плотность возрастают при пересече-
пересечении ударного фронта, т. е. ударная волна является уплотнением.
Следовательно, отношение [/?]/'[т] в уравнении E8), аналогичное
величине pv2T в A7), является положительным. Из уравнений
,E0), E3) и E4) -находим:
; F4)
[В2]=-т2[т](<В>2 — (<В.?>2)/(т2<т> —
— (<tT.B>J. F5)
217
Теперь ударная волна — быстрая или медленная в зависимости or
того, является ли /л2<<т>—'(<п«В>J «положительной или отри-
отрицательной величиной. Таким образом, в быстрой ударной волне В2
возрастает, а вектор пХВ2 параллелен nXBi и первый из них
больше по величине, чем последний. В медленных ударных вол-
нах В2 уменьшается, а вектор пХ^г или параллелен, 'или анти-
параллелен nXBi, но первый из них меньше по величине, чем по-
последний.
Имеются Две другие специфические ударные волны, представ-
представляющие значительный практический интерес. Если состояние пе-
/>»
ред ударной волной имеет .параллельные Bj и п, в то время как в
состояний за ударной волной В2 имеет компоненту, -параллельную
удар-ному фронту, тогда ударная волна называется ударной вол-
волной включения, поскольку выключается тангенциальная компонента
магнитного поля В. С учетом перечисленных выше свойств удар-
ударная волна включения должна быть быстрой ударной волной. Про-
Противоположным случаем является ударная волна выключения, в
которой Bi имеет компоненту, -параллельную ударному фронту, в
то время как В2 параллельно п. Ударная волна выключения дол-
должна быть медленной ударной волной. Ударные волны включения и
выключения существенны для решения МГД аналогов задачи о
движущемся поршне в ллазменной трубе и задачи о плазменной
ударной трубе. Можно также описать ударную волну включения
в терминах состояний /—///, IV. Ударная волна включения .пред-
.представляет собой переход из состояния / к границе раздела между
состояниями // и ///. Ударная волна выключения представляет
собой переход из той же 'границы раздела между /•/ и /// в со-
состояшие IV. Тот факт, что одно из состояний этих ударных волн
лежит на границе раздела между двумя областями, имеет очень
важные следствия.
Ниже мы введем критерий эволюционное™ ударных волн. Пред-
Предположим теперь, что мы и-меем два постоянных состояния, разде-
разделенных плоской границей раздела, являющиеся «переходом через
скачо-к уплотнения. Можно задать следующий вопрос. Предполо-
Предположим, что мы слегка искажаем границу раздела, т. е. .из .плоскости
превращаем ее в некоторую другую поверхность и допустим, что
мы слегка возмущаем состояния до и после ударной волны. Мож-
Можно ли в этом случае решить линеаризованные МГД-уравнения и
соотношения на ударной волне, чтобы найти слегка возмущен-.
<ное состояние ударной волны вместе с волнами, уходящими от гра-
границы раздела, или существует только большое нелинейное пере-
перестроение плазмы и конфигурации ударной волны. Возможность
нахождения соседней ударной волны и состояния течения являет-
является физическим и математическим выражением утверждения, что
исходная ударная волна эволюционна. В гидродинамике ударные
волны эволюционны тогда, когда энтропия возрастает. В плазме
218
•единственные эволюционные ударные волны представляют собой
переход из 'состояния / в «состояние // — быстрые ударные волны
или переход -из состояния /// в состояние IV—-медленные удар-
ударные волны. Другие волны имеют возрастающую энтропию, но не
•являются эволюционными. Эволюционность представляет особый
тип динамической устойчивости (конфигурации .и является разум-
разумным условием, налагаемым на течение. Имеется .принципиально
простая процедура для определения, эволюционное™ ударной
.волны, требующая, однако, значительного анализа вычислений. Ин-
Интересующемуся читателю следовало бы обратиться за подробно-
подробностями к уже цитированной литературе.
Последний критерий применимости ударной волны, который мы
предложим, касается влияния дополнительной диссипации на
идеальную МГДнмоду. Потребуем, чтобы при введении диссипа-
диссипации в идеальную МГД-модель имелась единственное решение, со-
соответствующее ударной 'волне, и чтобы в пределе нулевой дисси-
лации единственное решение становилось ударной волной. Этот
очень разумный критерий согласуется с условием эволюционное™,
где бы он ни применялся. Ни условие эволюционное™, ни дисеи-
патИ'Вное условие не дают определенного ответа, относительно при-
приемлемости предельных ударных волн включения и выключения.
Нелинейные численные расчеты изменения параметров при пере-
переходе через фронты ударных волн включения и выключения с дис-
диссипацией показывают, что эти ударные волны являются устойчи-
устойчивыми в том смысле, что малые возмущения фронта волны изме-
изменяют ударную волну и добавляют волны [7], но эти изменения
малы.
1.5. Некоторые точные решения. В литературе часто встре-
встречаются и достойны упоминания два типа точных решений нели-
нелинейного течения и распространения волн. Они систематически изу-
изучались Трэдом [9]. Предположим сначала, что все величины зави-
зависят только от х и у> но не от z, и что и имеет только х- и у- ком-
компоненты, а В(л:, уу t)=zB(x, у, t). Такие течения называются по-
поперечными. Легко проверить, что закон Фарадея D) сводится к
уравнению
dB/dt+y-(uB)=0,
так что если введем величину, подобную второй энтропии,
F6)
то вторая энтропия будет удовлетворять тому же уравнению, что
и (настоящая энтропия C)i
Если мы введем эффективное давление
р (р, S, л)=Р(р, 5)+В2/2 = р(р, S)+ri2p2/2, F8)
219
тогда уравнение сохранения имлульса примет вид:
= 0. F9)
Та.ким образом, поперечные волны определяются уравнениями сох-
сохранения массы A), сохранения импульса F9), двумя энтропийны-
энтропийными соотношениями C) и F7) и уравнением состояния F8). Сле-
Следовательно, поперечные течения по существу родственны двумер-
двумерным течениям жидкости. Можно было бы продолжить аналогию
дальше, введя новую функцию внутренней энергии
е*(р, S,r\)=e(p, S)+ti2P2/2, G0)
которая удовлетворяет
dejdt + (и-vK + P.V-и = 0> G1>
причем G0) может заменить C) или F7).
Бели существует связь tj=t]'(S) или S=S(r[), to система точ-
точно сводится к уравнениям двумерной гидродинамики. Перечислим
условия для такого сведения: t] = t)iE) в начальный -момент; ц или
S в начальный момент равны константе; течение точно одномер-
одномерное и нестационарное; течение стационарное и двумерное. Во всех
этих -случаях можно рассматривать р*(р, 5, г\) как функцию толь-
•ко р и S (или, возможно, только р и г]), в этом случае течение опи-
описывается точно так же, как двумерное течение жидкости.(
За пределами любых таких ограничений для установившихся
течений имеет место закон Бернулли: выражение
, 5)+ri2p/2
dh / о\ 1 др / о\
постоянно на линии тока, где (р, о) = ?~(Р» «Ь)«
dp P dp
Для очень специальных зависящих от времени (безвихревых тече-
течений с тождественно постоянными S и г\9 соотношение
<Эф/<ЗН-и2/2+/1(р, 5)+ri2p/2
тождественно постоянно, причем и = Уф.
Другой класс специальных течений, который мы упоминаем,
представляет собой параллельные течения, для которых иХВ=О
и -которые неизбежно не зависят от 'времени. Ясно, что -можно
взять
В=Мри), G2)
где (u-v)X=0. G3)
Тогда уравнения идеальной МГД сводятся « G3) и
V(pu)=0; G4)
p(u-y)u+VP=^2P(V+PU)X«; G5)
(u- vM = 0. G6)
220
Закон Бернулли записывается в ферме u2/2+A(p, S)= const на
линии тока та,к же, как .в динамике жидкости. Здесь снова А, есть
эффективная вторая энтропия. Течения с какой-либо симметрией
(цилиндрической, -винтовой, сферической) или не зависящие or
z допускают введение функции тока ри; тогда 5 и Я определяются
этой функцией тока и уравнения по -существу сильно упрощаются.
2. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ИДЕАЛЬНОЙ МГД
2.1. Корректно поставленные задачи в идеальной МГД. Выше
мы привели точные «решения уравнений идеальной МГД: простые
и ударные волны, линеаризованные плоские волны и некоторые
другие точные решения. Теперь вернемся к более систематическо-
систематическому исследованию уравнений 'идеальной МГД. Опишем задачи,
представляющие теоретический и практический интерес. Эти во-
вопросы уже обсуждались после уравнения A9). Мы полагаем, что
наряду с уравнениями ('1) — D) необходимо привести условия, ко-
которые -наложат дополнительные ограничения на решение. Обычно*
задаются некоторая информация в -начальный момент времени и.
по возможности данные на более поздние времена, а также дан-
данные иа .протяжении всего времени на специальных граничных кри-
кривых, поверхностях или точках, так что типичная задала в идеаль-
идеальной МГД представляет собой систему дифференциальных уравне-
уравнений с начальными и граничными условиями. Необходимым усло-
условием задачи является утверждение, что она корректно постав-
поставлена [3]. Для корректно поставленной задачи требуем, чтобы
решение задачи также изменялось непрерывно, если исходные
данные меняются непрерывно. Предположим также, что для каж-
каждого набора данных имеется единственное решение задачи. Кон-
Концепция корректно поставленной задачи особенно подходит для
гиперболических или параболических дифференциальных уравне-
уравнений. И в меньшей степени подходит к нелинейным эллиптическим
уравнениям, где может иметься бифуркация (разветвление) или
неединственность или даже отсутствие равновесных состояний.
Используем понятие корректной постановки, чтобы выбрать разум-
разумные начальные и граничные задачи для идеальной МГД, а также
рассмотрим соответствующую информацию на поверхностях раз-
разрыва. В большинстве случаев не было показано, что предложен-
предложенные начальные и граничные условия и соотношения на разрывах
дают корректно поставленную задачу. Результаты этих исследова-
исследований тем не менее вполне удовлетворительны и совместимы с обыч-
обычно принятыми идеями решений уравнений в частных производных
и общепринятыми идеями физики плазмы.
Мы намеренно исключим два, очень важных типа задач, кото-
которые далеки от обсуждаемой здесь темы, но .каждый из них физи-
физически очень важен и заслуживает внимания. В идеальном МГД-
равнове-сии мы ищем решение уравнений A)—'E) с d/dt=O и
и = 0. Имеются критические проблемы, касающиеся существования
и единственности МГД-равновесия, речь о них пойдет ниже. Уста-
221
повившиеся МГД-течения (д/д4=О, ифО) являются еще более
трудным.» для описания. В динамике жидкости хорошо известно,
что дозвуковые течения «ведут себя совсем отлично от сверхзвуко-
сверхзвуковых течений. МГД является бол-ее сложной для рассмотрения, так
как возможны три звуковых перехода—быстрый, альвеновский и
медленный. Задаваемые условия и корректная постановка задачи
зависят от ожидаемой природы самого решения. Однако звуко-
звуковые переходы -вносят дополнительные сложности. В общих чер-
чертах об этих проблемах известно очень мало, хотя решено несколь-
несколько специальных задач точно 'или с помощью асимптотического раз-
разложения.
Поэтому ограничимся зависящими от времени решениями урав-
уравнений A) — D). Зададим некоторые начальные условия, некоторые
условля на границах и на поверхностях разрыва и на границераз-
дела с другой средой. Легко распорядиться -начальными данными.
С физической точки зрения ргзумно задать р, и, В и 5 (или р) в
некоторый начальный момент времени, напри-мер t=Q. Конечно,
данные для В ограничены условием V-B(#, 0)=0; в остальных
случаях можно задавать эти функции достаточно произвольно.
Для поставленных таким образом задач имеются теоремы су-
существования ,и единственности в соответствующей области.
Ниже приведены граничные условия и условия на окачке для
различных задач. Установление корректности задачи основывает-
основывается на физических и математических рассуждениях. Можно пере-
перечислить различные условия, .которым мы хотели «бы удовлетворить
на границе раздела. Математически мы должны определить сна-
сначала, сколько условий должно быть задано, и лишь затем уста-
установить логическую связь между предложенными условиями. Далее
мы выбираем »абар условий, совместимых с математическими и с
физическими требованиями. Наметим в общих чертах физические
принципы, которые используются на границах раздела. Применим
сначала простое условие механического течения. Если на одной
стороне поверхности раздела плазма отсутствует, тогда нормаль-
нормальная компонента скорости плазмы -на другой стороне должна рав-
равняться нормальной компоненте скорости поверхности раздела.
Если это условие не выполнено, то на границе плазмы возникают
фиктивные источники и стоки. Если имеется плазм-а на обеих сто-
сторонах границы раздел?,, тогда мы имеем либо ударную волну,
либо контактный разрыв и рассматриваем их соответственно. Вто-
Второе условие, электромагнитное по происхождению, относится к тан-
тангенциальной компоненте электрического поля на границе раздела.
«Фундаментальное неотъемлемое граничное условие состоит в том,
что в локальной талилеевской системе координат, в которой сег-
сегмент границы покоится, тангенциальное электрическое поле не-
непрерывно. Эти два условия должны 'всегда выполняться. Другое
условие, которое мы иногда применяем, есть условие на механиче-
механическое напряжение. Напряжение, которое^ плазма оказывает на гра-
границу раздела, есть п(р+В2/2)—В(В-п), где п — единичная нор-
нормаль со стороны плазмы. Применяемые при постановке задачи
222
¦математические условия включают определение числа характери-
характеристических поверхностей, покидающих сегмент границы раздела»
»и наложение одного граничного условия на каждую характеристи-
характеристику, причем каждое условие на разрыве, связывающее данные на
обеих сторонах 'границы раздела, рассматривается как половина
'граничного условия. Эта процедура .известна в математике тг.кже-
хорошо, как и описанные выше условия в физике. Конечно имеют-
имеются определенные сложности, -которые будут рассмотрены ниже.
2.2. Граничные условия для плазмы на жесткой границе. Ког-
Когда мы ставим граничные условия нг. стенке, мы должны тщатель-
тщательно различать проводящую и .непроводящую стенки. Так как в про-
проводнике Es=0, делаем вывод, что электромагнитные граничные ус-
условия на плазму должны быть такими, чтобы тангенциальная ком-
компонента электрического поля Е обращалась в нуль. Если п—еди-
п—единичная нормаль к границе, тогда граничные условия примут вид:
n.u = 0 G7>
и
= O = nX(uXB)=u(n.B). G8)
Если n-В^О, тогда необходимые граничные условия имеют вид:
и = 0. G9)
Мы .имеем опять три граничных условия. Кроме того, есл'Ип-В = 0„
тогда имеется только одно граничное условие G7). Неудивитель-
Неудивительно, что этот физический анализ вполне совместим с математиче-
математическим анализом. Если n-В^О, тогд?, существуют три нетривиаль-
нетривиальные особые характеристические поверхности, которые покидают
границу,—-это быстрая, медленная и альвеновская характеристи-
характеристики, in для нахождения решения необходимо задать три граничных:
условия. Если п«В=0, тогда медленная -и альвеновская характе-
характеристики сливаются с энтропийной и единственной нетривиальной,
характеристикой -будет быстрая характеристика. Обычно нет не-
необходимости ^задавать «какую-либо информацию для энтропийной ха-
характеристики, и, конечно, в случае появления кратных характери-
характеристик, нельзя вводить дополнительные условия. Таким образом,,
'математически совершенно оправдано, что G7) справедливо для:
п-В=0 на границе, в противном случае справедливо уравнение
G9). В этих случаях как рае имеются в распоряжении "несколько
теорем существования и единственности.
Следует заметить, что мы не задали никаких условий дл^
П'В. Элементарное следствие из dbjdi=—VXE состоит в том,.
что если 2 — произвольная поверхность, <32 — ее граница, тогда
-у ( f B-nrfS) = — f Е-Л- (80>
Таким образом, если тангенциальная .компонента Е обращает-
обращается в -нуль на поверхности, то п-В не зависит от времени. Следо-
вательно, если n-В непрерывно на границе п,ри ^=0, тогда, так
как В не изменяется в проводнике, гГ-В непрерывно для любого
момента времени.
Для плазмы, находящейся в контакте с «изолятором, -мы имеем
значительно -более сложную -ситугщию, и трудности возникают не
только из-за граничных условий. Принципиальное осложнение со-
состоит в том, что необходимо искать решение для Е и В внутри
изолятора и потом сшивать поля на границе раздела. Можно
использовать любую подходящую модель для' непроводящей сре-
среды, чтобы охарактеризовать Е и В. Обозначим Ей Вв изоляторе
Еи и Ви. Ясно, что мы должны наложить еще -и механическое ус-
.лови-е G7), что1бы плазма не перетекала через границу, в то время
как электромагнитное условие принимает вид:
nxEu=— u(n-B). (81)
^>
Заметим, что G7) и (81) опять гарантируют непрерывность п-В,
поскольку мы легко находим аналог (80) для скачков В и Е:
-|-f[B.n]rfS=- f lE]d/ =
и, следовательно, n-В 'непрерывно для всего отрезка, времени,
если о-но непрерывно в начальный момент. Теперь -можно (подсчи-
(подсчитать число граничных условий на жесткой стенке. Уравнение G7)
является .первым условием. Две компоненты уравнения (81), пер-
перпендикулярные п, дают два соотношения, связывающие парамет-
параметры на каждой стороне границы раздела. Согласно нашей догово-
договоренности граничное условие, связывающее переменные на обеих
сторонах границы .раздела, рассматривается как одна- половина
истинного граничного условия. Таким образом, нам представлены
два граничных условия с тремя характеристическими поверхностя-
поверхностями и мы должны найти дополнительное граничное условие.
Используем подход Грэда [9], который ввел граничное условие,
заключающееся в том, что .касательное напряжение (тангенциаль-
(тангенциальная компонента вектора напряжений) на границе раздела обра-
обращается в нулъ. Вспоминая форму напряжений в плазме и предпо-
предполагая аналогичную форму для напряжений в изоляторе, находим
граничное условие
пХ[В]=0. (82)
Согласно нашей договоренности о том, .как считать -граничные ус-
условия, две нетривиальные компоненты уравнения (82) дают одно
дополнительное граничное условие. Таким образом, мы имеем три
необходимых граничных условия. Заметим, что из (82) и непре-
непрерывности п«В следует непрерывность В на границе раздела. Тог-
Тогда на непроводящей границе раздела мы используем соотноше-
соотношения G7), (81) и (82) в качества трех граничных условий. Если по
некоторым причинам граница является характеристикой, т. е.
224
п-В = О, тогда единственным условием со стороны плазмы было
бы точно такое же условие G7), что и для проводника, в то вре-
время как для изолятора следовало бы взять nXEu = 0, а условие
(82) не являлось бы необходимым. По существу нетривиальные
задачи с непроводящими границами подробно здесь не рассматри-
рассматривались.
Может показаться странным, что в случае идеального провод-
проводника мы пренебрегаем условиями на касательные напряжения,
в то время как для изоляторов мы накладываем их на касатель-
касательные напряжения. Сначала, мы заметим, что математические факты
задачи почти вынудили нас принять такую точку зрения. Затем
мы можем взглянуть на физическое происхождение явления. Ав-
Автор работы [9] показал, что в некоторых очень частных случ-аях,
когдг, плазма рассматривается как высокопроводящая, но не
идеальнопроводящая, имеется тонкий пограничный слой, в кото-
котором касательное напряжение меняется от значения, соответствую-
соответствующего .почти идеальной проводимости среды снаружи, до значений
касательных напряжений, соответствующих непроводящей среде
•на границе раздела сред. Такой пограничный .слой подобен погра-
пограничному слою в гидродинамике, в котором тангенциальная ско-
скорость течения под действием вязкости изменяется от значения в
случае идеальной жидкости до нуля на границе, так что разумно
строить гипотезу о пограничном слое около границы в идегльно-
проводящем случае, когда касательное напряжение 'меняется. Од-
Однако ясно, что многие вопросы с непроводящими границам/и оста-
остаются открытыми.
2.3. Условия на деформируемой границе. Читатель часто инте-
интересуется динамикой плазмы в случаях, когда имеется поверхность
разрыва в ллгзме или имеется прани-ца раздела между плазмой и
областью вакуума. Сейчас мы рассмотрим условия на границе
для этих двух случаев, начнем с поверхности разрыва в плазме.
Эти поверхности являются как раз контактными разрывами и
ударными волнами, которые рассматривались выше. Условия раз-
разрыва D6) — E0) включают параметры жидкости на о1беих сторо-
сторонах фронта и нормальную компоненту скорости фронта D5). Раз-
Разрыв может быть контактным, поперечной ударной волной либо
быстрой или медленной ударной волной. Мы конечно имеем как
раз то число условий на скачке, которое необходимо, и если мы
ограничимся эволюционными ударными волнами, то увидим, что
задачи поставлены корректно. Действительно, именно потребность
использовать ударные волны в построении нетривиальных, зави-
зависящих от времени течений подсказала идею о критерии эволю-
ционности.
Расчеты гидродинамических течений с ударными волнами или
контактными разрывами хорошо истолкованы, и их обобщение на
случай МГД не является принципиально отличным.
Условия, на границе нлгзма—вакуум получаются также отно-
относительно просто. Допустим, что граница задана уравнением
8 Зак. 137 225
ф(х, t)=0. Согласно определению границы раздела точка на гра-
границе должна двигаться со скоростью плгзмы, если и — скорость
плазмы,
-^-(х. O + (u-V)?(x. 0 = 0. (83)
Мы также считаем, что граница является поверхностью потока
магнитного поля на обеих сторонах границы или
п- В= уф.В = 0. (84)
Вряд л.и существуют какие-либо решения уравнений МГД, если
уравнение (84) станов-ится неприменимым. Мы вернемся к этому
предположению ниже. Магнитное поле в области вакуума опреде-
определяется уравнениями:
VXB = V-B = 0, (85)
•которые вместе с уравнением (84) -и другими граничными усло-
условиями (и периодами многократно связанных областей вакуума)
полностью определяют В в вакууме. Обсудим определение Е(х, t)
в вакууме после рассмотрения плазменной области. Поскольку мы
предположили справедливость (84), то граница плазмы является
характеристической поверхностью со стороны плазмы и, так же
как и выше, мы можем -наложить на магнитное поле одно гранич-
граничное условие. Теперь уравнение (83) не является правильным ус-
условием, так как оно просто служит для определения нового поло-
положения границы раздел?.. Остающееся граничное условие — это не-
непрерывность нормального напряжения. На границе раздела ре-
результирующая сила отсутствует
[р+В72]=0. (86)
Поскольку В в вакууме полностью определяется с помощью урав-
уравнений (84), (85) и граничных условий, то (86) определяет р+В2/2
на границе со стороны плазмы и обеспечивает необходимое грг-
нич-ное условие в плазме. Следует заметить, что уравнение (84) со
стороны плазмы автоматически следует из уравнения A1).
Чтобы закончить анализ области вакуума, необходимо решить,
кг.к определить Е. Запишем уравнения, которые характеризуют Е:
VXE=— дЪ/dt; V • Е=0. (87)
Подходящее граничное условие для Е на границе есть непрерыв-
непрерывность тангенциальной компоненты от Е в системе покоя границы
раздела. Со стороны плазмы тангенциальная компонента от Е в
этой системе координат равна nX(EXB)s==0. Следовательно, пр?.-
вильное -граничное условие со стороны вакуума имеет вид:
nX(E+uXB)=0. (88)
226
Можно представить магнитное ноле в вакууме в терминах век-
векторного потенциала
B = VXA (89)
и, таким образом, Е =—<9A/dtf+V%,
где
Ах=0- (9°)
Теперь .покажем, как получить граничные условия на границе раз-
раздела для % из (88). Так как уравнение (84) справедливо на дви-
движущейся поверхности для лк>бого момента времени, то
J dt JUX " '
где 2—произвольная часть границы <р(/„х)=О, или
П. (91)
Можно интерпретировать уравнение (91) как утверждение, что
выражение d\/d\t—uXB, проинтегрированное вокруг любой замк-
замкнутой кривой на границе раздела, обращается в нуль. Кроме того,
dA/dt—их В представляет собой поверхностный градиент, т. е. су-
существует функция я|) (х, t) такая, что соотношение
пХ (-^--uXB)=nXV<Kx. t) (92)
выполняется на границе раздела. Если теперь наложить гранич-
граничное условие
Х(х, 0=*(х, t) (93)
на границе раздела, тогда уравнение (88) удовлетворится и Е мы
определим сразу же, «как только будут заданы другие граничные
условия, не имеющие отношения к плазме. Подобное рассмотре-
рассмотрение проведено в [10].
Наконец, разъясним предположение (84) о том, что граница
раздела является характеристикой и поверх-ноетъю потока. Пред-
Предположим, что П'В=7^=0 или во вюячеом случае [п-В]=0. Тогда нам
необходимо три граничных условия на границе раздела,. Если
предположить, что на границе раздела напряжение отсутствует,
тогда получим, что [пХВ]=0 или окончательно [В]=0. Нако-
Наконец, мы приходим «к вьшоду, что р=0 на границе раздела, что со-
согласно стандартным термодинамическим уравнениям эквивалентно
р = 0. Этот особый случай соответствует вырождению. Таким об-
образом, исключая возможность таких особенностей, кажется невоз-
невозможным допустить случай п-В=^=0 на границе. Плазма без дав-
давления (/?=i0) и бессиловая (р=р=О) является сильно вырожден-
вырожденной и имеет различные особенности [11].
8* 227
3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ ВОЛН
3.1. Функция Грина. Выше приведены элементарные условия распростра-
распространения волн в плазме: плоских волн и их дисперсионные соотношения, простых
и ударных волн и соответствующие начальные и граничные условия. Ниже мы
применим эти идеи к различным конкретным задачам и обсудим распростра-
распространение линеаризованных волн в идеальной МГД, где уравнения линеаризуются
на фоне меняющегося состояния. При этом будут рассмотрены распростране-
распространение волн, их устойчивость и спектры линеаризованного оператора идеальной
МГД. В дальнейшем речь пойдет о распространении только линеаризованных
волн в стационарной фоновой плазме. Рассмотрим сначала, до какой степени
можно надеяться разделить быструю, медленную и альвеновские волны в обыч-
обычном возмущенном потоке, а потом введем функцию Грина или фундаменталь-
фундаментальное решение задач распространения волн. Затем изучим особое представление
функции Грина в идеальной МГД на примере задачи двумерного распростра-
распространения волн и рассмотрим функцию Грина в общих чертах и ее свойства. Ка-
Качественно и с помощью иллюстраций обсудим точные решения двух конкрет-
конкретных задач распространения волн.
Изучим теперь уравнения' идеальной МГД, линеаризованной относительна
однородного фона с плотностью ро, нулевой скоростью течения, магнитным
полем Во=ВоВо и давлением ро> для которых уравнения для возмущенных па-
параметров течения pop', u', В'В0 имеют следующий вид:
dp'/dt + v*u' = 0;
ди'/dt + v%-vp7 -
В') X Bo = 0;
(94)
(u' XBO) =0,
dp
где v2t — постоянная скорость звука —- (po, So) и v2a — постоянная альвенов-
др
екая скорость Во2/ро. Уравнения для возмущенной энергии, энтропии и давле-
давления выделяются из системы (94), которая оказывается системой седьмого по-
порядка по времени, но условие V-B/=0 эффективно понижает ее до системы
шестого порядка, хотя не без некоторых сложностей. Для удобства опустим
штрих у возмущенных величин р', и', В'.
Согласно A2}, исследуем сначала возможность разделения быстрой, мед-
медленной и альвеновской волн в решениях системы (94). Легко показать, что
р, V-u, u-Bq, Во-В удовлетворяют системе
д ^
=0;
dt
- (B0-V)(u.B0
(95)
или более симметрично р и (Во1 В) удовлетворяют системе четвертого порядка
д
JfJ (Bo-B) + v*T (B0-v) р- о*
= 0.
(96)
228
Легко проверить из дисперсионного соотношения для (95) или (96), что каж-
каждая система порождает только быструю и медленную волны, но не альвенов-
скую волну. Следовательно, заданные переменные описывают только быструю
и медленную волны, но не альвеновскую волну. ^
Для выделения альвеновской волны исследуем переменные ихВ0 и ВхВ0,
которые удовлетворяют
-|-и X В„- v\ (B0.V) В Х"В»'= -v*T% X VP-
-(B0-v)uXBo = 0, (97)
и переменные B0X(Vxu) B0X(VXB), которые удовлетворяют
4f (Во X (V X и)) - *А (Во. v) (Во X (V X В)) = 0; -J- (б. X (V X В)) -
— (Во-v) (Во X (V X В)) = 0. (98)
Проинтерпретируем альтернативные формы (97) и (98). Сначала заметим, что
левые части уравнений (97) и (98), рассматриваемые как система дифферен-
дифференциальных уравнений, по существу образуют систему четвертого порядка, в то
время как альвеновские волны соответствуют только системе второго порядка
[см. A7)]. Таким образом, (97) и (98) имеют дополнительные ложные реше-
решения. Видим, что переменные быстрой и медленной волны, стоящие в правой
части (97), действуют как источники альвеновских волн. Чисто альвеновская
волна возможна тогда, когда быстрая и медленная волны обращаются в нуль.
Для отсутствия быстрой и медленной волн р, Vu, Bou и В0В должны об-
обращаться в нуль в любой момент времени. В предположении, что уравнения
(95) представляют собой невырожденную систему дифференциальных уравне-
уравнений, эти переменные будут равны нулю в любой момент времени, если перво-
первоначально они обращались в нуль Теперь, если Vu = y B = uB0=B-B0 = 0,
по существу только одна компонента и и одна компонента В произвольны и
(97) в действительности является системой второго порядка. Альтернативно
мы видим, что уравнение (98) определяет BoXVXu и BOXVXB. Восстанов-
Восстановление и и В из комбинаций, заданных с помощью (98), включает решение
дифференциальных уравнений, которые смешивают альвеновскую волну с быст-
быстрой и медленной волнами. Таким образом, разделение на быструю и медлен-
медленную волны, с одной стороны, и альвеновские волны, с другой стороны, явля-
является исключительным и не является типичным. Наконец, заметим, что ни для
каких из решенных задач, за исключением задачи о плоских, простых или удар-
ударных волнах, невозможно разделить быструю и медленную волны. Они пол-
полностью связаны. Этим же свойством обладают и функции Грина (см. ниже).
Источником связи является алгебраическая неприводимость характеристическо-
характеристического полинома системы (95) или (96) (см. B4)].
Функция Грина, или фундаментальное решение (94), может быть опреде-
определена двумя эквивалентными способами: либо в виде функции распределения,
являющейся решением (94) с начальными условиями:
р(х, 0) =/Сб(х —х0); и(х, 0) = L-6(x — х0); В (х, 0) = М-6 (х — х0), (99)
либо в виде функции распределения, являющейся решением (94) с правой
частью уравнений системы, замененной на
/Сб(х — хоN(О, L-S(x — хо)б(О и MS (х — х0) 6 (*),
и условиями, что все зависимые переменные обращаются в нуль при /<0. На-
Напомним, что начальные условия для В должны быть соленоидальными, однако
V-B(x, 0) = М-уд (х— хо)=?О.
229
Если заменить правую часть третьего условия в уравнении (99) на попереч-
поперечную б-функцию:
В(х, ?)=ЩГ Г(^к) ^ik*(x — хо)(м —к (к-М))/к2, A00)
тогда V-B(x, 0)=0, но правая часть уравнения A00) не равна нулю для
всех х в отличие от величины б(х—х0), которая отлична от нуля только при
х=х0. Разрешим трудность иначе. Не будем модифицировать (99), а исследу-
исследуем возможность использования функции Грина. Вспомним, что функцию Грина
применяют для решения задачи Коши с начальными условиями [ср. с уравне-
уравнением (99)]:
р(х, О)=/С(х), u(x, 0)=L(x), B(x, 0) = М(х)
с помощью интеграла со сверткой
(р(х, 0. u(x, t), B(x, 0) = J№'){Gi(x-x/, t)-K(x') +
Мы опустим в G3 такие члены, которые при v-M(*)=0 дают J G3(x—х'
ХМ(х') (dx')=0, так как любые начальные условия будут автоматически удов-
удовлетворять условию V'MM^O. Ясно, что любые члены в G3, которые явля-
являются градиентами функции, принадлежат к этому типу. Этой процедурой мы
сохраняем стандартное определение (99) для функции Грина, а также сохра-
сохраняем свойство соленоидальности В(х, t). Выражения, опущенные в G3, опи-
описывают некоторые физические явления, отсутствующие в других частях функ-
функции Грина. Поэтому их надо отбросить, иначе можно прийти к ложным вы-
выводам.
Короче говоря, нет никаких трудностей в определении функции Грина.
Определяющая система дифференциальных уравнений (94) является системой
однородных, с постоянными коэффициентами дифференциальных уравнений в
частных производных. Краткие теоремы представления для фундаментальных
решений общеизвестны и рассмотрены в A3, 14]. Эти теоремы основаны на
формальных преобразованиях Фурье-распределений, однако во многих случаях
обратное преобразование является очень сложным и нестандартным. (При ис-
исследовании трудностей реализации обратных преобразований читателю следу-
следует посмотреть |[15, 16]). Будем искать явное представление функции Грина та-
такое, из которого можно было бы сделать физически значимые выводы. Ис-
Используемый метод представления в виде плоских волн и преобразование Ра-
Радона иногда являются сильной альтернативой преобразованиям Фурье (пол-
(полное описание и некоторую историю вопроса см. в {17]). Довольно подробно
решены три задачи. Автор [18] изучал распространение быстрых медленных
волн в трех измерениях; в [15, Щ] рассмотрена полная задача с альвеновски-
ми волнами в случае строго двумерного распространения и в определенном
случае двумерных возмущений, когда невозмущенное поле имело компоненту
в пространственном направлении, не принимаемом в расчет. Наше общее за
мечание основывается на свойствах этих решений и элементарных свойствах,
получаемых прямо из преобразований Радона.
Имеется две трудности, относящиеся к функциям Грина. Преобразования
Радона наиболее легко применяются для систем строго гиперболических урав-
уравнений. Для строгой гиперболичности годограф нормальных скоростей (см.
рис. 1) не должен иметь точек самопересечения. Ясно, что идеальная МГД не
может ^ удовлетворить этому условию, так как годографы медленной и альве-
новской волн самопересекаются и пересекают друг друга при нулевой скоро-
скорости. К тому же имеется еще пересечение годографа альвеновской волны с
годографом быстрой или медленной волн, тогда как в частном случае v% =• v\
(см. рис. 1,в) может существовать еще одно дополнительное пересечение го-
годографов быстрой, альвеновской и медленной волн. В случае самопересечения
можно еще применять преобразование Радона, но при этом появляются свое-
своеобразные эффекты. В дополнение к обычным алгебраическим кривым и поверх-
поверхностям, которые описывают характеристические поверхности (диаграмма Фрид-
230
рихса), могут появиться отрезки линий или части плоскостей. Это один источ-
источник усложнения картины явления. К тому же многие системы уравнений в
частных производных порождают те же самые поверхности нормальных скоро-
скоростей волн и характеристические поверхности. Уравнения идеальной МГД дают
лишь частную реализацию поверхностей волновых нормалей, показанных на
рис. 1. При этом из нашего рассмотрения могут выпадать и фактически в дру-
других задачах выпадают некоторые специфические дополнения к характеристи-
характеристическим поверхностям, такие как линии или плоскости. Таким образом, надо
найти специфические дополнения в общих чертах и затем понять, присутствуют
ли они в нашей конкретной задаче. Еще более важным моментом является то,
что некоторые из этих величин могут отсутствовать в функциях Грина, а в
конкретных задачах дифракции или отражения волн они снова появляются.
Другая интересная тема — это возможность существования пробелов, или ла-
лакун, в функциях Грина. Хорошо известно, что. функция Грина для волнового
уравнения tin—с2Д«=0 в трехмерном случае отлична от нуля только на по-
поверхностях светового конуса г2=с42, тогда как в двумерном случае она от-
отлична от нуля внутри светового конуса г2^с42. Внутренняя часть светового
конуса в трехмерном случае образует лакуну в функции Грина. Хотя лакуны
существуют только для линейных одномерных уравнений в частных производ-
производных с постоянными коэффициентами и исчезают в нелинейном случае или в
случае непостоянных коэффициентов, их существование представляет некото-
некоторый теоретический интерес (их практическое приложение не ясно). Описанные
в этом параграфе явления не специфичны для идеальной МГД, а имеют мес-
место при распространении волн в анизотропной среде и в теории упругости [3].
Ниже рассмотрим функцию Грина для идеальных МГД-систем.
3.2. Частный пример двумерной функции Грина. Рассмотрим одно простое
представление двумерной функции Грина. Допустим, что все зависимые пере-
переменные являются функциями только х, у и t и что невозмущенное магнитное
поле направлено вдоль оси х, В0 = х. Легко проверить (97), что z-компоненты
от и и В удовлетворяют уравнениям для однородных альвеновских волн и от-
отщепляются от быстрой и медленной волн. Далее мы их не рассматриваем.
Легко показать, что х- и «/-компоненты от и, т. е. и и v соответственно удов-
удовлетворяют уравнениям
(—J 2 JL r da _i_dv)
\dt ) v т dx { dx ' dx J
д \2 ( д \2
д2и
-=¦-0,
где «ир связаны соотношением
до
A01)
A02)
Мы видим, что в двумерном случае уравнения A01) являются более простой
системой уравнений, чем (94) или (95). Решим уравнения A01) с начальными
условиями:
и (х, у, С) == v (х, у, 0) -=: 0; ч
д
-gf *<*.*. 0) = / (х, у);
д
У>
= ?(*> У)-
A03)
Находим функцию Грина со специальными начальными условиями:
/ (х, у) = /.« (х- х0) д (у- уо);\
g{x, y)=g**(x — xo)d(y — yo }
231
Функции f(x, у) и g(x, у), которые мы ввели в A03), должны тождественно
обращаться в нуль для достаточно больших х2+у2, а также вследствие спра-
справедливости A02) f(x, у) должна быть производной по х от функции, которая
обращается в нуль для достаточно больших х2+у2. Поскольку 6(х—-х0) =
дН
= -т— (х—Хо), видим, что заданная в A04) функция f(x, у) не совсем удов-
удовлетворяет нашим условиям. В результате этого противоречия возникают неко-
некоторые осложнения, которые мы разрешим позже. Для нахождения функции
Грина используем уравнения A04). Будем считать, что источник (х0, у0) по-
помещен в начало координат @, 0).
В [19] показано, что решение уравнений A01), A04) есть
и (*, у, t) = Re 2n,'|x| j dp {f, (p> - ФА - v*AV (p) + v\v\) +
a—i oo
+ 4 ft* (P) ^gn (*)}/A С (/>). 1. p) +\ у °^JAAHy) X
A05)
где
A (s, k, p) = p4 — D + y^) p2 (s2 — &2)
С (P) = (W + P0/I * I A07)
и о*>0. В приведенном представлении р возникает из-за преобразования Лап-
Лапласа по переменной времени, a s — из-за преобразования Лапласа по перемен-
переменной х\ к появилось вследствие преобразования Фурье по у. Таким образом,
при следующих заменах р—исо, s-+ikXt k-+ky A06) переходит в функцию дис-
дисперсионного соотношения A7) только для быстрой и медленной волн; далее
?(р) по существу чисто мнимое (каким было бы и ikx). Интегрирование в
выражении A05) проводится по любому контуру так, чтобы в области
0<Reр<а у функции Д(?(р), р) отсутствовали нули, т. е. точки в комплекс-
комплексной плоскости, в которых рассматриваемая функция обращается в нуль. Ис-
Исследуем выражения A05) —A07), чтобы увидеть, какие физически существен-
существенные выводы можно извлечь. При рассмотрении A05) начнем с интеграла и
отложим обсуждение выражений, пропорциональных б (у). Заметим, что зна-
знаменатель подынтегрального выражения в A05) является полиномом четвертой
степени по \р с чисто действительными коэффициентами. Таким образом, мож-
можно оценить интеграл алгебраически через нули знаменателя и вычеты подын-
подынтегрального выражения при этих значениях [р. Далее, знаменатель может
иметь только четыре действительных нуля (по ip), или два действительных
нуля и одну пару комплексно-сопряженных нулей, или две пары комплекс-
комплексно-сопряженных нулей. Если все четыре нуля действительны, тогда а может
быть устремлена к бесконечности и интеграл тождественно обращается в нуль.
Вскоре мы увидим, что имеется самое большее одна пара комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженных нулей. Когда имеется только одна пара комплексно-сопряженных нулей,
а может быть устремлена к плюсу бесконечности и интеграл оценивается' через
полувычеты и нули знаменателя в верхней полуплоскости. Сейчас мы дадим
геометрическую и физическую интерпретацию нулей A06). Предположим, что
со, kx, и ky порождают нуль дисперсионной функции A7), A8) для быстрой и
медленной волн, тогда соотношения *
kx = X(y—ipt)/\ х\; | ^
ky = —X; со =—hip; I
232
определяют нуль A06), и, наоборот, нуль выражения A06) дает нуль дис-
дисперсионного соотношения быстрой и медленной волн A7), A8) с учетом A08).
Следовательно,
xkx + yky = at A09)
или х, у, t лежат на фронте плоской волны, заданном с помощью соотноше-
соотношений A08) и A09).
Продолжая изучать смысл интегрального выражения A05), мы приходим
к другой, более удобной характеристике нулей функции A06). Поскольку ин-
интеграл в A05) оценивается в терминах комплексных нулей A06), делаем вы-
вывод, что функция Грина A05) меняется поперек тех поверхностей в простран-
пространстве х, у, t, где два действительных нуля A06) сливаются и становятся комп-
комплексными. Далее из оценки вычета легко видеть, что функция Грина устрем-
устремляется к бесконечности, как только х, у, t приближаются к этим поверхностям
со стороны, на которой два комплексно-сопряженных корня подходят друг к
другу и к вещественной оси. Так как корень выражения A06) соответствует
точке х, у, t на фронте плоской волны согласно уравнениям A08), A09), то
только что введенные особые поверхности соответствуют точкам, являющим-
являющимся двойными корнями A08), A09), или эквивалентны огибающей действитель-
действительных фронтов плоских волн A08), A09), но огибающая действительных фрон-
фронтов плоских волн является как раз характеристической поверхностью (см.
рис. 2,а—в).
Итак, мы видим, что характеристические поверхности — это поверхности,
на которых функция Грина сингулярна, они были введены ранее. Кроме того,
вещественные нули A06) как раз соответствуют вещественным касательным
из точки x/t, y/t к характеристической поверхности. Видим, что для любых
отношений x/t, y/t (рис. 3,а—в) в областях I и III существуют четыре вещест-
вещественные касательные, в то время как в области // существуют только две ве-
вещественные касательные к геометрическому месту точек характеристик., Таким
образом, и(х, у, t) тождественно равна нулю в областях / и /// и отлична от
нуля в области //. Далее, и(х, у, t) стремится к бесконечности в момент, ког-
когда х, у, t из области // приближается к границе областей / или ///. Следова-
Следовательно, мы получили характеристические поверхности, область влиянияч реше-
решения и пробелы в области ///.
Обратимся теперь к б-функции в выражении A05), которая действительно
является решением системы Aб1). Самопересечение точек годографа нормаль-
Рис. 3. Касательные к характеристическим поверхностям:
а — точка вне быстрой поверхности; б — точка между быстрой и медленными поверх-
поверхностями; в — точка внутри медленных поверхностей
233
ных скоростей медленных волн порождает точки на характеристической по-
поверхности на оси х
22B + v2A); у = 0, A10)
и особенность б-функции определяет решение на отрезке, соединяющем эти
точки, как это должно было бы быть при появлении кратных точек {30• С уче-
учетом представления A05), если член, пропорциональный fo> обозначить через
uf(x> У> 0» а член, пропорциональный gOi— через ug, тогда решение задачи
A03) примет вид:
и(х9 у, t) = $dx'dy'(f(x', y')uf(x-x', у-у', t) +
+ g(x'> y')ug{x — x\ у —у', t)).
Согласно A02) f(x'y у') фактически является непроизвольной гладкой функ-
функцией х\ у\ тождественно обращающейся в нуль для достаточно больших
I*'l+J#'l> a производной по х' от такой функции. Приближенный, но пря-
прямой анализ показывает, что в этом случае явная б-функция в выражении A05)
сокращается с неявной и скрытой б-функцией в интеграле. Таким образом, в
действительности б-функция отсутствует в функции Грина для системы урав-
уравнений идеальной МГД A01)—A03), хотя она присутствует в более общей сис-
системе A01), A02). Также верно то, что в случае идеальной МГД отсутствует
б-функция вида 8(y)8(x±tvTvA/(v2+v\L>).
Можно проанализировать A05) более подробно {19] и получить поведение
функции Грина вблизи какой-нибудь точки характеристической поверхности.
Вдали от поверхности функция Грина аналитическая по х> у, L Мы удовлет-
удовлетворимся качественным описанием того, что функция Грина тождественно об-
обращается в нуль в областях / и /// стремится к бесконечности на границе
области //, что член б (у) в A05) фактически отсутствует, так же как и
б-функция в точке возврата на оси х. Проведенная оценка показывает, что в
действительности функция Грина имеет наибольшее значение (т. е. она наи-
наиболее сингулярна) около точек возврата (ПО).
3.3. Функция Грина и две точно решенные задачи. Ниже дано качествен-
качественное и графическое описания некоторых задач, точно решенных разными авто-
авторами. Ограничимся таким рассмотрением, так как исчерпывающее обсуждение
любой задачи заняло бы много места и потребовало бы изложения слишком
многих деталей. Рассмотрим сначала полную функцию Грина в двумерном
случае, затем функцию Грина в трех измерениях и обсудим два точных реше-
решения двумерных задач, в которых отражено влияние границ на волны в плаз-
плазме. В первой задаче рассматривается дифракция слабого разрыва или удар-
ударной волны на проводящей полуплоскости. Вторая задача состоит в определе-
определении функции Грина для полупространства плазмы, ограниченной проводящей
стенкой. Мы хотим поставить читателя в известность о большом многообра-
многообразии явлений, имеющих место в простейшей задаче распространения волн в
идеальной МГД, о их сложности и скудности полученных результатов.
При рассмотрении функции Грина в двумерном случае мы должны отли-
отличать две фундаментально различающиеся физические постановки задач. Пред-
Предположим, что все переменные зависят от х> у, t (но не от г), тогда имеются
два случая: строго двумерный случай, когда невозмущенное магнитное поле
не имеет компоненты вдоль направления г, и общий случай, когда Во имеет
такую компоненту. В строго двумерном случае быстрая, медленная и альве-
новская волны полностью разделяются. Все компоненты функции Грина, ис-
исключая г-компоненту от и и В, являются суммами членов с некоторыми об-
общими свойствами, которые рассмотрены выше. Особенности, характеристичес-
характеристические поверхности, лакуны и области влияния в основном те же. г-компоненты
от и и В состоят из таких членов, как 6(x±vAtN(y)> и, очевидно, представ-
представляют собой распространение чисто альвеновских волн. Подробные результаты
приведены в [15]. В общем случае двумерного распространения [16] быстрая,
медленная и альвеновская волны не разделяются. Вид функции Грина сущест-
существенно меняется, хотя характеристические поверхности, лакуны и области влия-
234
ния остаются практически неизменными. Следует отметить, что точечное воз-
возмущение, соответствующее чисто альвеновской волне, больше не лежит на го-
годографе быстрой и медленной волн, а находится между годографами быстрой
и медленной волн. На первый взгляд кажется, что линейных особенностей у
функции Грина нет, хотя она в точно двумерных случаях тщательно не изу-
изучена и здесь могут быть некоторые неожиданности.
Трехмерная функция Грина до конца не исследована. Часть функции Гри-
Грина, соответствующая чисто быстрой и медленной волнам, была рассмотрена
[18] на основе уравнения (95) или (96). Характеристические поверхности по-
получаются вращением двумерных поверхностей относительно оси В. Пробел
больше не существует, хотя функция Грина тождественно обращается в нуль
вне годографа быстрой волны (как это и должно быть). Между годографами
двух медленных волн особенности отсутствуют. Взаимодействие альвеновской
волны с быстрой и медленной волнами не рассматривалось, и вопрос о том,
появятся или не появятся линейные особенности, остался в общем неясным
Очевидно, что работу нужно было бы продолжить.
Две задачи распространения волн в областях с проводящей границей яв-
являются строго двумерными со всеми переменными, зависящими только от х,
у и t, и с невозмущенным магнитным полем в плоскости х, у, поэтому мы без
потери общности возьмем В, лежащим в направлении х. Эти задачи объеди-
объединяют большое число явлений, которые мы рассматриваем: ударные волны,
простые волны, характеристические поверхности, особые линии, лакуны и раз-
различные граничные условия. Так как мы рассматриваем строго двумерные за-
задачи, то взаимодействие быстрой и медленной волн с альвеновской не проис-
происходит. Первая задача сформулирована и решена автором B03. Рассмотрим те-
теперь падение слабой ударной волны на проводящую полуплоскость, параллель-
параллельную невозмущенному магнитному полю и оси л: (рис. 4). Предположим, что
впереди ударного фронта линеаризованные переменные равны нулю, в то вре-
время как позади ударной волны имеется стационарное состояние. Состояния
впереди и позади связаны линеаризованными соотношениями на разрыве, по-
полученными из E2) — E7). Допустим, что ударные волны должны быть эво-
эволюционными, и нам остается рассмотреть быструю или медленную ударные
волны. Будем искать решение после того, как ударная волна пройдет край
полуплоскости. Поскольку характерный размер в задаче отсутствует, делаем
вывод, что решение должно быть автомодельным в переменных x/t и y/t. Про-
Проводящая граница (полуплоскость) является характеристикой, поэтому мы на-
накладываем на решение только одно граничное условие n-u=0, означающее,
что «/-компонента скорости обращается в нуль на верхней и нижней поверх-
поверхностях плоскости. На рис. 5 показано решение для случая падающей быстрой
ударной волны.
Геометрическое место точек характери-
характеристик — это кривая, на которой терпят раз-
разрыв производные от решения. Течение со
слабым скачком не возмущается присутст-
присутствием плоскости впереди фронта ударной вол-
волны в областях Л и В и позади фронта удар-
ударной волны в области С. Граница между
областями С и D — это фронт слабой отра-
отраженной ударной волны, в области D имеется
состояние с постоянными параметрами. Ди-
Дифрагированная волна подобна интегралу в
функции Грина A05). Линия, соединяющая
край проводящей полуплоскости и точку воз-
врата области F, является контактным разры-
разрывом, на котором параметры течения испыты-
испытывают скачок. Итак, сг-функция в A05) вновь
появляется в этой граничной задаче и описы-
описывает разрыв параметров состояния. В облас- Рис. 4. Фронт ударной волны,
тях F, G, и Я возмущенные величины посто- падающей на проводящую
янны, они не соответствуют ни одному из полуплоскость
235
Прободящая
полуплоскость
Фронт
ударной болны,
Рис, 5. Дифракция быстрой ударной
волны на проводящей полуплоскости
Рис. 6. Дифракция медленной удар-
ударной волны на проводящей полу-
полуплоскости
состояний А, В, С или D. Эти постоянные состояния являются результатом
наличия лакуны в функции Грина. Соответствующее решение представляет
собой однородную функцию х, у, t нулевого порядка, в то время как функция
Грина является однородной функцией порядка — 1. Таким образом, это решение
по существу является интегралом от функции Грина, так что б (у) в функции
Грина после интегрирования дает разрывную функцию, а лакуна в результате
интегрирования дает константу. Кроме того, все переменные ограничены.
Слабая медленная ударная волна возбуждает несколько более сложную
дифрагированную волну (рис. 6). Отраженная ударная волна совпадает с гра-
границей между областями D и G и оказывается на противоположной стороне
препятствия. Однако распространение энергии происходит не перпендикулярно
фронту слабой ударной волны, а в направлении групповой скорости Vk=o(k).
По отношению к этому направлению распространения отраженная волна и об-
область тени Н находятся справа от ударного фронта. Другими словами, состо-
состояния постоянны в областях Д D', F, G и Я, в то время как решение в об-
области Е подобно решению A05). Снова контактный разрыв соединяет край
проводящей плоскости и точку возврата области F. Заинтересованный чита-
читатель должен обратиться к исследованию, проведенному в [20].
Последняя явно решенная задача, которую мы рассмотрим, касается функ-
функции Грина для системы A01) в области #>0 с проводящей плоскостью по
оси у. Поскольку граница нехарактеристическая, но проводящая, то граничные
условия сводятся к требованию, чтобы х- и ^/-компоненты скорости тождест-
тождественно обращались в нуль на границе. Полная функция Грина представляет
собой функцию Грина без проводящей плоскости, но с дополнительными чле-
членами, необходимыми для удовлетворения граничных условий и соответствую-
соответствующими отраженной волне. Изобразим только волновые фронты, соответствую-
соответствующие членам, добавленным к функции Грина для свободного пространства. Мы
изобразим также местоположение источника в_ точке (х, 0, 0) и выберем от-
отношение звуковых скоростей vT/vA равным 0,8. Как только фронт быстрой
(или медленной) волны функции Грина для свободного пространства столкнет-
столкнется с проводящей плоскостью, два волновых фронта, соответствующих быстрой
и медленной волнам, отразятся. Следовательно, эта часть решения включает
отраженные быстрые и медленные волны, отраженные быстрые волны, преоб-
преобразованные в медленные, и отраженные медленные волны, преобразованные
в быстрые. В дополнение к этому в определенном месте в решении появляет-
236
Рис. 7. Функция Грина, отраженная
от проводящей плоскости; /=1,00
Рис. 8. Функция Грина, отраженная
от проводящей плоскости; /=1,11
ся простая волна. Мы построили конфигурацию с такой симметрией, что кон-
контактный разрыв не может появиться.
Ниже развитие волновых фронтов продемонстрировано на рис. 7—13. Для
простоты опустим здесь волновые фронты функции Грина для свободного про-
пространства. Следует отметить, что рисунки вычерчены в различных масштабах.
На каждом из них положение начального импульса в виде 6-функции (Хо, 0)
отмечено символом Ху а время измеряется в единицах Xo/V vTvA. На рис. 7
появляются фронты отраженной быстрой волны и быстрой, преобразованной
в медленную. Их пересечения с прямой #=0 совпадают, и отраженная быст-
быстрая волна (или отраженная медленная волна, когда она появляется) имеет
волновые фронты, описываемые функцией Грина для свободного пространства,
центрированной на точку изображения (—Хо, 0). На рис. 8 появляются от-
отраженная медленная волна и медленная волна, обращенная в быструю. Вна-
Вначале эти две волны практически нераздельны, но на рис. 9 все четыре волны
уже легко различаются, так как отраженная медленная волна все еще сопри-
соприкасается с плоскостью #=0, в то время как медленная волна, обращенная в
быструю, больше не касается этой плоскости. Точка возврата на оси х, соот-
соответствующая медленной волне в функции Грина для свободного пространства,
еще не коснулась плоскости х=0. Ситуация после того, как точка возврата
коснется плоскости, изображена на рис. 10, где в дополнение ко всем только
Рис. 9. Функция Грина, отраженная
от проводящей плоскости; /=1,25
Рис. 10. Функция Грина, отраженная
от проводящей плоскости; /=1,43
237
Рис. И. Функция Грина, отраженная
от проводящей плоскости; ? = 3,33
Рис. 12. Функция Грина, отраженная
от проводящей плоскости; ?==5,0О
что описанным фронтам появляется также простая волна. Все линии, каса-
касательные к отраженной медленной волне и пересекающиеся с плоскостью х=0<
внутри годографа медленной волны, обращенной в быструю, являются эле-
элементами простой волны. Параметры простой волны по существу постоянны на
этих линиях. На рис. 10 показаны только две линии с наибольшим наклоном
к границе. Медленная волна, обращенная в быструю, постепенно теряет при-
принадлежащую ей заостренную область, а быстрая волна, обращенная в медлен-
медленную, замедляется и пересекает фронт первой волны (рис. 11). Наконец, на.
годографе быстрой волны, обращенной в медленную, появляется точка воз-
возврата (рис. 12) и по истечении длительного времени решение выглядит так,,
как показано на рис. 13. Тщательный анализ показывает, что лакуны возни-
возникают в некоторых частях решения, а по истечении очень большого времени
в полном решении (см. рис. 13)—в тех частях заостренных областей медлен-
медленных волн, которые не покрыты простьши волнами. Полное решение представ-
представляет собой сумму членов, подобных A05), и членов, описывающих простую*
волну [19].
3.4. Волны на неоднородном фоне. Тема распространения линейных волн-
на неоднородном фоне так широка, что включает теорию устойчивости иде-
идеальной МГД как одну из специальных задач. Наша цель состоит в исследо-
исследовании темы в довольно общих чертах и в обсуждении подобий и отличий от
общепринятой теории линеаризованной гидродинамики без диссипации ил*г
линеаризованной электромагнитной теории. Для начала рассмотрим известную-
задачу распространения линейных волн, описываемого волновым уравнением в
неоднородной среде
д2и
р (х) -щг (х, t) = v {k (x) Vй (х> 0) 0 * 0
для неизвестной амплитуды u(x, t), где р(х) и k(x) являются гладкими, стро-
строго положительными функциями. Напомним, что имеется два очень стандарт-
стандартных и очень различных подхода к уравнению A11). Можно задать начальные
du
условия и(х, 0),—- (х, 0) и соответствующие условия на каких-нибудь гра-
границах и на бесконечности и искать решение во времени.
Для маленьких интервалов в малой пространственной области можно рас-
рассматривать р(х) и k(x) приблизительно как константы, тогда можно строить
238
приближенное решение, так же как в
случае постоянных коэффициентов. Итак,
мы надеемся, что решения уравнения
A11) должны вести себя подобно ре-
решениям для случая постоянных коэффи-
коэффициентов, постепенно искажающимся из-
за медленного изменения параметров с
координатами. Мы могли бы исследовать
фронты волн, лакуны, области влияния,
области, где решение достигает макси-
максимума, фокусировку волн, дифракцию,
приближение геометрической оптики и
т. п. Аналогичным образом мы могли
бы исследовать идеальную МГД. Для
этого необходимо линеаризовать основ-
основные уравнения A) —D) относительно
стационарного состояния (ро(х), ио(х),
В0(х) и 50(х))и исследовать уравнения
для возмущенных величин (pi(x, t),
ui(x, /), Bi(x, t) и S,(x, /)). Можно
ожидать, что решение будет иметь вид
постепенно искажающихся быстрой,
медленной, альвеновской и энтропийной
волн. В общем случае уже невозможно
будет разделить типы волн: вследст-
вследствие переменных коэффициентов одна мода постепенно превратится в другую
или, иначе говоря, преобразование мод было бы очень сильным. Единственными
волнами, которые сохранили бы свой характер, были бы линеаризованные
простые волны (см. разд. 1.3).
Существует, однако, другой подход для рассмотрения A11), который
пригоден для иного класса задач. Если мы возьмем Фурье-преобразование
(более правильно, преобразование Лапласа) по времени, то придем к урав-
уравнению
Рис. 13. Функция Грина, отраженная
от проводящей плоскости; ^=50,00
(*) V" (х)) + со2р (х) и (х) = 0,
A12)
где функция и(х) должна также удовлетворять граничным условиям и ограни-
ограничениям на бесконечности. Ясно, что такая задача является задачей на собст-
собственные колебания или на собственные значения. Будем искать собственные
значения со2 и собственные функции и(ху со2), которые удовлетворяют A12),
и дополнительные условия. В некотором подходящем обобщенном смысле мы
знаем, что любое решение уравнения A11) можно представить в виде
и (х, 0 - 2 Л (со) и (х, со2)
0)
A13)
Собственные частоты и собственные векторы являются частотами и формами
колебаний среды в отсутствие внешних источников. Мы можем, конечно, сле-
следовать той же самой процедуре для уравнений идеальной МГД и рассматри-
рассматривать собственные значения и собственные векторы. Ясно, что любые собст-
собственные значения с Imco<0 представляют собой собственные колебания, ко-
которые растут экспоненциально во времени, и если такие моды существуют, мы
говорим, что установившееся состояние (экспоненциально) неустойчиво. Так
как, если идеальная МГД-система неустойчива, тогда обобщение уравнения
A13) на идеальную МГД показывает, что большинство решений линеаризо-
линеаризованной системы будет также расти экспоненциально во времени. Очевидно,
для неустойчивых систем гипотеза распространения линеаризованных волн не-
несостоятельна, и мы должны окончательно исключить неустойчивые системы.
Следует заметить, что экспоненциально устойчивые системы не обязаны быть
устойчивыми, так как решения могут расти, например, как tnt я>0 или даже
ехр(ХУО
239
Задача о собственных значениях в идеальной МГД имеет некоторые очень
существенные отличия от таких задач, которые описываются уравнением A12)
в электромагнитной теории или гидродинамике. В ограниченной области спектр
уравнения A12) состоит из дискретных величин со2, которые скапливаются
только при неограниченном со2. В неограниченной области спектр становится
непрерывным, и суммирование в A13) становится, по крайней мере частично,
интегралом. В идеальной МГД, даже в ограниченной области, спектр почти
всегда содержит континуум наряду с более типичным точечным спектром На-
Наличие континуума имеет нетривиальные последствия для проблемы распрост-
распространения волн в идеальной МГД. Отметим другое очень важное свойство кон-
континуума в идеальной МГД. В определенных случаях непрерывный спектр мо-
может иметь Imco«<0 и давать экспоненциально неустойчивые решения даже
при возможном отсутствии настоящих собственных колебаний еш*и(х, со),
Imco<0. Такая ситуация может иметь место в случае равновесия, и0(х)=О
[21] или установившихся течений J22J. Неустойчивые непрерывные спектры, по-
видимому, довольно необычны в математической физике.
Теперь давайте вернемся к"экспоненциально устойчивым состояниям с чис-
чисто вещественным спектром. Считаем, что общее решение задачи распростра-
распространения волн должно иметь следующий вид: [ср. с A13)}
00
к{х, 0 = У afa(x, а>у)е1а>/' + [ dec/(<о) е!а)'я (х, со), A14)
/=1
где интеграл в A14) берется по непрерывному спектру. В общей лемме Ри-
мана—Лебега подразумевается, что для больших t интеграл в A14) стремит-
стремится к нулю. Таким образом, волны, распространяющиеся в ограниченной плаз-
плазме, могут частично поглощаться, даже в отсутствие явного механизма погло-
поглощения энергии. Это замечание является основой работ по нагреву альвенов-
скими волнами в идеальных МГД-системах [23]. Механизм поглощения энергии
представляет собой, конечно, фазовое перемешивание Гиббса и появляется в
физике плазмы как естественное объяснение затухания Ландау [24A. Погло-
Поглощение энергии обратимо, хотя оно может быть достаточна эффективным я
полным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Friedrichs К. О. — Non-Linear Wave Motin in Magnetohydrodynamics.
Los Alamos Scientific Laboratory Department, № 2105, 1954.
2. Friedrichs K. O., Kranzer H. — Non-Linear Wave Motion in Magnetohydro-
dynamics. Courant Institute of Mathematics Sciences, New York University,
Report № MH-8, 1958.
3. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. IL
N.Y.—Lond., 1962.
4. Friedrichs K. O. Comm. Pure Appl. Math., 1974.
5. Courant R., Friedrichs К. О. Supersonic Flow and Shock Waves. N.Y.:
Intersci. Publishers, 1948.
6. Jeffrey A., Taniuti T. Non-Linear Wave Propagation. N.Y.: Academic Press,
1964.
7. Chu С. К. Some Remarks on the Stability of Hydromagnetic Shock
Waves. — In: Proc. of Symposia in Applied Mathematics/Ed. Harold Grad. Ame-
American Mathematical Society, Providence, 1966, R. 1, vol. 18, p. 1.
8. Germain P. A Model of Some Plasma Shock Structures. — In: Proc. of
Symposia in Applied Mathematics/Ed. Harold Grad. American Mathematical
Society, Providence, 1966, R. 1, vol. 18, p. 17.
9. Grad H. —Rev. Mod. Phys., 1960, vol. 32, p. 830.
10. Blank A. A., Friedrichs K. O., Grad H. Notes on Magneto-Hydrodynamics
Theory or Maxwell's Equations Without Displacement Current. Courant Institute
of Mathematical ScL, New York University, Dapartment JVb NYO-6486-V, 1957.
11. Weidon D., Friedberg J. P., Weitzner H. — Plasma Physics, 1970, vol. 12t.
p. 987
240
12. Grad H. Propagation of Magneto-Hydrodynamic Wave Without Radial
Attenuation.— In: The Magneto-Hydrodynamics of Conducting Fluids/Ed. D. Ber-
shader. Stanford, California; Stanford University Press, 1959, p. 37.
13. Malgrange В. —Ann. Inst. Fourier, 1955, vol. 6, p. 271.
14. Ehrenpreis L. — Am. J. Math., 1954, vol. 76, p. 883.
15. Weitzner H. — Phys. Fluids, 1961, vol. 4, p. 1238.
16. Weitzner H. — Phys. Fluids, 1961, vol. 4, p. 1246.
17. John F. Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential
Equations. N.Y.: Intersience, Publ. Inc.< 1955.
18. Friedlander F. G. — Proc. Cambridge Phill. Soc, 1959, vol. 55, pt 4, p. 341.
19. Weitzner H. Reflection of a Point Disturbance from a Conducting Wall
in Two-Dimensional Magneto-Hydrodynamics. Courant Institute of Mathematical
Science, New Pork University, Report № MF-81, 1975.
20. Gardner C. S. Diffraction of a Hydromagnetic Wave by a Half-Plane,
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, Report № MF-6,
1960.
21. Spies G. O. —Phys. Fluids, 1978, vol. 19, p. 427.
22. Hameiri E., Hammer J. H. — Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1700.
23. Tataronis J. A. —J. Plasma Physics, 1975, vol. 13, p. 87.
24. Weitzner H. Longitudinal Plasma Oscillations. — In Proceedings of Sym-
Symposia in Applied Mathematics/Ed. Harold Grad. American Mathematical Society,,
Providence, 1966, R. 1, vol. 18.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОК
ПЛАЗМЕ
В. Н. ОРЛЕВСКИЙ
ВВЕДЕНИЕ
В обзоре изложены, основы физики периодических волн в плаз-
плазме. Главное внимание уделено специфически плазменным явле-
явлениям. Такие явления разыгрываются обычно в пространственно-
временных областях, характеризуемых масштабами, существенно-
меньшими столкновительных. Поэтому в обзоре, как правило,
используется приближение бесстолкновительной плазмы. Это не
означает, что взаимодействие частиц не учитывается. Именно бла-
благодаря дальнодействию кулоновских сил в бесстолкновительной
плазме возникают самосогласованные электромагнитные поля, от-
ответственные, в частности, за ее волновые движения.
Сказанное выше означает, что при изложении теории волн
в бесстолкновительной плазме правомерно использовать кинетиче-
кинетические уравнения для ионов и электронов в форме Власова и урав-
уравнения Максвелла для самосогласованного электрического поля.
Эта система уравнений является замкнутой и представляет собой
систему нелинейных интегродифференциальных уравнений в част-
частных производных. Их сложность не позволяет надеяться на полу-
получение общих решений. Поэтому для различных случаев используют
определенные приближения, с помощью которых удается упрос-
упростить исходные уравнения, а затем получить решения упрощенной
системы уравнений. *
241
Для волн малой амплитуды, например, можно пренебречь сла-
слагаемыми нелинейными по амплитуде или, как принято говорить,
линеаризовать исходную систему уравнений. В предыдущем об-
обзоре показано, как проводится линеаризация уравнений магнитной
гидродинамики. Процедура линеаризации кинетических уравнений
не отличается принципиально от процедуры линеаризации урав-
уравнений магнитной гидродинамики. Обычно исследование таких
линейных уравнений является первым шагом при рассмотрении
волновых свойств плазмы.
Основное внимание при анализе линейных уравнений уделяется
эффектам, которые связаны с кинетикой плазмы и отсутствуют
в гидродинамическом приближении. Сюда относятся затухание
Ландау и соответствующие ему типы затухания в магнитоактивной
плазме, волны Ван-Кампена, моды Бернштейна, просветление
плазменных волновых барьеров резонансными частицами, нело-
нелокальное отражение волн от волновых барьеров, баллистическая
трансформация волн.
В некоторых вопросах физики плазменных колебаний возникает
необходимость нелинейного рассмотрения процесса, предсказуемо-
предсказуемого в линейной теории. Это относится, например, к явлению затуха-
затухания Ландау, просветлению плазменных волновых барьеров, бал-
баллистической трансформации волн. Поэтому вслед за линейным
рассмотрением приведены результаты нелинейной теории.
Кроме перечисленных изложены также те вопросы физики
нелинейных волновых процессов, которые естественным образом
примыкают к указанным выше, но имеют самостоятельную цен-
ценность (эхо в плазме, волны Бернштейна — Грина — Крускала).
В заключение приведена таблица результатов исследования
линейных колебаний магнитноактивной плазмы.
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ
Приближение однородной плазмы означает, что мы не будем
учитывать влияния неоднородностей параметров плазмы и ее гра-
границ на волновые свойства. Следовательно, излагаемая в обзоре
теория, строго говоря, применима в тех случаях, когда характер-
характерные масштабы рассматриваемых волновых процессов много мень-
меньше масштабов неоднородностей плазмы. В линейной теории най-
найденные собственные частоты являются действительно собственны-
собственными частотами реальной плазмы тогда, когда соответствующие
длины волн много меньше размеров неоднородностей плазмы;
лользоваться же уверенно декрементами затухания, приведенными
в обзоре, можно, если соответствующие длины затухания малы
по сравнению с длинами неоднородности плазмы.
Выше уже говорилось о процедуре линеаризации уравнений.
Здесь же отметим, что уравнения Максвелла линейны относитель-
относительно средних токов и зарядов плазмы. Поэтому линеаризации сле-
следует подвергнуть лишь уравнения Власова для функций распреде-
.242
ления заряженных частиц. Стандартные рассуждения здесь тако-
таковы. Волны малой амплитуды мало возмущают и состояние плаз-
плазмы. Поэтому функции распределения [гчастиц сорта / можно
представить в виде fj=foj-\-Sfj. Здесь 6f$ — малое слагаемое, опи-
описывающее отклонение (под влиянием самосогласованного поля
волны) функции распределения от невозмущенного (стационар-
(стационарного) состояния плазмы, характеризуемого функцией распределе-
распределения foj. Малость 8fj позволяет отбросить в уравнении Власова
нелинейные по амплитуде волны слагаемые и свести его к виду:
A)
dt ''* ' ' ttij с дм~
где Во — вектор магнитной индукции постоянного магнитного
поля; остальные обозначения стандартны.
1.1. Тензор диэлектрической проницаемости. Уравнения длят
собственных колебаний. Прежде всего отметим, что система урав-
уравнений Максвелла и уравнений A) является линейной системой
интегродифференциальных уравнений с постоянными относительна
координат и времени коэффициентами. Это позволяет сделать ряд,
общих выводов без решения уравнений A) относительно б/j. Так,
для электромагнитных волн пространственно-временную зависи-
зависимость электрического и магнитного полей, а затем и 8fh без нару-
нарушения общности, можно представить в виде: ехр(—ico/+ikr).
В соответствии с этим линейная (в силу линейности уравнений)
связь полной плотности тока с электрическим полем имеет вид:
/а=(Тар (сок)?3; (а, р=1, 2, 3), B)
где тензор ааР называют обычно тензором проводимости К Его*
компоненты являются функциями частоты и волнового вектора.
Обычно для рассматриваемых здесь гармонических колебаний
вводят 8аР — тензор диэлектрической проницаемости:
?>а=8а|5(С0, к)?р, C)
определяя Da — электрическую индукцию следующим образом::
dDa/dt=4nja+dEa/dt. D>
Учитывая временную зависимость ехр(—i со ^), а также B), не-
нетрудно записать связь ааР и е«р:
бар (со, к)=бар+14яаар(со, к)/со. E);
Используя D) и E) и учитывая пространственно-временную за-
зависимость полей, из уравнений Максвелла нетрудно получить:
y8J + ( Е^Я^—г- F)
1 Заметим, что явный вид тензора проводимости определяется с помощыо^
решения A) относительно dfj и последующего нахождения полной плотности
тока по формуле /а = 2е7- J v^dfjdv.
243
Уравнение F) определяет собственные 'векторы еар, описывающие
собственные колебания плазмы.
1.2. Дисперсионное уравнение. Собственные частоты и декре-
декременты затухания волн. Эрмитова и антиэрмитова части тензора
диэлектрической проницаемости. Система F) есть система линей-
бых алгебраических относительно компонент вектора напряжен-
напряженности электрического поля уравнений. Хорошо известно, что усло-
условием разрешимости такой системы является обращение в нуль ее
определителя:
Л(со, k) = det{Aap (со, к)}=0. G)
Уравнение G) определяет собственные значения задачи и назы-
называется обычно дисперсионным уравнением. В соответствии с по-
постановкой задачи могут быть заданы либо со, либо к, тогда дис-
лерсионное уравнение определяет другую величину как функцию
заданной. Так, если решается задача о распространении волны
•определенной частоты, то, естественно, задается частота, и тогда
дисперсионное уравнение определяет к как к (со). Когда же мы
.хотим определить собственные колебания плазменной системы,
то к считается заданным, а G) определяет собственные частоты со
•как функции волнового вектора к.
Обратимся к задаче о собственных колебаниях плазмы. Как
видно из F) и G), тензор диэлектрической проницаемости еаР
полностью определяет свойства собственных колебаний — их по-
поляризацию и собственные значения сост. Следует отметить, что
уравнение G) дает, строго говоря, комплексные собственные зна-
значения, т.е. coa=Recoff+i Imcoff. Легко видеть, что Re coas=ico0r— ча-
частота колебания, а Imcoas=Ya характеризует поглощение волны и
называется декрементом затухания.
Для рассматриваемых в обзоре периодических, или почти пе-
периодических, волн coar3>Y';l- Это обстоятельство позволяет сделать
вывод о наличии поглощающих свойств среды без решения дис-
дисперсионного уравнения, используя лишь общий вид тензора еаР.
Действительно, Q — энергия почти периодической волны, погло-
поглощаемая в единицу времени средой, определяется средним по пе-
периоду от скалярного произведения вектора плотности тока j на
вектор электрического поля волны Е, т. е.
Q = RejReE = -1 -^Ы (•• к) Е.Щ. (8)
где е"ар — антиэрмитова часть тензора диэлектрической прони-
проницаемости, определяемая следующим образом:
?сф = 6aP + ie^p; ie«3 =s (ea3 — ера)/2; e^p s (eaf3 + ejJa)/2. (9)
Иными словами, антиэрмитова часть тензора диэлектрической
проницаемости определяет поглощение волны средой или, иначе,
ее затухание.
1 В связи с этим индексы г у со^ опустим (где это возможно).
544
Как видно из (9), е'а$ — эрмитова часть тензора диэлектриче-
диэлектрической проницаемости. Нетрудно понять, что при малом затухании
эрмитова часть тензора намного превосходит антиэрмитову и опре-
определяет собственные частоты волн. Поэтому задачу о нахождении
собственных колебаний ооа можно решить методом теории возму-
возмущений. В нулевом приближении в Л@)аР вместо еаР подставляется
эрмитова часть тензора диэлектрической проницаемости. Затем
с помощью Л@)ар находят собственные частоты соа и собственные
векторы еа, после чего, используя ортогональность собственных
векторов эрмитовой задачи, нетрудно получить следующее выра-
выражение для декремента затухания волны:
@)
1 A0)
Итак, тензор диэлектрической проницаемости еаР определяет
собственные значения сост G) и поляризацию F) собственных ко-
колебаний плазмы. При этом эрмитова его часть е'ац ответственна
за собственные частоты; антиэрмитова е"ар определяет соответ-
соответствующие декременты затухания A0).
2. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
2.1. Тензор диэлектрической проницаемости изотропной плаз-
плазмы. Продольная и поперечная проницаемости. Для нахождения
явного вида тензора диэлектрической проницаемости необходимо,
прежде всего, разрешить уравнения Власова A) [1] для ионов
и электронов относительно 6fh иными словами, выразить 6/,- через
самосогласованное поле волны. Для изотропной плазмы В0=0.
Поэтому, используя пространственно-временную зависимость вели-
величин, описывающих волну, в виде ехр(—ico^+ikr) (см. п. 1.1),
нетрудно записать:
Of.
—. (И)
Заметим, что для <изотропной плазмы (dfojdv) =mjVdfoj/dej, где
ej=mjV2l2 — энергия частицы. Это означает, что в A1) слагаемое,
связанное с самосогласованным .магнитным полем, обращается в
нуль, так как (vx 8H/^/6^ = 0. Учитывая последнее, имеем выра-
выражение для связи плотности тока с электрическим полем волны:
Л Of о
) dw
U - J] ., j,.VV = i % ±Et J-^U-Л. A2)
/ У
dfoi
-^- *—d*v. A3)
ml J kv — (o
/
245
С помощью E) и A3) и простых преобразований можно выраже-
выражение для тензора диэлектрической проницаемости изотропной плаз-
плазмы привести к /виду [2]:
^) ^-.'(-. к), A4),
к
где .'(•. к)=1 -51 -1=4- f _?L_d4,. A5).
?j rrijk2 J kv —(
(о
—со
ОТ
Ниже будет рассказано, как вычисляются интегралы в A5) и A6)..
Здесь же выясним смысл величин г1 и 8+. Для этого подставам
A4) в G), а затем в F) и определим поляризацию собственных,
колебаний.
Итак, подставляя A4) в G), получаем:
Л((о, к) = в'(ю, к) [N2 — 8+(со, к)]2 = 0, A7)
причем A7) распадается на два независимых уравнения:
е'(со, к)=0; A8)-
iV2 = 8+((o, к). A9>
Покажем, что первое уравнение определяет частоты и декременты
затухания продольных волн ib плазме, а второе — то же, но для
поперечных. Для этого подставим A4) в F) и перейдем в систему
координат, где ось г направлена вдоль волнового вектора к. Тогда
уравнения, определяющие собственные (векторы, преобразуются:
к виду:
(в+ —#*)?,,„ = <), B0>
Из уравнений B0) и B1) следует, что если «выполняется диспер-
дисперсионное уравнение A8), то Ех=Еу=0, а Егф0. Это означает, что-
е'(со, к) определяет продольно поляризованные волны. Поэтому
е7 называют продольной проницаемостью плазмы. В другом слу-
случае, когда удовлетворяется дисперсионное уравнение A9), ЕхФ0,
ЕуФО, а Е2Ф0, и мы имеем дело с поперечными электромагнит-
электромагнитными волнами, для которых е+(со, к) —диэлектрическая проницае-
проницаемость плазмы (иначе поперечная проницаемость).
Из сказанного выше следует, что в изотропной плазме попереч-
поперечные и продольные волны распространяются независимо.
Выше мы не затрагивали вопроса о вычислении интегралов^
входящих в правые части A5) и A6). В этих интегралах интегри-
246
рование идет по ©сему пространству скоростей. Поэтому интегра-
интегралы могут содержать полюсы в точках co = kv. О правилах обхода
полюсов и о физическом смысле получаемых при вычислениях
результатов см. пп. 2.3 и 5.1.
2.2. Электромагнитные волны. Используя A6) и A9), нетруд-
нетрудно записать дисперсионное уравнение для электромагнитных волн
в изотропной плазме в явном виде:
k*c*
1
Ъ
Для решения уравнения B2) прежде всего необходимо задать
невозмущенные функции распределения по скоростям foj. Здесь
и в дальнейшем будем предполагать, что невозмущенное состоя-
состояние плазмы является термодинамически равновесным, т. е. рас-
распределение частиц по скоростям максвелловское.
Если посмотреть на интеграл, стоящий в правой части B2),
то нетрудно заметить, что подынтегральное выражение может
в принципе содержать полюс в точке co=kv. Покажем, что для
электромагнитных волн полюс отсутствует, и решим дисперсион-
дисперсионное уравнение. Рассмотрение проведем следующим образом. Вна-
Вначале предположим, что co>kv (полюс отсутствует) для всех ско-
скоростей частиц вплоть до скорости света. В этом предположении
вычислим интеграл и решим дисперсионное уравнение, т. е. най-
найдем зависимость частоты от волнового вектора. А затем покажем,
что фазовая скорость со/к электромагнитных волн в изотропной
плазме действительно больше скорости света.
Итак, если (со/?)>с, то для рассматриваемой нерелятивист-
нерелятивистской плазмы (Г<Ст,с2) в подынтегральном выражении в B2)
kv можно пренебречь по сравнению с о, так как основной вклад
в интеграл дает область тепловых скоростей, а полюс отсутствует.
Для двухкомпонентной плазмы (рассматриваемой в обзоре), со-
состоящей из электронов и однозарядных ионов одного сорта, урав-
уравнение B2) нетрудно преобразовать к виду:
со2 со2 mej
где соов и оHг — электронная и ионная ленгмюровские частоты.
Так как ю2о«-в т{/те раз меньше со20е, то \в B3) можно отбросить
<o2o». Это говорит о том, что © высокочастотные колебания плазмы
ионы вносят пренебрежимо малый в(клад.
Легко видеть, что решением B3) служит:
co2 = &*c2+coV B4)
Отсюда видно, что (©/&)>с. Та-ким образом, исходное предполо-
предположение является правильным. Выражение B4) связывает волновой
вектор и частоту для электромагнитных волн. При точном вычис-
вычислении интеграла, стоящего в B2), находим, что поправки имеют
лорядок Т/гПгес2. Так как такие же поправки нам'И не учтены в ис-
247
ходных кинетических уравнениях, то формулу B4) следует счи-
считать точной в нерелят.ивистском приближении.
В заключение еще раз заметим, что поляризацию электромаг-
электромагнитных волн определяют из уравнений B0) и B1). Из B0) сле-
следует, что Ех- и ^-'компоненты не связаны между собой. Это озна-
означает, что в изотропной плазме могут распространяться электро-
электромагнитные волны с произвольной поперечной поляризацией, ина-
иначе — с произвольным отношением EJEV.
2.3. Ленгмюровские колебания. Затухание Ландау. Неизотер-
Неизотермический звук. Исследуем теперь продольные колебания плазмы.
Прежде всего рассмотрим случай высоких частот. Нетрудно по-
понять, что при исследовании высокочастотных колебаний движе-
движением ионов можно пренебречь. Действительно, инерционные ионы
не успевают «следить» за быстроосциллирующими электронами и
создают лишь однородный практически неподвижный фон [см., на-
например, B3) и последующее объяснение]. Поэтому, подставляя
A5) в A8), отбросим ионное слагаемое. Переходя затем в систе-
систему координат, где ось z направлена вдоль к, и интегрируя по
поперечным электронным скоростям, получаем:
f-&Z*l А> = 0. B5)
J со — kv у J
В B5) подынтегральное выражение имеет полюс в точке a)=kv.
Поэтому необходимо указать правило обхода этой точки. Эта за-
задача, имеющая принципиальное значение для кинетической тео-
теории волн в плазме, была решена Л. Д. Ландау [3]. При ее решении
автор показал, что в бесстолкновительной плазме существует осо-
особый тип затухания, которое с тех пор называется затуханием
Ландау. Прежде чем перейти к изложению сути работы Л. Д. Лан-
Ландау, заметим, что для рассматриваемых здесь продольных высоко-
высокочастотных колебаний плазмы удобно совместно с уравнением
Власова для электронов использовать уравнение Пуассона для
электрического потенциала ф. В рассматриваемой системе коорди-
координат эта система уравнений одномерна и в линейном приближении
имеет вид:
dt V e) dx v leJ^ me dz dv
00
—iL = 47i^ I hfedv.
dz* J
B6)
Легко показать, что для линейных колебаний, когда б/в и ф
пропорциональны ехр(—ico^ + i&z), условием разрешимости B6)
является дисперсионное уравнение B5).
В чем суть подхода Ландау? Прежде всего Ландау указал,
что в реальной постановке задачи о линейных колебаниях плазмы
должны быть заданы либо начальные, либо граничные условия.
248
В рассматриваемом здесь случае, когда задается волновой
вектор &, надо решать задачу с начальными условиями. Будем
считать, что внешнее воздействие включается в момент времени
^=0. Воздействие создает некоторое начальное возмущение
g(v)expikz электронной функции распределения (так как задача
однородная линейная, то достаточно рассмотреть одну гармонику
по k). Сказанное означает, что в правую часть уравнения Власова
B6) мы должны ввести б-образный источник 6(it)g(v)exp ikz.
Естественно, что зависимость по координате навязывается началь-
начальным гармоническим возмущением. Это означает, что ср, 8/е~ехр ikz.
Решение системы B6) будем искать стандартным методом с
помощью преобразования Лапласа по времени:
(^и B7)
Тогда из B6) получаем:
f _ *g(») , k e dUe /Oft/
Подставляя B8) в B6), получаем:
9*Р = М»Г- . Г ?Ш? B9)
т/гР k2el(k, \р) J 1/? — &У v 7
—00
В соответствии с теорией преобразования Лапласа:
с—ioo
где интегрирование по р проводится в правой полуплоскости. Те-
Теперь можно перейти .к введенной ранее частоте путем замены
переменной р=—ico. Тогда зависимость потенциала от времени
определяется формулой:
ТГ J **> j
-00+i^ V 7
причем в C1) интегрирование проводится в верхней полуплоско-
полуплоскости по комплексной переменной со. Проанализируем выражение,
стоящее в правой части C1). Так как ^интегрирование проводится
по всем со, то, строго говоря, определенной авязи со с ? не сущест-
существует. Тем не менее в асимптотике при больших t q>h(t) может быть
пропорциональна ехр(—icoa/). В самом деле, если g(v) не имеет
особенностей, то ц>к{Ь будет определяться нулями ег(со, k). В этом
1 Как видно, B8) отличается от 6/е в A1) заменой со-нр и добавлением
слагаемого, связанного с g(v).
249
случае 8fk(t) и <ph(t) пропорциональны ехр(—icoV), где<оа(Л) опре-
определяется дисперсионным уравнением B5), причем е'('со, k) в подын-
подынтегральном выражении в C1) есть заданная в верхней полупло-
полуплоскости функция 'комплексной переменной со. Это, в частности,
означает, что вблизи действительной оси нужно слетка припод-
приподнять со вверх, т. е. в B5) заменить co-^co+ie. Это и есть правило
Ландау обхода полюсов.
После сказанного мы в состоянии исследовать дисперсионное
уравнение B5). Прежде всего необходимо в B5) подставить явное
выражение для fo — одномерную мдасвелловскую функцию распре-
распределения электронов по скоростям, т. е. fo=no(m/2nT)exp(—mv2/2T).
Затем можно использовать формулу Сохоцкого—Племеля, в соот-
соответствии с которой в интегралах типа B5) (со—ifeu+ie) следует
заменить на Р(со—kv)—in6(co—kv)y где символ Р означает глав-
главное значение интеграла. После этого нетрудно вычислить интеграл
в B5) для наиболее интересного случая a)^>kve (ve=']/2T/me —
тепловая скорость электронов). После таких вычислений диспер-
дисперсионное уравнение B5) имеет следующий вид:
„ =0- C2)
со2 \ теи>2 ) k2me dv
Решение C2) есть со=соь+1уь, где
Формулы C3) определяют частоту и декремент затухания про-
продольной высокочастотной волны, которую называют электронной
ленгмюровской волной. Как видно из C3), скорость ленгмюровских
волн зависит от волнового вектора k (об этом иначе говорят как
о пространственной дисперсии ленгмюровских волн). Этот резуль-
результат впервые получен в работе [1].
Важным результатом, который отражают формулы C3), яв-
является то, что электронные ленгмюровские колебания в бесстолк-
новительной плазме затухают. Этот факт и формула C3) для
декремента затухания yL были установлены Л. Д. Ландау [3].
Как видно из формулы для уи при со>?уе затухание Ландау
экспоненциально мало.
Рассмотрим общий случай произвольных частот. В B5) инте-
интеграл как функция комплексной частоты со или лучше как функция
комплексного переменного z= {(o/kve) выражается через табули-
табулированную функцию w(z), имеющую асимптотические разложения
и называемую интегралом вероятностей [4]:
w (г) = ехр (- гг) A + ¦?=¦ [ ехр (П dt) . C4)
250
Дисперсионное уравнение B5) в общем случае можно предста-
представить в виде
C5)
где Яв= (ve/ще) — дебаевский радиус экранирования.
Рассмотренному выше случаю a^kVe соответствует ;
С1. Для таких z w{z) представима в виде следующего ряда:
^ C6)
Несложно проверить, что подстановка C6) в C5) приводит к дис-
дисперсионному уравнению C2) и выражениям C3) для частоты и
декремента бесстолкновительного затухания ленгмюровскои волны.
Нетрудно понять физический смысл бесстолкновительного за-
затухания Ландау. Он© определяется, как видно из C3), значением
производной от равновесной функции распределения в точке
v=(o/k. В этой точке частицы находятся в резонансе (иногда
говорят в черенковском резонансе) с волной \ а следовательно,
и взаимодействуют с ней наиболее эффективно. Нетрудно понять,
что частицы, проекция скорости которых на_ направление рас-
—т О г-< у —^,
те к f те
попадают в потенциальные ямы волны, причем электроны, скорость
которых несколько превышает фазовую скорость ленгмюровскои
волны, отдают свою энергию при отражении от потенциального
барьера, движущегося со скоростью <ю/&, а отстающие электроны
подталкиваются барьером, забирая энергию у волны [5]. Для
максвелловского распределения число последних больше числа
первых (рис. 1). Поэтому суммарный эффект приводит к отдаче
энергии волны частицам плазмы, т. е. к ее затуханию. Естествен-
Естественно, что в связи с малостью области захвата
(рассматриваем линейные волны — волны ма- а
лой амплитуды) разность числа частиц, от- fll
бирающих энергию у волны и отдающих ей
свою энергию, выражается через производ-
производную функции распределения. Это находится
в соответствии с приведенным в C3) точ-
точным решением. Теперь нетрудно понять, что
наиболее сильно затухают волны, чьи фазо-
фазовые скорости лежат вблизи тепловых скоро- 0 *j .
р р
стей частиц Vj. Как видно из C3), для фа-
фазовых скоростей, много больших тепловых,
затухание Ландау экспоненциально мало, так
как в этом диапазоне скоростей экспонен-
экспоненциально мало частиц.
к
>- л
Рис. 1. Захваченные
частицы в плазме с
максвелловским рас-
распределением
Обычно такие частицы просто называют резонансными.
251
В другом предельном случае, когда co/k<^vh затухание Ландау
мало по другой причине. В этом диапазоне скоростей функция
распределения меняется слабо с изменением скорости частиц.
В соответствии с этим мала и производная (хотя и неекспонен-
циально). Рассматриваемый случай реализуется для низкочастот-
низкочастотных продольных колебаний, называемых неизотермическим звуком.
Пусть температура Те^>Тг. Тогда, учитывая ионное движение*
(колебания низкочастотные) и решая дисперсионное уравнение
способом, описанным /выше, нетрудно найти выражения для ча-
частоты g)s и декремента затухания ys неизотермичеокого звука:
C7).
Выражения C7) справедливы для длин волн, много больших'
дебаевской длины экранирования.
Нетрудно понять формулу для частоты неизотермического зву~
ка. Пусть имеется избыточное давление электронного газа. Элек-
Электронный газ стремится расшириться, но его движение может про-
происходить независимо от ионов лишь на расстояниях, меньших
дебаевской длины экранирования. При дальнейшем движении
образующееся электрическое поле «привязывает» к электронам
ионы. Поэтому с точки зрения больших длин ансамбль частиц
можно рассматривать как совокупность связанных полем электро-
электронов и ионов, локализующихся в дебаевских сферах. Следователь-
Следовательно, несмотря на то что рассматриваемое движение характери-
характеризуется электронной температурой, масса связанной частицы есте-
естественно определяется ионной массой.
Из C7) видно, что фазовая скорость неизотермического звука
много меньше тепловой скорости электронов. Поэтому имеется
неэкспоненциальная малость в затухании волны на электронах.
В то же время ((u$/k)^>Vi — ионной тепловой скорости. Поэтому
затухание Ландау на ионах экспоненциально мало. Легко понять,,
что в изотермической плазме звук сильно затухает.
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТИЦ
С ВОЛНАМИ
3.1. Волны Ван-Кампена. Если обратиться к уравнению A)у
то нетрудно заметить, что оно является неоднородным относи-
относительно функции б/в. До сих пор мы рассматривали частное реше-
решение этого неоднородного уравнения. Если же рассмотреть и од-
однородную часть, то к решениям типа A1) следует добавить ре-
решение уравнения (со—kvN// = 0. Это решение имеет вид:
8fev = nTesk8 (со—kv) exp (—ico/+ikr),
252
где tires — произвольная постоянная относительно v. Функция 8fe*
описывает одноокоростной модулированный пучо,к электронов, ско-
скорость которого со/&, а плотность — nves.
Рассмотрим продольные высокочастотные (волны. Следует на-
напомнить, что решение с б (со—kv), но с фиксированной константой
фактически уже есть. В самом деле, из A1) и результатов
разд. 3.3 следует:
8/ = ie E dfo —P[ X \ekn dfo +
те (со — kv + is) dv \ы — kv ) тг dv
+ i.X8(._to). C8)
me dv
Добавляя 8feu к C8), получаем общее решение в виде
^)e^^ + dresn4"-^\™p(--i*t + ikz), C9)
g> — kv) me dv )
где dTes — новая произвольная относительно v константа.
Подставляя C9) -в уравнение Пуассона [см. B6)], получаем
дисперсионное уравнение в виде
1
D0)
В уравнении D0) имеются две независимые величины со и
dTeSy каждую из которых при заданном волновом векторе k можно
рассматривать как функцию другой. Иными словами, D0) не дает
однозначной связи частоты со с волновым <вактором [это находится
в соответствии с выводами Л. Д. Ландау, см. C1)]. Уравнение D0),
в частности, показывает, что для любой частоты можно подобрать
такую плотность резонансных частиц (задать такое dres), при ко-
которой решением B6) будет незатухающая волна с частотой со.
Такие волны называют волнам-и Ван-Кампена. Из C9) видно, что-
волна Ван-Кампена есть модулированный пучок частиц, движу-
движущийся вместе с поляризационной волной, фазовая скорость кото-
которой совпадает со скоростью модулированного пучка. Можно ска-
сказать иначе. В волнах Ван-Кампена к резонансным частицам, за-
захваченным волной из максвелловской плазмы, добавлены резо-
резонансные частицы модулированного пучка, компенсирующие зату-
затухание Ландау. Нетрудно сообразить, что для ленгмюровоких волн,
рассмотренных в разд. 3.3, 'компенсирующая добавка экспонен-
экспоненциально мала. Поэтому мала разница волны Ван-Камлена и ленг-
мюровокой. Лишь в том случае, когда плотность модулированного'
пуч,ка электронов nVQS не экспоненциально мала, волны Ван-Кам-
Ван-Кампена заметно отличаются от ленгмюровских. Именно такие волны
принято называть волнами Ван-Кампена в узком смысле этого
названия.
Резюмируя, можно сказать, что спектр собственных продоль-
продольных высокочастотных колебаний плазмы состоит из набора ленг-
25а
мюровских 1волн и волн Ван-Кампена. Как показано «в работе [6],
та,кой набор является полным, т. е. любое возмущение (в частно-
частности, начальное) можно разложить по этому набору функций. При
этом решение задачи с начальными условиями, естественно, сов-
совладает с решением Ландау.
3.2. Взаимодействие резонансных частиц с волной конечной
амплитуды. Проще всего разобрать физику указанного взаимо-
взаимодействия на примере ленгмюровской волны.
Как это следует из п. 2.3, в линейном приближении взаимодей-
взаимодействие резонансных частиц с ленгмюровской волной приводит к
затуханию Ландау. Если обратиться к качественному анализу при-
причины затухания Ландау, то можно понять необходимость нелиней-
нелинейного рассмотрения указанного эффекта. Действительно, при рас-
рассмотрении баланса энергии между частицами, отдающими энер-
энергию волне и приобретающими ее у волны, учитывается лишь одно-
однократное отражение частиц от стенок потенциальной ямы волны
(такое рассмотрение соответствует линейному приближению). Не-
Нетрудно понять, однако, что после первых отражений частицы мо-
могут как бы поменяться ролями: отстающие от волны становятся
догоняющими и наоборот. На первый взгляд может показаться,
что в бесстолкновительной плазме рассматриваемый процесс бу-
будет обратим. Однако вопрос более сложен. Прежде всего происхо-
происходит процесс «разбегания» резонансных частиц с чуть отличаю-
отличающимися скоростями по большому набору мод Ван-Кампена. Со
временем этот набор волн может потерять фазовую корреляцию.
Тогда 1в игру вступает перемешивание фаз резонансных частиц,
ведущее к необратимости, так что для ,ответа на вопрос, как
развивается процесс затухания Ландау, необходимо перейти к не-
нелинейному рассмотрению.
Как и в п. 2.3, исследуем случай больших фазовых скоростей
((x)/k)^>ve. Из-за экспоненциальной малости числа резонансных
частиц в этом случае задачу о взаимодействии резонансных час-
частиц с ленгмюровской волной удобно рассмотреть с помощью тео-
теории возмущений. В первом приближении такой теории будем счи-
считать волну стационарной и рассмотрим кинетику частиц в этой
волне. Затем учтем обратное влияние резонансных частиц на ис-
исходную волну.
Перейдем в систему координат, движущуюся вместе с волной,
и выберем нормировку потенциала волны в виде
ф = ф0A — cos?z)/2=qHsin2(?z/2), D1)
после чего исследуем движение частиц на фазовой плоскости г,
v (рис. 2).
Резонансные с волной электроны можно разделить на захва-
захваченные в потенциальные ямы волны, совершающие финитное дви-
движение, и пролетные, инфинитное движение которых заметно иска-
искажено потенциалом волны.
254
x-ut
Рис. 2. Фазовые траектории частиц в поле ленгмюровской волны
Рассмотрим захваченный электрон, движущийся вблизи дна
ямы. Для него &г<1, а следовательно, уравнение движения мож-
можно записать в виде
mez=e (ду/dz) = ek (фО/2) sin (n+kz) «
. D2)
Это уравнение, как хорошо известно, описывает колебания с часто-
частотой йь=& у —-• Естественно ожидать, что характерный времен-
временной масштаб изменения функции распределения резонансных час-
частиц будет порядка ть=йь~1, причем, если за время, которое нужна
захваченной частице для того, чтобы сделать хотя бы один оборот,
амплитуда волны изменится существенно, частица не попадет
в захват. В этом случае затухание волны определяется однократ-
однократными отражениями частиц от горбов потенциала, что означает
применимость линейного приближения. Иными словами, линейное
приближение справедливо, если уьть>1 или Цо<.уь2те/к2е. В про-
противоположном случае, когда q>Q*>yL2tne/k2ey необходимо 'привлечь
нелинейное рассмотрение.
Итак, пусть q)o^>yL2rne/k2e, но ©се же амплитуда волны невели-
невелика, так что невелика область захвата частиц по скоростям. Это-
позволяет разложить в ряд начальную функцию распределения
резонансных частиц: fo(v) = fo(™!k) +~(v ~-<x>/k) +••- Считая
fo(v) заданной в начальный момент времени ?=0, функцию рас-
распределения в последующие моменты можно получить методом ин-
интегрирования по траекториям [7]. Для этого нужно найти траекто-
траектории частиц в электрическом поле волны D1). Затем заменить
V—со//г-^оУB/т){е—ecpo[sin(,/гг0(z, e, t)/2)]2}y где го(г, е, /) —на-
—начальная координата электрона с энергией е, попадающего в мо-
момент времени t о точку z\ a=±l определяет направление движе-
движения частицы. После выполнения указанной процедуры, следуя [8],
можно записать функцию распределения захваченных частиц,
в виде
. о-
D3)
255
ф
где х2=еф0/е; F(a; ф) s= Jdg(l—a2sin2)~1/2 — эллиптический инте-
грал первого рода; сл г —; — 1 •; — эллиптический
косинус, который является осциллирующей функцией и, причем
период осцилляции по х уменьшается с ростом t. Иными словами,
с течением времени усиливается перемешивание частиц по фазам.
Это позволяет произвести усреднение по быстрым осцилляциям,
в результате чего быстро осциллирующая часть исчезает, и на
функции распределения образуется плато в области резонансных
частиц, причем <//>=f(со/&), где < > означают усреднение по
быстрым осцилляциям.
Следует отметить, что процессу сглаживания — платизации —
функции распределения захваченных частиц способствуют столк-
столкновения. В самом деле, увеличение осцилляции означает появле-
появление на функции распределения большой ряби. В этих условиях
нельзя пренебрегать 'интегралом столкновений, который, как было
показано в [9], носит диффузионный характер (в пространстве ско-
скоростей). В рассматриваемых условиях после определенного момен-
момента времени «вторые производные по скоростям становятся больши-
большими -и «быстро рассасывают (мелкомасштабную рябь на функции
распределения. Таким образом, .в результате совместного действия
•фазового перемешивания и столкновений с малым изменением
скоростей частиц на функции распределения устанавливается пла-
плато в области захваченных частиц.
В области пролетных резонансных частиц картина .иная. Функ-
Функция распределения пролетных частиц, найденная тем же способом,
что и D3), имеет вид:
- D4)
Так как среднее значение эллиптической функции dn не равно
лулю, то <.finf{v)>?=fo{(u/k)—второе слагаемое в D4) также
дает ненулевой вклад.
Теперь, зная поведение во времени функции распределения
захваченных и пролетных частиц, можно определить изменение
во времени амплитуды волны. Для этого введем зависящий от
времени декремент затухания: y(l)=dW/Wdt, где W=
If*
— \
о
р у y(),
f* 1
\ dz -^- [dyjdz]2 — энергия волны (X — длина волны).
о
Прежде чем перейти к изложению результатов (вычисления для
синусоидальной волны, необходимо отметить, что в [10] была най-
найдена функция распределения f(v, t) для случая волны, имеющей
периодическую последовательность прямоугольных барьеров. В [10]
показано, что в этом простейшем случае затухание Ландау обя-
556
зано лишь захваченным частицам. Затухание определяется вна-
вначале значением yL из линейной теории, затем осциллирует с пе-
периодом, имеющим порядок ть, исчезая после полною перемешива-
перемешивания фаз частиц.
Для синусоидальной волны, как это показано <в [8], вклад
в затухание дают также и пролетные частицы. Подставляя D3)
и D4) в выражение для y(t), находим следующую зависимость
y(t) [В]:
2rm* sin
п=0
Bл+1)
п2 sin (
хв/BA+О0+<Г2Я)
Bn+ \)<tt
=11
l-1) У
D5)
где /С(и)=?(х; я/2) — полный эллиптический -интеграл первого
рода; q=exp(nK'/K), а К'—КО/1—х2). Этот ряд считается чис-
численно. На рис. 3 приведен график функции у (t)/yL в координатах
Qbt. Видно, что y(t)/yL представляет собой осциллирующую с за-
затуханием функцию. Это означает, что амплитуда волны (выходит
на плато за время, за которое y(t) становится приблизительно
равным нулю.
В рассматриваемой задаче естественно возникает сдвиг часто-
частоты. Этот сдвиг найден в [II] (см. рис. 3).
В заключение остановимся 'кратко на стационарных волновых
решениях нелинейной кинетической задачи. Для ее решения в'[12]
использовалось уравнение Пуассона (с учетом ионного фона) и
нелинеаризованное уравнение Власова для одномерного движения
электронов. Характер совместного решения этих уравнений можно
понять с помощью анализа траекторий электронов на фазовой
плоскости. В используемой здесь системе координат, связанной
с (волной, эти траектории определяются уравнением е=та2/2+
+ey(z). Значение энергии определяет конкретную траекторию.
Полностью же движение частицы задается не только 8, но и ве-
величиной Э, указывающей местоположение частицы на траектории.
Рис. 3. Зависимости декремента затухания и сдвига частоты ленгмюровской
волны от времени в режиме захвата частиц волной (качественные кривые)
9 Зак. 137
257
Поэтому от переменных z, v можно перейти к переменным е, 6
в функции распределения частиц. Эта функция распределения f
(s, 6) может не зависеть от времени, если частицы распределены
по траектории так, что / постоянна вдоль всей траектории. Это
означает, что [ не зависит от 0, а является функцией л'ишь энер-
энергии е. Есл'и такую функцию согласовать с потенциалом с помощью
уравнения Пуассона, то можно найти стационарные решения,
описывающие нелинейные установившиеся волны. Такая задача
была решена в работе Бернштейна—Грина—Крускала (БГК) [12].
Поэтому соответствующие волны называют волнами БГК.
4. ЭФФЕКТЫ ПАМЯТИ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
Посмотрим с несколько иной точки зрения на процесс затуха-
затухания Ландау. Пусть применима линейная теория. Как мы знаем,
в этом случае никакого захвата частиц в потенциальные ямы
волны нет, так как затухание происходит быстрее, чем частица
успеет пройти между горбами потенциала. При этом отдельные
группы резонансных частиц как бы «разбегаются» по несфазиро-
ванным ван-кампеновским модам, а поэтому не возникает макро-
макроскопических волновых полей. Иными словами, можно сказать, что
затухающая волна тратит свою энергию на расфазировку частиц,
иначе — на перемешивание фаз частиц.
Здесь так же, как и в нелинейном случае, возникает вопрос
об обратимости процесса. Вопрос не простой. Не рассматривая
его подробно, подчеркнем, что число мод Ван-Кампена, между
которыми произошло перемешивание резонансных частиц, велико.
Это означает, что время обратимости весьма велико. Поэтому за
такое большое время в игру могут вступить неучтенные воздей-
воздействия (в частности, столкновения), нарушающие обратимость. Тем
не менее фазовая память частиц о породивших их макроскопиче-
макроскопических колебаниях может сохраняться весьма долго. Это приводит
к существованию в бесстолкновительной плазме явлений, объясне-
объяснение которых возможно лишь в рамках кинетической теории. К та-
таким явлениям относится эхо в плазме, просветление плазменных
волновых барьеров резонансными частицами, баллистическая
трансформация волн и нелокальное отражение от волновых барь-
барьеров в магнитоактивной плазме.
4.1. Эхо в плазме. Плазменное эхо было предсказано в [13].
Явление состоит в следующем. Возбудим леншюровскую волну,
линейно затухающую по Ландау (во времени или в пространстве).
После .того, как эта волна затухла, возбудим вторую ленгмюров-
скую волну. Тогда после затухания и второй волны в плазме воз-
возможны вспышки высокочастотных колебаний через определенные
интервалы времени (для в'ременной задачи) или через определен-
определенные пространственные интервалы (для пространственной задачи).
Естественно связать явление плазменного эха с фазовой па-
памятью резонансных частиц. Чтобы показать, что это действитель-
действительно так, рассмотрим более простой пример, когда последовательно
258
создаются лишь модулированные, уже расфазированные потоки
электронов [14].
Пусть в точке z=0 внешним источником возбуждается элек-
электрическое поле с частотой coi^>cooe (например, с помощью сеггки).
Для таких частот поляризацией среды можно пренебречь. Это
означает, что в продольных движениях не возникает самосогласо-
самосогласованное электрическое поле. Тогда, если исходный сигнал невелик,
кинетическое уравнение принимает вид:
d=i(Di6/i + t,J_E/l) = -i-fl-f!LeXp(±i«>1OS(Z), D6)
oz me ov
где f(v) —функция распределения, описывающая состояние плаз-
плазмы, невозмущенное высокочастотным полем i?iexp(±i(Oi/NB)
первого .источника. Решением этого уравнения служит:
6fx(z, v, *) = o(z)-i--?i- °b- exp
me v dv J
где a (z)—функция единичного скачка. Нетрудно видеть, что
из-за быстрых осцилляции функции 6fi интеграл от нее ло v вдали
от z=0 равен нулю. Иными словами, модулированный поток элек-
электронов, создаваемый первым источником, не создает макроскопи-
макроскопического электрического поля. Это типичный пример ван-кампенов-
ских волн.
Включим теперь в точке z—d второй модулятор потоков элек-
электронов, аналогичный первому, но работающий на другой частоте
(также много большей соое). Невозмущенное вторым модулятором
состояние плазмы описывается теперь функцией распределения
fio=fo{v)+8fi(z, vyi). В соответствии с этим
8ft(z, *, t)=o(z-d)J- A. ^iLexp izticD Г* _-*Z^.ll +
m v dv [ I v \)
w V ; m2 v dv [ v dv ) *
D7)
Как и для б/i, первое слагаемое в правой части D7) не дает
вклада в макроскопическое поле. Во втором же слагаемом произ-
произведение экспонент, связанное с разностной частотой co/=coi—юг,
перестает зависеть от v в точке
coi). D8)
Это означает, что 'быстрые осцилляции по v исчезают в этой точке
и возникают макроскопические колебания плотности на разност-
разностной частоте, приводящие к возбуждению высокочастотного элект-
электрического поля — эха на комбинационной частоте.
Вывод о возникновении эхового сигнала справедлив и для
плазменных волн, так как он, как видно из предыдущего, основан
на рассмотрении поведения только резонансных частиц. В теории
9* 259
Л i
Г~
-а о
2 , J
a x
эха на плазменных волнах, помимо
резонансных, необходимо учиты-
учитывать возмущение остальных элек-
электронов, так как на этих частотах
важную роль играет поляризация
среды. Поэтому количественная
формулировка меняется — в выра-
Рис. 4. Профиль плотности в пря- функции распределения
моугольном волновом барьере для м TJ u r r
ленгмюровских волн второго порядка войдет диэлектри-
диэлектрическая проницаемость плазмы.
Наряду с эхом на плазменных частотах было рассмотрено эхо,
соответствующее другим типам бесстолкновительно-затухающих
волн в плазме.
Итак, длительное сохранение в бесстолкновительной плазме
фазовой памяти частиц о затухшем высокочастотном электричес-
электрическом поле приводит к возможности создания макроскопического
эффекта — эха в плазме.
4.2. Просветление плазменных волновых барьеров резонансны-
резонансными частицами. Баллистическая трансформация волн. Другим эф-
эффектом, в котором проявляется сохранение фазовой памяти резо-
резонансными частицами, является просветление плазменных волновых
барьеров резонансными частицами [15—18].
Рассмотрим случай [15], когда профиль плотности плазмы
имеет вид плато с прямоугольным холмом в центре (рис. 4). Пусть
слева, из области /, на холм «падает ленгмюровокая волна с часто-
частотой охСсоое B), где соо* B)—ленгмюровская частота в области 2
[естественно, со>о)ое A)]. Тогда, очевидно, эта волна не может
распространяться в области 2 и, дойдя до границ областей / и 2,
казалось бы, лишь отразится от нее, проникая за эту границу на
расстояние порядка дебаевской длины экранирования поля этой
волны. Если ширина области 2—А^$>ХО, то электрическое поле
исходной волны в область 3 не проникает. На первый взгляд ка-
кажется, что 'исходная волна в область 3 не проникает, т. е. для нее
холм 2 будет барьером непрозрачности. Это было бы так, если бы
не было резонансных частиц. В действительности же резонансные
частицы, отрываясь от волны на границе 1—2, беспрепятственно
проходят >в область 3 (бесстолкновительная плазма) и здесь мо-
могут частично регенерировать исходную волну. Эффект возможен
в том случае, если на длине барьера не произойдет перемешива-
перемешивания фаз резонансных частиц.
Для случая, когда справедливо линейное приближение, т. е.
qx^y2Lm/k2ey длина, на которой происходит расфазировка частиц,
нам известна. Она определяется пространственным декрементом
затухания K=yL(da)/dk)'~1. Иными словами, длина барьера, для
которого работает описанный механизм просветления волновою
барьера, удовлетворяет условию
A<K-1=yL^ld(o/dk. D9)
260
Нетрудно оценить D-коэффициент прохождения волны сквозь
волновой барьер, равный отношению квадрата модуля амплитуды
падающей волны |?г|2 и |?п|2, соответствующей величине для
регенерированной волны. Перед барьером ток резонансных частиц
можно оценить с помощью следующих рассуждений. Уменьшение
потока энергии за период в результате поглощения ее резонанс-
резонансными частицами приблизительно равно (x/k) (d(o/dk)Ei2. Кроме
того, эта величина пропорциональная работе, совершаемой вол-
волной над резонансными частицами, т. е. /п(—а)Еи откуда
/ ( а) ~— —^Ег. Теперь можно сравнить работу, произведенную
J v ' k dk
резонансными частицами над регенерируемой волной jn(a)Eny
с потоком ее энергии —Еп2, откуда }п\а) ~ ~т; Еп- Пренебрегая
dk dk
малым уменьшением тока резонансных частиц внутри барьера,
Я/ Л/
получаем, что Еп~ —Еи или D& |— |2. Строгое теоретическое рас-
« k k
смотрение, проведенное в [15], приводит к следующему результату:
D M (JL)' ехр Г_ 2х^ 1, E0)
1 *' L Vi+&>2 J
где 8о=|ефо|/Г, а |фо| —абсолютная величина скачка потенциала
на границах волнового барьера.
Если рассмотреть амплитуды волн, для которых применима
нелинейная теория ((р^уь2т/к2е)9 то аналитические выражения
для D можно получить в следующих предельных случаях [17]:
если А</6; E1)
D ^ Ш* (±у sin2 (-— -7) • если А »*ь>
где ib=%b(x)/k — характерная длина, на которой резонансные элек-
электроны совершают колебания между горбами потенциала. Резуль-
Результат E2) находится в соответствии с осциллирующе-затухающим
характером нелинейного декремента затухания Ландау (см.
в разд. 4.2).
Как видно из проведенного выше рассмотрения, эффект про-
просветления волновых барьеров возникает и для барьеров нерезких,
при этом, естественно, меняются выражения для соответствующих
D, качественная же картина процесса сохраняется [16, 18].
Нетрудно понять, что если резонансные частицы, пройдя об-
область непрозрачности, могут затем возбуждать волны другого
типа, то возможна нелокальная трансформация волн, названная
баллистической тромоформацией волн [19, 20]. Иными словами»
если «точка» трансформации лежит за точкой поворота, то в бес*
столкновительной плазме возникает явление баллистической транс-
трансформации волн.
261
5. ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН
В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ
Магнитное поле заметно меняет картину волновых движений
в плазме. Прежде всего следует отметить, что магнитное поле
увеличивает число собственных колебаний плаамы. Велико влия-
влияние магнитного поля на поляризацию волн. Продольные и по-
поперечные волны в магнитоактивной плазме оказываются, вообще
говоря, неразделимыми. Иными словами, поляризация собствен-
собственных колебаний плазмы такова, что эти колебания, как правило,
характеризуются и продольными и поперечными компонентами
электрического поля. Лишь при определенных условиях (соотно-
(соотношение между параметрами плазмы, выбор направления распрост- '
ранения волны) могут возникать чисто продольные или чисто
поперечные волны.
Интересным явлением, характерным для магнитоактивной бес-
столкновительной плазмы, является существование волн, не имею-
имеющих аналога в газодинамике. Эти волны называют обычно мода-
модами Бернштейна [21].
К особенностям магнитоактивной плазмы следует отнести и
то обстоятельство, что магнитное поле вовлекает в резонанс
с волнами заметно большее число частиц в сравнении с изотроп-
изотропной плазмой. Так, например, для волн, распространяющихся вдоль
магнитного поля, резонансы возникают не только для частиц,
движущихся вместе с волной (a) = kv — черенковский резонанс),
но и для частиц, совершивших дополнительно краткое число обо-
оборотов по ларморовской окружности (®=kv-{-nQjl — циклотрон-
циклотронный резонанс, целое число).
5.1. Тензор диэлектрической проницаемости магнитоактивной
плазмы. Циклотронное затухание. Колебания холодной замагни-
ченной плазмы. Тензор диэлектрической проницаемости однород-
однородной магнитоактивной плазмы найден в [22, 23]. Для его вычисле-
вычисления (как и в п. 2.1) необходимо связать плотность тока, возни-
возникающего в самосогласованном поле волны, с напряженностью
электрического поля волны. Для этого нужно разрешить линеари-
линеаризованные уравнения Власова A) для ионов и электронов относи-
относительно бД, е. Для максвелловской функции распределения (как
для любой .изотропной по скоростям) слагаемое (VXB)X<5/oA?v
обращается в нуль. Учитывая это «и переходя в систему коорди-
координат, где ось z направлена 'вдоль Во, получаем следующее уравне-
уравнение для монохроматических волн:
Л*! E3)
где ф — азимутальный угол в пространстве скоростей, определя-
определяемый cos Ф = е±у/ух; v±—перпендикулярная Во компонента ско-
1 Здесь и в дальнейшем п^ = егВ^т^ с — циклотронная частота частиц сор-
сорта /, Во — вектор индукции постоянного магнитного поля.
262
роста частиц; е± — орт вдоль vx. При интегрировании по ф E3
следует учесть однозначность б/Л т.е. что 6/Дф+2я) =6/,(ф). Тог-
Тогда решение E3) можно записать в форме:
ехр
V
to)
E4)
В этом -выражении для проведения промежуточных .интегрирова-
.интегрирований обычно переходят в систему координат, в которой волновой
вектор расположен в плоскости xoz, т. е. k=(k±, О, ?„). Нетрудно
ф
видеть, что / (kv—(o)dq>f=(k^vn—со) ~{-k±v± sin ф. Подставляя этот
результат в E4) ри используя формулу ехр(—ifyij
оо
функция Беоселя
= У] ^ft(*i)exP(—i^ф),
П=—С»
рядка; '&j=kjLv±fQj9 получаем:
*f/ = -^ехр(i•/sin*>
ar = -
Найдем с помощью E5) высокочастотный ток и получим затем
следующее выражение для тензора диэлектрической, проницаемо-
проницаемости:
„(я)
dv^-v....,._:>, _„о. • E6)
Ые2 f
В E6) указано правило обхода полюсов Ландау. В E6):
( П2 2 2 ^ ?V ^rc2
E7)
В E5) и E6) видны резонансы, аналогичные тем, которые воз-
возникали в изотропной плазме. Нетрудно понять физический смысл
этих резонансов. Как видно из E6), знаменатели обращаются
в нуль при gd=&||0|4+#?2j. При я=0 — это условие черенковского
резонанса частиц с волной, бегущей вдоль магнитного поля с фа-
фазовой скоростью со/&||. Этот резонанс, как мы знаем, в изотропной
плазме приводит к затуханию Ландау. При пфО возникает цик-
циклотронный резонанс для частиц, испытывающих также продольное
движение. Действительно, в системе координат, где волна не дви-
263
жегся вдоль магнитного поля, резонансная частица также не
совершает продольного движения. Ее резонанс с волной опреде-
определяется условием равенства частоты волны частотам, кратным
циклотронной. Возвращаясь в лабораторную систему координат,
получаем доплеровский -сдвиг, что и приводит к записанному выше
условию резонанса. Часто говорят, что при положительных п мы
имеем нормальный доплер-эффект, а при отрицательных—ано-
отрицательных—аномальный, подчеркивая этим, что во втором случае фазовая ско-
скорость волны вдоль Во меньше скорости резонансной частицы.
Выражение E6) для макевелловской плазмы интегрируется до
конца в терминах табулированных функций. В результате вычис-
вычислений получаем:
{Zn) 2x'An';
E8)
i.n ll
Здесь
k\T
znj = ¦
knVi
= dA/dx\ In{x) —модифицированная функция Бесселя п-то поряд-
порядка; w(x) —интеграл вероятности, определенный C4).
Зная компоненты тензора еар, вычисленного в указанной выше
системы координат (k= (k±, 0, ku)) в соответствии с G), можно
найти дисперсионное уравнение для магнитоактивной плазмы:
E9)
sin2 0
где A = eXxSin2Q+2exzcos Э sin 9+ezzcos20;
В = - Bxsfizz - (eyyezz + г%) cos2 9 - (гххгуу +
+ 2 (гхугуг — гхугхг) cos в sin 9 + s2xz\
С = det (8aP) = ezz (sxxeyy
exxe2yz
2exyeyzsxz
гууг2хг\
264
Прежде чем перейти к анализу дисперсионного уравнения, отме-
отметим, что определитель Л является довольно сложной, трансцен-
трансцендентной функцией частоты и волнового вектора. Это значит, что
число типов собственных решений, иначе — ветвей колебаний, мо-
может быть бесконечно большим. Однако реально подавляющее
большинство ветвей колебаний являются сильнозатухающими. Та-
Такие решения, строго говоря, не могут называться собственными
колебаниями плазмы. В свою очередь число типов слабозатухаю-
слабозатухающих колебаний бесстолкновительной магнитоактишой плазмы с
тепловым движением частиц ограничено. Поэтому и здесь можно
говорить об отдельных ветвях собственных колебаний.
Проанализируем свойства холодной магнитоактивной плазмы,
т. е. рассмотрим случаи, когда тепловым движением частиц мож-
можно пренебречь или в введенных обозначениях znj^>l, x,<Cl. Плаз-
Плазму, в которой выполнены эти условия, обычно называют замагни-
ченной. В нулевом приближении еар приобретает в-ид:
1
•»='-
«V2/
со (со2 — 2у8)
F0)
Тензор диэлектрической проницаемости холодной бесстолкнови-
бесстолкновительной плазмы, как видно из F0), является эрмитовым. Это
неудивительно, так как, пренебрегая тепловым разбросом частиц,
мы не учли резонансы^ т. е. полностью пренебрегли диесйпатив-
ными процессами.
Уравнения, определяющие собственные колебания и собствен-
собственные частоты, приобретают вид:
F1)
с2 ;
Л (со, k) — i
+ -~-s и (el — s2)= °- F2)
Уравнения F1) и F2) свидетельствуют о том, что даже в холод-
холодной магнитоактивной плазме собственные колебания нельзя раз-
разделить в общем случае на чисто продольные и чисто поперечные
265
волны. Такое разделение возможно лишь при распространении
волн строго вдоль магнитного поля (k±=0; kn = k). В этом случае
первые два уравнения в F1) описывают поперечные электромаг-
электромагнитные волны, дисперсионное уравнение для которых выглядит
следующим образом: k2c2=(o2(&±dzg). Нетрудно показать, что
здесь верхний знак отвечает левополяризо!ванной (Волне (Е+у/Е+х=
=>—i), а нижний — право!поляр1изо1ванной поперечной волне
(Е-у1Е-х=\). Волну первого типа называют обыкновенной, вто-
второго— необыкновенной. Третье уравнение в F1) соответствует
продольным -колебаниям плазмы, для которых 8ц = 0 является дис-
дисперсионным уравнением, согласно которому со2=<со2ое.
Несмотря на то что мы рассматриваем весьма частный слу-
случай— распространение волн вдоль магнитного поля в холодной
плазме, простые аналитические выражения для спектров частот
можно записать лишь в предельных случаях (щш со<Сйг со2=
kv л 1
— альвеновские и быстрые магнито-
звуковые волны, где vA = B0/~\/4nn0m0 — альвеновская скорость, при
&г<Ссо<С Qe со2о e/Qe, (d=k2c2Qe/(u2o е — свисты .или геликоны, при
со^>йе со2=&2?2-|-со2е A ^ лГ е -]—обыкновенная и необыкно-
\ V (ое2 + Ь2с2 }
венная электромагнитные волны).
В промежуточных случаях зависимость частоты от волнового
вектора можно изобразить графически. Такие графики представ-
представлены на рис. 5, а.
Проанализируем дисперсионное уравнение в другом предель-
предельном случае чисто поперечного распространения (k±=k, &„ = 0).
Для этого случая дисперсионное уравнение F2) сводится к сле-
B . / J „ 2 е2 о2 \
k2 — s ) k2 — — 1 = 0, откуда к2=ы4 у /с2
с2 "/\ с2 ех /
или k2=(xJ(s±—g2)/c2&±. Первое из этих уравнений описывает
обыкновенную, второе — необыкновенную волну. Спектр частот
обыкновенной волны определяется тем же соотношением, что и для
9 = 0
B-tjZ
Верхняя
?аоридная
а)
Рис. 5. Дисперсионные кривые для холодной магнитоактивной плазмы при раз-
различных углах G по отношению к Во
266
электромагнитных волн в изотропной плазме [см. B4)]: со2=
= co2oe-f&2c2- Подставляя это выражение в уравнение F1), нетруд-
нетрудно убедиться, что обыкновенная волна является поперечной с ли-
линейной поляризацией вдоль г. Учитывая дисперсионное уравнение
для необыкновенной волны, можно показать, что эта волна имеет
продольно-поперечную поляризацию Ех =—i g г±-хЕу. На рис. 5,6
приведены дисперсионные кривые для обыкновенных и необыкно-
необыкновенных волн во всем диапазоне частот.
Рассматривая рис. 5, а и б, водим, что число ветвей при по-
поперечном распространении волн в холодной магнитоактивной плаз-
плазме равно четырем в отличие от пяти при продольном распростра-
распространении. При произвольных углах распространения (отличных от О
и я/2) число ветвей равно пяти. Дисперсионные кривые для этого
случая представлены на рис. 5, в.
Интересно отметить, что при определенных условиях необык-
необыкновенные волны могут быть почти продольными (это означает, что
ЕХ^>ЕУ, Е2). Так, при строго поперечном направлении распростра-
распространения это означает, что |?|^|в±| или проще: 8j_=0. Нетрудно
в'идеть, что это выполняется для коротких длин волн ife2c2>ico2.
Это является отражением общего свойства распространения волн
в плазме, не связанного с приближением холодной плазмы, — ко-
коротким волнам соответствует тавазипродольное распространение
волн [А = 0 в дисперсионном уравнении E8)]. В рассматриваемом
здесь случае коротких длин волн, распространяющихся поперек
магнитного поля в холодной плазме, уравнение е±=0 дает реше-
решения: co+=]/co20e-j-Q2e и @_== A+Й2е/со2ое)-1/2У &<А (для случая
Q2e<co2oe, о)-^У?2ейг). Часто колебания, соответствующие со+,
называют колебаниями на верхней гибридной частоте, а со- — на
нижней гибридной частоте. На рис. 5 представлены кривые зави-
зависимости частот квазипродольных волн от угла 0 (угол между вол-
волновыми векторами к и Во).
5.2. Влияние теплового движения частиц на волновые свой-
свойства магнитоактивной плазмы. Моды Бернштейна. Для рассмот-
рассмотренных выше собственных колебаний холодной магнитоактивной
плазмы учет теплового движения частиц приводит к появлению
поправок к собственным частотам и собственным векторам, ко-
которые обычно можно учесть в рамках двухжидкостной гидроди-
гидродинамики, учитывающей конечность ларморовского радиуса (газо-
(газокинетическое давление, магнитную вязкость и соответствующие
тепловые «потоки [24]). Декременты слабозатухающих волн можно
найти затем по формуле A0), где е"ар — антиэрмитова часть тен-
тензора диэлектрической проницаемости [слагаемые, определяемые
резонансными частицами, а следовательно, пропорциональные
ijt6(co—kuvVi—nQj)]; собственные векторы е« гидродинамической
задачи составляют в этом случае ортогональный набор эрмито-
вого оператора.
Результаты вычислений собственных частот и соответствую-
соответствующих декременхов затухания магнитоактивной плазмы с тепловым
движением частиц для характерных случаев приведены в таблице.
267
to
00
Таблица волн в магнитоактивной плазме
Тип волн
Закон дисперсии
Декремент затухания
Поляризация (Г=0)
Альвеновская
© С &Bi
vA > vTi
со = kvA cos 9
X
v=l/ — x
©e tg*0
ПРИ Ол » VU
D2. ,2
T" ~Г exP (- «If/^n) ПРИ v<
Быстрая
магнитозву-
ковая
ш < co?t.
© =
V
Y = I/ TX
Af
при
2|
X
cos 0| ^ M X
cos 20 I —~ cos 20 — :
1 +
ПРИ
= (-{
© 1
Й51 sin2 0
1,
Медленная
магнитозву-
ковая
00 =
— у v2A + v\ — 2vAvs cos 0 J
to.
2 | cos 0 ,
я tn
X
1—-
cos 20 ~ cos 20 — 1
\ A j
cos 20
Спиральные
волны
(вистлеры)
(O/kz > v
to
CD
COS0|
"ре
V s
Я CO3tg20 / CO2
- exp [ -z-z— 1 X
X
CO* CO
ni kz
при 0 ^= 0
%e CO2
to.
Те
• exp (— G>%e/2&v>Te) при 0 = 0
го
о
Продолжение табл.
Тип волн
Закон дисперсии
Декремент затухания
Поляризация (Г=0)
Обыкновен-
Обыкновенная
При со > юВе со -> у а?ре -f k2c2
V«co I/ —
я с i _
при cop <
со >
e(icos9,l, — i sin 6)
Быстрая
необыкно-
необыкновенная
СО с
При со
со
е(— tcosO,l, i sin в)
Медленная
необыкно-
необыкновенная
C)=/w2pe + ^_
Продолжение табл.
Тип волн
Закон дисперсии
Декремент затухания
Поляризация (T=Q)
а)
Квазипро-
Квазипродольные
тах(о)ре, ®Ве) при 6^ О
б)
7.
при cos2 6 < m/M
+«>Ве J
Xexp —
/я-
X
при соре > аВе
в)
(
при cos2 0 > т/М
toBi^pe cos 0
при cos2 0 < т/М
"ре
в)
*11Е
Бернштей-
новские
моды
Электрон-
циклотрон-
циклотронные
со
Во
Продолжение та(
Тип волн
Закон дисперсии
Асимптотики при
1)
> = k, rt
:со2 —
X
Декремент затухания
у* = <оп у y
X
Поляризации (Г=0)
Помимо рассмотренных выше ветвей колебаний в тепловой
или горячей плазме возникают новые ветви. Довольно очевидно,
что при учете теплового движения частиц в неизотермической
плазме с T€'^>Ti появляется звуковая ветвь. Так как сильное
магнитное поле запрещает звуковые движения поперек .поля, в
плазме малого давления (|3= (8яр/#2)<С1) звуковые колебания
распространяются вдоль магнитного поля с дисперсией:
„(У)
Однако наиболее интересным следствием теплового движения
частиц в магнитоактивной плазме является существование колеба-
колебаний, не имеющих газокинетического аналога. Речь идет о квази-
квазипродольных колебаниях, распространяющихся поперек магнитного
поля и имеющих частоты, близкие к циклотронным и их гармо-
гармоникам. Продольные электронные 1волны с частотами, близкими
к nQe, обнаружены и исследованы в [21]. Автор работы показал,
что для произвольных хе дисперсионное уравнение для квазипро-
дольных волн А —0 [см. E8)] имеет в каждом из интервалов
я?2е<С(о< (я+1)йе одно решение. В дальнейшем такие моды, а
часто и 1воо'бще циклотронные волны стали называть модами
Бернштейна.
Рассмотрим вначале ионно-циклотронные волны, распростра-
распространяющиеся почти поперек магнитного поля [25, 26]. Пусть
^г<С — <Ct;e, а ггп^>\ (я=0, ±1, ±2...). Используя асимптотиче-
k
окне разложения для функций Крампа w(z) и функций /п, можно
•из E8) получить дисперсионное уравнение для ков азипр о дольных
волн (Л = 0) в виде 1 + (Т{/Тв) =fi (со) -j-i я f2(со), где fi=A0(Xi) +
<+2со22 Ап(х{)/(д2—я2^; /2(со) = B^2Oe<x>/k2ve
n=l
Х2Лп(хг-)ехр(—zln). Из сравнения fi(co) и Ь(со) видно, что
в рассматриваемом приближении /i^/г. Это означает, что в дис-
дисперсионном уравнении мнимое слагаемое, ответственное за сла-
слабое затухание волн, можно вначале не учитывать. Тогда диспер-
дисперсионное уравнение приобретает вид:
=Ыю) F3)
и его можно решить графически. Решению уравнения F3) соответ-
соответствуют точки пересечения кривых y = fi(($) с прямыми y=l + Ti/Te.
Из рис. 6, а видно, что в каждой зоне от пп{ до (az+1)Q* имеется
одно решение ^n)(k), причем с ростом Т^Те со<п>(&) приближается
к nQi. Отметим, что для шшзмы с горячими ионами и холодными
электронами (Т{>Те) ы(п)Aг)=пп{[1+{Те1Ъ)Ап(Хг)]; в обратном
предельном случае частоты мало отличаются от (/z+l)^« Общий
характер графического решения для <o(n)(k) представлен на
рис. 6. Из него видно, что как для малых (Х{<^1), так и для
больших (x^l) ионных ларморовских радиусов частоты (o(n)(i&)
близки к гармоникам ионно-циклотронной частоты. Зная со(п)(^)
и учитывая /2<С/ь нетрудно определить декременты затухания
ионно-циклотроиных мод (ом. таблицу).
276
7
6
5
Н-
3
2
1
S 8
i i I i i
0 2 Ч 6 5 кре
Рис. 7. Графическое реше-
решение дисперсионного уравне-
уравнения для мод Бернштейна
• Рис. 6. Зависимость частот
ионно-(а) и электронно-цик-
электронно-циклотронных (б) волн от вол-
волнового вектора
Для электронно-циклотронных волн движением 1ионо:в можно
пренебречь (и записать дисперсионное уравнение для <квааипро-
оо
дольных волн iB виде: 1—(<со20е/со) 2 п2хв~1А(хе) (со—n\Qe\)"l = 0.
Его графическое решение приведено на рис. 7. Отметим, что для
больших лар1моровских радиусов #е»1 можно записать анали-
аналитическое решение уравнения для электронных мод Бернштейна:
^(fe)|Q|[l2/Q2B3)/2]
||
5.3. Проявление эффектов фазовой памяти частиц в магнито-
магнитоактивнои плазме. Довольно очевидной является возможность воз-
возбуждения эховых сигналов, возникающих вследствие затухания
волн в результате циклотронного резонанса. Физика эха на цик-
циклотронном резонансе принципиально не отличается от физики эха
на черенковском резонансе (см. п. 4.1). Поэтому всех, кто инте-
интересуется расчетами этого эффекта, отошлем к обзору [27].
Среди эффектов, связанных с фазовой памятью частиц, кото-
которые отражают специфику магнитоактивнои плазмы, следует, преж-
прежде всего, отметить нелокальное отражение волн от волновых барь-
барьеров. Теоретически этот эффект был рассмотрен в [28].
Эффект нелокального отражения, так же как и эффект про-
просветления волновых барьеров1, связан с резонансными частицами.
Пусть в некоторой точке Z\ слабонеоднородного внешнего магнит-
магнитного поля Bo(z) выполняется условие циклотронного резонанса
1 Отметим, что эффект нелокального отражения от волновых барьеров был
рассмотрен ранее, чем эффект просветления волновых барьеров резонансными
частицами.
277
k(z\)=[(x)—Qi(Zi)]/vn с частицами, имеющими продольную компо-
компоненту скоростей vUf в результате чего вблизи этой точки происхо-
происходит затухание /волны. Если резонансные частицы, отразившись от
магнитных хфобок в другой точке, могут вернуться в точку Zi
относительно сфазирсжанными, то они на обратном пути возбудят
волну того же типа, что и исходная, но движущуюся в обратном
напра1влен,ии. Та'ким образом, произойдет нелокальное отражение
от барьера непрозрачности. Следует отметить, что неоднородное
магнитное поле может способствовать фазовой фокусировке час-
частиц, заставляя частицы не разбегаться по фазам. Как показано
в [28], в слабонеоднородной плазме в условиях, когда обычный
коэффициент отражения экспоненциально мал, коэффициент нело-
нелокального отражения может быть сравним с единицей.
Фазовая фокусировка частиц -играет существенную роль при
просветлении слабонеоднородных волновых барьеров резонансны-
резонансными частицами. Так как такая фокусировка препятствует фазовому
перемешиванию, то, как показано в [16], это приводит «к усилению
эффекта просветления волновых барьеров. В частности, в усло-
условиях фазовой фокусировки заметно увеличивается ширина волно-
волновых барьеров, для которых возможно просветление резонансными
частицами.
Заключение. Автор настоящей статьи не преследовал цели де-
детально изложить результаты теории периодических волн в плазме.
В рамках настоящего издания это и невозможно. Поэтому чита-
читателям, интересующимся конкретными результатами, можно по-
порекомендовать другие обзоры и монографии [14, 26, 29—38].
Автор благодарен Р. 3. Сагдееву и А. А. Галееву за обсужде-
обсуждение вопросов, освещенных здесь. Автор благодарен также
Е. В. Мишину и В. Г. Коробейникову за помощь, оказанную ими
при составлении таблицы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Власов А. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1938, т. 8, с. 291.
2. Герценштейн М. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., il952, т. 22, с. 202.
3. Ландау Л. Д. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1946, т. ;16, с. 574.
4. Фаддеева В. Н., Терентьев Н. М. Таблицы значений интеграла вероят-
вероятностей. М.: Гостехиздат, 1954.
5. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. — Успехи физ. наук, 1961,
т. 73, с. 701. "
6. Van Kampen N. S. —Physica, 1955, vol. 21, p. 949.
7. Шафранов В. Д. — Физика плазмы и проблема управляемых реакций.
Т. 4. М.: Изд-во АН СССР, 1958.
8. O'Neil Т. —Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 2255.
9. Ландау Л. Д. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1937, т. 7, с. 203.
10. Мазитов Р. К. — Прикл. мех. и техн. физ., 1965, № 1, с. 27.
11. Morales G. J., O'Neil Т. —Phys. Rev., 1965, vol. 28, p. 417.
12. Bernstein I., Green J., Kruskal M. —Phys. Rev. Lett., 1957, vol. 108,
p. 546.
13. Gould R. W., O'Neil Т., Malmberg J. H. —Phys. Rev. Lett., 1967, vol. 19,
p. 219.
14. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976.
15. Лиситченко В. В., Ораевский В. Н. —Докл. АН СССР, 1971, т. 201,
с. 1319.
278
16. Водяницкий А. А., Ерохин Н. С, Моисеев С. С. Журн. эксперим. и
теорет. физ., 1971, т. 61, с. 629.
17. Красовский В. Л., Ораевский В. Н. — Докл. АН СССР, 1978, т. 242,
с. 284.
18. Vodyanitskii A. A., Erokhin N. S., Lisitchenko V. V., Moiseev S. S.,
Oraevskii V. N. — Nucl. Fusion, 1974, vol. 14, p. 267.
19. Водяницкий А. А., Ерохин H. С, Лиситченко В. В. и др. — В кн.: Док-
Доклад на Конференции по теории плазмы. Киев, 1971, с. 33.
20. Красовский В. Л., Лиситченко В. В., Ораевский В. Н. — Физика плазмы,
1979, т. 5, с. 1322.
21. Bernstein I. —Phys. Rev., 1957, vol. 109, p. 10.
22. Герценштейн М. Е. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 11954, т. 27,
с. 180.
23 Ситенко А. Г., Степанов К. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ. 1956,
т 31, с. 642.
24. Oraevski V. N., Chodura R., Feneberg W. — Plasma Phys., 1968, vol. 10,
p. 819.
25. Ломинадзе Д. Г., Степанов К. Н. —Журн. техн. физ., 1964, т. 34, с. 1823.
26. Ломинадзе Д. Г. Циклотронные волны в плазме. Тбилиси: Мещшереба,
1975.
27. Кадомцев Б. Б. —Успехи физ. наук, 1968, т. 95, вып. 1, с. 111—129.
28. Berk Н. L., Horton С. W. е.а.— Phys. Fluids, 1968, vol. II, p. 367.
29. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме: М.:
Наука, 1960.
30. Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плаз-
моподобных сред. М.: Атомиздат, 1961.
31. Stix Т. Н. The Theory of Plasma Waves, McGraw-Hill Company, Inc.,
1962.
32. Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме. — В кн.: Вопросы
теории плазмы. Т. З/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963.
33. Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А. Волны в магнитоактивной плазме. М.:
Наука, 1970.
34. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А. и др. Электродинамика плазмы. М.:
Наука, 1974.
35. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы: Пер. с англ. М.: Мир,
1975.
36. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1975.
37. Александров А. Ф., Богданкевич Л. С, Рухадзе А. А. Основы электро-
электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978.
38. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. М.: Атом-
Атомиздат, 1979.
ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ1
/С. ОБЕРМАН, Е. ВИЛЬЯМС
ВВЕДЕНИЕ
В этой статье мы рассмотрим теорию флуктуации в плазме.
В статье о кинетической теории волн, описываемой в приближении
Власова, было показано, что начальное возмущение или волна
малой амплитуды в плазме (при отсутствии внешнего источника)
просто затухает до нуля (бесстолкновительное затухание Ландау),
если плазма устойчива, или растет до определенного уровня, оп-
Пер. с англ. В. И. Сотникова.
279
ределяемого нелинейными взаимодействиями и (или) изменением
фоновой свободной энергии источника, ответственного за неустой-
неустойчивость. Эти нелинейные механизмы рассмотрены в других статьях
настоящей книги.
Однако даже в устойчивой плазме дискретность частиц может
быть причиной того, что эти флуктуации будут постоянно воз-
возбуждаться вновь (излучение Вавилова—Черенкова отдельных час-
частиц, продольное или поперечное тормозное излучение при парных
соударениях частиц и т.д.), так что даже в том случае, когда
среднее электрическое поле <Е(х, /)> = 0, например в тепловом
равновесии, ожидание или средние величины <Е2(х, t)}, напри-
например, будут отличны от нуля. (Терминология и обозначения де-
детально рассмотрены ниже.) Эти флуктуации в общем ответствен-
ответственны за процессы диффузии и переноса в плазме. Даже в глобально
устойчивой неоднородной плазме в случае, когда локальное дис-
дисперсионное соотношение е[к(х), со] указывает на слабую устойчи-
устойчивость или неустойчивость, эти флуктуации могут вырасти до ло-
локально больших уровней и связанный с ними перенос может быть
очень большим.
Рассеяние электромагнитного излучения на флуктуациях элек-
электронной плотности является мощным диагностическим методом
для определения структуры плазмы. Например, рассеяние лазер-
лазерного излучения обычно используется для определения электрон-
электронной температуры и плотности во многих лабораторных устрой-
устройствах.
Другим примером может служить тот факт, что рассеяние на
флуктуациях плотности в ионосфере великолепно подтвердило
теорию плазмы. Причем, если основная волна достаточно интен-
интенсивная, но не настолько, чтобы вызвать параметрические неустой-
неустойчивости (распад на электронную и ионную волны), то другой про-
процесс излучения, вторичное индуцированное рассеяние, может ока-
оказывать доминирующее влияние на уровень флуктуации.
Систематическое обоснование теории флуктуации в плазме
в рамках равновесного и неравновесного состояний были изложе-
изложены в классической работе [1] (см. также [2 и 3]). Многое из того,
что изложено в этой статье, является более новым упрощением
и расширением этой работы [4—6].
Воспользуемся теорией возмущений и ограничимся низкими
порядками разложения по степеням плазменного параметра
&=\/nX3D ил.и Е2/8ппТ (T=kBT — температура в энергетических
единицах). Поскольку мы вообще будем рассматривать только
линейно-устойчивую плазму, то эта теория возмущений обычно,
но не всегда (!) применима (ом. статью А. А. Галеева и Р.З. Саг-
деева в настоящей книге (стр. 590). На возможные трудности
в применении или полную неприменимость, а также на необходи-
необходимость перенорм.ировки и т. д. будет указано в соответствующих
местах.
В п. 1.1 развиты одно- и двухвременные иерархии, в п. 1.2 по-
показано, как находить ожидания, в п. 1.3 введены неприводимые
280
групповые разложения, а в п. 1.4 дана их связь с уравнениями
Климентовича для флуктуирующей микроплотности.
В разд. 2 рассмотрена теория флуктуации в низшем порядке
по s .в основном для однородной плазмы. В п. 2.2 дана связь меж-
между спектрами мощности и корреляционными функциями и выве-
выведено соотношение Крамерса—Кронига. Далее показана простота
процедуры для нахождения спектра мощности для флуктуации
плотности заряда и электрического поля как в случае теплового
равновесия, так >и при его нарушении и приведена флуктуационно-
диосипативная теорема. В п. 2.3 выведено кинетическое уравнение
для одночастичной функции распределения для многокомпонент-
многокомпонентной плазмы. В п. 2.4 показано, как учесть влияние магнитного
поля. В п. 2.5 выведено выражение для рассеяния электромаг-
электромагнитных волн с малой амплитудой на флуктуадиях электронной
плотности. Затем рассмотрено индуцированное излучение в слу-
случае, когда интенсивность накачки выше и механизм рассеяния
отличается от механизма, обусловленного электронами и элект-
электронной компонентой поляризационных облаков вокруг электронов
и ионов, и связан с рассеянием вверх и вниз от движущихся
ионов. Здесь сформулирован и использован принцип суперпозиции
Ростокера — см. также [7]. Сделаны некоторые замечания по по-
поводу неоднородной плазмы.
В разд. 3 приведены аргументы в пользу описания флуктуации
в кинетическом масштабе времени и, наконец, в разд. 4 изложе-
изложена теория гидродинамических флуктуации.
1. ОДНО- И ДВУХВРЕМЕННЫЕ ИЕРАРХИИ, ВЕРОЯТНОСТИ,
ГРУППОВЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И СВЯЗЬ С ФОРМАЛИЗМОМ
КЛИМОНТОВИЧА
1.1. Иерархия уравнений для корреляционных функций. Рас-
Рассмотрим 5-1ко(мпонентную полностью ионизованную плазму в объ-
объеме У, в котором содержится Nr частиц r-й компоненты с зарядом
ег и массой тг. Предположим, что плазма нейтральна, т. е.
Vtfrer = 0. A)
Предположим также, что плазма нерелятивистская и, следова-
следовательно, взаимодействия между частицами можно описывать как
электростатические. Таким образам, состояние плазмы полностью
описывается точкой в Г-пространстве, являющемся бМ-мерным
пространством (N=HxNr) с одним .измерением для каждой «из
г
координат положения и скорости каждой частицы плазмы. Все
поведение плазмы описывается траекторией этой точки в Г-.прост-
Г-.пространстве, которая IB принципе получается решением ньютоновской
задачи N тел. Такое решение, даже если бы оно 'имелось, содер-
содержало бы чрезмерно подробную информацию, связанную с началь-
нь»м.и условиями задачи. Метод, введенный Гиббсом, состоит в том,
281
что он предусматривает ансамбль реализаций состояний плазмы
•и пытается описать эволюцию средних величин ансамбля.
Рассмотрим ансамбль состояний плазмы, описанный плотно-
плотностью ансам-бля Di(Y, t), где У —точка в Г-пространстве. D±(Y, t)dY
является вероятностью того, что в момент времени t есть член
ансамбля в 'объеме dY около Y. Подобным же образом мы опре-
определяем двухвременную плотность ансамбля D%{Yq, io\ У, t), так что
D2{Y0, 4; Y, t)dYodY— суммарная '.вероятность того, что член
ансамбля находится в (Уо, Y0+dY0) в 'момент времени U и
в (У, Y+dY) в момент времени t.
Как Z>i, так и D2 удовлетворяют уравнению Лиувилля в пере-
переменных У, t
п—\
S
д ]lDi(Y, t)
]
mn ! xn-xt | dvn J \D2(Y0, t0; Y, t)
где У= (Zi, ... Xn) и А^= (х*, Vi); Bo — внешнее магнитное поле;
i?2 имеет сингулярное начальное условие:
А(Уо, ^о; у, 0=А(У0, /ОN(У- Уо). C)
В то же время предполагается, что Di имеет гладкие начальные
условия.
Нормируем Di и /J, так что
$dYDt(Y, t) = 1, J JdFdr0D2(F0, f0; Г, /) = 1. D)
Сохранение этой нормировки во ©рамени гарантируется теоремой
Лиуовилля.
Без ограничения общности можно считать, что А и D2 сим-
симметричны относительно перестановки тождественных частиц. Так
как это, очевидно, является следствием симметричности гамильто-
гамильтониана, то она подобным же образом сохраняется во времени.
Сделаем следующие определения:
"?""'(*,, ХШ,...Х8, O«VjA(K. t)dX8+ldX8+t...dXn E)
при интегрировании Di(Y, I) по всем частицам, за исключением
.s-ко'мпонент ги <г2, ... г8.
Fyr*-rs+i{Xi) t. X\...X'8+V /')sV'+1 $D2(Y, t; Y\ t')dX2...
...dXNdX's+2...dX'N', F)
при интегрировании D2 по ?всем нештрихованным частицам, кроме
одной компоненты ги ,и по всем штрихованным частицам, кроме
^-компонент ги г2, ... rs, причем 5 штрихованных частиц отлича-
отличаются от выделенной нештрихоеанной частицы;
282
Qr;ri-v°(Xv t; X'...X'S, f)s^LJDt(y, t-T, t')dXt...
...dXNdX's+1...dX'N G)
три интегрировании D2 по всем нештрихованным частицам, за
исключением одной из компоненты /ч, ,и по всем, за исключением
5 штрихованных частиц из компонент ги г2у ... rs. Частица V — это
частица 1.
Теперь определим 8FS с помощью соотношения
/
•'«+.(*,, t, X\...X'S+V na/"f""f'+I№, t;
x\...xs+1, n-f;(xv t)f;~r<+i(X't...xs+v n (8)
И, наконец, находим новую иерархию корреляционных функций Г3:
Г*'""•'*(*., *„;*. •••*,. t)^{bFr°;ri~r°(X,, t0- X,...XS,
ЯГ2Г1Г""гЧ*о. ^«; a-,, xltxt...x,,
-r*-ri (A",, ^0; Xs, А",, А,.,.., А^
(9)
Здесь Qs « Fs, введенные Ростокером, являются корреляционными
функциями пробных и полевых частиц. Ниже увидим, что комби-
комбинация Ts функций Ростокера Qs и F$ имеет простую физическую
интерпретацию, возникает естественным образом при вычислении
спектров флуктуации и удовлетворяет очень простым уравнениям.
Будем сначала интерпретировать эти функции распределения
как вероятности, а затем выведем уравнения и начальные усло-
условия, которым они удовлетворяют. Можно интерпретировать эти
функции Ростокера следующим образом: fs(Xu ... Х8, t)—плот-
t)—плотность вероятности обнаружения частицы 1 в Хи 2 в Х% ... и s в Xs
в момент времени t\ QS(XU t\ Xt, X%, ... X/, t') —условная вероят-
вероятность, позволяющая после обнаружения частицы 1 в Х± в момент /
найти эту же частицу в Х\ в момент времени f, а частицу 2, ... 5
в Х{, ... Xs' соответственно. F8(XU t\ X{, Х3', ... Xf8+i9 V) —условная
вероятность, позволяющая после обнаружения частицы 1 в Xi
в момент времени t обнаружить в момент времени f другие ча-
частицы 2, ... 5+1 в X'z, ... Ar/s+i соответственно. Таким образом,
bFs{Xu t\ Ar/2, ... X's+i, t') есть изменение вероятности обнаружить
частицы 2, ... 5+1 в Х\ ... X's+i в момент времени f при условии,
что частица 1 была в Х\ ib момент времени t. Qs есть, таким обра-
образом, пропагатор пробной частицы, a 8FS — отклик пропагатора
полевой частицы на присутствие пробной частицы. Наконец,
Та(Хо, U, Хи Х2 ... X8f t) можно интерпретировать как пропагатор,
в котором совершенно не учитывается, какие частицы находятся
283
в Х±, ... Xs — пробные (возникающие в Хо, U) или полевые. Про-
пагатор Г5 включает как пробную частицу, так и самосогласован-
самосогласованный отклик на пробную частицу.
Мы получаем иерархию уравнений для /s путем интегрирова-
интегрирования уравнения Лиувилля [уравнение B) для Di(X, t)] по всем X
кроме первого, второго и т. д., последовательно интегрируя по
частям, если необходимо, .и затем беря термодинамический предел
Nr, У-^оо, Nr/V=nr=const. В результате находим знакомую иерар-
иерархию Боголюбова—Борна—Грина—Кирквуда—Ивона (ББГКИ,
см. [8—13])
2
S6 r*ri д 1 д
1 = 1 ' П
f*-rs
Xt,...,Xs, X', t).
A0)
Уравнения для функций Ростокера Qs и Fs находим, интегрируя
уравнения Лиувилля для D2(Yo, U; У, t) по всем переменным YOy
кроме Хо, и по соответственно -меньшему числу переменных У.
Для корреляций пробных частиц Qs имеем:
д
dt
*** д
Ч/=1
r, dxt | x/ —
dVi 4? K
0
f, /=2
1
284
5+1
-«гА.Ят^- \dX>
1 д л*
5+1
:„..., Xs+l,t) + X)nrler,
Г' i=2
rfJT'
yi
1' Л »
A2)
для корреляций полевых частиц F$. Из уравнений A0) и A2)
нетрудно •-получить уравнения для возмущений полевых частиц
6FS, которые совпадают с аналогичными уравнениями для Fs
5+1
/=2
i~-Xjl dvt
г*1г* "'rs+i
vl 6ri г
1=2 i#
Используя уравнения для Qs и 6FS и определение (9), можно
без труда записать уравнения для Ts
s er ег
— V ЛИ
id 1 д
t, t0; Xt...Xs, t) =
dX
, д
"X
A4)
285
Ts удовлетворяет иерархии ББГКИ! Это, по-видимому, может
вызвать удивление, так как 8FS и Qs, без сомнения, этой иерархии
не удовлетворяют. Причина заключается в том, что в нашем опре-
определении Fs мы пожертвовали информацией относительно того,
какая 'именно частица была первоначально в точке Хо в момент
времени t0. Ниже мы дадим определение Т8 в терминах матема-
математического ожидания от произведения плотностей :в фазовом прост-
пространстве [14], где этот результат становится совершенно очевидным.
Показав, что наша новая иерархия функций удовлетворяет
иерархии ББГКИ, определим их начальные условия, которые вы-
выводятся из начальных условий для ZJ C). Использ|уя C) и опре-
определение G), F), (8) и (9) для Qs, Fs, 8FS и Г, соответственно,
получаем:
fit f\ r ft »•» f 1
A5)
у j \r \r i \ p * "" S+l / V V" \T J. \
Л.1л, tn, -Л 9 ... Л. e.,, ln):=zT . (-Л 1ft, Aj.mA-,.,, fftj,
10 0" * от* 0/ ' ^J- < * Ю * otI v''
A6)
0^ (Л10, Го, Л2...А^+1, rj —
...Xs+i'%)> A7)
».'.)
A8)
Покажем теперь, что корреляционную функцию любой одночас-
тичной (см. далее) макроскопической величины, такой 'как плот-
плотность, скорость или электрическое поле, можно написать только
с использованием Fi и /i. Необязательно знать в отдельности
8Fi и Qi. *
1.2. Вероятности. Среднее по ансамблю любой фазовой функ-
функции ^[Х; Y(t)], определенной ib шестимерном ^-(пространстве,
<^F (X, 0> = I dYD± (Г, 0 ? [X; Y @1, A9)
что по теореме Лиув'илля
J dFo^ (Го, g ? {X; Г [Yo (t)]}. B0)
286
Говорят, что ^F — одночастичная функция, если ее представить
в виде
Nr
t=\
Если мы определяем одночастичную функцию ^[Х\ Y{t)] по фор-
формуле
*; Xt(t)],
2 2
г i
то оператор Wr(Xy t) имеет вид:
V,(X9 t) = $dX'Q>r(X; X'),
где X{(i) —точная траектория 1-й частицы компоненты г, напри-
например когда Чгг=8гг,у?, 4я есть миюраплотность фазового простран-
пространства компоненты г, тогда
<ЧГ(Х9 t)} = nr>f['(Xy t)9 B2)
что легко можно проверить, подставив уравнение B1) в A9)
и проинтегрировав полученное соотношение.
Подобным же образом определяется среднее <по ансамблю лю-
любой днухвременной фазовой функции ^[Хо, Yo(t)\ X, Y(t)]:
<?2(Х0, t0; X, t)) = $dY0dYD2(Y0, to\ Yy t) x
X^F2[X0, Y0{t); X, Y(t)}. B3)
Таким образом, корреляционная функция флуктуации одночас-
тичного оператора Ч? имеет вид:
.; Y(te)]-(V[Xt; Y(tt)])}{W[X; Y (t)\
; Y(tt)]W[X; Y(t)}) - (W\X0; Y(t,)}) (W[X; Y(t)\} =
¦.2nfrVrt(Xt, QWr(X, WrrPfiX,, t0; X,
Г,Го
0, t; X, t)] —
Го
r. r.
r{X%, t0; X, t). B4)
Примером применения B4) могут служить типичные макроско-
макроскопические величины, являющиеся средними по 'ансамблю, такие как
плотность числа частиц, плотность импульса и плотность кинети-
кинетической энергии г-й компоненты три условии, что
, B5)
287
где *(v) = l, mrv, ± mrv* B6)
соответственно. А «временные 'корреляции флуктуации этих 1вели-
чин определяются формулой
\Si(y)f;(Xoi t.) J d*vsf(v)r;' (Xo, t9; X, t). B7)
Еще один пример — временная автокорреляция электрического
поля:
<Е(х'о, fe)E(x', t))= 2 J dX9dXf*(X9, fo)fo;r(Zo, f0, X, t)X
Го, Г
*Го(х'0-Хр) *,(*'-*) B8)
Л |x'0-x0|3|x'-x|3 '
Еще раз подчеркнем, что для вычисления временных корреляций
любой локальной (одночастичной) макроскопической величины
необходимы fi и Fi, которые являются низшими членами в этих
иерархиях соответственно. Чтобы решить уравнения для /i и Fi,
нужно оборвать иерархии по какой-либо подходящей приближен-
приближенной схеме.
Большая работа была проделана с использованием f иерархии
для получения замкнутого кинетического уравнения для /. Чтобы
сделать это последовательно, нужно оценить различные члены
в иерархическом уравнении A0) и определить -подходящий малый
параметр, по которому затем попытаться построить асимптотиче-
асимптотическое решение. Известно, что существует три режима, в которых
такой параметр имеется — больцмановокий, слабой связи и плаз-
плазменный, в которых малыми параметрами соответственно являются
число частиц в области потенциала взаимодействия одной части-
частицы, отношение потенциальной энергии взаимодействия к тепловой
энергии и плазменный параметр (определенный ранее как число
частиц в дебаевоком радиусе).
Мы рассматриваем плазменный режим, при котором порядок
членов в уравнении следующий:
1 : l:Qe/©p:e: 1, B9)
где Qe=eB/mc — циклотронная частота; (?>v2z==4nne2/m— квадрат
плазменной частоты, когда мы соразмеряем характерные размеры
и времена с дебаевским радиусом и плазменным периодом соот-
соответственно. Требования к параметрам, описывающим плазму, на
самом деле несколько слабее, чем приведенные в B9). Единствен-
Единственное, что требуется, это чтобы плотность энергии электрического
поля была мала по сравнению с энергией частиц, т. е.
Е2/8тспТ<^1. Для большей общности мы предполагаем, что
Qe/cop~0 A): в этом случае можно описать пределы сильного или
слабого магнитного поля путем дополнительного разложения.
Следует отметить, что можно и не получить результатов теории
ведущего центра в пределе произвольно большого магнитного
поля, так как это влечет за собой перестановку порядков величин
288
большого магнитного поля и плотности плазмы, что не всегда
оправдано.
1.3. Групповые разложения. Во-первых, отметим, что иерархия
f8 удовлетворяется тождественно в низшем (нулевом) порядке по г
f;-r'(xl...xs, t)=fll(xl, t)f;(x2, i)...(s(Xs. t) (so)
при условии, что f удовлетворяет уравнению Власова:
C1)
дх I x — x' I dv
Отметим также, то иерархия Ts тождественно удовлетворяется
в нулевом порядке
гГо;Г1 ¦•'*(*„ tt; хх...х„ о=г?''(*.. U\ xv t)X
X f;{Xv t)...fr(X,, tj+friX,, t)?:>rt{X,, t0; Xt, t)f[...
...ft'...+fi4Xv /)...f,r— (Xs_,, t)f?r'(Xt, t,; Xs, t) C2)
при условии, что f удовлетворяет уравнению Власова C1),
a Ti—линеаризованному уравнению Власова *
t(*.. t0; X, t)-
X
C3)
с сингулярными начальными условиями из A8). Это одновремен-
одновременно с успехами метода в равновесной статистической механике
дает основание ввести групповое разложение Майера [15] для f.
и его (линеаризованную) модификацию для 1\, т. е. имеем:
C4)
/,A,2) =/,A,2)-^
/,A, 2, 3) =/3A, 2, 3) -/,A)/,B, 3)-/1B)/|C, 1)_
Г/хC)/,A, 2) + 2fl(\)flB)flC);
/.= A,2, . . ., s) = /.(l, 2, . . ., S)_
^ /Pi fp2 -"fpn
10 Зак 137
П, р
289
Сумма берется по всем выборкам р=Ри •••> Рп, полученным'
группированием! набора частиц 1, 2, ..., s в п подгрупп ри ••-, Рп\
/¦'A, 2) служит сокращенным обозначением f^1 (Xu X2, t) -и т.д.;
С учетом того, что если частицы от 1 до 5 разделены на груп-
группы ри ..., рп (это эквивалентно очевидно более слабому предпо-
предположению о возможности деления только на две группы) м группы
далеко разнесены \в пространстве, то функция распределения /*
выражается в форме /Pi, /p2, ..., /W, .можно показать, что функция
/s, определенная выше C4), является неприводимой в том смыс-
смысле, что она обращается в нуль при любой такой выборке и деле-
делении частиц на группы.
Снова, решая уравнение C4) для функции распределения в
обозначениях ее неприводимых частей, получаем:
/, A, 2,3) = ft Щ B) А C) + Д A) /, B, 3) + ft B) /2 C, 1) +
1, 2, 3);
/$ (*» • • о s)
ntp yi 'п )
C5)
Используя свойство факторизации, имее*м:
Г.[0:1,2, . . ., s] ->
+fpTpJp,, ...,/,„+.. .+fPtfPt. • • ./рп_Гр„; C6)
если частицы 1, ..., s разделены на п групп р\, ..., р„, та можно,
показать, что приведенные ниже выражения определяют непри-
неприводимые части Г, © Г, [для удобства записи первоначальные ар-
аргументы (Хо, t) в C6) и C7) опущены]:
?
Г,A, 2, 3) = Г3A, 2, 3) —^(l)/,^, 3)-ГхB)/аC, 1)
— ^C)^A, 2)-/хA)ГаB, 3)-AB)rtC, l)-
-АC)Г2A, 2)-Ь2Г1A)/хB)ДC) + 2/1A)Г1B)/1C)+ .
Г,A,2, . . ., «) = Г,A, 2, . . .)
- ^ (-1)" (П- 1I (TpJpt, . . .,h
п р
п, р
290
Решая снова уравнения для Г5, получаем:
Г«A, 2) = fx (IOi B) +ТХ BOХ A) +Т2 A, 2);
Г3A, 2, 3) = Г1A)/1BO1C)+/1A)Г,B, 3)
+ ^AO2B, 3) + A -> 2, 2 -> 3, 3 -» 1 +
+ A -> 3, 3 -> 2, 2 -+ 1);
C8)
C9)
Теперь можно написать уравнения для fs и Г5, используя груп-
групповые разложения C5) и C7) .и иерархию уравнения ББГКИ
^[уравнения B0) и A4)]. Нам понадобятся уравнения только до
порядка е2, т. е. для /ь /2, /з, ГА и Г2. Переобозначим неприводи-
неприводимые функции распределения низкого порядка и используем эти
обозначения >в дальнейшем
7х+7, Ft-+g, 7з->Л» Гх-^Г, Т2->Д, Гз-^е. D0)
Значит, групповые функции /, gt hy Г ,и А удовлетворяют следую-
следующим уравнениям:
Г'
Г ^ jv 4-v'
Jt
г"
+ f(X", t)g(X, X', t) + h(X, X', X",
Л^(—4 -4-)f(X,t)f(X',t);
10* 291
-f?^.v»VR -L-—ere —
-e'e д i ( 1 д l д_\
ег'"г>> дх' I x' — x"| \mr, dv' ~mr>, dv" J
er»erд?т\х"-х\(тг„dv —щ;IT)]h(x> x'' x"' *)=
^lfe^^^. t)h(X't IX",
X'", t) + g(X, X', t)g(X", X'", t) + g(X, X", t)g(X', X1", 04-
'", t)h(X, X', X", t) + k{X. X', X", X'", t)X\ +
'> t)g(X", X,
+X-^X')\ D3)
,/.; X', t)f(X, t) +
4^4 .. /.; X-.
., t.; X", t)g(X, X\
, t.; X, t)g(X'. X", t) + e(Xoi tQ; X, X>, X", 0)] +
D4)
Здесь опущен индекс компоненты у функций распределения.
Здесь и в дальнейшем они могут подразумеваться ib контексте
следующим образом. Под любой функцией, записанной <в виде
%(Xi ... XSy i), следует понимать %r*-rs (Хг ... Х8, t) под функцией
вада х(Х0, t0; Xt ... Xsy t)-*%r*'9*-rs (Xo, U\ Xt ... Xsy t), где индекс
компоненты всегда соответствует а>ргументам фазового проетран-
292
ст1ва функции. Из начальных условий на Г, A8) можно легко
показать, что Гв «имеет следующие начальные условия:
-^- D5)
/1=1
Простота этого результата следует <из того, что начальные уело*
вия Hia Г, являются неприводимыми. Для нас же интересны сле-
следующие случаи:
v t.)= i^J^+t^biX, -х.у. D6)
t * г г t)— h(x°* Xi* Чу ^ 4-
O» ^0' XV Л2> lo) — T~, 7T Г
/ \Х0t * 0/
U -±- 18ГсГ1 (»г -х0) + 6rerfi(Х2-ХО)].
Физическая интерпретация уравнения D5) следующая: в момент
времени 4 в точке Xi находилась пробная частица, которая обу-
обусловила наличие члена с б-функцией или же сама была чл!еном
экранирующего облака, вследствие чего появился член с g. По-»
до'бную же интерпретацию можно дать и уравнению D6). Из этой
интерпретации ясно, что Fi можно рассматривать как пропагатор
одетой пробной частицы. Сингулярная часть описывает раздетую
частицу, а несингулярная часть описывает оболочку. Относитель-
Относительный порядок членов в уравнениях для /, g и Н следующий:
1:1: Qe/(Op : 0 : е; D7)
1:1:1: Qe/(oP : Qe/(oP : г : [1 : 0 : е] : [1 : 0 : е] : Г,
1:1:1:1 ^e/copzCVcop^^cDp^re:^!: 1:1 :в]:[1:1:1 :е]1:1:1 :в]: 1:1)'
D8)
Мы использовали оценку /s = 0(8s~1). Относительный порядок чле-
членов в уравнениях для Г и А следующий: 1:1: Qe/cop : 1 : 0 : е;
1:1:1 :Qe/cop:Qe/cop:e: 1:1 :[1:0:1:1 :е]: [1:0:1:1 :е].
D9)
Члены порядка 0 исчезают в однородном пределе и малы на раз-
размерах порядка дебаевского радиуса в неоднородной плазме. Под-
Подходящий порядок Fs, согласующийся с уравнением D9) и началь-
начальным,^ условиями D5), следующий: Гв=0(е8). Отметим, что тюря-
ДО1к Г8 на единицу выше, чем соответствующий порядок fs> потому
что знание начального условия для одной частицы создает воз-
возмущение фона порядка 0 (е). Используя это разложение по плаз-
293
менному параметру е, можно оборвать иерархию уравнений для
fs и Г«, доходя до любого нужного порядка по е. Ростокер рабо-
работал до первого порядка по е. После того, как мы заново получим
результаты низшего приближения Ростокер а, мы будем раскла-
раскладывать .иерархию уравнений до е2, причем основными уравнениями
теории являются'уравнения D0), D3) и следующие:
X",
+ f(X", t)g(X, X', *)Ж*'~*)); E0)
X, X',t) = erer, ?-Г7ЛГТ (-L4-_-2- .*_) lFl(X.. t.;
X, t)f(X', t) + T1(X., tt; X', t)f(X, i)\+^mr,,ert,^dX' X
+ f(X", t)A(X.. t0; X, X', t)+T(X., t.\ X\ t)g(X, X', t) +
ot t.; X, t)g(X'. X'\ t)\ + (X+—+X')) E1)
вместе с начальными условиями D7). Полезно заметить, что для
получения уравнений для Г, А и 8 и т.д. из более знакомых урав-
уравнений для /, g и h и т.д. (можно формально заменить f на f+Г,
g на ?+Д, h на Л+е в уравнениях для /, g и Л, рассматривая
Г, Д и е как малые возмущения и собирая члены первого порядка
по этим возмущениям. В этом случае полученные уравнения точ-
точно совпадут с уравнениями для Г, Л и е.
Стоит указать, что наш «подход к теории флуктуации через
двухвременную иерархию, по сравнению с феноменологическим
или термодинамическим подходом начинается с точных уравне-
уравнений, и, несмотря на то что аппроксимации необходимы для их
решения, оценку погрешности можно в принципе получить.
1.4. Г-иерархия в формализме Климонтовича. Определим
регулярные иерархические функции как математические ожи-
294
дания произведений функций плотности в фазовом простран-
пространстве A5).
Nr(X. 0 = ^5J * [*-*'<(')]¦ E2)
где Xir(t)—точная траектория i-й частицы r-й компоненты;
fir (X, t) — величина ожидания Nr(X, t)y т. е.
(Nr (X, t)) = -I- J</Щ (У, 0 iVr = ft (^Г, t). E3)
Бели мы определим оператор вычитания S, который, действуя
на любое произведение функций Nr, удаляет все члены, содержа-
содержащие произведение б-функций одной и той же частицы в различ-
различных точках, например:
SNr(X,t)Nr,(X',t)=±. J 81*-*',
E4)
тогда легко показать, что
(SNrt(Xlt t)Nft(Xt, t)...NrJXs, 0)!=f ""'"'(A',. *....*„ /). E5)
Из уравнения движения для Nr(Xt, t)
E6)
которое легко получить, если учесть, что
^ЦХ-Х'Л^-Щ^-ягЦХ-Х'М E7)
и что оператор {вычитания 'возникает из-за отсутствия электро-
электростатических самосогласованных сил, можно доказать, что
SNTt(Xu t)NTi(X2y t) ...Nr%(XaJ) удовлетворяет иерархии ББГКИ.
Ожидания с D{ (У, t) обеспечивают альтернативный вывод иерар-
иерархии для U. Ясно, что Nro(X^ tQ)SNrt (Xu t)NrM(X2, t)... Nn (XS9t)
должна тоже удовлетворять иерархии ББГКИ в переменных
(X, t)9 так как Л^Го (ХОу /0) коммутирует со всеми дифференциаль-
дифференциальными и интегральными операторами. То же самое должно выпол-
295
няться для ее ожидания с D2(Y0, t0, У, t). И, наконец,
<Л^го(Х0, to)SNri(Xv t)Nr2(X2, t) . . .Nr8(X9, /)>/<АГг.(^ 'o)> =
X» 0 • • .Nr8(Xai 0> E8)
тоже должна удовлетворять той же иерархии, а непосредствен-
непосредственные вычисления -показывают, что она может быть только такой:
I?'1 "'•''(*..'«; Xx...Xvt). E9)
Другой подход для -вывода формализма первой главы потребовал
бы определения Ts выражением E8) на том основании, что оно
явно удовлетворяет иерархии ББГКИ. Этот подход был отклонен
и остановились на развитии теории в терминах функций Росто-
кера, иллюстрирующих их вероятностную интерпретацию.
2. ФЛУКТУАЦИИ В ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
2.1. Введение. Найдем спектр флуктуации однородной плазмы
в различных приближениях для частот порядка плазменной ча-
частоты <о^сор или, более точно, значительно превышающих часто-
частоту столкновений. Рассмотрим волны, у которых столкновительное
затухание преобладает над затуханием Ландау, а также и такие,
при которых преобладает затухание Ландау.
Спектр флуктуации электронной плотности важен для экспе-
эксперимента, так как он определяет некогерентное рассеяние элек-
электромагнитной волны из плазмы. Некогерентное дифференциаль-
дифференциальное сечение рассеяния на волновой вектор к с частотой о) пропор-
циально спектральной интенсивности флуктуации электронной
плотности с волновым вектором (К—к) и частотой Q—<о, где К
и Q волновой вектор и частота падающей волны соответственно.
Объяснение экспериментов Боуля [17] по некогерентному рассея-
рассеянию радиоволн от ионосферы явилось большим успехом кинети-
кинетической теории плазмы, в то время это был один из немногих слу-
случаев прекрасного согласия теории с экспериментом.
2.2. Приближение низшего порядка теории флуктуации устой-
устойчивой однородной плазмы. Результаты, приведенные здесь, ранее
были получены в [1]. Цель настоящего раздела — установление
связи между формализмами. Сначала мы установим условия для
преобразований Фурье и Лапласа и определим спектральную ин-
интенсивность для величины флуктуации. Для любой функции коор-
координат/(х) определим преобразование Фурье/(к)
/(k)=Jd3xf(x)exp(ikx) F0)
и формулу для обратного преобразования Фурье:
F1)
Для любой функции времени f(t) определим одностороннее пре-
преобразование Фурье
/(©)== {/(Оехр(Ы) Л F2)
296
и обратное преобразование
00
Jf(«)«p («)<*• F3)
причем контур интегрирования лежит выше всех особенностей
/('(о) в комплексной ©-плоскости. Предположим, что y(i) — ста-
стационарный случайный процесс. Определим его автокорреляцию
. F4)
Среднее являетсй средним по ансамблю. Одним из тезисов рав-
равновесной статистической механики является эргодическая гипо-
гипотеза, которая среднее по ансамблю заменяет усреднением по t0.
Ее спектральная интенсивность
00
5 (ш) = Г С (t) exp (icce) d'z , F5)
—00
откуда
оо
—оо
Нам придется .использовать преобразование Лапласа, поэтому
определим 5 (ко) как образ преобразования Лапласа автокорре-
автокорреляций
00
S+ ((о)= Г ехр (Ы) С (т) dx, F7)
о
а
о
S- (ш)= f exp (i«x) С (х) di; = [S+ (»)]*, F8)
—00
здесь C(t) = C(—4) >из-за обратимости времени.
Следовательно,
S(©)=S+(©)+S-(©)=2ReS+(©)f F9)
есл-и имеет место .процесс y(t).
Можно получить ряд дисперсионных соотношений, учитывая,
что 5+(<о) является аналитической функцией в верхней полупло-
полуплоскости со, в результате чего
00
—СО
и, следовательно,
f
J
297
и используя формулу Племеля
15Ьй К - <°)> G2)
т
со'—со
беря действительную и мнимую части, получаем соотношения
Крамерса—Кронига (см., например, A8)])
G4)
Спектр мощности и преобразование Лапласа корреляционной
функции, таким образом, взаимосвязаны и поэтому содержат одну
и ту же информацию. Спектральную интенсивность и автокорре-
автокорреляционные функции можно обобщить на однородном фоне, чтобы
включить пространственную -и временную флуктуации
т) = <#(хо, to)y(xo+p, to+x)); G5)
5 (к, ш) = J d3p Г Л exp (icox + ikp) С (р. t) G6)
V -00
и перекрестные корреляции
S. (k, ш)= f d39 \ dx exp (i<DT + ikp) С и (р, -с). G8)
v Л
В этом случае обратимость времени принимает вид:
С«((Р.т)=±Ся(р,-т); G9)
5tj (k, со) = ± SH* (к, со). (80)
Знак плюс возникает, когда yt и у$ имеют одинаковую зависимость
по отношению к обращению времени, знак минус — когда проти-
противоположную. Онсагер [19, 20], опираясь на свойства обращения
времени, вывел теорему взаимности, которая является одним из
краеугольных камней теории необратимых процессов. При о>бра-
'-Щении времени магнитные поля изменяют направление. Теорема
взаимности Онсагера, таким образом, связывает коэффициенты
переноса в противоположно направленных магнитных полях.
Теперь найдем спектр флуктуации плотности заряда. Для про-
простоты допустим, что внешнее магнитное поле отсутствует. Резуль-
Результаты, полученные для плазмы в однородном внешнем магнитном
поле, приведены в конце п. 2.4 без доказательства.
Приближение низшего порядка получено в пренебрежении чле-
членом А порядка 0(в2) в D3). Заметим, что электрическое поле фо-
фоновой плазмы исчезает в том случае, когда плазма пространствен-
298
но однородна. Тогда уравнение D3) можно записать в виде
с начальным условием
Го
которое является величиной порядка 0(е).
Опять заметим, что это эволюционное уравнение для Г яв-
является линеаризованным уравнением Власова с заданными на-
начальными условиями, если -известна g. Поскольку вр1емя измене-
изменения фоновой плазмы гораздо больше на временной шкале, чем
период флуктуации, так как df/dl = O(e)y то можно рассматривать
Г как функцию быстрой переменной /—U и «медленной 'переменной
/о. Проведем преобразование Лапласа по быстрой переменной,
определяя:
00
Г, (v0; v, k, со) = J exp И t -1.)\ dt J d*x exp [ik (x - x0)] X
о
^.. U\X,t). i- (82)
Спектр мощности флуктуации плотности заряда находим
W.K; v, k, со), (84)
иопользуя B7) и F9). (Не следует смешивать плотность заряда р
с пространственной переменной р, введенной ранее.)
Спектр мощности сохраняет медленную зависимость от /о,
отражая адиабатическое .изменение спектра флуктуации с изме-
изменением фоновой функции распределения f. Это может быть объяс-
объяснено с помощью метода многих временных масштабов, введенного
в кинетической теории плазмы [21, 22]. Такой подход требует
четкого разделения временных масштабов флуктуации и изме-
изменяющегося фона. Этот подход неприменим, например, когда время
распада флуктуации приближается ,ко времени столкновений.
Используя преобразование Фурье в (82), получаем:
+ i.)ri(v,; v, k. „)_.?*!*-*?-?лг,вг,Х
Г'
JdVr(v,; v', к, ») = i\gt(v.> v. k)/f(v.)+ 8^,-^8(v-v,)]. (85)
xJ(,; ) \gt(. )/f(.)+ ^,^(,)]
299
Здесь е — малая положительная константа, которую ib конце вы-
вычислений мы будем считать равной нулю, что обеспечит правиль-
правильное аналитическое продолжение Fi для действительных <о- Деля
уравнение (85) на co+kv+i 8, интегрируя по v и суммируя по
всем сортам частиц, получаем:
W(v§; v, k, «) = ^
ег_ rdsvgQ(vOi v, к)]
.) J co + kv + ie J>
где е (к, (о)—диэлектрическая проницаемость плазмы, определя-
определяемая следующим образам:
Умножая уравнение (86) на /(v0), интегрируя по Vo и суммируя
по воем сортам частиц, получаем:
«0=2 vw 1 ^ W
ГоГ
Используя (86), находим:
(89)
Начиная отсюда и дальше, наше изложение совпадает с изложе-
изложением Ростокера [1]. Чтобы получить явное выражение для
(PP}t ,<»j наДо выразить go через /. Это возможно, потому что g
изменяется на плазменном временном масштабе, а f изменяется
на более длинном столкновительном масштабе и, таким образом,
g в состоянии следовать за / адиабатически. Заметим, что время
to в общем не является временем подготовки системы tv. Обычно
мы берем /р->—оо, так что любые нефизичеокие корреляции
исчезают. Соответствующее g является в этом случае асимптоти-
асимптотическим решением уравнения E0) при больших временах. В ки-
кинетической теории это разделение временных масштабов известно
как 'подход (анзатц) Боголюбова [10], а кинетическое уравнение,
полученное при подстановке асимптотического значения g как
функционала медленно меняющейся f(X0, to) в уравнение E0)
для df/dt дает известное уравнение A09) Балеаку—Гернси—Ле-
нарда (БГЛ) [23—25]. Критическое обсуждение подхода Бого-
Боголюбова увело бы нас слишком далеко в сторону. Достаточно ска-
сказать, что подход непригоден для достаточно малых к (по срав-
сравнению с дебаевской длиной), так как является слишком слабым,
300
чтобы погасить начальные корреляции достаточно быстро, как
это требуется, если мы хотим обоснованно заменить g на ее
асимптотический предел при больших временах.
Следовательно, функция g удовлетворяет следующему уравне-
уравнению, полученному из уравнения E0), если отпустить член в h9 ко-
который является членам более высокого порядка по плазменному
параметру, а преобразование Фурье—Лапласа рассматривает f
как константу во времени
Отметим, что g известно, если известно /*, где h(k,v) опреде-
определяется из соотношения
erhn(к, v.). S Wr I % (v., v, к). (91)
При симметрии относительно замены частиц имеем:
erhr* = 2 nroero I dzvg% (v
Го
Сделаем следующее удобное определение:
erhr* = 2лГв*г§ J d3^ (v°> v> k)- (92)
Го
Г
и заметим, что мнимая часть U
Iml/(k, ш) = — VJ яге2г f d9vfr (v) S ^ + ^Л (94)
г
и что
Irn s (к, со)r=r — \ 4тс —— ¦ \ d^v—J-— 8 [ —-4- ] (95)
г
Деля уравнение (90) на [k(v'—v)+ie], суммируя по всем сортам
частиц и интегрируя, получаем:
hr(v, к) е (к, — kv) = (l— в (к, — kv))fr(v) —
vVn e2 ^*(k> vf) 1
Ц Г Г k-(Y'—-V) +ie I
J
Сделаем еще одно определение
Н(и, к) = Znre2r f dzvhr (v
г ^ дх I к v ;nJ Ц г> /"к(v'v) + ie I
[опять заметим, что h (а следовательно, и g) известно, если из-
известно Я, поскольку правая часть (96) зависит только от Я].
Умножая теперь уравнение (96) на 8(co+kv), интегрируя по V
и суммируя ло всем сортам частиц, находим:
Н (—?-¦ k)s<k' e>) = -[l-e(k, (o)]Imf/(k, ю)-
(97)
Замечая, что уравнение (89) для <рр)+к© можно записать че-
через U и h с ломощью уравнений (92) и (93) как
Используя (97), выразим <рр>+к, *> через Я:
= тг-^—г-17 /i1 х - l)lmU(k9 <»)-н{—4- кI. (99)
Спектральная интенсивность получается удвоением реальной ча-
сти преобразования Лапласа
( )
<o—~iT\ |е(к, ш)|* + Ime(k, (О) /•
Однако, как впервые показано в [25], мнимая часть Н исчезает.
Мы увидим это, если запишем уравнение (97) для Н(и), причем
для мнимой части Н(и) используем формулу Племеля G2)
^ [S *•*<*" <"'
A01)
И з самом деле действительная часть Я удовлетворяет 'Приведен-
'Приведенному выше уравнению, и решение является единственным. Мы
определили Fr(u) следующим образом:
?) A02)
Запишем теперь тривиальное обобщение результата Ростокера
для многокомпонентной плазмы
302
2к hr\U(k, со) 2п imU, ( 1 N /inQ4
Заметим, что флуктуации становятся очень большими, когда мода
смещается к границе устойчивости, но тогда эта теория может
оказаться неадекватной.
В тепловом равновесии специальный вид функции распреде-
распределения Маковелла .позволяет найти связь е и U
S(k, «>) = i+-KL-4^f/(k, »), A04)
где, как всегда,
Г
является квадратом дебаевского 'волнового числа. Следовательно,
Imt/ = -^-Irae A06)
я
Используя уравнение Пуассона, связывающее электрическое поле
с плотностью заряда, находим:
4г<Е(х. t)E(x0, f.)>k т=-Ты(;^)Ш. A08)
что является результатом применения флуктуационно-даосипатив-
ной теоремы [26—29] для бесстол1кновительной плазмы (ом., на-
лример, [30]).
Сравнивая уравнение A03) с A07) и используя (94) и (95),
можно определить температуру флуктуации Тп\
Sne* \duF(u)d (и + ^г
™ 4n2(olmU со J V ' *
к ни ь к lne2/m | dudF/диЪ {а + со/6)
Отсюда видно, что конкуренция между излучением Вавилова—Че-
ренкова и затуханием Ландау определяет спектральную интенсив-
интенсивность. В определенных ситуациях, например, когда благодаря
фотоионизации ионосферы образуются вытянутые хвосты на функ-
функции распределения, эта формула дает величину, значительно
большую, чем температура частиц. Конечно, при тепловом равно-
равновесии это значение дает температуру частиц.
2.3. Уравнение Балеску—Гернси—Ленарда. Сейчас у нас есть
все необходимое для кинетического описания функции распреде-
распределения f(X, /). Из уравнения C9) для пространственно-однородной
ллазмы без внешнего магнитного поля -имеем:
Wtt^jr^yn CdX, д l_^dgr" (Х х, ^ A09)
idt тп 7 J fv ] $x x — x dv '
Г1
303
ИЛ.И
где
Здесь Ф (k) =4n/k2 — преобразсхвание Фурье для кулонодаского
потенциала 1/|х—х'|, а /г(k, v) определяется уравнением (91).
Так как Ф(к) действительно, а вся правая часть A09) должна
быть действительной, то остается найти только мнимую часть Л.
К сожалению, метод Ленарда [25], который избежал решения
интегрального уравнения при нахождении Im/i, не подходит для
случая многокомпонентной плаэмы, и надо решить уравнение (96),
но сначала необходимо найти решение для Н из A01). Упростим
обозначения и определим
6F
. (ИЗ)
Опустим индексы компонент в суммах. Тогда можно переписать
A01) в виде
A14)
Помня, что Н действительно, сделаем дальнейшее упрощение и
запишем:
где
K(u)^H+Wy A16)
и введем функции
Теперь функции A(z) и B(z) являются аналитическими везде <в
комплексной плоскости 2, за исключением значений на действи-
действительной оси, где они имеют скачки 2niK(u) и 2т%(и) соответ-
соответственно. (Функции К и % действительные).
304
Перепишем теперь A14) в виде
— ^(В+ -В-)А-
или
Если мы разделим это уравнение на A—5~)/A—5+), получим:
— в+ 1 —
Заметим, что 1—Б~ — дисперсионная функция плазмы e(k, — \ku)r
которая для устойчивых плазм не имеет нулей в нижней части
полуплоскости z. Подобным же образом A—В~)* не имеет нулей
в верхней полуплоскости, а знаменатели обращаются в нуль. Ис-
Используем теперь обобщение теоремы Коши, чтобы записать ре-
решение
(Ц7)
() J и — z
Следовательно,
^u'^^-k^\ A18)
Из уравнения (96) следует, что для нахождения h надо знать Л
Следовательно,
3
Теперь уравнение для /ir можно переписать в виде
A'(v)«(*. _ку) = Г(о)A-«)-^7?Й1^-(и). A20>
Используя результат для А~, находим:
Запишем мнимую часть
«fr(v)
305
Таким образом, запишем выражение для jr
df(vr)
kk \/mrdfr;dvYne2f(vf) — f(v)" °' '
8(kv-kv'). A23)
где суммы берутся по всем сортам частиц.
Можно показать (следуя [25]), что эти кинетические уравне-
уравнения остаются положительными, есл.и они первоначально были по-
положительными, сохраняют число частит .и дают законы сохране-
сохранения импульса и энергии, если их просуммировать по всем сортам
частиц. Далее можно показать, что распределение Максвелла
является стационарным решением и может быть получена Я-те-
орема.
2.4. Учет однородного магнитного поля. Здесь мы учтем эф-
эффекты, связанные с однородностью магнитного поля. Для этого,
используя метод Ростокера [1], находим дисперсионное соотноше-
лие для электростатических колебаний.
Чтобы включить магнитное поле в уравнение для корреля-
корреляционных функций и т. д., обратимся к [31].
Рассмотрим возмущения fi(x, v, t), ?i(x, t)=— V, Ч1* вблизи
равновесия /о(х, v, t), dfo/dQ) = O, где
в цилиндрических координатах в пространстве скоростей с
Г)
u,, = v . Если мы рассматриваем возмущения для компонент
в
в в'иде /isaexp(i k x + / со /), y=lm<i)<C0 для неустойчивости,тогда
1^=е1^7+^ж+е1.^7' ^ j (l24)
или
(ia> + i*llt;il) ft + ikjv^cos(Ф — a)/? —
Здесь Qs = esB/msc и &=(?±cosa, ftj.sina, ft,,). Теперь допустим,
что любую функцию A (k, v) можно представить в виде следую-
следующего разложения:
Л(к, v) = ei*-Lassin(*-a) J Jn(k±as)e-lni*-a)An(k,vrvn) A26)
306
с формулой обращения
2tc
—
A27)
Здесь as=vJQ3 и /„ — обычные функции Бесселя первого рода.
Воспользуемся формулой
eu±«#,in(^-.)= ? jj^aje'*-'. A28)
Заметим, что, если—Л (k, v)=0, то отсюда немедленно следует»
дФ
что А (к, x)=An(ky v±, у,|). Умножим A25) на
е
и проинтегрируем по Ф. В результате получим:
ts _ Q r
п ) дФ
6
Интегрируя по частям, находим:
ms
где использовано равенство
l n
Таким образом,
/ df0 n df0
i k -^— 4-
\ II 0V „ ' Я* dt; .
Теперь, из A26) и A27) следует:
307
Итак,
-wVY^-U'vP (k а Л " dVn ' Cs dV± '
Тогда
A29)
дает дисперсионное соотношение. Для устойч-ивой плазмы анали-
аналитическое продолжение ib область Imco^O осуществляется в ре-
результате преобразования контура интегрирования, который рань-
раньше совпадал с действительной осью, ib контур Ландау, так как
это имеет место ib отсутствие магнитного поля.
Уравнения для спектральной интенсивности, найденные в п. 2.2,
можно легко 'Получить, используя метод Росток ер а. Для этого
нужно заменить г(к, со) и U(k9 со) на
U (к. .)=:
Здесь
0 = B^z, k=kzz+kx
2.5. Рассеяние на флуктуациях плотности. Из потенциалов
Ленарда—Вихерта (см. [32]) можно получить выражения для
электромагнитных полей в точке г, возникающих от движущегося
заряда, который находится в точке (
4-
g3R2 + g3cR
308
где
fsv/c; q = 1 —NP; R= \ r — p(t) | ;
N — единичный вектор издоль R. Здесь tf означает, что все вели-
величины должны быть определены в момент времени t'=it—R(t')lc
В волновой зоне второй член в A31) доминирует, и в нереля-
тиви'стаком пределе имеем
E(r, 0=-?[NX(NXv)],,. A32)
Представим себе большой объем плазмы, в среднем прост-
пространственно-однородной, на который падает плоская волна
E0cos(Kx—Ш). Это приведет к ускорению каждого заряда, вы-
вычисляемому по формуле:
V/=^Ee cos (КР/@-^0
в первом борновском приближении (т. е. мы предполагаем, что
плазма оптически тонкая). Суммируя вклад от всех частиц и
пренебрегая вкладом от ионов, который мал в отношении масс,
получаем:
X cos (Kp (f) - Ut') ? 8 [р - Р/ (t% A33)
На больших расстояниях от ллазмы |г|^|р| (оредставляя
б-функцию в пространстве со) можно написать:
xj>ei к—в) v+ (К--^-N) p JJ 8 (p — py (*'))"]. A34)
Здесь r0 — классический радиус электрона e2jmc2. Нас интересует
.ожидание:
-f N. ш-О), A35)
где а — угол между N и К, а Ф .и Фо — азимутальные углы, опре-
определяющие N и Ео в плоскости, перпендикулярной К соответствен-
соответственно. Если -падающая волна не поляризована,, то фактор
I. Величина
A36)
309
— это спектральная мощность флуктуации электронной плотно-
плотности. Следовательно, усредненное по времени среднее значение
рассеянной в едишщу времени в единицу телесного угла Q энер-
энергии на Дсо/2я (полоса пропускания в тоже г пропускает только»
частоты в интервале Асо) равно:
-)гМ1-81п««8ш«(Ф-Ф.)]. A37)
Величину 5 можно ;вычислить с помощью B7) и (82), как это
было сделано при вычислении / или спектральной интенсивности
для флуктуации плотности заряда. Приведем здесь только ре-
результаты:
A38)
где х определяются согласно формуле
е(к, (о) = 1+Хе(к, о))+Хг(к, со). A39)
Подробное обсуждение этих результатов для различных ситуа-
ситуаций, а также ссылки даны в [33] (см. также [34]). Ниже приведем
только некоторые свойства.
1. Рассеяние происходит только на электронах, т.е. на элек-
трона.х в облаке поляризации движущихся ионов и на ядре и элек-
электронной части облака поляризации движущихся электронов.
2. Если co~Q, то рассеяние происходит на частицах со ско-
скоростями, близкими к нулевой. Так как уравнение для спектраль-
спектральной интенсивности зависит только от Fe(utt0) =|A/2яI/2/^тв-
[см. A02)] и Fi(tittO) = (l/2ji)i/2/vTu то при примерно одинаковой
температуре vTi<^vTe кривая поперечного сечения рассеяния вбл(и-
зи (со—п) должна иметь доплеровское уширение Aw~\kvTi. Эта
действительно наблюдалось для [HdI^I (cm. [35]).
3. Когда (со—Й)~(оре, должен иметь место точный резонанс
для малых \kXD\, что наблюдалось в экспериментах по радио-
радиоотражению, проведенных в Арисибо [36]. Это, конечно, происходит
из-за резонанса <д~(дре в е(А, со).
4. Если Ге>Гг, |/dD|<Cl, то акустические волны становятся
резонансами s(k, со) и так называемые ходы будут наблюдаться
на акустической частоте.
5. Если |&Xd|»1, to коллективное поведение частиц в плазме
не имеет .места (за исключением почти обратного рассеяния) и
S(k, со) ^2я J d*vfe{v)б(co+kv), A40)
т. е. имеет формулу для рассеяния от неэкранированных электро-
электронов. В действительности распределение электронов может быть
найдено (с помощью лазера), и если оно максвелловское, то тем-
температура определена.
310
6. При тепловом равновесии поперечное сечение рассеяния,
проинтегрированное по всем частотам, можно вычислить:
Эффекты, связанные с поляризацией плазмы для малых ||
уменьшают томсоновское поперечное сечение рассеяния на 1/2.
2.6. Повышенное индуцированное излучение. Принцип супер-
суперпозиции Ростокера. Рассмотрим совершенно общий расчет для
индуцированного излучения высокочастотных волн в плазме, ког-
когда амплитуда падающей волны как раз ниже критической для
возбуждения параметрических неустойчивостей. Это увеличенное
излучение, которое может быть значительно выше теплового уров-
уровня при отсутствии падающей волны, наблюдалось в ионосферных
и лабораторных (и вычислительных) экспериментах. (Фактически
усиленное излучение продолжается и в закритической области,
но интенсивность возбужденных волн определяется в первую оче-
очередь конкуренцией между неустойчивостью и нелинейным насы-
насыщением [37]).
Вычисление проводится с помощью формализма Дрейка и дру-
других [38] для рассмотрения параметрических взаимодействий, а
затем используется принцип суперпозиции Ростокера [39] (см.
также [7]) для одетых, но некоррелированных частиц, чтобы
учесть их дискретность.
Рассмотрим плоскополяризованную электромагнитную волну
с большой амплитудой
E=2e0E0cos (Кх — Qt) = Ео exp [i (Кох — Qt)] +
оехр[—i(Kx —Q/)L A42)
распространяющуюся в пространственно-однородной плазме. Ис-
лользуем замечание Дрейка и других для целей симметрии. За-
Заметим, что условие применения преобразования Фурье отличается
от того, которое мы использовали раньше. [Множитель 2 в A42)
избавляет нас от выполнения расчетов с множителем 1/2.] Взаимо-
Взаимодействие накачки с электронными флуктуациями 6/ze(k, со), обу-
обусловленное дискретными заряженными частицами и их облаками,
приводит 'К возн.икн'ОВ'ению сателлитов с k±z=k±/K, (O±?='co±/Q.
Мы рассматриваем случай, когда eEo/mQc^l, т.е. имеем дело
с первыми сателлитами при k±s==k±K, со±=со±?2. Преобразование
"Фурье волнового уравнения для сателлита Е±(к±, со±) можно за-
записать в виде
311
Здесь / — единичный тензор. Выражение для плотности тока со-
состоит из обычного линейного отклика о±Е± и б/±, «причем
8J =-+- Ьл (к, о) Е A44))
Здесь 6J± в свою очередь состоит из произведения скорости ко-
колебаний в высокочастотной волне накачки и низкочастотных элек-
электростатических флуктуации плотности. В приведенных ниже фор-
формулах считаем Q/(dp^>1 (или, если ?2/соР~1, kXD<^l) и
Запишем теперь уравнение A43) в виде
- о>2±) - Ы*±т] (Г-
Здесь fessl
Для изотропных распределений по скоростям имеем:
0 ±=:°\± У —^±^±)~^~°\\±^±^±9 A46)
где
udFJda
a F0(u)= j d*vfo(vN(u—k±\) определено ранее. Тогда A45) пред-
представим в виде
(D±\l-\k±)~^±e;k±\)E±=-^pe^(k, .)Я04, A47>
где при высоких частотах D± и е± можно аппроксимировать сле-
следующими выражениями:
— (о±2 — icop2v/W A48)
И
Здесь v — электрон-ионная частота столкновений (или, возможно*
затухание Ландау в A49), зависящее от k±%D). Уравнение A47)
легко преобразовать к виду
312
Следующей задачей является нахождение б/ге(к, <о). Мы утверж-
утверждаем, что она находится из системы уравнений:
, ш) = - *'J% ю) ik-E(fe, со) + 5, (к, со) A51)
ik- E(k, ®)=4яв(в/г< —блв). A52)
Эти уравнения представляют собой коллективный отклик плазмы
наличии волны накачки на микроплотность флуктуации, т. е.
8(со~-ку,) A53)
суть преобразование Фурье ионной микроплотности
5(Х, 0=2б(Х — Хог— Vit). A54)
Подобное уравнение применимо для описания электронов Se. Ли-
Линейными воспршшчивостями Власова являются величины %.
Пондермоторный потенциал, который представляет собой влияние
волны накачки, входит в электронный отклик Власова как сила,
действующая на электроны F® =—VTo при
Скобки ( )то представляют собой низкочастотную компонен-
компоненту, которая остается после усреднения по быстрому Бремени
?2»ico. Соответствующий член в ионном уравнении опущен, так
как в отношении масс электронов и ионов он был бы меньше
оставленных членов. Вывод этих уравнений в отсутствие источни-
источников обсуждается в [38]. Там флуктуации были каким-либо обра-
образом первоначально возбуждены, причем, если они были выше
порога возбуждения, они росли, а если же нет, то они исчезали.
Мы же рассматриваем ситуацию ниже пороговой, поддерживаемую
микроскопическими источниками.
Уравнения A50) — A52) можно разрешить относительно 8пе:
где е (к, <о) = 1+Хе+Х<—низкочастотное дисперсионное соотноше-
соотношение. Уравнение A56) можно подставить в уравнение для Е±, по-
лучи/м:
313
где гКь — нелинейное дисперсионное соотношение,
bnl= в (к, со) —^2ХеA +Xi)( I к+ X v0 \УО+ + | ?х v0 |2/?>- —
- | k+v0 |>2+е+ - | ?v01V-e-). A58)
Здесь vo=eEo/mQ. Критическим является условие, когда sNl-+0-
Чтобы вычислить ожидание (среднее по ансамблю), найдем квад-
квадрат электрического поля
<Е2(х, 0> = IS<Pk(kxPV<h>' х
х<Е(к, ю)Е'(к', <o')>expi[(k—к')х-(ю —ю')<1.
а теперь определим ожидание
<Se(k. coM*o>(k', »')> = -(S5'(Sexp(~ila''b+ik'V') X
^ A59)
где а—индекс определенной компоненты частиц. В соответствие
с принципом суперпозиции Ростокера (мы одели частицы) мож-
можно рассматривать .их как нескоррелиро-ванные. Тогда для любой
величины
Jj^o. v,)
Отсюда немедленно следует, что
(Se(k.
~ kv)-
Теперь подставим A57) и A60) в выражение для
получим
. .-)PX
х • |"D"(к, о) |2 ^со41 о (к, со) |2
314
Уравнение A61) является основным результатом настоящего раз-
раздела. Интенсивность в каждой из линий получается интегриро-
интегрированием последовательно по каждому из возможных частотных
резонансов. Сделаем теперь несколько замечаний.
Волна накачки может быть электростатической и электромаг-
электромагнитной, однако ее электромагнитные свойства иока еще нигде
не использовались. Кроме того, формулы A60), A61) можно ис-
использовать для суммы волн накачки, пока их фазы случайны.
Таким образом, в теории слабой турбулентности можно вычислить
"член с усиленным излучением в волновом кинетическом уравне-
ди|и для моды с волновым вектором k, обусловленной не только
волной накачки, но и «параметрически возбужденными модами.
Использовалось несколько упрощений в зависимости от моды
(ионная или электронная).
Для (o±^k±vTe можно пренебречь ионным откликом %t и ис-
источником Ft-. Для (о± ^k±vTi можно пренебречь электронным ис-
источником Fe и взять %е, х<>1- Этот формализм неприменим для
рассеяния электронных мод агри k%De<4i\, так как толда излучение
обусловлено продольным тормозным излучением, а не излучением
Вавилова—Черенкова. Однако если заменить Fe членом, соответ-
соответствующим нужному типу излучения, то оставшаяся часть вычис-
вычислений остается прежней (см. [34]).
Специальное вычисление электрон-ионного затухания при
Те~Т{ рассматривали многие авторы. Этот случай «интересен для
мнопих ионосферных экспериментов [40].
В лазерных экспериментах также представляют интерес рас-
рассеяния Бриллюэнна и Рамана. Для примера приведем здесь вы-
вычисление резонанса бриллюэнновского рассеяния при Те~Т{\ вы-
вычисление совпадает с изложенным выше.
Рассмотрим случай, при котором D(k, <о)«0, в то время как
Z)(k—2К, <о—2Q), е(к, <ю) и е(к—2К, со—2Q) являются нерезо-
нерезонансными. Для со«Й^соя= (со2р+?2с2I/2 находим:
где
A63)
y
Действительная часть члена с нелинейной накачкой дает неболь-
небольшой сдвиг частоты, которым можно пренебречь. Если
i)i/2y то только тогда член, включающий
умноженный на | kXEo|2, дает вклад в A61).
Интегрируя по электромагнитному резонансу, .получаем сле-
следующий результат для нормированной интенсивности флуктуации
электромагнитного поля в линии вблизи частоты падающего из-
315
лучения Q:
1'Л^1 4тгп7-е Q ?_ vTl
где х= (сон—Q)/l/2k-vTe\ z(x)—дисперсионная функция плазмы.
Повышение уровня флуктуации идентично повышению флуктуа-
флуктуации в случае электрон-ионного распада, за исключением фактора
(Ор/Q. Увеличение флуктуации при других возможных резонансах
можно вычислить подобным же образом. В заключение отметим,
что хотя принцип суперпозиции Ростокера избегает сложностей
при использовании ГА для вычисления двухточечных флуктуации,
он не был обобщен на случай более высокого порядка, чем е.
2.7. Некоторые замечания о неоднородной плазме и эффектах более высо-
высокого порядка О(е2) в однородной плазме. В {41] принцип суперпозиции при-
применялся для описания уровней флуктуации в слабонеоднородной плазме, в
дрейфовых волнах, где имеет место конвективная неустойчивость, а плазма
всюду строго устойчива. Балдвин и Коллен [42] также применили этот ме-
метод для определения переноса, обусловленного конусными (конвективными)
неустойчивостями в установках зеркального типа. Наконец, Невинз и Чен [43J
вычислили уровни флуктуации и переноса для бесстолкновительных дрейфо-
дрейфовых волн (они в целом слабоустойчивы), включая вклад от глобальных нор-
нормальных мод. Последняя работа обсуждает ограничения этих теорий. Теория
О(е) не подходит для обсуждения вкладов в спектральную интенсивность,
обусловленных тормозным излучением (продольным и поперечным), нужно*
перейти к более высокому порядку по е. При тепловом равновесии (флуктуа-
ционно-диссипативная теорема) уравнение A08) можно использовать для эко-
экономии одного порядка при вычислениях, так как температура Т формально»
имеет порядок О(е). Напомним, что плазменным пределом является 0
/?2->0, те — конечное, vt — конечное. Следовательно, Г=1/2 mvT ~О(е). В A08)
величина (.ЕЕ) имеет порядок О(е), а е(к, со)—диэлектрическая функция
Власова. Для учета столкновений нужно в 8 (к, со) учесть следующий порядок
по е (или, что то же самое, проводимость). Этот метод применялся авторами
[2, 44—46}, которые нашли столкновительный вклад в проводимость для вы-
высокочастотных волн, а затем применили его к излучению. Здесь мы указываем
на то, что решение уравнения для А, а затем для Г в высокочастотном пре-
пределе нисколько не сложнее и по существу идентично решению для парной кор-
корреляционной функции, на которое указывали предыдущие авторы.
3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФЛУКТУАЦИИ
В КИНЕТИЧЕСКИХ МАСШТАБАХ
3.1. Введение. Рассмотрим флуктуации с частотой порядка есор и волно-
волновым вектором порядка е&д. Вспомним сначала вывод кинетического уравнения
для функции распределения частиц f по многовременной шкале. Рассмотрим
сначала устойчивую плазму без пространственных градиентов и в отсутствие
внешних полей. Одно- и двухчастичные функции fug удовлетворяют уравне-
уравнениям C9) и D0):
'-^-ndrr w-«^- *'• ty> A65>
д д д \ пе2 df
(¦эг+'-я-+*'-я)(^ *' о
316
пе2 df С д 1
<*'. X", t)-—-^\jdX"-^r^rZr?rIg(X, X", 0 =
д
Вместо того, чтобы провести лишь разложение по степеням плазменного пара-
параметра е, которое не было бы пригодным при достаточно больших временах
(порядка l/e(Dp) вследствие секулярности, используем метод многовременных:
масштабов [21, 22], где заменяют временную переменную / на последователь-
последовательность формально независимых временных переменных t, ztt гЧ ... и используют
дополнительную свободу действий, чтобы исключить секулярность, о которой
мы говорили выше. Этот метод связан с методом усреднения Боголюбова [10J.
Итак, представим /, g, h и d/dt в следующем виде:
/e/@)(/f &t, e2/, . . . , х, v) +
+ е/<1)(*. ef, е2/, . . . , х, v) + . * * ; A67)
g=eg<l)(t, et, гЧ . . .х, v) + 82^B)( ) + . . . A68)
А=е2Д2 ( )+...; A69)
д д д д
иг+?2^г + -- A70>
тогда A65) в нулевом порядке по 8 принимает вид df^/dt—О. Функция fr
таким образом, является постоянной на пла5менном временном масштабе.
В первом порядке по е A65) и A66) принимают вид:
dfi1) df(°) пе2 Г д 1 д
,}j = — —т~7— -г- ~ I аЛ ~з i г; ^— jgfv / («Л . Л t *'» е*»».)» A /1 р
Ot O^t l Ш ] OX JX — XI (/V s '
\^ dt •" "• y^ ~ m dx |x — x'| ^ d\ ""
где L—) оператор Власова;
A73>
Можно решить уравнение A72) для ^(Пи получить два члена: один из-
изначальных условий на g, который чаще всего затухает до нуля в сильноус-
сильноустойчивой плазме в пределе достаточно больших времен; и второй член, воз-
возникающий из-за наличия ff (физически это корреляции, создаваемые столкно-
столкновениями). Подставляя g^]}^ в A73), получаем кинетическое уравнение для f
A09), описывающее ее эволюцию на столкновительном временном масштабе.
Член, обусловленный наличием начальных корреляций, связан со спектром
флуктуации, присутствующих в плазме. Когда плазма неустойчива или только
находится на границе устойчивости, этот член может доминировать и изло-
изложенный выше метод неприменим, и в этом случае находят квазилинейные
317
Для того чтобы f<!> было несекулярным по времени, потребуем, чтобы
уравнения Драммонда—Пайнса [47, 48]. Наоборот, когда плазма сильноустой-
сильноустойчива, доминирует второй член, и получают уравнения (ПО) и A23) Балес-
ку—Гернси—Ленарда, которые мы обсудили выше. Роджестр и Оберман
[49, 50] получили теорию, которая охватывает переход между теориями Драм-
Драммонда—Пайнса и БГЛ на границе устойчивости в рамках теории слабой тур-
турбулентности. Имеется два непосредственных продолжения этой теории, кото-
которые мы опишем, прежде чем браться за разложение уравнений для флуктуа-
флуктуации по многовременным масштабам. Первое продолжение — это включение
пространственных градиентов, а второе — учет внешних полей. Учет простран-
пространственных градиентов в f необходим только тогда, когда масштаб вариаций
гораздо длиннее дебаевской длины. Это является гарантией того, что индиви-
индивидуальные столкновения (на расстояниях порядка дебаевской длины) происхо-
происходят в локально-однородной плазме. Если это условие не учитывать, то это
ючень сильно усложнит интеграл столкновений.
В теории такие пространственные градиенты и сопутствующие электроста-
электростатические поля подбирают использованием многовременных и пространственных
^масштабов, при этом пространственная вариация в / должна иметь место на
•масштабе ex. Соответственно пространственная вариация g как функции раз-
мостной переменной происходит на масштабе (х—х'), а как функции суммар-
суммарной переменной — на масштабе e(x-t-x'). Разложим теперь f и g в ряд:
/ = /(°)(^ e,ft ??tt , # . , ех, е2х, . . . , v)+
+ е/A)(/, 8/, е2, . . . , ех, е2х, . . . , v) + 0(82); A74)
ft — РГГ^ ' // р/ Y —— v' Р ^Y ш-- v'^
• . .,8(х + х/), ?2(х + х'),. . . , v, v']+O(s2). A75)
Уравнения A71) и A72) теперь*приобретают вид: df^!dt=O—в нулевом порядке,
df(l) д№ df(°)
A76)
В низшем порядке на уравнение A72) не влияет новое разложение. Значит,'
влияние неоднородности состоит в изменении левой части A73) (в замене ее
на производную по фазовому пространству), при этом правая часть A73)
остается без изменения. (Фактически, масштаб пространственной неоднород-
неоднородности совершенно необязательно должен быть порядка е, чтобы эти аргументы
имели место).
Другое развитие теории — это включение внешних полей, которые возни-
возникают в левых частях уравнений для fug. Для получения интеграла столкно-
столкновений нужно найти g, решив уравнение D0) с учетом внешних полей. Это
можно сделать методом интегрирования вдоль траекторий.
На практике интересен случай внешнего магнитного поля (однородного
или медленно меняющегося), которое превращает траектории в спирали, и
уравнение для g может быть решено с помощью преобразования Фурье—Бес-
Фурье—Бесселя. Следует отметить, что введение внешних полей не вызывает никаких но-
новых принципиальных трудностей, но несколько усложняет результаты. Появ-
Появляются две сложности. При учете самосогласованного электрического поля
кинетическое уравнение имеет высокочастотные решения, которые должны
быть подавлены, для того чтобы выражение для g было справедливо. Это
достигается наложением условия квазинейтральности %enrr(x, t)—0, так как
?Xd^1. Второй трудностью является то, что наличие градиентов магнитного
поля, хотя и слабых, приводит к дрейфам и захвату в магнитные ямы, и эти
важные эффекты необходимо учесть в выражении у-д/дх. Эти трудности пре-
преодолеваются подходящим усреднением по гировращению (и по баунс-дви-
жению) для получения так называемого дрейфового кинетического уравнения.
.318
Мы опускаем его, чтобы сделать более ясной сущность приведенных аргумен-
аргументов. Мы сейчас увидим, что подобный анализ уравнений для Г] и А привела
к кинетическому уравнению для IY Дальнейшие сложности возникают от син-
сингулярных начальных условий на Г\ и А по сравнению с гладкими начальными
условиями на f и g. Давайте вспомним [см. D3) и E1)], что Г\ и А удовлетво-
удовлетворяют следующим уравнениям и начальным условиям:
er dfr (X, t)
ИГ i
W J dX'
\х-х'
-¦W-WT^X<" <>' Х'
nr,er, jdX'±-lr±JT-lrA(X0, U; X, X', t); A77)
г
д д д ет д
п^4г—^Г1^)[г' ^- '*-• х>
+ Г, (Х„ /,; X', t) f (X. t)} + JJ nrl, er,, j
"
J r r jdX" {-^--gj- X
r
, (X", t) Д (X,, <0; X, X', t) +F
Г, (A-,, t; X, t) g {X', X", t)] + (A"—-A-o}; A78>
Г, (X,, tt; X, tt) =,g (X,, Xu U)/f (A1,. t0) +-^-«r,r.» (Xt-XJ; (I79>
Д (A., <,; A. X'. tQ) = Л (A,. A. A', fj/f (^,, t,) + " fy*'}^ X
X ~^- [« (A - A.) »v + ar§r,» (A' - X,) ]. A80»
Следует отметить, что A77) и A78) точно совпадают с уравнениями, которые
были бы получены при формальной линеаризации /—>/+Г, g—>g+A уравнений
C9) и D0) для f и g, как это было указано ранее.
Это наводит на мысль, что если бы Г и А удовлетворяли тем же гладким
условиям, что / и gt то тогда Fi должна была бы удовлетворять линеризован-
ному уравнению, которому удовлетворяет f.
Покажем, что столкновительная диффузия сглаживает начальные сингу-
сингулярности в Г и А достаточно быстро, чтобы оправдать вывод кинетическога
3191
уравнения для Г методом многих масштабов. Единственное, что требуется, это
•одна простая основная оценка. За время t пробная частица будет диффунди-
диффундировать в сферической области радиусом г, где r2~Dt, a D~v%2 есть коэффи-
коэффициент диффузии. Теперь имеем г~е(ор (фактически elneo)p, но мы при оцен-
оценках не будем учитывать кулоновский логарифм) и Ат/р~ Яд/е. Следовательно,
/-Ad~el/2 @p^)i/2 я за время, большое по сравнению с плазменным периодом
1/@р, но малое по сравнению с временем столкновения 1/ео)р, на которое мы
далее будем ссылаться как на промежуточное время, область диффузии ста-
станет гораздо больше, чем дебаевская сфера. (Этот аргумент можно применять
для замагниченной плазмы, если гирорадиус значительно больше дебаевской
длины, что и предполагается ниже.) Таким образом, установили, что 1\ . удов-
удовлетворяет линеаризованным кинетическим уравнениям для /. Для устойчивой
плазмы, которую мы в основном будем рассматривать это уравнение является
полностью линеаризованным уравнением БГЛ
{ж+• ¦?¦+-f- -k) V' <*.. <•; «> = - Б 4- '"¦
fr
*.; х. t)
тГоГ я-
г.. U; А'', о
A81)
J;
де*
d3v
k-v +
¦-ягт^х., *.; x, t).
Этот вывод может вызвать ряд возражений.
1. Мы показали, что размер сферической области диффузии Fi есть
(что подтверждается результатом, полученным из кинетического уравнения) *
В анализе многих пространственных масштабов, приведенном выше для f, мы
предполагали, что масштаб длины неоднородности равен 0(А,о/е), хотя на
самом деле он больше. Так как (было принято выше) масштаб неоднородно-
неоднородности значительно больше Яо, то изменение 1\ в больших временных масштабах
определяется следующим выражением:
dT, ne" С
1
дх |х —х;| dv
A82)
что точно совпадает с линеаризованным кинетическим уравнением.
2. Мы договорились, что сингулярные начальные условия на Г сглажива-
сглаживаются в результате столкновительной диффузии. Теперь надо определить на-
начальное условие на А. Для того чтобы существовало кинетическое уравнение,
А должно сводиться к функционалу от Ti и / независимо от начальных усло-
условий на промежуточном временном масштабе. Теперь можно утверждать, что
•сильная устойчивость плазмы достаточна, чтобы это выполнялось.
3. Члены бе в интеграле столкновений выглядят несколько необычно, и мо-
может возникнуть вопрос, каков их смысл. Если распределение f является ло-
локально максвелловским, то члены бе в интеграле столкновений в результате
интегрирования обращаются в нуль, и мы получаем обычную форму уравне-
уравнения Фоккера—Планка [51]. Однако при отсутствии теплового равновесия, ког-
когда может иметь место турбулентность на кинетическом уровне описания, та-
320
кие члены присутствуют. Таким образом, в гидродинамическом случае, кото-
который надо рассмотреть, член бе не вносит никакого вклада в результаты. Од-
Однако следует заметить, что даже при наличии членов бе оператор столкнове-
столкновений сохраняет число частиц, импульс и энергию. Стоит отметить, что не сле-
следует ожидать, что оператор столкновений для кинетического уравнения проб-
пробной частицы для Qi будет удовлетворять сохранению импульса и энергии,
поскольку импульс и энергия могут (и будут) передаваться полевым частицам.
4. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ В ПЛАЗМЕ
4.1. Введение. Зная кинетическое уравнение и A81) для <б/б/>
[мы используем обозначения Климонтовича (8f{X, t)8f(X', f)}
для f(X, t)Ti(X, t; X', f)\ находим гидродинамические флуктуа-
флуктуации в плазме, обусловленные дискретностью частиц, рассматри-
рассматривая гидродинамический предел (считаем масштабы длины и -вре-
-времени большими по сравнению со средней длиной свободного про-
пробега и средним временем между столкновениями соответственно).
В замагниченной плазме длина волны в направлении, перпенди-
перпендикулярном магнитному полю, должна быть большой по сравнению
с лар'моровским радиусом.
Найденные результаты аналогичны результатам, полученным
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [18] для однокомпонентной
жидкости, но имеют более широкую область применения. Авто-
Авторы [18] показали, что гидродинамические флуктуации простой
жидкости -можно описать с помощью линеаризованного уравнения
Навье—Стокса с учетом случайных напряжений и потоков тепла,
время корреляций которых определяется вязкостью жидкости и
тепловой проводимостью соответственно. Хинтон [52], используя
метод, подобный тому, который применен здесь, показал, что ре-
результаты Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица пригодны не только
пр;и тепловом равновесии, но и в любом неравновесном случае,
если пригодны гидродинамические уравнения. Тогда случайные
напряжения и тепловые потоки остаются такими же, как в равно-
равновесии, и их модификация состоит в том, что уравнения Навье—
Стокса линеаризованы вблизи заданного неравновесного потока,
а не «вблизи состояния теплового равновесия.
4.2. Уравнения моментов для флуктуации. Вместо того, чтобы
решать A81) для <6f6f> с начальными условиями A79) непо-
непосредственно, используем следующий эквивалентный формальный
метод. Сначала решим линеаризованное уравнение БГЛ для 8f:
г
с начальным условием 6f-+8f(X, tf0), при t-+-Uy где К — линеари-
линеаризованный оператор столкновений A81). Теперь вычислим авто-
автокорреляцию, используя A79)
(8fr°(*0> tt)hf(X. *.)>=№., U)Trf(X%, t0; X, /,)= A84)
(Xa, X, t). A85)
11 Зак. 137 321
Обратимся теперь к уравнению A83), которое является линеари-
линеаризацией уравнений БГЛ для fr
A86)
где
crr(fr- 8/г')^С : сгг'(8/г- W^Kj; A87>
:. A88)
Некоторые свойства Crr. переносятся на Ктг,, в частности
i'v = 0;
A89)
где подразумевается, что
A90)
Уравнения A89) и A90) появились после того, как мы пренеб-
пренебрегли всеми процессами (ионизацией, рекомбинацией), которые
превращают частицы из одного вида в другой.
Можно сконструировать уравнение моментов из уравнения
A83) таким же образом, как это можно сделать для уравнения
A86), т.е. умножая «всюду на /, v или mv2/2 и интегрируя по ско-
скорости. При определении линеаризованных гидродинамических ве-
величин 8пГ9 6ur, 6Tr и др. уравнения, которым они удовлетворяют,
точно совпадают с линеаризованными уравнениями моментов для
макроскопических переменных nr, ur, Tr и др. Определим макро-
макроскопическую плотность пг, скорость ur и температуру Тг, а также
тензор напряжений Пг, со следом, равным нулю, и тепловым по-
потоком qr r-й компоненты
0=Мх, 0; A91)
J vfr(X, t) d*v = nr (x, t) nr (x, /); A92)
x, t)ur{x, t)ur(x, t)+
r(x, t)Tr(x, t)l+nr(x, t) A93)
322
lr(x, t)ur(x>
+ur(x, f)[-|-rar(x> t)Tr(x, t)^~mrulr{x, t) j. A94)
Перепишем A93) и A94) в более простом виде:
г'<х- ')= MOT^"lOTrlv~Ur(x> 0ГГ(Х t)d3°'' A95)
-ur(x, t)]\v-nr(x, *)]-
4-T[v-ur(x, t)f]r{X, t)d'v; A96)
A97)
Найдем 6nr, 6ur, 8Tr, 6ПГ и Sqr, линеаризуя уравнения A91)—
<194), т.е.
Ьпг(х, t)= j ЬГ(Х, t)d3v; A98)
6[nr(x, t)ur(x, t)]=6nr(x, t)ur(x, t) +
+nr(x, t)bur(x, 0 = 1 v6№, t))d*v; A99)
B00)
D «гП +4 mfu\) Ur +я^]=4- mrvtJ^r (x« *)dl?;- <201)
Окончательно запишем:
8ur (x, t) = —i-^- j [v - ur (x, f)] 8Г (X. t) d*v; B02)
Щпг(х, t)Tr(x, t)] =^-j[v-ur(x, t)]4fr(X, W'v; B03)
~T[v - мг(x, t)f) bf (X, t)d'v; [B04)
8qf(x, /) = ^. j|[v-uf(x. 9l([v-uf(x, t)f-
Г(Х, ()йД(х, /)8ur(x, /). B05)
Заметим, что уравнение B05) отличается от 6qr, найденного
-в [52], членом Пг-иг. Однако приведенное выше определение 6qr
11* 323
появилось бы более естественным образом в теории [52], так как
при переопределении B05) флуктуирующие величины подчиня-
подчиняются линеаризованным уравнениям моментов: (приведенная выше
величина 6qr непосредственно связана с флуктуирующим градиен-
градиентом температуры. Конечно же, уравнения моментов ничего не
означают до тех пор, пока 6q и 6П не определены через более
низкие моменты, а тогда различие, упомянутое выше, становится
непринципиальным. Может возникнуть вопрос, почему при взятии
моментов линеаризованного уравнения Больцмана Хинтон не по-
получил линеаризованных моментов уравнения Больцмана, хотя
после замыкания их с помощью метода Чепмэна—Энокога он дей-
действительно получил линеаризованные уравнения Навье—Стокса?
Ответ на этот вопрос связан с определением величины 6q.
Найдем теперь силу трения R между электронами «и ионами
и электрон-ионный столлшовительный тепловой шток
R= fme(v-u)W3u; B06)
Q = -L j me (v - uJ Cei4'v, B07)
а затем 6R и 6Q: 6R= J me(v — x\)Keidzv\ B08)
8Q = 4- J m<(v " uJ K**d*v- B09)
После этого запишем уравнения моментов для п, u, T:
4^ = 0, B10)
которые являются уравнениями непрерывности и импульса для
каждой компоненты
/ д д \ д т> д -л- -
[/ + 4]/ Г2П)
И, наконец,
B12)
суть уравнения переноса энергии. Первый член в B12) представ-
представляет собой скорость изменения суммарной плотности энергии час-
частиц данной компоненты, состоящей из кинетической энергии
A/2) mv2 и внутренней энергии C/2) пТ. Дивергентный член пред-
представляет собой поток суммарной энергии, включающий в себя
работу, произведенную полным тензором давления (р/+П)и, по-
потоком макроскопической энергии (C/2)пТ+ A/2)пгпи2)и и микро-
324
скопическим потоком тепла q. В правую часть уравнения входит
темп, с которым производит работу электрическое поле епЕи
('магнитное поле не совершает работу), нагрев за счет трения
R-u и передача тепла Q между компонентами. Уравнения B10)—•
B12)—стандартные уравнения моментов для двухкоштонентной
плазмы [38]. С определениями A98), B02) — B05);, B08) и B09)
уравнения для 8nr, 6ur и 8ТГ точно являются линеаризацией урав-
уравнений B10) — B12).
Теперь замкнем эти уравнения, отнеся П, qr, Rr, Q к более
низким моментам /г, и, Г и 6П, 6qr, 6Rr и 8Qr к яг„ иг„ Гг„
6wr/, 8ur,, 6ГГ, соответственно. Основанием для этого является
разложение Чепмэна—Энскога, где полагают, что масштабы дли*
ны и времени являются большими по сравнению со средней дли-
длиной свободного пробега и временем между столкновениями соот-
соответственно.
И именно на этот режим мы ссылаемся как на гидродинамический. Эта про-
процедура была полностью проделана в [53] для моментов f. В {52] для случая
нейтрального газа показано, как решения уравнений Чепмэна—Энскога для
моментов связаны с решениями линеаризованных уравнений Чепмэна—Энскога
для б/. Для нейтрального газа уравнения переноса имеют вид:
qi= —k^\ B13)
да i да i 2 дик \
^-+^7-— *11-дь)' BU)
В [37] показано, что соответствующие уравнения переноса для 6q и 6П
имеют вид:
д дТ dk
^'l dxi дх[ ' === дТ '
д 2 д \
дХ[ i 3 'J* дхк KJ ' '/• ^ '
При определении 6q B05) уравнения B15) и B16) являются линеаризацией
уравнений B13) и B14), что и следовало ожидать. Можно легко показать,
что ту же процедуру можно использовать в плазме. Имеются некоторые труд-
трудности, связанные с тем, что они хотя никак не влияют на процедуру, но ус-
усложняют вычисления. Еще одна трудность [38] в случае плазмы заключается
в том, что можно разложить интегралы столкновений по степеням квадрат-
квадратного корня из отношения масс (tne/mi)V2, которое даже для водородной плаз-
плазмы является малым числом A/40). Из-за этого различия в массах электроны
гораздо сильнее связаны с электронами, чем с ионами. То же можно сказать
и об ионах. И поэтому имело смысл определить в отдельности скорости и тем-
температуры для двух компонент. Фактически
1/2
Tee:Tu:Tei = 1:(ше/тг) ' :(те/тг),
где Тее, Тц> Tei —электронное, ионное и электрон-ионное времена установ-
установления равновесия.
У нас есть две взаимопроникающие жидкости с разными температурами
и скоростями. Это приводит к появлению новых коэффициентов переноса, от-
325
сутствующих в теории простого нейтрального газа: коэффициента трения меж-
между компонентами, который связывает силу трения между различными компо-
компонентами с их относительной скоростью (ие—Uj=u), и коэффициента переноса
тепла между компонентами, который связывает тепловой поток с разницей их
температур (Те—Тг).
Дальнейшим усложнением задачи (по сравнению с нейтральным газом)
является возможное наличие внешнего магнитного поля, которое превращает
(ранее скалярные) величины тепловой проводимости и вязкости в тензорные,
так как перенос поперек магнитного поля в основном подавлен.
Эти две трудности приводят к увеличению числа коэффициентов переноса,
но не оказывают влияние на общий результат: флуктуирующие величины
6q, 6Q, 6П, 6R удовлетворяют полной линеаризации уравнений, которым удов-
удовлетворяют q, Q, П и R соответственно.
<->
Уравнения переноса, которым удовлетворяют q, Q, П и R, приведены ниже
153]. Обозначения II и i. относятся к направлениям, параллельному и перпен-
перпендикулярному внешнему магнитному полю, поэтому
UEEU||+U.L;
B18)
и т.д.
Передача импульса от ионов к электронам R благодаря столкновениям
состоит из двух частей — силы трения R и и термосилы R т, возникающей от
относительной скорости и градиентов электронной температуры соогветственно:
R = RM + Rr; B19)
RM = — а „ и (| — a±ux + a jTx u; B20)
X уГ„ B21)
где b — единичный вектор, параллельный внешнему магнитному полю. Тепло-
Тепловые силы, обусловленные градиентами ионной температуры, пренебрежимо ма-
малы по сравнению с электронной тепловой силой вследствие малости отношения
массы электрона к массе иона.
Соответственно электронный тепловой поток q состоит из двух частей
' B22)
„ ± ? B23)
,| V „ Те - %eLV±Te - %eJXvTe- ' B24)
Тепловая сила R т и тепловой поток q u Нернста связаны соотношениями взаим-
взаимности Онсагера [19, 20], причем подразумевается, что
Следует отметить, что это происходит из-за антисимметрии [знаки в B21),
B23)" противоположны} кинетических коэффициентов, так как и — нечетная
величина при обращении времени, а VTe — четная Множитель Тс возникает
из-за того, что мы не определили кинетические коэффициенты в терминах соп-
сопряженных сил и потоков. Тензор напряжений (след его равен нулю и симмет-
симметричен) образует пятимерное представление группы вращения. Наличие магнит-
магнитного поля определяет выделенную ось, а вязкость становится невырожденной,
поэтому имеется пять независимых вязкостей ц
0, 1, 2, 3, 4:
¦. Пае = - ^Оар - ъТР1ар - v]2W2aC + Ъ^щ + Ъ1%; B2 6)
26
6Л~ 0/3) *.р) (Vv- (V3)
B2?)
A/2)
которые являются проекциями IF ар на собственные состояния вращения
здесь
«аЭ " б«Э-6«6р; B28)
8сфт— антисимметричный единичный псевдотензор; W<x$— тензор натяжений,
причем
даа дао 2 ди~
%=^-+<-—«.р-ф B29>
И, наконец, Од=ЯA/Гг-—1/Ге) определяет отношение межкомпонентного по-
потока тепла к разнице температур.
Индексы компонент (t, e) опущены, так как все сказанное выше относит-
относится к электронам и ионам. Тензоры B26) подробно определены в ,[53], где так-
также приведены выражения для различных коэффициентов переноса, через плаз-
плазменные параметры. Следует обратить внимание на то, что а^,р^,х^,т]3 и т]4 —
в некотором смысле ненастоящие коэффициенты переноса, так как давая теп-
тепловые потоки вдоль изотерм, силы, перпендикулярной скорости и т. п. они не
связаны с диссипативными процессами. Они возникают только из-за гировра-
щения частиц вокруг линий поля, так называемые гиронапряжения.
ч Теперь мы имеем замкнутую систему уравнений для моментов дпг> 6ur и
дТг от 6fr: линеаризацию уравнений B10) —B12), B20) —B24) и B26). Важ-
Важно отметить, что линеаризованы не только пг, цг и 7V, но также и коэффи-
коэффициенты переноса. Это вместе с начальными корреляциями представляет собой
полную систему уравнений, из которой можно вычислить тепловые корреля-
корреляции любой из этих гидродинамических переменных. Можно легко вычислить
начальные корреляции из A85), используя для этого моменты, где можно пре-
пренебречь вкладом второго члена (экранирующего облака), который имеет по-
порядок (kXDJ, за исключением тех случаев, когда плотности заряда приходится
рассчитывать и в этом приближении электронные и ионные плотности унич-
уничтожаются.
4.3. Метод Ланжевена. Поверхностно метод, который мы предложили для
вычисления функций гидродинамических корреляций в плазме, совпадает с ме-
методом [54], описанным в [18], т. е. корреляционные функции, удовлетворяют од-
однородным линеаризованным жидкостным уравнениям с заранее заданными на-
начальными условиями. Действительно, в тепловом равновесии они являются
идентичным описанием. Однако вывод из кинетической, а не термодинамичес-
термодинамической теории показал, что этот метод имеет значительно больший диапазон при-
применимости: 1) метод пригоден всегда, когда применимо гидродинамическое
описание и 2) флуктуации остаются малыми по сравнению с фоновыми вели-
величинами. Условие 1 возникает для того, чтобы можно было применить метод
Чепмэна—Энскога. Ясно, что оно необходимо, чтобы данное описание имело
смысл. Условие 2 необходимо, чтобы не нарушить порядок, принятый при вы-
вычислении кинетического уравнения для флуктуации. Ниже сделаны некоторые
замечания относительно того, что могло бы случиться, если бы условие 2 бы-
было нарушено. (Мы не применили оператор столкновений в замагниченной фор-
форме, что верно при cop/Qc>l. Однако, например, на краях разряда в термо-
термоядерных установках неравенство меняется на обратное. Значит, тогда следует
327
использовать оператор столкновений в замагниченном виде. Насколько нам
известно, это не было сделано.) В равновесной теории флуктуации имеется два
эквивалентных подхода: метод Онсагера (решают однородные уравнения с за-
заданными начальными условиями) и метод Ланжевена (вычисляют отклик устой-
устойчивого состояния на движущие силы с заданными корреляциями). Так как урав-
уравнения линейны, такое соответствие должно существовать.
Имеется несколько способов получения описания Ланжевена из приведен-
приведенного рассмотрения. Один из методов заключается в постулировании сущест-
существования линеаризованного по Ланжевену БГЛ уравнения для df, такого, где
6f является откликом устойчивого состояния (или, по крайней мере, меняю-
меняющимся на гидродинамическом временном масштабе) на быстро флуктуирующий
хаотический источник 65. Для случая нейтрального газа в ,[55] предложен та-
такой формализм для теплового равновесия (см. также [56, 57]) и это обобще-
обобщено на равновесные системы в [52].
Автокорреляцию 6S можно легко вычислить, исходя из начальной корре-
корреляции df:
0, toNS(X, /)).б(/~/0)б(х-х
где /Со — линеаризованный (БГЛ) оператор столкновений. Вывод подобен то-
тому, который мы вскоре сделаем при рассмотрении гидродинамических урав-
уравнений.
Тогда моменты 6S могут быть связаны с коэффициентами переноса, если
связать их с решениями интегральных уравнений Чепмэна—Энскога. Найдем
моменты уравнений для 6f, получим линеаризованные гидродинамические урав-
уравнения со случайными источниками (их можно определить как случайные на-
напряжения и тепловые потоки) с известными корреляциями. В случае нейтраль-
нейтрального газа |[52] полученные уравнения такие же, как и уравнения Ландау и
Лифшица [18], за исключением того, что гидродинамические уравнения были
линеаризованы вблизи потокового режима, о котором идет речь, а не тепло-
теплового равновесия, а корреляции случайных движущих сил принимают такую
же форму в терминах коэффициентов переноса, но в общем случае имеют
пространственную и временную зависимость.
Метод, примененный в [52], можно использовать в плазме, если учесть на-
наличие магнитного поля с постоянным током и разделение электронов и ионов,
имея в виду малость отношения их масс.
Возможен и другой метод получения гидродинамических уравнений, в ко-
котором мы имеем систему линейных уравнений для гидродинамических корре-
корреляционных функций с известными начальными условиями.
Так как уравнения линейные, то можно заменить задачу с начальными
значениями задачей с движущими силами и выбрать соответствующие члены
так, чтобы воспроизвести те же корреляции. Этот метод используется всюду
при условии, что уравнения устойчивы. (Это условие является обязательным,
если мы хотим поверить тому, что результаты проявляются в виде нелинейных
эффектов, когда корреляции растут достаточно быстро. На языке механики
жидкости речь идет о режиме ниже критического.)
Самый простой метод получения результатов состоит в том, чтобы при-
применить равновесные методы Ландау и Лифшица и обобщить их на неравно-
неравновесный случай. Оправдание этого подхода изложено выше в кинетических ме-
методах. Ниже мы приводим описание Ландау и Лифшица.
Пусть й{ — отклонения термодинамических переменных от их равновесных
значений. (В рассматриваемом случае — это плотность, скорости электронов
и ионов и температура.) Для малых отклонений релаксацию этих величин до
их равновесных значений запишем с помощью линейных соотношений:
dat/dt = — Xijuj. B30)
Скорость генерации энтропии в плазме можно представить в виде аг-:
' dS/dt = $ijajai9 B31)
где
$и = dzS/datdcij. B32)
328
Если определить силы Ьи соответствующие потокам аи
Ьг = fojaj, B33)
то можно переписать соотношение переноса B30) в виде
dat/dt = -yikbk, B34)
где
mPfti = hi* B35)
а
dS/dt = (daildt)bi. B36)
Это позволяет сформулировать результаты теории Ланжевена в ее простейшей
форме. В теории Ланжевена флуктуирующие величины аг рассматриваются
как результат воздействия случайных сил, поэтому
сг. B37)
Покажем теперь, что, если выберем случайные силы, при которых корреляции
будут иметь следующий вид:
<Ci (to) cj @> = (Т« + Уii) «(t - <о) • B38)
то уравнения Ланжевена B37) при этом будут эквивалентны описанию Он-
сагера
4г <*' ('°> а\ <'•> > + hh to V.) ч W) = о; / > t0 B39)
с требуемыми начальными условиями
<«!<*.)«/«.»¦=» К}1. B40>
что эквивалентно
<ai(t0)bj(t0)) = 8ij. B41)
Определяя требуемые <с/С/>, получаем:
(ci (to) c} (t)) = (tikSf + **) (дИ W +
hk) ( "" *^ "W7 + */') <л* (^о) ^ ^ ) Я (^o - 0 • B42)
Используя B39) и микроскопическую обратимость для достаточно малых вре-
времен |^—fob находим, что B42) равно B42а):
{ат (t0) Ъ (t)) Н (t0 -1), B42а)
и далее, используя B39), переставим временные аргументы
(8|Лт + U/e) <«т (« «в ('о)> б Со ~ 0 = (Y«i + Tjf) « (/ - /0). B426)
Мы учли, что р симметрично.
Основным результатом теории Ланжевена является то, что корреляции
случайных сил даются с помощью коэффициентов переноса y»j, которые свя-
связывают потоки а* с сопряженными силами bj.
В [19, 20] показано, что матрица уц симметрична или антисимметрична в
зависимости от свойств ai и а} по отношению к обращению времени, причем
она симметрична, если аг и aj ведут себя одинаково при обращении. Это го-
говорит о том, что случайные силы, которые меняются на противоположные при
329
обращении времени, не скоррелированы со случайными силами, которые нап-
направления не меняют. Важно отметить, что соотношение B39) является инва-
инвариантом при линейных преобразованиях ait в то время как аг не инвариантно
(на пг наложено единственное требование: at — набор термодинамических пере-
переменных для системы).
Чтобы применить этот метод для двухкомпонентной плазмы, определим
сначала подходящий набор термодинамических переменных. Рост энтропии за-
запишем в виде [53]
dS / о 1 1 \ . , 0 , . /О/1ОЧ
-тг" + v ( Seneue + о/П/U/ + -or- qe -f- -jT- qt- ) = Ье + 9/ + bei\ (z4«3)
TeBe = - qeV In Te - Ru - 4~ «e*tweai; B44>
Tfii = - q/v In Г, - -j" */«P^«p; B45)
где S = Sene+Sini — плотность энтропии плазмы на единицу объема; Se и
Si являются энтропией, приходящейся на каждый электрон и ион соответст-
соответственно:
Se.t^-Y 1П Г«. l — lnne.l- B47)
Таким образом, подходящими потоками являются qe, q^, R, Пе ар и Пг-ар,
им соответствуют силы
l \w^jTe, \wmlTb A/Tt-UT.).
Уравнения B19) — B24) и B26) связывают потоки и силы через коэффициен-
коэффициенты переноса. Теперь можно написать корреляции случайных тепловых потоков
и напряжений, используя уравнение B426), обобщенное до непрерывной си-
системы [18]
<8qe(x, 0«qe(x\ t')) = .
= »{х-х') 8(t -1') 2T2e [xиьЪ+ ХХе U—'bb]I B48)
<8q*(x, t)8qt(x', <')> =
= б» (x - x') 6 (/ - f) 27* [X „ fbl + %±i (Т-Тб)]; B49)
<6R(x, tNR(x', O>=63(x — x') б (г? — t'JTe[aJib'b + a_L(t— b"b)]; B50)
<6R(x, O4.<(*'. O> = 0; B51)
[4 ъ (&«6j - 4- <ч) (&^&v - 4-
^+4 «4 &,x ьч+4 «it». )
-ч.(»г!-Ль» + ^6«6и)]- B52>
330
Если мы запишем бП^р в виде пяти независимых симметричных тензоров со
следом Еоф=0 [как 1F ар в B27)]
4
ШëР= 2 5IVW B53)
Р=о
то найдем
<бП? (х, О бП^' (х', 0> = 2Ггбз (Х - х') б (t - Г) брЛг' 4j ПРИ Р* Я < 2
B54)
или /?, <7=0 в других случаях.
Компоненты напряжений р, q>3 не содержат диссипации, так же как qA
и Ra, поэтому соответствующие коэффициенты переноса т]з,4, ОС а, «л не появ-
появляются в приведенных выше корреляциях.
И, наконец, корреляция случайного межкомпонентного теплового потока
имеет вид:
<6QA (х, t) 6QA (х', /')> = 2W» (x - x') б (f - Г). B55)
Очевидной трудностью является то, что силы VTe, УГ* и [(\JTe)— AД\)] не
являются полностью независимыми в том смысле, что, задавая градиенты
V7V, VTi везде, а Ге и Т{ в определенной точке (месте), можно найти
[A/Ге) — (l/7"i)i везде. Это может заставить подумать, что, возможно, имеется
корреляции между dQ, 6qe и 6qr\ Анализ показывает, что случайные тепловые
потоки не являются одинаково определимыми, но являются неопределенными в
пределах следующих преобразований:
B56)
Это сохраняет инвариантным количество тепла, приходящего и уходящего от
любого малого объема плазмы. Значит, можно выбрать 6qe и dq* так, чтобы
корреляции были такими, как это следует из уравнений B48), B49) и B55).,
и выбирались с учетом микроскопических механизмов передачи тепла.
Просуммируем результаты подхода Ланжевена: мы показали, что флук-
флуктуирующие гидродинамические переменные удовлетворяют плазменным гид-
гидродинамическим уравнениям, линеаризованным вблизи режима потока, созда-
создаваемого за счет случайных напряжений и тепловых потоков, чьи корреляции
известны в функции коэффициентов переноса плазмы. Эти результаты внуша-
внушают доверие, потому что, во-первых, следовало бы ожидать, что любое возму-
возмущение в заданном потоковом режиме удовлетворяет уравнениям, линеаризо-
линеаризованным вблизи этого режима, и, во-вторых, корреляции движущих напряже-
напряжений и тепловых потоков при полном тепловом равновесии являются локаль-
локальными и микроскопическими по своему происхождению, поэтому можно наде-
надеяться, что они в основном такие же при наличии локального термодинамичес-
термодинамического равновесия.
В заключение мы выражаем свою глубокую признательность миссис Бар-
Барбаре Саффати за помощь в подготовке и напечатании этой рукописи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rostoker N. — Nucl. Fusion, 1961, vol. 1, p. 101.
2. Dupree T. — Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 1714.
3. Климович Ю. Л., Силин В. П. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1962,
т. 42, с. 286.
4. Williams E. Dissertation. Prinston University, 1973.
331
5. Krommes J., Oberman C —J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 193.
6. Krommes J., Oberman C. — J. Plasma Phys., 1976, vol. 16, p. 229.
7. Krommes J. —Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 649.
8. Born M., Green H. A General Kinetic Theory of Liquids. Cambridge Univ.
Press 1949.
9! Green H. The Molecular Theory of Fluids. N.Y.: Interscience, 1952.
10. Bogoliubov N. Problems of a Dynamical Theory in Statistical Mecha-
Mechanics.—In: Studies in Statistical Mechanics. North Holland, 1962, vol. 1.
11. Kirkwood J. —J. Chem. Phys., 1946, vol. 14, p. 180.
12. Kirkwood J. — J. Chem. Phys., 1947, vol. 15, p. 72.
13. Yoon J. La theorie des Auides et Tequation d'etat actualities et indust-
rielles. Paris: Herman et Cie, 1935.
14. Климонтович Ю. Л. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1957, т. 33.
15. Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика: Пер. с англ
М.: Изд-во иностр. лит., 1952.
16. Климонтович Ю. Л. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1959, т. 37, с. 735.
17. Bowles К. —Phys. Rev. Lett., 1958, vol. 1, p. 454.
18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физяка. Т. 5. Статистиче-
Статистическая физика. М.: Физматгиз, 1964.
19. Onsager L. —Phys. Rev., 1931, vol. 37, p. 405.
20. Onsager L.— Phys. Rev., 1931, vol. 38, p. 2265.
21. Frieman E. —J. Math. Phys., 1963, vol. 4, p. 410.
22. Sandri G.— Ann. Phys., 1963, vol. 24, p. 332.
23. Balescu R. — Phys. Fluids, 1960, vol. 3, p. 52.
24. Guernsey R. Dissertation, University of Michigan, 1960.
25. Lenard A. — Amer. Phys., 1960, vol. 10, p. 390.
26. Callen H., Welton Т. —Phys. Rev., 1951, vol. 83, p. 834.
27. Callen H., Welton Т. —Phys. Rev., 1952, vol. «6, p. 702.
28. Kubo R. —J. Phys. Soc. of Japan, 1957, vol. 12, p. 570.
29. Kubo R. —J. Phys. Soc. of Japan, 1957, vol. 12, p. 1203.
30. Ситенко А. Г. Электромагнитные флуктуации в плазме. Харьков: Изд-во
ХГУ, 1965.
31. Oberman С, Shure F. —Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 834.
32. Джексон Дж. Классическая электродинамика: Пер. с англ. М.: Мир,
1965.
33. Rosenbluth M., Rostoker N.— Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 776.
34. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме: Пер. с англ. М.: Мир,
1971.
35. Evans J., Loewanthal М. — Planetary Space Sci., 1964, vol. 12, p. 915.
36. Perkins F., Salpeter E., Yugvesson K. — Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 14,
p. 579.
37. Valeo E., Oberman C, Perkins F. —Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 340.
38. Drake J. e.a. —Phys. Fluids,* 1974, vol. 17, p. 778.
39. Rostoker N. —Phys. Fluids, 1964, vol. 7, p. 491.
40. Perkins F., Oberman C, Valeo E. —J. Geophys. Res., 1974, vol. 19, p. 1478.
41. Kent A., Taylor J. —Phys. Fluids, 1969, vol. 12, p. 209.
42. Baldwin D., Callen J. —Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 1686.
43. Nevins W., Chen L. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23, p. 10.
44. Dawson J., Oberman C —Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 517.
45. Oberman C, Ron A., Dawson J. —Phys. Fluids, 1962, vol. 5, p. 1514.
46. Coste J. —Nucl. Fusion, 1965, vol. 5, p. 284.
47. Drummond W., Pines D. —Nucl. Fusion Sup., 1962, vol. 3, p. 1049.
48. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. —Ядерный синтез, 1961,
т 1, с. 82.
49. Rogister A., Oberman С —J. Plasma Phys., 1968, vol. 2, p. 33.
50. Rogister A., Oberman C —J. Plasma Phys., 1969, vol. 3, p. 119.
51. Montgomery D., Tidman D. Plasma Kinetic Theory. N.Y.: McGraw-Hill,
1964.
52. Hinton F, —Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 857.
53. Брагинский С. И. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 1. М.: Госатом-
издат, 1963.
332
54. Onsager L., Machlup S. —Phys. Rev., 1953, vol. 91, p. 1505.
55. Bixon M., Zwanzig R.— Phys. Rev., 1969, vol. 187, p. 267.
56. Fox R., Uhlenbeck G. —Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 1893.
57. Fox R., Uhlenbeck G.— Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 2881.
58. Dougherty J., Farley D. Т. —Proc. Roy. Soc. A, 1960, vol. A259, p. 79.
59. Gordon W. E. —Proc. IRE, 1958, vol. 46, p. 1824.
60. Salpeter E. E.— Phys. Rev., 1960, vol. 120, p. 1528.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ТРАНСФОРМАЦИЯ ВОЛН
В НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ1
Т. СТИКС, Д. СВАНСОН
ВВЕДЕНИЕ
В плазме, помещенной в магнитное поле, на данной частоте,
как правило, могут существовать два или более типа волн, поля-
поляризация электрического поля в которых часто примерно одина-
одинакова. Для большинства наборов плазменных параметров волно-
волновые числа этих мод будут сильно различаться, но может случить-
случиться и так, что при некотором критическом наборе параметров вол-
волновые числа совпадут. Если рассмотреть волну, распространяю-
распространяющуюся в неоднородной плазме по направлению к области, где
локальные параметры плазмы соответствуют такому совпадению
волновых чисел, то возникает вопрос, будет ли падающая волна
отражаться, преломляться, оставаясь той же по типу, поглотится,
трансформируется в моду, являющуюся дополнительной к ней,
или подвергнется определенной комбинации этих воздействий.
Именно к этому вопросу и обращается теория трансформации
волн.
Типичной для трансформации волн является ситуация, когда
kx(x)—волновой вектор в направлении неоднородности, рассчи-
рассчитанный по локальным параметрам с помощью теории холодной
однородной плазмы, расходится при некотором x=xq. Условие
?2->-оо называется резонансом: известные плазменные резонансы
включают ионно- и электронно-циклотронные резонансы, верхне-
и нижнегибридные, двухионные гибридные и алывеновские резо-
резонансы. Читатели, знакомые с высокочастотным нагревом неодно-
неоднородной плазмы, знают, что именно -вблизи этих резонансов можно
обычно ожидать поглощения высокочастотной мощности. Таким
1 Пер. с англ. Е. Н. Кручины.
333
образом, существует тесная связь между трансформацией и по-
поглощением волн, и именно по этой причине физики, изучающие
высокочастотный нагрев, потратили так много усилий на изучение
процессов трансформации волн.
Обычно распространение волн через слабонеоднородную среду
можно анализировать методами геометрической оштики. Как по-
показано ниже, эта методика позволяет изучать траекторию волны,
•изменение ее амплитуды в пространстве и во времени, сохранение
энергии ,и другие 'волно!вые характеристики. Как известно, (В осно-
основе метода геометрической оптики лежат предположения о том, что
относительные изменения длины волны на характерном простран-
пространственном масштабе и частоты за характерное время изменения
неоднородности должны быть малы. Обычно справедливость та-
таких предположений гарантируется сделанным выше предостере-
предостережением, а именно требованием слабой неоднородности среды.
Однако при распространении волн в плазме происходят опреде-
определенные явления (параметры которых чувствительны, например,
к пе или So), вызывающие значительное изменение длины волны
на малом отрезке при том, что плотность плазмы или напряжен-
напряженность внешнего магнитного поля претерпевают на этом же прост-
пространственном интервале весьма умеренные изменения. Здесь про-
прослеживается аналогия с квантовомеханическим описанием движе-
движения электрона в постоянном электрическом поле. В некоторой
точке малое изменение электростатического потенциала умень-
уменьшает кинетическую энергию электрона до нуля, и волновой вектор
электронной волновой функции в этой критической точке иа
действительного становится мнимым. Как и в квантовой меха-
механике, плазменную волну с обеих сторон критического слоя можно
описать в, ВКБ-приближении, но сшивка асимптотических реше-
решений непосредственно у критического слоя требует особого рассмот-
рассмотрения.
¦ Анализ движения электрона имеет точную аналогию в теории
плазмы — плазменные волны, распространяющиеся к точке от-
отсечки, т.е. к точке, где волновой вектор обращается в нуль. Про-
Проиллюстрируем это на примере обычной электромагнитной волны
?2^2 = g>2-cdV, ¦• A)
распространяющейся в слабонеодноррдной плазме (о2=|(о2ре(#) по*
направлению к критическому слою. Нужно решить соответствую-
соответствующее волновое уравнение
Анализ этой задачи можно найти во многих работах по кванто-
квантовой механике.
Более интересным, чем случай отсечки, является случай ре-
резонанса плазменных волн, когда в некотором приближении
&2->оо. В теории холодной плазмы несколько таких примеров дают
гибридные резонансы. Если внешнее магнитное поле направлена
334
по оси z, то уравнение для волн в холодной плазме
С1 'И т. п.) имеет вид:
/ s —ю о\
= Ш S 0 ;
\ О О Р )
l~~
где 5 — тип частиц (уравнение остается справедливым и в том
случае, когда в плазме присутствует несколько сорггав ионо)в),
a qs — заряд частицы с учетом его знака.
Дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся в
однородной среде, можно получить, приравнивая нулю детерми-
детерминант системы алгебраических уравнений, получающихся из вол-
волнового уравнения ib приближении геометрической оптики:
y=RL+PS — Рп\ —
6 = P(R—n\)(L — n*z);
п=кс/(х>, k=xkx-\-zkz; D)
а гибридные резонансы в холодной плазме (п2х->~оо) определяются
просто равенством S=0, которое удовлетворяется при
(верхнегибрвдный резонанс); E)
(нижнегибридный резонанс); F)
ш2.у W(oCi.(Dc/—^ (ион-ионный гибридный резонанс] в пре-
пределе высокой плотности), G)
где в третьем случае в плазме присутствуют различные сорта
ионов с относительными концентрациями х{ и х,-.
Физический механизм гибридных резонанеов — это результат
действия двух эффектов: коллективной осцилляции и нейтрали-
нейтрализации пространственных зарядов. Слой электронов, колеблю-
колеблющихся на нейтрализованном квазистационарном фоне, создает
собственное электрическое поле (по закону Гаусса). Естественная
частота колебаний под действием электрического поля Е первого
335
порядка и внешнего магнитного поля Во нулевого порядка — это-
верхнегибридная частота. С другой стороны, при высокой плот-
плотности плазмы ион-ионная гибридная частота определяется в ос-
основном частотой колебаний двух ионных облаков, которые осцил-
осциллируют в противофазе с такой амплитудой, при которой полный
ионный пространственный заряд компенсируется. Нижн-егибрид-
ная частота — это проявление обоих этих эффектов, причем вто-
второй член в правой части F) описывает пространственную ком-
компенсацию зарядов электронных и .ионных облаков.
Учет конечной температуры не только изменяет природу про-
простых ленгмюровских колебаний (оJ='(о2Ре), но и модифицирует
гибридные резонансы, в частности устраняет расходимости п2х.
Но если поправка Бома—Гросса [(о2=02РеA+3&2&7У^е(о2+-.-)]
к дисперсионному соотношению Ленгмюра—Танке а приводит толь-
только к сдвигу частоты, то соответствующее изменение гибридных
колебаний более эффектно — появляются новые типы волн, так
называемые моды Бернштейна. В этих модах важную роль играет
внешнее -магнитное поле; среди его функций — ликвидация дви-
движения свободных электронов поперек Во и затухания Ландау, ко-
которое раньше имело место при больших kx.
Таким образом, оказывается, что в плазме с магнитным полем
на данной частоте могут существовать по крайней мере два типа
волн, и при некотором критическом наборе параметров возможно»
совпадение волновых чисел этих колебаний. С точки зрения длин-
длинноволновой моды в таком слое имеет место резонанс (А2*-*-00),
тогда как дисперсионное соотношение для коротковолновой моды
описывает это совпадение как отсечку (&2*->0). Это видно и&
того, что, например, учет в наинизшем порядке членов, связанных
с конечностью ларморовского радиуса, приводит к поправкам
в дисперсионном соотношении для холодной плазмы. Это соотно-
соотношение принимает вид:
ал6*— §п\+уп\ - S=0, (8>
и если пренебречь вкладом от члена б, приближенные решения
© области Р2»|4ау| будут п2хжу/$ для длинноволновой и
я2«»Р/а для коротковолновой мод. Трансформация происходит в.
области, где р=р(д;)-Я) и п2х^±(—у/аI/2.
Если рассмотреть волну, которая распространяется в неодно-
неоднородной плазме и приближается к этой области, то возникает во-
вопрос: будет ли она отражаться, преломляться, оставаясь той же
по типу, затух*ать или же превратится в другую моду. С матема-
математической точки зрения первым шагом в анализе трансформации1
является сведение физической задачи к обыкновенному линейно-
линейному дифференциальному уравнению, например к такому:
где ,р(л;)->0 при х->-0. З.атем нужно найти коэффициенты, позво-
позволяющие сшить асимптотические разложения для больших ±|х|.
336
Ниже -мы весьма детально исследуем характерные ситуации, в
которых оказывается важной трансформация волн; за этим после-
последует анализ модельных ура.внений трансформации для несколь-
нескольких типов у(х).
1. ГИБРИДНЫЙ РЕЗОНАНС
При рассмотрении дисперсионного уравнения D) для холод-
холодной однородной плазмы отмечалось, что в пределе /zV-^-oo эта
уравнение удовлетворяется при 8^=5 = 0; в свою очередь, усло-
условию S = 0 удовлетворяют три гибридных резонанса, перечислен-
перечисленных в соотношениях E) — G). Учет эффектов, связанных с конеч-
конечностью величины лар.моровского радиуса, приводит к появлению*
пространственной дисперсии: г=г(Хи К), Аде
Сравнение уравнений D) и (8) показывает, что при малых К
основной вклад
а~- Y lim ^J^-.^ .,,(*,, Хе). A1>
Кроме того, дисперсионное уравнение для волн в горячей плаз-
плазме, которое при Р2»|4ау| имеет вид я2х^р/а, можно также
записать в форме, аналогичной уравнению Бома—Гросса:
где суммирование идет по сортам частиц, присутствующих в плаз-
плазме с относительными концентрациями xs, а индекс Н может отно-
относиться к любому 'из трех гибридных резонансов E) — G). Здесь
yHs зависит от частоты и параметров задачи. Температурная по-
поправка к верхнепибрадной частоте определяется в основном элек-
электронным вкладом, к ион-ионной гибридной — вкладом ионов, а
поправку к частоте нижнегибридной моды дают как ионы, так
и электроны.
Температурные эффекты, о которых шла речь в предыдущем
абзаце, являются поправками первого порядка по Xi и Хе к гиб-
гибридным резонансам холодной плазмы. Полное дисперсионное ypaiB-
нение в потенциальном приближении, справедливое во всех по-
порядках по ^ и Хе, получится, если взять дивергенцию уравнения
C) и использовать равенство Е =—Vcp—>—ikcp:
k-e-k=0. A3)
Если kyttO и &z~0, то A3) сводится просто к равенству 8ОСЖ=0.
Вычисление е** из уравнения Власова для случая kz=Q дает:
ззг
где
00
a(Q, Я) = 2 ? е-Ч(Я) -^г, A5)
что равно:
Q2__12 +(Q2__]2) (Q2_22) "^(Q2—I2) (Q2 —22) (Q2--32) +•••
Здесь Qs=i(o/cocs, /n(A,)—модифицированные функции Бесселя.
Доказательство разложения A6), предложенного Стиксом [1],
было дано Шмиттом [2]. Для получения уравнений E) — G) в A6)
достаточно учесть только первый член; второй член A6) дает
тепловую поправку в A2).
Есди % велика, а WcdCs 'близко к целому числу, например /,
то в сумме A5) доминирует один резонансный член, что приводит
к приближенному дисперсионному соотношению для очень корот-
коротковолновой ионной моды (X=Xi):
A7)
и аналогичному соотношению для электронов, в котором индекс
i заменен на е. Поскольку ю>2рг- изменяется с .плотностью линейно,
максимум npaiBofi части A7) будет определять минимальную плот-
плотность, при «которой :волна с со~/сос еще может распространяться.
Максимум величины ив квадратных скобках достигается при
AS^//i(A)//i(^) = l + (lA). Если заметить, что S удовлетворяет
дифференциальному уравнению первого порядка: 5/+52+5Д=
= 14-(я/ЯJ, то нетрудно рассчитать коэффициенты асимптотиче-
асимптотического разложения S=l+^i^~1+^2^"+--- и в результате этого
показать, что -величина в квадратных скобках A7) достигает мак-
максимума (примерно 0,463) при
Я=/з/3+1/6+5//2+... A8)
Используя эти приближения в частных случаях дисперсионных
соотношений в длинноволновой области [уравнение D)], области
промежуточных длин волн [три наибольших члена в левой части
(8), а также A1)] и коротковолновой области [уравнения A3) —
A7)], можно изобразить составные кривые, которые в смысле
ВКБ показывают поведение волны, распространяющейся в неод-
неоднородной плазме. Рисунок 1 является наброском такого рода для
случая распространения волны вблизи частоты верхнегибридных
колебаний, а рис. 2 относится к нижнегибридному случаю. При
построении рис. 2 предполагалось, что дисперсионное уравнение
для холодной плазмы предсказывает существование волновых
решений во всем диапазоне частот — от низкочастотной отсечки
при 1со2=со2Ре до области нижнешбридного резонанса при co2=co2LH.
Условие существования такого интервала частот (условие Стик-
338
Плотность О
Плотность
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 1. Зависимость квадрата показателя преломления от плотности. Частота
считается заданной и равной гибридной частоте при значении плотности, пока-
показанном на рисунке. Для неоднородной плазмы с линейным профилем плотности
абсцисса пропорциональна расстоянию. Штриховыми линиями показана экстра-
экстраполяция приближенных дисперсионных уравнений за области, где они верны.
QT—X означает квазипоперечную необыкновенную волну. Считается, что k ц
равен нулю или мал. Выпуклость вправо вверху рисунка 'соответствует макси-
максимуму правой части A7), который имеет место при выполнении условия A8):
1 — электронная плазменная волна в приближении теплой плазмы; 2 — квазйпоперечная не-
необыкновенная волна в приближении холодной плазмы; 3 — мода Бернштейна (u=m&ce —6;.
4.— мода Бернштейна (д=т<йсе +6; 5 — отсечка левополяризованной моды; 6 — отсечка пра-
вополяризованной моды; 7 — плотность, соответствующая частоте верхнегибридных коле-
колебаний
Рис. 2. То же,, что и на рис. 1, но с соблюдением условия, позволяющего достичь
область нижнегибридного резонанса [см. A9)]:
/ — ионная плазменная волна в приближении теплой плазмы; 2 — электромагнитная мода-,
в горячей плазме, со=тсос.—б; 3 — электромагнитная мода в горячей плазме, оо=
=/псое.+б; 4 — электромагнитная волна в холодной плазме; 5 — электромагнитная1.
волна; 6 — плотность, соответствующая частоте нижнегибридных колебаний
са—Голанта) имеет вид:
Рисунки 1 и 2, основанные на дисперсионных соотношениях для
однородной плазмы, имеют фундаментальное значение для пони-
понимания явлений, связанных с трансформацией волн. Они показы-
показывают, что энергия очень коротгаволновых мод в процессе рас-
распространения вниз вдоль траекторий типа изображенных на-
рис. 1 и 2 может постепенно перекачиваться в область больших
длин волн. Именно этот процесс трансформации волн был, на-
например, предложен Стиксом для объяснения наблюдавшегося
Ландауером [3] излучения из области отражательного разряда,
спектр которого имел пики на высоких гармониках электронной
циклотронной частоты. Каннобио и Крочи [4] предположили, что
такой спектр может быть результатом возбуждения электронных
бернштейновских мод надтепловым'И электронами. Короткие вол-
волны могут затем распространяться внутрь по направлению к об-
области верхнегабридного резонанса, отражаться от этой области
33&
б превращаться в другие типы волн, а затем туннелировать нару-
наружу за область отсечки правополяризованной моды и достигать
регистрирующей аппаратуры уже в виде квазипоперечных необык-
необыкновенных волн.
Роль теории трансформации как раз заключается в опреде-
определении эффективности таких превращений энергии или, более точ-
точно, is вычислении коэффициентов прохождения, отражения и по-
поглощения на разных стадиях процесса трансформации.
2. АЛЬВЕНОВСКИЙ РЕЗОНАНС
В однородной плазме с магнитным полем существуют .два типа
низкочастотных электромагнитных волн, а именно альвеновск-ие
и магнитозвуковые волны. Если B0 = z50, их дисперсионные соот-
соотношения есть соответственно
k2zc2/co2=l+4npc2/B20; B0)
B2o. B1)
Дисперсионное уравнение B0) для альвенавских (волн не зависит
от k±, и, .кроме того, их групповая скорость направлена точно
вдоль Во. Энергия волн этого типа не распространяется поперек
Во, и можно себе представить, что волновое движение шо каждой
силовой линии идет вдоль Во независимо от волн на соседни-х
силовых линиях. Именно это сильное вырождение и лежит в ос-
основе альвеновского резонанса. Это вырождение устраняется це-
целым рядом эффектов, в том числе градиентами плотности; такой
случай весьма детально исследован в оригинальных работах
Татарониса и Гроссмана и Чена и Хасегавы. Авторы перечислен-
перечисленных работ показал.и, что дифференциальное уравнение, описываю-
описывающее распространение МГД-волн в неоднородной плазме, стано-
становится в точке альвеновского резонанса сингулярным. В МГД-тео-
рии энергия волны поглощается в резонансном слое вследствие
фазового размешивания, и спектр .колебаний ограниченной плаз-
плазмы, содержащей такой слой, будет не дискретным, а непрерывным.
Учет дополнительных физических эффектов, связанных с конеч-
конечностью ларморовского радиуса или массы электрона, устраняет
математическую сингулярность в точке альвеновокого резонанса,
однако повышает порядок дифференциального уравнения со вто-
второго до четвертого или даже выше, так что появляются новые
решения, которые описывают коротковолновые моды. Анализ в
рамках теории трансформации показывает, что энергия волны,
которая, 'как считалось в МГД-теории, поглощается при альвенов-
<жом резонансе, на самом деле -переходит в эти новые коротковол-
коротковолновые моды. Соответствующее дисперсионное соотношение для
однородной среды — это уравнение D), модифицированное с уче-
учетом наиболее важной поправки на конечность ионного ларморов-
ларморовского радиуса. Точнее, элементы тензора диэлектрической прони-
проницаемости, обозначенные в D) как S, D ,и Р, нужно изменить по
340
-образцу
где K=Ki определяется A0). Если записать
B2)
B3)
то ясно, что поправка оз наинизшем порядке по ларморовсшму
радиусу ж 5 в коэффициенте у [см. D)] проявляется как поправка
к коэффициенту при п4х:
о
V-+S-P
/И/С*
— о>2
B4)
где $г=8лпгкТ{/В\ а о) не слишком близка к Q)ci или 2со«-. В диа-
диапазоне низких частот o)<Ccoci выражение в квадратных скобках
меняет знак при $i=8Zme/3mi. Таясим образом, при малых pt-
f$>0; соответствующее решение D) с поправкой на конечный
лар,моро1вский радиус представлено на рис. 3; при fh>8Zme/3mi
ситуация соответств(ует рис. 4. В случае малых рг- коротковолно-
коротковолновая мода является, очевидно, поверхностной волной, тогда как
при больших рг- та же мода может распространяться от критиче-
критического слоя в область большей плотности плазмы.
Конечная электронная температура точно так же, как и
ионная, изменяет поведение холодной плазмы (см. рис. 3) на по-
поведение теплой плазмы (см. рис. 4), однако причина в этом слу-
случае совершенно иная. Это можно видеть из D): величина б и
главные члены в у -пропорциональны Р=ггг- Если электронная
температура настолько велика, что 2kTe/me>(d2/\k2Zy то знак дей-
Рис. 3. Дисперсионная кривая аль-
веновских волн в холодной плазме
0?>0, уравнение B4)]. Приведена
зависимость квадрата показателя
преломления от электронной плотно-
плотности [21]:
1 — поверхностная волна: 2 — быстрая
волна
iS в(
Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для
теплой плазмы [g<0, уравнение B4)]
/ — медленная волна; 2 — быстрая волна
341
ствительной части e2Z меняется с минуса на плюс. Это все равно,,
что (в дисперсионном соотношении D) поменять знак р. Условие-
перехода от холодной плазмы к горячей вблизи альвеновского
резонанса, где n2z=S, -имеет -вид: S= (k2zc2/(u2)cr=mec2/2kTe. При:
о)<Со)сг это значит, что переход наступает при pe^Zme/m{.
Дисперсионные кривые на рис. 3 и 4 построены согласно D),
модифицированному с учетом конечного ларморовского радиуса
и справедливому в однородной плазме. В этом случае вырожде-
вырождение алывеновской моды снимается не неоднородностью плазмы,
а эффектами, связанными с конечной величиной со/(осг-, что при-
приводит к неравенству ДфЬ в системе C). В пределе малых п\
приближенное дисперсионное соотношение имеет вид п2хж8/уу или
„г
который предска!зывает альвеновский резонанс я2*-^00 при я2г=5.
Однако, как отмечалось выше, эффекты, связанные с конечностью
те и ларморовского радиуса, перестраивают эту математическую-
особенность (сингулярность) и приводят к появлению коротко-
коротковолновых мод [я2а^у/Р, см. D)], которые и показаны на рис. 3:
и 4 при больших п\.
Уравнение B5) указывает на существование двух отсечекг
при n2z=R и /z22=L (соответственно отсечки право- и лавотголя-
ризованных мод); обе отсечки видны на рис. 3 и 4.
Как будет видно, математические выкладки при анализе про-
процесса трансформации сильно упрощаются пр-и |L|^>|/?|, когда
верхняя граничная частота удаляется от дублета, состоящего из:
близких частот отсечки лавополяризованной йоды и - альвеновско-
альвеновского резонанса. Однако неравенство |L|^>|i?| относится толыко-
к случаю о)^сосг-, а в классическом альвеновоком режиме, т.'е^ пр,^
со«СсоСг, R=S-{-Dy L—S—D, \D\<CS, что приводит к образованию^
тесного триплета отсечка—резонанс—отсечка. Как отмечалось ра-
ранее, альвеновское вырождение снимается многими эффектами, и
в случае co^CcoL ^'асщепление из-за конечного отношения <о/сос|;
(см. рис. 3 и 4)- ^ожет быть количественно согласовано с величи-
величиной эффектов, Связанньщ с градиентами плотности, изменениями:
величины и направления! Во, а также цилиндричеокой или торо-
тороидальной геометрией системы. Для иллюстрации способа, кото-
которым выводится золновое уравнение, описывающее трансформацию*
волн в довольнр сложной ситуации, рассмотрим более детально
классический алывеновский случай.
3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ПРОМЕЖУТОЧНОМ ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ
Приведем здесь вывод уравнения для электромагнитных волн„
применимого в промежуточном диапазоне частот, т. е. для частот,
которые в 5—10 раз больше или меньше ионно-циклотронной ча-
342
стоты. Вначале используем теорию холодной плазмы с те=0,
чтобы ввести эффекты, -связанные с: а) конечным <о/соСг; б) гра-
градиентом плотности, щ=по(х); в) градиентом магнитного поля,
Во=Во(х); г) широм, В0=В0(а:); д) возможным присутствием
ионов нескольких сортов. Затем можно использовать аргументы,
которые привели к уравнению B4), и ввести главные члены с
производными четвертого порядка из-за: е) конечности электрон-
электронной массы и ж) конечности ионного ларморовского радиуса, вклю-
включая случай Т{=Т{(х). Несмотря на то что этот список весьма
представителен, в нем все же отсутствуют другие эффекты, кото-
которые могут играть заметную роль в плазменных экспериментах.
Сюда относятся: з) цилиндрическая или и) тороидальная геомет-
геометрия; к) случай Bo-V?o=7^O; л) конечное электронное давление;
м) циклотронное затухание на ионах и н) затухание Ландау на
электронах.
Рассмотрим вкратце эти вопросы. Цилиндрическая геометрия
вносит собственную сингулярность при г=0 и менее существенные
изменения коэффициентов волнового уравнения. Тороидальная
геометрия, кроме того, вносит связь между модами с разными
полоидальными волновыми числами, причем эффективность такой
связи ведет себя как (r/R)j. Величина /, к сожалению, введена
весьма искусственным путем и не отражает адекватно реальных
конфигураций термоядерных систем, таких как токамаки и ло-
ловушки с магнитными пробками; для строгого учета реальных кон-
конфигураций надо решать двух- или трехмерное волновое урав-
уравнение.
В связи с уравнением B4) мы уже обсуждали один из эффек-
эффектов, связанных с учетом конечного электронного давления. Дру-
Другой эффект — появление ионно-звуковых и дрейфовых волн. Обыч-
Обычно эти электростатические низкочастотные медленные волны мо-
могут взаимодействовать с рассматриваемыми здесь волнами про-
промежуточного диапазона частот лишь в крайне специфических
условиях. Наконец, п. м) и н) касаются эффектов затухания, ко-
которые обсуждаются ниже.
Возвращаясь к точному выводу дисперсионного уравнения с
учетом эффектов, указанных в пп. а)— д), выберем B0=?q(*)X
X [у sin гр + z* cos гр]; г|? = г|)(х) и используем в этой простейшей гео-
геометрии C). Тензор диэлектрической проницаемости е нужно
привязать к местному толю Во. Для этого введем единичные век-
векторы х, Ь = Во/Во и р=ЬХх так, чтобы
z= —psin\|) + bcosi|), B6)
и определим ?х = х-Е; Е±=р-Е.
(В тороидальной системе координат z будет направлен по оси
тора, х—в направлении малого радиуса, а у — в полоидальном
направлении. Единичный^вектор р* перпендикулярен х и направ-
направлению магнитного поля Ь). В плоской геометрии поля в первом
343
числа физических эффектов может сделать получающееся в ре-
зультате уравнение весьма громоздким. Для аналитического рас-
рассмотрения требуются поэтому упрощенные уравнения, которые
моделируют резонансы и отсечки. Основное модельное уравнение,
которое мы назовем стандартным уравнением, аналогично па
форме уравнению (9), точнее,
" Ъ""+к2г$"+<№=0, ' C4)
где Y=const, параметр подобия X=const>0, a z — независимая
переменная.
При действительных Я2, г и у Для стандартного уравнения су-
существует закон сохранения, аналогичный закону сохранения Рх
для C1). Уравнение C4) сохраняет величину
р=г|/"г|/'* _ у^'у* — к. с. C5)
Сохранение Р легко доказать, если взять dP/dz и выразить *§""
из C4). Следует помнить, что стандартное уравнение C4) и урав-
уравнение туннелирования D7) только моделируют реальные про-
процессы трансформации. Поведение величины, определяемой из C5)
или D8), такое же, како-е ожидается для потока энергии волны.
Однако (в случае горячей плазмы реальный поток энергии волны
складывается из потока, связанного с вектором Пойнтинга, я
потока энергии акустических колебаний, пропорционального
д(Е*-е*Е)/Ок + к.с. Для построения более точных волновых урав-
уравнений, которые сохраняют реальный поток энергии, надо вводить
нечетные производные -ф и члены, связанные с градиентами плот-
плотности ([5], а также неопубликованная работа Овансона).
Возвращаясь к анализу C4), рассмотрим большие величины
|. Запишем четыре асимптотических решения этого уравнения:
Вспоминая об опущенной здесь временной зависимости «ф~
~(ехр(—ico^), можно заметить, что в областях, где'Xz или yz
положительны, эти решения представляют собой волны, движу-
движущиеся к точке начала отсчета 2=0 или от нее. При отрицатель-
отрицательных Xz или yz эти решения описывают быстрые или медленные
возрастающие или затухающие зависимости амплитуд в области,
где волна отсутствует (области непрозрачности). Эти асимптоти-
асимптотические решения справедливы, однако только вдали от начала
координат. Следовательно, цель анализа трансформации волн —
связать их друг с другом.
Для определения в аналитике формул сшив'ки нужно, вообще
говоря, применять -математические методы сращивания асимпто-
асимптотических разложений ('пример вычисления по этому методу при-
приведен ниже). Однако, поскольку коэффициенты в C4) и в более
сложном уравнении D7) зависят от z только линейно, эти урав-
уравнения удобны для применения изящного математического подхо-
346
да— интегральных преобразований. Их математический анализ
впервые был сделан в [6 и 7]; в [1] интегральные преобразования
.использовали в теории плазменных 1волн, а в [8] — в теории плаз-
плазменных неустойчивостей.
Теперь, следуя (в течение некоторого времени) теории инте-
интегральных преобразований, домножим C4) на ехр(—рг). Инте-
Интегрируя несколько раз по частям, получаем уравнение для -изобра-
-изображения:
р*§— Я2 -J— (р%) + Y? = проинтегрированные члены, C7)
где
"^ (р) = J ехр (—рг) ф (z) dz. C8)
Как будет показано, сохранять проинтегрированные члены нет
необходимости. Уравнение C7) легко интегрируется (именно на
этом этапе помогает линейная зависимость от z коэффициентов
в C4) и D7)):
ifiD)] C9)
Применяя обратное преобразование, получаем:
<|» (г) = const Г dp exp (pz) f (p) =
с
= const f duexp \4r(—^r——+Y"I, D°)
где для удобства сделана замена р= — 1/и. Прямая подстановка
немедленно убеждает в том, что D0) есть решение уравнения C4)
только при условии, что подынтегральное выражение обращается
© нуль на концах контура С или этот контур замкнут. Выбирая
при этом ограничении различные контуры С в D0), будем полу-
получать разные решения ^(г), и нетрудно найти четыре различных
контура, которые дают четыре линейно независимых решения
я|)(г). Изящество метода преобразований для этой задачи состоит
в том, что каждый контур дает отдельное решение, справедливое
при всех z; согласования требует только оценка интеграла вдоль
выбранного контура в двух пределах, больших z=±\z\. В вы-
вычислении этих интегралов, которые могут быть довольно сложны-
сложными, помогает теория функций комплексного переменного, которая
позволяет деформировать контур при условии, что он не пересе-
пересекает особых точек. Таким образом, можно в каждом отдельном
случае выбрать контур, максимально удебный для вычислений.
В частности, при изменении z холмы и впадины показателя экспо-
экспоненты смещаются, и если не пересекать особую точку, всегда
можно сдвинуть контур так, чтобы интегрирование шло по на-
направлению наискорейшего спуска.
347
Если записать u=r(cosQ+isin9), то действительная часть
аргумента экспоненты у (и) в D0) будет:
D1)
Линии уровня Recp изображены на рис. 5—8. Вблизи г=О
Recp ведет себя как —cos 39 и отрицательна в секторах —30° <С
Imu
-2
-1
Re a
Рис. 5. Линии уровня функции Recp (к), определяемой равенством D1), в плос-
плоскости комплексного переменного и. Параметры диаграммы Я=1,0, ч= —1Д
г= —2,5. Контур интегрирования проходит через седловую точку, соответст-
соответствующую быстрой падающей волне. Штриховые кривые означают, что Recp(«)<(X
Im u
—
\ ^Ш
'' ' / /
\ / 1 (/ ^mLY \/ \^
\/ 11 /л8ч Л» х\
/ ^Шллм'--
/уА
is\\N
/ i
х\ / 1
\ \ / 1
1 ^'
!i Л
'' '' \ \
\
\
\ \ \ \
,\ \ , \ \
0,5 -
0 -
-0,5 -
-3 "I '1 0 1 2 Re u
Рис. 6. То же, что на рис. 5, но 2=2,5. Контур проходит через седловую точ-
точку, соответствующую медленной волне, групповая скорость которой направ-
направлена от критического слоя
348
Re u
Рис. 7. To же, что на рис. 5 и 6, но здесь ^=1,0, г= —2,5. Контур Рг проходит
через седловые точки, соответствующие при z—>-—оо быстрозатухающей моде
(внутренняя точка) и слабозатухающей моде (внешняя точка)
Im U
1 -
1 Re u
Рис. 8. То же, что на рис. 7, но здесь z=2,5. Контур Рг проходит через сед-
седловые точки, соответствующие приходящей быстрой волне, групповая скорость
которой направлена от критического слоя
<в<30°, 90°<е<150° и — 150°<е<— 90°. Аналогично при
r->oo ReqxCO при 9О°<0<27О°. Нужные нам контуры могут на-
начинаться © любой из областей Re(p<0 при r-Я) или /*->оо и окан-
оканчиваться в любой другой из них. Другая нетривиальная возмож-
возможность — замкнутый контур, окружающий начало координат. Если,
349
*как предлагалось ранее, деформировать контуры так, чтобы они
проходили по направлениям наискорейшего спуска, то главные
вклады в интегралы будут давать области, расположенные вблизи
седловых точек. Седловые точки Recp определяются из условия
.dq/du=0; при больших Х2|г| существует пара внутренних седло-
вых точек при usP^±{—K2z)i/2 и пара внешних — при и8Рж
«±(—№z/y)U2. В табл. 1 перечислены различные возможности
в зависимости от выражения, стоящего под радикалом (оно всег-
всегда положительно).
Таблица 1 содержит величины и, ф(и), <р" (и) только для од-
одной из точек пары (щ). Другая точка пары и2=—щ, для нее
{)@ //() "()
Таблица 1. Значения и, ф(и), у"(и) в седловой точке и=^иг.
Сопряженная седловая точка и=и2— —иг
Параметры седло-
вой точки
«1
<P(«l)
Z>0
i
2<0
1
4-zL-
z/y>0
ЧтГ
я V v /
2«/ 7 y/t
2/у<0
<-f)"'
2Y/ г V/.
2?_/ J_\',.
Интегрирование по линии наискорейшего спуска, проходящего
через седлавую точку, дает вклад Aty(z) в г[), определяемую D0):
2
Г
= Г dw ex?
(и)]:
1/2
D2)
тде eia зависит от наклона контура интегрирования в седловой
точке. Если точки щ и и2 близки друг к другу, eia^
^ (и>2—Ui)l\uz—щ\. Следует отметить, что если в D2) подставить
данные табл. 1, то получатся асимптотические зависимое™, пред-
предсказанные ранее [см. C6)]. Это сопоставление показывает, что
прохождение каждой седловой точки добавляет в интеграл по
-выбранному контуру одну из мод C6) либо в в,иде волны, л'ибо
как монотонно нарастающую или затухающую зависимость. Бо-
Более того, если раньше формулы C6) показывали только тип за-
зависимости, то теперь уравнение D2) и табл. 1 дают относитель-
относительные амплитуды и фазы каждой компоненты.
,350
Применение стандартного уравнения для изучения трансфор-
трансформации волн проще .всего иллюстрировать на примере отрицатель-
отрицательных у. В этом случае C4) дает решения /в виде волны с большой к
при ?->-—оо и волны с малой к при z-*~oo. На рис. 5 и 6 пред-
представлены линии уровня вещественной части экспоненты подынте-
подынтегрального выражения D0) соответственно при z->-—оо и г-^оо.
На этих рисунках показан один и тот же контур интегрирования
Pi, начинающийся при г=0 в секторе 90°<9<;150о и уходящий
в бесконечность в секторе —90°<6<;90о. При г->-—оо путь наи-
наискорейшего спуска по Pi проходит через верхнюю внешнюю сед-
ловую точку tispttik/z\y\i/2, а при z-+oo — через внутреннюю
верхнюю точку usp^U\k2z\~i/2t Вычисление величины D2) дает
следующую формулу сшивки
*т
Y3
I2 1/4
1/4 r2i
exp 1^—
= ф (г) D3>
и показывает, что быстрая волна, двигающаяся вправо из?
2=^—оо, полностью преобразуется в области г->оо в медленную*
волну, тоже движущуюся вправо. Отраженной влево быстрой вол-
волны нет [27].
Аналогично интегрирование по зеркальному отражению кон-
контура Pi относительно действительной оси и показывает, что дви-
движущаяся влево из области больших положительных z медленная'
волна полностью трансформируется в быструю волну, идущую
к z=—оо.
Можно найти и другие контуры, дающие линейно-независимые
решения, но их физическая интерпретация — связь плавно зату-
затухающих или растущих мод по обе стороны от точки 2=0 — ме-
менее интересна.
При y>0 Для физической интерпретации результатов контур-
контурного интегрирования нужна большая квалификация. На рис. 7 и &
показаны линии уровня экспоненты подынтегрального выраже-
выражения D0) соответственно при г->-оо и 25-*-—оо. При z->—оо из«
табл. 1 и D2) видно, что быстрая и медленная моды являются
нераспространяющимися. На рис. 7 это проявляется в том, что
все седловые точки расположены на действительной оси и. Если
волна падает справа, т.е. движется от г=оо к 2=0, физический
смысл в области z->-—оо имеют только затухающие решения. На
рис. 7 им отвечают две седловые точки на левой половине дейст-
действительной оси и. Контур наискорейшего спуска Pi, проходящий
через эти точки, выбирается так, чтобы подынтегральное выра-
выражение D0) обращалось в нуль в начале (г=0) и в конце {г-+-оо)
контура. На рис. 8 при z-^oo путь наискорейшего спуска для
того же контура проходит через внутреннюю и внешнюю нижние
седловые точки, что, как видно из табл. 1 и формулы D2), при-
351
водит к следующим формулам сращивания:
1/4
ехр
[_.
X
—13«/4
* е
1/4
—iw/4
1/4
X
ехр
Н
D4)
При больших отрицательных 2 в.клад от экспоненциального члена
в левой части мал, и им можно пренебречь. Первый и второй чле-
члены в правой части описывают соответственно медленную и быст-
быструю волны, причем фазовые скорости обеих направлены влево.
Однако подстановка этих выражений в C5) показывает, что на-
лравления потоков энергии для этих волн различны: медленная
волна является отраженной и в действительности сумма двух по-
потоков равна нулю. Снова мы имеем 100%-ную трансформацию
колебаний; в этом случае мощность падающей оправа быстрой
волны отражается от резонансной области в виде медленной вол-
волны, движущейся вправо.
Сопряженный контур, являющийся отражением Pi относитель-
относительно действительной оси и, отвечает той же физической ситуации,
бо с противоположными направлениями распространения волн.
Интересн-а другая физическая ситуация, когда источник
ВЧ-мощности расположен в области непрозрачности. В этом слу-
случае ВЧ-мощность должна сначала туннел-иравать к критическому
•слою (г^О) и только потом, выйдя из него, может (распростра-
(распространяться в виде волны. Подстановка в C5) показывает, что в об-
области непрозрачности одномодовое решение не связано с перено-
переносом энергии и, более того, две синфазные моды энергию тоже
Бе переносят. Однако две моды, сдвинутые по фазе на 90°, могут
переносить энергию через область непрозрачности. Такой ситуа-
ситуации соответствует контур Ри на рис. 7, тот же самый контур на
рис. 8 проходит только через верхнюю внешнюю седловую точку,
"что соответствует .волне, излучаемой в область больших положи-
положительных z. Формула сшивки имеет в этом случае следующий вид:
1/4
ехр
X
D5)
К сожалению, амплитуды компонент, переносящих ВЧ-мощность
в области z-*—оо, есть величины следующего порядка малости
м в этом примере их нельзя вычислить методом перевала.
Сделаем некоторые замечания, касающиеся решений стандарт-
стандартного уравнения C4). Если положить у~Х2 -и перейти к пределу
А,2-^оо, то влияние члена -ф"" сводится к минимуму. Есл<и этот же
предельный переход сделать в решении C4), записанном в виде
контурного интеграла D0), то в экспоненте исчезает член l/Cw3).
Получающийся контурный интеграл при соответствующем выборе
352
пути интегрирования в точности совпадает с интегральным пред-
представлением различных функций Бесселя первого порядка. Вклады
•быстрых волн'в D3) — D5) можно точно представить как функции
Ханкеля (в случае распространяющихся волн) или как модифи-
модифицированные функции Бесселя (в области непрозрачности):
[2(FI/2MI
\ D6)
Выражения с экспонентами — это просто главные члены в
асимптотических разложениях бесселевых функций. Двойные
-стрелки здесь означают, что в D3) — D5) экспоненциальные чле-
члены, отвечающие быстрой волне, можно заменить на более точные
выражения через функции Бесселя. Если /вычислить поток энергии
р = -^уя|5^*_к.с. [ср. C5)] для Ц~гЧ2т1)*™<®[2(уг)ЧЩ и ис-
использовать вронскиан функций Хавкеля, то можно легко пока-
показать, что P=const даже при малых значениях аргумента.
5. УРАВНЕНИЕ ТУННЕЛИРОВАНИЯ
Процедуру преобразования Лапласа, которая использовалась
для получения формул сшивк-и решений стандартного уравнения
C4), можно применить также и к более сложным линейным диф-
дифференциальным уравнениям, коэффициенты которых больше не
являются линейными функциями г. Например, в [9] -применительно
к ионно-циклотронным и -ион-ионным гибридным модам рассмат-
рассматриваются уравнения .вплоть до восьмого порядка. Значительное
внимание в теории трансформации волн уделяется конкретному
модельному уравнению
0, D7)
где а и у— комплексные константы. Для удобства назовем D7)
уравнением туннелирования. Оно тесно связано с уравнением,
очень детально изученным в [7]. Последнее отличается от урав-
уравнения D7) только тем, что член в скобках равен просто у.
Для действительных X2, у л z в важном частном случае а=0
можно выписать сохраняющуюся величину
— уг|)*г|/ — к. с. D8)
Первая особенность, отличающая уравнение туннелирования как
модель от стандартного уравнения, состоит в том, что оно опмсы-
12 Зак. 137 353
10
5
о
'5
10
15
2
1 cL
г
Рис. 9. Зависимость квадрата показате-
ля преломления от расстояния для;
уравнения D7) при а = 0; 1+7>0:
1 — область туннелирования; 2 — быстрая
волна; 3 — медленная волна; 4 — быстрозату-
хающая мода. Здесь Х={\, у=]
'10
-5
10
вает не только резонансные явления при 2=0, но также вводит
отсечку при z=—у/%2. На рис. 9 показано качественное изменение
локального показателя преломления кг, связанного с уравнением
туннелирования. Справа от точки резонанса z= B/A,2)[l+0+YI/2J
и слева от точки запирания z——у/Х2 &22>0 и решения D7) пред-
ста1вляют собой бегущие (распространяющиеся) волны. Однако
между резонансом и отсечкой решения монотонные, и энергия
волны -может пройти через эту область только из-за туннелиро-
туннелирования. Первое исследование туннелирования через такую тесную
пару отсечка—резонанс было выполнено в классической работе
[10] на основе модельного уравнения второго порядка
Я2гя|/'+ (X2z+y) i|) = 0. D9)
Автор [10] привел это уравнение к стандартному виду уравнений
для вырожденных гипергеометрических функций и, введя малое
затухание для устранения существенной особенности при Re 2=0,,
сшил асимптотические решения. Для волны, которая движется
вправо -и проходит сначала точку отсечки, а затем подходит к
точке сингулярности, в [10] найдены амплитудные коэффициенты-
отражения (R) и прохождения (т. е. туннелирования) (Г):
|#|=1_ехр(-яг)); |Г| =ехр(-яг)/2), E0>
тогда как для волны, движущейся влево,
|/?|=0; |Г|=ехр(-ят1/2), E1>
где г)=|уА|2. В обоих случаях |i?|2+|71|2<1, что указывает на
частичное поглощение в точке сингулярности. В терминах теории-
трансформации, эта поглощенная (в пределе нулевой диссипации!)
мощность есть на самом деле не что иное, как мощность, пере-
перешедшая в коротковолновую моду. Как будет показано, коэффи-
коэффициенты отражения и прохождения, полученные из уравнения чет-
четвертого порядка D7), совпадают с E0) и E1) при условии, чтот]
определяется в соответствии с полученным ниже соотношением
E6). В таком случае коэффициенты уравнения четвертого поряд-
порядка сводятся тогда к результату [10] в пределе больших X2 и у~№г
т. е. в пределе, когда вклад от члена tf"' в D7) очень мал..
354
Б [И] уравнение туннелирования применялось для описания рас-
распространения быстрой альвено'вской *волны и волн Бернштейна
.вблизи резонансов. Это уравнение .использовалось также в [12]
при рассмотрении поглощения на гармонике электронно-цикло-
электронно-циклотронной частоты, а ,в [13] для изучения трансформации волн и тун-
туннельного эффекта вблизи ион-ионного гибридного резонанса.
6. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ТУННЕЛИРОВАНИЯ
Решая D7), как и раньше, методом интегрального преобразо-
преобразования Лапласа, получаем уравнение обращения
E2)
где С — контур в плоскости комплексного переменного р, кото-
который либо замкнут, либо выбран так, чтобы подынтегральное вы-
выражение обращалось в нуль на обоих его концах. Замена пере*
менных p=tgu приводит E2) к виду, в котором отсутствует мно-
многозначный член arctgp:
" iu + lp-и]. E3)
На рис. 10 показан набор контуров, представляющих как ре-
решения D7), имеющие физический смысл, так ,и решения, добав-
добавленные для полноты. Решения, обозначенные fk(k=l, 2, 3...), свя-
связаны с интегрированием E3) по контурам Ск. Ясно, что линейно-
независимыми будут только четыре таких решения. Как будет
показано, f4 и /г отвечают быстрым волнам, входящим с обеих
сторон в область туннел'ирования, /5=fo+/i отвечает падающей
медленной волне, а /0 -и /4 сами соответствуют решениям, экспо-
экспоненциально затухающим или растущим при г->—оо.
Вернемся к интегрированию по методу наискорейшего спуска
^методу перевала). Седловые точки расположены приблизительно
Рис. 10. Шесть возможных контуров
интегрирования в комплексной плоско-
плоскости и для E3). Линейно-независимые
решения дают только четыре контура.
При нецелом аиС2 оканчивается не на
той римановой поверхности, где он на-
начинается
12* 355
там, где обращается в нуль производная от экспоненты в подын-
подынтегральном выражении, т.е. при
tg4u+X2ztg2u+№z+y = 0. E4)
При больших z E4) имеет решения в виде медленных волн (боль-
(большие значения p=tgu): tg2usp&—X2z-\-l и в виде быстрых волн
(малые р): ig2uSP^—[\+(\-\-y)IX2z]. Подстановка и=и8Р в E3)
позволяет сразу определить основной вклад от оедловой точки;
если tg2t/sp>0, интегрирование по пути, проходящему через сед-
ловую точку, дает решение в области непрозрачности (растущее
или затухающее), а при tg2usp<C0— зависимости exip(±2iA,z3/2/3)
или exp(dziz), отвечающие соответственно медленной 'или быстрой,
бегущей волне. В последнем случае, однако, из тождества
tg (x+iy) = (sin 2x+i sh 2y) / (cos 2x+ch 2y) E5)
видно, что если tg2^sp<0, то действительная часть usP должна
быть кратна я/2. Если подставить эту Reusp в третий член в экспо-
экспоненте E3), та появится множитель
^I±XJ E6)
который часто возникает в формулах сшивки и является опре-
определяющим параметрам туннелирования [ср. E0) и E1)]. Из вода
уравнения E3) ясно, что большинство подынтегральных выраже-
выражений периодично по и, поскольку tg(u+nn)=tgu и sec(M+jt) =
= —sec и. При замене и-+и±п линейный член в экспоненте дает
постоянный множитель, а член seca& — фазовый сдвиг, так что>
сдвиг в плоскости и влево или вправо на я приведет к домноже-
нию функции на постоянный множитель ехр(±2т), где
т= (jt/2)[A +y) A2+i al- С учетом этого трансляционного множи-
множителя интегрирование нужно вести только по тем частям контура,
которые лежат в области |Rea|<<n/2; для аналитического про-
продолжения функции вне этой полосы нужно домножить результат
на соответствующий коэффициент. Заметим, что r) = ReT.
Перед тем, как обсуждать конкретный выбор контуров, нужно*
сделать одно замечание. Как отмечалось выше, сдвиг и-+-и±п
изменяет величину интегрируемой функции на контуре на мно-
множитель ехр (±2г|). При малых ц этот перепад высот может ока-
оказаться недостаточным для вычислений по методу перевала; при-
больших г] может возникнуть вопрос, стоит ли удерживать в раз-
разложении 'малый член ехр(—|г||). Тем не менее малые члены
имеют физический смысл: это амплитуды волн, которые могут
существовать в системе. Поэтому для определения амплитуд в сед-
ловой точке будем, если это необходимо, привлекать соображения
самосогласованности, а не полагаться на вклад в интеграл толь-
только от непосредственной окрестности седловой точки. Как показано1
ниже, критерий самосогласованности можно получить, если при-
применить метод функций Грина к неоднородному уравнению тунне-
туннелирования. Критерий состоит в том, что решение, полученное для:
356
0,53
-Я/2
Re a
Рис. 11. Линии уровня Recp(V), где cp(V) — логарифм подынтегрального выра-
выражения в E3), в плоскости комплексного переменного и при А,2=1, ^=—2/3,
T| = Jt/6, 2=10 [11]
неоднородного случая, должно стремиться к решению однородной
задачи при уменьшении члена, описывающего неоднородность.
На рис. 10—14 представлены линии уровня и пути интегриро-
интегрирования для решения уравнения туннелирования. Седловые точки,
соответствующие быстрым f -и медленным 5 модам, обозначены /+
и 5+ для волн, идущих вправо, и /L и s_ для волн, идущих влево.
В этом случае нер1аепроетраняющим,ися будут только медленные
моды (при z->-—оо) и а+ означает решение, которое экспонен-
экспоненциально нарастает по обе стороны от г=0, а а- — решение, умень-
уменьшающееся с ростом \z\. Следует помнить, что коротковолновые
моды (s±) фактически представляют собой отраженные волны,
так что энергия в .них распространяется в направлении, .противо-
.противоположном направлению фазовой скорости. Это можно проверить,
если подставить E8) в уравнение D8) и сравнить главные члены
Р ДЛЯ Я|)~/± И 1|)~S±.
Рис. 12. Седловые точки и контуры ин-
интегрирования для рис. 11
357
Imu
7,0
'Ос
Re a
Рис. 13. То же, что на рис. 11, но при z=—10
Вернемся к рис. 10—14. Очевидно, что ft, при z->-—оо экспо-
экспоненциально нарастает, поскольку только это решение содержит
а+. Вследствие этого /4 нельзя использовать для неограниченной
среды. Аналогично в решении для приходящих быстрых волн
должна отсутствовать s+, так как она представляет собой медлен-
медленную приходящую волну; это волна, распространяющаяся назад.
Поскольку интегрирование по всем контурам, начинающимся и
заканчивающимся в верхней полуплоскости, приводит к появле-
появлению s+, а интегрирование по контурам, оканчивающимся на оси,—
к появлению а+, любое решение в виде быстрой падающей волны
должно получаться из интегрирования по контуру, который начи-
начинается и заканчивается под действительной осью.
Для решения, представляющего собой быструю волну, прихо-
приходящую из ?=оо, [_—падающая волна и член f+ при z->-—оо
должен отсутствовать (-при z->—оо существует лишь проходя-
проходящая волна). Поэтому контур,
соответствующий этому реше-
решению, должен начинаться и кон-
кончаться под действительной
осью, так что это решение
есть fi.
Отсюда сразу видно, что от-
отражения в этом случае нет (R\ =
= 0), поскольку по обе стороны
от z = 0 нет члена f+. Для реше-
решения, описывающего волну, при-
приходящую из z =—оо, падающая
Рис. 14. Седловые точки и контуры
интегрирования для рис. 13
358
волна есть /+, так что контур по-прежнему начинается и оканчива-
оканчивается под осью, но он должен подняться над осью, чтобы включить
член /+ при Z-*—оо. Контур, однако, не должен проходить через
седловую точку /- при z-> + °° (может существовать только про-
прошедшая волна). Эти ограничения заставляют контур С2 пересечь
разрез, возникающий в случае нецелых а. Таким образом, f2 соот-
соответствует другой падающей волне; здесь Я^фЪ и |i?2|<(l только
при а=0 или а=2, поэтому другие значения а для решения одно-
однородного уравнения смысла не имеют.
Если падающая волна является медленной, уходящие волны
могут быть только быстрыми и контур должен начинаться или
кончаться над осью, чтобы учесть в падающей волне член s+.
Быстрые уходящие волны —это /+ ПРИ z->—oo и /- при
г-+ — оо, поэтому единственное решение, имеющее нужную фор-
форму, есть решение f5. Решение f3 полезно с математической точки
зрения, поскольку f3=fi*, a f2 можно выразить через f0, /1 и f3
с помощью равенства
f2= (fo+fi) [I - ехр(-2т)] - /з. E7)
Обозначим вклады от седловой точки следующим образом:
Га. "
0 + т)
1/2
1+Y
а/2
для всех z\
\
s, —
E8)
f-z^4
В табл. 2 приведены в этих обозначениях формулы сшивки, по-
полученные для различных контуров интегрирования (см. рис. 10—
14). Как указывалось выше, в (важных случаях <х=0 или а=2
Таблица 2. Формулы сшивки, полученные из асимптотических разложений для
больших |z|
г-*- — оо
ei<r_
e*/_
(8*/_+eM(l-e-2T)-e/+
«/+
о / —с v +
h
h
h
h
и
h
h
Z-> oo
e4e/+_S+)-e^(e*/_-S_)
eT*e*/_-eT*(l-e-2T*)s_
- e-T6/++e-T*(l-e-2T)s_
eTe/+-eT(l-e-2T)s+
e"x*s_
ex(e/+—s-)_)+e~TV_
359
величина | е|2= 1—ехр (—2ц) определяется самосогласованным
образом [14].
Из табл. 2 можно найти .коэффициенты отражения, прохожде-
прохождения и трансформации. Рассматривая только быстрые волны, мож-
можно легко убедиться в справедливости результатов E0) и E1)
с учетом того, что г\ определяется E6).
Рисунки 10—14 и табл. 2 относятся к случаю, когда l-f-Y>0,
соответствующему моделированию ион-ионного гибридного (если
Y большая положительная величина) и ионного циклотронного
(при y—•—2/3) резонансов. В случае электронного циклотронного
резонанса возможен случай 1+у<0; при этом седловые точки,
соответствующие быстрой волне, сдвигаются на и=±я/2. Резуль-
Результаты для этой ситуации представлены в работе [15].
7. ЛОКАЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
Анализ стандартного уравнения и уравнения туннелирования
был основан на теории функций комплексного переменного. По-
Поэтому если добавить малую мнимую часть к z, представляющей
собой физическое расстояние, то эта простая модификация поз-
позволяет .внести в модельные уравнения и их асимптотические ре-
решения эффекты диссипации (см., например, [16]). С другой сто-
стороны, представляют интерес случаи, когда эффекты поглощения
сильно локализованы и их нельзя аппроксимировать простым
сдвигом особой точки с действительной оси. К примеру, при чис-
численном анализе дисперсионного уравнения в окрестности двух-
ионного гибридного резонанса авторы [17] обнаружили, что для
больших к ц поглощение имело локальный характер и было на-
настолько сильным, что изменило процесс трансформации колебаний.
Другая физическая ситуация, в которой надо учитывать ло-
локальный характер поглощения в асимптотическом волновом урав-
уравнении, возникает при изучении резонанса co = 2cocb Ап«0. Волно-
Волновое уравнение, которое выводится непосредственно из уравнений
Власова и Максвелла в предположении, что Bq(x)—Bo[\-{-(x/L)]z,
можно записать в виде уравнения туннелирования с определенны-
определенными поправочными членами в правой части. Эти поправочные чле-
члены исчезают при больших |х|, но вблизи |х|=0, где возникает
связь между модами, они существенны [18].
Методы решения таких задач состоят в том, что поправочные
члены, существенные при малых \х\, но исчезающие в асимпто-
асимптотике, нужно рассматривать как неоднородные добавки к однород-
однородному линейному дифференциальному уравнению. Тогда прямой
метод решения дает использование функций Грина. Функции Гри-
Грина легко построить как линейные комбинации решений присоеди-
присоединенного уравнения. Если весовая функция в скалярном произве-
произведении постоянна, то уравнение, присоединенное к уравнению тун-
туннелирования D7), есть просто само это уравнение, в котором а
заменена на 2—а. Поэтому асимптотические решения присоеди-
присоединенного уравнения, удовлетворяющие соответствующим гранич-
360
ным условиям, можно получить способом, описанным в предыду-
предыдущих разделах, а этого достаточно для определения вида функций
Грина. Полное решение неоднородного уравнения, которое яв-
является теперь интегральным уравнением, получается затем мето-
методом итераций, причем в качестве нулевого приближения берется
решение однородного уравнения. Необходимые для этого точные
(неасимптотические) решения однородного присоединенного урав-
уравнения получаются в ходе вычислений. Замечательное преимуще-
преимущество -метода функций Грина перед прямым .интегрированием со-
состоит в том, что он полностью устраняет взрывные численные
неустойчивости, которые мешают прямому интегрированию вол-
волнового уравнения четвертого порядка. Подробности и результаты
применения метода функций Грина приведены в [14, 19].
8. сращивание асимптотических разложении;
низкочастотный альвеновскии резонанс
В заключение вернемся к исследованию альвеновского резо-
резонанса. Если о)/соСг^1, то отсечка правополяризованной моды
п2ц=Д9 отсечка левополярмзованной моды n2[{ = L ,и альвеновокий
резонанс сильно разнятся по частотам или, в присутствии градиен-
градиента плотности, далеко разнесены в реальном пространстве (напом-
(напомним, что R, L~rii). С учетом этого обстоятельства задачу транс-
трансформ адии волн можно хорошо моделировать стандартным урав-
уравнением или уравнением туннелирования с граничными условиями,
выбранными с учетом физического смысла. Однако на низк-их
частотах (о<Со)с* R^S(l—co/(oci), L&SA+со/соСг), так что отсечки
•и резонанс образуют тесный триплет. В простейшем случае, когда
в точке нет шира и п2±=09 соответствующее волновое уравнение
C3) можно записать в виде
0, E9)
где
2' =
(dS/dxJ
F0)
поскольку R=S+D, L=S—D, |Z)|<5, a x~S—n\. Здесь х —
физическое расстояние по направлению градиента плотности.
Отсечки будут при я=±1, резонанс — при х=0у <и для малых X
необходимо рассматривать триплет в целом (для случая, когда
отсечки и резонанс разнесены,— см. анализ, проведенный в [20]).
Однако *из-за множителя х2 преобразование Лапласа уравнения
E9) также является дифференциальным уравнением второго по-
порядка, и этот метод не приводит к упрощению.
Поэтому мы можем обратиться к другому мощному математи-
математическому аппарату, а именно методу сращивания асимптотических
разложений, и рассмотреть более общее уравнение C1), справед-
справедливое в области промежуточных частот (анализ этим методом
уравнения туннелирования выполнен в [11Ц. Поскольку все ве-
361
личины являются функциями х, разложим их вблизи точки альве-
навекого резонанса х=Хо, где Т(хо)-\-п2±(хо) = 0:
Т+п1=[Т(хо)+п2±(хо)У(х — хо)
и обозначим:
F1)
F2)
где штрих означает производную по хсо/с. В безразмерных пере-
переменных C1) принимает в.ид:
= 0I F3)
v = nj; $ = — n1
a /, v, а, § и т, взятые в точке х=Хо, считаются константами. На
первый взгляд особенности при g = 0 и ?=v2 одного порядка. Но
на самом деле особенность при g=v2 слабая: если мы положим
*=g—v2 и оставим в уравнении только главные члены разло-
разложения, оно примет вид:
d*E L^_ i J ? — 0
dx2 x dx ' v2 x "**""
Уравнению удовлетворяют функции
6
F4)
F5)
где |а^—p/v2. Сингулярность сказывается только в члене х2\пх.
Следуя анализу Карн-и, Перкинса и Сана, сосредоточим внимание
на альвеновской особенности ! = 0. Во внутренней области F3),
т. е. в окрестности точки g=0, проведем замену ? = ех, предста-
представим Е в виде ?=?Io+e?'i+... и получим последовательность урав-
уравнений:
е I х
(б6)
и т. д. Решая их и возвращаясь к переменной ?, получаем
F7)
Сошьем эти внутренние решения с внешними по обе стороны точ-
36'2
ки альвенавского резонанса 1=0. Самое главное здесь — это
скачок функции In |, когда § проходит через нуль. Напомним, что
1~х—хо~Т+п2±ж Dпрс2/В2о—k\c2/(x>2). Учет малого затухания
на ионах (это эквивалентно замене p-^p+i6) наводит на мысль
приписать малую мнимую поправку к g. Зная это, получаем
In g+—Jn ?~=i я sign со.
Во (внешней области F3) в наинизшем порядке можно аппрок-
аппроксимировать уравнением Эйри
^--^=0, F8,
если сделать замену y—v2—?; его решениями являются функции
Ai{y), Bi(y). Альвеновская волна, идущая из области высокой
плотности, будет отражаться и слабо поглощаться у альвенов-
ского резонансного триплета и станет затухающей в области низ-
низкой .плотности плазмы при у^О. В /последнем случае
Ai(y) ~ехр[—Bу3/2/3)] и, таким образом, в области пересечения
можно сшить Ai(y)=Ci—с2у-\~... с линейной комбинацией Еа и Еъ.
Здесь Ct=Ai(O) =0,355; с2=—Ai'{0) =0,259. Со стороны высокой
плотности та же линейная комбинация Ei и Е2 сшивается в дру-
другой области пересечения с теми же функциями Эйри Ai(y) =
= сх—с2у+...у Bi(y)=342(ci + c2y) (напомним, что Ing испытывает
скачок). При у<С0 эту линейную комбинацию действительных
функций Эйри удобно выразить через комплексные функции Эйри:
F9)
Последнее выражение — это асимптотическая форма F± при боль-
больших— у=1—v2 и signco>0, представляющая собой волны, иду-
идущие от точки 1=0 в область большей плотности (F+) и к точке
1 = 0 из области большей шютности (i7-). После алгебраических
выкладок можно получить амплитуды А± функций F± в области
y<LO и сшить эти функции с затухающим решением Ai{y), полу-
полученным для области у>0:
[Ai(y)]y>o*-+[A+F+(y)+A-F-(y)]y<o. G0)
Обобщая результат, полученный Карни, Перкинсом и Саном,
можно показать, что
\Л ]2__ы,|2 . ЬЪа2
И 12 Oliiliw о 9/9
- п 1 v2
о — П75 и,—т sign ш;
2CI/2 ^ic2 T+2av2 S
a == a + p/v2
G1)
363
где а, р, v и т определяются формулами F2). Если а_ стремится
к нулю, формула G1) предсказывает отражение с очень малыми
потерями, характеризующее вьюсжодобротную собственную резо-
резонансную моду. Такое поведение подтвердилось при численном
интегрировании волнового уравнения, выполненном Стиксом [24].
Впечатляющее по полноте численное 'исследование задачи об
альвеновском резонансе с учетом конечной электронной массы и
температуры, конечного ларморовского -радиуса, шира и цилинд-
цилиндрической геометрии системы недавно было выполнено Россом,
Ченем и Махаджаном [22].
В заключение доктор Свансон выражает благодарность за .по-
.полезные обсуждения доктору Рональду Кащубе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Stix Т. Н. —Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 15, p. 878.
2. Schmitt J. P. M. — J. Plasma Phys., 1974, vol. 12, p. 51.
3. Landauer G. — In: Proc. of the Fifth Intern. Conf. Ionization Phenomena
in Gases, Munich, 1961. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1962, vol. 1, p. 389.
4. Cannobbio E., Croci R. — In: Proc. of the Sixth Intern. Conf. on Ionization
Phenomena in Gases, Paris, 1963./Ed. by P. Hubert. Paris: SERMA, 1964, vol. 3,
p. 269.
5. Kuehl H. H., O'Brien В. В., Stewart G. E. —Phys. Fluids, 1970, vol. 13,
p. 1595.
6. Wasow W. —Ann. Math., 1950, vol. 52, p. 350.
7. Rabenstein A. L. — Arch. Ration. Mech. Anal, 1958, vol. 1, p. 418.
8. Gorman D. —Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 1262.
9. Perkins F. W. —Nucl. Fus., 1977, vol 17, p 1197.
10. Budden K. G. — In: Physics of the Ionosphere: Rep. of Phys. Soc. Conf.,
Cavendish Laboratory. L.: Physical Society, 1955, p. 320.
11. Ngan Y. C, Swanson D. G. — Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 1920.
12. Lazzaro E., Ramponi G., Giruzzi G. — In: Proc. of Fourth Topical Conf.
on RF Plasma Heating. Austin, Texas: University of Texas, 1981.
13. Swanson D. G. —Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 316.
14. Swanson D. G. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 926.
15. Faulconer D. W. —Phys. Lett., 1980, vol. 75A, p. 355; Fuchs V., Ко К.,
Bers A. —Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 1251.
16. Moore B. N., Oakes M. E.— Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 144.
17. Jaquinot J., McVey B. D., Scharer J. E. — Phys. Rev. Lett, 1977, vol. 39,
p. 88.
18. Swanson D. G. — Phys. Fluids, 1981, vol. 24, p. 2035.
19. Swanson D. G. —Nucl. Fus., 1980, vol. 20, p. 949.
20. Tang Т. —Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 121.
21. Stix Т. Н. — In: Heating in Toroidal Plasmas. Proc. of the Second Joint
Grenoble—Varenna Intern. Sympos., 3—12 Sept., 1980, EUR 7424 EN, Commission
of the European Communities, Brussels, 1981, vol. 2, p. 631.
22. Ross D. W., Chen G. L., Mahajan S. M. — Phys. Fluids, 1982, vol. 25.
23. Пилия А. Д., Федоров В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969,
вып. 57, с. 1198.
24. Stix Т. Н. The Theory of Plasma Waves. N.Y.: McGraw-Hill, 1962, ch. 10.
25. Scharer J. E., McVey B. D., Май Т. К. — Nucl. Fus., 1977, vol. 17, p. 2.
26. Weynants R. R. — Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 33, p. 78.
27. Moiseev S. S. — In Proc. of the Seventh. Intern. Conf. on Ionization
Phenomena in Gases, Beograd, 1966, vol. 2, p. 645.
I. НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ЗАДАЧ
УСТОЙЧИВОСТИ В ИДЕАЛЬНОЙ
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКЕ1
Л. БЕРНШТЕЙН
ВВЕДЕНИЕ
Во многих приложениях физики плазмы, например в исследо-
исследованиях по управляемому термоядерному синтезу, физике Солнца
и астрофизике, важным вопросом является во-прос об устойчиво-
устойчивости малых отклонений от состояния равновесия. Особое значение
имеет изучение таких классов относительно медленных движений,
описываемых в терминах гидродинамики, которые, если оказыва-
оказываются неустойчивыми, приводят к радикальному изменению состоя-
состояния, например разрушению пинча. Строгая теория таких движе-
движений, в частности, в случае редких соударений наталкивается на
серьезные математические трудности. Поэтому приходится анали-
анализировать более простые идеализированные модели явления, доста-
достаточно прозрачные, чтобы можно было делать общие выводы, и
качественно или полуколичественно применимые к реальным ус-
условиям.
Наиболее полезной из этих моделей является идеальная маг-
магнитогидродинамика. Плазма рассматривается как бездиссипатив-
ная квазинейтральная жидкость, описываемая в терминах ло-
локальной плотности, изотропного полного давления и локальной
скорости, связанных уравнениями, представляющими собой зако-
законы сохранения массы, энергии и импульса. В последнем из этих
уравнений пренебрегают плотностью силы, связанной с электри-
электрическим полем, действующим на плотность заряда, и электромаг-
электромагнитным импульсом. Электрическое поле в предположении идеаль-
идеальной проводимости из задачи исключается, что позволяет связать
величину магнитного поля непосредственно с кинематикой эле-
элемента массы жидкости. Дискуссию о физическом обосновании та-
такого описания можно найти в статье Кулсруда в этом томе. Ито-
1 Пер. с англ. В. В. Красносельских.
365
говые уравнения представляют собой обобщение системы уравне-
уравнений Эйлера на случай, когда существенны магнитные силы.
Даже при такой 'идеализации линеаризованные уравнения дви-
движения, описывающие малые отклонения от требуемого состояния
равновесия, обычно не удается решить. К счастью, часто инте-
интересны не детали движения, а ответ на более простой вопрос:
устойчива система или нет? Другими словами, существует ли:
класс начальных условий в рамках линеаризованной теории, ко-
который приводит к экспоненциальному росту возмущений. Идея
состоит в том, что такое неустойчивое поведение обычно приводит
к разрушению желаемой равновесной конфигурации, несмотря:
на насыщение неустойчивости за счет нелинейных эффектов. Что-
Чтобы эти выводы были достоверными, максимальная скорость на-
нарастания, характеризующая неустойчивость, должна быть больше-
скорости, характеризующей явления переноса или слабые потоки,
присутствующие в реальных ситуациях, которые моделируются.
Как будет показано, для случая идеальной магнитогидродинамики"
ответ на этот более простой вопрос может быть сведен к опре-
определению, может или нет функционал W, квадратичный по возму-
возмущенным скоростям, принимать отрицательные значения. Это ана-
аналогично представлению о том, что частица в консервативном поле
находится в устойчивом равновесии на дне потенциальной ямы,,
где любое маленькое смещение увеличивает потенциальную энер-
энергию, но неустойчива в максимуме потенциальной энергии, где
любое маленькое смещение уменьшает потенциальную энергию..
Вариационный принцип, упомянутый выше, и его обобщения
лежат в основе большого числа работ, которые определяют ны-
нынешний уровень понимания магнитогидродииамической устойчи-
устойчивости. Идея была предложена Лундквистом [1], а общая теория,
детально разработана в [2, 3, 9]. Тот факт, что выводы в результате-
применения вариационного принципа идеальной магнитогидроди-
магнитогидродинамики оказываются более пессимистичными, чем в теории, ис-
использующей уравнение Власова, продемонстрирован в [4] и в более*
завершенном виде в [5]. Исчерпывающую библиографию можно/
найти в [6].
В этой статье мы ограничимся детальным изложением общей
теории для плазмы, отделенной вакуумной областью от идеальна
проводящих стенок, и применением ее для анализа двух простых
примеров. При этом последовательность изложения такова: разд. 1
посвящен математической модели, включая нелинейные уравне-
уравнения движения и граничные условия. Обсуждаемые равновесные
статические состояния и линеаризованные уравнения, описываю-
описывающие малые отклонения от них, рассмотрены в разд. 2. Раздел &
посвящен выводу вариационного принципа, а разд. 4 — преобра-
преобразованию и обобщению полученного квадратичного функционала.
Приведены два примера, на которых показано, как надо ис-
использовать этот математический аппарат и общность результатов,
полученных сравнительно простым методом. В разд. 5 получено^
достаточное условие неустойчивости для плазмы без магнитного*
366
боля, удерживаемой вакуумным магнитным полем, в зависимости
от кривизны ограничивающей поверхности. В разд. 6 дан вывод
критерия Сайдема [7] устойчивости линейного диффузного пинча.
Математические детали приведены в приложениях.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКИ
Рассмотрим плазму с плотностью р, локальной скоростью v,
тензором давления Р = р1, в которой электрическое лоле Е и маг-
магнитное поле В связаны уравнениями идеальной магнитогидроди-
магнитогидродинамики в системе CGS
| A)
B)
UXB O; D)
V-B=0; E)
^ F)
Плотность тока при таком описании J=-^—уХВ. Заметим, что,
взяв дивергенцию уравнения F), получим у-В = 0. Поэтому
ot
если уравнение E) выполняется в начальный момент времени,
то это верно и в другие моменты времени. Если уравнение D)
использовать для исключения электрического поля Е из уравне-
уравнения F), то получим:
db/dt=VX (vXB) = В • Vv — v • VB — BV • v. G)
Для того чтобы продемонстрировать некоторые особенности
системы, зависящие от топологии плазмы и ее окружения, и свя-
связать теорию с тороидальными установками для управляемого тер-
термоядерного синтеза, при развитии общей теории .предположим, что
топологически плазма представляет собой тор (область /), окру-
окруженный кольцеобразной вакуумной областью 2, ограниченной
твердым идеально проводящим .кожухом S, как схематически по-
показано на рис. 1 и 2.
Предположим, что время, необходимое световому сигналу,
чтобы пересечь вакуумную область системы, много меньше харак-
367
Рис. 1. Схематическое изображение
тора, наполненного плазмой, с ука-
указанием контуров интегрирования
СрнСт
Рис. 2. Вид сверху (схема) на плазму,,
окруженную кольцеобразной вакуум-
вакуумной областью, помещенную в твер-
твердый идеальнопроводящий кожух.
АВ — разрез
терного времени изменения В, поэтому током смещения мы пре-
пренебрежем. Кроме того, из предположения об отсутствии така про-
проводимости следует, что
VXB = 0, (8>
с учетом (8) запишем:
В = — Vx, (9>
откуда, учитывая E), получаем:
V2X=0. A0)
Эти уравнения необходимо дополнить граничными условиями..
Например, если на поверхности идеального проводника с единич-
единичной нормалью к поверхности п вначале п-В = 0, то это должно1
оставаться верным и впредь, так как для фиксированной точки
неподвижного идеального проводника
-тг (п-В) = п- —тт- = — en- vXE. A1)>
Если -мы проинтегрируем это уравнение по произвольной площад-
площадке на поверхности и используем теорему Стокса, то получим:
г.Е = 0, A2).
так как .из условия идеальной проводимости следует, что каса-
касательная компонента поля Е к поверхности обращается в нуль.
Но так как поверхность интегрирования произвольна, то из равен-
равенства нулю выражения A2) следует, что в каждой точке поверх-
поверхности
n-VXE=0,
368
поэтому правая часть уравнения A1) обращается в нуль и п-Вы-
п-Выявляется константой, равной нулю, если она равна нулю вначале,
что мы и будем предполагать.
Такая же ситуация имеет место на границе плазма—вакуум,
в общем случае движущейся в соответствии с D). Чтобы показать
это, обозначим точкой полную производную по времени, тогда,,
приближаясь к границе со стороны плазмы, имеем:
и т. д. После этого, используя из приложения соотношение (А.7)
для п и уравнения G) и A4), получаем:
+ n[Byv— By v] = n-Bn x (n x V)-v. A5>
Это — однородное дифференциальное уравнение первого по-
порядка для (п-В) вдоль траектории элемента жидкости на поверх-
поверхности, движение которого описывается уравнением
r=v(r, /). A6>
Поэтому если мы предположим, что п-В = 0 при / = 0, то оно
будет равно нулю и впредь. Более того, как следует из уравнения:
у.В = 0, функция п-В непрерывна на границе раздела. Поэтому
условие п-В = 0 выполняется на границе S и со стороны вакуума.
Динамические граничные условия, связывающие величины в
жидкости и вакууме, можно получить из уравнений A) — F), за-
заметив, что из A) — F) закон сохранения импульса можно за-
записать в форме
^(pv) + V-[Pvv + (/,+-^)l--f-p. A7).
Все декартовы компоненты векторного уравнения A7) имеют вид
законов сохранения
do/dt+ у-Г=0, A8)
где а можно интерпретировать как объемную плотность, а Г — со-
соответствующая плотность потока.
Рассмотрим ряд вложенных поверхностей с семейством свя-
связанных с ними единичных нормалей (рис. 3 и 4). Поверхность раз-
разрыва 5 можно рассматривать как предел тонкого пограничного-
слоя, когда толщина б стремится к нулю таким образом, что а
резко меняется в направлении п и медленно в направлениях, пер-
перпендикулярных п (рис. 3 и 4). Перепишем A8) в виде
пу[п(Г— va)] = —a — an-у (n-v) +
+ п х (v х п).у<? + п-(уп).Г + п x (n x у)-Г, A9>
369>
Л S0+SI2
О
So-Sf/2
Рис. 3. Зависимость плот-
плотности а от длины дуги s
(условно) в пограничном
слое толщиной б
л a
Рис. 4. Диаграмма семейства вложенных
поверхностей с постоянной плотностью, ука-
указывающая траекторию интегрирования, ка-
касательную к медленно меняющейся единич-
единичной нормали п
тде a=C(j/^-fv.Va — полная производная от а во времени
в системе отсчета, движущейся с элементом жидкости. Заметим,
что все члены в правой части A9) .изменяются медленно при
пересечении граничного слоя вдоль кривой, параллельной векто-
вектору п. Пусть 5 — длина дуги, тогда производная по направлению
п—n\r=d/ds. Проинтегрируем A9), пересекая граничный слой.
Тогда в пределе 6-Я) получим условие
<п-(Г — va)>=0. B0)
В B0) символ <.. .> означает скачок величины, заключенной
в скобки. В применении к A7) из уравнения B0) с учетом
п-В = 0 имеем:
<>+-?¦>=«>.
B1)
Уравнение B1)—условие баланса полного давления, т.е. суммы
давлений, среды и магнитного поля, необходимого для того, чтобы
в области быстрого изменения плотности, давления и т. д. не было
бесконечного ускорения элемента массы.
В кольцеобразной вакуумной области 2 в дополнение к гра-
граничному условию
п-В = 0, B2)
которое считаем выполненным на S и S'. Для нахождения нетри-
нетривиального решения необходимо задать тороидальный поток
Vii2..vx B3)
и полоидальныи поток
B4)
тде Sr, Sp — шайбообразные поверхности, представляющие собой
сечения тора (рис. 5). Эти потоки не зависят от времени, так как,
370
s'
Рис. 5. Изображение сечений тора
(условно), показывающее шайбооб-
разную поверхность интегрирования
ST (пунктирная область 2) и ленто-
лентообразную поверхность S р
Рис. 6. Изображение-
(схема) сегмента торо-
тороидальной области
используя уравнение (А. 11)
йФт с 2 дв с
dt J ot ,]
г г
:'с' с„
B5)
и то, что пХЕ=0 на С'т, из уравнения F) получаем, что ска-
скачок на S
-0. B6>
Поэтому из того, что G) выполняется со стороны плазмы, следует,
что пХ(Е + —vXB) = 0 со стороны вакуума. Таким образом,
правая часть уравнения B5) обращается в нуль. Доказательство*
для Фр аналогично. Потоки не зависят и от выбора сечения при
условии, что поверхности имеют тот же топологический характер.
Дело в том, что, если в качестве S'T выбрать различные сечения
тора (рис. 6) и при интегрировании величины V-B = 0 по объему,
ограниченному поверхностями 5, S', Sp и S'Py применить теорему
Гаусса, то вклады на поверхностях S и S' обращаются в нуль,
так как на них п»В=0, откуда с учетом выбора нормалей на ST
и S'T и следует этот вывод.
2. ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ ОПИСАНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ
СТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
Исследуем устойчивость состояний статического равновесия,
описываемых стационарными решениями упомянутых выше урав-
уравнений, для которых скорость плазмы равна нулю. В этом случае
371
из уравнения D) следует, что электрическое поле в плазме равно
нулю, и тогда уравнения A), C) и F) удовлетворяются автома-
автоматически. Если мы отметим величины, относящиеся к этому состоя-
состоянию, .индексом нуль, то уравнения B) и E) примут вид:
V/?o = "i-(vXB0)XB0; B7)
V.B0 = 0. B8)
Если обозначить вакуумное магнитное поле буквой В со шляпкой,
то в вакуумной области отсюда получаем:
B~o = -Vxo; B9)
V2xo = O. C0)
Граничные условия на статической границе раздела S между
плазмой и вакуумом имеют вид:
ро+Во2/8я—Во2/8п=О; C1)
По-Во=0; C2)
по.'Во = О) C3)
а на идеальнопроводящей поверхности 5' остается одно условие
п-В0=0. C4)
Потоки
ФрМ^Д; C5)
SPo
Фт= f rfVnro.B0 C6)
st9
предполагаются заданными. Было показано, что эта система урав-
уравнений имеет решения в случае осесимметричной тороидальной
симметрии. Однако общая теория понята не полностью, поэтому
условимся считать, что решение существует, и будем изучать его
устойчивость.
Рассмотрим малое отклонение от положения статического
равновесия, такого как описано выше, и запишем р=ро+рь
р=ро+ри v=0+vi, B=Bo+Bi, E = 0+E!
и т.д., где |pi|<Cpo, |pi| <C |/?о|... Если мы линеаризуем уравне-
уравнения A) — C), E) и G), то получим:
¦^- + v(P.v,) = 0; C7)
Ро-J- = - VA + i (VXB,)XBO + ^ (vXB.)XBx; C8)
.372
O; C9)
D0)
f D1)
При написании уравнения C9) мы использовали точное уравнение
dp/dt+v • Vp+ypV • v=0, D2)
полученное исключением р из C) с помощью уравнения A).
Если взять производную по времени от уравнения C8) и исполь-
использовать уравнения C7), C9) <и D1) для того, чтобы исключить
dpi/dt, dpjdt и dBi/d/, то лолучим следующее выражение:
P.-^- = Fv, D3)
где действие линейного оператора F на вектор % определяется
формулами:
^^^S^ D4)
Q=VX(iXB0). D5)
В вакуумной области, где в случае необходимости будем отме-
отмечать величины шляпками, имеем:
v-b,=o-v|-=O; D6)
VXB, = O-VX ¦#- = <>. D7)
Как следствие уравнения D6), запишем:
D8)
где Ai — возмущенное электрическое поле, а из уравнения D7)
.имеем:
0. D9)
С другой стороны, из уравнения D7) следует, что
dh1/dt=—V%u E0)
откуда вследствие D6) получаем:
V*Xi=0. E1)
Можно использовать вектор-потенциал Ai и скалярный потен-
потенциал %х. Первый более удобен при вычислениях, последний — при
выводе энергетического принципа.
373
На поверхности идеальнопроводящего кожуха S' из линеари-
линеаризованного условия п-В = 0 с учетом того, что п не изменяется
во времени, имеем:
Заметим, что для любой площадки S' из уравнения E2) следует
условие
^r-A1. E3)
Так как интеграл берется по произвольной замкнутой линии, то»
из условия E3) находим:
E4)
где X — скаляр, определенный на S' таким образом, что вектор-
nXv^ однозначен. Мы выберем такую калибровку, чтобы Я=0.
На движущейся поверхности S производную по времени от выра-
выражения п-В = 0 для наблюдателя, движущегося с элементом жид-
жидкости, можно записать аналогично тому, как это было сделана
в уравнении A5)
-vX(vXB)]. E5)
После линеаризации уравнения E4) получаем:
E6)
Используя далее D8), преобразуем E6) к виду
0=п0 • VX (Ai — viXBo) =0, E7>
откуда при соответствующем выборе калибровки с учетом усло-
условия по-Во=О следует, что
O=noX (Ai — viXBo) =nXAi+n0 • ViBo. E8)
Если E0) подставим в E6), то получим:
O=no-[Vxi+VX(viXBo)]. E9)
Заметим, что после интегрирования по произвольному элементу
поверхности 50 с учетом того, что ВоХ^г параллельно п0, урав-
уравнение E9) принимает вид:
374
J. F0)
Вследствие того, что поверхность интегрирования произвольна,
имеем:
По • VX (viXBo) =по • VX (поХВоПо • Vi) ==
= (noXV).(noXBono-v1). F1)
В F1) входят только величины no-v и n0Xv > которые содержат
лишь тангенциальные производные к So. Из условия на поток B5)
лосле линеаризации имеем:
0=С <Гг. -S--f ^.v,XB0. F2)
Используя уравнение D8) совместно с граничными условиями
E5) и E7), находим, что уравнение F2) удовлетворяется авто-
автоматически. Последнее можно увидеть сразу, если применить тео-
теорему Стокса. Используя уравнение E7), переписываем уравнение
F2) в виде
o=f л-vxi+f ж-^хВ.. F3)
К 'с
f
К
То
Аналогичные выводы следуют и для полоидального потока, где
F4)
Беря производную по времени от уравнения B1), находим:
4f iB.(-f-+v.VBJ=1LB.(^ + vAB). F5)
Линеаризуя это уравнение и используя C9), D1) и D8), по-
получаем:
^ F6)
Далее для упрощения обозначений индексы 0 и 1 опустим.
3. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Теперь покажем, что из уравнения D3) следует закон сохра-
сохранения. Для этого умножим скалярно уравнение D3) на dv/dt
и проинтегрируем результат по объему плазмы. Воспользуемся
375
свойством, указанным .в приложении С, а именно тем, что опера-
оператор F является самосопряженным; интегрируя по объему, заня-
занятому плазмой, получим равенство
J d3rv • Fu= J d3ru • Fv. F7)
Если квадратичная форма ('кинетическая энергия) имеет вид:
то с учетом того, что область интегрирования не зависит от вре-
d2v
мени и d/dt(dv/dtJ=dv/dt--—-> используя уравнение D3), на-
находим: 3
dK С 13 ^v г ^ Г лз / ^v t: I с ^v >\ dW ics\\
dt == | 7 d^ ~^~ J у&Г ~^~ ~Ш~) ==== dt > ^ '
I
где
W{v\ = -±-[d*rv.?v. G0>
В результате получим закон сохранения
K+W=const=E. G1)
Так как уравнение D3) линейное с коэффициентами, не завися-
зависящими от времени, то можно искать решения вида
v(r, *)=ехр(ноО Е(г), G2)
которые при подстановке в уравнение D3) дают уравнение
-<o*pg = Fg. G3)
Из условия самосопряженности оператора F легко видеть, что»
собственные значения <о2 действительны. В общем случае спектр
собственных значений -имеет очень сложный вид и содержит как
дискретные собственные значения, так и непрерывный спектр, при
этом @2=0 бесконечно вырождено, так как выбор |=а(р)В+
+ P(P)ViXB, где а и р — произвольные функции р, дает F? = 0.
Более того, задача нахождения решений G3) неразрешима, за
исключением случаев .плоской или цилиндрической симметрии и
очень простых конфигураций магнитного поля и профилей давле-
давления. К счастью, для многих приложений желательно лишь полу-
получить ответ на вопрос, устойчива конфигурация или нет. Как мы
увидим, выбирая физически разумное определение устойчивости,
мы 'можем свести задачу к установлению факта, может или нет
функционал W в уравнении G0) принимать отрицательные зна-
значения.
Линейный рост возмущений во времени, связанный с со2=0,.
физически не существен, так как на практике идеальная магнито-
376
гидродинамическая модель является лишь приближением к ре-
реальным -системам, в которых, как «правило, есть слабые потоки
из-за процессов переноса, связанных со столкновениями или тур-
турбулентностью. Опасными являются лишь те неустойчивости, ко-
которые нарастают за время .меньше чем т, характеризующее сла-
слабые потоки. Как мы увидим, кроме со2=О, любые неустойчивые
движения нарастают экспоненциально во времени, 'и можно ожи-
ожидать, что они более опасны, если их эффективная скорость нара-
нарастания больше чем 1/т.
Теперь из уравнения G1) видим, что если функционал №>0,
то неотрицательный функционал К не может расти во времени
неограниченно, так как из уравнения G1) следует неравенство
К=Е — HP<?=const. G4)
Поэтому для устойчивости, понимаемой как ограниченность
кинетической энергии К, существенно, чтобы функционал W был
неотрицательным.
Сейчас мы покажем, что когда W может принимать отрица-
отрицательные значения, положительно определенный функционал ки-
кинетической энергии
Jj>rpv» G5)
будет расти экспоненциально во 'времени, что мы ,и будем рас-
рассматривать как неустойчивость. Заметим, что в этом случае, если
обозначим производную по времени точкой
и используем уравнения D3), F8) и G0), то получим:
Vv Fv = 2K-2W. G7)
Отсюда следует, что
[ + -~, G8)
тогда, используя неравенство Шварца, получим следующее нера-
неравенство:
Предположим, что у нас есть поле скоростей vo(r), которое
удовлетворяет всем требуемым граничным условиям «и для кото-
которого функционал W отрицателен. Рассмотрим движение с на-
начальными условиями v=v0 и d\/dt=O. Пусть при этом ?<0.
377
Введем функционал y=\nI(t)/I@) и определим Е=—2v2/@).
Тогда из неравенства G8) следует условие на
-y) (80)
и г/@)=0, г/@) =0. Пусть Y(t) удовлетворяет тем же начальным
условиям, только вместо неравенства (80) для Y пусть выпол-
выполняется .равенство. Очевидно, y^Y. Умножая y=2v2exp(—У) на?>
получаем первый интеграл уравнения, аналогичного неравен-
неравенству (80):
В результате повторного интегрирования находим зависимость
t от Y
2vt=^dy A - е-*Г^ = 1п х LV-7y/2 » (82)
о
откуда следует, что
y=ln(chv/J (83)
и неравенство
42' 2' (84)
Видим, что I(t) нарастает во времени экспоненциально. Поэтому
в рамках принятых нами определений необходимым и достаточ-
достаточным условием устойчивости является неотрицательность функ-
функционала W.
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ОБОБЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ
ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Для того чтобы упростить анализ выражения для W, удобно
преобразовать уравнение G0) к более наглядному виду, а имен-
именно используя определение оператора F D4), перепишем соотно-
соотношение G0) в виде
] = - 4-
i i] (85)
378
Определим функционал
(86)
Теперь, используя теорему Гаусса и свойство п-В=0, перепишем
(85) в виде
+*•*(>+¦?¦)]• (87)
где единичная нормаль п направлена из плазмы. Для того чтобы
исключить ypV-| из (87), воспользуемся граничным условием
F6), получим:
-?—I-)].
(88)
В2 В^
Так как всюду на S выполняется условие /? + -§^ &Г = ^' то
(В2 Е2 \
р-\--? ?--1=0. Поэтому если определить функционал
и использо)вать граничные условия E4) и E8), то можно пред-
представить (88) в
= --^ f rfV(-n)-AX
(90)
При выполнении преобразований (90) мы использовали тот
факт, что нормаль п направлена от 5, если смотреть со стороны
вакуума, и интеграл по S' равен нулю в силу условия E4) при
Х=0. Поэтому если представить функционал Wv в виде
(91)
то
(92)
379
Нас интересует, может ли функционал W быть отрицательным.
Последовательный способ исследования этого вопроса состоит \в
минимизации W относительно % с некоторой удобной нормиров-
нормировкой, сохраняющей функционал W ограниченным. Так как уравне-
уравнение ухухА=0 является уравнением Эйлера—Лагранжа, опре-
определяющим вектор-потенциал, который минимизирует неотрица-
неотрицательный функционал Wv с граничными условиями пХА=—п-^В
на 5 ,и п><А=0 на S\ то достаточно минимизировать функционал
W по А, не требуя выполнения условия у X у X А=0. Более
того, при нахождении минимума можно не требовать, чтобы вы-
выполнялось условие баланса давлений F6), так как мы покажем,
что если есть векторные поля % -и А, которые дают отрицательные
значения функционала W, но не удовлетворяют условию F6),
можно всегда найти близкие поля % и А, которые также приведут
к отрицательным значениям W, но будут удовлетворять усло-
условию F6). Для того чтобы покарать это, возьмем |=f+eir), где т],
являясь величиной одного порядка с f, быстро изменяется на
расстоянии порядка 8 в направлении, перпендикулярном S, но
имеет медленно изменяющиеся производные в направлениях ка-
касательных к поверхности 5 в пограничном слое, и у Л 'порядка
V % вне пограничного слоя. Тогда получаем оценку
— nx (nXV)He4) =
еч — n x (n X V)'N) = O(n-ij), (93)
так как n-(yti) порядка единицы, как и тангенциальные произ-
производные nXV*
В этом случае условие баланса давлений F6) можно записать
в виде
(S) i^ . (94)
Далее с точностью до нулевого порядка по 8, так как В- у
не содержит нормальных производных, получим уравнение
(95)
которое определяет п-у(п#/п) на S. Ввиду того что (95) содер-
содержит лишь нормальную производную от п-т), а не п-т], можно
выбрать п«т) = 0 на 5. Отсюда видно, что если использовать §
вместо 1, то величины Ws и Wv не изменятся. Более того, заме-
заметим, что единственное изменение (порядка единицы) при замене
% на % возникает в подынтелральном выражении функционала WP
330
в тех членах, которые содержат у-? B узком пограничном слое
толщиной е ©близи 5. Вне этого слоя изменения будут порядка 8.
Таким образом, -соответствующее изменение функционала WF
является величиной порядка е и может быть сделано сколь угодно-
малым. Следовательно, не нужно требовать (выполнения условия
F6) при нахождении минимума функционала WF.
Если желательно работать со скалярами, а не с векторами,
то можно воспользоваться потенциалом % вместо овектор-потен-
циала А. Необходимо только переписать выражение для функ-
функционала
iJ (96).
и воспользоваться граничными условиями E2) и E9). Следует
также принять во внимание условия F3 и F4), чтобы минимум
был единственным. Проанализируем теперь, может ли функцио-
функционал W принимать отрицательные значения. Рассмотрим такие
классы векторов |, для которых п-|=0 на S. Тогда Ws = 0'
и WV = 0. Используя для функционала WF выражение (D.13),
получаем:
8nWF= jd3r{4ttW(v-lJ + [V X A X В) +
(V X В) х М(п-1J]-2(п-1J(у X В)Хп-(В.уп)}. (97)
Ясно, что для ограничения функционала WF снизу необходимо
нормировать п-5, например потребовать \d3r(n-%J= 1. Как по-
показано в приложении D, если представить | в виде| = ау р-\-Ъ уХ
ХВ+сВ, то получим:
8nWF = j (Pr {[у X (—аур) + 4л (уб) х р + а (у х В) х ур]2 +
+ 4лур[у.(аур) + (уй).у х В + В.ус[2 —
- 2а2 (у х В) х (ур) • (В • у ур)}. (98)
Заметим, что подынтегральное выражение в уравнении (98) не
содержит -производных от Ъ и с в направлении у р. Поэтому урав-
уравнения Эйлера, получающиеся при отыскании минимума WF по
отношению /к Ъ и с при фиксированном а, не будут содержать
связей между величинами си 6 на различных магнитных поверх-
поверхностях p=iconst и представляют собой поэтому дифференциаль-
дифференциальные уравнения в частных производных по двум, а не по трем
переменным. В заключение заметим, что те члены в подынтеграль-
подынтегральном выражении (98), которые могут дать отрицательный вклад
в Wjr, легко переписать в терминах дифференциальной геометрии
силовых линий, определяемых системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений dr/dX=B. Тогда t=B/5 — единичный каса-
касательный вектор, и если v — единичная нормаль, a b — бинормаль,
381
то эта тройка векторов удовлетворяет соотношениям Серэ—Френэ
t.yb==Tv, tyv = Tb — kt9 t-vt = b, (99)
где т — радиус кручения, a k — кривизна. Единичную нормаль
-п=ур/)ур| к магнитной поверхности можно записать следую-
следующим образом:
n=—bsincp+ vcoscp, A00)
"так как f> ур=0, где ф — угол между плоскостью, соприкасаю-
соприкасающейся с сило-вой линией, и «плоскостью касательной к магнитной
ло,верхности. Если записать VXB с учетом п- у ХВ=0
VXB=|VXB|[tcose+nXtsine], A01)
то легко установить, что выполняется соотношение
— (VXB)Xn-(B.Vn)=fev.Vp+(B.VXB)(r — t-Vcp). A02)
Из уравнения (99) непосредственно следует, что если интересу-
интересующая нас силовая линия изгибается в направлении градиента
давления, то &v-Vp<0. Более того, т—^«V9 является мерой кру-
кручения п относительно v, .а кривизна В-уХВ зависит от направ-
направления плотности тока по отношению к магнитному полю.
Предположим, что, -используя пробные функции или опре-
определяя минимум (98) аналитически или численно, найдем такое |,
что W<C0 при 11*1=0 на S. В этом случае, очевидно, система
неустойчива. Если можно показать, что W>0 гори п-|=0 на 5,
то необходимо ослабить это граничное условие и искать минимум
Wv-\-Ws-\-WF. Потенциал, поддерживающий неустойчивость, воз-
возникает из-за того, что W8 может быть отрицательным, несмотря
на то что функционал Wv существенно неотрицателен.
S. ПЛАЗМА БЕЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ, УДЕРЖИВАЕМАЯ
ВАКУУМНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Простейшим примером применения энергетического принципа
является случай, когда система состоит из плазмы, в которой
В = 0, p = const, окруженной вакуумным магнитным полем. В этом
случае WF=l/2 / d3rp(у *Ю2^0. Выберем I так, чтобы у •?=0.
Для любого заданного выбора п% на 5 можно найти такое %,
записав 1=\7ф 'и р^шив уравнение у2Ф = 0. Тогда получим:
(ЮЗ)
//
где n — единичная нормаль к границе раздела, направленная
внутрь плазмы. Пусть R — вектор, направленный -из точки рас-
рассматриваемой силовой линии в соответствующий центр кривизны.
Тогда, так как р = const в плазме, из соотношения B1) следует,
382
что B2=const на 5. Более того, уХВ=0, поэтому B = St и
= Й B2(Y Vt)=^||^, A04)
откуда вследствие (99) Г yt=kv=R/R2 и п-?=0.
Рассмотрим точку на поверхности S, где ©актор R направлен
в сторону плазмы, ,и построим в этой точке локальную декартову
систему координат с осью z, нормальной к поверхности и направ-
направленной в вакуум, -и осью х, параллельной вектору В. Выберем
Ь(х,У, O) = hf(x,y)sinky, A05)
где / — функция порядка единицы по величине, которая падает
до нуля на расстоянии a<^R и ka2*>R. Выберем также пробный
вектор-потенциал в виде
(IL) A06)
Заметим, что при Ъ = Вех уравнения A05) и A06) удовлетворяют
граничному условию E8). Такой выбор % и А 'Приводит к тому,,
что вклад вакуумной области в A03) пренебрежимо мал по срав-
сравнению с вкладом от интеграла по поверхности:
2k > (Ш/>
7/
так как | у /12 ^ 1/л2 и ps^V | V / Г2 ^ а2 ( у /J ^ 1, поэтому инте-
интеграл можно вычислить:
(n-lJ^^-^!^. (Ю8)
Таким образом, функционал № отрицателен и система неустой-
неустойчива. Отметим, что если где-либо на поверхности границы S есть
вогнутость в сторону плазмы, то система неустойчива.
6. РАЗМЫТЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПИНЧ
Рассмотрим теперь размытый линейный линч [8]. Это модель,,
где в цилиндрических координатах г, 0, z имеем р=р(г) и
B = JBe(r)ee+Sz(/')ez. Тогда из условия магнитостатического рав-
383-
яовеоия B9) следует, что
dr
dr
dr
г. в вакуумном кольце, окружающем цилиндрический плазменный
?толб радиусом а,
S=2fl(a)-?- eQ + ?2e2, (НО;
где Sz = const и с учетом C1) имеем:
8яр(а) +Bl(a) + B2z(a) = В20(а) +B2Z. (Ill)
В силу цилиндрической симметрии можно макать (решения в виде
A12;
Тогда, вводя переменные
A13
л выражая через них
— ~~l
+
hrB2+mBQ f
мож,но по,казать после алгебраических /выкладок, что
ОО 00
ттгл П
т=—оо —оо
кфО и тфО. Используя (98), можно написать, что
1 Н (г?\ 2 U2r2 I m2
где
® = ;
-f тВ9) ^
Когда т = 0, /г=И=О, удобно определить функционал
A15
, A16
(Ц7
384
Здесь
В заключение заметим, что
А.
dr
JL
dr
A20)
A21)
Ясно, что если какое-либо из Wh>m может быть отрицательным,
то система неустойчива. Но когда и k .и т не равны нулю, из A16)
следует, что минимум Wk>m реализуется выбором
Более того, если мы запишем |=a+i р, то Wk) m= Wk} m (а) +
+ ^а, ™(Р)- Так как аир действительны и независимы, достаточ-
достаточно найти минимум Whf w(?), рассматривая | как действительную
величину. Для этого удобно проинтегрировать по частям и
написать:
¦И'(¦?)'+*]¦
где
f=
d(rBB)
dr
d
dr i
kr + m
¦•]•
A22)
A23)
A24)
Рассмотрим случай тФО и вспомним, что k=mq. Тогда только
второй член в правой части A24) зависит от т, при этом он
положителен и пропорционален т2. Таким образом, наименее
устойчивым является случай, который соответствует т2=1, -и
так как Whtm= W-ki-m, то достаточно рассмотреть только т=\
для —оо<(й<оо. Более того, когда А=й=О и т=0, из уравнения
A19) видно, что функционал TFft, о неотрицателен, если функцио-
функционал Wo (который не содержит k) неотрицателен, так как второй
член iB правой части, очевидно, неотрицателен. Таким образом,
необходимо рассмотреть только предел ?->0. И, наконец, когда
?=0, из A21) ясно, что Wo,o^Wo. Поэтому система устойчива
относительно «возмущений с т=0, если Wo>O. Заметим, что Wo
имеет такой же вид, как и A22).
Полный и строгий анализ устойчивости линейного диффузного
пинча выполнен в [8]. Здесь мы ограничимся выводом простого
достаточного критерия неустойчивости и перечислим итоговые ре-
13 Зак. 137 385
зультаты Ньюкомба [8]. Для этого отметим, что если Wkim в A22)
может принимать отрицательные значения при пробной функции
Ъ(г), то он будет отрицательным и при использовании A'go(r),
где А — произвольный большой сомножитель. Поэтому для того,
чтобы получить корректно сформулированную задачу об отыска-
отыскании минимума, следует ввести норму, чтобы ограничить A22)
снизу. В частности, будем иметь дело с пробными функциями,
которые локализованы вблизи нулей функции f, расположенных
в точках rs, где
krsBz(rs)+mBQ (rs)=0. A25)
В окрестности r9, f & g можно представить с достаточной степенью
точности первыми, не равными тождественно нулю членами б раз-
разложениях в ряд Тейлора, а именно
f=a(r-re)»>fir=-p, A26)
где константы аир определяются выражениями:
г2В2йВ\
dr
dp
В2 dr
^0; A27)
A28)
A29)
Так как (во многих интересных случаях dp/dr^.0, то имеем р>0.
Если возмущения локализованы в окрестности точек r—rs и обра-
обращаются в нуль в точках Г\ и гг, то для них функционал Wk,m
можно записать в виде
Wk,m = ]dr[a(r-rsf(-%-)-^}. (ISO)
Предположим, что аир положительны, определим минимум вы-
выражения
с нормировкой
]r?2=l. A32)
Используя стандартную процедуру варьирования, придем к урав-
уравнению Эйлера—Лагранжа„ однородному по r—rs:
ЗР/з
где A2— множитель Лапранжа. Уравнение A33) имеет решение
5 = А (г -rs)~m sin [Y Inr-^|. A34)
Здесь А — нормировочная постоянная при условии, что
n=\t 2, 3... A35)
— rs
Заметим, что X можно сделать сколь угодно малым, выбирая /ч
достаточно близким к rs. Если A39) с п=\ использовать как
пробную функцию и подставить -в A30), то в результате интегри-
интегрирования по частям получим:
-$* . A36)
С учетом A32) и A33) уравнение A36) можно преобразовать
к следующему .виду:
Так как К можно сделать сколь угодно малым, Wkj т может при-
принимать отрицательные значения, если
Р>4"а- A38)
Неравенство A38), очевидно, представляет собой достаточное
условие неустойчивости, а если изменить знак неравенства, то
получим необходимое условие устойчивости. Оно называется кри-
критерием Сайдем>а [7]. Отметим, что оно не зависит от k и т и яв-
является локальным для тех точек, где выполняется условие A25).
Нькжомб также показал, что диффузный линейный п«инч неус-
неустойчив, если есть какое-либо решение уравнения
A39)
возможно сингулярное в точках, где выполняется A25), и такое,
что оно определяет W7fe, m, которое обращается в нуль на любом
интервале rs</*Os+i. Более того, для устойчивости необходимо,
чтобы давление плазмы имело минимум при г=0.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А, Векторные теоремы. Рассмотрим векторный элемент длины dr, который
перемещается полем бесконечно малых смещений 1, зависящим от г. Тогда из-
изменение dr при перемещении (см. рис. 7) будет:
ddr = dr-yl. (АЛ)
13* 387
Рис. 7. Диаграмма, показывающая
изменение векторного элемента
длины dx при бесконечно малом
смещении ?
Рис. 8. Схема изменения площади
поверхности А, ограниченной кри-
кривой С, вызванного смещением эле-
элемента С длиной dx
Пусть dxf будет другой элемент длины, не параллельный dx. Тогда можно оп-
определить векторный элемент площади, связанный с параллелограммом, сторо-
сторонами которого являются dx и dx\ как
d2x = dxxdx'. (A.2)
Изменение d2x при смещении в первом порядке по ?, как легко вычислить,
представим в виде
Ы2х== (dr.vg) X dx' + dx X (*'• yg) = - [(dxxdx'xy] X g. (Л.З)
Если n — единичный вектор, параллельный d2x=d2rn, то из (Л.З) следует, что-
d2rbn + ndd2r = -dV(nXv)X? (А А)
Так как п-п=1, то п-6п = 0 и скалярное произведение выражения (АЛ) на п
дает:
§d2r = — d2rn-(n X V) X g = — d2rn X(nXv)i И-5)
Если из (Л.4) вычтем скалярное произведение п на (Л.5), то получим:
бп = — (п X V) X 1+ пп X (п X v)-S = — (vS)-« + nn.(vl)-n. (Л.б>
Отметим, что (А.5) и (Д.6) содержат только nxV, т. е. производные, ка-
касательные к поверхности. Более того, если 1 описывается полем потока, ха-
характеризуемого скоростью v, т. е. ? = v6^, то (Л .6) в результате дает:
n = lim -Tj— = — (yv) n + nn- (yv) -n
и из (Л.З) следует:
(d2r)/ = — (d2x X v) X v.
(Л.7>
(Л.8>
Рассмотрим изменение площади, связанное со смещением кривой С, ограничи-
ограничивающей площадку Л. Вклад от сегмента dx вдоль С в это изменение (рис. 8)
будет:
&Рг - | X dx. (Л.9>
Таким образом, изменение магнитного потока через Л
В-1Х^Г' О4-10)
с
== f
А
338
откуда следует, что
d С С дВ С ГГдВ
^- J ^rB = J d'r.-^p- J ^r.vXB= } Л> [
J
Покажем, что
n-v X A X В) = (п X V)'(n-ln X В), (Л.12)
т. е. сюда входят только касательные производные от нормальной компонен-
компоненты ?. Для этого, предполагая п-В=0, запишем:
Но так как п — единичная нормаль к S, можно считать, что 5 — поверхность
уровня функции f, поэтому, если C=|V/|~i, то
(ЛЛ4>
уп - Cw/ + (VO V/ = CVV/ + С (VQ п. (Л. 15)
Отсюда с учетом того ,что VV/ симметрично и п-В = 0 имеем:
и n-VX(^XB) содержит только п-|. Поэтому, если мы напишем ?==пп*5+
+ пХ(^Хп) и подставим в n»VX(?XB), то останется только часть, содер-
содержащая п-1, поэтому #
n-vX (|XB) = (n X v)'(n-^nxB). (Л.17)
Отметим, что из (Л.15) следует, что Vxn = CVX (V/) + C(VC) xn =C(VC)X
Xn, откуда
n-vXn=0. (АЛ8)
В. Векторные тождества. Напомним, что ур = 4^* (V X в) X В и что Q=
= VXAXB). Тогда вектор
v (l-vp) +-5T (vXB)XQ= (vD-v^ + l-vv^ + i^- (vXB)XQ =
= [(vp)XvJXI + (vS'vp + l-wp + i (vXB)XQ-
[wXB)XB]Xv}XI + (vl)
[
- (vXB)
-Bxtl-v (vXB)] -l-v f(vXB)XB] + bx(vXB)
+ (vl) v/> + i
l=iBX(vX[lX(vXB)]} + (vl) vp- (ВЛ)
389
С. Детали вывода закона сохранения энергии и самосопряженность Пусть
Q'?=.VX(i'XB) и Q=VX(?XB). Тогда, используя E:.). имеем:
V• FШ = |'• [V {wl + %• vp) + i (vXQ)XB +
+ 47 (vXB)XQJ=l'-[v (ypv-S) + i (vXQ)XB +
x (I'XB) +1'-4^
^-(vXB)XQ'-(vl) (yPv-I
= v ji'YPvi-^ ^
-l(-ipvl' -^rQ'-B + l' -xp) +B(|'-Q-iQ'-IXI'-vp) [
+ 1- fv (wl' + i'-vrt +-j7
v/') [ +5FE'}. (C.2)
Таким образом, если проинтегрировать (С.2) по объему плазмы с учетом
п-В—0 на S, то получим:
390
в* в \ S 11
j + VJ] (C.3)
Поэтому, как вытекает из соотношения C3), которое выполняется всюду на S,
в2
Таким образом, члены, содержащие р+В2/8я—В2/8л в (С.З), исчезают.
Более того, используя E8), F6), D9) и E4), можно переписать (С.З)
(с учетом п=—п) в виде
h [V-F Ш - l'F{l'} = f S
J
5
S+5'
S+S' //
=O. (C.5)
В (С.5) A — вектор-потенциал, соответствующий %t а А', соответствующий
1'. Заметим, что (С.5) выполняется и для \'=dvldt, так как уравнения и гра-
граничные условия те же самые, с заменой лишь v и А на dv/dt и dA/dt.
D. Преобразование функционала W*.. Заметим, что в жидкости, где
4jtV/?= (уХВ) хВ, векторы В, Vp и VXB не компланарны и можно записать:
| = aw + by X В + сВ, (D. 1)
поэтому
§ХВ = — аВХур + 4л6ур; (D.2)
|Х (VX В) = — fl(yX В) X VP — 4ясуР- ф.З)
Кроме того,
fl (VPJ V-(^V X В + сВ) - v-[fl (VPJ (^V X В + сВ)] =-(^ХВ +
(VPJ] = - ^V-[fl (VPJ V X В] -су.[a (VpJB] =
X [a (V X B) X VP]} ~ CV- [(VP) + (aB X VP)] =
. у X[fl(yxB)X VP] + c (VP)'V X (aB X VP) = V41a (V X B) X VP] +
+ %>} + fl(vXB)X (VP) -V X (/>VP) + с (VP) • V X (aB 4- yp). @.4)
Отсюда следует, что
a (vpJ V- (^XB + cB) =y-[ac (vpJ В] + й(уХВ)Х
X (VP) • V X (byp) + с (ур) • V X (aB X yp). @.5)
391
Таким образом, используя теорему Гаусса (89) и условие п-В=0
SkWf == J d3r {4яур (v|J + [V X (— аВ X VP + 4я6ур)]2 +
+ 4яа (урJ V («VP + bV X В + cB) + [а (у X В) X ур + 4ясур]• V X (— аВ X
X VP + 4я6ур)} = J ^ {4яур (vlJ + [V X (—аВ X VP
+ 4яа(урJу-(аур) + 8яа (у X В) х (VP)-V X (бур) — а (у X В) Х(ур)-у X
X (аВ X ур)} = 1 d3r {ур (у-?J + [у X (—аВ X ур + 4я6ур) + а (уХВ) X
X (ур)]2 + а (у X В) X (ур)-у X (аВ X ур) - а2 [(у X В) X ур]2 4-
+ 4яа(урJу(аур)} (D.6)
определим:
n = VP/I VP I . (D.7)
Так как
4яур = (у X В) X В, то — а2 [(у X В) X ур]2 + а (у X В) х (ур)-у X
X (аВ х ур) + 4яа (урJ у- (аур) = ~а2(уХ ВJ (ур)'- +
+ а2 (у X В) X (VP)-V X (В X ур) +а (у X В) X (ур)• (ур)• (уа) X (В X ур) 4-
+ 4яа2 (урJ у2р + 4яа (урJ (уа) • ур = — а2 (у X ВJ (урJ + а2 (у X В) X
X (ур) • [УР-уВ — В• уур + Ву2р] + 4яа2 (урJ у2р + а (у X В) X (ур) • [В (уа) X
X ур - (ур) В-уа] 4- 4яа (урJ (уа) -ур = а2 (урJ [-(у X ВJ +
+ (VXB) xn-(n.yB —B-yn)]. (D.8)
Вследствие того, что V-B = 0, ¦
0 = у (п-В) = п-уВ + В.уп 4-п X (у X В) -f В X (у X n), (D.9)
поэтому
— (у X ВJ + (у X В) X п-[п-уВ — В-уп] = — (у X ВJ + (у X В) X п X
X [— 2В.уп — nx (VXB)-BX (у хп)]= — (у Х ВJ + [п X (у X В)]2—
— 2 (у X В) х п.(Вуп) — (у X В)-В.п-у X п —
— (у X В) X (у X п) п-В = — 2 (ух В) X n-(B-yn), (D.10)
так как из 4ttVp=(VxB)xB следует, что n-VxB = 0, то
[пх (у X В)]2 = л2(у X ВJ —(п-у X ВJ = (у X ВJ. (D.11)
Здесь п — единичный вектор, поэтому из интеграла по произвольной площад-
площадке на поверхности р=const от n-VXn имеем (с учетом теоремы Стокса)
JdVn-y X n= jdr-n=O, (D.12)
следовательно, из того, что площадка произвольна, можно сделать вывод, что
n-VXn = 0. Поэтому, используя (D.6) и (D.10), можно написать:
8nWF =j(Pr{4nyp (у-1J + [Q + (у X В) X nn-g]2 - 2 (tvgJ (у X В) X n.(B.
(D.13)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lundquist S. — Phys. Rev., 1951, vol. 83, p. 307.
2. Hain K., Lust R., Schluter A. —Z. Naturforsch., 1957, Bd 12A, S. 833.
3. Bernstein I. В., Frieman E. A., Kruskal M. D., Kulsrud R. M. — Proc. Roy.
Soc, 1958, vol. A244, p. 17.
392
4. Kruskal M., Oberman С. R. — Phys. Fluids, 1958, vol. 1, p. 275.
5. Grad H. —Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 225.
6. Bateman G. MHD Instabilities. Cambridge, Massachusetts: the MIT Press,
1978.
7. Suydam В. К. Stability of a Linear Pinch with a Continuous B-Field,
11D-7558. Papers presented at the Controlled Thermonuclear Fusion Conference
Held at Washington D. C, Feb. 3—5, 1958.
8. Newcomb W. A. —Ann. Phys., 1960, vol. 10, p. 232.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА '
Кадомцев Б. Б. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 2/Под ред. М. А. Леон-
товича. М.: Атомиздат, 1963, с. 132.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА НЕСТАЦИОНАРНОЙ
И НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ *
Л. БЕРНШТЕИН, Л. ФРИДЛЕНД
ВВЕДЕНИЕ
Распространение электромагнитных волн — одно из основных
явлений в физике плазмы. Для некоторых приложений, таких как
высокочастотный нагрев или зондирование плазмы, необходим
подход, позволяющий вычислять значения полей даже в плазме
сложной геометрии, параметры которой изменяются в простран-
пространстве и времени. Такая задача требует, вообще говоря, совместного
решения уравнений Максвелла для электромагнитного поля и
системы кинетических уравнений для плазмы. Более того, при
этом может потребоваться учет нелинейных эффектов, что делает
задачу очень сложной. Но во многих случаях амплитуды полей
невелики, что позволяет применять линейную теорию. Кроме того,
характерные длины волн часто малы по сравнению с пространст-
пространственными масштабами, а частоты много больше обратных времен,
характеризующих изменение макроскопических свойств плазмы
(плотности, температуры, квазистационарного магнитного поля
и т.п.). В этом случае возможно приближенное описание иссле-
исследуемых явлений с помощью методов геометрической оптики, поз-
позволяющее вычислять поля путем интегрирования системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Такое описание позволяет
получить решения с использованием современных быстродействую-
быстродействующих ЭВМ даже в тех сложных ситуациях, которые могут иметь
место в ионосфере или в проектируемых реакторах для управ-
управляемого термоядерного синтеза.
Приятная особенность этой теории состоит в том, что элек-
электромагнитные свойства плазмы полностью описываются тензором
диэлектрической проницаемости — объектом, хорошо известным
из теории неограниченных однородных равновесных сред. Вид
1 Пер. с англ. Е. Н. Кручины.
393
этого тензора зависит от природы плазмы, но в формальной гео-
геометрической оптике он считается заданным. Теория автоматически
учитывает возможность двулучепреломления. Ее можно обобщить
и рассматривать не только внешние монохроматические источни-
источники, как это обычно делается в геометрической оптике, но также
и распределенные источники, находящиеся внутри плазмы.
Теория становится особенно простой, если тензор диэлектри-
диэлектрической проницаемости почти эрмитов и дисперсионное уравнение,
к которому он приводит, не имеет кратных корней (так назы-
называемый невырожденный случай). Этот вопрос рассматривается
в разд. 1. Обобщение на неэрмитовы тензоры диэлектрической
проницаемости представлено в разд. 2. Сложности, возникающие
из-за вырожденности, рассматриваются в разд. 3, а случай внут-
внутренних источников — в разд. 4.
1. НЕВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА С ПОЧТИ ЭРМИТОВЫМ
ТЕНЗОРОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
1.1. Теория возмущений и уравнения траекторий. Рассмотрим
плазму, в которой существует электромагнитное поле малой
амплитуды, подчиняющееся уравнениям Максвелла:
cVXB = 4KJ+dE/<9/; A)
= — дЪ/dt. B)
Предполагается, что два других уравнения Максвелла: у-В = 0
и у.Е=4яХ выполняются в начальный момент, тогда A), B)
и уравнение непрерывности \7-J+C2/d/—0 обеспечивают их вы-
выполнение и в дальнейшем. Поскольку амплитуды полей предпо-
предполагаются малыми, можно ожидать, что плотность тока будет ли-
линейным функционалом от Е и В, который формально с помощью
B) можно вырааить только через Е. Кроме того, поскольку мы
будем рассматривать поля, локальные длины волн и периоды ко-
которых малы соответственно по сравнению с пространственным
масштабом и временем, характеризующими диэлектрические свой-
свойства плазмы, то можно ожидать, что J (г, t) будет определяться
главным образом условиями в окрестности г и временами близ-
близкими к t. Наиболее общее нелокальное линейное соотношение та-
такого рода, подчиняющееся принципу причинности, запишем в ви-
виде
t
J(r, /)=l>r' jVo(r-r\ /-/', Ц^, '-±^Е(г',Г), C)
где зависимость о от г—г' и t—/' является более резкой, чем от
r+г' и t-\-t' соответственно. Такая зависимость подсказывается
тем, что в неограниченной однородной равновесной плазме а за-
зависит только от разностных аргументов. Как известно, в такой
394
плазме монохроматическую плоскую волну внешнего происхож-
происхождения можно представить как Е—Re[a exp i (k«r—со?)]. Это на-
наводит на мысль искать решение в медленно меняющейся плазме
в виде
Е(г, 0 = Re [а(г, 0е1ф(г> °] -4-(aei* + a*e^; ^
В (г, f)=Re(b(r, Oe1*^^). E)
Если ввести
k(r, /)=v*; F)
со (г, t)=—d$/dt, G)
то величины a, b, k и со будут меняться медленно, т. е. их относи-
относительное изменение на локальной длине волны 2тг/к или за локаль-
локальный период 2я/со будет много меньше единицы:
2я
ding
dt
где g — любой скаляр, характеризующий фоновую плазму (плот-
(плотность, температура и т. п.).
Как показано ниже (см. приложение Л), если ввести величину
а (к, ш; г, f)= fdV [Л'а(г', V\ r, ^е4"''"*'1"'*, (9)
6
то для электрического поля вида D) получим:
..)], (Ю)
где линейный тензорный оператор К определяется равенством
д да 1 , . да da t n 1Ч
+1Г"Г+'" ( }
Члены, замененные в A0) точками, меньше, чем К-а, на множи-
множитель порядка б. В A1) \к =exd/dkx + eyd/dky-\-ezd/dkz берется при
фиксированных со, г и t, а д/ды — при фиксированных k, r и i.
Оператор \7 вычисляется при фиксированном t, a d/dt — при фик-
фиксированном г, причем к и о считаются функциями г и t. Индекс
Т означает транспонирование.
Рассмотрим холодную слабостолкновительиую плазму без маг-
магнитного поля. Легко показать (см. приложение С), что если
столкновения характеризуются временем релаксации т, то
JgL_ = -^, + ^l + ... A2)
(о + i/т со ' со2т '
395
Здесь I — единичный диадный тензор (аффинор); <ор — плазмен-
плазменная частота, соответствующая электронной плотности,
©р (г, t) = DnNeymy/\ A3)
а сот>1. Обозначим звездочкой комплексное сопряжение. Тогда
эрмитова часть полного диадного тензора
он = ±-[в + в*т], A4)
а антиэрмитова
</ = -!-[о ~о*г]. A5)
Если а=он+оА задается соотношением A2), то
. A7)
и для обычной ситуации, когда сот^>1, он=(—i/coT)aA по порядку
величины много меньше аА. Данный пример показывает, что в
теории возмущений, которой мы следуем в разд. 1, величину ак
можно считать порядка б по сравнению с оА, когда аА^>вн.
Будем искать решение уравнений A) и B) для полей в виде
D) и E), где л|) формально считается величиной порядка 1/6;
b=bo+bi+b2+ ..., A8)
а члены разложения расположены по возрастающим степеням б.
Определим КА-а как выражение, получаемое из A1) с использо-
использованием оА вместо а. Тогда, если подставить разложение A8) в
уравнение A) и приравнять члены одного порядка, то получим:
i(ck хЬо+соао+4я1аА • а0) =0; A9)
i(ckXb0+coa1+4niaA-a1) =4niKA- a0 — cVXbo+d&o/dt B0)
и т. д. Из уравнения B) имеем:
i(dkxa0 — cobo)=0, B1)
i( ckxai — cobi) =—cVX&o — дЪо/dt B2)
и т. д. Введем тензор диэлектрической проницаемости
¦ B3)
' ОJ СО
Если теперь исключим из A9) величину
Ьо=(с/со)кХа0, ч B4)
то результат можно записать в виде
8-ао = О. B5)
396
Условие того, что система трех линейных алгебраических урав-
уравнений B5) для компонент а0 имеет нетривиальное решение, есть
так называемое дисперсионное соотношение
Z)(k, со, г, *)=det8=O. B6)
Заметим, что это известный результат, обычно получающийся в
случае безграничной однородной равновесной плазмы, свойства
которой всюду описываются соотношением B6).
В нашей задаче B6) —это нелинейное дифференциальное
уравнение в частных производных первого порядка для <ф, по-
поскольку согласно F) и G) величины к и со — это первые произ-
производные от i|l Но, как мы увидим, уравнение B6) легко решается
методом характеристик.
Вычисляя смешанные производные, легко показать, что
ую+0к/д*=О. B7)
Если рассматривать B6) как уравнение, определяющее со через
к, г и /:
со = со(к, г, 0, B8)
то, используя правило дифференцирования сложной функции, мож-
можно представить B7) в виде
сог)+ vk)-(Dk+dk/d*=Of B9)
где индекс г означает градиент по г при фиксированных к и t,
а индекс к — градиент в к-пространстве при заданных ги! Вво-
Вводя ортонормированный базис ejy /=1, 2, 3 и декартовы координа-
координаты xjy запишем:
з
так что B9) можно представить в виде
dk/dt+аъ- vk=—cor. C1)
Таким образом, если мы определим скорость г через групповую
скорость озк:
г=сок> C2)
то уравнение C1) примет вид:
к=—сог. C3)
Заметим, что уравнения C2) и C3) являются гамильтоновыми
397
по структуре, причем роль функции Гамильтона играет со (k, r, t).
Из C2) и C3) непосредственно видно, что
¦• • •
со = coj + г * о>г + к • сок = со, C4)
и что г|? = dty/dt + г • уф = — со+к-(ок. C5)
Уравнения C2) — C4) хорошо известны как уравнения хода луча.
Нет необходимости точно определять со (k, r, t) для того, чтобы
вычислить различные частные производные, входящие в правые
части C2) — C5), поскольку неявным дифференцированием B6)
можно получить следующую форму уравнений хода луча, которую
часто используют в приложениях:
к = — сог = Д./До; C6)
г = сок = — ZVA>; C7)
©=©,= —Д/Дв. C8>
Уравнения C2) и C3) должны быть дополнены соответствую-
соответствующими граничными условиями. В типичном случае плазмы, осве-
освещаемой внешним источником, последний определяет а и я|) на
некоторой поверхности, внешней по отношению к плазме, где
в=0, а со и к — известные константы, удовлетворяющие диспер-
дисперсионному соотношению в вакууме. Вообще для решения задачи
достаточно задать а и а|) как функции времени на некоторой по-
поверхности 5 с единичной нормалью п. Это условие задает ktr=
= nX[(Vt|))Xn] и со=—d^p/dt Дисперсионное соотношение опре-
определяет тогда величину kn=k—ktr и направление распространения.
1.2. Перенос амплитуд. Если условие B6) выполнено, то систе-
система линейных алгебраических уравнений B5) определяет отноше-
отношения компонент вектора а0. Чтобы получить уравнения для ампли-
амплитуды а0, используем соотношение, вытекающее из B2):
b,= (c/©)kXai — i(c/co)VXao— (i/®)dbo/dt. C9>
Подстановка C9) в B0) дает с учетом B3):
ш г -ai = L-a0, D0>
где, как показано в приложении Б,
398
—Г fr • fVk (««)]> •a» + 4™" a, D1 >
С уравнением D0) проще всего работать, если заметить, что
вследствие B3)
г = ея, D2)
так что всегда можно найти ортонорм,иро,ванный набор, вообще
говоря, комплексных единичных векторов е,- таких, что
е**-е?.=6и-; D3)
е = 8ieiei*+82e2e2*+83e3e3*, D4)
где 8ь 62 и 8з действительны [1].
Можно записать, что
D5)
D6)
откуда с помощью D3) — D6) из B5) и D0) получаем:
8- ao = 8iaiei+82a2e2+83a3e3 = O; D7)
icoe • ai = 8i7ie1+8272e2+83v3e3 = L-а0. D8)
Кроме того, D = dete =si82s3. D9)
Из условия D9) очевидно, что если D обращается в нуль, то об-
обращается в нуль по крайней мере и один из коэффициентов еь 82
или 83. Рассмотрим случай, когда «i = 0, но &2=т^0 и 8з=^=0, кото-
который мы в дальнейшем назовем невырожденным случаем. Скаляр-
Скалярно домножая D7) на е2* и е3*, получаем, что а2=0 и аз=0, так
что ei есть, очевидно, вектор поляризации, удовлетворяющий ус-
условию s-ei = 0. Скалярно умножая D8) наеД ег* и е3*, получаем:
E0)
2 = e2* • L- снег, E1)
=: е3* • L • aiei. E2)
Уравнение E0)—это линейное дифференциальное уравнение в
частных производных для сц. Как увидим ниже, его можно пред-
представить в виде обыкновенного дифференциального уравнения
вдоль траекторий C2). Для того чтобы показать это, запишем
его с учетом D1)
+ (lv<»8)l * e,«*l>-V«, = P,«,. E3)
где
*0?.*^. E4)
399
Используя диагональное представление D4), получаем:
з
\Ч Г * д (сову) де*,- def ] ^t-v
71 се • —^ hcoee• —^ г"*08/-л— © ,- > \ои/
^J [ / / да> ' 1 J ды ' ^ dco / J
откуда
-У& ¦ E6)
Аналогичным образом можно показать, что
[Vk (®е)] "К" V* = Vk (^i)- E7)
Кроме того, если проварьировать 'равенство B5) по к при фикси-
фиксированных г и t и положить ао=еь то получим:
1 + «B-8e1. E8)
Домножим скалярно последнее равенство на ei*:
Если теперь подставим выражения E6), E7) и E9) в E3), то
получим:
д (сое,) / да. , \ д (сое.) • D /cm
d<o \, д/ • k v lJ да г ri 1 v ;
Это два уравнения для действительной и мнимой частей комплек-
комплексной величины сы. Ясно, что C2) — C5) и F0) составляют систе-
систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в прин-
принципе определяет к, о, яр и сц вдоль траекторий C2). Поскольку
ех задается условием B5), то электрическое поле в наинизшем
порядке приближения геометрической оптики определяется выра-
выражением D), а магнитное поле — совместно E) и B4).
Компоненты ^2 и уз — амплитуды первого порядка можно най-
найти из уравнений E1) и E2). Исследование A1) -и D1) показыва-
показывает, что если приближенно записать <Э/дю«1/ю, Vk~1/&, to по по-
порядку величины
б, F1)
где б задается соотношением (8). Значение отсутствующей в этих
формулах компоненты yi можно -найти, переходя к рассмотрению
следующего порядка разложения по б. Тогда последующие чле-
400
ны разложения выражений B0) и B2) приводят к уравнению
icos .a2 = L-ai. F2)
Домножим скалярно F2) на ei*:
0=ei* • L • (viei+Y2e2+Y3e3). F3)
Соображения, аналогичные тем, которые привели к F0), позволя-
позволяют переписать последнее равенство в виде
^ Т. + Р,Т, = -е*. • L- (ТAе1+т,е,). F4)
Это тоже обыкновенное дифференциальное уравнение вдоль тра-
траекторий C2), оно позволяет грубо оценить Yi/ai~S. Ясно, что
процесс можно продолжить, разлагая A) и B) по степеням б а
находя а2, а3 и т. д.
Определим V как
и_ 1 д(с*г) » _ 1 « , 1 dQ<a0
^-*аоа*о. F5>
Заметим, что согласно D) в наинизшем порядке по б
Е\= -1- (а^'ф + а*0е-'фJ = -1- а. • а*, +
F6>
Ту часть F6), которая не меняется во времени с локальным пе-
периодом 2я/со или в пространстве с локальной длиной волны 2n/k>
можно интерпретировать как среднеквадратичное электрическое
поле в приближении геометрической оптики. Эта часть равна
— ао-ао*. Поскольку bo = c:kxaoi/iw, первые два члена в правой
части F5) представляют собой, очевидно, среднюю плотность
электромагнитной энергии (E\2 + Bi2)/8n в приближении геомет-
1 доА
рическои оптики, а -)fa0ao* можно интерпретировать как
4 дсо
среднюю кинетическую энергию движения плазмы, связанного с
полями в приближении геометрической оптики. Скалярное произ-
произведение равенства D0) на а0* после стандартных алгебраических
преобразований с учетом D1) можно записать как
¦§-+v • (V7)+4- °я*а.а*»=°- (б?)
где U — средняя плотность полной энергии, а величина — crH>j<
>fcaoao* является положительной и описывает поглощение, если
&* определяется только столкновениями.
401
Для конвективно неустойчивых систем эта величина отрица-
отрицательна и может .играть роль свободной энергии.
Уравнение F7) перепишем в виде
О = - С/у • шк - -1- ая*аоа*о. F8)
Отметим, что можно также записать
у _ 1 д (@8) . g | |2 ,ggv
Предположим, что у.(Ок = 0 .и ан-аоао*>О. Тогда ясно, что при
движении вдоль траектории |ai|2 уменьшается при /7>0 и воз-
возрастает, если ?/<0. Последнее является не чем ,и,ным> как пере-
перефразировкой в приложении к геометрической оптике известного
утверждения о том, что волна с отрицательной энергией неустой-
неустойчива при наличии поглощения. Член с у-©к в F8) описывает
изменения, связанные со сходимостью или расходимостью пучка
лучей.
Воспользуемся теперь правилом дифференцирования сложной
функции:
V • ©к = (д/дг) • ©к + (ук) #¦ ©кк. G0)
Здесь д]дг означает градиент при фиксированных к и t. Все члены
в правой части G0), за исключением ук, известны из дисперси-
дисперсионного соотношения. Однако, как следует газ C3),
)• vk= — vcd — A70), )• vk = — , -, —
vk G1)
и ясно, что vk можно определить интегрированием по траекто-
траекториям.
Если записать ai=|ai|ei9, то, как показано в приложении D,
-¦S-^-<ve/-vke-,H-(ve*/-Vke.]). G2)
Используя равенства D) — G), A0) и (И), можно показать, что
если усреднить выражение для теоремы Пойнтинга
по объему, размеры которого много больше 2я/&, но малы по
сравнению с масштабами, на которых изменяется г, и по времени,
402
которое велико по сравнению с 2я/со, но мало по сравнению с вре-
временем, характеризующим изменение г, то получится уравнение
F7).
Поляризацию поля Е можно определить, если записать B5)
в декартовых координатах
G3)
В рассматриваемом невырожденном случае только два из трек
уравнений G3) линейно-независимы. Для определения отношения
компонент а0 можно использовать любые два из них. Предполо-
Предположим, например, что аО2фО. Тогда
а*х__ bjzHy-^yy
Л._ Р.....Р.... Р.... р. „ v /
гххп0х + гхуаоу -
< ~Т" %У^Оу Н~ Syz^Oz == О»
. = 0.
Bxzeyx Byzexx /7-
Единичный .вектор можно тогда записать в виде
ех = е10 [аохех + я02/е^ + ao,ez] [| аОж |2 + | ^ I2 + I ^oz |2Г1/а, G6)
а фазовый множитель eie (9 действительно) можно выбрать из
соображений удобства. Заметим, что ei—это собственный вектор
8, отвечающий нулевому собственному значению ej.
Пусть
ao = p+iq^O, G7)
где р и q действительны. Тогда в нулевом приближении геомет-
геометрической оптики
E=Re(a0ei^)=pcos\j) — qsin\|). G8)
Предположим, что pXq—0- Тогда либо р и q параллельны, либо
один из них равен нулю. При этом поле G8), очевидно, линейно-
поляризовано. Что касается быстрой фазы г|), то при o) = const ее
можно записать так
-ф= I rfr-k—(о/. G9)
Пусть теперь pXq^O- Тогда р и q лежат в плоскости, перпенди-
перпендикулярной pXq- Определим:
qJJV2}; (80)
X±=|-pX(PXq)+C±qX(pXq)|; (81)
е±= [-РХ (PXq) +C±qX (pXq)]X±-J =
= [р(-Р • Я + C±q2) +q(P2 - C±p • q)]X±-». (82)
403
Тогда легко видеть, что
е±2=1; (83)
е+.е_=0; (84)
(85)
(86)
(87)
откуда
e+-pe-p+e+-qe--q=O. (88)
Теперь соотношение G8) дает:
РХЕ=—pXqsinif, qXE=—pXqcosr|), (89)
¦откуда
(PXEJ+(qXEJ=(pXqJ, (90)
причем последнее выражение не зависит от быстро меняющейся
фазы -ф. Если мы запишем
Е=?+е++?_е_, (91)
то после простых преобразований (90) примет вид:
(92)
Это уравнение эллипса в декартовых координатах Е+ и Е_. Ясно,
что оси этого эллипса ориентированы вдоль е-, .и е_, причем дли-
длина большой полуоси равна наибольшей, а длина малой полуоси—
наименьшей из величин
|pXq|[(e--pJ+(e_.qJ]-i/*;
|pXq|[(e+-pJ+(e+.qJ]-V2.
Отметим, что эти величины выражаются через а0 л не зависят от
используемой системы координат. Можно сделать вывод, что
электрическое поле в условиях применимости приближения гео-
геометрической оптики, вообще говоря, эллиптически поляризовано.
1.3. Кинетическое уравнение для волн. Рассмотрим плазму без
источников. Мы хотим решить общую задачу Коти б приближе-
приближении геометрической оптики. Для этого рассмотрим случай, когда
пакет электромагнитных волн в начальный момент занимает в
пространстве область, размеры которой много меньше характер-
характерного масштаба пространственной неоднородности фоновой плазмы
и длины поглощения волн в плазме. Тогда вначале мы можем
считать систему однородной в пространстве -и во времени, причем
ее свойства повсюду такие же, как и в начальный момент /0 в
404
центре пакета. В этом случае мы должны решать уравнения Мак-
Максвелла
f
#'a'(r-r't t-~t')E(r't tr).
Систему удобно упростить, сделав преобразование Лапласа по
времени и преобразование Фурье по пространству:
Ee)(r)=]^ei^E(r, t); (94)
о
Veik'rE(r, t) (95)
и т. д. В этом случае уравнения Максвелла можно переписать:
ick хЕк>й= icoBk,ш + Вк@); (96)
ick х Вк. со = 4яа • Ек, со — icoEk, ш — Ек @), (97)
откуда, исключая Вк,© и пренебрегая той частью тензора а, кото-
которая является эрм,итовой при действительных со и к, получаем:
е • Ек, со = i [Ек @)/со — ск X К @)/со2], (98)
где 8 задается формулой B3). Если представить г в диагональ-
диагональном виде [см. выражение D4)] и решить это уравнение относи-
относительно Ек,», то найдем:
(в) .
(99)
Применим обратное преобразование Лапласа, предполагая для
простоты, что плазма устойчива. Тогда в асимптотическом пре-
пределе по времени сохранятся вклады в интеграл только от дейст-
действительных нулей функции ев, так что, деформируя контур интегри-
интегрирования (рис. 1), имеем:
к, со
Рис. 1. Схематически изображение
контуров интегрирования для обрат-
обратного преобразования Лапласа в плос-
плоскости комплексной переменной со
для случая устойчивой плазмы. На-
Начальный контур С деформирован в D,
а также в окружности вокруг полю-
полюсов, лежащих на действительной
ОСИ (й15, 025» —G>lS> —®2s> и в ган"
тельку, окружающую разрез между
^os и —coos- Вклад от петли, окру*
жающей разрез, спадает как irn и в
дальнейшем не учитывается
j, s
405
o/9
@) ckX\ @)
)exp(-i«y), A00).
поскольку вблизи значений cojs(k) таких, что es(cois, k)=0, имеет
место соотношение es~ (со—cojs) (^8s/Cco)a)=(u/-s . Если затем выпол-
выполним обратное преобразование Фурье, введем для удобства индекс
нуль и заменим t на t—t0, г — на г—г0, то получим:
Е (г, t) = J] jV/e0 exp {i [k. • (r - r.) - »/s (* - *.)]}
•I —— —
где o)is, eis, d&/d(x)js — функции k0, r0 и t0.
Предположим теперь, что даже после выхода пакета из обла-
области, где справедливы предположения о пространственной одно-
однородности и стационарности фоновой плазмы, длины волн и часто-
частоты, дающие основной вклад в интеграл обратного преобразования
Фурье, тем не менее таковы, что основные неравенства, гаранти-
гарантирующие применимость приближения геометрической оптики, вы-
выполняются. В этом случае поле в приближении геометрической
оптики можно сконструировать следующим образом. Рассмотрим
данный диагональный элемент es(k, <o; г, ,/) и связанный с ним
единичный вектор es. Пусть со (k, r, t) такова, что es=0, a cojs(k0,
**о, U)—частота, входящая в выражение A01). Тогда для каж-
каждой пары 5 .и / можно определить k, r ,и ф таким образом, чтобы
они удовлетворяли уравнениям r=o)k, if>=—co + k-r, co=cof и на-
начальным условиям k=k0, r=r0, гр== 0, co = o)jS(k0, r0, ^o) при t—to.
Предположим для простоты, что моды колебаний невырождены, и
найдем такое а, удовлетворяющее уравнению F0), что в мо-
момент t0
h (to) С
Тогда
E(r, 0 =
при t=t0 совпадет с A01) и в приближении геометрической оп-
оптики будет удовлетворять уравнениям Максвелла.
Этот результат легко распространяется на случай, когда на-
начальные условия заданы во всей плазме. Плазма дел,ится на ячей-
ячейки, размеры которых малы по сравнению с характерными про-
пространственными масштабами. Для каждой ячейки решается зада-
задача Каши, причем начальное поле задается лишь внутри этой ячей-
ячейки, а в остальных считается равным нулю. Затем результаты ре-
решения этих задач складываются.
409
Для ]а|2 можно вывести дифференциальное уравнение, игра-
играющее роль кинетического уравнения для волн [2, 3]. Для этого
удобно рассмотреть вначале такие функции а, которым при t=tQ
соответствуют одинаковые волновые векторы к0, и определить
плотность энергии /7= (дг/ды) |а|2/8я, являющуюся функцией к,
г и /. Тогда функция U удовлетворяет уравнению F7), т. е.
dU/dt+y (cokt/) + |a|2ee*>Kor^=0. A04)
Рассмотрим:
W(t)= j d*rod*koU, A05)
где .интеграл берется по произвольному объему начального фазо-
фазового пространства (пространства r0, k0). Тогда, рассматривая U
как функцию ко, г0 и ty с учетом соотношения г = со к и уравнения
A04) имеем:
A06)
Однако, поскольку уравнения движения гамильтоновы, якобиан
преобразования r,0, k0 в г, к равен единице, и с тем же правом
можно написать:
W= j d*rd3k(j\ A07)
где границы области интегрирования меняются со временем. Ес-
Если теперь рассматривать U как функцию k, r и t, то из A07) сле-
следует, что
W = j d*rd*Wt + J d3kd2r • г?/ + J d3rd2k. Ы/ = J dsrdsk [Ut + yr • (<ok?/) +
A08)
Мы воспользовались теоремой Гаусса, уравнениями движения и
инвариантностью элемента объема. Здесь yTU=[>Ur означает гра-
градиент по г при фиксированных к и t и т. п. Приравняем A06) и
A08). Поскольку области .интегрирования произвольны, подын-
подынтегральные выражения должны быть равны, так что
Ut + 'r>Ur + k-Uk + U\-(ok + | a |2ee*-)f ая=0. (Ю9)
Это и есть требуемое кинетическое уравнение лля волн. Заметим,
что уравнение A09) можно записать также в виде
dU / , 8~ес*;^ая \ тт п^п\
_ -{y.ak + —r-rJu, (НО)
где производная по времени берется вдоль траектории. Если оп-
определить
407
где интеграл по t берется вдоль траектории, то
А = Ai + r-Ar + k-Ak = At + VrH) + Vk-(M) = 0 A12)
и А сохраняется при движении вдоль траектории. Равенство A12)
можно интерпретировать как закон сохранения А в фазовом про-
пространстве к, г, а соответствующим образом нормированная
величина А может быть названа плотностью действия.
С другой стороны, U можно найти непосредственно из (ПО):
j(t^^)j A.3,
to '
Уравнение A09) привлекает тем, что о,но похоже на уравне-
уравнение Больцмана, о котором так много .известно. Однако на самом
деле его польза сомнительна. Сложности создает множитель
\7C0k —дивергенция групповой скорости при фиксированных к0
и t, которая в A09) считается функцией г, к и t. Однако, чтобы
выразить ее таким образом, нужно найти зависимость к0 от г, к,.
/, а для этого надо пройти по всем траекториям назад по време-
времени вплоть до to.
2. ПЛАЗМА С НЕЭРМИТОВЫМ ТЕНЗОРОМ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
2.1. Дисперсионное соотношение. Несмотря на то что во мно-
многих приложениях величину ан можно считать малой, в некоторых
случаях, например вблизи местного циклотронного резонанса, это
приближение становится незаконным. Теорию можно обобщить
на неэрмитовы г следующим образом. В вычислениях, как и рань-
раньше, используется плотность тока, определяемая соотношениями
A0) и A1). Уравнения Максвелла A) .и B) с учетом D), E)
и A0) приводят к системе:
а=
= — суХЬ+(?а/<ЭН-4л1К-а+ . . .; A14)
где К вычисляется с помощью полного тензора а. Если решать
уравнение A15) методом последо;вательных приближений, счи-
считая, что левая часть порядка единицы, а правая — порядка б, то
в результате получим:
408
— kXa- — vXa-— 4r(— kX'a^l + ... A16)
В результате подстановки A16) в A14) получаем:
" V X (-J kXa) + 4r.io>K-a+ .... A17)
где К-а определено равенством A1), а 8 находится из соотноше-
соотношения B3), в котором аА заменен на а. Заметим, что левая часть
A17) порядка единицы, тогда как правая — порядка б. Поэтому
если провести разложение по степеням б аналогично тому, как это
'было сделано при получении уравнения A9) и последующих урав-
уравнений, то получим дисперсионное соотношение
O=Z)(k, со, г, f)=deU (k, г, со, 0 =
= Р(к, cor, t)+iQ{k, со, г, 0, (Н8)
в котором функция D .имеет, вообще говоря, ненулевую мнимую
часть Q, поскольку гфгн. Равенство A18) распадается на пару
действительных уравнений
Р(к, со, г, 0=0, Q(k, со, г, *)=0. A19)
Поскольку одна функция co=co(k, r, t) не может удовлетворить
•обоим уравнениям, эта система уравнений теории возмущений не-
несовместна.
Для того, чтобы устранить этот недостаток, введем действи-
действительную частоту v, являющуюся малой (порядка б) по сравнению
с со, и определим с помощью Q = co+iv величины
а = а(к, Q, r, t) A21)
и К. как результат замены в A1) со на Q и о на а. Тогда, посколь-
поскольку с точностью до членов порядка б
^ A22)
A17)
где
удобно
L
— [(V2
переписать
дЯ
Or-vkl-o«r
в виде
iQs
да
dt
1
2
•a=L
, 1 |
+ 2 |
f d
[Л
д (Qs)
дЯ
kQe]}.a-
11-
d(Qe)
v -p - • a
A23)
A24)
409
а члены, замененные в A23) точками, являются величинами по-
порядка б по сравнению с членами правой части этого уравнения,
которые в свою очередь являются величинами порядка б по срав-
сравнению с левой частью A23). Разложение амплитуды а по степе-
степеням б приводит к уравнениям
1 .ао=О; A25)
iQ8-a1 = L-a0 A26)
и т.д.
Запишем условие нетривиальности решения уравнения A25):
D(k, co+iv, г, *))=dete =0. A27)
При малых v его можно приближенно заменить на
Z)(k, со, г, 0 + iv?>o(k, со, г, f)«0. A28)
В терминах действительной и мнимой частей D, определенных в
A18), это означает, что
v^P/Q« = -Q/P«>. A29)
Введем
Ф(к, г, со, f) = [Р(к, г, со, t)r + [Q (к, г, со, i)f. A30
Тогда
m(O = 2PP(d + 2QQ(,, A31)
и из A29) следует, что
Фю = 0. A32)
Это равенство удобно рассматривать как дисперсионное соотно-
соотношение, определяющее зависимость со=о> (k, r, t). Если © найдена
таким образом, то A29) определяет v. Для того, чтобы v было
мало, формально необходимо, чтобы Р и Q также были малыми
величинами (порядка б). Но в нулевом порядке по б
+ 2QQ(m « ЯР? + 2Ql > 0, A33)
и, следовательно, юо определяется требованием, чтобы действитель-
действительная положительная функция Ф .имела локальный минимум по со
при фиксированных k, r и t. Другое выражение для v, позволяю-
позволяющее найти v как функцию Ф и ее производных, можно получить,
возводя A29) в квадрат:
О2 — Р2 — Q2 4- Pz — Ф * i^-v
Вид уравнений хода луча C2) — C5) в случае, когда тензор ди-
диэлектрической проницаемости неэрмитов, остается прежним, од-
однако со определяется из A32).
2.2. Перенос амплитуд. Для того чтобы просто вывести урав-
уравнение для амплитуды а0, воспользуемся сингулярным разложенн-
410
ем е [4]. Для этого введем два набора ортонормированных комп-
комплексных векторов ub u2, u3 и vb v2, v3 таких, что и*-и1=,651,
VjH«vz=6j7. Эти векторные функции удовлетворяют уравнениям:
e"-ui=8/v/, "e//-v/ = ejuy, /=1,2,3. A35)
Можно показать, что
(s^~E).u, = efu,, (e~?").v, = sb A36)
и потому % и Vj являются соответственно собственными вектора-
векторагн-
ми эрмитовых матриц гн-г и г-ен, а положительные величины
е/ — это общие для обеих эрмитовых матриц собственные значе-
значения. Тогда можно записать:
S =8iViUibr+82V2U2H+83V3U3JI A37)
и
3, A38)
так что из уравнения A25) следует, что
ai8iVi+a282v2+a383V3=0. A39)
Кроме того,
detV-e = (deUH) (deti) - j defe i2 - e\ г\ е§, A40)
поэтому условие |dete|=O, необходимое для существования не-
нетривиального решения A25), требует обращения в нуль по край-
крайней мере одной ,из величин е,. В дальнейшем для простоты будем
предполагать, что 8i = 0, 82=7^=0, 83=7^=0. Поскольку v^- линейно неза-
независимы, это значит, что а2=0, аз=0 и ao = aiVi. Скалярное дом-
ножение A23) на viH пр.иводит к равенству
!,=>,, A41)
где
дЯ ' dt 2 [ \ )\
kQ8r + 4lV-(Vk^)I-}. A42)
Поскольку «1#=0, скалярное домножение A25) на ViH дает в ре-
результате ViH-Q8'Ui = 0. Вычисляя градиент неявной функции по
к, получаем:
Q = V-^ ^ со A43)
d(Qe) к
411
если пренебречь членами порядка б по сравнению с членами по-
порядка единицы. Таким образом, A41) можно записать б виде
, = К> A44)
поскольку с помощью A37) ,и условий ортогональности можно по-
показать, что
A45>
Отметим, что в A44) с требуемой точностью можно полож-ить
v=0 как в ip, так и в коэффициенте при <ц.
Уравнение A44) для амплитуды имеет ту же структуру, чта
и уравнение, полученное ранее для случая эрмитового 8 [см. F0)].
Единственная разница состоит в том, что для эрммтового тензора
диэлектрической проницаемости базисные векторы Ui и vi совпа-
совпадают, тогда как в неэрмитовом случае два набора базисных век-
векторов, вообще говоря, различны. Такое несовпадение в неэрмито-
неэрмитовом случае приводит к новому эффекту, связанному с возможной
диссипацией электромагнитной энергии в плазме. Мы проиллюст-
проиллюстрируем этот эффект, построив аналог теоремы Пойнтинга. Для
этого формально рассмотрим дуальную плазму с тензором про-
проводимости 0я. Обозначим решение для электрического поля в.
приближении геометрической оптики в дуальной плазме так:
E'(r,f)=Re[a'(r, f) e *'<'•'>] A46)
и введем
k'=Vi|/, со' = — d^'/dt A47)
Тогда по аналогии с A25), A26) запишем следующие уравнения
для амплитуд нулевого и первого порядка:
р*.ао' = О, A48)
—iQ'V.ai/ = L/.a0/, A49)
где ?2/=i(o/+iv/ и
_d(Q's'H) д*'о
dQr ' dt
lid \d(Q'Z'H) ]\ ,
2 \ dt i ^9' J j
r-VkJ-O'e"^ A50)
Здесь 8/H=8H(k/,o)/; r, t), a e/H=.[s(k/, Q'*\ r, t)]*. Из уравнения
A48) следует, что
DH (k\ Qr; r, t) = det (в7)я - [D {k'y со' — iv'; r, /)]¦ = 0, A51)
412
где D(k\ со'; г, /)=Р(к/, -со7; г, /)+iQ(k/, ©'; г, t) —детерминант
матрицы е, определяемый A18), в котором к заменен на к', а со—
на о/. По аналогии со A29) ,и A32) запишем:
v'= - P/Q*> = Q/P& A52)
Фш' = 0, A53)
где Ф(к', *>'; г, t)=i[P(k\ <о'; г, t)]*+\[Q(k'9 со', г, t)]2.
Таким образом, дисперсионное соотношение для действитель-
действительных величин к' и «о/ в точности такое же, .как для к ,и со в нашей
реальной плазме. Поэтому при одинаковых начальных условиях
лучи в обоих типах плазмы (реальной и дуальной) идентичны.
Тогда вдоль луча имеем k'=k, ы'—to и i|/=i|). В противополож-
противоположность этому из A29) ,и A52) следует, что v'=—v. Уравнение
A49) можно записать теперь в следующем виде:
-*-¦'?• [*¦(#¦)]-
f )г.ук]-аёг--'-< • IvIVjO*)]-™'? • -^ • A54)
Теперь легко можно показать, что если амплитуда а07 выражена
через базисные векторы: ao/ = ai/v1 + a2/v2-|-a3/V3, то аа/ = аз/ = 0<
и поэтому ao/='ai/vi. Тогда, домножив равенство A54) справа на
иь получим по аналогии с уравнением A44):
1 =
где
dQ Ft dQ 2~V1 [{)\
fJ, A56)
Наконец, домножая A44) на a/*, а A55)—на ai и складывая
результаты с учетом A43), получаем:
dG/dt+V- (cokG)=2vG, A57)
где
^ ,* н дыг .* dcosj /icq\
G = aia>vi ' -^Г'п^а1а>^Г' A58)
В стационарном случае (dG/dt=O) можно проинтегрировать
A57) по элементу объема 6V=8S\(Ok\dt трубки тока сечения 65,
содержащей траекторию луча. Применяя теорему Гаусса, полу-
получаем:
dl/dt=2vl, A59)
413
где /=5S|cok| G. В плазме с эрмитовым тензором диэлектричес-
диэлектрической проницаемости, где а/=а, а величину G/8n можно интерпре-
интерпретировать как сумму плотностей электромагнитной ,и кинетической
энергии, усредненных по периоду 2я/со (см. п. 1.2), выражения
A57) и A59) представляют собой законы сохранения энергии и
плотности потока энергии. В неэрмлтовом случае величина G,
вообще говоря, комплексна и не связана простым образом с плот-
плотностью энергии. Еще одна .интересная особенность систем с гфгн
состоит в том, что поглощение электромагнитной энергии может
быть связано не только с мнимой поправкой к частоте. Для иллю-
иллюстрации сказаного предположим, что рассматривается стационар-
стационарный случай и траектория луча начинается в той области плазмы,
где тензор диэлектрической проницаемости эрмитов (например,
в вакууме). Тогда в начальной точке плотность потока энергии
вдоль луча будет равна ^0=/0/8я. Предположим теперь, что луч
проходит через район неэрм.итовости и затем попадает в точку,
где тензор диэлектрической проницаемости плазмы снова эрмитов.
Проинтегрировав уравнение A59), получим в конечной точке
t
J=Ic expB / v dt'), где интегрирование по времени ведется вдоль
о
луча. Плотность потока энергии в конечной точке
Таким образом, если а' в конечной точке отличается от а, мы
имеем изменение потока из-за множителя а*/а'* даже при v = 0.
3. ВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА
3.1. Уравнения хода луча и уравнения для амплитуд. До сих
пор мы |рассматривали невырожденную плазму, для которой толь-
только одно из собственных значений е;- (сингулярных значений в не-
неэрмитовом случае) матрицы 8 обращается в нуль. Однако в не-
некоторых случаях два или три собственных значения обращаются
в нуль одновременно. Теперь мы перейдем к исследованию такой
вырожденной х плазмы, предположив для простоты, что ее тензор
диэлектрической проницаемости эрмитов.
Типичная для вырожденной плазмы проблема возникает, если
попытаться применить уравнения хода луча, записанные в виде
C6) —C8):
г = — Дс/Do,; k-A/Do,; ®=—Dt/Dm A60)
где ?)=8182'Бз — детерминант тензора диэлектрической проницае-
проницаемости. Ясно, что в вырожденной плазме, где, например, ei==«2=0,
Dk —Д. =D(a = Dt = 0y так что уравнения в форме A60) сингуляр-
1 Термин «вырожденная плазма» употребляется здесь только в этом смыс-
смысле -- Прим. пер.
414
ны и, следовательно, непригодны для вычислений. Однако для
вырожденной плазмы можно найти другой общий гамильтониан,,
если рассмотреть характеристическое уравнение для г:
det|e — Л11 — 0 A61)
или
д3 — SX2+FX— ?> = 0, A62)
где D = det е, 5 = След (s) = гг + s2 + е3;
F = -i- [(След (е)J - След (е2)] = dn + d22 + d33 - 8X83 + г,г2 + e2e3
есть сумма диагональных миноров второго порядка du матрицы г.
Отметим, что S, F и D сохраняются пр,и унитарных преобразова-
преобразованиях 8. Уравнение A62) содержит всю .информацию о вырожден-
вырожденности плазмы. Отсюда видно, что при 8i = 82=0 F и D также об-
обращаются в нуль и поэтому F можно использовать для вывода не-
несингулярных уравнений хода луча
- — _J^L/-^L. k — -^— /-^-- ш_ dF I dF
it I
Самые простые примеры такой ситуации возникают для вакуума
и холодной плазмы без магнитного поля. В обоих случаях тензор
проводимости имеет вид A7). Вакууму соответствует «о>Р = 0.
В системе координат с осью г, направленной вдоль вектора
k(ks=ky=0), тензор диэлектрической проницаемости B3) диаго-
нален, причем
Решение в виде волны можно получить только пр,и e1=!S2=0,
т. е. в случае дважды вырожденной моды. Следует отметить, что
в общем случае для проверки вырожденности дисперсионного
уравнения не нужно приводить г к диагональному виду.- Доста-
Достаточно вычислить сумму диагональных миноров s:
F = en&22 — 812821+811833 — 813831 +
+822833 — 823832. A65)
В вырожденном случае она должна быть равна нулю.
В предыдущем примере формально может иметь место трой-
тройное вырождение. Фактически 8i=!82= вз= 1—о)р2/оJ в точках, где
к=0. Однако в этих районах длина волны становится бесконеч-
бесконечной и нарушается основное приближение геометрической оптики.
В таких областях нужно проводить полный еолновой анализ.
Менее тривиальный случай существования области вырожден-
вырожденной плазмы возникает при наличии магнитного поля. В холодной
магнитоактивнои плазме тензор проводимости задается равенст-
равенством
4тп а
— ° =
е/со
О)*5— (
1
ОJ — ОЗ2-
ОJ
1
ОJ
A66)
где (дс=е\Ъ\/тс — циклотронная частота. При выводе гамильто-
гамильтониана для уравнений хода луча в этом случае удобно прежде все-
всего устранить трудности, связанные с резонансными знаменателя-
знаменателями в A66). Для этого домножим все элементы г на Л=со—о)с,
это не изменит дисперсионного уравнения. С учетом A65) легко
видеть, что коэффициент F имеет структуру:
F=AA — BA2 A67)
и, следовательно, F обращается в нуль при ко=сос(г), так что
плазма становится вырожденной на поверхности циклотронного
резонанса. Кроме того, ясно, что F меняет знак при переходе че-
через резонанс. Поэтому в противоположность предыдущему при-
примеру, когда плазма вырождалась в целом объеме, здесь имеется
вырожденная поверхность, разделяющая невырожденные районы.
Прохождение лучей через такие вырожденные поверхности тре-
требует специального рассмотрения я исследуется в следующем па-
параграфе.
Уравнение переноса амплитуды в вырожденной плазме можно
получить аналогично тому, как это было сделано для невырож-
невырожденной плазмы. Как и в последнем случае, частичную информа-
информацию об а0 можно получить из уравнения нулевого приближения
B5). Однако в случае вырожденной плазмы необходимо .извлечь
более детальную информацию из уравнения первого порядка тео-
теории возмущений. Выражая амплитуду а0 через собственные век-
векторы ег: ao=iaiei+a2e2+'a3e3 и подставляя ее в уравнение B5),
приходим снова к уравнению D7):
Поскольку векторы е., линейно независимы, равенство A68) мо-
может быть выполнено только тогда, когда все коэффициенты е^сх,-
равны нулю. Из этого следует, что в невырожденной плазме, где,
скажем, 82, ез?=0, а 8i = 0, a2=(a3=0 и потому
ao = aiei. AЬу)
В противоположность этому в дважды вырожденном случае, ког-
когда 83=7^=0, a 8i И 82 = 0,
ao = aiei-j-a2e2. A70)
416
Таким образом, уравнение нулевого приближения дает нам
лишь частичную информацию о поляризации волны. Коэффици-
Коэффициенты си и с*2 в A7) можно найти из уравнения первого приближе-
приближения геометрической оптики [см. D8)]. Скалярное домножение
D8) на единичные векторы еЛ €2* и е3* приводит в дважды вы-
вырожденном случае к системе
0=e1*.L-(aie1)+ei*.L.(a2e2); A71)
0=e2*.L- (aiei)+e2*-L. (a2e2); A72)
К08з7з = е3*-Ь- (cnei)+e3*'L- (a2e2). A73)
По аналогии с F0) уравнения A71) ,и A72) можно записать в
виде обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль траекто-
траекторий:
^?Ч = -Р„а1-М.; A74)
где ру определяются как
A76)
Если ai и a2 найдены из A74) ,и A75), то из уравнения A73)
можно оцределить компоненту Y3 первой поправки ai к амплиту-
амплитуде. Остальные компоненты аь ,как ,и в невырожденном случае,
определяются из уравнений второго приближения. При интегри-
интегрировании уравнений A74), A75) для амплитуд снова нужно знать
диадный тензор \к вдоль траекторий; ук можно найти, как и в
невырожденном случае, из уравнения G1), однако производные
второго порядка, входящие в это уравнение, нужно получать не-
неявным дифференцированием соответствующих дисперсионных со-
соотношений (в вырожденной плазме — величин S или F).
Для вычислений по формулам A74), A75) нужно найти соб-
собственные векторы е, соответствующие нулевым собственным зна-
значениям. В невырожденном случае можно просто ,использовать тот
факт, что, поскольку Fi^O, по крайней мере один из диагональ-
диагональных миноров е, скажем, da не равен нулю. Тогда компоненты век-
вектора, отвечающего нулевому собственному значению, можно най-
найти из равенств:
% А u?i иФи A77)
где Л — константа нормировки [см. G4), G5)].
В вырожденном случае, когда ei=«2=0,
s =8зе3ез*, A78)
14 Зак. 137 417
где 83=След (г). Домножая A78) на единичный координатный '
вектор (надример, на еа), получаем простое алгебраическое урав-
уравнение для собственного вектора ез, отвечающего ненулевому соб-
собственному значению:
е •eJc=e3e3e*3x. A79)
После того, как этот вектор ез найден, собственный вектор» отве-
отвечающий нулевому собственному значению, можно сконструиро*
вать, воспользовавшись ортогональностью собственных векторов.
Приведем один из возможных наборов:
е1=е3*+е*; е2=е3*+еЛ A80)
3.2. Ход луча на границах между областями, занятыми вырож-
вырожденной и невырожденной плазмами. До сих пор мы рассматрива-
рассматривали ход луча и поведение амплитуды поля либо в невырожденной,
либо .в вырожденной плазме. Переход через границу между эти-
этими областями связан со значительными вычислительными труд-
трудностями и требует специального рассмотрения. Если начать дви-
движение в области вырожденой плазмы (например, в вакууме) и
пользоваться при вычислениях уравнениями A63), то в точке, где
луч входит в невырожденную плазму, нужно перейти к уравнени-
уравнениям A60). Однако эти уравнения сингулярны на границе, где
Ac = Dr=iD(u==Z)f==0. На границе нельзя также искать с помощью
уравнения A77) собственный вектор, отвечающий нулевому соб-
собственному значению, поскольку детерминанты d{j обращаются в
нуль. Эти трудности возникают не только при вычислениях. Они
возникают еще и потому, что на границе между областями, заня-
занятыми вырожденной и невырожденной плазмами, две совпадающие
ветви дисперсионного уравнения разделяются, и луч расщепляется
на два луча, каждый из которых соответствует своей собственной
ветви дисперсионного уравнения. Мы сейчас покажем, что если
приближаться к границе со стороны невырожденной плазмы, то
применение правила Лопиталя к уравнениям A60) дает на гра-
границе два, вообще говоря, различных значения к, соответствующих
различным ветвям дисперсионного соотношения. Напротив, груп-
групповые скорости этих мод г на границе сов-
падают с групповой скоростью для не-
вырожденной траектории.
Пусть в стационарном случае сущест-
существует поверхность Q, разделяющая области,
занятые вырожденной и невырожденной
плазмами (рис. 2). Предположим, что тра-
траектория начинается в вырожденной обла-
области и в момент t~t0 в точке 0 на по-
поверхности Q расщепляется на две части.
Рис. 2. Расщепление лу- Если двигаться в невырожденной области
ча на границе между п0 лучам 1 и 2 назад по времени, то чис-
SSSS'Srn»™: лители и знаменатели в A60) будут стре-
рожденной B) плазмами миться к нулю по мере приближения к гра-
418
нице. Однако если при приближении к границе из области невы-
невырожденной плазмы существуют пределы г+ и к+ величин г и к, то
их можно найти с помощью правила Лопиталя:
Л?
Л?.
lim —77- Di-k+4-D
lim
A82)
Предположим, что собственное значение iei матрицы г не обраща-
обращается в нуль на траекториях, показанных на рис. 2. Тогда, вычис-
вычисляя различные частные производные функции D = 818283 в точке О
и подставляя ,их в A81), получаем:
fc2co (езк'к + ?Зг'г+) + ?з« (?2к'к+ + ?2г'г+)
Если ico='Q (к, г) — дисперсионное соотношение для вырожденной
моды, то .из-за предположения о вырожденности на поверхности
Q имеем:
ea(Q(к, г), к, г)^0; ез(Q(к, г), к, г)=0. A84)
Дифференцирование этих тождеств в точке 0 дает:
В таком случае уравнение A83) сводится к
r+ = Qk=r- A86)
и, следовательно, групповая скорость при переходе через границу
между областями, занятыми вырожденной .и невырожденной плаз-
плазмами, остается неизменной.
Аналогичным образом можно найти ?+. Предположим для
простоты, что в точке 0 (см. рис. 2) ось х нормальна к поверх-
поверхности Q. Тогда тождества A84) имеют место и в некоторой ок-
окрестности этой точки на плоскости yf z. В точке 0 имеем:
82г/, z=—&у, 2620 > езу, z=—0^,283 ©
и аналогично уравнению A86)
Йу+=?у- &+=й/\ A88)
Неизвестную нормальную компоненту #х+ можно теперь найти из
уравнения A82). Это квадратное уравнение .имеет два, вообще го-
говоря, различных решения, соответствующих в невырожденной об-
14* 419
ласти разным лучам. Теперь, используя г- и к~, полученные с по-
помощью интегрирования в вырожденной области, можно найти на
границе г+ и два значения к+, каждое из которых порождает в
невырожденной области новую траекторию. Зная эти предельные
к и г, можно теперь сделать малый шаг по времени 6^ от грани-
границы в невырожденную область, например, путем итерации следую-
следующего уравнения:
y(to + V)^y(to) + ^-[y(to + V) + y+(t0)l A89)
где у мы обозначили г или к, a y{to+&t) определяется правой
частью уравнений A60). Начиная с момента \t=\to-j-8t, можно-
двигаться по каждому из двух лучей, существующих в невырож-
невырожденной области, решая несингулярные уравнения A60).
Наконец, зная г+ или к+, можно найти на границе два собст-
собственных вектора матрицы е, отвечающих нулевым собственным
значениям. Это можно сделать, применив правила Лопиталя к
равенствам A77):
A90)
'¦ (d/7)k-k+ + (dy/)T+ '3
В заключение рассмотрим задачу о вырожденной поверхности,,
находящейся в невырожденной плазме, например поверхности
циклотронного резонанса в модели холодной плазмы. В этом слу-
случае применение правила Лопиталя к уравнениям A60) с обеих
сторон вырожденной поверхности дает:
г+=г-; Й+У|2=*-У|2. A92)
Для нормальных компонент кх+ и йх~ получаем следующее квад-
квадратное ура|Внение [см. уравнение A82)]:
k±= хк .+—^—— . A93)
Таким образом, если входящие сюда производные второго по-
порядка от D непрерывны на поверхности вырождения, то уравне-
уравнение A93) имеет по два решения: для йх+ и для #*~, причем мож-
можно считать, что эти решения соответствуют непрерывным лучам:
(Й+х),,2=(Й-*I,2. A94)
Формулы A92) и A94) показывают, что при прохождении раз-
различных типов волн через поверхность вырождения не возникает
новых физических эффектов и что трудности в .интегрирований
420
уравнений A60) .имеют чисто вычислительную природу — они свя-
связаны с сингулярностью этих уравнений в определенной точке тра-
траектории. Для преодоления этих трудностей можно использовать
непрерывность траекторий. Например, можно приблизиться к по-
поверхности вырождения, решая уравнения A60), а затем, исполь-
используя производные к и г, полученные в последней точке, сделать
малый шаг по времени и перепрыгнуть через патологическую по-
поверхность. После этого скачка интегрирование снова ведется с по-
помощью уравнений A60). Можно также использовать значения к
и г в нескольких точках перед скачком и таким образом точнее
предсказать к и г после скачка. Применение таких методов поз-
позволяет начинать скачок .раньше, делать большие шаги по време-
времени, сохраняя точность решения, и не проводить интегрирования
в непосредственной близости от поверхности вырождения.
В приложении Е рассмотрен пример расчета траектории луча
в холодной магнитоактивной плазме, при котором встречаются
все вычислительные трудности, описанные в этом разделе.
Другой способ избавиться от вычислительных трудностей, свя-
связанных с наличием в плазме с эрмитовым тензором диэлектриче-
диэлектрической проницаемости поверхностей .вырождения, — ввести в модель
искусственную «неэрмитовость». Можно, например, ввести искус-
искусственную диссипацию из-за столкновений, т. е. заменить в тензоре
проводимости 'со на co+ivcoii, где Vcoii^co, и использовать форма-
формализм, примененный в п. 2.1 для расчета полей в плазме с неэр-
митовым е. Две действительные моды, которые ранее вызывали
вырождение на поверхности, становятся комплексными (напом-
(напомним, что в неэрмитовом случае решение дисперсионного уравне-
уравнения ищется в виде Q=ico+iv), и это исключает возможность сов-
совпадения в комплексной плоскости и снимает вырождение.
Следует подчеркнуть, что использование неэрмитового фор-
формализма здесь является существенным, так как приведение зада-
задачи со столкновительной поправкой к эрмитовой форме (т. е. ис-
использование при выводе дисперсионного уравнения только эрми-
эрмитовой части тензора диэлектрической проницаемости) лишь слабо
изменит положение поверхности вырождения, но не устранит вы-
вычислительные трудности, связанные с сингулярностью уравнений
хода луча на этой поверхности.
4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА ПЛАЗМЫ С ВНУТРЕННИМИ
ИСТОЧНИКАМИ
4.1. Точечный источник в безграничной однородной плазме.
Рассмотрим безграничную однородную плазму, в которую поме-
помещен точечный источник тока с плотностью
js=A6(r)e-ifi><, A95)
где А и со — комплексные константы, причем мнимая часть со по-
421
ложительна и исчезающе мала. Уравнение A) заменим на
t
4* f^' f<ft'a(r —г', t — tr).E(rF, Г). A96)
Определим Фурье-компоненты
Е(г, t)={2v)-3eia>t U3keik'rEk A97)
и т. д. Тогда после преобразования Фурье из уравнений A) и B)
получаем:
e'(k, o)).Ek= — Dя!/со)А, A98)
где е' (к, со) = с (к, со) + Dш/со) ан; A99)
.(к. .) = (!- *.)|+^*- + ^.^ B00,
оо
<т(к, ©) = JdVJdfexppK —к-г)]а(г, t), B01)
а индексы Н и А обозначает эрмитову и антиэрмитову части
тензора соответственно.
Нас .интересует асимптотическое выражение для E(r, t)> спра-
справедливое при таких г, которые, с одной стороны, много больше
длины волны, а с другой — много меньше характерной длины, на
которой геометрическая оптика предсказывает существенное из-
изменение поля. Поэтому в A98) е' можно заменить на 8. Посколь-
Поскольку всегда можно найти представление, в котором тензор 8 диа-
гонален:
s =81е1е1*+б2е2е2*+8зезез*, B02)
B03)
то решение A98) можно записать в виде
откуда вследствие A97)
J^exp[i(kroO] JJ^A B04)
Таким образом, задача свелась к вычислению при kr^>\ интегра-
интеграла вида
J**'t?3-. <205>
где мы опустили индекс /. Удобно записать co=p+iY и ввести
ф(к)=е(к, р). B06)
422
При этом B05) представим в виде [фк==укф(к)]
ее*
ik г
B07)
где d2k означает элемент площади в к-пространстве на поверхно-
поверхности Ф=const. При больших г главный вклад в поверхностный
интеграл дают окрестности таких точек к', в которых фаза k-r
стационарна [5]. Для того чтобы определить эти к', удобно вве-
ввести множитель Лаг,ранжа X и потребовать, чтобы функция k-r+
+ЯФ была стационарной при ограничении Ф=соп${=С. Это при-
приводит к уравнению
B08)
Ясно, что Фк должен быть параллелен -или антипараллелен г
(рис, 3 ,и 4). Для того чтобы выполнить .интегрирование методом
стационарной фазы, нужно знать приближенное уравнение по-
поверхности Ф=С в окрестности точки k=k'. Из разложения в ряд
Тейлора
B09)
Определим n3=r/r и введем такую ортонормированную правую
тройку векторов пь ш, п3, что симметричный диадный тензор
G = Фкк (к') — п3п3 • Фкк (к') — Фкк (к') • п3п3 + п3п311з • Фкк (кО • п3 B10)
будет диагональным, т. е.
G=Gniiini +^22П2п2. B11)
Тогда, оставляя в B09) лишь неисчезающие члены самого низко-
низкого порядка и обозначая
К5=пг(к-к')9 B12)
Рис. 3. Схематическое изображение
поверхности Ф=const в к-простран-
к-пространстве. Вектор к' обозначает ту точку
на поверхности, в которой нормаль-
нормальный к ней вектор групповой скоро-
скорости параллелен г
Рис. 4. Схематическое изображение
сечения k-пространства, показываю-
показывающее пересечение поверхностей Ф==
= const и совокупности нормалей, па-
параллельных г
423
получаем искомое уравнение поверхности
z 22Д 2 + — <'цЛ i- (^)
Применяя метод стационарной фазы, запишем асимптотическое
равенство
+ 00 +00 +00
—00 —00 —00
поскольку вблизи стационарной точки k-r=k/-r+/C3^. Но если
1р=|Р|, то
1
+ 00
—оо
B.5,
Выражая Кг из B13) через К\ и /Сг> можно переписать B14) в
виде
виде
[==~^гу
2p1/2exp(ik'.r)X
v-exnf — —
X6XP[ 4
sgnn3.<f>k(k')
B16)
где sgni/=l при (f>0 ,и —1 при /<0.
Заметим, что в k-пространстве ,интег,рал B16) берется по кри-
кривой, определяемой равенством гХФк=О. Вместо Ф удобно теперь
ввести переменную Л^к'-пз. Тогда, поскольку у бесконечно ма-
малая,
йФ
(к', з) exp (lifer)
е (к',
(к',
B17)
где к' —это функция от К, а еш(к, co)=de(k, co)/Eo)| k=const. Заме-
Заметим, что знаменатель в правой части B17), рассматриваемый как
функция комплексной переменной К, обращается в нуль, когда
0=(/С-/Ппз-ек(к", p)+iTe«(k", p)+..., B18)
1т к
Ren
Рис 5. Плоскость комплексного пе-
ременного ?
424
где К" — такая действительная
величина К, которой соответст-
соответствует волновой вектор к" такой,
что е(к", Р)=0. Предположим,
что после замены переменных
подынтегральное выражение яв-
является, с точностью до нулей е,
аналитической функцией К в по-
полосе шириной А, включающей
действительную ось (рис. 5).
Переведем контур интегрирования в верхнюю границу этой по-
полосы. Если в ходе деформации мы не встречаем полюса, ?o в ре-
результате получится интеграл порядка е~Лг, которым мы пренебре-
пренебрежем, так как он стремится к нулю при больших г. Однако если
8 обращается в нуль в полосе между исходным и сдвинутым кон-
контурами, то интеграл сводится к вкладу от полюса. Если ввести
Xехр[ (ш/4) (sgn Gn+sgn G22)sgn e© ], B19)
о за-
заB20)
где k=?(Ok/|cok |; (DkXr=Q'> r-cek>0, a s(k, со)=0, то можно за-
записать:
Как следует из B04), электрическое поле
^e,,VA. B21)
Предположим, что элемент тока расположен в точке г', а па-
параметры плазмы и амплитуда А медленно меняются со временем.
В таком случае для вычисления поля нужно только цодставить
эту слабую зависимость во все величины, входящие в B21), т. е.
kj=kj(r/, t) и т. п., и заменить г на R = r — г'. Это обобщение ана-
аналогично предложенному Беннетом |[6], который .изучал холодную
равновесную поглощающую среду методом комплексных лучей.
Формализм, развитый в данной статье, однако, проще, поскольку
для рассмотрения каждой моды требуется только одна система
действительных лучей. Кроме того, он является более общим, так
как позволяет изучать и горячую плазму, и. более удобным, по-
поскольку в |Нем используется лишь тензор диэлектрической прони-
проницаемости, известный из теории безграничной однородной плазмы.
В приложении F эта теория применяется к плазме с простым
тензором диэлектрической проницаемости.
4.2. Распределенный источник в слабонеоднородной плазме.
Рассмотрим распределенный источник плотности тока J(r, ^.Пред-
^.Предположим, что J представима в виде
+ 00
J(r, /)= §da*-M3jr, t), B22)
где Тю(г, t) —медленно меняющаяся функция от г и /. Это экви-
эквивалентно введению двух временных переменных и Фурье-разло-
Фурье-разложению по той .из них, которая соответствует быстрым изменени-
изменениям. Такое представление законно, например, для флуктуационных
токов, связанных с отклонениями от поведения слабонеоднород-
слабонеоднородной плазмы как сплошной среды вследствие того, что плазма на
самом деле состоит из частиц. Это предположение справедливо
также в определенных случаях для квазистационарной слабой
425
r,t
Рис. 6. Схематическое изображение
луча групповой скорости, соединяю-
соединяющего г, t с г', f
турбулентности. Преобразова-
Преобразование, обратное B22), дается фор-
формулой B39).
Пусть dV — элемент объема,
содержащий точку г'. Тогда в
момент времени ? величина
J©' (r'> t')dzr' характеризует эф-
эффективную амплитуду А эквива-
эквивалентного точечного источника;
соответствующее поле в волно-
волновой зоне есть
Q(k/)eV*.J«.(r/,
B23)
где к' слабо зависит от г' и t\ Мы хотим вычислить поле, созда-
создаваемое этим элементом объема в точке г в момент t. Это можно
сделать только тогда, когда г ,и г' лежат на одном луче. Если
это так, необходимо отождествить t—V со временем запаздыва-
запаздывания (рис. 6)
=*-f dr-ш
B24)
и попытаться в приближении геометрической оптики определить
из B23) амплитуду а поля вблизи точки г', лежащей на луче.
Для этого запишем уравнение для амплитуды (см. приложение/))
d(wt)
е dt
де*
dt
де*
dt
-(Vk<oe)-[(ve)-e*-(ve*)-e]
ve*l), B25)
где, как и в B23), опущен индекс /. Будем искать решение в ок-
окрестности точки г' в виде
a= (c_i)/R+Co+clR+c2R*+ ..., B26)
где R=r—г', а сп зависят от направления R, но не от его значе-
значения. Напомним, что при R-+Q
e>k = |u)V|(R/#)- B27)
Поэтому если подставить B26) и B27) в B25), то в результате
получим:
)=2\:'
42а
где полностью выписаны только главные члены разложения при
R-*Q. Приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых сте-
степенях R в уравнении B28), можно получить цепочку уравнений,
определяющих сп через сп-ь сп-2> —, с-ь Более того, сравнивая
B26) и B23), приходим к равенству
c_1=Q(k')e'*.jV(r'). B29)
Этого достаточно для построения единственного решения а в точ-
точке г, t путем интегрирования обыкновенного дифференциального
уравнения B25) [I] вдоль луча групповой скорости, соединяюще-
соединяющего г и г7. Как следует из C5), соответствующая фаза
t г
ф = — m'f' — f Лю + Г Ж- • к, B30)
поскольку вблизи г7, где изменениями со .и к можно пренебречь,
B30) сводится к
B31)
Для построения луча нужно решить уравнения C2) и C3) при
следующих условиях: 1) траектория должна проходить через точ-
точку г в момент t, а через точку г7— в заданный момент /'; 2) в точ-
точке г7 в момент f следует положить к'=к(й\,/\(й'к,\, о/=о, где
к' определяется .из дисперсионного соотношения, а со7 задана (см.
рис. 6).
Пусть а (г, t\ r', о/)—комплексная амплитуда электрического
поля, создаваемого в точке г в момент t таким источником тока
частоты о/, расположенным в точке г', что e^-J»,^, f) = \. Тогда
суммирование по всем источникам и лучам геометрической опти-
оптики дает в результате <
Е=(г, 0 =
r, /; г7, ю')] X
X a,.(r, t; т\ ©Ое^г', со')-Х- (г'э О, B32)
где мы восстановили -индекс / и ввели
aj(r, /; г7, ©)=а,-(г, /; г7, ©Ое^г, /; г7, со7). B33)
Единичный вектор еДг, /; г7, ©7) ,в точке г, / соответствует
еДг7, ©7) в точке г7, f.
4.3. Флуктуирующий источник и диффузия. Рассмотрим такой
флуктуирующий .источник тока [7], что среднее по ансамблю
<Х(г, 0>=0. B34)
427,
Тогда из B32) следует, что <Е> = 0 и для того, чтобы получить
ненулевые статистические средние, нужно рассматривать объек-
объекты, нелинейные по Е. Например, случайные коротковолновые
флуктуации с малыми временами корреляции в плазме без маг-
магнитного поля приводят к диффузии в пространстве скоростей с
тензором диффузии [8]:
оо
Гл(Е(г *)Е(г — ут, * — *)). B35)
6
С учетом B32) его можно записать в виде
'a/(r; Ь Р> v)ay,(r-v*. *-т; р', v')X
Хехр{1[ф7(гЛ;р, v) + ^//(r-vx^-x; р', V)]} е*, (р, v) X
X(J>,G)T,(p', в')>-е*,(р'. V), B36)
где 0 — время t за вычетом запаздывания от точки р до точки г,
а б7 — время t—т за вычетом запаздывания от точки р' до точки
г—vt. Для статистически квазистационарного и квазиоднородного
ансамбля будем впредь считать, что
(J(p, O?4p'>0> =
где зависимость от первых двух .аргументов более резкая. Кроме
того, если Л — такой промежуток времени, что для любого скаля-
скаляра X, характеризующего фоновую плазму, и типичной частоты
[ д In X/dt Г1 > А > | д In Jjd® |, B38)
то можно считать, что преобразование, обратное к B22), имеет
вид:!
dteivtJ(9,t) B39)
t—д
и его результат слабо зависит от выбора А. Таким образом,
Л f ^
Д
Если мы введем переменные
6 = т-т', 6'=4-(*-И')' B41)
428
Рис. 7. Область интегриро-
интегрирования в плоскости 0, 8'.
Она представляет собой
внутренность квадрата
tit'
2
i_ ... j
•У
f
Г H
\
¦ ¦ \
>
T
I ,
1
то уравнение B40) примет вид (рис. 7):
t-t! t-t'tZA. el.
Г «Гв Г de'exp{i[(v+v')8'+
+ B*)
Xs[p-p'
,6, J-
B42)
По предположению, S слабо зависит от 9, а последняя величина
мало меняется за время Д. Поэтому при интегрировании по 0' ар-
аргумент 0' можно приближенно заменить на его среднее значение
в интервале интегрирования, а именно на— (t+f). После этого
можно устремить Л->-оо и тогда, поскольку
+00
f de'exp[i(v + v'N'l
—00
уравнение B40) сводится к
+ 00
B43)
B44)
429
Предположим, что Sv имеет вблизи р—р'=0 резкий пик, ши-
ширина которого много меньше характерной длины волны в приб-
приближении геометрической оптики. Тогда, подставляя B44) в выра-
выражение B36) для тензора D, можно в Sv сохранить аргумент р—р'„
а в я|) заменить р' на р. Кроме того, в а., можно приближеннно за-
заменить г—vt на г и разложить %, в ряд Тейлора
ф.,(г-у*,/-т,р', -^ = ф.,(г,/; p, -v)-VB-ky,(i\f; p, -v
+ .,(r,f; р, -v)(pp)k//(r^;p, v) + ..., B45)
сохранив только члены, выписанные в явном виде в дравой части
B45). В B45) ку (г, t; р, —v) — волновой вектор в момент V в
точке р на луче, проходящем через точку г в момент i. Последний
член в правой части B45)' появляется при дифференцировании
B30) по р при фиксированных г, t и V. Эти соотношения приво-
приводят к приближенному выражению
(r, *; р, v)a., (r, *; р, - v) expi [ф; (г, t; p,
"V) + fy, (r, t; р, — v)] exp i [т., (г, /; р, - v) - k,, (r, t; p,
- v)-v]Texp [- i (p - p')-k;., (r, *; р, - v)] e*. (p, v)-Sv (р - р\ р, б) X
Хе*.,(Р> — v)=11g^.J] J^prfva^r, t; p. v)a;(r. t; p. -v)X
Х8[ш. (r, t; p, - v) - ky (r, /; p. - v) -v] e*. (p, ^-S^^ /; p> _v)v-
•e'^p.-v). ' B46)
В последнем выражении мы сохранили лишь члены с //==/, по-
поскольку при \Ф\' осцилляции, связанные с фазой %+а|^,, приво-
приводят к тому, что соответствующие интегралы становятся малыми.
При /=i//if)i(r, t\ p, v)=—%-(r, t\ p, —v) и эти осцилляции исче-
исчезают. Аналогично аДг, t\ р, — v)=a3*(r, t\ p, v) и е/(р, —v) =
==е^(р, v). Для изменения порядка интегрирования интеграл по»
т был записан как N -
= lim
B47)
Поскольку соДг, /; р, — v)= — соДг, *; p, v) и к, (г, t\ p, — v) =
= —k;(r> /; p, v), то члены, связанные с i(co—k-v) в числителе
B47), уничтожаются при интегрировании по v, если только
Sk(P,-v),v — четная функция v. В таком случае в пределе б->0
00
>, . lim f di exp i [(ш — k• v) +16] x = тс8 (ш — k • v), B48>
5-»0 v
поскольку
"*»(—fc.i).+»¦=*«• B49)
Рассмотрим случай, когда существенно отличны от нуля лишь
амплитуды продольных волн, т. е. e,-(r, t; p, v)=k, е,(р, v) =к,
где «крышка» означает единичный вектор. Тогда B46) сводится к
D ^ тёг~г~2 \ d3pdv | а |28 (ш — k*v)kkK*S (p, 9)* к. B50)
Несущественные для продольных волн суммы и индексы здесь
опущены.
Величину k-SK)V-'k в B50) можно выразить через корреляци-
корреляционную функцию плотности заряда. Для этого обобщим соотноше-
соотношение B44):
B51)
откуда
<JK,v (Р, t) JKt v> (p, 0> = Bя)-4 8 (у + v') б (к + к') SK, v (P, t). B52)
Совершая Фурье-преобразование (94), (95) уравнения непрерыв-
непрерывности
do/dt + yJ = 0, B53)
где о — плотность заряда (не путать с тензором проводимости
«т!), .имеем:
— ivaK,v + iKJK,v=0. B54)
Поскольку из B52) следует, что к' = —к, то
X V v, (P. 6)) = - (У\ v (P.! 6) vfV, vf (p. 6)) =
= v\ v(p, 6)B7:)-4S(v4:v'M(k + k'), B55)
где
Эта процедура обобщает процедуру, предложенную для распре-
распределения с конусом потерь [9]. Читателю нужно учесть, что в об-
общем случае такие вычисления очень сложны; эта методика полез-
полезна лишь в простейших задачах с высокой степенью симметрии
и простыми граничными условиями.
5431
ПРИЛОЖЕНИЯ
Л. Ток в слабонеоднородной плазме. Мы хотим найти C) в самом низком
неисчезающем порядке в приближении геометрической оптики. Положим для
этого r'=r—r" t'=t—t", тогда
t
[dzr" fdf'Sfr —г", t — t", -i-(r + r").
—00
t
4 V + t")](" *")[1Ф(" t")]^d*r ^dt'df', *', r —-5-r',
4 V + t")]-a(r", *")ех
f-уПа (г — г', f —*') ехр[1Ф(г — г', * — *')] =
? 1 Id
— r'.V—2"
'» ^« r' 0-
_rf.v_,/JL+. • .Ja(r, <)exp ji ^Ф(г, t)-r'-k(r, t)
1 1 да дк
¦ 00
fdV i ctf'exp [i (©^ — k-rOJ Ja-a — -5-r'•
• a —
где, как и в основном тексте, к=\гф, ю = —dty/dt. Кроме того,
i\7kexp (— i k-r') = г' exp (— ik-r');
— id exp (i (ot')/d(u = t' exp (i co^').
Поэтому если теперь ввести
GO
а (к, со, г, t) = [dhr tdt'o (г;, f, г, t) exp [i (©/' —k-r')].
(к, со, г, t) = [dhr [dt'c (г', t\ г, 0 exp [i (at' — k-r')
записать в виде
оо
•а—— | v \d'rr \ dt'rr'oexv [i (©*' —кт')]«а —
оо
- Гб/Зг' |л'а- (va)r.r'exp[i (со/' —кт')]-
To (Л.1) можно записать в виде
432
00
--\~4г [dzr* CdWaexpfi (со*'— k-r')-a —
00
- fd3r' f<#'a*'exp[i К'— k
о
—
где Vk вычисляется при фиксированных г, t и со и т. п., а Г означает транс-
транспонирование. Заметим, что
J5. Преобразование уравнения для амплитуды. Удобно преобразовать урав-
уравнение D1) к виду, в котором коэффициенты в правой части выражались бы"
только через 8. Для этого введем Q^=4nioA и опустим индекс нуль. Уравнение
D1) примет тогда вид:
нве-а w kX(VXa)— w к X
—
da и 1 T- r
-^- + 4я0Н-а- — [v(vkQ)]-a-[(va)r-Vk]-Qr
da
da
W-a ^-
1
2
c2kk
—k-va
В выкладках использовались векторные тождества
V X (а X b) =Ь-\7а + ау-Ь — а-уЬ— by-a; (B.2>
а X (b X c) = ba-c--ca-b. (J5.3>
433
следует из B3),
д (саг)
Г
(ВА)
sr) + ct[^ir) +v-(vkQ); (B.5)
2C
к /d k
cojw
(B.7)
Поэтому можно написать:
id (cos)
к
—
k/^k\ / к \г к kl/k
^ (о>/(о"Г2 w^^ coj/
ill- Г1 ^k - k d@1 k
k (V@)
С Высокочастотные волны в плазме без магнитного поля. Пусть частота
аолны настолько велика, что нужно учитывать только движение электронов.
Плотность электронов N, средняя скорость U и тензор напряжений Р удов-
удовлетворяют уравнениям [10]:
дМ
_
тс
dt
(C.I)
(C2)
(C.3)
где индекс с символизирует столкновения, a Q —тензор потока тепла. Пред-
Предположим, что существует основное, медленно меняющееся в пространстве и
времени состояние плазмы. Обозначим характеризующие его величины индек-
индексом нуль. Рассматриваемые волны будем считать малыми поправками к ос-
434
новному состоянию. Запишем:
и т. д. Тогда после линеаризации уравнения (С.1)—(С.З) дают:
-
ЗГ -г ИГ
тс
Л
(С.5>
.]-
; (С.б).
Соответствующая плотность тока
(С7>
В приближении геометрической оптики
E1 = aexp(ii|?); Bi =bexp (ii|))r A
Л^пехрМ); U.-uexp^); (C.9>
P4 = p exp (ty; Q4 = q exp (i^), J
где a, b, ny u, p и q мало меняются на длине 2n/k к за время 2я/со, а
со = —д^/dt, k = v^- (CIO)»
Пусть
Z. == | VlnX [-1; v=|dlnX/d/l;
v2T = Po^l/WQm; vc=\d\nX/dt |c,
где X — тот скаляр среди набора величин, характеризующих Af0, Uo> Ро, Ео и
Во, которому соответствуют наименьшие значения L и v. Предположим, что
со2 » k*Ul; со2 > v2; со2 > U20/L2; со2 »^;
со2
Тогда легко видеть, что правые части (С.5), (С.б) и (С.7) малы по сравнению
с типичными членами в левых частях этих уравнений. Более того, с учетом
(С.9) и (С.10) имеем:
dujdt = (—icou + дп/dt) е1^ « — icoueialJ . (С. 13)
Таким образом, в наинизшем по всем малым величинам приближении из (С.б)
следует, что
U = — i(ea/mco). (С Л 4)
С той же степенью точности (С.б) дает:
п = Wo (k • u/со) = — i (Л^оек. а/ттгш2), (С.15)
43&
тогда, как из (С.7), следует, что
"В наинизшем приближении Ь = скха/о>. Это соотношение вместе
>{С. 16) можно применить для улучшения аппроксимации. Например,
гмянутые выше результаты нулевого приближения использовать для
бы выразить все величины в правой части (С.6) и в члене d\J/dt в
ти через а, а результат подставить в уравнение
(С. 16)
с (С.14) —
если упо-
того, что-
чтолевой час-
час(С. 17)
-то получится выражение
<о2р да со2р дсо
со2.
/ИС
"У> Г у-Р. .
ka.
Заметим, что его можно записать в виде Ji = el'^[(j-a+K-a], где
(C.18)
.а о = оА + о^. причем
W=t^
1 со2р /Г У-Р
2 со2 ([ Nom
dt
а,
со*
со2 тс /
V'Po
(С. 19)
(С.20)
436
со2р к-Рок —кк-
2 со2 | [ Nom No dt \c\
2 со2
1
iV0
dt
(C.2I)
"Если повторить вычисления, считая, что U0^vT, и предполагая, что плазма
равновесна, то это приведет к тензору диэлектрической проницаемости, кото-
который используется в приложении F.
V. Преобразование уравнения переноса амплитуды. Рассмотрим распрост-
распространение волны в невырожденной плазме в приближении геометрической опти-
жи. Уравнение переноса амплитуды имеет вид [см. F0)]:
•С08Г-
* <д (<**) да 1 / д д (cos) \
u-ei | ^со dt + '2 [dt dio /a—[
|, (D.I)
аде a=?aiei. Заметим, что
з
d (сое) V^ d
~d— =2jS"(ccerer r) =
r=i
тогда, поскольку 8i = 0, a ei«e*z=6iz,
dcoe/dco >|< e4e* = dtosjda). (D.3)
Аналогичным образом можно показать, что
2(роме того,
Г=1
3
de1 der __
c>co
dt (mt di
d(HB1 del del de\
= т e*, •—t:— — 0)8 *^e —t: (^.0)
do* 1 di *T> dt oo) > v 7
^поскольку
0 = -|-e1.e*r=-^-.e*r+e1.-^- (D.6)
Аналогично
(Vei) "%¦ (Vtosj'ti = (Vk038!) * (Veij#et—v^ei) * (Vkei) vv cos • (/;-/)
Уравнение переноса амплитуды запишем в виде
1 | G0) ' 01 * l Z \ 01 \ СО) /I
437
Далее,
* ^ = т (^
Аналогичным образом можно показать, что
т т 1
- — [V• (Vk<^) % e^M + —
exe*J—
Вспоминая, что
dajdt = dajdt + cok- ycc,, (D.
представляем уравнение переноса амплитуды в виде
1 Ао Kl о/ \ <?(о ^ ' х )т йсо ^ \ dt e J e' dt
- V- [(Vkwe) >)< eie*,] + 8«о» % е.е», - (уе,)Г ^ (Ук^ег) -е*.
т d
()Т* ()»
.е»,
е.е
,) -e»,- (ve*,) -ej +«e % [(ye,) r-Vke*. -
-(Vke1)r-ve*J. (DA2}
В этом случае плотность энергии
так что если записать
то после того, как мы домножим (DA2) на а* и разделим действительную и
мнимую части, получим два уравнения:
dU/dt + LVcok + оНХ е,е* | а, |2 = О (D.15)
438
<<выведенное ранее уравнение сохранения энергии) и
— 2i
dt дш
— е,
де, де*г
dt до*
(D.16)
{уравнение для медленной фазы). Заметим, что для продольных волн, у кото-
которых ei=?=ei*, из (Ш6) следует, что dQ/dt=O.
Е. Пример построения траектории в областях, занятых вырожденной и
невырожденной плазмами и на границе между ними. Здесь мы проиллюстри-
проиллюстрируем применение метода, предложенного в п. 3.2 для случая, когда волны па-
падают из вакуума (вырожденная область) на слой холодной магнитоактивнои
плазмы Рассмотрим для простоты случай плоской геометрии, когда ВХ=ВУ =
=0, Bz=B(x), а плотность плазмы п=п(х). Будем считать, что профиль
^плотности плазмы параболический:
П{Х)~\п.[1-{х/а)Ч \х\<а
с По=1.Ы013 см-3 и а=10 см.
Предположим теперь, что поле имеет вид магнитной ловушки с миниму-
минимумом при *=0:
№2)
где Б0=104 гс, а /=10 см. На рис. 8 показана траектория волны с частотой
-30 ГГц, выходящей в вакууме из точки л;=—15 см, #=0, z=— 5 см под углом
.я/4 к плазменному слою. На границе плазмы луч расщепляется на два (обык-
(обыкновенная и необыкновенная моды). В плазме каждый луч движется по своей
траектории, дважды пересекает поверхность циклотронного резонанса и воз-
возвращается в вакуум. Рисунок 9 иллюстрирует алгоритм, используемый для
расчетов, в этом модельном примере. Здесь показаны параметры AF=F/(S2—2F)
и AD = 3D2'3/(S2—2F) как функции времени вдоль луча, соответствующего не-
необыкновенной волне. Мы пользовались нормализованными величинами AF и ADf
а не F и D, поскольку первые дают лучшее представление о степени вырож-
0,1
о
-0,1
'0,2
-о,з
0,1
0,1
tR2 0
-15 /10Т -5 i 0
5 10 15х,СП
-
-
f
42
Рис. 8. Обыкновенная (Т) и необыкно-
необыкновенная B) моды в модельной задаче.
.Штриховые линии — поверхности цик-
циклотронного резонанса
Рис. 9. Зависимость Ар и AD от вре-
времени вдоль луча, соответствующего
необыкновенной моде
439
денности плазмы. В терминах собственных значений г можно записать:
2
(?.3>
и в соответствии с известными алгебраическими неравенствами получаем^
|Л^|^1 и Лр^1. Легко также показать, что если Л# = 6<1, a ei — макси-
максимальное по модулю собственное значение е, то по крайней мере для одного и&
остальных собственных значений (скажем, для ег) имеет место неравенство*
|е2/81|<б3Л<1. Если ъ\АР\ и AD<6, то |e2/ei| и |e3/ei|<63/4.
На рис. 9 луч начинается в вакууме при t=tOt и мы интегрируем уравне-
уравнения A63), соответствующие вырожденному случаю. Поскольку на луче имеет
место соотношение
> = Fk.k + Fr.rf (ЕЛ}
то уравнения A63) требуют, чтобы F и, следовательно, AF в области, занятой,
вырожденной плазмой, оставались равными нулю. Параметр AD в этой области
тоже, конечно, равен нулю. Если, продолжая решать уравнения A63), пере-
пересечь при t—tA границу области вырожденной плазмы, то параметр AF остается
равным нулю, a AD быстро возрастает. Этот рост можно использовать для
диагностики попадания в область невырожденной плазмы. Он показывает, что*
эти уравнения хода луча больше не верны и нужно переходить к вычислениям,
по уравнениям A60), соответствующим невырожденному случаю. Результаты
этой ошибочной попытки искать решение уравнений для вырожденного случая
в области, занятой невырожденной плазмой, показаны на рис. 9 штрихом.
Внезапный рост AD можно также использовать для поиска границы области
невырожденной плазмы. Когда положение границы стало известно, мы нахо-
находим два решения для к+х в точке tA, выбираем одно из этих решений (в дан-
данном случае соответствующее необыкновенной моде), делаем малый шаг в об-
область, где плазма невырождена, и продолжаем луч, решая уравнения A60).
Эти уравнения требуют обращения параметра Лв на луче в нуль. В противо-
противоположность этому Ар возрастает по абсолютной величине, достигает своего
максимума, затем уменьшается при приближении к поверхности циклотронного
резонанса и при t=tRt обращается в нуль. Когда AF становится достаточно-
малым, мы совершаем скачок через резонанс (см. п. 3.2). После этого интег-
интегрирование продолжается; луч второй раз пересекает резонансную поверхность
и приближается к границе плазмы, при этом AF снова уменьшается. При пе-
пересечении границы в момент t=tB мы снова переходим к уравнениям A63) ^
описывающим распространение волны в вырожденной плазме. Этот алгоритм
был применен на ЭВМ DEC-20. При расчетах параметра AD на лучах (см.
рис. 8) оставался порядка 10~5, что явилось проверкой выполнения дисперси-
дисперсионного соотношения. Точность расчета проверяли, решая ту же задачу, но с
применением дисперсионного соотношения Эпплтона—Хартри в уравнениях хо-
хода луча. В этом случае обыкновенная и необыкновенная моды разделяются,,
и вычислительные трудности при интегрировании уравнений траекторий вбли-
вблизи границы плазмы или поверхности циклотронного резонанса отсутствуют-
Сравнение решений, полученных двумя методами, показало, что при использо-
использовании общей процедуры в решениях для гик можно поручиться за точность
по крайней мере четырех значащих цифр.
F, Пример вычисления поля в дальней зоне. Для примера вычисления по-
поля в дальней зоне рассмотрим тензор диэлектрической проницаемости
*
Jkk (FA)
где крышка указывает на единичный вектор, а U — тепловая скорость элект-
электронов или скорость звука. Эта модель описывает высокочастотные волны в-
плазме без магнитного поля, которая движется со скоростью V, причем.
440
Рис. 10. Схематическое изображение
поверхности 8 = const для дозвуково-
дозвукового случая UyV
Рис. 11. Схематическое изображение
поверхности e=const для сверхзву-
сверхзвукового случая U<IV
U2-\-V2<Cc2, а со—действительная положительная величина большая, чем соР.
Рассмотрим вначале особенности, связанные с диагональным элементом
е = 1 _
В этом случае поверхности 8=coast в k-пространстве соответствует уравнение
(к х VJ + [U2 — A — е) V2] {к- V + со A — 8) V-[U2 — A — е) V2]-1}2 =
= A — е) a>2V2U2 [U2 — A — е) V2]-1 — co2pV2. (F.3)
При 8—0 и U2>V2 поверхности e=const представляют собой набор вложеи-
иых друг в друга эллипсоидов вращения (рис. 10); если V2>U2, то имеем вло-
вложенные гиперболоиды вращения (рис. 11). Заметим, что
(FA)
(F.5)
(F.6)
вс0= (to —k-VK '
2U2k 2V (oi2p + k2U2)
(to —k-VJ
Когда е==0,
ек
(со —k-VK
V.
(F.7)
Если c7>F>0, то для того, чтобы со была положительной, нужно выбрать з
(F.6) знак плюс; со также больше нуля, если 1/>?/>0, но k-V<0. Еслч
V<c7<0 и k-V>0, нужно формально выбрать знак минус для того, чтобы вы-
выполнялись неравенства со>сор>О, однако последний случай исключается из
рассмотрения требованием параллельности a)k и г. Необходимость выполнения
такого требования ясна из рис. 12: сок должен быть перпендикулярен кривой
€=0, его направление легко определить, если подставить (F.7) в уравнение
4I/2
k-V
Отсюда сразу видно, что к и сок лежат в плоскости, содержащей г н V. На*
правление и величину сок определяет сумма векторов (F.7).
Заметим, что если вертикальная ось выбрана параллельной Vx(rxV), то
вектор г должен лежать в верхней полуплоскости. Из рис. 13 тогда видно, что
сок и г могут быть параллельны только для левой ветви кривой 8=0. Отме-
44)
ARC COS
y)'
ARC COS U/V
Рис. 12. Ситуация в плоскости
векторов г и V при U>V
0J5V
Рис 13. Ситуация в плоскости векторов*-
г и V при U<V
тим также, что асимптота этой ветви составляет ^гол arccos(?//F) с отрица-
отрицательной полуосью V. Таким образом, если V>U, положение вектора г, соот-
соответствующего ненулевым полям в дальней зоне, ограничено конусом вращения
с осью V и углом avcsin(U/V). Это, конечно, проявление эффекта Вавилова —
Черенкова.
Если 8=0, то из (F.6) следует, что
2VV — 2U4 — 4cokV —
Для того, чтобы вычислить G, введем декартовы координаты в базисе из ор-
тонормированных векторов, составляющих правую тройку: еь е2 и е3=?, так'
что V = e3Fcos 9 + e2Vsin 6. Поскольку cok параллелен е3, то из B10) следует,.,
что
G = 2 [е.е^2 + е2е2 (U2 - У2 sin2 G)] (P -k-V). (F.9>-
Кроме того, уравнения (ок=е3е3-сок и 8=0 дают:
где
поскольку при V>U для решений, которые в асимптотике не равны нулю,
Рис. 14. Схематическое изображение
конуса Черенкова для сверхзвуково-
сверхзвукового случая V>?/
442
Заметим, что при U>V>0 p—k.V<0, тогда как при V>U>0 0—k-V>0.
Если эти результаты подставить в B20), то получим:
M=-jO, U<V, (r-VJ<l+ U*/V*\ (F.I4)
.r
• U<V' W>i + w/v.
На рис. 14 для случая U<V схематически показана область, где сигнал не
равен нулю — черенковский конус.
Результаты, соответствующие другим диагональным элементам (F.1), мож-
можно получить из уравнения (F.14), если положить U=c и V=0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics. Vol. 1, Ch. 1,
N.Y.: Interscience, 1966.
2. Vedenov A. A., Gordeev A. V., Rudakov L. I. —Plasma Physics, 1967,
vol. 9, p. 719.
3. Tagtovick V. N. Nonlinear Effects in Plasmas. N.Y.: Plenum Press, 1970,
'P. 87.
4. Noble B. Applied Linear Algebra. New Jersey: Prentice-Hall, 1969, p. 335.
5. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики: Пер. с англ.
Бып. 1. М.: Мир, 1969.
6. Bennet J. A. —J. Plasma Physics, 1976, vol. 15, p. 133.
7. Ситенко А. Г. Флуктуации и нелинейное взаимодействие волн в плазме.
Киев: Наукова думка, 1977.
8. Ishimaru S., Rosenbluth M. N. — Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 2778.
9. Baldwin D. E. — Phys. Fluids, 1975, vol. 18, p. 656.
10. Bernstein I. В. —Nucl. Fus., 1960, vol. 1, p. 11.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛН И НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ
В ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ1
Р. ДЭВИДСОН
1. ОБЩЕЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
1.1. Вводные замечания. Рассмотрим кинетическую теорию ос-
основных волн мод и неустойчивостей, характерных для простфанст-
венно-однородной плазмы, помещенной в однородное магнитное
поле, созданное сторонними источниками Bo=Boez. Равновесное
изотропное распределение частиц, описываемое монотонно убы-
убывающей функцией Fj(v2), устойчиво по отношению к возбуждению
электромагнитных волн любой поляризации. Здесь мы исследуем
широкий набор кинетических неустойчивостей, порождаемых сво-
свободной энергией, связанной с различными нетепловыми характе-
характеристиками функции распределения F5(v)y — от относительного
движения компонент плазмы до анизотропии кинетической энер-
1 Пер. с англ. А. М. Натанзона.
443
га,и частиц плазмы. Настоящий анализ устойчивости, основанный,
на линейном приближении, является сугубо классическим в том
смысле, что мы не рассматриваем влияния стохастических дви-
движений частиц на устойчивость. Следует подчеркнуть, что кинети-
кинетические моды и неустойчивость, выбранные для анализа, частсь
развиваются в лабораторной и космической плазмах, в иссле-
исследованиях взаимодействия пучков с плазмой, а также в экспери-
экспериментах по магнитному и инерционному удержанию термоядерной,
плазмы.
Основу физической модели, используемой в данном исследова-
исследовании, составляют бесстолкновительные уравнения Власова—Мак-
Власова—Максвелла, в которых эволюция одночастичной функции распределе-
распределения '/г(х, v, i) описывается уравнением Власова
где Е(х, t) и В(х, t) —электрическое л магнитное поля; е,- и т,-—
заряд и масса частиц сорта / соответственно; fj(x, v, t)—плот-
t)—плотность частиц в шестимерном фазовом пространстве (х, v). Элект-
Электрическое и магнитное поля определяются самосогласованно при;
подстановке в уравнения Максвелла плотности тока ,и заряда
плазмы J(x, ¦/)=2ei/d3vv/j(x, v, t) и р(х, t)=2e5f dsvf5(x9 v, /)
наряду с зарядами и токами внешних источников. Далее будем,
считать, что плазма находится во внешнем однородном магнитном
поле В0=50е2, а равновесное состояние характеризуется электро-
электронейтральностью плазмы Znjej=0 и отсутствием электрического»
поля Е0=0. Предположим также, что ток, текущий в равновес-
равновесном состоянии (если он есть), настолько мал, что собственное
магнитное поле, созданное этим током, оказывает существенно*
меньшее влияние на устойчивость, чем внешнее магнитное поле-
полевое,.
В разд. 1 на основе уравнений Максвелла получено общее дис-
дисперсионное уравнение, описывающее распространение электромаг-
электромагнитной волны под произвольным углом к однородному полю Botz:
в плазме с произвольной равновесной гиротропной функцией рас-
распределения Fs(v2±y vz). Здесь же представлены упрощенные дис-
дисперсионные соотношения, соответствующие нескольким предель-
предельным случаям, включая распространение волны вдоль B<?z пер-
перпендикулярно Вое1, а также при отсутствии внешнего поля.
В разд. 2 приведена теорема Ньюкомба, показывающая, что рав-
равновесия с монотонной функцией распределения dFj(v2)/dv2^.O*
(v2=v2±-}-v2z) устойчивы по отношению к малым электромагнит-
электромагнитным возмущениям произвольной поляризации. В разд. 3—7 иссле-
исследуются частные случаи кинетических мод и неустойчивостей.
В конце статьи приведен список литературы, в котором указа-
указаны лишь некоторые классические работы и ранние исследования
кинетических мод и неустойчивостей, рассмотренных здесь.
444
1.2. Кинетическое дисперсионное соотношение для замагничен-
ной плазмы. Рассмотрим отклонения от равновесия (d/di=O)^
характеризуемого отсутствием электрического поля .и однородным
магнитным полем Ъ0=ВоеХ9 Во=const, созданным внешними ис-
источниками. Предположим также, что равновесная функция рас-
распределения i/j°(x, v) для частиц сорта / пространственно-однород-
пространственно-однородна
где vj_= (vx2 + vy2I/2 — поперечная скорость; vz — продольная ско-
скорость. В B) i^=const — концентрация частиц, сорта /, a Fj(v±29
vz) нормирована следующим образом:
2* | dv±v± Jdv2F (u2r vz) = \.
О —00
Исследуем возмущения в виде электромагнитных волн, для чего»
представим бЕ(х, t) и бВ(х, /) в виде интеграла Фурье — Лапласа::
8В(х./)= (Vkexp(ik-x) f ^exp(-iorfMg(k, «), C).
С
где Imco>0 выбираются положительными и достаточно большими?
оо
так, чтобы интеграл 6E(k, co)= /^exp(iea/NE(k, t) ... сходился.
oo-f-iG
В C) контур С параллелен оси J?e0, так что /dco= / rfco и1
С — oo4-ia
Im o)>a. Пренебрегая начальными (^=0) возмущениями, уравне-
уравнения Максвелла можно записать в виде
kX8E = -f 6B; D),
ikX6B = 4-f8J-i^-5E; E)
k-6B = 0; F)»
ik • 6Ё = 4 хсбр. GУ
В уравнениях E) .и G) возмущения тока и электрического поля
следует выразить самосогласованно через возмущение функций
распределения 6fj(x, v, t):
SJ (x, 0=2^1 d*w6fj (x, v, 0; (8)*
/
6p(x, i)= 2е;№3Щ(х, v, f). (9).
/
445-
-Более того, для возмущений малой амплитуды поведение f;(x, v,
•t) описывается линеаризованным уравнением Власова
f,(-r «J. СО)
где е5 ,и nij — заряд ,и масса частиц соответственно; с — скорость
света в вакууме. Подставляя D) ,и (8) в E), получаем:
3vv^(^t;,«)) = 0. (П)
Используя метод характеристик, можно решить уравнения Вла-
Власова для
S/. (х, v, f) = J d3k exp (i'kx) J (d(D/2ici) exp (- i arf) 8/. (k, v, ©);
) J
y(k,v,(D) = -^ j>exp[ik.(x'-x)-
A2)
где Imco>0 и начальные возмущения пренебрежимо малы.
В уравнении A2) траектории частиц x'(t') и \'(?) удовлетворя-
удовлетворяют уравнениям движения dx//dt/=\/ и dv'/dt''= (e^c)\fxB^iz с на-
начальными условиями x'(t' = t) =х и v'(^ = ?) =v.
Учитывая, что v'± и уг2 в состоянии равновесия постоянны
вдоль траектории, можно преобразовать подынтегральное выраже-
выражение в A2) к виду
[sE+ГХ-txilL]4,F,(Л, „-,,=^![±-F,(^.„г,-
причем в этом выражении от времени f явно зависит лишь v'j.
в произведениях \\8Е и kv^. Вводя циклотронную частоту
mjC A4)
и определяя фазу поперечной скорости Ф для f=t так, что (vx,
vy) = (v±cosO, Uj_sinO), можно выписать уравнения орбит час-
частиц
446
v'_ = v, cos (Ф — со^т);
Vz =
A5)
X =X —
1; 1
уГ^У+^ Icos (ф~~ ш'/х)~~ cos Ф1;
A6)
где %=?—t. Предположим, что волно-
волновой вектор к лежит в плоскости xz
(рис. 1), так что
^ ~ Рис. 1. Система координат
к = k±ex i kz?z> A7) и волновой вектор
и экспоненциальный мложитель в интеграле по траектории A2)
можно представить в виде
/ k\v\ \
exp (ikx' — i сох) = exp \ikzvzz — i <dt -|- i -^-^= [sin Ф— sin (Ф — <t>C]i)] f=
f)exp I1 (w ~
=—ao
exp
-ш).], A8)
где Jn{b)—функция Бесселя первого рода порядка п и было ис-*
оо
пользовано разложение exp (i b sin a) = S Jm(b) exp (ima). Под-
m=—oo
ставляя A3), A5), A7) ,и A8) в A2) и проводя интегрирование
по т с Im о)>0, находим:
m=z—oo «=—oo
447
Здесь bj—k±vj<dcj; Jn {Ьз) — {й1йЬ5Iп{Ь]) и (Использованы тожде-
тождества /п_! (Ь,) -Jn+l (&,) = 2/п' F,) И /п_! (Ь,) +/.+, F,) =
B/ад/(ад
Чтобы определить самосогласованную эволюцию возмущений,
следует подставить в уравнение Максвелла A1) возмущение функ-
функции распределения 6f,- в виде A9). Для этого, .вычислив возмуще-
-ние тока в A1), перейдем к цилиндрическим координатам
2jt оо оо
f dzv= \6Д> \ dv±v± / dvz и используем тождество
О 0 —оо
оо 2*
т=—оо О
= [(л^/6,) JnF7), - iо±ГяFу), оЛ F7I. B0)
Лодставив A9) в A1), получим:
D(k, со)-6Е=0, B1)
где девять матричных элементов Д*(к, со) вычисляются непосред-
непосредственно из A1), A9) и B0). Условием разрешимости A.21) яв-
является равенство нулю определителя матрицы {D«(k, со)}, г9 /=
= 1, 2, 3. Это и есть искомое дисперсионное соотношение
det{D2J(k,co)} = 0, B2)
•связывающее волновой вектор к и комплексную частоту колеба-
колебаний со. Подставляя A9) и B0) в A1), получаем элементы дис-
дисперсионного тензора:
п /1 ч 1 о1*1* П" VI Г ^ (n2/b*})J*n(b)
/2=—00
9 ^^
Zj to ^
«=—oo
•448
V'nW I- a w a «,_, an.
74(со — rmc,—kzvz) [ ао± / со >^ ' к &» '/J'
z (к, .) = -р V1W-^ f
^V ' » ^J СО
1((D—/KDC/
I n=—CO
Г27)
<28>
00
«=—oo
— macj—k ^
B9)
oo -j-oo +°°
где fdzv=2jtfdv±v±fdvz; bj=k±v±fcocj, ^2Р^=4пще^/т^— квад-
0 0 —oo
рат плазменной частоты (предполагается, что 1то>0).
Дисперсионное соотношение B2) вместе с определением
?)#(к, <о) B3) — C0) используется для исследования устойчивости
плазмы. Рассмотрим предельные случаи, для которых матрица
Di5(k, со) имеет наиболее цростой вид. Как видно из B3) — C0),
это происходитлри распространенииволнылараллельно йое2(^±=О;
A=feje2); ,и перпендикулярно Boez(^z = O; k=k±ex) в изотропной
плазме с Fi=Fi(v±2-\-vz2)9 для которой dF5ldv±—(v±/vz)dFj/dvz=
= 0. Некоторые из этих случаев, имеющие практический интерес,
рассмотрены ниже.
1.3. Распространение параллельно В$ъг. Здесь мы проведем уп-
упрощение дисперсионного соотношения для волн, распространяю-
15 Зак 137 г) 49
щихся параллельно Boez:
Учитывая, что /о@) = 1, /п@)=0 для |я|>1 и ]Х(Ь})^Ь^2 для]
|*,|<1, из B5), B7), B9) следует:
Dxz=Dzx=Dyz=Dzy = 0 C2)
для k±=0. Кроме того, оставшиеся матричные элементы для;
k±=0 можно представить в виде
vz ovz J \\_to — (ocj —
+ 1;
kzvz со + u>cj — kzvz J
4
' ' I- C4v
— Wc/ — kzVz @ + <OC/ — kzVz J ' l /$
^?i f rf3v ^V^ = ! + у ¦ ffi Г dy MF'f2 , C5),
w J w —/г2и2 ' ^ fe2z J ca — /г2у2 ' v 7
/
где предполагается Imco>0. Подставляя C2) — C5) в B2), по-
получаем дисперсионное соотношение
(DxxDyy — DxyDyx)Dzz=0. C6)л
Имеется два класса решений C6). Первый класс Dzz==0 соответ-
соответствует продольным электростатическим возмущениям с 6?lJC=t
==i5?Iy=0 ,и электрическим полем возмущения, параллельным на-
направлению распространения k=kzez. Другой класс (D^D^—
—DxyDyx=0 соответствует поперечным электромагнитным^ возме-
возмещениям с б?'2=0, электрическое поле которых $Е=8Ехех+8Еуеух
перпендикулярно направлению распространения.
Дисперсионное соотношение электростатической волны. Итак*,
поляризация волны электростатических возмущений, распростра-
распространяющейся параллельно B<&zy задается уравнениями:
к = @,0, ?z); вЕ=(О, О, 6Е2), C7),
а дисперсионное соотношение принимает вид:
O. C8)
где Im(o>0. В разд. 3 показано, что в зависимости от видаг
Fjiv±2> vz)> a также рассматриваемой области на плоскости (kiy.
450
<о) уравнение C8) представляет собой электростатическое дис-
дисперсионное соотношение для продольных ионно-звуковых волн,
электронных плазменных колебаний, двухпот;оковых неустойчиво-
-стей и других волн, распространяющихся вдоль Во.
Дисперсионное уравнение электромагнитных волн. Поляриза-
Поляризация электромагнитных волн задается следующим образом:
к=@, 0, kz)\ 8E=(fExi 8\ 0), C9)
:а дисперсионно.е уравнение D^Dyy — DxyDyx=D2xx -f- D2xy=
i= (Dxx+iDxy) (Dxx—iA^) =0 сводится к соотношению
±wc/ — kzvz)
-Q, D0)
тде Imco>0, а соотношения D+=Dxx-\-iDxy=0 и D~=DXX—iDxy=
= 0 описывают распространение циркулярных электромагнитных
волн соответственно с правой (8ЕХ=—18ЁУ) и левой (8ЕХ=
1=1+1б?1у) поляризацией. В |разд. 5 показано, что в зависимости
от интересующей нас области на плоскости (kZJ <o), а также от
ъида ^(у±2, vz) уравнение D0) определяет дисперсию альвенов-
ских, ионно-циклот|ронных, электрон-циклотронных волн, вистле-
ров, а также неустойчивости типа альвеновской, <ионно-циклотрон-
ной и шланговой неустойчивости; вейбелевскую неустойчивость
плазмы с анизотропией кинетической энергии, для которой
litij / d3v (т^и2х/2) Fj существенно превышает Ищ / dzv (тр2г12)Fj.
1.4. Распространение перпендикулярно Boez. Исследуем теперь
уравнения B1)—C0) для другого предельного случая распрост-
распространения волны — перпендикулярно Вое2:
62=0, к=кхех. D1)
Кроме того, для упрощения исследования предполагается, что
массовое движение компонент плазмы вдоль магнитных силовых
.линий отсутствует
Jdv2vzFj(v\,vz) = 0. D2)
Подстановка D1) и D2) в B5), B7) —B9) дает:
Dxz=Dzx=Dyz=Dzy = 0 D3)
для k~ = 0. Более того, вид остальных матричных элементов су-
существенно упрощается
е0 ш J
' 15* 451
D =1--_±-Р^-!-\^ V Ov n<°c//2"F/) g>« dFi
zz ca2 ^ to2 ' ^J w2 ^ j (w— лсо<?/) yj_ ^yj_ '
/ / n=—oo
D7)
Здесь учетно, что '/ dvzvzdiFj/dvz=—/ dvzF5 для упрощения выра-
выражения iDzz. Как легко заметить из D4) — D7), динамика частиц
в поперечной плоскости играет важную роль в процессе распрост-
распространения волн с k=\k±ex, что проявляется в возникновении цикло-
циклотронных резонансов в D4) — D7) для cD = moCj, л=±1, ±2 ...
Подставляя D3) — D7) в B2), находим дисперсионное уравне-
уравнение
(DxxDyy — DxyDyx)Dzz=0. D8)
Как и в случае параллельного распространения, .имеется два клас-
класса решений B1) и D8). Первый класс Dzz—0 соответствует ^по-
^поперечным электромагнитным В9змущен,иям с 6Ех=0=дЕу и 6Е=
=F?'2ez. Возмущения такого типа называются обыкновенной вол-
волной. Другой класс DxxDxy—DxvDyx=0 соответствует так называе-
называемой необыкновенной волне, которая в общем случае .имеет сме-
смешанную поляризацию с 8Ez=0 и $E=8Ex<ex-\-8Eyeyi так что элект-
электрическое поле имеет компоненты как вдоль, так и перпендикуляр-
перпендикулярно k=\k±ex.
Дисперсионное соотношение обыкновенной волны. Итак, поля-
поляризация обыкновенной поперечной электромагнитной волны, рас-
распространяющейся перпендикулярно 50ez, задается следующим об-
образом:
к = (k±, 0, 0); 6Е = @, 0, 8Ег), D9)
а дисперсионное уравнение имеет вид:
S»2 • —¦ м2 • -X /• пса /2 (Ь Л
со2 +Jj со2 U J ™ — n(*cj X
/ У «=—оо
X—^-=0. E0>
V | UV I
В разд. 6 показано, что для холодной и не слишком горячей изо-
изотропной плазмы с |6j|<Cl уравнение E0) дает известное диспер-
дисперсионное соотношение для обыкновенной волны (при со=т^тоС;) со2=
452
= c2k2±-\-2(u2pj с малыми тепловыми поправками. В случае, когда
плотность кинетической энергии продольного движения щ =
= H>nj f dz\ (mp2lT) Fj превышает плотность энергии поперечного
движения г±=1>п5 j dzv(mjv2±/2)Fj на определенную величину,
уравнение E0) описывает электромагнитную неустойчивость вей-
белевского типа.
Дисперсионное соотношение для необыкновенной волны. В об-
общем случае поляризация необыкновенной волны, распространяю-
распространяющейся перпендикулярно 50е2, смешанная, т. е.
к=(*х. 0, 0); 6Е=(б?х, 8Еу, 0), E1)
и электрическое поле^возмущения имеет как продольную {8ЕХ)У
так и поперечную (8ЕУ) компоненты по отношению к волновому
вектору. Дисперсионное уравнение определяется
DxxDyy — DxyDyx=0, E2)
где матричные элементы D{j даны в D4) — D6). В общем случае
E2) упростить нельзя. Тем не менее имеется два практически ин-
интересных предельных случая, которые мы .и рассмотрим. Первый
соответствует продольным (электростатическим) модам Берн-
Бернштейна, а второй — необыкновенной поперечной электромагнитной
волне.
Моды Бернштейна. Для волны с большим поперечным коэффи-
коэффициентом преломления
»1 E3)
из D4) — D6) и E3) легко показать, что \Dyy\^\Dxx\y a D
Dxy — величины одного порядка. Тогда из D4) и условия DJ
—DxyDyx=0 видно, что уравнение
«=—00
oo
& у Г^у "*™ ^^L^Q E4)
k± Ш J w —/ю>с/ v± dv± v ;
j n=—oo
является хорошим приближением дисперсионного соотношения
<Х)
E2) ;[здесь мы учли, что S n/n2(&j)=0]. В этом случае &Еуж0
П=—оо
и волна является практически продольной (электростатической)
с возмущениями электрического поля вдоль направления распро-
распространения k—k±ex. Дисперсионное уравнение Бернштейна описы-
описывает распространение широкого класса волн от нижнегибридных
колебаний холодной плазмы, для которых 1 = со2Ре/ (со2—со2се) +
+(o2pi/(co2—со2сг) до циклотронно-резонансных волн (со^гаос;), ког-
453
да становятся важны температурные эффекты. Подробное обсуж-
обсуждение различных примеров и применений таких мод дано в разд. 6.
Необыкновенная электромагнитная мода. Для случая разре-
разреженной плазмы с
51 < 1 E5)
и высокочастотных возмущений с
с учетом D4) — D6) можно показать, что член DxyDyx дает малый
вклад ,в уравнение E2), и дисперсионное уравнение iD^D^—
—BxyDyX=0 легко упростить
DxxDyy=0. E7)
Случай Dxx=0 соответствует моде Беднштейна и рассмотрен вы-
выше [см. E4)]. Второе решение Dyy=0 описывает поперечную
электромагнитную волну с поляризацией k=(k±y О, О)бЕ=(О,
6ЕУ> 0) и дисперсионным соотношением
/ «=—00
E8)
1.5. Дисперсионное соотношение электростатических мод в за-
магниченной плазме. В пп. 1.3 и L4 мы отметили, что при опре-
определенных условиях (большой коэффициент преломления
i\c2k2/<d2\ <Cl или малая длина волны ico2pe/c2&2<Cl) дисперсионное
уравнение .имеет вид, позволяющий разделить плазменные моды
на продольно- и поперечно-поляризованные. С учетом уравнений
G) ,и A9) получ.им дисперсионное соотношение для электростати-
электростатических возмущений с kX6E=0 и 6Е=—{кбФ=—i(k±9 О, кг)8Ф,
где 6Ф — потенциал возмущения, а к имеет произвольное направ-
направление по отношению к 50ez. Уравнение Пуассона в этом случае
принимает вид 8Ф = 4л8р/(к2±-\-к22) =4я2е;- Г d3v8fj/(k2±-\-k2z), где
6/j определяется из A9). Подставляя 8Е=—i(k±, О, &2NФ в A9),
получаем:
ш)бФ = 0. E9)
Отсюда непосредственно находим дисперсионное соотношение
v± dv±\
454
где k2=k2ir\-k2z и предполагается, что ImcoX). Уравнение F0)
сводится к дисперсионному C8) для параллельного распростране-
распространения (&±=0) и к дисперсионному уравнению моды Бернштейна
для поперечного распространения (Л2=0). В разд. 7 показано,
что, в зависимости от вида Fj(v2±, vz) ,и рассматриваемой области
на плоскости (со, к) уравнение F0) описывает также решения,
соответствующие модифицированной двухпотоковой неустойчиво-
неустойчивости и конвективной неустойчивости в плазме с конусом потерь.
1.6. Дисперсионное соотношение для незамагниченной плазмы.
При условии, что частота возмущений достаточно высока, а дли-
длина волны достаточно мала, так что
*1°1
F1)
магнитное поле мало влияет на динамику частиц за время поряд-
порядка периода волны и на расстоянии порядка длины волны. В этом
случае динамика частиц и свойства волн аналогичны случаю не-
незамагниченной плазмы с
5о=О, F2)
траектории частиц которой прямые
x'=x+vt; v'=v, F3)
где x=tf—t. Полагая 50=0, можно без потери общности выб-
выбрать ось OZ вдоль волнового вектора, т. е.
k=?2?z. F4)
Кроме того, для Во=0 рассмотрим класс возмущений равновес-
равновесного состояния, соответствующего
у), F5)
где v=(i>jc, vy, vz), a Fj(v) нормированы: f d3vFj(v) = l. Повто-
Повторив рассуждения, приводящие к уравнению A9), и используя со-
соотношения F2) — F5), можно выразить возмущение функции рас-
распределения
ЧК ' nij со — kzvz \ dv2
kjb, *РП f?x+ ГЛ _ Щ?/+^1 сЕ\ Fб)
о) dvz\ х • \\ со / диу (о dvz\ ) v /
Тогда волновое уравнение A1) представим в виде
lw%(ft. t».«)=0.
F7)
в котором S/j(k, v, со) определяется соотношением F6).
455
Одной из наиболее важных неустойчивостей незамагниченной
плазмы является электромагнитная неустойчивость Вейбеля, по-
порожденная такой функцией распределения, для которой кинети-
кинетическая энергия движения частиц перпендикулярна волновому век-
вектору k=kzez, достаточно сильно превышает кинетическую энергию
продольного движения частиц. Источником свободной энергии мо-
может быть как энергия направленного среднемассового относитель-
относительного движения компонент плазмы, так и анизотропия теплового
движения частиц. Для упрощения расчетов положим:
] ]vyvyF}(y), F8)
т. е. среднемассовое движение компоненты / поперек 0Z отсутст-
отсутствует. Тем не менее это условие допускает существование направ-
направленных потоков при условии, что ,их структура симметрична. Это
имеет место, например, для двух встречных электронных пучков
равных токов. Подставляя F6) в F7) ,и учитывая F8), в-идим,
что
Dxy=Dxz=Dvx=Dzx=DZy=O, F9)
а остальные матричные элементы выражаются следующим обра-
образом:
+*-??];
со dvz
G1)
CO — fZzVz
G2)
где ю2^=4яя^2//п^, и предполагается, что Imco>0. Соотношения
F9) —G2) позволяют привести дисперсионное уравнение
det{Di](kt, o))}=0 для незамагниченной плазмы к виду
DxxDyyDzz=0. G3)
Уравнение G3) имеет два класса решений. Первый класс с дис-
дисперсионным соотношением
456
kzvx dFjl
+—-^ =0 G4)
со dvz\ v ;
ИЛИ
D{k) l*
C02D; Л 0.. Г/ kzVz\dF:
со J u — kzvz [\ со / dt^
что соответствует чисто поперечным электромагнитным веткам с
линейной поляризацией 6E=iF?x, 0, 0) и 6Е= @, 6-Б», 0). Другая
ветка с дисперсионным соотношением
Dzz (kz, о)) = 1 + V 4^?L [d3v kzdFj/dvz = о
U k2z J со — kzvz
соответствует электростатической волне с продольной поляризаци-
поляризацией к= @, 0, кг) и бЕ=@, 0, &?г). В зависимости от вида /^(v)
уравнения G4) — G6) описывают широкий круг электромагнит-
электромагнитных и электростатических волн и неустойчивостей, характерных
для незамагниченной плазмы (см. разд. 3 и 4).
В заключение рассмотрим частный случай с /^-(v), изотропной
в плоскости XY, т. е.
FAv2jjVz)9 G7)
где v±2=vx2+vy2. В этом случае Д,* и Dxy принимают вид:
Dxx(k,.») = Dn{k,.*) = l--J-+\)^-\d'Y--±-:X
Различия между общим случаем с ограничением F8) и частным
случаем G7) непосредственно видны из дисперсионных соотноше-
соотношений G4), G5) и G8). Уравнения G4) и G5) описывают распрост-
распространение двух поперечных электромагнитных волн с независимыми
линейными поляризациями и различными дисперсиями. Для слу-
случая же Fj(y)=Fj(v2x> v*) оказывается D^^Dyy [см. A.78)] и
дисперсионные соотношения ?JИС==0 и Dyy=0 тождественны.
В этом случае электромагнитная^волна имеет эллиптическую по-
поляризацию к= @, 0, кг), &Е=(8ЕХУ 8ЕУ, 0), причем отношение
SEjSEy произвольно.
1.7. Дисперсионное соотношение для электростатической вол-
волны в незамагниченной плазме. При условии В0=0 вывод диспер-
сионного соотношения для электростатической волны kXSE=0
можно упростить с самого начала. Полагая 6Е=—/кбФ, где 5Ф—
457
потенциал возмущения, сводим A2) к выражению
^(k.v..) = -^-(^f^(k..). G9)
Тогда уравнение Пуассона ?26Ф=4я2е, / dzy8fj примет вид:
D(k, соNФ=0, (80)
откуда находим дисперсионное уравнение Ландау для продоль-
продольных .возмущений
5ЭД^?- = 0 (81)
(считаем Imico>0). Следует заметить, что уравнение G6)—част-
ный случай (81) для k=\kzez. В зависимости от вида функция
распределения iFj(v) и рассматриваемой области плоскости (со, к)
уравнение (81) описывает широкий класс плазменных волн и не-
устойчивостей, включая .ионно-звуковые волны ,и их неустойчи-
неустойчивость, плазменные электронные колебания, двухпотоковую неус-
неустойчивость ,и т. д. Различные случаи волн и неустойчивостей, опи-
описываемые уравнением (81), рассмотрены в разд. 3.
2. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ОДНОРОДНОЙ РАВНОВЕСНОЙ ПЛАЗМЫ
Здесь рассмотрен широкий класс -изотропных равновесных
функций распределения
Fj(vl> vz) = Fj(v]_ + vl) (82)
замагниченной плазмы и на основе системы Власова—Максвелла
выведено достаточное условие устойчивости по отношению к ма-
малым электромагнитным возмущениям произвольной поляризации.
Мы будем исходить из нелинейного уравнения Власова
(83)
где 6E(x, t), 6B(x, t) и 1^(х, v, t) являются самосогласованными
в смысле уравнений Максвелла, причем функция распределения
представляется в виде суммы равновесной части и добавки, обус-
обусловленной возмущением
fj (х, v, t) = njF; (v\ + v\) + 8fj (x, v, t). (84)
Здесь ifi^const — концентрация компоненты /, однородная в про-
пространстве. Непосредственным следствием системы Власова—Макс-
Власова—Максвелла является сохранение полной энергии (включающей энергию
поля и кинетическую энергию частиц) в фазовом объеме, занятом
458
плазмой. Кроме того, легко показать, что (d/dt) / d3x / d3vG(fi)=s^
= 0 для любой гладкой дифференцируемой функции от /> Ис-
Используя эти свойства, легко построить общий вид .интеграла С
уравнения (83)
с=jps ^ ^(i+.)(f(,,)+
]L (85)
так что dC/dt=O. В уравнении (85) подразумевается fj=w
а аргументы функции 6Е(л:, t)9 6B(x, t), fs(x, v, i) и ?/Bх)
опущены. Подчеркнем, что сохранение С является точным следст-»
вием /исходного нелинейного уравнения Власова—Максвелла. Ис-
Исследуя возмущения малой амшлитуды, разложим G (Д) = G (F
-\-8fj) по малому параметру | Sfj/nJFj\ <С 1
G (/у) - G^,) + (У (aft) 8/y + G" (л/у) в+ • • • (86)
Можно выразить С с точностью до второго порядка малости по
Выберем теперь такую функцию G(n^Fj), чтобы
С(л//)=-^(о1± + о%). (88)
Выбор такого вида G(f) приводит к выпадению членов, линейных
по 6fj, из (87)
Дифференцируя (88) по .аргументу nsFj9 получаем:
где у2=у2_1_+у22, что позволяет .выразить СB) следующим обра-
образом:
459
Если при этом
^<0> (92)
то из (91) следует, что С<2> является суммой неотрицательных ве-
величин. Поскольку С является интегралом системы, то отсюда не-
непосредственно видно, что если равновесная функция распределе-
распределения удовлетворяет (92), флуктуации поля 6E(x, t) и 6В(х, t)y
а также 6ifj(x, v, i) не могут возрастать неограниченно. Таким об-
образом, достаточное условие устойчивости можно сформулировать
следующим образом: если равновесная функция распределения
Fj(v2±-\-w2z) является монотонно убывающей функцией аргумента
Xv2±+\v2z) для всех / компонент плазмы, равновесие устойчиво
(в линейном приближении) по отношению к малым электромаг-
электромагнитным возмущениям произвольной поляризации. Это утвержде-
утверждение является формулировкой теоремы Ньюкомба для пространст-
пространственно-однородной плазмы в однородном магнитном поле Botz.
Данная схема исследования устойчивости допускает ряд важ-
важных обобщений. Например, можно показать, что условие dFj/dv2^.
^0 является достаточным для устойчивости решений точных не-
нелинейных уравнений Власова—Максвелла по отношению к воз-
возмущениям конечной амплитуды. Кроме того, можно показать, что
для устойчивости чисто электронного шнура конечного радиуса
достаточно, чтобы dfe° (Н—о)гРо) Id (Н—i(DrPe) ^ 0, где Н — энер-
энергия; Рв — угловой момент; icor=const — угловая скорость враще-
вращения.
3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
НЕЗАМАГНИЧЕННОИ ПЛАЗМЫ
Как это видно из разд. 2, возникновение неустойчивости
(Im©>0) обусловлено нетепловыми характеристиками функции
распределения Fj(\), нарушающими ее монотонную зависимость
от v029 т. е. свободная энергия, питающая усиление колебаний,
связана с относительным движением компонент плазмы и (или)
анизотропией кинетической энергии. Ниже мы, используя диспер-
дисперсионное уравнение (81), исследуем различные продольные коле-
колебания плазмы и их неустойчивости.
Следует подчеркнуть, что результаты, полученные в данном
разделе, справедливы .и в случае В0ф0 для электростатических
волн, распространяющихся параллельно B0=?oez. Это легко по-
понять, заметив, что дисперсионное соотношение для продольных
волн в замагниченной плазме Dzz(ky co)=0 совпадает с уравне-
уравнением (81) для k=\kzez и Fj(y)=Fj(v2±, vz).
3.1. Слабая электростатическая неустойчивость. Разделим со
на реальную .и мнимую части со=<ог+гу, где o)r=Reco соответст-
соответствует частоте плазменных колебаний, а у=1та> — скорости изме-
изменения их амплитуды, причем уХ) означает раскачку колебаний.
4г60
Тогда дисперсионное уравнение незамагниченной плазмы прини-
принимает вид:
Я (к, o)z+i7)=O, (93)
где диэлектрическая проницаемость Ландау определяется следу-
следующим образом:
(94,
при 7>0- Определяя jDr=iRe?>(k, cor+iy), A=Im?)(k, +y)
и раскладывая левую часть уравнения ibr-HD<=0 в ряд Тейлора
но малому параметру |7Ао|<С1, легко привести соотношение (93)
;к виду
[г (95)
Используем тождество
где символ Р(х) означает, что при интегрировании выражения,
«содержащего х, интеграл следует понимать в смысле главного
значения Коши. Тогда уравнение (95) распадается на два урав-
уравнения для действительной и мнимой частей:
(97)
Уравнения (97) и (98) определяют действительную часть часто-
частоты cor, а также (инкремент нарастания или затухания у для сла-
слабых [т. е. у<^\<х>2\, |кУ;-|, где Vj — характерная скорость частиц
сорта /] неустоичивостеи через заданную функцию распределения
/^•(v). Заметим, что самосогласованное возмущение электрическо-
электрического поля 8Е(х, it)—величина действительная. В этом случае из
(97), (98) 'непосредственно находим следующие свойства симмет-
симметрии:
fflr(-k)=-fflr(k);v(-k)=Y(k). (99);
Уравнения (97) и (98) будут использованы далее для определе-
определения инкрементов нарастания и затухания различных волн и не-
461
устойчивостей — электрон-плазменных колебаний, пучковой неус-
неустойчивости, лонных волн и ионно-звуковой неустойчивости.
Запишем решение (97) и (98) для .изотропной функции рас-
распределения
где v2=wx2~\-vy2 + vx2. Используя тождество kdFj(v2)/dv=^
— 2kv(dFj/dv2)> имеем:
(юг,,
5
У
В этом случае для у получим:
2r2 (u2pj/k2) J d3vd (cor — kv) dFj
l
т = —l
Для волн с положительной энергией о)гсШг/(Эсйг>0 из уравнения.
A02) видим, что условие dFj/dv2^.O достаточное для устойчивос-
устойчивости (y^O)- Таким образом, мы -проиллюстрировали справедли-
справедливость теоремы Ньюкомба для специального случая Во=0 и элект-
электростатических волн.
3.2. Вид дисперсионного соотношения для плазменных волн.
Для многих практически интересных случаев функцию распреде-
распределения Fj(v) можно приблизить максвелловской функцией
<103>
где Vj= / dPwFj — средняя скорость частиц; Ts= B/3) / X
X[mi(v—^J/2]^ — температура частиц сорта /. Для функциа
распределения такого вида диэлектрическая проницаемость
D(k, i(or+iY) выражается следующим образом:
A05),
, A06);
причем Y=lml(o>0. Здесь мы положили k=ifee2, кроме того^.
vri=B7'i/miI/2 — тепловая скорость частиц сорта /. Функция.
Z(^), определяемая A05), называется плазменной дисперсион-
дисперсионной функцией. Для дальнейшего .исследования полезно указать
асимптотические разложения Z(^) для малых и больших значе-
462
НИИ
Ш
26«
4^.
A07)
I. A08)
Заметим, что (разложение A07) справедливо, ,в частности, для
случая холодной плазмы, когда vTj=BTj/mj)l/2-^0, или для волн
с большими фазовыми скоростями |<ог—kV^—гу|/|^г;| ^Э>1. Ниже
мы .используем уравнения A04) — A08) для подробного исследо-
исследования устойчивости максвелловской плазмы в различных практи-
практически интересных случаях.
3.3. Электронные плазменные колебания и пучковая неустойчи-
неустойчивость. Для примера рассмотрим случай слабого электронного пуч-
пучка, )раопространяющегося сквозь покоющуюся электронно-иолную
ллазму. Этой ситуации соответствуют следующие функции рас-
распределения (рис. 2):
=о-в)(-2^77 exp(-2rr
A09)
(ПО)
где г=пь/пв<^1 — отношение концентраций электронов пучка и
основной плазмы (считаем | Vb| '>vTe=lBTeJ\me)l/2). Направим к
вдоль оси OZ
к=*? (Ш)
и обозначим компоненту V6 вдоль оси OZ 1/б2=Уь-ег. Так как нас
-интересуют .высокочастотные колебания, .рассмотрим ионы как
локоящиеся фоновые частицы
т^ОО |?,|->ОО A12)
Предположим, что амплитуда
волн меняется медленно
М<Ы, (ИЗ)
;а также что фазовая скорость
волн велика по сравнению с теп-
тепловой скоростью электронов фо-
яовой плазмы, т. е. |ge|>l,
О Vb2 yz
Рис.'2. Одномерная функция распре-
распределения J dVx j dvyFe (v), порождаю-
—<x> —оо
A14) щая пучковую неустойчивость
Тем. A09)]
403
Затухание плазменных колебаний. В отсутствие электронного
пучка
8=/гь/яе=0. A15)
В этом случае из уравнений (97), A04), A07) и A09) —A15) по-
получим уравнение для частоты плазменных волн
Dr(k,cor) = l~-^-3^2D^... = 0, A16)
где №D = Te/4nnee2=v2Te/2(xJpe—квадрат дебаевского* радиуса, при-
причем согласно условию A14) k2X2D<^L Решая A16) методом пос-
последовательных приближений, находим:
02r=(oV(l+3?2X2D+ ...). A17)
Это (Известное дисперсионное соотношение Бома—Гросса для*
электронных плазменных колебаний с малыми тепловыми поправ-
поправками. Кроме того, необходимо найти декремент затухания Лан-
Ландау. Для 8=0, /пг-мх), ?2Я21><1 из (98), A09) и A16) имеем:
где co2r=,co2pe(l+3A2X2D+ — ) и &2X2d<C1. Это выражение можно*
упростить
<»ре V 8 k*\k\l*D
Заметим, что затухание действительно мало |7ь/оз^е| <С1. Выпол-
Выполнено также и условие <(d2r/k2v2Te^l/Bk2X2D)^>\9 т. е. фазовая ско-
скорость волн велика по сравнению с тепловой ошростью электро-
электронов плазмы.
Пучковая неустойчивость. Исследуем теперь устойчивость
электростатических волн в присутствии электронного пучка так,,
что 8=7^=0, где е=юь/де<1 и | Vd| »yTe= BTe/m€)^2. Проведя ана-
аналогичные рассуждения, легко показать, что для ie<Cl частота ко-
колебаний с хорошей точностью определяется уравнениями A16)
и A17). Кроме того, для |-у/о)г|<1 из уравнений; (98), A09),
A16) ,и учитывая C-Dr/do)r=2co2pJi(o3r, находим:
<120>
где со2г=оJ3,еA+ЗА2Х2и+...) и kVb=kVbz.. Первое слагаемое у^
в правой части A20) соответствует затуханию Ландау, обуслов-
обусловленному электронами фоновой плазмы. Второе слагаемое уъ со-
соответствует ,р.аскачке колебаний электронами пучка при условии^
что фазовая скорость сог/>& меньше проекции средней скорости
464
пучка на волновой вектор к. Действительно, из A20) видно, что
ДЛЯ
1.
Заметим, что, как это видно из A20) ,и A21), наличие пучка
приводит к затуханию волн, распространяющихся перпендикуляр*
но пучку, т. е. для Vbz==0.
Поскольку со2г/^2у2тв^)Со2^2^2те=1/С2^2Я21))>1г вклад, элект-
электронов фоновой плазмы ,в A20) экспоненциально мал. Таким об-
образом, для волн с фазовой скоростью порядка скорости пучка:
пучок дает основной вклад в раскачку волн даже для малых зна-
значений ,8 и инкремент нарастания выряжается следующим обра-
образом:
exp -
A22>
где vTb= {2Tblmeyi2 и (д2г=<
A)
A22), максимальный инкремент достигается при
Vbz-«>r/k=vTb/V~2
...). Как видно и*
A23>
и составляет
A24>
где мы приняли оЛ^со2^ и (о2г~№У2ы- Строго говоря,, оценка
A24) справедлива лишь для V2bz*>v2Te. Более того, требование
медленности изменения амплитуды | у/сог | <^С 1 выполнено лишь
для пучков с (пь/пе) (V2bJv2Tb)<.l.
3.4. Ионные волны и ионно-звуковая неустойчивость. Рассмот-
Рассмотрим устойчивость электрон-ионной плазмы с малым взаимным
движением компонент по от- ^
ношению к электростатиче- Т Т р.
ским возмущениям. Пусть рас- _J, *l*3
пределение частиц является
максвелловским, причем ионы
неподвижны (рис. 3)
A25)
A26)
0- Cs vez h
Рис. 3. Одномерные функции распре-
оо оо
деления J dvx j dvyFi (v), порождаю-
—оо —с»
щие ионно-звуковую неустойчивость
[см. A25), A26)]
465»
& скорость относительного движения мала
\Ve\<&vTe=BTe/mey/*. A27)
Как и в п. 3.2, считаем |у/сог|<^1, и k=\kzez. Кроме того, как это
¦будет показано ниже, для выполнения этого условия следует пред-
предположить, что
Te*>Ti. A28)
Подставляя A25) и A26) в (94) и используя A04), получаем дис-
лерсионное уравнение '(93) в виде
2со2 • 2со2
^lliZE)]+^[l + ^(y]=0. A29)
хде Z(^i)—плазменная дисперсионная функция, определенная з
A05), а \е и ?, определяются следующим образом:
Ъ= (tor — kVez+iy)/kvTe; li= ((*r+iy)/kvTi. A30)
Здесь vTj=BTj/\mjI/2 и kVe=kVez. В соответствии с A27) и A28)
медленное .изменение амплитуды имеет место для волн с фазовы-
фазовыми скоростями
TV
A31)
"Используя различные асимптотические разложения Z{^) для
электронной и ионной частей Д.(к, со), приходим к окончатель-
окончательному дисперсионному соотношению
Dr (к, шг) = 1 — ^Lj^^L- = О, A32)
решение которого дает
где Cs~ (Тв/ЩI/2 — скорость ионного звука. Из C.41) видно, что
-частота колебаний изменяется от iur2=№c2s для (&2X2D<ICl до со2г=
p
Используя уравнения (98) и A32), легко определить инкремент
для распределений вида A24) и A25)
«V
V
a^]} 034,
466
где е4=?ге— за:ряд ионов и с учетом общей нейтральности плаз-
плазмы п?г=пе. Принимая во внимание неравенства A31) и исполь-
используя дисперсионное соотношение (d2r=k2c2s/(l+k2X2D), можно упро-
упростить A34)
i (l+k4*D))+
Заметим, что вклад ионов ,в A35) всегда цр,иводит к затуханик>
7г<0, причем .при к2Х2в^1 «и Те^>Тг затухание Ландау на ионах.
экспоненциально мало. В противоположном пределе ТежТ{ ион-
ионные волны сильно затухают, так что \уг1\(йг\~1, и предположения,,
сделанные при выводе A35), нарушаются.
Вклад электронов ,в инкремент у соответствует раскачке волн
или затуханию в зависимости от знака kVeJ\a)r—1, -а именно, как.
это видно из A35),
Т*$0; ^>1. A36).
В заключение этого параграфа рассмотрим устойчивые ионные
колебания м лонно-звуковую неустойчивость цр-и Te^>Tiy когда
ионный вклад ,в затухание Ландау мал.
Слабозатухающие ионные волны. Для Те^>Тг в отсутствие от-
относительного движения ионов и электронов
Ve=0 A37)
инкремент у определяется приближенным выражением
¦=-/!
Smt {1+^K/2 ^
где (u2r=k2c2sl{l-\-k2%2D). Уравнение A38) описывает слабое за-
затухание (|7/<^г| <Cl) ионных волн на электронах.
Ионно-звуковая неустойчивость. Для Те^>Т{ и Уегф0 A35)
указывает на наличие неустойчивости ("Y>0) для таких скоростей
относительного движения, пр,и которых ^Уе2/сог>1. Инкремент не-
неустойчивости приближенно (см. рис. 3) представим в виде
(Мег )
где (d2r=k2c2sl(l-{-fc2№D). Введя угол Э между к=Ае2. и Ve, запи-
запишем Vez=VecosQ, где Уе=|Уе|. Тогда для &2АЛ><^1 неустойчивы-
неустойчивыми являются волны, распространяющиеся в конусе О<СЭ<СЭо,..
причем
COS26 >COS20O = C2S/V2e, (НО),
откуда опять находим условие неустойчивости Ve>cSi
467;
Рис. 4. Одномерные функции распре-
распределения ионов и электронов
I dvx J
(v),
порождающие
-сильную электрон-ионную двухпото-
ковую неустойчивость
15*1 =
3.5. Электронно-ионная двух-
потоковая неустойчивость. Рас-
Рассмотрим устойчивость взаимного
движения электронной и ионной
компонент по отношению к воз-
возбуждению электростатических
колебаний. Рассмотрим область
больших относительных скоро-
скоростей (см. п. 3.4)
|Ve|»ure, vTi. A41)
Предположим, что функции рас-
распределения максвелловские [см.
A25) и 126)] (рис. 4). В этом
случае дисперсионное уравнение
имеет вид A29). Предположим,
что
kvTi
(or— kVPZ-\- i у
kvTe
>1
A42)
и влиянием резонаясов волн с частицами можно пренебречь. Раз-
Разложим Z(lj) в соответствии с A42) Z(gj)^ — 1/gj—l/2gj3 и при-
приведем A29) к дисперсионному уравнению для холодной плазмы
; = 0,
A43)
где k=^ez и \CSfe=\kVez.
Для Уе2=т^0 A43) имеет четыре решения для комплексной час-
частоты G)r+i"Y> две из них соответствуют устойчивым колебаниям с
7=0. Два других корня образуют комплексно-сопряженную пару.
Т1осле несложных алгебраических выкладок находим, что неус-
неустойчивость (y>0) возникает в области
1/3 13/2
J
(О2П; \1/3 1
A44)
-Максимальный инкремент возникает для волн с к2=
что дает следующие значения для частоты и инкремента колеба-
колебаний:
V\I/3 г , !
Заметим, что для водородной плазмы с Z=l и лге/т{= 1/1836
инкремент может быть весьма существенным Ymax^(ope/18.
И, наконец, отметим, что, пренебрегая эффектом затухания
Ландау, мы ограничиваем рассмотрение областью ||i| = |((or+
+ iy)/kvTi\^l. Как видно из A45) и A46), это справедливо, ког-
468
да ионы достаточно холодные:
fZtme \2/з
3.6. Необходимое и достаточное условие неустойчивости. Ис-
Исследуем свойства диэлектрической проницаемости D(k> со) для
произвольного вида /^(v) .и определим необходимое и достаточное
условие неустойчивости плазмы по отношению к электростатиче-
электростатическим возмущениям. Это условие, известное как критерий Пенро-
уза, можно использовать для исследования устойчивости, а также
для определения границ области, занимаемой неустойчивыми вол-
волнами в к-пространстве, для различных функций распределения
^•(v). Для последующего анализа полезно ввести функцию рас-
распределения одномерного аргумента F(u), где u=(kv)/|&|—про-
u=(kv)/|&|—проекция скорости на направление распространения
\ {148)
Здесь |?|=i|k|, Zimelmi=i^2pil(sylIie и учтено, что п&=пв. Таким
образом, F(u) является линейной комбинацией Fi{v) и Fe(v),
причем ионная функция распределения взята с весом оJРг/со2ре.
Исходя из определения F(u) A48), легко привести D(k, ш) из
(9.4) к виду
Z>(k, »)=l+">
где Imco>0. Укажем вид реальной и мнимой частей D(k, со) для
действительного аргумента <о
to °^\'_a ; A50)
*M A5.)
тде {Dr'=Reco и использовано
а р — символ главного значения Коши. Теперь приступим к вы-
выводу критерия Пенроуза. Предположим, что ?>(к, со)—аналити-
со)—аналитическая функция в верхней полуплоскости комплексного аргумен-
аргумента 0. Тогда число N решений уравнения D(k, со), лежащих в верх-
.ней полуплоскости, т. е. число неустойчивых решений, выражается
^^D{k'w)t A52)
469
Рис. 5. Двугорбая функция распре-
распределения F(u), анализируемая по
критерию Пенроуза
Рис. 6. Годограф Пенроуза F=Dr +-
-hiDi [см. A51) и A55)} на ком-
комплексной плоскости (Dr, Df) длят
сог^(—ось оо). Для неустойчивости
G>0) необходимо, чтобы Dr (kt cor —
= \k\uQ)<0<Dr(k, (or=\k\ u2)r
через D(k, со), определяемую уравнением A52), где контур обра-
образован прямой действительных чисел и полуокружностью беско-
бесконечного радиуса в верхней полуплоскости. Из уравнения A49)
видно, что — D(k, |co|—>-oo) = l и, следовательно, ненулевой вклад:
в A52) дает лишь интегрирование по действительной прямой, на
которой
Я (к, юг)=Д.(к, сог)+ШНк, юг). A53)
В этом случае A52) упрощается
1 2ти [ D(k, wr= — оо) J> [l° P
т. е. число N неустойчивых решений (Imco>0) уравнения.
D(k, со) =0 равно числу обходов контура T=Dr(k, <Dr)+iA(k, <or)
вокруг начала координат комплексной плоскости (Z)r, Д) при из-
изменении аргумента сог от —оо до +°°- Это утверждение — мощ-
мощное средство исследования устойчивости плазмы с распределени-
распределением F(u). Рассмотрим случай двугорбой функции распределения
(рис. 5) с единственным (исключая а=±оо) минимумом в u=u0>.
глобальным максимумом в и=и\ и локальным максимумом в и=
=и2. Проследим за кривой T=Dr(k, (or)-\-iDi(k9 cor) комплексной
плоскости (Dry Di)y общий вид которой показан на рис. 6. Заме-
Заметим, что A50) можно записать в виде
ut\«* r) & уи (а-«г)/|Л|)«
—с»
Из C.63) и рис. 6 видно, что
Dr (ky cor = | k | u^) > 1;
Dr(kb cor= | k | u2)>Dr{ky cor= | k 1 u0).
Кроме того, из рис. 6 следует, что условие неустойчивости, состоя*
щее в той, что годограф [Г= (Z)r+iA) обходит начало коорди-
470
A56)
пат] приводит к неравенству Dr(k, cor= \k\щ) <cO<C.Dr(ky cor==
что можно записать как
оо +оо
Из A57) непосредственно следует, что .необходимое и достаточ-
достаточное условие неустойчивости имеет вид неравенства
A58)
Уравнение A58) известно как критерий Пенроуза. Заметим, что
впадина на графике функции распределения F(u0) должна быть
достаточно глубока, чтобы удовлетворить критерию Пенроуза
P(F)>0. Кроме того, если второй максимум F(u2) достаточно
большой, то выполняется неравенство D(ky (or= |,^|^2) >1 и мо-
оо
:жет иметь место неравенство со2ре / du[F(u)—F(u2)]/(u—и2J<.0.
—оо
Таким образом, делаем вывод, что при выполнении критерия Пен-
Пенроуза волновые числа неустойчивых волн заключены в пределах
?2min<?2<?20, A59)
где k20 и ?2min определены соотношениями:
A60)
+ 00
Итак, несмотря на то что критерий A58) не дает значение ин-
инкремента у, он позволяет определить, является ли плазма с задан-
заданной F(u) неустойчивой, и найти волновые числа неустойчивых
волн, если неустойчивость существует. Подчеркнем, что A58) был
выведен для двугорбой функции распределения с максимумами
в и=и\ и u=ti2, хотя данная процедура применима и к функци-
функциям с большим числом максимумов.
3.7. Критерий Пенроуза для встречных потоков электронов и
ионов. В качестве интересного приложения критерия Пенроуза
рассмотрим F(u), соответствующую максвелловскому распределе-
распределению электронов относительно ионного фона
где vTe= BTJme) V2; vTi= BTJm,)l'2. Из A62) следует, что F(u)
471
имеет минимум в точке и=щ. Здесь dF(u)/du — 0:
(jb\ A63>
vTe ) * L V Те
Из A63) можно численно определить uo=uo(Vd/vTe, TJTU me\m^)
для широкой области параметров. Введя безразмерные величины
Vd=Vd/vTe ,и щ=ифТе и безразмерный аргумент u=u/vTe, функ-
функционал Пенроуза u^=Uo/vTe длл функции C.79) приводим к виду
A64>
для щ=щ/иТе. Для заданных Z* и те, тг- A64) можно решить
численно и выделить области параметров VJvTe и Ге/7\-, соответ-
соответствующие P(F)X), а значит, и ^\С>0. Эти результаты приведены
на рис. 7 для водородной плазмы Z<=1, т{/шв= 1836. Сплошная:
кривая соответствует границе устойчивости P(F)=O и у=0- Об-
Область параметров (Vd/vT€j Те/Т{) над кривой соответствует неустой-
неустойчивости, в то время как область лод кривой — затухающим коле-
баниям. Следует отметить, что ионно-звуковая неустойчивость
(см. п. 3.4) и сильная электронная двухпотоковая неустойчивость
(см. п. 3.5) существуют в различных ограниченных областях па-
параметров на рис. 7. Уравнение A64) (см. рис. 7) описывает всю
область параметров VJvTe и TJTiy соответствующую неустойчи-
неустойчивости.
3.8. Критерий Пенроуза для двухпотоковой плазмы. Рассмот-
Рассмотрим два потока максвелловской плазмы с равной плотностью и
переносными скоростями ztVd.
2Vn
"Те ( I "Те
+ Z(.^^exp|-^^l-f-2,- —— expl-^p^-H. A65)
Как видно из A65), F(u) -имеет единственный минимум при
и=ио=0. Подставляя A65) в A58), приводим функционал Пен-
Пенроуза P(F) к виду
* f^-jexp \- (и- Vd)
A66)
472
?
w
10 '
10
ГЗ
\ Область j
Хнеустойчи- ;
\ docmu j
Область \ |
устойчивости \
V !
N. !
>v 1
I i ! I
/0 /fl / Ш W2 in3
1
10*
1
Злвнтрон - электронные
\
Область
устойчивости
с—
\
\
I g
o'1 ; W
namunu
ионные
потони
\ Область
\ н eye топчи •
j Зости
л
P(F) = O
\Ион - ионные
\потони
\
1
W2 W3
"Рис. 7. Зависимость Vd/vTe 0T TelTt
на границе устойчивости (v = 0)
встречных^ потоков электронов и
ионов P(F)=0 [см. A64)] при 2г=1,
mefmi =1836. Область параметров
над кривой соответствует неустойчи-
неустойчивости (получено численно)
Рис. 8. Зависимость ^VdlvTe от
Те/Тг на границе устойчивости (у = 0)
двух встречных потоков плазмы рав-
равной плотности [см. A66)] для Zf = l,
melmi =1/1836. Область параметров
над кривой соответствует неустойчи-
неустойчивости (получено численно)
тде vd*=Vd/vTe, Z = u/vTe. Для заданных Z{ и тв/т{ уравнение A66)
можно1 «решить численно для определения1 области параметров
BVJVTey Te/Ti), соответствующей неустойчивости [P(F)>0 \У>
>0]. Результаты представлены на рис. 8 для двухпотоковой во-
водородной плазмы, причем сплошная кривая соответствует грани-
границе устойчивости P(F)=0 и у=0.
4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В НЕЗАМАГНР1ЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ
4.1. Дисперсионное соотношение. В разд. 1 мы упоминали, что
большая анизотропия кинетической энергии плазмы может слу-
служить источником свободной энергии для неустойчивости
плазменных колебаний с поперечной поляризацией 6E_Lk. Здесь
мы рассмотрим незамагниченную плазму В0 = 0 и ,исследуем дис-
дисперсионное соотношение G4), описывающее линейно-поляризован-
линейно-поляризованные волны:
к=@, 0, k)\ ЬЕ=FЕХ, 0, 0), A67)
¦распространяющиеся вдоль оси OZ k=kez. Обозначая со = сог+1у»
дисперсионное уравнение Z)«(k, cor+iv)=0 G4) можно предста-
представить в виде
473
+
где предполагается у—Imco^>0 и использовано соотношение
] dz\vxdFJdvx=—1. Для краткости обозначено DXX=D.
Важно отметить, что анализ устойчивости, проведенный в этом
разделе, справедлив и для плазмы в магнитном поле В0ф0 при
условии, что колебания достаточно коротковолновые и высокочас-
высокочастотные, так что компоненты плазмы практически не замагничены,
т. е. |co/cocj|>l и |&±i/Tj/G)cj|»l.
Как отмечалось в п. 1.6, одной из наиболее фундаментальны/
неустойчивостей, описываемых уравнением A68), является элект*
ромагнитная неустойчивость Вейбеля, порожденная такой анизо-
анизотропией, при которой кинетическая энергия движения частиц плаз-
плазмы в направлении, перпендикулярном k=kezy существенно превы-
превышает энергию движения вдоль к. Чтобы понять основные черты-!
этой неустойчивости, рассмотрим случай, соответствующий двум
плазменным потокам равной плотности с анизотропией темпера-
температур, движущимся перпендикулярно волновому вектору к:
/2 / m,'V2z\ / т{
iiJ\ ( lli±
+ exp j-2^- {(vx+ V,)'+ (vy+ U
v, - t/y
При помощи несложных алгебраических преобразований дис-
дисперсионное соотношение можно выразить через параметры рас-
распределения A69)
A70)t
где Z(lj) определена в A65), a gi дается выражением
li=(®r+iy)/kvTj, A71)
в котором vTj= BТш/гПзI/2 — тепловая продольная скорость час-
частиц /. Заметим, что дисперсионное уравнение G5): Dyy(kf cor+
+ iY)=0 переходит в A70), если провести замену У/->-Г/Д где-
zbU — направленная скорость частиц вдоль оси OY.
Уравнению A70) удовлетворяют два класса решений. Первый
класс ретиений описывает быстрые (сог2/^2>с2), устойчивые (y<0)
электромагнитные волны с фазовой скоростью, превышающей,
скорость света. Другой класс соответствует .апериодически нарас-
нарастающим (или затухающим) решениям сог = 0 и инкрементам у*.
474
•отличным от нуля, если выполняется условие A
Рассмотрим более подробно эти решения.
4.2. Распространение быстрой волны. Для быстрой электромаг-
электромагнитной волны
@2г
-Г* >о\ A72)
для нерелятивистской плазмы |^|>>1. Тогда, используя разло-
разложение A07) Z^)^ — I/I,-—l/2g/ — ..., находим, что A70) описы-
описывает чисто колебательное решение с у=0 и сог, определяемой из
уравнения
/ /
Решая A73) методом последовательных приближений, получаем:
Для нерелятивистской штзмы термическая поправка, пропорцио-
пропорциональная (TjJm^-j-V^/c2), мала и с хорошей точностью можно
пользоваться приближением холодной плазмы G)r2=i&2c2+2co2Pj,
.причем этот вывод не зависит от степени анизотропии.
4.3. Необходимое и достаточное условие неустойчивости. Ока-
Оказывается, довольно просто обобщить критерий Пенроуза на слу-
случай электромагнитных волн. Для этого устраним двукратный по-
.люс Z)(k, со) при (о = 0, определив
,Z)(k, «,) = »«/) (к. ш) =<»>-c>k>
A75)
."Вводя Z)r=ReD и Z?i=lmD и используя тождество
lim 1 = И- i те8 (юг - toz), A76)
:находим:
Dr (к, шг) = «V - с2Аг - JJ .'р/ + J со2р/Р jd2v,2 ^^; A77)
D, (к, шг) = - « J <о2р. Jd«w%8 К - to8) « ^, A78)
Р — главное значение Коши. Для класса симметричных рас-
распределений с единственным максимумом при vz=Q, как, напри-
например, в A69), можно показать, что необходимым условием сущест-
475
вования неустойчивого (y>0) решения уравнения Z)(k, <ог+гу) =
= 0 при @г=0 является:
?>г(к, о)г=0)>0. A79У
Уравнение A79) определяет необходимое и достаточное условие
устойчивости:
[d\AJl)>0, A80>
J vz dvz
J
а область волновых чисел неустойчивых волн задается неравенст-
неравенством
A81)'
где
V^(f^^) A82),
Используем теперь A70), A78)—A82) для детального исследо-
исследования электромагнитной неустойчивости двух встречных анизо-
анизотропных потоков A69). Из A69) и A80) видно, что критерием:
неустойчивости является выполнение неравенства
а область неустойчивости
Заметим, что в A83) и A84) как анизотропия температур*
l[(Tj±/Tj\])>l], так и анизотропия направленного движения
(щУ?/Т%>1) играют одинаковую роль ,в создании неустойчиво-
неустойчивости. В частном случае изотропной плазмы Vj = O и Т^—Т^ из
A82) следует, что ko2=O и система устойчива. Необходимое и:
достаточное условие неустойчивости A83) можно также записать,
в виде
Т + тУ* т Tt +miV^i me
f >i-TL ^7~
Тв± + твУв те Tt
f rZi^r f
1 e || mi J i || i
где ei=Zie — заряд иона, a oJ2,i/co2pe=Zfme/mi. На рис. 9 с по-
помощью A86) выделена область неустойчивости по параметрам
(Te±-{-meVe2)/Teb (Т1±+тг]/{2)ТЦ1. Пр,и заданном отношении
(Te±-}-meVe2)/Гец, как это видно из A85) и рис. 9, неустойчивость
имеет место, если значение отношения (Т{± + т{У^)/Т{]] превыша-
превышает определенное пороговое значение.
476
Рис. 9. Необходимое и достаточное
условие для развития вейбелевской
неустойчивости [см. A85)}. Область
параметров над кривой соответствует
неустойчивости
Off/шсть
неустойчивости
4.4. Вейбелевская неустойчивость слабонеизотермичной плазмы.
Рассмотрим для примера плазму без направленной скорости с
изотропными ионами и слабонеизотропными электронами
1 е±
e\\
«1.
Из уравнения A84) получим область неустойчивых волн
A8б>
A87),
где ko2c2/(d2pe<gil, а ионы считаются бесконечно тяжелыми (г
и ||,|^>1). Полагая сог=0 и пренебрегая током смещения (y
<С^2с2), в уравнении D.4) можно заменить дисперсионное соотно-
соотношение приближенным уравнением
J
1 е\\
ре\
A88),
где le=iy/kvTe и vTe=BTe{Jme)l/2. Таким образом, в случае сла-
слабой анизотропии уравнение A88) порождает слабонеустойчивые
решения с |Ы<С1. Приближая Z(|e)«—2ge, мы определяем из
A88)
1 v-
Та _
~ 2 с
Те
ре
J
A89>
для
и составляет:
((рис. 10). Инкремент максимален для k2=k02/2
L Птах
vTe
1 Тп V/2
Ре\ 8 7\
= «*"Те ТТ
^„ N1/2
1е\\
1
- 1
1/2
A90).
Уравнение A88) можно решить численно для любой анизотропии.
Когда Те±/Те{1—1 порядка или больше единицы, максимальный,
инкремент конечно же превышает значение, даваемое A90). Об-
Область неустойчивости тем не менее определяется выражением
A87).
47Г
Е
0,5 0,707
Рис. 10. Зависимость инкремента у
слабой электронной вейбелевской
неустойчивости от | k/ko | [см
A89) и A90)]
0 12 2 4 5
с\к\/й)ре
Рис. 11. Зависимость инкремента ^
сильной вейбелевской неустойчи-
неустойчивости встречных ионных потоков
от c\k\/(ope [см. A93) и A94)]
4.5. Сильная филаментационная неустойчивость встречных
ионных пучков. Следующим примером неустойчивости Вейбеля
-является анизотропия, порожденная холодными встречными ион-
ионными пучками, движущимися вдоль ОХ со скоростями ±Vh и
+0, Г;Х-0. A91)
Предположим, что ионные пучки распространяются в горячей изо-
изотропной электронной плазме Ve=0 и ТеА_ = Те\\==Те. Полагая элек-
электроны достаточно горячими |?е| = |гу|&^ге| <С1, приходим к дис-
дисперсионному уравнению относительно инкремента @)
и
ре
(о ^ \ оJ V2 il
A92)
где использованы разложения Z(ge)^—2ge, Z(gi)~— \\\r
~и не учтен ток смещения (y2<g.k2c2). Пренебрегая ^2vey2lk2v2Te по
сравнению с со2Ре, получаем из A92) (рис. 11)
A93)
Поскольку предполагалось Г^-^О, неустойчивыми становятся вол-
волны с любым 0<ife2<^20-^oo, что согласуется с A84). Максималь-
Максимальный инкремент достигается при с2к2^>(й2реу причем
A94)
При конечном значении Тч зависимость у от k на рис. 11 изме-
изменится и инкремент у обратится в нуль при &о таком, что
MWn^iT^+mtW/T^—l [см. A84)].
Таким образом, мы рассмотрели два, в некотором смысле, пре-
предельных примера неустойчивости Вейбеля. Тем не менее подчерк-
подчеркнем, что дисперсионные соотношения A68) и A70) можно исполь-
473
зовать для исследования существенно более широкого класса*
анизотропных неустойчивостей.
5. ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ВДОЛЬ МАГНИТНОГО
ПОЛЯ, И ИХ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
5.1. Дисперсионное соотношение. В п. 1.3 были выведены дис-
дисперсионные уравнения для электростатической Dzz(kz, oo)=O C8)
и электромагнитной волн D±(kz, со) =0 D0), распространяющихся:
в плазме с произвольной функцией распределения Fj(v2±y vz)>
вдоль внешнего магнитного поля
k=k2e" A95)
Из C8) в,идно, что дисперсионное уравнение электростатически *
волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, совпадает с
дисперсионным уравнением в незамагниченной плазме.
Таким образом, наличие магнитного поля не влияет на устой-
устойчивость этих волн. Поэтому в данном разделе мы будем интере-
интересоваться лишь свойствами поперечных электромагнитных волн.
Интегрируя D0) по частям, приведем дисперсионное уравне-
уравнение к виду
D
i т) = 1 -
' ( Ч
оо оо
где r/ dz\=2n / dvz / dv±v±> со=со^+1у — комплексная частота ко-
—оо 0
лебаний; (ас5=е^В/т5 — циклотронная частота. Поляризация вол-
волны задается
к = @, 0, kz)\ 6E = (+i6?,, fEr 0), (I97>
причем D+=0 и ?>-=0 описывают соответственно электромагнит-
электромагнитные волны с правой (8ЕХ=—i8Ey) и левой (SEx=+idEy) поляри-
поляризацией. Конкретизируем теперь вид функции распределения
оо
с условием нормировки 2jt j dv±v±Gj(v2±) = l. Поскольку в A96)
о
входит момент v2^F5, определим эффективную поперечную темпе-
температуру следующим образом:
^dv1v1 (Ц. v\) G,.(v\). A99>
о
479
Подставляя теперь A98) и ,A99) в A96), получаем дисперсион-
дисперсионное соотношение
D±(k2, cor-+-1 у) = 1 *k\
\ 2
7 B00)
тде vTj= BТП1/т^^2— продольная тепловая скорость; Z(lr) —
.плазменная дисперсионная функция A05), а ^ определено как
l^= (o)r=hcoci+iY)/kzt;Ti. B01)
В зависимости от интересующей нас области пространства
(со, к), а также знака и величины анизотропии (Tj±/Tj[{—1) урав-
уравнение A99) порождает широкий класс волн и неустойчивостей,
включая шланговую, ионно-циклотронную и неустойчивость вист-
леров. Эти .неустойчивости разобраны в лп. 5.3—5.5. Рассмотрим
теперь основные моды, описываемые B00) в пределе холодной
изотропной плазмы.
5.2. Волны в холодной плазме. Рассмотрим предел Гд| = Г.,х=
= 7У>0, так что \1^\=\\(<лг±<оа+1у)/к^Т5\>1. Считая Z^)»
«— 1/gj- A07), лепко получить дисперсионное уравнение двухком-
понентной плазмы, решением которого являются чисто колеба-
колебательные волны
с^1 ;* ;\ ^о. B02)
Каждая поляризация « + » или «—» порождает шесть действитель-
действительных корней относительно со. Разберем решения B02) для несколь-
нескольких предельных случаев.
Альвеновские волны. Для возмущений с малой частотой
|cor|<|coci|, |ю<*| B03)
используя условие квазинейтральности со2ре/(±(осе) +1Со2ргУ(=Ьо)Сг) =
= 0 и разлагая левую часть E8) до O(l/co2Cj), получаем прибли-
приближенное дисперсионное соотношение для сильного поля
9 9
• 1 » Ж. 1 -.O/-Q 1 I Т /2 / _ О ^ '
тде мы ввели альвеновскую скорость VA; c2/y2A=2oJPj/(o2ci=
=24я%т^2/52о- Заметим, что с2/У2А^со2Рг/оJСг>1 для типичных
условий и с хорошей точностью (xJr=k2zV2A-
480
В п. 5.3 будет показано, что для плазмы с конечной темпера-
температурой ГЛ„ .и достаточно превышающей Т3±9 низкочастотная альве-
новская мода порождает сильную неустойчивость (называемую
шланговой).
Ионно-циклотронные волны. Пусть электроны сильно замагни-
чены
|©г|<|юсв| B05)
к частоты cor^^Oei, в этом случае левую часть B02) можно разло-
разложить в ряд
„,)=1-^+^-_^=о. B06)
Используя условия квазинейтральности со2ре/(±о)се) +<u2Pi/(±<да) =
= 0, приведем B06) к виду
О - 1 - f^i- + ^EL + ю>* B07)
В пределе \хог\ <С |<юс«| уравнение B07) сводится к альвеновскому
дисперсионному уравнению B04). В области |со|^|(СоСг| при усло^
вии-со2Рг7со2сг01 последнее слагаемое в правой части B07) велико
по сраянению с 1 +<ко2ре/со2се и B07) можно упростить
B08)
где VVc2««<o2ef/<o2,«. Для |©r|<|©ci| B08) дает a>2r^k2zV2A, как
и ожидалось. При увеличении к так, что ik2zV2A/^2a'>ly частота
еонно-циклотронной ветви колебаний асимптотически -стремится к
: В плазме с сильной анизотропией Тг^>Тч ионно-циклотронная
волна -порождает сильную неустойчивость типа вейбелевской с ха-
характерным инкрементом порядка <uci.
Электрон-циклотронные волны (вистлеры). Для высокочастот-
высокочастотных возмущений
Ы>|о>сг|, B09)
таких что с%2г;»'со22н, вклад ионов в уравнение B04) пренебрежи-
пренебрежимо мал и можно приближенно записать
1^ ы BЮ)
Это уравнение определяет дисперсию электрон-циклотронных волн
(так называемых электронных свистов или вистлеров). Для не
слишком плотной плазмы <о2ре/со2се^>1 и частоты возмущений по-
порядка |сосе| можно пренебречь током смещения и представить
приближенное дисперсионное уравнение в виде
шг = =т= а)се с-^1 . B11)
36 Зак. 137 481
Решение B11) (действительная частота сог) пробегает широкую»
область значений ,и асимптотически стремится к ±(осе при 2k2
2
В п. 5.5 покажем, что вистлеры, ,как -и ионно-циклотронная вет-
ветка, также порождают неустойчивость вейбелевского типа.
Быстрые электромагнитные волны. Рассмотрим теперь область
больших частот
I «V I > I ©«,, [ ©«, | . B12>
В этом случае дисперсионное соотношение принимает вид:
j. B13)
Как .и следовало ожидать, B13) совпадает с дисперсионным урав-
уравнением для электромагнитной волны в незамагниченной плазме
(см. разд. 4).
5.3. Шланговая неустойчивость. Вернемся теперь к полному-
дисперсионному уравнению B00) г чтобы учесть анизотропию энер^
гии при Т^ФТ}±. Разлагая выражение B00) в пределе длинных
волн
•.±1
V I —
B14>
и сохраняя лишь члены порядка O[k2zv2Tif ((orzt(oci+iyJ]9 прибли-
приближенно получаем:
D {К, «v + iY)= 1 - к+%J ~2
у -,/ Л_^,) Wn"** =0. Bl5>
Как .и в п. 5.2, предположим, что частота возмущений мала
l^r+iyl "C'l'COcil, |(осе|. Разлагая B15) с точностью до О(l/co2ci))
и учитывая квазинейтральность плазмы со2Рг - (±соСг)-Ь
+1со2ре/(±о)се)=0, получаем:
i
где 2arpj/<iircj=с*] у*А=^пщт?*Щ% и
=24яЧ(^а—Tj±)c2/B2o=JDnc2/B2o) (рп—р±).' Здесь рп = Ъп,Тт —
продольное давление, а р±=ЩщТи — давленле в перпендикуляр.»
ном направлении. Решая B16), получаем:
(оог -}- iуJ = — — — I . B17)
482
Для изотропной плазмы с Р\\=р± B17) сводится к дисперсион-
дисперсионному уравнению для альвеновских волн ^=0, (о2г=ЛгУ2А/A +
+V2a/c2). Однако при
Pl>P± + 2, B18)
/где Р|,=8яр|,/В20 и Р±=8яр±/В2о, дисперсионное соотношение дает
апериодически растущее (или затухающее) решение с сог=0 я
B19)
Из B19) видим, что в первом приближении .неустойчивость моно-
монотонно растет с ростом к. Однако если учесть более высокие по-
порядки в разложении по A*Vtj/(±g>cj), то в B16) появятся поправг
ни, учитывающие величину ларморовского радиуса .и уравнение
станет биквадратным mo \kz. Суть этих подравок такова, что ин-
инкремент y с ростом кг проходит через максимум ,и при некотором
достаточно большом kQ обращается в нуль. Кроме того, с этой
точностью сог не равно точно нулю. После несложных вычислений
легко получить для
о
B20)
Здесь Yo — инкремент первого приближения B19), а граница не-
неустойчивости к0 определяется следующим образом:
B21)
При выводе B20) я B21) мы предполагали, что р достаточно ве-
велико (Р>>1) наряду с iP,|j>Pj.+2, что является условием неустой-
неустойчивости. Инкремент у таким образом составляет^^Yo ПРИ 1^1^
<С&о, проходит через максимум в ||&г| = |&о|/У2 ,и обращается в
нуль при |А2| = |^о| (рис. 12).
Рис. 12. Зависимость инкремента шланговой не-
неустойчивости от \kz/k0\ [см. B20)]. Здесь [(у]тах=
— ~-'ь —ь.ю\ где <у0 определяется B19)
57,0
О
так
0,5 0,707
lKz/k0|
16*
483
5.4. Электромагнитная ионно-циклотронная неустойчивость. FIew
рейдем к исследованию дисперсионного уравнения B00) в обла-
области ионно-Ц1Иклотронной частоты. Пусть электроны изотропны и
сильно замагничены |lo)r+ii7| "С |сосе| и \kzvTe\ <c \(x)r±(oCe+iy\>
а лонная энергия анизотропна так, что
TiL>Tn. B22)
Электромагнитная неустойчивость вейбелевского типа, обуслов-
обусловленная избытком поперечной кинетической энергии, может играть
весьма важную роль в конфигурациях с магнитными пробками
с инжекцией нейтральных пучков в поперечном направлении.
В пробочных системах неизбежно происходит потеря ионов, име-
имеющих существенную энергию вдоль магнитного поля, так что Ti±
легко может превысить эффективную продольную температуру*
Сделав указанные выше .приближения, приведем дисперсион-
дисперсионное соотношение к виду
?»±(Аг,«)г + 1т)=1-'
<223)
где vTi= BTnfmi)V2, a 1^= ((dr±(oci+iy)/k2vTi. Для изотропных
ионов с Т{±=Т{]] B23) дает лишь устойчивые решения с Imco=
i=Y«l Однако для Ti±>T4 и $i±=8nnTi±/B20tt 1 B23) имеет
неустойчивую ветку с характерной частотой |cor+i7| ^ |<о«| и вол-
волновым числом \\kz\ tt(dpi/С.
До исследования точных решений B23) полезно рассмотреть
предельный случай Гг„-^0. Разлагая Z{Q для Ig^^l
B23) к уравнению для Ггц->0
^•^ * X ' / | • v р I *)
<Pr ± «c/ +1YJ J ' V '
г ± «to + i Y)
Поскольку для интересующего нас диапазона со и kz
J[>l+(co2pe/(o2ce, вы,ражен.ие B24) можно упростить
0 C
Это кубическое уравнение имеет аналитическое решение относи-
относительно комплексной собственной частоты cor+iy- Более того, лег-
легко показать, что максимум инкремента достигается при c2k2z~^>-
2
(|L,. B26)
484
0,3
0,2
0,1
К/тЛ
/V2>s\ ,
v r. It. -on
\
\
4 \
\ = '° \
\ i iV
1,0
3 0,75
Э °>50
0,25
0 1,0 2,0 5,0 %0
c\kz\/u)pi
Рис. 13. Зависимость нормированного
инкремента ^l(oCi электромагнитной
ионно-циклотронной неустойчивости
от с | kz | /со Pi при Pij_=8^/ij71^j_/Bo2= 1
для водородной плазмы с Zj = 1 и
ш<?//тЧ =1/1836 [см. B27)]
Рис. 14. Зависимость нормированной
реальной частоты |gv|/cdcj электро-
электромагнитной ионно-циклотронной не-
неустойчивости от c\kz\/(dPi для водо-
водородной плазмы с Pfj/^l
Это выражение дает хорошую оценку характерной частоты и ин-
инкремента в пределе сильной анизотропии. Хотя при Гп = 0 макси-
максимальный инкремент достигается в очень коротковолновом пределе
(k2zc2^>(u2pi), следует подчеркнуть, что при решении полного дис-
дисперсионного уравнения с Г^^О оказывается, что неустойчивость
имеет конечный спектр с характерной длиной волны kz~lttc/(upi
(рис. 13). Полагая, что |c2A22/(o)r+iYJ| >1+<о2ре/со2се, запишем
дисперсионное уравнение B23) и для случая ТфО
=0. B27)
Численные решения B27) представлены на рис. 13 ,и 14, на кото-
которых представлена зависимость нормированных инкремента у/со*
и частоты |(ог|/|(оСг| от 'kxc/xopi для водородной плазмы с рг-±=1.
При увеличении отношения Т{±/ТЦ{ (см. рис. 13) существенно воз-
возрастают инкремент и ширина спектра неустойчивых волн. Более
того, для достаточно большой анизотропии Ti±jT4 характерный
инкремент *Ymax~ ({W2I/2. И, наконец, хотя мы предполагали,
что 7V-M), можно покааать, что полученные результаты не зави-
зависят от Те до тех пор, пока ре< (т{/теI!2.
В рамках приближения B27) легко определить со и кг на гра-
границе устойчивости. Из условия
HmReZ)±(ft2, ®r + i Y) = 0 = limIm/)'± (kz, а>г + *Т) B28)
сразу же имеем:
«\ = <
B29)
485
v-^V/- <230>
с2 Ji\\Ji±
Эти значения находятся в хорошем согласии с результатами, при-
приведенными на 1рис. 13 и 14, где k0 соответствует крайнему право-
правому корню 7=0- В связи с этим подчеркнем, что при Ггц = О и
О<с|^2|/соРг^Э,5 значение отношения -у/й)с< экспоненциально мало,
но Бее же отлично от нуля.
5.5. Электрон-циклотронная (вистлерная) неустойчивость. Рас-
Рассмотрим дисперсионное соотношение B00) в области электрон-
диклотронных частот. При Гвх>7*в„ уравнение B00) описывает
неустойчивость типа вейбелевской, порожденную анизотропией
-электронной энергии. Механизм этой неустойчивости аналогичен
механизму ионно-циклотронной неустойчивости (см. п. 5.4). По-
Полагая ионы бесконечно тяжелыми тг+оо и |?г=|3>1, выписываем
дисперсионное соотношение
где vTe=\
Рассмотрим случай слабой анизотропии
1 е± l e Ц
-0- B3I>
B32)
Предположим, что инкремент неустойчивости мал:
|. B33)
Тогда, определив Dr±{kz, cor) =limT->0+ ReD(^z, cor+iy) и Dr1{kly
<or)=limT_>0+ \mD(kz, cor+iY)> легко показать, что
c2kz2
Te\\ J «V2
B34)
Мы пренебрегли последним членом в первом равенстве B34) с
учетом неравенств B32) и B33). Проведя рассуждения анало-
486
гично п. 3.1, получим уравнение для частоты колебаний сог и ин*
кремента неустойчивости у:
^—j- = 0; B36)
dDr(kz<ur)/dvir
где было использовано уравнение B36) для определения dDr/d(or*
Для изотропной плазмы Тв±=Твр как это видно из B37),
Y<0 и волны слабо затухают на резонансных электронах с й*0,==.
= сог±(оСе. Однако для Гех>Ге|, анизотропия энергии приводит к
нарастанию волны (у>0). Чтобы проиллюстрировать этот факт,
рассмотрим плазму не очень большой плотности, в которой
<о2ре/(о2се>1 и можно пренебречь током смещения. В этом случае
из B36) имеем:
<»2ре
B38)
и (о)г±(осе)/о)г=—(co2P6?/c%2z). Из B37) следует, что неустойчив
вость имеет место при
B39)
6. ВОЛНЫ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИЕСЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО
МАГНИТНОМУ ПОЛЮ, И ИХ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В п. 1.4 мы вывели дисперсионные соотношения для обыкно-
обыкновенной E0) и необыкновенной волн E2) соответственно, рас-
распространяющихся перпендикулярно однородному магнитному по-
полю Во=-Вое2 с волновым вектором
k = k^ex. B40)
При этом предполагалось, что равновесное распределение iFj(t>2j.,
оо
vz) имеет нулевой продольный ток J dvzvzF$(v2±y vz)=0. Рассмог-
—оо
рим теперь устойчивость волн, распространяющихся лерпендику*
лярно Boezy особо выделяя неустойчивости обыкновенной волны,
порожденные тепловой анизотропией, и неустойчивости моды
Бернштейна при наличии у функции распределения конуса по-
потерь нетеплового происхождения.
6.1. Дисперсионное соотношение для обыкновенной волны.
Рассмотрим следующую поляризацию:
k=0fex. 0» 0); 6Ё=(О, 0, fEz). B41)
487
Задав .(o=tDr-f-i"Y> дисперсионное уравнение E0) представим в виде
Dzz{k,, CD. + iY)=l ^J=
+ Y. V «'»{ "»* f <f v^ F/) *dJl = 0) B42)
^J ZJ К + i YJ wr + i Y — «°>c/ J л v l) v - dy , v ;
где coci=^BoM^ — циклотронная частота, а ^=й±а±/юс^ Как ука-
указывалось в п. 1.4, дисперсионное уравнение B42) указывает на
наличие неустойчивости вейбелевского типа, если кинетическая
энергия продольного движения частиц плазмы щ\ d3v(mp2z/2)F
достаточно сильно превышает энергию поперечного движения.
Для иллюстрации основных свойств этой 'неустойчивости обыкно-
обыкновенной моды рассмотрим равновесную функцию распределения:
\1/2
Подстановка B43) в B42) дает дисперсионное уравнение
/ „=-co ''-L
X ,r+ZC-n,ci^^-h)fn(h)' B44)
где Xi=i&2±/mico2ci, а /п(^) —модифицированные функции Бесселя
первого рода. Если рассмотрим вместо B43) максвелловское рас-
распределение с двумя встречными потоками ±V вдоль оси OZ, при-
придем к уравнению, которое получается при замене в B44) Т^-+-
->Т5ц-{-т5У}2, как и в незамагвиченной плазме (см. разд. 4). Урав-
Уравнение B44) описывает устойчивые (y—0) быстрые волны с
<u2r/k2±'>c2. Более того, за исключением узких областей цикло-
циклотронных резонансов ((or^^(oCj), в нерелятивистской плазме теп-
тепловые поправки в B44) малы и дисперсионное уравнение для
быстрой волны имеет приближенный вид ><»r2^c2i&2±+2(o2pj.
В зависимости от степени анизотропии уравнение B44) может
также описывать апериодически растущие (или затухающие) мед-
медленные возмущения сог=0 ,и у^О- Рассмотрим теперь эту ситуа-
ситуацию более подробно.
6.2. Неустойчивость обыкновенной электромагнитной волны.
Полагая
<ог = 0 B45)
и учитывая I-n(Kj)=In(^j), можно перегруппировать слагаемые
в B44) и переписать дисперсионное соотношение в виде
Т!(*ь Y2) = #(*l), B46)
488
где L определяется из равенства
и R (k±) = J] «¦„ [(-^JL _ i) _ ZO. exp (- A,) /0 (i,)] - c2^. B48)
Поскольку в дисперсионное уравнение входит лишь у2, возникают
лишь парные решения ±у. Более того, поскольку L (k±9y2) сущест-
существенно положительно, необходимым и достаточным условием неус-
неустойчивости является
R(k±)>0. B49)
Уравнение B49) задает условие неустойчивости равновесия в за-
зависимости от параметров TjJTj±y cd2pj, причем диапазон неустой-
неустойчивых волн задается
B50)
где к0 и Amin —корни уравнений R(kQ)=\R(kmin)=0 и y(ko),= O=
=Y(^min). Для изотропной плазмы с Tfl{ = Tj± R(k±)<i0 для всех
значений k± и плазма устойчива. Действительно, из B48) и B49)
видно, что неустойчивость имеет место, лишь если для какой-либо
компоненты плазмы Т^ существенно превышает Tj±.
Поскольку L(k±7 y2)^L(k±y у2=0), легко получить оценку
снизу на инкремент неустойчивости в области 7?(&H
y>R(k±)/L(k±,O) B51)
ДЛЯ AC min-^;'^ Л.5^*^ О*
Для примера рассмотрим ситуацию, в которой ионы изотропны
jT|| = ru, и пренебрежем членами порядка О(те/тг-). Нетрудно
обобщить эти рассуждения на случай с неизотропными ионами
конечной массы.
Удерживая лишь электронные вклады, B48) можно упростить
B52)
где
G (Я,) = -i- Я, + ехр (- Хе) 1Ь (Я,). B53)
В уравнении B53) %e=k2j_Te±fmeu>2ce, ре|, = 8я/ге7е„/520. График за-
зависимости G(ie) представлен на рис. 15 для различных значений
параметра ре1). При соответствующем выборе Ге±/Ге„<1, (Зец>2
прямая 1—Те±/Те]1 пересекает кривую G(Xe) при двух значениях
Хе. Эти точки пересечения определяют границу устойчивости кт-т
и \k0. В пределе (Зец>1 (слабое магнитное поле) легко показать,
что %o=k2QTeJme(xJce определяется приближенным уравнением
489
1
1 1
fieu
—]—
1
II 1
¦2
/
l__
-—го
r
J
Рис. 15. Зависимость G(Xe) при раз-
различных значениях рец =8ллД1ец /?п2
для неустойчивости обыкновенной
электромагнитной волны
Рис. 16. Область параметров
(Te±jTe и, Рв и), соответствующая не-
неустойчивости обыкновенной электро-
электромагнитной волны
Яо«(рвц/2)A—Гв±/Гв„), т. е. k20=((u2pe/c2) (TeJTe±— 1), что совпа-
совпадает с решением для .незамагниченной плазмы A87).
Диаграмма устойчивости обыкновенной электромагнитной вол-
волны приведена на рис. 16.
6.3. Дисперсионное уравнение для электростатических волн,
распространяющихся перпендикулярно магнитному полю. В пп.
6.3—6.5 мы (рассмот,рлм условия, при которых дисперсионное
уравнение распадается на уравнения лочти продольных (Dxz=0)
-и поперечных волн (Dw=0). В частности, рассмотрим продоль-
продольные электростатические волны с поляризацией
Л=(АХ> 0, 0); б?=(б?х, 0, 0). B54)
Дисперсионное уравнение Dxx(k±y со) =0 E4) принимает вид:
K± n~.
X
/г2сй2,.
dv,
¦ = O,
B55)
где w=tor+iY — комплексная частота колебаний, a 6i=Axt;_L/(Dcj.
Приравнивая нулю реальную и мнимую части B55), получаем:
0=1 +
р/
(К
X
я=1
J
dv
±
B56)
O = T^V,^
^rX
490
Для со^=7^=0 »из B57) следует, что достаточным условием устойчи-
устойчивости является dFj/dv2±^.0y т. е. если F^v2^ vt) монотонно убы-
убывает с ростом v2±i все члены суммы .имеют одинаковые знаки и
единственное решение B57) у—0 соответствует устойчивым коле-
колебаниям. При условии y=0 выражение B57) сводится к уравне-
уравнению
определяющему частоту колебаний как функцию k± и параметров
плазмы.
Из этих рассуждений следует, что необходимым условием не-
неустойчивости является .выполнение неравенства dFj/dv2±X) в зна-
значительной области пространства скоростей. Как показано в
п. 6.5, в этом случае B56) и B57) имеют апериодически расту-
растущие (или затухающие) решения сог=0, уфО. Дисперсионное
уравнение такой неустойчивости имеет вид:
'"'-'^*:" B59)
6.4. Устойчивые циклотронные колебания. Как одно из приме-
применений дисперсионного уравнения B55), исследуем колебания в
плазме с максвелловским распределением по поперечным скоро-
скоростям
дричем l dvzG(vz) = \. Подставляя B60) в B55) или B58),
—оо
имеем:
<261)
где Xj=\k2±Tj±/mj(uc5y In(h)—модифицированные функции Бессе-
Бесселя первого рода. Поскольку д/у<9и2±:^:0, инкремент нарастания
Y=0 (см. п. 6.3) и уравнение B61) определяет действительную
частоту колебаний сог. Уравнение B61) упрощается в нескольких
предельных случаях. Для иллюстраций этого рассмотрим здесь
два примера устойчивых колебаний.
Гибридные колебания в холодной плазме. Для Tjir+-0 и (или)
достаточно длинных волн
491
,44т^к B62)
В сумме правой части B61) существен лишь член с п=1. Учиты-
Учитывая, что ехр(-тА,,)/1(Я,,)«У2 при Л*<1, приводим B61) к виду
Уравнение B63) описывает волны высокой (со2г>.сй2се) и проме-
промежуточной (cu2Ci<ico2r<cD2«) частот:
?? &4 B64)
B65)
где соун и соьн — верхне- и нижнегибридная частоты соответствен-
соответственно.
Циклотронные колебания в плазме. Заметим, что учет тепло-
тепловых эффектов приводит к возникновению многообразной резо-
резонансной структуры в дисперсионном уравнении. Рассмотрим те-
теперь высокочастотные возмущения с со2г>со2Се> причем будем счи-
считать ионы бесконечно тяжелыми (тг-^оо)# Кроме того, полагаем,
что плазменная частота достаточно мала
Пр,и выполнении B66) отдельные резонансы в B66) не перекры-
перекрываются и решения можно представить в виде
«=1.2.3..: B67)
При А,в<С1 решение для первого резонанса совпадает с дисперси-
дисперсионным уравнением верхнегибридных колебаний оJг=со2се+оJре.
В отличие от холодной плазмы, характерной чертой дисперсион-
дисперсионного уравнения горячей плазмы является существование в ней
волн на всех гармониках циклотронной частоты. В разреженной
плазме с оJре/(о2се^1 ширина резонансов мала, причем она уве-
увеличивается С рОСТОМ йJре/@2се.
При oJPe/ico2ce> 1 приближения, лежащие в основе B67), уже
не взрны и необходимо учитывать несколько соседних резонанс-
резонансных слагаемых в уравнении B61) для любого значения сог. Тем
не менее, поскольку dFj/dv2^ <0 согласно определению Fj(v) в
B60), точное дисперсионное уравнение B61) описывает стацио-
стационарные волны с y^O при любом значении оJре/(о2Се.
6.5. Неустойчивость циклотронных резонансов при наличии ко-
конуса потерь. Исследуем дисперсионное уравнение B55) для волн,
распространяющихся перпендикулярно Boez в случае распределе-
распределения с конусом потерь, при котором в существенной области прост-
пространства скоростей и? имеет место dFj/dv^ >0. Для простоты по-
492
ложим Шг->оо, так что лишь функция распределения электронов
немаксвелловская. Приведем дисперсионное уравнение B55) к
виду
2 °°
л=1 Г
причем %п(&±) определены следующим образом:
-, B69)
f \n{be)fy
kit) JL -L
где be=\k±v±[*(dce, а в качестве предельного случая распределения
<с конусом потерь рассмотрим функцию
F* К> °«) = B^7у8 (°± ~ vo)G fa) B70)
оо
<с условием нормировки / dvzG(vz) = l. Заметим, что в распреде-
—оо
лении B70) 'отсутствуют частицы с малыми поперечными скоро-
скоростями ®±<щ. Тогда из B69) и B70) находим:
-f -?-Уп*(ь.)]. B71)
где #o=i&2j5>Vco2c*, ъ уравнение B68) можно привести к виду
0=1 - f] ^?f \^SL -L JLj ЧЬ )}. B72)
n—\
Для разреженной плазмы с со2Рв/со2се<С1 уравнение B68) с рас-
распределением B69) имеет решениями циклотронные резонансы с
7=0
[ ^} л=1.2.3... B73)
Уравнение B74) таким образом является обобщением B67) для
более общего класса функций Fe(v2±9 vz). Как уже отмечалось
в п. 6.4, при со2ре/со2се<С1 резонансы узкие. Тем не менее расстрой-
расстройка (<(ог—ясос) может быть как положительной (%п>0), так и от-
отрицательной (%п<0).
По мере увеличения ш2реДо2се вид точных дисперсионных урав-
уравнений все более отклоняется от B73) и ширина резонансов все
более увеличивается. Точный анализ B68) и B71) — B73) пока-
показывает, что необходимым условием неустойчивости (у>0) волны
с частотой о)г
П2СО2се<(О2г<(п+1J(О2се, «> 1 B74)
является выполнение неравенств
B75)
493
Тогда из уравнений B71) и B75) можно определить волновые:
векторы k± неустойчивых волн
а».т<|-^| <««+!.«. B7б>
где ап,т — последовательность корней /п(л;)=0. Подробный чис*-
ленный расчет B72) показывает, что для возникновения неустой-
неустойчивости необходимо, чтобы
-SL>6,62. B77>
По мере увеличения (О2ре/со2се над пороговым значением, опреде-
определяемым из B77) -инкремент неустойчивости у растет, а резонанс-
резонансная структура постепенно уширяется. Наконец, при <о2рв/<о2Се="
.= 17,02 частота первого резонанса я=1 уменьшается до нуля.
(,(ог=0) для |й±'1>а/<оСв| «3 'И возникает апериодическая неустой-
неустойчивость (icor=0, y^O). Для случая icor=O дисперсионное уравне-
уравнение принимает вид, подобный B59):
Г со%
0О db0 п х
B78)-
Точный анализ B78) показывает, что для возникновения неус-
неустойчивости необходимо, чтобы хо>0 и %i<0, а соответствующий
участок спектра определяется условием: ao,m<|&j_yo|/a)ce<iai,m>.
где ia«,w — последовательность корней /n(#)=0. Воспользовав-
Воспользовавшись B78), можно определить пороговую плотность апериодиче-
апериодического режима сог=0
откуда и получается значение
^-> 17,02. B80),
2се
В заключение отметим, что приведенную схему можно реали-
реализовать .и для ионного распределения Fi(v2±, vz) с конусом потерь..
7. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ЗАМАГНИЧЕННОИ
ПЛАЗМЕ И ИХ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
7.1. Дисперсионное уравнение. В этом разделе мы используем!
дисперсионное уравнение для электростатических волн в замагаи-
ченной плазме F0) для исследования нескольких важных неус-
тойчивостей, связанных с нетепловыми характеристиками функциш
распределения Fj(p2±<> [VZ). Уравнение F0) приведем к виду
0 = D(*, «v-т-iТ) =1 Ч-X*(*• «V +
494
2
In4bi)
in-kvz + i4) X
где k2=\k2±+k2z; Ьз=к^±/<оф <со=*сог+гу — комплексная частота
колебаний, %е ,и %г — диэлектрическая восприимчивость электронов
и ионов соответственно. Кроме того, предполагается Im cd=y>0.
Поляризация волны задается следующим образом:
к=(*±, 0, kz); B82)
6Е=— i{kx, О,
где 6Ф — потенциал возмущения. Дисперсионное уравнение B81)
справедливо для любого значения угла между волновым векто-
вектором к и магнитным полем Боег.
Решения уравнения B81) соответствуют широкому классу
электростатических волн и неустойчивостей, связанных с нетепло-
нетепловыми характеристиками ^(^2Х, vz). Для частного случая, когда
волна распространяется вдоль Вое2 и йх-=0, уравнение B81) пе-
переходит в уже известное уравнение (81) для незамагниченной
плазмы, т. е. -наличие магнитного поля не влияет на дисперсию и
устойчивость волн с &±1=0. Напротив, для \к±Ф0 наличие магнит-
магнитного поля, равно как и выбор функции распределения, оказывает
решающее влияние на устойчивость.
В дальнейшем будем рассматривать волны, распространяю-
распространяющиеся почти перпендикулярно Воегу так что
*±
B83)
Кроме того, предположим, что в рассматриваемой области на
плоскости (со, к) электроны сильно замагничены, а ионы не за-
магничены. В рамках этих приближений в пп. 7.4—7.6 рассмот-
рассмотрены различные неустойчивости, включая неустойчивость распре-
распределения с конусом потерь и модифицированную двухпотоковую
неустойчивость, порожденные наличием у функции распределения
нетепловых характеристик.
7.2. Восприимчивость сильно замагниченных электронов. Рас-
Рассмотрим изотропное максвелловское распределение электронов
Подставляя B84) в B81 )jy получаем после несложных преобразо-
званий функцию электронной диэлектрической восприимчивости
495
где vTe=BTelmeyi2\ Xe=k2±TJmeto2ce; k2±+k22, a Z(g) определено
в A05); /эт(Яе) —модифицированные функции Бесселя первого ро-
рода; символ 2 означает исключение слагаемого п=0 из* общей сум-
мы. Заметим, что при .выводе B85) не использовалось предполо-
предположение B84).
Пусть теперь электроны сильно замагничены
|(or+iv|<|coce|, B86)
а также длина волны достаточно велика ,и (или) температура*
электронов достаточно мала, так что
|fczi>r*|<|<Dr+iY|. B87)
Разлагая Z(^e) в асимптотический ряд для ||;|э>1, получаем в-.
первом приближении
B88),
Предположим также, что длина волны в поперечном направлении-
велика по сравнению с ларморовским радиусом гь,=1г>гв/|<0с.|
l.=-j-%_& <1. B89).
тогда B88) можно упростить, заметив, что при Яе<1С1 ехр(—Я«)Х
/(I k\l{k\+№)~l при k\k\
В этом выражении слагаемое (&22/&2)(о2ре/(сог+1уJ, зависящее от*
частоты, связано с продольным движением электронов, а слагае-
слагаемое, не зависящее от частоты оJре/со2се, связано с поперечным по-
поляризационным дрейфом электронов.
Хотя в пп. 7.4—7.6 рассмотрены случаи Яе<С1, следует отме-
отметить, что выражение для %е B88) точно для любых значений х*
при условии, что выполнены B86) и B87).
7.3. Восприимчивость незамагниченных ионов. Рассмотрим воз-
возмущения, для которых длина волны в поперечном направлении'
мала по сравнению с характерным ионным ларморовским радиу-
радиусом, а частота велика по сравнению с ионно-циклотронной
>1. B91)-
Вместо того, чтобы рассматривать слабые магнитные поля, мьп
используем тот факт, что для интересующих нас времен и мас-
496 ¦
штабов траектории ионов — прямые х'=х+ит, v'=v. Тогда не-
непосредственное вычисление 8fi (см. п. 1.7) дает:
• 6Ф
B92),
и ионная диэлектрическая восприимчивость приближенно равна:
kdFt/dv
"У
cor — kv + i
B93),
где k2—k2±+k2Zi k=&xex+&zez- '
Приближение B93) справедливо в рам-ках условий B9Л).При;
выводе этого выражения мы не требовали, чтобы функция распре-
распределения имела вид Fj(v2±, vz) и, следовательно, в течение време-
времени г^НсОсг! с момента наложения поля Во выражение B94)>
справедливо для плазмы с любым распределением Fi(v).
Суммируя вклады сильно замагниченных электронов
\ \kx.vTelti>c
)сг |; | k±vTi/(x)ci |
«СД) И НезаМаГНИЧеННЫХ ИОНОВ5--
1), приходим к дисперсионному
уравнению для электростатических волн:
pi
k dFi/d V
cor — kv + i'
(ц +pgiTJ - B94),
Здесь \kzvTe\ <С |со^—f-i-yI и k2z<^k2±. Рассмотрим теперь конкрет-
конкретные приложения B94).
7.4. Конвективная неустойчивость с конусом потерь. Рассмот-
Рассмотрим ионное распределение с конусом потерь,, изображенное на-
рис. 17. Заметим, что согласно соотношению
ъоТ1 J
B95),
частицы в области малых значений
0jl отсутствуют. Такое распределение 6
может возникнуть внутри ловушки
с магнитными пробками, так как час-
частицы с большим значением отношения
Vzlv ± свободно выходят через торцы
установки. Поскольку мы приняли,
что &2z<C!&2j_, положим k = fej_ex в фор-
формуле ионной восприимчивости B94).
Предполагая также, что инкремент 0
достаточно мал
V Область резонансных частиц,,
на плоскости
и используя (96)
при у-^0 величины
< 1 B96)
и B94), запишем
Рис. 17. Одномерная равновес-
равновесная функция распределения-
при наличии конуса потерь
497^
Z>r=ReD(k, (Or+iy) и Z)* =
@De
4. ?L —
EL
2Я oo
причем Г d2v= / ^Ф / ^иху±; Р — символ главного значения Ко-
о о
ши и kxv_L=^±y_Lcos Ф.
Интегрируя B97) и B98) по Ф, приходим к соотношениям:
т/,(^)]+^-# ^ (99,
Здесь X2Di=v2Ti/2(o2Vi, а функция /г определена:
2,,2
//•(itM33 f rft)l i_kW J1'/2' C01)
о ± ± /*
Итак, уравнение C00) позволяет выделить резонансную об-
область частиц в плоскости ю± : v2x>\(d2Tlk2±, для которых существу-
существует такой угол Ф, что ©r=ife±t>j_cos<D.
Напротив, нерезонансные частицы ([дающие вклад в главное
значение интеграла C01)] заполняют область у2±<(о2г/^2±- Ре-
Решая уравнение Dr(k, со) =0, получаем для действительной части
частоты соотношение
CD» fl^f C02)
I
D»
и ^инкремент у=—DJf(dDr/d(or)
/r]-\ C03)
где мы пренебрегли величиной <3/r/dcor по сравнению с
(д/д(ог) {k2z®2Velk2to2r). Заметим, что из C03) следует, что волны
498
неустойчивы, если dG/dv2±>0 в достаточно широкой области vLty
т. е. при условии, что .конус потерь широк и внутри него функция
G (v2±) сильно .изменяется.
7,5. Неустойчивость встречных ионных потоков, движущихся
поперек магнитного поля. В качестве примера сильной электроста-
электростатической неустойчивости рассмотрим неустойчивость, порожден-
порожденную ионной функцией распределения ^(v), которая соответству-
соответствует двум встречным потокам, распространяющимся перпендику-
перпендикулярно магнитному полю.
Для
kz=0 C04)'
дисперсионное уравнение для электростатических возмущений
имеет вид:
где k±=\k±ex. Рассмотрим плазму с двумя симметричными встреч-
встречными ионными лучками, средние скорости которых ±Vd направ-
направлены вдоль оси х:
F (у) = А. Г ! л !
1G2 (vu) Gz {vX C06)
oo oo
причем f dvyG2(vy)— f dvxGs(:vx) = l9 а члены Аг- введены дляуче-
— oo —oo
та конечной температуры ионов. Подставляя распределение C06)>
в уравнение C05) и интегрируя, получаем:
rw, I • ч , , "V
D(k±, (Чгн1Г) = 1+_ -(M
A
(сог + k | \'d + i у + i | Л 1 A; |J
В силу симметрии C07) (or=0 должно быть решением. В этом;
случае, введя нижнегибридную частоту
«?„=,"/', , > C08>
запишем C07) в виде
==аIя—~ Г > (о09)
откуда сразу же получаем порог неустойчивости для сог=0
V2d>A*ti C10}
т. е. дрейфовая скорость должна превышать характерную тепло-
тепловую скорость. Решение C09) дает следующее выражение для ин-
499"
жремента неустойчивости:
1/2 / и2 V2 \-11/2
D^) И311)
шричем условием неустойчивости при малых k±_ является V
В пределе бесконечно малой температуры ионов Д2г~Н) инкре-
инкремент достигает своего максимального значения
Мшах=соьн/2У2 C12)
гпри k2=\k2max= C/8)&2о, где ko — волновой вектор первой неустой-
неустойчивости моды lim y=+0 при Af=0:
kQ = (oLH/Vd. C13)
Из уравнения C12) видно, что неустойчивость встречных .ионных
пучков может быть весьма сильной в области параметров, соот-
соответствующих сильной замагниченности электронов (соья'С |'сосб[,
|k®vTe/\(dce | <С 1) и слабой замагниченности ионов (colh^> |<oG<],
| ktiVTil(uci | > 1) . ОтМеТИМ, ЧТО ДЛЯ СО2ре/сО2с€> 1 СОьН— | ЫсеМЫ | i/2-
7.6. Модифицированная двухпотоковая неустойчивость. Рассмот-
Рассмотрим случай ^ФО. Пусть теперь плазма имеет лишь одну ионную
.компоненту, движущуюся вдоль оси х:
Fi (v)=E=;)т ехр [ ~ -щ{Vx ~ УаУ]Ch {v»] G>{Vx) C14)
OO OO
< аналогичной нормировкой G3, G2: f dvyG2(vy) = l= f dvzGs(vz).
OO OO
Пусть i?22<C&2j_, тогда кжк±ех и дисперсионное уравнение прнни-
_мает вид:
тде vTi=BTJmi)lf\ &='(а>г—k±Vd+iy)/k±vTh a Z(^) определена
A05). В пределе |gt|<Cl можно .использовать асимптотическое
•разложение Z(g«)=—1/g*— l/2g2*, тогда C15) сведется к
/
i уJ V
(<ог — k±Vd + i уJ V k2 Zime J К + i
0=1-
тде co2LH='coV(l+co^e/oJce); coV^Pe=?{тв/т{; е{=1ге — заряд
иона -и в силу нейтральности п?{=пе.
Заметим, что проводя в уравнении A43) замену
9 9 2 k2z mt
шриходим к уравнению C16). Инкремент электронной двухпото-
^'500
-ковой неустойчивости достигает максимального значения, если по-
потоки электронов имеют равные плотности. Следовательно, с уче-
учетом C17) .инкремент модифицированной двухпотоковой неустой-
неустойчивости максимален при условии
fill =z,.pLWi Ci8)
¦и достигается при
ММ =^- C19)
2
Тогда в соответствии с C18) и C19) максимальный инкремент
[T]max = 0)LH/2. C20)
Как и неустойчивость встречных ионных потоков, модифициро-
модифицированная двухпотоковая неустойчивость имеет большой инкремент
I'cocil «<7тах<С | соСе |, что согласуется с цредположениямл о замаг-
ниченности электронов и незамагниченности ионов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Кинетическая теория плазменных волн и неустойчивостей
1. Стикс Т. Теория плазменных волн: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1965.
2. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме: Пер. с англ. М.: Мир,
1971.
3. Klimontovich Y. L. Statistic Theory of Non Equilibrium Processes in
Plasmas. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1967.
4. Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы. — В кн.: Вопросы теории плаз-
плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича. Вып. 4. М.: Атомиздат, 1964.
5. Сагдеев Р. 3., Галеев А. А. — В кн.: Вопросы теории плазмы/Под ред.
М. А. Леонтовича. Вып. 7. М.: Атомиздат, 1973.
6. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. М.: Атомиздат, 1967.
7. Davidson R. С. Methods in Nonlinear Plasma Theory. N.Y.: Academic
Press, 1972.
8. Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1975.
9. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы: Пер. с англ. М.: Мир,
1975.
10. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1. Неустой-
Неустойчивости однородной плазмы. М.: Атомиздат, 1970.
Теорема устойчивости для распределения с монотонно падающей
функцией Fj(v2)
11. Bernstein I. В. — Phys. Rev., 1958, vol. 109, p. 10.
12. Gardner С S. — Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 839.
13. Fowler T. K.~J. Math. Phys., 1963, vol. 1, p. 359.
14. Fowler T. K. — In: Advances in Plasma Physics/Ed, by A. Simon,
"W. Thompson. Vol. 1. N.Y.: Wiley-Interscience, 1968, p. 201.
15. Davidson R. C, Tsai S. Т. —J. Plasma Phys., 1973, vol. 9, p. 101.
16. Davidson R. C. Theory of Nonneutral Plasmas. Massachusetts: Benjamin,
heading, 1974.
17. Sudan R. N., Rosenbluth M. —Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 972,
Волны неустойчивости в незамагниченной плазме
18. Ландау Л. Д. — Журн эксперим. и теорет. физ., 1946, т. 16, с. 574.
19. Buneman О. — Phys. Rev., 1959, vol. 115, p. 503.
501
20. Weibel E. S.— Phys. Rev. Lett, 1959, vol. 2, p. 83.
21. Bernstein I. В., Trehan S. K. — Nucl. Fus., I960, vol. 1, p. 3.
22. Penrose R. — Phys. Fluids, 1960, vol. 3, p. 258.
23. Fried B. D., Gould R. W. — Phys. Fluids, 1961, vol. 4, p. 139.
24. Fried B. D., Conte S. D. The Plasma Dispersion Function. N.Y.: Academic
Press, 1961.
25. Dawson J. M. — Phys. Fluids, 1961, vol. 4, p. 869.
26. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. — Ядерный синтез, 1962,,
вып. 2, с. 465.
27. Drummond W. E., Pines D. —Nucl. Fus. Suppl, 1962, vol. 3, p. 1049..
28. Stringer Т. E. —Plasma Phys., 1964, vol. 6, p. 267.
29. Davidson R. C, Hammer D. A., Haber L, Wagner C. E. —Phys. Fluids,,
1972, vol. 15, p. 317.
Электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль Во, и их неустойчивости.
30. Chandrasekhar S., Kaufman A. N., Warson К. М. —Proc. Roy. Soc. Ser.A^
1958, vol. 245, p. 435.
31. Sudan R. N. —Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 57.
32. Furth H. P. — Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 48.
33. Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963,.
т. 45, с. 1642.
34. Kennel С. F., Petschek Н. Е.— J. Geophys. Res., 1966, vol. 71, p. 1.
35. Kennel С. F., Engelman F. —Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 2377.
36. Davidson R. C, Wolk H. J. —Phys. Fluids, 1968, vol. 11, p. 2259.
37. Ossakow S., Haber I., Ott E,— Phys. Fluids, 1972, vol. 15, p. 1538.
38. Davidson R. C, Ogden J. M. —Phys. Fluids, 1975, vol. 18, p. 1045.
Волны, распространяющиеся перпендикулярно (или почти перпендикулярно) Во*.
и их неустойчивости
39. Bernstein I. В. — Phys. Rev., 1958, vol. 109, p. 10.
40. Furth H. P. —Phys. Fluids, 1963, vol. 6, p. 48.
41. Dory R. A., Guest G. E., Harris E. G. —Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 14».
p. 131.
42. Crawford F. W., Tataronis J. A. —J. Appl. Phys., 1965, vol. 36, p. 2930..
43. Rosenbluth M. N., Post R. F. —Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 547.
44. Galeev A. A. —J. Plasma Phys., 1967, vol. 1, p. 105.
45. Aamodt R. —Plasma Phys., 1967, vol. 9, p. 1537.
46. Baldwin D. E., Bernstein I. В., Weenink M. P. H,— In: Advances ii*
Plasma Physics/Ed, by A. Simon, W. Thompson. Vol. 3. N.Y.: Wiley Interscience^
1969, p. 1.
47. Freidberg J. P. —Phys. Fluids, 1969, vol. 12, p. 1112.
48. Davidson R. C, Wu C. S. —Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 1407.
49. Papadopulos K., Davidson R. C, Dawson J. M. e.a. —Phys. Fluids,
vol. 14, p. 849.
50. Kesner J. —Plasma Physics, 1973, vol. 15, p. 577.
51. Baldwin D. В. —Rev. Mod. Phys., 1977, vol. 49, p. 317.
НЕУСТОЙЧИВОСТИ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ
А. Б. МИХАЙЛОВСКИЙ
ВВЕДЕНИЕ
Неоднородность плазмы поперек магнитного поля служит при-
причиной обширного семейства неустойчивости, называемых неус-
тойчивостями неоднородной плазмы или градиентными неустойчи-
502
жостями. Рассмотрим те градиентные неустойчивости, которые
можно изучить в приближении магнитного поля с прямыми я па-
параллельными силовыми линиями. Посмотрим, как влияет шир
на эти неустойчивости.
Картина градаентных неустойчивостей существенно зависит от
•отношения давления плазмы р к давлению магнитного поля 52/8я,
т. е. от параметра р=8яр/52. Она наиболее просто выглядит в
-случае пренебрежимо малого р(р-^О). В связи с этим рассмотрим
более полно неустойчивости плазмы с р—Я) и менее с конечным
и большим р.
Характер градиентных неустойчивостей весьма существенно за-
зависит и от степени неоднородности плазмы, т. е. от отношения
ларморовского радиуса частиц р к размеру неоднородности плаз-
плазмы а. В соответствии с этим существует класс неустойчивостей
слабонеоднородной плазмы, раскачка которых возможна при
сколь угодно малом отношении pfa, и класс неустойчивостей силь-
сильнонеоднородной плазмы, для развития которых необходимо ко-
конечное значение отношения р/а.
Неустойчивости слабонеоднородной плазмы с максвелловским
распределением частиц по скоростям, обусловленные градиентами
плотности ,и температуры, часто называются дрейфовыми, а соот-
соответствующие типы возмущений — дрейфовыми волнами. Пред-
Представление о дрейфовых волнах является важным элементом сов-
современной физики плазмы, поскольку с его помощью объясняют
аномальные переносы плазмы поперек магнитного поля (в том
числе бомовскую диффузию). С учетом сказанного изложим вна-
вначале элементарную теорию дрейфовых неустойчивостей, основы-
основываясь на простейших уравнениях движения частиц в поле низко-
низкочастотных и длинноволновых возмущений. Это составляет содер-
содержание разд. 1. Более общая теория неустойчивостей бесстолкнови-
тельной неоднородной плазмы основывается на использовании
тензора диэлектрической проницаемости такой плазмы, а в слу-
случае электростатических возмущений — скаляра диэлектрической
проницаемости. (О столкновительной плазме — см. п. 1.8 и
разд. 8). Такой подход излагается в разд. 2. Результаты разд. 2
используются в разд. 3 для исследования неустойчивостей силь-
сильнонеоднородной плазмы.
Раздел 4 посвящен неустойчивостям плазмы в скрещенных по-
полях, а разд. 5 — электромагнитным неустойчивостям плазмы ко-
конечного и большого давления. Влияние шира обсуждается в
разд. 6.
В заключение указана обзорная и монографическая литерату-
литература, по которой можно более подробно ознакомиться с кругом воп-
вопросов, рассмотренных в настоящей статье, а также отмечена связь
изложенного раздела теории плазмы с другими.
1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДРЕЙФОВЫХ
НЕУСТОИЧИВОСТЕИ
1.1. Дрейфовые волны. Пусть плазма неоднородна вдоль ост
х, а магнитное поле Во направлено по оси г. Рассмотрим возму-
возмущения такой ллазмы в предположении, что их электрическое по-
поле потенциально Е=—Vcp, частота мала по сравнению с ионно-
циклотронной, а длина волны велика по сравнению с лармороз-
ским (радиусом ионов. Электрический потенциал ф удовлетворяет
условию квазиэлект,ронейтральности: яе(ф) =/гДф), где пеу п{ —
возмущение плотности электронов и ионов. Выражение для пе(ф)
находим с помощью закона Больцмана, пе =—еещу\Т, где ло> Т—
равновесные значения плотности плазмы ,и температуры электро-
электронов; ее=—е — заряд электрона. Выражение для пг получим с по-
помощью ионного уравнения непрерывности
dni/dt+Vxdn0/dx=09 (I)
полагая, что возмущенная скорость ионов Vx — это скорость дрей-
дрейфа частиц в скрещенных полях, Vx=cEy/Bo. В случае пространст-
пространственно-временной зависимости возмущений вида ехр(—mt-\-ikyy) ^
из приведенных соотношений получается следующее выражение
для частоты колебаний [1]:
уееВ0 dx *e V У
Возмущения, соответствующие этой частоте, обычно называ-
называются электронными дрейфовыми волнами, а сама частота B) —
дрейфовой частотой электронов по градиенту плотности [2]. Эта
терминология в значительной степени основана на недоразуме-
недоразумении, разъяснявшемся в [3], но мы ее используем, поскольку она
стала общеупотребительной.
1.2. Влияние неоднородности плазмы на резонансное взаимо-
взаимодействие частиц с волной. Частица, находящаяся в поле длинно-
длинноволнового и низкочастотного возмущения вида Е=Е(х)Х
Хехр(—mt-\-ikyy+ikzz)y дрейфует вдоль направления неоднород-
неоднородности плазмы со скоростью 6vx=cEJB0 (ср. с п. 1.1) и совершает
инерционное движение вдоль Во с возмущенной скоростью 6у2=
— ieEJm((u—kzvz), где е, пг — заряд и масса частицы, vz — ее-
равновесная продольная скорость. Возмущение функции распре-
распределения 6f, соответствующее такому движению, согласно уравне-
уравнению Лиувилля равно:
; D2Sjt, C>
1 z dvz дх ' v r
где fo—равновесная функция распределения: 6x=i8vJ(a)—kzvz) —
возмущенное смещение частицы вдоль направления неоднородно-
неоднородности. Подставляя в C) указанные значения 6vz и 6л; и учитывая^
504
что для электростатических возмущений Еу= (ky/kz)Ezy получаем:
( df0 ktJ Oft \
^ dvz кгыс дх J' ^
где (ос=еВ0/тс — циклотронная частота рассматриваемого сорта
зарядов.
Часть б/, соответствующая скоростям vz&(u/kz, описывает ре-
резонансное взаимодействие частиц с волной. Как следует из D),
эта часть б/ равна:
С нею связан ток резонансных частиц jzres — e f vz8fresdvz и соот-
соответственно вещественная часть проводимости ores=jzres/Ezy кото-
которая согласно E) определяется выражением
пе2
res m | kz
Б случае однородной плазмы с максвелловским распределением
по скоростям из F) следует, что проводимость положительна
(OreS>0, т. е. резонансное взаимодействие частиц с волной в этом
случае приводит к убыванию энергии колебаний. Если плотность
или температура плазмы неоднородны, то ores может стать отри-
отрицательной. Например, в пределе co<ikzvT из F) при V^o=O и
" следует:
тде ы* = 1гу(сТ/еВо)с1\ппо/с(х, т| = д1п Г/а In n0; vT= BT/m)V2. Вид-
Видно, что проводимость меняет знак и становится отрицательной,
«ели частота колебаний достаточно мала, одного порядка или
меньше дрейфовой частоты B). Следовательно, неоднородность
плазмы может приводить к кинетическим неустойчивостям. Соот-
Соответствующие неустойчивости относятся к числу дрейфовых.
1.3. Кинетическая дрейфовая неустойчивость плазмы с обрат-
обратным градиентом температуры. Найдем мнимую добавку к частоте
B), обусловленную резонансным взаимодействием электронов с
волной. Для этого воспользуемся E) и, полагая (S)<^L\kz\vTe, най-
найдем возмущенную плотность резонансных электронов:
где Ores определено соотношением G) с электронными индексами.
Добавляя ne.res к больцмановской части возмущенной плотно-
плотности электронов ,и в остальном следуя п. 1.1, приходим к диспер-
дисперсионному уравнению
1 _ J?*^+ i V^-rZ [l - -^?_ (i _ ±\\ =0. (9)
505
Отсюда следует [1], что
i Vn <4> д in тР
ш = со^ —
bz\vTe д\ъпл
Видно, что имеет место неустойчивость Imco>0, если кроме гра-
градиента плотности существует также градиент электронной темпе-
температуры, направленный в противоположную сторону.
1.4. Кинетическая дрейфовая неустойчивость из-за градиента:
плотности. При WTe=0 дисперсионное уравнение (9) оказывает-
оказывается недостаточным, так как формально .из нега следует 1тсо = 0.
Чтобы дополнить его, надо вычислить возмущенную плотность
•ионов более точно, чем это было сделано в п. 1.1. Для этого за-
заменим уравнение непрерывности A) более общим
Подставим в него выражение для скорости Vtr учитывающее не
только дрейф в скрещенных полях, но и поперечное и продольное
инерционные движения частиц
Bl гпо 'ч „2, J,
где Е± — часть Е, поперечная Во; ez — единичный вектор вдоль zi
Как и выше, мы считали ионы холодными, Тг*->-0.
В результате из A1) следует:
где Kn=d\nn0/dx; k2±=k2x+k2y. Для простоты считаем, что воз-
возмущения зависят от х как exp(i^jc).
С учетом A3) вместо (9) получаем дисперсионное уравнение
— Гi-^fi--^)]=
vTe i о) \ 2 )\
т^2 со I
где р2о=7Утг-со2сг. При УГе=0 и ^22Ге/тг(о2<й2±р2о<1С1 из A4))
следует [2]:
так что рассматриваемые возмущения оказываются неустойчивы-
неустойчивыми. Это — кинетическая дрейфовая неустойчивость из-за градиен-
градиента плотности. При k22Te/imi(iJ*e>k2±p2Q эта неустойчивость отсутст-
отсутствует.
1.5. Кинетическая дрейфовая неустойчивость плазмы с боль-
большим положительным градиентом электронной температуры. Урав-
Уравнение A4) при конечных к22Те/тг(хJ описывает две ветви, колеба-
колебаний. В пределе &2j_p2o->O и в пренебрежении мнимыми членами.1
509
«частоты этих ветвей определяются соотношениями [1]
mi I
Зти ветви колебаний можно рассматривать как ионно-звуковые
волны, модифицированные неоднородностью плазмы. При
А22Ге/тг<С(о2*е одна ,из этих волн переходит в дрейфовую волну
B), а вторая имеет частоту
0) = —к22Те/гПг(х)^е» A7)
При учете мнимых членов уравнения A4) оказывается, что эта
волна неустойчива, есл.и градиент электронной температуры дос-
достаточно велик и направлен в ту же сторону, что и градиент плот-
плотности [1]:
д1пТе/д\ппо>2. A8)
1.6. Ионная дрейфово-температурная неустойчивость. Рассмот-
Рассмотрим плазму с неоднородно нагретыми ионами VT^O и однород-
однородной плотностью V^0=0. Для вычисления возмущенной плотности
ионов воспользуемся выражением для функции распределения
D), положив в нем (u^>kzvTi. Тогда получаем:
lib A9)
где (iiT*i=kyC(dTi/dx)/eiBo — дрейфовая частота ионов по градиен-
градиенту температуры. Считая, как и в п. 1.1, возмущенную плотность
электронов больцмановской и используя условие квазинейтраль-
лости, приходим к дисперсионному уравнению
^=—(k\Te/mi)^i. B0)
Юдно из трех решений этого уравнения имеет положительную мни-
мнимую часть Imco>0, что соответствует ионной дрейфово-темпера-
турной неустойчивости [1].
1.7. Коротковолновая электронная дрейфово-температурная не-
неустойчивость. В отличие от п. 1.6, рассмотрим возмущения с попе-
поперечной длиной волны, меньшей ларморовского радиуса ионов:
А±Рг>1. В этом случае ионы можно приближенно считать больц-
мановскими п*~—e*%(p/7Y Градиентом плотности пренебрегаем
"V^0=0, но учитываем градиент электронной температуры ^7ТеФ
^фО. Тогда для возмущенной плотности электрснов можно вос-
воспользоваться выражением, аналогичным A9). В результате при-
приходим к дисперсионному уравнению
^ B1)
me
отличающемуся от уравнения B0) заменой «индексов сорта заря-
зарядов [о)тt9=kyc(dTe/dx)/eeBo]. Это уравнение описывает коротко-
коротковолновую электронную дрейфово-температурную неустойчивость
М-
507
1.8. Дрейфово-резистивная неустойчивость. Вернемся к длинно-
длинноволновым возмущениям плазмы с Уяо^О, VT=0 и рассмотрим
влияние на них конечной проводимости. Для описания электро-
электронов воспользуемся их уравнением продольного движения
een0Ez — \kzneTe — menoVzeVe=O, B2)
где ve — частота столкновений электронов с иолами; Vze — про-
продольная скорость электронов. Чтобы исключить отсюда Vze, учтем*
уравнение непрерывности электронов
-ime+Vx^ + i кгпуге = 0, B3>
где Vx — скорость дрейфа частиц в скрещенных полях. Тогда
п
Те 1 — i
Возмущенную плотность ионов находим с учетом их поперечною
инерции ([ср. с A3)]
Приравнивая друг другу правые части B4) и B5), получаем дис-
дисперсионное уравнение
4iH- B6>
Это уравнение имеет решение с ImcoX), соответствующее дрей-
фово-!резистивной неустойчивости [5].
Пр.и <d^>k2zTelmeve из B6) следует:
со2 — icos(o+i0sa)^e=O, B7)*
где cos= (kz/k±J\<uce(da\/ve. Максимальный инкремент неустойчи-
неустойчивости достигается при <os^co*e.
2. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ
При исследовании неустойчивостей с произвольными k±p и-
<о/о)с необходимо использовать более общие подходы к вычислению-
возмущенных плотностей и токов, чем изложенные в (разд. 1. Од-
Одним из таких подходов является метод интегрирования по траек-
траекториям. Использование этого метода предполагает переход в ли-
линеаризованном кинетическом уравнении Власова от переменных
г, v, i к .новым переменным r0, v0, /, где r0, v,0 — координаты и ско-
скорость частицы при t=tOy находящейся *в момент времени t в точ-
точке г и имеющей в этот момент скорость v (t0 — некоторый фик-
фиксированный момент времени). При этом кинетическое уравнение
508
записывается в виде
±=±V?-^-. B8>
dt m dv
Как -и в разд. 1, возмущения считаем электростатическими.
Уравнение B8) непосредственно интегрируется. После этого*
совершаем обратный переход к переменным г, v, 1 С учетом вре-
временной зависимости ф~ехр(—icoi) и того, что f(t=—оо)=0, ре-
результат цредставляем в виде
t
/(r(v,/) = -J-
—00
Равновесную функцию распределения fo(v, x) запишем в виде
fo(v, x)=F(e±, vX9 X), C0>
где F — некоторая произвольная функция интегралов равновес-
равновесного движения частицы e±=v2±/2, vX9 Xssx+Vyfac* Поэтому
Координатную зависимость ф представим в виде exp(i?z2-f-
+ \kyy) $q>\kx)wp(\kxx)dkx. В результате B9) преобразуем к виду
/ = (е/т( [<pdF/dex - G J dkx<p (kx) exp A*^) / (k, со, v)], C2>
где
r dF I b / dF dF \ ky dF
дг1 \ dv2 de± ) toc dX ' V ;
00
h F) exp [i g sin (a — Ф) — m (a — ф)]
;
^—2LTctg{ky/kx); a=avctg{vy/xx); l=k±vj(oe; /n —функция Бес-
Бесселя.
Интегрируя C2) по скоростям, получаем возмущенную плот-
плотность рассматриваемого сорта зарядов. В случае ф~ехрО&х#)<
результат представим в виде
п (?)= so т> C5)j/
где
00
(°0 , - ч Апе2 I dF yr] ^2«(E)^i \ /Qfi\
во Vе0» к i х)— --—¦ с ~^" V \ )• (ооУ)
mfc2 ^ се^ ?j а — Ш(} — kzvz/
я=—оо
Здесь G\=,G+(nkylk2)dGldx\ символ < ... > означает
/(...)v±dvxdv2. Величина 8о(а) представляет собой вклад рас-
50>
осматриваемого сорта частиц (индекс а) .в скалярную диэлектри-
диэлектрическую проницаемость плазмы. При использовании этой величи-
величины локальное дисперсионное уравнение записывается в виде
1+2ео(а) = 0. C7)
а
При максвелловском F из C6) имеем:
s =
C8)
Здесь Хв=(Г/4яе2ЛоI/2 —дебаевский радиус; z=k2±T/m<i>2e; /„ —
функция Бесселя мнимого аргумента;
C9)
— _ kyT (dlnn<> 4- — —
— тш>с [ dx + dx дТ )'
Отметим .некоторые предельные результаты для максвеллов-
ской плазмы, вытекающие из C8).
Низкочастотные возмущения с (со, kjuT) <Ccoc[2, 6, 7]
«B) ехр (-2)] • D0)
Возмущения с со>о)с, ^хр^1 [6]:
fcQ == ¦
Высокочастотные коротковолновые возмущения (Im '0 3>c
1) [8]:
Приведем также выражение для ,ео(а) в случае «конусного» рас-
распределения по поперечным скоростям, т. е. такого, что JF()s±=
;=0)=0 и dF/de±>0 для малых ie±. Ограничимся возмущениями
с kz=0. В высокочастотном приближении из C6) аналогично
/D2) имеем:
где со2р=4яе2ло/т — квадрат плазменной частоты.
510
С учетом циклотронных эффектов вместо D3) имеем:
Примеры использования полученных здесь результатов даны в.
разд. 3.
3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
СИЛЬНОНЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ
3.1. Дрейфово-циклотронная неустойчивость. Рассмотрим элект-
электростатические возмущения с &2=0, г^\> <оо«ясос* при упрощаю-
упрощающих предположениях Ге=0, V7\=0. Исходим из общего диспер-
дисперсионного уравнения C7), в которое подставляем eo(i> из D1) в
ео(е) из D0). Тогда получаем:
°a <45>
Это уравнение описывает неустойчивость, если
. D6>
Такую неустойчивость обычно называют дрейфово-циклотронной.
[9].
В случае плотной плазмы (со„е^>1сосе) и п=\ условие неустой-
неустойчивости D6) имеет вид:
D7).
Если неравенство D7) не сильное, то возбуждается небольшое
число гармоник. Характерное k± в этом случае порядка k±&
«(т{/1теI/2рс1, а инкремент нарастания колебаний уж]
ж (те/т{) !/4о)сг.
Если левая часть D7) намного больше правой, то число воз-
возбуждаемых циклотронных гармоник пж (хпРг/2) (т{/теI/2. Инкре*
мент наивысшей .из возбуждаемых гармоник
Видно, что инкремент становится порядка соСг при хпрг^
ж2{те/тгI/А. Неустойчивость плазмы с xnpi^ {те1тгI/4 рассмот-
рассмотрена в п. 3.2.
3.2. Высокочастотная ионная дрейфовая неустойчивость. При
ипр»^ (^еМгI/4 уравнение D5) заменяется следующим {исполь-
{используется высокочастотное приближение для ионов, см. D2)]:
p2 = 0. D9)
51Г
"Это уравнение с точностью до замены индексов сорта заряда и
M±-+-\kz\ совпадает с дисперсионным уравнением A4), описываю-
описывающим низкочастотную электронную дрейфовую неустойчивость
плазмы с неоднородной плотностью. Поэтому ясно, что и уравне-
уравнение D9) также описывает неустойчивость, которую из соображе-
соображений аналогии можно назвать высокочастотной ионной дрейфовой
tнеустойчивостью i[3]. Максимальный инкремент возмущений типа
D9) приближенно равен:
»,, E0)
На пределе применимости приближения малого ларморовско-
то радиуса .ионов, т. е. /при хпр<^1, инкремент с точностью до ма-
малого численного множителя оказывается масштаба нижнегибрид-
нижнегибридной частоты: <утах~ (т{/те) 1/2'Сосг-.
3.3. Дрейфово-конусная неустойчивость. При распределении
ионов типа конуса потерь вместо D9) .имеем с учетом D3)
-О, E1)
тде co=—н
y i @
Юдин из корней уравнения E1) имеет положительную мнимую
часть, что соответствует высокочастотной дрейфово-конусной не-
неустойчивости [8]. Исходное предположение у>Ыы оправдывает-
оправдывается, если KnPi> (гпе/niiJ/3, где Pi= УоАосг- — характерный ларморов-
ский радиус ионов.
При хпрг^ {ше1т{J^ уравнение E1) надо заменить дисперси-
дисперсионным уравнением, учитывающим циклотронное движение ионов.
Тогда в соответствии с D4) получаем:
]L 1 « = 0. E2)
пте
уравнение имеет комплексные корни, соответствующие неус-
неустойчивости, если хрг>0,38 (те/тгJ/3 '[10]. На границе устойчиво-
устойчивости частота колебаний несколько меньше ионно-циклотронной.
'В соответствии с этим неустойчивость, описываемую уравнением
E2), называют циклотронной дрейфово-конусной.
3.4* Пучково-дрейфовые неустойчивости. Высокочастотная не-
неустойчивость гидродинамического типа. Пусть электроны движут-
движутся относительно ионов вдоль магнитного ноля. Вообще говоря, в
такой плазме может развиваться неустойчивость типа Бунемана,
-для которой градиентные (дрейфовые) эффекты не ,важны. Одна-
.ко если плотность и поперечный размер плазмы достаточно малы,
-так что '0&pe<Vo/a (Уо — скорость относительного движения ком-
компонент), то эта неустойчивость отсутствует. Тогда учет неоднород-
.ности плотности приводит к следующему дисперсионному ураз-
.512
яению JU, 12}
Один из корней этого уравнения соответствует неустойчивости,
•если Knk1)(o2pe>k2kzVo(oce. При этом yttwpi.
Высокочастотная кинетическая неустойчивость. Рассмотрим
лучково-дрейфовую раскачку ионно-электронных ленгмюровских
колебаний однородной плазмы, т. е. ветви колебаний с частотой
aJ = aJpl+(V^Jo)V E4)
Учитывая резонансные электроны пучка, можно получить следую-
следующее выражение для инкремента нарастания этих колебаний (ср.
с п. 1.2):
(ь .?*!_ +A *l\ E5)
Ч~ mek*\kz\
где /о — функция р:а,спределения пучка.
Условие раскачки можно представить в виде
2, E6)
где 6= | д In fо/д In >vx \—параметр, характеризующий наклон функ-
функции распределения; pe=Wcoce. Характерные поперечные длины
воли неустойчивых колебаний порядка l/k±ttV/<ope] длина волны
вдоль лучка 1/?*«.!УУа>р*; характерный инкремент
где ab >и л0 — плотности пучка и плазмы.
4. НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ
4.1. Уравнение малых колебаний холодной плазмы в скрещен-
скрещенных полях. Пусть в цилиндрической плазме с Г=0 имеется элект-
электрическое поле Eollea:. Это поле вызывает вращение каждой из ком-
компонент плазмы. Для электронов эта скорость вращения У0(е) =
•=—cEq/Bo. Для ионов с учетом центробежной силы -имеем:
E8)
При учете равновесного вращения компонент из уравнений двух-
жидкостной гидродинамики и уравнения Пуассона получается сле-
следующее уравнение малых колебаний [13]
E9)
]7 Зак. 137 513
Здесь Q = (o—kQ Vo; kQ = l/r; I — азимутальное волновое число:
-Q2. F0>
4.2. Низкочастотная центробежная неустойчивость. Рассмотрим
возмущения с kz=0, ico<C'O)Ci. Плазму считаем плотной сор*>>сосп
электрическое поле малым V0<Cr®ci. Распределение плотности по
радиусу считаем гауссовым яо=7гехр[—(г/аJ], а угловую ско-
скорость вращения электронов постоянной ino радиусу VE=—сЕ0/В0=
= пЕг, QE=const. При этих предположениях уравнение E9) сво-
сводится к следующему [14]:
где v = co?(coe—2со)/(о)—сояJ; KdE={lQE.
Собственные значения -v = / + 2tt, где д=0, 1, 2 ..., так что соб-
собственные частоты равны:
В частности, при /г=0, />1 .из F2) следует, что частота возму-
возмущений комплексна: со = Re @+17, где
=Qs(/— 1); y=±QEVl— 1. F3>
Соответствующая неустойчивость называется низкочастотной цент-
центробежной.
4.3. Низкочастотная неустойчивость плазмы с неоднородным
профилем скорости. Рассмотрим возмущения с со^;соСг в приближе-
приближении плоской симметрии, полагая, что электрическое поле направ-
направлено по оси х, плотность достаточно велика: соРгЗ>'О)сг, а градиент
плотности отсутствует. При этих предложениях из E9) имеем:
¦gL-Vy-T^/^=Ot F4)
dx* у Г Г Vo — W V h
где W=(u/ky; kv=kQ. Анализ этого уравнения показывает, что для
неустойчивости необходимо выполнение условия [15]
(d2V0/dx*)x=Xo =0; xl<xo<x2y F5>
где хи х2 — границы слоя; х0 — какая-либо точка внутри слоя.
Условие F5) называется условием Релея. Кроме того, из F4)
следует достаточное условие неустойчивости '[15]
—W)'t=0. F6)
f
При выполнении этого условия плазма неустойчива относительно
возмущений с ky-*0.
4.4. Высокочастотная центробежная неустойчивость. Если отно-
отношение VE/rcdCi не слишком мало, то наряду с низкочастотными
514
Бозмушениями в плазме могут раскачиваться также возмущения
с -со^Осг- Рассмотрим 1возмущен.ия с сосг<Со)<С'О)се. Согласно E9)
юни описываются локальным дисперсионным уравнением вида
Здесь Qe^i0—?вУв. Это уравнение имеет нарастающие решения,
соответствующие высокочастотной центробежной неустойчивости
>[13]. Максимальный инкремент этой неустойчивости порядка ниж-
нижнегибридной частоты.
4.5. Диокотронная неустойчивость. Для чисто электронных воз-
возмущений с >о)<Ссосе, kz = 0 и Vwoll* из E9) имеем:
4пе% dnjdx
Аф т-тг ф = 0. F8)
В отсутствие ионов, компенсирующих пространственный заряд
электронов, равновесная плотность электронов однозначно связа-
связана с полем ?0;
дЕо/дх=4леп0. F9)
Найдем теперь щ через ?0 и с учетом соотношения Vo=—сЕ0/В0
лерепишем F8) в виде
2-Vr+^t-o- ,70,
Это уравнение в точности совпадает с F4), хотя оно получено при
других предположениях. Основываясь на тождественности этих
двух уравнений и на результатах п. 4.3, делаем вывод, что неком-
некомпенсированное электронное облако неустойчиво относительно воз-
возмущений с достаточно малыми куу если выполняется условие Ре-
лея F5). Поскольку 'no~dVo/dx, то условие неустойчивости оз-
означает, что распределение плотности должно иметь хотя бы один
максимум
(dno/dx)x=X9=O G1)
Неустойчивость пространственно-неоднородного электронного
облака часто называют диокотронной [16—18].
5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
5.1. Дрейфово-ал ьвеновская неустойчивость. Дисперсионное
уравнение A4), полученное в приближении электростатических
возмущений, не дает исчерпывающей картины неустойчивостей
<слабонеоднородной плазмы с р>те/,т^ и VT = 0.
Чтобы получить такую картину, необходимо учесть члены, свя-
связанные с векторным потенциалом Az. Тогда вместо A4) имеем
17* 515
дисперсионное уравнение
где и2л=В2о/4тсп^лг{ — квадрат альвеновской скорости. Напомним,,
что, как и в случае уравнения A4), мы рассматриваем возмуще-
возмущения с vTi<^t(o/,k2<^.vTey &2j_p2i«Cl. Заметим также, что в отличие or
уравнения A4) в G2) учтена конечность ионной температуры. Т{.
Уравнение G2) описывает три ветви колебаний: электронную
дрейфовую с частотой B) и дрейфово-альвеновские с частотами'
[19]
2
• G3>;
При учете членов порядка г{^к2±р2{ все три корня становятся*
комплексными. Нарастающими оказываются колебания с 0<
<(о/о)*е<1. Инкремент достигает -максимума при волновом числе
&г«У2со*е/г;А, при котором частота электронной дрейфовой ветв1Г
совпадает с частотой одной из дрейфово-альвеновских ветвей. Прш
этом
7тах= (У я/6) (
Инкремент G4) растет с ростом z{. На пределах применимости'
длинноволнового -приближения, т. е. при г,«1,
Ттах « (Ше/тф) l /2VTi/u. G5)»
Рассмотренная неустойчивость называется дрейфово-альвенов-
ской [19].
5.2. Магнитно-дрейфовая энтропийная неустойчивость. Учтем:
неоднородность равновесного магнитного поля VBo=7^O -и возму-
возмущенное магнитное поле В2Ф0> направленное вдоль основного.
Рассмотрим низкочастотные (со<С'(оСг) длинноволновые (&_1_Рг<^1)
возмущения с kz = 0, пренебрежем поперечной инерцией ионов.
В качестве исходных уравнений воспользуемся уравнениями двух-
жидкостной гидродинамики, пренебрежем в них диссипативными
членами. Исключив из них скорость, придем к следующим урав-
уравнениям для плотности п и давления р каждой компоненты плаз-
плазмы (электронов ,и ионов):
— + V^v^ + ^divV?+fv — . V—1 =0; G6>
^ , V_L] =0. G7>
Здесь V?=c[E, В]/В2; В — полное магнитное поле; сос — цикло-
циклотронная частота по полю В\ уо — показатель адиабаты.
Линеаризуя эти уравнения и дополняя ;их условием квазинейт-
516
ральности, приходим к дисперсионному уравнению
Здесь О, = куСТ0кв/еВа — частота магнитного дрейфа; Хв=<
= dlnB0/dx; KP=d\npo/dx. Равновесные температуры электронов
и ионов считаются одинаковыми.
Из G8) следует, что при не слишком малом |т]| =
= |д In Т0/д Inп01 плазма неустойчива. В частности, при ?$<С1
критерий неустойчивости имеет вид:
г) >2yo — 1 или ц<—1. G9)
При кинетическом рассмотрении вместо G9) получается критерий
неустойчивости
Ы>1. (80)
Инкремент неустойчивости порядка частоты магнитного дрейфа
Q. Рассмотренную неустойчивость называют магнитно-дрейфовой
энтропийной, а также неустойчивостью типа Церковникова
[20—22].
5.3. Магнитно-дрейфовая альвеновская неустойчивость. Как и
в п. 5.2, рассмотрим низкочастотные длинноволновые возмущения
с kz = Q. Отличие от п. 5.2 состоит в том, что там рассматрива-
рассматривались возмущения с divV^O, а теперь .исследуем возмущения с
divV=0.
Сложим уравнения движения для ионов и электронов и возь-
возьмем г-ю проекцию ротора этой суммы. Тогда с учетом уравнения
Максвелла получаем:
rot, (nundVM/dt+Vn) =0. (81)
<->
Здесь я — тензор ионной вязкости; компоненты этого тензора,
входящие в (81), имеют вид:
Pi Г Wx , dVy 2 (dq.
дх
2o)Cf- L dy * дх * dpi \ду ' дх _
_ дУу 2 /ддх _ дду \1
ду + 5рД дх ду)\'
Здесь q — поток теплоты; ионные индексы у V и q в (82) и ниже
опущены. Выражения для этих величин берем в виде
q = -f-^^^'Ь (83)
С помощью уравнений (81) — (83), дополненных ионными урав-
уравнениями G6), G7), получаем дисперсионное уравнение
со2 - о (Q<+©?,) +Qi (co^. +©^) =0, (84)
517
где Qi определено в п. 5.2. Возмущения, описываемые этим урав-
уравнением, нарастают во времени, если
-Kri<-B+pJ/[8p+B+pJ]. (85)
Соответствующая неустойчивость называется магнитно-дрейфовой
альвеновской i[20].
5.4. Неустойчивости бессиловой плазмы большого давления.
Пусть плазма с давлением ро>52,о/8я(р»1) находится в одно-
однородном магнитном поле ВОу V50=0. Тогда V/?o=0, W\nT0=
i=—Vlnn0. Рассмотрим возмущения такой плазмы с частотами
Ю)<С {fozVTe> соСг) и волновыми числами &±рг<С1. Используем двух-
жидкостное описание. Из уравнений движения находим, что при
Р^Э>1 суммарное возмущенное давление равно нулю:
p'e+p'i = 0. (86)
Возмущения электронной компоненты считаем изотермическими
7У=0, т.е.
p'e=n'7Y (87)
Давление ионной компоненты находим с помощью уравнений G6)
и G7):
(88)
Возмущенную плотность выражаем через электрическое поле с по-
помощью уравнения продольного движения электронов
n' = —ieenoEz/kzTo- (89)
Считаем, что магнитное поле в возмущениях не искривляется
Д/=0, так что Ez= (kz/ky)Ey. Из (86) — (89) вытекает дисперси-
дисперсионное уравнение
A-cdJ;/cdJ+1/vo = O. (90)
Решения этого уравнения комплексны, что соответствует неустой-
неустойчивости. Рассмотренная неустойчивость — пример неустойчивостей
бессиловой плазмы большого давления [23].
6. ВЛИЯНИЕ ШИРА НА НЕУСТОЙЧИВОСТИ
НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЫ
Выше мы полагали равновесное магнитное поле направленным
вдоль оси z. Тем самым силовые линии магнитного поля счита-
считались параллельными друг другу. Соответственно волновое число
kz в этом случае означает проекцию волнового вектора на маг-
магнитное поле, т. е. продольное волновое число. Если силовые ли-
линии непараллельны друг другу, но лежат в плоскости {уу z)y то
роль продольного волнового числа играет не ikzy a
FC и — lfv%?j 0z \ У От/ / / *^О» I /
518
Непараллельность силовых линий означает, что d (В0у/В02)/с(хф09
но тогда ,из (91) следует, что продольное волновое число зависит
от х:
dk\\ /dx=?0. (92)
Магнитное поле, которому соответствует зависящее от координат
&п, пр,инято называть магнитным полем с широм (shear — ножни-
ножницы).
Если при х=0 &ц = 0, то в окрестности х=0
kll(x)=kyx/Ls, (93),
где Ls= [d(Boy/Boz)/dx]~l называется длиной шира. Предположим,
что Воу<^В^у так что ky имеет такой же смысл, как и в случае
B0||z. При наличии шира имеет место эффект стабилизации воз-
возмущений, суть которого ясна из следующих соображений. Учтем,
что всякое возмущение имеет некоторый конечный (не слишком
малый) размер -по х9 который обозначим Ах. Кроме того, продоль-
продольное волновое число нарастающего во времени возмущения во всех
изучавшихся здесь неустойчивостях ограничено сверху некоторым
?цтах. Поэтому нарастающими могут быть лишь такие возмуще-
возмущения, изменение продольного волнового числа которых на расстоя-
расстоянии Ах, во всяком случае, не превосходит kl[mSiX, т. е.
Axdkl}/dx<:kllmax, (94)
причем й||тах и Ах определяют из задачи о плазме в поле с B0||z,
поэтому они не зависят от шира. Раскачка рассматриваемого воз-
возмущения невозможна, если производная dkjdx достаточно велика.
В соответствии с (93) последнее означает, что
Ax/Ls>kl]max/ky. (95)
Например, в случае крупномасштабных дрейфовых неустойчи-
востей, когда куж1/а, Ахжа, имеем k]imax^pi/a2 (см. разд. 2).
При этом из (95) имеем [24—26]
a/Ls>9i/a. (96)
Более мелкомасштабные неустойчивости стабилизируются при
большем шире.
Строгие критерии стабилизации широм находятся посредством
анализа дифференциальных или интегродифференциальных урав-
уравнений, описывающих радиальную структуру возмущений. Если
шир не слишком велик, так что левая .и правая части неравенства
(96) одного порядка, то такая задача требует детального рассмот-
рассмотрения профилей плотности -и температуры. Исследования в этом
направлении велись А. А. Галеевым i[24], Краллом и Розенблю-
том [26] и др. В последующие годы более оживленно дискутиро-
дискутировался случай большого шира:
a. (97)
519
Остановимся более подробно на этом случае, ограничившись рас-
рассмотрением электростатических дрейфовых волн в бесстолкнови-
тельной плазме с неоднородной плотностью и холодными иолами,
т. е. возмущений типа A5).
Необходимое исходное уравнение для ф(х) можно получить из
локальных дисперсионных уравнений с помощью формальных за-
замен
k^tfy — dydx2, kz-^kll=kyX/Ls. (98)
Тогда, -например, из A4), пренебрегая малым мнимым членом
порядка <u/\k{]\vTef получаем:
Сделаем замену переменной
"г/4). A00)
Здесь LN= (д\пп/дх)~1—размер градиента плотности, по смыс-
смыслу аналогичный ранее встречавшейся величине а. Для определен-
определенности считаем, что co*e>0, LN/Ls>0. В терминах переменной |
(99) можно свести к уравнению квантовомеханического осцилля-
осциллятора
д2у/д12+BЕ — ?2)Ф = О, A01)
где
имеет смысл энергии осциллятора. Собственные значения Е
Еп=п+1/2, п=0, 1, 2... A03)
Из A02) и A03) находим уравнение для собственных частот
|[ср. с A4)]
^^ 0. A04)
Отсюда при LN/LS<^1 ,и не слишком больших п имеем:
Re© = (o.e/(l+ft2vP2o); (Ю5)
lm(o=—(D*eLNBn+l)/L8. A06)
Как ясно .из A01) л A03), точки поворота в терминах | опре-
определяются стандартным выражением
1т=±Bп+1У'2. A07)
Стандарный вид в терминах g имеют также собственные функ-
функции, соответствующие собственным решениям A04)
Ф=Я„F)ехр(-Е72), (Ю8)
520
где Нп — полином Эрмита. Однако согласно A00) ось | поверну-
повернута в комплексной плоскости на 45° относительно оси физической
координаты х. Поэтому, в частности, в терминах х точки поворо-
поворота хт лежат в .комплексной плоскости приблизительно под углом
45 и 135° по отношению к вещественной оси [Imco<CReco, см.
A05) и A06)]. Иначе говоря,
in/4). A09)
Столь же необычными в терминах х являются и собственные функ-
функции A08). В отличие от хорошо известных собственных функций
обычного осциллятора, убывающих при больших х, собственные
функции «перевернутого» осциллятора типа A08) при таких х
являются осциллирующими:
('^^) (ПО)
Они описквают возмущения, выносящие энергию из области ма-
малых х в область больших х. Ясно, что в отсутствие источников
энергии (о них мы более подробно скажем позже) такие собст-
собственные колебания должны затухать. Это затухание как раз и опи-
описывается формулой A06) для декремента.
Заметим также, что (решение (ПО) при больших х расходится,
так как Imco<0. Поэтому его необходимо модифицировать, учи-
учитывая .в .исходном уравнении (99) дополнительные члены.
Использованная выше аналогия задачи о колебаниях неодно-
неоднородной плазмы с задачей о перевернутом квантовомеханическом
осцилляторе впервые была отмечена А. А. Галеевым [24]. Ему
же принадлежит анализ расположения точек поворота уравнения
типа (99) [см. A09)] и формула A03) для собственных значе-
значений с комплексным Еп. В [24] содержится также обоснование
аналитического продолжения (р(х) на комплексную плоскость.
Конкретизация общего подхода i[24] на случай дрейфовых
волн при большом шире [формула (97)] была получена Пирл-
стейном и Берком -[27]. Названные авторы нашли уравнение для
собственных значений A04) и вытекающие из него выражения для
частоты и инкремента A05) и A06). Они же дали указанную
выше физическую интерпретацию пространственной структуры
возмущений и их затухания.
При выводе (99) с помощью A4) мы пренебрегли малым мни-
мнимым членом порядка <o/\k^\vTe. В отсутствие шира с этим членом
связана дрейфовая неустойчивость, вызываемая обратным зату-
затуханием Ландау на резонансных электронах. Эта неустойчивость
описывается уравнением A5). Следовательно, резонансные элект-
электроны играют роль /источника энергии дрейфовых волн. Возника-
Возникает вопрос, не может ли при неслишком малом шире [см. условие
(97)] этот источник играть большую роль, чем вынос волновой
энергии, приводящий к декременту A06). Данный вопрос явля-
является основным в рассматриваемой проблеме, так как этим опре-
определяется возможность стабилизации плазмы широм.
521
Чтобы (рассмотреть этот вопрос, модифицируем уравнение
(99) с учетом полного вклада электронов, т. е. всех степеней па-
параметра со/1&ц| vTe. Тогда, используя выражение D0), получаем:
где Z — функция, определенная первым уравнением C9).
Первыми выясняли роль резонансных электронов при большом
Шире Пирлстейн и Берк '[27]. Они положили Z=m, что соответ-
соответствует стандартному приближению теории дрейфовых волн в от-
отсутствие шира 1[ср. с D1)]. Чтобы обойти трудность с особен-
особенностью резонансного члена при х-^оо, эти авторы заменили
|ifen(x)| его значением в точке поворота, т. е. положили | &ц (#) |->-
""H^ii'l 1*т|, и пришли к выводу, что при условии (97) дрейфовая
неустойчивость все же .имеет место, если LNILs<c{melmi)l/2>.
Затем последовал большой цикл работ различных авторов по
уточнению указанного -критерия неустойчивости Пирлстейна и Бер-
ка [27]. В результате выяснилось, что в условиях большого ши-
шира дрейфовой неустойчивости нет вообще! Это было показано не-
независимо разными авторами: Россом и Махаджаном [28] и Цэн-
гом и сотр. [29] и другими способами Антонсеном [30] и Лю Че-
ном и др. i[31]. Способ, использованный в i[30], в отличие от ос-
остальных не требует ни численных расчетов,,ни сложных асимпто-
асимптотических представлений. Поэтому ,им мы и воспользуемся ниже
при анализе A11).
- Будем рассуждать от противного, вначале предположим, что
неустойчивость есть, а затем покажем, что такое предположение
не может быть удовлетворено.
. Наличие неустойчивости означает, что Imco>0. Пусть неус-
неустойчивость обусловлена резонансными электронами, роль которых
может быть существенна лишь при малых х, следовательно, при
больших х мы снова имеем собственные функции вида A08) и
их асимптотику вида (ПО). При, Imco>O эти функции являются
сходящимися, так что отмеченной выше цроблемы модификации
A11) при больших х теперь не возникает. Тогда с помощью
A11:) .можно составить квадратичную форму, умножая это урав-
уравнение на ф* и интегрируя шэ, .всем х от —оо до оо. - Поскольку
подынтегральное выражение симметрично по х, то результат сво-
дитсяг-.к удвоенному интегралу по положительным х. Поэтому по-
получаем: .- ь ......
где X=<o*e(kyLJvTe)-1. Теперь сместим путь интегрирования в
комплексную плоскость ,и будем интегрировать по линии, на кото-
которой вещественной является величина ц = i(co*e/(D)x. Иначе говоря,,
вещественное х заменяется комплексным:
х=—icori/co^e, (ИЗ)
где Imr] = 0, Rerj^O. Так как мы считали 1тсо>0, то согласно
(ПО) при больших х, лежащих на линии .интегрирования A13),
ф(х) падает экспоненциально -и «интеграл A12) является сходя-
сходящимся, что и оправдывает сделанное преобразование (считаем,
что о)*е>0, LN/Ls>0).
В терминах переменной ц с учетом «формулы C9) для функ-
функции Z(x) находим, что выражение в квадратных скобках левой
части A12) принимает вид:
(^W (И4)
где gCk/ц)—вещественная положительная функция (g>0), оп-
определенная соотношением
]
g (и) = 1 - 2 {и/У^Г) ] exp (-/2) dt. A15)
Поэтому .в терминах ц A12) означает:
Теперь учитываем, что o = Re co + i Im со, ,и отделяем веществен-
вещественные ,и мнимые члены A16). Тогда приходим к выводу, что вслед-
вследствие положительности функции gCk/r\) мнимые члены левой час-
части A16) при Im ыфО отличны от нуля. Итак, мы пришли в про-
противоречие с исходным предположением о существовании реше-
решений с Im (o>0.
Следует отметить, что отсутствие растущих собственных мод,
вообще говоря, не означает полной стабилизации. Неустойчивы-
Неустойчивыми могут быть также так называемые конвективные моды [3,
30, 32].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Более подробное изложение теории неустойчивостей бесстолк-
новительной неоднородной плазмы .низкого давления в прямом
магнитном поле содержится в [3, 32—35]. По работам [3, 33, 34,
37, 38] можно познакомиться также с вопросами теории неустой-
неустойчивостей столкновительной плазмы, которой мы почти не касались
523
(кроме п. 1.8). Влияние шира на неустойчивости неоднородной
плазмы более подробно обсуждалось в [3, 33, 35—39]. О нелиней-
нелинейной теории дрейфовой неустойчивости см. статью Хортона в на-
настоящей книге.
С прикладной точки зрения важной является также теория не-
устойчивостей неоднородной плазмы конечного и большого дав-
давления, которая вкратце рассмотрена .в разд. 7. Более подробное
изложение этой теории в приближении прямого магнитного поля
можно найти в ![40].
Центральное место среди различных типов неустойчивостей
неоднородной плазмы в криволинейном магнитном поле занима-
занимает желобковая (flute) неустойчивость, называемая также переста-
перестановочной (interchange) и конвективной (convective). В настоя-
настоящей книге теория этой неустойчивости излагается в статье Берн-
штейна. При наличии продольного тока на первый план может
выступать так называемая винтовая (kink) неустойчивость, так-
также рассматриваемая в статье Беряштейна. Желобковая и винто-
винтовая неустойчивости относятся к числу идеальных гидромагнитных
неустойчивостей неоднородной плазмы в криволинейном магнит-
магнитном поле. Если по тем -или иным причинам эти неустойчивости
развиваться не могут, то главными оказываются другие типы не-
неустойчивостей, в том числе резисгавные гидромагнитные неустой-
неустойчивости, описанные в настоящей книге Уайтом, а также легидро-
магнитные неустойчивости, называемые также микронеустойчиво-
стями. О микронеустойчивостях плазмы в криволинейном магнит-
магнитном поле см. {3, 38, 39J, 41, 42].
Неустойчивости неоднородной плазмы .играют важную роль в
термоядерных ,и космических приложениях физики плазмы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рудаков Л. И., Сагдеев Р. 3. —Докл. АН СССР, 1961, т. 138, с. 581.
2. Кадомцев Б. Б., Тимофеев А. В. —Докл. АН СССР, 1962, т. 146, с. 581.
3. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 2. М.: Атом-
издат, 1971.
4. Михайловский А. Б. — Журн. техн. физ., 1967, т. 37, с. 1365.
I. Моисеев С. С, Сагдеев Р. 3. — Журн. теш. физ., 1964, с. 34, с. 248.
6. Михайловский А. Б. — Ядерный синтез, 1962, т. 2, с. 162.
7. Галеев А. А., Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. — Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1963, т. 44, с. 903.
8. Михайловский А. Б. — Ядерный синтез, 1962, т. 5, с. 125.
9. Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. — Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1963, т. 44, с. 919.
10. Post R. F., Rosenbluth M. N. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 730.
II. Михайловский А. Б. — Журн. техн. физ., 1965, т. 35, с. 1945.
12. Ловецкий Е. Е., Рухадзе А. А.— Ядерный синтез, 1966, т. 6, с. 9.
13. Михайловский А. Б., Цыпин В. С —Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 3, с. 247.
14. Rosenbluth M. N., Krall N. A., Rostoker N. —Nucl. Fusion Sup., 1962,
vol. 1, p. 143.
15. Rosenbluth M. N., Simon A.— Phys. Fluids, 1964, vol. 7, p. 557.
16. MacFarlane G. C, Hay H. G. — Proc. Phys. Soc, 1953, vol. 63B, p. 409.
17. Buneman O. — Electronics, 1957, vol. 3, p. 1.
18. Gould R. W. —J. Appl. Phys., 1957, vol. 28, p. 599.
524
'19. Михайловский А. Б., Рудаков Л. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1963, т. 44, с. 912.
20. Церковников Ю. А.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1957, т. 32, с. 67.
21. Кадомцев Б. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1959, т. 37, с. 1096.
22. Михайловская Л. В. —Журн. техн. физ., 1967, т. 37, с. 1974.
23. Михайловский А. Б. —Докл. АН СССР, 1970, т. 192, с. 74.
24. Галеев А. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963, т. 44, с. 1920.
25. Михайловская Л. В., Михайловский А. Б.— Ядерный синтез, 1963
-I. 3, с. 28.
26. Krali N. A., Rosenbluth M. N. —Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 1488.
27. Pearlstein L. D., Berk H. L. — Phys. Rev. Lett., 1969, vol. 23, p. 220.
28. Koss D. W., Mahajan S. M. —Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40, p. 324.
29. Tsang К. Т., Catto P. J., Whitson J. C, Smith J.— Phys. Rev. Lett., 1978,
vol. 40, p. 327.
30. Antonsen Т. М. —Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 41, p. 33.
31. Liu Chen, Guzdar P. N., White R. В., Kaw P. K., Oberman С — Phys.
'Rev. Lett., 1978, vol. 41, p. 649.
32. Михайловский А. Б. — В кн.: Вопросы теории плазмы/Под ред.
М. А. Леонтовича. Вып. 3. М.: Атомиздат, 1963, с. 141.
33. Галеев А. А., Моисеев С. С, Сагдеев Р. 3. —Атомная энергия, 1963,
т. 15, с. 451.
34. Кадомцев Б. Б. В кн.: Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонто-
вяча. Вып. 4. М.: Атомиздат, 1964, с. 188>.
35. Рухадзе А. А., Силин В. П. —Успехи физ. наук, 1964, т. 82, с. 499.
36. Krall N. A. —Advances Plasma Physics, 1968, vol. 1, p. 153
37. Рухадзе А. А., Силин В. П. —Успехи физ. наук, 1968, т. 96, с. 87.
38. Cap F. F. Handbook on Plasma Instabilities. Vol. 1, 1976; N.Y.: Academic
Tress — Ibid. Vol. 2, 1978.
39. Кадомцев Б. Б., Погуце О. П. — В кн.: Вопросы теории плазмы/Под
ред. М. А. Леонтовича. Вып. 5. М.: Атомиздат, 1967, с. 209.
40. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. — 2-е изд.
Т. 2. М.: Атомиздат, 1977.
41. Михайловский А. Б. Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках.
М.: Атомиздат, 1978.
42. Михайловский А. Б. В кн.: Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леон-
"товича. Вып. 9. М.: Атомиздат, 1979, с. 83.
ГРЕЗИСТИВНЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ
МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ1
Р. БАЙТ
ВВЕДЕНИЕ
1. Цели и содержание обзора. При создании лабораторных ус-
установок для удержания плазмы обычно заботятся о ее устойчи-
устойчивости, лишь в смысле идеальной магнитной гидродинамики, так
что неудивительно, что следующий по быстроте класс мод — ре-
зистивные неустойчивости, заметно сказывается на поведении
плазмы. Здесь мы рассмотрим линейную и нелинейную динамику
плазмы, связанную с наличием у нее проводимости а (для прос-
простоты скалярной).
1 Пер. с англ. Л. М. Зеленого.
525
Существенной чертой резистивных неустойчмвостей является
то, что они нарушают основное топологическое ограничение ана-
анализа, выполненного в рамках идеальной МГД, — сохранение вхо-
входе процесса различными магнитными поверхностями своей инди-
индивидуальности. Между магнитными поверхностями заключены то-
топологически независимые области. Пересоединение магнитных по-
полей приводит к тому, что полный магнитный поток, заключенный
в одной (или нескольких) областях, начинает возрастать за счет
уменьшения потока в других областях. Можно представить себе
этот процесс происходящим таким образом, что силовые линии
магнитного поля рвутся в одной области и пересоединяются по-но-
по-новому, так что увеличивают поток в некоторой другой .области, от-
отличающейся своей топологией. Тиринг-мода, например, приводит
к росту магнитных островов внутри системы. Это происходит тог-
тогда, когда увеличение размера островов ведет к состоянию с бо-
более низкой магнитной энергией. Так как такие состояния оказы-
оказываются динамически недоступны без пересоединения магнитных
полей, характерный временной масштаб развития тиринг-,моды
оказывается в каком-то смысле средним между магнитогидроди-
намическим временным масштабом хА (связанным с магнитными,
силами, которые поддерживают развитие неустойчивости) и ре-
зистивным временным масштабом тв, связанным с пересоединени-
пересоединением. Временной масштаб тиринг-моды можно представить как.
SprA, где параметр 5=тл/та, а р — дробный показатель степени,
который в зависимости от характера моды изменяется от 0 до 1.
Изменения топологии магнитного поля происходят благодаря
резистивной диффузии магнитного поля относительно жидкости..
С заметной скоростью эта диффузия идет только в узкой области
пространства (резистивном слое), окружающем некоторую син-
сингулярную магнитную поверхность. Ширина тиринг-слоя при этом
стремится к нулю в пределе идеальной (г] = а~1-^0) проводимости.
Таким образом, решение общей резистивной проблемы состоит из
решения уравнений идеальной магнитогидродинамики во внешней
области, где проводимость можно считать бесконечной, и их сшив-
сшивки с внутренними (резистивными) решениями.
Существует два типа проблем, представляющих интерес для
физики лабораторной плазмы, причем различие между ними оп-
определяется соответствующей постановкой граничных условий.
Для проблем первого типа внешнее магнитное поле фиксировано
и отсутствуют плазменные потоки, созданные внешними источни-
источниками; плазма обладает близлежащим состоянием равновесия с бо-
более низкой магнитной энергией, которое, однако, недостижимо-
без пересоединения. Основной интерес такая ситуация представ-
представляет при исследованиях равновесия плазмы, удерживаемой в то-
тороидальных установках. Типичный пример — осесимметричное
идеальное магнитогидродинамическое равновесие с магнитными
поверхностями, топологически состоящими из вложенных друг в
друга тороидов, для которого существует соседнее, энергетически
более .выгодное состояние с одним или несколькими магнитными
526
островами. Так как граничные условия зафиксированы, единст-
единственное, что движет в таком случае развитие неустойчивости—это
разница энергий между двумя состояниями и переход к энерге-
энергетически более выгодному состоянию определяется скоростью пе-
пересоединения магнитного поля'.
Для проблем второго типа важны внешние движущие силы.
Такими силами могут быть регулируемые внешние электромаг-
электромагниты (формирующие, например, конфигурацию типа восьмерки
из простого начального распределения с тороидальными магнит-
магнитными поверхностями, вложенными друг в друга), и плазменные
потоки, определяющиеся внешними условиями, которыми зада-
задаются обычно в моделях, предназначенных для исследования пе-
пересоединения в магнитосферах планет и динамики солнечных
вспышек. В этих случаях темп пересоединения определяется в
первую очередь внешними движущими силами и можно пред-
представить, что плазма эволюционирует адиабатически от одного
энергетического состояния с минимальной энергией к другому
или даже вообще находится в равновесном состоянии. Подобная
физическая картина напоминает обычные газодинамические
ударные волны, и при ее анализе можно заменить резистивные
слои скачками .и с помощью законов сохранения связать идеаль-
идеальные внешние решения по очбе стороны скачка.
Динамика типичного разряда, в токамаке, по-видимому, во
многом определяется развитием тиринг-неустойчивостей. На на-
начальных стадиях разряда двойной тиринг 'играет определенную
роль в быстром проникновении тока внутрь плазмы. Во время
разряда регистрируются .пилообразные осцилляции и осцилляции
типа обнаруженных С. В. Мирновым, которые, как понимают сей-
сейчас, тоже, по-вадимому, связаны с.развитием-тиринг-моды. Наб-
Наблюдаемая аномальная электронная теплопроводность возможно
тоже связана с небольшими магнитными островками, возникаю-
возникающими при развитии микронеустойчивостей. И, ¦ наконец-, мре&коё
прекращение разряда (общий срыв разряда)-.зависит главным об-
образом от развития тиринг-цеустойчивостиг Таким'образом, иссле-
исследование этой неустойчивости-совершенно необходимо для'понимав
ния поведения длазмы в современных термоядерных установках^
Во введении содержатся предварительные замечания, касаю-
касающиеся существования магнитных поверхностей, взаимосцепленно*
сти движений плазмы и магнитного поля , иг ослабления этого
жесткого взаимозацепления из-за конечной скалярной проводи-
проводимости плазмы. ; • - / • '• .
Затем дан обзор линейной теории пересоединения для случая
плоского токового слоя, в котором могут развиваться три основ-
основные моды: рипплинг-неустоичивость, гравитационная перестано-
перестановочная мода и тиринг-мода. Далее вычисляется энергия магнит-
магнитного поля—источника энергии, поддерживающего развитие ти-
ринг-моды. Существует ли такой источник (и, следовательно, ус-
устойчива ли тиринг-мода) зависит от глобальной геометрии всей
конфигурации. В разд. 2 введены необходимые понятия для ана-
:527
лиза тиринг-неустойчивости для случая цилиндрической геомет-
геометрии. Уравнения, определяющие эволюцию тиринг-моды в токама-
ке, получены в низшем порядке по параметру е (обратному ас-
пектному отношен.ию (см. п. 2.1). Дифференциальные уравнения
для анализа линейной устойчивости этих мод и укороченные
уравнения для .изучения нелинейной эволюции мод заданной спи-'
ральной структуры рассмотрены в п. 2.2. Тиринг-мода в торои-
тороидальных установках тесно связана с винтовой модой, возникаю-
возникающей уже в рамках идеальной магнитогидродинамики, и эта взаи-
взаимосвязь отчетливо прослеживается при выводе выражений для
линейных .инкрементов тиринг-мод с полоидальными числами
т>2 (п. 2.3) и моды с т=19 имеющей совершенно отличнук>
структуру (см. п. 2.4). В конце п. 2.5 выведены уравнения, опи-
описывающие нелинейную связь различных мод и влияние конечно-
конечного давления плазмы.
В разд. 3 проведен обзор нелинейной теории тиринг-неустой-
тиринг-неустойчивостй и рассмотрено приложение этой теории .к исследованиями
на тороидальных установках для магнитного удержания плазмы*
В разд. 4 рассмотрена нелинейная динамика неустойчивости и1
приведено краткое описание используемых аналитических и чис-
численных методов. В этом же разделе разобран переход от экспо-
экспоненциального к алгебраическому росту, который происходит, коп-
да толщина острова превышает толщину тиринг-слоя; обсужда-
обсуждается насыщение неустойчивости, осуществляющееся в случае, ког-
когда ширина острова уже сравнима с характерным масштабом, оп-
определяемым широм магнитного поля. Этот масштаб, как правило,
зависит от размеров самой установки, т. е. на этой стадии имеет
значение уже «и общая геометрия всей системы. Нелинейная ди-
динамика моды с i/n=l (см. п. 3.4), рассматриваемая полностью,,
отличается от динамики мод с т^2. В п. 3.5 рассмотрены также
множественные тиринг-моды и применимость полученных резуль-
результатов нелинейной теории к интерпретации экспериментов на уста-
установках по магнитному удержанию плазмы. В конце раздела об-
обсуждаются другие нелинейные методы, используемые при исследо^-
ваниях тиринг-неустойчивостей. Здесь рассмотрены стационарные
задачи с включением стоячих и ударных волн, применимость
адиабатических методов для медленно меняющихся процессов,,
замена тиринг-слоеоз бесконечно тонкими скачками и использова-
использование инвариантов для описания резистивной эволюции шгдамен-
ных распределений.
В разд. 4 разобрано влияние фона малых магнитных остров*
ков на общие свойства плазмы и ее магнитное удержание. Здесь
же рассмотрен переход к эргодическому поведению силовых ли-
линий и геометрические характеристики полей, уже ставших эрго-
дическими. В конце раздела обсуждается влияние эргодичности
на процессы переноса в плазме. В работе использована рациона-
рационализированная гауссова система единиц с с=\.
2. Магнитные поверхности и взаимосцепленность движений плазмы и маг-
магнитного поля. Существование магнитных поверхностей в установках для маг~
523
нитного удержания плазмы (или, по крайней мере, существование приближен-
приближенных магнитных поверхностей в большей части объема, занимаемого плазмой)
необходимо для достаточно продолжительного удержания плазмы. Магнитные
поверхности существуют, однако, при достаточно жестких условиях j[U]. Из-
Известно, что они существуют во всей системе (за исключением, быть можег,.
небольшой ее части) только в симметричном или приближенно симметричном
случае. Это легко показать на примере цилиндрической геометрии для транс-
трансляционной, аксиальной и спиральной симметрии. Выразим магнитное поле через
векторный потенциал B = VXA. Магнитные поверхности определяются следу-
следующими соотношениями: Az(ry 9)=con.st — в случае трансляционной инвари-
инвариантности А вдоль оси z\ гАв (г, z) — const — в случае независимости А от 8
и Az(ry 6—az)+aMe (г, 8^-az) = const, когда А спирально инвариантна, т. е.
зависит только от г и комбинации 9—az. Легко проверить^ что вектор В ка-
сателен к поверхностям, определяемым этими уравнениями. В соответствии с
теоремой Колмогорова [2] при учете малых отклонений от симметрии регуляр-
регулярные магнитные поверхности сохраняются почти во всем объеме, за исключе-
исключением малой области (размеры этой области пропорциональны, величине воз-
возмущения), в которой магнитное поле приобретает стохастический характер.
Возникновение стохастичности в системе подробно обсуждается ниже.
Магнитные поверхности существуют также в окрестности замкнутых си-
силовых линий. Будем считать, что особая точка находится в начале координат
T=s(x, У)—®, т. е. Bj_(Bx, By)=0 для 0<z<L. Предположим, что на поле-
наложены периодические граничные условия В(х, #, O)*=B(jc, у, L)* Б окрест-
окрестности г=0 уравнение для силовой линии имеет вид:
Считая, что VBj_^=0, аппроксимируем эту величину ее значением при г=0,
получаем линейное дифференциальное уравнение для г с периодическими по z
коэффициентами. Предположим, что мы нашли два решения этого уравнения:
T\(z) и r2(z) с начальными значениями гх@) == A, 0), г2@) = @, 1). Тогда реше-
решение для задачи с начальными условиями r@) = (a, by имеет вид: г=аг!(г) +
+Ьг2(г). Проследим за последовательным прохождением силовой линии через,
цилиндр» В итоге после п прохождений придем к конечно-разностному урав-
уравнению для координат (*я, уп) вектора
где aij— [i*i(L), r2(L)]. Из условия VB = 0 находим, что det(atj) = l. Испы-
Испытаем в качестве решений функции хп = С{кпу Уп = С2%п. Подставив их в B),
найдем характеристическое уравнение
Общее решение B) определяется через корни уравнения C) следующим об-
образом:
*п = «Л? + «t>5; Уп = КЩ + ь^ D)*
Форма траектории определяется значением следа тензора aZj. Если
|ац+а22|<2 и cos ji=(an+a22)/2, то решения C> примут вид X'i,-a=exp(±i|i).
Типичная траектория определяется соотношением*
хп = a cos (\in); уп = Ъ sin* (\in), E)*
а особая точка оказывается эллиптической. Поверхность, описываемая E), в
зависимости от того, можно ли \х представить в виде^ щ (q — любое рацио-
рациональное число), оказывается дискретной последовательностью точек или эллип-
эллипсом, плотно заполненным точками.
Если |ац+а22|>2 и ch jj,= (ац+а22)/2, точ решения* C),- при этом приоб--
529*
$етут вид ^i,2=:exp(+|Ji). Типичная траектория в этом случае принимает фор-
форму:
хп = a ch (\1п); ул = 6 sh (jx/i) F)
и особая точка оказывается гиперболической. В обоих случаях поверхности
хорошо определены. Линеаризуя Bj_b окрестности г = 0, мы предполагаем, что
сумма по более высоким гармоникам не разрушит найденные нами поверхно-
поверхности. Это было показано в C и 4], авторы которых доказали, что нелинейные
члены ведут только к появлению зависимости координат от X, т. е. к иска-
искажению, но не разрушению поверхностей.
Для определения степени разрушенности этих поверхностей надо иссле-
исследовать неустойчивости, ведущие к пересоединению магнитных полей. Впервые
такая задача была подробно рассмотрена в E]. В этой работе обобщены так-
также многие частные результаты, полученные в то время различными авторами.
Позднее аналитические результаты E] были подтверждены расчетами, приве-
приведенными в [6]. Много упрощающих предположений было принято в этих рас-
расчетах: использовалось гидромагнитное приближение, закон Ома был взят в
упрощенной форме ?+uxB=r]J, где ц—скалярное удельное сопротивление [7].
Здесь мы не будем рассматривать влияние кинетических эффектов и раз-
развитие резистивных мод в бесстолкновительной плазме. Этим проблемам в на-
настоящее время посвящен целый ряд работ {8—12].
Из уравнений Максвелла
dB/dt = — ух Е, VXB = J
и закона Ома находим:
дВ
-^- = (BV) u - (uv) В - В (Vu) - vXri (VXB). G)
Для т]=0 выражение G) описывает конвекцию (первый и второй члены в пра-
правой части) и сжатие (третий член) магнитного поля вместе с плазмой. Что-
Чтобы проиллюстрировать основные свойства G) при решении задачи о гидроди-
гидродинамической устойчивости, рассмотрим перестановочную моду {13].
Рассмотрим возмущения вида
в плоской равновесной конфигурации
Bo=xB^xo(y)+zBzo(y). (9)
Положим г] = 0, тогда для ^-компоненты уравнения G) получим простое вы-
выражение
yByi = i(k.B0)uyi. A0)
Если вектор Во не меняет своего направления в пространстве, можно со-
юриентировать вектор к так, чтобы к-В0 = 0. В этом случае возмущения (8)
не будут искажать магнитное поле, так как для них Ву\ окажется равным ну-
нулю. Простое перемещение невозмущенных магнитных силовых линий в плос-
плоскости у не изменяет энергии магнитного поля. Таким образом, мы получаем
известный результат о нейтральной устойчивости жидкости относительно пе-
перестановочной моды в плоском магнитном поле, имеющем одно и то же на-
направление во всем пространстве.
Рассмотрим теперь более общий случай магнитного поля, в котором нап-
направление Во зависит от одной координаты, например у. При любом выборе к
можно разделить Во на компоненту Во_1_, ортогональную к, и компоненту Во ||
лараллельную к. Заметим, что условие VB = 0 выполняется для B0j_ и В ц не-
независимо, так что можно рассматривать их как отдельные магнитные поля.
Поведение компоненты Boj_ при перестановочном возмущении не; отличается от
поведения Во в рассмотренном выше случае, когда отсутствовала зависимость
Во(у). Таким образом, компонента Bo_L не влияет на устойчивость. Компонен-
Компонента Во || появляется в A0) и ее наличие приводит к тому, что любое переста-
перестановочное возмущение генерирует компоненту Ву и тем самым увеличивает маг-
.530
нитную энергию системы. В этом смысле конечный магнитный шир стабили-
стабилизирует слабонеустойчивые перестановочные моды, т. е. неустойчивости в жид-
жидкости с градиентом плотности дро/ду в слабом гравитационном поле, направ-
направленном вдоль оси у. В идеальнопроводящей жидкости, где движения плазмы;
и поля взаимозацеплены [см., например, A0)], необходима конечная дестаби-
дестабилизирующая сила, чтобы преодолеть стабилизирующее влияние шира магнит-
магнитного поля.
Рассмотрим теперь, насколько конечная проводимость жидкости может
повлиять на это взаимозацепление. Нет необходимости рассматривать расцеп-
расцепление движения жидкости и компоненты поля B0_L, так как она не влияет на
течение, и поэтому мы можем ограничиться рассмотрением лишь компоненты
Во || . Так как (dh/dt)=—AXE, то достаточное условие расцепления движений1
жидкости и магнитного поля приобретает простой вид: Ех=0. В этом случае
B
# UiXBn,,
из закона Ома имеем ji= —i- , что в свою очередь указывает на появ-
ление возвращающей силы F1 = jjXВо ц с «/-компонентой
В случае г)—>-0 находим, что —Fy\lu>y становится бесконечной везде, кроме*
точек, где поле В 0 ц обращается в нуль. Это, естественно, согласуется с тем,
что (как мы отмечали выше) невозможно тождественно удовлетворить ра-
равенство Byi = 0. Однако для любого конечного г) вокруг каждого из нулей В0 ц
имеется область конечных размеров eL, в которой возвращающаяся сила ока-
оказывается пренебрежимо мала. В этих областях жидкость движется независимо*
от магнитного поля и может проскальзывать относительно него. Ширину та-
такой области пересоединения, связанную с инкрементом неустойчивости, мож-
можно найти для каждой из рассматриваемых мод. Силы, совер'шающие работу
над жидкостью, имеют мощность
= -гу (JXB) =
Здесь мы приняли В\\**В'гЬ. В общем случае длина волны неустойчивости
значительно превышает толщину гЬ и, следовательно, основной вклад в энер-
энергию дает кинетическая энергия жидкости в направлении к. Приравняв ско-
скорость изменения этой энергии со временем и мощность A1), поддерживаю-
поддерживающую развитие неустойчивости, найдем:
и, следовательно,
гЬ
Имеется два временных масштаба, связанных с резистивным пересоединением:
идеальное магнитогидродинамическое время хА, пропорциональное р1/2, и ре-
зистивное время Тя, пропорциональное г\~1. В большинстве представляющих
интерес случаев их отношение 5= (xR/rA) ~ \/(г)рЧ2) очень велико. Мы уви-
увидим, что инкремент неустойчивости, который определен ниже, оказывается про -
порционален S^r] (где р — некоторая дробная степень) и, следовательно, в
соответствии с A2) толщина области пересоединения должна быть очень мала.
Для случая плазмы в токамаках, где имеется сильное тороидальное маг-
магнитное поле, справедливо приближение несжимаемой жидкости. В пренебре-
пренебрежении вязкостью и омическим нагревом уравнение движения имеет вид:
da
где р — плотность плазмы; g — гравитационное ускорение. Пренебрегая мед-
медленными движениями с временным масштабом порядка времени резистивной
531
.диффузии, будем считать, что в начальном состоянии плазма покоится цо=О.
Влияние равновесного потока на инкремент развития неустойчивости исследо-
исследовалось в [14].
Всего в токовом слое удается найти три основные моды неустойчивости:
.длинноволновую тиринг-моду, соответствующую разрушению токового слоя
вдоль токовых нитей; коротковолновую рипплинг-моду, соответствующую по-
появлению ряби (rippling) в токовом слое из-за протекания тока через области
€ градиентом проводимости, и гравитационную перестановочную моду.
В этом обзоре рассмотрена тиринг-мода, для которой гравитационные эф-
.фекты несущественны. Наиболее неустойчива тиринг-мода для длинноволновых
.возмущений, и поэтому она может играть определяющую роль в глобальной
устойчивости магнитного удержания плазмы.
1. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЛОСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
1.1. Рипплинг-мода неустойчивости. Развитие рипплинг-неус-
тойчивосш вызывается тем, что при протекании тока через обла-
области с неоднородной проводимостью происходит его локальная ка-
канализация. Изменение проводимости можно учесть, несколько
модифицируя закон Ома:
XB, A4)
где ц\ представляет собой конвективную добавку к проводимости
гI=—{u/y)W\r\o. Внутри сингулярной области Е=0 и с членом
т)ь стоящим в правой части уравнения A4), оказывается связа-
связана сила Fd=j1xB=(u-Vr]o/7'no) • (JoXB), которая меняет свое на-
направление .на сингулярной поверхности. Следовательно, сила Fd
оказывается стабилизирующей на стороне с брльшим удельным
сопротивлением и дестабилизирующей на той стороне от сингу-
сингулярной поверхности, где удельное сопротивление меньше. Неус-
Неустойчивость возникнет в случае, когда область нарушения вморо-
женности магнитного поля в плазму лежит с той стороны от син-
сингулярной поверхности, где удельное сопротивление меньше, и тол-
толщина этой области гЬ оказывается такова, что мощность, поддер-
поддерживающая развитие неустойчивости,
A5)
доминирует над работой Р, совершаемой над жидкостью. Срав-
Сравнивая уравнения A1) и A5), находим:
8L=t|Vy. A6)
И, наконец, используя уравнение A2), получаем:
Для рипплинг-моды наиболее быстро растут коротковолновые
возмущения.
1.2. Гравитационная перестановочная неустойчивость. Эта мо-
мода неустойчивости развивается в неоднородной плазме при нали-
532
•чии гравитационного поля вдоль оси у. Движущая развитие не-
неустойчивости сила имеет вид:
Fd=pig=— uyp'og/yy A8)
она оказывается дестабилизирующей, если g направлено в сто-
сторону уменьшения плотности и плазмы. Сопоставляя uyFd с выра-
выражением, стоящим в правой части A1), находим:
A9)
Отсюда получаем окончательное выражение:
/%'в / т\ \1/2\2/3 2/3
Эта мода также наиболее неустойчива для коротковолновых
возмущений.
1.3. Тиринг-мода неустойчивости. Теперь определим, с какой
^скоростью происходит рост магнитных островов в случае плоской
геометрии <[5]. Будем считать, что равновесное магнитное поле
является стационарным, а все возмущения исчезают вдали от
•сингулярной поверхности. Выберем исходное магнитное поле
в виде
By0=BF(x); BZ*>B\ Бх0 = 0, B1)
где нечетная функция F(x)=k-B0/kB0^x для х<С\ и F(x)-*~l
для х^>1. Влияние несимметричности токового слоя рассмотрено
в [15]. Расстояние х от сингулярной поверхности нормировано на
толщину токового слоя Ь~1= A/В) (дВу/dx), а магнитное поле Bz
постоянно во всем пространстве. В начальном состоянии плазма
неподвижна ио=О.
Для мод, распространяющихся в ^/-направлении, сингулярная
¦поверхность совпадает с плоскостью л:=0 (см. выше).
Используя уравнение Максвелла V-B = 0, введем функцию
магнитного потока ty(xy у)
. B2)
Скалярная функция г|? удовлетворяет условию B-V^ = 0, т. е. век-
вектор В направлен по касательной к поверхностям г|) = const. Ис-
Используя закон Ампера VxB = j, получаем:
V2ii> = -/z. B3)
Упрощенная форма закона Ома имеет вид:
E+uXB=r}j. B4)
Проектируя уравнение B4) на ось z и используя закон Фарадея
VXE = — (dB/dt)> находим для ty:
oK|V<3^u-V)xj) = r]V2i|)+?, B5)
где Е — произвольное наложенное извне постоянное электричес-
электрическое поле, которое в дальнейшем мы будем считать равным нулю.
533
Уравнение для скорости мы най-
найдем, действуя оператором z-Vx на
уравнение движения
pduAft=JXB —Vp, B6)
где под d/dt понимается конвективная
производная d/dt^d/dt + u-V. Учиты-
Учитывая несжимаемость плазмы в плоско-
плоскости х—у (имеется сильное поле Bz),
введем потенциал поля скоростей Ф^
где
и получим для Ф уравнение
Сепаратриса
Таким образом, мы приходим
к системе двух дифференциальных
уравнений в частных производных
второго порядка для неизвестных
скалярных потенциалов Ф и if». На-
Начальное состояние полностью описы-
описывается условиями г|/о(*) =BF(x) и
Фо = О. Начальный профиль плотности
тока задается соотношением /z0 =
= —г|/'о. Линеаризуем теперь уравне-
уравнения B5) и B7), вводя возмущения, взаимодействующие с плазмой
в окрестности сингулярной поверхности х = 0. Запишем:
х - точка
Рис. 1. Магнитный остров. По-
Показаны поверхности if)=const.
Толщина острова равна рас-
расстоянию между сепаратрисами,
отложенному вдоль перпенди-
перпендикуляра к невозмущенной по-
поверхности магнитного потока
Ф (х, У) =
Ф(х, у) =
cos
Г)
B8).
где предполагается, что tyi(x) и Ф\(х) меняются со временем как
ехр(^)- На рис. 1 изображена возникающая в результате разви-
развития неустойчивости цепочка магнитных островов, образованных
магнитными поверхностями ip = const.
Функция \f> на сепаратрисе в нейтральной точке X равна tys =
Приравняв теперь ty(x> У) этому значению в точке у=0 и раз-
разложив tyo(x) в ряд Тейлора в точке х=0, найдем выражение для
толщины магнитного островка
Ц7=4 (—-фх/гро^)J /2. B9)
Подставляя B8) в уравнения B5) и B7), приходим к системе
двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго поряд-
порядка для \|)i (х) и <Di (x):
(х) -F(x)Ol (x) = A/ytb
- k2^ (x)]; C0>
534
-F"(x)ty(x). C1)
Здесь {...)f=d/dx\ тА = р1/2/(&?), tH=L2/r| — соответственно ха-
характерные альвеиовское и реаистивное времена, возникающие в
задаче. Для решения системы C0), C1) сделаем некоторые уп-
упрощающие предположения, которые обоснуем лиже. Допустим,
что инкремент неустойчивости имеет промежуточное значение
между идеальным магнитогидродинамическим и резистивным:
Кроме того, будем считать, что неидеальная проводимость плазмы
существенна только в узком слое хг<С1, где собственно и проис-
происходят разрыв и пересоединение силовых линий.
Рассмотрим сначала внешнюю область, где проводимостью
можно пренебречь. Допустим, что характерный масштаб решения
порядка шировой длины, и, считая утА<С1, придем .к уравнениям:
)-k*(ty)]=F'%. C2)
В частном случае F(x)=thx уравнение C2) имеет решение
-фх (х) = exp (=Fftx) [ 1 ± (th x) /k]. C3)
Верхний (нижний) знак соответствует х>0 (х<0). Итак, функ-
функция oJ)i(jc) оказывается симметричной относительно х=0. Функ-
Функция ty\(x) имеет в точке *=0 разрывную производную, и мы сра-
сразу можем найти величину скачка производной
-ft]. C4)
Величина А' положительна для sfe<l, т. е. в случае, когда широ-
вая длина мала по сравнению
Решение для функций ty\{x),
Ф\(х) во внешней области пред-
представлено на рис. 2. Теперь ре-
решим полную систему уравнений
во внутренней области с учетом
конечной проводимости и затем
сошьем решения на границе.
Учитывая, что хт<1, считаем
(во внутренней области) F(x)~
я*х. Кроме того, исходя из ха-
характера решения во внешней
области, положим ty\(x) B0 внут-
внутренней области приблизительно
постоянным (приближение по-
постоянного \р), хотя изменения
производной i|/i естественно
должны быть учтены. Так как
jcT<Cl, можно считать г|У
с длиной волны неустойчивости.
0,5
Рис. 2. Внешнее решение для потока
-фх и потенциала поля скоростей ф1
для Л' ^ 0. Использована модель
F(x) = thx
535
ь Упростив таким образом, уравнения C0) и C1),,
получим:
ipi@) — rt>i = b"/Y*R\ C5)
y*%2A<l>l" = —X$l". C6)
Необходимое условие сшивки решений для внутренней и внешней
областей получим, проинтегрировав C6):
Ф,@)
\-2*-Лс = Д\ C7),
J x v ;
—оо
Допущения об асимптотическом поведении Ф\(х), сделанные в C7)
для того, чтобы распространить интегрирование на бесконечные
пределы, будут обоснованы ниже. Сходимость интеграла C7) га-
гарантирует, что ,в асимптотике решение ty\(x) для внутренней об-
области имеет постоянный наклон и, следовательно, его можно*
сшить с решением для внешней области.
Введем для удобства новую переменную z
Тогда для «функции Oi = — (tb/yt2aI/4(i|)i@)%B) , комбинируя урав-
уравнения C5) и C6), .имеем:
х"-г'х=*. C8>
Уравнение C8) имеет известное решение |[16]
it/2
X = ^\ ^Ф sin1/2 ф exp j '•
о
1
Bа/2) ух /1 2\—1/4 /ОЛч
в чем легко убедиться непосредственной подстановкой.
Решение C9) нечетно и асимптотически стремится к —A/z)..
Условие сшивки при этом принимает вид:
fi ш ,/2 [Af=A, D0)
На pine. 3 изображено численное решение C8), а выражение-
%"/z9 стоящее под интегралом в уравнении D0), приведено на
рис. 4. С точностью до постоянного множителя D0) уже дает ве-
величину инкремента
Отсюда видно, как и предполагалось выше, что yxR~s2/5^>l, a
53/51 Ошибка, возникающая при обрыве интервала ин-
536
UlX
0,75
0,50
0,25
0
-0,25
- \
- \
\
\ ___
tiii
Рис. З. Внутреннее решение для по-
потенциала поля скоростей %
Рис. 4. Выражение, стоящее под ин-
интегралом D0) в условиях сшивки
для внутреннего и внешнего реше-
решений. Основной вклад в интеграл D0)
набирается в области г<2
тегрирования в D0) в точке г=2, как можно заметить, невелика,
и поэтому мы определим величину xT = 2(yx2A/rR)i^ как толщину
тиринг-слоя. Характерный масштаб толщины тиринг-слоя, таким
образом, составляет S~2/5 от шировой длины. Более подробно о
физическом смысле этого параметра речь пойдет ниже. Для того
чтобы найти коэффициент, стоящий в D1), вычислим интеграл
оо
/= J (dz/z)%". Подставляя в D1) выражение C9) для %, полу-
—со
чаем:
00 1
=-L Jrfz j"d|* A
- zV) exp (-
D2)
—oo 0
Интегрируя сначала по z, находим, что / сводится к интегралу
1
/==(я/2I/2 fd\i\il'2/(l—|я2I/4. Отсюда сразу находим /=
= яГC/4)/ГA/4). Теперь окончательное выражение для инкре-
инкремента неустойчивости приобретает следующий вид:
"~~ \ пТ C/4) )
4/5 __3/5 -2/5
D3)
Рассматривая C4) для А', увидим, что шир магнитного поля ста-
стабилизирует развитие неустойчивости. Иначе говоря, для случая
тиринг-моды наиболее неустойчивыми оказываются уже длинно-
длинноволновые возмущения. Заметив, что
yTRxTtt2A'L\ D4)
и подставив это соотношение в формулу для хТу найдем:
1/5S/5. D5)
На рис. 5 показано, каким возмущенным магнитным полям и дви-
движениям плазмы соответствует линейное развитие тиринг-неустой-
чивости.
537
Рис. 5. Картина магнитных полей и движений плазмы, возникающих в первом:
порядке теории возмущений при линейном развитии тиринг-неустойччвости
1.4. Магнитная энергия тиринг-моды. Ниже на примере плоской конфигу-
конфигурации посмотрим, как уменьшается магнитная энергия системы при формиро-
формировании в ней магнитных островов [17]. Энергия, выделяемая при формировании
островов, пропорциональна А'. Хотя и происходит некоторый энергообмен с
внешней областью, полный вклад от нее равен нулю.
Изменение магнитной энергии A/2) j \B\2dxdy с точностью до величин
второго порядка малости определялось следующим образом:
М = A/4) J dx
D6)
Здесь
, У) = 'Фо
cos 2ky,
а линейные по tyi(x) и ^(х) члены в D6) пропадают при усреднении по yv
Найдем теперь грго (-^). Усредняя по у члены второго порядка малости, входя-
входящие в B5), получаем в этом же порядке
2Ф20М+у
D7)
где г\ для простоты взято постоянным (можно показать, что члены, пропорцио-
пропорциональные Vt], пренебрежимо малы). Решение уравнения D7) имеет вид:
где
Ф20= —"оГ
K(*r)
D8).
х') ф х
Л/2
538
Найдем теперь асимптотическое выражение для функции D8)
*..(*) —+¦?-(*?*)• <«»
К этому же соотношению можно прийти,) пренебрегая г\ в D7). Однако в от-
отличие от решений для tyi(x) и Ф\(х) во внешней области выражение D9)
справедливо только при *> (xTjlSf)xi2, т. е. за пределами скин-толщины токо-
токового слоя, и его нельзя применять в окрестности х~Хт. Чтобы оценить изме-
изменения магнитной энергии М, рассмотрим сначала последнее слагаемое в D6)
оо
М3 = ( Ф',Ф'„Лс. E0)
—оо
Разделим выражение для М$ на две части
8
Мг= -2J xV2Odx + — J F -^(-jr-J, E1)
0
где (xr/A')V2<e<Cl. Будем считать, что во внутреннем интеграле F(x)^xr
а во внешнем используем асимптотическое выражение D9) для i|Jo(#). Ин-
Интегрируя по частям, находим полное изменение магнитной энергии
оо
М = -\- Г dx [(Ф',J + кЦ\ + (F"/F) ФМ + R. E2)
—оо
Интегрируя первый член по частям, получаем, что выражение E2) равно
(—1/4)А/'ф21@). Далее остаток \R\ <AVi(C) при условии 8>а:^/3/(Д/J/3- Это
означает, что асимптотическая форма 1|Jо> использовавшаяся при х>е, непри-
непригодна для е>л;г1/3/(Л'J/3- Таким образом,
М = — Д'г|J@)/4. E3)
Плотность магнитной энергии во внутренней области можно оценить непосред-
непосредственно. Продифференцировав D8), получим:
ЛГ=-^Г \dx>exp(-«\x-x>\)-^rTK(x>). E4)
—00
Интегрируя теперь E4) дважды по частям, находим:
*(*). E5)
Члены порядка ах, которые малы при х<хт, в уравнении E5) отброшены.
Плотность магнитной энергии, следовательно, определяется выражением
E6)
что в точке х = хт равно (A7*r)^i2@). Полное изменение магнитной энергии
в области |x|<xT, таким образом, имеет вид:
М (хт) » -.-^- ф1 @) J хФ1 (х) dx. E7)
539
Рис. 6. Изменения в плотности магнитной энергии, связанные с развитием' маг-
магнитного острова. Здесь же показана расходящаяся кривая (участок кривой вы-
выделен толстой линией) для плотности магнитной энергии, которая получена-
при использовании асимптотического выражения для ty2o для малых х. Плотность,
магнитной энергии получена при применении вариационного принципа к полной
резистивной системе уравнений (показана пунктирной линией)
С помощью C5) найдем М(хт)=——A'i|)i2@), что оказывается в 6 раз больше1
полного изменения магнитной энергии. На рис. 6 схематически изображена за-
зависимость изменения плотности магнитной энергии от х, найденная по фор-
формулам D6) и D8). Кроме того, на рис. 6 показана расходящаяся зависимость,
плотности магнитной энергии, получающаяся, если использовать внешнее ре-
решение для г|Jо(*) при х<г.
Автор [13} нашел квадратичную форму, которая позволяет применить ва-
вариационный принцип для полной системы уравнений с учетом конечного соп-
сопротивления. Он показал, что вклад, даваемый этой формой внутри тиринг-
слоя, оказывается пренебрежимо мал, а во внешней области выражение для»
этой квадратичной формы имеет вид:
00
^о=-о-
E8>
что совпадает с E2) для М. Результирующая плотность энергии Dv также
изображена на рис. 6. Видно, что Dv хорошо согласуется с плотностью маг-
магнитной энергии для больших х. Кроме того, полное, проинтегрированное по х
значение этой величины также равно —A'i|)i2@)/4, хотя для малых х Dv ведет
себя совершенно иначе, чем плотность магнитной энергии. Квадратичная фор-
'ма Vo отличается от энергии IFoo, введенной Бернштейном и др. [18] для;
идеального случая т) = 0, на сингулярное слагаемое Woo = V0 + F'(e)tyl2@)/[2F(e)],
которое возникает при интегрировании по частям последнего члена в E8).
Полная скорость изменения энергии в объеме плазмы, заключенном в ин-
интервале а<х<.Ь, определяется скоростью изменения магнитной и кинетической
энергии. Полезно определить эти величины и показать, что их сумма равна
работе сил давления на граничных поверхностях и энергии, излучаемой через,
эти поверхности A7]. Не нарушая общности, можно предположить, что
<*<г<е< Ь.
540
Для кинетической энергии \/2ри2 сразу можно найти :
Ъ
dt
о
= 4" Y (Т2^Л) \ I (Ф'гУ+РФ^} dX.
E9)'
Интегрируя первый член по частям и используя уравнение E2),, находим:
Ь
F0)'
Поверхностный член в F0) опущен, так как он в у2х2А меньше того, который;
сохранен.
Изменение магнитной энергии определяется выражением
Ь
ЖМ = -Т f Wi
Интегрируя первое слагаемое в F1) по частям, а аатем- складывая кинетичес-
кинетическую и магнитную энергии, получаем:
b
Уг — /ггфх) dx —
ъ
-jL (К + М) = \
Первый член в правой части F2) пренебрежимо мал. Чтобы оценить второй/
член, стоящий в правой части, разобьем область интегрирования на два ин-
интервала соответственно х^& (e^>xl/2/A') и используем для л:>е внешнее реше-
решение для г|?2о- Интегрируя по частям, находим:
ь
С
J D^
d ( ф* \ Ф2", ЛЬ
F3).
Положим во внутренней области, что F~x, тогда, интегрируя оба слагаемых,
по частям, получаем:
8 8 8
W20dx. F4)
j
0 а а
Интегрируя выражение D7) и отбрасывая малый член
), находим:
F5)'
Используя условие xll2[Af<^s<.U получаем, что слагаемые, взятые в точке
*=е, как и следовало ожидать, можно отбросить. При этом имеем:
541'
¦|- (К+ М) =-*- [_4РФ2,-Г'
Рис. 6. Изменения в плотности магнитной энергии, связанные с развитием'маг-
развитием'магнитного острова. Здесь же показана расходящаяся кривая (участок кривой вы*
делен толстой линией) для плотности магнитной энергии, которая получена-
при использовании асимптотического выражения для гр2о для малых х. Плотность,
магнитной энергии получена при применении вариационного принципа к полной
резистивной системе уравнений (показана пунктирной линией)
3
С помощью C5) найдем М{хт)~——A'i[)i2@), что оказывается в 6 раз больше'
полного изменения магнитной энергии. На рис. 6 схематически изображена за-
зависимость изменения плотности магнитной энергии от ху найденная по фор-
формулам D6) и D8). Кроме того, на рис. 6 показана расходящаяся зависимость,
плотности магнитной энергии, получающаяся, если использовать внешнее ре-
решение для i|Jo(*) при х<е.
Автор [13] нашел квадратичную форму, которая позволяет применить ва-
вариационный принцип для полной системы уравнений с учетом конечного соп-
сопротивления. Он показал, что вклад, даваемый этой формой внутри тиринг-
слоя, оказывается пренебрежимо мал, а во внешней области выражение для'
этой квадратичной формы имеет вид:
V«=-
1
F"
E8)
что совпадает с E2) для М. Результирующая плотность энергии Dv также
изображена на рис. 6. Видно, что Dv хорошо согласуется с плотностью маг-
магнитной энергии для больших х. Кроме того, полное, проинтегрированное по х
значение этой величины также равно —A'i|)i2@)/4, хотя для малых х Dv ведет
себя совершенно иначе, чем плотность магнитной энергии. Квадратичная фор-
'ма Vo отличается от энергии Woo, введенной Бернштейном и др. [18] для*
идеального случая т) = 0, на сингулярное слагаемое W^oo = ^o+^'(e)'^i2@)/[2F(8)],
которое возникает при интегрировании по частям последнего члена в E8).
Полная скорость изменения энергии в объеме плазмы, заключенном в ин-
интервале a<x<cb, определяется скоростью изменения магнитной и кинетической
энергии. Полезно определить эти величины и показать, что их сумма равна
работе сил давления на граничных поверхностях и энергии, излучаемой через,
эти поверхности [Щ. Не нарушая общности, можно предположить, что
<Хг<&<Ь.
540
Для кинетической энергии 1/2фм2 сразу можно найти :
ъ
[(Ф'Л'+^ФМ dx.
E9)#
Интегрируя первый член по частям и используя уравнение E2),, находим:
Ь
d y С
—/С = -7Г \ ^ф [Ф^1 — ЬЦ,— (Fn/F) ф,I dx. F0I
Поверхностный член в F0) опущен, так как он в у2х2А меньше того, который^
сохранен.
Изменение магнитной энергии определяется выражением D6))
ь
1ГМ = -Т f Wi
F1)»
Интегрируя первое слагаемое в F1) по частям, а затем- складывая кинетичес-
кинетическую и магнитную энергии, получаем:
Ь
а
Ъ Ь
-L
- " f D/7+'
Первый член в правой части F2) пренебрежимо мал. Чтобы оценить второй/
член, стоящий в правой части, разобьем область интегрирования на два ин-
интервала соответственно х^г (ъ^>хх1г1Ы) и используем для х>г внешнее реше-
решение для o|?2o- Интегрируя по частям, находим:
Ь
С* Г d ( Ф2 \ Ф2" ЛЬ
J DWlf Ч-Ф^'Ф,) ^х = [ - F -^ (^у-J + F' y-Jg«
F3).
Положим во внутренней области, что F^x, тогда, интегрируя оба слагаемых.
по частям, получаем:
8 8 8
J (^Ф'а. + Ф^'Ф!) dx = 4x20 | - [4Ф2^Х. F4)
0 а а
Интегрируя выражение D7) и отбрасывая малый член (угя^'ф'го), находим:.
F5)'
Используя условие «'P/A'-Ce^l, получаем, что слагаемые, взятые в точке
*=е, как и следовало ожидать, можно отбросить. При этом имеем:
¦jg- (К + М) =-|- [_45Ф2в-РФ
F6)
54Г
Рис. 7. Вихревой ток
второго порядка мало-
малости, ответственный за
изменение магнитной
энергии при развитии мо-
моды и обусловливающий
ее нелинейный алгебраи-
алгебраический рост
В энергобаланс на поверхности дают вклад две составляющие — поток векто-
вектора Пойнтинга и работа сил давления.
Оценим поток вектора Пойнтинга
РХ=(Е1ХВ1)Х+(Е2ХВО)Х. F7)
Ez можно найти из B4), а \г — с помощью B3). При этом оказывается, что
EizBiy = Y*i4i cos2 ky; E2ZBoy = -
F8)
= v(- Wl cos2 ky + 2 AJ>20).
Работа сил давления из-за несжимаемости жидкости определяется на каждой
поверхности простым выражением рих. Чтобы оценить давление, пренебрежем
в B6) инерционным членом, малым как у2х2А по сравнению с остальными. При
этом V7P=(JXB) и
F9)
В F9) мы использовали C1), чтобы упростить выражение для JXB, и отбро-
отбросили малые члены порядка у2х2л- Совершенная работа в этом случае равна:
рих=
аи мы окончательно имеем
= — (VdS—
G0)
На рис. 7 показана возмущенная плотность тока второго порядка мало-
малости /z=—ij/^o. Физически этот ток возникает за счет члена UiXBi, причем
внутри тиринг-слоя он оказывается противоположен току /zo, но усиливает
•его во внешней области. Этот же нелинейный ток, индуцируя возмущения маг-
магнитного поля Ву, обусловливает изменение плотности магнитной энергии. Рас-
Рассматривая E5), видим, что при х=0
Ыг @) = - ЙС'(О) « - A'i|>J@)/D).
Здесь мы использовали полученное при численных расчетах значение
=—0,55 (см. рис. 3).
«512
2. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2.1. Разложение по малому параметру — обратному аспектно-
му отношению. Ниже рассмотрены уравнения, используемые для
анализа линейной и нелинейной динамики тиринг-неустойчивости
в тороидальных установках. Для исследования нелинейной дина-
динамики необходимо обсудить взаимодействие магнитных островов с
тиринг-слоем при учете влияния шира.
Как первоначально было отмечено в {19], идеальные магни-
тогидродинамические винтовые неустойчивости нарастают так
быстро, что тороидальность оказывает на них очень небольшое
влияние, .и с хорошей степенью точности их можно анализировать
в цилиндрическом приближении. То же самое справедливо и для
случая тиринг-моды, так как ее развитие в первую очередь опре-
определяется движущей ее магнитной энергией. Согласно )[20] при
очень малых т] тороидальность сказывается лишь в малом умень-
уменьшении инкремента тиринг-неустойчивости. Позднее в {21] допол-
дополнительно найдено, что в тороидальной геометрии устойчивость мо-
моды улучшается, т. е. у тиринг-неустойчивости появляется порог.
Запишем закон Фарадея
VXE=—<ЭВ/<Э? G1)
закон Ампера
VXB=j G2).
и закон Ома в упрощенной форме
E+uXB=r}j, G3)
а также уравнения движения B6). В первую очередь, динамика
тиринг-неустойчивости определяется профилем тока, но на нее
также влияют и профили давления, плотности и проводимости.
Если мы собираемся учесть одну или несколько .из этих зависи-
зависимостей, лам необходимо получить уравнения, описывающие эво-
эволюцию соответствующих величин. Однако, чтобы правильно рас-
рассмотреть изменения профиля
проводимости, нам пришлось
бы учесть теплопроводность,
омический нагрев, излучение,
неоднородности, а эта задача
лежит уже далеко за преде-
пределами настоящего обзора.
Геометрия задачи и ис-
используемые обозначения пере-
переменных показаны на рис. 8.
Токамаки характеризуются
параметром запаса по винто-
винтовой устойчивости
Рис. 8. Обозначения и геометрия для-
, тороидального поля
543-
^имеющим величину порядка единицы, и обратным аспектным от-
отношением
которое обычно много меньше единицы. По этому малому пара-
параметру и раскладываются уравнения, причем считается, что поря-
.док отношения плазменного давления ik магнитному не превыша-
превышает е [22, 23]
'Считая Др и q величинами порядка единицы, находим В±~О{г).
Величина дивергенции скорости Vu имеет порядок е3, что оказы-
оказывается важным, так как в этом случае магнитозвуковые колеба-
колебания уже не могут распространяться в системе, ,и наиболее быст-
быстрой модой становится несжимаемая альвеновская волна.
Порядок малости по 8 физических величин, описывающих маг-
:нитогидродинамические движения неидеальнопроводящей плазмы,
можно представить следующим образом:
G4)
)
Давление можно взять порядка г (трехмерные уравнения для
конечных р) или порядка е2 (двух- или трехмерные уравнения
для малых р). Здесь Vx= г-з—+9 ^-; индекс J_ в более
общем смысле определяет направление, перпендикулярное еди-
единичному вектору <р!
2.2. Уравнения для мод спиральной структуры. Значительного
успеха в решении задачи можно достигнуть, если ограничиться
анализом нелинейного развития возмущений определенной спи-
спиральной структуры: трехмерная задача в этом случае сводится к
двумерной [22]. Нелинейная взаимосвязь различных спиральных
мод не «грает существенной роли вплоть до конечной стадии (реа-
.лизующейся лишь при определенных профилях тока) возникно-
возникновения больших магнитных островов. Этот вопрос связан с раз-
развитием неустойчивости срыва в токамаках, он будет рассмотрен
ниже.
В цилиндрической геометрии для моды, имеющей спиральную
структуру, все величины являются функциями только трех пере-
переменных: т, г, it, где T=im0+?e; k = n/R$, а т «и n — соответственно
полоидальное и тороидальное волновые числа рассматриваемого
.возмущения f (r) ехр[1(т8+&г)]. Реальный тор заменен здесь эк-
эквивалентным цилиндром длины L = 2k/?o, а тороидальная коорди-
Рис. 9. Спиральная лен-
лента, ограниченная магнит-
магнитной осью и спиральной
линией mQ + kz = const,
г=const. На сингулярной
поверхности вектор маг-
магнитного поля касателен
к ленте
вата ф — координатой z=R®q). Спиральная форма рассматривае-
рассматриваемого возмущения позволяет исключить координату z с помощью
соотношения d/dz= (k/m) (d/dQ). Учитывая теперь условие \?В =
= 0, покажем, что для возмущений спирального типа В можно
представить с помощью скалярной функции ар (г, 0)
G5)
z ^ B$+B2z,
где гр(г, 8) —функция магнитного потока, причем В-уг|)=0. Для
цилиндрически симметричной конфигурации я|)(г) пропорциональ-
пропорционально потоку магнитного поля через спиральную полосу, натянутую
с одной стороны на ось цилиндра, а с другой — на спираль т=
= const, проходящую на расстоянии малого радиуса г от оси.
Чтобы доказать это, вычислим В-(rXh)/|rXh|, где h=
= z—(kr/m)Q — вектор, определяющий направление спирали
{рис. 9)
G6)
В-
и, следовательно, полный поток через полосу
= |rXh|
T
Если dty/dr-+0 в некоторой точке r=rsy это значит, что поле не
пересекает в этой точке спиральную ленту (касательно к ней).
Это условие и определяет сингулярную поверхность. Кроме того,
функция г|) связана с векторным потенциалом: 1|)=Л2—(kr/m)AQ.
Уравнение, описывающее изменения г|), можно получить с по-
помощью закона Фарадея i[cm. G1)]
* G7)
где ? — внешнее электрическое поле. Закон Ампера связывает
^-компоненту электрического тока с функцией г|э [см. G2)]
lz = -V2ty -^Г"- G8)
18 Зак. 137 545
Допущение несжимаемости жидкости опять позволяет нам ввести
потенциал поля скоростей CD(u = V(DXz), чтобы уменьшить общее
число переменных.
Подставляя уравнения G2) и G5) в уравнение движения и
сохраняя величины только наинизшего порядка по 8, получаем:
В1 (V | ФJ
— ~V-+-^+-2ljJ
G9)
Действуя на уравнение G9) оператором zVX> находим:
4 'i (V2^)] • (80),
Эти уравнения использовались в численных расчетах нелинейной
динамики тиринг-мод с т^2 [24—28] и т=1 [29—32] и для
теоретического анализа нелинейной эволюции мод с т^2 [33].
Обычно мода начинает развеваться вслед за тем, .как мы вна-
вначале возмутим начальное аксиально-симметричное состояние. Это-
начальное состояние определяется профилем тока j(r) или зави-
зависимостью д(г).
Используя определение параметра запаса q{r), получаем:
На сингулярной поверхности r=rs, г|/(гв)=О и q(rs)=m/n. Ис*
пользуя уравнение D3) и выражая результат через характерные
альвеновское тА и резистивное %R времена для рассматриваемого
случая плазменного тора
хА= [ (р) V2am/Bt] = [ (р) vWm/BR]; тл=а2/г],
а также учитывая, что k=n/R, F/=L~l = ^Q//y находим:
Y= [my"(r8) ]2 /5 (A^L /Чн /5тА-2 /5. (82)
р = Ро + Pi cosmQ;
Чтобы найти значение А' :и зависимость от радиуса остальных ве-
величин, входящих в линейную теорию, линеаризуем уравнения G7),.
(80) с помощью соотношений:
(83>
где предполагается, что все величины первого порядка меняются
как ехр^^ Исключая все неизвестные функции, кроме opi и ф^.
получаем:
YV • poVOi = {mlr) WoV2mtym — гпуф'"); (84)
Yi|?i+(m/r)\I}/o01=r]V2?ni|)i, (85>
545
где V2w==(l/r) (д/дг)г(д/дг) — (м2/г2). Считая, что y^a<1, нахо-
находим, что вдали от сингулярной поверхности
W^-^-j^. (86)
Устойчивость цилиндрической плазменной конфигурации относи-
относительно развития ти,ринг-моды полностью определяется в соответ-
соответствии с (82) величиной А'. Напомним, что А/ соответствует запа-
запасу свободной магнитной энергии для формирования магнитного
островка. В. Д. Шафранов [19] вычислил Л' для случая, когда про-
профиль тока имеет конечную ширину и не зависит от радиуса, а
позднее авторы [20], проинтегрировав (86) во внешней области,
детально исследовали зависимость А' от формы профиля тока.
Авторы '[20] ввели три типа профилей, которые они назвали за-
заостренные, скругленные и плоские, для которых параметр запаса
юписывался формулой
и значения р брались равными 1, 2, 4 соответственно. Из G8) и
(81) нетрудно получить, что ток, связанный с заданным профи-
профилем q, определяется соотношением
)#. <87>
которое в рассматриваемом случае сводится к выражению
Параметр г0 определяет ширину токового канала. В -качестве двух
свободных параметров точно так же можно выбрать значение па-
параметра q на оси и расстояние до сингулярной поверхности г9.
Заостренный профиль оказывается неустойчивым относительно
раскачки т=2 и т=3 тиринг-мод. Скругленный профиль явля-
является обычно еще более неустойчивым; моды с т=2, 3 развива-
развиваются для более широкого диапазона г„ чем в предыдущем случае,
и дополнительно неустойчивой становится также и мода с т=4.
Еще менее устойчивым оказывается плоский профиль. Если ./%-Я),
то A'-+f(m)/r8. Оптимизируя условия устойчивости системы выбо-
выбором соответствующего профиля тока, можно достичь одновремен-
одновременной устойчивости относительно развития всех мод [34]. В обзоре
{35] дана сводка результатов о границах устойчивости разнооб-
разнообразных профилей тока относительно возмущений с различными
значениями т.
2.3. Резистивная винтовая мода. Тиринг-мода и винтовая не-
неустойчивость плазмы со свободной границей, по сути дела, пред-
представляют собой два предельных случая одной и той же неустой-
неустойчивости. В случае идеальной винтовой моды магнитные острова
возникают в окружающем плазму вакуумном объеме и проявля-
проявляется только как возмущения границы плазма — вакуум. Если ва-
жуумный объем заполнить конечнопроводящей плазмой, резистив-
18* 547
ные эффекты ограничат темп магнитного пересоединения и соот-
соответственно (изменят скорость нарастания моды. Мы постараемся
подчеркнуть эту тесную взаимосвязь между модами в простом ли-
линейном расчете .инкремента винтовой резистивной неустойчивости'
[36], который приведен ниже.
Рассмотрим равновесную цилиндрическую конфигурацию, в ко-
которой область г<Г\ заполнена плотной плазмой с током постоян-
постоянной плотности. Область г>Т\у наоборот, заполнена .гораздо более-
разреженной конечнопроводящей плазмой, и ток по ней не проте-
протекает. Параметр запаса оказывается тогда постоянен при г<с.г\
и квадратичен по г для r>f\. Предположим, что сингулярная по-
поверхность лежит в разреженной резистивной области. Рассмот-
Рассмотрим уравнения (81), (85). Вдали от сингулярной области (r~rs)
резистивные эффекты в плазме несущественны и V\|?XV/Z = ©
или </z=/(a|)). Линеаризуя это соотношение, получаем:
И, следовательно, для равновесия с постоянным профилем тока
/i = 0, что вместе с уравнением G8) дает:
-гтг'^-^)*-0- <89>
Таким образом, задача нахождения функции i|)i(r) сводится к
сшивке решений уравнения Лапласа в трех примыкающих об-
областях: r<j/y, ri<r<re; rs<ir<,a. Чтобы найти скачок функции.1
ipi' в точке r=/*i, проинтегрируем уравнение (84) через поверх-
поверхность г=гъ связывая разрывы производных функций Фх и ipi:
Обращаясь к (85), находим, что вдали от сингулярной поверхно-
поверхности y\p\+{m(S)iQ/R)—0, где Q=[(l—q) — (n/m)]. Таким же об-
образом
// = 0, r</y, (91>
/R^O, r>rx (92)
и величина Q/=—2/(rg) сразу снаружи за токовым цилиндром.
Разрыв на сингулярной поверхности определяется параметром А'.
Представив решение уравнения (84) в виде
r<rt',
. гг<г<г3; (93).
, rs<r<a
и выбрав для простоты т/п—q@) <C (tn/n), найдем из условий
сшивки решений в точке г=г\\
L2-(m-
518
где x±=p±lrJ/(nBz) —характерные альвеновские времена во внут-
внутренней и внешней областях. Аналогично условия сшивки в точке
г=г8 дают:
А, _ (т/г8) { - h + hC2 [I - (rx/rs) **] - 1 + С2 [1 + (r./rs)^}
1—Ся[1 —(г^г^™] ~>
где /i=i[l ()][()]
Используя уравнения (94), (95) и учитывая, что параметр Д'
и оинкремент неустойчивости у связаны уравнением (82), можно
найти теперь значение у. Удобно .исследовать два предельных слу-
случая. В первом ,из них, положив тл->0 при фиксированном у, полу-
получим Д'=0. Отсюда, преобразуя уравнения (94) и (95), находим:
о / ТП
Т =[
2w2
[(r./e)-!] т»? Ч
(96)
что и дает искомое выражение для лнкремента винтовой неустой-
неустойчивости. В этом пределе развитие неустойчивости тормозится не
медленностью резистивных процессов, а инерцией центральной час-
части разряда. Во втором предельном случае будем считать, что ска-
скачок плотности при г=Г\ отсутствует. Тогда вне зависимости от у
c2=(m—nq)~\ и мы приходим к известному выражению для ин-
инкремента тиринг-неустойчивости (82). На рис. 10 изображена за-
зависимость инкремента от параметра S=xR/xA. Тесная связь меж-
между винтовой и шринг-неустойчивостями наталкивает на мысль
о схожести и их нелинейной динамики в случае, когда профиль
тока достаточно резко ограничен, и сопротивление плазмы вне
цилиндра, по которому протекает ток, достаточно велико [22].
2.4. Внутренняя резистивная винтовая неустойчивость. Внут-
Внутренняя винтовая мода, так же как и описанные выше поверхност-
поверхностные винтовые моды, имеет свой резистивный аналог. Напомним,
что идеальная винтовая поверхностная мода оказывается неус-
неустойчива только в случае, когда сингулярная поверхность к-В=0
попадает в вакуумное пространство.
Неустойчивость идеальной внутренней винтовой моды т=\
уже не связана с этим ограничением.
В зависимости от того, какова мода
в идеальном случае — устойчива, не-
неустойчива или находится в безразлич-
безразличном равновесии, совершенно различ-
различным будет и поведение моды, возни-
возникающей при учете конечности сопро-
сопротивления плазмы г]. В [37] линейный
инкремент неустойчивости найден из
общего расчета для всех этих трех
случаев.
Начнем С укороченной системы Рис. 10. Зависимость инкремен-
уравнений, полученной выше, спра- та резистивной кинк-моды от
ведливой в
по (kr/m).
параметра S. Изображены так-
наинизшем порядке же ИНкременты тиринг-моды ч
Обычным способом идеальной кинк-неустойчивости
549
линеаризуем эту систему, представляя искомые функции в виде
(r) +ijn (r) cos тб; Ф=Ф! (г) sin m0.
Кроме того, в качестве исследуемых функций удобно выбрать ради-
радиальное смещение элемента плазмы ig (г) =\[щг (г) /у] = (т/уг) Ф\ (г)
и радиальное магнитное поле •&(/¦)= — (m/r)tyx(r). Окончательно
получаем систему двух дифференциальных уравнений второго по-
РяДка _. l
(97>
г' V т dr аг ч
где мы использовали
V2(-rfcosm9) =i[A/r2) (d/dr)rZ{d/dr) — (m2—l)//-]/• cosm0.
Напомним, что ^ связано с параметром запаса равновесной кон-
конфигурации ^ (г) простым соотношением
- (99)
Воспользуемся стандартным методом, уже .обсуждавшимся выше,
пренебрежем отклонением плазмы от идеальности везде, за ис-
исключением узкого слоя, окружающего поверхность /•=/*,. Толщи-
Толщина этого слоя определяется в ходе вычислений.
Рассмотрим сначала внешнюю область. Для т]=0 уравнение
(97) сводится к соотношению
b = ^Z, A00)
подставляя которое в уравнение (98), получаем:
где g=[(m<tyo'J/r + py2r] (m2— 1). Легко видеть, что для т=\
правая часть уравнения A01) обращается в нуль, так что его
решение | (г) = const. Пренебрежем теперь ру2 по сравнению с
(f/mpoVJ B левой части уравнения A01). Получившееся диффе-
дифференциальное уравнение приобретает сингулярный характер
1['фо/(^з) =0] (И, следовательно, может «меть решения, разрывные
в точке r=rs. Таким образом, решение, удовлетворяющее гра-
граничному условию 1(а)=0 в наинизшем порядке по kr/m, имеет
вид:
**{Г)={о°' Гг>г*; (Ю2)
550
Не будем забывать, что выражение A02) справедливо лишь во
внешней области (т. е. там, где член, ру2 мал).
Заметим, что использовавшийся в разд. 1.3 подход, основан-
основанный на приближении const if), становится уже неприменим, так
как изменения | (и tyi) ПР|И переходе через внутреннюю область
оказываются того же порядка, что и сам.и эти величины.
Теперь мы должны решить уравнения (97) и (98) в окрест-
окрестности сингулярной поверхности г=г8 и сшить внутреннее решение
с внешним. Из-за того, что g тождественно обращается в нуль,
внешнее решение A02), .найденное в наинизшем порядке по кг/ту
оказывается невозможно сшить с внутренним. Необходимо найти
члены более высокого порядка малости в разложении внешнего
решения по малому параметру kr/m, обсуждавшемуся выше. Пред-
Представим решение A01) в виде'ряда l(r) =?o('0+?i (r) + — с пара-
параметром разложения кг/т. Чтобы найти ?i(r), надо вычислить g(r)
с точностью до членов порядка (kr/mJ. Вернемся для этого к
уравнению движения, линеаризуем его, тогда получим:
VA + JXB + jXB (ЮЗ)
Действуя на A03) оператором B-VX, получаем в правой части
B-V(j1XBo)+BV(joXB1). A04)
Напомним, что
Во = zBz - ^9 - (kr/m) в;
v = г (д/дг) + 9 A/г) E/E9) + z (д/дг).
Кроме того, подставляя в A01) jo=VXBo и ji = VXBi, где Bi=:
z? находим с точностью до членов порядка (kr/mJ:
(lUO)
Теперь, .интегрируя A01), можно найти решение gi во внешней
области
17
!
r(mV0)
dr, r<rs;
r, r>rs,
A07)
откуда очевидно, что около сингулярной поверхности г=г9
^
пх
где x=(r—rs)/r8
A08)
551
rs[mrsq'{rs)/q
i\ gdr. A09)
0
В A09) мы учли, что
я|)о"= (—q'/q) (kr/m) при r=rs.
Величина Яя, имеющая размерность обратной длины, определяет
эффективную ширину внешнего решения, найденного во втором
порядке теории возмущений.
Рассмотрим теперь внутреннюю область. ;В окрестности поверх-
поверхности х=0 для 5=Тя/тА>1 уравнения (97) и (98) можно уп-
упростить:
где Р = Ь(г) [m/ty0"), %=у%н\ х~*н— инкремент идеальной винтовой
неустойчивости плазмы со свободной границей, Тн=р1/2/'фо/'- Те-
Теперь найдей решение системы (ПО), которое можно гладко сшить
с внешним решением A07). Комбинируя уравнения системы (ПО),
находим для g уравнение четвертого порядка
г--«—т)б"-Я' = 0. A11)
Одно .из его решений ?'=0. Остальные три независимые решения
для больших | jc | ;имеют следующие асимптотики:
Обратившись к уравнению A08), легко понять, что пригодное для
сшивки внутреннее решение должно быть комбинацией только
первого (g = const) и второго (§=1/х2) из этих решений. Асимпто-
Асимптотическое поведение остальных двух решений зависит от ц и, сле-
следовательно, гладко сшить их с внешним решением невозможно.
Представим g в виде
o+iodd A12)
наложим на gOdd условие Нт(я2/2) (g'odd/godd) = — (W^t) при
и godd->W2.
Результаты решения (ПО) представлены на рис. 11, где вве-
введены обозначения x=xSl'z, p = p5!/3, X=^S1/3. На рис. 11,о^при-
11,о^приведены результаты расчетов зависимости функции |Odd от х для
различных значений X. При решении накладывались следующие
граничные условия: р@) = 1, gOdd@)=0 и величина dl@)/dx ре-
регулировалась так, чтобы было удовлетворено условие A09).^На
рис. 11,6 показана зависимость .инкремента неустойчивости Я от
552
hodd
-0,5
-7,0
-/,5
-2,0
-2,5
V а)
1 1
\0
7,2
—
-
1,0 1,5 Аи
Рис. 11. Зависимость нечетной части |—1/2^ решения в резистивной области
от х— (г—го) / (roS1/3) для различных значений нормализированного инкремен-
та K = XS^3(a). Характер собственных решений меняется при Я<1, что соответ-
соответствует случаю Ая<0. Зависимость инкремента неустойчивости от безразмерного
идеального МГД инкремента XH=XHS1/3 (сплошная кривая) (б). Все резуль-
результаты получены непосредственным численным интегрированием (ПО) и хорошо
согласуются с аналитическим дисперсионным уравнением A21)
идеального МГД-инкремента, измеряемого величиной Лн. Граница
устойчивости в идеальном случае (хн=0) дает Я=1, или X~S-43.
Если Ян>5~1/3, имеем Х==ХН, т. е. -инкремент совпадает с величи-
величиной инкремента идеальной винтовой неустойчивости.
Эти результаты можно получить и аналитически ;рассмотреть
четную функцию %(х)у которая является первым интегралом (ПО)
Отсюда
dx d%
оо
Кроме того, loo = 2 f (dx/x) (d%/dx) и
ние A08) при этом примет вид:
00
, 2 Г dx d%
Хоо — кН п J X ~1х>
A13)
A14)
A15)
. Уравне-
A16)
553
а система A10) преобразуется к дифференциальному уравнению
второго порядка для х-
Решим теперь это уравнение в трех различных случаях: Х
(неустойчивость в идеальном пределе), ^=0 (случай на границе
устойчивости), Ян<0 (устойчивость в .идеальном пределе). В иде-
идеально неустойчивом случае имеем:
Случаю на границе устойчивости соответствует %оо = 0, и решение
приобретает простую форму
x=_|oo(S-1/3/K2^)exp(-x2S2/3/2), A18)
при этом X=S~l/3. Для того чтобы найти общее решение, пред-
представим A17) в виде
где t,=x2/Xl/2. Решение A19) можно найти, используя |разложе-
ние по полиномам Лагерра,
CQ-у)
'2A+у) mi»
A20)
где р=(Х3/2—1)/4.
Прямой подстановкой легко убедиться, что A20) действитель-
оо
но дает решение уравнения A17). Оценивая / (dx/x) {d%/dx), по-
о
лучаем:
Таким образом, мы нашли величину инкремента неустойчивости
в трех предельных случаях:
у~ (alRJ(\l%H) —неустойчивость в идеальном пределе;
у~ {a/RJS-l/3(l/xH)—граничное состояние в идеальном пре-
пределе;
у~ (a/RJS~s/b(l/xH)—устойчивость в .идеальном пределе.
Отметим, что в идеально устойчивом случае характерная ве-
величина .инкремента оказывается порядка инкремента обычной
тиринг-моды. Такой случай реализуется, если только имеются до-
, полнительные физические эффекты, добавляющие существенные
стабилизирующие члены к / g(r)dr.
,554
2.5. Плазма с конечным р и взаимодействие мод с различными т. Если
давление плазмы оказывается порядка е, равновесное распределение начинает
зависеть от угла G и моды с различными т оказываются сильно взаимосвя-
взаимосвязаны друг с другом. В этом случае для анализа задачи необходимы полные
трехмерные расчеты. Чтобы найти равновесное состояние, выразим магнитное
поле через полоидальный магнитный поток, а оператор градиента — в пере-
переменных, введенных на рис. 8:
где v =
Найдем теперь
A22)
Здесь A*=R(d/dR) (\/R) (d/dR) + (д2/ду2).
Подставляя это выражение в уравнение V/?=jxB и учитывая, что р=р(А)9
находим:
р'уЛ = - (R20/R*) A*AWA - RBy (I/**) V (ЯВф). A23)
Ui сюда следует, что величина RB^ также является функцией А и фактичес-;
ки соответствует полному полоидальному току. Таким образом, мы получаем
уравнение для равновесной конфигурации [19, 38]:
D2 /// (Л\
рГ{Л)+'
В низшем порядке по обратному аспектному отношению е оператор А* сво-
сводится к д2/дх2+д2/ду2= \72j_> и мы получаем известное уравнение Грэда—Шаф-
ранова
В низшем порядке по е выражение для магнитного поли приобретает вид:
В = уА X Ф + ЯФФ» A26)
откуда, используя уравнение Максвелла j = VxB, получаем:
Как обычно, предполагая наличие несжимаемости, можно выразить скорость
через скалярную функцию
и = у^Хф. A28)
Чтобы завершить описание динамики плазмы, найдем замкнутую систему диф-
дифференциальных уравнений для трех скалярных функций: W, Л, р. Тороидаль-
Тороидальное поле B^I/R в низшем порядке можно записать в виде
где две поправки к невозмущенному постоянному тороидальному полю возни-
возникают из-за наличия тороидальной кривизны и плазменного тока.
В низшем порядке по 8 мы брали V/?=jxB и, следовательно1, считали:
что подразумевает выполнение условия
0. A29)
555
Действуя оператором cp-Vx на уравнение движения, получаем:
4f V\A + 2 ^-^- sin 6 + -j- 4f cos sj . A30)
Чтобы получить уравнение для потенциала Л, начнем с уравнения Vj_B_l=0.
или (dBjlW) =VxK, что дает dA/dt=Ksp. Далее с помощью закона Ома пере-
переписываем уравнение Максвелла в виде
Сравнивая приведенные выше уравнения, находим, что dA/dt= (BV) W+r\V2Af
т.е.
dW
+ ^A. A31)
Наконец, уравнение для давления сводится к простому виду
dp/dt = O. A32)
Уравнения A30) — A32) использовались в трехмерных численных расчетах для
изучения нелинейной динамики баллонных и тиринг-мод C9]. Для варианта
с малыми р [26, 40, 41] система уравнений A30) — A32) позволяет исследо-
исследовать нелинейное взаимодействие мод с различными т. В наиболее удачных из
применявшихся численных методов использовались радиальная сетка и Фурье-
разложение по координатам 0 и ср. В одном из методов решения использова-
использовалась точная явная разностная схема второго порядка, аналогичная двухшап »-
вому методу Лэкса—Вэндрофа. Результаты, полученные в ходе этих расчето -
обсуждаются ниже.
3. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА НЕУСТОЙЧИВОСТИ
3.1. Обзор результатов. Линейная теория тиринг-неустойчиво-
сти естественно не дает полного описания ее динамики, так как
в большинстве случаев нелинейные эффекты сказываются уже на
очень ранних стадиях развития неустойчивости.
Существует два основных нелинейных эффекта. Первый ,из них,
исследованный в |[42] >и обсуждаемый ниже в п. 3.2, существен
лишь в случае, когда толщина магнитного острова превышает
толщину тиринг-слоя. В этот момент происходит замедление рос-
роста неустойчивости — из экспоненциального он становится степен-
степенным, т. е. толщина острова линейно растет со временем.
Такая последовательность характерна для мод с ш^2, а для
моды с т=\ (нейтрально устойчивой в идеальном пределе) ти-
типично уже другое поведение.
Второй нелинейный эффект начинает дроявляться, когда тол-
толщина магнитного острова становится сравнимой с шировой дли-
длиной .исходного магнитного поля. В этот момент динамика моды
определяется глобальной геометрией плазменной конфигурации
или, иначе говоря, внешними движущими силами. В случае ци-
цилиндрической геометрии с фиксированными граничными условия-
условиями может произойти полная стабилизация моды [33]. Физическая
причина насыщения роста неустойчивости связана с тем, что в си-
системе существует минимум магнитной энергии, определяющийся
556
ее общей геометрией и достигающийся при определенной толщине
:магнитного острова.
Когда толщина магнитного острова становится велика по срав-
сравнению с толщиной тиринг-слоя, роль инерционных эффектов ока-
оказывается пренебрежимо мала и дальнейшая эволюция .неустой-
.неустойчивости определяется уравнением для усредненной производной
магнитного потока по времени и нелинейным эллиптическим урав-
уравнением состояния. Свойства этих нестандартных уравнений под-
подробно изучались в [43]. На этой стадии изменение внешних гра-
граничных условий приводит только к адиабатическим изменениям
в системе. Если мы постулируем теперь, что такое классическое
адиабатическое приближение справедливо для всей внутренней
части острова, а диссипация энергии осуществляется только в уз-
узком пограничном слое вблизи сепаратрисы, мы сможем найти
простые соотношения, связывающие скачки параметров на сепа-
сепаратрисе (аналогичные соотношениям Гюгонио для газодинамиче-
газодинамических ударных волн) [43, 44]. Эволюция системы к состоянию с
минимальной магнитной энергией в таких предположениях впер-
впервые рассматривалась в [45] и будет кратко обсуждена ниже.
3.2. Нелинейная эволюция неустойчивости (модель Разерфор-
да). Рассмотрим переход от линейного» экспоненциального разви-
развития неустойчивости, характерное время которого оказывается гиб-
гибридным между резистивным и мащитогидродинамическим време-
временами, к алгебраическому росту амплитуды с резистивным времен-
временным масштабом [42]. Как было показано выше в п. 1.4, сущест-
существует вихревой ток 6/z, который вблизи сингулярной поверхности
стремится скомпенсировать невозмущенный ток (см. р.ис. 7). Этот
вихревой ток в третьем порядке теории возмущений вызывает не-
нелинейную пондеромоторную силу 6jzXBi, которая тормозит рост
амплитуды и в некоторый момент заменяет инерцию в качестве
силы, контролирующей развитие неустойчивости. Чтобы оценить
толщину острова, при которой осуществляется этот переход, об-
обратимся к уравнению B7)
^)]- A33)
Рассмотрим для простоты внутреннюю область. Используя обоз-
обозначения, введенные в п. 1.3, запишем A33) в этой области
V2t2^Oi//=—^/' - Ь^о/В. A34)
Первый член, стоящий в правой части A34), описывает линейную си-
силу, движущую развитие неустойчивости, а второй обязан своим про-
происхождением 6/*. В п. 1.4 мы нашли, что $'2о~К(х) = (y/r\B)tyi<t>\.
Подставляя это соотношение в A34) и используя приближение
постоянного г|), находим, что нелинейный член становится сравним
с левой частью, когда yx2A='^i2/'r]B2, или, используя B9), имеем:
WttxT. A35)
557
Кроме того, и знак нелинейного члена оказывается таков, что очи
заменяет инерционный член. В обозначениях уравнения A33)
пренебрежение инерцией означает, что
0, A36)
или /=/(гр). Фактически это ограничение на форму / уже заме-
заменяет само уравнение A33). Введем средние величины вдоль ли-
линий магнитного потока </7>= $ (dl/Vty)F/j> (dl/Vty) и исклю-
исключим скорость плазмы из уравнения B5) для магнитного потока.
Замечая, что <u-Vi|)>0, получаем систему двух уравнений, опи-
описывающих динамику неустойчивости в нелинейном режиме:
у^ = -/(г|)); A37>
A38>
Впервые дифференциальные уравнения такого вида исследовались
в [44]. Нетрудно проследить за приближенной картиной эволю-
эволюции моды в этом режиме. Рассматривая магнитный остров произ-
произвольно малой толщины по сравнению с шировой длиной, решаем
задачу в линейном по г|э и / приближении. Для рассматриваемых
здесь мод o|)=i|)o+^icosi^. Исследуя теперь уравнение A38) в:
О-точке, где усреднение по линии магнитного потока сводится к.
вычислению вклада в единственной точке, находим, что
0). A39)
Будем для простоты считать j\ постоянным внутри магнитного*
острова. Интегрируя уравнение A37) через весь магнитный ост-
остров, приближенно заменяя при этом V2if>icos&# на tyi"cosky, по-
получаем:
A40>
Используя теперь уравнение B9), получаем:
dW/dt=b'/xR. A41)
Более точное интегрирование уравнений, усредненных по линиям,
магнитного потока, приводит лишь к появлению коэффициента
я/2 в правой части A41).
Этот анализ был обобщен в [10] на бесстолкновительный,
v) и полустолкновительный (y<Cv) режимы. В этих случаях
доплеровский сдвиг в электронном отклике на возмущение не да-
дает электронам возможности полностью закоротить продольное
электрическое поле Ez. Тем не менее, как показано в [10], бес-
столкновительная и столкновительная моды нелинейно эволюцио-
эволюционируют в полустолкновительный режим, после чего развитие не-
неустойчивости вновь идет в соответствии с моделью алгебраическо-
алгебраического роста [42].
3.3. Нелинейные цилиндрические моды с т>\. В типичных ус-
условиях магнитный остров, даже растущий по медленному алгеб-
558
раическому закону, рассмотренному в п. 3.2, заполнит всю уста-
установку (если нет каких-либо еще механизмов насыщения) за вре-
времена, малые по сравнению с планируемым временем удержания
плазмы. На рис. 12 изображены магнитные поверхности для круп-
крупного т = 2 острова. Легко понять, что разрушающее влияние об-
образования магнитных островов на удержание плазмы связано с
тем, что поперек магнитного острова вдоль магнитных поверхно-
поверхностей быстро передается тепло и, следовательно, в значительной
степени нарушается магнитная теплоизоляция горячей плазмы в
центре от холодных стенок. Однако для тиринг-моды существуют
и естественные механизмы насыщения, связанные с тем простым
обстоятельством, что при увеличении размеров острова иссякает
источник магнитной энергии, движущей развитие неустойчивости.
Насыщение зависит также и от формы профиля (Проводимости,
но, вообще говоря, малочувствительно к нему при условии, что,
как это обычно и бывает, проводимость имеет растущий профиль
<с характерным масштабом порядка радиуса цилиндра. Процесс
насыщения можно рассматривать независимо для каждой моде-
модели с данным т, так как нелинейная взаимосвязь различных мод
не играет существенной роли в этом процессе. Аналитическая мо-
модель насыщения '[33] строится, как квазилинейное обобщение ра-
работы [42], рассмотренной выше. Исходя ,из укороченных уравне-
уравнений для мод с данными ш, полученных выше, и используя усред-
усреднение по линиям магнитного потока, получаем два уравнения, ко-
которые, по сути дела, в случае цилиндрической геометрии являют-
являются аналогами A37), A38)
Сепаратриса.
в-о
Рис. 12. Большой остров с т=2.
Двигаясь вдоль магнитных поверхно-
поверхностей, электроны быстро выравнивают
температуру плазмы. С точки зрения
радиальной теплопередачи возникно-
возникновение острова практически равно-
равносильно тепловому «короткому замы-
замыканию»
0 0-точка r=r0 x
Рис. 13. Поверхности г|)(г, 8) =const
для магнитного острова. Внешняя
область а и внутренняя Ь разделяют-
разделяются сепаратрисой яр = if>5. Х- и О-точки
сдвигаются соответственно наружу и
внутрь от резонансной поверхности
559
ft ф
Рис. 14. Профиль тока /(\|))
при наличии острова. Обозна-
Обозначения те же, что и на рис. 13
V2i|>=-/(i|>) - BkBz/m). A43)
Граничные условия для интересующей,
нас топологии магнитного поля
(единственный магнитный остров)-
требуют задания значений ф в О-точ-
ке и на стенке или, что то же самое,
задания толщины острова. На рис. 13
показаны поверхности if) = const для
случая возникновения магнитного-
острова в цилиндрической геометрии.
Легко проверить, что разложение по
теории возмущений, использовав-
использовавшееся выше в разд. 13:
(г) cos /гсб+е2 (ф2 cos 2т0+бг|)О) + ...;
У=УаA>о+Дя|>) +Bjl (
A44>
неприменимо во внутренней части острова. Здесь /«Сфо) —началь-
—начальный профиль тока. Нельзя забывать, что /a(i|)) содержит много
гармоник. Нетрудно понять (,р.ис. 14), что сепаратриса соответст-
соответствует сингулярной точке для функции У("ф). Разложение г|) по гар-
гармоникам, однако, быстро сходится для всех г даже в случае дос-
достаточно крупных островов. Пусть
_/Ш> Ф<ф,;
A46),
где а|?5 — значение г|) на сепаратрисе, а ток внутри острова имеет-
простой модельный вид
/b(if>) =a+6\f>, A47)
который можно рассматривать как обрезанное разложение функ-
функции /(г|э) в ряд Тейлора. Выбор такой формы j(ty) основан на ре-
результатах численного исследования уравнений, полученных в-
п. 2.2. Пр,и этих расчетах было замечено, что при -насыщении не-
неустойчивости существенные изменения в окрестности острова про-
происходят только в первой и нулевой гармониках. Сшивая, как это
делалось выше, решения во внутренней ,и внешней областях, мож-
можно найти коэффициенты уравнения A47), в этом случае термин
«внутренний» относится уже не к тиринг-слою, а к магнитному
острову. Для первой и нулевой гармоник A43) приобретает вид:.
«60
где гармоники тока задаются соотношениями:
х/т )
]о(г) — (пг/ъ) \ db]{^)\
о
A49)
Проинтегрируем теперь A48) поперек острова и сошьем най-
найденное решение с решением для внешней области. При этом кон-
константы а и b выражаются через введенный нами свободный па-
параметр — толщину острова и состояние оистемы оказывается од-
однозначно определенным. Отсюда с помощью A42) можно найт
и .инкремент неустойчивости. В .наинизшем порядке по е эта схе-
схема дает алгебраический рост неустойчивости, т. е. те же резуль-
результаты, что были получены п. 3.2. В следующем порядке, однако,
удается получить уравнение, из которого можно оценить толщину
острова, при которой достигается насыщение
dW/dt=\№4(rs)[\' {W) — aW]. A50))
Здесь параметр а зависит от формы профиля сопротивления:
плазмы и становится пренебрежимо мал, если этот профиль ока-
оказывается растущим и имеет характерный масштаб нарастания по-
порядка малого радиуса тора. Основную роль в этом уравнении иг-
играет величина \A'(W), которая подобно известной нам по линей-
еой теории величине А' определяется внешним решением задачи.
где Г\ и г2 определяют положения краев острова, а гх — положе-
положение Х-точки. Для типичных профилей т] насыщение неустойчиво-
неустойчивости осуществляется, таким образом, при \A,'(W)->-0. Поэтому, рас-
рассчитав зависимость Д'(№), можно определить критическую тол-
толщину острова. Как показано в п. 2.2, наиболее неустойчивые мо-
моды соответствуют малым значениям т. Наибольшей толщины в.
состоянии насыщения также достигают острова с т=2. На рис.
15 показана зависимость толщины острова, при которой происхо-
Рис. 15. Зависимость толщины насы-
насыщения роста магнитных островов с
т=2 (рассчитанная по квазилиней-
квазилинейной модели) от положения остро-
острова rs. Выбрана модель тока 1а (г)
с острым максимумом при г=0, в ко-
которой q(r) = C[\ +г2/го2]. Сопротивле-
Сопротивление г] (г) ~ [/а (О.]"- Точки — толщи-
толщина острова в три последовательных
момента времени (расчет полной не-
нелинейной системы выполнен для слу-
чая го=О,8, <7(r5)=m==2)
01 02 03 04 05 06 07 08
56Р
w<
0,5
€,3
OJ
1 г/Го 1 r/r0 1 r/r0
Плоский Скруглен- Заострен
просри ль Hbid нып '
р--Ц- р--2 р=7
0,5 0,9
Рис. 16. Зависимость макси-
максимальной толщины магнитного
острова от значения парамет-
параметра запаса по винтовой не-
неустойчивости на оси q@) для
различных профилей тока Про-
Профили тока задаются соотноше-
I / г \2p-\lfp
[-) J ,
где /7 = 4,21. Большие острова
возникают лишь при доста-
достаточно плоском начальном про-
профиле /. Поверхность q = 2 за-
зафиксирована в этих расчетах
на г=0,7а
дит насыщение, от положения острова г$. Интересно сравнить эти
результаты с найденной ранее зависимостью Л' от rs,k'-+[f(m)]/rs
для малых rs. На р.ис. 16 показана зависимость толщины нели-
нелинейного насыщения от формы профиля тока [25]. Легко видеть,
что уплощенность токового профиля, т. е. отсутствие шира, ока-
оказывается важным для развития больших магнитных островов. На
этом рисунке положение острова (поверхность q=2) удержива-
удерживается фиксированным на rs = 0,7a, так что увеличение #@), так же
как и увеличение р, соответствует уплощению профиля. Пока про-
профиль тока не задается слишком плоским, состояние с минималь-
минимальной энергией соответствует наличию в системе острова с толщи-
толщиной W, составляющей примерно 10% малого радиуса тора. Учет
эффектов конечного ларморовского радиуса не изменяет этого
результата, но мода приобретает действительную частоту коле-
колебаний, равную диамагнитной [25, 46, 47]. Полученные результа-
результаты оказываются важными для теоретического объяснения экспе-
экспериментально наблюдавшихся в токамаке осцилляции Мирнова с
т = 2 [48].
Общий срыв разряда, происходящий в токамаках, в первую
очередь оказывается связан с развитием больших т=2 островов.
Неустойчивость срыва может принимать в токамаке целый ряд
обликов. Каноническая последовательность, однако, такова: неко-
некоторое время в системе происходят пилообразные колебания (см.
ниже), после чего эти осцилляции прекращаются и начинают на-
нарастать так называемые колебания-предвестники, т. е. происхо-
происходит развитие моды т = 2 с характерной скоростью, хорошо сог-
согласующейся с величиной, найденной в [42] [см. A41)]. Даже ма-
малые изменения профиля тока, связанные с пилообразными осцил-
ляциями [<7@)»1], могут согласно [24] перевести систему из со-
стояния, где мода т=2 устойчива, в состояние, где толщина на-
насыщения составляет заметную долю малого радиуса.
Более того, с ростом островов увеличивается радиальный пере-
перенос, уменьшающий ток и, следовательно, увеличивающий q. В ре-
результате (см. рис. 16) возникают профили, неустойчивые относи-
относительно еще большего роста толщины островов. Этот процесс, свя-
связанный с развитием колебаний-предвестников, приводит к прек-
прекращению пилообразных осцилляции при уходе из плазмы поверх-
поверхности <7=1-
На фазе, предшествующей срыву разряда, возникает большое
число сателлитных мод. Это связано с тем, что благодаря эффек-
эффектам торо,идальност1И предвестники взаимодействуют с другими мо-
модами, в особенности с модой т=1, и это взаимодействие очень
чувствительно к форме профиля тока [49]. Вслед за появлением
колебаний-предвестников и начинается собственно срыв разряда—
быстрое падение температуры в центре и обычно полная потеря
плазмы при ее уходе на стенки. Считается, что сам по себе срыв
связан с началом эргодичности, вызванной ростом магнитного ост-
острова, при развитии моды т=2, ее нелинейным взаимодействием
с другими модами колебаний [40, 41, 50—53], тороидальной взаи-
взаимосвязью мод [54, 55] и контактом плазмы с ограничителем или
стенками. Ни одна из предложенных моделей не дает полного опи-
описания конечной стадии срыва. Расчеты взаимодействия мод хотя:
и предсказывают быстрый взрывной рост пр,и перекрытии магнит-
магнитных островов с лг/п = 2/1 »и m//i=3/2, не объясняют быстрого па-
падения температуры плазмы в центре. Хотя температура и вырав-
выравнивается в возникающей эргодической области между поверхно-
поверхностями #=3/2 и q=2, необходим еще какой-то дополнительный
механизм, разрушающий магнитное удержание плазмы в цент-
центральной зоне.
Взаимодействие мод оказывается существенным только для
таких профилей, в которых толщина островов с т=2 может до-
достигнуть достаточно больших значений, так что модель, основан-
основанная на .взаимосвязи различных мод, скорее дополняет описание
срыва, чем заменяет его. В [112] исследовалось влияние мелко-
мелкомасштабной гидродинамической турбулентности ,на конечных ста-
стадиях срыва. Уже предварительные результаты позволяют качест-
качественно оценить характерные времена и величины диффузии торо-
тороидального тока и отрицательных пичков напряжения. До сих по,р
неясна роль контакта с ограничителем во время срыва. В модель-
модельных расчетах, учитывающих взаимодействие плазмы с ограничи-
ограничителем, действительно получается, что плазма должна теряться, но-
характерное время этого процесса для реальных параметров
плазмы до сих пор неизвестно. Весьма вероятно, что, как показы-
показывают современные экспериментальные данные, существует мно-
множество разнообразных форм срыва, связанных как с различными
комбинациями процессов, рассмотренных выше, так, возможно,
и с какими-либо другими механизмами [56]. В [ИЗ] определены
параметры профилей тока, для которых осуществляется перекры-
563'
Рис. 17. Области перекрытия остро-
островов. Использованы профили тока, об-
обсуждаемые в п. 2 2 (см. формулу к
рис. 16):
^огр ~~значение q на ограничителе;
граница устойчивости моды с т =
= 2> я=1, — область перекрытия
магнитных островов с т//г = 2/1 и т/п =
= 3/2, точечная область — контакт с ог-
ограничителем мод т//г=3/2 и т/я=2/1
тие магнитных островов с
т/п = 2/1 и m/n = 3/2, и для
которых происходит контакт
с ограничителем. Соответст-
Соответствующие области в координатах [?@), q0JV] изображены на рис. 17.
Много внимания уделяется также экспериментальным [57—59] и
теоретическим [25, 40] исследованиям стабилизации срыва мето-
методом обратных связей.
3.4. Нелинейная цилиндрическая мода с т=\. Если увеличить
тороидальный ток в токамаке, так что параметр запаса q примет
на оси значение, меньшее единицы, рентгеновское .излучение из
системы .начнет испытывать характерные пилообразные осцилля-
осцилляции. В центре плазмы интенсивность рентгеновского излучения
сначала растет с характерным временем порядка времени оми-
омического нагрева, а затем падает. Снаружи от поверхности q=l
пила оказывается развернутой в противоположную сторону, ин-
интенсивность рентгеновского излучения резко возрастает и медлен-
медленно спадает [60]. Мода с т=1, как впервые предложили авторы
[61 и 62], нелинейно эволюционируя через последовательность
промежуточных состояний, может прийти к такому конечному со-
состоянию, в котором поверхности спирального потока, как и в на-
начальном состоянии, представляют собой концентрические цилинд-
цилиндры. Но профиль токов внутри поверхности у=1 в ходе этой эво-
эволюции становится пологим, что ведет к высвобождению соответ-
соответствующего количества магнитной энергии. Такой процесс в прин-
принципе может оказаться циклическим, так как в конечном состоя-
состоянии благодаря омическому нагреву и соответственному уменьше-
уменьшению сопротивления центральной части разряда вновь появляется
пик тока.
Картина пересоединения, предложенная в [61 и 62], изобра-
изображена на рис. 18. На рис. 18,а показаны линии уровня функции
спирального магнитного потока в начальном состоянии. Началь-
Начальные возмущения с т=\ (ведут к смещению центральной области
и пересоединению в возникающей Х-точке (см. рис. 18,в). После-
Последующая эволюция области внутри поверхности / не связана с ко-
конечностью сопротивления плазмы, поэтому площадь этой области
сохраняется так же, как и величина <ф, поскольку dty/dt=O при
т) = 0. Точно такой же процесс произойдет последовательно с по-
поверхностями 2, 3 (см. рис. 18, г, д), пока начальная О-точка, обоз-
обозначенная цифрой 4, не будет вытолкнута из системы через Х-точ-
564
Рис. 18. Нелинейная эволюция т=\ тиринг-моды. Показана последовательность
контуров магнитного потока в различные моменты времени. Числа соответствуют
магнитным поверхностям, показанным на рис. 19
ку и поток не вернется к исходному осеоимметр.ичному равновес-
равновесному состоянию. На рис. 19 показаны изменения в профилях функ-
функции спирального потока -ф, (параметра запаса q .и тока /, возника-
возникающие в ходе этих событий. На рис. 19,а сохранены обозначения
поверхностей магнитного потока, показанные на р.ис. 18. Новый
профиль ф нетрудно найти, если вспомнить, что *ф сохраняется в
этом процессе и что вначале одно и то же значение ч|) соответст-
соответствует пересоединяющимся поверхностям. В конечном состоянии
производная d\p/dr приобретает разрыв при r^ir4. Профиль пара-
параметра запаса q можно найти, учитывая, что q{r) =
='[l + (R/r)(dty/dr)]-1. В конечном состоянии q(Q) = l и профиль
q (r) существенно уплощается вплоть до \г=\г^ где функция тер-
терпит разрыв. Профиль тока (рис. 19,в), который удается рассчи-
рассчитать с помощью (87), оказывается почти совершенно плоским
вплоть до <r=ir4, где «возникает обратный токовый слой. При г>г±
все три профиля остаются неизменными. Как легко проверить, си-
система обладает в конечном состоянии много меньшей энергией,
чем в начальном, но из проделанного выше анализа нельзя за-
заключить, является ли это конечное состояние динамически дос-
доступным и с каким темпом движется к нему система в ходе своей
нелинейной эволюции.
Для подробного исследования процесса использовался нели-
нелинейный двумерный код, обсуждавшийся в п. 2.2. Найдено [28—
32, 63], что процесс действительно развивается по описанной вы-
выше нелинейной схеме и оказывается энергетически выгодным.
Характерное время быстрой фазы пилообразного всплеска рент-
рентгеновского излучения, найденное в эксперименте, хорошо согла-
согласуется с моделью нелинейной динамики неустойчивости. На рис.
565
я
5).
Рис. 19. Спиральный-
магнитный поток (а),
профиль параметра запа-
запаса (б), профиль тока
(в) до и после развития,
в системе моды с т=\
г
20 изображена последовательность поверхностей спирального маг-
магнитного потока, возникающих при численном анализе этого про-
процесса. Для того чтобы рассматриваемая мода описывала быструю»
фазу пилообразных осцилляции, необходимо, чтобы мода продол-
продолжала расти в ходе всей нелинейной стадии с инкрементом, прак-
практически равным линейному значению. Это как раз и наблюдается
в численном счете. Так как мода с т= 1 в идеальном случае яв-
является нейтрально устойчивой (см. выше), ее инкремент значитель-
значительно превышает инкремент моды с \т=2. Приближение постоянно-
постоянного г|) во внутренней области несправедливо для этой моды, и это
делает анализ ;[42] .неприменимым. Можно просто оценить [15,
64] полное время, затрачиваемое на весь нелинейный цикл, изо-
изображенный ла рис. 20.
Рассмотрим спиральную поверхность (см. рис. 9), с одной сто-
стороны ограниченную Х-точкой, а с другой — О-точкой. Полный по-
поток, проходящий через эту поверхность, определяется выражени-
выражением i|)(x)—я|)@). В ходе нелинейной эволюции неустойчивости Х- к
О-точки сливаются в одну и поток через рассматриваемую поверх-
поверхность изменяется от своего начального значения до нуля. Кроме
того, обращаясь к уравнению G7), можно показать, что dty/dt=
'={]J'Xr, допуская для простоты, что сопротивление ч\ можно счи-
считать постоянным, а Х- и О-точки движутся вместе с жидкостью,
находим:
566
/=1,93-Ю-3
/=4,88-10-з /=1,36-10-3
Рис. 20. Контуры спирального магнитного потока в полоидальной плоскостч в
последовательные моменты времени (врехмя / дано в единицах резистивного вре-
времени т^). Радиус самого внешнего контура г=0,4я, а сингулярная поверхность
расположена на г=0,2я. Выбрана модель тока с острым пиком в центре. Хотя
магнитное поле в конечном состоянии выглядит очень закрученным, профиль
тока в этот момент становится уже довольно плоскчм. Если учесть теперь на-
наличие теплопроводности, система быстро срелаксирует к конфигурации с ци-
цилиндрическими контурами спирального потока
где Aty=ty@)—ty(x) взято .при ./=0. Теперь, если предположить,
что разность токов jx ,и /0, текущих соответственно в Х- и О-точ-
ках, остается приблизительно постоянной или по крайней мере
не превышает своего значения при /=0, получим:
1/@)/@)| A52)
567
-1,20 -0,80 -0,?0 О 0,?0 0,80
Радиус rw
Рис. 21. Профиль тока вдоль линии,
проходящей через Х- и О-точки, для
конфигурации, изображенной на
рис. 20. Токовый слой, возникающий
в Х-точке, ведет к формированию на
профиле отрицательного пичка
Рис. 22. Зависимость толщины остро-
острова от времени для моды т=\ и про-
профиля тока, изображенного на рис. 20
при трех различных значениях пара-
параметра 5. Время % дано в единицах
taS1/3. Никаких существенных от-
отклонений от линейного роста не об-
обнаружено
Полное время нелинейной эволюции определяется таким образом;
резистивным временем M>cxR и существенно отличается от ха-
характерного времени линейного развития неустойчивости At~S}/ хА~
Получившийся -парадокс удается разрешить с помощью числен-
численных расчетов. На рис. 21 изображен профиль тока, соответствую-
соответствующий последовательности поверхностей магнитного потока, пока-
показанной на р.ис. 19. Видно, что в J-точке развивается токовый слой.
с толщиной порядка 52/3 как раз такой, что характерное время
полного перехода становится порядка обратного линейного ин-
инкремента. Полное численное .исследование эволюции моды со вре-
временем становится затруднительным, особенно в случае больших
значений 15 (из-за очень малой толщины возникающего токового
слоя. Во всяком случае такое исследование представляло бы чис-
чисто академический .интерес из-за невозможности учесть мелкомас-
мелкомасштабные эффекты (например, конечность ларморовского радиу-
радиуса). Большинство расчетов было выполнено для значений 5 вплоть
568
до 107, при этом никаких заметных отклонений от линейного рос-
роста не наблюдалось. Эти результаты суммированы на рис. 221.
В [15, 64] была сделана попытка проанализировать развитие
моды т=1, используя вариационный принцип и усреднение по
поверхностям магнитного потока. В результате авторы нашли,
что мода развивается по алгебраическому закону и толщина ост-
острова растет как itl/2 до тех пор, пока угол в вершине острова
(Х-точке) является острым. После этого ролью инерции уже нель-
нельзя пренебрегать. Однако из-за того, что нет оценок для толщины
острова в момент этого перехода, неясно, насколько эти резуль-
результаты согласуются или противоречат обсуждавшимся выше чис-
численным расчетам. Сделаны попытки ,[12, 27, 65—67] полностью
проанализировать весь пилообразный цикл и найти его зависи-
зависимость от различных плазменных параметров. Оказалось, что пол-
полный период пилообразного цикла так же как и его быстрая часть,
находят разумное объяснение в модели, основывающейся на раз-
развитии т=\ моды неустойчивости.
3.5. Множественные тиринг-моды. Во время начальной (или скиновой) фа-
фазы разряда профиль тока в токамаке имеет полую форму и может оказаться,
что параметр запаса q принимает одно и то же рациональное значение при
двух различных г. При этом становится возможным одновременное развитие
пары магнитных островов, имеющих одну и ту же спиральную структуру. При-
Пример такого явления изображен на рис. 23, где показана эволюция двух маг-
магнитных островов т=2 со временем. Такой процесс вызывает особый интерес
из-за того, что при перемешивании магнитных островов образуется очень слож-
сложная топология магнитного поля, что должно привести к увеличению радиаль-
радиального теплового потока и диффузии частиц [68, 69]. Перераспределение плаз-
плазменного тока вдоль таких запутанных линий приводит его к быстрому ради-
радиальному расширению. С помощью численных методов этот процесс исследовал-
исследовался в целом ряде работ G0—72].
Приближение постоянного я|) неприменимо для этих мод, так как во время
скин-фазы разряда в токамаке для типичных параметров плазмы тиринг-слой
оказывается очень широк. Для S порядка 104 острова продолжают расти экс-
экспоненциально почти до самого конца процесса2. Слияние двух мод, показан-
показанного на рис. 22, в принципе может и не произойти. В [71] найдены простые
условия, которым должно удовлетворять начальное распределение, чтобы ост-
острова сливались прежде чем насыщение их роста произойдет по отдельности
б результате того же самого механизма стабилизации мод т=2 для монотон-
монотонных профилей тока, который рассмотрен в п. 3.3.
Если параметр S оказывается достаточно велик, острова попадают в ре-
режим Разерфорда {42], описанный в п. 3.2. В [72] численные результаты деталь-
детально сопоставлены с наблюдаемым аномальным проникновением тока при раз-
разрядах в токамаке.
1 Линейный рост островов для W>rs (т. е. для толщин, превышающих
показанные на рис. 22) был найден недавно в A14]. Кинетическая энергия мо-
моды достигает максимума именно на этом участке. Полное время последующей
эволюции пропорционально тр1/2. В этой же работе показано, что учет эффек-
эффектов конечного ларморовского радиуса может изменить нелинейную динамику
неустойчивости и даже привести к стабилизации неустойчивости, если диамаг-
диамагнитная частота превышает линейный инкремент.
2 В [115] показано, что в линейном режиме в случае, если сингулярные по-
поверхности находятся не очень далеко друг от друга 6<(&а)—7/9S—*/9, величина
утА оказывается пропорциональна S—1/з.Для больших расстояний между ост-
островами 6>(ka)— 7/9S—1/9 инкремент yxAt как обычно, пропорционален S~3/5.
56'9
Рис. 23. Картина взаимодействия двух магнитных островов одинаковой спираль-
спиральной структуры. Время дано в единицах т^. Режим Разерфорда не наблюдается
при использованном в этом расчете значении 5=104
3.6. Вынужденное пересоединение. Рассмотрим нелинейные модели пересое-
пересоединения. Сделав несколько дополнительных предположений, исключим из рас-
рассмотрения быстропеременные процессы и сосредоточим внимание лишь на ква-
квазистационарных или адиабатически меняющихся состояниях. Класс моделей
такого рода предлагался для описания солнечных вспышек и процессов выс-
высвобождения энергии в магнитосфере Земли {73—77]. В этих задачах процесс
пересоединения считается стационарным и его скорость определяется гранич-
граничными условиями в плазменном потоке вдали от области пересоединения.
Рассмотрим здесь одну из первых моделей такого рода, предложенную
Петчеком [76]. Обзор более поздних публикаций можно найти в [78 и 79].
На рис. 24 изображены поверхности магнитного потока, возникающие в
этой модели. Все величины здесь можно считать трансляционно-инвариантны-
ми в г-направлении. Направление магнитного поля (рис. 24) испытывает рез-
резкий скачок на волновом или ударном фронте. Скорость распространения это-
этого фронта по жидкости уравновешивается ее течением, так что положение
фронта в пространстве остается стационарным. Из условия сохранения массы
имеем:
A53)
570
тде скорость v растекания потока из Х-точки и
толщина области б между двумя ударными волнами
являются функциями координаты у. Из закона со-
сохранения импульса вдоль оси у имеем:
(d/dy)(pv4) = -ByoBx, A54)
где Вх — х-компонента магнитного поля внутри по-
пограничного слоя (также функция переменной у).
Преобразуя уравнения A53), A54), находим:
Фронт
К ударной бопны!
у\
A55)
где M0=(ux0/VA), bx=(BJBy0), VA=(By(>yp)-
локальная альвеновская скорость. Приравнивая ско-
скорость втекания плазмы в пограничный слой скорости
распространения ударной волны, получаем:
Мо = | Ьх | , A56)
так как скорость распространения волны зависит с* 4* Поверхности
только от нормальной компоненты поля. Подставляя магнитного потока для
,A56) в A55), получаем выражение для 6:
& = М0\у\ . A57)
процесса стационарного
пересоединения вынуж-
вынужденного соответствую-
соответствующим подбором гранич-
граничных условий. Скачки па-
параметров при переходе
спе-
Таким образом, положение фронта ударной вол-
волны приближенно задается прямыми линиями (см.
рис. 24). В окрестности Х-точки скорость плазмы
определяется диффузией, а не прохождением удар-
ударной волны. Вычислим скорость диффузии плазмы.
Из уравнения Фарадея для стационарного случая сальными соотношения-
VXE=0 находим, что электрическое поле однород- ми
но в пространстве. Из закона Ома Ez=r\jz. Для
больших х Е=—(ихВ), так что Ez =—их0Ву0. Около у = 0 изменение Ву через
границу равно 2?у0, так что полный ток в пограничном слое равен 2djz = 2By0.
Итак, видим, что скорость диффузии определяется сопротивлением плазмы
их0=г\/д. Приравнивая теперь скорость диффузии скорости плазмы, находим:
М0=г\/Уа&- A58)
Условие A58) заменяет A56) вблизи Х-точки и определяет толщину погранич-
пограничного слоя в начале координат. Будем приближенно считать, что толщина пог-
пограничного слоя постоянна и равна своему начальному значению. Подставляя б
в A55), находим, что в окрестности Х-точки Ьх изменяется линейно с у:
A59)
В точке у=у*, где у* — размер диффузионной области:
A60)
величина компоненты A59) становится равна значению магнитного поля в
волновой области у>у*, внутри которой аннигиляция поля определяется удар-
ударной волной. Решение для скорости и магнитного поля в этой области строит-
строится так, чтобы мы могли сшить его с диффузионными решениями. Рассмотрим
решение в виде малой поправки к однородному потоку плазмы
где В', и' малы по сравнению с единицей; E+uXB
плазму можно считать идеальной.
A62)
О, так как в этой области
571
Дважды действуя на это уравнение оператором VX и учитывая VxE=Or.
имеем:
Ясно, что если VXu'=0, VxB'=0, то A63) автоматически будет удовлет-
удовлетворено. Такой выбор хорошо согласуется и с магнитогидродинамическими
уравнениями в этой области, поскольку VXB'=0 подразумевает отсутствие
магнитных натяжений и, следовательно, расцепление уравнений для магнит-
магнитного поля и для движения плазмы. В несжимаемой невязкой двумерной жид-
жидкости завихренность сохраняется, поэтому условие, что вне пограничного слоя
Vxu'=0, также согласуется с граничными условиями.
Связь между потенциальными функциями, соответствующими и' и В', оп-
определяется тогда из условия вмороженности Е+ихВ = 0. Рассмотрим, напри-
например, как вычисляется функция В'. Выше, анализируя движение в пограничном,
слое, мы нашли значение компоненты Вх вдоль оси у и ее зависимость от
внешних параметров [уравнение A59)]. Поскольку Вх удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа, этого достаточно, чтобы определить Вх во внешней области.
Учитывая, что нормальная компонента В непрерывна при переходе через кром-
кромку пограничного слоя, можно найти Вх непосредственно за этим слоем
В -\- dbjdy = bx. A64)
В волновой области у>у* из A56), A57) имеем bx=dd/dy=MQ, отсюда на-
находим: В'х = —2М0(у/\у\). В диффузионной области Ьх изменяется линейно с у
и dbjdy в этой области можно приближение заменить на Ьх.
Следовательно, В'х =—2М0(у/у*) для у<у*. Кроме того, из уравнения-
Лапласа мы получаем общее выражение
B'(r) = — |r_s|2 ds, A65)
—L
определяющее поле в волновой области. Если Л40<С1, линейное приближение
оказывается хорошо применимым Л'<С1. Исследование роли нелинейностей в
этом процессе показывает, что скорость потока не может превышать альвенов-
скую (Мо<1).
Механизм, связанный с прохождением ударной волны, уменьшает размер-
области, в которой диффузионные процессы играют существенную роль. Заме-
Заметим, что скорость жидкости, а следовательно, и скорость пересоединения при-
принимает в модели Петчека любые значения вплоть до предельного значения —
скорости распространения ударной волны.
В работах по численному моделированию процессов вынужденного пере-
пересоединения [80, 81] удалось показать, что единственной величиной, ограничи-
ограничивающей скорость течения плазмы, служит значение локальной альвеновской
скорости и что соотношения Рэнкина—Гюгонио хорошо удовлетворяются da
возникающих скачках, которые удается отождествить с медленными ударными
волнами. Темп пересоединения в стационарном состоянии определяется гранич-
граничными условиями и практически не зависит от формы проводимости.
Гораздо более обширная программа исследований задумана в [43, 82, 83].
В идеальном пределе (т] = 0) все резистивные сингулярные слои становятся
бесконечно тонкими и можно попытаться заменить их системой условий для
скачков параметров на разрывах, аналогичной соотношениям Гюгонио в обыч-
обычной газовой динамике. Разумно предположить затем, что процесс вынужденного
пересоединения может всегда быть организован так, чтобы идти с произвольной
наперед заданной скоростью, причем как размер диффузионной области, так и
сам механизм диффузии подстраиваются под эту скорость.
Скорость пересоединения, как мы видели выше, может иметь произволь-
произвольное значение, ограниченное только локальной величиной альвеновской скоро-
скорости — скорости, с которой распространяется фронт ударной волны. Но даже
572
если достигнута эта предельная ско-
скорость пересоединения, дальнейшее уве-
увеличение скорости плазмы создает затор
в прохождении магнитного потока че-
через нейтральную точку. Это ведет
к усилению магнитного поля и увеличе-
увеличению локальной альвеновской скорости
до тех пор, пока не установится новое
стационарное состояние с возросшей
скоростью пересоединения [84].
Основная трудность здесь связана
с тем, что необходимо найти настолько
общую форму записи условий на разры-
разрывах, чтобы правильно учесть все воз-
возможные топологии и изменения в топо-
топологии полей и течений.
Условия на разрывах сшивают
области с пренебрежимо малым т),
так что равновесные уравнения можно представить в виде
Рис. 25. Полоидальный поток длж
симметричной парной конфигурации
y2y=F(yfi)t A66)
где^(гр)=—dp/dty—f(df/dty), a p(ip), f(ip) соответствуют давлению и торо-
тороидальному магнитному полю. Используя законы сохранения объема, массы,,
импульса и тороидального потока, автор [43} получил систему условий на раз-
разрывах. Хотя его модель носит название адиабатической, сами условия зависят
от направления, в котором изменяются параметры. На рис. 25 изображена диа-
диаграмма полоидального потока. Рост областей 1 и 2, показанных на этом ри-
рисунке, носит название расщепления, в то время как их сжатие называется-
смешиванием. Представим, что силовая трубка, находившаяся на границе об-
областей 1, 2, попадает внутрь этих областей. Из условия сохранения массы
имеем 6mo=6mi+6m2 и, используя Ьт =рбV и условие сохранения потока
6гро = 6ар1 = дгр2, находим:
A67>
мерном случае — площади), a ip(V)—функция, обратная V(ip). Из условия
Здесь \|/=dip/dV; V(ip) соответствует объему внутри поверхности ар (в дву-
сохранения тороидального потока Фв для тех же силовых трубок находим:
где ВТ — тороидальное поле и учтено, что
Из предположения об адиабатичности в каждой из областей имеем Вт =
=г(гр)гр', откуда vo=Vi+V2. Из условия баланса давлений находим-
[/?+(ё2/2)]=0, где квадратные скобки означают скачок через некоторую по-
поверхность. Полоидальное поле исчезает вблизи Х-точки, так что В2 = В2Т, и*
поскольку р, Вт зависят от единственной переменной гр, получаем, что на всей
сепаратрисе
р0 +
= P2
A69)
что эквивалентно требованию непрерывности полоидального поля через сепа-
сепаратрису. Поскольку Uty/ = (bdllBp , имеем:
1/ipQ = 1/ipj + l/i|>2« A7(ty
Существует еще одна геометрическая величина, связанная с непрерывностью
поля Вр — индуктивность К, определяемая соотношением K(V)= <|VJ/|2),
где угловые скобки обозначают усреднение по поверхности магнитного пото-
потока: <Ф) = ф O(ds/\VV\); ф (ds/\W\) = l. Можно показать, что < У2гр> ==
573
'y и, следовательно, из уравнения Грэда—Шафранова имеем:
(КФУ = -(д№)[р +
Интегрируя затем через сепаратрису, получаем:
KoVq^K^I + K^. A71)
Изучим теперь процесс смешивания. Задавшись значениями рь р2, ри рг,
ВТи ВТ2, ip'i» ty'2, Ku %2 с помощью уравнений A67) — A71) можно однознач-
однозначно найти эти величины в области, обозначенной О на рис. 25. В общем слу-
случае полученное решение не будет сохранять энтропию и процесс оказывается
необратимым.
Уравнений A67) — A71) становится недостаточно, чтобы при процессе рас-
расщепления определить состояние в областях 1 л 2. Следуя за отдельным жид-
жидким элементом, пересекающим сепаратрису, из условия сохранения тороидаль-
.ного потока (d/dt) (Вт/р) = 0 находим, что
Вто/ро = Sn/Pl = ВТ2/р2. A72)
Аналогично, если справедлив адиабатический закон (d/dt)(p/p^)=Ot имеем:
• A73>
Теперь, когда все величины определены, рассматривая уравнения A67), A72)
и A73), окончательно получаем [р] = [р] =[Вт]=0. Для случаев с более слож-
сложной топологией поля и несимметричных островов обоснование условий на раз-
разрывах становится гораздо сложнее. Приходится формулировать их на основе
интуитивных соображений, и заранее неясно, что эти условия можно вывести
из первых принципов. С помощью численных методов, способных воспроизвес-
воспроизвести процессы, которые происходят внутри резистивного слоя, можно было бы
надеяться подтвердить справедливость используемых условий на разрывах.
Однако, за исключением обсуждавшейся выше работы [80], такие исследования
не проводились. Существует множество численных методов для исследования
нелинейной динамики островов, в которых пренебрегается инерцией и исполь-
используется усреднение по поверхностям магнитного потока [82, 83, 85, 86]. С по-
помощью таких кодов удается эффективно проследить за эволюцией плазменной
конфигурации на больших временных масштабах — определить изменения в
форме объема плазмы и топологии магнитного поля, связанные с развитием
неустойчивости, процессами переноса и изменениями во внешних удерживаю-
удерживающих полях. Подобные коды не учитывают волновых движений и носят поэто-
поэтому название адиабатических. Адиабатические коды применялись для исследо-
исследования конфигураций с различной топологией магнитного поля, например зер-
зеркальной ловушки с обращенным магнитным полем, систем с одним или дву-
двумя магнитными островами.
В другом подходе, предложенном в D5], для процесса адиабатической ре-
релаксации постулируется существование некоторого глобального инварианта.
Состояние плазмы при этом определяется минимизацией функционала магнит-
магнитной энергии при ограничениях, связанных с существованием этого инварианта.
Выбор этого инварианта в виде K=SA-Bd%, где А — векторный потенциал
В — магнитное поле, ведет, как было показано, к разумному согласию с экс-
экспериментальными данными по тороидальным пинчам. Авторы |[71] специально
следили за изменениями инварианта при развитии в системе двойной тиринг-
моды. При этом использовался один из двумерных численных кодов, обсуж-
обсуждавшихся в п. 2.2. Найдено, что если рост островов насыщается еще до их
перекрытия, то К монотонно уменьшается со временем, но если острова пере-
перекрываются, то значение К внезапно сначала увеличивается, а затем начинает
падать.
Скорость релаксации инвариантов в турбулентном состоянии исследова-
исследовалась в [87].
574
4. СТОХАСТИЧНОСТЬ
4.1. Переход к стохастичности. Рассмотрим уравнения для тра-
траекторий магнитного поля в цилиндре
dr/dy = RBr/BZy dQ/dq=RBe/rBZj A74)
где компоненты В (но не сами траектории) периодичны по ф->-
-ир + 2л;. Рассматриваемая геометрия показана на рис. 8, причем
используется цилиндрическое приближение r<^.Ry хотя большин-
большинство понятий, которые будут введены ниже, легко обобщаются и
на тороидальный случай. Проинтегрируем A74) и отложим точ-
точки пересечения силовой линии с плоскостью (л 6) для ф = 0,2яу
4я, 6я и т. д. Получим последовательность точек, лежащих на той
магнитной поверхности, которой принадлежит рассматриваемая
силовая линия. В случае, когда поле В состоит больше чем из.
одного спирального возмущения, эти точки пересечения могут за-
заполнить все поперечное сечение и магнитные поверхности уже не
удается четко определить. Наоборот, в случае, когда магнитные
поверхности существуют, преобразование, определяемое как ин-
интегрирование A74) в интервале Дгр = 2я, сохраняет площадь внут-
внутри магнитной поверхности, что сразу следует из условия безди-
вергентности магнитного поля V-B = 0. В простейшем случае ци-
цилиндрически симметричного равновесия последовательность точек
определяется соотношениями:
r = const и 0 = [2лт/#(г)], где т — целое число.
Если q(r) не является рациональным числом, точки пересече-
пересечения плотно1 заполняют кривую r = const; для рационального q
последовательность зтих точек оказывается дискретной.
В общем случае отклонение от цилиндрически симметричного
равновесия можно представить в виде
.с. A75)
Такое возмущение ведет к образованию магнитных островов на
поверхностях rmn, определяющихся уравнением q(rmn)—m/n. Тол-
Толщину магнитного острова с центром на поверхности гтп находим»
используя уравнение B9) и соотношения tyo"=(r/R) (q /q2) и 8Br=
/
|<w|?|)"\ A76>
где значение всех функций, входящих в A76), берется в точке
г=гтп. Переход к стохастичности осуществляется внезапно, ког-
когда при перекрытии магнитных островов, соответствующих различ-
различным спиральным возмущениям, во всей области между ними про-
происходит разрушение магнитных поверхностей. Центральная проб-
проблема всей эргодической теории состоит в том, чтобы для заданно-
заданного магнитного поля определить как характер и пространственный
575
размер эргодических областей, так и наличие в системе неразру-
неразрушенных магнитных поверхностей.
Введем гамильтониан системы
и канонические переменные: действие /= /Г~Б" dr и угол 9. Коор-
Координата ф при этом будет играть роль времени. Уравнения Гамиль-
Гамильтона Q = dH/dI, I——dH/dQ и уравнение VxB = 0 в этом случае
определяют траектории магнитных силовых линий. В частности,
в цилиндрическом приближении (наинизший порядок разложения
по r/R, Бф = const) система Гамильтона сводится к виду:
dQ/dq> = RBe/rBq,; dr/dtp = RBrlB^. A77)
Попробуем .использовать соответствие между траекториями
магнитного поля и орбитами частиц в гамильтоновой системе.
В простейшем случае цилиндрической симметрии гамильтониан
сводится к Я=#о(/) iH траектории лежат на одномерном торе
r = const. Интегрируя A77), найдем 6 = соф + 6@), где со = д#/д/>=
= lfq(r). Мы считаем, что со—здесь не просто константа, а функ-
функция, зависящая от г, так что рассматриваемый гамильтониан со-
соответствует гамильтониану нелинейного осциллятора. Появление
возмущенного поля, зависящего от г, 0, ср, эквивалентно учету
возмущенной добавки к начальному гамильтониану
Л в, ф). A78)
В 1954 г. А. Н. Колмогоров сформулцровал теорему, связанную
с этими возмущениями [2]. Позднее она была доказана в '[3, 4].
В действительности теорема рассматривает более общий случай
гамильтониана, зависящего от N переменных. Теорема Колмого-
Колмогорова гласит, что если величина добавки V достаточно мала, то
большинство траекторий системы продолжает лежать на гладком
торе. За исключением малого объема, пропорционального величи-
величине V, магнитные поверхности остаются четко определенными в
рассматриваемой системе, несмотря на .наличие малых возмуще-
возмущений цилиндрически симметричного поля. Чтобы исследовать влия-
влияние возмущений магнитного поля, предположим, что функция
V(/, 0, ф) состоит всего из одной гармоники
H=Ho(I)+eV(I)cos{mQ — пер). A79)
Используя каноническое преобразование с производящей функ-
функцией
ф, Ф)=—(/ —
перейдем от переменных 8, L ф к г|э, р, ф. Тогда получим:
e=— 6F/dI= (ф+л<р)/т; p=—dF/d$= (/ — Ir)/m
новый гамильтониан в виде
Рассмотрим гамильтониан в окрестности точки 1=1Т. Разло-
Разложим Но в ряд по переменной р до величин второго порядка ма-
малости и выберем /г так, чтобы член, линейный по р, обратился
в нуль. Тогда найдем, что
K=(l/2)H0"{Ir)m2p2+eV(Ir)costy. A80)
Гамильтониан К не зависит от времени (т. е. ф) и имеет ка-
канонический фазовый объем, соответствующий магнитному остро-
острову. Сепаратриса определяется условием К=0 и соответствует
траекториям
(^I/2(^^); Я'.(/г) = Л/«, ,A81)
которые для удобства выражены в начальных переменных. Тол-
Толщина острова таким образом имеет вид W=4(eV/H")l/2. Как по-
показано в 1[2], -вдали от резонансной точки торы лишь слегка воз-
возмущены, а их топологическая форма остается неизменной.
Если У(/, Э, г];) содержит больше одной гармоники, то подоб-
подобный анализ можно провести, чтобы определить форму траекторий
в окрестности каждой резонансной поверхности .и изучить отдель-
отдельные структуры островов. Но как только острова начнут перекры-
перекрываться друг с другом и поле в области перекрытия станет сильно
стохастичным, приведенный выше анализ траекторий сразу ока-
окажется неприменим.
Рассмотрим теперь возмущение общего вида F(/, G, ф) и раз-
разложим его в ряд по спиральным гармоникам
.с. A82)
В окрестности каждой резонансной поверхности Imn траектории
имеют форму островов толщиной W=4(&Vmn/H)i/2: Может пока-
показаться, что полная стохастичность должна начаться уже при лю-
любой конечной толщине магнитных островов, поскольку последова-
последовательность рациональных поверхностей Imn является плотной в
/-пространстве. Однако это не так. Сумма по п в A82) оказыва-
оказывается ограниченной n<znmax, где nmax=mH' (Imax), из-за того, что
резонансная поверхность 1тп должна находиться внутри опреде-
определенного конечного объема /</тах и в соответствии с A81) долж-
должно выполняться условие Но'Aтп)=п/т. Найдем суммарную тол-
толщину всех островов с п<.птах
19 Зак 137 577
Если функция У(/, 0, ф) аналитична и периодична по 0, Vnm ог-
ограничена величиной Ае~°т (А — некоторая константа). Отсюда8
можно сделать следующую оценку: А№т<сгАтег°т/2. Полный раз-
размер области, занятой островами, таким образом, ограничен ко-
оо
нечной величиной еА 2 те~°т/2, пропорциональной е. Существует^
следовательно, критическое значение е, для которого траектория-
становится стохастической во всей рассматриваемой области. Эр-
годическое поведение систем и его -связь со статистической меха-
механикой подробно рассмотрены в [88—90, 91—93J.
Переход магнитного поля к эргодичности изучался в '[55, 94,.
96] с помощью численного интегрирования уравнений для траек-
траекторий магнитного поля.
В работах [97, 98] уравнение Лиувилля для силовых линий,
было решено построением теорий возмущений аналогичной ква-
квазилинейной теории. Авторы определили толщину стохастической:
области и еще раз подтвердили, что до тех пор, пока магнитные-
острова, соответствующие различным q, не перекрываются, сто-
стохастические области представляют собой узкие полосы, располо-
расположенные в окрестности сепаратрис, но как только V станет на-
настолько большой, что произойдет перекрытие соседних островов,,
стохастическая область может стать достаточно широкой.
Численное исследовадие стохастических свойств преобразова-
преобразований, сохраняющих площадь, значительно упростилось после того,,
как было понято то обстоятельство, что сложные структуры и сто-
стохастическая динамика, возникающие при интегрировании уравне-
уравнений для траекторий магнитного поля, проявляются и при дискрет-
дискретных, сохраняющих площадь преобразованиях. В обзоре [88] об-
обсуждаются некоторые очень интересные сложные структуры, воз-
возникающие при простых двумерных преобразованиях. Чтобы по-
понять, как такие преобразования могут применяться для аппрок-
аппроксимации реальных систем, рассмотрим A74). Для простоты счи-
считаем шир постоянным, тогда
dx/dy = b(Q)/2n; dQ/dy = x. A84>
Здесь х означает радиальное расстояние от сингулярной поверх-
поверхности. Кроме того, считаем, что db/dQ^>db/dx, и пренебрегаем за-
зависимостью от х. Эквивалентный гамильтониан для этой системы
9
Н(х, б, 9) = (^2/2)~
и переменная «действие» в данном случае совпадает с х. Преоб-
Преобразуем это соотношение к конечно-разностному уравнению Д<р=-
= Bл/N) с помощью соотношений:
b(y?+u
573
где у=д/2тс. Так как якобиан преобразования A85) равен еди-
единице, преобразование сохраняет площадь и можно ожидать, что
в пределе больших N из A85) можно получить разумное приб-
приближение для системы дифференциальных уравнений. Простейший
случай — это одномодовое возмущение (N=\):
6@, (p)==esin(9 — ф).
При этом функция b(Qu срг- не зависит от ф и fo@)='8sin (9)
[99, 100]. Эквивалентный гамильтониан для дискретных уравне-
уравнений A85) представим в виде
Н(х, 6, <p)=-|L+-JL уУ cos F-л?),
A86)
так как
00
sin F —
= s sin
где 6р(<р) = A/2я) 2 cosmp— периодическая 6-функция -с перио-
периода—со
дом 2зт.
Как показано выше, острова возникают при всех целых х и
имеют толщину .№=4(е/2л;I/2. Критерий перекрытия для .начала
стохастичности в этом случае приобретает вид W=\ или е==
= (jt/8)=0,39. Автор 1[90] выразил это через параметр /С=2я«г,
что дает условие перекрытия /(=2,5.
На рис. 26 приведены результаты последовательного примене-
применения системы A85) для 8=0,01. Возникающая структура перио-
периодична по х и у и имеет эллиптическую особую точку при я=0,
#=0,5 и гиперболическую особую точку прих=0, #=0. На рис. 27
показана структура острова, возникающего в результате такого
же расчета, но для 8=0,15. Так как траектории магнитного поля
не должны пересекать так называемую хорошую магнитную по-
поверхность, то, определив наибольшее значение 8, для которого не
наблюдается проход силовой линии от х=0 до, например, х=1,
можно проверить, существует ли в системе такая поверхность.
Рис. 26. Магнитные по-
поверхности, найденные с
помощью метода диск-
дискретного проектирования
Тейлора—Чириков а для
8=0,01, ЛГ=1. Началь-
Начальные точки отмечены кре-
крестиком. Лишь небольшое
стохастическое уширение
наблюдается вблизи X-
точек
0,6 0,8 у
19* 579
0,1
о
-0,1
-ол\-
-о,в
i. :> _.ГЧ:л::-'-==-.
0,1
0,4-
0,6
0,&
Рис. 27. To же самое, что на рис. 26, но для 8=0,15, N=\. Наблюдается суще-
существенное стохастическое уширение сепаратрисы
Подобное численное исследование дает для критического К зна-
значение 0,989, которое много ниже значения, определяемого по пе-
перекрытию островов. Существуют, однако, три эффекта, которые
мы не учитываем, но за которыми можно хорошо проследить на
рис. 27. Во-первых, кроме островов на целых х существуют более
высокие гармоники, возникающие ,из-за нелинейности гамильто-
гамильтониана Н при #=1/2, 1/3 и т. д. Во-вторых, при приближении друг
к другу острова скручиваются и искажаются- из-за взаимного вли-
влияния. Наконец, в-третьих, сепаратриса сама имеет конечную тол-
толщину. Как только мы учтем вторую \я третью гармоники, т. е. уч-
учтем (частично) лишь одид первый эффект, значение для критерия
перекрытия сразу улучшается: iC—1,35.
Рассмотрим теперь, насколько дискретные результаты отлича-
отличаются от результатов, полученных непосредственным интегрирова-
интегрированием дифференциальных- уравнений? Вернемся к дискретной си-
системе A85) с произвольным шагом и 6(9, (p)=iesin@—.ф). Те-
Теперь симметрия по х выполняется для x~>-x+N и порог стохастич-
ности достигается тогда, когда- перекрываются соседние цепочки
островов. В пределе N~*oo стохастические эффекты в системе от-
отсутствуют. Это соответствует интегрированию дифференциальных
уравнений для случая, когда .имеется всего одна спиральная мода
и магнитные поверхности сохраняются, как бы ни была велика
толщина острова.
Позднее [101] был .исследован переход от существования маг-
магнитных поверхностей к эргодичности и возникновению границы сто-
стохастической области (КАМ-граница). Рассматриваемое преоб-
преобразование линеаризовалось в окрестности особых точек, которые
классифицировались на эллиптические ,и гиперболические. Была
построена иерархия таких точек и -найдено, что если в системе
существуют замкнутые инвар.иантные кривые (магнитные поверх-
580
ности), то бесконечное число особых точек являются эллиптнчес*
кими. В стохастических областях, наоборот, за исключением ко-
конечного числа особых точек, все остальные особые точки являют-
являются гиперболическими.
4.2. Колмогоровская энтропия и диффузия магнитного поля.
Соответствующим выбором статистических моментов удается опи-
описать доведение магнитного поля и в стохастических областях. Во-
первых, заданная силовая линия радиально диффундирует, когда
мы движемся по ней вдоль г. Постоянная диффузии определяется
соотношением
L
D = Y\m^Ery^n% A87)
2-ЮО W
где хп = гп—го — расстояние, на которое диффундирует п-линия;
L — общее число линий, используемых в усреднении, причем в
начальный момент все они находятся при г=г0.
Во-вторых, в среднем две соседние силовые линии отклоняются
друг от друга, среднее расстояние между ними растет как d=-
= exp(z/Le), где расстояние Lc определяется как корреляционная
длина магнитного поля. При соударениях скорость частицы ме-
меняется на противоположную и расхождение силовых линий пре-
препятствует обратимому блужданию частицы вперед и назад вдоль
магнитного поля. Это оказывается важным при (Вычислении коэф-
коэффициентов переноса в плазме [68, 102].
Величина L^1 носит название колмогоровской энтропии [103]
и определяется соотношением
±т), A88)
где do — начальное расстояние между линиями. Легко показать,
что в областях, где существуют «четкие» (так называемые хоро-
хорошие) магнитные поверхности, эта величина оказывается равной
нулю. К сожалению, не удается найти значения h и D, непосред-
непосредственно интегрируя дифференциальные уравнения для силовых
линий. Это связано с тем, что и h и D приближаются к своему
предельному значению по z очень медленно и необходима исклю-
исключительно высокая точность, чтобы избежать погрешностей вычис-
вычислений, накапливающихся при таком интегрировании. Поэтому для
исследования этих величин были использованы дискретные урав-
уравнения. Последовательное применение дискретных преобразований
обычно ведет к значениям d/d0, сильно цревышающим границы
любой численной системы. Чтобы избежать этой трудности, авто-
авторы [104] .применяли после каждого шага ренормализацию рас-
расстояния между двумя преобразованными точками, которая сохра-
сохраняла их взаимную ориентацию. Им; удалось численно подтвердить,
что если d0 достаточно мала, то предел уравнения A88) действи-
действительно существует и не зависит от начального положения точки
581
в эргодической области. Позднее этот же метод .использовали ав-
авторы [105].
Для простой дискретной системы уравнений A85), где b(Q{)
выбрано в виде
sin
колмогоровскую антропию можно вычислить непосредственно. Для
двух соседних точек, находящихся на расстоянии х9 у, находим
A89)
где
yV-l
й = Bя/Л7)е V cos [2ityi+1 — 2тг (^ —|— l)p/N].
P=o
Такое дискретное проектирование называется тангенциальным
преобразованием и имеет собственные значения
K=l + (k/2N) ± [ (k2/4N2) + (k/N) ] V2. A90)
Для больших значений k/N X±=(k/N), {NJk) и растяжение
происходит главным образом в х-направлении. Следовательно,
для больших значений г экспоненциальный рост становится одно-
одномерным, и мы легко можем найти выражение для колмогоровской
энтропии (N/2) (InЯ2), где угловые скобки означают усредне-
усреднение вдоль траектории. С учетом сказанного находим
h = —ywin[—^ J znNln^-y A91)
Логарифмическая зависимость в A91) возникает искусствен-
искусственно и является побочным следствием корреляций, существующих
между перекрывающимися островами. Стохастичность в этом слу-
случае связана с тем, что благодаря условиям симметрии x->x+V
острова перекрываются со своими собственными отображениями.
Для фиксированной толщины острова и достаточно больших iV
эргодическая область исчезает и колмогоровская энтропия обра-
обращается в нуль.
В [106] рассматривалась модель, соответствующая нал.ичию
в системе множества мод различной спиральной структуры. Пре-
Преобразование теперь определяется уравнениями:
582
Рис. 28. Колмогоровская эн-
энтропия, найденная числен-
численным методом (точки). Тео-
Теоретический результат (Д=
= 0,54Ме2/3) показан
сплошной крчвой. На ри-
рисунке также показаны точ-
точки перехода к стохастично-
сти 8=8^, где 8^=2/M3
ft
w
w1
-
-
i
TO*
1 1
w
10
-,-J
/о"
,-T
где
м yv—1
m~\ p=0
и фтр — фиксированные случайные фазы. Стохастичность в этой
модели начинается тогда, когда перекрываются острова, соответ-
соответствующие различным значениям т. Это происходит при е>2/М3.
Пока е не превысит намного это значение, случайность относи-
относительных фаз взаимодействующих мод будет препятствовать су-
существованию побочных корреляций, возникающих, как отмеча-
отмечалось выше, в одномодовом режиме. На рис. 28 показаны резуль-
результаты итераций преобразования A92) ,-и вычисленные с помощью
A88) значения энтропии А. Для достижения требуемой точности
необходимо приблизительно 104 шагов. При условии h<N резуль-
результат очень хорошо.аппроксимируется выражением
/г=0,5Ше2/3, A93)
найденным в работе [106], в которой было получено аналитичес-
аналитическое решение уравнения Фоккера — Планка для моментов распре-
распределения .вероятности положения силовых .линий.
Расчеты, выполненные в [106], показывают, что для описания
эргодических полей возможно использовать ,и вероятностный под-
подход Сходная степенная зависимость А от 8 была получена и в.
[107].
Если теперь А>#, острова начинают перекрываться со свои-
своими собственными изображениями и колмогоровская энтропия
опять приобретает логарифмический множитель, a h определяет-
определяется выражением A/2)#<1п Я2>, где Я—большее из собственных
значений дискретного проектирования двух соседних точек. Если
А13>1, случайность фаз q>mp позволяет использовать центральную
предельную теорему и провести усреднение по гауссовому распре-
распределению
= ехр (-
583
0,5
Ю
20
Рис. 29. Диффузия в модели Тейлора—Чирикова (численный расчет). Приведена
зависимость D/DqL от 8 (D — коэффициент диффузии, DqL — его квазилиней-
квазилинейное значение). Теоретический расчет (сплошная кривая) приведен для боль-
больших значений е
где Хо2— B/3)ji2z2(M/NK. Простое интегрирование в этом случае
дает для h>\N
Л=A/2)ЛПп[(я2/3)ехр(—С)(М/Л/K/е2], A94)
где С —- постоянная Эйлера. Выражение A94) согласуется со зна-
значениями h для h>\N9 полученными численными методами. Не-
Нетрудно рассчитать и приближенную (квазилинейную) диффузию
силовых линий под действием преобразования A89). Предполо-
Предположим, что каждая силовая линия сдвигается в случайном направ-
направлении вдоль х на расстояние 6jc= s sin г|;. Тогда
"=4, A95)
что вновь приблизительно совпадает с результатами численного
расчета. В [108] методы теории вероятностей использовались для
более точного расчета диффузии. Коэффициент диффузии осцил-
осциллирует с ростом 8, приближаясь для больших значений 8 к ква-
квазилинейному значению. На рис. 29 показана зависимость отноше-
отношения D/DQL от параметра е.
4.3. Стохастичность и процессы переноса в плазме. Обсудим
кратко влияние стохастичности магнитного поля на явления пе-
переноса, так как подробное рассмотрение этого вопроса вышло бы
далеко за рамки настоящего обзора. В этом случае следует об-
обратить внимание на два основных М01мента. Во-первых, мелко-
мелкомасштабная стохастичность, связанная с развитием малых маг-
магнитных островков, считается ответственной за возникновение в
плазме аномальной электронной теплопроводности [61], которая
584
на один-два порядка величины превышает неоклассическое зна-
значение, определенное авторами [109].
Во-вторых, важное для нас явление — это обсуждавшийся в
п. 3.3 общий срыв разряда в токамаке. Развитие больших магнит-
магнитных островов ведет, как отмечалось в ai. 3.3, к .появлению сило-
силовых линий, которые с точки зрения переноса накоротко замыкают
участки, расположенные на различных -расстояниях от оси разря-
разряда [110]. Подобный эффект проявляется еще сильнее, если ост-
острова взаимодействуют друг с другом за счет влияния тороидаль-
ности установки или когда в системе имеются острова различной
спиральной структуры. Поле при этом может стать стохастичес-
стохастическим в большей части объема, где удерживается плазма [54, 111].
Исследования, выполненные до настоящего времени, ограничи-
ограничивались, главным образом, изучением того, как заданное стохасти-
стохастическое поле влияет на условия и масштабы удержания плазмы.
Влияние стохастичности и турбулентности на стабилизацию м,ик-
ронеустойчивостей (т. е. задача в самосогласованной постановке)
фактически не рассматривалась.
Оценка коэффициента электронной диффузии под влиянием
стохастического поля, получена авторами [68, 102]. В типичных
условиях разряда в токамаке тепловые электроны под влиянием
питч-углового рассеяния многократно изменяют направление свое-
своего продольного движения. В результате этого для описания про-
процесса диффузии можно ввести колмогоровскую энтропию.
Рассмотрим сначала бесстолкновительный случай, когда элект-
электроны просто диффундируют вместе с полем, так что
Al= m i a».
где An — коэффициент стохастической диффузии магнитного по-
поля A87). Для убегающих электронов это уравнение можно непо-
непосредственно использовать во всех случаях.
Обратимся к столкновительному случаю. Рассмотрим элект-
электрон, который испытывает соударение и меняет знак своей парал-
параллельной скорости. Ведущий центр этого электрона при этом сме-
смещается на малое расстояние До. Затем электрон вновь проходит
вдоль своей траектории расстояние порядка А,ц — длины свободно-
свободного пробега для рассеяния на 90°. В отсутствие стохастичности по-
поперечная диффузия после \N итераций составила бы A0iV1/2. Если
же в системе имеется стохастичность, то для поперечной диффузии
вместо AoAf1/2 имеем:
Д„ = ДУ/2 exp N ^ , A97)
где h=Lc~l — колмогоровская энтропия. Для некоторого N=Ne
величина Д* будет равна корреляционной длине поперек В для
стохастической составляющей В. Память частицы о движении по
траектории, таким образом, очищается за промежуток времени
585
за который частица успевает сместиться вдоль поля на расстоя-
расстояние
Окончательно находим:
Г) ((АХJ) 1 \уе |П
D±——t = {Nc)U2 \X th\Dm,
где Nc — решение A97), в котором величина AN задана и опреде-
определяется характерным плазменным масштабом или длиной волны.
В заключение автор выражает глубокую признательность
Д. А. Монтичелло, М. Н. Розенблюту, А. Б. Речестеру, Т. Г. Стик-
Стиксу, Дж. М. Грину. Р. М. Калсруду, Е. А. Адлеру, Дж. Хаммеру,
Ф. В. Перкинсу, К. Оберману, принявшим участие в обсуждении
настоящего обзора. Автор благодарен также мисс Е. Ферерас за
помощь в оформлении рукописи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Морозов А. И., Соловьев Л. С. Вопросы теории плазмы. Т. 2. М.: Атом-
издат, 1963.
2. Kolmogorov А. N. — In: Proc. of the International Congress of Mathema-
Mathematicians Amsterdam. Amsterdam: North Holland, 1957, vol. 1, p. 315.
3. Moser J. —Nachr. Akad. Wiss. Gottingen II Math. Phys., 1962, Bd 1.
4. Arnol'd V. I. —Russ. Math. Sur., 1963, vol. 18, p. 9.
5. Furth H. P., Killeen J., Rosenbluth M. N. —Phys. Fluids, 1963, vol. 6,
p. 459.
6. Wesson J. A. —Nucl. Fusion, 1966, vol. 6, p. 130.
7. Spitzer L., Harm R.— Phys. Rev., 1953, vol. 89, p. 977.
8. Laval G., Pellat R., Vuillemin M. —In: Plasma Phys. and Controlled Nucl.
Fus. Res. Vienna: IAEA, 1965, vol. 11, p. 259.
9. Hazeltine R. D., Ross D. W.-—Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1140.
10. Drake J. F., Lee Y. С — Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 453.
11. Ross D. W., Strauss H. R., Mahajan S.M., Hazeltine R. D., Hinton F. L. —
In: Plasma Phys. and Controlled Nucl. Fus. Res. Vienna: IAEA, 1979.
12. Waddell B. V., Jahns G. L., Callen J. D., Hicks H. R. — Nucl. Fusion,
1978, vol. 18, p. 735.
13. Furth H. P. — In Propagation and Instabilities in Plasmas/Ed, by
W. T. Futterman. Stanford: Stanford University Press, California, 1963, p. 87.
14. Killeen J., Shestakov A. I. —Phys. Fluids, 1978, vol. 21, p. 1746.
15. Dubois M., Samain A. EUR—CEA—FC—965, June, 1979, submitted to
Nucl. Fusion.
16. Rutherford P. H., Furth H. P. Princeton Plasma Phys. Lab. Rept.
MATT-872, 1971.
17. Adler A. E., Kulsrud R. M., White R. B. — Phys. Fluids, 1980, vol. 23,
p. 1375.
18. Bernstein I. В., Frieman E. A., Kruskal M. D., Kulsrud R. M. — Proc.
Roy. Sci., 1958, vol. A244, p. 17.
19. Shafranov V. D. — Reviews Plasma Phys., 1966, vol. 2, p. 103.
20. Furth H. P., Rutherford P. H., Selberg H. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16,
p. 1054.
21. Glasser A. H., Greene J. M., Johnson J. L. — Phys. Fluids, 1976, vol. 19,
p. 567.
22. Rosenbluth M. N., Monticello D. A., Strauss H. R., White R. B. — Phys.
Fluids, 1976, vol. 19, p. 1987.
23. Strauss H. R. — Phys. Fluids, 1976, vol. 19, p. 134.
585
24. White R. В., Monticello D. A., Rosenbluth M. N. — Phys. Rev. Lett., 1977,
vol. 39, p. 1618.
25. Monticello D. A., White R. В., Rosenbluth M. N. — In: Plasma Phys.
and Controled. Nucl. Fus. Res. Vienna: IAEA, 1979, vol. 1.
26. Biskamf D., Welter H.— Bull. Amer. Phys. Soc, 1978, vol. 23, p. 872.
27. Waddell B. V., Rosenbluth M. N., Monticello D. A., White R. В., Carre-
ras J. — In: Theoretical and Computational Plasma Phys. Vienna: IAEA, 1978,
p. 79.
28. Данилов А. Ф., Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П., Попин А. М. —
Физика плазмы, 1976, вып. 2, с. 167.
29. Sykes A., Wesson J. A. —Phys. Rev. Lett, 1976, vol. 37, p. 140.
30. Waddell B. V., Laval G., Rosenbluth M. N. Oak Ridge Nat. Lab., Rept.
ORNL/TM-5968, Oak Ridge, TN, 1977.
31. Asumi M. Japan Atomic Energy Bes. Institute, Ibaraki, Japan, private
communication, 1976.
32. Днестровский Ю. Н., Лысенко С. Е., Смит Р. — Физика плазмы, 1977,
вып. 3, с. 18.
33. White R. В., Monticello D. A., Rosenbluth M. N., Waddell B. V. — Phys;
Fluids, 1977, vol. 20, p. 800.
34. Glasser A. H., Furth H. P., Rutherford P. H. —Phys. Rev. Lett., 1977,
vol. 38, p. 234.
35. Wesson J. A.— Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 87.
36. Pogutse O. P. PPPL Trans. 121, March, 1977.
37. Coppi В., Galvao R., Pellat R., Rosenbluth M. N., Rutherford P. H. Prin-
Princeton Plasma Phys. Lab., Rept. 1271, 1976.
38. Grad H., Rubin H. EAEA Geneva Conf, 1958, vol. 31, p 190.
39. White R. В., Park W., Monticello D. A., Strauss H. R. Proc. of the
Sympos. on Disruptive Instabilities in Toroidal Devices, Garchinp\ Feb., 1979.
40. Callen I. D., Waddel B. V., Carreras B. e.a. IAEA—CN—F—I—I, Inns-
Innsbruck, Magnetic Islandography, 1979.
41. Dnestrovskii N. Yu. Proc. of the 7th Int. Conf. on Plasma Physics and
Controlled Nucl. Fus. Res., Innsbruck 1978. Varenna IAEA, 1979.
42. Rutherford R. H. — Phys. Fluids, 1973, vol. 16, p. 1903.
43. Grad H., Hu P. N., Stevens D. С — Proc. Nat. Acad. Sci., 1975, vol. 72,
p. 3789.
44. Grad H. Proc. of the International Congress of Mathematicians. Nice,
Paris: Gauthier Villars, 1970, vol. 3, p. 105.
45. Taylor J. В. —Phys. Rev. Lett, 1974, vol. 33, p. 1139.
46. Monticello D. A., White R. В. —Phys. Fluids, 1968, vol. 23, p. 366.
47. Biskamp D. —Nucl. Fusion, 1979, vol. 19, p. 777.
48. Мирнов С. В., Семенов И. Б. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1971,
вып. 60, с. 2134.
49. Bussac M. N., Edery D., Pellat R., Soule J. L. — Plasma Phys. and
Control, ed Nucl. Fus Res., 1976. Vienna: IAEA, 1977, p. 607.
50. Welter H., Biskamp D." —Bull. Amer. Phys. Soc, 1978, vol. 23, p. 872.
51. Waddell B. V., Carreras В., Hicks H., Holmes J. A. —Phys. Fluids, 1979,
vol. 22, p. 896.
52. Biskamp D. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 1059.
53. Biskamp D., Welter H. — Bull. Amer. Phys. Soc, 1977, vol. 22, №9,
p. 1171, paper 862.
54. Finn J. M. —Nucl. Fusion, 1975, vol. 15, p. 845.
55. Finn J. M. —Phys. Fluids, 1977, vol. 20, p. 1749.
56. Lackner K., Zehrfeld H. P. — Proc. of the IAEA Sympos. on Current
Disruption in Toroidal Devices, Max-Plank Institut fur Plasmaphysik, Garching,
Germany, 1979.
57. Арсенин В. В., Чуянов В. А.— Успехи физ. наук, 1977, вып. 123, с. 83.
58. Arsenin V. V., Arkmenkov L. I., Ivanov N. V., Kakurin A. M. PPL—
Trans 126, 1978.
59. Karger F., Lockner K-, Fussman G. e. a. — In: Plasma Phys. and Cont-
Controlled Nucl. Fus. Res. Vienna, 1977, vol. 1, p. 267.
587
60. Suthoff N. R., Goeler S. V., Stodiek W. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18,
p. 1445.
61. Кадомцев Б. Б.— Физика плазмы, 1975, вып. 1, с. 710'.
62. Monticello D. А. 1975, private communication.
63. Waddell В. V., Rosenbluth M. N., Monticello D. A., White R. В. — Nucl.
Fusion, 1976, vol. 16, p. 528.
64. Dubois M., Samain A. —Plasma Phys., 1979, vol. 21, p. 101.
65. Callen J. D., Jahns G. L. —Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 38, p. 491.
66. Jahns G. L., Soler M., Waddell B. V. e.a. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18,
p. 609.
67. McGuire K., Robinson D. C. Proc. of the Sympos. on Disruptive Insta-
Instabilities in Toroidal Devices, Garching, 1979.
68. Stix Т. Н. —Nucl. Fusion, 1978, vol. 18, p. 353.
69. Stix Т. Н. —Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 521.
70. White R. В., Monticello D. A., Rosenbluth J. N., Waddell B. V. Plasma
Phys. and Controlled Nucl. Fus. Res. Vienna: IAEA, 1977.
, 71. Carreras В., Hicks H. R.f Waddell B. V. —Nucl. Fusion, 1979, vol. 19,
p. 583.
72. Schnack D., Killeen J. —Nucl. Fusion, 1979, vol. 19, p. 877.
73. Gross M. A., Van G. Hoven. — Phys. Rev., 1971, vol. A4, p. 2347.
74. Sweet P. A. —Nuovo Cimento Suppl., 1958, vol. 8, Ser. X, p. 188.
75. Parker E. N. — Astrophys. J. Suppl., 1963, vol. 77, p. 177.
76. Petschek H. E. Magnetic Field Annihilation./Ed. by W. N. Hess. — In:
AAS-NASA Sympos. on Phys. Solar Flares SP-50, 1964.
77. Leboeuf J. N., Tajima Т., Kennel C. F., Dawson J. M. — Geo-Phys. Res.
Lett., 1978, vol. 5, p. 609.
78. Sonnerup B. U. O.— In: Solar System Plasma Phys. A Twentieth Anni-
Anniversary Rev./Ed. by C. F. Kennel, North Holland Publish. Co., 1979.
79. Varyluinas V. M. —Rev. Geophys. Space Phys., 1975, vol. 13, p. 303.
80. Sato Т. —Phys. Fluids, 1979, vol. 22, p. 1189.
81. Sato T. Princeton Plasma Phys. Lab., Rept PPL-1554, 1979.
82. Grad H. Reconnection of Magnetic Field Lines in an Ideal Fluid, NYU,
Current Institute, Rept MF-92, 1978.
83. Grad H., Hogan J. Т. —Phys. Rev. Lett., 1970, vol. 24, p. 1337.
84. Adler E. A., Kulsrud R. M. Princeton Plasma Phys. Lab., PPPL-1425, 1979.
85. Waddell B. V., Monticello D. A., Rosenbluth M. N., White R. B. Proc.
of the Seventh Conf. on Numerical Simulation of Plasmas, June 1975, Courant
Institute, N.Y.
86. Hirshman S. P., Jardin S. C — Phys. Fluids, 1979, vol. 22D), p. 731.
87. Montgomery D., Turner L., Vahala G. —J. Plasma Phys., 1979, vol. 21,
p. 239.
88. Ford J. —In: Fundamental Problems in Statistical Mechanics/Ed, by
E. D. G. Cohen. Amsterdam: North Holland, 1975.
89. Балеску Р. Равновесная и неравновесная .статистическая механика: Пер.
с англ. М.: Мир, 1978.
90. Заславский Г. М., Чириков Б. В. Успехи физ. наук, 1971, вып. 105, с. 3.
91. Chirikov В. V. —Phys. Repts, 1979, vol. 52, p. 263.
92. Whiteman К. J. —Rep. Prog. Phys., 1977, vol. 40, p. 1033.
93. Penrose O. —Rep. Prog. Phys., 1979, vol. 42, p. 1937.
94. Гельфанд И. М., Граев М. И., Зуева Н. М. и др. —Докл. АН СССР,
1963, вып. 148, с. 128в—1289.
95. Морозов А. И., Соловьев Л. С. — Журн. эксперим. и теорет. физ.,
вып. 45, с. 955.
96. Graev M. I., Mikhailova M. S., Morozov A. Т. —Sov. Phys. Techn. Phys.,
1966, vol. 10, d. 920.
97. Rosenbluth M. N., Sagdeev R. Z., Taylor J. В. —Nucl. Fusion, 1966,
vol. 6, p. 297.
98. Filonenko N. N., Sagdeev R. Z., Zaslavsky G. M. —Nucl. Fusion, 1967,
vol. 7, p 253.
99. Taylor J. B. CLM-PR-12, Culham Lab., 1969.
100. Chirikov B. V. Researches. Concerning the Theory of Nonlinear Reso-
583
nance and Stochasticity, Novosibirsk 1969. Section of the USSR Academy of Sci.
Rept 267, CERN Translation 71-40, Geneva, 1971.
101. Greene J. M. —J. Math. Phys., 1968, vol. 9, p. 960.
102. Rechester А. В., Rosenbluth M. N.— Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40, p. 38.
103. Колмогоров А. Н. —Докл. АН СССР, 1958, вып. 119, с. 861—864.
104. Chirikov В. V., Israelev F. M. Some Numerical Experiments with a
•Nonlinear Mapping: Stochastic Component, Collogues Internationaux du C.N.R.S.
Transformations Ponctuelles et Leurs Applications (Toulouse, 1973), p. 409.
105. Casartelli M., Diana E., Galgani L., Scotti A. —Phys. Rev., 1976, vol.
A13, p. 1921.
106. Rechester А. В., Rosenbluth M. N., White R. В. —Phys. Rev. Lett, 1979,
vol. 42, p. 1247.
107. Krommes J. A., Kleva R. G., Oberman C. Plasma Phys. Lab., Princeton
University, preprint № 1384, 1978, to be published.
108. Rechester А. В., White R. В. —Phys. Rev. Lett., 1980, vol. 44, p. 1586.
109. Галеев А. А., Сагдеев P. 3. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Т. 7.
JVL: Атомиздат, 1973.
ПО. Hazeltine R. D., Strauss H. R.— Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, p. 102.
111. Rochester А. В., Stix Т. H.— Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, p. 587.
112. Hazeltine R. D., Diamond P. H., Carreras B. A. 1981. Annual Fusion
Theory Conference (Sherwood), paper 3A2.
113. White R. В., Monticello D. A. Princeton Plasma Phys. Lab., Rept 1674,
1980.
114. Biskamp D. Sherwood Meeting on theoretical aspects of controlled
thermonuclear research. Tucson, Arizona, paper 1C9, 1980.
115. Pritchett P. L., Lee Y. C, Drake S. F, —Phys. Fluids, 1980, vol. 23,
p. 1368.
116. Ara G., Basu В., Coppi B. e.a.-- Ann. Phys, 1978, vol. 112, p. 443.
117. Coppi В., Greene J. M., Johnson J. L. —Nucl. Fus, 1966, vol. 6, p. 101.
118. Dnestrovskii Yu. N., Kostomarov D. P., Pereverzev V. G., Tara-
syan K. N, — Fiz. Plazmy, 1978, vol. 4, p. 1001; Sov. J. Plasma Phys., 1978,
vol. 4E), p. 557.
119. Dibase J., Killeen J., Comput J. —Phys, 1977, vol. 24, p. 158.
120. Grad H. Survey of A,1/2)D Transport Codes, Courant Institute of
Mathematical Sciences, Magneto-Fluid Dynamics Division COO-3077-154 MF-93,
1978.
121. Hawryluk R. J., Bretz N., Dimock D. e.a. To be published, 1980.
122. Hazeltine R. D., Dobrott D., Wang T. G. —Phys. Fluids, 1975, vol. 18,
p. 1778.
123. Mirnov S. V., Semenov I. B. Plasma Phys. and Controlled Nucl. Fus.,
1976. Vienna: IAEA, 1977, p. 291.
124. Kadomtsev В. В., Pogutse O. P. — Zh. Eksp. Teor. Fiz, 1973, vol. 65,
p. 575.
125. Kadomtsev В. В. —J. Plasma Phys, 1975, vol. 6, p. 512; Fiz. Plazmy,
1975 vol. 1, p. 938.
126. Rosenbluth M. N., Bussac M. N. —Nucl. Fusion, 1979, vol. 19, p. 489.
127. Stix Т. H.— Phys. Rev. Lett, 1973, vol. 30, p. 833.
128 Shafrenov V. D. — Zh. Tekh. Fiz, 1970, vol. 40, p. 240; Sov. Phys. Tech.
.Phys., 1970, vol. 15, p. 175.
IV. ТЕОРИЯ СЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
ПЛАЗМЫ
МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПЛАЗМЫ
Л. Л. ГАЛЕЕВ, Р. 3. САГДЕЕВ
ВВЕДЕНИЕ
Выше рассматривались лишь ламинарные движения плазмы,
которые можно описывать с помощью .изменяющихся во времени
по определенному закону локальных гидродинамических парамет-
параметров плазмы и полей или функции распределения частиц. Эффек-
Эффективность такого описания во многих случаях объясняется тем, что
движения плазмы, как цравило, носят коллективный характер и
поэтому существует простая связь между законами ее движения
в различных точках пространства. Однако плазма как система
многих частиц обладает большим числом степеней свободы и боль-
большим разнообразием возможных коллективных движений. При
бесконечно малых амплитудах этих коллективных движений дли
плазмы справедлив принцип суперпозиции, лежащий в основе ли-
линейной теории плазмы. Согласно этому принципу произвольное
возмущение представляется в виде суперпозиции коллективных
движений, каждое из которых независимо от другого. Если же
амплитуды в результате развития соответствующих неустойчиво-
стей становятся конечными, то нелинейные эффекты приведут к
взаимодействию этих движений друг с другом, подобно тому как
взаимодействуют движения различных масштабов в гидродинами-
гидродинамической турбулентности. В этом случае плазму можно назвать тур-
турбулентной.
Основная трудность математического описания гидродинами-
гидродинамической турбулентности заключается в том, что взаимодействие
между различными масштабами турбулентности в общем случае
является настолько сильным, что их даже приближенно нельзя
считать независимыми. Плазменная турбулентность в этом отно-
отношении часто оказывается намного проще. Дело в том, что широ-
широкий класс кинетических неустойчивостей плазмы приводит к воз-
возбуждению собственных колебаний плазмы с малой амплитудой.
Нелинейное взаимодействие таких колебаний между собой явля-
590
>ется слабым и позволяет рассматривать их в первом приближе-
приближении как независимые. Учет взаимодействия в следующем по амп-
амплитуде колебаний приближении приводит к тому, что коэффици-
коэффициенты в разложении возмущений по собственным колебаниям ста-
становятся медленно меняющимися функциями времени и в конце
концов сильно отклоняются от своих первоначальных значений,
предсказываемых линейной теорией. Такой подход называют тео-
теорией слабой турбулентности [1—5]. Уравнения этой теории мож-
можно вывести из первых принципов с помощью разложения исход-
исходных уравнений для плазмы по малому параметру — отношению
энергии колебаний к полной энергии плазмы. Кроме того, эти
уравнения удается существенно упростить, если воспользоваться
приближением хаотических фаз (различных колебаний и перейти
от динамического описания плазмы к статистическому. Строгие
критерии перехода к статистическому описанию систем со многи-
многими степенями свободы к настоящему времени хорошо изучены,
и их можно легко получить в каждом конкретном случае.
Теорию слаботурбулентной плазмы удобно изложить в терми-
терминах трех основных типов взаимодействия: квазилинейное взаимо-
взаимодействие волна — частица, нелинейное взаимодействие волна—
волна и, наконец, взаимодействие волна—частица—волна (иногда
называемое нелинейным взаимодействием волна—частица).
Первое взаимодействие волна—частица особенно сильно вбли-
вблизи черенковского резонанса co=k-v, так какчастицасо скоростью,
удовлетворяющей этому условию, сохраняет постоянную фазу от-
относительно волны и эффективно ускоряется (или замедляется) по-
полем волны. Аналогичный резонанс в магнитном поле осуществля-
осуществляется при условии
со — /сос=&||0||, /=0, ±1...,
тде Ос — ларморовская частота частиц. Поскольку взаимодействие
такого типа выделяет группу резонансных частиц, необходимо
пользоваться кинетическими уравнениями. Изменение амплитуды
волн, связанное с таким взаимодействием, есть не что иное, как
затухание Ландау (циклотронное затухание в случае резонанса в
магнитном поле).
Соответствующее изменение распределения резонансных час-
частиц по скоростям имеет характер диффузии в пространстве ско-
скоростей (так называемая квазилинейная диффузия) ,и подробно
рассмотрено ниже.
Второе взаимодействие волна — волна часто называют рассея-
рассеянием волн друг на друге. Условие такого резонанса запишем
в виде
где сог- и к{ — частота и волновой вектор волн, участвующих во
взаимодействии соответственно. Поскольку такое взаимодействие
происходит без участия резонансных частиц, то его можно опи-
591
сывать в гидродинамическом приближении, если последнее при-
применимо при описании невзаимодействующих волн.
Третье взаимодействие волна — частица — волна называют не-
нелинейным затуханием Ландау, или индуцированным рассеянием,
волн в плазме. Условие резонанса для такого взаимодействия
имеет вид: /coi—хо2= (ki—k2)-v, а основной механизм его напоми-
напоминает механизм линейного 'взаимодействуя волна — частица. В дан-
данном случае частица сохраняет постоянную фазу по отношению к
биениям двух волн. Это взаимодействие также включает резонан-
резонансные частицы и должно рассматриваться в рам>ках кинетической,
теории.
Следует, отметить, что каждый из трех основных типов взаи-
взаимодействуя имеет соответствующий квантовый аналог, причем'При-
причем'Приведенные выше условия резонанса вытекают из требований зако-
законов сохранения энергии и импульса в элементарном акте взаимо-
взаимодействия. Так, при .испускании частицей -кванта .излучения с час-
частотой .со и волновым вектором к, частица получает .импульс отда-
отдачи !Ар — —tik (h—постоянная Планка), а ее энергия уменьшается,
на A$=iAp-v, равную при выполнении условия резонанса энер-
энергии испускаемого кванта tko. Переход от процесса испускания к:
процессу поглощения осуществляется простой заменой знака час-
частоты иГ волнового вектора. Очевидно, что эти .процессы сохраня-
сохраняют сумму энергий частиц и волн.
Использование квантового подхода при выводе уравнений сла-
слаботурбулентной плазмы, как правило, оказывается более слож-
сложным, чем последовательное применение теории возмущений к клас-
классическим уравнениям поля и кинетическим уравнениям для функ-
функций распределения частиц. Тем не менее обращение к сущности
элементарных актов, лежащих в основе взаимодействия данного
типа, позволяет сделать некоторые общие выводы относительно*
законов сохранения и проверить их выполнение в 'конкретныхслу-
'конкретныхслучаях вычислений. Например, при одинаковом знаке частот усло-
условие резонанса для взаимодействия волна — частица — волна, за-
записанное в виде (Oi—(о2= (ki—k2)-v, соответствует элементарному
процессу поглощения частицей одной волны и испускания ею дру-
другой (иначе говоря, процессу рассеяния). Очевидно, что взаимо-
взаимодействие этого типа должно сохранять не только энергию, но кг
число квантов излучения. Проверить выполнение этого закона сох-
сохранения можно, написав уравнения слабой турбулентности плаз-
плазмы в терминах числа квантов. Число квантов в классическом слу-
случае можно определить как энергию волны Wk деленную на час-
частоту, т. е. как (№kAuk) -действие (о), к)-волны. К соображениям
подобно изложенным будем обращаться по мере обсуждения всех
трех основных типов взаимодействия.
1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНА — ЧАСТИЦА
1.1. Критерии перехода к статистическому описанию. Переход
от динамического описания резонансного взаимодействия моно-
592
хроматической волны с частицами плазмы к статистическому опи-
описанию взаимодействия многих волн покажем на примере одномер-
одномерных ленгмюровских волн в плазме без магнитного поля. Полная
система уравнений, используемая для решения этой проблемы,,
состоит из кинетического уравнения для электронов с самосогла-
самосогласованным электрическим полем и уравнения Пуассона:
B)
где f(x, v, t) —функция распределения электронов, a cp(x, t) —
потенциал электрического поля.
В случае монохроматической волны потенциал можно предста-
представить в виде ц>(х, '/)=Ocos(^#—со/). За резонансное взаимодейст-
взаимодействие волны и частиц отвечает нелинейное слагаемое в кинетичес-
кинетическом уравнении A). В линейном приближении функция распреде-
распределения в этом слагаемом считается невозмущенной, а амплитуда
волны меняется во времени медленно по сравнению с ее периодом
колебаний. Пренебрежение изменением функции распределения в-
этом приближении является оправданным, если характерное вре-
время этого изменения значительно больше, чем время затухания:
волны с линейным декрементом Ландау ykL. За характерный .вре-
.временной масштаб существенного изменения функции распределе-
распределения в области резонансных скоростей естественно взять период
¦колебаний резонансных электронов, захваченных электрическим
полем волны т& = У2те/#&2Ф. Нас будет интересовать противопо-
противоположный предельный случай у^ь^^, соответствующий не очень
малым амплитудам волны, т. е.
O»me{ykLJ/ek2.
C)'
В этом пределе, наоборот, амплитуда волны практически посто-
постоянна, т. е. <p=<pocos(?#—со/), а функция распределения резонанс-
резонансных частиц претерпевает существенные изменения. Для исследо-
исследования эволюции функции распределения рассмотрим траекторий-
электронов на фазовой плоскости (рис. 1). В системе координат,,
движущейся вместе с волной, эти траектории можно найти из ус-
условия постоянства полной энергии <§ = tnev2/2—e(D0cos&x. Элект-
Электроны с <§<ефо захвачены вол-
волной, а электроны с <§>еф0 не
захвачены. Удобно рассматри-
рассматривать функцию распределения в
переменных <§, О, где g опреде-
определяет траекторию, а Ф — точку на
ней. В рассматриваемой задачеf
сначала зависит и от <§ и от
но со временем происходит силь-
сильное перемешивание по фазам
Рис. 1. Фазовые траектории частиц,,
движущихся в поле монохроматичес-
монохроматической волны
593'
движения частицы по траектории. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рассмотрим поведение захваченных частиц. Две частицы на близких тра-
траекториях, т. е. две частицы с несколько отличающимися энергия-
энергиями %19 g2* имеют, вообще говоря, несколько отличающиеся час-
частоты обращения в фазовом пространстве (см. рис. 1) а>($х)—
— ш (#2) ^ (dw/dg) ($х— #2). Если эти частицы начинают дви-
двигаться с одинаковыми фазами Ф, то через интервал времени At~
— 1/(coi—02) фазы частиц разойдутся на AO^l. Так происходит
размешивание фаз и f становится постоянной вдоль траектории,
если рассматривать функцию распределения, усредненную даже
по небольшим интервалам & . Подобные аргументы можно отнес-
отнести и к незахваченным частицам, если / является периодической в
пространстве. Зависимость функции распределения частиц от энер-
энергии 8 при этом можно получить в явном виде в терминах пол-
полных эллиптических интегралов.
Случай, когда в плазме возбуждены две монохроматические
волны с амплитудами одного порядка, уже не имеет простого ана-
аналитического решения. Однако если фазовые скорости этих волн
разнесены настолько далеко, что область электронов, запертых в
первой волне, не перекрывается с областью электронов, запертых
во второй волне, то их взаимным влиянием приближенно можно
пренебречь и рассматривать эволюцию функции распределения в
этих областях фазового пространства так же, как в случае одной
волны. Качественно новые эффекты появляются в противополож-
противоположном пределе, т. е. при
2(еФь!тв)Х12>
С02
k2
D)
Тогда траектории электронов, по крайней мере вблизи сепа-
сепаратрисы, разделяющей области запертых и незапертых частиц,
существенно возмущаются и уже не могут оставаться сколь угод-
угодно долго внутри одной области. Под действием взаимного возму-
возмущения они переходят из области захвата одной волны в область
захвата другой, т. е. происходит как бы их коллективизация. Ди-
Динамическое описание движения электронов при этом становится
настолько сложным, что требует применения электронных вычис-
вычислительных машин. Задача значительно упрощается в случае, ког-
когда в плазме возбуждено большое число мод, области захвата ко-
которых взаимно перекрываются. Тогда от динамического описания
движения электронов мы можем перейти к статистическому.
Пусть в плазме возбужден большой набор плазменных коле-
колебаний с фазовыми скоростями в интервале (со/?)тах> (со/&) >
>((*)/&) min. Тогда электрическое поле можно представить в виде
суперпозиции электрических полей отдельных колебаний:
Е(х, t)=2Ekexp[—i((okt — kx)]. E)
k
Суммирование здесь удобно проводить по положительным и от-
отрицательным k. Чтобы электрическое поле при этом оказалось
594
действительной величиной, следует потребовать выполнения сле-
следующих свойств:
Предположим далее, что условие перекрытия резонансов соседа
них мод выполнено [ср. с уравнением D)]:
J >
где 8(со/&) ,и 6&—расстояние между соседними гармониками по*
фазовой скорости и по волновому числу соответственно. Энергия,
плазменных шумов в интервале hk представлена в виде произве-
произведения спектральной плотности энергии электрического поля \ЕК\2-
на ширину интервала. Потенциал электрического поля отдельной
гармоники соответственно оценен как (|?fe|26?I/2/?. При выпол-
выполнении этого условия резонансные частицы из области захвата од-
одной волны могут переходить в область захвата соседней. Если же
фазы отдельных гармоник являются случайными, то такой пере-
переход также происходит случайным образом. В результате резо-
резонансные частицы совершают броуновское движение по скоростям-
В фазовом пространстве это броуновское движение складывается
со свободным движением частиц, так что результирующие траек-
траектории становятся стохастическими. С течением времени броунов-
броуновские траектории хаотически, но достаточно плотно заполняют на
фазовой плоскости весь участок резонансных скоростей частиц:.
(G)/?)max>t>> (©/Л)min.
В результате функция распределения асимптотически будет
стремиться к постоянному значению во всей полосе фазового про-
пространства между этими двумя предельными скоростями, оставаясь
чрезвычайно сложной и шероховатой. Сглаживание шероховатос-
шероховатостей может быть достигнуто как за счет кулоновских соударений,
так и в результате усреднения. Истинная (шероховатая) функция
распределения, разумеется, сохраняет энтропию, а сглаженная —
не сохраняет. Эволюция во времени сглаженной (усредненной)
функции распределения определяется так называемым квазили-
квазилинейным уравнением диффузии [6—8].
В заключение этого раздела отметим, что условие G) накла-
накладывает на уровень плазменных шумов лишь ограничение снизу.
Между тем, очевидно, что при высоком уровне шумов квазили-
квазилинейное приближение становится неприменимым и не только пото-
потому, что мы не учли нелинейное взаимодействие между различны-
различными модами, которое мы обсудим ниже. Дело в том, что при реаль-
реальных больших размерах плазменного объема L расстояние между
соседними волновыми числами 8k=vt/L является настолько ма-
малым, что условие G) выполняется с большим запасом. Это озна-
означает, что наши рассуждения о захвате электронов в поле волны
справедливы не только для отдельных гармоник, но и для волно-
595
бых пакетов с шириной Ыг%, определяемой из неравенства G)
Поэтому в процессе броуновского движения величина случайного
шага по скорости равна ширине области захвата электронов в
таком волновом пакете
а время между этими шагами равно баунс-периоду (периоду коле-
колебаний между горбами потенциала):
Диффузионное приближение при описании этого движения спра-
справедливо, если ширина пакета волн с близкими ,в смысле уравне-
уравнения G) скоростями меньше ширины всего спектра возбужденных
волн:
R /max \ R /min \ R J
При выполнении этого условия коэффициент диффузии можно
оценить по хорошо известному соотношению
и ~
z — m2ek[d(<o/k)/dk]
Время блуждания резонансной частицы в поле волны выража-
выражается через этот коэффициент диффузии
т«(й2Д)-73. A3)
Оказывается, что учет стохастизации движения резонансных
частиц с таким характерным временем формально необходим для
устранения расходимости в членах теории возмущений, более стар-
старших по амплитуде волн, чем учтенные в квазилинейной теории
[11] (см. статью Кроммеса в т. 2 настоящей книги).
1.2. Квазилинейная диффузия в одномерном случае. Наиболее
строгий вывод квазилинейного уравнения предполагает решение
начальной задачи с учетом перекрытия резонансных областей со-
соседних монохроматических волн (см., например, [9, 10]). Однако
на практике, как правило, пользуются более простым выводом в
терминах Фур ье-компонент электрического поля и функции рас-
распределения. Так же как и в проблеме затухания Ландау, реше-
решение задачи с помощью Фурье-преобразования дает здесь те же
результаты, что и решение начальной задачи, если при этом поль-
пользоваться некоторыми, заранее установленными правилами, ана-
аналогичными правилам обхода полюсов при вычислении затухания
Ландау. Этот простой вывод квазилинейных уравнений, напоми-
напоминающих известные уравнения метода Ван-дер-Поля, основан на
разделении во времени быстрого и медленного процессов задачи.
595
Быстрым процессом здесь является изменение фазы резонансных
частиц в поле волны, а изменение амплитуд отдельных Фурье-
гармоник электрического поля и квазилинейная релаксация рас-
распределения частиц являются медленными. Критерий разложения
движения каждого электрона на быстро и медленно меняющиеся
части A(o)fe—kv)^>yk, xr-1 можно записать в виде условия на ши-
ширину пакета возбуждаемых плазменных волн и на инкремент их
нарастания. Для этого время квазилинейной релаксации распре-
распределения резонансных электронов в интервале скоростей A1) вы-
выражаем через коэффициент диффузии в пространстве скоростей
A4)
В результате неравенство Д(со&—kv)^yh, тя сводится к условию,
что ширина области захвата частиц значительно -меньше разбро-
разброса фазовых скоростей 1[см. A1)]. Условие на инкремент неустой-
неустойчивости при этом представляется в виде неравенства, аналогич-
аналогичного неравенству C), в которое в качестве эффективного потен-
потенциала входит величина Фк,ег= (\Eh\4kJk2)l/2.
Выполнение описанных выше условий позволяет представить
функцию распределения частиц е виде суммы медленно и быстро
меняющихся частей
f=fo(v,t)+6f(x,vft). A5)
Усреднение по промежутку времени, большему по сравнению с
быстрым временем задачи и меньшему, чем время квазилинейной
релаксации, а также по пространственному .интервалу, большому
по сравнению с длиной волны, дает в соответствии с нашим опре-
определением
</>=М*. t). A6)
Для быстро меняющейся части можно пользоваться линеаризован-
линеаризованным уравнением A):
d*L+o»L—Z-E{x,tL-<f) = 0, A7)
хде Е(х, t)=—дср/дх — электрическое поле плазменных волн.
Здесь мы пренебрегли быстро осциллирующим нелинейным чле-
членом (еЕ/те) (dbfjdv)y ответственным за нелинейное взаимодейст-
взаимодействие различных мод между собой, которое мы обсудим позднее.
Поскольку за один период колебаний /0 меняется незначительно,
то для нахождения б/ можно воспользоваться приближением ВКБ
по времени. В соответствии с этим разложим электрическое поле
возмущения и быстро меняющуюся часть функции распределения
в ряды Фурье:
Е(х, *)=2?*@ехрМК*-Л*)]; A8)
к
597
bf(x, v, t) = 2/, (о. t) exp [-i (*kt - kx)\. A9)
k
В обсуждаемом здесь случае -медленно меняющегося фона коэф-
коэффициенты разложения также являются медленно меняющимися
функциями времени, удовлетворяющими условиям F).
Уравнение для медленно меняющейся части функции распре-
распределения получаем простым усреднением кинетического уравнения
A) в описанном выше смысле:
/«!\ B0>
dt me \ dv I
Здесь мы воспользовались соотношением A6) и предположили,,
что в плазме нет постоянного электрического поля. Слагаемое,,
перенесенное в правую часть, описывает изменение распределения
под действием среднеквадратичного эффекта быстрых осцилля-
осцилляции электрического поля. С помощью соотношений A8) и A9)
усреднение проводится в явном виде:
Члены с к\Ф—k2 здесь исчезают при усреднении. В соответствии
с линейной теорией плазменных волн fh(v, t) в ВКБ-приближении
представляется в виде (см. статью В. Н. Ораевского в т. 1 насто-
настоящей книги):
fk (V, t) = (—) Ek (t) J&- (P —r Ц— |-тс8 (kv - соЛI • B2)
'к х ' у me J RX ' dv \ i(kv — co^) -J- Y? к ) '
Подставляя это выражение в уравнение B1), получаем квазили-
квазилинейное уравнение для медленно меняющейся части функции рас-
распределения в виде уравнения диффузии по скоростям:
dfo д п , Л df0 ,9ov
—7~.— r=—г J_J Ш) —г К&д)
dt dv v J dv ' v '
где
D (V) = 4- у | E, |2 [P— ^—-2 b^S К - kv)\ • B4)
k
Эволюция амплитуд волн и, следовательно, зависимость инкремен-
инкремента (декремента) у^ от времени здесь определяется формулами
линейной теории, в которые вместо невозмущенной функции рас-
распределения входит функция распределения f(x, ю9 i), усредненная
вдоль сложных и запутанных траекторий частиц:
593
где
f \ / % О I» » / 1\
B6)
dv
Уравнения B3) и B5) образуют полную систему уравнений, опи-
описывающих поведение плазмы в квазилинейном приближении. Два
слагаемых ,в коэффициенте диффузии (а именно член с б-функци-
ей и член с главной частью) имеют различный физический смысл.
Член с б-функцией положительно определен и ответствен за сгла-
сглаживание функции распределения в резонансной области. Это не-
необратимый процесс. С другой стороны, член с главной частью опи-
описывает обратимый процесс, так как 2yk\Ek\2==d\Ek\2/dt меняет
знак при обращении времени. Эта так называемая кажущаяся
.(адиабатическая) диффузия описывает отклик нерезонансных
частиц на изменение амплитуды волны. Чтобы убедиться .в этом,
запишем часть квазилинейного уравнения B5), ответственную за
нерезонансную диффузию, в виде
dt ~m% dv 2j <*2Pe dv > (Z/)
k
где для случая рассматриваемых нами ленгмюровских колебаний
величину {(kv—aykJ+y2k] мы приближенно заменили на ы2ре.
Умножив обе части этого уравнения на mev2/2 и проинтегрировав
по скоростям, отсюда с учетом уравнения для нарастания волны
«B5) получаем:
+ 00
?• B8)
Иными словами, кинетическая энергия электронов в основной час-
части функции распределения увеличивается вместе с электростати-
электростатической энергией колебаний. Разумеется, это всего лишь следствие
хорошо известного результата, что полная энергия плазменной
волны содержит две одинаковые части: электростатическую и ки-
кинетическую энергию электронов. Аналогичным образом можно по-
показать, что основная часть распределения также переносит коли-
количество движения, связанное с волнами. Однако для этого нужно
'было бы сохранить зависимость от скорости в знаменателе
[(cofe—kvJJry2h] выражения для коэффициента диффузии B4).
Эта зависимость дает сдвиг максимума функции распределения
в направлении распространения волны, что и соответствует учету
количества движения.
Характер резонансной квазилинейной диффузии проще всего
проиллюстрировать на примере релаксации размытого электрон-
электронного пучка в плазме (рис. 2,а и б). Наличие б-функции в коэф-
коэффициенте диффузии B4) предполагает переход от дискретного
спектра волн к непрерывному. Математически этот переход мож-
можно осуществить, рассмотрев возможные спектры волн в системе
599
a) i--0
h
Рис. 2. Начальное (а) и установившееся (б) распределение частиц и спектр
волн в случае взаимодействия размытого пучка с плазмой
конечного размера L при L->oo. Расстояние между отдельными
Фурье-гармониками спектра в пространстве волновых векторов
при этом стремится к нулю, так какбА=2я/?-*-0. Поэтому сум-
суммирование по гармоникам можно заменить интегрированием по
волновым числам, .пользуясь простым соотношением
dk.
B9}
Здесь учтено, что число состояний в элементе объема dk прост-
пространства волновых чисел равно длине этого элемента, деленной
на элементарный интервал 8k, приходящийся на одно колебание.
В результате коэффициент диффузии принимает вид:
где мы учли вклад от положительных и отрицательных k в сумме
по гармоникам. Предположим, что начальный спектр волн пред-
представляет собой некоторую гладкую функцию (со/&) (см. рис. 2,а).
Волны с фазовыми скоростями, для которых (dfo/dv) (v=xo/k) >
>0, должны нарастать, и через некоторое время они будут дос-
достаточно большими для того, чтобы привести к диффузии резо-
резонансных электронов по скоростям. Диффузия приводит к потоку
резонансных частиц в сторону, противоположную направлению
градиента функции распределения, т. е. в область малых скоро-
скоростей. При этом градиент функции распределения хотя я умень-
уменьшается, но остается положительным, что приводит к нарастанию
волн и в области малых фазовых скоростей. В пределе t-*~oo
функция распределения должна релаксировать к состоянию, в ко-
котором на функции распределения уже не будет участков с поло-
положительной производной. Очевидно, что этому условию удовлет-
удовлетворяет распределение с плато, простирающимся от скоростей
частиц в пучке до максвелловского хвоста тепловых частиц. Вы-
Высота такого асимптотического распределения в резонансной об-
600
ласти однозначно определяется из условия сохранения числа час-
частиц в процессе квазилинейной диффузии (см. рис. 2,6)
? >) (о, -vt); \
f.(Ol, * = ()) = />„ * = 0) = f. (*-*«>).
Для нахождения асимптотической формы спектра перепишем ква-
квазилинейное уравнение B3) с учетом уравнения для волн B5) и
выражения C0) для резонансного коэффициента диффузии в ви-
виде
(*= *)
C2)
Предполагая, что начальная энергия плазменных шумов в области
резонансных фазовых скоростей мала по сравнению с энергией
размытого пучка, в результате интегрирования получаем спею
ральную плотность энергии плазменных волн
V*
I Ек |2 = Ыщ (соVА3) п0 J [f. (*,*-> оо) - f. (о, О)] Л, C3)
где мы приближенно положили <ok^<ope=const, что действитель-
действительно имеет место для длинноволновых плазменных волн. Видим,
что интенсивность шумов быстро растет в область больших фа-
фазовых скоростей, пока резко не обрывается на границе плато в
результате выполнения условия C1) (см. рис. 2,6).
Следует иметь в виду, что область применимости квазилиней-
квазилинейной теории релаксации пучка в плазме очень невелика, так как
из-за специфических свойств ленгмюровских волн нелинейные
взаимодействия для них оказываются существенными уже при
очень малых плотностях энергии волн (см. статьи В. Е. Захарова
и В. Д. Шапиро и В. И. Шевченко в т. 2 настоящей книги).
1.3. Релаксация в случае двух- и трехмерных спектров волн.
Квазилинейное уравнение диффузии, полученное выше для прос-
простейшего случая одномерного спектра ленгмюровских волн, легко
обобщается на более общий случай двух- или трехмерных спект-
спектров:
з )
a, p=l
)
C4)
Хотя внешне оно очень похоже на одномерное, его решения ка-
качественно отличаются от решения для одномерного спектра. При-
601
Рис. 3. Начальные и ко-
конечные линии уровня
распределения частиц в
случае двух пакетов волн
чина последнего, по-видимому, заклю-
заключена в существенном увеличении области:
резонансных скоростей даже в случае
локализованного в пространстве к вол-
волнового пакета.
Поскольку качественные особенности-
релаксации в двух- и трехмерном слу-
случаях одинаковы, то подробно мы остано-
остановимся лишь на более простом для обо-
обозрения двумерном случае. Картину ре-
релаксации распределения частиц нагляд-
наглядно можно представить в виде изменения
линий уровня (равного значения) функ-
функции f(vx, vy, t) в различные моменты вре-
времени (рис. 3). Пусть, например, в началь-
начальный момент эти линии являлись окружно-
окружностями (изотропное распределение). Рассмотрим сначала, что про-
происходит, когда по плазме распространяется достаточно узкий вол-
волновой пакет в направлении оси х. В этом случае квазилинейная
диффузия, происходящая только по vx, приведет к установлению-
плато в узкой полосе резонансных скоростей. Состояние плато»
соответствует линиям уровня параллельным оси vX9 плавно слива-
сливающимся с окружностями вне полосы резонансных скоростей. Та-
Такая перестройка функции распределения требует некоторой ко-
конечной энергии волн в волновом пакете. Если кроме этого паке-
пакета по плазме распространяются другие пакеты под разными уг-
углами, то каждому из них должна соответствовать своя система
линий уровня. Очевидно, что в области пересечения различных,
резонансных полос функция распределения должна иметь одно
и то же постоянное значение. Поэтому в случае, когда резонанс-
резонансные полосы различных пакетов взаимно перекрываются .и без
просветов заполняют некоторый интервал углов, функция рас-
распределения должны быть постоянной во всей области вплоть да
бесконечно больших скоростей. Ясно, что релаксация до такого-
состояния потребовала бы бесконечного запаса энергии в волнах.
При конечном значении энергии волн релаксация до конца не за-
завершается, так как раньше происходит затухание волн до нуля:
или из всего спектра волн остается один или несколько непере-
неперекрывающихся узких волновых пакетов.
Для иллюстрации рассмотрим простейший случай двумерного
волнового пакета, состоящего из волн с одинаковой фазовой ско-
скоростью co/fe и обладающего цилиндрической симметрией в к-прост-
ранстве. Резонансная область на плоскости (vXf vy) расположена
вне окружности с радиусом, равным со/&, поскольку любая часть
этой области принадлежит, по крайней мере, двум разным резо-
резонансным полосам.
Вследствие симметрии задачи решение для f должно быть
изотропным: f = f{vx2+vy2). Учитывая эту изотропию, можно вы-
выполнить интегрирование по азимутальному углу в квазилинейном
©02
уравнении C4) и представить его в виде:
. Е ,2 д1
dt m\k\ ' о| Vdv Vv2- (щ,к0J vdvl°'
Интегрирование по к здесь также проведено в явном виде, так как
спектральная плотность энергии в достаточно узком волновом
пакете приближенно имеет вид: \Ek\2=2n\E0\2krl6(k—k0). Приб-
Приближение квазилинейной диффузии здесь по-прежнему справед-
справедливо, так как перекрытие /различных резонансных областей обес-
обеспечивается благодаря угловому разбросу внутри волнового па-
пакета. Частицы внутри окружности с радиусом со/& не попадают в
резонанс с волнами, и поэтому в этой области функция распре-
распределения остается неизменной.
Уравнение диффузии следует дополнить уравнением для волн
B5), в котором выражение для yk в общем случае .произвольного
угла распространения волн имеет вид:
^^-«K - k-v). C6)
Воспользовавшись опять изотропией распределения по скоростям,
переписываем последнее уравнение в виде
т* @ = {^Щ !*-?¦/ W-ы*)'. C7)
Уравнения C5), C7) допускают отыскание точного решения, ес-
если ввести некоторое добавочное упрощение. Если начальная энер-
энергия волн достаточно велика, то в результате диффузии в область
больших скоростей мы приходим к состоянию, когда для основ-
основной части пространства скоростей, занятого частицами, будет вы-
выполняться неравенство v^>(co/k). Примером такой ситуации, ког-
когда можно пренебречь со/& по сравнению с v в C5) и C7), явля-
является взаимодействие между электронами и ионно-звуковыми .вол-
.волнами, так как ю/& = ^Тe\mi <С|/—— ~ v- Для ленгмюровских
колебаний это справедливо лишь по истечении достаточного проме-
промежутка времени, когда в результате диффузии по скоростям функ-
функция распределения охватит область больших значений v.
В случае, когда у»(со/&)> в C5) и C7) можно пренебречь
малыми членами порядка (ю/?г>J<С1. Введем новую .переменную
{ndt' C8)
6 о
и перепишем уравнение C5) в виде
-^L = _L--±--L-^-fe. . C9)
dz 23 dv2 v dv2 °
603
fo(v, t-+oo) = AnD(t')df\ expl-v5 nD(f)dt'\, D0)
Независимо от начального вида функции распределения в преде*
ле т->-оо она асимптотически стремится к автомодельному реше-
решению [1]:
где
Подставляя это решение в C7), находим асимптотическое пове-
поведение декремента затухания
]3/5
D1)
.о
Таким образом, эволюция распределения частиц и инкремента
неустойчивости описывается в явном виде через интеграл от спект-
спектральной плотности энергии волн. Уравнение B5) для последней
можно привести к дифференциальному уравнению второго поряд-
порядка. Решение этого уравнения довольно громоздко, однако его ка-
качественное поведение достаточно очевидно. Энергия волн затуха-
затухает и в конце концов при #->~оо обращается в нуль. Декремент за-
затухания, равный в начальный момент линейному декременту Лан-
Ландау, претерпевает существенные изменения (убывает) вследст-
вследствие изменения наклона функции распределения. При ?->~оо, yh-*~
—>-const, так как в конце концов будет исчерпана энергия, необ-
необходимая для дальнейшей перестройки f. Это существенно отлича-
отличается от одномерного случая с образованием плато.
Следует отметить, что в проделанных выше вычислениях
спектр волн предполагается изотропным. Однако при .наличии
магнитного поля основные уравнения C5) и C7) остаются вер-
верными даже в случаях, когда механизм возбуждения (токовая не-
неустойчивость, дрейфово-конусная неустойчивость и т. п.) приво-
приводит к анизотропии спектра волн. В этих случаях изотропия функ-
функции распределения в плоскости (vxy vy) достигается благодаря
циклотронному вращению частиц в магнитном поле, направлен-
направленном по оси г.
1.4. Особенности квазилинейной релаксации плазмы в магнитном поле
(двумерное квазиплато). В общем случае электромагнитных волн в плазме,
помещенной в постоянное и однородное магнитное поле Во, мы должны исхо-
исходить из кинетического уравнения для функции распределения f/ частиц каж-
каждого сорта /:
dfj e} df} Cj f i } dtf
и уравнений Максвелла для электрического Е! и магнитного Bi полей волны.
Представим опять функцию распределения в виде медленно меняющейся foj
и быстро меняющейся 6/,- частей. Выражение для 6fj получаем линеаризацией
604
уравнения D2) и интегрированием его по невозмущенным траекториям частиц,
(см. подробнее гл. II, III):
k ~°
dfoj
^T[-i И'-к-г(*'))Ь D3>
где для электрических и магнитных полей мы воспользовались представлени-
представлением E), F). Соответствующее квазилинейное уравнение получается в резуль-
результате усреднения D2) с удержанием квадратичного по амплитуде волн члена:
dfoJ e2j уг\ f 1 I
-зг = и?7L1Е V)+— №\ wi J
1
" '" х
4
X -^- exp [itok (f-f) -ik- (r-r (*'))]. D4>
После интегрирования вдоль траектории частиц это уравнение принимает
форму уравнения диффузии в пространстве скоростей
|Ek
'2
где операторы Qjk и сопряженный ему оператор Qjk представляют собой ска-
скалярную линейную комбинацию производных по различным компонентам ско-
скорости, а выполнение условия резонанса обеспечивается б-функцией (значение
целого числа / зависит от типа и поляризации волны). Явные выражения этих
операторов будут получены в последующих разделах при обсуждении различ-
различных приложений квазилинейной теории. Здесь же мы ограничимся общим об-
обсуждением характера релаксации, описываемой уравнением такого вида.
Прежде всего следует отметить, что условие резонанса волны с частица-
частицами в магнитном поле накладывает ограничение лишь на скорость частицы вдоль
магнитного поля. Поэтому в случае узких волновых пакетов квазилинейная ре-
релаксация осуществляется в узкой полосе резонансных скоростей. Очевидно, что
квазилинейная диффузия по скоростям в этой полосе приведет к установле-
установлению состояния, в котором диффузия прекратится. Асимптотическое распределе-
распределение частиц можно найти из уравнения
%f»/(^->oo)| a+(a> =0. D6>
Линии уровня установившегося распределения по скоростям, удовлетворяюще-
удовлетворяющего D6), являются характеристиками этого уравнения в частных производных.
В случае однородной плазмы в магнитном поле, когда распределение час-
частиц по поперечным скоростям является изотропным, оператор может содержать
лишь производные E/dui и d/dv\\. В соответствии с этим характеристики D6)
представляют собой некоторую линию в плоскости v±nvm, уравнение которой
в неявной форме имеет вид:
wk(v±> v\\) = const. D7>
60S
Индекс к здесь учитывает тот факт, что
линии уровня, вообще говоря, зависят от
волнового вектора волны. Если пакет уз-
узкий, то характеристики для разных v±
достаточно далеко разнесены друг от дру-
друга и в процессе релаксации вдоль них бы-
быстро устанавливается плато с разной вы-
высотой на каждой из них. Состояние, опи-
описываемое распределением с таким плато,
как и в случае одномерной релаксации
плазмы без магнитного поля, является
устойчивым. В последнем можно убедить-
убедиться, вычислив декремент (инкремент) зату-
затухания колебаний по формулам линейной
теории.
Например, в случае неустойчивости
анизотропной плазмы по отношению к
к возбуждению вистлеров, распространяю-
распространяющихся вдоль магнитного поля, инкремент нарастания последних обращается в
луль, если (см. статью Дэвидсона в т. 1 настоящей книги)
¦ 9ы_+к*±ды_-\ =0. D8)
0
Соответствующее уравнение для установившейся функции распределения элект-
электронов, очевидно, имеет вид:
Рис. 4. Начальные ( ) и
конечные ( ) линии уровня
распределения резонансных элек-
электронов в случае пакета вистлеров
ku± dfoe
щ dv и
11
D9)
Заметим, что в этом частном случае уравнение для характеристик, являющих-
являющихся линиями уровня foj при ^->оо, имеет вид уравнения окружности с центром
на расстоянии со/& от начала координат (рис. 4)
wk
/2 — cofet; и /k = const.
E0)
Релаксация анизотропии плазмы будет обсуждаться подробно в статье
Ю. Ю. Трахтенгерца в т. 2 настоящей книги, а сейчас вернемся к обсуждению
общих свойств решения уравнения D5) для широких волновых пакетов.
В этом случае квазилинейная диффузия из-за взаимодействия с отдельной вол-
*ной пакета стремится установить плато вдоль характеристики, соответствую-
соответствующей ее волновому числу. Поскольку характеристики с разными к пересекаются,
то стационарного состояния можно достичь лишь сделав foj постоянной во
всей области резонансных скоростей. В этом смысле ситуация аналогична слу-
случаю неодномерного волнового пакета в плазме без магнитного поля. Правда
в тех случаях, когда углы, под которыми пересекаются характеристики, неве-
невелики, можно говорить о квазиплато. Это связано с тем, что установление пла-
плато вдоль характеристики происходит быстрее, чем выравнивание функции рас-
распределения поперек нее. ^
Наконец, заметим, что в случае неоднородной плазмы оператор Q является
линейной комбинацией производных по пространству и скорости, и поэтому
.можно говорить об установлении квазиплато в смешанном пространстве коор-
координат и скоростей (подробнее — см. статью Хортона в т. 1 настоящей книги).
1.5. Влияние столкновений на взаимодействие волна—частица. Итак, мы
показали, что в случае одномерной или квазиодномерной (в магнитном поле)
.-квазилинейной диффузии в пространстве скоростей функция распределения
-сильно искажается вблизи области резонансных скоростей. В случае узких вол-
зювых пакетов это приводит к столь резкому возрастанию производных функ-
функции распределения, что требуется учет далеких кулоновских соударений, чув-
чувствительных к мелкомасштабной структуре распределения. Математически пос-
605
леднее находит отражение в том, что интеграл столкновений в форме Ландау
содержит члены со второй производной по скорости.
Для иллюстрации рассмотрим процесс установления одномерного плато-
при наличии соударений. В этом случае квазистационарное распределение элект-
электронов устанавливается под действием двух факторов: квазилинейной диффу-
диффузии, приводящей к плато, и соударений, стремящихся восстановить максвел-
ловскую функцию распределения. Баланс соответствующих членов в кинети-
кинетическом уравнении имеет вид:
E1)
Для выяснения качественной картины релаксации мы воспользуемся следую-
следующими приближенными выражениями для коэффициента квазилинейной диф-
диффузии и соударительного члена:
D (v) = Gze2/m%}^
к
St(f)=ve((o/kr~r(fM-fI
где f —максвелловская функция распределения. Интегрируя уравнение E1)
один раз, находим:
d\ ^ dfo /[i + *« <?»> m>ve (со/?J]. E2)
av civ I
Полученный наклон функции распределения подставим теперь в формулу для
декремента затухания ленгмюровских волн у = (я/2) (со3/&2) (df/dv)\v==(Djk*
В результате получим:
У = Yl/I1 + е2 <?2>М> (со/*J]. E3)
Роль столкновений теперь становится ясной. Если амплитуда волн в пакете-
достаточно мала, то декремент затухания приближается к у^-линейному дек-
декременту затухания Ландау. Это связано с тем, что столкновения успевают
восстановить в резонансной области наклон функции распределения, соответ-
соответствующий максвелловскому распределению по скоростям. При больших ампли-
амплитудах наклон функции распределения пропорционален частоте редких куло-
новских соударений и обратно пропорционален уровню плазменных шумов.,,
под действием которых устанавливается состояние, близкое к плато. В соот-
соответствии с этим декремент затухания падает. Формулу E3) можно обобщить
на произвольный случай релаксации к квазиплато:
E4>
где Ti — характерное время установления локального максвелловского распре-
распределения под действием соударений (или, вообще, установления неустойчивого/
распределения под действием внешних факторов); тг — характерное время ус-
установления квазиплато под действием волнового пакета*.
Указанные соображения особенно важны для дрейфовых неустойчивостей,.
так как в разреженной плазме редкие кулоновские соударения препятствуют
установлению квазиплато в (х, v ц) пространстве и прекращению неустойчи-
неустойчивости, а вместе с ней и аномальной диффузии.
2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНА —ВОЛНА
2,1. Динамические уравнения для резонансного взаимодейст-
взаимодействия плазменных волн. До сих пор в рамках линейного и квази-
квазилинейного описаний плазмы с возбужденными в ней коллектив-
60Т
¦ными колебаниями мы пренебрегли взаимодействием различных
мод колебаний и рассматривали их как простую суперпозицию
отдельных мод. Основанием для этого могло бы служить то, что
эффекты взаимодействия колебаний обусловлены нелинейностью
среды и поэтому при малых амплитудах оказываются слабыми.
Но даже слабое взаимодействие может проявиться, если подож-
подождать достаточно долгое время. Естественно, что это время тем
больше, чем меньше уровень колебаний. В низшем /порядке раз-
разложения уравнений для колебаний по энергии волн W время, че-
через которое проявляются эффекты взаимодействия, меняется об-
обратно пропорционально W. С другой стороны, квазилинейная ре-
релаксация первоначально неустойчивого распределения частиц под
действием развивающихся колебаний, как мы видели, может ста-
стабилизировать их рост в лучшем случае за время, также обратно
пропорциональное энергии волн. Это означает, что пренебреже-
пренебрежение нелинейным взаимодействием волн даже при малых их амп-
амплитудах не всегда может быть оправданным, и для оценки его
важности необходимо сравнить время квазилинейной релаксации
с временем перераспределения энергии между различными мо-
модами.
Мы уже упоминали, что эффекты взаимодействия мод обус-
обусловлены нелинейностью плазмы. Именно благодаря нелинейно-
нелинейности помимо собственных мод в плазме возникают вынужденные
биения на смешанных частотах, могущие попасть в резонанс с
собственными колебаниями плазмы. Выполнение условий резо-
резонанса, в свою очередь, существенно зависит от дисперсии соответ-
соответствующих волн в плазме. Так, в простейшем случае квадратич-
квадратичной нелинейности попадание биений на частоте coi^icou., с вол-
волновым вектором ki'zfck2 в резонанс с каким-либо другим собствен-
собственным колебанием требует выполнения условий резонанса в виде
^kt ± ®ь2 = ^k^ka- Возможные зависимости частоты от волнового
вектора в изотропной среде изображены на рис. 5. Пользуясь
простыми геометрическими аргументами '[12], нетрудно убедить-
убедиться, что в случае, когда все три взаимодействующие волны при-
принадлежат к одной ветви колебаний, выполнение условий резонан-
резонанса возможно лишь для колебаний с дисперсией вида 2 и 4. Вза-
Взаимодействие между однотипными колебаниями с дисперсией ви-
вида/и 3 возможно лишь в следующем по энергии волн порядке
разложения, соответствующем удержанию членов с кубической
нелинейностью1. Это конечно, не означает, что резонансным взаи-
взаимодействием волн с дисперсией вида 1 и 3 в низшем по энергии
волн приближении можно вообще пренебречь, так как в этом
случае взаимодействие двух волн одного типа может происходить
с участием волны другого типа.
1 Заметим, что линейный закон дисперсии, имеющий место для звуковых
волн в гидродинамической среде, допускает взаимодействие во всех порядках
теории возмущений и соответствует случаю сильной связи между волнами,
выходящей за рамки теории слабой турбулентности.
<608
Для конкретного примера, на котором
мы проиллюстрируем технику вывода
динамических уравнений для амплитуд
взаимодействующих волн, мы как раз
и рассмотрим такое смешанное взаимодей-
взаимодействие ленгмюровских и ионно-звуковых
волн в неизотермической плазме, имеющих
дисперсию вида 1 и 3 соответственно [13].
Поскольку резонансное взаимодействие
волн происходит без участия частиц, то
его расчеты удобно выполнить в рамках
более простого гидродинамического описа-
описания. В следующем разделе мы вернемся
к обсуждению этого процесса с использова-
использованием более строгого кинетического подхода
и покажем, что оба подхода в этом случае
дают одинаковые результаты. Там же
будет дано уравнение взаимодействующих
волн в терминах коэффициентов разложения поляризуемости сре-
среды по амплитудам волн.
Плазму с возбужденными в ней ленгмюровскими и ионно-зву-
ковыми колебаниямл будем описывать с помощью системы урав-
уравнений, состоящей из уравнений движения и уравнений непрерыв-
непрерывности отдельно для электронной и ионной компонент »и уравнения
Пуассона для электрического поля волн:
IKI
Рис. 5. Дисперсионные
кривые в изотропном
случае. Резонанс между
тремя однотипными вол-
волнами возможен при дис-
дисперсии типа 2 или 4 ч
невозможен при диспер-
дисперсии типа 1 или 3
nimi
E5)
E6)
divE= —
E7)
где nh Vj, Tj—плотность, скорость ,и температура /-й компонен-
компоненты соответственно; Е — напряженность электрического поля. Ог-
Ограничимся для простоты случаем одномерного распространения
волн вдоль оси х. Тогда обозначая индексами 1 и 3 гидродинами-
гидродинамические параметры, относящиеся к ленгмюровским колебаниям,
а индексом 2 — соответствующие параметры в ионно-звуковь*х
волнах, можно представить электрическое поле, плотность и ско-
скорость электронной ,и ионной компонент в виде
з \
Е=%ЕЛ (х, t)\
с. t) + Nt(x, t);
, t);
ve=vl(x, t)+vt(x,t)+Vt(x, t);
vL=V2(x, t).
20 Зак. 137
E8)
609
Считая амплитуды волн малыми, будем решать уравнения E5) —
E7) по теории возмущений. В линейном приближении они сво-
сводятся к волновым уравнениям для ленгмюровских .и (ионно-звуко-
;вых волн. В следующем приближении в уравнениях E5) — E7)
следует удержать квадратичные по амплитудам волн. В резуль-
результате получаем:
^L^ = _A ( у } + JV_ _д_ {
mn дх дх К 3 2)~ тп\ дх 3
+ ?i+ = ( у } +
dt ^ me ' menQ дх дх К 3 2) теп\ дх
дх
rn cE ~O F2)
en0E2 + Te dNJdx = — no:ne (vjo9) + Te— (^\; F3)
——+ #o V2 = 0. F4)
dt дх v y
Левая часть уравнений E9) — F1) описывает ленгмюровскук>
волну, а правая часть этих уравнений связывает ее со звуковой
волной и второй ленгмюровской волной. Аналогичным образом
левая часть уравнений F2) — F4) описывает звуковую волну, а
правая часть связывает ее с двумя ленгмюровсюши волнами.
Здесь мы не писали уравнения для волны 5, так как оно получа-
получается простой перестановкой .индексов 1 я 3 в уравнениях E9) —
F1). Поскольку гидродинамическое описание ленгмюровских
волн справедливо лишь для колебаний с длиной волны, значи-
значительно превышающей дебаевский радиус XD = vTe/a)pey то малый
вклад теплового движения электронов в дисперсию следует учи-
учитывать лишь в линейном приближении. Это позволяет сразу же-
пренебречь последними нелинейными членами в правых частях
уравнений E9) — F3). Относительную роль оставшихся нелиней-
нелинейных членов в уравнениях E9) и F0) для ленгмюровских колеба-
колебаний оцениваем, сравнивая их с соответствующими линейными чле-
членами
где ка9 о)а — волновой вектор и частота колебания (а=1, 2, 3).
Используя линейную связь между параметрами V2 и N2 в звуко-
звуковой волне, находим, что i?2~ {^1/(^2)R^Ri- Следовательно, в.
E9) — F1) достаточно удержать нелинейность, соответствующую»
610
R2. В результате простых преобразований E9) — F4) можно пред-
представить в виде .неоднородных волновых уравнений для Е\ и N2
^Ь ^ L A i? F5)
dt* pe ' me dx* ~ dt n0 dt
dt Ot
где c2s=~)/Te/tfii — скорость ионного звука в неизотермической
плазме.
Так же как и в квазилинейной теории, слабое нелинейное вза-
взаимодействие волн приведет лишь ,к медленному изменению их
амплитуд со временем. В соответствии с этим колебания Е, п, v
в волне можно представить в виде гармонического колебания с
медленно меняющейся амплитудой, например:
Еа(х, t)=Eha(t)exp[-i((okJ- kax)]. F7)
В пренебрежении малыми нелинейными членами в F5) и F6),
ответственными за взаимодействие мод, мы получаем, что часто-
частоты вюлн cofta связаны с волновыми векторами ка известными ли-
линейными дисперсионными соотношениями. Медленное изменение
.амплитуд колебаний в «следующем приближении может происхо-
происходить лишь тогда, когда зависимость от координат левой и правой
частей совпадает, т. е. выполнено условие резонанса по волно-
волновым векторам &1=й2+^з- Уравнения, описывающие это медлен-
медленное по сравнению с периодом колебаний {т. е. (<5/cW)<?<o] изме-
изменение, получаются подстановкой F7) в уравнения F5) и F6):
Наконец, эти уравнения следует переписать в терминах амп-
амплитуд вероятности, так как уравнения взаимодействующих воля
при этом приобретают симметрию, соответствующую гамильто-
новости системы. Связь между амплитудой вероятности и ампли-
амплитудой колебаний физических параметров в волне мы находим,
пользуясь соотношением, связывающим квадрат амплитуды ве-
вероятности, т. е. число квантов, с энергией волн:
\Ch\*=nk=Wh/\a>k\. G0)
Энергия ленгмюровских колебаний приближенно складывается
из двух равных частей: энергии колебаний электрического поля
и кинетической энергии электронов, участвующих в колебаниях:
т. е. Wkl = \Ekl\2/2n (здесь учтено, что (E12) = 2\Ekl [2). Ана-
Аналогичным образом энергия звуковых волн складывается из энер-
энергии сжатия плазмы и кинетической энергии ионов: Щл =
20* 611
= 2[Nk2\2Te/n0. В соответствии с этим амплитуды вероятности оп-
определяем как
Тогда уравнения F8), F9) принимают форму уравнения Шре-
дингера в представлении взаимодействуя [14]
i^ = V*i.*.*<V*; G2)
i^-=V,2_,3,,1C;c,1, G3)
где
Vkl,ьь = Vk2, _*3, Л1 Sign КЛ) = - l/i^^L signюЛ1.
Такая связь между матричными элементами оператора взаимо-
взаимодействия в G2) ,и G3) является следствием гамлльтоновоста
уравнений двухжидкостной гидродинамики. Строго говоря, здесь
мы доказали это соотношение лишь с точностью до членов поряд-
порядка (gu2/cd?3)<c1. Заметим, что выполнение последнего условия
обеспечивает применимость так называемого адиабатического
приближения во взаимодействии волн и позволяет значительно
упростить вывод динамических уравнений. Действительно, изме-
изменение плотности плазмы в звуковой волне является адиабатиче-
адиабатическим по отношению к пакету высокочастотных ленгмюровских ко-
колебаний. Поэтому уравнения для последних получаются просто»
из линейного уравнения колебаний, где следует учесть медленное
изменение плотности плазмы:
ЛЕ 4пп^Е ___ ±*_ш G4>
dt2 me me
Влияние ленгмюровских колебаний на звуковую волну обусловле-
обусловлено появлением наряду с кинетическим давлением также и высо-
высокочастотного давления [15—17]:
G5)
В результате звуковое уравнение принимает вид:
д2 дг 1 д2
dt2 mt дх
Нетрудно видеть,, что эти уравнения в приближении
@J/0I,2) <С1 совпадают с F5), F6).
2.2. Критерии перехода от динамического описания к статисти-
статистическому. Детально резонансное взаимодействие волн конечной
амплитуды исследовано в разделе о параметрических неустойчи-
612
востях плазмы. Здесь мы рассмотрим частный случай такого
взаимодействия, распад волны с частотой ш&3 и волновым векто-
вектором &з на две волны: (со^1, f^i) ,и (gN2,&2) с бесконечно малой
амплитудой [13]. В этом случае амплитуду исходной волны (вол-
(волны накачки) можно считать постоянной и искать решение систе-
системы теперь уже линейных уравнений G2), G3) в экспоненциаль-
экспоненциальном виде
Ckl, Ck2~exp(vt). G6)
Воспользовавшись соотношением симметрии матричных элемен-
элементов в уравнениях G2), G3) для инкремента нарастания, полу-
получаем выражение {14]:
v=[- I Vkltk2tk3\> |С^|2^п(а>,Л)-2.(Ао)J], G7)
где Д|со=,со^1—(о*2—со?3—расстройка частоты трех взаимодейст-
взаимодействующих волн. Мы видим, что возмущения нарастают только, ес-
если знаки частот <ukt и со^2 являются разными, т. е. если частота
исходной волны |o)fet | больше частот рождающихся волн \mt |
и |со?2|. Иными словами, энергия исходного .кванта, приблизи-
приблизительно равная вследствие закона сохранения энергии сумме энер-
энергий рождающихся квантов, конечно больше энергии одного из
этих квантов.
Здесь обращает на себя внимание то, что в соответствии с
квантовомеханическим принципом неопределенности энергии на
конечном отрезке времени нарастания мод точного соблюдения
условия резонанса не требуется. Как следствие этого даже в дис-
дискретных системах две волны с заданными (со^3 > &з) и (со&2, &2)
могут взаимодействовать резонансным образом через посредство
пакета волн (со^, k\). Рассмотрим подробнее условия перехода
от случая взаимодействия трех волн к взаимодействию многих
волн. При одномерном распространении рассматриваемых нами
конкретных типов волн условия резонанса имеют вид1:
G8)
В силу малости частоты звуковой волны эти условия, очевидно,
можно выполнить лишь при &3~—^ь k2c^2ku В системе с разме-
размером L спектр волновых векторов является дискретным с расстоя-
расстояниями между соседними гармониками \—2л/Ь. Для ленгмюров-
ских колебаний это соответствует расстоянию по частотам поряд-
порядка бсо= (o|co/^Nfe = 3^6feAi2DO)pe. Следовательно, переход от взаимо-
взаимодействия трех мод, для которых условия G8) выполнены строго,
к взаимодействию многих мод происходит цри амплитуде исход-
1 Здесь использовано более правильное дисперсионное уравнение для ленг-
мюровских волн, полученное из кинетической теории.
613
ной волны, определяемой следующим неравенством.
I Ъ,.*,.*, |г | Ck, |2 >-1 (ди/дку Ь\. G9)
По мере нарастания амплитуд волн (сс^,, k\) и (cok2, k2) они нач-
начнут взаимодействовать между собой и без участия исходной вол-
волны (<0?3, ^з), т. е. через гармоники, выросшие рядом с ней. Имен-
Именно этот процесс перекрытия различных резонансов с шириной по-
порядка v, возможных в системе, приводит к стохастизации взаим-
взаимных фаз взаимодействующих колебаний.
Время стохастизации фаз следует оценивать уже в состоянии,
когда все гармоники в спектре равноценны по порядку величины
(более строгое рассмотрение дано в [18, 19]). На этой стадии в
выражение G7) вместо (С1^!2 входит число когерентных волн
в пакете шириной 6&*. Условие когерентности, очевидно, записы-
записывается в виде
{У*-<и'акЬк*- (80)
где матричный элемент для пакетов взаимодействующих волн
Н= | Vkukt л А ~ const. Отсюда получаем условие перекрытия ре-
резонансов и время стохастизации фаз:
(82)
Заметим, что это время существенно превышает время распада
заданной монохроматической волны, ,и поэтому говорить о стоха-
стохастизации фаз волн, рождающихся в результате распадной неус-
неустойчивости, можно лишь в случае постоянно действующей накач-
накачки. Приближение слабой турбулентности при этом остается спра-
справедливым, есл,и неопределенность в условии резонанса частот не
превышает разброса частот звуковых волн:
(?) (83)
(¦?¦)•
Здесь ширины спектров звуковых и ленгмюровских волн сов-
совпадают в силу выполнения резонанса по k. Используя выраже-
выражение для матричного элемента, полученное при выводе уравнений
G2), G3), это условие можно переписать в терминах энергии
ленгмюровских волн:
\
В статье В. Е. Захарова (см. т. 2 настоящей книги) будет пока-
показано, что при нарушении этого неравенства вместо стохастизации
фаз ленгмюровских волн происходит их собирание в когерентные
сгустки, коллапсирующие до очень малых размеров.
€14
2.3. Кинетическое уравнение для волн в приближении хаоти-:
ческих фаз. Размешивание фаз в результате резонансного взаи-
взаимодействия волн позволяет считать их случайными. В приближе-
приближении хаотических фаз эволюцию волновых полей можно описы-
описывать в терминах изменения числа волн с данным к. Иными сло-
словами, мы будем следить только за амплитудами волн, а по фа-
фазам проведем усреднение. При получении уравнения для чисел
волн воспользуемся классическим аналогом квантовомеханичес-
кой теории возмущений [20], как это было первоначально сдела-
сделано в [14].
Используем динамическое уравнение для амплитуд вероятно-
вероятности, являющееся простым обобщением полученных ранее урав-
уравнений G2), G3) на случай многих мод:
-.= V* Vk>кг u_kf Ckf (t)Ck_k ,(^) exp [i (cok — <rk, — шк_k,) t]. (84)
dt
k'
Суммирование по k' здесь учитывает тот факт, что с данным ко-
колебанием могут взаимодействовать пары волн («к,, к') и (сок",к")
с различными волновыми векторами, удовлетворяющими условию
пространственного резонанса (k=k/+k//). Нормировка амплитуд
волн, как и выше, проведена таким образом, что квадрат ампли-
амплитуды вероятности равен числу волн с данным к:
При таком выборе нормировки матричные элементы обладают
свойствами симметрии, обобщающими полученные ранее соотно-
соотношения G3) на случай произвольных мод плазменных волн и по
существу являющимися следствием гамильтоновости системы:
V V V
Ук,к',к—к' = ^к,к—к',к' = — v_k,—к',к'—к-
Разлагая Ск в ряд по оператору взаимодействия V
и подставляя затем в уравнение (84), получаем:
4l}=-i S c$c$,$deVkiViV.(ry.
к',к" о
k',k",q',q"
о и
J(87)
0 0 J J
615
где
^к к' кп @ = ^к к' к" ехР [* (шк — °°к' — °°к") А ^к к'+к
' ' ' (88)
Величины Ск@) не зависят от времени и соответствуют решению
в отсутствие взаимодействия между модами. Их можно предста-
представить в виде произведения положительной амплитуды на фазовый
множитель exp(ii(Dk). Хотя фазы Фк задаются начальными усло-
условиями в каждом конкретном эксперименте, тем не менее разум-
разумно предположить ях случайными, имея в виду их размешивание
по времени при выполнении условий, изложенных выше. Для
случайных фаз справедливо соотношение
которое мы используем при усреднении изменения чисел запол-
заполнения (т. е. величины |6kl2—J Сic@) |2). В низшем порядке по амп-
амплитуде получаем:
I Ск Г = | С<°» |« + (| С<» Г> + <С<Х>* + С<'>*С<2>>. (90)
Подставляя сюда найденные ранее значения СкA) и СкB) из урав-
уравнения (87), переписываем это в виде:
J dt' Vk, W. к" (П X
о
! 1
X f dt' Vk, q,, „" (П ~ Re 2Ck0> CkV c'V ciV, X
i:_j
X /*' Vk, k,, к„ (^') f Л" Vk,,f q.( q,, (/») - Re2C<;> Ck7, cyCqV, X
0 6 I i 1 I
V V "I
X J df Vkt Vt к„ (О J Л" Vkr, q,, q» (t") \. (91)
0 0 J
В результате усреднения этого уравнения по случайным фа-
фазам произведение четырех амплитуд Ск@) сводится к произведе-
произведению двух чисел заполнения. Два возможных варианта спарива-
спаривания амплитуд показаны здесь пунктирной и непрерывной скоб-
скобками. В первом члене амплитуды Ск@) комбинируются в произве-
произведение |Ск'@)|2|С?°,)|2 = Як'@)Як"@), а в двух других — соответствен-
646
но в | Cklu; г | Скди; г = ^к^и} Пкди) и |СУ°
Использование свойств симметрии матричных элементов приво-
приводит к тому, что произведение двух матричных элементов, входя-
входящих в уравнение (91), можно записать в виде квадрата его мо-
модуля | / Fk,k',k" (t)dt\2 со знаком, зависящим от знаков частот
о
ок, сок', сок_к'. Для интервалов времени, много больших периода
колебаний величин в любой из волн, интегрирование по времени
можно выполнить приближенно:
4sin2>[((ok-(ok,-cok,,)//2J
— Z7CQ ^k — ®kr — ®krf) к kf-4-k" k к! kn\ ^•
Следовательно, изменение во времени чисел заполнения можно
записать в виде
2л I ^ к, к', к"Г пк! пк" — ^!ёп (^к^к'О пк flkf —
к',к'^
(°) (в) 1
— Sign(«кшк0 пк пк"\ ^ (wk — wk' — ^к'') ^к, kf+kfr- (92)
Полученный результат можно представить в виде дифференци-
дифференциального уравнения, считая, что использованную выше процедуру
усреднения можно провести в любой момент времени, определив
тем самым изменение чисел заполнения к следующему моменту
времени /+А1 Другими словами,
Таким образом, из (92) получается кинетическое уравнение для
волн
2J
k',k"
— Sign (<*>k°V) ^k^k''} ^ (шк — шк' — ^k") ^k, k'+k'f- (93)
Уравнение для плазменных волн в таком виде было впервые на-
написано в [21] по аналогии с квантовомеханическим уравнением
для фононов в твердом теле и лишь затем было строго выведено
в [14, 22]. Квантовомеханический аналог этого уравнения обыч-
обычно записывается для положительных частот, так как частота
кванта всегда ассоциируется с выражением для его энергии Йсок.
Его легко получить из тех же самых динамических уравнений
(84), пользуясь кванто,вомеханической теорией возмущений и зо-
золотым правилом. Рассмотрим, например, взаимодействие волны
с частотой ок с другими волнами меньшей частоты (сок>сок/
<ок">0). Процессы взаимодействия в этом случае состоят из на-
617
i'Процессов распада волны с частотой сок и обратных процес-
процессов слияния двух волн с частотами сок' и сок". Изменение числа
заполнедия в этих процессах можно записать в единицах, где
й=1 (см. [20]):
_JL = _4* У] \Vkik,tkrr\2{nk{nk,+l)(nkn+l)~(nk+l)пкгПк,,}Х
at &A
к', к"
X ^ (°°к — ^к' — ^к") ^к, kf+k"*
В классическом пределе (Mk^>l) оно переходит в уравнение
C9). Аналогичным образом выводится "соударительный член для
четырехволнового взаимодействия. Он пропорционален уже
третьей степени числа заполнения. Однако при исследовании
плазменной турбулентности такой соударительный член исполь-
Зуют редко, так как для нераспадных спектров имеется еще воз-
возможность нелинейного взаимодействия волн через резонанс с час-
частицами (взаимодействие волна—частица—волна, см. ниже). Как
правило, последнее оказывается более важным, чем четырехвол-
новое взаимодействие, так как проявляется в более низком по-
порядке по энергии волн. В обычной гидродинамике, где резонансы
с частицами отсутствуют, четырехволновое взаимодействие может
оказаться решающим, как это имеет место для поверхностных
волн на воде.
Кинетическое уравнение в форме (94) уже давно использова-
использовалось в теории твердого тела для описания взаимодействия фо-
нонов с иррегулярностями решетки [20]. Однако существует
принципиальная разница между применениями этого уравнения
к фононам и к плазменной турбулентности. В твердом теле мы
обычно имеем дело с состоянием, близким к термодинамическо-
термодинамическому равновесию. В этом случае речь идет лишь о вычислении не-
небольших поправок к равновесным числам заполнения, т. е. к рас-
распределению Релея—Джинса для фононов. В плазме же мы, как
правило, сталкиваемся с сильно неравновесной ситуацией, при
которой в одном месте пространства волновых векторов имеется
мощный источник волн, а их диссипация происходит совсем в
другой области. Такая ситуация ближе к обычной гидродинами-
гидродинамической турбулентности, и поэтому в ней реализуются спектры
турбулентности, соответствующие постоянству потока энергии
волн по спектру волновых векторов (гипотеза Колмогорова—
Обухова), а не равнораспределению энергии между различными
модами (см. статью В. Е. Захарова в т. 2 настоящей книги).
2.4. Взаимодействие волн с различным знаком энергии. Качест-
Ёенная картина резонансного взаимодействия волн существенно
меняется, если в этом взаимодействии участвуют волны с отри-
отрицательной энергией, на существование которых в плазме было
обращено внимание в '[23]. Термин «отрицательная энергия» име-
имеет тот смысл, что суммарная (кинетическая и потенциальная)
энергия плазмы уменьшается с ростом амплитуды волны. Возник-
618
навение волн с отрицательной энергией возможно только в не-
неравновесной среде, в чем можно непосредственно убедиться, pacJ
сматривая известное /выражение для энергии электромагнитного
поля в диспергирующей среде:
i] (95)
где е, \х — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды
соответственно. Если ограничиться здесь электростатическими
волнами, то отсюда следует, что знак энергии зависит только от
знака де/дсо, который может быть отрицательным в термодина-
термодинамически неравновесной среде, а в .равновесном состоянии из со-*
отношений Крамерса—Кронига следует, что он положителен. Не-
Некоторые конкретные примеры волн с отрицательной энергией уже
обсуждались в статье Дэвидсона, посвященной кинетическим не-
устойчивостям плазмы.
Чтобы выяснить, какие качественные особенности появляются
во взаимодействии волн с участием волн с отрицательной энер-
энергией, мы обобщим динамические и кинетическое уравнения на
этот случай. Для простоты ограничимся рассмотрением электро-
электростатических мод. Амплитуду вероятности, удовлетворяющую оп-
определению (85), можно выразить через потенциал электрическо-
электрического поля волны:
f^*?dW||% (96)
Свойства симметрии матричных элементов можно получить из
уравнений (86) с помощью замены
Sign a>k -» Sign cok -JL. [a>k e (a>k, k)] = Sign -?-.
Проводя ее замену в уравнениях (86), получаем:
-к' =^к-к',-к', к sisn(^ "S^r)• (97)
Строгое доказательство этого соотношения будет получено ниже
при выводе уравнений для взаимодействующих волн в терминах
разложения диэлектрической проницаемости (а точнее, поляри-
поляризации среды) по амплитудам волн. Изменение свойств симмет-
симметрии приводит -к соответствующему изменению кинетического урав-
уравнения для положительных чисел заполнения
(
619
Отметим, что в системе волн с разным знаком энергии возможна
своеобразная нелинейная неустойчивость. Причина ее заключа-
заключается в том, что если волна отрицательной энергии отдает энер-
энергию волне с положительной энергией, то амплитуды обеих волн
нарастают. Простейшим примером такой неустойчивости может
служить распад волны отрицательной энергии на две волны каж-
каждого типа, который происходит взрывным образом [24].
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНА — ЧАСТИЦА — ВОЛНА
3.1. Кинетический вывод уравнения для волн. Выше при об-
обсуждении резонансного взаимодействия волн мы сознательно вос-
воспользовались гидродинамическим описанием плазмы с тем, что-
чтобы отделить его от взаимодействия волн с участием резонансных
частиц. Дело в том, что вынужденные биения на частотах <Dk±Wk'
с волновыми векторами к±к', возникающие вследствие нелиней-
нелинейности плазмы, могут попасть как в резонанс с третьей волной,
так и в резонанс с частицами, скорость которых удовлетворяет
условию резонанса Черенкова (Ok±@k'= (k±k')-v, а в магнитном
поле и циклотронного. На первый взгляд может показаться, что
резонанс волн с частицами достаточно учесть в низшем по энер-
энергии волн квазилинейном приближении. Однако само существова-
существование слабозатухающих волн требует, чтобы его квазилинейное
взаимодействие было слабым. Последнее, как правило, осущест-
осуществляется для волн с фазовыми скоростями, значительно превыша-
превышающими тепловые скорости частиц. Поэтому, например, ионно-зву-
ковые колебания существуют лишь в неизоте|рмической плазме,
когда <u/ktt~]/Te/mi^>vTi=']/Ti/mb а ленгмюровская турбулентность
СОСТОИТ ИЗ ДЛИННОВОЛНОВЫХ ПЛаЗМОНОВ, ДЛЯ КОТОрЫХ (u/k^WTi.
Для таких колебаний число частиц, попадающих в линейный ре-
резонанс, оказывается малым. С другой стороны, число частиц, ре-
резонансно взаимодействующих с биениями, может быть большим,
что и вызывает необходимость учета таких процессов. Из описан-
описанного ясно, что уравнения для слабовзаимодействующих волн,
которые мы получим в рамках кинетического описания плазмы,
должны уже содержать оба эффекта: (резонансное взаимодейст-
взаимодействие трех волн и взаимодействие двух волн с участием резонанс-
резонансных частиц.
Как и выше, мы будем пользоваться классической теорией
возмущений, учитывая в разложении по амплитуде колебаний
члены вплоть до третьего порядка. Рассмотрим сначала более
простой случай электростатических колебаний плазмы. Потенци-
Потенциал электрического поля колебаний мы разложим в ряд Фурье по
времени1 и по пространству. Первое предполагает хорошее пове-
поведение потенциала при /->-оо. Хотя это условие заведомо наруша-
1 На самом деле по времени более удобно пользоваться интегралом, а не
рядом Фурье. Поэтому, сохраняя для краткости записи знак суммы по часто-
частотам, мы будем подразумевать под ним интегрирование по частотам.
,620
ется в линейном приближении, когда имеется раскачка или зату-
затухание колебаний, нелинейные эффекты, ограничивающие рост
возмущений, могут оправдать такое предположение. В согласии
с классической теорией возмущений функцию распределения час-
частиц будем искать в виде разложения по амплитудам волн. Для
этого в кинетическом уравнении нелинейный член перенесем в
правую часть:
5
к, (о
(99)
Левая часть представляет собой полную производную функции
распределения частиц вдоль траектории частиц, определяемой
уравнениями движения:
].} . A00)
т,4у/Л=(*//с)[УХВв].
Последнее позволяет переписать уравнение (99) в виде интелра-
ла по траектории частиц:
i
к, со —о°
где Ф(к, со) —Фурье-образ потенциала.
Решая это уравнение методом итераций, для гармоники Фурье-
.функции распределения получаем:
Boo 1
l//(k,a>fv)=JSfr)(k. <¦>. v);
J
Гл=О
С со,
k'+k;'=k-oo
г
Г^'Ф(к',ш')ехрХ
A02)
Подставляя это выражение в уравнение Пуассона
&2Ф(к, о)) = 2^/ ]^vf/(k> ^i v), A03)
¦получаем динамическое уравнение для волн в виде разложения
лоляризации плазмы по амплитудам Фурье-гармоник потенциала:
, к" К <
621
к'+к"+к'"=к
. = 0. A04)
Здесь 8кA)(°>)—линейная диэлектрическая проницаемость плаз-
плазмы, а выражение для еB) и еC) можно найти из A03) .подстанов-
.подстановкой в него соответствующего члена разложения A02) функции'
распределения по амплитудам волн. Ниже мы вычислим эти ве-
величины для простейшего случая плазменных волн в отсутствие
магнитного поля в плазме»
Решим динамическое уравнение, считая величины | Ф (к, со)|2*
малым параметром. Очевидно, что Ф(к, со) имеет узкий пик вбли-
вблизи собственных частот со = о)к, так что
Ф(к, ©)«Ф^в(© — ©к), (Ю5>
где шк—решение уравнения Reek(I)(lCO)=0. На квазилинейной
стадии ширина этого пика является величиной -порядка -ук* Она
мала при Yk^^k. На нелинейной стадии можно ожидать некото-
некоторого уширения пика пропорционально уровню колебаний. Учиты-
Учитывая, что в слабонеустойчивой плазме (ук<?®к) уровень колеба-
колебаний оказывается также мал |ФкA) |а~ТкЛ°к), мы по-прежнему
можем пользоваться приближением A05).
В следующем приближении уравнение A04) дает:
Zew ъп^к'* ©к")
К ' * A) Фк,, Фк„ 8 («к, + шк„ - со).
kf+k"=k ek (со)
A06)
Чтобы вывести кинетическое уравнение для волн, домножим;
уравнение A04) на Ф*(к, co)exp[i(o>— co)f] и проинтегрируем по«
rfcorfco. Первый член в получающемся таким образом уравнении:
есть
г B)
(ш)Ф(к, ш)Ф*(Л, ш)ехрр(ш —ш)/]. (Ю7>
Поскольку Ф(к, со) имеет пик вблизи 'соь то диэлектрическую»
проницаемость в подынтегральном выражении можно предста-
представить в виде
0), ч д?кУ^
ек (со) = -
fa(
где 8кA)/ и вкA)// — действительная и мнимая части диэлектриче-
диэлектрической проницаемости соответственно.
Симметризуя подынтегральное выражение в A07) по со", со и
622
выполняя интегрирование, переписываем первый член в виде
Л 0)'
где зависимость амплитуды собственных колебаний от времени
определяется как
Фк (t) = j <Ш (к, со) ехр [— i (со - сок) t]. A09)
Подставляя в оставшиеся члены уравнения A04) выражения
A05) и A06) и проводя усреднение по фазам (т. е.
<фкП)фкД !>>=-1 ФкA) 12бк ,_к'), получаем уравнение для волн:
, р 21у,к"'УУ"г'фк'1гУ1г
к'+к"=к ?к'+к"
4? (ю ю «
?к-к'
-з43',-к',кК'. -«-V. шк)]|ФкГ1Фк'12. (ПО)
Здесь мы ограничились членами не старше второго порядка по
энергии волн и опустили верхний индекс у амплитуд волн ФкA).
Это уравнение в частном случае одномерного пакета ленгмюров-
ских волн было впервые выведено Драммондом и Пайнсом [7],
а затем обобщено авторами других работ (см., например, [22, 25,
26]) на более общие случаи. Первый член в правой части описы-
описывает линейное затухание (рост) колебаний. Во втором члене
вклады дают- полюсы, возникающие при совпадении частоты бие-
биений с какой-либо из собственных частот. Заметим, что так же,
как и в случае полюса Ландау, при вычислении, вклада от полю-
полюса при cok'+tok"=cDk следует пользоваться определенным прави-
правилом обхода. Это правило заключается в том, что .независимо от
знака мнимой части диэлектрической проницаемости , вклад от
полюса вычисляется в предположении, что ее знак такой же, как
в равновесной среде:
N
8(ш-а>к),(Щ)
так как согласно соотношению Крамерса—Кронига в равновес-
равновесной среде знак мнимой части диэлектрической проницаемости
¦совпадает со знаком частоты. Таким образом, в случае волн спо-
623
ложительной энергией первый член описывает слияние колеба-
колебаний Ф^, Фк" с образованием колебаний Фк. В случае отрица-
отрицательной энергии волны Фк'знак изменения ее амплитуды при сли-
слиянии ©олн с положительной энергией Фк', Фк' правильно учиты-
учитывается правилом обхода A11) и соотношением A08). Третий
член дает вклад в процессы распада (сок—сок'=сок") и в процес-
процессы индуцированного рассеяния (<сск—сок' = (к—k')-v). Четвертый
член, очевидно, ответствен за .индуцированное рассеяние волн
свободными частицами.
3.2. Уравнения слабой ленгмюровской турбулентности. Для
примера рассмотрим взаимодействие ленгмюровских волн со
случайными фазами в плазме без магнитного поля. Вычисление
коэффициентов разложения поляризации плазмы по амплитудам
волн в этом случае особенно просто, так как интегрирование в
итерационном уравнении A02) проводится по прямолинейным
траекториям частиц r(t)=vt. В результате для первых двух ко-
коэффициентов разложения получаем:
(И2)
X
^ co' + to"
(V- ! к" — +
k")-v + i0 ^ д\ со" — k".v + i0 dv '
-I-к".— l- V~)f9t; A13)
1 dv to'— k'-v + iO dvI*1 '
', к", к'" к- т">ш'")=2j 2(k'+k''+k"o2 w) Jd v x
х i х
ш' + й)" + <й'" —(k' + k" + k'")-v + iO л
(^v Q)." _|_ о)"' (к" ' 1-"'4 — • лл ^
x(v.±. ! k-^-+k.^- ? v.±\f
\ dv со"— k".v + iO dv l dv со"'— k"-v + iO dv) J
A14)
Бесконечно малая положительная величина ( + 0) дает правила
обхода полюсов при .интегрировании по скоростям. Она не воз-
возникает естественным образом, как это было в линейной теории
при использовании преобразования Лапласа для решения началь-
начальной задачи, а просто введена, чтобы соблюсти принцип причин-
причинности (обеспечивает медленное выключение как собственных ко-
колебаний, так и вынужденных биений при t-**oo). В дальнейшем
624
мы покажем, что третий член разложения ,еC) здесь можно опус-
опустить, поскольку вклад в индуцированное (рассеяние колебаний:
электронами от этого члена, как было впервые показано Драм-
мондом и Пайнсом [7], компенсируется вкладом второго слагае-
слагаемого в квадратных скобках уравнения (ПО). Физический меха-
механизм ослабления рассеяния заключается в экранировке заряда
электрона ионной шубой (так называемый поляризационный эф-
эффект). При этом основным оказывается индуцированное рассея-
рассеяние плазмонов ионами, описываемое третьим членом в уравнении
(ПО) (и, конечно, распадные процессы с участием фононов в слу-
случае неизотермической плазмы). Нетрудно видеть, что нелиней-
нелинейность диэлектрической проницаемости еB) обусловлена нелиней-
нелинейностью уравнений движения электронов, а вклад в мнимую часть
8кA) дают ионы. Чтобы оценить «<2>к,—к' (ю>ь —сокО> разложим ин-
интеграл в уравнении A12) ,в ряд по малому параметру
(со— ко') 11 к—к" | vre ~ iWf те< 1:
4?-к'К> ~°v)=2(e^ ^
. Г "*' k *Ы __ k-k'
[(cok-k.vJ dv (cok,-k'.
.. Г k *Ы __ kk v dUe , fcy
[(cokvJ dv (k'vJ dv ^ ((ok-k-v)(<*k,-k'-v)
Х ' "' dv J\ dv J-'n} 2me
{k — k')-df<,e/dv _ e k-k'
cok-o>k,-(k-k')-v + i0 2me
Аналогичным образом находим:
k*eV k-k' — — ^— (k
2m cok cok
2me
',k,-k' = '
Видим, что в пределе, когда (о)к—@к')/(к—k'J^re^ft^D^l, вкла-
вклады последних двух слагаемых уравнения (ПО) -в индуцированное
рассеяние волн электронами взаимно компенсируются, причем в
случае достаточно узкого (или длинноволнового) пакета ленгмю-
ровских волн индуцированным рассеянием волн электронами
можно вообще пренебречь по сравнению с индуцированным рас-
рассеянием на ионах. Именно в этом случае удается получить неко-
некоторые частные решения уравнения для индуцированного рассея-
рассеяния волн, и поэтому мы ограничимся здесь его рассмотрением.
Пренебрегая вкладом электронов в рассеяние .и используя выра-
625
жения A15) и A16) для еB), приводим уравнение A10) к виду:
2 2
х | к -
— со,,)
Im 2^_к^ (шк — cokf), A18)
где Yk = —йк/(д&к'/д(оь)—линейный инкремент нарастания (за-
(затухания) волн. Нелинейный член в этом уравнении отличен от
нуля, если находятся резонансные ионы со скоростями, равными
фазовой скорости биений (coki^kO/lkitk^. Поскольку основная
масса тепловых ионов движется -со скоростями значительно мень-
меньшими фазовых скоростей колебаний, то резонанс возможен лишь
с биениями на разностной частоте. Условие резонанса со к—«к' =
= (к—k')-v, переписанное в форме закона сохранения энергии
h (cok — сок') = (di/dp) Ар [$ =mv2/2— энергия частицы, Ар=
=h(k—к') — импульс, передаваемый ей], ясно показывает, что
мы .имеем дело с процессом поглощения кванта (сок, к) частицей
и излучения кванта (©к'» к')» т. е. с индуцированным рассеянием
волн. Естественно, что число волн в этом процессе должно сох-
сохраняться. Чтобы проверить, так ли это, перейдем в A18) к чис-
числам волн. Используя соотношение (96), получаем:
^=_J^r*k (H^H|k^kTlm 'V-fc'<0"' .
6t ™WPe J ( Y k'k'2 ek_k/(»k-V>
Такое нелинейное, неодномерное интегральное уравнение ре-
решить в общем случае не представляется возможным. Поэтому
в различных конкретных случаях его пытаются упростить. Ниже
рассмотрены два предельных случая — изотропного пакета ленг-
мюровских волн и струйного спектра волн в к-пространстве,
когда вследствие значительного упрощения уравнения A18)
удается прояснить некоторые особенности индуцированного рас-
рассеяния.
3.3. Приближение дифференциальной перекачки по спектру.
Рассмотрим эволюцию изотропного в к-лространстве пакета ланг-
мюровских волн, разброс фазовых скоростей которых значитель-
значительно больше тепловой скорости ионов:
Ak/k^> {те/гпгI/2. A20)
При этом условии числа волн зависят лишь от модуля волнового
вектора, а ширина волнового пакета по частотам «сок оказывается
много больше ширины острого максимума ядра интегрального
оператора в правой части уравнения A19) при G)k' = cok. Иными
словами, в спектре волн интенсивно взаимодействуют лишь близ-
близкие друг к другу по частотам волны, так что подынтегральное
выражение в A19) можно разложить по степеням разности час-
частот взаимодействующих волн. Ввиду нечетности ядра как функ-
626
ции от сок—«к' нулевой член разложения при интегрировании ис-
исчезает. Вклад от первого (линейного по icok—©к') члена разложе-
разложения вычисляем, используя следующую формулу ,из теории дис-
дисперсионных соотношений [27]:
Im
к—к'
sk-k'
ре
?к—к'
?к—к'
В результате сводим уравнение A19) к дифференциальному урав-
уравнению в к-пространстве [25]:
; — Ny^NjdK = 0, A22>
где Nx = -т-т- т"—г" 5 т = о*» х = ттг •
Это уравнение хорошо известно из гидродинамики. Оно описыва-
описывает движение плазмонов в область меньших частот (малых k) с
переносной скоростью, пропорциональной числу плазмонов.
В рассматриваемом случае волнового пакета профиль Af* имеет
вид широкой спектральной линии, которая с течением времени
укручается в сторону движения (в области меньших к), пока не-
ненаступает так называемое явление перехлеста (рис. 6). Такое по-
поведение связано с тем, что вероятность индуцированного рассея-
рассеяния пропорциональна интенсивности волны в том месте простран-
пространства к, куда .происходит рассеяние. Поэтому рассеяние в подно-
подножие профиля NK происходит медленнее, чем на ее гребень. Эта
и приводит к перехлесту. Однако вывод о наступлении перехлес-
перехлеста, сделанный на основе анализа упрощенного уравнения A22),
является некорректным, так как при выводе его использовалось
предположение о гладкости спектра. Чтобы поправить дело, сле-
следует учесть линейный и кубичный члены разложения подынте-
подынтегрального выражения в A19) по степеням разности частот. Тог-
б] t>o
В) t>0
О
К
к 0
Рис. 6. Эволюция спектра ленгмюровских волн при индуцированном рассеянии
на ионах:
а — начальный спектр; б — образование области трехзначности решения упрощенного урав-
уравнения A22); в — однозначный спектр для того же момента времени, что и в случае б,
на с учетом дисперсии [28]
627
да вместо уравнения A22) получим:
~т^ ~~^*~1Г piVx x =0, A23)
где коэффициент iC по порядку величины можно оценить как
р= 1 е 1 (А&Яв); он является малым при выполнении усло-
условия A20). Это уравнение, как и вообще представление интеграль-
интегрального оператора в виде ряда дифференциальных операторов, спра-
справедливо до тех пор, пока градиенты в k-пространстве не слишком
велики, т. е. >pd2iVx/d%2<CiAfx. Последнее условие заведомо соблю-
соблюдается в случае, .когда невысокая и достаточно широкая спект-
спектральная линия движется на фоне почти однородного спектраль-
спектрального распределения волн. Тогда задача о щюфиле линии стано-
становится аналогичной задаче об эволюции начального возмущения
в нелинейной среде с дисперсией. Как известно, дисперсия ско-
скорости движения линии в k-пространстве останавливает укручение
переднего фронта. Но вместе с тем от переднего фронта отделя-
отделяются солитоны и сносятся назад, так как образующиеся при укру-
чении более коротковолновые гармоники согласно уравнению
A23) имеют меньшую фазовую скорость в k-пространстве. При
малой высоте линии ширина солитонов удовлетворяет условию
A20), при котором справедливо уравнение A25).
Если нас интересует релаксация отдельной линии плазменных
волн в k-пространстве, то образующиеся в к-проспранстве гради-
градиенты не малы и малого параметра ip более нет. В этом случае
следует решать точное интегральное уравнение. Качественная
картина релаксации при этом остается прежней: передний фронт
линии становится круче и от него отщепляются солитоны {28, 29].
3.4. Струйные спектры ленгмюровской турбулентности. Выше
мы рассмотрели идеализированный случай изотропной ленгмю-
ленгмюровской турбулентности, когда временная эволюция пакета ленг-
мюровских волн описывалась дифференциальным уравнением в
частных производных. Однако в реальных условиях ленгмюров-
ские волны возникают в плазме из-за наличия различного рода
неустойчивостей и, конечно, вследствие анизотропного характера
возбуждения не обладают изотропией. Более того, следуя рабо-
работе [30], покажем здесь, что даже небольшая угловая асиммет-
асимметрия инкремента неустойчивости гипертрофируется в процессе ин-
индуцированного рассеяния волн на частицах и в конце концов ста-
стационарные спектры ленгмюровской турбулентности становятся
еще более анизотропными: ленгмюровские волны оказываются
сосредоточенными на линиях или поверхностях в k-пространстве.
Для простоты изложения ограничимся аксиально-симметричным
случаем, который может реализоваться, если имеется выделенное
направление в k-пространстве, в котором происходит преимущест-
преимущественное возбуждение (например, пучками частиц или электриче-
электрическим полем внешнего поляризованного излучения). Эволюция
спектра ленгмюровской турбулентности при этом описывается
623
уравнением A19), в котором в -приближении широких по |к| (но
не по углу!) -спектров волн можно перейти к дифференциальной
форме оператора взаимодействия:
1
(х, y)N(k, y)dy\, A24)
где
N(k, x)=k2n(k, х)/BлK;
Т (х, у) = -%- * и " {1 - х2 - у2 + ЗхУ - Зху + Зху3
x=cos0; #=cos0'; ky '0, <p — сфе(рические координаты в &-прост-
ранстве с осью вдоль выделенного направления. В отличие от
уравнения A22) здесь сохранена зависимость чисел волн n(k, х)
от угла 6.
Рассмотрим теперь, какие стационарные решения может иметь
уравнение A24). На первый взгляд кажется, что существует до-
довольно большая степень произвола: >N(k, х) можно положить рав-
равным нулю в любой наперед заданной области (А, х). Однако та-
такие наперед заданные решения оказываются, как правило, неус-
неустойчивыми [31]. Условие неустойчивости вместе с условием ста-
стационарности решения A24) приводит к условиям:
t{k. x) = 4N (k, х) при N(k,
у(?, Jt)<^(&, х) при N(k,
i
где Т" (k, х) = - ~~ J T (х, у) N (k, у) dy.
)^=0; \ 5
) = 0, J
Иными словами, ленгмюровские волны сосредоточиваются на
конических поверхностях x=x(k), где выполнено первое из усло-
условий A25). В более общем случае отсутствия аксиальной симмет-
симметрии касание функций y{k) и yN(k) могло иметь место только на
линиях. Такие линии (или поверхности), на которых сосредото-
сосредоточено спектральное распределение, в [30] названы соответственно
одно- или двумерными струями. При известном количестве и фор-
форме струй x=Xi(k) (i=l9 ..., г) решение можно представить в виде
где Ni(k) удовлетворяют уравнению
dN;
x. (k)\—- -Ь
dX;
629
а форма струи определяется из условия касания A25):
-?-[у(*. *)-T"(*. x)]\x=Xiik)=0. A28)
Энергия, поступающая в ленгмюровские волны, благодаря неус-
неустойчивости переносится затем в область более длинных волн,
вдоль струи.
Для примера определения формы струи рассмотрим парамет-
параметрическую неустойчивость волны накачки E=E0cos Qty приводя-
приводящую к возбуждению ленгмюровских волн благодаря рассеянию»
на монах '[32, 33]. В этом случае выделенное направление опре-
деляется вектором Ео и образование струи следует ожидать при
jc="±1, так как именно в этом направлении инкремент парамет-
параметрической неустойчивости максимален [см. A18)]
x) = -f—^x4m——± JL—e^-G)-^, A29>
где Vei — частота редких электрон-ионных соударений, учитываю-
учитывающая соударительную диссипацию ленгмюровских волн. Ввиду сим-
симметрии инкремента у(к9 х)=у(к, —х) струи также оказываются,
симметричными:
N(k, x) = 2N{k)b(x*-\y, \ 13
При этом условие устойчивости A25) принимает простой вид
y(k,x)<x*y(k, 1) при |*|<1.
Это условие выполняется из-за наличия в A29) слабой столкно-
вительной диссипации.
Аналогичным образом можно определить форму струи в слу-
случаях, когда максимум инкремента достигается при углах, соот-
соответствующих двумерным струям {30].
3.5. Об отсутствии перенормировки в квазилинейной теории
ленгмюровских колебаний. В основу простого вывода квазилиней-
квазилинейных уравнений ленгмюровских волн в разд. 1 положено предпо-
предположение о наличии достаточно широкого волнового пакета, в ко-
котором происходит быстрое фазовое .размешивание. Условие тако-
такого размешивания формулируется следующим образом: если |Д& —
ширина пакета по фазовым скоростям, то время фазового раз-
размешивания в пакете t\~l/kAv. Это время должно быть сущест-
существенно меньше времени квазилинейной диффузии:
(At;O?fe, A32)
где Dk& \Eh\2(kv=<uk)—коэффициент квазилинейной диф-
tn2ev
фузии частиц. Это неравенство можно переписать в терминах,
времени блуждания резонансных электронов [баунс-периода зах-
630
заченных электронов, см. уравнения A0) и A3)]:
=(k2Dk)'/\ A33)
Естественно, что кроме этого неравенства необходимо выполнить
условие перекрытия резонансов соседних мод [см. G) и (9)]:
wtt(k2Dky/*/k>bvy A34)
где w — ширина отдельного резонанса волна — частица, a 6v —
расстояние по фазовой скорости между соседними гармониками
в спектре.
В последнее время в литературе [34—36] появились утверж-
утверждения, что условий A33) и A34) недостаточно и применимость
квазилинейных уравнений ограничена пределом очень малых
амплитуд поля: (k2Dh)^3<^yk. При этом авторы ссылаются на вы-
выполненное ими численное моделирование, в котором якобы за вре-
время порядка (k2Dk)~1^ происходит группировка фаз отдельных
гармоник. Поэтому они считают,, что в противоположном предель-
предельном случае
A35)
нельзя уже пользоваться предположением о быстром размешива-
размешивании фаз. Кроме того, в [36] выполнено выборочное суммирова-
суммирование старших членов разложения по теории возмущений, ранее не
учтенных в квазилинейной теории. Авторы ее пришли к выводу
о необходимости перенормировки пр-и условии A35). Не будем
здесь заниматься анализом упомянутого выше численного моде-
моделирования. Заметим только, что строгие условия применимости
квазилинейной теории A32), A33) в этих работах не были вы-
лолнены. Что же касается вклада членов более высокого поряд-
порядка в резонансное взаимодействие волна—частица (т. е. в инкре-
инкремент), то мы проанализируем его в рамках строгой теории воз-
возмущений.
Следуя '[37], воспользуемся для этого нелинейным уравнени-
уравнением для взаимодействующих волн. Вклад в резонансное взаимо-
взаимодействие волна — частица связан здесь с членами, формально
расходящимися в точке резонанса kv=cok. Хотя расходимости
устраняются при учете нелинейного уширения резонанса, тем не
менее в одномерном случае вклад их в инкремент при грубой
оценке оказывается сравнимым с линейным инкрементом1. По-
Поэтому необходимо более строго учитывать эти члены в одномер-
одномерном случае. Рассмотрим сначала члены второго порядка по энер-
энергии волн, содержащиеся в уравнении (ПО). Очевидно, что основ-
основной нелинейный вклад в резонансное взаимодействие волна —
частица здесь дают два последних члена, причем в отличие от
рассмотренного ранее случая индуцированного рассеяния волл
взаимного сокращения вкладов этих членов в точке резонанса
1 В двух- и трехмерном случаях вкладом этих членов можно пренебречь
уже на основании грубой оценки.
631
kv = (x)k уже не происходит. Это связано с тем, что первое из наз-
названных слагаемых учитывает электрическое поле биений резо-
резонансных частиц, которое содержит дополнительный малый пара-
параметр, пропорциональный числу этих частиц. Таким образом, нам
следует проанализировать только последнее слагаемое. Восполь-
Воспользовавшись интегрированием по частям в выражении A12) для
еC), его вклад в уравнение (ПО) в одномерном случае представ-
представляем в виде
\д\Фк\* \ _ , +р dkx C, .ф |2 |ф ,,_
4-оо 4-оо
—оо —оо
1
^ + i^^j J.
Здесь слагаемое i6fe=i(^2DftI/3 в резонансных знаменателях фор-
формально учитывает эффект нелинейного уширения (резонанса бла-
благодаря блужданию резонансных электронов в поле волны с ха-
характерным временем ть. Для грубой оценки вклада области ре-
резонансных скоростей >y=io)ft/fe«(Dfti/«fei в этот интеграл мы сохра-
сохраним в резонансных знаменателях лишь слагаемое i8h. В резуль-
результате нелинейная добавка к инкременту оказывается порядка
2я^ df0
где у. = °°пе—-—линейный инкремент.
mek2 dv
Воспользовавшись выражением для tik через коэффициент диф-
диффузии, находим, что нелинейный вклад в инкремент порядка ли-
линейного. Если бы это было так, то учет подобного рода нелиней-
нелинейных членов, не меняя вида квазилинейных уравнений, мог бы
привести к перенормировке силы резонансного взаимодействия
волна — частица. Однако аккуратное вычисление показывает, что
интеграл в правой части уравнения A36) в старшем порядке no-
параметру (kAv/&k) обращается в нуль и поэтому такая перенор-
перенормировка отсутствует. Доказательство этого факта основано на
том, что все особенности подынтегрального выражения A36)
представлены в явном виде в резонансных знаменателях, тогда
как числители являются гладкими функциями переменных v и
k\. Это позволяет вычислить все интегралы с помощью теоремы
о вычетах и представить результат в виде производных порядка
п от упомянутых гладких функций. Естественно, что величина ин-
интеграла при выполнении условия A33) оказывается в FjkAv)n
раз меньше той, которая получается при грубой оценке.
632
Рассмотрим сначала первое слагаемое в правой части уравне-
уравнения A36)
+00
j <%,(»)/(»*-&> +i8*L. A38)
+00
является гладкой функцией и. Это слагаемое можно преобразо-
преобразовать к виду
+00
Kуг/ди3 i n д3уг
-— f
dv
dv3
A39)
Оказывается, что A39) в (kAv/6k)z раз меньше своей грубой
оценки.
Второе слагаемое пропорционально интегралу
-fOO
-7г \ dv
dfo/dv
X
X
id)
A40)
Поскольку оба полюса в интеграле по k\ лежат в одной полу-
полуплоскости (выше действительной оси k\ при у>0), то в точке ре-
резонанса kv=<uh он имеет вид:
+00
Оставшееся интегрирование 'по у также легко выполняется
+ 00
J
dv
. A41)
Точно так же можно показать, что члены типа индуцирован-
индуцированного рассеяния не дают существенного вклада в .резонансное вза-
взаимодействие волна—частица в любом порядке теории возмуще-
возмущений.
Несколько иначе вычисляется вклад в резонансное взаимодей-
взаимодействие волна—частица от членов теории возмущений, описываю-
описывающих распадное взаимодействие. Такого типа члены появляются
впервые в третьем порядке по энергии волн. Поскольку матрич-
матричные элементы оператора такого взаимодействия обладают свой-
свойствами симметр-ии, нам достаточно рассмотреть только один из
633
членов такого типа [ср. со слагаемым, описывающим трехволно-
вое взаимодействие в (ПО)]:
д\Фь\*\ _г С dkx
X Т-^ I'&¦-*„»,.-^1а | Фкк_к21.1 Фк11. | Фк% |.в A42>
При выполнении условия малости дисперсии частот взаимо-
взаимодействующих друг с другом волн в области резонанса
это уравнение принимает вид:
= Im / » ТГ1 I I dv dv' x
\k3dPd k П ob + id
/ 1 \* д д Г dkx fef 1 Фк, I2
X
1г^- A44>
Для решения вопроса о перенормировке достаточно вычислить
вклад самого высокого (шестого) порядка ino (kAvj8k), который
мог бы оказаться сравнимым с линейным вкладом. В соответст-
соответствии с этим в числителе мы пренебрежем зависимостью от ku k2
и v и вынесем его значение в резонансной точке v=aype/k, k\ =
=k2=k за знак интеграла. Интегралы по kx и k2 при этом не об-
обращаются в нуль, несмотря на высокий порядок полюсов только
потому, что полюсы подынтегрального выражения расположены
по разные стороны от вещественных осей k{ и k2. Вычисляя их,,
получаем:
I Ф&|2\ / 4я2?4&2 | Фб|2 \2 _j С С dv dv1
hi I l ч J5 A) /a \ *k II ((Ofc — kv -4- i b\ ((Dfe —^ kvf — i d)
д д 1 д д Г 1 1 Фо <?fo /I/icy
X —— — . A45>
dv dvr k(v — vr)—2idk dv dvf [k(v — v1) — 2\bk\ dv dvr
Теперь уже полюсы в интегралах по v и vr находятся по одну
сторону от вещественных осей v и v' [выше оси v и ниже оси и'
при (<оЛ/Л)>0]. Ввиду высокой степени полюсов этот двойной:
•интеграл уже обращается в нуль, что и доказывает отсутствие
искомых вкладов высокого порядка. Аналогичным образом мож-
634
ло показать, что и .распады более высокого порядка не дают вкла-
вкладов, сравнимых с линейным. Таким, образом, мы доказали, что
-при выполнении условий применимости квазилинейной теории
{133) и A34) нелинейные поправки к квазилинейным уравнениям
действительно оказываются малыми.
3.6. Индуцированное рассеяние света в нерелятивистской плаз-
плазме. При выводе уравнения взаимодействующих электромагнит-
электромагнитных волн удобнее воспользоваться разложением токов в плазме
/(а не ее поляризации) по амплитудам волн. Однако исходными
при этом являются все те же итерационные уравнения для функ-
функции распределения частиц:
J(n+l) 1 сч
Здесь в отличие от уравнения A02) мы показали индексами вол-
волновые векторы всех волн, вносящих вклад в нелинейную поправ-
поправку к функции распределения данного лорядка (п). Знак суммы
в правой части второго уравнения A46) показывает, что резуль-
результат суммируется по всем возможным перестановкам индексов.
Индуцированное рассеяние световых волн со случайной фазой
является эффектом второго порядка малости по энергии волн,
поэтому для правильного описания его следует вычислить ток
рассеяния с точностью до третьего порядка по амплитуде волны,
что предполагает нахождение поправки к функции распределе-
распределения р\
Поскольку в нерелятивистской плазме магнитное поле волны
слабо влияет на движение частиц, то при вычислении f^ им мож-
можно пренебречь. Тогда выражения для /(п) в рассматриваемом слу-
случае совпадают с выражениями, найденными для электростатиче-
электростатических ленгмюровских волн, в которых, как и раньше, можно пре-
пренебречь тепловыми поправками порядка йи/сэ4С1. В результате
для /B> получаем [ср. с A13)]:
/B) i /i*/V Ak7" (VEk'>r 4
/k, — k'— 2 \ m} J Aco — Дк-v + iO <*k<*k, K }
где iAco = o)k—uv; Ak=k—k'.
Подставляя это выражение в A46) и оставляя лишь член,
дающий вклад в ток рассеяния с частотой сок, получаем в следу-
следующем приближении:
. (|48>
635
Интенсивность излучения рассеянной волны равна работе частиц,
в поле рассеянной волны, т. е. —/C)к',к,—к"Ек *. Однако ток рас-
рассеяния, вычисленный с помощью A48), учитывает лишь рассея-
рассеяние на свободных частицах. В плазме частицы окружены экра-
экранирующим облаком электронов и ионов. Очевидно, что экрани-
экранирующее облако, колеблясь в противофазе, компенсирует рассея-
рассеяние свободными частицами.
Электрическое поле экранирующего облака можно считать
потенциальным. Потенциал ФB)дк,д<» определяется из уравнения
Пуассона:
Ak2e (Дсо, Дк) Фдк> дю = — 4тгг J /к> Lk, dv.
Отсюда получаем такой же результат, что л для ленгмюровских
колебаний [см. A06) и A13)]:
o, Ak)
e(Ato, Ak)
A49>
где е (со, k)—линейная диэлектрическая проницаемость, ранее
для краткости записи обозначавшаяся как гъAЦ(о).
Электростатическое поле биений в свою очередь искажает
функцию распределения частиц:
П1) ef
f^ (Д(И) = it+
В связи с этим возникает необходимость нового шага итерации
уравнения A46):
;k',Ak mj со — k-v
Индексы 1 и 2 здесь указывают на то, что эти поправки к функ-
функции распределения были вычислены .путем одной или двух ите-
итераций уравнения A46), на самом же деле порядок этих попра-
поправок выше из-за квадратичности поля ФB), использованного при.
второй итерации. Поэтому при вычислении тока рассеяния сле-
следует учесть обе A48) и A51). В результате интенсивность рас-
рассеяния вычисляется как работа этого нелинейного тока частиц.
2_1 Е | + !
{ ? !)} (I52>
Выполняя интегрирование по v, получаем уравнение для ампли-
амплитуд колебаний [27, 38]:
д / 1 д(есо*)\ lEkl8 е2 П dk
dt \ со да I 4п т2е J BпK
*
(Ek'Ek^
636
X ? ^ Im {|l+s?(Aco, Дк)|2е'(Да), Дк)+|з'(Да>, Дк)|2е'(Дсо, Дк)}..
A53>
Следует отметить, что это уравнение имеет весьма ограниченную
область применимости. Во-первых, поля здесь предполагались
настолько слабыми, что потенциальная энергия частиц в поле-
биения была меньше тепловой энергии (еФ^^Т). С другой сто-
стороны, мы пренебрегли доплеровскими поправками к частоте вол-
волны, которые ,в результате взаимной компенсации рассеяния сво-
свободными электронами (комгстоновского рассеяния) и рассеяния.
на экранирующем их облаке ионов могут оказаться существен-
существенными при и2Те/с2^пге/тг.
Так же как и в случае ленгмюровских колебаний, здесь воз-
возможен переход к дифференциальному уравнению в случае дос-
достаточно широких спектров. В этой связи интересно отметить, что*
такое уравнение для случая индуцированного рассеяния на сво-
свободных электронах плазмы было давно написано А. С. Компа-
нейцем в предположении об изотропности излучения и отсутствии
у него поляризации. Его можно получить из уравнения A53) с
помощью той же процедуры, что и A22):
dn(v, t) aTnoeh 1 д г Те дп 1
—-п— =— - -т— v4 \п 4-/г + -т—т—\ у A54V
dt mec v2 dv I • l h dv J v '
где второй и последний члены не содержались в уравнении A53)
и обязаны рассеянию света на флуктуациях плотности электро-
электронов (см. статью Обермана); iaT= (8я/3) (е2/шс2J — томпсонов-
ское сечение рассеяния света; v=G)/2jt — частота световых коле-
колебаний.
Нелинейные эффекты при взаимодействии излучения с плаз-
плазмой, включая обмен энергии имлульсом при рассеянии, получи-
получили свое развитие особенно в связи с астрофизическими приложе-
приложениями [28], где вследствие огромной мощности излучения и боль-
большим объемам, эти нелинейные явления успевают проявиться.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. — В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Атом-
издат, 1973, вып. 7, с. 3.
2. Кадомцев Б. Б. — В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1964,.
вып. 4, с. 188.
3. Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М.: Наука, 1967.
4. Davidson R. С. Nonlinear Plasma Theory. N.Y.: Academic Press, 1971.
5. Ishimaru S. Basic Principles of Plasma Physics. N. Y. — Lond.: Benjamin
Press, 1973.
6. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. —Ядерный синтез, 1961,
т. ,1, с. 82.
7. Drummond W. E.t Pines D. —Nucl. Fusion Sup., 1962, vol. 3, p. 1049.
8. Романов Ю. А., Филиппов Г. Ф, — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1961,.
т. 40, с. 123.
9. Альтшуль Л. М., Карпман В. И. —Журн. эксперим. и теорет. физ., 1964,
т. 47, 1552.
10. Rogister A., Oberman С —J. Plasma Phys., 1968, vol. 2, p. 33.
637
11. Dupree T. — Phys. Fluids, 1966, vol. 9, p. 1773.
12. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. 3. —Успехи физ. наук, 1961,
•т. 73, с. 701.
13. Ораевский В. Н., Сагдеев Р. 3. — Журн. техн. физ., 1962, т. 32, с. 1291.
14. Галеев А. А., Карпман В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1963,
т. 44, с 592.
15. Сагдеев Р. 3. Физика плазмы и проблема-управляемых термоядерных
'реакций. Т. 3. М.: Изд-во АН СССР, 1958, с. 346.
16. Волков Т. Ф. Там же, т. 3, с. 336, т. 4, с. 98.
17. Гапонов А. В., Миллер М. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1958,
т 35, с. 242.
18. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1967,
-I. 52, с. 108.
19. Kaufman А. N. — Phys. Rev. Lett., 1971, vol. 27, p. 376.
20. Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел.: Пер. с англ. М.: Изд-во
иностр. лит., 1956, с. 62.
21. Camac M., Kantrowitz A. R., Litvak М. —Nucl. Fusion Sup., 1962, vol. 2,
¦p. 423.
22. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. — Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1962, т. 43, с. 2234.
23. Кадомцев Б. Б., Михайловский А. Б., Тимофеев А. В. — Журн. эксперим.
и теорет. физ., 1964, т. 47, с. 2266.
24. Дикасов В. М., Рудаков Л. И., Рютов Д. Д. — Журн. эксперим. и тео-
теорет. физ., 1965, т. 48, с. 913.
25. Галеев А. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3. —Докл. АН СССР, 1964,
-т. 157, с. 1087.
26. Силин В. П. — Прикл. механ. и техн. физ., 1964, вып. 1, с. 31.
27. Галеев А. А., Сюняев Р. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972,
т. 63, с. ,1266.
28. Зельдович Я. Б. Успехи физ. наук, 1975, т. 115, с. 161.
29. Зельдович Я. Б., Сюняев Р. А. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972,
т. 62, с. 158.
30. Брейзман Б. Н., Захаров В. Е., Мушер С. Л.— Журн. эксперим. и
теорет. физ., 1973, т. 64, с. 1297.
31. Галеев А. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3. — Ядерный синтез, 1965,
-т. 5, с. 20.
32. Valeo E., Oberman С, Perkins F. —Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 34U
33. Goldman M., Du Bois D. F.— Phys. Rev. Lett, 1972, vol. 28, p. 218.
34. Бакай А. С —Докл. АН СССР, 1977, т. 237, с. 10N9.
35. Бакай А. С, Сигов Ю. С —Докл. АН СССР, 1977, т. 237, с. 1326.
36. Adam J. С, Laval С, Pesme D. —Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 43, p. 1671.
37. Галеев А. А., Сагдеев P. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И. — Жу\>н.
-эксперим. и теорет. физ., 1980, т. 79, с. 2167.
38. Литвак А. Г., Трахтенгерц Ю. В. —Журн. эксперим. и теорет. физ.,
•4971, т. 60, с. 1702.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Введение .
I. ОПИСАНИЕ ПЛАЗМЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
И РАДИАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Движение заряженных частиц в электромагнитных полях
М. С. Рабинович 15*
Введение 15«
1. Замкнутные орбиты и их устойчивость 16
2. Электронная оптика 31
3. Адиабатическое приближение 44
4. Интегралы дрейфовых уравнений 50'
5. Неасимптотическое приближение 55-
Список литературы 57
Элементарные процессы в плазме. А. В. Елецкий,
Б. М. Смирнов sa-
Смирнов sail. Образования и исчезновение заряженных частиц в плазме . 58 >
?,. Столкновение электронов с атомами и молекулами .... 67
3. Процессы протекающие с участием положительных ионов . . 74
4. Отрицательный ион 78-
Список литературы 8J
Процессы излучения в плазме. Г. Г р и м 82:
Введение 82
1. Линейчатое излучение атомов и ионов 83•
2. Непрерывное излучение при электрон-ионных столкновениях . . 99'
3. Излучение плазмы 106
4. Приложения к задачам Ш
Список литературы 119"
Магнитогидродинамическое описание плазмы. Р. Калсруд 122
1. Модели для описания плазмы 122*
2. Столкновительная плазма 123-
3. Бесстолкновительная плазма 131
4. Следствия МГД-теории 141
Приложение 149*
Список литературы 152
Явления переноса в столкновительной плазме. Ф. Хин той 152
Введение 152
1. Диффузия в пространстве скоростей 154
2. Классические процессы переноса 175-
Список литературы - 199*
539^
II. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Распространение линейных волн в .идеальной магнитогидро-
магнитогидродинамике. Г. Вейтцнер 201
1. Общий анализ решений системы уравнений идеальной МГД . . 201
2. Граничные задачи в идеальной МГД 221
3. Распространение линеаризованных волн 227
Список литературы 240
Периодические .волны © беюстолкновительной плазме.
Б. Н. О р а ев с к и й 241
Введение 241
1. Общие понятия и соотношения линейной теории колебаний одно-
однородной плазмы 242
2. Линейные волны в изотропной плазме - 245
3. Взаимодействие резонансных частиц с волнами 252
4. Эффекты памяти частиц в плазме 258
5. Особенности распространения волн в магнитоактивной плазме . . 262
Список литературы . . . 278
Теория флуктуации в плазме. К. О б е р м а н, Е. В и л ь я м с 279
Введение 279
1. Одно- и двухвременные иерархии, вероятности, групповые разло-
разложения и связь с формализмом Климонтовича 281
2. Флуктуации в однородной плазме 296
3. Кинетическое уравнение для флуктуации в кинетических мас-
масштабах 316
4. Гидродинамические флуктуации в плазме 321
Список литературы *~ 331
Распространение .и трансформация волн в неоднородной
плазме. Г. Стикс, Д. Свансон 333
Введение 333
1. Гибридный резонанс 337
2. Альвеновский резонанс 340
3. Уравнения для электромагнитных волн в промежуточном диапазоне
частот 342
4. Стандартное уравнение 345
5. Уравнение туннелирования 353
6. Асимптотические решения уравнения туннелирования .... 355
7. Локальное поглощение 360
8. Сращивание асимптотических разложений; низкочастотный альве-
альвеновский резонанс 361
Список литературы 364
III. НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
Вариационный принцип для задач устойчивости в 'идеальной
.-магнитогидродинамике. А. Берн штейн 365
Введение 365
1. Основные уравнения идеальной магнитогидродинамики . . . 367
2. Линеаризованное описание вблизи положения статического рав-
равновесия 371
3. Вариационный принцип 375
4. Преобразование и обобщение выражения для потенциальной
энергии 378
5. Плазма без магнитного поля, удерживаемая вакуумным магнитным
полем . 382
6. Размытый линейный пинч 383
Приложения 387
Список литературы 392
Геометрическая оптика нестационарной и неоднородной
плазмы. А. Берн штейн, Л. Фридленд . . . . 393
Введение 393
1. Невырожденная плазма с почти эрмитовым тензором диэлектри-
диэлектрической проницаемости 394
2. Плазма с неэрмитовым тензором диэлектрической проницаемости 408
3. Вырожденная плазма 414
4. Геометрическая оптика плазмы с внутренними источниками . . 421
Приложения 432
Список литературы ¦ 443
Кинетическая теория волн и неустойчивостей в однородной
плазме. Р. Д э в и д с о н 443
1. Общее дисперсионное соотношение 443
2. Достаточное условие устойчивости однородной равновесной плазмы 458
3. Электростатические волны и неустойчивости незамагниченной
плазмы 406
4. Электромагнитные волны и неустойчивости в незамагниченной
плазме . 473
5. Волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля и их неустой-
неустойчивости 479
6. Волны, распространяющиеся перпендикулярно магнитному полю,
и их неустойчивости 487
7. Электростатические волны в замагниченной плазме и их неустой-
неустойчивость 494
Список литературы 501
Неустойчивости неоднородной плазмы. А. Б. Михайлов-
Михайловский 502
Введение 502
1. Элементарная теория дрейфовых неустойчивостей .... 504
2. Диэлектрическая проницаемость неоднородной плазмы . . . 508
3. Электростатические неустойчивости сильнонеоднородной плазмы 511
4. Неустойчивости плазмы в скрещенных полях 513
5. Электромагнитные неустойчивости 515
6. Влияние шира на неустойчивости неоднородной плазмы . . . 518
Заключение 523
Список литературы 524
Резистивные неустойчивости и пересоединение магнитных си-
силовых линий. Р. В а й т 525
Введение 525
1. Линейная теория для случая плоской геометрии ..... 532
2. Цилиндрическая геометрия 543
3. Нелинейная динамика неустойчивости 556
4. Стохастичность 575
Список литературы 586
IV. ТЕОРИЯ СЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПЛАЗМЫ
Методы теории слабой турбулентности плазмы. А. А. Г а-
л е е в, Р. 3. С а г д е е в 590
Введение 590
1. Взаимодействие волна — частица # 592
2. Взаимодействие волна — волна 607
3. Взаимодействие волна — частица — волна ....... 620
Список литературы 637