Основы физики плазмы и управляемого синтеза - Миямото К.

§ 1.2. Квазинейтральность и затухание Ландау
§ 2.2. Плазменная частота, дебаевская длина
§ 2.3. Циклотронная частота, ларморовский радиус
§ 2.4. Дрейфовая скорость ведущего центра
§ 2.5. Магнитный момент, пробочное удержание, продольный адиабатический инвариант
§ 2.6. Время кулоновских столкновений, инжекция быстрых нейтральных атомов
§2.7. Убегающие электроны, поле Драйсера
§ 2.8. Электрическое сопротивление, омический нагрев
§ 2.9. Многообразие временных и пространственных масштабов в плазме
Глава 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
§ 3.3. Уравнение движения заряженной частицы
§ 3.4. Траектория заряженной частицы в осесимметричной системе
§ 3.5. Дрейф ведущего центра в тороидальном поле
3.5b. Траектория ведущего центра запертой частицы
§ 3.6. Траектория ведущего центра и магнитная поверхность
§ 3.7. Влияние продольного электрического поля на банановые орбиты
Глава 4. Функция распределения в пространстве скоросте и уравнение Больцмана
§ 5.2. Одножидкостная магнитная гидродинамика
§ 6.2. Уравнения равновесия для систем с осевой и трансляционной симметриями
§ 6.4. Полоидальное поле и равновесие плазмы в токамаке
Глава 7. Диффузия плазмы, время удержания
§ 7.2. Неоклассическая диффузия электронов в токамаке
§ 7.3. Потери на флуктуациях, бомовская диффузия и конвективные потери
§ 7.4. Потери на флуктуациях магнитного поля
Глава 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
8.1b. Критерий устойчивости перестановочной моды, магнитная яма
§ 8.2. Устойчивость в магнитной гидродинамике
§ 8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы
8.3b. Неустойчивости плазмы с диффузной границей
§ 8.4. Магнитогидродинамическое уравнение Хайна—Люста
§ 8.6. Моды, связанные с градиентами плотности и температуры
§9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость
Глава 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
10.4b. Ионные циклотронные и быстрые магнитозвуковые волны
10.4d. Верхнегибридный резонанс
10.4е. Электронные циклотронные волны
Глава 11. Затухание Ландау и циклотронный резонанс
§ 11.4. Квазилинейная теория эволюции функции распределения
Глава 12. Распространение волн и волновой нагрев
§ 12.2. Приближение геометрической оптики
§ 12.3. Тензор диэлектрической проницаемости, поглощение волн и нагрев
§ 13.1. Дисперсионное уравнение для электростатических волн
§ 13.3. Неустойчивость электронного пучк
Глава 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
14.1Ь. МГД составляющая потенциальной энергии
14.2b. Неустойчивость ТАЕ-мод, вызванная быстрыми частицами
Глава 15. История термоядерных исследований
16.2с. Предельное равновесное значение бета для токамака с вытянутым сечением
§ 16.3. МГД устойчивость и предел по плотности
§ 16.4. Предел по бета для плазмы вытянутого сечения
§ 16.5. Контроль за примесями, приграничный слой и дивертор
§ 16.7. Н-мода и режимы с улучшенным удержанием
16.8Ь. Возбуждение тока электронными циклотронными волнами
16.8с. Нейтральная инжекция и возбуждение тока
Глава 17. Альтернативные системы удержания
17.1d. Поддержание тока переменным полем
17.2с. Неоклассическая диффузия в винтовом поле
17.3b. Эксперименты по удержанию плазмы в пробочных ловушках
17.3с. Неустойчивости в пробочных ловушках
Приложение В. Интеграл энергии для осесимметричных тороидальных систем
§ В.2. Интеграл энергии для осесимметричных тороидальных систем
§ В.З. Интеграл энергии для баллонных мод с высокими значениям
Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемости горячей плазмы
§ С.2. Решение линеаризованного уравнения Власова
§ С.З. Тензор диэлектрической проницаемости горячей плазмы
§ С.4. Тензор диэлектрической проницаемости би-максвелловской плазмы
§ С.5. Закон дисперсии электростатических волн
§ С6. Закон дисперсии электростатических волн в неоднородной плазме
Физические константы, плазменные величины и математические формулы
Author: Миямото К.
Tags: физика плазмы физика издательство физматлит
ISBN: 978-5-9221-0838-6
Year: 2007
Similar
Основы физики плазмы
Основы физики плазмы (1)
Основы физики плазмы
Курс «Магнитная гидродинамика»
Text
                    FUNDAMENTALS
OF PLASMA PHYSICS
AND CONTROLLED
FUSION
Kenro Miyamoto

Кенро Миямото
основы
ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
И УПРАВЛЯЕМОГО
СИНТЕЗА
Перевод с английского
под общей редакцией академика В.Д. ШАФРАНОВА
Редакторы перевода
д. ф.-м. н. В.В. АРСЕНИН и д. ф.-м. н. В.И. ИЛЬГИСОНИС
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2007

УДК 533.9
ББК 22.33, 31.49
М71
Миямото К. Основы физики плазмы и управляемого синтеза /
Перевод с англ. под общей ред. В.Д. Шафранова. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2007. - 424 с. - ISBN 978-5-9221-0838-6.
Книга представляет собой современный, но уже хорошо зарекомендовавший
себя учебник по основам физики высокотемпературной плазмы и управляемого
термоядерного синтеза. Затронуты все базовые разделы физики плазмы, знание
которых необходимо для успешной работы в области термоядерных исследова-
исследований как экспериментатору, так и теоретику. Рассмотрение проведено всеми
используемыми в физике плазмы средствами — на языке движения отдельных
частиц, при помощи аппарата магнитной гидродинамики и кинетической тео-
теории. Значительная часть книги посвящена особенностям поведения плазмы в
установках токамак, включая вопросы равновесия плазмы в магнитном поле,
и описанию типичных для плазмы токамака неустойчивых мод и способов
неиндукционного нагрева плазмы, что выгодно отличает данную книгу от
имеющихся аналогов. Также описаны альтернативные системы магнитного
удержания плазмы и принципы инерционного удержания; кратко изложена
история мировых термоядерных исследований.
Для студентов, аспирантов, преподавателей вузов и научных работников,
специализирующихся в физике высокотемпературной плазмы.
Учебное издание
МИЯМОТО Кенро
ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ И УПРАВЛЯЕМОГО СИНТЕЗА
Редактор A.M. Садовский
Оригинал-макет: A.M. Садовский
Оформление переплета: И.В. Гришина
Подписано в печать 19.03.07. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 26,5. Уч.-изд. л. 26,5. Тираж 700 экз. Заказ № 1286
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90 2?м9,т5« "
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6 985922" 108386
ISBN 978-5-9221-0838-6 (русск.) @ ФИЗматлит, 2007 (русск.)
ISBN 4-000000-01-Х (англ.) © К. Миямото, 2001 (англ.)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского издания 10
Предисловие 12
Глава 1. Что такое плазма 15
§1.1. Введение 15
§ 1.2. Квазинейтральность и затухание Ландау 18
§ 1.3. Термоядерная плазма 20
Глава 2. Характеристики плазмы 25
§2.1. Функция распределения в пространстве скоростей, элек-
электронная и ионная температуры 25
§ 2.2. Плазменная частота, дебаевская длина 27
§ 2.3. Циклотронная частота, ларморовский радиус 28
§ 2.4. Дрейфовая скорость ведущего центра 29
§ 2.5. Магнитный момент, пробочное удержание, продольный
адиабатический инвариант 32
§ 2.6. Время кулоновских столкновений, инжекция быстрых
нейтральных атомов 35
§2.7. Убегающие электроны, поле Драйсера 41
§ 2.8. Электрическое сопротивление, омический нагрев 42
§ 2.9. Многообразие временных и пространственных масштабов
в плазме 43
Глава 3. Конфигурации магнитного поля и траектории ча-
частиц 45
§ 3.1. Уравнения Максвелла 45
§ 3.2. Магнитная поверхность 48
§ 3.3. Уравнение движения заряженной частицы 49
§ 3.4. Траектория заряженной частицы в осесимметричной си-
системе 52
§ 3.5. Дрейф ведущего центра в тороидальном поле 54
3.5а. Траектория ведущего центра пролетной части-
частицы E6). 3.5Ь. Траектория ведущего центра запертой
частицы E7).
§ 3.6. Траектория ведущего центра и магнитная поверхность. . . 59
§ 3.7. Влияние продольного электрического поля на банановые
орбиты 60
Глава 4. Функция распределения в пространстве скоростей
и уравнение Больцмана 62
§4.1. Фазовое пространство и функция распределения 62
§ 4.2. Уравнения Больцмана и Власова 63
Глава 5. Плазма как проводящая жидкость 67
§5.1. Уравнения двужидкостной магнитной гидродинамики ... 67
§ 5.2. Одножидкостная магнитная гидродинамика 70
§ 5.3. Упрощенные МГД уравнения 72
§ 5.4. Магнитозвуковые волны 74

Оглавление
Глава 6. Равновесие 78
§ 6.1. Баланс давлений 78
§ 6.2. Уравнения равновесия для систем с осевой и трансляци-
трансляционной симметриями 80
§ 6.3. Равновесие в токамаке [1] 83
§ 6.4. Полоидальное поле и равновесие плазмы в токамаке .... 89
§ 6.5. Предел по параметру /? 93
§ 6.6. Ток Пфирша—Шлютера [3] 95
§ 6.7. Теорема вириала 97
Глава 7. Диффузия плазмы, время удержания 101
§ 7.1. Столкновительная (классическая) диффузия 103
7.1а. Магнитогидродинамическое описание A03).
7.1Ь. Приближение отдельных частиц A05).
§ 7.2. Неоклассическая диффузия электронов в токамаке 106
§ 7.3. Потери на флуктуациях, бомовская диффузия и конвек-
конвективные потери 109
§ 7.4. Потери на флуктуациях магнитного поля ИЗ
Глава 8. Магнитогидродинамические неустойчивости 115
§8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 116
8.1а. Перестановочная неустойчивость A16). 8.1Ь. Кри-
Критерий устойчивости перестановочной моды, магнит-
магнитная яма A20). 8.1с. Сосисочная неустойчивость
(перетяжки) A24). 8.Id. Винтовая неустойчивость
(змейки) A24).
§ 8.2. Устойчивость в магнитной гидродинамике 126
8.2а. Линеаризация магнитогидродинамических уравне-
уравнений A26). 8.2Ь. Энергетический принцип [5] A29).
§ 8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 133
8.3а. Неустойчивости плазмы с резкой границей: кри-
критерий Крускала—Шафранова A33). 8.3Ь. Неустойчиво-
Неустойчивости плазмы с диффузной границей A37). 8.3с. Крите-
Критерий Сайдема A42). 8.3d. Конфигурация токамака A43).
8.3е. Пинч с обращенным полем [12] A45).
§ 8.4. Магнитогидродинамическое уравнение Хайна—Люста ... 150
§ 8.5. Баллонная неустойчивость 152
§ 8.6. Моды, связанные с градиентами плотности и температуры 156
Глава 9. Резистивная неустойчивость 160
§ 9.1. Тиринг-неустойчивость 161
§9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость 166
Глава 10. Распространение электромагнитных волн в плаз-
плазме 172
§ 10.1. Дисперсионное уравнение волн в холодной плазме 173
§ 10.2. Свойства волн 177
10.2а. Поляризация и движение частиц A77). 10.2Ь. Яв-
Явления отсечки и резонанса A78).

Оглавление
§ 10.3. Волны в двухкомпонентной плазме 179
§ 10.4. Типы волн 184
10.4а. Альфвеновские волны A84). 10.4Ь. Ионные
циклотронные и быстрые магнитозвуковые волны A85).
10.4с. Нижнегибридный резонанс A87). 10.4d. Верх-
Верхнегибридный резонанс A89). 10.4е. Электронные
циклотронные волны A89).
§ 10.5. Электростатические волны 190
Глава 11. Затухание Ландау и циклотронный резонанс ... 193
§ 11.1. Затухание Ландау и резонансная раскачка 193
§ 11.2. Времяпролетное затухание 197
§ 11.3. Циклотронное затухание 198
§ 11.4. Квазилинейная теория эволюции функции распределения 201
Глава 12. Распространение волн и волновой нагрев 204
§ 12.1. Поток энергии 205
§ 12.2. Приближение геометрической оптики 209
§ 12.3. Тензор диэлектрической проницаемости, поглощение волн
и нагрев 210
§ 12.4. Ионный циклотронный нагрев 217
§ 12.5. Нижнегибридный нагрев 221
§ 12.6. Электронный циклотронный нагрев 225
Глава 13. Кинетические (потенциальные) неустойчивости 229
§ 13.1. Дисперсионное уравнение для электростатических волн. . 229
§ 13.2. Двухпотоковая неустойчивость 231
§ 13.3. Неустойчивость электронного пучка 232
§ 13.4. Неустойчивость Харриса 233
Глава 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными
частицами 237
§ 14.1. Фишбон-неустойчивость 237
14.1а. Формулировка подхода B37). 14.1Ь. МГД состав-
составляющая потенциальной энергии B38). 14.1с. Энергия
горячей компоненты B41). 14.Id. Инкремент фишбон-
неустойчивости B44).
§ 14.2. ТАЕ-моды 247
14.2а. Собственные альфвеновские моды, индуцирован-
индуцированные тороидальностью B48). 14.2Ь. Неустойчивость ТАЕ-
мод, вызванная быстрыми частицами B53). 14.2с. Раз-
Различные альфвеновские моды B61).
Глава 15. История термоядерных исследований 264
Глава 16. Токамак 277
§ 16.1. Установки токамак 277
§ 16.2. Равновесие 281
16.2а. Случай проводящего кожуха B82). 16.2Ь. Случай
отсутствия кожуха B82). 16.2с. Предельное равновесное
значение бета для токамака с вытянутым сечением B83).

8 Оглавление
§ 16.3. МГД устойчивость и предел по плотности 284
§ 16.4. Предел по бета для плазмы вытянутого сечения 286
§ 16.5. Контроль за примесями, приграничный слой и дивертор 288
§ 16.6. Скейлинг L-моды 294
§ 16.7. Н-мода и режимы с улучшенным удержанием 297
§ 16.8. Неиндукционное возбуждение тока 305
16.8а. Возбуждение тока нижнегибридными волна-
волнами C05). 16.8Ь. Возбуждение тока электронными цикло-
циклотронными волнами C09). 16.8с. Нейтральная инжекция
и возбуждение тока C12). 16.8d. Бутстрэп-ток C15).
§ 16.9. Неоклассическая тиринг-мода 317
§ 16.10. Моды резистивного кожуха 324
16.10а. Инкремент моды резистивного кожуха C24).
16.10Ь. Стабилизация обратной связью C31).
§ 16.11. Параметры токамака—реактора 333
Глава 17. Альтернативные системы удержания 343
§ 17.1. Пинч с обращенным полем 343
17.1а. Конфигурация пинча с обращенным полем C43).
17.1Ь. МГД релаксация C44). 17.1с. Удержание C48).
17.Id. Поддержание тока переменным полем C49).
§ 17.2. Стелларатор 350
17.2а. Винтовое поле C50). 17.2Ь. Стеллараторные уста-
установки C54). 17.2с. Неоклассическая диффузия в винто-
винтовом поле C55). 17.2d. Удержание плазмы в стелларато-
рах [37,38,39] C59).
§ 17.3. Открытые системы 361
17.3а. Время удержания в пробочных ловушках и кас-
пах C62). 17.3Ь. Эксперименты по удержанию плаз-
плазмы в пробочных ловушках C64). 17.3с. Неустойчивости
в пробочных ловушках C65). 17.3d. Амбиполярные ло-
ловушки C68).
Глава 18. Инерционное удержание 375
§ 18.1. Условие поджига [1,2] 376
§ 18.2. Имплозия 379
Приложение А. Вывод уравнений МГД 384
Приложение В. Интеграл энергии для осесимметричных то-
тороидальных систем 389
§ В.1. Интеграл энергии в наглядной форме 389
§ В.2. Интеграл энергии для осесимметричных тороидальных
систем 392
§ В.З. Интеграл энергии для баллонных мод с высокими значе-
значениями п 397
Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемо-
проницаемости горячей плазмы 400
§ С. 1. Дисперсионное уравнение для горячей плазмы 400

Оглавление 9
§ С.2. Решение линеаризованного уравнения Власова 402
§ С.З. Тензор диэлектрической проницаемости горячей плазмы 404
§ С.4. Тензор диэлектрической проницаемости би-максвеллов-
ской плазмы 407
§ С.5. Закон дисперсии электростатических волн 409
§ Сб. Закон дисперсии электростатических волн в неоднородной
плазме 410
Физические константы, плазменные величины и математические
формулы 415
Предметный указатель 419

Предисловие редактора русского издания
Представляемая вниманию российского читателя книга по-
почетного профессора Токийского университета Кенро Миямото не
имеет аналогов на русском языке. Основное ее предназначение —
служить базовым учебником для студентов и аспирантов, специ-
специализирующихся в области физики плазмы и управляемого термо-
термоядерного синтеза. По объему материала и уровню изложения эта
книга способна удовлетворить самого любознательного студента,
а также служить «первой помощью» научным сотрудникам, ин-
интересующимся этой областью физики или начинающим работать
в ней. Немаловажно и то, что в соответствии с принятыми сейчас
нормами все формулы в книге даются в международной системе
единиц СИ.
Появление такого учебника-справочника именно сейчас осо-
особенно оправдано, если учесть, что в течение 7-10 лет России
необходимо подготовить команду молодых физиков и инжене-
инженеров для работы на первом международном токамаке—реакторе
ИТЭР. В ближайшие годы следует, по-видимому, ожидать выхо-
выхода на термоядерный уровень параметров и установок инерцион-
инерционного синтеза, в частности, современных Z-пинчей. Вот почему
я полагаю, что эта книга найдет своего читателя.
Перевод выполнен по второму английскому изданию. Профес-
Профессор К. Миямото любезно предоставил нам электронную версию
книги, а также список замеченных опечаток. Все они, а также
некоторые другие, обнаруженные при переводе, были исправлены
в русском издании. Оригинальное авторское изложение материа-
материала весьма лаконично. Мы сочли возможным в некоторых местах,
где это представлялось желательным с точки зрения русского
языка и логики, слегка расширить поясняющий текст и пере-
переставить некоторые формулы, сохранив при этом авторские стиль
и манеру изложения. Ссылки на переводные русские источники
заменены нами на оригинальные.
Перевод книги был в порядке инициативы выполнен сотруд-
сотрудниками Института ядерного синтеза Российского научного цен-
центра «Курчатовский институт»: С. В. Базденков перевел главы 8,

Предисловие редактора русского издания И
13, 14, 16, А. В. Звонков — главу 3 и главы 10-12, В. И. Ильгисо-
нис — предисловие, главы 1, 2, 5, Приложение В, список формул
и предметный указатель, Ю. И. Поздняков — главу 6, А. А. Ско-
Сковорода — главу 17, И. В. Хальзов — главы 7-9, Д. А. Шуваев —
главы 4, 15, 18, Приложения А и С.
Редактирование перевода выполнено докторами физико-мате-
физико-математических наук В. В. Арсениным и В. И. Ильгисонисом. В тех
местах, где русская и английская терминология заметно разли-
различаются, а также там, где, на наш взгляд, были необходимы более
подробные разъяснения, такие разъяснения были добавлены ре-
редакторами перевода в виде подстраничных примечаний.
Русское издание книги финансировалось Российским фондом
фундаментальных исследований. Этой финансовой поддержкой
мы во многом обязаны вниманию, которое уделил данной книге
академик Ю. М. Каган, за что приношу ему свою искреннюю
благодарность.
Академик В. Д. Шафранов

Предисловие
Эта книга была задумана как базовый учебник для студентов,
специализирующихся в области физики плазмы и управляемого
термоядерного синтеза. Второе ее предназначение — служить
справочником по аналитическим методам физики плазмы для
научных работников. Книга основана на курсе лекций, кото-
который автор читает на физическом факультете Токийского универ-
университета.
В гл. 1 и 2 разъясняется, что такое плазма, описываются ее
основные характеристики. В гл. 3 дается описание траекторий
ионов и электронов в различных магнитных конфигурациях.
Уравнение Больцмана для функции распределения в простран-
пространстве скоростей, которое служит основой кинетической теории
плазмы, формулируется в гл. 4.
Главы с 5 по 9 посвящены магнитогидродинамическому
(МГД) описанию плазмы как проводящей жидкости. В рамках
такой жидкостной модели формулируется МГД уравнение дви-
движения (гл. 5), излагается теория равновесия (гл. 6), вводятся
понятия диффузии и времени удержания плазмы (гл. 7). Пробле-
Проблема МГД неустойчивости, т. е. исследование вопроса, будет ли
малое возмущение нарастать со временем, разрушая плазменную
конфигурацию, или релаксировать к устойчивому состоянию,
обсуждается в гл. 8 и 9. При этом исходное МГД уравнение
движения получается путем надлежащего осреднения уравнения
Больцмана; соответствующая математическая процедура описана
в Приложении А. Вывод полезного выражения для интеграла
энергии в осесимметричной тороидальной геометрии и анализ
баллонных мод с высокими п дан в Приложении В.
Кинетическая теория плазмы рассматривается в гл. 10-14.
По отношению к распространяющимся волнам и возмущениям
плазма представляет собой сплошную среду, в общем случае
неоднородную и анизотропную, способную поглощать или уси-
усиливать эти волны. Модель холодной плазмы, применимая, ко-
когда тепловая скорость частиц плазмы много меньше фазовой
скорости волны, обсуждается в гл. 10. Тензор диэлектрической
проницаемости холодной плазмы довольно прост и может быть

Предисловие 13
легко выведен, что позволяет анализировать различные типы
волн. Если же показатель преломления увеличивается и фа-
фазовая скорость волны становится сравнимой с тепловой ско-
скоростью частиц плазмы, то частицы будут взаимодействовать
с волной. В гл. 11 описано затухание Ландау — наиболее ха-
характерное коллективное явление в плазме, а также циклотрон-
циклотронное затухание. Волновой нагрев (поглощение волн) для случая,
когда тепловая скорость частиц плазмы сравнима с фазовой
скоростью волны, обсуждается в гл. 12 с использованием тен-
тензора диэлектрической проницаемости горячей плазмы. В гл. 13
описывается усиление волн, т. е. рост возмущений (неустой-
(неустойчивости). Довольно кропотливый математический вывод тен-
тензора диэлектрической проницаемости горячей плазмы отнесен
в Приложение С. Неустойчивости, связанные с энергичными
частицами (фишбон-неустойчивость, ТАЕ-моды), рассмотрены
в гл. 14.
В небольшой гл. 15 изложена история термоядерных исследо-
исследований. В последнее десятилетие наблюдался значительный про-
прогресс в экспериментах на токамаках, в результате чего активно
разрабатываемые проекты токамака—реактора стали довольно
реалистичны. В гл. 16 разъясняются ключевые проблемы физики
плазмы в токамаках, включая будущий реактор. Альтернативные
токамаку системы удержания, такие как пинч с обращенным по-
полем, стелларатор, амбиполярная ловушка, описываются в гл. 17.
В гл. 18 дается элементарное введение в принципы инерционного
удержания.
Читателя может удивить обилие математических выкладок,
что не вполне типично для лекционного курса. На это есть
причины, одна из которых заключается в следующем. Если
студент старших курсов пытается, к примеру, прочесть и по-
понять три часто цитируемые короткие работы Коннора, Хасти
и Тэйлора по баллоным модам, Чена, Байта и Розенблюта по
фишбон-неустойчивости, Бетти и Фрайдберга по ТАЕ-модам, не
обладая необходимыми предварительными знаниями, ему при-
придется разобраться в нескольких десятках цитируемых работ,
а также в работах, на которые ссылаются цитируемые авторы.
По моему опыту, для этого потребуется несколько месяцев на-
напряженной работы. Изложенный же в книге материал избавляет
читателей от необходимости тратить время на самостоятельный
вывод основополагающих формул, освобождая его для более
глубоких физических размышлений и вдумчивого анализа экс-
экспериментальных данных.

14 Предисловие
В этих лекционных записках сделана попытка представить
физические основы и математические методы, необходимые для
понимания и предсказания поведения плазмы, а также изло-
изложить состояние дел в термоядерных исследованиях на языке,
понятном студентам и аспирантам. Я также надеюсь, что книга
будет служить полезным справочником для ученых и инженеров,
работающих в смежных областях.
Май 2001
Кенро Миямото
почетный профессор Токийского университета
miyamoto@phys.s.u-tokyo.ac.jp

Глава 1
ЧТО ТАКОЕ ПЛАЗМА
§ 1.1. Введение
С ростом температуры состояние вещества изменяется от
твердого к жидкому, а затем — к газообразному. Если температу-
температура продолжает увеличиваться, заметное количество атомов газа
ионизуется, и возникает новое высокотемпературное состояние
с примерно равным числом положительных ионов и электронов,
так что на макроскопических масштабах выполняется условие
зарядовой нейтральности.
В своем коллективном движении электроны и ионы взаи-
взаимодействуют посредством дальнодействующих кулоновских сил,
спадающих лишь пропорционально обратному квадрату рассто-
расстояния г между заряженными частицами. Движение заряжен-
заряженных частиц приводит к возникновению электрических токов
и магнитных полей, так что на частицы действуют еще и си-
силы Лоренца. Таким образом, большое количество заряженных
частиц взаимодействует между собой посредством дальнодей-
дальнодействующих сил, и в таком газовом состоянии возникают раз-
различные коллективные движения и процессы, типичными приме-
примерами которых могут служить многочисленные неустойчивости
и волновые явления. В физике слово «плазма» как раз и ис-
используется для обозначения высокотемпературного состояния
ионизованного газа, характеризующегося зарядовой нейтраль-
нейтральностью и коллективным взаимодействием заряженных частиц
и волн.
Если температура газа равна Г(К), то средняя скорость теп-
теплового движения (тепловая скорость) у? определяется соотноше-
соотношением
4 A.1)

16 Гл. 1. Что такое плазма
где к = 1,380658A2) • 10~23 Дж/К — постоянная Больцмана,
а величина кТ, обозначает тепловую энергию, которая в системе
СИ измеряется в джоулях (Дж). Во многих областях физики
в качестве единицы энергии часто используют электрон-вольт
(эВ). Один эВ равен энергии, необходимой электрону с зарядом
е = 1,60217733D9) • 10~~*9 Кл, чтобы преодолеть разность потен-
потенциалов в один вольт:
1 эВ = 1,60217733D9) ¦ 109 Дж.
Температура, соответствующая тепловой энергии в 1 эВ, равна
1,16- 104 К, (= е/я). Энергия ионизации атома водорода равна
13,6 эВ. Даже если тепловая (средняя) энергия водородного газа
составляет 1 эВ, что отвечает температуре Г ~ 104 К, то в нем
присутствует очень малое количество электронов с энергией
выше 13,6 эВ, способных ионизировать водород, превращая газ
в водородную плазму.
Плазма встречается в природе в весьма различных фор-
формах (см. рис. 1.1). Так, на высотах 70-500 км от Земли су-
существует ионосфера (плотность которой, точнее, концентрация
частиц п rsj Ю12 м~3, а тепловая энергия кТ ~ 0,2 эВ). Солнеч-
Солнечный ветер представляет собой зародившийся на Солнце поток
плазмы с параметрами п ~ 106-107 м~3, кТ ~ 10 эВ. Вокруг
Солнца имеется солнечная корона, плотность плазмы в кото-
которой ~ Ю14 м~3, а электронная температура ~ 100 эВ; эти
значения могут несколько различаться в зависимости от ме-
местоположения. Плотность электронов белого карлика, конечной
стадии эволюции звезды, составляет примерно 1035-1036 м~3.
Различные типы плазмы представлены на рис. 1.1, на диа-
диаграмме плотность п(м~3) — температура кТ(эЪ) электронов.
Активные исследования в области физики плазмы в значи-
значительной степени обусловлены проблемой термоядерного синте-
синтеза, для решения которой необходимо создать и удержать «го-
«горячую» плазму. Плазма играет важную роль в физике та-
таких астрофизических явлений, как микроволновое излучение
пульсаров или солнечные рентгеновские источники. Примера-
Примерами практического применения физики плазмы могут служить
магнитогидродинамическое (МГД) преобразование энергии на
электростанциях, ионные ракетные двигатели космических ко-
кораблей и привлекающие в последнее время внимание процес-
процессы плазменной обработки материалов. Другим практическим
приложением физики плазмы служит изучение околоземного
пространства.

кТ, эВ
106
кТ = гаес2
Токамаки
103
Корона
Термоядерная плазма
"о
Пинчи
Солнечный
ветер
?
Звезды
Инерционный
синтез
10°
Ионосфера
Тлеющий
разряд
П\1 =1 КТ = €F
10"
Слабо взаимо-
взаимодействующая У^ Сильно взаимо-
взаимоплазма / действующая
плазма
i \ i i i iу\ i i 1 1 1 1 i I i
Вырожденная
плазма
Плазма
металлов
Ш
10
п, м
-з
Рис. 1.1. Различные типы плазмы на п—кТ диаграмме

_18 Гл. 1. Что такое плазма
§ 1.2. Квазинейтральность и затухание Ландау
Одно из фундаментальных свойств плазмы — экранирование
приложенного к плазме электрического потенциала. Если в плаз-
плазму вставить зонд и приложить к нему положительный (отрица-
(отрицательный) потенциал, то электроны плазмы будут притягиваться
к нему (отталкиваться от него). Таким способом плазма стремит-
стремится экранировать вносимое в нее электростатическое возмущение.
Оценим характерную длину экранирования. Предположим, что
плотность ионов однородна {щ = по) и что имеется слабое воз-
возмущение электронной плотности пе или потенциал ф. Поскольку
электроны обычно распределены по Больцману, их плотность пе
определяется следующим образом:
пе = щехр(еф/кТе) « поA + еф/кТе).
Используем уравнение Пуассона:
Е = -V0, V(e0E) = -ео42ф = р= -е(пе - п0) = -^±ф,
или
Ad=(^Y= 7,45- 10»(±«?)" (м), A.2)
Л5 \ пее2 ) \пе е )
где пе измеряется в м~3, а кТе/е — в эВ. Если пе ~ 1020 м~3,
кТе/е ~ 10 кэВ, то Ad ~ 75 мкм. В сферически симметричном
случае лапласиан \72ф превращается в A/г2)(д/дг)(г2дф/дг),
и решение уравнения Лапласа имеет вид
, = q exp(-r/AD)
4тгбо г
Из этой формулы видно, что кулоновский потенциал точечно-
точечного заряда q/Aneor экранируется на расстоянии Ар, называемом
дебаевской длиной, или дебаевским радиусом. Если размер
плазмы а много больше дебаевской длины, a S> Ad, to плазма
считается квазинейтральной. Если, наоборот, а < Ad, to поле
отдельной частицы электростатически не экранируется. Это со-
состояние — уже не плазма, а просто набор независимых заря-
заряженных частиц. Число электронов в сфере с радиусом порядка
дебаевского о /о
Щ3'2 '
называется параметром идеальности. Если плотность плазмы
увеличивается, а температура остается постоянной, то параметр

§ 1.2. Квазинейтральность и затухание Ландау 19
идеальности уменьшается. Если он станет меньше, чем, ска-
скажем, единица, то концепция дебаевского экранирования будет
неприменима, поскольку на размерах масштаба дебаевского ра-
радиуса нарушится непрерывность плотности электрического заря-
заряда. В области значений параметра пА^ > 1 плазма называется
классической, или слабо взаимодействующей, поскольку отно-
отношение тепловой энергии электронов кТе к энергии кулоновского
взаимодействия ^coulomb = e2/4ncod (здесь d « n"/3 — среднее
расстояние между электронами с плотностью п) равно
m
A.4)
-^Coulomb
и условие пА)з > 1 означает, что кулоновская энергия много
меньше тепловой. В случае пА^ < 1 плазма называется сильно
взаимодействующей (см. рис. 1.1). Когда плотность очень высо-
высока, энергия Ферми вырожденного электронного газа, задаваемая
выражением ер = (/12/2те)(Зтг2пJ/3, может превысить тепловую,
ер ^ кТе. Это означает, что квантовые эффекты начинают доми-
доминировать над тепловыми — возникает вырожденная электрон-
электронная плазма, одним из примеров которой служит электронная
плазма в металлах. В большинстве же экспериментов плазма
ведет себя как классическая и слабо взаимодействующая.
Коллективные явления в поведении заряженных частиц от-
отражают другое фундаментальное свойство плазмы. К примеру,
с когерентным движением заряженных частиц связано возник-
возникновение волн. Если фазовая скорость v^ волны или возмущения
много больше тепловой скорости г>т частиц, то волна распро-
распространяется через плазменную среду без затухания или усиле-
усиления. Однако если показатель преломления N плазменной среды
становится большим, а плазма — горячей, фазовая скорость
электромагнитной волны vph = c/N (с — скорость света) и теп-
тепловая скорость vr оказываются сопоставимы (v^ = c/N ~ vt),
так что возникает возможность обмена энергией между волной
и частицами плазмы. Специфический механизм затухания волны
был обнаружен Л. Д. Ландау. Затухание Ландау подразумевает
прямое взаимодействие волна—частица в бесстолкновительной
плазме и не требует случайных столкновений. Это явление —
фундаментальный механизм нагрева плазмы волнами (при за-
затухании волн) и развития неустойчивостей (при обратном про-
процессе раскачки возбуждений). Затухание Ландау будет описано
в гл. 11, 12 и Приложении С.

20 Гл. 1. Что такое плазма
§ 1.3. Термоядерная плазма
Прогресс в физике плазмы в значительной мере связан с зада-
задачей получения термоядерной плазмы. Необходимые для решения
этой задачи условия обсуждаются в настоящем разделе. Ядерные
реакции синтеза — это реакции слияния легких ядер с образо-
образованием более тяжелых. Если сумма масс ядер, образовавшихся
в результате реакции, меньше суммы масс ядер, вступивших
в реакцию, на величину Am, называемую дефектом массы, то,
согласно теории относительности, при такой реакции высвобож-
высвобождается (Ат)с2 энергии (здесь с — скорость света).
Для использования в реакторах синтеза интерес представля-
представляют следующие реакции:
A) D + D -> ТA,01 МэВ) + рC,03 МэВ)
B) D + D -> Не3@,82 МэВ) + пB,45 МэВ)
C) Т + D -> Не4C,52 МэВ) + пA4,06 МэВ)
D) D + Не3 -> Не4C,67 МэВ) + рA4,67 МэВ)
E) Li6 + n -> Т + Не4 + 4,8 МэВ
F) Li7 + nB,5 МэВ) -> Т + Не4 + п.
Здесь D означает дейтон, Т — тритон, Не3 — ядро гелия-3,
Li — ядро лития, р — протон (ион водорода) и п — нейтрон
A МэВ = 106 эВ). По сравнению с энергией, равной 2,96 эВ, вы-
выделяющейся в химической реакции Н2 + A/2H2 —* Н2О, энер-
энергия, высвобождающаяся в реакциях ядерного синтеза, примерно
в миллион раз больше. Энергия связи на один нуклон в атомном
ядре невелика для очень легких или очень тяжелых ядер и имеет
максимум для ядер с массовым числом около 60, поэтому в реак-
реакциях синтеза легких ядер высвобождается большое количество
энергии. Дейтерий широко распространен в природе, к примеру,
в морской воде объемом 1,35 • 109 км3 его содержится 0,015% от
общего числа атомов водорода.
Реакции ядерного синтеза были открыты в 1920 г. Хотя
взрывное высвобождение энергии в реакциях ядерного синтеза
было реализовано уже в 1951 г. (в виде водородной бомбы),
управляемый ядерный синтез до сих пор находится в стадии
исследовательских разработок. Следует отметить, что прямая
реализация реакций ядерного синтеза, когда пучки протонов или
дейтонов ударяют в мишень с легкими ядрами, не проходит,
поскольку частицы пучка теряют свою энергию на ионизацию

§ 1.3. Термоядерная плазма
21
или упругие соударения с ядрами мишени, так что вероятность
реакции синтеза пренебрежимо мала. Наиболее активно иссле-
исследования по ядерному синтезу ведутся с горячей плазмой. В пол-
полностью ионизованной водородной, дейтериевой или тритиевой
плазме процесс ионизации отсутствует. Если плазма адиабатиче-
адиабатически удерживается в некотором заданном объеме, то ее средняя
энергия в результате упругих соударений не изменяется. Таким
образом, если бы удалось удержать очень горячую дейтериевую
или дейтерий-тритиевую плазму, ионы плазмы обладали бы до-
достаточно большими скоростями, чтобы преодолеть взаимное ку-
лоновское отталкивание и, столкнувшись, осуществить реакцию
синтеза.
Рассмотрим ядерную реакцию при столкновении дейтона
с тритоном. Эффективное сечение ядра трития Т обозначим
через а. Это сечение является функцией кинетической энергии
дейтона Е. Сечение D-T реакции при Е = 100 кэВ составляет
5 • 10~24 см2. Сечения а реакций D-T, D-D, D-He3 в зависимо-
зависимости от кинетической энергии сталкивающихся ядер приведены
на рис. 1.2, а [1, 2]. Вероятность реакции синтеза в единицу
времени в случае, когда ион дейтерия, движущийся со скоростью
v, сталкивается с ионами трития, плотность которых пт, рав-
равна птсгу (более детально мы обсудим вероятность соударения
см3/с
сг, барн
101
1,0 =
10"
10
10"
10"
,-2
:
5
ctdt/
п
1 1 /1
\ У
Л
/л
10 100
1000
Е, кэВ
{crv)
10 "
10
10
10
10
10
-16
-17
-18
-19
20
=
!
!
:
:
d-t/
L
111
р
/
/
D-He3
/ у
V
D-D
од
10 100
1000
, кэВ
Рис. 1.2. а — зависимость сечения реакции синтеза а от кинетической энергии
Е сталкивающихся ядер. <jdd равна сумме сечений возможных каналов D-
D реакции A), B); 1 барн = 10~24 см2; б — зависимость скорости реакции
синтеза (crv) от ионной температуры 2]

22
Гл. 1. Что такое плазма
в разд. 2.7). Если плазма максвелловская с температурой ионов
Т[, то необходимо рассчитать (av) — среднее по пространству
скоростей значение величины av. Зависимость (av) от ионной
температуры 2] показана на рис. 1.2, б [3]. Для D-T реакции
величина (av) в зависимости от кТ, измеряемой в кэВ, может
быть оценена по формуле [4]
кТ
3,7 -ИГ18
Н{кТ) • (д
5,45
ехр -
20
A.5)
На рис. 1.3 изображена грубая схема электростанции с D-T
Рис. 1.3. Электростанция с D-T реактором синтеза
реактором синтеза. Быстрые нейтроны, рождающиеся в термо-
термоядерной плазме, проникают через первую стенку в литиевый
бланкет, где их кинетическая энергия преобразуется в тепло.
Помимо этого в бланкете происходит наработка трития посред-
посредством реакций E), F). Тепло из бланкета отводится с помощью
теплообменника и используется для производства пара, элек-
электроэнергия же вырабатывается паровой турбиной. Часть произ-
произведенной электрической мощности тратится на работу системы
нагрева плазмы, необходимой для компенсации потерь энергии
из плазмы, которая поддерживается в горячем состоянии. Выход
термоядерной энергии должен превышать необходимые энергети-
энергетические затраты на нагрев плазмы с учетом эффективности пре-
преобразования. Поскольку требуемая для нагрева мощность равна
в стационарном режиме скорости потерь энергии из термоядер-
термоядерной плазмы, ключевое значение приобретает хорошее удержание
энергии горячей плазмы.

§ 1.3. Термоядерная плазма 23
Тепловая энергия единицы объема плазмы равна C/2)пяG] +
+ Ге). Потери энергии связаны с теплопроводностью и конвек-
конвективным переносом; обозначим скорость этих потерь (мощность)
из единицы объема плазмы через Р^. Кроме того, существуют
еще потери на излучение R, связанные с тормозным излучением
электронов плазмы и излучением ионов примесей. Полное энер-
энергетическое время жизни (характерное время удержания энергии)
те определяется как
(Ге + Г0 ^ ЪпкТ ( ,
Необходимая мощность нагрева Pheat равна Pl + R. Сумма ки-
кинетических энергий а-частицы (иона Не4) с энергией Qa =
= 3,52 МэВ и нейтрона с энергией Qn = 14,06 МэВ, об-
образующихся в одном элементарном акте D-T реакции, равна
Qnf = 17,58 МэВ. Поскольку концентрации ионов дейтерия
и трития в равнокомпонентной плазме равны п/2 каждая, число
актов реакции в единице объема за единицу времени равно
(п/2) (п/2) (<tv), так что термоядерная мощность Pnf, выделяю-
выделяющаяся в единице объема плазмы, равна
Pnf = (n/2)(n/2)(av)QNF. A.7)
Введем КПД щ преобразования тепловой энергии в электри-
электрическую и КПД нагрева ?7heat — отношение вводимой в плазму
мощности к мощности, потребляемой системой нагрева. Тогда
условие положительного выхода энергии записывается в виде
^ A.8)
т. е.
ЗпкТ , \/ \Qnf 2/ \
' Е *
> п , v, A.9)
где г] — произведение двух КПД. Правая часть последнего вы-
выражения зависит только от температуры Г. Если кТ = 104 эВ
и г] « 0,3 (%! « 0,4, ryheat ~ 0,75), то необходимо, чтобы пте >
> 1,7 • 1020 м~3 • с. Условие «термоядерное™» D-T плазмы при
V ~ 0,3 показано на рис. 1.4. В действительности, плазма горячая
в центре и холодная на краю, поэтому для более аккуратных вы-
выводов необходимо учитывать конкретные профили температуры
и плотности, что будет сделано в разд. 6.11.

24
Гл. 1. Что такое плазма
пте, м 3 • с
1021
6
4
Ш20
6
4
10
20
50
100
лГ, кэВ
Рис. 1.4. Условия «термоядерности» D-T плазмы при rj — 0,3, положительности
выхода энергии (rj = 1) и зажигания (rj = 0,2) на диаграмме пте—Т
Критерий Pheat — ^nf называется порогом положительно-
положительного энерговыхода, что соответствует условию «термоядерно-
«термоядерности» при г] ^ 1. Отношение доли термоядерной энергии, свя-
связанной с а-частицами, к полной термоядерной энергии равно
Qcx/Qnf = 0,2. Поскольку а-частицы заряжены, то они могут
нагревать плазму посредством кулоновских столкновений (см.
разд. 2.8). Если вся кинетическая энергия а-частиц остается
в плазме, то при выполнении условия Pheat — 0>2Pnf высокая тем-
температура плазмы может поддерживаться без внешнего нагрева.
Это условие называется условием зажигания и отвечает случаю
г] = 0,2.
Список литературы
1. Arnold W.R., Phillips J.A., Sawyer G.A. et at. Phys. Rev. 1954. V. 93.
P. 483.
2. Wandel C.F., Hesselberg Jensen Г., Kofoed-Hansen O. Nucl. Instrum.
a. Methods. 1959. V.4. P. 249.
3. Tuck IL Nucl. Fusion. 1961. V. 1. P. 201.
4. Takizuka 7., Yamagiwa M. JAERI-M 87-066 / Japan Atomic Energy
Research Institute. 1987.

Глава 2
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАЗМЫ
§ 2.1. Функция распределения в пространстве
скоростей, электронная и ионная температуры
Электроны, так же как и ионы, движутся в плазме с раз-
разными скоростями. Число электронов пе в единице объема на-
называется электронной плотностью. Число электронов dne(vx)
с х-компонентой скорости, заключенной в интервале от vx до
vx + dvx, записывается в виде
dne(vx) = fe(vx)dvx,
где fe(vx) называется электронной функцией распределения
в пространстве скоростей (или функцией распределения по
скоростям). Когда электроны находятся в состоянии теплового
равновесия с температурой Те, их функция распределения в про-
пространстве скоростей — максвелловская:
По определению, функция распределения в пространстве скоро-
скоростей удовлетворяет следующему соотношению:
оо
fe(Vx)dvx = Пе.
Максвелловская функция распределения в трехмерном простран-
пространстве скоростей есть
' BЛ)

26
Гл. 2. Характеристики плазмы
Ионная функция распределения вводится аналогично. Средний
квадрат скорости v\ определяет температуру:
оо
= I \ v2j{vx)dvx = ^.
B.2)
Давление р определяется как
р = пкТ.
Поток частиц Г+уХ в направлении х через единичную площадку
равен
оо
Г+,ж = vxf(vx)dvx = п (т^— )
J \2irmJ
О
Если пучок электронов со средней скоростью г^ инжектирует-
инжектируется в максвелловскую плазму, то, как показано на рис. 2.1, б,
Рис. 2.1. а — максвелловская функция распределения по скоростям с темпе-
температурой Те; б — функция распределения по скоростям максвелловской плазмы
с электронной температурой Те и инжектированного пучка электронов со
средней скоростью г;ь
функция распределения становится «горбатой» и может быть
аппроксимирована следующим выражением:
fe(vz) =Пе
Ше У/2 /
2^Т) 6ХР "
me(vz -
2кТъ

§2.2. Плазменная частота, дебаевская длина 27
§ 2.2. Плазменная частота, дебаевская длина
Рассмотрим ситуацию, когда электроны в изначально од-
однородной плазме движутся под действием малого возмущения
плотности. Предполагается, что ионы остаются неподвижны-
неподвижными, т. к. масса иона много больше массы электрона. Смещение
электронов приводит к возникновению электрического заряда
и соответствующего электрического поля, которое определяется
уравнением Пуассона
E = -e(ne -п0).
Электроны ускоряются электрическим полем:
те— = -еЕ.
at
Из-за движения плотность электронов меняется:
Обозначим пе — по = щ и предположим, что |ni| <С по. Тогда
получим
€0V-E = -eni, me-^ = -еЕ, -^+n0V-v = 0.
at at
Предположим для простоты, что смещение происходит только
в направлении оси х и что оно синусоидально,
n\{x,t) = ri\ exp(ikx — iwt).
Производную по времени d/dt заменим на —га;, а производную
д/дх по координате — на zfc, так что
гкеоЕ = — ещ, —штеу = — еЕ, —шщ = —гкщу,
и мы находим
2 ^ B.3)
Такая волна называется электронной плазменной, или ленгмю-
ровскойу а ее частота — электронной плазменной частотой Пе:

28
Гл. 2. Характеристики плазмы
Между плазменной частотой и дебаевской длиной Ар имеется
следующая связь:
§ 2.3. Циклотронная частота, ларморовский радиус
Уравнение движения заряженной частицы массы т с зарядом
q в присутствии электрического Е и магнитного В полей имеет
вид:
m|=g(E + vxB). B.4)
Если магнитное поле однородно и направлено по оси z, а элек-
электрическое равно нулю, то уравнение движения приобретает вид
v = (qB/m)(v х b), где b = B/jB, откуда
vx = -v±s
vy =
Vz =
m
B.5)
Это решение описывает спиральное движение частицы вокруг
силовой линии магнитного поля с угловой скоростью п (см.
рис. 2.2). Такое движение называется ларморовским. Величина
Рис. 2.2. Ларморовское движение заряженной частицы в магнитном поле
Q называется циклотронной (ларморовской) частотой. Обо-
Обозначим радиус орбиты через рп, тогда центробежная сила равна
mv^/pn, а сила Лоренца есть qv±B. Так как обе силы должны
уравновешивать друг друга, находим
mv±
\я\в'
B.6)

§2.4. Дрейфовая скорость ведущего центра
29
Эта величина называется ларморовским радиусом, а центр лар-
моровской орбиты называется ведущим центром. Ларморовское
вращение электрона происходит по правому винту (i?e > 0),
а положительно заряженного иона — по левому {Q{ < 0) (см.
рис. 2.2). В следующей таблице приведены значения ларморов-
ского радиуса и циклотронной частоты для случая В — 1 Т,
кТ= 100 эВ.
В = 1 Т, кТ = 100 эВ
Тепловая скорость, vj = (кТ/mI^2
Ларморовский радиус, ро,
Угловая циклотронная частота, Q
Циклотронная частота, !?/2тг
Электрон
4,2 • 106 м/с
23,8 мкм
1,76- 1011 с
28 ГГц
Протон
9,8 • 104 м/с
1,02 мм
-9,58 • 107 с
-15,2 МГц
§ 2.4. Дрейфовая скорость ведущего центра
Если однородное электрическое поле Е перпендикулярно
к однородному магнитному полю, то уравнение движения B.4)
подстановкой
Е х b /о _ч
V = UE + U, UE = —ег- B.7)
в
сводится Ч к
ш- = g(u х В).
Таким образом, движение заряженной частицы является су-
суперпозицией ларморовского движения и дрейфового движения
его ведущего центра со скоростью ue. Направление дрейфа ве-
ведущего центра под действием электрического поля Е одинаково
для положительно и отрицательно заряженных частиц (рис. 2.3).
Е 1© В
0
В ©Jg
е
Рис. 2.3. Дрейфовое движение ведущего центра в электрическом и гравитаци-
гравитационном поле (схематическое изображение)
В случае стационарных полей. — Примеч. ред.

30 Гл. 2. Характеристики плазмы
Если приложено гравитационное поле g, то соответствующая
(гравитационная) сила равна mg и именно ее необходимо рас-
рассматривать вместо qE для случая электрического поля. Поэтому
скорость дрейфа ведущего центра под действием гравитации
равна
WI / , ч gXD /Л ОЧ
% = ^(g х b) = -L. B.8)
Направления ионного и электронного дрейфов в гравитационном
поле противоположны, причем скорость дрейфа ведущего центра
иона значительно больше, чем электрона (см. рис. 2.3).
Если электрическое и магнитное поля слабо меняются в про-
пространстве и времени {\ш/п\ < 1, pn/R < 1), выражения для
скорости дрейфа сохраняют свой прежний вид. Однако из-за кри-
кривизны магнитной силовой линии на частицу, движущуюся вдоль
силовой линии со скоростью v\\, дей-
ствует центробежная сила, сообщая
ускорение
gcurv ~ ~Б"П'
где R — радиус кривизны силовой
линии, an— единичный вектор
Рис. 2.4. Радиус кривизны в направлении от центра ее кривиз-
магнитной силовой линии ны (рис. 2.4). Как будет показано ни-
ниже, результирующий эффект лармо-
ровского движения в неоднородном магнитном поле также сво-
сводится к действию эффективной силы с ускорением
Тем самым, скорость дрейфа ведущего центра в кривом неодно-
неоднородном магнитном поле, рассчитанная в дрейфовом приближе-
приближении, выглядит следующим образом:
< b. B.9)
Первый член называют центробежным дрейфом, а второй —
градиентным. Так как V х В = //qJ, to можно записать
^V(B • В) = (Ъ • V)B + b x (V х В) = |(Bb) + b x ^j =
дВ, odb Vp дВ, „n
Ъ + вЪВ

§2А. Дрейфовая скорость ведущего центра 31.
где длина / измеряется вдоль силовой линии, и мы использовали
соотношение (см. рис. 2.4)
дЬ __п
dl ~~ R'
Имеем . __ __
nxb __ _ (VB Vp\ ,
"IT- [~T+fX°^)Xb'
Если Vp много меньше, чем VB2/B/io), находим, что О
Продольное движение (вдоль магнитного поля) описывается
уравнением
dV\\
Рассмотрим влияние неоднородности магнитного поля на вра-
вращающуюся заряженную частицу. Х-компонента силы Лоренца,
Fl = qv x В, перпендикулярная магнитному полю, направленно-
направленному по оси z, и абсолютная величина В магнитного поля вблизи
ведущего центра равны соответственно:
Fix = qvyB = -\q\v_iBcos6,
вв вв
В = Во + -z-pncos6 + —pftsinfl.
ox oy
Средняя по времени ^-компонента силы Лоренца равна (Fix) =
1дВ, , |Ч
= -^— (—\q\)v±pQy средняя у-компонента рассчитывается анало-
аналогично, и мы получаем (см. рис. 2.5)
Далее необходимо оценить среднюю по времени ^-компоненту
силы Лоренца. Уравнение V • В = 0 вблизи положения веду-
1) Градиент давления появился в этих формулах из-за использования урав-
уравнения равновесия (см. гл. 6), что представляется не вполне оправданным при
анализе движения отдельных частиц во внешнем поле. Более естественным
здесь было бы сразу положить j = 0, считая, что магнитное поле создается
некими сторонними токами. — Примеч. ред.

32 Гл. 2. Характеристики плазмы
Рис. 2.5. Ларморовское движение в неоднородном магнитном поле
щего центра на рис. 2.5 записывается в виде Вг/г + дВг/дг +
+ dBz/dz = 0, и мы находим
it? \ I D \ II двг mv\/2dB
(FLz) = ~(qv0Br) = \q\v±Pu — = jjT-fa*
т. к. г очень мало. Таким образом, искомое выражение для
выведено.
§ 2.5. Магнитный момент, пробочное удержание,
продольный адиабатический инвариант
Петля площадью S с током I обладает магнитным момен-
моментом /хм = IS. Так как ларморовское вращение заряженной ча-
частицы также отвечает току, обтекающему некоторую площад-
площадку (величина тока и площадь площадки равны соответственно
I = qfi/2тг, S = тгр^), то такой ларморовский кружок обладает
магнитным моментом
W BЛ0)
Как будет показано в этом разделе ниже, эта физическая вели-
величина — адиабатический инвариант. Если магнитное поле меня-
меняется медленно, то магнитный момент сохраняется. Поэтому если
магнитное поле В возрастает, то mv\ — цВ тоже возрастает,
и частицы нагреваются. Такой способ нагрева называется адиа-
адиабатическим.
Рассмотрим пробочную магнитную ловушку, в которой, как
показано на рис. 2.6, магнитное поле мало в центре и велико на
концах (в пробках). Для простоты предположим, что электриче-
электрическое поле равно нулю. Так как сила Лоренца перпендикулярна
скорости, то кинетическая энергия при движении в магнитном

§2.5. Магнитный момент, пробочное удержание 33
поле не изменяется,
^ + ^f = ^ = S = const. B.11)
Поскольку магнитный момент сохраняется, находим
9 1/2 1/2
Когда частица движется по направлению к открытому концу
(к пробке), магнитное поле становится большим, а г>ц — малой
или даже нулевой. Поскольку сила, действующая параллельно
магнитному полю, равна — /xVyi?, заряженные частицы отража-
отражаются от обоих концов пробочного поля, как свет отражается от
зеркала 1). Отношение величины магнитного поля на открытом
конце и в центре называется пробочным отношением:
Обозначим компоненты скорости вдоль и поперек магнитного
поля частицы, находящейся в центре пробочного поля, через vp
и v±q соответственно. Значение v\ в точке, где магнитное поле
максимально, Дуь равно
Если это значение больше, чем г>2 = г^, частица не может вы-
вылететь через открытый конец. Таким образом, она отражается
и оказывается запертой в пробочном поле, если
лшл2 *= 1 B12)
Частицы в области, где значения sin# = г^о/^о таковы, что
О Это сравнение разъясняет термин «зеркальная ловушка», принятый в ан-
англоязычной литературе. Принцип удержания заряженных частиц продольно
неоднородным магнитным полем был выдвинут в начале 1950-х гг. независимо
в СССР (Г. И. Будкером) и в США (Р. Ф. Постом и X. Ф. Йорком). С тех пор
основанные на этом принципе магнитые ловушки на русском языке именуются
«пробкотронами», а на английском — «магнитными зеркалами». — Примеч.
ред.
2 Миямото К

34
Гл. 2. Характеристики плазмы
не заперты, поэтому эта заштрихованная на рис. 2.6 область
называется конусом потерь в пространстве скоростей.
В
Х\\\\
Рис. 2.6. Магнитное поле и конус потерь в пространстве v\\—v±
Проверим инвариантность /л в присутствии медленно меняю-
меняющегося магнитного поля, (\dB/dt\ < \ОВ\). Умножим скалярно
v_l на уравнение движения
dv± d Imv2
За один период 2тг/|1?| ларморовского движения изменение AW±
кинетической энергии W± = mv\/2 равно
AW± = q l(v± • E±)dt = qlE± • ds = q [(V x E • n)dS,
где §ds — интеграл по контуру ларморовской орбиты, а $ dS
интеграл по ее площади. Так как V х Е = -dB/dt, то
Изменение магнитного поля АВ за один период ларморовского
движения составляет АВ = (<9Б/<9*)Bтг/|4?|), и мы находим
jLi = —ф- = Const.
в
Если движение периодично во времени, то интеграл действия
§pdq, записанный в канонических переменных р, д, является,
как известно, адиабатическим инвариантом. Интеграл действия
ларморовского движения Jj_ = (-тр^]?Jтгрп = -Dтгт/д)/х на-
называется поперечным адиабатическим инвариантом.
Запертая в пробочном поле частица совершает возвратно-
поступательное движение вдоль силовой линии между магнит-

§ 2.6. Время кулоновских столкновений, инжекция атомов
35
ными пробками. Интеграл действия такого периодического дви-
движения л
«7ц = гаср-ицсй B.13)
также является адиабатическим инвариантом. «7ц называется
продольным адиабатическим инвариантом. Если уменьшать
длину пробочной системы /, то (v\\) будет возрастать (при сохра-
сохранении «7ц = 2т(г>ц)/), и частицы будут ускоряться. Это явление
называется ускорением Ферми.
Силовые линии магнитного поля сходятся по направлению
к пробке. Запертые частицы подвержены центробежному и гра-
градиентному дрейфу, так что во время возвратно-поступательно-
возвратно-поступательного движения вдоль силовых линий они дрейфуют по азиму-
азимуту (в направлении угла в). Орбита (г, 0), образованная точ-
точками пересечения траектории возвратно-поступательного дви-
движения частицы с плоскостью z = 0, описывается уравнением
J\\{r,9,ii,E) = const.
г — а
r = b
§ 2.6. Время кулоновских столкновений, инжекция
быстрых нейтральных атомов
Движение заряженных частиц рассматривалось в предыду-
предыдущем разделе без учета столкновений между частицами. В насто-
настоящем разделе обсуждаются явления, связанные с кулоновски-
ми столкновениями. Начнем с простой модели. Предположим,
что сфера радиуса а движется со скоростью v в пространстве,
заполненном сферами ради-
радиуса Ь с плотностью п (см.
рис. 2.7). Когда расстояние
между двумя частицами ста-
становится меньше а + Ь, проис-
происходит столкновение. Сечение
(J такого столкновения равно
(у = тг(а + бJ. Так как сфера
радиуса а проходит за вре-
время St расстояние I = vSt, то Рис. 2.7.
вероятность столкновения со
сферой радиуса Ъ
nla = navdt.
В данном случае nl — возможное число сфер 6, с которыми
налетающая сфера а может столкнуться за время St внутри
области с единичным сечением, a nla — их полное число внутри
= vAt
Вероятность столкновения
сферы радиуса а со сферами радиуса Ь

36 Гл. 2. Характеристики плазмы
области с сечением, равным а. Поэтому величина, обратная
времени столкновений ?соц, равна
(^соиГ1 = nav.
В этом простом случае сечение столкновения а не зависит от
скорости налетающей сферы а, хотя в общем случае такая зави-
зависимость может иметь место.
Рассмотрим кулоновское столкновение электрона с ионом,
в результате которого налетающий электрон сильно отклоняется
от первоначального направления (см. рис. 2.8). Столкновения
Рис. 2.8. Кулоновское соударение электрона с ионом
такого рода возможны, когда величина электростатического по-,
тенциала электрона на ближайшем к иону расстоянии Ъ порядка *
кинетической энергии налетающего электрона, т. е.
Ze2 ^ mevl
4тге0Ь 2~~'
Сечение такого близкого кулоновского столкновения равно а =
= тгб2. Обратное время столкновения при близких кулоновских
столкновениях равно
1 -« щ7г(Яе2)Ч Z2e4ni
— = щауе = mve7rbz = ——^ ^-—2 = .223-
*coii D7геотеу^/2у 4тге^т^
Поскольку кулоновская сила является дальнодействующей,
пробная частица отклоняется на небольшой угол даже удаленной
полевой частицей, к которой пробная частица близко не под-
подходит. Как было указано в разд. 1.2, кулоновское поле полевой
частицы не экранируется в пределах дебаевской сферы (т. е.
сферы с радиусом, равным дебаевскому, Ad), а внутри дебаев-
дебаевской сферы в условиях обычной лабораторной плазмы находится
большое количество полевых частиц (слабовзаимодействующая
плазма). Большое число столкновений с малым углом рассеяния

§2.6. Время кулоновских столкновений, инжекция атомов 37
в результате приводит к большому эффекту. Учет таких дальних
столкновений с малым углом рассеяния приводит к увеличению
суммарного сечения кулоновского столкновения в кулоновский
логарифм раз:
) г
^« fdr« 15-20.
Ь ) )
6/2
Производная по времени компоненты импульса рц вдоль направ-
направления движения налетающего электрона выражается [1,2] через
время столкновений те\\\:
dt Tei||'
Z2e4m\nA
B.14)
где rei|| — характерное время торможения электрона ионами.
В общем случае, при столкновении пробной частицы с заря-
зарядом qy массой m и скоростью v с полевой частицей с зарядом
q*9 массой ш* и тепловой скоростью Vj = (кТ*/т*I/2 время
столкновения дается выражением [1,2]
J д2д*2п*\ъА (qq*r^\2 In Л ^ ^
rv3 V eom
в предположении г; > Vj. Здесь шг обозначает эффективную
массу, mT = mm*/(m + т*). Подставляя среднее значение
(m/2)v2 = C/2)«Г, получаем для 1/тц:
тц
При столкновениях электрона с ионами эта формула для времени
столкновений дает
что с погрешностью ~ 20% совпадает с формулой Спитцера [4]
B.18)

38 Гл. 2. Характеристики плазмы
Если ион с зарядом Z и массой т\ сталкивается с такими же
ионами, время ион-ионных столкновений дается формулой
1 zVnjlnA
Щ\ 31/26g1/2(rK/2 "
Время электрон-электронных кулоновских столкновений
можно получить заменой гп[ -» гае и Z —> 1 в формуле для тиц,
J Пее1пЛ
Случай кулоновского рассеяния иона на электронах более
труден для рассмотрения, поскольку предположение v\ > Vj бо-
более несправедливо. Рассмотрим случай, когда пробная частица
с массой М и скоростью vs сталкивается с полевой части-
частицей массы га. В системе центра масс, в которой сам центр
масс неподвижен, полевая частица га движется со скоростью
^с = -Mvs/(M + га), а пробная частица М — со скоростью
^s — ^с = mvs/(M + га) (см. рис. 2.9). Так как полные импульс
• т
а б
Рис. 2.9. Упругое столкновение пробной частицы М и полевой частицы m: a —
в лабораторной системе; б — системе центра масс
и кинетическая энергия двух частиц в процессе упругого соуда-
соударения сохраняются, то их скорости не меняются по величине, так
что в системе центра масс частицы просто отклоняются в своем
движении на угол в. Скорость v\ и угол рассеяния ф пробной
частицы в результате соударения в лабораторной системе коор-
координат (см. рис. 2.9) таковы, что
2 / \2 , 2 , о/ \ л 2(М + 2Mmcos9 + т2)
vf = (vs - vcy+vZ+2(vs - vc)vc cos<9 = v;±^J
(M + m)
m sin 9

§2.6. Время кулоновских столкновений, инжекция атомов 39
Обозначив импульс и кинетическую энергию пробной частицы
до и после столкновения через ps, Es и pf, E\ соответственно,
находим АЕ Шт
Усреднив по в, получим в случае т/М <С 1 следующие соотно-
Ш6НИЯ /^\ ~ ^т /^Н\~ т
Из вышесказанного следует, что обратное время столкно-
столкновения 1/т1ец тяжелого иона с легкими электронами примерно
в т[/те раз меньше, чем l/rei|| и равно [1,2]
1 гаР
Обозначив продольную и поперечную компоненты импульса
пробной частицы через рц и р± соответственно, а энергию —
через Е, имеем:
dp2\ rt dE Л фи
dt dt " dt '
Определим характерное время изменения скорости т± в на-
направлении, перпендикулярном направлению начального импуль-
импульса, и характерное время релаксации энергии те соотношениями
dt ~ т±'
dE _ Е
~dt = "т7*
В предположении v > Vj, величины 1/т± и \/те равны соответ-
соответственно [1]
1 _^*2гг*1пЛ_дУ2пЧпЛ
B.23)
тх 2-!re2)v(mvJ
\_ _ д2д*2п*ЫЛ _ д2д*2п*ЫЛ
т€ 4nelm*v(mv2/2) 2ne2)mm*v3'
При электрон-ионном столкновении
1 2
, B.24)
reii. Teill

40 Гл. 2. Характеристики плазмы
1 к ^ А. B.25)
Tei ГП\ rei||
В случае электрон-электронного и ион-ионного столкновений
находим, что
1 1/12 1. B_26)
Тее± Тее||
1 1
B.27)
^Г" ~ ~' <2-28>
Л « —. B.29)
ГЦ Гц
В случае столкновений иона с электронами верны следующие
соотношения [1]:
1 Z2e4ne\nA me t
Z2e4nelnA 4 гае 1 me 2,77 /0 on
-e
т-ie6 4тгб2тУ2(/сТеK/2 3BтгI/2 т{ тщ m{ ге,ц '
где ?j = C/2)«Ti — кинетическая энергия иона. Обратное вре-
время столкновения называется частотой столкновений и обо-
обозначается через и. Длина свободного пробега вводится как
Л = З'/Vt.
В плазму поперек магнитного поля могут быть инжекти-
инжектированы пучки высокоэнергичных нейтральных частиц (атомов,
реже — молекул). В результате процесса ионизации или пере-
перезарядки на ионах плазмы нейтральные частицы превращаются
в высокоэнергичные ионы. Высокоэнергичные ионы (масса кото-
которых ть, электрический заряд Zbe, энергия Еъ), проходя через
плазму, тормозятся в результате кулоновских соударений с иона-
ионами (muZ[) и электронами (гае,— е) плазмы; тем самым, энергия
пучка передается плазме. Этот метод называют нагревом при
помощи инжекции быстрых нейтралов. Скорость изменения
энергии быстрого иона, т. е. скорость нагрева плазмы, равна
dt тй rbV

§ 2.7. Убегающие электроны, поле Драйсера 41
J_ _ {ZheJ(Zxef In An{
так что [3]
dEb = Zb2в4 In Лпе Лр me п^ 4 /meEb \3/2А /2 32)
Эта формула справедлива, когда скорость иона пучка v\> много
меньше (например, в 3 раза), чем тепловая скорость электронов,
и много больше (например, в 2 раза), чем тепловая скорость
ионов плазмы. Первый член в правой части отвечает столкнове-
столкновениям частиц пучка с ионами, а второй — с электронами. Крити-
Критическая энергия Есг иона пучка, при которой ионы и электроны
плазмы нагреваются с одной скоростью, равна
^ = Есг = 1
где Ль, А[ — атомные веса инжектируемого иона и ионов плазмы
соответственно. Если энергия инжектируемого иона превышает
?"сг, то доминирует нагрев электронов. Время торможения ион-
ионного пучка рассчитывается как
t -dEb тьее1 (*^(E\V2\
Tslowdown — ,^E /^ч = y-g ln I A + \Ё~) ) '
J_ Z2nee4 Ы Л me ,~ ъд\
где rbe — время релаксации энергии ионов пучка на электронах.
§ 2.7. Убегающие электроны, поле Драйсера
Если к плазме приложено однородное электрическое поле Е,
то движение пробного электрона описывается уравнением
m*-Z = -eE-
е = еЕr^
dt ree(v)
где .
1 е41пЛ
— = neav =
тее 2
Член, ответственный за торможение, уменьшается с ростом ско-
скорости v и становится меньше ускоряющего члена | — еЕ| при

42 Гл. 2. Характеристики плазмы
критической скорости vcr. Если v > vCT, то пробная частица
ускоряется. Замедляющий член становится меньше, и скорость
начинает неограниченно расти. Такой электрон называется убе-
убегающим. Критическая скорость задается соотношением
сг е2п\пЛ
' B-35)
Электрическое поле, необходимое для достижения электроном
критической скорости vcv, называется драйсеровским. Для In Л =
= 20 находим
2е ' Е'
Если п = 1019 м~3, Е = 1 В/м, то электроны с энергией, больше
5 кэВ, становятся убегающими.
§ 2.8. Электрическое сопротивление, омический
нагрев
Если к плазме приложено электрическое поле, меньшее чем
поле Драйсера, то электроны испытывают ускорение в поле
и торможение за счет соударений с ионами и, в итоге, находятся
в равновесии, определяемом следующим соотношением:
Плотность тока j, вызываемого электрическим полем, равна
j = -ene(ve - vi) = Е.
me
Удельное электрическое сопротивление, определяемое форму-
формулой r)j = Е, равно [4] (в Ом • м)
_ rrieVeiW _ (теI/2?е21пЛ , , _3/2 _
'/ — 2~ ~ el о 1/2 2 V^eJ —
neez 51,6тг /z€q
^) . B.36)
Удельное электрическое сопротивление плазмы с Ге = 1 кэВ,
Z = 1 равно ?7 = 3,3 • 10~8 Ом • м, что немного выше, чем
удельное электрическое сопротивление меди при 20°С, 1,8 -х
х 10~8 Ом • м. При протекании электрического тока с плотно-
плотностью j мощность rjj2 (на единицу объема) вкладывается в нагрев
электронов. Такой механизм нагрева называется омическим.

§2.9. Многообразие масштабов в плазме 43
§ 2.9. Многообразие временных и пространственных
масштабов в плазме
В этом разделе описаны характеристики плазмы различного
типа. Характерными временными масштабами в плазме являются
периоды электронных плазменных колебаний 2тг/#е, электрон-
электронного 2тг/]7е и ионного 2тг/|Д| циклотронного вращения, времена
электрон-ионных те\ и ион-ионных т{\ столкновений и время
электрон-ионной передачи энергии т^. Альфвеновская скорость
г>А, т. е. скорость распространения магнитного возмущения, та-
такова, что v\ — B2/Bfjiopm) (pm — массовая плотность) (см.
гл. 5, 10). Характерным магнитогидродинамическим временным
масштабом служит альфвеновское время тн = Ь/у&, где L —
размер плазмы. В среде с конечным удельным сопротивлени-
сопротивлением г] электрическое поле диффундирует за характерное время
rR = /j,()L2/r) (см. гл. 5). Это время называется временем рези-
стивной диффузии.
Характерные масштабы длины — дебаевская длина Ad, лар-
моровские радиусы электрона р^е и иона рщ, длина свободного
пробега Aei при электрон-ионных столкновениях и размер плаз-
плазмы L.
Соотношения между пространственными и временными мас-
масштабами таковы: \г>Пе = vje, Рпе^е — ^Те> рЫД| = Щи Aei/rei ~
« З1/2^!^ Ан/тн « 31/2vtu L/тц = г^д, где vje, vj\ — тепловые ско-
скорости, v2e = к,Те/те, Vj{ — кТ[/гп[. Дрейфовая скорость ведущего
центра по порядку величины равна thrift ~ кТ/eBL — vj(pq/L).
Ниже приведены параметры типичной термоядерной D-T плазмы
спе= 1020 м, кТе = кТ{ = 10 кэВ, В = 5 Т, L = 1 м:
2тг/#е = 11,1 пс (Яе/2тг = 89,8 ГГц) AD = 74,5 мкм
2тг/4?е = 7,1 пс (Г?е/2тг = 140 ГГц) рпе = 47,6 мкм
2тг/|Д| = 26 не (|i?i|/27r - 38 МГц) рп[ = 2,88 мм
rei = 0,34 мс Aei — 25 км
тн = 5,6 мс Аи = 9,5 км
reei = 0,3 с
тн = 0,13 мкс
rR = 1,2- 103 с.
Диапазоны временных и пространственных масштабов составля-
составляют тлПе ~ 1014, Aei/Ao ~ 1,6 • 108, что предопределяет сложность
и многообразие плазменных явлений.

44 Гл. 2. Характеристики плазмы
Список литературы
1. Сивухин Д.В. В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып. 4 / Под ред.
Леонтовича М.А. — М.: Атомиздат, 1964.
2. Miyamoto К. Plasma Physics for Nuclear Fusion. — Revised Edition. —
The MIT Press, Cambridge, Mass., 1989. Chap. 4.
3. Stix Т.Н. Plasma Phys. 1972. V. 14. P. 367.
4. Spitzer L., Jr. Physics of Fully Ionized Gases. N. Y.: Interscience, 1962.
Русский перевод: Спитцер Л. Физика полностью ионизованного
газа. — 2 изд. — М.: Мир, 1965.

Глава 3
КОНФИГУРАЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
И ТРАЕКТОРИИ ЧАСТИЦ
В этой главе подробно исследуется движение отдельных заряжен-
заряженных частиц в магнитном поле более общего вида. В плазме содержится
большое количество заряженных частиц, их движение само влияет на
магнитное поле, но здесь этим влиянием пренебрегается.
§ 3.1. Уравнения Максвелла
Обозначим напряженность электрического поля, магнит-
магнитную индукцию, электрическую индукцию и напряженность
магнитного поля буквами Е, В, D, и Н, соответственно. Если
плотность зарядов и плотность тока обозначить как р и j
соответственно, уравнения Максвелла имеют вид
VxE + ^=0, C.1)
ot
VxH-®=j, C.2)
V • В = 0, C.3)
V • D = р. C.4)
Величины р и j удовлетворяют соотношению
V-j + g = O. C.5)
Уравнения C.2), C.4) и C.5) связаны между собой благодаря
току смещения дЪ/dt. Из C.3) следует, что вектор В может
быть представлен как ротор вектора А:
В = V х А. C.6)
А называют векторным потенциалом. Если C.6) подставить
в C.1), получим
(|) C.7)

46 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
Величина в скобках может быть выражена через скалярный
потенциал ф:
^. C.8)
Так как любая другая пара ф' и А', такая что
А' = А - Щ, C.9)
тоже удовлетворяет C.6), C.8) при произвольном ф, то ф' и А'
определены не единственным образом.
Когда среда однородна и изотропна, В и D выражаются через
напряженности Е и Н следующим образом:
D = бЕ, В = дН.
б и \х называют диэлектрической и магнитной проницаемо-
проницаемостью соответственно. В вакууме €q и до имеют следующие
значения:
е0 = i° Кл2 • с2/(кг • м3) - 8,854 • 10~12 Ф/м,
4тгс
до = 4тг х 1(Г7 кг • м/Кл2 = 1,257 • 1(Г6 Гн/м,
так что
— -с2.
Здесь с — скорость света в вакууме, а Кл обозначает единицу
заряда (Кулон).
Плазма в магнитном поле анизотропна, так что е и ц являют-
являются, вообще говоря, тензорами. В вакууме уравнения C.2), C.4)
могут быть сведены к
I| ^ C.11)
<312»
Так как ф и А имеют произвол в ф (см. C.9), C.10)), мы
наложим дополнительное условие (условие Лоренца)
V.A+^-0. C.13)

§3.1. Уравнения Максвелла
47
Тогда C.11), C.12) сводятся к волновым уравнениям
VV-^J = -IP> C.14)
и2д 1 д2А .
V А —g—г" = "~^oJ- C.15)
При выводе C.15) использовано векторное соотношение
V х (V х а) - V(V • а) = -V2a,
которое справедливо лишь в декартовых 0 координатах (x,y9z).
Скорость распространения электромагнитного поля в вакууме
есть l/^o^oI/ — с-
Если поля не меняются со временем, соответствующие
уравнения сводятся к
Е = -V0, В = V х А,
V-A =
R
r> о , а Рис- 3.1. Точка на-
Скалярныи и векторный потенциалы ф и А блюдения Р и по-
в точке наблюдения Р, заданной радиус-век- ложение Q заряда
тором г, выражаются через плотности заряда и тока
и тока в точке Q (заданной г') формулами (см.
рис. 3.1)
1
4ТГ€О ^
л
д
C.16)
C.17)
где R = г — г', R = |R| и dr' = dx'dy'dz'. Следовательно, Е и В
даются выражениями
_, 1 f R , ,
4тг€0 J Дзг
C.18)
C.19)
О В действительности, это точное векторное соотношение. При расписыва-
расписывании же его компонент надо учитывать возможное действие дифференциальных
операторов на базисные векторы. — Примеч. ред.

48 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
Если задан ток /, текущий по замкнутому проводнику С,
напряженность магнитного поля описывается законом Био—
Савара
Н = — = — ф —n-ds, C.20)
№ 4тг J R2
с
где s и п — единичные векторы в направлениях ds 0 и R
соответственно.
§ 3.2. Магнитная поверхность
Силовая линия магнитного поля удовлетворяет уравнениям
dx_ = dy_ __ dz_ = ей C 21)
¦Вж ^ 5Z В
где I — координата вдоль силовой линии (dlJ — (dxJ + (dyJ +
+ (d^J. Магнитная поверхность ф(г) = const, на которой ле-
лежат все силовые линии удовлетворяет условию
(V^(r)) • В = 0. C.22)
Вектор V^(r), нормальный к магнитной поверхности, должен
быть ортогонален В (см. рис. 3.2).
ф = const
Рис. 3.2. Магнитная поверхность ф — const, нормаль V^ и магнитная силовая
линия
В цилиндрических координатах (г, в, z) магнитное поле В
задается формулами
dAz дАв
Я - l
г
г дв дг"
1) Точнее, s — единичный вектор к контуру С. Направление s выбрано
совпадающим с направлением обхода контура, при котором ограниченная кон-
контуром область остается слева. — Примеч. ред.

§3.3. Уравнение движения заряженной частицы 49
г, 9Ar dAz
C.23)
д , . . \дАг
В случае осесимметричной конфигурации (д/дв = 0) вели-
величина
^(г,г) = гА^(г,г) C.24)
удовлетворяет условию C.22) для магнитной поверхности:
Вгд(гАе)/дг + Ве-0 + Bzd(rAe)/dz = 0.
Магнитная поверхность в случае трансляционной симметрии
(d/dz — 0) определяется соотношением
а магнитная поверхность в случае винтовой симметрии, при
которой ф является функцией г и в — az, задается уравнением
ф(г, 9-az) = Az(r, 6-az) + arAe(r, в - az), C.26)
где а характеризует шаг винта.
§ 3.3. Уравнение движения заряженной частицы
Уравнение движения частицы массой тис зарядом q в элек-
электромагнитном поле Е, В имеет вид
i) C'27)
Так как сила Лоренца, выражаемая вторым членом в правой
части C.27), ортогональна скорости v, скалярное произведение
силы Лоренца и v равно нулю. Кинетическая энергия удовлетво-
удовлетворяет уравнению
mv2
t
= q
Если электрическое поле равно нулю, кинетическая энергия
заряженной частицы сохраняется. В декартовых координа-
координатах (x,y,z) х-компонента уравнения C.27) записывается как
md2x/dt2 = q(Ex + (dy/dt)Bz - (dz/dt)By). Однако радиаль-
радиальная компонента C.27) в цилиндрических координатах (г, 0, z)
md2r/dt2 ф q(Er + r(d9/dt)Bz - (dz/dt)Bo). Это указывает на
то, что форма уравнения C.27) не сохраняется при преобразо-

50 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
вании координат. Если применяются обобщенные координаты
qi (i = 1,2,3), необходимо использовать формализм уравнений
Лагранжа. Лагранжиан заряженной частицы в поле со скаляр-
скалярным и векторным потенциалами ф, А имеет вид
L(qu «, t) = ^ + qv • А - #. C.28)
Лагранжиан в декартовых и цилиндрических координатах опре-
определяется выражениями
L(x, у, z, х, у, zyt) = j (x2+y2+z2) +q(xAx+yAy+zAz) - q<j>,
соответственно. Уравнение движения в форме Лагранжа имеет
вид
^(Ш)-Ш=О. C.29)
дА дф\ л
— - ^j = 0,
Подстановка C.28) в C.29) в случае декартовых координат дает
дАдф
дА_дф\_
dx dx)~
dt
что эквивалентно C.27). Уравнение Лагранжа в цилиндрических
координатах имеет вид mr — g(E + v х В)г + т(гвJ/г, в кото-
котором появляется член с центробежной силой.
Гамильтонова форма уравнения движения сохраняется при
канонических преобразованиях — преобразованиях более общих,
чем преобразования координат. В этом формализме в дополнение
к пространственным координатам (qi) вводятся импульсы
причем pi рассматриваются как независимые переменные. Тогда
мы можем выразить из C.30) ^ как функцию (qj,Pj,t)-
qi = <li(qj,Pj,t). C.31)
Гамильтониан H(qi,pi,t) задается выражением
%qi(qj,Pj,t). C.32)

§3.3. Уравнение движения заряженной частицы 51
Для примера выпишем я-компоненту импульса рх в декартовых
координатах и ^-компоненту ро в цилиндрических координатах:
рх = тх + qAx, x = (px- qAx)/m,
ро = тг2в + qrAe, 9 = (рв - qrAe)/(mr2).
Гамильтониан в декартовых координатах есть
Н ^ A
а гамильтониан в цилиндрических координатах —
Н = L {^ - ^гJ+{Рв~^АвJ+(р, - ЯА,J} + Яф(г,в,z, t).
Вариация лагранжиана L определяется формулой
И ВИДНО, ЧТО
S(-L + ^PiQi) =
i
Следовательно, гамильтоново уравнение движения сводится к
dqi дН dpi дН
Уравнения C.33) в декартовых координатах принимают вид
dx _ рх - qAx dfa ^ q_dA ( <ty
dt m ' dt тдх'{Р
md2x _ dp^ _ dA^ _
dt2 ~ ~dt q~df ~
и, как было показано, C.33) эквивалентно C.27).
Если Н не зависит от t явно, т. е. ф, А не зависят от ?, то
dt t-j\
i
dqi dt dpi dt)

52 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
Следовательно,
H(qiyPi) = const, C.34)
т. е. является интегралом гамильтоновых уравнений. Этот инте-
интеграл отражает закон сохранения энергии.
Если электромагнитное поле осесимметрично, то, как видно
из C.33), ро постоянно вследствие дН/дв = О,
ро = тг2в + qrAo = const. C.35)
Это означает сохранение момента импульса. В случае транс-
трансляционной симметрии (d/dz = 0) имеем
pz = mz + qAz = const. C.36)
§ 3.4. Траектория заряженной частицы
в осесимметричной системе
Координаты (г*, 0*,z*) на магнитной поверхности осесиммет-
ричного поля удовлетворяют равенству
С другой стороны, координаты (г, в, z) траектории частицы опре-
определяются сохранением момента импульса C.35):
rAe(r,z) + -г2в - ^ = const.
Выберем см, равным po/q, тогда соотношение между магнитной
поверхностью и траекторией частицы сводится к
z*) = --гЧ.
Расстояние 8 (рис. 3.3) между магнитной поверхностью и траек-
.6
= const ^OV^^^ x (r> z)
Рис. 3.3. Магнитная поверхность (пунктирная линия) и траектория частицы
(сплошная линия)

§ 3.4. Траектория заряженной частицы в осесимметричной системе 53
торией определяется выражением
S = (г - r*)er + (z- z*)ez,
Из соотношений rBr = —d{rAe)/dz, rBz = д(гАо)/дг находим
[-(z - z*)Br + (r - r*)Bz] = ~rO.
Выражение в левой части равенства есть ^-компонента вектор-
векторного произведения векторов Вр = {Вг, О, BZ) и 5 = (г — г*, 0, z —
— z*). Раскрывая, получим
(В?х8)е = --г0.
Обозначим величину полоидальной компоненты магнитного по-
поля Вр (компоненты в плоскости (rz)) как J5p. Имеем — Вр5 =
= гд), и
- mve
5=
Эта величина равна ларморовскому радиусу по магнитному полю
Вр и тангенциальной скорости v$. Если величина см выбрана
равной см = {ре — ™>(rvo))/Q {(rvo) ~ среднее от rve), находим
т ( (rve)\
х т ( (rve)\ /Q QVx
6=щ г - V) • C-37)
В качестве простого примера осесимметричной системы рас-
рассмотрим поле каспа. Такое поле задается соотношениями
Аг = 0, Ав = arz, Az = 0, C.38)
Br = -аг, Во = 0, Bz = 2az. C.39)
Из законов сохранения энергии C.34) и момента импульса
C.35) находим
тгв = — — qazr,
Эти уравнения соответствуют движению частицы в потенциале
X = {ре — qar2zJ/Bтг2). Если электрическое поле равно нулю
и кинетическая энергия частицы сохраняется, область, в которой

54 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
находятся траектории частицы с энергией ту^/2, ограничена
условием (см. рис. 3.4)
Ре
mv0
Рис. 3.4. Пунктир — магнитные силовые линии; сплошные линии — траектории
частиц в каспе
§ 3.5. Дрейф ведущего центра в тороидальном поле
Рассмотрим дрейф ведущего центра заряженной частицы
в простом тороидальном поле (Вг = О, В^ = B$Rq/R, Bz = 0),
заданном в цилиндрических координатах (R,(p,z). (/^-компонента
В<р называется тороидальным полем; В^ уменьшается с удале-
удалением от оси z по закону 1/R. В плоскости z = const магнитные
силовые линии образуют окружности вокруг оси z, которую
называют главной осью тора. Как было описано в разд. 2.4,
дрейфовая скорость ведущего центра задается уравнением
VG =
Частицы в этом простом торе быстро движутся в тороидальном
направлении и медленно дрейфуют вдоль оси z со скоростью

§3.5. Дрейф ведущего центра в тороидальном поле
55
Этот дрейф называют тороидальным дрейфом. Ионы и элек-
электроны дрейфуют в противоположных направлениях вдоль оси
z. Вследствие результирующего разделения зарядов индуциру-
индуцируется электрическое поле Е, и ионы и электроны движутся
вместе наружу из-за Е х В/Б2 дрейфа. Следовательно, про-
простое тороидальное поле не может удержать плазму (рис. 3.5),
если разделение зарядов не нейтрализовано или электрически
Е
Е х В
Рис. 3.5. Тороидальный дрейф
не закорочено каким-либо способом. Если магнитные силовые
линии соединяют верхнюю и нижнюю области, как показано
на рис. 3.6, разделение зарядов может быть закорочено, так как
заряженные частицы могут
свободно двигаться вдоль си-
силовых линий. Если в то-
тороидальной плазме возбуж-
возбужден ток, появляется компо-
компонента магнитного поля вокруг
магнитной оси, как показа-
показано на рис. 3.6. Эта компонен-
компонента Вр называется полоидаль-
ным магнитным полем. Ра-
Радиус магнитной оси R назы-
называют большим радиусом то-
тора, а радиус а поперечного се-
сечения плазмы — малым ради-
радиусом. Обозначим радиальную
координату в поперечном се-
сечении плазмы через г. Если магнитная силовая линия после
обхода вокруг главной оси тора снова пересекает плоскость Р,
и точка пересечения при этом поворачивается вокруг магнитной
Рис. 3.6. Главная ось А, магнитная ось
М тороидального поля и угол враща-
вращательного преобразования t

56 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
оси О на угол ь в плоскости Р, то справедливо следующее
соотношение:
п _ Вр
2nR В^'
Угол ь называется углом вращательного преобразования
и определяется формулой
А = R/a называют аспектным отношением.
3.5а. Траектория ведущего центра пролетной частицы
Если частица вращается вокруг тора со скоростью г>ц, то
время оборота равно Г = 2ttRo/v||. Частица вращается вокруг
магнитной оси с угловой скоростью
Т
и дрейфует в направлении z со скоростью v^. Если ввести
координату х = R — Rq, to траектория ведущего центра частицы
определяется уравнениями
dx dz
решение которых
2
Если существует вращательное преобразование, траектория ча-
частицы (в полоидальном сечении) становится замкнутым кругом,
центр которого смещен от центра магнитной поверхности на
величину
2vjJ
2тг
И - рп (т),
где ра — ларморовский радиус. Как видно из рис. 3.7, Л < О
для случая v\\ > 0, q > 0 (ион), так как % > 0, а; > 0, и 4 > О
в случае г;ц < 0, q > 0 (ион).

§3.5. Дрейф ведущего центра в тороидальном поле
57
ион
электрон
Рис. 3.7. Траектории (сплошные линии) ведущего центра пролетных ионов
и электронов; магнитные поверхности (пунктир)
3.5Ь. Траектория ведущего центра запертой частицы
В случае \В^\ » |J5p| величина магнитного поля почти равна
-Вел, и
R
(г/До) cos в
Обозначим длину магнитной силовой линии /, а проекцию по-
положения магнитной силовой линии на плоскость (R,z) будем
характеризовать координатами (г, в), как показано на рис. 3.8.
Так как выполнены соотношения
г0_5р Й_1_ВР_
I ~В' В" '
находим
Если v\\ (компонента скорости, параллельная магнитному полю)
намного меньше, чем перпендикулярная магнитному полю ком-
R
Рис. 3.8. (г, О)-координаты

58 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
понента скорости v±, и удовлетворяет условию
V
До' v2
то частица заперта снаружи в области слабого магнитного поля
из-за эффекта отражения от пробок, как описано в разд. 2.5
(пробочное отношение здесь равно A/До)/A/(Ло + г)))- Такую
частицу называют запертой. Пролетные частицы называют так-
также незапертыми. Так как для запертых частиц г| <С v\, то
r-компонента тороидального дрейфа у&г запертой частицы опре-
определяется выражением
__
Продольное движение ведущего центра задается уравнением (см.
разд. 2.4)
d^ll = утдВ
dt m dl '
решение которого
d ( . т
+
^-^0 = —b"v||- C-44)
Здесь г = го означает радиальную координату точки поворота
из-за пробочного эффекта. Так как траектория имеет форму
банана, запертые частицы также иногда называют банановыми
(см. рис. 3.9). Ширину банана А\> можно оценить как
Рис. 3.9. Банановая траектория иона

§3.6. Траектория ведущего центра и магнитная поверхность 59
т mv v\\ Во Во / г V2
{Ro\l/2 /2тг\ ,_.„
Ы (т)рп- C-45)
§ 3.6. Траектория ведущего центра и магнитная
поверхность
Выражение для скорости ведущего центра было выведено
в разд. 2.4 в следующем виде:
vG = Vgb + i(E x b) + ^(b x VB) + ^|(b x (b • V)B),
q q C.46)
причем магнитный момент
^m = mvj_/BB) = const.
Если электрическое поле Е статическое и выражается как Е =
= — V</>, энергия сохраняется,
Тогда v\\ выражается формулой
-#-/imBI/2. C.47)
Заметив, что г;ц есть функция координат, можно записать
V х (ту\\Ъ) = mv\\V х b + V{mv\\) x b =
= mv\\ V х b H (—qVcj) — /imVB) x b
и
-|rV x (mv\\b) = —^-V x b + —(E x b) H Ц— (b x VS).
gB v H ' qB Б4 у ^jB2
Тогда уравнение C.46) для vq принимает вид
/ 2 \ 2
/ ^м TYIV\\ \ ТП.1)и
VQ = vnb+ ( -lVx(m«||b)--^Vxbj ¦
2
= V||b+-^Vx(mvi|b) - ^(Vxb-bx(b-V)b).
11 qjD " #??
2
-^V(b) ^

60 Гл. 3. Конфигурации магнитного поля и траектории частиц
Поскольку V(b • b) = 2(b • V)b + 2b x (V x b) = 0, т. к.
b • b) = 1 (см. Приложение «Математические формулы»), третье
слагаемое в правой части уравнения для vq принимает вид
(...) = (V х Ь) - (V х Ь)± = (V х Ь)ц = (b • (V х b))b. Так как
V х В = BV х b + VB x b = /xqj, имеем b-Vxb = IM>3\\/B-
Отношение третьего слагаемого в правой части последнего
уравнения к первому (оба параллельны магнитному полю)
обычно мало. Если можно пренебречь третьим слагаемым,
уравнение C.46) для vq приводится к виду
Траектория ведущего центра совпадает с силовой линией маг-
магнитного поля В* = V х А* с векторным потенциалом
А'ееА + ^В.
qB
Аналогично разд. 3.2, поверхность траекторий дрейфового
движения ведущего центра в случае осесимметричной конфигу-
конфигурации задается соотношением
rA*e(r,z) = const. C.49)
§ 3.7. Влияние продольного электрического поля на
банановые орбиты
Для того чтобы возбудить ток в плазме, в токамаке индуци-
индуцируют тороидальное электрическое поле. Ведущий центр частицы
дрейфует со скоростью Е х В/Б2, но центр банана движется
другим образом. Тороидальное электрическое поле может быть
описано в координатах (i?, у?, z) как
ь*~ дГ'
Так как момент импульса сохраняется, то
R(mR(f + qAp) = const.
Усредняя предыдущее уравнение по ларморовскому периоду и ис-
используя соотношение
находим /В
R (mv\\ -^ + qApJ = const. C.50)

§ 3.7. Влияние продольного электрического поля на банановые орбиты 61
Для банановых частиц (v\\ <C v±) величина г>ц обращается в нуль
в точках поворота. Смещение точки поворота (R, Z) за период
At можно получить из соотношения
О = A{RA4>{R, Z)) = Ar^RAp + у J^V
где г — радиальная координата магнитной поверхности. Произ-
Производные RAy по <р и в равны нулю, так как RA^ = const на
магнитной поверхности. С помощью соотношения
= Бр
R V dr dR
получаем скорость дрейфа
At Eq
dr oz
= cosOBz -
C.51)
Если принять во внимание знак поло-
идального поля ??р, созданного током,
индуцированным электрическим полем
Еу (см. рис. 3.10), то знак Ar/At ока-
оказывается отрицательным, и центр бана-
банана движется по направлению к главной
оси тора. Так как |2?р| <С | Д^>| ~ В, ско-
скорость дрейфа центра банана в (В/ВрJ
раз больше, чем скорость дрейфа ве-
ведущего центра частицы ?^>??р/В . Это
явление называется пинчем Уэйра.
Рис. 3.10. Координатная
система для объяснения
пинча Уэйра

Глава 4
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
СКОРОСТЕЙ И УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Плазма состоит из большого количества ионов и электронов, и про-
проследить индивидуальное поведение каждой частицы весьма сложно.
Вместо этого можно рассматривать статистически усредненные величи-
величины. Для того чтобы описать свойства плазмы, необходимо найти функ-
функцию распределения, которая определяет плотность числа частиц в фа-
фазовом пространстве, т. е. в пространстве координат и скоростей частиц.
Функция распределения не обязана быть стационарной. В разд. 4.1
основное уравнение, определяющее функцию распределения F(qi,pi,t)>
выводится посредством теоремы Лиувилля. Уравнение Больцмана для
функции распределения /(х, v,?) сформулировано в разд. 4.2. Урав-
Уравнение Больцмана без интеграла столкновений называют уравнением
Власова.
§4.1. Фазовое пространство и функция
распределения
Состояние частицы можно задать координатами (x,y,z), ско-
скоростью (vX9Vy,vz) и временем t. В общем случае оно описывается
каноническими переменными <7ь#2'<7з>РьР2>Рз и ? в фазовом
пространстве. Движение частиц в фазовом пространстве подчи-
подчиняется уравнениям Гамильтона:
dt dpi dt dqi '
При движении, согласно теореме Лиувилля, сохраняется бес-
бесконечно малый объем фазового пространства канонических пе-
переменных Л = 6q\Sq26q^SpiSp28p^1 так что
Пусть число частиц 5N в малом объеме фазового пространства
равно
SN F(t)SS D.3)

§ 4.2. Уравнения Больцмана и Власова
63
где Sq = 5q\Sq25qs, 6p = 5
a F(qi,pi,t) — функция распределения
в фазовом пространстве.
Малый объем фазового пространства
сохраняется, если частицы движутся со-
согласно уравнению движения и не рассеи-
рассеиваются посредством столкновений. А по-
поскольку число частиц SN в этом малом
объеме фазового пространства тоже со-
сохраняется, то и функция распределения
(F = SN/A) является константой на тра-
траектории, т. е. полная производная от нее
по времени будет равна нулю:
SqSp
SqSp
Рис. 4.1. Движение ча-
частиц в фазовом про-
пространстве
dt dt ^ \dqi dt dpi dt )
i=\
Bt
Ранее мы нигде не учитывали столкновения. Если обозначить
изменение F, связанное со столкновениями, как (SF/Si)C0\\9 то
выражение D.4) преобразуется к
О Г"! . c\ тт r\ 771 r\ YT ?\ 771 ч / С 771
Сум \ ^ / C/JLJ. С/иГ C/JnL С/А/ \ I 0JP
, —-- + > —— ——-—)=-—
dt *-^ \ dpi oqi oqi dpi) \ dt
§ 4.2. Уравнения Больцмана и Власова
Будем вместо канонических переменных использовать ско-
скорость и пространственные координаты х\,Х2,хз, ^ь^
мильтониан в новых координатах имеет вид
где
±
Pi =
,. Га-
D.6)
Ц = Щ
D.7)
D.8)

64 Гл. 4. Функция распределения и уравнение Больцмана
-qAk) дАк _ дф_ ..
dt dxi ~ ^ m g°-- q*- ' К
к
При этом, уравнение D.5) переходит в
OF ,^ 8F , ^ (^_ дАк d<t>\dF _ (SF\ ^ ^п)
г=к г=\ \к=\
Переход от независимых переменных (qi,Pi,t) к (xj,Vj,t) дела-
делается с использованием D.7), D.8) и соотношений
dvj(xk,Pk,t) _ J_ с
dpi m lJi
dxi т dxi '
dvj(xk,Pk,t) _ q dAj
dt m dt
Обозначим F(xi,pi,t) = F(xi,pi(xj,Vj,t),t) = f(xj,Vj,t)/m3. То-
Тогда m3F(xi,pi,t) = f(xj,Vj(xi,Pi,t),t), и
t)
i k и i m
i г
—F(xt)
dvi\m) dt '
г
Таким образом, выражение D.11) преобразуется к
т ) 8t ^ 1^ ик \ дхк 4^ dvi\ т ) дхк
к \ г
+ V
. ^ 9Жг / rndVi \ 6t J coll

§4.2. Уравнения Больцмана и Власова 65
В силу соотношения
Е
dxi dxi I mdvi \5t J coll'
к /
x (v x A))^ = E^^ + (v x B)i'
к к
имеем
+ / Щ~^ + / —(E + v x B)i—— — I I • D-12)
г г
Это уравнение называется уравнением Больцмана.
Плотность заряда р и электрический ток j определяются как
Р = ^2q\ fdv\dv2dvs, D.13)
D.14)
Соответственно, уравнения Максвелла выглядят так:
D.15)
^
- €0^ + ^g Jv/dv, D.16)
1V х В
VxE = -|, D.17)
V-B = 0. D.18)
В случае разреженной плазмы можно пренебречь интегралом
столкновений {Sf/dt)co\\. Однако взаимодействие заряженных ча-
частиц, по-прежнему, учитывается через самосогласованные элек-
электрические и магнитные поля, которые вычисляются из плотно-
плотностей заряда и тока с помощью уравнений Максвелла. Плотности
же заряда и тока сами определяются функцией распределения
для электронов и ионов. Такое уравнение называется уравнением
Больцмана без столкновений или уравнением Власова.
Если в качестве оператора, описывающего столкновения, под-
подставить интеграл столкновений в форме Фоккера—Планка [ 1 ],
3 Миямото К.

66 Гл. 4. Функция распределения и уравнение Больцмана
то полученное уравнение называется уравнением Фоккера—
Планка (см. 16.8).
Список литературы
Сивухин Д.В. В сб.: Вопросы теории плазмы. Вып. 4 / Под ред.
Леонтовича М.А. — М.: Атомиздат, 1966. Miyamoto К. Plasma
Physics for Nuclear Fusion. — Revised Edition. — The MIT Press,
Cambridge, Mass., 1989. Chap. 4.

Глава 5
ПЛАЗМА КАК ПРОВОДЯЩАЯ ЖИДКОСТЬ
§ 5.1. Уравнения двужидкостной магнитной
гидродинамики
Плазма может быть описана в рамках магнитной гидроди-
гидродинамики как смесь ионной и электронной жидкостей со своими
плотностями pmi, pme, массовыми скоростями Vi, Ve и давлени-
давлениями ^, ре, а также с плотностями заряда и тока в смеси р и j
соответственно. Эти физические величины могут быть получены
путем соответствующих усреднений по пространству скоростей
функций распределения /*(г, v,i) ионов и электронов, введенных
в гл. 4. Концентрация щ и плотность рт\ ионов, а также их
массовая скорость Vi(r,t) выражаются как
nj(r,t)= f/,(r,v,t)dvf E.1)
Pmi(r» ?) == ГП[П[(г, ?), E.2)
v/i(r,v,t)dv 1 r
V(r,t) = ^ = -тЦ v/,(rfv,t)dv. E.3)
1 /i(r,v,t)dv v y J
Соответствующие выражения для электронов аналогичны. Маг-
Магнитная гидродинамика оперирует с усредненными по простран-
пространству скоростей величинами и не учитывает явления, связан-
связанные с формой функции распределения в пространстве скоростей
(гл.11). Единственными независимыми переменными остаются
г и t, что, однако, не мешает учитывать сложную геометрию
пространственных конфигураций.

68
Гл. 5. Плазма как проводящая жидкость
Уравнениями магнитной гидродинамики называют следую-
следующий набор:
E.4)
E.5)
E.6)
E.7)
dt
dVe
nem*w = ~
dVj _
dt
-ene(E + Ve x B) + R,
fZeni(E + Vj xB)-R.
Здесь R означает силу трения, действующую на электронную
жидкость со стороны ионной (за счет соударений частиц разного
сорта), соответственно сила трения ионов об электроны равна —
-R.
Изменение числа частиц п(х,у, z,t)AxAyAz в объеме
AxAyAz есть разность между потоком налетающих на
поверхность А на рис. 5.1 частиц n(x,y9z9t)Vx(x,y,z,t)AyAz
р(х + 8х)
p(xtt)
п(х + 6x)Vx(x + 6х)
n(x,t)Vx(x,t)
Рис. 5.1. Поток частиц и сила давления
и потоком п(х + Ax,y,z,t)Vx(x + Ax,y,z,t)AyAz частиц,
вылетающих через поверхность А':
(п(х, у, z, t)Vx(x, у, г, t)-n{x+Ax, у, г, t)Vx(x+Ax, у, z, t))AyAz=
d(nVx) Л л л
= —\-^-AxAyAz.
ох
Если принять во внимание потоки частиц и через остальные
поверхности данного объема, то мы придем к уравнению E.4),
сразу следующему из соотношения
дп л л л
- AxAyAz = -
+
+
d(nVz)
\ л л л

$5./. Уравнения двужидкостной магнитной гидродинамики 69
Член — Vp в E.6), E.7) — сила давления р, действующая
на единичный объем плазмы, что можно пояснить следующим
образом. Сила, приложенная к поверхности А (рис. 5.1), равна
p(x,y,z,t)AyAz, а сила, приложенная к поверхности А', равна
—р{х + Ах, у, z, t)AyAz. Поэтому сумма двух этих сил в направ-
направлении х есть
(-р(х + Ах, у, z, t) + р(х, у, z, t))AyAz = --^AxAyAz.
Если учесть воздействие давления на остальные поверхности,
получим, что на единичный объем действует результирующая
сила давления, равная
х ду дг
где х, у, z — единичные векторы в х, у, z направлениях соответ-
соответственно. Второй член в правой части уравнений E.6), E.7) —
сила Лоренца, действующая на единичный объем плазмы. Тре-
Третий член, как уже отмечалось выше и в разд. 2.8, — это сила
трения, возникающая в результате электрон-ионных соударений.
Ее можно представить в виде
R=-neme(Ve-Vi)i/ei, E.8)
где vei — частота кулоновских столкновений ионов и электронов.
Рассмотрим полную производную по времени в левой части
уравнения движения. Массовая скорость V является функцией
пространственных координат г и времени t. Тогда ускорение
малого объема жидкости есть
dt
Таким образом, уравнения движения E.6), E.7) приводятся
к виду
пете f-^p + (Ve-V)Ve) = -Vpe - ene(E + VexB) + R, E.9)
Уравнения непрерывности (сохранения числа частиц) E.4), E.5)
и движения E.9), E.10) могут быть выведены из уравнения
Больцмана D.12). Действительно, прямое интегрирование урав-
уравнения Больцмана по пространству скоростей дает E.4), E.5),

70 Гл. 5. Плазма как проводящая жидкость
интегрирование с весом mv дает E.9), E.10). Математическая
процедура вывода описана в Приложении А.
§ 5.2. Одножидкостная магнитная гидродинамика
Поскольку отношение масс иона и электрона равно Ш[/те =
= 1836А (А — атомный вес иона), то вклад ионов в плотность
плазмы преобладающий. Во многих случаях удобно преобразо-
преобразовать двужидкостные уравнения движения в уравнение движения
плазмы как целого и закон Ома.
Полная плотность плазмы рт, ее массовая скорость V, плот-
плотность заряда р и тока j определяются следующим образом:
Pm — ^e^e + ЩТпи
\T _ ne^eVe + riiTTliVi
V ,
Pm
p = —ene + Zenu
j = _eneVe + Zeri[V[.
Из уравнений E.4), E.5) следует, что
^ + V-(PmV)^0,
g + V-j = O.
Из E.9), E.10) находим:
^dt + neme(Ve • V)Ve + тт^ ¦ V)Vi =
E.11)
E.12)
E.13)
E.14)
E.15)
E.16)
5+jxB. E.17)
Зарядовая нейтральность плазмы позволяет считать ne « Zn\.
Обозначая Дпе = ne — Znu имеем
P = -еДпе, j = -ene(Ve - Vi).
Так как те/гп[ <С 1, второй и третий члены в левой части E.17)
можно собрать как (V • A)V. Поскольку Ve = Vi — j/ene « V —
— j/ene, то E.9) сводится к

§5.2. Одножидкостная магнитная гидродинамика 71
Используя удельное сопротивление г) (см. разд. 2.8), силу трения
R можно представить как
Щ (-ene)(Ve - V,) = пеещ. E.19)
Уравнение E.18) отвечает обобщенному закону Ома. Оконча-
Окончательно уравнение движения жидкости и обобщенный закон Ома
записываются в виде
рт
тйГ + (V ¦V)V) = ~Vp + рЕ+j х В' E'20)
e2ne
/ j /о I ^^ i \
Уравнения Максвелла и непрерывности:
^ + V-(pmV) = 0, E.22)
^ + V-j = O, E.23)
V x E = -^, E.24)
—VxB=j + —, E.25)
V • D = p, E.26)
V • В = 0. E.27)
Из E.25), E.24) следует, что V х V х Е = -
— (loeod^/dt2. Характерной скоростью распространения МГД
волны или возмущения является альфвеновская скорость
^а = B/(fjLQpmy/2 (см. разд. 5.4), которая обычно 0 много
меньше скорости света с, т. е. и2/k2 ~ v\ <C с2. Поскольку
IV х {дВ/Щ = |V х V х Е| - ?;2|Е| и №ъ\д2Ъ/д12\ - и;2|Е|/с2,
то ток смещения dD/dt в E.25) пренебрежимо мал. Отношение
первого члена (me/e)dj/dt в правой части E.21) и слагаемого
(j х В) в левой части равно u>/J?e, так что если \u/f2e\ < 1, то
первым членом можно пренебречь. Второй член (me/e)dV/dt
в правой части E.21) порядка члена V х В в левой части,
умноженного на фактор ~ и/Пе. Поэтому-то правую часть
1) Альфвеновская скорость, выступающая как фазовая скорость МГД вол-
волны, может и превышать с в плазме с низкой плотностью. — Примеч. ред.

72 Гл. 5. Плазма как проводящая жидкость
E.21) можно приближенно заменить нулем. Выразив j x В из
уравнения E.20), находим
en ne e dt
Отношение (m[/e)dV/dt к V х В — порядка \u/f2\\. Если
\и/Щ <1и,к тому же, Дпе/пе < 1, то
E + VxB-— VPi = m (|o;/l2i|<l). E.28)
§ 5.3. Упрощенные МГД уравнения
Если \ш/Щ -С 1, \ui/k\ «с, и можно пренебречь ионным
давлением Vp\ в законе Ома, то МГД уравнения выглядят проще:
Е + V х В = ш, E.29)
рт {ж + (v'v)v)= ~Vp+j х в> E-30)
VxB = //oJ, E.31)
VxE = -^, E.32)
V • В = 0, E.33)
^¦р + (V • V)Pra + pmV • V = 0. E.34)
В качестве уравнения состояния можно взять адиабату,
где 7 — показатель адиабаты, определяемый числом степеней
свободы 5, 7 = B + $)/$'•> в трехмерном случае 7 = 5/3 E = 3) 0.
В сочетании с E.34) уравнение адиабаты дает
^ + (V • V)p + 7pV • V = 0. E.35)
Более простое условие несжимаемости
V • V = 0 E.36)
*) Речь идет, разумеется, о числе степеней свободы молекулы жидкости или
газа, а не всего газа. — Примеч. ред.

§ 5.3. Упрощенные МГЦ уравнения 73
применяется в случае \{dp/dt)/p)\ <C |V • V|. Из уравнений
E.31), E.32) следует закон сохранения энергии в виде
() |(|)j E.37)
С помощью E.29) третий член в левой части E.37) можно
записать так:
E-j = r?j2 + (JxB).V. E.38)
С использованием E.30), E.34) лоренцевский член в E.38) вы-
выражается как
Из E.35) следует, что
Поэтому сохранение энергии E.37) сводится к
^ ^)==0. E.39)
Подстановка E.29) вE.32) дает
^ = у х (V х В) - t?V х j = V х (V х В) + 1-АВ, E.40)
at fxo
^ = -(V • V)B - B(V • V) + (В • V)V + -^АВ. E.41)
ot /io
Мы использовали здесь векторную формулу из Приложения для
V х (V х В) и соотношение V х (V х В) = —ДВ (которое спра-
справедливо лишь при записи лапласиана в ортогональных коорди-
координатах). Величину rj/fiQ = um называют магнитной вязкостью.
Подстановка E.31) в E.30) дает
)> E42)
Уравнения движения E.42) и магнитной диффузии E.41) явля-
являются фундаментальными уравнениями магнитной гидродинами-

74 Гл. 5. Плазма как проводящая жидкость
ки. Уравнение E.33) V • В = 0, уравнение непрерывности E.34)
и уравнение состояния E.35) или E.36) служат дополнительны-
дополнительными соотношениями.
Отношение Rm первого и второго членов в правой части
E.40), определяемое как
1Ух(УхВ)| VB/L ^VL
|ДВ(^0)| ~ (B/L^/Ы V m' К }
называют магнитным числом Рейнолъдса. Посредством L обо-
обозначен характерный размер плазмы. Магнитное число Рей-
нольдса равно отношению времени диффузии магнитного поля
tr = /jLqL2/г) к альфвеновскому времени т\\ = Ljvp, (предпола-
(предполагается, что v ~ г;д), т. е. Rm = tr/th. Если Rm <C 1, магнитное
поле в плазме эволюционирует в соответствии с уравнением
диффузии. Если Rm > 1, то можно показать, что силовые линии
магнитного поля оказываются вмороженными в плазму. Введем
магнитный поток ЛФ через элемент поверхности AS и выберем
ось z вдоль направления вектора В. Тогда
АФ - В • пА5 = ВАхАу.
Если граница AS движется, то скорость изменения AS равна
|(Дс) = jt{x + Лх-х) = Vx(x + Ах) - Vx(x) - ^
Скорость изменения потока АФ составляет
Л1
^ + B(V • V) - (В • V)v) AS = ^-ABZ(AS). E.44)
at / z /J>o
(cm. E.41)). Если Rm —> oo, r/ —> 0, скорость изменения потока
стремится к нулю, т. е. d(A&)/dt —> 0. Это означает вморожен-
ность магнитного потока в плазму.
§ 5.4. Магнитозвуковые волны
Как обычно, будем обозначать величины нулевого порядка
(равновесные) индексом 0, а возмущения первого порядка —
индексом 1, т. е. рт = рт0 + рт\, Р = Ро + Ри V = 0 + V,

§5.4. Магнитозвуковые волны 75
В = Bq + Bi 0. Ниже будет рассмотрен случай г] = 0. Уравнения
первого порядка таковы:
^f + V • (Pm0V) = 0, E.45)
8V
-^ + Vpi = jo х Bi + J! x Bo> E.46)
^- + (V-V)po + 7PoV-V = O, E.47)
^=Vx(Vx Bo). E.48)
Если обозначить смещение плазмы от положения равновесия го
через f(ro,i), то
) = г - г0,
Подстановка E.49) в E.48) дает
В! = V х (? х Во), E.50)
где
/zoJi=VxBi. E.51)
Подстановка E.49) в E.45), E.47) дает
Pmi = -V • (рт0?), E.52)
Р\ — ~? * ^Ро ~~ 7Ро^ ' ?• E.53)
Теперь уравнение E.46) приводится к виду
О + — (V х Во) xBi +
+ —(VxBi)xB0. E.54)
Рассмотрим смещение ^(r,t) = ?i ехрг(к • г — out) в случае Во =
= const, po — const. Тогда E.54) дает
:-/i-1(kx(kx(eixBo)))xBo. E.55)
l) Стрбго говоря, зависящую от времени величину всегда можно предста-
представить в виде суммы постоянной и переменной частей, здесь еще нет прибли-
приближения. Предположение о малости возмущения начинает работать, когда нели-
нелинейные по возмущению члены уравнений отбрасываются при так называемой
«линеаризации» (см. ниже). — Примеч. ред.

76 Гл. 5. Плазма как проводящая жидкость
Используя векторную формулу а х (Ь х с) = b (а • с) — с (а • Ь),
уравнение E.55) можно записать как
+ ((Sg + /xO7Po)k - (к • Bo)Bo) (к -ft) - (к ¦ В0)(В0 • ft)k = 0.
Вводя единичные векторы к = к/к, Ь = Bq/Bo вдоль на-
направлений к, Во и обозначения F = u/k, v\ =
/3 = po/(Bq/2/j,o), cos^ = (к • b), получаем
cosz в
- cos 0(b • ^i )k = 0. E.56)
Скалярное произведение E.56) на к и b и векторное произведе-
произведение к, а затем скалярное на b на E.56) дают
«А
Решениями этих уравнений служат магнитозвуковые волны. Од-
Одно из этих решений таково:
V2 = v\cos2e, (?i-k)=0, (^-B0) = 0. E.57)
Поскольку ?i в этом решении ортогонально к и Во, оно на-
называется крутильной альфвеновской волной (см. разд. 10.4)').
Другие решения отвечают соотношениям:
10' <5-58>
Во • (к х fr) = 0.
1) В отечественной литературе данный термин практически не употребля-
употребляется, говорят просто «альфвеновская волна». В англоязычной литературе тер-
термин «Torsional Alfven» или «Shear Alfven» употребляется, чтобы подчеркнуть
отличие от описываемой ниже компрессионной альфвеновской волны «Сот-
pressional Alfven», обычно именуемой в отечественной литературе быстрой
магнитозвуковой волной. — Примеч. ред.

§ 5.4. Магнитозвуковые волны 11
Так как ?i в этих решениях компланарно к и Во, они описывают
компрессионные моды (волны сжатия—разрежения). Если ввести
скорость звука с* = 7Ро/ЛпО> то уравнение E.58) превращается
;c
и его решения
V? = \ (v
V? = -(v
суть
l + cl) +
| + с2) -
((td
+
+
elf
elf
— 4v\(% cos2^I/2)
-^Ic^cos2^I/2)
E.59)
E.60)
Решение E.59) называется быстрой, а E.60) — медленной магни-
тозвуковой волной соответственно (см. разд. 10.4). Характерная
скорость
В
Vk= ,
называется альфвеновской скоростью. Плазма с нулевым со-
сопротивлением вморожена в магнитное поле, натяжение силовых
линий которого равно Б2/2/хо- Когда плазма плотностью рт
«держится» за силовые линии, магнитный звук может рассмат-
рассматриваться как волны, бегущие вдоль струн из силовых линий (см.
разд. 10.4).

Глава б
РАВНОВЕСИЕ
Для поддержания плазмы в горячем состоянии ее необходимо удер-
удерживать, не допуская соприкосновений со стенкой вакуумной камеры.
Самый многообещающий метод такого удержания горячей плазмы —
использование сильного магнитного поля. В таких системах магнитно-
магнитного удержания должны выполняться условия равновесия.
§6.1. Баланс давлений
Если плазма пребывает в состоянии покоя, то МГД уравнение
движения E.30) преобразуется в уравнение равновесия О
Vp = jxB, F.1)
к которому нужно добавить стационарные следствия уравнений
Максвелла:
V х В = /xoj, F.2)
V • В = 0, F.3)
V . j = 0. F.4)
Из уравнения равновесия F.1) следует, что
В • Vp = 0, F.5)
j • Vp = 0. F.6)
Уравнение F.5) означает, что В и Vp ортогональны, а поверх-
поверхности постоянного давления совпадают с магнитными поверхно-
поверхностями. Уравнение F.6) показывает, что вектор плотности тока j
1) Отметим, что область применимости уравнения равновесия в виде F.1)
значительно шире, чем стационарной МГД. Подробное обсуждение этого во-
вопроса см. в обзоре Захаров Л.Е., Шафранов В. Д. Вопросы теории плазмы.
Вып. 11 / Под ред. Леонтовича М.А. и Кадомцева Б. Б. — М.: Энергоиздат,
1982. С. 118. - Примеч. ред.

§6.1. Баланс давлений 79
везде параллелен поверхностям постоянного давления. Подстав-
Подставляя F.2) в F.1), получим
??(**ЗЧ F7)
Здесь были использованы следующие векторные соотношения:
В х (V х В) + (В • V)B = V(?2/2),
(В • V)B = В2[(Ъ • V)b + b((b
где R обозначает радиус кривизны силовой линии магнитного
поля, п — единичный вектор, направленный в текущую точку
на силовой линии из центра кривизны (нормаль), а / — коор-
координата, отсчитываемая вдоль силовой линии магнитного поля.
Правой частью уравнения F.7) можно пренебречь, если радиус
кривизны R много больше характерного расстояния изменения р,
т. е. размера плазмы, и если изменение В вдоль силовой линии
магнитного поля много меньше, чем изменение В в направлении,
перпендикулярном ей. При этом предположении в F.7)
р+
где Во — значение магнитного поля на границе плазмы (там, где
Р = 0).
Если система осесимметрична и d/dz = О, то уравнение F.7)
принимает вид
»( $+&)? F.8)
Умножая F.8) на г2 и интегрируя по частям, получим
?*fc?»a.
Угловые скобки (...) обозначают усреднение по объему. Величи-
Величина В2/2до — это давление магнитного поля, и уравнение F.9)

80 Гл. 6. Равновесие
есть ни что иное, как уравнение баланса давлений. Отношение
давления плазмы к давлению внешнего магнитного поля В$
называется параметром бета. Для удерживаемой плазмы зна-
значение Р всегда меньше единицы, так что /J служит мерой эф-
эффективности использования удерживающего магнитного поля.
Тот факт, что внутреннее магнитное поле меньше, чем внешнее,
отражает свойство диамагнетизма плазмы.
§ 6.2. Уравнения равновесия для систем с осевой
и трансляционной симметриями
Будем использовать цилиндрическую систему координат
(r,(p,z) и обозначим магнитную поверхность меткой ф.
Магнитную поверхность ф = const в осесимметричной системе
можно задать через ^-компоненту векторного потенциала (см.
C.24)):
ф = гА^(г,г), F.11)
где (г, ср, z) — цилиндрические координаты, а г- и ^-компоненты
магнитного поля даются соотношениями
•*-?¦ '*-?¦ <612>
Условие В • Vp = 0 следует из уравнения равновесия и расписы-
расписывается как
_д^др дфдр =
dz dr dr dz
Следовательно, р является функцией только ф, т. е.
p = p(fl>). F.13)
Аналогично, из соотношений j • Vp = 0и VxB = /xqJ, можно
получить
| dpdjrBy) _Q
dr dz dz dr
Это означает, что гВ^ — функция только ф, и
гВ^. F.14)
Уравнение F.14) показывает, что 1(ф) — это ток, текущий
в полоидальном направлении через круглое сечение плоскости
z = const поверхностью ф — гА^ (рис. 6.1). r-компонента выра-

§6.2. Системы с осевой и трансляционной симметриями
81
Рис. 6.1. Магнитные поверхности ф = тА^ и 1{ф)
жения j х В = Vp приводит к уравнению, определяющему ф:
Ij(w) ~\~ и>()Т ~\~ —п —- 0, (о. \.о)
оф 8тг дф
дг г дг dz2
Это уравнение носит название уравнение Грэда—Шафранова.
Плотность тока выражается через функции магнитной поверхно-
поверхности
-1 д1(ф) , _ 1 di(ф)
Jr =
2тгг dz
Jz =
2тгг дг
IM>r
Итак,
F.16)
= 0.
Величины р(ф) и /2(^) — произвольные функции, зависящие от
ф. Предположим квадратичную зависимость функций р и I2 от
¦0. Значение ^>s на границе плазмы можно положить равным нулю
(ф$ = 0) без потери общности. Если на границе плазмы р = ps,
I2 = I2 и на магнитной оси ф = фо, р = ро, I2 = Iq, to p и I2
можно записать в следующей форме:

82 Гл. 6. Равновесие
Тогда уравнение равновесия F.15) принимает вид
Щ) + {аг2 + /3)ф = О,
2мо(ро-р5) /4 (Ij - /s2)
Поскольку
= 2Мо J(p - Ps)rfF + A J
f ^фЩ)с1У= f l^V^ • nd5- f 1(V^J^— fE2 +
V S V V
то уравнение F.15) сводится к
(p - Ps)dF = | ^ (B% -Bl + (B2r + Вг2)) dV.
J(
В рамках сделанных предположений о виде функций р(ф) и
это уравнение баланса давлений.
Магнитная поверхность 0 -0, магнитное поле В и давление
р в системе с трансляционной симметрией (d/dz = 0) имеют
следующий вид:
-
Уравнение равновесия в этом случае сводится к
гдг\ дг)^ г2д92 т д<ф ^8тг2 дф
или, с учетом
К
А^ + fiojz = 0.
Подобное уравнение равновесия можно выписать и для системы
с винтовой симметрией.
1) Всюду в этом разделе автор формально отождествляет с магнитной
поверхностью полоидальный магнитный поток ф, постоянный на магнитной по-
поверхности. Этот выбор популярен, но, разумеется, не единственен. — Примеч.
ред.

§ 6.3. Равновесие в токамаке [1]
83
§6.3. Равновесие в токамаке [1]
Для осесимметричных систем уравнение равновесия имеет
вид F.15). Второе и третье слагаемые в левой части этого
уравнения обращаются в нуль вне плазмы. Введем тороидальные
координаты (Ь,ш,<р) (рис. 6.2). Формулы перехода в цилиндриче-
цилиндрические (г, (р, z) координаты имеют вид
V '==-
chb — cos a;'
z —
ch b — cos и'
и = const
b = const
Рис. 6.2. Тороидальные координаты
Кривые b = &о ~~ окружности с радиусом а = Rq sh bo и центрами
г = i?octhbo, z = 0. Кривые и = const также являются окружно-
окружностями. Если функцию магнитной поверхности ф заменить на F,
используя выражение
Y 21/2(ch6-coSWI/2'
то вне плазмы функция F будет удовлетворять уравнению
dF , d2F , 1 „ п
—- + —т + -F = 0.
d2F
—у
962
Представив F в виде разложения
F = ЕрпF) cos no;,

84 Гл. 6. Равновесие
получим уравнение на коэффициенты дп\
db2
Это уравнение имеет два независимых решения
~i)9n = shb^Qn-
где Pi/(ж) и ф„(ж) — функции Лежандра. Если отношение ради-
радиуса плазмы к большому радиусу a/Ro мало, т. е. если еь° » 1, то
функции дп и /п принимают вид О
Если мы отбросим гармоники выше cos о;, то F и ф можно
записать как
F = содо + dofo + 2(с\д\ + d\f\) coscj,
Используем показанные на рис. 6.3 координаты р,а/, которые
соотносятся с цилиндрическими и тороидальными следующим
образом:
г = Ro + pcosu =-—7 , г = psinu/=
en о cos и
7, г = psinu/= ^гр .
en о — cos и en 6 — cos uj
Если значение Ъ велико, то
1) Для получения приближенных асимптотических выражений удобно ис-
использовать нижеследующие представления функций дп и /п (иногда называе-
называемых функциями Фока):
2тг
дп (Ь) = —— | (cth Ь - cth tI/2 cos nt dt,
ttv2 J
0
b
fn (b) = -^p- [ (cth b - cth t)l /2 cth nt dt.
ttV2 J
-6
— Примеч. ред.

§ 6.3. Равновесие в токамаке [1]
85
Рис. 6.3. Координаты г, z и р, с/
Соответственно, функция магнитной поверхности ^ определяет-
определяется выражением
1п4
- 2))
Компоненты магнитного поля выражаются через функцию маг-
магнитной поверхности ф:
rBp = ~
W
Из соотношения
можно выразить параметр d'o = fiQlpR/2ny где /р — полный ток,
текущий по плазме в направлении <р. Выражение для функции
магнитной поверхности принимает следующий вид:
1п 2 )
V р )
Л 8Д
р \ 4тг V р ) р )
F.17)
где Rq мы заменили на R. Если a/i? <C 1, то уравнение баланса
давлений F.9)
(Р) ~Ра= 2^
Здесь (...) обозначает усреднение по объему, а ра — давление
плазмы на границе. Величина В% + В\ равна В^,. Отношение
(р) к (В^,)/2/ло называется полоидальным параметром бета /Зр.

86
Гл. 6. Равновесие
Если на границе плазмы давление обращается в нуль (ра = 0),
то /?р равно
F.18)
Здесь В<р и B<pY — тороидальные магнитные поля в плазме
и вакууме соответственно. Плазма является диамагнитной, если
значение В^ меньше, чем Д^у, при
этом /Зр > 1. Если же В^ больше,
чем Д^у, то плазма парамагнит-
парамагнитна и /Зр < 1 (рис. 6.4). Происхожде-
Происхождение парамагнетизма следующее: ко-
когда ток плазмы течет вдоль силовых
линий магнитного поля, то он по-
порождает как полоидальное магнит-
магнитное поле Ду, так и тороидальное 0.
С использованием выражения
F.17) магнитное поле можно пред-
представить в виде
Рис. 6.4. Диамагнетизм (Д> > 1)
и парамагнетизм (/Зр < 1)
2пр
¦+
8R 1 / , и\ \ \ i
— + -r\ h2—о cosw,
грдш' \4ttR \ р ) R\ р2))
F.19)
Формула для сечения магнитной поверхности выглядит следую-
следующим образом:
где А = —ipi/ip'o много меньше, чем р. Сечения имеют вид
окружностей, смещенных на величину (см. рис. 6.5)
Рассмотрим параметры h\ и h^. Как будет показано
в разд. 6.4, в равновесном состоянии полоидальная компонента
Вш> магнитного поля на границе плазмы (г = а) должна быть
равна:
!) Термин парамагнетизм здесь употреблен формально, т. к. речь идет толь-
только о полоидальной бета. — Примеч. ред.

§ 6.3. Равновесие в токамаке [1]
87
Рис. 6.5. Смещение плазменного шнура, фо(р') — Фо(р) - ^o(p)Acosu, p' =
= р — A cos и
Здесь а — радиус плазмы и
\Bl,
F.21)
F.22)
F.23)
Параметры h\ и /i2 должны быть выбраны так, чтобы удовле-
удовлетворять соотношениям Вр = 0 и Ду = 5аA + (a/i?)Acoso/) на
границе плазмы, т. е.
^+Л-1). F.24,
Подставляя F.24) в F.17), получаем
2тг V р )
4тг
Слагаемое Ji2pcosuj' в выражении для ^ входит в вертикальное
магнитное поле
/
Это означает, что мы должны приложить внешнее магнитное
поле вдоль вертикальной оси.

88
Гл. 6. Равновесие
Введем фе — /^pcosa/ и представим ф в виде суммы двух
членов, ф = фр + фе, где
фе = -
8i?
у
^ +Л- I) роово/,
F.26)
Л 8i? о\ , /хо/р /л 8i? t\ , а2
F.27)
Эти формулы показывают: для того чтобы удерживать торои-
тороидальную плазму в равновесии (рис. 6.6), должно быть приложено
В±
Рис. 6.6. Полоидальное магнитное поле как суперпозиция поля тока плазмы
и вертикального магнитного поля
вертикальное однородное магнитное поле
4тгЛ
F.28)
Это вертикальное поле ослабляет полоидальное поле на внутрен-
внутреннем обходе шнура и усиливает его на внешнем.
Величина В± в F.28) может быть получена из качественных
соображений. Баллонная сила — сила, с которой плазменное
кольцо с током стремится растянуться, — определяется выраже-
выражением
dR 2 Lp/P=const
где Lp — самоиндукция кольца с током
_т1
2 Р dR '
Следовательно, баллонная сила равна

§6.4. Полоидальное поле и равновесие плазмы в токамаке
89
Сила Fp, направленная наружу, вызывается давлением плазмы
(рис. 6.7) и рассчитывается как
Fp = (р)тга22тг.
Сила Fbi, направленная внутрь (сжи-
(сжимающая), обусловлена натяжением
силовых линий тороидального поля
внутри плазмы и равна
а направленная наружу сила Fg2, свя-
связанная с давлением внешнего магнит-
магнитного поля, равна
FB2 = |^2тг2а2.
Наконец, сила FY - результат взаи- Рис 6 7 Равновесие сил>
модеиствия вертикального магнитного действующих на тороидаль-
поля В± и тока плазмы ную плазму
Баланс всех сил дается уравнением
2
откуда получаем значение величины
8R . /i
В основе этого вывода лежало соотношение F.9).
§ 6.4. Полоидальное поле и равновесие плазмы
в токамаке
Выпишем тензор давления (магнитного и газокинетическо-
газокинетического) [21:
Рассмотрим элементарный объем, ограниченный координатами
(о;,а; + do;), ((p,(p + d<p) и @, а) (как показано на рис. 6.8).
Обозначим единичные векторы в направлениях r,z,<p и р9ш

90 Гл. 6. Равновесие
Рис. 6.8. Элемент объема тороидальной плазмы
как er,ez,e^ и ер,еш соответственно. Соотношения между ними
задаются следующими формулами:
ер = er cosc<; + ez sin а;, еш = ez cos и — er sincj,
где а; обозначает то же, что и с/ в разд. 6.3. Обозначим
элементарные поверхности, перпендикулярные единичным век-
векторам ep,ew,e^, через dSp, dSu и dS^ соответственно. Ре-
Результирующая сила Ftp, действующая на элемент поверхности
(dS^idStpfa + d(p))> равна
F, = -
а
= -dudtp (Г^ (ew sin a; - ep coscj) - T^e^ sinu;) pdp.
о
При определении силы, действующей на элемент поверхности
(dSw(u),dSw(w + dv)), следует принять во внимание различия
значений ew, Twa, dS^ = (R + р cos и) dp dtp при о; и о; + do;.
В результате суммарная сила F^ будет равна
а
F— —НшНсп IТ (р (Я -
J V OLU
0
¦Z- (e9 (R + pcosu)) + Тшр-jr- (ep (R + pcosш))

§ 6.4. Полоидальное поле и равновесие плазмы в токамаке 91
а
+ R
- R
+
( COS Ш -
еш f sin ш
Lmu
Г
(
\ о
("cos w J
+ R
- Д
+
/ Г f 5T^^ \
[sin to 1Zupdp - R -~^dp I .
\ J J ou J
Так как Вр(а) = 0, сила Fp, действующая на dSp(a), равна
Fp = -epTpp(R + acosuj)adipdu =
= ep(-T°ppRa - (TffRa + T%pa2 cos w)).
Условие равновесия Fv + Fw + Fp = 0 сводится к
F.29)

92 Гл. 6. Равновесие
cosu, J(T^ + TlWp +
- T°ppa2 coso; - T$Ra = 0. F.31)
Из того, что Т^ ос sincj, cos о;, следует, что д2Т^/ди2 = — j
Поэтому уравнение F.30) записывается в виде
Используя это соотношение, мы можем переписать уравнение
F.31) так:
-T°pp(a) + ^T^ippdp\ . F.32)
о
Трр и Tw даются формулами
2 о2 d2
Тт „ . -But ч> (а оо\
Из F.14) получаем
= Bv(p) (l - ?cqsu> + •••). F.34)
Когда ДДа) переписано в виде Вш{а) = Ва + Вш, уравнения
F.33) и F.34) дают выражение
а
С другой стороны, уравнения F.9) и F.32) дают Т$(а) в виде
где /i — величина, пропорциональная погонной внутренней ин-
индуктивности плазмы (сама внутренняя индуктивность плазмы

§ 6.5. Предел по параметру ft 93
в расчете на единицу длины L{ равна /хо^/4тг). Соответственно,
Вш должно равняться
Ba является ^-компонентой магнитного поля, порождаемой то-
током плазмы /р, т. е.
а 2тга'
Используя определение параметра /Зр (отношение давления плаз-
плазмы р к величине магнитного давления, обусловленного Ва)у
получим Bcj '
| +/5Р - l) . F.35)
§ 6.5. Предел по параметру /3
В предыдущем разделе было получено выражение для вели-
величины Вш, необходимой для поддержания равновесия. При выводе
этого выражения предполагалось, что (a/R)A < 1, т. е.
Значение вертикального поля В±, необходимого для поддержа-
поддержания равновесия плазмы, дается выражением
Направление B_l на внутреннем обводе тора противоположно на-
направлению В^,, порождаемого токами плазмы, поэтому снаружи
плазмы существует точка, в которой полоидальное поле равно
нулю, так что вне области плазмы может возникать сепаратриса.
При повышении давления (а, значит, и при увеличении парамет-
параметра /?р) значение В±, необходимое для удержания, увеличивается,
и, как следствие, сепаратриса смещается в область плазмы. Для
простоты рассмотрим модель с резкой границей, внутри которой
давление постоянно, и ток плазмы /р ограничен этой границей.
Уравнение баланса сил в этом случае имеет вид
г>2 #2 о2
^ ^f> F.36)

94 Гл. 6. Равновесие
(^-компоненты магнитного поля внутри и снаружи плазмы B9V,
Др1 пропорциональны 1/г в соответствии с F.14). Обозначим
значения Д^у, В^\ при г — R через 5^v, JB^ соответственно.
Тогда F.36) может быть записано в виде
в1 =
Максимальное значение давления плазмы внутри тора опреде-
определяется из условия того, что полоидальное поле при каком-то
Г — rmin Обратится В Нуль,
г2
Запишем координату г в виде г = R + acosuj и подставим в урав-
уравнение F.37) (заметим, что (rmin = R - а))\
гтпЛ ft a^c2^
r ) R 2
Предполагается, что a/i?<Cl. Используя соотношение §Вшас1ш =
э, получим /?р — значение верхнего предела величины /?р
Таким образом, максимальное значение /?р в простейшей мо-
модели равно половине аспектного отношения R/a. Вводя угол
вращательного преобразования ь и фактор запаса устойчивости
qs = 2тгД, нетрудно видеть, что
Ви _ а / и \ _ а
Жр " Д \2тг/ - Д^'
Используя последнее соотношение для связи величин /3 и (Зр
получаем выражение для максимального значения C
РС = Щ. F.40)
q; R

§ 6.6. Ток Пфирша—Шлютера [3]
95
§ 6.6. Ток Пфирша—Шлютера [3]
Если давление плазмы изотропно, ток j в плазме дается
формулами F.1) и F.4):
Ь Г7
в ^
Тогда для j|| имеем
^11 _ 2Vp
ds VP
(УД х b)
В2 '
F.41)
F.42)
где s — координата вдоль силовой линии магнитного поля.
В нулевом приближении можно записать В ос 1/Я, р = р(г),
и д/ds = (de/ds)d/de = (t/BirR))d/d6, где i - угол враща-
вращательного преобразования. При увеличении s на 2тгЛ угол ^
увеличивается на ь. Тогда F.42) сводится к
т.е.
¦d-rRBSine'
4тг д%
F.43)
Данный ток называется током Пфирша—Шлютера (рис. 6.9).
Эти формулы имеют большое значение и будут использованы
при вычислении коэффициента диффузии плазмы в тороидальной
ловушке. Ток Пфирша—Шлютера обусловлен коротким замыка-
= R-Ro
Рис. 6.9. Ток Пфирша—Шлютера jy в тороидальной плазме

96 Гл. 6. Равновесие
нием вдоль силовых линий магнитного поля поляризационных
зарядов, возникающих из-за тороидального дрейфа заряженных
частиц. Результирующий ток обратно пропорционален и.
Пусть радиальные профили давления плазмы р(г) и враща-
вращательного преобразования ь соответственно
«КО-«. (!-(;)")•
21-4
тогда ц
4тттр0
3\\ = —тг~—
J|1 Btoa
Оценим магнитное поле В^3, создаваемое ц. Так как a/R
мало, В^ можно оценить, исходя из соответствующей линейной
конфигурации, показанной на рис. 6.9. Используем координаты
(г, 0;, С) и положим 9 = —в' и jn « j^ (^ считается небольшим).
Тогда векторный потенциал А^ — (О, О, А%) для В^ дается выра-
выражением
Для А((г,в') = A^(r)cos9' и параметров s = m — 2Z + 3, а =
= 4тгтро1Ло/(Всо) = тД)В/Dо/2тг) находим
rdr V'dr ) r2
В плазменной области (г < а) векторный потенциал задается
уравнением
а вне плазмы (г > а)
где 5 и 7 — константы. Из условия непрерывности Br, Bg, на
границе г = а получаем решение для В^ внутри

§ 6.7. Теорема вириала 97
В? = -г—?-,
(s + 2)"
д0 -_ а
* (s + 2J-
и вне плазмы
F.44)
(
2J-l 2 \r
2
(Br = г-1дАс/дв', В9' = -дА^/дг). Как видно из F.44), суще-
существует однородная вертикальная составляющая поля
в _ -(s + 3)a _ -(т-21 + 6)т C в_
2((в + 2J - 1) 2((ш - 2/ + 5J -
Эта составляющая вызывает смещение магнитной поверхности
на величину Д. Из уравнения C.42) получим выражение для Д:
Д -2irBz ( пBтгJ^ .. пР
R ~ ЩШ ~ ^тЛ
/(т, Z) — величина порядка единицы, и условие Д < а/2 дает
верхний предел параметра бета
в < 1а ( М2
Это критическое значение оказывается таким же, как в токамаке.
§ 6.7. Теорема вириала
Уравнение равновесия j х В = (V х В) х В = Vp может быть
преобразовано к виду
Y^ —Tik - -^- = 0, F.45)
г
где
Tik = ^(BiBk - l-B28ik) F.46)
4 Миямото К.

98 Гл. 6. Равновесие
— тензор магнитного давления. Из соотношения F.45) получаем
где п — единичный вектор внешней нормали к замкнутой по-
поверхности, ограничивающей объем V.
Поскольку
= (ткк -
то легко получить соотношение, которое называется теоремой
вириала:
Если плазма находится в ограниченной области, причем р = О
снаружи, и, кроме того, ни снаружи, ни внутри нет проводников
с током, то на большом расстоянии от плазмы величина маг-
магнитного поля будет убывать как ~ 1/г3. Поэтому поверхностный
интеграл стремится к нулю, когда поверхность, ограничивающая
плазму, стремится к бесконечно большой сфере (г —> оо). Это
противоречит тому, что интеграл по объему F.48) — конечная
положительная величина. Другими словами, плазма, ограничен-
ограниченная конечным объемом, не может находиться в равновесии в от-
отсутствие проводников с током.
Применим теорему вириала F.48) и F.47) к элементу объема
плазмы с осевой симметрией, ограниченного замкнутой поверх-
поверхностью тороидальной формы 5t, образованной вращением произ-
произвольного контура It. Обозначим единичную нормаль и касатель-
касательную контура 1\ через п и 1 соответственно, а элемент поверхности
поперечного сечения через dS<p. Элементы объема и поверхности
связаны соотношением
dV =

§ 6.7. Теорема вириала 99
Магнитное поле В можно представить как
В = В^ + Вр,
где Вр — полоидальное поле, В^ — величина тороидального
поля, ае^- единичный вектор в направлении (р.
Обратим внимание на два соотношения
[ га(г • n)dSt = (а + 3) \radV, F.49)
[
га(ег • n)dSx = [ V • (raer)dV = [ ^
= (а+1) lr^-lUv = 2n(a+l) \radS^ F.50)
где er — единичный вектор в направлении г. Записывая F.48)
для полного тора, ограниченного St, получаем
F.51)
т.к. Вр = В{[ + Впп (см. рис. 6.10, а). Обозначим вакуумное
тороидальное поле (в отсутствие плазмы) через Д^о- Оно равно
BpQ = //0//Bтгг), где / — полный ток в обмотках, создающих это
поле. С использованием F.50) соотношение F.51) сводится [4]
к
¦ <6-52)
Применив уравнение F.47) к сектору, ограниченному <р = 0,
= А(р и St (см. рис. 6.10, б), и взяв его г-составляющую,

100
Гл. 6. Равновесие
Рис. 6.10. Области интегрирования при выводе теоремы вириала в уравнениях:
а - F.48), б - F.47)
получим [4]
2тг
р
Р +
р2 г>2
В1 ~ Бп
2/io У
F.53)
Подставляя в уравнения F.52) и F.53) данные магнитных зон-
зондов, расположенных вокруг плазмы, можно рассчитать параметр
бета для полоидального поля F.18) и погонную внутреннюю
индуктивность F.23) для случая равновесия осесимметричной
тороидальной плазмы с произвольной формой граничной поверх-
поверхности.
Список литературы
1. Mukhovatov V.S., Shafranov V.D. Nucl. Fusion. 1971. V. 11. P. 605.
2. Shafranov V.D. Plasma Physics, J. of Nucl. Energy pt. 1963. V. C5.
P. 251.
3. Pfirsch ?>., Schluter A. MPI/PA/7/62 Max-Planck Institut fur Physik
und Astrophysik, Munchen. 1962.
4. Shafranov V.D. Plasma Physics. 1971. V. 13. P. 757.

Глава 7
ДИФФУЗИЯ ПЛАЗМЫ, ВРЕМЯ УДЕРЖАНИЯ
Диффузия и удержание плазмы относятся к числу наиболее важ-
важных тем в изучении термоядерного синтеза, причем теоретические
и экспериментальные исследования в этой области дополняют друг
друга. Хотя общее обсуждение диффузии и удержания требует рас-
рассмотрения различных неустойчивостей (которые будут изучены в по-
последующих главах), важно также рассмотреть простую, но имеющую
большое значение диффузию для идеальных, устойчивых случаев. Ти-
Типичный пример (разд. 7.1) — классическая диффузия, при которой ос-
основным эффектом являются столкновения между электронами и иона-
ионами. В разд. 7.2 описывается неоклассическая диффузия тороидальной
плазмы в токамаке как для случая редких столкновений, так и для
случая сильностолкновительной плазмы. Иногда диффузию в неустой-
неустойчивой плазме можно изучать феноменологически, не обращаясь к де-
деталям неустойчивостей. В разд. 7.3 и 7.4 так объясняется диффузия,
вызванная флуктуациями в плазме.
Перенос частиц описывается уравнением непрерывности
JU(r, t) + V • (n(r, t)V(r, t)) = 0 G.1)
ot
в пренебрежении ионизацией нейтральных атомов и рекомбинацией
ионов (см. разд. 5.1). Поток частиц Г = nV во многих случаях дается
выражением
n(r,*)V(r,*) = -D(r,t)Vn(r,t),
где D — коэффициент диффузии, an — концентрация плазмы. В неко-
некоторых случаях в выражении для потока могут возникать и дополни-
дополнительные члены.
Уравнение диффузии
связывает коэффициент диффузии D и время удержания частиц
тр. Действительно, подстановка n(r,t) = n(r) exp(—t/r?) в уравнение
диффузии дает
)) ()

102 Гл. 7. Диффузия плазмы, время удержания
Если D — константа, а плазма имеет форму цилиндра с радиусом а,
уравнение диффузии сводится к
1 д ( дп\ 1
7Г
г дг \ дг ) Drp
Решением, удовлетворяющим граничному условию п{а) = 0, служит
п = noJo ехр
\ a J \ тр
где Jo — функция Бесселя нулевого порядка, а время удержания
частиц
т -
2 2
а JL
Соотношение типа G.2) между временем удержания частиц тр, ко-
коэффициентом диффузии D и размером плазмы а является общим;
в зависимости от геометрии незначительно меняется лишь числовой
множитель. Такая формула часто используется для расчета коэффици-
коэффициента диффузии по наблюдаемым значениям радиуса плазмы и времени
удержания частиц.
Баланс энергии дается уравнением, которое выводится в Приложе-
Приложении А (см. (А.19)):
>f|. G.3)
Первый член в правой части — это тепло, выделяющееся в единице
объема в единицу времени, обусловленное столкновениями частиц,
второй член представляет собой работу, производимую давлением,
а третий — нагрев за счет вязкости. Первый член в левой части —
это производная по времени от тепловой энергии в единице объема,
второй — описывает конвективные потери энергии, а третий — потери
из-за теплопроводности. Обозначая коэффициент теплопроводности
через ят, можно записать поток тепла, связанный с теплопроводно-
теплопроводностью, следующим образом:
q= -actV(«T).
Если конвективные потери пренебрежимо малы и тепловыделение
в правой части уравнения G.3) равно нулю, имеем
- V • /cTV(ftT) = 0.
В случае п = const это уравнение сводится к

§7.1. Столкновительная (классическая) диффузия 103
Определив коэффициент температуропроводности как
«т
получим уравнение для температуры, аналогичное уравнению диффу-
диффузии для концентрации. При хт = const решение в цилиндрическом
случае имеет вид
Параметр те называется энергетическим временем удержания.
§ 7.1. Столкновительная (классическая) диффузия
7.1а. Магнитогидродинамическое описание
Магнитогидродинамическое описание применимо к явлениям
диффузии, когда частота электрон-ионных столкновений велика
и средняя длина свободного пробега меньше характерной длины
силовой линии между внутренним обводом тора, где у линии
благоприятная кривизна, и внешним обводом тора, где у линии
неблагоприятная кривизна, т. е.
\ L 1 I
Здесь vje = (^Ге/meI/2 — тепловая скорость электронов, а ие[
частота электрон-ионных столкновений. Из закона Ома E.28)
где ту = тпеие[/е2пе (см. разд. 2.8), и скорость движения плазмы
поперек магнитных силовых линий выражается следующим об-
образом:
= i ((nE - ^Vn) x b) - (№)Ч, (l + |) Vn. G.5)
Здесь pqq = vje/Oe — средний ларморовский радиус электронов.

104
Гл. 7. Диффузия плазмы, время удержания
Если первым членом в правой части можно пренебречь, то
коэффициент диффузии частиц D запишется в виде
Классический коэффиициент диффузии Del определяется как
Dei =
G.7)
где crj_ = nee2/Gnez/ei), Ре = 2fj,0nTe/B2, щ = 1/2сг_ь
Однако первый член в правой части (/.5) не всегда пренебре-
пренебрежимо мал. В тороидальной конфигурации вследствие конечной
проводимости разделение заря-
зарядов, возникающее из-за торои-
тороидального дрейфа, не полностью
устраняется растеканием заря-
зарядов вдоль линий магнитного по-
поля, поэтому появляется элек-
электрическое поле Е (см. рис. 7.1).
Член Exb в G.5) также да-
дает вклад в диффузию. Найдем
этот вклад. Из уравнения рав-
равновесия следует, что в плазме
течет диамагнитный ток
Рис. 7.1. Электрическое поле в плаз-
плазме, удерживаемой в тороидальном
поле. Символы <g) или 0 показы-
показывают направление тока Пфирша—
Шлютера
1_др
Вдг
Из V • j = 0 находим, что V • ц — —V • jj_. Используя выражение
В — БоA — (r/R) cosd), величину ц можно записать в виде (см.
уравнение F.43))
О2тг 1 др
^ = 2
Если проводимость вдоль магнитных силовых линий равна ар
то параллельное электрическое поле Е\\ = j\\/<r\\. Как видно из
рис. 7.1, имеет место соотношение
Е\\
Учитывая, что /
электрического поля:
получаем ^-компоненту
ВОт? R2tt 1 . 2Й /2тг\2 1 др
= -^-Еи = ,7.1 = ( —) —/
Ве » г i сг|| N (Гц г V l J Водг
G.9)

§ 7.1. Столкновительная (классическая) диффузия 105
Соответственно, соотношение G.5) сводится к
nVr = -п- - (Рпе) ил A + -) - =
Замечая, что площадь элемента поверхности зависит от в,
и усредняя пТ^. по в, находим
2тг
Используя связь а± = <т\\/2, получаем коэффициент диффузии
тороидальной плазмы:
Этот коэффициент диффузии в A + BтгДJ) раз больше, чем
1 + (— ) ) называет-
ся фактором Пфирша—Шлютера [1J. Когда угол вращательного
преобразования ^/2тг равен 0,3, фактор Пфирша—Шлютера
приближенно составляет 10.
7.1Ь. Приближение отдельных частиц
Классический коэффициент диффузии электронов
Dei = 2
применим тогда, когда при каждом столкновении электрон пе-
перемещается в случайном направлении на расстояние порядка
ларморовского радиуса. Рассмотрим тороидальную плазму. Если
угол вращательного преобразования равен ь, смещение А дрей-
дрейфовой поверхности электрона от магнитной поверхности состав-
составляет (см. рис. 7.2)
X G.12)

106
Гл. 7. Диффузия плазмы, время удержания
Знак ± зависит от того, является
ли направление движения электрона
параллельным или антипараллельным
магнитному полю (см. разд. 3.5). Так
как электрон переходит с одной дрей-
дрейфовой поверхности на другую лишь
при столкновении, то шаг его переме-
перемещений поперек магнитного поля есть
Рис. 7.2. Магнитная поверх-
поверхность (пунктирная линия)
и дрейфовые поверхности
(сплошные линии)
"(т)
put-
G.13)
Следовательно, коэффициент диффу-
диффузии дается выражением
G.14)
Из формулы G.14) получается выражение для фактора
Пфирша—Шлютера (предполагается, что |2тгД| » 1).
§ 7.2. Неоклассическая диффузия электронов
в токамаке
Величина магнитного поля токамака представима в виде
RB0
В =
+6tcos0)
= Bo(l-etcos0),
где
G.15)
G.16)
Когда перпендикулярная компонента v± скорости электрона
гораздо больше параллельной компоненты v\\, т. е. когда
It
R
или
«II
__
.1/2'
G.17)
электрон может оказаться запертым в области внешнего обвода
тора, где магнитное поле слабое. Такой электрон дрейфует по
траектории, имеющей форму банана (см. рис. 3.9). Чтобы совер-
совершить оборот по «банану», эффективное время между столкнове-

§ 7.2. Неоклассическая диффузия электронов в токамаке 107
ниями reff = 1/^eff запертого электрона должно быть больше, чем
период движения по «банану»
ч - " (т) —% (т) • G18)
Эффективная частота столкновений v$\ запертого электрона
представляет собой частоту, при которой условие G.17) для
запертого электрона нарушается из-за столкновений. Так как
частота столкновений ие1 — это обратное время диффузии, необ-
необходимое для изменения направления скорости на 1 радиан, эф-
эффективная частота столкновений иец равна
^ = ^1- G.19)
Соответственно, если иец < 1/ть, т. е.
" Ч /^ч1/2) G.20)
запертый электрон может пройти весь «банан». Когда запертый
электрон сталкивается, он может сместиться на толщину «бана-
«банана» (см. разд. 3.5Ь)
_ mv\\ _ mv± v\\ В i/2 Д 2тг _ /2тг\ -1/2
Так как число запертых электронов составляет б/ от полного
числа электронов, вклад запертых электронов в диффузию
A,s. =
4i. G.22)
Этот коэффициент диффузии, введенный Галеевым и Сагдее-
вым [2], в 6t~3/2 = (i?/rK/2 раз больше, чем коэффициент диффу-
диффузии в столкновительном случае. Данный вывод носит полукаче-
полукачественный характер. Более строгий вывод приведен в работе [2].
Как отмечалось в разд. 7.1, МГД описание применимо, если
частота электрон-ионных столкновений больше чем частота i/p,
которая дается выражением
• G'23)

108
Гл. 7. Диффузия плазмы, время удержания
Когда частота электрон-ионных столкновений меньше, чем ча-
частота ~ ,о
U\> = 6t Up, \l .Z4J
электрон может завершить оборот по «банану». Коэффициенты
диффузии записываются в следующем виде:
Чь ^ei>^p, G.25)
3/2
G.26)
Если i/ei находится в области i/ь < uei < z/p, то описать явления
диффузии электронов посредством простой модели невозможно.
В этой области нужно прибегнуть к анализу, базирующемуся
на уравнении Власова в дрейфовом приближении. В результате
оказывается, что коэффициент диффузии не зависит от частоты
столкновений и определяется как [2, 3]
) 2 \/2
Dp =
ue
G.27)
Зависимость коэффициента диффузии от частоты столкновений
показана на рис. 7.3. Область ие1 > ир называется столкнови-
тельной, или МГЦ областью. Область ир > ие1 > и\> — это
область плато, или промежуточная область, а область ие1 < щ
называется областью бананов, или областью редких столкно-
столкновений. Такую диффузию называют неоклассической. По неоклас-
неоклассической диффузии существует превосходный обзор [3].
А
rGS
Рис. 7.3. Зависимость коэффициента диффузии от частоты столкновений в то-
камаке. и? = (i/ */2
Частота электрон-электронных столкновений не влияет на
коэффициент диффузии электронов, так как скорость центра
масс не меняется при кулоновских столкновениях.
Неоклассический коэффициент температуропроводности хте
имеет тот же порядок величины, что и коэффициент диффу-
диффузии частиц (хте ~ De). Хотя столкновения ионов одного ви-

§ 7.3. Потери на флуктуациях, бомовская диффузия... 109
да друг с другом не влияют на коэффициент их диффузии,
они дают вклад в процессы теплопроводности, если существу-
существует градиент температуры. При этом можно различить горя-
горячий (быстрый) и холодный ионы, даже если это ионы од-
одного вида. Коэффициент температуропроводности ионов в об-
области «бананов» дается выражением %Ti ^ бГ (^/OVfM^ib
и хи ~ (mi/meI/2Де (Де ~ -Dei)- Следовательно, коэффициент
температуропроводности ионов примерно в (rai/meI//2 раз боль-
больше, чем их коэффициент диффузии.
§ 7.3. Потери на флуктуациях, бомовская диффузия
и конвективные потери
В предыдущих разделах мы обсудили диффузию, обусловлен-
обусловленную парными соударениями, и получили времена удержания при
такой диффузии в идеальном случае.
Однако плазма во многих случаях является более или ме-
менее неустойчивой, флуктуации плотности и электрического поля
приводят к коллективному движению частиц и вызывают ано-
аномальные потери. Ниже мы изучим эти потери.
Предположим, что плотность плазмы n(r, t) состоит из члена
нулевого порядка no(r, t) и членов 1-го порядка малости, харак-
характеризующих возмущение nk(r, t) = nkexp г(кг — ukt), то есть
к
Так как пищ действительны, выполняются следующие соотно-
соотношения: _ _
п-к = (пк)*> п-к = п%, ш-к = -шк,
где «*» обозначает комплексное сопряжение. Вообще говоря,
иок — комплексная величина, ик = икт + i^k, и
Возмущение вызывает движение плазмы. Если скорость выраже-
выражена как
V(r,t) = ]TV, = ^Vfcexpi(k.r-u^), G.29)
к к
то V_k = V?, и уравнение непрерывности
§f + V.(»V)=0

ПО Гл. 7. Диффузия плазмы, время удержания
можно записать в виде
? (
к v к к,к'
Разделяя члены первого и второго порядка малости, получим:
O, G.30)
^ + V • (j>Vfc,) = 0. G.31)
Здесь мы предположили, что производная по времени от щ явля-
является величиной второго порядка малости. Усредняя по времени
произведение уравнения G.30) и п_ь получим
Vn0 • Re{nkV-k) + nok • Im(nkV-k) =0,\
r_fc) - nok • Re(r
Если усреднить по времени уравнение G.31), то найдем, что
к) expBjkt)) = 0. G.33)
Уравнение диффузии имеет вид
а поток частиц наружу
Г = -DVn0 = J^ Re(nfc V_fc) exp 27fct. G.34)
Одних уравнений G.32) недостаточно, чтобы определить
величину Vno • Re(n/cV_/c)exp27/ct. Обозначим /Зк = щк х
х Im(nftV_fc)/Vno • (Re(nfeV_A;)); тогда уравнение G.34)
сводится к
^|Vno|2 =
где
Это коэффициент аномальной диффузии, обусловленный флук-
туационными потерями.

§ 7.3. Потери на флуктуациях, бомовская диффузия... 111
Рассмотрим случай, когда электрическое поле флуктуации ~Ек
чисто электростатическое, и, следовательно, может быть выра-
выражено через потенциал фк:
Ек = -Щк = -гк • фк ехрг(кг - ukt).
Электрическое поле приводит к дрейфу Ек х В, т. е.
= (Ек х В)/В2 = -г(к х Ъ)фк/В, G.36)
где b = В/5. Выражение G.36) дает перпендикулярную компо-
компоненту флуктуационного движения. Подставляя G.36) в G.30),
получаем _
Ь х к\ фк ,- о-,
^) G.37)
В общем случае Vno и b ортогональны. Возьмем ось z в направ-
направлении Ь, а ось х в направлении — Vn, т. е. пусть Vn = —кпщ%
где ttn — обратная длина изменения плотности, ах — единичный
вектор в направлении оси х. Тогда соотношение G.37) дает
пк _ ппку_~ _ , кТе ефк _ tol ефк
по " В икФк ~ КК
где ку — у-компонента (полоидальная) волнового вектора к.
Величина
называется дрейфовой частотой. Если частота сик действитель-
действительна (т. е. если jk = 0), то пк и фк имеют одинаковые фазы,
и флуктуация не создает вклада в аномальную диффузию, как
следует из G.35). Когда 7fc > 0 {и — комплексна), фазы пк и фк
различаются. В этом случае флуктуация электрического поля
дает вклад в аномальную диффузию. Когда 7fc < 0, амплитуда
флуктуации затухает и не оказывает влияния на диффузию.
Используя действительные параметры Ак > 0 и ак экспоненци-
экспоненциального представления частоты ик = оикт + ry/c = ukAkexpiak,
запишем V& как
Vfc = -i(k x b)^5% = -i(k x Ь)^^
} eB кТе еВ щ
= -г(к х Ь) ——Акехргак,

112 Гл. 7. Диффузия плазмы, время удержания
откуда
Т кТе пк (
Тогда из G.34) можно получить коэффициент диффузии в сле-
следующем виде:
Коэффициент аномальной диффузии, обусловленный флуктуа-
ционными потерями, возрастает со временем (как следует из
G.35) и G.38)), и в конечном счете начинает преобладать член
с максимальным темпом роста 7& > 0. Однако амплитуда \пк\
из-за нелинейных эффектов будет стремиться к предельному
значению, которое по порядку величины составляет
Здесь Ах = \/кх — корреляционная длина флуктуации. При
этом G.35) дает _
G.39)
D = ^
7fe
Когда безразмерный коэффициент в скобках в уравнении G.38)
равен своему максимальному значению 1/16, мы получаем коэф-
коэффициент бомовской диффузии
Ъ = ±§. G.40)
Выражение G.40) дает наибольший возможный коэффициент
диффузии. _
Если измерены флуктуации плотности и потенциала nki фк,
можно вычислить Vfc и сравнить расчетные значения потока
частиц Г и коэффициента диффузии Dchx значениями, полу-
полученными экспериментально. Так как связь между пк и фк задана
соотношением G.37), можно найти разницу их фаз, которая по-
покажет, является ли ик действительной величиной (колебательная
мода) или 7fc > 0 (растущая мода). Таким образом, формула
G.37) играет важную роль в интерпретации экспериментальных
результатов.
Рассмотрим стационарные конвективные потери поперек
магнитного потока. Даже если для определенного состояния
плазмы флуктуации плотности и электрического поля не

§ 7.4. Потери на флуктуациях магнитного поля
ИЗ
ф = const
ф = const *¦
\
\
\
\
\
\
ч
X
\
У
В у
//
/
\
\
i
наблюдаются, плазма может
двигаться поперек магнитно-
магнитного поля и непрерывно выте-
вытекать. Когда существует стаци-
стационарное электрическое поле,
и эквипотенциальные поверх-
поверхности ф = const не совпа-
совпадают с магнитными поверх-
поверхностями ф = const, возника-
возникает дрейф Е х В, перпендику-
перпендикулярный электрическому полю
Е, которое, в свою очередь,
перпендикулярно эквипотен-
эквипотенциальным поверхностям. Сле-
Следовательно, плазма дрейфует
вдоль эквипотенциальных по-
поверхностей (см. рис. 7.4), которые пересекают магнитные поверх-
поверхности. Результирующие потери называют стационарными конвек-
конвективными потерями. Поток частиц есть
7-1 ^ *^У (П Л 1 \
J- к — п0~Б" (/'41/
Потери, обусловленные диффузией при парных соударениях,
пропорциональны В~2, а флуктуационные или конвективные по-
потери пропорциональны В~1. С ростом магнитного поля потери,
обусловленные флуктуациями, уменьшаются медленно.
Рис. 7.4. Магнитные поверхности (ф =
= const) и эквипотенциальные поверх-
поверхности электрического поля (ф = const).
Плазма движется вдоль эквипотен-
эквипотенциальных поверхностей в результате
дрейфа Е х В
§ 7.4. Потери на флуктуациях магнитного поля
Если магнитное поле в плазме флуктуирует, его силовые
линии блуждают в радиальном направлении. Обозначим ради-
радиальное смещение линий поля через Дг, а радиальную компонен-
компоненту магнитной флуктуации <Ш соответственно через 5ВГ. Тогда
находим
L
Ar= \brdl,
где Ьг = 6ВГ/В и / — длина вдоль магнитной силовой линии.
Усредняя (ДгJ по ансамблю, получим

114 Гл. 7. Диффузия плазмы, время удержания
((АгJ} = nbrdlUrdl') = ndl ldl'br(l)br(l')\ =
*0 0 ' *О О '
,L L-l v
/г г \
~ \ J J Г S /
\о -I I
где /°?
Г br(l)br(l
Если электроны движутся вдоль магнитных силовых линий со
скоростью г^ге» коэффициент диффузии De электронов определя-
определяется выражением [4]
D = ^-^ = ^(K)l = ^ ( (--
В случае токамака можно положить /С0Гг ~Д, а в случае пинча
с обращенным полем (RFP, см. разд. 16.1) — /Согг ~ &-
Список литературы
1. Pfirsh D., SchluterA. MPI/PA/7/62, Max-Planck Institute fur Physik
und Astrophysik, Munchen. 1962.
2. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. ЖЭТФ. 1967. V. 53. P. 348.
3. KadomtseV В.В., Pogutse O.P. Nucl. Fusion. 1971. V. 11. P. 67.
4. Rechester А.В., Rosenbluth M.N. Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40. P. 38.

Глава 8
МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Обеспечение устойчивости плазмы в магнитном поле является
одной из ключевых задач управляемого термоядерного синтеза, что
стимулирует ее активное теоретическое и экспериментальное иссле-
исследование. Если плазма свободна от всех возможных неустойчивостей,
а удержание определяется неоклассической диффузией в банановом
режиме, то время удержания энергии те дается выражением
(АЛ* бЗ/2 {_ЦЛ _1
' _ C/2)
TE^5,8Xg.s. ~ 5,8 V2W ** \pmj щ
где а — радиус плазмы, рщ — ларморовский радиус иона, а щ —
частота ион-ионных столкновений. В этом идеальном случае условию
зажигания удовлетворяет реактор вполне приемлемого размера. На-
Например, при В = 5 Т, а — 1 м, Т\ = 20 кэВ, ^/2тг «1/3 и обратном
аспектном отношении е = 0,2 величина пте ~ 3,5 • 1020 см • с.
Плазма состоит из большого числа движущихся заряженных ча-
частиц и обладает множеством магнитогидродинамических степеней сво-
свободы, равно как и множеством степеней свободы в пространстве скоро-
скоростей. Нарастание какой-либо определенной моды возмущений вызывает
усиление диффузии. Нагрев плазмы увеличивает кинетическую энер-
энергию заряженных частиц, но в то же самое время может возбуждать
флуктуации электрического и магнитного полей, которые, в свою оче-
очередь, приводят к аномальной диффузии.
Таким образом, очень важно знать, является ли некая определенная
мода устойчивой (затухающей) или неустойчивой (нарастающей). При
анализе устойчивости отклонение от положения равновесия полагается
малым, так что можно воспользоваться линейным приближением 0.
В этой главе будут рассмотрены неустойчивости, описываемые линеа-
линеаризованными магнитогидродинамическими уравнениями. Эти неустой-
неустойчивости называются магнитогидродинамическими (МГД) неустойчи-
1) Это утверждение нестрого, т. к. разбаланс сил может нелинейно зави-
зависеть от отклонения системы от положения равновесия, вообще говоря, и при
сколь угодно малой величине этого отклонения. Но в присутствии линейной
неустойчивости всегда существуют временной и пространственный интервалы,
на которых линеаризация адекватна. — Примеч. ред.

116 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
востями или макроскопическими неустойчивостями. Малое возму-
возмущение F(r, ?) первого порядка представляется через Фурье-компоненты
F(r, t) ~ F(r) exp(-iut), и) = ujt + гш-и
и в линейном приближении каждая мода может рассматриваться неза-
независимо. Решаем дисперсионное уравнение относительно и. Устойчи-
Устойчивость возмущения зависит от знака мнимой части и>\ (неустойчиво при
и\ > О и устойчиво при U[ > 0). Когда и>Т ф 0, возмущение является
осцилляторным, а при шт = 0 оно монотонно нарастает или затухает.
В следующих разделах рассматриваются типичные МГД неустой-
неустойчивости. В разд. 8.1 перестановочная и винтовая (кинк) неустойчи-
неустойчивости описываются качественно. В разд. 8.2 проводится линеаризация
магнитогидродинамических уравнений, обсуждаются граничные усло-
условия. Критерий устойчивости выводится из энергетического принципа
(8.45)-(8.48). В разд. 8.3 в качестве важного примера рассматривается
цилиндрическая плазма; выводятся соответствующие интегралы энер-
энергии. Далее описываются важные частные условия устойчивости: пре-
предел Крускала—Шафранова (8.66), критерий Сайдема (8.97). Здесь же
рассматривается устойчивость токамака и конфигурации типа пинчей
с обращенным полем в цилиндрическом приближении. В этой главе
рассмотрены лишь наиболее общие и легко трактуемые магнитогид-
магнитогидродинамические неустойчивости, но следует иметь в виду, что кроме
них есть и много других. Общий обзор неустойчивостей можно найти
в работе [1].
§8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая
неустойчивости
Перед тем, как обсудить общую линейную теорию неустой-
неустойчивостей, рассмотрим простые примеры неустойчивостей на ин-
интуитивном уровне.
8.1а. Перестановочная неустойчивость
Пусть х = 0 есть граница между плазмой и вакуумом, и пусть
ось z направлена вдоль магнитного поля В. Плазма находится
в области х < 0, а вакуум — при х > 0. Предполагается, что
вдоль направления х (см. рис. 8.1) приложена эффективная си-
сила тяжести, отвечающая ускорению g. Из-за этой силы ионы
и электроны дрейфуют в противоположных направлениях со
скоростями
MgxB
_ mgxB
G'e~ e В2 '

§8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 117
Предположим, что из-за возмущения граница плазмы смещается
от поверхности х = 0 на величину
5х = a(t)sm(kyy).
g
VG,i
У
e
VQ.e
Рис. 8.1. Дрейфы ионов и электронов
и результирующее электрическое поле
в перестановочной неустойчивости
Разделение зарядов вслед-
вследствие противонаправленных
дрейфов ионов и элек-
электронов приводит к появ-
появлению электрического по-
поля. Результирующий дрейф
Е х В усиливает начальное
возмущение, если ускоре-
ускорение^ направлено из плаз-
плазмы наружу. Из рис. 8.4, б
видно, что вблизи от грани-
границы плазмы магнитный по-
поток внутри меняется местами с потоком снаружи плазмы, т. е.
в принятой на рисунке геометрии наружный поток движется
влево и заполняет возникшую область понижения потока внутри
плазмы; неустойчивость такого типа называется перестановоч-
перестановочной неустойчивостью. Поскольку возмущения границы плазмы
при этом выглядят как желобки, вытянутые вдоль магнитных
силовых линий (рис. 8.4, б), эта неустойчивость называется еще
желобковой неустойчивостью. Дрейф вследствие ускорения
приводит к появлению на границе плазмы поверхностного заряда
с плотностью
as = a(t) cos(kyyM(x) (8.1)
(см. рис. 8.1). Электростатический потенциал ф наведенного
электрического поля Е = — V0 определяется уравнением
е±ду2
с граничными условиями
д
дф
(8.2)
дх
-о
= ф-о-
В предположении ку > 0 решением служит
Ф =
(8.3)

118 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
Скорость смещения границы d(Sx)/dt равна Е х В/В2 при
х — О, где Е находится из потенциала (8.3). Эта скорость состав-
ЛЯеТ da(t) a(t) /о.ч
Поток заряда в у-направлении есть
ne|vG,,| = p-f,
где рт = пМ. Соответственно скорость изменения плотности
заряда равна
^ cos(kyy) = ?fa(t)±Sm(kyy), (8.5)
так что 2
=
dt2 (eo )B2
Решение ищем в виде а ос expjt, тогда инкремент 7 будет
Диэлектрическая проницаемость в случае низких частот (по
сравнению с ионной циклотронной частотой) дается выражением
eo9 (8.8)
€о
как это будет объяснено в гл. 10. Соответственно, для инкремен-
инкремента 7 имеем [2]
Ш (8-9)
Если ускорение направлено наружу, возмущение с волновым
вектором к, направленным поперек магнитного поля В, т. е.
(к-В)-0, (8.10)
неустойчиво. Если же ускорение направлено внутрь (д < 0), то 7
в (8.9) является мнимой величиной, и возмущение осцилляторно
и устойчиво.
Перестановочная неустойчивость возникает вследствие раз-
разделения зарядов под действием силы (ускорения). В кривом
магнитном поле, показанном на рис. 8.2, на заряженные частицы
действует центробежная сила. Если магнитные силовые линии
выгнуты наружу (рис. 8.2, а), то центробежное ускорение при-
приводит к перестановочной неустойчивости. Если же они вогнуты,
то плазма устойчива. Соответственно, плазма устойчива, когда

§8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 119
Вакуум ^g ,g
Рис. 8.2. Центробежная сила вследствие кривизны магнитных силовых линий
модуль магнитного поля В возрастает наружу. Другими словами,
если В минимально в плазме, то такая плазма устойчива. Это
условие устойчивости называется условием минимума В.
Скорость дрейфа заряженных частиц равна
Exb
где п — единичный нормальный вектор, направленный из центра
кривизны в данную точку на магнитной силовой линии, R —
радиус ее кривизны. Вызывающее дрейф ускорение равно
(8.11)
R
В этом случае инкремент неустойчивости: 7
Анализ перестановочной неустойчивости на основе линеаризо-
линеаризованного МГД уравнения движения (8.32) с ускорительным чле-
членом описан в работе [1].
Для возмущений с волновым вектором к поперек магнитного
поля В, то есть при (к • В) = 0, причиной неустойчивости того
же типа может быть другой механизм раз-
разделения зарядов. Когда плазма вращается
со скоростью v$ = Ег/В вследствие направ-
направленного внутрь радиального электрического
поля (рис. 8.3) и скорость вращения ионов
меньше скорости вращения электронов, то
возмущение неустойчиво. Есть несколько
возможных механизмов замедления враще-
вращения ионов. Столкновения ионов с нейтраль-
нейтральными частицами вызывают замедление ионов
и приводят к раскачке неустойчивости тре-
трения о нейтралы (neutral drag).
Рис. 8.3. Разделение
зарядов из-за разли-
различия скоростей ионов
и электронов

120 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
Если инкремент 7 ~ (gkyI/2 не очень велик, а ларморовский
радиус ионов р1п достаточно большой, так что
(VhJ > fa
то возмущение стабилизируется [3]. Когда ларморовский радиус
ионов становится большим, среднее на орбите электрическое по-
поле возмущения Е, воспринимаемое ионами, ларморовский радиус
которых велик, отличается от поля, действующего на электроны,
поэтому скорости Е х В/В2 дрейфов ионов и электронов тоже
различны. Возникающее при этом разделение зарядов имеет про-
противоположную фазу по сравнению с разделением зарядов из-за
ускорения и стабилизирует неустойчивость.
8.1Ь. Критерий устойчивости перестановочной моды,
магнитная яма
Предположим, что магнитные силовые линии имеют
«хорошую» кривизну в области В и «плохую» — в области
А (рис. 8.4, а). Тогда центробежная сила в А и В направлена
BAB
Плазма
Вакуум
а б
Рис. 8.4. Разделение зарядов в перестановочной неустойчивости: а — нижний
рисунок показывает участки с неблагоприятной для устойчивости (А) и с
благоприятной (В) кривизной магнитной силовой линии; верхний рисунок изоб-
изображает разделение зарядов вследствие ускорения вдоль желобка; б — сечение
возмущенной плазмы
в противоположные стороны, так что противоположно и разделе-
разделение зарядов. Но эти заряды могут легко стечь вдоль магнитной
силовой линии, так что задача устойчивости имеет теперь другой
аспект. Рассмотрим возмущения, в которых магнитный поток
и плазма области 1 меняются местами с магнитным потоком

§8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 121
и плазмой области 2 (перестановочные возмущения, рис. 8.4, б).
Предполагается, что плазма имеет низкое давление, поэтому
магнитное поле является почти вакуумным. Любое отклонение
от вакуумного поля сопровождается возрастанием энергии
возмущенного поля (это следует из уравнений Максвелла).
Можно показать, что наиболее опасными являются возмущения
с перестановкой равных магнитных потоков.
Энергия магнитного поля в магнитной трубке, образованной
силовыми линиями, равна
где I — координата вдоль магнитной силовой линии, a S — се-
сечение магнитной силовой трубки. При постоянном вдоль трубки
магнитном потоке Ф = В • S энергия поля сводится к
Изменение 5Qm магнитной энергии из-за перестановки потоков
областей 1 и 2 есть
2 1 12
Если переставленные потоки Ф\ и Ф<± равны, то изменение
энергии 5Qm равно нулю, так что возмущения с Ф\ = Ф^ наибо-
наиболее опасны.
Кинетическая энергия Q? плазмы в объеме У равна
Qp = ~—л^-^—t' (8-14)
^р 7-1 7-1
где 7 — показатель адиабаты. Для адиабатического возмущения
величина
= const,
то есть сохраняется в процессе перестановок. Изменение энергии
плазмы
= ^гт (pf2v2 - pi Vi + p[ Vi - P2v2),
где р'2 — давление после перестановки из области Vi в V2, а р[ —
давление после перестановки из области Уг в Vi. Вследствие

122 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
(V \7 /V \7
тг] » Р1 = Р2 ( ту ) » и
^Vvi-p2V2V (8.15)
Полагая
P2 = Pi + <*P,
можно записать ^Qp как
SQp = Sp6V + jp{^. (8.16)
Поскольку условие устойчивости имеет вид 5QP > 0, то доста-
достаточное условие есть
SpSV > 0.
Выражая объем как
V-}** = #}§,
запишем условие устойчивости перестановочной моды в виде
Обычно давление спадает наружу Fр < 0), так что для устойчи-
устойчивости интеграл должен также убывать наружу [4],
Л|<0. (8.17)
Интеграл следует брать только по области, занятой плазмой.
Пусть объем внутри магнитной поверхности ф есть V, а маг-
магнитный поток в тороидальном направлении <р внутри магнитной
поверхности ф есть Ф. Определим удельный объем U как
U=%. (8.18)
Если обозначить единичный вектор вдоль магнитного поля Ь,
а нормальный единичный вектор элемента поверхности сечения
dS (рис. 8.5) через п, то
dV =

§8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 123
В
Рис. 8.5. Удельный объем тороидального поля
Интеграл по I берется вдоль маленькой трубки магнитного поля,
величина Х^(Ь • n)idSiBi не зависит от / (сохранение магнитно-
магнитного потока). Если магнитные силовые линии замыкаются после
одного обхода тора, удельный объем U равен
? n)idSA dl
U = ^'
Поскольку §dl/Bi постоянен на одной и той же магнитной по-
поверхности О, U сводится к
Если магнитные силовые линии замыкаются после N обходов,
величина U равна
N
Если магнитные силовые линии вообще не замыкаются, U дается
выражением
тт v l \dl
U = lim — —.
АГ-^оо N J В
N
Таким образом, U может рассматриваться как среднее значение
\/В. Когда U убывает наружу, это означает, что величина В
магнитного поля в среднем возрастает наружу, так что в плазме
в данном случае реализуется так называемый средний минимум
1) В равновесии (см. гл. 6). — Примеч. ред.

124
Гл. 8. Магнитогидродинамичесше неустойчивости
В. Другими словами, условие устойчивости перестановочной
неустойчивости сводится к условию среднего минимума В,
Если величина U на магнитной оси и на наиболее дальней
магнитной поверхности есть Щ и Ua соответственно, то глубина
магнитной ямы, —AU/U, определяется как
AU _ Up-Ug
и и0 '
(8.21)
8.1с. Сосисочная неустойчивость (перетяжки)
Рассмотрим цилиндрическую плазму с резкой границей.
Внутри плазмы существует только продольное магнитное поле
BZf а вне плазмы — только азимутальное поле Но = 1г/2тгг,
связанное с током в плазме Iz. Исследуем азиму-
тально симметричное возмущение плазмы, напо-
напоминающее перетяжку на сосиске (рис. 8.6). Ко-
Когда радиус плазмы а изменяется на величину 6а,
сохранение магнитного потока и тока в плазме
дает
6BZ = -Bz — ,
6Ве = -Во — .
а
Продольное магнитное поле внутри плазмы про-
противодействует возмущению, тогда как внешнее
азимутальное поле дестабилизирует это возму-
Рис. 8.6. Неус- щение. Различие 5рт в магнитных давлениях
тойчивость пе- о2 «х о2 г
ретяжки 6рт = - 1 —.
А^о а Mo a
Плазма устойчива, если 8рт > 0 при 6а < 0, так что условие
устойчивости сводится к
Bz > —. (8.22)
Такой тип неустойчивости называется сосичной неустойчиво-
неустойчивостью, или неустойчивостью перетяжки.
8.Id. Винтовая неустойчивость (змейки)
Рассмотрим возмущение, которое изгибает плазменный шнур
в виде змейки, так, как показано на рис. 8.7. Конфигурация

§8.1. Перестановочная, сосисочная и винтовая неустойчивости 125
Рис. 8.7. Неустойчивость змейки
плазмы такая же, как и в предыдущем подразделе, то есть рез-
резкая граница, продольное поле внутри и азимутальное снаружи.
Обозначим характерную длину возмущения через Л, а его радиус
кривизны — R. Продольное магнитное поле действует на плазму
как возвращающая сила вследствие возникающего продольного
натяжения; эта возвращающая сила, действующая на плазму
длины Л, равна
2щ?а R'
Азимутальное магнитное поле увеличивается на внутренней
(вогнутой) стороне плазменного шнура и дестабилизирует его.
Чтобы оценить эту дестабилизирующую силу, рассмотрим ци-
цилиндрическую боковую поверхность радиуса А вокруг плазмы
и две плоскости А и В, проходящие через центр кривизны (см.
рис. 8.7). Сравним вклады магнитного давления на поверхностях,
замыкающих элемент змейки. Вклад магнитного давления на
цилиндрической поверхности пренебрежимо мал по сравнению
с этим вкладом на плоскостях А и В. Вклад магнитного давления
на плоскостях А и В есть
Л
J 2/i0
Л В2в{а)
х — =
2R
2R 2/i0
А Л
- х —.
a R
Соответственно
(8.23)

126 Гл. 8. Маенитогидродинамические неустойчивости
— условие устойчивости [3]. Однако справедлив баланс давле-
давлений, 2 2
так что возмущения с большой А неустойчивы. Этот тип
неустойчивости называется винтовой неустойчивостью, или
кинк-неустойчивостью 0.
В этом разделе качественно анализировалась цилиндрическая
плазма с резкой границей. Более общим и систематическим об-
образом устойчивость цилиндрического плазменного шнура будет
изучаться в разд. 8.2.
§ 8.2. Устойчивость в магнитной гидродинамике
8.2а. Линеаризация магнитогидродинамических уравнений
Устойчивость плазмы можно исследовать, анализируя беско-
бесконечно малые возмущения равновесного состояния. Если обозна-
обозначить плотность, давление, скорость течения и магнитное поле
как рт, р, V, и В соответственно, то уравнение движения,
закон сохранения массы, закон Ома и уравнение адиабаты можно
записать в виде
j X В, ^ + V • (PmV) = О,
G — показатель адиабаты). Кроме того, уравнения Максвелла:
VxE = ~ VxB = ^oJ. V-B = 0.
at
Вместе они составляют магнитогидродинамические уравнения
для описания плазмы с нулевым удельным сопротивлением (см.
разд. 5.2). Значения величин рт, р, V, и В в положении рав-
*) Русская и английская терминология здесь несколько различны. Словом
«kink» в английском языке обозначают и простой изгиб, и скручивающую
деформацию. Если продольное магнитное поле присутствует, как предполо-
предположено в данном разделе, лишь внутри шнура с током, то развивающаяся
неустойчивость называется неустойчивостью змейки. Если же продольное поле
существует и вне шнура, то изгиб сопровождается скручиванием, и шнур
приобретает форму винта — в этом случае неустойчивость называется вин-
винтовой. В силу большей распространенности и физичности последнего случая
кинк-неустойчивость обычно идентифицируют как винтовую, см. разд. 8.3а. —
Примеч. ред.

§8.2. Устойчивость в магнитной гидродинамике 127
новесия обозначим как pmo, po, Vq = 0, и Во соответственно,
а возмущения первого порядка малости — как рть Рь Vi = V,
и Вь Уравнения нулевого порядка таковы:
= Jo х Во, V х Во = MoJo> V • Во = 0.
Выпишем линеаризованные уравнения первого порядка:
^f + V-(pmoV) = O, (8.24)
+ VjxB+J! хВ0, (8.25)
V = O, (8.26)
Bo). (8.27)
Если ?(го,?) — смещение плазмы от положения равновесия го,
то At ~t
f (г0, г) = г - го, V = -± « ^.
Уравнение (8.27) сводится к
причем
Bi = V х (? х Во). (8.28)
Из /xqj = V х В следует, что
/xoji =VxBi. (8.29)
Уравнения (8.24) и (8.26) дают
Pmi = -V-(/0mOO> (8.30)
Pi =-f-Vpo-7PoV-f. (8.31)
Подстановка этих формул в (8.25) дает
+ — (V х Во) х Bi + — (V х Bi) х Во =
Mo Mo
= -V (pi + ^!) + -((Bo • V)B, + (B, • V)B0). (8.32)
Это линеаризованное уравнение движения, записанное через
функцию ^.

128 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
Теперь рассмотрим граничные условия. Там, где плазма каса-
касается идеального проводника, продольная составляющая электри-
электрического поля равна нулю, то есть п х Е = 0, вектор нормали п
направлен наружу. Это эквивалентно пх((х Во) = 0. При этом
должны также выполняться условия (? • п) = 0 и (Bi • п) = 0.
Полное давление на границе плазма—вакуум должно быть непре-
непрерывным, так что
где Вщ, Bojn обозначают магнитное поле внутри плазмы, а Вех,
Во,ех — снаружи. Разложение Bjn(r), Bex(r) и р(г) в ряд по
f = г - г0 (/(г) = /о(го) + (? • V)/0(r) + /i) сводит граничное
условие к
t | Во,1п.(Вип + (?
_ Вр>ех • (Bi>ex + (? • У)Вр>ех) /о оо\
МО
Граничные условия, соответствующие уравнениям Максвел-
Максвелла, таковы:
п0 • (В0,,п - В0,ех) = 0, (8.34)
по х (В0Дп - В0,ех) = МоК, (8.35)
где К — поверхностный ток.
Закон Ома в плазме
Ein + Vx B0,in = 0. C.36)
Поскольку электрическое поле Е* в системе координат, движу-
движущейся вместе с плазмой, равно Е* = Е + V х Во и поскольку
тангенциальная компонента электрического поля Е* непрерывна
поперек границы плазмы, граничное условие можно записать
в виде
Е* + (V х B0,ex)t - 0, (8.37)
где нижний индекс указывает на тангенциальную компоненту.
Так как нормальная компонента В связана с тангенциальной
компонентой Е соотношением VxE = —дЪ/dt, то (8.37) сво-
сводится к
(п0 • Bi,ex) = п0 • V х (? х В0,ех). (8.38)

§8.2. Устойчивость в магнитной гидродинамике 129
Электрическое Еех и магнитное Вех поля снаружи плазмы (в
вакууме) можно выразить через векторный потенциал,
Еех = -^, B,,e![ = VxA, V-A = 0.
Раз в вакууме ток отсутствует, то А удовлетворяет уравнению
V х V х А = 0. (8.39)
Используя векторный потенциал, можно переписать (8.37) как
Для по • Во,ш = п • Во,ех = О граничное условие имеет вид
п0 х А = -?пВ0,ех- (8.40)
На идеально проводящей стенке граничное условие выглядит как
пхА = 0. (8.41)
Теперь задача устойчивости сводится к решению уравнений
(8.32) и (8.39) при граничных условиях (8.33), (8.38), (8.40)
и (8.41). Для нормальной моды ?(r, ?) = ?(r) exp(—iujt) пробле-
проблема сводится к задаче на собственные значения, ро^2? — F(?).
Если какое-либо собственное значение отрицательно, то плазма
неустойчива, а если все собственные значения положительны, то
плазма устойчива.
8.2Ь. Энергетический принцип [5]
В общем случае задача на собственные значения сложна
и трудна для решения. Но эту задачу можно упростить, введя
потенциальную энергию, связанную со смещением плазмы ?.
Уравнение движения имеет вид
= -К ? (8.42)
иъ
Это уравнение может быть проинтегрировано:
Кинетическая Г и потенциальная VF энергии суть
соответственно. Если
W>0
5 Миямото К.

130 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
для всех возможных смещений, то система устойчива. Это —
условие устойчивости в форме энергетического принципа. W
называется интегралом энергии.
Можно доказать, что оператор К является эрмитовым (само-
(самосопряженным) [6, 7]. Введем смещение г/ и векторный потенциал
Q, удовлетворяющие тем же граничным условиям, что ? и А, то
есть
П0 X Q = -77пВо,ех
на границе плазма—вакуум и
п0 х Q = 0
на проводящей стенке. Используя (8.32), преобразуем следую-
следующий интеграл по области плазмы V[n:
J г, ¦ K?dr = J ( 7Po(V • r?)(V • ?) + (V ¦ Ш ' Vpo)+
vin v[n
+ ±(VxG7xB0)).Vx(?xB0)-
_±fo x (V x Bo)) • V x (? x B0)V+
Mo /
+ J n0 • r, (Bo,in-Vx^xBo,in) _ 7po(v.0 _ (e>^ dS (
Теперь рассмотрим поверхностный интеграл в (8.43). С помо-
помощью граничного условия no x Q = —г/пВо,ех находим
f TbBOfex • Bi,exdS = UnB0,ex(V х A)dS =
s s
= - [(n0 x Q). (V x A)dS =
s
= - [ no • (Q x (V x A))dS = [ V • (Q x (V x A))dr =
S Vex
= [ ((V x Q) • (V x A) - Q • V x (V x A))dr =
Vex
= f (V x Q) • (V x A)dr.
Vex

§ 8.2. Устойчивость в магнитной гидродинамике Ш
Из граничного условия (8.33) следует, что разность между этим
поверхностным интегралом и поверхностным интегралом в (8.43)
равна
I"" (
В°Д' В"° WB"'"' Bll°
Здесь использовано соотношение no x V(po + B^
— i?Q ех/2/^о) = 0. Интегрирование ведется по области V^x вне
плазмы. В конце концов, интеграл энергии сводится к
Mn Mn
+ —(V x (т/ x Bo)) • V х (? х Во)+
Mo
+ (v • rf)(t ¦ Vpo) —(v x (v x b0)) • v x (^ x в0;
+ — [ (V x Q) • (V x A)dr+
+ Vn?n— I
Интеграл энергии W распадается на три — интеграл Wp no
области внутри плазмы ^n, Ws по границе S и W\ по внешней
вакуумной области Vex, то есть
W = ? U • K^r = Wp + Ws + Wv, (8.45)
7p = 5 j GPo(V-02 + f:(Vx^xBo)J + (V

132 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
- -(? х (V х Во)) • V х (? х Во) V =
W> 1
41
(8.46)
(8.47)
(8.48)
Положительность W для всех возможных ? и есть условие устой-
устойчивости. Частота (инкремент) возмущения может быть получена
из интеграла энергии. Для возмущения ~ ехр(—iut), уравнение
движения принимает вид
сАпо? = К?. (8.49)
Решение этой задачи на собственные значения дает тот же
результат, что и решение, основанное на вычислении вариаций
S2W — О, а именно,
\
J1 = ]- . (8.50)
I 2
Поскольку К — эрмитовый оператор, ш2 действительна. В МГД
анализе идеальной плазмы с нулевым сопротивлением возму-
возмущение либо монотонно нарастает, либо монотонно убывает во
времени, или же возмущенная плазма осциллирует с постоянной
амплитудой 0.
1) Это не вполне точное утверждение, к сожалению, часто встречается
в литературе. Уравнение (8.49) — это уравнение на собственные значения и2
и собственные функции ?, для которых (8.50) является прямым следствием
(8.49). Величина же W в (8.45) рассчитывается по произвольному пробному
смещению ?, для которого формально записанное выражение (8.50) не являет-
является, вообще говоря, собственной частотой. Другое дело, что если W положи-
положительна для любого ?, то, в соответствии с (8.50), неустойчивой собственной
моды просто не существует. Можно доказать и обратное утверждение, иногда
называемое теоремой Бернштейна, что если существует пробное возмущение
с W < 0, то найдется и собственная неустойчивая мода. Тем не менее,
произвольное возмущение представляет собой в общем случае суперпозицию

§8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы
133
Интеграл энергии (8.46) может быть преобразован к более
простому виду. Это преобразование описано в приложении В.
Там же выписан и интеграл энергии для осесимметричнои торо-
тороидальной системы.
§ 8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы
8.3а. Неустойчивости плазмы с резкой границей: критерий
Крускала—Шафранова
Рассмотрим плазму радиуса а с резкой границей и продоль-
продольным магнитным полем Bqz на этой границе, а также продоль-
продольным магнитным полем Bez и азимутальным магнитным полем
Вв — до//Bтгг) вне плазмы (рис. 8.8). Пред-
Предполагается, что Bqz и Bez постоянны. Мож-
Можно рассмотреть смещение
) ехр(гга0 + ikz),
(8.51)
поскольку любое смещение может быть вы-
выражено как суперпозиция таких мод. Так
как член в V • ? в интеграле энергии по-
положителен, то наиболее опасным является
несжимаемое возмущение. Исследуем лишь
наихудшую моду,
с
Bz
(8.52)
= V х
(8.53)
Уравнение движения (8.32) принимает вид
V • ? = 0.
Возмущение магнитного поля
х (? х Во) равно
х
Рис. 8.8. Плазма с
резкой границей
-W РтО
Mo
= -Vp*. (8.54)
Поскольку V • ? = 0, отсюда следует, что Ар* = 0, т. е.
собственных мод, которые могут быть как устойчивы, так и нет, так что
итоговая временная зависимость может быть весьма сложной. — Примеч. ред.

134 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
Решение без особенности в точке г = О дается модифицирован-
модифицированной функцией Бесселя 7ш(Ат), так что р*(г) равно
Соответственно, находим
Ш = Jm(bL24(fca). (8.56)
Mo
Поскольку возмущение вакуумного магнитного поля Bie удовле-
удовлетворяет уравнениям VxB = 0hV-B = 0, величину Bie можно
представить как Bje = Чф. Скалярный магнитный потенциал ф
удовлетворяет условиям Аф = О и ф —» 0 при г —> оо. Тогда
ф = С^тУ ехр(гт^ + ikz). (8.57)
Граничное условие (8.33) выглядит как
Mo
Поскольку Во ос 1/г, то р*(а) дается выражением
р*(а) = — (kBez + —Ве\ С -fr(a). (8.58)
Граничное условие (8.38) сводится к
Из (8.56), (8.58) и (8.59) получаем дисперсионное соотноше-
соотношение:
^ = jB^ __ (kBez + (m/a)^
к2 й)АпО /io/^mo^2 Im(ka) K'm(ka)
^4N (860)
*a)/w(fco)
Здесь первый и второй члены представляют стабилизирующий
эффект от Bqz и Bez (Km/Kfm < 0). Если волновой вектор к
нормален к магнитному полю, т. е. если

§8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 135
ТП
(к • Ве) = kBez + -Вв = О,
Си
то возмущение желобковое, и второй (стабилизирующий) член
в (8.60) становится равным нулю. Третье слагаемое дестабили-
дестабилизирующее.
A). Мода с га = 0 при Bez = 0. Эта конфигурация со-
соответствует неустойчивости перетяжки, описанной в разд. 8.1с.
Уравнение (8.60) сводится к
1Ж) (8.61)
Поскольку Ifo(x)/xlo(x) < 1/2, условие устойчивости
Bl > Bl/2.
B). Мода га = 1 при Bez = 0. Для этой моды уравнение
(8.60) имеет вид
с<; = I 1 +
ЗЦка) Ii(ka) К[(ка)
Для возмущений с большой характерной длиной:
Дисперсионное соотношение соответствует винтовой (кинк)
неустойчивости, которая неустойчива при возмущениях с боль-
большой длиной волны (см. (8.23)).
C). Неустойчивость в случае |2?в*| > \В$\. Если \Bez\ »
» \В$\, неустойчивость может быть при \ка\ < 1. Разлагая в ряд
модифицированную функцию Бесселя (предполагается, что га >
> 0 ), находим
= k2B20z + {kBez + ^BeJ - f2Bl (8.64)
Величина ш2 минимальна при дш/дк = 0, т. е. когда k(B%z +
+ Blz) + (m/a)BsBez = 0, и равна
JL (i^|-l\ (8.65)
где /3 = 2/j,op/B2z. Соответственно, плазма неустойчива, когда
0 < га < B — /3)/A — /3). Для плазмы с низкой бета могут быть

136 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
неустойчивы лишь моды с т — 1 и т — 2. Если выполняется
условие
(|J<(М2. (8-66)
то плазма устойчива даже при т = 1. Обычно длина плазмы
конечна, так что к не может быть меньше, чем 2тг/?. Соответ-
Соответственно, когда _
плазма устойчива. Это условие устойчивости называется крите-
критерием Крускала—Шафранова [8, 9].
Когда плазма окружена цилиндрической проводящей стенкой
(кожухом) радиуса 6, скалярный потенциал возмущения магнит-
магнитного поля вне плазмы равен
(8.57')
(вместо (8.57)). Граничное условие J5ier = 0 при г = Ь дает
d _ Гт{кЪ)Кт{ка)
с2 K'm(kb)Im(ka)-
Дисперсионное соотношение принимает вид
ш2 = Bj (kBez + (m/a)BeJI'm(ka)
= y
к2 fMipmO ЦОРток2 Лп(М
Кт(каI'т(кЬ) - 1т(ка)К'т(кЬ)
К'т{ка)Гт{кЪ)-1'т{ка)К'т{кЪ)
_
Порто (каIт(ка)'
Разлагая в ряд модифицированные функции Бесселя при усло-
условиях ка <S I, kb <C 1, находим
Чем ближе располагается стенка к границе плазмы, тем сильнее
эффект стабилизации этой стенкой.
В тороидальных системах к = n/R, где п — целое число,
аи- большой радиус тора. Если ввести коэффициент запаса
устойчивости qa на границе плазмы г = а

§8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 137
то (к • В) можно записать как
Тогда условие Крускала—Шафранова (8.66) для моды т = 1, п =
= —1 можно выразить через коэффициент запаса устойчивости:
qa >!• (8.68)
Именно по этой причине величина qa и названа коэффициентом
запаса устойчивости.
8.3Ь. Неустойчивости плазмы с диффузной границей
Рассмотренная в разд. 8.3а конфигурация с резкой границей
плазмы представляет собой особый случай; в большинстве же
случаев ток в плазме убывает к границе постепенно. Рассмотрим
конфигурацию с диффузной границей плазмы и равновесными
параметрами
\ = (O,Be(r),Bz(r)).
Возмущение ? берется в виде
? = ?(г) ехр(гт0 + ikz).
Возмущение магнитного поля Bi = V х (? х Во) есть
ВХг = »(к • В0N-, (8.69)
(8.70)
(8.71)
где
(к • Во) = kBz + —В9, (8.72)
А = Z9BZ - izBe = (С х В0)г. (8.73)
Поскольку члены с давлением 7Po(V • ?J + (V • ?)(? • Vpo) = G —
~ l)Po(V • ^J + (V • ?)(V • роО в интеграле энергии неотрица-
неотрицательны, опять рассмотрим несжимаемое смещение V • ? = 0, т. е.
- т- (г&) + —6 + iKz = 0. (8.74)

138
Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
Отсюда и из соотношения (8.73) для А компоненты смещения
и ?г выражаются через ?г и А:
Из /iojo = V х Во следует, что
dBz
dr '
dr r re
Члены в интеграле энергии даются выражениями
= l[\t I2 —
4 J l?n| дп
__^!1_р0
vex
(8.75)
(8.76)
(8.77)
(8.78)
(8.79)
(8.80)
(8.81)
Величины ?g и ?z в (8.79) могут быть исключены с помощью
(8.75) и (8.76), a dSz/dr и dB^/dr — с помощью (8.77) и (8.78).
Тогда Wp становится равным
Mo

§8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы
139
Подынтегральное выражение в VFp можно представить в форме
;2 , т2 -
х
, ikBe{{dtjr/dr) - &./r) - im(Bt/r)({dtr/dr)
k2 + (m2/r2)
(k.Bf_2jzBe\UA2 + Bl ^ + ^2+В1
5Г до dr r /io
\ikBe({dtr/dr) - F-/r)) - im(Bz/r)№r/dr)
Оно минимально, когда
к2 + (m2/r2)
При этом Wp сводится к
A;2 + (m/rJ
, (8.82)
где
т
—j
г
Теперь определим W$. Из F.8) следует, что (d/dr)(po + (В\ +
+ Б|)/2//о) = —5|/(гдо). Величина В| непрерывна на границе
т = а, так что
d
s?i«>+ •
2мо
Соответственно, находим, что
как следует из (8.80).
(8.83)

140
Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
Выражение для Wy можно получить, если в интеграле (8.82)
для Wp положить j -» О, BZ —> Bez = 2?s(= const), Bq —> Beo =
= Baa/r, B\r — г(к • Bo)?r —> Be\r = г(к • Beo)r/r. Эта замена дает
Г Г
\[kBs + (m/r)(Baa/r)](dr,r/dr) + [kBs -
k2 + (m/rJ
Интегрируя по частям, для Wp имеем
тг }( r(k-BpJ
8.84)
тг
г к2 + (m/rJ
,2 2Вв d(rBe)
г dr
d (k2Bl-(m/rfB2\
~d-r{ k2 + (m/rJ )¦ (8'86)
Используя обозначение ( = rBe\r = гг(к • Beo)r?r, находим
ь
1
(m/rJ)
dr
Функции ?г или ?, минимизирующие
решениями уравнений Эйлера:
dr
d
r. (8.87)
или Wy, являются
г«"' (888)
Есть два независимых решения для ?г с асимптотикой ос г
(8.89)
-l
или a r~m~l при г —> 0. Поскольку ?г конечно при г — 0, реше-
решение должно удовлетворять условиям
г —» О, ?Г ос г771,

§8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы
141
г = а, С(а) = га (kBs + — Ва ] ?г(а),
г = Ь, С(Ь)=О.
Используя (8.89), получим
1
7Г
i r(fc2 + (m/rJ)
Решение (8.89) выглядит следующим образом
(8.90)
= ffifl ft ?3 " ft
К + ^«) &.(а). (8.91)
\ а а)srw v y
I'm(ka)K'm(kb) - K'm{ka)I
Теперь решение проблемы устойчивости сводится к исследова-
исследованию знака выражения Wv + Wy. Для этого используем запись
где
dr
тг к2В2 - (т/аJВ\
-1
2/хо г(к2 + (т/аJ)
f (т/г)Б9J
к2 + (т/гJ '
(8.92)
(8.93)
(т/г)
V
dr
d fk2B2z-(m/rJB2e
dr\ k2 + (m/rJ
(8.94)
Если воспользоваться уравнением равновесия -г(/лор + В2/2) =
= —В$/г, то уравнение (8.94) для д сводится к
2к2 ф0 ,
9 =
(m/rJ
г ¦' к2 + (т/гJ
Bk2/r)(k2B2z-(m/rJB2e)
(к2 + (т/гJJ
(8.95)

142
Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
8.3с. Критерий Сайдема
В предыдущем разделе функция / в подынтегральном выра-
выражении для Wp всегда неотрицательна, / ^ О, так что член с /
является стабилизирующим. Первый и второй члены в соотно-
соотношении (8.94) для g являются стабилизирующими, но 3-й и 4-й
члены могут дать вклад в неустойчивость. Когда особенность
/ ос (к • ВоJ = О
уравнения Эйлера (8.88) находится в'точке г = го где-то внутри
плазмы, то вклад стабилизирующего члена вблизи г = г*о мал,
так что опасной может быть локальная мода, развивающаяся
вблизи особенности. Обозначая
ах2
r-ro = x, f = ax\ g = P, /3 =
a =
го
k2rl + m2
кг-
dr
dBe
dr /r=
r=r0
rBl
ro
/*/r=
r=r0
M =
rBx
приводим уравнение Эйлера к виду
Его решение:
где щ и щ даются выражениями
(8.96)
2 Р п 1±A+4C/а){/2
пА - п - — = 0, щ = ^—, х у—.
а I
Если а + 4/3 > 0, то ni и щ действительны. Справедливо равен-
равенство п\ +П2 = 1. При п\ < щ имеем решение х~щ, называемое
малым решением. Если же п комплексно (п = j ±г5), то ?г
имеет вид ехр((—j =рг?Iпх) и осциллирует.
Рассмотрим локальную моду ?г, которая отлична от нуля
только в е-окрестности точки г = го, и положим
r-ro = et,

§8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы
143
Тогда Wp принимает вид
1
at2
Поскольку, согласно неравенству Шварца,
-1
-1
-1
то
-1
Условие устойчивости есть а + 4/? > 0, т. е.
/Mi 2/io dpo n ,Q О7ч
— Н о~-г~ > и. (о.У/)
V) В\ dr x J
Величина r(jlf/Ji) называется широм. Наиболее часто dpo/dr < О,
поэтому обычно второй член отрицателен. Первый член (Jlf/JiJ
выражает стабилизирующую роль шира. Условие (8.97) называ-
называется критерием Сайдема [10]. Это необходимое условие устой-
устойчивости, но не всегда достаточное, поскольку критерий Сайдема
выводится из рассмотрения поведения только локальной моды.
Ньюкомб вывел необходимое и достаточное условия устойчиво-
устойчивости цилиндрической плазмы. Его двенадцать теорем приведены
в работе [11].
8.3d. Конфигурация токамака
В этом случае продольное магнитное поле Bs гораздо боль-
больше полоидального В$. Плазма находится при г ^ а, в области
а ^ г ^ Ь — вакуум, а идеально проводящая стенка расположена
при г = Ь. Предполагается, что fca< I, fc6< 1. Функция (
в выражении (8.90) для Wy будет равна
(из (8.91)), и Wy принимает вид
тг
m

144 Гл. 8. Магнитоеидродинамические неустойчивости
Из условия периодичности для тора следует, что
2тгп Л г> / \
—г- = —2пп (п — целое),
к
так что (к • В) дается выражением
а(к • В) = тВа + kaBs = тВа (\ -
V
га
в котором фигурирует коэффициент запаса устойчивости. Член
Wa в (8.92) сводится к
ь2г>2 (т\2 (\
(т\2 и2
\ а /
)с- — ) па = fcns Н па — I—па Kns H па
\ а / у a J а у a
пВа\ (( ща\ 9Л ща
1 I — Z I 1
a J V у га j \ га
Соответственно, интеграл энергии принимает вид
-2A-^
\ (8.98)
2/i0
Первый член в (8.98) отрицателен, когда
1-—?-7<^< 1. (8.99)
1 + гаЛ га v J
Предположение nqa/m ~ 1 соответствует ка ~ mBa/Bs. Так как
Ba/Bs <С 1, то это совместимо с предположением Ь< 1. При
га = 1 величина (га2 — 1)/га2 во втором члене выражения (8.95)
для д обращается в нуль. Величина д (порядка к2г2) очень мала,
поскольку fcr< 1. Член в f(d?r/drJ может быть малым, если
?г почти постоянна. Соответственно, вклад интегрального слага-
слагаемого в (8.98) пренебрежимо мал. При т = 1 и а2/Ь2 < nqa < 1
интеграл энергии становится отрицательным (W < 0). Мода
т = 1 неустойчива в области (8.99) безотносительно к распреде-
распределению тока. Условие Крускала—Шафранова для моды т = 1, вы-
выведенное в случае конфигурации с резкой границей, применимо
и к плазме с диффузной границей. Соответствующий инкремент

§8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 145
72 = — и2 равен
(8.100)
,J227rrdr
<Ano) =
Максимум инкремента 7^ax ~ A - a2/62M2/(/i0(p)a2).
Если т Ф 1, то (m2 — \)/m2 во втором члене (8.95) велико,
и # ~ 1. Нужно оценить вклад интегрального члена в Wp в этом
случае. Область д < 0 определяется неравенствами xi < X < Х2>
когда х = —krBz/Bo = nq{r) и
2 - О О .
Х1,2 =
2
тп (m — 1)
га(га - 1)
Поскольку fcr « 1, то расположенная вблизи особенности
nq(r) = т область д < 0 узка, и вкладом интегрального члена
в Wp можно пренебречь. В результате, если величина nqa/m
находится в интервале (8.99), то плазма неустойчива из-за
смещения ?r(a) границы плазмы. Для распределения тока
j(r) = joexp(—K2r2/a2) при проводящей стенке, расположенной
на бесконечности (Ь = оо), величина 72 может быть рассчитана
из (8.100) с использованием решения уравнения Эйлера,
и зависимость 72 от Qa может быть определена. Результат
представлен на рис. 8.9.
Если величина nqa/m находится вне диапазона, определяемо-
определяемого (8.99), то эффект смещения границы плазмы невелик, и вклад
интегрального члена в Wp является определяющим. Однако ин-
инкремент 72 при этом в (кг)~2 раз меньше, чем (8.100), как это
ясно из (8.101).
8.3е. Пинч с обращенным полем [12]
Характеристики пинча с обращенным полем (reversed field
pinch) таковы, что Ва и Bs являются величинами одного порядка,
так что приближение, основанное на условии Ь<С 1, или Ва <^С
< Bs, более уже не применимо. Как следует из выражения (8.82)

146
Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
CM
I
*f 0,5
Рис. 8.9. Связь инкремента 7 и пЧа для винтовой неустойчивости
(—2И7(тг?а#а/Мо) =/y2o>2((Pmo)lJ>o/Ba)) — согласно работе Шафранова В.Д.
ЖТФ. 1970. Т. 40. С. 241
для VFp, плазма устойчива, если везде выполняется неравенство
Это условие достаточно для устойчивости, однако оно никогда не
выполняется в реальных случаях. Если выражение (8.95) для д
переписать через Р = rBz/Bo BтгР есть шаг магнитной силовой
линии), то получим
_
9
_ 2(fcr)Vo
dr
;(кР + тп)х
х (kP((m2 + k2r2J - (m2 -
+m((m2 + k2r2J - (m2 + 3k2r2))). (8.103)
При m = 1 величина g становится равной
2(fcr)Vo фо
У 1 + (krJ dr ^
+
+
+ fcV2) + (fcV - 1)). (8.104)
Второй член в (8.104) квадратичен по Р и имеет минимум, так
Фо
4Д2
2r2
fc2r
Условие д(г) > 0 сводится к
(8.105)

§ 8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы
147
(производная dpo/dr должна быть положительна). Если равно-
равновесное решение удовлетворяет условию (8.105) вблизи центра
плазмы и условию (8.102) на границе плазмы, то положительный
вклад интегрального члена может превышать отрицательный
вклад от границы плазмы, так что эта равновесная конфигурация
может быть устойчивой.
Рассмотрим второй член в (8.104)
9i =
Этот член положителен, когда
kP<-\ или kP>(l-k2r2)/C
(8.106)
(8.107)
Точка kP = — 1 имеет важное значение: ей соответствует «осо-
«особая» точка г — rs. Несколько типичных примеров Р(г) показаны
на рис. 8.10, а-г\ область gj < 0 для данного к (< 0) на этих диа-
Рис. 8.10. Зависимость шага Р магнитной силовой линии от г и область, где
9j{P,r) < 0. Также показаны смещения ?г(г) для неустойчивых мод. Рисунки
а-г даны для к < 0

148
Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
граммах Р, г заштрихована. rs является особенностью. Ясно, что
?г(г), показанное на рисунках бив, делает W отрицательной.
Пример г соответствует случаю, когда продольное магнитное
поле Bz обращается в точке г = г\ в нуль. Если величина к
(> 0) выбрана так, что кР@) < 1/3, и если rs < b (т.е. rs
не лежит на проводящей стенке г = 6), то плазма неустойчива
при смещениях ?г(р)> показанных на рис. 8.10, г'. Необходимое
условие устойчивости для пинча с обращенным полем
-Р(Ь)<ЗР@). (8.108)
Это означает, что Во не может быть очень мало в сравнении с Bz
и что величина обращенного поля Bz на стенке не может быть
слишком большой.
Для т = 1 из выражения (8.82) для Wp следует достаточное
условие устойчивости:
В2Й/, , ~х9 (8.109)
Наиболее опасна мода с к = — 1/Р(а). Если предположить, что
В# > 0, то условие устойчивости принимает вид
(8.110)
Соответственно, если выполняется условие
при малых г, a jz отрицательна вблизи границы, то эта конфи-
конфигурация может быть устойчивой.
Рассмотрим ограничения на величину бета с точки зрения
устойчивости. С этой целью исследуем наиболее опасную моду
с кР(а) = -1, используя выражение (8.82) для Wp. Подстановка
в (8.82) дает
(krBz + тВв)Ч
(krBz -
m

§8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 149
Если т = 1, то
k2r2(kvBz -
1 + к2г2
Поскольку последний член в подынтегральном выражении всегда
отрицателен, то интегрирование остальных трех членов должно
давать положительную величину, т. е.
Используя кР(а) = — 1 и уравнение равновесия F.9)
2 U
о
о
можно преобразовать необходимое условие устойчивости к виду
а
rpodr,
о
f3e=B-^)—Ap*rdr<\. (8.112)
Теперь исследуем устойчивость моды га = 0. Предполагается,
что Bz проходит через нуль при г = г\. Подстановка
=0 Г>Г\+€
в (8.82) дает
2/io J

150 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости
Используя уравнение равновесия F.8), получим необходимое
условие устойчивости
п
-хг\В2{гх) > 8 j rpodr-4r2
ц-хг\В2в{гх) > 8 j rpodr-4r2lPo(ri).
о
Если ро(г\) ^ 0, то получаем условие
(8Л13)
§ 8.4. Магнитогидродинамическое уравнение
Хайна—Люста
Для смещения ?
?(г, 0, z, t) = ?(г) ехр г{тв + kz — ut)
плазмы в равновесном магнитном поле Во
(г, 9, z) -компоненты магнитогидродинамического уравнения дви-
движения имеют вид
(mp(v О + в
2
- (V2 + r| (^)) Cr - 2ik^foB, - ZzBe), (8.114)
- — (rt,r) +
2, (8.115)
- —
, (8.116)

§ 8.4. Магнитогидродинамическое уравнение Хайна—Люста 151
где
D=™Bz-kBe,
я* = (")* + **,
\ )
Если исключить ?#, ^ с помощью уравнений (8.115), (8Л16), то
найдем
-F2- 2Вв
= 0, (8.117)
где
Д = 1л20р2тш4 - доргаи;2Я2GМоР + В2) +
Это уравнение было получено Хайном и Люстом [13]. Решение
уравнения (8.117) дает ?г(г) в области 0 < г < а. В области
вакуума a <r < aw (aw — радиус стенки) имеем уравнения
VxBi=0, V-Bi=0,
так что
Bi = V^, Аф = О
и
ф = (blm(kr) + cKm(kr)) exp(im6 + ikz),
Bir = -^ = (bl'm{kr) + cK'm{kr)) exp(im6 + ikz) (8.118)
при фиксированных коэффициентах Ь, с. Величина В\г в плазме
Дается выражением
В\г = ^(к

152 8 Магнитогидродинамические неустойчивости
а граничные условия при г = а имеют вид
= iFZr(a)9 (8.119)
B[r(a) = i(F*tr(a) + F#(a)). (8.120)
Чтобы работать с полученным уравнением как с задачей на
собственные значения, следует наложить граничные условия на
?г: одно ?г ос гт~~1, при г = 0, а другое — на идеально про-
проводящей стенке: радиальная компонента возмущенного магнит-
магнитного поля обращается в нуль, B\r(aw) = 0. После определения
величины о;2, удовлетворяющей этим условиям, получаем [14]
инкремент 72 = —^2-
§ 8.5. Баллонная неустойчивость
В перестановочной неустойчивости продольная (параллель-
(параллельная магнитному полю) компонента волнового вектора к\\ =
= (к • В)/В равна нулю, и средний минимум В может стабилизи-
стабилизировать неустойчивость. Для анализа устойчивости возмущений
с к\\ = 0 используются критерий Сайдема и условие устойчивости
локальной моды в тороидальной си-
системе. В этом разделе мы изучим воз-
возмущения с к\\ Ф 0, но с |fc||/fci| < 1.
Хотя в конфигурации со средним ми-
минимумом В перестановочная неустой-
неустойчивость стабилизируется, в обла-
области с «плохой» кривизной поля мо-
может нарастать локальное возмущение
с к\\ Ф 0. Неустойчивость такого ти-
типа называется баллонной модой (см.
Рис. 8.11. Баллонная мода Я 1 П
Интеграл энергии SW дается выражением
• СJ
Рассмотрим случай, когда ? можно выразить в виде
*=^, (8.121)

§8.5. Баллонная неустойчивость 153
где ф рассматривается как интеграл по времени от скалярного
электростатического потенциала возмущенного поля. Поскольку
? х Во = Vj.0,
то интеграл энергии сводится к
5W = ± J((V х V^J - ((Во Х V^} X *>jo) V х
Величина V • ? дается выражением
Для малых бета второй член в скобках пренебрежимо мал по
сравнению с первым. С учетом Vpo = Jo x Во величина SW
представляется в форме
2 MoVpo * (V_l</> х Во) /Во • V х Vj_0
+ R2 1 tf
• V х V10 + 7МоРо ( V ( А> ) • (Во х
Vx0) U (l\ . (Bo X ч±ф) , ,r
Выберем в качестве координаты г расстояние вдоль силовой
линии, и пусть г — радиальная координата магнитной поверхно-
поверхности, а 0 — полоидальный угол*в направлении, перпедикулярном
силовым линиям, г, 0, z-компоненты Vpo> В и V</> приближенно
даются выражениями
= (OfB,(r), ВоО-гД-1^))),
0(г, 0, г) = ф(г, z)Re(expime).
Здесь Дс(^) — радиус кривизны магнитной силовой линии,
(w + cos 27ГТ
Rc(z) Д
При Дс(^) < 0 кривизна, как принято говорить, является хоро-
хорошей. Если конфигурация такова, что имеется средний минимум

154 8 Магнитогидродинамические неустойчивости
В, то должно быть 1>ги>Ои.йо>О. Поскольку все величины
Be/Bo,r/Ro,r/L малы, то
Во х V±<? и Re
и <W сводится к
где -ро/р'о = гр и /? = ро/(^о/2//о)- Второй член дает вклад
в устойчивость в области Rc{z) < 0 и приводит к неустойчивости
в области Rc(z) > 0. Уравнение Эйлера имеет вид
Величина Rc приблизительно равна J5/|VS|. Уравнение (8.122)
представляет собой дифференциальное уравнение Матье с соб-
собственным значением
w = F(f3L2/27r2rpR0).
Поскольку
р(х) = \ _ х~х12, х > 1,
то приближенно
о „ ^w 2тг2грДо
A 4- 3w)(l —wJ L2
Так как w порядка гр/2До, а длина «закорачивания» равна
(l — угол вращательного преобразования), то критическое зна-
значение бета Д.:
()'(S) (8-123)

§ 8.5. Баллонная неустойчивость
155
Если /3 меньше критического /Зс> то 6W > 0, и плазма устой-
устойчива. Условие устойчивости для баллонной моды в отсутствие
шира [15]
В случае конфигурации с ши-
ром магнитного поля необходим бо-
более строгий подход. Согласно [16,
17, 18], для баллонных мод с боль-
большим тороидальным числом п>1 ис
т — nq rsj 0 (см. Приложение В) об-
область устойчивости на плоскости па-
параметра шира S и меры градиента
давления а имеет вид, представлен-
представленный на рис. 8.12. Параметр шира S
определяется как
с_ rdq
qar
где q — коэффициент запаса устойчи-
устойчивости (q = 2тгД: ь — угол вращатель-
вращательного преобразования), а мера гради-
градиента давления а определяется как
О
1
а
Рис. 8.12. Максимальный
устойчивый градиент давле-
давления а как функция параметра
шира 5 для баллонной моды.
Пунктирная линия — граница
устойчивости, полученная
наложением более жесткого
условия на возмущение [16]
а = — ¦
q2R dp
В области большого положительного шира (S > 0,8) имеем для
максимального градиента давления примерно линейную зависи-
зависимость а ~ 0,65 (см. рис. 8.12). Поскольку
то максимальное по устойчивости относительно баллонной моды
значение бета равно
— 0 6— — -~—г6<
к 0
Для оптимального профиля q максимальное бета [19]
(8.124)

156 8 Магнитогидродинамические неустойчивости
где qa — коэффициент запаса устойчивости на границе плазмы.
При выводе (8.124) предполагалось, что qa > 2, q0 — 1.
Следует заметить, что в области отрицательного шира S < О
баллонная мода устойчива. Отрицательность шира означает, что
q(r) убывает наружу и внешние магнитные силовые линии вра-
вращаются вокруг магнитной оси быстрее внутренних. С ростом
давления плазма токамака стремится расшириться в направле-
направлении большого радиуса (смещение Шафранова). Это сопровожда-
сопровождается усилением полоидального поля на внешней стороне плазмы
в токамаке. В области сильного градиента давления необходимое
для удержания плазмы полоидальное поле возрастает наружу,
так что на внешней магнитной поверхности магнитные силовые
линии вращаются быстрее, чем на внутренней, и величина шира
становится более отрицательной [18].
Обычно параметр шира в токамаке положителен. Однако тот
факт, что при отрицательном шире баллонная мода устойчива,
очень важен для создания токамака, устойчивого относительно
такой моды. Поскольку
о
то профиль коэффициент запаса устойчивости q(r) есть
о
/
Таким образом, конфигурация с отрицательным широм может
быть реализована в случае полого профиля тока. МГД устойчи-
устойчивость токамака с полым профилем тока детально анализируется
в [20].
§ 8.6. Моды, связанные с градиентами плотности
и температуры
Рассмотрим плазму с градиентами плотности drto/dr и темпе-
температуры dTeo/dr, dTio/dr в магнитном поле, направленном вдоль
оси z. Предположим, что вследствие возмущения плотность
ионов становится равной щ = що + щ. Уравнение непрерывности
-^ + vj • Vm + щ V • v, = 0

§8.6. Моды, связанные с градиентами плотности и температуры 157
сводится при линеаризации к
= 0. (8.125)
Предполагается, что возмущенные величины меняются, как
expi(ker0 + k\\z — ut), где ко, к\\ — 9- и z-компоненты вол-
волнового вектора. Если возмущенный электростатический потен-
потенциал обозначит^ через ф, то скорость Е х В-дрейфа равна
vr = Ев/В = гкеф/В. Поскольку плотность электронов описыва-
описывается распределением Больцмана, то
? = # (
При линеаризации параллельная к магнитному полю компонента
уравнения движения
dv\\
сводится к _ _ _
—шп[ГП[Щ = — гА;ц(й + ещф), (8.127)
а уравнение адиабаты
д , -5/Зч , v-r/ -5/Зч л
(РгЩ ' ) + v-V(pini 7 )=0
Определим электронные дрейфовые частоты и>пе>шТее и
дрейфовые частоты и>п\>иТ1 как
* _ кв(кТе) dne * _ ко(кТС) dnx
е dr ' Un[ ~ еВп{ dr '
_ fcfl d(/cTe) * _ ко d(KTj)
ёВ^Г' Шт{- еВ dr *
Отношения градиентов температуры и плотности для электронов
и ионов даются выражениями
= dTe/dr ne _ dinТе = dTi/dr щ
Ve = Te dnjdr ~ dlnne' Чх = Т{ dnjdr
соответственно. Эти величины связаны:
т

158 8 Магнитогидродинамические неустойчивости
Уравнения (8.125), (8.126), (8.127), (8.128) сводятся к
по и/к\\ ш кТе'
пе _ еф
JL = ! (е2+ в.
\pi0 Зп0/ ш \" ЗУ кГе'
Условие квазинейтральности щ/щ = пе/по дает дисперсионное
соотношение [21]:
yfi = кТ[/т\). Решение в случае и <С ш^ есть
2^
Дисперсионное соотношение показывает, что этот тип возмуще-
возмущений неустойчив, когда щ > 2/3. Эта неустойчивость называется
градиентной щ-модой.
Когда скорость распространения волны |и;/&ц| становится по-
порядка тепловой скорости ионов vt{, становится важным, как это
будет показано в гл. 11, взаимодействие между ионами и вол-
волновым возмущением (затухание Ландау). В таком случае МГД
рассмотрение следует модифицировать. Если же величина гц
невелика, то необходимо кинетическое рассмотрение, а порог
771-моды становится равным ?7i,cr ~ 1Д
Список литературы
1. Bateman G. MHD instabilities. - Cambridge Mass.: The MIT Press,
1978; русский перевод: Бейшман Г. МГД-неустойчивости. — М.:
Энергоиздат, 1982.
2. Kruskal M.9 Schwarzschield M. Proc. Roy. Soc. 1954. V. 223. P. 348.
3. Rosenbluth M.N., Krall N.A., Rostoker N. Nucl. Fusion Suppl. 1962.
Pt. 1. P. 143.
4. Rosenbluth M.N., Longrnire C.L Annal. Physics. 1957. V. 1. P. 120.
5. Berstein I.В., Frieman E.A., Kruskal M.D., Kulsrud R.M. Proc.
Roy. Soc. 1958. V. A244. P. 17; русский перевод в кн. Управляемые

§8.6. Моды, связанные с градиентами плотности и температуры 159
термоядерные реакции. Сб. переводных материалов. Вып. 26. М.:
Изд. Главного управления по использованию атомной энергии при
СМ СССР. 1960. С. 226.
6. Кадомцев Б. Б. Вопросы теории плазмы. Вып. 2. / Под ред. Леон-
товича М.А. — М.: Госатомиздат, 1963. С. 132.
7. Miyamoto К. Plasma Physics for Nuclear Fusion. — Revised Edi-
Edition. - The MIT Press, Cambridge, Mass., 1989. Chap. 9.
8. Kruskal M.D., Johnson J.L, Gottlieb M.B., Goldman L.M. Phys.
Fluids. 1958. V. 1. P. 421.
9. Шафранов В.Д. ЖЭТФ. 1957. Т. 33. С. 710.
10. Suydam B.R. Proc. 2-nd U. N. International Conf. on Peaceful Uses
of Atomic Energy, Geneva. 1958. V. 31. P. 157; русский перевод
в кн.: Труды Второй международной конференции по мирному
использованию атомной энергии. Избранные доклады иностранных
ученых. — Физика горячей плазмы и термоядерные реакции /
Под. ред. Калинина В.Ф. — М.: Изд. Главного управления по
использованию атомной энергии при СМ СССР. 1959. С. 89.
И. Newcomb W.A. Annal. Physics. 1960. V. 10. P. 232.
12. Robinson D.C. Plasma Phys. 1971. V. 13. P. 439.
13. Hain #., Lust R. Z. Naturforsh. 1958. Bd. 13a. S. 936.
14. Matsuoka K., Miyamoto K. Jpn. J. Appl. Phys. 1979. V. 18. P. 817.
15. Kulsrud R.M. Plasma Phys. and Controlled Nucl. Fusion Research
(Conf. Proceedings, Culham, 1965). IAEA, Vienna. 1966. V. 1, P. 127.
16. Connor L W., Hastie /?./., Taylor IB. Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40.
P. 393.
17. Connor L W., Hastie R.J., Taylor IB. Pro. Roy. Soc. 1979. V. A365.
P.I.
18. Green J.M., Chance N.S. Nucl. Fusion. 1981. V. 21. P. 453.
19. Wesson LA., Sykes A. Nucl. Fusion 1985. V. 25. P. 85.
20. Ozeki Г., Azumi M., Tokuda S., Ishida S. Nucl. Fusion. 1993. V. 33.
P. 1025.
21. Кадомцев Б.Б., Погуце О.П. Вопросы теории плазмы. Вып. 5. /
Под ред. Леонтовича М.А. — М.: Атомиздат, 1967. С. 209.

Глава 9
РЕЗИСТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
В предыдущей главе мы обсуждали неустойчивости плазмы с ну-
нулевым удельным сопротивлением. В этом случае магнитные силовые
линии вморожены в (идеально) проводящую плазму. Однако обычно
удельное сопротивление плазмы отлично от нуля, поэтому плазма
может отклоняться от магнитных силовых линий. Моды, устойчивые
в идеальном случае, могут оказаться неустойчивыми, если ввести ко-
конечное сопротивление.
Закон Ома имеет вид
ryj = E + VxB. (9.1)
Предположим для простоты, что Е равно нулю. Тогда плотность тока
определяется как j = Vx В/77, а сила Ампера j x В есть
(9.2)
Если 77 стремится к нулю, эта сила становится бесконечно большой
и препятствует отклонению плазмы от магнитных силовых линий.
Но если магнитное поле В мало, эта сила остается конечной даже
при малой величине 77, и плазма может отклоняться от магнитных
силовых линий. Как будет показано ниже, на возмущение с волновым
вектором к в нулевом приближении действует только параллельная к
компонента магнитного поля В. Даже при наличии шира мы можем
выбрать волновой вектор к перпендикулярным магнитному полю В,
(к • В) = 0. (9.3)
Следовательно, если есть некоторая сила F<ir, которая заставляет воз-
возмущение двигаться, эта сила может легко превысить силу Fs, которая
очень мала для случая (к • В) = 0, и плазма станет неустойчивой. Этот
тип неустойчивости называется резистивной неустойчивостью.

§9.1. Тиринг-неустойчивость 161
§9.1. Тиринг-неустойчивость
Рассмотрим модель, в которой магнитное поле в нулевом
приближении Во зависит только от х:
Во = ВОу(х)еу + BOz(x)ez. (9.4)
Из закона Ома (9.1) находим
^ = -V х Е = V х ((V х В) - щ) = V х (V х В) + -2-ДВ,
at uq
(9.5)
где г] считается константой. Будем также предполагать, что плаз-
плазма несжимаема. Это предположение обоснованно, т. к. инкремент
резистивной неустойчивости обычно мал по сравнению с харак-
характерным инкрементом идеальной МГД моды (обратным альфве-
новским переходным временем), и скорость движения меньше,
чем скорость звука. Итак, считаем
V • V = 0. (9.6)
Магнитное поле В всегда бездивергентно,
V • В = 0. (9.7)
Уравнение движения имеет вид
= 1 ("(Во • V)Bi + (В! • V)B0 - ?f) - Vp. (9.8)
Mo \ * J
Рассмотрим возмущение в виде f\(r,t) = f\(x)exp(i(kyy+
+kzz) +jt). Тогда (9.5) сводится к
jBlx = t(k • B)VX + -(^2- k2) BXx, (9.9)
Mo \dxz )
где к2 = к2 + k2z. Первый член в правой части уравнения (9.8)
имеет вид (Во • V)Bi = i(k • Bq)Bi. Если взять ротор от уравне-
уравнения (9.8), то получим
х V = V х (г(к • В0)В! + (вХх^ Во) . (9.10)
6 Миямото К.

162
Гл. 9. Резистивная неустойчивость
Уравнения (9.6), (9.7) дают
дВ1х
дх
дУх
дх
+ ikyBiy + ikzB\z — О,
г'\с \/ —I— i\c \F — О
У У ^^ "rvz"z — ^ *
(9.11)
(9.12)
Умножим z-компоненту уравнения (9.10) на ку, а у-компонен-
ту — на kz, и вычтем их друг из друга. Используя (9.11) и (9.12),
получаем
?-2 " к2 ) Vx = г (к • Во) ( —2 - к2 J В\х - г(к • В0)пВХх,
(9.13)
где штрих @ обозначает производную по х. Закон Ома и урав-
уравнение движения сводятся к уравнениям (9.9) и (9.13). Следует
отметить, что магнитное поле в нулевом приближении Во появ-
появляется только в виде (к • Во). Если мы введем функцию
р(т\ = (\с . ТКЛ (Q 14Л
то условие F(x) = 0 определяет место, где наиболее вероятно
возникновение резистивной неустойчивости. Выберем его в каче-
качестве начала отсчета, х = 0 (см. рис. 9.1). Вблизи х = 0, F(x) рав-
Рис. 9.1. Магнитная конфигурация в нулевом приближении и магнитные ост-
острова, обусловленные тиринг-неустойчивостью. Показаны профили В\х и Vx

^ §9.1. Тиринг-неустойчивость 163
на (к • Во) ~ (к • ВоУ#. Как следует из уравнений (9.9) и (9.13),
Ula, — четная функция, aVx — нечетная функция в окрестности
х = 0. Член |Ai?is| ~ \l*oky3\z\ играет роль только в области
\х\ < е. Так как инкремент резистивной неустойчивости гораздо
меньше, чем инкремент в идеальной МГД, то левой частью
уравнения движения (9.13) в области \х\ > е можно пренебречь,
тогда мы имеем
^? = ^Blx, \x\>e. (9.15)
Решение в области х > 0 выглядит так:
л—кх
— е
(F"/F)Blxe-kr> dV
а решение в области х < О
(X
Г oi* I
\e-2k^di \(F"/F)BXTekr>dr) + B
J J
OO CX)
Определим Л; следующим образом:
л,= ЩЛ+е)-_<
Здесь В[х(+е) и В[х(-е) означают, что В[х берется при х = +е
и при х = — е соответственно. Тогда значение Л\ полученное из
решения в области \х\ > е, запишется в виде
A' = -2k-j^{ | +| \exp(-k\x\)(F"/F)Blxdx. (9.17)
Для пробной функции
F(x) = Fsx/Ls (\x\ < Is),
F(x) = Fsx/\x\ (x>\Ls\)
можно решить уравнение (9.15) и найти выражение для А':
2 /1
Здесь а = kLs, a Ls — так называемая шировая длина, опре-
определяемая как Ls = (F/F')x=q. Для функций F(:r) более общего

164 Гл. 9. Резистивная неустойчивость
вида зависимость В\х{х) имеет логарифмическую сингулярность
при х = 0, т. к. обычно F" /F ос l/х. В работе [2] описан метод,
позволяющий избежать подобных трудностей.
Уравнения (9.9) и (9.13) в области |ж| < е имеют вид
(9.18)
^ _ (V + Ч1А у. 1, (Л± ИЛ.) Blx. (9.1
Значение Л', получаемое из решения (9.18) в области \х\ < е:
€
= — I
V J
) ь i) (9.20)
Mo / /
Величина Л1 в (9.20) должна совпасть с выражением (9.17). Это
требование дает собственное значение 7 — инкремент резистив-
ной неустойчивости [1]. Однако в этом разделе мы постараемся
получить величину инкремента качественно. В области \х\ < е
можно написать 2
о В\х Л В\х
дх2 е '
Будем предполагать, что все три члена уравнения (9.9), а именно,
индуцированное электрическое поле (левая часть), член V х В
(первое слагаемое в правой части) и член, обусловленный конеч-
конечной проводимостью (второе слагаемое), одного порядка:
r-f^. (9-21)
Mo ?
в - iF'eVx. (9.22)
Тогда уравнение (9.21) дает
п Л'
7~-5- —. (9.23)
До е
Соответственно,
Л' > 0 (9.24)
— условие неустойчивости. Чтобы найти значение 7. необходимо
оценить е. Уравнение (9.13) сводится к
"iF'e^±. (9.25)

^ §9.1. Тиринг-неустойчивость 165
Если исключить величины VX,B\X,^ с помощью уравнений
(9.21), (9.22) и (9.25), получим
2
/ioa
2>
, (9.26)
где введены обозначения
Та = -
— время резистивной диффузии и альфвеновское переходное
время соответственно. Безразмерный фактор
S = Tr/Тд
— это магнитное число Рейнольдса, га — характерный размер
плазмы. Таким образом, инкремент 7 дается выражением
Так как рассматриваемая мода разбивает плазму на ряд маг-
магнитных островов, как показано на рис. 9.1, то ее называют
тиринг-неустойчивостью [ 1 ].
Предыдущее обсуждение базировалось на модели плоского
слоя. Рассмотрим эту моду в тороидальной плазме. Полоидаль-
ная и тороидальная компоненты волнового вектора к равны
т/г и —n/R соответственно. Можно установить соответствия
ку <-> т/г и kz <-> —n/R, при этом
п
«Слабые места» для появления тиринг-неустойчивости отвечают
условию (к • Bq) = 0 — это резонансные рациональные поверхно-

166
Гл. 9. Резистивная неустойчивость
сти, на которых q(rs) = т/п. Дифференцируя, получаем вслед-
вследствие наличия шира
(к-Во) = ^дА ^^ = -
v ' r dr Во q
Тиринг-мода тесно связана с внутренними срывами в токамаке
и, как отмечено в разд. 16.3, играет важную роль.
До сих пор мы предполагали, что удельная проводимость г/
и массовая плотность рт однородны, а гравитации нет (ускорение
свободного падения g = 0). Если rj зависит от х, резистивный
член в уравнении (9.5) имеет вид V х (r/V x B)//xq. Когда есть
градиент температуры (rf ф 0), в той стороне от х = 0, где
удельное сопротивление меньше (температура выше), может воз-
возникнуть волновая мода с короткой длиной волны (kLs ^> 1). При
учете гравитации к уравнению движения (9.8) добавляется член
pg. Если направление g противоположно Vpm (g направлено
в сторону низкой плотности), может возникнуть гравитационная
перестановочная мода [1].
§ 9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость
На границе плазмы всегда существуют конечные градиенты
плотности и температуры, что в определенных условиях может
приводить к неустойчивости. Рассмотрим вновь модель плоского
слоя. Пусть однородное магнитное поле на-
направлено по оси z: Bq = @,0,5о). Выберем
ось х вдоль вектора градиента плотности, на-
направив ее из плазмы. Давление также есть
функция от х, ро = Ро(х) (см- Рис- 9.2). В ну-
нулевом приближении плотность тока в плазме
j0 = @,Pq/5q,0). Кроме того, предполагаем,
что потоковая (массовая) скорость и электри-
электрическое поле в нулевом приближении равны ну-
нулю: Vo = 0, Eq = 0. Мы пренебрегаем здесь
потоковой скоростью, связанной с классиче-
классической диффузией, а также инерцией электронов
и движением ионов вдоль магнитных силовых
линий. Используем обычные уравнения:
(9.28)
1У
Рис. 9.2. Рези-
Резистивная дрейфо-
дрейфовая волна в моде-
модели плоского слоя
Е + V х В = тц + ^ C х В - Va>) ,
(9.29)

§9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость 167
g + V.(nV) = O, (9.30)
V-j = 0, (9.31)
где М — масса иона. Рассмотрим электростатические возмуще-
возмущения в такой конфигурации. Поправка первого порядка Ei к элек-
электрическому полю выражается электростатическим потенциалом
Et = — V^i, а возмущение магнитного поля в этом приближении
отсутствует Bi = 0 (dB/dt = V х Е). Характеристики электро-
электростатического возмущения будут детально объяснены в гл. 10.
Для простоты предположим, что температура ионов равна нулю
B] = 0), и рассмотрим моду
щ = n\(x)expi(ky + k\\z — out),
Ф\ = (t>\(x)expi(ky + Щг — ut).
Уравнения (9.28), (9.29) сводятся к
-iuMnoV\ = ji x Bo - «reVni, (9.32)
ji x Bo - ttTeVni = eno(-V0i + Vi x BO - r?ji). (9.33)
Уравнения (9.32), (9.33) дают
-VixBo + qii. (9.34)
Когда г) мало (i/ei 4C ^е)» членом ryj в (9.34) можно прене-
пренебречь, т. е. можно написать
Vx- г/с-, vy
fi[ — как обычно, ионная циклотронная частота (Д = —ZeB/M).
Частота возмущения и предполагается низкой {u/Q\J <^ 1, тогда
х- и у-компоненты уравнения (9.32) и ^-компонента уравнения
(9.33) дают
Зх — ~
5
#0

168 Гл. 9. Резистивная неустойчивость
Так как уравнение (9.31) сводится к fx + ikjy + ikpz = 0, а урав-
уравнение (9.30) к — iu>n\+nf0Vx + щгкУу + щгЦУг = О, то имеем
> (9_35)
en no ' V t] "aj Bo "'
= 0. (9.36)
Дисперсионное уравнение получится, если определитель систе-
системы уравнений (9.35), (9.36) приравнять нулю:
д
о
щец \ еВо п\ М ,
TlJL!lo=O> (9.37)
Bo ii\ щ
где ту = mevei/ne2, Во/(щег]) = Oe/uei. Дрейфовые скорости
vdi>vde ионов и электронов, связанные с градиентом плотности
, даются выражениями
—(кТ^щ/по) х b — kTi ( —i
Vdi =
Vde =
еВ0 \ щ
х b _ кТе (-
еВ0 " еВ0 { щ
Дрейфовые частоты ионов и электронов определяются как о;* =
= kvfo и cj* = fc^de соответственно. Так как п^/п0 < 0, то и* >
> 0, а о;* = -(Ti/re)a;* < 0. Вводя и* = k(-n'0/n0)(KTe/mf2e)y
дисперсионное уравнение можно записать в виде
fc J
z/eiu;e*
Здесь рп — ларморовский радиус ионов в предположении,
что электронная и ионная температуры равны Ге. Обозначим
ш/и>* = x + iz, а (ОеП[/ие[Ш*)(к\\/кJ = у и предположим, что
(крпJ — (кТе/М)(Щ/и2) <С 1. Тогда дисперсионное уравнение
принимает вид
(х + izf + iy2(x + iz) - iy2 = 0. (9.39)

§ 9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость
169
Зависимость двух решений $\(у),
z\{y) и х2(у), z2(y) от у ос (Ц/к)
показана на рис. 9.3. Так как
^2(у) < 0, то мода, соответствую-
соответствующая X2(y),Z2(y) устойчива. Эта вол-
волна распространяется в направлении
дрейфа ионов.
Волна, соответствующая реше-
решению x\,z\ > 0, распространяется
в направлении дрейфа электронов,
и она неустойчива. Если значение
(к\\/к) таково, что у « 1,3, значение
z\ достигает максимума z\ « 0,25,
а инкремент Imo; « 0,25 a;*. Если
К) мало, длины волн большинства
неустойчивых мод увеличиваются.
При этом поддерживается частота
столкновений, необходимая для того, чтобы прервать движение
электрона вдоль магнитной силовой линии. Если нижний предел
к\\ тем или иным методом зафиксирован, то
Рис. 9.3. Зависимость и/ш% =
= х + iz от у ос к\\/к для рези-
стивной дрейфовой неустойчи-
неустойчивости
1т(ш/и*)
2 =
т. е. инкремент пропорционален г) ос ие1. Эта неустойчивость на-
называется резистивной или диссипативной дрейфовой неустой-
неустойчивостью.
Когда инерцией ионов можно пренебречь, уравнение (9.35)
сводится к щ/щ = еф/кТе, а дисперсионное уравнение преобра-
преобразуется в ш2 — ukvfe — ЩТе/М = 0. Неустойчивость в этом слу-
случае не возникает; она появляется лишь при разделении зарядов
(электронов и ионов) за счет инерции ионов. Разделение зарядов
нейтрализуется движением электронов вдоль магнитных силовых
линий. Однако если параллельное движение электронов преры-
прерывается столкновениями, т. е. сопротивлением, разделение зарядов
растет и волна становится неустойчивой [3, 4]. Поэтому данную
неустойчивость также называют столкновительной дрейфовой
неустойчивостью.
Механизм разделения заряда между ионами и электронами
можно легко понять, если использовать уравнения движения для
ионной и электронной компонент, которые имеют вид

170 Гл. 9. Резистивная неустойчивость
0 = —гкп\кТе + гкф\ещ — ещ(Уе х В) —
-2nomez/ei(Ve-Vi)||, (9.40)
M-?(—iu)Vi = -ikn\—^- — гкф\ещ+
+ eno(Vi х В) + nomei/ei(Ve - Vi)||. (9.41)
Из этих уравнений находим
<bx к) (*-?). (9.42,
-*), (9.43)
= *iM2l. (9.45)
11 а; по
Здесь предполагается, что |Ve||| 3> |Vi|||, и используется обо-
обозначение cs = кТе/М. Уравнение непрерывности dn/dt + V х
х (nV) = 0 для ионов и электронов дает
-гищ + V • (^*n<^i) + (b • V)(n0Fe||) = 0,
. _ /b x гк , \
+ V • ( д Щф\\ +
Из уравнений для электронов следует, что
щ = a;e*+ifcf^Te/(mez/ei) /е^\
а из уравнений для ионов следует, что
( v
п0 w(l+b)Afc2Z/a; V #сГ? У ' V * ;
где 6 = к2(рпJ. Условие электронейтральности дает дисперсион-
дисперсионное уравнение, которое эквивалентно (9.38),
ш + ifcj?«re/(mei/ei) u;(l +6) —

§ 9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость \7\_
Движение ионов, перпендикулярное магнитному полю, кроме х-
компоненты содержит у-компоненту (второе слагаемое в правой
части уравнения (9.44)), связанную с инерцией ионов.
В бесстолкновительном случае (9.38) принимает вид
A + (fcpn) V - <*> - сЩ = 0. (9.49)
В бесстолкновительной МГД неустойчивость не возникает. Од-
Однако даже в отсутствие столкновений неустойчивость может
появиться в рамках кинетической теории (см. Приложение С).
Эта неустойчивость называется бесстолкновительной дрейфо-
дрейфовой неустойчивостью.
Список литературы
1. Furth H.P., КШееп J. Phys. Fluids. 1963. V. 6. P. 459.
2. Furth H.P., Rutherford P.H., Selberg H. Phys. Fluids. 1973. V. 16.
P. 1054; Pletzer A, Dewar R.L. J. Plasma Phys. 1991. V. 45. P. 427.
3. Моисеев С. С, Сагдеев Р.З. ЖЭТФ. 1963. Т. 44. С. 763; ЖТФ. 1964.
Т. 34. С. 248.
4. Chen F.F. Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 912; P. 1323.

Глава 10
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН В ПЛАЗМЕ
Плазма — это ансамбль огромного количества движущихся ионов
и электронов, взаимодействующих друг с другом. Для описания пове-
поведения такого ансамбля в гл. 4 была введена функция распределения;
были выведены также уравнения Больцмана и Власова для функции
распределения. Ансамбль большого числа частиц имеет много степе-
степеней свободы, и математическое описание поведения плазмы возможно
только для упрощенных аналитических моделей.
В гл. 5 были введены статистические средние по пространству
скоростей, такие как массовая плотность, гидродинамическая скорость,
давление и т. д., и выведены магнитогидродинамические уравнения
для этих средних. Таким образом, мы получили математическое опи-
описание магнитогидродинамической (жидкостной) модели; кроме того,
в гл. 6-9 мы рассмотрели условия равновесия, задачи устойчивости
и т. д. в рамках этой модели. Так как жидкостная модель оперирует
только со средними по пространству скоростей величинами, она не
способна описать те неустойчивости или явления затухания, в которых
существенную роль играет форма функции распределения. Явления,
которые можно трактовать при помощи жидкостной модели, — низко-
низкочастотные (частота меньше, чем ионная или электронная циклотронная
частота); высокочастотные явления невозможно описать в ее рамках.
В этой главе мы сосредоточимся на модели, которая позволит нам
изучать волновые явления, удержав существенные черты плазменной
динамики и в то же время сохранив относительную простоту матема-
математической формы. Такую модель представляет собой однородная плазма,
состоящая из ионов и электронов при нулевой температуре в посто-
постоянном магнитном поле. В невозмущенном состоянии как ионы, так
и электроны плазмы неподвижны. Любое малое отклонение от невоз-
невозмущенного состояния приводит к возникновению электрического поля
и зависящей от времени компоненты магнитного поля и, следовательно,
вызывает движение ионов и электронов. Движение заряженных частиц
индуцирует электрическое и магнитное поля, которые, в свою очередь,
должны быть согласованы с ранее наложенными малыми возмущени-
возмущениями. Это называется кинетической моделью холодной плазмы. В этой
главе мы воспользуемся ею для вывода дисперсионного соотношения,
характеризующего волновые явления в холодной плазме.

§ 10.1. Дисперсионное уравнение волн в холодной плазме 173
Хотя эта модель и предполагает однородность магнитного поля
и плотности, а также нулевую температуру, она применима и для
неоднородной теплой плазмы, если характерная длина изменения маг-
магнитного поля и плотности гораздо больше, чем длина волны, а фазовая
скорость волны гораздо больше тепловой скорости частиц.
Плазму можно рассматривать как среду распространения электро-
электромагнитных волн, обладающую тензором диэлектрической проницаемо-
проницаемости К. Тензор диэлектрической проницаемости К является функцией
магнитного поля и плотности, которые могут изменяться в простран-
пространстве. Плазма, вообще говоря, представляет собой неоднородную, ани-
анизотропную и диспергирующую среду.
Когда температура плазмы конечна и тепловая скорость частиц
сравнима с фазовой скоростью бегущей волны, становится важным
взаимодействие частиц с волной. Типичный пример такого взаимодей-
взаимодействия — затухание Ландау, которое рассматривается в гл. И. Общий
математический анализ волн в горячей плазме будет проведен в гл. 12
и Приложении С. В книгах [1-4] волны в плазме описаны более
подробно.
§10.1. Дисперсионное уравнение волн в холодной
плазме
В невозмущенной холодной плазме как плотность частиц п,
так и магнитное поле Во однородны в пространстве и постоянны
во времени. Ионы и электроны неподвижны.
Предположим, что наложено возмущение первого порядка
вида ехрг(к • г — vt). Из-за возмущения электрического поля
Е и индуцированного магнитного поля Bj ионы и электроны
приходят в движение. Обозначим через v^ скорость частиц сорта
к (электронов либо ионов различных сортов). Ток j, возникший
вследствие движения частиц, дается выражением
A0.1)
к
Здесь щ и qk — плотность и заряд частиц сорта fc, соответствен-
соответственно. Электрическая индукция D равна
D = 60E + P, A0.2)
j = ^ = -ia;P, A0.3)
где Е — напряженность электрического поля, Р — электриче-
электрическая поляризация, а ео — диэлектрическая постоянная. Можно
записать D как

174
Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
г .
D = €0Е + -j = е0К Е.
A0.4)
К называют диэлектрическим тензором или, точнее, тензором
диэлектрической проницаемости.
Уравнение движения отдельной частицы сорта к имеет вид
¦vjkxB). A0.5)
но
Здесь В представляет собой сумму В = Во + Bi, a vk, E, Bi —
величины первого порядка малости. Уравнение, линеаризованное
по этим величинам, записывается в виде
-гшткук = qk(E + vkx Bo). A0.6)
Если ось z выбрана вдоль направления Во, решение дается
выражениями
-гЕх
п\
Во
iEy
—iEz fik
Vk,z — 5 >
Jdq U)
A0.7)
где Qk — циклотронная частота заряженных частиц сорта к:
тк
A0.8)
(J?e > 0 для электронов и i?i < 0 для ионов). Компоненты v^
представляют собой линейные функции Е, определяемые A0.7);
j в A0.1) и электрическая индукция D в A0.4) также являются
линейными функциями Е, так что тензор диэлектрической
проницаемости дается выражением
К Е =
-гКх 0 1
Кх К± 0
0 О Кн
\ЕХ
Еу
Ez
где
т
ш2-П\и'
A0.9)
A0.10)
A0.11)

§10.1. Дисперсионное уравнение волн в холодной плазме 175
|, A0.12)
г2 —
Вводятся также (в обозначениях Стикса) величины
U
Из уравнений Максвелла
следует, что
k x Hi = -we0K • E
Определим безразмерный вектор
A0.13)
A0.14)
A0.15)
A0.16)
A0.17)
UJ
(с — скорость света в вакууме). Абсолютное значение N — |N|
представляет собой отношение скорости света к фазовой скоро-
скорости волны, т.е. N — это показатель преломления. Используя N,
мы можем записать A0.17) в виде
Nx(NxE) + K-E = 0. A0.18)
Если угол между N и Во обозначен как в (рис. 10.1), а ось х
выбрана таким образом, что N лежит в плоскости z,x, то A0.18)
можно записать следующим образом:
KL-N2 cos2 в -iKx N2 sin в cos в ]\ЕХЛ
гКх KL-N2 0 Еу =0.
N2 sin в cos в 0 #.. - N2 sin2 в [ Ez
A0.19)

176 Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
Рис. 10.1. Волновой вектор к и координаты х, у, z
Для существования нетривиального решения детерминант мат-
матрицы должен быть равен нулю, т. е.
AN4 - BN2 + С = 0, A0.20)
А = К± sin2 в + Щ cos2 в, A0.21)
В = {К\- Кх2) sin2 в + ЩК±A + cos2 в), A0.22)
С = Щ{К\ - Кх2) = ЩШ. A0.23)
Уравнение A0.20) определяет соотношение между волновым век-
вектором к и частотой ш и называется дисперсионным уравнением.
Решение A0.20) выглядит так:
2_ В±(В2-4АСI/2 _
~ 2А
- ({К\ - Ку2) sin2 в + ЩК±A + cos2 в)±
±[(К{ - Кх2 - ЩК±J sin4 в + ЩКХ2 cos2 0]1/2) х
х B(K±sin20 + Щсоэ26))~1. A0.24)
Когда волна распространяется вдоль силовых линий магнит-
магнитного поля (в = 0), дисперсионное уравнение A0.20) принимает
вид
-2K±N2 + (Kl-Kx2)) = 0 A0.25)
и имеет следующие решения:
Я||=0, N2 = K± + KX =R, N2 = K±-KX=L. A0.26)
Для волны, распространяющейся перпендикулярно к магнитному
полю (9 = тг/2), дисперсионное уравнение и его решения даются
выражениями
- Кх
- Кх2) = 0, A0.27)

§10.2. Свойства волн 177
kIk2 = ш N2 = K A028)
§ 10.2. Свойства волн
10.2а. Поляризация и движение частиц
В предыдущем разделе было получено дисперсионное соот-
соотношение для волн в холодной плазме. Здесь мы рассмотрим
электрическое поле волн и возникающее движение частиц. Ком-
Компонента у уравнения A0.19) дает
§* = ^^. (Ю.29)
?jy Ах
Соотношение между компонентами скорости частицы имеет вид
' -гЕх и Qk
Vk,y Ех_ ^к _ Ш
Еу и;2 - п\ 'и2 - П\
= (и + Qk)(N2 -L) + (u- Ok)(N2 - Д)
(u; + Qk)(N2-L)-(uj-Uk)(N2-Ry ' }
В волне с N2 = R при 9 = 0 выполняется соотношение гЕх/Еу =
= 1, и электрическое поле имеет правую круговую поляризацию.
Другими словами, электрическое поле вращается в направлении
ларморовского вращения электронов. Движение ионов и элек-
электронов также правостороннее круговое. В волне с N2 = L при
в —> 0 отношение гЕх/Еу = — 1, и электрическое поле имеет
левую круговую поляризацию. Движение ионов и электронов
также левостороннее круговое. Волны с N2 = R и N2 = L при
в —» 0 называются R-волной и L-волной, соответственно. Реше-
Решение дисперсионного уравнения A0.25) при в = 0 есть
A0.31)
Видно, что R- и L-волны меняются местами при изменении
знака К\\. Когда Кх = R — L меняет знак, R- и L-волны также
меняются местами.
Когда в = тг/2, электрическое поле волны с N2 = К\\ равно
Ех = Еу = 0, Ez ф 0. Для волны с N2 = RL/K±_ электриче-

178 Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
ское поле удовлетворяет соотношениям гЕх/Еу = —(R — L)/(R +
+ L) = -Kx/K±, Ez = 0. Волны с N2 = Щ и N2 = Д?/Д1
при 0 —> тг/2 называются обыкновенной волной (О) и необык-
необыкновенной волной (X) соответственно. Следует подчеркнуть, что
электрическое поле необыкновенной волны при в = тг/2 пер-
перпендикулярно магнитному полю (Ez = 0), а электрическое поле
обыкновенной волны при в — тг/2 параллельно магнитному полю
(Ех — Еу = 0). Дисперсионное соотношение A0.24) при в = тг/2
имеет вид
iV2 = -L(*i - Кх2 + ЩК± + \К2± - Кх2 - ЩК±\) =
^ A0.32)
так что обыкновенная волна и необыкновенная волна меняются
местами при RL — ЩК± = 0.
Помимо разделения на R-и L-волны, а также на О- и X-
волны, существует другая классификация, а именно, разделение
на быструю волну и медленную волну, следуя разнице фазовых
скоростей. Так как выражение под квадратным корнем в урав-
уравнении N2 = (В ± (В2 — ААС)х/2)/2А всегда положительно, как
это ясно из A0.24), быстрая и медленная волны не меняются
местами в интервале между 6 = 0 к 6 = тг/2.
10.2Ь. Явления отсечки и резонанса
Показатель преломления A0.24) может обратиться в беско-
бесконечность или в нуль. Если N2 — 0, говорят, что волна имеет
отсечку; при отсечке фазовая скорость
«Ph - I = ? (Ю.ЗЗ)
становится бесконечной. Как ясно из A0.20), A0.23), отсечка
имеет место, когда
К||=0 Д = 0 L = 0. A0.34)
Когда N2 = оо, говорят, что волна имеет резонанс; здесь фазовая
скорость становится равной нулю. При резонансе волна будет
поглощаться плазмой (см. гл. 11). Резонансное условие имеет вид
tg20 = -|i. A0.35)
При в = 0 резонансное условие приобретает вид К± = (R +
+ L)/2 —> ±оо. Условие R —> ±оо удовлетворяется при и; = f2e,

§ 10.3. Волны в двухкомпонентной плазме
179
где i?e — электронная циклотронная частота. Этот случай на-
называется электронным циклотронным резонансом. Условие
L —> ±оо выполняется при ш = |Д|, и этот случай называется
ионным циклотронным резонансом.
ViV
VAT
= oo
Рис. 10.2. Распространение волны: а — около области отсечки и б — вблизи
резонансной области
При в = тг/2 резонансное условие имеет вид К± = 0. Этот
случай называется гибридным резонансом. Когда волна прибли-
приближается к области отсечки, ее траектория искривляется согласно
закону преломления Снеллиуса, и, в конце концов, волна от-
отражается (рис. 10.2, а). Когда волны приближаются к области
резонанса, они распространяются перпендикулярно резонансной
зоне. Фазовая скорость стремится к нулю, и энергия волн погло-
поглощается.
§ 10.3. Волны в двухкомпонентной плазме
Рассмотрим плазму, состоящую из электронов и ионов одного
сорта. Условие зарядовой нейтральности имеет вид
n\Z\ = пе.
Для удобства введем безразмерный параметр
A0.36)
A0.37)
Величина, определенная равенством A0.13), которая была
также введена в разд. 2.2,
Яе2 = nee2/(e0me)
A0.38)

180 Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
называется квадратом электронной плазменной частоты. Анало-
Аналогично вводится и ионная плазменная частота. Легко получить
соотношения
'2/1
i = тп[/те 3> I,
A0.39)
К]_, Кх, Ки, и R, L даются формулами
и,2-
ш2 -
R=l-
L= l-
ш
ш2 - (Д +
A0.40)
+ ДД. -
(ш -
ш2
L, (Ю.41)
-. A0.42)
Дисперсионные соотношения для трех типов волн, распростра-
распространяющихся параллельно Во (т. е. при в = 0 и с Щ = 0, N2 = R,
N2 = L) тогда принимают вид
ш2 = Яе2, A0.43)
A0.44)
A0.45)
и2
1
<?kl R'
(и> - Д)(ш - Пе)
и?
_ 1
7Ц-Т
Здесь
т
\ - П1 {ш - uL){w +
1/2
1/2
>a
A0-46)
A0-47)
Заметим, что Д> > 0, Д < 0 и wr > Qe. Графики дисперсионных
зависимостей ш(к\\) показаны на рис. 10.3, а. Дисперсионные
соотношения для волн, распространяющихся перпендикулярно

§10.3. Волны в двухкомпонентной плазме
181
Рис. 10.3. Дисперсионные соотношения для R- и L- волн, распространяющихся
параллельно магнитному полю @ = 0) (а). Дисперсионные соотношения для
О- и Х-волн, распространяющихся перпендикулярно магнитному полю (в =
= it/2) (б)
Во с N2 = ЯГц (обыкновенная волна) и с N2 = (JK^ — Кх2)/К±
(необыкновенная волна), имеют вид
A0.48)
к±
к±
к\-кх2
\
Уравнение A0.48) представляет собой дисперсионное уравнение
электронной плазменной волны (ленгмюровской волны). Опреде-
Определим сс>ин и o;lh равенствами
A0.50)
A0.51)
и2ш
Л?
называется частотой верхнегибридного резонанса, a o;lh
называется частотой нижнегибридного резонанса. Используя

182
Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
их, мы можем записать A0.49) в виде
/ i2 (. ,2
\1
A0.52)
Справедливы соотношения ur > cjuh > Яе, J?e и и;?н <
< 1?е|Д|| ftf + П2> Дисперсионные кривые и;(к±) показаны на
рис. 10.3, б. Наклон и/ск на графике и>(к±) есть отношение
фазовой скорости v^ к с. Чем круче наклон, тем больше фазовая
скорость. Области (на шкале ш) R- и L-волн при в = 0, О-
и Х-волн при 0 = тг/2, а также F- и S-волн показаны на рис. 10.4
для случая oui < Пе < ?2е.
UR
Яе
s 1
г
г]
LX
RXJ
F A)
B)
S-
L
RX
р —
C)
S Fа)
G)
(8)
гх (П)
" К A3)
о
Рис. 10.4. Области ш для R- и L-волн при ^ = 0, О- и Х- волн при в = тг/2, F-
и S-волн в случае (ul < Пе < Г2е). Числа справа соответствуют номеру области
на диаграмме СМА, рис. 10.5
Поясним теперь диаграмму СМА (рис. 10.5), которую предло-
предложили Клемов (Р. С. Clemmow) и Малэли (R. F. Mullaly), а позже
усовершенствовал Эллис (W. P. Allis) [3]. По вертикальной и го-
горизонтальной осям отложены величины fil/u2 и {П* + П%)/ои2,
соответственно. Условия отсечки R = 0 (и = o;r), L = 0 (о; = u^J,
Щ — 0 (а; = i?e) показаны пунктирными линиями, а резонансные
условия R = оо (а; = i?e)> L = оо (а; = i?i), K_l = 0 (и = 1?lh. ^ =
= ^ин) — сплошными линиями. Линии отсечек и резонансов
образуют границы различных областей. Граница RL = ifyXj.,
при которой О-волна и Х-волна меняются местами, показана
штрих-пунктирной линией. Для различных областей показаны
поверхности постоянной фазы R- и L-волн, и О- и Х-волн. Так
как вертикальная и горизонтальная координаты пропорциональ-

§ 10.3. Волны в двухкомпонентной плазме
183
Рис. 10.5. Диаграмма СМА для двухкомпонентной плазмы. В каждой обла-
области нарисованы поверхности постоянной фазы. Пунктирные круги показывают
волновой фронт в вакууме. Магнитное поле растет по направлению к верху
диаграммы

184
Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
ны величине В и плотности пе, можно легко сопоставить волне
соответствующую область, просто задавая ее частоту ш.
§ 10.4. Типы волн
10.4а. Альфвеновские волны
Если частота и меньше ионной циклотронной частоты (ш <С
Д|), тензор диэлектрической проницаемости К можно выра-
зить как
Ф
A0.53)
где 6 = 11оП[ГП[С2/Вц. Так как П%/и2 = (m[/me)(f2f/u2N, нахо-
находим nljj1 > 8. Полагая, что П2/и2 > 1, имеем \K\\\ > \К±\;
тогда i, В, С в A0.20) даются выражениями
П1 2
А « l-cos i
UJ
Ц
иг
A0.54)
и дисперсионные соотношения принимают вид
N2
с2
1 +
1М)Рт
С2
N2
и>
?
г
cos2 ^
A0.55)
A0.56)
(рт — массовая плотность). Волна, удовлетворяющая дисперси-
дисперсионному соотношению A0.56), называется альфвеновской волной.
Определим альфвеновскую скорость равенством
9 г г Bl . A0.57)
1+6
1 +
Уравнения A0.55) и A0.56) соответствуют модам, находящимся
в области A3) диаграммы СМА. Подстановка A0.55) и A0.56)
в A0.19) показывает, что Ez для обеих мод обращается в нуль,

§ 10.4. Типы волн 185
Ez = 0; Ех = 0 для моды A0.55) (R-волна, F-волна, Х-волна)
и еу = 0 для моды A0.56) (L-волна, S-волна). Из A0.6) мы
находим для и < |Д|, что
E + vi хВ0 = 0 A0.58)
и V{ = (Е х Bq)/Bq, так что V* для моды A0.55)
Vi « xcos^rr + fczz — и), A0.59)
a Vj для моды A0.56):
Vj « у cos(A^x + А^г - vt), A0.60)
где х, у — единичные вектора вдоль осей х и у соответственно.
В силу последних соотношений быстрая мода A0.55) называется
волной сжатия, а медленная волна A0.56) называется волной
кручения, или сдвиговой волной. R-волна A0.55), хотя и иска-
искажается при переходе из области A3) в области A1) и (8), но все
же сохраняется, а L-волна A0.56) исчезает при этих переходах.
Как ясно из A0.58), плазма вморожена в магнитное поле.
Существует натяжение B2/2/j,q вдоль силовых линий магнитного
поля и давление B2/2/j,q перпендикулярно магнитному полю. Так
как плазма с массовой плотностью рт привязана к силовым
линиям, скорость распространения волн в направлении поля
оказывается равной 1/2
10.4Ь. Ионные циклотронные и быстрые магнитозвуковые
волны
Рассмотрим случай, когда частота ш сдвигается от низкой
частоты к ионной циклотронной частоте и П2/и2 » 1. Соответ-
Соответствующие волны располагаются в областях A3) и A1) диаграм-
диаграммы СМА. Когда |cj| < i?e, 8 > 1 и П2/и2 » 1, величины К±,
Кх и К\\ выражаются как
or -

186
Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
Так как П2/ш2 = (m\/me)(f22/u2)8 ;» 5, коэффициенты Д В, С
принимают вид
А = -^§- cos2 0,
иг
В
Лр (Ш; , 1 , Ом
= -4-5-ТзA + COS20),
A0.62)
а дисперсионное уравнение (с учетом того, что Я^ = Bf6)
N4 cos2 d - JV2-!^ A + cos2 0) + -|^4 = 0. A0.63)
Поскольку N2 cos2 9 = с2Щ/ш2 и iV2 sin2 в = c2k\/u2, мы мо-
можем записать A0.63) в виде
ffcfс2 + fefc4) + flf^
_
или
k\
\ ^
fcf
- A
- A +О//Д,))
(учтено, что v\ = c2/<5). Следовательно, резонанс имеет место
при а 2 ,22
иначе
A0.650
Когда |cj| стремится к |Д|, из дисперсионного уравнения A0.63)
приближенно имеем
N2
1 + cos в
N2 cos2 в я 6A+cos2 в)
j
A0.66)
A0.67)

§ ЮЛ Типы волн 187
Мода A0.66) соответствует альфвеновской волне сжатия (быст-
(быстрая волна) и не подвержена воздействию ионного циклотронного
резонанса. Дисперсионное соотношение A0.67) описывает ион-
ионную циклотронную волну и может быть представлено в виде
Заметим, что здесь и2 всегда меньше, чем Q2. Движение ионов
становится левосторонним круговым (т. е. в направлении лармо-
ровского движения ионов) при и « |Д| (см. A0.30)).
Для моды A0.66) выполняется соотношение гЕх/Еу = 1, т. е.
она имеет круговую поляризацию, причем электрическое поле
вращается в сторону, противоположную ларморовскому движе-
движению ионов. Для ионной циклотронной волны
Mb „ и \_
Еу ~
т. е. электрическое поле эллиптически поляризовано и вращается
в сторону ларморовского вращения ионов.
10.4с. Нижнегибридный резонанс
Частота нижнегибридного резонанса при в = тг/2 дается вы-
выражением
, 1 *?н _ Щ + nf
Когда плотность велика и П2 3> |Д|^е) получаем, что ш
= (j^l^eI/2. Если П? < |i?i|i?e, то о;^н = П? + Q?. При нижне-
нижнегибридном резонансе имеем Еу = Ez = 0, а Ех ^ 0.
Если плотность велика (т. е. П2 > |i?i|i?e), то |i?i| <?C c^lh ^
< 17е, и анализ движения ионов и электронов становится про-
простым. Из A0.7) следует, что скорость определяется выражением
i€kEx u)\fik\ (\c\iw
Vk,x = -5 2—^2' A0.71)
-DO Ш - Щ
и уравнение v^x = dxk/dt = -шхк дает
|flfc| ПО

188
Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
Ех
А
\)
У
Рис. 10.6. Орбиты ионов
и электронов при нижнеги-
нижнегибридном резонансе
При си2 = |i?i|J?e находим, что
х\ « -Ex/BqQz, аже« -Ex/Bof}e, или
o^i « хе (см. рис. 10.6). Следователь-
Следовательно, разделения зарядов не происходит,
и нижнегибридная волна может суще-
существовать.
Мы рассматривали нижний гибрид-
гибридный резонанс при в = тг/2. Рассмотрим
случай, когда в слегка отличается от
в = тг/2. Резонансное условие получа-
получается из A0.24) следующим образом:
К± sin2 в + Щ cos2 0 = 0. A0.73)
При использовании A0.46), A0.50)
и A0.51), A0.73) сводится к
A0J4)
, полу-
Если 9 близко к тг/2 и о; не слишком отличается от
чаем
cos2 в
"ш =
Так как ^ин^ш = ^?^е + П2\П\\[2е, то и2 выражается в виде
2\ / / \ 2\ П
2 2
. A0.75)
ПриЯ2/|Д|Г2е-5 = с2/4
вид
1 соотношение A0.75) приобретает
A0.76)
Если 0 отличается от тг/2 даже на малую величину {Zm^/i)
величина и2 становится равной и2 « 2a;2H, так что A0,76) верно
только в очень малой области вблизи в = тг/2.

§10.4. Типы волн
189
10.4d. Верхнегибридный резонанс
Частота верхнегибридного резонанса о;ин дается выражением
ш2ш = П1 + П1 A0.77)
Так как эта частота гораздо больше, чем |Д|, движением ионов
можно пренебречь.
10.4е. Электронные циклотронные волны
Будем рассматривать высокочастотные волны, так что движе-
движение ионов можно не учитывать. Если и ^> |Д|, то
1-
П1
,2 '
(A0.78))
Решение дисперсионного уравнения AN4 — BN2 + С = О
N2 = ^
2А
можно преобразовать к виду
^2_1= -2(А-В + С)
2А-В±(В2-ААСУ'2
- П2/и2) - П\ sin2 9 ±
-, A0.79)
Л =
A0.80)
Обыкновенная и необыкновенная волна получаются при выборе
знака плюс или минус в A0.79), соответственно. В случае
находим
2 _ 1 - П2/ш
-Ч\ cos2^
2/ш2
A0.81)
A0.82)

190 Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
При в ~ тг/2 уравнение A0.82) переходит в N2 = К\\ = 1 - П2/ш2
и не зависит от величины магнитного поля. Эта волна использу-
используется для измерений плотности методом микроволновой интерфе-
интерферометрии.
В случае
cos20 A0.84)
A0.85)
из
при дополнительном условии
"е
sin2 9
дисперсионные соотношения принимают вид
N2 = 1 - i7^ , A0.86)
(о; + i?e cos 0)cj
iV2 = 1 _ ^ . A0.87)
(a; - i?e cos 6)a;
Уравнение A0.86) соответствует L-волне, а A0.87) — R-волне.
Вблизи электронной циклотронной частоты происходит резонанс
R-волны. Эта волна может распространяться в областях G)
и (8) диаграммы СМА, где частота меньше, чем плазменная. Эта
волна называется электронной циклотронной волной. Нужно
отметить, что предположения A0.84) и A0.85) не выполняются
вблизи К\\ = 1- П2/ш2 « 0.
Электронную циклотронную волну также называют вистле-
ром. Электромагнитные возмущения, инициируемые вспышками
молний, распространяются по ионосфере вдоль линий магнитно-
магнитного поля. Частота индуцированных молниями вистлеров попадает
в звуковой диапазон, а их групповая скорость растет с частотой,
так что эта волна воспринимается как свист с понижающимся то-
тоном. Поэтому она и называется вистлером (whistle по-английски
значит свист).
§ 10.5. Электростатические волны
Если электрическое поле Е может быть выражено через элек-
электростатический потенциал
-гкф, A0.88)

^ §10.5. Электростатические волны 191
волна называется электростатической. Такое электрическое
поле Е всегда параллельно волновому вектору к, так что элек-
электростатические волны продольные. Магнитное поле Bi электро-
электростатической волны всегда равно нулю:
Bi =kxE/(j = 0. A0.89)
Альфвеновские волны не электростатические. Здесь мы рассмот-
рассмотрим условия существования электростатических волн. Так как
дисперсионное соотношение имеет вид
N х (N х Е) + К • Е = 0,
скалярное умножение его на N дает
N • К • (Ец + Е±) = 0,
где Ец и Ejl — компоненты электрического поля, параллельная
и перпендикулярная к. Если |Ец| 3> |Ej_|, то волна электростати-
электростатическая, и дисперсионное соотношение приобретает вид
N.K-N = 0. A0.90)
Переписав дисперсионное соотношение как
мы видим, что неравенство |Ец| :» |Ej_| справедливо, когда для
всех K{j выполняется
|iV2| > |Яу|. A0.91)
Дисперсионное соотношение A0.90) для электростатической
волны при этом имеет вид
k2xKxx + 2kxkzKxz + k\Kzz = 0. A0.92)
Условие A0.91) для электростатической волны означает, что
фазовая скорость u/k = c/N волны мала. Величины К^ уже
приводились в A0.9)—A0.12) для холодной плазмы, а общая
формула для горячей плазмы будет обсуждаться в гл. 12, 13. Мы
установили, что магнитное поле Bj электростатической волны
равно нулю. Возмущения магнитного поля распространяются
с альфвеновской скоростью v& « ВоК^щт^у/2. Если фазовая
скорость волны много меньше, чем г;д, возмущение магнитного
поля затухнет через несколько периодов волны, и распростра-
распространяющееся возмущение магнитного поля обратится в нуль. Если
принять в качестве типичной фазовой скорости электростатиче-

192 Гл. 10. Распространение электромагнитных волн в плазме
ских волн тепловую скорость электронов vje, то условие v& >
сводится к
Во 2те ^ ,
ИЛИ о
„ . 2ше
Это условие того, что волна электростатическая.
При резонансе показатель преломления N становится бес-
бесконечным. Так как при верхне- и нижнегибридных резонансах
элементы тензора Кц конечны, условие A0.91) выполняется, так
что эти гибридные волны электростатические. Для ионной или
электронной циклотронной волны некоторые из Kij становятся
бесконечными, поэтому эти циклотронные волны не всегда элек-
электростатические.
Список литературы
1. Stix Т.Н. The Theory of Plasma Waves. - N. Y.: McGraw-Hill, 1962
(русский перевод: Стикс Т. Теория плазменных волн. — М.: Атом-
издат, 1965).
2. Stix Т.Н. Waves in Plasmas. — N. Y.: American Institute of Physics,
1992.
3. Allis W.P., Buchsbanm S.J., Bers A. Waves in Anisotropic Plasmas. —
The MIT Press, Cambrige Mass., 1963 (русский перевод: Эллис В.,
Буксбаум 3., Берс А. Волны в анизотропной плазме. — М.: Атомиз-
дат, 1966).
4. Bekefi G. Radiation Processes in Plasmas. — N. Y.: John Willey and
Son Inc. Gordon and Breach Science Publishers Inc., 1961 (русский
перевод: Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. — М.: Мир,
1971).

Глава 11
ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ И ЦИКЛОТРОННЫЙ
РЕЗОНАНС
Л. Д. Ландау обнаружил, что существует механизм поглощения,
благодаря которому частицы плазмы поглощают энергию волны даже
в бесстолкновительной плазме при условии, что плазма не являет-
является холодной и функция распределения по скоростям имеет конеч-
конечную ширину. Процессы обмена энергией между частицами и волной
в бесстолкновительной плазме играют важную роль в нагреве плазмы
с помощью волн (поглощение волн) и в механизме неустойчивостей
(усиление волн). Эти важные процессы будут рассмотрены в рамках
упрощенной физической модели в этой главе. В главах 12, 13, и в
Приложении С они будут описаны более подробно. Члены, связанные
с взаимодействием волна—частица, отсутствуют в диэлектрическом
тензоре холодной плазмы, они появляются в диэлектрическом тензоре
в моделях горячей плазмы.
§ 11.1. Затухание Ландау и резонансная раскачка
Предположим, что достаточно много частиц движутся с раз-
различными скоростями в направлении силовых линий магнит-
магнитного поля. Когда электростатическая волна (продольная волна
с к || Е) распространяется вдоль силовых линий магнитного
поля, возникает взаимодействие между волной и группой частиц
(см. рис. 11.1). Выберем ось z в направлении магнитного поля
и/к
Рис. 11.1. Распространение волны и движение частиц в процессе затухания
Ландау
7 Миямото К.

194 Гл. 11. Затухание Ландау и циклотронный резонанс
и обозначим единичный вектор в этом направлении z. Тогда
электрическое поле и скорость v = vz удовлетворяют уравнениям
E = zEcas{kz-u;t), A1.1)
т— = qEcos(kz - ut). 01.2)
UjTi
Электрическое поле Е — величина первого порядка малости.
Решение A1.2) в нулевом порядке
z = vot + zo,
а уравнение первого порядка
т—г^- = qEcosikzo + kvtf — ut). (П.З)
at
Решение A1.3) для начального условия v\ = 0 при t = 0 имеет
вид
_ qEsin(kzo + kvot — cot) — sinkzo c\\ a\
m kvo — uj
Изменение кинетической энергии частицы
d тпу d d d
+
Из A1.2),A1.4) получаем соотношения
AL5)
^ = qEcos(k(z0 + Vbt + zx)- ut) =
= qEcos(kzQ + at) — qEsin(kzQ + at)kz\,
t
Г jj. QE ( — cosffc^o + cd) + cos kzo t sin kzo \
z\ = vi at = — § ,
J rn \ a2 ol )
0
где
a = kvQ — u.
Используя их, можно преобразовать A1.5) к форме
„2 „2 тр2
d mv q E /sin(kzn + at) — sinkzo\ ,, f4
—-r- = —^— '- cos(b0 + at)
dt 2 m \ a ) ч '
kvoq2E2 ( — cosffc^o + ott) + cosfczn tsinfc^n\ • /7 , «\
— !l—-—т1 sm(kz0 + at).
m V a2 a / v 7

§11.1. Затухание Ландау и резонансная раскачка 195
Усреднение предыдущей величины по начальному положению zq
дает
/ dmv2\ q2E2 /-a; sin at u;?cosatf\ /ц С\
(-77-O-) = ^— 2 htcosat+ . A1.6)
\dt 2 / 2m \ a2 a J
Если мы произведем усреднение A1.6) по скоростям vq
с функцией распределения
в качестве весового множителя, то получим скорость роста кине-
кинетической энергии частиц. Функция распределения нормирована:
оо
I f(vo)dvo = -\g(a)da= 1.
— ОО
Интеграл от второго члена в правой части A1.6)
- g(a)t cos at da = - \ g f - J cosxdx (П-7)
стремится к нулю при t —> оо. Интеграл от третьего члена A1.6)
принимает вид
()d A1.8)
Функцию д(а) можно рассматривать как сумму четной и нечет-
нечетной функций. Четная функция не дает вклада в интеграл. Вклад
нечетной функции стремится к нулю, когда t —> оо, если д(а)
непрерывна при а = 0. Следовательно, остается только вклад
первого члена в A1.6), и мы получаем
d mv2\ uq2E2ri f g(a)sinat , /11 m
dt 2 / z v 2mk J or
где Р обозначает главное значение интеграла в смысле Коши.
Основной вклад в интеграл дает окрестность а = 0, так что д(а)
может быть разложена вблизи а = 0:
7*

196
Гл. 11. Затухание Ландау и циклотронный резонанс
Так как sin at/a2 — четная функция, только второй член этого
разложения дает вклад в интеграл, и для больших t
d mv2
ЩЦ
Г g'(O)si
J «
2m\k\
(т)(д4^) • 01-ю)
\kj \ dv0 JVn=u;/k
Если число частиц со скоростями, меньшими фазовой скорости
волны, превышает число частиц со скоростями, чуть большими
фазовой скорости волны, т. е. если vodfo/dvo < 0, группа частиц
в целом получает энергию от волны, а волна затухает. И наобо-
наоборот, когда vodfo/dvo > 0 при vq = u/k, частицы отдают энергию
волне и амплитуда волны возрастает (рис. 11.2). Этот механизм
а б
Рис. 11.2. а — затухание и б — резонансное усиление Ландау
называют затуханием Ландау [1] (а в случае vodfo/dvo > 0 —
резонансным усилением). Экспериментально существование за-
затухания Ландау для волн в бесстолкновительной плазме про-
продемонстрировали Малмберг и Уортон [2] в 1965 г. — через
двадцать лет после предсказания Ландау.
Скорость роста A1.10) кинетической энергии частиц должна
быть равна скорости затухания энергии волны. Поэтому скорость
роста 7 амплитуды поля волны G < 0 в случае затухания)
определяется равенством
d mv2
= -27W,
и инкремент 7 дается выражением
2 VW \\k\JV" dv0
где Я2 = nq2/e0m, W » 2е0Е2/4, J f(v)dv = 1.
A1.11)

§11.2. Времяпролетное затухание 197
Существует ограничение на применимость приближения,
в котором получается линейное затухание Ландау. Упрощения,
приводящие к такому затуханию, оправданы до тех пор, пока
при протекании этого явления орбиты частиц не отклоняются от
линейного решения. Время, необходимое для отклонения частиц
от линейного приближения, определяется периодом колебаний
в потенциальной яме, создаваемой электрическим полем волны
(J1 ~ еЕк/т из тиР'х = еЕ). Этот период равен
1 / т \ 1/2
c^osc \ekEJ
Условие применимости линейного приближения для затухания
Ландау состоит в том, что время затухания I/7 должно быть
меньше, чем tosc, или столкновительное время 1/исо\\ меньше,
чем TOsc-
|7Tosc|>l, A1.12)
kcollToscI > 1. A1.13)
С другой стороны, предполагалось, что частицы бесстолкнови-
тельны. Для того чтобы можно было бы воспользоваться асимп-
асимптотическим выражением интеграла-A1.9) при t —> 00, необхо-
необходимо, чтобы время до столкновения 1/Vcon было больше, чем
V^rms, где ^ ~~ Длина волны, a vTms — разброс распределения по
скоростям:
— >~. A1.14)
§ 11.2. Времяпролетное затухание
Мы уже описали свойства альфвеновских волн в холодной
плазме, где существуют компрессионная и крутильная моды
(соответственно, волны сжатия и кручения — см. примечание
к разд. 5.4). В горячей плазме компрессионная мода (волна сжа-
сжатия) переходит в магнитозвуковую, как описано в гл. 5. В низко-
низкочастотной области магнитный момент цт сохраняется, и уравне-
уравнение движения вдоль силовых линий имеет вид
dvz dB\z /11 1 гч
т-ж = ~^-ж- (ПЛ5)
Это уравнение совпадет с соответствующим уравнением для
затухания Ландау, если заменить —/хт и dB\z/dz на электри-
электрический заряд и электрическое поле, соответственно. Скорость

198 Гл. 11. Затухание Ландау и циклотронный резонанс
изменения кинетической энергии выводится аналогично и имеет
вид
dmv2\ __тг^|А:||п |2 (и>\ fdf(vo)\ (П]
Это явление называется времяпролетным (transit-time) затуха-
затуханием 1).
§ 11.3. Циклотронное затухание
Механизм циклотронного затухания отличен от механизма
затухания Ландау. Здесь электрическое поле волны перпендику-
перпендикулярно направлению магнитного поля и дрейфу частицы и уско-
ускоряет частицу перпендикулярно направлению дрейфа. Рассмотрим
простой случай, в котором тепловая энергия движения частиц,
перпендикулярного магнитному полю, равна нулю, а скорость
частиц, параллельная магнитному полю Bq = Bq% равна V.
Уравнение движения имеет вид
+ V q(E + v х *В°+ V* x Bl^ A1Л7)
Поскольку нас интересует ускорение перпендикулярно полю, по-
положим (Ei • z) = 0. Bi дается выражением Bi = (k x E)/o;.
Введем v^ = vx ± ivy, и Е± = Ех ± гЕу. Решение с начальным
условием v = 0 при t = 0 имеет вид
±__ iqE±(uj—kV)exp(ikz—iwt) 1 — exp(iujt—ikVt ± г fit)
mu uj-W±Q ' (Ц18)
m
Макроскопическое значение vi получается путем усреднения по
функции распределения /o(V):
(v±) = кеМ^" Ы) ((C++OEJ.+ t(c+ -OEjl x z), A1.19)
c± = a±-if3±i A1.20)
!) Разумеется, частицы обмениваются энергией не с магнитным, а с элек-
электрическим полем волны. При этом, хотя изменяется «продольная» энергия,
взаимодействие происходит с «поперечными» по отношению к магнитному по-
полю компонентами электрического поля Ех, Еу (см., например, Тимофеев А. В.
Физика плазмы. 2004. Т. 30. С. 795). — Примеч. ред.

оо
±_ Г
a ~ J
§11.3. Циклотронное затухание 199
~ <*»(" -W± Q)t)
—oo
oo
± = f /p(V)(l - kV/ш) sin(u; - fc7 ± fl)t
J w-fcV±fl "
—oo
При больших t
Приближения A1.19)—A1.24) оправданы, когда
OtS-. A1-25)
где Vrms = (У2I/2 есть разброс распределения по скоростям. По-
Поглощение энергии волны частицами плазмы дается выражением
+ iEy\2 + f3-\Ex-iEy\2). A1.26)
-ii it/
Рассмотрим случай электронов (J?e > 0). Как было описано
в разд. 10.2, волна N2 = Д, распространяющаяся в направлении
магнитного поля F = 0), удовлетворяет уравнению Ех + гЕу = 0,
так что поглощенная мощность равна
Когда и > 0, формула A1.24) означает, что /3 > 0. В случае
и < 0 величина /?"" близка к нулю, т. к. /о ((о? — Ое)/к) <^С 1.
Рассмотрим случай ионов (—J?i > 0). Подобным же образом
находим
Когда ш > 0, A1.24) означает /?+ > 0. В случае о; < 0 величина
/?+ близка к нулю, т. к. /0 (и + Д/Л) < 1.
Циклотронная скорость Vc определяется таким образом, что
частота волны с доплеровским сдвигом (частота волны, которую

200 Гл. И. Затухание Ландау и циклотронный резонанс
чувствует частица, движущаяся со скоростью V) равна цикло-
циклотронной частоте, т. е.
ш - kVc ± П = 0,
Соответственно частицы поглощают энергию волны, когда абсо-
абсолютное значение циклотронной скорости меньше, чем абсолют-
абсолютное значение фазовой скорости волны (±П/ш < 0) — см. A1.24).
Это явление называют циклотронным затуханием.
Рассмотрим изменение кинетической энергии частиц в случае
циклотронного затухания. Уравнение движения имеет вид
ШЖ " q(<V Х В°) = qE± + q(V X Bl)'
Так как Bj = (к х Щ/со и Ez — 0, имеем
dvz qk
так что , , ,
kzv.
«V_l / -гу ч /t kzVz\
mv±- — = g(vx . Ex) A - — )•
Тогда
d (mv2z\ _ kzvz d (mv\
Jt V~2~/ ~ ш - kzvz dt \~2~
v± + [vz — — ) = const.
\ fcz /
При анализе циклотронного затухания мы полагали, что ско-
скорость vz = V постоянна; условие справедливости линеаризован-
линеаризованной теории имеет вид [3]
k2zq2E\\uj-kzvzf <x
Мы рассмотрели случай, когда поперечная тепловая энергия
равна нулю. Если эта энергия больше, чем тепловая энергия
движения частиц вдоль магнитного поля, может возникнуть так
называемая циклотронная неустойчивость. Взаимодействие меж-
между частицами и волной будет еще обсуждаться в гл. 12 и 13
в связи с нагревом и неустойчивостями.

§ 11.4. Квазилинейная теория эволюции функции распределения 201
§ 11.4. Квазилинейная теория эволюции функции
распределения
До сих пор предполагалось, что возмущение мало, и члены
нулевого порядка не изменяются. В этом предположении ана-
анализируются уравнения, линаризованные по возмушениям. Одна-
Однако, если возмущения нарастают, то величины нулевого порядка
могут измениться, а инкремент возмущений может изменять-
изменяться из-за эволюции величин нулевого порядка. В конце концов
возмущения насыщаются (инкремент обращается в нуль) и пе-
переходят в стационарные. Рассмотрим простой случай с В = 0
и одномерным электростатическим возмущением (Bi =0). Ионы
распределены однородно. Тогда функция распределения f(x,v,t)
электронов подчиняется уравнению Власова
fit (IT 777 (tl)
Разделим функцию распределения / на две части:
где /о — медленно меняющийся член нулевого порядка, a f\ —
осциллирующий член первого порядка. Предполагается, что про-
производная по времени /о имеет второй порядок малости. Если
A1.28) подставить в A1.27), получаем, что первый и второй
члены удовлетворяют следующим уравнениям:
df\ df\_ _ e jpdfp ,*. 9Q4
~dt^V~fa~mtj~fo' U ' У;
dt m dv
/i и Е можно представить в виде интегралов Фурье
A1.31)
E(x,t) = —^ lEkexp(i(kx-u(k)t))dk. A1.32)
BтгI/2 J
Так как f\uE действительны, то /_& = /?, E-k = Е%, ио(—к) —
= -w*(k) (w(k) = uI(k)+i'y(k)). Подстановка A1.31), A1.32)
в A1.29) дает

202 Гл. 11. Затухание Ландау и циклотронный резонанс
Если A1.32), A1.33) подставить в A1.30), получим
fl/oM) _ /е\2 о
х —-———Ей °^ ' exp(i(kx — uj(k)t))dk ). A1.34)
uj(k)-kv dv I
Статистическое усреднение A1.34) (интегрирование по х) при-
приводит к уравнению
)
—оо
оо
= /^\2 f 7(fc)|?fc|2expB7(fcH,,
\т) J («,(*)-ЬJ + 7(*J '
Когда \ч(к)\ <С |o;r(fc)|, коэффициент диффузии в пространстве
скоростей имеет вид
Dy(v) = (-J тг [ \Ек\2 expBj(k)t) 6{ur(k) - kv)dk -
= ( —) гтl^fc|2expB7(fc)t) . A1.36)
Уравнение Пуассона
б
дает
e
бо J
и с использованением A1.33) получается дисперсионное соотно-
l + ltn\ \u(k)-kv) ~ddV = °' AL37)
В предположении |7| <^ \шТ\ (и = ouY + ij) решение A1.37) для 7
дается выражением A1.11).
Уравнение A1.35) представляет собой уравнение диффузии
в пространстве скоростей. Если функция распределения элек-

§11.4. Квазилинейная теория эволюции функции распределения 203
тронов имеет форму, показанную на рис. 11.2, б, то существует
положительная производная vdf/dv > 0 вблизи v\ = и/к. Тогда
волны нарастают вследствие усиления Ландау, и амплитуда \Ek\
увеличивается. Коэффициент диффузии DY в пространстве ско-
скоростей становится большим, и возникает аномальная диффузия
в пространстве скоростей. Положительная производная df/dv
вблизи v « v\ уменьшается, и в конце концов профиль функции
распределения вблизи v « v\ становится плоским.
Рассмотрим другой случай. Если волна возбуждается извне
(антенной) в плазме с максвелловской функцией распределения,
показанной на рис. 11.2, а, коэффициент диффузии Dv при v =
= и/к увеличивается. Функция распределения около v = ш/к
становится плоской, как можно видеть на рис. 16.18 из гл. 16.
Список литературы
1. Ландау Л. Д. ЖЭТФ, 1946. Т. 10. С. 574.
2.MalmbergLH., Wharton СВ., Drummond W.E. Plasma Phys. and
Controlled Nucl. Fusion Research (Conf. Proceedings, Culham, 1965).
IAEA, Vienna. 1966. V. 1. P. 485.
3. Stix Т.Н. The Theory of Plasma Waves. - N. Y.: McGraw-Hill, 1962
(русский перевод: Стикс Т. Теория плазменных волн. — М.: Атом-
издат, 1965); Stix Т.Н. Waves in Plasmas. — N. Y.: American Institute
of Physics, 1992.

Глава 12
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН И ВОЛНОВОЙ
НАГРЕВ
Нагрев в диапазоне ионной циклотронной частоты (ИЦН), нижне-
нижнегибридный нагрев (НГН), электронный циклотронный нагрев (ЭЦН)
и другие виды нагрева плазмы активно исследуются в настоящее
время. Как правило, мощные источники высокочастотных волн создать
легче, чем источники пучков для нагрева инжекцией нейтральных пуч-
пучков (ИНП). Важно также, что хотя механизм нагрева с помощью ИНП
легко объясняется классическим процессом кулоновских столкновений
(см. разд. 2.6), а физические процессы при волновом нагреве сложны,
взаимодействие волн и плазмы обладает большим разнообразием, так
что возможны его различные применения в зависимости от развития
систем нагрева.
Волны возбуждаются в плазме антеннами или волноводами, распо-
расположенными вне плазмы. Если электрическое поле возбуждаемой вол-
волны параллельно удерживающему плазму магнитному полю, электроны
могут двигаться вдоль магнитного поля и нейтрализовать электриче-
электрическое поле. Но если при этом частота волны превышает электронную
плазменную частоту, электроны не успевают отслеживать изменения
электрического поля, и волна распространяется в плазме. Если же
электрическое поле возбуждаемой волны перпендикулярно магнитному
полю, электроны движутся в направлении Е х В (при условии и < i?e)
и, таким образом, они не могут скомпенсировать электрическое поле.
В этом случае волна может распространяться в плазме, даже если
ее частота меньше плазменной. Возбуждение состоит в накачке высо-
высокочастотной электромагнитной волны в плазме посредством системы
связи между генерирующим устройством и плазмой. Если структура
системы связи имеет такой же период, как собственная мода, вол-
волна будет возбуждаться резонансным образом. За исключением такого
резонансного возбуждения эффективность возбуждения волны как
правило невысока.
Нейтральные пучки и электронные циклотронные волны могут
быть запущены из вакуума; они проникают в плазму без ослабления
или иного взаимодействия с поверхностью плазмы. При этом возбужда-
возбуждающие структуры не обязаны располагаться вблизи плазмы и обладают
тем преимуществом, что не подвергаются тепловым нагрузкам и эрозии
под действием плазмы.

§ 12.1. Поток энергии 205
В некоторых случаях возбуждаемые волны могут распространяться
и проходить через центральную часть плазмы без затухания (не приво-
приводя к нагреву), они могут преломляться и в результате возвращаться во
внешнюю область, не проходя через центр плазмы, они могут, наконец,
отразиться от зоны отсечки (см. рис. 12.1). Волна может трансформи-
трансформироваться в другой тип волны (явление трансформации мод).
Рис. 12.1. Прохождение, рефракция и отражение, поглощение вблизи границы
и поглощение внутри плазмы
Распространяясь в плазме, волны затухают и поглощаются там,
где происходит затухание Ландау или циклотронное затухание, тем
самым они нагревают плазму. Таким образом, для нагрева центральной
части объема плазмы волны должны проникнуть в нее без поглощения
и поглотиться, лишь достигнув центральной части плазмы {волновой
нагрев).
§ 12.1. Поток энергии
Перенос энергии и распространение волн в плазменной среде
очень важны для волнового нагрева плазмы. Уравнение для по-
потока энергии получается, если взять разность между скалярным
произведением Н на A0.15) и скалярным произведением Е на
A016): яп яп
V-(ExH) + E-^ + H.| = 0. A2.1)
Вектор РеЕхН называется вектором Пойнтинга и пред-
представляет собой плотность потока энергии электромагнитного по-
поля. Уравнение Пойнтинга (в форме A2.1)) не учитывает дей-
действия электрического сопротивления, возникающего в результате
электрон-ионных столкновений.
Плазма — среда, обладающая дисперсией, и тензор ди-
диэлектрической проницаемости зависит от волнового вектора
к и частоты и. Обозначим символами Ew(r,?) и Dw(r,?)
фурье-компоненты Е(г,?) и D(r,t) соответственно:
7^2
Bтг)

206 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
Еш =
Е(г, *) ехр(-г(к • г - ut)) dr dt.
J
Bтт)
Между ними существует соотношение
так что
D(r,t) = -^бо [к(к,о;)
Bтг) J
|Ea;(k
J
Е(г,<) Ц
Из определения интеграла Фурье получается уравнение
D(r, t) = б0 [ К(г - г;, t - tO • E(r;, t;) dvf dtf,
где К(г, t) определяется формулой
K(r, t) = --^4 [ K(k, и) ехр(-г(к • г - out)) dkdu.
Bтг) J
Анализ электромагнитных полей общего вида в диспергирующей
среде не прост. Однако если электрическое поле содержит фурье-
компоненты из узкого интервала (к, о;) и К слабо изменяется
при изменении к, о;, то мы можем использовать соотношение
Далее мы будем рассматривать именно этот простой случай.
Связь между магнитной индукцией В и напряженностью маг-
магнитного поля Н в плазме имеет вид
В = /i0H.
Квазипериодические функции А, В можно записать в форме
А = Ао ехр I -г (ujr + iu\)di/ I = Ао exp(—i</>T + ф\)9
\ -с
-оо
t
В = 50ехр I —г (шг + iu\)d? 1 = Воехр(^фг + ф[),

§ 12.1. Поток энергии 207
где ф{ и fa действительны. Усредненное произведение АВ дей-
действительных частей Аи В определяется формулой
JB = ^ • g (D) ехр(-»& + fa) + ^45 ехр(гфТ + fa)) x
х (Воехр(-1фг + fa) + Bqexp(#r + fa)))
= l-(AoB*0 + A*0B0) expB0i) = i Re (ЛВ*). A2.2)
Усреднение уравнения Пойнтинга дает
= 0, A2.3)
UL
t
P = ;A-Re(Eo хВо)ехр2 \ widtf, A2.4)
Mo
— + 60(-го;)Е* • К
Из соотношений
+ ^ (WiRe(E* • К • E) + u>rIm(E* • К • E)). A2.5)
2
E-K* -E* =
i
находим
K + ^ >
Re(E* • К • E) = E* • K + ^ > ¦ E,
КЕ) = ЕЕ.
Здесь (KT)* — комплексное сопряжение матрицы Кт, полу-
полученной транспонированием К (строки и столбцы меняются ме-
местами), т. е. Kjj — Kji. Если матрица М оказывается равной
(Мт)*, то такая матрица называется эрмитовой матрицей. Для

208 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
эрмитовой матрицы (Е* • М • Е) всегда действительно. Диэлек-
Диэлектрический тензор может быть разложен следующим образом:
К(к, ш) = Кн(к, и) + iKi(k, и).
Как показано в разд. 12.3, Кн и Kj эрмитовы, если к, и дей-
действительны. Будет доказано также, что член iKi соответствует
затуханию Ландау и циклотронному затуханию. Если мнимая
часть оо гораздо меньше, чем действительная часть (и = шг + гш-и
\ш[\ <С \шТ\), мы можем написать
K(k,u;r + Ш[) ^KH(k,u;r) + щ^— KH(k,cc;r) +iK\(k,ur)-
Обозначим эрмитову компоненту W (член, связанный с
в W) как Wo- Эта величина определяется выражением
а A2.3), A2.5) дают
ф • Ki • Ео - V ¦ Р. A2.7)
Первый член в A2.6) представляет собой плотность энергии маг-
магнитного поля, а второй член — плотность энергии электрического
поля вместе с кинетической энергией когерентного движения
частиц в волне. Уравнение A2.6) определяет плотность энергии
волны в диспергирующей среде. Первый член в правой части
A2.7) описывает затухание Ландау и циклотронное затухание,
а второй член представляет собой дивергенцию потока энергии
волны.
Рассмотрим скорость волнового пакета
оо
F(r,t)= [ /(k)expt(k-r-w(k)t)dk A2.8)
— ОО
с заданным дисперсионным соотношением
и = и (к).
Если /(к) изменяется слабо, положение максимума F(r,t) есть
точка стационарной фазы
^ 0 (i = x,y,z)

§ 12.2. Приближение геометрической оптики
209
(см. рис. 12.2). Следовательно, скорость перемещения максимума
имеет вид
х _ дсо(к) у _ дш(к) z _ ди{к)\
t дкх ' t
дку
t dkz Г
или
ди ди duj
дкх' дку ' dkz
A2.9)
Эта скорость называется групповой скоростью и представляет
собой скорость потока энергии.
F(x,t)
:^ ^ №
f(k) = cos(kx - oj(k)t)
Рис. 12.2. F(x,t) и f(k)cos(kx-uj(k)t)
§ 12.2. Приближение геометрической оптики
Когда длина волны в плазме гораздо меньше, чем ха-
характерная длина (обычно малый радиус а), можно использо-
использовать ВКБ приближение (приближение геометрической оптики).
Пусть дисперсионное соотношение имеет вид ?>(k,cj,r, t) —0.
Направление потока энергии задается групповой скоростью
vg = ди/дк = (ди/дкХ1 дш/дку,ди/дкг), так что оптический
луч может быть задан уравнением dr/dt = vg. Хотя величины
(к, и;) изменяются в соответствии с изменением г, они всегда
удовлетворяют уравнению D = 0. Оптический луч может быть
задан уравнениями
Л- ЯП Л1, ^П
A2.10)
A2.11)
Здесь s — длина вдоль оптического луча. Вдоль луча изменение
SD обращается в нуль
sn dD _ dD . dD . dD .. _ /1O 1O4
dD= -~--dk+-^--du + -^--dr+^r-ot = O, A2.12)
dr
ds~
dt
ds
dD
~ dk'
dD
duj'
dk _
ds
du
~ds ~
dD
~dr
dD
dt

210 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
и выполняется равенство D(k, о;, г, t) — 0. Уравнения A2.10),
A2.11) сводятся к
dx _ dr_ /ИХ _ _dD_ (dD\~X __ (ди\ _
~dt~~ds \ds) " Ж \дп) " vak/pft=const ~ Vg*
Уравнения A2.10) имеют тот же вид, что уравнения движения
с гамильтонианом D. Если D не зависит явно от ?, уравнение
D = const = 0 соответствует закону сохранения энергии. Если
свойства плазменной среды не зависят от z, равенство kz =const
соответствует закону сохранения количества движения, и анало-
аналогично закону Снеллиуса в оптике Щ = const.
Если к = кг + гк\ представляет решение D = 0 при заданном
действительном и и выполнено условие |ki| <?C |кг|, имеем
uj) = 0.
Далее это приводит к уравнениям
ReD(kr,o;) = 0,
, dReD(kT,w) T _,. , ,1О .
ki ^ ^ = -ImD(kr,w). A2.13)
Тогда для интенсивности волны /(г) получаем
/(г) = 1(го)ехр (-2 jk,dr) , A2.14)
где d/ — элемент длины вдоль оптического луча. Поглощение
волны можно определить из A2.14) и A2.15), проследив за
достаточно большим числом оптических лучей. Приближение
геометрической оптики позволяет определить среднюю интенсив-
интенсивность волны с пространственным разрешением, скажем, в две
или три длины волны.
§ 12.3. Тензор диэлектрической проницаемости,
поглощение волн и нагрев
В процессах поглощения волн горячей плазмой основную
роль играет затухание Ландау или циклотронное затухание, как
говорилось в гл.11. Поглощение происходит благодаря взаи-

§ 12.3. Тензор диэлектрической проницаемости 211
модействию между волной и так называемыми резонансными
частицами, удовлетворяющими условию
w - kzvz -пП = 0. п = 0, ±1, ±2,...
В системе координат, движущейся с этой скоростью, электриче-
электрическое поле статическое (и = 0) или имеет частоту циклотронной
гармоники (и = nil). Случай п = 0 соответствует затуханию
Ландау, случай п = 1 отвечает электронному циклотронному за-
затуханию, а случай п = — 1 — ионному циклотронному затуханию
(предполагается и > 0).
Хотя во многих случаях процессы нагрева сопровождаются
нелинейными и стохастическими процессами, эксперименталь-
экспериментальные результаты волнового нагрева или поглощения волн обычно
могут быть хорошо описаны линейной или квазилинейной тео-
теорией. Основой линейной теории является дисперсионное соотно-
соотношение с диэлектрическим тензором К плазмы конечной темпе-
температуры. Поглощенная в единице объема плазмы мощность РаЬ
дается первым членом в правой части A2.7)
РаЬ = иг (€Л) Е* • Кт • Е.
Так как, как будет показано позже в этом разделе, Кн, Ki —
эрмитовы матрицы при действительных к, ш поглощенная мощ-
мощность РаЬ определяется выражением
РаЬ = шТ (|) Re (Е* • (-г)К • Е)Ш=Ш{. A2.16)
Как ясно из выражения A2.19) для К, поглощенная мощность
РаЬ выражается в виде
РаЬ = шЦ (\Ex\2lmKxx + \Ey\2ImKyy + \Ez\2ImKzz +
+ 2Im(E*Ey) ReKxy + 2lm(E;Ez) ReKyz+
A2.17)
Так как из A0.3) следует j = — ш? = —z6qo;(K — I) • Е, величина
A2.16) может быть записана как
Re(Ej)^r. A2.18)
Процедура вывода диэлектрического тензора К для плазмы
с конечной температурой описана в Приложении С. Если плазма
би-максвелловская,
= noF±(v±)Fz(vz),

212
Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
F±(v±) = —— exp -
т I mv2± \
2kT±J'
m(vz - Vf
диэлектрический тензор К дается формулой
, A2.19)
т{Гп-1п)
Ъ + 2ЪIп-2Ы'п
a
где
ехР(-/32)
A2.20)
— модифицированная функция Бесселя n-го порядка,
и> + nQ , и> — kzV + nil
2
m
Элементы матрицы L равны нулю за исключением Lzz — 1.
Если плазма изотропная и максвелловская (Tz = Т±)у а V =
— 0, то г\п — (п, а Лт = 1, и A2.19) сводится к
о;2
оо
A2.21)
называется плазменной дисперсионной функцией. Если
мнимая часть Imu; частоты ио по величине меньше, чем действи-

§ 12.3. Тензор диэлектрической проницаемости
213
тельная часть Re о; (|Imo;| < |Rea;|), мнимая часть плазменной
дисперсионной функции имеет вид
Действительная часть ReZ(x) (x действительно) показана на
рис. 12.3. Действительная часть Z(x) равна
8Т*
imz
1,6
1,2
0,8
0,4
0
Д
- \
12 3 4
X
Rez
Рис. 12.3. Действительная ReZ и мнимая Im Z часть функции Z(x)
ReZ(x) = -2x(l - B/3)х2 + ...)
в случае х <С 1 (случай горячей плазмы) и
l 2 + C/4)аГ4
в случае х » 1 (случай холодной плазмы) [1, 2, 3]. Мнимая часть
Z(Q содержит слагаемые, связанные с затуханием Ландау и с
циклотронным затуханием, как показано ниже в этом разделе.
При Г —> 0, т. е. (п —? ±оо, Ь —> 0, диэлектрический тензор
горячей плазмы сводится к диэлектрическому тензору A0.9)-
A0.13) холодной плазмы.
В случае Ъ — (кхрпJ <С 1 (рп = vt±/& — ларморовский
радиус) можно разложить е~6Хп по 6, используя
21
)! Ч2У
Разложение по b и учет членов вплоть до второй гармоники в К
дает

214 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
ж2
з
2
^) Со
, A2.22)

§ 12.3. Тензор диэлектрической проницаемости 215
где
Если х»1, выражение для ReW(x) имеет вид
ReW(x) = A/2)аГ2A + C/2)х + •••)•
Мощность, поглощенная благодаря затуханию Ландау (включая
времяпролетное затухание), может быть получена из слагаемых,
связанных с мнимой частью Go величины СоЖСо) в выражениях
A2.22) для Kij9
Go ее ImCo^(Co) = ^тг1/2Соехр(-Со2).
\Kz\
Так как
вклад этих членов в поглощенную мощность A2.17) принимает
вид
х (|) (\Ey\2b + b+\Ez\2$ + Im(E*yEz)Bb)l%y A2.23)
Первое слагаемое представляет собой времяпролетное затухание
и равно A1.16). Второе слагаемое соответствует затуханию Лан-
Дау и эквивалентно A1.10). Третье слагаемое представляет собой
интерференцию обоих эффектов.
Мощность, поглощаемая благодаря циклотронному затуха-
затуханию и затуханию на гармониках циклотронной частоты, получа-
получается из вклада членов
G±n = iV

216 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
и в случае Ь <С 1
/Я \2
AтКхх)±п = {\шКуу)±п = \-j-j G±nan,
(ImKzz)±n = {^
(ReKxy)±n = - (^)G±n(±an),
(ReKyz)±n = - (^
(ImKxz)±n = - (^
Вклад этих слагаемых в поглощенную мощность A2.17) оказы-
оказывается равным
Р±п = ы (^) Gn (|) ап\Ех ± iEy\\ A2.24)
Так как
С„ = (w
член +п преобладает при ионном циклотронном затухании
(и) > 0). Член — п преобладает при электронном циклотронном
затухании (ш > 0), поскольку
Отношение компонент Е можно найти из следующих уравне-
уравнений:
(Кхх - N\)EX + КхуЕу + (Kxz + N±N{l)Ez = 0,
-КхуЕх + (Куу - Nf - Nl)Ey + KyzEz = 0, A2.25)
(Kxz + N±N\\)EX - KyzEy + (Kzz - N\)EZ = 0.
Для холодной плазмы можно в A2.25) подставить Кхх —> К±>
Куу -¦ К±, Kzz -* Щ, Кху^ -гКХу Kxz -> 0, Kyz -+ 0, и со-
соотношение компонент принимает вид Ех : Еу : Ez = (К_\_ — N2)
х(Щ - N\) : -|^(^ц - Nl) : -ЩМ±(К± - N2).
Чтобы найти величину электрического поля, нужно решить
уравнения Максвелла с диэлектрическим тензором A2.19), в ко-
котором плотность, температура и магнитное поле являются функ-

§ 12.4. Ионный циклотронный нагрев 217
циями координат. Для аналитического решения нужно исполь-
использовать упрощенные модели; в противном случае необходимы
численные расчеты для определения волновых полей.
§ 12.4. Ионный циклотронный нагрев
Дисперсионное соотношение для волн в диапазоне ионных
циклотронных частот (ИЦН) получается из A0.64):
i-(!!LYY+4(!±Y(»y ^
k±vA/
Знак плюс соответствует медленной волне (L-волна, ионная цик-
циклотронная волна), а знак минус соответствует быстрой волне
(R-волна, необыкновенная волна). При 1 — u2/f22 <C 2(u>/k±vxJ
дисперсионное соотношение приобретает вид
для медленной волны и
для быстрой волны. Поскольку возбуждаемые извне волны
обычно имеют волновые числа в диапазоне 0 < к2 < A/аJ,
к\ > (тг/аJ, существуют ограничения
ш2
для медленной волны и
л/L > (i\2
2v\ \ а )
п20а2 > 0,5 • 10
A/Z2

218 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
для быстрой волны [4]. Здесь П20 — плотность ионов в единицах
1020 м~3, а — радиус плазмы в метрах, а А — атомный номер.
Ионная циклотронная волна (медленная волна) может быть
возбуждена с помощью катушек Стикса [1]. Она способна рас-
распространяться (и давать нагрев) в плазме низкой плотности. Но
она не может распространяться в плазме высокой плотности,
такой как в токамаках.
Быстрая волна представляет собой в этом частотном диапа-
диапазоне необыкновенную волну и может быть возбуждена кольце-
кольцевой антенной, которая генерирует высокочастотное электриче-
электрическое поле, перпендикулярное магнитному (см. разд. 10.2). Быст-
Быстрая волна может распространяться в плазме высокой плотности.
В приближении холодной плазмы, для быстрой волны в плазме
с одним сортом ионов Ех + %ЕУ = 0 при oj = |4?i|, так что она
не поглощается на циклотронном затухании. Однако электри-
электрическое поле быстрой волны в плазме с двумя сортами ионов
Ех + гЕу ф 0, так что быстрая волна может поглощаться, т. е.
в этом случае быстрая волна может нагревать ионы.
Рассмотрим нагрев плазмы с двумя сортами ионов, Мит,
быстрой волной. Массу, зарядовое число и плотность ионов М и
m обозначим как гам, Дм, ^м и ram, Zm, nm, соответственно.
При использовании обозначений
2 Z2mnm
имеем г/м/^м + W^m = 1, т. к. пе = ^мпм + Zmnm. Поскольку
для ИЦ-волны (Пе/и>J 3> 1, дисперсионное соотношение в при-
приближении холодной плазмы A0.20) принимает вид
2_(R-Nl)(L
п _ _Пл_ /(%/mm)im^ ,
2\ + |Д|
и2 \ w-|An| w-|fl| |Я
{
П
? =

§ 12.4. Ионный циклотронный нагрев
219
Таким образом, имеется ион-ионный гибридный резонанс при
К± - N2 = О, т. е.
ш N2 ~ О
^м
__ J?m _
На рис, 12.4 показан слой ион-ионного гибридного резонанса
центр
токамака
Рис. 12.4. Линия L-отсечки (L = iV|), линия R-отсечки (R = JV|) и линия ион-
ионного гибридного резонанса (К± = Щ) для ИЦ-волны в токамаке с двумя
ионными компонентами D+, H+. В заштрихованной области N± < О
(К± — Nn = 0), слой L-отсечки (L — N$ = 0) и слой R-отсечки
(R - Nn = 0) в плазме токамака с двумя сортами ионов D+ (ион
М) и Н+ (ион т). Так как компонента Kzz диэлектрического тен-
тензора гораздо больше остальных компонент даже в горячей плаз-
плазме, дисперсионное соотношение горячей плазмы имеет вид [5]
Кхх -
К
Xy
Кху
К -N2-
J\yy — iV|| —
Используя соотношение Kyy =
лучаем
+
=Oi
, \&КУУ\
|, по-

по220 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
н2^(Кхх-Щ)(Кхх + АКуу
КТХ —
(Кхх + гКху - Щ){КХХ - гКху - Щ)
Если ш2 близко к и\я, величина Кхх дается выражением
n
Резонансное условие имеет вид Кхх = Nn. Величина Z(Ci)> кото-
которая появляется в дисперсионном уравнении, оказывается конеч-
конечной, и 0 > Z((\) > —1,08. Для достижения резонанса необходимо
условие
2 m
Тут видно отличие от случая холодной плазмы (отметим разницу
между Кхх и К±).
Из дисперсионного уравнения A2.26) можно получить, что
при rjm ^ 7/сг в резонансном слое происходит конверсия мод [5]
из быстрой волны в ионную бернштейновскую. Когда слой
L-отсечки и слой ион-ионного гибридного резонанса располо-
расположены близко друг к другу, как показано на рис. 12.4, быстрая
волна, распространяясь с внешней стороны тора, частично про-
проникает сквозь слой L-отсечки вследствие туннельного эффекта
и трансформируется в ионную бернштейновскую волну. После
трансформации волна поглощается благодаря ионному цикло-
циклотронному затуханию или затуханию Ландау. Теория трансфор-
трансформации мод изложена в гл. 10 книги Стикса [1]. Эксперименты
по ионному циклотронному нагреву, связанные с данной темой,
были проведены на установке TFR.
При 77т < 77сг условие К± = JV| не может быть удовлетво-
удовлетворено, и ион-ионный гибридный резонанс исчезает. В этом слу-
случае быстрая волна, возбуждаемая петлевой антенной снаружи
тора, может пройти сквозь область R-отсечки (благодаря то-
тому, что ее ширина мала), затем отражается от слоя L-отсечки
и оказывается запертой в области, окруженной слоями R = N»
и L = Nu. В этой области находится слой, где удовлетворяется
равенство и = |i?m|, и ионы т, составляющие меньшую часть
плазмы, нагреваются за счет ионного циклотронного затуха-
затухания на основной гармонике. Ионы М, составляющие большую

§ 12.5. Нижнегибридный нагрев 221
часть ионов плазмы, нагреваются кулоновскими столкновениями
с ионами т. Если масса ионов М в / раз больше массы ионов
т, ионы М также нагреваются из-за ионного циклотронного
затухания на /-той гармонике циклотронной частоты. Экспери-
Эксперимент подобного типа был проведен на установке PLT и показал
хорошую эффективность нагрева. Такой нагрев обычно называют
нагревом на малой добавке. Мощность, поглощаемая при за-
затухании Ландау Рео в единичном объеме, определяется A2.23),
и она не мала только в случае Со ^ 1- В этом случае имеем
Еу/Ех « Kzz/Kyz к 2Со2/B1/2Ь1/2Со(-г)) и для Ре0 получаем [6]
A2.27)
Мощность, поглощаемая за счет ионного циклотронного за-
затухания на n-ной гармонике ионной циклотронной частоты Рхп,
получается из A2.24) в следующем виде:
- A2-28)
Мощность, поглощаемая благодаря циклотронному поглоще-
поглощению на второй гармонике, пропорциональна величине парамет-
параметра бета плазмы. Чтобы рассчитать поглощаемую мощность по
A2.27) и A2.28), нам необходимы пространственные распреде-
распределения Ех и Еу. Они могут быть рассчитаны для простой модели
плоскослоистой плазмы [7].
В диапазоне высших гармоник ионной циклотронной частоты
(и ~ 2i?i,3J?i) было изучено прямое возбуждение ионной берн-
штейновской. волны внешней антенной и волноводом, генериру-
генерирующими высокочастотное поле электрическое поле, параллельное
внешнему магнитному полю [8].
§ 12.5. Нижнегибридный нагрев
Так как в плазме токамака |Д| <С Щ (пе ^ 1013см~3), выра-
выражение для квадрата частоты нижнегибридного резонанса прини-
принимает вид
ш =
П? + Q? П?
Zrn,/m{

222 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
причем выполняются соотношения i7e 3> иои\ 3> |Д|, П?/П% =
= |i?i|/,!?e- Для заданной частоты ои нижнегибридный резонанс
ой = оиш происходит там, где электронная плотность удовлетво-
удовлетворяет условию
1СО = Г) П —
Если дисперсионное уравнение A0.20) холодной плазмы разре-
разрешить относительно Nj_, используя N2 = JV,? + Nj_, то
N2 -
1 ~ 2К±
1/2
±
Щ
где К± = К± - N?i. Соотношения h(x) = П\ (ж)/Яг2е8,
= 1 - h(x), Kx = ph{x)Q,/u, Щ = \- Cnh(x), /?п = n?Ju2 ~
~ 0(mj/rae), o; = II2es/(uf2e) ~ (^(mj/meI/2 и /?n/i > 1 позволя-
позволяют привести его к виду
- A - h + ph)J - 4A - fc)ph]1/2^). A2.29)
Медленная волна соответствует знаку плюс в A2.29). Для то-
того чтобы медленная волна проникла через периферию плазмы
с низкой плотностью (h <C 1) в центр объема плазмы, где плот-
плотность велика (П% = Яг2е8, h = 1), величина N±(x) должна быть
действительной. Следовательно, необходимо, чтобы выполнялось
условие
Правая часть этого неравенства имеет максимум, равный A +
+ р)*/2 в интервале 0 < h < 1, поэтому условие достижимости
нижнегибридной волной резонансной области принимает вид
JVf>JVfcr = l+p=l + ^. A2.30)

§ 12.5. Нижнегибридный нагрев
223
Если это условие не выполне-
выполнено, возбуждаемая извне медлен-
медленная волна проникает в область, где
квадратный корень в A2.29) обра-
обращается в нуль, и трансформируется
там в быструю волну. Затем быст-
быстрая волна возвращается в область
низкой плотности (рис. 12.5). Мед-
Медленная волна, удовлетворяющая
условию проникновения, может до-
достичь резонансной области, и N±
может стать большим, поэтому для
исследования поведения этой вол-
волны нужно использовать диспер-
дисперсионное соотношение для горя-
горячей плазмы. Вблизи области ниж-
нижнегибридного резонанса примени-
применимо приближение электростатиче-
электростатической волны, см. A3.1) или (С.36).
Так как |Д| «С и <С Д>, вклады
ионов и электронов описываются
уравнениями A3.3) и A3.4), соот-
соответственно, т. е.
1 , J--1* Wle /л , т — h
0,05-
0,1 0,2
h(x) = n(x)/nres
Рис. 12.5. Траектория нижнеги-
нижнегибридной волны на диаграмме
Ni-h(x)(= П2е(х)/П1) для
случая р = 0,353, АГ2СГ = 1 +
4- р = 1,353. Это отвечает слу-
случаю Н+ плазмы в поле В — 3 Т
и / = о?/2тг= 109 Гц. Элек-
Электронная плотность при значе-
значении параметра /?п = 7,06 • 103
(= П?е5/и>2) равна nres = 0,31 х
м"
х 1020 --3
= 0,
где Со = WB1/2^Te), а С = /(
как 10е-ь « 1 - Ъ + C/4)Ь2, Со >
» —A/2)С~2 - C/4)С, имеем
к1± ЗП1кЪ\ 4_
+ 4 ^ ; х
Так
) /p)
1, С > 1, 1 + СЖС)
т,
1
4 ^ те
Используя обозначения р\ = vn/|!?i| и
получаем
о2 4 Г( |ед
р +4 7Й
Р
7^к7] ЗЛ^кТ;\ _ Л? те
4 mi 4 ft4 те У w2 mi
П? me VjiS

224 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
1 l-hll?
П\ и2] 1+р h и;2'
Теперь A2.31) можно представить в безразмерном виде
l/7 \2 п /1лоп\
?(^J = 0. A2.32)
Это дисперсионное уравнение имеет два решения. Одно соответ-
соответствует медленной волне в холодной плазме, а другое — плазмен-
плазменной волне в горячей плазме. Медленная волна трансформируется
в плазменную волну в месте, где A2.31) или A2.32) имеет
равные корни [9, 10, 11]. Условие обращения дискриминанта
в нуль имеет вид \/h = 1 + 2kzpi(l + p)s и
П2е(х) = njc _ у
Соответственно, трансформация мод происходит в месте выпол-
выполнения условия
и?
с 1Те 4
\
а величина fc^pf в этом месте становится равной
Если электронная температура в центре плазмы достаточно
высока, чтобы удовлетворить условию г>те > (l/3)c/iV||, волна
поглощается электронами вследствие затухания Ландау.
После трансформации мод величина N± возрастает, так что
величина c/N± становится сравнимой с ионной тепловой скоро-
скоростью (c/N± ~ vj[). Так как и » |Д|, магнитное поле не ока-
оказывает влияния на движение ионов на временных масштабах
порядка о;. Поэтому волна с фазовой скоростью c/N погло-
поглощается ионами за счет ионного затухания Ландау. Когда ско-
скорость ионов V[ больше, чем c/N± (v[ > c/Nj_), ионы ускоряются
или замедляются в моменты времени, определяемые условием
^icos(i?it) « c/iVj_, и подвергаются стохастическому нагреву.
Пусть волна возбуждается набором волноводов, показан-
показанным на рис. 12.6, с соответствующей разностью фаз для обес-
обеспечения необходимого параллельного показателя преломления
Щ = kzc/u — 2ttc/(\z(jj). В области низкой плотности у границы
плазмы компонента электрического поля, параллельная магнит-

§ 12.6. Электронный циклотронный нагрев
225
ному полю, у медленной волны больше, чем у быстрой. Поэтому
направление волноводов выбрано так, чтобы возбуждать элек-
электрическое поле, параллельное силовым линиям магнитного поля.
Связь волн с плазмой подробно обсуждается в [12], а обзор
экспериментов по НГН есть в книге [13].
Для генерации тока нижнегибридной волной нужно выпол-
выполнить условие проникновения A2.30) при с/Щ 3> vje. При элек-
электронной температуре к,Те ~ Ю кэВ отношение vje/c равно ~ 1/7.
Даже если Щ выбрано меньшим, чем нужно для выполнения
A2.30), волна подвержена поглощению на электронах уже во
внешней части плазмы, и нельзя ожидать, что она сможет про-
проникнуть в центральную часть плазмы.
Когда величина Щ выбрана такой, что Щ ~ A/3)(с/г>те)>
можно ожидать нагрева электронов, что и наблюдалось экспери-
экспериментально. В условиях, когда происходит конверсия мод, можно
ожидать нагрева ионов. Однако экспериментальные результаты
не столь прозрачны, как при электронном нагреве.
§ 12.6. Электронный циклотронный нагрев
Дисперсионное соотношение для волн в диапазоне электрон-
электронных циклотронных частот в холодной плазме дается уравнением
A0.79). Знаки плюс и минус в A0.79) относятся к обыкновен-
обыкновенной и необыкновенной волнам, соответственно. Обыкновенная
волна может распространяться, только ко-
когда и2 > i7g, как это ясно из A0.86) (в
случае в = тг/2). Эту волну можно воз-
возбудить набором волноводов, подобным то-
тому, что используется для нижнегибрид-
нижнегибридных волн (рис. 12.6) и излучает электри-
электрическое поле, параллельное внешнему маг-
магнитному полю. Фаза каждого волновода
выбирается таким образом, чтобы обес-
обеспечить соответствующую величину па-
параллельного показателя преломления Щ
= kzc/u>= 2ttc/(uXz).
Дисперсионное соотношение для необыкновенной волны да-
дается A0.87). При 9 = тг/2 оно задается A0.52). Необходимо,
чтобы неравенства ujfjH > J1 > а;?, ^lh оставались верными. Как
видно из диаграммы СМА на рис. 10.5, необыкновенная волна
может проникнуть в центр плазмы со стороны большего поля
(см. рис. 12.7), но не может со стороны меньшего поля из-за
8 Миямото К.
Рис. 12.6. Набор волно-
волноводов для возбуждения
нижнегибридной (мед-
ленной)волны

226
Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
Рис. 12.7. Положения электронного циклотронного резонанса (и = Qe)> верхне-
верхнего гибридного резонанса (и = иш) и R-отсечки {и = ur) в случае До > Яео,
где До и 77ео — электронная циклотронная резонансная частота и плазменная
частота в центре плазмы, соответственно (левый рисунок). Правый рисунок —
диаграмма СМА в области электронной циклотронной частоты
отсечки и = u;r. Необыкновенную волну можно возбудить волно-
волноводом, который излучает электрическое поле, перпендикулярное
внешнему магнитному полю (см. разд. 10.2а).
Вклад ионов в диэлектрический тензор пренебрежимо мал.
Когда для электронов выполняются соотношения b <С 1, Со ^ 1»
диэлектрический тензор горячей плазмы имеет вид
Кхх = Kyy =
Кху = -i
yy
Kxz =
Kzz=l-X
Kyz = i
Xxz « Xyz « 2-1/2ХУ^СоA + C-i^-i),
с
uj-Q»
wr
N± =
k±c
Уравнения Максвелла можно записать как
(Кхх - N$)EX + КхуЕу + М(ЛГ„ + Xxz)Ez = 0,
-КхуЕх + (Куу - JVf - N\)Ey + »JV±x»s^ = 0,
ЫЩ + Xxz)Ex - iN±XyzEy + (l-X-Nl(l- Xzz))Ez = 0.
Решением являются выражения
Ех _ гМ2±Ххг(Щ + xxz) + Kxy(l -X-Nj(l -Xx,))
NL(iXxz(Kxx - Nf) + Кху(Щ +

§ 12.6. Электронный циклотронный нагрев 227
Еу _ NJ(Nl{ + Xxzf - (Кхх - АГ|)A - X - N1A - х„))
Ez N±(iXxz(Kxx - Nf) + Кху(Щ + Xxz))
Мощность, поглощаемая единицей объема Р-\, определяется из
A2.24) следующим образом:
Р., =
Если и = J?e, то С-1 = 0, Z_i = гтг1/2, Кхх = 1 + ih, Kxy = h,
Xyz = Xxz = 2l/2X(vTe/c)Co = Х/BЩ)9 Xzz = 0, h = тг1 ^
Диэлектрический тензор К приобретает вид
" 1 Ч- г/г, h N±Xxz'
-h l+ih iN±Xxz
Для обыкновенной волны (О-волна) имеем
Ех - iEy _ 1М2±@Щ(Щ + Xxz) - »A - Щ){\ -Х- N1@))
Когда Щ <С 1 и угол падения близок к перпендикуляру, из
A0.82) следует 1-Х - N1@) = A - ХЩ. Так как Xxz =
= Х/2Щ, величина Xxz > Щ ¦ Вследствие этого
Ех - iEy _ гЛ
Ez ЩЬ + iXxz
Для необыкновенной волны (Х-волна) получаем
Ех - iEy = %№±(Х)Щ(Щ +Xxz)- г(\-Щ)(\-Х - NJ(X))
Еу . Nl(X)(Nll+XxzJ-(Kxx-Nf)(l-X-Ni(X)y
При ЛГ|| < 1 и ш = Пе из A0.83) следует 1 - X - iV|(X) и
» -1+Nfi. Так как xlz = Bк)~1/2{уъ/сЩ)Х1г < /г, предыду-
предыдущее уравнение приводится к
Ех - iEy _ -A + М2±(Х)Щ(Щ + хх,)) .. -1
Еу Н-Щ+к1(Х)(Щ+ХхгJ)~ h ¦
Мощность, поглощаемая единицей объема, при ш = Qt равна

228 Гл. 12. Распространение волн и волновой нагрев
~ ^.\f |2_2_ (ЕЛ2 (Л ^\\
~ 2 ^zl (fcr)'/HcJ \сЩ) iVf + (г,Те/сJB/7г)
для обыкновенной волны и
V/2 ПЛ~2
р
P_i() 2IVI ^ gIyl (
для необыкновенной волны [14, 15].
Так как Р(О) ос пеТе1/2/А/||, Р(Х) ос ЛГцГе1/2/пе, обыкновенная
волна поглощается с ростом плотности и при приближении на-
направления распространения к перпендикулярному сильнее, а для
необыкновенной волны — тенденция обратная.
Эксперименты по электронному циклотронному нагреву про-
проводились на установках Т-10, ISX-B, JFT-2, D-IIID и других;
была продемонстрирована хорошая эффективность ЭЦН.
Список литературы
l.Stix Т.Н. The Theory of Plasma Waves. - N. Y.: McGraw-Hill,
1962 (русский перевод: Стикс Т. Теория плазменных волн. — М.:
Атомиздат, 1965); Stix Т.Н. Waves in Plasmas. — N. Y.: American
Institute of Physics, 1992.
2. Fried B.D., Conte S.D. The Plasma Dispersion Function. — N.Y.:
Academic Press, 1961.
3. Miyamoto K. Plasma Physics for Nuclear Fusion. — Revised Edi-
Edition. — The MIT Press, Cambridge, Mass., 1989. Chap. 11.
4. Porkolab M. Fusion (ed. by Teller E.) V. 1. Part B. P. 151. - N. Y.:
Academic Press, 1981.
S.Scharer J.E., McVey B.D., Май Т.К. Nucl. Fusion. 1977. V. 17.
P. 297.
6. Stix Т.Н. Nucl. Fusion. 1975. V. 15. P. 737.
7. Fukuyama A, Nishiyama 5., Itoh K. Itoh S.I. Nucl. Fusion. 1983.
V. 23. P. 1005.
8. Ono M, Watari Г., Ando ?., et al. Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54.
P 2339
9. Stix Т.Н. Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 878.
10. Glagolev V.M. Plasma Phys. 1972. V. 14. P. 301, 315.
11. Brambilla M. Plasma Phys. 1976. V. 18. P. 669.
12. Bernabei 5., Heald M.A., Hooke W.M., et al. Nucl. Fusion. 1977.
V. 17. P. 929.
13. Takamura S. Fundamentals of Plasma Heating. — Nagoya Univ.
Press, 1986 (in Japanese).
14. Fidone /., Granata G., Ramponi G. Phys. Fluids. 1978. V. 21. P. 645.
15. Litvak A.G., Permitin G. V., Suvorov E. K, Frajman A.A. Nucl. Fu-
Fusion. 1977. V. 17. P. 659.

Глава 13
КИНЕТИЧЕСКИЕ (ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ)
НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Помимо магнитогидродинамических неустойчивостей, обсуждав-
обсуждавшихся в гл. 8, существует иной тип неустойчивостей, вызываемых
отклонениями функции распределения скоростей от устойчивой макс-
велловской. Неустойчивости, зависящие от вида функции распреде-
распределения по скоростям, называются неустойчивостями в пространстве
скоростей 0, или микронеустойчивостями. Однако различие между
микро- и макро- (или иначе МГД) неустойчивостями не всегда ясно,
и иногда неустойчивость принадлежит к обоим типам.
§ 13.1. Дисперсионное уравнение для
электростатических волн
В этой главе описываются возмущения типа электростатиче-
электростатической волны, когда электрическое поле может быть выражено как
Е = — V</> = —г\аф. Дисперсионное уравнение для таких возму-
возмущений дается выражением (см. разд. 10.5)
k\Kxx + 2kxkzKxz + k\Kzz = 0.
Вывод дисперсионного соотношения для горячей плазмы описы-
описывается в деталях в Приложении С. Если в нулевом приближении
функция распределения выражается как
т
т
) eXP(-2^j
) Наряду с этим термином используется столь же распространенное назва-
название кинетические неустойчивости. — Примеч. ред.

230 Гл. 13. Кинетические (потенциальные) неустойчивости
то дисперсионное уравнение дается (С.36), а именно,
=0, A3.1)
где
Ь = (kxvj_i/fiJ, vjz = kTz/гп,
Лг(Ь) — модифицированная функция Бесселя, Z(Q — дисперси-
дисперсионная функция.
Если частота волны гораздо больше циклотронной частоты
(М > \П\) или Ь -> 0 (Tj. ^0, fcx -> 0), то Сп -> Со, пП/шп ->
—>• О, /п —> 0 (п 7^ 0), Iq —> 1, т. е. дисперсионное соотношение О
сводится к
A3-2)
В случае В = 0 дисперсионное соотношение дается выражением
Когда частота волны гораздо меньше циклотронной (|а;| < |1?|),
то Сп ^ оо (п ^ 0), Сп^п -> -1 и ?/п(Ь)е-ь = 1, так что
(kl « |Я|)- A3.4)
Когда частота волны гораздо больше циклотронной или очень
мало магнитное поле, дисперсионные соотношения A3.2), A3.3)
О Дисперсионная функция, определенная (С.32), пропорциональна стан-
стандартному интегралу вероятностей (функции Крампа) w(?): Z(C) = iy/irw((). —
Примеч. ред.

§ 13.2. Двухпотоковая неустойчивость 23j_
СВОДЯТСЯ К
d(f/n0)
dVx\=0.
Интегрирование по частям дает
kl
'z
§ 13.2. Двухпотоковая неустойчивость
Важное физическое явление — взаимодействие пучка с плаз-
плазмой. Рассмотрим возбуждение волны в случае, когда частицы
сорта j дрейфуют со скоростью Vj, и разброс скоростей равен
нулю. Функция распределения в этом случае
fi(vz) =njS(vz-Vj).
Дисперсионное соотношение для волны, распространяющейся
в направлении вдоль магнитного поля с (кх = 0),
В особом случае П\ = Щ (n\q\/m\ = п^/т^) дисперсионное
уравнение оказывается квадратным уравнением:
Для знака «минус» в правой части дисперсионное соотношение
выглядит как
(и - WJ = П?(-х2 + хг + ...), A3.6)
и волна неустойчива при х < 1, т. е. при
k\Vx - V2f < 4П?.
Энергия, необходимая для возбуждения этой волны, поступа-
поступает из кинетической энергии пучка (в нулевом порядке). Когда
имеется какое-либо возмущение в движении пучка, заряженные

232 Гл. 13. Кинетические (потенциальные) неустойчивости
частицы могут собраться вместе (так называемая бунчировка),
и возникнет электрическое поле. Если это поле усиливает бун-
чировку, то возмущение нарастает. Такая неустойчивость назы-
называется двухпотоковой.
§ 13.3. Неустойчивость электронного пучка
Рассмотрим взаимодействие пучка малой плотности, движу-
движущегося со скоростью Vq, с плазмой, состоящей из холодных
ионов и горячих электронов. Дисперсионное соотношение A3.5)
для электростатической волны с кх = О, (Ех = Еу = О, Ez ф О,
Bi = 0) дается выражением
Kzz = Kn^
(w - kVoy
ОО
- 1 _ П? _ п2 [
w J
7т\2aVz 1
(о; - fev«) (о; -
_ 0
В пределе разреженного пучка (П2 —> 0), дисперсионное соотно-
соотношение сводится к К\\(и,к) ~ 0, если о; ф kV$. При учете пучка
дисперсионное соотношение должно иметь вид
Уравнение A3.7) сводится к
Если и) = fcVo такова, что Хц ^ 0, то вторым членом в правой
части этого уравнения можно пренебречь:
Выражение для К\\{и = fcVo, k) выглядит так:
Член К\ описывает затухание Ландау (см. разд. 12.3).
Когда условие и = kVo выполняется в области, где затухание
Ландау неэффективно, то \К\\ <С \Кц\9 и дисперсионное соотно-
соотношение сводится к
^ =KR. A3.8)

§ 13.4. Неустойчивость Харриса 233
Таким образом, если
KR<0, A3.9)
то 6Ш — мнимая величина, и волна неустойчива. Когда диэлек-
диэлектрическая проницаемость отрицательна, то вероятна бунчиров-
ка электрических зарядов, и можно предсказать возникновение
неустойчивости.
Если же условие и = kVo выполняется в области, где затуха-
затухание Ландау эффективно, то критерием неустойчивости служит
условие отрицательности плотности энергии волны Wo в диспер-
диспергирующей среде (см. A2.6)), т. к. при этом абсолютная величина
Wo возрастает, если dWo/dt отрицательна,
~дГ " di \~2Ez^uKzz)Ez) = ~JeoEzKiEz < 0.
В такой волне при потере энергии волны на затухание Ландау
амплитуда волны увеличивается, поскольку плотность энергии
волны отрицательна. Для знакомства с более детальным анали-
анализом взаимодействия пучок—плазма читатели отсылаются к кни-
ге [1].
§ 13.4. Неустойчивость Харриса
Частицы плазмы, удерживаемой в пробочном магнитном по-
поле, попадают в конус потерь ({v±/vJ < 1/Лпи Rm — пробоч-
пробочное отношение) и уходят из системы, приводя к анизотропии
функции распределения в пространстве скоростей. Плазма, со-
создаваемая ионным или электронным циклотронным нагревом,
также анизотропна: температура, связанная с движением частиц
поперек магнитного поля, выше, чем продольная температура.
Рассмотрим случай, когда функция распределения являет-
является двухтемпературной (би-максвелловской). Предполагается, что
плотность и температура однородны в пространстве и что от-
отсутствует поток частиц (V = 0). В этом случае дисперсионное
соотношение A3.1) имеет вид
3
±l\b)e I ^ —г-^г 1 QZ{Q) I =0, (lo.lu)
J=-oo
С/ =

234 Гл. 13. Кинетические (потенциальные) неустойчивости
Обозначим действительную и мнимую части левой части A3.10)
при действительной и = и>Т как К(иг) = Кт(иг) + гК[{ит).
Для комплексного решения ит + i*y уравнения A3.10), т.е.
уравнения К(ит + ?у) = 0, при |^у| <С |с^г| имеем Кт(ит) = 0,
7 = —Ki(wT)(dKr(uT)/duT)~l. Это легко получается, если вос-
воспользоваться разложением в ряд Тейлора. Соответственно, нахо-
находим
(f3.ll)
in
) exp(-
A3.12)
oo
/=-oo
r -b I ZT(slJ/l^z
1 \BKTz/my/2kz
1 (ш
Здесь ZT(d) — действительная часть функции Z(Q), a Z'r((i) —
производная по ?/.
Предположим, что электроны холодные Fе « 0, |Сое| ^ U»
а ионы горячие. Тогда вклад электронов в A3.11) доминирует,
и ионным членом можно пренебречь. Уравнение A3.11) прини-
принимает вид
1с2 — tj2^z — О /И1^
К iie —2 — U, ^lO.lOJ
откуда

§ 13.4. Неустойчивость Харриса 235
Подстановка ujv в A3.12) дает
тг1/2 хг^ „о / т \ 1
7 =
; BкТя/т))/2\кх\
Л
. A3.14)
=-oo
Величина ехр(—?2) имеет какое-либо осмысленное значение
только вблизи uv + Ш[ = ljt — 1\Щ « 0. Первый член в скобках
в A3.14), — (иг — 1\Щ)\, может быть дестабилизирующим, а вто-
второй член, —(Tz/T±)l\Q[\y является стабилизирующим. Соответ-
Соответственно, необходимые условия неустойчивости G > 0) суть
шТ~Щ\, иг<Щ\, 1±1<\>
т. е.
A3.15)
ijr>2l. A3.16)
Когда плотность возрастает до величины, при которой Пе при-
приближается к |i?i|, плазменные колебания резонируют с ионным
ларморовским вращением, приводя к неустойчивости. При даль-
дальнейшем возрастании плотности косая (наклонная) ленгмюров-
ская волна оказывается связанной с ионной циклотронной гармо-
гармоникой /|Д|, и развивается неустойчивость с иг = ITekz/k ~ 1\Щ.
Как ясно из A3.16), степень анизотропии должна быть больше
для неустойчивости в области более высоких частот (/ становит-
становится больше).
Итак, неустойчивости с частотами вблизи ионных циклотрон-
циклотронных гармоник возникают одна за одной в плазме с холодными
электронами при наличии анизотропии A3.16) и при выполнении
условия на плотность электронов
п pz*™* ( В" ) ^ (/=12 3 •••)
т\ V Мот{с2 ) kl
Эта неустойчивость называется неустойчивостью Харри-
Харриса [2, 3].
Выше были описаны неустойчивости в пространстве
скоростей в простейшем случае однородной би-максвелловской

236 Гл. 13. Кинетические (потенциальные) неустойчивости
плазмы. Функция распределения плазмы, удерживаемой
в пробочной ловушке, равна нулю в области конуса потерь
(v±/vJ < 1/Дм(Дм — пробочное отношение). Связанная с этим
неустойчивость называется конусной [4]. В общем случае
плазма является горячей и плотной в центре, но холодной
и разреженной на периферии. Неустойчивости, раскачиваемые
градиентом температуры или плотности, называются дрейфо-
дрейфовыми. Электростатическая дрейфовая неустойчивость [5, 7]
неоднородной плазмы может быть детально проанализирована
при использовании более общего дисперсионного соотношения,
описанного в Приложении С. Отметим, что в тороидальном
поле всегда присутствуют частицы, запертые на внешнем обводе
тора, где поле является слабым. Неустойчивости, раскачиваемые
запертыми частицами, называются неустойчивостями на
запертых частицах [6, 7].
Список литературы
1. Briggs R.J. Electron-Stream Interaction with Plasma. — The MIT
Press, Cambridge, Mass., 1964.
2. Harris E.G. Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2. P. 34.
3. Harris E.G. Physics of Hot Plasma, (ed. by Rye B.J., Taylor IB.). -
Edinburgh: Oliver & Boyd, 1970. P. 145.
4. Rosenbluth M.N., Post R.F. Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 547.
5. Krall N.A., Rosenbluth M.N. Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 1488.
6. Kadomtsev B.B., Pogutse O.P. Nucl. Fusion. 1971. V. 11. P. 67.
7. Miyamoto K. Plasma Physics for Nuclear Fusion. — Revised Edition. —
The MIT Press, Cambridge, Mass., 1989. Chap. 12.

Глава 14
НЕУСТОЙЧИВОСТИ, ВЫЗВАННЫЕ
ВЫСОКОЭНЕРГИЧНЫМИ ЧАСТИЦАМИ
Горение термоядерной плазмы зависит от нагрева высокоэнергич-
высокоэнергичными альфа-частицами, образующимися в реакциях синтеза. Значи-
Значительные потери этих частиц могут быть вызваны фишбон-неустойчиво-
стью и тороидальными альфвеновскими собственными модами. Такие
потери не только уменьшают эффективность нагрева альфа-частицами,
но приводят также к повышенной тепловой нагрузке и разрушению
элементов конструкции, обращенных к плазме. Соответствующие про-
проблемы изучались экспериментально и анализировались теоретически.
В данной главе описываются основы различных теорий коллективных
неустойчивостей быстрых частиц.
§ 14Л. Фишбон-неустойчивость
Колебания «фишбон» впервые наблюдались на токамаке PDX
в эдспериментах с почти поперечной инжекцией нейтрального
пучка. Связанные с этими колебаниями флуктуации полоидаль-
ного магнитного поля, детектируемые катушками Мирнова, име-
имеют на осциллограммах характерный вид рыбьего скелета, отчего
колебания и были названы «фишбон». Регистрируемые всплески
вылетающих частиц, соответствующие потерям быстрых ионов
пучка, коррелируют с фишбон-событиями и приводят к уменьше-
уменьшению эффективности нагрева пучком. Структура моды при этом
была идентифицирована как внутренняя кинк-мода га = 1, п — 1
с частотами колебаний-предвестников, близкими к диамагнитной
частоте тепловых ионов и к частоте тороидальной прецессии
быстрых ионов.
14.1а. Формулировка подхода
Теоретический анализ фишбон-неустойчивости проводится,
главным образом, в соответствии с работой Чена, Уайта и Розен-
блюта [1]. Основная плазма при этом рассматривается в рамках
идеальной МГД, а для горячей компоненты используется гироки-

238 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
нетическое описание. В первом порядке уравнение для смещения
f есть (см. (8.25))
Рт72? = J х <Ш + 8} х В - VSpc - VSphy A4.1)
где 5рс — первый порядок возмущения давления основной плаз-
плазмы, так что V5pc = — ? • Vpc — 7spV • ?, а др^ — первый поря-
порядок возмущения градиента давления горячей компоненты. Имеем
следующие соотношения идеальной МГД:
5Е± = 7? х В, Л3ц =0, SB = V х (? х В), 5j = V • <Ш.
Умножая A4.1) на ?* и интегрируя по пространству в предполо-
предположении фиксированной проводящей границы, получаем
-JJ = O, A4.2)
где
fpmiei2^, A4.3)
swK=l-
A4.4)
— потенциальная энергия основной плазмы, связанная
со смещением ?, которая обсуждалась в разд. 8.2Ь и дается
выражением (8.79), а ^И^к ¦— вклад горячей компоненты.
14.1b. МГД составляющая потенциальной энергии
Рассмотрим МГД член (?Wmhd)> который состоит из вклада
от сингулярной окрестности рациональной поверхности
и из вклада SW^D от внешней области. Для круглой цилиндри-
цилиндрической плазмы вклад от внешней области (см. (8.92))
«^.'[(/l&l'^I.W. A4.5)
о ч J
где / и д даны в (8.93) и (8.95). В случае, когда r/R < 1,
величины / и д для моды (—т, п) равны
/ пг >
2Г2

§ 14.1. Фишбон-неустойчивость 239
где q(r) = rBz/RBe(r) — коэффициент запаса устойчивости.
Рассмотрим возмущение ш=1 с радиусом сингулярности г =
= rs(q(rs) = т/п). В этом случае смещение ?r = const для
0<г<г5и?г = 0 для rs<r <а (см. разд. 8.3Ь). Тогда ^
сводится к [2]
2тгД
4 О
A4.6)
где р = r/rs, РР = (p)s/(By2fjL0) и Вв5 = (rs/Rq(rs))Bz - поло-
идальное поле при г = rs. Давление (p)s определяется как
К. о j л Г
— ) -fdr = -=¦ \(р — psJrdr. A4.7)
rj dr ri J
0 0
В торе с круглым сечением МГД составляющая потенциальной
энергии на единицу длины тороидального плазменного шнура
дается выражением [3]
-о-?
A4.8)
В случае т = 1 и п = 1 величина 5W^Dtor/27ri? сводится к сла-
слагаемому SWt-
Рассмотрим вклад сингулярной области. В этом случае мы
должны найти смещение ?г в сингулярной области вблизи
резонансной поверхности. Соответствующее уравнение движе-
движения рассматривалось в разд. 9.1 для тиринг-неустойчивости. Из
(9.13) и (9.9) имеем в пределе х <С 1
d2Bw
Bw, A4.10)
rj дх

240 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
где
_ Ввп dq л Bens
г dr rs
г — rs dq
rs dr
Используя нормировки
имеем
В пределе Sr —> оо A4.11) дает
и решение [4]
A4.12)
Поскольку внешнее решение для т = 1 есть просто ?r = ?s при
х —> —оо и ?г = 0 при х —> оо, то из условий сшивки с этим
внешним решением находим ^ = ?s/2 и ^о = ?s-
В сингулярной области
rs+A
2тгД
rs-A
Выражение A4.13) получено для цилиндрической плазмы. Для
тороидальной плазмы та# заменяется на З^г-зДВ^/^орI/2, где

§ 14.1. Фишбон-неустойчивость 241
— значение обычного тороидального множителя A + 2q2I/2
(см. [6]).
Таким образом, общая сумма МГД вкладов моды т = 1, п =
= 1 (предполагается 7ТА0 ^ 1):
+ 81 = 2тгд|||&|2 (<WT + ггм± + 7г72т
14.1с. Энергия горячей компоненты
Возмущенная функция распределения горячей компоненты
дается гирокинетическим уравнением в приближении малой
бета и нулевого гирорадиуса в следующем виде [5]:
A4.15)
где 6А\\ = {-г/и)д8ф/д1 из-за Е\\ = 0 (см. A4.43)) и
б, v2 vi eB
Е=Т> ^2В> U^^
Q = (сс;^ + u;*hj -Foh, ^dh = -^vdh • V,
)
* _ . -ibxVFOh -ml д
Здесь Vdh — скорость магнитного дрейфа и \и^\ — отвечаю-
отвечающая ей частота, к = (Ь • V)b — вектор, направленный к центру
кривизны магнитной силовой линии и равный по модулю R~l
(см. разд. 2.4), 5ф — скалярный потенциал, градиент которого
= —ш? х В. Полагая
1 е
Обф + SGh, A4.16)
ш т
имеем
1 е
и га

242 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
Усреднение А = §(A/v\\)dl/§<U/v\\ обеих сторон предыдущего
уравнения дает
8Gh = -^Q L QihS<t> A4.17)
т и -ujdh и
= -l-m{V^y \Ъ х к) ¦
и и еВ
= |[ „±—(Ь х к) • ш(? х В) =
и) еВ v 7 v '
где
Заметим, что частоты ш, и^ гораздо меньше пролетной и баунс-
частот горячего иона v\\/R, e*/2v/qR. Для пролетных (SGhu)
и запертых (SG^i) частиц соответственно имеем
SGhu « 0, 6Ghi « 2QE-^=. A4.19)
cj-u;dh
Тензор возмущения давления, связанный с горячей ионной ком-
компонентой,
+ (Рц - Р±)ЬЬ) + 5Р±1 + EРц - 6Р±)ЪЪ,
A4.20)
где
Первый член в правой части A4.20) имеет форму, похожую на
вклад давления основной плазмы. Поскольку fa горячей ионной
компоненты гораздо меньше, чем /Зс основной плазмы, первым
членом в A4.20) можно пренебречь. Вводя Е = v2/2, \х — Vj_/2B
и а = ц/Е, имеем
v\ = 2E{\-aB),

§ 14.1. Фишбон-неустойчивость 243
27rwj.dvj.dvn = 22Tr—dEda = 23/2тгВ—^'^ ,,,dadE.
Возмущение давления горячей ионной компоненты сводится к
8Р± = 23/2тгВ f —Д \./l>dadEmaBE8Fh =
J A — аВ)'*
A
В-1 Е
= 2ъ12тВ | da{\-aB)V2\dEE*l\{la*aB)8Fh, A4.21)
\ El 2 2dadEm2E(l - aBNFh =
В'1 Е
\ da{\-aB)x'2 \dEE3/25Fh. A4.22)
Дивергенция второго слагаемого с давлением в A4.20) равна (см.
Приложение А)
fe
(VSPh)± = V±5P± + (*Р[| - 5Pj.)(b • V)b =
- 5Р±)к, A4.21')
jr ||<5Pj.)V-b. A4.22')
Кинетический интеграл
Щ - 8P±)K)dr =
= ~\ | V • C±SP± - Щ - SP±)C± ¦ K)dv =
\drB \
J J
= -23/2тгт \drB \dadE
J J
A-aBI/2
x

244 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
Поскольку V • ?_l + 2(? • к) « 0 (см. (В.7)), то член в скобках
в подынтегральном выражении
сводится к
6Wk
=
j
a;-a)dh
= -27/Vmh[drr [ d(aB)[
О A-г/Д)
i>|2 Г Г
'2тг2тьЩг Ы^г d(ab
R2 J J
A4.23)
где
d0
пA-аВу/2 ]2тту11) l J 2тг A _
Таким образом, дисперсионное соотношение A4.3) сводится к
—ги
= 0, A4.24)
где u>a = (ТД5/2) и 7 заменено на —ш.
14.Id. Инкремент фишбон-неустойчивости
Предположим модельное распределение для горячих ионов,
1 /2
замедляющихся с начальной скорости г>тх = BЕ)^Х:
:Етх). A4.25)
Тогда давление р^ и плотность щ горячих ионов

§14.1. Фишбон-неустойчивость 245
-E'mx
m
, (H.26)
A4.27)
= со23/27гВтКьЕтх = phln(WTc)t (И 28)
Кинетический интеграл равен
2тгД Д21^1 rf
о
-C/2)а;соД-5/2 - (дсо/дг)(т/еВг)Е~г/2
mE/BeBRr) - и
^х
_L frfF~C/2)A ~ 2(dCh/dr)R(mE/2eBRru)
?mx J аЛ
тЕ/BеВЯгш) -
(^ A4.29)
a;dh,mx V о; /уу
Поскольку второй член в {{dE^/dr))R доминирует, дисперсион-
дисперсионное соотношение сводится к
-!)) =о,
A4.30)

246 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
где
/2 - Ph
Bz/2/jLo
Рассмотрим случай SWT = 0. Тогда A4.30) преобразуется в
-iahQ + J71n (l-^) + 1 = 0, A4.31)
где _
( \ Л
В предположении A — 1/Д-) < 0 и |Д| <С \ОТ\, уравнение A4.31)
сводится к
- iah(QT + гД) + (Пт + г A) (b (Jj- - l)
Из действительной и мнимой частей A4.32) имеем
ЛЛг| A4>33)
В состоянии граничной устойчивости а^ = тг, т. е. i?i = 0, вели-
величина Д- дается выражением
^г = -ЬA/Яг - 1) "^ °т = 1 +ехр(-1/Яг) = 2
и i?r « 0,75. Для возбуждения фишбон-неустойчивости необхо-
необходимо Д > 0, т. е. c*h < тг и
У этой неустойчивости есть порог по величине (|/l)
Банановые орбиты запертых ионов дрейфуют в тороидальном
направлении, как показано на рис. 14.1. Скорость и частота их
тороидальной прецессии равны *)
1) Вертикальная компонента тороидальной дрейфовой скорости есть
Щ = (ту]_/2еВК), так что полоидальное смещение частиц между точками
возврата равно г80 ~ V&T&, и та — бауне-период. Поскольку вдоль магнитной
силовой линии d<t>/dO — q, то соответствующее тороидальное смещение между

§ 14.2. ТАЕ-моды
247
mv\/2 mv2±/2
Следовательно, u^mx равна частоте торо-
тороидальной прецессии запертых ионов с на-
начальной (максимальной) скоростью.
Похоже, что фишбон-неустойчивость
обусловлена взаимодействием частиц высо-
высокой энергии с МГД возмущениями т = 1,
п = 1. Взаимодействие резонансного типа
характеризуется затуханием Ландау. Резо-
Резонанс имеет место между тороидальной ско-
скоростью волны и скоростью тороидальной
прецессии частиц высокой энергии.
A4.35)
Рис. 14.1. Тороидаль-
Тороидальная прецессия банано-
банановой орбиты запертых
ионов
§ 14.2. ТАЕ-моды
Альфвеновские волны в однородном магнитном поле и в
бесконечной плазме рассматривались нами в разд. 5.4. В этом
случае возникают шировая (сдвиговая) альфвеновская, быстрая
и медленная магнитозвуковые волны. В несжимаемой плазме
((V • ? = О или показатель адиабаты 7 —> оо) может существовать
только шировая альфвеновская волна.
В случае цилиндрической плазмы в симметричном магнитном
поле МГД смещение ?(r,0,z) = ?(г)ехрг(-га0 + kz - ut) опи-
описывается уравнениями Хайна—Люста (8.114)-(8.117), как уже
обсуждалось в разд. 8.4. Для несжимаемой плазмы уравнение
Хайна—Люста (8.117) сводится к
dr
F2-
т
2Вв^- ^
аг \ г
24
dr
{m/r)FB$
2/r2
(m2/r
= 0, A4.36)
где
F = (k ¦ B) = (—Be(r) + -B,(r)) = -[n-
точками поворота Rd<j> = (RqvdTd/r), q = 1. Таким образом, скорость торои-
тороидальной прецессии дается выражением A4.35). — Примеч. автора

248 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
/ % R Bz
«(r) = 7V
Точка, в которой справедливо соотношение F2 — /ioAn^2 = 0 —>
—> J1 — к|^д, v\ = В2/цорт отвечает положению (радиусу) син-
сингулярности. Как было показано Хасегавой и Ченом [7], при этом
радиусе (в резонансном слое) шировая альфвеновская волна за
счет конверсии мод превращается в кинетическую альфвенов-
скую волну и поглощается вследствие затухания Ландау. Поэто-
Поэтому в цилиндрической плазме альфвеновская волна устойчива.
Альфеновские волны также рассматривались в разделах
10.4а, 10.4Ь в модели холодной плазмы. Дисперсионное соотно-
соотношение для бесконечной плазмы дано в A0.640. Оно показывает,
что альфвеновский резонанс возникает при и2 « Щу\, а отсеч-
отсечка сжимаемой и шировой альфвеновских волн происходит при
и2 = fcjjvj[(l +uj/fi\) и иJ = &мг>дA — u)/Q\) соответственно.
14.2а. Собственные альфвеновские моды, индуцированные
тороидальностью
Рассмотрим шировые альфвеновские волны в тороидальной
плазме и возмущение моды (—ш, п) вида
ф(г, в, z, t) = ф(г) ехр г(-га0 + п^~ - иЛ\ A4.37)
it
где R — большой радиус тора. Введем
, к-В 1 / т
к (
Условия резонанса для т и т + 1 мод в линейной цилиндриче-
цилиндрической плазме
и к2 -О
4 - к\\ш - 0'
- о
Однако в тороидальной плазме волна моды т может быть зацеп-
зацеплена, как будет показано в данном разделе, с т± 1, посколь-
поскольку амплитуда тороидального поля меняется как Bz = Bz0(l -
— (r/R) cos 9). При этом условие резонанса мод т и га + 1

§ 14.2. ТАЕ-моды
249
в тороидальной плазме принимает вид
ае-
LJ
v||m+l
= 0,
где с = r/R и а — константа порядка единицы. Отсюда находим
решения
«4 _ fcU + 1/2
Условие резонанса A4.38) представлено на рис. 14.2. Для ра-
радиуса такого, что kl — fcjjw+1, разность частот ш± становится
минимальной. Этот радиус дается уравнением
1 ( m
RY1 W)
m+ 1
m+1/2
= —jr-
1
A4.39)
Для случая m — \ и n = 1 величина q(ro) = 1,5. В диапазоне
частот ш- < и < w+ альфвеновскии резонанс не существует.
q(r)
Рис. 14.2. Альфвеновская резонансная частота и тороидально зацепленных мод
га и m + 1
Континуум в частотном спектре альфвеновских волн соот-
соответствует возбуждению шировых альфвеновских волн на за-
заданной потоковой поверхности, где частота моды резонанса,
и2 = Щ\ту\(г), и этот резонанс приводит к затуханию волны.
Однако частоты, возбужденные в спектральных «зазорах», не
резонируют с континуумом и, следовательно, не затухают в этих

250 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
«зазорах». В результате возможно существование дискретной
собственной частоты альфвеновской волны, связанной с то-
роидальностью, или тороидальной альфвеновской собствен-
собственной моды (Toroidicity induced Alfven Eigenmode— TAE). Эта
ТАЕ-мода может легко быть дестабилизирована кинетическим
эффектом частиц высокой энергии.
Уравнения для ТАЕ-моды напишем, следуя работе Берка, Ван
Дама, Гао и Линдберга [8]. Уравнения для возмущений первого
порядка:
v'jl = 0> pir = (jxB)b A4-40)
^i, Bi=VxAi. A4.41)
Для идеальных МГД волн с низким 0 справедливо
Ец=О, Вц!=О, Ai=%b, A4.42)
так что F v h
A4.43)
и
Из A4.40) имеем
V-j±i+V-(j||ib)=0 A4.44)
и
- iup(v\ х b) = (j_li х В) х b + (j x Bi) x b,
Jj_l = ~2^4.\ ~\~ "qJd±1« vl4.40j
Уравнения A4.41)—A4.43) дают
V/ Hi \.s XJ I II V7 v/ ХЗ л1^^
I ' I /\ urn ^~ __— w ^ Г1 /»ч5
<B, A4.46)

§ 14.2. ТАЕ-моды 251
Переписываем A4.44)-( 14.47) как
-a 04.48)
Введением связи между координатами (Л, <?>, Z) и (г, 0, () в виде
R = Rq + tcosO, Z = rsinO, <p = —^
и обозначений
(г, в, С, *) = ^ 0т(г) ехрг(-га0 + пу> - a;
(Ь • VHm = д~ f П гт J 0га = ^
к\\т = ТГ ( П ~ — ) ,
¦ 4t — ———— I Г1/
До
уравнение A4.48) сводится к [8]
dr\' \v\ '"llm; dr
-0- (l4'49)
Как показано на рис. 14.3, структура моды характеризуется рез-
резким переходом компонент m = 1 и га = 2 в месте положения
«зазора». Уравнения для мод га и га + 1 вблизи «зазора» сводят-
сводятся к
dErn + 2г_ /и_}2
. 2г
таким образом, резонансная частота тороидальной шировой
альфвеновскои моды получается из уравнения

252 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
4
Рис. 14.3. Слева: резонансная частота тороидальной альфвеновской шировой
моды 42, соответствующая (п = 1, т — 1) и (п = 1, га = 2), #(г) = 1 + (г/аJ,
а/Д = 0,25, J2 = u/(va(O)/Ro). Справа: амплитуда глобальной моды как функ-
функция радиуса (согласно [8])
И
= 0.
A4.50)
Если определить координаты (Д, у\ Z) и (г, ^, С) с учетом сдвига
Шафранова, константа связи будет равна 2,5б вместо 2е [8].
Интеграл энергии в A4.49) без члена, описывающего зацеп-
зацепление мод rail, интегрированием по частям сводится к следу-
следующему уравнению:
S PJ
*r
где
- Ет(г+)Ст(г+), A4.51)
= 0,
радиус г = rs — положение особенности (oo2/vaJ - Щт = 0, и Р
обозначает главное значение интеграла. Отсюда можно оценить
декремент затухания ТАЕ [8]
— = — гтг-
д_
дг
dG
дщ
A4.52)

§ 14.2. ТЛЕ-моды 253
Поскольку ujodG/dujQ > О, имеем 1тEсо) < 0. Это называется
затуханием континуума.
14.2Ь. Неустойчивость ТАЕ-мод, вызванная быстрыми
частицами
Динамика частиц высокой энергии описывается в рамках ки-
кинетической теории. Согласно Бетти и Фрайдбергу [9], основные
уравнения имеют вид
Ш + v • /j + -^(Е + v х В) • Vv/j = 0, A4.53)
0Ъ ?Tij
fta+V.(n,u,) = 0, A4.54)
mjj^njuj) + V • Pj = <jnj(E + Uj x B), A4.55)
Pj =mj I vv/jdv, A4.56)
Bi = Vx({ixB), A4.57)
= VBi = V x V x (U x B), A4.58)
* A4'59)
Здесь jF] — равновесная функция распределения в осесимметрич-
ном торе. Предполагается, что F^e.p^) — функция интегралов
движения е и рр, где
е = ^v2 + цф, рц> = m^Rv^ + qrf, ф = RA^, A4.60)
Уравнение для поправки к функции распределения
UL flli If li
A4.61)
и

254 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
Решение получается интегрированием вдоль траектории частицы
(см. Приложение С, разд.С.2):
t
/ij = —3- f (E + v x Bi) • VvF}dt'. A4.63)
Щ J
—oo
Возмущения здесь имеют вид
Q\ = Q\(R>Z)exj)i(n<p — ut).
Второй член m]w{dF']/de) в правой части A4.62) дает вклад
в интеграл
t t
mjv^/ = -9j^ [ E-vdt'.
—oo —oo
Вклад первого члена m^RidF-Jdp^) составляет
t
f E^m]R^-dtf+ \
J ^ J dpy J
\—OO
Таким образом, решение
.dF}
;) \<*

§ 14.2. ТАЕ-моды 255
Поскольку
Дщ=0, -г^± =
= iu{?± x В)^Д = uj(UrBz ~ Z±zBr)R = -iui{?
E • v = iu(?± x B) • v = -ш?± • (v x B) = -iu?± • —-jr =
то для /ij имеем
Л,—,^tt
где
t
f v ^<
J ^
—oo
Величина sj, как будет показано в конце этого подраздела, равна
t
(f -
A4'66)
Тензор возмущения давления есть
Рц = Jmjw/yiv = Piij/ + (Pi||j - Puj)bb, A4.67)
и VPij дается соотношениями A4.21') и A4.22'). Уравнение
движения принимает вид
-Р"Ч± = F_l(?l) + *D±(^). A4.68)
= ji x B+j x Bi + V(?± • VPi), A4.69)
= m, f C^Vx + (^f - f) к) ^
V V У У A4.70)

256 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
F_L(?_!_) — оператор силы в идеальной МГД для несжимаемого
смещения. Dj_(?_[_) содержит вклад частиц высокой энергии.
Уравнения A4.68)-( 14.70) описывают устойчивость низкочастот-
низкочастотных альфвеновских волн с конечным волновым числом, возбуж-
возбуждаемых частицами высокой энергии в осесимметричном торе.
Интеграл энергии, следующий из A4.68), состоит из норми-
нормированной на и~2 кинетической энергии плазмы Км, из «попе-
«поперечной» потенциальной энергии в приближении идеальной МГД,
и кинетического вклада
+ 5WK, A4.71)
где
После простого интегрирования по частям 6Wk может быть за-
записана как
= i ? J(u; - obj^^Ldvdr, A4.72)
поскольку
С другой стороны, ds*/dt дается выражением
^ = iu*s* + Ds*, D = (vV) + -^(v x В) • Vw.
Сиь ТТЬ\
Используя обозначение s-} = а} + щ (щ и С] действительны),
имеем
i «3kii9 •/ \ 1/9 9\
Вклад последнего члена в интеграл A4.72) равен нулю, посколь-
поскольку Fj и a;*j — функции интегралов движения е и р<р, и

§ 14.2. ТАЕ-моды 257
Нужное выражение для инкремента моды получается, если по-
положить действительную и мнимую части A4.71) равными нулю:
О(/3) — вклад члена с Ry В пределе и\ <С uov мнимая часть дает
WK = lim ( ji- V L - ш.,)^ч|«,|2<(уА | . A4.74)
Оценим A4.74). Поскольку V • f j_ + 2?_l • к « 0 (см. (В.7) При-
Приложения В), величина s-} равна
щ
= -Щ \ (vl + VfyK
Компоненты ^r и ?# равны (V • ? = (l/r)(d(r?r)/dr) — i(
«0)
Поскольку в главном порядке приближения ведущих центров для
частиц высокой энергии имеем
г
то возмущение вдоль траектории будет
expi(-m0(?;) + mp(t') - utf) =
x ехрг(—m6(t) + mp(t) — ut) —
— exp (—i(u; — um)(tf — t)) ехрг(—rn9(t) + mp(t) — out),
9 Миямото К.

258 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
ГД6 u,m-^-™
и
m-M\+v]_/2)
m
0
x ехрг(—тв + п<р — ujt) ехр(—г{и — (jjm)tndttf =
75)
Предполагается, что возмущение состоит в основном из двух
тороидально зацепленных гармоник ?т и ?т+ь и все прочие
гармоники равны нулю. Сильное зацепление происходит в узкой
области толщиной ~ еа около поверхности г = го, соответствую-
соответствующей q(ro) = Bm + l)/2n = %• Локализация моды подразумевает,
что члены ?'m±i доминируют в A4.75). Подставляя эти резуль-
результаты в выражение для Sj и оставляя лишь члены, которые не
обращаются в нуль при усреднении по в, получаем следующее
выражение для |sj|2:
2 vi
+ T
\и-ит\2 \uj-ujm-i
(учитываем, что u;m+i = -шт и о;т+2 = —o;m-i). i^M дается
выражением
Щ?&§)- A476)
Используя выражения для иТ « fcyVA, &ц = 1/Bзо-й)» 9о = Bт+
+ 1/2п), получим инкремент
II ' о ' * Q- - °-'-

§14.2. ТАЕ-моды
259
С использованием формулы /^еДя2 + €2)d# = тг несложное
вычисление интеграла ^ц дает
о
—г 1
\
L
j
х(
0 0 »^. "X
ТГ 11 YY) г? ft
dF, n
Г /
[J,
J Г"H
dF\
/
2 N
k 2
1 у
1
. A4.78)
(Заметим, что o;m = ^ц/Bд0Д), ^m-i = Зг;ц/Bд0Д),
их = vp,/2q^R.) Выражение A4.78) дает инкремент ТАЕ-моды
для произвольной функции распределения Fj(e,^). Второй член
в A4.78) обусловлен побочным резонансом.
Инкремент легко оценить для максвелловской функции рас-
распределения
/ \ 3/2 / 2
ехрг~щ
. Прямое вычисление приводит
^) <1479)
dpjdr гп\Ут\
Здесь щ = nj
к выражению
и 3] =
П\Т\
где
Каждая из этих величин берется при г = го. Функции ^
и «^j — функции одного параметра Aj = va/vtj (vtj = 22]/
и даются выражениями
2Af
A4.80)
2Af + A/ + 2Af )
9*

260 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высоко энергичными частицами
Для альфа-частиц более разумно предположить распределе-
распределение, получающееся в результате замедления,
связаны с плотностью и давлением:
Л~ п« ъ ~ riamav2a/2 m}v20
Прямым вычислением получаем выражение для вклада альфа-
частиц в инкремент:
(VM = -<Й9« (Gl - nqQ8aHl), A4.82)
где
_ Ра __2
3
Функции G^ и Я^, — функции параметра Ла = ^д/^о: и опреде-
определены как
а) = (Зтт/16)АаC + 4Аа - 6Л^ - А*)#A - Аа),
= (Зтг/16)A + 6Х2а - АХ3а - ЗА*)ЯA - Аа), A4.83)
ЯA - Аа) — функция Хевисайда (Н(х) = 1 для х > 0, Н(х) = О
для х < О). В окончательном виде выражение для инкремента
получим, суммируя вклады ионов и электронов основной плазмы
и а-частиц:
Я?)), A4.84)
fc||l7A
где /3j = n-]Tj/B2/2fiQ относятся к ионам и электронам основной
плазмы и а-частицам. Вклады ионов и электронов основной
плазмы выражаются в затухании Ландау. Условие возбуждения
ТАЕ-моды на границе устойчивости
nqo5aHsla -

§ 14.2. ТАЕ-моды 261
Ниже описан вывод A4.66):
v = ицЬ + v± cos(i?t)ej_ - v± sia(Qt)(b x
vv = v|bb + v2±cos2(m)e±e± + v2±sin2(Qt)(b x e±)(b x ej.) =
= (vf + vi/2)bb + («i/2)(bb + ej.e± + (b x e±)(b x e±)) =
v • | = -
ij
„2
f («1/2 - t
Поскольку |^||| <C |^j_|, имеем
Третий член является быстро осциллирующим, и его вклад
в A4.66) мал.
14.2с. Различные альфвеновские моды
В предыдущем подразделе мы обсуждали возбуждение сла-
слабозатухающей ТАЕ частицами высокой энергии со скоростями
выше альфвеновской. Существуют различные альфвеновские мо-
моды.
В высокотемпературной плазме в области «зазора» стано-
становятся важными эффекты неидеальности, такие как конечный
ларморовский радиус основной плазмы, которые вызывают рас-
расщепление альфвеновского континуума на серию кинетических
альфвеновских собственных мод (КТАЕ) с частотами чуть выше
частоты идеальной ТАЕ [10].

262 Гл. 14. Неустойчивости, вызванные высокоэнергичными частицами
Вблизи центра плазменного шнура может существовать
низко-шировая разновидность ТАЕ, которую называют центри-
центрированной модой (CLM) [11].
Не круглая форма полоидального сечения плазмы приводит
к образованию и других «зазоров» в альфвеновском континууме
в области высоких частот. Эллиптичность дает «зазор» вблизи
примерно удвоенной частоты ТАЕ, где и существует альфвенов-
ская собственная мода, вызванная эллиптичностью (ЕАЕ) [9],
и аналогично — для альфвеновской собственной моды, вызван-
вызванной треугольностью (NAE) [9], при утроенной частоте ТАЕ.
Идеальная и кинетическая
ТАЕ — это «полостные» мо-
моды, чьи частоты определяют-
определяются основной плазмой. Кроме
этого, может возникнуть еще
и «пучковая мода», которая
не является собственной мо-
модой как таковой, но возбужда-
возбуждается и поддерживается лишь
в присутствии частиц высо-
высокой энергии. Эта так называ-
называемая мода на частицах высо-
высокой энергии (ЕРМ) [12], кото-
которая также может выходить за
пределы «зазоров» ТАЕ, име-
имеет частоты, связанные с ча-
частотой тороидальной прецес-
прецессии и полоидальной про-
летной/баунс частотой быст-
быстрых ионов. Альфвеновская
собственная мода, связанная
с давлением (ВАЕ) [13] суще-
существует в «зазоре», возникаю-
возникающем из-за конечной бета. На
рис. 14.4 схематически проил-
проиллюстрированы эти различные
моды.
Тесное взаимодействие тео-
теории и эксперимента привело
ко многим открытиям в обла-
области альфвеновских собственных мод в тороидальной плазме. Ряд
теоретических работ был посвящен при этом раскачке мод части-
частицами высокой энергии и конкурирующим механизмам затухания,
О
0,2
0,8 1,0
г/а
Рис. 14.4. Частоты шировой альф-
альфвеновской моды в области контину-
континуума как функции малого радиуса
г. Горизонтальные линии приближен-
приближенно показывают положение и шири-
ширину тороидальной альфвеновской соб-
собственной моды (ТАЕ), кинетической
ТАЕ-моды (КТАЕ), центрированной
ТАЕ-моды (CLM), альфвеновских соб-
собственных мод, вызванных эллиптич-
эллиптичностью (ЕАЕ), треугольностью (NAE),
и континуум-моды на частицах высо-
высокой энергии (ЕРМ)

§ 14.2. ТАЕ-моды 263
таким как континуум и радиационное затухание, ионное зату-
затухание Ландау для тепловых и быстрых ионов, электронное за-
затухание и столкновительное затухание на запертых электронах.
Для мод с низким и умеренным тороидальным числом п обычно
доминируют затухание континуума и ионное затухание Ландау,
а с ростом п сильными механизмами стабилизации становятся
столкновительное затухание на запертых электронах и радиаци-
радиационное затухание. Имеются превосходные обзоры, посвященные
тороидальным альфвеновским собственным модам [14].
Список литературы
1. Liu Chen, White R.B., Rosenbluth M.N. Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52.
P. 1122; Zhang Y.Z., Berk H.L., Mahajan S.M. Nucl. Fusion. 1989.
V. 29. P. 848.
2. Шафранов В.Д. ЖТФ. 1970. Т. 60. С. 241.
3. Bussac M.N., Pellat R., Edery D., Soule J.L. Phys. Rev. Lett. 1975.
V.35. P. 1638.
4. Am G., Basu В., Coppi В., Laval G., Rosenbluth M.N., Waddell B. V.
Annals of Phys. 1978. V. 112. P. 443.
b.CattoP.l, Tang W.M., Baldwin D.E. Plasma Phys. 1981. V. 23.
P. 639.
6. Кувшинов Б.Н., Михайловский А.В., Татаринов Е.Г. Физика
плазмы. 1988. Т. 14. С. 409.
7. Hasegawa A, Liu Chen. Phys. Fluids. 1976. V. 19. P. 1924.
S.BerkH.L, Van Dam J.W., Guo Z., Lindberg D.M. Phys. Fluids. 1992.
V.B4. P. 1806.
9. Betti R., Freidberg IP. Phys. Fluids. 1992. V. B4. P. 1465.
10. Candy /., Rosenbluth N.M. Plasma Phys. Control. Fusion. 1993.
V. 35. P. 957; Candy I, Rosenbluth N.M. Phys. Plasmas. 1994. V. 1.
P. 356; Mett R.R., Mahajan S.M. Phys. Fluids. 1992. V. B4. P. 2885.
11. Fu G.Y., Cheng C.Z. Phys. Fluids. 1990. V. B2. P. 985; Berk H.L.,
Van Dam J. W., Borba D., Candy J., Huysmans G.T.A., Sharapov S.
Phys. Plasmas. 1995. V. 2. P. 3401.
12. Zonca R, Chen L. Phys. Fluids. 1993. V. B5. P. 3668; Zonca F,
Chen L Phys. Plasmas. 1996. V. 3. P. 323.
13. Chu M.S., Greene J.M., Lao L.L., Turnbull A.D., Chance M.S.
Phys. Fluids. 1992. V. B4. P. 3713; Turnbull A.D., Strait E.I, Hei-
dbrink W. W., Chu M.S., Duong H.H., Greene J.M., Lao L.L., Tay-
Taylor T.S., Thompson S.J. Phys. Fluids. 1993. V. B5. P. 2546.
14. ITER Physics Basis: Nucl. Fusion. 1999. V. 39. No. 12. P. 2495;
Strait E.J., Heidbrik W. W., Turnbull A.D., Chu M.S., Duong H.H.
Nucl. Fusion. 1993. V. 33. P. 1849; King-Lap Wong. Plasma Phys.
Control. Fusion. 1999. V. 41. P. Rl; FukuyamaA., Ozeki T J. Plasma
Fusion Res. 1999. V. 75. P. 537. (На японском.).

Глава 15
ИСТОРИЯ ТЕРМОЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Основные успехи в области управляемого ядерного синтеза
связаны с удержанием горячей плазмы сильными магнитными
полями. Системы магнитного удержания разделяются на торои-
тороидальные и открытые конфигурации. Удержание в прямой пробоч-
пробочной ловушке (разд. 17.3) может быть более эффективным, чем
тороидальное удержание, с точки зрения устойчивости и ано-
аномальной диффузии поперек магнитного поля. Однако характер-
характерные для таких систем концевые потери (т. е. потери частиц,
покидающих плазму вдоль магнитных силовых линий) определя-
определяются только диффузией в пространстве скоростей, так что время
удержания нельзя увеличить за счет повышения напряженности
магнитного поля или увеличения размеров плазмы. Необходимо
изыскивать какие-то способы подавления концевых потерь.
Тороидальные системы не имеют открытых концов. В простом
тороидальном поле ионы и электроны дрейфуют в противополож-
противоположных направлениях из-за градиента магнитного поля. Этот гра-
градиентный дрейф является причиной разделения зарядов, которое
индуцирует электрическое поле, параллельное главной оси тора.
Результирующий Е х В-дрейф в скрещенных полях стремится
растянуть плазменное кольцо. Для того чтобы уменьшить этот
дрейф, необходимо связать верхние и нижние части плазмы маг-
магнитными силовыми линиями и «закоротить» разделенные заряды
вдоль этих силовых линий. Поэтому для равновесия тороидаль-
тороидальной плазмы наиболее существенной является полоидальная ком-
компонента магнитного поля, в связи с чем тороидальные устройства
могут быть классифицированы по способу получения этого поля.
В токамаке (гл. 16) и пинче с обращенным магнитным полем
(разд. 17.1) используется ток, текущий по плазме вдоль тора.
В стеллараторе (разд. 17.2) нужное вращательное преобразова-
преобразование обеспечивают внешние винтовые проводники или эквива-
эквивалентные обмотки.
Кроме систем с магнитным удержанием плазмы в настоящее
время активно развиваются системы с инерционным удержанием.

Гл. 15. История термоядерных исследований
265
Если создать плотную и горячую плазму за очень короткое
время, то реакции ядерного синтеза могут успеть завершиться
до того, как плазма начнет расширяться (из-за инерции частицы
плазмы не могут разлететься мгновенно — отсюда термин «инер-
«инерционное удержание»). Самым экстремальным примером процес-
процессов такого рода служит водородная бомба. В лабораторных экс-
экспериментах мощный лазерный пучок или пучок частиц фоку-
фокусируются на небольшую дейтерий-тритиевую мишень, создавая
таким образом очень плотную и горячую плазму за малое время.
Это направление весьма перспективно в связи с активным раз-
развитием технологий создания мощных энергетических устройств.
Инерционное удержание обсуждается в гл. 18 подробнее.
Классификация различных путей получения управляемого
термоядерного синтеза, активно развиваемых в настоящее время,
выглядит следующим образом:
Магнитное
удержание
Тороидальные
системы
Аксиально
симметричная
Аксиально
несимметричная
Токамак
Пинч с обращенным
полем (RFP)
Сферомак
Стелларатор
Гелиак
Гофрированный тор
Открытые
системы
Инерционное
удержание
Пробкотрон, амбиполярная ловушка
Конфигурация с обращенным полем (FRC)
Касп
Лазер
Ионный пучок, электронный пучок
От секретности к международному сотрудничеству
Основные исследования в области управляемого термоядер-
термоядерного синтеза были начаты, по всей вероятности, сразу после
Второй мировой войны в Соединенных Штатах, в Советском
Союзе и в Великобритании в условиях строгой секретности
(по поводу их начала уже в 1940-х годах имеется довольно
много спекуляций). Программа Соединенных Штатов, названная
Проект Шервуд, в деталях описана А. Бишопом [1]. Бишоп
утверждает, что в Лос-Аламосе проводились эксперименты с ли-
линейными и тороидальными Z-пинчами, в которых были сделаны
попытки преодолеть «сосисочную» и винтовую неустойчивости.
В 1951 г. астрофизик Л. Спитцер начал в Принстоне разработку
стелларатора в виде восьмерки. В Ливерморской национальной
лаборатории проводились эксперименты с удержанием плазмы
в открытой ловушке. В Управлении по исследованиям в области

266 Гл. 15. История термоядерных исследований
атомной энергии (Харуэлл, Великобритания) начались экспери-
эксперименты на установке ZETA [2], а в Советском Союзе в Институте
атомной энергии — эксперименты на открытой ловушке Огра
и токамаках 0 (см. [3]).
В 1955 г. в Женеве была проведена Первая международная
конференция по мирному использованию атомной энергии. Пред-
Председатель этой конференции, посвященной в основном мирному
применению энергии деления, X. Д. Баба рискнул предположить,
что пути получения индустриально применимой контролируемой
реакции синтеза будут найдены меньше чем за два десятилетия.
Однако исследования в области управляемого ядерного синтеза
столкнулись с серьезными непредвиденными трудностями. Очень
скоро было признано, что практическая реализация термоядер-
термоядерного реактора займет долгое время и что абсолютно необходимы
фундаментальные исследования по физике плазмы и открытый
международный обмен научными данными. В это же время ста-
статьи по управляему ядерному синтезу начали появляться доста-
достаточно регулярно в научных журналах. В январе 1957 г. была
опубликована статья Лоусона об условиях синтеза [4]. Появи-
Появились также несколько важных работ по теории МГД неустойчи-
востей [5, 6]. В январе 1958 г. были опубликованы результаты
экспериментов на установке ZETA[7] (Zero Energy Thermonu-
Thermonuclear Assembly) и стеллараторе [8]. На Второй международной
конференции по мирному использованию атомной энергии, ко-
которая проходила в Женеве с 1 по 13 сентября 1958 г. [9, 10],
было представлено большое количество рассекреченных работ.
Л. А. Арцимович выразил свое впечатление от конференции как
от «выставки идей». Вторая конференция дала старт открытому
соревнованию и сотрудничеству в области синтеза.
В Японии исследования управляемого синтеза начались в на-
начале шестидесятых в Японском исследовательском институте
атомной энергии (JAERI) Министерства науки и технологий и в
Институте физики плазмы Университета Нагойи Министерства
образования и культуры [11].
Первая международная конференция по физике плазмы и ис-
исследованиям в области управляемого ядерного синтеза была про-
проведена в Зальцбурге в 1961 г. при содействии МАГАТЭ. На этой
конференции [12] детально обсуждались крупные проекты, такие
как ZETA, Альфа, стеллараторС, Огра и DCX. Эксперименты
!) Эксперименты на токамаках в Институте атомной энергии им. И. В. Кур-
Курчатова ведутся с начала 1950-х годов, на ловушках семейства Огра — с 1958 г.,
а эксперименты на установке ZETA были начаты в 1957 г. — Примеч. ред.

Гл. 15. История термоядерных исследований 267
с тета-пинчем (Scylla, Thetatron) стали более популярными, чем
с линейными пинчами. Все статьи, касающиеся больших экспе-
экспериментальных проектов, таких как ZETA или стелларатор С, бы-
были посвящены борьбе с различными неустойчивостями. Л. А. Ар-
цимович сказал в заключении по поводу экспериментальных
результатов: «Наше убеждение, что двери в желанную область
ультравысоких температур легко откроются, так же безоснова-
безосновательно, как надежда грешника попасть в рай, минуя чистилище».
Была широко признана важность экспериментов, проведенных
М. С. Иоффе и др. на установке ПР-2 (том. 3, с. 1045). Эти
эксперименты продемонстрировали, что плазма, удерживаемая
в конфигурации с минимумом S, является МГД устойчивой.
Вторая международная конференция по физике плазмы и ис-
исследованию управляемого ядерного синтеза проходила в Калэме
в 1965 г. [13] Стабилизирующий эффект минимума В был под-
подтвержден многими экспериментами. В тороидальной конфигура-
конфигурации нельзя получить абсолютный минимум В. Была сформулиро-
сформулирована концепция среднего минимума В (см. [13], т. 1, с. 103, 145).
Окава и др. смогли получить время удержания плазмы в торои-
тороидальной магнитной конфигурации больше бомовского (см. [13],
т. 2, с. 531) и продемонстрировали эффективность среднего ми-
минимума В. Арцимович и др. представили серию экспериментов на
токамаках (Т-5, т. 2, с. 577; Т-3, с. 595; Т-2, с. 629; ТМ-2, с. 647;
ТМ-1, с. 659). Также были представлены результаты продолжаю-
продолжающихся экспериментов на ZETA и стеллараторе С. Однако време-
времена удержания плазмы в этих больших установках все еще были
порядка бомовского, что требовало аккуратных исследований ме-
механизмов потерь. Интересно выглядели результаты эксперимен-
экспериментов на тета-пинчах. Ионная температура, полученная в пинчах,
составляла от нескольких сотен эВ до нескольких кэВ, и вре-
время удержания ограничивалось лишь концевыми потерями. Тем
самым, одна из главных целей в экспериментах с тета-пинчами
была достигнута, что послужило поворотной точкой от линейных
тета-пинчей к тороидальным.
К этой конференции была подтверждена эффективность кон-
конфигураций с широм, с минимумом 5 и со средним минимумом В.
Изучены экспериментально и поняты теоретически многие МГД
неустойчивости. Постепенно становились яснее методы борьбы
с МГД неустойчивостями. Была осознана важность кинетиче-
кинетических неустойчивостей, связанных с немаксвелловостью функ-
функции распределения. Выявлен ряд неустойчивостей этого рода:
конусные [14], неустойчивость Харриса [15] A959), дрейфо-
дрейфовые [16] A963, 1965) и др. В эксперименте Малмберга и Уортона

268 Гл. 15. История термоядерных исследований
(см. [13], т. 1, с. 485) было впервые подтверждено существование
затухания Ландау. Л. Спитцер завершил свою речь на закры-
закрытии конференции в Калэме следующими словами: «Нами было
преодолено много препятствий, на что иногда требовались годы
усилий большого числа ученых. Мы можем быть уверены, что
нам осталось еще преодолеть не меньше препятствий, но мы
имеем все основания надеяться на то, что мы разрешим и эти
проблемы объединенными усилиями ученых разных стран».
Эра Арцимовича
Третья международная конференция проходила в 1968 г.
в Новосибирске. Самым знаменательным событием на этой кон-
конференции был доклад о том, что на токамаке Т-3 при элек-
электронной температуре в 1 кэВ энергетическое время удержания
плазмы (несколько миллисекунд) в 30 раз превышало бомовское
время (см. [17], т. 1, с. 157). В экспериментах на ZETA был
найден спокойный режим разряда, который обсуждался с точки
зрения МГД устойчивости плазмы в данной конфигурации маг-
магнитного поля. Это был последний доклад об успехах на ZETA и в
экспериментах НВТХ с обращенным магнитным полем. Время
удержания плазмы в стеллараторе С (см. [17], т. 1, с. 479, 495)
при электронной температуре от нескольких десятков до сотни
эВ так и осталось всего в несколько раз больше бомовского.
Впрочем, это было последнее упоминание о стеллараторе С— эта
машина была переделана в токамак ST еще до следующей кон-
конференции (Мэдисон, 1971). Однако некоторые аспекты стеллара-
торных исследований продолжали развиваться. Была тщательно
сконструирована система магнитных обмоток Clasp (см. [17],
т. 1, с. 465) и с использованием /?-распада трития проверено
удержание высокоэнергичных электронов. Эксперимент показал,
что электроны совершали больше 107 оборотов в тороидальном
направлении, так что стеллараторное поле может хорошо удер-
удерживать заряженные частицы. На WII исследовалось удержание
бариевой плазмы. В случае рациональных магнитных поверх-
поверхностей наблюдались резонансные потери, тогда как при ирра-
иррациональных поверхностях была лишь классическая диффузия.
На установке 2Х (т. 2, с. 225) 0 удалось удержать дейтеривую
плазму при ионной температуре 6-8 кэВ и плотности п < 5 х
х 1013 см~3 в течение г = 0,2 мс. Также появились работы по
лазерной плазме.
l) 2X— пробочная ловушка с квадрупольной магнитной ямой в Ливермор-
ской национальной лаборатории им. Лоуренса, США. — Примеч. ред.

Гл. 15. История термоядерных исследований 269
На Новосибирской конференции тороидальные системы были
признаны наиболее перспективными, и основным направлением
исследований с тех пор стало тороидальное удержание. Закрывая
конференцию, Л. А. Арцимович сказал: «Мы освободились от
мрачного призрака огромных потерь, воплощенного в формуле
Бома, и открыли путь для дальнейшего повышения температуры
плазмы с выходом на физический термоядерный уровень».
Было видно, что, если сделанные оценки электронной тем-
температуры правильны, результаты, полученные на токамаках, мо-
могут открыть новую эпоху. Р. С. Пиз — директор Калэмской
лаборатории — и Л. А. Арцимович договорились о прибытии
в Курчатовский институт группы британских исследователей для
измерения электронной температуры на Т-3 методом лазерно-
лазерного рассеяния. Эти измерения подтвердили предыдущие оцен-
оценки [18]. Экспериментальные результаты, полученные на Т-3,
оказали сильное влияние на последующую фазу исследований
ядерного синтеза во всем мире. В Принстонской лаборатории
физики плазмы стелларатор С был переделан в токамак ST;
построены токамаки ORMAK в Окриджской Национальной ла-
лаборатории, TFR во французском Центре ядерных исследований,
Фонтэне-о-Роз, Клео (Cleo) в Калэмской лаборатории, Пульсатор
(Pulsator) в Институте физики плазмы Макса Планка и JFT-2
в Японском исследовательском институте атомной энергии.
Четвертая международная конференция была проведена
в Мэдисоне, Висконсин, в 1971 г. [19]. Основной интерес был
сфокусирован на экспериментах с токамаками. На токамаке Т-4
(см. [19], т. 1, с. 443) температура электронов достигла 3 кэВ
при времени удержания около 10 мс. В результате столкновений
с электронами ионы нагревались приблизительно до 600 эВ.
Похожие результаты были получены на установке ST (т. 1,
с 451, 465).
Переход к большим токамакам (после нефтяного кризиса)
С тех пор конференции МАГАТЭ проходили каждые два
года в следующих городах: Токио, 1974 [20], Берхтесгаден,
1976, Иннсбрук, 1978, Брюссель, 1980, Балтимор, 1982, Лондон,
1984, Киото, 1986, Ницца, 1988, Вашингтон, 1990, Вюрцбург,
1992, Севилья, 1994, Монреаль, 1996, Иокогама, 1998, Сорренто,
2000... *). Оставаясь основным направлением магнитного удержа-
удержания, токамаки обеспечили устойчивый прогресс в термоядерных
) Последующие конференции МАГАТЭ: Лион (Франция, 2002), Вилламура
(Португалия, 2004), Чэнду (Китай, 2006). — Примеч. ред.

270 Гл. 15. История термоядерных исследований
исследованиях. Р. Пиз заявил в заключительной речи на конфе-
конференции в Берхтесгадене, что «можно видеть удивительно устой-
устойчивый прогресс. Более того, в логарифмическом масштабе видно,
что мы преодолели большую часть дистанции. Оставшаяся часть
весьма трудна, но эти трудности конечны, и их можно суммиро-
суммировать, сказав, что мы просто еще не имеем адекватного понимания
или контроля теплопроводности электронов поперек поля».
После токамаков первого поколения (Т-4, Т-6, ST, ORMAK,
Alcator А, С, TFR, Pulsator, DITE, FT, JFT-2, JFT-2a, JIPP T-II,
и др.) с 1975 г. начали появляться токамаки второго поколения
(Т-10, PLT, PDX, ISX-B, Doublet III, ASDEX, и др.). Время
энергетического удержания омически нагреваемой плазмы при-
приблизительно описывалось алкаторным скейлингом (те ос па2). На
установке Alcator Авеличина пте достигла 2 • 1013 см~3с A976).
Эксперименты по нагреву нейтральными пучками в 1978 г. в PLT
дали ионную температуру 7 кэВ. Кроме того, на установках
TFR и PLT была показана эффективность нагрева с помощью
ионно-циклотронного резонанса A980). Используя пучки ней-
нейтральных частиц с энергией 3,3 МэВ, на токамаке Doublet III
с вытянутым (некруглым) сечением (к = 1,4) достигли значения
/?=4,6% A982).
Было осуществлено безындукционное поддержание тока
в плазме. В 1980 г. на установке DITE был экспериментально
проверен способ генерации тока тангенциальной инжекцией
нейтральных пучков, предложенный Окавой в 1970 г. В 1978 г.
Фиш предложил возбуждать ток с помощью нижнегибридных
волн. Этот метод был реализован в 1980 г. на токамаках
JFT-2, Versator 2, PLT, Alcator С, JIPP T-II, Wega, T-7
и др. Ha WT-2 и PLT в 1984 г. проведены эксперименты
с током, нарастающим с нуля. На токамаке TRIAM-1M со
сверхпроводящими обмотками при помощи нижнегибридных
волн получен A990) плазменный ток 1р = 22 кА (пе ~ 2 • 1018 м3)
в течение 70 мин.
На JFT-2a (DIVA) продемонстрировали A978) подавление
влияния ионов примеси дивертором. Более детально этот эффект
изучался на установках ASDEX и Doublet III A982). Тогда же
установили, что при увеличении мощности нейтральной инжек-
ции время удержания становится хуже по сравнению со случаем
омического нагрева (скейлинг Кэя—Голдстона). Однако в 1982 г.
на установке ASDEX в конфигурации с дивертором был найден
режим улучшенного удержания (называемый Н-модой), в кото-
котором время удержания увеличивалось почти в два раза по срав-

Гл. 15. История термоядерных исследований 271
нению с обычной L-модой. Н-мода исследовалась на установках
Doublet III, PDX, JFT-2M и DIII-D. Таким образом, достигнут
серьезный прогресс, приведший к преодолению большого числа
критических для токамака трудностей.
Базируясь на этих успехах, были начаты эксперименты на то-
камаках третьего поколения: TFTR (Соединенные Штаты, конец
1982 г.), JET (Европейское Содружество, 1983) и JT-60 (Япония,
1985), о которых начали задумываться еще в начале 1970-х. На
TFTR были достигнуты значения пот@)те ~ 1,2 • 1019м~3 • с,
кТ[@) = 44 кэВ в «супершоте» (похожем на Н-моду). На JET
в Н-моде в конфигурации с дивертором было по@)те ~ 3,2 -х
х 1019 м~3 • с, «Tj(O) = 18,6 кэВ. На JT-60 при помощи нижне-
нижнегибридных волн (Prf = 1,2 МВт) получили A986) плазменный
ток 1,7 МА (при пе = 0,3 • 1013 см~3). В 1991 г. токамак JT-60
был модернизирован в JT60U[21]. На этой установке достигнуты
значения по@)те ~ 3,4 • 1019 м • с, я?]@) = 45 кэВ в Н-моде
с высоким значением /Зр. Режимы с улучшеным удержанием
с отрицательным магнитным широм были получены на TFTR,
DIII-D, JT60U, JET, Tore Supra [22], T-10.
В 1991 г. на JET были проведены предварительные экспери-
эксперименты с тритием [23] (пт/(по + пт) ~ 0,11), при мощности ней-
нейтральной инжекции 15 МВт получена термоядерная мощность
1,7 МВт (Q~0,ll). В дальнейшем эксперименты с тритием
проводились на TFTR A994) [24]. На этот раз получена термо-
термоядерная мощность 9,3 МВт при 34 МВт нейтральной инжекции
(Q г* 0,27) и токе /р = 2,5 МА. В 1998 г. на установке JET
получен в DT-реакции рекордный выход 16,1 МВт (Q ~ 0,62)
при вложенной мощности 25,7 МВт B2,3 МВт нейтральной ин-
инжекции +3,1 МВт в ионных циклотронных волнах). Для умень-
уменьшения 'концентрации ионов примесей в плазме и уменьшения
тепловой нагрузки на пластины дивертора на установках JET,
JT60U, DIIID, ASDEX-U и др. установлены откачиваемые дивер-
торы. Сейчас эти большие токамаки нацелены на научную демон-
демонстрацию необходимых критических условий (переносы в плазме,
устойчивый режим, дивертор, контроль примесей и т. д.) для
термоядерных реакторов.
Проведенные на токамаках исследования легли в основу
разработок конструкции токамака—реактора. Результатом объ-
объединенных усилий Европейского содружества, Японии, США
и Российской Федерации при поддержке МАГАТЭ являют-
являются проекты INTOR — Интернационального Токамака Реакто-
Ра (ИНТОР) [26] A979-1987) - и ITER- Интернациональ-

272 Гл. 15. История термоядерных исследований
ного Термоядерного Экспериментального Реактора (ИТЭР) [27]
A988-2001). Состояние проекта ИТЭР на 2000 г. [28] описано
в разд. 16.11 0.
Альтернативные подходы
Пенгом и Страйклером [29] были подмечены потенциальные
теоретические преимущества сферического токамака, в котором
аспектное отношение А = R/a близко к единице. Предсказанные
преимущества включают в себя большую вытянутость сечения
плазмы (ks ~ 2), большое тороидальное /3 при таком же, как
у обычного токамака, качестве удержания. Эти предположения
были проверены экспериментально, в частности, на установке
START[30] в Калэме (R/a « 0,3/0,28 = 1,31, Ip « 0,25 МА,
В\ ~ 0,15 Т). Тороидальное C достигло 40%, а наблюдаемое
время удержания соответствует скейлингу стандартных токама-
ков. Выполнены также эксперименты на сферических токамаках
Глобус-М (ФТИ им. Иоффе), Pegasus (Мэдисон), TST (Токио),
TS-3 (Токио). В 1999-2000 гг. начались эксперименты [31] на
сферических токамаках следующего поколения MAST (Калэм)
и NSTX (Принстон). Обсуждаются выгоды реактора на основе
компактного токамака [32].
Довольно интенсивно развиваются системы удержания плаз-
плазмы, основанные не на токамаках. Эксперименты на стеллара-
торах перешли от маленьких установок (Wendelstein lib, Clasp,
Uragan-1, L-l, JIPP-I, Heliotron D) к довольно большим (Wendel-
(Wendelstein VIIA, Cleo, Uragan-2, L-2, JIPP T-II, Heliotron E). Плазма
с Те ~ Tj от нескольких сотен эВ до 1 кэВ и с пе выше, чем
1013 см", поддерживается только нейтральной инжекцией без
омического нагрева. Кроме того, на установках WVIIA и He-
Heliotron Епоказана возможность работы в стационарном режиме.
На стеллараторах Heliotron E, CHS, ATF и WVII AS были изу-
изучены скейлинги времени удержания бестоковой плазмы. В 1998
г. начаты эксперименты на японском стеллараторе LHD (Large
Helical Device) [33], и еще одна большая установка — WVII-X—
в данный момент строится в г. Грайфсвальд, Германия.
Устойчивая работа пинча с обращенным полем (RFP) была
обнаружена на установке ZETA в 1968 г. незадолго до ее закры-
1) Летом 2005 г. страны — участники проекта пришли к соглашению о со-
сооружении установки ИТЭР на территории атомного центра Кадараш во Фран-
Франции. Стоимость проекта — около 5 млрд долларов, начало работы установки
запланировано на 2016 г. К 2006 г. к проекту присоединились Китай, Южная
Корея и Индия. — Примеч. ред.

Гл. 15. История термоядерных исследований 273
тия. В 1974 г. Дж. Б. Тейлор обратил внимание на то, что конфи-
конфигурация RFP — это состояние с минимумом энергии при условии
сохраняющейся спиральности магнитного поля (см. разд. 17.1).
Эксперименты с RFP проводились на установках НВТХ-1В,
ЕТА-ВЕТА 2, TPE-1RM, TPE-1RM15, TPE-1RM20, ZT-40M,
ОНТЕ, REPUTE-1, STP-3M, MST. Полученное среднее значение
ft ~ 10-15%. На ZT-40M было показано, что конфигурацию RFP
можно поддерживать так называемым динамо-эффектом все вре-
время, пока есть плазменный ток A982). Следующим шагом стали
проекты RFX и TPE-RX, которые разрабатываются в настоящий
момент.
Продолжались исследования на сферомаках S-l, CTX
и СТСС-1, а также конфигураций с обращенным полем (FRC) —
на установках FRX, TRX, LSX, NUCTE и PIACE.
Что касается открытых ловушек, то в 1976 г. на установ-
установке 2ХПВ удерживалась плазма с ионной температурой 13кэВ
и пте х 1011 см~3-с. Однако было совершенно необходимо пода-
подавить концевые потери. В 1976-1977 гг. была предложена концеп-
концепция амбиполярной (тандемной) магнитной ловушки, в которой
концевые потери подавляются электростатическим потенциалом.
Типичными представителями амбиполярных ловушек являются
установки ТМХ, TMX-U и GAMMA-10. Избежать концевых по-
потерь можно также, замкнув в тор большое число пробкотронов,
что было проделано на установках ЕВТ и NBT.
Исследования в области инерционного удержания продвину-
продвинулись далеко вперед в экспериментах по обжатию мишени свето-
световым пучком лазера на неодимовом (Nd) стекле. На установках
Gekko XII C0 кДж, 1 не, 12 лучей), Nova A00 кДж, 1 не,
10 лучей), Omega XD кДж, 1 не, 24 луча), и Octal B кДж, 1 не,
8 лучей) исследуют обжатие лазерным излучением с длиной вол-
волны Л = 1,06 мкм и на более высоких гармониках с А = 0,53 мкм
и 0,35 мкм. Было показано, что более короткие длины волн
предпочтительнее из-за лучшего поглощения и меньшего нагрева
ядра мишени. В 1990 г. в экспериментах по обжатию мишени
лазерным пучком была получена плазма высокой плотности (в
200-600 раз выше плотности твердого тела). Основываясь на
результатах экспериментов на установке Nova, Ливерморская
лаборатория создает новую установку NIF (National Ignition Fa-
Facility^, 35]) A,8 МДж, 20 не, 0,35 мкм, 192 луча, система
лазеров на неодимовом стекле).
Устойчивый прогресс в термоядерных исследованиях являет-
является результатом международного сотрудничества и соревнования.
На рис. 15.1 на плоскости пеТЕ —Tj(O) показан общий прогресс

102
•S lo
Г10(94)
АГ10(86)
2ХПВG6)
А
Р1Л
Thetatrion
ScyllaF8)
W7AS
Н-Щ86) (96) J
А
- TMXU(84) QI
ZT40(84) Q
Д JFTJ84)nPP
ITE(84) W7A^82>
0 • T4G1)
° RFX(94) T3WF8)
0 О
НВТХ(86) MST(96)
1 1— <
T3F5)
TFTR(94)^
TFTR(90)# «
TFTR(86)#
JT60(87)
•
i
JT60U(94)
> • /
^ТбОи /fi=l
(94) JT60U^
» • (96)A
DIIID^T ш\
(93) (89) (92) X
Ф •
(80)# JT60(86) Ж
ASDEX
ALHD@0)
^PDX TFR(82)
84)
2)
•
\Щ JET(90)
#JT60(89)
#
JET(86)
At wn # TFTP
(82) • TFTR(84) Г"^^1^; #
щ T10f74^ vV"/
fZJffi- PLTG4)
H-E(84) W7AS(98)
• FT(82) A-C(82)
AG6)
-
1 Ignition
i
\
\
\
_
_
_
(86)
:
-
101
1011
1020
102
, М 3-C
Рис. 15.1. Развитие экспериментов по удержанию,(ne — средняя плотность электронов, те = W/{P\0\ — dW/dt — Lthr) —
время удержания энергии, Т1@) — температура электронов). Токамак(«), стелларатор(Л), RFP(o), амбиполярная ловушка или
пробкотрон, тета-пинч (темные треугольники). Q = 1 — критические условия. W — полная энергия плазмы; Ptot — полная
мощность нагрева; Lthr — мощность радиационных потерь

Гл. 15. История термоядерных исследований 275
в области магнитного удержания. Экспериментально на уста-
установке TFTR в DT экспериментах получено Q « 0,27, а на JET
получили Q « 0,62. На JET и JT60U в экспериментах с дейте-
риевой плазмой добились условий зажигания, т. е. в пересчете
на DT-реакцию выход энергии будет такой же, как и энергия
нагрева (Qequiv =1).
Список литературы
1. Bishop A.S. Project Sherwood. — Addison Wesley, Reading Mass.,
1958 (русский перевод: Бишоп А. С. Проект Шервуд. Программа
США по управляемому термоядерному синтезу. М.: Изд. Главного
управления по использованию атомной энергии при СМ СССР,
1960).
2. Pease R.S. Plasma Phys. and Controlled Fusion. 1986. V. 28. P. 397.
3. Арцимович Л. А. УФН. 1967. Т. 91. С 365.
4. Lawson J.D. Proc. Phys. Soc. 1957. V. 70B. P. 6 (русский перевод
в кн. Управляемые термоядерные реакции. Сб. переводных мате-
материалов. Вып.26. М.: Изд. Главного управления по использованию
атомной энергии при СМ СССР, 1960. С. 12).
5. Kruskal M.D., Schwarzschild M. Proc. Roy. Soc. 1954. V. A223.
P. 348.
6. Rosenbluth M.N., Longmire C.L. Ann. Phys. 1957. V.I. P. 120;
Bernstein IB., Frieman E.A., Kruskal M.D., Kulsrud R.M. Proc.
Roy. Soc. 1958. V. A244. P. 17 (русский перевод в кн. Управляемые
термоядерные реакции. Сб. переводных материалов. Вып.26. М.:
Изд. Главного управления по использованию атомной энергии при
СМ СССР, 1960. С. 226).
7. Nature. 1958. V. 181. No. 4604. P. 217, Jan. 25.
8. Spitzer, Jr. L. Phys. Fluids. 1958. V. 1. P. 253.
9. Proceedings of the Second United Nations International Conference
on the»Peaceful Uses of Atomic Energy in Geneva Sept. 1-13, 1958,
V. 31, Theoretical and Experimental Aspects of Controlled Nuclear
Fusion. V. 32, Controlled Fusion Devices. — Geneva: United Nations
Publication, 1958. См. также: Труды Второй междунаородной кон-
конференции по мирному использованию атомной энергии. — Женева,
1958. Доклады советских ученых. Ядерная физика / Под ред.
Алиханова А.И., Векслера В.И., Власова Н.А. Избанные доклады
иностранных ученых. Физика горячей плазмы и термоядерные ре-
реакции / Под ред. Калинина В. Ф. М.: Изд. Главного управления по
использованию атомной энергии при СМ СССР, 1959.
Ю. The Second Geneva Series on the Peaceful Uses of Atomic Energy
(editor of the series by Beckerley J.G. Nuclear Fusion) N. Y.: D. Van
Nostrand Co. Inc., 1960.
H. Hayakawa 5., Kimura K. Kakuyugo Kenkyu. 1987. V. 57. P. 201, 271
(in Japanese).

276 Гл. 15. История термоядерных исследований
12. Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Conference
Proceedings, Salzburg, Sep. 4-9, 1961). Nucl. Fusion Suppl. 1962.
13. ibid: (Conference Proceedings, Culham, Sep. 6-10, 1965) Interna-
International Atomic Energy Agency, Vienna, 1966.
14. Rosenbluth M.N., Post R.F. Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 547.
15. Harris E.G. Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2. P. 34.
16. Михайловский А.Б., Рудаков Л.К ЖЭТФ. 1963. Т. 44. С. 912;
Krall N.A., Rosenbluth M.N. Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 1488.
17. Plasma Pysics and Controlled Nuclear Fusion Research (Conference
Proceedings, Novosibirsk, Aug. 1-7, 1968). International Atomic En-
Energy Agency, Vienna, 1969.
18. Forrest M.J., Peacock N.J., Robinson D.C. et al. Culham Report
CLM-R 107, July, 1970.
19. Plasma Pysics and Controlled Nuclear Fusion Research(Conference
Proceedings, Madison, June 17-23, 1971). International Atomic En-
Energy Agency, Vienna, 1971.
20. Plasma Pysics and Controlled Nuclear Fusion Research(Conference
Proceedings, Tokyo. Nov. 11-15, 1974). International Atomic Energy
Agency, Vienna, 1975.
21. JT60U Team: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Re-
Research (Conference Proceedings, Seville, 1994). IAEA, Vienna. 1995.
V.I. P. 31.
22. 01-2, 01-6, 01-3, A5-5, 02-2 in 16th IAEA Fusion Energy Confer-
Conference (Montreal, 1996). IAEA Vienna. 1997. V. 1.
23. JET Team: Nucl. Fusion. 1992. V. 32. P. 187.
24. TFTR Team: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research
(Conference Proceedings, Seville, 1994). IAEA, Vienna. 1995. V. 1,
11.
25. JET Team: 17th IAEA Fusion Energy Conference (Yokohama, 1998).
IAEA, Vienna. 1999. V. 1, 29.
26. INTOR Team: Nucl. Fusion. 1983. V. 23. P. 1513.
27. ITER PhysicsBasis: Nucl. Fusion. 1999. V. 39. No. 12. P. 2137-2638.
28. ITER-FEAT: Technical Basis for the ITER-FEAT Outline Design
(Dec. 1999). IAEA, Vienna.
29. Peng Y-K.M., Strickler DJ. Nucl.Fusion. 1986. V. 26. P. 769.
30. Sykes A. 17th IAEA Fusion Energy Conference (Yokohama, 1998).
IAEA, Vienna. 1999. V. 1, 129.
31. MAST(OV4/1), NSTX(OV4/2) Fusion Energy Conference, Sorrento,
2000.
32. Akers RJ. et al. Nucl. Fusion. 2000. V. 40. P. 1223.
33. Iiyoshi A. et al. Nucl. Fusion. 1999. V. 39. P. 1245. (OV1/4: Fusion
Energy Conference, Yokohama, 1998)
34. Lindl J.D., Marinak M.M. 16th IAEA Fusion Energy Conference
(Montreal, 1996). IAEA, Vienna. 1997. V. 3, 43.
35. Lindl J.D. Inertial Confinement Fusion. — AIP Press, Springer, 1998

Глава 16
ТОКАМАК
Считается, что слово «токамак» есть аббревиатура русских слов
«ток», «камера», «магнитная катушка» 0. Токамаки — это осесиммет-
ричные устройства, в которых полоидальное магнитное поле, столь
существенное для равновесия тороидальной плазмы, создается непо-
непосредственно током, текущим в самой плазме. Тороидальное магнит-
магнитное поле, используемое для стабилизации МГД неустойчивостей, яв-
является в токамаке достаточно сильным, чтобы выполнялось условие
Крускала—Шафранова. Это существенно отличает токамак от пинча
с обращенным полем, в котором тороидальное поле относительно неве-
невелико. Существуют превосходные обзоры и руководства по эксперимен-
экспериментам на токамаках [1, 2], равновесию [3] и диагностикам [4, 5].
§ 16.1. Установки токамак
На рис. 16.1, 16.2 и 16.3 в качестве типичных примеров пред-
представлены устройства больших токамаков JET, JT60U и TFTR.
На этих рисунках можно увидеть катушки тороидального по-
поля, катушки поля равновесия (еще их называют катушками поло-
идального поля, они создают вертикальное поле и поле, обеспе-
обеспечивающее нужную форму сечения плазменного шнура), катушки
омического нагрева (первичные обмотки трансформатора тока —
индуктора) и вакуумную камеру. Иногда под «катушками полои-
дального поля» подразумеваются как катушки поля равновесия,
так и катушки омического нагрева. Увеличение тока в первичных
обмотках трансформатора тока (в катушках омического нагрева)
индуцирует ток в плазме, работающей как вторичная обмотка.
В установке JET трансформатор тока относится к типу трансфор-
трансформаторов с железным сердечником. В токамаках JT60U и TFTR
использован тип трансформатора с воздушным сердечником. Ва-
Вакуумная камера обычно делается из тонкого листа нержавею-
1) Термин «токамак» был придуман И. Н. Головиным. — Примеч. ред.

278
Гл. 16. Токамак
Внутренние
/ PFC
Sill-- vv
Внешние
" PFC
Рис. 16.1. Зарисовка художником установки JET (Joint European Torus) в г.
Абингдон графства Оксфордшир, Англия. Катушки тороидального поля (TFC)
располагаются вокруг вакуумной камеры (VV). Катушки внешнего полои-
дального поля (внешние PFC, катушки поля равновесия) и катушки внут-
внутреннего полоидального поля (внутренние PFC, катушки омического нагрева)
намотаны в тороидальном направлении снаружи катушек тороидального поля
(TFC). В установке JET используется трансформатор тока (ТС) с железным
сердечником. Катушки тороидального поля поддерживаются механическими
устройствами (MS), позволяющими избежать значительного скручивания из-за
поля равновесия. Напечатано с разрешения JET Joint Undertaking
ICRF
¦акуумная накачка
Рис. 16.2. Вид с высоты птичьего полета токамака JT60U Японского исследо-
исследовательского института атомной энергии (JAERI)

§16.1. Установки токамак
279
Обмотки полоидального поля
Защита
Обмотки тороидального
поля
Ионные
источники
Вакуумная камера
Токоиндуцированные Инжектор
обмотки нейтральных
атомов
Рис. 16.3. Вид с высоты птичьего полета установки TFTR (Tokamak Fusion
Test Reactor) в Лаборатории физики плазмы Принстонского университета
щей стали или жаропрочного никелевого сплава и имеет зна-
значительное электрическое сопротивление в тороидальном направ-
направлении. Таким образом, электрическое напряжение, наведенное
первичными обмотками, может проникать сквозь нее. Тонкая
вакуумная камера называется «лайнер». Перед началом экспери-
экспериментов этот лайнер обезгаживают, нагревая его до температуры
150-400 °С и выдерживая в вакууме длительное время. Кроме
Т-4
Т-10
PLT
TFTR
JET
JT60U
Параметры токамаков. R, а,
R
1,0
1,5
1,32
2,48
2,96
3,4
a(xb)
0,17
0,39
0,4
0,85
1,25(х2,1)
1,1(х1,4)
R/a
5,9
3,8
3,3
2,9
2,4
3,1
Ъ в м,
Вх
5,0
5,0
3,2
5,2
3,45
4,2
Bt в Т у
h
0,3
0,65
0,5
2,5
7
6
Таблица 16.1
[, /р в МА
Примечания
компактный
некруглое сечение
JT60 модерн.
того, перед проведением основного эксперимента в установке
создается плазма со слабым тороидальным полем, чтобы этим
разрядом почистить стенку лайнера. Внутри лайнера расположе-
расположена диафрагма, сделанная из вольфрама, молибдена или графита,
которая ограничивает размер плазмы и минимизирует взаимодей-
взаимодействие этой плазмы со стенкой. Эта диафрагма называется лими-

280 Гл. 16. Токамак
тером. Недавно вместо лимитера стали использовать дивертор-
ную конфигурацию. В этом случае граница плазмы определяется
особой магнитной поверхностью — сепаратрисой (см. разд. 16.5).
Проводящая оболочка (кожух), окружающая плазму в области
вне лайнера, обеспечивает позиционное равновесие плазменного
шнура и стабилизирует МГД неустойчивости на протяжении ски-
нового времени. Величина вертикального поля контролируется
обратной связью так, чтобы всегда держать плазменный шнур
в центре лайнера. За минувшие годы в установках токамак было
сделано много усовершенствований. Для улучшения поведения
плазмы в токамаке и других тороидальных установках важное
значение имеет точность задания магнитного поля. Параметры
типичных установок токамак приведены в табл. 16.1.
Простым и полезным способом контроля за поведением плаз-
плазмы являются измерения при помощи магнитных зондов. Напря-
Напряжение обхода VL и ток в плазме /р могут быть измерены со-
соответственно магнитным зондом и поясом Роговского [4]. Элек-
Электронную температуру можно оценить по формуле Спитцера для
удельного сопротивления плазмы, рассчитанного приближенно
по VL и /р. Согласно F.18), полоидальное бета /?р можно запи-
записать в виде
^Bv), A6.1)
где \Вф\г — Вф\ ^ \В(р\ и Вш = fiolp/2ira. Поскольку диамагнит-
диамагнитный поток 5Ф равен
то
Таким образом, измерение диамагнитного потока 8Ф позволя-
позволяет определить /?р и давление плазмы. Положение плазмы можно
определить с помощью магнитных зондов д\, g<i, расположен-
расположенных вокруг плазмы, как показано на рис. 16.4, а. Поскольку
необходимая величина Bj_ вертикального поля равновесия свя-
связана с величиной Л — Рр + k/2 — 1 A[ — нормированная внут-
внутренняя индуктивность), то значение Л можно оценить по В±.
Флуктуации интенсивности тормозного мягкого рентгеновского
излучения следуют за флуктуациями электронной температуры.
Эти флуктуации локализованы на рациональных поверхностях
(<fe(f) — 1,2,...). Модовое число и направление распространения
возмущения можно оценить из показаний массива твердотель-

§16.2. Равновесие
281
SSD
Рис. 16.4. а — расположение магнитных зондов вокруг плазмы (величина
Л на рисунке отрицательна); б — массив рентгеновских (мягкий рентген)
твердотельных детекторов. Основной вклад в сигнал каждого такого детектора
дает излучение из области пика температуры вдоль линии «зрения» детектора.
Флуктуации электронной температуры в этой точке могут быть измерены
ных детекторов, показанных на рис. 16.4, б. Когда расположение
рациональных поверхностей измерено, то можно оценить и ради-
радиальный профиль тока, знание которого нужно при исследовании
МГД устойчивости.
§ 16.2. Равновесие
Решение уравнения Грэда—Шафранова F.15) для равновесия
дает функцию магнитного потока ((^-компоненты векторного по-
потенциала). Тогда магнитное поле В описывается как
гВг - —, тВг - ^,
и плотность тока j равна
где ' означает д/дф. При круглом сечении плазмы для магнитной
поверхности ф(р,и) вне плазмы, согласно F.25), имеем:
* (ln^-2)-
Граница плазмы дается условием р = а, т. е. уравнением
A6.4)

282
Гл. 16. Токамак
16.2а. Случай проводящего кожуха
Когда плазма окружена проводящей оболочкой (кожухом)
радиуса b и магнитная поверхность совпадает с этой оболочкой,
величина ф должна быть на ней постоянной. Положение кожуха
дается выражением
у 2тг
На практике положение кожуха фиксировано, и плазма занимает
подходящее равновесное положение; важным моментом при этом
является относительное расположение кожуха и плазмы. Если
магнитная поверхность задается как
Кожух
Граница плазмы
Рис. 16.5. Положения границы плаз-
плазмы и кожуха
Ф(р>и) = фо(р) + ф\ cos и,
то она представляет собой
окружность со смещенным
центром; величина смещения
А = —ф\/фц. При этом центр
плазмы смещен относительно
центра кожуха на величину
Aq равную (см. рис. 16.5, pf =
= р- Acoscj, (') ()
~(d<f>0/dp)Acosuj)
(Aq < О означает, что центр плазмы находится дальше от оси,
чем центр кожуха.)
16.2Ь. Случай отсутствия кожуха
Если вертикальное поле Bj_ одно-
однородно (постоянно в пространстве), то
равновесие плазменного шнура безраз-
безразлично относительно изменений поло-
положения плазмы. Когда же силовые ли-
линии вертикального магнитного поля ис-
искривлены, как показано на рис. 16.6,
г» ,сс п то положение плазмы устойчиво отно-
Рис. 16.6. Вертикальное „
поле, обеспечивающее рав- сительно ее смещении вверх и вниз,
новесие плазмы z-компонента Fz магнитной силы, при-

§16.2. Равновесие 283
ложенной к кольцу плазмы с током, равна
Fz = -2ttRI?Br.
Из соотношения (дВц/dz) - (dBz/dR) = 0 имеем:
где М — масса плазмы. Поскольку IpBz < О, условие устойчиво-
устойчивости для показателя п спада поля есть
R uBz л
п=-б:ж>0-
Горизонтальная компонента Fr магнитной силы
M =Fr
Cut
Величина В±, необходимая для обеспечения равновесия плазмы,
равна (см. 6.28))
Магнитный поток внутри кольца идеально проводящей плазмы
сохраняется, и
Здесь собственная индуктивность Lp = /io-R(ln(8i?/a) + k/2 — 2).
В результате уравнение движения в случае ln(8i?/a) 3> 1 имеет
Тогда условие устойчивости плазменного шнура относительно
горизонтальных смещений
п<\. A6.6)
16.2с. Предельное равновесное значение бета для токамака
с вытянутым сечением
Согласно формуле F.38), предел по полоидальному бета для
круглого токамака дается выражением (Зр = 0,5i?/a. Предел по
полоидальному бета для вытянутого токамака с горизонтальным
«радиусом» а и вертикальным «радиусом» Ь выводится из по-
похожих соображений. Если обход в полоидальном направлении
для вытянутой плазмы обозначить 2тгаК и среднее полоидаль-
ное поле при этом есть 5Р = /j,0Ip/B7raK), то отношение по-

284 Гл. 16. Токамак
лоидального и тороидального полей будет Вр/В\ = aK/(Rq\),
где К приближенно дается выражением К = [A + (Ь/аJ)/2]1/2.
Таким образом, предел по бета для вытянутого токамака равен
Р = /3p(aK/RqiJ = 0,5K2a/(Rq2I что в К2 Раз больше той же
величины для круглого токамака. Чтобы сделать сечение плазмы
вытянутым, необходимо иметь отрицательный показатель п спа-
спада вертикального поля, так что вытянутая плазма неустойчива
относительно смещений вверх-вниз. Следовательно, чтобы под-
поддерживать положение плазмы вертикально устойчивым, необхо-
необходим контроль за изменяемым горизонтальным полем с помощью
обратной связи [6].
§ 16.3. МГД устойчивость и предел по плотности
Возможная МГД неустойчивость в токамаке с низким зна-
значением бета — это винтовая (кинк) мода, которая рассмат-
рассматривалась в разд. 8.3. Кинк-моды могут быть стабилизированы
формированием подходящего профиля тока и выбором нужного
коэффициента запаса устойчивости qa. При увеличении давле-
давления плазмы величина бета ограничивается баллонными мода-
модами (разд. 8.5). Эта неустойчивость, раскачиваемая градиентом
давления, локализована в области «плохой» (неблагоприятной)
кривизны магнитных силовых линий. Предел по бета для бал-
баллонных мод дается выражением /3max « 0,28(a/Rqa), см. (8.124).
Предел по /3 для винтовых и баллонных мод зависит от ради-
радиального профиля тока в плазме (от шира) и от формы сечения
плазмы. Предел по среднему бета, /?с = (p)/B?2/2/io), рассчитан-
рассчитанный численными МГД кодами при оптимизированных условиях,
равен /Зс(%) = CnIp (МА)/а(м)Д(Т), где /?N = 2 - 3,5 (см. [7,
8]). Значение /?тах в (8.124) согласуется с результатами чис-
численного МГД моделирования. Даже когда плазма устойчива по
отношению к идеальным МГД модам, при конечном сопротив-
сопротивлении плазмы в ней могут возникнуть тиринг-моды. Если (см.
разд. 9.1) величина Л' положительна на рациональных поверхно-
поверхностях, на которых рационален коэффициент запаса устойчивости
q(r) — 1,3/2,2, около этих поверхностей нарастают тиринг-моды
и формируются магнитные острова, как показано на рис. 16.7.
Когда профиль тока в плазме пикирован, коэффициент запаса
устойчивости в центре становится q@) < 1, и на рациональной
поверхности q(r) = 1 развивается тиринг-мода с m = 1, п = 1,
приводящая к выталкиванию наружу горячей плазмы из цен-
центральной области при перезамыкании магнитных поверхностей

§16.3. МГД устойчивость и предел по плотности
285
Рис. 16.7. Магнитные острова т = 1, т = 3/2, т = 2 появляются при q(r) =
= 1,3/2,2
и уплощению профиля тока (рис. 16.8). Таким путем тепловая
энергия из центральной части плазмы теряется [2, 9]. Поскольку
электронная температура в центре выше, чем снаружи, и со-
сопротивление в центральной части меньше, профиль тока снова
пикируется, и весь процесс повторяется снова. Подобное явление
называется внутренним, или малым срывом.
Область устойчивого функционирования токамака с током
в плазме /р и плотностью пе ограничена. Для нормированной
плотности Гринвальда или параметра Гринвальда—Хьюгела—
Мураками, определяемого как
^20
/р(МА)/тга(мJ'
A6.7)
для большинства экспериментов на токамаках справедлив эмпи-
эмпирический скейлинг [10]
: 1, A6.8)
Рис. 16.8. Горячая центральная часть плазменного шнура выталкивается нару-
наружу в процессе перезамыкания магнитных поверхностей

286 Гл. 16. Токамак
где П2о — электронная плотность в единицах 1020 м 3. ATGHM
выражается и иначе (см. разд. 16.4):
0,628 П20
Верхний предел плотности электронов существенно зависит от
взаимодействия плазмы со стенкой, возрастая с увеличением
мощности нагрева, хотя скейлинг A^ghm < 1 не отражает зависи-
зависимости от мощности. При инжектировании топлива в виде водо-
водородных пеллет со стороны сильного поля на установке ASDEX-U
с усовершенствованным дивертором [11] параметр TVghm ста~
новится ~ 1,5. Видимо, -/Vqhm можно увеличивать и дальше.
В большинстве случаев коэффициент запаса устойчивости на
границе плазмы qa > 3. Вне области устойчивости обычного
функционирования токамака (-/Vqhm < 1» 1/<7а < 1/2 — 1/3) воз-
возникает сильная неустойчивость, называемая неустойчивостью
срыва. Вследствие быстрого расширения токового канала (упло-
(уплощения профиля тока) на напряжении обхода появляются отри-
отрицательные всплески из-за быстрого же уменьшения внутренней
индуктивности. При этом происходит резкая потеря тепловой
энергии плазмы. Электронная температура быстро падает, а со-
сопротивление плазмы возрастает. На осциллограмме напряжения
обхода появляется положительный пик, и затем разряд быстро
заканчивается. В некоторых случаях срыв происходит быстрее,
чем предсказывается (9.27) на основе представления о развитии
резистивной тиринг-моды. В качестве возможных механизмов
неустойчивости срыва рассматриваются перекрытие магнитных
островов т = 2/п = 1 (q(r) = 2) и га = 3/п = 2 (q(r) = 1,5) или
перезамыкание магнитных островов т = 2/п = 1, т = \/п = 1.
Обзоры МГД неустойчивостей плазмы токамака и переноса плаз-
плазмы даны в работах [12-15].
§ 16.4. Предел по бета для плазмы вытянутого
сечения
Плотность выделения мощности реакции ядерного синтеза
пропорциональна п2((ту). Поскольку вблизи Т[ ~ 10 кэВ вели-
величина (av) пропорциональна Tj2, то выходная мощность реакции
синтеза пропорциональна квадрату давления плазмы р = пкТ.
Таким образом, чем выше бета, /3 = р/(Б2/2/^о), тем экономичнее
возможный реактор синтеза. В экспериментах с нейтральной
инжекцией на установках ISX-B, JET-2 и PLT было получено

§16.4. Предел по бета для плазмы вытянутого сечения 287
среднее бета (/?) ~ 3%. Все эти токамаки имели круглое сечение
плазмы. Верхний теоретический предел по среднему бета, /Зс, для
токамака с вытянутым сечением плазмы, связанный с развитием
винтовых и баллонных неустойчивостей, равен [7, 8]
&(%) »/ЫР(МА)/а(м)Д(Т). A6.9)
Величина /?n называется фактором Тройона или нормализован-
нормализованным бета (/?n = 2-3,5). При использовании определений
критическое бета есть
/?с(%) = 5/3N^2^, A6.9')
где 2тгКа — длина обхода границы плазмы, а К приближенно
дается выражением
Х2A
Здесь ks — отношение вертикального радиуса b к горизонталь-
горизонтальному а. Коэффициент запаса устойчивости q^ на магнитной
поверхности ф равен
1 I Bt т; _ 1 f R # ,, 1 Г R , „ _ 1 ЙФ
^ 2тг J ДБР 2пс1/ф J ДВр 2тгб!/0 J 2тг d-0'
где Ф — тороидальный поток через магнитную поверхность ф.
Следует заметить, что при конечном аспектном отношении ве-
величина q\ отличается от q^. Используется (в том числе для
диверторной конфигурации, разд. 16.5) приближенная формула
для эффективного коэффициента запаса устойчивости на грани-
границе плазмы [16]
а2 В
A6.11)
Здесь е = а/R, Л = /Зр + k/2 - 1 (см. F.21)), а 6 = Л/о есть
треугольность плазмы (см. рис. 16.10). В некруглом токамаке
DIII-D в 1990 г. было достигнуто [17] ф) = 11% при а = 0,45 м,
Вх = 0,75 Т, /р = 1,29 MA, Ip/aBt = 3,1 МА/Т, /3N « 3,6,
«s = 2,35 и R = 1,43 м. На рис. 16.9 приводятся эксперименталь-
экспериментальные данные с DIII-D для наблюдаемого бета как функции ЩВ

288
Гл. 16. Токамак
12,-
10}-
Предел по винтовым
модам (rw/a =1,5)
Профили,
оптимизированные
по винтовым
модам (г\\-/а = 1,5)
Balooning
10,7%
4 г
один
нуль
L _
2,5
1/аВ,
Рис. 16.9. Наблюдаемая величина бета как функция I/аВ для DIII-D. Вычис-
Вычисления различных предельных C представлены суммарно в виде кривых при
различных предположениях относительно расположения проводящей стенки
(rw/a) (согласно данным DIII-D: Plasma Phys. Controlled Nucl. Fusion Research.
1991. V. 1. P. 69. IAEA, см. [17])
§ 16.5. Контроль за примесями, приграничный слой
и дивертор
Мощность Pbrems радиационных потерь на рентгеновское из-
излучение вследствие столкновений электронов с ионами из еди-
единицы объема составляет
brems
= 1,5-
(Вт/м3).
Время потерь на рентгеновское излучение, определяемое как
Tbrems = C/2)пекГе /Pbrems- равно
-) (с),

§16.5. Контроль за примесями, приграничный слой и дивертор 289
где П20 измеряется в единицах 1020 м~3, а кТе/е в эВ. При
пе ~ Ю20 м~3 и кГе ~ ЮкэВ имеем Tbrems ~ 8/Zeff (с). Посколь-
Поскольку ионы примеси значительно усиливают такие радиационные
потери, как рентгеновское, рекомбинационное и линейчатое из-
излучения, при наличии примесей термоядерную плазму нельзя
получить, даже если имеются только радиационные потери. С ро-
ростом температуры плазмы ионы, ударяющие в стенку вакуумной
камеры, распыляют примеси. Когда распыленные примеси прони-
проникают в плазму, они сильно ионизуются и вызывают значительные
радиационные потери, вследствие которых плазма охлаждается.
Поэтому контроль за примесями при организации термоядерного
синтеза очень важен.
Легкие примеси, такие как углерод и кислород, могут быть
удалены нагревом и газоразрядной чисткой вакуумной камеры.
Распыления тяжелых атомов (железа и др.) материала стенки
можно избежать при использова-
использовании углеродного покрытия металли-
металлической стенки. Кроме того, очень
эффективно уменьшает взаимодей-
взаимодействие плазмы со стенкой дивертор,
показанный на рис. 16.10. Внут-
Внутри диверторного слоя (Scrape-Off
Layer— SOL)l) непосредственно за
сепаратрисой плазма течет со зву-
звуковой скоростью вдоль магнитных
силовых линий по направлению
к приемным пластинам, на которых
она и нейтрализуется. При этом да-
даже если материал нейтрализующих
пластин и распылится, его атомы
будут ионизованы непосредственно
[а
\
й
. а)
У
Рис. 16.10. Диверторная конфи-
конфигурация с сепаратрисной маг-
магнитной поверхностью S (сле-
(слева). Определение треугольно-
сти S = Л/а (справа)
в диверторе вблизи этих
пластин. Поскольку тепловая скорость тяжелых ионов гораздо
меньше скорости потока плазмы (которая есть не что иное, как
тепловая скорость ионов водорода), то маловероятно, что они
потекут назад в основную плазму. Из-за радиационного охла-
охлаждения электронная температура плазмы в области дивертора
становится низкой. Соответственно, вследствие выравнивания
давления вдоль магнитных силовых линий, плотность в области
дивертора вблизи нейтрализующих пластин становится высокой.
1) В отсутствие дивертора SOL также существует и образуется силовыми
линиями, опирающимися на диафрагму (лимитер), поэтому его точнее имено-
именовать приграничным слоем. — Примеч. ред.
10 Миямото К.

290
Гл. 16. Токамак
Столкновения уменьшают скорости ионов плазмы, падающих
на пластины, что подавляет распыление. И действительно, при
использовании диверторной конфигурации наблюдается умень-
уменьшение излучения примесей из основной плазмы. Однако SOL
в диверторе неширок, и большая часть энергетических потерь
концентрируется в узкой области на диверторной пластине. Зна-
Значительные тепловые нагрузки на диверторную пластину есть
один из критических моментов при проектировании реактора.
Физические процессы в диверторном слое и диверторе активно
исследовались экспериментально и теоретически [18].
Рассмотрим перенос тепла в диверторном слое. Предполага-
Предполагается, что перенос тепла вдоль магнитных силовых линий осу-
осуществляется в основном за счет классической электронной теп-
теплопроводности, а поперек магнитного поля — за счет аномальной
термодиффузии. Мы используем плоскую модель, показанную на
рис. 16.11, и опускаем постоянную Больцмана перед температу-
температурой. Имеем:
" " -Qrad=O, A6.12)
дТе
п7/2
A6.13)
i дТл
>?. A6Л4)
„с ~ пЛ2 „е1 = 2,8 • 103м-1Ж(эВ)-7/2Ге5/2(эВM/2.
Здесь дц и q± — тепловые потоки в направлениях вдоль и поперек
магнитного поля, Qra^ — радиационные потери, кс — коэффици-
коэффициент теплопроводности, %j_, xlj_ ~~ коэффициенты термодиффузии,
a D — коэффициент диффузии частиц. Точка, где тепловой
Точка стагнации E = 0)
SOL
SOL
Qrad
Х-точка
(s = Lx)
0
Плазма
Диверторная пластина (s = Ld)
Рис. 16.11. Конфигурация диверторного слоя (SOL) и дивертора. Координаты
плоской модели (справа)

§ 16.5. Контроль за примесями, приграничный слой и дивертор 291
поток обращается в нуль (точка стагнации), выбирается за s = О,
а Х-точке сепаратрисы и диверторной пластине приписываются
значения s = Lx и s = Lp соответственно. Граничные условия
при s = 0 и s = Lp-
9||о = 0, A6.15)
Mg)rD + 0. A6.16)
где ud — скорость потока плазмы на диверторной пластине,
Ми — число Маха, Md = uv/cs. 7 ~ 7 — коэффициент пре-
преобразования энергии в тонком переходном слое перед пласти-
пластиной, ? « B0 — 27) эВ — энергия ионизации. Звуковая скорость
Cs = csT^\ cs = 0,98B/^)^КL м • с-ЦэВ)-1/2, Л - атомная
масса. Первый и второй члены в A6.16) представляют собой
потоки мощности на кожух, а третий член — мощность, потреб-
потребляемую в процессе рециклинга. Уравнения для плотности частиц
и для импульса вдоль магнитных силовых линий можно записать
в виде
^ " &х,г, A6.17)
-рг- = —-J- — muSmi A6.18)
ds ds y
где Sm = пщ(ау)т представляет собой потерю импульса при
столкновениях с нейтралами, S[ = пщ(ау)\ — ионизационный
член, 5cx,r = nno(av)cx,v — потери энергии из-за перезарядки
и радиационной рекомбинации. Уравнения A6.17) и A6.18) сво-
сводятся к
д(пти2 +р) /с i с \ i с A а 1 с\\
-±—_ ZL = -mu(Sm + Scxr) + muS[. A6.19)
OS
Скорости потока при 5 = 0 и s = Ld равны uq = 0 и иъ =
= Mdcs,Md ^ 1 соответственно. Тогда уравнения A6.12), A6.13)
и граничные условия A6.15), A6.16) сводятся к
^| A6.20)
' OS
s s'
2-f(T7J2{s) - T&2) = J dsf J(V±gi + Qrad)^. A6.21)
10*

292 Гл. 16. Токамак
Когда V_l<?_l = const, Qrad = 0 при 0 < s < Lx и V±q = 0, Qrad =
= const при Lx < s < Ld, имеем
^(Ге7/2E) - Te7D/2) = 0,5(-Viq±)BLxLD -Ll- S2)+
+ 0,5Qrad(LD - LxJ @ < s < Lx).
Когда радиационный член пренебрежимо мал, Гео = Те@) стано-
становится равной
Если Гео < О,5Гео и Ld — Lx <C Lx, имеем
^f, A6.22)
где 1/А^ = — V_l#jlA?j_. Если характерные масштабы по темпе-
температурному градиенту и градиенту плотности равны Хт и Ап
соответственно и предполагается, что (Т(г) = Гехр(—г/Ат),
п(г) = пехр(—г/\п)) и х^ <С х! и ^ ^ Х±> Уравнение A6.14)
принимает вид
ё(К1)ё) Aб-23)
Таким образом, если хе — известная функция хе(Ге,п, В), то Хт
задается как Ат(Ге,п, B,q±).
Рассмотрим соотношения между no,Teo,Tgo в точке 5 = 0
и значениями пэ,То на диверторной пластине s — Ld- Поток
импульса в области дивертора уменьшается из-за столкновений
с нейтралами, перезарядки и ионизации и становится меньше,
чем в точке s = 0,
^% A6'24)
Из-за радиационных потерь поток мощности на диверторную
пластину уменьшается из-за радиационных потерь по сравнению
с потоком мощности q±Lx в диверторный слой через сепаратрису
длиной Lx,
оо
I
A6.25)

§16.5. Контроль за примесями, приграничный слой и дивертор 293
где /rad — Д°ля радиационных потерь. Уравнения A6.25)
и A6.16) сводятся к
т.е.
¦I/An 1/BАг) + 1/А
1,5 + Аг/Ап'
-1 = A ~frai)Q±Lx,
Кривая G(Td) представле-
представлена на рис. 16.12, эта вели- 30
чина _имеет минимум при
Го = ?/(т + -Wd)- ^ случае 20
MD « 1, 7 « 7, f = 24 эВ
значение G(Td) есть
1 +
1
7 + MD TD
A6.26)
A6.27)
10
20
TD
В этом случае грубо G(Td)
^,1/2 Рис. 16.12. Зависимость <3(Т0)(эВI/2 от
пропорционально TD' при Т0(эВ)
Го >15эВ. Зависимость Гео
от по очень слаба, посколь-
—2/7
ку Гео зависит от ns лишь через Xq ' , как это можно видеть из
A6.22). Из A6.26) и A6.24) следуют оценочные соотношения
ос щ
-2
0 '
ОС Пд,
A6.28)
и плотность по в диверторе растет нелинейно с плотностью по
в SOL выше по течению плазмы.
Когда плотность по выше по течению возрастает при со-
сохранении постоянной левой части уравнения A6.26), решение
Го уравнения A6.26) не может существовать при плотности
выше некоторого порогового значения, поскольку G(Td) имеет
минимальное значение (рис. 16.12). Это связано с появлением
«оторванной» (detached) плазмы, когда выше по течению превы-
превышается порог плотности [18].
Тепловая нагрузка </>о на диверторную пластину перпендику-
перпендикулярно магнитной поверхности, дается выражением
ер _
^)^, A6.29)

294
Гл. 16. Токамак
где Psep — полный поток мощности через сепаратрисную поверх-
поверхность, а \фг> - радиальная ширина потока тепла на диверторную
пластину,
Psep = 27raK27rRq1_, Хфп = Ат, - ^
Дробь Bo/Bqd = 2 — 3 — отношение плотностей магнитных по-
поверхностей (обратных расстояний между ними) в точке стагна-
стагнации (s = 0) и на диверторной пластине. Если диверторная пла-
пластина наклонена под углом а к магнитной поверхности, то поток
тепла на такую наклоненную пластину отличается множителем
since от случая диверторной пластины, нормальной к магнитной
поверхности.
§ 16.6. Скейлинг L-моды
Поток энергии ионов и электронов в плазме схематично по-
показан на рис. 16.13. Обозначим мощность нагрева электронов
в единичном объеме Phe, а мощность радиационных потерь и по-
потерь на электрон-ионную релаксацию R и Ре1 соответственно;
тогда производная по времени от тепловой энергии электронов
в единичном объеме дается формулой
Электронный нагрев
о
центральная
плазма
центральная
плазма
Электроны
Ионный нагрев
о
Ионы
терморелаксация
Электроны
Д|х
Ионы
терморелаксация
1
|СХ|
диверторная пластина
или лимитер
стенка
Рис. 16.13. Поток энергии ионов и электронов в плазме. Жирные стрелки —
теплопроводность (х). Тонкие стрелки — конвективные потери (D). Пунк-
Пунктирная стрелка — радиационные потери (R). Штрих-пунктирные стрелки —
потери на перезарядку (СХ)

§16.6. Скейлинг L-моды 295
где Хе — теплопроводность электронов, a De — коэффициент
диффузии электронов. Что касается ионов, то для них выводится
аналогичное соотношение, только вместо радиационных потерь
следует учесть потери на перезарядку, Lex, при столкновениях
ионов с нейтралами, так что
d /3 ^Л „ г „ 1 д
It {2niKTi) = Phi " Lcx + Pei + F*
Результаты экспериментов по омическому нагреву и по нагре-
нагреву инжекцией пучка нейтральных атомов можно объяснить клас-
классическими процессами. Теоретический анализ позволяет оценить
довольно аккуратно эффективность волнового нагрева. Радиа-
Радиационные потери и потери на перезарядку являются классиче-
классическими процессами. Чтобы установить баланс энергии в плазме
экспериментально, необходимо измерить такие фундаменталь-
фундаментальные величины, как ne(r,?),Ti(r,i),Te(r,?), а также другие [4].
Согласно многим экспериментальным результатам, релаксация
энергии между ионами и электронами является классической,
и наблюдаемая ионная теплопроводность в некоторых случаях
в 2-3 раза выше неоклассической
Q/О
(/ = 1 в режиме Пфирша—Шлютера и / = ех ' в банановом
режиме), а в некоторых случаях наблюдаемая ионная тепло-
теплопроводность аномальна. Теплопроводность электронов, оценивае-
оцениваемая на основе экспериментальных результатов, всегда аномальна
и гораздо выше неоклассической (более чем на порядок). В боль-
большинстве случаев время удержания энергии в плазме определя-
определяется в основном потерями за счет теплопроводности электронов.
Время удержания энергии те в стационарном состоянии опреде-
определяется как
C/2) (пек,Те + n{KT{)dV
те=]- р •
Время удержания энергии tqh в плазме с омическим нагревом
хорошо описывается алкаторным (неоалкаторным) скейлингом О
!) Алкаторный и неоалкаторный скейлинг слегка различны. Приведенная
формула функционально отражает неоалкаторный скейлинг, а числовой коэф-
коэффициент взят из алкаторного. Перечень скейлингов омического режима см.
в монографии Захаров Л.Е., Путвинский СВ. Итоги науки и техники. Физика
плазмы. Т. 7. С. 23. - М.: ВИНИТИ, 1985. - Примеч. ред.

296 Гл. 16. Токамак
(время измеряется в секундах, радиус — в метрах, концентра-
концентрация - в [юЧг3]):
Однако линейная зависимость tqh от средней плотности элек-
электронов пе нарушается в области высоких плотностей пе > 2,5 -х
х 1020 м~3, и гон стремится к насыщению. Когда плазма нагре-
нагревается инжекциеи высокоэнергичных нейтралов или при помощи
волнового нагрева, то с ростом мощности нагрева время удержа-
удержания энергии уменьшается (деградация удержания). Кэй и Гол-
дстоун проанализировали многие экспериментальные результаты
по инжекционному нагреву плазмы и получили так называемый
скейлинг Кэя—Голдстона для времени удержания энергии [19],
а именно,
тАих(с) =
где используются единицы МА, МВт и м, вытянутость обозна-
обозначена через «s, a Ptot — суммарная мощность нагрева в МВт 0.
Группа ITER собрала данные по недавним экспериментам.
Анализ экспериментальной базы данных по удержанию в L-моде
(см. следующий раздел) приводит к скейлингу ITER-P[20]
(с) = 0,048/p0'85i?1'2a°'3n^1S0'2 (A^/PI'2 , A6.31)
где используются единицы МА, м, Т, МВт, средняя плотность
Що измеряется в 1О2Ом~3. Р — мощность нагрева с поправ-
поправкой на излучение Pr (Р = Ptot — Pr). Сравнение скейлинга
rrrER-P с данными экспериментов по L-моде представлено на
рис. 16.14. В термоядерной плазме с идущей реакцией синтеза
при Т ~ 10 кэВ мощность нагрева грубо равна мощности, выде-
выделяемой с a-частицами, Ра « 0,04nQT20rMa3^s (МВт, Ю2Ом~3,
кэВ, м) (см. разд. 16.11). Интересно отметить, что для скейлин-
гов Голдстона и удержания в L-моде величина потГге зависит
лишь от произведения А1р.
1) Здесь тоже нет единства в названиях. Индекс AUX относится к установке
ASDEX, но скейлингом ASDEX обычно называют другое выражение. При-
Приведенная формула для гдих иногда именуется скейлингом Голдстоуна, тогда
как скейлинг Кэя—Голдстоуна устроен более сложно. Подробно о скейлингах,
математических и физических принципах, лежащих в их основе, их перечень
и интерпретацию — см. монографию Есипчук Ю.В., Юшманов П.Н. Итоги
науки и техники. Физика плазмы. Т. 10. 4.2. — М.: ВИНИТИ, 1991. —
Примеч. ред.

§ 16.7. Н-мода и режимы с улучшенным удержанием.
297
о,:
0,01
0,0011
0,001
0,01
0,1
_ITER-P
тЕ , с
xASDEX
+ Dili
^ISX-B
о JET
«JTF-2M
° JI-60
®IFXR
^ITER-P
Рис. 16.14. Сравнение скейлинга удержания т^ г с экспериментальными
данными по времени удержания т|хр в L-моде (по Yushmanov et al. Nucl.
Fusion. 1990. V.30. P. 1999 [20])
§ 16.7. Н-мода и режимы с улучшенным удержанием.
Состояние с улучшенным удержанием — Н-мода — было
обнаружено в экспериментах на ASDEX [21, 22] в диверторной
конфигурации. Когда мощность инжекционного нагрева превы-
превышает пороговую величину, интенсивность линии дейтерия Da
на границе дейтериевой плазмы неожиданно и резко убывает
(масштаб времени — 100 мкс), убывает и рециклинг атомов
дейтерия вблизи границы плазмы. Одновременно регистрируется
значительное изменение радиального электрического поля Ег на
периферии плазмы (оно изменяется в отрицательную сторону).
Кроме того, увеличиваются плотность электронов и плотность
тепловой энергии, и примерно в 2 раза увеличивается время
удержания энергии в плазме. Н-мода наблюдалась в установках
PDX, JFT-2, DIII-D, JET, JT60U и других. Удержание, описыва-
описываемое скейлингом Кэя—Голдстона, называется L-модой. В Н-моде
градиенты температуры и плотности электронов непосредственно
перед границей плазмы, определяемой сепаратрисой, становятся
большими. В спонтанной Н-моде поле ЕГу будучи отрицатель-
отрицательным (направленным вовнутрь), увеличивается по модулю — см.
рис. 16.15 [23, 24]. В работах [25, 26] указывалось, что причиной
изменения радиального электрического поля при L-H переходах
могут быть потери ионов, орбиты которых вблизи границы плаз-
плазмы конечны. Радиальное электрическое поле вызывает вращение
плазмы в полоидальном направлении со скоростью v$ = -Ег/В

298
Гл. 16. Токамак
20
10
0
-10
-20
-30
Гр = 1,0 МА
Вт = 1,2
2,27 2,29
Д, м
2,27 2,29
R, м
0,1
О
2,25 2,27 2,29
R, м
R, м
Рис. 16.15. Графики различных профилей приграничной плазмы в процессе
L-H перехода на DIIID: а — профиль Ег\ б — профили ионной температуры,
измеренные с помощью рекомбинационной спектроскопии при перезарядке
CVII; в, г — профили электронной температуры и плотности, измеренные по
томсоновскому рассеянию (по Doyle et al. Plasma Phys. Controlled Nucl. Fusion
Research. 1991. V. 1. P. 235. IAEA [24])
и в тороидальном со скоростью Уф = —(Ег/В)(Во/В). Если
существует градиент Ег, то генерируются сдвиговые вращения
в полоидальном и тороидальном направлениях. На важность
сдвигового течения для подавления периферийной турбулентно-
турбулентности и улучшения удержания указывалось в работе [27].
Рассмотрим следующую гидродинамическую модель:
= s,

§ 16.7. Н-мода и режимы с улучшенным удержанием. 299
где ? — поле возмущений. Считается, что vq — равновесное
Е х В течение, 7 представляет собой источник накачки тур-
турбулентности, a Ld — оператор, ответственный за диссипацию
турбулентности. Совместная корреляционная функция (?A)?B))
поля возмущений ?A) в точке 1 и ?B) в точке 2 описывается
уравнением [28]
=T, A6.32)
где D — коэффициент радиальной диффузии турбулентности,
Г — член накачки, г+ = (г\ + Г2)/2, в- = в\ — 02, у- = г+0_.
Время декорреляции т^ в полоидальном направлении — это вре-
время, за которое относительное смещение точек 1 и 2 в сдвиговом
течении сравняется с пространственной длиной корреляции тур-
турбулентности, fc^.1, т. е.
5у = vfe(Ar)rdi
1
vfeArkOk'
Темп декорреляции u>s в полоидальном направлении составляет
Если Ar — длина корреляции турбулентности в радиальном
направлении, то скорость (темп) радиальной декорреляции
дается выражением
(ArJ'
Поскольку существует сильное взаимодействие радиального
и полоидального декорреляционных процессов, суммарный темп
декорреляции 1/тСОгг есть комбинация этих двух скоростей, т. е.
= (и;2 Ac^tI^3 = (—^-) A^t- A6.33)
Гсогг V AcJt /
Темп декорреляции l/rCOrr в (uos/Аи\J/Ъ раз выше, чем Au;t; Auj\
представляет собой темп декорреляции турбулентности в случае

300 Гл. 16. Токамак
отсутствия шира ^сдвига) у потока. Поскольку уровень насыще-
насыщения флуктуации ? оценивается как
|?|2 - Г X Тсогг,
то для него получается
2/3 1
|fo|2 Us/ \(dv$/dr)to
t~l = (k20y)D,
гДе |?о| соответствует случаю бесширового течения. Влияние
сдвигового течения на уровень насыщения резистивной тур-
турбулентности, накачиваемой градиентом давления, показано на
рис. 16.16. Из этого рисунка очевидна связь между полоидаль-
ной и радиальной декорреляциями сдвиговых флуктуации. По-
Поскольку коэффициент термодиффузии пропорционален |?|2, то он
уменьшается на периферии плазмы, и там формируется тепловой
барьер.
Физика Н-моды интенсивно изучается теоретически.
Наряду со стандартной Н-модой, обнаруженной на ASDEX
и других установках, также наблюдаются и другие типы мод
с улучшенным удержанием. Так, в экспериментах на TFTR[29]
проводилось обезгаживание первой стенки (удаление дейтерия)
перед опытами с углеродным лимитером, расположенным на
внутренней стороне (в области сильного поля) вакуумного тора.
Затем включалась сбалансированная ко-инжекция (пучок на-
направлен вдоль тока в плазме) или контр-инжекция (направление
пучка противоположно току) пучка нейтральных атомов в дей-
териевую плазму, и наблюдался «супершот» с улучшенным удер-
удержанием. В «супершоте» профиль плотности электронов сильно
пикирован (пе@)/(пе) = 2,5-3).
На DIII-D наблюдалась VH мода [30], в которой область
сильного электрического поля расширялась от периферии в на-
направлении центра плазмы (г/а ~ 0,6), и при этом те/т^ r"p было
3,6. В опытах на JT60U наблюдалась Н-мода [31] с высоким
полоидальным бета, /?р = 1,2 — 1,6, и профиль плотности был
пикирован (пе@)/(пе)= 2,1 - 2,4). Кроме того, формировался
краевой тепловой барьер, присущий Н-моде.
Хинтон и др. [32] указали на то, что пикирование профи-
профилей давления и плотности приводит к увеличению градиента
радиального электрического поля. Из радиальной компоненты

§16.7. Н-мода и режимы с улучшенным удержанием.
301
0,44
О 20 40 60 80 100 120 140 160 180
в
Рис. 16.16. Мгновенное изображение контуров равной плотности для бесши-
рового (вверху) и сильно-сдвигового (внизу) потоков (по Bigrali et al. Plasma
Phys. Controlled Nucl. Fusion Reseach. 1991. V. 2. P. 191. IAEA) [27].
уравнения движения E.7) для ионной компоненты или из E.28)
имеем , ,
— %:• A6-34)
Дифференцирование Ег по г дает
dEr I dri\ dpi
dr enf dr dr '
поскольку в типичных условиях экспериментально наблюдаемой
Н-моды вклад прочих членов мал.
Недавно мода с хорошим удержанием в конфигурации с от-
отрицательным магнитным широм демонстрировалась на DIII-D,

302
Гл. 16. Токамак
TFTR, JT60U, JET и Tore Supra [33]. Как было показано
в разд. 8.5, в области отрицательного шира,
^;х<0' A6.35)
баллонная мода устойчива.
Пример радиальных профи-
профилей температуры, плотности
и q на установке JT60U пред-
представлен на рис. 16.17. За счет
комбинирования центрально-
центрального нагрева и отрицательного
магнитного шира, возле точ-
точки минимума q появляются
большие градиенты темпера-
температуры и плотности. Этот внут-
внутренний транспортный барьер
формируется вследствие эф-
эффектов отрицательного маг-
магнитного шира 0 и шира ско-
скорости электрического дрейфа
плазмы (Е х В).
Мерой хорошей реали-
реализации моды с улучшенным
удержанием служит отноше-
отношение Hi наблюдаемого време-
времени удержания энергии tjP ~
к скейлингу tjFer"p
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
г/а
Рис. 16.17. Радиальные профили тем-
температур ионов и электронов, а также
профили плотности и q в конфигура-
конфигурации с отрицательным магнитным ши-
ром в установке JT60U
ГЕХР
ЕХР
A6.36)
Наблюдаемое значение фактора Hi находится в диапазоне 2-3.
Итеровская рабочая группа по базе данных для Н-моды со-
собрала данные экспериментов на установках ASDEX, ASDEX-U,
DIII-D, JET, JFT-2M, PDX, РВХ и Alcator C-Mod и т. д. Резуль-
Результаты анализа Н-моды в этих экспериментах приводят к следую-
1) Режимы с внутренними транспортными барьерами получены эксперимен-
экспериментально и при стандартном положительном шире. Как правило, барьер лока-
локализован вблизи рациональной поверхности с низкими га, п; исчерпывающей
теории явления до настоящего времени нет. — Примеч. ред.

§ 16.7. Н-мода и режимы с улучшенным удержанием. 303
щему выражению для времени удержания энергии [34]:
^Р В98у2 = 0,0562/р°'98В?'15Р^
^ = 0,0562/рВ?Р
A6.37)
где используются единицы: с, MA, T, МВт, атомная единица
массы, м, 1019 м~3, а полная мощность нагрева скорректирована
с учетом инжекционного нагрева, орбитальных потерь и потерь
на перезарядку, что уменьшает временную производную запа-
запасенной энергии. Этот скейлинг используется при существовании
колебаний, локализованных на краю плазмы (ELM). Скейлинг
для пороговой мощности нагрева Рщ, определяющий границу
окна оперирования (работы) с Н-модой:
Лн = 2,84М1-1^82п^Д1'00о0-81. A6.38)
В большинстве экспериментов с горячей плазмой для нагрева
этой плазмы используется инжекция пучка нейтральных атомов.
В комбинации с модой с улучшенным удержанием, например,
с Н-модой, в супершоте или с модой с высоким (Зр в больших
токамаках, инжекция нейтралов дает плазму с термоядерны-
термоядерными температурами. Параметры плазмы для типичных разрядов
в установках JET [35], JT60U [31] и TFTR [29] представлены
в табл. 16.2.
В современных источниках пучков нейтральных атомов по-
положительные ионы водорода ускоряются и затем проходят через
ячейку, заполненную нейтральным газом, где ионы превращают-
превращаются в пучок быстрых нейтралов в процессе перезарядки (присоеди-
(присоединение электрона). Однако доля положительных ионов водорода,
превращаемых в нейтральные атомы, становится маленькой, ко-
когда энергия иона больше 100кэВ B,5% при 200кэВ). С другой
стороны, доля отрицательных ионов водорода (Н~), превращае-
превращаемых в нейтральные атомы (обдирание электронов), в диапазоне
высоких энергий не уменьшается (составляет «60%); разрабаты-
разрабатывается высокоэффективный инжектор пучка нейтралов с источ-
источником отрицательных ионов.
Волновой нагрев, описанный в гл. 12, представляет собой
Другой способ нагрева плазмы. На установке PLT наблюда-
наблюдалась сравнимая эффективность волнового ВЧ-нагрева в диапа-
диапазоне ионной циклотронной частоты и инжекционного нагрева.
В экспериментах по такому ионному циклотронному нагреву
(ИЦН) на JET были достигнуты параметры «2]@) = 5,4 кэВ,
^Ге@) = 5,6 кэВ, пе@) = 3,7 • 1013 см, те « 0,3 с при
^ = 7 МВт.

304
Гл. 16. Токамак
Таблица 16.2
Параметры плазмы в больших токамаках JET [35], JT60U [31] и TFTR [29].
Здесь nj@)TEOtTi@) — тройное произведение для термоядерной плазмы, к5 —
отношение вертикального радиуса к горизонтальному, q — эффективные коэф-
коэффициенты запаса устойчивости вблизи границы плазмы для различных опре-
определений: #95 — коэффициент запаса устойчивости на магнитной поверхности,
соответствующей 95% потока, geff и q* определяются в A6.11) и работе [29]
соответственно, q\ определяется в разд. 16.4. ?ш — энергия частиц при ин-
жекции нейтралов
/Р(МА)
Вх (Т)
R/a(u/u)
q
qi
Пе@)A019М-3)
Пе@)/(Пе)
щ@)A019м-3)
Те@)(кэВ)
Те@)/(Ге>
Т{(кэВ)
Wdia (МДж)
С^,аМ(МДж/с)
Zett
А>
А(%)
д (фактор Тройона)
Pnb(MBt)
^в(кэВ)
40t = W/PM(c)
^@)т^Т}@)A020кэВм-3с)
пт@)/(пт@) + по@))
Pfusion (МВТ)
JET
без ELM
No.26087
3,1
2,8
3,15/1,05
1,6
995=3,8
2,8
5,1
1,45
4,1
10,5
1,87
18,6
11,6
6,0
1,8
0,83
2,2
2,1
14,9
135, 78
0,78
«3,0
5,9
0
—
JT60U
с ELM
No.E21140
2,2
4,4
3,05/0,72
1,7
&ff=4,6
3,0
7,5
2,4
5,5
10
—
30
7,5
—
2,2
1,2
«1,3
«1,9
24,8
95
0,3
«2,1
5
0
—
TFTR
«супершот»
2,5
5,1
«2,48/0,82
1
tf*=3,2
2,8
8,5
—
6,3
11,5
—
44
6,5
7,5
2,2
«1 1
«1,2
2
33,7
110
0,2
«2,0
5,5
0,5
9,3

§16.8. Неиндукционное возбуждение тока 305
§ 16.8. Неиндукционное возбуждение тока
До тех пор, пока в установке токамак ток в плазме воз-
возбуждается электромагнитной индукцией в трансформаторе тока,
разряд с неизбежностью будет импульсным с конечной протя-
протяженностью во времени. Если же ток в плазме поддерживать
неиндукционным способом, то, в принципе, возможен и непре-
непрерывно работающий (стационарный) токамак—реактор. Возбуж-
Возбуждение тока инжекцией нейтралов было предложено в работе [36],
а с помощью волн — Окавой и Уортом [37]. Импульс инжек-
инжектируемых частиц или волн преобразуется в импульс заряжен-
заряженных частиц, и результирующий направленный поток заряженных
частиц создает электрический ток. Возбуждение тока с помо-
помощью инжекции нейтралов было продемонстрировано на DITE,
TFTR и других установках. Генерация тока волнами в диапазоне
нижнегибридной частоты [38] была осуществлена на установках
JFT-2, JIPPT-H, WT-2, PLT, Alcator С, Versator 2, Т-7, Wega,
JT-60 и др. Возбуждение тока электронными циклотронными
волнами [40] наблюдалось на Cleo, Т-10, WT-3, Compass-D,
DIII-D, TCV и других установках.
16.8а. Возбуждение тока нижнегибридными волнами
Теория возбуждения тока волнами изложена здесь по рабо-
работам [38]. При распространении волны вдоль магнитной сило-
силовой линии функция распределения частиц плазмы по скоростям
уплощается вблизи фазовой скорости волны из-за диффузии
в пространстве скоростей. Введем для коэффициента диффузии
в пространстве скоростей вследствие действия волны обозначе-
обозначение Dv\, тогда уравнение Фоккера—Планка (см. [39])
где Ef/5t)Y.p. — фоккер—планковский столкновительный член
) = -Е ("Т/Г^Л) + -Ц^яшед) , A6.40)
tjFP ^—' \v2 dv УБтвдв )
ie
Здесь {у, 0, ф) — сферические координаты в пространстве скоро-
скоростей. Когда скорость пробной частицы больше тепловой скорости

306 Гл. 16. Токамак
частиц плазмы (v > v?), тензор диффузии в пространстве скоро-
скоростей D\\, D± и коэффициент динамического трения А сводятся к
II"
/г4\3
~ 2 2v*
m v
где „
Т* *Y п*ЫЛ
и Я*2 = qq*n*/(eom). Здесь ^, п* — тепловая скорость и плот-
плотность полевых частиц, q* — заряд такой частицы, г q — заряд
пробной частицы. Рассмотрим электронную функцию распреде-
распределения в пространственно-однородном случае в отсутствие внеш-
внешней силы (F = 0). При этом учитываются электрон-электронные
и электрон-ионные столкновения (заряд иона Z). Вводя без-
безразмерные величины г = voety и = v/vje, w = vz/v%e, D(w) =
= Drf/vjlvoe, запишем уравнение Фоккера—Планка как
дт dw \ ;dw) 2и2ди\иди ) 4и3 вш0дв\ дв
При использовании в пространстве скоростей декартовых ко-
координат (vXJ vy, vz) = (v\, V2, vs) вместо сферических, по-
поток в фоккер—планковском столкновительном члене имеет вид
(предполагается, что v > v^)
A6.42)
A6.43)
^ i ii/ ^f] UZU1J I —o~ \KJL"lul и ^f]) I y I ID.rrrr)
Do = v^ 2 2*= ~V^^ A6.45)
4тте$т Vj *
и кинетическое уравнение
(??) —v..j.
Напомним, что Л^ — коэффициент динамического трения,
Dij — компонента тензора диффузии. Предположим, что функ-
функция распределения по поперечным скоростям vx, vy является

§ 16.8. Неиндукционное возбуждение тока
307
максвелловской. Тогда одномерное уравнение Фоккера—Планка
для функции распределения F(w) = $fdvxdvy по параллельной
скорости w = vz/vje может быть получено интегрированием по
(vx, vy):
Sj
dvxdvy = (-Vv • J) dvxdvy =
При \vz\ > \vx\, \vy\ можно воспользоваться приближением v «
« |vz|. В результате одномерное уравнение Фоккера—Планка для
F(w) принимает вид
dF д /n/ ,dF\ , Л , Z\ д
и стационарное решение
¦
—wdw
Функция F(w) схематически показана на рис. 16.18 (когда
D(w) = 0, получается максвелловское распределение). F(w)
несимметрична относительно w = О, так что существует электри-
электрический ток. Плотность J такого тока равна
J =
V\\
Рис. 16.18. Функция распределения f(v\\) электронов, выположенная в диа-
диапазоне от v\ = c/N\ до V2 = с/АГ2 за счет взаимодействия с нижнегибридной
волной, чей продольный показатель преломления Щ изменяется от N\ до А^

308 Гл. 16. Токамак
где j — JwF(w)dw, и
. ^ un^wz F(wx){w2 - wi). A6.46)
С другой стороны, этот ток диссипирует за счет кулоновских
столкновений. Следовательно, для поддержания тока необходимо
восполнять диссипированную энергию из энергии волны. Необ-
Необходимая мощность
Г
Г w2
J Y
nmv2 д /n df
д
где pd находится с использованием стационарного решения для
F(w) в предположении wsD(w) » 1, т. е.
In —
Более точно, это отношение выглядит так [38]:
Отношение плотности тока J к мощности P<j на единицу объема,
необходимой для поддержания тока, дается выражением
J
где ftlkev — температура электронов в кэВ, а щ§ — плотность
электронов в единицах 1019м~3.
Отношение полного генерируемого тока /cd к мощности Wlh>
вводимой в нижнегибридных волнах,
J27rrdr
и эффективность генерации тока с помощью этих волн

§16.8. Неиндукционное возбуждение тока 309
ViH(r)Pd(rJnrdr
,т =
Pd(rJnrdr
где г]ш(г) ~~ локальная эффективность генерации тока, равная
Здесь R — большой радиус в метрах, а величины ту измеряются
в 1019А/Вт-м2. Средний квадрат (w2) отношения фазовой скоро-
скорости (в направлении магнитного поля) бегущих волн к тепловой
скорости электронов порядка 20-50. В экспериментах на JT60U
A994) плазменный ток /р = 3 МА возбуждался инжекцией ниж-
нижнегибридной волны с Wlh — 4,8 МВт при п — 1,2 • 1019 м~3,
(«Те) ~ 2 кэВ, R = 3,5 м и В\ = 4 Т (г]ш « 2,6). Результаты этих
экспериментов согласуются с теоретическими результатами.
Впервые эксперименты по подъему тока спомощью нижнеги-
нижнегибридных волн (LHCD) проводились на WT-2, PLT и на других
установках запуском нижнегибридной волны в плазму, создан-
созданную при помощи электронного циклотронного нагрева и с помо-
помощью других типов нагрева. Когда ток в плазме низкой плотности
нарастает и плотность плазмы увеличивается, по достижении
током определенной величины весь доступный магнитный по-
поток индуктора может быть использован для поддержания до-
достигнутого тока, так что продолжительность разряда возрастает
в несколько раз.
Мощность, необходимая для возбуждения тока, пропорци-
пропорциональна плотности, и генерация тока нижнегибридной вол-
волной ниже некоторой пороговой плотности просто невозможна
из-за условия распространения волны (см. разд. 12.5). Изучались
и другие возможные методы генерации тока с использованием
волн в диапазоне циклотронных частот (разд. 16.8Ь), быстрых
волн или пучков нейтралов (разд. 16.8с).
16.8Ь. Возбуждение тока электронными циклотронными
волнами
Возбуждение тока при введении в плазму электронной цик-
циклотронной волны (ECCD) связано с возникновением асимметрии
сопротивления плазмы благодаря селективному нагреву электро-
электронов, движущихся преимущественно в тороидальном направле-
направлении. Фиш и Бузер [40] предложили считать, что в этом случае
каким-то образом меняется столкновительность плазмы, напри-

310 Гл. 16. Токамак
мер, электроны, движущеся влево, реже сталкиваются с ионами,
чем электроны, движущиеся вправо. Это могло бы привести
к возникновению электрического тока с электронами, движущи-
движущимися в среднем влево, и с ионами, движущимися вправо.
Рассмотрим смещение электронов
плотности Sf в пространстве скоростей
из точки 1 в точку 2, как показано на
рис. 16.19. Энергия, связанная с этим
смещением,
__ AE = (E2-El)Sf,
Рис. 16.19. Смещение где Е* ~ кинетическая энергия в г-ом
электронов в простран- положении в пространстве скоростей,
стве скоростей из точки 1 Электроны с первоначальными коорди-
в точку 2 натами 1 теряют свой импульс вдоль
магнитного поля, которое считается направленным вдоль z, со
скоростью i/i, а затем со скоростью v2. Возникающий ток, на-
направленный вдоль z, дается выражением
j(t) = — eSf(vz2exp(—v2t) — vz\ exp(—i/\t)). A6.50)
Рассмотрим сглаженный во времени ток J на протяжении ин-
интервала времени At, который велик по сравнению с обеими
величинами l/щ и 1/и2у так что
At
At J J w At \u2
0
Плотность вводимой мощности Pd, необходимой для возбужде-
возбуждения такой плотности тока, будет равна
ЛЕ _Е2-Е,
Отношение J/Pd составляет
J У&/У2-Уя\1у\ S-V(VZ/V
где s — единичный вектор в направлении смещения в простран-
пространстве скоростей. Оценим и в A6.51). Скорость торможения проб-
пробного электрона вследствие столкновений с электронами и ионами
выражается как (см. B.14), B.20))
dp = р р_ _ Л гл щ
dt Tee.. Те,.. V ^ 2 ) у*Р'

§16.8. Неиндукционное возбуждение тока ЗП_
где 2
_ /e2ne \ In Л _ v
vje = (яТе/гаеI//2 — тепловая скорость электронов. Поэтому
имеем: ,
з—¦*» "*«<2+«)?.
Чтобы оценить du/dt, следует воспользоваться временем релак-
релаксации энергии т|е (см. B.27))
dE Е ,_, те о о
т. е. ,
аи и
Поскольку
- LMCft = _ f i/M?*i = B + Zi) J ^ = B + Z,)lnti(t)tio,
каждый член в уравнении A6.50) для j(t) следует модифициро-
модифицировать следующим образом:
(t) = kехр(-1 mdt) = jo (^)i, A6.50')
Тогда интеграл от j(t) A6.50') сводится к
оо 0
О «о
Соответственно, v в A6.51) равно
5 + Zi
2и
v = vo^r-, A6-52)
J enevje j j _ 4 s
Pd ^e^e^O Pd' Pd 5 + Zj s • Vit2
где ги = vz/vje. В случае возбуждения тока электронными цик-
лотроннами волнами имеем j/pd ~ 6wu/E + Zj), и
J
n19

312 Гл. 16. Токамак
Отношение генерируемого тока Iqd к мощности Wec> вводимой
с этими волнами, составляет
r ! J2/nrdr
^ 1 J
и эффективность генерации тока, rj^c, равна
Pd2<irrdr
где г/ес(г) — локальная эффективность генерации тока, которая
дается выражением
vtt4- о6-54)
Напомним, что эффективность мы измеряем в 1019А/Вт-м2.
16.8с. Нейтральная инжекция и возбуждение тока
Когда пучок быстрых нейтралов инжектируется в плазму, он
превращается в пучок быстрых ионов из-за процессов переза-
перезарядки и ионизации. Быстрые ионы с энергией выше величины
Ecv = mbVcr/2, данной в B.33), тормозятся преимущественно за
счет столкновений с электронами плазмы. Быстрые же ионы
с Е < Ест тормозятся в основном ионами плазмы. Функция
распределения для пучка ионов может быть получена в резуль-
результате решения уравнений Фоккера—Планка. Столкновительный
фоккер—планковский член в выражении A6.40) для быстрых
ионов с?> Есг в основном обусловлен динамическим трением
при столкновениях с электронами. Динамическое трение элек-
электронов о быстрые ионы в случае v < v^ дается выражением [39]
При этом уравнение Фоккера—Планка сводится к виду
где Vb — начальная скорость инжекции, т^е — время релаксации
энергии ионов и электронов пучка, см. формулу B.34). Правая

§16.8. Неиндукционное возбуждение тока 313
часть уравнения — это член с источником ионов пучка. Стацио-
Стационарное решение уравнения Фоккера—Планка есть
/ь ос l/v.
В области v < vcv в столкновительном члене доминирует член
с динамическим трением на ионах или член с диффузией. Поэто-
Поэтому приближенно функция распределения в ионном пучке дается
выражением /ь ос v2/(v3 + vfv), т. е.
^ <«<*). A6-56)
Mv) = 0 (v>vb). A6.56')
Скорость инжекции ионов ф на единицу времени и объема,
необходимая для поддержания стационарного пучка, получается
при подстановке найденной /ь(г>) в уравнение Фоккера—Планка:
щ A + KM>K)-'
9 4(\(l
а необходимая мощность
упь A6.57)
b 2 ^
Средняя скорость тормозящегося ионного пучка
vb = vb(\n(vb/vCT))-1. A6.58)
Плотность тока J, возбуждаемого пучком быстрых ионов, со-
состоит из вклада быстрых ионов пучка и вклада основных ионов
и электронов плазмы:
J = Z\en\V[ +
пе — Z\n\
где v\ и ve — средние скорости ионов с плотностью щ и электро-
электронов с плотностью пе, соответственно. Электроны плазмы полу-
получают импульс при столкновениях с быстрыми ионами и теряют
его при столкновениях с ионами плазмы, т. е.
е-^ = тепе(щ - щ)иец + mene(vi - ve)^ei|| = °>
так что

314 Гл. 16. Токамак
Поскольку щ <С п\, то
neve = —г?
так что [36]
J=(\-^)Zhenbvb. A6.59)
Плотность возбуждаемого тока состоит из вклада быстрых ионов
пучка ^ьепь^ь и вклада электронов, увлеченных быстрыми иона-
ионами, —Z^eribVb/Zi. Отношение J/Pd таково:
Z\)
Tb6e mbvb
Когда заряд ионов пучка равен заряду ионов плазмы (Zb = Z\),
плотность возбуждаемого тока в случае линейной (цилиндри-
(цилиндрической) плазмы обращается в нуль. В тороидальной плазме
движение циркулирующих вдоль тора электронов возмущается
столкновениями с запертыми (банановыми) электронами, и член
с увлеченными электронами уменьшается. При этом J/Pd стано-
становится равным [41]
G(Zt«,e) = (l,55 + Ц) б'/2 - @,2 + Щ) е, A6.61)
где б — обратное аспектное отношение. При учете влияния
питч-угла ионизованного пучка правую часть A6.60') следует
умножить на ? = v\\fv = Rtang/Riom где i?tang — минимальная
величина R вдоль хода пучка нейтралов, a R[On — значение R
в месте ионизации.
Эффективность генерации, вычисленная из уравнения Фок-
кера—Планка, усредненного по баунс-частоте, равна [41]
J 2eZbBrbe) Л ^b/i rit rz \
— = II ——{I— Cj^zeff, e)
или
~^~ A —^"A "" Cx(-2Teff, б))) ^о-^пс^о(^Ь) y)i A6.62)
где „
+ A,39 + 0,61/V + D + Зу)

§16.8. Неиндукционное возбуждение тока 315
и Fnc = 1 —Ьеа — поправочный множитель [41]. Окончательно
имеем
к
0 -!('-
к (?)=Щ^ 0 !)
A6.63)
Локальная эффективность t/nb генерации тока с помощью ин-
жекции пучка нейтралов равна (в единицах 1019А/Вт-м2)
= 2,52(*Те)кеу?о (l - |A - G)) A - bf)J0(xb9y). A6.64)
Если Zh = 1, Zeff = 1,5, Ль = 2, x\ = 4, то (A - Ьба) Jo) « 0,2. При
(б) « 0,15 величина r/NB « 0,29(/^Ге)кеУ [Ю19А/Вт-м2], (/сГе)кеу
измеряется в кэВ. Генерация тока с помощью инжекции нейтра-
нейтралов демонстрировалась в экспериментах на DITE, TFTR, JT60U
и JET.
При генерации тока в термоядерной плазме спе~ 1020 м~3
необходимая вводимая мощность при любом механизме генера-
генерации полного тока в плазме будет составлять заметную часть
термоядерного выхода. Поэтому значительная доля плазменного
тока должна быть бутстрэп-током, которому посвящен следую-
следующий раздел.
16.8d. Бутстрэп-ток
Теоретически было предсказано, что радиальная диффузия
приводит к возбуждению тока в тороидальном направлении,
и в банановом режиме этот ток может быть большим [42-45].
Позже наличие такого тока, называемого (бутстрэп-током),
было уверенно подтверждено экспериментально. Это важное яв-
явление может послужить средством поддержания тока в плазме
в стационарно работающем токамаке.
Как было описано в разд. 7.2, электроны в бесстолкнови-
тельном режиме, ие[ < v\>, совершают полный облет банановой
орбиты. При наличии градиента плотности существует различие
в числе частиц на соседних орбитах, проходящих через точку
А, как показано на рис. 16.20. Разница составляет (dn\/dr)A\>,
где Ль — ширина банановой орбиты. Поскольку компонента
скорости, параллельная магнитному полю, по порядку величи-
величины составляет е1/2^, то плотность тока запертых электронов

316 Гл. 16. Токамак
Рис. 16.20. Банановые орбиты запертых электронов, приводящие к генерации
бутстрэп-тока
с плотностью щ равна
Пролетные электроны из-за столкновений с запертыми начинают
дрейфовать в ту же сторону, что и запертые, и этот дрейф
становится стационарным вследствие столкновений с ионами.
Дрейфовая скорость Kntrap пролетных электронов в стационар-
стационарном состоянии дается выражением
1 ^ее /jbanana\
ei = —^е ( J ,
где иее/е — эффективная частота столкновений между запертыми
и пролетными электронами. Плотность тока, связанная с дрей-
дрейфовой скоростью Kntrap, равна
iboot^-e1/2^. A6.65)
Этот ток и называется бутстрэп-током. Введем среднее полои-
дальное бета /Зр = (р)/(В^/2^о). Отношение полного бутстрэп-
тока /ь к току в плазме /р, необходимому для формирования
полоидального поля 5р, дается выражением
где с « 0,3 — константа. Эта величина может быть равна и еди-
единице, если /?р высока (/?р ~ R/a), а профиль давления пикирован.
Эксперименты по бутстрэп-току проводились на TFTR, JT60U
и JET. В режиме работы с высокой /?р почти 70-80% плазменного
тока /р « 1 МА составлял возбуждаемый бутстрэп-ток.
Если бутстрэп-ток имеет полый профиль, это может давать
профиль q с отрицательным магнитным широм, устойчивый от-

§16.9. Неоклассическая тиринг-мода ЗГ7
носительно баллонных мод. МГД устойчивость полых профилей
тока детально проанализирована в работе [46].
§ 16.9. Неоклассическая тиринг-мода
Значительное внимание было уделено предельному для рабо-
работы токамака давлению плазмы, связанному с неидеальными МГД
неустойчивостями, такими как эффект от магнитных островов,
возбуждаемых бутстрэп-током. При высоком полоидальном бета
/?р и низкой столкновительности градиент давления плазмы вы-
вызывает возникновение бутстрэп-тока (см. разд. 16.8d). С увеличе-
увеличением острова давление плазмы в нем стремится выровняться, тем
самым устраняется сама причина генерации бутстрэп-тока. Это
приводит к появлению винтовой «дыры» в профиле бутстрэп-тока
и к дальнейшему росту размеров острова (см. рис. 16.23).
Тиринг-неустойчивость рассматривалась в разд. 9.1 в рамках
плоской модели. В нулевом приближении магнитное поле Во
зависит только от а; и дается выражением Во = Воу(х)еу + BozeZi
\Воу(х)\ <С \Bqz\, Bqz = const. Основные уравнения:
ж + (V ' V)V) = ~
дф и дф
--g = (vxBy - vyBx) - Vjz = (v • V)^ - rjjz, A6.680
VV = W)Jz- A6.69)
Поскольку
E x В / Ey Ex n\ / \ дф \ дф ~\
~ B2 \BOz' BOz/ \ BOzdy' BOzdx' /'
то можно ввести функцию потока <?, такую что
_ dip _ dip
х ду1 у dx'
Кроме того, вводя ^-компоненту завихренности, wz = (V х v)^,
имеем wz = V2ip. Для вращения, описываемого A6.67),

318 Гл. 16. Токамак
= (В • V)j2 - (j • V)BZ = (В • V)jz. A6.70)
Мы использовали равенства V • В = 0, V • j = 0. Потоковая
функция нулевого порядка -00 и первый порядок возмущения i\>
суть 2
(ж) = ^о»у. Bo = (O,B'Oyx,BOz),
^i cos %, Bi = (B\x(t)) sin fcy, 0,0),
ф = Мх) + Ф(уЛ) = В^у + ^-cosky. A6.71)
Здесь х — 0 — положение сингулярного слоя. Координаты сепа-
сепаратрисы острова удовлетворяют уравнению
а полная ширина острова w равна
Возмущение B\x(t) sin%, нарастающее с инкрементом 7> ПРИ"
водит к возникновению тока j\z = E\zjr\ — ^B\xjr\k% который
создает линейную силу в направлении х, f\x = —j\zBLx, как
изображено на рис. 16.21. Эти силы возбуждают течения в ви-
виде узких вихрей. Вне резистивного сингулярного слоя наведен-
наведенное электрическое поле возбуждает поток vx = -Ez/By = -
—"уВ\х cos ky/(kB'ox). Несжимаемость потока (в сильном равно-
равновесном поле Bqz) требует сильного его сдвига vy(x) по ширине
слоя х ~ #т, что и показано на рис. 16.21 в виде узора из узких
вихрей, так что
vx/k, vy ~ vx/kxT
Чтобы скручивание линейными силами могло возбудить такое
сдвиговое течение, преодолев инерцию, необходимо:
ВОу - ВОухт, ^ хт -

§16.9. Неоклассическая тиринг-мода
319
Рис. 16.21. Структура тиринг-моды в сингулярном слое
поскольку j\z = Ezjr\ = jB\x/r)k. Определенная так ширина воз-
возмущения равна [47]
ХТ= ,,,»Л,/2- A6-73)
Vy
Это согласуется с результатами (9.26) и (9.27), полученны-
полученными в линейной теории тиринг-моды и описанными в разд. 9.1
(вместо хт в разд. 9.1 использовалось
обозначение е).
Резерфорд [47] показал, что нелиней-
нелинейные эффекты сильно замедляют скорость
роста моды, так что возмущение нарас-
нарастает во времени лишь линейно. Завих-
Завихренное течение будет наводить не зави-
зависящий от у краевой ток второго поряд-
ка Sjlz = -VyBlx/r, ~ 7В1/(ф*В'Оух1).
Направленные вдоль у нелинейные силы
третьего порядка, 6fy ~ SjzB\x, изобра-
изображенные на рис. 16.22, противодействуют
вихревому течению (тормозят поток vy).
Ограничимся случаем, когда инерцией
в уравнении A6.70) можно пренебречь:
Рис. 16.22. Нелинейные
силы, тормозящие поток
vy в тиринг-моде

320
Гл. 16. Токамак
Уравнение A6.68') дает
дф dip D/
= в
Ж
A6.68")
Мы можем исключить <р из A6.68/;), разделив на х и усреднив
по у вдоль постоянной ^fr. Из A6.71) имеем
х = D-(ф - ф)) = (-L) фЦ\\? - ooefcyI/2, A6.74)
= 30г(Ф) + -
-1
A6.75)
где
2w/k
0
Для сшивки с внешним решением потребуем разрывности
логарифмических производных в месте особенности:
А' =
V
+0
-0
1
д
+о
-о
Воспользуемся тем, что V2/0 = /xojb, д2ф/дх2
Л Va = 2/хо ( cos fcy
Г \
jizdx )
/
A6.76)
*>:= (-5Г-
1/2
dip
B'oyJ (Ф~ФI/Г

§16.9. Неоклассическая тиринг-мода 321
Подстановка A6.75) в A6.76) дает
д'фА = 2—
—оо
v 1 /О
х cos ky I ——
' 9^А COS fc^//^
V'min
Поскольку
I'
cos fcy \ 1
cos ky x
((W-cosky)-{/2)
получаем _
С учетом A6.72) изменение во времени ширины острова сводит-
сводится к
— -——Ч-А'^Ч-А' тъ---А'г тъ = ^ A6 77)
Рассмотрим тороидальную плазму, показанную на рис. 16.23.
Магнитное поле
соответствует Bqv в плоской модели (вблизи радиуса особенно-
особенности). Координаты (x,y,z) отвечают радиальному направлению
г — rs, полоидальному направлению г в и направлению магнит-
магнитного поля на рациональной поверхности в тороидальной плазме
^ 11. МиямотоК.

322
Гл. 16. Токамак
Рис. 16.23. Координаты плоской модели и координаты в тороидальной плазме.
Координаты (ж, у, z) соответствуют радиальному направлению г - rSi полои-
дальному направлению гв и направлению магнитного поля на рациональной
поверхности в тороидальной плазме. Стрелки в острове показывают направле-
направление магнитного поля Вр — (nr/mR)Bt (см. 16.79))
соответственно (см. рис. 16.23). Потоковая функция выглядит
следующим образом:
r-rs
I
A678)
а магнитное поле дается выражениями
В\х = -— = Bi
*»-ж-(йГ±)й«—т** = я^ A679)
A6.78')
Выражение A6.78) сводится к
Изменение бутстрэп-тока Sj\z вызывает изменение потоковой
функции бфъ и электрического поля Ez
Разрыв логарифмической производной из-за 5j\z будет равен
*b =
фк
дг
I $Г
= -~- HQ8j\zdr,
Фк J

§ 16.9. Неоклассическая тиринг-мода 323
где
YA к " 16 •
так что
rs+
д/ 16
Вследствие уплощения (выполаживания) профиля давления при
образовании острова величина 5j\ дается выражением (см.
A6.65))
Это называется винтовой дырой в бутстрэп-токе. Таким образом,
разрыв логарифмической производной из-за 5j\z сводится к
8rs р 1/2Lq
w BV2 S
Тогда изменение ширины острова во времени описывается урав-
уравнением
ть±™=А'г& + ае1/2(Зр^, а« 8. A6.81)
Первое слагаемое в правой части A6.81) — это слагаемое Ре-
зерфорда, а второе — дестабилизирующий член из-за наличия
бутстрэп-тока. Таково уравнение неоклассической тиринг-моды.
Из-за переносов поперек острова имеет место снижение
бутстрэп-тока. С учетом этого член с бутстрэп-током модифици-
модифицируется:
где wc связана с влиянием переносов поперек острова. Эта ве-
величина, параметризующая величину вклада х±/х\\ модели [48],
описывается соотношением
.1/2 /_ \ 1/4
гус = l,8rs
и и*

324
Гл. 16. Токамак
= 0
Рис. 16.24. Зависимость — от w, за-
dt
данная A6.81 ). wth — пороговая ши-
ширина острова для установления нео-
неоклассической ТИрИНГ-МОДЫ, Wsat — ШИ-
рина при насыщении
Зависимость dw/dt от w, за-
заданная A6.810, показана на
рис. 16.24. При учете wc су-
существует порог wth для уста-
установления неоклассической ти-
ринг-моды. Когда w стано-
становится большим, дестабилизи-
дестабилизирующий член с бутстрэп-то-
ком ослабевает, и ширина
острова насыщается. Неоклас-
Неоклассическую тиринг-моду можно
контролировать за счет ло-
локальной генерации тока на
рациональной (сингулярной)
поверхности [49].
§ 16.10. Моды резистивного кожуха
Винтовые МГД неустойчивости в токамаке (кинк-моды) важ-
важны, главным образом, потому, что они дают предел по бета [7,
8]. В отсутствие проводящей стенки, согласно результатам рабо-
работы [7], полученным для широкого класса профилей тока и дав-
давления, этот предел составляет /3/Aр/аВ) = /?n < 2,8 (см. A6.9)).
При больших значениях /?n внешняя винтовая мода может
быть стабилизирована за счет близко расположенной проводя-
проводящей стенки (кожуха). В случае, когда идеальная МГД неустой-
неустойчивость стабилизирована присутствием идеально проводящей
стенки, но дестабилизируется, если стенку удалить, ситуация
осложняется наличием у стенки конечной резистивности. В этом
случае развивается мода, нарастающая за резистивное время
стенки. Существует интересный вопрос, стабилизируется ли эта
резистивная мода вращением плазмы или нет.
16.10а. Инкремент моды резистивного кожуха
Основные уравнения движения в плоской модели были выпи-
выписаны в гл.9, см. (9.9) и (9.13):
х = t(k • B)VBlx - t(k • B)"Blx.

§ 16.10. Моды резистивного кожуха
325
В цилиндрических координатах соответствующие уравнения
имеют вид О
(rBlr)=iF(rSr), A6.82)
A6.83)
где
Вводя ^-компоненту векторного потенциала, потоковую функцию
ф = Az(r, 9) — Az(r) ехр(-тв), имеем
Blr = 1-
г
or
При этом A6.83) сводится к
-. A6.83')
Для анализа, прежде всего, воспользуемся ступенчатой моделью,
показанной на рис. 16.25, т. е.
j(r) — jo, p(r) = ро, q(r) = q, при г < a,
и j(r) = 0, p(r) = 0, q(r) = q(r) при г < а. Тогда из A6.830 имеем
Ф
q(r)
p(r)
a d
Рис. 16.25. Вверху: профили плотности массы р(г), плотности тока j(r) и про-
профиль q(r). Радиус плазмы г — а, стенка располагается при г — d. Внизу:
профиль потоковой функции tp(r) в случае проводящей стенки
!) В
этом разделе автор называет инкрементом величину 7 = —iw- — При-
Примеч. ред.
П. Миямото К.

326
Гл. 16. Токамак
при г < а
-о.
а при г > а
Если при г = d расположена проводящая стенка, должно выпол-
выполняться условие ij)(d) = 0, и а = (a/dJm. Тогда
тр'(а+) _ mil (a/dJm
ф{а) ~ a l-(a/dJm'
A6.83'")
На границе плазмы A6.83') дает
- 1
/a2
Bl(nq-mf/a
1р'(а-) _
т
Fa
a (nq — т)'
A6.84)
поскольку для плоского профиля тока [j,qJo = 2В$/а. Инкремент
7с (d) МГД возмущения в присутствии при г = d проводящей
стенки сводится к (см. A6.83", 16.83'") и A6.84))
= -2(щ - т)
A6-85)
Область устойчивости на плоскости параметров d/a и q показана
на рис. 16.26.
d2m
а
1
Устойчиво
-Неустойчиво
— 1 0 nq — m
Рис. 16.26. Область устойчивости в зависимости от (nq — т) и d/a
Когда вместо идеально проводящего кожуха при г = d распо-
расположена стенка резистивная, внешнее решение для ф модифици-
модифицируется и дается выражениями (см. рис. 16.27)

§ 16.10. Моды резистивного кожуха
327
ad r
Рис. 16.27. Профиль ф(г) в случае, когда при г = d находится резистивная
стенка
)-m
iP(r)=iP(d)(r/d)-
= j^^ ((r/d)-m - ares(r/d)m) (d>r> a). A6.86)
l — ares
Обозначая ток в стенке и удельное сопротивление стенки как jw
и ryw, имеем следующие соотношения:
7 Л/,
Разрыв логарифмической производной при т — d составляет
rw =
d 9
где 6W — толщина стенки, откуда получаем
_ га 7res^w
~~7 d~'
Таким образом, ares в A6.86) равно
= 7resTw/Bm)
reS l+7resrw/Bra)*
Для ф1(а+)/ф{а) из A6.84) имеем
.2
А0
а у (nq-mJ {nq-m)
С другой стороны, из A6.86) получается
/7 I
21—. A6.86')
Тогда инкремент моды в резистивной стенке дается выражением
= -2(щ-
A6.87)
11*

328 Гл. 16. Токамак
Поскольку
1 1 R 1
1 - ares(a/dJm 1 + R 1 + R 1 - (a/dfm'
n <л/ i riIt
Д=A-(а/
то A6.87) сводится к
Рассмотрим случай, когда мода устойчива при наличии про-
проводящей стенки при г = d и неустойчива в отсутствие стенки,
т. е. 7с (d) < 0 и 7с (°°) > О- Тогда для инкремента моды при
наличии тонкой резистивной стенки при г — d получаем (в пред-
предположении 7r2esF0 < 7с(<0»7с(°°))
7(°°Л
Таким образом, инкремент оказывается порядка обратного
резистивного времени стенки. При d —> а величина 7res(^)/7'w —>
—> —2m(l +nq — m)/(nq — m) остается конечной. Эта неустой-
неустойчивость называется модой резистивного кожуха (resistive wall
mode— RWM 0). Когда радиус кожуха d приближается к кри-
критической величине dQV, где идеальная МГД мода становится
неустойчивой даже при наличии проводящей стенки, 7с(^сг) =
= 0, инкремент RWM становится бесконечным, как это видно
в A6.89), и RWM смыкается с идеальной МГД модой.
При твердотельном вращении плазмы и вращении возмуще-
возмущений в ней без проскальзывания, эффект вращения включается
в рассмотрение добавлением доплеровского сдвига
= 7 + a;rot,
в левой части уравнения A6.88), но не в правой части этого
уравнения. Рис. 16.28 показывает зависимость инкремента 7res(d)
от расположения резистивной стенки d/a при фиксированной
частоте вращения в случае a;rotTA = 0,5, т^1 = В/(а(цорI/2) =
= (В/Ве)т^в\ R/a = 5yq0= 1,05, m = 2, п = 1, rA/rw = 5 • 10~4.
Когда d/a возрастает выше dcr/a, плазма становится неустойчи-
неустойчивой в масштабе идеальных МГД времен. При d/a, приближаю-
приближающейся к единице, происходит рост инкремента из-за фактора ин-
1) Общепринятой русской аббревиатуры не существует. — Примеч. ред.

§16.10. Моды резистивного кожуха 329
н 0,031
| 0,02
Он
I 0,01
1,0 1,5 2,0 | dJa
0 |
Рис. 16.28. Инкремент 7res(d) как функция положения резистивной стенки d/a
в случае urot = 0,5. 7res(d) и u;rot даны в единицах т^ = В/(а(/лор)^2) =
= (В/Вв)т-в\ dCT = 2,115, R/a = 5, q0 = 1,05, m = 2, n = 1, ta/tw = 5 • 10
(согласно [50])
дуктивности A — (a/dJm). Вследствие этого эффективное время
затухания потока становится меньше, а резистивная стенка ведет
себя так, как если бы имела большее сопротивление. Имеет
место начальное увеличение инкремента с ростом cjrot, после
которого инкремент убывает, но не до нуля, хотя бы и было
Уорд и Бондесон [51] анализировали устойчивость торои-
тороидальной плазмы, окруженной резистивной стенкой, с помощью
численного кода. Численный анализ обнаруживает наличие двух
мод. Одна из них имеет нулевую частоту в системе координат,
движущейся вместе с плазмой, а возмущение едва проникает
в резистивную стенку, т. е. это «плазменная мода». Другими
словами, резистивная стенка ведет себя так, как если бы она
была идеальной, когда uvo\ » т~1. Другая мода такова, что воз-
возмущение медленно вращается вместе с резистивной стенкой, это
RWM. Иначе говоря, возмущение вращается относительно плаз-
плазмы. Расстояние до стенки противоположным образом влияет на
эти две моды. Плазменная мода дестабилизируется при удалении
стенки от плазмы, а резистивная мода при этом стабилизируется.
Может существовать «окно» в положении стенки такое, что
обе моды устойчивы одновременно (см. рис. 16.29). Важными
аспектами механизма стабилизации являются инерция, которая
становится существенной вблизи резонансных слоев в плазме,
где частота вращения превышает локальную альфвеновскую ча-
частоту fcy^A, и зацепление со звуковыми волнами.
Эти численные результаты могут быть интерпретированы ана-
аналитически. Для резистивного кожуха радиуса г — d отношение
1р'(а+)/<ф(а) дается формулой A6.860. Величину ф'(а)Ц

330
Гл. 16. Токамак
Рис. 16.29. Инкремент 7res и частота проскальзывания AjsiiP = u>rot — tc^es
резистивной моды, инкремент 7ideai плазменной моды как функции положе-
положения резистивной стенки d/a для п = 1. Частота t^ot = 0,06 в единицах
* 1/2 = (В/Вв)тпх (согласно [51])
можно формально записать как
величина Z вычисляется при нахождении ф в используемой мо-
модели плазмы. Тогда дисперсионное соотношение принимает вид
(\*Z)= i+aresia/ar = !
V ^ } l-ares(a/dJm I
и для инкремента получаем
7resTw (Л
~ 2m '
\2m
2m V1 l(a/df {d/af\
A6.90)
В отсутствие вращения плазмы Z действительно (Z = х), поло-
положительно, и RWM неустойчива при w > x или, эквивалентно,
при
A + 2/х) > (d/aJm, a<d< dideal = аA + 2/x)l/2m.
По мере приближения радиуса стенки к dideal (w —> ж), инкремент
7res стремится к бесконечности, и пристеночная резистивная
мода переходит в идеальную МГД неустойчивость, которая имеет
МеСТО При d > rfideal-
Если плазма вращается, логарифмическая производная имеет
ненулевую мнимую часть, Z = х + уг, и инкремент будет равен
7resrw2m A - (a/
77
(w - xy

§16.10. Моды резистивного кожуха 331
При этом нуль в знаменателе в A6.900 устраняется, и инкре-
инкремент 7res остается конечным и комплексным для всех расстоя-
расстояний. Пристеночная резистивная мода не переходит в идеальную
неустойчивость. При wx < (х2 + у2) пристеночная резистивная
мода становится устойчивой. Это условие можно записать в виде
d > dres, dres = A + 2х/(х2 +
Эти результаты согласуются с численными расчетами.
16.10Ь. Стабилизация обратной связью
Стабилизация пристеночной резистивной моды с помощью
обратной связи обсуждалась в [52]. Мы начнем с уравнения
для собственных мод, используемого при изучении устойчивости
токамака с большим аспектным отношением и низким бета [53],
?) &. о,
A6.91)
Это уравнение может быть получено из A4.36) в предположении
б = r/R <C 1. В вакууме возмущение магнитного поля Bj = V^> —
решение уравнения \72ф = 0:
ф = A ((r/6w)"m + aw(r/bw)m) exp(-im0 + nz/R). A6.92)
Граничное условие на границе плазма—вакуум на краю плазмы
при г = а [53]
^(Ц^) A6-93)
где / = nq — m, а ф — потоковая функция внешнего возму-
возмущения Biex. В вакууме потоковая функция ф = ф(г)ехр(-гтв)
(^-компонента векторного потенциала Az) связана с радиаль-
радиальной компонентой возмущения магнитного поля: ф = —гВ\г/т.
Формула A6.93) может быть выведена из граничного условия
(8.33) и (8.38) на границе плазма—вакуум. Граничное усло-
условие (8.38) п • Вiex = n • V х (? х В) принимает вид дф/дг =
= г-1д(?гВе/де + d{?rBz)/dz и определяет А в A6.92):

332 Гл. 16. Токамак
Константу aw следует найти из граничного условия на стенке
при г = bw. Граничное условие (8.33) принимает вид
ВвВ\е\п + BzB\zm = ВоВ\оех + BzB\zex,
где ВИп -Vx((xB) дано в (8.69)-(8.71), a Biex в A6.92).
Смещение ? дается уравнениями Хэйна—Люста (8.114)—(8.116),
в которых предполагается малость /3 и несжимаемость. Два
граничных условия приводят к A6.93).
Граничное условие A6.93) используется для полу-
получения уравнения цепи для плазмы (при определении
Д) = (l/€r)(d(r€r)/dr)\a). В принципе, C0 определяется из
уравнений A6.91) и A6.93) самосогласованно. Потоковая
функция 27гЯ/0(а+) есть возмущение полоидального потока
моды (т, п) в вакуумной области (В\$ — —(дф/дг). Величина
2nRip(a+) состоит из вкладов от тока возмущения 1\, тока
в резистивной стенке 12 и тока в цепи /з, соответствующего
току в катушках обратной связи для моды (га,п), т. е.
2тгЩ(а+) =
2*Rtl/(a+) = L\h + M[2I2 + M{3/3.
В результате уравнение A6.93) сводится к
G2r2 + f)/30 - f°p> + 2m) Ml2I2+
2m) Ml3h = О-
Для цепи, соответствующей присутствию резистивной стенки,
потоковая функция на этой стенке при (г = rw) удовлетворяет
соотношениям
dl2 M dl\ dh
= 2~dt 2x~dt 23~dt
dt = 2dt 2xdt 23dt
w = -R2I2,
=
где
h = 2irrw6wjw/Bm), R2 = 2m
Z

§16.11. Параметры токамака—реактора 333
Для цепи, соответствующей активному контролю обратной свя-
связью, следует добавить член с напряжением, необходимым для
возбуждения тока обратной связи, так что
_/\//о 1 — -f- А132— ~Ь -^Я1 — Н~ -^4-^я ~~ ^ч«
Для минимизации *ф(а+) следует прикладывать напряжение об-
обратной связи V3 вполне определенной формы, используя подхо-
подходящие датчики для измерения возмущений.
§ 16.11. Параметры токамака—реактора
Хотя токамак характеризуется множеством параметров, меж-
между ними существует много соотношений и ограничений [54].
Если радиус плазмы а, тороидальное поле В\ и отношение Q
выходной термоядерной мощности к мощности дополнительного
нагрева оговорены (заданы), то остальные параметры токама-
токамака определяются при использовании скейлингов для плотности
электронов, бета, времени удержания энергии и условия зажи-
зажигания. Цилиндрический коэффициент запаса устойчивости q\
(или эффективный коэффициент запаса устойчивости на гра-
границе плазмы geff, как определяется ниже), эллиптичность ks
и треугольность 5 сечения плазмы считаются заданными. По
определению <д, имеем
Ка Bi 5К2аВ{ _
р ~
R Вр~ А1Р ' р ~ 2пКа " ЪКа
ток в плазме
_ ЪК2аВ{
где К2 = A + к2)/2 (/р в МА, В{ в Т и а в м). Аспектное
отношение А = R/a как функция а и В\ будет дано ниже (см.
16.99'). Эффективный коэффициент запаса устойчивости на гра-
границе плазмы geff приближенно равен [16]
?eff =
fAs(A) « |l + 1+J/2 j A,24 - 0,54/Cs + 0,3(^ + 52) + 0,135),

334 Гл. 16. Токамак
где Л = Рр + 1[/2. Усредненная по объему плотность электронов
П20 в единицах 1О2Ом~3 дается формулой
А A6.94)
тга
где Nq — обезразмеренная плотность Гринвальда. Величина бета
Ah = -2-^— = 0,0403A + /DT + /не
выражается как
Ah = 0,01/?N^|-, A6.95)
где /?n — бета нормализованное, /от, /не и /i обозначают от-
отношения плотностей топлива DT, Не и примесей к плотности
электронов, Г измеряется в кэВ. (X) означает усреднение по
объему X. Тепловая энергия плазмы W равна
W = -в\и—-V = 0
где VF измеряется в МДж, а объем плазмы V — в м3. Форма
сечения плазмы с вытянутостью я5 и треугольностью S описыва-
описывается формулами
R = До + acos@
2; = ак3 sin 0.
Объем плазмы V при этом равен
где /shape "¦ коррекция на треугольность
/shape ~ 1 g + 192 4Д ^ з ; *
Используем скейлинг удержания 1РВ98у2 [34]:
тЕ = 0,0562 • Ш0'4^^/0'93^^^0'19^^^1'97^
A6.96)
где М(= 2,5) — среднее массовое число иона, а Р — потеря
мощности (в МВт) вследствие переносов, равная необходимой
поглощаемой мощности нагрева за вычетом потерь на излучение
Pracj. Полная мощность, выделяемая в а-частицах,

§ 16.11. Параметры токамака—реактора
335
где Qa = 3,515 МэВ. Зависимость (av)v от Г описывается фор-
формулой A.5). Поскольку скорость термоядерной реакции av вбли-
вблизи Г = 10 кэВ аппроксимируется как
введем отношение
0 есть функция средней температуры (Г) в кэВ, она зависит
от профилей плотности и температуры и имеет максимум около
единицы вблизи (Т) «8-10 кэВ. Величина О как функция ((Г))
для п(р) = (п) A - p2)"V(l + <*»), Т(р) = (Г>A - р2)^/A +
+ ост) показана на рис. 16.30 [55]. Ра сводится к
а = 0,9551
A6.97)
где /prof = (п2Т2)/(пТJ к К + ат + 1J/Bс*п + 2ат + 1) опи-
описывает влияние профилей температуры и плотности. Если обо-
обозначить поглощенную мощность дополнительного нагрева как
-Paux и эффективность нагрева а-частиц как /а, то полная мощ-
мощность нагрева равна faPa + Р^х- Когда доля потерь на излучение
в общей мощности нагрева составляет /r, мощность, необходи-
6((Г»
1,0
0,5
у/
OLT
OLn
1 iii
\
\
= 2,0
= 0,3
ат =
OLn =
V
\ ^
/А
2,0/
= 0,0
ат -
OLn =
ат
/OLn
\\
\\
\\
\\
\ \
X
\
= 1,0
= 0,5
= 1,0
= 0,0
ч
\
0 5 10 15 20 30 (Г)
Рис. 16.30. О как функция средней температуры (Т) для профилей с пара-
параметрами (ат = 1,0, ап = 0,0), (ат = 2,0, ап = 0,0), (ат = 1,0, ап = 0,5)
и (ат = 2,0, ап = 0,3)

336
Гл. 16. Токамак
мая для поддержания горения, дается выражением
Введем отношение Q полной термоядерной мощности на выходе,
Рп + Ра = 5Ра (-Рп — мощность, выходящая в нейтронах), к по-
поглощенной мощности дополнительного нагрева Ргих,
Q =
Тогда Р представляется как
При этом условие зажигания имеет вид
? = о-л)
и A6.96) сводится к [55]
A6.98)
X
-. A6.99)
Следовательно, аспектное отношение А должно быть
Л = с1,616а1,616в2,81) Aб)99,}
где для коэффициента перед A°'619/5t1>74 в A6.99) введено обо-
обозначение с.
Таблица 16.3.а
Параметры, заданные в проекте. Величина /3n — бета нормализованное без
учета вклада энергичных ионов
а
2,0
Bt A
5,3 3,1
Q
10,2
3,38
R
6,2
1,7
15,0
6
0,35
/R foe
0,3 0,95
1,63
NG
0,85
/dt
0,82
Вычисляемые параметры
ТЕ
3,8
П20 (Т)
1,01 8,1
324
Ра
81
-faux
40
/Не
0,04
Prad
35
/i
0,02
tfy2 aT
1,0 1,0
Таблица
Qi
2,22
в
0,99
ап
0,1
16.3.b

§16.11. Параметры токамака —реактора
337
Таблица 16.4
Параметры ITER-FEAT. т? — время удержания энергии с поправкой на по-
потери на излучение. Q = 10. ks — отношение вертикального радиуса к гори-
горизонтальному. #95 — коэффициент запаса устойчивости на магнитной поверх-
поверхности, охватывающей 95% потока. Максимальное поле в катушках тороидаль-
тороидального поля Bmax = 11,8 Т. Число катушек тороидального поля равно 18. Рас-
Рассматривается диверторная конфигурация с одним нулем. Напряжение обхо-
обхода VJoop = 89 мВ. Длительность индукционного импульса с плоской вершиной
(flat-top) при условии Q = 10 составляет несколько сотен секунд. PfUS — пол-
полная выходная термоядерная мощность. NG определяется формулой A6.7). /r —
доля потерь на излучение, a /dt, /ве, /не, /не — отношения плотностей DT,
Be, He, Аг к плотности электронов
I?
в,
R
а
R/a
Ks
(Пе)
@,5-(Te+Ti))
Wthermal
Wast
т?
Ptus(Pa)
^aux
Prad
15MA
5,3 T
6,2 м
2,0 m
3,1
1,7
1,0Ы020м-3
8,5 кэВ
325 МДж
25 МДж
3,7 с
410 МВт (82 МВт)
41 МВт
48 МВт
/dt
/Не
/Be
/Аг
Л
А
&
/^(нормал. бета)
NG
Яу2 = т?/тГ8у2
495
k
1,65
« 82%
4,1%
2%
0,12%
0,39
2,5%
0,67
1,77
0,85
1,0
3,0
2,22
0,86
Поскольку поле в сверхпроводящей катушке не может пре-
превышать некоторого максимума J5mx, то при расстоянии Л между
сепаратрисой и проводником катушки тороидального поля (см.
рис. 16.31) существует ограничение на тороидальное поле
Втх
_ R
1
— a —
R
2
A "
Л _
Bmx
а ) А
1 -
где считается а > Л > 0. При задании Л и Втх величина В\,
оказывается функцией а.

338
Гл. 16. Токамак
Рис. 16.31. Геометрия плазмы, катушек тороидального поля и центрального
соленоида трансформатора тока в токамаке
Отношение ? потоков катушки омического нагрева, АФ,
и плазменного кольца, Lp/P, равно
/2) + k - 2)Я/Р
А + dTF) + ds + d0Hi dTF и d0H — тол-
толгде Дон = R =
щины проводников в катушке тороидального поля и катушке
омичесского нагрева, a ds — расстояние между этими катушками
(см. рис. 16.31). Средние плотности тока jjFj joh b катушках
тороидального поля и индуктора в единицах МА/м2=А/мм2 со-
составляют о с о
Лт =
1
тг dTF 1 - О,5огТр/(Д - а - А)'
2,5 Втх
Joh = — -
Если вместо а, В\, Q задаются параметры а, Д, Л, то вели-
величина Q и другие параметры могут быть оценены (они приводятся
в табл. 16.3.)
Концептуальная разработка токамака—реактора активно раз-
развивалась вместе с развитием экспериментальных исследований
на токамаках. Примерами международной деятельности в этом
направлении являются проекты INTOR (International Tokamak
Reactor) [56] и ITER (International Thermonuclear Experimen-
Experimental Reactor) [57, 58]. ITER предназначен [58] для демонстра-
демонстрации возможности зажигания в индукционно создаваемой плазме
с Q « 10 и для демонстрации непрерывно работающего токамака
при использовании неиндукционно создаваемой плазмы с Q « 5,

§16.11. Параметры токамака—реактора
339
Основные параметры ITER на 2000 год приведены в табл. 16.4.
Сечение ITER-FEAT-2000 показано на рис. 16.32.
обмотка
тороидального
поля
обмотки
полоидального
-^~ ПОЛЯч
PF1
450 вакуумная
337 камера
Рис. 16.32. Тороидальное сечение токамака ITER-FEAT согласно проекту
2000 г.

340 Гл. 16. Токамак
Список литературы
1. Artsimovich LA. Nucl. Fusion. 1972. V. 12. P.-215; Furth H.P. Nucl.
Fusion. 1975. V. 15. P. 487.
2. Wesson]. Tokamaks. — Oxford: Clarendon Press, 1997; ITER Physics
Basis: Nucl. Fusion. 1999. V. 39. No.12. P. 2138-2638.
3. Mukhovatov V.S., Shafranov V.D. Nucl. Fusion. 1971. V. 11. P. 605.
4. Equip TFR: Nucl. Fusion. 1978. V. 18. P. 647.
5. Sheffield J. Plasma Scattering of Electromagnetic Radiation. N.Y.:
Academic Press, 1975.
6. См. например Nagayama K, Ohki Y., Miyamoto K. Nucl. Fusion.
1983. V.23. P. 1447.
7. Troy on T7., Gruber /?., Saurenmann H. et al. Plasma Phys. and
Controlled Fusion. 1984. V. 26. P. 209.
8. Sykes A., Turner M.F., Patel S. Proc. 11th European Conferenceon
Controlled Fusion and Plasma Physics, Aachen. Part II. 1983. P. 363;
Tuda Г., Azumi M., Itoh K. et al. Plasma Physics and Controlled
Nuclear Fusion Research (Conference Proceedings, London, 1984).
IAEA, Vienna. 1985. V. 2. P. 173.
9. Кадомцев Б. Б. Физика плазмы. 1975. V. 1. Р. 710.
10. Greenwald Ж, Terry J.L, Wolfe S.M. et al. Nucl. Fusion. 1988.
V.28. P. 2199.
11. ASDEX-U Team: IAEA Fusion Energy Conference, 01-5 (Montreal,
1990), IAEA, Vienna.
12. Wesson J.A. Nucl. Fusion. 1978. V. 18. P. 87.
13. Kadomtsev B.B., Pogutse O.P. Nucl. Fusion. 1971. V. 11. P. 67.
14. Connor J. W., Wilson H.R. Plasma Phys. Control. Fusion. 1994. V. 36.
P. 719.
15. Wagner F., Stroth U. Plasma Phys. Control. Fusion. 1993. V. 35.
P. 1321.
16. Todd T.N. Proceedings of 2nd Eur. Workshop, Sault-Les-Chartreaux,
1983. European Physical Society, Geneva, 1983. P. 189; Kamada У.,
Ushigusa K., Naito O. et al. Nucl. Fusion. 1994. V. 34. P. 1605.
17. DIII-D team: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research
Conference Proceedings (Washington D. C. 1990). IAEA, Vienna.
1991. V.I. P. 69.
18. Borrass K. Nucl. Fusion. 1991. V. 31. P. 1035; Borrass K.y Faren-
goR., Vlases G.C. Nucl. Fusion. 1996. V. 36. P. 1389; LaBombardB.,
Goetz J.A., Hutchinson I. et al. Nucl. Materials. 1997. V. 241-243.
P. 149.
19. Goldston RJ. Plasma Physics and Controlled Fusion. 1984. V. 26.
P. 87; Kaye S.M. Phys. Fluids. 1985. V. 28. P. 2327.
20. Yushmanov P.N., Takizuka Г., Riedel K.S. et al. Nucl. Fusion. 1990.
V. 30. P. 1999; Uckan N.A., Yushmanov P.N., Takizuka T. et al.
Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Conference

§16.11. Параметры токамака—реактора 341_
Proceedings, Washington D. С, 1990). IAEA, Vienna. 1991. V. 3.
P. 307.
21. Wagner R, Becker G., Behringer K. et al. Phys. Rev. Lett. 1982.
V. 49. P. 1408; Wagner R, Becker G., Behringer K. et al. Plasma
Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Conference Pro-
Proceedings, Baltimore, 1982). IAEA, Vienna. 1983. V. 1. P. 43.
22. ASDEX Team: Nucl. Fusion. 1989. V. 29. P. 1959.
23. Groebner R.l Phys. Fluids. 1993. V. B5. P. 2343.
24. Doyle E.J., Rettig C.L., Burrell K.H. et al. Plasma Physics and Con-
Controlled Nuclear Fusion Research (Conference Proceedings, Wurzburg,
1992). IAEA, Vienna. 1992. V. 1. P. 235.
25. Itoh S.I., Itoh K. Phys. Rev. Lett. 1988. V. 63. P. 2369.
26. Shaing K.C., Crume E.C. Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 2369.
27. Bigrali #., Diamond D.H, Kim Y.-B. et al. Plasma Physics Controlled
Nuclear Fusion Research (Conference Proceedings, Washington D. C,
1990). IAEA, Vienna. 1991. V. 2. P. 191.
28. Dupree Т.Н. Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 334; Boutros-Ghali T,
Dupree Т.Н.. Phys. Fluids. 1981. V. 24. P. 1839.
29. TFTR Team: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research
(Conference Proceedings, Seville, 1994). IAEA, Vienna. 1995. V. 1.
P. 11; Ibid. (Conference Proceedings, Washington D. C, 1990). IAEA,
Vienna. 1991. V. 1. P. 9.
30. Taylor 7.S., Osborne Т.Н., Burrel K.H. et al. Plasma Physics
and Controlled Nuclear Fusion Research (Conference Proceedings,
Wurzburg, 1992). IAEA, Vienna. 1992. V. 1. P. 167.
31.JT60U Team: ibid (Conference Proceedings, Seville, 1994). IAEA,
Vienna. 1995. V.I. P. 31.
32. Hinton F.L., Staebner G.M. Phys. Fluids. 1993. V. B5. P. 1281.
33. IAEA Fusion Energy Conference (Montreal, 1996). IAEA, Vienna
A997). 01-6, 01-2, 01-3, A5-5, 02-2.
34. ITER Physics Basis. Ch. 2. In Nucl. Fusion. 1992. V. 39. No. 12.
35. JET Team: Nucl. Fusion. 1992. V. 32. P. 187.
36. Ohkawa T. Nucl. Fusion. 1970. V. 10. P. 185.
37. Wort D.J.H. Plasma Phys. 1971. V. 13. P. 258.
38. Fisch N.L Phys. Rev. Lett. 1978. V.41. P. 873; Karney C.F.F.,
Fisch N.J. Phys. Fluids. 1979. V. 22. P. 1817.
39. Сивухин Д.В. Вопросы теории плазмы. Вып. 4. Под ред. Леонто-
вича М.А. М.: Атомиздат, 1964. С. 81.
40. Fisch N.l, Boozer A.H Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 720.
41. Start D.F.H, Cordey J.G., Jones E.M. Plasma Phys. 1980. V. 22.
P. 303.
42. Bickerton R.J., Connor J. W., Taylor J.B. Nature Physical Science.
1971. V.229. P. 110.
43. Галеев А. А. ЖЭТФ. 1970. T. 59. С 1378.

342 Гл. 16. Токамак
44. Rosenbluth M.N., Hazeltine R.D., Hinton F.L Phys. Fluids. 1972.
V. 15. P. 116.
45. SigmarD.J. Nucl. Fusion. 1973. V. 13. P. 17.
46. Ozeki Т., Azumi M, Tokuda S., Ishida S. Nucl. Fusion. 1993. V. 33.
P. 1025.
47. Rutherford P.H. Phys. Fluids. 1973. V. 16. P. 1903.
48. Fitzpatrick R. Phys. Plasmas. 1995. V. 2. P. 825.
49. Gates D.A., Lloyd ?., Morris A. W. et al. Nucl. Fusion. 1997. V. 37.
P. 1593.
50. Finn LM. Phys. Plasmas. 1995. V. 2. P. 198.
51. Ward D.J., Bondeson A. Phys. Plasmas. 1995. V. 2. P. 1570.
52. Okabayashi M., Pomphrey N., Hatcher R.E. Nucl. Fusion. 1998.
V.38. P. 1607.
53. Wesson J.A. Nucl. Fusion. 1978. V. 18. P. 87.
54. ITER Team: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research
(Conf. Proceedings, Washington D.C., 1990). IAEA, Vienna. 1991.
V.3. P. 413.
55. Miyamoto K. Jour. Plasma Fusion Research. 2000. V. 76. P. 166.
56. INTOR Team: Nucl Fusion. 1983. V. 23. P. 1513.
57. ITER Team: 16th IAEA Fusion Energy Conference (Montreal, 1996).
IAEA, Vienna. 1997. Ol-l, F1-F5.
58. ITER Team: 18th IAEA Fusion Energy Conference (Sorrento, 2000).
OV/1, ITER/1-6; ITER Team: Technical Basis for the ITER-FEAT
Outline Design, Dec. 1999.

Глава 17
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ УДЕРЖАНИЯ
§ 17.1. Пинч с обращенным полем
17.1а. Конфигурация пинча с обращенным полем
Пинч с обращенным полем (Reversed Field Pinch— RFP),
как и токамак, имеет осесимметричное тороидальное поле. Кон-
Конфигурация магнитного поля образуется полоидальным полем
Щ, создаваемым тороидальной компонентой плазменного тока,
и тороидальным полем Бь создаваемым внешним тороидальным
полем катушки и полоидальной компонентой плазменного тока.
Потери, связанные с формой орбит частиц, так же малы, как и в
токамаке. Однако RFP и токамаки имеют совершенно различные
характеристики. В RFP величины полоидального поля Вр и то-
тороидального поля В\ сравнимы, и запас устойчивости
а(г)-г ВД
много меньше единицы (qs@) ~ a/(R0), 0 ~ 1,6). Радиальный
профиль тороидального поля показан на рис. 17.1 на с. 346. На-
Направление граничного тороидального поля обращено по отно-
отношению к направлению поля на оси, и магнитный шир велик.
Благодаря этому, может быть МГД устойчиво удержана плазма
с большой бета ((/3) = 10 — 20%). Поскольку плазменный ток мо-
может быть больше, чем по пределу Крускала—Шафранова (q < 1),
имеется возможность достижения зажигания, при использова-
использовании только омического нагрева (хотя это зависит от скейлинга
Удержания).
RFP появились на ранней фазе термоядерных исследований.
Устойчивая спокойная фаза разряда была обнаружена на уста-
установке ZETA в Харуэлле в 1968 г. [1] Конфигурация магнитного
поля в спокойной фазе оказалась конфигурацией пинча с обра-
обращенным полем, показанной на рис. 17.1. Электронная темпера-

344 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
тура, энергетическое время удержания и средняя бета плазмы
в ZETA на момент конференции МАГАТЭ в Новосибирске со-
составляли кТе = 100 - 150 эВ, тЕ = 2 мс, (/?) « 10%. Однако
на той же конференции были также представлены эпохальные
результаты токамака Т-3 (^Те = 1 кэВ, те — несколько мс,
Р « 0,2%), и ZETA была закрыта из-за лучших характеристик
удержания в токамаках. С другой стороны, поскольку RFP могут
удерживать плазму с большой бета, они продолжали интен-
интенсивно исследоваться с целью улучшения характеристик удер-
удержания (ZT-40M, ОНТЕ, НВТХ1-В, TPE-1RM20, MST и RFX,
TPE-RX) [2-5]. Важными проблемами для RFP являются скей-
линг удержания и контроль примесей в высокотемпературной
области.
17ЛЪ. МГД релаксация
В экспериментах на RFP показано, что, даже если вна-
вначале (на стадии формирования) плазма МГД неустойчива, то
вне зависимости от начальных условий впоследствии образуется
устойчивая конфигурация RFP. В 1974 г. Тейлор отметил, что
конфигурация RFP является состоянием с минимальной энерги-
энергией, устанавливающимся при определенных условиях в результате
релаксационного процесса [6].
Для изучения этого предмета введем физическую величину,
называемую магнитная спиралъностъ. Используем скалярный
и векторный потенциалы ф, А электромагнитного поля. Магнит-
Магнитная спиральность К определяется как интеграл от скалярного
произведения А • В по объему V, ограниченному магнитной
поверхностью,
К= f A-Bdr, A7.1)
v
где dr = dxdydz. Поскольку
E = -V</>-^, B-VxA,
at
из уравнений Максвелла находим, что [7]
= _Е В - V (фВ) + V • (А х Е) - Е • (V х А) =
= -V-(#B + ExA)-2(E-B).

§17.1. Пинч с обращенным полем 345
Если плазма окружена сверхпроводящей стенкой, то выполняют-
выполняются условия В • п = О, Е х n = 0 (п - единичный вектор внешней
нормали к стенке), и мы получаем
Ж = |JA-B*--2JE.B*. A7.2)
V V
Член в правой части A7.2) отвечает за потерю магнитной спи-
ральности. Если применить закон Ома
то этот член сведется к
? = -2 Uj-Bdr. A7.3)
v
Если ?7 = 0, магнитная спиральность сохраняется. Другими
словами, если плазма сверхпроводящая, то интеграл К по объ-
объему, ограниченному произвольной замкнутой магнитной поверх-
поверхностью, постоянен. Однако если имеется малая резистивность
плазмы, то возможны локальные перезамыкания силовых линий
магнитного поля, плазма может релаксировать к более устой-
устойчивому состоянию, и магнитная спиральность может локаль-
локально изменяться. Тейлор постулировал, что глобальная магнитная
спиральность К*?, полученная интегрированием спиральности
по всему объему плазмы, изменяется существенно медленнее.
Предполагается, что К^ постоянна на временной шкале релак-
релаксационных процессов:
5КТ = [в • SAdr + \SB • Adr = 2 [в • SAdr = 0.
Вариация энергии магнитного поля
B/хо)~15[(В • В) dr = /i [в • V х SAdr = /x f(V x В) • SAdr
J J J
при условии инвариантности Кт с использованием метода
неопределенных множителей дает
VxB-AB = 0. A7.4)
Это решение соответствует состоянию с минимальной энергией
в бессиловой плазме (плазме без давления) j х В = Vp = 0, j || В.
Осесимметричное решение в цилиндрических координатах имеет
вид
?r = 0, Be = B0Ji{\r), Bz = B0J0(\r) A7.5)

346
Гл. 17. Альтернативные системы удержания
и называется моделью бесселевых функций. Профили Во{г)
и Bz(r) показаны на рис. 17.1, а. В области Хг > 2,405 торои-
тороидальное поле обращается. Магнитное поле RFP характеризуют
обычно параметром пинча 0 и параметром обращения F:
е = Ве(а) = Ы2Iра р = Вг(а) ^ ^
* z' Bz2irr dr ^ z'
где (Bz) — усредненное по объему тороидальное поле. Выраже-
Выражения для F и 0 в модели бесселевых функций имеют вид
@=Аа 0JoB0) , f)
2 ' J B0) ' /
Зависимость F-в показана на рис. 17.1, б. В модели Тейлора
1г
2 е
-0,5-
BFM
Рис. 17.1. а — тороидальное поле Bz(r) и полоидальное поле Be (г) в RFP.
Показаны радиальные профили для модели бесселевых функций и модифици-
модифицированной модели бесселевых функций; б — линия F—O
значение Л постоянно:
Л = ~
В (V х В) • В
- = ~^~ =const
Наблюдаемые в экспериментах с RFP поля отличаются от модели
бесселевых функций из-за эффекта конечной беты и из-за несо-
несовершенства релаксированного состояния. Значение Л не постоян-
постоянно во внешней области плазмы и стремится к нулю на границе.
Решение V х В — ЛВ = 0 с Л(г) называется модифицированной
моделью бесселевых функций.
Условие устойчивости для локальных МГД мод имеет вид [8]
;(^|2 + WA_92)>a A7J)

§ 17А. Пинч с обращенным полем 347
Эта формула показывает, что сильный шир может стабилизи-
стабилизировать плазму в области р'(г) < 0, но в центральной обла-
области с малым широм предпочтителен плоский профиль давления
pf(r) ~ 0. Если ql < 1, локальные МГД моды неустойчивы около
q's = 0 (нуля тира).
Если принять во внимание эффект конечной резистивности,
то можно ожидать при классических процессах магнитной дис-
диссипации, что RFP-конфигурация может поддерживаться только
в течение времени тс\ = До^^2» где а — характерное значение
проводимости. Однако эксперименты на ZT-40M [9] показали,
что разряд в RFP поддерживается в три раза дольше (~ 20 мс),
чем тс[. Это ясно указывает на то, что при релаксационных про-
процессах существует процесс регенерации тороидального потока,
которого нет при классической магнитной диссипации. Таким
образом, конфигурация пинча с обращенным полем поддержива-
поддерживается до тех пор, пока поддерживается плазменный ток.
Если в плазме есть флуктуации, например магнитного поля
В, то оно может быть представлено в виде суммы В = (B)t +
+ В усредненного во времени (B)t и флуктуирующего В полей.
Усредненный по времени закон Ома щ = Е + v x В сводится к
faj>t = (E}t + (v)t x (B)t + (v x B)t, A7.8)
где (---)х отмечает временное усреднение. Из-за флуктуации
появляется новый член (v x B)t. Поскольку на квазистационар-
квазистационарной стадии усредненный тороидальный поток через поперечное
сечение плазмы Фг = J BzdS постоянен, усредненное электриче-
электрическое поле в ^-направлении равно нулю (§ E$dl — —d<I>z/dt = 0)
и (vr)t = 0. Для стационарности плазмы в RFP требуется, чтобы
to)t = ((vxB),),. A7.9)
Другими словами, резистивная диссипация компенсируется эф-
эффективным электрическим полем из-за флуктуации. Этот про-
процесс называется механизмом МГД динамо. Было проведено мно-
много исследований [10-12] релаксационного процесса.
Если длина свободного пробега электрона очень велика, ло-
локальные соотношения, такие как закон Ома, могут быть непри-
непригодными. Вместо МГД теории динамо была предложена ки-
кинетическая теория динамо [13, 14], в которой важную роль
в поддержании RFP-конфигурации играет аномальный перенос
электронного импульса поперек магнитной поверхности.

348 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
17.1с. Удержание
Энергетическое время удержания те в омически нагреваемой
плазме может быть получено из уравнений энергетического ба-
тто ТЛГ* О
где Vz — напряжение на обходе и /р — ток в плазме. Угловые
скобки (--^v означают здесь усреднение по объему. Энергетиче-
Энергетическое время удержания дается выражением
, A7.10)
где, по определению полоидального бета,
= (п/с(Те + Г|))у = 8п2а2(пк(Те + Т|))у
Из A7.10) следует, что для скейлинга те нужны скейлинги Cq
и Vz. Чтобы приложить к плазме в RFP напряжение обхода,
необходимо разрезать оболочку проводника, окружающего плаз-
плазму, в тороидальном направлении. В этом случае в уравнение
A7.2) для магнитной спиральности должен быть добавлен вклад
поверхностного интеграла:
^ = -2 f Е • Bdr - 1(фВ + Е х А) • ndS.
Индуцированное электрическое поле в (проводящей) оболочке
равно нулю; оно сосредоточено между краями разреза оболочки.
Поверхностный интеграл содержит вклад 2VZ<&Z от разреза обо-
оболочки и от остальной части поверхности S_, т. е.
- l((/)B + ExA)-ndS1 A7.11)
где Фг — усредненный по объему тороидальный магнитный по-
поток Фг = 7ra2(Bz)Y. В квазистационарном состоянии временное
усреднение (dK/dt)\ дает нуль. Поэтому
\(го • B)tdr + A/2) I (фВ + Е х A)t • ndS
Vz = r^i = ^tVoIdC +
v =
В a {(Bt)t)w

§17.1. Пинч с обращенным полем 349
где (•••)s_ — усреднение по поверхности S_. Введено обозначе-
обозначение ( для безразмерного фактора, определяемого радиальными
профилями удельного сопротивления и магнитного поля:
• B)t)v _ «Tjj)t - (B)t)y + ((fajj • B)t)v
Здесь щ — удельное сопротивление в центре плазмы. Если
членом с флуктуациями можно пренебречь, то значение ? в моди-
модифицированной модели бесселевых функций равно ( ~ 10, но в об-
общем случае ( > 10 из-за флуктуации. Величина V& равна нулю,
если вся плазменная граница покрыта проводящей оболочкой.
В реальной ситуации на границе плазмы располагается лайнер
из защитных материалов. Силовые линии магнитного поля могут
пересекать стенку вследствие магнитных флуктуации или сдвига
положения плазмы (В • п ф 0, Е ф 0). Таким образом, слагаемое
Vb имеет конечное значение. Подстановка Vz в уравнение для
энергетического времени удержания те дает
I
= (( W I
те 3/3, \\ц0а2) Ч аВв(а
Если плазма горячая, то резистивный член мал, и член с флукту-
флуктуациями и вклад от Vb должны учитываться. Экспериментальный
скейлинг в области /р < 0,5 МА имеет вид /р/тга2(п)у = A-5) -х
х 104 А-м, Ре - 0,1, (/^Те(кэВ)H - /Р(МА).
17.Id. Поддержание тока переменным полем
Поддержание тока в плазме переменным полем было пред-
предложено в [15]; проведены первые предварительные эксперимен-
эксперименты [16]. Из-за нелинейных явлений при МГД релаксации кон-
конфигурация RFP близка к модифицированной модели беселевых
функций. Если величины Vz и Ф во втором члене в правой части
уравнения баланса ^агнитной спиральное™^ A7.11) промодули-
рованы как Vz(t) — Vz cosu;?, Фг(г) — Фго + Фг cos out, в^трюизведе-
нии 2VZ Фх появляется постоянная компонента тока УхФг, кото-
которая компенсирует резистивные потери магнитной спиральности.
Период осциллирующего поля должен быть длиннее характерно-
характерного времени релаксации и короче времени диффузии магнитного
поля. Необходимы дальнейшие оценки возмущающего действия
осциллирующего поля на плазму.

350 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
§ 17.2. Стелларатор
В стеллараторах стационарная магнитогидродинамическая
равновесная конфигурация плазмы может обеспечиваться одним
только внешним полем, создаваемым катушками вне плазмы.
Вращательное преобразование, которое необходимо для удержа-
удержания тороидальной плазмы, формируется внешними катушками,
так что стелларатор имеет достоинство стационарного удержа-
удержания. Хотя первый стелларатор С, построенный в Лаборатории
физики плазмы в Принстоне [17], был в 1969 г. переделан
в токамак ST, достоинства стеллараторов (стационарное удер-
удержание без неустойчивостей, вызванных током) стимулировали
эксперименты по удержанию плазмы на установках Wendelstein
7А, 7AS, Heliotoron-E и ATF. В 1998 г. начались эксперименты
на большом стеллараторе LHD (Large Helical Device). В стадии
сооружения находится принципиально новый стелларатор W7-X.
17.2а. Винтовое поле
Рассмотрим магнитное поле с винтовой симметрией. В ци-
цилиндрических координатах (г, 0, z) поле выражается через (г, <р =
= в — daz), где а > 0, 6 = ±1. Магнитное поле в области без
токов 0 = 0) может быть описано скалярным потенциалом фв,
удовлетворяющим уравнению Афв = 0,
1 °°
r)sia(l(p)9 A7.12)
(р = в — 5az.
Компоненты (ВГ1 Bq, Bz) поля В = S/фв даются выражениями
оо
оо
Br = ^2lbill(lar)sin(l(p)9 A7.13)
i
^) lkli(lar)cos(l<p), A7.14)
A7.15)
ОО
1=1
Векторный потенциал, соответствующий этому полю, имеет ком-
компоненты ^
Аг = —о~
(У Г
\=\

§17.2. Стелларатор
351
Воспользовавшись этим, мы можем записать
в =-^± в = ^ в = 1 д^гА^ 1 дАг
r dz' e dz' z г дг г дв '
Магнитная поверхность ф — Az + дагА$ = 5агА# — const дается
выражением
ф(г,(р) = Bq— г Y^ bil[{lar) cos(l(p) = const. A7,16)
Z=l
Такое поле с винтовой симметрией может быть создано распре-
распределением винтовых токов, как показано на рис. 17.2.
Обозначим магнитные потоки
в z- и ^-направлениях внутри маг-
магнитной поверхности через Ф и X (X
есть интеграл по шагу вдоль z, т. е.
по 2тг/а). Они могут быть представ-
представлены в виде
2тг г(ф)
Ф
¦и
о о
, <p)rdrd6,
Рис. 17.2. Ток в винтовых об-
обмотках
2тг r(tp)
Х= f f
0 0 0 0
Поскольку arBz — 5Bq — ад(гАо)/дг = 5дф/дг, получаем, что
Ф-5Х = 2пф/Sa.
Рассмотрим поле с одной гармоникой. Скалярный потенциал
и магнитная поверхность представляются в виде
Фв = Bqz + -Ii(lar) sin(W - Slaz),

352
Гл. 17. Альтернативные системы удержания
Сингулярные точки (rs,0s) на плоскости z — О определяются
условиями
¦~- = U, — = U.
<9г дв
Поскольку модифицированная функция Бесселя Ii(x) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
- [\
= О,
сингулярные точки находятся из условий
sin(Ws) = О,
ar[l-™(l + —l— ) k(lars) cos(Ws) I = О,
(ars
или
= 2tt(j - 1)//, 6Ь/Во > О,
I, 6b/B0 < 0, j =
5Ы 1
Магнитные поверхности для 1=1, 1 = 2, 1 = 3 показаны на
рис. 17.3. Магнитная поверхность, которая проходит через гипер-
1=1 1=2 1=3
Рис. 17.3. Магнитные поверхности винтового поля с сепаратрисой
болическую сингулярную точку, называется сепаратрисой. Если
х <?С 1, то модифицированная функция Бесселя
Магнитные поверхности в области аг <С 1 описываются выраже-
выражением
(агJ -
\
о{1 - 1)!
(ar)lsmlF - 5az) = const.

§ 17.2. Стелларатор 353
Величина В равна
(ж) =1-V
Величина В на сепаратрисе (rs,0s) равна
КJ
1 + (агJ'
и в точке (rs, 9S + тг/Z)
(arJ'
Видно, что величина В мала в сепаратрисных точках.
Оценим угол вращательного преобразования t. Поскольку
силовая линия магнитного поля задается соотношениями
dr _ rdO _ dz
Br B$ Bz
угол вращательного преобразования дается выражением
п _ /rdO\ _ /Ве\ _ / (I/ar)lbli(lar) cos 1(в - 6 z)
2^R ~ \dz/ ~ \?г) ~ \ B0-lbli(lar)coslF-6z)
Здесь гиб — значения координат на силовой линии маг-
магнитного поля, они являются функциями от z\ (•••} означает
усреднение по z. В вакуумном поле выполняется соотношение
§ Bgdl — J(V х В) • dS = 0, так что угол вращательного преобра-
преобразования в первом порядке по Ь/Bq равен нулю. Однако компонен-
компоненты первого порядка Bq и Bz «резонируют», приводя в результате
к появлению вращательного преобразования во втором порядке.
Метод усреднения дает формулу для угла вращательного пре-
преобразования [18, 19]
Используя разложение
(х\1
=B)

354 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
находим, что
^=41/Ш^-'^Н2''-2'+¦¦¦)• «»2>
A7.18)
Пример анализа тороидального винтового поля приведен в ста-
статье [20].
17.2Ь. Стеллараторные установки
Обычные винтовые поля имеют заходность I = 2 или / = 3.
Система Heliac с пространственной осью имеет компоненту с I —
= 1. Если отношение малого радиуса а^ винтовой обмотки к R/m
(R — большой радиус, т — число периодов поля) много меньше
единицы, т.е. mah/R^i 1, угол вращательного преобразования
равен t2(r) = const для I = 2 и ь${г) = t(r/aJ для / = 3. В этом
случае в конфигурации с / = 2 мал шир, а в центральной области
конфигурации с / = 3 очень мала величина ^з(г)- Однако если
mah/R ~ 1, то t2(r) = to + ^(r/aJ + •••, так что шир может
быть большим даже для / = 2.
Расположение катушек в случае I — 2 показано на рис. 17.4.
Рис. 17.4, а демонстрирует стандартный тип стелларатора [21,
а б
Рис. 17.4. Проекция винтовых обмоток в случае 1 = 2: а — стандартный
стелларатор; б — гелиотрон/торсатрон
22], а рис. 17.4, б — гелиотрон-торсатронный тип [23, 24]. Обыч-
Обычно винтовые поля создают катушками тороидального поля и вин-
винтовыми обмотками. В гелиотрон-торсатронной конфигурации на-
направление токов в винтовых катушках то же, что и в катуш-
катушках тороидального поля, и винтовые поля могут быть получены
одними винтовыми обмотками [27, 28]. Если шаг намотки вы-
выбран правильно, замкнутая магнитная поверхность может быть
сформирована даже без катушек тороидального поля [29, 30].
Типичные устройства этого типа — Heliotron E, ATF и LHD.
Установка LHD показана на рис. 17.6, а.
Если эллиптические катушки расставлены, как показано на
рис. 17.5, а, может быть получено винтовое поле с I = 2 [25].

§17.2. Стелларатор 355
Рис. 17.5. а — расположение эллиптических катушек, используемых для по-
получения линейного винтового поля с / = 2; б — скрученные (твистирующие)
тороидальные катушки, которые создают тороидальное винтовое поле с I = 2
Токами в скрученных (или твистирующих) тороидальных катуш-
катушках, показанных на рис. 17.5, б, можно заменить одновременно
и токи в катушках тороидального поля, и токи в винтовых обмот-
обмотках [26]. Типичными устройствами этого типа с использованием
модульных катушек являются Wendelstein 7AS и 7Х. Система
модульных катушек Wendelstein 7X показана на рис. 17.6, б.
Для линейных винтовых полей магнитная поверхность Ф =
= гА$ существует из-за винтовой симметрии. Однако существо-
существование магнитных поверхностей в тороидальных винтовых полях
в строгом математическом смысле не доказано. В соответствии
с численными расчетами, магнитные поверхности существуют
в центральной области около магнитной оси, но во внешней
области силовые линии магнитного поля ведут себя эргодически,
и магнитные поверхности разрушены. Хотя винтовые обмотки
имеют относительно сложную структуру, силовые линии маг-
магнитного поля могут трассироваться компьютером, и конструиро-
конструирование винтовых устройств становится все более совершенным.
Влияние геометрических ошибок на винтовые поля можно оце-
оценить, и с применением цифровых контролирующих устройств
возможна точная намотка катушек (AI/R < 0,05-0,1%).
17.2с. Неоклассическая диффузия в винтовом поле
При анализе классической диффузии в результате кулонов-
ских столкновений необходимо изучение траекторий движения
заряженных частиц. В винтовом поле и даже в тороидальном
поле токамака, полученных с конечным числом катушек, в выра-
выражении для модуля магнитного поля В имеется — в дополнение
к тороидальному члену — 6tcos0 — несимметричный неоднород-
неоднородный член, так что
—- « 1 - 6hcos(/0 - m(?) - etcos6. A7.19)
А)

356
Гл. 17. Альтернативные системы удержания
Полоидальная
Криостат
камера
Рис. 17.6. а верхний рисунок показывает схему установки LHD в г. Токи
(R = 3,9 м, а « 0,6 м, В = 3 Т); б — нижний рисунок показывает систему мо-
модульных катушек и магнитную поверхность оптимизированного стелларатора
Wendelstein 7-Х в Грайфсвальде (R = 5,5 м, а = 0,55 м, В = 3 Т)
Изменение В вдоль силовых линий магнитного поля показано
на рис. 17.7. Частицы, запертые в неоднородном поле винтовых
гофров («рипплов»), дрейфуют поперек магнитных поверхностей
и дают вклад в диффузию частиц, дополнительный к диффу-
диффузии банановых частиц, свойственной токамаку. Силовые линии
магнитного поля в области движения запертых частиц выпук-
выпуклы наружу. Обозначим их кривизну как itV Запертые частицы
испытывают VS-дрейф в полоидальном направлении (вдоль в)

§17.2. Стелларатор
357
В/Во-
Рис. 17.7. Изменение величины В вдоль длины / силовой линии магнитного
поля
со скоростью i>h ~ mv^/(qBR\l) (см. рис. 17.8). Угловая скорость
Усредненная
магнитная
поверхность
Орбита ионного банана,
запертого винтовым полем
Наклон
винтовой линии
Проекция усредненного
дрейфа ионного банана,
запертого винтовым полем
Рис. 17.8. Орбита иона, запертого в винтовых рипплах
полоидального вращения равняется
wh = vh/r~(r/Rh)(kT/qBr2).
В случае линейного винтового поля (et = 0) запертые частицы
вращаются вдоль магнитной поверхности. В случае же торо-
тороидального винтового поля накладывается тороидальный дрейф
в вертикальном направлении со скоростью vv ~ kT/(qBR) (см.
разд. 3.5). Если эффективное столкновительное время (^eff) —
= (^/бь) короче, чем один период (^ь) полоидального враще-
вращения, отклонение орбиты банана от магнитной поверхности равно
кТ 1
A7.20)
6h
Коэффициент диффузии частиц [31]
п
D
hl
1/2 д2 3/2 ( кТ \2\ 2 3/2
2
миеП
()
eteh
кТ 1
1\ (кТ\

358
Гл. 17. Альтернативные системы удержания
Поскольку i?h ~ г/вь, получаем
Au~7he;/2^)(g), u/e>Wh, A7.21)
где 7h — коэффициент порядка 0A) (рис. 17.9).
Рис. 17.9. Зависимость коэффициента неоклассической диффузии в вин-
винтовом поле от частоты столкновений. ир = (t/27r)vje/Rt иъ = ^\2у^>
2
Если эффективное время столкновений (i^ff) больше, чем
I, отклонение А^ орбиты от магнитной поверхности дается
выражением
и коэффициент диффузии равен (рис. 17.9)
D
h2
(и/еъ
Если частица слабо захвачена между пробками винтового
поля, то возле точки отражения, где магнитное поле локально
максимально и силовые линии вогнуты, она движется очень
медленно. Эффективная кривизна, которую чувствует частица
в среднем по времени, становится отрицательной (вогнутость).
Траекторию запертой частицы в этом случае называют супер-
супербанановой [31]. При этом, однако, теоретическое рассмотре-
рассмотрение основано на предположении, что вдоль траектории запер-
запертой частицы сохраняется продольный адиабатический инвариант
(Jjl « const). Адиабатическая инвариантность имеет место, если
угол полоидального проворота траектории частицы за один пе-
период колебаний в локальной пробочной ловушке мал. С ростом
этого периода — для слабо захваченных частиц — адиабатиче-
адиабатическая инвариантность нарушается. Трассировка траекторий в чис-

§17.2. Стелларатор 359
ленных расчетах показывает, что в реалистичном случае е^ ~ е\
супербананы не появляются [32]. Если траектория частицы пере-
пересекает стенку, то частица теряется. Это называют прямыми поте-
потерями. В пространстве скоростей из-за прямых потерь возникает
пустая область [33]. Если появляется радиальное электрическое
поле, то угловая частота полоидального дрейфового вращения
становится равной щ +ue(u>e = Ег/В0). Под действием ради-
радиального электрического поля траектория изменяется.
Коэффициент термодиффузии хы из-за частиц, запертых
между пробками винтового поля, в области iz/ен > щ дается
выражением
^2(^JI, 7T«50. A7.22)
Поскольку v ос Г'5, то хы <* ^3'5- Это указывает на серьезную
проблему: в горячей плазме теплопроводностные потери стано-
становятся большими [31, 34, 35, 36].
17.2d. Удержание плазмы в стеллараторах [37,38,39]
После стелларатора Сосновные эксперименты проводились
на малых, но более аккуратно изготовленных стеллараторных
установках (Clasp, Proto Cleo, Wendelstein lib, JIPP I, Heliotron
D, Л1, Ураган 1). Щелочная плазма или плазма послесвечения,
полученная нагревом волнами или инжекцией из источника,
удерживалась спокойно. Были исследованы эффект стабилиза-
стабилизации широм и скейлинги удержания.
Двухзаходные стеллараторы (/ = 2) с большим шагом винта,
такие как Wendelstein Па или JIPP I-b, имеют примерно постоян-
постоянное вращательное преобразование и маленький шир. Если угол
вращательного преобразования рациональный, б/2тг = п/т, то
силовая линия возвращается в начальное положение после т
оборотов и оказывается замкнутой. В этом случае электрические
заряды, локализованные в каком-либо месте, не смогут пере-
перераспределиться равномерно по рациональной магнитной поверх-
поверхности. Вероятно, должны возбуждаться резистивная дрейфовая
или резистивная МГД неустойчивости, и станут возможными
конвективные потери. При рациональных углах вращательного
преобразования, действительно, наблюдались увеличенные поте-
потери (рис. 17.10), их еще называют резонансными. Резонансные
потери можно уменьшить, введя шир магнитного поля.
Были сооружены стеллараторы среднего размера (Wendelstein
7А, Cleo, JIPP T-II, Heliotron-E, Л2, Ураган 2, Ураган 3). Время
удержания омически нагретой плазмы (Ге < 1 кэВ) оказалось

360
Гл. 17. Альтернативные системы удержания
п(г,0) t=O,33 п{т,0) t=0,5 п(т,в) t =0,56
Рис. 17.10. Контуры постоянной плотности плазмы, удерживаемой в стеллара-
торе JIPP I-b (I = 2) при углах вращательного преобразования ^/2тг = 1/2,1/3
и 0,56. [38]
таким же, как и в токамаках того же размера. Если угол враща-
вращательного преобразования больше, чем ^/2тг > 0,14, то большие
срывы, наблюдавшиеся в токамаках, в стеллараторах подавля-
подавляются (W 7A, JIPP T-II). Разработанные для токамаков способы
ввода энергии в плазму при помощи волн или инжекции ней-
нейтральных пучков были использованы для получения плазмы и в
стеллараторных системах. В Wendelstein 7 А мишенная плазма
создавалась омическим нагревом, затем эта плазма поддержи-
поддерживалась инжекционным нагревом при постепенном уменьшении
плазменного тока и, наконец, высокотемпературная плазма с кТ\
в несколько сотен эВ и пе ~ 1013 см удерживалась без плаз-
плазменного тока A982). В установке Heliotron-E мишенная плазма
создавалась электронным циклотронным резонансным нагревом
с кТе ~ 800 эВ, пе ~ 0,5 • 1013 см~3, а затем плазма нагревалась
с помощью нейтральной инжекции мощностью 1,8 МВт до пара-
параметров: кТ{ ~ 1 кэВ, пе = 2. 1013 см~3 A984). При В = 0,94 Т
и мощности инжекции Pnb ~ 1 МВт было получено среднее
значение бета (/?) ~ 2%. Эти экспериментальные результаты де-
демонстрируют возможность стационарного удержания в стеллара-
торной конфигурации.

§ 17.3. Открытые системы 361
Экспериментальные скейлинги для энергетического времени
удержания представлены командой Heliotron-E [40] в виде
rkHD = 0,17а2'0Д0'75п?Ь69В°'84р-0'58, A7.23)
где П20 — концентрация частиц в 1020 м, а командой
W7AS [41] -
= 0,115А°'74а2'95пЬ5Б°'73р-°'54 (^)°'43 . A7.24)
Скейлинг по международной стеллараторной базе данных [41]
7#S95 = 0,079а2-21 Д0-65п^51В0'83Р-0'59 (^-)°'4 . A7.25)
i9 означает концентрацию частиц в 1019 м~3; значение ^/2тг
берется при г = B/3)а. Остальные единицы: с, м, Т, МВт.
На стеллараторе W7-AS в 1998 г. при инжекционном нагре-
нагреве наблюдался разряд с улучшенным удержанием [42], фактор
улучшения достигал ~ 2 по сравнению со скейлингом W7AS.
В 1998 г. начались эксперименты и на большом классическом
стеллараторе LHD[43] со сверхпроводящими винтовыми обмот-
обмотками (см. рис. 17.6, а). Сооружается принципиально новый стел-
ларатор Wendelstein 7-Х [44] со сверхпроводящими модульными
катушками (см. рис. 17.6, б).
§ 17.3. Открытые системы
Открытые магнитные системы — более простые конфигура-
конфигурации, чем тороидальные системы. В открытых ловушках возмо-
возможен абсолютный минимум В, тогда как в тороидальных си-
системах реализуются только конфигурации со средним минимум
В. Однако, хотя конфигурации с абсолютным минимумом В
МГД устойчивы, распределение по скоростям в них оказывается
немаксвелловским из-за торцевых потерь, и плазма «склонна»
к кинетическим неустойчивостям.
Наиболее критической проблемой для открытых систем яв-
является подавление торцевых потерь. Торцевое запирание пробоч-
пробочных/зеркальных (см. примечание к разд. 2.5) ловушек электро-
электростатическим потенциалом изучалось на тандемных ловушках1).
1) В русской литературе обычно употребляют термин «амбиполярные ло-
ловушки», отражающий физический принцип амбиполярного удержания, лежа-
лежащий в основе этих систем, а не внешние черты. — Примеч. ред.
12. Миямото К.

362 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
В попытке вовсе исключить торцевые потери использовались
бампи-торы, которые состоят из многих пробочных ловушек,
соединенных в тор.
Касп — это другой тип открытых систем. Он имеет враща-
вращательную (осевую) симметрию и абсолютный минимум В. Однако
в центре каспа магнитное поле обращается в нуль, так что
магнитный момент не является инвариантом, и торцевые потери
из кольцевой и осевых щелей каспа велики.
17.3а. Время удержания в пробочных ловушках и каспах
Частицы заперты в пробочном поле, если компоненты скоро-
скорости, перпендикулярная v± и параллельная г>ц к магнитному полю,
удовлетворяют условию
где bo и &l — значения магнитного поля в центре и на конце
ловушки (в пробке) соответственно. Обозначив пробочное отно-
отношение Ьь/^о через Дм, так что
преобразуем условие захвата к виду
— > sinaL-
v
Если частица попадает в конус потерь, она немедленно теряется,
так что время удержания частиц тр в пробочном поле опре-
определяется диффузией в пространстве скоростей в конус потерь
и пропорционально времени ион-ионных столкновений тц [45]:
rp«Tiilni?M. A7.26)
Даже если пробочное отношение 7?м увеличивается, время удер-
удержания растет только как 1п/?м- Это время не зависит от вели-
величины магнитного поля и размера плазмы. Если плотность равна
п « 1020 м~3, ионная температура кТ[ « 100 кэВ, атомное число
А = 2 и заряд иона Z = 1, время ион-ионных столкновений
равно тц = 0,3 с, так что птр = 0,3 • 1020 м~3с. Этого значения
недостаточно для термоядерного реактора. Необходимо увели-
увеличить эффективность утилизации энергии заряженных частиц,
уходящих в торцы, или подавить торцевые потери.
Теперь рассмотрим потери в каспе. Поскольку магнитное поле
в центре каспа равно нулю, магнитный момент не сохраняется.

§ 17.3. Открытые системы
363
Поэтому торцевые потери из кольцевой и осевых щелей каспа
(рис. 17.11) определяются размером щелей и средней ионной
скоростью V[. Поток частиц через
кольцевую («линейную») щель шири-
шириной 5l и радиусом R даются форму-
формулой
где ni — плотность частиц в щели,
Т[ — ионная температура и М — мас-
масса иона. Поток частиц из двух осевых
(«точечных») отверстий с радиусом 5Р
равен [46]
1
х2.
Рис. 17.11. Ширина линейно-
линейного каспа <$l и радиус точечно-
точечного каспа 6п
Наблюдаемое значение Si — около ионного ларморовского ради-
радиуса. Поскольку силовые линии даются выражением
= ar2z =
= ar2z = const,
имеем
г2 _ Д^Ь
Р ~ ~~2~'
так что Fp « Fl/2. Полный поток торцевых потерь равен
и, поскольку объем V каспа (рис. 17.11)
то время удержания в каспе дается выражением
ДА 2Д . л 4
nV ДА 2R \ 4
= -FT ~ - (ln-jT- + 1 ) х-
A7.27)
A7.27)
где п — средняя плотность. Если R = 10 м, В = 10 Т,
кТ[ = 20 кэВ, А = 2 и <SL = Ря> то г ^ Ojl MCj что Равно
10-20 пролетным временам R/v{. Даже если плотность равна
п « Ю22 м~3, произведение пг оказывается порядка 1018 м~3 -х
х с, или в сто раз меньше необходимого для термоядерного
синтеза.
12*

364
Гл. 17. Альтернативные системы удержания
17.3Ь. Эксперименты по удержанию плазмы в пробочных
ловушках
Один из наиболее важных экспериментов по удержанию
в пробкотронах был сделан Иоффе и его сотрудниками, которые
продемонстрировали, что пробочная конфигурация с минимумом
В устойчива [47]. К образованию минимума В (рис. 17.12, в)
приводит добавление стабилизирующих проводников, как пока-
показано на рис. 17.12, а, к пробочному полю (рис. 17.12, б).
В
Рис. 17.12. Пробочное поле с минимумом В: а — Катушки пробочного поля
(А) и стабилизирующие обмотки (палки Иоффе) (В); б — величина магнитного
поля в простом пробкотроне; в — величина магнитного поля в пробкотроне
с минимумом В. г — форма квадрупольного минимума В (рыбий хвост)
Определим стеночное пробочное отношение как отноше-
отношение величины магнитного поля на радиальной границе к маг-
магнитному полю в центре. Если стеночное пробочное отношение
увеличивается, исчезает желобковая неустойчивость, и время
удержания становится большим. В ловушке ПР-5 удерживалась
плазма с плотностью 109 — 1010 см и ионной температурой
3-4 кэВ в течение 0,1 с [48]. Однако при плотности больше, чем
1010 см (П[ > |Д|), в плазме возникала конусная неустойчи-
неустойчивость.
Один из наиболее обещающих результатов по удержанию
в пробкотронах был получен в экспериментах [49] на установке
2Х. Здесь плазмоид со средней энергией 2,5 кэВ, созданный
плазменной пушкой, инжектировался в квадрупольную ловушку
и сжимался. Начальная плотность захваченной плазмы была
п « 3 • 1013 см~3, ипг« 1010 см~3 • с. Величина магнитного поля
равнялась 1,3 Т и /3 « 5%. Средняя энергия ионов была 6-8 кэВ,

§17.3. Открытые системы 365
а электронная температура около 200 эВ. Поскольку пт в идеаль-
идеальном случае (классическое кулоновское столкновительное время)
равно пт « 3 • 1010 см~3 • с, полученные результаты составляли
1/3-1/15 от такого идеала. В эксперименте на 2ХПВ [50] путем
добавления малого потока теплой плазмы, заполняющего конус
потерь, подавлялась микронеустойчивость. Нейтральная инжек-
ция с энергией 15-19 кэВ и током 260 А позволяла получать
плазму с ионной температурой 13 кэВ и параметром удержания
пт « 1011 смс (п « 4 • 10й см~3).
17.3с. Неустойчивости в пробочных ловушках
Обзор неустойчивостей в пробочных системах приведен в ра-
работах [51—53]. МГД неустойчивости могут быть подавлены
в конфигурациях с минимумом В. Однако частицы в кону-
конусе потерь не удерживаются, и немаксвелловское распределение
служит источником электростатических возмущений на ионной
циклотронной частоте и ее гармониках, которые рассеивают ча-
частицы в конус потерь и тем самым усиливают торцевые потери.
Можно показать, что неустойчивости возникают, если цикло-
циклотронные волны взаимодействуют с другими модами, такими как
электронные плазменные волны или дрейфовые волны.
Неустойчивость при малой плотности (Пе « 1\Щ). Рас-
Рассмотрим случай малой плотности. Если электронная плазмен-
плазменная частота Пе сравнивается с ионной циклотронной частотой
|i?i|, появляется взаимодействие между ларморовским движени-
движением иона и электронными ленгмюровскими колебаниями, и имеет
место неустойчивость Харриса [54] (разд. 13.4).
Если плотность увеличивается дальше, косые ленгмюровсие
волны и = {к\\/к±)Пе взамодействуют с гармониками /|i?j| ион-
ионной циклотронной волны. Чтобы ионы эффективно возбуждали
неустойчивость, необходимо выполнение условия и « k±v±\. Ес-
Если ш > 3&цг>||е, то затухание Ландау на электронах неэффектив-
неэффективно. Таким ооразом, возбуждение будет происходить, если
и « 1\О\\ ~ ПеЩ/к « k±v±[ > 3fc||V||e,
где fcy, fc_L — параллельная и перпендикулярная компоненты
волнового вектора, a vy, v± — параллельная и перпендикулярная
компоненты скорости. Следовательно, условие неустойчивости

366 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
Пусть L — длина ловушки. Поскольку выполняется неравенство
sty > 2тг/1/, имеем [55, 56]
_L_ 6ТГ гУ||е
Рш I v±['
Неустойчивость Харриса изучалась детально в эксперимен-
экспериментах [57].
Неустойчивость при большой плотности G7} > \Щ). Если
плотность увеличивается, так что Щ становится больше \Q-X\
(хотя неравенство 42е > Щ все еще выполняется), возможна
конусная неустойчивость с иг « ш\ « П{ [58]. Это конвективная
мода, и для устойчивости длина ловушки должна быть меньше
критической длины, которая равна
1/2
. A7.29)
Здесь А порядка 5 (А « 1 для полного отражения и А « 10 без
отражения от торцов). Таким образом, условие неустойчивости
имеет вид L > lOOpg. Конусная неустойчивость возможна и в
однородной плазме. Если же имеется градиент плотности, эта
ветвь колебаний взаимодействует с дрейфовыми волнами, и мо-
может иметь место дрейфово-циклотронная конусная неустойчи-
неустойчивость [57]. Если характерная длина изменения плотности срав-
сравнима с радиальным размером плазмы i?p, условие неустойчиво-
неустойчивости этой моды имеет вид
Зеркальная неустойчивость. Когда бета становится боль-
большой, анизотропия давления плазмы индуцирует электромагнит-
электромагнитную моду — зеркальную неусточивость (заметим, что неустой-
неустойчивость Харриса и конусная неустойчивость электростатиче-
электростатические). Условие неустойчивости
W>l. A7.31)
Чтобы избежать неустойчивостей, описанных выше, должны
быть выполнены следующие условия:
L < A00-200)рпь A7.32)

§17.3. Открытые системы 367
Rp>200PQu A7.33)
1
2
«0,3-0,5. A7.34)
Неустойчивость отрицательной массы. Предположим,
что заряженные частицы в начале ларморовского движения
были распределены равномерно, затем возникло малое воз-
возмущение, такое что положительный (для примера) заряд
аккумулировался в области А, показанной на рис. 17.13.
Тогда электрическое поле замедляет ионы
в области справа от А, и их кинетическая
энергия €, соответствующая перпендикуляр-
перпендикулярной к магнитному полю компоненте скорости,
уменьшается. Ионы слева от А ускоряются,
и их энергия б увеличивается. Если частота
вращения и зависит от с так, что duj/de < 0,
частота ш ионов в области справа от А уве-
увеличивается, и ионы достигают области А, д
несмотря на замедление. Эти ионы ведут се- Рис 1713# Неустой-
бя так, как будто они имеют отрицатель- чивость отрицатель-
отрицательную массу. Ситуация такая же и для левой ной массы
области. В результате заряд накапливается
в области А, и возмущение неустойчиво. Этот тип неустойчи-
неустойчивости называется неустойчивостью отрицательной массы [59].
Условие du/de < 0 удовлетворяется, если величина магнитного
поля уменьшается с увеличением радиуса. Как и ожидалось,
в простом пробкотроне, в котором В уменьшается с увеличением
радиуса и ларморовский радиус частиц большой, неустойчивость
отрицательной массы действительно была обнаружена [60]. Уста-
Установка ПР-5 имела minB — величина магнитного поля росла
с радиусом. В ней тоже обнаружили неустойчивость отрица-
отрицательной массы, но другого типа [61]. Если перпендикулярная
энергия б уменьшается, то ионы могут глубже входить в пробоч-
пробочную область, и их ионная циклотронная частота увеличивается.
В результате условие du/de < 0 выполнялось даже в ПР-5.
Неустойчивость в электронно-горячей плазме. Плазму
с горячими электронами можно получить при электронном цик-
циклотронном резонансном нагреве в пробочном поле. Температу-
Температура горячей компоненты может достигать значений от несколь-
нескольких кэВ до нескольких сотен кэВ при плотности в преде-

368 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
лах 10ю — 1011 см~3. Электромагнитная свистовая (вистлер)
неустойчивость [61, 62] возбуждается анизотропией функ-
функции распределения (Т± > Гц). Эта свистовая неустойчивость
электронно-горячей плазмы наблюдалась экспериментально [63].
17.3d. Амбиполярные ловушки
Баланс входной и выходной энергий в реакторе на ос-
основе классической пробочной ловушки с трудом соблюдается
даже в идеальных условиях удержания. Поэтому подавление
торцевых потерь является критической проблемой для созда-
создания пробочного реактора. В этом разделе описываются иссле-
исследования торцевого запирания с помощью электростатическо-
электростатического потенциала. В случае простого пробкотрона время удер-
удержания ионов порядка ион-ионного столкновительного времени,
а время удержания электронов порядка электрон-электронного
или электрон-ионного времен столкновения (тее ~ т^). Так как
ree <^C Tii, в плазме должен быть избыток ионов, потенциал плаз-
плазмы в пробкотроне должен быть положительным. Если на концах
центрального пробкотрона расположены тандемом два пробко-
пробкотрона, то можно ожидать, что при некоторых условиях (см. ни-
ниже) потенциалы плазмы в этих запирающих пробкотронах (plug
cells) на обоих концах станут положительными по отношению
к центральному пробкотрону (central cell). Эта конфигурация
называется амбиполярной (тандемной) ловушкой 0. Конус потерь
в пространстве скоростей центрального пробкотрона амбиполяр-
амбиполярной ловушки, показанной на рис. 17.14, определяется условием
J < J_ Л _ ЛЬ) , A7.35)
) Rm \ mv2/2J
где q — заряд частицы и i?M — пробочное отношение. Ко-
Конусы потерь для электронов и ионов показаны на рис. 17.15
для случая положительного потенциала фс. Решив уравнение
Фоккера—Планка, В. П. Пастухов [66] получил время удержа-
удержания ионов в амбиполярной ловушке с положительным потенци-
потенциалом . ,
tpast = П9Ш (Ц) ехр (Ц) , A7.36)
g(RM) = тг'^Дм + 1Х4ЯМГ11пDДм + 2),
1) Концепция амбиполярной ловушки была предложена новосибирскими
физиками Г. И. Димовым, В. В. Закайдаковым и М. Е. Кишиневским [64]
несколько ранее аналогичной идеи тандемной ловушки, выдвинутой ливермор-
скими учеными Т. К. Фаулером и Б. Г. Логаном [65]. — Примеч. ред.

§17.3. Открытые системы
369
B{z)
Вс
Ф(*)
n(z)
Пс
Рис. 17.14. Величина магнитного поля B(z), электростатический потенциал
ф(г) и плотность n(z) вдоль оси z (оси пробкотронов) в амбиполярной ловушке
v±
Электрон (фс > 0) (Фс = 0) Ион (фс > 0)
Рис. 17.15. Конусы потерь ионов (q = Ze) и электронов (q = —е) для
положительного электростатического потенциала фс > 0 и пробочного от-
отношения Ям- (v±c/vJ = (ефс/iRm - \))/(mev2/2) в случае электронов.
(v\\c/vJ = Zeфc/(miV2/2) в случае ионов
где Г^ — ионная температура в центральном пробкотроне и фс —
разность потенциалов между запирающими и центральными
пробкотронами. Обозначая электронные плотности в централь-
центральной и торцевой ловушках как пс и пр соответственно, из форму-
формулы Больцмана пр = пс ехр(ефс/кТе) получаем
A7.37)
Инжекцией нейтральных атомов в запирающие пробкотроны
можно поднять плотность в них выше плотности в центральном
пробкотроне. Если i?M ~ 10 и ефс/кТ{С ~ 2,5, то tPast

370
Гл. 17. Альтернативные системы удержания
т. е. теоретическое время удержания в тандемной ловушке боль-
больше, чем в простом пробкотроне.
В этом типе тандемной системы для того, чтобы увеличить
потенциал в запирающих довушках фс, нужно увеличивать плот-
плотность пр в запирающей ловушке, и необходимая для этого мощ-
мощность нейтральной инжекции оказывается большой. Поскольку
запирающий потенциал фс пропорционален электронной темпе-
температуре Ге, увеличение Те также увеличивает фс. Если электроны
в концевых пробкотронах термически изолировать от электронов
в центральном пробкотроне, то электроны в концевых пробкотро-
пробкотронах можно нагреть отдельно, и эффективность потенциального
запирания будет улучшена. С этой целью между центральной
и концевой ловушками вводится термобарьер [67], как пока-
показано на рис. 17.16. Если подходящим способом сформировать
B(z)
n(z)
ад
Т
iep
Рис. 17.16. Величина магнитного поля B(z), электростатический потенциал
(/>(z), плотность n(z) и электронная температура Te(z) в системе с термоба-
термобарьером. ЦЛ — центральная ловушка, ТБ — термобарьер, ЗЛ — запирающая
ловушка

§17.3. Открытые системы 371
потенциальный провал в термобарьере, электроны в запирающих
и центральной ловушках будут термически изолированы.
Поскольку электроны в центральной ловушке считаются
максвелловскими с температурой Гес, имеем
). A7.38)
Электроны в запирающей ловушке имеют модифицированное
максвелловское распределение [68], и выполняется соотношение
' A7-39)
где v ~ 0,5. Из A7.38), A7.39) получаем
Фъ = — &(-)• A7.41)
е \Щ/
Если электронная температура Гер в запирающей ловушке уве-
увеличивается, величина фс может быть увеличена без выполнения
условия пр > пс, так что эффективность потенциального запи-
запирания возрастет. Эксперименты по ампиполярному удержанию
проводились на установках TMX-U, GAMMA-10 и других.
Список литературы
1. Robinson D.C., King R.E. Plasma Physics and Controlled Nuclear
Fusion Research (Conference Proceedings, Novosibirsk, 1968). IAEA,
Vienna. 1969. V.I. P. 263.
2. H.Bodin A.B., Newton A.A. Nucl. Fusion. 1980. V. 20. P. 1255.
3. Bodin H.A.B. Plasma Phys. and Controlled Fusion. 1987. V 29.
P. 1297.
4. MST Team: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research.
(Conference Proceedings, Washington D. C, 1990), IAEA, Vienna.
1991. V.2. P. 519; TPE-1RM20 Team: 19th Fusion Energy Confer-
Conference. (Conference Proceedings, Montreal, 1996), IAEA, Vienna. 1997.
V. 2. P. 95.
5. EX4/3(RFX), EX4/4(TPE-RX): 17th Fusion Energy Conference
(Conference Proceedings, Yokohama, 1998). IAEA, Vienna. 1999.
V.I. P. 367, 375.
6. Taylor IB. Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33. P. 1139.

372 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
7. Jensen Т.Н., Chu M.S. Phys. Fluids. 1984. V. 27. P. 2881.
8. Шафранов В.Д., Юрченко Э.И. ЖЭТФ. 1967.. Т. 53. С. 1157.
9. Backer D.A., Bausman M.D., Buchenauer C.J., Burkhardt L. С. et al.
Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Conference
Proceeding, Baltimore, 1982), IAEA, Vienna. 1983. V. 1. P. 587.
10. Schnack D.D., Caramana E.J., Nebel R.A. Phys. Fluids. 1985. V. 28.
P. 321.
11. Kusano K., Sato T. Nucl. Fusion. 1986. V. 26. P. 1051.
12. Miyamoto K. Plasma Phys. and Controlled Fusion. 1988. V. 30.
P. 1493.
13. Jacobson A.R., Moses R. W. Phys. Rev. 1984. V. A29. P. 3335.
14. Moses R. W., Schoenberg K.F., Baker D. A. Phys. Fluids. 1988. V. 31.
P. 3152.
15. Bevir M.K., Gray J. W. Proc of Reversed Field Pinch Theory Work-
Workshop (Los Alamos, 1981). Report LANL-8944-C, P. 176; Bevir M.K.,
Gimblett C.G. Phys. Fluids. 1985. V. 28. P. 1826.
16. Schoenberg K.F., Ingraham /. C, Munson C.P. et al. Phys. Fluids.
1988. V.31. P. 2285.
17. Spitzer L, Jr. Phys. Fluids. 1958. V. 1. P. 253.
18. Морозов A.M., Соловьев Л.С. Вопросы теории плазмы. Вып. 2.
/ Под ред. Леонтовича М.А. — М.: Госатомиздат, 1963. С. 3.
19. Miyamoto К. Plasma Physics for Nuclear Fusion. — Revised Edi-
Edition. - The MIT Press, Cambridge, Mass., 1989. Chap. 2.
20. Nagasaki K., Itoh K., Wakatani M., Iiyoshi A. J. Phys. Soc. Japan.
1988. V.57. P. 2000.
21. W 7A Team: Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research.
(Conference Proceedings, Baltimore, 1982), IAEA, Vienna. 1983. V. 2.
P. 241.
22. Andryukhina E.D., Batanov G.M., Berezhetshij M.S. et al. Plasma
Physics and Reseach Controlled Nuclear Fusion (Conference Proceed-
Proceedings, London, 1984). IAEA, Vienna. 1985. V. 2. P. 409.
23. Uo K.y Iiyoshi A, Obiki Г., et al. Plasma Physics and Controlled
Nuclear Fusion Research. (Conference Proceedings, London, 1984),
IAEA, Vienna. 1985. V. 2. P. 383.
24. Garcia L, Carreras B.A., Harris J.H. Nucl. Fusion. 1984. V. 24.
P. 115.
25. Petrenco Yu.N., Popryadukhin A. P. The 3rd International Symposium
on Toroidal Plasma Confinements. Garching, 1973. D8.
26. Wobig H, Rehker S. Proceedings of the 7th Symposium on Fusion
Technology. Grenoble, 1972. P. 345; Rehker S., Wobig H. Proc. of the
6th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics.
Moscow, 1973. V. 1. P. 117; IPP 2/215 Max Planck Inst. of Plasma
Phys. 1973.
27. Gourdon C, Marty ?>., Maschke E.K., Dumont J.P. Plasma
Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. (Conference
Proceedings, Novosibirsk, 1968), IAEA, Vienna. 1969. V. 1. P. 847.

§17.3. Открытые системы 373
28. Uo К. Plasma Phys. 1971. V. 13. P. 243.
29. Mohri A. J. Phys. Soc. Japan. 1970. V. 28. P. 1549.
30. Gourdon C, Marty ?>., Maschke E.K., Touche J. Nucl. Fusion. 1971.
V. 11. P. 161.
31. Kadomtsev B.B., Pogutse O.P. Nucl. Fusion. 1971. V. 11. P. 67.
32. Derr /.A, Shohet J.L Phys. Rev. Lett. 1979. V. 44. P. 1730.
33. Wakatani M., Kodama 5., Nakasuga Л1, Hanatani K. Nucl. Fusion.
1981. V. 21. P. 175.
34. Connor J. W., Hastie R.L Phys. Fluids. 1974. V. 17. P. 114.
35. Kovrizhnykh L.M. Nucl. Fusion. 1984. V. 24. P. 851.
36. Hastings D.E., Houlberg W.A., Shaing K.C. Nucl. Fusion. 1985.
V. 25. P. 445.
37. Young K.M. Plasma Phys. 1974. V. 16. P. 119.
38. Miyamoto K. Nucl. Fusion. 1978. V. 18. P. 243.
39. Carreras B.A., Griegen G., Harris LH. et al. Nucl. Fusion. 1968.
V.28. P. 1613.
40. Sudo S., Takeiri Y, Zushi Z, et al. Nucl. Fusion. 1990. V. 30. P. 11.
41. Stroth [/., Murakami Af., Dory Д., et al. Nucl. Fusion. 1996. V. 36.
P. 1063.
42. Stroth U. et al. Plasma Phys. Control. Fusion. 1998. V. 40. P. 1551.
43. Iiyoshi A, Komori A., Ejiri A., et al. Nucl Fusion. 1999. V. 39.
P. 1245; Motojima O., Ohyabu N.9 Komori A, et al. Plasma Phys.
Control. Fusion. 1996. V. 38. P. A77.
44. WobigH. Plasma Phys. Control. Fusion. 1999. V. 41. P. A159.
45. Сивухин Д.В. Вопросы теории плазмы. Вып. 4. / Под ред. Леонто-
вича М.А. — М.: Атомиздат, 1964. С. 81.
46. SpaldingU. Nucl. Fusion. 1968. V. 8. P. 161; Spalding I.I Advances
in Plasma Physics. V. 4. / ed. by Simon A., Thompson W.B. N. Y.
Interscience, 1971. P. 79.
47. Готт Ю.В., Иоффе M.C., Тельковский В. Г. Nucl. Fusion Suppl.
(Conference Proceedings, Salzburg, 1961). 1962. Pt. 3. P. 1045.; Бай-
бородов Ю. Г., Иоффе М.С., Петров В.М., Соболев Р.И. Атомная
энергия. 1963. V. 14. Р. 443.
48. Байбородов Ю. Г., Иоффе М.С., Канаев Б.И. и др. Plasma Physics
and Controlled Nuclear Fusion Research. (Conference Proceedings,
Madison, 1971), IAEA, Vienna. 1971. V. 2. P. 697.
49. Coensgen F.H.y Cummins W.F., Finlayson V.A. et al. ibid. 1971. V. 2.
P. 721.
50. Coensgen F.H., Cummins W.F., Logan B.G. et al. Phys. Rev. Lett.
1975. V.35. P. 1501.
51. Fowler Т.К. Nucl. Fusion. 1969. V. 9. P. 3.
52. Иоффе M.C., Кадомцев Б.Б. УФН. 1970. V. 100. P. 601.
53. Post R.F. Nucl. Fusion. 1987. V. 27. P. 1579.
54. Harris E.G. Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2. P. 34.

374 Гл. 17. Альтернативные системы удержания
55. Dory R.A., Guest G.E., Harris E.G. Phys. Rev. Lett. 1965. V. 14.
P. 131.
56. Guest G.E., Dory R.A. Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 1853.
57. Gordey /., Kuo-Petravic G., Murphy ?., et al. Plasma Physics
and Controlled Nuclear Fusion Research. (Conference Proceedings,
Novosibirsk, 1968), IAEA, Vienna. 1969. V. 2. P. 267.
58. Post R.F., Rosenbluth M.N. Phys. Fluids. 1966. V. 9. P. 730.
59. Postman #., Dunlap #., Dory R., et al. Phys. Rev. Lett. 1966. V. 16.
P. 265.
60. Кадомцев Б.Б., Погуце О. П. Plasma Physics and Controlled Nuclear
Fusion Research. (Conference Proceedings, Novosibirsk, 1968), IAEA,
Vienna. 1969. V. 2. P. 125.
61. Сагдеев Р.З., Шафранов В.Д. ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 181.
62. Sharer I, Trivelpiece A. Phys. Fluids. 1967. V. 10. P. 591.
63. Ikegami #., Ikezi #., Kawamura Т., et al. Plasma Physics and Con-
Controlled Nuclear Fusion Research. (Conference Proceedings, Novosi-
Novosibirsk, 1968), IAEA, Vienna. 1969. V. 2. P. 423.
64. Димов Г.И., Закайдаков В.В., Кишиневский М.Е. Физика плазмы.
1976. V.2. Р. 597.
65. Fowler Т.К., Logan B.G. Comments Plasma Phys. Controlled Fusion
Research. 1977. V. 2. P. 167.
66. Pastukhov V.P. Nucl. Fusion. 1974. V. 14. P. 3.
67. Baldwin D.E., Logan B.G. Phys. Rev. Lett. 1979. V. 43. P. 1318.
68. Cohen /?.#., Bernstein IB., Doming /./., Rowland G. Nucl. Fusion.
1980. V.20. P. 1421.

Глава 18
ИНЕРЦИОННОЕ УДЕРЖАНИЕ
Идея инерционного удержания заключается в том, что воздей-
воздействием на вещество мощного энергетического источника (драйвера),
такого как лазер или пучок частиц, за короткое время создается плаз-
плазма высокой плотности, и реакции синтеза успевают пройти раньше,
чем плазма разлетится. В данном процессе магнитное поле не играет
удерживающей роли, поэтому этот способ удержания назван инерцион-
инерционным. Чтобы достичь таким путем термоядерных условий, необходимо
сжать маленькую твердую дейтерий-тритиевую мишень до плотности
в 103-104 раз большей, чем плотность обычной твердотельной мишени
ns = 4,5 • 1022 см. Такого сжатия твердой частицы нельзя добиться
простым обжатием лазерным пучком или пучком частиц: давление,
создаваемое светом или частицами, слишком мало. Более пригодным
методом сжатия является облучение пеллеты со всех сторон, как пока-
показано на рис. 18.1. На поверхности мишени образуется и одновременно
а б
Рис. 18.1. Концептуальная схема процесса имплозии: а — облучение лазером
или пучком частиц со всех сторон; б — расширение плазмы с поверхности
пеллеты и имплозия вследствие образования потоков плазмы
нагревается плазма, которая расширяется во все стороны. Реакция от
истечения плазмы наружу ускоряет внутреннюю часть пеллеты к цен-
центру и сжимает ее, как в своего рода сферической ракете. Такой процесс
называется имплозией 0. Изучение процессов имплозии является од-
1) Во избежание недоразумений отметим, что имплозия — процесс взрыв-
взрывного сжатия вещества мишени, тогда как вызывающее это сжатие быстрое
«жертвенное» испарение оболочки называется абляцией. — Примеч. ред.

376 Гл. 18. Инерционное удержание
ним из наиболее важных вопросов, которому посвящены интенсивные
теоретические и экспериментальные исследования.
§ 18.1. Условие поджига [1,2]
Примем в качестве КПД мишени tjq отношение выделенной
энергии синтеза Enf к энергии J5l, затраченной на облучение
мишени. Эффективность нагрева % при использовании неко-
некоторой энергетической установки определяется КПД преобразо-
преобразования энергии установки (драйвера) El в тепловую энергию
сжатого ядра пеллеты. Обозначим плотность и объем сжатого
плазменного ядра п и V соответственно и предположим, что
Ге = 2] = Г, тогда
ЪппТУ = rjhEL. A8.1)
В процессе D-T реакции синтеза плотности п^.щ дейтерия
и трития (no = nj = п/2) уменьшаются, и
Если плазма удерживается в течение времени г, то коэффициент
сжигания топлива щ равен
_ по-п(т) _ по(сгу)т/2
а энергия J^nf, выделяемая при синтезе, составляет
^. A8.3)
Коэффициент а — это фактор усиления, обусловленный реак-
реакциями синтеза в окружающей ядро плазме, которая нагревается
а-частицами, вылетающими из сильно сжатого ядра. КПД ми-
мишени 7/g можно записать в виде
Отношение
представляет собой коэффициент усиления в реакции синтеза:
каждая пара ион + электрон обладает энергией З^сГ до реакции,

§ 18.1. Условие поджига [1, 2]
377
a Qnf/2 — выход энергии в расчете на один ион в результате
реакции. Поскольку QNf = 17,6 МэВ, то щ? « 293а/(«Т)ю, где
(яТ)ю — температура, измеряемая в десятках кэВ. Соотношения
A8.4), A8.5) дают КПД мишени
% = %%*№• A8.6)
Рассмотрим энергетический баланс возможного реактора
инерционного синтеза. Эффективность преобразования тепловой
энергии в электрическую 7/ei равна приблизительно 0,4.
Эффективность преобразования электроэнергии в энергию
облучения обозначим тц. Для того чтобы получить полезный
выход энергии из реактора, необходимо выполнить условие (см.
рис. 18.2)
> 1
(если положить гц « 0,05, щ ~ 0,4, то необходимо чтобы
> 50.) Следовательно, должно быть
VG =
что дает
V
\2кТ
пт >
Здесь необходимо, чтобы
n{av)T
+ n(av)r
1
1
[1 - (^e
> 1.
A8.7)
A8.8)
A8.9)
Если щ « 0,4, 77l « 0,05, т/ь « 0,1, ^Т « 10 кэВ, то необходимо
соблюдение неравенства щг^щщ^ ^ 6а/кТ(кэВ) « 0,6а > 1.
Время удержания г определяется характерным временем рас-
расширения плазмы и выражается следующим образом:
Г о 5 р 10 КТ /ю 1Лч
^ ~ о-, ^s = о— = т —. A8.10)
3cs 3/)m 3mj ч 7
где cs — скорость звука. Поскольку объем ядра V равен
El
Vb
ЛИГ
?/NF
Рис. 18.2. Энергетическая диаграмма реактора инерционного удержания

378 Гл. 18. Инерционное удержание
то соотношение A8.1) можно переписать в виде
EL = —nKTr3. A8.11)
Из A8.2) и A8.10) имеем
т —
- rjb) n(av) 'D 1 — ?7b
Тч1/2
r. A8.13)
)
7Tli /
Если кТ = ЮкэВ, mi = 2,5mp (mp — масса протона) и плот-
плотность плазмы выражается в единицах плотности твердого веще-
вещества ns = 4,5 • 1028м~3, то (av) = 1,3 • 10~22м3с~1, и соотноше-
соотношения A8.12), A8.13), A8.11) дают
т = 0,34-1(ГЧ (^) (с),
?) (м), A8.14)
M2 (Дж).
Если плазма сжата до 103 плотностей твердого тела, п = 103ns,
и принято ^ « 0,1, то
т = 34 пс, г = 0,11 мм, EL= 12 МДж,
ипг« 1,5 • 1021 м~3 • с. В таком случае для выполнения условия
A8.7) необходимо, чтобы а > 19. При массовой плотности сжа-
сжатого ядра рт = 2,5 три (тр — масса протона) равенство A8.14)
эквивалентно соотношению
rpm « 2 г/см2.
Критические проблемы для реактора инерционного удержа-
удержания состоят в том, насколько плотная плазма может быть по-
получена посредством имплозии, и сколь надежно может быть
установлен фактор усиления в окружающей плазме, нагревае-
нагреваемой а-частицами, рождающимися в сжатом ядре. Весьма важны
и конструкция пеллеты, и материалы, из которых она сделана.
Технологическими проблемами энергетических устройств яв-
являются увеличение эффективности лазеров и улучшение фоку-
фокусировки пучков электронов, легких и тяжелых ионов.

§ 18.2. Имплозия 379
§ 18.2. Имплозия
Типичная структура пеллеты-мишени показана на рис. 18.3.
Внешним слоем по отношению к сферической дейтерий-тритевой
оболочке является толкающий слой, который играет роль поршня
во время сжатия; толкающий слой и
слой топлива окружены слоем абляцион-
абляционного материала из легких ядер. Эффек-
Эффективность нагрева щ равна коэффици- » / \п
енту преобразования энергии облучения ~
в тепловую энергию сжатого топливно-
топливного ядра. Эффективность нагрева зависит
от взаимодействия облучения с абляци-
абляционный материалом, процессов переноса
частиц и энергии и гидродинамическо- ^ис> *8*3- Схема^пеллеты.
<< , А— абляционный матери-
го движения плазмы. Энергия облуче- ал> Р_ поршень, D-T-
ния поглощается на поверхности абля- твердое D-T топливо, V-
ционного материала, и образуется нагре- вакуум
тая плазма. Затем плазма расширяется,
и внутренняя оболочка из дейтерий-тритиевого топлива уско-
ускоряется внутрь вследствие реактивного воздействия распростра-
распространяющегося наружу потока плазмы. Сама имплозия происходит
в центре. Эффективность нагрева щ равна произведению трех
величин, а именно, коэффициента поглощения 7/аЬ энергии облу-
облучения абляционным материалом, коэффициента преобразования
f/hydro поглощенной энергии облучения в кинетическую энергию
гидродинамического движения плазмы и коэффициента преобра-
преобразования ?7т кинетической энергии гидродинамического движения
в тепловую энергию сжатого ядра:
Vh = ^ab^/hydro^T-
Внутренняя энергия твердого дейтерий-тритиевого топли-
топлива на единицу объема равна произведению энергии Фер-
Ферми ер = (ft2/2me)C7r2nJ/3 на плотность с множителем 3/5
(% = h/2n — постоянная Планка, те — масса электрона).
Внутреннюю энергию на единицу массы wo можно положить
Wo = 1,0- 108 Дж/кг. Если раньше, чем начнется сжатие, про-
произойдет предварительный нагрев, то начальная внутренняя энер-
энергия вырастет до арг^о, далее твердое дейтерий-тритиевое топливо
будет сжиматься адиабатически. Используя уравнение состояния
идеального газа, можно выразить внутреннюю энергию w после

380 Гл. 18. Инерционное удержание
сжатия следующим образом:
w = apw0 [ — )
Vpo/
где ро и р — плотности массы до и после сжатия. Если предвари-
предварительный нагрев сильно подавлен и ар порядка 3, то внутренняя
энергия на единицу массы после сжатия в 1000 раз порядка
w « 3 • 1010 Дж/Кг. Эта величина w соответствует кинетической
энергии единицы массы, движущейся со скоростью v ~ 2,5 х
х 105 м/с (w = г>2/2). Если сферическая оболочка разгоняется до
этой скорости и кинетическая энергия этого движения преобра-
преобразуется в тепловую энергию топливного ядра в центре с хорошей
эффективностью г/т, то сжатие твердой смеси дейтерия-трития
с увеличением плотности в 1000 раз вполне возможно.
Когда пеллета облучается со всех сторон, плазма с поверхно-
поверхности абляционного слоя расширяется (со скоростью и). Возникает
абляционное давление Ра, и сферическая оболочка с массой М
ускоряется вовнутрь. Скорость сферической оболочки v, направ-
направленную вовнутрь, можно оценить на основе модели реактивного
двигателя с потоком плазмы наружу [3, 4]:
d(Mv) _ dM ( ,
~ж~-ж'и8^ A8Л5)
где S — площадь поверхности облочки. Если среднюю плотность
и толщину сферической оболочки обозначить как р и Л соот-
соответственно, то масса равна М = pSA. Обычно скорость и дви-
движения расширяющейся плазмы наружу значительно больше, чем
скорость движения сферической оболочки внутрь, и и — почти
константа. Изменение суммы кинетических энергий плазменного
потока и сферической оболочки равно поглощенной энергии об-
облучения:
где /l — вложенная мощность на единицу поверхности. С помо-
помощью уравнений A8.15) и A8.16) величина поглощенной энергии
Ег представляется в виде
= i
12(АМ)и2, A8.17)
где AM — изменение массы сферической оболочки. Здесь ис-
использовалось приближение и » vy и и = const. Давление Ра

§ 18.2. Имплозия 381
оценивается из A8.15) и A8.16) следующим образом:
"*»Л? A8.18)
Коэффициент преобразования 77hydro поглощенной энергии в ки-
кинетическую энергию сферической оболочки равен
1 /луг лил 2 Мо- AM /v\2
Поскольку, согласно уравнению реактивного движения A8.15),
v/u = - ln((M0 - АМ)/М0), то
AM
( Мо Л Л Л ДМЛу ЛМ /1Q1O\
%ydro = 7U7-1) ( m f 1 ^— ) « •—- A8.19)
y \AM / V V Mo / / Mo
при условии, что ЛМ/Mq <g: 1.
В конце сжатия скорость ускоренной сферической обо-
оболочки, направленная внутрь, должна быть больше, чем 3 х
х 105 м/с. Необходимое для этого абляционное давление Ра
может быть рассчитано из выражения A8.15), считая S = 4тгг2
иМ« М0СРа « const:
4тгРа 9 -Ра 2 ^
—— —Т '= у>^ /11 ^^
—Т =-
А Мо р
Интегрирование v • d^/dt дает
Ра = ^о^. A8.20)
Здесь ро> го> и ^о — массовая плотность, радиус и толщина
сферической оболочки при начальных условиях соответственно.
Если го/Aq = 30 и ро = 1 г/см , то для того чтобы полу-
получить скорость v = 3 • 105 м/с, необходимо абляционное давление
Ра = 4,5 • 1012 Н/м2 = 45 Мбар A атм = 1,013 бар). Требуемая
для этого интенсивность потока энергии внешнего источника
(драйвера) /l должна быть равна
V*blL = ?f. A8-21)
Для того чтобы рассчитать скорость разлетающейся плазмы
и, необходимо учесть взаимодействие энергии драйвера и обо-
оболочки абляционного материала. В этом разделе в качестве драй-
драйвера рассматривается лазер. Пусть звуковая скорость плазмы на
поверхности абляционного слоя равна cs, а массовая плотность
рс- Энергия, уносимая в единицу времени с поверхности абя-

382 Гл. 18. Инерционное удержание
ционного материала потоком плазмы, равна 4pcCg. Она должна
быть равна поглощенной мощности rj^Ii. Плотность плазмы
приблизительно равна критической плотности, соответствующей
частоте (длине волны) лазерного излучения, что дает
и « 4cs,
где тот = 2,5 х 1,67 • 10 27 кг — средняя масса дейтерия и три-
трития, а критическая плотность пс = 1,1 • 1027/А2 м~3 (А — длина
волны лазера в мкм). Из A8.21) получаем
Рг = \ъ(ЩЩ (Мбар), A8.22)
здесь (г?аЬ^ь)н берется в единицах 1014 Вт/см2, а А — в мкм.
Этот закон подобия согласуется с экспериментальными данными
в диапазоне 1 < (r;ab^L)i4 < Ю.
Большая часть исследований по имплозии проводится с ис-
использованием лазерных драйверов. Наблюдаемый коэффициент
абсорбции 77аь уменьшается при увеличении интенсивности ла-
лазерного излучения /l-
Измерены коэффициенты поглощения для лазера на нео-
димовом стекле с длиной волны 1,06 мкм (красный свет),
поглощения второй гармоники 0,53 мкм (зеленый) и третьей
0,35 мкм (синий). Для коротких длин волн поглощение луч-
лучше и для А = 0,35 мкм в диапазоне изменения II = 101* —
- 1015 Вт/см2 приблизительно равно r/ab « 0,9-0,8. Определяе-
Определяемый из эксперимента коэффициент преобразования ijhydro ~ 0,1 —
0,15. Ожидается, что коэффициент преобразования 7?т составит
примерно 0,5. Уже получено необходимое абляционное давле-
давление Ра = 45 Мбар. Для того чтобы сжать топливо до сверх-
сверхвысоких плотностей, необходимо во время процесса имплозии
избежать предварительного прогрева внутренности пеллеты, по-
поскольку до сжатия давление во внутренней части пеллеты сле-
следует поддерживать настолько низким, насколько это возможно.
Когда используется лазер с большой длиной волны (СО2-лазер,
А = 10,6 мкм), в результате взаимодействия лазерного излуче-
излучения с плазмой образуются высокоэнергичные электроны, кото-
которые проникают во внутреннюю часть пелеты и нагревают ее.
При использовании коротковолновых лазеров высокоэнергичные
электроны образуются в значительно меньших количествах.
Описанный выше процесс имплозии реализуется при пря-
прямом облучении пеллеты. Другой случай — непрямое облучение.

§ 18.2. Имплозия 383
Пример такого облучения приведен на рис. 18.4. Здесь пелле-
Цилиндрическая оболочка
из металла с высоким Z
Лазерные пучки Лазерные пучки
Рис. 18.4. Структура хольраум-мишени
та с топливом окружена внешней цилиндрической оболочкой.
Внутреняя поверхность этой оболочки облучается светом лазера,
и лазерное излучение преобразуется в энергию рентгеновского
излучения и энергию плазмы. Это рентгеновское излучение вме-
вместе с частицами плазмы, в свою очередь, облучает внутреннюю
пеллету с топливом, и начинается имплозия. Энергия рентгенов-
рентгеновского излучения и плазмы удерживается в зазоре между внешней
цилиндрической оболочкой и пеллетой с топливом. Они нужны
для более эффективной имплозии. Такая конструкция [5, 6]
называется мишенью типа хольраум 0.
Самые последние исследования в области инерционого удер-
удержания, включающие проект NIF (National Ignition Facility), хо-
хорошо описаны в обзоре [7].
Список литературы
1. Brueckner K.A., Jorna S. Rev. of Modern Phys. 1974. V. 46. P. 325.
2. Emmett J.L, Nuckolls /., Wood L. Scientific American. 1974. V. 230.
No. 6. P. 2.
3. Decoste Д., Bodner S.E., Ripin B.H. et al. Phys. Rev. Lett. 1979.
V.42. P. 1673.
4. Mima K. Kakuyugo Kenkyu. 1984. V. 51. P. 400 (на японском).
5. Nuckolls J.H. Physics Today. 1982. V. 35. Sept. 25.
6. Lindl I Phys. Plasmas. 1995. V. 2. P. 2933.
7. Lindl J. Inertial Confinement Fusion. - Springer/AIP Press, 1998.
l) От немецкого Hohlraum, что значит «полость» (или дословно «пустая
комната»). — Примеч. ред.

Приложение А
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МГД
Вычислив функцию распределения из выведенного в гл. 4
уравнения Больцмана,
I(f)||, (A,)
можно усреднением по пространству скоростей получить мас-
массовую плотность, плотность тока, плотность заряда, массовую
скорость и давление как функции координат г и времени t. Од-
Однако уравнения для этих усредненных величин можно получить
и не решая уравнения Больцмана, домножив (АЛ) на некоторую
функцию g(r, v, t) и проинтегрировав по пространству скоростей.
Полагая последовательно д = 1, g = rav, g = -z-v2, получаем
уравнения для плотности, импульса и энергии соответственно.
Обозначим среднее от функции д через (</), т. е.
Так как плотность
то легко найти, что
.-,/ г • (А.2)
n(r,t) = J/(r,v,t)dv, (A.3)
n(r,t){g(r,t)} = lg(r,\,t)f(r,\,t)dv. (A.4)
Интегрируя по частям, получаем
d(n{vi
=

Приложение А. Вывод уравнений МГД 385
n
Для силы F — qE + q(v x В) с учетом соотношения
dV = \Fi
В итоге, записывая (АЛ) через средние величины, получаем
|Н<?» - п (%) + Vr • (n(jv)) - n(Vr • (pv)> - ? (F • Vv5> =
= f P f?) <hr- (A.5)
Уравнение (А.5) с g = 1
Это уравнение непрерывности. Столкновительный член в (А.6)
равен нулю в случае, когда можно пренебречь эффектами иони-
ионизации и рекомбинации. Далее, (А.5) с g = mv дает уравнение
движения
/ I \\ ^ "^ О / / \ \ /Т\ I / ^ J 1 1
— \тп\у)) — у j:— \nm\VjY)) — п{г) = ту ( — 1 av.
' ' (А.7)
Определим скорость случайного движения vr как
v = (v) + vr
Согласно определению vr, среднее от этой скорости равно нулю:
<vr> = 0.
Поскольку
то
д
Е щ (»<««)) - Е ж: ("<ч№'>)+Е ^
з ¦*>
(А.8)

386 Приложение А. Вывод уравнений МГД
Умножение уравнения непрерывности (А.6) на m(v) дает
m| (n(v))=mn±(v) - ™<v)?^ (nfa» + тЦ
(А.9)
Определим тензор давления:
mn(vrivrj) = Pij, (АЛО)
тогда уравнение движения, следующее из (А.7),(А.8),(А.9), име-
имеет вид
- n(F) -Е АР, + |roVr (|
(A.ll)
Если функция распределения изотропна, то тензор давления
равен
и р = пкТ в случае распределения Максвелла (для анизотропной
плазмы тензор давления равен Pij = P±Sij + (P\\ - Р±)ЪЪ, где
b — единичный вектор вдоль магнитного поля В). Вводя тензор
можно выразить тензор давления как
Pij = P$ij + Пц • (А. 12)
Отличие Ilij от нуля указывает на анизотропные свойства функ-
функции распределения. Если ввести столкновительный член
R = mvr ( — ] dv, (A. 13)
J V Л/coil
то уравнение движения примет вид
з j
Сила трения R определяет изменение импульса вследствие
столкновений с частицами другого типа.
Пусть g = mv2/2. 'С учетом (v x В) • VYv2 = 0 уравнение
переноса энергии сводится к
Ы2>) + V {^)) Е (v) + — (-l)coii dv.
(А.15)

Приложение А. Вывод уравнений МГД 387
Дифференцируемые величины в левой части уравнения (А. 15)
преобразуются к виду
v»2 + -p
(w2) = ((v)J(v) + 2(((v) • vr))(v) + D2)(v)+
+ (vJ(vr)+2(((v).vr)vr) + (^2vr).
Второе и четвертое слагаемые равны нулю, а пятое слагаемое
пт
i
- _L м + —
пт пт
так что
(w2) = ((vJ + 5^-) (v) + 2 Y(vi)^ + (чЧ).
x / v пт) *-*< пт
%
Окончательно (А. 15) принимает вид
д (пт, чо , 3
h<v> +
, (A. 16)
(АЛ8)
Здесь Q — тепло, выделяемое при столкновениях, q — плотность
потока энергии вследствие случайного движения. Скалярное
умножение (А. 14) на (v) дает
= qnE-(v)+R-{v),

388 Приложение А. Вывод уравнений МГЦ
а из уравнения непрерывности (А.6) следует
f(vJ(|+V-(n(v)))=0,
поэтому уравнение (А. 16) сводится к виду
д (гит,
= qnE- (v) +R- (v).
Вычитанием из (А. 16) этого уравнения получим
Соотношение р = пкТ и уравнение непрерывности (А.6) дают
3 гг/ Л 3 dnT
Полагая s = In ((кТK/2/п) = In (p3/2/n5/2), можно переписать
(А.19) как
=-v ¦" - E Щ
(A.20)

Приложение В
ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ ДЛЯ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТОРОИДАЛЬНЫХ
СИСТЕМ
§ B.I. Интеграл энергии в наглядной форме
Интеграл энергии
= - f 7P(V • 0 + —(V х (? х В)J + (V
(B.I)
был выведен в гл. 8, см. (8.46). Это выражение может быть далее
преобразовано к более наглядному виду [1,2]
|u|
В) • В, - 2(( ¦ Vp)« ¦ к)) *, (В.2)
где к — вектор кривизны силовой линии магнитного поля. Пер-
Первый член подынтегрального выражения в (В.2) связан со звуко-
звуковыми волнами, второй и третий — с альфвеновскими. Четвертый
член ответствен за винтовые моды, а последний — за баллонные.
Переход от (В.1) к (В.2) делается следующим образом. Если
представить ? как сумму параллельной ?цЬ и перпендикулярной
?_l к магнитному полю В = ВЪ компонент,

390 Приложение В. Интеграл энергии
то два последних члена (В.1) сводятся к
{? ¦ Vp)(B • V) (|) + |V • (fc x B) x
Vp)(B • V) (I) + |v • (fc• Vp)B)+
= V • (§(? • Vp)B^) + «• Vp)V • e± + a x e±) • Bi. (B.3)
Плотность тока j также представляется в виде суммы параллель-
параллельной и перпендикулярной к магнитному полю компонент:
J.B
Последний член в (В.З) равен
= а(В х ?±) • В! - ^-^В • ВЬ
п
и V • ?_l во втором члене в (В.З)
В ,„ т
BxVB В

§В.1. Интеграл энергии в наглядной форме
39].
Теперь интеграл энергии (В.1) сворачивается к виду
V
¦ В,
В,-
в2
хВ)
О-в),
в2 1
Используя вектор к
2В*
,
(В X VB) X В
последний (баллонный) член можно представить как
поскольку
(В.5)
MBxVi?)xB_
в2
в3
(В.4) и (В.6) дают
¦
(B.7)
Из F.7) имеем
VB/i0p + В2) = 2(В • V)B.
Несложно показать, что к совпадает с вектором кривизны:
K=i(bx(b-V)(Bb))xb =
= (b x ((b • V)b + bi(b • VM)) x b = ((b • V)b)± - ~.
Здесь i? — радиус кривизны, an — единичный вектор, направ-
направленный из центра кривизны в точку на магнитной силовой линии
(см. рис. 2.4 в гл. 2).

392
Приложение В. Интеграл энергии
§ В.2. Интеграл энергии для осесимметричных
тороидальных систем
Для случая осесимметричной тороидальной системы инте-
интеграл энергии может быть сведен к более удобному виду. Действи-
Действительно, осесимметричное магнитное поле представимо в виде
_ Т(ф)л
(В.8)
где (р — угол вокруг оси тора, а ф — потоковая функция,
определенная
ф = -RAp. (B.9)
Здесь е<?> и ех — единичные векторы в то-
тороидальном и полоидальном направлениях
(см. рис. Bl), R — расстояние от оси сим-
симметрии, а Ар — это (^-компонента век-
векторного потенциала магнитного поля. R-
и Z-компоненты магнитного поля
_дф_
dR'
Можно ввести ортогональную систему ко-
координат (фУх^)у в которой координатные
поверхности /0=const образуют магнитные
поверхности, а х,^ - полоидальный и то-
тороидальный углы соответственно. Метрика
для этих координат такова:
Рис. B.I. Ортогональ-
Ортогональная система коорди-
координат (фуХ'р) с соот-
соответствующими коор-
координатными ортами е-0,
ех, е<^
ds2 =
+ {JBxdXf + (М<р)\
(В.10)
а элемент объема выражается как dV = J(ф)dфdxd(p. Силовая
линия определяется, с одной стороны, условием ф = const, а с
другой,
Rdtp _ В^ _
JBxdx " Вх "
т. е.
при этом фактор запаса устойчивости
1 Г J{il>)T(ilt)
t R2

§В.2. Интеграл энергии для осесимметричных тороидальных систем 393
Интеграл энергии для осесимметричных тороидальных си-
систем имеет вид [3]
V
V
inU
1 &%,„.2 1 Д*
В\ R2
\Х\2
2/xoJ2
~W)
J
. (B.ll)
Вывод выражения (B.ll) можно прокомментировать следующим
образом.
В произвольной ортогональной системе координат (tt1,^2,^3)
с метрикой
ds2 = h\{duxf + h22(du2J + hl(du3J,
градиент, дивергенция и ротор вектора F = Fiei +
(ej — единичные векторы) выглядят как
v ¦F = jn
В системе координат (гр, х, <р) величина (? • Vp) преобразуется в
13. Миямото К.

394 Приложение В. Интеграл энергии
где штрих над р означает дифференцирование по ф. Из формул
F.15), F.16) гл.6 получаем
Заметим, что ф, определенная в данном Приложении выраже-
выражением (В.9), равна -RA^, в то время как в F.15), F.16) гл.6
принято ф = RAp. Комбинация V • ? выражается как
Удобно ввести
При этом
1 ,
Х = Ь
Y =
?v —
г
X
RB'
R
I
RBX
Рассмотрим отдельную фурье-гармонику
Тогда
(Biky)Y = Bx-^-^- + B9~ У= 7Г + > У'
Так как

§В.2. Интеграл энергии для осесимметричных тороидальных систем 395
«• Vp)(V • Г) = X (-к - -^Л (±(JX*)' - iBk{lY* - inW).
Выведем выражение для Bi:
Bi = V х (? х В),
(? х В)^ = ?XBV - ^
(? х В)х = -
(С х B)v =
r 1 (дх , a (JBVV\\ 1
я/ 0 (л \ ди
в^ = 1 {-в х) +
Компоненты плотности тока
x = -Вхщ(ЯВ9) = -ВХТ,
i x ^ )x - 7^ф - -j
(Bi x Г )„ - f|^* + (int/
Далее,
T (RdU* R(IJy\'
13*

396
Приложение В. Интеграл энергии
* - inX*U)+
R2
*—+iBk\\XU*—
Mo " Mo
bt- Л u П 9
7? J'
Д
R2
dx
R2) R2
R2J
If
Mo
RBi
К
В итоге интеграл энергии для осесимметричных тороидальных
систем приобретает вид
w=
~w;
J
-KXX*\Jdi>dxd<p,

§ В.З. Интеграл энергии для баллонных мод с высокими значениями п 397
где
Rr2R\J~t rb\) МоД2 R R\J Вх)'
поскольку согласно (В. 16)
(JfB2
§ В.З. Интеграл энергии для баллонных мод
с высокими значениями п
Интеграл энергии в форме (ВЛ 8) был применен для анализа
устойчивости возмущений с высокими значениями п и баллон-
баллонных мод [3, 4].
Первый шаг в минимизации SW состоит в выборе Y таким
образом, чтобы занулить в (В. 18) член со сжимаемостью (V -х
х ? = 0). Второй шаг заключается в минимизации относитель-
относительно U. При рассмотрении баллонных мод важны возмущения
с большими значениями тороидального волнового числа п и с
\т — qh\<^n (см. разд. 8.5). После длинных математических ма-
манипуляций интеграл энергии с точностью 0A /п) записывается
в виде [3]
п
+ —JBk«(X</) - -{P*JBk\\Q + c.c.)) , (B.19)
ТЬ ТЬ J
где
о т т
Uk\\B =q~ + inQ' «W», X) = jp •

398 Приложение В. Интеграл энергии
Величина 5W должна быть минимизирована по отношению ко
всем периодическим функциям X с подходящей нормой,
|2 /DR n2 1 QX 2>
тг
m
где рт — плотность. Интеграл (В.20) отвечает кинетической
энергии движения, перпендикулярного к силовой линии.
Уравнение Эйлера для минимизирующей функции Х(ф,х)
может быть выведено из (В. 19) и (В.20). Поскольку Х(ф,х)
периодична по х> ее можно разложить в ряд Фурье,
Введем, используя представление в виде интеграла Фурье, непре-
непрерывную функцию Х8(ф), которая совпадает с Хт{ф) для целых
Х8(ф)= X'(ф9 у) exp(isy)dy /2тг,
—оо
оо
Х(ф,у)
Величину Х(ф, у) называют баллонным представлением Х(ф, х)-
Тогда Х(ф,х) представляется как
Поскольку
-00
— ^2 ехр(-гт(х - у)) = J^ % - X +
т N
6(х) — дельта-функция), то связь Х(ф,х) и Х(ф,у) такова:
Х(Ф, X) = Y1 ХУ>, X - 2ттЛГ). (В.22)
N
Величина Х(ф,х) выражена бесконечной суммой квази-мод.
Уравнение Эйлера для Х(ф,х) преобразуется ^идентичное
уравнение для Х(ф,у) с той лишь разницей, что X определена

§ В.З. Интеграл энергии для баллонных мод с высокими значениями п 399
на бесконечной области значений у и к^ней не предъявляется
требование периодичности. Рассмотрим Х(ф,у) в форме
у
Х(Ф> У) = W, У) exp(-m | qdy), (B.23)
2/0
в которой амплитуда F(^, у) является при п —* оо медленно
меняющейся функцией. Тогда
у
%ЩВХ(<ф,У) = (§у+ iriq) Ш у) = ^У1 ехр(-гп | qdy).
2/0
Главный член уравнения Эйлера для Х(ф,у) принимает вид [3]
= 0. (В.24)
Это уравнение используется для анализа устойчивости баллон-
баллонных мод [4] (см. разд. 8.5).
Список литературы
1. Greene J.M., Johnson IL Plasma Phys. 1968. V. 10. P. 729.
2. Bateman G. MHD Instabilities. - The MIT Press, 1978 (русский пе-
перевод: Бейтман Дж. МГД-неустойчивости. — М.: Энергоатомиздат,
1982)
3. Connor I W., Hastie R.lf Taylor IB. Proc. Roy. Soc. 1979. V. A365.
P. 1.
4. Connor J.W., Hastie RJ., Taylor IB'. Phys. Rev.Lett. 1978. V. 40.
P. 396.

Приложение С
ВЫВОД ТЕНЗОРА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ
ПРОНИЦАЕМОСТИ ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЫ
§ С.1. Дисперсионное уравнение для горячей плазмы
В гл. 10 было получено дисперсионное соотношение для хо-
холодной плазмы. В невозмущенном состоянии в холодной плазме
электроны и ионы неподвижны. В то же время в горячей плазме
даже в невозмущенном состоянии электроны и ионы движутся
по винтовым траекториям. Движение заряженных частиц в од-
однородном магнитном поле Bq = Bqz можно описать уравнениями
dr i dv q i ^ tr* w
Принимая, что при t' = t начальные значения г' = r, v' = v =
= (v±cos6,v±sm9,vz), получим решение уравнения (C.I) в виде
v'x(t') = v± cos@ + Q(t' - t)),
v'y(t') = vL sin@ + Q{i! -1)), (С2)
v'z(t') = vz,
x'(t') = x + ^(sin@ + Q(t' - t)) - sin^),
y'(tf) = y- ^(cos(^ + Q{t' - t)) - cos0), (С.З)
где Q — —qBo/m и vx = v± cos 9, vy = v± sin^. Анализ поведения
этой системы под воздействием возмущения основывается на
уравнении Больцмана. Функция распределения частиц сорта к
определяется системой уравнений
| + v-Vr/fc + ^(E + vxB). Vv/fc = 0, (С.4)

§ C.I. Дисперсионное уравнение для горячей плазмы 4Ш
(C5)
-V х В = б0^ + 2J Qk\ v/fcdv, (C.6)
Мо к J
VxE=-|, (C.7)
V • В = 0. (C.8)
Нулевое приближение, т. е. невозмущенное состояние, обознача-
обозначается, как обычно, индексом 0, а первое приближение — индексом
1. Члены первого порядка пропорциональны ехрг(к • г — ut). Ис-
Используя представление
Л = Ло(г,у) + /ы, (С.9)
B"D i "D (Г* 1 (W
— U + Jlii, \УЛЧ
можно линеаризовать уравнения (С.4)-(С8):
v • Vr/fco + ^(v х Во) • Vv/fco = 0, (С. 12)
= 0, (С.13)
-iv х Во = Х> jv/w>dv = jo, (С 14)
К
v • Vr Д, + ^(vxB0). Vv/m =
= -^-(E,+vxB,)-Vv/fco. (C15)
}fcldv> (C16)
-к х В! = -ш
Mo
-V% fv/fcirfv ) , (С.17)
ft /
= -(kxEi).
Принимая во внимание (С.18), замечаем, что правая часть (С. 15)
линейна по Еь так что /ы также будет линейной функцией Еь

402 Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемости
Тензор диэлектрической проницаемости горячей плазмы, обозна-
обозначаемый K(D = 6qK • Е), определим как
eK-Ei. (C.19)
Если из (С. 15) можно найти Дь то можно рассчитать и К. Из
уравнений (С. 17), (С. 18) находим для Ej линейное соотношение
2
к х (к х Ei) + ^К • Ei = 0. (С.20)
Закон дисперсии получается приравниванием нулю определителя
системы линейных уравнений: см. A0.19), A0.20). Как и в слу-
случае холодной плазмы, волновые свойства горячей плазмы могут
быть получены из дисперсионного уравнения.
§ С.2. Решение линеаризованного уравнения Власова
Интегрированием правой части (С. 15) по времени вдоль
невозмущенной траектории частицы (С.2),(С.З) находим
t
/fci(r,v,t) = -— (Ei (г'(*'),*')+
mk J \
— 00
V(O x (k x Е!(г'(О,О)) • Vjk0(v'(t')y(t'))dt'. (C.21)
Подстановка (С.21) в (С. 15) дает
-J(E1+ivx(kxE1))-VvAo-
x [подынтегр. выраж. из (C.21)]tft' =
= -|4Ei+vxBi).Vv/fc0. (C22)
Если доказать, что второе слагаемое левой части уравнения
(С.22) обращается в нуль, то (С.21) действительно будет решени-
решением (С. 15). Заменим, используя (С.2) и (С.З), переменные (r,v,t)

§ С.2. Решение линеаризованного уравнения Власова 403
на (r',v',t'). Тогда дифференциальные операторы во втором сла-
слагаемом левой части уравнения (С.22) примут вид
dt~ dtdt'^ at r+ dt v
dr' , dv \
r d{t't) v)~
dt \d(t'-t) r d{t'-t)
= -v'.V'r-^(v'xB0)
v • Vr = v • V'
9 = dr y; | uy \>' =
= I (sinЛ^ -t)^ + [- cos
- sin /?(t' - t)^-r + cos
m
Следовательно, второе слагаемое в левой части (С.22) действи-
действительно равно нулю.
Так как члены первого порядка ~ ехр(-ш;<), то интеграл
(С.21) сходится, когда мнимая часть и больше нуля. Если мни-
мнимая часть и отрицательна, то решение может быть получено
аналитическим продолжением из области положительной мни-
мнимой части частоты.

404 Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемости
§ С.З. Тензор диэлектрической проницаемости
горячей плазмы
Нулевое приближение функции распределения /о должно
удовлетворять уравнению (С. 12) или, что то же самое,
/о(г, v) = f(v±, vz), v\ = v*+ v2y.
Рассмотрим случай
Ei (r', tf) = Eexpi(k • r' - uif).
Ось z направлена вдоль Во, а ось х лежит в плоскости, об-
образованной вектором Во и волновым векотором к, так что
у-компонента волнового вектора равна нулю (ку — 0):
Тогда (С.21) преобразуется к
/l(r, v,t) = — — expi(kxx + kzz — ut)x
m
t
x
oo
x eXp i^± sm{6 + Q{t' -t))-i
U)
i(kzvz-u){tl -t)\dtf.
Введем переменную г = tf — t и используем следующие соотно-
соотношения для функций Бесселя:
ехр(га sin в) = S^ Jm{p) ^ХР ггпв,
т=—оо
J_m(a) = (-l)mJm(a),
ОО ОО
ехр(---)=
т=—ооп=—оо
х expi(kzvz - ш)т.

§ С.З. Тензор диэлектрической проницаемости горячей плазмы 405
Так как
kxv'x
kzv'z\( v' v'y\,v F kxv'x
)\E + EJ+VE
dvz w ) \2
kxvz
w dvz
TO
, v, t) = expi(fcza; + kzz —
ТГЬ
где
uj ) dv± uj dvz
(C.24)
a; 5i;_l a; dvz'
^ ^ (С.25)
U m
и
Jn-i(a) + Jn+i(fl) _ nJn(a) Jn_i(g) -
2 " ~~^~' 2 " do141-
Поскольку /i получена в явном виде, то (С. 19) удобно перепи-
переписать как
(К - I) ¦ Е = JL ]Г qj J v/fidv. (C.26)
Так как г;ж = ^_lcos^, vy — ^xsin^, vz = vz, то в х- и у-
компоненты интеграла (С.26) могут дать вклад только члены

406 Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемости
г(т~п^ = е±гв
п^ = е±гв в fj\, а в ^-компоненту могут дать вклад только
(H
fj
члены с e*(m~nH = 1, и мы получаем
П2 °° Г С
K = I-Vi У \dv- Sjn n ,
^^ u;n7o ^—' I kzvz -u> + nfij
j J n=—ooJ J
(С.27)
n nKdvz a
dvz a
где
П2 = njQj ш
Если использовать соотношения
+JttLw)
dvz kxv± J = _}^9fo_ + v±df0
kzvz — со + nQ ш dv± lo dvz '
oo oo
J2=l, ^ J«j; = 0, ^ nj2=0 (J-n = (-l)nJn)
n=—oo n=—oo n=—oo
и заменить n на —n, то выражение (С.27) преобразуется к виду
zvz-uj-nQj
or
T —
-v±vzJn(n—) -iv±vzJnJ'n v2zJnJn
(X
где все компоненты матрицы L равны нулю, за исключением
Lzz = 1. Из соотношений
kzvz — си —
+ 7Гт
v± u(kzvz -и- nfij
dv±
J

§ С А. Тензор для би-максвелловской плазмы 407
Е( т/ \2 __ ! V^ n2J^(g) _ 1
yJn) -2. 2^ —?-"г
п=—оо п=—оо
можно получить другое выражение для тензора диэлектрической
проницаемости:
Лl ^^v. (C.28)
Используя
N = -С,
UJ
получаем дисперсионное уравнение (С.20) в следующем виде:
(Кхх - Щ)ЕХ + КхуЕу + (Kxz + N±N\\)EX = 0,
КухЕх + {Куу - N2)Ey + KyzEz = 0,
(Kzx + N±N\\)EX + KzyEy + (Kzz - N\)EZ = 0.
Здесь JV|| — ^-компонента N (параллельная В), a N± —
х-компонента N (перпендикулярная В). Дисперсионное уравне-
уравнение получается приравниванием детерминанта матрицы коэффи-
коэффициентов нулю.
§ С.4. Тензор диэлектрической проницаемости
би-максвелловской плазмы
Если в нулевом приближении функция распределения би-
максвелловская,
,vx) = noF±(v±)Fx(vz), (C.29)
(С.ЗО)
ТО
m V/2 ( rn(vz-V)

408 Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемости
Интегрирование по vz можно провести, используя плазменную
дисперсионную функцию Z(Q, которая по определению есть
Используя соотношения
оо
f п—Чл dv* = —Cn^(Cn),
J kz(vz-V)-un ujn
—оо
оо
f ,){VZ~vVFz dvz=
J kz(vz -V)-un
oo
Г {Uvz-V)fFz _
J k,{v,-V)-UndV*-W
—oo
oo
—оо
оо
un = и - kzV + ni?,
. _ uj-kzV + nQ
4(b1/2x)exV(-^)xdx = aln{ab)e-^,
n=—oo
(где /n(#) — модифицированная функция Бесселя), полу-
получим формулу для тензора диэлектрической проницаемости
би-максвелловской плазмы в следующем виде:
i,e ^ п
) ) 
- (l - 1) A+ С„^(С„))) eXn + 2^Atl), (С.ЗЗ)

xn =
§ С.5. Закон дисперсии электростатических волн 409
n2ln/b in(I'n -In)
-in{In - In) {п2/Ь + 2b)In - 2Ы'п iB.
-{2\i)x'2-nn-In -iB\ry/2rina(In-In) 2\-хг,2п1п
. (C34)
_ kxvT± о -
V =
п l m 1J- m
Все матричные элементы L равны нулю, за исключением Lzz = 1.
§ С.5. Закон дисперсии электростатических волн
Если электрическое поле Е волны задается электростатиче-
электростатическим потенциалом ф:
Е - -V</>,
то такие волны называется электростатическими. В этом пара-
параграфе обсуждается дисперсионное соотношение для электроста-
электростатических волн в горячей плазме. Поскольку &B\/dt = V х Е и
Bi = к х Е/а; = 0,
то дисперсионное соотношение преобразуется от A0.92) к виду
k\Kxx + 2kxkzKxz + k*Kzz = 0. (С.35)
Подставив К, определенное выражением (С.33), в (С.35), найдем
oo
.2 г 7.2
n=—oo ^ ^
uon = и — kzV + nJ2, Y^ ^n(b) = e ,
n=—oo
/тп
fkxvj±\

410 Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемости
или иначе,
=0,
? A + |Ш)^(Сп)/пв-ь)=о. (с.36)
§ С.6. Закон дисперсии электростатических волн
в неоднородной плазме
Уравнение (С.36) является дисперсионным уравнением для
электростатической волны в однородной би-максвелловской
плазме. В том случае, когда плотность и температура в нулевом
приближении изменяются вдоль оси у, необходимо обратиться
к (С.5), (С.21), тогда можно записать
(C.37)
t
f"l = ?- \ V'^' <r'' *') • VvAo(r', v')dt'. (C.38)
—oo
Функция распределения в нулевом приближении До должна
удовлетворять уравнению (С. 12), или
Инвариантами движения частиц являются а — v\, /3 = (yz — VJ>
7 = у + vx/Q. Функция распределения /о(л,/3,т) нулевого при-
приближения, удовлетворяющая уравнению (С. 12), выглядит так:

§ С. 6. Закон дисперсии в неоднородной плазме 411
(? ). (с.39)
v2T±J \2nv2J V 2i4 2v\ J
Градиенты плотности и температуры для этой функции распре-
распределения следующие:
1 dn° с л. л л. 5z
no dy 2
1 dT± .
1 dTz
Рассмотрим возмущение
ф\ (г, t) = ф\ (у) exp(ikxx + ikzz - iut).
Для такого возмущения подынтегральное выражение принимает
вид
Используя
I v' • V'^idt' = ф1+ш [
a' = a, C' = /3, У = 7)
находим
X
—оо
г^ж; + ifc^' - iutf)dA (C.40)

412 Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемости
И
t t
I ф(т',t')dtf = (/){(y')exp(ikxxf + ikzz' -iut')dt' =
—oo —oo
= ф\ (у) exp(ikxx + ikzz - iut) exp (—i-^тг- sin0 j x
t
x f exp (^± sm{6 + Or) + i(kzvz - u)rj dr. (C.41)
—oo
Используя разложение
oo
ехр(га sin в) — V^ Jm(o) exp гтв,
J.m(a) = (-l)mJm(a),
запишем интеграл как
+ Jn(a)Jn-\(a)expi6 + Jn(a)Jn+\(a)exp(-i6) H ), (C42)
где a = kxv±/f2. Подстановка (С.42) в (С.40) дает
т
и - kzvz -
. (С.43)
Подставив это выражение для f\ в уравнение (С.37), получим
дисперсионное уравнение для электростатической волны в слу-
случае неоднородной плазмы:
1±
да
ikx
- M,)— + 2kz{vz - V)— + ——j
x

§С6. Закон дисперсии в неоднородной плазме
413
X
Jn + JnJn-i ехрг0 + JnJn+i ехр(-г0)
и — kzvz — nfi
d6dv_\_dv±dvz.
1 (C44)
Для \(kl + к1)ф\\ > \д2ф\/дх2\у (С.44) преобразуется к
(к2х + k2z) - J2 Щ^ J J }[•'' }jd9dv±dv±dvz = 0.
Так же как и в разд. С.З, это дисперсионное уравнение приво-
приводится к виду
1 п
(е + 5± - fn(b)S±)
+
= 0.
(fc.45)
Здесь у = 0 и использованы соотношения
с<;п = ио — kzV
-\
-^ • ^xdx = fn{b)In{b)e-\
fn(b) = (\-b) + bl'n(b)/ln(b).
Если б = <5j_ = Sz = 0, то дисперсионное уравнение совпадает
с (С.36).

414 Приложение С. Вывод тензора диэлектрической проницаемости
В случае малых частот ш <С |J?| имеем ?n » I (n ^ 0),
Сп^(Сп) -> -1 (п ^ 0) и 1 + Сп^(Сп) - -A/2)С2 (« Ф 0). Тогда
(С.45) преобразуется к виду
k\ + k\
Здесь было учтено, что
Положив vj± = г>т,г = t/т» ^± = ^ = 0, У = 0, получаем диспер-
дисперсионное уравнение для дрейфовой волны, обусловленной гради-
градиентом плотности:
=0. (С.47)
Напомним, что направление оси х противоположно скорости Vde
электронного дрейфа, у — противоположно градиенту плотности,
a z — вдоль магнитного поля. Обычно для электронов можно
положить Ье = 0, тогда (С.47) дает
Щ ( ( - ?)) . (С.48)
где
1
Д

Физические константы, плазменные величины
и математические формулы
h
к
А
е
1
те
е/к,
mv/m
К
ГП
/
С2
скорость света в вакууме
(определение)
диэлектрическая
проницаемость вакуума
магнитная проницаемость
вакуума
(постоянная Планка)
(постоянная Больцмана)
(число Авогадро)
(заряд электрона)
электрон-вольт (эВ)
(масса протона)
(масса электрона)
2,99792458 • 108 м/с
8,8541878 • Ю2 Ф/м
1,25663706-Ю-6 Гн/м
(= 4тг • Ю-7)
6,6260755D0) • Ю-34 Дж • с
1,380658A2) • Ю-23 Дж/К
6,0221367C6) • 1023/моль
G60 Торр, 0°С, 22,4 л)
1,60217733D9)-Ю-19 Кл
1,60217733D9) • 10~19 Дж
1,6726231A0)-Ю-27 кг
9,1093897E4)-Ю-31 кг
11604 К/В
1836
42,9
0,5110 МэВ
Величины в единицах СИ, кТ/е в эВ, In Л = 20, 101/2 = 3,16
— = 8,98- 10ю (^Л
2тг \IO2OJ
Я, = (-!) =5,64.
\meeoj
me
1/2
^ = 2,80 • 1010В,
Z7T
ГП\
Tii||
= 0,18
-3/2
П,
1020'

416 Константы, плазменные величины и математические формулы
Z2nee4lnA me ^^ (^Л'^ Jh_
ie ~ {2n)'l4^W\KTfl2 mx ~ 0>Л> ' Ш A \ e ) Ю20
. /ео«т\ 7Л, 1П_7/Кте
Ad = 5" = ' >45' 10 —
VneeV V e

mene \ с ) me
|

Константы, плазменные величины и математические формулы 417
'кТ\ ( п
vA
9 9
_ (^D_\
С ) ~ \Рпе)
Dd " 16 i
Яе__ 5
z/eiH In AZ
a • (b x с) = b • (с x a) = с • (a x b),
a x (b x c) = (a • c)b — (a • b)c,
(a x b) • (c x d) = a • b x (c x d) = a • ((b • d)c - (b • c)d) =
= (a-c)(b-d)-(a-d)(b-c)
V • (фа) = 0V • a + (a • V)</>,
V x (фа) = V0 x a + фЧ х a,
V(a • b) = (a • V)b + (b • V)a + a x (V x b) + b x (V x a),
V-(axb) = b-Vxa-a-Vxb,
V x (a x b) = a(V • b) - b(V • a) + (b • V)a - (a ¦ V)b,
V x V x a = V(V • a) - V2a (только в декартовых координатах),
V х V</> = О,
V . (V х а) = О,
г = xi -Ь yj + zk,
Vr = 3, Vxr = 0,
f f
S/ф • dV = (
J J
v s
V • adV = a • nda,
v s
V x adV — n x ada,
v s

418 Константы, плазменные величины и математические формулы
п х V(j)da = Ф (j)ds,
s с
Г f
V х а- nda = Ф
f
V х а- nda = Фа- ds.
j
S С
Цилиндрические координаты (г, в, z)
ds2 = dr2 + r2d62
дф. \дф. дф.
1 д 1 dFo
V-F = - — (rFi) + -—-
г дг г дв Oz
г дв dz 1 \ dz or I \r dr
Сферические координаты (г, в, ф)
+ r2d62 + r2 sin
ds2 = dr2 + r2d62 + r2 sin2
Id/ 2^\ 1 8

Предметный указатель
(Числа обозначают разделы
книги, латинские буквы — под-
подразделы)
Абсолютный минимум В, 8.1а,
17.3Ь
Адиабатический инвариант, 2.5
Адиабатический нагрев, 2.5
Альфвеновская волна 5.4, 10.4а
— компрессионная мода, 5.4,
10.4а
— крутильная мода, 5.4, 10.4а
Альфвеновская скорость, 5.4,
10.4а
Альфвеновские собственные мо-
моды, 14.2
Амбиполярная ловушка 17.3d
Аспектное отношение, 3.5
Баллонная сила, 6.3
Банана ширина, 3.5Ь, 7.2
Банановые траектории, 3.5Ь
Банановый режим, 7.2
Берштейновская волна, 12.4
Бесселевой функции модель,
17.1b
Бета, 6.1
Би-максвелловская (фунцкция
распределения), 12.3
Био—Савара закон, 3.1
Больцмана уравнение, 4.2
Большой радиус, 3.5
Бомовская диффузия, 7.3
Бутстрэп-ток, 16.8d
Быстрая волна, 10.2а
Векторный потенциал, 3.1
Винтовая неустойчивость, 8.Id,
8.3аC)
Винтовая обмотка, 17.2а
Винтовая симметрия, 17.2а
Винтовая система, см. Стеллара-
тор
Вириала теорема, 6.7
Вистлеры (свисты), 10.4е
Власова уравнение, 4.2
Внутренний (малый) срыв, 16.3
Вращательного преобразования
угол, 3.5
— в винтовом поле, 17.2а
— в токамаке, 3.5, 16.4
Возбуждение волн, 12.0
Волн
— поглощение, 12.2
— распространение, 12.0, 12.2
Волны с отрицательной энерги-
энергией, 13.3
Время
— диффузии в пространстве ско-
скоростей, 2.6
— Пастухова, 17.3d
— потерь, см. Время удержания
— релакцации энергетическое,
2.6
— столкновений, 2.6
— торможения ионного пучка,
2.6
— торможения, 2.6
— удержания
в амбиполярной ловушке,
17.3d
в каспе, 17.3а
в пробочной ловушке, 17.3а
в стеллараторе, 17.2d
в токамаке, 16.6, 16.7
энергии, 7.0, 16.6, 16.7,
17.2d, 17.3a, 17.3d
Вырожденная электронная плаз-
плазма, 1.1
Вытянутость сечения плазмы,
16.4
Гамильтониан, 3.3
Гелиотрон/торсатрон, 17.2Ь
Генерация тока

420
Предметный указатель
— инжекцией нейтральных ато-
атомов, 2.6, 16.8с
— нижнегибридными волнами,
16.8а
— переменным полем, 17.Id
— электронными циклотронны-
циклотронными волнами, 16.8Ь
Гибридный резонанс, 10.3, 12.5
Главная ось, 3.5
Градиентная (^-мода, 8.6
Градиентный дрейф, 2.4
Гринвальда нормализованная
плотность, 16.3
Гринвальда—Хьюгилла—Мура-
ками параметр, 16.3
Групповая скорость, 12.1
Трэда—Шафранова уравнение,
6.2
Двухпотоковая неустойчивость,
13.2
Дебаевская длина (радиус), 1.2
Дебаевское экранирование, 1.2
Дефект массы, 1.3
Диамагнетизм, 6.1, 6.3
Дивертор, 16.5
Динамического трения коэффи-
коэффициент, 16.8а
Дисперсии закон
— для горячей плазмы, 12.3,
12.4, 12.5, 12.6
— для холодной плазмы, 10.1
— электростатических волн,
13.1, 13.4, С.5, С.6
Диффузии коэффициент, 7.1, 7.2,
7.3, 7.4
Диффузия классическая, 7.1а
Диффузия в пространстве скоро-
скоростей, 16.8а
Диффузия, 7.1, 7.2, 7.3, 7.4
Диэлектрическая проницае-
проницаемость, 3.1
Длина свободного пробега, 6.1
Дреайсера поле, 2.7
Дрейфовая диссипативная
неустойчивость, 9.2
Дрейфовая неустойчивость, 9.2,
С.6
Дрейфовая поверхность, 3.6
Дрейфовое приближение, 2.4
Дрейфово-резистивная неустой-
неустойчивость, 9.2
Желобковая неустойчивость,
8.1а
Зажигания условие, 1.3
Запаса устойчивости коэффици-
коэффициент, 8.3аC), 16.4
Запертые частицы, см. Банано-
Банановые траектории, 3.5Ь
Имплозия, 18.2
Инерционное удержание, 18.1
Инжекция быстрых нейтралов
(ИБН), 2.6, 16.7
ИНТОР, 16.11
Ионные циклотронные волны,
10.4Ь
Ионный циклотронный резо-
резонанс, 10.2Ь
Иоффе палки, 17.3Ь
ИТЭР (ITER), 15, 16.11
Канонические переменные, 3.3,
4.1
Касп, 17.3а, 3.4
Квазилинейная теория, 11.4
Кожух проводящий, 15.2а, 16.10
Конус потерь, 2.5, 17.3d
Конусная неустойчивость, 17.3с
Крампа функция, 12.3
Круговая поляризация, 10.2а
Крускала—Шафранова условие,
8.3аC)
Кулоновские столкновения, 2.6
Кулоновский логарифм, 2.6
Кэя—Голдстона скейлинг, 16.6
L-волна, 10.2а
Лагранжев формализм, 3.3
Лазерная плазма см. Инерцион-
Инерционное удержание, 18
Ландау затухание/усиление,
11.1, 12.3
Лапласиан, 1.2
Ларморовский радиус, 2.3
Ленгмюровская волна, 2.2
Линеаризованные МГД уравне-
уравнения, 8.2
Литиевый бланкет, 1.3

Предметный указатель
421
Лиувилля теорема, 4.1
Локальных мод устойчивость
в торе, 17.1Ь
Магнитная вязкость, 5.3
Магнитная диффузия, 5.3
Магнитная гидродинамика
(МГД)
— двужидкостная, 5.1
— одножидкостная, 5.2
Магнитогидродинамическая
— неустойчивость, 8.0
— неустойчивость в токамаке,
16.3
Магнитная ось, 3.5
Магнитная поверхность, 3.2
Магнитная спиральность, 17.1Ь
Магнитная яма, 8.1Ь
Магнитного поля индукция, 3.1
Магнитного поля напряжен-
напряженность, 3.1
Магнитное удержание, 14
Магнитное число Рейнольдса,
5.3
Магнитные флуктуации, 7.4
Магнитный зонд, 16.1
Магнитный момент, 2.5
Магнитозвуковые волны, 5.4
Макроскопическая неустойчи-
неустойчивость, 8.0
Максвелла уравнения, 3.1
Максвелловская функция рас-
распределения, 2.1
Малая ось, 3.5
Малое решение, 8.3с
Малый радиус, 3.5
Малый срыв, 16.3
Медленная волна, 10.2а
Микронеустойчивость, 13.0
Минимум В
— абсолютный, 8.1а, 17.3Ь,
— как условие желобковой
устойчивости, 8.1Ь
— средний, 8.1Ь
Нагрев
— дополнительный в токамаке,
16.7
— инжекцией нейтральных ато-
атомов, 2.6, 16.7
— ионный циклотронный, 12.4
— нижнегибридными волнами,
12.5
— электронный циклотронный,
12.6
Некруглое сечение, 16.4
Необыкновенная волна, 10.2а
Неоклассическая диффузия
— в винтовом поле, 17.2с
— в токамаке, 7.2
Неоклассическая тиринг-мода,
16.9
Неустойчивость
— баллонная, 8.5, 16.4 В.З
— винтовая, 8.Id, 8.3aC)
— в пробочных ловушках, 17.3с
зеркальная, 17.3с
— двухпотоковая, 13.2
— в пространстве скоростей,
13.0
— дрейфовая диссипативная, 9.2
— дрейфовая, 9.2, С.6
— дрейфово-резистивная, 9.2
— желобковая, 8.1а
— конусная, 17.3с
— на запертых частицах, 13.4
— отрицательной массы, 17.3с
— перестановочная, 8.1а
— резистивная, 9.1
— резистивной стенки (RWM),
16.10
— свистовая (вистлер), 17.3с
— сосисочная, 8.1с
— срыва, 16.3
— тиринг, 9.1
— фишбон, 14.1
— Харриса, 13.4
— электронного пучка, 13.3
Нижнегибридые волны,
см. Генерация тока нижнегибри-
дыми волнами, 16.8а
см. Нагрев нижнегибридыми
волнами, 12.5
Нулевой шир, 17.1Ь
Обращенный шир, см. Отрица-
Отрицательный шир
Обыкновенная волна, 10.2а
Ома закон, 2.8
Омический нагрев, 2.8, 5.3

422
Предметный указатель
Осевая симметрия, 3.2, 3.4, 6.2
Операционные режимы токама-
ка
— Н-мода, 16.7
— L-мода, 16.6
— VH-мода, 16.7
Открытые системы, 17.3
Отрицательная диэлектрическая
проницаемость, 13.3
Отрицательной массы неустой-
неустойчивость, 17.3с
Отрицательный шир, 8.5, 16.7,
16.9d
Отрицательных ионов источник,
16.7
Отсечка, 10.2Ь
Парамагнетизм, 6.3
Параметр идеальности, 1.2
Пеллет-инжекция, 18.1
Перезарядка, 2.6
Перестановочная неустойчи-
неустойчивость, 8.1а
Перетяжки, 8.1с
Переходное время, 11.2, 12.3
Пинча с обращенным полем
(RFP), 17.1
— конфигурация, 17.1а
— релаксация, 17.1Ь
Плато режим, 7.2
Плотность энергии волны в дис-
диспергирующей среде, 12.1
Пойнтинга вектор, 12.1
Полевая частица, 2.6
Полоидальная бета, 6.3
Полоидальное поле, 3.5
Поляризации вектор, 10.1
Поляризация, 10.2
Поперечный адиабатический ин-
инвариант, 2.5
Потери
— конвективные, 7.3, 17.2d
— радиационные, 1.3, 16.6
— флуктуационные, 7.3
Предел по бета, 6.5, 6.6, 16.4
Преобразование мод, 12.0, 12.5
Приграничный слой (SOL), 16.5
Пробная частица, 2.6
Пробочного удержания условие
2.5, 17.3а
Пробочное поле
Продольный адиабатический ин-
инвариант, 2.5
Пролетные частицы, 3.5а
Проникновения нижнегибридной
волны условие, 12.5
Проницаемость магнитная, 3.1
Пуассона уравнение, 3.2
Пфирша—Шлютера
— режим, 7.2
— ток, 6.6
— фактор, 7.1а
R-волна, 10.2
Равновесия в токамаке условие,
6.1, 6.2, 6.3, 16.2
Разделение зарядов, 3.5, 7.1а
Распыление, 16.5
Реактор термоядерный, 1.3,
16.11
Резистивная неустойчивость, 9.1
Резистивной стенки неустойчи-
неустойчивость (RWM), 16.10
Резонанс, 10.2Ь
Резонансное возбуждение, 12.0
Релаксационные процессы, 17.1Ь
Сайдема критерий, 8.3с
Самоиндукция плазменного
кольца с током, 6.3
Свистовая (вистлер) неустойчи-
неустойчивость, 17.3с
Сепаратриса, 16.5, 17.2
Сечение, 2.6
— кулоновских столкновений,
2.6
— ядерного синтеза, 1.3
Силовая линия, 3.2
Сильно взаимодействующая
плазма, 1.2
Скалярный потенциал, 3.1
СМА-диаграмма, 10.3
Собственная альфвеновская мо-
мода,
индуцированная тороидально-
стью (ТАЕ), 14.2
Сосисочная неустойчивость, см.
Перетяжки, 8.1с
Средний минимум В, 8.1Ь
Срыва неустойчивость, 16.3

Предметный указатель
423
Стеллараторные(ый)
— неоклассические потери, 17.2с
— поля, 17.1а
— предел по бета, 6.6
— угол вращательного преобра-
преобразования, 17.2а
— установки, 17.2Ь
— эксперименты по удержанию,
17.2d
Стикса катушка, 12.4
Столкновительная дрейфовая
неустойчивость, 9.2
Столкновительное время, 2.6
Столкновительный режим, 7.2
Супербананы, 17.2с
Супершот, 16.7
Сферический токамак, 15
Тандемная ловушка, см. Амби-
полярная ловушка
Тензор диэлектрической прони-
проницаемости
— горячей плазмы, 12.3, С.4
— холодной плазмы, 10.1
Дрейфовая скорость ведущего
центра, 2.4
— градиентного дрейфа, 2.4
— в кривом поле, 2.4
— в скрещенных Е и В полях,
2.4
Тепловая энергия плазмы, 1.3,
16.11
Теплового баланса уравнение,
7.0, 15.6, А
Тепловой поток, 7.0
Теплопроводностные потери
энергии, 7.0
Теплопроводность, 7.0, 16.5
Термобарьер, 17.3d
Термоядерная плазма, 1.3
Тиринг-неустойчивость, 9.1
Токамака 16
— МГД устойчивость, 16.3
— неоклассическая диффузия,
7.2
— полоидальное поле, 6.4
— примесей контроль, 16.5
— проводящий кожух, 16.2а
— реактор, 16.11
— скейлинг удержания, 16.6,
16.7
— условие равновесия, 6.2, 16.2
— установки, 16.1
Торможение на электронах,
16.8с
Тормозное излучение, 1.3
Тороидальная собственная альф-
веновская мода, 14.2
Тороидальные координаты, 6.3
Тороидальный дрейф, 3.5
Торсатрон/гелиотрон, 17.2Ь
Трансляционная симметрия, 3.3
Трассирование, 12.2
Треугольность поперечного сече-
сечения, 16.4, 16.11
Тройона фактор, 16.4
Убегающие электроны, 2.7
Углеродные вставки, 16.5
Удельное сопротивление, 2.8
Удельный объем, 8.1Ь
Уравнение(я)
— Власова, 4.2
— Грэда—Шафранова, 6.2
— движения, 5.2, 5.2
— магнитной гидродинамики
(МГД)
двухжидкостной, 5.1
одножидкостной, 5.2
— Максвелла, 3.1
— непрерывности, 5.1
— Пойнтинга, 12.1
— Пуассона, 3.2
— равновесия в осесимметрич-
ной системе, 6.2
— теплового баланса уравнение,
7.0, 16.6, А
— Фоккера—Планка, 4.2
— Эйлера, 8.3
Уэйра пинч, 3.7
Ферми ускорение, 2.5
Фишбон-неустойчивость, 14.1
Фоккера—Планка столкнови-
столкновительный член, 4.1, 4.2
Функция распределения
би-максвелловская, 12.3
Функция распределения в про-
пространстве скоростей, 2.1, 4.1

424
Предметный указатель
Харриса неустойчивость, 13.4
Холодная плазма, 10.1
Хольраум, 18.2
Циклотронное затухание, 11.3,
12.3
Циклотронный резонанс, 10.4Ь
Частота
— верхнегибридная резонансная,
10.4d
— дрейфовая ионная и электрон-
электронная, 8.6
— ионная циклотронная, 12.4
— нижнегибридная резонансная,
10.4с
— плазменная электронная, 2.2,
10.1
— столкновений, 2.6
— столкновений, эффективная,
7.2
— циклотронная, 2.3, 10.1
Шафранова смещение, 8.5
Шир, 8.3с
Шировый поток, 16.7
Эйлера уравнение, 8.3
Электрического поля индукция,
3.1
Электрического поля напряжен-
напряженность, 3.1
Электрическое сопротивление,
2.8
Электронного пучка неустойчи-
неустойчивость, 13.3
Электронные плазменные волны,
2.2
Электронные циклотронные вол-
волны, 10.4е
Электронный циклотронный на-
нагрев, 12.6
Электронный циклотронный ре-
резонанс, 10.3
Электростатические волны, 10.5,
12.5, С.5, С.6
Эллиптическая обмотка, 17.2Ь
Энергетический принцип, 8.2Ь
Энергии интеграл, 8.2b, B.1, В.2,
В.З
Эрмитова матрица, 12.1
Эрмитов оператор, 8.2Ь