Author: Ахманов С.А. Выслоух В.А. Чиркин А.С.
Tags: интерференция дифракция дифракционное рассеяние физика оптика лазеры спектроскопия квантовая электроника
ISBN: 5-02-013838-X
Year: 1988
Text
ББК 22.34
А 95
УДК 535.42
Серия выпускается под общим руководством
редакционной коллегии журнала
«Успехи физических наук»
Рецензент
член-корреспондент АН СССР Н. В. Карлов
АХМАНОВ С. А., ВЫСЛОУХ В. А., ЧИРКИН А. С. Оптика фемтосекуидных
лазерных импульсов.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—312 с.— (Соврем,
пробл. фнзикн).—ISBN 5-02-013838-X.
Дан обзор современного состояния волновой оптики сверхкоротких нмпуль-
сов. Особый акцент сделан на новых задачах, связанных с распространением пре-
предельно коротких импульсов. Изложены основы фурье-оптикн коротких волновых
пакетов, распространяющихся в линейных диспергирующих средах. Рассмот-
Рассмотрены нелинейные взаимодействия и самовоздействия фемтосекундных лазерных
импульсов, компрессия фемтосекундных импульсов и возможности управления нх
формой. Значительное внимание уделено физике формирования и взаимодействия
оптических солитонов. Обсуждены основные тенденции развития фемтосекундных
лазерных систем.
Для научных работников, а также аспирантов и студентов, специализирующихся
в области квантовой электроники, нелинейной и волоконной оптики, спектроскопии.
Табл. 5. Ил. 162. Библногр.: 521 назв.
1704050000—182 „
А lflfl-88 <Ё) Издательство «Наука».
Л 053 @2)-88 IUU вв U Главная редакция
физико-математической
литературы, 1988
ISBN 5-02-013838-Х
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Глава 1. Короткие световые импульсы в линейных диспергирующих
средах 17
§ 1.1. Картина линейного распространения коротких световых нм-
пульсов 17
Оптика волновых пакетов; исторические замечания A7).
Методы описания A9). Пространственно-временная анало-
аналогия B2). Модели световых импульсов B2).
§ 1.2. Распространение светового импульса с резким фронтом; пред-
предвестники 25
§ 1.3. Волновые пакеты в однородной диспергирующей среде; дис-
дисперсионное расплывание 27
Второе приближение теории дисперсии; аналогия с дифрак-
дифракцией световых пучков B8). Третье и высшие приближения
теории дисперсии C0).
§ 1.4. Фурье-оптика волновых пакетов 33
Распространение фазово-модулированных гауссовских импуль-
импульсов; аберрации C3). Компрессия ФМ световых импульсов и фо-
фокусировка световых пучков C6). Компрессия супергауссов-
ских световых импульсов D1). Преобразование ЧМ импуль-
импульсов произвольной формы; спектрон; обращение формы импуль-
импульса D1). Управление формой огибающей методами фурье-
оптики D5).
§ 1.5. Прохождение сверхкоротких световых импульсов через опти-
оптические устройства 47
Фильтрация ЧМ оптических импульсов D7). Преломление им-
импульсов на границе диспергирующих сред; поперечное груп-
групповое запаздывание D8). Полное внутреннее отражение сверх-
сверхкоротких импульсов E0). Отражение сверхкороткого импуль-
импульса от зеркала E1). Дифракция импульса на решетке E3).
Прохождение сверхкоротких импульсов через интерферометры
E6).
§ 1.6. Дифракция сверхкоротких импульсов 58
Эффекты пространственной и временной модуляций E8).
Фокусировка коротких световых импульсов E9).
§ 1.7. Световые пакеты в волоконных световодах 60
§ 1.8. Статистические задачи; трансформация шумовых импульсов
в диспергирующих средах 63
Длительность и время корреляции шумовых импульсов F4).
Временной аналог теоремы Ван Циттерта — Цернике F5).
Взаимное влияние временных и пространственных флуктуации
F6).
1* 3
Глава 2. Самовоздействие световых импульсов: самомодуляция, само-
самосжатие, солитоиы и неустойчивости 67
§2.1. Физика самовоздействий; нелинейность показателя прелом-
преломления; преобразование амплитудной модуляции в фазовую . . 67
Кубичный по полю квазистатический отклик; нелинейный ко-
коэффициент л2 F9). Картина дисперсионных самовоздейст-
самовоздействий волновых пакетов; преобразование амплитудной модуля-
модуляции в фазовую G1). Временные и пространственные самовоз-
самовоздействия; аналогии и различия G1). Дисперсионные само-
самовоздействия и неустойчивости G2).
§ 2.2. Уравнения нестационарной нелинейной оптики 73
Квазистатические и нестационарные самовоздействия G3).
§ 2.3. Фазовая самомодуляция регулярных импульсов 76
Среда с безынерционной нелинейностью G6). Среда с релак-
сирующей нелинейностью (80).
§ 2.4. Ударные волны огибающей 81
Деформация огибающей (82). Уширение спектра (84).
§ 2.5. Самофокусировка сверхкоротких импульсов 85
Стационарная самофокусировка (85). Квазистатическая само-
самофокусировка (87). Нестационарная самофокусировка (88).
§ 2.6. Сверхуширение спектра; спектральное описание временных
самовоздействий 91
Модели сверхущирений спектра (92). О спектральном описа-
описании временных самовоздействий (93).
§ 2.7. Стационарные импульсы — солитонный режим распростра-
распространения 95
Совместное действие нелинейности и дисперсии среды; шре-
дингеровские солитоны (95). Сильные резонансные самовоз-
самовоздействия; 2я-импульсы — резонансные солитоны (97).
§ 2.8. Неустойчивость световых волн в нелинейных средах; само-
самовоздействие случайно-модулированных импульсов 100
Временная неустойчивость непрерывного излучения A01).
Пространственная неустойчивость плоских волн и волновых
пучков A03). Модуляционная, неустойчивость импульсов A05).
Самовоздействие случайных импульсов A05).
Глава 3. Параметрические взаимодействия и когерентное рассеяние
фемтосекундиых импульсов 110
§3.1. Физика нелинейных взаимодействий сверхкоротких свето-
световых пакетов 111
§ 3.2. Удвоение частоты сверхкоротких импульсов 112
Первое приближение теории дисперсии A13). Дисперсионное
расплывание импульсов; оптимальная длительность при умно-
умножения частоты A20). Эффекты дисперсии нелинейной связи
A21).
§ 3.3. Параметрическое усяление коротких импульсов 121
Формирование и сжатие импульсов при параметрических вза-
взаимодействиях; основные уравнения A22). Управление знаком
и скоростью частотной модуляции A25).
§ 3.4. Генерация суммарных частот; параметрические солитоны . . 127
Сложение частот сверхкоротких импульсов A27). Параметри-
Параметрические солитоны A28).
§3.5. Генерация разностных частот и инфракрасное черенковское __
излучение фемтосекундных импульсов в нелинейной среде . ." 129
Генерация разностных частот как метод получения когерент-
когерентного ИК излучения; условия фазового согласования A29).
Черенковское излучение волны нелинейной поляризации, воз-
возбуждаемой дублетом квазимонохроматических волн A31).
Черенковское излучение сверхкоротких световых импульсов;
оптическое выпрямление A33).
§ 3.6. Вынужденное комбинационное рассеяние сверхкоротких им-
импульсов 135
Физика рассеяния; основные уравнения A35). Эффекты груп-
группового запаздывания в среде с широкими рамановскими ли-
линиями A37). ВКР в условиях группового синхронизма; рама-
новские солитоны A40). Нестационарный молекулярный от-
отклик A44).
§ 3.7. Сверхкороткие световые импульсы в когерентной спектроско-
спектроскопии рассеяния света 146
Бигармоническая накачка: от спектрохронографии и измере-
измерения огибающих когерентного и некогерентного откликов к
прямой регистрации оптических колебаний A46). Стационар-
Стационарная спектроскопия; спектрохронография; нестационарная спек-
спектроскопия A47). КАРС-спектрохронография в диагностике
состояния и быстрых лазерно-индуцированных фазовых пре-
превращений поверхности полупроводников A50). Нестационар-
Нестационарная когерентная спектроскопия; методы и результаты A52).
Регистрация формы молекулярных колебаний; оптический
стробоскопический осциллограф A56). Фемтосекундная
КАРС-спектроскопия поляритонов с разрешением во времени
и пространстве A58). Нестационарная поляризационная
КАРС-спектроскопия атомов A58).
§ 3.8. Сверхкороткие акустические импульсы; оптические методы
генерации 159
Субнаносекундные и пикосекундные импульсы в физической и
прикладной акустике A59). Оптическое возбуждение и де-
детектирование акустических импульсов; обзор экспериментальных
данных A62). Электронный механизм оптической генерации
звука в полупроводниках; на пути к генерации предельно ко-
коротких акустических импульсов A66).
Глава 4. Быстрое управление фазой. Компрессия и формирование
световых импульсов 172
§4.1. Нелинейно-оптические фазовые модуляторы 172
§ 4.2. Оптические компрессоры 174
§4.3. Дисперсионная фазовая самомодуляция 177
§ 4.4. Оптимизация систем компрессии 179
§ 4.5. Фильтрацяя спектральных компонент и возможности сжатия
шумовых импульсов 182
§ 4.6. Управление длительностью и формой сверхкоротких импуль-
импульсов 187
§ 4.7. Особенности самовоздействия и компрессии мощных фемто-
секундных импульсов 190
§ 4.8. Схемы компрессии с использованием трехчастотного взаимо-
взаимодействия 192
Глава 5. Оптические солитоиы. Пико- и фемтосекуидиые импульсы
в оптических информационных системах 196
§5.1. Формирование оптических солитонов — конкуренция и баланс
эффектов нелинейного сжатия и дисперсионного расплывания 196
§ 5.2. Односолитонные и многосолитонные решения нелинейного
уравнения Шредингера 198
§ 5.3. Экспериментальная демонстрация оптических солитонов . . 202
§ 5.4. Самосжатие мощных пикосекундных импульсов 204
§ 5.5. Солитоны в линиях связи; роль возмущающих факторов . . . 207
Оптические потери; компенсация за счет комбинационного
усиления B08). Влияние дисперсии высших порядков B10).
Дисперсия нелинейности B10). Взаимодействие солитонов
B12).
§ 5.6. Солитониые лазеры 214
5
§ 5.7. Генерация цугов пикосекундных импульсов с предельно вы-
высокими частотами повторения; использование модуляционной
неустойчивости 217
§ 5.8. Анализ нелинейных волновых полей методом обратной задачи
рассеяния 220
§ 5.9. Нелинейная фильтрация шумовых импульсов; статистика со-
литонов 225
Флуктуации амплитуды исходного импульса B28). Флук-
Флуктуации фазы B29). Нестационарный амплитудно-фазовый шум
B29).
§5.10. Восстановление временных зависимостей амплитуды и фазы
пикосекундных лазерных импульсов по характеристикам их
нелинейного взаимодействия с пробными односолитонными
импульсами 232
Позиционный метод B33). Метод вариации скорости проб-
пробных солитонов B36).
Глава 6. Фемтосекундиые лазерные системы 239
§6.1. Общие принципы построения фемтосекундных лазерных систем 239
§ 6.2. Задающие твердотельные генераторы 241
Пикосекундные импульсные твердотельные лазеры B42). Не-
Непрерывно накачиваемые твердотельные лазеры с активной син-
синхронизацией мод B44). Твердотельные лазеры с активной
синхронизацией мод и модуляцией добротности B44). 246
§ 6.3. Перестраиваемые по частоте пико- и фемтосекундные лазеры
Фемтосекундные импульсы в лазерах на красителях с пассив-
пассивной синхронизацией мод B46). Лазеры на красителях с синх-
синхронной накачкой B48). Минимальная длительность импуль-
импульсов синхронно-накачиваемых лазеров B50). Статистические
характеристики синхронно-накачиваемых лазеров B52). Ком-
Комбинированная синхронизация мод B53). Нестационарные ре-
режимы генерации Bо5). Другие типы синхронно-накачиваемых
лазеров B56). Параметрическая генерация сверхкоротких
импульсов B57).
§ 6.4. Схемы компрессии; обзор экспериментальных данных . . . 258
Компрессия пикосекундных импульсов лазеров на красите-
красителях B59). Сжатие квазинепрерывного излучения твердотель-
твердотельных лазеров B60). Нелинейная фильтрация и компрессия
импульсов твердотельных лазеров с активной синхронизацией
мод и модуляцией добротности B62). Эксперименты по полу-
получению предельно коротких импульсов видимого диапазона
B64).
§ 6.5. Усиление сверхкоротких импульсов 266
Усилители на красителях B66). Усилители на стекле с нео-
неодимом B69). •
§ 6.6. Генерация и усиление мощных фемтосекундных импульсов
УФ диапазона 271
§ 6.7. Фемтосекундные импульсы в дальней ИК области 276
§ 6.8. Прогресс в технике измерений фемтосекундных импульсов . . 280
Корреляторы для фемтосекундных импульсов B80). Измере-
Измерение временного хода интенсивности и фазы B83). Спектраль-
Спектральные методы исследования стабильности параметров излучения
квазинепрерывных лазеров B86).
Заключение 289
Список литературы 296
ПРЕДИСЛОВИЕ
, . Одним из наиболее ярких достижений лазерной физики последне-
последнего времени, несомненно, стала разработка методов генерации и форми-
формирования световых импульсов длительностью ~10~15с — фемтосекунд-
ных импульсов, под огибающей которых укладывается всего лишь
несколько периодов колебаний. Радикальное сокращение временных
масштабов сопровождалось впечатляющим прогрессом физики и тех-
техники сверхкоротких световых импульсов. В огромной мере расшири-
расширились возможности спектроскопии быстропротекающих процессов
(в этой связи последствия перехода к фемтосекундным импульсам спра-
справедливо сравнивают с революционными изменениями в пространствен-
пространственном разрешении оптических приборов, последовавшими за изобрете-
изобретением микроскопа), прогрессировали физика лазерного воздействия
на вещество и техника получения сверхсильных световых полей, воз-
возникли новые направления в оптической обработке информации, были
сформулированы новые подходы в разработке генераторов сверх-
сверхкоротких рентгеновских и акустических импульсов, электронных
сгустков. Речь идет, таким образом, об очень широкой области, многие
разделы которой далеко выходят за рамки традиционной физической
и прикладной оптики.
Если же говорить о методах генерации сверхкоротких лазерных
импульсов, то здесь последние годы принесли отчетливое смещение
акцентов. Если на первом этапе основные усилия были направлены
на получение стабильной синхронизации мод лазеров с максимально
широкой полосой усиления, то в последние годы все большее значе-
значение приобретали методы сжатия и формирования импульсов в пассив-
пассивных системах. Это вызвало всплеск интереса к различным аспектам
физики линейного и нелинейного распространения коротких световых
пакетов.
Вместе с тем можно констатировать, что сейчас эта область приобре-
приобретает и определенную завершенность; долгий, потребовавший почти
25 лет интенсивной работы путь к предельно коротким световым
импульсам пройден фактически до конца.
В предлагаемой книге сделана попытка дать по возможности цель-
цельное изложение волновой нелинейной оптики сверхкоротких световых
импульсов. Последний обзор, посвященный этим вопросам, был опуб-
опубликован около 10 лет назад *). С тех пор облик этого раздела нелиней-
*) Мы имеем в виду обзор Д. Остона в книге: Сверхкороткие световые им-
пульсы/Под ред. С. Шапиро.— М.: Мир, 1981.
ной оптики существенно изменился. Резко возрос объем и уровень
экспериментальных исследований разнообразных самовоздействий и
взаимодействий сверхкоротких лазерных импульсов.
Важнейшую роль здесь сыграла разработка высококачественных
волоконных световодов — практически идеальной нелинейной среды
с точки зрения изучения и использования нестационарных волновых
явлений. Именно в волоконных световодах были выполнены тонкие
эксперименты по возбуждению и взаимодействиям оптических соли-
тонов, исследованы модуляционные неустойчивости сильных световых
волн, многие особенности нестационарного вынужденного рассеяния.
Световоды стали ключевыми элементами эффективных компрессоров
фемтосекундных импульсов.
Новые экспериментальные возможности стимулировали и быстрое
развитие работ по математическому моделированию. Мы постарались
в возможно полной мере отразить эти новые тенденции. Изложение
сосредоточено прежде всего на физике самовоздействий, параметри-
параметрических взаимодействий и вынужденного рассеяния сверхкоротких
импульсов.
Основному материалу, связанному с нелинейными задачами, пред-
предпослана специальная глава, где дано довольно подробное изложение
теории распространения волновых пакетов в линейной диспергирую-
диспергирующей среде. Фемтосекундные лазерные импульсы внесли много нового
и в этот, казалось бы давно уже завершенный, раздел волновой оптики.
Проблемы основанной на достижениях пико- и фемтосекундной опти-
оптической технологии нестационарной лазерной спектроскопии в целом-
далеко выходят за рамки этой книги. Поэтому мы ограничились лишь
одним, но, как нам представляется, ярким примером — теснейшим об-
образом связанной с волновой нелинейной оптикой активной спектро-
спектроскопией комбинационного рассеяния. Переход к фемтосекундным им-
импульсам позволяет получить здесь не только исчерпывающую инфор-
информацию о релаксации энергии и фазы возбуждения, но и непосредствен-
непосредственно наблюдать форму молекулярных колебаний. Книга завершается
специальной главой, посвященной фемтосекундным лазерным систе-
системам. Акцент сделан на основных принципах и концепциях, лежащих
в основе разработки систем, которые позволяют уже сейчас получать
фемтосекундные импульсы в чрезвычайно широком диапазоне спект-
спектра, простирающегося от дальней инфракрасной области до вакуумно-
вакуумного ультрафиолета.
Материал настоящей книги во многом основан на работах, выпол-
выполненных совместно с нашими коллегами по Лаборатории нелинейной
оптики им. Р. В. Хохлова Московского государственного универси-
университета. Всем им мы приносим искреннюю признательность. Мы глубоко
благодарны В. Э. Гусеву, написавшему по нашей просьбе § 3.8,
B. А. Нехаенко и С. Ю. Никитину за помощь в написании § 3.7 и 6.3,
C. В. Краюшкину, предоставившему материалы для § 6.5, и С. А. Шлё-
нову за большой труд по подготовке рукописи к печати.
ВВЕДЕНИЕ
Фемтосекундные лазерные импульсы — новый этап в изуче-
изучении сверхбыстрых процессов и получении сверхсильных полей.(Гене-
полей.(Генерация все более коротких импульсов, концентрация световой энергии
во времени, применение таких импульсов для воздействия на вещество,
исследования быстропротекающих процессов и в системах обработки
информации — одно из магистральных направлений развития лазер-
лазерной физики и техники.,
В 1962—1963 гг. после создания лазеров с модуляцией добротности
резонатора, оптика получила в свое распоряжение источники мощных
импульсов с длительностями 10~7—10~8 cs Генераторы «гигантских»
наносекундных световых импульсов (их мощности составляли в то
время 107—108 Вт) совершили подлинный переворот во многих разде-
разделах лазерной физики; в значительной мере своими успехами обязана
им и нелинейная оптика.
Следующий крупный успех — прорыв в область пикосекундных
масштабов времени (ти~10~12 с) датируется 1966—1968 гг. В эти годы
были предложены и реализованы методы синхронизации продольных
мод лазеров и созданы первые пикосекундные лазеры на стекле с нео-
неодимом, генерировавшие импульсы с длительностями до нескольких
пикосекунд (их стали называть «сверхкороткими») и мощностями
109—1010 Вт. В те же годы были предложены и впервые продемонстри-
продемонстрированы методы нелинейно-оптического формирования и сжатия пико-
пикосекундных импульсов, запущены параметрические генераторы пере-
перестраиваемых по частоте пикосекундных импульсов, позволившие пере-
перекрыть видимый и инфракрасный диапазоны спектра. Таким образом,
была продемонстрирована эффективность использования быстрой
электронной нелинейности в пико- и субпикосекундной оптической
технике.
Наконец, в начале 80-х годов несколькими группами был преодо-
преодолен рубеж 10~13 с, началось быстрое освоение фемтосекундного диапа-
диапазона длительностей A фс=10~15 с). Первые успехи здесь были связаны
с предложением в 1981 г. новой концепции лазера на красителе с само-
самосинхронизацией мод — системы со сталкивающимися в поглотителе
импульсами. В дальнейшем для генерации фемтосекундных импульсов
были успешно применены иные схемы синхронизации мод, лазеры
иных типов, разнообразные методы нелинейной оптики.
9
В результате к 1987 г. долгий путь сокращения временных масшта-
масштабов был пройден практически до конца: получены импульсы длитель-
длительностью ти=6 фс в видимом диапазоне (всего три периода световых ко-
колебаний) и ти=40 фс на длине волны излучения СО2 лазера — свето-
световой импульс в один период колебаний! Освоение фемтосекундного
масштаба времени означает фактически полную реализацию возмож-
возможностей оптики в изучении быстропротекающих процессов релаксации
энергии и дефазировки оптических возбуждений в веществе. Один
период оптического колебания — это предельная длительность свето-
светового импульса, но одновременно и предельная «скорость» оптического
отклика материальной среды.
С помощью интенсивных фемтосекундных импульсов можно соз-
создавать сильно неравновесные состояния для быстро релаксирующих
возбуждений (время релаксации 10~18—10~14 с), в частности электрон-
электронных возбуждений в многоатомных молекулах, полупроводниках и
металлах, наблюдать новые типы быстрых оптически индуцируемых
фазовых переходов в веществе. Фемтосекундная оптическая техника
позволяет разработать прямые экспериментальные методы изучения"
молекулярной динамики сложных (в том числе биологически актив-
активных) молекул и конденсированных сред, явлений, в исследовании ко-
которых до недавнего времени доминировал численный эксперимент.
С прикладной точки зрения главный итог разработки эффективных
источников коротких световых импульсов связан с открывающимися
теперь возможностями реализации предельных скоростей оптической
обработки и передачи информации. В последние годы выполнены экс-
эксперименты, ярко их демонстрирующие: созданы оптические бистабиль-
ные устройства, переключаемые за времена 10~12 с, элементы волокон-
волоконно-оптических линий связи, информация в которых переносится с по-
помощью оптических солитонов с длительностью, достигающей 10~13 с.
С другой стороны, переход к фемтосекундным импульсам — это
и очередной скачок по шкале интенсивности. При длительности
импульса ти= 100 фс сравнительно небольшой энергии №=0,1 Дж
соответствует мощность Р0=1012Вт. Таким образом, в сравнитечьно
скромных по масштабам системах удается перейти к уровням мощ-
мощности, которые еще совсем недавно удавалось получать только в муль-
тикилоджоульных установках, предназначенных для управляемого
термоядерного синтеза.
Благодаря этому совершенно новые экспериментальные средства
получила в свое распоряжение нелинейная оптика. В поле сфокуси-
сфокусированных фемтосекундных импульсов могут быть получены интенсив-
интенсивности 101'—1018 Вт/см2 и, следовательно, напряженности светового
поля достигают здесь 1010 В/см. Речь идет, таким образом, о полях,
превышающих внутриатомные (£а~109 В/см для атома водорода).
В столь сильных полях на первый план выходят новые проблемы нели-
нелинейной электронной физики, становятся реальностью прямые экспери-
эксперименты, имеющие целью наблюдение эффектов, предсказываемых не-
нелинейной квантовой электродинамикой (нелинейное рассеяние света
на релятивистских электронах, рассеяние света на свете в вакууме
и т. п.).
ю
Перечисленные новые направления физических и прикладных ис-
исследований формируют две области — две новые «страны» на лазерной
карте энергия — время {W, ти) (рис. В.1).
В книге, посвященной прежде всего оптике фемтосекундных им-
импульсов, физике их формирования и нелинейного распространения,
мы лишь в небольшой мере коснемся приложений. Представление об
ЦДн
Рис. В.1. Диаграмма эиер-
гня — время. По осн абс-
абсцисс отложена длительность
лазерных импульсов ти, по
оси ординат — энергия им-
импульса W, здесь же нане-
нанесены уровни равной мощ-
мощности. Выделенные области
параметров сверхкоротких
импульсов соответствуют
новым направлениям в ис-
исследовании сверхбыстрых
процессов и в нелинейной
оптике сверхсильных полей
I Спектроскопия
| сверхбыстрых
\процессай ^,
10
-12
10
-15 ,
этой бурно развивающейся области можно составить, обратившись к
трудам последних конференций по нелинейной оптике, спектроскопии
сверхбыстрых процессов, специализированным выпускам журналов
11-5].
Генерация и формирование световых импульсов: от модуляции
интенсивности к быстрому управлению фазой в активных и пассивных
нелинейных системах. Общие принципы, лежащие в основе разно-
разнообразных схем генерации световых импульсов, достаточно наглядны
(рис. В.2). Короткий световой импульс можно получить, модулируя
интенсивность излучения непрерывного оптического источника. Аль-
Альтернативный подход основывается на фазировке (синхронизации) раз-
различных спектральных компонент источника, генерирующего широкий
оптический спектр.
Модуляцию интенсивности излучения искрового источника (или
солнечного света) с помощью механического затвора или вращающе-
вращающегося зеркала использовали еще Физо и Майкельсон, применившие
оптические импульсы для измерения скорости света. Применение
электрооптических затворов (сейчас их быстродействие доведено
до единиц пикосекунд) позволило принципиально усовершенствовать
эту технику. Быстрая электрооптическая модуляция используется и
в современных пикосекундных лазерных системах. Однако она играет
здесь скорее вспомогательную роль — пиковая мощность получае-
11
мых таким образом импульсов не превышает пиковую мощность исход-
исходного квазинепрерывного источника.
a
Амплитуд-
модулятор
Активный
злемент
EU)
Активный
элемент
Синхро-
Синхронизатор
мод
Фазовый
Модулятор
Нонпрессор
(фазировка)
Аса
Рнс. В.2. Принципъф-еиерации световых импульсов: а — амплитудная модуля-
цня^в пассивной системе; б — модуляция добротности лазерного резонатора;
в — синхронизация продольных мод в активном резонаторе; г — фокусировка
во времени, быстрая фазовая модуляция и компрессия
Огромное увеличение интенсивности — генерацию «гигантского»
оптического импульса — можно получить, управляя с помощью меха-
механического или электрооптического затвора добротностью лазерного
резонатора с относительно долгоживущими возбужденными состоя-
состояниями активной среды (рис. В.2а, б). Длительность «гигантского»
12
импульса определяется свойствами активной среды и резонатора;
в принципе, таким методом можно генерировать импульсы длитель-
длительностью до 10~11 с, однако реально достигнутые значения ти относятся
к наносекундному диапазону.
Фазировка различных компонент широкого спектра позволяет
одновременно укоротить импульс и резко увеличить пиковую мощ-
мощность, поэтому практически всеми своими достижениями современная
пико- и фемтосекундная лазерная техника обязана эффективному ис-
использованию этого фундаментального принципа. Рис. В.2в иллю-
иллюстрирует методы фазировки спектральных компонент в дискретном
спектре практически эквидистантных мод, генерируемых многомодо-
вым лазером. Если ширина линии усиления Лсоу значительно превы-
превышает межмодовый интервал Q=nc/L, Лсоу$>>0, то вид суммарного
поля
N
5@=2 Pncos{[(o + (n-l)Q]/-<pn} (B.I)
n= 1
решающим образом определяется статистикой фаз ф„. Для независи-
независимых мод плотность вероятности
N
w (фх, Ф„ .... <Ы = П wn (Фв). гДе wn (Ф„) = 1/2я,
п- 1
и поле E(t) оказывается, по существу, интенсивным оптическим шумом
со временем корреляции xk~l/NQ, Af=Acuy/Q. Если же моды сфази-
рованы (для фазировки можно использовать их нелинейное взаимо-
взаимодействие — самосинхронизацию мод или внешнее воздействие на
межмодовой частоте — принудительную синхронизацию мод), то воз-
возникает регулярная последовательность импульсов с частотой повторе-
повторения Q и длительностью тн~1/ЛГЙ, а результирующее поле имеет вид
здесь, для простоты, амплитуды выбраны равными pi=p2=...=P^—Р.
а фазы ф1=ф2=...=Флг=Фо-
Фазировку спектральных компонент можно осуществить и в пас-
пассивных системах; особый интерес представляют методы фазировки
в сплошном спектре. Хотя, в принципе, можно предложить способы
фазировки компонент в спектре нелазерного источника, такой подход
является весьма сложным и энергетически невыгодным. Поэтому ис-
исходное широкополосное излучение, фазировка компонент которого
приводит к генерации коротких импульсов, получают при самовоздей-
самовоздействиях или взаимодействиях лазерных импульсов в нелинейной среде.
В этом случае речь идет о регулярном широкополосном световом пакете,
фазовые соотношения в котором надо изменить. Рис. В.2г иллюстри-
иллюстрирует один из наиболее эффективных вариантов этой техники — комп-
компрессию фазово-модулированного импульса.
Быстрая фазовая модуляция, расширяющая спектр, получается
за счет самовоздействия исходного импульса в среде с кубичной не-
нелинейностью; фазировка спектральных компонент, а следовательно,
13
Зеркало
а
Зеркало
у
Краситель
(экспандер)
Задержка
I
Фильтр
Усилитель
Потери
Интенсивность
V — 'f V \> +
Насыщающийся Насыщающийся
поглотитель поглотитель
Av
Рис В 3 Временная эволюция импульсов в многомодовом лазере с нелинейным
поглотителем (экспандером спектра): а — схема лазера; б — эквивалентная
блок-схема- в — зависимость пропускания красителя от интенсивности; г — дн-
намика формирования импульса при последовательных проходах через насы-
насыщающийся поглотитель; 9 - обогащение спектра генерации. Видно, как в ре-
результате последовательных проходов совместное действие усилителя и нелиней-
нелинейного поглотителя приводит к сжатию импульса — на спектральном языке этому
соответствует вовлечение в генерацию многих сфазированных мод
14
и сжатие импульса осуществляется в диспергирующей линии задержки
(пара дифракционных решеток). Возможны и другие варианты мето-
метода, в которых для получения широких спектров используются трех-
и четырехволновые нелинейные взаимодействия.
Для пояснения принципов действия систем, изображенных на
рис. В.2в, г, мы воспользовались наглядными спектральными пред-
представлениями. Вместе с тем анализ их работы можно провести и не
прибегая к спектральным разложениям, а непосредственно просле-
прослеживая трансформацию огибающей импульса, т. е. на временном язы-
языке. Тогда осуществляемую в схеме на рис. В.26, г компрессию следует
трактовать как результат «нагона» в диспергирующей линии задержки
низкочастотных спектральных компонент, располагающихся на фрон-
фронте импульса, высокочастотными компонентами, первоначально сгруп-
сгруппированными на его хвосте.
На рис. В.З показана временная эволюция короткого светового
импульса в генераторе с самосинхронизацией мод. Усиление и нели-
нелинейное поглощение (передаточная характеристика нелинейного эле-
элемента, называемого экспандером, показана на рисунке) приводят
к сжатию импульса по мере его рециркуляции в резонаторе. Времен-
Временное описание позволяет проследить динамику установления режима
синхронизации мод, проанализировать явления, выпадающие из рас-
рассмотрения при стационарном спектральном описании.
Общие идеи, лежащие в основе методов генерации сверхкоротких
световых импульсов за счет фазировки компонент дискретного или
сплошного спектра, пришли в оптику из радиофизики. Многомодовый
лазер, в котором моды самосинхронизируются за счет взаимодействия
в среде с нелинейным поглощением, является аналогом известного
радиочастотного генератора коротких импульсов. Компрессия фазово-
модулированных сигналов использовалась еще в 60-х годах для повы-
повышения пиковой мощности сигнала в радиолокационных системах.
Возможности современной линейной и нелинейной оптической тех-
техники позволили реализовать эти принципы в гораздо большей мере,
нежели это было сделано в радиотехнике.
Стоит отметить также, что обсуждаемые принципы имеют глубокие
аналогии в классической оптике волновых пучков. Действительно,
сформулированная выше на спектральном языке, задача о генерации
цуга коротких импульсов за счет суперпозиции синхронизованных
дискретных мод аналогична классической задаче о дифракции плоской
волны на амплитудной решетке, а формула B) совпадает с известной
формулой дифракционной решетки. Сжатие фазово-модулированного
сигнала дисперсионным элементом (оптическим компрессором) — это
временной аналог пространственной фокусировки пучка с помощью
линзы.
Во всех этих ситуациях главный вопрос — управление фазой све-
световой волны. Технику управления фазой в пространстве оптика освои-
освоила по существу еще в прошлом веке. Необходимое для генерации пре-
предельно коротких импульсов быстрое управление фазой во времени —
достижение последних лет. Для ее реализации надо располагать, оче-
очевидно, системами с быстро изменяющимися во времени параметрами.
15
Поскольку в пределе речь идет об изменениях с временем порядка пе-
периода световых колебаний, наиболее перспективный путь решения
задачи — это управление самой световой волной, основанное на ис-
использовании быстрой оптической нелинейности. Сказанным и объ-
объясняется в значительной мере интерес к нелинейным взаимодействиям
и самовоздействиям коротких световых импульсов в средах с быстрым
нелинейным откликом.
Генерация предельно коротких импульсов, разумеется, далеко
не единственный стимул этих исследований. Нелинейная оптика внесла
большой вклад в физику солитонов; использование нестационарных
нелинейных взаимодействий лежит в основе эффективных методов
нелинейной лазерной спектроскопии.
Н предлагаемой книге главный акцент сделан на результатах, по-
полученных в нелинейной оптике волновых пакетов в последние во-
восемь — десять лет.
С историей первого этапа работ по генераторам, оптике коротких
световых импульсов можно ознакомиться, обратившись к работам
Хелвортса [6] и Де-Марии [71. Состояние дел к 1975 г. подытожено
в коллективной монографии [8], написанной ведущими специалистами
в области пикосекундной физики и техники.
В 1985 г. отмечался 25-летний юбилей создания первого лазера.
Очерки истории развития основных идей квантовой электроники,-фи-
электроники,-физики лазеров даны в статьях Прохорова [9] и Басова [10]. Отдельные
аспекты пико- и фемтосекундной лазерной физики и техники обсуж-
обсуждаются в обзорах [11—13]. Укажем, наконец, на опубликованные в са-
самое последнее время монографии [14, 15].
ГЛАВА 1
КОРОТКИЕ СВЕТОВЫЕ ИМПУЛЬСЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
Длительности световых импульсов, генерируемых современными лазерным»
системами, могут составлять всего несколько периодов световых колебаний.
Линейное распространение таких импульсов даже в слабо диспергирующей
среде (вдали от резонансов) уже на весьма коротких расстояниях кардинальна
отличается от привычного для оптики распространения волновых пакетов не-
неизменной формы с групповой скоростью. Дисперсия среды может чрезвычайно-
сильно изменить форму коротких импульсов. При специальном подборе началь-
начальной фазовой модуляции импульса и знака дисперсии появляются возможности
целенаправленного управления его формой, сильного сжатия импульса — «фо-
«фокусировки» во времени. Явления, возникающие при распространении коротких
световых импульсов в диспергирующей среде, во многом сходны с дифракцион-
дифракционным распространением и преобразованием узких световых пучков. В ряде слу-
случаев между этими разнородными на первый взгляд явлениями можно проследить
точную пространственно-временную аналогию. Много практически важных за-
задач связано с прохождением коротких световых импульсов через оптические при-
приборы, взаимовлиянием дифракционных и дисперсионных эффектов. Большой их
круг является предметом фурье-оптики волновых пакетов.
Современный прогресс экспериментальной оптики волновых пакетов, рас-
распространяющихся в диспергирующих средах, целиком обязан достижениям,
лазерной физики, связанным с разработкой техники синхронизации мод лазе-
лазеров, методов быстрой фазовой модуляции света, методов динамической интерфе-
интерферометрии и интерферометрии интенсивности. Вместе с тем следует сказать, что»
дисперсионные эффекты, сопровождающие распространение коротких волновых
пакетов, в принципе, могут быть исследованы и с помощью традиционных нела-
нелазерных источников света, являющихся по своей сути генераторами оптического-
шума с временем корреляции пико- и фемтосекундного масштаба.
§ 1.1. Картина линейного распространения
коротких световых импульсов
Оптика волновых пакетов; исторические замечания. Круг за-
задач, связанных с распространением волновых пакетов в линей-
линейной диспергирующей среде (дисперсия может быть обусловлена
17
как резонансами в однородной среде, так и искусственно созданными
неоднородностями), относится, разумеется, к классической линейной
оптике. Проблемы, связанные с распространением световых импульсов,
рассматривали еще Рэлей [1], Зоммерфельд [2] и Бриллюэн [3].
В 30-е годы Мандельштам [4] дал ясную картину дифракции светового
импульса на решетке. В последующие годы наибольший интерес при-
привлекали дисперсионное расплывание пакета (детальное обсуждение
можно найти в монографии Гинзбурга [5]), возникновение предвест-
предвестников при взаимодействии короткого импульса с диспергирующей
средой (о современном состоянии этой классической проблемы см.
{801). Однако экспериментальная оптика вплоть до конца 60-х годов
не смогла внести какой-либо вклад в изучение перечисленных задач.
Импульсные оптические источники, включая и первые импульсные
лазеры, были, по существу, генераторами относительно длинных вспы-
вспышек оптического шума, длительность которых ти~10~в—10~8 с намно-
намного превышала время корреляции тк излучения (tH^>tK) и, следователь-
следовательно, ширина спектра излучения Асо^>1/ти.
Естественно, что в этих условиях не могло быть речи об исследо-
исследовании преобразования огибающей и фазы в процессе распространения
импульса и об управлении этими параметрами во времени. Поэтому
экспериментальный материал, например, по предвестникам был полу-
получен в микроволновом диапазоне [21]. Напротив, экспериментальная
техника формирования и преобразования световых пучков прогрес-
прогрессировали и до создания лазеров.
Еще в прошлом веке оптики научились с высокой точностью управ-
управлять фазой светового излучения в пространстве — на этом основаны
разнообразные дифракционные приборы, методы фокусировки пуч-
пучков, преобразования и фильтрации изображений. Теоретической ос-
основой этих методов стала детально разработанная фурье-оптика вол-
волновых пучков [7].
В последние годы техника формирования световых импульсов бурно
прогрессировала; оптика получила в свое распоряжение эффективные
методы управления огибающей и фазой световых колебаний в пико-
и фемтосекундном масштабе времени. Сейчас реальностью стали так
называемые спектрально-ограниченные импульсы длительностью до
10~14 с. Такие импульсы, ширина спектра которых определяется толь-
только формой огибающей и для которых тиАю~1,— прямой аналог ди-
дифракционно-ограниченных световых пучков. Вместе с тем разработаны
и методы получения быстрой регулярной фазовой модуляции корот-
коротких световых импульсов; в их основе лежит использование малоинер-
малоинерционного «нерезонансного» нелинейного отклика конденсированных
сред [8, 9], развивалась и техника измерений огибающей и фазы ко-
коротких лазерных импульсов (§ 6.8).
Дисперсионные эффекты, подобно дифракции для волновых пучков,
могут быть положены в основу разнообразных схем компрессии (фо-
(фокусировки во времени) и преобразования формы коротких импульсов.
Поэтому в последние годы бурное развитие получила фурье-оптика
волновых пакетов, распространяющихся в диспергирующей среде.
По существу, речь идет о задачах того же типа, что и задачи формиро-
18
вания и дифракции световых пучков (в квазиоптическом приближении
они описываются параболическим уравнением, введенным в теорию
волн Леонтовичем [18]). В общей постановке вопросы фурье-оптики
волновых пакетов обсуждаются в обзоре Вайнштейна [10] и книге [11].
В настоящей главе дано изложение линейной оптики световых им-
импульсов в диспергирующих средах с акцентом на новые прикладные
задачи, связанные прежде всего с компрессией и формированием оп-
оптических импульсов заданной формы.
Методы описания. Распространение волнового пакета в линейной
изотропной диспергирующей среде описывается для напряженности
E(t, г) электрического поля волновым уравнением
дг* с* dt% ~и> A.1.1 >
где
ее
D(t, z) = J е0(ОЕ(t— t', z)dt' A.1.2)
о
— электрическая индукция для случая однородной немагнитной
среды без пространственной дисперсии. В структуре выражения B)
отображен принцип причинности: индукция в данный момент вре-
времени в заданном сечении среды может зависеть лишь от предшест-
предшествующих моментов времени. В рассматриваемых нами задачах:
характер поляризации волны, как правило, не играет принципиальной
роли. Поэтому волна предполагается линейно поляризованной и для
простоты описывается скалярным уравнением A).
Разлагая поле в фурье-спектр,
E(t, г)= J Е(ау)еиы-"г)сЬ A.1.3)
— QD
(направление оси z совпадает с направлением вектора k), из A), B)
получаем дисперсионное соотношение
6(<о)=юК^Й/с==ш/го(<й)/с, A.1.4)
где
со
8,@))= $ е, @ е-*"'Л A.1.5)
о
■— диэлектрическая проницаемость среды на частоте со. Согласно C),.
D) фурье-компонента поля в среде
£(о), z) = £(<o) e~ik mz. A.1.6)
Видно, что дисперсия среды влияет лишь на фазу фурье-компоненг
импульса, если ео(ю) — действительная величина (поглощение несу-
несущественно). В спектральной же плотности s(co, z)=2n\E((i>, z)\z
фазы пропадают, и следовательно, форма спектра импульса в линейной
1»
непоглощающей среде сохраняется:
s(o, z)=so((o). A.1.7)
Зная зависимость &(со) D) и пользуясь C), в принципе, можно рас-
рассчитать поле на любом расстоянии z в диспергирующей среде. Однако
точные аналитические результаты, как правило, удается получить
лишь в сравнительно простых случаях. Поэтому широкое применение,
даже при анализе линейного распространения волновых пакетов, на-
находят приближенные методы, базирующиеся на упрощении исходно-
исходного уравнения A).
Эффективным методом получения приближенных уравнений, описы-
описывающих распространение короткого волнового пакета, является
метод медленно меняющихся амплитуд (ММА) [6, 18]. В его основе
лежит естественное предположение о медленности изменения комп-
комплексной амплитуды импульса на масштабах среднего периода колеба-
колебаний То=2я/о)о (о)о — средняя частота импульса) и средней длины вол-
волны 7io—cTo/n(wo)- Такой подход справедлив вплоть до длительностей
импульсов ти/Г0«Ю. Метод ММА адекватен, таким образом, боль-
большинству задач линейной (и. как мы убедимся далее, нелинейной) опти-
оптики фемтосекундных импульсов. Вместе с тем в современной лазерной
физике появился и такой необычный объект как лазерный импульс
длительностью в один период [84]. Естественно, в этом предельном
случае приближения, основанные на предположении о медленности
изменения амплитуды, в принципе непригодны.
Согласно методу ММА решение интегродифференциальных урав-
уравнений A), B) ищем в виде
E(t, z) = 1/iA(t, 2)е'"(ш»'-*»г» + к. с, A.1.8)
где ko=aHfv, v=c/n(a0) — фазовая скорость. Подставим (8) в B).
Учитывая медленность изменения во времени амплитуды A (t—t', г),
разложим ее в ряд Тейлора по V. В результате
W« + K.c. A.1.9)
J
Отбрасывание в (9) производных дт&0 ((л)/да>т эквивалентно пренебре-
пренебрежению дисперсией среды (нулевое приближение теории дисперсии).
В первом приближении оставляют лишь производную део(со)/дсо, пре-
пренебрегая производными более высокого порядка. Второму приближе-
приближению теории дисперсии соответствует учет д2е0 (ю)/даJ и т. д. Другими
словами, в такой классификации порядок учтенной производной ди-
диэлектрической проницаемости ео(со) определяет порядок приближения.
Подстановка (8) и (9) в A) приводит к следующему уравнению для
амплитуды A (t, z):
L±-.tL
и dt '2
m=3
20
где
A.1.11)
— групповая скорость. Параметр &2 характеризует дисперсию груп-
групповой скорости в первом приближении:
, A-1.12)
и2 V да
параметр д3&2/дсо3 — во втором приближении, причем
2k0 \ да3
со,,
£_
да3
A.1.13)
и т. д.
Обычно при рассмотрении дисперсии в поле непрерывного излу-
излучения говорят о нормальной дисперсии, если dv/d(a<.0 (dn/d®>0),
и аномальной дисперсии, если dvfd<o>0 {dn/dw<0). В задачах рас-
распространения коротких волновых паке-
пакетов главный интерес представляет не
дисперсия фазовой скорости (она, как
известно, определяет поведение квази-
квазимонохроматической волны), а дисперсия
групповой скорости. Поэтому, говоря о
нормальной или аномальной дисперсии,
мы будем иметь в виду знак дисперсии
с/и
ш
Рис. 1.1. Дисперсия фазовой
и групповой скоростей вблизи
уединенного однородно уши-
уширенного резонанса Qe
групповой скорости. Дисперсия считает-
считается нормальной при du/da<iO и ано-
аномальной при du/da>>0. Определения
типа дисперсии по фазовым и группо-
групповым скоростям, вообще говоря, не сов-
совпадают. Частотные зависимости фазовой
и групповой скоростей вблизи резонанса показаны на рис. 1.1. Пове-
Поведение дисперсии групповой скорости вдали от резонанса характери-
характеризуют графики на рис. 1.4, где длина L^lk^'1 (см. A.3.2)).
Уравнение A0) — точное в смысле учета дисперсионных свойств
линейной среды. Вместе с тем во многих случаях для описания рас-
распространения импульсов пико- и фемтосекундной длительности доста-
достаточным оказывается второе приближение теории дисперсии. В этом
приближении уравнение, получающееся из A0) отбрасыванием слагае-
слагаемых под знаком суммы, можно упростить. Переходя к бегущей системе
координат (z=z, r\ = t—zlu), легко показать [14—16], что оператор
в прямых скобках дает величины более высокого порядка малости,
чем остальные производные. В результате получаем
A.1.14)
дг
решение имеет вид
А (г],
A.1.15)
21
где
G{r\—t, г)=
Решение A5) удовлетворяет граничному условию A~A0(t) при 2=0.
Пространственно-временная аналогия. Уравнение A4) аналогич-
аналогично параболическому уравнению
(r, г) = 0 A.1.16)
(k1—di/dx2-\-di/dyi — поперечный лапласиан), широко используемо-
используемому для описания распространения световых пучков вида
E(t, r, 2) = V,4(r, z) «*<••'-*•*> +к. с. A.1.17)
Уравнение A6) соответствует так называемому квазиоптическому при-
приближению, справедливому, когда изменения комплексной амплитуды
поперек направления распространения происходят быстрее, чем вдоль.
Быстрые изменения поля Е (/, г, z) вдоль направления распростране-
распространения учитываются экспоненциальным множителем.
В рамках приближений, в которых получены уравнения A4) и
A6), между поведением волновых пакетов и волновых пучков можно
проследить чрезвычайно полезную пространственно-временную анало-
аналогию [14—16]. Из формального сравнения A4) и A6) прежде всего
видно, что времени г] в волновых пакетах соответствует поперечная
координата г в волновых пучках, а дисперсии групповой скорости
kt — параметр k~\. С физической точки зрения дисперсионное расплы-
вание волнового пакета, связанное с k^O, во многом аналогично ди-
дифракционному расширению волнового пучка. Поэтому часто говорят
о квазиоптическом приближении в описании волновых пакетов.
Модели световых импульсов. Для описания импульсов, наряду с
комплексной амплитудой Л <>(/), пользуются также действительными
огибающей ро(О и фазой фо@:
i4,@-=p, (/)«*»•<". A.1.18)
Обратимся сначала к детерминированным импульсам. В общем
случае длительность импульса удобно определять как среднеквадра-
среднеквадратичную:
где
+ 00
?» = W0-i J t*\At(t)\*dt, n-1, 2, 3, .... A.1.20a)
— CD
+ CO
Wo= 5 |Л,@|»Л A.1.206)
— с»
— энергия импульса. Подобным образом в общем виде определяется
ширина спектра импульса:
Дшск = [оJ—(<йJ]1/2. A.1.21)
22 . .
где
n=l, 2, 3, .... A.1.22а)
A.1.226)
— спектральная плотность импульса. Длительность импульса и ши-
ширина спектра связаны соотношением
тскД№ск=/С^1/2. A.1.23)
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных световых импульсов.
Спектрально-ограниченный импульс. Речь идет об импульсе, дли-
длительность которого тск полностью определяется обратным значением
ширины Ао)ск его спектра. В этом случае отсутствует фазовая (частот-
(частотная) модуляция (ф„(^)==0, A0{t)=P(t{t)). Для спектрально-ограничен-
спектрально-ограниченных импульсов постоянная /С~1; ее значение зависит от формы оги-
огибающей.
Чаще всего рассматривают импульсы с огибающими вида
Po(*)=posech(*/T0), A.1.24)
ро(/) = роехр(—t2/2%l). A.1.25)
Для гауссовского импульса B5) величина К= 1/2. Во всех других
случаях /С>1/2;так, например, для импульса B4) /(=я/6. Для глад-
гладких импульсов можно и не прибегать к интегральным определениям
длительностей. В случае гауссовского импульса длительность по уров-
уровню е~х от максимальной интенсивности равна то = |/тск. Значение
т0 связано с длительностью по полувысоте ti/2 соотношением %\ц=
=2|^1п2т0. Имея в виду приведенные соотношения, величину
т0 будем называть в дальнейшем просто длительностью импульса.
Для гауссовского импульса
т0А(й0=2, Ti/2Aco1/2=4ln2, A.1.26)
где А а о и АйI/2 — ширины спектров по уровням, соответствующим
различным определениям длительности.
Фазово-модулированный импульс. Фаза <ро@ может быть сложной
детерминированной либо случайной функцией. Ширина спектра фазо-
во-модулированного (ФМ) импульса Аю^" может значительно пре-
превышать ширину спектра спектрально-ограниченного импульса:
В дальнейшем особое значение будут иметь импульсы, у которых
фаза изменяется со временем по квадратичному закону
фо@=—а<>/2/2. A.1.27)
Тогда изменение мгновенной частоты линейно по t:
6ю (/)=w (t)—ao=d(po(t)/dt——aot, A.1.28)
где а0 характеризует скорость изменения частоты.
23
Для частотной модуляции (ЧМ) вида B8) при гауссовской форме
огибающей B5) ширина спектра импульса
В последнем соотношении учтено B6). Частотно-модулированные све-
световые импульсы часто называют чирпированными (от английского
слова — chirp); ЧМ вида B8) соответствует линейному чирпу.
Супергауссовский импульс. Наряду с B4) и B5) для анализа распро-
распространения и преобразования сверхкоротких импульсов используются
и другие модели. Среди них следует выделить близкий по форме к
прямоугольному супергауссовский импульс
A.1.30)
гдет=1, 2, 3, ...; а=ат§т. Импульс C0) характерен для излучения
полупроводниковых лазеров [52]. С ростом параметра т его форма
приближается к прямоугольной, однако длительность по уровню е~х
не зависит от т. Изменение частоты супергауссовского импульса,
A.1.31)
наибольшее на фронте и хвосте. Среднеквадратичная длительность
Для гауссовского импульса q(\)=\jV2, а для супергауссовского
при т-*-оо параметр q—>-\ и тск-»-То; Т(х) — гамма-функция.
Импульс с шумовым заполнением. Нелазерные источники, а в ряде
случаев и многомодовые лазеры, генерируют, по существу, вспышки
оптического шума, комплексную амплитуду которых можно записать
в виде
A0(t)=F(i)l(f). A.1.33)
Функция F(t) соответствует регулярному импульсу, который может
быть либо спектрально-ограниченным, либо фазово-модулированным;
\{t) — случайный процесс, в общем виде \(t) — комплексная функ-
функция. Случайный процесс \{t) в ряде случаев можно считать стацио-
стационарным с корреляционной функцией
*(t + x)> = e*R(%), A.1.34)
где а2 — дисперсия шума.
Если речь идет о «вспышках» многомодового лазерного излуче-
излучения с несинхронизованными модами, процесс l(t) записывается в виде
[13, 16]
S@-£p,,exp{i [iBn+1-ЛГ)Я + Ф,,]}, A-1.35)
я— 1
где п — номер моды, р„ — амплитуда моды, й — частота межмодовых
24
биений. Фазы мод ф„ статистически независимы с равномерным рас-
распределением на интервале [—я, л]. При достаточно большом числе
мод N статистика процесса C5) с дискретным спектром близка к гаус-
совской A61.
§ 1.2. Распространение светового импульса
с резким фронтом; предвестники
Обратимся к классической задаче оптики волновых пакетов, впер-
впервые рассмотренной Зоммерфельдом и Бриллюэном в связи с выясне-
выяснением вопроса о скорости распространения сигнала [2, 3!. Речь пойдет
о распространении в диспергирующей среде светового импульса с рез-
резким фронтом. В настоящее время эта задача приобретает практический
Рис. 1.2. Качественная картина формирования предвестника в линейной диспер-
диспергирующей среде: а — импульс на входе; б — форма огибающей на расстоянии г
в среде
интерес, поскольку стала реальностью генерация световых импульсов
длительностью всего в несколько периодов.
Качественная картина возникающих эффектов проста. Чем круче
фронт импульса, тем большая доля энергии переносится спектраль-
спектральными компонентами, распространяющимися со скоростью практически
равной скорости света с в вакууме. Действительно, на частотах
<o>Qe, для которых е«1—сор/со2, где Qe — собственная частота упру-
упруго связанных электронов, ыр — плазменная частота, скорость v=
= cjVz-^c при ю-*- оо. Поэтому к наблюдателю, находящемуся в точке
z¥=0 диспергирующей среды, оптический сигнал придет не в момент
времени tTp=z/u (« — групповая скорость), а в момент t3=z,с—
появляется так называемый зоммерфельдовский предвестник (рис. 1.2).
Эта качественная картина становится совершенно наглядной, если
обратиться к решению точного волнового уравнения A.1.1).
Пусть на диспергирующую среду падает световой импульс вида
25
где Wo — несущая частота, 1 (/) — функция Хевисайда:
О, / < 0,
Поле в среде описывается выражением A.1.3), которое удобно пред-
представить как
E(t, z)=]EB(x)G(t—t, z)dx, A.2.2)
о
где
+ oo
G(t—t, 2)== Bл) J exp{i[a>(t—т)—k{(o)z]}da>
— 00
— функция Грина (ср. с A.1.15)). Если среда недиспергирующая и
волновое число k=ю/с, то G (t—т, г) =6 (t—т—г/с) и Е (t, z) =E0 (t—zlc).
В диспергирующей среде лишь при й>-»-оо величина ft=©/c и, следова-
следовательно, для высоких частот G(t—т, 2)^=0 при t—x^zlc. Отклик среды
в сечении гфО начинается в момент времени t3=z/c, поэтому скорость
волнового фронта всегда равна с вне зависимости от свойств среды
[2, 3, 41]. Основная, или энергонесущая, часть сигнала приходит в мо-
момент времени tTV=z/u. Действительно, в первом приближении теории
дисперсии (&(о))=&(о)о)+(с0—щ)/и) из B) и A) получаем
E(t, z) = E0\{t—z/u)sin[(o0t—k(cooJ]. A.2.3)
Для детального расчета структуры поля в интервале времени
[^з, 4pJ нужно задать конкретный вид дисперсии &(co)=u)M(<d)/c.
Ограничиваясь по-прежнему случаем нормальной дисперсии, возь-
возьмем показатель преломления среды в виде
«*(©)= l + oJ/(fi|—и2). A.2.4)
Запишем решение B) через спектр начального импульса^A):
t(t, z) — h0 \ j -шй, A.2.0)
J Шо—СО2
— 00
где £о=а)о£о/2л. На малых временах Q=t—t3=t—zlc существенный
вклад в интеграл E) дают большие частоты ю: ю9<;1) со^хоо. При
этом ft(<B)«(o)/c)(l— <72/2co2) и
£(9, S)«—Ёо J G)-2exp[i(u)e-K/o))]dw, A.2.6)
— 00
где £=<72г/2с. Расчет F) дает
Е(9, \) «-2л£0(9/ёI'2 Jt B К|9), A.2.7)
где Jx (x) — функция Бесселя от действительного аргумента. При
£б<;0,5 значение £(9, ^)лг£оо)о9. Следовательно, достигая сечения
26
среды z в момент времени t3, зоммерфельдовский предвестник начи-
начинается с нулевой амплитуды. На малых временах (шо9<^1) амплитуда
предвестника мала по сравнению с исходной амплитудой Ео. С рос-
ростом времени 9 амплитуда колебаний и их период 7\ возрастают; при
£9>1 период 7\«я2/£ и не зависит от несущей частоты ш0 (рис. 1.2).
При больших временах появляется новая фаза возмущения, кото-
которая называется бриллюэновским предвестником. В этом случае основ-
основной вклад в E) дают уже более низкие частоты в окрестности полюсов
<0=±СОо.
E(t, z)^E0\(t—z/v)sm[(o0t~k((o0)z]. A.2.8)
Этот предвестник распространяется с фазовой скоростью У=с()
и начинается он в момент времени tB=z/v. Затем, как указывалось
выше, в момент trP приходит энергонесущая часть сигнала, описы-
описываемая C). Таким образом, полная структура светового импульса
с резким фронтом в диспергирующей среде принимает вид, изображен-
изображенный на рис. 1.2.
Групповая скорость и, с которой распространяется огибающая
поля, является одновременно скоростью распространения энергии
импульса в рассматриваемой среде с нормальной дисперсией (ы<и).
В средах с аномальной дисперсией, т. е. в области поглощения, груп-
групповая скорость и может быть больше фазовой v или даже отрицатель-
отрицательной (рис. 1.1). Однако скорость распространения энергии и в этом
случае не может быть больше с. В связи с этим в [2, 3J было введено
понятие скорости сигнала ис, определяющей момент прибытия части
импульса, которая может быть зарегистрирована прибором. Такое
определение ис связано, очевидно, с чувствительностью прибора.
Заметим, что, когда несущая частота соо совпадает с резонансной часто-
частотой среды, поведение фронта импульса зависит от соотношения между
начальной длительностью фронта, временами релаксаций (продоль-
(продольной и поперечной) и периодом колебаний Раби [821. Из-за трудностей
наблюдения предвестников в оптическом диапазоне первые экспери-
экспериментальные исследования выполнены в диапазоне радиочастот 108—
109 Гц в волноводе [21]. Авторы отчетливо наблюдали зоммерфельдов-
зоммерфельдовский и бриллюэновский предвестники.
Проведенное рассмотрение относится к средам без пространствен-
пространственной дисперсии. В средах с пространственной дисперсией диэлектри-
диэлектрическая проницаемость среды е, помимо частоты со, зависит от волново-
волнового числа k, е=е(со, k). Анализ [83] распространения в таких средах
оптических импульсов предсказывает существование, наряду с пред-
предвестниками Зоммерфельда и Бриллюэна, нового экситонного пред-
предвестника.
§ 1.3. Волновые пакеты в однородной диспергирующей среде;
дисперсионное расплывание
Рассмотрим особенности распространения спектрально-ограни-
спектрально-ограниченных световых импульсов в диспергирующей среде. Как отмечалось
выше, если роль дисперсии групповой скорости в среде существенна,
27
то параметры импульса изменяются в процессе распространения. Ес-
Естественно, что главные черты трансформации светового импульса в
диспергирующей среде описываются низшими приближениями теории
дисперсии; обычно ограничиваются вторым или третьим приближени-
приближением, для которых ниже приведено подробное обсуждение. Вместе с тем
анализ среднеквадратичной длительности импульса можно провести
аналитически безотносительно к порядку дисперсии среды и формы
начального импульса.
Второе приближение теории дисперсии; аналогия с дифракцией
световых пучков. В этом приближении распространение светового
импульса описывается параболическим уравнением A.1.14), имею-
имеющим решение A.1.15). Напомним, что уравнению A.1.14) соответству-
соответствует аппроксимация дисперсионных свойств среды характеристикой вида
А(со) = А:(со0) + -1(й)-со0) + 1й2(й)-сооJ. A.3.1)
Значение k^>0 соответствует нормальной дисперсии групповой ско-
скорости, a ki<S) — аномальной дисперсии.
Обсудим распространение спектрально-ограниченных импульсов.
Наглядные аналитические результаты получаются для гауссовских
импульсов A.1.25). Согласно A.1.15) комплексная амплитуда импульса
в среде
A(t, z) = V;1/*(z)Poexp[-t*/2Vl(z)Tl + i<p(t, г)], A.3.2)
где
V\ (г) = 1 + (z/LR)\ 1Д = Lf = т§/| kt
здесь и далее время т) в бегущей системе координат обозначаем через
t. Длину Ьл называют длиной дисперсионного расплывания волнового
пакета или дисперсионной длиной.
Длительность гауссовского импульса в диспергирующей среде
нарастает с расстоянием:
тц (г) = Vo №о = Ы + (кЖJ]1/3. A.3.3)
Вместе с тем, как отмечалось выше, в линейной среде ширина спектра
волнового пакета сохраняется. Уменьшение же вклада в спектр моду-
модуляции огибающей компенсируется появлением фазовой (частотной)
модуляции. Причем скорость изменения частоты a(z)=d(o/dt=
=д2ч>/дР в соответствии с B) равна
a(z) = zk?{z* + L\)-\ A.3.4)
Таким образом, в диспергирующей среде спектрально-ограниченный
импульс преобразуется в импульс с линейной частотной модуляцией;
знак ЧМ определяется знаком &2. Графики функций C) и D) показа-
показаны кривыми / на рис. 1.3.
Из C), D) видно, что изменение параметров гауссовского импульса
в среде зависит как от дисперсии групповой скорости k2, так и от пер-
28
воначальной длительности т0, которые совместно определяют диспер-
дисперсионную длину 1Я B). Зависимости LA от длины волны для воды и ряда
кристаллов, используемых в нелинейной оптике, изображены на
Рис. 1.3. Относительные длительность тц=тц(г)/т0 (а) и скорость изменения час-
частоты а=а(г)/а0 (б) светового импульса в зависимости от пройденного расстояния
£=г/1я в диспергирующей линейной среде: 1 — импульс без ФМ, ао=О, а=
= а(г)то; 2 — ФМ импульс, a0fe2<0, а0т|=2,0; 3 — ФМ импульс, а0&2>0, а0т1=
= 2,0
рис. 1.4. Если речь идет о распространении короткого импульса вблизи
резонанса (например, в газах), то значение k2 нетрудно найти, поль-
пользуясь известной формулой Зельмейера.
Выражение B) совпадает с формулой, описывающей дифракцию
плоской волны на щели. Поэтому поведение спектрально-ограничен-
спектрально-ограниченного импульса в диспергирующей среде аналогично дифракции дву-
двумерного светового пучка. Дисперсионная длина 1Д полностью анало-
аналогична дифракционной длине 1диф=й„а95 светового пучка (а0 — радиус
_
.V
1
0,5
1
.-—
t
0,8
Va
\
V
/4,
_
N
CH
20
П
hi
9 -
6
3
0
DM
1
HI
1
Г
\ \
\ \ AbAssX
J
В AjMKM
Wo-
1,320.
Рис. 1.4. Длина дисперсионного расплывания для воды (а) и кристаллов (б) в за-
зависимости от средней длины волны сверхкороткого импульса длительностью
то=О,1 пс [19]. Приведена также зависимость показателя преломления воды
пучка). Имеются, однако, и определенные различия между поведением
волновых пучков и пакетов. Помимо того, что в реальных ситуациях
имеют дело с трехмерными световыми пучками, дисперсионный пара-
параметр k2, являющийся аналогом^1, может быть отрицательным. В свя-
29
зи с этим в отличие от дифрагирующих пучков с положительной кри-
кривизной волнового фронта, световые импульсы могут при распростра-
распространении приобретать как положительную, так и отрицательную скорость
изменения частоты (см. D)).
По аналогии с дифракцией светового пучка при дисперсионном
расплывании светового импульса выделяют ближнюю зону (г<^£д)
и дальнюю (фраунгоферову) зону импульса B§s>La). В первом случае
длительность импульса хлжт0, а во втором тн пропорциональна дли-
длине z:
1,«(|А,|/то)г. A-3.5)
Из C) нетрудно найти начальную длительность т0, при которой на рас-
расстоянии L от входа в диспергирующую среду импульс имеет минималь.
яую длительность Tmin(L) = V2 topt, где тор1= (|А2|1)'/2=т0. Для более
коротких входных импульсов дисперсионное расплывание сказывается
сильнее.
В случае гауссовского импульса форма огибающей во втором при-
приближении теории дисперсии при распространении сохраняется; для
импульса любой другой формы — изменяется (§1.4). Поскольку в
лоследнем случае наглядное выражение для трансформации огибаю-
огибающей импульса получить не удается, обычно ограничиваются аналити-
аналитическим расчетом среднеквадратичной длительности тск A.1.19). Так,
например, для супергауссовского импульса A.1.30) без ФМ [53]
где тско дается A.1.32). При ш=\ выражение F) совпадает с C). Для
ггф>\ имеем
Тек o(z) = [т§ + (т/2) (k2z/x0yyi\ A.3.7)
Отсюда следует, что супергауссовский импульс в диспергирующей
среде может расплываться значительно сильнее, нежели гауссов-
ский. Дисперсионное расплывание импульса увеличивается с прибли-
приближением его начальной формы к прямоугольной.
Третье и высшие приближения теории дисперсии. В тех случаях,
когда дисперсионный параметр k2=Q или весьма мал, для учета дис-
дисперсионного расплывания необходимо исходить из более высокого
приближения теории дисперсии, т. е. принимать во внимание уже пара-
параметр ks A.1.13). В третьем приближении теории дисперсии распростра-
распространение импульса в соответствии с A.1.10) описывается уравнением
{в бегущей системе координат)
Решение этого уравнения
+ 00
A(t, 2)= J AMGAt-t» z)dtlt A.3.9)
— со
30
где
+ 0
exp
—(t—
— функция Грина. Амплитуда A (t, z) даже для начального гауссов-
ского импульса аналитически может быть найдена только приближен-
приближенно при Ul->oo методом перевала [111. Поэтому обратимся к результатам
численного расчета огибающей p(t), представленным на рис. 1.5,
кривые на котором построены для различных значений дисперсион-
дисперсионных параметров
U = k3z/2xl A.3.10)
Из рис. 1.5 следует, что кубичная дисперсия среды при £3>0 приводит
к модуляции хвоста импульса, фронт остается гладким; в случае
0,6
¥
0,2
I
Лл
-20-12 -4 ,
1,0V РШ а
0,8
0,6
0,4
0,2
-20 -12-4 О 4 12 20
5
-12-404 12 20 Щ
-20-12-4 0 4 12 20-15 015 45 75 -45 -15 0 15 45 75 Щ
где
Рис. 1.5. Трансформация огибающей гауссовского импульса (а) в диспергирую-
диспергирующей линейной среде при значении параметров £ и £3: б — £==6, £3=0; в — £=0,.
£3=3, г— £=6, £3=3; д — £=0, £3=15; е — £=15, £3=15 [20]. Огибающая
импульса р нормирована на максимальное значение
фронт и хвост меняются ролями. Импульс в среде становится
асимметричным, его «центр тяжести» смещается (?#0 см. A.1.20а)).
31
Интенсивность светового импульса в диспергирующей среде можно
выразить через функцию Н(х), имеющую смысл фурье-спектва ин-
интенсивности:
x. A.3.11)
В [20] показано, что для исходного гауссовского импульса
A.3.12)
Среднеквадратичная длительность A.1.19) дается через функцию
Н (х) выражением [201
Подставляя A2) в A3), получаем
Тск(г) = ^скоA + ^+ЙI/а, A.3.14а)
где тско = то/К2. Это выражение можно записать как
тСкB) = тск0[1 +{zlLtf + {zlLfyyiK A.3.146)
Дисперсионная длина
£?' = 2T2/|ft,|. A.3.15)
При Ljf->-oo результат A4) совпадает с C).
С точки зрения интегральных характеристик импульса можно
ввести обобщенную дисперсионную длину £д2>и выражение A4) за-
записать в виде
1/», A.3.16)
где
^ = [1 + (£з/2£2т0)*]-1/*1д. A.3.17)
Из A7) нетрудно определить относительный вклад квадратичной и
кубичной дисперсий в расплывание импульса. С уменьшением т0
роль дисперсии высшего порядка возрастает. Условием малости эф-
эффекта, связанного с квадратичной дисперсией, является 2|&2|т.о<<^1&з1-
При этом в дальней зоне (zr^LSf») длительность импульса обратно
пропорциональна квадрату его начальной длительности:
tc,«|*,|z/I^2tJ. A.3.18)
Следует также отметить, что зависимость тск от расстояния в третьем
приближении теории дисперсии A4) аналогична таковой во втором
приближении. Минимальная среднеквадратичная длительность им-
импульса на расстоянии L в случаеk2=0 равна TCKmin = (K 3/2)тскор4,
где оптимальная входная длительность тскор1=2~'/б (|^2jL)i/3
На основе уравнения A.1.10) можно проанализировать влияние
дисперсии среды на распространение импульса в сколь угодно высо-
32
ком приближении теории дисперсии. Естественно, что высшие при-
приближения несколько уточняют количественно картину дисперсионного
расплывания, сохраняя ее основные черты, выявленные во втором
и третьем приближениях. Общий случай безотносительно к порядку
приближения теории дисперсии и формы импульса рассмотрен в [31,
541. Авторы этих работ исходят из отличающегося от A.1.10) уравне-
уравнения; структурно в нем отсутствует последнее слагаемое в фигурных
скобках A.1.10). В [311 установлены инварианты распространения
импульса в диспергирующей среде. Таковыми являются «площадь»
импульса, его энергия, спектральная плотность и ширина спектра,
а также величины вида
ow + "s (со)е-'мМсо = const,
Л1т>@. г) = д*Аф, z)/dQm, tn, л = 0, 1, 2, ...
И [54] показано,"что независимо от порядка дисперсии среды и формы
импульса его среднеквадратичная длительность в среде изменяется
по параболическому закону.
§ 1.4. Фурье-оптика волновых пакетов
Детально разработанная фурье-оптика дифрагирующих световых
пучков базируется на простых и наглядных идеях, сформулирован-
сформулированных, по существу, еще в прошлом веке. Теория дифракции Фраунго-
фера основывается на интегральном соотношении, показывающем, что
угловой спектр поля, регистрируемый в дальнем поле или в фокальной
плоскости линзы, определяется преобразованием Фурье от распреде-
распределения комплексной амплитуды поля на входной апертуре. Многие
практические успехи фурье-оптики основаны на продемонстрирован-
продемонстрированных Аббе возможностях влиять на изображение, изменяя амплитуды
и фазы спектральных компонент в фокальной плоскости. Классиче-
Классические примеры этой техники — метод темного поля и метод фазового
контраста.
На аналогичных преобразованиях световых имяульсов, происхо-
происходящих в диспергирующих средах, основана фурье-оптика волновых
пакетов. Здесь особый интерес представляют новые методы преобразо-
преобразования коротких импульсов в искусственных диспергирующих средах.
Сильно диспергирующие системы, представляющие собой комбинации
дифракционных решеток и призм, позволяют развернуть частотный
фурье-спектр в пространстве и управлять амплитудами и фазами ком-
компонент частотного спектра — совершенно аналогично тому, как это
делал Аббе с фурье-компонентами углового спектра.
Мы начнем с рассмотрения распространения в диспергирующей
среде ФМ импульсов — задачи важной как методически, так и с точки
зрения приложений.
Распространение фазово-модулированных гауссовских импульсов;
аберрации. Пусть на входе диспергирующей среды импульс имеет
2 С. А, Ахманов и др. 33
вид
Ао (t) = р0 ехр [- V2(t0-2+ fa.) **]. A.4.1)
Проанализируем его эволюцию в рамках второго приближения теории
дисперсии. Тогда в соответствии с A.1.15) комплексная амплитуда
импульса в среде
A(t, z) = /-i/42)
где
/ (z) = I — a0k2z + ikaxo2z.
Огибающая и фаза импульса имеют вид
p(t, 2) = V-^B)Pbexp[-i-1T^]> A.4.3)
A.4.4)
где введена функция
I/2(z) = (l-a0A:22J+(z/LaJ. A.4.5)
Наличие начальной фазовой модуляции импульса (ао¥=О) может
привести к качественному изменению его поведения в диспергирующей
среде по сравнению с немодулированным импульсом.
Длительность импульса в среде
ти B) = V (г) т0 = то [A -«А*J + (г/£„J]1/2. A -4.6)
Если а0&2<0, то ФМ импульс расплывается быстрее, чем немодули-
рованный. В случае aoftaX) ФМ импульс сначала сжимается, а затем
расширяется (ср. кривые 2 и 3 на рис. 1.3а). Минимальная длитель-
длительность импульса
тт1„ = [И-(а0т2„J]-1/2т0 A.4.7)
достигается на расстоянии z=LK:
(Л/ /1 4 я\
Скорость изменения частоты
-tto A.4.9)
иллюстрируется графиками на рис. 1.36. В области максимального
сжатия импульса скорость частотной модуляции a(LK)=0, длитель-
длительность же Tmin определяется полной шириной спектра. Иначе говоря,
при оптимальном сжатии импульс становится спектрально-ограничен-
спектрально-ограниченным. Переход импульса через область оптимального сжатия сопровож-
сопровождается изменением знака а (г) (кривая 3 рис. 1.36).
Аберрации. Самым интересным эффектом, возникающим при рас-
распространении импульсов в диспергирующих средах, является, несом-
34
ненно, их сжатие — фокусировка во времени. Наиболее эффективно
сжатие происходит в условиях, когда импульс с квадратичной по вре-
времени ФМ распространяется в среде с квадратичной дисперсией. Эта
ситуация совершенно аналогична безаберрационной фокусировке
световых пучков линзой. Как известно, эту идеальную картину меша-
мешают осуществить различные аберрации. Точно так же обстоит дело и при
фокусировке во времени световых импульсов. Кубичная и более вы-
высокого порядка дисперсии среды, отличие ФМ входного импульса
от квадратичной приводят к временным аберрациям.
Начнем с анализа эффектов, возникающих в третьем приближении
теории дисперсии. В соответствии с A.3.8) и A) среднеквадратичная
длительность импульса (см. также [20J)
тск(г) = тск0[A-а0А;22J+B/1дJ + A + (а0^J)B/Ц3)J]1/^ A.4.10)
Из A0) видно, что в средах, обладающих только кубичной дисперсией
(&2=0, £д->-оо), ФМ импульсы всегда расплываются независимо от
знака а0. Это обстоятельство существенно отличает поведение ФМ
импульсов в средах с квадратичной дисперсией (/г^фО). При наличии
квадратичной и кубичной дисперсий длина LK, на которой происхо-
происходит сжатие ФМ импульса при <%<&£>£), определяется выражением
2
т — Е°12 г С14 1П
" [l+(axS)*]tl + Bft/ftT)«] д> ( '
Коэффициент компрессии импульса
Из A1) и A2) следует, что кубичная дисперсия среды приводит к умень-
уменьшению длины LK и коэффициента компрессии 5СК. С ростом k3 эффек-
эффективность компрессии ФМ импульсов падает.
Рассмотрим теперь эффекты, обусловленные неквадратичностью
исходной фазовой модуляции:
A.4.13)
Для такого импульса среднеквадратичная ширина спектра
]^ A.4.14)
не зависит от знаков а0 и f50.
Во втором приближении теории дисперсии длительность импульса
A3) изменяется согласно выражению
Тек (г) = тск 0 {A -aak2zy + [ 1 + фох1Г] (ziL#yi\ {1.4.15)
Отсюда видно, что квадратичный член в частотной модуляции приво-
приводит к уменьшению эффективной дисперсионной длины. Вследствие
этого минимальная длительность импульса достигается на длинах
К А A4Л6)
35
меньших по сравнению с длиной (8). Максимальный коэффициент сжа-
сжатия импульса
11/2
Кубичная добавка к фазе фа¥=0) ухудшает, таким образом, условия
компрессии. Следует также заметить, что в отсутствие линейной ЧМ
(ао=О) импульс расплывается (см. A5)).
Зависимость коэффициента компрессии SCK от длительности им-
импульса немонотонная: при длительности ropt = D/5I/6Р"^] '3 величина
SCK достигает максимального значения
В соответствии с A4), A7) имеем
. A.4.18)
Эта длительность больше, чем для спектрально-ограниченного импуль-
импульса фо=О). Следовательно, в плоскости его максимального сжатия
ФМ сохраняется.
На рис. 1.6 приведены осциллограммы, иллюстрирующие дефор-
деформацию огибающей коротких импульсов, распространяющихся вблизи
узких резонансов в атомных парах [221. В эксперименте использова-
использовались хорошо сформированные короткие импульсы, перестраиваемые
по частоте (рис. 1.6а). Видно, что при приближении частоты импульса
к резонансной роль дисперсии среды возрастает: при длительностях
то~1О~8 с отчетливо проявляются эффекты не только второго, но и
высших порядков. На рис. 1.66, б амплитуды наибольших пиков в
выходных импульсах соответственно в 1,3 и 1,5 раза больше, чем амп-
амплитуда входного импульса [221.
Компрессия ФМ световых импульсов и фокусировка световых пуч-
пучков. Из приведенного выше анализа следует возможность сжатия
(компрессии) ФМ импульсов в диспергирующей среде. Это обстоя-
обстоятельство находит важные практические приложения. Сейчас компрес-
компрессия ФМ импульсов стала одним из наиболее универсальных методов
получения фемтосекундных импульсов в видимом, УФ и ИК диапазо-
диапазонах. Поэтому мы более детально обсудим физику компрессии, уделяя
особое внимание аналогии и различиям этого процесса с пространствен-
пространственной фокусировкой световых пучков.
Основные идеи компрессии световых импульсов в оптике были за-
заимствованы из радиолокации [23, 24]. В первых экспериментах по
компрессии [25] сравнительно длинные импульсы излучения Не—Ne
лазера (то«О,5 не) модулировались по фазе с помощью электроопти-
электрооптического модулятора. ФМ импульсы сжимались диспергирующим уст-
устройством, в качестве которого использовался интерферометр Жира —
Турнуа [26J (см. также § 1.5); было достигнуто почти 2-кратное сжа-
сжатие. Поскольку возможности получения предельно коротких световых
импульсов в значительной мере определяются деталями системы комп-
компрессии, ниже мы проанализируем основные этапы компрессии на вре-
временном и спектральном языках.
36
Рассмотрим вновь гауссовский импульс A) с квадратичной Ф.№
полная фаза импульса Ф (/) = <о0^—aof/2, его мгновенная частота
<j>a—aJ. A.4.19
Наглядные качественные представления о физике компрессии такого
светового импульса можно дать на временном языке [27]. Искомые
результаты нами получены ранее (формулы B), G) и (8)). Чтобы дать
Рис. 1.6. Преобразование огибающей коротких световых импульсов, распрост-
распространяющихся в сильно диспергирующей среде [22]; для входных импульсов
(слева) масштаб 10 не на деление, для выходных (справа) — 5 не. Импульсы,
генерируемые перестраиваемым лазером, имели несущую частоту ш0, близкую
к частоте £1е резонанса линии 2Я1/2 в парах Rb. Фаза импучьсов модулировалась
по гармоническому закону с частотой FM=150 МГц и амплитудой фтах; макси-
максимальное изменение частоты фтах/7м=230 МГц: а— Д/= Дсо/2д= 18,9 ГГц
(Дш=£2г—ш0), импульс без ЧМ; б — Д/=7,8 ГГц; в — Д/=6,3 ГГц; г — Д/=
= 5,1 ГГц
их физическую интерпретацию, представим реальный ЧМ импульс
в виде последовательности импульсов с постоянной в их пределах,
но изменяющейся от импульса к импульсу частотой (это эквивалентно
замене линейной зависимости ш(^) A9) на ступенчатую). Легко видеть,
что если, например, ао>О, условием компрессии будет &2>0; в среде
с нормальной дисперсией групповой скорости низшие частоты ши,
располагающиеся на хвосте импульса, догоняют высокие частоты
сов, заполняющие его фронт.
37
Нетрудно найти и длину «фокусировки во времени» (длину комп-
компрессии LK). На этой длине время группового запаздывания крайних
частот импульса А/3«2т0, т. е.
A.4.20)
В данном случае Лсо^м«2а0т0, поскольку аото2>1. Следовательно,
LK=(a0^2)~1. Минимальная длительность сжатого импульса (см. A8))
тт1п»2/А(о$" = (аото)-1. На рис. 1.7 приведены графики, характери-
характеризующие связь вида частотной модуляции и дисперсии среды, обеспе-
обеспечивающей компрессию импульсов.
<о0
(I)
о
Рис. 1.7. Графики изменения мгновенной частоты o>(t) импульса и временной
задержки Д^3 в среде с нормальной (а) и аномальной (б) дисперсией для компрес-
компрессии световых импульсов
В дальнейшем для конкретных расчетов мы будем широко поль-
пользоваться спектральным описанием компрессии. Здесь анализ бази-
базируется на последовательном разложении импульсов в фурье-спектр
и комплексных коэффициентах передачи диспергирующих устройств.
Заметим, что проведенное выше рассмотрение основано в известном
смысле на «недоразложенном» спектре.
Фурье-преобразование комплексной амплитуды A) имеет вид
Л0(й=<
где фаза
cpo(Q) =
38
—соо) = (^I/2 Ро ехр |— 1
[1 + (аох1у]-К
A.4.22)
В диспергирующей среде фурье-спектр импульса
А(п, z) = K(Q, 2)Л„(Й), A.4.23)
где /((Q, 2) — частотная передаточная функция или просто коэффи-
коэффициент передачи. Пример коэффициента передачи для непоглощающей
среды, описываемой во втором приближении теории дисперсии, следу-
следует из A.1.15):
/C(Q, г) = е''ф«<й), <pK(Q) = — &2Q22/2. A.4.24)
Запись /((Q, z) в виде B4) соответствует бегущей системе координат.
При каких «спектральных» условиях диспергирующая среда бу-
будет действовать как компрессор? Другими словами, как надо сформу-
сформулировать требования, аналогичные B0), на спектральном языке?
Для рассматриваемой нами модели гауссовского ФМ импульса A)
ответ очевиден. Прошедший через диспергирующую среду ФМ им-
импульс будет иметь максимальную амплитуду и, следовательно, мини-
минимальную длительность при условии, что все его спектральные компо-
компоненты точно сфазированы *):
0. A.4.25)
Нетрудно убедиться, что из этого соотношения следует формула (8)
для длины компрессии LK. Выполняя обратное фурье-преобразование,
из B3) при учете B5) для минимальной длительности импульса ттш
получаем выражение G).
Для оптимальных условий сжатия коэффициент компрессии
S = VVm = Ao)*7Ao)o = [ 1 + (a0Tj)«] i/ *, A.4.26)
т. е. импульс может быть сжат во столько раз, во сколько раз его
спектр расширен за счет частотной модуляции. Естественно, что мак-
максимальная мощность импульсов при компрессии увеличивается в
S раз.
Компрессия ЧМ импульсов имеет много общих черт с фокусировкой
световых пучков. На рис. 1.8а, б показаны форма пучка и волнового
фронта в различных сечениях среды. Форма огибающей и вид ЧМ на
характерных этапах сжатия импульса изображены на рис. 1.86—г. Из
сравнения обоих процессов следует, что о компрессии импульса можно
говорить как о фокусировке во времени, причем роль «временной
линзы» выполняет частотный модулятор. Область оптимального сжа-
сжатия импульса эквивалентна области перетяжки пучка; при переходе
через область оптимального сжатия знак ЧМ меняется на обратный
(рис. 1.36, кривая 3) по аналогии с изменением кривизны фазового
фронта пучка при прохождении через область перетяжки. Обратим
внимание на то, что при фокусировке интенсивность пучка в перетяжке
возрастает как квадрат отношения радиусов пучков, мощность же им-
импульсов при компрессии растет как отношение их длительностей в пер-
*) В общем случае условие фазировки B5) гарантирует получение только
максимальной амплитуды, поскольку понятие длительности для импульсов
сложной формы неоднозначно.
39
вой степени. В этом проявляется различие размерности пучков от раз-
размерности импульсов.
Фокусным расстоянием «временной линзы» является параметр
-K A.4.27)
Эта величина получается в приближении «геометрической оптики»
из (8) при условии аот^>1, которое соответствует импульсам с силь-
сильной девиацией частоты — аналог сильно расходящихся световых пуч-
пучков. Импульсы с частотной модуляцией могут генерироваться самими
\
Рис. 1.8. Управление фазой световых волн в пространстве (а, б) и во времени
(б — г). Фокусировка пучка линзой: а и б (для г) — ход лучей и форма пучка
перед линзой (У), непосредственно после линзы B), в области перетяжки C),
в фокальной плоскости / линзы D); штриховые линии — волновой фронт. Ком-
Компрессия ЧМ импульса в среде с нормальной дисперсией: б (для t) я в — форма
импульса и вид колебаний перед частотным модулятором (/), на входе компрес-
компрессора B), в области оптимального сжатия C) и в «фокальной» плоскости D);
г — фаза ф@ (штриховые) и частота o>(t) (сплошные) в тех же сечениях среды
лазерами, либо могут быть получены при помощи внешней модуляции.
В последнем случае для импульсов наносекундной длительности
обычно используется электрооптическая модуляция, для создания же
ЧМ пико- и фемтосекундных импульсов широкое применение находит
явление фазовой самомодуляции (§ 2.2).
Авторы [281 получили почти 5-кратное сжатие в одномодовом опти-
оптическом волокне ЧМ импульса, генерируемого лазерным диодом с рас-
распределенной обратной связью при модуляции тока накачки. Импульс
с начальной длительностью 1,7 не на длине волны 1.54 мкм сжимался
40
до 0,35 не после прохождения 104 км (рис. 1.9). Недавно [811 получены
импульсы длительностью 8 пс (Л,=514,5 нм) при помощи электроопти-
электрооптической модуляции непрерывного излучения аргонового лазера в
Рис. 1.9. Сжатие ФМ импуль»
сов в линейном волоконном
световоде. Представлены экс-
экспериментальные данные зави-
зависимости длительности импуль-
импульса от расстояния [28]
1,5
1,0
0,5
*»»
О
-
ис
О
о
о
О
о
о
О
л
0 о
I I
50
100г,км
микроволновом резонаторе, возбуждаемом импульсным излучением с
частотой 9,4 ГГц, и последующего сжатия ФМ излучения дифракцион-
дифракционной решеткой.
Компрессия супергауссовских световых импульсов. Рассмотрим
особенности компрессии импульсов с формой отличной от гауссовской.
Для наглядности обратимся к супергауссовскому импульсу с ФМ
A.1.30). Во втором приближении теории дисперсии среднеквадратич-
среднеквадратичная длительность такого импульса [531
tCk(z) = [1-Mz/^) + Mz/W/2W A-4.28)
где
. -ГA/2т) f_/1,-2ч
Для определенности в B8) принято &2>0. Если а>0, то на расстоя-
Г C/2/л)
НИИ
, ГA+1/2т) Ъ. .
Нт тГB-1/2тI+а2 я
A.4.29)
среднеквадратичная длительность достигает, минимального значения
[ I _ ЗГ2A+1/2/гг)
1ск mm
Тек о
1+сГ 2/пГA+3/2т)ГB— l/2/n)
Из C0) следует, что чем ближе форма начального импульса к прямо-
прямоугольному (чем больше т), тем больше минимальная длительность
TCKmin. Другими словами, для супергауссовских импульсов коэффи-
коэффициент компрессии оказывается меньше, нежели для гауссовского.
С ростом т уменьшается и длина компрессии.
Преобразование ЧМ импульсов произвольной формы; спектрон;
обращение формы импульса. Проанализируем распространение ФМ
импульсов в диспергирующих средах, не.задаваясь конкретной перво-
первоначальной формой огибающей. Такое рассмотрение позволит устано-
установить еще ряд интересных и полезных свойств деформации световых
импульсов, которые могут найти применение в лазерной физике и оп-
оптической связи.
41
Наличие во втором приближении теории дисперсии точного реше-
решения для огибающей гауссовского импульса позволяет довольно просто
рассчитать огибающую в диспергирующей среде для импульса произ-
произвольной формы. При этом по аналогии с методом, используемым в тео-
теории волновых пучков, световой импульс разлагается по гауссовским
волновым пакетам [55].
Эволюция импульса в среде во втором приближении теории диспер-
дисперсии описывается выражением A.1.15). Пусть рассматриваемый им-
импульс произвольной формы ро @ имеет линейную ЧМ:
Ло(О=Ро(*)ехр(—iaotV2). A.4.31)
Разложим его огибающую по полиномам Эрмита Нт(х), образующих
полную систему ортогональных функций:
Р.@= 2Р«Д.('/*.)е-"/и*. A-4.32)
т = 0
где
^ +00
pe=n-i/*2-«»(/ra!)-1 J po(Tox)Hm(x)e-**/*dx.
— СО
Подставляя C2) в A.1.15), получаем
А (л, г)=
хехр/-
»[<Р(т|, г)—ту(г)]\, A.4.33)
где ф(т1, г), V(z) и тн(г) определяются соответственно D), E) и F),
Из C3) видно, что поведение всех «мод» импульса одинаково: одни и
те же параметры характеризуют длительность «мод» и их фазу. Этот
результат для импульсов следовало, естественно, ожидать по аналогии
с результатом для пучков [561.
Использование разложения C3) обладает определенными удоб-
удобствами при расчете трансформации огибающей и изменения фазы им-
импульса, поскольку обычно формы лазерных импульсов близки
к гауссовским. Для точной аппроксимации экспериментальных дан-
данных в C3) достаточно оставить 20—30 слагаемых [55]. Согласно C3)
распространяющимся в диспергирующей среде импульсам присущи
следующие свойства. Импульсы, огибающая которых описывается
четной или нечетной функцией po(t), в процессе распространения со-
сохраняет свою симметрию. Импульс с произвольной формой р0 (/) на
начальном этапе распространения становится симметричным, затем
уширяется. В симметризации импульса произвольной формы в даль-
дальней зоне можно убедиться без использования его разложения на
«моды»; при этом удается выявить еще ряд дополнительных свойств
трансформации импульса в диспергирующей среде.
42
Спектром, форма импульса в дальней зоне. Подставим C1) в A.1.15)
A(t, z)e
Будем интерпретировать наличие ЧМ у импульса как результат про
хождения через ЧМ устройство («временную» линзу). На фокусном
расстоянии «временной линзы», т. е. для z=F={a0k2)~1 при «&>0
A.4.35)
A (t, F) = (i2nk2F)' Ч*рв {a
Po(«oO=
— GO
Из полученного результата можно сделать следующие выводы об
импульсе в «фокальной» плоскости «временной линзы». Форма импуль-
импульса в точности повторяет форму фурье-спектра первоначального импуль-
импульса [23, 291; такие импульсы получили название спектронов [30, 31L
Огибающая импульса р (t, F) симметрична независимо от начальной
формы po(t) (рис. 1.10), за исключением асимметричного, описываемо-
Рис. 1.10. Преобразование
огибающей светового им-
импульса в диспергирующей
линейной среде: а — пер-
первоначальный импульс; б—
спектрон (импульс в фо-
фокальной плоскости «времен-
«временной» линзы); в — обращен-
обращенный во времени импульс
(импульс в оптически соп-
сопряженной плоскости «вре-
«временной» линзы). Огибающая
импульса р нормирована
на максимальное входное
значение
2 t/ee
го нечетной функцией ро(/). Преобразованный симметричный или асим-
асимметричный импульс обладает линейной ЧМ, имеющей ту же скорость,
что и входная ЧМ, но с противоположным знаком. Можно показать,
пользуясь A.1.19) и A.1.21), что среднеквадратичная длительность
преобразованного импульса тск=А«вск/а0, где Дсоск — среднеквадра-
среднеквадратичная ширина спектра. Поэтому, если аот?к>1, импульс будет уже
исходного, а при ао"г|к<1 — шире. Перечисленные свойства импульса
аналогичны свойствам светового пучка в фокальной плоскости линзы
[7]. В отсутствие ЧМ (ао==О) указанными характеристиками в диспер-
диспергирующей среде импульс обладает в дальней зоне (z^>La). При этом
в C4) в экспоненте можно пренебречь tl/2k2z, и выражение C4) при-
принимает вид, подобный C5). Sh-o свойство.также является полным ана-
аналогом свойств волновых пучков.
43
Обращение формы импульса. «Временные линзы» (частотные моду-
модуляторы) могут быть положены в основу схем преобразования световых
импульсов по аналогии со схемами формирования световых пучков
и изображений [7, 32].
Рассмотрим в качестве примера преобразование светового импульса
системой диспергирующая среда — частотный модулятор — диспер-
диспергирующая среда [31]. Комплексная амплитуда после модулятора
A(t, г2)-
где гх и 22 — расстояния, пройденные импульсом до и после модулято-
модулятора. Если выполнено условие
1/г1+1/г2=1//7, A.4.37)
эквивалентное формуле линзы в геометрооптическом приближении, то
из C6) получаем
A(t, z2)^—i(zl/z2y2pol—(z1/z2)thxp[iao(z1/zi)t2]. A.4.38)
Отсюда следует, что форма импульса сохраняется [31], но она обраще-
обращена во времени по отношению к исходной [33] (см. знак в аргументе р0).
Амплитуда импульса изменяется в (Zi/z2I12 раз, а длительность — в
Zg/Zi раз. В зависимости от величины z2/Zi импульс будет либо сжат
(z2/zx<ll), либо растянут (z2/zx>l). Импульс обладает частотной моду-
модуляцией со знаком, противоположным знаку ЧМ, задаваемым модуля-
модулятором.
Пример обращенной во времени огибающей светового импульса
изображен на рис. l.lOe.
В настоящем параграфе мы ограничились рассмотрением деформа-
деформации импульса с действительной амплитудой, выводы же анализа в
большинстве случаев остаются справедливыми и для комплексной амп-
амплитуды, т. е. при замене, например, в C8)
Pol—Bi/z.)fb-po[—(г1/г,)Яехр{1ф0[—(г1/г1)Й>. A.4.39)
Здесь, разумеется, появляются дополнительные результаты, связан-
связанные с фазой (fo(t). Если фо(О — нечетная функция, то при обращении
огибающей импульса обращенной во времени оказывается и его фаза.
Очевидно, что если исходный импульс до прохождения частотного мо-
модулятора имеет фазовую модуляцию (<to(t)=—at2/2), то при условии
a/ao=z2/zi в преобразованном импульсе ФМ отсутствует.
Преобразование световых импульсов в обращенные во времени
дает возможность реализовать операцию свертки в оптике. Измере-
Измерение последней может быть использовано, например, для восстановле-
восстановления вида огибающей [33]. Растяжение импульсов без изменения его
формы можно применить, очевидно, для преобразования сверхко-
сверхкоротких импульсов из одного диапазона длительностей в другой, в
котором измерение формы огибающей не представляет трудностей.
44
a-A J, xi
t|WW
нм eh
Рис. 1.11. Принципиальная
схема управления формой оги-
огибающей короткого импульса
[38]: / и 2 — диспергирующие
элементы, Лг и Лг — линзы с
фокусным расстоянием f
Управление формой огибающей методами фурье-оптики. Поиски
и разработки оптических систем, оптимальным образом осуществляю-
осуществляющих дисперсионное сжатие ЧМ импульсов, или на спектральном языке
операцию фазировки спектральных компонент, привели одновременно
к созданию эффективных систем, которые позволяют управлять амп-
амплитудами и фазами различных спектральных компонент импульса,
т. е. управлять комплексной огибающей импульса.
Применяемые с этой целью оптические системы можно разделить на
два типа. В одних воздействие на спектральные компоненты импульса
происходит без разделения их в пространстве. Примеры таких
устройств, базирующихся, по существу, на аналогии между дисперси-
дисперсионным расплыванием волновых пакетов и дифракцией волновых пуч-
пучков, рассмотрены в этом и следующем па-
параграфах. В другом типе систем, принци-
принципиально отличающихся от первого, спек-
спектральные компоненты импульса сначала
разделяются в пространстве, что дает
возможность независимо изменять их
амплитуды и фазы (см. также § 4.6).
Трансформированный таким образом сиг-
сигнал подвергается обратному преобразова-
преобразованию. Иначе говоря, устройства второго
типа состоят из двух сопряженных спект-
спектральных приборов, один из которых ре-
реализует фурье-анализ импульса, а другой — фурье-синтез (рис. 1.11).
Опишем аналитически работу оптической системы, изображенной
на рис. 1.11, относящейся к устройствам второго типа и состоящей из
диспергирующих элементов 1 и 2 (например, призмы, дифракционные
решетки и т. п.), которые расположены в фокальных плоскостях линз
Лг и Л^ с фокусным расстоянием f. Пусть на диспергирующий элемент
/, осуществляющий разложение частотного спектра по углу,
падает плоский волновой пакет*) с комплексной амплитудой A0(t)t
ее фурье-спектр — A0(Q). Передаточная функция элемента/ для плос-
плоской волны с частотой й=со—соо
K(Q, x)=exp(—ikoqxQ), A.4.40)
где х— поперечная координата в плоскости элемента 1, ka — волно-
волновое число, соответствующее несущей частоте со0, q — дисперсионный
параметр (для дифракционной решетки значение q дается выражением
A.5.176)).
На выходе диспергирующего элемента 1 для фурье-спектра импуль-
импульса имеем
Л^Й, *) = Р!(*)ехр(— 1*0<7*Й)Л,(Й), A.4.41)
где р! (х) учитывает конечные размеры апертуры элемента / (для про-
простоты рассматриваем двумерный случай). В задней фокальной плоско-
*) Дифракция на решетке пространственно ограниченного волнового па-
пакета рассмотрена в § 1.5.
45
сти (фурье-плоскости) линзы Лх реализуется фурье-преобразование,
в результате из D1) получаем
4i(Q, х) = р1(н— koqQ)Ao(Q), A.4.42)
где Pi{y) —фурье-образ pi{x). Волновое число х связано с координа-
координатой х в фурье-плоскости соотношением y,=koxlf. Функция pi{kuqQ)
имеет смысл аппаратной функции, ее ширина Дсож (k^a)-1, где а —
размер апертуры рг{х).
Для исходных импульсов длительностью т0<^Т=Дсо~1 временная
зависимость амплитуды поля в фурье-плоскости имеет вид
At(t, %) ж (ktqy^biK/ktf)Pl(t/koq)exp(iKt/koq). A.4.43)
Отсюда следует, что излучение в точках фокальной плоскости имеет
одинаковую длительность Т, но зависящую от координаты точки ча-
частоту со=со0+х/&о<7- Длительность Т может на несколько порядков
превышать значение т0. Это уширение импульсов при спектральном
разложении можно использовать для получения интерференции непе-
неперекрывающихся во времени коротких импульсов, что позволяет заре-
зарегистрировать относительное распределение фаз по спектру излучений,
т. е. записать голограмму (см., например, [38]).
Если в фурье-плоскости расположен транспарант с коэффициентом
передачи Кт(к)' то на выходе диспергирующего элемента 2 с апертурой
рг{х) для отфильтрованного излучения имеем
Л,@, х) = Л.
Учитывая коэффициент передачи элемента 2, найдем фурье-спектр
поля на его выходе: A (Q, x)=K(&, x)A2(Q, x). Переходя в этом соот-
соотношении от частоты Й ко времени и интегрируя по х, получим времен-
временную зависимость амплитуды излучения на выходе системы,
A (t) = J Ао (т) G (t—т) dx, A,4.45)
— УЗ
где
G(t)^(koq)-lKT(t/koq) $ p2(x)Pl(—x+t/k0q)dx A.4.46)-
а> СО
— функция Грина всей системы. Здесь Кт{х)—фурье-образ Кт{%).
Согласно D5) управлять временным откликом оптической системы
можно при помощи изменения ее пространственного отклика Кт(х)-
Основная же роль апертурных функций pi{x) и р2(х) сводится к огра-
ограничению времени Т отклика системы. Для времени t<^jT функция
G(t)~KT(t/kaq). A.4.47)
Конкретные примеры использования изложенных в настоящем разделе
идей по управлению формой огибающей коротких световых импульсов
будут приведены в гл. 4 и 6.
46
§ 1.5. Прохождение сверхкоротких световых импульсов
через оптические устройства
Рассмотрим волновую картину прохождения сверхкоротких свето-
световых импульсов через типовые оптические элементы (зеркала, дифрак-
дифракционные решетки, интерферометры и т. п.). широко используемые в ге-
генераторах и формирователях лазерных импульсов пико- и фемтосе-
кундной длительности. Для описания прохождения коротких импуль-
импульсов через диспергирующие оптические устройства удобно использо-
использовать спектральное представление A.4.23).
Фильтрация ЧМ оптических импульсов. При спектральном описа-
описании фурье-компоненты импульса на выходе и входе диспергирующего
оптического устройства связаны соотношением
A(Q = <o—<at) = K(Q)Aa(Q). A.5.1)
Коэффициент передачи устройства /((&) представляет собой в общем
случае комплексную функцию
A.5.2)
Здесь возможны две крайние ситуации: наиболее важную роль может
играть изменение либо фазы ф(й), либо модуля коэффициента передачи
\K(Q)l
В первом случае К (й) =К (со0)е'ф(й) и, считая cp(Q) медленно ме-
меняющейся функцией, дисперсионные свойства удобно описывать в виде
(p(Q = (D—(о0) = ф0 + ф;0-|-72ФоЙ2+... A.5.3)
Значения ф0 и производных ф0 и фо берутся при со=а)о. При этом нет
необходимости в отдельных расчетах трансформации импульса оптиче-
оптическим устройством с рассматриваемой дисперсией. Соответствующие
выражения можно получить из результатов §1.3 и 1.4, учитывая
/С (соо) и производя замену группового запаздывания z/u на —Фо и
дисперсионного параметра k2z на —фо. Это вполне понятно, поскольку
набег фазы в среде ф (со) =—k (co)z. Используя разложение k (со) в ряд
по Q = co—соо A.3.1) и сравнивая с C), получаем указанную эквивалент-
эквивалентность. Сказанное позволяет воспользоваться, например, выражением
A.4.2). Такое приближение адекватно описывает, например, задачи
об отражении сверхкоротких световых импульсов от многослойных
интерференционных зеркал и полное внутреннее отражение.
В случае когда существенна зависимость |/((<о)|, изменяется
спектр сверхкороткого импульса. Такие системы являются оп-
оптическими фильтрами. Обсудим трансформацию ЧМ короткого импуль-
импульса A.4.1) фильтром с гауссовским коэффициентом передачи [57]
= (о—соо) = ехр(— Q2/2Ac4), A.5.4)
где Асоф — полоса пропускания фильтра. В отсутствие у импульса
ЧМ его амплитуда на выходе фильтра
А @ - [ 1 + (V4,)-2]" 1/2Ро ехр (- tV2xl), A.5.5а)
47
причем длительность импульса
ти = (т02 + Асйф2)^. A.5.56)
Отсюда следует очевидный результат — широкополосные фильтры
(Асйф^То1) не изменяют длительность импульса. В противном случае
происходит его уширение.
Для ЧМ импульса A.4.1) имеем
A (t) = [ 1 + (г, Дсоф)4- fa. Асоф2]-»/2Ро ехр [— % (тн-» + ia)t%
A.5.6а)
где
а = а0 Асоф [а2 + (т;2 + А©!J]. A.5.6в)
Возможны следующие предельные случаи [57]:
1) оц^Асо!, т0, тогда тидаДсоф\ а«0;
2) А(оф^>а^>т"о, тогда х^Аа^1, а«а0;
3) Д<о|^>ао и т^2^>а0, тогда ти«т0 при До)ф$>>тг£ и t^Acoj1 при
ф^
Случаи 1) и 2) относятся к сильной ЧМ, а случай 3) — к слабой
ЧМ, его результаты совпадают с E6). Таким образом, фильтрация
ЧМ сверхкороткого импульса может существенно менять его парамет-
параметры. Возможно практически полное подавление частотной модуляции
импульса (случай 1)).
В рассмотренном примере центральные частоты пропускания фильт-
фильтра и спектра импульса совпадают. Другие примеры оптической фильт-
фильтрации в технике формирования сверхкоротких импульсов обсуждаются
в гл. 4.
Преломление импульсов на границе диспергирующих сред; попе-
поперечное групповое запаздывание. В силу различия фазовой и групповой
скоростей в диспергирующих средах при преломлении импульса на
границе таких сред плоскости равных фаз и равных амплитуд не сов-
совпадают — появляется поперечное групповое запаздывание [58] и
преломленная волна становится неоднородной. Этот эффект для сверх-
сверхкоротких импульсов становится существенным, поскольку время
запаздывания амплитудного фронта относительно волнового (фазового)
может быть сравнимо с длительностью импульса.
Для более подробного анализа обсуждаемого эффекта рассмотрим
падение импульса с плоским волновым фронтом из недиспергирующей
среды на диспергирующую (рис. 1.12а). В преломленном импульсе
волновой фронт остается плоским, время фазового запаздывания на
длинах ЛС=/х и BD=U одинаково: lx\c=ljvu=nuljc, где по=п (ю0) —
показатель преломления диспергирующей среды на несущей частоте.
Однако в расположенные на волновом фронте точки С и D вершины
импульсов приходят неодновременно; групповая задержка между
ними,
д^=/2/ы_;1/с= (l/u—l/vo)l2, A.5.7)
48
является, таким образом, функцией поперечной координаты хх (см.
рис. 1.12).
Распространение преломленного импульса в системе координат
xz (рис. 1.12) в первом приближении теории дисперсии описывается
выражением
E(t, х, z)=A (t—2cos9/u+xsin9/y0)exp{f[oH^—k0(zcosQ—xsin9)]},
A.5.8a)
где 9—угол преломления импульса, ku—v>Jvu. Соотношение (8а) не-
нетрудно получить, например, из условия непрерывности тангенциаль-
тангенциальной составляющей вектора Е на границе раздела сред. Более наглядна,
Рис. 1.12. Преломление ко-
короткого импульса на гра-
границе диспергирующей сре-
среды: а — падение из недис-
пергирующей среды на сре-
среду с нормальной диспер-
дисперсией; б — падение из дис-
диспергирующей среды на не-
диспергирующую. Штрихо-
Штриховые линии — волновые
фронты, сплошные — ли-
линии равных амплитуд ' *
однако, запись (8а) в системе координат ххги в которой направление
оси Ozi совпадает с направлением распространения волнового фронта
импульса:
E(t, Xi, z^)=A(t—Zt/u+Xtil/u—l/vu) sin9) exp{t'[coo/—когг]}. A.5.86)
Последнее слагаемое в аргументе амплитуды определяет групповую
задержку (ср. с G)), которая является функцией поперечной координа-
координаты Х\.
Согласно (86) угол между волновым и амплитудным фронтами
ip=arctg[(u/t»o— I)sin9], A.5.9a)
поперечное групповое запаздывание для пучка шириной а0
Лго=аоA/ы— l/uo)sin9. A.5.96)
При ао=1 мм, расстройке A /и—1/ио)«1О~12 с/см запаздывание Дгол*
В случае падения импульса из диспергирующей среды на недиспер-
гирующую (рис. 1.126) преломленный импульс имеет вид
E{t, x2, z2)~A(t—z2lc—x2(l/u—l/tH)sin9)exp{t[(o0/—k0z2]}, A.5.10)
где ось Oz2 совпадает с направлением распространения импульса.
В A0) групповое запаздывание по сравнению с (86) имеет противопо-
противоположный знак.
Из приведенных результатов следует очевидный, но важный вы-
вывод. Если сверхкороткий импульс проходит через диспергирующую
среду с плоскопараллельными входной и выходной поверхностями
49
(плоскопараллельная пластина, лазерная среда с брюстеровскими уг-
углами), то на выходе такой среды поперечное групповое запаздывание
в импульсе отсутствует. Аналогичная ситуация может иметь место,
когда при прохождении импульса через какое-либо оптическое устрой-
устройство, например систему призм, пути, пройденные различными лучами
пучка через диспергирующие среды, оказываются одинаковыми.
В противоположных случаях короткому световому импульсу присуще
поперечное групповое запаздывание.
Полное внутреннее отражение сверхкоротких импульсов. При от-
отражении волны от оптически менее плотной среды существует, как из-
известно, критическое значение угла падения YkP = arcsin(n2/rti),
при превышении которого падающая волна полностью отражается
обратно в первую среду (п^Пц). В отраженной волне при этом появ-
появляется лишь фазовый сдвиг, зависящий от показателей преломления
сред Aii и п2 и угла падения. В случае полного внутреннего отражения
сверхкороткого импульса видимого диапазона фазовый сдвиг сильно
зависит от частоты, что приводит к изменению формы импульса.
Коэффициент отражения вычисляется обычным способом [59].
В используемом нами комплексном представлении поля в форме
A.1.3) коэффициент полного внутреннего отражения
l(f>, ©>0, ,.,...
-<*, со<О, A'5Л1)
где фаза
<p=2arctg[tg2 у— (rta/n^sec2?!1/2. A.5.12)
Выражение A1) относится к случаю, когда поляризация волны перпен-
перпендикулярна плоскости падения. Если речь идет о полном внутреннем
отражении относительно длинных импульсов (ширина спектра
Д©<@0, то для нахождения комплексной амплитуды отраженного
импульса можно воспользоваться стандартным разложением диэлект-
диэлектрической проницаемости (n2/niJ=e в фазе A2):
е(со) =е(со0)+е' (со0) (со—со0)+%е" (й0) (w—(оо)а+...
Последнее приводит к зависимости фазы ср от частоты вида C). Откуда
на основе результатов § 1.3 и 1.4 сразу же становится ясным, что при
полном внутреннем отражении сверхкороткий импульс в общем слу-
случае может испытывать как групповое запаздывание, так и искажение
огибающей, Особенно сильно огибающая импульса будет изменяться
вблизи угла полного внутреннего отражения.
Новый эффект, не связанный с дисперсией, возникает при полном
внутреннем отражении оптического импульса, когда его длительность
достигает длительности одного периода, т. е. когда Асо «со0. В этом
случае возникают заметные искажения формы импульса даже в от-
отсутствии дисперсии. Такая ситуация была реализована при отраже-
отражении ИК импульса длительностью в один период [47].
Рассмотрим в качестве примера полное внутреннее отражение
импульса со спектром
£(©) = Ссв2ехр(— т2со2/2), A.5.13)
50
где С — константа. Импульсы с таким спектром генерируются при
черенковском излучении (§3.5). Принимая во внимание A1), для
отраженного импульса получаем
Е (t) =
0-3 [1 — (//т0J] ехр (— *2/2т02) х
x[cos ф—erfi (tlVxt) sin ср]—2Сто~4/ sinq>, A.5.14)
где
Для исходного и отраженного импульсов при угле падения у в точ-
точности равного критическому укр в A4) надо полагать значение фазы
Ф=0. При ф#0 форма отраженного импульса претерпевает изменения.
Значение <р увеличивается с ростом у (у>7кр). увеличивая тем самым
и фазовый скачок коэффициента отражения вблизи нулевой частоты,
который, в свою очередь,
приводит к усилению иска-
искажения отраженного им-
импульса.
Связанное с рассмот-
рассмотренным эффектом искаже-
искажение сверхкороткого им-
импульса наблюдалось в [47]
для импульса дальнего ИК
диапазона с длительнос-
длительностью, близкой к периоду
несущей частоты. Такой
импульс возбуждался за
счет черен ковского излуче-
излучения видимого сверхкорот-
сверхкороткого импульса в кристалле
танталата лития. Краткое
описание эксперимента по
О
/
Рис. 1.13. Форма импульсов при полном
(сплошная линия) и частичном (штриховая)
внутреннем отражении [47]. Значения поля
даны в произвольных единицах
черенковской генерации
импульса и методики изме-
измерения его длительности
изложены в §3.5. Угол падения черенковского излучения на гра-
границу раздела сред составлял 21°. Значение же угла укр для LiTaO3
в случае, когда вторая среда является воздухом, равно 8,7°. Авторы
[471 наблюдали различие формы импульсов при изменении условий
отражения (рис. 1.13). Для доказательства того, что искажения им-
импульса не связаны с дисперсией и поглощением в кристалле LiTaOs
были выполнены эксперименты при отражении от границы раздела
с кремнием (т>кр=31°), при этом формы падающего и отраженного им-
импульсов были одинаковыми.
Отражение сверхкороткого импульса от зеркала. Отражение сверх-
сверхкоротких лазерных импульсов от многослойных зеркал — еще один
из примеров новых задач, ставших актуальными в связи с созданием
51
пико- и фемтосекундных лазеров. Различные аспекты этой проблемы
изучены в [42—46, 60—63]. Причем в [46, 63] развита методика расчета,
позволяющая проследить за временной эволюцией коэффициентов
отражения и пропускания многослойного интерференционного зерка-
зеркала. В других указанных работах анализ отражательных свойств зер-
зеркал базируется на спектральном подходе; резюмируем результаты этих
работ.
Коэффициентом передачи зеркала является его амплитудный ко-
коэффициент отражения
/С (со) = /- (со) == 1 г (со) j eI(p №>. A.5.15)
Разумеется, возможно изменение с частотой со как коэффициента отра-
отражения зеркала по интенсивности |г(со)|2, так и фазы ф(со). При отра-
отражении коротких импульсов от многослойных зеркал зависимость <р
от со играет принципиальную роль. Для выяснения особенностей отра-
отражательных свойств таких зеркал можно воспользоваться результатами
§ 1.3 и 1.4. Напомним, что из разложения фазы ср(со) C) и последую-
последующего анализа обнаруживается аналогия в картинах отражения сверх-
сверхкороткого импульса и распространения импульса в диспергирующей
среде. Другими словами, при отражении короткого импульса от много-
многослойного зеркала возможно его линейное преобразование, подобное
тому, которое он испытывает при распространении в диспергирующей
однородной среде: групповое запаздывание, появление фазовой моду-
модуляции, изменение огибающей и т. п. В частности, при отражении от
многослойного зеркала ФМ гауссовского импульса во втором прибли-
приближении теории дисперсии справедливо выражение A.4.2) (см. также
[44]).
Детальное теоретическое изучение дисперсионных свойств много-
многослойных зеркал во втором приближении теории дисперсии выполнено
в [42—45, 60, 61]. В этих работах рассчитаны величины |г(со)|, ср(со)
и ср"(со) для различного числа слоев, различного отношения низкого
(пи) и высокого (пв) показателей преломления; определены зависимо-
зависимости ф (со) и ф" (со) от отклонения толщины слоя от XJ4 и отстройки
частоты со от частоты сом = 2пс/км, Заметим, что дисперсия вещества
не учитывалась, поэтому изменения фазы ф(со) и ф"(со) обусловлены
зависимостью от частоты результата интерференции многократных от-
отражений внутри структуры зеркала («дисперсия» интерференции).
В [43] представлены расчеты группового запаздывания отражен-
отраженных импульсов и их среднеквадратичной длительности как функции
отношения со/сом. На рис. 1.14 изображены зависимости i?(co) = |r(co)|2
и ф"(ш) от частоты со для многослойного зеркала (ВН)"В (В(Н) —
слой с высоким (низким) показателем преломления). Авторы [44] об-
обнаружили быстрый рост ф" с увеличением числа слоев и отношения
показателей преломления пв/пи. На рис. 1.15 представлена зависи-
зависимость измеренной длительности импульса лазера на органическом
красителе от общей дисперсии зеркал резонатора. Данные этого ри-
рисунка демонстрируют важность дисперсионных свойств зеркал при
генерации сверхкоротких импульсов. Кроме того, видно, что значения
52
<р", превышающие 2-10~2S с2, препятствуют получению лазерных им-
импульсов короче 50 фс.
Расчеты временной зависимости интенсивности отраженных от
многослойных зеркал гауссовских импульсов вне рамок второго при-
приближения теории дисперсии приведены в [43, 62]. В [62] в разложении
фазы ф(ы) учтен кубичный член, а также использовано аналитическое
задание ср (со) для случаев, когда необходимо принимать во внимание
Рис. 1.14. Частотная зависимость коэф-
коэффициента отражения R (а>) A) и диспер-
дисперсионного параметра ф" (ш) B) для мно-
многослойного интерференционного зерка-
зеркала [44]. Зеркало состоит из 19 слоев с
высоким ив = 2,27 (ТЮ2) и низким ян=
= 1,45 (SiO2) показателями преломле-
преломления; толщина всех слоев равна %м/4, А,м=
= 2nd сом = 600 н м
0,6-
0,9 /,0 1,1 ш/шн
200r
100
наличие резонансных частот. Следует заметить, что результаты [62]
совпадают с результатами теории распространения сверхкоротких им-
импульсов в среде с кубичной дисперсией (§ 1.3). В [42] предлагается
использовать изменение структуры сверхкоротких световых импуль-
импульсов при отражении от многослойных _
зеркал для их рефрактометрии и вы-
выяснения возможности применения в
фемтосекундных лазерах.
Дифракция импульса на решетке.
Как отмечалось выше, ясная картина
действия дифракционной решетки на
световой импульс была дана Мандель-
Мандельштамом [4]. В настоящее время диф-
дифракционная решетка является непре-
непременным элементом многих оптичес-
оптических устройств компрессии световых
импульсов. В оптике сверхкоротких
импульсов значительный интерес
представляет структура дифрагиро-
дифрагированного импульса. Мы рассмотрим пространственно-временную струк-
структуру сверхкороткого лазерного импульса, отраженного от диф-
дифракционной решетки.
Угол падения у световой волны на решетку и угол ее дифракции
9 связаны соотношением
О 1,0 2,0 <р0~28сг
Рис. 1.15. Зависимость длитель-
длительности генерируемых импульсов
от дисперсии зеркал резонатора
[61]
sin v+sin Q=mX/d,
A.5.16)
где к — длина волны, d — период решетки, т — порядок дифракции
(т=0, 1, 2, ...). Пусть световой импульс со средней длиной волны Хо
и комплексной амплитудой А (хи t) (временно ограничиваемся дву-
двумерным пучком) падает и отражается от дифракционной решетки
53
под углами Yo и Эо соответственно (рис. 1.16). Разложим импульс на
плоские монохроматические волны:
и рассмотрим их преобразование. В параксиальном приближении для
фурье-компонент исходного пучка имеем x1=^0Ay, где Ay=y—Yo» a
для отраженного—n2=^k0Ad. Следова-
Следовательно, компоненты углового спектра
пучка преобразуются так, что x2=/?^i,
/?=Д9/Ду. В соответствии с A6)
р=—cosvo/cos90. A.5.17а)
Фурье-компоненты с частотой Q=a—«о
испытывают дополнительное угловое от-
отклонение
A9=qQ, q=—tnX2BncdcosQ0)'1.
A.5.176)
Рис. 1.16. Отражение импуль-
са дифракционной решеткой
[65]
В результате амплитуда компоненты
частоты Q отраженного пучка определяется соотношением
А(х2, Q) = bmA0(px2,Q)exp(—ik0qx2Q),
A.5.18)
где коэффициент Ьт характеризует эффективность отражения решетки
в т-к порядок дифракции (йт<1). Второй сомножитель в A8) пред-
представляет собой фактически передаточную функцию диспергирующего
устройства для плоской волны с частотой Q = co—со0 (ср. с A.4.40)).
Временная структура отраженного импульса
А(х2, t) = b,nA0{px2, t—k0qx2). A.5.19)
Видно, что форма импульса совпадает с исходной, но отраженный
импульс обладает поперечной групповой задержкой At=k0qx2, угол
между амплитудным и волновым фронтами \p=arctg(feoc<7) (рис. 1.16).
Угол г|) зависит от несущей частоты соО) угла дифракции 90 и периода
решетки d. Поперечный пространственный размер импульса изменяет-
изменяется в 1/\р\ раз. Такова структура отраженного импульса непосредст-
непосредственно вблизи дифракционной решетки, по мере его удаления она
меняется из-за дифракционного расплывания. В [651 проведены
расчеты дифрагированного импульса, в которых принято во внимание
отличие дифракционных длин для различных спектральных компо-
компонент. Без учета этого обстоятельства структуру импульса на некото-
некотором расстоянии от решетки можно определить исходя из уравнения
A.1.16), в которое в качестве параметра следует ввести бегущее время
r\=t—z/u (дисперсией групповой скорости в среде пренебрегаем).
В случае исходного коллимированного импульса с гауссовским
пространственным и временным профилями,
А, (г, О = роехр(— r2/2al—t*l2%l),
54
для дифрагированного волнового пакета получаем
AAt, А". У, г) = /0-1/2B)/э-1в/2(гNмр0ехрГ-17Ц^-
, A.5.20)
4
2 fo(z)al 2
где введены обозначения
U = *. (х) = r\—koqx, fj (г) = 1 — jz/AooJ, 2
а = ао/\р\, a3 = ro/ko\q\, а-?в = а~2 +а;\ \ ■ • )
Здесь а — поперечный размер отраженного импульса вдоль оси х,
а3 — поперечный масштаб групповой задержки, / — обобщенное
обозначение индексов у / и а.
Дифракция не влияет на параметры импульса при т|5 = 0 (<7=0),
поскольку он дифрагирует как целое (дифракционные длины его
различных спектральных компонент одинаковы). При наличии
поперечной групповой задержки в случае дФО уже в ближнем поле
отраженного импульса (f(z)^fj(z)« 1) возникает сдвиг несущей
частоты, пропорциональный расстоянию г и поперечной координате
х. В рассматриваемом случае дифракция приводит к изменению не
только параметров пучка, но и импульса: он расплывается, появляется
линейный чирп. Поперечная групповая задержка изменяет вместе
с тем и картину дифракции,пучка вдоль оси х (в плоскости падения
импульса).
Длительность дифрагированного импульса согласно B0)
" I_A+Z«)A+Z» + ZZ3)J V
В B2) введены безразмерные длины z=z/k0a2 и z3—z/kocf3. Наиболее
типичным условиям эксперимента соответствует а3<^.а. При этом для
широких пучков (г<^1)
т. « [1 + (&о<72То-2гJ]1/2т„, A.5.23)
т. е. зависимость длительности импульса от расстояния такая же,
как и при наличии в среде дисперсии групповой скорости (ср. с A.3.3)).
Таким образом, угловая дисперсия дифракционной решетки оказы-
оказывается эквивалентна дисперсии групповой скорости (дисперсионный
параметр k0q2). В рассмотренном нами приближении значение угла i|)
при распространении остается постоянным. В [65] показано, что изме-
изменение наклона импульса связано с параметром 2pqzla<fi{). В [64] рас-
рассчитано изменение формы гауссовского импульса, дифрагировавшего
на решетке конечных размеров.
Итак, проведенное обсуждение показывает, что отраженный ди-
дифракционной решеткой сверхкороткий импульс изменяет свои пара-
параметры при распространении в недиспертирующей среде. Существуют
две причины этого. Одна из них состоит в том, что амплитудный
фронт оказывается наклоненным по отношению к направлению рас-
распространения. Другая причина заключается в различии дифракци-
55
онных длин для спектральных компонент импульса [65]. По существу,
речь идет о нестационарной дифракции пучка [15], которая более под-
подробно будет рассмотрена в следующем параграфе.
Прохождение сверхкоротких импульсов через интерферометры.
Отклик интерферометра на сверхкороткий импульс зависит от соот-
соотношения его длительности т0, времени двойного прохода между зер-
зеркалами То и полосы пропускания интерферометра Лсопр:
70 = 2nft/c, Aov = 5K, A.5.24)
где h — расстояние между зеркалами, п — показатель преломления
среды, заполняющей интерферометр, §{ — разрешающая способность.
С временной точки зрения величина Ж определяется разностью вре-
времен МТ0 между первым и последним интерферирующими волновы-
волновыми фронтами [48],
SfL = {aj2n)MT0, A.5.25)
где М — эффективное число отражений, определяемое фактором рез-
резкости.
При освещении интерферометра импульсом длительностью x^MTi,
устанавливается интерференционная картина, практически анало-
аналогичная таковой для непрерывного излучения. В противополож-
противоположном случае {Та<^й<^МТа) резкость интерференционной картины
уменьшается; соответствующие расчеты для интерферометра Фабри —
Перо содержатся в [48—50, 69]. При этом из спектральных измерений
может быть получена, в принципе, информация о длительности им-
импульса. Когда то<То, на выходе интерферометра имеем последователь-
последовательность импульсов с убывающей от импульса к импульсу амплитудой —
интерференция импульсов отсутствует.
Для спектроскопии сверхкоротких импульсов необходимо, таким
образом, выполнение условия to>7V Так, для спектрального анализа,
например, импульса длительностью 100 фс расстояние между зер-
зеркалами интерферометра h=cxo/2n должно быть менее 15 мкм. Изготов-
Изготовление подобных интерферометров наталкивается на технологические
трудности, которые, однако, в последнее время успешно преодоле-
преодолеваются.
В экспериментах [66—68] по генерации и компрессии фемтосекунд-
ных импульсов использовался интерферометр Жира — Турнуа [26].
Он представляет собой модификацию плоскопараллельного интерферо-
интерферометра Фабри — Перо: коэффициент отражения переднего широко-
широкополосного зеркала г(со)=г<1, другое зеркало глухое (г'==1). Такой
интерферометр обладает замечательным свойством: модуль его коэф-
коэффициента передачи равен единице, а дисперсионные свойства его легко
изменять, меняя угол у падения излучения. При этом время двойного
прохода импульса
7=BлЛ/с)A— n-2sin2YI/2- A.5.26)
При длительности импульса то^>Т отклик интерферометра можно
найти, пользуясь спектральным подходом. Коэффициент отражения
плоской волны частоты со равен
К (со) = [е~1(ЛТ — г (со)]/[1 —г (со) е~шт]. A.5.27)
56
Это выражение нетрудно преобразовать к виду /((со) =е'фШ>, где
- arete
- arctg
(г2(а)-1)81п(а)Г)
Следовательно, отраженная от интерферометра волна по отношению
к падающей претерпевает лишь фазовый сдвиг. Подобная ситуа-
ситуация неоднократно встречалась выше.
Пренебрегая частотной зависимостью коэффициента отражения г
и времени Т, для группового запаздывания t3 и дисперсии интерферо-
интерферометра dtjda> получаем
г8 = _ф' = A_Г2O[1 + г2—2rcos(a>T)]-\ A.5.29)
dtjd® = — ф" = — 2 A — г2) [1 + г*—2r cos (соГ)] -2гТ2 sin (соГ).
A.5.30)
Из C0) видно, что дисперсия интерферометра на частоте со может быть
отрицательной, положительной или равной нулю, что определяется
значением соТ. Частотные зависимости фазы ф(со) и группового запаз-
запаздывания ta(a>) ПРИ различных коэффициентах отражения приведены
-f4f),1Q-27c
Рис. 1.17. Зависимость дисперсионного параметра интерферометра Жира —
Турнуа от частоты (а) при нормальном падении и от угла падения (б) для длины
волны ?i=620 нм в случае nh= 1,59 мкм A) и 3,18 мкм B) [66]
в [68]. В [66] для двух случаев пЬ.=ь\г К и 5^0 при ^0=635 нм выпол-
выполнены расчеты t3 (со) и dtjd<x> в зависимости от частоты со и угла паде-
падения у (см. также рис. 1.17). Из рис. 1.17 следует, что, изменяя со и
у, можно варьировать дисперсию эффективной групповой скорости
от нормальной до аномальной.
В [66] описаны эксперименты по компрессии частотно-модули-
частотно-модулированных сверхкоротких лазерных импульсов в интерферометре Жи-
Жира—Турнуа в зависимости от числа отражений и угла падения.
Ход угловой зависимости длительности импульса хорошо согласуется
с кривой 2 на рис. 1.176 (диапазон изменения длительностей от 120
до 300 фс).
Максимальное значение дисперсии C0) достигается при [67]
m=0, 1, 2, ...,
V
=[— (\+r
A.5 31)
57
Можно найти условия, при которых интерферометр практически сво-
свободен от временных (с. 35) аберраций и наибольшее значение имеет дис-
дисперсия второго порядка. Центральная частота импульса должна удов-
удовлетворять равенству C1), ширина спектра Дсо^й/Т [68]. Напомним,
что в этих условиях трансформация сверхкороткого импульса интер-
интерферометром происходит так, как описано в § 1.3 и 1.4. Если указанные
условия не выполняются, то важной становится роль дисперсии более
высокого порядка. В таком режиме работы интерферометр Жира —
Турнуа может быть использован для компенсации временных аберраций
[681. Оптические устройства, в которых достигается плавное изменение
дисперсии групповой скорости в положительной и отрицательной об-
областях, включающие два или четыре интерферометра Жира — Тур-
Турнуа, разбираются в [66] и [68] соответственно.
§ 1.6. Дифракция сверхкоротких импульсов
Пространственная ограниченность реальных световых импульсов
привносит новые явления в процесс их распространения и преобразо-
преобразования оптическими системами. Один из таких примеров разобран в
предыдущем параграфе — отражение пространственно-ограниченного
лазерного импульса от дифракционной решетки. Приведенные там
результаты справедливы для сравнительно длинных импульсов, ди-
дифрагирующих как целое. Для лазерных импульсов длительностью
в несколько периодов существенным может быть эффект неравенства
дифракционных длин разных спектральных компонент импульса
[34—36, 65]. Действительно, высокочастотные компоненты импульса
дифрагируют медленнее, чем низкочастотные. Поэтому даже в недис-
пергирующей среде при не слишком малых значениях Aco/coo следует
ожидать, как отмечено в [15], деформации светового импульса. Этот же
эффект может проявляться при фокусировке светового импульса
[37, 70]. Обе упомянутые задачи проанализированы в настоящем пара-
параграфе.
Эффекты пространственной и временной модуляций. Обобщенное
уравнение A.1.14), описывающее распространение короткого светово-
светового импульса с учетом ограниченности его поперечных пространствен-
пространственных размеров и явления дифракции, имеет вид (в бегущей системе
координат z=z, t-+t—zlu)
где последнее слагаемое описывает взаимное влияние пространствен-
пространственных и временных параметров излучения [15].
Рассмотрим распространение оптического излучения с начальными
гауссовской огибающей импульса ро(^) A.1.25) и гауссовской формой
пучка:
U (г) = ехр (- rV2al), Ao (t, г) = р„ (t) U (г).
58
Решение A) для фурье-спектра
Л(Й, г, 2) = ,g-p0
X U(r1)exp'—~(r~r1)i)d*r1, A.6.2)
где po(Q) — фурье-образ po(t), k=ko+£l/u, k^=k_
Из B) следует, что в силу различия волновых чисел k для разных
спектральных компонент дифракционные длины неодинаковы.
Картина взаимовлияния пространственных и временных харак-
характеристик излучения друг на друга в диспергирующих средах, вообще
говоря, довольно сложная. Чтобы проанализировать искажение им-
импульса, обусловленное только пространственной ограниченностью све-
светового пучка, будем полагать &2=0. Именно такая ситуация обсужда-
обсуждалась в [34—36]. В этом случае фурье-преобразование выражения B)
принимает вид
A(t, Г, 2)-
+ 00
_ tfep
2лг
Откуда видно, что изменение структуры импульса обусловлено запазды-
запаздыванием его прихода в заданную точку пространства из-за искривления
волнового фронта. В [36] выполнен численный расчет временной оги-
огибающей C) на длинах г»/,диф=&о<4- Полученные данные свидетель-
свидетельствуют о заметном увеличении длительности фемтосекундного импуль-
импульса на периферии пучка (начальная длительность составляла 4 фс).
Эта тенденция сохраняется и в дальней зоне пучка (г=2Д,диф^>1),
для которой
A(t, r, г) =
~1тРо Р( 2г~г 2т2 ' 2
и 2г~г 2т2
где
A.6.5)
Согласно D) в дальней зоне пучок становится фазово-модулирован-
ным в пространстве и во времени, его форма отличается от гауссов-
ской. Огибающая импульса — гауссовская с длительностью E), кото-
которая увеличивается с ростом г. Пространственное смещение максимума
импульса в поперечном сечении пучка описывается параболой.
Фокусировка коротких световых импульсов. Изменения формы све-
световых импульсов короткой длительности могут возникать при их фо-
фокусировке. В [70] рассмотрена фокусировка импульса линзой, а в
[37] — зонной пластинкой. Обычно в экспериментах короткие свето-
световые импульсы фокусируются линзой, поэтому здесь мы остановимся на
этой задаче.
59
Общепринято тонкую сферическую линзу рассматривать как опти-
оптическую систему с коэффициентами передачи М (г) =ехр (ikor2'2f) [7],
где / — фокусное расстояние линзы. Однако такая модель не является
адекватной при фокусировке световых импульсов очень короткой дли-
длительности, поскольку продольный пространственный размер импульса
гораздо меньше толщины линзы и ее уже нельзя считать тонкой. Необ-
Необходимо учитывать различие времени группового запаздывания вдоль
различных лучей при проходе через линзу.
Предположим, что пучок задан непосредственно перед линзой.
Если время группового запаздывания в центре линзы ta@), то для луча
с координатой г в пренебрежении дисперсией материала линзы t3(r) =
=t3 @)—r2/2fc. Таким образом, прямо на выходе линзы комплексная
амплитуда излучения для рассматриваемой модели
Л {t, г) = Ро (t + -^— t, @)) U(r)eWf. . A.6.6)
Для описания процесса распространения импульса за линзой нужно
исходить из уравнения A). Пренебрегая, как и выше, дисперсией груп-
групповой скорость в среде, для амплитуды в фокальной плоскости линзы
(z=f) получим выражение аналогичное D), в котором следует заменить
г на / и скорость и на с. Аналогичная замена в E) дает значение дли-
длительности импульса в фокусе линзы:
Ти = т20+т2пр, тп, = аог//с. A.6.7)
Из сказанного ясно, что особенности поведения сверхкороткого им-
импульса в фокусе линзы точно такие же, как и в дальней зоне пучка.
Такое совпадение вполне естественнно.
Время тпр определяет минимальную длительность импульса в фо-
фокусе линзы. Формула G) справедлива в первом приближении теории
дисперсии. Заметим, что для импульсов длительностью в несколько
фемтосекунд существенным оказывается дисперсионное расплывание
в материале линзы, описываемое вторым приближением.
Форма пучка в фокусе линзы отличается от гауссовской, его радиус
[70]
а (т0) = [1 — (сооТо)-2]-1^ (оо), A.6.8)
где а(оо)=///г0/,днф — радиус пучка в фокусе для непрерывного излу-
чения. Видно, что заметное уширение пучка происходит, когда дли-
длительность импульса приближается к периоду светового колебания.
§ 1.7. Световые пакеты в волоконных световодах
В одномодовых волоконных световодах реализуются условия, когда
поперечная структура волнового пакета остается практически неиз-
неизменной на расстояниях ~109 см как в линейном, так и нелинейном ре-
режимах распространения. Типичный волоконный световод представляет
собой цилиндр из плавленного кварца диаметром около 100 мкм, поме-
помещенный в защитную оболочку. В приосевой зоне этого цилиндра рас-
расположена область с повышенным за счет легирующих добавок пока-
60
;. + iko6!bi^f(r)\A(t,r.z) = 0, A.7.1)
О
зателем преломления — сердцевина. Типичный диаметр сердцевины
одномодового световода 5—10 мкм. В процессе распространения волно-
волнового пучка по световоду сердцевина выполняет роль распределенной
линзы, компенсирующей дифракционное расплывание пучка.
Прогресс, достигнутый в области изготовления волоконных свето-
световодов, и их многочисленные применения детально обсуждаются в об-
обзоре [51]. Мы ограничимся краткими данными, необходимыми для
дальнейшего изложения.
Совместное проявление дифракции, линейной рефракции и дис-
дисперсии описывается уравнением
OZ *^о5 ^ О1 ft-об
где в последнее слагаемое, ответственное за рефракцию, входит пока-
показатель преломления оболочки поб, максимальное значение показателя
преломления сердцевины пс и безразмерная функция /(г), характери-
характеризующая распределение пока-
показателя преломления в попе-
поперечном сечении световода;
kO(, — волновое число в мате-
материале оболочки. Некоторые о,5-
из возможных профилей по-
показателя преломления изоб-
изображены на рис. 1.18а. Под-
Подчеркнем, что уравнение A)
адекватно описывает ситуа- '
цию в случае слабонаправ-
слабонаправляющих световодов [39] ((пс—•
—лоб)<^1) сплавными на мае- 0,5
штабе ~к изменениями пока-
показателя преломления. Более
общий случай рассмотрен,
например, в работе [1]. На
практике величина (пс—по6)
имеет порядок 10~2—10~3.
Дифракционное расплыва-
расплывание светового пучка уравно-
уравновешивается линейной рефрак-
рефракцией на продольном простран-
пространственном масштабе порядка
дифракционной длины £дИф= о ^ 1 р/а о 1 ^ г г/а
=/еоао~1О—10~2 см, в то п , 1О „
йпемя кяк иигпрпгипнныр ян Рис- 1Л8' а ~ Нормированные профили
время как дисперсионные яв- показателя преломления среды; б — соот-
ления в случае пикосекунд- ветствующие им распределения поля низ-
ных импульсов проявляются шей моды волновода
на расстояниях /,д=т2/|/г2| =
= 102—103 м. Это обстоятельство позволяет разделить пространствен-
пространственные и временные эффекты и искать решение A) в виде
A(t, r, z) = U(r)ty{t, z)e-^z, A-7.2)
61
где функция U(г) описывает распределение поля в поперечном сечении
световода, tf>(^, г) — комплексная временная амплитуда, k — добавка
к волновому числу ko6 @<k<(kc—ko6)). Подстановка B) в A) приво-
приводит к двум независимым уравнениям:
дг
Пс — Поб
' "об
f(r)U(r),
A.7.3)
A.7.4)
с граничными условиями
U(r)-+0, г-^оо; уу, 0)=1|зо@-
Уравнение C) совместно с граничными условиями является задачей
о нахождении собственных значений kj,m и собственных функций
UUm (r) — мод волоконного световода. Собственные функции слабона-
слабонаправляющих световодов представляют собой поляризованные в на-
Дти^нм-км)
правлении, перпендикулярном оси, мо-
моды, обозначаемые в литературе LPJm
[39]. На рис. 1.186 представлены вычис-
вычисленные нами для различных профилей
показателя преломления распределения
поля, соответствующие низшей моде
LPOi, при безразмерном волновом чис-
числе VB^ko6a[(nc—-no6)/no6]=2,b (a — ра-
радиус сердцевины). Для ряда практичес-
практически важных случаев эти распределе-
распределения можно с высокой степенью точности
аппроксимировать гауссовской функ-
функцией.
Заметим, что уравнение A) записано
без учета оптических потерь, которые в
видимом диапазоне имеют порядок 20
дБ/км, а в ближнем ИК диапазоне мо-
могут быть уменьшены до уровня 0,2 дБ/км
на длине волны Я«1,55 мкм. При необ-
необходимости оптические потери могут быть
учтены добавлением в правую часть A)
члена —iboA, где б0 — амплитудный коэффициент затухания.
Дисперсионные характеристики волоконных световодов определя-
определяются, в основном, свойствами исходного материала (материальная дис-
дисперсия). Один из экспериментальных методов исследования дисперси-
дисперсионных характеристик основан на измерении зависимости времени
задержки светового импульса в световоде t3 от частоты. Действительно,
после прохождения импульсами с несущими частотами а, и й2 (Асо =
= 10»!—со2|<^(о,,аJ) расстояния L по световоду между ними возникает
групповое запаздывание Д/3 A.4.20). Откуда следует, что £2= AtJLAa.
В экспериментальных исследованиях, как правило, используется
62
1,5 Л,,мкм
Рис. 1.19. Характерные зави-
зависимости временной задержки
светового импульса (штрихо-
(штриховая, эксперимент) и дисперси-
дисперсионного параметра (сплошная,
расчетная) в окрестности дли-
длины волны, соответствующей
нулевой дисперсии групповой
скорости волоконного свето-
световода
дисперсионный параметр
Его выражают в единицах пс/(нм-км). На рис. 1.19 приведена экспе-
экспериментальная [40] зависимость ta(k) и вычисленные значения D{%).
Видно, что для кварцевых световодов при Акр« 1,3 мкм параметр D (Акр)
и, следовательно, k2 обращаются в нуль. В спектральном диапазоне
Я>Лкр реализуется аномальная дисперсия групповой скорости (/?2<0),
при Я<Якр — нормальная (&2>0).
Заметим, что в окрестности точки Якр существенным может ока-
оказаться вклад волноводной дисперсии. Появление этого вклада связа-
связано с зависимостью добавки к волновому числу k от Л. Кроме того, при
Я«Якр в разложении k по степеням (со—со0) следует удерживать члены
выше второго порядка.
Итак, в одномодовых световодах реализуется режим распростране-
распространения сверхкоротких импульсов, аналогичный распространению плоских
волн в неограниченной диспергирующей среде. Характер дисперсии
существенно изменяется при переходе через длину волны Лкр.
§ 1.8. Статистические задачи; трансформация
шумовых импульсов в диспергирующих средах
Для шумовых импульсов важен весь круг вопросов, рассмотренных
в предыдущих параграфах. Однако если для регулярных импульсов
интерес представляет поведение огибающей и фазы, то в случае шумо-
шумовых импульсов — статистические характеристики, в первую очередь
такие, как средние интенсивность и длительность импульса, корреля-
корреляционная функция и время корреляции. Выполненные к настоящему
времени исследования в значительной мере решают проблему распрост-
распространения шумовых импульсов в диспергирующих средах. Детально
изучено распространение шумовых импульсов как во втором
[31, 71], так и в третьем приближении теории дисперсии [201. Рас-
Рассмотрены особенности расплывания импульсов многомодового лазер-
лазерного излучения [72] и отражение шумового импульса от дифракцион-
дифракционной решетки [73], проанализировано взаимное влияние неполной прост-
пространственной и временной когерентности при распространении импульса
в диспергирующей среде [74]. Подчеркнем, что на основе пространст-
пространственно-временной аналогии на шумовые импульсы могут быть перене-
перенесены результаты теории распространения частично когерентных пучков
в линейных средах [16].
Особый класс статистических задач оптики коротких импульсов
связан с их распространением и рассеянием в случайно-неоднородных
средах (см., например, [75—78]). Недавно [78] изучено многократное
рассеяние пикосекундных импульсов в неоднородных средах в услови-
условиях сильной локализации фотонов (kol*^il, где /* — средняя длина
свободного пробега). Авторы [79] синтезировали импульсы треуголь-
треугольной формы при помощи отражения сверхкороткого гауссовского ла-
лазерного импульса от шероховатой поверхности конуса.
63
Ниже обсуждаются некоторые вопросы распространения шумовых
импульсов в диспергирующих средах.
Длительность и время корреляции шумовых импульсов. Будем
рассматривать распространение шумовых импульсов A.1.33), имеющих
гауссовскую форму огибающей F (t)=р0 ехр (—^2/2т§) и случайную моду-
модуляцию \(t) с корреляционной функцией ^?(т)=ехр(—т2!т^0). Корреля-
Корреляционная функция исходного шумового импульса имеет вид
l—^—^=^-\. A.8.1)
(^ То Тк О J
Для начального условия A) корреляционную функцию в среде
можно найти аналитически. Пользуясь A.1.15), во втором прибли-
приближении теории дисперсии имеем
B(tlt tt; *) =
То Тк О
A.8.2)
Величина L™ — дисперсионная длина шумового импульса, которую
можно записать как
/нк — от /] и | д,, /I «41
где Асоо — ширина спектра шумового импульса.
Согласно B) длительность импульса и время корреляции в среде
равны [31, 71]
A.8.5)
Формулы E) полностью совпадают с формулами для радиуса пучка
о (г) и радиуса корреляции гк(г) случайных световых пучков при заме-
замене г0, тк0 и k2 на а0, гк0 и ko1 [16]. Импульс со случайной модуляцией
расплывается быстрее, чем спектрально-ограниченный той же длитель-'
ности. Шумовой импульс, как и случайный пучок, обладает фундамен-
фундаментальным статистическим свойством — так называемый коэффициент
когерентности импульса С=тк (г)/т„ (г) есть постоянная величина [161.
В [31] установлено, что этот статистический инвариант имеет место в
том случае, когда огибающая F(t) и корреляция R (т) описываются
одинаковыми функциями.
Длительность импульса т0 и время корреляции тк0 в C) входят
неравноправно: при тк0->-оо дисперсионная длина Ь^к^-Ья, а при
т0-»-оо она неограниченно растет, LJJK->-oo. Последнее означает, что в
диспергирующей среде время корреляции стационарного шума не
меняется. При фиксированной ширине спектра шумового импульса
дисперсионная длина тем больше, чем больше длительность т0 (см.
D)). В дальней зоне импульса (z^>L%K) в предельном случае то^>ткО
64
в соответствии с E)
тв(г)«1*2|2/т0, ти(г)«|/г2|г/тво. A.8.6)
Здесь время корреляции хк определяется начальной длительно-
длительностью т0, а длительность импульса в среде ти, напротив,— начальным
временем корреляции тк0.
В случае компрессии шумового импульса, или распространения
шумового импульса с линейной ЧМ 6со(£)=—<xot A.1.28) в дисперги-
диспергирующей среде, для длительности и времени корреляции имеем
ти B) = V, (г) т0, тк (г) = V, (г) тк0,
При этом длина компрессии L™ и максимальный коэффициент ком-
компрессии SHK равны
I™ = {{aok2) [1 + (аото)*+ Bто/ти)*]}-»(аот5), A.8.8)
5нк = то/тит!п = {1 +(а„т§J/[Ц-Bт0/тк0J]}1/2. A.8.9)
Случайная модуляция импульса уменьшает значения L"K и SHK.
Особенно наглядно это видно для сильно некогерентных импульсов
Ко<€то) ПРН Тко<(«оТо):
LKHK« (аоткОтоJ/4ао |&2 |, SHK « 1 + (aoWoO4. A.8.10)
Анализ совместного влияния квадратичной и кубичной дисперсий
среды на распространение и компрессию шумового импульса выполнен
в [20, 211, где получены выражения для среднеквадратичной длитель-
длительности импульса.
Временной аналог теоремы Ван Циттерта — Цернике. Результат F)
для времени корреляции можно интерпретировать как следствие вре-
временного аналога известной теоремы Ван Циттерта— Цернике для про-
пространственно некогерентных пучков. Действительно, считая случай-
случайный процесс l(t) б-коррелированным, ^(т)=^об(т), и используя
A.1.15), для корреляционной функции импульса в среде получаем
В (т, Т; г) = Bл)-1 Ra exp (frTfez) $ | F (k^zx) |2 ехр (— ixx) dx,
A.8.11)
гдет=<!—/2и 2Г=£1+;2. Формула A1) выражает теорему Ван Циттер-
Циттерта — Цернике для шумового импульса: корреляционная функция
импульса в диспергирующей среде связана фурье-преобразованием с
начальным распределением интенсивности б-коррелированного импуль-
импульса. Согласно A1) для длительности импульса т0 значение |F(fe2z#)|s
существенно уменьшается при #0«t0//j22, а время корреляции х^Хо1,
что совпадает с F). Отметим, что обращение A1) позволяет восстано-
восстановить первоначальную форму импульса
5(т, 0; z)exp(itx/k2z)dx, A.8.12)
3 С. А. Ахманов и др. 65
причем достаточно измерений корреляционной функции между значе-
значениями поля, взятыми в симметричных точках (Г=0).
Взаимное влияние временных и пространственных флуктуации.
Эта задача обстоятельно рассмотрена в [74]. Результаты получены в
рамках нестационарного уравнения дифракции A.6.1) для факторизо-
ванной корреляционной функции поля исходного импульса
B0(tlt t2, rlt rt)*=<A0(tlt rx)Ai(tv rt)>=zBe(tu QB0(ru r2),
где временная корреляционная функция определяется A) и аналогич-
аналогичный вид имеет пространственная корреляционная функция В0(ги г2)
пучка с радиусом а0 и радиусом корреляции гк0. Остановимся на неко-
некоторых результатах расчета [74].
Прежде всего заметим, что в диспергирующей среде в дальней зоне
корреляционная функция поля шумового импульса не факторизует-
ся. В частности, пространственно-временное распределение средней
интенсивности дается выражением
</(*, г, 2)>~ехр{-(;-г2/2н2Jт-2-
-[1 + Р(/У1И)»]-1(*вг,фф/2г)*г«}. A.8.13)
Здесь
Р = '"эфф/'^эфф» ,, о i4v
--2 (пп \-2 I »-2 _-2 /9t\-*-Lt-2 ^i.u.147
гэфф — l^"oj "Г "ко» тэфф — (Ло) -г тко •
Длительность импульса xH(z) определяется A.6.5). Время корреляции
-1^ф-BтиB))-2}-1/2. A.8.15)
На оси пучка (г=0) время корреляции не зависит от расстояния
2(тк(г)=тк0). Иначе обстоит дело с тк(г), например, при г=а0. Если
'ко'^Яо и тк0^>т0, то при г<ф1/ит0 время корреляции тк (z)w2i%aa 2uz
и оно при z<^zKOallx%u меньше исходного значения тк0.
Таким образом, неполная пространственная когерентность излуче-
излучения приводит к уменьшению временной когерентности импульса в среде.
В случае же гк0<^а0 и тк0<^т„ время корреляции tkB)«tk0 при 2^>
^С10гк01 ияк0, т. е. здесь пространственная некогерентность не влияет на
временную. Разумеется, неполная временная когерентность импульса
оказывает влияние, в свою очередь, на его пространственную когерент-
когерентность; читатель, интересующийся этим вопросом, может обратиться
к работе [74].
ГЛАВА 2
САМОВОЗДЕЙСТВИЕ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ:
САМОМОДУЛЯЦИЯ, САМОСЖАТИЕ, СОЛИТОНЫ
И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Обусловленные нелинейностью показателя преломления эффекты самовоз-
самовоздействия универсальны — они проявляются при распространении мощного ла-
лазерного излучения в газах, жидкостях и твердых телах. Интенсивное изучение
различных аспектов самовоздействий световых пучков и импульсов, стимули-
стимулированное открытием самофокусировки света, было начато в середине 60-х годов.
Несомненно, физика самовоздействий и по сей день один из наиболее бурно
прогрессирующих разделов нелинейной оптики. Именно при исследовании
самовоздействий нелинейная оптика столкнулась с проявлением сильных нели-
нелинейных эффектов — временной и пространственной бистабильностью, генера-
генерацией структур, оптической турбулентностью — генерацией световых полей,
не имеющих даже отдаленных аналогов в линейной оптике.
Переход к фемтосекундному масштабу времени вызвал новый всплеск ин-
интереса к физике самовоздействий, разнообразным их приложениям. Новое по-
появилось в традиционных разделах таких, как самофокусировка пучков и само-
самомодуляция пакетов. Использование самовоздействий открыло новые возмож-
возможности в разработке сверхбыстродействующих оптических систем обработки
информации и элементов оптических компьютеров, сыграло решающую роль
в получении импульсов предельно короткой длительности.
§2.1. Физика самовоздействий;
нелинейность показателя преломления;
преобразование амплитудной модуляции в фазовую
В сильном световом поле комплексный показатель преломления
газов, жидкостей и твердых тел п обнаруживает зависимость от интен-
интенсивности I=(cnJ8n)\A\2 волны — проявляется нелинейность:
п=п{1). B.1.1)
В среде с нелинейным показателем преломления мощная световая
волна сама определяет величину и закон дисперсии фазовой скорости
у(ш, /) = c/Re«(co, /) и коэффициента поглощения б (со, /)=(ы/с)Х
X Im п (со, /) среды, в которой она распространяется,—происходит само-
самовоздействие света.
з* 67
Физические причины нелинейности показателя преломления разно-
разнообразны (см., например, [1]). Существенными оказываются энгармонизм
электронного и колебательного откликов зтомов и молекул, изменения
поляризуемости зз счет ориентации анизотропных молекул в световом
поле, изменения плотности среды, обусловленные электрострикцией
и нагревом.
Перечисленные механизмы различаются величинами и характер-
характерными временами установления нелинейного отклика тнл, которые
представляют первоочередной интерес с точки зрения рассматриваемых
в этой книге проблем. В условиях, когда нелинейный отклик мал в
сравнении с линейным и оптические нелинейности хорошо описывают-
описываются разложением поляризации $> в ряд по степеням поля,
факторы, приводящие к нелинейности показателя преломления, фено-
феноменологически можно рассматривать как проявление нелинейного от-
отклика, нечетного по электрическому полю. Если нелинейный отклик
можно считать квазистатическим (длительность светового импульса
то^>тил), нелинейный показатель преломления обусловлен частью
нелинейной поляризации
где %C), %15) — тензоры нелинейной восприимчивости.
В случаях то~тнл, и тем более то<тнл, нелинейный отклик следует
описывать интегральными соотношениями, в которых вместо завися-
зависящих от частот нелинейных восприимчивостей фигурируют многовре-
многовременные функции отклика, например
tlt t2, ta)E{t—tlt r)X
t—ti — ti—t,, ridt^dt,. B.1.4)
Здесь %{3) (tu U, t3) — трехвременная функция нелинейного отклика.
Аналогичными D) соотношениями описываются и члены более высоко-
высокого порядка по полю в разложении неквазистатической, существенно не-
нестационарной нелинейной поляризации. В них фигурируют функции
отклика более высокого порядка, например %ы (tlt /2, ts, tA, tb) и т. д.
Чтобы установить связь между B)—D) и нелинейным показателем
преломления A), рассмотрим кубичный по полю нелинейный отклик
в квазимонохроматическом световом поле
E(t, r) = 1/2eA{t)ei^t-^ + K.c, B.1.5)
где е — единичный вектор поляризации.
К нелинейности показателя преломления приводит спектральная
компонента нелинейной поляризации, имеющая частоту со воздейст-
воздействующего поля,
^><3)((о; /, г) = 3/8ХC)ИИ12^(С0'~*г) + к-с-. B.1.6)
Х13> (со) = вхC* (о>; со, со, —(а)еее.
68
Соотношением F) можно пользоваться для квазимонохроматических
полей, если характерное время их изменения т^>тнл. Спектраль-
Спектральная компонента восприимчивости %ш связана с функцией отклика пре-
преобразованием Фурье,
%1%{а>; со, со, —w) =
Sfiti{t1,tt-ti,tt—tt—t1)exp[to(t,-tt-tj\dt1dttdtt. B.1.7)
о
Тензор четвертого ранга if>kl имеет отличные от нуля компоненты не
только в анизотропных, но и в изотропных средах, в том числе —
обладающих центром инверсии. Этим объясняется универсальность
эффектов самовоздействия.
Подставляя F) в выражение для индукции
находим выражение для нелинейной добавки к диэлектрической про-
проницаемости:
Аналогичным образом записываются нелинейные добавки к е и п,
обусловленные %E) и т. д.
Таким образом, действительную и мнимую части комплексного по-
показателя преломления для слабо нелинейной изотропной среды можно
представить в виде разложения по четным степеням поля:
Ren=no+An(/), B.1.8а)
6=(со/с) Im п=б,+Д8(/). B.1.86)
Исследование описываемого (86) нелинейного поглощения (абсорбци-
(абсорбционного самовоздействия) — предмет одного из наиболее разработан-
разработанных разделов нелинейной спектроскопии. Для нелинейной оптики ко-
коротких световых импульсов наибольший интерес представляют эффек-
эффекты, обусловленные нелинейностью действительной части показателя
преломления — «дисперсионные» самовоздействия.
Кубичный по полю квазистатический отклик; нелинейный коэф-
коэффициент щ. Будем интересоваться прежде всего дисперсионными
самовоздействиями в изотропной среде. Кубичный по полю квазиста-
квазистатический отклик такой среды, наряду со спектральной компонентой
%{3) (со), удобно характеризовать также коэффициентом /г2, определяю-
определяющим величину нелинейной добавки к показателю преломления.
Для вещественного показателя преломления
n = no + 1/2n,\A\i = no + nJ, B.1.9)
нетрудно найти связь между %13) и «2 или «2. Поскольку
то в гауссовской системе единиц
п2=(Зя/п0)}сО) [СГСЭ1. B.1.10)
69
Размерность коэффициента п2 в СИ м2/Вт; для практических расчетов
удобнее измерять «2 в см2/кВт. В соответствии с (9), A0)
п, ^пг\А |72/ = (Зя/2л0) хC> IА |2//.
В то же время справедливо соотношение
ЛкВт/см2]=(Зп„/8я)|Л|2,
где \А\ определяется в системе единиц СГСЭ. Таким образом,
пл [см2/кВт] = Bя/поу хC> [СГСЭ]. B.1.11)
Значения /г2 для различных сред и разных механизмов нелинейного
отклика лежат в очень широких пределах. В условиях, когда линей-
линейный показатель преломления п0 изменяется всего лишь в пределах
одного порядка, величина п2 изменяется почти на четырнадцать по-
порядков!
10''
10'3
10
-5
10~7
ID'9
10'"
Электронная нелинейность
в полупроводниках
'I •ШъШ) /
!»Gds'.InAsG7K) ,.---<>
\' •Go/15// /' у
/'Жидкие
кристаллы
у
_Стекло,легированное,' « KpacumemiZnSe^'
Тепловая
У i нелинейность
полупроводником/ Cd HgTe^'
/У Те* /
РуВин
/
у
' CuCl
У
У
/
Na
у НитраЬенъш
' • • у\
V- / С52 / 1 ^
\у/У
> Кварцевое
стекло
W» 10-'2 10~'° 10-*
fO
~*
/а°*и
lj С
Рис. 2.1. Значения нелинейного коэффициента я2, характеризующего добавку
к действительной части показателя преломления (n=no+n2/) на плоскости
). где тнл — время установления нелинейного отклика [2]
Интересно, что, несмотря на огромное разнообразие механизмов
нелинейности и нелинейных сред, довольно четко прослеживается зако-
закономерность /г2~тнл, т. е. величина нелинейного коэффициента пг
тем больше, чем больше время установления нелинейности, чем мед-
медленнее нелинейный отклик. Сказанное иллюстрирует рис. 2.1, где
на плоскости (п2, тнл) суммированы данные по дисперсионным нели-
нейностям для ряда изотропных и кристаллических сред; наряду с
однородными средами приведены и данные по интенсивно исследуемым
в последнее время кластерным системам (в частности, стеклам, леги-
71
рованным полупроводниками). Субпикосекундными временами от-
отклика обладают слабые нерезонансные нелинейности; здесь речь идет
о значениях «2»10-13 см2/кВт (хC)»10-13 СГСЭ).
Картина дисперсионных самовоздействий волновых пакетов; пре-
преобразование амплитудной модуляции в фазовую. В среде с нелиней-
нелинейным показателем преломления форма и спектр волнового пакета ис-
испытывают сильные изменения, носящие при определенных условиях
характер неустойчивостей. Первым этапом в цепочке возникающих
здесь разнообразных нелинейных волновых явлений является эффект
фазовой самомодуляции. Особенно просто он выглядит в условиях,
когда нелинейный отклик можно считать квазистатическим C). Рас-
Рассмотрим волновой пакет вида E), распространяющийся вдоль оси г.
В среде с показателем преломления (9) полный фазовый набег волны
kz = (со0/с) [щ + nj (*)] z=kQz + kjij {t) z,
т. е. возникает зависящая от времени нелинейная добавка к фазе
Ф(Л z) = — konj(t)z. B.1.12)
Временная фазовая самомодуляция приводит, очевидно, к ушире-
нию частотного спектра. Естественно, что последнее должно вызывать
изменение профиля интенсивности. Простые соображения на этот счет
можно дать, обращаясь к результатам § 1.4. Согласно A2) скорость
изменения частоты, обусловленная самовоздействием, равна
a(t, г) = д2ц>/дР = — !10п2гдЧ/дР. B.1.13)
Поведение волнового пакета, как показано в § 1.4, определяется зна-
знаком дисперсии среды. Особый интерес представляет случай а&2<0,
поскольку позволяет указать путь самосжатия световых импульсов.
Фазовая самомодуляция вызывает компрессию импульса, что в свою
очередь увеличивает темп самомодуляции.
Надо сказать, что эти процессы рассматривались уже в работах,
относящихся к 1965—1967 гг. В те годы главный акцент в исследова-
исследованиях дисперсионных самовоздействий делался на изучении пространст-
пространственной самофокусировки волновых пучков.
Временные и пространственные самовоздействия; аналогии и
различия. Физика самовоздействия волнового пакета проиллюстри-
проиллюстрирована на рис. 2.2, на котором качественно показано, как изменяются
фаза импульса, его форма и частотный спектр s(a>) по мере распрост-
распространения в нелинейной диспергирующей среде с /г2>0 при &2<0. Много
общего с рассмотренным процессом имеет самовоздействие волнового
пучка. Начальный этап самовоздействия пучка, как и волнового па-
пакета, связан с фазовой самомодуляцией. Однако теперь это пространст-
пространственная самомодуляция, при которой неоднородное распределение ин-
интенсивности за счет нелинейности показателя преломления деформирует
волновой фронт. В среде с п2>0 при мощности пучка, превышающей
так называемую критическую Ркр, наведенная пространственная само-
самомодуляция приводит к сжатию пучка с колоколообразным распределе-
распределением интенсивности — возникает эффект самофокусировки [1].
71
Основные этапы самофокусировки пучка аналогичны самосжатию
волнового пакета. Поэтому при соответствующей замене параметров
рис. 2.2 также относится к самовоздействию волнового пучка, нагляд-
наглядно характеризуя трансформацию его волнового фронта, поперечного
распределения интенсивности и углового спектра s(kx). Вместе с тем
между рассматриваемыми процессами самовоздействия существуют и
определенные различия. Нелинейный отклик среды на волновой пакет,
как уже подчеркивалось, зависит от соотношения между длительностью
°>:
1
0,5
0
s/s0
\
\
\
!
/
0,2
2 A,
0,3
ao,Slto
0,5 z/LAUip, г/1л
0,5
0 12 3 kxa0,£2t0
Рис. 2.2. Самовоздействие спектрально-ограниченного волнового пакета и кол-
лимированного светового пучка в среде с кубичной нелинейностью (п2>0).
При самовоздействии волнового пакета (fe2<0): a — линии равной интенсивнос-
интенсивности на плоскости (г), г) (сплошные) и фаза самомодуляции при различных t,=ziLA
(штриховые); б — форма импульса; в — спектр импульса, испытывающего
ФСМ. Эти же картины применимы при самофокусировке пучка: а — вид сбоку,
лучи (сплошные) и волновые фронты при различных г//-диф; б — профиль и
в — угловой спектр пучка
импульса т0 и временем установления нелинейности тн1. Что касается
нелинейного отклика среды на волновой пучок, то для обычно исполь-
используемых сред без пространственной дисперсии отклик локальный. Не-
Нелинейная поляризация определяется соотношением F) и не зависит
от размера пучка. К наиболее кардинальным отличиям дисперсионных
самовоздействий волновых пакетов и пучков приводит различие в их
размерности.
Дисперсионные самовоздействия и неустойчивости. Указанное раз«
личие проявляется в следующем. При определенных условиях само-
самовоздействия импульсов и пучков возможны режимы нелинейного рас-
распространения без изменения их параметров: для импульсов — соли-
тонный режим, а для пучков — режим самоканализации (самозахваты-
(самозахватывания). Однако солитон является стационарной устойчивой волной
72
по отношению к малым возмущениям (§ 2.6), тогда как самоканализа-
самоканализация пучков — неустойчивым режимом (§ 2.8).
Следует также отметить, что раздельное описание пространствен-
пространственных и временных самовоздействий имело первоначально довольно отда-
отдаленное отношение к эксперименту. В подавляющем большинстве экс-
экспериментальных работ, выполнявшихся в конце 60-х — начале 70-х
годов с мощными импульсными лазерами, эффекты, обусловленные
пространственными и временными самовоздействиями, теснейшим обра-
образом переплетались, возникало их сильное взаимовлияние. Естест-
Естественно, что в этих условиях картина самовоздействия сильно
усложняется.
Существенно новые возможности открылись перед нелинейной
оптикой после создания высококачественных одномодовых волоконных
световодов. Здесь поперечная структура даже сравнительно мощного
лазерного излучения сохраняется на дистанциях 103 м, так что вре-
временные самовоздействия можно наблюдать в чистом виде.
§ 2.2. Уравнения нестационарен нелинейной оптики
Распространение плоского волнового пакета в изотропной среде
с кубичной нелинейностью описывается скалярным уравнением
дг2 с2 dt* ~ с2 ~~дГ* с2 dt* ' (Z.ZA)
где !Рт определяется соотношением B.1.4), а левая часть уравнения
имеет вид A.1.1). При выводе приближенных нелинейных уравнений
для комплексных амплитуд коротких световых импульсов следует учи-
учитывать, вообще говоря, дисперсию не только линейного, но и нелиней-
нелинейного отклика.
В этом параграфе мы выведем укороченные уравнения для диспер-
дисперсионных самовоздействий. Процедура упрощения левой части A) —
получение линейных укороченных уравнений для комплексных ампли-
амплитуд — подробно изложена в § 1.1. Здесь мы сосредоточимся на правой
части A). В соответствии с B.1.4) и B.1.5) компонента кубичной поля-
поляризации на частоте а»
^C>(со; t, z) = 1/2Pl3)@eMm^te) + K. с, B.2.2)
где медленно меняющаяся комплексная амплитуда поляризации
X A (t — h) A (t—tz) A* (/— U) егм «•-'.-'.> dtx dtt dt3. B.2.3)
Квазистатические и нестационарные самовоздействия. Если нели-
нелинейный отклик можно считать безынерционным, т. е.
Ин = тнл/т0<1, B.2.4)
то функцию отклика в C) можно представить как
B.2.5)
73
Подставляя E) в C), получаем
Pw (t)=3/aiS) И И (t) \2A (*). B.2.6)
В соответствии с F) для нелинейного источника в A) имеем
-с- B-2.7)
Слагаемые в этом соотношении различаются порядком малости по
параметру
ц=77ят0, B.2.8)
где Т — период оптического колебания; при этом первое слагаемое
имеет нулевой порядок малости, второе — 0(ц) и третье — О (ц2).
Параметр ц будем называть параметром волновой нестационарности.
В условиях, когда \лн, \л<ф. и
(точка означает временную производную), мы будем говорить о квази-
квазистатическом самовоздействии. Существует много важных примеров,
когда такое приближение применимо даже при длительностях импуль-
импульсов вплоть до 10~13 с; именно в этом приближении хорошо описываются
фазовая самомодуляция (§ 2.3) и солитоны в волоконных световодах
(§2.6).
Очевидным проявлением волновой нестационарности оказывается
нелинейная добавка к групповой скорости, поскольку производная
Первое слагаемое в этой формуле ответственно за формирование удар-
ударных волн огибающих *) (§ 2.4). Вместе с тем по мере сокращения дли-
длительности импульса все чаще приходится сталкиваться с сильными
проявлениями инерции нелинейного отклика (рис. 2.1); в поле пре-
предельно коротких импульсов длительностью 5—10 фемтосекунд инер-
инерционной становится, вообще говоря, и самая быстрая электронная
нелинейность.
Теоретическое описание нелинейных волновых явлений в этих
условиях основывается обычно на совместном решении волновых урав-
уравнений и динамических уравнений для нелинейного отклика. Относи-
Относительно просто последние выглядят для апериодического отклика. Если
нелинейная добавка к показателю преломления связана с инерцион-
инерционными эффектами (например, высокочастотным эффектом Керра для
анизотропно поляризующихся молекул), то динамическое уравнение
для нелинейной добавки An имеет вид
А\*. B.2.9)
dt ^ "" ~ 2
*) Об эффектах, обусловленных волновой нестацнонарностью при нелиней-
нелинейных взаимодействиях волн, см. § 3.2.
74
Аналогичным уравнением можно описать и нерезонансную нелинейную
добавку к показателю преломления в среде, нелинейный отклик кото-
которой описывается уравнением типа уравнения Дуффинга:
= qE(t, z). B.2.10)
Здесь Qo — собственная частота осциллятора, Г, у и q — коэффици-
коэффициенты, характеризующие соответственно затухание, нелинейность и
действие поля. В случае электронной нелинейности q=Nelm, где е, т—
заряд и масса электрона, N — число электронов в единице объема.
Для интересующего нас импульсного воздействия уравнение A0)
можно упростить, используя метод возмущений.
В линейном приближении (у=0), представляя решение A0)
в виде
9>ыу, z) = 1/ipA}{t)ei^t-k^ + K.c., B.2.11)
для медленно меняющейся амплитуды получаем
[( °^)] B.2.12)
Нелинейная часть поляризации 53131 на частоте а» в соответствии с
A0) определяется уравнением
г) + к- с- B.2.13)
Представим ,5м3' как
^C) (t, z) = V2Ae (t) A (t) e' «■>'-fa> + к. с. B.2.14)
Считая добавку Ае к диэлектрической проницаемости действительной
величиной, получаем для нее укороченное уравнение
Отсюда следует, что в общем случае при действии импульсного поля
временное поведение нелинейной добавки в силу A2) отличается от
поведения, характеризуемого уравнением (9). Однако вдали от резо-
резонанса (Q20—@2>2шГ), когда время изменения огибающей то^>1/Г,
применимо квазистатическое соотношение pil)=qA (t). Тогда, выражая
Ае через А/г (А/г=Ае/2|^е^), для А/г получаем в точности урав-
уравнение (9).
Отметим, что изложенный расчет дает зависимость времени тнл от
частоты со; тнл=2Г/(Й§—со2). Разумеется, вблизи резонанса классиче-
классическая модель ангармонического осциллятора не пригодна и нелинейный
отклик описывается уравнениями типа уравнений Блоха; самовоздей-
самовоздействия в этих условиях носят сложный характер (§ 2.7).
Если на основе микроскопической модели рассчитать функцию
нелинейного отклика 5CC'(*i> t2, t3), теорию нестационарных самовоз-
самовоздействий можно построить, разлагая подынтегральное выражение в
C) в ряд Тейлора по временам запаздывания, аналогично тому, как это
75
делалось для линейной диспергирующей среды в § 1.1. В первом при-
приближении нелинейной теории дисперсии из C) получаем
B.2.16)
Это соотношение аналогично A.1.9) в первом приближении линейной
теории дисперсии. В рассматриваемом случае в нулевом приближении
по параметру [хн нелинейный источник в A) имеет вид
4д
с2 dt2 ~~
(^J[^|]г) + к. с. B.2.17)
Из сравнения A7) с G) видно, что дисперсия нелинейности (инер-
(инерция нелинейности) может приводить, как и волновая нестационарность,
к формированию ударных волн огибающей. При этом добавка к груп-
групповой скорости зависит от знака производной д%("/дю. При д%C)/дсо>0
она имеет противоположный знак по сравнению с добавкой, обуслов-
обусловленной волновой нестационарностью G).
Выведенные в настоящем параграфе выражения для нелинейной
поляризации A7) и G) совместно с выражением для индукции электри-
электрического поля A.1.9) позволяют перейти от точного интегродифференци-
ального описания A) явления самовоздействия к описанию с помощью
только дифференциальных уравнений, учитывающих в различных по-
порядках дисперсию линейной и нелинейной восприимчивостей и эффек-
эффекты волновой нестационарности. Конкретный вид приближенных урав-
уравнений теории самовоздействия коротких импульсов приведен в следую-
следующих параграфах.
§ 2.3. Фазовая самомодуляция регулярных импульсов
Среда с безынерционной нелинейностью. Мы начнем с рассмотре-
рассмотрения простейшей задачи о квазистатическом самовоздействии плоского
волнового пакета. В первом приближении линейной теории дисперсии
этот процесс в соответствии с B.2.1), B.2.7) и A.1.9) описывается урав-
уравнением
§ГТ1Г ИМ=0, B.ЗЛ)
где
рх = ЗяхC)£0/2/г20 = kon2/2no B.3.2)
— нелинейный коэффициент. Уравнение A) является приближенным
в отношении учета нелинейности среды, поскольку при его получении
в B.2.7) оставлено лишь первое слагаемое (нулевое приближение по
волновой нестационарности). Решение A) в бегущей системе координат
(i\=t—z/u)
А (ц, г)=А0(ц) ехр(—/р^ЛоРг), B.3.3)
76
или, для действительной амплитуды p(r\, z) и фазы ц>{ц, г),
ф(Т], 2) = — РЛ(Т]J, B.3.4)
где считаем фо('П)=О, р1=А0/г2.
Из D) видно, что огибающая импульса распространяется с группо-
групповой скоростью и и остается неизменной. Напротив, фаза импульса ме-
меняется пропорционально пройденному расстоянию и интенсивности
Рис. 2.3. Форма гауссовского^импульса (а), приведенные фаза Ф=ф/фтах (б),
девиация частоты 6со@=6»(£)/6а>0 (в) и скорость изменения частоты a(t, г)=
=a(t, г)/а@, z) (г) в зависимости от времени t=ti/to; 6а>0=2фтах/т0, a @, г)=
/0(ti) — возникает фазовая самомодуляция (ФСМ). Изменение часто-
частоты импульса за счет самовоздействия
б© (/) = dqldt = — ~$хгд10 (г\)/дц. B.3.5)
Рассмотрим связанное с ФСМ изменение спектра гауссовского
импульса. Введем максимальный фазовый сдвиг
Фтах = max I ф I = К/,, @) z B 3.6)
t v '
и нелинейную длину ФСМ — дистанцию, на которой Фшах= 1,
А->ф—Wl1 а) • (Z.O.I)
С ростом фшах диапазон изменения частоты бсо(^) E) увеличивается.
Графики на рис. 2.3 показывают временной ход бш(^) и скорости ее
изменения.
Спектральная плотность импульса, испытавшего ФСМ, определя-
определяется соотношением
+ 00
= Bя)"
po(t)exp{—i[Qt-(f(t, z)]}dt
. B.3.8)
Хотя (8) внешне выглядит просто, получить точные аналитические
результаты, как правило, не удается. На рис. 2.4а представлены расче-
77
ты формы уширенного спектра гауссовского импульса при различных
значениях фазы <ртах. С ростом <ртах в спектре импульса появляется
модуляция. Кривые на рис. 2.4а построены для не слишком больших
значений <pmax.
Рис. 2.4. Спектр гауссовского импульса при различных максимальных значе-
значениях фазы фтах: а — теория, б — эксперимент [4]
Для Фтах^"! (на расстояниях ф>Ьф) ширина спектра импульса
определяется главным образом ФСМ, амплитуду при этом можно счи-
считать медленно меняющейся. Указанное обстоятельство позволяет для
расчета (8) воспользоваться методом стационарной фазы. В точке
78
стационарной фазы tj
&»(*,) = Q. B.3.9)
Из рис. 2.3s видно, что при Q>0 условию (9) можно удовлетворить в
моменты времени ti и t2 (^=т/г0), а при Q<0 — в моменты времени
—U и —^2- Поэтому спектр будет симметричен относительно ча-
частоты @0.
Максимальное смещение частоты 8o>(t) для гауссовского импульса
A.1.25) равно
So>max = (Щ11* Фтах/то = 0,43фтахАаH) B.3.10)
где Асоо определяется A.1.26). Основная энергия импульса сосредото-
сосредоточена в полосе частот
Да/ = 0,86ФтахДа>0. B.3.11)
Запишем результат интегрирования (8) в стационарной точке (9) как
A(t,)exp{i[<p(tj, г)-Ш,]}, B.3.12)
где
A (tj) = [- Йяф (t;, г)]~ v» p0 (tj). B.3.13)
Для спектральной плотности (8) получим
s(u) = gH+Q, z)~\A{t1)\* + \A{tt)\* +
+ 21Л (/жI1Л (/,) | cos [Ф(/я, г)-ф(*„ г)-й(и—^)]. B.3.14)
Интерференционный член описывает модуляцию спектра, амплитуда
и период которой увеличиваются к его краю. Вид уширенного спектра
гауссовского импульса, рассчитанного для большого значения фтах,
-300 -200 -100 0 100 200 300 S2,cm~1
Рис. 2.5. Спектр гауссовского импульса, испытавшего фазовую самомодуляцию,
Для фтах>1 [51
приведен на рис. 2.5. Полное число максимумов в спектре равно целой
части от фтах/я.
Рассмотренные особенности нелинейного уширения спектра впер-
впервые были выявлены Шимицу [6].
Если отвлечься от тонкой структуры уширенного спектра, то для
его среднеквадратичной ширины A.1.21) можно получить выраже-
выражение [9]
Дсоск= [1 + @,88ФтахJ]'/* До)ско. B.3.15)
7;}
При Фтах^>1 формула A5) дает значение, практически совпадающее
с шириной Асо' A1), оцениваемой по максимальному смещению часто-
частоты. Авторы [20] рассчитали уширение спектра для случайных сверх-
сверхкоротких импульсов и получили выражение для среднеквадратичной
ширины спектра,
Ло& = [1 + Bfr </„> гу] Ла& „ B.3.16)
которое аналогично A5).
Обзор работ, выполненных на раннем этапе исследований по уши-
рению спектра при самовоздействии пикосекундных световых импуль-
импульсов, можно найти в [7]. Отметим, что корректная интерпретация экс-
экспериментальных данных была сильно затруднена конкурирующими
нелинейными явлениями, прежде всего самофокусировкой.
Впервые ФСМ сверхкоротких импульсов в отсутствие самофокуси-
самофокусировки реализовали авторы [8] в капиллярном волоконном световоде,
заполненном CS2. Наиболее «чистые» экспериментальные данные по
самовоздействию импульсов сточки зрения сопоставления их с изло-
изложенной теорией ФСМ были получены в [4]. Авторы исследовали зави-
зависимость формы спектра на выходе волоконного световода от входной
энергии импульса (рис. 2.46) и получили хорошее согласие с тео-
теорией A1).
Изложенные результаты относятся в ФСМ симметричных импуль-
импульсов. Нетрудно убедиться, что асимметрия огибающей импульса при-
приводит к асимметрии спектра.
Среда с релаксирующей нелинейностью. Рассмотренное квазиста-
квазистатическое самовоздействие справедливо, если длительность импульса
То намного превышает время установления нелинейности тнл. Такая
ситуация в волоконных световодах сохраняется вплоть до то~1О~13 с
(тнл-<10~14 с). Напротив, если используется высокочастотный эффект
Керра в жидкости (тнл~10~12 с), учет конечной скорости нелинейного
отклика становится существенным уже в пикосекундном диапазоне
длительностей. В этом случае для расчета An нужно пользоваться
B.2.9). Ограничиваясь по-прежнему нулевым приближением по волно-
волновой нестационарности, для описания процесса самовоздействия полу-
получаем уравнение
+ 1%Ьп(\А\>)]А(и 2)=0 B.3.17)
(ср. с A)). Согласно A7) и B.2.9) фазовая добавка, обусловленная само-
самовоздействием, равна
Ф(Ч, г) = -'|££ ( Р1@ехр'-=ЗЛ. B.3.18)
■"-т^нл J тнл
В предельном случае
— 00
\
80
и изменение частоты определяется выражением
B-3.19)
Смещение частоты по всему импульсу отрицательно (п2>0). Поэтому
точки стационарной фазы (9) существуют лишь для отрицательных
700 К,нн
Рис. 2.6 Вид уширенного спектра для гауссовского импульса с Тл=2,7 пс и вре-
временем установления нелинейности гнл=9 пс для Фтах=265 [10]
частот Q. А это означает, что в предельном случае «медленной нелиней-
нелинейности» спектр импульса уширяется только в низкочастотную, стоксову
область.
Для гауссовского импульса максимальные изменения фазы и
частоты
Фтах = max | ф |
= — рЯя.г/2сгм. B.3.20)
Оба параметра обратно пропорциональны времени хнл. Вид уширен-
уширенного спектра гауссовского импульса для конечного значения тнл изо-
изображен на рис. 2.6, спектральное распределение существенно несим-
несимметрично относительно центральной частоты исходного импульса.
§ 2.4. Ударные волны огибающей
Картина временной ФСМ импульса неизменной формы, на которой
базируются изложенные выше представления, соответствует реальной
ситуации лишь на первых этапах самовоздействия. Форму фазово-мо-
дулированного импульса можно считать неизменной только до тех
пор, пока справедливо первое приближение теории дисперсии. Какова
поведение уширенного спектра, огибающей и фазы при одновременном
наличии ФСМ и дисперсии групповой скорости? Эта проблема обсуж-
обсуждается в § 2.6 и гл. 4 и 5.
Здесь мы хотим, однако, обратить внимание, что в особых случаях
существенное нелинейное искажение формы огибающей возможно и в
отсутствие дисперсии. Речь пойдет об ударных волнах огибающей,
возникающих при распространении достаточно мощных коротких им-
импульсов в нелинейной среде, корректное описание которых требует
учета волновой нестационарности в первом порядке по параметру
\i B.2.8). Для анализа обсуждаемого эффекта исходным является
81
уравнение
^. + /р1|Л|М + р2-|г(|Л|М)=я0, B.4.1)
которое записано в бегущей системе координат и где p2=«2/c. Наличие
дополнительного слагаемого в A) приводит, как отмечалось в § 2.2,
к зависимости групповой скорости от интенсивности распространяю-
распространяющегося импульса. На это обстоятельство впервые обратил внимание
Островский [11].
Нелинейная добавка к групповой скорости для среды с я2>0 при-
приводит к укручению хвоста импульса при его распространении. В
случае и2<0 происходит укручение фронта импульса — ситуация во
многом аналогичная генерации ударных волн в акустике. Накапли-
Накапливающиеся с расстоянием изменения формы импульса могут быть столь
сильными, что возможно образование ударной волны огибающей.
Обратимся к конкретному анализу. Переходя к огибающей и фазе
из C), получаем систему
| ^ B.4.2)
^ ^ - B-4.3)
Уравнение B) представляет собой уравнение простой волны. В теории
волн в слабо диспергирующих нелинейных средах (нелинейные линии
передачи, нелинейная акустика), основанной на развитом Хохловым
[12] методе медленно меняющегося профиля, уравнение типа B) полу-
получается для самого поля. Эта аналогия позволяет ряд результатов для
простых волн, например, из области нелинейной акустики [13], пере-
перенести на простые волны огибающей.
Деформация огибающей. Решение B) имеет неявный вид
П.2)). B.4.4)
Проанализируем D) для гауссовского импульса, для которого
B.4.5)
Для построения формы импульса в нелинейной среде последнее соот-
соотношение удобно представить как
Ti/T0=3p2zp2/VF[2 Info/pe)!1'2, B.4.6)
где знак минус относится к фронту импульса, а плюс — к хвосту.
Изменение формы импульса при распространении иллюстрирует
рис. 2.7. Видно, что импульс деформируется: фронт становится более
пологим, а хвост, напротив,— более крутым. Происходит «самообост-
«самообострение» фронта *) (в английской литературе принят термин self-steepen-
self-steepening)-
*) Заметим, что в двухуровневой среде возможно увеличение крутизны
фронта импульса за счет его преимущественного усиления [21].
82
В соответствии с выражением E) максимум импульса распространя-
распространяется со скоростью им=и/A+Зр2мро)> меньшей групповой скорости
и в среде. Укручение хвоста импульса в конечном итоге приводит к
образованию разрыва, для которого др/дт|=со,— формируется удар-
ударная волна огибающей. Это происходит на расстоянии
z = Lp = (e/2)i/2T0/3p2p2 « 7уотояо/Аптах, B.4.7)
которое называют длиной образования разрыва (vo=c/no,
=п2ро/2). Длина Ьр приближенно
соответствует расстоянию, на кото-
котором максимум импульса смещается на
его полуширину.
Приведем оценку Lp. Для CS2 и им-
импульса длительностью то= 1 пс с макси-
максимальной интенсивностью /0=ЮГВт/см2
длина Lp«l м. Для среды с нелиней-
нелинейностью я2~10"3 СГСЭ и импульса с
/0=Ю11 Вт/см2 и то=10 фс длина
Lp7a2Q см. Эти оценки показывают, что
рассматриваемый эффект может наблю-
наблюдаться в эксперименте.
С учетом затухания F0^0) для Lp можно получить
L'p = (—1/28.) In [I — Be)i/2 то6о/3р2р2].
г t
Рис. 2.7. Форма гауссовского
импульса (/) в нелинейной сре-
среде B) при aPspiforW 1 [14]
B.4.8)
Таким образом, наличие затухания «затягивает» образование ударной
волны. Очевидно, что при L6—l/280<.Lp ударная волна не образуется.
Соответствующее критическое значение затухания
бкр = Зр2р02 Bе)-Ч* т0 =, l/2Lp. B.4.9)
Отметим, что ударные волны огибающей в отсутствие дисперсии
групповой скорости теоретически изучались в [14—17], а при наличии
дисперсии и релаксации нелинейности в [11, 14, 18, 19]. Первые по-
попытки экспериментального наблюдения ударных волн огибающих в
оптике были сделаны в конце 60-х годов [7]. К сожалению, однозначная
интерпретация экспериментальных данных была затруднительна из-за
существенного влияния пространственной самофокусировки.
Гришковский и др. [22] непосредственно наблюдали искажение
формы 10 не импульса лазера на красителе в парах Rb, обусловленное
формированием ударной волны огибающей, фазовой самомодуляцией,
дисперсией линейной и нелинейной частей показателя преломления
(рис. 2.8). Для пико- и фемтосекундных импульсов прямые наблюдения
формы пока невозможны, информацию о характере самовоздействия
в этом диапазоне длительностей можно получить из спектра. Вид спект-
спектрального уширения в условиях проявления описываемой уравнениями
B), C) нелинейной добавки к групповой скорости отличается от тако-
такового при безынерционной ФСМ B.3.1). Проиллюстрируем сказанное
приближенным расчетом, выполненным для неизменной формы им-
импульса (z<^Lp, см. также [23]).
83
Уширение спектра. Запишем огибающую в виде р2(т|, z)=pj)X
Xsech(r]/To), тогда решение C) имеет вид
2ф(т], 2)=- —oHTi + u)gT0Arsh[sh(Ti/T0)—n2p§z/cxoj. B.4.10)
В соответствии с A0) относительное изменение частоты *)
6o>/too=V2{[l+(Q2—2Q sh т) ch-s-c]-1^—1}, B.4.11)
где Q=rt2poz/cto, х=у\/т0. Максимальные смещения частоты в стоксову
Рис. 2.8. Самообострение огибающей светового импульса (экспериментальные
данные [22]). Входные импульсы — слева, выходные — справа. Масштаб по осн
абсцисс — 5 не на деление. Осциллограммы соответствуют различным отстрой-
отстройкам перестраиваемого лазера от частоты резонанса шр линии атома Rb (Лр=
= 794,8 нм), (шр—ш„)/2яс=0,24 см (а), 0,20 (б), 0,23 (в), 0,78 (г)
(Q>0)
и антистоксову бсотах области определяется соотношением
- 1/2.
B.4.12)
*) Выражения A0), A1) отличаются от соответствующих формул работы
[23] в 2 раза. Это различие (см. также [24]), по нашему мнению, связано с тем,
что развитый в [23] метод учитывает лишь зависимость групповой скорости от
интенсивности.
84
При Q<^1 из A2) следует результат 6oumaax==FQaH/4, совпадающий с
таковым из теории фазовой самомодуляции § 2.3 — уширения спектра
симметричны относительно частоты со0.
В случае Q^>1 максимальное уширение в стоксову область бсо^ахяа
л;—со„/2, а в антистоксову — eco^ax^Q^o^. Следовательно, при
Q^>1 спектральное распределение импульса становится сильно асим-
асимметричным, эта асимметрия связана с наличием слагаемого p\o2dcp/dn
в C). Авторы [23] с помощью развитой теории интерпретировали дан-
данные экспериментов, выполненных Форком и др. [25]. 80-фемтосекунд-
ный импульс, излучаемый на длине 627 нм, за счет самовоздействия
генерировал континуум от 190 до 1600 нм. Лазерное излучение
фокусировали в пленку, содержащую этиленгликоль, и при интенсив-
интенсивности /0«1014 Вт/см2 наблюдали уширение спектра в стоксову
(S»max/co0=—0,6) и антистоксову (б Ютах/со о=2,3) области.
Авторы [26] привлекали картину формирования ударных волн
огибающих для интерпретации уширений спектра импульсов в капил-
капиллярных волоконных световодах. В [27] выполнен расчет спектра сверх-
сверхкоротких импульсов в нелинейной среде при учете конечного времени
установления нелинейной добавки к групповой скорости.
В основе изложенной в настоящем параграфе теории уширения
спектра и развитого в [23] подхода, лежит метод медленно меня-
меняющихся амплитуд. Ясно, что результаты такой теории неприме-
неприменимы, когда длительность импульса составляет несколько периодов
несущей частоты. В этом случае необходимо решать непосредственно
уравнение B.2.1). Заметим, что в [24] это уравнение решено методом
многих масштабов и получено как изменение формы огибающей им-
импульса, так и асимметричное уширение спектра.
§ 2.5. Самофокусировка сверхкоротких импульсов
Предыдущее рассмотрение относится к нелинейному распростране-
распространению плоских волновых пакетов. Вместе с тем анализ пространственно
модулированных сверхкоротких импульсов в линейных средах (§ 1.6)
показал усложнение картины распространения по сравнению с плос-
плоской волной. Что нового может привнести пространственная модуля-
модуляция коротких импульсов в явление временого самовоздействия?
Ответ на этот вопрос — цель настоящего параграфа.
Комплексная амплитуда волнового пакета в первом приближении
линейной теории дисперсии и нулевом приближении по волновой не-
нестационарности удовлетворяет уравнению
<Я. Г, z)=--0, B.5.1)
которое записано в бегущей системе координат. Для случая инерци-
инерционной нелинейности Дя(|Л|2) есть функционал, задаваемый B.2.9).
Стационарная самофокусировка. В этом случае вместо A) имеем
2)=0- <2-5-2)
85
Обратимся для наглядности к решению, получаемому для коллимиро-
ванных гауссовских пучков,
А0(г) = А(г, г = 0) = Л,ехр(—г»/2св), B.5.3)
в так называемом безаберрационном приближении. Полагая, что в не-
нелинейной среде пучок сохраняет свою форму, решение B) ищем в виде
A(r, ^-^expf—^-1^-А5г«-.-ф(г)], B.5.4)
Подставляем D) в B). В приосевом приближении (r<^f(z)a0), когда в
нелинейном члене производится замена
приравнивая нулю коэффициенты перед различными степенями г,
получаем [33]
-g-= &&-£«)/-'(*), B-5-5)
Здесь £дИф и /нл — характерные длины:
Lm<b = koal 1вл = а0Bпа/п2\А\*у/К B.5.7)
Функция f(z) характеризует ширину пучка, a g(z) и ц>(г) — фазовую
самомодуляцию в пространстве.
Решением E) является
Р (г) = 1 + (^Ф-Й) z2 = 1 + B/^яифJ A -ЛАРкр). B.5.8)
где Ро=1/всЯо<2()Ло — полная мощность пучка,
Р¥р = а2/16п2п2 B.5.9)
— критическая мощность (к — длина волны в вакууме). Видно, что
при Р0—РКр дифракция и нелинейная рефракция уравновешиваются
и радиус пучка остается постоянным. Если же Ро>Ркр, нелинейная
рефракция превалирует над дифракцией, в результате пучок самофо-
самофокусируется [29]. Фокальную длину распределенной нелинейной линзы
(длину самофокусировки) Lc4 можно найти из условия f(Lci>)=0:
4ф = £ДИф(Л/ЛсР-1)-1/2. B-5.10)
Подчеркнем, что этот результат относится только к приосевой части
пучка: выражение D) не удовлетворяет строгому уравнению B). Бо-
Более точное решение можно получить численными методами. При этом
гауссовский пучок C), согласно [28], при Р0>Р'кр фокусируется на
расстоянии
L^C0[Pl"-0,852(P'Kpf"]-\ B.5.11>
86
где
Со = 0,361диф (Р'кру/*, Р'кр = A.22А.)» с/ 128п2.
Строгий анализ самофокусировки гауссовского пучка обнаруживает
качественное отличие от картины приосевого приближения: пучок не
фокусируется в точку как целое, периферийные лучи пересекают ось
пучка на больших расстояниях, чем приосевые. В поперечном сече-
сечении пучка аберрации проявляются в виде кольцевой структуры рас-
распределения интенсивности.
Из A0), A1) следует, что темп самофокусировки немонотонно зави-
зависит от исходного радиуса пучка. Поэтому существует оптимальный ра-
радиус аопг, при котором длина Lcfc минимальна. Из условия дЬс$/даа=0
находим
«опт = ЩХ (ПО/ПЛ)Ф = ^ B«аЯ/»I/2 • B-5.12)
Выражение A2) для аопт с точностью до коэффициента совпадает с
полученным методом возмущений характерным масштабом неоднород-
неоднородности, имеющей максимальный инкремент по z (см. [30] и § 2.8). На-
Наличие такого масштаба играет существенную роль при самофокусиров-
самофокусировке пучков со сложным амплитудным профилем, подчеркивая неодно-
неоднородности размером a0ftaom. В результате самофокусирующиеся пучки
оказываются неустойчивыми по отношению к поперечным возмущени-
возмущениям. В средах с n2~10~10 cmVkBt (например, CS2) для лазерного излу-
излучения с Х=1,06 мкм и интенсивностью /а= 100 МВт/см2 аопт«50 мкм.
Увеличение интенсивности лазерного излучения приводит к уменьше-
уменьшению размера неоднородностей йопт.
Квазистатическая самофокусировка. Такой процесс происходит
при длительности импульса гораздо больше времени установления
нелинейности (То^>?нл) и описывается уравнением B), в которое бегу-
бегущее время r\ — t—zlu входит как параметр; при этом А0(г) заменяется
на Л0(п, г) и Л (г, г) — на Л (r\, r, z). Как следствие длина самофокуси-
самофокусировки становится функцией времени — возникает движение фокальной
точки. В безаберрационном приближении
А* = IA (*- W") ^кр1-1]/2 ^диф B.5.13)
Представление о движущихся фокусах впервые было развито Луго-
Луговым и Прохоровым [31]. Самофокусируется та часть импульса, для
которой мощность P0(t)>PKP. Временная диаграмма движения фоку-
фокусов показана на рис. 2.9. Для времени установления нелинейности
Тн^Ю1—Ю~12 с модель движущихся фокусов применима вплоть
до субнаносекундных импульсов.
Согласно D), (8) интенсивность импульса в безаберрационном при-
приближении
/(т), г, z)= Г2(Л, z)IB(ri)exp[-rV(f4% 2H?)], B.5.14)
где
)(z/LmtY- B.5.15)
87
Из A4) нетрудно найти, что в предфокальной области (или при слабой
фокусировке) длительность импульса
[ 1 - V, (Ро @)/Я.Р) (z/Lmi>y A -
B.5.16)
40
20
Отсюда видна тенденция к сжатию импульса с ростом z и увеличением
мощности пучка Р0@). Наименьшая длительность, как и при фокуси-
фокусировке линзой, наблюдается в центре пучка, к его периферии она растет.
Очевидно, что в области движущихся фокусов уменьшение тя может
быть значительным. В ти-
типичных случаях значение
длительности сжатых та-
таким путем импульсов сос-
составляет 10—100 пс [10,42].
A/ jf Картина фазовой само-
самомодуляции при квазиста-
квазистатической самофокусировке
сложнее, чем рассмотрен-
рассмотренная в § 2.3. Помимо того,
что происходит сжатие им-
импульса, фазовый набег ме-
меняется в поперечном сече-
сечении пучка. В результате
ширина спектра значитель-
значительно превышает ширину,
вычисленную по B.3.11)
для импульса в отсутствие
самофокусировки.
Интересные результаты
получены в [411 при числен-
численном расчете квазистатичес-
квазистатической самофокусировки су-
супер гауссовских пучков. Об-
Область движения фокуса
зависит от вида пространственного распределения и достигает мак-
максимального значения при гауссовской форме. Показано также, что
самофокусировка пучка в совокупности с пространственной фильтра-
фильтрацией в оптической системе позволяет повысить контраст импульса и
управлять формой огибающей последовательности импульсов.
В заключение рассмотрения модели движущихся фокусов отметим,
что с ее помощью удалось преодолеть многие трудности интерпретации
самофокусировки импульсов. Для более детального знакомства с этим
вопросом можно обратиться к [5, 7, 31—34].
Нестационарная самофокусировка. При длительностях импульсов
т0, сравнимых с тнл, для анализа самофокусировки нужно исходить из
уравнений A) и B.2.9). Здесь самовоздействия фронта и хвоста импуль-
импульса существенно различаются. На временах ^тнл нелинейный отклик
B.2.9) не успевает установиться, поэтому фронт распространяется так
же, как в линейной среде. Напротив, хвост импульса может сильно са-
86
Рис. 2.9. Квазистатическая картина движе-
движения фокальной точки самофокусирующегося
пучка с относительно медленной модуляцией
амплитуды во времени [32]: а — временной
ход мощности импульса; б — положение фо-
фокальной точки
мофокусироваться. Теория нестационарной самофокусировки была
развита Ахмановым, Сухоруковым и Хохловым 135].
В безаберрационном приближении решение A) по-прежнему можно
искать в виде D), учитывая B.2.9) и зависимость Ao(t)=Aop(t), где
р@ —форма импульса. Тогда, например, для /(т], z) получаем (ср. с
E))
Г-2 t-з /-2T-l
^Диф/ ьнльнл
■dt.
B.5.17)
Решение A7) определяет временную и пространственную эволюцию
радиуса пучка. Качественно картина нестационарной самофокусиров-
самофокусировки изображена на рис. 2.10, где показано как распространяются раз-
различные части импульса. Части а и б дифрагируют в линейной среде;
едгВЗа
Рис. 2.10. Картина нестационарной самофокусировки короткого светового им-
импульса [33]. На переднем фронте нелинейный отклик еще не установился и про-
происходит линейное распространение импульса, задняя часть импульса сжимается
за счет нелинейной рефракции: а — временной ход мощности импульса; б —
форма пучка
для соответствующих им моментов времени т|<^тял значение An чрез-
чрезвычайно мало и самофокусировка отсутствует (/2=l+z2/L^). Для
частей в—е величина An достаточна, чтобы привести к самофокусиров-
самофокусировке. В результате пучок трансформируется, приобретая форму рупора,
а на хвосте импульса образуется оптический волновод [1].
Стационарный режим нелинейного распространения в случае
/нл=/.диф может реализоваться при больших временах. Действитель-
Действительно, из A7) имеем
Т-нл
■dt.
B.5.18)
Если p(/) для простоты полагать прямоугольной функцией длительно-
длительностью т0, то решением A8) при 11>тнл является /=1. Чтобы выявить
динамику оптического волновода, примем во внимание слабую зави-
зависимость / от времени. Тогда получаем выражение
ъУе^ч, B.5.19)
89
которое описывает поведение как фронта (т)<^тнл), так и хвоста
(т]>-тнл) импульса. Определяя ширину оптического волновода по
уровню /г=2, имеем соотношение
B.5.20)
связывающее длину волновода z со временем его развития
В соответствии с B0) скорость распространения волновода
ив = A/иН-2твл/2)-1
B.5.21)
меньше групповой скорости и импульса. Поэтому длина оптического
волновода будет меньше пройденного волной расстояния. Наиболее
О
1,0
2,0 3,0
а
5,0 -300 -200-100 0 100 200 300
Рис. 2.11. Нормированные формы импульса (а) и спектра (б) на оси пучка при
нестационарной самофокусировке на различных расстояниях г [37]. Кривые
рассчитаны для CS2 при максимальной интенсивности 280 МВт/см2, радиусе
пучка 125 мкм и длительности импульса 3,8 пс, время установления нелиней-
нелинейности — 2 пс
яркая, волноводная часть пучка при наблюдении проявляется как
нить. Однако на расстояниях, значительно превосходящих простран-
пространственный масштаб ит0, дифракция приводит к нарушению волновод-
ного режима распространения.
Рассмотренная выше качественная картина нестационарной само-
самофокусировки подтверждается результатами численного анализа [36—
38]. Исследовались изменения во времени радиуса пучка [37, 38],
формы импульса и спектра [36—38]. Установлено, что по мере рас-
распространения в нелинейной среде первоначально симметричный им-
импульс становится асимметричным с более крутым хвостом, и на отно-
90
сительно больших длинах может появиться модуляция огибающей-
Гораздо более существенные изменения при нестационарной самофоку.
сировке претерпевает спектр импульса, который уширяется в стоксову
область. Сказанное иллюстрируется графиками на рис. 2.11, рассчи-
рассчитанными для CS2(thji»2 пс) и входного пучка с радиусом 125 мкм и
максимальной интенсивностью 280 МВт/см2; полная ширина импульса
по половинному уровню составляла 3,8 пс.
Экспериментальные исследования по нестационарной самофоку-
самофокусировке выполнены в работах [39, 40]. Опыты проводились с импуль-
импульсами длительностью 10 не излучения рубинового лазера. В качестве
нелинейной среды использовались жидкие кристаллы МВВА [39] и
EBB A [40], что позволило авторам [401 с помощью изменения темпера-
температуры кристалла менять время тнл в широком диапазоне; отношение
то/тнл изменялось от 0,21 до 11,3. Режим самофокусировки таким обра-
образом варьировался от нестационарного до квазистатического. Получен-
Полученные результаты эксперимента согласуются с изложенными теоретиче-
теоретическими представлениями.
§ 2.6. Сверхуширение спектра; спектральное описание
временных самовоздействий
Явление фазовой самомодуляции на спектральном языке проявля-
проявляется как уширение спектра импульса. Ширина спектра, как показано
в § 2.3—2.5, зависит от нелинейности среды и пройденного расстояния.
Однако в целом ряде экспериментов с импульсами пико- и фемтосе-
кундной длительности наблюдались уширения спектра, существенно
превышающие предсказываемые формулой B.3.11), простирающего-
простирающегося, как правило, от ультрафиолетового до инфракрасного излучения.
Этот эффект принято называть сверхуширением или генерацией супер-
суперконтинуума. Исследования сверхуширения спектра пикосекундных
импульсов проводились главным образом в 70-е годы (см., например,
[43—48]). В последнее время были выполнены эксперименты по сверх-
уширению спектра фемтосекундных импульсов [49—52]. Интерес к
постановке таких опытов связан с весьма высокими интенсивностями
и напряженностями электрических полей, которые можно получить
с этими импульсами. Ниже мы остановимся на некоторых результатах
экспериментов с фемтосекундными импульсами.
На рис. 2.12 показаны типичные примеры генерации спектрального
континуума импульсами длительностью 2 пс и 70 фс в газах (энергия
И?~0,5 мДж, длина волны Х=0,6 мкм) [50]. Поведение спектров в го-
голубой области одинаково для разных газов и давлений и различных
максимальных интенсивностей. В противоположность этому спектраль-
спектральная плотность в красной области изменяется в зависимости от состава
газа, давления и интенсивности импульса. Во всех случаях генерация
континуума имела четкий порог. Для фемтосекундных импульсов про-
произведение давления газа на пороговую мощность импульса оставалось
практически постоянным при изменении мощности в 30 раз.
В [51] исследовано спектральное уширение в воздухе импульсов
длительностью 85 фс на длине волны 628 нм (энергия 0,3 мДж). Про-
91
ведены два типа экспериментов по изучению уширения спектра в
зависимости от пройденного импульсом расстояния и от энергии фоку-
фокусированного импульса. В [52] наблюдалось сильное спектральное уши-
рение при распространении в атмосфере ультрафиолетовых импульсов
(Л=308 нм) длительностью 350 фс.
Модели сверхуширений спектра. С точки зрения интерпретации
картины сверхуширений спектров пико- и фемтосекундных импульсов,
вообще говоря, довольно сложны. Часто важную роль играет совмест-
совместное проявление нескольких нелинейно-оптических эффектов. Действи-
Действительно, сверхуширения спектров, изображенных на рис. 2.12, не
объясняются явлением фазовой самомодуляции, поскольку за счет
10,0
9,0
8,0
7,0
Б,0
400
500
600
700
•Я,им
Рис. 2.12. Спектральный континуум в различных газах. Ксенон: давление
30 атм, длительность импульса 70 фс крестики); 15 атм, 2 пс (кружки). Азот:
40 атм, 2 пс (квадратики) [50]
последней спектральная плотность должна расти к краю спектра
(рис. 2.5). Авторы [50] связывают сверхуширения спектров (рис. 2.12)
с самофокусировкой — порог самофокусировки совпадал с измеренным
порогом генерации континуума с точностью 20 %. О возможной от-
ответственности за сверхуширение спектров пикосекундных импульсов
взаимодействия временной и пространственной модуляций при само-
самофокусировке ранее указывалось в [431. В ряде случаев сверхуширение
коротких импульсов обусловлено, по-видимому, движением фокусов
при самофокусировке [7, 32]. В [46] отмечена связь возникновения
сверхуширенного спектра с лавинной ионизацией среды. В [47, 48]
генерация пикосекундного светового континуума в жидкостях связы-
связывается с четырехфотонными параметрическими процессами. В [5]
уширение спектра сверхкороткого импульса интерпретируется сов-
совместным действием фазовой самомодуляции, самосжатием, вынужден-
вынужденным комбинационным и релеевским рассеяниями.
В цитированных выше работах сверхуширения спектра наблюда-
наблюдались в центросимметричных нелинейных средах. Недавно авторы [54]
92
исследовали генерацию пикосекундного континуума в средах с квадра-
квадратичной нелинейностью. Установлено, что ответственным за формирова-
формирование континуума является совместное действие параметрического про-
процесса и вынужденного комбинационного рассеяния.
Обсудим еще один возможный механизм уширения спектра — фазо-
фазовую кросс-модуляцию. Применительно к нелинейной оптике этот эф-
эффект впервые анализировался в [55]. Суть его состоит в следующем.
При одновременном распространении в кубичной среде на разных час-
частотах слабого и интенсивного коротких импульсов последний вызывает
изменение фазы слабого импульса. Фазовая кросс-модуляция, подоб-
подобно эффекту самомодуляции, приводит к уширению спектра слабого
импульса. В [56] рассчитано индуцированное сверхуширение спектра
слабой второй гармоники, обусловленное мощным импульсом основ-
основного излучения в кубичной среде. Эксперименты по индуцированному
спектральному уширению выполнены в [57]. Импульс основного излу-
излучения (Х=1060 нм) имел длительность 8 пс и максимальную энергию
2 мДж, энергия слабого импульса второй гармоники (Л2=530 нм) со-
составляла 80 мкДж. Распространение в стекле одного лишь импульса
второй гармоники приводило к незначительному уширению спектра.
Наличие же интенсивного основного импульса сопровождалось сверх-
уширением спектра второй гармоники.
В проблеме генерации сверхуширенного спектра сверхкоротких
импульсов принципиальным представляется вопрос о связи между те-
теорией самовоздействия волновых пакетов, развитой выше на временном
языке, и теорией четырехфотонных процессов, основанной обычно на
спектральных представлениях. Дальнейший анализ имеет своей целью
выяснение этого вопроса.
О спектральном описании временных самовоздействий. Получим
уравнение, описывающее взаимодействие спектральных компонент
импульсов. При этом для нелинейной поляризации будем пользовать-
пользоваться общим соотношением B.1.4). Запишем световое поле в виде
E(t, z) = J еЁ (а, 2)е-ш<И B.6.1)
— со
и выделим в /Г(о), z) медленно меняющуюся в пространстве амплитуду:
£(©, z) = 1ftA(fn, z)e~{k^z. B.6.2)
В соответствии с B.2.1) для амплитуды Л (со, z) получим уравнение
ЗА (соь г)
дг ~-
хЛ(со2, г)Д(ю3, z) А (со4, г)еШг8((о1—со2—со3—co4)dco4dcL»3dco2, B.6.3)
где
Ak=k(a>1)—k(<x>2)—k(a>s)—k{«>i). B.6.4)
Уравнение C) представляет собой интегродифференциальное уравне-
уравнение; можно указать два случая, допускающие его упрощения.
93
Если в нелинейной восприимчивости х131 существуют четко выде-
выделенные резонансы, важную роль в C) будут играть частоты, близкие
к резонансным. В этом случае спектральную компоненту %C) можно
приближенно представить в виде
4
Xtt)(<Dl. С02, С03, «4) = Х<3)Кр. «2Р. Изр> «4Р)Ц2б(С0ур — СО,).
При этом C) сводится к уравнению
^ ХЦ)К 6V ю со)ЛЛЛе р
B.6.5)
где Aj—A((djP), со1=со2+со3+со4. Выражение для А&р получается из
D) при замене частот (Hj на со/р.
Вместе с тем нетрудно установить связь между спектральными C)
и временными уравнениями, которая легко прослеживается для нерезо-
нерезонансной нелинейности. Действительно, пусть взаимодействующие им-
импульсы имеют ширины спектров Асоу, сосредоточенные около средних
частот (о/0, и дисперсией %C) в полосах частот Асо; можно пренебречь.
Дисперсию линейной восприимчивости среды будем описывать во вто-
втором приближении A.3.1). Тогда из C) можно получить временные
уравнения для комплексных амплитуд импульсов.
Проиллюстрируем сказанное на примере параметрического взаимо-
взаимодействия вида со10+со40=со2о+со30, причем фазовая расстройка А&0=
=&(со1о)+&(со4о)—£(со20)—к(<о3<,). Учитывая A.3.1) и соотношение
А (—со, z)=A *(co, z) в силу A), B), уравнение C) нетрудно предста-
представить в виде
dA(Qu z)==_.pexp {. [М+Л (Q)] 2} Г С Г Л (Q2, z)A (Q3, z)A *(Q4, z) x
У2 щ) J J
B.6.6)
где
Если теперь в F) перейти к временному представлению с помощью со-
соотношения
A(tt 2) =
то для комплексной амплитуды A-^it, z) получаем
Уравнения для амплитуд Л г,3,4 имеют похожий вид.
94
В случае вырожденного четырехчастотного взаимодействия (шо=
= ю/о. /=1. 2, 3, 4; Л&0=0) из F) получаем уравнение
*) = -*fcH|Mf B.6.8)
которое является уравнением самовоздействия, учитывающим диспер-
дисперсию среды во втором приближении (см. также B.7.1)).
В заключение следует подчеркнуть, что существенным моментом
при выводе уравнений G), (8) является предположение о возможности
пренебрежения дисперсией нелинейной восприимчивости в пределах
ширин волновых пакетов. Что же касается дисперсии линейного пока-
показателя преломления среды, то она отображается в виде левой части
уравнений G), (8) и ее характер не влияет на переход от спектрального
представления к временному. Спектральное и временное описания само-
самовоздействий узкополосных волновых пакетов оказываются, таким обра-
образом, эквивалентными. Однако для корректного описания самовоздей-
самовоздействий широкополосных волновых пакетов нужно пользоваться непо-
непосредственно уравнением C).
§ 2.7. Стационарные импульсы —
солитонный режим распространения
Одним из интереснейших явлений в физике нелинейных волн явля-
является формирование устойчивых волновых пакетов, распространяю-
распространяющихся на значительные расстояния без изменения формы. Нелинейная
оптика играет в последние годы все большую роль в солитонной физи-
физике. В нелинейно-оптических процессах можно указать по крайней
мере три типа солитонов. Прежде всего это так называемые шрединге-
ровские солитоны, где возникновение устойчивых импульсов связано
с балансом действия дисперсии и нелинейности в прозрачной среде.
Генерация солитонов возможна и в условиях, когда под влиянием све-
световых импульсов возникает изменение разности населенностей сре-
среды — «резонансные» солитоны. В этом случае солитон формируется,
если площадь импульса (интеграл по времени от огибающей) превыша-
превышает пороговое значение, а длительность импульса меньше характерных
времен релаксации. Наконец, оптические солитоны могут возникнуть
в среде с квадратичной нелинейностью при взаимодействии волн с
сильно различающимися частотами. Образование солитонов здесь свя-
связано с балансом эффектов группового запаздывания волн и нелинейно-
нелинейного взаимодействия. Этот вид солитонов обсуждается в § 3.4. В настоя-
настоящем параграфе рассматриваются шредингеровские и резонансные соли-
солитоны.
Совместное действие нелинейности и дисперсии среды; шрединге-
шредингеровские солитоны. Самовоздействие световых импульсов в нелиней-
нелинейной среде, сопровождаемое уширением, может привести к необходи-
необходимости учета дисперсии среды во втором и более высоком приближениях
линейной теории дисперсии. Эта наиболее реальная и часто теперь
встречающаяся на практике ситуация при работе с длительностями
10~13—10~14 с. В отличие от B.3.1) самовоздействие импульсов будем
95
описывать уравнением (в бегущих координатах)
которое часто называют нелинейным уравнением Шредингера. Пара-
Параметр кг определяется A.1.12) и учитывает линейную дисперсию среды
во втором приближении.
В среде с «2>0 (р\>0) девиация частоты импульса B.3.5) изменя-
изменяется как показано на рис. 2.3в. С другой стороны, с дисперсионным
параметром kz¥=0 связано относительное запаздывание различных
спектральных компонент фазово-модулированного импульса (§ 2.4).
В среде с нормальной дисперсией (k2>0, d«/dco<0) спектрально-огра-
спектрально-ограниченный импульс расплывается быстрее, чем в линейной среде. В не-
нелинейной среде с аномальной дисперсией (k2<.0, du/dco>0) происходит
самосжатие импульса *) (рис. 2.26). Эти процессы аналогичны соот-
соответственно самодефокусировке и самофокусировке двумерного пучка.
Нелинейная длина
является временным аналогом длины самофокусировки пучка B.5.7).
Особый интерес представляет режим самосжатия. При условии
La=LHJI дисперсионное расплывание импульса точно компенсируется
сжатием. В результате импульс сохраняет свою форму — образуется
солитон [59]. Стационарную форму импульса можно найти, полагая
в A) А —рс(г\)е~1Гг. Для амплитуды получим
VApc + rpc-plPc3=o.
Это уравнение преобразуется к виду
£2(РсJ + 2Гр§-М = 0. B.7.3)
В случае Pi>0 и k2<.0 уравнение C) имеет решение
PcD) = Pcosech(Ti/Te), B.7.4)
где длительность солитона тс и его амплитуда pl0 удовлетворяют соот-
соотношению
2Г=|£2|/т2 = р\р2с0. B.7.5)
Плотность энергии солитона
^кр = 21 k2 |/р\тс = 21 k2 \/koh,xc B.7.6)
обратно пропорциональна длительности.
Таким образом, в фокусирующей среде (р\>0) с аномальной дис-
дисперсией могут формироваться солитоны секанс-гиперболической формы
D). На начальном этапе импульс с плотностью энергии W>WKP сжи-
сжимается, а с №<WKP расплывается (рис. 2.13). Вместе с тем необходимо
подчеркнуть, что солитон D) является устойчивым образованием по
*) Заметим, что в [58] была показана возможность самосжатия коротких
световых импульсов в парах щелочных металлов.
96
отношению к малым возмущениям (§ 2.8). Рассмотренный односолитон-
ный режим распространения импульсов вида D) является частным
решением A); другие солитонные режимы обсуждаются в гл. 5.
В фокусирующей среде с нормальной дисперсией (k£>0) короткие
импульсы расплываются, подробно этот вопрос рассматривается в
гл. 4. Здесь мы обратим внимание на возможность образования в этом
случае так называемых «темных» солитонов [60]. Они имеют вид
АЛ% z) = Pcoth(Ti/Tc)e-'r« B.7.7)
и удовлетворяют уравнению A), причем (ср. с E))
В соответствии с G) интенсивность
left. 2) = [l-sech2(yxc)]/c0,
т. е. «темные» солитоны представляют собой спад в интенсивности
Рис. 2.13. Изменение формы импульса с расстоянием при плотности энергии
WW (a), W= WKp — солитонный режим (б), W>WKp — (e)
излучения. Другая интерпретация решения G) — ударная волна оги-
огибающей с длительностью скачка тс.
Сильные резонансные самовоздействия; 2л-импульсы — резонанс-
резонансные солитоны. До сих пор, рассматривая нелинейное распространение
коротких световых импульсов, мы считали, что несущая частота соо
находится вдали от резонансных частот среды и поглощение несущест-
несущественно. Если несущая частота импульса совпадает с одной из резо-
резонансных частот сор, то для определения поляризации среды нужно
пользоваться уравнениями, учитывающими изменение населенностей
уровней. При этом поляризацию в поле мощного импульса невозможно
разделить на линейную и нелинейную части.
Волновое уравнение для распространения импульса имеет вид
(ср. с B.2.1))
д2Е
дг2
С. А.
1
Ахманов
д2Е
н др.
4я
с*
._ ™1 и сп
~ с2 dt*
B.7.8)
97
В случае точного резонанса ((оо=о)р), анализом которого мы ограни-
ограничимся, поляризация среды
S>{t, z) = Ndo[a(t, z)cos(oy—kuz) —b(t, z) sin((oo/—koz)], B.7.9)
где N — плотность атомов (молекул), d0 — дипольный момент. Функ-
Функции a(t, z) и b(t, z) — огибающие квадратурных составляющих
d(t, z) = do[a(t, z)cos(<uot)—b(t, z)sin(oy)]. B.7.10)
Эволюция этих функций описывается нелинейными уравнениями Бло-
Блоха [61]:
а= ", b = --^ + qpw, w = -qpb-w~^B« . B.7.11)
1 2 ' 2 i X
Здесь, как и выше, p(t, z) — огибающая электрического поля
E(t, z)=p(/, z) cosicuot—koz). B.7.12)
q=do/fl, ft — постоянная Планка, w — разность населенностей для
одного атома, шра11Н — ее равновесное значение, 7\ и Т2 — времена
продольной и поперечной релаксаций. Согласно A1) под действием
светового поля изменяется не только поляризация, но и разность насе-
населенностей. Вследствие этого отклик среды на поле оказывается нели-
нелинейным.
Пусть длительность импульса ta<^.T1, T2. Тогда если первоначально
атомы находились в основном состоянии (a=b=0, w=—1), то для
всех моментов времени a (t)=0. При этом система A1) приводится к
виду
b = qpw, w = — qpb. B.7.13)
Решения этих уравнений:
b(t, z)=— sin 0(г, z), w(t, z)=—cos 9(/, z), B.7.14)
где
t
Ht, z) = ^- J p(t',z)dt'. B.7.15)
Следовательно, поляризация (9) принимает вид
f (t, z) = NdosinQ(t, z)sm((x)ot—koz). B.7.16)
Подставляем A6), A2) в (8), считая p(t, z) медленно меняющейся
функцией. Получаем дисперсионное соотношение
р А +_8^Я cos 9(/, г) = 0 B.7.17)
с2 Ас2
и укороченное уравнение
+ )V> z) = ~2n^-A4sine(/, г). B.7.18)
Последним слагаемым в A7) можно пренебречь. Действительно, оно
98
не превышает величину
где QP=dop/h — частота Раби. Первый сомножитель представляет
собой отношение энергии, запасенной частицами, к энергии поля, он
меньше единицы; отношение Qp/co0<^l. Без учета указанного слагае-
слагаемого соотношение A7) становится таким же, как для вакуума: ko=
= соп/с.
Наиболее интересные результаты получаются из A8). Выразим
р(/, z) через Q(t, z) с помощью A5) и подставим в A8). В результате
приходим к синус-уравнению Гордона:
.ineft Z). B.7.20)
Будем искать стационарное решение B0): Q(t, z)=Q(t—z/«p). Тогда
получим (r\ = t—z/hp)
iT-2sine, B.7.21)
(с—ир) £/BлМо0 d\uv). B.7.22)
Выражение B1) — аналог уравнения физического маятника, где 0
имеет смысл угла отклонения от положения равновесия. Нетрудно
убедиться, что решением B1) является функция
eri/Tc. B.7.23)
Из A5), B3) находим стационарное поле
Рс (Ч) = Bh/dorc) sech (тутс). B.7.24)
Видно, что тс имеет смысл длительности стационарного импульса.
Импульсу B4) соответствует значение «площади» 0(+оо)=2я.
В связи с этим в теории резонансного взаимодействия излучения с
веществом солитоны B4) получили название 2л-импульсов. Заметим,
что площадь шредингеровских солитонов D) такому соотношению
не удовлетворяет. 2л-импульсы по мере распространения через резо-
резонансную среду принимают вид B4). Распространение резонансных
световых импульсов без затухания называют явлением самоиндуциро-
самоиндуцированной прозрачности.
Физика просветления среды в поле коротких импульсов обусловле-
обусловлена следующими обстоятельствами. Достаточно мощный импульс уже
своим фронтом вызывает инверсию населенностей — среда накапливает
энергию. Остальная часть излучения распространяется в возбужден-
возбужденной среде. На хвосте импульса частицы среды отдают энергию. Про-
Процесс переизлучения происходит без потери энергии, поскольку дли-
длительность тс меньше времен релаксаций 7\, Т2 [61, 62].
Согласно B2) скорость распространения резонансных солитонов
ир=с/A + 2яМ».<8г!). BЛ.2Ъ)
Она падает с ростом плотности числа частиц N, увеличением несущей
частоты соо и длительности тс. Последняя зависимость представляется
4* 95
вполне очевидной, поскольку переизлучение энергии светового поля
приводит к задержке перемещения импульса тем большей, чем больше
его длительность.
Решение уравнения B0) для произвольной площади 9 (+°°) доволь-
довольно сложно, оно представляется в виде совокупности взаимодействую-
взаимодействующих импульсов. На рис. 2.14 показано поведение в резонансной среде
Рис. 2.14. Входные (пунктирные линии) и выходные (сплошные) импульсы в ре-
резонансной среде при самоиндуцированной прозрачности: а — эксперимент,
q — теория [63]. Кривые соответствуют импульсам с площадью меньше я (/),
2я B), между 2я и Зя C), меньше 5я D) и приблизительно 6я E)
импульсов с различной начальной длительностью. Откуда видно, что
исходные импульсы с 0(+оо)<;2я затухают, при 2я^6(+оо)<;3я
принимают стационарный вид B4), а при 0(+оо)>Зя распадаются на
несколько импульсов. Более подробное рассмотрение вопросов взаимо-
взаимодействия коротких световых импульсов с резонансной средой можно
найти в [61].
§ 2.8. Неустойчивость световых волн
в нелинейных средах; самовоздействие
случайно-модулированных импульсов
В предыдущем параграфе показано, что совместное проявление
дисперсии и нелинейности при определенном значении энергии WKp
B.7.6) приводит к формированию стационарного импульса—солитона.
Большой практический интерес представляет анализ поведения им-
100
пульса при значительном превышении энергии над критической («за-
критические» импульсы), когда начальный этап распространения на-
начинается с самосжатия (рис. 2.13). В этой ситуации на первый план
выходят вопросы устойчивости процесса самосжатия по отношению к
регулярным или шумовым возмущениям исходного импульса.
Заметим, что аналогичные задачи возникают и в теории самофокуси-
самофокусировки световых пучков. Разработчики мощных лазерных систем давно
столкнулись с явлением так называемой мелкомасштабной самофоку-
самофокусировки в активных элементах оптических усилителей. Ниже мы скон-
сконцентрируем внимание на проблеме устойчивости существенно закрити-
ческих световых импульсов и лишь кратко обсудим взаимосвязь прост-
пространственных и временных самовоздействий.
Временная неустойчивость непрерывного излучения. Начнем с за-
задачи о поведении малых временных возмущений на фоне мощного не-
непрерывного излучения. На входе в нелинейную среду комплексную
амплитуду поля представим следующим образом:
Л,@=Ро+вЛ,@, .B.8.1)
где6Л0(£) — комплексная амплитуда возмущения, [бЛо|<^Ро- Решение
уравнения самовоздействия B.7.1) для рассматриваемой суперпозиции
волн ищем в виде
Л (л, г) = [po-f 6Л (я, z)]е-""*, B.8.2)
где Г=р\ро — добавка к волновому числу, обусловленная интенсивной
монохроматической волной. Подставляя B) в B.7.1), в первом при-
приближении теории возмущений получаем
По существу, уравнение C) описывает поведение возмущений в пара-
параметрическом приближении, накачкой является интенсивная монохро-
монохроматическая волна. Разделяя действительную и мнимую части возму-
возмущения,
8А (ri, г) = 8AR ft, z) + i8A, (tj, г), B.8.4)
получаем систему уравнений
J-8AR=~±k2~-bA),
B-8.5)
Для частного случая гармонических возмущений
8AR(r\, z)= 8AR0cos(Qr\—hz),
бЛДт,, z) = Mrtsin(Qr|-Az), кгЛЛ)
где бЛЛо и ЬА10—начальные амплитуды, Q—частота, h—волновое
число. Условие совместности системы E) приводит к дисперсионному
101
соотношению
ft-±(l/2)^Q2(l +4T/k2Qyi*. B.8.7)
В среде с нормальной дисперсией (&2>0) параметр h веществен и,
следовательно, модулированная волна в нелинейной среде устойчива.
Ситуация изменяется в среде с аномальной дисперсией (й2<0). В поло-
полосе частот 0<Q<;Qj.p=DT7|&2|I/2 параметр h становится мнимым, и
возмущения нарастают по z с инкрементом
£(Q) = V2|£2|WP-Q2I/a- B.8.8)
Максимальное значение инкремента
ёгтах = Г = М2/0-^ф1 B.8.9)
достигается при частоте возмущений
Я„,ах= QjV2 = {2gmJ\k,\y* B.8.10а)
или при периоде модуляции
/£шах)^. B.8.106)
Реализующиеся в экспериментах значения gmax и Тм приведены
в § 5.7.
Неустойчивость непрерывного излучения к временной модуляции
впервые рассматривалась в середине 60-х годов [116,64]. Недавно об-
обсуждалось [65] влияние оптических потерь на модуляционную неус-
неустойчивость монохроматической волны. Авторы [66] рассмотрели моду-
модуляционную неустойчивость с учетом волновой нестационарности,
уравнение B.7.1) было дополнено слагаемым, связанным с коэффици-
коэффициентом р2 (см. B.4.1)). Подчеркнем еще раз, что модуляционная неус-
неустойчивость волны при самовоздействии возникает в среде с аномаль-
аномальной дисперсией. В среде с нормальной дисперсией может иметь место
модуляционная неустойчивость, обусловленная кросс-модуляцией
(§ 2.6). В [67] показано, что важную роль в этом случае играет эффект
группового запаздывания взаимодействующих импульсов.
Результаты работ [116, 64—67] и проведенное рассмотрение спра-
справедливы лишь для начальной стадии модуляционной неустойчивости.
Развитая стадия, когда возмущения ЬА становятся сравнимыми с
Ро, может быть проанализирована лишь численными методами [69].
Практически важной является гармоническая модуляция 6Л0@ =
=рм cos QJ (§ 5.7). Амплитуда гармонических возмущений экспо-
экспоненциально нарастает с расстоянием, затем наступает режим насыще-
насыщения. В этот момент из непрерывного излучения формируется последо-
последовательность отчетливо разделенных импульсов. На рис. 2.15 изобра-
изображены временные профили и интенсивности на развитой стадии
неустойчивости, соответствующие различным частотам затравочной
модуляции. Видно, что непрерывное излучение трансформировалось
в импульсную последовательность. Как показано [69], максимальный
контраст излучения (отношение пиковой интенсивности к интенсив-
интенсивности фона) реализуется при частоте QM=l,22fimax. По мере дальней-
дальнейшего распространения контраст излучения снижается.
102
На рис. 2.16 приведена зависимость расстояния /,„, на котором
непрерывное излучение трансформируется в импульсную последова-
последовательность, от частоты модуляции QM. Видно, что /-„ имеет минимум
Фа
Б -
j
Л
Л.
Рис. 2.15. Развитая ста-
стадия модуляционной не-
неустойчивости непрерыв-
непрерывного излучения. Времен-
Временные профили интенсив-
интенсивности изображены на
расстояниях, где конт-
контраст импульсов максима-
максимален, при QM/Qmax=0,37
A), 1,36 B), 1,22 C)
при йм=йтах и сравнительно слабо зависит от QM в центре полосы
усиления. Величина La заметно возрастает по мере приближения к ее
высокочастотной границе Qrp.
Пространственная неустойчивость плоских волн и волновых пучков.
Задача об устойчивости плоской волны к поперечным пространствен-
пространственным возмущениям впервые детально рассматривалась Беспаловым и
Талановым [30].
У, \
Ч / /\ \ и
V-'. V ч-/
Рнс. 2.16. Зависимость расстояния £„=£„/1.д,
на котором достигается максимальный конт-
контраст импульсов, генерируемых за счет моду-
модуляционной неустойчивости, от относительной
частоты затравочной модуляции QM/fimax(aMn-
литуда модуляции рм=0,015)
10
0,5
По аналогии с задачей о временной неустойчивости поле в нелиней-
нелинейной среде представим в виде
\* » ^/ — |_г 0 i~ и^т. \* у /I »
где 6Л (r,z) учитывает слабые поперечные возмущения (|бЛ[<^р0). Их
эволюция в среде в соответствии с B.5.2) описывается уравнением
-6Л*). B.8.11)
B.8.12)
103
Решение A1) ищем в виде
8А (г, z) = бЛд,, cos (k±r—AjZ) + 1'6Л/О sin (k±r—
Подставляя A2) в A1), получим
А, = ± i (kx/2k0
Поперечные возмущения с волновым числом |^х|<^х,гР неустой-
неустойчивы. Максимальный инкремент и соответствующее ему поперечное
волновое число равны (ср. с (9), A0))
BА0ГI/2. B.8.14а, б)
Определяемый с помощью A46) поперечный размер неоднородностей
а' = 2п/кХп№ = 2пB/гвГ)-ч* B.8.15)
хорошо согласуется с оценкой по B.5.12). В отдельной неод-
неоднородности содержится мощность Р«(а'J/0, превышающая критиче-
критическую мощность самофокусировки B.5.9), Р«2лРкр. Вследствие этого
световой пучок мощностью значительно больше критической и размером
Рис. 2.17. Расслоение лазерного пучка при самофокусировке [70]
гораздо больше а' будет разбиваться на отдельные неоднородности,
которые затем фокусируются, образуя нити. Авторы [70] наблюдали в
эксперименте расслоение лазерного пучка на регулярные неоднород-
неоднородности (рис. 2.17). Мощности, содержащиеся в отдельных неоднородно-
стях, превышали критическую мощность самофокусировки. Количество
неоднородностей увеличивалось с ростом интенсивности пучка.
Теоретическое рассмотрение расслоения световых пучков с конеч-
конечной апертурой проведено в [71] для коллимированных и в [72] для схо-
сходящихся и расходящихся пучков. Образование нитей зависит от формы
пучка, поскольку определяющая это явление интенсивность меняется
в поперечном сечении. Таким образом, в реальном пучке, наряду с
его самофокусировкой как целого (крупномасштабная самофокуси-
самофокусировка), может развиваться разбиение пучка на нити (мелкомасштаб-
(мелкомасштабная самофокусировка). При существенном превышении мощностью
пучка критического значения мелкомасштабная самофокусировка до-
доминирует. Отметим, что особенности пространственной неустойчиво-
неустойчивости встречных плоских волн обсуждаются в [73].
104
Модуляционная неустойчивость импульсов. Пусть начальные усло-
условия для уравнения C) имеют вид
Л„(О=Ро[1 + (pM/p0)cos(QM0]sech(*/T0) B.8.16)
и амплитуда р„ значительно превышает критическое значение, при
котором формируется солитонный импульс. Некоторое представление
о характере происходящих в этом случае процессов можно составить
на основе квазистатического обобщения формул (9), A0), полагая в
них /0=/0(*). Значение gma% и соответствующая ему частота модуля-
модуляции Qmax меняются со временем, достигая максимального значения на
вершине импульса. Детальная информация о модуляционной неустой-
неустойчивости импульса была получена в численных экспериментах [68].
Для случая гармонических возмущений показано, что частотная шири-
ширина области неустойчивости для импульса несущественно отличается
от таковой для непрерывного излучения той же амплитуды. Так же
как и в случае непрерывного излучения, при распространении закри-
тического импульса можно выделить точку 1„, в которой он распа-
распадается на последовательность субимпульсов, что связано со слабой
зависимостью Z.B от QM в центре инкрементной полосы частот (рис. 2.16).
Отметим, что пороговое значение амплитуды 6ЛО> при котором модуля-
модуляционная неустойчивость начинает доминировать над процессом само-
самосжатия импульса как целого, экспоненциально убывает с ростом р0.
Самовоздействие случайных импульсов. Воздействие случайных
возмущений на регулярный импульс на начальном этапе нелинейного
распространения изучено [74—76] в приближении заданного канала
с использованием метода интегрирования по траекториям. Суть раз-
развитого подхода состоит в том, что уравнение B.7.1) записывается в
континуально-интегральной форме, которая удобнее для приближен-
приближенного аналитического определения статистических характеристик слу-
случайно модулированного импульса в нелинейной среде. Прежде чем
продемонстрировать применение этого подхода, перепишем B.7.1)
в виде
Здесь введены обозначения
ф (т, I) = ^дР , т =
где 1Ф определяется B.3.7), а &2<0. С помощью метода Фейнмана ин-
интегрирования по траекториям A7) можно представить в виде (см. также
[78])
+ 00
i|j(t, £)= J -ф0 (в) G (в, т; 0d6, B.8.18)
гдег|H(в)=т|)(9, £=0). Функция G(9, т) формально является функцией
105
Грина, она выражается через континуальный интеграл
G@, т; Q=
2 (т (х), т (х)) = V2t2 И + R | т|> (т (л;), х) \\
где т(х)=йт(д;)/^л;) а дифференциал Dx{x) означает интегрирование по
бесконечному числу траекторий, связывающих точки с координатами
0, 0 и т, £, причем 0=т(О) и т=т(£).
Точное аналитическое решение A8), A9), как и исходного уравне-
уравнения A7), для случайных импульсов не представляется возможным.
Очевидный приближенный способ решения A8) — использование мето-
метода итераций. Максимальный вклад в A9) дают траектории, которые
удовлетворяют уравнению Эйлера
±_дХ__дХ_ = 0 B.8.20)
дх дх дх
или в нашем случае уравнению
^{x), х)|2 = 0, B.8.21)
которое решается аналитически только для определенного вида
■ф(т(х), х). В качестве нулевого приближения можно взять решение
а|зд(т, х), соответствующее R=0, или грнл (т, х), получаемое при пренеб-
пренебрежении в A7) дисперсионным членом. Имея в виду анализ распро-
распространения мощных импульсов, воспользуемся вторым вариантом:
■ф" (т, х) = г|)нл (т, х) = % (т) ехр [— iR \ % (т) |г х].
Следовательно,
|гр°(т, х)|2=|фо(х)|2. B.8.22)
Использование замены B2) в B1) означает, что на следующем этапе
решения A8) мы рассматриваем распространение импульса в нестацио-
нестационарной среде, параметры которой определяются исходным импульсом.
Такое приближение принято называть приближением заданного кана-
канала (ПЗК). Оно справедливо на расстояниях z<CLHJI B.7.2).
Ограничимся анализом самовоздействия ФМ импульсов [75]. Не-
Нетрудно видеть в B2), что фазовая модуляция не влияет на параметры
заданного канала. В случае импульсов с гауссовской огибающей
1"фо(т)|2=ехр (—^т2), учитывая B2), для оптимальных траекторий из
B1) в приосевом приближении (т<;1) получаем
То„т (х) = 0 cos (hox) + sin (А^) [т—0 cos (A,C)] sin (Л09, B.8.23)
гдеЛ„=B/?I/2. Постановка B3) в A9) дает
G(x, 0; £) = [— ЮпА^вМед-^х
Хехр {— tft, [(t2 + 02)cos(/io9—2т0]/2 sin(A,£)—iRQ. B.8.24)
106
Будем считать, что импульс имеет случайную ФМ:
■ф„(т)=ехр [—т2/2+йро(т)]. B.8.25)
Статистические свойства фазы фо(т):
<Фо(т)> = О, <фо(т1)Ф„(т2)>=а2ехр[— (т2—х^1х%\, B.8.26)
т.ф=ткф/т,0, ткф — время корреляции фазовых флуктуации.
Корреляционная функция импульса в нелинейной среде в соот-
соответствии с A8), B4) определяется выражением (<т2^1)
B.8.27)
B.8.28)
Из B7) следует, что в рассматриваемом приближении средняя по ан-
ансамблю длительность импульса ти и время корреляции тк изменяются
по одинаковому закону: ти(£)=1/2(£)т0, тк(и)=К2ткф/ст. Эти величины
остаются постоянными при
К = ЛКР = [ 1 + 4 (<хго/ткф)'] ^», B.8.29)
т. е. статистически средний импульс может распространяться стацио-
стационарно. Данный результат отличается от результата для импульса с
регулярной ФМ [75]. Его нетрудно понять. В отдельных импульсах
(реализациях) наличие ФМ приводит к дополнительному расширению
или сужению импульса, поэтому при определенном соотношении пара-
параметров средняя длительность импульса и время корреляции могут быть
неизменными.
Случайная ФМ импульса приводит к росту порога Лкр B9) стацио-
стационарного распространения и, следовательно, к увеличению пороговой
плотности энергии. При слабых фазовых флуктуациях (<т<1) импульс
B5) можно представить в виде суммы регулярной и случайных частей,
каждая из которых ведет себя по-разному в нелинейной среде. Поэто-
Поэтому для таких импульсов не существует условия стационарного рас-
распространения.
В приближении заданного канала в [74] рассмотрено влияние шу-
шумового возмущения на нелинейный режим распространения регуляр-
регулярного импульса. Пороговые условия формирования оптических солито-
нов из шумовых импульсов проанализированы в [79, 80].
Картина самовоздействия шумовых импульсов изучалась как ме-
методом интегрирования по траекториям [76], так и методом статистиче-
статистических испытаний [68, 81, 82]. Обратимся к результатам работы [68],
в которой рассмотрено воздействие на закритический импульс случай-
случайных возмущений вида
B.8.30).
где \{f) — комплексный гауссовский процесс с временем корреля-
корреляции тк. На рис. 2.18 изображены временные профили интенсивности
исходного и распавшегося импульсов при различных временах тк.
Видно, что импульс распадается на последовательность случайно рас-
107
положенных субимпульсов. Длина распада минимальна в том слу-
случае, когда характерная «частота» случайных возмущений Ои~2л/тк
совпадает с центром области неустойчивости, определяемой р0.
Рис. 2.18. Распад многосолнтонного импульса (ЛГ=16) за счет модуляционной
неустойчивости: профили входных импульсов (штриховые линии) и в точке рас-
распада (сплошные) при тк/т0=0,24 (а), 0,96 (б), 1,92 (в)
По мере увеличения времени корреляции, вплоть до значений порядка
длительности импульса, появляются реализации, в которых образует-
образуется один узкий импульс на фоне широкого пьедестала, но расстояние,
108
на котором он образуется, вообще говоря, не совпадает с длиной само-
самосжатия детерминированного импульса. Определяющую роль здесь
играет интеграл перекрытия спектральной плотности шума и g{Q).
Таким образом, наличие шумовых возмущений закритических импуль-
импульсов препятствует их самосжатию. При достаточно больших длинах
(г-»-оо) импульс трансформируется в последовательность солитонов со
случайными параметрами.
Для шумовых импульсов на начальном этапе самовоздействия рас-
рассчитаны время корреляции [76, 81], флуктуации интенсивности [82]
и распределение плотности вероятности флуктуации поля [81].
В заключение отметим, что задача о развитии возмущений при од-
одновременной модуляции в пространстве и во времени относится к более
сложным. Поэтому до сих пор рассмотрено поведение таких возмуще-
возмущений лишь на фоне плоской волны [77, 83].
ГЛАВА 3
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ
ИМПУЛЬСОВ
Для параметрического усиления и преобразования света, генерации оптиче-
оптических гармоник обычно используют нерезонансный электронный нелинейный
отклик газов н кондеснрованных сред. Время установления отклика тнл не пре-
превышает при этом 10~14 с. Увеличение интенсивности света, достигаемое при снн-
хроннзацнн мод в лазере (фокусировка во времени) приводит к существенному
повышению эффективности нелинейного взаимодействия волн.
Сокращение длительности сопровождается повышением лучевой прочности
нелинейной среды; для лавинного пробоя критическое значение поля
Поэтому именно в поле фемтосекундных импульсов впервые были реализованы
предельные КПД оптического удвоителя частоты и суперлюмннесцентного пара-
параметрического генератора света.
Ограничивающим фактором, особенно резко проявляющимся при переходе
к фемтосекундным импульсам, оказывается линейная дисперсия групповой ско-
скорости. В связи с этим актуальна разработка методов компенсации расстройки
групповых скоростей взаимодействующих импульсов — методов реализации
группового синхронизма. С другой стороны, параметрические взаимодействия
волновых пакетов в условиях сильной групповой расстройки приводят к новым
нелинейным волновым явлениям, они могут быть положены в основу эффектив-
эффективных методов формирования сверхкоротких импульсов. Среди них — генерация
«гигантских» параметрических импульсов при взаимодействии коротких паке-
пакетов с сильно различающимися длительностями, формирование параметриче-
параметрических солнтонов н т. д.
Нелинейные взаимодействия прн длительности импульсов ти<тнл могут
быть положены в основу разнообразных схем нестационарной нелинейной
спектроскопии. При этом оказывается возможным не только исчерпывающее
исследование релаксации энергии н фазы оптического возбуждения, но и прямое
наблюдение формы молекулярных колебаний или оптических колебаний решетки:
современная фемтосекундная лазерная техника позволяет получать световые
импульсы длительностью всего в один период!
§3.1. Физика нелинейных взаимодействий
сверхкоротких световых пакетов
Нарушение принципа суперпозиции в нелинейной среде приводит
к взаимодействию, в том числе к энергообмену, между волновыми па-
пакетами с различающимися центральными частотами и направлениями
распространения. В этой главе мы сосредоточимся на обсуждении
взаимодействий волн с сильно различающимися частотами; они оказы-
оказываются эффективными лишь в том случае, когда происходят на быстрой
оптической нелинейности.
Схема описания таких взаимодействий относительно проста. Не-
Нелинейный отклик среды можно представить в виде ряда по степеням
светового поля:
#> = ^<л) + с^(нл>, с^(нл) = ЗСС2) ЕЕ + %*>ЕЕЕ + ... C.1.1)
Заметим сразу, что даже в случае высокоинтенсивных полей пико- и
фемтосекундных световых импульсов, как правило, для спектральных
компонент хB> и %13), ответственных за взаимодействия рассматривае-
рассматриваемого типа, справедливы неравенства %12)Е<^.\, %ШЕЕ<^.\. Поэтому
стандартная процедура описания нелинейности, которой мы будем
пользоваться, не выходит за рамки метода возмущений. Уравнение
Максвелла
4я д25»(л) 4л
с2 Л2 с2 dt2 с2" Л2 КОЛ.1)
с нелинейным источником в правой части сводится к базирующейся на
методе медленно меняющихся амплитуд системе укороченных уравне-
уравнений. Специфика нелинейных взаимодействий сверхкоротких импуль-
импульсов в этом случае связана с различными проявлениями линейной дис-
дисперсии — групповым запаздыванием и дисперсионным расплыванием
волновых пакетов. Очевидным следствием эффектов группового запаз-
запаздывания является ограничение длины нелинейного взаимодействия,
вместе с тем именно с этими эффектами связаны новые нелинейные яв-
явления, такие, как генерация «гигантских» импульсов и параметриче-
параметрических солитонов. В последнем случае в отличие от шредингеровских
солитонов, рассмотренных в § 2.7, формирование стационарных им-
импульсов есть результат баланса группового запаздывания и нелиней-
нелинейного энергообмена.
Расстройка групповых скоростей является дисперсионным эффек-
эффектом первого порядка и, как правило, доминирует над дисперсионным
расплыванием импульсов. Тем не менее существует ряд важных случа-
случаев нелинейного взаимодействия волн, протекающего в условиях груп-
группового синхронизма. С одним из таких случаев мы столкнемся в § 3.6,
рассматривая комбинационное преобразование частоты сверхкоротких
импульсов в волоконных световодах. Здесь в процессе генерации сток-
сова импульса принципиальную роль играет совместное проявление
дисперсии групповой скорости и фазовой само- и кросс-модуляции
взаимодействующих волн. Яркое проявление этих эффектов — генера-
111
ция на стоксовой частоте (рамановских) солитонов с амплитудой, зна-
значительно превосходящей амплитуду импульсов накачки.
Если вернуться к методической стороне дела, то большинство задач
нелинейного взаимодействия пико- и фемтосекундных импульсов мо-
может быть решено на основе метода медленно меняющихся амплитуд.
Тем не менее здесь есть и исключения, представляющие принципиаль-
принципиальный интерес. При оптическом детектировании, генерации разностных
частот возникают электромагнитные импульсы длительностью в один
период оптических колебаний. Естественно, что их описание может
основываться только на полном волновом уравнении. Заметим также,
что в этой ситуации теряет смысл традиционное для нелинейной опти-
оптики разделение волновых явлений на самовоздействия и взаимодействия.
Действительно, ширина спектра волнового пакета становится сравни-
сравнимой с несущей частотой и, следовательно, перекрывает интервал меж-
между центральными частотами взаимодействующих импульсов. Один из
примеров такой ситуации мы рассмотрим в § 3.7.
С точки зрения многих практических приложений — удвоения
частоты, создания параметрических генераторов света и т. п.— наи-
наибольший интерес представляют взаимодействия волн на быстрой элект-
электронной нелинейности. Для спектроскопии, напротив, интересны волно-
волновые взаимодействия с участием атомных или молекулярных резо-
нансов. Хотя вопросы нелинейной спектроскопии выходят за рамки
настоящей книги, в § 3.7 мы обсуждаем один из ее вариантов — коге-
когерентную спектроскопию комбинационного рассеяния, где нестацио-
нестационарность нелинейного отклика среды используется в полной мере.
Новое и быстро развивающееся направление волновой нелинейной
оптики — использование сверхкоротких оптических импульсов для
генерации импульсов иной природы. В § 3.8 речь пойдет о генерации
сверхкоротких акустических импульсов и некоторых проблемах их
распространения в твердых телах. Несомненно, идеи нелинейной опти-
оптики сверхкоротких импульсов оказались весьма плодотворными для
развития этой области физики.
§ 3.2. Удвоение частоты сверхкоротких импульсов
Нестационарные эффекты при параметрических взаимодействиях
сверхкоротких импульсов в среде с квадратичной нелинейностью свя-
связаны прежде всего с линейной дисперсией. Как уже указывалось,
вплоть до длительностей импульсов 10~14 с обусловленный электронной
нелинейностью квадратичный по полю отклик можно считать практи-
практически безынерционным. Тем не менее возникающие здесь теоретические
проблемы оказываются весьма разнообразными и сложными. Даже
укороченные уравнения, описывающие трехчастотные взаимодействия
волн, не имеют точных решений. Поэтому на первый план выступают
различные методы вторичного упрощения укороченных уравнений.
В этом параграфе мы обсудим задачи, а также методы их решения
на примере эталонной для нелинейной оптики задачи о генерации вто-
второй оптической гармоники (ГВГ). Последовательно будут рассмотрены
нестационарные эффекты в первом приближении теории дисперсии
112
аналитические результаты здесь удается получить не только для слу-
случая слабого, но и сильного энергообмена), нестационарные эффекты,
обусловленные расплыванием волновых пакетов (второе приближение
теории дисперсии), и наконец, эффекты волновой нестационарности,
(нелинейной связи); для самовоздействия они были рассмотрены в-
§ 2.4. Поскольку нас интересуют принципиальные вопросы нестацио-
нестационарных нелинейных взаимодействий, для простоты мы будем считать
взаимодействующие волны плоскими и не будем учитывать поляри-
поляризационные эффекты и потери.
Первое приближение теории дисперсии. Пусть на среду с квадра-
квадратичной оптической нелинейностью падает волновой пакет
E1(t,0) = l/aAu(t)el^t + K.c. C.2.1)
Поле в среде представляем в виде
E(t, z) = E1(t, z)+ £,(*, z) = VHiC z) «*<«.<-*a)*) +
+ VAC z)e' (««м-**'*) + к.с C.2.2)
Подставляя B) в C.1.2), в первом приближении теории дисперсии
получаем укороченные уравнения
^ i^ C-2-3)
Здесь
Yl— #1)C2 » 12~
— коэффициенты нелинейной связи волн, их и ы2 — групповые ско-
скорости основной волны и второй гармоники соответственно, kk=2kw—
—№.
Групповой синхронизм; квазистатический режим. Система C),
D) имеет точное решение для случая равенства групповых скоростей,.
Ui=u2 (группового синхронизма). Особенно просто оно выглядит^
когда одновременно выполняется и условие фазового синхронизма
А&=0. Вводя вещественные амплитуды и фазы А„=рп exp(iq>n), полу-
получаем
Pi(ti, z)=pio(Ti)sech lyplo(i\)z], C.2.6а)
р2(т), z)=pi.(ti)th[vpi.(ti)z], C.2.66)
<Pi(*bz)=<Pio(*l). Фа (Л. г)=2ф1(т1)—я/2, C.2.6в)
i\-=t—zlu, v=Yi=V2-
В приближении заданного поля, когда pi и cpi можно считать неизмен-
неизменными на всей длине взаимодействия (преобразование энергии основной-
волны в волну второй гармоники (ВГ) мало), р2(т), z)=yz(>la(i\). При
этом происходит укорочение импульса гармоники. Для гауссовского-
импульса основного излучения Рю('П)==Ро ехр(—ts/2if) длительность
импульса ВГ т2=т1/|/^2. С ростом эффективности преобразования дли-
U3-.
тельность т2 возрастает, приближаясь к Tj. Согласно F, в) при удвое-
удвоении частоты импульса с линейной ЧМ ф10 (т])=ат]2/2 скорость изменения
частоты ВГ удваивается, (ргСп^атJ—я/2.
Эффекты группового запаздывания; нестационарный режим.
В действительности условия группового синхронизма, как правило, не
выполняются, и^фиг. Групповое запаздывание, возникающее за счет
расстройки групповых скоростей, решающим образом определяет
картину нелинейного взаимодействия. Расстройка групповых скорос-
скоростей, или групповая расстройка,
AB- = ABi;i-l_l = i(ni-ni_4^-XI^). C.2.7)
Влияние групповой расстройки Аи на эффективность ГВГ зависит,
очевидно, от соотношения между длиной взаимодействия и длиной
группового запаздывания
1^{\Аи^\Ащ)-\ C.2.8а)
где Асох — ширина спектра импульса основного излучения; для спект-
спектрально-ограниченного импульса
L^ = xxl\Au^\. C.2.86)
Если z<Lrp, удвоение частоты коротких импульсов происходит
практически так же, как и в условиях группового синхронизма. Такой
режим будем называть квазистатическим. JTpj.z>Lrp режим удвоения
частоты существенно нестационарный. В заданном поле накачки реше-
решение уравнений C), D) для этого случая
At(t, г)= —iyt\ Allo(t-z/u.2 + Аи-^е-ш*dx. C.2.9)
о
В соответствии с (9) спектральная плотность гармоники
s2 (Q, г) = sine2 [(Au-!Q—Ak) z/2] s2<KB) (Q), C.2.10a)
A10(Q-Q')A10(Q')dQ'
C.2.106)
где Лю(^) — фурье-спектр комплексной амплитуды A10(t), sine x~
= A/дг) sin jc (рис. 3.1). Выражение A06) описывает спектральную
плотность ВГ в квазистатическом режиме генерации. Соотношения
A0) справедливы для произвольного вида модуляций огибающей и
фазы исходного импульса. При z^>Lrp ширина спектра гармоники
меньше ширины спектра основного излучения. Это означает, что
нестационарное удвоение частоты сопровождается сильным растяже-
растяжением импульса гармоники [1—3]. При удвоении частоты спектрально-
огр.аниченного импульса длительность ВГ фактически не зависит от
длительности исходного импульса:
Ta^lAu^.
Следует заметить, что для фазово-модулированных импульсов эффекты
нестационарности проявляются на длинах z > Z/rp, но z < Lrp.
114
Для широко используемых в нелинейной оптике кристаллов дигид-
рофосфата калия (KDP) и ниобата лития (LiNbO3) в случае возбужде-
возбуждения необыкновенной волны ВГ обыкновенной основной волной (Я,х=
= 1,06 мкм) расстройка Ди равна соответственно 5,2-КГ12 в
—1,0-10~13 с/см. Для кристалла KDP при ^=0,53 мкм расстройка
Аы~1=2,5-10~12 с/см. Для оценки
групповой длины возьмем в качестве
примера длительность основного им-
импульса Т] = 100 фс, тогда для указан-
указанных значений Ли получаем Lrp=
= 0,2—10 мм. Для удвоения частоты
пико- и фемтосекундных импульсов
весьма эффективен кристалл КТР
(KTiOPOJ, имеющий в случае Ях—
= 1,06 мкм групповую расстройку
ды-1=4,4-10-12с/см [57].
Спектр второй гармоники имеет
-0,8 -0,4
на частоте сотах=2со1—
Рнс. 3.1. Спектр второй гармо-
ннкн, возбуждаемой в нестацио-
нестационарном режиме гауссовскнм им-
импульсом, на различных относи-
тельных длинах: z/Lrp<^l (./)„
z/Lrp=l B), 5 C)н D). Для кри-
кривых 1—3 Дй=0, 4—AkLrv= — l
максимум
—Д/г/Ды (рис. 3.1), а его ширина
Дсо2=2л;/2|Ди"|. В нестационарном
режиме имеется возможность плав-
плавной перестройки средней частоты гар-
гармоники при варьировании фазовой расстройки Ak. Изменение спект-
спектра и формы импульса в режиме сильного энергообмена является более-
сложным; одно из возможных приближений в решении этой задачи:
указано в [1] — предполагается постоянство фаз взаимодействующих:
волн (рис. 3.2).
Рнс. 3.2. Формы импульсов ос-
основного излучения l-Jlfi (сплош-
(сплошные линнн) н второй гармонн-
кн /2//0 (штриховые) для
Lrv=Lnv н различных длин:
z/Lnp=0,5 A), 1,0 B), 5,0 C);
i-np=(VPio)~1 ID- Импульсы
основного излучения и второй
гармоники деформируются по
мере прохождения через не-
нелинейную среду, Ди-х>0. Рас-
Растяжение импульса ВГ сопро-
сопровождается сужением основного
Нестационарное удвоение частоты фазово-модулированного импуль-
импульса. В соответствии с A0) оптический удвоитель частоты при длине кри-
кристалла z~>LTV можно рассматривать как узкополосный фильтр с поло-
115
сой А£2ф=2л/(г|Ди~1|). Поэтому, как и в линейной оптике (§ 1.5), ФМ
импульс, проходя через такой фильтр, укорачивается. Действительно,
пусть амплитуда основного излучения
Л10@ = Р„ехр[-(тг2-ю)*2/2], C.2.11)
тогда при т1;1<;Д£2ф<2ат1 из (9) для интенсивности ВГ получаем *)
<Д6О)
42]. C.2.12)
Согласно A2) длительность импульса -^«(а^Ди!) уменьшается
как z [1, 4].
Заметим, что в силу отмеченной ранее пространственно-временной
аналогии обсуждаемые эффекты, возникающие при удвоении частоты
коротких волновых пакетов, имеют наглядную аналогию в теории
удвоения частоты ограниченных световых пучков. Эта аналогия деталь-
детально прослежена в [1]. Эффектам групповой расстройки соответствуют
эффекты, связанные со сносом пучков вследствие анизотропии среды.
Учет обратной реакции второй гармоники на фазу основного излу-
излучения, приближение заданной интенсивности. В режиме больших
КПД преобразования в ВГ анализ, основанный только на уравнении
D), некорректен — нужен учет обратной реакции второй гармоники
на основное излучение. Полное аналитическое решение такой задачи
не представляется возможным. Вместе с тем многие особенности про-
процесса удвоения частоты в условиях обратного воздействия удается
понять, учитывая лишь реакцию ВГ на фазу основной волны. Посколь-
Поскольку фазовые эффекты являются определяющими, это приближение, на-
называемое приближением заданной интенсивности [5], хорошо работает
вплоть до КПД удвоения, достигающего 50 %.
Обратимся сначала к задаче, имеющей строгое решение, что позво-
позволит понять суть приближения заданной интенсивности и указать об-
область его применимости. Из C), D) для квазистатического режима
генерации получаем уравнение второго порядка для амплитуды ВГ:
] t[i\, z) = 0 C.2.13)
с граничными условиями
ЯЛ
Л2(т), z = 0) = 0, ^12 = о = _;ТаЛ?о(т,). C.2.14)
При замене в A3) интенсивности 1г(\], z) на входное значение /юСп)
приходим к уравнению в приближении заданной интенсивности [5].
Речь идет об удвоении частоты при фазовой расстройке Дй^=0, но груп-
групповая расстройка Ди~1==0. Уравнение A3) имеет решение
АА% z) = — iy2Al0(vi)ze-t*k*i*smc(qz), C.2.15)
где
*) В настоящей главе под иитенсивиостью /„ имеется в виду \Ап\*.
116
Сравнение A5) с точным решением позволяет найти область справед-
справедливости использованного приближения.
Из C), пользуясь A5), находим закон изменения фазы основной
волны:
)—UAkz [8+YiY2/io(n)(^)~2l~l-
C.2.16)
Добавка к фазе и, следовательно, к фазовой скорости основной волны
при Ай^=0 зависит от ее интенсивности; иначе говоря, возникает свое-
своеобразное самовоздействие *). Нелинейный набег фазы при AfeOl и
(Д/гJ>16у1у2/ю@) равен
Дф«—YiY2/io(v))z/A£. C.2.17)
Из сравнения A7) с B.3.4) следует, что эквивалентная добавка к по-
показателю преломления среды
C-2.18)
Отсюда видно, что нелинейная среда для основной волны при обрат-
обратной реакции ВГ в случае Д&Х) обладает фокусирующими свойствами,
а при Д&-<0 — дефокусирующими. Следовательно, процесс удвоения
частоты интенсивных световых пучков будет сопровождаться самофо-
самофокусировкой (Afc>0) или самодефокусировкой (АА<0) основного пуч-
пучка, т. е. в средах с квадратичной нелинейностью могут наблюдаться
самовоздействия, аналогичные таковым для срЬд с кубичной нелиней-
нелинейностью.
Проанализируем теперь нестационарное удвоение частоты в при-
приближении заданной интенсивности. Комплексную амплитуду основ-
основной волны возьмем в виде A1). Переходя в C), D) к новым коорди-
координатам
%=/—zluY, ^=t—zlix2, C.2.19)
получаем уравнение
с граничными условиями
дЛ/дцг |П1=ТЬ = — i (Ya/Ди) А\о ехр (— i ,
где обозначено
Л = А з ехр (— t Дй^/Ди), Г2 (tji) = — 8Y1Y2 (Д")"8 ha (Ш)-
Решение B0) методом Римана дает
2
■^2(^2. z) = — iy2i\lAlo(if]2—Au~1x)e-iAkxJo[g('42, x)]dx, C.2.21)
о
*) Впервые на это явление было обращено внимание в [6].
117
где Jo (g) — функция Бесселя от действительного аргумента,
х
Если нестационарность процесса обусловлена фазовой модуляцией
основного импульса (L'rp<z<Lr9), то в соответствии с B1) спектраль-
спектральная плотность гармоники
s,(Q, г) = sine2 [q(Q) z/2] s<KB) (Q), C.2.22)
f (Q) = (Д*+Д ы-^J+8Т1Т2/10 (О).
Спектр sfB)(Q) определяется A06).
Из сравнения B2) с A0а) следует, что спектр гармоники в сильном
поле зависит от интенсивности основного излучения. В этом случае
полоса нелинейного фильтра
2я /, 2 .... r ,ni_,V* C.2.23)
т. е. обратная реакция ВГ приводит к сужению ее спектра. Экспери-
Экспериментально этот эффект наблюдался в [7], где было зарегистрировано
сужение и изменение спектра в поперечном сечении В Г, возбуждаемой
гауссовским пучком.
Умножение частоты ФМ импульсов; численные результаты. При
больших коэффициентах преобразования нестационарный режим ГВГ
Рис. 3.3. Зависимость энер-
энергетического коэффициента
преобразования во вторую
гармонику от приведенной
длины £'=z/Ln9 при раз-
различной фазовой модуляции:
oai=O (/), 5 B), 10 C) [81
10
го
фазово-модулированными импульсами аналитически рассмотреть не
удается. Численное решение уравнений C), D) для этого случая полу-
получено в [8], результаты приведены на рис. 3.3. Видно, что ФМ препятст-
препятствует полной перекачке основного излучения во В Г. За счет фазовых
соотношений между взаимодействующими волнами имеет место ос-
осциллирующая зависимость эффективности преобразования от длины
взаимодействия.
Все перечисленные выше результаты относятся к удвоению часто-
частоты плоских волн. Разумеется, сравнение их с экспериментальными
данными требует учета поперечного распределения. Мы уже ссылались
118
на работу [7], в которой наблюдалось изменение спектра В Г, связан-
связанное с неоднородным распределением интенсивности в поперечном сече-
сечении пучка. Большой практический интерес представляет задача о
ГВГ фокусированными сверхкороткими импульсами. Ее подробный
анализ дан в [9].
Сильный энергообмен при больших групповых расстройках; генера-
генерация «гигантских» импульсов второй гармоники. В этом разделе на
примере ГВГ мы кратко обсудим принципиальную возможность по-
получения за счет нелинейных взаимодействий «гигантских» импульсов,
т. е. импульсов, максимальная мощность которых превышает мощ-
мощность накачки. Физика явления достаточно наглядна. Если, напри-
например, короткий импульс на частоте 2аг взаимодействует с гораздо более
Рнс. 3.4. Динамика формирования импульса
второй гармоники амплитуды р2 по мере рас-
распространения в поле квазннепрерывного основ- а,
яого излучения амплитуды рх: 1 — форма нм-
пульса ВГ на входе, 2 — после прохождения
передним фронтом расстояния z<CLnp, 3 — ста- -
цнонарный нмпульс ВГ, формирующийся прн "г
z>Lnp; tJ=/—z/u2 [1] О цг
длинным импульсом частоты а^ (они могут формироваться независимо),
то в условиях сильного энергообмена и большой групповой расстрой-
расстройки импульс гармоники, распространяющийся со скоростью u2>Ui, по-
последовательно отбирает энергию от разных частей импульса накачки.
При этом пиковая мощность ВГ может существенно превысить пико-
пиковую мощность на частоте сох. Теория этого эффекта была развита впер-
впервые в [1]. Полагая на входе нелинейной среды
4i(t)i, z=O)=plo(TI), Л2(ill, z=0)=p2o(Tii) (\\1=t—z/u1),
из системы C), D) получим
з.2.24)
v >
--"К—Л—-
Пусть в момент t=0 в среду поступает прямоугольный импульс
гармоники (рис. 3.4). Согласно B4) внутри среды форма импульса
■ В Г описывается выражением
р2(т1ь г)=р0 th lF+yplo(z—tij/Ды-1)], C.2.25)
Ро = Р2ю + Plo, th F = (plo/po) th (уроГц/Ди-1) + р2о/Ро-
На фронте ВГ (t=z/u2, или z=x\1/Au~1) амплитуда испытывает скачок,
равный р2о:
)=ploth(YpiOz), p2(+0)=p20+pioth(YPi0z). C.2.26)
Сказанное иллюстрируется на рис. 3.4. Ширина пика Дт2, формирую-
формирующегося вблизи фронта, согласно B5) равна
119
Уменьшение длины Lnp (увеличение интенсивности основного излу-
излучения) приводит к уменьшению длительности пика. Если групповая
расстройка Ди~1=Ы0~13 с/см, длина Lnp«0,l см, то Ат2»10 фс.
Фронты такой длительности могут быть сформированы в поле пикосе-
кундных импульсов основного излучения.
Экспериментально эффекты подобного рода легче наблюдать для
невырожденных взаимодействий. Хорошо известным примером явля-
является, в частности, генерация «гигантских» импульсов вынужденного
рассеяния при встречных взаимодействиях с квазинепрерывной на-
накачкой [37].
Дисперсионное расплывание импульсов; оптимальная длительность
при умножении частоты. Если эффекты групповой расстройки несу-
несущественны, влияние дисперсии на эффективность ГВГ может быть
Рис. 3.5. Зависимость относительной энергии
второй гармоники #а=Bй8I/а Wj(z3/iwl) от
обратной относительной длительности импуль-
импульса x~1=Bk2zI^2xi1 основного излучения при
fe<»=ft<2)=0 C) [10]
связано с дисперсионным расплыванием импульсов. Поэтому ясно,
что, когда речь идет об умножении частоты пико- и фемтосекундных
импульсов, правомерен вопрос об их оптимальной длительности, при-
приводящей к получению максимального КПД преобразования. Мы рас-
рассчитаем оптимальную длительность в приближении заданного поля
основной волны.
В этом случае во втором приближении теории дисперсии процесс
удвоения частоты описывается уравнением
4, г). C.2 27)
Здесь r\=t—z/ut, kf> — дисперсионный параметр на частоте ВГ. Амп-
Амплитуда А1(у\, z) основного излучения в случае расплывающегося за
счет дисперсии гауссовского импульса определяется A.3.2). Решая
B7), для энергии ВГ получаем
X[l-iBti~l1)(x1~x2)}}-^dx1dxi, C 2 28)
где
Щ = у*W\/2n, £„ = Z/L«>, L«> = %\}kf\ n = 1, 2.
На длине взаимодействия z<iL£'2) энергия
W, (z) = x^zWl [ 1 -(г/3) {zlL$y (k?/№- 1/2)]. C.2.29)
120
Видно, что эффективность преобразования во ВГ в поле расплываю-
расплывающихся импульсов меньше. Зависимость энергии ВГ от длительности
Т]. основного излучения показана на рис. 3.5. Для кривой /, соответст-
соответствующей kf^kp, энергия насыщения
C.2.30)
достигается практически при
xi »0,47(| A?» IzI/*. C.2.31)
Кривая 2 рис. 3.5 построена для условий k{i)=2k'i\ здесь оптимальная
длительность
TlfOnt»l,25(|A?>|z)i/*, C.2.32)
а максимальная энергия
W2, max «(я/2)!/* (Z»/Tlf onT) #*. C.2.33)
Несмотря на сильное различие между дисперсионными парамет-
параметрами ki} и б"', выражения для оптимальных длительностей C1), C2)
отличаются только численным коэффициентом. Поскольку в средах
с нормальной дисперсией условие №£* = 2kf не выполнимо, реальной
ситуации лучше соответствует C1).
Эффекты дисперсии нелинейной связи. До сих пор мы рассматри-
рассматривали нестационарные процессы ГВГ, обусловленные дисперсией ли-
линейной восприимчивости среды. Теперь обсудим кратко проявление
волновой нестационарности. Для этого уравнения C) и D) в первом
порядке по fi B.2.8) следует дополнить слагаемыми
at 2% dt v '
соответственно. Вклад волновой нестационарности (дисперсии нели-
нелинейной связи) в процесс ГВГ пропорционален (о)^). Обобщенные
указанным образом уравнения C), D) не поддаются точному аналити-
аналитическому решению; численный расчет при одновременном выполнении
фазового и группового синхронизмов проведен в [11]. Основные ре-
результаты заключаются в следующем. Максимальная эффективность
преобразования во вторую гармонику достигается на длине
• 1эфф = 0,831П:IпB,41со1т1). C.2.35)
В области £>£,фф коэффициент преобразования осциллирует около
некоторого среднего значения, заметно меньшего 100 %. Таким обра-
образом, дисперсия нелинейной связи может играть роль дополнительного
фактора, ограничивающего эффективность удвоителей частоты сверх-
сверхкоротких импульсов.
§ 3.3. Параметрическое усиление коротких импульсов
В этом параграфе, как и в предыдущем, речь пойдет о трехчастот-
ных процессах взаимодействия волновых пакетов, разыгрывающихся
на малоинерционной квадратичной нелинейности. Однако теперь мы
121
уделим основное внимание явлениям, в которых мощная высокочастот-
высокочастотная волна передает свою энергию относительно слабым низкочастот-
низкочастотным волнам, т. е. на процессах, «обратных» по отношению к генерации
второй гармоники.
Многие явления, такие, как формирование и укорочение импульсов,
управление фазовой модуляцией, генерация «гигантских» импульсов,
обсуждавшиеся в § 3.2, имеют место и при параметрических взаимо-
взаимодействиях. Однако здесь они, как правило, гораздо сильнее выраже-
выражены, поскольку проявляются в экспоненциально нарастающих волнах.
Ниже мы кратко рассмотрим явления, для которых специфика пара-
параметрических взаимодействий проявляется особенно ярко.
Формирование и сжатие импульсов при параметрических взаимо-
взаимодействиях; основные уравнения. В первом приближении теории дис-
дисперсии параметрическое взаимодействие волновых пакетов
E(t, z) = Ea(t, z) + Ec{t, z) + Ex(t, z) = VH.(/, z)e'(V-V) +
+ VHc (t. 2) e' (fflc'-*c*) + i/2 Лх (*, z) el (V"*x*) + к. с, C.3.1)
средние частоты и волновые векторы которых удовлетворяют соотно-
соотношениям
сон = сос + о)х, C.3.2а)
kH = kc + kx—Ak, C.3.26)
описываются системой укороченных уравнений
ж+1д-ж=-^А»л^Акг> C-3-4>
дг ' и„ dt
где
Vx =
— коэффициенты нелинейной связи волн. Если фазовые и групповые
расстройки невелики, то слабые волны на частотах сос и сох экспонен-
экспоненциально усиливаются в поле мощной волны накачки.
Квазистационарное и нестационарное параметрическое усиление;
управление длительностью импульсов. Начнем с рассмотрения простей-
простейшего случая, когда на вход нелинейной среды, наряду с мощной высо-
высокочастотной волной накачки, подается слабая (сигнальная) волна на
частоте сос:
E(t,z = 0) = Ея (t, 0) + Ес (t, 0), Ех (t, 0) = 0.
Если Л&=0 и эффектами группового запаздывания можно пренебречь
(ис~их=ив=и), то, как следует из C)—E), в заданном поле накачки
сигнальная Ec(t, z) и холостая Ex(t, z) на частоте сох волны нарастают
с расстоянием. Амплитуда, например, сигнальной волны
Ас (т), г) = Лс0 (т|) ch [vpH0 (л) г], C.3.6)
122
здесь т) = /—г/и, Y2==YcYx- При больших коэффициентах усиления в
поле гауссовского импульса накачки из F) получаем
К (% 2) - A/2) Ас0 (т|) ехр 1Гог-/2/^ B)],
C.3.7)
где тс(г) — длительность сигнального импульса. Таким образом, сиг-
сигнальный импульс приобретает гауссовскую форму независимо от его
первоначального вида. Длительность усиленного сигнального импуль-
импульса сокращается с расстоянием как \\Vz- Реально можно получить
сокращение в несколько раз.
о
Рис. 3.6. Формы импульсов сигнала (а) и накачки (б) в квазистатическом режвме
вырожденного параметрического взаимодействия: Гог=5 (/), 6 B), 7 C), 8 D),
10 E); р/=Ру(т])/Рно(О), т=т)/тн [12]
В условиях сильного энергообмена форма усиленного импульса
трансформируется. Соответствующие результаты можно получить чис-
численно. На рис. 3.6 показано, как по мере обратной перекачки энер-
энергии сигнальной волны в накачку в сигнальном импульсе образуется
провал.
Отметим, что если входные импульсы сигнала и накачки промоду-
лированы по фазе, то при параметрическом усилении, согласно F),
фаза сигнального импульса сохраняется. Иначе обстоит дело с холос-
холостой волной
Лх(л. г) =
fa) ехр [»<р., (щ)] sh [ypa9 (т)) г].
C.3.8)
В соответствии с (8) на эту волну переносится фазовая модуляция на-
накачки (сомножитель ехр [гфя0(г|)]). Вместе с тем фазовый фронт хо-
холостой волны оказывается сопряженным по отношению к фазовому
фронту сигнальной волны. Как мы убедимся в дальнейшем, это обстоя-
обстоятельство открывает возможности эффективного управления фазовой
модуляцией.
Эффекты групповой расстройки. Анализ нестационарного режима
параметрического взаимодействия волновых пакетов начнем со слу-
случая, когда сигнальный и холостой импульсы распространяются в ус-
условиях группового синхронизма (z<Lj.cp' x)), а их групповая расстрой-
расстройка по отношению к импульсу накачки достаточно велика (z>L§H),
L(rxp H))- Тогда в приближении заданного поля накачки из C)—E), по
123
аналогии с F), получаем
ЛС(Т)С, 2) = Лс0(Т)с
C.3.9)
где t\c=t—z/uc, Аы-1н=1/ыс—1/ын.
Отсюда следует, что расстройка групповых скоростей снижает уси-
усиление; с ростом z преимущественно усиливается фронт сигнального им-
импульса (при ис<м„) или его хвост (ис>и„). В результате сигнальный
импульс уширяется, на расстоянии z^>L%н>, L(rxp'H) взаимодейст-
взаимодействующие импульсы выходят из области накачки и энергообмен прекра-
прекращается.
Как и при генерации второй гармоники, при параметрическом уси-
усилении в условиях существенного группового запаздывания возможна
Рис. 3.7. Формирование «гигантского»
импульса субгармоники в поле квазине-
квазинепрерывной накачки при ис>и„ в режи-
режиме, когда длительность фронта Тф>ткр=
= \Auc.ln\LT Изображены импульсы на
входе (/) и на расстояниях z=L$p B),
г~21фрE) иг>2£фрD), где 1фр —дли-
—длина формирования стационарного импуль-
импульса, определяемая интенсивностью на-
накачки и длительностью фронта [13]
генерация «гигантских» импульсов. На рис. 3.7 показана динамика
формирования «гигантского» импульса субгармоники (вырожденный
режим параметрического усиления, сос=сох = сон/2). Видно, что в от-
отличие от режима удвоения частоты происходит гораздо более эффек-
эффективное укорочение импульса; детальный количественный анализ дан
в [13, 14].
Заметим, наконец, что при трехчастотном параметрическом взаи-
взаимодействии коротких световых импульсов возможен стационарный
режим так называемого модового усиления. Фактически речь идет об
еще одном проявлении своеобразного баланса нелинейного взаимо-
взаимодействия и дисперсии. Если групповые скорости накачки, сигнальной
и холостой волн выбраны так, что ис<;ын<ых или их<.ии<Сис, то
экспоненциальный режим усиления сохраняется и на длинах, пре-
превышающих групповую длину. При этом на частотах юс и сох формиру-
формируются импульсы неизменной формы, локализованные по обе стороны'
импульса накачки. Этот эффект впервые обсуждался Фрейдманом и
соавторами [15] и Сухоруковым с соавторами [16], давшими деталь-
детальную теорию явления; численный анализ выполнен в [12].
124
На рис. 3.8 изображена структура модовых импульсов на сиг-
сигнальной длине волны для равных групповых расстроек Аи^\~ Аи^,\==
= Ди~1, коэффициенты усиления мод —ехр(Гмг). Поведение импуль-
импульсов определяется отношением т групповой длины к длине усиления,
m—LT9/Ly, Lrp=TH/|Au~1|.При т>\12 форма импульса остается неиз-
неизменной, его амплитуда экспоненциально растет cm, а длительность по
сравнению с накачкой уменьшается, т{.м)=тн/т. При т—\12 усиление
пропадает.
Рис. 3.8. Моды параметрических сигна-
сигналов в поле накачки вида Рн(т]н)==РноХ
Xsech(T)H/tH) (штриховая линия) при раз-
различных параметрах т и Гм соответственно:
1/2, 0 (/); 1, 1/21, B); 2, 3/2Ly C); г|н=
=/-г/и„ [16]
-7
1*14
Отметим, что для перехода в модовый режим необходимо выполне-
выполнение условия z>Lrp, поэтому длительность т<.м) превышает тс в квази-
квазистатическом режиме усиления. Вершина стационарного импульса
сдвигается относительно максимума накачки на время —xJ2m.
Управление знаком и скоростью частотной модуляции. Выше мы
рассмотрели, как влияет ФМ импульса накачки на ФМ импульса хо-
холостой волны в квазистатическом режиме усиления (8). Каковы осо-
особенности взаимодействия ФМ импульсов в нестационарном режиме
усиления? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно решить систему
C)—-E) при ФМ импульсе накачки. Прежде чем проводить необходи-
необходимые выкладки, воспользуемся простыми соображениями, основанными
на соотношениях между частотами и волновыми числами: ,
Н С X) Н С X* * V /
В соответствии с A0) при непрерывном изменении частоты накачки
для ее девиации имеем
б(он — бюс -г бсох, бсос/ыс -f- &»x/ux = &в„/ын,
откуда следует, что
6сОс = flc<5ct)H, 6сОх =- 0хбс0н, /о о 114
л 1 л 1 , (o.o.ll)
п — Л/у i/\fj~1 п — 1 п
Чс— и"н, х /лис, х> Чх— 1 Чс-
В случае накачки с квадратичной ФМ Фн(/)=—a.Bt2/2 фазы сиг-
сигнального и холостого импульсов: фс(^)=—aJ2/2 и фх@=—ocxt2/2y
где aCi х=^с, хан. При ^с^>1 скорость изменения частот возбуждаемых
импульсов превосходит таковую для накачки. Однако знаки измене-
изменения частот согласно A1) различны. Разумеется, реальная динамика
взаимодействия ФМ импульсов с конечной длительностью оказывается
сложнее.
Приведем решение C)—E) для ФМ гауссовского импульса накачки:
). C.3.12)
■2S
<С помощью функций
Лс == Ас ехр (— iaxx2/2), Лх — А% ехр [iax (т—z/Щ с>J/2!,
т = */т„, а/ = а/т5, / = с, х, н,
от системы C)—E) переходим к уравнениям
-..* C.3.13)
Эти уравнения справедливы при условии, что нестационарность про-
процесса связана с фазовой модуляцией импульса накачки B<L<£С),
<p)
Пусть на входе нелинейной среды
Лс (т, z = 0) = Лс0 (т) ехр (— Гахт2/2), ^х (т, z = 0) = 0.
Тогда в случае z<^LJ.p'c) и сильного усиления (z^>Ly) в прежних обо-
обозначениях имеем [18]
Ас (т, г) = BУлУ1 ехр [A —т2) T0z — iazxV2] x
X J Лс„(т—рХ)ехр[— x2+iac(x—pxJ/2]dx, C.3.14)
где р=(А(оутн)~1, Acoy=21/2(zLy)-1/2|Aux,1cl~1. Когда полоса частот
параметрического усиления Асоу существенно превосходит ширины
спектров взаимодействующих импульсов, из A4) при \Аи^с\->0 при-
приходим к выражению G).
Запишем A4) в виде
Ac(t, г)-ехр[A-/2/т2)Г0г]х
X
J Лс0 (Й) ехр [tut—Асоу2 (Q + ac02/4] dQ, C.3.15)
где Лс0(й) — фурье-спектр сигнального импульса. Согласно A5) уси-
усиление сигнала в поле ФМ накачки происходит со сдвигом во времени
частотной полосы усиления по линейному закону, причем а>с=(ос—
—aj. Отсюда и из выражения для мгновенной частоты накачки
шн=а)н—aJ нетрудно получить соотношения A1). Максимальные де-
девиации частот генерируемых импульсов
б@с шах ~ «с V б^х шах « «хтн-
Отношение
определяет условие, при котором ФМ импульса накачки слабо влияет
на процесс усиления. Это же условие ограничивает максимальную
девиацию частоты усиливаемого импульса.
126
На рис. 3.9 показана измеренная частотная зависимость параметра
qz, ответственного за ЧМ сигнального импульса. Видно, что при под-
подходе к вырожденному режиму усиления происходит резкий рост qc.
Рис. 3.9. Зависимость дисперсионного пара-
параметра qc от отношения частот о)х/о)н холостой
волны и накачки (сплошная линия — теоре-
теоретическая) [17]
wJwH 0,3 0/, 0,5
Этот результат согласуется с A1). Более подробно экспериментальная
реализация методов формирования ФМ импульсов обсуждается в
§4.8.
§ 3.4. Генерация суммарных частот;
параметрические солитоны
Материал этого параграфа самым тесным образом связан с материа-
материалом § 3.2 — процесс сложения частот во многом аналогичен вырожден-
вырожденному взаимодействию, т. е. ГВГ. Однако если речь идет о сложении
частот сверхкоротких импульсов, то определенная специфика может
проявиться в связи с различием групповых скоростей смешиваемых
волн. Поэтому мы кратко приведем результаты, которые могут ока-
оказаться полезными при интерпретации экспериментальных данных.
С принципиальной точки зрения особый интерес представляет слу-
случай, когда интенсивности смешиваемых волн сильно отличаются. При
этом в условиях группового запаздывания на суммарной частоте фор-
формируется солитон — ситуация, аналогичная модовому режиму усиле-
усиления (§ 3.3).
Сложение частот сверхкоротких импульсов. Процесс генерации сум-
суммарной частоты при малой эффективности преобразования описывается
уравнением вида C.3.5)
<«- *)=-*М<-ъ)А»{'-к) {ЗЛЛ)
в первом приближении теории дисперсии. Здесь амплитуды Л]0@>-
A20(t) являются заданными функциями, Ak—О. Эффективность гене-
генерации суммарной частоты coc=cth+co2 определяется в общем случае
групповыми расстройками
Аы-21= 1/ыс— 1/ы2, A"i= l/"a— l/"i C.4.2)
и соответствующими им групповыми длинами. Так генерация практи-
практически прекращается, когда групповое запаздывание ta=\^u^\\2 равно-
длительности входного импульса, распространяющегося с наибольшей
скоростью. При Ux>u2 групповая длина
L<V) = (Am2-1A(o1)-1, C.4.3)
Ас»! — ширина спектра на частоте о»,.
127
В рассматриваемом нестационарном режиме смешения при z<L[2pil)
нормированная спектральная плотность на суммарной частоте сос
равна (ср. с C.2.22))
sc (Q, г) = sine2 {Аи~\ Qz/2) s[KB) (Q), C.4.4)
где Q=co—coc, ScKB)(fi) — нормированный спектр для квазистатическо-
квазистатического случая (z<L(rcp2> = (AUc2A<«>i)-1). Если г>Ц^>, то
Здесь в отличие от D) спектр на суммарной частоте не промодулирован.
Из E) нетрудно найти ширину спектра в существенно нестационарном
режиме генерации. Приведем ее оценку для каскадной генерации не-
необыкновенной волны пятой гармоники в кристалле кальцита обыкно-
обыкновенными смешиваемыми волнами основного излучения и третьей гар-
гармоники [19]. Для длин волн Я1=1,06 и Х2=0,353 мкм параметр
Au,:\/Au2t i=3,3 и отношение ширин спектра генерируемого импульса
в нестационарном и квазистатическом режимах равно 0,08. Другими
словами, импульс на пятой гармонике оказывается длиннее исходного
в 12 раз. Отметим, что теория нестационарного смешения частот разви-
развита в [19—21].
Эффекты, связанные с дисперсией групповых скоростей, рассмот-
рассмотрены в [20]. Совокупное влияние расстройки и дисперсии групповых
скоростей приводит к уменьшению длительности импульса на суммар-
суммарной частоте и увеличению его энергии.
Параметрические солитоны. Обратимся теперь к режиму высоко-
высокоэффективного смешения коротких импульсов. Пусть накачкой явля-
является волна на частоте cot. Тогда в первом приближении теории диспер-
дисперсии рассматриваемый процесс описывается системой уравнений
£|£ = - 1УЛ fax. г)А'ю (ть), C.4.6а)
Д*к +Дц-1^к= -п>сЛ2(тЬ г)Аы (ть), C.4.66)
!=£—г/ии с граничными условиями
А2 (т)„ z = 0) = А20 (rii), Ас (т)„ z = 0) = 0.
Общее решение F) может быть записано методом Римана; оно обстоя-
обстоятельно исследовано в [22, 23]. Здесь мы обсудим с физической точки
зрения более интересный случай — генерацию параметрических соли-
тонов. Если импульс накачки короткий, а импульс на частоте со2
длинный ^2o^const), то фронт генерируемого импульса частоты сос
движется со скоростью ыф=тах(ы1, ы2), а хвост — со скоростью
«x=min(«l, ы2)- С расстоянием длительность генерируемого импульса
растет. При £3>Цр 1)=т1/|Д«с~11|, Lfj, 1>=т1/|Ди2",11| на суммарной частоте
формируется стационарный импульс (квазисолитон), который можно
рассчитать, полагая в F) <MCi 2/dz=0. Проанализируем решение, сле-
следуя [22]. В зависимости от соотношения групповых скоростей импуль-
импульсов различают два режима: ДЫс11Дыа",11>0 и Дий1Ди^,11<:0. В первом
128
случае импульс накачки бежит быстрее (ux>u2, uc) или медленнее
(их<ц2, wc) слабоинтенсивных волн.
Стационарная форма импульса при Ux<iu2, uc имеет вид
/ijoSinG^), C.4.7)
При «1>ы2, «з нижний предел интегрирования нужно заменить на
+оо. Если G(oo)=mt (я=1, 2, 3, . . .), то амплитуда Ас вне импульса
накачки (n^Tj) равна нулю — стационарный импульс заперт внутри
импульса накачки. При G(oo)=Bn+l)n/2 амплитуда вне импульса
накачки имеет постоянное значение, не зависящее от интенсивности
накачки; стационарный импульс при этом имеет практически прямо-
прямоугольную форму.
В случае AujJAu^VciO импульс накачки распространяется с про-
промежуточной скоростью u2<w1<wc или uc<ZUi<Ztit. Здесь форма стацио-
стационарного импульса в отличие от G) гладкая:
C.4.8)
Если G(oo)^>l, то происходит насыщение амплитуды импульса. Пара-
Параметрические квазисолитоны могут существовать и в поле ФМ импуль-
импульсов накачки; подтверждающие это численные расчеты выполнены в
[23].
При трехчастотных синхронных взаимодействиях волновых паке-
пакетов в квадратично-нелинейных средах, когда существенным становит-
становится расплывание волновых пакетов, могут существовать «истинные»
солитоны [24]. При этом, как и в случае шредингеровских еолитонов,
дисперсионное расплывание импульсов компенсируется их нелиней-
нелинейным сжатием. Однако здесь захваченными оказываются импульсы на
разных частотах — формируются многочастотные солитоны. Рожде-
Рождение, столкновение и распад параметрических многочастотных еоли-
еолитонов подробно изучены в [25] (см. также [106]).
§ 3.5. Генерация разностных частот
и инфракрасное черенковское излучение
фемтосекундных импульсов в нелинейное среде
Генерация разностных частот как метод получения когерентного
ИК. излучения; условия фазового согласования. Генерация разностных
частот в среде с квадратичной нелинейностью — трехчастотный про-
процесс вида
сох—со2=£2. C.5.1)
который обычно используется для получения когерентного ИК излу-
излучения. Сближая средние частоты «i и ю2 двух квазимонохроматиче-
5 С. А. Ахманов н др. •*»
ских источников, таким способом удается получить излучение даже
в диапазоне миллиметровых волн, заполнить брешь между оптическим
и СВЧ диапазонами [26].
Предельный КПД процесса A) определяется общими закономер-
закономерностями преобразования частоты в среде с недиссипативной нелиней-
нелинейностью и при ©!«co2 имеет порядок Q/co^l. В действительности же
КПД обычно еще ниже, поскольку для частот Q, лежащих в особенно
интересном для рассматриваемого метода далеком ИК диапазоне,
дисперсионные свойства большинства нелинейных сред таковы, что
очень трудно удовлетворить условиям векторного фазового синхро-
синхронизма
ЬA) Ыз) — ь. /о г. о\
К К —К, {О.О.6)
возникает значительная фазовая расстройка Ak, и когерентная длина
LK=1/|A&| для рассматриваемых процессов мала, LK=10—100 мкм.
Рис. 3.10. Генерация черенковского излучения: а — форма возбуждающего им-
импульса, б — профиль возбуждающего пучка, в — черенковский импульс. Им-
Импульс нелинейной поляризации движется со скоростью и, превышающей ско-
скорость ИК излучения в среде. Интерференция излученных волн формирует конус
с углом при вершине я—290
Однако имеется одно важное обстоятельство, позволяющее до извест-
известной степени обойти эту трудность. Дело в том, что при Q<^coi, со2
поперечный размер а области, занимаемой волной нелинейной поля-
поляризации на частоте QEJ(HJI)~%B).E'1.£'2), имеет порядок Ляг2лс/Я, а~Л.
Поэтому область, занятая волной нелинейной поляризации, и область,
где формируется электромагнитное поле на разностной частоте, в зна-
значительной мере пространственно разнесены.
В этих условиях когерентное сложение волн в дальнем поле,
излученных на частоте Q, возникает, очевидно, в направлении 0О,
130
определяемом из условия (рис. ЗЛО)
При этом фазовая скорость волны нелинейной поляризации fn(Q),
порождаемой волнами cox и со2, превышает скорость v(Q) свободной
электромагнитной волны на той же частоте. Соотношение C) имеет вид
известного черенковского условия, характеризующего диаграмму
направленности излучения заряженной частицы, равномерно движу-
движущейся со сверхсветовой скоростью в среде. Поэтому в рассматриваемом
случае говорят о черенковском излучении волны нелинейной поляри-
поляризации. Сопоставление C) с B) показывает, что черенковское условие
эквивалентно сохранению продольных компонент волновых чисел
(импульсов, в квантовой трактовке).
Нелинейные взаимодействия в условиях «черенковского синхро-
синхронизма» наблюдались в специальной геометрии удвоителя частоты на
кристалле ниобата лития Джордмейном и соавторами [27], а при гене-
генерации миллиметровых волн за счет смешения излучения двух СО2
лазеров — Багдасаряном и соавторами [28]. Принципиальная возмож-
возможность излучения Вавилова — Черенкова волнами любой природы отме-
отмечалась Гинзбургом [29]; Аскарьян [30] рассмотрел возможность черен-
черенковского излучения «сгустком» нелинейной поляризации.
Ниже мы изложим теорию черенковской генерации ИК излучения,
базируясь на последовательной нелинейно-оптической трактовке яв-
явления, впервые данной в [31]. Надо сказать, что в самое последнее вре-
время наблюдается возрождение интереса к этой задаче. Очевидно, что для
получения ИК излучения вместо оптического дублета можно посДать
на среду один достаточно короткий световой импульс. Тогда биения
различных его спектральных компонент — «оптическое выпрямление»
светового импульса в среде с квадратичной нелинейной поляризаци-
поляризацией — приводят к генерации короткого импульса ИК излучения.
Остон и соавторы [32] проделали такие эксперименты с фемтосе-
кундными световыми импульсами; специальная техника позволила
наблюдать черенковский импульс — биполярный ИК импульс дли-
длительностью в один период.
Черенковское излучение волны нелинейной поляризации, возбужда-
возбуждаемой дублетом квазимонохроматических волн. Чтобы выявить законо-
закономерности генерации разностных частот при различных схемах согла-
согласования фазовых скоростей, мы обратимся сначала к наглядной задаче
о генерации разностной частоты (РЧ) дублетом монохроматических
волн. Пусть на вход нелинейной среды подается суперпозиция моно-
монохроматических полей вида
E(t, r, z) = Et(t, r, z) + E,(t, r, г) =
= 1ЛА1 (г)е'<«м-*A)« + УяАх(г)е* <«.'-*w«+ к. с. C.5.4)
Тогда напряженность электрического поля на РЧ Q=co2—Wi в
5* 131
соответствии с C.1.2) описывается волновым уравнением
"Х£р и2 Л2 ~ с2 й2^ £1£«Р —
= -Я(^IХ»М1(г)Л;(г)в£(Р<-*-'), C.5.5)
*„ = #»—*<«, w = c/n(Q). C.5.6)
Зависящее от пространственных координат поле Ev(r, z) такое, что
Ev(t, г, z)=Ep(r, z)eiat, удовлетворяет уравнению
Д£Р(Г, z) + k*E,{r, Z) = -nxB)(fJ^1(r)^(r)e"V) C.5.7)
где
* = a = £n(Q) C.5.8)
— волновое число свободной электромагнитной волны на РЧ. Интег-
Интегрируя G) для случая плоских волн, получаем
Е9 (z) =■ — (я/4) хB) (Q/cn) AtAl exp [— i (k—Afe/2) z] sine (Akz/2),
C.5.9)
где
К чему приводит пространственная ограниченность возбуждающих
пучков? Для ответа на этот вопрос перейдем в G) к пространственным
спектрам
llp(r' *)Аг<Рг. C.5-10)
Если пучки на частотах соъ со2 слабо расходящиеся, то компонента
пространственного спектра на РЧ удовлетворяет уравнению
^ , 2) + (*•-*!) £р (*х, z) = - yF (*х) Г"»', C.5.11)
»1> гДе h и ^± — продольная (вдоль оси z) и поперечная со-
составляющие волнового вектора на РЧ, у=я%B)£22/с2. Функция F(k±)
определяется сверткой угловых спектров возбуждающих пучков, кото-
которую удобно представить в виде
. C.5.12)
Интегрируя A1) с учетом граничного условия на входе в среду
Ev(k±, 0)=0 и условия излучения, получаем
C.5.13)
132
Решение A3) позволяет обосновать и уточнить качественные сооб-
соображения, приведшие нас к формуле C). Ключевыми здесь оказываются
два момента: малая расходимость пучков накачки (вектор кп не сильно
отклоняется от оси г) и малость характерного размера области прост-
пространства, занятого волной нелинейной поляризации, по сравнению с
длиной волны излучения на разностной частоте. В силу сказанного
величину kn в A3) можно считать константой, и следовательно, поле
на разностной частоте максимально, когда
kn = kt ^&cos90, C.5.14)
т. е. при выполнении черенковского условия C).
Амплитуда излучения на разностной частоте определяется факто-
фактором /7(й1).Для гауссовского поперечного профиля волны нелинейной
поляризации
А, (г) А; (г) =■ /„ ехр (-г2/а2), C.5.15)
в соответствии с A2)
F (k±) = Dл)-1/„«2 ехр [- (к^/Ц, C.5.16)
F(kj_) максимально при k^a-^-O. Пользуясь A2), A3), можно получить
и более детальную информацию об интенсивности и диаграмме направ-
направленности черенковского излучения.
Черенковское излучение сверхкоротких световых импульсов; опти-
оптическое выпрямление. Короткий световой импульс, распространяющий-
распространяющийся в среде с квадратичной нелинейностью, наводит поляризацию вида
Г, z) = x^\A0(r)\4(t-z/u), C.5.17)
где |Л0(г)|2 характеризует поперечное распределение интенсивности,
I (t) описывает форму импульса, и — групповая скорость. Напряжен-
Напряженность создаваемого импульсом электрического поля удовлетворяет
уравнению
д£р__^=««^. C.5.18)
р у2 dt2 с2 dt2 v '
Как и выше, для решения A8) воспользуемся фурье-преобразованием.
Тогда для частотно-углового спектра поля РЧ на выходе нелинейной
среды получим
£P(Q, 6, z) = t{xU)a*|^o@)li'z[2nwci(u/« + cose)]-1}x
X Й27 (Q) ехр [— (afi sin 0J/4u2—i (u^-f v~l cos Q) Q z/2] x
X sin B9) sine [(w1 + у cos 0) Qz/2], C.5.19)
где 7(Q) — спектральная амплитуда I(t), 6 — полярный угол отно-
относительно оси z, a — радиус гауссовского пучка.
Под черенковским углом 0o=arccos (vlu) спектральная плотность
излучения s(Q, 6, г) = Bя)~3|£'р(Й, Э, z)l2 достигает максимального
значения (рис. 3.10). Угловая ширина диаграммы направленности из-
излучения A0=Bnu/fiz)ctg Эо зависит от разностной частоты Q.
133
Частотный спектр черенковского импульса существенно отличает-
отличается от спектра возбуждающего импульса. Причиной этого является
зависимость нелинейной связи волн от частоты, а при 6^=60 — еще и
зависимость эффективности излучения от Q. Форма черенковского им-
импульса определяется выражением
Ev(t, 9
0,
C.5.20)
где С — не зависящая от Q константа. Описываемый B0) видеоимпульс
является результатом детектирования оптического импульса. Резуль-
Результаты расчета по формуле B0) приведены на рис. 3.11. Поскольку им-
импульс имеет биполярную форму, его называют также инфракрасным
-18
\-12
\
\
10
3/0,5
s\ I
\ 1
\ /1
Ml
fp(t)
-0,5
-1,0
\\
^\
Рис. 3.11. Форма черенковского импульса: (а/у) sin 00= 1,6 пс (У), 16 пс B).
Кривая 3 — возбуждающий гауссовский импульс с длительностью то=5 пс [31]
импульсом длительностью в один период. Из B0) можно получить вы-
выражение для длительности. Если гауссовский возбуждающий импульс
имеет длительность т0, то черенковский —
ти = (то+ V2 (a/uftg2Q()yi2, C.5.21)
Из B1) следует, что конечный радиус возбуждающего пучка приводит
к увеличению ти. Более детальное изложение теории черенковского
излучения приведено в [31, 33].
Экспериментальное исследование черенковского излучения фемто-
секундного лазерного импульса проведено авторами [32]. Использо-
Использовался лазер на красителе, генерировавший возбуждающие импульсы
длительностью 100 фс на длине волны 625 нм с энергией 10~10 Дж и час-
частотой повторения 150 МГц. Излучение лазера разделялось на два им-
импульса— возбуждающий и зондирующий и направлялось на изотроп-
изотропный кристалл танталата лития. Генерируемый в кристалле черенковский
импульс, распространявшийся под углом 90=69о, за счет электрооп-
электрооптического эффекта индуцировал двулучепреломление, которое «счи-
тывалось» с помощью пробного (зондирующего) импульса (рис. 3.12).
134
Импульс
накачки
КПД преобразования в реальных условиях невысок (порядка
10~5) и напряженность электрического поля в черенковском импуль-
импульсе составляла 10 В/см. Однако зондирующий импульс распростра-
распространялся с той же скоростью, что и воз-
возбуждающий, что обеспечивало боль-
большие длины взаимодействия и накоп-
накопление эффектов, связанных с двулу-
чепреломлением. Форма черенков-
ского импульса измерялась путем
варьирования временной задержки
зондирующего импульса относительно
возбуждающего (рис. 3.13). Она со-
соответствовала одному периоду излу-
излучения с частотой 1,5 ТГц.
Такие импульсы могут найти при-
применение для исследования свойств
материалов в ИК области спектра.
Пробный
импульс
Рис. 3.12. Схема эксперимента по
генерации и детектированию ИК
черенковского излучения сверх-
сверхкороткого светового импульса [32]
Авторы [341 продемонстрировали эффективность использования че-
Рис. 3.13. Измеренная (сплошная линия) и рассчитанная (штриховая) формы
черенковского импульса [32]
ренковского излучения в спектроскопии низкочастотных резонансов
нелинейной восприимчивости танталата лития.
§ 3.6. Вынужденное комбинационное рассеяние
сверхкоротких импульсов
Физика рассеяния; основные уравнения. Вынужденное рассеяние
света связано с обусловленной оптической нелинейностью среды фа-
зировкой элементарных возбуждений в поле мощной световой волны.
Особенно просто пояснить суть возникающих явлений на примере вы-
вынужденного комбинационного рассеяния света (ВКР) на внутримоле-
внутримолекулярных колебаниях. Классическая теория ВКР основывается на
учете зависимости электронной поляризуемости молекулы % от кон-
135
фигурации ядер, определяемой их смещениями Q от равновесных зна-
значений. В простейшем одномерном случае
X(Q) = %o + (dyJdQ)oQ+... C.6.1)
Второй член этого разложения описывает модуляцию света молекуляр-
молекулярными колебаниями —• в наведенной поляризации молекул появляются
новые спектральные компоненты, сдвинутые на частоту колебаний
ядер; поляризация молекулы
E. C.6.2)
В условиях, когда Q определяется тепловыми движениями в среде,
B) описывает спонтанное комбинационное рассеяние.
Зависимость % (Q) является одновременно причиной обратного
воздействия световых волн на молекулярные колебания. Действитель-
Действительно, энергия взаимодействия молекулы со световой волной
и следовательно, в световом поле возникает сила
Р и 6 ^
t dQ - dQ с , (б.ь.б)
действующая на молекулярные колебания. Если поле содержит ком-
компоненты с частотами сон и о)с, разность которых близка к собственной
частоте молекулярных колебаний QM«coH—сос, то действующая сила
приводит к резонансной раскачке колебаний. На хаотические внутри-
внутримолекулярные движения накладываются регулярные вынужденные
колебания, фазы которых в различных молекулах определяются фа-
фазами компонент светового поля: происходит фазировка молекулярных
колебаний.
Экспериментально ВКР проявляется как неустойчивость интен-
интенсивной световой волны накачки в комбинационно-активной среде. Вто-
Вторая компонента светового поля возникает за счет спонтанного комби-
комбинационного рассеяния. ВКР является пороговым эффектом — неустой-
неустойчивость возникает, если интенсивность /н мощной световой волны
накачки с частотой сон превышает пороговое значение /пор, зависящее
от уровня оптических потерь. При этом условии интенсивность низко-
низкочастотной (стоксовой) волны с частотой сос усиливается по закону
/с = /соехр(£с/нг), C.6.4)
где коэффициент gc определяется параметрами среды, z — расстояние.
При gclaz^>\ волна накачки истощается, происходит эффективный
энергообмен между волнами. Такова картина стационарного ВКР.
Особенности нестационарного ВКР были поняты фактически в кон-
конце 60-х — начале 70-х годов [35]. Именно в это время выполнены экспе-
экспериментальные [36—39] и теоретические [40—45] работы, выявившие
главные черты ВКР сверхкоротких световых импульсов. Узкие рама-
новские линии в газах имеют ширину 108—109 Гц. Поэтому уже в
поле импульсов длительностью 10—100 не нелинейный отклик моле-
молекул становится существенно нестационарным. Инерция отклика мо-
136
лекулы уменьшает амплитуду ее вынужденных колебаний и снижает,
очевидно, эффективность вынужденного рассеяния. С другой стороны,
как и в случае генерации гармоник и параметрических взаимодейст-
взаимодействий, при вынужденном рассеянии коротких импульсов возникают
эффекты группового запаздывания, обусловленные разностью группо-
групповых скоростей импульса накачки и стоксова импульса.
Эффекты, обусловленные конечным временем локального отклика
(локальная нестационарность) и дисперсией среды (волновая неста-
нестационарность), наблюдались экспериментально в начале 70-х годов.
Для анализа нестационарных эффектов ВКР обратимся к матема-
математическому описанию процесса, основанному на системе укороченных
уравнений [46, 641:
^ + i^-4*^ = -^cQ, C.6.5a)
Ж + ^Чг-1^^-- ^н<2*. C.6.56)
- + iQ^Q = -iyQAHA'c. C.6.5b)
Здесь Аа и Лс — амплитуды накачки и стоксовой волны, Q — комп-
комплексная медленно меняющаяся амплитуда волны молекулярных ко-
колебаний, Т2 — время релаксации, определяющее ширину линии спон-
спонтанного КР,
Q = G>H—o)c—QM C.6.6)
— частотная расстройка. Коэффициенты нелинейной связи
y»dQ сп„ ' ycdQ, cnc ' *Qd
где М — эффективная масса ядер, N — число молекул в единице
объема. Уравнения E) описывают попутное взаимодействие волн во
втором приближении теории дисперсии и без учета изменения раз-
разности населенностей колебательных уровней. В правую часть E6),
вообще говоря, должна входить случайная сила, обусловленная теп-
тепловыми флуктуациями в среде. Далее мы ограничимся случаем, когда
в среду поступает «затравочный» импульс на стоксовой частоте с амп-
амплитудой ЛСО=ЛС(^ г=0), т. е. будем рассматривать режим усиления.
Эффекты группового запаздывания в среде с широкими рамановски-
ми линиями. Начнем с анализа эффектов группового запаздывания,
которые доминируют в условиях, когда То^Т^, а дисперсионная дли-
длина LA превышает групповую
Lrn = Toi— ] =т0Ди~1.
Уравнения для комплексных амплитуд
C-6.86)
137
где g@)=2ynyQT2, в приближении заданного поля имеют простое
решение
Ac(t, 2) = .
i
Z
о
d\
■!•
(З.б.9а)
Для интенсивности стоксовой волны получаем
Ic{t, 2)-/с0ехр|г(О)^Л11в^-^+;Ди-15] dg|, C.6.96)
где
]-1. C.6.10)
В сильно нестационарном режиме усиления (£5s>Lrp) формула (96)
приводится к виду
Ic(t, z) = Ic0exp[g(Q)\Am@)\4aM]. C.6.11)
Эффективная групповая длина L3$$ зависит от формы импульса на-
накачки. В случае гауссовского импульса L^ — ^nL^. Из A1)
следует, что групповая расстройка приводит к насыщению усиления
на длине г~2Ьэфф.
Влияние конечной длительности импульсов ярко проявляется в
асимметрии стоксова рассеяния вперед и назад. В последнем случае
эффективная длина встречного нелинейного взаимодействия
и, следовательно, отношение энергий стоксова излучения
WjWi = exp [g (Q) | Ат @) |* Aэфф-/.э+фф)]. C.6.12)
Так, например, в кварцевых стеклах /,^,=0,3 мм, a L^«l м при
Ян = 1,06 мкм, то = 10~12 с и стоксовом сдвиге частоты 440 см. Асим-
Асимметрия попутного и встречного ВКР в жидкостях экспериментально
исследовалась в [381. Решение уравнений (8) при сильном энергооб-
энергообмене для попутного и встречного взаимодействий волн приведено в
[42]. Отметим, что при встречном взаимодействии за счет преимущест-
преимущественного усиления фронта стоксовой волны возможно формирование «ги-
«гигантского» стоксова импульса — ситуация во многом аналогичная ге-
генерации «гигантских» импульсов при ГВГ и параметрическом усиле-
усилении (§3.3). Впервые этот эффект наблюдался в экспериментах [37].
В последнее время наиболее интересные результаты по ВКР сверх-
сверхкоротких импульсов получены в волоконных световодах. Кварцевые
световоды обладают широкими рамановскими линиями (Av=250 см,
Г2~Ю0 фс, см. рис. 3.14) и, следовательно, позволяют эффективно
усиливать и преобразовывать импульсы с длительностью порядка
10а фс. В длинных световодах в полной мере проявляются эффекты
группового запаздывания. Речь идет не только о насыщении усиления
на расстоянии порядка групповой длины. Поскольку инкремент уси-
138
ления A1), с учетом зависимости групповой длины от частоты, выража-
выражается следующим образом:
@)„ — СОС) ki
C.6.13)
то максимум усиления совпадает с центром рамановской линии (осО
только в том случае, когда длина световода /,<1эфф. Особенно ярко
это проявляется при использовании в качестве источника накачки
перестраиваемого по частоте параметрического генератора. При при-
приближении сон к частоте сокр, на которой дисперсионный параметр А$н>-»-0,
групповая длина стремится к бесконечности и максимум усиления
реализуется на частоте сосо. При отстройке сон от сокр групповая дли-
длина уменьшается, и вследствие этого максимум усиления смещается по
2,0
1,6
1,2
0,8
250СИ-*
400
200
200 400 600 800 V,CM'1
Рис. 3.14. Контур линии комбинационного
усиления в плавленном кварце [47J
1,2
1,3 Я.н,мкм
Рис. 3.15. Зависимость сток-
сова сдвига частоты vc от
длины волны излучения на-
накачки, измеренная в экс-
экспериментах [48]
частоте в сторону накачки. Эта ситуация совершенно необычна для
стационарного ВКР.
Указанные явления отчетливо наблюдались в экспериментах [481.
Импульсы накачки с длительностью 30 пс и пиковой мощностью
300 Вт перестраивались по частоте в диапазоне 1,17—1,35 мкм. При
длине волны накачки Ян = 1,26 мкм на выходе волоконного световода
{L—25O м) регистрировались стоксовы импульсы со сдвигом частоты
450 см, соответствующим центру линии усиления. По мере отстройки
от длины волны, соответствующей нулевой дисперсии групповой ско-
скорости, величина стоксова сдвига уменьшалась (рис. 3.15). В экспери-
экспериментах [49] измерения производились при фиксированной длине вол-
волны Ян = 1,32 мкм, варьируемым параметром была длина световода, а
регистрируемым — стоксов сдвиг частоты, который уменьшался с
увеличением длины световода.
В экспериментах [50] изучалась временная картина явления. Ав-
Авторы измерили, в частности, зависимость длительности стоксова им-
импульса от длины световода и проследили взаимосвязь временного сме-
смещения центра стоксова импульса с энергетической эффективностью
преобразования. Динамика формирования стоксова импульса в усло-
139
виях нормальной дисперсии групповой скорости (ис>ы„) иллюстри-
иллюстрируется на рис. 3.16.
ВКР в условиях группового синхронизма; рамановские солитоны.
Специфическая особенность волоконных световодов заключается в том,
что в них можно реализовать комбинационное преобразование частоты
Рис. 3.16. Динамика формирования импульса на стоксовой частоте из непрерыв-
непрерывного затравочного сигнала в условиях нормальной дисперсии групповой ско-
скорости (на затравочном сигнале нанесены временные метки). Видно, что макси-
максимальное усиление испытывает сигнал, поступивший на вход световода одновре-
одновременно с хвостом импульса накачки. Более поздние части затравочного сигнала
встречают иа своем пути истощенную накачку, более ранние проходят лишь
сквозь часть импульса накачки. Пунктиром показана исходная форма импульса
накачки. На врезке — измеренная в эксперименте [50] зависимость длительнос-
длительности стоксова импульса тс от длины световода L
в условиях группового синхронизма, выбирая длины волн Кя и Хс сим-
симметрично, относительно длины волны, соответствующей нулевой дис-
дисперсии групповой скорости. Другая возможность связана с использо-
использованием маломодовых световодов, в которых групповую расстройку
можно скомпенсировать за счет межмодовой дисперсии.
140
Здесь на первый план выходят эффекты, связанные с совместным
проявлением фазовой само- и кросс-модуляции, дисперсии и комби-
комбинационного преобразования частоты. Математические модели этих
процессов, учитывающие изменение показателя преломления в поле
высокоинтенсивных импульсов, сформулированы в [51] в первом при-
приближении теории дисперсии и обобщены в [52]. Для импульсов с на-
начальной длительностью в единицы пикосекунд усиление можно счи-
считать стационарным, а систему уравнений E), записанную с учетом са-
самовоздействия, представить в виде
г,. дА„ ,,„, дМ„
C-6.14)
«о
«о
дАс
дг\и
[feeMc
где tjh=^—z/uH — бегущее время, связанное с импульсом накачки,
^н> ^с ~~ коэффициенты поглощения, a f,j — интегралы перекрытия
волноводных мод.
Рис. 3.17. Динамика формирования сверхкоротких импульсов ВКР в кварцевом
волоконном световоде, возбуждаемом пикосекундными импульсами накачки
с гауссовской огибающей; спектральная область соответствует нормальной дис-
дисперсии групповой скорости. Изображены временные профили интенсивности
накачки и стоксова импульса (Ян=1,06 мкм, Яс=1,12 мкм, тн=5 пс, /н=
= 1,8-107 Вт/см2, fe£H)=2,3-10-28 cVcm)
Основные закономерности комбинационного преобразования часто-
частоты в волоконных световодах были выявлены в численных эксперимен-
экспериментах [52, 53], основанных на решении системы A4). В зависимости
от спектральной области, в которую попадают накачка и стоксова ком-
141
понента ВКР, можно выделить различные режимы генерации. Если
Хя и кс относятся к области нормальной дисперсии групповой скорости>
Сигнал
Рис. 3.18. Динамика формирования импульсов ВКР. Комбинационная частота
попадает в область аномальной дисперсии групповой скорости, накачка — в об-
область нормальной дисперсии (^„=1,25 мкм, ?.с=1,32 мкм, гн=5 пс, /н=
=2,7-10е Вт/см2, ^н)=0,34.10-28 с2/см)
то совместное проявление фазовой самомодуляции и дисперсии приво-
приводит к расплыванию импульса накачки и снижает эффективность энер-
энергообмена. К аналогичному результату приводит и взаимное влияние
импульсов на основной и стоксовой частотах через нелинейную добав-
добавку к показателю преломления — кросс-модуляция. Результирующая
длительность стоксова импульса заметно превышает исходную дли-
длительность накачки (рис. 3.17), кроме того, стоксов импульс имеет зна-
142
чительную частотную модуляцию. В принципе, его можно сжать с
помощью диспергирующей линии задержки.
В случае, когда стоксова компонента попадает в область аномаль-
аномальной дисперсии групповой скорости, картина радикально изменяется,
Оагнал
Рис. 3.19. Формирование высокоиитеисивиых рам.аиовских солитоиов в спект-
спектральной области, соответствующей аномальной дисперсии групповых скоростей
иа частотах оо„ и сос (Х„=1,55 мкм, Яс=1,67 мкм, т„=5 пс, /н=2-107 Вт/см2,
4н)=2,6-10-г8 с*/см)
так как совместное проявление дисперсии и нелинейности создает ус-
условия для самосжатия стоксова импульса. Переложение частотной
модуляции накачки на стоксову частоту также ускоряет сжатие им-
143
пульса. В этом режиме пиковая можность стоксова импульса может
существенно превышать мощность импульса накачки (рис. 3.18).
И, наконец, при Ян, Яс>Хкр самовоздействие приводит к самосжа-
самосжатию не только стоксова импульса, но и импульса накачки, а кросс-
модуляция способствует этому процессу. В этом режиме открываются
перспективы получения высоких КПД преобразования и существенного
(на порядок) уменьшения длительности стоксова импульса (рис. 3.19).
Подбирая параметры импульса накачки и световода, можно реализо-
реализовать режим преобразования многосолитонного импульса накачки в
мощный односолитонный импульс на стоксовой частоте (гл. 5).
Приведенные иллюстрации относились к случаю группового син-
синхронизма. Расстройка групповых скоростей вызывает некоторое умень-
уменьшение длительности стоксова импульса и снижение энергетической
эффективности преобразования. При небольших значениях расстрой-
расстройки групповых скоростей в численных экспериментах обнаружен не-
нелинейный захват стоксова импульса импульсом накачки, связанный с
их «реактивным» взаимодействием через нелинейную добавку к пока-
показателю преломления [53]. В последнее время эффекты, обусловленные
кросс-модуляцией, подтверждены прямыми экспериментами как в не-
неограниченных средах, так и в волоконных световодах [54—56].
Комбинационное преобразование частоты сверхкоротких импуль-
импульсов в сочетании с солитонными эффектами привело к созданию целого
класса перестраиваемых по частоте источников фемтосекундных
рамановских солитонных лазеров, которые будут рассмотрены
в гл. 6.
Нестационарный молекулярный отклик. Перейдем к рассмотрению
вынужденного комбинационного рассеяния сверхкоротких импульсов
в средах с узкими рамановскими линиями, когда существенной ста-
становится нестационарность локального отклика (то<^Т2). Совместное
проявление локальной и волновой нестационарности детально рас-
рассмотрено в [45], где, в частности, показана возможность формирования
стационарных стоксовых импульсов и подавления ВКР в фазово-
модулированных импульсах. Далее мы ограничимся важным для
спектроскопии случаем, когда протяженность среды меньше группо-
групповой длины 1,Эфф. Тогда в приближении заданного поля уравнения E)
принимают вид
^ C.6.15а)
C.6.156)
где
r\=t—z/u, «=«H=«C, расстройка Q=0. Решение этих уравнений
Л с = - iYcЛя0 (ц) Аса J ехр (- t/Т,) /о (F (ц, t, z)) dt, C.6.16)
о
144
где 10(х) — модифицированная функция Бесселя,
F(r\, t, z) = \4zycyQ ) \Ам{у)\Ыу\ .
I r\-t J
Так как ro<^.T2, то усиление стоксовой волны меньше, чем в квазиста-
квазистатическом режиме, а форма и длительность возбуждающего и стоксова
импульсов существенно различаются. В частности, для прямоуголь.
ного импульса накачки в соответствии с A6) получаем @<ti<t0)
/с(ть z)~(G04/r2)-^exp[2(G0^/T2)i/2], C.6.17)
где Оо=2усудТ2\Ан0\2г. После включения накачки происходит экс-
экспоненциальное нарастание стоксовой компоненты, которое не успева-
успевает завершиться к моменту окончания импульса накачки [42, 44], по-
поэтому стоксов импульс оказывается короче импульса накачки. Распо-
Располагая выражениями для Ас и Лн и воспользовавшись A7), можно
рассчитать динамику молекулярного отклика Q(t). Картина поведения
|АС|
Рис. 3.20. Динамика нестационарного молекулярного отклика, возбуждаемого
в комбинационно-активной среде при прохождении прямоугольного импульса
накачки [44]; показаны временные распределения \AH(t)\, |Лс(/)| и \Q(t)\: a —
иа входе в среду, 2=0; б — в промежуточной точке, z=L/2; в — на выходе из
среды, z—L
Ac(t) и Q(t) в различных сечениях среды, возбуждаемой прямоуголь-
прямоугольным импульсом накачки, изображена на рис. 3.20. Приведенные ре-
результаты относятся к случаю прямоугольного возбуждающегося им-
импульса, но легко могут быть обобщены на импульс произвольной фор-
формы. Главное здесь — сокращение длительности стоксова импульса и
появление задержки относительно накачки.
В заключение отметим, что генерация лазерных импульсов с дли-
длительностью 10—100 фс открыла возможности для возбуждения и зон-
зондирования нестационарного молекулярного отклика в конденсиро-
конденсированных средах с широкими рамановскими линиями. Различные схемы
нестационарной спектроскопии комбинационного рассеяния — пред-
предмет следующего параграфа.
145
§ 3.7. Сверхкороткие световые импульсы
в когерентной спектроскопии рассеяния света
Бигармоническая накачка: от спектрохронографии и измерения
огибающих когерентного и некогерентного откликов к прямой реги-
регистрации оптических колебаний. Одно из главных приложений фем-
тосекундной оптической техники — спектроскопия быстро протекающих
процессов. Сейчас это уже сформировавшаяся область со специфи-
специфическими методическими приемами (эффективно используется как
линейный, так и нелинейный отклики среды), с разнообразной экспе-
экспериментальной техникой. В этом параграфе мы проиллюстрируем ее воз-
возможности на примере когерентной спектроскопии рассеяния света —
варианте нелинейной лазерной спектроскопии, пожалуй, наиболее
тесно связанном с волновой нелинейной оптикой [46, 58].
а>„
Рис. 3.21. Спектроскопия когерентного антистоксова рассеяния света (КАРС).
Две волны накачки с частотами tOj и (в2 возбуждают когерентные молекулярные
колебания, которые затем зондируются пробной волной с частотой шп. Регист-
Регистрируется антистоксова компонента рассеяния на частоте wa=<Bn-f(w1—ш2)
Идею метода проще всего пояснить на примере когерентной анти-
антистоксовой спектроскопии комбинационного рассеяния света; основные
физические представления по существу очень близки к развитым в
предыдущем параграфе. В отличие от вынужденного комбинационного
рассеяния для спектроскопических целей используется контролируемое
возбуждение внутримолекулярных колебаний с помощью бигармони-
ческой накачки; стоксова волна приходит на исследуемую среду от
внешнего источника, а интенсивность накачки выбирается ниже по-
порога вынужденного рассеяния.
На рис. 3.21 иллюстрируется наиболее широко используемый ва-
вариант когерентной активной спектроскопии — так называемая ко-
когерентная антистоксова спектроскопия рассеяния света. Две волны
накачки с частотами colt со2 (разность coj—со2»йм — частоте молеку-
молекулярных колебаний) возбуждают когерентные молекулярные колеба-
колебания, которые затем зондируются пробной волной.
На рис. 3.22 показано, как можно получать спектроскопическую
информацию, если для возбуждения и зондирования применяются не-
непрерывные или квазинепрерывные перестраиваемые по частоте источ-
источники; большая интенсивность сигнала, применение источников с уз-
146
кой спектральной линией позволяют улучшить информативность спект-
спектров рассеянного света.
Как изменяется картина рассеяния и получаемая информация,
если от квазинепрерывного излучения перейти к коротким световым
импульсам?
Здесь открываются новые физические и технические возможности;
особый интерес представляет использование предельно коротких, фем-
тосекундных импульсов. С их помощью удается не только проследить
в реальном времени за релаксацией энергии и фазы оптического воз-
возбуждения в газах и конденсированных средах, но прямо измерить
саму форму молекулярных колебаний, т. е. создать стробоскопический
оптический осциллограф, регистрирующий форму элементарного воз-
возбуждения среды.
Стационарная спектроскопия; спектрохронография; нестационар-
нестационарная спектроскопия. В когерентном рассеянии бигармоническая свето-
световая накачка
Е = Е, + Е2= хкгхАхexp [i(<M—*A)г)] +
+ V2e2A2exp[i(a>2t—k™r)] + к. с. C.7.1)
возбуждает пространственно-когерентные молекулярные колебания.
Действительно, в соответствии с C.6.3) на молекулярные осцилляторы
действует сила, пропорциональная Е2. Если разность частот накачки
(О!—со2 близка к собственной частоте молекулярных колебаний QM,
то возникает их резонансная раскачка. Рассеяние пробной волны
En=V2eAnexp[i((»nt~kmr)] + K. с. C.7.2)
на когерентных колебаниях приводит к возникновению мощных сток-
совой сос = соп—QM и антистоксовой coa==con+QM рассеянных компо-
компонент.
В зависимости от вида полей Еи Ег, Еп, условий возбуждения сре-
среды и наблюдения возможны разнообразные модификации метода.
Если в A) — B) все амплитуды постоянные,
Ах=. const, Л2 = const, Лп = const, C.7.3)
то процессы возбуждения и зондирования носят непрерывный харак-
характер; спектроскопическая информация извлекается при перестройке
Рис. 3.22. Стационарная когерентная спект-
спектроскопия комбинационного рассеяния. Источ-
Источники излучения работают в непрерывном ре-
режиме. В процессе эксперимента варьируется
частота одного из лазеров накачки. Измеря-
Измеряется интенсивность антистоксова излучения /а
как функция разности частот coj—а>2 бигармо-
нической накачки (Q4 — собственная частота
молекулярных колебаний среды) ^» ыгшг
разности частот волн накачки coi—со2. Это так называемая стационар-
стационарная когерентная спектроскопия рассеяния света, или частотная (анг-
(английский термин — frequency domain) спектроскопия (рис. 3.22).
И7
Очевидно, возможен и альтернативный («сопряженный по Фу-
Фурье») вариант — нестационарная (временная — time domain) спектро-
спектроскопия. Если возбуждение и зондирование проводятся короткими све-
световыми импульсами, в пределе
Л1 = Л106(^—tx), Л2 = Л2Об(^-д, Лп = ЛпОб(^-д, C.7.4)
спектроскопическая информация извлекается из данных о поведении
импульсного отклика при различных временных задержках между
возбуждением и зондированием (рис. 3.23).
ilg[wa(t3)/Wa(oy}
Рис. 3.23. Нестационарная когерентная спектроскопия комбинационного рас-
рассеянии. Возбуждение и зондирование среды осуществляется короткими свето-
световыми импульсами. Спектроскопическая информация содержится в форме им-
импульсного отклика среды — зависимости энергии антистоксова импульса №а
от времени задержки t3 между возбуждающим и пробным импульсами
Лаконичную классификацию различных вариантов когерентной
спектроскопии рассеяния света можно дать, пользуясь понятием не-
нелинейной восприимчивости. Поскольку в соответствии с C.6.3) QcnE2,
возникновение стоксовых и антистоксовых компонент зондирующего
поля при когерентном рассеянии следует трактовать как результат
четырехфотонного взаимодействия на кубичной оптической нелиней-
нелинейности. Для кубичной нелинейной поляризации в модулированном све-
световом поле имеем B.1.4)
Ш
C.7.5)
148
где
Е = Е1 + £2 + Еп + к. с. C.7.6)
Пользуясь E) и выражениями для полей, нетрудно записать общие фор-
формулы для интенсивности сигналов стационарной и нестационарной
когерентной антистоксовой спектроскопии рассеяния света (КАРС):
/К)~1/>C)К)|2.
Для стационарной КАРС
/ К) ~ I ХC) (©,; соп, <*>!, -ад |21 АпА,А\ \\ C.7.7)
где
0 0 0
X exp [i (со,А + ^U—щЩ dt, dttdt, C.7.8)
— спектральная компонента кубичной нелинейной восприимчивости —
трехмерный Фурье-образ нелинейной функции отклика хC)(^> t2, t3)-
В нестационарной КАРС функция нелинейного отклика проявля-
проявляется непосредственно. Согласно D), E), если Ъ=г2 и возбуждается
уединенный однородно уширенный резонанс,
/К, *„-',) ~|x(S>('n-*i)|t|VW- C-7.9)
В этой ситуации стационарная КАРС дает информацию о положе-
положении резонанса и об однородной ширине
а нестационарная КАРС-спектроскопия — только о времени 7Y
С точки зрения определения времени Т2 данные частотной и временной
спектроскопии полностью эквивалентны. Более сложные ситуации
возникают в КАРС-спектроскопии неоднородно уширенных возбуж-
возбужденных состояний.
Существует и еще один метод КАРС-спектроскопии, который за-
занимает в известном смысле промежуточное место между обсуждавши-
обсуждавшимися выше предельными случаями стационарной спектроскопии в
гармонических полях и временной спектроскопии, использующей в
идеале б-образные световые импульсы. Речь идет о технике (ее можно
назвать КАРС-спекшрохронографией), основанной на регистрации
когерентных антистоксовых комбинационных спектров с временным
разрешением.
Объектом измерения в КАРС-спектрохронографии являются «те-
«текущие» антистоксовы спектры /(соа, t), определяемые зависящими от
времени кубичными нелинейными восприимчивостями
хC)(<оа; (оп, «1, — щ; 0-
С зависящими от времени текущими спектрами приходится сталкивать-
сталкиваться в нестационарной спектроскопии при изучении неравновесных
состояний. Интерпретация данных КАРС-спектрохронографии не
149
вызывает трудностей, когда время измерения спектра
Тнв-<^тр C.7.10)
— характерного времени «релаксации спектра», обусловленного неус-
неустановившимися процессами в среде. В этом случае интерпретация дан-
данных базируется на представлениях, развитых в стационарной спектро-
спектроскопии (%C)«%C))- Разумеется, достижимое в таких экспериментах
спектральное разрешение не превышает 1/тизм.
КАРС-спектрохронография в диагностике состояния и быстрых
лазерно-индуцированных фазовых превращений поверхности полупро-
полупроводников. В этом разделе мы проиллюстрируем возможности КАРС-
спектрохронографии на примере изучения динамики кристаллической
решетки в приповерхностном слое оптически возбужденного кремния.
30 т; 0,5м Аж
Рис. 3.24. Блок-схема спектрометра
Эксперименты подобного рода открывают возможность проследить
в реальном времени физику процессов лазерно-индуцированных фа-
фазовых превращений в твердых телах. В КАРС-спектрохронографии
были зарегистрированы [59] с пикосекундным временным разреше-
разрешением спектры оптического фонона в кристаллическом кремнии при
разных уровнях возбуждения (вплоть до плавления). Блок-схема экс-
экспериментальной установки представлена.нарис. 3.24. Источниками шг-
косекундных импульсов с перестраиваемыми частотами coi и со2 слу-
служили два лазера на растворах органического красителя, синхронно
накачиваемые цугами импульсов второй гармоники YAG : Nd3+ ла-
лазера с пассивной синхронизацией мод. Излучение с частотой oh слу-
служило и для возбуждения кристалла.
На рис. 3.25 приведены спектры оптической фононной моды F2g
при значениях плотности энергии возбуждающего излучения от w—
= @,30±0,05)ш0 (йУ0=0,2 Дж/см2 — плотность энергии излучения с
Я=560 нм, вызывающая плавление) до wmwo. При комнатной темпе-
150
ратуре в отсутствие возбуждения спектр оптического фонона представ-
представляет собой относительно узкую (Av»3,5 см) интенсивную линию,
расположенную на частоте v=520 см'1. По мере роста интенсивности
возбуждения наблюдается существенное уширение и изменение формы
линии, а также падение ее интенсивности по сравнению с нерезонанс-
нерезонансным (электронным) фоном. Эти изменения обусловлены неоднородным
уширением фононной линии из-за значительного повышения фононной
температуры и генерации плотной элект-
электронно-дырочной плазмы и вызываемых
ею сильных механических напряжений
в приповерхностном слое.
Количественная оценка температуры
решетки, концентрации фотовозбужден-
фотовозбужденных свободных носителей и вызываемой
последними через механизм электрон-
фононного потенциала деформации ме-
механических напряжений в кристалле бы-
была получена путем подгонки параметров
модельных спектров под эксперимен-
экспериментальные данные. Рассчитанные с учетом
Рис. 3.25. Спектры оптической
фононной моды F2g кремния,
снятые при различных плот-
плотностях энергии w возбуждаю-
возбуждающего излучения
-2S 45
Рис. 3.26. Динамика концентрации свобод-
свободных носителей и температуры в оптически
возбужденном кремнии
соответствующих граничных условий зависимости концентрации
носителей ne(t) и температуры T(t) для w=wJ2 приведены на рис. 3.26.
Смещение центра линии КР под влиянием температуры и механи-
механического напряжения происходит в противоположных направлениях:
как показано в статических экспериментах, наличие сдавливающего
напряжения вызывает высокочастотный сдвиг фононной линии с
коэффициентом 0,47 c.M~VK6ap, тогда как нагрев решетки приводит
к «размягчению» фононной моды и уширению линии КР в низкочастот-
151
ную область. Наличие весьма значительных градиентов температу-
температуры и механических напряжений, характерных для пикосекундного
возбуждения, приводит к неоднородному уширению спектра.
Максимальная температура, достигаемая при w=Q,7 w0, состав-
составляла согласно расчетам 1240 К, максимальная концентрация носите-
носителей— 3,5'1021 см, давление — 40 кбар. Эксперимент показывает,
таким образом, что за времена порядка 10 пс достигается значительный
разогрев оптической фононной моды в центре зоны Бриллюэна. Это
обстоятельство с учетом того известного факта, что энергия фотовоз-
фотовозбужденных электронов в кремнии передается преимущественно в ко-
коротковолновые участки фононных ветвей, свидетельствует о высоких
скоростях термализации энергии в пределах оптической части фо-
фононной подсистемы.
Сокращение длительности возбуждающих и зондирующих импуль-
импульсов, переход к фемтосекундному масштабу времени позволяет распро-
распространить технику КАРС-спектрохронографии на исследование элект-
рон-фононной релаксации в условиях сильного оптического возбуж-
возбуждения полупроводника. Первые результаты в этой области получены
пока с помощью спектрохронографии спонтанного КР в уникальных
экспериментах Кэша и соавторов [60], где прослежена динамика спект-
спектров КР в течение пяти первых пикосекунд после оптического возбуж-
возбуждения. Измеренное в [60] время электрон-фононного рассеяния соста-
составило 165 фемтосекунд.
Нестационарная когерентная спектроскопия; методы и результаты.
В нестационарной когерентной спектроскопии осуществляется удар-
ударное возбуждение среды короткими лазерными импульсами и зонди-
зондирование ее состояния с помощью пробного импульса, посылаемого с
некоторой задержкой t3. Измеряется энергия антистоксова рассеяния
WA пробного импульса как функция задержки t3. Эта зависимость
несет информацию о механизмах и скоростях процессов дефазировки
колебаний в среде.
Возможности применения метода нестационарной КАРС-спектро-
скопии для исследования дефазировки в газах, жидкостях и твердых
телах определяются соотношением между временем релаксации тр и
длительностью лазерных импульсов ти, используемых для возбуж-
возбуждения и зондирования. В идеальной схеме нестационарной спектро-
спектроскопии должно выполняться условие
\<Ъ> C.7.11)
при котором импульсный отклик несет в себе наиболее полную инфор-
информацию об исследуемых релаксационных процессах. Если же, напро-
напротив,
ти>тр) • C.7.12)
то форма и длительность регистрируемого сигнала практически не
зависят от свойств среды, а определяются, очевидно, уже параметрами
лазерных импульсов.
Теория нестационарной КАРС-спектроскопии [46] базируется, по
существу, на уравнениях ВКР, приведенных в предыдущем парагра-
152
фе. Задаваясь формой возбуждающих лазерных импульсов бигармони-
ческой накачки A): A1=A1(t, z), A2=A2(t, г) и пользуясь уравнениями
C.6.5), можно определить огибающую молекулярных колебаний Q(t).
Комплексная амплитуда антистоксовой волны, возникающей в процес-
процессе зондирования, удовлетворяет уравнению
z
«n
где Ап — комплексная амплитуда пробной волны, Ak=kia)—k{n)—
— (&ш—&B)). В соответствии с A3) интенсивность антистоксова сиг-
сигнала
/.(<,) = т£г?^2 f \Q(t)\*A*(t-t3)dt.
Если зондирование осуществляется короткими по сравнению со вре-
временем релаксации импульсами Лп(^)=Лпоб(/), то сигнал КАРС
Предположим, что распределение осцилляторов (однородная ши-
ширина линии Асоо=2/Г.2) по частотам является гауссовским с неод-
неоднородной шириной Aw,,. Пусть возбуждение перехода производит-
производится спектрально ограниченными лазерными импульсами гауссовской
формы с длительностью т0. Тогда форма импульсного отклика среды
описывается выражением
f C.7.14)
Из A4) следует, что характер затухания свободной поляризации в ан-
ансамбле осцилляторов зависит от соотношения Дсоо, Дин и го1- Если
Дсон=:0, то неоднородное уширение отсутствует и частоты свободных
колебаний всех осцилляторов одинаковы, поляризация затухает по
экспоненциальному закону
(—2t'T2), Г2=2/Дсо„, C.7.15)
с характерным временем затухания, определяемым поперечным вре-
временем релаксации Г2. Напротив, если имеется разброс осцилляторов
по частотам Д(ои, а Гг^оо, релаксация происходит по гауссовскому
закону
iQ(OI2^exp [—{th*y] C.7.16)
за время
t»=(tS+1/A<o1I''s. C.7.17)
При этом возможны два варианта. В случае короткого возбуждающего
импульса (v^cAo)) время релаксации определяется спектральной
шириной исследуемой неоднородно уширенной полосы:
т* =г Д©-1.
Если же импульс достаточно длинный (То^Дыд1), релаксация проис-
153
ходит за время порядка длительности возбуждающего импульса:
Т* — Т
Т — In
C.7.18)
В последнем случае импульсный отклик повторяет форму возбуждаю-
возбуждающего лазерного импульса и не несет никакой спектроскопической ин-
информации об исследуемой среде *). Неучет этого обстоятельства при-
привел к ошибочной интерпретации ряда экспериментов, направленных
о Л
•WO Topp
ZOO Topp
WOTopf
Рис. 3.27. Нестационарная КАРС-спектроскопия уединенного колебательного
резонанса в молекулярном водороде [61] — экспериментальные данные. Сплош-
Сплошные кривые построены теоретически. Немонотонная зависимость скорости де-
фазировки от давления газа обусловлена эффектом Дики
на измерение очень быстрых процессов внутримолекулярной релакса-
релаксации в многоатомных молекулах [65].
Перечисленные режимы отчетливо наблюдались в эксперименте.
На рис. 3.27 приведены графики интенсивности антистоксова сигнала
*) Этот вывод справедлив при обычных для КАРС-спектроскопии условиях,
когда амплитуды возбуждающих лазерных импульсов практически не изме-
изменяются в процессе взаимодействия со средой. Однако он перестает быть справед-
справедливым в условиях сильного энергообмена. В [66] показано, что в случае сильного
истощения энергии высокочастотного импульса накачки, методом нестационар-
нестационарной КАРС можно измерить однородное время релаксации даже при значитель-
значительном неоднородном уширении исследуемого резонанса.
154
нестационарной КАРС-спектроскопии для уединенного колебательно-
колебательного перехода QH молекулы водорода [611. Давление водорода в этих
опытах варьировалось от 5 Торр до 10 атм. Полученные данные позво-
позволяют детально проследить за характером и скоростью дефазировки
молекулярных колебаний во всем диапазоне давлений — от доплеров-
ского (неоднородное уширение) предела до области столкновительного
уширения (однородное уширение — экспоненциальный ход зависи-
зависимости W3(t)). Наиболее интересной является область давлений 1—5 атм,
L
S
1
2329,5
я
\!
о
т=
А
i
11К
0°
/
2330,0
i
0,5
1,0
0,5
1,0
Рис. 3.28. Нестационарная КАРС-спектроскопия неоднородно уширенной коле-
колебательно-вращательной Q-полосы азота, охлажденного в сверхзвуковой струе
[62]: кружки — эксперимент, сплошные линии — теория. На вставках показан
спектр Q-полосы
в которой происходит смена механизма дефазировки и наблюдается эф-
эффект Дики — сужение спектральной линии с увеличением плотности
газа, что на временном языке эквивалентно увеличению времени де-
дефазировки, т. е. замедлению спада кривых импульсного отклика.
Сплошные кривые на рис. 3.27 построены теоретически, исходя из
экспоненциальной модели корреляционной функции тепловых скорос-
скоростей молекул. Сопоставление теоретических и экспериментальных дан-
данных позволило количественно оценить время столкновительной де-
дефазировки и время корреляции тепловых скоростей в водороде [61].
Результаты находятся в хорошем согласии с данными альтернативных
спектральных измерений.
На рис. 3.28 представлены результаты исследования более слож-
сложной системы — неоднородно уширенной колебательно-вращательной
Q-полосы молекулярного азота [62]. Импульсный отклик в этом слу-
случае имеет характер «квантовых биений» отдельных спектральных ком-
компонент Q-полосы. Эксперименты [62] выполнены с применением тех-
техники сверхзвуковой газовой струи, которая позволяет значительно
упростить структуру спектра (за счет глубокого охлаждения газа)
155
и выполнить измерения, используя лазерные импульсы пикосекунд-
ной длительности. Эксперименты [62] показали, что нестационарную
КАРС-спектроскопию можно эффективно применять для термометрии
переохлажденных газовых потоков. На основе анализа среднего спада
кривых импульсного отклика получены интересные данные о темпе-
температурной зависимости сечения вращательно неупругих столкновений в
азоте (см. также [63]). Переход к фемтосекундным лазерным импульсам
позволяет распространить эту технику на исследование внутримоле-
внутримолекулярной релаксации в многоатомных молекулах.
Регистрация формы молекулярных колебаний; оптический стробо-
стробоскопический осциллограф. Переход в нестационарной КАРС-спектро-
скопии к импульсам длительностью порядка нескольких фемтосекунд
открывает принципиально новые возможности в исследовании элемен-
элементарных возбуждений в молекулах и конденсированных средах. Если
при использовании пикосекундных световых импульсов КАРС-спектро-
скопия позволяет наблюдать динамику огибающей молекулярных ко-
колебаний и исследовать разнообразные процессы дефазировки *), то
переход к фемтосекундным импульсам, длительность которых значи-
значительно меньше периода молекулярных колебаний,
C.7.19)
впервые дает возможность регистрировать динамику самой колеба-
колебательной координаты молекул. Речь идет, таким образом, о прямом ос-
циллографировании колебаний молекул, зондировании не только амп-
амплитуды, но и фазы молекулярных колебаний.
Физика взаимодействия столь коротких импульсов со средой ха-
характеризуется рядом особенностей. Если выполняется A9), спектраль-
спектральная ширина возбуждающего лазерного импульса превышает, очевид-
очевидно, величину стоксова сдвига:
C.7.20)
В этой ситуации отпадает необходимость в бигармонической накачке.
Для возбуждения комбинационного резонанса достаточно одного фем-
тосекундного импульса, поскольку сдвинутая на частоту молекуляр-
молекулярных колебаний спектральная компонента поля (стоксова компонента)
содержится уже в самом импульсе накачки. Процессы КАРС в этом
случае носят характер своеобразного комбинационного самовоздейст-
самовоздействия; за счет возбуждения молекулярных колебаний происходит пе-
перераспределение энергии в спектре сверхкороткого светового импуль-
импульса (смещение в стоксову область), возбуждающего комбинационно-
активную среду (рис. 3.29).
Фемтосекундные импульсы открывают возможность управлять
амплитудой и фазой молекулярных колебаний. Если подействовать
на ансамбль осцилляторов двумя фемтосекундными импульсами, по-
посылая второй с некоторой задержкой t3, то в зависимости от t3 второй
*) Разумеется, если регистрировать временную эволюцию некогерентного,
ие зависящего от фазовых соотношений антистоксова сигнала, то можно изме-
измерить продольное время релаксации 7\ — время релаксации энергии (более под-
подробно см. 146]).
If 6
импульс может усиливать или ослаблять молекулярные колебания,
а также изменять их фазу. В частности, если задержка равна половине
периода молекулярных колебаний, то второй импульс осуществляет
их полное гашение.
Рис. 3.29. Спектр сверхкороткого импульса в
комбинационно-активной среде. За счет ком-
комбинационного самовоздействия импульса дли-
длительностью ти<^м1 происходит красное сме-
смещение максимума в спектре [68]
S(V)
15,300
16,150 к,см-' №,100
Нельсоном, Иппеном и соавторами [67] экспериментально реали-
реализована фемтосекундная КАРС-спектроскопия в условиях, когда вы-
выполняется B0). Наблюдалось когерентное комбинационное рассеяние
на двух фононных модах перилена (частоты мод 80 и 104 см), воз-
возбуждаемое импульсами длительностью 70 фс. Схема опыта показана
на рис. 3.30. Пересекающиеся возбуждающие импульсы с расстройкой
Объект.
g I/
Наведенная 5 I
л л л л л л \ стоячая \ L
ЛЛАЛАЛ) л»« "
Т=298К
Задержанный
пробный
импульс
IВоздумдающие\
импульсы
Г =18 К
Рис. 3.30. Схема эксперимента по
иестациоиариой КАРС-спектро-
скопии с использованием фемто-
секуидиых световых импульсов
[67]
0 2 4В t,m
Рис. 3.31. Экспериментальные данные не-
нестационарной КАРС-спектроскопии крис-
кристалла перилеиа [67]. Отчетливо видиы бие-
биения иа суммарной и разностной частотах
комбииациоиио-активиых мод
волновых векторов К возбуждают когерентные оптические фононы,
которые формируют стоячую волну колебаний с волновым вектором
К. Затем с некоторой задержкой t3 на среду направляется пробный
фемтосекундный импульс, который дифрагирует на осциллирующей
решетке, наведенной возбуждающими импульсами. Измеряется энер-
энергия рассеянного (дифрагированного) импульса как функция задержки
157
t3. Эта зависимость непосредственно передает форму молекулярных ко-
колебаний.
Результаты эксперимента, описанного в [67], представлены на
рис. 3.31. Импульсный отклик носит характер биений, в которых
представлены как разность, так и сумма частот молекулярных коле-
колебаний. Подробное обсуждение возможных применений ВКР и КАРС
фемтосекундных световых импульсов можно найти в [68].
Фемтосекундная КАРС-спектроскопия поляритонов с разрешением
во времени и пространстве. Яркой демонстрацией возможностей не-
нестационарной КАРС-спектроско-
пии может служить схема, пред-
предназначенная для исследований
распространения и релаксации
сверхкоротких фононно-поляри-
тонных импульсов в кристал-
кристаллах. Принципиальная сторона
дела иллюстрируется на рис.
3.32. Поляритонный импульс,
возбужденный бигармонической
пикосекундной накачкой, рас-
распространяется в кристалле под
углом к направлению распрост-
распространения возбуждающих импуль-
импульсов. Амплитуда поляритонного
импульса может быть измерена
по когерентному антистоксову
рассеянию пробного импульса,
подходящим образом задержан-
задержанного во времени и смещенного в
пространстве. Таким образом,
одновременно реализуются вы-
высокое временное и пространст-
пространственное разрешения. Эта схема
была разработана Флитцанисом и сотрудниками [69] для исследова-
исследования поляритонов в кристалле NH4C1.
В [70] сообщается об экспериментах по возбуждению и зондирова-
зондированию когерентных поляритонов в кристалле танталата лития с помощью
фемтосекундных импульсов. Длительность импульсов равнялась 50 фс.
Это позволило зарегистрировать форму поляритонных колебаний.
Нестационарная поляризационная КАРС-спектроскопия атомов.
В КАРС-спектроскопии широкие дополнительные возможности от-
открывает использование поляризационной техники. Варьирование по-
поляризациями возбуждающих и зондирующих волн и в стационарной,
и в нестационарной спектроскопии позволяет получать новую спектро-
спектроскопическую информацию.
Заимствованный из [71] рис. 3.33 иллюстрирует возможности не-
нестационарной поляризационной КАРС-спектроскопии. Авторы [71]
с помощью такой техники зарегистрировали дефазировку различных
мультипольных компонент комбинационного рассеяния в парах ато-
158
Направление
вонаиродания
Направление
лоляритоиа
Рис. 3.32. Схема нестационарной КАРС-
спектроскопии поляритонов с разреше-
разрешением по времени и пространству: t3—
время задержки, хП — смещение проб-
пробного пучка
мов таллия. На рис. 3.33а показан импульсный отклик, снятый при
параллельных поляризациях возбуждающих полей. В этом случае
регистрируется только анизотропное рассеяние. Для регистрации
только антисимметричного рассеяния использовано следующее соче-
сочетание поляризаций: поляризации возбуждающихся полей перпендику-
перпендикулярны, а поляризация пробной волны составляет с ними угол 45°.
Видно, что формы импульсных откликов в указанных двух случаях
существенно отличаются (рис. 3.33). Таким образом, использование
1 г 4. не
-; -
-2 -
-3 -
-2
-J
— н
1
•^~ I——
Л
Xo
@)}
п
\
Рис. 3.33. Нестационарная поляризационная КАРС-спектроскопия паров ато-
атомов таллия. Зондируется комбинационно-активный переход 6Pj,2—6Я3/2: а ~
форма импульсного отклика, измеренного при параллельных поляризациях
возбуждающих полей (чисто анизотропное рассеяние); б — то же при перпен-
перпендикулярных поляризациях возбуждающих полей (наблюдается чисто антисим-
антисимметричное рассеяние). Широкой стрелкой указано направление поляризации
регистрируемого антистоксова излучения [71]
поляризационной техники в нестационарной КАРС-спектроскопии
позволяет раздельно измерить импульсный отклик различных муль-
типольных составляющих комбинационного рассеяния — обстоятель-
обстоятельство, открывающее новые возможности в атомной спектроскопии.
§ 3.8. Сверхкороткие акустические импульсы;
оптические методы генерации
Субнаносекундные и пикосекундные импульсы в физической и при-
прикладной акустике. Использование сверхкоротких импульсов открывает
принципиально новые возможности в акустической спектроскопии, не-
нелинейной и прикладной акустике. Пространственная протяженность
/а акустических видеоимпульсов длительностью та~1 пс в твердых
телах составляет: /а=сата^5 нм (са~5-105 см/с — скорость продоль-
продольного звука). Это обстоятельство позволяет существенно повысить
пространственное разрешение в акустической спектроскопии и дефек-
дефектоскопии. Характерные масштабы пикосекундных импульсов дефор-
деформации сравнимы с периодом кристаллической решетки; возникает
159
возможность наблюдения совместного проявления нелинейных и дис-
дисперсионных эффектов в твердых телах, в том числе возбуждения акус-
акустических солитонов.
В последние годы значительное число исследований было направ-
направлено на разработку оптических методов возбуждения и регистрации
все более коротких когерентных импульсов деформации [72—801.
Во многом это связано с широкими перспективами практического при-
применения этого бесконтактного, дистанционного метода для экспресс-
диагностики различных веществ. Возбуждаемые с помощью лазеров
акустические импульсы наносекундной длительности эффективно
использовались для определения анизотропии модулей упругости [81]
и распределения пространственного заряда в диэлектриках [82]. Созда-
Создание оптических генераторов пикосекундных акустических импульсов
открывает возможность измерения поглощения акустических волн
гига- и терагерцевого диапазона частот [76—791, изучения упругих
свойств [76, 78, 80], распределений дефектов и остаточных напряжений
в пленках, измерения толщин тонких пленок [74, 77, 78]. Однако у про-
проводимых исследований, несомненно, есть и более фундаментальные
цели. С одной стороны, это создание импульсных акустических спект-
спектрометров быстрых нестационарных процессов. С другой — исследова-
исследования распространения когерентных акустических волн в условиях, ког-
когда существенно проявляется дискретная структура кристаллов.
Механизмы генерации коротких акустических импульсов разнооб-
разнообразны. Акустические импульсы возбуждаются при лазерном пробое;
вместе с тем достаточно эффективными оказываются и методы, осно-
основанные на неразрушающих воздействиях лазерного излучения на ве-
вещество.
Естественно, что если речь идет о субнаносекундных и пикосе-
пикосекундных акустических импульсах, возбуждение должно осуществлять-
осуществляться сверхкороткими лазерными импульсами. Последнее, однако, ни в
коей мере не гарантирует еще получения близкого по длительности
к лазерному акустического импульса. Имеется много причин, приво-
приводящих к растяжению последнего, поэтому типична ситуация, когда
та>ти. Следует подчеркнуть также характерную черту когерентных
импульсов деформации, возникающих при опто-акустических взаимо-
взаимодействиях. Возникновение акустического импульса является, по су-
существу, результатом детектирования («выпрямления») светового им-
импульса — ситуация, во многом аналогичная таковой при генерации
мощных инфракрасных импульсов за счет оптического детектирования
сверхкоротких импульсов в среде с квадратичной нелинейностью
(§3.5). Поэтому возникающий акустический импульс — это видеоим-
видеоимпульс, импульс длительностью в один период, имеющий много общего
с импульсом черенковского излучения когерентного сгустка нелиней-
нелинейной поляризации.
В экспериментах, описанных в [72, 73], генерация волн деформации
происходила за счет давления на образец расширяющейся плазмы,
которая образуется при лазерном воздействии на жестко зажатый меж-
между оптическими прозрачными пластинами слой поглотителя. Здесь дли-
длительность акустического импульса определяется медленными процес-
160
сами остывания плазмы и может существенно превышать время опти-
оптического воздействия [72].
В таком генераторе достигается высокая эффективность преобра-
преобразования оптической энергии в акустическую (до 10 %), что позволяет
при использовании лазерных импульсов с длительностью 10 пс, энер-
энергией 10 мДж при воздействии на металлическую мишень с интенсивно-
интенсивностью 400 ГВт/см2 возбуждать ударные волны сжатия с давлениями
10 кбар [72, 73]. Подобные лазерные генераторы ударных волн могут
найти применение для активного инициирования химических и фа-
фазовых превращений.
фр
Рис. 3.34. Схема генерации сверхкоротких акустических импульсов. Оптический
импульс (слева) падает на поверхность кристалла и поглощается в слое толщи-
толщиной /п~б-1, справа изображен временной профиль колебательной скорости
акустического импульса, распространяющегося в глубь кристалла. Полярность
акустического импульса определяется знаком деформационного потенциала dn
(изображен случай dn<0)
Среди неразрушающих механизмов оптической генерации звука наи-
наиболее универсальным является термоупругий, связанный с деформа-
деформацией кристалла при его оптическом нагреве. Поглощенная оптическая
энергия в процессе термализации частично передается в акустическую
подсистему твердого тела, распределяясь между когерентными и слу-
случайными волновыми движениями решетки. При термоупругой генера-
генерации звука источники акустических волн являются объемными — воз-
возбуждение акустических волн происходит во всей области нагрева.
Поэтому термоупругая генерация акустооптических импульсов опи-
описывается неоднородным волновым уравнением. В простейшей ситуа-
ситуации, когда лазером облучается свободная поверхность полупростран-
полупространства 2^0 (рис. 3.34), в кристалле возбуждаются только плоские про-
продольные волны; для колебательной скорости имеем уравнение
д8"к 2
dt* a
ро di dz '
C.8.1)
где ро — равновесная плотность вещества, ху —■ объемный модуль уп-
упругости, р\ — коэффициент теплового расширения; пространственно-
временную динамику температурного поля T(z, t) можно описывать
6 С. А. Ахманов и др.
161
уравнением диффузионного типа
fg ^,-/(//tH), C.8.2)
где 8 и J?o- коэффициенты поглощения и отражения света, DT —
коэффициент диффузии температурного поля (температуропровод-
(температуропроводность), ср — теплоемкость при постоянном давлении, I (t) — огибаю-
огибающая интенсивности оптического импульса длительностью т„. Уравне-
Уравнение B) записано в предположении о мгновенной термализации погло-
поглощенной световой энергии.
Математический анализ задачи A) — B) показывает, что вблизи
облучаемой поверхности, в области нестационарных пространственно-
неоднородных изменений температуры возбуждается акустический
видеоимпульс (рис. 3.34). Его временные параметры непосредственно
связаны с длительностью огибающей оптического импульса. От час-
частоты заполнения лазерного импульса зависит коэффициент поглоще-
поглощения S. Акустический видеоимпульс при комнатных температурах от-
отрывается от потока высокочастотных фононов, которые в этих усло-
условиях распространяются диффузионно.
Длительность возбуждаемых импульсов деформации может огра-
ограничиваться снизу не только величиной ти, но и временем пробега зву-
звука по области тепловыделения, а характерный размер области нагре-
нагрева решетки I определяется либо длиной поглощения света /„^б,
либо длиной теплопроводности — расстоянием, на которое прогреет-
прогреется кристалл за время оптического воздействия за счет переноса энер-
энергии электронами, фононами и т. д. Фононная теплопроводность всегда
происходит со скоростями, не превышающими звуковую, и поэтому
не приводит к уширению акустических импульсов. Движения электро-
электронов в металлах и электронно-дырочной плазмы в полупроводниках
может существенно увеличить область нагрева решетки, особенно
при низких температурах. При комнатных температурах диффузия но-
носителей в значительной мере замедлена из-за сильного рассеяния на
тепловых колебаниях решетки. Поэтому для термоупругой генерации
сверхкоротких импульсов деформации необходимо одновременно
уменьшать длительность лазерного воздействия и длину поглощения
света. Наконец, нельзя забывать, что время нагрева решетки может
определяться не временем оптического воздействия, а временем пере-
передачи энергии от электронов к фононам, что также препятствует укоро-
укорочению длительности та импульсов деформации.
Оптическое возбуждение и детектирование акустических импульсов;
обзор экспериментальных данных. Впервые термоупруго возбуждае-
возбуждаемые при поглощении оптического излучения субнаносекундные акус-
акустические импульсы были зарегистрированы в [74]. Они возбуждались
при поглощении в нержавеющей стали лазерных импульсов длитель-
длительностью ти=0,5 не (длина световой волны Я=0,337 мкм) и регистриро-
регистрировались тонкопленочным преобразователем на основе ZnO. В [75] зву-
звуковые импульсы длительностью та=0,5 не, возбуждаемые термоупру-
термоупруго либо в процессе абляции при воздействии света (ти=70 пс, Я=
= 1,06 мкм) на графитовые или металлические покрытия, регистриро-
162
вались преобразователями конденсаторного типа. Изучались затуха-
затухание и дисперсия столь высокочастотных акустических волн в поли-
полимерных пленках (тефлон, милар и др.), которые позволяют судить о
микроструктуре, пористости и т. д. последних. В [76] субнаносекунд-
ные продольные звуковые импульсы были зарегистированы в воде при
поглощении излучения лазера на гранате с эрбием (ти=80 пс, %=
=2,93 мкм). Генерация гиперзвука в воде связана в данном случае с
сильным поглощением лазерного излучения F~ 1,3 «10* см). Соглас-
Согласно оценкам авторов [76] при интенсивностях света /~30 Гвт/см2 в
воде возбуждались ударные волны с давле-
давлениями 20 кбар, нелинейное распростране-
распространение которых наблюдалось эксперименталь-
экспериментально. Это позволило судить об уравнении
состояния воды при высоких давлениях.
Необходимо отметить, что в перечис-
перечисленных работах [74-—76] визуализация
акустических импульсов осуществлялась
с помощью осциллографов с полосой, не
превышающей 1 Ггц, что не позволяет
говорить об адекватном воспроизведении
формы звуковых импульсов. В целом мож-
можно, по-видимому, утверждать, что даль-
дальнейшее продвижение в область приема вы-
высокочастотных широкополосных акустичес-
акустических сигналов с помощью электрических
400 60013, пс
Рис. 3.35. Изменение опти-
оптического пропускания тон-
тонкой пленки a-As2Te3, обус-
обусловленное многократным
переотражением в пленке
фотовозбужденного акусти-
акустического импульса; параметр
схем регистрации затруднительно. Новые -200 о
перспективы в этом направлении открывает
использование различных оптических сис-
систем регистрации быстропротекающих про-
процессов.
Впервые акустические колебания с пе-
периодом, меньшим 100 пс, были зарегист-
зарегистрированы в [77]. Для возбуждения и ре- кривых — толщина пленки
гистрации акустических волн в аморфных [77]
пленках SiO2 и As2Te3 использовались пи-
косекундные оптические импульсы (ти = 1 пс) с энергией кванта h\n —
—2 эВ, следовавшие с большой частотой повторения vn=0,5 МГц. Им-
Импульсы возбуждающей последовательности имели энергию W~ 1 нДж,
зондирующие — примерно на два порядка меньшую. Эксперимент
заключался в измерении прохождения через пленку и отражения зон-
зондирующих импульсов в зависимости от их задержки по отношению
к возбуждающим. На фоне монотонно уменьшающегося сигнала, выз-
вызванного фотовозбуждением носителей и их релаксацией, наблюдались
затухающие осцилляции коэффициентов отражения и прохождения
Тпр света, связанные с модуляцией зонной структуры пленок возбуж-
возбужденными в них акустическими волнами (рис. 3.35). Например, сужение
ширины запрещенной зоны в аморфных полупроводниках при акусти-
акустической деформации вызывает увеличение поглощения зондирующего
излучения и соответственно уменьшение пропускания пленки. Экспе-
6* 163
риментально зарегистрированные звукоиндуцированные изменения
коэффициентов отражения и пропускания были на уровне 3 -10~5—
3-10. Использование тонких пленок толщиной 500—1500 А по-
позволило авторам [77] фактически наблюдать распространение гигагер-
гигагерцевого звука (акустические частоты va^10 ГГц) при комнатных тем-
температурах и определить скорости звука. Согласно полученным ре-
результатам, например, в а—As2Te3, скорость са = 1,6 -105 см/с, что при
б~х~300 А позволяет возбуждать акустические импульсы длительно-
длительностью та~20 пс. В последующей работе [78] аналогичная оптическая
система (т„=0,5 пс, Я=0,625 мкм, №~2 нДж, vn=0,2 МГц) исполь-
использовалась для диагностики пленок InGaAsP, что позволило определить
наряду со скоростью звука константы
деформационных потенциалов валентной
зоны и зоны проводимости.
На рис. 3.36 представлена схема экс-
эксперимента [79], в котором осуществля-
осуществлялась оптическая регистрация распрост-
распространения и затухания гармонических
гигагерцевых акустических волн (va~
~25 ГГц). Широкополосные акустиче-
акустические импульсы возбуждались при погло-
поглощении лазерных импульсов накачки (ти«
«0,2 пс; hv3=2 эВ, vn = l 10 МГц) в
пленках алюминия либо а—Ge : Н и
распространялись в оптическом стекле.
В [80] для регистрации акустических
волн, также как и в [79], использовался
эффект изменения коэффициента отраже-
отражения зондирующего излучения от поверх-
поверхности при выходе на нее звуковой
волны (эффект пьезоотражения), но на
этот раз в металлах (Ni, Zr, Ti, Pt).
Так же как и в [77—791, использование
дополнительной низкочастотной акусто-
оптической модуляции возбуждающих
импульсов и селективного усиления при
обработке отраженных сигналов позво-
позволяет существенно повысить чувствитель-
чувствительность приема. В данном случае при
у„=250МГц и частоте модуляции 10МГц
[83] уверенно регистрируются относи-
относительные изменения коэффициента отражения на уровне 10 (предель-
(предельные чувствительности— 10~7). Профили сигналов, представленные в
[83], имеют характерные длительности порядка 10 пс.
Недавно методы термомодуляционной спектроскопии отражения,
разработанные в [80, 83], были перенесены из пико- [84] в фемтосекунд-
ную область временного разрешения (ти~65 фс) [85]. В ближайшее вре-
время следует ожидать появления исследований, в которых для регист-
регистрации сверхкоротких акустических импульсов будут использованы
164
Щ^^
0
500
W00 t3,nc
Рис. 3.36. Схема эксперимента
по оптической регистрации
распространения и затухания
гигагерцевых гармонических
акустических волн; на встав-
вставке — зависимость коэффициен-
коэффициента отражения Ra зондирующего
импульса от его временной
задержки t3 относительно воз-
возбуждающего импульса [79]
фемтосекундные оптические импульсы. Для генерации же звука в рас-
рассмотренных схемах использование фемтосекундных лазеров пока не
представляется целесообразным, так как реальная длительность воз-
возбуждаемых акустических импульсов будет определяться глубиной про-
проникновения излучения в кристалл, либо толщиной поглощающей плен-
пленки, либо неидеальностью поверхности. Даже при 1п~Ь0 Л, са~5х
X 106 см/с, характерное акустическое время та«/п/са~1 пс сущест-
существенно превышает времена фемтосекундных воздействий. Тем не менее
фемтосекундные лазеры могут быть использованы в других схемах ге-
генерации гига- и терагерцевых акустических волн. Например, в [86]
за счет инициирования модуляционной неустойчивости излучения,
распространяющегося в оптическом волокне, получена последователь-
последовательность субпикосекундных оптических импульсов (ти=0,5 пс) с частотой
повторения vn=0,3 ТГц, которая к тому же допускает перестройку.
Очевидно, что подобные цуги лазерных импульсов могут быть исполь-
использованы для генерации квазигармонических акустических сигналов с
частотой va»vn, в полной аналогии с экспериментом [871, в котором
20 лет назад впервые для генерации звука использовались пикосе-
кундные лазеры (ти = 10 пс, уп=0,2ГГц).
До настоящего времени все эксперименты по лазерной генерации
сверхкоротких импульсов деформации были выполнены при комнатных
температурах, что фактически позволяло исследовать распространение
акустических волн с частотами va^10 ГГц лишь на микроскопические
расстояния. Использование оптически возбуждаемых пикосекундных
акустических импульсов для диагностики макроскопических образцов
возможно только при низких (гелиевых) температурах. Как теоретиче-
теоретически показано в [88], переход к столь низким температурам вносит ка-
качественные изменения в процесс термоупругой генерации звука. С од-
одной стороны, исключается возможность генерации сверхкоротких
импульсов деформации на поверхности макроскопических металличе-
металлических образцов. Действительно, с понижением температуры электрон-
электронная теплопроводность металлов сильно возрастает [89J, а при гелиевых
температурах электроны могут распространяться, не рассеиваясь в
течение интервалов времени, значительно превышающих ти [90].
В этом случае характерный размер нагреваемой за время воздействия
области /~ИфТ„ (Иф — скорость Ферми электронов проводимости) и
длительность возбуждаемого импульса деформации будут превосходить
длительность светового импульса по крайней мере на 2—3 порядка:
та~тиУф/са (иф~107—108 см/с). Поэтому металлы для оптической гене-
генерации звука при низких температурах, по-видимому, могут быть ис-
использованы только в виде пленок на диэлектрических подложках [88].
С другой стороны, при низких температурах изменяется характер
поведения фононной подсистемы кристалла. Во-первых, процессы
установления равновесного распределения фононов замедляются на-
настолько, что при сверхкоротких оптических воздействиях фононы
являются существенно неравновесными, а процесс термализации по-
поглощенной световой энергии нельзя описать просто через повышение
температуры кристалла. В [88] показано, что в этом случае генерация
когерентных акустических импульсов — результат нелинейного взаи-
165
модействия случайных звуковых волн, и неравновесным аналогом об-
области с пространственным градиентом температуры является область
с градиентом плотности энергии фононного поля. Именно в таких об-
областях возбуждаются регулярные деформации решетки. Во-вторых,
при низких температурах может измениться характер фононной тепло-
теплопроводности, диффузионный режим сменяется баллистическим, при
котором фононы могут распространяться на макроскопические рас-
расстояния, не рассеиваясь [90, 91]. Таким образом из области поглоще-
поглощения оптической энергии при низких температурах исходит нестацио-
нестационарный поток неравновесных фононов, фронт которого движется со
скоростью звука [88, 92]. С фронтом связан градиент плотности энер-
энергии фононного поля, что приводит к синхронной генерации в этой об-
области когерентного звука — амплитуда волны деформации растет со
временем по логарифмическому закону [92]. Обратное влияние воз-
возбуждаемых когерентных акустических волн на распространение фо-
фононов анализировалось в [931. Напомним, что фононная теплопровод-
теплопроводность ни при каких условиях не уширяет оптически возбуждаемые зву-
звуковые ИдМпульсы.
Электронный механизм оптической генерации звука в полупровод-
полупроводниках; на пути к генерации предельно коротких акустических импульсов.
Экспериментальные и теоретические исследования [94—96] выявили
ряд важных преимуществ, которые может дать использование полу-
полупроводниковых кристаллов для создания оптических генераторов пи-
косекундных акустических импульсов. С точки зрения оптической ге-
генерации акустических волн наиболее существенной особенностью по-
полупроводников является наличие в них наряду с термоупругим до-
дополнительного механизма деформации кристаллической решетки.
Речь идет о так называемом электронном или концентр ационно-де-
формационном механизме [94—97], который обусловлен изменением
равновесной плотности полупроводников при оптической генерации
неравновесных электронно-дырочных пар.
В полупроводниках при любых пространственно-временных изме-
изменениях концентрации электронно-дырочной плазмы пе происходит
возбуждение акустических волн. Неоднородное волновое уравнение,
аналогичное A), в этом случае имеет вид
d2vK „2 да"к _ dn d2ne /ooo>
где dn — константа деформационного потенциала электронно-ды-
электронно-дырочной пары. Преимущества деформационного механизма оптической
генерации субмикронных акустических сгустков в сравнении с тер-
термоупругим непосредственно связаны с отличием динамики плазменной
и фононной подсистем полупроводника. Для описания диффузии фо-
фотовозбуждений электронно-дырочной плазмы можно использовать
уравнение
^£ = D^._ns + e(bz^ue_te/^/ } C.8.4)
dt д дх2 тр ' /iVji v ' ил \ /
здесь Da — коэффициент амбиполярной диффузии, тр — время ре-
рекомбинации электронно-дырочных пар.
166
Термоупругая генерация волн деформации происходит при про-
пространственно-неоднородном нагреве и остывании кристаллической ре-
решетки, причем уменьшение температуры тела Т определяется исключи-
исключительно теплопроводностью. Генерация волн деформации за счет элект-
электронного механизма, согласно C), происходит как при увеличении
концентрации неравновесных носителей пе (при межзонном поглоще-
поглощении света), так и при уменьшении пе. Однако, в отличие от температу-
температуры кристалла Т, концентрация носителей в плазме пе в силу D) падает
не только за счет ее пространственной диффузии, но и за счет реком-
рекомбинации электронно-дырочных пар. Важно, что время рекомбинации
неравновесных носителей тр существенно зависит от их концентрации
яе(тр~иё1 при двухчастичной рекомбинации, хр~пё* при Оже-реком-
бинации). Поэтому, изменяя плотность энергии оптического воздей-
воздействия и, следовательно, характерную концентрацию фотовозбужденных
носителей, можно эффективно влиять на эволюцию плазмы после окон-
окончания светового воздействия и, тем самым, на процесс генерации
волн деформации. Уменьшая время рекомбинации тр, можно добиться
выключения деформационного источника акустических волн за вре-
времена, не превосходящие длительность оптического воздействия тн
(при тр<ти), и существенного уменьшения длины диффузии неравно-
неравновесных носителей 1о = УОлхр. Оба эти обстоятельства приводят к
сокращению длительности оптически возбужденных в полупроводни-
полупроводниках импульсов деформации вплоть до та~ти [95, 96].
Важное преимущество электронного механизма генерации звука
состоит и в том, что при тр^тн он приблизительно на порядок эффек-
эффективнее термоупругого [94—96]. Лишь при тр^тя в результате насыще-
насыщения концентрации фотовозбужденных носителей и ускорения процес-
процессов термализации энергии термоупругий механизм начинает конкури-
конкурировать с электронным.
Отметим, что сильная зависимость коэффициента поглощения опти-
оптического излучения от превышения энергий светового кванта М>л
ширины запрещенной зоны Wg позволяет, используя различные (или
перестраиваемые) источники света, в широких пределах изменять ха-
характерную глубину области фотогенерации носителей /„^б. В тех
случаях, когда длительность акустических импульсов определяется
временем пробега звука по области поглощения света (та-~та= (бс.,)),
это должно приводить к эффективной перестройке длительности акус-
акустических импульсов. Для генерации сверхкоротких импульсов де-
деформации с та~ти важно, что в полупроводниках можно реализовать
поглощение оптического излучения в тонком приповерхностном слое
(/п—10~4—10~е см).
Наконец, принципиальное преимущество электронного механизма
по сравнению с термоупругим для возбуждения акустических импуль-
импульсов с vQO пс состоит в том, что он при поглощении оптического кван-
кванта включается безынерционно (при переходе электрона из валентной
зоны в зону проводимости). Безынерционное возбуждение фононной
подсистемы полупроводника осуществляется лишь при непрямых про-
процессах межзонного поглощения света, однако при этом на нагрев ре-
167
шетки идет незначительная часть поглощенной энергии. Основная же
доля поглощенной энергии передается решетке при электрон-фононных
взаимодействиях и при безызлучательной электронно-дырочной ре-
рекомбинации. Время энергообмена между поглотившей световую энер-
энергию электронной подсистемой и фононной уменьшается по мере уве-
увеличения концентрации фотовозбужденной плазмы. Однако при дости-
достижении критических концентраций неравновесных носителей процессы
электронно-дырочной рекомбинации и рассеяния носителей на фоно-
нах могут существенно экранироваться. Например, согласно [98] вре-
время трехчастичной (оже-) рекомбинации в кремнии невозможно сделать
менее 6 пс (насыщение при п^Ъ -Ю20 см~3). Таким образом, существует
ограничение снизу на время, за которое можно существенно нагреть
полупроводник при безызлучательной рекомбинации. Соответственно
эта конечная задержка при передаче энергии от носителей к решетке
препятствует возбуждению мощных пикосекундных акустических им-
импульсов за счет термоупругого механизма.
Развитая в [95] теория позволяет оценить характерные временные
масштабы акустического импульса, оптически возбуждаемого вблизи
свободной поверхности полупроводника (рис. 3.34) за счет электрон-
электронного механизма. Профиль колебательной скорости на рис. 3.34 пред-
представлен для dn>0. Длительность переднего фронта тфр определяется
максимальным из трех времен: 1) длительности оптического воздейст-
воздействия ти, 2) времени пробега звука по области поглощения света
тсс=(бса)~1, 3) характерного времени
rD (тр) = 2 (Djcl) [ 1 - A + Wjc\xv)I/*]-\
связанного с диффузией носителей. Отметим, что при
время td ;»К^дТр/Са, т. е. xD принимает физический смысл вре-
времени пробега звуком расстояния, на которое диффундируют носители
до рекомбинации. Так как акустический импульс меняет поляр-
полярность за время порядка ти (рис. 3.34), то для генерации импуль-
импульсов разрежения с длительностью та~ти необходимо добиться тфр~ти,
т. е. та, Тд(тр)^ти. В случае световых импульсов с длительностью
ти~100 пс такую ситуацию можно реализовать, например, в Si, ис-
используя оптическое излучение с длиной волны 0,53 мкм. Действи-
Действительно, принимая для оценок са~106 см/с, D^lOO см2/с, 6^10" см,
получаем Ta*Q00 пс, td(tp)^100 пс. При деформации кристалла для
акустического числа Маха Ма и давления в звуковой волне рл в общем
случае справедливы следующие порядковые оценки: Ma-^dnnJ (рос1),
Pa~dntie. Для кремния (dn»8,l эВ) они принимают вид
Ма~6- 10~24ие [см], /?а[кбар] ~ 1,3-10-20пе [см-»].
В рассматриваемом нами случае рост концентрации носителей не
ограничивается объемной рекомбинацией вплоть до т„~тр, т. е.
(ТПоГ1~тн, по~ 1/|/уг^~ 1,6-Ю20 см-3G=4-Ю-31 смв/с —кон-
—константа Оже в Si). При этом в случае пе<п0 концентрация ntwdn(l —
—Ro)lTa!h\\. Таким образом, при увеличении интенсивности оптическо-
оптического воздействия до /~100 МВт/см2 значения Ма, ра и пе, а также коэф-
16S
фициент преобразования оптического излучения в звук "Пп=^ак''^~
«(dntieJ/ (р„са/)~/ линейно растут вплоть до Л4а~10~3, /?а~2 кбар,
пе~1,6-1020 см~3, т]п~5-10~3. При дальнейшем увеличении интенсив-
интенсивности все указанные параметры растут медленнее, чем по линейному
закону, в силу постепенного насыщения концентрации фотовозбужден-
фотовозбужденных носителей. В режиме насыщения (тр<^ти, пе~/1/3) коэффициент
преобразования Tin для концентрационного механизма генерации вооб-
вообще начинает падать: т]^/-1'3.
Отметим, что пространственная протяженность возбужденного
акустического сгустка /а=сата~1 мкм. Таким образом, в акусти-
акустической волне реализуются градиенты давления до 20 Мбар/см. Эти пе-
перепады давления могут еще более возрастать по мере укорочения фрон-
фронта импульса при его нелинейном распространении. Для длины образо-
образования разрыва в акустической волне справедлива оценка /р~/а'еа/Иа,
чтоб рассматриваемом случае приводит к /р~80 мкм (еа — нелинейный
параметр). Таким образом, оптическое возбуждение подобных акусти-
акустических импульсов позволит изучить процессы их нелинейной трансфор-
трансформации [99] в образцах толщиной свыше 100 мкм.
Укорочению импульса разрежения (рис. 3.34) до та=1—10 пс мо-
может препятствовать диффузия неравновесных носителей. Действитель-
Действительно, из-за экранировки электрон-фононного взаимодействия тр^6 пс
(Si), поэтому td^25 пс. Однако это заключение нельзя считать бес-
бесспорным, так как существуют экспериментальные наблюдения [100],
указывающие на удержание плазмы вблизи поверхности полупровод-
полупроводника в потенциальной яме, возникающей при нагреве приповерхност-
приповерхностной области. В целом вопрос о характере движения фотовозбужденной
электронно-дырочной плазмы в настоящее время является открытым;
существуют эксперименты [101, 102], указывающие на ее сверх-
сверхзвуковое (с дрейфовыми скоростями 1>д до 107—108 см/с) гидродинамиче-
гидродинамическое расширение, наряду с экспериментами [103], в которых не удалось
реализовать ускорение плазмы до скоростей, превышающих скорость
медленной поперечной акустической моды. Ответ на этот вопрос
могут дать и акустооптические эксперименты. Например, если в усло-
условиях вышепроведенного расчета реализуется дрейфовое расширение
плазмы в течение времени тя<~ти, то акустический сигнал на детектор
должен прийти на время Дт=идти/са~1—10 не раньше, чем в отсутст-
отсутствие ее сверхзвукового движения. Если же переход плазмой звукового
барьера не реализуется, то ее движение ни при каких условиях не
уширяет акустические импульсы. В этом случае, уменьшая глубину
проникновения оптического излучения до /п-~10~6 см и длительность
светового воздействия до ти~1 пс, мы можем уменьшить длительность
импульсов разрежения до та~/п/са~1 пс.
Согласно экспериментальным результатам [104] для Я,=0,31 мкм
при ти»100 фс, /ти«10 мДж/см2 было достигнуто пе^2-1022 см~3.
По нашим оценкам в этом случае можно получить: /Иа~10~\ ра~
~300 кбар, T]n~3-10-2, /а~10-2 мкм, ра//а~3-105 Мбар/см, /р~/а.
Таким образом (в силу /р~/а) распространение подобных импульсов
можно исследовать только при низких температурах. Если же умень-
уменьшить на порядок пе и соответственно ра и Ма, то длина образования раз-
169
рыва /р~10 х мкм, и нелинейные акустические процессы можно на-
наблюдать в тонких пленках при комнатных температурах.
Длительность спада импульса сжатия согласно [95] определяется
при Тр>тс¥п следующим образом: тсп~т*п=тах {ти, то, та}. Если
же для времени рекомбинации носителей тр справедливо тр-<т*п,
тотсп~тах {тр, ти}. Таким образом, если тр меньше времени пробега
звуком области фотовозбуждения та и времени, связанного с движе-
движением носителей td, to время спада импульса сжатия, а следовательно,
и длительность импульса сжатия не зависят от глубины поглощения и
процессов диффузии. Физически это обусловлено тем, что импульс сжа-
сжатия формируется при сложении двух акустических сигналов, первый
из которых возбуждается при фотогенерации плазмы, а второй — при
ее рекомбинации. Длительности каждого из этих сигналов зависят от
та, то. Они имеют противоположные полярности и задержаны на
время порядка суммы времен тя + тр. Вот почему при тр<Сга, %D
длительность импульса сжатия в результирующей волне оказыва-
оказывается не зависящей от ха, xD. Поэтому на пути генерации пикосекундных
импульсов сжатия не возникает проблем, связанных с быстрым расши-
расширением плазмы. Согласно развитым представлениям [94—96], если при
малых интенсивностях оптического воздействия ир^>та^>ти и длитель-
длительность спада импульса сжатия тсп~та, то по мере увеличения интен-
интенсивности света и соответственно концентрации плазмы пе можно реали-
реализовать тр^ти^та и тем самым добиться возбуждения акустических
импульсов с длительностью та~ти. Такой метод в наносекундном диа-
диапазоне времен был реализован в экспериментах [94, 96], в которых при
увеличении плотности энергии оптического воздействия (Si, Л=
= 1,06 мкм) от 0,1 Дж/см2 до примерно 1 Дж/см2 длительность импульса
сжатия сокращалась от та~та»100 не (б«10 см) до та~тил;20 не.
Оценим возможность осуществления такого режима при воздейст-
воздействии на арсенид галлия излучением с длиной волны А=0,53 мкм (тя=
=30 пс). В этом случае б«7-104 см, с^Ъ-Ш см/с, Da~200 см2/с,
поэтому та«30 пс и при тр^ти время Тд^К^дт/са « 150 пс. Если бы
не было сложения сигналов, возбужденных при фотогенерации и ре-
рекомбинации носителей, то для длительности импульса сжатия выпол-
выполнялось бы: та~Тд«150 пс. Реально же, если мы реализуем тр~ти,
то получаем та~ти; для этого необходимо достичь концентрации носи-
носителей п0 ~ 1/Kyth ~2-1020 см (у«7-10~31 cmVc в GaAs). В рассмат-
рассматриваемом случае (то^>та) увеличению концентрации носителей пре-
препятствует их диффузия в глубь кристалла, поэтому необходимые ин-
интенсивности возбуждения оцениваются из соотношения по~ A—#о)Х
Xlxj(VDAxKh\^), из которого получаем /~300 МВт/см2 и далее Ма~
~10-23п0 [см-'3]~2-10-3, ра~3 кбар, т]п—10~3, /а~0,15 мкм, /?а//а~
~200 Мбар/см, /р~15 мкм. Таким образом, уже в пленках толщиной
около 50 мкм можно ожидать проявления акустической нелинейности.
В низкотемпературных экспериментах, как указывает теория [99],
конкуренция нелинейности и дисперсии может приводить к распаду
интенсивных акустических сгустков на последовательность солитонов,
каждый из которых имеет длительность порядка 1 пс.
170
Для возбуждения пикосекундных акустических импульсов сжатия
непосредственно в процессе межзонного поглощения света необходимо
одновременно с уменьшением ти увеличивать плотность поглощаемой
световой энергии (что приведет к уменьшению тр).
Подводя итоги, можно сказать, что представляется физически ре-
реальным оптическое возбуждение в полупроводниках когерентных им-
импульсов деформации длительностью та=1—100 пс, пространственной
протяженностью 0,01—1 мкм, с давлениями порядка 100—1 кбар. Коэф-
Коэффициент преобразования оптического излучения в звук может дости-
достигать значений т]п=10~1—10~3.
ГЛАВА 4
БЫСТРОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФАЗОЙ. КОМПРЕССИЯ
И ФОРМИРОВАНИЕ СВЕТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ
Получение предельно коротких импульсов есть результат реализации прос-
простого и наглядного принципа компрессии — фокусировки оптического излучения
во времени. Ключевыми моментами фокусировки во времени (здесь прослежи-
прослеживается ясная аналогия с фокусировкой волновых пучков в пространстве) явля-
является быстрая фазовая (частотная) модуляция и сжатие промодулированного им-
импульса в диспергирующей среде. Если речь идет о генерации импульсов с дли-
длительностью, сравнимой с периодом оптических колебаний, то диапазон скани-
сканирования частоты должен быть, очевидно, сравним с несущей частотой.
Наиболее удобным на сегодняшний день методом создания столь быстрой
модуляции оказывается фазовая самомодуляция в среде с практически безынер-
безынерционной электронной нелинейностью. Идеальная система сжатия, по аналогии
с безаберрационной фокусировкой волнового пучка, предполагает осуществле-
осуществление линейной по времени частотной модуляции и точной фазировки компонент
уширенного спектра в фокальной точке. Практическая реализация условий
идеального сжатия — сравнительно трудная задача. Устранение аберраций,
возникающих в модуляторе и компрессоре, повышение энергетического КПД,
улучшение качества и стабильности сжатых импульсов, эффективное управле-
управление формой — проблемы, привлекающие сейчас наибольшее внимание.
§4.1. Нелинейнс-оптические фазовые модуляторы
Идея использования оптической нелинейности для создания фа-
фазового модулятора, «временной линзы», была выдвинута и реализована
в конце 60-х годов [1] *). Естественно, что в то время в качестве не-
нелинейных материалов использовались жидкости с анизотропно по-
*) Как уже упоминалось в гл. 1, в принципе, «временную линзу» можно
создать на основе электрооптического модулятора. Если речь идет о генерации
пикосекундных или субпикосекундных световых импульсов, модулятор должен
управляться пикосекундными электрическими импульсами. В самое послед-
последнее время были продемонстрированы возможности этой техники [2]. Осущест-
Осуществив быструю фазовую модуляцию непрерывного излучения аргонового лазера
с последующей конверсией фазовой модуляции в амплитудную в диспергирую-
диспергирующей линии задержки, авторы [2] получили импульсы длительностью 8 пс с час-
частотой повторения 10 ГГц. Однако сейчас еще рано говорить о конкуренции такой
техники с методами нелинейно-оптической компрессии.
172
ляризующимися молекулами, которые обладали сравнительно большой
нелинейностью показателя преломления (n^lO'11 СГСЭ) и време-
временем релаксации порядка нескольких пикосекунд.
Фазовая самомодуляция в жидкостях с п2>0 приводит к возникно-
возникновению положительного частотного свипирования импульса в тех его
частях, где кривизна огибающей положительна. Для сжатия таких
импульсов, как следует из рассмотрения § 1.4, необходимы среды с
аномальной дисперсией групповой скорости. В качестве таких сред
использовались ячейки с парами металлов (в области частот вблизи
однофотонного резонанса) [3], устройства, состоящие из пары дифрак-
дифракционных решеток [4], и некоторые типы интерферометров [5]. В экспе-
экспериментах были реализованы коэффициенты сжатия ~10 (от 20 до 2 пс
[6] и от 100 до 7 пс [7]). Недостатки схем компрессии, в которых ис-
используются неограниченные среды, связаны с неоднородностью час-
частотного свипирования в поперечном сечении пучка и с тесной взаимо-
взаимосвязью пространственных и временных эффектов самовоздействия,
приводящих к нестабильности параметров сжатых импульсов.
Действительно, степень сжатия импульса пропорциональна отно-
относительному уширению его спектра. Обратившись к формуле для отно-
относительной величины спектрального уширения B.3.15)
<4ЛЛ>
и учитывая, что эффективное самовоздействие в нелинейной среде
происходит на продольной длине области перетяжки пучка L«2&oajj,
где а0—радиус пучка, получаем, что заметного уширения спектра мож-
можно достичь только при уровне мощности Ротл/ Bkln2), который соот-
соответствует критической мощности самофокусировки B.5.9).
Ситуация радикально изменилась благодаря использованию одно-
модовых волоконных световодов в качестве нелинейных фазовых мо-
модуляторов. Малость нелинейной добавки к показателю преломления в
кварцевых стеклах (п2«10~13 СГСЭ) с избытком компенсируется воз-
возможностью поддержания устойчивого поперечного профиля светового
пучка с диаметром 5—10 мкм на расстояниях порядка характерной
длины поглощения /„«б^1 (в видимом диапазоне /п=104—105 см).
Сопоставив /п с характерной длиной фокальной перетяжки Lx
«2&о<3о, получаем выигрыш в длине нелинейного взаимодействия 105—
10е раз. Используя световоды различной длины, можно достичь зна-
значительного спектрального уширения не только для мощных импульс-
импульсных лазеров, но и для источников, работающих с высокой частотой
повторения при пиковой мощности импульсов в единицы ватт. Широ-
Широкий диапазон прозрачности кварцевых стекол позволяет осуществлять
сжатие в большом интервале частот. Кроме того, следует отметить
высокую лучевую прочность и стабильность геометрии световодов.
Величина нелинейной добавки к показателю преломления в квар-
кварцевых световодах становится сравнимой с разностью показателей
преломления сердцевины и оболочки лишь при интенсивностях
/«1012 Вт/см2. Если же работать в интервале интенсивностей 106—
109 Вт/см2, то вполне адекватной оказывается модель самовоздействия,
173
основанная на предположении о неизменности модовой структуры из-
излучения в световоде (§ 1.7). Из сохранения модовой структуры одно-
однозначно следует еще одно важное преимущество — высокая степень
однородности частотной модуляции в поперечном сечении пучка. Ре-
Реальные ограничения на диапазон сканирования частоты в волоконно-
оптическом модуляторе в значительной мере определяются парамет-
параметрами входного импульса. Для мощных импульсов пикосекундной дли-
длительности (Ро~Ю3 Вт) основные ограничения связаны с конкуренцией
процесса вынужденного комбинационного рассеяния. В случае им-
импульсов с пиковой мощностью в единицы и десятки ватт, для модуля-
модуляции которых используются длинные световоды 102—103 м, лимити-
лимитирующим фактором становятся оптические потери. Специфика ком-
компрессии фемтосекундных импульсов будет рассмотрена в § 4.7.
§ 4.2. Оптические компрессоры
Поскольку в волоконно-оптическом модуляторе (я2>0) частота
промодулированной несущей нарастает от фронта к хвосту, оптиче-
оптический компрессор должен об-
обладать аномальной дисперси-
дисперсией, т. е. время группового за-
запаздывания для низкочастот-
низкочастотных спектральных компонент,
«локализованных» на фронте
импульса, должно быть мень-
Рис. 4.1. Компрессор, состоящий из пары ШИМ' чем *ля высокочастот-
дифракционных голографических решеток. ных, локализованных на его
Показан ход лучей, соответствующих дли- хвосте. Простейший решеточ-
нам волн X и X' ний компрессор изображен
на рис. 4.1. Он состоит из
пары дифракционных решеток, расположенных параллельно друг
другу.
Время, затрачиваемое на прохождение оптического пути ABC, вы-
выражается через угол падения у0, угол дифракции 0Д и расстояние Ь
следующим образом:
Т = (b + &sin0asin Yo)/c- D.2.1)
Дисперсионный параметр, определяющий изменение времени группо-
группового запаздывания с длиной волны, имеет вид
■р. _1_ 5Г 1 -f sin 8Л sin-уо db cos 9Л sin у0 д8д
~~~ЬдХ~~ be Ж с Ж'
D.2.2)
Используя известное соотношение между углами падения и дифракции
d(sin у0 + sin8a)=-Я, D.2.3)
где d—период решетки, получаем
39Л sec 9Д db __b sec2 9Л sin 9Д
ж
d '
Ж"
D.2.4)
174
Подстановка D) в A) приводит к выражению для дисперсионного пара-
параметра,
D=-
cd[\-(X0/d —sin yof] '
Учитывая связь D с коэффициентом k.2,
D.2.5)
D.2.6)
получаем, что пара дифракционных решеток, расположенных на
расстоянии Ь, эквивалентна аномально диспергирующей среде,
причем
D.2.7)
При типичных значениях параметров уо=6О°, d=10~4 см, Хо=0,5 мкм
коэффициент kf1 имеет порядок 10~26 с2/см, а эффективная дисперсион-
дисперсионная длина при то»1 пс составляет L^—xllk^^X м.
Рис. 4.2. Компрессор с аномальной дисперсией: а — однопроходная схема, в ко-
которой возникает пространственное смещение спектральных компонент; б —
двухпроходная схема (показаны возможности управления амплитудами и фа-
фазами спектральных компонент с помощью транспаранта (ФТ))
Существенно большие значения дисперсии можно реализовать с
использованием отражающих решеток при скользящем падении свето-
светового пучка. Такие конфигурации применяются для сжатия импульсов
с начальной длительностью в десятки пикосекунд. Особенности этой
схемы обсуждаются в [9].
Заметим, что в изображенной на рис. 4.2а решеточной паре возника-
возникает нежелательный эффект — пространственный сдвиг высокочастот-
высокочастотных и низкочастотных компонент. Указанный недостаток можно уст-
устранить с помощью зеркала, возвращающего излучение обратно в
решеточную пару. После двойного прохода пространственное смеще-
смещение частотных компонент компенсируется [10] (рис. 4.26).
В качестве сред с аномальной дисперсией успешно используются
ячейки с парами щелочных металлов в области частот однофотонного
175
резонанса [3]. В таких ячейках удается достичь значительной диспер-
дисперсии при приемлемом уровне потерь B0 %). Недостатки этих элемен-
элементов связаны с необходимостью работать вблизи фиксированных длин
волн и с техническими трудностями их реализации.
Для сжатия частотно-модулированных импульсов с начальной
длительностью в десятки и сотни фемтосекунд разработаны призмен-
ные компрессоры [111, схема которых изображена на рис. 4.3. Призмы
ориентированы так, что световой пучок падает на входную грань пер-
первой призмы под углом Брюстера, а все остальные ориентированы на
угол наименьшего отклонения. В [11] показано, что такая система
призм эквивалентна среде с дисперсионной постоянной
Оценки, проведенные для кварцевых призм при Х0=0,62 мкм, /=25 см,
приводят к значениям ^к)л?3,5-10~28 с2/см. Преимущества призмен-
призменных компрессоров обусловлены ма-
малыми энергетическими потерями и
отсутствием пространственного сме-
смещения частот. Основная область их
применения — внутрирезонаторные
схемы сжатия [12, 13].
В последнее время эксперимен-
экспериментально показано, что дисперсию приз-
призменных компрессоров можно увели-
увеличить более чем на порядок за счет
использования призм, изготовленных
из стекла с большой дисперсией (F2,
Рис. 4.3. Призмеиный компрес- SF10) и выбора угла падения мень-
сор, позволяющий реализовать
аномальную и нормальную ди-
дисперсию [11]
шего, чем угол, соответствующий по-
положению минимального отклонения
светового пучка. Таким образом, ав-
авторы [14] осуществили 75-кратное сжатие частотно-модулированного
импульса с начальной длительностью в 21 пс с энергетической эффек-
эффективностью 85%.
В заключение отметим, что при сжатии импульсов с широким спект-
спектром как в призменных. так и в решеточных компрессорах существенной
может оказаться зависимость дисперсионного параметра kf1 от со,
которой соответствует квадратичная по времени частотная модуляция,
характеризуемая параметром &[,К). Как показывают расчеты, пара-
параметр kf1 имеет различный знак для решеточных и призменных ком-
компрессоров. Это обстоятельство указывает на возможность создания
комбинированных компрессоров, способных эффективно сжимать им-
импульсы, которые помимо линейной имеют и квадратичную частотную
модуляцию.
Иными словами, появляется возможность исправлять аберрации
временного распределения фазы, возникающие в процессе распрост-
распространения излучения.
176
§ 4.3. Дисперсионная фазовая самомодуляция
Фазовая самомодуляция реального лазерного импульса даже в
среде с безынерционной нелинейностью приводит к сложному закону
изменения фазы со временем. Другими словами «временная линза»,
основанная на ФОЧ, обладает, вообще говоря, сильными аберрациями.
Нетрудно убедиться, однако, что дисперсия второго порядка способна
в значительной мере исправить положение.
Рис. 4.4. Принципиальная схема компрессии лазерных импульсов, в которой
используется фазовая самомодуляция в волоконном световоде (ВС). Показаны
временные распределения добавки к несущей частоте бш и интенсивности /(т.),
а также спектр импульса s(w) на выходе световода
Общая схема компрессии, изображенная на рис. 4.4, включает в
себя источник спектрально-ограниченных пикосекундных импульсов,
волоконно-оптический модулятор и решеточный компрессор. Основой
для математического анализа процесса дисперсионной фазовой само-
самомодуляции является нелинейное уравнение Шредингера, описывающее
изменение комплексной амплитуды поля. Приведем это уравнение для
случая нормальной дисперсии групповой скорости (ср. с B.8.17)):
где т= (t—z!u)/x0 —• нормированное на начальную длительность им-
импульса бегущее время, расстояние Z выражено в дисперсионных дли-
длинах La=Tj/fe2, параметр б=бо/-д характеризует поглощение на диспер-
дисперсионной длине, амплитуда г|" нормирована на максимальное значение.
Характеристикой нелинейности является отношение R=L.JL§
дисперсионной длины к длине фазовой самомодуляции ^ф=(^о«2/эфф)~1-
В отличие от случая плоской волны £ф определяется эффективным
значением пиковой интенсивности излучения в световоде
/эфф = /о<£/4>/<£/2>, D.3.2)
2я ее
где <JJny = \d(p\Unrdr, а /0 — пиковое значение интенсивности.
о о
В практических расчетах удобнее использовать выражение
Г'эфф=адФФ, D.з.з)
в котором Ро — пиковая мощность, 5э4ф=<£/2>2/<£/4>—эффектив-
5э4ф=<£/2>2/<£/4>—эффективная площадь моды; она несущественно отличается от геометрической
площади сердцевины световода.
177
Заметим, что эффективность самовоздействия зависит и от поля-
поляризации излучения. Приведенное выражение для параметра нелиней-
нелинейности R соответствует световоду, сохраняющему поляризацию излу-
излучения неизменной. В случае циркулярной поляризации п2 следует за-
заменить на 2п2/3, если состояние поляризации изменяется случайным
образом, то можно воспользоваться усредненным значением 5гс»/6
[15]. Интересные эффекты поляризационного самовоздействия в нас-
настоящее время исследуются теоретически и экспериментально [16],
но для целей компрессии оптимальными представляются световоды,
сохраняющие линейную поляризацию неизменной.
-2 0 2
~4 0 4 (W-Wg)tg
Рис. 4.5. Изменение с расстоянием огибающей и спектра сверхкороткого им-
импульса при самовоздействии в среде с нормальной дисперсией
Типичная картина трансформации огибающей, спектра и частот-
частотной модуляции гауссовского импульса, полученная в результате чис-
численного решения A), представлена на рис. 4.5.
Динамика процесса самовоздействия временной огибающей опре-
определяется соотношениями характерных длин фазовой самомоду-
самомодуляции /.ф, дисперсии Ьл и самовоздействия LH1= (L^L^I'2. Для экспе-
экспериментов по сжатию импульсов с начальной длительностью в единицы
пикосекунд характерна ситуация, когда длина волоконного световода
L удовлетворяет неравенствам L4<^L«LH1<La. В этом случае на
начальном этапе распространения импульса доминирующим процес-
процессом является фазовая самомодуляция, приводящая к уширению спект-
спектра и формированию линейной частотной модуляции в пределах верши-
вершины импульса. Понижение частоты на фронте импульса и ее увеличение
на хвосте в условиях нормальной дисперсии групповой скорости вы-
вызывает дополнительное нелинейное расплывание импульса и уплоще-
уплощение его вершины. Результатом совместного проявления дисперсии и не-
нелинейности является формирование на расстоянии г~2£нл практиче-
практически прямоугольного импульса с линейной частотной модуляцией.
178
-1
-1
-0,5
0,5 V ~0,5
0,5 -С
На рис. 4.6 временные профили интенсивности и текущего значе-
значения частоты сопоставляются для двух режимов сжатия — «бездиспер-
«бездисперсионного» и «дисперсионного». Параметры PQ и L подобраны так, что
в обоих случаях достигается оди- , ,,_
наковая степень сжатия, в первом
случае за счет увеличения Ро, во
втором— L. Анализ структуры сжа-
сжатого импульса наглядно демонстри-
демонстрирует преимущества дисперсионного
режима. В дисперсионном режиме
почти 90 % энергии содержится в
узком центральном пике, для без-
бездисперсионного режима соответст-
соответствующая доля энергии не превыша-
превышает 68 %, т. е. в бездисперсионном
режиме временная «линза» облада-
обладает заметными аберрациями.
§ 4.4. Оптимизация систем
компрессии
Экспериментальная реализация
схем волоконно-оптической ком-
компрессии требует решения ряда во-
вопросов, связанных с установлением
оптимальных соотношений между
параметрами исходного импульса,
световода и компрессора [17—19].
В бездисперсионном режиме фазо-
фазовой самомодуляции расчет компрессии легко провести, если задаться
параметрами исходного импульса т0, /эфф и длиной световода L.
Из формулы B.3.15) для нелинейного уширения спектра гауссов-
ского импульса получаем, что при максимальном фазовом набеге на
вершине импульса фтах^>1
Асо«0,88фтахДсо0. D.4.1)
Приближенное выражение для степени сжатия, определяемой ушире-
нием спектра (см. A.4.26)), имеет вид
D.4.2)
D.4.3)
Приведенные формулы иллюстрируют физические закономерности
компрессии, но не позволяют рассчитать такие важные характеристики,
как форму сжатого импульса, его максимальную мощность и т. п.
Из B), в частности, следует, что степень сжатия должна линейно уве-
увеличиваться с расстоянием, однако из результатов предыдущего пара-
179
Рис. 4.6. Временные профили интен-
интенсивности, добавки к несущей частоте
и профили сжатых импульсов: а —
дисперсионный режим; б — бездис-
бездисперсионный режим самовоздействия
S « 0,88бЯ/эфф1 = 0,88L/L4.
Оптимальное расстояние между решетками
\
n-
10-
графа ясно, что процесс дисперсионного расплывания будет ограни-
ограничивать скорость частотной модуляции.
Реальные количественные закономерности дисперсионного режи-
режима сжатия были установлены в [17, 19] методами математического моде-
моделирования. В численных экс-
экспериментах нелинейное урав-
уравнение Шредингера D.3.1) ин-
интегрировалось по £ при раз-
различных параметрах нелиней-
нелинейности R. Вычислялись про-
профили интенсивности, распре-
распределения текущей частоты в
различных сечениях £ светово-
световода и результаты сжатия час-
частотно-модулированных им-
импульсов при оптимальной нас-
настройке решеточного компрес-
компрессора. На рис. 4.7 приведены
зависимости минимальной дли-
длительности импульса от длины
световода. Видно, что для каж-
каждого значения R существует
оптимальная длина световода
1,0
0,8
0,6
о, г
0,2 С
0,1
0,1 -
0,15
0,05 0,10
Рис. 4.7. Оптимальные условия сжатия:
а — относительная пиковая интенсивность
сжатого импульса в зависимости от при-
приведенной длины световода £=z/La; б —
зависимость длительности сжатого импуль-
импульса от £; в — оптимальное расстояние меж-
между решетками компрессора blLa. Параметр
кривых — отношение R=PolPKp' 1—WO,
2—200, 5—300, 4—500 [17]
160
Lonr, при которой достигается
максимальная степень сжатия
5тах. Наличие экстремума свя-
связано с тем, что на малых рас
стояниях г~£ф форма импуль-
импульса еще практически не изме-
изменилась и нелинейное ушире-
ние спектра растет пропорцио-
пропорционально расстоянию B). На рас-
расстоянии г~Ьал расплывание
импульса приводит к насыще-
насыщению процесса фазовой самомо-
самомодуляции, а при z^>LHJJ продол-
продолжающееся дисперсионное
расплывание фронта и хвоста
импульса снижает возможно-
возможности его сжатия в квадратич-
квадратичном компрессоре.
Проведенный в [17] анализ
зависимости S от £ и R позво-
позволил записать простые эмпи-
эмпирические формулы для оп-
оптимальной длины световода
и выигрыша в пиковой
интенсивности:
Lom = CLm, ImJh = C-^VR, S«/mix//0. D.4.4)
Входящая в эти формулы константа С незначительно изменяется при
варьировании формы входного импульса (при условии, что он явля-
является спектрально-ограниченным). Для гауссовских импульсов С=
= 1,79, в случае импульсов с огибающей в виде гиперболического се-
секанса tpo=sech(x) константа С=1,84.
Рис. 4.7б иллюстрирует зависимость оптимального расстояния
между решетками, выраженного в единицах Ьл, от длины световода
L и параметра нелинейности
R. Соотношения D) справед- 1/1в\
ливы в широком диапазоне 0,ZsV_
изменения параметра нели-
нелинейности, 10<;/?-<103, с пог-
погрешностью, не превышающей
5 %.
Случай больших нелиней-
ностей R = W—105, который
характерен для сжатия им- ; 2 з 4 т;
пульсов с начальной длитель-
длительностью В десятки гикосе- Рис. 4.8. Возникновение неустойчивости на
кунд. исследован в [20] В фронте и хвосте импульса при больших
J A и^'вдипоп л превышениях мощности над критической,
численных экспериментах бы- ро/ркр>ю4 (изображена половина импуль-
ла обнаружена специфичес- са) [20]
кая неустойчивость, возника-
возникающая на крутых фронте и
хвосте импульса вблизи точки z=Lom (рис. 4.8). Появление этого
эффекта связано с особенностями временной зависимости текущего
значения частоты (рис. 4.5). В условиях весьма слабой нормальной
дисперсии групповой скорости низкочастотные компоненты, соответ-
соответствующие точке перегиба на распределении интенсивности, «обгоняют»
более высокочастотные, локализованные на фронте, что приводит к
смешению частот и появлению мелкомасштабной картины интерферен-
интерференционного типа. Результаты [20] позволили объяснить ряд особенностей
спектров, наблюдавшихся в экспериментах [21].
Выражение, для степени сжатия D) получено без учета конкури-
конкурирующих нелинейных процессов. В реальных экспериментальных си-
ситуациях степень сжатия, как правило, ограничивается процессом вы-
вынужденного комбинационного рассеяния.
Процесс ВКР, развивающийся от уровня спонтанных шумов, вы-
вызывает истощение накачки при условии
£с/эфф£«16, D.4.5)
где gc — коэффициент усиления сигнала на стоксовой частоте, имею-
имеющий в видимом диапазоне частот порядок 2-101 см/Вт. При подста-
подстановке L=\6/(gcI^i>) в B) получаем для S в бездисперсионном при-
приближении следующую оценку:
S < Uk0n2!gc « 30. D.4.6)
181
Это ограничение носит принципиальный характер, так как степень
сжатия S, в конечном счете, определяется отношением действительной
и мнимой частей кубичной восприимчивости.
Разумеется, реальная картина комбинационного преобразования
частоты значительно сложнее, поскольку импульсы на основной и
стоксовой частотах «разбегаются» из-за различия групповых скорос-
скоростей. Характерная величина разбегания имеет порядок пикосекунды на
метр (при разности частот Av«440 см, соответствующей центру ли-
линии усиления). Понижая уровень входной мощности и увеличивая дли-
длину световода, можно достичь коэффициентов компрессии 5«102 [10].
В этой ситуации основным лимитирующим фактором становятся опти-
оптические потери, которые ограничивают величину L на уровне
L^ = {\-e-^)/80. D.4.7)
Предельные возможности сжатия фемтосекундных импульсов будут
рассмотрены в § 4.7.
§ 4.5. Фильтрация спектральных компонент
и возможности сжатия шумовых импульсов
Изложенные в предыдущем параграфе условия оптимальной ком-
компрессии были сформулированы применительно к спектрально-ограни-
спектрально-ограниченным импульсам. Для реальных лазерных систем характерно нали-
наличие амплитудно-фазовых флуктуации, существенно влияющих на само-
самовоздействие импульсов, предельные возможности компрессии и уро-
уровень флуктуации выходных параметров. В настоящем параграфе мы
проанализируем специфику сжатия случайных импульсов и реально
существующие возможности стабилизации параметров излучения ме-
методами спектральной фильтрации.
Важным частным случаем входных импульсов является суперпо-
суперпозиция типа «сигнал + шум»:
Ч>(т,О) = ф,(т)-г-<пМт), D-5.1)
где г^о и -ф — детерминированная и случайная составляющие поля,
а— параметр, характеризующий уровень шума. Наиболее полную
информацию о процессах, происходящих в световоде, можно получить
в численных экспериментах, которые позволяют анализировать как
поведение отдельных реализаций, так и статистические характерис-
характеристики, получаемые усреднением по ансамблю решений уравнения
D.3.1) с начальными данными A).
Начнем с обсуждения некоторых результатов математического мо-
моделирования самовоздействия вспышек оптического шума
ф(т, 0)=<т!(тI|>,(т), D-5.2)
где |(т) — комплексный гауссовский случайный процесс с нулевым
средним, единичной дисперсией и гауссовской корреляционной функ-
функцией. На рис. 4.9 приведены временные зависимости интенсивности
/~|т|з|2 и текущего значения добавки к несущей частоте бсо(т) в раз-
различных сечениях световода z/Lail.
182
t 1 0 -1 -2 T
а
Рис. 4.9. Самовоздействие шумового импульса в световоде с нормальной диспер-
дисперсией групповой скорости: а —■ временные распределения интенсивности; б —
добавки к несущей частоте [22]
Рис. 4.10. Самовоздействие шумового импульса: а — временные профили ин-
интенсивности на выходе световода; б — добавки к несущей частоте; в — сжатые
импульсы. Серия кривых соответствует различным реализациям, г=1,8/.нл,
Я=300 [22]
183
На начальном этапе распространения основную роль играет фа-
фазовая самомодуляция, так как 2~/,ф<с£нл. В пределах флуктуацион-
ных выбросов интенсивности формируется положительный чирп, кото-
который в условиях нормальной дисперсии групповой скорости приводит
к их дисперсионному расплыванию. Поэтому на больших расстоя-
расстояниях флуктуации частоты и интенсивности сглаживаются и зависи-
зависимость бсо от т линеаризуется. На рис. 4.10 представлены зависимости
/(т) и бсо(т) на расстоянии, соответствующем оптимальной длине све-
световода для компрессии спектрально-ограниченных импульсов. Видно,
что флуктуации интенсивности и частоты концентрируются, в основ-
основном, на фронте и хвосте импульса. Сжатые импульсы (рис. 4.10s)
имеют практически регулярную структуру и отличаются, главным об-
образом, пиковым значением интенсивности. Аналогичные закономерно-
закономерности обнаружены и для начальных данных типа «сигнал + шум» A).
Приближенное аналитическое описание процесса «вытеснения»
флуктуации на периферию импульса можно построить на основе мето-
метода моментов [23, 24]. Введем безразмерную среднеквадратичную дли-
длительность импульса
= \ т|з (т) т2г|?* (т) йт. D.5.3)
Уравнение для в получается путем домножения D.3.1) на комплекс-
комплексно-сопряженную амплитуду^*, аналогичной операцией над комплекс-
комплексно-сопряженным уравнением, сложением полученных уравнений и
интегрированием с весовым множителем т2. Уравнения, описывающие
динамику среднеквадратичной длительности, имеют вид
+ к.с,
D-5.4)
где угловые скобки обозначают усреднение по времени, </>
точкой обозначено дифференцирование по т. Среднеквадратичная
длительность, усредненная по ансамблю реализаций начальных дан-
данных A),
та-ф* их, D.5.5)
представляется суперпозицией детерминированной fl0 и шумовой 9
компонент:
в(О=во(р + а»вE). D.5.6)
Подставляя A) в D), производя статистическое усреднение и приравни-
приравнивая величины одинакового порядка малости по параметру а, получаем
184
два уравнения:
~Q0
~ 8 = 2
R
Из этих уравнений следует, что малый по амплитуде шум практически
не влияет на среднеквадратичную длительность детерминированной
компоненты. Обратное влияние сигнала на шум более существенно:
темп расплывания шумовой компоненты возрастает.
Конкретизируем начальные условия, полагая
D.5.8)
0 (т, 0) = ехр (- т2/2),
и вычислим правую часть G) в точке £
нения с постоянной правой частью
(т, 0) -1 (т) ф„
0, в результате получим урав-
уравгде время корреляции тк нормировано на начальную длительность
Импульса. Они адекватно описывают начальный этап эволюции (?^1)
Рис. 4.11. Зависимость средней
по ансамблю степени сжатия от
приведенной длины световода
(сплошная линия), показаны стан-
стандартные отклонения флуктуации;
соответствующая зависимость для
спектрально-ограниченного им-
импульса изображена штриховой
линией. Параметр нелинейности
#=300 [22]
0 0,6 1,1 1,8
среднеквадратичной длительности для среднестатистического импуль-
импульса. Из (9) следует, что 90 и 9 растут пропорционально квадрату рас-
расстояния, при R^>\ скорость расплывания шумовой компоненты при-
примерно в четыре раза выше, чем детерминированной.
Перейдем к обсуждению статистических характеристик сжатых
импульсов, основываясь на результатах математического моделирова-
моделирования [22, 25]. На рис. 4.11 изображена зависимость средней по ансамб-
ансамблю реализаций степени сжатия S от длины световода, выраженной в
единицах LHJI. Для сравнения штриховой линией изображена соот-
соответствующая зависимость, вычисленная для спектрально-ограничен-
спектрально-ограниченного импульса (а=0 в A)). Видно, что по-прежнему оптимальной для
сжатия является длина световода г/х2Ьлл. Наличие флуктуации при-
185
водит к снижению средней степени сжатия с ростом а-. Как показали
численные эксперименты, уменьшение времени корреляции шума так-
также приводит к снижению S.
Эти результаты вполне естественны, так как амплитудно-фазовые
флуктуации в исходном импульсе вызывают увеличение темпа диспер-
дисперсионного расплывания и результирующее уменьшение амплитуды и,
следовательно, эффективной нелинейности. Анализ, проведенный в
[25], показал, что системы волоконно-оптической компрессии, работаю-
работающие в дисперсионном режиме, менее чувствительны к фазовым флук-
туациям, чем к амплитудным.
6ш-Х0 Г
Рис. 4.12. Стабилизация параметров сжатых импульсов: а — соответствие
между спектром, временным распределением частоты и интенсивности; б —
практическая реализация пространственной фильтрации спектральных компо-
компонент в двухпроходном решеточном компрессоре (фильтр расположен в плоскости
возвращающего зеркала)
Отмеченные в численных экспериментах особенности самовоздей-
самовоздействия частично когерентных импульсов — «вытеснение» флуктуации
на периферию импульса, т. е. в высокочастотное и низкочастотное
крылья спектра, позволяют стабилизировать параметры сжатых им-
импульсов путем пространственной фильтрации их спектральных ком-
компонент в решеточном компрессоре. Простейшая фильтрация осуществ-
осуществляется диафрагмированием пучка в плоскости возвращающего зеркала
(рис. 4.12).
Математическое моделирование показывает, что наложение час-
частотного фильтра с прямоугольной функцией пропускания /С(со)= 1
в полосе Асо, соответствующей величине спектрального уширения
детерминированного импульса, снижает уровень флуктуации длитель-
длительности сжатого импульса примерно в два раза.
Нелинейно-оптическая фильтрация шумов в бездисперсионном ре-
режиме сжатия менее эффективна, так как на малых расстояниях £<^;1
не происходит существенного сглаживания амплитудно-фазовых флук-
флуктуации. Кроме того, в бездисперсионном режиме нарушается вза-
взаимно однозначное соответствие между временем т и текущей частотой
ю(т). Тем не менее спектральная фильтрация позволяет стабилизиро-
стабилизировать параметры излучения за счет снижения степени сжатия (например,
для а=0,2, тк=0,64, отношение as/S уменьшается с 23 до 12 % при
уменьшении 5 от 4,3 до 3,3).
186
В каскадных схемах сжатия роль частотного фильтра, стабилизи-
стабилизирующего параметры выходного импульса, может играть узкополосный
промежуточный усилитель, который в линейном режиме действует ана-
аналогично спектральному фильтру с лоренцевским профилем пропус-
пропускания [25, 27]. Установленные закономерности подтверждаются резуль-
результатами лабораторных экспериментов [28].
В шестой главе мы приведем экспериментальные и теоретичес-
теоретические результаты, относящиеся к схеме компрессии, в которой нелиней-
нелинейный кристалл К.ТР располагается непосредственно после волокон-
волоконного световода. Помимо своей основной функции —■ удвоения часто-
частоты, он удваивает скорость частотной модуляции и осуществляет фильт-
фильтрацию шумовых компонент спектра.
§ 4.6. Управление длительностью
и формой сверхкоротких импульсов
Техника пространственной фильтрации спектральных компонент
может быть использована не только для фильтрации шумового излу-
излучения, но и для управления огибающей импульсов в фемтосекундном
масштабе времени [28, 29]. Наибольшие возможности здесь открывает
совместное воздействие на амплитуду и фазу фурье-компонент
импульса.
Начнем с рассмотрения задачи об «идеальном» компрессоре. Фак-
Фактически речь идет об устройстве, осуществляющем полную фазировку
всех спектральных компонент импульса, тем самым формирующем
импульс предельно малой длительности. Выражение для коэффици-
коэффициента передачи пассивного линейного компрессора можно представить
в виде
/С (си) = | /С (ю) | ехр [/фв (со)], D.6.1)
где |/C(w)|^l при всех со. Спектр импульса, испытавшего фазовую
самомодуляцию, записывается следующим образом:
А(а>) = | А (со) | ехр [/ф (со)].
На выходе компрессора получаем
Ак (со) = | К (со) 11 А (со) | ехр [i (<р - <рк)].
Компрессор фазирует все спектральные компоненты импульса при ус-
условии, что
Фк(со) + Ф(со)--О, 1*(со)|-1. D.6.2)
Применительно к линейным системам аналогичная задача рассматри-
рассматривалась в § 1.4.
Реальные решеточные и призменные компрессоры, как было пока-
показано в § 4.2, осуществляют фазировку спектральных гармоник в пара-
параболическом приближении. Зависимости же ср(со), возникающие в про-
процессе фазовой самомодуляции, являются более сложными. В качест-
качестве иллюстрации на рис. 4.13а приведены зависимости s(co)= \А (со)|2 и
ф(со) для гауссовского импульса, испытавшего бездисперсионную фа-
137
зовую самомодуляцшо. На рис. 4.135 показана форма сжатого импуль-
импульса при идеальной и квадратичной компрессиях. Видно, что использо-
использование идеального компрессора дает существенный выигрыш в интен-
интенсивности и степени сжатия. Наложением аподизирующего частотного
фильтра с функцией пропускания |/С(со)|=ехр [—(со—(йц)л'/А(йл'], где
N=4—6, и подбором полосы пропускания Aw можно повысить кон-
контраст сжатого импульса (рис. 4.136). Это обстоятельство имеет прик-
прикладное значение для компрессии импульсов ближнего ИК диапазона
(к~1 мкм) с начальной длительностью в десятки пикосекунд; сжатие
0,1 0,2 ¥
а 5
Рис. 4.13. Возможности управления формой импульса с помощью фазировки
спектральных компонент: а — спектральная плотность мощности (сплошная
линия) и фазы фурье-компонент (штриховая) импульса, испытавшего бездиспер-
бездисперсионную фазовую самомодуляцию (г//.ф=18); б — форма сжатого импульса
после «идеального» (сплошная) и квадратичного (штриховая) компрессора,
пунктирная линия — сжатый импульс при использовании аподизирующего
фильтра [29]
таких импульсов, как правило, осуществляется в бездисперсионном
режиме.
На практике идеальный компрессор можно реализовать с помо-
помощью обычной решеточной пары и фазового транспаранта, расположен-
расположенного в плоскости возвращающегося зеркала (рис. 4.126). Его функ-
функция сводится к устранению фазовых аберраций — отклонений реаль-
реальной зависимости ср(ио) от параболической. Управляемые фазовые
транспаранты на основе жидких кристаллов в настоящее время успеш-
успешно используются в схемах фазовой коррекции когерентных световых
пучков и в адаптивных интерферометрах [30].
Сочетание амплитудных и фазовых методов управления спектром,
уширенным за счет ФСМ. позволяет не только минимизировать дли-
длительность и улучшать структуру сжатых импульсов, но и решать це-
целый ряд задач управления огибающей. В [31] сообщается о генерации
спектрально-ограниченных прямоугольных импульсов (длительность
импульса около 6 пс, длительность фронта менее 1 пс) с помощью амп-
амплитудно-фазовых масок, помещенных в решеточный компрессор. Та-
Такие импульсы могут найти применение в метрологии и оптических ин-
информационных системах.
Методом амплитудной фильтрации легко сформировать из частот-
частотно-модулированного импульса последовательность нескольких им
№
пульсов. Для иллюстрации приведем некоторые результаты математи-
математического моделирования. На рис. 4.14а изображены огибающая частот-
частотно-модулированного импульса на выходе световода, зависимость бсо(т)
и функция пропускания частотного фильтра, имеющая вид двух сдви-
сдвинутых полос. Практически однозначная связь между моментом време-
времени т и соответствующим участком спектра приводит к тому, что на вы-
выходе фильтра формируется последовательность из двух импульсов
с огибающей, близкой к прямоугольной. Интервал следования импуль-
импульсов Ат выражается через скорость частотной модуляции а и ширину
«затемненного» участка фильтра Лтжа-Дм. На рис. 4.146 показаны
импульсы после сжатия.
Рис. 4.14. Управление огибающей с помощью амплитудного транспаранта: а —■
временные распределения интенсивности, частоты и функция пропускания филь-
фильтра; б—спектр импульса после фильтрации s(w), временное распределение ин-
интенсивности после фильтрации / (т) и на выходе компрессора /сж(т)
Оригинальный подход к формированию импульсов с заданной оги-
огибающей развит авторами [32]. Его суть сводится к следующему. За-
Задавшись требуемой формой сжатого импульса и решив обратную
задачу, можно вычислить требуемые временные распределения ин-
интенсивности и фазы входного импульса. Существенно, что длительность
входного импульса в 10—100 раз превышает длительность сжатого и
поэтому для его формирования можно воспользоваться программи-
программируемым быстродействующим модулятором.
В [32] продемонстрировано формирование на выходе компрессора
эрмитового импульса с огибающей т|з= A—т2) ехр (—т2/2) и характер-
характерной длительностью 10 пс. Входной импульс имел длительность 135 пс
и формировался с помощью модулятора с эффективным быстродейст-
быстродействием 20—30 пс. По существу, этот метод аналогичен известному из
нелинейной адаптивной оптики световых пучков алгоритму програм-
программного управления характеристиками излучения на приемной аперту-
Ре [30].
189
В заключение укажем, что применение в схемах оптической комп-
компрессии быстродействующих управляемых элементов позволяет созда-
создавать адаптивные системы, контролирующие спектральные и времен-
временные характеристики сверхкоротких световых импульсов.
§ 4.7. Особенности самовоздействия
и компрессии мощных фемтосекундных импульсов
Техника волоконно-оптической компрессии успешно применяется
в весьма широком диапазоне начальных длительностей импульсов —
от сотен пикосекунд до десятков фемтосекунд. При фиксированной
степени сжатия уменьшение входной длительности приводит к необ-
необходимости увеличения входной интенсивности. Действительно, для
эффективной компрессии надо обеспечить преобладание фазовой само-
самомодуляции над дисперсионным расплыванием, что выражается нера-
неравенством L^<C.LA, которое эквивалентно условию
'ЭФФ > kj(kon2tl). D.7.1)
При уменьшении т0 до 40 фс /эфф возрастает до 1012 Вт/см2 и харак-
характер нелинейных процессов существенно усложняется. Кроме того, пе-
переход к длительностям импульсов в несколько оптических периодов
требует пересмотра исходных допущений, являющихся совершенно
естественными в пикосекундном диапазоне длительностей. К их числу
относятся предположения о медленности изменения комплексной амп-
амплитуды, о квазистационарности нелинейного отклика, пренебрежение
дисперсией высших порядков и т. д. Все эти вопросы в последнее время
начали привлекать внимание исследователей [33—38] в связи с необ-
необходимостью оптимизации компрессоров и интерпретации накаплива-
накапливающихся экспериментальных данных [39, 40].
Исходное уравнение, записанное с учетом нелинейной дисперсии
групповой скорости, нестационарности нелинейного отклика и диспер-
дисперсии третьего порядка имеет вид
где малый параметр \i.l=kj (k2x0)<^\ характеризует относительный
вклад дисперсии третьего порядка, параметр ц = 7У (ят0) перед сла-
слагаемым, ответственным за нелинейную дисперсию групповой скорости,
пропорционален отношению оптического периода колебаний То~2 фс
к начальной длительности импульса.
Динамику установления нормированной нелинейной добавки к
показателю преломления йп(т, К) можно описать феноменологическим
уравнением релаксационного типа B.2.9):
\1г±Ьп+бп = \тр\\ D.7.3)
где параметр ц^=т:ЯЛ/х0 характеризует инерционность нелинейного
отклика. Экспериментально установлено, что время релаксации тнЛ
в кварцевых стеклах не превышает 100 фс [41], по теоретическим оцен-
190
кам тнл»6 фс. В условиях, когда [х2-<1 является малым параметром,
приближенное значение для fin принимает вид
6n = |t])|2—hj-г-11Р |2' D-7.4)
а уравнение для комплексной амплитуды записывается следующим об-
образом:
Нелинейная дисперсия групповой скорости и инерционность нелиней-
нелинейного отклика оказывают существенное влияние на процесс самовоз-
самовоздействия уже на начальном этапе распространения импульса по све-
световоду, так как соответствующие члены входят в E) с коэффициента-
коэффициентами (х2/?~-1 и (х./?~1 (ц2, и<^1, /?^>1). Роль дисперсии третьего порядка
становится существенной по мере уширения спектра импульса в про-
процессе фазовой самомодуляции.
4W0
Рис. 4.15. Самовоздеиствие фемтосекундных импульсов' а-—форма импульса
на р 13ЛИЧНЫХ расстояниях от начала световода; б — зависимость текущей час-
частоты от времени; / — z/Z.HJI=0,4, 2—1,2, 3—2,0 [35]
Детальная картина самовоздействия при различных сочетаниях
возмущающих факторов была выявлена в численных экспериментах
[36—381. Некоторые иллюстрации, относящиеся к случаю, когда до-
доминирующую роль играет нелинейная дисперсия групповой скорости
((Ха-^-О, (Хх-^О), представлены на рис. 4.15. На расстоянии z<LHJI не-
нелинейная дисперсия групповой скорости приводит к увеличению груп-
группового запаздывания вершины импульса и, следовательно, к укруче-
нию его спада. Дальнейшее распространение импульса сопровожда-
сопровождается уплощением его вершины и нарастанием скорости частотной моду-
модуляции: на фронте импульса скорость свипирования частоты уменьша-
уменьшается, а на хвосте увеличивается. Влияние этого процесса на спектр
191
импульса иллюстрирует рис. 4.16а. Спектр становится несимметрич-
несимметричным: у него появляется «крыло» в области высоких частот, несколько
возрастает интенсивность спектральных компонент в ближней низко-
низкочастотной области.
Влияние указанных процессов на достижимую в квадратичном комп-
компрессоре степень сжатия иллюстрирует рис. 4.166, на котором изображе-
изображена зависимость S от длины световода, выраженной в единицах £ил при
фиксированном параметре нелинейности R и различных значениях ц.
Видно, что по мере увеличения ц происходит уменьшение степени
s(a>)
1 <■
-г -1
Рис. 4.16. Самовоздействие фемтосекундных импульсов: а — трансформация
спектра с расстоянием; б — зависимость степени сжатия от приведенной длины
световода г//,Нл ПРИ различных значениях параметра ц [35]
сжатия и смещение точки оптимальной компрессии в область больших
длин световода. В отличие от нелинейной дисперсии групповой скоро-
скорости, инерционность нелинейного отклика приводит к укручению фрон-
фронта импульса и появлению «крыла» в низкочастотной области спектра
[37]. Поэтому совместное проявление нелинейной дисперсии группо-
групповой скорости и инерционности б/г носит характер конкуренции.
Совместный учет всех возмущающих членов позволяет интерпрети-
интерпретировать ряд особенностей компрессии фемтосекундных импульсов,
отмеченных в экспериментальных исследованиях [39, 40]: несимметрич-
несимметричность спектров, их сверхлинейное уширение с ростом входной мощности,
нарушение линейности частотной модуляции, насыщение степени сжа-
сжатия при увеличении R. Компенсация квадратичной добавки к линей-
линейной частотной модуляции с помощью комбинированного решеточно-
призменного компрессора позволила авторам [42] уменьшить длитель-
длительность импульса с 10 до 6 фс
§ 4.8. Схемы компрессии с использованием
трехчастотного взаимодействия
Волоконно-оптическая компрессия является эффективным спосо-
способом получения импульсов предельно малой длительности в видимом
и ближнем ИК диапазонах. Однако энергия на выходе этих систем
обычно не превышает нескольких наноджоулей, поэтому в ряде при-
192
ложений возникает необходимость в их усилении (§ 6.5), что сопряжено
с техническими трудностями. В этом параграфе мы хотим привлечь
внимание к новым возможностям усиления и управления частотной
Рис. 4.17. Схема экспериментальной установки по параметрическому усилению
частотно-модулированных импульсов: 1 — лазер на фосфатном стекле с пассив-
пассивной синхронизацией мод, 2 — удвоитель частоты, 3 — параметрический усили-
усилитель на кристалле CDA, 4 — одномодовый волоконный световод, 5 — динами-
динамический интерферометр, 6 — компрессор, 7 — измеритель длительности [43]
модуляцией в средах с квадратичной нелинейностью [43]. Работы пос-
последнего времени показали, что использование трехчастотных взаимо-
взаимодействий весьма перспективно для генерации перестраиваемых в
широком частотном диапазо-
диапазоне длин волн фемтосекунд-
ных импульсов большой мощ-
мощности.
Начнем с рассмотрения
экспериментов по параметри-
параметрическому усилению частотно-
модулированных импульсов и
обращению знака частотной
модуляции [43, 44]. Схема экс-
экспериментальной установки
представлена на рис. 4.17.
Одиночный импульс накачки
с длительностью т1/2=5пс,
энергией WHm3 мДж, длиной
волны излучения Х= 1,054 мкм
генерировался в лазере на
фосфатном стекле с пассивной
синхронизацией мод. Затем он
вводился (с эффективностью
40 %) в короткий отрезок од-
номодового_волоконного све- рис 4Jg Динамические интерферограм-
ТОВОДЭ (L— 1,0 м). о резуль- мы. а — на выходе световода; б —сигналь-
—сигнальный импульс; в —■ холостой импульс на
выходе усилителя [43]
555 ем'1
тате фазовой самомодуляции
его спектр уширялся в сред-
среднем до 400 см. В качестве
активной среды для реализации параметрического усиления был
выбран кристалл CDA, обладающий 90-градусным синхронизмом и
весьма широкой полосой усиления
взаимодействие е—оо).
7 С. А. Ахманов н др.
Avv«2000 см (длина 4 см,
193
Сигнальный импульс с выхода волоконного световода и импульс
накачки (Хн=0,527 мкм — вторая гармоника лазера на КНФС) че-
через согласующие линии оптической задержки синхронно вводились в
кристалл CDA. Коэффициент усиления по энергии достигал 104. Им-
Импульс накачки имел меньшую длительность, чем сигнальный, поэтому
на выходе кристалла диапазон сканирования частоты уменьшался до
200 см.
Исследование частотной модуляции сигнального и холостого им-
импульсов проводилось методом динамической интерферометрии. На
рис. 4.18 приведены динамические интерферограммы на выходе воло-
волоконного световода (а) и на выходе параметрического усилителя (б —
сигнальный импульс, в — холостой). Область свободной дисперсии
интерферометра Майкельсона составляла 555 см. Измеряя наклон
полос, можно вычислить скорости изменения частоты со временем
ан, ас и ах. Знак наклона полос обусловлен знаком частотной модуля-
модуляции. Как видно из рисунка, полосы на частотах сос и сох наклонены в
разные стороны, т. е. фазовые характеристики сигнальной и холостой
волн являются сопряженными, что непосредственно следует из урав-
уравнений параметрического усиления, записанных в приближении задан-
заданного поля накачки (§ 3.3). При компрессии параметрически усиленных
частотно-модулированных импульсов получено сжатие до 280 фс, пи-
пиковая мощность сжатых импульсов достигала 109 Вт.
Широкополосное параметрическое усиление позволяет во многих
случаях увеличить энергию ЧМ импульсов на пять — шесть порядков
без искажения их частотных характеристик. Кроме того, сопутствую-
сопутствующая генерация фазосопряженного импульса на холостой длине волны
позволяет реализовать обращение частотной модуляции в пикосекунд-
ном диапазоне длительностей. По существу, мы имеем дело с времен-
временным аналогом обращения волнового фронта. Обращение частотной мо-
модуляции, в частности, дает возможность использовать в качестве ком-
компрессоров среды с нормальной дисперсией групповой скорости.
Вторая группа экспериментов [45] относится к преобразованию час-
частотной модуляции импульсов в параметрических генераторах све-
света с синхронной накачкой. Основным их итогом явилась разработка
нового метода управления скоростью частотной модуляции. Экспери-
Экспериментально показано, что скорость изменения частоты импульсов па-
параметрической генерации ас или ах может существенно превышать
скорость изменения частоты импульсов накачки ан> причем коэффи-
коэффициент преобразования величин ас и ах определяется только дисперси-
дисперсионными характеристиками кристалла (см. также § 3.3).
Параметрическое усиление при наличии частотной модуляции
импульсов накачки эквивалентно усилению со сдвигом частотной по-
полосы во времени. Действительно, если частота накачки меняется со
временем по линейному закону
«н = юно—ант. D.8.1)
где время т нормировано на длительность импульса накачки, то цент-
центральные частоты в максимуме линий усиления сигнальной сос и
194
холостой сох волн изменяются следующим образом:
«с^^со — аст, wx = coxo —ахт. D.8.2)
Выражения для скоростей частотной модуляции имеют вид
ac=---qcOb, ax = qxan, qc + qx=l. D.8.3)
Величину коэффициента преобразования частотной модуляции qc и,
следовательно, <?х=1—qc вблизи вырожденного режима оо—е взаимо-
взаимодействия можно оценить по формуле
а = А"н-Х /л я л\
а = \
Чс ' (о„й2((ос)A-2(ох/(о„) ' ^'°-*'
где Анр,1х=1/«н—\1их — расстройка групповых скоростей.
В экспериментах [45] импульс накачки к концу цуга генерации
имел частотную модуляцию со скоростью 8 см-1/пс (^,„=0,534 мкм).
Сигнальный (Хс=1,02 мкм) и холостой (Хх=1,12 мкм) импульсы с дли-
длительностью t1/2«3,5 пс поступали в среду с нормальной дисперсией
групповой скорости (кристалл KRS—6). На выходе компрессора сиг-
сигнальный импульс, обладающий положительной частотной модуляцией,
уширялся до 13 пс, а холостой, с отрицательной частотной модуляцией,
сжимался до 0,5 пс.
Таким образом, исследование преобразования частотных харак-
характеристик накачки в процессе параметрической генерации света при-
привело к созданию нового метода управления скоростью частотной мо-
модуляции сверхкоротких световых импульсов.
7*
ГЛАВА 5
ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ. ПИКО-
И ФЕМТОСЕКУНДНЫЕ ИМПУЛЬСЫ
В ОПТИЧЕСКИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Дисперсия и нелинейность изменяют огибающую светового пакета, причем
модификация импульса тем существеннее, чем меньше его длительность. В пре-
предыдущих главах мы столкнулись с разнообразными примерами, в которых эти
изменения носят дестабилизирующий характер: модуляционная неустойчивость,
расплывание импульсов, разбиение на субимпульсы.
Особый интерес представляет ситуация, когда баланс дисперсии и нелиней-
нелинейности приводит к формированию устойчивых импульсов, сохраняющих практи-
практически неизменную форму при распространении на дистанции, превышающие
собственную длину импульса /=ст0 в 10е—107 раз. Такие импульсы с полным ос-
основанием называют оптическими солитонами *). Первые корректные экспери-
эксперименты, в которых наблюдались оптические солитоны, были выполнены в 1980 г.
Это стало возможным благодаря совершенствованию лазерных источников
спектрально-ограниченных пикосекундных импульсов, перестраиваемых в бли-
ближнем ИК диапазоне, и созданию одномодовых волоконных световодов с потерями
в десятые доли децибелла на километр.
Последующие эксперименты, выполненные в тщательно контролируемых
условиях, позволили выявить ряд особенностей формирования, распростране-
распространения и взаимодействия солитонов при наличии многочисленных возмущающих
факторов и указать перспективы разнообразных технических приложений. Сей-
Сейчас отчетливо продемонстрированы возможности применения солитонных эф-
эффектов для передачи информации по волоконным световодам, формирования и
генерации фемтосекундных импульсов, исследования быстропротекающих про-
процессов.
§ 5.1. Формирование оптических солитонов — конкуренция
и баланс эффектов нелинейного сжатия
и дисперсионного расплывания
Мы начинаем с простого качественного анализа, поясняющего фи-
физику формирования стационарных уединенных импульсов, основы-
*) Принципиальная возможность наблюдения оптических солитонов в во-
волоконных световодах была предсказана Хасегавой и Таппертом [Ни подтверж-
подтверждена тщательно выполненными экспериментами Молленауэра, Оголена и Гор-
Гордона [2], дальнейший прогресс в этой области представлен в обзорах [3—6].
196
ваясь на результатах гл. 2. В спектральном диапазоне, соответствую-
соответствующем аномальной дисперсии групповой скорости (fe2<0, Я>1,3 мкм),
совместное проявление дисперсии и нелинейности имеет характер кон-
конкуренции и при определенном уровне входной мощности приводит к
стабилизации длительности импульса. Поясним это утверждение про-
простыми оценками.
Спектрально-ограниченный импульс, прошедший расстояние z по
волоконному световоду, приобретает частотную модуляцию, скорость
которой ад(г) зависит от расстояния следующим образом A.3.4):
a,(z) = k^(z* + Ll)-iz. E.1.1)
Поскольку &2"<0, то текущая частота уменьшается от фронта импульса
к хвосту. При г<^.Ьл скорость частотной модуляции пропорциональна
расстоянию,
aa{z) = k^L^z. E.1.2)
Процесс же фазовой самомодуляции приводит к нарастанию частоты
от фронта к хвосту,
- д2/
«*с (г) = — Mi gFzx M^e**^*2. E.1.3)
Полагая, что оба процесса компенсируют друг друга, т. е. ад+афс=
=0 и, следовательно, импульс остается спектрально-ограниченным,
мы приходим к условию баланса
М^о/5эФф = |^|/т2о, E.1.4)
в котором учтено, что /Эфф=Ро^эфф, LK=-f0/\k2\. Из D) следует оцен-
оценка для критической мощности,
,)- E-1.5)
Аналогичный результат получается и из условия неизменности
среднеквадратичной длительности импульса (§ 4.5). Учитывая знак
ki, запишем уравнение для среднеквадратичной длительности
^<^t2iJ;*> = 2<^>-/?<(^7>, E.1.6)
где R—LJL^, угловые скобки обозначают усреднение по т. В этом
уравнении первый член в правой части можно интерпретировать как
дисперсионную «силу», приводящую к увеличению длительности им-
импульса, а второй — как нелинейную «силу», уравновешивающую дис-
дисперсионное расплывание.
Задавшись конкретной формой импульса, например \|)=sech(T),
вычислив правую часть F) при £=0 и приравняв ее нулю, мы приходим
к условию баланса
^^-1д/^ф = т20|^|-1М2Ркр5э-ф1ф= 1. E.1.7)
Из G) видно, что для критической мощности вновь следует формула E).
Подставляя в E) типичные значения параметров (Х=1,5 мкм, D =
197
= 15 пс/(нм-км), 5эфф=100 мкм2, т„=3—4 пс, п2=3,2-10-1в см2/Вт),
получаем />кр«1 Вт.
Механизм стабилизации солитона можно проиллюстрировать и
на спектральном языке. Дисперсия приводит к появлению у спект-
спектральных компонент на частоте й=со—соо линейного по пройденному
расстоянию фазового набега, пропорционального Q2. Нелинейность
показателя преломления компенсирует разбаланс фаз различных спект-
спектральных компонент импульса.
Проведенное рассмотрение относится к интегральным характерис-
характеристикам импульса, оно приводит к реалистическим оценкам критической
мощности, но не дает ответа на важные вопросы об устойчивости балан-
баланса дисперсии и нелинейности, о форме стационарного импульса и о
том, как взаимодействуют стационарные импульсы. Ниже подробно
обсуждаются односолитонные и многосолитонные решения нелиней-
нелинейного уравнения Шредингера, описывающего процесс распространения
пикосекундного импульса по одномодовому световоду. Анализ влияния
возмущающих факторов (оптические потери, дисперсия высших по-
порядков, конкурирующие нелинейные процессы) мы отложим до §5.5.
§ 5.2. Односолитонные и многосолитонные решения
нелинейного уравнения Шредингера
Пренебрегая слагаемым, учитывающим потери, и произведя пере-
перенормировку q(x, Z)=--VRty(%, Q, запишем D.3.1) при &2<0 в удобном
для математического анализа виде:
*% = Т% + \Я\'Я- E-2.1)
В § 2.6 получено одно из солитонных решений нелинейного уравнения
Шредингера (НЛШ), <7=sech(t) exp(—11,12). Обобщим его, воспользо-
воспользовавшись непосредственно проверяемой инвариантностью A) относитель-
относительно масштабных преобразований:
q' = nq, £' = £/х», г'=г/х. E.2.2)
Откуда следует, что
q (г, £) = х sech (хт) ехр (— Ы%/2) E.2.3)
также является решением A); параметр х, определяющий амплитуду
солитона и его длительность, часто называют форм-фактором. Уравне-
Уравнение A) инвариантно относительно преобразования Галилея
x' = x-Vl, £' = £, E-2.4)
что позволяет провести дальнейшее обобщение и представить C) в
виде
q(x, Q=x sech [x(t—VQ] ехр l—iVx+i(V2—x%/2]. E.2.5)
Легко показать, что решение E), взятое с произвольной постоянной
фазой фо и начальной координатой центра импульса гц,
также удовлетворяет A).
Другим весьма важным классом аналитически вычисляемых ре-
решений НЛШ является связанное состояние N солитонов, соответствую-
соответствующее начальным условиям
q(x, 0)=</0sech(T), E.2.6)
где qo=N, N — целое. Здесь мы ограничимся лишь краткой сводкой
результатов анализа N-солитонных решений методами обратной зада-
задачи рассеяния [7] (см. также § 5.8). Показано, что АЛсолитонный им-
импульс представляет собой нелинейную суперпозицию солитонов с форм-
факторами х„= Bп—1), гдея=1, 2, ..., N. Для N=2 решение A) име-
имеет вид
д (х 1\ - 1 схр ( it!2\ch Cт) + 3 ехр (~4'g) ch (T) ^5 2 7^
т) -f- 3 cos D£)'
Существенно, что \q2\ изменяется по £, периодически с периодом £о=
=я/2 (в размерных переменных zo=nLJ2). При N^2 соответствующее
решение может быть найдено для произвольных т, £ из системы N ли-
линейных уравнений (§5.8).
Рис. 5.1. Самосжатие УУ-солитонного импульса при N=4. На вставке приведена
зависимость минимальной длительности импульса от д0 (сплошная линия — тео-
теория, точки — эксперимент [10])
Важная особенность рассматриваемого класса граничных условий
F) состоит в том, что при <7о>1 начальный этап распространения спект-
спектрально-ограниченного импульса соответствует самосжатию. Это об-
обстоятельство указывает на возможность его эффективной компрессии.
Иллюстрацией здесь может служить преобразование огибающей
jV-солитонного импульса, изображенное на рис. ЬЛ при jV=4. В случае
малых возмущений амплитуды вида qo=N+Z при |||<;1/2 асимптоти-
199
ческое поведение импульса] определяется его солитонной составляю-
составляющей *с относительной погрешностью O[|/(Af+|J] [7].
Рис. 5.2 иллюстрирует процесс формирования солитона из импульса
q{x, O)=gosech(T) при дл=1+%, где |||<1/2 —возмущение начальной
амплитуды. Видно, как после ряда колебаний амплитуда импульса
выходит на стационарное значение х=1+2£. При |<0 процесс начи-
начинается с уширения импульса, при £>0 — с самосжатия.
0,5 t
20 С,
Рис. 5.2. Динамика формирования односолитонного импульса при различных
начальных амплитудах q0. Изображена зависимость пиковой амплитуды от при-
приведенного расстояния £=z/La и указано ее стационарное значение [7]
Солитонное решение достаточно быстро устанавливается в том
случае, когда форма начального импульса сильно отличается от ги-
гиперболического секанса. Рис. 5.3 показывает, как трансформируется
с расстоянием импульс с супергауссовской входной огибающей <?(т, 0) =
=<70ехр(—т6/2) при qo — V2. Видно, что после ряда затухающих ос-
осцилляции амплитуды устанавливается солитонное решение, несолитон-
ная составляющая убывает по амплитуде как ^-^при £->-оо.
Принципиальную роль при анализе решений НЛШ играют интегра-
интегралы движения [8]. Приведем первые три из бесконечной последователь-
последовательности интегралов:
-к.с,
E.2.8)
J. = -
= - l\w^~{qqr\
dr.
С математической точки зрения сохранение У, связано с инвариант-
инвариантностью НЛШ относительно преобразования q~^-qeilf<>, J2 — с трансля-
трансляционной инвариантностью, У3 — с инвариантностью относительно
сдвига £-»-£—£0. Отметим еще, что интеграл Ж——Js является гамиль-
гамильтонианом для уравнения A). Наличие бесконечного числа интегралов
200
сохранения существенно связано с интегрируемостью НЛШ методом
обратной задачи рассеяния.
Если ввести спектральную амплитуду q{Q), Q = co—соо и перейти в
(8) к спектральному представлению, то легко убедиться, что сохране-
сохранение первых двух интегралов"движения приводит к соотношениям?
5 1 q (Q) |2 dQ = const, J Q | q (Q) jfiQ = const,
5.2.9)
выражающим условие постоянства моментов спектрального распре-
распределения плотности мощности. В рамках квантовых представлений
$ =0
-1 0 1 ч
Рис. 5.3. Формирование солитона из супергауссовского импульса
величина |?(^,)|2 пропорциональна числу фотонов N( с частотой
(йг=й,-+соо. Заменяя в (9) интегралы суммами, получаем
2^,= const, 2coi'W<- = const. E.2.10)
t i
Первое из равенств A0) выражает сохранение общего числа фотонов,
а второе — их суммарной энергии или пропорционального ей полного
импульса поля. Для более детального знакомства со спектральным
подходом мы отсылаем читателя к [9].
В заключение упомянем об еще одном принципиально важном свой-
свойстве шредингеровских солитонов — их устойчивости при столкно-
столкновениях. Если при £-»—-оо два солитона с форм-факторами хь х2 име-
201
ют скорости Vi, V2, то после столкновения при £-»--[-оо их параметры
хи у.2 и Vu V2 останутся неизменными, варьируются лишь фазы cpOi,
ф02 и координаты максимумов хои т02. При взаимодействии нескольких
солитонов коллективные эффекты отсутствуют: полный сдвиг парамет-
параметров солитона ф0,-, т0 ,■ представляется алгебраической суммой парных
сдвигов [8].
В качестве иллюстрации на рис. 5.4 приведены результаты числен-
численного моделирования столкновений шредингеровских солитонов.
Рис. 5.46 соответствует синфазным солитонам с начальным условием
<7@, t)=sech(T—ti)exp [—iVx(x—ti)+icpiH-
+ sech (т—t.) exp [—iV2(x~т2)+нр2], E.2.11)
гдет! = —3, т2=3, Vi=\, V2=—1, ф1=ф2=0. Солитоны проходят друг
сквозь друга, взаимодействие имеет характер «притяжения». Рис. 5.4а
-4-3-2-101234?
-4-3-2-1 О I Z 3 4 г
Рис. 5.4. Столкновение шредингеровских солитонов: а — противофазные; б —
синфазные солитоны
изображает картину столкновения противофазных солитонов, когда в
A1) ф1=0, ф2=п. Взаимодействие имеет характер «отталкивания»,
поэтому, сблизившись на минимальное расстояние, определяемое на-
начальными скоростями Vx, Vi, импульсы расходятся.
§ 5.3. Экспериментальная демонстрация
оптических солитонов
Экспериментальное исследование закономерностей формирования и
распространения односолитонных и многосолитонных пикосекундных
импульсов впервые было осуществлено в работе Молленауэра, Оголе-
Оголена и Гордона [2]. В этих опытах с помощью тщательно сформирован-
сформированных спектрально-ограниченных пикосекундных импульсов в одномо-
202
довом волоконном световоде удалось четко реализовать одно-, двух-,
трех- и четырехсолитонные импульсы.
Источником импульсов являлся синхронно-накачиваемый лазер
на Ft центрах окраски в кристалле NaCl (область перестройки 1,35—
1,75 мкм). Источник работал при температуре 70 К, причем для окра-
окрашивания кристалла использовался электронный пучок. Синхронная
накачка осуществлялась лазером на гранате с неодимом. По результа-
результатам измерений спектра генерации и корреляционной функции интен-
интенсивности было установлено, что лазер генерировал импульсы длитель-
длительностью т1/2=6 пс. Значение произведения т1/2 • Д/=0,18 дает основания
-10 0 70 пс
Ро=1,2 Вт
5,0
11,4
22,5
Ю\\
40
-2
Рис. 5.5. Самовоздействие Af-солитонных импульсов при N=l, 2, 3 и 4 (слева
направо): а — экспериментальные профили корреляционных функций интен-
интенсивности на выходе световода [2] (указаны пиковые значения входной мощности);
б — расчетные профили интенсивности
считать, что импульсы были спектрально-ограниченными, а по форме
занимали промежуточное положение между импульсами с огибающей
вида sech (г) (t1/2A/=0,315) и затухающей экспонентой (т1/аД/=0,11).
Излучение лазера вводилось через микрообъектив в одномодовый
волоконный световод со ступенчатым профилем показателя преломле-
преломления, изготовленный из плавленного кварца с легирующими добавками
(диаметр сердцевины 9,3 мкм, длина L—700 м, уровень потерь около
1 дБ/км для Х=1,55 мкм). Пиковая мощность импульса в световоде
Ро варьировалась в диапазоне от 0,3 до 22,5 Вт.
Экспериментальные профили корреляционных функций интенсив-
интенсивности для различных значений Ро приведены на рис. 5.5. При Ро—
=0,3 Вт уширение импульса соответствовало линейному режиму и по
величине находилось в согласии с расчетным значением. По мере рос-
203
та Ро длительность выходного импульса уменьшалась и для Ро= 1,2 Вт
совпадала с начальной, т. е. происходила полная компенсация дис-
дисперсионного расплывания нелинейным самосжатием. Этот случай со-
соответствует односолитонному импульсу. Затем наблюдалось сжатие
выходного импульса (до 2 пс при Ро=5 Вт), что соответствует двух-
солитонному решению НЛШ. При Ро=11,4 Вт на профиле корреля-
корреляционной функции интенсивности появлялись два побочных максиму-
максимума. Расстояние L = 700 м соответствует безразмерной длине £=я/4,
когда связанное состояние двух солитонов формирует «двугорбую»
структуру и корреляционная функция имеет три максимума (рис. 5.5).
И наконец, при мощности Р0=22,5 Вт формируется связанное состоя-
состояние четырех солитонов: импульс имеет три характерных максимума,
корреляционная функция — пять. Экспериментальные значения мощ-
мощности отличаются от теоретически предсказанных в среднем на 20 %.
Успешные эксперименты с оптическими солитонами, результаты
которых не только качественно, но и количественно согласуются с
теорией, стимулировали развитие новых направлений в эксперимен-
экспериментальных и теоретических исследованиях. Перечислим основные из
них: 1) управление огибающей и спектром пикосекундных импульсов,
включая их сжатие с переходом в фемтосекундный диапазон; 2) изу-
изучение распространения солитонов на сверхдальние расстояния с ком-
компенсацией потерь; 3) создание солитонных лазеров; 4) генерация в
световодах импульсных последовательностей с предельно высокой час-
частотой повторения; 5) нелинейно-оптическая фильтрация. В после-
последующих параграфах мы обсудим основные результаты, полученные по
этим направлениям.
§ 5.4. Самосжатие мощных пикосекундных импульсов
В этом параграфе мы обратимся к задачам использования солитон-
солитонных эффектов для получения импульсов предельно малой длительно-
длительности. Наиболее естественный путь — это использование самосжатия
Af-солитонного импульса в волоконном световоде. По существу, речь
идет о временном аналоге самофокусировки светового пучка.
Экспериментальная реализация самосжатия требует решения прак-
практически важных вопросов об оптимальной длине волоконного светово-
световода и о предельно достижимой степени сжатия. Простые оценки этих
величин получаются из соображений, аналогичных приведенным в
§ 4.4. Исходя из величины нелинейного спектрального уширения Дсол;
«toVL,}, и условия A£j«*z&2AcD=2"r0, легко показать, что хвост им-
импульса, где первоначально «локализованы» высокочастотные спектраль-
спектральные компоненты, догоняет низкочастотный фронт на расстоянии
LonT~LHJI. Таким образом, длину световода следует выбирать порядка
нелинейной длины. Для оценки степени сжатия 5 воспользуемся тем,
что 5«Асо/Асо0. Если импульс на входе в среду был спектрально-ог-
спектрально-ограниченным, то
5 ~ 1НЛ/1Ф = т0 F„п2/эфф/| К 1I/2 = N, E.4.1)
204
т. е. степень сжатия пропорциональна числу солитонов, содержащих-
содержащихся в исходном импульсе.
Разумеется, полная информация о зависимости 5 и LonT от харак-
характеристик излучения и параметров световода может быть получена толь-
только в численном эксперименте. Авторы [10] исследовали зависимость
оптимальной длины световода, степени сжатия и доли энергии, заклю-
заключенной в узком центральном пике (рис. 5.1 и 5.6), от амплитуды импуль-
импульса q0 для случая q(r, Q)=qQsech(x).
При возрастании q0 от 2 до 15 оптимальная длина световода моно-
монотонно уменьшалась от 1,5 Ь„л до 0,6 £нл с тенденцией к насыщению.
В указанном интервале изменения qg степень сжатия удовлетворяет
приближенному соотношению
S=C(qo-\), E.4.2)
где коэффициент С«4,6. Погрешность этой формулы не превышает
10 % при 2<С<7о<15. Отметим, что доля энергии, заключенной в узком
центральном пике, монотонно уменьшается
с ростом q0, приqo= 15 отношение AW/W0?a
«0,1.
Результаты экспериментального иссле-
исследования самосжатия изложены в [10].
Спектрально-ограниченный импульс синх-
синхронно-накачиваемого лазера на центрах
окраски (А=1,5 мкм, т1/2 = 7 пс) вводился
в волоконный световод длиной L=320 м.
При пиковой мощности излучения Ро= Рис. 5.6. Расчетная зави-
= 200 Вт, что соответствует Af= 13, длитель- симость оптимальной длины
ность импульса на выходе световода умень- световода (в единицах £нл)
шалась до 310 фс. В более коротком свето- ^пуТсТ" амплитуды
воде, L=100m, и при больших мощностях
была реализована степень сжатия S=27 и получены импульсы с дли-
длительностью 260 фс.
Применительно к импульсам с начальной длительностью в десятки
пикосекунд более перспективной представляется каскадная схема,
предложенная и проанализированная в [11, 12]. Первый отрезок све-
световода (L1<^LHJ) используется в качестве фазового модулятора (k£>0).
На выходе решеточного компрессора формируются импульсы с дли-
длительностью в единицы пикосекунд. Их последующее самосжатие мож-
можно реализовать в сравнительно коротком отрезке световода с &2<0.
Уникальные возможности для сжатия открываются в спектральном
диапазоне вблизи точки нулевой дисперсии, Лж1,3 мкм, поскольку
здесь вследствие малости дисперсии (|/г2|->0) критическая мощность
образования солитона Ркр мала (см. E.1.5)). Для этого спектрального
диапазона созданы световоды как с нормальной, так и с аномальной
дисперсией групповой скорости.
Соответствующий эксперимент описан в [13]. В этих опытах спект-
спектрально-ограниченные импульсы лазера на гранате с неодимом (к=
= 1,319 мкм, Ti/2= 100 пс) вводятся в одномодовый световод (точка нуле-
нулевой дисперсии Я^р=1,59 мкм, длина Lt=2 км) и сжимаются в решеточ-
205
ном компрессоре до длительности в 2 пс. Результирующий импульс с
пиковой мощностью Ро»90 Вт поступает во второй отрезок световода
(Якр = 1,275 мкм, L2=40 м) и сжимается в солитонном режиме до дли-
длительности в 90 фс, что соответствует примерно 20 оптическим периодам.
Расчеты показали, что в эксперименте [13] во втором каскаде реализо-
реализовано самосжатие /V-солитонного импульса с N=7. Авторы оценили
влияние кубичной дисперсии и дисперсии нелинейности на оптималь-
оптимальную длину световода и достижимую степень сжатия. Установлено, что
эти факторы практически не влияют на солитонное сжатие.
Заметим, что в рассматриваемом спектральном диапазоне можно
создавать чисто волоконные схемы сжатия (без промежуточного ре-
решеточного компрессора). Действительно, в первом отрезке световода
(нормальная дисперсия) импульс приобретает положительную частот-
частотную модуляцию (а>0). Во втором отрезке световода (аномальная дис-
дисперсия) такой импульс эффективно сжимается за счет совместного про-
проявления дисперсионных и нелинейных эффектов. Результаты теорети-
теоретического анализа оптимальных режимов работы таких схем приведены в
П4], экспериментальные данные в [15].
Большой практический интерес представляет вопрос о предельно
достижимой степени солитонного самосжатия. При начальной длитель-
длительности ./V-солитонного (А^1) импульса в единицы и десятки пикосекунд
основным ограничивающим фактором становится модуляционная не-
неустойчивость (§ 2.8), приводящая к распаду импульса до точки макси-
максимального самосжатия. Так, например, при N=16 и уровне шума 1 %
распад происходит примерно на половине длины самосжатия. При са-
самофокусировке пучков это соответствует режиму, когда мелкомас-
мелкомасштабная самофокусировка начинает доминировать над крупномас-
крупномасштабной.
В процессе самосжатия импульса фемтосекундной длительности
существенную роль играет нелинейная дисперсия групповой скорости,
инерционность нелинейного отклика и кубичная дисперсия (§4.7).
Влияние указанных факторов на предельную степень компрессии и
структуру поля в «фокусе» проанализировано в [161.
В последнее время в физике и технике формирования сверхкорот-
сверхкоротких импульсов ближнего ИК диапазона наметился еще один перспек-
перспективный подход — сжатие с комбинационным преобразованием часто-
частоты. Речь идет о практическом использовании рассмотренного в § 3.6
преобразования N -солитонного импульса накачки в мощный односоли-
тонный импульс на стоксовой частоте (см. также [18]). Важную роль
в этом процессе играет полная или частичная компенсация расстройки
групповых скоростей на частотах сон и сос. Такую компенсацию можно
осуществить за счет волноводной дисперсии (в маломодовом световоде)
или за счет симметричного выбора сон и сос относительно частоты нуле-
нулевой дисперсии в одномодовом световоде.
Методами математического моделирования в [18] показано, что вы-
выбором параметров световода и импульса можно реализовать ситуацию,
когда интенсивный энергообмен между волнами происходит в области
максимального самосжатия импульса накачки. Взаимодействие волн
через нелинейную добавку к показателю преломления (кросс-моду-
206
ляция) способствует сжатию импульсов и ускоряет энергообмен. За-
Затем истощение накачки создает условия, при которых преобладающим
процессом становится самовоздействие стоксова импульса. Результа-
Результатом нелинейного преобразования является солитон на стоксовой час-
частоте с энергией, практически равной энергии многосолитонного им-
импульса накачки. Так, например, импульс накачки qH=N sech(t)
при ./V=3 преобразуется в стоксов солитон qc=K sech(xt) с форм-фак-
форм-фактором х=7. Рассмотрены и другие возможности управления огибающей
стоксова импульса: генерация связанных состояний ВКР солитонов
или последовательности импульсов на стоксовой частоте.
Авторами [19] экспериментально реализовано сжатие с комбина-
комбинационным преобразованием частоты импульсов в одномодовом светово-
световоде. В качестве источника использовался параметрический генератор
света (г1/2=30 пс, Х= 1,5—1,65 мкм). При мощности входного импульса
Р0=900 Вт на выходе световода длиной 250 м формировались импуль-
импульсы на стоксовой частоте длительностью 200 фс и мощностью 55 кВт
(стоксов сдвиг 55 см).
В [20] показана принципиальная возможность достижения высокой
степени сжатия в системе волоконный световод — усилитель. Сущест-
Существенно, что самосжатие в сочетании с усилением позволяет формировать
мощные моноимпульсы без пьедестала.
§ 5.5. Солитоны в линиях связи;
роль возмущающих факторов
В линейных системах волоконно-оптической связи предельная ско-
скорость передачи информации ограничивается, в основном, дисперсион-
дисперсионным расплыванием импульсов. Так, например, импульс с начальной
длительностью в 1 пс (Я= 1,5 мкм) уширяется вдвое при распростране-
распространении на расстояние 40—50 м. Использование пикосекундных оптических
солитонов позволяет преодолеть дисперсионные ограничения и повы-
повысить скорость передачи информации до 1012 бит/с. Выявление предель-
предельных возможностей солитонных систем связи и оптимальных режимов
передачи информации требует учета ряда возмущающих факторов, та-
таких, как оптические потери, дисперсия высших порядков, конкурирую-
конкурирующие нелинейные процессы, взаимодействие солитонов в импульсной по-
последовательности и т. д.
Подчеркнем, что роль нелинейных возмущающих факторов связа-
связана, в первую очередь, не с высокими напряженностями оптических
полей, как это имеет место при самосжатии многосолитонных импуль-
импульсов, а с большими длинами распространения, на которых накапливают-
накапливаются искажения формы импульса.
Математическая модель основывается на уравнении для комплекс-
комплексной амплитуды q(t,, т)
^Т^+\Ч\ШЧ-М^\ЧП^-^МЯ)-FЯ, E.5.1)
которое отличается от D.7.2) знаком перед дисперсионным членом;
параметры ц, ци ц2 совпадают с введенными в § 4.7. Проанализируем
вклады возмущающих членов в правой части A).
207
Оптические потери; компенсация за счет комбинационного усиле-
усиления. Минимальный уровень оптических потерь (при Я=1,55 мкм) сос-
составляет 0,2 дБ/км, поэтому для оценки их влияния на динамику соли-
тонного импульса можно воспользоваться методом возмущений. При
ее
наличии потерь энергия импульса W(L)= _\ |^|2с!т уменьшается с
расстоянием по экспоненциальному закону:
W(Q=Woe-W. E.5.2)
Если оптические потери на расстоянии порядка дисперсионной длины
малы, то амплитуда солитона х(£) будет уменьшаться, а его длитель-
длительность т(£)=х~! расти:
и=иое-»вЕ, г=-%0е*6к E.5.3)
Так, при уровне потерь 0,2 дБ/км длительность импульса увеличится
в 2,7 раза на расстоянии 20 км при начальной длительности то«Ю пс.
Рис. 5.7. Солитоны в погло-
поглощающей среде. Зависимость
среднеквадратичной длитель-
длительности импульса от расстояния
t~zlLa при различном уровне
потерь: сплошные линии —
N—2, штриховые — N= 1 [23]
Область применимости C) определяется неравенством б<^1, выражаю-
выражающим, по существу, условие адиабатичности «перестройки» солитона к
новому значению амплитуды х (£), соответствующему меньшей энергии
(более детальный анализ можно найти в [21]).
Вопрос о влиянии больших оптических потерь на динамику одно-
и Af-солитонных импульсов является более сложным. В этом случае
трансформацию профилей интенсивности можно определить методами
математического моделирования [22, 23]. На рис. 5.7 изображены
полученные авторами [23] зависимости среднего квадрата длительности
Л^-солитонного импульса (Af=2) от £ при различном уровне потерь 6.
Видно, что с ростом 5 наблюдается увеличение пространственного пе-
периода пульсаций <т2(£)> и увеличение глубины модуляции. В числен-
численных экспериментах [23] обнаружен также распад связанного состояния
солитонов на два разбегающихся импульса. щ,
Уширение импульсов, обусловленное оптическими потерями, мо-
может быть сведено к минимуму и даже полностью устранено за счет
208
использования процесса вынужденного комбинационного усиления
[24]. В приближении заданного поля накачки мощность сгоксовой вол-
волны экспоненциально растет с расстоянием,
Рс (г) = Рс @) exp (£c/y/SBW), E.5.4)
где коэффициент усиления gc имеет порядок 10~и см/Вт при сдвиге
частот (Vj,—vc)«440 см, соответствующем центру линии усиления.
Эффективная площадь S9i4 в D) определяется интегралом перекры-
перекрытия <£/Ц> <U\yl<,UlUl>, а в одномодовом световоде мало отличается от
геометрической площади сердцевины ST=na\. Заметим, что затухание
накачки можно учесть заменой расстояния z на эффективную дли-
длину [25]
L^ = (\-e-^)lb,. E.5.5)
Возможность компенсации оптических потерь за счет комбинацион-
комбинационного усиления убедительно показана в недавних экспериментах [24].
Спектрально-ограниченные импульсы лазера на центрах окраски
К адтокоррелятору
» Импульсы лазера
JX. we Ц(> .
1,56мкм, Юпс
ВС !0 км
0
Непрерыдиая накач-
;\ш лазером на ЦО
ДВулучелремомляющиц
'делитель пучка
Рис. 5.8. Схема компенсации потерь при распространении солитонов в длинных
световодах за счет вынужденного комбинационного усиления; на вставке —
профили корреляционных функций интенсивности: / — входной импульс,
2 — выходной импульс при наличии потерь, 3 — выходной импульс пр и компен-
компенсации потерь [24]
(ЦО) (^с=1,56 мкм, т1/2=10 пс) вводились в одномодовый волоконный
световод длиной L = 10 км. Непрерывное излучение накачки (^н=
= 1,46 мкм, Рн=125мВт) вводилось с выходного конца световода. В от-
отсутствие накачки длительность выходного импульса возрастала приб-
приблизительно в 1,5 раза (рис. 5.8), однако использование комбинацион-
комбинационного усиления позволило полностью скомпенсировать уширение им-
импульса (штриховая линия на рис. 5.8).
В [26] численно исследован процесс передачи солитонных последова-
последовательностей на сверхдальние расстояния с периодически расположен-
расположенными участками усиления. Показано, что при оптимальном выборе
параметров можно достичь скорости передачи информации 10 Гбит/с
209
на расстоянии до 103 км. Возможности нелинейной стабилизации дли-
длительности импульсов на сравнительно небольших расстояниях рас-
рассмотрены в [27].
Влияние дисперсии высших порядков. Учет кубичных членов в
разложении &(со—соо) приводит к появлению в правой части A) сла-
слагаемого (t|V6)dydr3, где Hi=kJ (ro\k2\) характеризует относительный
вклад дисперсии третьего порядка. В области максимальной прозрач-
прозрачности кварцевых стекол (А,«1,5 мкм) этот параметр мал (ц^яЛО
при т„~ 1 пс, см. § 1.3) и дисперсионные эффекты третьего порядка оце-
оцениваются с помощью теории возмущений. Авторы [21] показали, что
в этом случае возникают незначительные искажения огибающей и до-
добавка к групповой скорости, имеющая порядок O(fXi). Качественные
а-0,5
/
Л
/v
1
i
0,5
-г -7
о
-1
о
1
Рис. 5.9. Самовоздействие
сверхкороткого импульса в
световоде с кубичной дисперс-
дисперсией при Р„=Ркр [28]
Рис. 5.10. Распад сверхкороткого
импульса в среде с кубичной дис-
дисперсией при существенном превы-
превышении мощности над критичес-
кой, Р0=ЮРкр [28]
результаты приближенного анализа, выполненного в [21], подтверж-
подтверждаются данными численных экспериментов [28] даже при f*x—• 1. Ти-
Типичные профили интенсивности приведены на рис. 5.9 при различных
значениях £ (^=1, q{x, 0)= sech(t)).
По мере приближения длины волны излучения к области нулевой
дисперсии групповой скорости и роста параметра нелинейности физи-
физическая картина самовоздействия меняется. Происходит необратимый
распад исходного импульса на фрагменты, быстро растет его интег-
интегральная ширина и дополнительное групповое запаздывание. Характер-
Характерные профили интенсивности изображены на рис. 5.10. Отметим, что
применительно к связанным состояниям N солитонов кубичная дис-
дисперсия играет роль возмущающего фактора, приводящего к снятию
вырождения по скорости и распаду на односолитонные импульсы.
Дисперсия нелинейности. Для мощных импульсов субпикосекунд-
ной длительности существенным возмущающим фактором является дис-
дисперсия нелинейности, ответственная за формирование ударной волны
огибающей (§2.4). Однако наличие аномальной дисперсии второго
210
порядка приводит к стабилизации крутизны хвоста [29]. При (Х!==
=ца=0 исходное уравнение, описывающее динамику распространения
импульса, имеет вид
1% = Т^ + ^\ЛЯ-Щ^{\Я\*Я)- E-5.6)
Проанализируем влияние возмущающего члена на стационарное
солитонное решение. С этой целью в F) перейдем к вещественным амп-
амплитуде и фазе с помощью замены
<7(tf£) = P(t, £)е№». E.5.7)
Разделяя действительные и мнимые части, получим систему уравнений
Эг 5т дх ~ 2 р д? + J|xp дт
Поскольку нас интересует частное решение в виде стационарного им-
импульса, движущегося в сопровождающей системе координат со «ско-
«скоростью» V, положим
а=т—vi, р
и перейдем в (8) к переменным ц, £:
™
Домножим второе из уравнений (9) на р и преобразуем его к виду
0. E.5Л0)
Так как мы ищем решение в виде уединенного импульса, для которого
р(г))->0 при |ti|->-oo, to
*. = \yf-V. E.5.11)
Эта формула фактически устанавливает связь частотной модуляции
стационарного импульса с временным распределением вещественной
амплитуды р(т)). Подставляя A1) в (8) и пренебрегая членами 0(\i2),
получаем
^ (-^)^0. E.5.12)
Домножая это уравнение на др/дц, легко убедиться, что оно имеет ин-
интеграл вида
П (р) = р1 A — iiV)—р2 [К — VV2].
211
Так как р(ц), др/дц-*-0 при |rj[-»-oo, то константа Сх=0. Положим
Р(О) = Р„ (др/<?т)т=„ = О
и нормируем потенциал П условием П(ро)=О. Тогда константа К, оп-
определяющая линейный по £ фазовый набег, выражается следующим
образом:
Интегрируя A3) с учетом нормировок, получаем выражение для формы
стационарного импульса:
Р (TJ) = Ро sech (р0 К1 —цК л). E.5.14)
Кроме того, в первом порядке теории возмущений по параметру \\.
дисперсия нелинейности приводит к появлению у стационарного соли-
тонного импульса частотной модуляции, совпадающей по виду с вре-
временным распределением интенсивности
&>(Ti) = C/2)[ipSsech1(peK'l— \iVr)) — V. E.5.15)
Более общий случай рассмотрен в [301. Заметим, что уравнение F)
интегрируемо методом обратной задачи рассеяния; детальный анализ
представлен, например, в [31].
Гораздо более существенно влияние дисперсии нелинейности на
динамику yV-солитонных импульсов. Возникающий из-за нелинейной
частотной модуляции A5) и зависящий от амплитуды солитона сдвиг
центральной частоты спектра в стоксову область приводит к снятию
вырождения по скорости и распаду связанных состояний. Нетривиаль-
Нетривиальная динамика начального этапа распада проанализирована авторами
[32] в численных экспериментах, асимптотически точные решения при-
приведены в [31].
Упомянем об еще одной интересной особенности распространения
оптических солитонов фемтосекундного диапазона длительности, обна-
обнаруженной в недавних экспериментах. Она связана с нарастающим по
£ сдвигом центральной частоты в спектре фемтосекундного солитона
в область низких частот [33]. Эффект связан с комбинационным взаимо-
взаимодействием различных спектральных компонент импульса. Если низ-
низкочастотное крыло спектра солитона попадает в полосу комбинацион-
комбинационного усиления, то происходит перекачка энергии из высокочастотной
области спектра в низкочастотную. Так, при начальной длительности
импульса т1/2=120 фс (к=\,Ь мкм) на выходе световода длиной 52 м
наблюдается сдвиг максимума в спектре солитона, достигающий
20 ТГц [33]. Показано, что величина эффекта очень сильно зависит
от длительности импульса; частотный сдвиг пропорционален to*£.
Физическая картина ВКР самопреобразования и соответствующие
методы математического описания детально обсуждались в § 3.6.
Взаимодействие солитонов. Передачу информации по волоконным
линиям связи предполагается осуществлять последовательностью со-
солитонов, поэтому вопросы их коллективного поведения весьма актуаль-
актуальны. Физическая картина взаимодействия шредингеровских солитонов
212
рассмотрена в [34] на основе теории возмущений, а в [35, 36] методом
обратной задачи рассеяния. Наглядный результат состоит в том, что
динамику распространения солитонной пары вида
q (г, 0) = sech (т + Гц; + sech (т—Гц) ехр (/ Дер) E.5.16)
при начальном периоде следования 2ГЦ можно описать в терминах
квазичастиц, между которыми действует экспоненциально убывающая
с расстоянием «сила». Величина и знак этой «силы» зависит от разности
фаз Аф. При изменении Аф от 0 до л «притяжение» сменяется «от-
«отталкиванием». Получены оценки для точки слияния LCT двух «притя-
«притягивающихся» солитонов, в частности, при 2Гцж80 пс, то«4 пс значе-
значение Lcr«100 км.
В 136] развита эффективная процедура, позволяющая выделить со-
литонную составляющую для произвольной последовательности из N
импульсов и проследить ее эволюцию с расстоянием. В качестве иллю-
иллюстрации на рис. 5.11 приведены траектории движения максимумов
Рис. 5.11. Взаимодействие двух
синфазных солитонов; на плос-
плоскости £, т изображены траек-
траектории максимумов интенсив-
интенсивности при начальных услов-
условиях A6) [36]. Два солитона,
максимумы которых первона-
первоначально разнесены во времени,
сближаются, сливаются, затем
распространяются как единый
волновой пакет и вновь разде-
разделяются. Варьируемый пара-
параметр — временной интервал
2ТЦ между исходными импуль-
импульсами
функции |</(т)|2 для случая А<р=О при различных Гц. Длина столкнове-
столкновения £ст существенно зависит от разнесения исходных солитонов во
времени. Для частного случая Аф=0, *с1=и2=и:
. E.5.17)
В пределе Гц->-оо, величина £ст«(л/4)х~2ехТц, что согласуется с асим-
асимптотическим результатом [35].
Прямые экспериментальные наблюдения взаимодействия оптиче-
оптических солитонов выполнены авторами [56]. Импульсы солитонного ла-
лазера с начальной длительностью в 1 пс (Л,= 1,5 мкм) направлялись в
интерферометр Майкельсона, на выходе которого формировалась пара
импульсов с регулируемой временной задержкой и контролируемой
разностью фаз. При распространении синфазных солитонов в воло-
волоконном световоде длиной 340 м, что соответствует примерно 15 диспер-
дисперсионным длинам, наблюдалось их слияние. Противофазные солитоны,
в соответствии с теоретическим предсказанием, отталкивались. Неко-
Некоторые отличия от результатов теории, основанной на невозмущенном
уравнении Шредингера, обнаружены при временной задержке, срав-
сравнимой с длительностью импульсов. По мнению авторов [56], эти от-
213
личия связаны с комбинационным сдвигом несущей частоты, приво-
приводящим к сбою фаз.
Проведенный за последние годы детальный анализ физической кар-
картины распространения солитонов по реальным световодам не только
подтвердил целесообразность их использования в информационных
системах, но и позволил выявить оптимальные режимы передачи ин-
информации.
§ 5.6. Солитонные лазеры
Термин солитонный лазер введен авторами работы [37] примени-
применительно к источнику стабильных перестраиваемых по частоте и дли-
длительности импульсов с огибающей gcosechCc). Оптическая схема соли-
тонного лазера представлена на рис. 5.12. Он состоит из двух связан-
связанных резонаторов — основного (зеркала Зь 32, 30) и вспомогательного
пучок
Рис. 5.12. Блок-схема соли-
тонного лазера. Изображен
синхронно - накачиваемый
лазер на центрах окраски
(ЦО) с резонатором, образо-
образованным зеркалами Зг—30,
и вспомогательный резона-
резонатор 30—33, содержащий од-
номодовый волоконный све-
световод (ВС), Лг и Л2 — лин-
линзы [37]
ДЬулучещеломляю
щив пластинки.
(зеркала 30, 33). Основной резонатор представляет собой синхронно-
накачиваемый лазер на центрах окраски, генерирующий в автоном-
автономном режиме спектрально-ограниченные импульсы длительностью 8 пс
со средней мощностью 1 Вт и частотой повторения 100 МГц. В режиме
солитонного лазера часть излучения через полупрозрачное зеркало
30 (коэффициент пропускания 30 %) и делительную пластинку вво-
вводится во второй резонатор, содержащий одномодовый волоконный
световод. Уровень мощности во втором резонаторе и длина волокон-
волоконного световода подбираются так, чтобы испытавший самосжатие им-
импульс инжектировался в основной резонатор синхронно с накачкой,
что приводит к генерации более короткого импульса и т. д. вплоть до
выхода на стационарный режим. В стационарном режиме импульс вос-
воспроизводится после двойного пробега по световоду и представляет со-
собой связанное состояние двух солитонов. Его параметры могут быть
найдены из условий
от —(тт19\ J р лр (К R п
где L — длина световода, а Ркр — критическая мощность, определяе-
определяемая соотношением E.1.5). Таким образом, к обычному для стационар-
стационарного режима условию баланса усиления и потерь добавляется уело-
p,
800
BOO
4.00
200
Вт
-
-
-
/
21 \Pi
\
21
У-
вие баланса дисперсионного расплывания и нелинейного самосжатия,
определяющее длительность генерируемого импульса.
Для конкретного физического анализа вернемся в A) к размерным
переменным,
Следуя 137], изобразим зависимости 2L и Р2 от обратной длительности
импульса т7/2 (напомним, что полная длительность по полувысоте
^1/2=1,76 т0). На рис. 5.13 приведена также зависимость пикового
значения мощности импульса в свето-
световоде Р„, которая определяется коэффи-
коэффициентом ввода излучения т]в, средним
по времени значением мощности во вто-
втором резонаторе <Р>, периодом следова-
следования импульсов Тс и их длительностью
to,
Рп = 0,5т)в<Р>Гс/т0. E.6.3)
При изменении коэффициента ввода г\е
меняется наклон прямой на рис. 5.13.
Устойчивой работе лазера соответствует
точка т2, в которой совместны все три
условия B, 3). Если в силу каких-то слу-
случайных факторов длительность импульса
возрастает, то «рабочая точка» т2 сдви-
сдвинется по прямой C) влево и будут спра-
справедливы неравенства Р^>Рг, {nl2)L£>
>2L, что приведет к уменьшению дли-
длительности на выходе световода.
Для устойчивости синхронного режи-
режима работы солитонного лазера требуется
весьма точное согласование (до 1 мкм)
длин основного и вспомогательного ре-
резонаторов. В [38] сообщается о создании
автоматизированной системы стабилизации режима работы солитон-
солитонного лазера, минимальная длительность импульсов доведена до
100 фс.
Отметим, что, в принципе, возможно существование и других ра-
рабочих точек, определяемых условием РN=N2PKp, где JV=1, 2, 3, ...
Наименьшим энергетическим порогом обладает, очевидно, точка
Pi=PKp, соответствующая распространению в световоде односолитон-
ного импульса. Однако на сегодняшний день нет сообщений об экс-
экспериментальной реализации подобных режимов.
Теория солитонных лазеров в настоящее время активно развива-
развивается [39, 40, 41], но существующие упрощенные модели еще не вышли
на уровень количественного сравнения с реальными устройствами.
Солитонные эффекты в сочетании с комбинационным преобразова-
преобразованием частоты положены в основу рамановских солитонных лазеров.
215
■Ю
-5
о 1 г з 4 £//г,п(г'
Рис. 5.13. Диаграмма, иллюст-
иллюстрирующая работу солитонного
лазера [371. Приведены зави-
зависимости критической мощности
формирования односолитонных
(Pi) и двухсолитонных (Р2) им-
импульсов, а также длины фор-
формирующего световода от обрат-
обратной длительности генерируе-
генерируемого импульса; отмечена ус-
устойчивая рабочая точка т2
Простейшая схема такого лазера представлена на рис. 5.14 [42]. Им-
пульсно-периодическое излучение накачки от лазера на центрах
окраски (А,и=1,47 мкм, т1/2=10 пс) вводится в синхронный резонатор,
содержащий одномодовый волоконный световод (L = 500 м). Точка ну-
нулевой дисперсии световода за счет специального выбора профиля пока-
зателя преломления сдвинута в
область А,кр= 1,536 мкм. Таким об-
образом центр линии комбинацион-
комбинационного усиления Хс—1,588 мкм попа-
попадает в область аномальной дис-
дисперсии групповой скорости.
Когда пиковая мощность вводи-
вводимого в световод излучения накачки
достигает уровня 6 Вт на выходе
лазера формируются солитонные
импульсы с длительностью до 240 фс
и пиковой мощностью в десятки
ватт на стоксовой частоте. Процесс
эффективного энергообмена между
излучением накачки и стоксовым
импульсом заканчивается на рас-
расстоянии около 100 м от начала световода. Остальной участок волокна
фактически играет роль нелинейного фильтра, улучшающего времен-
временную структуру излучения (§ 5.9).
Физическая картина формирования ВКР солитонов детально ис-
исследована в [18], она уже обсуждалась в § 3.6. Теория динамических
процессов каскадной са-
Рис. 5.14. Схема комбинационного
солитонного лазера с синхронной на-
накачкой [42]
CW Nd : YAi;
/, 06 мкм
50 пс
Компрессор
-V
ш; юо м
1/4
X/Z
мосинхронизации мод в
волоконных ВКР лазе-
F»ax развита авторами
43].
Рамановские лазеры
солитонного типа можно
создавать и в спектраль-
спектральном диапазоне, соответ-
соответствующем нормальной
дисперсии групповой
1, да мкм скорости. Схема экспе-
экспериментальной установки
приведена на рис. 5.15
[44]. Квазинепрерывное
излучение лазера на гра-
гранате с неодимом (Хн=
= 1,064 мкм, т1/2=80 пс)
вводится в кольцевой
синхронный резонатор, содержащий одномодовый световод (L=100m),
решеточный компрессор, интерференционный фильтр, используемый
в качестве перестроечного элемента, и ряд пластинок, обеспечиваю-
обеспечивающих восстановление поляризации.
0,8 пс
Линия
задержки.
перестроечный
элемент
Рис. 5.15. Схема комбинационного световодного
лазера солитонного типа, работающего в области
нормальной дисперсии групповой скорости [44]
216
На выходе системы формируются импульсы с длительностью 0,8 пс
на стоксовой частоте (?СС= 1,10 мкм). В этой схеме синхронно-накачи-
синхронно-накачиваемый волоконный световод играет роль активной среды и безынер-
безынерционного фазового модулятора, а наличие решеточного компрессора
позволяет стабилизировать длительность выходного импульса на ми-
минимальном уровне. Минимальная длительность в подобных устройст-
устройствах ограничивается шириной полосы рамановского усиления и может
быть, в принципе, доведена до 100 фс.
§ 5.7. Генерация цугов пикссекундных импульсов
с предельно высокими частотами повторения;
использование модуляционной неустойчивости
Ясная и последовательная картина формирования и взаимодейст-
взаимодействия солитонов, изложенная в предыдущих параграфах, относится,
прежде всего, к ситуации, когда мощность световых импульсов не-
ненамного превышает критическую мощность образования солитона,
иными словами, N = VPQ/PKp~ 1— 10. При P0^>PKV, N^>1 картина
существенно усложняется. Как мы видели в § 2.8, в этом случае вместо
монотонного сжатия импульса как целого возникает распад на суб-
субимпульсы — явление во многом аналогичное мелкомасштабной само-
самофокусировке световых пучков.
Полный теоретический анализ этих явлений возможен только на
основе математического моделирования. Вместе с тем определенные
представления о начальных этапах распада многосолитонного импуль-
импульса на односолитонные можно получить с помощью метода возмущений.
Описание в этом случае базируется на теории модуляционной неустой-
неустойчивости (§ 2.8).
В настоящем параграфе основное внимание уделяется приложе-
приложениям модуляционной неустойчивости. Дело в том, что она оказывается
уникальным методом генерации цугов пико- и фемтосекундных импуль-
импульсов, следующих с предельно высокой частотой повторения (до 1012 Гц).
Физическая картина развития модуляционной неустойчивости
была проанализирована еще в конце 60-х годов, первые прямые на-
наблюдения временной неустойчивости проведены Таи, Хасегавой и То-
митой сравнительно недавно [48]. В этих экспериментах использо-
использовался лазер на гранате с неодимом, генерировавший спектрально-
ограниченные импульсы длительностью около 100 пс с частотой
повторения 100 МГц. Длина волны излучения X—1,319 мкм по-
попадала в область аномальной дисперсии групповой скорости
(D=2,4—3,75пс/(нм-км)) одномодовых волоконных световодов длиной
0,5—2 км. Пиковая мощность импульсов достигала 7 Вт.
Процесс развития неустойчивости происходил от уровня спонтан-
спонтанных шумов в инкрементной полосе частот. На рис. 5.16 приведена се-
серия спектров на выходе еветовода, измеренных при различных значе-
значениях входной мощности. На рисунке отчетливо видно появление бо-
боковых полос в спектре при Ро«5 Вт. Интенсивность этих полос растет
с увеличением £ по экспоненциальному закону. При Рож6 Вт наблю-
наблюдается истощение излучения на частоте накачки и появление струк-
217
туры спектра, связанной с фазовой самомодуляцией. Дальнейшее уве-
увеличение мощности приводило к развитию процесса ВКР.
Корреляционная функция интенсивности приведена на рис. 5.17.
Временной интервал между последовательными максимумами 2,2 пс
соответствует периоду самомодуляции. Экспериментальные значения
периода хорошо согласуются с теоретическими. Действительно, для
максимального инкремента нарастания
возмущений справедлива формула (см.
а. \ B.8.9))
s,X)
/\А/\
1313 1315 1317 1319 132! 13231, ни
Рис. 5.16. Развитие модуля-
модуляционной неустойчивости от
уровня спонтанных шумов.
Изображены спектры на выхо-
выходе световода, измеренные при
различных значениях входной
мощности: а — допороговая
мощность; б — РО=5,5 Вт;
в — 6,1; г — 7,1 [48]
параметров
2 1=1,319
При типичных значениях
(Ро=6,5 Вт, 5эфф=102 мкм'
мкм, я2=3,2-10~1в cmVBt) величина
gmax»10~4 см. Для периода следова-
следования импульсов Тс, соответствующего
Smax' получаем выражение
Tc = nV2\k2\/gmax, E.7.2)
которое для указанных значений пара-
параметров и дисперсии D = 2,4 пс/(нм-км)
приводит к Тсш2 пс.
Рис. 5.17. Корреляционная
функция интенсивности излу-
излучения на выходе световода, из-
измеренная в эксперименте [48].
Временной интервал между
максимумами 2,2 пс соответ-
соответствует периоду самомодуляции
Для получения цугов импульсов с управляемой частотой следова-
следования надо ввести регулярную затравочную модуляцию, что и было
сделано авторами [49]. Схема экспериментальной установки изобра-
изображена на рис. 5.18. Излучение лазера на гранате с неодимом (К=
= 1,319 мкм, т1/2=100 пс) смешивалось в одномодовом волоконном све-
световоде с близким по частоте излучением полупроводникового лазера
с целью формирования начальной модуляции интенсивности. Чтобы
повысить пороги возникновения конкурирующих нелинейных процес-
процессов (ВКР, ВРМБ), пучки основного и вспомогательного лазеров вво-
218
дились^в световод с ортогональными поляризациями. Для управле-
управления частотой начальной модуляции менялась частота излучения полу-
полупроводникового лазера.
ч
ВС
<Ч К аЬтокаррешщ
К спектрографу
Рис. 5.18. Схема экспериментальной установки для наблюдения индуцирован-
индуцированной модуляционной неустойчивости. На входе световода смешиваются излуче-
излучения основного и отстроенного по частоте вспомогательного лазеров [49]
Измеренные в эксперименте корреляционные функции интенсив-
интенсивности приведены на рис. 5.19 для двух различных значений расстройки
частот основного и вспомогательного лазеров. Период повторения им-
импульсов в последовательности обратно пропорционален величине этой
расстройки. Характерная длительность импульса в цуге — 0,5 пс.
Авторы [49] отмечают хорошее количественное согласие экспери-
экспериментальных данных с результатами математического моделирования.
Использование явления модуляционной неустойчивости для генерации
последовательностей пикосекундных им-
импульсов с предельно высокой частотой
повторения открывает широкие перспек-
перспективы для многочисленных приложений
(§3.8).
Дальнейшее уточнение теории разви-
развития модуляционной неустойчивости про-
проведено авторами 130], которые учли
влияние дисперсии нелинейности на гра-
границы спектральной полосы неустойчи-
неустойчивости. Данные численных эксперимен-
экспериментов, позволяющие проследить динамику
процесса на существенно нелинейных ста-
стадиях, приведены в [46]. Глубокий тео-
теоретический анализ решений нелинейного
уравнения Шредингера с периодически-
периодическими начальными условиями дан в [47].
В 157] проанализирована динамика развития модуляционной не-
неустойчивости в условиях сильного влияния дисперсии третьего по-
порядка. Показано, что приближение длины волны излучения к длине
волны нулевой квадратичной дисперсии позволяет значительно повы-
повысить частоту повторения импульсов при фиксированной входной мощ-
мощности излучения. Из анализа структуры сформированных импульсов
следует, что с точки зрения достижения максимального контраста оп-
219
ллллпл
Рис. 5.19. Корреляционная
функция интенсивности на вы-
выходе световода, измеренная при
различных расстройках частот
основного и вспомогательного
лазеров [49]
тимальной является модуляция входного излучения на частоте, превы-
превышающей в К 3/2 раз частоту, соответствующую максимальному инкре-
инкременту усиления.
§ 5.8. Анализ нелинейных волновых полей
методом обратной задачи рассеяния
Рассмотренный в предыдущих параграфах широкий круг проблем,
связанных с выявлением предельных возможностей оптических инфор-
информационных систем, передачей солитонов на сверхдальние расстояния
и т.д., предъявляет особые требования к точности математических ме-
методов описания соответствующих процессов. Традиционные прямые
методы решения уравнений шредингеровского типа (сеточные и спект-
спектральные [50]) позволяют достоверно вычислять волновые поля на рас-
расстояниях, не превышающих нескольких дисперсионных длин. Сеточ-
Сеточная дисперсия или искусственная периодизация решения приводит
к появлению артефактов. Наибольшие трудности возникают при ре-
решении стохастических задач самовоздействия в дальнем поле (£^>1).
Применительно к импульсам пикосекундного диапазона длительностей
это соответствует сравнительно большим физическим расстояниям
£д~1 км (то~6 пс, 1=1,5 мкм), но по мере перехода в фемтосекунд-
ный диапазон область достоверного моделирования быстро сокращает-
сокращается, так, при То=1ОО фс дисперсионная длина Ls«30 см.
Теоретической основой для адекватного анализа нелинейных вол-
волновых полей в дальнем поле служит аппарат обратной задачи рассея-
рассеяния [81, который по существу является нелинейным обобщением
спектрального подхода, кратко рассмотренного в § 2.6. Приведем клю-
ключевые моменты этого метода, необходимые для последующего изложе-
изложения практических приложений.
Рассмотрим задачу Коши для нелинейного уравнения Шредингера,
записанного в традиционной математической форме E.2.1):
.dq I d2q , , ,„ /с о i\
l^ = Ta^ + l<7l * E-8Л)
с начальным условием q(x, 0)=q°(x). Ограничим класс начальных ус-
ловий, предположив, что j |<70|dt <oo, а модуль \q°\ убывает при
— со
|x|-voo быстрее любой степенной функции. Требуется найти q(%, £)
при произвольном £>0.
Согласно методу обратной задачи, уравнению A) ставится в соот-
соответствие линейная задача рассеяния
в которую искомое решение q входит в виде потенциала, Ф±— матрич-
нозначные функции т и спектрального параметра A£R, q*—комплек-
q*—комплексное сопряжение комплекснозначной q. Легко убедиться, что функции
220
Ф± удовлетворяют асимптотическим соотношениям
Ф±(Л, т) —exp[iAx(J J)] E.8.3)
при т->-±°° соответственно, так как потенциал q°^-0 при т-»-±оо.
Связь между функциями Ф~ и Ф+ устанавливается с помощью матрицы
рассеяния Т:
Ф- = Ф+Т, т = (_£ »), E.8.4)
коэффициенты которой зависят только от Л £ R. Из C) и D) непосред-
непосредственно следует соотношение
которое можно интерпретировать как связь между амплитудами волн:
падающей из +оо (первый член в правой части), отраженной потен-
потенциалом q° с коэффициентом г(А)=Ь/а, и прошедшей на —оо (левая
часть). Между коэффициентами а и b имеет место естественная связь
|a|2-f |Ь|2=1, кроме того, а(Л)->-1 и Ь(Л)-»-0 при |Л|->-с».
Отметим, что при комплексных значениях спектрального пара-
параметра Л уравнения B) могут, вообще говоря, иметь решения, экспо-
экспоненциально убывающие как при т-v+oo, так и при т->—се. Эти зна-
значения {Ak} образуют дискретный спектр и совпадают с нулями коэф-
коэффициента a: a(Aft)=0, аналитически продолженного в верхнюю полу-
полуплоскость Im Л>0. Как показано в 18], потенциал q" однозначно оп-
определяется данными рассеяния, включающими совокупность нулей
коэффициента а, значения Ьк=Ь(Ак) и коэффициент отражения г(А)—
=Ыа, заданный на вещественной оси A£R.
Подчеркнем, что если q(t,, т) удовлетворяет уравнению A), то коэф-
коэффициент b(A, Q изменяется с расстоянием по закону
&(Л,£) = Ь(Л,0)е«'л'С, E.8.6)
а коэффициент а от £ не зависит: а (Л, £)=а(Л, 0). Указанное обстоя-
обстоятельство позволяет легко вычислить данные рассеяния при произволь-
произвольном £>0.
Солитонное решение q%(x, Q, соответствующее Ак, имеет вид
qi = xft sech [хг (т-т0,-У^)] ехр [- iVkx + i (VJ-x?) JJ2 + Фо J,
E.8.7)
гдех/г=2 Im Ak — амплитуда солитона, определяющая и его длитель-
длительность, Vk=2 Re Ak — скорость, %Ок, ц>ок — координата максимума и
фаза. Если скорости всех входящих в решение A) солитонов различны,
то при £->-оо солитонная составляющая решения определяется три-
тривиальной линейной суперпозицией
<7,= 2 </$(*,£), E-8-8)
k— 1
221
где q\ выражается формулой G). Несолитонная составляющая реше-
решения A), определяемая коэффициентом отражения г(А), Л£ R, убывает
при £->оо как £~1/2. Заметим, что столкновения шредингеровских соли-
тонов приводят лишь к сдвигу их центров и фаз.
Соотношение энергий солитонной и несолитонной частей решения
можно установить, обратившись к нелинейному обобщению теоремы
Парсеваля, согласно которому
СО
J n[l + r(£)/*(£)]d|. E.8.9)
Первый член в правой части этого равенства соответствует энергии
солитонной части решения (дискретный спектр), второй — несолитон-
несолитонной части (непрерывный спектр). Эта теорема позволяет установить
соотношение между фурье-спектром и его нелинейным аналогом, опре-
определяемым коэффициентом г (А). Из (9) видно, что в отсутствие соли-
солитонной составляющей при |r|^l, In (H-rr*)»rr* и г (Л) практически
совпадает с фурье-спектром д°(со).
При конечном £ солитонная составляющая вычисляется по формуле
qs(r, 0—2 2 cm(t,)xm(T), E.8.10)
в которой вектор-столбец Х=(хи х2, . . ., xN)ir является решением
линейной системы уравнений
pft=exp(—2tAjT). Элементы Ат>п матрицы А вычисляются следую-
следующим образом:
m'n~
itx A*. „ А*. „
где
ck (£) = (ЬМ) ехр BгЛ|0, е«. „ = exp BiAe, пт),
штрихом обозначено дифференцирование по Л.
К сожалению, аналитическое вычисление данных рассеяния и,
следовательно, восстановление ^(т, t) удается провести лишь для не-
немногочисленных частных случаев [7]. Так, при начальных данных вида
G«>(T)=tfsechT, E.8.11)
где N — целое, формируется связанное состояние N солитонов со
спектральными параметрами Ah=i(k—1/2), k=\, 2, 3, . . ., N, которым
N
соответствуют коэффициенты рассеяния: а(Л)= JJ (Л—ЛЛ)/(Л—A*k),
Ьк~(—i)k. Исследование динамики распространения #-солитонных
222
импульсов методом обратной задачи проведено в [10] в связи с задачей
о самосжатии (рис. 5.1). В [35, 36] аналогичная техника применялась
при анализе суперпозиции двух разнесенных во времени солитонов.
Круг практически важных задач, которые можно эффективно ре-
решать с помощью метода обратной задачи рассеяния, значительно
расширился после разработки эффективных численных методик на-
нахождения данных рассеяния и восстановления по ним q(x, £) при про-
произвольном £ [51]. Согласно этой методике на оси т вводится сетка раз-
разбиения с совокупностью узлов {xk}, k=\, 2, 3, . . ., К. На каждом
'L
О 1 2 3 4-5 6 q0
Рис. 5.20. Солитонный спектр гауссовского импульса (сплошные линии) в срав-
сравнении с Af-солитонным импульсом (штриховые); на вставке — отношение энер-
энергии солитонной составляющей Ws к начальной энергии Wo импульса в зависимос-
зависимости от исходной амплитуды q0 [51]
сегменте разбиения lxh, xk+1] длиной hh=xk+1—xh функция <7°(т) ап-
аппроксимируется кусочно-постоянной q%. Частичная матрица рассея-
рассеяния Tft, соответствующая k-yi ступеньке, легко вычисляется анали-
аналитически, а ее элементы имеют вид
E.8.12)
где dk — h,y № + } g°|2. Глобальная матрица рассеяния f определяется
223
как произведение частичных матриц,
E.8.13)
Выделяя из этой матрицы коэффициенты а, Ь, можно с помощью стан-
стандартных вычислительных процедур найти совокупность корней {Ah}
и другие данные рассеяния необходимые для восстановления ^(т, £).
4 t
Рис. 5.21. Солитонная составляющая шумового импульса: а — начальный про-
профиль интенсивности и фазы; б — солитонная составляющая, выделенная методом
обратной задачи рассеяния иа расстоянии £= 1 [52]
Иллюстрацией солитонного спектра может служить рис. 5.20,
на котором для гауссовского импульса ^(т, О)=доехр(—т2/2) изобра-
изображена зависимость {як} от амплитуды q0. Для сравнения штриховыми
линиями приведены соответствующие зависимости для начальных
данных вида A1). На рис. 5.21 представлены профили интенсивности
|q°|2 и фазы шумового импульса, а также результат восстановления
его солитонной составляющей qs при £=1 152].
224
Развитые методики позволяют решить ряд важных задач стохас-
стохастического самовоздействия, которым посвящены последующие параг-
параграфы.
§ 5.9. Нелинейная фильтрация шумовых импульсов;
статистика солитонов
В настоящем параграфе мы сосредоточим внимание на статистиче-
статистических задачах теории оптических солитонов. Интерес к этой проблема-
проблематике связан с решением таких практически важных вопросов, как
исследование влияния флуктуации параметров исходных импульсов
на предельную скорость передачи информации в солитонном режиме
и использование световодов в качестве нелинейных фильтров, улуч-
улучшающих пространственно-временную структуру излучения. С точки
зрения стохастической теории нелинейных волн принципиальное зна-
значение имеет вопрос о возможности формирования солитонов из опти-
оптического шума и о взаимосвязи статистических характеристик исход-
исходного сигнала и сформировавшихся солитонов.
Начнем рассмотрение со случая, когда начальные данные для урав-
уравнения E.8,1) представимы в виде суперпозиции «сигнал + шум»:
</(т,0) = 40(т)-ьа<Г(т), E.9.1)
где до(т) соответствует детерминированной, а д(г) — случайной со-
составляющей, a — параметр, характеризующий уровень шума. На-
Напомним, что в аналогичной постановке эта задача рассматривалась
в § 4.5 в связи с исследованием самовоздействия и компрессии импуль-
импульсов частично когерентного излучения в спектральной области, соот-
соответствующей нормальной дисперсии групповой скорости. По аналогии
с § 4.5 обратимся к анализу изменения интегральных характеристик
излучения в случае малых флуктуации очф.
В этом приближении среднеквадратичная длительность импульса,
усредненная по ансамблю реализаций начальных данных, 0(£) =
= j q*T*qdT, представима в виде линейной суперпозиции детерми-
нированной и шумовой составляющих,
Функции 80(£) и 8~(£) удовлетворяют системе уравнений (ср. с D.5.7))
E.9.2)
Точкой обозначено дифференцирование по т. Из B) следует, что в рам-
рамках рассматриваемого приближения шумовая компонента сигнала не
оказывает влияния на среднеквадратичную длительность детермини-
детерминированной компоненты. Обратное влияние (второй член в правой части
8 С. А. Ахманов и др. 225
последнего уравнения) более существенно: оно приводит к замедле-
замедлению темпа дисперсионного расплывания шумовой составляющей им-
импульса.
Конкретизируем ситуацию, взяв qo(x) и q(x) в виде
<?0 = sechT, q = qo(r)at(x), E.9.3)
где | (т) — комплексный стационарный гауссовский шум с нулевым
Г*
-г -1 о
Рис. 5.22. Нелинейная фильтрация импульса со случайной начальной фазовой
модуляцией; изображены профили интенсивности в различных сечениях свето-
световода, указаны расстояния в дисперсионных длинах
средним, единичной дисперсией и гауссовской корреляционной функ-
функцией. Подставим C) в правую часть B), полагая £=0. В результате
уравнения B) примут вид
E.9.4)
Непосредственно проверяется, что
dQ0
dl
E=o
= 0 ^-
U> di
£=o
= 0.
Отсюда следует, что солитонная составляющая подавляет дисперсион-
дисперсионное расплывание «медленных» флуктуации стк>К2 (напомним, что
226
время корреляции здесь выражено в единицах начальной длитель-
длительности импульса). Для быстрых флуктуации с тк<К2 среднеквадра-
среднеквадратичная длительность шумовой составляющей растет с £ по квадратич-
квадратичному закону
Q (J-\ Q/fV\ l О tO/f2 ]\?2 /СП С\
\ в/ ^^ " \^) ~t ^ \^/^к A/a* (О.У.ОР
Указанные закономерности имеют место на расстояниях £, не превы-
превышающих характерную длину самовоздействия, так как правая часть
B) вычислялась в точке £=0.
Чтобы проследить динамику самовоздействия шумовой компонен-
компоненты на больших расстояниях, обратимся к результатам математичес-
математического моделирования, основанного на численном интегрировании не-
нелинейного уравнения Шредингера [53]. На рис. 5.22 изображены про-
профили интенсивности при различных £ для импульса со случайной
фазовой модуляцией
q(x, 0) =
E.9.6)
где фаза ф(т) распределена по гауссовскому закону с нулевым средним,
дисперсией сГф=0,25 и временем корреляции тк=0,2 при 1—0.
1,5
wT
0
1
Рис. 5.23. Зависимость суммарной энергии солитонной и шумовой компонент
в пределах заданного временного интервала при различных начальных време-
временах корреляции фазовых флуктуации: / — тк=0,1, 2—0,2, 3—0,4
Из приведенных профилей интенсивности видно, что на начальном
этапе распространения происходит быстрая трансформация фазовых
флуктуации в амплитудные. Средняя длительность пичков соответст-
соответствует величине тк. В дальнейшем происходит сравнительно быстрая
фильтрация солитонной составляющей за счет дисперсионного расплы-
вания шумовой компоненты. При £«1 импульс превращается в соли-
тон. Отметим точное совпадение амплитуды солитона, полученной
в результате прямого интегрирования нелинейного уравнения Шредин-
Шредингера и вычисленной методом обратной задачи рассеяния для той же
реализации начальных данных F).
На рис. 5.23 приведена зависимость суммарной энергии солитонной
Г/2
и шумовой компоненты WT = ] (qq*)dx на временном интервале
227
{—772, Г/2), где 7=5. Вычисления проведены для трех реализаций
начальных данных F), отличающихся значением времени корреля-
корреляции тк. Заметное на рисунке уменьшение энергии в пределах выделен-
выделенного временного интервала связано с дисперсионным расплыванием
шумовой компоненты и ее уходом из интервала интегрирования. Видно,
что длина световода, которую нужно выбрать для осуществления эффек-
эффективной фильтрации солитонной составляющей, убывает по мере умень-
уменьшения начального времени корреляции тк. Полученный результат
весьма важен с практической точки зрения, так как он указывает на
возможность формирования оптических солитонов из импульсов час-
частично когерентного излучения.
Естественно, что параметры солитона — амплитуда к и скорость
V, изменяются от реализации к реализации, т. е. являются случайными
величинами. Возникает задача об установлении взаимосвязи статисти-
статистических характеристик начальных данных и сформировавшихся при
£2>1 солитонов. Анализ этой взаимосвязи можно провести только на
основе аппарата обратной задачи рассеяния [51, 541.
В основу анализа положим полученную в [36] формулу, связы-
связывающую вариации параметров солитона с малыми возмущениями на-
начальных данных бд при £=0. Без ограничения общности допустим,
что солитонная составляющая начальных данных имеет вид
go(x)=sechx.
Тогда обусловленные возмущением 8q вариации параметров солитона
представляются следующим образом:
= i f в-ХЫ?+/*™ йт. E.9.7)
Рассмотрим ряд важных частных случаев.
Флуктуации амплитуды исходного импульса. Пусть
q(x, 0) = [l +p(x)]sechx, 6q = p(x)sechx, E.9.8)
где р(х) — вещественный случайный процесс с временем корреля-
корреляции хк. Тогда из G) следует, что флуктуирует только амплитуда
сформировавшегося солитона,
бх =
Для медленных (хк>1) флуктуации р(х) можно представить рядом со
случайными коэффициентами:
Р (т) = ~Ро + Pi (т/тв) + О [(х/хкJ]. E.9.10)
Подставляя это разложение в (9), мы убеждаемся, что линейный по х
член разложения не вносит вклада в изменение амплитуды сформиро-
сформировавшегося солитона. Случайные изменения коэффициента р0 приводят
к вариациям амплитуды
бх = 2р0. E.9.11)
228
Волновой пакет на выходе световода длиной £>1 имеет огибающую
Я* (*. £) = U+ 2p"o) sech [A + 2р0) т] exp [i A + 2р> £/2]. E.9.12)
Если случайная амплитуда р0 имеет гауссовское распределение, то
функция распределения р (и) также с хорошей точностью описывается
гауссовской функцией, стандартное отклонение флуктуации удваи-
удваивается: ах—2оРо.
Флуктуации фазы. Рассмотрим случайную фазовую модуляцию
вида F), где ф (т), как и прежде, вещественный гауссовский случайный
процесс с временем корреляции тк. Тогда
6<7 = (е'ф_1). E.9.13)
Для медленных флуктуации (тк>1) справедливо разложение, анало-
аналогичное A0):
Ф (т) = Ф„ + Фх (х/тк) + О [(т/ткJ]. E.9.14)
Подставляя A4) в G), легко убедиться, что случайная составляющая
фазы ф0 не изменяет скорость и амплитуду солитона, а линейная по т
составляющая приводит к их вариациям:
E.9.15)
Отсюда следует, что при l9il<^l вариации скорости 8V=q>i имеют
первый порядок малости, а вариации амплитуды Sx~(j^ — второй.
Таким образом, выходной импульс при £5>1 представляет собой
возмущенный солитон
qs(x, £) = sech(т—<piS)exp(— i^x+i^/2). E.9.16)
Если плотность распределения случайного коэффициента <pt является
гауссовской, то и распределение скорости описывается тем же зако-
законом. Стандартные отклонения параметров б У и фх совпадают.
Нестационарный амплитудно-фазовый шум. Рассмотрим более
общий случай начальных данных вида C), где £(т) — стационарный
комплексный гауссовский шум. Из подстановки этих начальных усло-
условий в G) непосредственно следует, что флуктуации амплитуды опреде-
определяются вещественной частью шума Re | (т), а флуктуации скорости —
мнимой Im £(т). Так как |=0, то средние значения вариаций 6х=0
и 6У=О. Для дисперсий а\ и о\ можно получить [54] следующие вы-
выражения:
E.9.17)
j(x) g_ c
о
G (т) = 6 sh Bт) [sh Bт)—2т]—[ch Bт)— 1] [2 ch Bт)—2 + т sh Bт)],
8* С. А. Ахмаиов и др. 229
2
О
*■?//!■ Z
где В (т) — корреляционная функция шума. Анализ полученных фор-
формул показывает, что, во-первых, дисперсии флуктуации о% и о\ прямо
пропорциональны дисперсии шума а2, во-вторых, дисперсия ампли-
амплитуды солитона о£ монотонно возрастает с увеличением начального
времени корреляции тк и тенденцией к насыщению при тк->-оо, в-тре-
в-третьих, флуктуации скорости 8V при тк<^1 растут линейно, при тк«1
достигают максимума, а при тк-»-оо убывают до нуля. Эти закономер-
закономерности иллюстрируются рисунком 5.24.
Заметим, что приведенные графики отно-
относятся к случаю гауссовской корреля-
корреляционной функции В (т), их обобщение на
случай произвольной В (т) не вызывает
затруднений.
Гораздо более сложным оказывается
исследование функций распределения
р(к), p(V) и их моментов в случае боль-
больших флуктуации исходного сигнала, т. е.
импульсов типа вспышек оптического
шума. В этой ситуации из конкретной
реализации начальных данных при £->оо
может сформироваться как один, так
и несколько солитонов или импульс, ис-
испытывающий дисперсионное расплыва-
ние. Исследование подобных режимов
представляет интерес при анализе тре-
требований, предъявляемых к источникам
сигналов для солитонных линий связи,
и дает такие важные характеристики как
вероятность пропуска сигнала (отсутст-
(отсутствие солитона в данной реализации) или
ложного срабатывания (два или более
солитона из одного лазерного импульса).
Эти вопросы подробно рассмотрены в [541.
Здесь мы ограничимся обсуждением не-
некоторых численных экспериментов.
Методика численного моделирования
основана на статистической оценке
ее моментов по методу Монте-Карло.
Рис. 5.24. Зависимость при-
приведенной дисперсии флуктуа-
флуктуации параметров сформировав-
сформировавшихся солитонов от времени
корреляции начальных воз-
возмущений: а — флуктуации
амплитуды; б — флуктуации
скорости (сплошные линии —
расчеты по методу возмущений,
точки — численный экспери-
эксперимент [54])
функции распределения и у р
Для выборки из М^>\ реализаций начальных данных C) вычислялись
солитонные спектры {xfe}, {Vh}, k — \, 2, 3, . . ., М. Оценивались сред-
средние по ансамблю значения к и V, дисперсии этих величин и строились
гистограммы, дающие представление о функции распределения. Ста-
Статистический анализ гистограмм по критериям Неймана — Пирсона и
Колмогорова позволяет проверить гипотезу о характере распределе-
распределения и установить уровень ее значимости.
На рис. 5.25 представлены гистограммы случайных амплитуд сфор-
сформировавшихся при £^>1 солитонов для начальных данных C) (моду-
(модулированный гауссовский шум). Значение времени корреляции фикси-
230
ровано, тк=0,5, варьируемым параметром является дисперсия шума
о2 =0,0625, 0,25, 1, число реализаций Af = 1024. Сопоставление гисто-
гистограмм, вычисленных при различных дисперсиях шума показывает,
что для а-<0,5 распределения р(у) и p(V) близки к гауссовским.
0,25
г
г
1
/г
)
t
к
р(х)
п
6=1
ШАШ
Рис. 5.25. Гистограммы распределений случайных амплитуд сформировавшихся
солитонов при различных дисперсиях шума [54]
Зависимости средней амплитуды и, стандартных отклонений ох и
av от а изображены на рис. 5.26. Приведенные кривые показывают,
что линейные формулы теории возмущений для ах и о> хорошо согла-
согласуются с данными численных экспериментов при а<0,5. В области
8**
231
v-
= 0,5—1 мы выходим за пределы применимости линейной теории
возмущений (рис. 5.26). Отметим очевидные отклонения p{v) от гаус-
совского закона, связанные с нарушением односолитонного режима.
Интересно, что распределение скоростей p(V) во всем рассмотренном
диапазоне изменения а хорош аппро-
аппроксимируется гауссовской функцией.
В качестве иллюстрации практичес-
практического приложения полученных законо-
закономерностей рассмотрим передачу соли-
тонных импульсов (то= 7,1 пс, К=1,5 мкм,
Ро=1 Вт) по световоду длиной 10 км с
площадью сердцевины 102 мкм2. Оценим
временной разброс регистрируемых при-
приемником солитонов в случае, когда энер-
энергетическое отношение сигнал/шум = 10,
шум гауссовский C) с тк=0,3 пс. Задерж-
Задержка отдельного импульса, выраженная в
единицах его длительности, равна отно-
отношению длины световода L к дисперсион-
дисперсионной длине Ltx, умноженному на стандарт-
стандартное отклонение флуктуации скорости:
о
1,0 6
0,5
Рис. 5.26. Расчетные зависи-
мости_среднего значения ампли-
амплитуды и сформировавшихся со-
солитонов, а также стандартных
отклонений амплитуды аи и
скорости о> от а (сплошные
линии — численный экспери-
эксперимент, штриховые — расчет по
теории возмущений) [54]
кие оценки интегральных
б//т, =
Определяя av из графика на рис. 5.26
(ау=0,15) и учитывая, что при выбран-
выбранных значениях параметров La=2,4 км,
получаем б/»0,6 то=4 пс. Относительная
величина флуктуации энергии регистри-
регистрируемых солитонов составит 20 %.
Таким образом, комплексный подход,
включающий приближенные аналитичес-
характеристик E), теорию возмущений
метода обратной задачи G) и крупномасштабный численный экспери-
эксперимент, позволяет дать полную статистическую картину самовоздей-
самовоздействия шумовых импульсов и указать оптимальные режимы исполь-
использования волоконных световодов в качестве нелинейных фильтров.
§5.10. Восстановление временных зависимостей амплитуды
и фазы пикосекундных лазерных импульсов
по характеристикам их нелинейного взаимодействия
с пробными односолитонными импульсами
Регистрация временного поведения интенсивности и фазы лазер-
лазерных импульсов с субпикосекундным временным разрешением откры-
открывает возможности для существенного продвижения в области исследо-
исследования быстропротекающих процессов в атомах, молекулах и конден-
.сированных средах. Некоторые из используемых в этой области мето-
методик будут рассмотрены в гл. 6. В настоящем параграфе мы обсудим
■принципиально новые подходы, теоретической основой для которых
1232
является аппарат обратной задачи рассеяния, а экспериментальной
основой — создание перестраиваемых по частоте и длительности со-
литонных лазеров, уменьшение уровня потерь в волоконных светово-
световодах и возможность их компенсации за счет ВКР усиления.
Основываясь на результатах предыдущего параграфа, рассмот-
рассмотрим метод определения неизвестной комплексной амплитуды q(x, 0)
по результатам измерений амплитуд и/или групповых скоростей проб-
пробных односолитонных импульсов qs(x, £) при их суперпозиции с q.
Итак, на вход нелинейного волоконного световода подается суперпо-
суперпозиция вида
<7(т,О) = ?(т,О) + <7,(т.О), E.10.1)
где qs — пробный солитон, характеризуемый параметрами к, V, <р0,
т3, a q(x, 0) — зондируемый импульс, который мы хотим вос-
восстановить.
Начнем со случая, когда амплитуда сигнального импульса мала,
так что для него доминирующим процессом является дисперсионное
расплывание. Суперпозиция q(x, 0) с солитонным импульсом qs(x, 0)
при t^>\ приводит к изменению параметров пробного солитона:
х-»-х+бх, V-*-V-\-8V. Выразим это изменение по формуле теории воз-
возмущений [36]:
G+ (т) = ехр[»ф0 + iVx + х(т—т8)], G_(t) = [— i4p0—iVx—х(т—х3)]„
Наша цель состоит в определении q по регистрируемым вариациям
bV, би, рассматриваемым как функции от параметров пробного соли-
тона (х, V, фо, т3). В зависимости от варьируемых параметров здесь
можно выделить несколько различных подходов [551.
Позиционный метод. В этом методе варьируемым параметром яв-
является временная задержка т3 пробного солитона относительно зон-
зондируемого импульса. Без ограничения общности предположим, что-
Фо=О, а пробный солитон и зондируемый импульс имеют одинаковые
групповые скорости и, следовательно, У=0. Из B) непосредственно
следует, что
Ch[K(T— Ts)] '
E.10.3)
где qR и q, — вещественная и мнимая части комплексной амплитуды
восстанавливаемого импульса. Второе из соотношений C) легко
приводится к виду
В частном случае «узкого» солитона (и^>1) из C) и D) с использованием
известного соотношения
|>«-»-оо С1Ц>ЦТ— Т3)]
где б — дельта-функция Дирака, получается простой линейный ал-
алгоритм восстановления
),
E.10.5)
8V(x)dx.
В рассматриваемом варианте позиционного метода эмпирическими
данными являются амплитуда солитона, сформировавшегося при
£^>1, которая однозначно связана с его энергией Ws=2 (и+би), и до-
добавка к групповой скорости, однозначно выражаемая через дополни-
дополнительное время запаздывания.
Практически более удобным может оказаться подход, в котором
при фиксированном т3 используются два пробных солитона, взаимо-
взаимодействующие с зондируемыми импульсами в двух независимых кана-
каналах и отличающиеся начальными фазами (ф@1) = 0, <ро2)=я/2). Обозна-
Обозначив соответствующие им вариации амплитуды через биA), би12) и вос-
воспользовавшись соотношением B), получаем
ch[x(T—t3)]
dx. E.10.6)
Правая часть F) представляет собой свертку зондируемого импульса
с пробным солитоном; ее обращение приводит к искомой процедуре
восстановления
E.10.7)
где
— прямое и обратное преобразования Фурье. Для «узкого» солитона
ядро интегрального преобразования F) можно заменить дельта-
функцией. Результирующий алгоритм представляется следующим
образом:
q (т8) = я [бхA> (т,)—i бх(г> (т8)]. E.10.8J,
234
Погрешность приведенных линейных формул (в смысле амплитудного
контраста) имеет порядок O(Q/x), где Q=max \q(x, 0)|.
Приведем результаты численных экспериментов по восстановлению
огибающей. На рис. 5.27а изображен зондируемый импульс с прямо-
прямоугольной огибающей (штриховая линия) и результат его восстановле-
2
О
Рис. 5.27. Результаты численных экспериментов по восстановлению огибающей
сверхкороткого импульса по данным солитонного зондирования: а — спектраль-
спектрально-ограниченные прямоугольные импульсы с различными начальными ампли-
амплитудами (штриховая линия — исходный импульс, сплошная — результат вос-
восстановления; кривые 1,2,3 — результаты последовательных итераций); видно,
что качество восстановления улучшается с уменьшением д0 и с увеличением числа
итераций; б — восстановление прямоугольного импульса с линейной частотной
модуляцией (штриховые линии — огибающая исходного импульса и форма его
частотной модуляции, сплошные — результат восстановления) [55]
ния по линейной формуле (-8) в приближении узкого солитона, ф
Видно, как возрастает точность восстановления амплитуды по мере
235
уменьшения Q от 2 до 0,5. Временное разрешение здесь определяется
длительностью пробного солитона и =0,1- На рис. 5.276 показано
восстановление импульса с линейной частотной модуляцией.
Рис. 5.28 иллюстрирует процедуру восстановления симметричного
спектрально-ограниченного импульса
</>) = ?„ [ехр (-4 (т-0,5J) + ехр (-4 (т + 0,5)*)], q0 = 0,5
(штриховая линия) при различных амплитудах пробного солитона х.
Так как длительность пробного со-
солитона близка к длительности зон-
зондируемого импульса, то применение
алгоритма (8) не приводит к удовлет-
удовлетворительным результатам (пунктир-
(пунктирная линия). Восстановление по более
общей формуле G) обеспечивает раз-
разрешение временной структуры сиг-
сигнального импульса (сплошная линия)
даже при и = 1. Заметим, что число
точек дискретизации по параметру
т3 было сравнительно невелико (М =
= 16).
Опираясь на аналогию солитонов
с квазичастицами, идею солитонного
зондирования можно сопоставить с
общепринятыми в ядерной физике
методами определения структуры ато-
атомов и ядер по данным рассеяния
пробных частиц (протонов, а-частиц
и т. п.). Изменения параметров соли-
солитонов будут существенными в тех
точках временной оси, где «потенци-
«потенциал», определяемый зондируемым им-
импульсом, имеет ярко выраженные
максимумы.
Метод вариации скорости проб-
пробных солитонов. В этом методе мы
фиксируем т3 (далее для определен-
определенности положим т3=0) и рассматри-
рассматриваем
6ЛA- 2>= (бТ/A> 2»+г6хA' «)/2 как
функцию параметра V. Используя
B), получаем соотношение
E.10.9)
Фактически правая часть (9) представляет собой преобразование Фурье
от произведения искомой функции ^(т.) на ядро, определяемое проб-
пробным солитоном. Вычисляя обратное преобразование Фурье от (9),
236
Рис. 5.28. Восстановление оги-
огибающей сверхкороткого импульса
в случае широкого пробного со-
солитона: штриховая линия — ис-
исходный импульс, сплошная — ре-
результат обращения свертки F),
пунктирная — расчет по формуле
(8), изображена половина импуль-
импульса [55]
имеем
F т-
*бЛ(а) (У)]-
Приведем еще две полезные формулы, позволяющие выразить ком-
комплексную амплитуду зондируемого импульса через приращение ампли-
амплитуды или скорости пробных солитонов:
q (т) = Bл)
q (х) = Bя)
E.10.11)
Заметим, что в физических экспериментах вариацию скорости
пробных солитонов можно осуществить путем перестройки частоты
солитонного генератора в
пределах ширины спектра iq\
зондируемого импульса. В
этом контексте данную мето-
методику можно охарактеризовать
как спектральное зондирова- /д
ние.
Процесс восстановления
при вариации скорости проб-
пробного солитона иллюстрирует
рис. 5.29. Как и ранее, штри-
штриховой линией представлен
восстанавливаемый импульс. °i5
Пробный солитон имел ампли-
амплитуду х = 1, а его скорость в
безразмерных единицах изме-
изменялась от 0 до 8 с шагом
0,125. Видно, что при Q/x<0,5
линейная формула A1) приво-
приводит к хорошему качеству вос-
восстановления.
В [55J показано, что огра-
ограничение на амплитуду зонди-
зондируемого импульса Q/x<cl,
обусловливающее примени-
0
0,5
1,5
2,0
Рис. 5.29. Восстановление огибающей при
вариации скорости (частоты) пробного соли-
тона, изменяется амплитуда зондируемого
импульса Q (штриховая линия — исходный
сигнал, сплошная — результат восстановле-
восстановления по формуле A1)) [55]
мость линейной теории вое- v * у "
становления, можно значи-
значительно ослабить, воспользовавшись итерационной процедурой в духе
метода Ньютона — Канторовича. В качестве первого приближения
используются результаты линейной процедуры.
Практические вопросы выбора конкретного способа восстановле-
восстановления д(т), определения оптимальных параметров пробных солитонов,
интервала и шагов варьирования параметров х3 или V, успешно ре-
решаются с привлечением дополнительной информации о спектре восста-
237
навливаемого импульса и грубой оценки его длительности. Эту инфор-
информацию сравнительно легко можно получить в физическом экспери-
эксперименте. Отметим, что рассмотренные процедуры не критичны по отно-
отношению к шумам эмпирических данных би(т3, V) и 6У(т3, V).
Физическая идея, положенная в основу рассмотренных методик,—
использование нелинейного взаимодействия зондируемого и проб-
пробного импульсов в среде с кубичной нелинейностью (волоконном свето-
световоде) — смыкается с обычными кросс-корреляционными методами,
в которых используется взаимодействие сигнального и пробного
импульсов в среде с квадратичной нелинейностью.
ГЛАВА 6
ФЕМТОСЕКУНДНЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Лазерные системы, генерирующие стабильные перестраиваемые по частоте
импульсы с длительностями от 100 до 10 фс, несомненно, одно из ярких дости-
достижений современной физики и технологии. Важнейшими слагаемыми этого про-
прогресса стали успешная реализация новых идей в комбинировании методов гене-
генерации и усиления коротких импульсов в активных лазерных средах, широкое
использование управляющих ЭВМ, создание эффективных лазерных и нелиней-
нелинейно-оптических сред.
Современные пико- и фемтосекундные лазерные системы позволяют практи-
практически с исчерпывающей полнотой исследовать физику релаксации энергии и
фазы оптического возбуждения в сложных молекулах н твердых телах, разрабо-
разработать прямые экспериментальные методы изучения молекулярной динамики.
Прогресс в технике усиления сверхкоротких оптических импульсов сделал
возможным генерацию сверхсильных световых полей с напряженностями
~1010 В/см — на порядок выше внутриатомных полей. Среди других приложе-
приложений — пикосекундная электроника, генерация сверхкоротких электронных
сгустков, рентгеновских и акустических импульсов.
Разумеется, для сколько-нибудь подробного обсуждения опыта, накоплен-
накопленного в этих областях, потребовалась бы отдельная книга. Поэтому в предлагае-
предлагаемой главе мы поставили более скромную задачу — проиллюстрировать тенден-
тенденции и достижения современной фемтосекундной технологии на примере систем,
в которых задающими генераторами являются твердотельные лазеры. Значитель-
Значительное внимание уделено основанным на таких лазерах квазинепрерывным пико-
и фемтосекундным системам — создание высокоэффективных нелинейно-оптиче-
нелинейно-оптических преобразователей на кристаллах калий титанил фосфата делает их поис-
поистине универсальными. Материал этой главы в значительной мере основывается
на разработках, технических решениях и подходах, развиваемых в Лаборатории
нелинейной оптики Московского университета. Сказанное относится и к обсуж-
обсуждению направлений развития генераторов фемтосекундных импульсов в уль-
ультрафиолетовом и дальнем инфракрасном диапазонах.
§6.1. Общие принципы построения
фемтосекундных лазерных систем
В этом параграфе мы рассматриваем структуру фемтосекундных
лазерных систем. За последние годы сформулирован и переосмыслен
ряд принципиально важных для фемтосекундной лазерной физики
231
идей, позволивших достичь значительного прогресса прямых методов
генерации импульсов с длительностью вплоть до десятков периодов
оптических колебаний в лазерах на красителях. Интенсивно развива-
развивалась техника волоконно-оптической компрессии, базирующаяся на ис-
использовании сред с кубичной нелинейностью для уширения спектра
сверхкоротких импульсов и последующей фазировки спектральных
компонент. Разработаны эффективные методы усиления фемтосекунд-
ных импульсов.
Создание фемтосекундных лазерных систем потребовало не только
привлечения новых физических идей, но и новых инженерно-техниче-
инженерно-технических решений. Чтобы проиллюстрировать возникающие здесь техни-
технические проблемы, приведем ряд оценок. Импульс с длительностью
30 фс (А,=0,6 мкм) получается за счет фазировки спектральных компо-
компонент в диапазоне длин волн АА,«20 нм. При распространении в воз-
воздухе на расстояние 15 м его длительность за счет дисперсии увеличи-
увеличивается в полтора раза. В прозрачных конденсированных средах (стек-
(стекло, вода) дисперсионная длина не превышает одного сантиметра. Из-
Изменения амплитудных и фазовых характеристик фемтосекундных
импульсов при отражении от многослойных диэлектрических зеркал,
прохождении через линзы, призмы и другие оптические элементы уже
рассматривались в гл. 1. Надо сказать, что разработка широкополос-
широкополосных оптических элементов с контролируемыми амплитудными и, что
весьма существенно, фазовыми характеристиками является одной из
актуальных задач.
В фемтосекундных лазерах реализация синхронного режима на-
накачки требует согласования длин резонаторов с интерферометрической
точностью (до 10~3 см), так что при использовании стальной оптиче-
оптической скамьи изменение температуры в лаборатории всего на один
градус вызывает нарушение синхронного режима. В связи с этим осо-
особое значение приобретают системы автоматической стабилизации и уп-
управления оптическими системами с помощью ЭВМ.
Проблемы создания фемтосекундной техники успешно решаются
рядом лабораторий. Накопленный при этом практический опыт при-
привел к разработке основных функциональных модулей, позволяющих
строить гибкие фемтосекундные системы, ориентированные на прило-
приложения в физике полупроводников и твердого тела, исследования в об-
области электрооптики, динамики химических реакций и биологических
процессов.
К числу основных модулей относятся задающие генераторы с фикси-
фиксированной длиной волны, выполненные на основе твердотельных или
ионных лазеров. В последнее время особый интерес вызывают высоко-
высокостабильные лазеры на гранате с неодимом, работающие в режиме ак-
активной синхронизации мод или в сдвоенном режиме — синхронизации
мод и модуляции добротности. Преобразование частоты задающих
генераторов, как правило с уменьшением длительности, осуществ-
осуществляется методами нелинейной оптики (генерация гармоник, парамет-
параметрическое преобразование частот) или путем накачки перестраиваемых
по частоте лазеров (на красителях, центрах окраски, полупроводнико-
полупроводниковых или ВКР лазеров).
240
Управление длительностью, включая сжатие до единиц и десятков
фемтосекунд, а также формой сверхкоротких импульсов производится
с помощью волоконно-оптических компрессоров, содержащих амплитуд-
амплитудные и фазовые фильтры. Важным элементом фемтосекундных лазерных
систем являются широкополосные усилители (на красителях, эксиме-
рах, стеклах, кристаллах с центрами окраски), позволяющие в ряде
случаев достичь пиковых значений мощности 1012 Вт. И наконец, соз-
созданы комплексы контрольно-диагностической аппаратуры, измеряю-
измеряющие энергию, длительность, а также временной ход интенсивности и
фазы сверхкоротких импульсов.
Основные функциональные модули, позволяющие строить гибкие
фемтосекундные лазерные системы, ориентированные на исследование
быстропротекающих процессов и физики воздействия сверхсильных
оптических полей на вещество, приведены в табл. 6.1. Далее мы после-
Таблица 6.1
Функциональные модули фемтосекундных лазерных комплексов
Задающие генерато-
генераторы спектрально-
ограниченных
нмпульсов
Импульсные
YAG:Nd3+ лазеры
с электронным уп-
управлением доброт-
добротностью резонатора
YAG:Nd3+ лазе-
лазеры непрерывного
действия и с мо-
модуляцией доброт-
добротности
Перестраиваемые
по частоте источники
спектр ал ьио-огра-
ьио-ограниченных импульсов
Синхронно-накачи-
Синхронно-накачиваемые лазеры на
красителе
Рамановские свето-
водные лазеры
Параметрические
генераторы света
Параметрические
преобразователи в
ИК диапазон
Нелииейно-оптиче-
ские компрессоры
Волоконно - оптиче-
оптические модуляторы н
решеточные комп-
компрессоры с фильтра-
фильтрацией спектральных
компонент
Нелинейно- оптнче-
скне компрессоры с
преобразованием
частоты
Широкопол оси ые
усилители
Многокаскадные
усилители на кра-
красителях
Эксимерные уснли-
телн
Широкополосные
СО2 усилители вы-
высокого давления
довательно проследим весь путь импульса от задающего генератора
через нелинейно-оптические преобразователи частоты, перестраивае-
перестраиваемые лазеры, компрессоры и усилители к системам регистрации вре-
временного хода интенсивности и фазы.
§ 6.2. Задающие твердотельные генераторы
В настоящем параграфе мы кратко обсудим основные характерис-
характеристики задающих твердотельных генераторов, используемых в фемтосе-
фемтосекундных лазерных системах, имея в виду, что физические основы ге-
генерации пикосекундных импульсов с исчерпывающей полнотой осве-
освещены в литературе [1—3]. Основное внимание уделяется последним
достижениям в области повышения спектрального качества, стабиль-
стабильности, воспроизводимости и уменьшения длительности импульсов за-
задающих генераторов.
241
Пикосекундные импульсные твердотельные лазеры. Основным пре-
преимуществом импульсно накачиваемых твердотельных лазеров с пас-
пассивной синхронизацией мод является высокая энергия импульсов,
сочетающаяся со сравнительно малой начальной длительностью. На-
Напомним типичные характеристики лазера на алюмоиттриевом гранате
Рис. 6.1. Схема импульсного
твердотельного лазера с пас-
пассивной синхронизацией мод
и электронным управлением
добротностью резонатора:
1 — зеркало с кюветой, 2—
электрооптический затвор,
3 — диафрагма, 4 — актив-
активный элемент, 5 ■— блок
призм, 6 — выходное зерка-
зеркало; 7 — вспомогательная
призма, 8 и 9 — фотодиоды,
10 — усилитель, 11 — блок
лавинных транзисторов,
12 — блок задержки; 13 —
блок формирования импуль-
импульса, управляющего доброт-
добротностью [4]
с пассивной синхронизацией мод: полная энергия цуга генерации
до 10 мДж, единичного импульса до 1 мДж при длительности от 20 до
40 пс. Лазеры на гранате могут работать с частотой повторения
в единицы и десятки герц. Существенное улучшение стабильности и
воспроизводимости генерационных ха-
характеристик подобных систем достигает-
достигается за счет введения электронного управ-
управления добротностью резонатора [4, 103].
Схема генератора приведена на рис. 6.1.
В качестве активного элемента исполь-
использован двулучепреломляющий кристалл
YA1O3 : Nd3+, вырезанный вдоль оси В.
Блок из трех призм обеспечивает наст-
настройку лазера на длину волны излучения
1,064 мкм. Для пассивной синхрониза-
синхронизации мод применялся раствор красителя
№ 3955 в изобутиловом спирте, помещен-
помещенный в кювету, находившуюся в кон-
контакте с глухим зеркалом резонатора.
Управление добротностью осущест-
осуществляется с помощью электрооптического
затвора. Вначале на него подается запирающее напряжение, сни-
снижающее добротность резонатора (рис. 6.2). Часть энергии цуга,
генерируемого в режиме пассивной синхронизации мод, отводится на
фотодиоды. По достижении некоторого порогового значения мощности
излучения, электронная схема вырабатывает синхроимпульс и вклю-
включает цепь отрицательной обратной связи, которая снижает доброт-
добротность резонатора до значения, близкого к порогу генерации. В это
242
Рис. 6.2. Изменение во време-
времени добротности резонатора Q
и огибающей цуга излучения
лазера / при управлении доб-
добротностью [4]
время энергия пйчков генерации поддерживается на постоянном
уровне, а их длительность за счет действия поглотителя уменьшается.
Этот процесс продолжается в течение регулируемого промежутка вре-
времени А/«800 не. Затем формируется отпирающий импульс большой
амплитуды, увеличивающий добротность резонатора до максималь-
максимального значения. Благодаря высокому уровню инверсии активного эле-
элемента генерируется цуг мощных пикосекундных импульсов.
Экспериментальные исследования этого генератора [4] показали,
что за счет управления добротностью длительность генерируемых им-
импульсов уменьшается с 35 до 15 пс, стандартное отклонение длитель-
длительности и флуктуации энергии излучения, измеренные по второй.
Рис. 6.3. Уменьшение длительности частотно-модулированного импульса прв
его усилении: а — зависимость интенсивности / и текущей частоты v исходного
импульса от времени; б — контур линии усиления; в — выходной импульс
гармонике, уменьшаются с десятков процентов до единиц. Наличие
синхроимпульса, опережающего цуг генерации на время, плавно ре-
регулируемое в пределах 300—1500 не с погрешностью ±5 не, позволяет
решать технические проблемы синхронизации с другими импульс-
импульсными устройствами. Применения этого задающего генератора в схе-
схемах формирования фемтосекундных импульсов видимого и УФ диа-
диапазонов приводятся в § 6.3, 6.5.
Перспективное направление совершенствования подобных систем
связано с использованием контролируемой внутрирезонаторной фазо-
фазовой самомодуляции. По расчетным данным [5] в резонаторах с малым
числом Френеля фазовая самомодуляция однородна по сечению пуч-
пучка, ее наличие приводит к уменьшению длительности импульсов вплоть
до минимальных значений в 2—3 пс, определяемых шириной полосы
усиления активного элемента. Физическая картина уменьшения дли-
длительности частотно-модулированного импульса при его усилении ил-
иллюстрируется рис. 6.3.
Активные элементы на основе силикатного или фосфатного стекла
с неодимом имеют широкую полосу усиления (свыше 100 см) и по-
поэтому позволяют усиливать и генерировать субпикосекундные им-
импульсы. Однако на практике пока не удается осуществить синхрониза-
синхронизацию мод в пределах всей полосы усиления. Типичные значения дли-
243
тельности импульсов заключены в интервале 4—10 пс при энергии
до 10 мДж. Заметим, что высокое спектральное качество достигается,
как правило, в начале цуга генерации. В условиях широкой неодно-
неоднородно-уширенной линии усиления фазовая самомодуляция играет
негативную роль, приводя к развитию автомодуляционной неустойчи-
неустойчивости, появлению субструктуры и ухудшению спектрального качества.
Помещение в резонатор частотного фильтра может радикально из-
изменить ситуацию [6]. Авторы исследовали генерационные характе-
характеристики импульсного лазера на фосфатном стекле с активной синхро-
синхронизацией мод и модуляцией добротности. В качестве фильтра исполь-
использовался эталон Фабри — Перо толщиной 0,25 мм с шириной полосы
пропускания 15 см. Благодаря фазовой самомодуляции и ограниче-
ограничению полосы усиления длительность импульсов в цуге монотонно
уменьшалась от 40 до 4 пс. Наивысшее спектральное качество достига-
достигалось в конце цуга.
Непрерывно накачиваемые твердотельные лазеры с активной син-
синхронизацией мод. Другим принципиально важным для фемтосекунд-
яой оптики классом задающих генераторов являются непрерывно на-
накачиваемые твердотельные генераторы с активной синхронизацией
мод. Использование квазинепрерывных систем открывает широкие
возможности на стадии обработки сигналов: работа в режиме накопле-
накопления, применение техники синхронного усиления, детектирования
и т. д. Они генерируют импульсы длительностью 70—100 пс с частотой
повторения 82—100 Мгц и средней выходной мощностью 7—10 Вт.
Стандартное отклонение флуктуации выходной мощности на основной
частоте излучения не превышает 1,5—2 %. Удвоение частоты в крис-
кристалле КТР приводит к следующим значениям параметров: ти=30—
70 пс, <Р> = 1,5—0,75 Вт, флуктуации мощности на уровне 2—3 %.
Импульсы этих^лазеров на основной и удвоенной частотах успешно
сжимаются с помощью волоконно-оптических компрессоров более чем
в сто раз (обзор эксперимен-
экспериментальных данных в § 6.4).
Одной из основных облас-
областей их применения являет-
является синхронная накачка
перестраиваемых по часто-
Рис. 6.4. Схема YAG : Nd3 + лазера, работаю- те лазеров на красителях,
щего в режиме активной синхронизации мод и Твердотельные лазеры
модуляции добротности: 1 — глухое сферичес- с aKTI1BHOfl синхронизацией
кое зеркало, 2 — брюстеровская пластинка, *» ~j?
3 — активный элемент, 4 — акустооптический М°Д и модуляцией ДООрот-
модулятор добротности, работающий в режиме ности. Преимущества им-
бегущей волны, 5 — акустооптический син- пульсных (высокая энер-
хронизатор мод, работающий в режиме стоячей г ч и квазинепрерывных
волны, 6 — выходное зеркало [7] , ' v v
' F (высокая частота повто-
повторения, стабильность) сис-
систем удачно сочетаются в непрерывно накачиваемых твердотельных
лазерах, работающих в режиме активной синхронизации мод и моду-
модуляции добротности. Одна из возможных схем лазера с двойной моду-
модуляцией представлена на рис. 6.4 [71. Синхронизация мод осуществля-
244
ется акустооптическим модулятором со стоячей волной, для модуляции
добротности используется акустооптический модулятор с бегу-
бегущей волной. В режиме двойной модуляции излучение лазера пред-
представляет собой совокупность цугов пикосекундных импульсов, сле-
следующих с регулируемой частотой повторения (до 5 кГц). Средняя мощ-
мощность излучения на основной частоте — 2 Вт, средняя длительность
импульса ~ 70 пс, пиковая мощность — 2 МВт, число импульсов
в цуге — 30, флуктуации энергии на уровне 4 %. Эффективное удвое-
удвоение частоты в кристалле КТР приводит к длительности импульсов
второй гармоники ~ 50 пс при пиковой мощности 1 МВт.
t,MKC
Рис. 6.5. Диаграмма работы YAG : Nd3 н лазера с двойной модуляцией: / — эф-
эффективность дифракции в акустооптическом модуляторе добротности, 2 — эф-
эффективность дифракции в синхронизаторе мод, 3 — огибающая цуга лазерного
излучения [8]
Дальнейшее улучшение генерационных характеристик лазера на
гранате с двойной модуляцией достигается за счет введения электрон-
электронного управления добротностью резонатора и специального выбора
режима работы [8] (рис. 6.5). Предварительное формирование времен-
временной структуры излучения производится в условиях низкой доброт-
добротности резонатора, а затем, при резком увеличении добротности, проис-
происходит быстрое развитие цуга генерации. Электронная система обратной
связи обеспечивает скачкообразный рост добротности резонатора в
промежутке между пичками предварительной генерации. При опти-
оптимальном значении длительности свободной генерации 100 мкс форми-
формировались цуги спекгрально-ограниченных импульсов с длительностью
35 пс, пиковой мощностью свыше 1 МВт (при частоте следования 1 кГц)
и уровнем флуктуации энергии не более 5 %. Частоту повторения цу-
цугов vn можно варьировать в интервале от единиц до десятков кило-
килогерц. Авторы [8] отмечают, что при использовании специальных режи-
режимов модуляции добротности частоту vn можно увеличить до сотен
килогерц.
Генераторы с двойной модуляцией на основной или удвоенной
частоте успешно используются для синхронной накачки лазеров на
красителях, центрах окраски и параметрических генераторов, что по-
245
зволяет перекрыть весьма широкий диапазон длин волн спектрально-
ограниченными импульсами с пиковой мощностью в десятки киловатт.
По-прежнему, широко применяются лазеры на ионах инертных
газов (аргоновые и криптоновые). В режиме синхронизации мод они
генерируют импульсы длительностью порядка 102 пс, с частотой повто-
повторения 102 МГц и средней мощностью свыше 1 Вт. Основная область их
применения — накачка лазеров на красителях.
§ 6.3. Перестраиваемые по частоте
пико- и фемтосекундные лазеры
Для большинства приложений основной интерес представляют
источники сверхкоротких импульсов, перестраиваемые по частоте.
В настоящем параграфе мы обсудим основные тенденции их развития
за последние годы.
Впервые перестраиваемые по частоте импульсы длительностью ме-
менее 100 фс были получены в 1981 г. Шенком, Грином и Форком в ла-
лазере на красителе с пассивной синхронизацией мод, накачиваемом не-
непрерывным аргоновым лазером [9]. В течение нескольких лет предло-
предложенная ими схема со сталкивающимися импульсами (colliding pulse
mode locking-CPM laser) оставалась наиболее распространенной для
генераторов перестраиваемых по частоте фемтосекундных импульсов.
Использование внутризонаторной фазовой самомодуляции и компрес-
компрессии позволяет дополнительно сократить длительность генерируемого
импульса до 30 фс.
Создание высокостабильных YAG : Nd3+ лазеров с активной и
пассивной синхронизацией мод и высокоэффективных удвоителей час-
частоты на кристаллах КТР (сейчас речь идет уже о получении средних
мощностей второй гармоники до 10 Вт) привело к быстрому развитию
разнообразных схем синхронной накачки лазеров на красителях.
Для повышения стабильности и сокращений длительности синхронно-
накачиваемых лазеров применяются различные схемы комбинирован-
комбинированной синхронизации мод. На выходе уверенно получаются тщательно
сформированные спектрально-ограниченные импульсы с длитель-
длительностью менее 100 фс. Разработкой таких лазеров занимаются многие
лаборатории, и сейчас они успешно конкурируют, а во многих случаях
даже превышают по своим характеристикам лазеры с пассивной син-
синхронизацией мод.
Генерация перестраиваемых фемтосекундных импульсов реализо-
реализована при параметрических взаимодействиях в средах с квадратичной
нелинейностью и в средах с широкими рамановскими линиями усиле-
усиления, в особенности в волоконных световодах. В недавних работах
убедительно продемонстрирована эффективность принципов синхрон-
синхронной накачки в таких системах.
Фемтосекундные импульсы в лазерах на красителях с пассивной
синхронизацией мод. Схема кольцевого лазера на красителе со стал-
сталкивающимися в струе поглотителя импульсами приведена на рис. 6.6а.
Сокращение длительности импульса в такой системе обусловлено
оптимальными условиями просветления поглотителя при интерферен-
246
ции в нем двух встречно распространяющихся импульсов. В экспери-
экспериментах Шенка и соавторов использовался лазер на родамине 6Ж, а
в качестве насыщающегося поглотителя — раствор DODCI [9]. Прин-
Принципиальным моментом является протяженность нелинейного погло-
поглотителя, в цитируемой работе использовалась струя раствора толщиной
30 мкм. На выходе лазера были получены импульсы с длительностью
65—90фс и шириной спектра
около 125 см. Физическая
картина формирования им-
импульсов в подобных лазерах в
настоящее время детально про-
проанализирована и изложена,
например, в монографии [2].
По мере уменьшения ти до
десятков фемтосекунд перво-
первостепенную важность приобре-
приобретают вопросы совместного
проявления фазовой самомо-
самомодуляции и дисперсии груп-
групповой скорости в резонаторе.
Частотная модуляция, возни-
возникающая вследствие нелиней-
нелинейности показателя преломле-
преломления растворителя, в процессе
усиления и нестационарного
насыщения поглотителя, при
отражении от зеркал и т. п.,
может быть использована для
уменьшения длительности ге-
генерируемых импульсов. С
этой целью в резонатор ла-
лазера вводится диспергирую-
диспергирующий элемент, например, приз-
менный компрессор (рис. 6.66)
[10]. Авторами [11] продемон-
продемонстрирована возможность при-
применения для этих целей специально сконструированных зеркал, в
[12] использован интерферометр Жира — Турнуа.
Яркой иллюстрацией возможностей внутризонаторной компрес-
компрессии служит работа [13]. Дополнив кольцевой лазер со сталкиваю-
сталкивающимися импульсами призменным компрессором, авторы получили им-
импульсы с длительностью 27 фс. При линейной геометрии резонатора
и без применения режима сталкивающихся импульсов получено зна-
значение ти=33 фс.
Процесс формирования импульсов при наличии в резонаторной
полости диспергирующих и нелинейных элементов во многом аналоги-
аналогичен формированию оптических солитонов. Теория этих процессов и
ряд важных экспериментальных результатов приведены в [14]. В не-
недавних экспериментах [15] показано, что в лазерах с пассивной син-
<ц
Рис. 6.6. а — Схема кольцевого лазера на
красителе со сталкивающимися в струе пог-
поглотителя импульсами [9], б — аналогичный
лазер с. внутрирезонаторной схемой сжа-
сжатия; / -— поглотитель, 2 — струя активного
красителя, 3 — призменный компрессор [10]
хронизацией мод возможно формирование аналогов АЛсолитонных им-
импульсов с четко выраженной временной структурой.
До недавнего времени фемтосекундные лазеры с пассивной синхро-
синхронизацией мод работали в сравнительно узком диапазоне длин волн
610—640 нм, определяемом выбором усиливающего и поглощаю-
поглощающего красителей (родамин 6Ж и DODCI). Авторы [16] подобрали семь
пар красителей, позволяющих перекрыть спектральный диапазон от
550 до 700 нм. Дальнейшее продвижение в ИК диапазон осуществле-
осуществлено в работе [17], авторы которой в схеме с комбинированной синхрони-
синхронизацией мод получили импульсы длительностью до 65 фс на длине вол-
волны излучения 850 нм и продемонстрировали перестройку в интервале
длин волн 840—880 нм.
Для молекулярной спектроскопии и волоконной оптики большой
интерес представляет спектральный диапазон 1,2—1,6 мкм. Повыше-
Повышение эффективности и стабильности красителей, накачиваемых излуче-
излучением неодимовых лазеров, разработка специальных схем накачки
позволили увеличить энергетическую эффективность пикосекундных
лазеров до 10 % для красителей с временем жизни возбужденного со-
состояния в единицы пикосекунд. В [18] сообщается о запуске фемтосе-
кундного лазера (ти=300 фс), перестраиваемого в диапазоне длин волн
1,25—1,35 мкм. Синхронная накачка производилась импульсами ла-
лазера на гранате с неодимом с активной синхронизацией мод, сжатыми
в волоконно-оптическом компрессоре до 5 пс.
Лазеры на красителях с синхронной накачкой. Сущность метода
синхронной накачки заключается в модуляции коэффициента усиле-
усиления активной среды с помощью оптической накачки импульсами, час-
частота следования которых равна или кратна частоте обхода резонатора
генерируемым импульсом. Выходное излучение синхронно-накачивае-
синхронно-накачиваемого лазера представляет собой непрерывный или ограниченный цуг
импульсов, следующих синхронно с импульсами накачки. Для осу-
осуществления нестационарной модуляции усиления в активной среде
импульсы накачки должны иметь длительность тИ) существенно мень-
меньшую, чем время жизни населенности рабочего уровня 7\, и энергию,
превышающую пороговую для самовозбуждения лазера. Режим син-
синхронной накачки эффективен в тех случаях, когда период следования
импульсов накачки Тя превышает время жизни рабочего уровня,
Т^>Т1. В этой ситуации происходит быстрое формирование импуль-
импульсов генерации из шумовых затравок спонтанной люминесценции.
При анализе работы синхронно-накачиваемых лазеров важную
роль играет расстроечная характеристика — зависимость длитель-
длительности импульсов генерации ти от расстройки длин резонаторов нака-
накачивающего и накачиваемого лазеров АЬ=ЬЛ—LH. В реальных систе-
системах расстроечная характеристика имеет вид резко асимметричной ре-
резонансной кривой с характерной шириной AL/L~10. На практике
согласование длин резонаторов осуществляется исходя из условия
минимума ширины корреляционной функции интенсивности либо
максимума энергии излучения второй гармоники. Резонансный ха-
характер расстроечной характеристики и ее малая относительная ши-
ширина приводят к необходимости тщательной стабилизации периода
248
М=70
следования импульсов накачки. Подстройка частоты следования в ин-
интервале ±10 кГц может быть осуществлена с помощью акустооптиче-
ского модулятора.
Динамику формирования сверхкороткого импульса при последо-
последовательных проходах по резонатору иллюстрирует рис. 6.7 [19]. При
включении накачки на пер-
первых проходах в активной
среде формируется усиление,
превосходящее уровень по-
потерь. Временному максимуму
усиления соответствует вер-
вершина длинных по сравнению
с накачкой импульсов гене-
генерации. При последующих
проходах существенно воз-
возрастает интенсивность гене-
генерируемых импульсов и умень-
уменьшается их длительность за
счет преимущественного уси-
усиления вершины импульса, сов-
совмещенной с максимумом уси-
усиления. По мере перехода в
режим насыщения вершина
генерируемого импульса сме-
смещается к импульсу накачки и
выходит из области макси-
максимального усиления. В стацио-
стационарном режиме генерации на
периоде следования импуль-
импульсов накачки реализуется ба-
баланс усиления и потерь.
Типовая схема лазера на
красителе, синхронно накачи-
накачиваемого излучением второй
гармоники YAG : Nd3+ лазе-
лазеМ=90
.1
у
4
1 :
.■■
I,
м
450
i
100 ZOO 300 400 t,nc
pa с активной синхрониза-
синхронизацией мод, представлена на
рис. 6.8а. Излучение накачки
фокусируется сферическим
зеркалом в струю красителя,
расположенную под углом
Брюстера к оси резонатора.
При средней мощности накач-
накачки в 750 мВт и длительности импульсов 70 пс лазер генерирует им-
импульсы с длительностью менее 2,5 пс, частотой повторения 82 МГц и
средней мощностью 100 мВт. Энергия отдельного импульса 1,2 нДж.
Перестройка частоты излучения осуществляется с помощью частотно-
селективных элементов (фильтр Лио, эталон Фабри — Перо, призма,
решетка), помещенных в резонатор.
0
Рис. 6.7. Динамика формирования' сверх-
сверхкороткого импульса в синхронно-накачи-
синхронно-накачиваемом лазере при последовательных про-
проходах (число М) по резонатору: /—им-
/—импульс накачки, 2 — усиление, 3 — уровень
потерь, 4 — импульс генерации (амплиту-
(амплитуда нормирована на максимальное значе-
значение) [19]
9 С. А. Ахманов и др.
249
Использование схем с разгрузкой резонатора (cavity dumping),
одна из которых изображена на рис. 6.86, позволяет существенно уве-
увеличить энергию выходного импульса за счет снижения частоты повто-
повторения.
Рис. 6.8. Схема лазера на красителе, синхронно-накачиваемого второй гармо-
гармоникой YAG : Nd3+ лазера с активной синхронизацией мод, без разгрузки резо-
резонатора (а) и с разгрузкой (б): / —|[струя накачиваемого красителя, 2 — фильтр
Лио, 3 — акустооптический дефлектор, служащий для периодического вывода
импульса из резонатора
Работа этой схемы основана на замене выходного зеркала се-
селектором, состоящим из пары сферических зеркал и акусто- или элект-
электрооптического дефлектора, выводящего импульс из резонатора через
несколько десятков проходов. В промежутке между последователь-
последовательными выводами в резонаторе происходит накопление энергии. Дли-
Длительность импульса при этом возрастает в
два-три раза, а энергия — более чем на по-
порядок (до 20 нДж). Существенно, что час-
частоту следования импульсов можно изме-
изменять в диапазоне от десятков герц до не-
нескольких мегагерц.
Минимальная длительность импульсов
\У синхронно-накачиваемых лазеров. Процесс
/ генерации в растворах красителей хорошо
)'/ описывается четырехуровневой моделью ак-
активной среды (рис. 6.9)[20]. Квант накачки
с частотой @Н поглощается на переходе
/—4 между различными электронными сос-
состояниями молекулы красителя. Затем про-
происходит быстрая колебательная релаксация
внутри возбужденного электронного сос-
состояния с характерным временем тр~10~12с (переход 4—3). Пере-
Переход между уровнями 3 и 2 является излучательным с харак-
характерным временем 7\. Далее следует быстрая (с временем тр) колебатель-
2 50
Рис. 6.9. Схема энергети-
энергетических уровней лазера иа
красителе
ная релаксация на уровень, соответствующий минимуму энергии ос-
основного электронного состояния (переход 2—1).
Если длительность ти импульсов накачки и их интенсивность /и
удовлетворяют неравенствам ти^>тр, /„//„ас^ТУ^' гДе ^нас —ин"
тенсивность насыщения, то скорость переходов с уровня 1 на уровень 4
меньше скорости переходов 4—3 и, следовательно, уровни 4 и 2 прак-
практически не будут населены. При малой отстройке от центра линии гене-
генерации можно пренебречь резонансным вкладом в фазовую самомодуля-
самомодуляцию. Тогда систему уравнений, опи-
описывающих взаимодействие излучения
накачки с четырехуровневой средой
[21], можно преобразовать к системе
уравнений для эффективной двух-
двухуровневой среды.
В установившемся режиме при
нулевой расстройке длин резонаторов
(AL=0) для длительности генерируе-
генерируемых импульсов получена оценка
*и~К.ПI/2, F.3.1)
ю -
5
0,5
°>'i
о,/
5 10
Рис. 6.10. Экспериментальная за-
зависимость длительности импульса
генерации синхронно-накачивае-
синхронно-накачиваемого лазера на красителе от
длительности импульса накачки
[22]
где Тг — время затухания свободной
поляризации (для родамина 6Ж, Т2~
~5 фс).
В [22] проведено прямое экспе-
экспериментальное исследование зависи-
зависимости длительности импульса генерации ти синхронно-накачиваемого
лазера на красителе от длительности импульсов накачки (рис. 6.10).
Импульсы накачки формировались из излучения второй гармоники
YAG : Nd3+ лазера с активной синхронизацией моде помощью волокон-
волоконно-оптического компрессора, что позволяло изменять их длительность
в широком интервале от 34 пс до 460 фс. Эмпирическая зависимость
ти ~ <62 F.3,2)
хорошо согласуется с теоретической A). Минимальная длительность,
достигнутая в этих экспериментах, ти=210 фс при тн=460 фс, средняя
выходная мощность — 40 мВт. В последующих исследованиях [23]
выходную мощность удалось повысить до 125 мВт за счет дополнитель-
дополнительной подкачки красителя нескомпрессированным излучением, мини-
минимальное значение длительности снижено до 180 фс.
Теоретический предел длительности импульсов, генерируемых в ре-
режиме синхронной накачки, связан с невозможностью создания на ра-
рабочем переходе инверсии населенности за время, меньше времени коле-
колебательной релаксации тр«1 пс в данном возбужденном состоянии
молекулы красителя. Если длительность импульса накачки т„ заклю-
заключена в интервале Т2<^.хи<^с7, то, как показывают расчеты [24], мини-
минимальная длительность импульса генерации ограничивается величиной
„иП Гьф
Зависимость ти от ширины полосы пропускания Av частотно-се-
частотно-селективного элемента при постоянной длительности импульсов накачки
9* 251
(тн=100 пс) экспериментально исследована в [15]. Показано, что
Статистические характеристики синхронно-накачиваемых лазеров.
Результаты исследования статистических свойств излучения синхрон-
синхронно-накачиваемых лазеров имеют большое значение для выявления ос-
основных дестабилизирующих факторов, позволяют сформулировать
ВО
70
ВО
71-
69-
ИнтенсиВность } усл.ед.
Длительность^ с
400
600
800
Рис. 6.11. Зависимости от времени случайных параметров импульсов генерации
синхронно-накачиваемого лазера на красителе при накачке непрерывным цугом
импульсов с флуктуирующей длительностью (относительное стандартное откло-
отклонение флуктуации — 10 %) [26]
требования к стабильности параметров лазеров накачки и выявить
наиболее устойчивые режимы работы. Эффективным методом исследо-
исследования статистических характеристик является численный экспери-
эксперимент, в котором можно выделить вклады, вносимые флуктуациями
различных параметров импульсов накачки [26].
В качестве примера рассмотрим генерационные характеристики
лазера на красителе при накачке непрерывным цугом импульсов с
флуктуирующей длительностью (период следования и интенсивность
импульсов накачки фиксированы). На рис. 6.11 для установившегося
режима генерации приведены зависимости случайных выходных пара-
параметров импульсов генерации (пиковой интенсивности, периода следо-
следования и длительности) от времени, выраженного в единицах 2Llc.
252
Видно, что, несмотря на статистическую независимость флуктуации
длительности импульсов накачки, в случайных изменениях параметров
непрерывного выходного цуга прослеживается четко выраженная вре-
временная корреляция.
Отметим, что флуктуации интенсивности являются «быстрыми»,
характерное время их корреляции соответствует нескольким про-
проходам излучения по резонатору. Флуктуации длительности и време-
времени задержки сравнительно медленные, что согласуется с результатами
экспериментов [27]. Появление двух характерных масштабов корреля-
корреляции связано с наличием в системе двух существенно различных вре-
времен «памяти»: времени жизни фотона в резонаторе и времени формиро-
формирования импульса генерации,
Статистическая обработка ансамбля реализаций позволяет анали-
анализировать законы распределения случайных параметров выходного
цуга, вычислять средние значения и дисперсии. Проведенные в [26]
расчеты показали, что нормальный закон распределения флуктуации
длительности или интенсивности импульсов накачки переходит в близ-
близкий к нормальному закон распределения для перечисленных парамет-
параметров выходного излучения. Сводка характерных значений стандартных
отклонений дана в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Флуктуации параметров излучения синхроино-накачиваемых лазеров
Относительные стандартные отклонения приведены в процентах
Флуктуации параметров
импульсов иакачки
Интенсивность
Длительность
Период следования
10
10
0,1
Флуктуации параметров импульсов
генерации
Интенсив-
Интенсивность
10,36
10,38
3,39
Длитель-
Длительность
2,23
2,20
2,79
Период
следова ния
10,39
10,40
2,12
Статистические исследования синхронно-накачиваемых лазеров
показали, что основным дестабилизирующим фактором, влияющим на
воспроизводимость выходных параметров, является нестабильность
периода следования импульсов накачки, эквивалентная флуктуирую-
флуктуирующей расстройке длин резонаторов. Этот вывод хорошо согласуется
с результатами экспериментов [27].
Комбинированная синхронизация мод. При использовании метода
пассивной синхронизации мод пикосекундных лазеров достигаются
меньшие длительности импульсов и большая стабильность парамет-
параметров излучения, а при активной синхронизации мод — более высокие
энергетические характеристики. Одновременное использование обоих
подходов в схемах синхронной накачки пикосекундных лазеров при-
приводит во многих случаях к оптимальным результатам [28].
253
Динамика установления генерации в синхронно-накачиваемом
лазере с насыщающимся поглотителем, пространственно разделенным
от усиливающей среды, была исследована в численных экспериментах
[261. Чтобы выделить действие насыщающего поглотителя в чистом
виде начальное пропускание системы выбиралось равным начальному
пропусканию синхронно-накачиваемого лазера, рассмотренному в
предыдущем разделе.
При AL=0 и отсутствии фокусировки излучения в поглотитель
длительность импульсов генерации практически не изменяется. При
пятикратном увеличении интенсивности в поглотителе (за счет фоку-
фокусировки излучения) в численных экспериментах наблюдалось сокра-
сокращение длительности почти в два раза. Физика этого процесса такова.
На начальных этапах (линейный режим) динамика сжатия импульса
генерации ничем не отличается от рассмотренной ранее. На нелиней-
нелинейном этапе (насыщение усиливающей и поглощающей сред) действие
поглотителя сводится к укручению фронта импульса, усиливающая
среда в этой ситуации вызывает у кручение хвоста импульса.
Существенной особенностью лазеров с комбинированной синхро-
синхронизацией мод оказывается сравнительно слабая зависимость длитель-
длительности импульса генерации от расстройки длин резонаторов [29]. Это
снижает требования к точности настройки резонаторов и стабильности
параметров лазера накачки. В области больших отрицательных рас-
расстроек длительность импульса практически не меняется при измене-
изменении AL, а падает его энергия. При дальнейшем увеличении |AL| на-
наступает новый режим генерации — пульсирующий. В этом режиме
импульс формируется за 400—500 проходов, затем медленно переме-
перемещается вперед во времени и пропадает, далее начинает формиро-
формироваться новый импульс и процесс повторяется. Импульсов сателлитов,
или сложной субструктуры при этом не наблюдается.
Причина такого свойства расстроечных характеристик заклю-
заключается в том, что при комбинированной синхронизации мод активные
среды могут компенсировать значительные расстройки резонаторов.
Поглощающая среда вносит отрицательные задержки, а усиливаю-
усиливающая — положительные. Отметим еще значительное повышение ста-
стабильности режима генерации по сравнению с чисто активной син-
синхронизацией мод.
Перейдем к анализу схем, в которых использована комбинирован-
комбинированная синхронизация мод. В результате применения струи, состоящей
из смеси родамина 6Ж и поглотителя DQOCI, авторами [30] получены
импульсы с длительностью 70 фс при средней мощности излучения
30 мВт. Накачка производилась импульсами второй гармоники
YAG : Nd3+ лазера, средняя мощность излучения накачки 300 мВт.
В последующей работе [31] реализовано иное техническое решение —
одно из зеркал резонатора заменено антирезонансной полостью, со-
содержащей струю насыщающегося поглотителя (рис. 6.12). Геометрия
этой полости выбрана так, что в поглотителе происходит сталкивание
двух импульсов, распространяющихся в противоположных направле-
направлениях, что приводит к увеличению глубины просветления поглотителя
и, следовательно, уменьшению порога генерации фемтосекундных
254
импульсов. Достигнута выходная длительность ти=85 фс и продемон-
продемонстрирована перестройка в диапазоне длин волн 0,595—0,620 мкм, со-
сопровождавшаяся увеличением ти до 250 фс.
Нестационарные режимы генерации. Синхронную накачку лазе-
лазеров можно осуществлять с помощью цугов мощных пикосекундных
Рис. 6.12. Комбинированный лазер иа красителе с синхронной накачкой; одно
из зеркал резонатора заменено антирезонансной полостью, содержащей
струю насыщающегося поглотителя [30]
импульсов, генерируемых твердотельными лазерами с пассивной син-
синхронизацией мод или системами, работающими в режиме двойной мо-
модуляции. В этом случае достигается большая импульсная мощность
Рис. 6.13. Расчетное распреде-
распределение параметров импульсов
по цугу генерации лазера на
красителе при синхронной на-
накачке цугом из N импульсов:
1 — энергия импульсов накач-
накачки, 2 — энергия импульсов
генерации, 3 — длительность
импульсов генерации, 4 —
задержка генерируемых им-
импульсов относительно накачки
(точки — экспериментальные
результаты [24])
(до 10 МВт), что существенно расширяет область их применения. Од-
Однако нестационарный режим генерации приводит к заметному увели-
увеличению длительности импульсов, кроме того, параметры их изменяются
в пределах цуга. Иллюстрацией здесь служит рис. 6.13, на котором
приведены теоретические и экспериментальные результаты [24].
Физическая картина формирования излучения представляется
следующим образом. Первые импульсы накачки создают в активной
среде усиление, достаточное для генерации длинных импульсов, су-
существующих все время, пока усиление превышает потери (рис. 6.7).
Вершина импульса генерации соответствует максимуму усиления.
255
20 25 30 N
60
И
При последующих проходах наблюдается быстрое уменьшение дли-
длительности и значительный рост интенсивности генерируемого импуль-
импульса, что связано с временной модуляцией усиления. Задержка относи-
относительно импульса накачки при этом практически не меняется. Затем,
по мере насыщения усиления, вершина импульса генерации смещается
ближе к импульсу накачки и рассогласовывается с максимумом уси-
усиления. Этот процесс приводит к стационарному режиму, когда рост
коэффициента усиления за счет накачки компенсируется его убылью
за счет импульса генерации. Такое изменение во времени коэффици-
коэффициента усиления активной среды и задержки подробно исследовалось
в [32] по временному ходу
спонтанной люминесцен-
люминесценции, пропорциональной
усилению среды.
Зависимость средней по
цугу длительности импуль-
импульсов генерации <ти> от чис-
числа импульсов накачки М
приведена на рис. 6.14.
Видно, что увеличение М
до 40—60 приводит к уста-
установлению стационарного
значения <ти>. Основным
фактором, ограничивающим
минимальную длительность
выходных импульсов, явля-
является временная модуляция
цуга накачки, приводящая к неодновременности достижения порога
генерации для разных импульсов, что, в свою очередь, уширяет им-
импульс генерации. Отметим, что перспективными с точки зрения генера-
генерации длинных цугов (УИ~102) пикосекундных импульсов с постоянной
амплитудой являются твердотельные лазеры с самосинхронизацией
мод и электронным управлением добротностью резонатора.
Другие типы синхронно-накачиваемых лазеров. Распространенные
и эффективные источники, работающие в ближнем ИК диапазоне, это
лазеры на центрах окраски в щелочно-галлоидных кристаллах [33]. Ти-
Типичным примером здесь может служить лазер на F} центрах в кристал-
кристалле KF, описанный в [34]. При накачке непрерывной последователь-
последовательностью импульсов YAG : Nd3+ лазера (<Р>=5 Вт, ти=100 пс, час-
частота повторения — 100 МГц) он генерирует импульсы с длительностью
3—5 пс в области перестройки от 1,24 до 1,45 мкм. Активный элемент
помещается в вакуумную камеру и работает при температуре 70 К;
для окрашивания кристалла используется электронный пучок. В [35]
аналогичный лазер создан на Ft центрах в кристалле NaCl с диапазо-
диапазоном перестройки 1,35—1,75 мкм. Для улучшения спектральных ха-
характеристик в резонатор был помещен частотно-селективный элемент,
выполненный в виде пластинки сапфира толщиной 4 мм, что позволило
получить импульсы со спектральным качеством Avt=0,18. Авторами
[36] реализована генерация в кристалле LiF при накачке цугами вто-
256
Рис. 6.14. Расчетные зависимости средней по
цугу длительности (ти> и энергии (W), норми-
нормированной на стационарное значение 1УСТ, от
числа импульсов в цуге накачки М [26]
рой гармоники YAG : Nd3+ лазера с синхронизацией мод и модуля-
модуляцией добротности. Исследования распределения длительности им-
импульсов по цугу показали, что она уменьшается от 100 до 15 пс, наи-
наилучшее спектральное качество достигается в конце цуга.
В последнее время созданы пикосекундные лазеры на центрах ок-
окраски в кристаллах RbCl : Li и КС1 : Li, генерирующие спектрально-
ограниченные импульсы с длительностью ~10 пс в среднем ИК диа-
диапазоне B,74 мкм<С^<СЗ,15 мкм) при синхронной накачке излучением
аргонового лазера [37]. Эти источники, работающие с частотой повто-
повторения 82 МГц при средней мощности 30 мВт, существенно расширяют
возможности для исследования нелинейно-оптических явлений в во-
волоконных световодах, сверхбыстрых процессов в полупроводниковых
структурах и молекулах.
Несколько слов о комбинационных (рамановских) световодных ла-
лазерах. Детальное теоретическое исследование динамики их генерации
проведено в [38], многие практические схемы даны в [33]. Волоконные
световоды обеспечивают эффективное преобразование излучения на-
накачки в излучение на комбинационной частоте благодаря сочетанию
высокой плотности мощности с большой длиной нелинейного взаимо-
взаимодействия. Широкие линии комбинационных резонансов в кварцевых
стеклах (Av«250 см) позволяют формировать импульсы с длитель-
длительностью вплоть до 60 фс и осуществлять перестройку длины волны из-
излучения в пределах сотен обратных сантиметров.
В описанной в [40] схеме синхронно накачиваемого комбинацион-
комбинационного световодного лазера источником накачки служил ИК лазер на
красителе (^.„=1,32 мкм), генерировавший импульсы длительностью
1 пс. Одномодовый волоконный световод (длина 18 м, диаметр сердце-
сердцевины 4,1 мкм) помещался в линейный резонатор, образованный дву-
двумя зеркалами с коэффициентами пропускания на комбинационной час-
частоте (Яс=1,38 мкм) 0,5 и 20 %. При средней мощности накачки
50 мВт и уровне потерь 2—3 дБ лазер генерировал импульсы с дли-
длительностью 80 фс и средней мощностью свыше 10 мВт. Авторы отмечают,
что на формирование импульсов сильное влияние оказывает конку-
конкуренция дисперсионного расплывания и нелинейного самосжатия.
Параметрическая генерация сверхкоротких импульсов. Широкая по-
полоса параметрического усиления в кристаллах с квадратичной нели-
нелинейностью позволяет генерировать и усиливать фемтосекундные
световые импульсы; сводку данных по ПГС можно найти в [3]. При-
Применение ПГС в фемтосекундных лазерных системах предъявляет по-
повышенные требования к стабильности и спектральному качеству ге-
генерируемых импульсов.
Весьма эффективным методом улучшения пространственных и вре-
временных характеристик излучения ПГС является инжекция маломощ-
маломощного внешнего сигнала с высокой степенью когерентности. В этом слу-
случае генерация развивается не от уровня шумов, а от уровня инжек-
инжектируемого сигнала. Для инжекции можно использовать излучение
полупроводниковых лазеров [41] или лазеров на красителе, синхронно-
накачиваемых частью цуга излучения задающего генератора. В отли-
отличие от полупроводниковых лазеров, имеющих узкий диапазон перест-
257
ройки, инжектирующие лазеры на красителе позволяют осуществлять
плавную перестройку частоты ПГС в сравнительно широком диапазоне
длин волн.
Другой подход к уменьшению длительности импульсов и повыше-
повышению их спектрального качества основан на применении резонаторных
ПГС с синхронной накачкой [42]. В режиме синхронной накачки сиг-
сигнальный и/или холостой импульс после отражения от зеркал резона-
резонатора поступает в нелинейный кристалл одновременно с последующим
импульсом накачки. В результате существенно возрастает эффектив-
эффективная длина усиления и, следовательно, уменьшается пороговая интен-
интенсивность накачки. Это обстоятельство позволяет использовать в
качестве источника накачки не только цуги импульсов второй гармо-
гармоники лазера на стекле или гранате с пассивной синхронизацией мод,
но и системы с двойной модуляцией, работающие с частотой повторе-
повторения цугов в единицы килогерц, и даже квазинепрерывное излучение
лазеров на гранате с активной синхронизацией мод.
Естественно, что, как и в лазере на красителе, в ПГС с синхронной
накачкой принципиальную роль играет точное согласование длины
резонатора с периодом следования импульсов накачки. Ширина син-
хрорезонансной характеристики уменьшается по мере уменьшения
длительности импульсов накачки и несколько увеличивается при зна-
значительных превышениях пороговых значений интенсивности накачки.
Существенно, что в параметрических генераторах синхрорезонансная
характеристика имеет, как правило, два максимума, соответствую-
соответствующие групповому синхронизму для сигнального и холостого импуль-
импульсов. Как показано в [3], энергетическая эффективность ПГС с синхрон-
синхронной накачкой достигает максимума при четырех- пятикратном превы-
превышении порога генерации.
§ 6.4. Схемы компрессии; обзор экспериментальных данных
Оптические компрессоры, использующие фазовую самомодуляцию
импульсов в волоконных световодах, стали неотъемлемой частью фемто-
секундных лазерных систем. Общие принципы их построения едины,
вместе с тем разработка компрессоров, предназначенных для разных
лазеров и различных диапазонов длительностей имеет специфику.
Можно выделить по крайней мере три направления разработок, где
отчетливо проявляются специальные требования к фазовому модуля-
модулятору и схеме компрессии.
Первое из них связано с компрессией перестраиваемых по частоте
импульсов, генерируемых лазерами на красителях с синхронной на-
накачкой, от начальной длительности в единицы пикосекунд вплоть до
десятков фемтосекунд. Здесь речь идет обычно о достаточно мощных
импульсах, кроме того, существуют возможности промежуточного
усиления, в том числе и с килогерцовой частотой повторения. В этом
случае весьма эффективны каскадные схемы сжатия и традиционные
решеточные компрессоры.
Второе направление —• высокоэффективная компрессия импульсов,
генерируемых квазинепрерывными твердотельными лазерами с ак-
258
тивной синхронизацией мод, от начальной длительности в десятки пи-
косекунд до сотен фемтосекунд. Здесь чаще всего приходится иметь
дело с относительно маломощными импульсами, применение усили-
усилителей, как правило, исключается. Вместе с тем используемые нелиней-
нелинейные процессы носят квазистатический характер, инерционность не-
нелинейного отклика и волновая нестационарность практически не
проявляются. При создании решеточных компрессоров на первый
план выходят проблемы повышения пропускания и устранения прост-
пространственного сдвига частотных компонент (§4.2).
Третье направление — получение предельно коротких световых
импульсов F—10 фс) за счет сжатия усиленных импульсов лазеров
на красителях с начальной длительностью 40—100 фс. В этой ситуации
существенными становятся нестационарные эффекты, приводящие к
нарушению линейности частотной модуляции на выходе световода.
В компрессорах важную роль играет компенсация нелинейных абер-
аберраций.
Компрессия пикосекундных импульсов лазеров на красителях. Прак-
Практический интерес к этому направлению в получении сверхкоротких
импульсов в значительной мере был сти-
стимулирован работой Гришковского, На-
кацуки и Баланта [43], впервые проде-
продемонстрировавших подавление нелиней-
нелинейных аберраций при дисперсионной фазо-
фазовой самомодуляции (§ 4.3).
Авторы [43] исследовали нелинейное
преобразование огибающей и спектра
пикосекундных импульсов (ти=5,5 пс,
Ро=ЮВт, Х=0,59 мкм) в одномодовом
световоде (длина 70 м, диаметр сердце-
сердцевины 4 мкм). В результате самовоздей-
самовоздействия длительность импульса увеличи-
увеличилась до 20 пс, а его форма стала близка
к прямоугольной. После прохождения
линии задержки (в этих демонстрацион-
демонстрационных опытах применялась ячейка с пара-
парами натрия) импульс сжимался до 1,5 пс.
На рис. 6.15 экспериментальные резуль-
результаты сопоставлены с данными численно-
численного эксперимента, основанного на реше-
решении нелинейного уравнения Шрединге-
ра. Видно, что импульс приобретает фор-
форму близкую к прямоугольной и, следо-
следовательно, частотная модуляция стано-
становится практически линейной. Незначи-
Незначительные отличия экспериментальных и расчетных данных наблю-
даются^лишь на фронте и хвосте импульса. Эти результаты послужили
основой для реализации дисперсионного сжатия перестраиваемых по
частоте импульсов лазера на красителе от 5,4 псдо 450 фс [44], сте-
степень сжатия составляла S=12.
га
Рис. 6.15. Корреляционная
функция В н временное рас-
распределение интенсивности /
пикосекундного импульса на
выходе волоконного световода:
точки — экспериментальные ре-
результаты, сплошная линия —
расчетные данные [43]
259
10 no
Существенно большие степени сжатия реализуются в каскадных
схемах [451 (рис. 6.16). Исходный импульс с длительностью 5,9 пс и
пиковой мощностью 2 кВт испытывал дисперсионную фазовую само-
самомодуляцию в световоде длиной 3 м и сжимался в первом компрессоре
до 200 фс. Фактически в первом каскаде была достигнута предельная
степень сжатия S«30, дальнейшее увеличение входной мощности при-
приводит к развитию вынужденного комбинационного рассеяния. Во вто-
втором отрезке световода (L2=55 см) вновь производился набор частот-
частотной модуляции. На выходе
второго компрессора импуль-
импульсы имели длительность 90
фс, пиковую мощность 10 кВт
и следовали с частотой повто-
повторения 800 Гц. Дальнейшее
совершенствование этой схе-
схемы за счет введения проме-
промежуточного усилителя на кра-
красителе позволило достичь пре-
предельно малых длительностей
выходного импульса, ти =
= 16 фс при пиковой мощ-
мощности 88 кВт и частоте пов-
повторения 1 кГц D6].
Яркая демонстрация по-
подавления нелинейных аберра-
аберраций дана в [47]. Авторы со-
сообщают об успешном исполь-
использовании эффектов нелинейно-
нелинейного двулучепреломления для
улучшения временной структуры сжатых импульсов. Им удалось в
одном каскаде уменьшить длительность импульсов лазера на краси-
красителе с 6 пс до 380 фс, причем форма сжатых импульсов с высокой
степенью точности описывалась гиперболическим секансом.
Сжатие квазинепрерывного излучения твердотельных лазеров. Им-
Импульсы квазинепрерывной генерации YAG : Nd3+ лазеров имеют
сравнительно большую длительность ти~100 пс, невысокую пиковую
мощность Р0~10г Вт и следуют с большой частотой повторения 108Гц.
Достаточно сильная частотная модуляция таких импульсов может
быть получена только в длинных световодах, L~102—103 м.
Авторы [48] реализовали 80-кратное сжатие импульсов второй
гармоники YAG : Nd3+ лазера с активной синхронизацией мод. Им-
Импульсы второй гармоники имели начальную длительность 33 пс, пи-
пиковую мощность 240 Вт и частоту повторения 100 МГц. Параметры
входного излучения и сохраняющего поляризацию световода (длина
105 м, диаметр сердцевины 3,8 мкм) были согласованы так, чтобы реа-
реализовать оптимальный режим компрессии. Применялась двухпроход-
ная схема решеточного компрессора, позволившая избежать дифрак-
дифракционного смещения лучей и получить на выходе импульсы с длитель-
длительностью 410 фс и пиковой мощностью 1,2 кВт. В последующей работе
260
Рис. 6.16.
[45]
Схема двухкаскадного сжатия
ВО лс-
-85 пс
1,0655
1,06Z5
A)
■M
1,0655
1,0625
[49] за счет увеличения коэффициента передачи компрессора удалось
повысить пиковую выходную мощность до 3,4 кВт. Перестраиваемые
по длительности сжатые импульсы были использованы для синхронной
накачки лазера на красителе.
Обсудим эксперименты по компрессии импульсов YAG : Nd3+ ла-
лазеров на основной частоте. При переходе из видимого в ИК диапазон
частот уровень оптических потерь в световоде снижается с 16—20 до
0,2—1 дБ/км, что позволяет использовать волокна длиной Ю2—103 м
и эффективно сжимать им-
импульсы малой мощности.
Наглядной иллюстрацией
здесь может служить рабо-
работа [50], авторы которой
провели 45-кратное сжатие
(от 80 до 1,8 пс) квазине-
квазинепрерывного излучения
YAG : Nd3+ лазера. В ка-
качестве фазового модулятора
использовался одномодо-
вый световод длиной 300 м. ;27пс
После удвоения частоты в
кристалле КТР получена
средняя мощность 40 мВт
при частоте повторения
82 МГц.
Двухкаскадная схема
позволяет достичь степени
сжатия 5 = 113 и получить
субпикосекундные импуль-
импульсы ти=750фс с мощностью
Ро=400 Вт [51]. Первый
каскад, как правило, рабо- - , „ „ /-„\ •
л личной входной средней мощности (Р): а —
тает в оездисперсионном временное распределение интенсивности (спра-
режиме фазовой самомоду- Ва показан входной импульс); б — спектры;
ляции, второй —В диспер- / — <Р)=0,2 Вт, 2—0,8, 5—1,5 [53]
сионном. Дальнейшее раз-
развитие техники каскадного сжатия [52] позволило увеличить 5 до
450. Длительность сжатых импульсов составила 200 фс, пиковая
мощность — 8 кВт.
Детальное исследование зависимости спектральных и временных
характеристик на длине волны излучения Я=1,06 мкм проведено в
[53]. По мере увеличения входной мощности Ро от 50 Вт до 100 Вт
длительность импульса на выходе световода длиной 125 м увеличивалась
от 85 до 127 пс, а его огибающая приближалась к прямоугольной (рис.
6.17). Затем наблюдалось уменьшение ти до 43 пс при Ро=180 Вт.
Авторы [53] связывают эту немонотонную зависимость с комбинацион-
комбинационным преобразованием частоты. Иллюстрацией может служить рис. 6.17а
C), на котором отчетливо виден стоксов импульс (Хс = 1,12 мкм),
опережающий импульс накачки. Генерация излучения на стоксовой
45 пс
85пс
C)
а
t,nc
1Ш5
1,0625
LA,MKH
Рис. 6.17. Самовоздействие пикосекундного
импульса в волоконном световоде при раз-
разй й й (Р)
частоте подавляется из-за расстройки групповых скоростей. Разбе-
гание импульсов при сдвиге частот 440 см, соответствующем центру
линии комбинационного усиления, равно 1,5 пс/м при Л,=1,06 мкм
и 5 пс/м при Л=0,53 мкм, что ограничивает длину эффективного энер-
энергообмена расстоянием 20—70 м при длительности импульса 100 пс.
Комбинационное преобразование частоты в условиях большой
расстройки групповых скоростей эквивалентно увеличению потерь на
основной частоте излучения и, следовательно, снижает эффективность
самовоздействия.
Для совершенствования сверхскоростных оптических информацион-
информационных систем и их метрологического обеспечения необходимы сверх-
сверхкороткие импульсы в диапазоне длин волн Я«1,3 мкм. В [54] сообщает-
сообщается о 50-кратном сжатии (от 100 до 2 пс) импульсов YAG : Nd3+ лазера,
работающего на длине волны Я= 1,319 мкм. Для создания дисперсион-
дисперсионной ФСМ использовался световод длиной 2 км, причем длина волны
Якр, соответствующая нулевой дисперсии групповой скорости, была
сдвинута в область 1,59 мкм подбором легирующих добавок и профиля
показателя преломления. Получена пиковая мощность выходного
импульса Ро=615 Вт. Добавление второго отрезка световода (L2=
=40 м) с аномальной дисперсией групповой скорости (Якр = 1,275 мкм)
позволило получить фемтосекундные импульсы (ти=90 фс) в режиме
солитонного самосжатия. Итоговая степень сжатия S = 1100.
Использование световодов с различными знаками дисперсии груп-
групповой скорости позволяет создавать чисто волоконные схемы сжатия,
не требующие применения решеточных компрессоров [55]. Первый от-
отрезок световода используется в качестве фазового модулятора, вто-
второй — распределенного нелинейного компрессора. В теоретической
работе [56] выявлены оптимальные режимы работы таких схем и по-
показано, что их можно использовать для преобразования многосоли-
тонных импульсов накачки в мощные односолитонные импульсы.
Нелинейная фильтрация и компрессия импульсов твердотельных
лазеров с активной синхронизацией мод и модуляцией добротности.
Преимущества лазеров, работающих в режиме двойной модуляции,
детально обсуждались в § 6.2. Главное из них — сочетание высокой
импульсной мощности порядка 106 Вт с килогерцовой частотой повто-
(>ения. Для сжатия высокоэнергетичных импульсов как на основной
57], так и на удвоенной частоте [58], приходится применять сравни-
сравнительно короткие отрезки световодов, L~ 1—10 м. Ограничение на длину
световода определяется порогом вынужденного комбинационного рас-
рассеяния и приводит к неравенству /9tlJ)L<;i6/gc, где gc ~10~u см/Вт,
^эфф — эффективная интенсивность (§ 5.5). В этом случае реализуется
бездисперсионная фазовая самомодуляция, которая приводит к сни-
снижению энергетической эффективности компрессии и контраста сжа-
сжатого импульса. Кроме того, лазеры с двойной модуляцией имеют более
высокий уровень флуктуации параметров излучения, что, естествен-
естественно, дестабилизирует параметры сжатых импульсов.
Чтобы преодолеть эти недостатки, в [59] была создана схема сжа-
сжатия, в которой кристалл-удвоитель помещается между волоконным
световодом и решеточным компрессором. Напомним, что в бездиспер-
262
сионном режиме степень сжатия SsaO,88 -2nn2I3^L/l. Так как
предельное значение произведения /эфф L^.l6/gc, а коэффициент уси-
усиления на стоксовой частоте gc обратно пропорционален длине волны:
gc=C/X, где константа CsvlO'11 см-мкм/Вт, то максимальная степень
бездисперсионного сжатия S =0,88-2 лп216/С«30 практически не
ктр
/Г коррелятору
Рис. 6.18. Схема нелинейно-оптического компрессора: / — линзы, 2 — воло-
волоконный световод, 3 — кристалл-удвоитель, 4 — делительная пластина, 5 —
голографическая дифракционная решетка, 6 — призма, 7 — зеркало; иа встав-
вставках приведены корреляционные функции интенсивности импульсов иа выходе
удвоителя (А) и компрессора (Б) при различной длине кристалла КТР [59]
зависит от длины волны. В схемах с удвоением частоты до или после
компрессии степень сжатия, вычисленная по отношению к длитель-
длительности импульса на частоте задающего генератора, увеличивается еще
в \2 раз за счет укорочения импульсов в процессе ГВГ.
В схеме, реализованной авторами [59] (рис. 6.18), удваивается
частота свипированных импульсов. Если при этом ширина полосы
спектрального синхронизма не ограничивает спектр излучения, то
263
диапазон свипирования частоты также удваивается. Результатом этого
является повышение предельной степени сжатия на частоте гармоники
в ]/~2 раз. При увеличении длины нелинейного кристалла сужается
полоса спектрального синхронизма и кристалл-удвоитель начинает
играть роль аподизирующего полосового фильтра. Как показали ре-
результаты математического моделирования и экспериментов [59],
спектральная фильтрация приводит к повышению контраста и подав-
подавлению флуктуации параметров сжатых импульсов.
Схема экспериментальной установки представлена на рис. 6.18.
Лазер, работающий в сдвоенном режиме, генерировал цуги импульсов
с частотой повторения 2 кГц (Я=1,06 мкм, ти = 100 пс, Ро=1 МВт).
Основными элементами волоконно-оптического компрессора служили
одномодовый волоконный световод длиной 1 м, кристалл КТР и голо-
графическая дифракционная решетка. Варьирование длины кристал-
кристалла-удвоителя LKp B, 5, 8 и 11 мм) позволяло изменять ширину полосы
спектрального синхронизма. На рис. 6.18 приведены корреляционные
функции интенсивности второй гармоники, измеренные до (а) и после
(б) сжатия в решеточном компрессоре. Видно, что увеличение LKp от
2 до 11 мм приводит к уменьшению длительности частотно-модулиро-
частотно-модулированных импульсов на выходе кристалла с 62 до 30 пс. При этом дли-
длительность сжатых импульсов растет с 1,1 до 2,8 пс, но снижение степе-
степени сжатия компенсируется повышением контраста и уменьшением
флуктуации длительности с 30 до 10 %. Отметим, что простым пово-
поворотам кристалла-удвоителя осуществляется плавная перестройка час-
частоты излучения в пределах уширенного в световоде спектра (Av =
= 10—20 см).
В заключение подчеркнем, что реализованная схема нелинейно-
оптической компрессии позволяет совместить стабилизацию и управ-
управление параметрами импульсного излучения с высокой степенью сжа-
сжатия (S~102). Мощные (Р0>200 кВт) высококонтрастные импульсы с
длительностью 1 пс используются для накачки различных типов пере-
перестраиваемых по частоте фемтосекундных лазеров.
Эксперименты по получению предельно коротких импульсов ви-
видимого диапазона. В первых экспериментах подобного рода в качестве
источников использовались кольцевые лазеры на красителях, рабо-
Та блица 6.3
Компрессия фемтосекундных импульсов
Исход-
Исходная дли-
длительность,
фс
90
65
ПО
40
50
Входная
мощность,
кВт
6,7
55
260
250
200—300
Длина
световода,
см
15
0,8
1,5
0,7
0,8
Выходная
длитель-
длительность,
фс
30
16
12
8
6
Коэффи-
Коэффициент
сжатия
3
4
8
5
8,3
Частота
повторе-
повторения,
Гц
10
10
800
5000
8000
Год,
литература
1982 [60]
1984 [61]
1984 [62]
1985 [63]
1987 [64]
264
f
t%
тающие по схеме сталкивающихся импульсов. Необходимый для сжа-
сжатия высокий уровень входной мощности (~1МВт) обеспечивался
применением усилителей на красителях (§ 6.5), позволяющих полу-
получать фемтосекундные импульсы с энергиями в десятки наноджоулей.
Шенк, Форк, Иен и Столен сжали перестраиваемые по частоте им-
импульсы лазера на красителе с 90 до 30 фс, осуществив дисперсионную
фазовую самомодуляцию в
одномодовом световоде дли-
длиной 15 см; сжатие произво-
производилось в обычном решеточ-
решеточном компрессоре [601.
Результаты последую-
последующих экспериментов по сжа-
сжатию фемтосекундных им-
импульсов лазеров на краси-
красителях суммированы в табл.
6.3. Они наглядно демон-
демонстрируют прогресс в техни-
технике генерации, усиления и
компрессии фемтосекунд-
фемтосекундных импульсов. Минималь-
Минимальная длительность, достиг-
достигнутая с помощью решеточ-
решеточного компрессора, который
фазирует гармоники уши-
уширенного спектра в парабо-
параболическом приближении, со-
составила 8 фс [63], что соот-
соответствует примерно четырем
периодам оптических коле-
колебаний.
Следующий шаг в нап-
направлении получения пре-
предельно коротких импуль-
импульсов стал возможен благода-
благодаря теоретическому анализу
влияния возмущающих
факторов ( § 4.7), приводя-
приводящих к нарушениям линей-
ности частотной модуляции
при самовоздеиствии В све-
товодах, И разработке ком-
бинированных
призменных компрессоров,
которые позволяют компенсировать не только линейную, но и квадра-
квадратичную по времени частотную модуляцию, т. е. к разработке времен-
временной «линзы», способной устранять аберрации.
В экспериментах [64] импульсы длительностью 50 фс и энергией
до 125 нДж на длине волны 0,625 мкм модулировались по частоте
265
-и
-1г
24 t,tpa
Рис 6Л9- а _ Корреляционная фу„кция ин-
тенсивности фемтосекундного импульса, изме-
ренная в эксперименте [63]; б— корреляци-
решеточно- онная Функция поля импульса с длитель-
ностью 6 Фс I641
ностью
в световоде длиной 8 мм. С помощью пары решеток F00 штр/мм, b =4 мм)
их удалось сжать до 10 фс. Регистрируя зависимость сигнала при ге-
генерации суммарной частоты сжатого и исходного импульсов в тонком
кристалле KDP от относительной временной задержки импульсов,
авторы [64] установили наличие остаточной квадратичной частотной
модуляции сжатого импульса. Устранение этой модуляции компрессо-
компрессором, состоящим из двух пар призм, разнесенных на расстояние 71 см
пары решеток и кварцевой пластинки толщиной 6 см, привело к фор-
формированию импульсов длительностью 6 фс. Корреляционная функция
поля сжатых импульсов, измеренная по коллинеарной схеме ГВГ,
приведена на рис. 6.196. Таким образом, в видимом диапазоне частот
экспериментальные результаты вплотную приблизились к теорети-
теоретическому пределу в один оптический период.
§ 6.5. Усиление сверхкоротких импульсов
Одним из ключевых элементов современных фемтосекундных лазер-
лазерных систем являются оптические усилители. Их пригодность в фемто-
секундном диапазоне длительностей определяется в первую очередь
шириной полосы усиления Av. Предельная длительность усиливаемого
импульса не может превышать Av, поэтому практическое применение
нашли три типа усилителей: на красителях, стекле с неодимом и на
эксимерах *). Усилители на красителях обладают весьма широкой
полосой усиления Av~103 см, в них возможно усиление импульсов
предельно малой длительности. В усилителях на стекле и эксимерах
Av~102 см, и минимальная длительность усиливаемого импульса
составляет порядка 100 фс.
Физика и техника усиления зависят от области применения форми-
формируемых импульсов. Если речь идет о спектроскопических приложе-
приложениях, то, как правило, не требуется выходная энергия, превышающая
десятки наноджоулей. Основное внимание уделяется сохранению фор-
формы импульсов, их контрасту и возможности работы с большой час-
частотой повторения. Коэффициент усиления — 104—106.
Вместе с тем имеется другой круг проблем, где речь идет о получе-
получении сверхсильных оптических полей, и в этом случае наряду с широ-
широкой полосой усиления важной становится плотность энергии насыще-
насыщения &'иас. С точки зрения получения сверхсильных полей особый инте-
интерес представляют твердотельные усилители (для стекла аунас~1 Дж/см2)
и усилители на эксимерах, в которых wH!iZ~l0~3 Дж/см2 сущест-
существенно меньше, но зато имеется возможность значительного увеличения
апертуры.
Усилители на красителях. В видимом диапазоне длин волн наибо-
наиболее эффективными являются усилители на красителях, которые мож-
можно накачивать излучением второй гармоники твердотельных лазеров,
эксимерными лазерами или лазерами на парах металлов. На рис. 6.20
приведена схема сравнительно простой установки [65], основным эле-
элементом которой является лазер на красителе, синхронно накачивае-
*) Возможности параметрического усиления обсуждались в гл. 4.
266
мый излучением второй гармоники лазера на фосфатном стекле с пас-
пассивной синхронизацией мод. При согласовании длин резонаторов ла-
лазер на красителе генерировал цуги из 6—8 импульсов со средней по
цугу длительностью 10 пс и пиковой мощностью 16 кВт. Выделение
импульса с максимальной амплитудой производилось электроопти-
электрооптическим затвором. Импульс лазера на красителе модулировался по
Коррелятор
Усилители на красителе
\
ЭВМ
Компрессор
LXL
£
Рис. 6.20. а — Схема генерации мощных перестраиваемых по частоте спект-
спектрально-ограниченных субпнкосекундных импульсов; б — картина компрессии
цуга импульсов: импульс на выходе световода (штриховые линии), после компрес-
компрессора (сплошные) [65]
частоте в отрезке одномодового световода длиной 5 м, в результате
спектр уширялся до 40 см. На выходе компрессора получались им-
импульсы длительностью 700 фс. Усиление импульса до пиковой мощ-
мощности 7 МВт производилось в двухкаскадном усилителе, накачивае-
накачиваемом усиленным и удвоенным по частоте излучением задающего гене-
генератора. Использование одного задающего генератора для накачки
лазера на красителе и усилителей позволяет избежать технических
трудностей, связанных с синхронизацией каскадов усиления, и по-
понизить уровень флуктуации.
Аналогичный подход к созданию источника мощных перестраивае-
перестраиваемых по частоте и длительности субпикосекундных импульсов реали-
реализован авторами [66]. Отличительной особенностью этой установки
явилось использование в качестве задающего генератора лазера на
монокристалле YA103:Nd3+ с пассивной синхронизацией мод и
267
электронным управлением добротностью резонатора (§ 6.2) Цуг им-
импульсов со средней длительностью 20 пс после удвоения частоты ис-
использовался для синхронной накачки лазера на красителе С160, гене-
генерировавшего спектрально-ограниченные импульсы со средней дли-
длительностью 6 пс. Эти импульсы сжимались до 500 фс в волоконно-оп-
волоконно-оптическом компрессоре и поступали на вход двухкаскадного усилителя
на красителе. Поперечная накачка этого усилителя производилась
эксимерным лазером. Благодаря малой длительности импульса экси-
мерного лазера (тн = 10 не), он играл роль стробирующего устройства,
осуществлявшего выделение одиночного импульса из цуга генерации
лазера на красителе. Между каскадами усиления помещался насы-
насыщающийся поглотитель (этанольный раствор красителя малахитовый
зеленый). Энергия усиливаемого импульса достигала 50 мкДж, что
соответствует пиковой мощности 10 МВт.
Более серьезные технические проблемы приходится решать при
усилении до гигаваттных мощностей импульсов с начальной длитель-
длительностью в десятки фемтосекунд. Типовая конфигурация эксперимен-
экспериментальной установки представлена на рис. 6.21 [67]. В качестве источни-
источника накачки используется удвоенное по частоте излучение YAG : Nd3+
Рис. 6.21. Многокаскад-
Многокаскадный усилитель фемтосе-
кундных импульсов: 1—
лазер накачки с усили-
усилителем, 2 — удвоитель
частоты, 3—6 — кюветы
с красителем, 7 — реше-
решеточный компрессор; меж-
между каскадами усиления
расположены простран-
пространственные фильтры с на-
насыщающимися поглоти-
поглотителями [67]
лазера, работающего в режиме модуляции добротности (тн=8 не,
№о=35О мДж, частота повторения 10 Гц). Лазерный пучок уширял-
уширялся до 40 мм и использовался для поперечной накачки первых трех
каскадов усиления. Четвертый каскад накачивался продольно. Энер-
Энергия накачки распределялась по каскадам следующим образом: 1,5,
1,5, 26 и 71 %. Коэффициенты усиления, с учетом поглотителей, име-
имели значения 750, 20, 10 и 40. Важными элементами этой схемы явля-
являются фильтры пространственных частот, используемые для улучше-
улучшения пространственной структуры пучка, и насыщающиеся поглоти-
поглотители, которые увеличивают временной контраст усиливаемых импуль-
импульсов и подавляют спонтанное излучение.
При усилении импульсов лазера на красителе с начальной длитель-
длительностью 70 фс и энергией 0,2 нДж до энергии в 1 мДж (пиковая мощ-
мощность 2 ГВт) его длительность увеличивалась до 400 фс. Заметное уве-
увеличение длительности связано с дисперсионным расплыванием в раст-
растворителе (вода, 20 см) и оптических элементах (кварц, 5 см). Исполь-
Использование решеточного компрессора на выходе системы позволило ском-
скомпенсировать дисперсионное расплывание и при выходной мощности
26S
0,3 ГВт получить спектрально-ограниченные импульсы с длитель-
длительностью 70 фс. Компрессор состоял из двух параллельных решеток
F00 штр/мм), расположенных на расстоянии 5,2 см.
Следующим шагом на пути совершенствования схем усиления
фемтосекундных импульсов является разработка усилителей, рабо-
работающих с высокой частотой повторения [68]. Часть удвоенного по
частоте излучения задающего генератора, выполненного в виде
YAG:Nd3+ лазера с активной синхронизацией мод, используется для
синхронной накачки лазера на красителе. Дополнительное уменьшение
длительности лазера на красителе достигается применением насыща-
насыщающегося поглотителя и режима сталкивающихся импульсов. Другая
часть излучения задающего генератора поступает в регенеративный
усилитель на гранате, выполненный по схеме, аналогичной изобра-
изображенной на рис. 6.22. После 45 двойных проходов усиливаемый импульс
выводится из резонатора, он имеет энергию порядка 1 мДж при дли-
длительности 100 пс и частоте повторения 1 кГц. После удвоения частоты
в кристалле КТР с эффективностью 30% он используется для попереч-
поперечной накачки усилителя на красителе, состоящего из двух кювет дли-
длиной по 1 см. В процессе усиления энергия импульса возрастает от
350 пДж до 1,5 мкДж (коэффициент усиления 104), а длительность —
от 85 до 170 фс. Уширение импульса связано с дисперсионным расплы-
ванием и насыщением усиления. В принципе, подобные системы
позволяют усиливать до мегаваттных мощностей импульсы длитель-
длительностью в десятки фемтосекунд при килогерцовой частоте повторения.
Хорошо зарекомендовали себя многопроходные струйные усилители
на красителе [69]. Для их накачки используются лазеры на парах
меди, генерирующие импульсы накачки длительностью 10—20 не с
килогерцовой частотой повторения и средней мощностью порядка
10 Вт. В экспериментах по усилению фемтосекундных импульсов
лазеров на красителе после шести проходов достигнута энергия
ЮмкДж (коэффициент усиления 105) при частоте повторения 6,5 кГц
и уровне спонтанной эмиссии, не превышающем 5 % [70].
Усилители на стекле с неодимом. Эксперименты по усилению и ком-
компрессии импульсов лазера на фосфатном стекле (Я=1,054 мкм, тн =
=5 пс) проведены авторами [71]. Выделенный из цуга генерации оди-
одиночный импульс испытывал бездисперсионную самомодуляцию в
коротком (L=40 см) отрезке градиентного многомодового световода.
Использование многомодового световода со сравнительно большим
диаметром сердцевины E0 мкм) позволило увеличить выходную энер-
энергию частотно-модулированного импульса до 2 мкДж. В усилителе на
фосфатном стекле его энергия увеличивалась до 500 мкДж, после чего
он сжимался до 700 фс. Регистрация производилась методом двухфо-
тонной люминесценции с использованием оптического многоканаль-
многоканального анализатора. Пиковая мощность импульса с учетом потерь в
решеточном компрессоре составила 300 МВт.
Перейдем к анализу экспериментов по формированию мощных
сверхкоротких импульсов на частоте задающего твердотельного гене-
генератора. На рис. 6.22 показана схема экспериментальной установки
[72], в состав которой входит квазинепрерывный YAG : Nd3+ лазер
269
с активной синхронизацией мод, одномодовый волоконный световод
(длина 1,4 км, диаметр сердцевины 9 мкм), регенеративный усилитель
на стекле с неодимом и двухпроходный решеточный компрессор. При
самовоздействии в световоде длительность импульса задающего гене-
генератора возрастает со 150 до 300 пс, а ширина спектра увеличивается
до 5 нм. Частотно-модулированные импульсы инжектируются в реге-
регенеративный усилитель на стекле с неодимом. В резонатор усилителя
помещена пластинка Я/4 и ячейка Поккельса, служащая для вывода
Рис 6 22. Схема экспериментальной установки для генерации мощных пико-
секундных импульсов- / — задающий генератор, выполненный в виде YAG :
Nd3+ лазера с активной синхронизацией мод, 2 — волоконный световод длиной
1,4 км, 3 — регенеративный усилитель, 4 — двухпроходный решеточный ком-
компрессор; приведены временные распределения интенсивности и частоты в харак-
характерных точках схемы [72]
усиливаемого импульса из резонатора после нескольких десятков про-
проходов. Энергия усиленного импульса с линейной частотной модуля-
модуляцией достигает 2 мДж. Затем он поступает в решеточный компрессор,
где сжимается до 1,5 пс. Несмотря на некоторые искажения огибаю-
огибающей, связанные с насыщением усиления, контраст сжатых импульсов
достаточно высок.
По последним сообщениям за счет введения дополнительных кас-
каскадов усиления энергию импульса удалось довести до 100 мДж, а за-
затем и до 1,3 Дж [73]. Пиковая мощность такого импульса достигает
0,6-1012 Вт. Авторы [73] отмечают высокую степень пространствен-
пространственной когерентности — диаметр фокального пятна превышает дифрак-
дифракционный предел только в два раза, что позволяет при фокусировке
получать интенсивности до 1018 Вт/см2.
Подчеркнем, что с точки зрения достижения минимальной длитель-
длительности усиление частотно-модулированного импульса и последующее
270
сжатие эквивалентно сжатию и последующему усилению — опреде-
определяющую роль здесь играет ширина полосы усиления. Однако по энер-
энергетическим соображениям усиление частотно-модулированного им-
импульса гораздо выгоднее, так как самофокусировка и пробой ограни-
ограничивают пиковое значение интенсивности в усилителе на уровне
1010 Вт/см2. Пиковая интенсивность частотно-модулированного им-
импульса на два порядка меньше, чем сжатого, поэтому максимальная
энергия, извлеченная из активной среды, значительно возрастает.
§ 6.6. Генерация и усиление мощных фемтосекундных импульсов
УФ диапазона
Проблема формирования мощных фемтосекундных импульсов УФ
диапазона представляет значительный интерес в связи с фундаменталь-
фундаментальными приложениями в лазерной фотохимии, физике плазмы и конден-
конденсированных сред. Импульсы УФ излучения с пиковыми мощностями,
достигающими 1012 Вт, могут быть использованы для генерации излу-
излучения в области вакуумного ультрафиолета и мягкого рентгена. За
последние годы в физике и технике генерации мощных УФ импульсов
получен ряд важных результатов, их анализу и посвящен данный па-
параграф.
Уже в начале 80-х годов стало ясно, что перспективы генерации
сверхкоротких импульсов УФ диапазона связаны с удвоением частоты
лазеров на красителях и их последующем усилении в эксимерных уси-
усилителях. Трудности в осуществлении пассивной или активной син-
синхронизации мод эксимерных лазеров вызваны, прежде всего, малыми
временами существования инверсии в активной среде A0~6—10~"8 с),
что резко ограничивает число проходов излучения по резонатору.
К настоящему времени минимальная длительность, реализованная в
режиме активной синхронизации мод, составляет 120 пс [74]. Итоги
развития пикосекундных эксимерных систем подведены в обзоре [75].
Переход в фемтосекундный диапазон длительностей стал воз-
возможен благодаря прогрессу в генерации сверхкоротких импульсов
видимого диапазона, развитию техники волоконно-оптической компрес-
компрессии, усиления и нелинейно-оптического преобразования частоты из
видимого в УФ диапазон. Это позволило сформировать достаточно
мощные затравочные импульсы для каскадного усиления в эксимерных
усилителях. Преимущества эксимерных сред для усиления фемто-
фемтосекундных УФ импульсов обусловлены сравнительно большой шири-
шириной полосы усиления (Av«160 см для ХеС1 при >.=0,308 мкм), вы-
высоким удельным энергосъемом A Дж/литр) и большим КПД A %).
Поэтому фемтосекундные лазерные системы, созданные в ведущих
лазерных лабораториях, отличаются, в основном, техникой формиро-
формирования затравочных УФ импульсов.
В [76] использовался лазер на красителе, синхронно накачиваемый
аргоновым лазером. Выходные импульсы имели длительность 6 пс при
средней мощности 200 мВт на длине волны излучения 0,616 мкм. С по-
помощью волоконно-оптического компрессора они сжимались до 600 фс
и усиливались в четырехкаскадном усилителе, накачиваемом излу-
271
чением второй гармоники YAG : Nd3+ лазера с модуляцией доброт-
добротности до энергии 0,3 мДж. Удвоение частоты производилось в кристал-
кристалле KDP. Сформированные таким образом затравочные импульсы
усиливались в двухкаскадном ХеС1 усилителе до энергии 10 мДж.
Длительность выходных импульсов составляла 350 фс, пиковая мощ-
мощность — 30 ГВт.
Авторы [77] выбрали в качестве задающего генератора квазинепре-
квазинепрерывный YAG : Nd3+ лазер с активной синхронизацией мод, который,
после удвоения частоты, накачивал лазер на красителе с пассивной
синхронизацией мод. Последний генерировал импульсы длительностью
1,5 пс на длине волны 0,745 мкм при средней мощности 40 мВт. Они
сжимались в волоконно-оптическом компрессоре до 150 фс и усилива-
усиливались в двухкаскадном усилителе на красителе, накачиваемом второй
гармоникой YAG : Nd3+ лазера с модулированной добротностью.
Усиленные импульсы имели длительность 210 фс и энергию 130 мкДж.
Затем они каскадно утраивались по частоте и усиливались в двух KrF
усилителях. В итоге на длине волны 0,248 мкм получались импульсы
с длительностью 220 фс и энергией 20 мДж, что соответствует пиковой
мощности 100 ГВт.
В [78] излучение наносекундного эксимерного лазера (тн=20 не,
№=100 мДж) использовалось для накачки целого ряда кювет с кра-
красителями, первая из которых представляла собой лазер на красителе
с «гасящимся» резонатором (тн = 120 пс, Я=0,340 мкм). Усиленные
импульсы этого лазера накачивали лазер с коротким резонатором
(тн=18 пс, А-=0,365 мкм), импульсы которого вновь усиливались в
трехкаскадном усилителе на красителе, снабженном насыщающимися
межкаскадными фильтрами (ти=8 пс, W=5 мкДж). Полученные им-
импульсы накачивали РОС лазер на красителе (ти=320 фс). После очеред-
очередных трех каскадов усиления, их частота удваивалась в кристалле K.DP
толщиной 0,5 мм. Энергия затравочных УФ импульсов составляла
5 мкДж. В эксимерном модуле, работавшем по двухпроходной схеме,
их энергия возрастала до 5 мДж (тк=220 фс, Я=0,308 мкм).
В последующей работе [791 благодаря замене красителей в РОС
лазере и усилителях, затравочные импульсы формировались на длине
волны Х=0,248 мкм. Они усиливались в Кг F усилителе и, после двух
проходов, имели энергию 15 мДж при длительности 370 фс. Было об-
обнаружено, что импульсы обладали линейной частотной модуляцией,
это позволило сжать их с помощью призменного компрессора до
80 фс. Для дальнейшего усиления несжатых импульсов использовался
широкоапертурный KrF модуль, на выходе которого достигалась
энергия 70 мДж.
В лаборатории нелинейной оптики Московского университета
создана фемтосекундная УФ система (рис. 6.23), в которой задающим
генератором является мощный твердотельный лазер с пассивной
синхронизацией мод и электронным управлением добротностью резо-
резонатора, подробно описанный в §6.2. Такой принцип построения фемто-
секундной эксимерной системы позволяет иметь мощные пикосекунд-
ные импульсы ИК диапазона, синхронизованные с пико- и фемтосе-
кундными импульсами видимого и УФ диапазонов. Другие узлы
272
системы — волоконно-оптический компрессор и двухкаскадный уси-
усилитель на красителе, накачиваемый излучением эксимерного лазера,
также рассмотрены в § 6.4 и 6.5. Для удвоения частоты сжатых им-
импульсов (ти=500 фс, Я=0,616 мкм) использовался кристалл KDP
Дифракционная
решетка
Насыщающийся
фильтр
компрессор
Система
CUHXpOH-
Рис. 6.23. Фемтосекундная лазерная система УФ диапазона, созданная в Лабо-
Лаборатории нелинейной оптики Московского университета [80]
толщиной 2 мм с шириной полосы спектрального синхронизма на дли-
длине волны основного излучения — 40 см и на длине волны гармо-
гармоники — 80 см. КПД преоб-
преобразования во вторую гармо- i вМ/ВСО)
нику — 5 %, энергия затра- f,OY *
вочного импульса — 2,5мкДж ! •
при длительности 350 фс. От-
Отношение пикового значения
интенсивности к интенсив-
интенсивности побочных максимумов
составляло не менее 400.
После двухкаскадного усиле- 0,5
ния энергия выходных им-
импульсов достигла 20 мДж,
что при длительности 350 фс
соответствует пиковой мощ-
мощности 60 ГВт. Корреляцион-
Корреляционная функция интенсивности,
измеренная методом генерации ' ^2 -У 0 1
второй гармоники при отраже-
отражении от поверхности нелиней- Рис 6.24. Корреляционная функция ин-
нпгпкпигтяппя ппикрпрня ня тенсивности УФ импульса, измеренная по
ного кристалла, приведена на методу неколлинеарной генерации второй
рис. 6.z4. Детали техники из- гармоники при отражении от поверхности
мерений обсуждаются в §6.8. нелинейного кристалла [81]
273
Таблица 6.4
Сравнительные характеристики фемтосекундных экснмерных лазерных систем
Группа
(страна, год)
П. Сорокин
и др. (США,
1986) [76J
С. Ахманов
и др. (СССР,
1986) [80]
Ч. Роудси др.
(США, 1986)
[77]
Ф. Шефер
и др. (ФРГ,
1987) [78, 79]
Задающий
генератор
Аг+ лазер с пассив-
пассивной синхронизацией
мод
YA103:Nds+ лазер
с пассивной синхро-
синхронизацией мод и уп-
управлением доброт-
добротностью
YAG:Nd3+ лазер с
активной синхрони-
синхронизацией мод
Лазер на красителе,
накачиваемый ХеС1
лазером
Эксимерная
молекула
ХеС1
XeCl
KrF
XeCl
KrF
s
308
308
248
308
248
о
■&
s
350
350
350
220
80
Число каска-
каскадов усиления
2
2
2
2
3
Лпертура
оконечного
усилителя,
см*
2,2X0,9
3,1x3,5
1,5X1,0
2,3x1,1
4,0x3,5
щ
h
10
20
20
5
70
Н
СО
и
о
а,
30
60
60
20
900
\У,мДж/см
Информация по фемтосекундным эксимерным системам суммирова-
суммирована в табл. 6.4.
Остановимся подробнее на усилении фемтосекундных импульсов в
эксимерах. Основные особенности здееь связаны с широкой полосой уси-
усиления и большим сечением
индуцированного перехода
(ан = 10~1всм2). Поэтому в
= 80иг' эксимерных усилителях ве-
велика вероятность возник-
возникновения паразитной гене-
генерации, что приводит к не-
необходимости использова-
' Av = 5см"' ния затравочных импульсов
с высоким контрастом и
осуществления пространст-
пространственной фильтрации излу-
излучения в промежутках меж-
ду каскадами. Большая
1 2 3 4 5 Мвк,мкДж/см2 часть запасенной в среде
d,™ с ос о энергии может быть сня-
Рис. о./о. Зависимость плотности энергии
усиленного в эксимере XeCl пико- (треуголь Та K0P0T™M импульсом
ники) и фемтосекукдного (кружки) импульсов излучения при условии,
от плотности энергии входного излучения [80] что затравочный импульс
274
обладает достаточно высокой энергией (такой, чтобы выход на
уровень энергии насыщения осуществлялся на малом по сравне-
сравнению с полной длиной усилителя расстоянии) и достаточно широким
спектром (сравнимым с шириной линии усиления). В экспериментах
[801 наглядно продемонстрировано увеличение энергии насыщения
более чем в два раза при уменьшении тн от 6 пс до 350 фс (рис. 6.25).
Теоретическое исследование процесса усиления коротких импульсов
в эксимерном лазере выполнено в [80, 81]. Важным, хотя быть может
и несколько неожиданным на первый взгляд, оказывается вывод о
том, что по мере сокращения длительности импульса, процесс усиле-
усиления становится практически полностью некогерентным. Это обуслов-
обусловлено специфической структурой спектра эксимерной молекулы. По-
Поэтому, если при усилении пикосекундных импульсов возможны про-
проявления когерентных эффектов, связанных с осцилляциями населен-
ностей на отдельных вращательных переходах, разбиение на субим-
субимпульсы (рис. 6.26) и т. п., то усиление
фемтосекундных импульсов базируется
на некогерентных взаимодействиях.
Рис. 6.26. Измеренная с помощью
электронно-оптической камеры
форма пикосекундного УФ им-
импульса на выходе ХеС1 усилителя,
работающего в режиме глубокого
насыщения. Разбиение на субим-
субимпульсы связано с когерентными
эффектами [81]
Рис. 6.27. Сверхуширеыие спектра фемто-
секундпого УФ импульса в воздухе при
фокусировке линзой с фокусным расстояни-
расстоянием 1,5 м; пиковая мощность исходного им-
импульса 10 ГВт, длительность 350 фс [81]
В настоящее время интенсивно исследуются нелинейно-оптические
явления в поле мощных фемтосекундных импульсов. В [83] впервые
было зафиксировано значительное уширение спектра при фокусировке
в воздухе (Я=0,308 мкм, ти=350 фс, №=1,5 мДж, фокусное расстоя-
расстояние линзы — 3 м). До фокуса ширина спектра импульсов составляла
60 см, после фокуса она возрастала до 10s см. Аналогичное уши-
уширение наблюдалось и в [811, соответствующие спектры приведены на рис.
6.27 (ти =350 фс, Р0 = 10ГВт, фокусное расстояние— 1,5 м). Видна моду-
модуляция с периодом около 25 см уширенного до 600 см по основанию
275
спектра. Уширение спектра не сопровождалось заметными искажениями
формы импульса, поэтому эффект может быть использован в широко-
широкополосной абсорбционной спектроскопии. Вопрос о физических меха-
механизмах сверхуширения спектра является достаточно сложным. Ясно,
что существенную роль здесь играет фазовая самомодуляция, прояв-
проявляющаяся в условиях самофокусировки, и генерация плазмы [83].
Фундаментальные физические приложения сверхмощных источни-
источников фемтосекундных УФ импульсов связаны с изучением поведения
вещества в экстремально сильных полях, т. е. полях с напряженно-
стями, превышающими внутриатомные (£а~109 В/см). Для рассматри-
рассматриваемых лазерных систем уже в ближайшее время реально достижимым
уровнем энергии следует считать величину 0,1 Дж при длительности
300 фс.
§ 6.7. Фемтосекундные импульсы в дальней И К области
Для нестационарной спектроскопии многоатомных молекул, раз-
разработки методов получения неравновесных внутримолекулярных воз-
возбуждений, изучения физики узкозонных полупроводников принципи-
принципиальное значение имеет создание источников мощных сверхкоротких
импульсов дальнего ИК диапазона.
Идея использования фазовой самомодуляции и дисперсионного
сжатия оказалась весьма плодотворной и в ИК диапазоне на длине
волны генерации СО2 лазера. Отправным пунктом здесь явились экспе-
эксперименты [84], в которых импульс СО2 лазера с исходной длительностью
2 пс поступал в регенеративный усилитель высокого давления. В про-
процессе формирования цуга выходных импульсов наблюдалось их уко-
укорочение от 2 пс до 600 фс при характерных значениях пиковой
интенсивности 1012 Вт/см2. В [84] высказано предположение, что наблю-
наблюдавшееся укорочение импульсов связано с формированием волны элек-
электронной плотности. Индуцированное излучением повышение концент-
концентрации заряженных частиц вызывает изменение действительной и мни-
мнимой частей показателя преломления и, следовательно, приводит к
появлению частотной модуляции. При распространении в среде с ано-
аномальной дисперсией, а в обсуждаемом эксперименте это были лазерные
окна, изготовленные из кристаллов NaCl, частотно-модулированный
импульс сжимается.
В последующих теоретических работах [85, 86] был проведен ана-
анализ взаимного влияния мощного импульса излучения СО2 лазера и
порождаемой им волны электронной плотности. Показано, что если
интенсивность лазерного импульса достаточно велика, чтобы вызвать
изменение концентрации электронов, то результирующее изменение
показателя преломления вызовет увеличение текущего значения час-
частоты со временем на фронте импульса и рост поглощения на хвосте.
Различные физические механизмы, приводящие к росту концент-
концентрации зарядов («разогрев» электронов излучением с последующей ио-
ионизацией электронным ударом и фотоионизация электронно-возбужден-
электронно-возбужденных атомов в поле интенсивного излучения), анализируются в [86J.
276
В [87] сообщается о последних достижениях в области генерации
фемтосекундных ИК импульсов методом стробирования сравнительно
длинного (ти = 100 не, Я,=9,5 мкм) импульса гибридного СО2 лазера.
Для стробирования использовались два быстрых полупроводниковых
ключа. Первый из них, изготовленный из теллурида кадмия, работал
на отражение (рис. 6.28). В момент прихода мощного фемтосекундного
импульса видимого диапазона в поверхностном слое полупроводника
70 фс
2
;
Рис. 6.28. Схема экспериментальной установки для генерации фемтосекундных
импульсов ИК диапазона: 1 — фемтосекукдный лазер на красителе, 2 — усили-
усилитель на красителе, 3 —гибридный СО2 лазер, 4 — CdTe ключ, работающий на
отражение, 5 — германиевый эталон, 6—поляризатор, 7 — кварцевый ключ,
работающий на пропускание [87]
генерируются свободные носители с высокой концентрацией. В ре-
результате формируется плазменное зеркало, направляющее ИК им-
импульс во второй ключ, работающий на пропускание. Этот ключ из-
изготовлен из кремния и используется для формирования хвоста ИК
импульса.
Стробирующие импульсы видимого диапазона с длительностью
70 фс генерировались лазером на красителе и усиливались в двухкас-
кадном усилителе, накачиваемом излучением эксимерного лазера.
Время их прихода на ключи регулировалось с помощью линии опти-
оптической задержки. Результирующий ИК импульс имел длительность
130 фс, что соответствует четырем оптическим периодам на длине волны
излучения А,=9,5 мкм. Его спектр, изображенный на рис. 6.29, про-
простирался от 7,5 до 10,5 мкм. Мощность полученного ИК импульса
сравнительно невелика: Р0»Ю4 Вт.
Из рис. 6.29 видно, что центральная длина волны в спектре фемто-
фемтосекундного ИК импульса Я,0=9,3 мкм сдвинута в антистоксову область
по сравнению с исходной Л,=9,5 мкм. Этот сдвиг, по мнению авторов,
обусловлен ростом плотности свободных носителей заряда во втором
277
ключе и связанной с этим частотной модуляцией проходящего импуль
са. Уменьшение длительности стробирующего импульса лазера на
красителе до 35 фс открывает реальные перспективы генерации ИК
импульсов с длительностью в один оптический период.
Альтернативный подход к стробированию импульсов СО2 лазера
развит в [88]. Он основан на двойной генерации разностной частоты
по схеме: w1H6—oI0,6=colil8, щ,ое—со1,18 = со10,6- В первом каскаде
из затравочного излучения непрерывного СО2 лазера (мощность 1 Вт)
и пикосекундного импульса строби-
стробирующего лазера на аллюминате ит-
иттрия формировались импульсы раз-
разностной частоты (А, == 1,18 мкм). Во
втором каскаде в результате пара-
параметрического взаимодействия накачки
и разностной частоты вновь генериро-
генерировались импульсы десятимикронного
излучения с энергией 20 нДж и дли-
длительностью 20 пс. Эти импульсы ин-
7 J 5 № 11 я,,тм жектировались в регенеративный СО2
усилитель высокого давления, на вы-
Рис. 6.29. Спектр ИК импульса ХОде которого излучение представля-
длительностью в четыре оптичес- g f ш импульсоВ. Мак.
ких периода [87] J J
симальная энергия отдельного им-
импульса W=0,8 мДж.
Метод двухкаскадной генерации разностной частоты позволяет
достаточно просто и с высокой эффективностью формировать сверх-
сверхкороткие ИК импульсы. Изменяя интенсивности взаимодействующих
в первом каскаде волн и длину нелинейных кристаллов, можно управ-
управлять длительностью импульсов. Предельные возможности схемы,
с точки зрения достижения минимальной длительности, определяются
полосой пропускания параметрического преобразователя. Так при
длине кристалла L=22 мм можно преобразовывать импульсы с дли-
длительностью, превышающей 4 пс. Уменьшение длины кристалла при-
приводит к уширению полосы преобразования, но снижает его эффектив-
эффективность.
Рассмотренные лазерные системы работают на фиксированной
длине волны излучения СО2 лазера, в то время как для спектроскопи-
спектроскопических приложений необходимы источники, перестраиваемые по час-
частоте. Здесь хорошо зарекомендовали себя схемы генерации разност-
разностной частоты [89]. Мощные пикосекундные импульсы лазера на фосфат-
фосфатном стекле (А.н = 1,055 мкм, е — поляризация) и излучение параметри-
параметрического генератора (А-ж=0,7—1,4 мкм, о — поляризация) смешиваются
в кристалле прустита Ag3AsS3 по неколлинеарной схеме. При пово-
повороте кристалла на угол 22° реализуется плавная перестройка в диапа-
диапазоне длин волн 3,7—10,2 мкм. Генерация разностной частоты позволяет
достичь сравнительно высокую энергетическую эффективность — до
30 % от энергии сигнальной волны. Дальнейшее продвижение в ИК
диапазон до 20 мкм осуществляется генерацией разностной частоты
в кристалле CdSe.
278
Использование техники генерации разностной частоты в фемто-
секундном диапазоне длительностей продемонстрировано в [90J. Им-
Импульсы кольцевого лазера на красителе (ти=480 фс) усиливались до
энергии 35 мкДж в трехкаскадном усилителе на красителе, накачи-
накачиваемом эксимерным лазером. Часть излучения B5 мкДж) фокусирова-
фокусировалась в кювету с этанолом, в которой за счет сверхуширения спектра
генерировался субпикосекундный световой континуум. Полученный
таким образом импульс, совместно с оставшейся частью излучения
A0 мкДж) с выхода усилителя, фокусировался в кристалл LiNbO3.
На выходе получалось излучение на разностной частоте, перестраива-
перестраиваемой при повороте кристалла в диапазоне 1,7—4 мкм, длительность
импульсов — 200 фс, пиковая мощность — 10 кВт.
10
8
6
4
10
w
—1
п~з
W 6
4 2 1,5 1,25
Рис. 6.30. Характеристики ПГС на кристалле AgGaS^, накачиваемом основной
частотой YAG : Nd3+ лазера: а — перестроечные кривые; б — зависимость
квантовой эффективности от длины волны; светлые кружки — сигнальная волна,
темные — холостая [91]
Для создания ПГС в ИК диапазоне весьма перспективно использо-
использование кристаллов AgGaS2, обладающих высокой нелинейностью и
широким окном прозрачности от 0,6 до 13 мкм. На рис. 6.30а при-
приведена перестроечная кривая этого генератора с накачкой от
YAG: Nd3+ лазера. Рис. 6.306 иллюстрирует зависимость квантовой
эффективности от длины волны излучения [91].
В последнее время наметились перспективы компрессии импульсов
среднего ИК диапазона. Они связаны с совершенствованием волокон-
волоконных световодов на основе халькогенидных и флюоридных стекол, ко-
которые можно будет использовать для создания частотной модуляции,
и прямыми экспериментальными наблюдениями сильной фазовой само-
самомодуляции ИК импульсов в полупроводниках [90], что позволяет реа-
реализовать их последующее сжатие в дисперсионных линиях задержки.
Дополнительные возможности появляются при использовании эффекта
кросс-модуляции. С помощью мощного возбуждающего ИК импульса,
частота которого близка к резонансной, в полупроводнике индуцируют-
индуцируются быстрые и значительные изменения показателя преломления, при-
приводящие к частотной модуляции длинноволнового импульса.
279
§ 6.8. Прогресс в технике измерений
фемтосекундных импульсов
Техника измерений параметров сверхкоротких импульсов начала
развиваться практически сразу же после запуска первых твердотель-
твердотельных лазеров с самосинхронизацией мод. В конце 60-х годов было по-
показано что наряду с прямыми электронно-оптическими методами ре-
регистрации, важную информацию дают косвенные методы, базирующие-
базирующиеся на измерениях корреляционных функций интенсивности разных
порядков В 1967 г. Вебером был предложен метод определения дли-
длительности основанный на коллинеарной генерации второй гармоники,
Армстронгом — методика, основанная на генерации гармоники при
отражении от поверхности кристалла, Майером с соавторами — схема
с неколлинеарной генерацией. Параллельно развивался предложен-
предложенный Джиордмейном и соавторами метод двухфотонной люминесцен-
люминесценции Детальный обзор этих методик приведен в 11].
В настоящее время корреляционные методики стали рутинным
способом измерения длительности, а в некоторых случаях и формы
сверхкоротких импульсов. При соблюдении специальных условии они
пригодны и для измерения длительности предельно коротких импуль-
импульсов т ~6—8 фс Вместе с тем, информация, извлекаемая из корреля-
корреляционных функций интенсивности, явно не достаточна для современ-
современных фемтосекундных систем. Сейчас речь идет о полных измерениях
характеристик импульсов, которые включают временной ход огибаю-
огибающей и фазы, а также информацию о статистике в длинных квазиперио-
лических цугах. Знание перечисленных характеристик позволяет реа-
реализовать все возможности физического эксперимента при изучении
нестационарного отклика исследуемых объектов.
Корреляторы для фемтосекундных импульсов. При определении
длительности фемтосекундных импульсов наибольшее распростране-
распространение получила бесфоновая методика неколлинеарной генерации второй
Рис. 6.31. Схема корре-
коррелятора для измерения
длительности сверхко-
сверхкоротких импульсов при
неколлинеарной генера-
генерации второй гармоники:
i _ делительная плас-
пластинка, 2 — прерыватель-
модулятор, 3 — скани-
сканируемая линия оптичес-
оптической задержки, 4 — крис-
кристалл удвоителя частоты,
5— диафрагма, 6 — ФЭУ
гармоники. Схема коррелятора приведена на рис. 6.31. Направление
распространения пучка второй гармоники определяется условием
векторного синхронизма и не совпадает с направлением распростра-
распространения возбуждающих пучков. Толщина нелинейного кристалла должна
280
быть выбрана достаточно малой, чтобы ширина полосы спектрального
синхронизма превышала ширину спектра исследуемого импульса.
Другим источником ошибок может стать дисперсия групповой ско-
скорости, приводящая к расплыванию импульсов в кристалле коррелято-
коррелятора и, следовательно, к завышению значения измеряемой длительности.
По оценкам [60] при толщине кристалла KDP 200 мкм и длительности
входного импульса 30 фс дисперсионное расплывание не превышает
5 фс. Бес фоновая методика обеспечивает возможность проведения
измерений с высоким контрастом.
В экспериментах с предельно короткими импульсами [63] сущест-
существенную роль начинают играть ошибки, вызванные непараллельностью
волновых фронтов. Поэтому авторы [63] наряду с неколлинеарной
Рис. 6.32. Коррелятор для измерения длительности фемтосекундных импульсов
УФ, видимого и ИК диапазонов [93]
использовали и коллинеарную схему генерации второй гармоники, в
которой волновые фронты можно совместить с интерферометрической
точностью.
Значительное продвижение в технике корреляционных измерений
фемтосекундных импульсов связано с использованием эффекта генера-
генерации второй гармоники при отражении от поверхности нелинейного
кристалла [93]. Схема коррелятора представлена на рис. 6.32. Эта
методика сохраняет достоинства неколлинеарной схемы генерации
второй гармоники: пучки излучения на основной и удвоенной часто-
частотах разнесены по направлениям, что упрощает регистрацию излучения
второй гармоники, так как фоновый сигнал в направлении регистри-
регистрируемой волны вызван только рассеянием на дефектах поверхности
кристалла, и отсутствует пьедестал у измеряемой корреляционной
функции.
Принципиальное преимущество рассматриваемого коррелятора
состоит в том, что он позволяет измерять длительность фемтосекунд-
фемтосекундных импульсов в весьма широкой спектральной области, простираю-
10 С. А. Ахманов и др. °8|
Диафрагма
щейся от ИК До УФ диапазона, без замены оптических элементов.
Действительно, генерация гармоники происходит в поверхностном
слое кристалла толщиной порядка длины волны, поэтому не воз-
возникает проблем, связанных с прозрачностью кристалла. Кроме того,
нет ограничений на измеряемую длительность из-за дисперсии груп-
групповых скоростей.
Недостаток этой методики — низкий коэффициент преобразования
энергии в гармонику, Т1П~1О~9 при интенсивности излучения на ос-
основной частоте /@~108 Вт/см2. Уверенная регистрация сигнала при
наличии фоновой засветки рассеян-
рассеянным излучением на основной частоте
обеспечивается дополнительной спект-
спектральной фильтрацией (в видимом и
ИК диапазонах) или использованием
ФЭУ, не чувствительного к видимому
излучению (в УФ диапазоне).
Временное разрешение коррелято-
коррелятора tmin зависит от точности установ-
установления временной задержки (для шага
1 мкм — 7 фс) и дисперсионным рас-
плыванием в оптических элементах
коррелятора. При необходимости опти-
оптический путь в кварце может быть
уменьшен вплоть до минимальной тол-
толщины входного окна в вакуумную ка-
камеру. Толщина входного окна 3,5 мм
соответствует длине дисперсионного
расплывания УФ импульса (К~
=0,308 мкм) длительностью 8 фс. Измерения длительности в видимом и
ИК диапазонах можно производить без вакуумирования нелинейного
кристалла, что позволяет исключить прохождение импульсов через
диспергирующие элементы.
Для неколлинеарной схемы генерации второй гармоники специфич-
специфично дополнительное ограничение на измеряемую длительность импуль-
импульсов, связанное с углом схождения пучков у (рис. 6.33) и приводящее
к неравенству
%я>(а/с) sin у, F.8.1)
где с — размер области перекрытия пучков на поверхности кристалла.
Пусть для надежной регистрации сигнала требуется N2(a квантов из-
излучения второй гармоники, тогда минимальная энергия импульса на
основной частоте U^ro =2АсоЛг2(О/т)п. Эту энергию можно сфокусиро-
сфокусировать в пятно с минимальным диаметром amin = BW(<)/nuunOpSinG/2)I''2,
где wnov — пороговая плотность энергии разрушения поверхности
нелинейного кристалла. Тогда минимальная длительность Tmin =
=(amin/c) sin 7. Для кристалла GaAs при ^=0,53 мкм, шп0? =
= 0,1 Дж/см2, т]п = 10~8, 7=0,1 рад получаем tmin = 10 фс. Экспери-
Экспериментальные корреляционные функции интенсивности фемтосекунд-
ных УФ импульсов приведены в § 6.6 (рис. 6.24).
282
V////////////////,
Нелинейный__
кристалл
Рис. 6.33. Неколлинеарная схема
генерации второй гармоники при
отражении от поверхности нели-
нелинейного кристалла; иллюстриру-
иллюстрируются ограничения на длитель-
длительность, связанные с углом схож-
схождения пучков
Измерение временного хода интенсивности и фазы. Создание во-
волоконно-оптических компрессоров, на выходе которых получаются
импульсы с длительностью в десятки фемтосекунд, существенно про-
продвинуло технику измерения временных зависимостей интенсивности
и фазы в пикосекундном диапазоне длительностей [43]. В эксперимен-
экспериментах регистрируется кросс-корреляционная функция интенсивности
Вк(х)= \ Ic(t)Inv(t + x)dt F.8.2)
исследуемого (пикосекундного) и пробного (фемтосекундного) импуль-
импульсов при неколлинеарной генерации второй гармоники. В пределе,
когда длительность пробного импульса тпр—>-0, кросс-корреляцион-
кросс-корреляционная функция Вк(%) описывает форму исследуемого импульса.
Рис. 6.34. Схема экспериментальной установки для измерения временного пове-
поведения фазы пикосекундных импульсов методом динамической интерферометрии:
/ — волоконный световод, 2 — дифракционная решетка, 3 — призма решеточ-
решеточного компрессора, 4 — линия регулируемой оптической задержки, 5 — интер-
интерферометр Маха — Цандера, 6 — эталон Фабри — Перо, 7 — коррелятор для
измерения кросс-корреляционной функции динамической интерферограммы и
сжатого импульса [94]
Для измерения фаз применяется техника, основанная на анализе
динамических интерферограмм. Схема экспериментальной установки,
реализующей этот метод, изображена на рис. 6.34. Исследуемый им-
импульс вводится в интерферометр Маха — Цандера, в одно из плеч
которого помещен узкополосный спектральный фильтр (эталон Фаб-
Фабри — Перо). Ширина полосы пропускания фильтра выбрана меньше
обратной длительности импульса, так что он играет роль узкополос-
узкополосного фильтра, формирующего опорный импульс. Интерференция опор-
опорного импульса с исследуемым, распространяющимся по другому плечу
10* 28з
интерферометра, образует динамическую интерферограмму, содержа-
содержащую информацию о фазе исследуемого импульса. Распределение ин-
интенсивности в динамической интерферограмме измеряется с помощью
кросс-корреляционной методики с использованием сжатого до 200 фс
пробного импульса. Сигнал на удвоенной частоте генерируется по
неколлинеарной схеме в кристалле KDP толщиной 200 мкм. На
рис. 6.35 представлена динамическая интерферограмма и результат
ее расшифровки в виде временных распределений фазы и частоты.
В [95] развит подход, основанный на конверсии фазовой модуляции
в амплитудную при взаимодействии с двухуровневой средой в усло-
условиях однофотонного резонанса и последующем измерении временного
1
0
1
n
0,1
-0,1
-illo jwy
f
. 1
\ 2
V
-10 0 W t,nc
60
40
20
0
80
0
-80
- да
~ \
4.
" dv, см'1
- -f !
/ 1
1 1
0
*, лс
Рис. 6.35. Восстановление временного распределения фазы и частоты пикосе-
кундного импульса по динамической интерферограмме: а — распределение
интенсивности A — входной^импульс, 2 — импульс на выходе интерферометра,
3 — разность интенсивностей входного и выходного импульсов); б — резуль-
результат расшифровки интерферограммы (/ — распределение фазы во времени,
2 — распределение частоты, полученное дифференцированием распределения
фазы) [94]
распределения интенсивности по кросс-корреляционной методике.
Область применимости этой методики ограничена необходимостью
работать на близких к резонансу частотах. Авторы [96] продемонстри-
продемонстрировали возможности итерационной методики восстановления времен-
временных распределений интенсивности и фазы, использующей информацию
о корреляционной функции интенсивности, спектре импульса и кор-
корреляционной функции поля.
Альтернативным по отношению к динамической интерферометрии
вариантом является измерение амплитуды и фазы спектральных компо-
компонент [97]. Схема экспериментальной установки приведена на рис. 6.36,
основным ее узлом является двухпроходный решеточный компрессор.
Делительная пластинка отводит часть излучения к возвращающему
зеркалу 32 — этот канал используется для формирования сжатого
импульса. Второй канал также содержит возвращающее зеркало Зь
в плоскости которого помещаются пространственные фильтры спект-
спектральных компонент, выполненные в виде узких щелей. В этом канале
формируется импульс с длительностью т^Асо, где Асо — ширина
полосы пропускания фильтров, промодулированный разностной часто-
частотой Q=©!—юг, где 0)! и ©2 — центральные частоты пропускания
284
фильтров. Если спектральные компоненты синфазные, то импульс бие-
биений промодулирован функцией cos (Qt), в случае противофазных ком-
компонент — sin (Ш) (рис. 6.36). Для нахождения формы этого импульса
применяется кросс-корреляционная методика с использованием сжа-
сжатого импульса, поступающего из первого канала. Авторы [97] измерили
фазу спектральных компонент импульсов, испытавших дисперсион-
дисперсионную фазовую самомодуляцию в условиях развитого комбинацион-
комбинационного преобразования частоты.
10 t,nc
Рис. 6.36. Измерение фазы спектральных компонент пикосекундного импульса:
а — схема экспериментальной установки (ДР1<2 — дифракционные решетки,
3i_4 — зеркала, Дг, 2 — делительные пластины, Ф —- пространственный фильтр
спектральных компонент); б — импульс оптических биений в случае синфазных
(вверху) и противофазных (внизу) спектральных компонент [97]
Оригинальный подход к измерениям временных зависимостей^ин-
тенсивности и фазы фемтосекундных импульсов реализован авторами
[98]. Измеряемый импульс направляется в интерферометр Майкель-
сона, в одно из плеч которого помещена стеклянная пластинка (ти-
(типичная толщина 5 см) с известными дисперсионными свойствами. На
выходе интерферометра регистрируется кросс-корреляционная функ-
функция поля исходного и уширенного, в результате прохождения сквозь
диспергирующую пластину, импульсов. Детали нетривиального алго-
алгоритма восстановления временного распределения фазы по интерферо-
метрической кросс-корреляционной функции приведены в [98]. Ил-
Иллюстрацией практического применения служит нахождение временно-
временного поведения фазы фемтосекундного импульса (ти~102 фс), генериру-
генерируемого лазером на красителе с антирезонансным кольцом в режимах
пассивной и комбинированной синхронизации мод. Показано, что
частотная модуляция генерируемых импульсов обусловлена измене-
285
нием показателя преломления насыщающегося поглотителя (резо-
(резонансный вклад) и фазовой самомодуляцией в растворителе. Отметим,
что использование этой методики предъявляет высокие требования к
стабильности и воспроизводимости лазерных импульсов.
Теоретически рассматриваются подходы, основанные на пространст-
пространственно-временной модуляции фазы сигнального импульса с помощью
короткого пробного импульса при их взаимно перпендикулярном
взаимодействии в нелинейной среде [991. Авторы [100] для определения
временного профиля интенсивности предложили использовать само-
самовоздействие сверхкороткого импульса в тонком полупроводниковом
клине.
Спектральные методы исследования стабильности параметров из-
излучения квазинепрерывных лазеров. Эффективный метод исследования
флуктуации параметров импульсов в непрерывном цуге излучения
лазеров с синхронизованными модами разработан фон-дер-Линде
[101]. В основу экспериментальной методики положен анализ спект-
спектральной плотности мощности излучения. Цуг импульсов квазине-
квазинепрерывного лазера направляется на фотодиод с временем отклика в
десятки пикосекунд, а сигнал с выхода фотодиода поступает на спектро-
анализатор. Ключевой проблемой здесь является расшифровка полу-
полученных спектров, т. е. идентификация вкладов, вносимых флуктуа-
циями энергии, длительности и периода следования импульсов. Как
показано в [101], это вполне разрешимая задача.
Следуя [1011, рассмотрим простую модель излучения лазера с син-
синхронизованными модами. В отсутствие флуктуации выходную мощ-
мощность можно представить в виде
Л>(9=2/(* + т7), /п=±1, ±2, ±3, .... F.8.3)
т
где функция f(t) описывает временный ход мощности отдельного им-
импульса, Т — период следования. При наличии флуктуации амплитуды
и длительности выражение для мощности представляется следующим
образом:
/>@ = [1 + Л@Ш(^т7+бГи), F.8.4)
m
здесь A (t) — случайная функция, характеризующая относительные
флуктуации мощности, 6Tm — флуктуации периода следования им-
импульсов. Ограничившись случаем ЬТт1Т<^\ и |Л(^)|<^1, разложим
/(^т+^Тт) в ряд Тейлора и приведем D) к виду
/>@ = [Н A (t)]P0(t) + P0(t)T-J(t), F.8.5)
где случайная функция J {t)=bTmIT при t=tm характеризует отно-
относительные флуктуации периода следования.
Вычисление корреляционной функции мощности ВР, выполненное
с учетом статистической независимости A (t) и J{t), приводит к выра-
выражению
ВР (т) = ВРо (т) [1 + ВА (т)] + T*Bh (г) Bj (г), F.8.6)
286
где, например, ВА (т)=<Л (t)A (Н-т)>, угловые скобки обозначают
усреднение по времени. Переходя в F) к спектральному представлению,
получаем выражение для спектральной плотности мощности:
sp (со) - sPo (со) -f sPo (со) <g) sA (со) + (соТJ sP, (со) (g) sy (со), F.8.7)
знак (х) — обозначает операцию свертки. Учитывая C), спектральную
плотность мощности можно привести к виду
K)]. F.8.8)
Sp(a>)= (^
где (om = co—2пт/Т. Эта формула записана в предположении, что
спектр функции f(t) существенно уже, чем спектры функций A (t)
и J {t), и следовательно, свертку спектров можно заменить их произ-
произведением.
Спектральная плотность случайной мощности излучения для цу-
цуга импульсов с флуктуирующими параметрами D) изображена на
Рис. 6.37. Спектральная плот-
плотность мощности квазинепре-
квазинепрерывного цуга импульсов с
флуктуирующими амплитудой
и периодом следования. Узкие
пики, следующие с частотным
интервалом \1Т, соответствуют
детерминированному сигналу,
появление широких пьедеста-
пьедесталов обусловлено флуктуация-
ми амплитуды, узких — флук-
туациями периода следования
1101]
1/Т
си/гп
рис. 6.37. В отсутствие флуктуации спектр мощности представляется
суперпозицией узких пиков, следующих с частотным интервалом
coOT+1— сот=2я/7\ Наличие амплитудных флуктуации приводит к
появлению сравнительно широких пьедесталов с высотой, не завися-
зависящей от т. Флуктуации периода следования вызывают появление до-
дополнительных, более узких пьедесталов, высота которых ~т2 (третье
слагаемое в (8)). Из рассмотренного примера видно, что анализ спект-
спектральной плотности случайной мощности излучения дает возможность
оценить уровень флуктуации различных параметров. В частности,
нетрудно убедиться, что дисперсия флуктуации амплитуды пропор-
пропорциональна площади под широким пьедесталом на рис. 6.37.
Надо сказать, что полезную информацию дают простые измерения
флуктуации энергии Л№2ю излучения второй гармоники. В эти флук-
флуктуации вносят вклад случайные изменения энергии импульсов на
основной частоте AWa (предполагается, что они происходят при по-
постоянной длительности) и флуктуации их длительности Атм (при по-
постоянной энергии). Результирующее выражение для Л№2(й имеет вид
F.8.9)
±Zl<2 — \ A I '-
At,.
"I 1/2
287
Отсюда следует, что измерив уровень флуктуации энергии на основной
и удвоенной частотах можно оценить флуктуации длительност и.
В экспериментах [101] (рис. 6.38) исследовалась стабильность па-
параметров излучения различных типов лазеров: аргонового (с активной
синхронизацией мод), синхронно-накачиваемого лазера на красителе,
и кольцевого лазера с пассивной синхронизацией мод, работающего
по схеме сталкивающихся в поглотителе импульсов. В частности, по-
показано, что случайные «дрожания» импульсов накачки аргоонового
лазера с характерным стандартным отклонением 20 пс и временем
Мощность^
-2
-1
Рис. 6.38. Измеренная в экспериментах [101] спектральная плотность мощности
излучения синхронно-накачиваемого лазера на красителе; спектр изображен
в полосе 5 МГц с центром на частоте ш1/2я= 79,81 МГц, соответствующей периоду
следования импульсов генерации
корреляции 0,4 мс без заметных изменений переносятся на иипульсы
синхронно-накачиваемого лазера на красителе. Причина этого* заклю-
заключена в том, что характерное время формирования установившегося
режима генерации лазера на красителе 10~6 с существенно меньше
времени корреляции флуктуации периода следования им:пульсов
накачки. Случайные изменения энергии импульсов лазера на красите-
красителе обусловлены, в основном, не накачкой, а внутренними причинами.
Наиболее стабильным по всем параметрам оказалось излучение коль-
кольцевого лазера с пассивной синхронизацией мод.
В заключение заметим, что спектральный анализ флуктуации в
квазинепрерывных лазерах позволяет выявить основные дестабилизи-
дестабилизирующие факторы и провести оптимизацию фемтосекундной лазерной
системы. Пример такой оптимизации дан в [102].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методы, подходы, экспериментальная техника фемтосекундной
лазерной оптики стремительно вторгаются в смежные разделы физи-
физики, химию, биологию и технику. Представление о происходящих здесь
событиях можно составить, обратившись к трудам конференций и
специализированным выпускам журналов, цитируемых во Введе-
Введении; здесь мы практически не касались этих тем.
Разумеется, эту книгу не следует рассматривать и как исчерпываю-
исчерпывающий обзор современного состояния оптики волновых пакетов предель-
предельно малой длительности. Тем не менее завершая ее, мы хотели бы вы-
выделить направления исследований, сформировавшихся в самое послед-
последнее время и представляющихся особенно многообещающими. Несколь-
Несколько проблем, относящихся как к линейной, так и нелинейной оптике и
практически не нашедших отражения в настоящей книге, заслуживает
особого внимания.
Рассеяние коротких световых импульсов в статистически неодно-
неоднородной среде. Следует ли ожидать новых явлений при многократном
рассеянии очень коротких световых импульсов в статистически не-
неоднородной среде? Этот вопрос оживленно дискутировался теоретика-
теоретиками и экспериментаторами в последние годы. Интересный аспект проб-
проблемы выявился недавно в связи с поисками эффекта локализации фото-
фотонов — аналога андерсоновской локализации электронов в неупорядо-
неупорядоченных системах. Обращение к коротким световым импульсам, как
показано в [1], позволяет развить временную методику регистрации
локализации фотонов в сильно рассеивающих средах.
Оптика сверхкоротких рентгеновских и электронных импульсов,
В этих важных как с физической, так и с прикладной точек зрения
разделах рентгеновской и электронной оптики сделаны только первые
шаги; пока речь идет, конечно, о линейных нестационарных явлениях.
Среди возникающих здесь физических задач следует указать на не-
нестационарное динамическое рассеяние рентгеновских лучей и электро-
электронов в совершенных кристаллах. Чрезвычайно информативными обе-
обещают быть спектроскопические и структурные исследования, исполь-
использующие для зондирования вещества короткие рентгеновские импульсы
и электронные сгустки.
Современная техника генерации таких импульсов во многом опи-
опирается на достижения пико- и фемтосекундной оптики. Отметим лишь
несколько важных работ. В [2] сообщается о получении коротких им-
289
пульсов излучения в диапазоне длин волн 10—70 нм при фокусиров-
фокусировке лазерных импульсов с длительностью 100 фс и интенсивностью
1014 Вт/см2 на танталовую мишень; сходные результаты, полученные
в поле фемтосекундных импульсов эксимерной лазерной системы при
интенсивностях 1017 Вт/см2, изложены в [31. Авторами [4, 51 описаны
генераторы электронных сгустков длительностью 20—150 пс, полу-
получаемых за счет фотоэмиссии с катода, освещаемого пикосекундным ла-
лазерным импульсом.
Некоторые применения оптически индуцированных рентгеновских
импульсов приведены в [61, они использовались для спектроскопии
сильно возбужденных ионов с временным разрешением 400 пс. В ци-
цитированной уже работе [4] сообщается о первом успешном эксперимен-
эксперименте по пикосекундной электрохронографии. Электроннограмма тонкой
поликристаллической пленки алюминия была получена с временным
разрешением 20 пс; таким образом удалось наблюдать быстрый фазо-
фазовый переход, индуцированный мощным лазерным импульсом. Пер-
Первые демонстрации выглядят обнадеживающими, и сейчас многие
лаборатории занимаются совершенствованием пикосекундных рент-
рентгеновских и электронных источников, использующих лазерное воз-
возбуждение. Имеются все основания ожидать здесь быстрого прогрес-
прогресса, однако для создания эффективных спектроскопических и диагнос-
диагностических систем нужна адекватная регистрирующая аппаратура.
Заметим вместе с тем, что прогрессируют и методы получения коротких
рентгеновских импульсов, основанные на иных идеях. В частности,
в [7] обсуждаются источники синхротронного излучения с длитель-
длительностью импульса порядка 10 пс.
Сильные нелинейности, быстрое управление света светом. В
большинстве рассмотренных в этой книге задач локальный нелинейный
отклик среды считается слабым: в средах с квадратичной нелинейностью
ХB)£<^1, в средах с кубичной нелинейностью %шЕ2<<с1. Сильный энер-
энергообмен между волнами с различающимися частотами, формирование
стационарных нелинейных волн—солитонов, все это результаты про-
проявляющихся на значительных расстояниях накапливающихся взаимо-
взаимодействий и самовоздействий. Вместе с тем, в нелинейной оптике уже дли-
длительное время обсуждаются проблемы распространения волн в среде
с сильным и быстрым локальным нелинейным откликом (см., напри-
например, [8, 9]).
В этой ситуации кардинально меняется картина нелинейного рас-
распространения и в особенности самовоздействия коротких импульсов.
Проявлениями сильной локальной нелинейности, нечетной по по-
полю, могут стать безрезонаторная оптическая бистабильность [9]
(возможны, в частности, так называемые бистабильные солитоны
[10]) и мультистабильность, стохастическая автомодуляция паке-
пакетов — столь разнообразными и сложными становятся самовоздейст-
самовоздействия в этом случае. Пока все эти явления наблюдаются в нелинейных
системах с оптической или гибридной обратной связью [11]. Порази-
Поразительно многообразной оказывается динамика таких систем. Полное
использование трехмерного характера светового поля в системах с
двумерной обратной связью позволяет наблюдать широкий класс но-
290
вых явлений — пространственную оптическую бистабильность и муль-
тистабильность, генерацию динамических периодических пространст-
пространственных структур и оптическую турбулентность [12]. Тесно примыкают
к этим явлениям и интенсивно исследуемые в последнее время поля-
поляризационные неустойчивости, мультистабильности и хаос [131.
Хотя в большинстве случаев эти новые явления наблюдаются в
поле непрерывных и квазинепрерывных источников на сравнительно
медленных, а потому и сильных, кубичных нелинейностях, несомнен-
несомненный принципиальный и прикладной интерес представляет переход к
сверхкоротким импульсам. Переключение бистабильных устройств,
использующих нелинейно-оптические микрорезонаторы с одномерной
обратной связью, осуществляется за времена порядка 1 пс [11]. Быст-
Быстрое переключение пространственных структур, двумерное и трехмер-
трехмерное переключение света светом, позволило бы создать сверхбыстро-
сверхбыстродействующие аналоговые оптические компьютеры, оперирующие с
нелинейными образами. Все это делает очень актуальным теорети-
теоретические и экспериментальные исследования пикосекундной динамики
разнообразных систем с обратной связью.
Сверхсильные световые поля—от нелинейной оптики атомов и мо-
молекул к нелинейной электронной физике. Генерация сверхсильных
световых полей, ставшая возможной благодаря эффективному усиле-
усилению фемтосекундных импульсов в широкополосных оптических уси-
усилителях с высокими мощностями насыщения, открыла совершенно
новые возможности перед нелинейной оптикой.
Как уже отмечалось в гл. 6, несколько исследовательских групп
приступили сейчас к систематическим экспериментам при интенсив-
ностях порядка 1017—1018 Вт/см2 в импульсах, длительности которых
изменяются от 150 до 1000 фс. Чтобы понять важность этих дости-
достижений для нелинейной оптики, уместно вспомнить значения некото-
некоторых параметров, характеризующих фундаментальные процессы взаи-
взаимодействия лазерного излучения с веществом. Для удобства сравнения
с экспериментальными достижениями выразим их в терминах интен-
сивностей. Особое значение имеют:
Характерная «атомная» единица интенсивности /а:
/а = ce2/2nat« 1017 Вт/см2
— интенсивность, при которой напряженность светового поля равна
кулоновскому полю протона Еа на расстоянии порядка воровского
радиуса а0,
£а«'5-109 В/см.
При Е>Еа дискретная структура атомных уровней не прояв-
проявляется, линейный и нелинейный оптический отклики вещества опре-
определяются электронными переходами в сплошном спектре-—на смену
нелинейной оптике атомов и молекул приходит нелинейная электрон-
электронная физика.
Интенсивность /т, приводящая к туннельной ионизации атомов.
При этой интенсивности атом за счет туннелирования электрона иони-
291
зуется за время порядка светового периода. Для (о/соа<^1 [14, 15]
/т = (со/соаJ/а,
где (aa — Wj% и Wa—энергия связи внешнего электрона в атоме.
При Wа ж 10 эВ и %и> ж 1 эВ (видимый диапазон оптического спектра)
/т« 10*6 Вт/см2.
Порог лавинного оптического пробоя /пр. Конденсированная среда,
не слишком разреженный газ ионизуются, вообще говоря, при интен-
сивностях света /пр гораздо более низких не только, чем /а, но и /т.
Главной причиной ионизации в этом случае становятся процессы
лавинного размножения (в процессе столкновений) свободных элект-
электронов, набирающих энергию в поле световой волны.
В газе пороговая интенсивность лавинного пробоя [16, 17]
_ тс ГаA+ю2т|т) 1 JVKp
"Р = 2яе2 тст т7 ~Ж'
Здесь тст—характерное «столкновительное» время, NKV и NQ — кри-
критическая (приводящая к пробою) и начальная плотности электронов,
тн — длительность лазерного импульса. Зависимость/пр от длительно-
длительности импульса
имеет особое значение для обсуждаемых ниже вопросов. В поле
импульса длительности тт1п, для которого /np(Tmin) — ^т> реализуется
«предельная» прочность прозрачной среды, определяемая туннельной
ионизацией. В этих условиях можно говорить и о реализации пре-
предельных возможностей нерезонансной нелинейной оптики конденси-
конденсированных сред и сравнительно плотных газов.
Характерная «релятивистская» интенсивность /рел. В световом
поле, напряженность которого
Е = Е1ея --= тох/е,
энергия осцилляции электрона становится сравнимой с его энергией
покоя. Соответственно «релятивистская» интенсивность
/рел = т2а2с3/4пе*
характеризует границу релятивистской нелинейной оптики свободных
электронов. Для частот, соответствующих видимому диапазону опти-
оптического спектра, /рел « 1019 Вт/см2.
Приведенные в этой книге материалы показывают, что в уже
функционирующих мощных фемтосекундных лазерных системах, фем-
тосекундных системах «первого поколения», перечисленные характер-
характерные интенсивности могут быть превзойдены. По-видимому, в самое
ближайшее время будет превышена даже максимальная, в этом ряду —
релятивистская интенсивность /рел.
Сводка современных достижений и перспектив развития техники
генерации сверхсильных световых полей с помощью фемтосекундных
лазерных систем УФ, видимого и ИК диапазонов, базирующаяся на
292
Таблица
Генерация сверхсильных световых полей с помощью фемтосекундных
лазерных систем
Системы
Эксимерные си-
системы на ХеС1
(Я = 0,308 мкм)
Эксимерные си-
системы на KrF
(К = 0,24 мкм)
СО2 системы
(К =10,6 мкм)
Твердотельные
системы (види-
(видимый и ближний
И К диапазоны)
Лазеры на кра-
красителях (види-
(видимый диапазон)
Предельные
параметры
ти, Фс
160
70
60
10
10
w
нас,
Дж/см2
2-Ю-3
2-Ю-3
0,4
1
10
Экспериментальные достижения
V фс
160
80
2500
(давление)
10 атм
1000
20
W, Дж
2-10-*
ю-2
0,2
1
5-Ю
Вт/см2
10"
10"
10"
10"
1014
Перспективы
ти х 100 фс
W х 0,1 Дж
/ я 10" Вт/см2
ти х 100 фс
W я 1 Дж
ти я 10 фс
W я Ю2—103 Дж
/ х 1G23 Вт/см2
ти х 10 фс
Г я 1 — 10 мДж
результатах работ, цитированных в гл. 6, и данных, опубликованных
недавно в [18, 19], приведена в таблице.
Пока бесспорными лидерами остаются эксимерные системы на
ХеС1 и KrF; в ближайшей перспективе здесь ожидается генерация
импульсов длительностью порядка 100 фс и энергией до 0,1 Дж.
Вместе с тем относительная простота масштабирования эксимерных
усилителей позволяет рассчитывать и на дальнейшее продвижение
вверх по шкале энергий.
Успехи последних лет в разработке твердотельных лазеров с широ-
широкими линиями усиления позволяют по-новому взглянуть на перспек-
перспективы мощных твердотельных фемтосекундных систем. В таблице
в разделе «экспериментальные достижения» приведены результаты,
полученные группой Рочестерского университета в системе, исполь-
использующей стекло с неодимом [18]. Однако новые лазерные материалы,
такие, например, как сапфир с ионами титана (ширина линии уси-
усиления составляет около 3500 см), позволяют рассчитывать на уси-
усиление импульсов длительностью тн»{10 фс до энергий, достигающих
десятков джоулей [18]. Быстро прогрессируют и мощные усилители
293
на красителях; в [19] сообщается о получении энергии W ~ 10 4 Дж
при ти на 20 фс. Все это открывает интереснейшие перспективы перед
нелинейно-оптическим экспериментом. По крайней мере три направ-
направления исследований представляются особенно важными [20].
Реализация предельных возможностей нерезонансной нелинейной
оптики прозрачной среды. Ключевой параметр здесь—оптическая
прочность среды. Для наносекундных лазерных импульсов при
w/(oa<^ 1 (многофотонное поглощение несущественно) лавинный пробой
прозрачных кристаллов и стекол происходит обычно при /пр х
на Ю10—1011 Вт/см2; имеются указания о возможности повышения
этой цифры на один-два порядка в специальных условиях.
В соответствии с приведенной выше формулой для /пр есть все
основания ожидать существенного повышения порога в поле фемто-
СРкундных импульсов. Грубая теоретическая оценка для со/соа<| 1
и сотст = 0,1 дает, что для Tmin = 10 фс /пр на 1014 Вт/см2; разумеется,
для получения надежных данных совершенно необходим детальный
эксперимент [20, 22]. Заметим вместе с тем, что повышение порога
пробоя до 1013—1014 Вт/см2 (данные о том, что эти цифры в ряде
случаев не слишком далеки от экспериментально наблюдаемых, см.
в [19—22]) может кардинально изменить картину нелинейных взаимо-
взаимодействий и самовоздействия.
Действительно, уже при вполне реальной быстрой нелинейной
поправке к показателю преломления п2 = №~11 см2/кВт (см. B,1 9)
и рис. 2.1) при /=1014 Вт/см2, п21напов самофокусировка, и само-
самомодуляция будут радикально отличаться от хорошо изученных в сре-
средах со слабой локальной нелинейностью. Указания на новые эффекты
подобного рода можно найти в [21, 22]. При / « 1014 Вт/см2 в среде
с квадратичной нелинейностью (%i2)E на 1 при xl2) ~ Ю ? СГСЕ) воз-
возникает ситуация, когда высшие члены в разложении C.1.1) поляри-
поляризации по полю, сравнимые и даже превосходящие по величине низ-
низшие, начинают доминировать. Если длина нелинейного взаимодействия
ЬИЛ = (k%wE)~1 становится меньше когерентной длины LKor на (Д&)~',
условия фазового синхронизма уже практически не влияют на эффек-
эффективность нелинейного взаимодействия.
Неравновесные состояния в полупроводниках и металлах, «сверх-
«сверхбыстрый» нагрев твердотельной плазмы. Длительность фемтосекунд-
ных лазерных импульсов зачастую оказывается меньше времени
электрон-фононной релаксации и приближается сейчас, пожалуй,
к наиболее короткому времени релаксации в твердом теле — времени
электрон-электронной релаксации. В ряде лабораторий эксперимен-
экспериментируют с генераторами импульсов с энергиями порядка 1 мДж и дли-
длительностями около 50 фс; последнее позволяет создавать сильно нерав-
неравновесные состояния в полупроводниках и металлах—состояния, воз-
возбуждение и эволюция которых связаны с рядом новых физических
явлений [23, 24]. Следует подчеркнуть, что успех на пути изучения
этих новых эффектов определяется не только уровнем разработки
генераторов мощных «возбуждающих» фемтосекундных импульсов.
В неменьшей мере необходима и фемтосекундная диагностика нерав-
294
новесных процессов. Сейчас, когда речь идет о таких коротких вре-
временах, единственная возможность — использование оптических методов.
Надо сказать, что методы фемтосекундной линейной и особенно
нелинейной лазерной диагностики оказались удивительно эффектив-
эффективными даже при исследовании неравновесных процессов в таких тра-
традиционно трудных для оптики объектах, как полупроводники в полосе
фундаментального поглощения и металлы [23—25].
Среди недавних достижений в обсуждаемой области укажем на
работу [24], где впервые наблюдались эффекты, которые можно отнести
к «холодному» плавлению решетки полупроводника (для возбуждения
и диагностики использовались фемтосекундные импульсы), на экспе-
эксперименты по генерации и релаксации сильнонеравновесных электрон-
электронных ансамблей в металлах [25].
Переход к мощным фемтосекундным импульсам привел к возник-
возникновению нового направления в лазерно-плазменных исследованиях,
к изучению быстрых нестационарных процессов нагрева и распада
плотной плазмы. В поле фгмтосекундных импульсов можно заведомо
пренебречь разлетом; нагрев электронной плазмы в металле проис-
происходит при плотности частиц порядка 1021—1022 см~3. В этих усло-
условиях удается нагреть плазму до температур 1—10 кэВ импульсами
длительностью ти ~ 100 фс со сравнительно небольшой энергией
Wx 10~2 Дж [3].
Нелинейная электронная физика, нелинейная квантовая электро-
электродинамика. При / > /а (Е > Еа) мы всегда имеем дело с сильно иони-
ионизованной средой. Нелинейный отклик здесь—это нелинейный отклик
фемтосекундной лазерной плазмы.
Одним из интереснейших новых эффектов стал проявляющийся
в сверхсильных полях эффект «надпороговой» ионизации атомов [26].
Неожиданно сильным оказывается нелинейный отклик электрона,
рассеивающегося на ионе в поле сверхсильной световой волны; послед-
последнее может привести к генерации многих хорошо сфазированных интен-
интенсивных гармоник, а следовательно, и к генерации сгустков электри-
электрического поля длительностью порядка 10~16—10~18 с [27].
Заметим, наконец, что прорыв в область сверхсильных полей снова
привлек интерес к возможностям экспериментального наблюдения
эффектов нелинейной квантовой электродинамики. Хотя даже в самых
смелых прогнозах речь не идет о генерации световых полей напря-
напряженностью £» 1016 В/см (/ ~ 1030 Вт/см2), при которых возможна
генерация электронно-позитронных пар в вакууме («оптический про-
пробой вакуума»), столкновение уже доступных интенсивных лазерных
пучков с релятивистскими электронами может привести к наблюде-
наблюдению ряда эффектов, представляющих принципиальный интерес.
При /> 1019 Вт/см2 возможна реализация нелинейного томсонов-
ского и нелинейного комптоновского рассеяний. При / >
> 1023 — Ю24 Вт/см2 речь идет уже о наблюдении черенковского излу-
излучения в вакууме [28]. Несомненно, создание исследовательских ком-
комплексов, объединяющих мощные фемтосекундные лазерные системы
и электронные ускорители, открывает интереснейшие возможности
исследований в фундаментальной физике!
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К введению
1. Тез. докл. XII Всесоюз. конф. по когерентной и нелинейной оптике.— М.,
1985.
2. Femtosecond optical interactions//J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. №4.
3. Ultrafast Phenomena IV/Eds D. Auston, K- B. Eisenthal.— Berlin: Springer-
Verlag, 1984.
4. Ultrafast Phenomena V/Eds G. R. Fleming, A. E. Siegman.— Berlin: Springer-
Verlag, 1986.
5. Laser optics oi condensed matter. Proc. USSR — USA Symposium.— N. Y.:
Plenum Press, 1988.
6. Hellwarth R. W. Control of fluorescent pulsations//Advances in Quantum
Electronics/Ed. J. R. Singer.— N.Y.: Columbia University Press, 1961. P.334;
Hellwarth R. W., McClung F. J. Giant optical pulses from ruby//J. Appl.
Phys. 1962. V. 33. P. 828.
7. De Maria A. I., Glenn W. H., Brienza M. J., Mack M. E. Picosecond Laser
Pulses//Proc. IEEE. 1969. V. 57. P. 2.
8. Сверхкороткие световые импульсы/Под ред. С. Шапиро.— М.: Мир, 1981.
9. Прохоров А. М. К 25-летнему юбилею лазера// УФН. 1986. Т. 148. С. 3.
10. Басов Н. Г. Квантовая электроника в Физическом институте им. П. Н. Ле-
Лебедева//УФН. 1986. Т. 148. С. 313.
11. Зельдович Б. Д., Кузнецова Т. И. Генерация сверхкоротких импульсов света
с помощью лазеров // УФН. 1972. Т. 106. С. 47.
12. Крюков П. Г., Летохов В. С. Распространение импульсов света в резонансно
усиливающей (поглощающей) среде//УФН. 1969. Т. 99. С. 169.
13. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Самовоздействие волновых па-
пакетов в нелинейной среде и генерация фемтосекуидных лазерных импуль-
импульсов//УФН. 1986. Т. 149. С. 450.
14. Херман И., Вильгельми Б. Лазеры сверхкоротких световых импульсов:
Пер. с нем./Под ред. П. Г. Крюкова.— М.: Мир, 1986.
15. Shen Y. R. Principles of Nonlinear Optics.— N.Y.: J. Wiley and Sons, 1984.
(Рус. перевод: Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики: Пер. с англ./Под
ред. С. А. Ахманова.—М.: Наука, 1989.)
К главе 1
. Рэлей (Стретт Дж. В.). Теория звука. Т. 1.: Пер. с англ./Под ред.
С. М. Рытова.— М.: Гостехиздат, 1955.
2. Зоммерфельд А. Оптика.—М.: ИЛ,, 1953.
3. Бриллюэн Л., Породи М. Распространение волн в периодических структу-
структурах.— М.: ИЛ., 1959.
4. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и кванто-
квантовой механике.— М.: Наука, 1972.
5 Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме.— М.:
Наука, 1967.
6 Рытое С. М. Модулированные колебания и волны.— Тр. ФИАН. 1940. Т. П.
№ 1.
296
7. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику.— М.: Мир, 1970.
8. Ахманов С. А., Ковригин А. И., Сухорукое А. П. и др. II Письма в ЖЭТФ:
1968. Т. 7. С. 237.
9. Сверхкороткие световые импульсы/Под ред. С. Шапиро.— М.: Мир, 1981.
10. Вайнштейн Л. А. II УФН. 1976. Т. 118. С. 339.
11. Вайнштейн Л. Л., Вакман Д. Е. Разделение частот в теории колебаний.—
М.: Наука, 1983.
12. Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики.— М.: Изд-во.
ВИНИТИ АН СССР, 1964.
13. Ахманов С. А., Чиркин А. С, Статистические явления в нелинейной опти-
оптике.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971.
14. Литвак А. Г., Таланов В. И. II Изв. вузов. Сер. «Радиофизика». 1967. Т. 10.
С 539
15. Ахманов С. А., Сухорукое А. П., Чиркин А. С. И ЖЭТФ. 1968. Т. 55. С. 1430.
16. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую ра-
радиофизику и оптику.— М.: Наука, 1981.
17. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухорукое А. П. Теория волн.— М.
Наука, 1979.
18. Леонтович М. А. II Изв. АН СССР. Сер. физ. 1944. Т. 8. С. 16.
19. Бирмонтас А., Василяускас В., Пискарскас А., Стабинис А. II Квант,
электрон. 1985. Т. 12. С. 1191.
20. Marcuse D. II Appl. Optics. 1980. V. 19. P. 1653; 1981. V. 20 .P. 3573.
21. Pleshko P., Palocz I. II Phys. Rev. Lett. 1969. V. 22. P. 1201.
22. Grischkowsky D. II Appl. Phys. Lett. 1974. V. 25. P. 566.
23. Klauder J. R., Price A. C, Darlington S., Albershein W. J. II Bell Syst. Techn.
J. 1960. V. 39. P. 745.
24. Ширман Я- Д- Разрешение и сжатие сигналов.— М.: Сов. радио, 1974.
25. Duguay M. A., Hansen J. W. //Appl. Phys. Lett. 1969. V. 14. P. 14.
26. Gires F., Tournois P.IIC. R. Acad. Sci. 1964. V. 258. P. 6112.
27. Giordmaine J. A., Duguay M. A., Hansen J. W. II IEEE J. Quant. Electron.
1968. V. QE-4. P. 252.
28. lwashita K-, Nakagawa K-, Nakano Y., Suzuki Y. II Electron. Lett. 1982.
V. 18. P. 873.
29. Jannson T. II Optics Lett. 1983. V. 8. P. 232.
30. Дьяков Ю. E. II Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37. С. 14.
31. Дьяков Ю. Е., Никитин С. Ю. Задачи по статистической радиофизике и оп-
оптике.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
32. Зверев В. А. Радиооптика.— М.: Сов. радио, 1975.
33. Телегин Л. С, Чиркин А. С. II Квант, электрон. 1985. Т. 12. С. 166.
34. Вельский А. М., Хапалюк А. П. II Ж- прикл. спектроск., 1972. Т. 17. С. 150.
35. Вельский А. М., Патек М. II Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. 1982. № 3.
С. 18.
36. Christou I. Р. II Opt. Commun. 1985. V. 53. P. 364.
37. Луговой В. Н. II Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. С. 176.
38. Мазуренко Ю. Т. II Опт. и спектроск. 1984. Т. 57. С. 8; Квант, электрон.
1985 Т 12 С 1235
39. Gloge D.llippi. Optics. 1971. V. 10. P. 2252.
40. Bloom D. M. et al. II Optics Lett. 1979. V. 4. P. 297.
41. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма.— М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
42. Weiner A. M., Fujimoto J. G., Ippen E. P. II Optics Lett. 1985. V. 10. P. 71.
43. Laporta P., Magni V. II Appl. Optics 1985. V. 24. P. 2014.
44. De Silvestri S., Laporta P., Svelto 0. II IEEE J. Quant. Electron. 1984. V.
QE-20, P. 533; Optics Lett. 1984. V. 9. P. 335.
45. Dietel W., Dopel £., Hehl K-, Rudolph W., Schmidt E. II Opt. Commun. 1984.
V. 50. P. 179.
46. Виноградова С. В., Екжанов А. Е., Пирогов Ю. А. II Вестн. Моск. ун-та.
Сер. физ. астроном. 1984. Т. 25. С. 62.
47. Cheung К. P., Auston D. Н. II Optics Lett. 1985. V. 10. P. 218.
48. Roychoudhuri СИ J. Opt. Soc. Am. 1975. V. 65. P. 1418.
49. Бабаев В. С, Денчев О., Жиглинский А. Г., Кучинский В. В. II Опт. и спект-
спектроск. 1983. Т. 54. С. 337.
297
50. Жиглинский А. Г., Кучинский В. В. Реальный интерферометр Фабри —
Перо.— Л.: Машиностроение, 1983.
51. Цианов Е. М., Прохоров А. М. II УФН. 1986. Т. 148. С. 289.
52. Agrawal G. P., Potasek M. J. II Optics Lett. 1986. V. 11. P. 318.
53. Anderson D., Lisak M. J. II Optics Lett. 1986. V. 11. P. 569.
54. Ande/son D., Lisak M. J. II Phys. Rev. 1987. V. A-35. P. 184.
55. Перепечко С. Н. II Becui АН БССР. Сер. ф!з.-мат. наук. 1986. № 2. С. 60.
56. Маркузе Д. Оптические волноводы.— М.: Мир, 1974.
57. Manassah J. Т. II Appl. Optics 1986. V. 25. P. 1737.
58. Topp M. R., Orner G. С. I/ Opt. Commun. 1975. V. 13. P. 276
59. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.— M.: Наука, 1970.
60. Zhi-Jiang W., Ben-Chi Y. II Rev. Roum. Phys. 1986. T. 31. P. 917.
61. Yamashita M., Ishikawa M., Torizuka K-, Sato T. II Optics Lett. 1986. V. 11.
P. 504.
62. Christodoulides D. N., Bourkoff £., Joseph R. I., Simos T. II IEEE J. Quant.
Electron. 1986. V. QE-22. P. 186.
63. Пирогов Ю. А. //Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986. Т. 50. С. 1187.
64. Stankov К- II Болг. физ. ж. 1985. Т. 12. С. 424.
65. Martinez О. Е. II Opt. Commun. 1986. V. 59. P. 229; J. Opt. Soc. Am. 1986.
V. B-3. P. 929.
66. Kuhl Jii., Heppner J. II IEEE J. Quant. Electron. 1986. V. QE-22. P. 182.
67. French P. M., Gomes A. S. L., Gouveia-Neto A. S., Taylor J. R. II Opt. a.
Quant. Electron. 1986. V. 18. P. 171.
68. French P. M., Chen G. F., Sibett W. II Opt. Commun. 1986. V. 57. P. 263.
69. Berhabeu E., Rubio C, Sanchez-Soto L. L. II J. Opt. 1986. V. 17. P. 59.
70. Christov I. P. //Opt. a. Quant. Electron. 1985. V. 17. P. 356.
71. Saleh B. E. A., Irshid M. I. II Optics Lett. 1982. V. 7. P. 342.
72. Marcuse D. II Appl. Optics. 1980. V. 19. P. 1856; 1981. V. 20. P. 2969.
73. Christov I. P. II Opt. a. Quant. Electron. 1985. V. 17. P. 353.
74. Christov I. P. II Optica Acta 1986. V. 33. P. 63.
75. Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере.— М.:
Наука, 1967.
76. Kerr J. R., Titterton Р. /., Brown С. М. //Appl. Optics. 1969. V. 8. P. 2233.
77. ZardeckiA., Tarn W. G. II Appl. Optics. 1980. V. 19. P. 3782.
78. Watson G. #., Jr., Fleury P. A., McCall S. L. II Phys. Rev. Lett. 1987.
V. 58. P. 945.
79. Бурнейка К,- П., Данелюс Р. В., Добрыгин В. Н., Пискарскас А. С. II Лит.
физ. сб. 1987. Т. 27. С. 96.
80. Varoquaux Е., Williams G. A., Avenel О. II Phys. Rev. 1986. V. В-34. Р. 7617.
81. Kobayashi Т., Атапо К., Fujita Т. et al. II Topical meeting on Ultrafast Phe-
Phenomena: Techn. Digest, June 16—19.— Snownass, Colorado. 1986. P. 226.
82. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы.— М.:
Мир, 1978.
83. Frankel M, J., Birman J. L. II Phys. Rev. 1977. V. A-15. P. 2000.
84. Auston D. H., Cheung К- Р-, Valdmanis J. A., Kleinman D. A. II Phys. Rev.
Lett. 1984. V. 53. P. 1555.
К главе 2
1. Ахманов С. А., Сухорукое А. П., Хохлов Р. В. II УФН, 1967. Т. 93. С. 19;
Akhmanov S. Л., Khokhlov R. V., Sukhorukov A. P. II Laser Handbook/Ed.
F. Т. Arecchi, E. О. Schulz-Dubois.— Amsterdam: North-Holland, 1972.
V. 2. P. 1151.
2. Cotter D. II Ultrafast Phenomena V/Eds Q. R. Fleming, A. E. Siegman.—
Berlin: Springer-Verlag, 1986. P. 274.
3. Ахманов С. А., Выслоух А. В., Чиркин А. С. II УФН. 1987. Т. 149. С. 449.
4. Stolen R. Я., Lin С. II Phys. Rev. 1978. V. А-17, Р. 1448.
5. Shen Y. R. Principles of Nonlinear Optics.— N.Y.: J. Wiley and Sons, 1984.
6. Shimizu F. II Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1097.
7. Остон Д. Пикосекундная нелинейная оптика // Сверхкороткие световые им-
импульсы /Под ред. С. Шапиро.— М.: Мир, 1986. С. 166.
298
8. Ippen E. P., Shank С V., Gustafson Т. К. II Appl. Phys. Lett. 1974. V. 24.
P. 190.
9. Pinault S. C, Potasek M. J. II J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 1318.
10. Gustafson T. K., Taran J. P., Haus H. A. et al. II Phys. Rev. 1969. V. 177.
P. 306.
11. Островский Л. A. II а. ЖТФ, 1963. T. 33. С 905; б. ЖЭТФ, 1966. Т. 51.
С. 1189.
12. Хохлов Р. В. II Радиотехн. и электрон. 1961. Т. 6. С. 1116.
13. Руденко О. В., Солу ян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики.—
М.: Наука, 1975.
14. Anderson D., Lisak М. II Phys. Rev. 1983. V. А-27. P. 1393.
15. Joenk R. J., Landauer R. II Phys. Rev. Lett. 1967. V. 24. P. 228.
16. DeMartini F., Townes C. #., Gustafson Т. K., Kelley P. L. II Phys. Rev. 1967.
V. 164. P. 312.
17. Yajima T. II Jap. J. Appl. Phys. 1982. V. 21. P. 1044.
18. Fisher R. A., Bischel W. K. II J. Appl. Phys. 1975. V. 46. P. 492.
19. Armstrong J. A. II Phys. Rev. 1975. V. A-ll. P. 963.
20. Бабенко В. А., Зельдович Б. Я-, Малышев В. И., Сычев А. А. II Квантовая
электроника/Под ред. Н. Г. Басова.— М.: Сов. радио. 1973. № 14.
С. 19.
21. Басов Н. Г., Летохов В. С. II ДАН СССР. 1966. Т. 167. С. 73; Крюков П. Г.,
Летохов В. С. II УФН. 1969. Т. 99. С. 169.
22. Grischkowsky D., Courtens Е., Armstrong J. A. II Phys. Rev. Lett. 1973. V. 31.
P. 422.
23. Yang C., Shen Y. R. II Optics Lett. 1984. V. 9. P. 510.
24. Massah J. Т., Alfano R. R., Mustafa M. II Phys. Lett. 1985. V. A-107. P. 305.
25. Fork R., Shank C, Hirliman С et al. II Optics Lett. 1983. V. 8. P. 1.
26. Нестерова 3. В., Александров И. В. II ЖЭТФ. 1985. Т. 88. С. 96.
27. Mestdagh D., Haelterman M.l/Opt. Commun. 1987. V. 61. P. 291.
28. Dawes E. L., Marburger J. H. II Phys. Rev. 1969. V. 179. P. 862.
29. Аскарьян Г. А. II УФН. 1973. Т. 111. С. 249.
30. Беспалов В. И., Таланов В. И. II Письма в ЖЭТФ. 1966. Т. 3. С. 471.
31. Луговой В. Н., Прохоров А. М. II Письма в ЖЭТФ. 1968. Т. 7. С. 153; УФН.
1973. Т. 111. С. 203.
32. Shen Y. R., Loy М. М. Т. II Phys. Rev. 1971. V. А-3, Р. 2099; ШЕЕ J. Quant.
Electron. 1973. V. QE-9. P. 409.
33. Shen Y. R. II Prog. Quant. Electron. 1975. V. QE-4. P. 1.
34. Svelto 0. II Progress in Optics XIII/Ed. E. Wolf.—Amsterdam: North-
Holland, 1974. P. 1.
35. Ахманов С. А., Сухорукое А. П., Хохлов Р. В. II ЖЭТФ. 1966. Т. 51. С. 290.
36. Fleck J. A., Jr., Kelley P. L. II Appl. Phys. Lett. 1969. V. 15. P. 313.
37. Fleck J. A., Jr., Carman R. L. II Appl. Phys. Lett. 1972. V. 20. P. 290.
38. Shimizu F. II IBM J. Res. Rev- Develop. 1973. V. 17. P. 286.
39. Wong G. K. L., Shen Y. R. II Phys. Rev. Lett. 1974. V. 32. P. 527.
40. Hanson E. G., Shen Y. R., Wong G. K. L. II Appl. Phys. 1977. V. 14. P. 65.
41. Dubik A., Szczurek M. II J. Techn. Phys. 1984. V. 25. P. 257.
42. Brewer R. G., Lifsitz J. R., Garmire E. et al. II Phys. Rev. 1968. V. 166. P 326.
43. Большое М. А., Венкин Г. В., Жилкин С. А. I/ ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 3.
44. Ильичев Н. Н., Коробкин В. В., Коршунов В. А. и др. II Письма в ЖЭТФ.
1972. Т. 15. С. 191.
45. Alfano R. R., Shapiro S. L. II Phys. Rev. Lett. 1970. V. 24. P. 584, 592, 1217.
46. Smith W. L., Lin P., Bloembergen N. II Phys. Rev. 1977. V. A-15, P. 2396.
47. Penzkofer A., Seilmeier A., Kaiser W. II Opt. Commun. 1975. V. 14. P. 363.
48. Penzkofer A., Kaiser W. II Opt. a. Quant. Electron. 1977. V. 9. P. 315.
49. Know W. H., Downer M. C, Fork R. L., Shank С V. //Optics Lett. 1984.
V. 9. P. 552.
50. Corkum P. В., Rolland C, Srinivasan-Rao T. II Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57.
P. 2268.
51. KuhlkeD., Herspers U., vender LindeD. II Opt. Commun. 1987. V. 63. P. 275.
52. Glownia J. H., Arjavalingam G., Sorokin P. P., Rothenberg S. II Optics Lett.
1986. V. 11. P. 79.
299
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
Varma С. A. G. О., Rentzepis P. M. II J. Chem. Phys. 1973 V. 58. P. 5237;
Clere M., Jones R. P., Rentzepis P. M. II Chem. Phys. Lett. 1974. V. 26.
P. 167.
Муравьев А. А,, Рубанов A. H. II Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37. С. Е-97;
Муравьев А. А. II Квант, электрон. 1985. Т. 12. С. 1407.
Большое М. А., Сухорукое А. П., Чиркин А. С. II Радиотехн. и электрон.
1969. Т. 14. С. 2172.
Manassah J. Т., Mustafa M. A., Alfano R. R., Но Р. Р. II Phys. Lett. 1985.
V. А-113. Р. 242.
Alfano R. R., Li Q. X., limbo T. et al. II Optics Lett. 1986. V. 11. P. 625.
Зельдович Б. Я., Собельман И. И. II Письма в ЖЭТФ. 1971. Т. 13. С. 182.
Кадомцев Б. Б., Карпман В. И. II УФН. 1971. Т. 103. С. 193; Карпман В. И.
Нелинейные волиы в диспергирующих средах.— М.: Наука, 1973.
Masegawa A., Tapped F. II Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 142, 171.
Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы.—
М.: Мир, 1978.
Акулин В. М., Карлов Я. В. Интенсивные резонансные взаимодействия в
квантовой электронике.— М.: Наука, 1987.
Slusher R. Е., Gibbs Я. М. II Phys. Rev. 1972. V. А-5. Р. 1634.
Карпман В. И. II Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 829.
Anderson D., Lisak M. II Optics Lett. 1984. V. 9. P. 468.
Shukla P. K-, Rasmussen J. J. II Optics Lett. 1986. V. 11. P. 171.
Agrawal G. P. II Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 880.
Вислоух В. А., Сухотскова Я. А. II Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ. астроном.
1988. Т. 29. № 2. С. 57.
Hasegawa А. II Optics Lett. 1984. V. 9. P. 288; Выслоух В. А., Сухотскова
Я. А. II Квант, электрон. 1987. Т. 14. С. 243.
СатрШо A. J., Shapiro S. L., Suydan В. R. II Appl.
V. 24. P. 178.
Ляхов Г. А. II Опт. и спектроск.
Phys. Lett. 1974.
1972. Т. 33. С. 969.
Suydan В. R. II IEEE J. Quant. Electron. 1974. V. QE-10. P. 837.
Зельдович Б. Я-, Пилипецкий Я. Ф., Шкунов В. В. Обращение волнового
фронта.— М.: Наука, 1985.
Фаттахов А. М., Чиркин А. С. II Квант, электрон. 1983. Т. 10. С. 1989.
Фаттахов А. М., Чиркин А. С. II Квант, электрон. 1984. Т. 11. С. 2349.
Фаттахов А. М., Чиркин А. С. II Изв АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 49.
С. 553.
Беспалов В. И., Литвак А. Г., Таланов В. И. II Нелинейная оптика. — Ново-
Новосибирск: Наука, 1968.
Маслов В. П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл
Фейнмана.— М.: Наука, 1979.
Crosignani В., Papas С. Я., Porto P. D. //Optics Lett. 1980. V. 5. P. 467;
1981. V. 6. P. 61.
Chirkin A. S., Fattakhov A. M., Vysloukh V. A. II Proc. 4th Intern. School
of Coherent Optics,— Bechine, Czechoslovakia, 1983. P. 182.
Кандидов В. П., Шлёнов С. А. II Изв. вузов. Сер. «Радиофизика». 1984.
Т. 27. С. 1158; Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986. Т. 50. С. 1191.
Кандидов В. П., ШлёновС. А,//Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ. астроном. 1984.
Т. 25. № 2. С. 51.
Ахманов С. А., Чиркин А. С. Статистические явления в нелинейной опти-
оптике.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971.
г л
ве 3
1. Ахманов С. А., Сухорукое А. П., Чиркин А. С. II ЖЭТФ. 1968. Т. 55.
С. 1430
2. Miller R. С. II Phys. Lett. 1968. V. А-26. Р. 177.
3. Comly J., Garmire E. II Appl. Phys. Lett. 1968. V. 12. P. 7.
4. Glenn W. H.ll IEEE J. Quant. Electron. 1969. V. QE-5. P. 284.
5. Тагиев 3. А., Чиркин А. С II ЖЭТФ. 1977. Т. 73. С. 1271.
6. Островский Л. А. //Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 10. С. 281.
300
7. Орлов Р. Ю., Скидан И. Б., Тагиле 3. А. и др. II Письма в ЖТФ. 1976.
Т. 2. С. 619.
8. Карамзин Ю. Я., Сухорукое А. П. II Квант, электрон. 1975. Т. 2. С. 912.
9. Орлов Р. Ю., Усманов Т., Чиркин А. С. II ЖЭТФ. 1969. Т. 57. С. 1069.
10. Тагиев 3. А., Чиркин А. С. II Квант, электрон. 1980. Т. 7. С. 1337.
11. Сухорукое А. П., Пирогоеа И. Ю. II Опт. и спектроск. 1985. Т. 59. С. 694.
12. Параметрические генераторы света и пикосекундная спектроскопия/Под
ред. А. Пискарскаса.— Вильнюс: Мокслас, 1983.
13. Ахманов С. А., Ковригин А. И., Сухорукое А. П., Хохлов Р. В., Чиркин
А. С. II Письма в ЖЭТФ. 1968. Т. 7. С. 237.
14. Akhmanov S. A., Chirkin A. S., Drabovich К- N. et at. II IEEE J. Quant.
Electron. 1968. V. QE-4. P. 598.
15. Сущик М. М., Форшус В. М., Фрейдман Г. И. II Изв. вузов. Сер. «Радио-
«Радиофизика». 1970. Т. 13. С. 631.
16. Сухорукое А. П., Щеднова А. К-/I ЖЭТФ. 1971. Т. 60. С. 1251.
17. Пискарскас А., Стабинис А., Янкаускас А. II Квант, электрон. 1984. Т. 11.
С. 2375; 1985. Т. 12. С. 1781.
18. Пискарскас А., Стабинис А., Янкаускас А. II УФН. 1986. Т. 150. С. 127.
19. Салтиел С. М., Усманов Т., Чиркин А. С, Яковлев Е. В. II Квант, электрон.
1974. Т. 1. С. 288.
20. Тагиев 3. А., Чиркин А. С. II Ж. прикл. спектроск. 1976. Т. 24. С. 918.
21. Tomov I. V., Fedosejevs R., Offenberger A. A. II IEEE J Quant. Electron.
1982. V. QE-18. P. 2048.
22. Азимов Б. С, Карамзин Ю. Я., Сухорукое А. П., Сухорукова А. К- II
ЖЭТФ. 1980. Т. 78. С. 81.
23. Азимов Б. С, Карамзин Ю. Я., Сухорукова А. К- И Изв. АН СССР. Сер.
физ. 1981. Т. 45. С. 1398.
Сухорукое А. Я., Сухорукова А. К- II Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 34. С. 200;
Изв. АН СССР. Сер. физ. 1982. Т. 46. С. 2017.
24. Карамзин Ю. Я., Сухорукое А. П., Филипчук Т. С. II Изв. вузов. Сер. «Ра-
«Радиофизика». 1978. Т. 21. С. 456.
25. Азимов Б. С, Сухорукое А. П., Трухов Д. В. II Изв. АН СССР. Сер. физ.
1987. Т. 51. С. 229.
26. Nonlinear Infrared Generation/Ed. Y. R. Shen.— Berlin: Springer-Verlag,
1977.
27. Zembrod A., Puell H., Giordmaine J. A. II IEEE J. Quant. Electron. 1968.
V. QE-4. P. 396; Opt. Electron. 1969. V. 1. P. 64.
28. Багдасарян Д., Макарян А., Погосян П. II Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37.
С. 498.
29. Гинзбург В. Л. II УФН. 1959. Т. 69. С. 537.
30. Аскарьян Г. А. II ЖЭТФ. 1962. Т. 42. С. 1360; 1963. Т. 45. С. 643.
31. Абдуллин У. А., Ляхов Г. А., Руденко 0. В., Чиркин А. С. II ЖЭТФ. 1974.
Т. 66. С. 1295.
32. Auston D. Я., Cheung К- Р-, Valdmanis J. A., Kldnman D. A. II Phys. Rev.
Lett. 1984. V. 53. P. 1555;
33. Auston D. H. II Appl. Phys. Lett. 1983. V. 43. P. 713.
KleinmanD. A., Auston D. H. II JEEE J. Quant. Electron. 1984. V. QE-20.
P. 964.
34. Cheung К- Р-, Auston D. H. II Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2152.
35. Остон Д. Пикосекундная нелинейная оптика // Сверхкороткие световые
импульсы/Под ред. С. Шапиро.—М.: Мир, 1981. С. 166.
36. Brewer R. G., Lijsitz J. R., Garmire E., Chiao R., Townes С II Phys. Rev.
1965. V. 166. P. 316.
37. Maier M., Kaiser W., Giordmaine J. A. II Phys. Rev. Lett. 1966. V. 17.
P. 125.
38. Большое М. А., Днепровский В. С, Голяев Ю. Д., Нурминский Н. И. II
ЖЭТФ. 1969. Т. 57. С. 346.
39. Ахманов С. А., Большое М. А., Драбович К- Я., Сухорукое А. П. II Письма
в ЖЭТФ. 1970. Т. 12. С. 547.
40. Akhamanov S. А. // Mater. Res. Bull. 1969. V. 4. P. 455.
301
41. Ахманов С. А., Драбовш К- Н., Сухорукое А. П., Чиркин А. С. II ЖЭТФ.
1970. Т. 59. С. 485.
42. Драбовш К- И. II Ж- прикл. спектроск. 1970. Т. 12. С. 411.
43. Дьяков Ю. Е. II Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 9. С. 489; 1970. Т. 11. С. 362.
44. Carman R. L., Shimizu F., Wang С. S., Bloembergen N. II Phys. Rev. 1970.
V. A-2. P. 60.
45. Ахманов С. А., Драбович К- H., Сухорукое А. П., Щеднова А. К. II ЖЭТФ.
1972. Т. 62. С. 525.
46. Ахманов С. А., Коротеев Н. И. Методы нелинейной оптики в спектроскопии
рассеянного света.— М.: Наука, 1981.
47. Stolen R. Н., Ippen Е. Р. II Appl. Phys. Lett. 1973. V. 22. P. 276.
48. Дианов Е. М., Иванов Л. М., Карасик А. Я- « др. II ЖЭТФ. 1986. Т. 91.
С. 2031.
49. Washio К-, Inone К-, Tanigawa Т. II Electron. Lett. 1980. V. 16. P. 331.
50. Stolen R. H., Johnson M. J. II IEEE J. Quant. Electron. 1986. V. QE-22.
P. 2154.
51. Луговой В. H. II ЖЭТФ. 1976. Т. 71. С. 1307.
52. Выслоух В. А., Серкин В. Н. II Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 83. С. 170.
53. Выслоух В. А., Серкин В. Н. II Изв. АН СССР. Сер. физ. 1984. Т. 43. С. 17.
54. Johnson A. M., Stolen R. Н., Simpson W. М. II Ultrafast Phenomena V/Eds
G. R. Fleming, A. E. Siegman.— Berlin: Springer-Verlag, 1986. P. 160.
55. Alfano R. R., Li Q. X., Jimbo T. et al. II [54]. P. 164.
56. Islam M. N., Mollenauer L. F., Stolen R. H. et al. II Optics Lett. 1987. V. 12.
P. 625.
57. Александровский А. Л., Ахманов С. А., Дьяков В. А. и др. II Квант, элект-
электрон. 1985. Т. 12. С. 1333.
58. Akhmanov S. А. II Hyperfine Interactions. 1987. V. 38. P. 555.
59. Ахманов С. А., Говорков С. В., Коротеев Н. И., Шумай И. Л. II Труды
Советско-американского семинара «Лазерная оптика конденсированных
сред».— Л., 1987. С. 47.
60. Kush J. A., Tsang J. С, Hvam J. M. H Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 2151.
61. Дьяков Ю. Е., Крикунов С. А., Магницкий С. А. и др. II ЖЭТФ. 1983.
Т. 84. С. 2013.
62. Akhmanov S. A., Koroteev N. /., Magnitskii S. A. et al. II J. Opt. Soc. Am.
1985. V. B-2. P. 640.
63. Никитин С. Ю., Коломейцев Д. В. II Опт. и спектроск. 1986. Т. 61. С. 1201.
64. Laubereau A., Kaiser W. II Rev. Mod. Phys. 1978. V. 50. P. 607.
65. Judd O. P., Lyman J. L. II Optics Lett. 1981. V. 6. P. 595.
66. George S. M., Harris С. В. II Phys. Rev. 1983. V. A-28. P. 863.
67. De Silvestri S., Fujimoto J. G., Ippen E. P. et al. II Chem. Phys. Lett. 1985.
V. 116. P. 146.
68. Yan Y. X., Gamble E. В., Nelson K- A. II J. Chem. Phys. 1985. V. 83. P. 5391.
69. Gale G. M., Vallee F., Flytzanis С II Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 1867.
70. Cheung K- P., Auston D. H. II Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2152.
71. Ахманов С. А., Веденин В. Д., ГанихановФ. Ш. и др. II Опг. и спектроск.
1988. Т. 64. С. 503.
72. Schoen P. E., Campillo A. J. II Appl. Phys. Lett. 1984. V. 45. P. 1049.
73. Leung К- P., Yao S. S., Doukas A. G., Alfano R. P. II Phys. Rev. 1985. V.
B-31. P. 942.
74. Тат А. С II Appl. Phys. Lett. 1984. V. 45. P. 510.
75. Sessler G. M., Gerhard-Multhaupt R., West J. E., von Seggern H. II J. Appl.
Phys. 1985. V. 58. P. 119.
76. Водопьянов К- Л., КулевскийЛ. А., Михалевич В. Г., Родин А. М. II ЖЭТФ,
1986. Т. 91. С. 114.
77. Thomsen С, Strait J., Vardeny Z. et al. II Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P.
989.
78. Wiesenfeld J. M. II Appl. Phys. Lett. 1985. V. 47. P. 143.
79. Thomsen C, Grahn H. Т., Maris H. J., Tauc J. II Opt. Commun. 1986. V. 60.
P. 55.
80. Eesley G. L., Clemens В M., Paddock С A. II Appl. Phys. Lett. 1987. V.
50. P. 717.
302
81. Тат А. С, Leung W. Р. II Appl. Phys. Lett. 1984. V. 45. P. 1040.
82. Gerhard-Multhaupt R., Sessler С M., West J. E. et al. II J. Appl. Phys. 1984.
V. 55. ;■>. 2769.
83. Paddock С A., Eesley G. L. II J. Appl. Phys. 1986. V. 60. P. 285.
«4. Eesley G. L. II Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 2140.
85. Schoenlein R. W., Lin W. Z., Fujimoto J. G., Eesley G. L. II Phys. Rev. Lett.
1987. V. 58. P. 1680.
86. Tai K-, Tomita A., Jewell J. L., Hasegawa A. II Appl. Phys. Lett. 1987.
V. 49. P. 236.
87. Brienza M. J., De Maria A. J. II Appl. Phys. Lett. 1967. V. 11. P. 44.
88. Гусев В. Э. II Квант, электрон. 1984. Т. 11. С. 2197.
■89. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика.— М.: Наука,
1979.— (Теоретическая физика; Т. X).
■90. Гутфельд Р. II Физическая акустика Т. 5/Под ред. У. Мэзона.— М.: Мир,
1973.
91. Физика фононов больших энергий.— М.: Мир, 1976.
92. Avanesyan S. М., Gusev V. Е. //Solid State Commun. 1985. V. 54. P. 1065,
93. Гусев В. Э. II Акуст. ж. 1986. Т. 32. С. 322.
94. Аванесян С. М., Ахманов С. А., Гусев В. Э. и др. Нелинейные режимы оп-
оптического возбуждения поверхностных и объемных акустических волн
в кремнии: Препринт физического факультета МГУ. № 20.— М., 1986.
95. Аванесян С. М., Гусев В. Э. II Квант, электрон. 1986. Т. 13. С. 1241.
96. Avanesyan S. М., Gusev V. Е., Zheludev N. I. II Appl. Phys. 1986. V. А-40.
P. 3207.
97. Gauster W. В., Habing D. H. II Phys. Rev. Lett. 1967. V. 18 P. 1058.
98. Yoffa Ellen J. II Phys. Rev. 1981. V. B-23. P. 1909.
99. Гусев В. Э., Карабутов А. А. II Докл. XI Всесоюз. конф. по когерентной
и нелинейной оптике.— Ереван: ЕГУ, 1982. Т. 2. С. 532.
100. Aydinli A., Lo H. W., Lee М. С, Сотраап А. II Phys. Rev. Lett 1981.
V. 46. P. 1640.
101. Forchel А., В. Launch, H. Hillmer et al. II J. Luminescence, 1985. V 30.
P. 67.
102. Schweizer H., Zielinski E., Forchel A., Mahler G. Hi. Luminescence. 1984.
V. 31-32. P. 503.
103. Wolfe J. P. II J. Luminescence. 1985. V. 30. P. 82.
104. HulinD., Combescot M.,\ok J. et al. II Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1998.
105. Заварицкая В. А., Кудинде, А. В., Миляев В. А. и др. II ФТП. 1984. Т. 18.
С. 2160.
106 Сухорукое А. П Нелинейные\волновые взаимодействия в оптике и радио-
радиофизике.— М Наука, 1988.
К главе 4
1. Gustafson Т. К., Taran J. P., H\aus H. A. et al. II Phys. Rev. 1969. V. 177.
P. 1196. .'
2. Kobayashi Т., Amano K-, Fujj'a T. et al. II Ultrafast Phenomena V/Eds
G. R. Fleming, A. E. Sigmary'.— Berlin: Springer-Verlag. 1986. P. 134.
3. Nakatsuka H., Grischkowsky D.I! Optics Lett. 1981. V. 6. P. 13.
4. Treacy E. B. 11 Phys. Lett. 1968. V. A-28. P. 112.
5. Duguay M. A., Hansen J. W. II Appl. Phys. Lett. 1969. V. 14. P. 14.
6. Laubereau A. II Rhys. Lett. 1969. V. A-29. P. 539.
7. Lehmberg R. ff., McMahon I. M. II Appl. Phys. Lett. 1976. V. 28. P. 204
8. Yang T. Y., Ho P. P., Kats A. et al. II Appl. Optics. 1985. V. 24. P. 2021.
9. McMulle/i J. D. II Appl. Optics. 1979. V. 18. P. 737.
10. Johnson A. M., Stolen R. H., Simpson W. M. II Appl. Phys. Lett. 1984. V. 44.
P. 729.
11. Fork R. L., Martines О. Е., Gordon J. P. II Optics Lett. 1984. V. 9. P. 153.
12. Gordon J. P., Fork R. L. II Optics Lett. 1984. V. 9. P. 156.
13. Hermann I., Wilhelmi B. Laser fur ultrakurze lichtimpulsen.— Berlin' Aka
demie-Verlag, 1984.
14. Kafka J. D., Baer T. II Optics Lett. 1987. V. 12. P. 401.
303
15. Stolen R. H., Lin С II Phys. Rev. 1978. V. A-17. P. 1448.
16. Альтшулер Г. Б., Карасев В. Б., Козлов С. А. и др. II Опт. и спектроск.
1986. Т. 61. С. 359.
17. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Мурадян Л. X. и др. Перестраиваемый гене-
генератор субпикосекундных световых импульсов с компрессором на одномодо-
вом волоконном световоде: Препринт физического факультета МГУ.
№ 18.— М., 1984.
18. Tomlinson W. /., Stolen R. H., Shank С. V. II J. Opt. Soc. Am. 1984. V. B-l.
P. 139.
19. Выслоух В. А., Мурадян Л. X., Першин С. М., Подшивалов А. А. I/Изв.
АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 49. С. 573.
20. Tomlinson W. J., Stolen R. Н., Johnson A. M. II Optics Lett. 1985. V. 10.
P. 457.
21. Kafka J. D., Kolner B. H., Baer Т., Bloom D. M. II Optics Lett. 1984. V. 9.
P. 505.
22. Выслоух В. А., Дотенко Д. #., Желудее Н. И. и др. II Изв. АН СССР. Сер.
физ. 1986. Т. 50. С. 1220.
23. Власов С. Н., Петрищев В. А., Таланов В. И. II Изв. вузов. Сер. «Радиофи-
«Радиофизика». 1971. Т. 14. С. 1353.
24. Выслоух В. А., Фаттахов А. М. II Изв. вузов. Сер. «Радиофизика». 1986.
Т 29 С 551
25. Выслоух В. А., Мурадян Л. X. II Квант, электрон. 1987. Т. 14. С. 1437.
26. Выслоух В. А., Довченко Д. Н., Желудее Н. И. и др. II Тез. докл. XII Все-
союз. конф. по когерентной и нелинейной оптике.— М., 1985. С. 448.
27. Voss D. F., Goldberg L. S. //Optics Lett. 1986. V. 11. P. 210.
28. Heritage J. P., Thurston R. N., Tomlinson W. J. et al. II Appl. Phys. Lett.
1985. V. 47. P. 87.
29. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. II УФН. 1986. Т. 149. С. 449.
30. Воронцов М. А., Шмальгаузен В. И. Принципы адаптивной оптики.— М.:
Наука, 1985.
31. Weiner А. /И., Heritage J. P., Thurston R. N. II Optics Lett. 1986. V. 11.
P. 153.
32. Haner M., Warren W. S. //Optics Lett. 1987. V. 12. P. 398.
33. Anderson £>., Lisak M. II Phys. Rev. 1983. V. A-27. P. 1393.
34. Cristodonlides M. N.. Josef R. L. II Electronics Lett. 1984. V. 20. P. 659.
35. Выслоух В. А., Матвеева Т. А. Оптимальная компрессия фемтосекундных
оптических'импульсов: Препринт физического факультета МГУ. №24.—
М., 1985.
36. Выслоух В. А., Матвеева Т. А. II Квант, электрон. 1986. Т. 13. С. 1020.
37. Выслоух В. А., Матвеева Т. А. II Квант, электрон. 1987. Т. 14. С. 792.
38. Bourkoff E. et al. II Opt. commun. 1987. V. 12. P. 284.
39. Halbout J. M., Grischkowsky D. II Appl. Phys. Lett. 1984. V. 45. P. 1281.
40. Khox W. N.. Fork R. L., Downer M. С et al. II Appl. Phys. Lett. 1985. V. 46.
P. 1120.
41. Thomazeau I., Etchepare J., GrillonG. etal. II Optics Lett. 1985. V. 10. P. 223.
42. Brito-Cruz С H., Fork R. L., Shank С V. II Proc. Conf. on Lasers and Electro-
Optics.— Baltimore, Maryland, 1987. P. 12.
43. Пискарскас А., Стабинис А., Янкаускас A. II УФН. 1986. T. 150. С 128.
44. Данелюс Р., Пискарскас А., Сируткайтис В. и dp. II Письма в ЖЭТФ. 1985.
Т. 42. С. 101.
45. Пискарскас А., Стабинис А., Янкаускас А. II Квант, электрон. 1985. Т. 12.
С. 1781; там же. С. 2335.
К главе 5
1. Hasegawa A., Tappert F. II Appl. Phys. Lett. 1973. V. 23. P. 142.
2. Mollenauer L. F., Stolen R. H., Gordon J. P. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45.
P. 1045.
3. Выслоух В. А. II УФН. 1982. Т. 136. С. 519.
4. Сисакян И. Н., Шварцбург А. Б. II Квант, электрон. 1984. Т. И. С. 1703.
5. Дианов Е. М., Прохоров А. М. II УФН. 1986. Т. 148. С. 289.
304
6. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. II УФН. 1986. Т. 149. С. 449.
7. Satsuma Л, Yajima N. II Prog. Theor. Phys. Suppl. 1974. V. 55. P. 284.
8. Захаров В. E., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория со-
литонов: Метод обратной задачи.— М.: Наука, 1980.
9. Pask С, Vatarescu A. J. II J. Opt. Soc. Am. 1986. V. В-3. P. 1018.
10. Mollenauer L. F., Stolen R. H., Gordon J. P.ll Optics Lett. 1986. V. 11. P. 289.
11. Выслоух В. А., Матвеева Т. А. II Квант, электрон. 1986. Т. 13. С. 1020.
12. Выслоух В. А., Матвеева Т. А. Оптимальная компрессия фемтосекундных
лазерных импульсов: Препринт физического факультета МГУ. № 24.— М.,
1985.
13. Tai K-, Tomita A. II Appl. Phys. Lett. 1986. V. 48. P. 1033.
14. Выслоух В. А., Матвеева Т. А. Нелинейная стабилизация и компрессия пи-
косекундных импульсов ИК диапазона в системе нелинейных световодов:
Препринт физического факультета МГУ. № 15.— М., 1986.
15. Blow К- J., Doran N. J., Nelson В. P. II Optics Lett. 1985. V. 10. P. 393.
16. Выслоух В. А., Матвеева Т. А. II Квант, электрон. 1987. Т. 14. С. 792.
17. Головченко Е. А , Дианов Е. М., Пилипецкий А. И. и др. II Письма в ЖЭТФ.
1987. Т. 45. С. 75.
18. Выслоух В. А., Серкин В. Н. II Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38. С. 170; Изв.
АН СССР. Сер. физ. 1984. Т. 48. С. 1777.
19. Дианов Е. М., Карасик А. Я-, Мамышев П. В. и др. II Письма в ЖЭТФ.
1985. Т. 41. С. 242.
20. Азимов Б. С, Исаев С. К-, Лузгин С. Н., Трухов Д. В. II Изв. АН СССР.
Сер. физ. 1986. Т. 50. С. 1779.
21. Хасегава А., Кодама Ю. II ТИИЭР. 1981. Т. 69. С. 57.
22. Doran N., Blow К- III IEEE J. Quantum Electron. 1983. V- QE-19. P. 1883.
23. Дианов Е. М., Никонова 3. С, Серкин В. Н. II Квант, электрон. 1986.
Т 13 С 331
24. Mollenauer L. F., Stolen R. Н., Islam M. N. II Optics Lett. 1985. V. 10. P. 229.
25. Stolen R. H. II Fiber and Integrated Optics. 1980. V. 3. P. 21.
26. Hasegawa A. II Appl. Optics. 1984. V. 23. P. 3302.
27. Shvartsburg А. В.. Sisakyan I. N. II Opt. a. Quant. Electron. 1984. V. 16.
P. 207.
28. Выслоух В. А. II Квант, электрон. 1983. Т. 10. С. 1688.
29. Anderson £>., Lisak M. //Optics Lett. 1982. V. 7. P. 394; Phys. Rev. 1983.
V. A-27. P. 1393.
30. Shukla P. В., Rasmussen J. J. //Optics Lett. 1986. V. 11. P. 171.
31. Выслоух В. А., Передник И. В. II ТМФ. 1988. Т. 77. С. 32.
32. Ohkuma K-, Ichikawa Y. #., Abe Y. //Optics Lett. 1987. V. 12. P. 516.
33. Mitschke F. M., Mollenauer L. F. II Ultrafast Phenomena V/Eds G. R. Fle-
Fleming, A. E. Siegman.— Berlin: Springer-Verlag. 1986.— P. 62.
34. Karpman V. /., Solov'ev V. V. II Physica. 1981. V. D-3. P. 483.
35. Gordon J. P. II Optics Lett. 1983. V. 8. P. 596.
36. Выслоух В. А., Передник И. В. II ТМФ. 1987. Т. 71. С. 13.
37. Mollenauer L.F., Stolen R. Н. //Optics Lett. 1984. V. 9. P. 13.
38. Mitschke F. M., Mollenauer L. F. II [33]. P. 58.
39. Haus H., Islam M. N. II IEEE J. Quant. Electron. 1985. V. QE-21. P. 1172.
40. Blow K- J., Wood D. II IEEE J. Quant. Electron. 1986. V. QE-22. P. 1109.
41. Christiansen F. #., Elgin J N., Gibbon J. D., Skovgaard 0. II Opt. Commun
1986. V. 57. P. 350. /
42. Islam M. N.. Mollenauer/L. F., Stolen R. H. II [33]. P. 46.
43. Dianov E. M., Prokhoro/A. M., Serkin V. N. //Optics Lett. 1986. V. 11.
P. 168. /
44. Zysset В., Bean P., Hedel W. II [33]. P. 51.
45. Карпман В. И. II Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 829.
46. Hasegawa А. II Op№s Lett. 1984. V. 9. P. 288.
47. Ахмедиев Н. НУЕлеонский В. М., Кулагин Н. Е. II ЖЭТФ. 1985. Т. 89.
С. 1542. .^
^A&^JTai Л^-iJasegawa A., Tomita А. II Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 135.
49. Tai К., Tomita A., Jewell J. L., Hasegawa A. II Appl. Phys. Lett. 1986. V. 49.
- P. 236.
305
50. Taha T. R., Ablowitz M. J. II J. Comput. Phys. 1984. V. 55. P. 203.
51. Выслоух В. А., Чередник И. В. II ДАН СССР. 1986. Т. 289. с. 336.
52. Выслоух В. А., Иванов А. В., Чередник И. В. II Тез. докл. XII Всесоюз.
конф. по когерентной и нелинейной оптике.— М., 1985. С. 428.
53. Выслоух В. А., Иванов А. В. II Изв. АН СССР. Сер. физ. 1988. Т. 52. С. 359.
54. Выслоух В. А., Иванов А. В., Чередник И. В. II Изв. вузов. Сер. «Радиофи-
«Радиофизика». 1987. Т. 28. С. 930.
55. Выслоух В. А., Чередник И. В. II ДАН СССР. 1988. Т. 299. С. ПО.
56. Mitschke F. M., Mollenauer L. F. II Optics Lett. 1987. V. 12. P. 355.
57. Выслоух В. А., Сухотскова И. А. II Квант, электрон. 1987. Т. 14. С. 2371.
К главе 6
1. Сверхкороткие световые импульсы/Поя ред. С. Шапиро.— М.: Мир, 1981.
2. Херман Й., Вильгельма Б. Лазеры сверхкоротких световых импульсов.—
М.: Мир, 1986.
3. Параметрические генераторы света и пикосекундная спектроскопия/Под
ред. А. Пискарскаса.— Вильнюс: Мокслас, 1983.
4. Валыиин А. М., Гордиенко В. М., Краюшкин С. В. и др. II Квант, элект-
электрон. 1986. Т. 13. С. 1713.
5. Llnde D., Malvezzi А. М. II Appl. Phys. 1985. V. В-37. Р. 1.
6. Thotnie Т. //Jap. J. Appl. Phys. 1985. V. 24. P. 1008.
7. Довченко Д. Н., Дьяков В. А., Кузнецов В. И., Прялкин В. И. II Тез. докл.
XII Всесоюз. конф. по когерентной и нелинейной оптике.— М., 1985.
С. 3.
8. Онищуков Г. И., Стельмах М. Ф., Фомичев А. А. II Изв. АН СССР. Сер.
физ. 1986. Т. 50. С. 1117.
9. Fork R. L., Green В. /., Shank С. V. II Appl. Phys. Lett. 1981. V. 38. P. 197.
10. Martinez O. E., Fork R. L., Gordon J. P. II Optics Lett. 1984. V. 9. P. 156.
11. Yamashita M., Torizuka K-, Sato Т., Ishikawa M. II Ultrafast Phenomena
V/Eds G. R. Fleming, A. E. Siegman.— Berlin: Springer-Verlag. 1986. P. 8.
12. Heppner J., Kuhl J. II Appl. Phys. Lett. 1985. V. 47. P. 453.
13. Valdmanis J. A., Fork R. L., Gordon J. P. II Optics Lett. 1985. V. 10. P. 131.
14. Diets J. C, Dietel W., Fontaine J. J. et al. II J. Opt. Soc. Am. 1986. V. B-2.
P. 680.
15. Salin F., Grangier P., Roger G., Brun A. II [11]. P. 20.
16. French P. M. W., Taylor J. R. II [II]. P. 11.
17. Dobler J., Schulz H. M., Zinth W. II Opt. Commun. 1986. V. 57. P. 407.
18. Kaiser W., Selmeier A. II Infrared Physics. 1985. V. 25. P. 15.
19. Нехаенко В. А., Першин С. М., Подшивалов А. А. II Квант, электрон.
1986. Т. 13. С. 153.
20. Лазеры на красителях/Под ред. Ф. П. Шефера.— М.: Мир, 1976.
21. Ковригин А. И., Нехаенко В. А., Першин С. М. и др. II Квант, электрон.
1984. Т. 11. С. 2007.
22. Johnson A. M., Simpson W. М. II J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 619.
23. Johnson A. M., Simpson W. M. II IEEE J. Quant. Electron. 1986. V. QE-22.
P. 133.
24. Kovrigin A. /., Nekhaenko V. A., Persin S. M. et al. II Opt. Quant. Electron.
1985. V. 17. P. 95.
25. Ausschnitt С. Р., Jain R. К. П Appl. Phys. Lett. 1978. V. 32. P. 727.
26. Нехаенко В. А. Теория генерации сверхкоротких импульсов света при
синхронной накачке лазеров с многоуровневой моделью активной среды:
Канд. дис— М. 1984.
27. Von der LindeD., WiechertD., Kluge J.et al. II Материалы III Междуиар.
симп. «Сверхбыстрые процессы в спектроскопии».— Минск, 1983. С. 19.
28. Sizer Т., Kafka J. D., Duling I. N. et al. II IEEE J. Quant. Electron. 1983.
V. QE-19. P. 506.
29. Гафуров X. Г., Криндач Д. П., Нехаенко В. А. и др. II Квант, электрон.
1985. Т. 12. С. 1279.
30. Mourou G. A., Sizer Т- II Opt Commun. 1982. V. 41. P. 47.
306
31. Norris Т., Sizer Т., Mourou G. Hi. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 613
32. Frigo N. /., Daly Т., Mahr H.I/ IEEE J. Quant. Electron. 1977. V. QE-13.
P. 101.
33. Архангельская В. А., Феофилов П. П. II Квант, электрон. 1980. Т. 7. С.
1141.
34. Mollenauer L. F., Bloom D. М. II Optics Lett. 1979. V. 4. P. 247.
35. Mollenauer L. F., Stolen R. H., Gordon J. P. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45.
P. 1045.
36. Басиев Т. Т., Лохныгин В. Д., Миров С. Б. и др. II Материалы IV Всесоюз.
конф. «Перестраиваемые по частоте лазеры».— Новосибирск, 1983. С. 399.
37. Islam M. N., Mollenauer L. F., German К- R- II Ргос. Conf. on Laser and
Electro-Optics. — Baltimore, Maryland, 1987. P. 14.
38. Haus H. A., Nakazawa M. II J. Opt. Soc. Am. 1987. V. B-4. P. 652.
39. Stolen R. H. II Fiber and Integrated Optics. 1980. V. 3. P. 21.
40. Zysset В., Beaud P., Model W., Weber H. P. II [11]. P. 54.
41. Magnitskii S. A., Malachova V. I., Tarasevich A. P. et al. II Optics Lett.
1986. V. 11. P. 18.
42. Барейка Б., Дикчюс Г., Пискарскас А,, Сируткайтис В. II Квант, элект-
электрон. 1980. Т. 7. С. 2204.
43. Nakatsuka H., Grischkowsky D., Balant А. С. II Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47.
P. 910.
44. Nicolaus В., Grischkowsky D. II Appl. Phys. Lett. 1983. V. 42. P. 1.
45. Nicolaus В., Grischkowsky D. II Appl. Phys. Lett. 1983. V. 43. P. 228.
46. Palfrey S. L., Grischkowsky D. II [37]. P. 20.
47. Halas N. J., Grischkowsky D. II Appl. Phys. Lett. 1986. V. 48. P. 823.
48. Johnson A. M., Simpson W. M., Stolen R. H. II Appl. Phys. Lett. 1984.
V. 44. P. 729.
49. Johnson A. M., Simpson W. M. II J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 619.
50. Kafka J. D., Kolner B. H., Baer Т., Bloom D. M. II Optics Lett. 1984. V. 9.
P. 505.
51. Gomes A. S. L., Sibbett W., Taylor J. R. II Optics Lett. 1985. V. 10. P. 338.
52. Zysset В., Hodel W., Beaud P., Weber H. P. //Optics Lett. 1986. V. 11. P.
158.
53. Gomes A .S. L., Sibbett W., Taylor J. R. II Appl. Phys. 1986. V. B-39. P. 43.
54. Tai K-, Tomita A. II Appl. Phys. Lett. 1986. V. 48. P. 309.
55. Blow K- J-, Doran N. J., Nelson B. P. II Optics Lett. 1985. V. 10. P. 393.
56. Выслоух В. А., Матвеева Т. А. Нелинейная стабилизация и компрессия
пикосекундных импульсов ИК диапазона в системе нелинейных светово-
световодов: Препринт физического факультета МГУ. № 15.— М., 1986.
57. Дианов Е. М., Карасик А. Я., Малышев П. В. и др. II Квант, электрон.
1984. Т. 11. С. 1078.
58. Выслоух В. А., Довченко Д. Н., Желудев Н. И. и др. II Изв. АН СССР. Сер.
физ. 1986. Т. 50. С. 1220.
59. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Довченко Д. Н. и др. II Тез. докл. V. Me к
дунар. симп. «Сверхбыстрые процессы в спектроскопии».— Вильнюс, 1987.
С. 104; Квант, электрон. 1988. Т. 15. С. 384.
60. Shank С. V., Fork R. L., Yen R. Г., Stolen R. H. II Appl. Phys. Lett
1982. V. 40. P. 761.
61. Fujimoto J. G., Weiner A. M., Ippen E. P. II Appl. Phys. Lett. 1984. V. 44.
P. 832.
62. Halbout J. M., Grischkowsky D. // Appl. Phys. Lett. 1984. V. 45. P. 1281.
63. Knox W. H., Fork R. L., Downer M. С et al. II Appl. Phys. Lett. 1985. V. 46.
P. 1120.
64. Fork R. L., Brito-Cruz С H., Becker P. C, Shank С V. II Optics Lett. 1987.
V. 12. P. 483.
65. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Мурадян Л. X. и др. Перестраиваемый ге-
генератор субпикосекундных световых импульсов с компрессором на одно-
модовом волоконном световоде: Препринт физического факультета МГУ.
№ 17.— М., 1984.
66. Ахманов С. А., Вальшин А. М., Гордиенко В. М. и др. II Квант, электрон.
1986. Т. 13. С. 1992.
307
67. Fork R. L., Shank С V., Yen R. T. II Appl. Phys. Lett. 1982. V. 4k
P. 223.
68. Dating I. N., Norris Т., Sizer T. et al. II J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2.
P. 616.
69. Knox W. //., Downer M. C, Fork R. L., Shank С V. II Optics Lett. 1984.
V. 9. P. 552.
70. Seibert K., Kurz H. II [37]. P. 368.
71. Damm Т., Kaschke M., Noak F., Wilhelmi S.//Optics Lett. 1985. V. 10.
P. 176.
72. Strickland D., Mourou G. II Opt. Commun. 1985. V. 56. P. 219.
73. Maine P., Strickland £>., Bouvier M., Mourou G. II [37]. P. 366.
74. She R. C, Shay T. M., Molloney M., Figueira J. II [37]. P. 212.
75. Попов В. К- II УФН. 1985. Т. 147. С. 587.
76. Glownia J. H., Arjavalingam G., Sorokin P. P., Rothenberg J. E.ll Optics
Lett. 1986. V. 11. P. 79.
77. Schwarzenbach A. P., Luk T. S., Mclntyre I. A. et al. II Optics Lett. 1986.
V. 11. P. 499.
78. Szatmari S., Racz В., Schafer F. P. II Opt. Commun. 1987. V. 62. P. 271.
79. Szatmari S., Schafer F. P., Muller-Horsche E., Muckenheim W. II Opt. Com-
Commun. 1987. V. 63. P. 305.
80. Ахманов С. А., Гордиенко В. М., Джиджоев М. С. и др. II Квант, элект-
электрон. 1986. Т. 13. С. 1957; Ibidem.—Р. 1992.
81. Краюшкин С. В. Генерация и усиление мощных перестраиваемых по длине
волны фемтосекундных импульсов когерентного излучения в УФ диапазоне
спектра с помощью эксимерных лазеров: Канд. дис.^ М., 1987.
82. Коренченко А. Е., Платоненко В. Т., Таранухин В. Д. II Изв. АН СССР.
Сер. физ. 1987. Т. 51. С. 215.
83. Corcum Р. V., Rolland С, Srinivasan-Rao Т. II Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57.
P. 2268.
84. Corcum P. B. II Optics Lett. 1983. V. 8. P. 514.
85. Corcum P. B. II IEEE J. Quant. Electron. 1985. V. QE-21. P. 216.
86. Платоненко В. Т., Таранухин В. Д. II Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986.
Т. 50. С. 830.
87. Rolland С, Corcum Р. В. II J. Opt. Soc. Am. 1987. V. В-4. P. 680.
88. Вальшин А. М., Гордиенко В. М., Ковригин А. И. и др. Генерация спект-
спектрально-ограниченных импульсов 10-микрометрового излучения: Препринт
физического факультета МГУ. № 6.— М., 1986; Вальшин А. М., Гордиенко
B. М., Данилов Е. О., Ковригин А. И. II Квант, электрон. 1985. Т. 12.
C. 437.
89. Барейка Б., Дикчюс Г., Исянова Е. Д. и др. II Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6.
С. 694.
90. Moore D. S., Schmidt S. С. II Optics Lett. 1987. V. 12. P. 480.
91. Elsaesser Т., Seilmeier A., Kaiser W. et al. II Appl. Phys. Lett. 1984. V. 44.
P. 383.
92. Elsaesser Г., Lobentanzer H., Kaiser W. II Appl. Phys. Lett. 1985. V. 47.
P. 1190.
93. Гордиенко В. М., Краюшкин С. В., Платоненко В. Т. Измерение длитель-
длительности сверхкоротких импульсов УФ излучения: Препринт физического
факультета МГУ. № 26.— М., 1987.
94. Rothenberg J. £.//[11]. P. 78.
95. Rothenberg J. E., Grischkowsky D. II J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 626.
96. Diets J. C, Jamasbi N., Sarger L. II [11]. P. 2.
97. Heritage J. P., Weiner A. M., Thurston R. N. II [11]. P. 34.
98. Diels J. C, Fontaine J. J., Jamasbi N. et al. II [37]. P. 14.
99. Martinez О. Е. II J. Opt. Soc. Am. 1985. V. B-2. P. 327.
100. Ma R. L., Yu P. Y. II Phys. Stat. Sol. 1985. V. 90. P. 343.
101. Von der Linde D. II Appl. Phys. 1986. V. B-39. P. 201.
102. Kuhlke D., Bonkhofer Г., Herpers £/., von der Linde D. II [11]. P. 17.
103. Komarov K. P., Kuch'yanov A. S., Ugozhayev V. D. // Opt. Commun. 1986.
V. 57. P. 279.
308
К заключению
1. Watson G. #., Fleury P. A., McCall S. L. Search for photon localization in
the time domain// Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 945.
2. Wood 0. R., Silfast W. Т., Тот Н. W. et al. II Soft X-rays produced by sub-
picosecond target irradiance//Proc. Intern. Quant. Electron. Conf.— Bal-
Baltimore, Maryland, 1987. P. 187.
3. Kuhlke D., Herpers V., von der LindeD. Soft X-ray emission from subpicosecond
laser produced plasma // Тез. докл. V Междунар. симп. «Сверхбыстрые про-
процессы в спектроскопии».— Вильнюс, 1987. С. 25.
4. Williamson S., Mourou G., Li J. С. М. Time resolved laser induced phase tran-
transformation in aluminium//Ultrafast Phenomena IV/Eds D. Auston, M. Еь
senthal.— Berlin: Springer-Verlag, 1984. P. 147.
5. Ахманов С. А., Баграташвили В. //., Голубков В. В. и др. Получение в
электронографе ЭМР-100 пикосекундных импульсов быстрых электронов
с помощью фотоэмиссии в лазерном поле//Письма в ЖТФ. 1985. Т. 11.
С. 157.
6. Kapteyn Н. С, Murhane M. H., Falcone R. W. Time resolved measurements
of short wavelength fluorescence from X-ray exited ions//Optics Lett. 1987.
V. 12. P. 663.
7. Sah R. C, Attwood D., Sabersky A. P. Picosecond pulses from future synchrot-
synchrotron radiation sources // [4]. P. 49.
8. Ахманов С. А. Оптические нелинейности высших порядков//Нелинейная
спектроскопия/Под ред. Н. Бломбергена.— М.: Мир, 1979. С. 323.
9. Flytzanis С. Bistability, Instability and Chaos in Passive Nonlinear Optical
Systems // Nonlinear Phenomena in Solids/Ed. M. Borisov.— Singapoure: World
Scientific Publ., 1984.
10. Kaplan A. Bistable Solitons // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 1291.
11. Gibbs H. Optical Bistability: Controlling Light with Light.—New York: Aca-
Academic Press, 1985.
12. Ахманов С. А., Воронцов М. А., Иванов В. Ю. Крупномасштабные попереч-
поперечные взаимодействия световых волн в системах с двумерной обратной связью;
генерация структур, оптическая турбулентность // Письма в ЖЭТФ 1988.
Т 12. С. 898.
13. Желудев Н. И. Поляризационная неустойчивость, мультистабильность и хаос
в оптике // УФН. 1989. Т. 157. С. 881.
14. Келдыш Л. В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны // ЖЭТФ.
1964. Т. 47. С. 11.
15. Бункин Ф. В., Казаков А. Е , Федоров М. В. Взаимодействие интенсивного
оптического излучения со свободными электронами // УФН. 1972. Т 107.
С. 559.
16. Райзер Ю. П. Лазерная искра и распространение разрядов.— М.: Наука,
1974.
17. Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики Пер. с англ /Под ред. С. А. Ах-
манова.—М.: Наука, 1989.
18. Eberly J. И., Maine P., Mourou G., Strickland D. High intensity laser pulses
extend the realm of optical physics // Laser Focus 1987. V. 23. № 10. P. 84.
19. Rolland C, Corkum P. Compression of High Power Optical Pulses // J. Opt.
Soc. Am. 1988. V. B-5. P. 641.
20. Ахманов С. А. Генерация сверхсильных световых полей; от нелинейной оп-
оптики атомов и молекул к нелинейной электронной физике // Тез. докл.
VII Всесоюз. конф. по взаимодействию лазерного излучения с веществом.—
Ленинград, 1988.—С. 102.
21. Corkum P. В., Rolland С, Srinivasan Rao T Supercontinuum generation in
gases // Phys. Rev. Lett. 1986 V. 57. P. 2268.
22. Ахманов С. А , Гордиенко В. М., Джиджоев М С. и др. Фемтосекундные
лазерные системы на эксимерных лазерах; факторы, ограничивающие пре-
предельные поля // [3]. С. 57.
23. Ахманов С. Л., Емельянов В. И., Kopomeee H. И., Семиногов В. Н. Воздей-
Воздействие мощного лазерного излучения на поверхность полупроводников и ме-
металлов // УФН. 1985. Т. 147. С. 675.
30»
24. Tom A., Aumiller G., Brito-Cruz C. Time Resolved SHG Study of
Induced Disorder of Solid Surfaces // J. Opt. Soc. Am. 1987. V. B-4. P. 48.
25. Laser Optics of Condensed Matter // Proc. of USSR—US Bi-National Sympo-
Symposium.— New York: Plenum Press, 1988.
26. Freeman R., Bucsbaum P. H. et al. Above threshold ionization with subpico-
second laser pulses // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 1092; J. Opt. Soc. Am.
1987. V. B-4 № 5. Special Issue: «Multielectron excitations in Atoms».
27. Ахманов С. А., Гладков С. M., Желтиков А. /И., Коротеев Н. И. Генерация
гармоник оптического излучения при рассеянии электронов на ионах: Пре-
Препринт физического факультета МГУ. № 5.— М., 1988.
28. Fernow R. С, Kirk H. G., Bigio I. et al. Proposals for experimental studies
of nonlinear quantum electrodynamics: Brookhaven Nat. Lab., Preprint, July 30,
1986.
Научное издание
АХМАНОВ Сергей Александрович
ВЫСЛОУХ Виктор Андреевич
ЧИРКАН Анатолий Степанович
ОПТИКА ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ
ИМПУЛЬСОВ
Серия «Современные проблемы физики», выпусч 74
Заведующий редакцией Л. И. Гладнева
Редактор С. А. Шлёнов
Младший редактор В. А. Кузнецова
Художественный редактор Т. И. Кольчечко
Технический редактор Е. В Морозова
Корректоры Л. И. Назарова, О. М. Березина
ИБ № 32590
Сдано в набор 23.02.88. Подписано к печати 12.10.88.
Т-17859, Формат 60x90/16. Бумага тип. № 1. Гарнитура
литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 19.5. Усл.
кр.-отт. 19,5. Уч.-изд. л. 22,24. Тираж 3250 экз.
Заказ № 2556. Цеиа 4 р. 80 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография»
имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
прн Государственном комитете СССР по дела^ издательств,
полиграфии и книжной торговли.
113054 Москва М-54, Валовая, 28
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука».
121099 Москва Г-99, Шубииский пер., 6 Заказ 2206