Text
                    С.И.Баскаков
Электродинамика
и распространение
радиоволн
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию в качестве учебного пособия
для студентов радиотехнических специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1992


ББК 32.842-5 Ъ2ТЗ УДК 621.396 Рецензенты: кафедра теоретических основ радиотехники Ленинградского электротехнического института им. В. И. Ульянова (Ленина) (зав. кафедрой — д-р техн. наук, проф. Ю. В. Егоров); кафедра радиоэлектронных систем и устройств Московского госу- государственного технического университета им. Н. Э. Баумана (зав. кафедрой — д-р техн. наук, проф. Б. А. Розанов). Баскаков С. И. Б27 Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов по спец. «Радиотехника». — М.: Высш. шк., 1992.— 416 с: ил. ISBN 5-06-002037-1 Излагаются основы макроскопической электродинамики, теория плоских электромагнитных волн в различных средах, методы расчетов волноводных и колебательных систем, а также устройств излучения и приема электро- электромагнитных волн. Рассмотрены вопросы компьютерного анализа электродина- электродинамических систем. Материал книги разбит на два раздела, один из которых содержит основную часть курса, а второй предназначен для факультативной работы читателя. Имеется большое число задач с образцами решений. „ 2302020100D309000000)-054 _ л4 ББК 32.842-5 Б — 156—91 001@1)— 92 6Ф2 ISBN 5-06-002037-1 © С. И. Баскаков, 1992
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ- ОСНОВНОЙ КУРС 9 Глава первая. Основные положения теории электромагнетизма 10 1.1. Электромагнитное поле и его математические модели 10 1.2. Плотность тока проводимости. Дифференциальная форма закона Ома 12 1.3. Закон сохранения заряда 15 1.4. Закон Гаусса / . .....' 16 1.5. Закон неразрывности магнитных силовых линий 17 1.6. Закон полного тока 18 1.7. Ток смещения 20 1.8. Закон электромагнитной индукции 21 1.9. Материальные уравнения электромагнитного поля 23 1.10. Поляризационные и сторонние токи 31 Задачи 32 Глава вторая. Уравнения Максвелла 34 2.1. Сводка уравнений Максвелла 34 2.2. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний. Комплексные амплитуды полей 36 2.3. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол диэлектрических потерь 38 2.4. Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Вектор Пойн- тинга 39 2.5. Магнитный ток. Принцип перестановочной двойственности 45 2.6. Лемма Лоренца 47 Задачи 48 Глава третья. Плоские электромагнитные волны 49 3.1. Понятие волнового процесса. Продольные и поперечные волны ... 50 3.2. Плоские волны и их характеристики 51 3.3. Затухание волн в материальных средах. Коэффициент распростране- распространения 53 3.4. Волновой характер переменного электромагнитного поля. Уравнение Гельмгольца 55 3.5. Понятие характеристического сопротивления. Плотность потока мощ- мощности в плоской электромагнитной волне . . . 58 3.6. Некоторые частные случаи 60 3.7. Плоские электромагнитные волны с эллиптической поляризацией . . 64 3.8. Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении 67 Задачи - • 69 Глава четвертая. Граничные условия для векторов электромагнитного поля 70 4.1. Постановка задачи 71 4.2. Граничные условия для нормальных составляющих векторов магнит- магнитного поля • • • 72
4 Оглавление 4.3. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электри- электрического поля 73 4.4. Граничные условия для касательных составляющих векторов магнит- магнитного поля 74 4.5. Граничные условия для касательных составляющих векторов электри- электрического поля 77 Задачи 79 Глава пятая. Электромагнитные волны в средах с частотной дисперсией 79 5.1. Волны в хорошо проводящей среде 80 5.2. Плазма и ее электродинамические параметры 83 5.3. Распространение электромагнитных волн в бесстолкновительной плаз- плазме 85 5.4. Учет влияния столкновений в плазме 89 5.5. Распространение импульсов в средах с частотной дисперсией фазо- фазовой скорости. Понятие групповой скорости 92 5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках 99 Задачи 105 Глава шестая. Падение плоских электромагнитных волн на границу раз- раздела двух сред 106 6.1. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость 107 6.2. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектри- диэлектрическое полупространство 108 6.3. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектри- диэлектрический слой конечной толщины Ш 6.4. К вопросу о создании неотражающих сред 112 6.5. Падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полу- полупространство под произвольным углом ПЗ 6.6. Угол Брюстера 119 6.7. Полное внутреннее отражение . 120 6.8. Неоднородные плоские волны 121 6.9. Приближенные граничные условия Леонтовича 124 Задачи 127 Глава седьмая. Основы теории направляемых электромагнитных волн . . 128 7.1. Падение плоской волны с параллельной поляризацией 128 7.2. Падение плоской волны с перпендикулярной поляризацией 131 7.3. Структура электромагнитного поля Е- и Н-волн 133 7.4. Некоторые характеристики электромагнитного поля Е- и Н-волн ... 141 7.5. Связь между продольными и поперечными составляющими векторов поля направляемых волн 145 Задачи 148 Глава восьмая. Прямоугольный металлический волновод 149 8.1. Постановка задачи 149 8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 150 8.3. Критическая длина волны. Дисперсионная характеристика волновода 157 8.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе 160 8.5. Волна типа Ню • 163 8.6. Характеристическое сопротивление волновода 170 8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 172 Задачи 181 Глава девятая. Круглый металлический волновод 182 9.1. Постановка задачи 182
Оглавление 5 9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 185 9.3. Волны типа Н в круглом волноводе 194 9.4. Основы применения круглых волноводов 198 Задачи 201 Глава десятая. Волноводы с волнами типа Т 201 10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т 201 10.2. Коаксиальный волновод 206 10.3. Некоторые применения коаксиальных волноводов 211 10.4. Полосковые волноводы 212 10.5. Отрезок волновода с Т-волной как четырехполюсник 215 Задачи 218 Глава одиннадцатая. Затухание волн в полых металлических волноводах 219 11.1. Источники потерь в волноводах 219 11.2. Коэффициент затухания волн в волноводе 220 11.3. Общее выражение для коэффициента затухания 221 11.4. Анализ некоторых частных случаев 224 Задачи 230 Глава двенадцатая. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы 231 12.1. Эволюция электромагнитных колебательных систем при повышении рабочей частоты 231 12.2. Прямоугольный объемный резонатор 234 12.3. Общая задача о собственных колебаниях в прямоугольном объемном резонаторе. Классификация типов колебаний 237 12.4. Круглый объемный резонатор . 243 12.5. Некоторые способы возбуждения и включения объемных резонаторов 246 12.6. Добротность объемных резонаторов 249 12J. Некоторые другие типы объемных резонаторов 253 Задачи 255 Глава тринадцатая. Неоднородные уравнения Максвелла. Элементарные излучатели . 256 13.1. Постановка задачи 256 13.2. Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля .... 257 13.3. Калибровка потенциалов. Неоднородное уравнение Гельмгольца . . 259 13.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца. Функция Грина . . 260 13.5. Элементарный электрический излучатель 265 13.6. Структура поля элементарного электрического излучателя 267 13.7. Диаграмма направленности элементарного электрического излучателя 270 13.8. Сопротивление излучения. Коэффициент направленного действия эле- элементарного излучателя 271 13.9. Элементарный излучатель в режиме приема 274 13.10. Элементарный щелевой излучатель 276 13.11. Элементарный рамочный излучатель 280 Задачи 282 Глава четырнадцатая. Распространение радиоволн в земных условиях . . 283 14.1. Общие характеристики диапазонов радиоволн 283 14.2. Электродинамические свойства земной поверхности и атмосферы Земли 285 14.3. Влияние тропосферы и ионос?еэы на распространение радиоволн 290
6 Оглавление 14.4. Формула идеальной радиосвязи. Множитель ослабления 296 14.5. Особенности распространения радиоволн различных диапазонов . . 298 Задачи 307 ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС 309 Глава пятнадцатая. Поверхностные электромагнитные волны и замедляю- замедляющие системы 310 15.1. Замедление электромагнитных волн диэлектрической пластиной. По- Поверхностные волны 310 15.2. Гребенчатая замедляющая система 320 15.3. Некоторые другие замедляющие системы 324 Задачи 326 Глава шестнадцатая. Распространение электромагнитных волн в анизо- анизотропной среде 327 16.1. Физический механизм анизотропии ферритов. Уравнение движения намагниченности 328 16.2. Тензор магнитной проницаемости намагниченного феррига 334 16.3. Уравнения Максвелла в гиротропной среде 337 16.4. Поперечное распространение электромагнитных волн в намагничен- намагниченном феррите 338 16.5. Продольное распространение электромагнитных волн в намагничен- намагниченном феррите 341 Задачи 346 Глава семнадцатая. Интерференция и дифракция электромагнитных волн 347 17.1. Условие излучения. Принцип предельного поглощения 348 17.2. Возбуждение пространства нитью электрического тока. Цилиндри- Цилиндрические волны 351 .17.3. Метод физической оптики. Дифракция плоской волны на щели в идеально проводящем экране 355 17.4. Принцип Гюйгенса. Формула Кирхгофа 359 17.5. Дифракция плоской волны на прямоугольном отверстии в идеально проводящем экране 362 17.6. Дифракция плоской электромагнитной волны на идеально проводя- проводящем цилиндре 369 17.7. Уравнения Максвелла в неоднородной среде 373 17.8. Метод геометрической оптики 375 17.9. Теорема эквивалентности 384 Задачи '. 386 Глава восемнадцатая. Компьютерные методы решения задач электродина- электродинамики 387 18.1. Прямоугольный волновод с неоднородным заполнением 388 18.2. Метод сеток 389 18.3. Метод Бубнова — Галеркина 393 18.4. Метод интегральных уравнений 397 Задачи 406 Заключение 407 Приложение А. Выражения основных операций векторного анализа в раз- различных координатных системах 409 Приложение Б. Некоторые полезные векторные тождества 410 Список рекомендуемой литературы 411 Предметный указатель 413
ПРЕДИСЛОВИЕ Книга, предлагаемая вниманию читателя, является учебным по- пособием по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн», читаемому на радиотехнических факультетах вузов. Данный курс относится к числу базовых дисциплин, закладывающих основы про- профессиональной подготовки радиоинженера. На его основе строится ряд последующих инженерных дисциплин. В свою очередь, этот курс опирается на такие общенаучные дисциплины, как высшая математика, физика и теория цепей. За последние десятилетия в радиотехнике сверхвысоких частот (СВЧ) и в антенной технике — в областях, теснее всего соприкаса- соприкасающихся с данным курсом, — произошли заметные изменения, свя- связанные с освоением новых частотных диапазонов, с совершенство- совершенствованием элементной базы радиоустройств, с неуклонным внедрением компьютерных методов расчета и проектирования. Однако научный фундамент этой технической области — теория электромагнетизма и физика волновых явлений — остался прежним. Книга состоит из двух частей. Первая часть «Основной курс» посвящена изложению основ прикладной электродинамики, вклю- включая уравнения Максвелла, теорию плоских электромагнитных волн, принципы анализа явлений в направляющих и колебательных си- системах СВЧ-диапазона. Рассматривается теория элементарных из- излучателей, изучаются особенности распространения радиоволн в земных условиях. Вторая часть «Факультативный курс» адресована в основном тем читателям, которые желают углубить свои знания в области физики и техники волновых электромагнитных явлений. Здесь уча- учащийся найдет изложение основ теории поверхностных волн и замед- замедляющих систем, познакомится с методами анализа распростране- распространения электромагнитных волн в анизотропных средах, а также полу- получит представление о некоторых наиболее важных, по мнению автора, приемах решения задач дифракции электромагнитных волн. Кратко обсуждаются компьютерные способы решения электродина- электродинамических задач. Главы книги снабжены примерами практических расчетов, до- доведенными до числовых результатов. Кроме того, в конце каждой главы приведены учебные задачи в количестве, достаточном для проведения упражнений по курсу.
8 Предисловие Стиль изложения, а также степень подробности математиче- математических выкладок выбраны такими, чтобы студент смог при некоторой настойчивости самостоятельно изучить любой вопрос. В перечень рекомендуемой литературы, отнюдь не претендующий на полноту, включены книги по прикладной электродинамике, распростране- распространению радиоволн, математике и смежным вопросам. Эти источники помогут читателю при необходимости навести справки и углубить знания по некоторым частным проблемам. С момента выхода в свет нашего пособия «Основы электродина- электродинамики» (М.: Советское радио, 19?3) прошло уже немало лет. Пред- Предлагаемая книга развивает избранные нами ранее педагогические принципы, а также в некоторой степени обобщает опыт преподава- преподавания дисциплины «Электродинамика и распространение радиоволн» на радиотехническом факультете Московского энергетического ин- института. Хочу поблагодарить своих коллег за ценные обсуждения и неизменную поддержку. Выражаю искреннюю признательность рецензентам рукописи — профессорам Н. А. Бею, Ю. В. Егорову и Б. А. Розанову, доцентам Н. С. Голубевой и В. Н. Митрохину. Их квалифицированная оценка, советы и замечания действенно помог- помогли на заключительном этапе работы над книгой. Москва, 1991 г. С. Я. Баскаков
Часть первая Нет лучшего метода со- сообщения уму знаний, чем метод преподнесе- преподнесения их в возможно бо- более разнообразных фор- формах Максвелл Основной курс
Глава первая ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА 1.1. Электромагнитное поле и его математические модели В физике принято разграничивать окружающие нас объекты материального мира на два больших самостоятельных класса. Один из них называют веществом, а другой — полем. В основе принципа, позволяющего проводить такое деление, лежит тот факт, что вещество в отличие от поля обладает инертной массой в обыч- обычном механическом смысле. Движение макроскопических объектов, состоящих из вещества, описывается известными законами меха- механики Ньютона. Разновидность материи, называемая полем, не имеет инертной массы. Говоря о полях, можно назвать прежде всего хорошо из- известные из повседневного опыта электромагнитное и гравитацион- гравитационное поля. Электродинамика — наука, занимающаяся изучением электро- электромагнитного поля. Это поле проявляет себя посредством силового взаимодействия с теми частицами вещества, которые имеют элек- электрический заряд. Заряд частицы может быть как положительным, так и отрицательным. Экспериментально установлено, что заряд дис- дискретен: величины любых зарядов, встречающихся в природе, с точ- точностью до знака кратны элементарному заряду е> равному прибли- приблизительно 1.602-10~19 Кл; заряд электрона равен —е. Так как силы, действующие на заряженные частицы со стороны электромагнитного поля, являются векторными величинами, име- имеется возможность описать электромагнитное поле с помощью абс- абстрактных математических моделей — векторных полей. Напомним, что в математике векторное поле А, заданное в трех- трехмерном пространстве с декартовыми координатами х, у, z, описыва- описывается тремя проекциями на выбранные оси: А (х, у, z) = Ax (х, у, z) \х-\-Ау (л:, у, z) \у-\-Аг (*, у, z) \zy A.1) где \ху \Уу \z — единичные векторы (орты) вдоль указанных осей. Графически векторные поля удобно изображать с помощью картин силовых линий — пространственных кривых, обладающих тем свой- свойством, что в каждой их точке вектор поля направлен вдоль каса- касательной. В тех областях пространства, где длина вектора поля больше, силовые линии проводят гуще, и наоборот (рис. 1.1). Всю совокупность электромагнитных явлений принято разде- разделять на две группы: электрические и магнитные явления. В соот-
/./. Электромагнитное поле и его модели 11 ветствии с этим выделяют две частные разновидности электромаг- электромагнитного поля, носящие название электрического и магнитного по- полей. Из дальнейшего изложения станет ясно, что представление электромагнитного поля в виде объединения электрического и магнитного полей означает признание их внутреннего единства и взаимообусловленности. Электрическому полю свойственно силовое взаимодействие как с неподвижными, так и с движущимися зарядами. В результате такого взаимодействия кинетическая энергия движущейся заряженной части- частицы вещества изменяется. Математиче- Математической моделью электрического поля в ва- вакууме служит векторное поле Е — напря- напряженность электрического поля, опреде- ^ ляемая формулой " где F(r) — вектор силы, действующей на пробный заряд q в некоторой точке ^иУовыеТнГ пространства с радиусом-вектором г. Если ограничиться только исследованием электромагнитных процессов в вакууме, то для описания электрического поля в каж- каждой точке пространства достаточно задать единственный вектор Е. Однако, как будет показано в дальнейшем, для описания электри- электрического поля в материальной среде, например в диэлектрике, тре- требуется ввести еще одно векторное поле D, называемое полем элек- электрического смещения (или электрической индукции). Вектор D в вакууме связан с вектором ё соотношением D = s0E, A.3) где 8о — фундаментальная физическая константа, называемая электрической постоянной. Эта константа имеет размерность ем- емкости, отнесенной к единице длины. Значение электрической посто- постоянной найдено экспериментально; с точностью, вполне достаточной для инженерных расчетов ео= 10~9/C6я) =8.842 щЮ~12 Ф/м. В СИ напряженность электрического поля имеет размерность В/м, а электрическое смещение — размерность Кл/м2. Часто на практике приходится рассматривать электромагнитные процессы в атмосферном воздухе, который по своим электродина- электродинамическим параметрам весьма незначительно отличается от ваку- вакуума. При этом, как уже говорилось, для описания электрического поля достаточно использовать лишь вектор Е, который для крат- краткости можно назвать электрическим вектором. Магнитное поле в отличие от электрического взаимодействует лишь с движущимися заряженными частицами. В вакууме его мож-
12 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма но описать с помощью единственного векторного поля магнитной индукции В. Принцип его определения основан на том, что точеч- точечный заряд qy движущийся в электромагнитном поле со скоростью v, испытывает действие так называемой силы Лоренца B]. A.4) Первое слагаемое в правой части равенства A.4) является уже из- известной силой, которая обусловлена электрическим полем. Второе слагаемое описывает силу, вызванную магнитным полем. Заметим, что магнитная часть силы Лоренца, пропорциональная векторному произведению В и v, всегда перпендикулярна траектории движения. Поэтому магнитное поле не влияет на кинетическую энергию час- частицы, а лишь изменяет ее траекторию. Это свойство магнитного поля широко используется в электронике для фокусировки пучков заряженных частиц. Известен обширный класс веществ, внутри которых происходит существенное изменение приложенного магнитного поля. Такие ве- вещества принято называть магнетиками. К ним относятся железо, никель, кобальт, сплавы этих металлов, некоторые редкоземельные элементы и др. Для описания явлений в магнетиках кроме вектор- векторного поля В дополнительно вводят векторное поле Н, называемое напряженностью магнитного поля. В вакууме векторы В и Н ока- оказываются пропорциональными: A.5) Здесь (xo=4jt • 10~7= 1.257-10~6 Гн/м — размерная константа, на- называемая магнитной постоянной. В СИ величину В выражают в теслах (Тл); величина Н имеет размерность А/м. По традиции в прикладной электродинамике для описания маг- магнитного поля в вакууме чаще используют не поле В, а поле Н. В дальнейшем вектор Н для краткости часто будем называть прос- просто магнитным вектором. 1.2. Плотность тока проводимости. Дифференциальная форма закона Ома Током проводимости называют коллективное (упорядоченное или хаотическое) движение заряженных частиц в материальных средах или в вакууме. Предположим, что к границе раздела между вакуумом и прово- проводящим веществом подведены два электрода, соединенные с источ- источником ЭДС (рис. 1.2). Линии тока внутри вещества распределяют- распределяются таким образом, что наибольшая их часть проходит по области, представляющей для тока малое сопротивление; лишь незначитель- незначительная часть тока ответвляется в глубь проводящей среды. Очевидно,
1.2. Плотность тока проводимости. Закон Ома 13 что для подробного описания данной системы недостаточно изме- измерить только значение тока во внешней цепи. Здесь необходимо располагать сведениями об интенсивности и направлении движения носителей заряда в каждой точке проводящего тела. С этой целью вводят понятие векторного поля плотности тока проводимости Jnp, определяя его следующим образом: Jnp=^v, A.6) где N — концентрация носителей заряда, т. е. число носителей в единице объема вещества; q — заряд одного носителя; v — скорость носителей в рассматриваемой точке пространства. Jnp'.'.' ••.' ••'• •;;"'• Рис. 1.2. К определению поня- понятия плотности тока проводимо- проводимости Рис. 1.3. К формулиров- формулировке закона Ома Легко проверить, что в соответствии с формулой A.6) величина Jnp имеет размерность А/м2 и действительно характеризует силу тока через единичную площадку, перпендикулярную вектору ско- скорости заряженных частиц. Найдем связь между векторами плотности тока проводимости и напряженности электрического поля, существующими в некоторой точке пространства. С точки зрения классической физики носители заряда, перемещаясь внутри кристаллической решетки вещества, испытывают силы, подобные силам трения. Скорость носителей, а следовательно, и плотность тока проводимости в установившемся режиме должна быть пропорциональна действующей силе, т. е. на- напряженности электрического поля. Таким образом, Jnp=*E, A.7) где а — размерная постоянная, называемая удельной проводимо- проводимостью данного вещества.
14 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма Докажем, что равенство A.7) является одной из форм закона Ома для участка резистивной цепи. Для этого рассмотрим куб с ребром длиной I, выполненный из исследуемого вещества (рис. 1.3). Предположим, что две противоположные грани куба покрыты сло- слоем идеального проводника и к ним приложено напряжение и. Под действием этого напряжения во внешней цепи протекает некоторый ток ?. Очевидно, что ?= |JnP|/2; |Е|=м//, откуда, используя A.7), получим i = olu. Последнюю фор- Т а блица 1.1. Удельные проводи- мулу можно рассматривать как мости металлов запись закона Ома, если поло- положить, что ol=l/R, где R — со- Металл °> См/М противление, измеренное между противоположными гранями куба. Серебро 6.Ы07 Равенство A.7) иногда назы- Медь 5.7-107 вают дифференциальной формой Цинк 1.7-107 закона Ома, поскольку оно уста- Латунь 1.4-107 навливает прямую пропорцио- . нальность между плотностью то- тока проводимости и напряженно- напряженностью электрического поля в пределах малой окрестности точки наблюдения. Легко убедиться, что в СИ удельная проводимость а имеет размерность См/м. Металлы являются хорошими проводниками электрического то- тока, и для них характерны высокие значения удельной проводимо- проводимости. Приведем для справок небольшую таблицу значений а, изме- измеренных на постоянном токе. Прямым расчетом легко убедиться, что для возникновения тока в доли ампера достаточно создать в металле электрическое поле весьма малой напряженности. Пример 1.1. По круглому медному проводнику диаметром d= = 0.6 мм протекает постоянный ток ?=1.5 А. Найти напряженность электрического поля внутри проводника. Сечение проводника s = nd2/4 = 2.83-10~7 м2; плотность тока /np = ?/s = 5.3- Ю6 А/м2. Модуль вектора напряженности электриче- электрического поля ? = /Пр/ог=0.093 В/м. Из физических соображений ясно, что вектор Ё направлен вдоль оси проводника. Удельная проводимость полупроводников и диэлектриков на несколько порядков ниже, чем металлов. Для описания электро- электропроводящих свойств этих материалов удобно использовать другую числовую характеристику — угол диэлектрических потерь, речь о которой пойдет в дальнейшем.
1.3. Закон сохранения заряда 15 1.3. Закон сохранения заряда Одно из фундаментальных положений теории электромагнетиз- электромагнетизма состоит в том, что ни при каких условиях электрический заряд не может ни зарождаться, ни исчезать. Этот факт, многократно проверенный экспериментально, лежит в основе закона сохранения заряда К Предположим, что внутри произвольного замкнутого объема V, ограниченного поверхностью 5, содержится некоторый электриче- электрический заряд Q, распределенный в пространстве с объемной плотно- плотностью р (Кл/м3). Ясно, что при этом p A.8) Если с течением времени значение Q изменяется, то на основании закона сохранения заряда это связано с тем, что либо часть заря- заряда покидает границы объема, либо заряд поступает извне. Как следствие, в пространстве возникает ток проводимости с некоторой плотностью Jnp. Интегрируя функцию Jnp по замкнутой поверхно- поверхности S, находим результирующий ток проводимости в рассматрива- рассматриваемой системе: По определению, понятия тока, в данном случае i =—dQ/dt (ток считаем положительным, если заряд внутри объема уменьшается). Отсюда с учетом равенств A.8) и A.9) будем иметь V S Преобразовав правую часть последней формулы по теореме Остро- Остроградского — Гаусса, получим Это равенство будет выполняться тождественно при любой форме объема V лишь в том случае, когда подынтегральные выражения левой и правой частей одинаковы. Отсюда приходим к закону со- сохранения заряда в дифференциальной форме ^ Jnp = 0. A.10) 1 Из физики элементарных частиц известны явления «рождения» и «гибе- «гибели» электронно-поз|итронных пар. Это не противоречит закону сохранения заря- заряда, так как суммарный заряд пары равен нулю.
16 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма Это равенство часто называют уравнением непрерывности тока проводимости. По физическому смыслу оно эквивалентно первому закону Кирхгофа, известному из теории электрических цепей. 1.4. Закон Гаусса Данный закон, найденный экспериментально, устанавливает связь между векторным полем Е и величиной заряда Q, порождаю- порождающего это электрическое поле, Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный замкнутой по- поверхностью S (рис. 1.4). Пусть внутри объема произвольным образом разме- размещен электрический заряд Q. По зако- закону Гаусса, поток векторного поля Е, порожденного зарядом, через замкну- замкнутую поверхность S численно равен ве- величине заряда, деленной на электри- электрическую постоянн. ю: = Q/e0. A.11) Рис. 1.4. Закон Гаусса Если рассматривают точечные за- заряды, то значение Q находят алгеб- алгебраическим суммированием. Если же заряд распределен по объему непре- непрерывно, то Q определяют интегрируя плотность заряда р по объ- объему V. Говорят, что формула A.11) выражает закон Гаусса в интег- интегральной форме. Этот закон в ряде случаев позволяет с успехом на- находить напряженность электрического поля при достаточно прос- простой конфигурации заряженной области. Пример 1.2. Внутри сферической области радиусом а равно- равномерно распределен заряд с объемной плотностью р. Средой явля- является вакуум. Определить напряженность электрического поля во внутренней (г<Са) и внешней (г^а) областях. Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность радиусом г, концентричную с заряженной .областью. Заряд, заключенный внутри этой поверхности, вычисляется по-разному в зависимости от соотношения между г и а: Q=J pdK= при г<а, при г>а.
1.4. Закон Гаусса 17 Ввиду симметрии сферической области вектор Е имеет един- единственную составляющую Ег\г, направленную вдоль радлуса. По- Поэтому откуда на основании закона Гаусса при г<а> при г>а. Е _ / Рг/Cго) ПРИ Пользуясь приемами векторного анализа, можно из интеграль- интегральной формы закона Гаусса получить дифференциальную форму. Для этого заметим, что, по теореме Остроградского — Гаусса, следовательно, JdivEdl/= J -i-dV. A.12) V V % Поскольку объем V совершенно произволен, это равенство возмож- возможно лишь в том случае, если подынтегральные выражения тождест- тождественно совпадают. Таким образом, div Е=р/в0. , A.13) Равенство A.13) называют законом Гаусса в дифференциаль- дифференциальной форме. В соответствии с определением понятия дивергенции это соотношение означает, что силовые линии векторного поля Е имеют источники и стоки в тех точках пространства, где располо- расположены электрические заряды. 1.5. Закон неразрывности магнитных силовых линий Экспериментально было обнаружено, что силовые линии век- векторного поля магнитной индукции В всегда замкнуты в простран- пространстве (рис. 1.5) независимо от того, создается ли поле постоянными магнитами или катушками с током. Для математического описания этого факта удобно, как это де- делается в векторном анализе, представить себе силовые линии маг- магнитного поля как воображаемые линии скоростей движения частиц несжимаемой жидкости. Расположим внутри области существова- существования магнитного поля произвольный объем V, ограниченный по- поверхностью S. Если силовые линии замкнуты, то поток втекающей
18 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма Рис. 1.5. Силовые линии маг- магнитного поля в катушке с то- током жидкости в точности равен потоку, вытекающему из объема. Таким образом, ldS = O. (j 14y Проводя выкладки, аналогичные изложенным в предыдущем параграфе, получим соотношение, относящееся к бесконечно малой окрестности выбранной точки прост- пространства: divB=0. A.15) Формулы A.14) и A.15) математи- математически выражают закон неразрывности магнитных силовых линий в интеграль- интегральной и дифференциальной форме соот- соответственно. Эквивалентной формулировкой рас- рассмотренного закона служит утвержде- утверждение о том, что векторное поле В нигде не имеет источников. Другими слова- словами, никаких магнитных зарядов в при- природе не существует. Если, по анало- аналогии с электрическим током, мысленно допустить существование некоторого магнитного тока, то такой гипотетический ток не имеет прямого физического смысла, хотя иногда может оказаться весьма полезным при проведении расчетов (см. §2.5). Векторные поля без источников, т. е. с нулевой дивергенцией, в физике и математике называют соленоидальными полями. 1.6. Закон полного тока В начале XIX в. датский физик Эрстед экспериментально от- открыл принципиально важный факт: протекание электрического то- тока по проводнику сопровождается возникновением в окружающем пространстве магнитного поля. Опыты Эрстеда позволили фран- французскому ученому Амперу сформулировать теоретическое положе- положение, которое называют законом полного тока или законом Ампера. Пусть имеется воображаемый замкнутый контур L, на который опирается кусок гладкой поверхности S. Зададим на этом контуре направление обхода таким образом, чтобы с конца вектора элемен- элементарной площадки dS движение вдоль контура наблюдалось в на- направлении против стрелки часов (рис. 1.6). Предположим далее, что поверхность S пронизывается некото- некоторой системой токов. Эти токи могут быть дискретными (совокуп-
1.6. Закон полного тока 19 ность отдельных проводников) или распределенными непрерывно (подобно электронному потоку). Не указывая заранее физической природы этих токов, будем для определенности полагать, что они распределены в пространстве непрерывно с некоторой плот- плотностью J. Тогда полный ток, пронизывающий контур, /= f JdS. A.16) Закон полного тока формулируется так: циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по контуру L равна полному току, т. е. Hdl = A.17) Соотношение A.17) выражает за- закон полного тока в интегральной фор- форме. Чтобы получить дифференциаль- дифференциальную форму этого закона, т. е. локаль- локальным образом связать плотность пол- полного тока с напряженностью магнит- магнитного поля, следует воспользоваться известной из векторного анализа тео- теоремой Стокса. Воспользовавшись этой теоремой и преобразовав с ее помощью выражение A.17), будем иметь Рис. 1.6. К формулировке за- закона полного тока = Jrot HdS= j JdS, откуда ввиду произвольности выбранного контура получаем ра- равенство rot H = A.18) которое представляет закон полного тока в дифференциальной форме. Используя интегральную формулировку закона полного тока, можно решать некоторые простые задачи, связанные с нахождени- нахождением магнитного поля заданных токов. Пример 1.3. По бесконечному цилиндрическому проводнику радиусом а протекает постоянный ток /0. Определить напряжен- напряженность магнитного поля внутри и вне проводника. Конфигурация силовых линий магнитного вектора, известная из курса физики, изображена на рис. 1.7. В цилиндрической систе-
20 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма ме координат, ось z которой совпадает с осью проводника, вектор Н имеет лишь азимутальную проекцию Яф. В точках воображае- воображаемой окружности радиусом г, центр которой лежит на оси провод- проводника, значение Яф постоянно в силу полной симметрии поля. По- Поэтому в формуле A.17) интегрирование можно заменить умноже- умножением Яф на длину окружности. Если г^а, то весь ток пронизывает поверхность, ограничен- ограниченную воображаемым контуром, и поэтому #,(г)=/0/Bяг). Если же г<а, то внутри контура течет ток /=/0г2/а2, так что 1 Рис. 1.7. Магнитное поле цилиндрического проводни- проводника с током Рис. 1.8. Эскиз силовых ли- линий электрического поля в плоском конденсаторе 1.7. Ток смещения Из практики известно, что переменный электрический ток спо- способен протекать по замкнутой цепи, содержащей конденсатор, не- несмотря на то что в пространстве между обкладками отсутствуют какие-либо носители электрического заряда. Можно предположить, что в этой области протекает некий ток, по своей природе принци- принципиально отличный от рассмотренного ранее тока проводимости. Этот ток называют током смещения. Рассмотрим цепь с конденсатором, изображенную на рис. 1.8. Одна из обкладок конденсатора окружена воображаемой замкну- замкнутой поверхностью S. Будем считать, что между обкладками нахо- находится вакуум.
1.8. Закон электромагнитной индукции 21 По закону Гаусса, Ток в цепи i связан с зарядом Q выделенной обкладки: , s^d. dt s dt Из последнего выражения видно, что величина годЕ/dt имеет раз- размерность плотности тока, который и должен быть назван током смещения. Итак, плотность этого тока К^цдЕ/dt. A.19) Максвелл предложил ввести величину JCM в правую часть фор- формулы закона полного тока A.18) наряду с плотностью тока прово- проводимости. Эта мысль имела принципиальное значение для электро- электродинамики, поскольку при этом устанавливалась внутренняя взаи- взаимосвязь электрического и магнитного полей. Действительно, изме- менение во времени электрического поля в какой-либо точке пространства приводит к возникновению тока смещения в окрестно- окрестности этой точки. Ток смещения, в свою очередь, вызывает появление переменного магнитного поля. 1.8. Закон электромагнитной индукции Картина динамики электромагнитного поля станет более яркой, если допустить, что изменение во времени магнитного поля ведет к возникновению электрического поля. Такое свойство электромаг- электромагнитного поля действительно имеет место. В 1831 г. Фарадей экспе- экспериментально обнаружил, что на зажимах проводящей катушки, помещенной в переменное магнитное поле, возникает разность электрических потенциалов. Основываясь на этом открытии, Макс- Максвелл сформулировал один из основных законов теории электромаг- электромагнетизма, получивший название закона электромагнитной индук- индукции. Пусть в некоторой области пространства существует переменное магнитное поле. Силовые линии магнитной индукции В в фиксиро- фиксированный момент времени изображены на рис. 1.9. Рассмотрим вооб- воображаемый замкнутый контур L, направление обхода которого выбрано против движения стрелки часов, если смотреть с конца вектора В. Пусть Е — вектор напряженности возникающего электрического поля. Закон электромагнитной индукции в интегральной форме ма- математически выражается так:
22 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма ф Edl=-- ^— f l ' д* s BdS. A.20) Циркуляцию векторного поля Е по контуру L, стоящую в левой части формулы A.20), называют электродвижущей силой (ЭДС) электромагнитной индукции в данном контуре. Итак, закон электромагнитной индукции не только констатиру- констатирует факт возникновения электрического поля под действием пере- переменного магнитного поля, но и устанавли- вает количественную меру данного явления. Если на месте воображаемого контура разместить реальный контур, выполненный из проводника, то наличие ЭДС приведет к протеканию в нем электрического тока в направлении вектора Е. Скалярную величину \ \ / / / Рис \ Л \ \ А—I *1 ' / / / 1 1 1 ! ¦ i i . 1.9. / / j j \ \ \ К электрической /v I / \ \ \ закону [ индук- принято называть магнитным потоком, про- низывающим контур L. Поскольку поле В ции . не имеет источников, значение магнитного потока не зависит от выбора поверхности S, опирающейся на контур. Воспользовавшись теоремой Стокса и внеся операцию диффе- дифференцирования по времени под знак поверхностного интеграла, что всегда допустимо, получим f S dt Отсюда непосредственно следует дифференциальная форма запи- записи закона электромагнитной индукции ratE=—<JB/(W. A.21) Отметим в заключение, что электрическое поле, возникающее под действием переменного во времени магнитного поля, имеет в каждой точке пространства отличный от нуля ротор (вихрь). По- Подобные векторные поля в математике и физике называют вихревы- вихревыми полями. Если а и Ь — две произвольные точки в пространстве, а Е — вихревое векторное поле, то криволинейный интеграл Л = J Edl
1.9. Материальные уравнения 23 зависит не только от положения концевых точек, но и от выбора пути интегрирования. Действительно, перемещаясь от а к b вдоль кривой L\ и возвращаясь от Ъ к а вдоль кривой L2, имеем JEdl+ fEdl/O. Это означает, что работа сил поля Е, индуцированного в простран- пространстве переменным магнитным потоком, при обходе замкнутого кон- контура не равна нулю. По терминологии, принятой в физике, такое поле Е не является потенциальным и в этом отношении качествен- качественно отличается от электрического поля в системе неподвижных и по- постоянных во времени зарядов. Однако во многих практически важных случаях магнитное поле меняется достаточно медленно, так что правую часть формулы A.21) можно приближенно считать равной нулю. При этом элек- электрическое поле близко по своим свойствам к безвихревому и рабо- работа сил поля не зависит от пути интегрирования. Именно в этих условиях становится возможным приближенный анализ электроди- электродинамических систем методами теории цепей, в частности с исполь- использованием второго закона Кирхгофа, физическая сущность которого как раз связана с независимостью работы сил поля от геометриче- геометрической конфигурации контура. 1.9. Материальные уравнения электромагнитного поля Для описания электромагнитных явлений в материальных сре- средах необходимо располагать соотношениями, которые связывали бы попарно векторные поля Е и D, В и Н. Уравнения подобных свя- связей принято называть материальными уравнениями. Их вывод должен опираться на микроскопическую (атомно-молекулярную) картину процессов, которые происходят в веществе под действием сил электромагнитного поля. Свойства диэлектриков. Имеются многочисленные диэлектри- диэлектрики— вещества, которые не проводят электрический ток. Диэлек- Диэлектрики способны специфическим образом изменять свое состояние, будучи помещенными в электрическое поле. Рассмотрим вкратце сущность этого явления. Как известно из физики, молекулы и атомы вещества представ- представляют собой объединение электрически заряженных частиц. В неио- низированном состоянии суммарный заряд молекулы (атома) ра- равен нулю. Для диэлектриков характерны прочные связи электронов с атомами, т. е. высокие значения энергии связи. Поэтому при помещении образца диэлектрика в электрическое поле сквозного
24 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма дрейфового движения носителей заряда в толще материала не на- наблюдается, по крайней мере в не слишком сильных полях. Однако при этом молекула диэлектрика деформируется таким образом, что ее можно представить совокупностью двух разноимен- разноименных зарядов +q и —q, смещенных в пространстве на некоторое расстояние /. Такую систему из двух зарядов называют электриче- электрическим диполем. Очевидно, что величина I тем больше, чем выше на- ^ пряженность приложенного эле- ктрического поля. ^ jq -^ Сказанное иллюстрируется уп- / 0 ] ^\ ni * рощенной картиной, изображен- \ J —\^^ 2^У ^ ной на Рис- 1-Ю- Здесь показана J ^ 2^ \^ у —*- модель атома водорода, состоя- ^ щего из протона и электрона. С а) 6) точки зрения классических, т. е. неквантовых, представлений эле- Рис. 1.10. Процесс поляризации ктрон в-отсутствие внешнего эле- Г-орбГтТэлек'грона в отсутствие КТрИЧвСКОГО ПОЛЯ ВраЩавТСЯ ПО внешнего пол^; б — то же после при- КруГОВОИ ОрОИТе. ЬСЛИ НабЛЮДаТЬ ложения постоянного электрического ^ аТ0М()М fi течение 0Трезка ВРе- мени, значительно превышающего период обращения, то в среднем центр «эффективного» отрица- отрицательного заряда совпадает с центром ядра. Алюм не проявляет дипольных свойств. После приложения электрического поля орбита электрона вытя- вытягивается. Центры положительного и отрицательного зарядов пере- перестают совпадать в пространстве, и атом водорода начинает вести себя подобно электрическому диполю. Описанное явление называ-, ют электронной поляризацией вещества. > Электронная поляризация свойственна диэлектрикам, молекулы (атомы) которых в отсутствие внешнего поля не обладают собст- собственными дипольными свойствами. Такие вещества относят к клас- классу неполярцых диэлектриков. Примерами служат большинство га- газов и многие твердые диэлектрики, как естественные, так и искусственные (кварц, оксид алюминия, полиэтилен и т. д.). Однако известно много веществ, молекулы которых проявляют дипольные свойства и без внешнего электрического поля. Такие вещества называют полярными диэлектриками. К ним относятся многие непроводящие жидкости (химически чистая вода, спирты), а также некоторые твердые диэлектрики, например полихлорвинил. Процесс поляризации веществ данного класса изображен на рис. 1.11. В отсутствие внешнего поля Е молекулярные диполи ориенти- ориентированы в пространстве хаотично. Под действием приложенного по- поля происходит ориентация молекулярных диполей. Очевидно, что степень выраженности этой ориентации тем меньше, чем выше тем-
1.9. Материальные уравнения 25 пература, поскольку хаотическое тепловое движение нарушает по- порядок расположения молекул :\ прострав&гве. Для количественного описания степени поляризованности от- отдельной молекулы вводят в рассмотрение ее дипольный момент P=glit, A.22) который представляет собой вектор, коллинеарный единичному вектору и, направленному вдоль оси диполя от отрицательного за- заряда к положительному. е-<э . э э-© ©-© о-® _е—© о-© е-© е-©. ©-@ Рис. 1.11. Явления в полярном диэлектрике: а —в отсутствие внешнего поля; б—после приложения постоянного эле- электрического поля; в — то же в случае более интенсивного электрическо- электрического поля Пусть в единице объема г.ещества находится N молекулярных диполей. Как меру поляризации диэлектрика в каждой точке про- пространства принято вводить вектор поляризованности P = Np. * A.23). Конфигурация силовых линий векторного поля поляризованности зависит как от концентрации молекулярных диполей, так и от на- направлений векторов электрического поля внутри вещества. Поляризационные заряды. Образец диэлектрика, бывший перво- первоначально электрически нейтральным, остается таковым и в процес- процессе поляризации. Однако если векторное поле Р пространственно неоднородно, то внутри диэлектрика возникает некоторая отличная от нуля объемная плотность электрического заряда, обусловленная перемещением носителей в пространстве. Рассмотрим бесконечно протяженную плоскую область толщи- толщиной Ах внутри диэлектрика, поляризованного вдоль оси х (рис. 1.12). При этом будем считать, что по тем или иным причинам по- ляризованность диэлектрика неоднородна вдоль выделенной оси, так что >=/>x(*)l, • A.24)
26 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма В отсутствие внешнего поля Е внутри рассматриваемой области положительные и отрицательные заряды, входящие в молекулы, компенсируют друг друга, поэтому плотность электрического заряда р = 0. При поляризации диэлектрика внутрь указанной области че- через единицу поверхности левой границы входит положительный заряд Q"T / у \ Л/ {у \ /7 / ( V* ^ г= Р ( Y \ llQSl \ О/ —" \ 0/ ~/ \ 0/ — X \ 0/* \ ^ •^<-'у Отрицательный заряд, поступающий через правую границу, Q- (х0 + Ах) = - N (х0 + Ах) ql (х0 + Ах) = - Рх (х0 + Ах). A.26) В общем случае величины Рх(х0) и Рх(х0 + Ах) не равны. Поэтому ............:| в пространстве между воображаемыми плос- q_4^q:V;-;Qii^—Q^ костями будет обнаружен так называемый О j/:©''1::?7^! *" поляризационный электрический заряд с объ- r\ !:-!vs':/^-! /тч емной плотностью Дл-->0 Ax dx A.27) ........ ^- Можно рассмотреть данную задачу и в бо- 1^/'-:;'V;! лее общей постановке, предполагая, что поля- ризованность неоднородна по всем трем про- [:-':[\::У:-:/:ц странственным координатам, т. е. Р = Р(х, у, х0 хо+лх z). Пусть dS — элементарная площадка. Ве- ^ , 1Г| „ личина положительного заряда, пересекающе- Рис. 1.12. Возникно- г ' г • вение плотности поля- го ЭТУ площадку в процессе поляризации, рав- ризационных зарядов на произведению модулей векторов Р и dS, умноженному на косинус угла между ними, т. е. скалярному произведению PdS. Тогда положительный заряд, вышедший за пределы ограниченного объема V с поверхностью S, Внутри объема V обнаруживается равный по величине заряд про- противоположного знака Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, будем иметь Q-=-Jdiv PdV, A.28)
1.9. Материальные уравнения 21 откуда, переходя к дифференциальной форме записи, получим Рп= —div P. A.29) Материальное уравнение электрического поля в диэлектрике. Поляризационные заряды являются «истинными» и наряду со сво- свободными зарядами, имеющими объемную плотность рсв, должны учитываться при записи закона Гаусса: 5 V и Подставив сюда величину рп из A.29), будем иметь :.(НЛ A.30) При описании электродинамических явлений в диэлектриках принято вводить векторное поле A.31) о котором уже говорилось в ^§ 1.1 и которое называют полем элек- электрического смещения. Легко проверить, что закон Гаусса относи- относительно поля D принимает вид div D = PcB. A.32) Следует заметить, что в эту формулу входит лишь объемная плот- плотность свободных зарядов рсв, в то время как поляризационные за- заряды учитываются как бы автоматически. Во многих диэлектриках при не слишком сильных внешних по- полях наблюдается прямая пропорциональность между векторами Е и Р в каждой точке пространства: Р = ?ЭЕ. A.33) Это равенство справедливо при условии, что вектор Е меняется во времени достаточно медленно и поэтому вектор Р успевает «следить» за вектором Е. Коэффициент k9 называют диэлектриче- диэлектрической восприимчивостью вещества. У разных диэлектриков значе- значения k3 могут сильно отличаться. Физический смысл формулы A.33) состоит в том, что она устанавливает некоторую аналогию между поляризуемой молекулой и упругой пружиной, удлинение которой пропорционально приложенной силе. Подставив A.33) в A.31), получаем универсальную характери- характеристику поляризуемого вещества — абсолютную диэлектрическую проницаемость
28 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма такую, что D = eaE. A.35) Последняя формула представляет собой искомое материальное уравнение для электрического поля в диэлектрике. В инженерных расчетах часто используют безразмерную харак- характеристику материала — относительную диэлектрическую проница- проницаемость е = *а/е0. A.36) Приведем для справок небольшую таблицу, содержащую сведе- сведения о диэлектриках, часто используемых в радиоэлектронных уст- устройствах. Таблица 1.2. Относительные диэлектрические проницаемости некоторых диэлектриков Материал Фторопласт-4 2.08 Полиэтилен 2.25 Полистирол 2.56 Плавленый кварц 3.80 Поликор (А12О3) 9.60 Свойства магнетиков. Рассмотрим кратко в рамках классиче- классической физики явления в магнетиках, наблюдаемые под действием внешнего магнитного поля. Еще в прошлом веке, до возникновения атомно-молекулярной теории в ее современном обличий, Ампер высказал гипотезу о том, что молекулы магнетиков несут в себе замкнутые токи и в этом смысле подобны микроскопически малым магнитам. Согласно этой гипотезе, магнитные свойства отдельной молекулы описываются следующим образом. Пусть /м — круговой молекулярный ток, А5 — площадь круга, обтекаемого этим током. Обозначим символом AS вектор элементарной площадки (рис. 1.13), ориентированный таким образом, что с его конца ток представляется направленным против движения стрелки часов. Тогда магнитный момент отдельного мо- молекулярного тока есть вектор m=/MAS. A.37) Будучи помещенными во внешнее магнитное поле Н, молекулы магнетиков частично ориентируются (рис. 1.14). Возможны два случая: • Направления молекулярных токов таковы, что магнитные мо- моменты молекул ориентированы против внешнего поля. Присутствие
1.9. Материальные уравнения 29 молекулярных токов уменьшает результирующее поле в среде. По- Подобные вещества называют диамагнетиками. К ним относится боль- большинство веществ, однако эффект диамагнетизма выражен крайне слабо. • Магнитные моменты отдельных молекул ориентированы по на- направлению внешнего поля. Действие молекулярных токов ведет к росту магнитного поля внутри вещества, Такие среды называют о О- От (Ь д (Ь 0- н а) 5) Рис. 1.13. Вектор Рис. 1.14. Ориентация молекулярных токов в магнитного момен- веществе: Та молекулярного а __ при отсутствии внешнего магнитного поля; б — ТОКа после приложения постоянного магнитного поля парамагнетиками. С точки зрения квантовой механики молекулы или атомы парамагнитных веществ обязательно должны иметь от- отличную от нуля сумму орбитальных и спиновых магнитных мо- моментов электронов. Парамагнитные свойства проявляют ионы не- некоторых металлов, а также молекулы многих газов — кислорода, азота и др. Пусть задана величина N— концентрация молекулярных токов в веществе. Тогда в каждой точке среды можно ввести векторное поле намагниченности A.38) а магнитную индукцию определить по формуле В = р.0(Н-|-Л1). A.39) Таким образом, по крайней мере качественно можно усмотреть аналогию между поведением поляризуемых диэлектриков в элек- электрическом поле и магнетиков, помещенных во внешнее магнитное поле. Экспериментально установлено, что в не слишком сильных и не слишком быстро меняющихся внешних полях связь между векто- векторами М и Н линейная: М=*МН, A.40) где йм —так называемая магнитная восприимчивость вещества.
30 Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма На основании формул A.39) и A.40) получаем материальное уравнение для магнитного поля: B = Ml + ?M)H = i*aH. A.41) Величину |аа называют абсолютной магнитной проницаемостью вещества. По аналогии с A.36) можно ввести также относитель- относительную магнитную проницаемость, определив ее формулой P = tVft>. О-42) Относительная магнитная проницаемость всех диамагнитных и большинства парамагнитных веществ весьма мало отличается от единицы. Поэтому в практических расчетах эффектами диа- и пара- парамагнетизма обычно пренебрегают, считая, что \х& = \ю. Особый класс веществ представляют кристаллические среды, парамагнитные свойства которых выражены чрезвычайно сильно, так что \i^>\. Такие вещества называют ферромагнетиками. Фер- Ферромагнетизм возможен при температурах не выше так называемой температуры Кюри, которая обычно составляет несколько сотен кельвин. Физические явления в ферромагнетиках очень сложны и могут быть адекватно описаны лишь языком квантовой механики [14,27]. •¦ Нелинейные и анизотропные среды. До сих пор речь шла о сре- средах, для которых материальные уравнения представляли собой со- соотношения прямой пропорциональности. Такие вещества принято называть линейными средами. Однако существуют и нелинейные среды. Примерами могут служить многие ферромагнетики, напри- например трансформаторная сталь. Из электротехники известно, что при напряженности поля Н выше 100 А/м так называемая кривая на- намагничивания стали, т. е. кривая зависимости В(Н), становится весьма нелинейной. В диэлектриках нелинейная зависимость D(E) наблюдается вся- всякий раз, когда напряженность электрического поля становится очень высокой и в веществе возникает электрический пробой. В обычных условиях нелинейные свойства по отношению к электрическому полю проявляют сегнетодиэлектрики — вещества с исключительно высокой диэлектрической проницаемостью (параметр е достигает десятков тысяч и более). Весьма интересны в теоретическом плане и важны в приклад- прикладном отношении такие материальные среды, в которых векторы D и Е отказываются неколлинеарными. Если ограничиться линейным случаем, то материальное уравнение A.35) для такой среды при- приобретает вид ^лг — Sall^Jtr~T ?al2*^/ Геа1зДгэ А/ = га21^х + ?а22^ + еа23^, A-43) &z = еа31^дт ~Ь sa32^*/ I еа33^>
1.10. Поляризационные и сторонние токи 31 т. е. каждая проекция вектора D записывается в виде линейной комбинации всех трех декартовых проекций вектора Е. Квадратная таблица (матрица) из девяти чисел еа;/ (i, /= 1, 2,3) представляет так называемый тензор абсолютной диэлектрической проницаемости еа; при этом равенства A.43) в сокращенном виде записываются так: D = eaE. Существуют также материальные среды, в которых неколлине- арными оказываются векторы В и Н, так что По аналогии с предыдущим девять величин jxa*7 образуют тензор абсолютной магнитной проницаемости jia- Вещества с тензорными характеристиками называют анизотроп- анизотропными средами. Анизотропия диэлектрических или магнитных свойств веществ всегда связана с тем, что в них существует некото- некоторое-преимущественное пространственное направление. Таким на- направлением может служить какая-либо специфическая ось кристал- кристаллической решетки или направление, в котором приложено постоян- постоянное внешнее поле. 1.10. Поляризационные и сторонние токи Эффект поляризации диэлектриков, рассмотренный в § 1.9, свя- связан с перемещением в пространстве заряженных частиц. Это равно- равносильно тому, что в области, занятой диэлектриком, протекают некоторые токи, называемые поляризационными. Следует подчерк- подчеркнуть, что между токами проводимости и поляризационными токами нет принципиальной разницы с точки зрения их способности созда- создавать магнитное поле. Запишем уравнение непрерывности относительно плотностей по- поляризационного заряда рп и поляризационного тока Jn: -^! div К. A.45) Одновременно с этим, дифференцируя по времени обе части фор- формулы A.29), будем иметь .J^^div^L. (Мб)"" dt dt Сравнивая выражения A.45) и A.46), приходим к выводу, что в каждой точке пространства плотность поляризационного тока есть производная по времени от вектора поляризованности:
32 . Глава 1. Основные положения теории электромагнетизма J.= ^-. A-47) Теперь можно, наконец, расшифровать физический смысл тех составляющих, из которых складывается вектор плотности суммар- суммарного тока J, входящий в формулу A.18). Два первых слагаемых уже известны — это плотность тока смещения годЕ/dt и плотность тока проводимости аЕ. Процесс поляризации диэлектрической сре- среды добавляет плотность поляризационного тока dP/dt. Общность всех трех перечисленных здесь токов состоит в том, что их плотности зависят от состояния самого исследуемого элек- электромагнитного поля в выбранной точке пространства. В этом смыс- смысле упомянутые токи можно назвать «внутренними» или «собствен- «собственными». Обширный ряд инженерных задач связан с нахождением элек- электромагнитных полей, создаваемых внешними источниками. Сюда относятся, например, проблемы расчета и проектирования антенн, которые возбуждают в пространстве электромагнитные волны. При этом, как правило, полагают, что токи в антенне вызываются внеш- внешними источниками (генераторами) и никак не зависят от возбуж- возбуждаемого ими электромагнитного поля. Подобные токи принято на- называть сторонними. Векторное поле плотности сторонних токов JCT ларяду с уже упоминавшимися плотностями должно фигурировать как заранее заданная функция в правой части закона полного тока A.18). Итак, дифференциальная форма закона полного тока принима- принимает развернутый вид: rot H=eo-^- + -^-+*E + Ja. A.48) Поскольку D = 8oE+P, первый и второй члены в правой части A.48) можно объединить и получить эквивалентную форму rot H=-^-+aE-fJCI, A.49) которая обычно встречается в литературе. ЗАДАЧИ 1.1. Изобразите графически картины силовых линий следую- следующих векторных полей: а) А= (#+10) ь, б) B = 3z2iy. 1.2. Найдите ротор и дивергенцию следующих векторных полей, заданных в декартовой системе координат: а) А = 2 cos axix+3 sm2bziy> б) B =
Задачи 33 1.3. Вычислите напряженность электрического поля в латунной ленте толщиной 0.12 мм и шириной 10 мм, по которой протекает постоянный ток 150 мА. 1.4. Бесконечно длинный цилиндр радиусом 50 мм равномерно заряжен с поверхностной плотностью 10~5 Кл/м2. Цилиндр нахо- находится в воздухе. Определите напряженность электрического поля, создаваемого цилиндром, на расстоянии 10 м от оси. 1.5. Постоянный ток 2.5 А протекает по проводнику, сечение ко- которого представляет квадрат со стороной 8 мм. Найдите прибли- приближенное значение напряженности магнитного поля на поверхности проводника. 1.6. Покажите, что в системе из двух коаксиальных проводни- проводников диаметрами а и Ъ (а<&), по которым протекают равные, но противоположно направленные токи, магнитное поле будет отсут- отсутствовать на любых расстояниях от оси, превышающих радиус внеш- внешнего цилиндра. 1.7. В вакууме создано электромагнитное поле, гармонически изменяющееся во времени; в некоторой точке пространства вектор Е= 130 cos Bя- 1010/)i* В/м. Найдите вектор электрического смеще- смещения D в данной точке. 1.8. В вакууме создано однородное магнитное поле H=Hz(t)iz. Проекция Hz(t) меняется во времени по гармоническому закону с частотой 600 Гц и амплитудой 25 А/м. Найдите амплитуду ЭДС, наводимой данным полем в проводящей рамке площадью 0.3 м2. Плоскость рамки совпадает с плоскостью XOY декартовой системы координат. 1.9. В диэлектрике с относительной проницаемостью 8 = 3.5 соз- создано однородное электрическое поле, напряженность которого рав- равна 800 В/м. Найдите модуль вектора электрической поляризован- ности. 1.10. Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор отно- относительной диэлектрической проницаемости, который в декартовой системе координат имеет следующий вид: F.5 0 о 0 6.5 0 0 0 6.65 В диэлектрике создано однородное электрическое поле Е=2.5!л+1 + 1.7 iy+9.2 \z В/м. Определите вектор электрического смещения D. 1.11. Применительно к условиям задачи 1.10 вычислите компо- компоненты тензора е рассматриваемого анизотропного материала в но- новой декартовой системе координат, полученной из исходной систе- 2—1379
34 Глава 2. Уравнения Максвелла мы путем вращения вокруг оси х на угол 60° в направлении по часовой стрелке. Указание: примените известные из линейной алгебры формулы, связывающие проекции вектора в повернутых системах координат. Глава вторая УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В 1873 г. вышла в свет выдающаяся работа Дж. Кларка Макс- Максвелла A831—1879) «Трактат об электричестве и магнетизме». В этой книге были окончательно сформулированы уравнения, кото- которые обобщили все открытые к тому времени свойства электриче- электрических зарядов, токов и электромагнитных полей. Несмотря на то что за истекшее столетие физика продвинулась далеко вперед в пони- понимании природы электромагнетизма, уравнения Максвелла по-преж- по-прежнему служат прочным фундаментом тех областей науки, которые связаны с практическим использованием электромагнитных явле- явлений. В оригинальной работе Максвелла применялась сложная форма записи основных уравнений, что затрудняло их понимание. Урав- Уравнения Максвелла приобрели современный вид в трудах Г. Герца A857—1894), Г. Лоренца A853—1928) и О. Хевисайда A850— 1925). 2.1. Сводка уравнений Максвелла Ниже со справочными целями приведена система уравнений Максвелла, каждое из которых по отдельности обсуждалось в гл. 1. Уравнения Максвелла в интегральной форме 2. (j)Edl= — f BdS. 1 to i . (j)DdS=J 3. Cp»dS= )puV. B.1) v 4. CpBdS=O. s 5. D^=saE.
2.1. Сводка уравнений Максвелла 35 Уравнения Максвелла в дифференциальной форме 1. . rot H = -^ 2. rot E= — dt 3. div D=P. B.2) 4. . div B = 0. 5. D = eaE. 6. B=^aH. В этих системах основными являются уравнения 1 и 2, первое из которых отображает закон полного тока, а второе — закон элек- электромагнитной индукции. Часто говорят, что соотношения 1 и 2 об- образуют первую группу уравнений Максвелла. Во вторую группу входят уравнение 3, являющееся записью за- закона Гаусса, и уравнение 4, которое отображает закон неразрыв- неразрывности силовых линий магнитного поля. Наконец, третью группу образуют материальные уравнения 5 и 6, которые характеризуют электродинамические свойства матери- материальной среды. Чаще всего при решении задач электродинамики используют уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Входящие в них операции rot и div представляют собой некоторые комбинации частных производных первого порядка от проекций векторных по- полей; конкретные формы записи зависят от выбранной координат- координатной системы (см. Приложение А). Отметим, что достаточно найти один электрический вектор, на- например Е, и один магнитный вектор, например Н. Оставшиеся два вектора можно получить, воспользовавшись материальными урав- уравнениями. Таким образом, уравнения Максвелла представляют собой си- систему дифференциальных уравнений в частных производных пер- первого порядка относительно шести неизвестных функций (например, Ех, Еу, Ez, Нх, Ну, #2), которые зависят в общем случае от трех пространственных координат х} у, z и от времени t. В большинстве практически интересных случаев можно обос- обоснованно считать, что рассматриваемые материальные среды явля- являются линейными (см. § 1.9). В подобных средах имеет место фун- фундаментальный принцип суперпозиции электромагнитных полей: ес- если (Ei, Hi) и (Е2, Н2)—частные решения уравнений Максвелла, то решением будет и сумма вида (а^ + ЯгЕг, aiHi + a2H2) с произ- произвольными постоянными коэффициентами а\ и а2. Принцип супер-
36 Глава 2. Уравнения Максвелла позиции непосредственно следует из того, что операция дифферен- дифференцирования по времени d/dt и векторные дифференциальные операции rot и div являются линейными. Отмеченное здесь свойство линейности существенно облегчает анализ многих электродинамических задач. Тем не менее решить систему шести уравнений Максвелла в ситуациях, достаточно при- приближенных к реальным, зачастую весьма сложно. Прикладная электродинамика вынуждена прибегать к всевозможным прибли- приближенным методам, а также использовать приемы численного анали- анализа, реализуемые с помощью компьютеров. 2.2. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний. Комплексные амплитуды полей В систему уравнений Максвелла входят частные производные по четырем аргументам: х, у, z и t. Процедура решения несомненно упростится, если из уравнений удастся исключить временную пере- переменную t. Этого легко добиться, если рассматриваемый электро- электромагнитный процесс протекает во времени по гармоническому зако- закону с некоторой постоянной частотой со. Такие процессы часто встре- встречаются на практике. К тому же, зная поведение поля на всех частотах, можно воссоздать поле с любым законом изменения во времени, воспользовавшись методом преобразования Фурье [2]. В наиболее общем случае вектор какого-либо поля, например Е, изменяющегося во времени по гармоническому закону, в некото- некоторой заданной точке пространства записывается так: Е (/) = Етх cos Ы + ъ) lx + Ету cos (со/ + Ь) iy + Em2 cos (со/ + Ъ) \г. B.3) Здесь EmXt Ету, Emz—амплитуды отдельных составляющих поля; фх, Фу» Ц>г — соответствующие начальные фазы. Все шесть перечис- перечисленных величин являются действительными числами. Эквивалентная запись формулы B.3) такова: Е а)=Ы(Ет*е"*1*+ EmyeJfyiy + Em2eJ42) e'"']. B.4) Вектор * !ь'Чг, B.5) принимающий в общем случае комплексные значения, принято на- называть комплексной амплитудой поля Е в заданной точке прост- пространства. При этом считается, что частота со изменения поля во времени известна. В дальнейшем все комплексные амплитуды бу- будут помечаться точками сверху.
2.2. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний 37 Метод комплексных амплитуд широко применяют в теории электрических цепей. Однако следует указать на весьма сущест- существенное обстоятельство: в электродинамических задачах комплекс- комплексные амплитуды выступают как пространственные, в общем случае трехмерные, векторы. Поэтому изобразить их в виде некоторых вспомогательных векторов, вращающихся на комплексной плоско- плоскости, принципиально невозможно. Экспоненциальные множители с мнимыми показателями, входящие в комплексные амплитуды от- отдельных проекций поля, характеризуют исключительно фазовые соотношения- между проекциями. Например, если комплексные амплитуды двух гармонически изменяющихся во времени векторов имеют вид Ei=?oix и Е2 = /?'оЬ, то это отнюдь не означает, что эти два вектора образуют в пространстве угол 90° (в действительности оба вектора параллельны орту i*), а лишь говорит о том, что при изменении во времени вектор Е2 опережает вектор Ei на четверть периода. Мгновенное значение вектора, гармонически изменяющегося во времени, выражается через комплексную амплитуду следующим образом: E(O = Re(Ee'"'). B.6) Пример 2.1. Вектор поля Н изменяется по грамоническому за- закону с частотой f = 2 ГГц=2-109 Гц, имея в некоторой фиксирован- фиксированной точке пространства комплексную амплитуду Н = 120 е/30° ix+ + 50 е^'45* i^ + 75 e~^60°iz. Найти мгновенное значение данного векто- вектора как функцию времени. Применив формулу B.6), получаем Н @ = 120 cos Dя.109/ +30°) i + 75 cosDrt.l09^-60o)iz. Комплексные амплитуды легко ввести в уравнения Максвелла, полагая, что величины Ё(лг, у, z), H (х, г/, г) и т. д. зависят от про- пространственных координат. Возьмем, например, первое уравнение Максвелла из системы B.2) и подставим в него соответствующие векторные поля, выраженные через комплексные амплитуды: rot Re(He/m0=—— Re (be'*') +aRe(Eey"l+Re(JCTe/a>/)- B.7) Изменяя порядок следования дифференциальных операций и опе- операции взятия действительной части, что всегда допустимо, а затем
38 Глава 2. Уравнения Максвелла сокращая на общий экспоненциальный множитель, получаем rotH = ycoU + oE + JCT. B.8) Таким образом, переход к комплексным амплитудам полей со- совершается по тем же правилам, что и в теории цепей, — оператор дифференцирования по времени, действующий на мгновенное зна- значение поля, заменяется множителем /со при соответствующей комп- комплексной амплитуде. Аналогично преобразуются остальные уравнения Максвелла. Приведем их окончательную сводку: 1. rot H = > 2. rotE=— >B. 3. divD=p. B.9) 4. divB=0. 5. D=saE. 6. В=цД Именно такая форма записи уравнений Максвелла обычно встре- встречается в прикладных исследованиях и расчетах. 2.3. Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол диэлектрических потерь Рассмотрим электромагнитный процесс в материальной среде с конечным значением удельной проводимости or. Объединив уравне- уравнения 1 и 5 из системы B.9), получим rot H = y<oeaE + JCT> B.10) где величина 4= ва-/«/<«> BЛ1) представляет собой комплексную диэлектрическую проницаемость данного вещества. Введя этот параметр, можно одновременно учесть как поляри- поляризационные, так и проводящие свойства вещества. Значение дейст- действительной части комплексной диэлектрической проницаемости опи- описывает интенсивность процесса поляризации, в то время как мни- мнимая часть учитывает плотность токов проводимости.
2.4. Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга 39 Пример 2.2. Морская вода характеризуется параметрами е = 75, а=4 См/м. Частота поля /=100 кГц. Сравнить степень выражен- выраженности процессов поляризации и электропроводности в этой среде на указанной частоте. По формуле B,11) находим комплексную диэлектрическую про- проницаемость: е~ = 75A0-9/C6л))-у4/Bя.105)=б.63.10-1°-76.36.10-6 Ф/м. Отсюда следует, что при заданной частоте плотность тока прово- проводимости в морской воде на четыре порядка превосходит суммарную плотность токов смещения и поляризации. Изображая число еа в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 2.1), можно описывать соотношение между действительной и мнимой частями комплексной проницаемо- проницаемости при помощи угла б, который называют углом диэлектрических потерь. Чем больше этот угол, тем значительнее доля электро- электромагнитной энергии, рассеиваемой в виде теплоты при протекании токов проводимо- проводимости. В справочных таблицах обычно при- приводят значения тангенса этого угла: tg 8=°/(«>ea). B.12) Рис. 2.1. Угол диэлектри- Тангенс угла потерь хороших диэлект- ческих потерь риков на частотах СВЧ-диапазона лежит в пределах от 10~5 до 10~4; если tg6>10~3, то такой диэлектрик принято считать плохим. 2.4. Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Вектор Пойнтинга Электромагнитное поле способно накапливать и переносить энер- энергию. Законы движения энергии в электромагнитном поле вытекают из уравнений Максвелла. Предположим, что внутри замкнутого объема У, ограниченного поверхностью 5 (рис. 2.2), существует электромагнитное поле с не- некоторым запасом энергии W. Будем считать, что внутри этого объ- объема часть энергии поля необратимо превращается в теплоту, и пусть Рдот — мгновенное значение мощности тепловых потерь. Энер- Энергия злектоомагнитного поля может также изменяться во времени
40 Глава 2. Уравнения Максвелла за счет действия сторонних токов, сосредоточенных внутри объема. Обозначим символом Рст мгновенную мощность этих источников; величину Рст будем считать отрицательной, если сторонние источ- источники (генераторы) увеличивают энергию поля, и положительной, если сторонние источники отбирают энергию из электромагнитного поля,, действуя подобно внешним нагруз- нагрузкам. Наконец, предположим, что в каждой точке поверхности задан некоторый век- вектор П, своим модулем и направлением характеризующий плотность потока мощ- мощности. Вектор П имеет размерность Вт/ м2; если этот вектор ориентирован по направлению от поверхности, это озна- означает, что в точке задания данного векто- вектора энергия покидает объем V. На основании закона сохранения энергии естественно полагать, что пере- перечисленные выше физические величины связаны между собой соотношением Рис. 2.2. К доказатель- доказательству теоремы Пойнтинга Ф dt *пот *с B.13) В 1884 г. английский ученый Дж. Пойнтинг, развивая идеи Максвелла, показал, что вектор плотности потока мощности элек- электромагнитного поля П=[ЕН]. B.14) Данный вектор называют вектором Пойнтинга. Для вывода формулы B.14) возьмем два первых уравнения Максвелла rotH= dt ,_ dB rotE = -—' умножим скалярно первое уравнение на вектор Е, второе на вектор Н, а затем почленно вычтем первое равенство из второго. В резуль- результате получим Н rotE-E rotH= -H- дВ ИГ -Е др dt B.15)
2.4. Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга 41 Левую часть этого уравнения можно преобразовать на основа- основании известного тождества векторного анализа: Н rotE-E rotH = div [EH]. Далее, так как В = |хаН, D = saE, то »?» Воспользовавшись этим, представим равенство B.15) в виде лг ГРН1 д /BH+DE\ _2 div [ЕН]=—-^-^ J-gE2-JctE, откуда, по теореме Остроградского — Гаусса, д fBH + D dS J Г J V V f J V B.16) Сравнивая формулы B.13) и B.16), следует отождествить величи- величину [ЕН] с плотностью потока мощности П, что и подтверждает формулу B.14). Наряду с этим интеграл Г BH4-DE л IF=J g dV B.17) v представляет собой полный запас энергии электромагнитного поля внутри объема V в фиксированный момент времени. Энергия поля распределена в пространстве непрерывно с объемной плотностью (Дж/м3) (BH + DE) ^ + ^. B.18) Мощность тепловых потерь в объеме всегда положительна: B.19) Объемная плотность мощности тепловых потерь пропорциональ- пропорциональна квадрату модуля вектора напряженности электрического поля: °E'. B.20)
42 Глава 2. Уравнения Максвелла Наконец, мощность сторонних источников />ст= jjCTEdl/ B.21) V распределена в пространстве с объемной плотностью /?cx=JCTE, B.22) которая может быть как положительной, так и отрицательной в за- зависимости от взаимной ориентации векторов, фигурирующих в пра- правой части последней формулы. Пример 2.3. Пусть в некоторой точке пространства заданы не- неизменные во времени векторы А/м2, 16iz В/м. На основании формулы B.22) плотность мощности сторонних источников в данной точке рст = —30-25—80-40 + 45-16 = —3230 Вт/м3. Отрицательный знак данной величины свидетельствует о том, что сторонние токи, существующие в малой окрестности рас- рассматриваемой точки, совершают работу против сил поля и увеличи- увеличивают его энергию. Если электромагнитное поле изменяется во времени гармони- гармонически, то вектор Пойнтинга можно выразить через комплексные амплитуды Ё и Н соответствующих полей, поскольку действитель- действительная часть любого комплексного числа есть полусумма комплексно- сопряженных чисел, так что -^/), B.23) -/00'). B.24) Подставляя данные выражения в формулу B.14), находим 4/2l0<}. B.25) Здесь первое слагаемое в правой части неизменно во времени, а второе изменяется с удвоенной частотой. Таким образом, процесс
2.4. Энергетические соотношения. Вектор Пойнтинга 43 переноса энергии в гармоническом электромагнитном поле харак- характеризуется, с одной стороны, действительным вектором г ^[E] B.26) равным плотности потока мощности, усредненной за период, и, с другой стороны, действительным вектором Пкол=уКе([ёН]е/2ш'}, B.27) который представляет собой колеблющуюся составляющую векто- вектора Пойнтинга. Следует иметь в виду, что среднее за период значе- значение вектора ПКОл равно нулю. При анализе гармонических электромагнитных полей часто вво- вводят комплексный вектор Пойнтинга П= -1- [ЁН], B.28) обладающий тем свойством, что ncp=RelT. B.29) Легко видеть, что имеется полная аналогия между комплексным вектором Пойнтинга и известной из теории цепей комплексной мощностью гармонического колебания. Если комплексный вектор Пойнтинга оказывается мнимым, то это значит, что рассматривае- рассматриваемый электромагнитный процесс в среднем за период не переносит мощности. Принято говорить, что чисто мнимому значению комп- комплексного вектора Пойнтинга отвечает перенос электромагнитным полем реактивной мощности. Пример 2.4. В некоторой точке пространства заданы комплекс- комплексные амплитуды полей Ё=51х-у81,+ 12е'80ж В/м, Н=0.4е/45Х +1.6е-у45\ -0.75e~y6°eiz А/м. Найти комплексный вектор Пойнтинга П и его действительную часть Нср в данной точке. Сопряженная комплексная амплитуда магнитного вектора
44 Глава 2. Уравнения Максвелла Раскрывая векторное произведение в декартовой системе коорди- координат, получим — /8 -0.75е'"б0° Преобразуя экспоненты с мнимыми показателями по формуле Эй- Эйлера, находим, что + C.960+у'3.960) I, Вт/м2, Пср= — 5.0831х+3.306!„ + 3.9601г Вт/м2. Рис. 2.3. Передача энергии электромагнитного поля от источника к нагрузке: а — принципиальная схема цепи; б — конфигурация силовых линий поля в по- поперечном сечении Концепция вектора Пойнтинга позволяет правильно описывать любые процессы передачи энергии электромагнитным полем. В ка- качестве примера на рис. 2.3 представлен эскиз двухпроводной линии передачи, вдоль которой энергия от источника постоянной ЭДС передается резистивной нагрузке. Здесь же изображена примерная картина силовых линий полей Е и Н. В каждой точке пространст-
2.5. Магнитный ток. Принцип двойственности 45 ва существует отличный от нуля вектор Пойнтинга, ориентирован- ориентированный вдоль линии от генератора к нагрузке. Переносимая мощность равна интегралу от вектора Пойнтинга по поперечной плоскости, взятому в бесконечных пределах. Анализируя данную систему, приходим к несколько неожиданному выводу — энергия переносит- переносится не токами в проводниках, а электромагнитным полем в окружа- окружающем пространстве. Наличие проводников и токов в них служит лишь условием существования полей требуе- требуемой конфигурации. Другой интересный пример — система из постоянного магнита и заряженного конден- конденсатора, которые ориентированы так, как по- показано на рис. 2.4. Здесь поля Е и Н не па- параллельны, и поэтому в каждой точке прост- пространства существует отличный от нуля вектор ° Пойнтинга П=[ЕН]. Однако никакого пере- переноса энергии в данной системе нет. Дело в том, что рассматриваемые поля статические, токи проводимости отсутствуют и в соответ- соответствии с уравнениями Максвелла rot H = 0; rot E = 0, Рис. 2.4. Система из заряженного конден- конденсатора и постоянного магнита откуда divII=0, а это означает, что в этой физической системе векторное поле П не име- имеет источников. Поток такого поля через замк- замкнутую поверхность равен нулю, и поэтому энергия электромагнитного поля внутри любого ограниченного объ- объема постоянна. 2.5. Магнитный ток. Принцип перестановочной двойственности Рассмотрим картину магнитных силовых линий, возникающую вблизи тонкой проводящей полоски шириной А, по которой проте- протекает электрический ток /э (рис. 2.5, а). В непосредственной близо- близости от проводника магнитные силовые линии в значительной мере повторяют его контур. На самой поверхности проводника магнит- магнитный вектор, касателен к плоскости полоски, отмеченной сплошной линией. С удалением от полоски силовые линии, постепенно дефор- деформируясь, превращаются в окружности. На рис. 2.5, б изображена картина силовых линий электрическо- электрического вектора в системе из двух заряженных металлических полу- полуплоскостей, которые разделены зазором шириной А. С точностью до направления стрелок в верхнем и нижнем полупространствах эта картина тождественна той, которая рассматривалась ранее.
46 Глава 2. Уравнения Максвелла Сходство картин данных полей позволяет чисто формально предположить, что в щели параллельно кромкам протекает неко- некоторый гипотетический ток /м, называемый магнитным током. Подчеркнем, что в силу соленоидального характера магнитно- магнитного поля (см. гл. 1) физических носителей магнитного тока не су- существует. Понятие магнитного тока играет вспомогательную роль, позволяя в ряде случаев значительно упростить расчеты. rM Рис. 2.5. Картина силовых линий поля: а — магнитное поле вблизи проводящей полоски; б — электрическое поле вблизи зазора между двумя заряженными плоскостями Геометрическое сходство полей на рис. 2.5, а, б есть следствие симметрии двух основных уравнений Максвелла rot Н = /«>еаЁ; rot Ё= — > B.30) которые переходят одно в другое при следующих перестановках: Ё< >Н; еа« >-ца. B.31) Если в правой части первого уравнения Максвелла фигурирует плотность стороннего электрического тока JCT.3, то для сохранения симметрии уравнений в правую часть второго уравнения следует ввести гипотетическую плотность стороннего магнитного тока Jct.m, такую, что •'ст.э* * **ст.м.* B.62) В этом случае система уравнений Максвелла принимает вид rot H = >txaE + JCT.M, B.33) rot Ё= — >|iaH — JCT.M. Соотношения B.31) и B.32) отображают принцип перестано- перестановочной двойственности для электромагнитного поля. В соответст-
2.6. Лемма Лоренца 47 вии с этим принципом, если известно решение какой-либо электро- электродинамической задачи, простая перестановка позволяет сразу полу- получить решение двойственной (дуальной) задачи, в которой конфигурация силовых линий магнитного поля повторяет конфигу- конфигурацию силовых линий электрического поля в исходном процессе. При этом, поскольку уравнения Максвелла не меняют своего вида, дуальный электромагнитный процесс заведомо существует. 2.6. Лемма Лоренца В теоретических вопросах важную роль играет соотношение, называемое леммой Лоренца, которое устанавливает связь между полями, возбуждаемыми в пространстве двумя независимыми си- системами сторонних токов. Пусть некоторая совокупность гармонических сторонних токов (Jc(t?3, Jct!m) создает электромагнитное поле с комплексными амплитудами (Ёь Hi), которое удовлетворяет системе уравнений Максвелла rot Н1Уа1 + , B.34) rot Е^-уаПхД-J^M. Наряду с этим рассмотрим другую систему сторонних токов (Jct.^, Jc?!m) , имеющих ту же самую частоту. Эти токи возбужда- возбуждают поле с комплексными амплитудами (Ё2, Н2), удовлетворяющи- удовлетворяющими уравнениям rot H2=>safe2+j^3, B.35) rot Ё23= — у^аН2 — Л-г?м. Этапы вывода леммы Лоренца схожи с теми, которые исполь- использовались при выводе формулы для вектора Пойнтинга. Умножим скалярно первое уравнение из B.34) на вектор Е2, затем второе уравнение из B.35) на вектор Hi и вычтем второе равенство из первого. В результате получим — div [Ё2НХ] = уа>еаЁ1Ё2 + ycoPaHitife + j?sE2 + j?MHi. B.36) Теперь умножим скалярно второе уравнение из системы B.34) на вектор Н2, первое уравнение из системы B.35) на вектор Ei и вычтем второе уравнение из первого. При этом будем иметь div[E!H2] = - ушеаЁ1Ё2 - /«VaHiHa - j?!sEi - J&mH2. B.37)
48 Глава 2. Уравнения Максвелла Складывая почленно равенства B.36) и B.37), приходим к соот- соотношению di V [Ё1Н2] - di v[E2rii] = Ц\1%Е2 + HV.MUI - JcxlaE! - j ?MH2, B.38) которое выражает лемму Лоренца в дифференциальной форме» Векторные произведения [EiH2] и [E2Hi] в левой части можно трактовать как взаимные векторы Пойнтинга двух независимых электромагнитных процессов. Возможна также интегральная формулировка рассматривае- рассматриваемой леммы. Чтобы получить ее, допустим, что имеется конечный объем V, ограниченный поверхностью 5. Применив теорему Ост- Остроградского— Гаусса к формуле B.38), находим f S - f ( J V -W.uH2)<lV. B.39) Лемма Лоренца в форме B.38) или B.39) является полезным инструментом решения многих задач электродинамики, особенно связанных с расчетом антенн. Этот круг вопросов будет рассмот- рассмотрен в гл. 17. ЗАДАЧИ 2.1. Покажите, что векторное поле Н, изменяющееся во време- времени и в пространстве по закону H = 6* cos i&t\x-\-2 exp ( — 2y) sin Ы12, не может быть полем магнитного вектора, который удовлетворяет уравнениям Максвелла. 2.2. Покажите, что из четвертого уравнения Максвелла в не- неоднородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция пространственных координат, вытекает следующее уравнение от- относительно вектора напряженности магнитного поля: div H=- — (H grad ца). 2.3. Известно, что некоторый электромагнитный процесс ха- характеризуется тем, что все декартовы составляющие полей зави- зависят лишь от координаты z. Используя уравнения Максвелла, по- покажите, что при этом продольные проекции Ег и Hz векторов эле- электромагнитного поля будут отсутствовать. 2.4. В некоторой точке материальной среды с параметрами 8= =3.5 и а=6.2-10~1 См/м создано электрическое поле с частотой 600 МГц и амплитудой напряженности 15 В/м. Определите ампли-
Задачи 49 тудное значение и фазовый угол вектора плотности полного тока в данной точке пространства. 2.5. Грозовая туча площадью 5 км2 располагается на высоте 2 км над поверхностью земли. Между тучей и землей образуется постоянное электрическое поле с напряженностью 2-Ю5 В/м; оди- одинаковое во всех точках. Оцените энергию этого поля. 2.6. Сердечник трансформатора массой 2 кг выполнен из ста- стали плотностью 7.7 г/см3. Амплитуда вектора магнитной индук- индукции в сердечнике 2.1 Тл. Найдите максимальное значение энергии, запасаемой в сердечнике, если относительная магнитная прони- проницаемость стали равна 200. 2.7. Комплексная амплитуда вектора напряженности электри- электрического поля (углы даны в радианах). Частота колебаний 2 МГц. Найдите мгновенное значение вектора Е в момент времени 0.1 мкс. 2.8. При описании частотных свойств полярных диэлектриков используют математическую модель, которая уподобляет молеку- молекулярные диполи воображаемым твердым частицам, испытывающим при движении вязкое сопротивление окружающей жидкости, При этом связь между вектором поляризованности Р и вектором на- напряженности электрического поля Е устанавливается дифферен- дифференциальным уравнением dt * Т где а — некоторая постоянная, Г —так называемое время релак- релаксации процесса поляризации. Получите формулу, описывающую частотную зависимость комплексной диэлектрической проницае- проницаемости подобной среды. 2.9. В некоторой точке пространства заданы вектор напряжен- напряженности электрического поля YL=2Q\y В/м и вектор Пойнтинга П= = 10iA;+30izBT/M2. Определите вектор напряженности магнитного поля в данной точке, если известно, что Е_1_Н. Глава третья ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ Основополагающие исследования Максвелла показали, что пе- переменное во времени электромагнитное поле имеет волновой ха- характер. В дальнейшем Герц подтвердил теоретическое предска- предсказание Максвелла прямым экспериментом.
50 Глава 3. Плоские электромагнитные волны В данной главе будет изучен простейший, но очень важный вид волнового движения электромагнитного поля, называемый од- однородными плоскими волнами. 3.1. Понятие волнового процесса. Продольные и поперечные волны Волнами в физике называют колебательные движения непре- непрерывных сред. Существует принципиальная разница между волно- волновыми процессами в сплошных средах и колебаниями токов и на- напряжений в электрических цепях. Если в теории цепей состояние системы полностью определяется конечным числом токов и на- напряжений в отдельных ветвях, то для задания волнового процес- процесса требуется знать его состояние в бесконечном множестве точек пространства. Поэтому "говорят, что среда, в которой распростра- распространяются волны, является распределенной физической системой. а) Рис. 3.1. Некоторые примеры волновых процессов: а — звуковые волны в воздухе; б — волны на поверхности воды Природа волновых явлений может быть самой разнообразной. Так, известны электромагнитные волны, механические волны в твердых, жидких и газообразных средах, волны на поверхности моря и т. д. Сравним два хорошо известных и легко представимых волновых процесса — звуковые волны в воздухе и волны на поверхности во- воды (рис. 3.1, а, б). Пусть эти волны распространяются в направ- направлении слева направо или справа налево. Звуковые волны связаны с перемещением в пространстве областей сжатия и разрежения газа. Каждая отдельная частица газа колеблется вдоль направ- направления распространения волны. Такие волны принято называть продольными. В литературе можно встретить также термины аку- акустические или скалярные волны.
3.2. Плоские волны и их характеристики 51 Совсем иной характер волн на поверхности воды. Здесь колеб- колеблющиеся частицы перемещаются перпендикулярно направлению распространения волны (строго говоря, предмет, плавшощий на поверхности, описывает некоторую замкнутую кривую, однако продольные перемещения значительно меньше поперечных)./Для волн такого вида следует указывать ту плоскость, в которой про- происходят колебания частиц. Эту плоскость называют плоскостью поляризации, а сами волны — поперечными, поляризованными или векторными. Нетрудно понять, что математическая теория попе- поперечных волн сложнее теории продольных волн. Поэтому следует ожидать, что в поперечных волнах наблюдается большее число различных физических эффектов. 3.2. Плоские волны и их характеристики Предположим, что в каждой точке пространства с декартовой системой координат (х, у, г) определена некоторая величина v (физическая природа ее на данном этапе безразлична), описывае- описываемая формулой v(z, t) = Vn cos (*t-$z)9 C.1) где Vm, со, р— действительные числа. Говорят, что данная зависи- зависимость является математической моделью однородной плоской волны. Рассматривая характер изменения величины v(z, t) в прост- пространстве и во времени, заметИхМ прежде всего, что значения v по- постоянны в любой плоскости, перпендикулярной оси z. Иными сло- словами, мгновенные значения однородной плоской волны не зависят от поперечных координат х и у. Далее обратим внимание на то, что как временная, так и про- пространственная зависимости величины v(z, t) описываются гармо- гармоническими функциями. Действительно, зафиксировав точку z=0, получим и@, t) = Vmcos(ut. Колебания в точке с координатой z> >0 имеют вид v(z, t) =Vm cos (со/—pz), т. е. характеризуются те- теми же амплитудой Vm и частотой со, однако запаздывают по фазе на рг радиан. Сказанное поясняется кривыми на рис. 3.2, а. Рассмотрим теперь «мгновенную фотографию» процесса v (z, t) в начальный момент времени / = 0 (рис. 3.2, б). Данная зависи- зависимость описывается гармонической функцией v (z, 0) = Vmcospz. Параметр р играет роль «пространственной частоты» процесса и называется коэффициентом фазы плоской волны. Величина р име- имеет размерность рад/м или, короче, м. Функция v(z, 0) периодична; ее период X называют длиной волны. Между величинами р и X существует очевидная связь . C.2)
52 Глава 3. Плоские электромагнитные волны Чтобы изобразить график функции v(z, t) при />0, формулу C.1) удобно записать в виде v (z, t) = VmCOs(^z—a)t). При этом видно, что с ростом t фазовый сдвиг (ot увеличивается, так что ис- исходная кривая v(z, 0) сдвигается вдоль оси вправо, т. е. в сторо- сторону увеличения координаты z (рис. 3.2, б). pz/cj cot/a Рис. 3.2. Однородная плоская волна: а — изменение поля во времени; б — изменение поля в прост- пространстве Назовем плоскостью равных фаз или волновым фронтом вооб- воображаемую бесконечно протяженную плоскость, перпендикулярную оси г; координата z этой плоскости при любых t удовлетворяет соотношению — $z — const. C.3) Волновой фронт данной плоской волны перемещается вдоль оси z с так называемой фазовой скоростью dz d / u>t—const Ф Л 4- Л ^ I О at at \ p Формулу C.4) можно представить и по-иному: *Ф = Х/, C.5) где /=со/Bя) —частота процесса, выраженная в герцах. Итак, из трех параметров Уф, со, р лишь два можно выбирать произвольно; третий параметр подчиняется соотношению C.4). Пример 3.1. Электромагнитная волна распространяется в ва- вакууме с фазовой скоростью Уф = с=3-108 м/с. Частота поля /= =400 МГц. Определить длину волны X и коэффициент фазы р. В данном случае X=cJf=0.75 м; р=2я/Я=6.28/0.75=8.378 м-1.
3.3. Затухание волн. Коэффициент распространения 53 Рассмотрим теперь однородную плоскую волну с математиче- математической моделью вида v (z; t)=rVm cos (urf-f jfe). C.6) Все сказанное ранее применимо и к этому случаю, за исключени- исключением того, что из уравнения волнового фронта co/+pz=const выте- вытекает следующая формула для нахождения фазовой скорости: Сравнивая выражения C.4) и C.7), убеждаемся, что плоская волна, описываемая форму- формулой C.6), распространяется <^joo% - ° 81% '/770 exp(-<xz) влево, т. е. в сторону умень- уменьшения координаты z. Y^-J~ 7г,9% 3.3. Затухание волн в материальных средах. Коэффициент распространения В любой реальной среде амплитуда волнового про- процесса неизбежно уменьшает- уменьшается по мере распространения, например за счет тепловых потерь. Закон ослабления амплитуды легко найти из следующих соображений. Предполо- Предположим, что в начальной плоскости z=0 амплитуда имеет исходное значение Vmo, принимаемое за 100% (рис. 3.3). Положим для конкретности, что при прохождении одного метра пути амплитуда волны уменьшается на 10%, т. е. Fmi = O.9l/mo = 9O%. Легко ви- видеть, что l/m2 = 0.9Vmi = 81%, Vm3=0.9Vm2 = 72.9% и т. д. Общая закономерность такова: У то Ут\ VmN-\ 0 12 3 4 5 z,n Рис. 3.3. Уменьшение амплитуды плоской волны при распространении в среде с по- потерями У т\ v ml Из элементарной алгебры известно, что именно таким свойством обладает показательная функция. Поэтому закон изменения амп- амплитуды вдоль оси распространения в общем виде можно записать так: Vm(z) = VmOe , w-") где а — коэффициент ослабления плоской волны в среде. Эта дей- действительная величина имеет, подобно коэффициенту фазы, размер- размерность м~!.
54 Глава 3. Плоские электромагнитные волны В технических расчетах часто используют особую логарифми- логарифмическую единицу — погонное затухание ДПОг, которое измеряют в децибелах на метр (дБ/м) и определяют по формуле Апог = 20 lg (VmdVml)'=20 lg(e") = 8.686a. C.9) Чтобы оценить удобство пользования логарифмическими еди- единицами затухания, рассмотрим следующий пример. Пример 3.2. В начальной плоскости z=0 амплитуда вектора напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны Em(Q) =700 В/м. Погонное затухание АПОг=0.2 дБ/м. Вы- Вычислить амплитуду Ет D00) в плоскости с координатой г=400м. Очевидно, что полное затухание волны вдоль пути распростра- распространения составит 0.2-400 = 80 дБ, откуда lg[?m@)/?mD00)] = = 80/20=4. Вычисляя антилогарифм, получаем ЕтD00) =Ет@)/ /104=0.07 В/м. Следует обратить внимание на существенное (в 10 000 раз) уменьшение амплитуды поля. Объединив формулы C.1) и C.8), можно записать общее вы- выражение для пространственно-временного распределения мгновен- мгновенных значений поля однородной плоской волны в среде с зату- затуханием: v (zy t) = 1/mQ&~az cos (со/ — р<г). C.10) Соответствующие кривые для значений /=0 и />0 изобра- изображены на рис. 3.4. График функ- функции УтОехр(—аг), выполняю- выполняющей роль огибающей кривых, показан штриховой линией. Так как зависимость вида C.10) является гармонической относительно аргумента t, мож- можно воспользоваться методом комплексных амплитуд. Оче- Очевидно, что комплексная амп- C.11) Рис. 3.4. Распределение мгновенных зна- значений волнового процесса в среде с по- потерями литуда данного поля V (z) = l/mOe-"e-^= поскольку v(zt t) = Re[V(z)ef<i>t
ЗА. Волновой характер переменного поля 55 Коэффициент фазы р и коэффициент ослабления а объединя- объединяют в единую комплексную величину — так называемый коэффи- коэффициент распространения C.12) такой, что комплексная амплитуда поля плоской волны, распро- распространяющейся в сторону возрастания координаты z, имеет вид VmQe-u. C.13) Соответственно комплексная амплитуда волны, распространяю- распространяющейся или, как часто говорят, бегущей в сторону уменьшения ко- координаты z, такова: V(^(z) = VmOe<2. C.14) В частном случае, когда потери отсутствуют и амплитуда поля постоянна вдоль z, коэффициент распространения y=j$ оказыва- оказывается чисто мнимым. Возможен и другой частный случай, когда коэффициент распространения чисто действительный: 7 = <*. При этом волновой процесс, по сути, не существует; колебания v(z, t) во всех точках пространства происходят с одной и той же фазой, отличаясь лишь амплитудами. 3.4. Волновой характер переменного электромагнитного поля. Уравнение Гельмгольца Проведенное выше исследование свойств волновых процессов носило несколько абстрактный характер и не было связано с кон- конкретными физическими явлениями. Обращаясь к интересующим нас электромагнитным полям, докажем, что одним из частных ре- решений уравнений Максвелла в неограниченном пространстве слу- служат однородные плоские волны. Рассмотрим бесконечное трехмерное пространство с заданными электродинамическими параметрами еа, \ia, одинаковыми во всех точках. Предположим, что свободные электрические заряды отсут- отсутствуют, так что их объемная плотность р=0. Электромагнитный процесс, гармонически изменяющийся во времени с частотой со, характеризуется комплексными амплитудами полей Ё и Н, кото- которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла 1. rot Н = уо)ГаЕ. 2. rot Ё=— >[хаН. C.15) 3. div Ё = 0. 4. div H=0.
56 Глава 3. Плоские электромагнитные волны Преобразуем систему C.15) таким образом, чтобы свести ее к эквивалентному уравнению относительно комплексной амплиту- амплитуды Ё вектора напряженности электрического поля. Для этого применим дифференциальную операцию rot к обеим частям урав- уравнения 2, а затем воспользуемся выражением rot H из левой ча- части уравнения 1: rotrot Ё=—/со|*а rot Н=со2га[хаЁ. C.16) Примем во внимание (см. Приложение Б), что rotrot E=grad div Ё — v2E, или в силу уравнения 3 rotrot Ё=— V2E. Тогда уравнение C.16) преобразуется к виду V2E + aJs>aE=0. C.17) В теории волновых процессов равенство C.17) получило название уравнения Гельмгольца в честь немецкого ученого Германа Гельм- Гельмгольца A821—1894). Введем параметр у, в общем случае комплексный, удовлетво- удовлетворяющий соотношению Y2=-tV C.18) Будет показано, что у представляет собой коэффициент распро- распространения плоской волны, изучавшийся в § 3.3. Уравнение Гельм- Гельмгольца приобретает при этом вид 0. C.19) Очевидно, что таким же окажется уравнение относительно комп- комплексной амплитуды вектора напряженности магнитного поля 0. C.20) Уравнения C.19) и C.20) являются однородными (с нулевой правой частью) векторными дифференциальными уравнениями второго порядка. Каждое из них эквивалентно трем дифферен- дифференциальным уравнениям в частных производных относительно де- декартовых проекций комплексных амплитуд векторов поля. На- Например, представив (ЗЛ9) в развернутой форме, получаем систе- систему уравнений
ЗА. Волновой характер переменного поля 57 Ох* У Г" C.21) Ill u*c* I .9 i ^77" + _v2/7 о Решение данной системы относительно трех неизвестных функ- функций Ёх, Ёу, Ёг, каждая из которых в свою очередь зависит от трех простран- пространственных координат х, у, г, описывает в общем случае поле с весьма сложной пространственной конфигурацией. Пре- Предельно упрощая задачу, будем считать, что: 1) проекция Ёхф0, в то время как Ёу=?г=0; 2) отличная от нуля проекция ?х за- зависит лишь от координаты г (для кон- конкретности), так что d/dx=d/dy=0. В данном частном случае система C.21) сводится к одному дифференци- дифференциальному уравнению второго порядка уже не в частных, а в обыкновенных произ- производных, поскольку на основании предпо- предположения 2 производную d2/dz2 следует заменить на d2/dz2: Рис 3 5 Нахождение коэф- коэффициентов распространения плоской волны C.22) Общее решение этого линейного уравнения с постоянными ко- коэффициентами представляет собой сумму двух экспоненциальных слагаемых: ТЛ C.23) где 7i,2 — корни уравнения C.18). Изучим расположение этих корней на комплексной плоскости. Для этого заметим, что величина имеет отрицательную действительную и положительную мнимую части, т.е. отображается вектором во II квадранте (рис. 3.5). Квадратный корень из этого комплексного числа имеет два значе- значения. Одно из них, главное, обозначается здесь как 7ь имеет ар- аргумент arg7i = 72arg72 и лежит в I квадранте. Второе значение
58 Глава 3. Плоские электромагнитные волны квадратного корня уъ=—Yi- Это число отображается вектором в III квадранте. В дальнейшем будем считать, что число C.24) представляет собой главное значение квадратного корня из у2, т.е. 7=уь Тогда формулу C.23) можно переписать так: C.25) Сравнивая эту формулу с выражениями C.13) и C.14), при- приходим к выводу о том, что полученное здесь частное решение уравнения Гельмгольца описывает однородные плоские волны. Первому слагаемому правой' части отвечает плоская электромаг- электромагнитная волна, распространяющаяся в сторону уменьшения г. Вто- Второе слагаемое описывает такую же волну, бегущую в сторону возрастания координаты г. Эти волны никак не связаны между собой, так как им соответствуют два линейно независимых реше- решения дифференциального уравнения C.22). 3.5. Понятие характеристического сопротивления. Плотность потока мощности в плоской электромагнитной волне Найдя комплексную амплитуду вектора напряженности элек- электрического поля в виде C.25), можно определить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, воспользо- воспользовавшись уравнением 2 из системы C.15): H=-^-rot Ё. C.26) O)fX Рассмотрим электромагнитную волну, которая распространя- распространяется в сторону z>0 и характеризуется комплексной амплитудой Ё=?*ехр (—yz)ix. Представив дифференциальную векторную операцию rot в развернутой форме, имеем Н = j дх ду dz •xe~U 0 О C.27) Раскрывая символический определитель по элементам первой строки, убеждаемся, что
3.5. Понятие характеристического сопротивления 59 или, подставив величину у из выражения C.24), ^— ?>~~т\. C.28) Отсюда можно сделать ряд существенных выводов: Ф Если вектор Е ориентирован вдоль оси х, то вектор Н направ- направлен вдоль оси у, т. е. в однородной плоской волне векторы Е и Н перпендикулярны. # Оба вектора, Е и Н, перпендикулярны оси распространения, поэтому однородная плоская электромагнитная волна являет- является поперечной волной. 0 Значения комплексных амплитуд векторов Е и Н в любой . точке пространства связаны некоторым коэффициентом про- пропорциональности. На основании последнего из перечисленных свойств в электро- электродинамике вводят понятие характеристического (волнового) сопро- сопротивления той физической среды, в которой распространяются од- однородные плоские волны. По определению, характеристическое сопротивление Zc равно отношению комплексных амплитуд соот- соответствующих проекций векторов напряженности электрического и магнитного поля. В данном случае Zc=EjHy. C.29). Так как вектор Е имеет размерность В/м, а вектор Н — размер- размерность А/м, то характеристическое сопротивление выражается в омах. На основании равенства C.28) получаем формулу, выра- выражающую характеристическое сопротивление через параметры среды: ** • C.30) Пользуясь понятием характеристического сопротивления, мож- можно существенно упростить практические расчеты. ^Например, с помощью формулы C.29) по известным величинам Ёх и Zc удает- удается сразу вычислить комплексную амплитуду Ну, не решая заново уравнений Максвелла. Подчеркнем, что сопротивление Zc есть коэффициент •пропор- •пропорциональности, не связанный в общем случае с тепловыми потеря- потерями энергии в среде. Плотность потока мощности плоской электромагнитной волны равна среднему за период значению вектора Пойнтинга eU=V2Re [EH]=V2Re (ЁХНУ) ll,y=VaRe (ДД,) К- C.31) Этот вектор, как видно из последней формулы, ориентирован вдоль оси распространения волны.
60 Глава 3. Плоские электромагнитные волны Плотность потока мощности в однородной плоской волне можно выразить не через обе полевые величины Ёх и Ну, а толь- только через одну из них. Для этого следует воспользоваться соотно- соотношением C.29), что приводит к выражению ^(^) C.32) или h^ ReZc. C.33) В прикладных расчетах эти выражения часто оказываются более удобными, нежели общая формула C.31). Изучаемые нами электромагнитные процессы происходят в безграничном изотропном физическом пространстве, свойства ко- которого одинаковы для волн, распространяющихся в любых на- направлениях. Введя в этом пространстве правовинтовую декарто- ву систему координат (в этой системе кратчайшее вращение век- вектора \у до совпадения с вектором iz представляется в направле- направлении против движения стрелки часов, если смотреть с конца век- вектора 1*), мы наделили пространство определенной геометрической структурой и можем различать волны, движущиеся в противопо- противоположных направлениях вдоль оси z. Так, повторяя приведенные ранее выкладки, убеждаемся, что для электромагнитной волны, распространяющейся в сторону z<0 и имеющей комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля Ё = = ?^ехр (уг)\х, комплексная амплитуда у-й проекции вектора на- напряженности магнитного поля Йу= - V S>a Ex ехр(уг), C.34) откуда [ср. с формулой C.29)] Bx/Hy^-Zc. C.35) Отрицательный знак в этом выражении связан с тем, что дан- данная волна переносит энергию в сторону уменьшения координа- координаты z. Соответственно отрицательными оказываются и правые ча- части формул C.32) и C.33). 3.6. Некоторые частные случаи Далее в качестве примеров будут исследованы характеристики однородных плоских электромагнитных волн, распространяющих- распространяющихся в некоторых важных для практики физических средах.
3.6. Некоторые частные случаи 61 Вакуум. Данная идеальная среда имеет параметры еа=е0, |Ха = [х0, а=0. Коэффициент распространения плоских волн в ва- вакууме y = JuV ?(^0 C.36) оказывается мнимым, что свидетельствует об отсутствии затуха- затухания волн (а=0). Коэффициент фазы плоской волны в вакууме C.37) откуда на основании формулы C.4) фазовая скорость с. C.38) Таким образом подтвержден один из основных результатов тео- теории Максвелла — фазовая скорость однородной плоской волны в вакууме равна скорости света независимо от частоты. В физике среды с такими свойствами называют средами без частотной дис- дисперсии фазовой скорости. Характеристическое сопротивление вакуума принято обозна- обозначать символом Zq\ при этом Ом. C.39) проек- проекC.40) На основании выражения C.32) среднее значение 2-й проек- проекции вектора Пойнтинга плоской волны в вакууме Пример 3.3. Среднее значение плотности потока мощности пло- плоской электромагнитной волны в вакууме составляет 5 Вт/м2. Оп- Определить амплитудное значение х-й проекции вектора напряжен- напряженности электрического поля и у-й проекции вектора напряженности магнитного поля. По формуле C.40), Exm=V 240дПср2 =61.4 В/м. Воспользовавшись понятием характеристического сопротивления вакуума, получаем Hym=Exm/ZQ=0A6 А/м. Величина Zo действительная, а это означает, что гармониче- гармонические поля Е и Н колеблются в фазе. Этот факт принято иллю-
62 Глава 3. Плоские электромагнитные волны стрировать, изображая пространственные распределения векторов электромагнитного поля в фиксированный момент времени (рис. 3.6). Отметим, что атмосферный воздух при нормальных условиях настолько схож по своим электродинамическим свойствам с ва- вакуумом, что в подавляющем боль- большинстве случаев для расчетов электромагнитных полей в возду- воздухе можно использовать формулы C.38) —C.40). Магнитодиэлектрическая сре- среда без потерь. В подобной среде относительная диэлектрическая проницаемость е, либо относи- Рис. 3.6. Эскиз векторов плоской тельная магнитная проницаемость электромагнитной волны, распрост- ji, либо обе перечисленные вели- раняющейся в вакууме чины удовлетворяют неравенст- неравенствам е>1, ji>1. Удельная прово- проводимость а, обусловливающая тепловые потери, равна нулю. Фазо- Фазовая скорость однородных плоских волн в такой среде I 1 с C.41) в ]/^|х раз меньше скорости распространения электромагнитных волн в вакууме. Пример 3.4. Найти длину волны Я в среде без потерь, имею- имеющей параметры 8=5, [i=7 на частоте /=200 МГц. Фазовая скорость иф = 3- 108/У5^~7=5.07-107 м/с. Отсюда длина волны А,= 0ф//=0.2535 м. Характеристическое сопротивление магнитодиэлектрической среды C.42) увеличивается с ростом магнитной и уменьшается с ростом ди- диэлектрической проницаемости. Диэлектрик с малыми потерями. В радиотехнических устрой- устройствах часто используют немагнитные (jut= 1) диэлектрики, угол потерь у которых весьма мал _(tg6« 10~3-4-10~5). Выведем при-
3.6. Некоторые частные случаи ¦ 63 ближенные формулы для расчета основных характеристик пло- плоских электромагнитных волн в таких материалах, основываясь на том, что абсолютная комплексная диэлектрическая проницае- проницаемость 8а = 8аA / tg 6) . По общей формуле C.24), коэффициент распространения >0 =/а>КГ V^o V 1-ytg 8. C.43) Поскольку tg6<Cl, радикал можно разложить в ряд Тейлора и с точностью до величин порядка (tg бJ получить V 1-У tg 5~ 1 - У tg Ь/2^ 1 — у 8/2. Подставив этот результат в формулу C.43), приходим к следую- следующим приближенным выражениям для коэффициента фазы и ко- коэффициента затухания: Р^о)]/е0(х0 ]/Т=о>]Ле /С, C.44) Пример 3.5. Найти коэффициент фазы р, длину волны X и по- погонное затухание АП0г однородной плоской электромагнитной вол- волны с частотой /=40 ГГц, которая распространяется в полистиро- полистироле. Этот широко применяемый диэлектрик имеет следующие па- параметры: 6 = 2.56, tg5 = 3-10-4. На основании формулы C.44) коэффициент фазы Длина волны в полистироле Х = 2л/?=:6.28/1340=4.69.10-3 м=4.69 мм. Коэффициент затухания а= 1340-3-10-4/2=0.201 M-if откуда погонное затухание Диог = 8.686а = 1.75 дБ/м. Итак, в диэлектрике с малыми потерями коэффициент фазы оказывается таким же, как и в диэлектрике без потерь. Согласно формулам C.44), коэффициент затухания прямо пропорционален частоте волны, а также углу диэлектрических потерь.
64 Глава 3. Плоские электромагнитные волны Нетрудно получить формулу для расчета характеристического сопротивления немагнитного диэлектрика с малыми потерями: j tg 5) yr Vi-Jtgb У7 C.45) При выводе данного соотношения было использовано то, что при любых х, в общем случае комплексных, таких, что |*|<Cl, спра- справедливо приближенное равенство 1/A—х)ж1+х. Комплексный характер сопротивления Zc означает, что в сре- среде с потерями поля Е и Н колеблются не синфазно. Однако, со- согласно формуле C.45), угол сдвига фаз приблизительно равен 6/2 радиан, т. е. настолько мал, что им на практике обычно пре- пренебрегают. 3.7. Плоские электромагнитные волны с эллиптической поляризацией Все рассмотренные до сих пор электромагнитные волны обла- обладали тем свойством, что в них вектор Е имел единственную про- проекцию, например Ех, и совершал колебания в определенной пло- плоскости, которая, как уже говорилось, называется плоскостью по- поляризации электромагнитной волны. Про однородную плоскую волну с фиксированной плоскостью поляризации говорят, что она имеет линейную поляризацию. В общем случае плоскость поляризации может занимать про- произвольное положение. Чтобы убедиться в этом, допустим, что не- некоторый волновой процесс является суммой двух гармонических плоских волн одинаковой частоты, причем одна волна поляризо- поляризована в плоскости XOZ, а другая — в плоскости YOZ. Пусть коле- колебания обеих волн происходят синфазно. При этом результирую- результирующая волна в фиксированной точке пространства будет иметь сле- следующие проекции вектора напряженности электрического поля: Ex=Eml cos о)/; Ey = Em2 cos at C.46) Легко видеть, что суммарный вектор Е будет перемещаться вдоль диагонали прямоугольника со сторонами 2Emi и 2Ет2 (рис. 3.7). Плоскость поляризации результирующей волны образует с осью х угол -ф, такой, что tg<p = Em2/Emi. Совсем иной характер волновой процесс приобретает в том случае, если две составляющие вектора Е, описываемые форму- формулой вида C.46), будут \не только ортогональны в пространстве, но и сдвинуты по фазе во времени. Конкретно рассмотрим слу-, чай, когда
3.7. Плоские волны с эллиптической поляризацией 65 Ex=Eml coscd/; Ey=Em2 C.47) Найдем уравнение кривой, которая служит геометрическим местом концов вектора Е суммарного процесса. Для этого пере- перепишем формулу C.47) в виде C.48) затем возведем оба равенства в квадрат и сложим: (Ex/Eml)*-\- {Ey!Em2?= 1. Получено уравнение эллипса, располагающегося в плоскости XOY и вписанного в прямоугольник со сторонами 2Emi и 2Ет2 У: Рис. 3.7. Синфазное сложение двух Рис. 3.8. Образование плоской плоских электромагнитных волн электромагнитной волны с эллип- эллиптической поляризацией (рис. 3.8). Поэтому говорят, что рассмотренная нами электромаг- электромагнитная волна имеет эллиптическую поляризацию. Результирую- Результирующий вектор Е будет вращаться с частотой со, причем, как это легко заметить из формул C.47), если смотреть с конца единич- единичного вектора продольного направления i2, то вращение вектора Е будет представляться в направлении против стрелки часов. По установившейся в физике традиции такую волну называют лево- поляризованной. Очевидно, что электромагнитный волновой процесс, для ко- которого Ex = Eml cos <о/; Ey= —Em2 sin < C.49) является правополяризованнои волной. На основании формул C.47) можно записать выражение комп- комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля эллиптически поляризованной волны с левым направлением вра- вращения, распространяющейся в сторону увеличения координаты z: ? = (Emlix-jEmjy)e-m, C.50). 3—1379
66 Глава 3. Плоские электромагнитные волны откуда, используя понятие характеристического сопротивления, получаем -ml -№ C.51) На основании двух последних выражений находим 2Ze C.52) т. е. среднее значение вектора Пойнтинга эллиптически поляризо- поляризованной волны равно сумме средних плотностей мощности двух ортогональных компонентов с линейной поляризацией. Важный частный случай — волна с круговой поляризацией, характерная тем, что в ней Emi = Em2 = Em. При этом поляриза- поляризационный эллипс, описываемый формулой C.48), превращается в окружность радиусом Ет. Рис. 3.9. Ориентация электрического вектора в плоской волне с круговой поляризацией Наглядно представить волны с эллиптической поляризацией довольно трудно. Некоторую пользу здесь может принести чер- чертеж, изображенный на рис. 3.9, на котором волна с круговой по- поляризацией условно показана в виде последовательности волно- волновых фронтов. По мере распространения волны направление век- векторов Е, одинаковое на каждом фронте, изменяется. Векторы со- совершают полный оборот на участке пути длиной К. Волны с эллиптической или круговой поляризацией были по- получены нами путем сложения линейно поляризованных волн.
3.8. Волны в произвольном направлении 67 В свою очередь, линейно поляризованную волну можно рассмат- рассматривать как сумму волн с эллиптической поляризацией. В кйчест- ве примера на рис. ЗЛО изображено сложение двух волн с^мпли- тудами Ет/2 каждая, поляризованных по кругу с противополож- противоположными направлениями вращения. Из построения видно, что резуль- результирующая волна оказывается линейно поляризованной. Плоскость поляризации ориентирована вертикально; амплитуда, равная Ет, в два раза превышает ампли- амплитуду слагаемых, поляризован- -1 yi ных по кругу. Поляризационные свойства плоских электромагнитных волн имеют большое значение для практической радиотехни- радиотехники. Так, если в поле волны с линейной поляризацией разме- разместить штыревую антенну, ори- ориентированную перпендикуляр- перпендикулярно плоскости поляризации, то на заряды в проводниках ан- антенны не действуют никакие силы со стороны электромаг- электромагнитного поля. Как следствие, сигнал на выходе такой при- приемной антенны отсутствует. За счет этого появляется возмож- возможность создать два независимых Рис. ЗЛО. Сложение двух волн с кру- радиоканала, совмещенных в говой поляризацией: пппртпянртдр пттияи-п пячия а — г — отдельные этапы процесса, развиваю- пространстве, однако развя- щегося во времени занных друг от друга благода- благодаря поляризационным свойствам поля. С другой стороны, такая же штыревая антенна, размещенная в поле волны с круговой поляризацией перпендикулярно оси рас- распространения, будет создавать выходной сигнал неизменной амп- амплитуды независимо от ориентации в поперечной плоскости. Это обстоятельство делает волны с круговой поляризацией предпочти- предпочтительными для организации радиосвязи с подвижными объектами, которые могут занимать в пространстве любые, заранее не пред- предсказуемые положения. 3.8. Плоские волны, распространяющиеся в произвольном направлении В заключение рассмотрим достаточно общий случай, когда плоская электромагнитная волна распространяется вдоль некото- 3*
68 Глава 3. Плоские'электромагнитные волны i Г N Л Рис. .11. Распространение плоской волны в произвольном направлении рой произвольной оси z', не совпадающей с осью z (рис. 3.11). Относительно новой оси распространения можно записать сле- следующее соотношение пропорциональности: Ё~ехр(—ург'). C.53) Волновые фронты в данном случае имеют вид бесконечных пло- плоскостей, удовлетворяющих уравнению вида z' = const. Требуется выразить величину z' через исходные координаты х, у, z. Для этого заметим, что zr является проекцией на ось распространения любого ра- радиуса-вектора т, который про- проведен из начала координат, а его конец расположен на вол- волновом фронте. Математически это записывается так: г' = г1ж>. C.54) Используя координаты х, у, z, имеем C.55) где g=cos (z\ x)\ r) = cos (z'y у); ?=cos (z\ z) —направляющие косинусы единичного вектора \2,. Отсюда, используя формулу C.54), представим зависимость C.53) следующим образом: Ё ~ ехр [—j p (x% -\-yy\ -\-zQ\. C.56) Легко проверить, что все использованные ранее выражения комплексных амплитуд векторов поля, соответствующих однород- однородным плоским волнам в материальных средах без потерь, являют- являются частными случаями формулы C.56). В теоретических исследованиях часто используют лаконичную векторную запись соотношения вида C.56). Для этого вводят так называемый волновой вектор к, определяя его следующим об- образом: к = ра^+-г]^ + Си. C.57) Так как, по определению, l2 + r\2 + ?>2=h то модуль волнового вектора равен коэффициенту фазы плоской волны: [к|=р = 2яД. Непосредственно видно, что вектор к ориентирован вдоль оси
Задачи 69 распространения zr. Формула C.56) приобретает, таким образом, следующий вид: Ё~ехр(—укг). C.58) В физике модуль волнового вектора однородной плоской вол- волны называют также волновым числом. ЗАДАЧИ 3.1. Докажите принципиальную невозможность существования чисто продольных электромагнитных волн, которые имели бы лишь ненулевые проекции Ег и HZi не зависящие от поперечных координат х и у. Указание: непосредственно воспользуйтесь двумя первыми уравнениями Максвелла, записанными в декарто- декартовой системе координат. 3.2. Плоская гармоническая волна с частотой /=80 МГц, рас- распространяясь в некоторой материальной среде без потерь, имеет длину волны А,=0.7 м. Вычислите фазовую скорость этой волны. 3.3. Плоская волна, распространяющаяся в сторону увеличе- увеличения координаты ?, имеет комплексную амплитуду У+(г)== = 200 ехр (—уг)у где у=0.3 + /0.5 m. Частота волнового процес- процесса со = 8-104 с. Вычислите мгновенное значение функции v{z, t) в плоскости г=5 м при t=10~4 с. 3.4. Погонное затухание однородной плоской волны составляет 0.45 дБ/м. Определите, на каком расстоянии амплитуда волны уменьшится в 106 раз по сравнению с исходным уровнем. 3.5. Электрический пробой атмосферного воздуха при нор- нормальных условиях наблюдается в том случае, когда напряжен- напряженность электрического поля достигает значения 3-Ю6 В/м. Опреде- Определите предельно допустимое среднее значение модуля вектора Пойнтинга плоской электромагнитной волны, распространяющей- распространяющейся в воздухе. 3.6. Однородная плоская электромагнитная волна, гармониче- гармонически изменяющаяся во' времени, распространяется в среде без по- потерь с параметрами |х=1, е = 4.5. Амплитуда вектора напряжен- напряженности электрического поля Ет = 30 В/м. Вычислите амплитуду вектора напряженности магнитного поля и модуль среднего зна/ чения вектора Пойнтинга. 3.7S Плоская гармоническая электромагнитная волна распро- распространяется в вакууме, имея модуль среднего значения вектора Пойнтинга ПСр=0.8 Вт/м2. Вычислите .амплитудные значения век- вектора электрического смещения Dm и магнитной индукции Вт дан- данной волны. 3.8. Найдите характеристическое сопротивление Zc материаль- материальной среды с параметрами е=4, fi==7, tg6=3-10~3.
70 Глава 4. Граничные условия для векторов поля 3.9. Плоская волна, распространяющаяся в среде с потерями, имеет коэффициент ослабления а=0.015 м~!. Волна распростра- распространяется в сторону z>0. При z=0 модуль среднего значения век- вектора Пойнтинга ПсР@) =60 Вт/м2. Вычислите значение Пср в пло- плоскости с координатой z= 100 м. ЗЛО. Найдите коэффициент фазы C и коэффициент ослабле- ослабления а плоской электромагнитной волны в материальной среде с параметрами е=2, }х=3, а=2-10~5 См/м при частоте со = = 106 с. 3.11. Найдите коэффициент ослабления а плоских электромаг- электромагнитных волн в диэлектрике с параметрами 8 = 2.1, \i=l, tg б = = 4-10~4 на частоте /=3 ГГц. 3.12. Плоская электромагнитная волна с правой эллиптической поляризацией распространяется в вакууме в сторону уменьшения координаты z. Волна имеет комплексную амплитуду вектора на- напряженности электрического поля (В/м) Ё= A301*+/40^) X Хехр (/Cz). Найдите комплексную амплитуду вектора Н данной волны. 3.13. Пусть волновой вектор к некоторой плоской волны обра- образует одинаковый угол 9 с положительными направлениями осей х, у, z декартовой системы координат. Каков этот угол? 3.14. Волновой вектор к плоской волны в декартовой системе координат образует угол 45° с единичным вектором \z, Угол ф между векторами к и \х равен углу между векторами к и \у. Най- Найдите значение угла <р. 3.15. Плоская электромагнитная волна с частотой /=800 МГц распространяется в вакууме. Волновой вектор к образует угол 30° с вектором \х и угол 80° с вектором \у. Вычислите вектор к данного волнового процесса. Глава четвертая ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Однородные плоские волны, изучавшиеся в гл. 3, являются весьма идеализированными объектами, поскольку имеют неогра- неограниченно протяженные волновые фронты. В любой реальной си- ситуации электромагнитное поле тем или иным способом ограниче- ограничено в пространстве. Естественными ограничителями областей су- существования поля служат границы раздела между материальны- материальными средами с различными параметрами. Если характеристики сред на границе раздела изменяются скачкообразно, то в общем
4.1. Постановка задачи 71 случае составляющие векторов поля в точках границы претерпе- претерпевают разрывы. В данной главе будет найдена связь между век- векторами электромагнитного поля на границе раздела, удовлетво- удовлетворяющая уравнениям Максвелла. 4.1. Постановка задачи Задача о граничных условиях для векторов электромагнитного поля выглядит следующим образом. Пусть имеется некоторая граница раздела S (рис. 4.1) между средой 1 с электродинамиче- электродинамическими параметрами eai, .[iai, O\ и средой 2, у которой соответст- соответствующие параметры равны еа2, р>а2, G2- Выделим на поверхности 5 Рис. 4.1. Точка на границе раздела двух материальных сред Рис. 4.2. Разложение одно- одного из векторов поля на нор- нормальную и касательную со- составляющие произвольную точку Р, предполагая, что в некоторой физически малой окрестности этой точки, относящейся к области 1, электро- электромагнитное поле задано. Требуется отыскать поле в такой же окрестности выделенной точки, которая принадлежит области 2. Для решения поставленной задачи векторы электромагнитного поля в окрестности точки Р принято разлагать на касательные (тангенциальные) и нормальные составляющие. Например, век- вектор Е на границе раздела (рис. 4.2) можно представить в виде п. D.1) Здесь iT, \п — единичные векторы (орты) касательного и нормаль- нормального направлений. Эти векторы лежат в плоскости, образованной вектором Е и нормалью к границе раздела, проведенной в точ- точке Р. Далее свойства касательных и нормальных составляющих век- векторов поля на границе раздела будут рассмотрены по отдель- отдельности.
72 Глава 4. Граничные условия для векторов поля В 1 4.2. Граничные условия для нормальных составляющих векторов магнитного поля Обозначим через Bi и В2 векторные поля магнитной индукции в средах 1 и 2 соответственно. Выделим в окрестности точки Р цилиндрический объем (рис. 4.3) с основаниями площадью AS и с высотой образующей Ah. Пусть этот объем настолько мал, что поля Bi и В2 можно считать неизменными в пределах оснований цилиндра. Обратим внимание на то, что единич- единичный вектор нормали к границе раздела параллелен вектору элементарной пло- площадки на верхнем основании цилиндра и антипараллелен такому же вектору на нижнем основании. Тогда поток вектора магнитной индукции через полную по- поверхность цилиндра запишется следую- следующим образом: Л А С у—-• О J а С D DQo .—' Dil«ZXo — Do Рис. 4.3. К выводу гра- граничных условий для нор- нормальных составляющих векторов электромагнит- электромагнитного поля D.2) + поток через боковую поверхность. Это приближенное равенство в пределе становится точным, если AS стремится к нулю. Если же одновременно устремить к нулю высоту воображаемого цилиндра Л/г, то поток вектора магнитной индукции через боковую поверхность окажется бесконечно ма- малым. Следовательно, lim D.3) Так как имеет место закон неразрывности магнитных силовых линий, то левая часть равенства D.3) всегда обращается в нуль. Отсюда следует, что В11Л — B2i^ = 0, D.4) или, что то же самое, D.5) Полученный результат формулируется следующим образом: нормальные составляющие вектора магнитной индукции на гра- границе раздела двух сред непрерывны. Используя материальное уравнение В = |яаН, соотношение D.5) можно записать относи-
4.3. Нормальные составляющие электрических векторов 73 тельно нормальных составляющих векторов напряженности маг- магнитного поля: Ы^Ы = ^2Н2п- D.6) Итак, если магнитные проницаемости граничащих сред не одинаковы, то нормальные составляющие векторов Н на границе раздела претерпевают некоторый скачок. 4.3. Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического поля Методика вывода данных граничных условий и соответствую- соответствующий рисунок полностью аналогичны тем, которые использовались в § 4.2. Однако если для магнитного поля всегда выполнялось равенство divB = 0, то в случае электрического поля справедливо уравнение divD = p. Поэтому возможны два случая. 1) Поверхностный электрический заряд на границе раздела от- отсутствует. Суммарный заряд внутри малой цилиндрической области (рис. 4.3) при этом равен нулю. В соответствии с теоремой Гаусса O, D.7) откуда следует, что Dm=D.2n D.8) и соответственно Таким образом, при отсутствии поверхностных электрических зарядов нормальные составляющие векторов электрического сме- смещения на границе раздела двух сред непрерывны вне зависимо- зависимости от параметров этих сред. В то же время нормальные состав- составляющие векторов напряженности электрического поля на грани- границе раздела претерпевают скачок, величина которого зависит от отношения диэлектрических проницаемостей. 2) На границе раздела сред равномерно распределен электри- электрический поверхностный заряд с удельной плотностью сгПОв. Несомненно, что в этом случае уменьшение высоты воображае- воображаемого цилиндра ДА (рис. 4.3) никак не влияет на величину заря- заряда, заключенного внутри этой области. Применив интегральную формулировку закона Гаусса, можно записать формулу, аналогич- аналогичную соотношению D.3): lira (К DdS = DlirtA5-D2irtAS = aII0BA5, D.10) дл >о -/ 6
74 Глава 4. Граничные условия для векторов поля откуда D In' D.11) Из выражения D.11) следует, что при наличии на границе электрических зарядов нормальная составляющая вектора элек- электрического смещения испытывает скачок на величину плотности поверхностного электрического заряда. Физически это обусловле- обусловлено тем, что заряд, располагающийся на поверхности, создает соб- собственное электрическое поле, ориентированное в пространстве та- таким образом, что по одну сторону границы это поле складывается с внешним полем, а по другую — вычитается. 4.4. Граничные условия для касательных составляющих векторов магнитного поля Задача о взаимосвязи касательных составляющих вектора маг- магнитной индукции на границе раздела двух сред решается на осно- основе интегральной формулировки за- закона полного тока для некоторого малого контура L (рис. 4.4), прове- проведенного в окрестности точки Р та- таким образом, что одна его полови- половина проходит в среде /, а другая — в среде 2. Введем в точке Р три взаимно ортогональных единичных вектора: iT, \Пу \k. Два первых по-прежнему Рис. 4.4. К выводу граничных ус- являются ортами касательного и ^ГХхДв^ТоТовТэлГрХомагТ„а„?: нормального направлений. Вектор ного поля ik направлен по нормали к плоско- плоскости, образованной векторами и и \п, будучи параллелен границе раздела. Выделим в окрестности точки Р малый прямоугольный контур L со сторонами А/ и ДА. Будем считать, что на контуре задано такое направление обхода, что с конца единичного вектора Ц движение наблюдается против хода стрелки часов. Вообще говоря, в обеих областях пространства, разделяемых границей S, протекают некоторые токи, в частности токи проводи- проводимости и токи смещения с объемными плотностями Jnp и JCM соот- соответственно. Применим к рассматриваемому контуру закон полно- полного тока, причем, как и в § 4.2, будем считать, что длины сторон контура столь малы, что в его пределах векторы поля Н неиз- неизменны. В результате получим
4.4. Касательные составляющие магнитных векторов 75 + интегралы по боковым сторонам— D.12) Здесь следует по отдельности рассмотреть два случая. 1) Числовые значения электродинамических параметров обеих граничащих сред конечны. Из данного условия непосредственно следует вывод о конечности значе- значений векторов плотности токов про- проводимости и смещения. Выполним предельный переход, устремляя вы- высоту контура Ah к нулю. Очевидно, что при этом линейный интеграл от поля Н по боковым сторонам конту- контура будет стремиться к нулю. Из-за конечности векторов плотности то- токов проводимости и смещения бу- будем иметь llm D.13) Рис. 4.5. К введению понятия плотности поверхностного элект- электрического тока Обращение в нуль правой части равенства D.12) означает, что lim ? Hdl = H1LA/—H2ixA/, D-14) или Ни = Н2х. D.15) Таким образом, на границе раздела двух сред с конечными значениями электродинамических параметров касательные состав- составляющие векторов напряженности магнитного поля непрерывны. Однако касательные составляющие векторов магнитной индукции на границе раздела в общем случае претерпевают разрыв: 2) Проводимость одной из граничащих сред неограниченно велика. Положим для определенности, чтохб2=ъо. Это предполо- предположение делает формулу D.13) неприменимой. ДелоЖтом, что при бесконечно большой проводимости среды электромагнитное поле в.ней должно отсутствовать; наличие сколь угодно малого поля Е приводило бы к протеканию тока проводимости с бесконечно большой плотностью [см. формулу A.7)], а это физически невоз-
76 Глава 4. Граничные условия для векторов поля можно. В данном случае токи проводимости могут протекать лишь по поверхностной «пленке» исчезающе малой толщины, так что предельный переход вида D.13) все же дает отличный от ну- нуля результат. Для математического описания явлений на поверхности иде- идеального проводника вводят понятие вектора плотности поверхност- поверхностного электрического тока. Принцип введения этого векторного поля показан на рис. 4.5. Прежде всего проводят единичный век- вектор 1Л, касательный к линиям тока в выбранной точке поверхно- поверхности. Затем находят ток Д?, протекающий поперек отрезка А/, перпендикулярного вектору ц. Тогда вектор плотности поверхно- поверхностного электрического тока можно определить посредством ра- равенства B.3 4f V Д/-*0 А/ Теперь формулу D.12) можно записать в виде lini <? Hdl = Jn0B.3iVU. D.18) ДА->0 J Далее следует учесть, что в силу уравнений Максвелла внут- внутри идеального проводника обращается в нуль не только электри- электрическое, но и магнитное поле. Иными словами, Н2 = 0 и из форму- формулы D.18) следует, что Щ,=КЮЛ- D.19) Равенство D.19) позволяет решить важную для практики за- задачу— определить плотность поверхностного тока JnOB.3 по задан- заданной напряженности магнитного поля Hi на границе раздела меж- между обычной средой, например воздухом, и идеальным проводни- проводником. Для удобства несколько преобразуем формулу D.19), учтя, что тройка единичных векторов iT, in, ik связана очевидным соот- соотношением I* = -IW*1- D.20) Подставив это равенство в D.19), получим Ко*, = \КЩ. D.21) Таким образом, поверхностный электрический ток на границе идеального проводника протекает в направлении, перпендикуляр- перпендикулярном вектору Нь который существует в обычной среде. Плотность поверхностного электрического тока численйо равна касательной проекции вектора напряженности магнитного поля.
4.5. Касательные составляющие электрических векторов '¦ 77 4,5. Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического поля Методика решения данной задачи полностью совпадает с той, которая применялась в § 4.4. Отличие состоит лишь в том, что здесь вместо закона полного тока следует воспользоваться зако- законом электромагнитной индукции. Соответственно для контура L, изображенного на рис. 4.4, будем иметь + интегралы по боковым сторонам== =—{dH/dt)ikMLh. D.22) Функция dB/dt в правой части последней формулы при любых электродинамических параметрах граничащих сред принимает ко- конечные значения. Поэтому предельный переход при ДЛ-^0 дает lim (f EdI = E1i,A/ —E2ixA/=0, D.23) откуда Dj4i=DJ*a2. D.24) Таким образом, касательные составляющие векторов напря- напряженности электрического поля на границе раздела двух сред не- непрерывны. В то же самое время касательные составляющие век- векторов электрического смещения в общем случае претерпевают скачок. Пример 4.1. Имеется плоская граница раздела двух сред с от- относительными диэлектрическими проницаемостями ei и е2 (рис. 4.6). В первой среде силовые линии вектора Е образуют угол 6i с направлением нормали. Найти ориентацию силовых линий поля Е во второй среде. Воспользуемся граничными условиями или Ег sin81-=?>2 sin82, гхЕх cos 0Х = г2Е2 cos 82.
78 Глава 4. Граничные условия для векторов поля Разделив одно уравнение на другое, получим откуда 62=arctg[(s2/s1)tgei]. Отметим, что если е2-^оо, то 02-^я/2 йезависимо от ориента- ориентации электрического поля в первой среде. Рассмотрим отдельно частный случай, когда средой 2 (см. рис. 4.4) является идеальный проводник. Здесь, как уже указыва- указывалось, всегда Е2=0. Поэтому на осно- основании равенства D.24) граничное ус- условие для касательной составляющей вектора напряженности электрического поля на поверхности идеального про- проводника принимает вид Ех = 0. D.25) В соответствии с этим условием си- силовые линии электрического вектора должны подходить к поверхности иде- идеального проводника по направлению нормали. Понятие «идеальный проводник» есть результат абстракции. На поверх- поверхности реального проводника (напри- (например, металла) некоторая касательная составляющая электрическо- электрического вектора, безусловно, имеется. Однако она весьма мала по срав- сравнению с нормальной составляющей и, как будет показано в даль- дальнейшем, в ряде практически значимых случаев эту составляющую можно с полным основанием не учитывать. . В заключение отметим, что принцип перестановочной двойст- двойственности электромагнитных полей, описанный в § 2.4, позволяет обобщить формулу D.21) на тот случай, когда вдоль границы раздела протекает воображаемый поверхностный магнитный ток с плотностью Лпов.м (В/м). Легко видеть, что при этом Лпо..м = -[1ЯЕ11 = [Е11Я1. D.26) Данным соотношением часто пользуются в теории антенн, мыс- мысленно заменяя распределение напряженности поля Е вдоль излу- излучающей поверхности эквивалентным распределением поверхност- поверхностного магнитного тока. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл. 17. Рис. 4.6. Явление «преломле- «преломления» силовых линий электриче- электрического вектора на границе раз- раздела двух сред
Задачи 79 ЗАДАЧИ 4.1. В каждой точке плоскости XOY декартовой системы коор- координат задан вектор E=7iA; + 4i1/ + 3i2. Найдите нормальную Еп и касательную Ех составляющие этого вектора. 4.2. Применительно к условиям предыдущей задачи-получите формулу разложения единичного вектора касательного направле- направления \х по ортам системы координат х, у, г. 4.3. В пространстве с декартовой системой координат полу- полупространство г>0 заполнено воздухом, а полупространство <г< <0 — проводящим веществом с параметром а=2-107 См/м. В воз- воздушной среде создано постоянное и однородное электрическое по- поле, вектор напряженности которого Ei = Ю"!^ В/м. Определите: а) модуль вектора плотности тока проводимости JnP2 в веществе; б) удельную плотность мощности тепловых потерь. 4.4. Полупространство г>0 (среда 1) заполнено воздухом (е=1), а полупространство z<0 (среда 2)—диэлектриком с от- относительной проницаемостью 8 = 5. Вектор напряженности элек- электрического поля в первой среде Ei=20i2 В/м, во второй среде Е2 = —4i2 В/м. Найдите плотность поверхностного электрического заряда 0пов в плоскости z=0. 4.5. Вдоль идеально проводящего цилиндра радиусом 12 мм протекает переменный ток, имеющий амплитуду 2 А. Найдите ам- амплитудное значение вектора плотности поверхностного тока. 4.6. В плоскости раздела г=0 между воздухом (среда 1) и идеальным проводником (среда 2) существует постоянное маг- магнитное поле с вектором напряженности Hi = 0.75ix—3.251,, А/м. Найдите вектор плотности поверхностного тока ЛПОв.э. 4.7. Покажите, что формулу D.21), определяющую вектор плотности поверхностного электрического тока, можно записать в следующей эквивалентной форме: Указание: примите во внимание, что i/z=[iri&], и воспользуй- воспользуйтесь формулой двойного векторного произведения. Глава пятая ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СРЕДАХ С ЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ Как указывалось в гл. 3, частотная дисперсия имеет место в тех случаях, когда фазовая скорость, а вообще говоря, и коэффи- коэффициент ослабления волны зависят от частоты. В данной главе изу-
80 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией чаются некоторые практически важные диспергирующие среды. Показано, что частотная дисперсия фазовой скорости ведет к ря- ряду интересных физических эффектов, наблюдаемых при распро- распространении электромагнитных волн со сложным спектральным со- составом. 5.1. Волны в хорошо проводящей среде В соответствии с формулой C.24) частотная дисперсия при распространении волн наблюдается всякий раз, когда хотя бы один из электродинамических параметров еа, м-а зависит от ча- частоты. Действительно, в этом случае коэффициент распростране- распространения у связан с частотой нелинейным образом и поэтому фазовая скорость Уф = со/р оказывается частотно-зависимой. По этой при- причине частотная дисперсия фазовой скорости свойственна любой проводящей среде, у которой даже при постоянстве абсолютной магнитной проницаемости \ха абсолютная диэлектрическая прони- проницаемость еа = ?а—/а/со является функцией частоты. Говорят, что на заданной частоте со материальная среда явля- является хорошо проводящей (металлоподобной), если выполняется неравенство <V«*»a- E.1) Физически это означает, что в такой среде плотность токов про- проводимости значительно превышает плотность как токов смеще- смещения, так и поляризационных токов. На частотах радиодиапазона условие E.1) с большим запасом выполняется для любых металлов. Так, известно, что медь имеет параметры 8а = 80= 10-9/C6я) =8.84-10~12 Ф/м; а=5.7-10т См/м. На частоте 30 ГГц (^=1 см) абсолютная диэлектрическая про- проницаемость меди 8а = 8.84-10~12—/3.02-10~ Ф/м. Видно, что мни- мнимая часть диэлектрической проницаемости меди на восемь де- десятичных порядков превосходит действительную. Очевидно, что чем ниже частота, тем ближе проводящая сре- среда по своим электродинамическим свойствам к идеальному про- проводнику. На достаточно низких частотах многие неидеальные ди- диэлектрики, а также полупроводники становятся металлоподоб- ными. Например, для сухой почвы с параметрами е = 4, а= = 2-Ю-3 См/м на частоте 1 МГц имеем е1 = 3.54-lO1 —/3.18X Х10~10 Ф/м. Таким образом, в радиовещательном диапазоне ча- частот сухая почва ведет себя как хорошо проводящая среда. Это свойство позволяет в ряде случаев значительно упростить расчет полей электромагнитных волн, распространяющихся над поверх- поверхностью Земли.
5.1. Волны в хорошо проводящей среде 81 Итак, комплексную диэлектрическую проницаемость хорошо проводящей среды можно приближенно считать чисто мнимой: е*м = — /°К E.2) Найдем коэффициент распространения однородных плоских электромагнитных волн в такой среде. По общему правилу [см. формулу C.24)], Лш°- E.3) Так как главное значение квадратного корня из мнимой единицы то формула E.3) приобретает вид °/2 A+У). E.4) Таким образом, в металлоподобной среде коэффициенты фазы и ослабления численно равны: W2. E.5) Зависимость этих величин от частоты говорит о том, что в хоро- хорошо проводящей среде имеется ярко выраженная частотная дис- дисперсия. На основании формулы E.5) находим фазовую скорость V E.6) и длину волны в металлоподобной среде а). E.7) Пример 5.1. Найти фазовую скорость и длину волны в меди па частоте 100 МГц, полагая, что а=5.7-107 См/м, |Лам = [Хо = = 4л-10-7 Гн/м. Воспользовавшись формулами E.6) и E.7), получаем ^фм=-1/10^577 = 4188.5 м/с, -108 = 4.19.10-S м. Следует обратить внимание на то, что на частотах радиодиа- радиодиапазона фазовая скорость плоских волн в металле существенно меньше, чем в вакууме.
82 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией С ростом частоты фазовая скорость однородных плоских волн в хорошо проводящей среде увеличивается. Чтобы найти характеристическое сопротивление металлоподоб- ной среды, следует воспользоваться общей формулой C.30): ^M=^iw^7=K7^ E.8) Комплексность характеристического сопротивления указывает на то, что в хорошо проводящей среде вектор напряженности электрического поля сдвинут по фазе относительно вектора на- напряженности магнитного поля на угол 45°. Видно также, что в данном случае характеристическое сопротивление зависит от ча- частоты. Конкретный расчет показывает, что модуль сопротивления ZCM в практически интересных случаях намного меньше характе- характеристического сопротивления вакуума Z0 = 377 Ом. Так, для типич- типичного металла с параметрами jiaM=^0, a=3-107 См/м на частоте 1 МГц величина ZCM=5.13-10~4 ехр (/45°) Ом. Как известно, в среде с потерями амплитуда плоских электро- электромагнитных волн изменяется вдоль координаты распространения z по закону ехр(—ог). Расстояние d, на котором амплитуда пло- плоских волн уменьшается в е=2.718... раза по сравнению с на- начальной, называют глубиной проникновения или толщиной поверх- поверхностного слоя. В рассматриваемом нами случае эта величина удовлетворяет очевидному соотношению aMd=l. Отсюда, вос- воспользовавшись формулой E.5), получаем d= 1/ам=Ям/Bл;). Та- Таким образом, приходим к еще одному определению: материаль- материальная среда является металлоподобной, если поле однородной пло- плоской волны затухает в ней на расстоянии, меньшем длины волны. Формула для вычисления толщины поверхностного слоя та- такова: rf=l/-^_ . E.9) Глубина проникновения электромагнитных волн в хорошо прово- проводящую среду уменьшается с ростом частоты и удельной проводи- проводимости. Расчет по формуле E.9) показывает, что для металлов на ча- частотах СВЧ-диапазона величина d весьма мала. Так, для меди (су=5.7-107 См/м) на частоте 10 ГГц (Х=3 см) имеем d= =0.6 мкм. Отсюда следует практически важный вывод о том, что на токоведущие поверхности целесообразно наносить тонкий (толщиной 10—20 мкм) слой хорошо проводящего металла, обыч- обычно серебра. Такое покрытие позволяет просто и сравнительно де- дешево уменьшать тепловые потери в элементах СВЧ-устройств.
5.2. Плазма и ее параметры 83 5.2. Плазма и ее электродинамические параметры К числу материальных сред, в которых распространение элек- электромагнитных волн сопровождается частотной дисперсией, отно- относится плазма. В узком смысле так называют ионизированный газ, состоящий из положительно и отрицательно заряженных ча- частиц, а также из нейтральных атомов и молекул. Плазму часто встречается в природе и технике. В частности, Земля окружена плазменной оболочкой — ионосферой, распола- располагающейся на высотах 100—500 км. Ионосфера решающим обра- образом влияет на распространение радиоволн в земных условиях. Плазменные свойства присущи межпланетной и межзвездной среде. В разнообразных приборах и устройствах приходится иметь дело с плазмой газового разряда, а также с плазмой, образуемой носителями заряда в металлах и полупроводниках. Одно из основных свойств плазмы заключается в ее квази- квазинейтральности— если в плазме мысленно выделить некоторую замкнутую область, то электрический заряд внутри нее в среднем всегда равен нулю, несмотря на то что из-за теплового движения заряженных частиц наблюдаются быстрые флуктуации суммар- суммарного заряда вокруг среднего значения. Таким образом, локаль- локальную плотность плазмы можно описывать одним параметром—- электронной концентрацией Ne (м~3), которая равна среднему числу электронов в единице объема. Данный параметр сущест- существенно варьируется в средах различной физической природы. На- Например, для земной ионосферы типично значение Л^~1012 м~3. Концентрация электронов в плазме проводящих твердых тел зна- значительно выше, здесь Ne~1026 м~3. Заряженные частицы плазмы движутся под действием сил электромагнитного поля. Это приводит к поляризации среды, так что диэлектрическая проницаемость плазмы отличается от нрони-. цаемости вакуума (см. гл. 1). Рассматривая электронно-ионную плазму, следует учитывать, что масса иона на несколько поряд- порядков превышает массу электрона. Поэтому ионы практически не- неподвижны и в первом приближении не влияют на электродинами- электродинамические свойства такой среды. Простейший способ анализа свойств плазмы основан на том, что составляют и решают дифференциальное уравнение, описы- описывающее движение в пространстве некоторого отдельно взятого типичного электрона. Это уравнение, записанное на основании второго закона Ньютона, имеет вид d2r « dr -т-е—-^ /г 1Л\ m-^-+m"^eE' ^\ E10)
84 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией где г — радиус-вектор отклонения электрона от того положения в пространстве, которое он занимал при отсутствии поля; е, m — заряд и масса электрона; v — так называемая частота соударе- соударений электрона с нейтральными частицами, с1. Первое слагаемое в левой части представляет собой силу инер- инерции. Второе слагаемое в рамках выбранного нами модельного (феноменологического) подхода характеризует силу «внутренне- «внутреннего трения», которая действует на электрон. Действительно, при неупругих соударениях с нейтральными частицами электрон v раз в секунду теряет порции импульса по mdr/dt каждая. Наконец, правая часть уравнения E.10) описывает силу, действующую на электрон со стороны внешнего электрического поля. Скорости, приобретаемые электроном, полагают достаточно малыми, чтобы можно было пренебречь силой, возникающей под действием магнитного поля. Предположим, что внешнее поле Е изменяется во времени по гармоническому закону с частотой со. Тогда, подставив в уравне- уравнение E.10) функции г и Е, выраженные через соответствующие комплексные амплитуды, т. е. r=Re[rexp(/o>/)], E = Re[Eexp(/urf)], получаем m (—-( или г = — . E.11) m (u2 4 y'o3v) Отсюда находим комплексную амплитуду вектора поляризован- ности P=Neer и вектора электрического смещения которая описывается выражением b fNf2 Ife. E Л 2) На основании последней формулы находим относительную ди- диэлектрическую проницаемость плазменной среды: е = 1 —^ . E.13) ms(w2 y<ov)
5.3. Распространение волн в плазме 85 В соответствии с формулами E.12) и E.13) диэлектрическая проницаемость плазмы существенным образом зависит от часто- частоты приложенного электромагнитного поля. Как следствие, процесс распространения электромагнитных волн в плазме сопровождает- сопровождается частотной дисперсией. Физическая причина дисперсии — инер- инерционность процесса перемещения электронов плазмы под дейст- действием переменного поля. 5.3. Распространение электромагнитных волн в бесстолкновительной плазме Расчет частоты соударений в плазменной среде — сложная задача, решаемая методами кинетической теории газов. Анализ показывает, что во многих интересных для радиотехники ситуа- ситуациях основные параметры, определяющие частоту соударений, та- такие, как температура электронного газа и средняя длина пробега электрона между двумя последовательными столкновениями, ока- оказываются такими, что на рабочей частоте со выполняется неравен- неравенство o)>v. E.14) Это позволяет приближенно считать, что в формулах E.12) и E.13) v=0. Если такая упрощенная модель справедлива, то го- говорят о бесстолкновительной плазме, относительная диэлектриче- диэлектрическая проницаемость которой ?==l__^??i_ E.15) действительна и меньше единицы на любых частотах. Из равенства E.15) непосредственно следует, что величина 8 обращается в нуль на так называемой плазменной частоте aW-l/-^, E.16) которую иногда называют также ленгмюровск&й частотой по име- имени американского физика И. Ленгмюра A881—1957). Подставив в E.16) числовые значения т = 8.Ы0~31 кг, е= = 1.6-10~19 Кл, 8о = 8.84-10~12 Ф/м, получаем формулу для прак- практических расчетов <опл=54.41)/лГв с-1 E.17) или Гц. E.18)
86 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией Часто на практике концентрация электронов такова, что плаз- плазменная частота лежит в радиодиапазоне. Так, для земной ионо- ионосферы с типичным значением Ne~ 1012 м~3 частота /пл~9 МГц. Изучая распространение плоских электромагнитных волн в бесстолкновительной плазме, следует по отдельности рассмотреть два случая: • Концентрация электронов Ne сравнительно невелика, так что выполняется неравенство со>соПл- Го- Говорят, что при этом имеет место рас- распространение волн в докритической плазме. Параметр Ne велик настолько, что имеет место обратное неравенство со<сопл. В данном случае принято го- говорить об электромагнитных процес- процессах в закритической плазме. Докритическая плазма. Представив выражение E.15) в виде J О)/Ь)пл Рис. 5.1. Частотная за- зависимость фазовой ско- скорости плоской волны в докритической плазме электромагнитной волны: на основании формулы C.24) находим коэффициент распространения плоской / где ?0 = а> V^oft) —коэффициент фазы плоской волны в вакууме. Ясно, что в рассматриваемом случае коэффициент ослабления а=0, в то время как коэффициент фазы E.19) Отсюда непосредственно вытекает формула для расчета фазовой скорости плоской электромагнитной волны в бесстолкновительной плазме - (сопл/соJ E.20) Кривая, характеризующая частотную дисперсию фазовой ско- скорости в докритической плазме, изображена на рис. 5.1. Следует отметить, что здесь фазовая скорость плоских электромагнитных волн всегда больше скорости волн в вакууме, причем иф-*оо, если со->сопл.
5.3. Распространение волн в плазме 87 Характеристическое сопротивление докритической бесстолкно- вительной плазмы также зависит от частоты. Действительно, здесь ^ Z; , E.21) где Z0 = 377 Ом. В плазме рассматриваемого вида характеристи- характеристическое сопротивление Zc действительно (векторы Е и Н изменя- изменяются во времени синфазно) и превышает величину Zo. Пример 5.2. Концентрация электронов в бесстолкновительной плазме Л/е = 2-10п м~3. Найти частоту f электромагнитного поля, при которой характеристическое сопротивление данной плазмы составляет 600 Ом. Уравнение относительно частоты 600=377//1-Кл/«>J имеет положительный корень Отсюда со = 3.128-107 с или /=4.978 МГц. Вывод о том, что в бесстолкновительной плазме Vф>c, требует некоторого пояснения, поскольку, согласно теории относительно- относительности, скорость света в вакууме с является предельно возможной в природе. Однако при этом имеется в виду скорость движения ма- материальных объектов, измеренная в некоторой инерциальной си- системе координат. Рассматриваемая же нами фазовая скорость представляет собой скорость перемещения в пространстве вооб- воображаемых математических объектов — волновых фронтов (см. гл. 3). Естественно, что ограничения, налагаемые принципом от- относительности, не распространяются на величину фазовой скоро- скорости, которая может быть сколь угодно велика. Закритическая плазма. Если (о<сопл, то коэффициент распро- распространения плоской электромагнитной волны в плазме оказывается действительным: а И = % У к»* - 1; р (<о)=0. E.22) Амплитуда поля вдоль произвольно выбранной оси z уменьша- уменьшается по мере распространения в соответствии с законом ехр(—az). Поскольку коэффициент фазы р в закритической плаз- плазме равен нулю, волновой процесс в данной среде фактически от-
Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией сутствует — начальные фазы колебаний при любых z одинаковы в каждый момент времени. Формально это означает, что фазовая скорость плоских электромагнитных волн в закритической плазме неограниченно велика. Ослабление амплитуды поля в плазме рассматриваемого вида обусловлено не переходом части энергии в теплоту, а чисто фазовым эффектом: колеблющиеся электроны плазмы воз- возбуждают вторичные волны, которые, ин- интерферируя с полем падающей волны, стремятся его компенсировать. График частотной зависимости нор- нормированного коэффициента ослабления, рассчитанный по формуле E.22), изобра- изображен на рис. 5.2. Обращает на себя вни- внимание резкое увеличение коэффициента О 0.25 0.5 0.75 а)/а)пл ослабления при уменьшении рабочей час- частоты. Рис. 5.2. Частотная зависи- Ослабление амплитуды электромаг- эМф%УеГИРОВаослОаГбОленК„Оя нитных во.лн в закритической плазме во плоской волны в бесстолк- многих случаях оказывает существенное новотельной плазме влияние на работу земных и космических радиолиний. Пример 5.3. Вычислить ослабление электромагнитных волн в плазменной оболочке толщиной d=0.03 м при концентрации элек- электронов А^=1018 м~3 на частоте f=15 МГц. Здесь плазменная частота /пл = 8.98 VNe = 8.98 ГГц. Отноше- Отношение fnjl/f=600y т.е. закритический режим распространения выра- выражен достаточно резко. Коэффициент фазы плоской волны с ука- указанной частотой в вакууме ро = О.314 м. Коэффициент ослабле- ослабления волны в плазме а = Р0К(/Пл//J-1 = 188.5 м-'. В логарифмических единицах погонное ослабление Дпог = 8.686а =1637 дБ/м. Отсюда ослабление волн в плазменном слое ДСл = -Дпог^ = -49.2 дБ. Таким образом, если Етвх и ?тВых — амплитуды напряженно- напряженности электрического поля на входе и выходе слоя, то F IF 1П49.2/20 _ ОЯЯ
5.4. Учет влияния столкновений 89 Проведенный ориентировочный расчет свидетельствует о воз- возможности существенного ослабления амплитуды волн в слое за- критической плазмы. Поскольку диэлектрическая проницаемость закритической плаз- плазмы отрицательна, характеристическое сопротивление подобной среды оказывается чисто мнимым: E.23) а /КЛ/о)J_1 Знак правой части последнего равенства указывает на то, что ха- характеристическое сопротивление закритической плазменной среды является емкостным. Подводя итог, можно констатировать, что слой бесстолкнови- тельной плазмы ведет себя подобно фильтру верхних частот, про- пропуская на выход колебания с частотами (о>соПл и эффективно ос- ослабляя спектральные составляющие с частотами со<о)Пл. 5.4. Учет влияния столкновений в плазме Изученная выше модель бесстолкновительной плазмы является, по сути дела, результатом абстракции. Более точное представле- представление об электромагнитных явлениях в реальной плазме можно по- получить, учтя влияние столкновений электронов с нейтральными молекулами газа. Для оценки частоты соударений v можно вос- воспользоваться приближенной формулой [18] E.24) где Р — давление газа, Па; Т — температура, К. В том случае, когда частота со гармонического электромагнит- электромагнитного поля становится сравнимой с параметром v, электродинами- электродинамические свойства плазменной среды описываются комплексной ди- диэлектрической проницаемостью [см. формулу C.13)] N е Последнюю формулу следует преобразовать так, чтобы она приобрела вид, характерный для диэлектрической проницаемости среды с потерями: Нетрудно заметить, что действительная часть комплексной диэлек- диэлектрической проницаемости еа и удельная проводимость плазмы a
90 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией зависят от параметров соПл и v, а также существенным образом связаны с частотой поля со: E.25) е„ = гп 1 — E.26) -2 " У / У/ l\b-° I V0.25 Г* 1.0 ^"- OJ/COnn 1.5 w 0.75 0.5 0.25 V\ t\\\ \ \ " 0.5 1.0 1.5 co/conn Рис. 5.З. Дисперсионные зависи- зависимости вещественной части комп- комплексной диэлектрической прони- проницаемости плазмы при различных значениях частоты соударений Рис. 5.4. Дисперсионные зависимо- зависимости нормированной удельной про- проводимости плазмы при различных значениях частоты соударений Для анализа зависимостей еа(со) и а (со) удобно ввести норми- нормированную частоту со/сопл, а также безразмерный параметр Ь = = v/coim, характеризующий темп соударений электронов с ней- нейтральными молекулами. На рис. 5.3 и 5.4 представлены серии дис- дисперсионных кривых, рассчитанных по формулам ео 1~шч^"' E'27) ^= №J + 62 > E.28) непосредственно вытекающим из выражений E.25) и E.26). Анализируя графики, полезно обратить внимание на то,, что при Ь<С1 действительная часть комплексной диэлектрической проница- проницаемости плазмы меняет знак вблизи плазменной частоты.
5.4. Учет влияния столкновений 91 Комплексный коэффициент распространения плоских электро- электромагнитных волн в плазме с учетом соударений определяют по фор- формуле C.24): Ksa-/*/<«>) ft)-. E.29) Следует иметь в виду, что волна, распространяющаяся в сторо- сторону увеличения координаты вдоль произвольно выбранной оси, долж- должна иметь параметр у, лежащий в I квадранте комплексной плоско- плоскости (а>0, р>0). Этим следует руководствоваться, находя явные выражения для величин а и р в соответствии с формулой E.29). Прежде всего заметим, что комплексное число еа = еа—/а/со при любой частоте со имеет отрицательную мнимую часть; действитель- действительная часть может быть как положительной, так и отрицательной. Та- Таким образом, число еа располагается либо в IV, либо в III квад- квадрантах комплексной плоскости. Аргумент этого числа = ^- + arctg^. E.30) Z а Отсюда видно, что квадратный корень в формуле E.29) имеет два возможных значения с аргументами E.31) В самом деле, удваивая эти аргументы, мы получаем значение, определяемое формулой E.30), с точностью до периода 2jt. Заметим далее, что первое из двух возможных значение квад- квадратного корня]/ва^о располагается во II квадранте, а второе зна- значение— в IV квадранте. Благодаря наличию в формуле E.29) мно- множителя /со, увеличивающего аргумент комплексного числа на я/2 радиан, подходящим окажется лишь второе значение квадратного корня, при котором ^L -^i- E.32) отвечает комплексному числу 7, лежащему в I квадранте. Итак, коэффициент распространения однородной плоской волны в плазме с учетом столкновений определяется по формуле E.33) Введя параметры $0 = (дУ eojio и е = еа/ео, отсюда находим
92 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией E.35) Пример 5.4. Давление газа 103 Па, температура 2• 103 К. Под действием некоторых внешних факторов, например фотохимических реакций, происходит ионизация части молекул; концентрация сво- свободных электронов равна 3-Ю16 м~3. Найти коэффициент ослабле- ослабления а и коэффициент фазы C плоской электромагнитной волны с частотой со = 109 с. По формуле E.24) вычисляем частоту соударений электронов с нейтральными молекулами: v=5-10M03//2^=Lbl09 с-1. Определяем плазменную частоту: оI1л=54.41/3-1016=9.42.108 с-1. Применив формулы E.25) и E.26), находим безразмерные пара- параметры: е=1 (о2 0J _i» y2 —=0.442. <ое0 ш (о>2 -j- Коэффициент фазы плоской волны в вакууме ро=ю/с = 3.33 м-1. В соответствии, с формулами E.34) и E.35) получаем а = = 0.899 м, р = 2.726 м. Ослабление электромагнитных волн в такой плазме оказывается весьма существенным. Действительно, здесь погонное затухание АПОг= 8.686а = 7.81 дБ/м. Пройдя путь длиной 10 м, плоская волна уменьшает амплитуду в 1078Л/2-°« «8000 раз. 5.5. Распространение импульсов в средах с частотной дисперсией фазовой скорости. Понятие групповой скорости Зависимость фазовой скорости плоских электромагнитных волн от частбты служит причиной ряда явлений, наблюдаемых при рас- распространении колебаний в диспергирующих средах.
5.5. Распространение импульсов. Групповая скорость 93 Для того чтобы упростить анализ и сделать его результаты бо- более наглядными, будем рассматривать материальные среды без затухания, подобные бесстолкновительной плазме на частотах вы- выше плазменной. Предположим, что в плоскости z = 0, которая рас- рассматривается как «вход» волновой системы, некоторые внешние источники возбуждают однородную плоскую электромагнитную волну. Данная волна распространяется в материальной среде с из- известным законом дисперсии р (со) в сторону увеличения координа- координаты 2. Будем считать, что электрический вектор данной волны имеет единственную отличную от нуля проекцию Ех. Ранее изучались волны с гармоническим (синусодиальным или косинусоидальным) законом изменения мгновенных значений по- поля во времени. Теперь обратимся к более общему случаю, когда сигнал Ех{0, t) на входе волновой системы представляет собой им- импульсное колебание, существующее лишь на конечном отрезке вре- времени, называемом длительностью импульса ти. Разложим сигнал Ех@у t) на элементарные гармонические ко- колебания, представив его интегралом Фурье [2] оо Ех@, 0)=^ J SHe'-'do), E.36) — оо в который входит спектральная плотность S (ш) = J Ех @, /) е->' dt. E.37) — оо Среда, в которой распространяются волны, считается линей- линейной. Поэтому на основании принципа суперпозиции частные ре- решения уравнений Максвелла могут любым образом складываться, вновь образуя в совокупности некоторое решение уравнений элек- электромагнитного поля. В рассматриваемом нами случае такими част- частными решениями служат гармонические волны со всевозможными частотами со и исчезающе малыми амплитудами; уровни этих амп- амплитуд пропорциональны функции jS(co) |. Спектральная плотность, вообще говоря, принимает комплексные значения; ее аргумент описывает частотную зависимость начального фазового сдвига от- отдельных элементарных волн. Каждая элементарная волна, распространяясь в среде без за- затухания и с частотной дисперсией, характеризуется тем, что мгно- мгновенные значения гармонических колебаний в плоскости с коорди- координатой z запаздывают на Р(соJ радиан по отношению к колебани- колебаниям на входе, т. е. при 2 = 0. Другими словами, функция /С(М=ехр[--ур (<¦>)*! E.38)
94 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией должна рассматриваться как частотный коэффициент передачи не- некоторого воображаемого линейного четырехполюсника, который преобразует входной сигнал Ех@, t) в выходной сигнал Ex(z, t). Итак, мгновенное значение выбранной проекции электрическо- электрического вектора в плоскости с фиксированной координатой z дается вы- выражением Ex(z, =— f 2л J E.39) п п -CJ о O)Q CO В равной мере аналогичные выражения можно записать и для других проекций векторов по- ля, например для Hy(z, t). Распространение узкопо- узкополосных сигналов. Формула E.39) служит полным и од- однозначным решением, однако конкретное вычисление интег- интеграла может оказаться весьма трудным из-за того, что пере- переменная интегрирования входит в аргумент экспоненциальной функции нелинейным образом. Задача существенно упрощает- упрощается в том случае, когда колеба- колебание Ех{0, t) на входе среды оказывается узкополосным сиг- сигналом. Как известно, спект- спектральная плотность такого сиг- сигнала концентрируется в ок- окрестности некоторой централь- центральной частоты coo, так что если П — ширина спектра сигнала, измеренная на каком-либо про- произвольном уровне, то отноше- отношение П/соо<С1 (рис. 5.5, а). Временная диаграмма типичного узкополосного сигнала (рис. 5.5, б) имеет вид квазигармонической кривой, у которой текущая амплитуда и начальная фаза изменяются гораздо медленнее, чем высокочастотное заполнение вида cos соо^. Простейшим сигналом рассматриваемого класса, на примере которого удается тем не менее изучить ряд важных явлений, яв- является узкополосная группа Ех @, t) =. Em cos uj + Em cos a>2/, E.40) Рис. 5.5. Узкополосный сигнал: с — частотная зависимость модуля спектраль- спектральной плотности; б — временная диаграмма сигнала
5.5. Распространение импульсов. Групповая скорость 95 т. е. сумма двух гармонических колебаний с одинаковыми ампли- амплитудами; частоты этих колебаний (o1 = cD0—Лео; ¦ (о2 = (о0-[-Ди> E.41) расположены симметрично относительно центральной частоты соо. Безусловно, считается, что Aco/co0<Cl. >. По аналогии с формулой E.39) запишем математическую мо- модель сигнала в плоскости <г>0, возникающего при подаче на вход волновой системы узкополосной группы: Ех (z, /) = Em cos К* - р (о)х) z] + Ет cos К* - Р W *1 • E.42) В дальнейшем будем предполагать, что имеет место случай так называемой слабой дисперсии, когда в пределах малой (в от- относительном смысле) окрестности частоты соо дисперсионная ха- характеристика среды р (со) достаточно точно описывается двумя первыми членами разложения в ряд Тейлора: р (<о) = р (со0) + Л- (со - оH). E.43) асо Производную dp/dco следует вычислять при (о = соо; обозначим эту производную для краткости как Ро'- Используя представление E.43), перепишем формулу E.42) в следующем виде: Ех (z, t) = Ет cos [К - Аш) / - р (со0) z +*РоДо>4+ + Ет cos [(d0 + Aco) t - р К) 2 - ЙДад]. E.44) Воспользовавшись известным тождеством , /о # — ? . ¦ а + ? cos a -\- cos 6? = 2 cos cos , отсюда находим Ех (z, t) = 2Ет cos [Да> (/ - $z)\ cos К/ - р К) г]. E.45) Понятие групповой скорости. Займемся анализом полученной формулы. При фиксированном z мгновенные значения поля изме- изменяются во времени как квазигармонический сигнал вида 2?mcos(A(o?+(p) cos (соо^+'Ф) • Здесь <р и г|э — некоторые постоянные числа. Сомножитель cos(Aco?+(p) определяет закон изменения мед- медленной огибающей процесса; сомножитель cos(o)o^+^) описыва- описывает быстрое высокочастотное заполнение. Подобные процессы в физике принято называть биениями. Из формулы E.45) можно сделать вывод о том, что как мед- медленная огибающая узкополосной группы, так и быстрое заполне-
96 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией t=0 ние распространяются в пространстве волнообразно (рис. 5.6). При этом скорость распространения высокочастотного заполнения рав- равна фазовой скорости гармонической плоской волны с централь- центральной частотой соо: *,ф = аH/р(иH). E.46) Однако скорость перемещения в пространстве медленной оги- огибающей, получившая название групповой скорости ^гр= l/Po=d<o/dp, E.47) в диспергирующей среде, как пра- правило, не равна фазовой скорости. Если обратиться конкретно к случаю бесстолкновительной плазмы, для которой закон час- частотной дисперсии задан форму- формулой E.19), то, вычислив произ- производную dp/dco, на основании вы- выражения E.47) получаем прос- простую формулу для групповой ско- скорости ^р = с/1-Кл/о)J. E.48) Прибегая к понятию группо- групповой скорости, удается приемлемо точно рассчитать скорость волно- волнообразного распространения в дис- диспергирующей среде любого до- достаточно узкополосного импуль- импульсного колебания. Более опреде- определенно, групповая скорость слу- служит хорошей приближенной оцен- оценкой скорости распространения ра- радиоимпульса, спектр которого отличен от нуля лишь в пределах частотного интервала, где производная dp/dco может считаться постоянной. Рис. 5.6. Пространственное распре- распределение поля узкополосной группы в три последовательных момента вре- времени Пример 5.5. В бесстолкновительной плазме (ионосфере) с элек- электронной концентрацией Ne = 2-1012 м~3 одну и ту же трассу длиной L = 150 км проходят два прямоугольных радиоимпульса одинако- одинаковой длительности ти=100 мкс. Несущие частоты импульсов fOi = = 15 МГц и /о2 = 28 МГц соответственно. Определить величину At — разность воемен прохождения этой трассы данными импульсами.
5.5. Распространение импульсов. Групповая скорость 97 Спектральная плотность первого радиоимпульса концентриру- концентрируется в окрестности частоты 15 МГц. Ширина спектра этого им- импульса, оцениваемая как частотный интервал между первыми ну- нулями спектральной диаграммы, Д/^2/ти=20 кГц [2]. Второй им- импульс имеет спектр такой же ширины, сосредоточенный в окрест- окрестности частоты 28 МГц. Достаточная малость относительной ши- ширины спектра (A//f0i,2~ Ю~3) позволяет считать, что скорости рас- распространения импульсов равны соответствующим групповым ско- скоростям. Вычислив предварительно ленгмюровскую частоту /пл = = 12.7 МГц, на основании E.48) получаем 2=: 1.596. м/с, 2 = сУ\- (/пл//о2J = 2.674.10» м/с. а) Рис. 5.7. Процесс «расплывания» импульсного сигнала в диспергирующей среде: а —колебание на входе; б — колебание на выходе при слабых искажениях; в — то же при сильных искажениях Отсюда A/ = Z.(t?pl— ч^рУ) = 378 мкс, что почти в четыре раза превышает длительность импульсов. Искажения импульсных сигналов при распространении в дис- диспергирующей среде. Используя понятие групповой скорости, мож- можно в ряде случаев ответить на вопрос о том, сколь ощутимы ис- искажения импульсного сигнала из-за частотной зависимости скоро- скоростей распространения отдельных спектральных составляющих. Реальный импульсный сигнал не является простой узкополос- ной группой, а состоит из целого набора таких групп, каждая из которых распространяется в пространстве со своей групповой ско- скоростью. Пока длина трассы распространения L достаточно мала, разность времен прихода этих групп в точку приема существенно меньше длительности импульса ти, так что искажения принятого сигнала невелики (рис. 5.7). С ростом длины L эта разность воз- возрастает, что ведет к заметному «расплыванию» импульса на вы- выходе. 4—1379
98 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией Пусть fB и /н — соответственно верхняя и нижняя частота в пре- пределах спектральной полосы передаваемого радиоимпульса. Дан- Данным частотам отвечают скорости высокочастотной и низкочастот- низкочастотной групп Угр.в и 0гр.н- Эффект «расплывания» импульса проявля- проявляется ярко в том случае, когда одна из упомянутых групп запазды- запаздывает относительно другой на время порядка ти- Пример 5.6. В бесстолкновительной плазме с параметром /Пл = = 6.5 МГц распространяется радиоимпульс, имеющий несущую час- частоту /о = 32 МГц и эффективную ширину спектра А/=1.6 МГц. Ка- Качественно сравнить дисперсионные искажения данного колебания, наблюдаемые при длинах трассы L=l км и L = 100 км. Как и ранее, будем приближенно полагать, что энергия радио- радиоимпульса сосредоточена в пределах главного лепестка спектраль- спектральной диаграмы. Поэтому в данном случае /в=/о+Л//2 = 32.8 МГц, /н=Д>—А//2 = 31.2МГц. По формуле E.48) находим F.5/32.8J=0.980 *VpjI=*/l-F.5/31.2J = 0.978 с. Длительность импульса, оцениваемая по ширине спектра, *я=1/Д/=0.625 мкс. Разность времен распространения двух крайних групп составляет 7.3 не, если L=\ км, и 0.73 мкс, если L=100 км. Так как в первом случае Д/<Сти, то дисперсионными искажениями при короткой трассе можно обоснованно пренебречь. При длинной трас- трассе Д/^Ти, так что эффект «расплывания» импульса будет вполне заметным. Отметим в заключение, что дисперсия фазовой скорости волн наблюдается не только в плазменной среде, но и в разнообразных искусственных электродинамических системах, таких, как волно- волноводы. Некоторые задачи, возникающие при изучении распростра- распространения импульсных колебаний по волноводам, будут рассмотрены в гл. 8. Более строгий подход к введению и физическому истолкованию понятия групповой скорости читатель найдет в книге [3].
5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках 99 5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках Явление сверхпроводимости открыл в 1911 г. голландский фи- физик X. Камерлинг-Оннес, изучая свойства жидкого гелия. Оказа- Оказалось, что при температурах ниже 4.15 К электрическое сопротивле- сопротивление образца ртути исчезающе мало. Постоянный ток, возбужден- возбужденный в сверхпроводящем кольце, циркулирует по нему без каких- либо сторонних источников ЭДС в течение многих месяцев. Изме- Измерить сопротивление сверхпроводника традиционными методами крайне трудно. Полагают, что оно по крайней мере в 1018 раз мень- меньше сопротивления меди, серебра и других обычных металлов. Если температура сверхпроводника становится выше так на- называемой критической температуры 7С, то явление сверхпроводи- сверхпроводимости скачкообразно исчезает и вещество из сверхпроводящего пе- переходит в нормальное состояние. Сверхпроводящие свойства присущи многим неферромагнит- неферромагнитным металлам, у которых значения Тс различны. Так, для алю- алюминия критическая температура равна 1.2 К, для свинца 7.2 К и для ниобия 9.2 К- Интерметаллическое соединение Nb3Ge имеет значение Гс = 23 К. В 1986 г. был открыт целый класс редкоземель- редкоземельных керамических материалов с добавкой ионов меди, у которых критические температуры весьма высоки. Например, для керами- керамики YBa2Cu307 значение ГС = 92 К, что выше температуры кипения жидкого азота G7 К)- Это обстоятельство, коренным образом уп- упрощающее техническое использование явления сверхпроводимости, послужило отправной точкой живого интереса к этой области фи- физики, резко усилившегося в последние годы. Уравнение Лондонов. Первую успешную попытку создания тео- теории сверхпроводимости предприняли в 1935 г. немецкие физики Ф. и Г. Лондоны. Согласно их модельным представлениям, вещест- вещество в сверхпроводящем состоянии содержит носители заряда двух типов: нормальные носители, которые подчиняются обычным за- законам классической электродинамики, и сверхпроводящие носите- носители, способные перемещаться в кристаллической решетке вещества без какого-либо сопротивления. Соответственно вектор плотности полного тока J в каждой точке сверхпроводника представляется суммой двух составляющих: J = Jn + Js, E.49) где индексы п и s относятся к нормальной и сверхпроводящей компонентам соответственно. Ясно, что
100 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией где Ob — нормальная удельная проводимость вещества. Тогда сис- система двух первых уравнений Максвелла для сверхпроводящей сре- среды запишется в виде dt E.50) хж? дВ rotE= — . dt Пусть Ns — концентрация, qs— заряд, vs-—вектор скорости сверхпроводящих носителей. Тогда, по общему правилу, J.=W.?tvif E.51) причем входящая сюда скорость подчиняется закону Ньютона ms-^-=qsE. E.52) Объединив равенства E.51) и E.52), находим, что Ъ-=Л«±-Е. E.53) dt ms Затем, применив операцию rot к обеим частям равенства E.53) и воспользовавшись вторым уравнением из системы E.50), получаем E.54) V dt ) га* ms dt Ф. и Г. Лондоны предположили, что последнее уравнение мож- можно проинтегрировать по t, положив возникающую при этом про- произвольную постоянную равной нулю. Выполнив это действие, из E.54) находим rotJs = —^-B. E.55) m Удобно ввести параметр с размерностью длины ^j/т-^Ь-' E-56) получившей название лондоновской длины, и переписать равенст- равенство E.55) следующим образом: rotJ=——т-В. E.57) В физике эту формулу называют уравнением Лондонов. Интерес- Интересно отметить, что, согласно этому уравнению, плотность сверхпро-
5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках 101 водящего тока связана не с электрическим, а с магнитным полем. Чтобы получить представление о характерных особенностях распределения электромагнитного поля в толще сверхпроводника, воспользуемся системой уравнений Максвелла E.50), дополнив ее уравнением Лондонов E.57), которое играет роль материального уравнения. Вычисляя ротор от обеих частей первого уравнения из E.50), имеем rot rot f или rot rot —We. — rotE-4-anrotE / В \ д*В дВ I o /r -o4 — = _?a_ an— -2-B. E.58 \ н J °t2 dt v-oK Так как rotrotf—Wgraddivf—)-V2(— причем div B = 0, то уравнение E.58) упрощается: В \ д^в , дВ . 1 На нулевой частоте, когда д/д/ = 0, отсюда имеем v2B = AAl)B. E.60) Отметим существенное обстоятельство — в уравнение E.60) не вхо- входит удельная проводимость ап, обусловленная нормальными носи- носителями. Поэтому постоянный ток создается лишь за счет движе- движения сверхпроводящих носителей; этот ток течет в сверхпроводни- сверхпроводнике, не испытывая никакого сопротивления. Естественно, что элек- электрическое поле в материале при этом равно нулю. Магнитное же поле вытесняется из толщи сверхпроводника на его поверхность и существует в слое толщиной порядка лондоновской длины. Что- Чтобы доказать это, запишем уравнение E.60) для одномерного слу- случая: где х — координата, отсчитываемая по нормали в глубь сверхпро- сверхпроводника. Легко проверить, что решением уравнения E.61) служит функ- функция В (*) = В @) exp (-x/XL), E.62)
102 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией где В@)—магнитная индукция на границе раздела воздух — сверхпроводник. Второе из возможных решений, пропорцио- пропорциональное exp (xJKjj), должно быть отброшено как не имеющее физического смысла из-за экспоненциального роста поля при Итак, лондоновская длина есть оценка глубины проникновения постоянного магнитного поля, а значит, и постоянного тока в сверх- сверхпроводник. «Поверхностный эффект» в сверхпроводниках и явле- явление вытеснения высокочастотного поля на поверхность хорошо про- проводящего обычного металла с физической точки зрения — прояв- проявление одного и того же фундаментального принципа — закона Фарадея — Ленца, согласно которому за счет электромагнитной индукции в проводящей системе возникают наведенные токи, пре- препятствующие изменению первоначального магнитного потока. Раз- Разница лишь в том, что из-за бесконечно высокой подвижности сверхпроводящих носителей этот эффект в сверхпроводниках на- наблюдается на нулевой частоте. В теории Лондонов считается, что носителями, ответственными за явление сверхпроводимости, служат электроны. При этом пол- полностью игнорируется вопрос о том, почему один электрон оказы- оказывается нормальным, а другой — сверхпроводящим. Так или иначе, если для оценки положить, что ^3= 1.6-10~19 Кл, ms = 9.1-10~31 кг (масса электрона) и jVs=1029 м~3 (типичная концентрация свобод- свободных электронов в металле), то на основании формулы E.56) име- имеем Xl=16 hm. Именно на такой глубине магнитная индукция умень- уменьшается в е раз по сравнению с начальным значением. Поэто- Поэтому есть все основания считать, что внутри сверхпроводника магнитное поле отсутствует. Явление «выталкивания» магнит- магнитного поля из толщи сверхпроводника было экспериментально от- открыто в 1933 г. В. Мейсснером и Р. Ошенфельдом (эффект Мейсснера). Высокочастотные свойства сверхпроводников. Если частота электромагнитного поля не равна нулю, то уже нет оснований пренебрегать вторым слагаемым в правой части уравнения E.59). Поэтому начинает существенно сказываться проводимость, обус- обусловленная нормальными электронами, и в сверхпроводнике воз- возникают некоторые тепловые потери. Будем рассматривать электромагнитный процесс, изменяющий- изменяющийся во времени по гармоническому закону с частотой со. В соответ- соответствии с равенством E.53) комплексные амплитуды сверхпроводя- сверхпроводящей компоненты тока и напряженности электрического поля свя- связаны соотношением
5.6. Электромагнитные волны в сверхпроводниках 103 Поскольку для нормальной компоненты тока аналогичная связь имеет вид а током смещения в хорошо проводящей среде можно с полным ос- основанием пренебречь, приходим к следующей формулировке за- закона Ома для сверхпроводника в переменном электромагнитном поле: , ¦ С5-63) где as=l/(a)txox5. Таким образом, сверхпроводящая среда характеризуется комп- комплексной удельной проводимостью o = aa — JGSJ E.64) действительная часть которой обусловлена нормальными, а мни- мнимая— сверхпроводящими носителями. Прямым расчетом легко убедиться, что практически всегда os>an. Так, положив f = 10 ГГц, A,L = 50 нм (типичное значение для большинства сверхпроводников), находим, что as = 5-109 См/м. В то же время an~107 См/м, как и для большинства металлов. Можно усмотреть принципиальную разницу между сверхпро- сверхпроводником и гипотетическим идеальным проводником: удельная про- проводимость сверхпроводника, стремясь по модулю к бесконечности, является практически мнимой величиной, в то время как у идеаль- идеального проводника она описывается бесконечно большим действи- действительным числом. Мнимый характер проводимости связан с тем, что в соответствии с E.53) между током и вызывающим его электри- электрическим полем имеется фазовый сдвиг на 90°. В качестве величины, характеризующей плотность потока мощ- мощности тепловых потерь, удобно воспользоваться действительной частью характеристического сопротивления сверхпроводящей среды ReZ =Rel/—^-= Если учесть, что нормальная часть удельной проводимости на- намного меньше сверхпроводящей, то отсюда получаем Eб5) Воспользовавшись приведенными выше числовыми оценками, находим, что у типичного сверхпроводника на частоте 10 ГГц зна-
1,04 Глава 5. Электромагнитные волны в средах с дисперсией чение ReZc=4-10~6 Ом. Для сравнения заметим, что нормальный металл, у которого сг=107 См/м, при тех же условиях имеет ReZc= =]/(D|WB(i) =6-10~2 Ом. Несомненно, что на частотах СВЧ-диа- пазона сверхпроводники существенно лучше нормальных металлов с точки зрения малости тепловых потерь. Как видно из равенства E.65), величина ReZc снижается по ме- мере уменьшения параметра ап, который, в свою очередь, монотонно зависит от температуры по закону оп~ (Т/ТсL. Поэтому в тех слу- случаях, когда требуются исключительно малые тепловые потери, же- желательно предельно уменьшать абсолютную температуру устрой- устройства, помещая его в криостат с жидким гелием. К тому же при низких температурах уменьшаются собственные тепловые шумы, что важно при создании высокочувствительных приемников. Тем не менее новейшие высокотемпературные сверхпроводники, не- несколько уступая «классическим» материалам, таким, как Nb илл РЬ, способны обеспечить отличные характеристики приборов. Механизм сверхпроводимости. Как указывалось, теория Лон- донов является чисто феноменологическим построением, пригод- пригодным для количественного описания наблюдаемых фактов, но не способным ответить на вопрос о внутренней причине сверхпрово- сверхпроводимости. Строгую квантово-механическую теорию сверхпроводимо- сверхпроводимости создали в 1957 г. американские ученые Д. Бардин, Л. Купер и Д. Шриффер (теория БКШ). Независимо от них акад. Н. Н., Бого- Боголюбов в 1958 г. предложил более обоснованный вариант такой теории. Оказалось, что электроны в металле помимо сил кулоновского отталкивания испытывают особые силы притяжения. Если темпе- температура вещества становится меньше критической, то силы притя- притяжения начинают доминировать и часть электронов попарно объе- объединяется. В результате возникают так называемые куперовские пары электронов, способные двигаться между узлами кристалли- кристаллической решетки вещества подобно сверхтекучей жидкости. Зна- Значит, истинными носителями сверхпрводящего тока служат не элек- электроны, а куперовские пары, что (это замечательно!) отнюдь не дискредитирует теорию Лондонов, так как параметр Яь в соот- соответствии с E.56) остается неизменным. Физические явления в сверхпроводниках весьма многообразны. С точки зрения технических приложений -большой интерес пред- представляет эффект Джозефсона — протекание туннельного тока че- через очень тонкий (около 1 нм) слой диэлектрика, разделяющий две сверхпроводящие области. Эффект Джозефсона позволяет строить высокоточные измерительные приборы, создавать элемен- элементы логических устройств для суперкомпьютеров и др. В последние годы возникла новая научно-техническая область, получившая на- название сверхпроводниковой электроники [25].
Задачи 105 ЗАДАЧИ 5.1. Как указывалось, для уменьшения омических потерь токо- ведущие поверхности СВЧ-устройств покрывают тонким слоем се- серебра. Определите толщину серебряного слоя, при которой напря- напряженность электрического поля на его внутренней поверхности сок- сокращается в 200 раз по сравнению с напряженностью поля на гра- границе раздела металл — воздух. Частота колебаний 30 ГГц. 5.2. Морская вода имеет относительную диэлектрическую про- проницаемость е = 75, относительную магнитную проницаемость \х=\ и удельную проводимость о " = 2 См/м (данные получены путем ус- усреднения по многим точкам Мирового океана). Покажите, что на частотах меньше 300 МГц в такой среде можно пренебречь тока- токами смещения по сравнению с токами проводимости. Вычислите глу- глубину проникновения электромагнитных волн в морскую воду на частотах 100 кГц и 30 МГц. 5.3. Ленгмюровская частота бесстолкновительной плазмы соПл = = 8 -107 с~1. Плоская линейно поляризованная электромагнитная волна с частотой со = 3• 107 с~1 в некоторой точке пространства име- имеет комплексную амплитуду х-й проекции электрического вектора Ёх=180 ехр (/ 60°) В/м. Найдите комплексную амплитуду у-п про- проекции магнитного вектора поля в данной точке. 5.4. Определите частоту со, при которой действительная часть абсолютной диэлектрической проницаемости электронной плазмы с параметрами Ne = 3-l017 м~3, v = 5-109 с обращается в нуль. 5.5. Плоская электромагнитная волна распространяется в плаз- плазме с ленгмюровской частотой соПл = 7-108 с и частотой соударе- соударений v = 3.5-108 с. Вычислите значение частоты поля со, при ко- которой угол диэлектрических потерь б плазменной среды равен 45°. 5.6. Найдите фазовую скорость плоской электромагнитной вол- волны, которая распространяется в однородной ионизированной среде с параметрами 7Ve = 5-1018 м~3, v = 3-1010 с. Частота колебаний поля / = 22 ГГц. 5.7. Электронная концентрация бесстолкновительной плазмы Ne=2-l0]6 м~3. Определите частоту / электромагнитного поля, при которой фазовая скорость плоской волны в 10 раз превышает груп- групповую скорость. 5.8. Узкополосный импульсный радиосигнал, имеющий несу- несущую частоту 20 МГц, распространяется в бесстолкновительной плазме с концентрацией свободных электронов Ne=3.5-1012 м~3. Найдите время прохождения данным сигналом трассы длиной 120 км. 5.9. Покажите, что на частотах, значительно превышающих плазменную, групповую скорость электромагнитных волн в плаз- плазме можно приближенно вычислить по формуле 1>гр=сA—¦ — 1480ЛУсо2).
106 Глава 6. Падение плоских еолн на границу раздела 5.10. В 60-х годах были открыты удаленные космические источ- источники радиоизлучения, так называемые пульсары. Сигналы пуль- пульсаров представляют собой широкополосные радиоимпульсы дли- длительностью порядка долей секунды. Определить расстояние до пульсаров стало возможным потому, что межзвездная плазма яв- является дисперсионной средой. На рис. 5.8 изображенькосциллограммы сигналов щ и и% кото- которые представляют собой чогибающие радиоимпульсов от одного и того же пульсара при различных частотах настройки приемника ра- радиотелескопа: fi=400 МГц для сиг- сигнала щ и /2 == 1000 МГц для сигна- сигнала «2. Как видно из рисунка, сдвиг во времени данных сигналов At= At = 0.62 с. Оцените расстояние от Земли до пульсара, предположив, что меж- Рис. 5.8. Примерные формы оги- звездное пространство заполнено бающих при двух значениях час- r r тоты настройки приемника атомами водорода с концентрацией 1 атом/см3, причем ионизирован в среднем один атом из десяти. Указание: воспользуйтесь ре- результатом из задачи 5.9. 5.11. Определите глубину проникновения постоянного магнитно- магнитного поля в толщу сверхпроводника, взяв в качестве критерия деся- десятикратное сокращение магнитной индукции на внутренней сторо- стороне слоя по сравнению с индукцией на внешней стороне. Считайте, что сверхпроводящими носителями заряда являются куперовские пары электронов, для которых qs = S.2-10~19 Кл, ms= 1.82-10~30 кг. Положите, что концентрация куперовских пар iVs^lO^7 м~3. 5.12. Измерения показали, что сверхпроводник имеет значение лондоновской длины A,l=300 нм, в то время как нормальная часть удельной проводимости о»п = 3-107 См/м. Определите характери- характеристическое сопротивление сверхпроводника на частоте 45 ГГц. Глава шестая ПАДЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД В данной главе рассматриваются явления, наблюдаемые при падении, однородных плоских электромагнитных волн на беско- бесконечно протяженную границу раздела двух сред с различающимися электродинамическими параметрами. Существенным образом ис- используются граничные условия, изученные в гл. 4.
6.1. Нормальное падение на проводящую плоскость 107 6.1. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость Рассмотрим следующую простейшую ситуацию. Пусть на бес- бесконечную идеально проводящую плоскость по направлению нор- нормали падает плоская электромагнитная волна, распространяюща- распространяющаяся вдоль оси z декартовой системы координат (рис. 6.1). Из ри- рисунка видно, что присутствие на поверхности идеального провод- проводника лишь поля падающей волны с вектором напряженности элект- электрического поля Епад не может обе- обеспечить выполнения граничного ус- условия ?т=0. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы в полу- полупространстве z<0 существовала от- отраженная волна с амплитудой, в точности равной амплитуде падаю- падающей волны. При 2 = 0 должно иметь место равенство Епад + Еотр = 0. F.1) Чтобы определить суммарное магнитное поле на поверхности иде- идеального проводника, следует учесть, что вектор Пойнтинга отраженной волны Потр ориентирован вдоль отрицательного направления оси г. Поскольку модули векторов Нпад и НОТр равны, в плоскости z = 0 модуль суммарного вектора напряженности магнитного поля Н2 = Н11ад-[-Н0Тр в два раза больше модуля каждого слагаемого. Таким образом, получен существенный результат — на поверхности идеального проводника напряженность суммарного магнитного поля в два ра- раза превышает напряженность магнитного поля падающей электро- электромагнитной волны: На = 2Нпая. F.2) Зная модуль и ориентацию вектора суммарной напряженно- напряженности магнитного поля, можно определить вектор плотности поверх- поверхностного электрического тока по формуле Jno-., = Ii«HE]. F.3) Из рис. 6.1 видно, что поверхностный электрический ток проте- протекает в направлении вектора Е падающей волны, а его амплитуда равна удвоенной амплитуде вектора напряженности магнитного поля этой волны. П Рис. 6.1. Векторы поля при нормальном падении плоской волны на идеально проводя- проводящую плоскость
108 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела Понятно, что идеально проводящая плоскость полностью экра- экранирует одно полупространство от другого. Поэтому при z>0 все составляющие векторов электромагнитного поля обращаются в нуль. 6.2. Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство Предположим, что полупространство <г<0 прямоугольной де- декартовой системы координат (область /) представляет собой ва- вакуум (еа = ео, jia=Uo,.. <т=0), в то время как полупространство z>Q— произвольный магнитодиэлектрик с 1 параметрами еа, |яа, а (область 2 на отр . Т рис. 6.2). I • Пусть в области 1 вдоль поло- > О ffi1 ""у"" ^ жительного направления оси zрас- zраспространяется плоская гармониче- гармоническая волна, которая называется па- падающей. Для данной волны счита- считаются известными комплексные амп- амплитуды ВеКТОрОВ Епад И Нпад, СфИ- ентированные в пространстве так, как это показано на рис. 6.2: Нотр Нпад П лад Рис. 6.2. Векторы поля при нор- нормальном падении плоской волны на диэлектрическое полупрост- полупространство ' х пад4- F.4) Нп в^^ ЛУ Здесь Pi = col/eofxo — коэффициент фазы плоской волны* с заданной частотой в вакууме, Z0 = 377 Ом — характеристическое сопротив- сопротивление вакуума. Естественно предположить, что в рассматриваемой электроди- электродинамической системе помимо падающей существуют еще две волны: отраженная волна, комплексные амплитуды векторов по- поля которой имеют вид F р F.5) **отр — ^^огр
6.2. Нормальное падение на диэлектрическое полупространство 109 Знак вектора Н0Тр обусловлен тем, что вектор Пойнтинга отра- отраженной Волны Потр направлен в сторону уменьшения координа- координаты z\ \ прогйедшая (преломленная) волна, характеризуемая комплексными амплитудами векторов ¦-'irp *-* х прс 1х1 F.6) пр Здесь р2 = со]Л еа|ла и Z,2=Wa/?a — соответственно коэффициент фазы и характеристическое сопротивление плоской электромагнит- электромагнитной волны в среде 2. При записи формулы F.6) предполагается, что область 2 прос- простирается неограниченно вдоль полуоси z>0. Кроме того, считает- считается, что электромагнитные волны, распространяясь в области 2, ис- испытывают некоторое затухание. В соответствии с этими предполо- предположениями в области 2 отсутствует отраженная волна, распростра- распространяющаяся в отрицательном направлении оси г. Поставим задачу найти соотношения между комплексными амплитудами векторов электромагнитного поля падающей, отра- отраженной и прошедшей волн. Для этого воспользуемся тем, что на границе раздела, т. е. в плоскости z = 0, обязаны выполняться гра- граничные условия: касательные составляющие суммарных векторов напряженности электрического и магнитного полей должны быть непрерывны: ?и=Ё2х; Ни=Н2х. F.7) На основании формул F.4) — F.6) последние соотношения запи- записываются следующим образом: ^х пад ~| ? jc отр ==z Eх пр> F.8) Ех пад &х отр Ех пр Zq Zq Zc2 Введем коэффициент отражения по электрическому полю R и коэффициент прохождения по электрическому полю Т, определив данные величины как отношения комплексных амплитуд соответ- соответствующих электрических полей к комплексной амплитуде векто- вектора напряженности электрического поля падающей волны на гра- границе раздела: п Ехотр . гр ЕХпр ,~ q\ Ех пал Ех пад
110 Глава 6. Падение плоских волн на границ^ раздела I Разделив левые и правые части равенств F.8) на величину ?%Пад, приходим к системе двух линейных алгебраических уравнений от- относительно неизвестных R и Т: ( 7\ I 1 F.10) 1 R Т Zo Zo ZC2 откуда п ZC2 — Zp ZC2 + q F.11) Таким образом, коэффициенты отражения и прохождения элек- электромагнитной волны при нормальном падении на диэлектрическое полупространство полностью определяются характеристическими сопротивлениями граничащих сред. Важный частный случай — нормальное падение плоской волны на немагнитный диэлектрик без потерь (|i=l, а = 0). Из формулы F.11) следует, что в этом случае коэффициенты R и Т действи- действительны: /?=(i--/T)/(l+VT)f F.12) Г = 2/A+Ке )• Следует обратить внимание на то, что если е>1, то R<C0. Это означает, что на границе раздела комплексная амплитуда элек- электрического вектора отраженной волны сдвинута по фазе на 180° относительно комплексной амплитуды электрического вектора па- падающей волны. Пример 6.1. Амплитудное значение напряженности электричес- электрического поля падающей волны ?л;пад = 250 В/м. Относительная ди- диэлектрическая проницаемость материала е = 3.2. Найти модули ус- усредненных значений векторов Пойнтинга падающей, отраженной и прошедшей волн. Применив формулу F.12), имеем 7? = —0.283, 7=0.717. Харак- Характеристическое сопротивление диэлектрика Zc2=Zo/j/re = 211 Ом. Мо- Модули усредненных векторов Пойнтинга (Вт/м2) Ппад = ^ПаД/B^о) = 82.9; Потр = (REXпадJ/ /BZ0) = 6.6; nnp=
6.3. Нормальное падение на диэлектрический слой 111 Легко заметить, что в рассматриваемом случае почти вся мощность электромагнитной волны поступает из вакуума в диэлектрик. Ппод П отр 1 1 г 1 6.3. Нормальное падение плоской {электромагнитной волны на диэлектрический слой конечной толщины Интересно отметить, что формулы вида F.11) встречаются в теории распределенных радиотехнических цепей [3] при решении задачи об отражении волн от стыка двух линий передачи с волновыми сопротивлениями Zo и Zc2 в условиях, когда вто- вторая линия нагружена на свое волновое сопротивление и по- поэтому находится в согласован- согласованном режиме. Отсюда, как следствие, вы- вытекает возможность рассчитать коэффициент отражения плос- плоской электромагнитной волны ОТ диэлектрического СЛОЯ ТОЛ- Рис- 6-3' Нормальное падение плоской „ 1 г волны на диэлектрический слои: ЩИНОИ / При НОрмаЛЬНОМ Па- а _ геометрия зад„я; 6 _ эквивалентная ДеНИИ (рИС. 6.3, CL) . схема из отрезков линий передачи Моделью такой электроди- электродинамической системы служит сочленение полубесконечной линии пе- передачи, имеющей волновое сопротивление ZOj с отрезком линии длиной /, имеющим волновое сопротивление Zc2 (рис. 6.3, б). Справа данный отрезок нагружен на сопротивление Zo, которое учитывает влияние полубесконечного пространства правее ди- диэлектрического слоя. Будем полагать, что слой выполнен из диэлектрика без потерь с заданным параметром е. Воспользуемся тем [3], что входное со- сопротивление в сечении а — аг для волны, распространяющейся сле- слева направо, Z___ =Zn Zo + jZci 14-7 Z° tg» tgi) tg»: tga F.13)
112 Глава 6. Падение плоских волн на границу /раздела где /&=Р2^=2я//Я2 — электрическая толщина слоя на рабочей час- частоте, измеряемая в радианах. Тогда, используя формулу /? ^ после несложных преобразований находим выражение для коэф- ^_^__^__^__^__^__^__^__^ фициента отражения рт плас- 06 0.2 // / г / '/ **- ——»». \ N У тины /?== о в, рад 1 F.14) На рис. 6.4 изображены графики зависимости модуля коэффициента отражения R\ =- -1)| + ( I F.15) Рис. 6.4. Зависимость модуля коэффи- коэффициента отражения от электрической тол- толщины слоя: 1 — при 8=2.56; 2 — при е=3.8 от параметра Ф при двух раз- различных значениях диэлектрической проницаемости слоя. Следует обратить внимание на то, что коэффициент отражения плоских волн от диэлектрического слоя является частотно-зависимым. С этим обстоятельством приходится считаться, например, при соз- создании радиопрозрачных диэлектрических укрытий для антенных систем. 6.4. К вопросу о создании неотражающих сред Практическая радиотехника настойчиво выдвигает проблему разработки таких искусственных материальных сред, которые не отражали бы электромагнитных волн. Такими материалами, на- например, покрывают стены безэховых камер — замкнутых помеще- помещений, в которых испытывают антенны СВЧ-диапазона. Формула F.11) устанавливает, что коэффициент отражения от границы раздела равен нулю только в том случае, когда Zc2=20. Данное равенство эквивалентно условию №а = Ы*0- F.16) До сих пор нет эффективного метода синтеза таких сред, для ко- которых соотношение F.16) выполнялось бы в достаточно широком диапазоне частот.
С).5. Падете волны под произвольным углом 113 Л Говоря о создании неотражающих покрытий, следует иметь в виду, что \увеличение меры затухания волн в среде, т. е. рост угла потерь б, ведет не к уменьшению, а к возрастанию модуля коэф- коэффициента отражения. Действительно, чем больше значение угла 6 = arctg[o/(coea)], тем значительнее модуль комплексной диэлек- диэлектрической1 проницаемости среды. Поэтому при 6-^90° имеем limZC2=0. Следовательно, lim R = = —1, т. е. среда с бесконечно вы- высоким затуханием ведет себя как идеальный отражатель. Практический способ создания неотражающих покрытий заключа- заключается в использовании эффекта мно- многократных отражений. Рассмотрим, например, среду со значительными - \ потерями, поверхность которой вы- выполнена ребристой (рис. 6.5). При Рис- 6-5; Неотражающее покры- r r vr о ' v тие с ребристой поверхностью наклонном падении плоской элект- v ромагнитной волны внутри пазов структуры происходят много- многократные отражения, каждое из которых сопровождается рассея- рассеянием части энергии волны. В результате амплитуда отраженной волны оказывается значительно меньше амплитуды падающего поля. Безусловно, такому способу компенсации отражений присущ ряд недостатков. Так, коэффициент отражения в той или иной сте- степени зависит от угла падения и от рабочей частоты. 6.5. Падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство под произвольным углом Рассмотрим общий случай, когда плоская электромагнитная волна, распространяясь в среде /, падает на границу раздела со средой 2 под некоторым углом падения ф, который лежит в преде- пределах 0^ф^90°. Геометрия данной задачи и ориентация координат- координатных осей показаны на рис. 6.6. Анализируя электромагнитные поля в данной системе, естест- естественно ввести три волны — падающую, отраженную и преломлен- преломленную. Векторы Пойнтинга всех перечисленных волн лежат в одной плоскости, называемой плоскостью падения. Чтобы записать выражения комплексных амплитуд векторов со- соответствующих электромагнитных полей, следует воспользоваться результатами § 3.8. Из рис. 6.6 следует, что вектор ППад образует с положительными направлениями осей у и z углы 90° — ф и ф со- соответственно. Поскольку cos(90°—ф)=зтф, комплексная ампли-
114 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела туда вектора напряженности электрического поля падающей вол- волны может быть представлена следующим образом: / i F.17) где Втпад — произвольный амплитудный множитель. Если через q/ и г|э обозначить углы, показанные на рис. 6.6 и называемые соответственно углами отражения и преломления} то комп- комплексные амплитуды любых составляю- составляющих векторов Е отражённой и прелом- преломленной волн можно записать так: —/р, {у sin <р'—z cos отр V-/P2 (У sin F.18) F.19) Рис. 6.6, Падение плоской эле- электромагнитной волны под про- произвольным углом На границе раздела, т. е. в плоско- плоскости 2=0, должны выполняться усло- условия непрерывности касательных со- составляющих векторов Е и Н: т F.20) Из формул F.17) — F.19) получаем, например, b e~J^y sin ?]p- e-/Pi</ sin cp'_ p e~J?*y sin ф ГВ9П .Поскольку все точки на границе раздела равноправны, соотноше- соотношение F.21) должно выполняться тождественно относительно пере- переменной у. Для этого необходимо, чтобы показатели всех экспонен- экспоненциальных функций, входящих в формулу F.21), были одинаковы- одинаковыми при всех значениях у. Отсюда вытекают два тождества: • .".л : F.22) Г-= ?' F.23) Равенство F.22) ^это известный из элементарной физики за- закон, согласно которому угол падения волны равен углу отражения. Соотношение F.23), также доказываемое в элементарной теории волновых процессов, называют законом Снелля., Естественно, что при стремлении угла падения ф к нулю угол преломления /ф стремится к такому же пределу. Поэтому, если па- падение волны близко к нормальному, закон Снелля следует пони- понимать в предельном смысле.
6.5. Падение волны под произвольным углом 115 Поскольку коэффициенты фазы плоских волн в обеих средах вычисляются по одной и той же формуле вида р = ыУггфг, соотно- соотношение F.23) можно записать так, что в него войдут лишь электро- электродинамические параметры граничащих сред, а рабочая частота со будет исключена. Для этого введем безразмерную величину п = = ]/"eji, называемую показателем преломления физической среды. Если, например, п2>пи то говорят, что оптическая плотность вто- второй среды больше, чем первой. Введя показатели преломления гра- граничащих сред в формулу закона Снелля, получим sin <р sin <|/ F.24) Рассмотренные выше закономерности справедливы безотноси- безотносительно к ориентации векторов поля по отношению к плоскости па- падения. Более тщательный анализ по- показывает, что из-за векторного харак- характера электромагнитного поля ряд яв- явлений, возникающих при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела, существенно связан с взаимной ориентацией плоскости по- поляризации и плоскости падения. По- Поэтому рассмотрим два основных слу- случая. Перпендикулярная поля- поляризация характерна тем, что плос- плоскость поляризации, содержащая на- направление вектора Е, перпендикуляр- перпендикулярна плоскости падения (рис. 6.7). У пр пр Рис. 6.7. Случай перпендику-» лярной поляризации Пусть ?Пад, ?отр и ?Пр — комплексные амплитуды векторов на- напряженности электрического поля падающей, отраженной и пре- преломленной волн, существующие в плоскости z = 0 при произволь- произвольном фиксированном значении координаты у. Граничные условия относительно электрических векторов запишутся весьма просто: ^пад + ^отр^^пр- F.25) При записи граничных условий относительно векторов напря- напряженности магнитного поля следует учесть прежде всего, что их касательные составляющие получаются путем умножения модулей векторов Н на косинусы соответствующих углов (рис. 6.7). Далее, удобно выразить векторы Н через векторы Е, используя понятие характеристического сопротивления среды. Таким образом, условие непрерывности касательных составляющих векторов напряженности магнитного поля в плоскости 2=0 принимает вид
116 Глава 6. Падение плоских, волн на границу раздела собф E (?пад- ?\>тр) = —— cos ф. F.26) Введем в рассмотрение коэффициент отражения R± и коэффи- коэффициент преломления Т± по электрическому полю (нижний значок указывает, что эти величины относятся к случаю перпендикуляр- перпендикулярной поляризации): F.27) Теперь формулы F.25) и F.26) можно объединить, получив в ре- результате систему двух линейных алгебраических уравнений отно- относительно неизвестных R± и Т±: F.28) Решение системы F.28) имеет следующий вид: ZC4 cos <p 2C2 cos <f 2ZC -Zcx + zn 2 COS <p COS Ф COS ф 7± F.30) Zq2 COS «p -j- Z^ COS ^ Чтобы пользоваться формулами F.29) и F.30), необходимо, задавшись некоторым значением угла падения ф, предварительно вычислить угол преломления -ф на основании закона Снелля. На практике часто приходится вычислять коэффициенты отра- отражения и преломления плоских волн для частного случая, когда средой / служит вакуум или воздух (е=1, ji=l), а средой 2 — немагнитный (ji=l) диэлектрик без потерь с относительной ди- диэлектрической проницаемостью е. При этом формулы F.29) и F.30) удается объединить с законом Снелля, записав их в виде j? = cosy/«-sing у F31) 9 F.32) cosf -J- 'У г — sin2f
6.5. Падение волны под произвольным углом 1.17 Пример 6.2. Плоская электромагнитная волна с перпендику- перпендикулярной поляризацией падает из воздуха под углом ф = 60° на гра- границу раздела с диэлектриком, имеющим параметры 8 = 3.8, \i=l. Амплитуда вектора напряженности электрического поля падаю- падающей волны ?'тпад = 0.4 В/м. Найти амплитуды векторов напряжен- напряженности магнитного поля отраженной и преломленной волн. 0.8 0.6 ом о.г о -о.г -оа -0.6 -о.з Рис. 6.8. Зависимости коэффици- коэффициентов отражения и преломления от угла падения для случая пер- перпендикулярной поляризации при значении е = 2.56 1 1 1 —- 20 —* 40 1—^ 60 «г \ < \ еру град \ \ '•:¦:¦ У Рис. 6.9. Случай параллельной по- поляризации По формулам F.31) — F.32) находим, что ^=-0.555, Т± =0.455. Характеристическое сопротивление диэлектрика Тогда = I /?jl I EmTljZ0=5.9Л0-* А/м, =9.2.10-* А/м. Графики зависимостей R± (ф) и Т± (ф), рассчитанные для не- некоторого конкретного значения е, изображены на рис. 6.8. Следует обратить внимание на то, что при ф-^90° величина Тх монотонно стремится к нулю, в то время как коэффициент отражения Rx, отрицательный при любом угле падения, стремится к значению—1.
118 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела Параллельная поляризация характеризуется тем, что векторы Е всех трех волн—падающей, отраженной и преломлен- преломленной— параллельны плоскости падения (рис. 6.9). По аналогии со случаем перпендикулярной поляризации мож- можно записать граничные условия непрерывности касательных состав- составляющих векторов электромагнитно- электромагнитного поля. Данные условия принима- принимают вид 2 1 ——-. 7// 1 1 1 \ с?,?рад 0.6 0.6 ол 0.2 о -0.2 -ОМ Рис. 6.10. Зависимости коэффици- коэффициентов отражения и преломления от угла падения для случая па- параллельной поляризации при зна- значении 8 = 2.56 COS ср = COS у нений относительно неизвестных i?D и Гц: = rD cost, F.33) (?пад - E0^)lZcl = Enp/Zc2. F.34) Введем коэффициент отражения /?и и коэффициент преломления Т t по электрическому полю (нижний значок указывает на то, что данные величины относятся к случаю па- параллельной поляризации). Разделив обе части равенств F.33) и F.34) на комплексную амплитуду ?пад, получаем следующую систему урав- F.35) откуда г> ZC2 COS Zcl COS ZC2 COS ф -f- ZC\ COS *р 2Z^2 COS <p cos ф -}- cos <p F.36) F.37) Если средой 2 служит немагнитный диэлектрик с относитель- относительной проницаемостью 8, формулы F.36) и F.37) приводятся к ви- виду, более удобному для инженерных расчетов: у г — sin^cp — ? COS <p T = Ул— sin2<p -|- s cos 2|/s cos 9 — sin2 Ф 4- e cos F.38) F.39)
6.6. Угол Брюстера 1.19 Конкретные графики зависимостей R й (ф) и Т й (ф), получен- полученные в соответствии с данными формулами, изображены на рис. 6.10. Сравнивая их с аналогичными зависимостями, изображен- изображенными на рис. 6.8, можно отметить, что характер кривых Т 1( (ф) и Т± (ф) практически один и тот же. Однако кривые R й (ф) и R± (ф) принципиально различны — монотонно возрастающая функция /?и (ф) при некотором значении угла падения изменяет знак, про- проходя через нуль. 6.6. Угол Брюстера Так принято называть угол падения, при котором падающая волна полностью, без отражения, переходит через границу раздела двух материальных сред. Из выражений F.29) и F.36) следует, что угол Брюстера фБ удовлетворяет одному из двух уравнений: Zc2cos срБ — Zclcos ЦБ = 0 F.40) при перпендикулярной поляризации, либо Zc2 cos фБ — Zcl cos <рБ=0 F.41) х при параллельной поляризации. Здесь под i|)B подразумевается угол преломления, соответствующий углу падения фБ . Рассмотрим типичный случай, когда обе граничащие среды яв- являются немагнитными диэлектриками (juli = fX2= 1), причем оптиче- оптическая плотность второй среды больше, чем первой (e2>ei). Из этих предположений следует, что Zci>ZC2- Кроме того, в силу закона Снелля имеет место неравенство ф>г|?, т. е. со5ф<созг|). ОбраЧцаясь к уравнениям F.40) и F.41), видим, что первое из этих уравнений в рамках сделанных предположений не имеет решений. Таким образом, явление Брюстера при падении плоской электромагнитной волны на немагнитный диэлектрик может на- наблюдаться лишь при параллельной поляризации падающей волны. Удобную формулу для вычисления угла Брюстера можно по- получить из соотношения F.38). Действительно, угол фБ служит кор- корнем уравнения в cos ?Б=У s — sin2 <рБ, откуда легко находим ?B=arctg |/"ё". F.42) Явление Брюстера используется в технике. Так, пластина из диэлектрика, установленная под углом Брюстера по отношению к направлению распространения падающей волны, при правильном
120 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела выборе поляризации не создает отражений. В то же время эта пластина может играть роль конструктивного элемента какого-ли- какого-либо прибора, обеспечивая, например, его вакуумное уплотнение. Важно отметить, что при падении плоских воли из вакуума на диэлектрическое полупространство (е>1) знаки действительных коэффициентов отражения R± и R п совпадают при ф<срБ и ока- оказываются противоположными, если ф>фБ (см. рис. 6.8 и 6.10). Эта дает возможность преобразовывать направление вращения векторов в вол- волнах с круговой или эллиптической поля- поляризацией. Чтобы убедиться в этом, вве- введем единичные векторы перпендикуляр- перпендикулярного i х и параллельного i H направлений (рис. 6.11) и представим электрический вектор падающей волны, поляризованной по кругу с левым направлением враще- вращения, в форме Еп? (\ :\ \ о— 7'Pi (У sin V+z cos <p) (ОЛо) [ср. С формулой C.50), приняв ВО ВНИ- мание, что векторы i ¦ и i j. ориентирова- ориентированы по отношению к вектору ППаД так же, как и векторы \х и \у по отношению к iz]. Тогда комплексная амплитуда электрического вектора отраженной волны t,rp=Em(Rlil _y7?xije-'M'SIn*--'C08*) ' F.44) при ф>фБ будет, очевидно, соответствовать эллиптически поля- поляризованной волне с правым направлением вращения. Действитель- Действительно, здесь два взаимно перпендикулярных компонента, поляризо- поляризованных линейно, имеют разность фаз, отличающуюся на 180° от той, которая наблюдается в падающей волне. \ z' [¦'¦¦¦:-y^}::::- 4 Рис. 6.11. Единичные век- 6.7. Полное внутреннее отражение Обратившись вновь к формулировке закона Снелля заметим, что могут -представиться два случая: 1. Оптическая плотность среды 2 превосходит оптическую плот- плотность среды 1, т. е. я2>Яь При этом всегда г|?<ф, а поскольку угол падение ф лежит в интервале О^Сф^ЭО0, преломленная вол- волна существует при любом угле падения.
6.8. Неоднородные плоские волны 12.1 2. Среда 2 оптически менее плотна по сравнению со средой 1, т. е. n2<in\. В этом случае всегда я|)>ф и поэтому найдется такое значение угла падения, при котором преломленная волна будет распространяться параллельно границе раздела под углом г|) = 90°. Данное критическое значение угла падения называют углом пол- полного внутреннего отражения: <рпво = агс sin (ti2ln^. F.45) При углах падения ф>фпво преломленной волны в обычном смысле не существует; энергия падающей волны полностью отра- отражается внутрь среды с большей оптической плотностью, Явление полного внутреннего отражения широко используется в оптике, например для изменения направления пучка лучей при помощи призмы (рис. 6.12). Подобные же уст- устройства находят применение в коротковолно- коротковолновой части СВЧ-диапазона (на частотах выше 50 ГГц). 6.8. Неоднородные плоские волны г j ч \ :¦:.:•. Ч \ ч п ным внутренним от- отражением Приведенный анализ явления полного Рис б j2 Диэлектри- внутреннего отражения является неполным, ческая призма с иол- поскольку не позволяет ответить на вопрос о. том, что происходит при углах падения ф, превышающих угол фпво. Обратимся к формуле F.24), предполагая, что п2<п\. Можно заметить, что в этом случае при ф>фпво величина sin i|? должна быть больше единицы. Если угол преломления является действи- действительным, такая ситуация невозможна. Однако известно, что синус, рассматриваемый как функция комплексного аргумента, может принимать любые, в том числе сколь угодно большие, действитель- действительные значения. В соответствии с этим формально будем считать, что при ф>фпво угол преломления -ф, достигший значения 90° при Ф=Фпво, получает мнимые приращения, так что i|) = 90° + /а. Лег- Легко проверить, что при этом sin ф = сЬа; cos ф= —/sha. F.46) Итак, концепция комплексного угла преломления позволяет удовлетворить закону Снелля в области углов падения, превышаю- превышающих угол полного внутреннего отражения. Подставив выражения F.46) в формулу F.19), находим зависимость комплексной амп- амплитуды электрического вектора преломленной волны от простран- пространственных координат: Ёпу(у, z)=^Emn?e~J^ychae^%zsha. F.47)
122 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела По математической форме данное соотношение весьма напо- напоминает выражение для комплексной амплитуды плоской волны, распространяющейся в среде с потерями (см. гл. 5). Однако име- имеется и принципиальная разница, так как в соответствии с выра- выражением F,47) волна распространяется вдоль координаты у, в то время как экспоненциальное уменьшение амплитуды волны проис- происходит вдоль координаты г. Подобные процессы называют неодно- неоднородными плоскими волнами. С физической точки зрения рассматриваемая неоднородная плоская волна распространяется вдоль границы раздела, как бы «прилипая» к ней, т. е. с резким уменьшением амплитуды при уда- удалении точки наблюдения от границы раздела по направлению нор- нормали. Указанная особенность дает основание называть такие вол- волновые процессы поверхностными волнами. На первый взгляд может показаться, что понятие плоской вол- волны, распространяющейся под комплексным углом по отношению к некоторой выбранной оси, довольно искусственно. Однако, по су- существу, такая расширенная трактовка математической модели вол- волнового процесса совершенно правомерна/Дело в том, что функция вида F.47) является одним из частных решений уравнения Гельм- гольца . д2Е &Е В этом можно убедиться прямой подстановкой, приняв во вни- внимание, что sh2a=ch2 a— 1. Поскольку cha>l, коэффициент фазы поверхностной волны PnoB = P2cha всегда больше коэффициента фазы однородной плос- плоской волны с той же частотой. Так как коэффициент фазы непо- непосредственно связан с фазовой скоростью соотношением ^ф=со/C, приходим к выводу о том, что неоднородные поверхностные волны имеют меньшую скорость по сравнению с однородными плоскими волнами. По этой причине поверхностные волны называют также замедленными волнами. Наибольшее замедление фазовой скоро- скорости наблюдается в том случае, когда волна в среде / распростра- распространяется параллельно границе раздела, т. е. когда ф = 90°. При этом Таким образом, фазовая скорость волн в оптически менее плот- плотной среде стремится к величине, свойственной более плотной среде. Остановимся, наконец, на вопросе о глубине проникновения волн в среду 2 при полном внутреннем отражении. Из формулы F.47) следует, что расстояние вдоль координаты z, на котором ам- амплитуда поля уменьшается в е = 2.718...раза, есть
6.8. Неоднородные плоские волны 123 Таким образом, электромагнитное поле в менее плотной среде 2 практически существует лишь в поверхностном слое, толщина кото- которого порядка одной длины волны. Существенно, что с ростом угла падения ф замедление становится более интенсивным, а. глубина проникновения поля в менее плотную среду сокращается. Пример 6.3. Найти фазовую скорость и глубину проникновения неоднородной плоской волны, возникающей при падении плоской электромагнитной волны из среды / с параметрами ei = 3.4, jjti = 1 на границу раздела со средой 2, имеющей параметры 82=1, pi2=l- Угол падения ф = 45°, частота поля / = 35 ГГц. В данном случае угол полного внутреннего отражения Поскольку ф>фпво, неоднородные плоские волны в среде 2 дейст- действительно возникают. Для определения комплексного угла преломления воспользуем- воспользуемся законом Снелля sin^=]/3.4 sincp=1.3, откуда получаем уравнение относительно параметра а: Чтобы численно решить это трансцендентное уравнение, преоб- преобразуем его следующим образом: a = lnB.6 —е-°). Взяв в качестве нулевого приближения к корню значение а = 0 и проведя на микрокалькуляторе ряд последовательных итераций, получаем приближенное значение корня а = 0.756 (все знаки вер- верные) . Таким образом, угол преломления Коэффициент фазы однородной плоской волны в среде 2 р2=ы/с = 733 м-1. Коэффициент фазы поверхностной волны = 952.9 м-', откуда фазовая скорость *>Ф нов = «>/Рпов = 2.308-108 м/с.
124 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела Глубина проникновения поля в менее плотную среду ha) = 1.64-10-3 м=1.64 мм. В дальнейшем свойства поверхностных электромагнитных волн будут изучены более подробно (см. гл. 15). 6.9. Приближенные граничные условия Леонтозича В данном параграфе будут рассмотрены приближенные гранич- граничные условия для векторов электромагнитного поля, имеющие мес- место в том случае, когда среда 2 является хорошим проводником. Впервые этот вопрос был исследован известным советским физи- физиком М. А. Леонтовичем в связи с его работами 40-х годов по тео- теории распространения радиоволн вокруг Земли. Пусть плоская электромагнитная волна падает из воздуха (сре- (среда 1) под углом ф на границу раздела с немагнитной (^ = 1) хо- хорошо проводящей средой 2, характеризуемой удельной проводи- проводимостью а. Такая материальная среда имеет комплексный показа- показатель преломления Здесь использовано то, что По закону Снелля, A-У), F.48) откуда видно, что в хорошо проводящей среде преломленная вол- волна распространяется под комплексным углом и поэтому является неоднородной плоской волной. Перепишем формулу F.48) в виде sin ^=|/-^-(sincp) A+у) F.49) и примем во внимание, что соео/а<С1. Тогда синус в левой части равенства F.49) можно приближенно заменить аргументом и счи- считать, что 2а (sin <?)(! + /).
6.9. Граничные условия Леонтовича 125 В пределе при ог-^оо имеем ф-^-О, откуда si-пф—»0; "cos<|>—»1 F.50) 7 независимо от значения угла падения ф. Комплексную амплитуду вектора напряженности электрическо- электрического поля в среде 2, задавамую равенством F.19), следует предста- представить в виде f.pGf, г) = ?-явре-т'('§|п*+—«, F.51) где Y2 — комплексный коэффициент распространения однородной плоской волны в среде с потерями. Объединив выражения F.50) и F.51), приходим к выводу о том, что в предельном случае хо- хорошо проводящей среды Ё„р(г)=Ётпре~^. F.52) В соответствии с этой формулой преломленная волна проникает внутрь среды 2 практически по направлению нормали к границе раздела при любом угле падения. В этом состоит наглядный Лшсл приближенных граничных условий Леонтовича. Согласно сказанному, эквивалентная схема металлоподобной среды имеет вид полубесконечного отрезка однородной- линии пе- передачи с характеристическим сопротивлением, вычисляемым по об- общей формуле F.53) В начале линии, т. е. на границе раздела, касательные состав- составляющие электрического и магнитного векторов должны удовлет- удовлетворять очевидному соотношению, которое вытекает из понятия ха- характеристического сопротивления: ZZ* = EXJHW F.54)' Как известно, на поверхности идеального проводника ?т = 0. В случае большой, но конечной проводимости на границе раздела возникает отличная от нуля касательная проекция Ёхм. Хотя эта величина мала (поскольку ZCM~^0 при о-^оо), она обусловливает поток мощности электромагнитного поля внутрь проводящей сре- среды, идущей на ее нагрев. Если граница раздела совпадает с плоскостью XOY, а ось z на- направлена внутрь среды 2, то на границе должны выполняться сле- следующие условия: -4?-=ZCM; _E!L3*-ZCM. F,55) Ни Hjc
126 Глава 6. Падение плоских волн на границу раздела Читатель легко проверит, что при таком выборе знаков средний поток вектора Пойнтинга всегда будет направлен вдоль положи- положительного направления оси г. Чтобы использовать граничные условия Леонтовича в форме F.54) или F.55), нужно знать касательную проекцию #Тм. При- Приближенно полагают, что эта величина равна аналогичной проекции, которая существует на поверхности идеального проводника. Ошиб- Ошибка от такого допущения будет весьма мала, поскольку в случае реального металла модуль коэффициента отражения близок к еди- единице. Пример 6.4. Плоская волна с частотой / = 2 ГГц имеет ампли- амплитуду электрического вектора ?тпад = 350 В/м и падает из воздуха по направлению нормали на границу раздела с металлом, имею- имеющим параметры [i=l, а=2-1б7 См/м. Найти амплитуду касатель- касательной проекции электрического вектора на границе раздела, а так- также среднее значение вектора Пойнтинга прошедшей волны. Амплитуда магнитного вектора падающей волны =0.93 А/м. По формуле F.53) находим характеристическое сопротивление металла на заданной частоте: Zcli = 0.02(l + y) Ом. В соответствии с формулой F.2) амплитуда касательной про- проекции магнитного вектора на поверхности металла ЯтМ = 2Ятпад=1.86 А/м, откуда E^ = ZCUH^ = 0.0372A + j) В/м. Среднее значение вектора Пойнтинга прошедшей волны ncp.rTp = V2Re(?TM//,J = 3.4.10-2 Вт/м2. Следует заметить, что мощность, идущая на нагрев металла, относительно невелика, поскольку плотность потока мощности па- падающей волны Условия Леонтовича будут использованы в гл. 11 для решения практически важных задач о потерях в СВЧ-устройствах, вызван- вызванных конечной проводимостью металлических стенок.
Задачи . 127 ЗАДАЧИ 6.1. На идеально проводящую плоскость из воздуха по направ- направлению нормали падает плоская электромагнитная волна со сред- средним значением плотности потока мощности 230 Вт/м2. Вычислите амплитуду вектора плотности поверхностного электрического тока на границе раздела. 6.2. Плоская электромагнитная волна падает по нормали из воздуха на диэлектрическое полупространство с параметрами е = = 9.5, jlx = 1. Плотность потока мощности падающей волны состав- составляет 30 Вт/м2. Найдите плотность потока мощности плоской волны, прошедшей внутрь диэлектрика. 6.3. Плоская электромагнитная волна, существующая в среде без потерь с параметрами е = 3.8, \i= 1,-падает- под некоторым уг- углом на границу раздела с вакуумом. Определите углы падения, при которых: а) мощность падающей волны целиком переходит из, диэлектрика в вакуум; б) вся мощность отражается назад в ди- диэлектрик. Обратите внимание на характер поляризации падающей волны. 6.4. На границу раздела между диэлектриком без потерь с па-, раметрами pi=l.l, 8 = 4.6 и вакуумом падает плоская электромаг- электромагнитная волна, имеющая круговую поляризацию. Определите зна- значение угла падения, при котором поляризация отраженной волны будет линейной. 6.5. Пластина толщиной d=\A см выполнена из диэлектрика без потерь с параметрами & = 2Л, |х = 1. Найдите коэффициент от- отражения плоской электромагнитной волны от этой пластины при нормальном падении, если частота поля /=12 ГГц. 6.6. Из теории линий передачи с распределенными параметра- параметрами известно [3], что для обеспечения согласованного режима в си- системе из двух состыкованных линий с различными волновыми со- сопротивлениями можно применить четвертьволновый трансформа- трансформатор. Основываясь на аналогии, вычислите толщину и относитель- относительную диэлектрическую проницаемость слоя диэлектрика, который позволяет компенсировать отражение от границы раздела возду- воздуха со средой, у которой е = 3.8, |li = 2.2. Частота поля /=3 ГГц. 6.7. Амплитуда магнитного вектора плоской электромагнитной волны составляет 60 А/м. Волна падает по нормали из воздуха на границу раздела с металлом, у которого jx=l,. <т=3-107 См/м. Найдите амплитуду электрического вектора на границе раздела, если частота поля 5 ГГц. 6.8. Применительно к условию предыдущей задачи найдите чис- числовое значение коэффициента отражения мощности, а также мо- модуль вектора Поййтинга в точках, непосредственно прилегающих к границе раздела.
128 Глава 7. Основы теории направляемых волн Глава седьмая ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРАВЛЯЕМЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Важными компонентами радиотехнических систем сверхвысоких частот являются волноводы — устройства для передачи энергии электромагнитных колебаний от генератора к нагрузке. Любой вол- волновод независимо от особен- особенностей конструкции должен обеспечить локализацию обла- области, в которой распространя- распространяются электромагнитные волны. Простейшей идеализированной структурой, которая дает воз- возможность ограничить прост- пространственную область сущест- существования поля, является беско- бесконечная металлическая плос- плоскость. С ее помощью можно отделить (экранировать) одно Sirup б= •остр О пад Рис. 7.1. Падение плоской волны с па- параллельной поляризацией на идеально проводящую плоскость полупространство от другого. В данной главе рассмотре- рассмотрены явления при наклонном па- падении однородной плоской эле- электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость. Анали- Анализируется интерференция падающей и отраженной волн с учетом векторного характера электромагнитного поля. Показано, что сум- суммарное электромагнитное поле представляет собой неоднородную плоскую волну, которая распространяется вдоль направляющей плоскости. 7.1. Падение плоской волны с параллельной поляризацией Пусть на идеально проводящую плоскость под некоторым уг- углом ф падает однородная плоская электромагнитная волна (рис. 7.1), электрический вектор которой лежит в плоскости XOZ, По терминологии, принятой в гл. 6, при этом наблюдается параллель- параллельная поляризация падающей волны. Считается, что полупростран- полупространство х>0 имеет электродинамические параметры ео, \io (вакуум). Предполагается также, что падающая волна гармонически изме- изменяется с частотой со; коэффициент фазы этой волны $о=(о/с. Введем волновой вектор падающей волны кпад, который имеет модуль р0 и совпадает по направлению с вектором Пойнтинга па-
7.1. Падение волны с параллельной поляризацией 129 дающей волны Ппад (см. гл. 3). Из рис. 7.1 видно, что данный волновой вектор образует угол 180°—ср с осью х, 90°—ср с осью z и 90° с осью у (имеются в виду положительные направления осей). Так как cos A80°—ср) =—coscp, cos (90°—<p) = sincp, то волновой вектор падающей волны имеет следующее координатное представ- представление: G.1) Тогда комплексная амплитуда вектора напряженности электри- электрического поля падающей волны sin?) где векторный амплитудный коэффициент Е0Пад связан с физиче- физической амплитудой электрического вектора Ет следующим образом: - G.3) Заметим, что начальная фаза в выражении G.2) может вы- выбираться произвольно и поэтому допустимо считать, что вектор ЕОпад имеет чисто действительные проекции, что удобно для по- последующего анализа. При падении плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость возникает однородная плоская отраженная волна с волновым вектором sin<pi2), G.4) который в соответствии с законами отражения (см. гл. 6) направ- направлен под углом ф к положительному направлению оси х. Комплекс- Комплексная амплитуда электрического вектора отраженной волны должна иметь такой векторный амплитудный коэффициент Е0Отр, чтобы суммарное электромагнитное поле на границе раздела при х=0 удовлетворяло граничному условию: г~я проекция вектора на- напряженности электрического поля должна быть равна нулю. Ины- Иными словами, отраженная волна должна скомпенсировать касатель- касательную составляющую электрического вектора поля падающей вол- волны на границе раздела. Как следует из рис. 7.1, для этого требу- требуется, чтобы EQoTp=Emsm<fix — Emcos<?\z. G.6) Структура электрического поля над плоскостью. Не составит труда записать общее выражение для комплексной амплитуды электрического вектора суммарного электромагнитного поля в по- полупространстве
.130 , Глава 7. Основы теории направляемых волн I e-/Po {x cos <р+г sin <p)l. _J_ ??m CQS jp Ге-/Ро С-* cos v+z sin <p) __ e~/Po (* cos cf+^r sin <p)l j Полученное равенство целесообразно преобразовать, вынеся за скобки общие множители в обоих слагаемых правой части, а за- затем воспользовавшись формулами Эйлера: Ё*=Ет sincp -J- 2? coscpe—-^0* sin z = 2Ет sin 9 cos (pox cos ср)е-^р»л 8in ^-|- + j2Em cos cp sin (pox cos <р)е-^«г sin Чу. G.8) Структура магнитного поля над плоскостью. Поскольку элек- электрический вектор падающей волны лежит в плоскости XOZ, пер- перпендикулярный ему вектор напряженности магнитного поля име- имеет единственную составляющую, ориентированную вдоль оси у. Комплексная амплитуда у-й проекции магнитного вектора падаю- падающей волны должна зависеть от пространственных координат х и z таким же образом, как и комплексная амплитуда электрического вектора [см. формулу G.2)]: xj Ет А—/Ро (—х cosy+z sin<p). ,„ Q4 "пад— .7 c ly* v-y/ z0 где Z0=377 Ом — характеристическое сопротивление вакуума. Так как вектор Пойнтинга отраженной волны направлен вдоль волнового вектора котр, необходимо (рис. 7.1), чтобы магнитный вектор отраженной волны Н0Тр на границе раздела был направлен в ту же сторону, что и вектор Нпад. Тогда соответствующая комп- комплексная амплитуда Й _^гп_ о—/Рэ (х соар+г sincp) п— е потр—— е V \'-ш) zo Складывая выражения G.9) и G.10), получаем формулу, ко- которая описывает пространственную зависимость комплексной амп- амплитуды магнитного вектора суммарного поля: ур Н*=Нпад+Нотр= -f|2- cos{%x cos?) e-^•»"»!,. G.11) Zo Сводка результатов. Итак, задача о поле над идеально прово- проводящей плоскостью при наклонном падении плоской электромагнит-
7.L Падение волны с параллельной поляризацией 131 ной волны с параллельной поляризацией решена полностью. Окон- Окончательные формулы G.8) и G.11) дают возможность сделать ряд принципиальных выводов: • При любых значениях угла падения ф из интервала 0<ф<90° результирующее поле представляет собой волну, которая распро- распространяется в положительном направлении оси г. Об этом свиде- свидетельствует характерный фазовый множитель вида ехр(—/Po^sincp)» Так как фаза поля неизменна в любой плоскости z = const, данный электромагнитный процесс является плоской волной. • В отличие от изучавшихся ранее однородных плоских волн здесь амплитуды составляющих векторов электромагнитного поля в пределах плоского волнового фронта не постоянны, а зависят от поперечной координаты х по закону cos(|3o#cosq)) или sin(p0*cos<p). Такие процессы являются неоднородными плос- плоскими волнами. С физической точки зрения в поперечной плоскости за счет интерференции падающей и отраженной волн возникает стоячая электромагнитная волна. • Структуры полей электрического и магнитного векторов прин- принципиально различны. Магнитный вектор с единственной проекцией Ну чисто поперечен, в то время как электрический вектор имеет и поперечную проекцию Ех, и продольную проекцию Ez. Неодно- Неоднородные плоские волны такой структуры принято называть Е-вол- нами. В литературе встречается также термин ТЖ-волны (от англ. Transverse Magnetic Waves — поперечные магнитные волны). ® Возможен частный случай <р = 90°, когда падающая волна рас- распространяется параллельно границе раздела, так что отраженная волна фактически отсутствует. Поле в полупространстве х>0 яв- является при этом однородной плоской волной; векторы электромаг- электромагнитного поля не имеют составляющих вдоль оси распространения. Такие электромагнитные волны принято называть Т-волнами (от англ. Transverse Waves — поперечные волны). 7.2. Падение плоеной волны с перпендикулярной поляризацией Метод анализа электромагнитного поля над идеально прово- проводящей плоскостью, развитый в предыдущем параграфе, можно без труда распространить на случай, когда падающая плоская волна имеет перпендикулярную поляризацию, т. е, электрический вектор поля в каждой точке полупространства х>0 перпендикулярен плоскости падения. Соответствующий чертеж, поясняющий ориентацию векторов поля, приведен на рис. 7.2. Не повторяя в деталях ход выкладок, запишем комплексную амплитуду вектора напряженности электри- электрического поля падающей волны в виде 5*
.132 Глава 7. Основы теории направляемых волн _р 0—/Ро(--* cos sin?). /7 1 где Еш — произвольный действительный коэффициент. Для того чтобы выполнялось граничное условие Ех = 0 при х=0, необходимо, чтобы в полупространстве х>0 существовала плос- плоская отраженная волна с комплекс- комплексной амплитудой электрического век- вектора Л ^отр— J ^—J$Q {X COS sln G.13) Тогда результирующее электро- электромагнитное поле в верхней полуплос- полуплоскости имеет комплексную амплиту- амплитуду вектора напряженности электри- электрического поля —j?ox cos «?\Л— ]$о* sin <p Рис. 7.2. Падение плоской вол- ны • с перпендикулярной поля- поляризацией на идеально прово- дящую плоскость —е = j2Em sin {%x zk—j80z sin <p| G.14) Чтобы выяснить пространствен- пространственную зависимость магнитного векто- вектора, следует обратиться к рис. 7.2, заметис, что векторы Пойнтин- га Ппад и Потр будут действительно направлены вдоль волновых векторов кпад и кОТр соответственно, если амплитудные коэффици- коэффициенты векторов напряженности магнитного поля таковы: "Опад— —" sin«p ix — Err иидр z0 л z0 Тогда комплексная амплитуда суммарного магнитного вектора ЙЕ=Ниад-|-Н0Тр=— -1—— sin cp.sin(pox cos G.15) G.16) sin Чх — 2Е„ cos cp-cos sin G.17) Анализируя формулы G.14) и G.17), приходим к следующему выводу: рассматриваемый электромагнитный процесс представляет собой неоднородную плоскую волну, распространяющуюся в сто-
7.3. Структура поля Е- и Н-волн 133 рону увеличения координаты 2, т. е. вдоль границы раздела. В по- поперечном направлении поле имеет характер стоячей волны. Принципиальное отличие от случая, изучавшегося ранее в-§ 7.1, состоит в том, что здесь электрическое поле имеет единственную отличную от нуля проекцию Еу и является чисто поперечным. Век- Вектор напряженности магнитного поля, напротив, кроме поперечной проекции Нх имеет также продольную проекцию Hz. По этой при- причине такие направляемые волны принято называть Н-волнами или IE-волнами (от англ. Transverse Electric Waves — поперечно-элек- поперечно-электрические волны). В заключение отметим, что при падении плоской волны с пер- перпендикулярной поляризацией на границу раздела с идеальным про- проводником чисто поперечных Т-волн возникнуть не может. Действи- Действительно, проекция Hz тождественно равна нулю лишь при ф=90°, когда со$ф = 0. Однако на основании формулы G.14) при этом од- одновременно Еу = 0, т. е. такая электромагнитная волна не сущест- существует. 7.3. Структура электромагнитного поля Е- и Н-волн В предыдущих пунктах были получены формулы G.8), G.11), G.14) и G.17), которые определяют законы изменения в простран- пространстве комплексных амплитуд электрического и магнитного векторов для волн Е- и Н-типов. Займемся теперь анализом этих выражений, с тем чтобы найти такие важные характеристики направляемых волн, как фазовая скорость, среднее значение потока мощности и т. д. Поскольку аналитическая форма представления векторов поля через пространственные зависимости соответствующих про- проекций зачастую лишена наглядности, полезно также построить картины распределения в пространстве силовых линий электриче- электрического и магнитного полей. Продольное и поперечное волновые числа. Как уже упомина- упоминалось, характер зависимостей проекций векторов электромагнит- электромагнитного поля волн Е- и Н-типов вдоль продольной координаты z и поперечной координаты х совершенно различен: по оси z устанав- устанавливается бегущая, а по оси х— стоячая волна. Чтобы учесть эту особенность рассматриваемого волнового процесса, вводят два па- параметра: продольное волновое число /г = р0 sincp G.18) и поперечное волновое число х g = %cos<?, G.19) такие, что $ G.20) при любом угле падения <р.
134 Глава 7. Основы теории направляемых волн Формулы G.18) и G.19) дают возможность существенно уп- упростить выражения для проекций векторов поля (нижний индекс 2 опущен, так как здесь и в дальнейшем речь идет только о сум- суммарном поле): Е-волны Ё = 2Ет sin<?-cosgx-e--Jhzix-{-j2Emcos4-smgx-e-Jhziz, G.21) о г? G.22) G.23) —cosy-cosgx-e-jhz\z. G.24) H - в о л н ы H=—j Фазовая скорость Е- и Н-волн. Характерный вид зависимости функций, представляемых формулами G.21) — G.24), от коорди- координаты z указывает на то, что про- *-,, ч*г' ^ ' - ;" \, ***-ч_ ч, в; '; дольное волновое число h играет роль коэффициента фазы направ- направляемых волн над проводящей плоскостью. Тогда, по определе- определению, фазовая скорость волново- волнового процесса 6) а> С У/ Q ~ _ sin <р G.25) Рис. 7.3. Структура волновых фрон- фронтов падающей и отраженной волн Видно, что при любом угле падения ф, отличном от 90°, имеет место неравенство v*>c G.26) Поэтому Е- и Н-волны часто называют быстрыми волнами. Физический смысл неравенства G.26) легко понять, обратив- обратившись к рис. 7.3, где изображена хорошо известная из повседнев- повседневного опыта структура волновых фронтов падающей и отраженной волн, наблюдаемая на поверхности воды вблизи непроницаемой стенки (берега). Пусть иф0 — фазовая скорость падающей волны, Ф — угол падения. Если в треугольнике ОАВ мысленно зафикси- зафиксировать точку В, а точке А дать возможность перемещаться вместе с волновым фронтом, то, очевидно, d
7.3. Структура поля Е- и Н-волн 135 Однако точка О, в которой пересекаются стенка и волновой фронт, будет двигаться быстрее: ~- что полностью соответствует формуле G.25). Читатель, безуслов- безусловно, не раз обращал на это внимание, наблюдая за тем, как волны набегают на берег водоема. Заметим, что если ф = 0, то колебания во всех точках линии, параллельной стенке, происходят с одинаковой фазой. Поэтому формально можно говорить о том, что фазовая скорость волнового процесса вдоль оси z обращается в бесконечность. Продольная и поперечная длины волн. Несмотря на существен- существенные различия, структуры полей электромагнитных волн Е-и Н-ти- пов имеют общую черту: проекцшПзекторов поля описываются пе- периодическими функциями как продольной координаты г, так и поперечной координаты х. Пространственный период поля ЛпрОд вдоль оси распростране- распространения z будем называть продольной длиной волны. Очевидно, что ^ *L_^-, G.27) sin <p h Posin ? sin <p где Хо — длина однородной плоской волны в свободном простран- пространстве. Отметим, что всегда ЛПрод^А,0, так как v^^-c. Аналогично, пространственный период стоячей волны вдоль по- поперечной оси х будем называть поперечной длиной волны: Лпопер=— =-*>-. G.28) р g cos<? Параметры Яо, ЛПрод и Лщшер связаны очевидным соотношением Lp = 2X^ G.29) Пример 7.1. Плоская электромагнитная волна с параллельной поляризацией, имеющая частоту /=5 ГГц, падает из вакуума под углом ф = 40° на границу раздела с идеальным проводником, об- образуя в верхнем полупространстве волну Е-типа. Найти продоль- продольное волновое число Л, поперечное волновое число g, фазовую ско- скорость Е-волны иф, а также длины волн ЛПрод и Лпопер. Прежде всего определяем коэффициент фазы в свободном про- пространстве: ;.10$/C-108)= 104.72 м-1.
136 Глава 7. Основы теории направляемых волн Затем по формулам G.18) и G.19) находим /z = ?0sin40°=67.31 м-1; g* = p0cos40°=80.22 м-1. На основании соотношения G.25) фазовая скорость Е-волны ^==r/sin40°=4.667.108 м/с. Наконец, в соответствии с выражениями G.27) и G.28) имеем Апрод=2л/Л = 0.093 м —9.3 см, Л попер" = 7.8 см. Структура силовых линий электрического и магнитного полей. Чтобы наглядно представить электромагнитный процесс, который возникает при падении плоской вол- ны на идеально проводящую плос- плоскость, целесообразно построить си- силовые линии электрического и маг- магнитного полей. Такое построение можно выполнить на основании формул G.21) — G.22) и G.23) — G.24). Рассмотрим вначале данную за- задачу в общем виде. Пусть кривая MN на рис. 7.4 является некоторой силовой линией поля Е, наблюдае- наблюдаемой в фиксированный момент вре- времени /о- Вектор Е, определенный в точке А и имеющий проекции Ех и А D 'dz F 7 в Ex с Рис. 7.4. К выводу дифференци- дифференциальных уравнений силовых линий электромагнитного поля Ez, изображен отрезком АВ. Согласно определению, этот отрезок направлен по касательной к силовой линии. Если координата z в точке А получает приращение dz, то, пере- перемещаясь вдоль силовой линии, мы из точки А переходим в точ- точку /), при этом координата х получает приращение на величину Ах. Пренебрегая бесконечно малыми величинами порядка (dxJ и (dzJ, можно заменить дифференциал дуги отрезком касательной и считать, что «треугольник» ADF подобен прямоугольному тре- треугольнику ABC. Отсюда следует, что dx dz у z, tQ) Ez(x, z, tQ) ИЛИ dx _ Ex(xf z, t0) dz E2(x,ztt0) G.30)
7.3. Структура поля Е- и Н-волн 1.37 Равенство G.30) представляет собой дифференциальное урав- уравнение силовой линии рассматриваемого поля. Помимо уравнения необходимо задать также начальное условие, указав некоторую точку пространства с координатами (х0, 2о)> через которую должна проходить эта силовая линия. Из теории дифференциальных урав- уравнений известно, что если в окрестности выбранной точки правая часть уравнения вида G.30) имеет непрерывную частную произ- производную по аргументу х, то такая точка является неособенной и через нее проходит единственная силовая линия (интегральная кривая). Продемонстрируем описанную методику на примере построе- построения силовых линий поля электрического вектора для Е-волны [фор- [формула G.21)]. Прежде всего, переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям поля, запишем Е(х, г, /)=2fm sincp-cosgvc-cos (<&t — hz)\x — — 2?mcoscp-singvc-sin Ы — hz) iz. G.31) Здесь принято во внимание, что z-я проекция опережает по фазе х-ю проекцию на я/2 радиан и поэтому cos (id/ — hz-\- л/2) = — sin (to/ — hz). Условимся строить силовые линии поля в момент времени /=0. Тогда на основании выражений G.30) и G.31) имеем дифферен- дифференциальное уравнение dx sin ф-cos gx-cos hz . , , f tn OO4 —— = ^— ——--=tg<f-ctggx-ctg hz. G.32) az cos <p- sin gX' sin hz Анализируя данное уравнение, приходим к следующим выво- выводам: 1) На границе раздела при х = 0 производная dx/dz неограни- неограниченно велика. Значит, силовые линии поля Е в полном соответ- соответствии с граничными условиями подходят к поверхности идеального проводника по нормали. 2) Картина силовых линий поля является периодической с пе- периодами Лдрод и Лпопер по осям z и х соответственно [см. форму- формулы G.27) и G.28)]. Поэтому силовые линии электрического век- вектора волны типа Е представляют собой замкнутые кривые, лежа- лежащие в плоскости XOZ. Исключение составляют лишь те линии, которые «входят» в идеальный проводник или «выходят» из него. На рис. 7.5 изображена группа кривых, построенных путем чис- численного интегрирования на компьютере уравнения G.32) для част- частного случая ф = 45°, когда волновые числа hug совпадают. В це- целях удобства построения по координатным осям отложены без- безразмерные аргументы hz и gx. Кривые построены в пределах квад-
138 Глава 7. Основы теории направляемых воля рата, внутренние точки которого удовлетворяют неравенствам /2Л 0/2 Требования к точности графического построения картины поля не слишком высоки. Поэтому использовался простейший числен- численный способ решения дифференциального уравнения —метод Эйле- Эйлера первого порядка, согласно которому уравнение G.32) прибли- приближенно заменяют уравнением в конечных разностях Ах=tg ср • ctg gx • ct g hz • Дг. Вычисления начинают с некоторой начальной точки (х0, <г0). Далее определяют координаты очередной точки х{ = Хо-\-Аху Z\ = = Zo-{-Az, где Az — фиксирован- фиксированный шаг. Эту операцию цикличе- циклически повторяют до тех пор, пока текущая точка на кривой не до- достигнет границы области. Кривые на рис. 7.5 построены для шести начальных точек, у ко- которых координата hzo = n/2 одна и та же, а координаты gx0 при- принимают значения 0.25, 0.5, 0.75, /? 1.0, 1.25 и 1.5. Теперь не представляет труда Рис. 7.5. Результат численного ин- изобразить полную картину СИ- тегрирования дифференциального r J r j уравнения силовых линий электри-НЛОВЫХ ЛИНИИ электрического век- ческого вектора ?тора (рис. 7.6). Для этого доста- достаточно «повторить» картину, при- приведенную на рис. 7.5, должное число раз. Необходимо лишь сле- следить за тем, чтобы направления стрелок на силовых линиях чере- чередовались в силу пространственной периодичности поля. На этом же рисунке построены силовые линии магнитного век- вектора Е-волны. Из формулы G.22) вытекает зависимость напря- напряженности магнитного поля от пространственных координат при / 0 с, z, 0) = - -cos G.33) Силовые линии такого поля представляют собой «нити», парал- параллельные оси у. Направление вектора Н периодически изменяется в пространстве. Вектор, ориентированный от наблюдателя к плос- плоскости чертежа, обозначен сплошным кружком; вектор противопо- противоположного направления обозначен кружком с точкой. Как принято в электродинамике, силовые линии проведены ча- чаще там, где напряженность поля больше. Полезно заметить, что магнитное поле Е-волны, будучи поперечным, концентрируется
7.3. Структура поля Е- и Н-волн 139 именно в тех областях пространства, где велика поперечная про- проекция Ех напряженности электрического поля. Наоборот, там, где продольная проекция Ez достигает максимума, проекция Ну обра- обращается в нуль. Структура поля волны типа Т. Поперечные электромагнитные волны (Т-волны) существуют в полупространстве над идеально проводящей плоскостью в частном случае, когда угол падения плоской волны с параллельной поляризацией равен 90° . При этом поперечное волновое число g = 0, а продольное волновое число Рис, 7.6. Структура силовых линий волны типа Е над идеаль- идеально проводящей плоскостью Соответствующие проекции комплексных амплитуд векторов электромагнитного поля прямо вытекают из формул G.21) и G.22), в которых следует опустить коэффициент 2, так как от- отраженная волна отсутствует: Ё=Ете-^Чх, G.34) G.35) Шу. Отсюда мгновенные значения векторов E(z, /)=?"„, cos (a>/- $Qz)ix, Н (z, t) =--??- cos (ш/ - %z) ly. G.36) G.37)
140 Глава 7. Основы теории направляемых волн В момент времени ?=0 имеем Е(г, 0) = ?m cos G.38) G.39) Картина распределения векторов поля в плоскости XOZ, по- построенная на основании формул G.38) и G.39), приведена на рис. 7.7. Заметим, что она ничем не отличается от картины поля одно- однородной плоской волны. Рис. 7.7. Структура силовых линий направляемой Т-волны Структура поля волны типа Н. Исследование пространственной структуры силовых линий электромагнитного поля воды типа Н, возникающей над идеально проводящей плоскостью, можно про- провести аналогичным образом. Не останавливаясь на подробностях, запишем с помощью формул G.23) и G.24) выражения мгновенных значений векторов поля волны типа Н в момент времени ^ = 0: Е (х, z, 0) = 2Em singx- sin hz • \у, G.40) 2Е Н(х, z, 0) = — sin<p-sing"a*- sin hz-\x — z ¦ cos <p • cos gx• cos hz • \z. G.41) Дифференциальное уравнение силовых линий магнитного век- вектора в соответствии с выражением G.41) имеет вид G.42)
7А. Характеристики поля Е- и Н-волн 141 Картина силовых линий вектора Н, построенная путем числен- численного интегрирования этого уравнения для частного случая ф = 45°, приведена на рис. 7.8. Здесь же изображен эскиз пространствен- пространственного распределения силовых линий вектора Е, построенный на ос- основании выражения G.40). ; «; ;; |«;0 •! (J ;«!*;«j (J ^ I®! |©| •l©l«| (J ;•;•!•¦ ( ) |®|©|®i (J >•>•;•; ij ;• ©;• (•(•if I®l0®lf i®i#l )||©|( j •! » . . t . . « > Рис. 7.8. Структура силовых линий волны типа Н над идеально проводящей плоскостью Следует обратить внимание на то, что в силу граничных усло- условий при х = 0 нормальная составляющая магнитного вектора и ка- касательная составляющая электрического вектора обращаются в нуль. В остальном картины полей волн Е- и Н-типов идентичны с точностью до перестановки векторов Ей Н. 7.4. Некоторые характеристики электромагнитного поля Е- м Н-волн Получив аналитические выражения G.21) — G.24) и построив картины силовых линий векторных полей Ей Н, перейдем к изу- изучению некоторых частных характеристик электромагнитного поля направляемых волн над проводящей плоскостью. Плотность потока мощности направляемых волн. Обратясь к случаю волн Е-типа, запишем выражение комплексного вектора Пойнтинга [см. формулу B.28)], определенного в каждой точке по- полупространства 0
142 Глава 7. Основы теории направляемых волн О Ни Слагаемые в правой части последнего равенства принципи- принципиально различны. Действительно, приняв во внимание выражения G.21) и G,22), легко заметить, что произведение ЁХНУ, образо- образованное поперечными проекциями векторов поля, является чисто * вещественным числом, в то время как произведение EzHy чисто мнимое. Поэтому вектор Пойнтинга, усредненный за период коле- колебания, ориентирован вдоль направления распространения волны: G.44) Мнимую составляющую комплексного вектора Пойнтинга, ори- ориентированную вдоль поперечной координаты х и физически связан- связанную с возникновением в пространстве стоячей волны, по терми- терминологии из теории цепей уместно назвать реактивной составляю- составляющей: Ег Пр =—— cos cp- sin Bgx) ix. G.45) Ясно, что в волне типа Т, для которой ф = 90°, реактивная состав- составляющая вектора Пойнтинга отсутствует. Совершенно аналогично из выражений G.23) и G.24) выводят- выводятся формулы для составляющих вектора Пойнтинга в волне Н~типа: ¦ sin ср. sin2gxlz, G.46) =V2Re (EyHz) 1Х = —~~ cos <p. sin z0 G.47) Следует обратить внимание на то, что в волнах Е- и Н-типов обе составляющие комплексного вектора Пойнтинга распределены вдоль поперечной координаты х неравномерно. Распределение тока на идеально проводящей плоскости. Чтобы найти векторное поле плотности поверхностного электрического то- тока на направляющей идеально проводящей плоскости, следует вос- воспользоваться формулой D.21) s в которой под ортом нормали \п
7.4. Характеристики поля ?"- и Н-волн 143 следует\ понимать единичный вектор \х. При этом убеждаемся, что для волр типа Е комплексная амплитуда U-o=-2§*-e-'**i, G.48) описывает бегущую волну, которая распространяется в продоль- продольном направлении и имеет единственную z-ю составляющую (рис. 7.9, а). | Ч " J поВ. ¦ 9 0 z Рис. 7.9. Распределение вектора плотности поверхностного тока на иде- идеально проводящей плоскости: а — для волн типа Е; б — для волн типа Н По-иному выглядит структура поверхностного тока Н-волны. Здесь, согласно формуле G.24), на границе раздела вектор Н име- имеет единственную составляющую с комплексной амплитудой Тогда G.49) Соответствующий эскиз картины силовых линий тока показан на рис. 7.9, б. Здесь поверхностный ток протекает уже не в про- продольном, а в поперечном направлении. Из сказанного следует важный для антенной техники вывод о том, что при заранее известной поляризации падающего поля сплошной металлический отражатель можно с успехом заменить системой параллельных проводящих стержней, пластин и т. д. Эти проводники должны размещаться достаточно часто, например с шагом Х/10 или менее, и быть ориентированными вдоль линий по- поверхностного тока. Удельная мощность потерь. Реальная плоскость, на которую падает волна, выполнена из металла, т. е. материала с высокой, но
144 Глава 7. Основы теории направляемых волн все же конечной электрической проводимостью. В соответствии с приближенными граничными условиями Леонтовича F.54)/ на по- поверхности металла будет возникать касательная составляющая вектора Е, комплексная амплитуда которой Вектор касательной составляющей Етм должен быть ориентиро- ориентирован так, чтобы совместно с величиной Нтм порождать вектор Пойнтинга, направленный в глубь металла; среднее значение этого вектора характеризует удельную (на единицу площади) мощность потерь: fiU. G.50) Для волн типа Е ' и, значит, хм — Отсюда на основании равенства G.50) 2 /^ П.- m Pq v fill m I / ' ° F2 /~^ ~ fill m I / ' ° Zo y a Отрицательный знак в этой формуле указывает на то, что поток энергии потерь действительно направлен в глубь проводящей среды. Для волн Н-типа Р _ 2ZCuEm c .p-z/tgj откуда ^/^^«V G-52) Zq Сравнивая выражения G.51) и G.52), интересно отметить, что потери в металле для случая Е-волн не зависят от угла падения, в то время как для случая Н-волн эти потери стремятся к нулю, если угол падения ф приближается к 90°.
7.5. Свкзь между составляющими векторов поля 145 Поляризационные характеристики Е- и Н-волн. В гл. 3 было показано, что наиболее общим видом однородной плоской элек- электромагнитной волны является волна с эллиптической поляриза- поляризацией. Рассматриваемые здесь неоднородные Е- ^ Н-волны имеют несколько иную, более сложную поляризационную структуру. Действительно, в волне типа Е, согласно формуле G.22), поле магнитного вектора поляризовано линейно. Поле же электрическое го вектора в соответствии с формулой G.21) имеет две взаимно перпендикулярные декартовы составляющие, которые колеблются во времени со сдвигом фаз 90° (об этом свидетельствует коэффи- коэффициент / в комплексной амплитуде Ez). Поэтому можно утверж- утверждать, что электрический вектор Е-волны в общем случае поляризо- поляризован по эллипсу, причем эксцентриситет поляризационного эллип- эллипса в разных точках пространства неодинаков. Пример 7.2. Волна типа Е возникает при падении однородной плоской волны на идеально проводящую плоскость под углом ф = = 50°. Длина падающей волны ^0 = 0.4 м. Определить, на каком минимальном расстоянии от границы раздела вектор напряженно- напряженности электрического поля окажется поляризованным по кругу. Для возникновения круговой поляризации необходимо, чтобы обе взаимно перпендикулярные составляющие вектора имели оди- одинаковые амплитуды. Поэтому искомая координата х является наи- наименьшим положительным корнем уравнения sin cp-cos gx = cos cp- sin gx, откуда cos cp)=0.086 м. Аналогично выглядит поляризационная структура поля волны Н-типа. Однако здесь в соответствии с формулами G.23) и G.24) электрический вектор линейно поляризован в поперечной плоско- плоскости, в то время как магнитный вектор имеет эллиптическую поля- поляризацию. Соотношением между осями поляризационного эллипса зависит от угла падения плоской волны и непрерывно меняется вдоль поперечной координаты. 7.5. Связь между продольными и поперечными составляющими векторов поля направляемых волн Рассмотренные в этой главе Е- и Н-волны, возникающие в по- полупространстве над идеально проводящей плоскостью, являются предельно идеализированными моделями направляемых электро-
146 Глава 7. Основы теории направляемых волн магнитных волн. Теория некоторых практически важных волново- волноводов будет развита в гл. 8, 9 и 10. Однако на основе уравнений Максвелла можно заранее вывести ряд существенных свойств по- подобных волн, относящихся к любым направляющим системам. Эта возможность обусловлена тем, что любая направляемая плоская волна, распространяющаяся, скажем, вдоль оси /г, пред- представляет собой неоднородную волну особого вида: комплексная амплитуда каждой из шести проекций векторов Е и Н т^кой вол- волны зависит от пространственных координат по закону / Начальную фазу волны всегда можно подобрать так, чтобы амп- амплитудная функция V0(x, у) была действительной. Производные по z от проекций векторов поля вычисляются весьма просто: dV/dz = -jhV и т. д. G.54) Пусть электромагнитный процесс в некоторой области прост- пространства, свободной от источников, описывается уравнениями Макс- Максвелла В развернутой координатной форме эти уравнения выглядят так: дЙг дНу ду дНх дг дЙу дх дЁ2 ду дг дНг дх дЙх <>У дЁу дг дЁх дх
7.5. Скязь между составляющими векторов поля 147 Если теперь выразить производные по z в соответствии с ра- равенством G.54), то системы G.55) и G.56) упростятся: G.57) дх ду дЁг G.58) дх ду Принципиально важно то, что в уравнениях G.57) и G.58) по- поперечные проекции Ёх, Ёу, Йх и Ну представляются в виде линей- линейных комбинаций из производных от продольных проекций Ёг и Н2 по поперечным координатам х и у. Действительно, рассматривая, например, совместно первое уравнение из системы G.57)* и вто- второе уравнение из системы G.58), получаем систему двух линей- линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Ёх и НУ9 причем в правой части этой системы окажутся производные дЁг/дх и дЙг/ду. Аналогично составляется вторая система уравне- уравнений относительно неизвестных Ёу и Нх. Решая эти две системы уравнений, приходим к следующему результату: dHz <7-и) ду дх
/ 148 Глава 7. Основы теории направляемых волн Здесь g — поперечное волновое число исследуемого процесса, оп- определяемое, как известно, следующим образом: / / Равенства G.59) могут рассматриваться как формуль/ перехо- перехода от продольных к поперечным проекциям векторов н/аправля- емого электромагнитного поля. Роль их состоит в том, ^то доста- достаточно найти лишь две функции Ez(x1 у) и Hz{x><, y)\ оста^ные про- проекции определяются через них простым дифференцированием. ЗАДАЧИ 7.1. Под каким углом должна падать плоская электромагнит- электромагнитная волна на поверхность идеального проводника для того, чтобы фазовая скорость процесса, полученного суперпозицией падающей и отраженной волн, составляла 5с? Среда распространения — воз- воздух. 7.2. Вычислите продольное и поперечное волновые числа для волны типа Е, если известно, что частота поля /=200 МГц, а угол падения ф=70°. 7.3. Найдите частоту f и угол падения ф плоской электромаг- электромагнитной волны, падающей на идеально проводящую плоскость, если продольная длина волны ЛпроД=85 мм, а поперечная длина волны ЛПопер=60 мм. Среда распространения — вакуум. 7.4. Направляемая волна Е-типа имеет фазовую скорость v<% = — Зс, амплитудный коэффициент ?т=250 В/м и частоту /= = 1.5 ГГц. Вычислите усредненный вектор Пойнтинга Пср, а также реактивную составляющую вектора Пойнтинга Преак в точках вооб- воображаемой плоскости, параллельной границе раздела и отстоящей от нее на расстоянии х=0.05 м. 7.5. Волна типа Е образуется в вакууме над идеально прово- проводящей плоскостью при падении плоской волны, имеющей среднее значение вектора Пойнтинга Пср.пад = 800 Вт/м2. Вычислите ампли- амплитуду продольной составляющей вектора плотности поверхностного .тока на границе раздела. 7.6. Решите предыдущую задачу применительно к случаю, ког- когда падающая электромагнитная волна имеет перпендикулярную поляризацию и в полупространстве х>0 образуется направляе- направляемая волна Н-типа. Угол падения плоской волны ф = 30°. 7.7. Направляемая волна Е-типа, имеющая амплитудный коэф- коэффициент ?°т=500 В/м, существует над плоской границей раздела с хорошо проводящей немагнитной (ji=l) средой. Удельная про- проводимость среды 0=5-107 См/м, частота поля f=l ГГц, Опреде- Определите величину Пср.пот — модуль составляющей вектора Пойнтинга, которая описывает плотность потока мощности потерь.
8,1. Постановка задачи 149 Глава восьмая ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД В данной главе будет рассматриваться полый металлический волновод прямоугольного сечения — линия передачи, находящая в настоящее время, пожалуй, наибольшее применение в технике СВЧ. Задача об электромагнитных волнах в трубе с хорошо про- проводящими стенками представляет большой самостоятельный ин- интерес и требует математических методов, более общих по сравне- сравнению с теми, которые использовались при изучении волн над про- проводящей плоскостью. 8.1. Постановка задачи Анализируемая здесь линия передачи представляет собой тру- трубу с поперечным сечением прямоугольной формы (рис. 8.1). Счи- Считается, что стенки трубы выполнены из идеального проводника (о=оо). Размер сечения вдоль широкой стен- стенки всегда в дальнейшем будем обо- обозначать через а, размер вдоль уз- узкой стенки — через Ь. Данный вол- волновод помещен в декартову систему координат х, yt z так, как показа- показано на рисунке. Волновод неограни- неограниченно протяжен вдоль оси z, кото- которая принимается за ось распрост- распространения электромагнитных волн. Рис. 8L Прямоугольный метал- Будем считать также, что внутри лический волновод волновода находится воздух или ва- вакуум, т. е. среда с электродинамическими параметрами еа = во, jxa = [xo. Такая ситуация чаще всего встречается на практике. Поставим цель найти всю совокупность электромагнитных волн, которые описываются решениями уравнений Максвелла и могут существовать внутри волновода на всем протяжении оси. При этом мы не станем интересоваться тем, каким именно обра- образом те или иные источники (антенны, электронные пучки и т. д.) возбуждают эти колебания в волноводе. Можно сказать, что здесь будут рассматриваться свободные колебания в волноводе (ср. со свободными колебаниями в резонансном LC-контуре).
150 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод 8.2. волны типа Е в прямоугольном волноводе Как уже известно, волны типа Е отличаются присутствием про- продольной составляющей вектора напряженности электрического по- поля, в то время как магнитное поле этих волн чисто поперечно, т. е. ЁЙ Этот несколько особый характер проекции Ez позволяет выра- выразить все поперечные проекции векторов электромагнитного поля любой волны типа Е через частные производные от Ez по попереч- поперечным координатам на основании формул G.59). Поскольку здесь #2 = 0, формулы перехода принимают весьма простой вид: г- —jh dEz j\ у'оЕр dEz дх х g* ду ^У g2 ду ' ПУ gl дх • Если удастся найти проекцию Ez во всех внутренних точках попе- поперечного сечения волновода, задача будет полностью решена. Чтобы получить функцию Ёг(х, у, z), следует воспользоваться уравнением Гельмгольца, которому удовлетворяет любая проек- проекция векторов поля, в том числе и Ez, при некотором фиксирован- фиксированном значении частоты: = 0. (8.2) Решение этого уравнения будем искать в риде, общем для всех волноводных задач, рассматриваемых в дальнейшем: Ёг1х, У, z) = Ez{x, y)e~J'hz. (8.3) Здесь Ег(х, у)—подлежащая определению действительная функ- функция, описывающая распределение продольной составляющей элек- электрического поля в поперечном сечении волновода. Амплитудное значение поля не зависит от координаты z, так как, по исходному предположению, потери в волноводе отсутствуют. Изменение фазы колебаний вдоль оси распространения учитывает экспоненциаль- экспоненциальный множитель вида ехр(—jhz). Знак показателя экспоненты ука- указывает на то, что решение вида (8.3) соответствует бегущей волне, которая распространяется в положительном направлении оси z. Продольное волновое число h нужно найти исходя из геометриче- геометрических размеров а и Ь, а также длины волны возбуждающего гене- генератора Яо. Вид решения, принятый выше,4 дает возможность несколько уп- упростить исходное уравнение (8.2). Действительно, подставив (8.3) в (8.2) и воспользовавшись правилом дифференцирования экспо-
8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 151 ненты, будем иметь следующее уравнение относительно неизвест- неизвестной амплитуды Ё2(х, у): =0. (8.4) Здесь Vх = d2fdx2 + д2/ду2 — так называемый поперечный опера- оператор Лапласа, действующий на неизвестную функцию лишь по ко- координатам х и у, g=V$2—h2 — поперечное волновое число. Граничные условия на стенках волновода. Наша конкретная задача — найти такое частное решение уравнения Гельм- гольца(8.4), которое обеспечивало бы выполнение граничного ус- условия Ех = 0 на идеально проводящем контуре сечения волновода. В общем случае следует предполагать, что вектор напряжен- напряженности электрического поля имеет все три декартовы составляю- составляющие. При этом г-я составляющая Ez\z является касательной ко всем четырем стенкам волновода. Поэтому на стенках эта составляю- составляющая должна обращаться в нуль: х=0, х=а, Ez=0 при #=0, у=Ь. (8.5) Проекция Ех, определяющая х-ю составляющую электрическо- электрического вектора, должна обратиться в нуль лишь на широких стенках волновода, параллельных оси х: Ех = 0 при z/=0, у=Ь. (8.6) Наконец, на узких стенках волновода следует потребовать об- обращения в нуль проекции Еу: Еу = 0 при х=0, х=а. (8.7) Однако легко убедиться в том, что граничные условия (8.5) — (8.7) связаны друг с другом. Действительно, согласно формулам перехода (8.1), в случае волн Е-типа проекции поперечных состав- составляющих электрического вектора Ёх и Ёу пропорциональны част- частным производным dEz/dx и дЁ2/ду соответственно. Поэтому приве- приведенную систему граничных условий можно записать через Ёг и ее производные по поперечным координатам: EZ=Q при (а) -^- = 0 при у = 0, у = Ь9 (б) (8.8) —^-=0 при л:=0, х—а. (в)
152 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Очевидно, что условие (а) обеспечивает постоянство Ez на конту- контуре сечения волновода и автоматическое выполнение граничных ус- условий (б) и (в). Краевая задача и ее решение. Мы убедились, что для исследо- исследования волн типа Е в прямоугольном волноводе необходимо решить уравнение Гельмгольца относительно амплитуды проекции Ez вме- вместе с соответствующим граничным условием на контуре попереч- поперечного сечения: * = 0, (8.9) х=0, х = а, /Гг=0 при у = 0, у = Ь. В математике подобную совокупность уравнения в частных про- производных и некоторых граничных условий называют краевой за- задачей. Конкретно краевая задача (8.9), согласно которой искомая функция должна обратиться в нуль на границе области, носит на- название однородной краевой задачи Дирихле. Интересно отметить, что рассматриваемая электродинамиче- электродинамическая задача допускает наглядную механическую аналогию. Ока- Оказывается, краевая задача вида (8.9) возникает при изучении коле- колебаний однородной жесткой мембраны прямоугольной формы с раз- размерами сторон а и Ь. Искомая функция описывает смещение точек мембраны относительно положения равновесия в направлении, пер- перпендикулярном ее плоскости. Нулевые граничные условия указы- указывают на то, что края мембраны жестко закреплены. Среди известных в математике способов решения дифференци- дифференциальных уравнений в частных производных одно из центральных мест занимает метод разделения переменных, иногда называемый также методом Фурье (что никак не связано с рядами или ин- интегралами Фурье). Сущность метода разделения переменных со- состоит в том, что решение уравнения в частных производных отыскивается в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной координаты. Применительно к краевой задаче (8.9) имеем (8.10) Подставив искомую функцию вида (8.10) в уравнение Гельм- Гельмгольца из задачи (8.9), получаем уравнение X"V + XV"+g*XV=0, (8.11) в котором двойным штрихом обозначена обыкновенная (не част- частная) производная по соответствующей координате.
8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 153 Далее, разделив почленно обе части уравнения (8.11) на неиз- неизвестное решение в форме (8.10), будем иметь Xf//X + yvr = -g2. ' . (8.12) Заметим, что левая часть уравнения (8.12) есть сумма двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, х или у. В правой же части располагается число —g2y не завися- зависящее ни от х, ни от у. Поэтому для того, чтобы (8.12) выполнялось, тождественно при всех х и у, необходимо потребовать, чтобы X''lX = -gl, (8.13) Y"/r = -gl (8.14) где gx, gy—некоторые числа, удовлетворяющие в силу (8.12) оче- очевидному соотношению Теперь смысл метода разделения переменных становится яс- ясным: сложную задачу — поиск решения дифференциального урав- уравнения в частных производных удается свести к более простой — интегрированию уравнений вида (8.13) и (8.14) в обыкновенных производных. Эти два уравнения с постоянными коэффициентами можно записать в привычном виде: = 09 (8.16) = 0. (8.17) Общие решения уравнений (8.16) и (8.17) выражаются через гармонические функции пространственных координат и содержат четыре произвольных амплитудных коэффициента Л, В, С и D: X (х)=А sin gxx-\-B cos gxx, (8.18) Y (y) = C sin gyy + D cos gyy, (8.19) отсюда Ez (x, y) = (A sin gxx + Bcos gxx) (C sin gyy + D cos gyy). (8.20) Итак, общее решение уравнения Гельмгольца, входящего в рас- рассматриваемую краевую задачу, получено. Остается выбрать шесть величин — Л, В, С, D, gx, gy — таким образом, чтобы выполнялись граничные условия на стенках волновода. Прежде всего заметим, что из условия Ez=0 при х = 0 и у = 0 следует обращение в нуль коэффициентов при косинусоидальных слагаемых, т. е. B = D = 0. Тогда произведение двух оставшихся
154 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод амплитудных коэффициентов можно обозначить через Ео и запи- записать Ez (х, y)=EQ sin gxx sin gyy. (8.21) Теперь остается подобрать должным образом величины gx и gy. Из граничного условия ?2=0 при х=а следует, что singxa=0. (8.22) Аналогичным образом граничное условие Ez=0 при у = Ь приво- приводит к равенству sin ^6=0. (8.23) Легко видеть, что равенства (8.22) и (8.23) будут тождест- тождественно выполняться лишь в том случае, если ё*=^> Sy=-f, (8.24) где my n — любые целые положительные числа. Отметим, что для рассматриваемых здесь волн Е-типа ни одно из этих чисел не может быть нулевым. В противном случае проекция Ё2, а следо- следовательно, и все другие проекции векторов электромагнитного поля тождественно обратились бы в нуль в каждой точке поперечного сечения волновода. Итак, выражение Е2 (х, у) = Е, sin [^- х) sin [^~ yj , (8.25) в которое входят два целочисленных параметра тип, является решением краевой задачи (8.9). Собственные значения и собственные функции. Проведенный анализ позволяет сделать вывод: краевая задача вида (8.9) имеет отличные от нуля решения не при любых значениях параметра g", а лишь при таких, которые связаны с геометрическими размерами стенок волновода соотношением <8-26> которое непосредственно вытекает из формул (8.15) и (8.24). Дан- Данная величина g", отвечающая паре чисел тип, носит название собственного значения рассматриваемой краевой задачи для урав- уравнения Гельмгольца . Каждому собственному значению отвечает функция вида (8.25), называемая собственной функцией краевой задачи. Такая собст- собственная функция описывает одно из бесконечного множества ре-
8.2. Волны типа Е в прямоугольном волноводе 155 шений уравнений Максвелла, которое в данном случае называют волной типа Етп. Числа тип называют индексами волны данно- данного типа. Физически они означают количества стоячих полуволн, возникающих внутри волновода вдоль координатных осей х и у соответственно. Поскольку индексы могут быть любыми, в прямо- прямоугольном металлическом волноводе возможно раздельное сущест- существование сколь угодно большого числа волн типа Етп. Однако из сказанного ранее следует, что волн типа ЕОп и Ето не существует. Структура электромагнитного поля волны типа Етп. Решение краевой задачи, даваемое формулой (8.25), позволяет непосредст- непосредственно написать выражение проекции Ez комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля. Все остальные про- проекции векторов электромагнитного поля волны типа Етп в прямо- прямоугольном волноводе получаются дифференцированием на основа- основании формул перехода (8.1): ^ . Ктл _, / тл \ . ( пл \ ;Л, E jEcos[ х) sin — 0]е-'Л*, \ а ) \ Ь ) Еу= -J g2a hnzt у / тк \ ( пл (— х) cos (— = Е0 sin (-^-x) sin ) тл ~ / тл \ . ( пл \ ,hy = —усое0 /?0cos х] sm — е~;Лг, g2a \ a J \ b ) Пример 8el. В заполненном воздухом прямоугольном волново- волноводе с размерами стенок а = 50 мм, 6 = 25 мм возбуждена волна ти- типа Еп. Вектор напряженности электрического поля в центре вол- волновода при х = а/2, у = Ь/2 имеет амплитуду ?0 = 200 В/м. Опреде- Определить комплексную амплитуду вектцда Н вдоль прямой линии, па- параллельной оси z и пересекающей поперечное сечение в точке с координатами л:=15мм, у =10 мм. Длина волны возбуждающего генератора Хо = 35 мм. Коэффициент фазы в свободном пространстве Р=2я/Хо = 6.2832/0.035= 179.5 м-1. Поперечное волновое число, соответствующее волне типа Ец, находим по формуле (8.26): g=Y (л/аJ + {ф? = И0.5 м-1.
156 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Продольное волновое число м -1 Подставляя эти числа вместе с исходными данными в форму- формулы (8.27), получаем зависимость комплексной амплитуды Н (А/м) от продольной координаты г вдоль выбранной линии: H(z)=/0.151exp(—}\\\Лг)\х — /0.199ехр(—/11 Система формул (8.27), содержащая исчерпывающую инфор- информацию об электромагнитном поле волн типа Ет/г, не позволяет, однако, наглядно представить себе пространственную структуру И А-А Рис. 8.2. Структура силовых линий векторов электромагнитного поля для волны типа Ец в прямоугольном металлическом волноводе такого поля. Для этой цели в прикладной электродинамике при- принято строить картины силовых линий электрического и магнитного полей. Не останавливаясь на деталях построения, описанных в гл. 7, приведем картину мгновенного распределения силовых ли- линий векторов Е и Н в простейшей волне типа Еп (рис. 8.2). Видно, что линии поля Е представляют собой «скобки», которые под- подходят к поверхности металла под прямым углом. Линии поля Н являются замкнутыми кривыми и лежат в поперечной плоскости. Картина поля периодична вдоль оси г; пространственным перио- периодом служит длина волны в волноводе XB = 2n/h. С течением времени данная картина поля как единое целое пе- перемещается вдоль оси z с некоторой фазовой скоростью v$. На- Направления векторов Е и Н, обозначенные стрелками на силовых линиях, таковы, что усредненный вектор Пойнтинга Пср ориенти- ориентирован вдоль положительного направления оси г. Для любой более сложной волны типа Е картину, изображен- изображенную на рис. 8.2, следует «повторить» столько раз, каково значе- значение индекса волны по той или иной координатной оси. В качестве
8.3. Критическая длина волны. Дисперсионная характеристика 157 примера на рис. 8.3 приведена картина распределения силовых ли- линий полей для волны типа Е22. По причинам, которые станут ясными при дальнейшем изложе- изложении, волны типа Е в прямоугольном металлическом волноводе на практике используются довольно редко. 8.3. Критическая длина волны. Дисперсионная характеристика волновода Найдем связь между продольным волновым числом Л, двумя геометрическими параметрами волновода — размерами сечения а и Ь, а также длиной волны воз- возбуждающего генератора Яо. Как указывалось в § 8.2, про- продольное волновое число связано с коэффициентом фазы р плос- плоской волны в свободном простран- пространстве и с поперечным волновым числом g: -g2. (8.28) В свою очередь, поперечное вол- волновое число, определяемое фор- формулой (8.26), зависит от разме- х ров поперечного сечения и от ин- индексов выбранного типа ВОЛНЫ, Рйс- 83' Распределение силовых р линий электромагнитного поля в поперечном сечении для волны типа Е22 но никак не связано с частотой. Формула (8.28) вскрывает важнейшую особенность работы волновода как линии передачи электромагнитных колебаний. Если рабочая длина волны Яо мала настолько, что &>g, то продольное волновое число h оказывается действительным, а это, как извест- известно, означает распространение колебаний в виде бегущих волн по- постоянной амплитуды. Если же длина волны генератора Яо увеличена настолько, что P<g", то вместо бегущих волн в волноводе могут существовать лишь нераспространяющиеся колебания. Амплитуда этих колеба- колебаний экспоненциально уменьшается вдоль координаты z, а фаза во всех поперечных сечениях постоянна. Об этом свидетельствует мнимый характер продольного волнового числа. Говорят, что при этом волновод с рассматриваемым типом волны работает в режи- режиме отсечки. Пограничный случай возникает на такой рабочей частоте, ког- когда р=и. При этом /t = 0 и, как следствие, длина волны в волново- волноводе Яв=сю. Принято говорить, что волновод с выбранным типом
158 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод волны оказывается в критическом режиме. Длину волны генера- генератора, соответствующую случаю p = g", называют критической дли- длиной волны данного типа и обозначают ХКр- Из приведенных рассуждений следует, что в критическом ре- режиме коэффициент фазы Отсюда получается формула для вычисления критической длины волны X кр = — = 2 =-. (8.29) Анализ этого выражения показывает, что при не слишком боль- больших значениях индексов тип критическая длина волны по по- порядку величин совпадает с характерным размером поперечного сечения прямоугольного волновода. Так, для волны типа Е\2 при а = 40 мм и 6 = 15 мм имеем Якр= 14.74 мм. Наряду с критической длиной волны можно говорить также о критической частоте Связь между параметрами ft, p и g на основании формул (8.28) и (8.29) можно выразить через срответствующие длины волн: (8.31) Это равенство показывает, что при изменении длины волны гене- генератора Хо длина волны в волноводе А,в изменяется не пропорци- пропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от дли- длины волны в свободном пространстве называют дисперсионной ха- характеристикой волновода. В явном виде эта характеристика опи- описывается формулой, вытекающей из выражения (8.31): Х.= г Х° (8.32) Заметим, что вывод формулы (8.32) основан лишь на двух предпосылках — на пропорциональности комплексных амплитуд бегущих волн множителю ехр(—jhz) и на существовании режима отсечки. Поскольку обе предпосылки относятся к волне любого типа в полом металлическом волноводе с произвольной формой
8.3. Критическая длина волны. Дисперсионная характеристика 159 поперечного сечения, полученный здесь результат оказывается уни- универсальным и может быть применим к любому волноводу. Отли- Отличия будут состоять лишь в различных способах вычисления крити- критической длины волны. Дисперсионную характеристику волновода удобно изобразить графически (рис. 8.4). Вся область длин волн, меньших ХКр, является областью «прозрачности» данного волновода на рассматриваемом ти- типе волны. При этом если Ко<^ККр, то длина волны в волноводе лишь в малой степени отличается от дли- Ш^ Область прозрачности {область I- отсечки V •¦'•:¦': ¦'::•:¦/¦ «кр Яо ны волны в свободном пространст- пространстве, всегда превосходя ее. Если па- параметр Ко на графике рис. 8.4 стре- стремится к ХКр слева, то длина волны в волноводе стремится к бесконеч- бесконечности. При переходе Ко через гра- граничное значение ККр в волноводе су- существуют уже не бегущие волны, а колебания, экспоненциально затухающие вдоль продольной оси г. Всю область длин волн, которой соответствуют значения К0ЖКр, называют областью «непрозрачности» или областью отсечки. * Рис. 8.4. Дисперсионная характе- характеристика волновода Пример 8.2. Прямоугольный волновод с размерами попереч- поперечного сечения а = 60 мм, Ь = 35 мм работает на волне типа Еи. Оп- Определить коэффициент ослабления а в данном волноводе, если частота fo=O.8/Kp. По формуле (8.30), критическая частота /кр = 3-108 ( 1/0.06J + A/0.035J=4.96-109 Гц. На частоте /0 коэффициент фазы в свободном пространстве оз0/с = 2я/0/?= 103.88 м. Поперечное волновое число g-=VC.14/0.06J-f- C.14/0.035J= 103.91 м. Здесь p<g, так что продольное волновое число мнимое: h=±j"Kg2 —P2= ±У2.497 м-1.
160 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Если в последнем равенстве выбрать отрицательный знак, то за- зависимость комплексных амплитуд от координаты г вида ехр(—jhz) превращается в ехр(—аг), где вещественный коэффициент ослаб- ослабления d = 2.497 м. То, что на частотах /о>/кр длина волны в волноводе больше длины волны в свободном пространстве, говорит о том, что волны в волноводах распространяются с фазовыми скоростями, больши- большими скорости света в вакууме. Поскольку фазовая скорость, длина волны и частота связаны между собой очевидным соотношением, то из формулы (8.32) следует, что фазовая скорость уЛ = f _ (8.33) Поскольку волновод является системой с дисперсией, группо- групповая скорость 1>гр в нем не равна фазовой скорости (см. гл. 5), По общему правилу, *= — = ! . (8.34) гр dh (dA/dX0) (dX0/do)) После несложных преобразований отсюда получаем *. (8.35) Видно, что групповая скорость всегда меньше фазовой скоро- скорости и скорости света. Интересно отметить также, что фазовая и групповая скорости волны одного и того же типа связаны равен- равенством •VrP = c2 (8-36) на любой рабочей частоте. 8.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе В данном параграфе будет изучен еще один класс типов волн в прямоугольном металлическом волноводе. Эти волны, называ- называемые волнами типа Н, характеризуются тем, что в них магнитный вектор имеет продольную составляющую с проекцией Hz, в то вре- время как электрическое поле поперечно, т. е. Ez = 0. Будем считать, что геометрические и физические параметры волновода те же, что и при рассмотрении волн^гипа Е. Комплекс- Комплексные амплитуды всех проекций векторов электромагнитного поля можно выразить через функцию Нг по формулам перехода, выте- вытекающим из равенств G.59): "
8.4. Волны типа Н в прямоугольном волноводе 161 Р —У^Р-о дНz fj —jh дНz (8.37) о j^V-o dHz /у —jh дНz ПУ g2 dX ' Пу g* dy • Функция Hz является решением уравнения Гельмгольца и дол- должна отыскиваться в виде Н2(х, у, z) = Hz{x, y)z-ihz. (8.38) При этом амплитудная функция Н2(х, у) удовлетворяет двумер- двумерному уравнению Гельмгольца 2 = 0, (8.39) в котором, как и ранее, g=y$2 — h2 — поперечное волновое число. Уравнение (8.39) следует дополнить граничными условиями, которые обеспечивают обращение в нуль касательных составляю- составляющих электрического вектора на идеально проводящих стенках вол« новода: ?•^=0 при у = 0, у = Ь, (8.40) Еу=0 при х = 0, х = а. Формулы перехода позволяют записать данные условия через ис- искомую функцию Hz\ —-?-=0 при у = 0, у = Ь, дУ —=0 при х=0, х=а. дх Таким образом, исследование распространения волн типа Н в прямоугольном металлическом волноводе сводится к решению краевой задачи (8.39) — (8.41) для поперечного уравнения Гельм- Гельмгольца. Данная краевая задача отличается от той, которая описывает распространение волн типа Е, так как здесь на границе раздела воздух — металл обращается в нуль не сама неизвестная функция, а ее производная по нормали. В математике такие краевые задачи называют однородными краевыми задачами Неймана. Проблема, полностью аналогичная рассматриваемой, возникает в механике при изучении колебаний упругой мембраны прямоугольной фор- формы со свободными краями. Равенство нулю нормальной производ- производной на краях означает отсутствие внутренних напряжений в этих точках мембраны.
162 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Рассматриваемая краевая задача решается методом разделения переменных.. Отсылая за подробностями к § 8.2, запишем общее решение поперечного уравнения Гельмгольца в виде HZ = (A sin gxx-\-B cos gxx) (С sin gyy-\-D cos gyy). (8.42) Граничные условия (8.41) при х = 0, у = 0 будут выполняться лишь в том случае, если Л = С=0. Далее, обозначая BD как Яо, бу- будем иметь Нг С*. У)=--Но cos gxx cos gyy. (8.43) Из граничных условий при x = at y = b следует, что gx=mn/a, gy = nn/b, (8.44) где m, n — целые положительные числа, не равные нулю одновре- одновременно. Как и ранее, поперечное волновое число g" определяется соотно- соотношением (8.45) Каждой паре индексов m, n соответствует волна Н-типа, обо- обозначаемая как Hmn. Критическая длина волны находится по фор- формуле, совпадающей с (8.30): 1 = , 2 (8.46) Для волн типа Н справедливы полученные ранее формулы, позволяющие находить длину волны в волноводе Х (8.47) и фазовую скорость Уь= г - (8.48) Ф /1-(Х0/ХкрJ Выясним вопрос о том, какой тип волны в прямоугольном вол- волноводе является низшим, т. е. имеет наибольшую критическую дли- длину волны. В соответствии с формулой (8.46) низшим окажется тот тип волны, которому соответствуют наименьшие индексы. Так как для волн Н-типа Нг=Я0 cos (-5JL *) cos {Jf у) , (8.49) то в данном случае один из индексов (но не оба вместе) может быть равен нулю. В то же время известно, что для волн Е-типа ни
8.5. Волна типа Ню 163 один из индексов не может обратиться в нуль. Из сказанного следует, что низший (основной) тип волны в прямоугольном вол- волноводе относится к классу волн Н-типа. Если условиться считать, что а>&, то из двух волн с наимень- наименьшими значениями индексов, а именно Ню и НОь наибольшую кри- критическую длину волны будет иметь волна типа Ню, у которой вдоль широкой стенки укладывается одна стоячая полуволна, а вдоль узкой стенки поле неизменно. Приведем в заключение сводку формул, определяющих прост- пространственные зависимости комплексных амплитуд проекций векто- векторов электромагнитного поля волны типа Hm/l с произвольными зна- значениями индексов тип. Формулы получены подстановкой выра- выражения (8.49) в систему (8.37): ^ . пл jj ( тл \ . / пл \ ¦«,„ "о cos \— *) sin (— r/j е-'*, ТТ . / пгл \ f пл \ .• Яо sin \— л-J cos {— у) е^ (8.50) 7*=> i^T Ho sin ("T- •*)cos ("T y)e ' , I тл \ . f пл \ ihr o cos ("T" *)sin ("T y) e"; ' . кпл J 8.5. Волна типа Н10 Рассмотрим этот тип волны в прямоугольном волноводе более подробно как по причине его широкого практического использо- использования, так и из-за наглядности построений и результатов. Начнем с картины силовых линий электромагнитного поля. В качестве исходной можно взять структуру поля волны типа Н над идеально проводящей плоскостью, которая изучалась в гл. 7. Обращаясь к формуле G.23), следует заметить, что в плоскости с координатой х = а, удовлетворяющей равенству ga = n, напряжен- напряженность электрического поля обращается в нуль. Поэтому здесь мож- можно разместить вторую отражающую плоскость и тем самым лока- локализовать электромагнитное поле в пределах бесконечного плос- плоского слоя 0^.х^.а (рис. 8.5), размер которого в точности равен половине поперечной длины волны: 6*
164 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Далее, поскольку силовые линии электрического вектора здесь параллельны поперечной оси г/, во внутренней области волновода можно установить две идеально проводящие перегородки, парал- параллельные оси х и отстоящие на некотором расстоянии Ъ. В силу перпендикулярности векторов поля Е к этим перегородкам гранич- граничные условия на них будут выполняться автоматически. Таким образом, можно рассматривать лишь поле во внутренней области, ограниченной прямоугольным контуром поперечного сечения (две плоскости и две перегородки). Из приведенного рисунка видно, что количество полуволн вдоль осей х и у как раз таково, чтобы на- назвать рассматриваемый электромагнитный процесс волной типа Ню. Рис. 8.5. Построение картины силовых линий векторов электро- электромагнитного поля волны типа Ню Важно отметить, что характер картины поля не зависит от вы- выбора расстояния Ь между перегородками. Отсюда следует, что размер Ь (длина узкой стенки волновода) не должен входить в выражение, определяющее критическую длину волны, Действи- Действительно, из равенства (8.45) при m=l, n=0 следует, что *кРн10=2а. (8.51) Так как волна типа Ню в прямоугольном металлическом вол- волноводе является основной, то полученный результат формулирует- формулируется следующим образом: по прямоугольному волноводу можно пе- передавать колебания, у которых длина волны в свободном прост- пространстве не превышает удвоенного размера широкой стенки волно- волновода. Более длинноволновые колебания экспоненциально затухают по амплитуде вдоль оси распространения. Приведем выражения, определяющие пространственную зави- зависимость комплексных амплитуд декартовых проекций векторов электромагнитного поля для волны типа Ню:
8.5. Волна типа Hi0 Sr . ha л //0 sin . / лх \ 1hT 165 (8.52) =Нь cos Формулы получены из выражений (8.50); учтено, что в данном случае g=2лДкр=я/а. Л E / J.-H — r-4 •I 4 h 1 I кУ i } 0 y\ с ? H jf »-^ —*— ii z i ( H / , ^_ i j( ^\\\ в E /frp^l;(?p l I'hc. 8.6. Структура силовых линий векторов электромагнитного поля волны типа Ню в прямоугольном волноводе Иногда бывает удобным несколько преобразовать систему ра- равенств (8.52), выразив все комплексные амплитуды через ?Шах — максимальную амплитуду напряженности электрического по- поля, наблюдаемую в центре широкой стенки волновода: Ёх=0, (8.53)
J66 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Структура силовых линий векторов электромагнитного поля волны типа Ню представлена на рис. 8.6. Пример 8.3. Волна типа Ню в волноводе с размерами стенок а=40 мм, 6 = 20 мм имеет амплитудное значение ?'тах = 3-104 В/м. Длина волны генератора Аю = 55 мм. Найти длину волны в волно- волноводе Яв, а также величину Hzm&x — амплитуду напряженности маг- магнитного поля на узких стенках волновода. Здесь Якр = 2а=80 мм, откуда ХВ=55/)Л -E5/80J=75.7 мм. Частота поля со = 2яс/Я0 = 3.427-1010 с. Так как на узких стен- стенках волновода cos(nxla) =±1, то в соответствии с (8.52) имеем — 54.71 А/м. Плотность потока мощности в волноводе. Как видно из формул (8.52) или (8.53), поперечные проекции Еу и —Нх изменяются во времени синфазно. Если теперь образовать комплексный вектор Пойнтинга III из у-й составляющей вектора Е и х-й составляющей вектора Н, то этот вектор окажется направленным вдоль оси z и чисто действительным: (-7-) ¦«• (8-54) Плотность потока мощности вдоль оси распространения будет мак- максимальной в центре поперечного сечения волновода. Если же образовать вектор Пойнтинга П2 из проекций Ёу и HZr то этот вектор окажется направленным вдоль оси х и мнимым: . (8.55) Итак, мощность электромагнитного поля в волноводе с волной типа Ню состоит из двух частей: активной мощности, переносимой вдоль оси 2, и реактивной (колеблющейся) мощности, которая свя- связана с образованием стоячих волн вдоль поперечной оси х. Поляризационная структура поля. В гл. 3 мы познакомились с поляризационными характеристиками плоских электромагнит- электромагнитных волн в свободном пространстве. С таких же позиций можно изучать поляризацию векторов поля волны типа Ню в прямоуголь- прямоугольном металлическом волноводе, хотя ситуация здесь несколько сложнее.
8.5. Волна типа Ню " 167 В соответствии с формулами (8.53) электрический вектор Ё= — Ёу\у имеет единственную декартову проекцию и поэтому в лю- любой точке поперечного сечения волновода поляризован линейно. Магнитный вектор с комплексной амплитудой H — Hxix + Hzh име- имеет в общем случае эллиптическую поляризацию, поскольку проек- проекции Нх и Hz в соответствии с формулами (8.52) и (8.53) всегда сдвинуты по фазе на я/2 радиан; при этом они по-разному зави- зависят как от рабочей частоты со, так и от координаты х в попереч- поперечной плоскости. В результате отношение осей поляризационного эл- эллипса будет различным в разных точках. Нетрудно заметить, что на отрезке О^х^а всегда найдутся две такие точки х\ и х2, в которых вектор напряженности магнит- магнитного поля будет поляризован по кругу с левым и правым направ- направлением вращения соответственно. Координаты этих точек должны удовлетворять уравнениям или (8 5?) sin —- ) = — cos —- . л \ а I \ а ) Решения этих уравнений очевидны: (8.58) Таким образом, точки Х\ и х2 располагаются симметрично от- относительно центра широкой стенки волновода. Пример 8.4. Волновод сечением 23X10 мм работает на волне типа Ню. Найти координаты точек х\ и х2, в которых магнитное поле поляризовано по кругу, если рабочая длина волны Х0 = 35 мм. Находя последовательно параметры Хв = 53.94 мм, /г = 0.116 мм-1, /ш = 2.679 и используя формулы (8.58), получаем jci = 6.33 мм, х2= = 16.67 мм. Вращающийся характер поляризации магнитного поля волны типа Ню имеет существенное значение для практики, определяя принцип работы некоторых волноводных СВЧ-устройств.
168 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Токи на стенках волновода с волной типа Ню. Чтобы найти ллотность поверхностного электрического тока на идеально про- проводящих стенках волновода, следует воспользоваться полученной ранее формулой D.21). Поскольку картина распределения сило- силовых линий вектора Н в волне рассматриваемого типа известна, по- построение линий тока на стенках не представляет затруднений: эти линии образуют семейство кривых, ортогональных семейству сило- силовых линий напряженности маг- магнитного поля (рис. 8.7). Под- Подчеркнем еще раз, что здесь изображена картина мгновен- мгновенного распределения токов; во времени она перемещается вдоль оси волновода с фазо- фазовой скоростью. Наглядно можно предста- представить себе, что поверхностный ток, растекаясь, например, из центральной области нижней широкой стенки в радиальном направлении, огибает затем два нижних ребра и, пройдя по узким стенкам, вновь соби- Рис. 8.7. Распределение векторов плот- плотности поверхностного электрического то- тока на стенках прямоугольного волново- волновода с волной типа Ню рается в центральную область верхней широкой стенки. Через половину длины волны в волново- волноводе направления линий поверхностного тока меняются на обрат- обратные. Из представленного чертежа видно, что точки схождения и рас- расхождения линий тока расположены как раз там, где напряжен- напряженность электрического поля равна нулю. Этот факт имеет, следую- следующее физическое объяснение. Известно (см. гл. 1), что линии пол- полного тока, рассматриваемого как совокупность токов смещения и проводимости, всегда должны быть замкнутыми. В данном случае токи проводимости на стенках волновода замыкаются токами сме- смещения, которые существуют внутри волновода, будучи ориенти- ориентированы вдоль оси у. Плотность тока смещения связана с напря- напряженностью электрического поля известным соотношением JCM = = zodE/dt. Поскольку в бегущей волне вектор напряженности элек- электрического поля Е(х, у, z, t) = E(x9 у) cos (at — hz), получаем sin (со/ —
8.5. Волна типа Ню 169 Таким образом, ток смещения максимален не там, где напря- напряженность электрического поля достигает максимума, а в точках, отстоящих на четверть пространственного периода, т. е. на Лв/4. Излучающие и неизлучающие щели. Зная распределение по- поверхностных токов на стенках волновода с волной типа Ню, мож- можно на качественном уровне решить практически важную задачу о связи волновода с окружаю- окружающим пространством через щели, прорезанные в его стенках. В волноводной технике щелью называют прямо- прямоугольное отверстие, длина которого значительно пре- превосходит ширину. Предпо- Предположим, что в узкой стенке волновода прорезаны две щели, одна из которых ори- ориентирована в продольном, а Рис. 8.8. Излучающая (/) и неизлучающая Другая — в поперечном на- B) щели на стенках прямоугольного вол- правлении (рис. 8.8). Пер- повода с волной типа Ню вая щель перерезает линии поверхностного тока под углом 90°. Ток, притекающий к нижней кромке такой щели, вызовет избыток положительных зарядов (имеется в виду техническое направление тока). Очевидно, что на верхней кромке будет наведен равный по абсолютной величи- величине отрицательный заряд. Заряды на кромках щели будут изме- изменяться во времени в такт с колебаниями возбуждающего генера- генератора, и подобная щель будет служить излучателем электромаг- электромагнитных волн (с количественных позиций этот вопрос подробно рассмотрен в гл. 13). Совсем по-иному ведет себя щель, прорезанная параллельно линиям поверхностного тока. Из-за узости щели наведенный заряд будет сравнительно мал, так что излучение из такой щели ока- оказывается незначительным. Итак, можно сформулировать принцип: щель в стенке волно- волновода эффективно излучает электромагнитную энергию в том слу- случае, если она перерезает линии поверхностного тока. Излучающие щели широко применяют при создании так назы- называемых щелевых антенн в диапазоне сантиметровых волн. В ряде случаев требуются неизлучающие щели, позволяющие вводить внутрь волновода различные устройства, не искажая струк- структуру поля. В качестве примера на рис. 8.9 показана щелевая из- измерительная линия — один из самых распространенных измери- измерительных приборов в СВЧ-диапазоне. Здесь имеется так называе-
170 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод мый зонд, который представляет собой миниатюрную антенну, со- соединенную с высокочастотным детектором. Зонд перемещается вдоль узкой щели, прорезанной точно посередине широкой стенки прямоугольного волновода с волной типа Ню- При таком разме- размещении щели излучение из нее практически отсутствует. Измеряя ток детектора в различных точках оси волновода, можно экспери- экспериментально изучать картины стоячих волн и находить входные со- сопротивления, а также другие параметры нагрузок, подклю- подключаемых к волноводу [3]. j^ 7 ^ 8.6. Характеристическое сопротивление волновода По физическому смыслу ха- характеристическое сопротивле- сопротивление линии передачи — это от- Рис. 8.9. Эскиз конструкции волновод- ношение некоторой электриче- ной измерительной линии: ской характеристики волнового 1 — волновод с волной типа Hi0; 2 — про- ттПпттргтя к иъисли-пи^лсл мягипт дольная щель; 3 - зонд; 4 - полупровод Процесса К КаКОИ ЛИОО МаГНИТ- никовый диод: 5 — измерительный прибор ной характеристике. Так, в теории радиотехнических це- цепей с распределенными параметрами [3] принято вводить волно- волновое сопротивление линии (8.59) где О и / — комплексные амплитуды напряжения и тока в бегу- бегущей волне. Ранее в гл. 3 было введено характеристическое сопротивление среды для однородной плоской электромагнитной волны В теории волноводов также целесообразно воспользоваться поня- понятием характеристического сопротивления, определив его как отно- отношение модулей поперечных составляющих векторов Ё и Н: у ЕХЕХ -\-ЕиЕи Zr = У У . (8.60) 1 X1 1 X В дальнейшем рассмотрим волны Е- и Н-типов по отдельности. Волны типа Emn. Здесь на основании формул перехода (8.27) имеют место следующие соотношения пропорциональности: Ех= Ну, Ёу = Нх. х.
8.6. Характеристическое сопротивление волновода 171 Подставив эти равенства в выражение (8.60), приходим к просто- простому результату: ZcE = h/(*e0). (8.61) Данную формулу полезно несколько преобразовать, воспользо- воспользовавшись тем, что Учитывая это, получим окончательно \ (8.62) где Z0 = 377 Ом — характеристическое сопротивление вакуума. Следует обратить внимание на то, что характеристическое со- сопротивление прямоугольного волно- волновода, работающего на волнах Е-ти- па, зависит от рабочей длины вол- волны, обращаясь в нуль при Ло=ЯКр и стремясь к величине Zo, когда Волны типа Нтп. Здесь все выкладки полностью аналогичны рис 8Ш Волноводный излу. тем, которые только что проведены чатель и его эквивалентная для волн типа Етп. Поэтому приве- схема дем окончательный результат: Zcli = , Z° =-. (8.63) Понятие характеристического сопротивления оказывается по- полезным при расчетах СВЧ-устройств. Так, удается с точностью 10— 15% оценить коэффициент отражения от открытого конца волно- волновода, излучающего в свободное пространство. Эскиз такого вол- новодного излучателя приведен на рис. 8Л0; здесь же изображена приближенная эквивалентная схема данного устройства, состоя- состоящая из полубесконечной линии передачи с волновым сопротивлени- сопротивлением Zen и двухполюсника нагрузки с сопротивлением Zo. Как из- известно [3], при этом коэффициент отражения по напряжению р= ^-^н_а ^ (864) Zq + Zc н Подчеркнем, что данный результат является приближенным, при его выводе никак не учитывалось бесконечное множество нераспро- страняющихся волноводных волн высших типов, возникающих в непосредственной близости от открытого конца волновода.
172 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Пример 8.5. Найти коэффициент отражения р от открытого кон- конца и коэффициент стоячей волны (КСВ), имеющие место в волно- волноводе сечением 72X34 мм, который работает на длине волны Ло= = 120 мм (fo = 2.5 ГГц). Используется волна типа Ню. На основании формулы (8.63) характеристическое сопротивле- сопротивление волновода - A20/144J= 1.809Z0. Тогда коэффициент отражения от открытого конца р=A —1.809)/A +1.809) = —0.288. Коэффициент стоячей волны '| р|) = 1.89. Проведенный здесь ориентировочный расчет убеждает в том, что коэффициент отражения от открытого конца волновода срав- сравнительно невелик, поэтому такой элемент может оказаться доста- достаточно эффективной антенной в СВЧ-диапазоне. 8.7. Основы применения прямоугольных волноводов Полые металлические волноводы используют в диапазоне рабо- рабочих длин волн приблизительно от 50 см до 1 мм. Если говорить о радиочастотных линиях передачи — наиболее типичной области применения волноводов, то на волнах дециметрового диапазона волноводы используются лишь в мощных устройствах, а начиная с длины волны приблизительно 6 см — повсеместно. Широкое приме- применение полых металлических волноводов обусловлено рядом их до- достоинств — высокой технологичностью волноводных конструкций, достаточно малыми потерями, отличной защищенностью от внешних помех, способностью передавать огромные импульсные мощности. Чаще всего волноводные тракты строят на основе прямоуголь- прямоугольных металлических волноводов, по которым распространя- распространяются волны низшего типа Ню. Причины этого состоят в следую- следующем: 1) поперечные габариты волновода оказываются минималь- минимальными; 2) структура поля волны низшего типа устойчива по отно- отношению к введению внутрь волновода каких-либо неоднородностей. Первая из перечисленных здесь причин не требует пояснений, в то время как на второй следует остановиться особо. Реальный волноводныи тракт не может представлять собой регулярный вол- волновод. В практических конструкциях всегда имеются оконечные устройства, изгибы оси, регулировочные элементы и т. д. Жела-
8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 173 тельно, чтобы \все эти неоднородности по возможности меньше ска- сказывались на качестве работы волноводного тракта во всем ра- рабочем диапазоне частот. В качестве примера рассмотрим прямо- прямоугольный волновод с волной типа Ню, часть сечения которого пе- перекрыта металлической диафрагмой, обеспечивающей согласова- согласование линии передачи с оконечной нагрузкой (рис. 8.11). Из рисун- рисунка видно, что одни лишь падающие и отраженные волны основ- основного типа не могут удовлетворить граничным условиям на поверх- поверхности диафрагмы. Поэтому в волноводе возникает бесконеч- генератора к нагрузке ная в общем случае последо- г г вательность Е- и Н-волн выс- высших типов. Амплитуды и на- начальные фазы этих волн уста- устанавливаются такими, чтобы ВЫПОЛНЯЛИСЬ граничные уело- Рис. 8Л1. Картина силовых линий элект- ВИЯ в ПЛОСКОСТИ диафрагмы. рического поля вблизи диафрагмы, по- Могут представиться два мещенной внутрь волновода случая. 1) Поперечное сечение волновода достаточно велико, так что некоторые волны высших типов оказываются распространяющи- распространяющимися. Подобный волновод принято называть многоволновым. Элек- Электромагнитное поле справа от диафрагмы (рис. 8.11) будет являть- являться суммой волн высших типов и прошедшей части основной вол- волны типа Ню. Естественно, что это суммарное поле может весьма существенно отличаться от исходного поля падающей волны. 2) Поперечные размеры волновода выбраны таким образом, что все типы волн, кроме основного, являются нераспространя- ющимися. Такой волновод называют одноволновым. Ясно, что здесь энергия волн высших типов будет сконцентрирована лишь в непосредственной близости от диафрагмы. Уже на расстояниях по- порядка одной длины волны справа и слева от препятствия структу- структура поля окажется практически такой же, как и в падающей волне. В подавляющем большинстве случаев на практике используют прямоугольные волноводы, работающие в одноволновом режиме. Одной из причин этого является необходимость обеспечения эф- эффективной работы оконечных устройств, которые служат для свя- связи волновода с внешними цепями. В качестве примера рассмотрим эскиз часто применяемого оконечного устройства — волноводно- коаксиального перехода, который служит для сочленения прямо- прямоугольного волновода с коаксиальным кабелем (рис. 8.12). Здесь внутренний проводник коаксиального кабеля вводится внутрь вол- волновода через отверстие в широкой стенке, образуя штыревую ан- антенну. Расстояние между штырем и короткозамыкающей торцевой стенкой выбирают близким к Яв/4. Эпюры распределения напря-
174 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод женности электрического поля (даны внизу на рис. 8.12) показы- показывают, что штырь оказывается вблизи пучностей стоячих волн по обеим осям. Именно это обеспечивает эффективную связь между кабелем и волноводом. а х Рис. 8.12. Волноводно-коаксиальный переход Если допустить, что по волноводу наряду с основной волной распространяется одна из волн высших типов, например Н2о, то мощность, переносимая волной высшего типа, не будет поступать в коаксиальный кабель, поскольку штырь волноводно-коаксиаль- ього перехода окажется в минимуме электри- электрического поля для волны типа Н2о (рис. 8.13). Другим явлением, наблюдаемым в много- многоволновом волноводе, является интерференция волн различных типов, которые распространя- распространяются по волноводу с различными фазовыми скоростями. Так, если на входе волновода при 2 = 0 две волны различных типов, условно Рис. 8.13. Распре- обозначаемые номерами 1 и 2, синфазны, то деление электри- при z>0 суммарное поле имеет комплексную ческого поля в амплитуду волноводно - ко- коаксиальном пере- переходе с волной ти- типа Н2о динатой Еъ (г) = f^e-^i* + ?2е~/м- (8.65) Отсюда следует, что в точке на оси z с коор- (8.66) поля рассматриваемых двух волн будут противофазны; как следст- следствие, амплитуда суммарного поля существенно уменьшится. Явле-
8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 175 ние интерференции усугубляется еще и тем, что фазовые скоро- скорости волн различных типов по-разному зависят от частоты. Из-за этого амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) устройства, вы- выполненного на базе многоволнового волновода, может оказаться весьма нерегулярной (рис. 8.14). О) Рис. 8.14. Амплитудно-частотные характеристики четырехполюсни- четырехполюсника, образованного отрезком вол- волновода: / — одноволновый волновод; 2 — мно- говолновый волновод 2а W га л0 Рис. 8.15. Диаграмма типов волн в прямоугольном металлическом волноводе при Ь/а=\/2 Диаграмма типов волн в прямоугольном волноводе. Выбирая геометрические размеры сечения волновода, исходят из того, что для волн как Е-, так и Н-типов критическая длина волны опреде- определяется одной и той же формулой причем А,кр тем меньше, чем больше индексы волны тип. Рассмотрим совокупность типов волн с наибольшими значения- значениями Якр. Непосредственные вычисления дают Будем полагать, что 6 = а/2; такое соотношение примерно соот- соответствует волноводам, применяемым на практике. Тогда ^крНю = 2а, ХкрНо1 = а, На основе этих вычислений построим так называемую диаг- диаграмму типов волн прямоугольного волновода, изображенную на рис. 8.15. Принцип построения такой диаграммы весьма прост: на горизонтальной оси, вдоль которой откладывают длины волн генератора, вертикальными штрихами обозначают значения Якр в порядке убывания. Можно выделить три характерные области:
176 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод • Область отсечки (Х0>2а), в пределах которой распространяю- распространяющихся типов волн не существует вообще. Ф Область од но во лно во ста (а^Яо^2а), в пределах которой мо- может распространяться лишь волна основного типа Ню. Ф Область многоволновости (^о<^), в которой помимо волны ос- основного типа по волноводу могут распространяться волны высших типов. Например, если рабочая длина волны лежит в интервале от а до 2а/]/5, то в волноводе могут одновременно распространяться волны типа Ню, Н20 и НОь Если длина волны становится меньше, чем 2ajyr5, то к ним добавляются волны типа Еи, Ни и т. д. Ра- ^ зумеется, в области многовол- I |?| i?| ^**~ | новости существует бесконеч- I /^"^Х \ шяя ное множество волн высших I/ . \ ^^^ 1 типов, не обозначенных на рис. К 1 J ' ^' 8.15. Подчеркнем важное обстоя- обстоятельство — сам факт много- многоволновости какого-либо волно- волновода на выбранной рабочей б) Рис. 8.16. Возможность селективно- селективного возбуждения различных типов волн в прямоугольном волноводе: а — возбуждение волны типа Н[0; б — возбуждение волны типа Hoi частоте еще не означает авто- автоматически, что все эти типы волн действительно существу- существуют. Можно так возбудить волновод, что будет существовать толь- только один, причем не обязательно низший, тип волны. Пусть, на- например, Хо<Са, так что по волноводу могут распространяться вол- волны типа Ню и Hoi. На рис. 8.16 показаны два способа возбужде- возбуждения волновода при помощи штыревой антенны. При первом спо- способе штырь параллелен вектору Е волны Ню и перпендикулярен вектору Е волны НОь В соответствии с принципом, речь о котором шла ранее, при таком возбудителе в рассматриваемом многовол- многоволновом волноводе возникнет лишь волна типа Ню, в то время как амплитуда волны типа HOi будет равна нулю. При втором спосо- способе возбуждения ситуация диаметрально противоположна — воз- возбуждена будет лишь волна типа НОь Несмотря на принципиальную возможность селективного воз- возбуждения волны низшего типа в многоволновом волноводе, прак- практическое использование таких линий передачи затрудняется из-за неизбежного возникновения волн высших типов в нерегулярных участках волноводного тракта. Стандартные сечения волноводов. Прямоугольный металличе- металлический волновод с отношением сторон 2 : 1 может обеспечить одно- волновый режим работы в интервале длин волн от Xomin=a до Яотах = 2а. Однако на практике весь этот интервал никогда не ис- используют по двум причинам. Во-первых, приближать длину волны
8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 177 генератора к значению Хо = а нежелательно из-за возможности слу- случайной перестройки генератора в область многоволновости. Во- зторых, как будет показано в гл. 11, в окрестности критической длины для основного типа волны, т. е. при Х0ж2а, резко возрас- возрастают омические потери в стенках волновода. На практике рекомендуется следующее использование допус- допустимой полосы длин волн: *отЗп=1-О5а; Х0тах=1.6а. (8.67) Для всех участков СВЧ-диапазона промышленно выпускаются прямоугольные волноводы стандартных сечений. Некоторые часто используемые сечения приведены в нижеследующей таблице. Таблица 8.1. Стандартные сечения волноводов 3.6 7.2 23 72 1.8 3.4 10 34 Диапазон длин волн Сечение волновода а, мм 6, мм 4 ММ 8 ММ 3 см 10 см Мощность, переносимая по прямоугольному волноводу волной типа Ню. Усредненная за период колебаний мощность, переноси- переносимая вдоль оси z волной любого типа, определяется как интеграл от продольной проекции действительной частц комплексного век- вектора Пойнтинга, вычисленный по поперечному сечению волновода: п Ъ Рср = j dx f Пср, (х, у) dy. (8.68) о 6 Пространственная зависимость функции ПСР2 для волны типа Ню задается формулой (8.54). Однако здесь удобнее выразить данную величину через максимальное значение напряженности электрического поля в центре волновода и записать Е1 тт max Интегрируя эту функцию с учетом того, что а \ sin2 (лх/а) dx=a/2y 5 получаем ср 480л (8JO)
178 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод Пример 8,6. Средняя мощность, переносимая волной типа Ню по стандартному прямоугольному волноводу сечением 23X10 мм на рабочей длине волны 3.2 см, равна 40 кВт. Найти величину Еш E.75) — амплитуду напряженности электрического поля, которое существует в точках поперечного сечения волновода с координа- координатой х = 5.75 мм, т. е. на расстоянии четверти ширины волновода от узкой стенки. По формуле (8.70) находим амплитуду электрического векто- вектора в центре волновода: 1 480яРср 1/2 -[-.- 480-3.14-4-104 у„ 604105 0.023-0.01 У \ —C2/46J Тогда 7.\0s В/м. Электрическая прочность волновода. Равенство (8.70) дает воз- возможность ответить на существенный для практики вопрос о пре- предельно допустимой мощности, передаваемой по прямоугольному волноводу. Дело в том, что наибольшая амплитуда ?тах не долж- должна превосходить некоторого вполне определенного уровня, выше которого наступает электрический пробой среды, заполняющей вол- волновод. Так, для сухого атмосферного воздуха при нормальном дав- давлении принято считать, что ?тах прб = 30 кВ/см. Следует иметь в ви- виду, что эта цифра характеризует пробивной градиент электриче- электрического потенциала применительно к постоянному или достаточно медленно меняющемуся напряжению. Электрический пробой в га- газе на высоких частотах является весьма сложным физическим процессом, протекание которого существенно зависит от инерцион- инерционности носителей заряда. Поэтому приводимые здесь результаты могут рассматриваться не более как приближенные оценки. Выделим в формуле (8.70) сомножитель (8J1> характеризующий удельную мощность, переносимую через пло- площадку единичной площади. Если положить, что на центральной частоте рабочего диапазона волновода Яо/Bа)=О.7, и подставить
8.7. Основы применения прямоугольных волноводов 179 в выражение (8.71) предельно допустимую напряженность элек- электрического поля, то для волны типа Ню получим Руд ДОП=420 кВт/см2. При проектировании волноводных трактов с высоким уровнем мощ- мощности из-за возможности отражений обычно вводят трехкратный запас, снижая указанный уровень до 150 кВт/см2. Отметим, что столь высокие значения предельно допустимой плотности потока мощности относятся исключительно к импульс- импульсному режиму работы устройств, характерному, например, для ра- радиолокации или систем многоканальной широкополосной связи. В непрерывном режиме лимитирующим фактором выступает теп- тепловой пробой волновода из-за неидеальности контактов в местах сочленения отдельных секций. Для повышения электрической прочности волноводы гермети- герметизируют и заполняют сухим воздухом под давлением 0.3—0.5 МПа. Передача импульсных колебаний. В современных радиотехни- радиотехнических системах возникает потребность передавать по волноводам весьма короткие радиоимпульсы, длительность которых может со- составлять единицы и даже доли наносекунды. Требуется теорети- теоретически оценить искажения таких импульсов из-за дисперсионных свойств волновода. В принципе данную задачу можно успешно решить спектраль- спектральным методом (см. гл. 5), поскольку для отрезка волноводной ли- линии длиной / известен частотный коэффициент передачи /С (уш) = ехр [—уА (со) /J, (8.72) позволяющий связать сигналы на входе sBX@ и на выходе sBbIX(t) при помощи интеграла Фурье Здесь Sbx(co)—спектральная плотность входного сигнала; функ- функциям sBX@ и 5вых(/) могут отвечать любые проекции векторов Е или Н. Точный расчет сигнала на выходе волноводной линии передачи, как правило, затруднителен из-за сложности вычисления интегра- интеграла. Однако можно получить достаточно простые и надежные оцен- оценки степени искажения сигналов, воспользовавшись понятием груп- групповой скорости. При этом следует иметь в виду, что в соответствии с формулой (8.35) групповая скорость волн в волноводе зависит от частоты. Частотная дисперсия групповой скорости может приводить к тому, что для изучения распространения радиоимпульса с весьма широ-
180 Глава 8. Прямоугольный металлический волновод ким спектром приходится выделять отдельные узкополосные груп- группы, каждая из которых распространяется со своей собственной групповой скоростью. В определенных случаях интерференция та- таких групп на выходе может существенно искажать импульсные колебания. Приведем решение конкретной задачи, иллюстрирующее вы- высказанные здесь положения. Пусть линия передачи длиной /= . = 10 м представляет собой прямоугольный волновод сечением 23Х ХЮ мм с воздушным заполне- заполнением. По линии передачи рас- распространяется радиоимпульс с огибающей прямоугольной фор- формы, имеющий следующие пара- параметры; несущая частота /0 = Ю ГГц (А,о=3 см), длительность им- лульса ти=1 нс=10~9 с. Требу- Требуется на качественном уровне про- проанализировать, существенны ли искажения импульса на выходе линии, обусловленных частотной дисперсией групповой скорости. Как показано в курсе теоретической радиотехники [2], модуль спектральной плотности входного импульса будет иметь вид, пред- представленный на рис. 8.17. При этом основная доля энергии сигнала заключена в пределах центрального лепестка спектральной диаг- диаграммы, т. е. между частотами СО и (*Уп &Jr ^ Рис. 8.17. Частотная зависимость модуля спектральной плотности прямоугольного радиоимпульса а>н=а>0 — 2я/ти=5.65.1010 с-1. Легко проверить, что по данному волноводу в пределах най- найденного частотного интервала может распространяться лишь волна низшего типа Ню, для которой Якр = 46 мм, о)Кр=4.1 • 1010 с1. Формулу для расчета групповой скорости можно записать в виде, эквивалентном (8.35): Таким образом, низкочастотная часть спектра импульса образует группу, распространяющуюся со скоростью «rp.H=<?"|/l-D.1/5.65J=0.688 с. Аналогичным образом находим групповую скорость для высоко- высокочастотной части спектра: vrpJt=cVi-D.1/6.91J=0.805 с.
Задачи 181 Можно убедиться, что при заданной длине волноводного тракта низкочастотная группа волн «отстанет» от высокочастотной на от- отрезок времени длительностью Д^ = 7.04-10~9 с. Импульс на выходе, несомненно, будет существенно искажен по сравнению с входным колебанием, поскольку найденная величина запаздывания значи- значительно превышает длительность передаваемого импульса. При больших длинах волноводного тракта явление «расплыва- ния» радиоимпульса может послужить серьезным препятствием к реализации импульсных систем. Естественный путь, позволяющий избежать этого, заключен в переходе к линиям передачи с Т-вол- нами, в которых дисперсионные эффекты выражены слабо (см. гл. 10). ЗАДАЧИ 8.1. Решите задачу о волнах типа Е в прямоугольном метал- металлическом волноводе, заполненном магнитодиэлектриком без по- потерь и имеющем электродинамические параметры еа и |ха, отлич- отличные от аналогичных параметров вакуума. Найдите, во сколько раз сократятся критические длины волн различных типов под влия- влиянием материала заполнения. 8.2. Определите критическую длину волны, критическую часто- частоту и длину волны в прямоугольном волноводе, работающем на волне типа Еп. Волновод имеет сечение 4X3 см и заполнен возду- воздухом; частота колебаний 10 ГГц. 8.3. Какую максимальную мощность можно передать по прямо- прямоугольному волноводу сечением 23X10 мм, работающему на часто- частоте 11 ГГц? Волновод заполнен сухим воздухом при нормальном атмосферном давлении, предельно допустимое значение напряжен- напряженности электрического поля составляет 30 кВ/см. Предусмотрите двукратный запас по электрической прочности. 8.4. Определите, какие типы волн могут распространяться в прямоугольном волноводе сечением 10x5 см, если частота коле- колебаний /=5 ГГц. Волновод имеет воздушное заполнение. / 8.5. Вычислите размеры поперечного сечения квадратного волно- волновода с воздушным заполнением, если известно, что фазовая ско- скорость волны типа Еп равна 6-Ю8 м/с. Частота передаваемых ко- колебаний 5 ГГц. • 8.6. Вдоль прямоугольного волновода сечением 50X25 мм, рабо- работающего на волне типа Ню, передается средняя^мощность 10 кВт. Частота колебаний 5.5 ГГц. Определите амплитуду вектора напря- напряженности электрического поля на оси волновода, а также макси- максимальное значение поверхностной плотности тока на стенках. 8.7. Амплитуда продольной проекции вектора напряженности электрического поля на оси прямоугольного волновода сечением
182 Глава 9. Круглый металлический волновод 50X25 мм составляет 105 В/м. Частота поля 7.5 ГГц. Диэлектрик — воздух, тип волны — Ец. Вычислите максимальные значения амп- амплитуд плотности поверхностного тока на стенках и плотности то- тока смещения во внутренней области. 8.8. Размеры стенок прямоугольного металлического волновода удовлетворяют системе неравенств а^>Я, Ь^>1, согласно чему по данному волноводу одновременно могут распространяться волны всевозможных типов. Докажите, что число распространяющихся типов волн можно вычислить по асимптотической формуле N^ Глава девятая КРУГЛЫЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД Данная глава посвящена решению уравнений Максвелла, кото- которые описывают волны электрического и магнитного типов в бес- бесконечно протяженном металлическом волноводе с круговой фор- формулой поперечного сечения. Обсуждаются некоторые технические применения круглых металлических волноводов. 9.1. Постановка задачи Круглый металлический волновод представляет собой трубу с внутренним радиусом а (рис. 9.1). Исходные предпосылки оста- остаются теми же, что и при исследовании прямоугольного металли- металлического волновода. Так, считается, что проводимость стенок вол- волновода бесконечно велика, волновод неограниченно протяжен и однороден вдоль оси г, а внутренней средой является воздух или вакуум. Требуется проанализировать всю совокупность волн Е- и Н-типов в подобной системе. Некоторое качественное представление о структуре электро- электромагнитного поля в круглом волноводе можно получить, воспользо- воспользовавшись результатами, которые получены в гл. 8 применительно к волноводу с прямоугольной формой сечения. Например, структу- структура поля волны типа Ню в прямоугольном волноводе известна (рис. 9.2, а). Контур сечения волновода можно преобразовать из прямоугольного в круглый путем последовательных деформаций. На рис. 9.2, б изображен один из первоначальных этапов такого преобразования. Картину поля в волноводе следует строить исхо- исходя из того, что силовые линии электрического вектора всегда под- подходят к металлическим стенкам по направлению нормали. В ко- конечном итоге получаем картину одного из типов волн в круглом волноводе, изображенную на рис. 9.2, в. Есть основание полагать,
9.1. Постановка задачи 183 что эта картина соответствует основной волне круглого волновода. В дальнейшем этот факт будет строго доказан. Несмотря на кажущуюся простоту, метод, основанный на не- непрерывной деформации контура поперечного сечения волновода, имеет малую практическую ценность, так как не позволяет нахо- находить числовые характеристики процессов в круглом волноводе. По- Поэтому нам потребуются строгие матема- тические методы решения электродина- электродинамических задач о полях в круглых вол- волноводах. Уравнения Максвелла в цилиндриче- цилиндрических координатах. Легко видеть, что стенка круглого волновода совпадает с координатной поверхностью г = а ци- цилиндрической системы координат (г, ф, г). Поэтому данная систе- система очень удобна для решения поставленных задач. Е Е Рис. 9.1. Круглый металли- металлический волновод J i 1 , 1 [ J а) 6) в) Рис. 9.2. Последовательные этапы деформации пря- прямоугольного волновода Первые два уравнения Максвелла rot Н=/о)е0Ё, (9.1) в цилиндрической системе координат принимают следующий вид (см. Приложение А): дН<р dz дНг dHz dz дг 1 д , гт ч 1 — (гИ,) г дг г (9.2) dz
184 Глава 9. Круглый, металлический волновод дЁГ dEz . /. г дг г аср Направляемые волны в цилиндрических координатах. Среди всевозможных решений системы уравнений (9.2) особо рассмотрим направляемые волны, распространяющиеся вдоль оси z. Комплекс- Комплексные амплитуды векторов напряженности электрического и маг- магнитного полей направляемых волн запишем в виде (У .о) Н(г, ср, г) = Н(г, cp)e~^z. Характерный вид зависимостей (9.3) позволяет, как это уже было сделано в гл. 7, выразить поперечные проекции векторов Ё и Н че- через частные производные от продольных проекций Ez и Нг по ко- координатам г и ф. В результате получаем следующие формулы перехода: дг ) (9.4) Г Из этих формул непосредственно вытекает возможность сущест- существования в круглом металлическом волноводе волн Е- и Н-типов. Чтобы исследовать эти волны, необходимо решить уравнения Гельмгольца относительно продольных проекций Ez и Hz\ (9.5) Воспользуемся выражением оператора Лапласа в цилиндричес- цилиндрической системе координат и перепишем уравнения (9.5) в развернутой форме: >?* , 1 dEz . \_ дг* 'г дг * г2 а«2 d-г* (9.6) дН2 1_ dW dW дг ' г2
9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 1,85 Специфический вид зависимостей комплексных амплитуд Ё и Н от продольной координаты z, устанавливаемый формулами (9.3), дает возможность избавиться от частных производных по г, введя поперечное волновое число g=ifi2 — Л2. В результате приходим к поперечным уравнениям Гельмгольца в цилиндрической системе координат дГ2 i Г дг + Г2 д? +^^2-^ дг* г дг Г г2 д^ Разумеется, для получения физически содержательного решения каждое из этих уравнений следует дополнить соответствующими граничными условиями на стенке волновода. 9.2. Волны типа Е в круглом волноводе Задача о волнах электрического типа в круглом металлическом волноводе сводится к решению поперечного уравнения Гельм- Гельмгольца при граничных условиях, согласно которым касательная состав- составляющая электрического вектора на стенке волновода обращается в нуль. Очевидно, что из трех возможных проекций комплексной амплитуды Ё, а именно Ёг, ?Ф и Ёг, касательным составляющим к стенкам могут отвечать лишь проекции Ё2 и ?ф. Поэтому необходи- необходимо потребовать, чтобы Ег=0 при г = а, (9.9) ?^ = 0 при г = а. (9.10) Из формул перехода (9.4) с очевидностью следует, что эти два условия не являются независимыми. Действительно, проекция ?ф, пропорциональная в случае волн Е-типа частной производной dEz/ду, обращается в нуль, если проекция Ё2 постоянна на конту- контуре поперечного сечения волновода. Таким образом, достаточно, чтобы на идеально проводящей стенке волновода выполнялось гра- граничное условие (9.9). Вместе с уравнением Гельмгольца (9.8) оно образует требуемую краевую задачу. Метод разделения переменных в цилиндрических координатах. Будем решать задачу (9.8) — (9.9) методом разделения перемен- переменных, который уже использовался ранее при изучении электромаг-
186 * Глава 9. Круглый металлический волновод нитных колебаний в прямоугольном волноводе. Положим, что ис- искомое решение Е2 есть произведение двух функций: Ег(П ?)=/?(г)Ф0р), v (9.11) одна из которых зависит только от г, а другая — только от ср. Под- Подставив выражение (9.11) в уравнение (9.8), приходим к равенству, не содержащему частных производных по поперечным координа- координатам: 0. (9.12) Теперь преобразуем уравнение (9.12) таким образом, чтобы в ле- левой части располагались функции только от г, а в правой —толь- —только от ф. Для этого разделим левую и правую части на произведе- произведение ЯФ, предполагая заранее, что это произведение не обращается в нуль тождественно (нулевое решение было бы, конечно, физиче- физически бессодержательным): r*R''/R+rR'IR+g2r*=-<!>"№. (9.13) Чтобы уравнение (9.13) удовлетворялось при всех значениях г и ф, левая и правая части должны быть некоторым постоянным числом, например -ф"/Ф=лЛ (9.14) Равенство (9.14) является дифференциальным уравнением вто- второго порядка с постоянными коэффициентами. Решениями такого уравнения служат функции (?), (9.15) cos а также их любая линейная комбинация (Со — произвольный по- постоянный коэффициент). Из-за симметрии волновода по угловой координате ф выбор функции не имеет принципиального значения; для конкретности будем считать, что Ф(<р)=:С0СО8/Я<р. (9.16) Чтобы выполнялось физически очевидное требование периодич- периодичности решения по углу <р с периодом 2я, параметр пг должен быть положительным целым числом или нулем. Число m является од- одним из индексов волны Е-типа в круглом волноводе. Рассмотрим теперь левую часть уравнения (9.13) и постараем- постараемся вывести дифференциальное уравнение, описывающее распреде- распределение поля вдоль радиальной координаты г. Из (9.13) и (9.14) имеем ?C)-0- (917)
9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 187 Целесообразно несколько преобразовать уравнение (9.17), введя безразмерную независимую переменную x = gr. (9.18) Тогда вместо (9.17) получаем уравнение Данное дифференциальное уравнение второго порядка с пере- переменными коэффициентами хорошо изучено в математике и носит название уравнения Бесселя. Цилиндрические функции. Так принято называть частные ре- решения уравнения (9.19). К ним относятся: Jm(x)—функция Бесселя или цилиндрическая функция перво- первого рода га-го порядка; Nm(x)—функция Неймана или цилиндрическая функция вто- второго рода m-го порядка. Аналитически функции Бесселя и Неймана выражаются посред- посредством бесконечных сходящихся рядов достаточно сложной струк- структуры. Так, если m — целое положительное число или нуль, то -f, ¦ (9.20) 2 / V ' т)\ \ 2 J 1 / Х\т ^ (~\)k ( X V — > i — я \ 2 / ы k\(k -\-т)\ \ 2 / где С=0.5772... — постоянная Эйлера. Функции Бесселя и Неймана линейно независимы, поэтому об- общее решение уравнения (9.19) имеет вид R {x)=AxJm (х) +A2Nm (xl (9.22) где Аи А2 — некоторые произвольные коэффициенты. В цилиндрической системе координат функции Бесселя и Ней- Неймана играют такую же роль, как синусоидальная и косинусоидаль- ная функции в прямоугольной декартовой системе. Взглянув на графики (рис. 9.3), можно заметить, что эти функции отчасти схо- схожи с гармоническими, однако имеются и существенные отличия: • цилиндрические функции в отличие от гармонических не явля- являются периодическими; • «амплитуда» цилиндрических функций не постоянна, а умень- уменьшается с ростом аргумента;
188 Глава 9. Круглый металлический волновод Ф при малых значениях аргумента функции Неймана неограни- неограниченно велики: lim Nm(x) =—оо. В силу последнего свойства при решении задач об электро- электромагнитных полях в круглых волноводах коэффициент при функции Неймана в формуле (9.22) дол- должен быть равен нулю, поскольку бесконечно большие амплитуды полей на оси волновода (при г= =0) физически нереальны. В задачах, интересных с точ- точки зрения радиотехнической практики, чаще всего приходится Рис. 9.3. Типичные графики цилинд- иметь Дело с простейшими^ ЦИ- рических функций линдрическими функциями Jo(x) и J\(x). В математике доказано, что между ними имеется соотношение ^(х) = -<ио(х)/йх, (9.23) которое вытекает из общей формулы дифференцирования цилинд- цилиндрических функций (9.24) справедливой при любых т. Соответствующие графики представлены на рис. 9.4. Как будет видно из дальнейшего, особый интерес представляют те значения аргумента, при ко- которых обращаются в нуль ли- либо сами функции Бесселя, ли- либо их производные. Введем следующие обозначения: утп— п-й по счету корень уравнения Jm(x)=0; limn — п-й по счету корень уравнения }т'(х) = 0. Можно заметить, что функция J0(x) первый раз пересекает ось абсцисс в точке с коорди- координатой, приблизительно равной 2.4. По принятой договоренности данную точку будем обозначать символом voi. Аналогично, первый по счету максимум функции Ji(x) имеет место в точке с координатой х».1.8; данное значение должно быть обозначено как |лц. -05 Рис. 9.4. Функции Бесселя J0(x) и Ji(x)
9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 189 В нижеследующих таблицах со справочными целями приведены значения некоторых корней функций Бесселя и их первой произ- производной Таблица п 1 2 3 9.1. Корни т=0 2.405 5.520 8.654 Vmn ФУНКЦИИ т==1 3.832 7.016 10.714 Бесселя 5.135 8.417 11.620 В математической литературе имеются весьма подробные таб- таблицы таких корней. Кроме того, практически все компьютерные па- пакеты прикладных программ предоставляют богатые возможности вычислений с цилиндрическими функциями. Та ций п 1 2 3 блица 9.2. Бесселя Корни \imn пг=0 3.832 7.016 10.174 первой производной функ- m = l 1.841 5.335 8.536 m=2 3.052 6.705 9.965 Критическая длина волны. После краткого знакомства с тео- теорией цилиндрических функций вернемся вновь к исследованию ха- характеристик волн типа Е. В соответствии с идеей метода разделе- разделения переменных запишем амплитуду продольной проекции векто- вектора напряженности электрического поля в виде E2=EQJm{gr)cosmy. (9.25) Поперечное волновое число g пока еще не определено. Чтобы найти его, заметим, что граничное условие Е2=0 при г=а будет выполнено лишь в том случае, если аргумент цилиндрической функ- функции в формуле (9.25) при г=а окажется равным одному из кор- корней Vmn функции Бесселя. Это означает, что поперечное волновое число g должно принадлежать бесконечной последовательности gmn, удовлетворяющей соотношению gmJ* = *mn> (9.26) откуда ?«л=*«лА*. (9.27)
190 Глава 9. Круглый металлический волновод Номер корня п является вторым индексом волны типа Етп в круг- круглом металлическом волноводе. Физический смысл индексов тип прост и нагляден: т озна- означает число вариаций поля по угловой координате ф, а п — число ва- вариаций по радиальной координате г. В частном случае т = 0 амп- амплитуды векторов электромагнитного поля не зависят от угловой координаты; подобные типы волн в круглом волноводе называют симметричными. Критические длины волн Е-типа в круглом волноводе находят на основании того же принципа, что и в случае прямоугольного волновода: (9.28) Формулы для вычисления длины волны в волноводе и фазовой скорости совершенно аналогичны тем, которые были получены при- применительно к прямоугольному волноводу: Х . (9.29) Пример 9.1. Круглый металлический волновод диаметром 50.8 мм возбуждается генератором с частотой /0=14 ГГц (А,о= = 21.4 мм). Проверить возможность распространения волны типа Ej2. Вычислить длину волны и фазовую скорость. Из табл. 9.1 находим, что волне типа Ei2 соответствует второй по счету корень функции Бесселя 1-го порядка vi2 = 7.016. Крити- Критическая длина волны Хкре11=6.28.25.4/7.016 = 22.75 мм. Поскольку Яо<А,кР, волна типа Е12 в рассматриваемом волноводе является распространяющейся. Длина волны в волноводе ч 21.4 ~о Хв =—, =63 мм. У\ —B1.4/22.75J Фазовая скорость волны типа Ei2 гь 3>1QS =8.84-103 м/с. /1 -B1.4/22.75J Анализируя формулу (9.28) совместно с табл. 9.1, убеждаемся, что среди волн Е-типа в круглом волноводе наибольшую крити- критическую длину имеет волна типа EOi ХкрЕ#1 = 2яа/2.405 = 2.61а, (9.30)
9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 191 так как корень vOi является наименьшим из всех корней функций Бесселя любого порядка. Структура поля волны типа Етп в круглом волноводе. Ампли- Амплитуда продольной проекции электрического вектора волны типа Emn в круглом волноводе на основании выражений (9.25) и (9.27) име- имеет следующий вид: E,=EQJm(^^)cosmv. (9.31) \ а ) Отсюда, используя формулы перехода (9.4), в которых, по опре- определению, Hz = 0, легко находим совокупность выражений, описы- описывающих пространственные зависимости проекций векторов элек- электромагнитного поля волны типа Етп: jhEQ -??- Jm [2jmL ) sin /mpe-^, (9.32) cos h h При выводе формул (9.32) учитывалось правило дифференциро- дифференцирования цилиндрических функций (9.24), а также равенство (9.27). Подобно тому как это было сделано в теории прямоугольного волновода [см. формулу (8.60)], здесь также можно ввести полез- полезный числовой параметр — характеристическое сопротивление (9.33) Рассмотрим некоторые конкретные задачи расчета полей в круглом волноводе. Пример 9.2. Радиус круглого волновода а=15 мм, длина волны возбуждающего генератора в свободном пространстве Хо = 32 мм, тип волны Еоь Амплитуда продольной проекции вектора напряжен- напряженности электрического поля на оси волновода ?"о = 7-103 В/м. Най- Найти величину Егт(а) —амплитудное значение радиальной проекции электрического вектора на стенке волновода.
192 Глава 9. Круглый металлический волновод В данном случае критическая длина волны 39Л5 мм>Х0, так что процесс имеет характер распространяющейся волны. Из формул (9.32) при m = Qy n=l находим аналитическое вы- выражение комплексной амплитуды радиальной проекции электри- электрического вектора при г = а: откуда амплитудное значение искомой проекции По таблицам функций Бесселя [19] находим ]\ B.405) =0.520. Безразмерный параметр ha=-^-= 6'28'15 ТЛ-C2/39.15)*= 1.697. К 32 Отсюда окончательно М03-0.520/2.405 = 2570 В/м. Пример 9.3. Используя данные из примера 9.2, вычислить ве- величину Нут (а) —амплитуду азимутальной проекции вектора на- напряженности магнитного поля на стенке рассматриваемого круг- круглого волновода. Найдя характеристическое сопротивление Z,E = 377 У"\ - C2/39.15J—217 Ом, получаем искомое амплитудное значение =U.S2 А/м. Поскольку в волне типа EOi магнитный вектор имеет единст- единственную составляющую Яф1ф) амплитуда вектора плотности поверх- поверхностного тока на стенке JnoBm=11.82iz А/м. Формулы (9.32) позволяют рассчитать и построить картины мгновенного распределения силовых линий электромагнитного по- поля любой волны типа Етп в круглом волноводе. В качестве приме- примера на рис. 9.5 изображена структура поля простейшей симметрич- симметричной волны типа Е01. Нетрудно заметить, что данное распределение есть результат непрерывной деформации картины силовых линий поля волны типа Еп в прямоугольном волноводе. Несколько слож- сложнее выглядят картины поля тех типов волн в круглом волноводе, у которых индекс т^=0. Примером может служить несимметрич-
9.2. Волны типа Е в круглом волноводе 193 ная волна типа Еп, эскиз силовых линий которой приведен на рис. 9.6. Средняя мощность, переносимая по круглому волноводу вол- волной типа ЕОь Чтобы найти среднюю мощность Рср, переносимую электромагнитным полем волны типа EOi по круглому волноводу, следует прежде всего в каждой точке вычислить z-ю проекцию ус- Рис. 9.5. Поперечное рас- распределение силовых ли- линий электромагнитного поля волны типа Eoi в круглом волноводе Рис. 9.6. Поперечное рас- распределение силовых ли- линий поля волны типа Ец в круглом волноводе редненного вектора Пойнтинга ПСрг, а затем выполнить интегри- интегрирование по поперечному сечению волновода: о о (г, :p)rdr. (9.34) Продемонстрируем методику вычислений на примере поля вол- волны типа Eoi. Здесь в соответствии с формулами (9.32) электромаг- электромагнитное поле имеет лишь две поперечные составляющие с проек- проекциями Ё — i v01 Г ( Voir \ К a J /о ок\ (9.35) которые изменяются во времени синфазно. Усредненный вектор Пойнтинга направлен вдоль оси z и имеет проекцию ! хсря - E\ll 2 ?v" "V а Подставив этот результат в формулу (9.34), находим, что (9.36) ср- ) a J п t ото
194 Глава 9, Круглый металлический волновод Входящий сюда интеграл в теории цилиндрических функций назы- называют интегралом Ломмеля. Показано [9], что Отсюда получаем окончательное выражение средней мощности, пе- переносимой волной типа Е01 в круглом волноводе: EoJl <voi)- (9-37) Пример 9.4. Определить предельно допустимую мощность, пе- переносимую волной типа Eoi в круглом волноводе радиусом а = — 25 мм, работающем на длине волны %о= 40 мм. Максимально допустимая напряженность электрического поля на оси волновода ?1о = 3-1О6 В/м. Используя исходные данные, находим числовые значения ко- коэффициентов, входящих в формулу (9.37): Хкр = 2.61а = 65.25 мм, Яв=50.63 мм, /г=2яДв=124 м~2, /i(vOi) — 0.52. Подставив эти чис- числа в формулу (9.37), получим Рср = 8.5 МВт. Удельная плотность потока мощности Рср.уд=«Рср/(яа2) =433 кВт/см2, что весьма близко к цифре, полученной ранее для волны типа Ню в прямоугольном волноводе (см. гл. 8). 9.3. Волны типа Н в круглом волноводе При исследовании волн Н-типа в круглом волноводе следует исходить из уравнения Гельмгольца относительно проекции Hz в цилиндрической системе координат *=<). (9-38) + + + Представляя решение этого уравнения в виде Иг (г, Ъ 2) = Нг (г, ср) ъ-ih* (9.39) и вводя поперечное волновое число g=]/p2—Л2, приходим к урав- уравнению В случае волн Н-типа электрический вектор может иметь лишь поперечные составляющие с комплексными амплитудами проекций
9.3. Волны типа Н в круглом волноводе 195 Ёг и 22<р. При этом только азимутальная составляющая с проекцией ?ф касательна к стенке волновода. Поскольку для волн Н-типа ? ja*LjffILt (941) g2 дг граничное условие принимает вид дНг/дг=0 при г=а. (9.42) Итак, проблема исследования волн Н-типа в круглом металли- металлическом волноводе с идеально проводящими стенками сводится к решению однородной краевой задачи (9.40) —(9.42) для попереч- поперечного уравнения Гельмгольца. Как и ранее, данную задачу будем решать методом разделения переменных. Частное решение с т вариациями по азимутальной координате ф запишем в виде Hz (г, o)=HQJm (gr) cos m<?. (9.43) Чтобы найти не известное пока поперечное волновое число g, обес- обеспечивающее существование нетривиального решения, вычислим частную производную dHz ' dfm(x) тлл\ —=zHQg—т cosmo, (9.44) дг dx где x = gr — безразмерная переменная. Граничное условие (9.42) будет выполнено, если = 0 при x=ga. (9.45) dx Равенство (9.45), рассматриваемое как уравнение относитель- относительно х, имеет неограниченное число корней, обозначаемых jjtmn. Та- Таким образом, краевая задача, описывающая распространение волн Н-типа в круглом металлическом волноводе, допускает бесконеч- бесконечное множество нетривиальных решений (собственных функций), причем для каждого решения должно выполняться равенство gmna = Vmn, (9.46) откуда соответствующее собственное значение Итак, 2-я проекция вектора напряженности магнитного поля в волне Н-типа описывается выражением Hz=HQJm [^f^ cos тЪ (9.48)
196 Глава 9. Круглый металлический волновод Отсюда можно получить всю совокупность комплексных амплитуд проекций векторов электромагнитного поля, применив формулы пе- перехода (9.4), в которых, естественно, следует положить EZ=Q: Er=j *T HQJm[¦zsz- sinmcpe (9.49) // *_ k ft Hz=HuJ Основные расчетные формулы остаются теми же, что и для волн электрического типа: , (9.50) Хв= *° (9.51) К1(Х/ХJ . (9.52) Среди всевозможных Н-волн круглого волновода наибольшее практическое применение нашла волна типа Нц, у которой cos? е-/^, (9.53) 4 x\ v-ur \ а h Картина силовых линий поля, построенная с помощью соотно- соотношений (9.53), изображена на рис. 9.7. Она полностью совпадает с той, которая была получена в § 9.1 путем непрерывной дефор- деформации поля волны типа Ню прямоугольного волновода.
9.3. Волны типа Н в круглом волноводе 197 Определенный интерес представляет также волна типа Hoi — простейшая симметричная Н-волна в круглом волноводе. Проек- Проекции векторов электромагнитного поля этой волны имеют следую- следующие комплексные амплитуды: ?=—J- Hi ¦ a F (9.54) Рис. 9.7. Силовые линии волны типа Ни в круглом волноводе Соответствующая картина поля изображена на рис. 9.8. Диаграмма типов волн в круглом волноводе. Основываясь на материале §§ 9.2 и 9.3, построим диаграмму типов волн в круглом металлическом волноводе. Располагая такой диаграммой, можно указать низший тип волны и определить область одноволновости данного волновода. Обратимся к табл. 9.1 и 9:2, в которых приведены корни функ- функций Бесселя и их производных, и выделим прежде всего группу самых малых корней, поскольку именно таким корням отвечают типы волн с наибольшими критическими длинами. Наименьшим из всех корней оказывается первый корень производной функции Бесселя 1-го порядка jin = 1.841, которому соответствует волна ти- типа Нц. Подставив этот корень в формулу (9.50), получаем Хкрн11 = 2яа/1.841 = 3.41а. (9.55) Итак, как и следовало ожидать, волна типа Ни, получаемая непрерывной деформацией поля основной волны прямоугольного волновода, оказывается волной низшего типа в круглом волно- волноводе.
198 Глава 9. Круглый металлический волновод Далее последовательно находим: (9.56) Построив диаграмму типов волн (рис. 9.9), отметим, что в круглом волноводе не могут распространяться электромагнитные п01 Е/7 Высшие типы Рис. 9.8. Поперечное рас- распределение поля волны ти- типа Hoi в круглом металли- металлическом волноводе О Ша 2.06о 2.61а ЗМа Ло Рис. 9.9. Диаграмма типов волн в круглом волноводе колебания с длиной волны Я0>3.41а. Волновод при этом-оказы- вается в режиме отсечки. В интервале длин волн 3.41а>Я01>2.61а волновод работает в одноволновом режиме, т. е. пропускает лишь основной тип волны Нц. Если же 10<2.61а, то в круглом волно- волноводе может наблюдаться уже многоволновый режим. На практике ширина области одноволновости должна быть несколько сокраще- сокращена по причинам, речь о которых шла в гл. 8. 9.4. Основы применения круглых волноводов Несмотря на очевидные конструктивные и технологические дос- достоинства, круглые волноводы используют значительно реже, чем прямоугольные. Это обусловлено так называемой поляризацион- поляризационной неустойчивостью основной волны типа Нц в круглом волново- волноводе. Поляризационная неустойчивость — прямое следствие совер- совершенной симметрии круглого волновода. Например, если на входе некоторой волноводной системы волна типа Нц поляризована так, как показано на рис. 9.10, то под влиянием различных случайных
9.4. Основы применения круглых волноводов 199 или преднамеренных деформаций волноводной линии колебания на выходе имеют уже другое направление плоскости поляризации. Поскольку возбуждающие устройства работают, как правило, лишь с колебаниями вполне определенной поляризации, описанный здесь эффект часто препятствует использованию круглых волноводов в качестве линии передачи СВЧ-сигналов. Вход Выход Рис. 9.10. Поляризационная неустой- неустойчивость волны типа Ни в круглом волноводе Рис. 9.11. Вращающееся волноводное сочленение В практическом отношении весьма ценно, что в круглом волно- волноводе могут существовать симметричные типы волн. На основе этих волн работает ряд устройств СВЧ. В качестве примера на рис. 9.11 изображен эскиз так называемого вращающегося волноводного со- сочленения. Этот элемент тракта СВЧ необходим для подключения передатчика (или приемника) радиолокационной станции к вра- вращающейся антенне. Энергия из неподвижного прямоугольного вол- волновода 1 отбирается с помощью штыревой антенны 2, которая, в свою очередь, возбуждает волну типа EOi в круглом волноводе 3. Этот волновод имеет поперечный разрез, снабженный контактны- контактными пластинами. Аналогично устроен верхний волноводный узел 4, который может свободно вращаться. Ввиду симметричной струк- структуры поля волны типа EOi коэффициент передачи мощности данно- данного устройства не зависит от угла поворота. Наконец, следует остановиться на одном уникальном свойстве круглого волновода, связанном с частотными характеристиками затухания симметричных Н-волн, прежде всего волны типа НОь Теоретически и экспериментально было показано, что затухание таких волн падает с ростом частоты в отличие от волн других ти-
200 Глава 9. Круглый металлический волновод пов как в круглом, так и в прямоугольном волноводах, у которых с ростом частоты затухание увеличивается. Это свойство позволя- позволяет в принципе строить дальние волноводные линии связи на базе круглого волновода с волной типа Ноь Такие линии способны в полной мере реализовать огромную информационную емкость СВЧ- диапазона. Для того чтобы читатель имел представление о реаль- реальных цифрах, можно указать, что на волнах миллиметрового диа- диапазона затухание волны типа Hoi в километровом отрезке медной трубы диаметром 50.8 мм состав- ляет лишь несколько децибел. Однако на пути практического использования линий передачи с волной типа Hoi встает ряд труд- трудностей, как принципиальных, так и технических. Они связаны с тем, что волна типа HOi не явля- Рис. 9.12. Поверхностные элект- ется В0ЛН0Й низшего типа в круг- рические токи на стенках круг- лом волноводе. Ьсли волна типа лого волновода с волной типа HOi Hoi может распространяться, то способны распространяться и другие типы волн, число которых на достаточно высоких часто- частотах значительно.. Расчеты показывают, что в уже упомянутой тру- трубе диаметром 50.8 мм при длине волны генератора 4 мм одновре- одновременно распространяются примерно 770 типов волн. Полезная вол- волна типа Hoi имеет тенденцию перерождаться в паразитные типы волн на случайных изгибах и неоднородностях волноводного трак- тракта. В результате затухание оказывается существенно вышеТ^еоре- тического предела. Наиболее эффективная мера борьбы с паразитными типами волн основана на использовании характерной структуры электро- электромагнитного поля волны Ноь Дело в том, что, как видно из формул (9.54), магнитный вектор на стенке волновода при г = а имеет лишь продольную проекцию Hz, Линии поверхностного тока всегда пер- перпендикулярны силовым линиям вектора Н, так что поверхностный ток, отвечающий волне типа Ноь протекает лишь в азимутальном направлении, как показано на рис. 9.12. Поэтому волновод, снаб- снабженный большим числом поперечных щелей или даже выполнен- выполненный из проводящих колец, изолированных друг от друга, будет ус- успешно обеспечивать распространение волны желаемого типа. В то же время щели окажутся излучающими для волн паразитных ти- типов и будут обеспечивать их фильтрацию. Практический опыт показал, что на сегодняшний день дальние линии связи с волной типа Ноь по-видимому, существенно уступа- уступают более эффективным системам, прежде всего волоконным лини- линиям оптического диапазона.
10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т 201 ЗАДАЧИ 9.1. Определите, какие типы волн являются распространяющи- распространяющимися в круглом волноводе с воздушным заполнением; волновод имеет радиус 15 мм и работает на частоте 7.5 ГГц. 9.2. Определите диапазон частот, в пределах которого в круг- круглом волноводе диаметром 4 см может распространяться только волна основного типа. 9.3. В круглом волноводе, заполненном диэлектриком и имею- имеющем диаметр 5 см, распространяется волна типа Нц. Известно, что частота колебаний поля равна 5 ГГц. Найдите диэлектрическую проницаемость заполняющего диэлектрика, если известно, что фа- фазовая скорость волны в точности равна скорости света. 9.4. Волна типа HOi распространяется в круглом волноводе с некоторым радиусом а. Определите, на каком расстоянии от оси волновода напряженность электрического поля максимальна. 9.5. В круглом волноводе диаметром 3 см распространяется волна типа Нц. Частота колебаний 7.5 ГГц, среднее значение пе- передаваемой мощности 50 кВт. Определите максимальное значение напряженности электрического вектора в данном волноводе. 9.6. Волны типов Нц и EOi возбуждены в круглом волноводе диаметром 5 см. Известно, что в сечении z = Q оба колебания син- фазны. Определите, на каком расстоянии от этого сечения разность фаз между данными волнами составит 180°. Глава десятая ВОЛНОВОДЫ С ВОЛНАМИ ТИПА Т В гл. 7 при классификации направляемых волн указывалось, что существует особый класс решений уравнений Максвелла, для которого характерно отсутствие продольных проекций как электри- электрического, так и магнитного векторов. Волны такого вида принято на- называть поперечными электромагнитными волнами или, короче, вол- волнами типа Т. Во многих радиотехнических устройствах работают волноводы с волнами этого типа. 10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т Пусть гармоническая электромагнитная волна Т-типа распро- распространяется в пространстве, заполненном однородной средой с по- постоянными, не зависящими от частоты электродинамическими па- параметрами 8а, p,a. Волна распространяется вдоль оси z прямоуголь- прямоугольной декартовой системы координат. Поскольку, по определению,
202 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т Ё2=Й2=0, первые два уравнения Максвелла rot Н=>ааЁ, rotE=— /< принимают следующий вид: A0.1) =0, дНу дЙх dz дх дЁх дВу j дЁх A0.2) дх ду Выведем дифференциальное уравнение, которому должна удов- удовлетворять каждая из проекций векторов такого электромагнитного поля в силу уравнений A0.1) и A0.2). Для этого возьмем, напри- например, второе уравнение из системы A0.2), продифференцируем обе его части по z, а затем подставим в них величину дНу/дг из пер- первого уравнения системы A0.1). В результате получим dz Иными словами, х-я проекция комплексной амплитуды Е(х, у, z) удовлетворяет уравнению Гельмгольца J^=Q, A0.3) в котором p^coj/^eajia — коэффициент фазы однородной плоское волны с частотой со, которая распространяется в рассматриваемой среде. Несомненно, что такими же окажутся уравнения относи- относительно других проекций, а именно ЁУ9 Нх и Ну. Путем прямой подстановки убеждаемся, что общее решение уравнения вида A0.3) имеет вид ?*(*, У, г)=Ех{х, У)е±^Р*. A0.4)
10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т 203 Данная функция описывает волновой процесс, который распрост- распространяется вдоль положительного или отрицательного направления оси z с постоянной, не зависящей от частоты фазовой скоростью 0ф = со/Р= l/l/eafxa, равной скорости света в заполняющей среде. Итак, получен принципиальный результат — волны типа Т в отличие от изученных ранее Е- и Н-волн не имеют частотной дис- дисперсии фазовой скорости. Для волн типа Т продольное волновое число h совпадает с коэффициентом фазы |3, а поэтому поперечное волновое число g= V§2—/х2 = 0. Отсюда непосредственно следует, что критическая длина Т-волн ЯКрт = 2я/?=оо. Следовательно, вол- волновод с волной типа Т в равной мере пропускает колебания любых частот начиная с постоянного тока (со = 0). Распределение поля в поперечном сечении. Скалярный электри- электрический потенциал. Задача об электромагнитном поле Т-волны бу- будет полностью решена, если тем или иным способом найти функ- функции Ех(х, у) и Еу(х9 у), описывающие распределение амплитуды вектора напряженности электрического поля в поперечной плоско- плоскости волновода. Аналогичные функции Нх{х, у) и Ну(х, у) получа- получаются при этом автоматически из уравнений Максвелла. Обратимся к третьему уравнению из системы A0.2) и заметим, что оно будет удовлетворяться, если положить 3(x, у). A0.5) Здесь фэ(#, у) —вспомогательная функция, называемая скалярным электрическим потенциалом. Значения этой функции измеряют в вольтах. Смысл отрицательного знака в правой части равенства A0.5) будет пояснен несколько позднее. Действительно, по правилам вычисления градиента в декарто- декартовой системе координат дх ' у ду ' и поэтому равенство №у дЕх _Q дх ду ~ будет иметь место при любом выборе функции фэ(#, у). Однако сле- следует принять во внимание, что в однородной материальной среде без свободных зарядов электрический вектор должен удовлетворять уравнению divE=0, которое в координатной форме записывается так: дх л ду
204 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т Отсюда, воспользовавшись равенствами A0.6), получаем диффе- дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно скалярного электрического потенциала: Найденное уравнение в математике носит название уравнения Лап- Лапласа. Проведенный здесь вывод относился к прямоугольной декарто- декартовой системе координат. Однако его можно применить к любой дру- той системе, так как во всех случаях должно выполняться равен- равенство divgrad<p3=vl<P3=0. A0.8) Конкретная запись оператора Лапласа Vj_, действующего по по- поперечным координатам, зависит от выбора координатной системы. Разность потенциалов и напряжение. Уравнение Лапласа часто встречается в самых разнообразных физических и технических за- задачах, описывая всевозможные состояния равновесия в пространст- пространственных структурах. В частности, уравнение Лапласа служит основ- основным уравнением электростатики. Действительно, любое электростатическое поле неизменно во времени и поэтому в силу уравнений Максвелла должно удовлет- удовлетворять системе векторных дифференциальных уравнений rotE=0, divE = 0. (lB.9) Если положить, что Е=—gradcp3, то первое уравнение из A0.9) ока- оказывается выполненным на основании тождества rot grad = 0, извест- известного из векторного анализа. Второе уравнение выполняется в силу того, что электрический потенциал фэ служит решением уравнения Лапласа A0.8) по предположению. Отрицательный знак в формуле A0.5) связан с установившейся в физике традицией ориентировать вектор Е в сторону уменьшения электрического потенциала. Другими словами, силовые линии век- вектора Е условно начинаются на проводниках, несущих положитель- положительные заряды. Таким образом, картина силовых линий электрического векто- вектора в поперечной плоскости регулярного волновода с Т-волной це- целиком совпадает с картиной силовых линий вектора Е в заряжен- заряженном цилиндрическом конденсаторе, конфигурация обкладок кото- которого такая же, как и токонесущих поверхностей волновода. Статический характер поперечного распределения электриче- электрического поля в волноводе с Т-волнами позволяет ввести удобную ха- характеристику электромагнитного процесса — разность потенциалов между проводниками (рис. 10.1, а)
10.1. Некоторые общие свойства волн типа Т ЦА,В) 205 A0.10) Важно подчеркнуть, что из-за потенциального (безвихревого) характера поперечного распределения электрического поля вели- величина UAB не зависит ни от расположения точек Л и В на провод- проводниках, ни от выбора пути интегрированиях в поперечной плоско- плоскости волновода. 1 1 1 1 1 1 — -ее ? i В 5) Рис. 10.1. К введению понятий разности потенциалов и на- напряжения: а — в волноводе с Т-волной; б — в прямоугольном волноводе с волной типа Ню Отметим, что применительно к волнам Е- и Н-типов в изучен- изученных ранее полых металлических волноводах ввести понятие раз- разности потенциалов невозможно. Чтобы убедиться в этом, рассмот- рассмотрим поле Е в поперечном сечении прямоугольного волновода с вол- волной типа Ню (рис. 10.1, б). Здесь, очевидно, j Edl^O, так как на всем пути интегрирования векторы Е и dl образуют ост- острый угол, так что скалярное произведение Edl положительно. Если же взять контур интегрирования L2, проходящий по стенкам волно- волновода, то Edl=0, поскольку на широких стенках вектор Е перпендикулярен элемен- элементарному вектору пути dl, а на узкой стенке вектор Е равен нулю в силу граничного условия. Этот пример убеждает в том, что применительно к прямоуголь- прямоугольным и круглым металлическим волноводам можно говорить не о разности потенциалов, а лишь о напряжении между отдельными точками пространства с обязательным указанием выбранного пути интегрирования. Последнее обстоятельство делает малоэффектив-
206 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т ным прямое использование понятия напряжения при анализе полых металлических волноводов. Можно строго показать, что в металлическом волноводе с замк- замкнутой односвязной формой поперечного сечения волна типа Т су- существовать не может. Для этого заметим, что во всех точках кон- контура сечения Г такого волновода скалярный электрический потенци- потенциал фэ должен быть постоянным. Поэтому функция фэ во внутренней области сечения является решением следующей краевой задачи для уравнения Лапласа: A0.11) Т9|г=const. В теории дифференциальных уравнений с частными производны- производными доказывается следующее легко запоминающееся свойство функ- функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа: такая функция принимает минимальные и максимальные зна- значения не внутри, а на границе об- области своего существования. Отсю- Отсюда в силу краевого условия из A0.11) приходим к выводу, что единственным подходящим решени- Рис. 10.2. Коаксиальный волновод ем уравнения Лапласа ео внутрен- внутренней области служит постоянная ве- величина фэ(л:, y) = const. Но при этом, как легко видеть из форму- формулы A0.5), поле в волноводе тождественно равно нулк^ Итак, волны типа Т могут, распространяться лишь в таких вол- волноводах, где имеются по крайней мере два изолированных друг от друга токонесущих проводника, между которыми устанавливает- устанавливается разность потенциалов. 10.2. Коаксиальный волновод Данный волновод, широко применяемый в радиотехнических устройствах, представляет собой два соосных металлических ци- цилиндра радиусами а и Ь, разделенных диэлектриком (рис. 10.2). Для анализа структуры электромагнитного поля в таком волно- волноводе целесообразно ввести цилиндрическую систему координат г, Ф, г, продольная ось которой совпадает с осью системы проводя- проводящих цилиндров. Пространственное распределение векторов поля. По причине полной симметрии поперечного сечения рассматриваемого волно- волновода функции, описывающие пространственные зависимости векто-
10.2. Коаксиальный волновод 207 ров электромагнитного поля, очевидно, не зависят от угловой ко- координаты ф, т. е. д/дф = 0. Ранее было показано, что распределение напряженности элек- электрического поля Т-волны в поперечной плоскости волновода цели- целиком повторяет электростатическое поле в цилиндрическом кон- конденсаторе тех же размеров. Пусть электрический потенциал внут- внутреннего проводника равен U, в то время как наружный проводник волновода находится под нулевым потенциалом. Тогда функция фэ, описывающая распределение электрического потенциала в об- области a^r^b, должна быть решением следующей краевой за- задачи: A0.12) Двумерное уравнение Лапласа в полярной системе координат с учетом симметрии по углу ф имеет вид =А. A0.13) Общее решение этого уравнения срэ(г) = Л1п г-\-В A0.14) содержит две произвольные постоянные Л и В, которые следует по- подобрать так, чтобы выполнялись краевые условия на внутреннем и внешнем проводниках: A \n A In Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получаем А= U- , В=~иЫЬ In a — In b In а — In b откуда находим окончательно закон распределения скалярного электрического потенциала во внутренней области волновода: In Полученная формула устанавливает, что при увеличении ра- радиальной координаты от а до Ъ потенциал уменьшается по логариф-
208 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т мическому закону. Амплитуда вектора напряженности электриче- электрического поля в поперечной плоскости grad ?(r)^i U 43 dr' \n(bja)r ' уменьшается обратно пропорционально координате точки наблю- наблюдения и имеет единственную проекцию вдоль единичного векто- вектора ir. Предположим, что пространство между проводящими цилинд- цилиндрами заполнено средой без потерь (сг=0) с заданными электроди- электродинамическими параметрами еа, [ха. Тогда в соответствии с формулой A0.4) комплексная амплитуда вектора Е волны типа Т, распростра- распространяющейся в сторону возрастания координаты z, есть Ё(г, z)= — e"ypzir. A0.15) ln(b/a)r г К ; Чтобы найти комплексную амплитуду Н(г, z) магнитного вектора, следует воспользоваться уравнением Максвелла rot Е= —/a)U<aH, записав операцию rot в цилиндрической системе координат (см. Приложение А): Н(г,г)=—^-rot Ё=-^- -^-19 = V^>u e~'\. A0.16) a)fxa (ofia dz ln(b/a)r Вектор Н имеет единственную азимутальную проекцию; силовые ли- линии этого векторного поля представляют собой концентрические окружности, которые охватывают внутренний проводник волно- волновода. Эскиз распределения силовых линий векторов электромагнит- электромагнитного поля Т-волны в коаксиальном волноводе, построенный в со- соответствии с формулами A0.15) — A0.16), изображен на рис. 10.3. Видно, что данное поле представляет собой неоднородную плос- плоскую волну, область существования которой ограничена металли- металлическими стенками. Интересно отметить, что в каждой точке внут- внутренней области отношение модулей комплексных амплитуд векто- векторов Е и Н постоянно и равно характеристическому сопротивлению заполняющей среды: A0.17) Токи на стенках волновода. Магнитный вектор Т-волны, на- направленный вдоль единичного вектора i<p, оказывается касатель-
10.2. Коаксиальный волновод 209 ным к токонесущим поверхностям, на которых возникают поверх- поверхностные электпические токи с плотностями A0.18) Различие в знаках связано с тем, что единичным вектором внеш- внешней нормали к внутреннему цилиндру служит вектор ir, а к наруж- наружному — вектор — ir. А-А I J © 1 © j © © © ( f ] • • • T" H Рис. 10.3. Структура силовых линий электромагнитного поля Т-волны в коаксиальном волноводе Векторы ir, 1Ф, \z образуют правую тройку. Отсюда на основа- основании равенств A0.18) приходим к выводу о том, что вдоль провод- проводников распространяются бегущие волны плотности поверхностно- поверхностного тока e J? i B,3(b, z) = ln(h/a)a A0.19) 'u ln(b/a)b Амплитуду суммарного тока / на проводниках найдем, умно- умножив амплитуды плотностей поверхностного тока на величины 2яа и 2nh соответственно, равные длинам контуров сечений внутрен- внутреннего и внешнего проводников. Легко видеть, что = 2я|Л?а/^а U. A0.20) In (b/a)
210 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т Токи оказываются равными по модулю и противоположными по знаку. Это указывает на то, что по одному из проводников ток от генератора поступает в нагрузку, а по другому вновь возвращает- возвращается в генератор. Понятие волнового сопротивления. По определению, отноше- отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока бегущей волны на- называют волновым сопротивлением ZB линии передачи с волной ти- типа Т. В данном случае ZB = y=—;=^ = 60l/-^ln^j A0.21) Пример 10.1. Коаксиальный волновод имеет размеры а = 2 мм, Ь = 6 мм. Заполняющей средой является диэлектрик с параметра- параметрами jlx = 1, е = 2.4. Найти амплитуду напряжения в бегущей волне, если известно, что амплитуда тока составляет 0.4 А. По формуле A0.21) находим ZB=60 1пЗ/[/Х-=42.5 Ом. Тогда ?/=/ZB=0.4.42,5 = 17 В. Волновое сопротивление служит важнейшей технической ха- характеристикой линии передачи с волной типа Т. Это объясняется тем, что при каскадном включении двух отрезков волноводов с различными параметрами, например с разными диаметрами про- проводников, мощность из одной линии целиком, без отражений, бу- будет передана в другую, если выполнено условие согласования ZBl=ZB2. A0.22) Эта формула во многих случаях служит критерием согласования коаксиальных волноводов, обеспечивая точность, достаточную для инженерных целей [3]. Приближенность формулы состоит в том, что она не учитывает изменение структуры поля в непосредствен- непосредственной близости от плоскости скачка геометрических размеров, при- приводящее к небольшому добавочному отражению волн. Подчеркнем, что волновое сопротивление, измеряемое, как и сопротивление резистора, в омах, никак не связано с превращени- превращением энергии электромагнитного поля в теплоту, а выступает лишь как коэффициент пропорциональности. Переносимая мощность. Зная комплексные амплитуды напря- женностей электрического и магнитного полей в коаксиальном вол-
10.3. Некоторые применения коаксильных волноводов 2.1 \ поводе, можно вычислить мощность электромагнитного поля, пе- переносимую вдоль оси распространения бегущей волны: Подставив сюда выражения A0.15) и A0.16), находим - A0-24) Формулу A0.24) можно рассматривать как выражение мощности^ Р, выделяемой в некотором воображаемом резисторе с сопротив- сопротивлением ZB, на который подано гар- гармоническое напряжение с амплиту- 1 ? Й U. I / 10.3. Некоторые применения коаксиальных волноводов Используемые в радиотехнике Рис. 10.4. Эскиз конструкции ко- коаксиальные волноводы чаще все- аксиального кабеля: го имеют вид коаксиальных кабе- ?иэ~кт*еинк7Т-1ЙоплРе°тка*н17:-* нГ- Лей — ГИбкИХ ЛИНИЙ Передачи, КОН- ружное защитное покрытие' струкция которых изображена на рис. 10.4. Чтобы обеспечить гибкость, в качестве диэлектрика при- применяют полимерные материалы, такие, как полиэтилен, фторо- пласт-4 и др. Для этой же цели наружный проводник коаксиаль- коаксиального кабеля выполняют в виде оплетки, состоящей из большого числа тонких медных проводников. Промышленность выпускает разнообразные кабели, отличаю- отличающиеся своей конструкцией и областями применения. Однако но- номинальные значения волновых сопротивлений кабелей стандарти- стандартизованы. Чаще всего используют коаксиальные линии передачи с волновым сопротивлением 50, 75, 100, 150 и 200 Ом. Стандарти- Стандартизация волновых сопротивлений облегчает создание унифицирован- унифицированных узлов и компонентов радиоэлектронной аппаратуры. Как правило, коаксиальные кабели —это линии передачи для сравнительно небольших мощностей (до сотен ватт) в диапазоне частот от постоянного тока приблизительно до 10 ГГц. На более высоких частотах поперечные размеры кабеля оказываются срав- сравнимыми с рабочей длиной волны, и по кабелю помимо основной Т-волны могут распространяться волны высших Е- и Н-типов, что обычно нежелательно.
,212 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т Важной областью применения коаксиальных кабелей является техника многоканальных линий дальней связи, работающих в от- относительно низкочастотном диапазоне (единицы или десятки ме- мегагерц). 10,4. Полосковые волноводы За последние десятилетия в технику СВЧ прочно вошел осо- особый класс линий передачи с волнами типа Т, называемых полос- ковыма волноводами, В этих волноводах токонесущие проводники h tttiisisii Q) б) Рис. 10.5. Полосковые волноводы: а— симметричный; б — несимметричный представляют собой тонкие полоски металла, между которыми на- находится подложка— плоский слой диэлектрика с малыми потеря- потерями. Полосковые волноводы бывают симметричными и несимметрич- несимметричными; поперечные сечения их изображены на рис. 10.5. По многим конструктивным и технологическим соображениям на практике предпочитают несимметричные полосковые волноводы. Чтобы обес- обеспечить высокие электрические и механические характеристики, в качестве материалов для подложки часто используют твердые ди- диэлектрики на основе оксида алюминия — поликор (е = 9.6) и лей- косапфир (е=1К4). Высокая диэлектрическая проницаемость этих материалов позволяет существенно уменьшить поперечные габа- габариты волноводов. В технической литературе несимметричные по- лосховые волноводы для сантиметрового и миллиметрового диапа- диапазонов часто называют микрополосковыми волноводами, подчерки- подчеркивая этим термином миниатюрность конструкций. Квази»Т~в©лны. Строгий электродинамический анализ полей в несимметричном полосковом волноводе является достаточно слож- сложной задачей и проводится в основном численными методами. Это связано с тем, что в отличие от коаксиального волновода здесь па- параметры заполняющей среды неоднородны по сечению. Как след- следствие, векторы электромагнитного поля в таком волноводе име- имеют все шесть декартовых проекций Ех, Еу, Ег, Нх, Ну, HZf и поэто- поэтому, строго говоря, волн Т-типа здесь не существует. Однако на прак- практике обычно применяют волноводы, у которых толщина подложки h существенно меньше ширины верхнего проводника Ь. Поэтому
10.4. Полосковые волноводы 213 электрическое поле в поперечном сечении волновода распределе- распределено примерно так же, как и электростатическое поле в плоском кон- конденсаторе. Достаточно высокое значение относительной диэлектри- диэлектрической проницаемости подложки снижает роль краевых эффектов, так что поле во внутренней области оказывается приблизительно однородным. Таким образом, при Л/6<С1 и е^>1 можно обоснованно пренеб- пренебречь сравнительно малыми продольными проекциями Ег и Hz. Низ- Низший тип волны в таком микрополосковом волноводе, имеющий ну- нулевое значение критической частоты, принято называть квази-1-волной. Строгий анализ показывает, что фазовая скорость квази-Т- волны зависит от частоты. Дисперсионные явления выра- выражены тем резче, чем выше от- относительная диэлектрическая проницаемость материала под- подложки. Все это приходится учитывать при автоматизиро- автоматизированном проектировании широ- широкополосных СВЧ-устройств, когда точность компьютерных вычис- вычислений должна быть достаточной для того, чтобы изготавливать изделия, не требующие трудоемких и дорогих операций доводки и настройки. Волновое сопротивление. Рассмотрим картину силовых линий векторов электромагнитного поля в микрополосковом волноводе, изображенную на рис. 10.6. Если между верхним проводником и металлическим основанием имеется гармоническая во времени раз- разность потенциалов О, то амплитуда у-й проекции вектора напря- напряженности электрического поля вычисляется по формуле плоского конденсатора Ey=U/h. Вектор напряженности магнитного поля будет иметь попереч- поперечную х-ю проекцию, которая в каждой точке связана с Еу посред- посредством характеристического сопротивления заполняющей среды [см. формулу A0.17)]: Ей U Рис. 10.6. Силовые линии векторов эле- электромагнитного поля в микрополоско- микрополосковом волноводе Х Zc 120л&]/>/е Проекция вектора плотности поверхностного электрического то- тока на ось z численно совпадает с поперечной проекцией магнитно-
214 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т го вектора. Следует учесть также, что электрическое и магнитное поля сосредоточены в основном внутри прямоугольной области се- сечением by^h, которая непосредственно прилегает к проводящей по- полоске; ток протекает практически лишь по внутренней стороне полоски. Тогда амплитуда тока в линии будет прямо пропорцио- пропорциональна ширине полоски: Отсюда находим волновое сопротивление микрополоскового волно- волновода: ?- — . A0.25) е Ь Данная формула устанавливает, что волновое сопротивление падает с уменьшением толщины подложки и с ростом ширины верхнего проводника волновода. Сравнение с данными эксперимента показывает, что точность расчетов по формуле A0.25/ недостаточна и поэтому данное соот- соотношение можно применять лишь для грубых оценок. Гораздо луч- лучшие результаты дает формула 188.5 ( Ь /е— 1 \ = -— -+0.441 + 0.082 U справедливая при условии, что/г/6<1, pi= Пример 10.2. Микрополосковый волновод имеет размеры по- поперечного сечения й = 2 мм, ft = 0.25 мм. Электродинамические па- параметры подложки |х=1, 8 = 9. Сравнить результаты расчета вол- волнового сопротивления по приближенной и уточненной формулам. Применив приближенную формулу A0.25), находим ZB=377.0.25/C.2) = 15.7 Ом. Более точная формула A0.26) дает значение ZB=12.6 Ом. Таким образом, относительная погрешность грубой формулы составляет около 25%, что в ряде случаев недопустимо. Микрополосковые линии передачи, обычно применяемые в со- современных интегральных устройствах СВЧ-диапазона, имеют вол- волновые сопротивления в пределах от 10 до 100 Ом. При этом дос-
10.5. Отрезок волновода с Т-волной как четырехполюсник 215 тигается компромисс между требованиями к потерям в волново- волноводе, его пробивной прочности, а также к удобству сочленения вол- волновода с узлами и приборами. 10.5. Отрезок волновода с Т-волной как четырехполюсник Рассмотрим отрезок регулярного волновода без потерь, по ко- которому распространяются волны Т-типа. Считаются известными волновое сопротивление ZB и длина от- отрезка / (рис. 10.7). Совместим начало отсчета координаты z с левыми зажима- зажимами отрезка, на которых определим вход- входные комплексные амплитуды напряже- -I ^ L ния О\ и тока 1\. Аналогично, на пра- fI & 1 2 вых зажимах будем считать известными выходные величины О2 и /2. Данная си- V ? стема представляет собой линейный ста- _] [_ ционарный четырехполюсник. о I z В теории цепей для описания четы- рис 1QJ Схематическое рехполюсников используют аппарат изображение отрезка ли- матричного анализа [2]. Будем характе- Нии передачи ризовать изучаемый распределенный че- четырехполюсник его матрицей передачи (Л-матрицей). При этом независимыми переменными служат величины О2 и /2, связанные с напряжением и током на входе двумя равенствами: /х=A2yU2 -j- А22?2* Зная матрицу передачи ТА] \Ац ^ можно найти любые внешние характеристики четырехполюсника. Например, если к выходным зажимам подключен линейный двух- двухполюсник нагрузки с комплексным сопротивлением ZH, так что #2//2 = 2н, то из A0.27) следует формула для входного сопротив- сопротивления со стороны левых зажимов: A0.28) Аналогично находим комплексный коэффициент передачи напря- напряжения: ^^A0.29) Ux
216 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т Поставим задачу определить элементы А-матрицы отрезка ре- регулярного волновода с Т-волной. Воспользуемся тем, что общее ре- решение уравнения Гельмгольца, записанное относительно комплек- комплексных амплитуд напряжения и тока, имеет вид суммы двух волн, падающей и отраженной, бегущих в противоположных направле- направлениях: Здесь Ci и С2— не известные пока коэффициенты, относящиеся соответственно к падающей и отраженной волнам. Отрицательный знак во втором равенстве связан с тем, что отраженная волна пе- переносит мощность в сторону уменьшения координаты z. Выразим эти коэффициенты через выходные комплексные амп- амплитуды О2 и /2, получаемые из предыдущих формул подстановкой z = l. При этом имеем систему^линейных алгебраических уравнений С e~J9l—C em — f 7 решение которой элементарно: 2 Таким образом, комплексные амплитуды напряжения и тока в произвольном сечении выражаются через величины ??2 и 12: „( 0,hZ. t_z) T 2 2 T 2 2ZB 2ZB Входные напряжение и ток, соответствующие значению z=0, ' U2-'l2Ztt e'fi
10.5. Отрезок волновода с Т-волной как четырехполюсник 217 или U1 = iJ2 cos $l + JI2ZB sin p/, (Ю.30) Сравнивая A0.30) и A0.27), видим, что матрица передачи отрез- отрезка волновода с волной Т-типа выражается следующим образом: cos p/ JZB sin A0.31) sin p/ cos 1 Входное сопротивление нагруженного отрезка волновода. На основании формул A0.28) и A0.31) z _ ZH cos p/ + JZB sin p/ = ZH + yZB tg p/ A0 32) у -|^- sin p/ +cos p/ I 4-/-^- tg p/ ^в -^в Если ввести безразмерные нормированные сопротивления то последнее равенство примет вид На основании данной формулы можно утверждать, что в общем случае входное сопротивление отрезка, к выходным зажимам ко- которого подключен двухполюсник нагрузки, не совпадает с комп- комплексным сопротивлением этого двухполюсника. Поэтому отрезок линии передачи выполняет роль трансформатора сопротивления. Это свойство отрезка служит основой многочисленных технических применений. . Следует отметить, что в режиме согласования (при ^ZH'=1) входное сопротивление любого отрезка равно волновому сопро- сопротивлению линии передачи независимо от его длины и от частоты. Если отрезок линии на выходе закорочен, так что ZH/==0, то Z'n = JtgV. A0.34) При холостом ходе на выходе ZH/=co и поэтому нормированное входное сопротивление отрезка Z'BK=-jctgV. A0.35) В-соответствии с формулами A0.34) и A0.35) входные сопро- сопротивления подобных отрезков волноводов всегда чисто реактивны и являются периодическими функциями безразмерного параметра f$/. Например, отрезок короткозамкнутой линии длиной /<Я/4 име-
218 Глава 10. Волноводы с волнами типа Т ет индуктивное входное сопротивление, модуль которого неогра- неограниченно возрастает с приближением длины отрезка к значению Я/4. В интервале %jA </<V2 входное сопротивление носит емкостный характер. Короткозамкнутый отрезок линии передачи часто использует- используется в технике СВЧ. Изменяя его длину при помощи передвижного короткозамыкателя, так называемого поршня, можно осущест- осуществлять настройку и регулировку элементов волноводного тракта. ЗАДАЧИ 10.1. Коаксиальный волновод имеет параметры: а = 0.5 мм, 6 = = 2 мм, 8 = 2, [х=1. Между проводниками создана разность потен- потенциалов ?/=300 В. Найдите напряженность электрического поля на окружности радиусом го = 0.75 мм. 10.2. Диэлектриком коаксиального кабеля служит полиэтилен (е = 2.25, fx= 1). Размеры поперечного сечения: а = 0.75 мм, Ь = = 2.5 мм. Бегущая электромагнитная волна переносит вдоль ка- кабеля мощность Р=1.5 кВт. Определите амплитуду напряжения U между проводниками кабеля. 10.3. Коаксиальный волновод имеет воздушное заполнение и проводники радиусами а = 5 мм, Ь=15 мм. Напряженность элек- электрического поля бегущей электромагнитной волны на поверхности внутреннего проводника равна 6-Ю4 В/м. Вычислите амплитуд- амплитудные значения плотности поверхностного электрического тока •1пов.э(#) и Лпов.э(Ь) на внутреннем и внешнем проводниках. 10.4. Микрополосковый волновод имеет параметры: 6=1 мм, h = 0.25 мм, 8 = 9.6. Предельно допустимая напряженность элек- электрического поля в диэлектрике подложки составляет 8-Ю6 В/м. Определите максимальную мощность, которую можно передавать по этому волноводу на границе режима электрического пробоя. 10.5. Между проводниками микрополоскового волновода созда- создано гармоническое напряжение с амплитудой [/=250 В. Парамет- Параметры линии: Ь = 4 мм, /t=l мм, 8 = 2.1. Вычислите амплитуду векто- вектора плотности поверхностного электрического тока на проводящей полоске. 10.6. Отрезок линии передачи длиной 0.17Я нагружен на ли- линейный двухполюсник с нормированным сопротивлением ZH' = = 4.5—/0.8. Найдите нормированное входное сопротивление от- отрезка. 10.7. Гармонический источник ЭДС с амплитудой 70 В подклю- подключен к короткозамкнутому отрезку линии передачи, имеющей вол- волновое сопротивление 150 Ом. Частота источника 90 МГц, длина отрезка 0.8 м, диэлектрик — воздух. Определите амплитуду тока в короткозамыкающей перемычке.
//./. Источники потерь в волноводах 219 Глава одиннадцатая ЗАТУХАНИЕ ВОЛН В ПОЛЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ До сих пор процесс распространения электромагнитных волн по волноводам рассматривался в предположении, что источники потерь в них отсутствуют. Однако на практике любые волноводы обладают затуханием, выраженным в той или иной степени. Иног- Иногда, например при конструировании линий передачи для питания антенн или при создании дальних линий связи, затухание стано- становится характеристикой, определяющей ВЫбор ТОЙ ИЛИ ИНОЙ ВОЛНОВОДНОЙ СИ- стемы. 11.1. Источники потерь в волноводах Можно выделить два основных ис- точника потерь, присущих полым ме- ^„й^рГиГряжеГос™ таллическим волноводам: I) конечное электрического поля в волно- значение проводимости металла, из воде с потерями из-за конечной которого изготовлены стенки волново- проводимости стенок да; 2) небольшие токи проводимости в диэлектрике, заполняющем волновод. Первый из этих источников потерь приводит к тому, что на по- поверхности реального металла с конечной проводимостью касатель- касательная составляющая вектора напряженности электрического поля не обращается в нуль, а принимает некоторое конечное значение. Структура электромагнитного поля в волноводе становится такой, что силовые линии вектора Е слегка изгибаются (рис. ll.l). Как следствие, возникает составляющая усредненного вектора Пойн- тинга, направленная внутрь металла. Данная составляющая ха- характеризует плотность потока мощности, идущей на нагрев стенок волновода. Следует заметить, что приведенная картина силовых линий изображена в утрированном виде, поскольку из-за высокого значения удельной проводимости металла касательная составля- составляющая вектора Е гораздо меньше нормальной. Потери энергии, связанные с неидеальностью диэлектрических свойств заполняющего вещества, имеют, как правило, второсте- второстепенное значение, поскольку чаще всего внутри волновода находит- находится столь совершенный диэлектрик, как воздух. В данной главе этот источник потерь не рассматривается, однако его влияние не- нетрудно учесть развиваемыми здесь методами.
220 Глава 11. Затухание волн в волноводах 11.2. Коэффициент затухания волн в волноводе Как известно, комплексные амплитуды векторов электромаг- электромагнитного, поля, распространяющегося в сторону ?>0, при работе на некотором типе волны записываются следующим образом: у, z) = E(x, y)e~ihz, A1.1) где Е(х, у)у И(х, у) —векторные функции поперечных координат, зависящие от выбранного типа волны; А —продольное волновое число. Отрезок регулярного волновода можно представить в виде кас- каскадного соединения отрезков меньшей длины. Если каждому от- отрезку присуще некоторое затухание, то общее затухание должно быть экспоненциальной функцией суммарной длины (см. гл. 3). Поэтому амплитуды векторов электромагнитного поля экспонен- экспоненциально уменьшаются с ростом длины отрезка волновода. Анало- Аналогичная ситуация уже встречалась ранее при изучении затухания плоской электромагнитной волны, распространяющейся в неидеаль- неидеальной среде. Таким образом, следует считать, что в волноводе с по- потерями продольное волновое число является комплексной вели- величиной: h=h' — jhn. A1.2) При этом комплексные амплитуды векторов поля в волноводе бу- будут зависеть от декартовых координат следующим образом: уу z) = A1.3) Из вида формул A1.3) следует, что И! является коэффициентом фазы, в то время как А" является коэффициентом затухания волны рассматриваемого типа. Следует помнить, что величины А/ и Л" за- зависят от частоты колебаний. Смысл коэффициента затухания волн в волноводе можно по- пояснить с помощью следующего мысленного эксперимента. Поло- Положим, например, что на входе регулярного отрезка волновода дли- длиной 1 м амплитуда напряженности электрического поля равна Евх, в то время кйк на выходе за счет потерь амплитуда уменьшается до уровня EBhlx<zEBX. В соответствии с формулами A1.3) числовое значение коэффициента затухания А"=1п (EBjEBbiX). . A1.4)
11.3. Общее выражение для коэффициента затухания 221 Говорят, что величина h" является погонным затуханием рассмат- рассматриваемой линии передачи, выраженным в неперах на метр (Нп/м). В радиотехнике погонное затухание чаще выражают в децибе- децибелах на метр (дБ/м), пользуясь формулой Легко проверить, что между параметрами h" и Дпог существует связь: Д„Ог=8.68бА". (Ц.6) Экспоненциальный характер ослабления амплитуды поля при- приводит к тому, что в волноводных трактах, длина которых L удов- удовлетворяет неравенству /i"L>l, практически вся поданная на вход мощность рассеивается в стенках. Это обстоятельство серьезно за- затрудняет создание протяженных линий передачи. Пример 11.1. Известно, что некоторый волновод имеет погонное затухание 0.3 дБ/м. Определить отношения напряженностей поля на входе и выходе при длинах волновода Ьг=2 м и L2 = 60 м. В первом случае затухание в отрезке волновода составит 2Х Х0.3=0.6 дБ. В соответствии с определением понятия затухания отношение ?вых/?вх=10~°-6/20=0.933, т. е. амплитуда колебаний на выходе снижается примерно на 7%. Во втором случае затухание будет равно 60-0.3=18 дБ. При этом ^вых/^вх^Ю"8/20 ==0,126. Из-за потерь в стенках наблюда- наблюдается примерно восьмикратное уменьшение амплитуды на выходе. В технике СВЧ при проведении измерений чаще приходится иметь дело не с напряженностями полей, а с мощностяхми. Если Рвх и Рвых—-мощности бегущей волны на входе и выходе метро- метрового отрезка регулярного волновода с потерями, то погонное за- затухание An'or=10 1g(PBX/PBblx). A1.7) Различие между формулами A1-5) и A1.7) обусловлено тем; что мощность пропорциональна квадрату напряженности поля. 11.3. Общее выражение для коэффициента затужания Рассмотрим произвольный регулярный волновод с потерями, ось которого совпадает с осью г. Так как векторы электромагнит- электромагнитного поля в волноводе зависят от г в соответствии с формулами A1.3), то средняя мощность» переносимая волной заданного типа
222 Глава 11. Затухание волн в волноводах в любом фиксированном сечении, определяется следующим обра- образом: Р (г) = PQ ехр (— 2h"z), A1.8) где Ро — средняя мощность в сечении z=0 (по поводу вида пока- показателя экспоненциальной функции см. замечание в конце преды- предыдущего параграфа). Будем считать проводимость стенок волновода достаточно вы- высокой для того, чтобы можно было использовать приближенные граничные условия Леонтовича, рассмотренные в гл. 6. При этом структура силовых линий электромагнитного поля в волноводе практически остается такой же, как в идеализированной линии пе- передачи с бесконечно высокой про- проводимостью стенок. Дифференцируя формулу A1.8), получаем dP/dz=—2h"P, откуда выводим коэффициент зату- затухания: 1Г=-Ц!?. A1.9) Л, ср Рис. 11.2. К определению коэффи- коэффициента затухания волн в волно- волноводе Входящая сюда величина dP с точностью до знака равна средней мощности потерь в элементарном отрезке волновода длиной dz (рис. 11.2). Плотность средней мощности потерь характеризуется вектором Пойнтинга ПСр. пот, которой всегда перпендикулярен по отношению к стенкам волновода. Поэтому Ц ср.пот d/, A1.10) где интегрирование проводится вдоль контура L поперечного сече- сечения линии передачи. С другой стороны, мощность Р, переносимая через какое-ни- какое-нибудь сечение волновода, находится путем интегрирования среднего значения вектора Пойнтинга Пср по поперечному сечению волно- волновода: />=JncpdS. (ll.il) о Подставив выражения A1.10) и A1.11) в формулу A1.9), по- получим
11.3. Общее выражение для коэффициента затухания 223 Пср.пот | 61 2 \ ncpdS A1.12) По определению, ncp.nor=V2Re[ETMHTM], A1.13) где Ётм и Нтм — комплексные амплитуды составляющих электриче- электрического и магнитного векторов, касательных к поверхности металла. Приближенно будем считать, что касательная составляющая век- вектора напряженности магнитного поля на стенке реального волно- волновода с малыми потерями равна аналогичной составляющей маг- магнитного вектора на стенке идеальногб волновода без потерь: Нтм = Нтм(а = оо). Чтобы найти комплексную амплитуду касательной составляю- составляющей вектора^папряженности электрического поля на стенке реаль- реального волновода, обратимся к условиям Леонтовича, согласно кото- которым |ETM|=ZCM|H,M|. A1.14) Характеристическое сопротивление металла ZCM зависит от его удельной проводимости и от частоты следующим образом: (предполагается, что металл не имеет собственных магнитных свойств и его относительная магнитная проницаемость равна еди- единице). Если учесть, что HTM_LEXKb то \ I пср.пот | d/=i/_^ jj нтм |2d/ и формула A1.12) приобретает окончательный вид |H,M|2d/ й= 8q L - —. A1.16) Re f [ЕЙ] dS s . ' • Таким образом, чтобы вычислить погонное затухание в волно- волноводе, необходимо знать рабочую частоту, удельную проводимость
22,4 Глава 11. Затухание волн в волноводах материала стенок и располагать сведениями о структуре силовых линий векторов электромагнитного поля волны рассматриваемого типа в волноводе без потерь с теми же геометрическими характе- характеристиками. 11.4. Анализ некоторых частных случаев В данном параграфе будет рассмотрена методика вывода фор- формул для расчета коэффициента затухания применительно к неко- некоторым линиям передачи, часто используемым в радиотехнических устройствах. Коаксиальный волновод. Данная линия передачи анализиро- анализировалась в § 10.2. Напомним использованные обозначения: а и b — радиусы внутреннего и внешнего проводников соответственно, е— относительная диэлектрическая проницаемость заполняющего ди- диэлектрика. Будем полагать, что диэлектрик немагнитный (ji = l) и что омические потери в нем отсутствуют (tg 6 = 0). Комплексные амплитуды проекций векторов электромагнитного поля Т-волны в коаксиальном волноводе без потерь имеют вид ^ ^-*., A1.17) где А — произвольная постоянная с размерностью напряжения, p = a)]/"eso[i.o —коэффициент фазы (продольное волновое число). Отсюда мощность, переносимая вдоль оси z в кольцевой области между проводниками, Находя числитель из формулы A1.16), следует принять во вни- внимание, что в коаксиальном волноводе магнитный вектор имеет единственную составляющую, которая касательна к поверхностям как внутреннего, так и внешнего проводников. Полагая для кон- конкретности в равенствах A1.17) 2 = 0, непосредственно получаем Подставив A1.18) и A1.19) в выражение A1.16), приходим к формуле для практического расчета коэффициента затухания (Нп/м) Т-волны в коаксиальном волноводе без учета омических потерь в диэлектрике V у г 120л 1а (Ь/а)
11.4. Анализ некоторых частных случаев 225 Отсюда погонное затухание коаксиального волновода (дБ/м) Лпог = - 43.4 In (b/a) A1.20) Пример 11.2. Коаксиальный кабель марки РК-50-3-13 имеет полиэтиленовую изоляцию (е=2.25) и следующие размеры в по- поперечном сечении: а=0.45 мм, 6 = 1.5 мм. Найти погонное затуха- затухание Т-волны в данном кабеле при частоте сигнала /=750 МГц, считая, что i(x=5.7-107 См/м. Здесь значение параметра ]Аоц0/(&з) =3.6-10~3 Ом. Тогда в соответствии с формулой A1.20) пог 3.6.10-3.103A^5 =02 Б 43.4 In A.5/0.45) Итак, погонное затухание типичного коаксиального кабеля на частотах около 1 ГГц составляет несколько десятых долей деци- децибел на метр. Зафиксировав диаметр внешнего проводника коаксиального волновода, можно так подобрать диаметр внутреннего проводни- проводника, чтобы погонное затухание ока- оказалось минимальным. Действитель- [1+(ь/а)]/1п(Ь/а) но, зависящую от а, Ь составляю- составляющую правой части формулы A1.20) можно представить так: \\а \n(b/a) J_ 1 + (b/a) b In (b/a) 1 I \ V 1 1 1 ,—**• 0 3.6 5 10 15 b/a На рис. 11.3 изображен график за- зависимости второго сомножителя данной формулы от безразмерного отношения b/а. Можно видеть, что кривая имеет пологий минимум при Ь/а=3.6. Такая конструкция коак- коаксиальной линии оптимальна с точ- точки зрения наименьших потерь в металле; при 8=2.25 волновое сопротивление оптимизированного волновода Рис. 11.3. К определению погон- погонного затухания Т-волны в коак- коаксиальном волноводе 138 lg 3.6=51 Ом. A1.21) 8 — 1379
226 Глава 11. Затухание волн в волноводах Физическая причина существования оптимального соотношения радиусов такова: при чрезмерном сокращении радиуса внутрен- внутреннего проводника потери в нем возрастают вследствие увеличения плотности тока; если же отношение радиусов стремится к едини- единице, то погонные потери также растут из-за сокращения площади той части поперечного сечения волновода, по которой переносится электромагнитная энергия. В заключение отметим, что в коротковолновой части СВЧ-диа- пазона погонное затухание коаксиальных волноводов обусловлено главным образом рассеянием мощности в неидеальном диэлектри- диэлектрике, а не влиянием конечной проводимости материала стенок. Прямоугольный металлический волновод. Вычислим погонное затухание волны типа Ню, чаще всего применяемой на практике. Воспользуемся формулами (8.53), которые связывают проекции векторов электромагнитного поля с величиной ?Шах — максималь- максимальной амплитудой напряженности электрического поля, наблюдаемой в центре широких стенок при х=а/2. Знаменатель формулы A1.16) численно равен удвоенному зна- значению мощности, переносимой бегущей волной типа Ню; в соот- соответствии с выражением (8.70) имеем Re I [EH] dS = E™*ab i / i -р«-Л2. (Н.22) 5 240я \ \ 1а ) Чтобы вычислить числитель формулы A1.16), следует заметить, что обе составляющие напряженности магнитного поля с комп- комплексными амплитудами проекций а = -J — Emax cos a касательны к стенкам волновода; на узких стенках при х=0 и х=а проекция Нх обращается в нуль. При этом [\U% + ЬНг{а)НЛа) = 2[-±-JРтЛ sin * (П-23)
11.4. Анализ некоторых частных случаев 227 Нетрудно убедиться, что h V 1 - [Хо/Bа)]2 120я A1.24) \ ha ) 1 — [Л*Д2а)р Подставив эти выражения в A1.23) и воспользовавшись равенст- равенством A1.22), на основании A1.16) после несложных алгебраиче- алгебраических преобразований получаем ^ ^ следующую формулу для расче- 005 поп та погонного затухания (дБ/м) волны типа Ню в прямоугольном металлическом волноводе с воз- воздушным заполнением: г 0.793[l 2а 0.03 0.01 0.01 \ \ Г;": ^—Р |;.: '::•'::'¦'• :М -:.-:-;::'.-.\:\ :•::'¦¦¦¦:.'г'Л •: - ....•.•:) 1Щ •:::::.-:.-..1 I 1 *кр ПО Ло,мм Рис. 11.4. Зависимость погонного за- затухания колебания типа Ню от рабочей длины волны в прямо- прямоугольном волноводе сечением 72 X Х34 мм, выполненном из меди (а= = 5.7-107 Си/и) Via Ь V 1 - [Х<ЛBа)р A1.25) График зависимости погонно- погонного затухания от рабочей длины волны Ко для конкретного волно- волновода показан на рис. 11.4. Видно, что погонное затухание неограни- неограниченно возрастает как при стрем- стремлении длины волны к нулю, так и вблизи критической длины вол- волны Рост затухания на высоких частотах объясняется уменьшени- уменьшением толщины поверхностного слоя, что ведет к повышению сопро- сопротивления металлических стенок. С другой стороны, если частота стремится к критической, то плоские волны, из которых склады- складывается поле в волноводе, испытывают все большее число отраже- отражений от стенок, что также ведет к росту погонных потерь. Рассматривая представленный график, можно понять, в част- частности почему нецелесообразно использовать прямоугольные вол- волноводы стандартного сечения на волнах, длины которыхXo>l.bo. Для волноводов с отношением сторон 2:1 минимум погонного затухания наблюдается в точке *««0.8а. Данное значение лежит вне области одноволновости, однако по причине весьма плавного характера кривой увеличение затухания в рабочей полосе частот по сравнению с минимальным уровнем невелико. Переход от одного частотного диапазона к другому сопряжен с выбоРроТнового стандартного сечения волновода. Интересно вы-
22S Глава П. Затухание волн в волноводах яснить, как при этом меняется погонное затухание. Для всех стан- стандартных волноводов отношение b/а практически постоянно; на средних частотах диапазонов отношение К0/а также остается не- неизменным. Поэтому числитель в формуле A1.25) не зависит от рабочей длины волны, в то время как в знаменатель входит квад- квадратный корень из длины волны, а также параметр 6, пропорцио- пропорциональный первой степени Хо. В результате имеем Адог-Хо-3/2. A1.26) Проиллюстрируем смысл формулы A1.26) на конкретном при- примере. Известно, что у стандартного волновода сечением 23ХЮмм, изготовленного из меди, на длине волны Я0=3 см погонное зату- затухание равно 0.1 дБ/м. Перейдя на длину волны Хо=3 мм, следу- следует воспользоваться волноводом с десятикратно уменьшенным сече- сечением, т. е. 2.3X1 мм (весьма миниатюрная конструкция!). Погон- Погонное затухание в таком волноводе будет в 103/2 раз больше, т. е. составит примерно 3 дБ/м. Резкое возрастание потерь в прямо- прямоугольных волноводах стандартных сечений значительно усложняет создание устройств для коротковолновой части миллиметрового диапазона волн. Частотные зависимости погонного затухания волн высших ти- типов в прямоугольном волноводе имеют такой же экстремальный характер; с ростом индексов погонное затухание волн как Е-, так и Н-типов возрастает. Круглый металлический волновод. Выведем формулу для рас- расчета погонного затухания волны типа EOi в круглом металлическом волноводе радиусом а. Ранее было получени выражение (9.37), оп- определяющее среднюю мощность, переносимую волной данного типа вдоль оси волновода. Воспользовавшись ею, запишем ReJ[EH]dS= -^f^Eyi^). A1.27) s voi Вычисление криволинейного интеграла от квадрата касатель- касательной составляющей вектора напряженности магнитного поля вдоль контура сечения волновода оказывается очень простым. Дело в том, что, согласно формуле (9.35), имеется единственная проек- проекция Яф, которая к тому же не зависит от азимутального угла, и поэтому 1| Н,м|2<1/=2яа| Н9 1= 2ЯЯЗ(;8°J ?g/»(v01). A1.28) L V01 Если теперь подставить A1.27) и A1.28) в формулу .A1.16), то непосредственно получаем Aff _ ah
11.4. Анализ некоторых частных случаев 229 После несложных преобразований отсюда находим окончательное выражение, связывающее погонное затухание (дБ/м) волны типа Eoi в круглом волноводе с рабочей длиной волны Яо: 0.793 А . A1.29) Пример И.З. Вычислить погонное затухание волны типа Eoi в- круглом металлическом волноводе диаметром 50 мм на рабочей частоте /=7.5 ГГц. Материал стенок —медь (а=5.7-107 См/м). Рабочая длина волны Xo=c/f=4 см. На основании формулы A1.29) имеем 0.793 Дпог=- — — =0.027 дБ/м. 2.5-10-2/4-10-2.5.7.107 У 1 — [4/B.6Ь2.5)Р Эта цифра сравнима с погонным затуханием волны типа Ню в прямоугольном волноводе с таким же габаритом поперечного се- сечения. Аналогичным образом получаются формулы для расчета погон- погонного затухания волн Н-типов в круглом волноводе. Для справок приведем некоторые из них: волна типа Ни 0.793 {0.418 + PWC.41a)P} "лог — aVh° У l—[*o/C.4l0)P A1.30) волна типа Hoi 0.793 [Хо/A.64а)Р 0. ОЦ 0.03 0.02 0.01 Дпог, ав/м \ \ Л \ \ ч / I I I / / у \ 1 Г 5 7 10 10 V 1~[Х0/A.б4а)]2 A1.31) На рис. 11.5 изображены кри- кривые зависимостей погонного за- затухания волн типов Ни и Hoi от рабочей длины волны примени- применительно к типичному круглому волноводу сантиметрового диапа- Рис п 5 зависимость погонного за- зона. гчак уже упоминалось в гл. тухания некоторых типов волн в круг- 9, для волны типа Hoi характер- лом волноводе от рабочей длины вол- но неограниченное уменьшение ны: T7r>rrnjuiaY пптрпт, п плртлм пяртп- ^ — волна типа Нц; 2 — волна типа Нм. ПО1ОННЫХ потерь С рОСТОМ 4dCIО- диаметр волновода 50 мм, материал ете- ТЫ КОЛебаНИЙ. нок —медь <а=5.7Х107 См/м) 50 А0,мм
230 Глава 11. Затухание волн в волноводах ЗАДАЧИ 11.1. Отрезок волновода длиной 50 м имеет КПД, равный 70%. Найдите погонное затухание в данном волноводе. 11.2. Коаксиальный кабель для дальней линии связи имеет диаметр внешнего проводника 50 мм и волновое сопротивление 75 Ом. Проводники выполнены из меди. Вычислите погонное за- затухание Т-волны в данном кабеле на рабочей частоте 1 МГц. 11.3. Выведите приближенную формулу для расчета погонного затухания Т-волны в микрополосковом волноводе, подложка ко- которого выполнена из диэлектрика без потерь с известным значе- значением относительной диэлектрической проницаемости е. Обозначе- Обозначения геометрических параметров поперечного сечения волновода указаны на рис. 10.5. 11.4. Основываясь на формуле, полученной в задаче 11.3, вы- вычислите погонное затухание волны, распространяющейся в микро- микрополосковом волноводе с параметрами е = 9, А = 0.1 мм, ,0=5.7Х ХЮ7 См/м на частоте 10 ГГц. Можно ли применять такой микро- полосковый волновод для создания интегральных СВЧ-устройств, содержащих отрезки линий длиной в несколько сантиметров? 11.5. Выведите формулу для расчета дополнительного погон- погонного затухания Т-волны в коаксиальном волноводе, обусловленно- обусловленного конечным значением параметра tg 6 заполняющего диэлект- диэлектрика. Указание: примите во внимание, что среднее значение век- вектора Пойнтинга, характеризующего потери в диэлектрике, соста- составит <т?2/2; кроме того, tg6=a/(a>eeo). 11.6. Измерения показали, что прямоугольный волновод стан- стандартного сечения 7.2X3.4 мм, работающий на волне основного ти- типа, при частоте генератора /=33.3 ГГц имеет погонное затухание Дпог=1.4 дБ/м. Определите удельную проводимость материала стенок волновода. 11.7. При разработке конструкции антенны трехсантиметрово- трехсантиметрового диапазона оказалось, что массогабаритные показатели стан- стандартного волновода сечением 23ХЮ мм не удовлетворяют требо- требованиям технического задания. Поэтому было решено использовать волновод сечением 23X3 мм с резко сокращенным размером уз- узкой стенки. Определите, во сколько раз увеличится при этом по- погонное затухание, если A,q=3.2 cm. 11.8. Выведите формулу A1.31), используя выражения (9.54), описывающие комплексные амплитуды проекций векторов электро- электромагнитного поля волны типа Hoi в круглом волноводе.
12Л. Эволюция колебательных систем 231 Глава двенадцатая КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СВЧ. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ В настоящей главе исследуются электродинамические процес- процессы в колебательных системах СВЧ. Подобные устройства играют роль линейных частотно-избирательных фильтров, служат основ- основными узлами систем стабилизации частоты и т. д. 12.1. Эволюция электромагнитных колебательных систем при повышении рабочей частоты В радиотехнических устройствах, работающих на умеренно вы- высоких частотах (до нескольких сотен мегагерц), повсеместно ис- используются колебательные контуры, образованные сосредоточен- сосредоточенными конденсаторами и индуктивными катушками. Общей чертой подобных контуров является то, что их геометрические размеры значительно меньше рабочей длины волны. Электродинамические системы, для которых выполняется это условие, в физике принято называть квазистационарными цепями. В) Рис. 12.1. Переход от колебательного контура с сосредо- сосредоточенными элементами к тороидальному резонатору На опыте было отмечено, что добротность колебательных си- систем с резонансными частотами в сотни мегагерц заметно снижа- снижается по сравнению с добротностью более низкочастотных цепей. Причина этого явления состоит в следующем. Как известно, для повышения резонансной частоты приходится уменьшать индуктив- индуктивность и емкость элементов колебательного контура. В пределе обычный контур превращается в систему, у которой конденсатор имеет лишь две пластины, а роль индуктивной катушки играет одиночный виток (рис. 12.1, а, б). При этом существенно умень- уменьшается энергия, которая может быть запасена в контуре. Кроме того, возрастает относительная доля активных потерь, что связа- связано, например, с увеличением омического сопротивления проводни- проводников на высоких частотах из-за поверхностного эффекта. Дополни- Дополнительным фактором, снижающим добротность колебательной си-
232 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы z z 1 л I л 1 1 Ао/г -«—=». v стемы, является неизбежное излучение электромагнитной энергии открытыми проводниками. Мера, позволяющая отчасти избежать снижения добротности, а значит, и расширения полосы пропускания контура, состоит в том, что индуктивный виток заменяют сплошной металлической поверхностью (рис. 12.1, в), которую можно рассматривать как предельный случай параллельного включения большого числа отдель- отдельных витков. При этом, с одной сто- стороны, уменьшается индуктивность системы, что благоприятно для про- продвижения в высокочастотные обла- области спектра электромагнитных ко- колебаний. С другой стороны, энергия поля внутри такой тороидальной по- полости значительно больше энергии в одиночном витке. Электромагнитные колебатель- колебательные системы, представляющие со- собой полностью или частично замк- Рис. 12.2. Распределение напря- нутые объемы с проводящими стен- жения и тока в короткозамкнутой ками, называют объемными резона- линии передачи торами. К ним относится, в частно- частности, рассмотренный здесь торо- тороидальный резонатор, который часто используют в качестве колеба- колебательной системы для электровакуумных приборов СВЧ, например для отражательных клистронов. Однако даже переход к замкнутым конструкциям тороидаль- тороидального типа не позволяет успешно разрешить все трудности/Дело в том, что тороидальный объемный резонатор является прямым ана- аналогом обычного колебательного контура, в котором электрическое и магнитное поля четко локализованы в пространстве. С повыше- повышением резонансной частоты приходится уменьшать размеры торо- тороидальной полости, а это неизбежно сопровождается уменьшением запасаемой энергии и сокращением добротности. Принципиально другой, более многообещающий путь создания колебательных систем СВЧ состоит в использовании резонансных свойств отрезков распределенных линий передачи с малыми по- потерями. Рассмотрим полубесконечную двухпроводную линию передачи, короткозамкнутую на конце (рис. 12.2), в которой тем или иным способом возбуждены гармонические колебания. Как известно [3], в такой линии устанавливается стоячая волна, представляющая собой сумму падающей и отраженной волн. Комплексная ампли-
12.1. Эволюция колебательных систем 233 туда напряжения стоячей волны О должна удовлетворять гранич- граничному условию в точке короткого замыкания: = 0. A2.1) Если Ко — длина волны в линии, то комплексная амплитуда на- напряжения зависит от продольной координаты z следующим обра- образом: U{z) = Um sinBnz/X0). A2.2) Отсюда видно, что граничное условие A2.1) выполняется в мно- множестве точек оси z, удовлетво- удовлетворяющих соотношению *=/Ло/2э A2.3) где р —1, 2, 3,... — положи- положительное целое число. Таким образом, если взять замкнутый с обоих концов от- } резок линии длиной 1=рКо/2, ^ ) то получим электромагнитную Рис. 12.3. Колебательная система, об- СИСТему, колебания в которой разованная отрезком линии передачи при отсутствии потерь могут су- (а)' и ее эквивалентная схема (б): 1 J А / — отрезок линии, замкнутый с обеих сто- ЩеСТВОВаТЬ Неограниченно ДОЛ- рон; 2 - элемент индуктивной связи го без какого-либо воздействия со стороны внешних источников энергии. В курсе теории цепей показано, что частотная характеристика такой системы вблизи резонансной частоты в точности соответствует частотной характе- характеристике обычного колебательного контура с сосредоточенными эле- элементами. Эскиз конструкции распределенной колебательной систе- системы и ее эквивалентная схема представлены на рис. 12.3. Из формулы A2.3) следует, что замкнутый с двух сторон от- отрезок линии передачи в отличие от обычного колебательного кон- контура имеет бесконечное множество резонансных длин волн, опре- определяемых по формуле Чоез = 2///7. A2.4) Физически такая множественность резонансов соответствует тому, что вдоль линии могут укладываться одна, две, три и т. д. стоячие полуволны. Пользуясь описанным принципом, можно создавать объемные резонаторы в виде отрезков прямоугольного или круглого метал- металлического волновода с короткозамыкающими стенками с обоих концов. Явления в таких резонаторах несколько сложнее, чем в короткозамкнутом отрезке двухпроводной линии, поскольку стоя- стоячие волны могут устанавливаться по всем треАм координатным осям.
234 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы 12.2. Прямоугольный объемный резонатор Здесь на простейшем примере будет рассмотрен метод, позво- позволяющий рассчитать резонансную длину волны и структуру элект- электромагнитного поля в объемном резонаторе, образованном отрез- отрезком прямоугольного волновода. Рассмотрим отрезок прямоугольного волновода сечением ограниченный двумя металлическими торцевыми поверхностями, которые располагаются в сече- сечениях z=Q и z = l (рис. 12.4). По- Подобная замкнутая металлическая полость представляет собой пря- прямоугольный объемный резонатор. Исследуем один из частных ви- видов собственных колебаний дан- данного резонатора, руководствуясь следующими соображениями. Пусть по неограниченно протя- протяженному прямоугольному волно- волноводу распространяется основная Рис. 12.4. Прямоугольный объемный резонатор волна типа Ню, которую условно будем называть падающей. Эта волна движется в сторону возрастания координаты z и характери- характеризуется единственной у-й составляющей вектора напряженности электрического поля с комплексной амплитудой Е па =Ет sin (Kx/a)e~Jhz- A2.5) Наличие торцевых плоскостей приводит к возникновению отражен- отраженной волны, для которой Ёуогр=АЕтах sin (jxx/a)eJhz, A2.6) где А — не известный пока амплитудный коэффициент. Если учесть, что при 2=0 суммарное электрическое поле с про- проекцией Ёу=Ёу пад + Ёу отр должно обратиться в нуль из-за гранич- граничного условия на идеальном проводнике, то, как нетрудно видеть, А=—1. Отсюда, используя формулу Эйлера для суммы двух экс- экспоненциальных функций с мнимыми показателями, получим Ey=—j2Ema7isin(nx/a) slnhz. A2.7) Согласно данному равенству, рассматриваемый электромагнитный процесс является двумерной стоячей волной, которая существует как по оси х, так и по оси z; вдоль координаты у напряженность электрического поля постоянна. Однако длина стоячей волны по оси z пока не определена, поскольку никаких требований по от- отношению к продольному волновому числу h пока не предъявлено.
12.2. Прямоугольный объемный резонатор 235 Эти требования естественным образом вытекают из граничных ус- условий на другой торцевой плоскости: Ey=Q при *=/, A2.8) откуда hl=pn, A2.9) где по-прежнему р — любое целое положительное число, исклю- исключая нуль. Значение продольного волнового числа, удовлетворяющее ра- равенству A2.9), будем называть резонансным значением. hp&3=pn/l. A2.10) Отсюда легко перейти к резонансному значению длины волны в волноводе b.Pes = 2*/Apes = 2///;, A2.11) а затем, воспользовавшись дисперсионным соотношением для вол- волны типа Ню в прямоугольном волноводе вычислить резонансное значение длины волны генератора: A2.12) Пример 12.1. Определить, какова должна быть длина I зако- закороченного с обоих концов отрезка прямоугольного волновода се- сечением 23ХЮ мм, если известно, что при резонансной длине вол- волны Хо рез=3.4 см вдоль его оси укладываются три стоячие полу- полуволны, т. е. р = 3. Равенство A2.12) можно разрешить относительно / и полу- получить Подставляя сюда исходные числовые данные, находим 1=7.57 см. Подведем некоторые предварительные итоги. • Для прямоугольной полости с идеально проводящими стенка- стенками решения уравнения Гельмгольца вида A2.7) существуют не при любом значении длины волны возбуждающего источника, а лишь при таких длинах волн, которые удовлетворяют резонанс- резонансному условию A2.12).
236 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы • Каждому допустимому значению целочисленного индекса р соответствуют своя резонансная длина волны и своя характерная структура пространственного распределения векторов электромаг- электромагнитного поля, представляющая собой тип колебаний в прямоуголь- прямоугольном объемном резонаторе. В физике типы колебаний в резонато- резонаторах, как, впрочем, и типы волн в волноводах часто называют мо- модами соответствующих распределенных систем (от латин. modus — образ). • Типы колебаний в прямоугольном объемном резонаторе можно классифицировать. Далее этот вопрос будет подробно изучен в § 12.3. Здесь укажем лишь, что рассмотренная совокупность мод может быть обозначена как Ню*. Такая символика показывает, что поле в объемном резонаторе порождается волноводной волной типа Ню, а вдоль оси z укладывается р стоячих полуволн. Структура электромагнитного поля. Удобнее всего проследить структуру поля в резонаторе на примере простейшей моды Нюь Здесь, очевидно, пространственное распределение напряженности электрического поля описывается формулой By=EQ sin (nx/a) sin (nz/l), A2.13) где EQ — произвольный амплитудный множитель. Магнитное поле в резонаторе находим непосредственно на основании второго урав- уравнения Максвелла rot Ё= — yo)(i.0H, из которого после подстановки A2.13) вытекают формулы для всех трех проекций: cos (nz/l), A2.14) Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоя- обстоятельство: комплексные амплитуды обеих проекций магнитного век- вектора содержат мнимые единицы, в то время как комплексная амп- амплитуда единственной отличной от нуля проекции электрического вектора чисто действительна. Это говорит о том, что между мгно- мгновенными значениями напряженностей электрического и магнитно- магнитного полей в резонаторе существует сдвиг фаз по времени на угол 90°. Поэтому в объемном резонаторе, как и в любой другой элект- электромагнитной колебательной системе, происходит непрерывный об- обмен энергией между электрическим и магнитным полями. Дваж-
12.3. Общая задача о собственных колебаниях 237 ды за период собственных колебаний "вся энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот. Сказанное иллюстрируется мгновенными картинами распределения силовых линий электромагнитного поля в объемном резонаторе с типом ко- колебаний Hioi (рис. 12.5). Картины построены для различных мо- моментов времени в пределах половины периода. © © о о © 0 © © ? © © © ?=0 t-sr/s t=T/2 t=5T/8 Рис. 12.5. Структура электромагнитного поля для ко- колебания типа Hioi в последовательные моменты вре- времени Отметим также, что среднее значение вектора Пойнтинга, обра- образованного полями вида A2.13) и A2.14), тождественно равно ну- нулю. Отсутствие усредненного потока энергии через идеальный ре- резонатор говорит об автономном, не зависящем от параметров внеш- внешних устройств характере собственных колебаний в такой электро- электродинамической системе. На языке теории электрических цепей энер- энергию, запасенную в резонаторе, можно назвать реактивной энер- энергией. 123» Общая задача о собственных колебаниях в прямоугольном объемном резонаторе. Классификации типов колебаний Рассмотрим всю совокупность собственных колебаний различ- различных типов в замкнутой полости прямоугольной формы с идеаль- идеально проводящими стенками. Для этого вновь обратимся к рис. 12.4 и положим, что ось z является осью стоячей волны, а в попереч-
238 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы ной плоскости XOY устанавливается распределение поля, отве- отвечающее волне типа Етп прямоугольного волновода. Как уже го^ ворилось, резонансное значение длины волны в волноводе зави- зависит от целочисленного параметра р — числа стоячих полуволн вдоль продольной оси резонатора: ^врез = 2//р. С другой стороны, величины Яврез и Хорез связаны общим дисперсионным соотноше- соотношением 1А*рез-ИЛ;2Р- A2.15) Поскольку волна типа Етп имеет критическую длину 6J, A2.16) из равенства A2.15) получаем формулу для расчета резонансной длины волны колебания типа Етпр в прямоугольном объемном ре- резонаторе Че»= , A2.17) У [mi of- + (n/byn +(p/W В практических расчетах часто используют также соответст- соответствующую резонансную частоту l^=TV (т) +Ы +(f) • Если допустить, что по прямоугольному волноводу распростра- распространяется волна типа Нтп, то аналогичным образом в замкнутой по- полости возникают колебания типа Нтпр. Совершенно очевидно, что их резонансные длины волн и резонансные частоты определяются выражениями A2.17) и A2.18). Пример 12.2. Прямоугольный объемный резонатор заполнен воздухом и имеет следующие размеры: а=36 мм, 6=22 мм, /= = 65 мм. Определить резонансную длину волны для колебания типа Ец2. В данном случае m=l, /i=l, p = 2. Подставив эти числа вмес- вместе с заданными размерами ребер в формулу A2.17), получаем 2 ^ь=-==========- =32.5 мм. /A/36J+ A/22J+B/65J Следует отметить, что в выражения A2.17) и A2.18) размеры а, Ь и I, относящиеся к осям х, у и z соответственно, входят со- совершенно равноправно. Поскольку известно, что некоторые индек-
12.3. Общая задача о собственных колебаниях 239 сы типов волн в волноводе могут быть равны нулю, возникает вопрос о том, существуют ли резонаторные моды с индексом р = =0. Если р = 0, то поле в резонаторе не меняется вдоль оси z. Обратимся к волноводной волне типа Етп. Здесь силовые линии электрического вектора в продольном разрезе имеют конфигура- конфигурацию, показанную на рис. 12.6, а для случая л=1. Данный рису- рисунок отвечает случаю, когда рассматриваемый тип волны является распространяющимся, т. е. Х0<Якр. Если же значение Яо стремится к Ккр, то длина волны в волноводе стремится к бесконечности и а) б) Рис. 12.6. К вопросу о существовании колебаний типа Етпо силовые линии вектора напряженности электрического поля при- приобретают вид «нитей», параллельных оси z (рис. 12.6, б). В пре- пределе при А,=Якр электрический вектор имеет лишь 2-ю составляю- составляющую и граничные условия на двух идеально проводящих торце- торцевых стенках резонатора выполняются автоматически независимо от расстояния I между ними. Таким образом, моды типа Етяо в прямоугольном объемном резонаторе возможны. Обратимся теперь к колебаниям Н-типа. Здесь исходная волна типа Нтп в волноводе, по определению, имеет электрические век- векторы, лежащие лишь в поперечной плоскости. Если все составляю- составляющие векторов поля не будут меняться вдоль оси г, как это долж- должно быть в случае резонаторной моды типа Нтпо, то поле в любой точке резонатора должно обратиться в нуль, поскольку граничные условия на стенках с координатами z=0 и z=l выполняться не могут. Таким образом, в прямоугольном объемном резонаторе ко- колебания типа Нттшо физически не существуют. Итак, классификация типов колебаний в прямоугольном объ- объемном резонаторе включает в себя следующие этапы: • одна из осей резонатора принимается за продольную ось ре- регулярного прямоугольного волновода; • устанавливается, какой тип волны, Етп или Нтя, существует в таком волноводе; • определяется значение индекса р — число стоячих полуволн, которые укладываются между торцевыми стенками. Следует заметить, что такой принцип классификации в значи- значительной степени условен, так как связан с произвольным выбором
240 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы продольной оси регулярного прямоугольного'волновода. Чтобы уяс- уяснить это, обратимся к рис. 12.7, а, на котором изображена уже знакомая картина силовых линий векторов электромагнитного по- поля для колебания типа Нюь Если теперь резонатор повернуть в пространстве таким образом, чтобы ребро с размером / было ори- ориентировано вдоль оси у (рис. 12.7, б), то этот же самый электро- электромагнитный процесс должен быть назван колебанием типа Ено.' Легко проверить, что резонансные длины волн для обоих назван- названных типов колебаний одинаковы. X а 0 у ; X/ Рис. 12.7. К вопросу об условном характере клас- классификации типов колебаний в прямоугольном объ- объемном резонаторе Понятие основного типа колебаний. На практике обычно стре- стремятся к тому, чтобы при заданной резонансной частоте геометри- геометрические размеры колебательной системы были минимальными. Это- Этого удается достичь возбудив в резонаторе колебание основного {низшего) типа. Так принято называть моду с наибольшей резо- резонансной длиной волны при фиксированных размерах резонансной полости. Индексы m, n, p для основного типа колебаний, очевидно, должны подбираться так, чтобы предельно уменьшить знамена- знаменатель в формуле A2.7). Ясно, что один из индексов при этом должен быть равен нулю, а два оставшихся — единице. Нулевой индекс соответствует той декартовой оси, вдоль которой ориенти- ориентировано ребро с наименьшей длиной. Пример 12.3. Прямоугольный объемный резонатор размещен в декартовой системе координат так, как показано на рис. 12.4. Ре- Резонатор имеет размеры: а=40 мм, Ь = 25 мм, /=15 мм. Опреде-
12.3. Общая задача о собственных колебаниях 241 лить, какая мода является основной, и вычислить соответствую- соответствующую резонансную длину волны. В соответствии со сказанным индекс р = 0 должен соответст- соответствовать самому короткому ребру длиной 15 мм. Поэтому основным будет колебание типа Еио, для которого мм. Следует отметить, что в объемных резонаторах могут сущест- существовать вырожденные моды, у которых резонансные длины волн совпадают, несмотря на то что структуры поля совершенно раз- различны. Примером могут служить колебания типов E35i и Hi3s в резонаторе кубической формы. Структура электромагнитного поля в прямоугольном резона- резонаторе. Строгий подход к проблеме собственных колебаний электро- электромагнитного поля в замкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками основан на поиске комплексно- значной функции Ё(х, у, г), которая удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца 2 = 0 A2.19) во всех внутренних точках резонатора. Это векторное уравнение есть сокращенная форма записи трех скалярных уравнений отно- относительно декартовых проекций Ёа (символом а обозначены х, у или z): дъЁ д^Е д2Е =О. A2.20) дх* Проведенное ранее исследование наводит на мысль о том, что среди всевозможных решений таких уравнений должны быть осо- особо выделены функции вида трехмерных стоячих волн Е^ sin (JEL_X\ sin (Л*-у\ sin (_?!L- z\ A2.21) cos \ a ) cos \ b u I cos \ / / со всевозможными комбинациями трех гармонических сомножите- сомножителей. Прямая подстановка выражения A2.21) в уравнение A2.20) приводит к следующему выводу: уравнение Гельмгольца для резо- резонатора имеет решение не при любом значении коэффициента фазы р0, а лишь в том случае, когда этот параметр принадлежит дис- дискретной совокупности, определяемой выражением A2.22)
242 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы где m, n, p — положительные целые числа, не равные нулю одно- одновременно. Отсюда естественным образом вытекает полученное ра- ранее соотношение для расчета резонансных длин волн вида A2.17). Теперь учтем, что на идеально проводящих стенках резонатора касательные составляющие электрического вектора должны обра- обратиться в нуль. В развернутой форме это требование означает, что Ёх=0 при у=0, y=b, z=0, z==l; Ёу=0 при x=0, х=а, z=0, z=l\ A2.23) Ez=0 при jc=O, х=а, y=0, y = b. Равенства A2.23) позволяют конкретизировать допустимые реше- решения и записать их так: ЕХ=А cosf——xjsm \—у-г/Jsin ( -^—z), A2.24) ) si x) sin(-^-</) cos где А, В, С—не известные пока коэффициенты. Далее следует принять во внимание то, что проекции электри- электрического вектора внутри резонатора обязаны не только удовлетво- удовлетворять уравнению Гельмгольца A2.20), но и соответствовать вектор- векторному полю без источников, для которого divE=^- + -^-+-§2_=0. A2.25) дх ду дг Подставив выражения A2.24) в формулу A2.25), приходим к вы- выводу о том, что между амплитудными коэффициентами должна су- существовать линейная связь AJLa-B—+C-?-=0. A2.26) а Ь I Будем рассматривать поле колебания типа ЕтпР, для которого jiz—0 или в соответствии со вторым уравнением Максвелла дх ду Отсюда получаем еще одно уравнение связи d т л п с\ /19 971* Л Л— =и. (L2.Z/)
12.4. Круглый объемный резонатор 243 Решая систему алгебраических уравнении A2.26) и A2.27) отно- относительно неизвестных А и В, получаем с рт ~{nim A2.28) рп Ы\ Итак, комплексные амплитуды проекций вектора напряженно- напряженности электрического поля для колебания типа Етпр в прямоуголь- прямоугольном объемном резонаторе имеют вид h г» Рт I тл \ . f ПК \ . / рК \ Ех= — С——JL . cos— х) sin -— у] sm \^~~ z) , A2.29) ^ ^ pn . / тк \ l пк \ • [ рк \ Eu=—-C—~—-~^-~ — sinf——x cos — y\ sinf-^-— z) , ;-« •-» • / тл \ . / пк \ ( рк \ EZ=C sinf—- x sm I— y) cos M-— z), \ a I \ b 1 \ I j где С—произвольный амплитудный коэффициент. Комплексные амплитуды декартовых проекций магнитного век- вектора Hx^jC~-~ —— sin — х cos j — у) cos —— z), A2.30) b я \ a j \ b j \ I j г> .^ т ^рез^о / тк \ . f пл \ ( рк \ Иu— —/C— —--cos — x I sm [— tf\ cosl-^~~ z), Проекции векторов электромагнитного поля для резонаторных мод типа НтПр находят аналогичным способом. НА» Круглый объемный резонатор Рассмотрим цилиндрический объем, образованный отрезком круглой металлической трубы радиусом а; отрезок имеет длину / и ограничен с. обеих сторон проводящими торцевыми стенками (рис. 12.8). Такая система представляет собой круглый объемный резонатор. Поставим задачу найти полную совокупность резонан- резонансных частот данной колебательной системы. Внутри регулярного круглого волновода могут распространять- распространяться волны типа Етп и Нтя. Длина волны в волноводе К связана с
244 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы длиной волны в свободном пространстве Яо посредством диспер- дисперсионного уравнения которое справедливо для волны любого типа. Как известно, кри- критические длины волн связаны с радиусом волновода и с корнями функций Бесселя или их производной: На каждой резонансной частоте вдоль оси колебательной си- системы должно укладываться целое число стоячих полуволн, т. е. обязано выполняться равенство • Яврез=-2///?, где р=1, 2, 3,... —це- —целое положительное число. При анализе прямоугольного объемного резонатора было, кроме того, по- показано, что возможны моды с ин- индексом р=0, у которых амплиту- амплитуды полей неизменны вдоль оси z, а стоячие волны возникают в по- Рис. 12,8. Круглый объемный ре- перечном сечении. Таким образом, зонатор из дисперсионного уравнения вы- вытекают следующие формулы для расчета резонансных длин волн в круглом резонаторе: крлебания типа Етпр *0рез—~ A2.31) 2па ) +\W колебания типа \1тпр 1 Орез ¦ A2.32) . .Ответ на вопрос о возможности существования мод с нулевым значением индекса р таков же, как и в случае прямоугольного объемного резонатора: типы колебаний Етяо возможны, а типов Нтяо не существует» Основной тип колебаний. Из формул A2.31) и A2.32) видно, что резонансная длина волны тем больше, чем меньше корень vmn (или iimn) и индекс р. Поэтому основной (низшей) модой в круг- круглом объемном резонаторе может оказаться либо тип колебаний Нш (|i= 1.841, р=1), либо тип Еою (v0i=2.405, р = 0). Резо-
12.4. Круглый объемный резонатор 245 нансные длины волн указанных типов колебаний становятся оди- одинаковыми при длине /, которая служит корнем уравнения 2 2ш ) \ 2ла J х \ 21 т. е. при /=2.03а. В более «длинных» резонаторах основной мо- модой оказывается Ниь а в более «коротких» — Еою- Структура электромагнитного поля. Чтобы определить прост- пространственное распределение векторов поля внутри круглого резо- резонатора, требуется решить краевую задачу для векторного уравне- уравнения Гельмгольца V2E + poE=:O A2.33) с очевидным граничным условием Ет=0 на идеально проводящих стенках резонатора при дополнительном условии divE=0. Действуя так же, как и ранее, приходим к выводу о том, что данная краевая задача имеет ненулевые решения не при любых значениях р0, а лишь при таких, которые вытекают из формул A2.31) или A2.32). Приведем окончательные формулы, по которым рассчитывают пространственные распределения комплексных амплитуд проекций векторов поля: колебания типа ЕтПр A2.34) //,=0; колебания типа Hmnp A2.35)
246 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы н Ч С У-тп PR jr ( №тпг at \ a cos/mp cos z , трл 7" Jn cos m<? sin z\. 11 ©J © © © © © А-А 9 • • В формулах A2.34) и A2.35) коэффициент С является произ- произвольным амплитудным мио- '-°10 - жителем. На рис. 12.9, а, б, в изо- изображены >картины силовых линий векторов поля для некоторых часто применяе- © © &t^n X^L~^-^\ и мых типов колебаний в круг- круглом объемном резонаторе. Силовые линии электриче- электрического вектора в моде ЕОю имеют вид «пучка» с макси- максимумом интенсивности на оси; силовые линии магнитного вектора имеют вид концент- концентрических колец. Структура полей типов колебаний Нщ \\011 А ' и НОц такова, что вдоль оси резонатора укладывается одна стоячая полуволна. Следует еще раз под- подчеркнуть, что приведенные здесь картины полей отно- относятся к некоторому фикси- g\ рованному моменту време- времени, в который электрическое Рис. 12.9. Структура электромагнитного и магнитное поля не равны поля для некоторых типов колебаний в нулю. круглом объемном резонаторе: а — для колебания Еою; б — для колебания Н|ц; в — для колебания Нои 12.5. Некоторые способы возбуждения и включении объемных резонаторов а) Е б) -н Объемный резонатор на практике всегда должен быть тем или иным образом связан с внешними устройствами. При этом особые конструктивные элементы связи осуществляют возбуждение резо-
12.5. Некоторые способы возбуждения резонаторов 247 натора. Среди разнообразных способов возбуждения выделим три, чаще всего применяемые в радиотехнике сверхвысоких частот. Возбуждение при помощи штыря. При данном способе внутрь резонатора через отверстие в стенке вводят миниатюрную штыре- штыревую антенну, длина которой существенно меньше рабочей длины волны. Такой антенной может служить, например, отрезок внут- внутреннего проводника коаксиального кабеля (рис. 12.10). Для эф- эффективного возбуждения резонатора необходимо, зная структуру Рис. 12.10. Возбуждение Рис. 12.11. Возбуждение Рис. 12.12. Излучающая объемного резонатора объемного резонатора щель на стенках кругло- при помощи штыря: при помощи петли: го резонатора с колеба- / — резонатор; 2 — воз- 1 -г- резонатор; 2 — петля нием типа Еою буждающий Штырь; 3 — коаксиальный кабель электромагнитного поля возбуждаемой моды, расположить штырь так, чтобы он был параллелен силовым линиям вектора напря- напряженности электрического поля. Подбирая местоположение штыря и его ориентацию, можно добиться максимума скалярного произ- произведения JCT. эЁ, где JCT. э — комплексная амплитуда вектора плот- плотности стороннего электрического тока в штыревой антенне. При этом в соответствии с энергетическими свойствами электромагнит- электромагнитного поля (см. гл. 2) поток мощности от внешнего источника ко- колебаний внутрь резонатора будет наибольшим. Необходимо заметить, что процесс возбуждения резонатора всегда является взаимным — мощность можно с равным успехом как подводить к резонатору извне, так и отбирать из него во внеш- внешние цепи. Возбуждение при помощи петли. Другим элементом возбужде- возбуждения резонатора молдет быть небольшая петля, по которой протека- протекает переменный ток (рис. 12.11). Амплитуда колебаний, возбужден- возбужденных в резонаторе, будет наибольшей в том случае, когда плоскость петли в максимальной степени пронизывается магнитным потоком поля резонатора. Возбуждающую петлю следует располагать там, где силовые линии вектора напряженности магнитного поля имеют наибольшую «густоту».
248 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы Возбуждение при помощи щели. Если в стенке резонатора име- имеется узкая щель, перерезающая линии поверхностного тока, то такая щель излучает электромагнитные волны. Она может слу- служить элементом связи между объемным резонатором и внешними устройствами, например волноводными линиями передачи. На рис. 12.12 изображена одна из возможных излучающих щелей, проре- прорезанная в стенке объемного резонатора с колебанием типа Еою. Крк Рв* КР а) "рез В) со СО б) г) \ Рис. 12.13. Два способа включения объемного резонатора в волноводный тракт: 1 — резонатор; 2 — отверстие связи Такие вопросы теории возбуждения электродинамических ко- колебательных систем, как учет влияния возбуждающего элемента .на частоту собственных колебаний или построение эквивалентной схемы нагруженного резонатора, математически достаточно слож- сложны и здесь не рассматриваются. Читатель, желающий углубленно изучить этот раздел прикладной электродинамики, может обра- обратиться к литературным источникам [5, 13]. Способы включения объемных резонаторов. Выделим два ти- типичных способа соединения объемного резонатора с внешними СВЧ-цепями. При первом, так называемом адсорбционном, спосо- способе (рис. 12.13, а) в окрестности резонансной частоты происходит более или менее интенсивный отбор мощности из той линии пере- передачи, к которой, подобно двухполюснику, подсоединен резонатор. Как следствие, на резонансной частоте коэффициент передачи мощности Кр{®)= Рвых/Рвх имеет четко выраженный минимум (в).
12.6. Добротность объемных резонаторов 249 Второй способ включения объемного резонатора называют про- проходным (рис. 12.13, б). Здесь резонатор имеет два элемента связи с внешними цепями и используется как четырехполюсник. На ре- резонансной частоте используемого типа колебаний коэффициент пе- передачи мощности проходного резонатора максимален (г). В ра- радиотехнических устройствах резонатор, включенный по проходной схеме, выполняет роль полосового частотного фильтра. 12.6. Добротность объемных резонаторов Частотная селекция сигналов — одна из важнейших техниче- технических функций объемного резонатора. Качество частотно-избира- частотно-избирательных систем, которые с точки зрения формы АЧХ в окрестно- окрестности резонансной частоты схожи с простым колебательным конту- контуром, принято характеризовать особым параметром — так называе- называемой добротностью 7. . A2.36) Здесь По.707 — полоса пропускания по уровню 0.707=1/^2 от максимального значения АЧХ, которое наблюдается на резонанс- резонансной частоте /рез. Выведем общую формулу для расчета добротности объемного резонатора, работающего на некотором заданном типе колебаний. Будем исходить из того, что в соответствии с общефизическим принципом после того, как в момент времени /=0 возбуждающий источник отключается, амплитуда собственных колебаний в резо- резонаторе будет уменьшаться во времени по экспоненциальному за- закону. При этом, например, ?(/)=?0e^/*cosa>pe3/, О2-37) где E(t)—любая из трех декартовых проекций вектора напря- напряженности электрического поля, Ео — амплитуда колебаний в на- начальный момент времени, т — так называемая постоянная времени колебательной системы. Известно [2], что между параметрами t и (Срез существует связь Пусть W3an — начальный запас энергии в резонаторе при t=0. Спустя один период собственных колебаний, т. е. при /=2я/(орез, амплитуда поля уменьшится до уровня Так как запасенная энергия пропорциональна квадрату амплитуд векторов поля, то вследствие потерь за один период собственных колебаний в резонаторе будет рассеяна энергия ^зап [1 -exp (-2*/Q)l. .A2.39)
250 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы Данную формулу можно упростить, заметив, что применяемые в радиотехнике резонаторы высокодобротны (Q>1) и поэтому ехр(—2n/Q)ttl—2jt/Q. Тогда с достаточной для практики точно- точностью откуда Q = 2nW3aJWnoTT. A2.40) Энергию потерь за один период собственных колебаний удобно связать со средней мощностью потерь Подставив это выражение в A2.40), получим Q-VsWW^cp.nor. A2.41) Следует отметить, что данная формула относится не только к мо- моменту времени /=0, но и к любому моменту времени. Конкретизируем равенство A2.41) для наиболее распростра- распространенного частного случая, когда объемный резонатор заполнен воз- воздухом, а единственным источником потерь является неидеальность проводимости металлических стенок. Энергию, запасенную в ре- резонаторе, можно найти проинтегрировав по объему квадраты амп- амплитудных значений электрического или магнитного векторов: H78an=iL f E2dV = ^- f #2dV\ A2.42) V V Мощность потерь, приходящаяся на 1 м2 поверхности металли- металлических стенок, была определена ранее в гл. 11 при расчете зату- затухания в волноводах. Численно эта мощность совпадает с модулем усредненного вектора Пойнтинга потерь [см. формулу A1.13)]: I Пср.пот, | =72 Re ZeM \HxJi*=V^J<fc) |HTMj2, откуда I A2.43) где интегрирование ведется по замкнутой поверхности металличе- металлических стенок резонатора. На основании равенств A2.42) и A2.43) формулу A2.41) можно записать следующим образом: f q= Y. A2.44) |KJ2dS " ¦ . " . Здесь ©рез — резонансная частота рассматриваемой моды.
12.6. Добротность объемных резонаторов 251 Некоторые частные случаи. Выведем формулу для расчета доб- добротности колебания типа Еою в круглом объемном резонаторе, который имеет радиус а и осевую длину /. Будем исходить из то- того, что здесь магнитный вектор имеет лишь азимутальную состав- составляющую с комплексной амплитудой H9(r)^HQJx(v0lr/a), , A2.45) где Но — произвольный множитель. Электромагнитное поле колебания типа ЕОю неизменно вдоль оси z, так что интеграл, входящий в числитель формулы A2.44), сводится к интегралу Ломмеля (см. гл. 9): v С j\L^y&r = nla?HlA{\l). A2.46) о В то же время числитель указанной формулы представляет собой сумму интеграла по боковой поверхности резонатора и двух оди- одинаковых интегралов по торцевым стенкам: J |HtM|2 uS=HlA (v01) 2nal+H%/l (v01) 2ла2= s =2яа(/ + а)ЯоЛ(%). A2.47) Подставив эти промежуточные результаты в( A2.44), имеем A2-48) При практических расчетах целесообразно воспользоваться тем, что для моды Еою в круглом резонаторе ко рез:=::=2.61а, шрез^ = 2ясДорез —2.405с/а. С учетом этого формула A2.48) запишется так: ^4, A2.49) 4, где все размеры даны в метрах. Пример 12.4. Круглый резонатор с колебанием типа Еою вы- выполнен из меди, заполнен воздухом и имеет размеры а=38.4 мм, /=40 мм. Вычислить ширину полосы пропускания по уровню 0.707 от максимального значения АЧХ. Данная колебательная система имеет резонансную частоту [Рез = ^Дорез = бУ B.61а) =3-109 Гц=3 ГГц. На основании форму- формулы A2.49) добротность
252 Глава 12. Колебательные системы СЕЧ. Объемные резонаторы Отсюда полоса пропускания резонатора П0в707=3.109/16080ж 187 кГц. Как видно из приведенного примера, добротность объемного ре- резонатора может составлять несколько десятков тысяч, в то время как добротность обычных колебательных контуров из сосредото- сосредоточенных элементов в,диапазоне умеренно высоких частот не пре- превышает нескольких сотен. Большая добротность объемных резо- резонаторов обусловлена тем, что при типичных значениях удельной проводимости материала стенок за каждый период собственных колебаний рассеивается лишь весьма незначительная часть запа- запасенной энергии. Добротность резонатора, очевидно, растет с уве- увеличением его геометрических размеров, так как запасенная энер- энергия пропорциональна третьей, а рассеиваемая мощность — второй степени характерного геометрического размера, например радиу- радиуса резонатора. В справочной литературе приводятся формулы для расчета доб- добротности многих резонаторов, используемых в радиотехнике. На- Например, прямоугольный объемный резонатор с модой Hioi или, что то же самое, Ецо имеет добротность 1 1 \з/2 A2.50) 1/1 2 \ 1/1 В заключение следует указать, что, во-первых, реально дости- достижимые значения добротностей, как правило, несколько ниже тех, которые теоретически предсказываются формулой A2.44). Причи- Причиной этого явления могут быть, например, дополнительные потери в трущихся контактах между боковой поверхностью резонатора и одной из его торцевых стенок, которую перемещают вдоль оси в целях перестройки по частоте. Во-вторых, проведенные здесь рас- расчеты не учитывают поглощения части мощности во внешних уст- устройствах, с которыми связан резонатор. Поэтому добротность ре- резонатора, найденную описанным здесь способом, принято называть собственной или ненагруженной добротностью в отличие от на- нагруженной добротности, которая оказывается тем ниже, чем силь- сильнее связь резонатора с внешними цепями.
12.7. Некоторые другие типы резонаторов 253 12.7. Некоторые другие типы объемные резонаторов Помимо уже рассмотренных прямоугольных и круглых объем- объемных резонаторов в технике СВЧ применяют резонаторы других конструкций. В первую очередь следует назвать коаксиальный объемный резонатор, представляющий собой закороченный с обо- обоих концов отрезок коаксиального волновода (рис. 12.14). Такой резонатор, как правило, работает на волнах типа Т, и поэтому его поперечные размеры могут быть любыми независимо от значе- значения резонансной частоты. Это обстоятельство благоприятствует А-Л 1 Ф ::, 0 i I ' j i © 1 ! • 1 ~H Рис. 12.14. Колебание типа Tooi в коаксиа