Б. И. Манцызов
КОГЕРЕНТНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ
ОПТИКА
ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ

Книга посвящена описанию когерентных нелинейных оптических явлений,
возникающих при взаимодействии интенсивных лазерных импульсов с
пространственно периодической резонансной средой, или резонансным фотонным
кристаллом. Изложена теория нелинейной динамической брэгговской
дифракции, рассмотрена динамика формирования, распространения и взаимодействия
точных и возмущенных брэгговских солитонов в таких структурах. Подробно
также описаны различные механизмы повышения эффективности трехволново-
го параметрического взаимодействия в фотонных кристаллах с квадратичной
нелинейностью.
Книга будет полезна физикам-теоретикам и экспериментаторам,
работающим в области нелинейной оптики и лазерной физики, а также
преподавателям, аспирантам и студентам при изучении этих дисциплин.

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая монография посвящена анализу результатов
теоретических и экспериментальных исследований когерентных и нелинейных
оптических явлений, возникающих при взаимодействии лазерного
излучения с нелинейными периодическими микроструктурами с
фотонными запрещенными зонами — фотонными кристаллами.
Одной из важнейших задач физики является изучение
распространения волн различной физической природы в веществе. Знание
закономерностей этих процессов позволяет эффективно управлять
генерацией излучения, его параметрами и динамикой распространения
волновых пакетов. Особую роль здесь играют периодические среды,
обладающие пространственной дисперсией. К ним относятся как
природные материалы, например, кристаллы, так и искусственно
созданные для различных прикладных целей структуры: брэгговские зеркала
для селективного отражения волн определенного частотного
диапазона, структуры с распределенной обратной связью для
полупроводниковых лазеров, кристаллы с регулярной доменной структурой для
эффективного параметрического преобразования частоты оптического
излучения, фотонные кристаллы и др. Вплоть до начала 80-х годов
XX века распространение волн в средах с периодически
распределенными неоднородностями традиционно связывалось с существованием
селективных частотных запрещенных зон, в пределах которых волны
не могут распространяться в среде вследствие интенсивного рассеяния,
испытывая, в частности, полное брэгговское отражение на границе
периодической структуры. Это справедливо, например, для
рентгеновского излучения (область селективного брэгговского отражения [1, 2]),
для волн электронов и квазичастиц в кристаллах (запрещенные
энергетические зоны [3]), а также для оптических и акустических волн
в слоистых средах [4, 5].
Дальнейшие исследования показали, что запрет на распространение
волн в области селективных брэгговских частот имеет место лишь
в приближении линейного взаимодействия волн со средой, когда
справедливы дисперсионные соотношения, следующие из линейной
теории дифракции. Развитие нелинейной теории брэгговской дифракции
мощного оптического излучения в средах с кубической [6] и
резонансной [7, 8] нелинейностями позволило по-новому взглянуть на
динамику оптических волн в периодических структурах. Оказалось,

что возможно нелинейное подавление полного брэгговского отражения
интенсивного лазерного излучения на границе структуры, а в
линейно запрещенной фотонной зоне могут распространяться нелинейные
уединенные волны — брэгговские солитоны [6-9]. Они обладают
рядом уникальных для оптических импульсов свойств: малая скорость
распространения вплоть до остановки света, захват возмущенных со-
литонов структурой и неупругое взаимодействие с ними свободных со-
литонов, эффективное управление динамикой медленных интенсивных
импульсов света с помощью слабых полей, задержанное отражение
оптических импульсов нелинейными структурами и др. Причем
исследования не ограничиваются случаем брэгговской геометрии дифракции.
Описание нелинейной динамики импульсов в случае дифракции по
схеме Лауэ позволило предсказать нелинейный эффект Бормана, Лауэ-
солитон и дифракционное деление лазерных импульсов в фотонных
кристаллах, активно изучаются также пространственные дискретные,
пространственно-временные и вихревые солитоны в различных
периодических структурах [9].
Большое количество и постоянный рост числа публикаций
экспериментальных и теоретических результатов по динамике нелинейных
уединенных волн в структурах с линейно запрещенными фотонными
зонами [10] свидетельствуют об активном развитии этого нового
направления исследований в нелинейной оптике.
Дополнительный интерес к этим проблемам был вызван
появлением концепции фотонных кристаллов [11-17], которая в значительной
степени стимулирует развитие технологий получения линейных и
нелинейных одно-, двух- и трехмерных периодических структур высокого
оптического качества [18], в том числе оптических структурированных
волокон [19]. Основным свойством фотонных кристаллов,
обеспечивающим формирование полностью запрещенной фотонной зоны для
некоторого интервала частот в любом направлении в кристалле,
является высокий контраст модуляции показателя преломления. Такие
структуры позволяют увеличить в десятки раз энергию поля
оптического излучения в среде вблизи края фотонной запрещенной зоны, что
в свою очередь значительно увеличивает эффективность нелинейного
параметрического преобразования частоты излучения в тонких,
толщиной порядка десятков микрон, фотонных кристаллах по сравнению со
сплошными средами той же толщины. Кроме того, большая
пространственная дисперсия и наличие набора блоховских мод с волновыми
векторами, определяемыми векторами обратной решетки, открывают
дополнительные возможности для реализации условий синхронной
генерации нелинейных сигналов. Этим объясняется большой интерес
к традиционным для нелинейной оптики задачам по параметрическому

преобразованию частоты излучения, вынужденному комбинационному
рассеянию и др. в фотонных кристаллах.
Исследования динамики формирования и распространения
нелинейных уединенных волн и других нелинейно-оптических явлений
в структурах с линейно запрещенными фотонными зонами имеют
большое значение для углубления фундаментальных знаний о процессах
взаимодействия излучения с веществом, они стимулируют прикладные
исследования и разработки в различных областях оптики, лазерной
физики и технологий изготовления метаматериалов.
В опубликованных до настоящего времени монографиях по оптике
фотонных кристаллов [9, 14-16] не нашли отражения результаты по
когерентной нелинейной оптике резонансных фотонных кристаллов,
в которых имеет место одновременно два резонанса —
пространственный брэгговский и частотный резонанс электронных переходов в
атомах. По этой тематике опубликованы десятки оригинальных статей
и обзоров [10, 20]. Предлагаемая вниманию читателей книга
посвящена обобщению и анализу результатов исследований динамики
формирования и распространения нелинейных уединенных волн в резонансных
фотонных кристаллах, а также результатов последних лет по трехвол-
новому взаимодействию и параметрическому преобразованию частоты
излучения в фотонных кристаллах с квадратичной нелинейностью.
В монографии проведено детальное теоретическое описание следующих
нелинейных оптических явлений: нелинейной брэгговской дифракции
коротких мощных лазерных импульсов в геометриях Брэгга и Лауэ
в резонансных фотонных кристаллах; нелинейной динамики лазерных
импульсов, в частности, брэгговских солитонов самоиндуцированной
прозрачности, эффекта дифракционного деления оптических
импульсов, Лауэ-солитонов и нестационарных уединенных волн в
резонансных фотонных кристаллах; эффективного синхронного и
квазисинхронного параметрического преобразования частоты оптического излучения
в фотонных кристаллах с квадратичной нелинейностью.
С методической точки зрения книга написана таким образом, чтобы
читатель смог самостоятельно ставить и решать новые задачи на основе
рассмотренных методов и подходов. Основные уравнения выведены
достаточно подробно из первых принципов. В первой главе дается
краткий обзор литературы, отражающей современное состояние проблем
оптики фотонных кристаллов, обсуждаются явления, связанные с
линейным взаимодействием оптического излучения с фотонным
кристаллом и обусловленные большой пространственной дисперсией. Особое
внимание уделяется эффекту увеличения плотности энергии поля, или
плотности мод излучения, вблизи края фотонной запрещенной зоны.
Представлен обзор основных работ по нелинейной брэгговской
дифракции и динамике нелинейных уединенных волн в фотонном кристалле.

Рассмотрены модели нелинейных фотонных кристаллов, методы
описания динамики распространения нелинейных волн в фотонном
кристалле и основные наблюдаемые и предсказанные явления, приведен анализ
результатов исследований по генерации сигналов суммарной и
разностной частот в квадратично-нелинейных периодических структурах.
Обсуждаются механизмы увеличения эффективности трехволнового
параметрического взаимодействия в нелинейных фотонных кристаллах:
дисперсионный фазовый синхронизм, квазисинхронизм и локализация
поля в структуре. Во второй главе развита полуклассическая теория
нелинейной динамической брэгговской дифракции когерентного
оптического излучения в дискретном резонансном фотонном кристалле.
Основное внимание здесь уделяется рассмотрению стационарных
нелинейных уединенных волн. Третья глава посвящена анализу результатов
исследований по динамике нестационарных солитоноподобных волн
в резонансном фотонном кристалле. Динамика нелинейных
уединенных волн при неколлинеарной геометрии взаимодействия и в случае
произвольного профиля пространственного распределения
концентрации резонансных атомов в фотонном кристалле описана в четвертой
главе. Пятая глава посвящена анализу результатов исследований по
эффективности трехволнового параметрического взаимодействия волн
в нелинейном фотонном кристалле.
Автор благодарит Российский фонд фундаментальных
исследований за многолетнюю финансовую поддержку исследований по оптике
фотонных кристаллов, результаты которых в значительной степени
представлены в настоящей книге, а также глубоко признателен
друзьям и коллегам, многочисленные дискуссии с которыми
стимулировали написание книги: О. А. Акципетрову, А. В. Андрееву, Ч. Боуде-
ну, В. А. Бушуеву, A.M. Камчатнову, Ю. С. Кившарю, Ф. Кнойбелю,
Д. Кристодулидесу, Р. Н. Кузьмину, А. И. Маймистову, К. Насу,
Е. В. Петрову, А. П. Сухорукову, В. А. Трофимову, А. П. Шкуринову.

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ
РАЗВИТИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ И КОГЕРЕНТНОЙ
ОПТИКИ СТРУКТУР С ЛИНЕЙНО
ЗАПРЕЩЕННЫМИ ФОТОННЫМИ ЗОНАМИ
§ 1.1. Оптические явления, обусловленные линейным
взаимодействием оптического излучения с фотонными
кристаллами (ФК)
Линейное распространение электромагнитных волн в средах с
периодической модуляцией диэлектрической проницаемости традиционно
исследуется в широком диапазоне частот — от рентгеновского
излучения [21, 22] до радиоволн [4]. С начала прошлого века после
открытия рентгеновских лучей (Рентген, 1895) активно развивается
рентгеновская оптика, основой которой является дифракция
рентгеновского излучения в периодических структурах, в кристаллах [23].
Слабая интенсивность источников предопределяет линейный характер
явлений рентгеновской оптики, которые описываются кинематической
(Лауэ, 1912) или более строгой динамической (Дарвин, 1914)
линейными теориями дифракции. Основной особенностью взаимодействия
излучения с периодической структурой является наличие области
селективного брэгговского отражения (Брэгг, 1913), т.е. полосы частот
или углов падения излучения на кристалл, удовлетворяющих условию
Брэгга, в пределах которых волны не могут распространяться в среде
в определенном направлении, испытывая интенсивное дифракционное
рассеяние. Вследствие слабой модуляции показателя преломления для
рентгеновского излучения в кристаллической решетке (An ~ 10~4),
ширина таких брэгговских запрещенных зон весьма мала, порядка
десятков угловых секунд.
Ситуация кардинальным образом изменяется в случае оптического
излучения, для которого можно построить трехмерную периодическую
структуру с характерным периодом модуляции показателя преломления
порядка оптической длины волны и с большим контрастом An ~ 1.
Тогда брэгговские запрещенные зоны для волн, распространяющихся
в различных направлениях, будут настолько широкими, что могут

работы [30] исследовали спонтанное излучение от одного слоя GaAs,
помещенного внутрь ФК, при возбуждении лазерным излучением.
Эксперименты показали более чем четырехкратное усиление спонтанного
излучения по сравнению с сигналом от эталонного образца GaAs такой
же толщины, если максимум спектра приходится на край запрещенной
зоны ФК. Если же максимум спектра спонтанного излучения
соответствует центру запрещенной зоны ФК, то наблюдается подавление
сигнала примерно в 20 раз по сравнению с эталонным образцом.
Скоростью спонтанного распада возбужденного уровня и
направлением излучения фотона можно также управлять, помещая
возбужденный осциллятор в фотонно-кристаллический волновод. В проведенных
недавно теоретических [32] и экспериментальных [33]
исследованиях на примере квантовой точки, помещенной в пленарный фотонно-
кристаллический волновод, показано, что время спонтанного распада
возбужденной квантовой точки, связанной с волноводом, сокращается
в 27 раз, а направление излучения определяется направлением вол-
новодного канала. Таким образом продемонстрирована возможность
создания эффективного однофотонного источника, или «однофотонной
пушки». В фотонном кристалле можно также управлять временем
вынужденного излучения атома в поле стоячей волны, образованной
двумя встречными лазерными пучками, за счет изменения плотности
мод поля в области локализации атома при изменении разности фаз
волн накачки [34]. Излучательное время жизни экситона в брэгговской
структуре из квантовых ям значительно увеличивается по сравнению
со случаем экситона в одиночной квантовой яме [35].
Сильная пространственная дисперсия является основной причиной
появления ряда интересных линейных эффектов в ФК. К ним
относится значительное изменение фазовой и групповой vg скоростей, а также
скорости переноса энергии vE светового импульса при сканировании
частоты падающего импульса (или угла падения) внутри, на краю
и вне ФЗЗ [36]. Экспериментально было показано [37-40], что на краю
ФЗЗ групповая скорость может уменьшаться более чем на порядок
по сравнению с vg вне ФЗЗ, что хорошо согласуется с динамической
теорией дифракции. Однако внутри ФЗЗ групповая скорость vg
оказалась больше скорости света в вакууме с [37, 38, 41]. Аналогичный
эффект ранее обсуждался теоретически [42] и наблюдался
экспериментально [43] в сплошных резонансно поглощающих (или усиливающих)
средах с большой частотной дисперсией. Однако в таких средах
происходит значительное искажение формы огибающей импульса за счет
сильного поглощения (или усиления) поля, поэтому понятие групповой
скорости в общепринятом смысле не применимо. В бесконечном ФК,
как показано аналитически [44], справедливо равенство vE = vg,
поэтому vg не должна превышать скорость света. Причина аномального

поведения эффективного показателя преломления и, следовательно,
групповой скорости, оказалась в дисперсионных свойствах
ограниченного одномерного ФК [45], для которого было получено соотношение
vE = \t\ vg, где t — коэффициент пропускания излучения
ограниченным ФК. Из этого соотношения следует, что равенство скоростей
vE = vg возможно лишь в резонансе пропускания (t = 1), а при \t\ < 1
выполнение условия vE ^ с формально допускает превышение
групповой скоростью скорости света: vg ^ с/ \t\ , однако подчеркнем, что это
не приводит к «сверхсветовой» скорости переноса энергии импульса
vE. Авторы работы [46] детально проанализировали экспериментально
и теоретически динамику прохождения импульса, или его туннелиро-
вание, внутри ФЗЗ ограниченного ФК и показали, что максимум
падающего на структуру импульса фактически не распространяется внутри
структуры до ее выходной границы, а наблюдается лишь изменение во
времени амплитуды поля в среде при сохранении ее пространственного
экспоненциального затухания в глубь среды. Поэтому использование
времени задержки максимума импульса на выходной границе ФК для
оценки групповой скорости в среде не правомерно и, следовательно,
нет оснований говорить о «сверхсветовой» скорости распространения
импульса внутри ФЗЗ ограниченного фотонного кристалла. Аномально
большой дисперсией групповой скорости обладают кремниевые плоские
фотонно-кристаллические волноводы [47-51] и двухмерная решетка
связанных ФК-микрорезонаторов [52], в которых наблюдалось
уменьшение групповой скорости более чем на два порядка.
Уменьшение скорости распространения излучения на краю ФЗЗ
в ФК приводит к значительному увеличению плотности энергии поля
в структуре [36, 53]. Такая локализации поля в ФК имеет большое
значение для повышения эффективности вторичных процессов,
которые определяются величиной амплитуды поля на основной частоте,
например, для нелинейно-оптических преобразований. Эти явления мы
подробно рассмотрим ниже в § 1.4 настоящей главы. Здесь лишь
отметим, что энергия электрического поля, локализованная в одномерном
непоглощающем ФК с большим контрастом коэффициента
преломления, пропорциональна третьей степени числа периодов структуры,
а энергия прямой волны всегда больше энергии обратной волны [54].
Другая возможность локализации излучения в структуре связана
с возбуждением дефектных мод в ФК. Локальное нарушение
трансляционной симметрии ФК за счет изменения коэффициента преломления
или/и размера одного из элементов структуры ФК приводит к
появлению дефекта структуры, или микрорезонатора, в котором
возбуждаются дефектные (резонаторные) моды, быстро затухающие в структуре.
Локализация электромагнитного поля вокруг дефекта в области
порядка нескольких периодов решетки была продемонстрирована в микро-

волновой области спектра в двухмерной периодической структуре [55].
В оптических одномерных ФК интенсивность электромагнитного поля,
концентрирующегося в дефектном слое, максимальна, если
коэффициент преломления этого слоя меньше, чем показатель преломления
всей структуры [56]. Усиление двухфотонной люминесценции в ФК
с дефектным слоем экспериментально продемонстрировано в [57].
Частота возбуждающего излучения совпадала с положением узкого пика
пропускания в запрещенной зоне, который появляется за счет введения
дефекта. Авторы сообщают о 120-кратном усилении двухфотонной
люминесценции, связанном с сильной локализацией поля в дефектном
слое ФК. Значительное усиление двухфотонного поглощения в
дефектном слое наблюдалось в [58].
Отметим некоторые приложения, в которых используются
особенности линейных дисперсионных свойств ФК. Одним из первых
оптических устройств на основе ФК является «суперпризма» [59].
Трехмерный ФК был изготовлен путем последовательного нанесения
чередующихся слоев аморфных материалов Si и S1O2 на
кремниевую подложку, причем каждый слой имел гексагональную структуру
отверстий. Благодаря большой дисперсии групповой скорости малые
изменения угла падения света на структуру ±7° приводят к
значительным отклонениям пучка ±70°. Другим важным приложением
является компрессия коротких частотно-модулированных импульсов за
счет дисперсии на краю запрещенной зоны [60-62], а также
использование чирпированных брэгговских зеркал (с переменной толщиной
слоев) для компенсации чирпа и компрессии импульсов в резонаторах
фемтосекундных лазеров [63, 64]. Увеличение плотности энергии
излучения в ФК на частоте края фотонной запрещенной зоны, т.е. эффект
локализации поля, приводит к значительному увеличению поглощения
излучения на соответствующей частоте накачки лазера. Это позволяет
существенно снизить пороговое значение энергии импульсов накачки
для осуществления лазерной генерации [65]. Например, порог
генерации лазера на красителях в жидких кристаллах удалось снизить на
порядок [66]. Эффективное полностью оптическое управление
задержкой импульса в ФК, т.е. его «остановка и запоминание», возможно
за счет блоховских осцилляции импульса в ФК при медленном
адиабатическом линейном изменении во времени показателя преломления
фотонного кристалла [67]. Эти осцилляции являются аналогами
блоховских осцилляции электрона в кристалле при наличии постоянного
электрического поля. Наконец, анализ пространственного
распределения дифракционных максимумов различных порядков при линейной
брэгговской дифракции излучения в трехмерных ФК [68-70],
например, в опалах, позволяет сделать заключение об оптическом качестве
структуры.

§ 1.2. Стационарные нелинейные уединенные волны
(солитоны) в фотонных кристаллах с различными
типами нелинейностей
Линейно-оптические эффекты, перечисленные выше, связаны с
существованием в периодических структурах фотонных запрещенных
зон, которые определяются дисперсионными соотношениями в
линейной теории дифракции. Если же амплитуда электрического поля
световой волны достаточно велика, чтобы проявились нелинейные свойства
материалов, из которых состоит ФК, то «линейные» дисперсионные
соотношения изменяются, что приводит к возможности
распространения внутри линейно запрещенной фотонной зоны нелинейных
уединенных волн — брэгговских солитонов (БС). В научной литературе
часто также используется термин «щелевые солитоны» от английского
названия «gap solitons». Однако этот термин является более общим
и может относиться к солитонам, распространяющимся на частотах
внутри частотных запрещенных зон различной природы, например,
в запрещенной зоне, присущей средам с отрицательным показателем
преломления [71, 72]. Поэтому чтобы подчеркнуть, что
рассматриваемые нами нелинейные волны распространяются в брэгговских
запрещенных зонах в периодических структурах, мы будем использовать
термин «брэгговский солитон». Явление распространения БС носит
общий характер и не зависит от конкретного вида нелинейности, оно
было последовательно открыто для структур с кубической [6],
резонансной [8] и квадратичной [73] нелинейностями. В этом порядке мы
и представим краткий обзор основных работ по нелинейным
уединенным волнам в ФК.
1.2.1. Фотонные кристаллы с кубической нелинейностью.
Модель одномерного ФК с кубической нелинейностью, предложенная
в работе [6], представляет собой структуру, диэлектрическая
проницаемость которой является гармонической функцией пространственной
координаты и квадратичной функцией напряженности электрического
поля. Глубина модуляции диэлектрической проницаемости полагалась
малой величиной. В приближении медленно меняющихся амплитуд
для бесконечной среды из нелинейного волнового уравнения получена
система нелинейных уравнений для связанных мод, т. е. для прямой
и обратной волн. Найдены частные стационарные решения,
представляющие собой периодическую последовательность импульсов или
одиночный импульс (брэгговский солитон), распространяющиеся вдоль
направления модуляции коэффициента преломления среды на частоте
Брэгга. Групповая скорость импульса может принимать значения
гораздо меньшие скорости света в аналогичной сплошной среде вплоть

до нулевого значения. В последние годы для эффектов существенного
замедления скорости света используют термин «медленный свет».
Авторы [6] дали ясное физическое объяснение предсказанному
явлению. При брэгговском отражении пространственное
распределение амплитуды поля в структуре неоднородно, пучности волны
расположены в областях, где показатель преломления минимален. Для
самофокусирующей среды эта модуляция оказывается в противофазе
со слабой модуляцией линейного показателя преломления, поэтому
происходит нелинейная компенсация разности показателей
преломления и среда становится прозрачной для волн на брэгговской частоте.
Иными словами, в области локализации импульса запрещенная зона
сужается и частота излучения попадает в область прозрачности.
Позже этот результат был повторен численно для стоячего БС в
модели многослойной нелинейной структуры [74-76]. Важный шаг в
решении динамической задачи был сделан в [77], где авторы обратили
внимание, что пренебрежение членами, описывающими в уравнениях
фазовую самомодуляцию, приводит исходную систему к уравнениям
массивной модели Тирринга, которые хорошо изучены в квантовой
теории поля [78] и являются полностью интегрируемыми методом
обратной задачи рассеяния [79]. Таким образом, для укороченных уравнений
удалось точно решить нестационарную задачу формирования,
распространения и взаимодействия БС, найти выражения для амплитуд полей
прямой и обратной волн солитона, а также его скорость. Далее это
односолитонное решение было обобщено [80] на случай уравнений для
связанных мод (с учетом фазовой самомодуляции) и получено
семейство двухпараметрических солитоноподобных решений, описывающих
БС. Отношение амплитуд прямой и обратной волн, связанных в БС,
определяет величину его скорости и направление распространения.
Импульс распространяется в направлении волны с большей
амплитудой, а если амплитуды равны, то скорость принимает нулевое значение.
В зависимости от выбора значений параметров, найденное решение
сводится к полученным ранее решениям для медленных БС [77] или
к солитонам нелинейного уравнения Шрёдингера [81]. В случае
большой модуляции показателя преломления соответствующие обобщенные
уравнения для связанных мод также имеют точные решения в виде
БС [82].
В случае малой интенсивности импульса, или слабой нелинейности
среды, уравнения для связанных мод редуцируются к нелинейному
уравнению Шрёдингера (НУШ) [83], которое является полностью
интегрируемым и имеет солитонные решения. Это уравнение было также
получено для задачи БС при поиске решения нелинейного волнового
уравнения в виде слабо возмущенной собственной линейной
брэгговской моды [81, 84, 85], т.е. на краю запрещенной зоны. Важно отме-

тить, что приближение слабой нелинейности на практике справедливо
для интенсивностей вплоть до 50 ГВт/см2. С помощью численного
моделирования была исследована динамика формирования БС на
границе среды [86] и показано, что из-за изменения групповой скорости
пиковая энергия импульса в среде возрастает по сравнению с энергией
падающего импульса. Такой механизм «солитонного» сжатия и
задержки [87] импульса недавно был продемонстрирован
экспериментально [88, 89]. С помощью вариационного метода эволюция произвольного
начального импульса в БС на коротком временном интервале может
быть описана аналитически [90].
Найденные БС нелинейных уравнений для связанных мод являются
солитоноподобными импульсами, а не точными солитонами, поэтому
в общем случае их взаимодействие неупругое, они могут
притягиваться и отталкиваться в зависимости от начальной разности фаз двух
импульсов [80, 91], а также формировать стоячий БС в результате
неупругого столкновения двух импульсов [92].
Первые эксперименты по наблюдению БС в периодически
модулированном нелинейно-оптическом волоконном световоде [93-95]
поставили важную проблему, связанную с возбуждением БС. В эксперименте
использовалось оптическое волокно длиной 7,5 см и лазерный импульс
длительностью 80 пс с длиной волны 1053 нм и пиковой
интенсивностью 11 ГВт/см2. Несмотря на большую интенсивность входящего
импульса, ее оказалось не достаточно для нелинейного подавления
полного брэгговского отражения на входной границе образца и БС
удалось наблюдать лишь на краю запрещенной зоны. Отметим, что
этой проблемы не существует для БС самоиндуцированной
прозрачности в резонансных ФК [8], которые будут рассмотрены в
следующем разделе. Условия эксперимента [94] соответствуют приближению
малой интенсивности импульса в решении уравнений для связанных
мод, поэтому наблюдаемый БС хорошо описывается солитоном НУШ.
Только недавно проведенные эксперименты [87, 88]
продемонстрировали возможность распространения БС внутри линейно запрещенной
зоны нелинейного брэгговского волоконного световода. Наблюдаемая
групповая скорость импульса составила 0,23 скорости света в среде.
Теоретические исследования БС с учетом поглощения и усиления
волн в структуре показали возможность распространения БС в
реальных протяженных волокнах [96]. В работе [97] с помощью НУШ
исследована динамика связанных БС, которые образуются на
противоположных краях узкой запрещенной зоны и распространяются со
скоростью, равной половине скорости света. Возможность
эффективного переключения медленных БС в связанных структурированных
волноводах показана в работе [98]. Экспериментально наблюдалась
нелинейная компрессия БС, возникающая в результате комбинации

отрицательной дисперсии решетки и нелинейного сдвига фаз,
зависящего от интенсивности импульса [99]. Расчеты показывают, что
медленный БС может обеспечить компрессию импульса более чем на
три порядка [100].
В последние годы активно исследуется новый класс нелинейных
уединенных волн в периодических структурах с кубической
нелинейностью — дискретные пространственные солитоны [101-104]. Они
представляют собой пространственно локализованные моды излучения
в периодической решетке слабо связанных нелинейных оптических
волноводов. Неинтегрируемое дискретное НУШ [103], связывающее
амплитуды мод в различных волноводах, в случае малого изменения
интенсивности полей в соседних волноводах сводится к одному
континуальному НУШ [105], которое интегрируется и имеет решение в виде
одномерного пространственного солитона [9, 106]. Проявление одного
из наиболее важных свойств пространственных солитонов [107] —
отсутствие дифракционного поперечного расплывания пучка при его
распространении — наблюдалось для дискретных солитонов
экспериментально в решетке одномодовых полупроводниковых [108, 109]
и полимерных [ПО] волноводов. Показана возможность
взаимодействия [111] и стабилизации [112] пучков, а также управления
дискретными солитонами (смещение пучка, отражение) посредством введения
дефектов в структуру [113]. Обнаружены «многоцветные» солитоны,
сформированные волнами широкого спектрального диапазона [114].
Пространственные [115, 116] и пространственно-временные [117]
дискретные солитоны, локализованные на границе решетки волноводов
и однородной линейной среды, формируют поверхностные дискретные
солитоны.
Как и любая периодическая структура, решетка волноводов
обладает фотонными запрещенными зонами. При большой интенсивности
пучка нелинейность взаимодействия приводит к сужению запрещенной
зоны и распространению пространственного дискретного БС, что было
продемонстрировано экспериментально [118]. В работе [119] подробно
обсуждается аналогия между стоячими временными и
пространственными дискретными БС, частоты которых лежат на краю запрещенной
зоны. Делается заключение, что хотя возбуждению дискретных БС
внутри запрещенной зоны мешает полное брэгговское отражение (как
и в случае временных БС), но наличие дополнительной
пространственной переменной позволяет использовать Лауэ-геометрию брэгговской
дифракции (на прохождение) и возбуждать таким образом дискретный
БС с нулевой «поперечной скоростью». Такой дискретный
пространственный БС, являющийся по мнению авторов статьи аналогом
стоячего временного БС [74], был получен экспериментально [119] как
для случая светлого, так и темного солитонов. По-видимому, этот ре-

зультат следует интерпретировать как наблюдение пространственного
дискретного Лауэ-солитона. Численное исследование процесса
распространения таких одномерных и двухмерных пучков показало [120],
что их устойчивость сильно зависит от глубины модуляции показателя
преломления структуры и знака кубической нелинейности,
соответствующего самофокусирующей или самодефокусирующей среде.
Существование пространственно-временного солитона, или «световой пули»,
в которой одновременно подавляются дифракционная расходимость
и дисперсионное расплывание импульса, возможно при использовании
дополнительной периодической модуляции показателя преломления
волноводов вдоль координаты распространения импульса [121]. Причем
в соседних волноводах волноводной решетки такая функция модуляции
должна иметь фазовый сдвиг, т. е. соседние волноводы должны быть
смещены друг относительно друга на половину периода модуляции.
Весьма удобной для теоретического анализа является иная модель
решетки нелинейных волноводов, которая представляет собой
периодическую структуру тонких пленарных нелинейных волноводов,
встроенных в плоский линейный волновод [122-124]. Нелинейные волны
в такой структуре описываются не дискретным, а непрерывным НУШ,
что позволило исследовать различные типы пространственных БС и их
устойчивость, в том числе с учетом влияния запрещенных зон
различных порядков [125-127].
Недавно был открыт новый класс нелинейных периодических
структур — одно- и двухмерные оптически индуцированные
решетки [25, 128, 129], или решетки оптически индуцированных
волноводов. Они формируются в фоторефрактивных кристаллах (например,
SBN:60) периодически расположенными интерференционными
максимумами, возникающими при интерференции двух или более
когерентных поляризованных плоских волн. За счет электро-оптического
эффекта при наложении внешнего постоянного электрического
поля в кристалле дополнительно создается анизотропия нелинейных
свойств, в результате которой волны, формирующие решетку,
взаимодействуют со средой линейно, а нормально к ним поляризованная
пробная волна взаимодействует нелинейно. Пространственные соли-
тоны наблюдались в таких структурах как в одномерном [128-130],
так и в двухмерном [131-133] случаях. Медленные и стоячие
пространственные БС также наблюдались в оптических решетках при
использовании Лауэ-геометрии дифракции [134, 135]. Возбуждение
стоячих БС осуществлялось двумя неколлинеарными пучками.
Большая пространственная дисперсия групповой скорости БС позволяет
эффективно управлять параметрами импульса, значительно увеличивать
или уменьшать скорость солитонов при малых изменениях периода или

глубины модуляции решетки [135]. В оптических решетках
наблюдались также поверхностные пространственные солитоны [136, 137].
Теоретические [138] и экспериментальные [139] исследования
динамики солитонов в нелинейной оптической решетке, т. е. в случае
нелинейного взаимодействия с фоторефрактивным кристаллом
одновременно как волн, формирующих решетку, так и пробного пучка,
показали возможность образования «комбинированного» брэгговского
солитона. За счет эффекта нелинейной фазовой модуляции возникает
сильное некогерентное нелинейное взаимодействие решетки и
пробного пучка, в результате которого формируется самосогласованное
состояние периодического поля с измененной амплитудой в области
пробного пучка и локализованного пространственного брэгговского
солитона. Комбинированный солитон формируется волнами
одинаковой поляризации. Другое интересное обобщение этого класса задач
касается взаимодействия излучения с оптическими решетками,
сформированными при интерференции частично когерентного света [140].
В этом случае экспериментально наблюдались двухмерные дискретные
пространственные солитоны, солитонно-индуцированные дислокации
и деформации решетки. Двумерные дискретные вихревые солитоны
в оптических решетках, которые демонстрируют устойчивость в
самофокусирующей нелинейной среде, рассмотрены в работах [141, 142].
Пространственно-временные двухмерные брэгговские солитоны в
двухмерных ФК с кубической нелинейностью теоретически были
получены как решения уравнений для связанных мод [143]. Их
устойчивость доказана для случая слабой модуляции диэлектрической
проницаемости [144]. В случае же большого контраста коэффициента
преломления в двухмерном ФК могут существовать устойчивые несо-
литонные локализованные нелинейные моды [145]. Они были получены
численно как решения двухмерных нелинейных дискретных уравнений
для модели ФК в виде решетки нелинейных стержней, встроенных
в аналогичную линейную решетку.
«Семейство» брэгговских солитонов в структурах с кубической
нелинейностью недавно пополнилось новыми решениями: акустооп-
тический БС [146], в котором связанно распространяются
оптический и акустический импульсы, а также уединенные нелинейные
волны в нестационарных пространственно-временных фотонных
кристаллах [147, 148], в которых показатель преломления периодически
изменяется как в пространстве, так и во времени.
1.2.2. Брэгговские солитоны в резонансных фотонных
кристаллах. В резонансном фотонном кристалле, модель которого была
предложена в [7, 8], линейно запрещенные фотонные зоны
формируются благодаря периодическому пространственному распределению ре-

зонансных осцилляторов в однородной линейной среде, например,
примесных двухуровневых атомов в однородной диэлектрической матрице,
квантовых точек или резонансных двухмерных экситонов в
структуре квантовых ям в полупроводниках, металлических наночастиц или
микрорезонаторов в однородной среде, мессбауэровских ядер в узлах
кристаллической решетки и т.п. Фактически речь идет о структуре,
в которой одновременно существуют два резонанса — частотный
(двухуровневый) и пространственный (брэгговский). Интерес к
исследованиям нелинейной динамики излучения в периодических резонансных
средах возник в 70-е годы в связи с постановкой проблемы создания
лазера на ядерных переходах в гамма-диапазоне длин волн, или гамма-
лазера [149-151]. В качестве одного из путей получения источника
интенсивного когерентного гамма-излучения в безрезонаторной
системе рассматривалось сверхизлучение возбужденных мессбауэровских
ядер в кристаллической решетке [152, 153]. Именно решение этой
задачи для протяженных сред [154], когда необходимо учитывать
динамические процессы при распространении резонансного излучения
в периодических структурах, и стимулировало создания теории
нелинейной динамической брэгговской дифракции в резонансных средах.
При этом сразу стало понятно, что многочисленные новые нелинейные
оптические явления, предсказанные этой теорией, весьма интересны
и актуальны для нелинейной оптики периодических структур.
Первой была исследована модель дискретного резонансного
фотонного кристалла (РФК), представляющего собой одномерную
дискретную резонансную решетку, состоящую из набора периодически
расположенных тонких слоев, содержащих примесные двухуровневые
атомы, в однородной диэлектрической матрице [8]. В случае учета
только некогерентного поглощения излучения резонансными атомами
в РФК происходит лишь изменение структуры фотонных запрещенных
зон из-за появления мнимой части в выражении для диэлектрической
проницаемости [155-158]. Когерентное же нелинейное взаимодействие
лазерного излучения с РФК в условиях брэгговской дифракции
описывается динамическими двухволновыми уравнениями Максвелла-Блоха
для медленных амплитуд [8], которые в случае точного резонанса
и выполнения условия Брэгга сводятся к полностью интегрируемому
релятивистски инвариантному уравнению sin-Гордон [159, 160] для
блоховского угла. Благодаря этому именно для РФК удалось впервые
получить точное многосолитонное решение, описывающее
распространение и взаимодействие произвольного числа устойчивых БС в линейно
запрещенной фотонной зоне. Также для РФК впервые была численно
решена задача формирования импульса БС в ограниченной структуре
при падении на образец внешнего излучения и предсказан эффект
нелинейного подавления полного брэгговского отражения [8, 161].

Брэгговский солитон в РФК может иметь малую скорость
распространения, в том числе и нулевую [8, 162, 163], и является соли-
тоном самоиндуцированной прозрачности, включающим в себя
помимо двух встречных брэгговских волн также и область возбуждения
резонансных атомов. Однако в отличие от 27г-импульса в сплошной
среде [164-166], при формировании БС важную роль играет не только
площадь падающего импульса, но и его амплитуда [167, 168]. Это
связано с необходимостью формирования импульса на глубине порядка
глубины линейной экстинкции, в противном случае отражение
излучения произойдет раньше, чем успеет сформироваться БС в структуре.
Пороговое значение пиковой интенсивности импульса, необходимое
для формирования БС в РФК, имеет величину порядка 100 МВт/см ,
что на два порядка ниже, чем для БС в фотонных кристаллах с
кубической нелинейностью.
В случае неоднородно уширенной резонансной спектральной линии
или малого отклонения от точного условия Брэгга, динамика
нелинейных уединенных волн описывается обобщенными не полностью
интегрируемыми двухволновыми уравнениями Максвелла-Блоха. Точное
решение для БС имеет вид фазово-модулированного импульса,
параметры которого определяются формой спектральной линии и
параметром возмущения решетки [169]. В РФК появляются дополнительные
возможности управления параметрами БС по сравнению с кубическими
ФК. Так, введение неразрушающих структуру дефектов в виде слабого
когерентного возбуждения среды [170-172] или локальной
некогерентной инверсии атомов [173, 174] позволяет изменять скорость
медленных БС за счет.взаимодействия с возмущениями и, таким образом, ре-
ализовывать полностью оптическое переключение [175]. Предсказаны
также эффекты задержанного отражения и задержанного прохождения
импульсов в РФК, когда время задержки при нелинейном отражении
от границы полубесконечного кристалла более чем на два порядка
превосходит длительность импульса [176]. Нелинейное задержанное
отражение также имеет место при взаимодействии лазерного импульса
с брэгговской решеткой инверсии атомов, наведенной стоячей волной
в резонаторе [177]. Учет диссипации энергии брэгговских солитонов
на двух границах конечного РФК приводит к остановке и локализации
медленного БС в структуре [178], а в случае взаимодействия
встречных медленных солитонов — к их неупругому столкновению и
связыванию в стоячий нестационарный импульс [179], который описывается
бризерным, или «дышащим», решением уравнения sin-Гордон.
Векторный БС, представляющий собой импульс эллиптически
поляризованного излучения, найден как точное решение системы двухвол-
новых уравнений Максвелла-Блоха для поляризованного излучения
в РФК с двухуровневыми атомами с трехкратно вырожденным верх-

ним энергетическим уровнем [180]. Динамика БС в РФК с
металлическими наночастицами, помещенными в тонкие диэлектрические
пленки структуры в качестве нелинейных резонансных осцилляторов,
описывается двухволновыми уравнениями модели Максвелла-Дюф-
финга [181, 182]. Брэгговская частота здесь совпадает с частотой
плазмонного резонанса в металлических наночастицах.
Теория нелинейной динамической брэгговской дифракции в ФК при
неколлинеарной геометрии взаимодействия волн была впервые развита
для случая РФК [168, 183]. В приближении плоских волн получены
(2+ 1)-мерные двухволновые уравнения Максвелла-Блоха,
позволяющие описывать нелинейную динамику плоских волн при брэгговской
дифракции в геометрии Лауэ. В случае дифракции по схеме Лауэ,
или по схеме «на прохождение» [22], вектор обратной решетки для
кристаллографичеких плоскостей, на которых происходит дифракция,
ориентирован вдоль поверхности ФК или под достаточно малым углом
к этой поверхности. Тогда, при выполнении брэгговского условия,
падающее на эту границу излучение не претерпевает полного отражения,
как в случае геометрии Брэгга, а распространяется вдоль
кристаллографичеких плоскостей. Найдено аналитическое решение для Лауэ-
солитона и предсказан нелинейный эффект Бормана. Решение этой
задачи в линейном приближении позволило предсказать эффект ди-
фракционно-индуцированного деления лазерного импульса в линейном
ФК [184, 185].
В недавно проведенном эксперименте [186] исследовалось линейное
и нелинейное взаимодействия импульсов лазерного излучения с
резонансными экситонами в периодической брэгговской структуре
квантовых ям Ino,o4Gao,96As/GaAs. Ширина квантовой ямы составляла 8,5 нм,
период структуры равен половине длины волны экситонного перехода
830 нм, число периодов структуры 60, длительность лазерного
импульса порядка 500 фс, время поперечной релаксации при температуре
9 К равно 10 пс, дипольный момент перехода 4 е • А, где е — заряд
электрона. При пиковой интенсивности входного импульса 1 МВт/см2
взаимодействие излучения со структурой являлось линейным, поэтому
наблюдалась фотонная запрещенная зона и 90%-е брэгговское
отражение, соответствующее конечной толщине структуры. При
интенсивности импульса 30 МВт/см2 (площадь импульса 1,57г) взаимодействие
становится нелинейным и наблюдалось подавление полного
брэгговского отражения; отражение составляло лишь 65%. Авторы работы
интерпретируют этот результат как следствие ослабления фотонной
запрещенной зоны из-за нарушения когерентности (расфазировки ди-
польного момента экситона и поля) в результате сильного диполь-
дипольного взаимодействия экситонов при большой инверсии и делают

несколько, на наш взгляд, поспешный вывод о невозможности
существования БС в таких структурах. Однако наличие диполь-дипольного
взаимодействия само по себе не исключает возможности
существования БС, а соответствующая динамика поля может быть описана
наглядно с помощью простой модификации исходных двухволновых
уравнений Максвелла-Блоха [8], которая позволяет учесть
зависимость поляризации экситона от инверсии [187-189]. Более того, БС
в периодической структуре из квантовых ям недавно получен
теоретически как решение уравнений Максвелла-Блоха для экситонов в
приближении малой величины среднего дипольного момента и смещения
частоты от точного резонанса [190]. Для наблюдения динамических
эффектов при распространении БС необходимо иметь структуру
длиной порядка пространственного размера импульса, т. е. в эксперименте
подобном [186] количество периодов структуры должно быть более
400. Таким образом, наблюдаемое в тонкой структуре (число
периодов 60) нелинейное подавление брэгговского отражения несомненно
представляет самостоятельный интерес, но для наблюдения БС
требуются дополнительные исследования с протяженными структурами.
В этом смысле обнадеживают недавние результаты по росту
методом молекулярно-ионной эпитаксии полупроводниковых РФК-структур
на основе квантовых ям Ino^Gao^eAs/GaAs с числом периодов 210
[191]. Авторы этих исследований делают важный вывод об отсутствии
принципиальных препятствий для роста структур с числом периодов
более 1000.
Исследования динамики нелинейных уединенных волн в РФК
получили свое развитие в ряде моделей, обобщающих дискретную модель
РФК. Детально рассмотрена динамика БС в комбинированном РФК,
или резонансно поглощающем брэгговском отражателе, в котором
дискретная решетка тонких слоев двухуровневых осцилляторов встроена
в периодическую линейную диэлектрическую матрицу [192, 193].
Резонансные слои помещаются в области максимумов линейного
коэффициента преломления, поэтому брэгговская запрещенная зона здесь
формируется одновременно линейной гармонической и резонансной
решетками. Распространение излучения в такой структуре
описывается двухволновыми уравнениями Максвелла-Блоха с добавлением
в волновые уравнения для встречных волн по одному слагаемому,
отвечающему за взаимодействие с линейной структурой. Фактически
роль линейной структуры сводится к изменению величины
эффективного волнового вектора излучения вследствие линейной дисперсии
и к сдвигу границ линейно запрещенной зоны. Уравнения при этом
становятся не полностью интегрируемыми, а их решение, подобно случаю
отклонения от точного брэгговского условия [169], имеет вид стоячего
или движущегося фазово-модулированного БС самоиндуцированной

прозрачности [192, 193]. Возможна простая интерпретация появления
БС как в чистом РФК, так и в комбинированном РФК: локализованная
область возбужденных атомов в резонансной решетке является
индуцированным возмущением (дефектом) линейной периодической
структуры, которое приводит к появлению «нелинейной дефектной моды»
в области возмущения.
Устойчивость светлых и темных БС в комбинированном РФК для
широкой области параметров численно продемонстрирована в [194].
Взаимодействие импульсов носит неупругий характер. Учет диполь-
дипольного взаимодействия [195] приводит к смещению области
частот, в которой может распространяться устойчивый БС. Для
двухмерных и трехмерных, по пространственным переменным, уравнений
Максвелла-Блоха [196, 197] найдено решение в виде пространственно-
временного БС, или «световой пули» [198, 199], в одномерном РФК.
Причем это решение существует не только в комбинированном РФК,
но и при полном отсутствии линейной решетки.
Использование резонансной решетки в виде набора тонких слоев
(гребенки дельта-функций), в описанных выше моделях дискретных
РФК, позволяет существенно упростить исходные двухволновые
уравнения Максвелла-Блоха, в которых в результате пространственного
усреднения появляется одна общая функция поляризации в обоих
волновых уравнениях для встречных волн. Это дает возможность получить
точные решения для целого ряда задач. Однако на практике создать
такие структуры с большим числом периодов и высоким оптическим
качеством оказалось весьма сложно. Вместе с тем, можно использовать
такой хорошо известный метод получения периодических структур,
как голографическая фотополимеризация [200, 201], который дает
возможность создать резонансные решетки с большим числом периодов,
хорошего качества, но с непрерывной пространственной функцией
концентрации резонансных атомов. В связи с этим недавно [202] была
исследована качественно новая модель РФК с произвольным
профилем концентрации резонансных атомов. Соответствующие обобщенные
двухволновые уравнения Максвелла-Блоха для непрерывной
периодической резонансной среды в двухволновом приближении имеют точное
решение в виде БС. Численно показано, что БС в таких решетках
устойчив при больших скоростях, больших 0,7 скорости света.
Добавление однородно распределенных резонансных атомов в
кубично-нелинейный ФК позволяет уменьшить в 30 раз пиковую
интенсивность БС, распространяющегося на краю [203] или
внутри [204, 205] фотонной запрещенной зоны. Были рассмотрены случаи
распространения излучения на частоте, лежащей вдали и вблизи от
запрещенной зоны, и обнаружены два типа солитонов
самоиндуцированной прозрачности [203]. При распространении солитона вдали от

запрещенной зоны огибающая импульса существенно отклоняется от
классического решения солитонов самоиндуцированной прозрачности
в виде гиперболического секанса [164], при этом для
распространения импульса требуется нетривиальная фазовая модуляция. При
распространении импульса вблизи запрещенной зоны учет керровской
нелинейности делает возможным распространение нечирпированного
импульса, бегущего со скоростью, определяемой параметрами среды.
Структура солитона при этом сильно зависит от того, совпадет или
нет частота излучения с двухуровневым резонансом. Если же кер-
ровскую нелинейность положить равной нулю, то солитон является
чирпированным импульсом, как и в случае распространения вдали от
запрещенной зоны.
В заключение этого раздела отметим некоторые результаты по БС
в фотонных кристаллах с квадратичной нелинейностью [206-210].
В этом случае параметрически взаимодействующие брэгговские волны,
т.е. волны на основной частоте и волны второй гармоники, имеют
частоты вблизи или внутри соответствующих фотонных запрещенных
зон, сформированных линейной решеткой фотонного кристалла. Задача
распространения излучения описывается уравнениями для связанных
медленно меняющихся амплитуд прямых и обратных волн, которые
имеют локализованные решения в виде четырехволнового БС. Такой
БС устойчив, если частоты волн лежат вблизи краев запрещенных зон,
но быстро теряют энергию при распространении, если частоты
локализованы внутри запрещенных зон [208]. Интенсивность
параметрических БС на три порядка ниже, чем интенсивность БС в кубических ФК.
§ 1.3. Нестационарные нелинейные уединенные
волны в периодических структурах
Интерес к исследованиям динамики нелинейных волновых
процессов с участием стационарных нелинейных уединенных волн, или
солитонов, рассмотренных выше, неизменно высок не только в
нелинейной оптике периодических структур [9], но и в других областях
оптики [211] и естественных наук в целом [212, 213]. Прежде всего
это связано с большим многообразием в природе нелинейных
динамических систем, эволюция которых в значительной мере
определяется уникальными свойствами солитонов — сохранением ими формы
и скорости при распространении и после взаимодействия. Строго
говоря, такими свойствами обладают лишь решения полностью
интегрируемых нелинейных динамических уравнений, например,
уравнения sin-Гордон, уравнений Максвелла-Блоха, нелинейного уравнения
Шрёдингера [213] и некоторых других уравнений, которые появляются

в результате использования ряда приближений при решении
физических задач. Математически же, используя метод обратной задачи
рассеяния, можно построить бесконечное число полностью
интегрируемых уравнений, в том числе и таких, которые в зависимости от
начальных условий могут обладать как традиционными солитонными,
так и качественно новыми нестационарными решениями, называемыми
зумеронами [214-216]. Зумерон обладает характерной для солитона
устойчивостью при распространении и взаимодействии, но
демонстрирует новую динамику, его амплитуда и скорость испытывают
значительные осцилляции в процессе движения, причем возможно
изменение не только величины, но и знака скорости импульса. Поэтому
обнаружение уравнений типа уравнения зумерона в реальных физических
задачах открыло бы широкие возможности для исследования новых
закономерностей в динамике нелинейных систем, позволило бы
обобщить разнообразные результаты по солитонной динамике на случай
осциллирующих импульсов. К сожалению, до настоящего времени не
найдено физическое явление, которое бы описывалось полностью
интегрируемым уравнением зумерона. Однако именно брэгговские солитоны
демонстрируют разнообразную нестационарную динамику, в том числе
и зумероноподобную, поэтому исследования нестационарных
(распространяющихся с переменной скоростью) нелинейных уединенных волн
в периодических структурах выходят за рамки частной оптической
задачи и приобретают общефизический интерес.
Для брэгговских солитонов не полностью интегрируемых двухвол-
новых уравнений Максвелла-Блоха [176, 217] и нелинейных
уравнений для связанных волн [218] имеет место динамическая мульти-
стабильность, когда при определенных начальных условиях возникают
осцилляции скорости импульса, причем с характерным для зумерона
изменением ее знака, однако лишь при нулевом среднем значении
скорости. Физическая причина появления мультистабильности у БС
заключается в особенностях их динамики при наличии линейно
запрещенной зоны. Действительно, БС движется с постоянной скоростью,
если амплитуды брэгговских мод достаточно велики, чтобы обеспечить
необходимую величину нелинейности взаимодействия со структурой и,
следовательно, обеспечить нелинейное подавление брэгговского
отражения. Если же амплитуды полей велики с точки зрения
определяющей роли нелинейности в динамике импульса, но в то же время малы
для формирования стационарного БС, то такой импульс, оставаясь
локализованным, тем не менее не может свободно распространяться
в структуре. Формально динамика такого плененного структурой соли-
тоноподобного импульса в РФК описывается модифицированным
уравнением sin-Гордон, где роль возмущения играет величина отклонения

разности амплитуд брэгговских волн от точного солитонного значения
для стоячего БС [176, 217].
Периодические изменения скорости солитоноподобных решений
в уравнениях, близких к полностью интегрируемым [219, 220],
возможны, например, при захвате солитона локализованным
возмущением [221, 222], когда центр масс импульса колеблется с нулевой средней
скоростью вблизи возмущения. В качестве возмущения может
рассматриваться дефект структуры, некогерентно возбужденные атомы или
когерентное линейное локализованное состояние возбужденных атомов
и поля [170-172, 174, 223-226]. Такого типа задачи традиционно
решаются методами теории возмущений [219, 227]. Скорость солитонов
может также меняться при их неупругом рассеянии на дефектной
моде [228-231] или при столкновении солитоноподобных импульсов,
которое сопровождается однократным возбуждением и поглощением
внутренней моды солитона [232, 233]. Возможны также долгоживущие
осцилляции амплитуды солитона при возбуждении внутренней
моды [234, 235] на ненулевой частоте, однако при этом скорость импульса
сохраняется или изменяется незначительно [80, 236, 237].
В результате численного моделирования динамики БС в РФК в
случае малой отстройки от точного условия Брэгга были обнаружены
значительные осцилляции амплитуд брэгговских волн и скорости БС
при его распространении с ненулевой средней скоростью [169],
однако физическая причина появления подобных осцилляции
движущегося БС долгое время оставалась невыясненной. Недавно проведенный
анализ процессов возбуждения внутренних мод в БС [238], показал,
что в стоячем БС самоиндуцированной прозрачности с возмущенными
профилями огибающих амплитуд брэгговских волн возможно
одновременное возбуждение двух близких по форме внутренних мод с малой
и нулевой частотами. В результате биений этих мод возникает
периодический обмен энергией между полями внутренних мод и резонансной
подсистемой двухуровневых атомов в БС, т. е. излучение и
поглощение света атомами, которое приводит к возникновению осцилляции
инверсии возбужденных атомов в БС. Решение было обобщено на
случай медленно движущегося солитона. Такой солитон уже
испытывает возмущение не только за счет деформации профиля, но и
вследствие осцилляции инверсии при биениях внутренних мод, что
приводит к значительным осцилляциям амплитуды, поляризации, инверсии
и скорости импульса. Подобная динамика уединенной волны
характерна для зумерона. Параметры решений, полученных прямым численным
интегрированием двухволновых уравнений Максвелла-Блоха, хорошо
согласуются с предложенным аналитическим решением для
оптического зумероноподобного импульса. С помощью интеграла энергии
получена зависимость скорости импульса от времени.

§ 1.4. Повышение эффективности параметрического
взаимодействия волн в нелинейных ФК
Хорошо известно, что эффективное нелинейное параметрическое
преобразование частоты оптического излучения в диспергирующих
средах возможно лишь при выполнении условий фазового
синхронизма [239, 240], когда отсутствует расстройка волновых векторов
свободной и вынужденной генерируемых волн. В сплошных средах фазовое
рассогласование волн, возникающее вследствие материальной
дисперсии, можно компенсировать за счет разности показателей преломления
волн с разной поляризацией в оптически анизотропных двулучепрелом-
ляющих кристаллах. Это позволило увеличить эффективность
преобразования энергии волны накачки в генерируемый сигнал с Ю-8 [241] до
нескольких процентов [242, 243]. Однако необходимость
использования в данном случае лишь кристаллов с малой дисперсией и большим
двулучепреломлением, которого трудно достичь для длин волн меньше
250 нм, стимулировала поиск альтернативных способов реализации
условий синхронной генерации. Нелинейные периодические структуры
сыграли здесь весьма важную роль. Так, использование одномерной
периодической регулярной доменной структуры (РДС), в которой
периодически изменяется квадратичная восприимчивость, позволяет
компенсировать расстройку волновых векторов за счет вектора обратной
решетки [244-246] — квазисинхронное взаимодействие. Наибольшая
эффективность достигается при изменении знака нелинейной
восприимчивости с периодом, равным длине когерентности. При этом
квазисинхронная генерация сигнала второй гармоники (ВГ) наблюдалась для
различных порядков квазисинхронизма (КС) [247-249]. Условия КС
могут выполняться также в одном РДС-кристалле одновременно для
нескольких связанных между собой трехчастотных процессов —
последовательных взаимодействий [250-252] и генерации нескольких
гармоник [253, 254]. Возможно также одновременное выполнение условий
синхронного взаимодействия и КС [255]. Многомерные РДС-кристаллы
позволяют реализовать условия КС в неколлинеарной геометрии
взаимодействия волн [256], обеспечивая эффективность преобразования
частоты более 60% в кристалле LiNbC>3 при длине распространения
14 мм [257]. Возможна также одновременная генерация нескольких
гармоник [258, 259] и сигнала ВГ с пространственным конусоидальным
распределением интенсивности [260]. Условия для синхронной
генерации ВГ могут быть реализованы в жидких кристаллах за счет
периодической модуляции нелинейной поляризации в поле стоячей волны
основной частоты [261-263], а также в случае бегущей волны накачки

при условии, что как волна накачки, так и гармоники испытывают
дифракцию на периодической структуре нелинейной среды [264].
Периодическая модуляция линейной восприимчивости в
традиционных ФК также открывает ряд новых возможностей для повышения
эффективности нелинейно-оптических взаимодействий. В Лауэ-геометрии
дифракции, например, можно осуществить синхронное преобразование
частоты за счет разности эффективных показателей преломления для
волн, соответствующих различным центрам распространения на
дисперсионных кривых [265, 266]. Другая возможность обеспечить
фазовый синхронизм в ФК существует благодаря большой
пространственной дисперсии вблизи края фотонной запрещенной зоны [36], поэтому
эффективные показатели преломления для волн основной частоты
и ВГ могут совпадать на противоположных краях соответствующих
фотонных запрещенных зон (дисперсионный фазовый синхронизм)
[44, 267]. В этом случае экспериментально [268, 269]
продемонстрировано 20-кратное увеличение интенсивности отраженного сигнала ВГ.
Нелинейное обобщение метода матрицы переноса излучения [270]
позволяет в заданном поле точно, с учетом вторых пространственных
производных, решать задачи генерации сигналов на смешанных частотах
в нелинейных многослойных структурах.
Включение вектора обратной решетки линейной структуры в
условие фазового синхронизма [271] дает возможность скомпенсировать
расстройку волновых векторов аналогично случаю квазисинхронизма
в РДС, поэтому такой механизм получил название решеточного
фазового синхронизма, или линейного фазового квазисинхронизма [245]
(ЛКС). В первом [272] и последующих [273] экспериментах
наблюдалось усиление обратного (отраженного) сигнала ВГ более чем на
порядок за счет ЛКС с прямой волной накачки. Линейный
квазисинхронизм может быть использован при параметрическом усилении
непрерывного [274] и импульсного [275] излучений. В работе [276]
экспериментально показано, что механизм ЛКС существенно менее
чувствителен к систематическим и случайным дефектам структуры,
чем дисперсионный фазовый синхронизм.
Помимо синхронной генерации в ФК существует и
специфический механизм увеличения эффективности параметрического
взаимодействия, свойственный только периодическим структурам, а
именно — механизм несинхронного усиления (НУ)
нелинейно-оптического взаимодействия за счет эффекта локализации оптического поля,
т.е. увеличения плотности энергии поля на основной частоте вблизи
края фотонной запрещенной зоны. На возможность НУ указывали
еще авторы пионерской работы [271] в 1970 г., однако
последовательное изучение этой проблемы было начато относительно
недавно. Теоретически [53, 277] и экспериментально [278] было показано,

что одновременное выполнение условий дисперсионного синхронизма
и НУ приводит к увеличению интенсивности сигнала ВГ в тонких ФК
на 2-3 порядка по сравнению со сплошной средой, а эффективность
преобразования энергии достигает 13%. Экспериментально
обнаружено увеличение интенсивности ВГ на порядок только за счет НУ при
разности показателей преломления структуры ZnS/SrF2 An = 0,8
[279]. Возможно также одновременное выполнение условий НУ и ЛКС
при генерации суммарной частоты [280, 281] и ВГ [281, 282], что
увеличивает интенсивность генерируемого сигнала более чем на два
порядка по сравнению со случаем отсутствия несинхронного усиления.
Решение динамической задачи для связанных волн [283] позволило
оценить эффективность преобразования энергии основного излучения
в сигнал второй гармоники величиной порядка 10% для тонких ФК
толщиной несколько десятков микрон. Это более чем на два порядка
выше эффективности нелинейно-оптического преобразования в
однородной бездисперсионной среде той же толщины. Для эффективной
генерации сигнала суммарной частоты при коллинеарной геометрии
взаимодействия волн необходимые условия НУ для двух различных
длин волн обеспечиваются за счет совпадения различных краев
соответствующих запрещенных зон при одном и том же угле падения
излучений, поэтому выбор подходящей пары длин волн ограничен.
Эта проблема решается при переходе к неколлинеарной геометрии
взаимодействия [284, 285], что позволяет осуществлять эффективное
преобразование частоты в широком интервале длин волн.
При генерации ВГ в ограниченном ФК условия синхронизма
выполняются для эффективных волновых векторов [286] в приближении
узких линий пространственного спектра, если частота основного
излучения соответствует первому, а частота сигнала ВГ — второму
минимумам коэффициента отражения (резонансам пропускания), отсчитанных
от центров соответствующих запрещенных зон [277]. Наличие такого
максимума интенсивности сигнала ВГ было подтверждено
экспериментально [278, 287, 288] для структур, специально выращенных под
такие условия. Однако, анализ эффективности генерации при
совпадении первых резонансов пропускания одновременно для основной волны
и сигнала ВГ в ограниченном ФК показал [289], что хотя в этом
случае не выполняются условия фазового синхронизма, рассчитанные
в традиционном приближении узких линий пространственного спектра
эффективных брэгговских мод, тем не менее, интенсивность такого
сигнала более чем на порядок превосходит интенсивность сигнала
ВГ, для которого удовлетворяются традиционные условия синхронизма
в приближении узких спектральных линий [277]. Это всегда имеет
место для отраженного сигнала ВГ, а для прошедшего лишь в случае
сильной брэгговской дифракции, т.е. при большом контрасте показа-

теля преломления. Объяснение этого эффекта становится возможным
при переходе к многомодовой задаче с учетом эффективного
перекрытия пространственных спектров как основных, так и генерируемых
волн. Дополнительные волны внутри ограниченного ФК возникают за
счет френелевского отражения прямых волн от выходной границы ФК
и последующей их брэгговской дифракции. Ширина пространственного
спектра каждой волны определяется размером ФК. В этом случае
условие синхронизма записывается не для эффективных волновых
векторов отдельных брэгговских мод, а для центров перекрывающихся
спектральных линий.
Недавно появилась серия теоретических [290] и
экспериментальных работ по ЛКС-генерации ВГ в одномерных [291] и
двухмерных [292-294] периодических планарных волноводах на
локализованных резонансных квазиволноводных модах [295, 296]. При выполнении
условий ЛКС в «планарных фотонных кристаллах» GaN наблюдалось
увеличение сигнала ВГ в 5000 раз по сравнению с сигналом от
сплошного слоя GaN [291]. Значительное увеличение интенсивности
сигналов гармоник, на два порядка, наблюдалось также в одномерных
ФК с микрорезонатором, или дефектом структуры, за счет
локализации плотности энергии поля на основной частоте в резонаторной
моде [297]. Фотонно-кристаллические микрорезонаторы представляют
собой многослойные периодические структуры, в которых полуволновой
разделительный слой помещается между двумя фотонно-кристалличе-
скими зеркалами. В работах [298-301] были выполнены исследования
гигантского усиления второй и третьей оптических гармоник в
микрорезонаторах на.основе пористого кремния. Было показано, что такие
микрорезонаторы обладают достаточной добротностью в видимом
диапазоне спектра, чтобы эффективность генерации оптических гармоник
возрастала на несколько порядков на частоте резонансной микроре-
зонаторной моды. В работе [302] аналогичные эффекты гигантского
усиления второй и третьей оптических гармоник были исследованы
в связанных микрорезонаторах из пористого кремния.
Кроме усиления параметрических нелинейно-оптических процессов,
таких как генерация гармоник, в нелинейных ФК и микрорезонаторах
можно ожидать усиления непараметрических кубичных нелинейных
эффектов вследствие локализации оптических полей. Такие эффекты,
для которых не нужно выполнения условий синхронизма, наблюдались
в микрорезонаторах с нелинейным разделительным слоем,
помещенным между линейными фотонно-кристаллическими зеркалами и в ФК
с чередующимися нелинейными и линейными слоями. В работе [303]
методом Z-сканирования наблюдалось гигантское усиления
самофокусировки света в нелинейном микрорезонаторе, а в работе [304], наряду

с усилением самофокусировки, наблюдалось усиление двухфотонного
поглощения света в нелинейных ФК.
Особую группу фотонно-кристаллических материалов
представляют магнитофотонные кристаллы: композитные материалы с
пространственной периодической модуляцией магнитных свойств, например,
с периодическим чередованием магнитных и немагнитных слоев.
Магнитофотонные кристаллы [305] являются уникальными материалами
для управления нелинейно-оптическими эффектами внешним
магнитным полем. Впервые нелинейный магнитооптический эффект —
генерация магнито-индуцированной второй гармоники — наблюдался в
работе [306] в магнитном микрорезонаторе, т. е. в структуре, в которой
полуволновой слой железоиттриевого граната помещался между
немагнитными фотонно-кристаллическими зеркалами. Несколько позднее
в подобной же структуре наблюдалась генерация магнитоидуцирован-
ной третьей гармоники [307]. Детальное исследование нелинейного
магнитооптического эффекта Керра при генерации второй и третьей
магнито-индуцированных гармоник проведено в работе [308].
Результаты исследований эффектов нелинейной магнитооптики в магнито-
фотонных кристаллах обобщены в обзоре [309]. Магнитофотонные
кристаллы, конечно же, не единственные функциональные материалы,
позволяющие управлять параметрами ФК с помощью внешних
воздействий. В работе [310] были получены перестраиваемые сегнетоэлектри-
ческие ФК, в которых спектральное положение запрещенной фотонной
зоны и условия генерации второй гармоники существенно менялись
с изменением температуры материала.
Выше речь шла об исследовании нелинейно-оптических эффектов
в одномерных ФК. Аналогичные эффекты, хоть и в значительно
меньшей степени, исследовались и в трехмерных ФК, изготовляемых на
основе искусственных опалов. В работе [311] наблюдались
нелинейная дифракция и усиление генерации второй оптической гармоники
в опалах, допированных кремнием. Генерация магнито-индуцированн-
ной второй гармоники при выполнении условий фазового синхронизма
на краю запрещенной фотонной зоны наблюдалась в опалах,
допированных железоиттриевым гранатом [312].
Механизм несинхронного усиления параметрического
взаимодействия начинает играть особо важную роль в том случае, когда
синхронные механизмы генерации не эффективны. Именно так
происходит при нелинейно-оптической генерации сигнала разностной частоты
в терагерцовом диапазоне частот (длины волн 0,05-3 мм). Создание
источников интенсивного терагерцового излучения необходимо для
спектроскопии внутримолекулярной динамики жидкостей, полимеров
и полупроводников, для получения томографических изображений
медико-биологических объектов, в коммуникационной технике и т.д.

До недавнего времени единственными источниками когерентного тера-
герцового излучения являлись лазеры на свободных электронах и
субмиллиметровые газовые лазеры. С появлением мощных субпикосекунд-
ных и фемтосекундных лазеров резко возрос интерес к исследованиям
по созданию компактных, эффективных и перестраиваемых
когерентных источников терагерцового диапазона с использованием таких
нелинейно-оптических явлений, как оптическое параметрическое
усиление, генерация разностной частоты и параметрическая
флуоресценция [313-315]. Как известно, для большинства оптически нелинейных
кристаллов показатель преломления в терагерцовом диапазоне частот
значительно превышает соответствующие значения в видимой области
спектра. По этой причине практически всегда невозможно осуществить
условие фазового синхронизма, а несинхронный механизм усиления
в одномерном ФК позволяет увеличить интенсивность сигнала
разностной частоты почти на два порядка по сравнению со сплошной
средой [316, 317]. Причем располагая ФК в сверхрешетку с
пространственным периодом, близким к длине волны терагерцового излучения,
возможно обеспечить выполнение условия фазового синхронизма за
счет вектора обратной решетки сверхрешетки и повысить
интенсивность генерируемого сигнала еще на порядок [318].
Суммируя вышеизложенное, можно заключить, что в последние
два десятилетия сформировалось и успешно развивается новое
направление исследований в оптике — динамика нелинейных уединенных
волн и нелинейно-оптические взаимодействия в структурах с линейно
запрещенными фотонными зонами.

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ
БРЭГГОВСКОЙ ДИФРАКЦИИ В РЕЗОНАНСНЫХ
ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
В настоящей главе развита полуклассическая теория нелинейной
динамической брэгговской дифракции оптического излучения в
дискретном резонансном фотонном кристалле. Особое внимание уделяется
исследованиям динамики нелинейных уединенных волн когерентного
излучения в РФК в условиях брэгговской дифракции. В §2.1 приведен
вывод системы двухволновых уравнений Максвелла-Блоха для
медленных огибающих амплитуд нелинейных брэгговских мод, а также
дипольных моментов и инверсии двухуровневых осцилляторов
резонансной среды. В § 2.2 получено полное многосолитонное решение
указанных уравнений. Детально исследованы условия формирования
и динамические свойства односолитонного решения, описывающего
брэгговский солитон самоиндуцированной прозрачности,
формирующийся и распространяющийся в линейно запрещенной области частот
селективного брэгговского отражения. Рассмотрены явления
нелинейного подавления полного брэгговского отражения на границе РФК
и просветления линейной фотонной запрещенной зоны нелинейными
уединенными волнами. Параграф 2.3 посвящен описанию динамики
нелинейных уединенных волн в РФК с неоднородно уширенной
спектральной линией и при слабом отклонении от точного условия Брэгга.
Получены решения для фазово-модулированных брэгговских солитонов
в таких структурах. В § 2.4 в полуклассическом приближении решена
задача сверхизлучения в РФК и показано, что результатом эволюции
первоначально некогерентно возбужденного протяженного РФК может
быть нетривиальное двухсолитонное устойчивое когерентное
состояние возбужденной среды и поля — брэгговский бризер (дышащее
решение).

Я = 2-KJd — модуль вектора обратной решетки, т — целое число,
порядок дифракции. Для определенности будем полагать d к. А. Это
также позволит корректно и наглядно провести численное решение
задачи сверхизлучения РФК, когда источниками излучения являются
возбужденные атомы внутри среды (§2.4). Выполнение брэгговско-
го условия дает возможность ограничить число распространяющихся
в структуре блоховских волн двумя сильно связанными друг с другом
встречными нелинейными волнами, которые будем называть брэггов-
скими волнами. Константы распространения этих нелинейных волн ±к
равны действительным частям эффективных волновых чисел линейных
брэгговских мод внутри линейно запрещенной фотонной зоны [5, 286].
В нашем случае, при d и А, речь идет о второй запрещенной зоне,
т — 2, в которой к = Н.
Из уравнений Максвелла получим волновое уравнение,
описывающее распространение излучения в РФК:
ЬЕ{гЛ)-^Щ*=%Щ^. (2.1.1)
Со Я Со от
Здесь Е — напряженность электрического поля световой волны, ар-
малая резонансная поляризация среды, т. е. дипольный момент
единицы объема среды, обусловленный примесными резонансными атомами;
е — диэлектрическая проницаемость линейной среды; cq — скорость
света в вакууме; оператор Лапласа Д — д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дг2.
Функция поляризации р подлежит определению из решения уравнений
Блоха для дипольного момента и инверсии резонансного
двухуровневого атома. Предположим, что для рассматриваемого излучения в
структуре выполняется условие Брэгга, т.е. весь спектр
квазимонохроматических волн локализован в брэгговской запрещенной зоне. Тогда
решение волнового уравнения будем искать в виде двух
квазимонохроматических плоских волн с комплексными медленно меняющимися
амплитудами Е±(х, £), которые распространяются в противоположных
направлениях вдоль оси х перпендикулярно резонансным плоскостям:
E(x,t) = - [E+(x,t)expi(kx — u>t) + Е~(х, t) ехрг(—кх — u>t) + к. с],
(2.1.2)
где к — ш/с, ш — частота излучения, совпадающая с частотой
резонансного перехода, с = cq/л/ё — скорость света в сплошной
линейной среде с диэлектрической проницаемостью е, к. с. обозначает
комплексно сопряженную часть выражения. Изменение фазы волны
при распространении в периодической структуре, которое учитывается
в теореме Флоке-Блоха введением эффективного волнового векто-

pa [286], здесь учитывается непосредственно через пространственную
зависимость комплексных амплитуд E±(x,t).
Перейдем к уравнениям для медленных амплитуд. Для этого
подставим решение (2.1.2) в уравнение (2.1.1) с учетом условий
медленного изменения огибающих амплитуд волн в пространстве и во времени:
<|шЕ±|. (2.1.3)
Пренебрегая членами, содержащими вторые производные, полагая их
малыми по отношению к членам с первой производной согласно (2.1.3),
получим:
<(£+.-<£)^+«(-£+с-'^)^->+
4тг д2р
+ к.с. = —= —±г.
k(% dt2
Проведем разделение уравнений для полей Е± и их комплексно
сопряженных величин (£*)*. Для этого умножим полученное выше
уравнение последовательно на exp (iuit) и exp (—iu)t) и проведем
усреднение по промежутку времени At 3> ш~\ но меньшему характерных
времен изменения Е^ и медленной амплитуды поляризации, используя
временное условие для медленных амплитуд (2.1.3). После исключения
усредненных быстро осциллирующих слагаемых порядка ехр (±2гш£)
уравнение для полей Е± принимает вид
=-ШЛ- (214)
где скобки (...)t обозначают указанное усреднение по промежутку
времени At. В уравнении (2.1.4) опущены векторы, так как для простоты
рассматривается лишь линейно поляризованная волна с ориентацией
вектора поля вдоль резонансных плоскостей, при этом величина р
есть проекция вектора поляризации среды на направление поляризации
поля Е. Векторное обобщение этой задачи на случай эллиптически
поляризованной волны поля проведено в работе [180]. Чтобы разделить
амплитуды Е+ и Е~, необходимо поочередно умножить (2.1.4) на
exp (±ikx) и усреднить по объему Vo ~ А3, чтобы исключить быстро
осциллирующие по пространственной переменной слагаемые порядка
ЭЕ*
дх
<^\kEd
dEd
dt

exp(±2ikx). В результате получим следующие уравнения для амплитуд
полей:
±^ + с-1^ = _1™/в^е*-*е=И*Л , (2.1.5)
где скобки (...)у обозначают усреднение по объему Vq ~ А3. Это
уравнение является достаточно общим и может быть использовано для
решения как линейной, так и нелинейной задачи двухволновой
дифракции в различных средах. Функция поляризации среды p(x,t) в (2.1.5)
определяется материальными уравнениями, которые в свою очередь
определяются структурой и свойствами рассматриваемой среды.
Резонансная поляризация единицы объема РФК, обусловленная ди-
польными моментами примесных резонансных атомов в тонких слоях,
имеет вид
0(x,t) = ^ф^ Ux^O = £^М(* - Xj), (2.1.6)
3
где Рду(х, £) — суммарный дипольный момент резонансных атомов
в малом объеме AV = SAx в окрестности точки х, S — площадь
одной поверхности тонкого слоя, j — номер резонансного тонкого слоя,
P'j(t) — дипольный момент одного атома в j-м слое; N и а = N/S —
соответственно число резонансных атомов в слое и их поверхностная
концентрация, 5(х — Xj) — 5-функция Дирака. Функция ^ а5(х — Xj)
з
описывает пространственную зависимость объемной концентрации
резонансных атомов в случае ультратонких слоев. В одномерной
модели атомы, расположенные в каждом резонансном слое, необходимо
считать находящимися в тождественных состояниях. Кроме того, их
концентрация должна быть достаточно мала, чтобы не учитывать ди-
поль-дипольное взаимодействие атомов и эффекты локального поля.
Дипольный момент атома в поле квазигармонической волны (2.1.2)
будем искать в виде:
?'j(t) = ±Pj(t)e-i"t + K.c., (2.1.7)
где Pj(t) — комплексная медленно меняющаяся амплитуда диполь-
ного момента одного атома в j-м слое. Подставим выражения (2.1.6)
и (2.1.7) в (2.1.5) и проведем временное и пространственное усреднения
в правой части полученного уравнения. Исключая быстро
осциллирующие во времени слагаемые, аналогично (2.1.3), а также с учетом

свойства <5-функции
оо
exp (ikx)S(x — Xj) dx = exp (ikxj),
— oo
получим следующие уравнения для амплитуд полей:
3
Функция 5(х - Xj) — 1 при х G (xj ± А/2) и равна нулю в любых
других точках, поэтому сумма в правой части (2.1.8) представляет
собой ступенчатую функцию переменной х; р = ст/А — средняя объемная
концентрация резонансных атомов. Условие d > А исключает
усреднение дипольных моментов и инверсии соседних плоскостей, и мы по-
прежнему можем рассматривать систему как набор j-x резонансных
слоев, что важно для корректного решения задачи сверхизлучения.
Величина комплексной амплитуды дипольного момента одного атома
в j'-м слое Pj(t) находится из оптических уравнений Блоха.
Приведем подробный вывод оптических уравнений Блоха, которые
описывают эволюцию состояния двухуровневого атома в поле
резонансного излучения [166, 319, 320]. Для одиночного атома,
взаимодействующего только с резонансным электромагнитным полем и не
взаимодействующего с другими атомами, например, посредством ди-
поль-дипольного взаимодействия, эволюция квантово-механического
состояния описывается уравнением Шрёдингера для волновой
функции ф{г, t)
ih^ = (H0 + V)i>, (2.1.9)
где Hq — независящий от времени гамильтониан изолированного
двухуровневого атома, не взаимодействующего с полем; V — —Р'Е —
оператор дипольного взаимодействия атома и поля; Р' — ег — оператор
дипольного момента атома, е и г — заряд и радиус-вектор электрона.
Ограничимся приближением слабого взаимодействия поля с диполем
fj,E <§с fuo2\ при условии резонанса и — и>2\ <§С ш, шгь Здесь fi — ди-
польный момент перехода; Тгшгь ш2\ — энергия и частота резонансного
перехода соответственно. Тогда волновую функцию можно представить
как суперпозицию невозмущенных волновых функций основного ipi
и возбужденного фъ стационарных состояний атома с зависящими от
времени коэффициентами:
i>{f,t) = a{t)i/>i(r,t) + b(t)tk(r,t). (2.1.10)

Такое состояние двухуровневого атома называется суперпозиционным.
Величины \a(t)\2 и \b(t)\2 есть вероятность обнаружить атом
соответственно в основном или возбужденном состояниях в момент времени t.
Волновые функции
_ ■ vvm t
lpm = Vm(r)e l * (2.1.11)
являются решениями невозмущенного уравнения Шрёдингера (2.1.9)
при V = О, a Vm(^) есть решения стационарного уравнения
Шрёдингера „
H0ipm = Wm<pm, (2.1.12)
где Wm — энергия m-го энергетического уровня атома, т— 1,2.
Выведем уравнения для величин a(t) и b(t). Для этого подставим
(2.1.10) в (2.1.9) и с учетом (2.1.11) и (2.1.12) получим
. w,t . w2t _ _.w1t _ . w2t
ifupie h at + ihip2e h bt = aVtpie h + bV(p2e h .
Далее умножим это уравнение последовательно на комплексно
сопряженные функции (р\ и <^2 и проведем интегрирование по
пространственной переменной. Учитывая ортонормированность функций у?т,
оо
т. е. ipiipm dr = 0 при г ф т, а также нечетность оператора диполь-
—оо
ного момента и полагая, что атом является центрально симметричным,
т. е.
ef^m\2df= 0, в результате получим
<p*Vip2(tr,
оо
at
—оо
(2.1.13)
ОО
at
■'* [ <p%Vtpidr.
После подстановки в (2.1.13) оператора взаимодействия в виде
V = -Р'Е = -P'i {EKe'iut + к. с.)
и усреднения по интервалу времени Д£~ш-1, для исключения быстро
осциллирующих членов, получим искомые уравнения в случае точного
резонанса ш = ш^х'.
•* да 1 ,-,*,
*& о7 = ~7)Vl2EKb,
(2.1.14)
■%дь ' в.

где EK(z, t) — медленная по времени, но быстро изменяющаяся в
пространстве комплексная амплитуда поля,
М12
ip*lP'<P2dr =
(p%P'(p1dr=n2\ = ц
— матричный элемент оператора проекции дипольного момента
перехода атома на направление поляризации поля Е, или кратко, дипольный
момент перехода.
Найдем связь функций a(t) и b(t) с физическими величинами,
описывающими состояние атома — дипольным моментом и инверсией.
Наблюдаемая, или квантово-механически средняя, величина
дипольного момента атома с учетом (2.1.10) и (2.1.11) запишется в виде
(Р>)
ф*Р'ф<1г = 11(аЪ*е1Ш* + а*Ъе-шг). (2.1.15)
С другой стороны, величина (Р'} есть дипольный момент атома,
который определяет поляризацию среды (2.1.6) в волновом уравнении
(2.1.1). Поэтому согласно (2.1.7)
(Р1) = Pj(t) = \ Pj{t)e-^ + к.с. (2.1.16)
Сравнивая (2.1.15) и (2.1.16), получим выражение для комплексной
амплитуды дипольного момента атома в j-м слое:
Pj{t) = 2fm*b. (2.1.17)
Преобразуем уравнения (2.1.14), чтобы записать их для функции
Pj(t) и инверсии. Умножим первое комплексно сопряженное уравнение
(2.1.14) на Ь, второе — на а* и сложим их, в результате получим
дРз _ *М2 р (\h\2 |_|2ч
Затем умножим первое уравнение (2.1.14) на а* и прибавим к нему
комплексно сопряженное уравнение, умноженное на а, получим
^=г^(а*ЬЕ*-аЬ*Е).
Аналогично из второго уравнения (2.1.14) следует, что
^ = £ (аЪ*Е - а*ЪЕ*).
at 2а

В итоге систему уравнений (2.1.14) перепишем в виде оптических
уравнений Блоха:
dt h (2.1.18)
^М = _L \P*{t)EK{xht) - Р^)Е*(х^Ь)},
где rij — \b\2 — \а\2 — разность населенностей верхнего и нижнего
уровней атома в j-м слое, или инверсия атома.
Отметим, что оптические уравнения Блоха часто записывают в
других эквивалентных формах. Например, в виде уравнений для элементов
матрицы плотности двухуровневого атома:
Pi2 = ab*, Р21 — ba*, p\i = aa*, P22 = bb*.
Чтобы привести систему (2.1.18) к такому виду следует сделать
замену
Pj{t) = 2fJ,p2l, Pj(t) = 2^pi2, nj{t) = Р22- р\[.
В случае же использования представления Гейзенберга для
описания процесса резонансного взаимодействия поля с двухуровневой
частицей [166], уравнения Блоха будут иметь вид уравнений для
квантово-механически средних значений матричных операторов Паули
(<7;) ЕЕ (ф\(Тг\ф):
(а,) = (Ь* а*)(° Г) (b^j =ab*+a*b = 2Rea*b,
(<j2) = (b* a*) (° ~Л (Л = -iab* + ia*b = -2Ima*b,
fo> = (b* a') (J ^Q=bb*-aa' = \b\*-\a\*.
Это эквивалентно замене
RePj(t) = ц{а\), Im Pj(t) — -ц{<тг), Uj = (a3)
в системе (2.1.18).
Для безразмерной функции дипольного момента j-ro атома
P(xj,t) = iPj(t)/fi (2.1.19)

уравнения Блоха запишутся в канонической форме:
?%ZLU = nil(xj,t)n(xj,t),
дп(1 t) (2L20)
где величина QK(xj,t) = {^/K)EK{xj,t) пропорциональна комплексной
амплитуде электрического поля и имеет размерность угловой скорости
[с-1], n{xj,t) = rij(t). Вектор R= {ReP.ImP, п) называется вектором
Блоха. Таким образом, уравнения Блоха (2.1.20) описывают динамику
вектора R(xj,t) в электрическом поле £LK(xj,t), подобную прецессии
вектора спина в магнитном поле в случае магнитного резонанса.
Поэтому вектор Блоха часто называют вектором «псевдоспина». В поле
резонансной оптической волны с постоянной амплитудой вектор Блоха
вращается с постоянной угловой скоростью П0. или частотой, которая
называется резонансной частотой Раби. Из (2.1.20) следует закон
сохранения модуля блоховского вектора:
\R{xj,t)\ = P{xj,t)P*{xj,t) +n2(xj,t) = 1.
В случае двухволнового приближения (2.1.2), (2.1.3) поле в
уравнениях (2.1.18) имеет вид
EK(xj,t) = E+{x,,t)eikx>+E-{xj,t)e'ikxj. (2.1.21)
Учтем феноменологически процессы некогерентной релаксации
вектора Блоха R. Это диссипация энергии атома за счет спонтанного
распада возбужденного уровня с характерным временем Т\, или
продольная релаксацию вектора Блоха, а также релаксация среднего по
ансамблю атомов дипольного момента за счет расфазировки диполей
соседних атомов с характерным временем Тг, так называемая фазовая,
или поперечная, релаксация вектора R. Тогда из (2.1.8) и (2.1.18)
с учетом (2.1.21) получим следующую систему самосогласованных
двухволновых уравнений Максвелла-Блоха для дискретного РФК:
as^ + c_1es^ = 27rip*^p.(t)e_ite^(s_s.)i
3
-dE~d{*-t] + с-'Э£у} = ^ e тукхщх - Xj),
3
ЁШ = -Ц. [E+(Xj,t)eik^ +Е-{х3Л)е-^{х^1)]щ{Ь) -T^Pj{t),
^ = ^ {P*(t)[E+(xjlt)eik^+E-{xj,t)e-ik*i] -
- Pj(t)[E+{xj,t)eikxi +E-{xi,t)e-ikxi\*} -Т^[щ{Ь) + 1].
(2.1.22)

Наконец домножив первые два уравнения (2.1.22) на сц/h,
перепишем всю систему двухволновых уравнений Максвелла-Блоха (МБ)
(2.1.22) с учетом (2.1.19) в удобном для дальнейшего анализа виде:
с дОфЪ + 90^) = т_2 ^ P{x.tt)e-ikx~5{x _ Xj)<
-с ШМ + д[Г^Л = т_2 £ p{x.t t)eikXj~5{x _ Xj)t
j
ЭР{£'Ь) = n{xj,t)[n+{xj,t)eik^+n-(xj,t)e-ikxi]-T2-lP(xj,t),
MIIlH = -ReiP^Xj.tW+ixj.ty^ +rL-(xjtt)e-ikxi}} -
-Tfl[n(Xj,t)+l],
(2.1.23)
где fi^x, t) = {pL/b)E±{x,t) — нормированные на величину Ti/fi
комплексные амплитуды электрического поля прямой и обратной брэг-
говских волн Е^ поэтому ниже для краткости мы будем называть
величины Q±(x,t) амплитудами прямой и обратной волн;
2 _ f 2iru)pu \ 87reTi
т„ = ' - ' —
у eh J ЗсорХ,
— кооперативное время, Ао — длина волны излучения в вакууме,
Т\ = 2>Тгс\/Аи>ъ^2 — время жизни возбужденного состояния атома.
Кооперативное время тс является важным параметром, определяющим
эффективность резонансного взаимодействия излучения с веществом.
Оно характеризует среднее время жизни фотона в среде до его
резонансного поглощения и было впервые введено в теории
сверхизлучения [153], т.е. при описании коллективного (кооперативного)
когерентного спонтанного излучения в системе первоначально некогерентно
возбужденных резонансных осцилляторов. Величину тс следует
отличать от обратной частоты Раби, которой соответствует среднее время
возбуждения атома в резонансном поле. Частота Раби не зависит от
плотности резонансных атомов.
Двухволновые уравнения МБ для РФК (2.1.23) существенно
упрощаются в случае точного выполнения условия Брэгга, d — А, так как
экспоненты в правых частях уравнений принимают одинаковые
значения exp(ikxj) = ex-p(-ikxj) = 1. После усреднения по
пространственной области AV » d? при условии когерентности взаимодействия,
когда характерное время взаимодействия атома с излучением т <§с Т\,Т2,
дискретные уравнения (2.1.23) записываются в континуальном пределе

без учета релаксаций вектора Блоха в следующем виде:
an+(s,t) dci+(x,t) _ 2 , .
ftr + <Э* с ^'^
an-(x.t) an-(x.t) __-2Р/ л
9х + at ~ с ^^х'ъ)>
(2.1.24)
??^А = -Пе[Р*(хЛ)(П+ + П-)},
где n(x,t) = (n(xp£))Av и Р(а;, i) = (P(a;j,i))AV — уже
непрерывные функции координат и описывают среднюю по ансамблю атомов
в объеме AV инверсию и комплексный дипольный момент атома,
нормированный на величину дипольного момента перехода ц.
При выполнении брэгговского условия общего вида d = тоА/2
(где т = 1,2,3,...) экспоненты в правых частях уравнений (2.1.23)
в определенной точке Xj по-прежнему принимают одинаковые
значения независимо от знака аргумента, exp(ikxj) — exp(-ikxj) = 1
или — 1, поскольку координаты Xj = jd. Тогда во всех уравнениях
системы (2.1.24) усредненный дипольный момент атома будет
по-прежнему определяться одной функцией P(x,t) = (P(xj,t)exp(ikxj))^v =
= (P(xj, t) exp(—ikxj))AV и являться непрерывной функцией
координаты. Важно отметить также, что уравнения (2.1.24) для РФК могут
быть получены и другим методом с помощью граничных условий для
полей и поляризации в тонких пленках [180].
Двухволновые уравнения МБ (2.1.24) описывают когерентную
динамическую нелинейную брэгговскую дифракцию оптического
излучения в РФК и являются нелинейным обобщением уравнений Така-
ги [21], широко используемых в рентгеновской оптике. Ниже будет
показано, что учет нелинейности взаимодействия излучения с
периодической структурой приводит к целому ряду новых нелинейных
оптических эффектов, самыми значительными из которых,
по-видимому, являются нелинейное подавление полного брэгговского отражения
и распространение брэгговского солитона в линейно запрещенной
фотонной зоне.
§ 2.2. Брэгговский солитон самоиндуцированной
прозрачности и нелинейное подавление полного
брэгговского отражения на границе среды
Явление самоиндуцированной прозрачности (СИП) в однородной
среде возникает при когерентном взаимодействии импульса света с
резонансными атомами [164-166]. Интенсивный импульс площадью 27г,

распространяясь вдоль образца, растрачивает часть своей энергии на
возбуждение резонансных атомов, а затем вызывает их
индуцированный распад, причем в силу одномодовости задачи (когерентная
бегущая накачка сплошной среды) энергия возвращается
возбуждающему импульсу. Поэтому после прохождения импульса среда остается
невозбужденной. В результате энергия, форма и площадь импульса
не изменяются, а резонансно поглощающая среда становится
прозрачной. Подобная ситуация не может повториться в случае брэгговской
дифракции, когда энергия, переизлучаемая атомами, уже не
возвращается в единственную моду поля, а делится между двумя
противоположно бегущими, сильно взаимодействующими брэгговскими волнами.
На первый взгляд это неминуемо приведет к распаду импульса в среде.
Более того, распространение поля в области селективного брэгговского
отражения запрещено линейным законом дисперсии. Ниже покажем,
что при достаточно большой интенсивности падающего на среду
импульса, полное брэгговское отражение на границе среды для части
импульса подавляется, и в образце на брэгговской частоте внутри
линейно запрещенной фотонной зоны распространяются устойчивые
нелинейные уединенные волны, брэгговские солитоны СИП,
включающие в себя поля двух брэгговских мод и возбуждение среды. Брэггов-
ский солитон, или брэгговский 27г-импульс, существенно отличается по
характеристикам и особенностям динамики от традиционного 2-7г-им-
пульса СИП в однородной непериодической среде.
Рассмотрим сначала взаимодействие когерентного резонансного
поля с бесконечным дискретным РФК. Для простоты будем искать
решение в действительных функциях, тогда двухволновые уравнения
МБ (2.1.24) перепишутся в виде:
ЭП+(х,1) дП+jx.t) _ 2р(т л
С дх + Ш с [ ' >'
an-jx.t) an-(x.t) _ 2Р(х t]
с ах at с г\х'ъ>>
^£i*l =n(i,t)(n+ + fi-),
^1*)=-Р(я:,4)(П+ + П-).
(2.2.1а)
(2.2.16)
Приведем систему уравнений (2.2.1) к одному уравнению
относительно блоховского угла
t
в{хЛ)= [ n{x,t')dt', (2.2.2)

где Q = Q+ + Q~ — сумма амплитуд прямой и обратной волн. Для
этого последовательно сложим и вычтем уравнения (2.2.1, а) и
перейдем к эквивалентным уравнениям относительно функции суммарной Q
и разностной Q = Q+ — Q~ амплитуд. Затем продифференцируем
первое из полученных уравнений по t, второе — по х, сложим их и,
выразив функцию Г1Х через Q, получим уравнение относительно ПиР:
дх2 dt2 dt
Проинтегрируем уравнение (2.2.3) по времени и, учитывая (2.2.2),
а также решение уравнений Блоха (2.2.16)
P = -sin0, n = -cos9, (2.2.4)
получим уравнение для d(x,t):
дх2 dt2
с2 ^Ц - ^4 = 2тс sin 9- (2.2.5)
^2 я,2 с \ /
Это полностью интегрируемое уравнение sin-Гордон имеет целый
набор локализованных многосолитонных решений, описывающих
распространение и взаимодействие нового класса оптических нелинейных
уединенных волн — брэгговских солитонов СИП в РФК.
Уравнение (2.2.5) является релятивистски инвариантным в реальных
физических переменных пространства и времени (х, t), в отличие от
уравнения СИП в однородной среде, поэтому БС является релятивистской
квазичастицей. Отметим также, что при выводе (2.2.5) не делалось
предположений о стационарности решений исходных уравнений (2.2.1).
Каждое новое (п + 1)-е решение уравнения (2.2.5) #(™+1) может быть
получено из известного решения в^ путем применения к последнему
преобразований Бэклунда [322]
_^_ l=as[n _ ,
д(в(п+1) + е{п)) 2 . в(п+1) - е(п)
fl£ l = aSm 2 •
где а — константа, t' — (V2tc)~[(x/c + t), х' = (V2tc)~1(x/c - t).
Таким образом можно описать динамику взаимодействия любого
количества брэгговских солитонов и бризеров. Напомним, что бризер, или
07г-импульс, представляет собой нестационарное по форме устойчивое
решение в виде двух связанных солитоноподобных импульсов.
Пусть ^

— многосолитонное решение уравнения (2.2.5), полученное тг-кратным
применением оператора преобразований Бэклунда. Тогда для амплитуд
волн из (2.2.1а) получим
п ^^^{-дг^-дг)- (2-26)
Остановимся подробнее на односолитонном решении,
ассоциированном с кинком (петлей) в, как наиболее физически содержательном
из простейших решений уравнения sin-Гордон. Именно это решение
описывает в одноволновом случае в непрерывной среде явление СИП.
Для удобства выберем антикинк
в{х, t) = 4arctg exp (~x + vt\, (2.2.7)
который представляет собой стационарное решение уравнения (2.2.5),
зависящее только от переменной £ = t — x/v (где v — постоянная
скорость перемещения возбуждения вдоль оси х) и удовлетворяющее
следующим граничным условиям на бесконечности: в(х — -оо) = 27г,
в(х = оо) = 0. Отметим, что кинком называется аналогичное решение,
но с отличным по знаку аргументом {х — vt) и соответствующими
условиями на бесконечности в(х = —оо) = 0, в(х — оо) = 27г. Длительность
солитона
T = JcVl-u2 (22g)
у/2 и
где и = v/c — безразмерная скорость. Подставляя (2.2.7) в (2.2.4)
нетрудно убедиться, что возбуждение среды является локализованным
и стационарным:
п{х,t) = -1 + 2sech2 (~x + vt\,
т ^ (2 2 9)
PM) = -2Sech(^)th(^),
а состояние среды после прохождения импульса не изменяется: Р(£ =
= ±оо) = 0, п(£ = ±оо) = — 1. Поэтому найденное решение описывает
явление самоиндуцированной прозрачности в РФК.
В рассматриваемой задаче сумма амплитуд полей прямой и
обратной брэгговских волн (2.2.2) £l(x,t) — 6t имеет смысл полной угловой
скорости вращения вектора Блоха в точке х в момент времени t под
действием полей Q,+ и П_. Для нахождения амплитуд полей прямой
и обратной брэгговских мод солитона Q± подставим выражение (2.2.7)
в (2.2.6) и получим
n±(x,t)=±^- sechf~I + ^V (2.2.10)
UT \ VT )

Соответствующие выражения для суммы и разности амплитуд полей
имеют вид:
Q(x,t) = l sech(~^+^Y (2.2.11)
U(x,t) = — sech (~x + vt\. (2.2.12)
Импульс поля (2.2.10), так же как и возбуждение среды (2.2.9),
является локализованным и движется вдоль среды с постоянной
скоростью
v= С =. (2.2.13)
^/1+2x7^
Направление распространения задается соотношением амплитуд
прямой и обратной волн. Импульс движется в направление брэгговской
волны с большей амплитудой. Длительность импульса т определяется
выражением (2.2.8), тогда его пространственная ширина равна
(2.2.14)
Таким образом, мы получили решение для брэгговского солито-
на самоиндуцированной прозрачности, или двухволнового солитона,
которое описывает распространение в РФК стационарного импульса,
состоящего из двух сильно связанных полей брэгговских мод (2.2.10)
и возбуждения резонансной среды (2.2.9). Благодаря нелинейности
взаимодействия поля со структурой (2.2.3), (2.2.4) закон дисперсии
качественно отличается от линейного и БС может распространяться на
частоте внутри брэгговской линейно запрещенной области частот. При
распространении импульса в среде происходит одновременно
нелинейное подавление резонансного поглощения (диссипации энергии) и
брэгговского рассеяния излучения импульса.
Ширину линейной фотонной запрещенной зоны для РФК легко
оценить, линеаризуя уравнение (2.2.3) с учетом (2.2.4):
с? Ц - *? = 2тс-'П.
дх2 dt2 °
Подставляя решение в виде П — О,0е^Акх~АшЬ\ где Аш — отстройка
от точной частоты Брэгга, Qq — const, получаем закон дисперсии ДА-2 =
= (Аш/с)2 — (а/2 /стс)2, из которого следует, что в линейном режиме
в РФК не могут распространяться волны, частоты которых отличаются
от частоты Брэгга на величину в интервале ±л/2/тс. Таким образом,
ширина ФЗЗ резонансного фотонного кристалла
ДшФЗЗ = 2\/2/гс

полностью определяется параметром резонансного взаимодействия —
кооперативным временем тс. Эта оценка хорошо согласуется с
экспериментальными результатами для резонансных решеток экситонов
в квантовых ямах [186], что позволяет, например, непосредственно из
линейной кривой отражения рассчитать величину дипольного момента
резонансного экситоного перехода.
Обсудим основные свойства БС. Важной особенностью БС,
отличающей его от различных оптических солитонов в однородных средах,
является наличие нулевой скорости. Ширина БС (2.2.14) при v = О
есть конечная величина vt(v = 0) = стс/у/2, и решение для стоячего
в окрестности точки х = xq импульса запишется в виде
ъ \CTC/V2J
n(x) = l-2sech2 (^^L-\ (2.2.15)
Р(х) = 2sech (^Р\ th (х°-х\.
Амплитуды полей такого импульса имеют минимально возможные
для БС значения, а ширина импульса — максимальна. Не следует,
конечно, забывать, что БС может существовать только в условиях
когерентного взаимодействия излучения с резонансными атомами, а также,
что для одномерного БС отсутствует подавление спонтанного распада
атомов вне области ФЗЗ (например, вдоль резонансных плоскостей),
поэтому время жизни такого точного стоячего БС не превышает времен
продольной и поперечной релаксаций вектора Блоха Т\%-
Площадь импульса прямой волны БС 9+ > 2тх, в чем легко
убедиться подстановкой выражения Q.+ (2.2.10) в (2.2.2) при t = оо. Полное же
действие БС на резонансные атомы эквивалентно действию 27г-импуль-
са (2.2.11). Формально это объясняется противоположностью знаков
угловых скоростей Q+ и Q~ (2.2.10), что приводит к уменьшению
полной скорости вращения вектора Блоха Q < Q+ (2.2.11). Физический
механизм «выключения» части поля БС из процесса взаимодействия со
средой, а также объяснение противоположности направления скорости
движения импульса и волнового вектора одной из составляющих его
брэгговских волн (в данном случае П~), становятся совершенно
понятными, если рассмотреть полное реальное поле в среде:
E(x,t) = ^~ \П+е^кх-ш1) +П-е«-кх-игЦ + к. с. =
2ц L J
= - [Sl(x,t) cos {kx-ujt) - 2Sl-{x,t)sin(kx)sm{wt)]. (2.2.16)

Используя соотношения (2.2.8) и (2.2.17), запишем отношение
скоростей БС и 27г-импульса при условии равенства всех прочих параметров:
v _ 1+ 72
«2-г (1+27J)
,2ч1/2
7>1
7
V2'
где 7 = т/тс. Таким образом, при равенстве длительностей импульсов
т = т"2тг скорость БС больше, поэтому и его пространственная ширина
также в j/V% раз превышает ширину 27г-импульса (в оптическом
диапазоне длин волн можно получить величину 7 > Ю [166]). Для
удобства сравнения на рис. 2.2.1 представлена динамика солитонов
обоих типов. Необходимо помнить, что среды их распространения
различны.
Характерной особенностью БС является наличие плененной,
эффективно не взаимодействующей со средой части поля, которая, очевидно,
обладает определенной, дополнительной по сравнению с 27г-импульсом
в непрерывной среде, энергией. Оценим ее величину. Энергия
возбуждения среды выражается через функцию инверсии п(х, t) следующим
образом:
т., .
[n{x,t) + l]dV,
лит ftw
тогда с учетом решения (2.2.9) получим
Wm = 2vTspTuo. (2.2.18)
Используя (2.2.16), найдем энергию поля БС, усредненную по
периодам быстро осциллирующих функций. Полную энергию БС запишем
в виде
W = {\+j2)W+ i2W, (2.2.19)
где W — 2"f~2vTsp?iLd. В аналогичных обозначениях для 27г-импульса
получим
W2„ = W^+1lW^ (2.2.20)
где W^ = 2.^2V2-KT2-Kspb,{jj, 72тг = Т27г/тс. Первые члены в правых
частях выражений (2.2.19), (2.2.20) описывают энергию поля, а вторые —
энергию возбуждения среды в соответствующих импульсах. Сравнение
формул (2.2.19) и (2.2.20) позволяет сделать следующие выводы:
1) энергия плененного поля «квазистоячей» волны БС ^2W равна
энергии возбуждения среды Wm;
2) при равенстве основных параметров импульсов и сред (т = Т2Ж,
7 = 72тг- Р — Р2тг) РФК может формировать и пропускать без
поглощения стационарные импульсы с существенно большей энергией, чем

непрерывная среда:
^ = ^У27»1, (2.2.21)
W
w2*
7»'
W&r У2ж
причем энергия поля БС в 73 3> 1 превышает энергию поля 2-7г-импуль-
са непрерывной среды.
Используя формулы (2.2.8), (2.2.13), (2.2.19), можно записать
скорость БС через энергетические характеристики:
\/[ + W/W
где W = 2ry2W' — средняя энергия плененного поля «квазистоячей»
волны и возбуждения среды; W' — средняя энергия эффективного поля
БС. Для 2-7г-импульса в сплошной среде — = (1 Н т-\ [322].
с V W2n)
Интересно обратить внимание на релятивистские свойства БС как
частицы, которые появляются благодаря релятивистски инвариантной
форме уравнения sin-Гордон (2.2.5) в переменных x,t в РФК.
Протяженность БС при произвольной скорости распространения lv = vt
(2.2.14) выражается как лоренцево сокращение длины покоящегося
стоячего БС Iq = стс/у/2 (собственной длины) (2.2.15)
/ovT
а полная энергия (2.2.19) может быть представлена формулой для
энергии релятивистской частицы
or2
vT
W = moC (2.2.22)
где тоос2 — энергия стоячего БС с «массой» солитона-частицы то =
= 4lospTnv/c2. Для 2-7г-импульса в непрерывной среде представление
энергии (2.2.20) в форме (2.2.22) невозможно, так как она равна
щ2ж то<?
2л/2 V 1~и
Описанные выше результаты получены для БС в бесконечном РФК.
Поэтому остается открытым вопрос о возможности нелинейного
подавления полного брэгговского отражения на границе структуры при
падении на нее внешнего резонансного излучения и последующего
формирования и распространения БС. Эта задача решается числен-

на (А1гОз:Сг3+) интенсивность излучения в БС оценивается
величиной 150 МВт/см2 при средней концентрации ионов хрома 0,05%
{р — 1,6- 1019 см-3), дипольном моменте перехода между уровнями
2Е — 4Аг ^ — 6 • Ю-32 Кл • м [319], А = 694 нм, длительности импульса
т = 100 пс -С Тг(2 °К) ~ 600 пс и тс = 3,3 пс. Эта интенсивность на два
порядка меньше, чем у БС в среде с кубической нелинейностью [87].
Однако большое значение тс приводит к необходимости использования
структур с большим числом периодов N, которое легко оценить из
условия Nd > vt, т. е. длина среды должна превышать характерную
ширину БС. В нашем примере N > 1000 при скорости v — 0,07 с.
Уменьшить величину тс, а следовательно и N, можно за счет
увеличения плотности резонансных осцилляторов или величины дипольного
момента перехода ц. Например, в периодической структуре квантовых
ям в полупроводнике Ino,o4Ga0ig6As/GaAs [191] для резонансных экси-
тонов ц = 9 • Ю-29 Кл • м.
§ 2.3. Стационарные нелинейные уединенные волны
в резонансном ФК с неоднородно уширенной
спектральной линией либо при неточном выполнении
условия Брэгга
Рассматриваемые в настоящей книге процессы нелинейного
взаимодействия лазерного излучения с периодическими структурами
касаются главным образом твердотельных сред, которые, как хорошо
известно, характеризуются значительным уширением спектральной
линии примесных резонансных атомов. Поэтому важное значение имеет
обобщение полученных в предыдущих параграфах результатов по
динамике нелинейных уединенных волн в линейно запрещенной
фотонной зоне на более реалистичный с физической точки зрения случай
неоднородно уширенной спектральной линии. Ниже получено точное
фазово-модулированное солитонное решение двухволновых уравнений
МБ для произвольной формы неоднородно уширенной спектральной
линии [169]. Показано также, что фазово-модулированный БС
существует и в деформированном РФК, т.е. при слабом отклонении
от точного условия Брэгга. В этом случае в результате численного
моделирования обнаружен переход от стационарной динамики соли-
тоноподобного импульса к нестационарному режиму распространения
осциллирующего квазиустойчивого импульса.
Пусть неоднородно уширенная спектральная линия резонансных
атомов в РФК имеет форму g(Acj), причем ширина линии Acjq
предполагается малой по сравнению с шириной запрещенной зоны РФК

2\/2/тс. Тогда двухволновые уравнения МБ (2.1.24) преобразуются
к уравнениям вида:
dQ+{x,t) dQ+{x,t)
дх dt
dQT{x,t) dQ~(x,t)
P(x,t,Acj)g(Aw)dAu,
oo
I P(x, t, Aw)g{Au) dAcj,
dx dt
dp(x£AuJ) + ггсДшР(а;, t, Аш) = n{x, t, Аш) [П+{х, t) + П~(х, *)],
^^- = -Re{P*(x,t,Au)[n+(x,t) + n-{x,t)]},
(2.3.1)
где P — P'exp(—iAujt), P' — функция дипольного момента атома,
фигурирующая в уравнениях (2.1.24); П± — безразмерные
комплексные амплитуды полей; t = t'/тс, х = х'/стс — безразмерные время
и пространственная координата; Аш = ш — cjq — разность частот
резонансного перехода атомов ш и частоты излучения щ.
Проведя в (2.3.1) замену
П = fl+ + П~
получим уравнения для ОиП:
(2.3.2)
00
92П 02П 0 Г dP{x,t,Auj) ,л , ,.
— оо
№. ■ Л Р О (2'3-3)
от
^ = -Re(P*ft)
И ,_ ,_ оо
92П 8ГП „ f dP{x,t,Au) /а ч,а ,„,.
— oo
Уравнения (2.3.3) и (2.3.4) являются независимыми относительно
функций Q и Q, поэтому могут быть решены последовательно.
Левая часть первого уравнения системы (2.3.3) отличает эти
уравнения от полностью интегрируемых уравнений МБ для задачи СИП
в сплошной среде. Однако, как было показано выше, для
монохроматической спектральной линии g{Au>) = 5{ш - ш0) существует точное со-
литонное решение в виде секанса гиперболического (2.2.11). Поэтому

будем искать решение уравнений (2.3.3) в виде фазово-модулированно-
го обобщенного решения (2.2.11):
Щх, t) = П0е'(а|1_а2*+,/,) sech <р, (2.3.5)
где tp — (х — иЬ)/ит\ ip — начальная фаза; и и г — безразмерные
скорость и длительность импульса в единицах с и тс соответственно.
Тогда уравнения Блоха в (2.3.3) интегрируются и дают следующие
решения:
P{x,t,Au) = [Р(Аи) sech <pth<p-ia{Au) sech<p}ei{a,x-a2t+i'\
(2.3.6)
n(x, t, Alj) = -1 + 2£(Auj) sech tp,
где
Z(Au) - [1 + (a2 - tcAu)2t2} ,
P{Au) = -Qqt^Au), (2.3.7)
ct(Alj) = £10т2(а2 - тсДш)£(Дш),
П20 = 4т~2. (2.3.8)
Подставляя выражения (2.3.5)-(2.3.8) в первое уравнение системы
(2.3.3), получаем соотношения, связывающие параметры и,т и ai, а^.
Qi = а2/и, (2.3.9)
2 °°
а2 = ТсТ _, [ Дш£(Дш)£(Дш)<*Дш, (2.3.10)
— 1 + и J
—оо
оо
и-2 = 1 + 2т2
£(Дш) g(Aw) йДш. (2.3.11)
-оо
Условие совместности уравнений (2.3.10) и (2.3.11) дает условие
связи величин г и а2, которые были независимы в (2.3.7):
оо
Г (2а2-тЛиМАш) Auj = Q (23Л2)
J I + т (а2 - тсАи>)
— оо
Возвращаясь к уравнениям для амплитуд (2.3.2) и используя
решения (2.3.5), (2.3.8), (2.3.9), (2.3.11) и (2.3.12) уравнений (2.3.3),
а также следствие из уравнений (2.3.3) и (2.3.4) Qx — —Qt, получаем
следующее решение:
п± = ±l+u I x-vt + \ sech ,х-Ы\ (23л3)
ит \ и ) \ ит )

Таким образом, мы получили точное решение (2.3.13), (2.3.12)
и (2.3.11) уравнений (2.3.1), которое описывает фазово-модулирован-
ный БС самоиндуцированной прозрачности в РФК с неоднородно
уширенной спектральной линией произвольной формы g(Au>). Брэгговский
солитон с длительностью г, включающий в себя две сильно связанные
блоховские моды (2.3.13), распространяется на брэгговской частоте
внутри линейно запрещенной фотонной зоны с постоянной скоростью и
(2.3.11), зависящей от формы спектральной линии. Очевидно,
решение (2.3.13)—(2.3.11) описывает также нелинейную уединенную волну
в случае малой отстройки частоты излучения от резонансной частоты
двухуровневого перехода.
Параметр фазовой модуляции аг вычисляется из условия
связи (2.3.12). В частности, если функция g{Au>) является симметричной
относительно резонансной частоты и0, то величина аг = 0 и огибающие
амплитуд полей (2.3.13) совпадают с БС (2.2.10) для точного
резонанса, однако скорость и длительность импульсов отличаются. Например,
для гауссовой формы линии
g{Au) = е U«J,
при условии узкой собственной (однородной) спектральной линии
импульса (ттс)~1 -С Аи>0, интеграл (2.3.11) приближенно вычисляется,
и скорость такого БС
1+vi,°Y"
ттс AujqJ
будет значительно больше скорости и — (1 +2т2)-1/2 солитона в
случае точного резонанса g(Au) = 5(и — и>о) вследствие малости
параметра (ттсАи0)~1 -С 1.
Рассматриваемая здесь модель РФК предполагает существование
одновременно двух различных резонансов: частотного резонанса
двухуровневых осцилляторов и пространственного фазового брэгговского
резонанса. В представленных выше результатах предполагалось, что
условие брэгговского резонанса точно выполняются. Далее исследуем
динамику поля в РФК в случае слабого отклонения от точного условия
Брэгга и покажем, что при этом также существует точное решение
в виде иного фазово-модулированного БС.
Рассмотрим однородно деформированный РФК, в котором малое
отклонение от брэгговского условия для периода решетки задается
в виде
d=(l+e')A, Ди,М,«е' « 1. (2.3.14)

Для упрощения вычислений предположим, что частота излучения
точно совпадает с частотой двухуровневого резонанса и ^(Аш) =
— 6(ш — uq), X — (2tt/uiq)c. В этом случае основные двухволновые
уравнения МБ для дискретного РФК (2.1.23) после усреднения по
пространственной области AV ^> d3 преобразуются к следующему виду:
дР(х t) _
—д ' = п(2;, t)[fl+(Xi, t) ехр (17а;) + П (ж, t) ехр (—172;)],
д"^'*) = - Re {Р*(х, t)[Q+(x, t) ехр (гух) + П~(a;, t) ехр (-172:)]},
(2.3.15)
ГД6 27Г
7 = ^е' = ч>тсе' < 1, А' = А/сгс. (2.3.15а)
При выводе системы (2.3.15) использовалось условие малого изменения
функции ехр (ijx) в области порядка периода решетки d. Резонансная
частота излучения и>0 смещена относительно центра брэгговской зоны,
27Г 27Г 27Г /. ;ч /
на величину e'u>0 = j/tc. Поэтому условие j <& 1 (2.3.15а) означает,
что это смещение частоты гораздо меньше полуширины линейной
ФЗЗ V2/tc.
Используя преобразование
П+ = I (П> + й') ехр [ij{t - х)],
П- = I (fi' - fi') ехр [h{t + х)}, (2.3.16)
Р = Р"ехр(г7£).
приводим уравнения (2.3.15) к более простому виду:
д20! д20! _ 2 дР"
dt2 дх2 ~ 9t '
д2П' _ а^ _ 2дР"
dt2 дх2 ~ дх ' (2.3.17)
^l+llP" = n(z,t)n\
дп^ =-Re(P"*n').

Сравнивая уравнения (2.3.17) с (2.3.3) и (2.3.4), нетрудно заметить,
что они формально совпадают, если функцию g{Au>) в (2.3.3), (2.3.4)
выбрать в виде 5(Аи — 7/тс)- То есть формально уменьшение частоты
брэгговского фазового резонанса (смещение центра ФЗЗ) на
величину e'ljq = ^у/тс здесь эквивалентно увеличению резонансной частоты
двухуровневого атома на ту же самую величину Аи = "у/тс. Поэтому
можно непосредственно использовать найденное выше решение (2.3.5),
(2.3.8), (2.3.11) и (2.3.12) для записи решения уравнений (2.3.17).
Из (2.3.12) следует a.<i =7/2. а скорость из (2.3.11) определяется
выражением
„.-2 . , 2т2
1 +
1+тУ/4"
(2.3.18)
Тогда, используя (2.3.5), (2.3.8) и (2.3.9), запишем решение
уравнений (2.3.17):
П' = - exp [ij
и
х — ut
2и
гф)
+ гф) sech
х — ut
UT
(2.3.19)
Наконец, переходя от функций П' и П' (2.3.19) к амплитудам
волн fl+ и fl~ (2.3.16) и используя решения уравнений Блоха (2.3.6),
получаем точное решение уравнений (2.3.15):
S2+ = ехр
п-
ит
-1 +и
27 ■
х — ut
2и
ij(x — t) +iip
sech
x — uts
ит
n — -1 +
exp
2
27 ■
ut
1u
1 + TJ774
sech'
+ i~f{x + t) + гф
ut
)•
, /x — ut\
sech
V UT )
UT
x — uV
P =
1
1 + t2774
-2th
x — ut , .
exp 27 — h 1
x — ut
2u
J sech
/ x — ut \
V ut /'
(2.3.20)
x — ut
+ i-ут sech ( J
UT j \ UT / \ UT
Фазово-модулированный БС (2.3.20) распространяется на частоте,
локализованной в линейно запрещенной фотонной зоне РФК, с
постоянной скоростью и (2.3.18). Эта скорость зависит от параметра
отстройки е' волнового числа к — 2ж/\ = Н + е'Н (2.3.14) от
точного брэгговского условия (к = Н), где Н = 2ir/d — модуль
вектора обратной решетки. В отличие от БС с неоднородно
уширенной линией (2.3.13), фазовые модуляции прямой и обратной волн
в (2.3.20) являются нестационарными, т.е. зависящими не только от
переменной (х — ut). Как видно из (2.3.20), это эквивалентно сдвигу
частоты для обеих волн на величину Аш = —f/2rc и следующему

туда обратной волны становится больше амплитуды прямой |П~| > П+
и, после остановки и значительной потерн энергии, импульс меняет
направление движения (и < 0). Далее атомная подсистема импульса
поглощает часть поля, максимум инверсии возвращается к исходному
значению по« 1, изменяется соотношение амплитуд блоховских волн
\fl~\ < П+, и импульс снова распространяется с положительной
скоростью, но значительно меньшей первоначальной 0 < и < щ. Это связано
с потерей энергии при переходе от стационарного режима
распространения импульса к осциллирующему. Каждой осцилляции импульса
соответствует петля траектории вектора Блоха R — {ReP, ImP, п} на
единичной сфере. При дальнейшем распространении осциллирующего
импульса потери энергии малы, и импульс становится
квазиустойчивым. Полное число осцилляции импульса до его остановки и распада
зависит от амплитуды входного поля fl0, в наших численных
экспериментах наблюдалось порядка 70 осцилляции.
Частота описанных осцилляции иос значительно больше частоты
фазовой модуляции ~y/2tc в решении (2.3.20), кроме того, величина
иос слабо зависит от f. Возмущение лишь стимулирует переход от
солитоноподобного режима распространения импульса к новому,
нестационарному, квазиустойчивому состоянию с быстрым вращением фазы
полей и вектора Блоха. Момент такого перехода существенно зависит
от 7- В гл. 3 будет проведен детальный анализ динамики
нестационарных нелинейных уединенных волн в РФК и, в частности, будет найдено
аналитическое решение, которое объясняет описанную выше динамику
движущегося осциллирующего импульса, или оптического «зумерона»,
как результат биений внутренних мод возмущенного БС.
Однако, прежде чем перейти к исследованию возмущенных
нестационарных БС рассмотрим в следующем параграфе процесс
сверхизлучения, при котором в возбужденном РФК появляются иные,
устойчивые, нестационарные БС — стоячие 07г-импульсы.
§ 2.4. Генерация уединенных волн
при сверхизлучении в фотонном кристалле
Сверхизлучение — это процесс образования и спонтанного
когерентного распада макроскопического коллективного состояния системы
первоначально некогерентно возбужденных резонансных
осцилляторов [321]. Это явление интересно не только возможностью
получения нелазерного источника интенсивного когерентного излучения, но
и с точки зрения генерации нелинейных волн с нетривиальной
динамикой как в сплошных, так и в периодических средах. Например, в случае
частично возбужденной протяженной сплошной среды сверхизлучение

приводит к формированию бегущего 07г-импульса, или бризера [154].
Уравнение (2.2.5) для эволюции блоховского угла при взаимодействии
излучения с РФК также имеет решение в виде 07г-импульса, причем
допускает решение с нулевой скоростью. Поэтому мы вправе ожидать
нетривиальной динамики поля при сверхизлучении в РФК [8].
Возникновение сверхизлучательного коллективного состояния
объясняется радиационной фазировкой отдельных возбужденных
осцилляторов в процессе их первоначально некогерентного спонтанного
распада. Для строгого рассмотрения начальной стадии сверхизлучения
необходимо использовать квантовое описание поля и среды. Однако
основные особенности динамики и характеристики сверхизлучения
можно получить и в полуклассическом приближении при условии выбора
адекватной модели начальной стадии процесса. Этот выбор
неоднозначен, в зависимости от параметров возбужденной резонансной среды
можно использовать в качестве модели: источник поляризационного
шума, эффективное внешнее поле или начальный угол отклонения
вектора Блоха. Полуклассическое описание дает возможность также
учесть влияние пространственной неоднородности излучения и
возбуждения среды на динамику излучения, форму и характеристики
импульса сверхизлучения.
Используемый нами метод численного интегрирования
уравнений (2.1.23) позволяет наиболее полно промоделировать динамику
сверхизлучения в дискретном РФК, задавая следующие
стохастические начальные и нулевые граничные условия:
P(xj, 0) = — sin в0 exp (itpj), n(xj,0) = — cos во,
П±(х,0) = 0, fi+(0,i) = fi~(U) = 0,
где I — длина РФК. Начальный блоховский угол, моделирующий
начальный спонтанный распад атомов, выбирается равным в0 = 2/7V1/2
(N — полное число излучателей в системе) [323]. Начальная фаза
диполя ipj задается случайным образом из интервала значений [0, 2п],
определяя тем самым стохастический начальный дипольный момент
каждого атома P(xj,0) независимо в j-й точке (в j-м резонансном
слое). Таким образом мы задаем некогерентное начальное состояние
системы {<fj}- Здесь важную роль играет выбор достаточно большого
периода структуры дискретного РФК (d > А), который был сделан при
выводе уравнений (2.1.8), (2.1.23). Это позволяет избежать усреднения
дипольных моментов и инверсии атомов в соседних тонких
резонансных слоях при пространственном усреднении по области ~ А3 в
уравнениях (2.1.8), (2.1.23) и дает возможность непосредственно следить за
эволюцией состояния, или вектора Блоха, каждого j-ro атома отдельно.
Средний по объему AV » А3 дипольный момент атомов, а следова-

тельно и макроскопическая поляризация среды, в начальный момент
времени будут равны нулю (P(xj,0))av = О, атомы излучают
независимо. Далее в процессе слабого линейного излучения в случае точного
соблюдения условия Брэгга d — А происходит взаимная фазировка всех
j-x диполей в коллективном поле излучения. В системе появляется
ненулевой коллективный дипольный момент атомов и соответствующая
макроскопическая поляризация среды p(P(xj,t))v /0 с некоторым
случайным значением фазы, непредсказуемым для каждой конкретной
реализации стохастических начальных условий {ipj}- Эволюция
коллективного вектора Блоха приводит систему в когерентное
коллективное сверхизлучательное состояние с в ~ тт/2, и она интенсивно
излучает. Многократное повторение численного эксперимента при различных
реализациях начальных условий {tpj} позволило прийти к заключению,
что в брэгговской структуре стохастическое задание начальных фаз
дипольных моментов атомов приводит лишь к случайному характеру
распределения времени задержки сверхизлучения и к его увеличению
по отношению ко времени задержки в случае когерентных начальных
условий ipj — const. Вместе с тем, форма и максимальное значение
интенсивности импульсов сверхизлучения практически не изменяются
(изменения составляют не более 4%). Импульсы сверхизлучения при
когерентных и стохастических начальных условиях при точном
выполнении условия Брэгга практически не различимы.
Как известно, импульс сверхизлучения формируется на нелинейной
стадии процесса излучения, когда происходит быстрое изменение угла
9(t). Поэтому обнаруженное постоянство формы импульса
свидетельствует о полной фазировке всех j-x излучателей и образовании
когерентного коллективного состояния на линейной стадии взаимодействия
поля со средой, причем этот результат характерен только для
брэгговской структуры. Нарушение условия Брэгга, т. е. нарушение условия
пространственной сфазированности излучателей (kxj ф 2-ктп), при
случайных начальных условиях вызывает значительное непредсказуемое
изменение формы импульсов сверхизлучения, а также
некоррелированность излучения в противоположных направлениях. Аналогичные
флуктуации формы наблюдаются при моделировании сверхизлучения
однородных сред [324], где также существует лишь слабое
взаимодействие встречных волн и невозможна полная фазировка всех диполей
одновременно с полями обеих встречных волн.
При численном моделировании сверхизлучения протяженного РФК
длиной больше кооперативной длины (I >> 1С = стс) наблюдаются
локализованные устойчивые нестационарные возбуждения поля и среды.
На рис. 2.4.1 представлена динамика инверсии n(x,t) = —cos9(x,t),
соответствующая такому возбуждению. Решение получено при
численном интегрировании уравнений (2.1.23) с граничными условия-

где ип = апт' + i'/ип; Knj = (ап + a,j)/(an - а,); т' = (l/2)(z + t);
£' = (l/2)(x — t); an — в общем случае комплексные константы; t,
х — безразмерное время и пространственная координата; n,j = 1,2,3.
Выберем константы ап, удовлетворяющие следующим условиям:
ai = a.3 = a + г/3; \а\ | = |аз| — о,ч = а.
Тогда (2.4.3) является решением в виде б7г-импульса, который
представляет собой нелинейную суперпозицию 27Г- и 07г-импульсов:
в = 4arctg ехр (а ——— ) +
V v2t2 )
+ 4 arctg
I а — а
v2t2
2а
sh (a Z£±^) + sh (а ^^1) cos U z£±H*V
V «2Т2 У V V2T2 J V V[T] }.
^ch
-x + v2t
V2T2
a + a) H г ch (a - a)
(a-aY
-x + v2t
V2T2
+
-1-
2a („ -x + v\t\
H cos /3 /
V V\T\ J
a — a
(2.4.4)
где скорость центра импульса V2 = (1 — a2)/(l + о,2); v\ — v^1; т\$ =
= 2a2/(±l +a2). He распадающийся 07г-27г-импульс (2.4.4) имеет
площадь равную 27г и осциллирует при распространении с частотой (5/т\,
т.е. является «осциллирующим 27г-импульсом», однако обладает
постоянной скоростью движения центра солитона (центра масс солитона-
квазичастицы).
В этой главе мы показали, что учет нелинейности взаимодействия
лазерного излучения с РФК приводит к появлению качественно новых
возможностей для распространения света в периодических структурах.
В брэгговских запрещенных зонах, где в линейном случае излучение
распространяться не может, появляется целое семейство нелинейно
распространяющихся волн — брэгговские солитоны
самоиндуцированной прозрачности. Они описываются двухволновыми уравнениями МБ,
которые в идеальной среде без возмущений сводятся к одному хорошо
изученному релятивистскому полностью интегрируемому уравнению
sin-Гордон. В РФК такие волны являются точными солитонами, в том
числе медленными и стоячими, и могут возбуждаться как
внешними падающими на среду лазерными импульсами благодаря эффекту
нелинейного подавления полного брэгговского отражения, так и при
сверхизлучении изначально некогерентно возбужденного РФК. В
следующей главе мы рассмотрим динамику импульсов, близких к точным
БС и их взаимодействие с точными медленными БС. Рассмотрим также
взаимодействие медленных БС с линейными возмущениями в РФК.

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ
УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В РЕЗОНАНСНЫХ
ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
Распространение стационарных точных брэгговскнх солнтонов в
РФК и их упругое взаимодействие не исчерпывают всех возможных
сценариев динамики уединенных волн в линейно запрещенной
фотонной зоне, которые становятся возможными благодаря учету
нелинейности взаимодействия излучения с РФК. Настоящая глава посвящена
описанию динамики нестационарных солитоноподобных волн в РФК.
В §3.1 мы исследуем плененные структурой возмущенные БС,
осциллирующие с нулевой средней скоростью. Физической причиной
появления подобных осцилляции являются особенности взаимодействия
волн со структурами с фотонными запрещенными зонами.
Действительно, динамика распространения излучения в таких средах
кардинально зависит от степени нелинейности взаимодействия излучения
с веществом. Излучение с малой амплитудой не может
распространяться в ФЗЗ, а может лишь формировать стоячую волну, тогда как
интенсивный импульс распространяется в ФЗЗ в виде БС с постоянной
скоростью за счет нелинейного подавления брэгговского рассеяния.
Поэтому возникает естественный вопрос: какова будет динамика
импульса, если в начальный момент времени его амплитуда достаточно
велика, чтобы существенно проявлялась нелинейность взаимодействия,
но мала для формирования точного стационарного БС? В случае
сплошной нелинейной среды при подобной постановке задачи импульс
распадается на слабые линейные моды сплошного спектра и расплывается
за счет дисперсии. В периодической же структуре слабые волны не
могут свободно распространяться в среде вследствие наличия линейной
ФЗЗ, поэтому такой возмущенный БС не распадается, но и не может
свободно распространяться в ФЗЗ, — он локализуется (связывается)
в среде, осциллируя вблизи некоторого положения равновесия подобно
частице в потенциальной яме. В § 3.2 опишем взаимодействия БС с
локализованным слабым линейным когерентным возбуждением в РФК,

а также с возмущением в виде малой области слабой некогерентной
инверсии атомов. Покажем, что при малых скоростях интенсивного БС
можно эффективно управлять его динамикой с помощью слабых
линейных возмущений — захват, отражение, ускорение солитона. В § 3.3
найдены внутренние линейные моды стоячего БС, близкие по форме,
но отличающиеся по частоте. Показано, что такие свойства внутренних
мод приводят к их эффективным биениям и, как следствие, — к осцил-
ляциям энергии самого солитона.
В случае же движущегося медленного БС биения внутренних мод
вызывают значительные периодические изменения скорости,
амплитуды, инверсии и поляризации импульса (§3.4).
§3.1. Плененные структурой возмущенные
брэгговские солитоны
Исследуем устойчивость возмущенного БС, который в начальный
момент времени имеет амплитуды брэгговских волн близкие, но не
равные точным солитонным значениям [176, 217]. Покажем, что
начальная задача для двухволновых уравнений МБ в реальных
функциях сводится к задаче для модифицированного уравнения sin-Гордон
(УСГ). Получим уравнение движения для устойчивого плененного
осциллирующего БС и неустойчивого возбужденного импульса, который
распадается на бегущий БС и возмущение. Новый вид нелинейных
уединенных волн — плененные структурой возмущенные брэгговские
солитоны — имеет разность амплитуд прямой и обратной волн
меньшую, чем у стоячего точного БС. Численное решение граничной задачи
позволило предсказать эффекты задержанного отражения и
задержанного прохождения, когда падающий на структуру импульс формирует
почти стоячий возмущенный БС вблизи границы структуры и через
некоторое время задержки он либо отражается, либо распространяется
в глубь среды в виде точного БС.
Перепишем двухволновые уравнения МБ для действительных
функций (2.2.1) в безразмерных переменных:
П+ + П+ = Р,
пг - п- = Р,
(3.1.1)
Р4 = п(П+ + !Г),
где х, t — безразмерные координата и время в единицах стс и тс
соответственно, безразмерные амплитуды полей fi* в единицах т~1.

С учетом решения уравнений Блоха Р = — sin# система принимают вид
Qx + Qt = -2 sin в,
£lx + ht = 0, (3.1.2)
где в — угол Блоха, О, = Q,+ + П~, О, = П+ — П~. Из второго и третьего
уравнений (3.1.2) следует, что
U(x,t) = -Ox(x,t) + f(x), (3.1.3)
и система (3.1.2) сводится к следующему уравнению для блоховского
угла:
exx-ett = 2sm9 + fx{x). (3.1.4)
Оно является модифицированным УСГ, где функция f{x) есть
инвариант движения и определяется из начальных условий через
уравнение (3.1.3) _
f(x) = £l{x,0)+ex(x,0). (3.1.5)
Таким образом, если в начальный момент времени t — 0
поля и инверсия в среде отсутствуют,jr. е. Щх, 0) = 0 и в{х, 0) = 0,
или в среде распространяется БС и Q(x,t) = — 6x(x,t), то f(x) = 0,
и уравнение (3.1.4) преобразуется к каноническому УСГ, решением
которого является точный БС (2.2.10). В общем же случае функция
f{x) Ф 0, что соответствует, например, отклонению разности амплитуд
брэгговских волн Q от точного солитонного значения в начальных
условиях (3.1.5). При этом динамика нелинейных уединенных волн
становится гораздо более сложной и многообразной, поскольку
статическое возмущение fx{x) в правой части уравнения (3.1.4) приводит
к взаимодействию солитонов точного УСГ с этим возмущением и, как
следствие, — к захвату и осцилляциям исходного импульса, либо к его
распаду и рождению ускоренного БС.
Для решения уравнения (3.1.4) мы используем метод интегралов
движения, который позволяет получить уравнение движения для соли-
тона модифицированного УСГ в предположении, что форма солитона
близка к форме точного решения невозмущенного уравнения, т. е.
функция f(x) предполагается малой.
Перепишем (3.1.4) в переменных Т) — \/2 х, т = \/2 t, f — //\/2,
чтобы получить уравнение в традиционной форме:
6т - 6ТТ = sm0 + ffa). (3.1.6)
Функция плотности лагранжиана для уравнения (3.1.6) имеет вид
L=lfl?-i(04-/')2-(l-cos0),

тогда соответствующая функция плотности гамильтониана
Н =
1
1
1
(3.1.7)
2^ + ^, -f'9v + ±f'2 + (\-cos9).
Первые четыре слагаемых в правой части выражения (3.1.7)
определяют плотность энергии полей прямой и обратной брэгговских волн
в структуре [(П+)2 + (fi-)2]/2.
Исследуемая система консервативна, полная энергия для
локализованных решений является интегралом движения, —
ат
поэтому из (3.1.7) следует равенство:
Hdq = 0,
dr
dv(
1 в2
+ £0, + О
cost
9)) =t Jd71fe^ (318)
Воспользуемся тем, что возмущенный солитон уравнения (3.1.6) по
форме мало отличается от решения точного УСГ (2.2.7), и запишем
искомое решение для БС, распространяющегося в направлении оси г/,
в виде г
У -v + ZH
в = 4 arctg
ехр -
(3.1.9)
где и(т) — зависящая от времени скорость солитона, £(т) =
и{т') dr' — координата центра импульса. Интеграл перекрытия
j
в правой части (3.1.8) определяет потенциальную энергию
взаимодействия антикинка (3.1.9) с возмущением. Подставляя (3.1.9) в (3.1.8)
и учитывая, что и2< 1, получаем следующее уравнение движения
Ньютона для координаты центра импульса:
ir
4 д£.
sech(j]-^)f'{T])dri.
(3.1.10)
Выберем возмущение (3.1.5) в простой форме,
/'(77) = /osechfo), (3.1.11)
которая совпадает с формой огибающей полей № в точном решении
для БС (2.2.10). Таким образом мы предполагаем, что в начальный
момент амплитуды прямой и обратной волн импульса отличаются от
точного солитонного значения на малую величину /0/\/2. Тогда (3.1.10)
приводит к следующему уравнению движения импульса:
/о £
£гт = -Щ, U =
2 sh£'
(3.1.12)

Решая уравнение (3.1.12), можно получить закон движения £(т)
в интегральной форме:
^' -г, (3.1.13)
y/a-M'/sh?
и
где а — и2(£ = 0) + /о- Если смещение солитона мало по сравнению
с шириной потенциальной ямы, ^< 1 и /о < 0, то движение БС
представляет собой гармонические колебания:
£(r) = £osinwr, w2 = _/q/6 (3114)
Величина частоты осцилляции (3.1.14) хорошо совпадает с
результатами, полученными при численном интегрировании уравнений (3.1.1)
(см. вставку на рис. 3.1.2, а). В следующем порядке приближения по £
уравнение (3.1.10) преобразуется к нелинейному уравнению вида
^тт 6^+180^
Осциллирующие решения этого уравнения описываются
ангармоническими эллиптическими функциями Якоби.
Как следует из уравнений (3.1.2) и (3.1.3), выражения для амплитуд
прямой и обратной брэгговских мод БС имеют вид
fi+ = i(fi + fi) = i[0t-0x + /Or)],
; _ ; (3-1-15)
n- = ±(Sl-tt) = ±[et + 0x-f(x)].
Подставляя решение (3.1.9) в уравнения (3.1.15) и в решения
уравнений Блоха и учитывая малость скорости & < 1, получим искомое
приближенное решение двухволновых уравнений МБ (3.1.1) для
возмущенного БС в ФЗЗ:
П+ = (& + у/2) sech [у/2 х - £(t)] + f{x)/2,
n- = (6-V/2)sech[V/2a:-eW]-/H/2,
(о.1.1b)
п = -cos9 = -1 +2sech2[\/2z-£(*)],
Jr = —Zsec h[y/2x-Z{t)]th[y/2x-Z(t)].
В общем случае величина £(£) определяется из уравнения
движения (3.1.10), и в нашем частном примере (3.1.11), (3.1.12) £(£) может
быть как периодической ограниченной, так и неограниченной функцией
(рис. 3.1.1) в зависимости от начальной скорости. Отметим, что
амплитуды полей П* (3.1.16) зависят от скорости и — £t и от возмущения

где щ —
ше солитонного значения 2\/2, соответствующего стоячему солитону,
на величину \/2/0, и в случае финитного движения, как следует
из (3.1.17), это условие сохраняется в любой момент времени.
Используемый выше «энергетический» метод решения нелинейных
динамических уравнений является простым и удобным, однако
весьма приближенным, так как мы не учитывали возможного изменения
формы пробного решения (3.1.9) для нестационарной уединенной
нелинейной волны. Поэтому очень важно проверить наши аналитические
результаты прямым численным интегрированием уравнений (3.1.1).
Рисунок 3.1.2, а, б иллюстрирует динамику БС в случае относительно
большой амплитуды притягивающего потенциала (3.1.11) /о = — 0,4
для различных начальных скоростей импульса. Результаты получены
путем численного решения начальной задачи для уравнений (3.1.1)
при условии (3.1.5) в виде f{x) = \/2/osech —
начальная скорость импульса. Малая начальная скорость щ = 0,2
приводит к гармоническим осцилляциям БС вблизи притягивающего
потенциала (рис. 3.1.2, а), причем форма импульса мало отличается от
формы солитона точного УСГ. Из графиков на вставке рис. 3.1.2, а
видно хорошее совпадение значений частот осцилляции,
рассчитанных аналитически по формуле (3.1.14) и полученных при численном
моделировании. Важно отметить, что хорошее совпадение с
аналитическими результатами получено не смотря на то, что величины /о
и £ не являются предельно малыми. Увеличение начальной скорости
приводит к ангармоническим осцилляциям (рис. 3.1.2,6), которые
соответствуют ангармонической ветви на фазовой плоскости рис. 3.1.1, а.
На рис. 3.1.2, в амплитуды начального импульса П* выбраны таким
образом, чтобы условия (3.1.5) соответствовали отталкивающему
потенциалу /(0) = \/2/о — 0,1 > 0 и начальная скорость импульса была
близка к нулю. Следовательно, решение начинает свою эволюцию
с точки неустойчивого равновесия, которая находится вблизи
центральной точки на рис. 3.1.1, б. Такой начальный импульс является
возбужденным, так как амплитуды полей |П*| = |П*±0,05| больше,
чем амплитуды точного стоячего БС |П*| = |±\/2|. Иными словами,
сумма амплитуд полей По = Ц|" + ^о~ = ^ совпадает с точным стоячим
солитоном, а разность По = 2\/2 +0,1 превышает солитонное
значение. Это объясняет нестабильность такого импульса. После некоторого
времени задержки возбужденный БС распадается на стабильный БС,
движущийся со скоростью и — 0,26, и стоячее слабое возмущение
(рис. 3.1.2, в). Значение скорости солитона совпадает с расчетным,
которое определяется из закона сохранения энергии для квазичастицы
и2/2 = /о/2 = 0,035. Из рис. 3.1.2, в также хорошо видно, что возму-

П+ (ж = 0; t) = П0 sec
щение, рассчитанное по формуле f(x) — П(х, £) +9x(x,t) (3.1.3) через
зависящие от времени функции, не меняется во времени и
является инвариантом движения, как и следует из аналитической теории.
Формально неустойчивость и распад возбужденного БС описываются
как выталкивание начального солитоноподобного решения из
области положительного потенциала при начальном условии неустойчивого
равновесия (рис. 3.1.1, б). Таким образом можно констатировать, что
аналитические и численные результаты хорошо согласуются.
Аналитическое исследование динамики возмущенного БС при
решении начальной задачи, проведенное выше, позволит нам объяснить
ряд физических особенностей динамики формирования БС на границе
структуры: задержанное отражение и задержанное прохождение
импульсов. Рассмотрим граничную задачу взаимодействия со структурой
внешнего падающего поля путем численного интегрирования
уравнений (3.1.1) со следующими граничными условиями:
•/t(t-to)-
т0
fT(z = /;£) = 0, Sl±(x;t = 0)=0,
n(z;£ = 0) =-1, P{x;t = 0)=Q,
где т0 — длительность падающего импульса, I — длина среды.
Результаты численного моделирования для различных амплитуд падающего
поля По представлены на рис. 3.1.3. Если амплитуда велика, в
структуре формируется движущийся БС после нелинейного отражения части
поля падающего импульса (рис. 3.1.3, а). Уменьшение величины По
приводит к более сложной динамике. Рисунок 3.1.3,6 демонстрирует
задержанное прохождение падающего импульса. Почти стоячий
возбужденный БС с очень малой положительной скоростью и и 0
локализуется в среде. Глубина проникновения импульса в структуру
достаточно велика, чтобы пренебречь влиянием границы и рассматривать его
как возбужденный БС в начальной задаче. Суммарное поле в
импульсе П равно суммарному полю Пя для точного солитона, однако разность
полей превышает точное солитонное значение: П/П, = 1,00035.
Следовательно, имеет место слабый отталкивающий потенциал (3.1.12).
Соответствующее неустойчивое начальное состояние отмечено кружком
на фазовой плоскости рис. 3.1.1,6. Спустя некоторое время задержки,
которое определяется величиной потенциала и начальной скоростью
импульса, возбужденный БС распадается на движущийся точный БС
и остаточное возмущение в виде слабого поля и когерентно
возбужденных атомов.
Численное моделирование показывает, что дальнейшее уменьшение
амплитуды падающего импульса приводит к формированию в струк-

дит ускорение свободного солитона, а плененный импульс переходит
в неосциллирующее состояние. Такие процессы могут быть
использованы для записи, считывания и передачи информации в устройствах
оптической памяти.
Таким образом, рассмотренный в настоящем параграфе класс
нестационарных решений (3.1.16), (3.1.14) двухволновых уравнений МБ
описывает динамику плененных нестационарных нелинейных
уединенных волн, или плененных БС, которые представляют собой
возмущенные БС с разностью амплитуд полей меньшей, чем у точного стоячего
БС, П < 2\/2. Такие плененные структурой БС не обладают
достаточной энергией, чтобы сформировать стационарный БС и
распространяться с постоянной скоростью в линейно запрещенной фотонной зоне,
однако их амплитуда достаточно велика, чтобы нелинейность
взаимодействия позволила сформировать нестационарную уединенную
нелинейную волну, близкую по форме к БС, осциллирующую в структуре
вблизи некоторого положения равновесия. Наличие таких нелинейных
оптических волн является специфической особенностью периодических
нелинейных сред с ФЗЗ. Неупругое взаимодействие плененных и
свободных БС позволяет осуществлять обмен энергией импульсов, что
может быть полезным с точки зрения разработки новых методов
оптической обработки и хранения информации. В следующем параграфе
будет показано, что плененные БС могут формироваться при неупругом
столкновении точных БС на возмущениях в виде слабой линейной
волны и когерентно возбужденных атомов, либо просто некогерентной
инверсии атомов.
§ 3.2. Управление светом при помощи света
в фотонном кристалле. Взаимодействие брэгговских
солитонов с локализованным когерентным
возбуждением и некогерентной инверсией:
прохождение, отражение, пленение, ускорение
импульсов
При большой глубине модуляции диэлектрической проницаемости
возможна локализация линейных мод поля в ФК за счет
формирования полностью запрещенных фотонных зон, когда распространение
излучения в некотором диапазоне частот запрещено в любом
направлении. Линейные ФЗЗ могут просветляться в нелинейных и
резонансных ФК благодаря нелинейному подавлению полного брэгговского
отражения и распространению брэгговских солитонов. В ФК
возможно также формирование локализованных нелинейных несолитонных
мод на краю ФЗЗ [145]. Динамика одновременного распространения

линейных и нелинейных мод поля в ФК рассматривалась в Лауэ-
геометрии дифракции излучения в РФК и было показано, что Лауэ-
солитон не взаимодействует с линейными бормановскими модами [183]
(см. гл. 4). В свою очередь БС может активно взаимодействовать с
дефектной линейной модой в ФК при наличии дефекта структуры [223].
В предыдущем параграфе описан плененный средой осциллирующий
возмущенный БС с нулевой средней скоростью распространения, его
динамика формально описывается как результат взаимодействия БС со
слабым возмущением, которое в свою очередь задается начальным
отклонением амплитуд полей импульса от точных солитонных значений.
Энергия такого взаимодействия определяется интегралом перекрытия
функции разности амплитуд прямой и обратной брэгговских волн
и возмущения и может превышать кинетическую энергию медленного
солитона. Это позволяет предположить, что если в РФК существует
слабое стационарное линейное возбуждение, то взаимодействие с ним
точного медленного БС может существенно изменить динамику
распространения импульса.
В настоящем параграфе получено статическое решение уравнений
МБ, описывающее локализованное когерентное состояние
возбужденных атомов и связанного с ними поля в фотонной запрещенной зоне
РФК. Это полуклассическое описание аналогичного квантового
состояния, рассмотренного в работе [26]. Численно и аналитически
исследовано взаимодействие точного БС СИП с таким локализованным
возбуждением и показано, что это взаимодействие кардинально меняет
динамику БС и может привести к его отражению или пленению, а
также к изменению скорости распространения БС в результате неупругого
взаимодействия двух точных БС при их столкновении в области
локализации линейного возбуждения [170, 171, 174]. Аналогичная
динамика БС наблюдается и при его взаимодействии с локализованной
областью некогерентно возбужденных резонансных атомов. Таким образом,
демонстрируется возможность управления динамикой мощного
импульса БС посредством слабого линейного поля или малой некогерентной
инверсии без введения необратимых дефектов в структуру РФК.
Формально, математически, задача взаимодействия точного БС
с внешним локализованным в РФК линейным возмущением решается
с помощью модифицированного УСГ аналогично задаче о движении
плененного возмущенного БС, рассмотренной в предыдущем
параграфе. Однако в последнем случае «возмущение» есть характеристика
внутренней структуры самого импульса — отклонение значения
амплитуд его полей от точных солитонных значений для стоячего БС.
Поэтому с физической точки зрения эта задача качественно отличаются от
задачи взаимодействия точного солитона с внешним локальным
возмущением среды. Для удобства перепишем систему двухволновых урав-

нений МБ (3.1.2) для суммы П = D,+ + Q~ и разности П — Q+ - П~
амплитуд полей и блоховского угла в:
Qx+flt = -2 sin в,
ax + at = o, (3.2.1)
Как и в предыдущем параграфе, подставляя третье уравнение из
(3.2.1) во второе, получим выражение для инварианта движения е(х):
Q{x,t) + ex(x,t) = e{x), (3.2.2)
который с одной стороны задается только начальными условиями и не
меняется в процессе эволюции поля и возбуждения среды, а с другой —
определяет все основные особенности динамики БС в среде с
возмущением. Действительно, подстановка (3.2.2) в первое уравнение (3.2.1)
приводит к модифицированному УСГ, где возмущение задается
функцией ех(х):
вхх{хЛ) - ett(x,t) = 2sme(x,t) + ех{х). (3.2.3)
Найдем линейное статическое решение уравнения (3.2.3),
описывающее слабое локализованное когерентное возбуждение резонансных
атомов и связанные с ними стоячие линейные моды поля в РФК, и
рассмотрим их взаимодействие с БС. Линеаризуем (3.2.3) при условии
п* = ва = о,
тогда
вхх(х) = 2в(х)+ех(х). (3.2.4)
В качестве примера используем инвариант движения уравнения
(3.2.2), который имеет место в решенной нами выше численно
задаче о задержанном прохождении падающего на РФК импульса поля
(рис. 3.1.3,6). В процессе нелинейного отражения внешнего падающего
на структуру излучения в РФК формируется почти стоячий импульс,
близкий по форме к БС. Отличие от точного солитона
заключается в малом увеличении амплитуды Q, что соответствует
инварианту (3.2.2) вида
e{x)=e0sech{V2x), (3.2.5)
где ео <?С 1. Возмущенное решение распадается со временем на бегущий
БС, для которого всегда выполняется условие е = 0, и стоячее слабое
линейное возмущение, которое мы и найдем как локализованное
решение 9(х) = ф{х) ехр(—\/2 \х\) уравнения (3.2.4) с учетом (3.2.5):
0(x) = ^{\/2zch(\/2x)-sh(\/2x)ln[2ch(\/2:r)]}. (3.2.6)

ния центра солитона £tt = —U^ потенциальная энергия взаимодействия
БС с возмущением при £о < U(x,t), 9(x,t) имеет вид:
оо
[/(£) = ! e(x)U(x,t)dx. (3.2.9)
— оо
Как следует из (3.2.9), энергия взаимодействия определяется
интегралом перекрытия инварианта движения е(х) и разностного поля
солитона
Cl(x,t) = , sech
л/2 (a;-Q
л/l -и2
Величина Q может быть достаточно большой, так что
потенциальная энергия U будет превышать кинетическую энергию медленного БС
и2/2. Тогда при е > 0 будет наблюдаться отражение БС (антикинка) с
П > 0 и притяжение кинка (П < 0) слабым когерентным возбуждением
в РФК. Прямое численное интегрирование двухволновых уравнений
МБ подтверждает эти выводы (рис. 3.2.2, а). Поскольку двухволновые
уравнения МБ при ненулевом начальном возмущении е(х) не являются
полностью интегрируемыми и сводятся к модифицированному УСГ, то
при малых скоростях распространения присутствие возмущения
приводит к неупругому взаимодействию двух БС. Кинк отталкивается от
притягивающего его потенциала (3.2.9) при столкновении с антикин-
ком (рис. 3.2.2, б), а незначительное увеличение величины £о проводит
к захвату кинка и к появлению осциллирующего плененного БС, т. е.
связанного состояния БС с когерентным возмущением (рис. 3.2.2, в).
Очевидно, что взаимодействие медленных БС с возмущениями,
отличными от локализованного когерентного возбуждения, также
позволяют управлять динамикой БС. В качестве примера на рис. 3.2.3
представлены результаты численного интегрирования уравнений МБ,
описывающие взаимодействие двух БС в области некогерентно
возбужденных резонансных атомов:
n(x\t = 0) = < , г- ,
\-l+7sech\/2(a;-a;o), х > х0, (3.2.10)
P(x;t = 0)=0.
Потенциал взаимодействия БС (как для кинка, так и для
антикинка) с возмущением (3.2.10) является притягивающим. Как видно
из рис. 3.2.3, а, при неупругом столкновении двух антикинков (с
противоположными знаками амплитуд суммарных полей П) в области
возмущения, один из БС заметно ускоряется, а другой захватывается
возмущением и переходит в связанное состояние. Аналогичная динами-

инверсии и скорости импульса. Подобная динамика уединенной волны
характерна для зумерона.
Запишем двухволновые уравнения МБ для комплексных функций
в приближениях точного выполнения условия Брэгга и совпадения
частот излучения и резонансного перехода осцилляторов:
Ot + Ox = 2P, Ut + £lx = 0, (3.3.1а)
Pt = nO, nt = -^(P*0 + PO*). (3.3.16)
Найдем сначала выражение для ВМ возмущенного брэгговского
солитона с нулевой скоростью распространения, чтобы затем обобщить
полученные решения на случай медленно движущегося солитона.
Уравнения (3.3.1) обладают следующими интегралами движения,
соответствующими сохранению полной энергии W и топологического
заряда Q локализованного, 0(х = ±оо;£) — 0, решения:
W =
]-00* + 1-00* + П + п) dx, Q =
4 4 ч '
Odx. (3.3.2)
Будем искать решение в виде линейной суперпозиции
деформированного стоячего солитона уравнений (3.3.1) Os, Os и малого
возмущения 60, 60, удовлетворяющего второму уравнению (3.3.1а),
0{x,t) = Os{x) + 60{x,t), 0{x,t) = Os(x) + 60{x,t), (3.3.3)
где
60 = ieft(t)ip(x), 60 = -ie[f{t)ipx{x) + <plx{x)}; (3.3.4)
солитонные составляющие Оэ(х) = 0, Os(x) — (4//3) sech (j3x); (3 =
= V2 — a; a — параметр деформации профиля солитона, значение
а = 0 соответствует точному солитонному решению; е — малый
действительный параметр; /(£), <р(х) — действительные функции. Выбор
возмущения 60, 60 в виде чисто мнимых добавок (в общем случае
необходимо смещение по фазе на 7г/2 относительно солитонного
решения) позволяет исключить перекрестные члены,
dx (60 fi* + 60 0*3 + к. с.) = 0,
из интеграла энергии (3.3.2). Таким образом мы исключаем
взаимодействие полевых компонент солитона с ВМ, оставляя, однако,
возможность взаимодействия ВМ с резонансными осцилляторами. Это взаи-

модействие описывается уравнениями Блоха (3.3.16), которые имеют
следующие решения для полей (3.3.3), (3.3.4):
Р{х, t) = -2 sech /fa th/fa + г(—1 +2 sech2 f3x) sin [e{fip + bip\)},
n(x,t) = (-1 + 2sech2/fa)cos[e(,/V + b(/>i)], (3-3-5)
где b — константа интегрирования, определяемая из начальных
условий. Подставляя (3.3.3), (3.3.4), (3.3.5) в исходные уравнения (3.3.1а)
и проводя линеаризацию с учетом e,w,a <$С 1, находим выражения для
функций
f(t) = fo cos (wt + фо), ч>\{х) = y?o sech/fa, (3.3.6)
если 6=1— a/2. Здесь фо — начальная фаза; /о, <fio ~ амплитуды
функций, удовлетворяющие условиям е/о, ещ <$С 1. Ниже полагаем
/о = 1, фо = 0. Соответствующее уравнение для функции (р(х)
имеет вид
0~2<Рхх + [-1 + ^^ + (2 + a) sech2 /fa] <р = 0. (3.3.7)
С помощью теории возмущений нетрудно показать, что задача на
собственные значения (3.3.7) имеет конечное локализованное решение
<р(х) = sech/fa — — (1 + In ch/fa) sech/fa, (3.3.8)
0
если
w2 = -a/3. (3.3.9)
Подставляя (3.3.6), (3.3.8) в (3.3.4), запишем выражения для
найденных ВМ, опуская члены порядка ew2:
50, = — lew sin wt sech /fa,
(3.3.10)
50, = ieP(coswt + щ) sech/fa th/fa.
Ненулевая малая частота осцилляции w (3.3.9) определяется
параметром деформации профиля солитона а < 0. Величина разностного
поля <Ш (3.3.10) является суперпозицией двух мод с ненулевой и
нулевой частотами, причем формы этих мод (~ sech /fa th fix) определяются
функциями ipix (3.3.6) и (рх (3.3.8) и в первом приближении по малому
параметру совпадают. Это приводит к эффективным биениям
указанных мод с частотой осциллирующей моды и>, если величина |<ро| и 1.
Отметим, что наличие ВМ на нулевой частоте для невозмущенных
солитонных решений, случай w = 0 в (3.3.10), является характерным
свойством ряда нелинейных динамических уравнений, в том числе
и УСГ [213].
На рис. 3.3.1 представлены результаты численного интегрирования
уравнений (3.3.1), когда в качестве начальных условий выбирались
аналитические решения (3.3.3), (3.3.5), (3.3.10) для стоячего солито-

не приводят к изменению скорости солитона. Однако для движущегося
БС изменение максимального значения величины инверсии атомов при
биениях ВМ является, как показано выше в §3.1, дополнительным
возмущением солитона и может привести к значительному изменению
вида решения, например, к переходу от движущегося солитона к
плененному и обратно. При этом периодически меняется знак скорости
импульса. Динамика таких импульсов будет описана в следующем
параграфе.
§ 3.4. Оптический зумерон как результат биений
внутренних мод брэгговского солитона
В настоящем параграфе рассмотрено пробное аналитическое
решение двухволновых уравнений МБ, которое описывает
распространение с ненулевой скоростью осциллирующей уединенной нелинейной
волны, или оптического зумероноподобного импульса, в одномерном
РФК [238]. С помощью интеграла энергии найдена зависимость
скорости зумерона от времени. Параметры решений, полученных численным
интегрированием двухволновых уравнений МБ, хорошо согласуются
с предложенным аналитическим решением для оптического
зумероноподобного импульса.
Обобщим полученные в предыдущем параграфе решения для
возмущенного стоячего солитона (3.3.3), (3.3.5), (3.3.10) на случай БС,
распространяющегося с малой скоростью и <С и>. Предположим, что
форма огибающей возмущенного движущегося солитона совпадает
с формой стоячего импульса, а форма внутренних мод мало отличается
от полученных выше выражений (3.3.10). Пусть при этом координата
центра импульса £(£) и его скорость u(t) = £t(t) будут зависеть от
времени вследствие возмущения солитона при биениях внутренних мод
и осцилляциях инверсии. Таким образом, пробное решение выбираем
в следующем виде:
П = t"(t) sech Р{ХГт + ^ sin И) весЬ Щ=Ж,
(3\?\-и2 VI -и2 л/\ -и2
й= / sech *^» -
P\/l -и2 \/\ -и2
- г , (cosutf + ipo) sech V swy- thKV, sv -,
\/l -u1 VI ~u2 y/l -u2
VI - u2 J
2 \/l -v2 J

Р(Д, t) =-2 secfa^-^th^-«*)) +
\/l — и2 v 1 — и2
+ is (-1+2 sech2 fcMl^ (cos wt + ^ sech 0(*-№).
(3.4.1)
Подставляя (3.4.1) в интеграл энергии (3.3.2), получим выражение
для скорости импульса
u(t) = £^(l_cos^)'/2 (з.4.2)
Из (3.4.1) и (3.4.2) следует, что скорость и амплитуды полей в
импульсе, а также дипольный момент и инверсия атомов в возмущенном
брэгговском солитоне осциллируют с частотой внутренней моды со-
литона (3.3.9), демонстрируя тем самым зумероноподобную динамику
распространения импульса.
Для подтверждения того, что предложенное пробное решение
(3.4.1) достаточно близко к истинному, а также для демонстрации
устойчивости такого зумероноподобного решения мы провели прямое
численное интегрирование уравнений (3.3.1), выбирая в качестве
начальных условий аналитическое решение (3.4.1). Полученная при этом
пространственно-временная динамика инверсии и полей внутренних
мод (рис. 3.4.1) соответствует аналитическим выражениям (3.4.1).
Аналогичные результаты имеют место и для полей fis, Qs солитонных
составляющих решения и для функции дипольного момента Р.
Топологический заряд (3.3.2) осциллирующего импульса, полученного
при численном моделировании, удовлетворяет неравенству Q < 2ж,
что соответствует аналитическому результату при подстановке
решения (3.4.1) в (3.3.2): Q = 27г + а7г, а < 0. На начальном этапе эволюции
решения наблюдается слабое излучение (рис. 3.4.1, б), однако потери
энергии при этом весьма малы, порядка 0,05% энергии импульса,
что свидетельствует о близости пробного зумероноподобного
решения к истинному. Полученное решение является квазиустойчивым,
оно сохраняет устойчивость в течение времени порядка ста периодов
осцилляции и упруго взаимодействует с солитоном, движущимся со
скоростью и ^ 0,1 (рис. 3.4.2). Столкновение же двух зумероноподоб-
ных импульсов может быть как упругим, так и неупругим в
зависимости от скорости и знаков амплитуд взаимодействующих импульсов.
Сравнение графиков рис. 3.4.1 позволяет наглядно объяснить причину
возникновения осцилляции зумероноподобного импульса. В момент
времени t — to, когда скорость импульса максимальна, рис. 3.4.1, а,
амплитуды полей внутренних мод равны нулю, рис. 3.4.1, б, е. Далее
происходит увеличение энергии внутренних мод за счет излучения
энергии возбужденных атомов среды (максимальное значение инверсии

лирования подтверждают также вид зависимости скорости импульса от
времени (3.4.2) и линейную зависимость максимальной скорости от
частоты. Таким образом, предложенное решение для зумероноподобного
импульса (3.4.1), (3.4.2) хорошо согласуется с результатами численного
интегрирования уравнений (3.3.1).
В заключение отметим, что двухволновые уравнения МБ, как
следует из ряда свойств их решений, являются не полностью
интегрируемыми. Сложно ожидать, что эти уравнения имеют точное зумеронное
решение, представляющее собой осциллирующий солитон
интегрируемых нелинейных уравнений. Поэтому описанное в настоящей
параграфе приближенное зумероноподобное решение представляет интерес
как, по-видимому, первый пример осциллирующих квазиустойчивых
нелинейных уединенных волн с ненулевой средней скоростью
распространения и большой амплитудой осцилляции скорости, которые
появляются в реальной физической задаче, в данном случае — в задаче
о распространении лазерных импульсов в РФК.

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
ДИНАМИЧЕСКОЙ БРЭГГОВСКОЙ ДИФРАКЦИИ
В РЕЗОНАНСНОМ ФК ПРИ НЕКОЛЛИНЕАРНОЙ
ГЕОМЕТРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН
И В НЕПРЕРЫВНОМ РЕЗОНАНСНОМ ФК
Развитая в предыдущих главах нелинейная теория брэгговской
дифракции в резонансном ФК (РФК) ограничивалась случаем коллинеар-
ной геометрии взаимодействия волн, когда волновые вектора брэггов-
ских мод, связанные вектором обратной решетки Н, направлены вдоль
одной прямой навстречу друг другу. В общем же случае волновые
вектора прямой ко и дифрагированной kh волн при брэгговской дифракции
связаны векторным условием Брэгга kh — ко + тН, где т — целое
число, которое допускает неколлинеарную геометрию взаимодействия
волн. Это становится особенно важным для двух- и трехмерных РФК.
Кроме того, неколлинеарное взаимодействие волн позволяет
рассмотреть качественно новый режим дифракции — нелинейную брэгговскую
дифракцию в геометрии Лауэ («на прохождение»), когда внешнее
излучение падает на поверхность кристалла, ориентированную вдоль
вектора обратной решетки [22, 326, 327]. При этом не возникает полного
брэгговского отражения излучения от границы, а сильно связанные
брэгговские волны распространяются в глубь среды. Одним из хорошо
изученных явлений, возникающих при линейной дифракции
рентгеновских лучей в геометрии Лауэ в традиционных кристаллах, является
эффект Бормана, или аномально слабое поглощение рентгеновских
лучей в кристалле. Объясняется этот эффект особенностями
пространственной локализации поля в кристалле, когда падающее излучение
возбуждает в структуре четыре волны, две из которых формируют поле
с максимумами амплитуд волн на атомах кристаллографических
плоскостей (антибормановская мода) и поэтому эффективно поглощаются,
а две другие — с минимумами (узлами) поля на атомах и,
следовательно, проходят через кристалл, испытывая аномально слабое поглощение
(бормановская мода). В §4.1 мы рассмотрим основные особенности
решения линейной задачи брэгговской дифракции в геометрии Лауэ
для оптического излучения в ФК. Основным качественным отличи-

ем ФК от традиционного кристалла с точки зрения взаимодействия
с электромагнитным излучением является большой контраст
показателя преломления в ФК. Это приводит к новому оптическому явлению —
дифракционно-индуцированному делению лазерного импульса в
линейном ФК [184, 185]. Входящий в структуру пикосекундный лазерный
импульс распадается в ФК на два импульса, которые
распространяются с различными групповыми скоростями. Причина этого явления,
как и в случае эффекта Бормана, заключается в пространственной
локализации полей каждого из импульсов в различных областях ФК.
Поэтому фактически импульсы распространяются в «различных»
средах. Один импульс эффективно взаимодействует с решеткой с большим
показателем преломления, а другой — с решеткой с меньшим
показателем преломления. Отсюда следует важный с точки зрения
прикладных исследований вывод: изменяя оптические свойства, например,
оптически более плотных слоев, мы можем заданным образом менять
характеристики одного из импульсов. В последующих двух параграфах
настоящей главы будет развита нелинейная теория брэгговской
дифракции в РФК в общем случае неколлинеарной геометрии
взаимодействия волн. Соответствующие обобщенные двухволновые уравнения
МБ (§4.2) позволяют решать задачи нелинейной динамики
резонансного излучения в фотонных кристаллах в условиях дифракции как
в геометрии Брэгга, так и в геометрии Лауэ. В последнем случае
предсказан нелинейный эффект Бормана, когда возбуждаемые в
структуре четыре волны поля формируют два импульса: первый — линейно
взаимодействующий со средой, соответствующий линейному эффекту
Бормана и состоящий из бормановских волн, и второй — Лауэ-солитон
самоиндуцированной прозрачности, или нелинейная уединенная волна,
сформированная из двух антибормановских волн (§4.3). Нелинейный
эффект Бормана фактически появляется в результате дифракционного
деления импульса в нелинейном РФК. Обсуждаются особенности
динамики брэгговских солитонов в неколлинеарном случае, в частности,
формирование ряда стоячих БС. В §4.4 главы рассмотрено
обобщение задачи динамики БС на случай непрерывного (не дискретного)
РФК, в котором функция пространственного распределения
концентрации резонансных атомов представляет собой не решетку дельта-
функций, а достаточно произвольную непрерывную функцию. Такие
совершенные фотонные кристаллы с большим числом периодов могут
быть изготовлены методом фотополимеризации при наличии в растворе
мономеров наночастиц, содержащих примесные резонансные атомы.
В случае гармонической функции концентрации резонансных атомов
получено точное решение в виде БС с параметрами, отличными от БС
в дискретном РФК.

локализовано в слоях с меньшим показателем преломления, а
поле другого — в слоях с большим показателем преломления. Такая
конфигурация локализации поля является следствием брэгговской
дифракции волн. Внутри структуры каждая спектральная компонента
импульса, падающего под углом Брэгга к слоям ФК, расщепляется
на когерентную суперпозицию двух проходящих и двух
дифрагированных (дифракционно отраженных) волн. Эти волны попарно
распространяются в ФК с двумя разными эффективными показателями
преломления и, как следствие, с двумя разными скоростями. По мере
увеличения пути прохождения в глубь ФК указанные волны
формируют два разделяющихся импульса. Каждый импульс состоит из
пары сильно связанных волн, проходящей и дифракционно отраженной,
которые распространяются с одинаковыми скоростями. На выходе из
фотонного кристалла, т. е. в сплошной среде, волны перестают быть
дифракционно связанными и излучаются в виде двух прошедших (Т)
и двух дифракционно отраженных (R) импульсов (рис. 4.1.1).
Временной интервал между вышедшими из ФК импульсами пропорционален
толщине кристалла и фурье-компоненте разности показателей
преломления Ап(х) — П2 — п\ слоев в ФК. Расчеты показывают, что для
реализации эффекта расщепления оптического импульса с длиной волны
излучения Ло ~ 500-1000 нм и длительностью импульса то ~ 0,1-10 пс
необходимы ФК с периодом d ~ Ло, величиной модуляции показателя
преломления Дтг ~ 0,1-0,3 и толщиной L ~ 0,1-1 см.
Таким образом, эффект ДДИ позволяет осуществить генерацию
сдвоенных импульсов с управляемыми временем задержки и
амплитудами импульсов в линейном ФК, что представляет значительный
интерес для расширения возможностей управления параметрами импульсов
в целом ряде прикладных задач. Эффект ДДИ также может быть
использован для удвоения частоты следования лазерных импульсов.
Рассмотрим фотонный кристалл, состоящий из периодически
чередующихся слоев с толщинами d\, ^2 и показателями преломления щ,
П2. Слои располагаются перпендикулярно поверхности ФК (рис. 4.1.1),
период структуры d = d\ + d<i. На ФК вдоль фиксированного
направления s*o под углом в к нормали к поверхности падает световой импульс,
имеющий вид плоского волнового пакета
Ёт{тЛ) = einAm(t - р/с) exp (ik0r - iw0t), (4.1.1)
где Am — в общем случае комплексная медленно меняющаяся
огибающая волнового пакета, u>q —частота центра спектра импульса,
^о = |&о| = wo/c = 27г/Ло, Ло — центральная длина волны, с — скорость
света в вакууме; к$х = ко sin в, кцу — ко cos в; р — tsq = х sin в + у cos в;
ось х направлена вдоль поверхности ФК, а ось у направлена в глубь
кристалла по нормали к поверхности.

Зависимость показателя преломления от поперечной координаты х
представим в следующем виде:
п{х)=пе + Ап(х), (4.1.2)
где пе = (nidi + ri2d2)/d = пг + <5о£ — средний показатель
преломления, 5q = щ — ri2, £ = d\/d. В области слоев с толщинами d\ функция
Ап(х) = 5о(1 — 0. а в слоях с толщинами d% Ап(х) = -5о£-
Комплексное электрическое поле в ФК, состоящем из оптически
изотропных слоев, подчиняется волновому уравнению
AE(r,t) - c-2e{x)d2E{r,t)/dt2 = О, (4.1.3)
где е{х) = п2{х) — комплексная диэлектрическая проницаемость,
оператор Лапласа Д = д2/дх2 + д2/ду2.
Представим поле (4.1.1) падающего волнового пакета в виде
спектрального разложения, т. е. в виде набора плоских монохроматических
волн со спектральными амплитудами Ат(£1), частотами ш = ujq + О,
и волновыми векторами к = ш/с:
оо
Ет{т, t) = ein Ain(uj — ш0) exp (ikf— iuji) dw, (4.1.4)
—oo
где частотный спектр огибающей импульса
оо
Аы(ш - и>0) = Ain(fi) = — Ain{t) exp (гШ) dt,
—оо
П = ш — шо — отклонение частоты монохроматической волны от
центральной частоты спектра импульса.
Поле E(r,t) в ФК также представим в виде спектрального
разложения: то
E(f,t)= E(f,u)exp(-iujt)dw. (4.1.5)
— оо
Ограничимся для определенности рассмотрением ФК с малой
величиной модуляции показателя преломления (<5q «С пе), и дифракцию
света будем рассматривать в двухволновом приближении, когда в
кристалле существует две «сильные» брэгговские волны — проходящая
{Eq) и дифрагированная (Eh). В этом случае поле Е(г,ш) для каждой
спектральной компоненты в (4.1.5) можно представить в следующем
виде: _
Е{г,ш) = E0{u)exp(iqor) + Eh{w)exp(iqhr), (4.1.6)
где qh — q0 + Н, Н — вектор обратной решетки, величина Н = 2-n/d.
В нашем симметричном случае Нх = —Н, Ну — 0.

Амплитуды полей £o,/i и волновые векторы до и qh в (4.1.6)
находятся из уравнения (4.1.3) и граничных условий. Из условия
непрерывности тангенциальных проекций волновых векторов в вакууме и в среде
х-проекция qox = кх = к sin б. Проекция на ось у, q0y = k{jo + /?), где
7о = {п2е — sin2 0)1/2, а подлежащая определению величина /3 описывает
вызванное брэгговской дифракцией изменение волнового вектора q$
вдоль нормали к поверхности.
Диэлектрическая проницаемость е{х) в двухволновом приближении
имеет вид:
е{х) = Хо + Xh ехр {-Шх) + x-h ехр {Шх), (4.1.7)
где Хо. Xh и X-h — фурье-компоненты диэлектрической
проницаемости, определяемые соотношением
d
е{х) ехр (гдх) dx, (4.1.8)
1
Xg~ d
о
где д = 0,Н, —Н, соответственно g = 0, h, —h. Отсюда с учетом
соотношения е{х) = [пе + Ап{х)]2 и п\ + 2neAn(x) получим, что
Хо = п\, Xh = г(пе50/7г)[1 - ехр (г2тг£)],
X-h = -г(пе5о/7г)[1 - ехр(-г27гО]-
Очевидно, что в среде без поглощения (хи)* — X-h- Подставим
теперь (4.1.5), (4.1.6) и (4.1.7) в волновое уравнение (4.1. 3) и
приравняем выражения с одинаковыми экспонентами. В итоге получим
следующую систему уравнений для скалярных амплитуд проходящих
(Eq) и дифрагированных {Eh) волн:
27о/?£о - Cx-hEh = 0,
(4.1.9)
{2wP-a)Eh-CxhEQ = 0,
где поляризационный фактор С = 1 и С — cos 26 для s- и р-по-
ляризованного излучения соответственно. Система (4.1.9) получена
в предположении, что J3 «С 7о. которое справедливо в случае слабой
модуляции показателя преломления (4.1.2). Величина а во втором
уравнении (4.1.9) определяет отклонение частоты ш и угла падения в
от точного дифракционного условия а = 0, где
а = [к2 - {к + Н)2]/к2 = Н{2кх - Н)/к2. (4.1.10)
Система (4.1.9) по виду совпадает с известной в рентгеновской
оптике системой уравнений динамической теории дифракции, полученной
для плоской монохроматической волны, где параметр а определяется
отстройкой угла падения волны от угла Брэгга. В нашем же случае

уравнения (4.1.9) описывают дифракцию импульса с произвольной
временной зависимостью, а величина параметра а определяется как
отстройкой частоты излучения от так называемой брэгговской частоты,
так и угловой отстройкой от угла Брэгга.
Определим для излучения с центральной частотой cjo угол
Брэгга в = вв с помощью соотношения 2(cJo/c)sin0s = Н, или, что то
же самое, sin#B — Ao/2d. Пусть теперь спектральная компонента
поля (4.1.4) с частотой ш — ш0 + П, где Q <$С щ, падает на ФК под
углом в — вв + Ав, где Ав -С вв- Тогда проекция волнового вектора кх
в (4.1.10) имеет вид кх = (ко + fi/c) sin(0s + АО). Подставляя это
соотношение в (4.1.10), получим следующее приближенное выражение
для дифракционного параметра a(A6,fl):
Q = 2sin20B[A0 + (n/wb)tg0B]- (4.1.11)
Условие нетривиальности решения системы (4.1.9) приводит к
квадратному уравнению относительно искомой величины /3, корни которого
имеют следующий вид:
0l,2=±[a±{a2 + 4C?XhX-h)l/2]. (4.1.12)
470
Из первого уравнения (4.1.9) следует, что амплитуды
проходящих и дифрагированных волн в ФК связаны простым соотношением:
Ehj = RjE0j, где Rj — 2j0f3j/Cx-h (j = 1.2). Знаки параметров /?i
и fo (4.1.12) противоположны, поэтому у одной пары прошедшей
и дифрагированной волн амплитуды, Eqi и Ем, будут одного знака —
это антибормановская мода, эти поля эффективно поглощаются при
эффекте Бормана. У другой пары волн знаки амплитуд, Е02 и Еъи,
противоположны — бормановская мода, они отвечают за аномально
низкое поглощение излучения в эффекте Бормана.
С учетом зеркального отражения волны от входной поверхности
ФК с амплитудой Ет граничные условия непрерывности
электрического и магнитного полей в плоскости у — 0 для s-поляризации имеют
следующий вид:
Am + Ar = Eqi +Е02,
ку(Ат - АТ) = <$Е0] + <$Е02, (4.1.13)
R{Eol+R2Eo2 = 0,
где 5о — k(jo + Pj), а величины 0j определены соотношениями
(4.1.12) и (4.1.11).

В итоге из (4.1.6) и (4.1.13) получим следующее выражение для
спектральных компонент полей в (4.1.5) в произвольной точке в
глубине ФК:
Eg(f, ш) = А1п(ш)Ве(Р, ш), (4.1.14)
где g = О, Л; Во и Вн — амплитудные коэффициенты прохождения
и дифракционного отражения соответственно:
Bg(f>ш) = Yl Fei ехр ^^х + iq0y]УУ (4.1.15)
Здесь дох = кх, qhx — кх-Н,
F0l = -2R2ky/D, F02 = 2Riky/D, Fhj = RjF0j,
Окончательные выражения для полей Eg(f,t) на глубине у в момент
времени t имеют следующий интегральный вид:
оо
Eg(f,t)= I Ain{uj)Bg{r,Lj)exp{-iujt)duj, (4.1.17)
—оо
что также можно представить в виде волновых пакетов, аналогичных
(4.1.1):
Eg(f,t) = Ag(f,i)exp(ikgxx + iko'yoy— i^t)- (4.1.18)
Здесь fcoi = kosm.6, khx — kox — H, а огибающие волновых пакетов
оо
Ае(гЛ)= Ain(Cl) У^ Fgj(u)exp{iipj)dn,
io Ui (4-1-19)
Фз{&0, fi) = Щу + (Q/c)(xsmO + -joy) - Ш,
где ф^ — комплексные фазы волн в случае поглощающей среды.
Интенсивности проходящих (g = 0) и дифрагированных (g — h)
импульсов на произвольной глубине ФК равны IT(y,t) = \Eo(y,t)\2
и /н(у> t) = \Eh{y,t)\2 соответственно.
Перейдем к анализу динамики распространения и расщепления
в ФК внешнего падающего импульса, например, с гауссовой формой
огибающей Am(t) — ехр[—(t/To)2]. гДе то — характерная длительность
импульса. Из (4.1.12), (4.1.15) и (4.1.16) следует, что область
сильного дифракционного взаимодействия излучения с ФК определяется
соотношением \а\ < 2С|хл|. Если импульс падает на ФК под точным
брэгговским углом (Ав = 0), то спектральная область дифракционного
отражения и прохождения определяется так называемой спектральной

брэгговской шириной ДПВ = cj0|Xh|/2siii2#B. Эта ширина
увеличивается с уменьшением угла Брэгга, с ростом величины модуляции
показателя преломления ФК 5q, и достигает максимума при £ = 0,5.
Важно помнить, что при брэгговской дифракции по схеме Лауэ для
монохроматической волны, а также для импульсов и пучков, отсутствуют
области частот и углов падения излучения на ФК, в пределах которых
было бы запрещено распространение излучения в структуре, как это
происходит при дифракции по схеме Брэгга. От угла падения зависит
лишь направление, в котором будут распространяться собственные
волны в ФК. Вдали от брэгговского условия волна в ФК распространяется
в прямом направлении, при приближении к углу Брэгга появляются
четыре волны, две имеют волновые вектора в прямом направлении,
две — в дифрагированном. При этом, например, пучок разделяется
на два, каждый состоит из пары прямой и дифрагированной волн
(бормановский и антибормановский пучки). Один пучок
распространяется в прямом направлении, другой — в направлении дифракционного
отражения. Наконец, при точном выполнения брэгговского условия
амплитуды всех четырех волн становятся равными по абсолютной
величине и вектор Умова-Пойнтинга для обоих пучков будет направлен
в одном направлении нормально к вектору обратной решетки, вдоль
плоскостей. В этом случае пучки не разделяются, а импульс, как
показано ниже, расщепляется.
Для корректного использования двухволнового приближения
необходимо, чтобы импульс не был слишком коротким, чтобы ширина его
спектра не превышала брэгговскую ширину, т. е. необходимо
выполнение условия ДПо -С Д^в. или, что то же самое, то 3> тв — 2/ДПв.
На рис. 4.1.2 показана пространственно-временная динамика эволюции
проходящих и дифрагированных полей в ФК, рассчитанных по
формуле (4.1.17) при точном выполнении условия Брэгга. Для удобства
графики изображены в зависимости от координаты ty = t — у7о/с>
жестко связанной с проходящим импульсом, движущимся в
однородной среде со скоростью с/7о- В течение некоторого времени импульс
распространяется в ФК как уединенный импульс, не испытывая
расщепления. Это означает, что все четыре волны, две проходящие Е0\2
и две дифрагированные -Е/и.2. одновременно существуют в каждой
точке среды. Суперпозиция этих волн приводит к периодической полной
перекачке энергии из проходящей волны в дифрагированную и обратно.
На рис. 4.1.3 представлено это так называемое «маятниковое» решение,
или маятниковый эффект, хорошо известное в рентгеновской
оптике [22] и наблюдаемое недавно в микроволновом ФК [328]. Глубина
экстинкции Л, на которой происходит полная перекачка проходящей
волны в дифрагированную, определяется из (4.1.15): Л = Ао7о/2С|хл|-

Когда импульсы выходят за пределы ФК в однородную среду
подложки или в вакуум, ранее сильно связанные прошедшая и
дифрагированная волны начинают распространяться независимо. В результате
падающий на ФК импульс делится на выходе из ФК на четыре
импульса — два проходящих и два дифрагированных (рис. 4.1.1 и рис. 4.1.6).
В силу симметрии задачи при Ав = 0 амплитуды и формы R- и Т-им-
пульсов при у > уо полностью совпадают. Из-за особенностей
эффективной дисперсии показателей преломления m.,(fi) скорость
распространения импульсов по-разному зависит от величины периода d, т. е.
от угла падения вв. Так, при почти нормальном падении (вв — 7,7°,
рис. 4.1.6, а) один из пары импульсов опережает импульс в сплошной
среде, а второй — запаздывает. С увеличением угла падения (вв — 30°,
рис. 4.1.6, б) оба импульса распространяются быстрее, чем импульс
в однородной среде. При этом первый импульс уменьшается по
амплитуде и уширяется во времени сильнее, чем второй. Следует отметить,
что не учитываемая здесь частотная дисперсия dn]2/duj показателей
преломления ФК как правило более чем на порядок меньше дисперсии
dmj/dw эффективных показателей преломления и не оказывает
существенного влияния на процесс распространения импульсов в тонких
фотонных кристаллах.
Эффект ДДИ имеет место и для пространственно ограниченных
импульсов с поперечными размерами порядка 0,1 мм в ФК с периодом
структуры порядка нескольких микрон. При дифракции таких
импульсов появляется дополнительная «степень свободы» для управления их
динамикой, так как в случае слабого отклонения от точного условия
Брэгга скорость разделенных импульсов будет отличаться не только по
величине, но и по направлению.
При падении на ФК сверхкороткого импульса с tq <. тв спектр
Ain(fi) и const в области заметного изменения коэффициентов
прохождения и отражения. В этом случае из-за расширения интервала
интегрирования в (4.1.19) возрастает роль дисперсии эффективных
показателей преломления mj(fi) (рис. 4.1.4), поэтому импульсы сильно
искажаются. При используемых выше параметрах типичные
значения тв ^ 0,01 пс.
Дифракционно-индуцированное деление пикосекундного лазерного
импульса в линейном ФК при брэгговской дифракции по схеме Лауэ,
описанное выше, является линейным эффектом. Он не зависит от
амплитуды поля и может наблюдаться для лазерных импульсов любой
интенсивности. Таким образом, простой линейный тонкий одномерный
ФК может быть использован в качестве миниатюрного устройства
для преобразования лазерных импульсов произвольной интенсивности
в парные импульсы с контролируемой задержкой, амплитудой,
длительностью и поляризацией, а также для удвоения частоты следования

Эволюция электрического поля Е при распространении оптического
излучения в такой структуре описывается волновым уравнением
j- 4.£/-,л , £ d2E(f,t) 4тг д2p(r,t) /л п ,ч
TotiotE(r,t) + 4 а\2 =—f ' V ;, (4.2.1)
Со я Со от
где е — диэлектрическая проницаемость линейной среды,
материальной дисперсией линейной среды пренебрегаем; cq — скорость света
в вакууме. Нелинейная поляризация РФК, определяемая резонансными
атомами, задается следующим выражением:
p{r, *) = £NP'jimf- fj). (4.2.2)
з
Здесь вектор fj определяет положение j-ro узла решетки, т. е.
j-то домена; N — число двухуровневых атомов в каждом домене;
6(г — fj) — дельта-функция Дирака; Р- = (Pj/2)exp (—iwt) + к. с. —
быстро меняющийся во времени дипольный момент резонансного атома
в j-м домене, a Pj(i) — медленно меняющаяся комплексная
амплитуда дипольного момента атома, определяемая с помощью уравнений
Блоха; и — частота излучения, совпадающая с частотой резонансного
перехода.
Обратная решетка дискретного трехмерного РФК в обратном
пространстве волновых векторов является также трехмерной (рис. 4.2.1, б).
Однако, если два волновых вектора дифрагирующих волн /сол и век~
тор обратной решетки Н для некоторой выбранной системы
кристаллографических плоскостей точно удовлетворяют условию Брэгга
kh — ко + тН, то мы можем перейти от трехмерной задачи к
двухмерной, используя двухволновое приближение, предполагая, что
амплитуды этих двух брэгговских волн существенно больше амплитуд прочих
собственных блоховских мод в кристалле. В рамках такого
приближения квазимонохроматическое поле в РФК может быть представлено
как суперпозиция полей двух сильных брэгговских мод:
E(r,t) = - [Eo(f,t)ex.p(ikof— iwi) + Eh(f,t) exp(ifc^f— iut)] + к. с,
(4.2.3)
где Eq и Eh — медленно меняющиеся во времени (\dEoh/dt\ <С
-С и> \Ео,и\) и в пространстве (\dEo,h/dr\ < &ол |-БолI) огибающие
комплексных амплитуд прямой и дифрагированной волн. Модуль вектора
обратной решетки \Н\ — 2ir/d, d — период выбранной системы
кристаллографических плоскостей.
Для определенности выберем направление вектора поля Е по
нормали к плоскости, задаваемой векторами ко и kh (s-поляризация),

и пренебрежем градиентом диэлектрической проницаемости на границе
доменов. Тогда уравнение (4.2.1) перепишется в скалярном виде:
^Е^)-^^Щй = ЦЩй, (4.2.4)
с dt с dt
где Д = д2/дх2 + д2/ду2 + d2/dz2 — оператор Лапласа. Подставляя
выражения (4.2.2) и (4.2.3) в (4.2.4), используя приближение медленно
меняющихся амплитуд и проводя усреднение по промежутку времени
At 3> ш_| и объему V > Л3, получаем следующие уравнения для
амплитуд двух волн:
ж &+%ж - ^(Е1М «ф<-* w- *я)у. (4А8)
где угловые скобки означают усреднение по объему V, а А; = |fco| =
= \kh\\ дифференцирование по вектору следует понимать как сокра-
дЕ „ , дЕ _ , дЕ _ дЕ _
щенную запись выражения: -=— е\ + -z— во + -=~ ея = -^=, ti —
единицах оу oz от
ные векторы вдоль осей. Предполагалось, что усредненные
осциллирующие члены порядка ехр(гЯг) малы:
(д-^к0Лехр(±гйг)/у
<
дЕол г"
и ими можно пренебречь. Благодаря брэгговскому условию kh = ко + Н
и свойствам дискретного фотонного кристалла, для которого функция
exp(iHfj) — 1, справедливо следующее равенство:
exp (-ikhfj) — exp {—ik0fj — iHfj) — exp (-ifc0fj). (4.2.6)
Тогда правые части уравнений (4.2.5) равны и могут быть выражены
через медленно меняющуюся амплитуду поляризации структуры Ps:
Pa(f, t) = n(S2 Pj{t) exp {-ik0f)5{f- fj)\ =
= N(yiPj{t)eXp{-ikhf)5(r-fj)\ . (4.2.7)
Динамика когерентного взаимодействия двухуровневых атомов с
резонансным полем описывается оптическими уравнениями Блоха для
комплексного дипольного момента Pj и инверсии rij атома (§2.1).

В случае точного частотного резонанса уравнения Блоха (2.1.18) для
атомов в j-м узле решетки в поле (4.2.3) принимают вид:
gt =-^2[Eo(rj,t) exp (ik0fj ) + Eh(fj,t) exp (ikhfj)] щ,
^^ = ±{[Е0(г,, t) exp (iktf) + Eh{fj, t) exp (ik^)}P*(t) - к. с.},
(4.2.8)
где fi — матричный элемент дипольного момента перехода.
После усреднения уравнений (4.2.8) по области V 3> А3,
принимая во внимание дискретный характер пространственного
распределения функции концентрации резонансных атомов, а также
выражения (4.2.6) и (4.2.7), самосогласованные уравнения МБ (4.2.5), (4.2.8)
для амплитуд полей, поляризации среды и плотности инверсии атомов
принимают вид:
дЕ0 г . к2 дЕ0 _ 2ттгк2 D
-£=т Kq-\ — — rs,
or ш at е
dEh г к2 dEh _ 2irik2 р
дг ш dt е (4 2 9)
% = ^ [(Ео + Eh)P*s - (Е0 + Eh)*Ps].
Здесь p'(r,t) — плотность инверсии атомов, или инверсия атомов
в единице объема; р — средняя концентрация резонансных атомов.
Наконец, введем в уравнения параметр эффективности
когерентного взаимодействия излучения со средой тс (см. §2.1) и перепишем
систему (4.2.9) в виде, аналогичном уравнениям (2.1.24) для
среднего по ансамблю атомов в объеме AV безразмерного комплексного
дипольного момента атома P(r,t) = iPs(r,t)/fip и средней инверсии
атома n(r,t) = p'(r,t)/p:
ко дП0(г,t) дП0(г,t) _-2р(?л
С к дг + dt ~Т" КТ' h
кн. дПн. (г, t) дПн. (f, t) _ 2 р {? f\
CT^f^- + —t Гс ^[ГЛ)' (4.2.10)
^^ = п (f, t) [По (г, t) + Пл (f, t)),
^^ = - Re {Р* (г, t) [По (г, t) + Пк (f, t)]},
где Пол = (ц/К)Ео,н- Отметим, что первые слагаемые в уравнениях для
полей в (4.2.10) можно записать в виде производной по направлению

(4.3.1)
на рис. 4.3.1 углов дифракции:
dClo , dflo , _i9^o _2 -in
sm^_+cos^_+c '-^=тс2с 'Р,
_smV,_+cosV,_+c 1ж=гс2с 'P,
P = — sin 6, n = — cos 6,
t
6» (x, y, t) = П0 (я, y, t') +Qh (x, y, t') dt'.
— oo
Для простоты предположим, что реализуется случай симметричной
дифракции, т.е. <р = ф. Кроме того, выберем угол дифракции
достаточно малым, ip < 10°, чтобы амплитуды полей импульсов незначительно
изменялись вдоль ж-координаты и можно было пренебречь
соответствующими производными в (4.3.1):
sm^_^«cos^_^,c _^ (4.з.1а)
Тогда уравнения (4.3.1), записанные для суммы О. (у, t) — По + ^h и
разности П (у, t) — По — П^ амплитуд полей, существенно упрощаются:
80, , Ш о -2d
P = -sin0, п = — cos#,
0{уЛ) =
Cl(y,t')dt', (4-3'2)
дП , 80. п
ссоз^ + ж = а
Как видно из этой системы, уравнения для функций П (у, t)
и П (у, t) могут быть решены независимо. Преобразуем первые четыре
уравнения в (4.3.2) к одному уравнению для блоховского угла 9(y,t):
ccosip^- + ^i = -2T-2sme. (4.3.3)
r dydt dt2
Оно является уравнением sin-Гордон в релятивистски неинвариантной
форме, которое имеет место в задаче самоиндуцированной
прозрачности в однородной среде [322]. Соответствующее односолитонное
решение 9(y,t), антикинк (2.2.7), уравнения (4.3.3) дает следующее
выражение для суммы амплитуд брэгговских мод П (у, t) = 6t в виде
нелинейной уединенной волны:
n{y,t) = HNL {уЛ) = 2т-1 sech[(i - у/ьр)/тр], (4.3.4)

где скорость импульса определяется выражением
_ с cos <р
1 + нк
(4.3.5)
и уменьшается как при увеличении угла <р, так и при увеличении
длительности импульса тр.
Медленно распространяющийся солитон (4.3.4) состоит из
прямой По и дифрагированной П^ волн, амплитуды которых необходимо
найти. Для этого нужно решить уравнение для разности амплитуд
П = П0 — П^ из системы (4.3.2):
дй дй ~
Его решением является линейная волна
ЙЕЙ'«»' (4.3.6)
£ = у- (ccostp)t,
распространяющаяся в структуре с большой скоростью с cos ip.
Этот результат кажется парадоксальным, поскольку получается,
что сумма двух дифрагирующих волн П (4.3.4) распространяется как
медленная нелинейная уединенная волна с малой скоростью vp (4.3.5),
а их разность П (4.3.6) представляет собой быструю линейную волну,
распространяющуюся с большой скоростью с cost/?. Это возможно лишь
в том случае, если функции flNL или UL поочередно равны нулю в
каждом из решений. Тогда в среде распространяются четыре собственные
моды, попарно формирующие линейное, где QNL = 0, и нелинейное,
где Пг, = 0, решения. Подобный результат был получен при решении
линейной задачи дифракционного деления импульса в слоистом ФК
§4.1, когда в случае точного выполнения условия Брэгга в структуре
распространяются два импульса с различными скоростями в одном
направлении вдоль слоев. Один импульс был сформирован прямой
и дифрагированной волнами с различными знаками амплитуд (бор-
мановская мода, П = 0), а другой — двумя волнами с одинаковыми
амплитудами (антибормановская мода, П — 0). Таким образом, в
нелинейной задаче дифракции в геометрии Лауэ в РФК (4.3.1) мы также
приходим к бормановской и антибормановской собственным модам.
Запишем выражения для амплитуд полей прямой и
дифрагированной волн, следующие из (4.3.4) и (4.3.6):
\ \ _ (4-3-7)

Нелинейная волна формируется антибормановскими волнами с
равными амплитудами
0 _ав (43-8)
Используя выражение (4.3.4), запишем явный вид амплитуд брэг-
говских волн, дипольного момента и инверсии атомов:
n0 = Qh = т~[ sech[(t - у/Ур)/тр],
Р = sech[(t - y/vp)/Tp] th [{t - у/ур)/тр], (4.3.9)
n— -\ + 2sech2[(i - у/ьр)/тр].
Решение (4.3.9) описывает солитон самоиндуцированной
прозрачности, включающий в себя две связанные брэгговские волны с равными
амплитудами. Он получен в условиях нелинейной дифракции в
геометрии Лауэ, поэтому его называют «Лауэ-солитоном». Лауэ-солитон
качественно отличается от брэгговского солитона (§ 2.2) прежде всего
тем, что он существует не внутри линейной фотонной запрещенной
зоны, а распространяется в направлении, перпендикулярном вектору
обратной решетки. В этом направлении нет частотной области
селективного брэгговского отражения. В отличие от Лауэ-солитона, БС
имеет ненулевую проекцию групповой скорости вдоль вектора обратной
решетки, а образующие его брэгговские моды (2.2.10) характеризуются
противоположными знаками амплитуд. Кроме того, выражения,
связывающие скорость и длительность импульса для БС (2.2.13) и для
Лауэ-солитона (4.3.5) существенно отличаются. Важно подчеркнуть,
что Лауэ-солитон принципиально не может сформироваться при кол-
линеарной геометрии взаимодействия волн, поэтому он не существует
в одномерной задаче нелинейной брэгговской дифракции.
Полученные результаты могут быть легко обобщены на многосо-
литонный случай. Поскольку уравнение (4.3.3) получено без каких-
либо предположений о стационарности рассматриваемых процессов,
то, помимо односолитонного решения, оно позволяет описать
формирование, распространение и взаимодействие любого количества Лауэ-
солитонов, а также связанных солитонов (Лауэ-бризеров), в РФК.
Соотношения для амплитуд полей будут по-прежнему описываться
выражениями (4.3.8), где в(у, t) — произвольное многосолитонное решение
уравнения (4.3.3).
Другой режим — линейная динамика поля (4.3.6) —
реализуется для бормановских волн с противоположными знаками амплитуд
в (4.3.7), когда сумма амплитуд полей равна нулю, а разность —

не ноль:
По = -П/г = -=-,
2 (4.3.10)
ft = П0 + Vh = 0.
Тогда в случае изначально невозбужденной среды, в(х, у; t — 0) = О,
получим следующее решение для амплитуд брэгтовских волн, диполь-
ного момента и инверсии атомов:
"°К, = -ад' (4.3.U)
р(0 = о, я({) = -1.
Линейные дифрагирующие волны (4.3.11) распространяются в
структуре без взаимодействия с резонансными атомами (п — — 1, Р — 0
в любой момент времени), даже если амплитуда каждой из волн
велика.
Чтобы проследить пространственно-временную динамику
формирования и распространения Лауэ-солитона и линейно дифрагирующих
волн в структуре РФК и показать, что они могут возбуждаться
внешним падающим на структуру излучением, промоделируем численно
процесс нелинейного взаимодействия излучения с РФК в условиях
Лауэ-геометрии дифракции. На рис. 4.3.2 представлены результаты
численного интегрирования системы уравнений (4.3.1) с учетом членов
с производной по ж-координате. Граничные и начальные условия
выбирались в виде импульса длительностью tq, падающего под малым углом
Брэгга ip почти нормально к границе у — 0 невозбужденного РФК:
П0 (у = 0; х, t) = П0 (х) sech (*-^°\,
, (i+th(^), *е(о,0,
Clh{y = 0;x,t) = 0, no.h(x,y,t = 0)=0,
n{x,y;t = 0) = -\, P(x,y;t = 0) = 0.
Здесь I' — размер структуры по направлению х. Френелевское
отражение поля на границах не учитывалось. Использовались следующие
значения параметров: амплитуда П0' = 2 • 1013 с-1, длительность импульса
т0 = 0,3тс, тс = 3 • 10"13 с, Л = 500 нм, 10 = 120Л, х0 = 1200Л и </> = 7°.
Как видно из рис. 4.2.2, а, б, в процессе распространения такого
импульса в структуре вследствие дифракции формируются четыре
дифрагирующих волны и наблюдается нелинейное дифракционное деление
импульса. Две волны имеют одинаковые по знаку, форме и величине

сначала простые аналитические решения, а затем проведем численное
моделирование.
Для задачи брэгговской геометрии дифракции (рис. 4.3.1, а)
уравнения (4.3.1) значительно упрощаются, если предположить, что tp = rp,
а величина угла дифракции достаточно велика, чтобы огибающие
полей дифрагирующих волн были почти однородны по координате у:
ЭПол^ЭПол. (4.3.12)
ду ох
Тогда из (4.3.1) следует уравнение для блоховского угла
, . ,2 д29 д29 „ -2 ■ д
(csinp) т-2-—2"=2тс sin (9,
ох от
которое является релятивистски инвариантным УСГ и с точностью до
коэффициента перед пространственной производной совпадает с
уравнением (2.2.5) в коллинеарном пределе. Его односолитонное решение
позволяет найти следующее выражение для брэгговского солитона:
Qo,h{x,t) = ±^Q(x,t),
(4.3.13)
П(х, t) = n0 + nh=^ sech {~^-\.
где скорость импульса
"(Т^) = (Г^Р (4-ЗЛ4)
меньше скорости БС в коллинеарном случае в sin</? раз при
длительности
г = ^-(1-«2)'/2, (4.3.15)
у2и
где и = v/csinip. Хотя математически решение (4.3.13) мало
отличается от полученного ранее БС, однако с физической точки зрения оно
обладает важной особенностью: появляется дополнительный
свободный параметр, угол дифракции <р, который дает возможность
уменьшить скорость распространения импульса (4.3.14) при неизменных
амплитудах брэгговских мод ±(1 ±и{т))/и{т)т (4.3.13) и длительности
импульса т. Таким образом, использование неколлинеарной схемы
дифракции позволяет изменять скорость БС не только за счет изменения
соотношения амплитуд брэгговских мод (или длительности импульса),
но и за счет изменения параметров структуры, которые определяют
угол дифракции <р, например, периода. Это весьма существенно с точки
зрения управления динамикой БС, так как именно медленный солитон
может быть легко остановлен, захвачен или отражен слабым
возмущением (см. гл. 3).

зонансных осцилляторов имеют размеры намного меньше длины волны
излучения. В дискретной модели удалось свести уравнения нелинейной
брэгговской дифракции к интегрируемому виду и получить
аналитические решения, описывающие различные физические процессы. Авторы
обзора [20] сделали предположение, что исключительно в дискретной
модели возможно получение аналитического решения для брэгговских
солитонов. Поэтому как с теоретической, так и с экспериментальной
точек зрения представляет интерес обобщение результатов по
динамике нелинейных уединенных волн на случай непрерывного РФК,
в котором функция распределения концентрации резонансных атомов
является не решеткой <5-функций, а плавно меняющейся непрерывной
периодической функцией координат. Решению этой проблемы посвящен
следующий параграф.
§ 4.4. Нелинейные уединенные волны в структурах
с непрерывным профилем пространственного
распределения концентрации резонансных атомов
Существование низкоэнергетических БС самоиндуцированной
прозрачности было предсказано для различных типов периодических
резонансных структур: дискретного РФК [8]; дискретного РФК с
синусоидальной модуляцией линейного показателя преломления [192];
нелинейного фотонного кристалла, легированного однородно
распределенными резонансными атомами [203, 205]. Для исследования процессов
распространения БС необходима достаточно протяженная резонансная
структура, состоящая из 400 и более периодов, однако до настоящего
времени изготовление подобных сред традиционными методами
сопряжено с различными техническими трудностями и большими
финансовыми затратами. В связи с этим особое место занимает
технология голографической литографии (фотополимеризации) [200], которая
позволяет изготавливать достаточно дешевые хорошего оптического
качества протяженные резонансные структуры с гармонической или
какой-либо другой периодической пространственной модуляцией
концентрации резонансных атомов. Действительно, если в фотополиме-
ризующийся материал добавить наночастицы, содержащие примесные
резонансные атомы, и создать в этой среде за счет интерференции волн
лазерных пучков периодическую структуру интерференционных
максимумов, то в результате ускоренной фотополимеризации в областях
с максимальной интенсивностью света наночастицы будут
выталкиваться в области с малой интенсивностью света, где
фотополимеризация происходит медленнее. Через некоторое время фотополимеризация
завершится во всем образце и получится структура с периодическим

непрерывным распределением концентрации резонансных атомов —
непрерывный РФК, обладающий достаточно большим числом периодов
(несколько тысяч) и малым числом дефектов.
В настоящем параграфе рассматривается взаимодействие
когерентного оптического излучения с одномерным непрерывным РФК [202].
Для такой структуры получена система самосогласованных двухволно-
вых уравнений МБ, которая в частном случае модуляции концентрации
резонансных атомов по гармоническому закону имеет аналитическое
решение в виде БС СИП. Численно продемонстрирована устойчивость
такого импульса и возможность его возбуждения внешним падающим
на структуру излучением.
Для вывода базовых уравнений воспользуемся полуклассическим
методом в двухволновом приближении, описанным в §2.1. Пусть
период структуры d и А значительно превышает характерное расстояние
между резонансными атомами 6. Тогда непрерывную функцию
резонансной поляризации среды р (2.1.6) в волновом уравнении (2.1.1)
можно записать в виде
p{x,t) = PA^y't] = P'(x,t)p(x,t), (4.4.1)
где PAv{x,t) — суммарный дипольный момент резонансных атомов
в малом объеме б3 <С AV <d3 в окрестности точки х; p(x,t) —
концентрация резонансных атомов; Р (x,t) —дипольный момента атома
в точке х, определяемый из усредненных по малому объему AV
уравнений Блоха (2.1.20). В двухволновом приближении после указанного
усреднения эти уравнения запишутся в виде
dpfof) = п(х, t) [П+ (х, t)eikx + П~{х, t)e~ikx],
ащх,ъ) =_Re{P*{x,t) [n+{x,t)eikx + n-{x,t)e-ikx]},
где Р(х, t) — комплексная медленно меняющаяся во времени
амплитуда безразмерного среднего дипольного момента атома, n(x,t) —
средняя инверсия атома. Далее подставляем выражение для
поляризации (4.4.1) в уравнения для медленно меняющихся амплитуд
встречных брэгговских волн (2.1.5) и совместно с (4.4.2) получаем систему
двухволновых уравнений МБ для непрерывного РФК в безразмерных
переменных:
±nffo т) + nf (£, г) = 4 (Р(£, т)р(0е^)А,,
РЛ£,т) = n(Z,T)[n+(Z,T)eik't + n-((i,T)e-ik't}, (4.4.3)
nT(^r) = -Re{P*(^r)[n+(^,r)eifc'« + n-^,r)e-ifc'«]},

где П^ — 4 (тс1л/1г) Е^ — безразмерные характеристики полей; Е*1 —
комплексные медленно меняющиеся амплитуды электрического поля
1 /9
брэгговских волн; тс = (7ге/27гшрор,2) ; функция концентрации
резонансных атомов представлена в виде р(х) = рор(х); р(х) —
произвольная безразмерная периодическая функция концентрации, ро —
размерная амплитуда модуляции концентрации резонансных атомов;
е — диэлектрическая проницаемость линейной однородной
среды-матрицы; £ = х/2тсс; т = t/2rc; к' = (2тсс)к и А' — Х/2тсс — безразмерные
волновое число и длина волны излучения; скобка {...)Л/ обозначает
усреднение по интервалу Д£ ~ Л'. Дипольный момент атома Р(£,т)
является быстро меняющейся функцией пространственной
переменной £ и медленной функцией времени т. Поперечные и продольные
релаксации вектора Блоха не учитываются.
Двухволновые уравнения МБ (4.4.3) описывают нелинейную
динамическую брэгговскую дифракцию лазерного излучения в РФК с
достаточно произвольным распределением концентрации резонансных
атомов. В общем случае произвольного вида функции р(£)
уравнения (4.4.3) решаются численно. Однако в частном практически важном
случае модуляции концентрации атомов по гармоническому закону
система имеет аналитическое стационарное решение в виде БС. Найдем
это решение. Пусть функция концентрации р(£) имеет вид:
Ж) = ^ [1+cos (2fc'0b (4.4.4)
таким образом, для излучения точно выполняется условие Брэгга.
Представим косинус в экспоненциальной форме и подставим (4.4.4)
в (4.4.3), тогда правые части первых двух уравнений (4.4.3) примут вид
(Р^т)р(Ое^х, = \ (P{t г) (2e^fc'« + eiifc'« + е*3^))л,.
(4.4.5)
Преобразуем уравнения Блоха из (4.4.3) к уравнениям
относительно функций P(£,T)e±ifc4 Для этого домножим их сначала на exp(ifc'£):
РЛ£,т)е*к'* = n(tT)[n+(tr)e2ik'^ + n-(tT)}, (4.4.6)
а затем на ехр(—ik'£):
Рт(£,т)е-**'< =п&т)[П+(£,т) + П-^,т)е-ш'*}. (4.4.7)
Усредним (4.4.5)-(4.4.7) и последнее уравнение в (4.4.3) по
пространственному интервалу Д£ ~ Л', пренебрегая быстро осциллирую-

щими экспонентами. В результате из (4.4.3) получим уравнения для
двухволновой брэгговской дифракции когерентного излучения в РФК
с гармонической модуляцией концентрации резонансных атомов (4.4.4):
П+(£,т) + П+(£,т) = Р+(£,т) + 2Р-(£,т),
П-(^)-^-(£,т) = 2Р+(£,т) + Р-(£,т),
? (4.4.8)
пт(£, г) = - Re [P-*(Z, т)П+(£, т) + Р+*(£, т)1Г(£, г)],
где Р^^^т) = (Р(£, т) е±гк'^ являются медленными функциями как
времени, так и пространственной координаты.
Решение уравнений (4.4.8) будем искать в виде стационарных
уединенных волн . _
n±(^,r) = n±sech(^^), (4.4.9)
где Пр — неизвестные амплитуды прямой и обратной волн; и —
скорость импульса, нормированная на скорость света в вакууме с; тимп —
длительность импульса, нормированная на 2тс.
Выражая Р*^^) из (4.4.8):
Р+ = -1 (р+ + П+ + 2П?- - т~),
(4.4.10)
Р- = ^(2П+ + 2П^ + Щ-П-),
и подставляя (4.4.9)-(4.4.10) в исходную систему уравнений (4.4.8),
получим следующее аналитическое решение:
П± = П^ sech (ф),
л+ 1
^^Тимп
[(1 -и)Я$ +2(1 +и)П~] sech(^)th(^),
Р~ = -т-!— [2(1 - и)П+ + (1 + и)Щ sech(<£) th(^), (4'4' ^
n = --2"+V+^[l-2sech2W],
■JUTHMn
где
1±п + 2л/з+^, ^=£^ (4A12)
4 + U ИГимп
Решение (4.4.11) представляет собой стационарную, т.е.
сохраняющую амплитуду, форму и скорость, уединенную волну, распростра-

няющуюся в среде при точном выполнении условия Брэгга. Таким
образом, полученное решение является БС СИП в структуре с
гармонической модуляцией концентрации резонансных атомов.
Нетрудно показать, что система уравнений (4.4.8) обладает
инвариантом движения
12 = п2 + \Р+\г + \р-\\ (4.4.13)
Подставляя в (4.4.13) явные выражения для п и Р^ из (4.4.11),
получим значение модуля инварианта
|/| = ^+#tZ. (4.4.14)
Из условий локализации импульса в невозбужденной среде п(£ =
= ±оо;т) = -1 и Р±{£ — ±оо;т) = 0 следует, что |/| — 1 (4.4.13). Тогда
из (4.4.14) получаем связь скорости и длительности импульса:
тнмп = ^(-2п+Уз + и2) . (4.4.15)
Из (4.4.12) и (4.4.15) следует, что lim Sit —► 0, поэтому в случае
гармонического РФК двухволновые уравнения МБ не имеют решения
с нулевой скоростью, т. е. в виде стоячего солитона, существующего
в дискретном РФК. Естественно ожидать, что импульсы,
распространяющиеся в такой среде с малыми скоростями, будут неустойчивыми. Это
подтверждается численными экспериментами, которые показали, что
вплоть до скорости и ~ 0,5 импульсы затухают на временах порядка
нескольких десятков тс. Тогда как «быстрые» импульсы с и > 0,8 могут
распространяться в течение сотен времен тс.
Подстановка выражения (4.4.15) в (4.4.12) позволяет получить
зависимости амплитуд стационарного импульса от его скорости:
П± = ±V2 \(l ± ц + 2^рЛ ( Ц—)] '/2 (4-4.16)
0 [\ 4 + u2 J V-2u+\/3+WJ
На рис. 4.4.1 сплошными линиями изображены зависимости
длительности тимп и амплитуд импульса Ц, от скорости, рассчитанные
по указанным формулам (4.4.15), (4.4.16). На рис. 4.4.1, в
наблюдается нехарактерная для брэгговских солитонов зависимость амплитуды
обратной волны 0,^ от скорости импульса, которая является
немонотонной функцией. Это следствие того, что волна, распространяющаяся
в обратном направлении, рождается при дифракции прямой волны на
периодической структуре. При скорости импульса, близкой к
единице, эффективность перекачки энергии из прямой волны в обратную
мала, поэтому амплитуда обратной волны незначительна. На малых
скоростях эффективность взаимодействия мод увеличивается, поэтому

Также численное решение системы (4.4.3) показало устойчивость соли-
тоноподобных импульсов при их взаимодействии с различными типами
неоднородностей, такими как возмущение функции распределения
резонансных атомов р(х, t) и локального возбуждения инверсии.
Развитая в настоящем параграфе теория когерентного
взаимодействия лазерного импульса с резонансной периодической структурой
с произвольным профилем концентрации резонансных атомов дает
возможность обобщить на широкий класс структур ряд эффектов
(нелинейное подавление полного брэгговского отражения на границе среды,
распространение брэгговских солитонов и др.), предсказанных ранее
лишь для дискретных РФК. Это существенно расширяет возможности
экспериментальных исследований и прикладных разработок.

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТРЕХВОЛНОВОГО
ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН
В НЕЛИНЕЙНОМ ФОТОННОМ КРИСТАЛЛЕ
Многочисленные исследования традиционной задачи нелинейной
оптики о трехволновом параметрическом взаимодействии в
многослойных структурах с периодической модуляцией нелинейной или
линейной восприимчивостей, т. е. в одномерных нелинейных ФК, берут
свое начало с работ Бломбергена с соавторами [244, 271], где для
эффективной генерации гармоник был предложен механизм фазового
синхронизма, учитывающий вектор обратной решетки структуры, —
квазисинхронизм. Условие синхронизма может быть также
реализовано путем использования традиционного дисперсионного механизма
компенсации фазовой расстройки за счет существенного изменения
(увеличения или уменьшения) эффективного показателя преломления
среды на краях запрещенной зоны [44]. Кроме того, существует еще
несинхронный механизм усиления нелинейно-оптического
взаимодействия, который связан с локализацией поля в ФК, приводящей к
увеличению плотности энергии полей на краях брэгговской запрещенной
зоны в ФК с большой разностью показателей преломления в соседних
слоях. В §5.1 настоящей главы детально исследованы возможности
одновременной реализации различных механизмов повышения
эффективности генерации сигналов суммарной частоты и второй гармоники
в нелинейных одномерных ФК при коллинеарной геометрии
взаимодействия волн. Показано, что при одновременном выполнении условий
квазисинхронизма и несинхронного усиления на краях брэгговской
запрещенной зоны существенно возрастает (на один-два порядка)
эффективность генерации полей второй гармоники и суммарной частоты
за счет увеличения плотности энергии полей на основных частотах
вблизи краев области селективного брэгговского отражения. В § 5.2
исследован процесс эффективной генерации сигнала второй гармоники
в конечном одномерном ФК при неколлинеарной геометрии
взаимодействия волн в условиях несинхронного усиления взаимодействия
волн. Показано, что в конечном ФК возможна синхронная генерация
сигнала второй гармоники, для которого не выполнены традиционные

условия фазового синхронизма, рассчитанные в приближении узких
линий пространственного спектра эффективных брэгговских мод,
причем интенсивность этого сигнала более чем на порядок превосходит
интенсивность сигнала второй гармоники, для которого выполнены
традиционные условия фазового синхронизма. Существование такого
явления объясняется суперпозицией эффективных брэгговских волн
с близкими по величине амплитудами, волновыми числами и
ширинами пространственных спектров в первых резонансах пропускания.
Предложены выражения для модифицированных условий фазового
синхронизма, записанные не для точных значений эффективных волновых
векторов отдельных брэгговских мод, а для центров результирующих
спектральных линий взаимодействующих волн. Показано, что условия
синхронизма значительно отличаются в случаях сильной и слабой
дифракций излучения и совпадают с традиционными условиями
компенсации фазовой расстройки лишь для проходящих сигналов в случае
слабой дифракции. В § 5.3 решена динамическая задача генерации
сигналов второй гармоники в тонких одномерных периодических
структурах в условиях синхронного и несинхронного усилений. Показано,
что в периодической структуре толщиной 10 мкм эффективность
преобразования импульса накачки длительностью порядка 200 фс в сигнал
второй гармоники может достигать 10%, что на два порядка выше,
чем в сплошной среде той же толщины. В § 5.4 рассмотрен процесс
генерации излучения разностной частоты в терагерцовом диапазоне
при нелинейном взаимодействии волн в одномерном ФК. Показана
возможность повышения эффективности генерации в одиночном ФК за
счет механизма несинхронного усиления, а также значительного
увеличения интенсивности генерируемого терагерцового сигнала (на 3
порядка по сравнению с однородной средой) при одновременном
выполнении условий синхронного и несинхронного усилений в сверхрешетке
фотонных кристаллов.
§5.1. Повышение эффективности генерации сигналов
второй гармоники и суммарной частоты вблизи края
фотонной запрещенной зоны
С точки зрения оптимизации условий усиления сигналов второй
гармоники (ВГ) и суммарной частоты (СЧ) особый интерес
представляет изучение процесса генерации при одновременном выполнении
условий квазисинхронизма и несинхронного усиления [279-281]. Решению
этой задачи посвящен настоящий параграф. Теоретическое описание
проведено в приближении заданного поля методом матрицы переноса
излучения [270], который позволяет точно и полностью решить по-

ставленную задачу для ограниченного одномерного нелинейного ФК.
В качестве примера рассмотрены процессы генерации волн СЧ и ВГ
в структуре ZnS/SrF2 с оптической толщиной слоев, равной 3/4 длины
волны, и периодической модуляцией нелинейной и линейной воспри-
имчивостей с большим контрастом линейного показателя преломления
An ~ 1. Показана возможность увеличения интенсивности сигналов
ВГ и СЧ более чем на порядок при одновременном точном
выполнении условий квазисинхронизма и несинхронного усиления. В случае
генерации ВГ помимо точного выполнения условия
квазисинхронизма приближенно также выполняется и условие синхронизма за счет
дисперсионного механизма, которое достигается благодаря совпадению
при определенном угле падения максимума кривой угловой
зависимости эффективного коэффициента преломления на основной частоте
и его минимума на частоте ВГ. Экспериментальные результаты хорошо
согласуются с теоретически предсказанными. Экспериментально
обнаружено значительное усиление сигнала ВГ в режиме квазисинхронизма
и несинхронного усиления вблизи условий дисперсионного
синхронизма. Усиление генерации излучения СЧ экспериментально получено за
счет несинхронного усиления вблизи условия квазисинхронизма.
Рассмотрим процесс генерации излучения на суммарной частоте
шз = Ш] + шг при падении из вакуума на произвольную многослойную
структуру (МС) двух плоских монохроматических волн Е\ 1/ с
частотами lo\, Ш2 и амплитудами А\, А^.
Щ+)(г, t) = SJ+)Aj exp [i(kJxx + kjzz) - iujjt], (5.1.1)
где
kjx — kj sin ■dj, kjZ = kjcosflj, kj — u>j/c = 2-k/\j.
Здесь Xj — длины волн падающих на МС излучений в вакууме,
kj — модули соответствующих волновых векторов в вакууме, е- —
единичные векторы поляризации, flj — произвольные углы падения
этих волн по отношению к нормали к поверхности МС. Ось z
направлена по нормали в глубь МС, ось х направлена вдоль поверхности
МС в плоскости падения (х, z). В общем случае частоты Ш12 и углы
$1,2 различны. Частный случай и>\ — Ш2, $i = $2 и А\ = Ач отвечает
процессу коллинеарной генерации второй гармоники с частотой
сигнала шз = 2ш\.
Многослойная структура состоит из N плоскопараллельных слоев
(рис. 5.1.1). Каждый слой считается однородным и характеризуется
толщиной dm, комплексным показателем преломления njm и тензором
квадратичной нелинейной восприимчивости Хт, где индекс частоты j
принимает значения j = 1,2,3; т — номер слоя в МС. Для простоты
считается, что линейно-оптические свойства слоев характеризуются

ды падающего на структуру излучения. Это приближение
справедливо для тонких образцов, когда протяженность оптического импульса
значительно больше толщины среды. Для строгого решения второй
задачи воспользуемся тем, что в пределах каждого однородного слоя
решение нелинейного уравнения (5.1.2) имеет достаточно простой вид
(суперпозиция плоских волн), а на границах разделов слоев привлечем
условия непрерывности тангенциальных составляющих электрических
и магнитных компонент полей.
Наиболее интересная и практически важная ситуация реализуется
в случае периодических МС, или ФК, в которых параметры четных
и нечетных слоев соответственно одинаковы. В этом случае в
результате интерференционного усиления (и/или ослабления) вкладов от
различных слоев возникает явление дифракционного рассеяния
излучения как на основных частотах, так и на суммарной частоте. В итоге
при некоторых углах падения ■dj (или частотах ил,- при фиксированных
углах падения) возможно резкое усиление интенсивности сигнала СЧ.
Линейная задача. Найдем амплитуды полей на основных
частотах 0*1,2 во всех слоях МС и в вакууме в предположении, что
в (5.1.2) PNL = 0. В этом случае из однородных уравнений (5.1.2)
для полей Е = ^ii2(r, i) следует, что в слоях могут
распространяться только такие плоские волны, у которых модули волновых
векторов kjm = kjnjm, а в силу непрерывности тангенциальных
компонент волновых векторов на всех межслойных границах их я-проекции
{kjm)x = kjx = kjsiwdj. Отсюда следует, что z-компоненты волновых
векторов прямой и обратной волн в произвольном слое с номером т
имеют вид (kjm)z — ±sjm, где
Ззт = Ь[п}т-ап2ЪУ'2. (5.1.3)
Таким образом, поля Ejm(x,z) в произвольном слое с номером
т являются суперпозицией двух собственных решений однородной
задачи (5.1.2):
Ejm{z) = ё<;+)Е$ exp {isjmz) + ej~]'ДИ exp (-isjmz), (5.1.4)
где координата z отсчитывается от верхней границы m-го слоя. В (5.1.4)
для простоты мы опустили общие сомножители exp(ikjxx - itjjt).
Таким образом, линейная задача сводится к нахождению амплитуд
прямой Ejn и обратной Ejn волн при падении на МС полей (5.1.1). Для
этого воспользуемся условиями непрерывности тангенциальных (в
проекции на межслойные границы) компонент электрических и магнитных
полей.
Для плоской волны общего вида E(f) = Eexp^iqf-iujt)
электрическое и магнитное поля связаны соотношением кН = [qE], где к = ш/с,

q =[qx + «Zz]1/2, причем модуль q = kn только для однородного решения
(здесь мы для простоты опустили на время индексы частот и номеров
слоев). В случае s-поляризации электрическое поле в слоях
перпендикулярно плоскости падения (х, z), т. е. Ех = Ez = О, а магнитное поле
поляризовано в этой плоскости (Ну = 0). Так как проекция qz — 0, то
тангенциальные компоненты полей имеют вид
еЫ=еЫ, Н^ = т{Ы/к)Е^\ (5.1.5)
Для однородного решения qz = ±s, где s = к[п2 - sin2$]'/2 (5.1.3).
Для неоднородного решения вектор q в среде определяется суммой
волновых векторов на основных частотах, поэтому проекция qz для
излучения на СЧ связана более сложным образом с величинами кх и s
на частотах ш\$. (см. ниже (5.1.21)).
В случае р-поляризованного излучения поле Е лежит в
плоскости падения, т.е. Еу = 0, а проекции Нх = Hz = 0, т.е. магнитное
поле перпендикулярно этой плоскости. Отсюда с учетом соотношений
qE = 0 и кНу = qzEx — qxEz получим следующие выражения для
тангенциальных компонент электрического и магнитного полей:
Ех±] = (Ы /3)Я(±), Н& = ±(q/k)E^l (5.1.6)
Для свободных волн (однородное решение) q = кп и qz = ±s,
поэтому соотношения (5.1.6) примут более простой вид:
£(±] = (s/kn)E^\ Н& = ±пЕ^\ (5.1.7)
Из условий непрерывности тангенциальных компонент
электрических и магнитных полей на границе раздела между слоями с
номерами т и т + 1 с учетом (5.1.5) и (5.1.7) получим, что
ajm{Ejm gjm + Ejm gjm) = Oj,m+i {Ejm+l + Ejm+l),
(5.1.o)
°jm[Ejm gjm — E-m gjm) = Oj.m+l {Ejm+l — Ejm+]),
где введены следующие обозначения:
gjm = exp {iSjmdm), gjm = g'^ = exp (-isjmdm), (5.1.9)
&jm — 1, bjm — Sjm И a.jm = Sjm/njm, bjm = rijm ДЛЯ S- И р-ПОЛЯрИЗО-
ванного излучений соответственно.
Соотношения (5.1.8) являются основными уравнениями, которые
позволяют найти амплитуды полей Е>^ во всех слоях, а также
коэффициенты отражения и прохождения для МС. Система
уравнений (5.1.8) решается с граничными условиями EL — Aj и Е^+1 = 0,
где j — 1,2. Последнее условие означает, что излучение не падает
снизу на МС.

Формально два уравнения (5.1.8) для каждой границы раздела
содержат четыре неизвестные амплитуды поля. Для исключения этих
амплитуд воспользуемся однородностью уравнений (5.1.8). Введем
величины Rjm = EjfJ/EjfJ, имеющие смысл «парциальных»
амплитудных коэффициентов отражения, и разделим почленно первое уравнение
в (5.1.8) на второе. В результате получим рекуррентное соотношение
Паррата, которое выражает коэффициент Щт в т-и слое через
величину RjiT7l+[ в нижележащем слое с номером т+ 1:
р _ \rjrn,m+l + Rj,m+l)gjrn /г , , п\
njm — . , Б > (0.1. Ш)
L г ' jm,m+l -n.j.Tn+1
где _ 2
_ P(Sjm Sjn<Jjmn) ._ .
' jm,n — 2 ' (O.L.I L)
Sjm + Sjnffjmn
V — 1. Vjm.n = 1 И p = — 1, CTjmin — njm/lljn ДЛЯ S- И р-ПОЛЯрИЗОВЭННОГО
излучения соответственно. Здесь rjm%n — формула Френеля для
коэффициента отражения излучения с частотой u>j от границы раздела двух
полубесконечных сред с коэффициентами преломления щт и щп.
Рекуррентная формула (5.1.10) решается с граничными условиями
gj0 = 1 и Rj,n+i — 0 «снизу-вверх», начиная с самого нижнего слоя
с номером т — N + 1. Амплитудный коэффициент отражения от всей
МС равен Rj0.
Из системы (5.1.8) можно получить также рекуррентную формулу
для нахождения амплитуд полей i?jm во всех слоях в МС:
Я,-,т+1 - о-5-т.т+1 1+рД.т+1 ^т • (5-1.12)
Уравнение (5.1.12) решается после предварительного нахождения
всех коэффициентов Rjm (5.1.10) «сверху-вниз» с граничным условием
E).q' —Ay Амплитуды обратных волн находятся из соотношения
р(-)_И. р(+)
Итак, формулы (5.1.10)—(5.1.12) полностью решают задачу
нахождения амплитуд полей на основных частотах во всех слоях МС, а также
амплитудные коэффициенты отражения Rj = Rjo — E-Q /Aj и прохож-
денияТ5-=Д$+1/Л5-.
Нелинейная задача генерации сигнала суммарной частоты.
Рассмотрим задачу генерации СЧ в заданном поле,
представляющем собой суперпозицию двух полей на основных частотах.
Согласно (5.1.4), поля с частотами ш\$ в т-м слое имеют вид
Ejm(x, z) = [Е$ exp (isjmz) + Е$ exp (-isjmz)] exp (ikjxx - iujt),
(5.1.13)

где kjX = kjsm'dj (j = 1,2), координата z отсчитывается от верхней
границы m-ro слоя. Амплитуды волн Ejm' в (5.1.13) известны из
решения однородной линейной задачи (5.1.8), рассмотренной в предыдущем
разделе.
Подставим (5.1.13) в нелинейную поляризацию в правой части
неоднородного уравнения (5.1.2). Решение этого уравнения для поля
СЧ в каждом слое представляет собой сумму Е%т + Е$т неоднородного
(верхний индекс s) и однородного решений. Непосредственно из (5.1.2)
следует, что неоднородное решение на суммарной частоте шз = ш\ + ш2
имеет следующий вид:
Elm(x, z) = [El{+] exp {isl2mz) + E^) exp (-isl2mz)] exp (iki2xx-iw3t),
(5.1.14)
где S[2m = Sim + s2m, ki2x = klx + k2x, т. е. проекции волновых
векторов плоских волн (5.1.14) равны суммам соответствующих проекций
волновых векторов на основных частотах. Амплитуды (вынуждающие
источники) этих волн пропорциональны произведению амплитуд волн
на основных частотах:
К^-^Е^Е^, (5.1.15)
где
Дт = (4>т + fc12x - klnlm)/k3' Хт = Шт^Ч- (5.1.16)
Величины Дт определяются частотной дисперсией коэффициентов
преломления щт (j = 1,2,3) и пространственной ориентацией
волновых векторов падающего излучения на основных частотах, т. е. углами
падения д\_2. Величины Хт определяются скалярным произведением
ортов поляризации излучения на СЧ и векторов нелинейной
поляризации в т-х слоях.
Так как я-проекция волновых векторов вынужденного
(неоднородного) решения (5.1.14) равна сумме к$х = к\х + к2х, то в силу
непрерывности тангенциальных компонент волновых векторов на границах
разделов слоев такая же проекция на ось х будет и у однородного
решения. Поскольку длина волнового вектора излучения на СЧ в
вакууме кз = о>3/с — к\ + к2, то при уже фиксированной проекции к$х угол
выхода $з излучения на СЧ в вакуум из МС по отношению к нормали
будет определяться из уравнения
из sin 1?3 = к\ sini?i + A^siniV (5.1.17)
Отсюда, в частности, следует, что в случае параллельных пучков
излучений на основных частотах (т. е. при $| = $2) угол $з = $1-
Заметим также, что в частном случае генерации второй гармоники (и>\ — ш2,

$1 = i?2) общее выражение для величины волновой расстройки (5.1.16)
приобретает более простой вид:
Am — П\т ~ п3т-
Решение однородного уравнения (5.1.2) (при PNL = 0) для
излучения с частотой ш3 в каждом т-и слое будем искать в следующем виде:
Егт{х, z) = [Е^ exp (is3mz) + Е^ exp (-is3mz)] ехр (гк3хх - iw3t),
(5.1.18)
где s3m (^-проекция волнового вектора однородного поля на СЧ в т-и
слое) определяется, как и для основных частот, соотношением
S3m = fc3(nL-sin2tf3)1/2. (5-1.19)
С учетом обозначения (5.1.19) выражение для параметра фазового
синхронизма Ат (5.1.16) примет более простой и симметричный вид:
Am = [{S\m + S2m)2 " «Зги]/**-
Нелинейная задача генерации СЧ ставится следующим образом:
с привлечением очевидных граничных условий равенства нулю прямой
(в области z < 0) и обратной (в области z > D) волн на СЧ, т. е.
Е^о — 0 и £3^+[ = 0. требуется найти амплитуды однородного
решения #зо и £з7У+1 в областях регистрации в вакууме.
Условия непрерывности тангенциальных компонент электрических
и магнитных полей на каждой из N + 1 межслойных границ раздела
приводит к необходимости решения системы 2(N + 1) неоднородных
линейных уравнений относительно амплитуд СЧ Е^. Эти уравнения
для границы раздела между слоями с номерами т и т + 1 с
привлечением соотношений (5.1.5) и (5.1.6) имеют следующий вид (здесь
и ниже для простоты будем опускать индексы суммарной частоты j — 3
для амплитуд Е^т', фазовых факторов g3m, проекций s3m и
коэффициентов преломления п3т):
amF^ + amSW = am+lF^+l + am+lS^+i, (5.1.20a)
bmffl +0mS№ = bm+,F% +/W.4V (5.1-206)
где
F(i,2) = E(+) ± £(-)p- F(3'4) = E{+) ± £(->
c(l,2) _ Fs(+) f , Fs(-)-f o(3,4) = Ез(+) ± Es(-)
Здесь am = a3m, 6m = b3m, gm = exp(ismdm) (см. (5.1.9)); fm =
= g\mST2m> Qm = 1, Pm = S]m + S2m И OLm = {S[m + S2m)/"m , /?m = "m
для s- и р-поляризованного излучения на суммарной частоте
соответственно. Эффективный коэффициент преломления nmJ — к^/к3, где

^3m — длина волнового вектора для неоднородного (вынужденного)
решения:
*£ = [(eim + s2m)2 + fc§sin2tf3]1/2. (5.1.21)
В частном случае коллинеарной генерации второй гармоники из
(5.1.21) следует, что Пт = щт.
Для решения уравнений (5.1.20) воспользуемся тем, что для
системы N линейных неоднородных уравнений общего вида ^. ацх^ = bi
любой корень системы можно представить в виде суммы N слагаемых,
Xj = Ylkx^k' каждое из которых представляет собой решение системы
уравнений ^. aijXjk = Sikh, в которой только одно уравнение
является неоднородным, а все остальные — однородными (5ik — символ
Кронеккера). Поэтому решим вначале задачу нахождения амплитуд
СЧ в вакууме Е^'(т) и Е^+1(т) с отличной от нуля нелинейной
поляризацией только в одном слое с каким-либо номером т. При этом
излучение СЧ распространяется в остальных линейных слоях выше
и ниже выделенного слоя т как свободное и удовлетворяет
системе (5.1.8) с j — 3. Окончательный результат получается
суммированием амплитуд Е^'(т) и Е^^+1(т) по всем слоям т с нелинейными
поляризациями. Справедливость такой процедуры следует также и из
принципа суперпозиции излучения на суммарной частоте.
Рассмотрим три соседних слоя с номерами т — 1, т и т + 1,
причем Хт Ф 0 только в т-м слое. Из уравнений (5.1.20), записанных для
границ раздела (т — 1)/т и т/(т+ 1), исключим амплитуды Ет
в нелинейном слое и получим следующую связь между амплитудами
E^i, и Е^^ в вышележащем и нижележащем линейно-оптических
слоях:
HnE^l-HnE{n\=Qm, Н2,Е%-Н22Е{-\=Рт, (5.1.22)
где _
Яп (m) = g"m(l + Ттп,т-\-\ Rm-\-\ J/^т,771+1. t
Hl2(m) = (г
771,771 — lgin-i +Tm_igm_1)/t m,m— 11
H2i(m) — gm(rm,m+l + Rm+l)/tm,m+l,
H22{m) = (gm-l + ' 771,771—1 -*-ТП— \&m— \
)/*
771,771— 1 *
Правые части системы (5.1.22) имеют вид
Pm = r^\fmgm ~ l)E«+) + T™ (jmgm ~ 1)Е'^~\
где 2
T"i+) = (sm + s\2mv2m)/2smvm, т^_) = p(sm - Si2mv?n)/2sT,
(5.1.23)
(5.1.24)

Здесь Тт = l/Rm, tmn — френелевский коэффициент прохождения
границы раздела сред с коэффициентами преломления пт и пп;
коэффициенты отражения гтп определены в (5.1.11) при j — 3; в
коэффициентах Тт ВеЛИЧИНЫ р = 1, Vm—\ И р = — 1, Um = Пт/Пт
соответственно для s- и р-поляризованного излучений на суммарной
частоте.
Воспользуемся теперь рекуррентными соотношениями, которые
позволяют выразить амплитуду поля Ет в т-и слое через амплитуду
Emh в нижележащем слое с номером т+ 1, а также амплитуду
Ет через амплитуду Е^_х в вышележащем слое с номером т— 1.
Из общего соотношения (5.1.12) и формулы Паррата (5.1.10) можно
получить, что
ЕМ=АпЕ%, Etf=BmE^\, (5.1.25)
где
. _ 1 +рДт+1 R _ ffm-1 +pTm-igm_,
■"■771 — in- "Vn+l.mi ■£'771 — 5 I m ^771 —1,771 •
g-m + pRmgm 1 + pTm
(5.1.26)
Коэффициенты Rm в Am получаются путем решения рекуррентной
формулы (5.1.10) при j — 3 с граничным условием Rn+i — 0 «снизу-
вверх», начиная с самого нижнего слоя. Коэффициенты Тт в Вт
находятся с помощью рекуррентного соотношения
Тт,т-\ + l-m-\gm-\
1 + Гт,т— 1 Тт— l^m— 1
(5.1.27)
которое следует при j = 3 из (5.1.10) и решается «сверху-вниз» с
граничным условием То = 0.
Последовательно используя соотношения (5.1.25), легко получить
следующие выражения для амплитуд полей на СЧ, которые входят
в систему (5.1.22):
j4+i = >Um)£<#i. S<T2,=B(m)S<->, (5.1.28)
где А(т) и В(т) имеют вид произведений коэффициентов (5.1.26):
А(т) = Am+yAm+2--AN-\AN, В(т) = Bm-iBm-2-B2Bi.
(5.1.29)
Подставим (5.1.28) в (5.1.22) и решим эту систему. В итоге
получим, что амплитуды полей на СЧ в областях регистрации, которые
определяются вкладом одного m-го нелинейного слоя, имеют следую-

щии окончательный вид:
Е{0-\т) = {H2lQm - HnPm)/DmB(m),
,,s (5.1.30)
Ewli(m) = {H22Qm ~ HnPm)/DmA(m),
где Dm — H\\H22 — H2\H\2 — детерминант системы (5.1.22), величины
Hij определены в (5.1.23), а А{т) и В{т) — в (5.1.29).
Интенсивности излучений на СЧ, которые распространяются в
обратном (z < 0) и прямом {z > D) направлениях в вакууме и могут
быть зарегистрированы экспериментально, определяются квадратами
модулей сумм соответствующих амплитуд:
7(-)_|д(-)|2_
N
2
N
2
XXV) , /s(p+) = |j&+)i2= E^iM
?7г=1 m=l
(5.1.31)
Генерация сигналов ВГ и СЧ при выполнении условий
квазисинхронизма и несинхронного усиления. Используемый здесь
метод рекуррентных соотношений, или в иной форме записи — метод
матрицы переноса излучения, позволяет корректно учесть вклады
обоих механизмов усиления (синхронного и несинхронного) при генерации
гармоник как в прошедшем, так и в отраженном излучениях. На
примере ФК ZnS/SrF2, состоящего из периодически чередующихся слоев
нелинейного (ZnS) и линейного (SrF2) материалов, рассмотрим условия
оптимизации процессов генерации сигналов ВГ и СЧ в отраженном
поле.
На рис. 5.1.2, а представлены кривая отражения Д(т9) и угловая
зависимость плотности энергии поля в нелинейных слоях структу-
ры на основной частоте /i(t9) = ^ \Щт I • Рассчитанные по форму-
т
лам (5.1.10), (5.1.12). Максимумы энергии поля локализованы вблизи
границ брэгговской запрещенной зоны. Однако, при значении
коэффициента преломления на частоте ВГ niiSH(ZnS) = 2,75, пик
интенсивности отраженного сигнала второй гармоники Ц^' (5.1.31)
находится вне области максимальной энергии поля на основной частоте
(рис. 5.1.2,6). Положение максимума ВГ в данном случае определяется
квазисинхронизмом шестого порядка [245]. Это нетрудно показать,
оценив параметр фазовой расстройки Д для г-проекций эффективных
волновых векторов s^ полей в структуре:
A(tf) = [2sf(tf) + s|f(tf) - #Z]d,
где Н = 2np/d — модуль вектора обратной решетки, d — период
структуры, / — порядок квазисинхронизма. Величины sf определяют-

произвольного ума падения д:
COs(Sjd) = COs(Sjidi) COs(Sj2^2) —
- \ (^^ + -^-) sin(5jld,)Sin(5j2rf2),
2 V sj2 0j\2Sj\J J J
где Sj\2 — z-проекции волновых векторов полей на частотах uivjj
в нечетных и четных слоях с коэффициентами преломления щ\
и rij2 соответственно (j = 1,2,3), d\2 — толщины этих слоев,
sf = [(njf)2 — sin2??]1/2, <jj\2 = 1 и cTji2 = Tij[/nj2 для s- и р-поляризо-
ванного излучения соответственно. На вставке рис. 5.1.2,6 представлен
график функции Д($) для шестого порядка квазисинхронизма (I = 6).
Значение угла падения, при котором выполняется условие
квазисинхронизма Д = 0, совпадает с угловым положением пика ВГ.
Значительное увеличение эффективности генерации ВГ достигается
при смещении условия квазисинхронизма в область углов вблизи края
брэгговской запрещенной зоны, в которой наблюдается максимальная
локализация поля на основной частоте в ФК, т. е. выполняется условие
несинхронного усиления. Действительно, уменьшая величину niiSH, мы
смещаем пик квазисинхронизма в область меньших углов и
наблюдаем увеличение интенсивности сигнала ВГ в 30 раз на правом краю
запрещенной зоны (рис. 5.1.2, в, niiSH = 2,55) и в 60 раз на левом
краю (рис. 5.1.2, г, niSH = 2,05). Отметим также, что, как видно из
графиков на правой вставке рис. 5.1.2, в, в исследуемой структуре на
краю брэгговской запрещенной зоны достигается минимум величины
п2 ~ nf' т- е- приближенно реализуется условие дисперсионного
фазового синхронизма. Однако интенсивность прошедшего сигнала ВГ в 6
раз меньше интенсивности отраженного. Это значит, что
эффективность генерации ВГ при квазисинхронном взаимодействии в данном
случае существенно выше.
Рассмотрим аналогичный механизм усиления в процессе генерации
сигнала СЧ. Для этого выбираем длины волн двух падающих на
структуру лазерных импульсов Ai и Аг таким образом, чтобы при
определенном угле падения они соответствовали противоположным краям
выбранной частотной брэгговской запрещенной зоны. Тогда склоны
двух кривых отражения i?i(i?) и ЯгО?) Для данных длин волн будут
находиться в одной и той же области углов (рис. 5.1.3, а, б), в которой
также обеспечивается максимальная локализация в структуре плот-
ности энергии обоих полей на основных частотах /i(t9) = ^ \Щт \
и /г($) = Y2 \Щт\ ■ Таким образом достигаются оптимальные условия
т
для несинхронного усиления. На рис. 5.1.3, в, г представлены угловые
зависимости интенсивностей отраженного сигнала СЧ а>з = ш\ + и>2>

Таким образом, мы продемонстрировали принципиальную
возможность одновременного выполнения условий квазисинхронизма и
несинхронного усиления взаимодействия волн при генерации нелинейного
сигнала в ФК. Причем роль механизма несинхронного усиления
исключительно важна в случае тонкого ФК, когда невозможно добиться
повышения эффективности генерации за счет увеличения длины
пробега излучения в образце. В случае одновременного выполнения условий
квазисинхронизма и несинхронного усиления в образце с числом
периодов N = 20, интенсивность сигнала ВГ увеличивается более чем
на порядок по сравнению со случаем только синхронной генерации,
а интенсивность сигнала СЧ увеличивается более чем на два порядка.
Важно подчеркнуть, что речь идет о тонких образцах толщиной
порядка 10 мкм. Однако, как показал анализ экспериментальных данных,
в реальных структурах при коллинеарном взаимодействии волн сложно
добиться точного совпадения условий синхронного и несинхронного
усилений, поэтому в следующем параграфе мы исследуем возможности
оптимизации условий генерации за счет неколлинеарной геометрии
взаимодействия волн.
§ 5.2. Изменение условий фазового синхронизма
при генерации сигнала второй гармоники в конечном
одномерном фотонном кристалле: случаи сильной
и слабой дифракций
Задача нахождения параметров периодических структур и
излучения, при которых обеспечивается оптимальная эффективность
нелинейной генерации сигналов на суммарной и разностной частотах,
традиционно решается с использованием метода эффективных волновых
векторов (см. §5.1, [36, 286]). В рамках этого метода излучение в
слоистой структуре представляется как суперпозиция волн (блоховских
мод) с одинаковой частотой и набором волновых векторов,
отличающихся от некоторого эффективного волнового вектора на целое
число векторов обратной решетки. Недостатком такого подхода, с точки
зрения расчета условий синхронизма в ФК, является использование
тех же соотношений для компенсации фазовой расстройки, что и для
сплошных протяженных сред, т. е. для волновых векторов с узкими
линиями пространственного спектра, лишь с заменой волновых векторов
на эффективные волновые вектора блоховских мод. Однако реальный
ФК даже приближенно нельзя считать протяженной средой. Весьма
сложная пространственная структура поля внутри кристалла,
связанная с ограниченностью среды и отражением волн от границ структуры,
содержит блоховские моды с шириной линий пространственного спек-

тра Ак порядка 2-к/Ь, где L — длина среды. Поэтому, если вблизи края
фотонной запрещенной зоны (ФЗЗ) две уширенные линии с близкими
спектральными амплитудами смещены друг относительно друга на
величину порядка Ак, то суммарная линия будет иметь максимум,
смещенный относительно эффективных волновых векторов каждой из
мод. Таким образом, условия синхронизма при учете конечной ширины
спектральных линий в многоволновой задаче также могут быть
смещены относительно условий синхронизма, рассчитанных в приближении
узких линий блоховских мод (приближение эффективных волновых
векторов) [289]. Максимальная величина смещения равна тг/L.
В настоящем параграфе на примере генерации сигнала ВГ в некол-
линеарной геометрии взаимодействия излучений с помощью метода
матрицы переноса излучения покажем, что в тонком одномерном ФК
возможно увеличенние эффективности генерации сигнала ВГ при
совпадении первых резонансов пропускания основной волны и сигнала
ВГ. В этом случае не выполняются условия фазового синхронизма,
рассчитанные в традиционном приближении узких линий
пространственного спектра эффективных брэгговских мод, т. е. блоховских волн
вблизи условия Брэгга, тем не менее, интенсивность такого сигнала
более чем на порядок превосходит интенсивность сигнала ВГ, для
которого удовлетворяются традиционные условия синхронизма в
приближении узких спектральных линий [277, 287]. Объяснение этого
эффекта становится возможным при переходе к многомодовой задаче
с учетом отраженных от границ волн и эффективного перекрытия их
пространственных спектров как для основных, так и для генерируемых
волн [289]. Представлены выражения для модифицированных условий
фазового синхронизма, записанные для центров результирующих
линий пространственных спектров взаимодействующих волн.
Рассмотрены случаи сильной и слабой брэгговской дифракции излучения в ФК.
Показано, что условия эффективного взаимодействия основных и
генерируемых сигналов в этих случаях значительно отличаются.
Особенности генерации сигнала ВГ вблизи края ФЗЗ в
ограниченном фотонном кристалле. Рассмотрим процесс генерации волны
ВГ в ФК с квадратичной нелинейностью, состоящем из iV
плоскопараллельных бислоев. Каждый бислой состоит из двух слоев,
которые характеризуются толщинами dy, с^, комплексными
коэффициентами преломления п\(ш), тггМ, зависящими от частоты излучения ш,
и нелинейными восприимчивостями второго порядка х\ , х\ ■ Нижние
индексы 1 и 2 относятся к нечетным и четным слоям ФК
соответственно. Подложка ФК считается бесконечной с комплексным
коэффициентом преломления nsubs. Из вакуума на поверхность структуры падают
основные волны с частотами ш\ и Ш2 под произвольными углами 0\

и #2 к нормали к поверхности. Ось Oz направлена вдоль нормали
в глубь структуры, ось Ох вдоль поверхности структуры, плоскость
(xOz) является плоскостью падения волн на основных частотах
(фундаментальных волн).
Наличие в структуре нелинейности второго порядка приводит к
возбуждению внутри ФК волны поляризации с частотой ш\ + Ш2, которая
обуславливает рождение сигнала на суммарной частоте шз = ш\ +^2-
Для нахождения полей E\^(f,t) фундаментальных и Ез{?Л)
генерируемой волн внутри ФК, а также поля генерируемого сигнала на входе
и выходе структуры (т. е. интенсивности сигнала в вакууме и
подложке) необходимо решить нелинейное волновое уравнение:
rot rot Ё(г, t) + c-2d2D(r,t)/dt2 = -(4тг/c2)d2PNL{f,t)/dt2. (5.2.1)
Здесь D(f,t) = n2(f)E(r,t) — вектор электрической индукции, PNL =
= х^'- E(r,t) ■ E(f,t) — вектор нелинейной поляризации, с — скорость
света в вакууме. Как и в предыдущем параграфе, уравнение (5.2.1)
решается методом матрицы переноса излучения [270] в приближениях
заданного поля волны накачки и квазистационарности взаимодействия.
Такие приближения оказываются оправданным для импульсов
длительностью вплоть до 200-300 фс и слабой нелинейности. Метод матрицы
переноса излучения дает точное решение уравнения (5.2.1) со
вторыми пространственными производными в указанных приближениях,
что позволяет учесть сложную многомодовую структуру полей волн,
локализованных в ограниченном ФК.
Далее будем рассматривать вырожденный случай генерации
сигнала суммарной частоты, когда и)\ — Ш2 = ш и, соответственно, шз = 2ш.
Чтобы подобрать оптимальные параметры фундаментального
излучения для получения максимальной интенсивности сигнала ВГ,
будем использовать неколлинеарную геометрию взаимодействия волн
(рис. 5.2.1,а). Она позволяет обеспечить выполнение условия
несинхронного усиления (НУ) в широком частотном диапазоне. Изменяя
частоту uj основного сигнала, будем варьировать угол падения излучения
таким образом, чтобы постоянно выполнялось условие НУ, т. е. угол
падения в соответствовал максимуму энергии поля, локализованного
внутри структуры, W (рис. 5.2.1,6):
ь
W =
n2{z)\E{z)\2dz,
z = 0, z — L — координаты входной и выходной поверхностей ФК.
Параметры ДВРМ и Aqpm характеризуют соответственно условия
дисперсионного фазового синхронизма (ДФС) и линейного фазового
квазисинхронизма (ФКС), рассчитанные для эффективных волновых векторов

сигнал, распространяющийся в направлении, противоположном прямой
волне и имеющий такой же модуль эффективного волнового вектора.
Поэтому отраженный сигнал будет иметь дисперсионную кривую,
симметричную относительно оси Ош кривой прямого сигнала (рис. 5.2.3,
сплошная линия, левая ветвь). Кроме того, при брэгговской
дифракции излучения с волновым вектором к\ в периодической структуре
должна существовать дифрагированная (брэгговская) волна, связанная
с падающей условием Брэгга кг — к\ + тН, т — номер ФЗЗ, вблизи
которой происходит дифракция, целое число. Поэтому помимо волн,
величины проекций волновых векторов которых равны fce[ и —fcef,
должны существовать волны, связанные с ними условием Брэгга, т. е.
ке[ — тН и —fcef + тН (см. рис. 5.2.3). Таким образом, при дифракции
излучения вблизи края ФЗЗ в ФК распространяются как минимум
четыре волны: две прямые и две обратные.
Математически существование волн с волновыми числами kel —
— тН и — ке1 + тН наиболее просто и наглядно можно
продемонстрировать на примере распространения излучения в структуре, функция
диэлектрической проницаемости e(z) которой не имеет разрывов. Это
условие позволяет избежать необходимости разложения решений в ряд
Фурье и сшивки решений в каждой точке разрыва. Поэтому, принимая
во внимание тот факт, что законы распространения волн в любой
периодической структуре качественно совпадают, рассмотрим в качестве
простого примера, допускающего аналитическое решение,
распространение излучения в структуре с изменением профиля диэлектрической
проницаемости по гармоническому закону:
гЫ =/e(°), zt[0;L],
{ ' \e(°>[l+A*cos(#z)], ze[0;L],
где е(°) — диэлектрическая проницаемость немодулированной части
среды, /л — амплитуда модуляции, Н = 2ir/d — вектор обратной
решетки структуры, d — период модуляции, число периодов равно N,
L = dN — длина структуры; z = 0, z = L — координаты начала и конца
модулированной части среды. Для нахождения пространственного
распределения электрического поля E(z) в случае линейного
взаимодействия необходимо решить уравнение (5.2.1) с нулевой правой частью.
Пусть в среде распространяется плоская электромагнитная волна
с частотой ш. Тогда электрическое поле волны для интервала [0;L]
можно записать в виде:
E(r, t) = E0{z) exp [i(ut - kxx)}. (5.2.5)
Здесь kx = ковтв — тангенциальная составляющая волнового
вектора, ко — ш/с — модуль волнового вектора излучения в вакууме,

к = кп
=■(0)
модуль волнового вектора в немодулированной среде,
в — угол между направлением распространяется излучения и осью 0z.
Комплексную амплитуду Eq{z) запишем в следующем виде:
E0{z) = E(+\z) + E(~\z) = Al+\z) exp (ikzz) + A^\z) exp (-ikzz),
(5.2.6)
A^(z) — амплитуды прямой (+) и обратной (-) волн, kz = ко х
х у е(°) — sin в — z-проекция волнового вектора излучения. Далее
будем считать модуляцию диэлектрической проницаемости малой, /л <С 1,
чтобы выполнялись соотношения для медленно меняющихся амплитуд
d2A^
dz
<
dAV
dz
Предположим, что дифракция происходит вблизи края первой ФЗЗ,
тогда параметр
5 = kz
Н
2
является малой величиной.
Подставляя (5.2.5) и (5.2.6) в (5.2.1) (PNL полагаем равным нулю),
пренебрегая быстро осциллирующими членами и разделяя слагаемые,
содержащие exp(+i/c2z) и exp(-i/c2z), получим систему
дифференциальных уравнений первого порядка:
А. А(+) = г Ф А(-) exp {-2i5z),
(5.2.7)
Akz
■ A^ = -i^-A^exp(2i5z),
которая решается с граничными условиями
А(+) {z = 0) = A<+), А<-> (z = L) = 0,
где Aq — интенсивность излучения, падающего на границу раздела
однородной и модулированной сред. Условие A^(z = L) = 0 означает,
что на правую границу излучение не падает.
Подставляя решение системы (5.2.7) в (5.2.6), для амплитуд
электрических полей прямой и обратной волн получим следующие
выражения:
£<+>(*) = {
_ J a cos [a(L — z)]
a cos {aL)
£<">(
Mfc: г
4fcz I a cos (aL) — г5 sin (aL)
- z6 sin [a(L- z)} 1 . (+) / Я N
-гй sin (aL) J ^ eXPl?2ZJ'
}4+)ехр(-г| z),
sin [a(L ■
i(aL)
(5.2.8)
(5.2.9)
где a
l52- [^-
цк
AkZ

Вещественные значения напряженностей электрических
полей (5.2.8), (5.2.9) перепишем в виде:
Re [£(+)(z)] = -ц \{а + 5)2 cos (0м z) + {а - 5)2 cos (/?(-> z) -
- (ijpj cos(2c*L) [cos(/3(+)z) +cos(/3(-)z)] -
- (l^pl sin(2aL) [sin(/3(+)e) -sin(/3(-^)]| -4+), (5.2.10)
Rfi[E(-)(z)] = l(^){(a-*)cos(-/3Wz)-
- (a + 5) cos (-/3(-)z) + (a + 5) cos (2aL) cos (-/3(+)z) -
- (a - 5) cos (2aL) cos (-/3(_)z) - (a + 5) sin (2aL) sin (-/3(+)z) -
-{a-6) sin (2aL) sin (-/3(-}z)} • A^+). (5.2.11)
В (5.2.10) и (5.2.11) введены следующие обозначения:
£ = a2cos2(aL) + 52sin2(aL), /3м = j + а, /3(~> = Щ - а.
Из выражений (5.2.10), (5.2.11) видно, что сигнал,
распространяющийся в модулированной среде, имеет четыре волновых компоненты,
характеризующиеся волновыми числами /3^+' и /3^ для прямых волн
и —@(+\ -/З^-) для обратных. Эти волновые числа есть &ef и — ке[ + тН
для прямых волн и — ке[ и &ef — тН для обратных, в данном случае
т = 1. Кроме того, излучение, распространяющееся в ФК, как и любой
сигнал, распространяющийся в ограниченной среде, имеет
пространственный спектр конечной ширины. Ширина спектральных линий при
этом оценивается величиной 2n/L. Таким образом, если расстояние
ДА; между центрами двух спектральных линий удовлетворяет условию
Ак^2тг/Ь, (5.2.12)
то они перестают разрешаться и образуют единую спектральную
линию, центр которой будет смещен относительно центров каждой из
линий. Далее покажем, что если сигнал распространяется на частоте,
соответствующей первому от центра ФЗЗ резонансу пропускания, то
его спектральные компоненты удовлетворяют условию (5.2.12), т.е.
формируют единую спектральную линию.

Коэффициент отражения R сигнала от периодической среды
определяется выражением
sin2(aL)
(3f)'+*W
Резонансы пропускания определяются соотношением R = О,
поэтому им соответствуют:
а= -п, п= 1,2,3,...,
где п — номер резонанса пропускания. Тогда в резонансах
пропускания волновые числа рЫ = (Я/2) + (тггг/L) и 0(-> = (Я/2) - (тттг/L).
Следовательно, Ак = |/3(+) - /?Ч | = 2-кп/Ь, и в первом резонансе
пропускания тг = 1 и Д& = 2тг/Ь, что удовлетворяет условию (5.2.12).
Таким образом, спектральные компоненты, имеющие центрами
волновые числа /3+ и /3_, значительно перекрываются.
Продемонстрируем это на примере косинус-структуры со
следующими параметрами: N = 20, d/Ao = 0,25, е(°) = 4, fi = 0,01. Пусть
излучение падает нормально на границу раздела модулированной и немо-
дулированной частей среды. Выбор значения параметра /л обеспечивает
выполнение условия слабой брэгговской дифракции. Зависимость
коэффициента отражения R такой структуры от нормированной частоты
излучения изображена на рис. 5.2.4, а. Буквами А, В, С
обозначены третий, второй и первый резонансы пропускания соответственно.
На рисунках 5.2.4, б-г изображены пространственные спектры F(k)
полей £(±)(z),
F(k) = 2^ fRe [£(±)(z)] exp(ikz)dz ,
о
в резонансах пропускания A (FA), В (FB), С {Fc); к нормировано
в единицах 27r/L. При к < 0 изображен спектр поля E^~\z), при
к > 0 — спектр поля E^{z). Вертикальные штрих-пунктирные линии
соответствуют положениям векторов kei - mH, —kei, kei и -fce[ + mH
для каждого резонанса пропускания (т — 1). Из рисунков 5.2.4, б, а
видно, что в спектре отраженного сигнала имеются две
спектральные линии одинаковой интенсивности, центры которых соответствуют
векторам fcef — mH, —ке\ эти компоненты отраженного сигнала
формируются при дифракции и отражении (от выходной границы) прямой
волны. В спектре же прямого сигнала присутствует лишь компонента
с центром в fcef, компонента -ке[ + тН отсутствует. Такая ситуация
имеет место вследствие слабой брэгговской дифракции, поскольку ком-
R:
E^\z = 0)
E(+)(z = 0)

четко видна спектральная компонента, соответствующая волновому
числу -&еГ + тН, причем в резонансе В она интенсивнее, чем в А
(рис. 5.2.5, б, в). Это объясняется тем, что при приближении к ФЗЗ
брэгговское отражение усиливается. Увеличение амплитуды
спектральной компоненты —ке{ + тН приводит в тому, что при дифракции
излучения в первом резонансе пропускания С (рис. 5.2.5,г) центр
спектральной линии, образованный перекрытием обеих спектральных
линий, оказывается смещен относительно kei в сторону
координаты тН/2.
Полученные в настоящем разделе результаты применительно к
задаче об эффективности взаимодействия излучений при генерации
сигнала ВГ можно сформулировать следующим образом. Смещение
центров спектральных линий взаимодействующих волн при генерации
ВГ вблизи края соответствующей ФЗЗ приводит к тому, что условия
фазового синхронизма (5.2.2)-(5.2.4) становятся некорректными как
для отраженной волны в случае слабой дифракции, так и для
отраженной и прямой волн в случае сильной дифракции. Таким образом,
для определения оптимальных условий генерации нелинейного сигнала
необходимо учитывать эффективность перекрытия пространственных
спектров взаимодействующих волн. Поскольку максимальная
эффективность взаимодействия фундаментальных волн с сигналом ВГ будет
иметь место при совпадении суммы волновых чисел наиболее
интенсивных спектральных компонент основных волн (иными словами,
волнового числа волны нелинейной поляризации) с центром линии сигнала
ВГ, то в этом случае вместо выражений (5.2.2), (5.2.3) необходимо
использовать следующие модифицированные полуфеноменологические
параметры синхронизма для центров уширенных спектральных линий:
A(±) = (jfej±)+^±)-JfeS±))L, (5.2.13)
характеризующие условия синхронизма
Д(±)^тг/2 (5.2.14)
при генерации прошедшего Д(+) и отраженного Д(~) нелинейных
сигналов. Здесь к\ ' — волновые числа, соответствующие центрам
спектральных линий пространственных спектров прямой (+) и
обратной (—) волн основных (г = 1,2) и нелинейного (г = 3) сигналов.
В общем случае падения излучения на ФК под произвольным углом
в выражении (5.2.13) должны стоять величины г-проекций волновых
векторов центров спектральных линий k\z '.
Например, в случае сильной дифракции излучения вблизи
первого резонанса пропускания центры линий отраженных сигналов точно
определяются выражением к\' — ггцН/2, где т^ — номер соответ-

ствующей ФЗЗ. Для прямых волн это равенство также
выполняется, хотя и приближенно. Следовательно, как для отраженных, так
и для прошедших волн параметры (5.2.13) можно записать в
виде Д(±) = (ттц + rri2 - тз)НЬ/2. Поэтому в случае, изображенном
на рис. 5.2.2, где имеет место сильная дифракция и номера ФЗЗ
mi,2 = 2, m3 = 4, параметры Д(±) = (2 + 2 - 4)#L/2 = 0 и
модифицированные условия фазового синхронизма выполнены точно. Это
объясняет существование максимума интенсивности сигнала ВГ в
точке В (рис. 5.2.2, а). На рис. 5.2.2, в изображены зависимости
параметров (5.2.13) для прямого (черные круги) и отраженного (белые круги)
сигналов от частоты излучения, где положения центров линий
определялись непосредственно из пространственных спектров полей в
структуре. Хорошо видно, что условия синхронизма (5.2.14) в приближении
уширенных спектральных линий действительно выполняются вблизи
первых резонансов пропускания.
Генерация сигнала ВГ вблизи точки запрещенного брэггов-
ского отражения: слабая и сильная дифракции.
Продемонстрируем выполнение модифицированных условий фазового
синхронизма (5.2.13), (5.2.14) на примере генерации сигнала ВГ вблизи точки
так называемого запрещенного брэгговского отражения (ЗБО). Эффект
ЗБО имеет место в том случае, когда для волны, распространяющейся
в слоистой структуре, выполнено условие Брэгга 2к — тН, однако
каждый слой структуры удовлетворяет условию безотражательного
прохождения света. Тогда вместо полного отражения сигнала от
структуры, которое должно происходить при выполнении условия Брэгга,
имеет место его полное пропускание. В частности, для ФК, состоящего
из чередующихся слоев двух типов, в случае распространения
излучения вдоль нормали к поверхности ФК, эффект ЗБО наблюдается,
если оптические толщины d\ нечетных и йг четных слоев будут кратны
половине длины волны излучения. То есть di = р\$/2щ, где р —
любое положительное целое число, индекс i — 1 соответствует нечетным
слоям, г = 2 — четным, щ — коэффициенты преломления слоев.
Рассмотрим изменение частотной зависимости интенсивности /W
сигнала ВГ, генерируемого вблизи точки ЗБО для сигнала с частотой
2ш, при увеличении контраста Дтг = \ni — пг| коэффициентов
преломления материалов, из которых изготовлен ФК, т. е. при увеличении
брэгговской дифракции в ФК, причем излучение основного сигнала
распространяется вблизи края ФЗЗ. Для примера возьмем
модельную среду, имеющую следующие параметры: N = 15, d^2 — 3Ao/4ni2,
щ = 1, nsubs = 1; П2 изменяется; нелинейными являются четные слои;
материальная дисперсия отсутствует. Будем рассматривать генерацию
сигнала в неколлинеарной геометрии взаимодействия (рис. 5.2.1).

ФК эффект ЗБО будет иметь место для сигнала ВГ, частота которого
2ш0 соответствует центральному резонансу пропускания на частотной
зависимости коэффициента отражения R сигнала ВГ (рис. 5.2.6, а-в).
Остальные резонансы пропускания влево и вправо от него есть первые,
вторые и т.д. резонансы пропускания, которые аналогичны резонансам
пропускания вблизи ФЗЗ как по структуре распределения поля, так
и по виду спектров. Они обозначены на графике кривой отражения
номерами (-1), (-2) и (+1), (+2), резонанс (0) — точка ЗБО.
На рис. 5.2.6, а изображены зависимости интенсивности 1^\
коэффициента отражения R и параметров синхронизма ДВРМ и Д(+) в
случае слабой дифракции излучения. Из рисунка видно, что положение
максимума интенсивности проходящего сигнала ВГ точно совпадает
с положением нулевых значений параметров ДФС и Д("Н
Пространственные спектры основных волн в силу выбранной геометрии
взаимодействия аналогичны спектру изображенному на рис. 5.2.4, г, как для
прямой, так и для обратной волн. Поэтому центр спектральной линии
прямой волны всегда совпадает со значением 2kfz, где kfz — z-npo-
екция эффективного волнового вектора фундаментального сигнала,
и значения параметров ДВРМ и Д(+) при изменении частоты совпадают.
Спектры сигнала ВГ в резонансе (±2) имеют вид, аналогичный спектру
на рис. 5.2.4, а, а в резонансе (±1) — аналогичный 5.2.4, г. Таким
образом, модифицированные условия фазового синхронизма (5.2.14)
для прямого сигнала выполняются вблизи резонанса пропускания (-2),
где перекрываются наиболее интенсивные спектральные компоненты
взаимодействующих волн, а для отраженного сигнала вблизи резонан-
сов пропускания (±1) и точки ЗБО.
На рис. 5.2.6, б изображены зависимости, аналогичные рис. 5.2.6, а
в промежуточном случае, когда дифракцию уже нельзя считать слабой.
Как и ожидалось, для отраженного сигнала картина качественно не
изменилась, увеличилась лишь интенсивность нелинейного сигнала
ВГ, поскольку, вследствие усиления дифракции, возросла амплитуда
обратных волн. Максимум же интенсивности прошедшего сигнала ВГ
сместился вправо относительно положения точки Д0РМ — 0, кривые
ДврмМ и Д(+)(ш) не совпадают. Это связано с тем, что в спектрах
прямых сигналов, как линейного, так и нелинейного, появились
спектральные компоненты с координатами —kz+mH, величины которых
уже не малы. Положение нулевого значения параметра Д(+) совпадает
с максимумом распределения интенсивности /(+) прошедшего
нелинейного сигнала.
Наконец, на рис. 5.2.6, а изображены зависимости при сильной
дифракции излучений, когда спектральные компоненты прямых сигналов,
соответствующие -ksJ + тН, становятся интенсивными.
Результирующие линии в первых резонансах пропускания для основных волн

имеют вид, аналогичный рис. 5.2.5, г, а положения их центров
практически точно совпадают с тпН/2. Поэтому максимумы интенсивности
как прямого, так и обратного сигналов ВГ соответствуют резонансам
пропускания (±1).
Таким образом, на примере генерации сигнала ВГ выше был
проведен анализ условий наиболее эффективного нелинейного
взаимодействия в конечном одномерном ФК в случаях сильной и слабой
дифракций. Использование неколлинеарной геометрии взаимодействия
волн позволило реализовать условия несинхронного усиления сигнала
ВГ и определить параметры волн, при которых одновременно
наиболее точно выполняются и условия синхронизма. Учет ограниченности
среды при генерации сигнала ВГ вблизи ФЗЗ или точки запрещенного
брэгговского отражения приводит к изменению традиционных условий
фазового синхронизма для прямых волн в случае сильной дифракции
и для отраженных волн при сильной и слабой дифракциях.
Модифицированные условия фазового синхронизма в ограниченном ФК следует
записывать не для точных значений эффективных волновых векторов
отдельных брэгговских мод, а для центров линий пространственных
спектров, учитывающих перекрытие близких линий, уширенных
вследствие конечных размеров образца. Использование таких
модифицированных условий позволило наглядно объяснить предсказанный эффект
синхронного усиления нелинейного сигнала при совпадении первых
резонансов пропускания для основной волны и сигнала ВГ вблизи ФЗЗ.
Эти результаты могут быть также использованы при анализе условий
эффективности нелинейно-оптических преобразований других типов
(параметрических, комбинационных, ВКР и др.) в ограниченных ФК.
Приближение заданного поля в методе матрицы переноса
излучения, используемое в предыдущих параграфах, позволяет лишь
сравнить интенсивности нелинейных сигналов, генерируемых при
различных условиях. Однако оценить абсолютную эффективность такой
генерации, т. е. долю энергии волны на основной частоте, переходящую
в нелинейный сигнал, возможно лишь в результате решения
динамической задачи, которое и проведено в следующем параграфе.
§ 5.3. Динамика генерации второй гармоники
при одновременном выполнении условий
синхронного и несинхронного усилений
параметрического взаимодействия
Теоретический анализ процессов генерации сигналов второй
гармоники и суммарной частоты при несинхроном и синхронном
усилениях проводился выше методом рекуррентных соотношений Паррата

и во времени огибающие амплитуд полей основой и второй гармоник
прямой и обратной волн. Здесь же мы будем искать решение для
амплитуд, медленно изменяющихся во времени, но быстро меняющихся
по пространственной переменной z. При этом поле (5.3.1) запишется
в более компактной форме:
E{r, t) = Аш{г, 1)е-^ + А2ш{г, 1)е^2шЬ + к. с, (5.3.2)
а произвольные пространственные изменения поля учитываются в
«амплитудах» сигналов. Тогда нелинейная поляризация для процесса
генерации ВГ принимает вид
P*dr, t) = 2Х(2) (z)A*Jz, t)A2ul(z, t)e~™ + Х(2) (г)А2ш(z, t)e~i2ut + к. с.
(5.3.3)
Индекс ui относится к величинам, описывающим основную волну,
а индекс 2ш — волну ВГ. Подставляя (5.3.2) и (5.3.3) в волновое
уравнение (5.1.2), получим систему уравнений, которые описывают
распространение полей основной и второй гармоник в структуре с
произвольной модуляцией функций е(£) и х®(£):
еп(О^Г " г 4^ d~if ~ Ме^)Ап - i8n2nXi2\OAhA2n = О,
| е2П(0^ " ^ ^ " ^IkjnCO^ - Мп*С&*>{№ = О,
(5.3.4)
где введены безразмерные временная т — ci/Ao и пространственная
£ = z/Xq переменные и безразмерная частота Q — cj/cjq, uiq —
нормировочная частота, Ло = 2-kc/uiq. В уравнениях (5.3.4) опущены слагаемые,
содержащие вторые производные по времени, а также производные
амплитуд нелинейной поляризации по времени. Таким образом, мы
полагаем, что амплитуды импульсов изменяются достаточно медленно во
времени {\д2Аа,2п/дт2\ <С Q2 \Aq^2q\), а их длительности много больше
времени релаксации поляризации. Такое приближение хорошо
выполняется при длительности импульсов более 10 фс. Кроме того, в
уравнениях (5.3.4) не учитываются эффекты распространения импульсов:
дисперсионное расплывание волнового пакета и эффект группового
запаздывания. Это приближение реализуется, если ширина импульса
значительно больше толщины ФК. В нашем случае для структуры
толщиной ~ 10 мкм длительность импульса должна быть больше или
порядка 50 фс. Система уравнений (5.3.4) решается со следующими
начальными и граничными условиями:
(5.3.5)

^ = Ои^ = Ь- координаты начала и конца области интегрирования
(рис. 5.3.1), Ао(£) — начальное распределение амплитуды основного
сигнала в вакууме. В данной задаче Ао(£,) выбиралось в виде гауссовой
функции:
4,(0 = А0 ехр ("4 (^ " Lcf) ■ (5.3.6)
Здесь параметры а и Lc характеризуют ширину импульса и
положение его центра в безразмерных координатах. Параметр а
связан с реальной длительностью импульса тимп следующим
соотношением: тимп = а\0/2с.
Используя следующие инварианты уравнений (5.3.4):
L
1\(т)= (еп \An\2+e2n\A2n\2^d£ = const, (5.3.7)
Hi
8?rfi
о
дАп2
д*
+
8Ar- 2
i2Sl
д£
2тгП (еа\Аа\2 + е2п\А2п\2^
-8n2X^n(A*n2A2Q + AlA*2a)
d£ = const, (5.3.8)
для задачи (5.3.4)-(5.3.6) построена консервативная разностная схема.
При численном моделировании распространения и генерации
импульсов инварианты (5.3.7) и (5.3.8) сохраняются с любой наперед заданной
точностью, причем используемый подход (без разделения полей по
направлениям распространения (5.3.2)) более экономичен в плане
требуемого для расчета времени по сравнению с традиционным подходом.
Все расчеты в настоящем параграфе проводились для ФК со
следующими параметрами: N — 10, d\ — ЗЛо/4, d2 = Ао/2, щ(П) = 1,0,
п2{П) = 2,0, щ(2П) = 1,001, п2(2П) = 2,3905, х[2) = Х?) = 10 ПМ/В-
в качестве подложки рассматривался вакуум, поглощение излучения
не учитывалось. Интенсивность основного излучения / = 1 ГВт/см2.
Параметры структуры выбирались таким образом, чтобы при генерации
ВГ одновременно выполнялись условия НУ и дисперсионного фазового
синхронизма.
На рис. 5.3.2 представлены зависимости энергетического
коэффициента отражения R фундаментального излучения (черные круги) от
частоты О, для импульсов различной длительности. Сплошной
линией изображен коэффициент отражения R бесконечной
монохроматической волны, рассчитанный методом матрицы переноса
излучения. Из рис. 5.3.2, а видно, что при достаточно длительном импульсе
(а = 300, т. е. при данном а, например, для Ло = 900 нм, тимп = 450 фс)
кривая отражения по виду практически совпадает с кривой для моно-

спектр сигнала уширяется, но если значение Aft незначительно
превосходит ширину резонанса пропускания, то резонансы кривой отражения
для импульса остаются четко выраженными: рис. 5.3.2,6 — резонансы
вблизи ft = 0,78 и ft = 0,8 (Aft = 0,0067); рис. 5.3.2, в - резонанс
вблизи ft = 0,78 (Aft = 0,01). Далее, при а = 50 ширина спектра
сигнала Aft = 0,02 и примерно равна расстоянию между резонансами
пропускания монохроматического излучения (рис. 5.3.2, г). Таким
образом, при распространении короткого импульса, независимо от значения
его несущей частоты, различные частотные компоненты будут лежать
как в области резонанса пропускания, так и в области локального
максимума R. Поэтому энергетический коэффициент отражения короткого
импульса представляет собой усреднение коэффициентов отражения
различных участков спектра, и при дальнейшем уменьшении
длительности импульса изменяться практически не будет.
Особенности распространения импульсов, связанные с конечностью
их спектральной ширины, оказывают существенное влияние на
эффективность нелинейного взаимодействия сигналов в ФК, в частности,
на эффективность преобразования основного сигнала в сигнал ВГ.
Параметры структуры выбирались таким образом, что максимальная
эффективность генерации ВГ имеет место при оптимальной частоте
фундаментальной волны примерно равной ft к 0,8, при которой
выполняются условия НУ и фазового синхронизма. С увеличением
длительности импульса естественно будет ожидать повышения эффективности
процесса генерации ВГ, так как все большая часть энергии основного
излучения будет локализована вблизи оптимальной частоты ft и 0,8.
Сделанное выше предположение подтверждается зависимостями,
изображенными на рис. 5.3.3. Эффективность преобразования
сигнала накачки в сигнал ВГ будем характеризовать параметром г)^ =
= (W^/Wq) ■ 100%, где Wq — начальная энергия падающего на
ФК импульса, W^Q — энергия прошедшего (+) и отраженного (-)
сигналов ВГ. На рис. 5.3.3 для импульсов различной длительности
изображены частотные зависимости эффективности преобразования
отраженного ?/_) (черные круги) и прошедшего rf+^ (белые круги)
сигналов ВГ. Видно, что с ростом длительности импульса
действительно происходит увеличение максимальной эффективности перекачки.
При этом ширина пика генерируемого сигнала ВГ становится уже,
что также объясняется уменьшением спектральной ширины импульса
накачки.
Исследование эффективности нелинейного преобразования
сигналов в зависимости от интенсивности накачки и значения нелинейной
восприимчивости показало, что эффективность преобразования
энергии ц = ?/+) + г](~^ возрастает линейно с ростом интенсивности на-

§ 5.4. Увеличение интенсивности излучения
терагерцового диапазона при генерации сигнала
разностной частоты в условиях несинхронного
усиления взаимодействия волн в фотонном кристалле
Известно, что для большинства оптически нелинейных кристаллов
показатель преломления в терагерцовом диапазоне частот [и — с/Л ~
~ (0,1-5) • 1012 Гц, длины волн Л ~ 0,06-3 мм) может значительно
превышать соответствующие значения в видимой области спектра. По этой
причине практически никогда невозможно осуществить условие
фазового синхронизма. Кроме того, большое поглощение (~ 10-Ю2 см-1)
в субмиллиметровой области накладывает жесткие ограничения на
предельную толщину нелинейного кристалла. Поэтому в настоящем
параграфе обсуждается возможность использования эффекта
локализации поля для несинхронного усиления генерации излучения на
разностной частоте о>з = ш\ — и)% при падении лазерных пучков с
частотами uj\ и и)2 на тонкий одномерный ФК [316-318]. Показано, что при
оптимальном выборе параметров одномерного ФК возможно
повышение интенсивности генерируемого терагерцового излучения в десятки
раз по сравнению с генерацией в однородной нелинейной среде той же
толщины.
Рассмотрим процесс генерации излучения на разностной частоте
(РЧ) шз = ш\ — о>2 при падении на одномерный ФК двух плоских волн
Е\2 с частотами ш\, и>2 (5.1.1). Модель нелинейного ФК и геометрия
взаимодействия волн аналогичны описанным в §5.1. Как и в §§5.1-5.2
мы будем использовать метод матрицы переноса излучения для
решения нелинейного волнового уравнения
AEj{f) + е^г)к]Ё{т) = -4яЩР^(г), (5.4.1)
где РУ1 — квадратичная поляризация. В дальнейшем будем считать,
что среда является слабо нелинейной, поэтому амплитуды полей Ез
на разностной частоте (РЧ) можно вычислять в приближении
заданных амплитуд Ei 2 полей на основных частотах, т.е. в (5.4.1)
Pft = 0, Pf(r) = x{2\z)El{f)E*2{r).
Решение линейной задачи приведено в §5.1, а для решения
нелинейного неоднородного уравнения (5.4.1) с j — 3 необходимо
подставить в его правую часть суперпозицию двух собственных
решений (5.1.4) однородной задачи. Решение этого уравнения для поля на
разностной частоте о>$ в каждом слое представляет собой сумму
[Узт(г) + Езт(г)} exp (ik3xx - iui3t)

неоднородного (первое слагаемое) и однородного решений, где /сзт =
= fcix — /с2т. Непосредственно из (5.4.1) следует, что
V3m{z) = V^ exp {iAsmz) + V^~] exp {-iAsmz), (5.4.2)
ГДе ASm = 5(771 ^2m'
Am = [(sim-sU2-sL}/kl (5.4.4)
Xm = ёзХт &\&2- Величина s^m в (5.4.4) определяется
выражением (5.1.3) с j = 3, где в силу непрерывности тангенциальных компонент
волновых векторов на границах разделов слоев угол выхода $з
излучения на РЧ в вакуум из ФК по отношению к нормали определяется из
уравнения
/casing — ki sin$i — /с2 sin$2- (5.4.5)
Отсюда, в частности, следует, что в случае коллинеарной геометрии,
т. е. при #i = $2, угол 1?з = $i •
Амплитуды распределенных в ФК нелинейных источников (5.4.3)
пропорциональны произведению амплитуд волн на основных частотах
и обратно пропорциональны параметру Ат (5.4.4), величина
которого определяется частотной дисперсией показателей преломления rijm
и пространственной ориентацией волновых векторов падающих
излучений, т.е. углами $i и $2-
Решение однородного уравнения (5.4.1) для излучения с разностной
частотой шз в каждом m-м слое имеет вид суммы (5.1.4). В
итоге нелинейная задача генерации РЧ ставится следующим образом:
с привлечением очевидных граничных условий Е^0 = 0 и Е$ 2N+2 = ^
требуется найти интенсивности сигнала РЧ IR = \Е^0 в обратном
и 1Т = |-Е"з2лг+2| в прямом направлениях в областях регистрации в
вакууме. Эта задача решается аналогично §5.1 методом рекуррентных
соотношений, или методом матрицы переноса излучения, для амплитуд
E\J при наличии известных нелинейных источников К„ .
Перейдем теперь к обсуждению условий, при которых наиболее
эффективно реализуется генерация разностной частоты в одномерном
ФК. Как уже отмечалось выше, интенсивность сигнала РЧ повышается
с уменьшением параметра Ат (5.4.4) и с увеличением произведения
^\тпЩт* в амплитудах нелинейных источников (5.4.3). Параметр Ат
характеризует как эффективность нелинейных источников, так и,
фактически, отклонение от условия фазового синхронизма Akmdm <С 1,
где A/cm = S{m
S2m - S3m- Однако отличия величин показателей
преломления nm{uij) в каждом слое из-за частотной дисперсии даже
во втором знаке после запятой приводят к тому, что параметр Ат 3> 1

гии излучения в ФК изменяется, то на рис. 5.4.6 показаны лишь те
значения /тгц, для которых выполнялось условие НУ. Значения
интенсивности /тгц нормированы на интенсивность сигнала, генерируемого
в однородной пленке толщиной D = 10^2 с коэффициентом
преломления ri2(w), т.е. толщина пленки равна 10 толщинам нелинейных слоев
ФК, формирующих сверхрешетку.
На рис. 5.4.6,а показана зависимость интенсивности ТГц сигнала
/тгц, когда прослойкой является вакуум, т.е. в прослойке отсутствует
дисперсия. В этом случае виден ряд эквидистантных максимумов,
соответствующих разным порядкам синхронизма т. Порядки
синхронизма на рисунке обозначены значениями параметра т и стрелками,
показывающими какому максимуму интенсивности данный порядок
соответствует. Эквидистантность положения максимумов интенсивности
связана с отсутствием дисперсии в прослойке, так как при
увеличении ее толщины фазовые соотношения между волнами основных
и нелинейного сигналов будут повторяться периодически, поэтому
компенсация расстройки волновых векторов (5.4.6) будет иметь место
при всех порядках дифракции тп. Ситуация меняется, если ввести
дисперсию коэффициента преломления прослойки tiq: щ(ш1,Ш2) = 1.3,
щ{^з) =3,0 (рис. 5.4.6, б). В этом случае значение параметра
синхронизма (5.4.6) удовлетворяет условию синхронизма не для всех тп,
однако периодичность максимумов сохраняется. На рис. 5.4.6,б
показаны максимумы интенсивности при тп = 3 и тп = 8, но существуют
также максимумы при тп — 13, тп = 18 и т. д. Положение максимумов
на рис. 5.4.6,6, так же как и на рис. 5.4.6, а, эквидистантно. Если
ввести дисперсию коэффициента преломления прослойки для основных
волн (щ(и)\) = 1,3, щ(ш2) — 1,299), то периодичность максимумов /тгц
исчезает вовсе (рис. 5.4.6, в), но, тем не менее, в распределении /тгц
существует пик с интенсивностью того же порядка, что и в предыдущих
случаях. Численные расчеты показывают, что практически для любых
значений щ(ш) с произвольным законом дисперсии удается подобрать
значение Lq, при котором для какого-либо порядка синхронизма тп
условие квазисинхронизма выполняется. Поэтому благодаря
дифракции излучений на сверхрешетке при генерации ТГц сигнала на
разностной частоте становится возможным одновременно удовлетворить
условиям фазового синхронизма и несинхронного усиления.
При исследовании эффективности генерации ТГц излучения в
сверхрешетке ФК особый интерес представляет зависимость
максимальной интенсивности нелинейного сигнала от числа периодов JVOK
сверхрешетки и числа периодов N в ФК, формирующих сверхрешетку.
Решим эту задачу на примере сверхструктуры, в которой в качестве
материала прослойки выбран вакуум. Толщину прослойки каждый раз
будем выбирать таким образом, чтобы значение интенсивности при

сверхрешетки ФК с пространственным периодом, близким к длине
волны терагерцового диапазона, позволяет повысить интенсивность
генерируемого терагерцового сигнала на 3 порядка по сравнению со
сплошной средой. Это происходит благодаря возможности точного
удовлетворения условию НУ и компенсации расстройки волновых
векторов взаимодействующих волн в сверхрешетке за счет вовлечения
в условия синхронизма вектора обратной решетки сверхструктуры.
Причем как НУ, так и квазисинхронизм наиболее хорошо реализуются
в структуре с небольшим числом периодов сверхрешетки и ФК.
Поэтому для получения интенсивных нелинейных сигналов достаточно
использовать компактную структуру, что в значительной степени
позволяет решить проблему поглощения терагерцового излучения в ФК
при условии отсутствия поглощения в прослойке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Darvin C.G. The Theory оГ X-ray Reflexion // Philosophical Magazine and
Journal of Science. 1914. V. XXVII, № CLVIII. P. 315-333.
2. Брэгг У.Г., Брэгг У.Л. Рентгеновские лучи и строение кристаллов. —
М.-Л., 1929.
3. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических
структурах. — М.: ИЛ, 1959.
4. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973.
5. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристалла. — М.: Мир, 1987.
6. Волощенко Ю.И., Рыжов ЮН., Сотин В.Е. Стационарные волны в
нелинейных периодически модулированных средах с большим групповым
замедлением // ЖТФ. 1981. Т. 51, № 5. С. 902-907.
7. Манцызов Б.И., Кузьмин Р.Н. Самоиндуцированное подавление брэггов-
ского рассеяния импульса резонансного излучения в периодической
среде // Письма в ЖТФ. 1984. Т. 10, № 14. С. 857-860.
8. Манцызов Б.И., Кузьмин Р.Н. О когерентном взаимодействии света с
дискретной периодической резонансной средой // ЖЭТФ. 1986. Т. 91, № 1(7).
С. 65-77.
9. Кившарь Ю.С., Агравал Г. П. Оптические солитоны. От волоконных
световодов до фотонных кристаллов. — М.: Физматлит, 2005.
10. Dowling J.P. Photonic & Sonic Band-Gap Bibliography // http//phys.lsu.
edu/~jpdowling/pbgbib.html.
11. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and
electronics // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58, №20. P. 2059-2062.
12. Yablonovitch E. Photonic crystals // J. Mod. Opt. 1994. V.41, №2.
P. 173-194.
13. John S. Strong localization of photons in certain disordered dielectric super-
lattices // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58, №23. P. 2486-2489.
14. Sakoda K. Optical Properties of Photonic Crystals. — Springer, Berlin, 2001.
15. Johnson S.G., Joannopoulos J.D. Photonic Crystals: The Road from Theory
to Practice. — Boston: Kluwer Academic, 2001.
16. Slusher R.E. Nonlinear Photonic Crystals // Ed. B.J. Eggleton. - N.Y.:
Springer-Verlag, 2003.
17. Maimistov A.I., GabitovI.R. Nonlinear optical effects inartificial materials//
Eur. Phys. J. Special Topics. 2007. V. 147. P. 265-286.
18. Busch K., Von Freymann G., binder S. et al. Periodic nanostructures for
photonics // Physics Reports. 2007. V. 444. P. 101-202.
19. Желтиков A.M. Оптика микроструктурированных волокон. — M.: Наука,
2004.

20. Kurizki G., Kozhekin A., Opatrny Т., Malomed B. Optical solitons in
periodic media with resonant and off-resonant nonlinearities // Progress in Optics
V.42 / Ed. E. Wolf. 2001. P. 93-140.
21. Пинскер З.Г. Динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в
идеальных кристаллах. — М.: Наука, 1974.
22. Пинскер З.Г. Рентгеновская кристаллооптика. — М.: Наука, 1982.
23. Джеймс Р. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. — М.:
ИЛ, 1950.
24. Быков В. П. Возбужденные молекулы в среде с отрицательной
диэлектрической проницаемостью // ЖЭТФ. 1972. Т. 63, №4. С. 1227-1234.
25. Neshev D.N., Su.khoru.kov A. A., Mitchel A. et al. Optical lattices as
nonlinear photonic crystals // Proc. of SPIE. 2007. P. 6604. 66041B.
26. Быков В. П. Спонтанное излучение в периодической структуре // ЖЭТФ.
1972. Т. 62, №2. С. 505-513.
27. Быков В. П. Лазерная электродинамика. Элементарные и когерентные
процессы при взаимодействии лазерного излучения с веществом. — М.: Физ-
матлит, 2006.
28. John S., Quang Т. Spontaneous emission near the edge of a photonic band
gap // Phys. Rev. A. 1994. V. 50, №2. P. 1764-1769.
29. Fogel I., Bendickson J., Tocci M., Bloemer M. et al. Spontaneous emission
and nonlinear effects in photonic bandgap materials // Pure Appl. Opt. 1998.
V. 7. P. 939-407.
30. Tocci M.D., Scalora M., Bloemer M.J., Bowling J.P., Bowden CM.
Measurements of spontaneous-emission enhancement near the one-dimensional
photonic band edge of semiconductor heterostructures // Phys. Rev. A. 1996.
V. 53, № 4. P. 2799-2803.
31. Petrov E.P., Bogomolov V.N., Kalosha 1.1., Gaponenko S.V. Spontaneous
emission of organic molecules embedded in a photonic crystal // Phys. Rev.
Lett. 1998. V. 81, № 1. P. 77-80.
32. Manga Rao V.S. C, Hughes S. Single quantum dot spontaneous emission in
a finite-size photonic crystal waveguide: proposal for a efficient «on chip»
single photon gun // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99. P. 193901.
33. Lund-Hansen Т., Stobbe S., Julsgaard B. et al. Experimental realization of
highly efficient broadband coupling of single quantum dots to a photonic
crystal waveguide // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 101. P. 113903.
34. Settimi A., Severini S., Centini M., Slbilia C, Bertolotti M., Napoli A.,
Messina A. Coherent control of stimulated emission inside one-dimensional
photonic crystal // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 066606.
35. Schafer M.t Werchner M., Hoyer W. et at. Quantum theory of luminescence
in multiple-quantum-well Bragg structures // Phys. Rev. В 2006. V. 74.
P. 155315-1-11.
36. Yeh P., Yariv A., Hong С Electromagnetic propagation in periodic stratified
media. I. General Theory // J. Opt. Soc. Am. 1977. V. 67, №4. P. 423-438.
37. Steinberg A.M., Kwiat P.G., Chiao R. Y. Measurement of the single-photon
tunneling time // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71, №5. P. 708-711.

38. Steinberg A.M., Chiao R.Y. Subfemtosecond determination of transmission
delay times for a dielectric mirror (photonic band gap) as a Function of the
angle of incidence // Phys. Rev. A. 1995. V. 51, № 5. P. 3525-3528.
39. Scalora M., Flynn R.J., Reinhardt S.B. et al. Ultrashort pulse propagation
at the photonic band edge: Large tunable group delay with minimal distortion
and loss // Phys. Rev. E. 1996. V. 54, № 2. P. R1078-1081.
40. Imhof A., Vos W.L., Sprik R., Lagendijk A. Large dispersive effects near
the band edges of photonic crystals // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83, № 15.
P. 2942-2945.
41. Pereyra P., Simajuntak H. Time evolution of electromagnetic wave packets
through superlattices: evidence for superluminal velocities // Phys. Rev. E.
2007. V. 75. P. 056604.
42. Brillouin L. Wave propagation and group velocity. — Academic Press, NY,
1960.
43. Chu S., Wong S. Linear pulse propagation in an absorbing medium // Phys.
Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 738-741.
44. Yariv A., Yeh P. Electromagnetic propagation in periodic stratified media.
II. Birefringence, phase matching, and x-ray laser // J. Opt. Soc. Am. 1977.
V. 67, № 4. P. 438-448.
45. D'Aguanno G., Centini M., Scalora M., Sibilia С et al. Group velocity,
energy velocity, and superluminal propagation infinite photonic band-gap
structure // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. P. 036610.
46. Doiron S., Hache A., Winful H. Direct space-time observation of pulse
tunneling in an electromagnetic band gap // Phys. Rev. E. 2007. V. 76.
P. 023823.
47. Notomi M., Yamada K., Shinya A. et al. Extremely large group-velocity
dispertion of line-defect waveguides in photonic crystal slabs // Phys. Rev.
Lett. 2001. V. 87, № 25. P. 253902-1-4.
48. Gersen H., Karle T.J., Engelen R.J. et al. Real-space observation of ultra-
slow light in photonic crystal waveguides // Phys. Rev. Lett. 2005. V. 94.
P. 073903-1-4.
49. Assefa S., Vlasov Yu.A. High-order dispersion in photonic crystal
waveguides // Opt. Express. 2007. V. 15, №26. P. 17562-17569.
50. Li J., White Т., O'Faolain L. et al. Systematic design of flat band slow light in
photonic crystal waveguides // Opt. Express. 2008. V. 16, № 2. P. 1104-1114.
51. Ha S., Sukhorukov A.A., Dossou K.B. et al. Dispersionless tunneling of
slow light in antisymmetric photonic crystal couplers // Opt. Express. 2008.
V. 16, №9. P. 6227-6232.
52. Altug H., Vuckovic J. Experimental demonstration of the slow group velocity
of light in two-dimentional coupled photonic crystal microcavity arrays //
Appl. Phys. Lett. 2005. V. 86. P. 111102.
53. Scalora M., Bloemer M.J., Manka A.S. et al. Pulse second-harmonic
generation in nonlinear, one-dimensional, periodic structure // Phys. Rev. A. 1997.
V. 56, №4. P. 3166-3174.

54. Петров Е.В., Бушуев В.А., Манцызов Б.И. Повышение эффективности
генерации сигнала удвоенной частоты в широком интервале длин волн
в одномерных структурах с фотонными запрещенными зонами // Изв.
РАН, сер. физическая. 2002. Т. 66, № 12. С. 1787-1792.
55. Smith D.R., Dalichaouch R., Kroll N., Schultz S., McCall S.L., Platz-
man P.M. Photonic band structure and defects in one and two dimensions //
J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10, №2. P. 314-321.
56. Wang R., Dong J., Xing D. Y. Defect study in a one-dimensional photonic
Band Gap Structure // Phys. Stat. Sol. (b). 1997. V. 200. P. 529-534.
57. Ye J. Y., Ishikawa M., Yamane Y., Tsurumachi N., Nakatsuka H.
Enhancement of two-photon excited fluorescence using one-dimensional photonic
crystals // Appl. Phys. Lett. 1999. V. 75, №23. P. 3605-3607.
58. Shen J., Zhang Z., Hua Z. Observation of two-photon absorption
enhancement at double defect modes in one-dimensional photonic crystals // Appl.
Phys. Lett. 2006. V. 88. P. 011113.
59. Kosaka H., Kawashima Т., Tomita A., Notomi M., Tamamura Т., Sato Т.,
Kawakami S. Superprism phenomena in photonic crystals // Phys. Rev. B.
1998. V. 58, № 16. P. R10096-R10099.
60. Аракелян СМ., Геворкян Л.П., Макаров В.А. Компрессия
частотно-модулированных импульсов при динамическом рассеянии в геометрии Лауэ //
Квантовая электроника. 1989. Т. 16, №9. С. 1846-1849.
61. Аракелян СМ., Макаров В.А., Слинкин В.Ю. Компрессия частотно-
модулированных импульсов при динамическом рассеянии в
кристаллах в геометрии Брэгга // Квантовая электроника. 1992. Т. 19, №5.
С. 474-476.
62. Koroteev N.I., Magnitskii S.A., Tarasishin A.V., Zheltikov A.M.
Compression of ultrashort light pulses in photonic crystals: when envelopes cease to
be slow // Optics Communication. 1999. V. 159. P. 191.
63. Szipocs R., Ferencz K., Spielmann C, Krausz F. Chirped multilayer coatings
for broadband dispersion control in femtosecond lasers // Opt. Lett. 1994.
V. 19, №3. P. 201-203.
64. Haus J. W., Hayduk M., Kaechele W., Shaulov G., Theimer J., Teegarden K.,
Wicks G. A mode-locked fiber laser with a chirped grating mirror // Optics
Communications. 2000. V. 174. P. 205-214.
65. Belyakov V.A. Low threshold DFB lasing in chiral LC at diffraction of
pumping wave // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2006. V. 453. P. 43-69.
66. Matsuhisa Y., Huang Y., Zhou Y. et al. Low-threshold and high efficiency
lasing upon band-edge excitation in a cholesteric liquid crystal // Appl. Phys.
Lett. 2007. V. 90. P. 091114.
67. Longhi S. Stopping and time reversal of light in dynamic photonic structures
via Bloch oscillations // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 026606.
68. Galisteo-Lopez J., Vos W.L. Angle-resolved reflectivity of single-domain
photonic crystals: effects of disoder // Phys. Rev. E. 2002. V. 66, № 16.
P. 036616-1-5.

69. Nair R. V., Vijaya R. Observation of higher-order diffraction features in self-
assembled photonic crystals // Phys. Rev. A. 2007. V. 76. P. 053805-1-7.
70. Schutzmann S., Venditti I, Prosposito P. et al. Hihg-energy angle resolved
reflection spectroscopy on three-dimensional photonic crystals of
self-organized polymeric nanospheres // Opt. Express. 2008. V. 16, №2. P. 897-907.
71. Scalora M., deCeglia £)., D'Aguanno G. et al. Gap solitons in a nonlinear
quadratic negative-index cavity // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 066606.
72. Litchinitser N.M., Gabitov I.R., Maimistov A.I. Optical bistability in a no-
linear optical coupler with a negative index channel // Phys. Rev. Lett. 2007.
V. 99. P. 113902.
73. Conti C, Trillo S., Assanto G. Doubly resonant Bragg simultons via second-
harmonic generation // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78, № 12. P. 2341-2344.
74. Chen W., Mills D.L. Gap solitons and the nonlinear optical response in
superlattices // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58, №2. P. 160-163.
75. Mills D.L., Trullinger S.E. Gap solitons in nonlinear periodic structures //
Phys. Rev. B. 1987. V. 36, №2. P. 947-952.
76. Chen W., Mills D.L. Optical response of nonlinear multiplayer structures:
bilayers and superlattices // Phys. Rev. B. 1987. V. 36, № 12. P. 6269-6278.
77. Christodoulides D.N., Joseph R.I. Slow Bragg solitons in nonlinear periodic
structures // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62, № 15. P. 1746-1749.
78. Раджараман P. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М.:
Мир, 1985.
79. Михайлов А. В. Об интегрируемости двумерной модели Тирринга //
Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 23, № 6. С. 356-358.
80. Aceves А.В., Wabnitz S. Self-induced transparency solitons in nonlinear
refractive periodic media // Phys. Lett. A. 1989. V. 141, № 1. P. 37-42.
81. Sipe J.E., Winful H.G. Nonlinear Schrodinger solitons in a periodic
structure // Opt. Lett. 1988. V. 13, №2. P. 132-133.
82. Hzuka Т. С M.deSterke Corrections to coupled mode theory for deep
grating // Phys. Rev. E. 2000. V. 61, № 4. P. 4491-4499.
83. deSterke СМ., Sipe J.E. // In «Progress in Optics». V. 33 / Ed. E. Wolf. -
Amsterdam: Elsevier, 1994. Chap. 3.
84. С M.deSterke, Sipe J.E. Envelope-function approach for the
electrodynamics of nonlinear periodic structures // Phys. Rev. A. 1988. V. 38, №10.
P. 5149-5165.
85. С M.deSterke, Sipe J.E. Extension and generalizations of an envelope-
function approach for the electrodynamics of nonlinear periodic structures //
Phys. Rev. A. 1989. V. 39, №> 10. P. 5163-5178.
86. С M.deSterke, Sipe J. E. Self-localized light: launching of low-velocity
solitons in corrugated nonlinear waveguides // Opt. Lett. 1989. V. 14, № 16.
P. 871-873.
87. MokJ. Т. С M.deSterke, Eggleton B.J. Delay-tunable gap-soliton-based slow-
light system // Opt. Express. 2006. V. 14, №25. P. 11987-11996.
88. Mok J. Т. С M.deSterke, Littler I. C, Eggleton B.J. Dispersionless slow light
using gap soliton // Nature Physics. 2006. № 2. P. 775-780.

89. Mok J. Т., Littler I. С, Tsoy E., Eggleton B.J. Soliton compression and pulse-
train generation by use of microchip Q-switched pulses in Bragg gratings //
Opt. Lett. 2005. V. 30, № 18. P. 2457-2459.
90. Essig S., Niegemann J., Tkeshelashvill L., Busch K. Solitary wave formation
in one-dimensional photonic crystal // Phys. Stat. Sol. 2007. V. 204, № 11.
P. 3591-3599.
91. Litchinitser N.M., Eggleton B.J. С M.deSterke et al. Interaction of Bragg
solitons in fiber gratings // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16, № 1. P. 18-23.
92. Mak W.C., Malomed B.A., Chu P.L. Formation of a standing-light pulse
through collision of gap soliton // Phys. Rev. E 2003. V. 68. P. 026609-1-9.
93. Eggleton B.J., Slusher R.E. С M.deSterke, Krug P. A., Sipe J.E. Bragg
grating soliton // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76, № 10. P. 1627-1630.
94. Eggleton B.J. С M.deSterke, Slusher R.E. Nonlinear pulse propagation in
Bragg gratings // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14, № 11. P. 2980-2993.
95. Eggleton B.J. С M.deSterke, Slusher R.E. Bragg solitons in the nonlinear
Schrodinger limit: experiment and theory // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16,
№ 4. P. 587-599.
96. С M.deSterke, Sipe J. E. Gap solitary waves with gain and loss // Phys. Rev.
A. 1991. V.43, №5. P. 2467-2473.
97. Konotop V. V., Tsironis G.P. Dynamics of coupled gap solitons // Phys. Rev.
E. 1996. V. 53, № 5. P. 5393-5398.
98. Ha S., Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. Slow-light switching in nonlinear
Bragg-grating couplers // Opt. Lett. 2007. V. 32, № 11. P. 1429-1431.
99. Eggleton B.J. С M.deSterke, Slusher R.E. Nonlinear propagation in
superstructure Bragg gratings // Opt. Lett. 1996. V. 21, № 16. P. 1223-1225.
100. Rozenthal A., Horowitz M. Bragg soliton formation and pulse
compression in a one-dimensional periodic structure // Phys. Rev. E 2006. V. 74.
P. 066611-1-5.
101. Christodoulid.es D.N., Joseph R.I. Discrete self-focusing in nonlinear arrays
of coupled wave-gaides // Opt. Lett. 1988. V. 13, №9. P. 794-796.
102. Kivshar Yu. Self-localization in arrays of defocusing wave-guides // Opt. Lett.
1993. V. 18, №14. P. 1147-1149.
103. Lederer F., Darmanyan S., Kobyakov A. Discrete solitons // In «Spatial
optical solitons» / Ed. S. Trillo, W. Torruellas. — N.Y.: Springer-Verlag,
2001. V. 82. P. 269-292.
104. Bartal G., Cohen O., Schwartz T. et al. Spatial photonics in nonlinear
waveguide arrays // Opt. Exp. 2005. V. 13. P. 1780-1796.
105. Lederer F., Aitchison J.S. Discrete solitons in nonlinear waveguide arrays //
In «Optical Solitons: theoretical challenges and industrial perspective» / Ed.
V. E. Zakharov, S. Wabnitz (EDP Sciences, Les Ulis, 1999). P. 349-365.
106. Darmanyan S., Kobyakov A., Schmidt £., Lederer F. Strongly localized
vectorial modes in nonlinear waveguide arrays // Phys. Rev. E. 1998. V. 57,
№ 3. P. 3520-3530.
107. Карамзин Ю.Н., Сухорукое А. П. Нелинейное взаимодействие
дифрагирующих световых пучков в среде с квадратичной нелинейностью; взаимофо-

кусировка пучков и ограничение эффективности оптических
преобразователей частоты // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20, № И. С. 734-739.
108. Eisenberg H.S., Silberberg Y, Morandotti R., Boyd A.R., Aitchison J.S.
Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays // Phys. Rev. Lett. 1998.
V. 81, № 16. P. 3383-3386.
109. Morandotti R., Peschel U., Aitchison J.S., Eisenberg H.S., Silberberg Y.
Dinamics оГ discrete solitons in optical waveguide arrays // Phys, Rev. Lett.
1999. V. 83, № 14. P. 2726-2729.
110. Pertsch Т., Zentgraf Т., Peschel U., Brauer A., Lederer F. Anomalous
refraction and diffraction in discrete optical system // Phys. Rev. Lett. 2002.
V. 88, №9. P. 093901-4.
111. Meier J., Stegeman G., Silberberg Y., Morandotti R., Aitchison J.S.
Nonlinear optical beam interaction in waveguide arrays // Phys. Rev. Lett. 2004.
V. 93, № 9. P. 093903-4.
112. Koke S., Trager D., lander P. et al. Stabilization оГ counterpropagating
solitons by photonic lattices // Opt. Express. 2007. V. 15, № 10. P. 6279-6292.
113. Morandotti R., Eisenberg H. S., Mandelik D., Silberberg Y. et al. Interactions
of discrete solitons with defect and interfaces // in Proc. QELS Conference.
OSA Tech. Dig. Washington, DC. 2002. V. 74. P. 239.
114. Sukhorukov A., Neshev D., Dreischuh A. et al. Observation of polychromatic
gap solitons // Opt. Express. 2008. V. 16, №9. P. 5991-5996.
115. Lederer F., Leine L., Muschell R. et al. Strongly nonlinear effects with weak
nonlinearities in smart waveguides // Opt. Commun. 1993. V. 99. P. 95.
116. Suntsov S., Makris K., Christodoulides D. et al. Observation of discrete
surface solitons // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96. P. 063901-1-4.
117. Mihalache D.t Mazilu D., Lederer F., Kivshar Yu. Collisions between
discrete surface spatiotemporal solitons in nonlinear waveguide aarays // Phys.
Rev. A 2009. V. 79. P. 013811-1-14.
118. Mandelik D., Eisenberg H.S., Silberberg /., Morandotti /?., Aitchison IS.
Band-gap structures of waveguide arrays and excitation of Floquet-Bioch
solitons // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90, №5. P. 053902-1-4.
119. Mandelik D., Morandotti R., Aitchison J.S., Silberberg Y. Gap solitons in
waveguide arrays // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92, №9. P. 093904-1-4.
120. Richter Т., Motzek K., Kaiser F. Long distance stability of gap solitons //
Phys. Rev. E 2007. V. 75. P. 016601-1-7.
121. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. Slow-light optical bullets in arrays
of nonlinear Bragg-grating waveguides // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 97.
P. 233901-1-4.
122. Герасимчук И.В., Ковалев А. С. Локализация нелинейных волн в слоистой
среде // Физика низких температур. 2000. Т. 26, №8. С. 799-809.
123. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. Spatial optical solitons in nonlinear
photonic crystals // Phys. Rev. E 2002. V. 65. P. 036609-1-14.
124. Sukhorukov A. A., Kivshar Yu.S. Nonlinear guided waves and spatial solitons
in a periodic layered medium // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19, №4.
P. 772-781.

125. Sukhorukov А.А., Kivshar Yu.S., Eisenberg H.S., Silberberg Y. Spatial
optical solitons in waveguide arrays // IEEE J. Qant. Electr. 2003. V. 39, № 1.
P. 31-50.
126. Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. Generation and stability of discrete gap
solitons // Opt. Lett. 2003. V. 28, № 23. P. 2345-2347.
127. Pellnovsky D.E., Sukhorukov A.A., Kivshar Yu.S. Bifurcations and
stability of gap solitons in periodic potental // Phys. Rev. E 2004. V. 70.
P. 036618-1-17.
128. Efremidis N.K., Sears S., Christodoulid.es D. Discrete solitons in
photorefractive optically induced photonic lattices // Phys. Rev. E 2002. V. 66.
P. 046602-1-5.
129. Fleischer J. W., Carmon Т., Segev M., Efremidis N.K., Christodoulides D.N.
Observation of discrete solitons in optically induced real time waveguide
arrays // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90, № 2. P. 023902-1-4.
130. Neshev D., Ostrovskaya E., Kivshar Yu.S., Krolikowski W. Spatial solitons
in optically induced gratings // Opt. Lett. 2003. V. 28, № 9. P. 710-712.
131. Fleischer J. W., Segev M., Efremidis N.K., Christodoulides D.N. Observation
of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear photonic
lattices // Nature (London). 2003. V. 422. P. 147.
132. Rosberg C.R., Neshev D.N., Sukhorukov A.A., Krolikowski W.,
Kivshar Yu.S. Observation of nonlinear self-trapping in triangular photonic
lattices // Opt. Lett. 2007. V. 32, № 4. P. 397-399.
133. Peleg O., Bartal G., Freedman B. et al. Conical diffraction and gap solitons
in honeycomb photonic lattices // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 98. P. 103901-1-4.
134. Sukhorukov A.A., Neshev D., Krolikowski W., Kivshar Yu.S. Nonlinear
Bloch-wave interaction and Bragg scattering in optically induced lattices //
Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92, № 9. P. 093901-1-4.
135. Neshev D., Sukhorukov A.A., Hanna В., Krolikowski W., Kivshar Yu.S.
Controlled generation and steering of spatial gap solitons // Phys. Rev. Lett.
2004. V. 93, № 8. P. 083905-1-4.
136. Wang X., Bezryadina A., Chen Z. et al. Observation of two-dimensional
surface soliton // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 98, № 12. P. 123903-1-4.
137. HeinrichM., Kartashov Y., Szameit A. et al. Observation of two-dimensional
coherent surface vector lattice solitons // Opt. Lett. 2009. V. 34, №11.
P. 1624-1626.
138. Desyatnikov A.S., Ostrovskaya E., Kivshar Yu.S., Denz C. Composite band-
gap solitons in nonlinear optically induced lattices // Phys. Rev. Lett. 2003.
V. 91, №15. P. 153902-1-4.
139. Neshev D., Kivshar Yu.S., Martin H., Chen Z. Soliton stripes in
two-dimensional nonlinear photonic lattices // Opt. Lett. 2004. V. 29, № 5. P. 486-488.
140. Martin H., Eugenieva E., Chen Z., Christodoulides D.N. Discrete solitons
and soliton-induced dislocations in partially coherent photonic lattices // Phys.
Rev. Lett. 2004. V. 92, № 12. P. 123902-1-4.
141. Neshev £)., Alexander Т., Ostrovskaya E., Kivshar Yu.S., Martin H.,
Makasyuk I., Chen Z. Observation of discrete vortex solitons in optically

induced photonic lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92, № 12.
P. 123903-1-4.
142. Alexander Т., Sukhorukov A., Kivshar Yu.S. Asymmetric vortex soli-
tons in nonlinear periodic lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 93, № 6.
P. 063901-1-4.
143. John S., Akozbek N. Nonlinear optical solitary waves in a photonic band
gap // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71, №8. P. 1168-1171.
144. Akozbek N., John S. Optical solitary waves in two- and three- dimensional
nonlinear photonic band-gap structures // Phys. Rev. E. 1998. V. 57, №2.
P. 2287-2319.
145. Mingaleev S.F., Kivshar Yu.S. Self-trapping and stable modes in nonlinear
photonic crystals // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86, №24. P. 5474-5477.
146. Tasgal R., Band Y., Malomed B. Optoacoustic solitons in Bragg grating //
Phys. Rev. Lett. 2007. V. 98. P. 243902.
147. Biancalana F., Amann A., Uskov A. Dynamics of light propagation in spa-
tiotemporal dielectric structure // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 046607.
148. Biancalana F., Amann A., O'Reilly E. Gap solitons in spatiotemporal
photonic crystal // Phys. Rev. A. 2008. V. 77. P. 011801 (R).
149. Хохлов P. В. К вопросу о возможности создания гамма-лазера на
основе радиоактивных кристаллов // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 15, №9.
С. 580-583.
150. Бушуев В.А., Кузьмин Р.Н. Лазеры рентгеновского диапазона длин
волн // УФН. 1974. Т. 114, №4. С. 677-686.
151. Манцызов Б.И., Бушуев В.А., Кузьмин Р.Н. Влияние теплового режима
на порог генерации мессбауэровского 7~излучения в системе
возбужденных ядер // ЖЭТФ. 1981. Т. 80, №3. С. 891-896.
152. Андреев А.В., Ильинский Ю.А., Хохлов Р. В. О роли коллективных и
индуцированных процессов при генерации мессбауэровского
гамма-излучения // ЖЭТФ. 1977. Т. 73, №4. С. 1296-1300.
153. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления
в оптике. — М.: Наука, 1988.
154. Манцызов Б.И., Бушуев В.А., Кузьмин Р.Н., Серебряков С.Л.
Особенности режима сверхизлучения протяженных сред // ЖЭТФ. 1983. Т. 85,
№3(9). С. 862-868.
155. Krokhin A.A., Halevi P. Influence of weak dissipation on the photonic
band structure of periodic composites // Phys. Rev. B. 1996. V. 53, №9 3.
P. 1205-1214.
156. Artoni M., LaRocca G., Bassani F. Resonantly absorbing one-dimensional
photonic crystal // Phys. Rev. E 2005. V. 72. P. 046604-1-11.
157. He Q., Wang Т., Wu J., Gao J. Effects of resonant absorption and inhomo-
geneous broadening on reflection and absorption spectra of optical lattices in
diamond NV centers // Optics Express. 2006. V. 14, № 24. P. 11727-11735.
158. Singh M.R. Dipol-dipole interaction in photonic-band-gap materials doped
with nanoparticles // Phys. Rev. A 2007. V. 75. P. 043809-1-10.

159. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир,
1987.
160. Kamchatnov A.M. Nonlinear Periodic Waves and Their Modulations — An
Introductory Course. — Singapore: World Scientific, 2000.
\6l.Zhao J, Li J., Shao #., Wu J., Zhou J, Wong K. Reshaping ultrashort
light pulses in resonant photonic crystals // JOSA B. 2006. V. 23, №9.
P. 1981-1987.
162. Xiao W.N., Zhou J. Y., Prineas J. P. Storage of ultrashort optical pulses in a
resonantly absorbing Bragg reflector // Optics Express. 2003. V. 11, №24.
P. 3277-3288.
163. Zhou /., Shao #., Zhao J., Yu X., Wong K. Storage and release of
femtosecond laser pulses in a resonant photonic crystal // Opt. Lett. 2005. V. 30,
№ 12. P. 1560-1562.
164. McCall S.L., Hahn E.L. Self-induced transparency // Phys. Rev. 1969.
V. 183, №2. P. 457-464.
165. Maimistov A.I., Basharov A.M., Elyutin S.O., Sklyarov Yu.M. Present state
of self-induced transparency theory // Phys. Rep. С 1990. V. 191, № 1.
P. 1-108.
166. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. —
М.: Мир, 1978.
167. Манцызов Б.И., Гамзаев Д. О. Условия формирования двухволнового со-
литона в резонансной среде // Оптика и спектроскопия. 1987. Т. 63, № 1.
С. 200-202.
168. Mantsyzov B.I. Optical solitons in periodic resonance media // Journal of
Quantum Nonlinear Phenomena. 1992. V. 1, №2. P. 173-178.
169. Mantsyzov B.I. Gap 2-7r-pulse with an inhomogeneously broadened line and
an oscillating solitary wave // Phys. Rev. A. 1995. V. 51, № 6. P. 4939-4943.
170. Манцызов Б.И., Сильников Р.А. Взаимодействие брэгговских солитонов
со слабыми линейными модами в фотонных кристаллах // Изв. РАН, сер.
физическая. 2003. Т. 67, № 12. С. 1719-1722.
171. Mantsyzov B.I., Mel'nikov I. V., Aitchison J.S. Controlling light by light in
a one-dimensional resonant photonic crystal // Phys. Rev. E: 2004. V. 69.
P. 055602(R).
172. Mel'nikov I. V., Aitchison J.S. Gap soliton memory in a resonant photonic
crystal // Appl. Phys. Lett. 2005. V. 87. P. 201111-1-3.
173. Mel'nikov I. V., Aitchison J.S., Mantsyzov B.I. Gap soliton dynamics in
a nonuniform resonant structure // Optics Letters. 2004. V. 29, № 3.
P. 289-291.
174. Mantsyzov B.I., Mel'nikov I. V., Aitchison J.S. Dynamic control over optical
solitons in a resonant photonic crystal // IEEE J. Select Topics Quantum
Electron. 2004. V. 7, № 5. P. 893-899.
175. Vujic D., John S. Coherent all-optical awitching by resonant quantum-dot
distributions in photonic band-gap waveguides // Phys. Rev. A 2007. V. 76.
P. 063814-1-17.

176. Mantsyzov В.I., Silnikov R.A. Unstable excited and stable oscillating gap
2pi-pulses // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19, №9. P. 2203-2207.
177. Khomeriki R., Leon J. Driving light pulses with light in two-level media //
Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99. P. 183601-1-4.
178. Zhou J. Y., Zeng J.H., Li J. T. Quantum coherent control of ultrashort laser
pulses // Chinese Science Bulletin. 2008. V. 53, №5. P. 652-658.
179. Xiao W. Trapping gap solitons in a resonant photonic crystal of finite
length // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 066610-1-6.
180. Маймистов A.M., Поликарпов В.В. Когерентное распространение
короткого импульса поляризованного излучения в одномерной резонансной
брэгговской среде // Квантовая электроника. 2006. Т. 36, № 9. С. 835-841.
181. Gabitov I.R., Korotkevich А.О., Maimistov А.I., McMahon J.B. Solitary
waves in plasmonic Bragg gratings // Appl. Phys. A. 2007. V. 89. P. 277-281.
182. Kazantseva E.V., Maimistov A.I. Polaritonic gap-soliton propagation
through a wide defect in a resonantly absorbing Bragg grating // Phys. Rev.
В 2009. V. 79. P. 033812-1-7.
183. Mantsyzov B.I. Laue soliton in resonantly absorbing photonic crystal //
Optics Communications. 2001. V. 189. P. 275-280.
184. Бушуев В.А., Манцызов Б.И. Линейный эффект удвоения частоты
следования лазерных импульсов при Лауэ-геометрии брэгговской дифракции
в фотонном кристалле // Изв. РАН. Сер. физ. 2008. Т. 72, № 1. С. 36-40.
185. Bushuev V.A., Mantsyzov В.I., Skorynin A.A. Diffraction-induced laser
pulse splitting in a linear photonic crystal // Phys. Rev. A 2009. V. 79.
P. 053811-1-5.
186. Nielsen N.C., Kuhl J., Schaarschmidt M., Forstner J. et al. Linear and
nonlinear pulse propagation in a multiple-quantum-well photonic crystal //
Phys. Rev. В 2004. V. 70. P. 075306-1-10.
187. Bowden СМ., Postan A., Inguva R. Invariant pulse propagation and self-
phase modulation in dense media // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8, №5.
P. 1081-1084.
188. Crenshaw M.E., Bowden CM. Quasiadiabatic following approximation for
a dense medium of two-level atoms // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69, №24.
P. 3475-3478.
189. Scalora M., Bowden С Propagation effects and ultrafast optical switching in
dense media // Phys. Rev. A. 1995. V. 51. P. 4048-4056.
190. Воронов M.M., Ивченко Е.Л. Брэгговские солитоны в структурах с
квантовыми ямами // ФТТ. 2005. Т. 47, №> 7. С. 1327-1332.
191. Prineas J.Р., Сао С, Yildirim М., Johnston W., Reddy М. Resonant
photonic band gap structures realized from molecular-beam-epitaxially grown
InGaAs / GaAs Bragg-spaced quantum wells // J. Appl. Phys. 2006. V. 100.
P. 063101-1-14.
192. Kozhekin A., Kurizki G. Self-induced transparency in Bragg reflectors: gap
solitons near absorption resonators // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74, №25.
P. 5020-5023.

193. Kozhekin A., Kurizki G., Malomed B. Standing and moving gap solitons
in resonantly absorbing gratings // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81, №17.
P. 3647-3650.
194. Opatrny Т., Malomed В., Kurizki G. Dark and bright solitons in resonantly
absorbing grating // Phys. Rev. E. 1999. V. 60, №5. P. 6137-6149.
195. Cheng J., Zhou J. Effects of the near-dipole-dipole interaction on gap solitons
in resonantly absorbing gratings // Phys. Rev. E 2002. V. 66. P. 036606-1-5.
196. Blaauboer M., Kurizki G., Malomed B. Spatiotemporally localized solitons
in resonantly absorbing Bragg reflectors // Phys. Rev. E. 2000. V. 62, № 9.
P. 57-60.
197. Zhu J., Zhou J., Cheng J. Moving and standing spatial-temporal solitons in a
resonantly absorbing Bragg reflectors // Optics Express. 2005. V. 13, № 18.
P. 7133-7138.
198. Blaauboer M., Malomed В., Kurizki G. Spatiotemporally localized
multidimensional solitons in self-induced transparency media // Phys. Rev. Lett.
2000. V. 84, №9. P. 1906-1909.
199. Kurizki G., Petrosyan D., Opatrny T. et al. Self-induced transparency and
giant nonlinearity in doped photonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 2002.
V. 19, №9. P. 2066-2074.
200. Акаев А.А., Гуревич СБ., Жумалиев K.M., Муравский Л.И.,
Смирнова Т.Н. Голография и оптическая обработка информации. — С.-П.
Наука // 2003.
201. Chan Т., Toader О., John S. Photonic band gap templating using optical
interference lithography // Phys. Rev. E 2005. V. 71. P. 046605-1-18.
202. Манцызов Б.И., Петров Е.В. Брэгговский солитон
самоиндуцированной прозрачности в периодической структуре с произвольной модуляцией
плотности резонансных атомов // Изв. РАН, сер. физическая. 2006. Т. 70,
№1. С. 144-148.
203. Akozbek N., John 5. Self-induced transparency solitary waves in a doped
nonlinear photonic band gap material // Phys. Rev. E. 1998. V. 58, №3.
P. 3876-3895.
204. Tseng H. Y., Chi S. IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 2002. V. 8. P. 681.
205. Tseng H. Y., Chi S. Coexistence of a self-induced transparency soliton and a
Bragg soliton // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 056606.
206. Conti C, Trillo S., Assanto G. Doubly resonant simultons via
second-harmonic generation // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78, № 12. P. 2341-2344.
207. He H., Drummond P.D. Ideal soliton environment using parametric band
gap // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 4311-4315.
208. Peschel Т., Peschel U., Lederer F., Malomed B. Solitary waves in Bragg
gratings with a quadratic nonlinearity // Phys. Rev. E. 1997. V. 55, №4.
P. 4730-4739.
209. He H., Drummond P.D. Theory of multidimensional parametric band gap
simultons // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 5025-5046.

210. Gallo К., Pasquazi A., Stivala S., Assanto G. Parametric solitons in two-
dimensional lattices of purely nonlinear origin // Phys. Rev. Lett. 2008.
V. 100. P. 053901-1-4.
211. Ахмедиев H.H., Анкевич А. Солитоны. — M.: Физматлит, 2003.
212. Солитоны в действии / Под ред. К. Лонгрен, Э. Скотт. — М.: Мир, 1981.
213. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные
волновые уравнения. — М.: Мир, 1988.
214. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Нелинейные эволюционные уравнения,
интегрируемые обратным спектральным преобразованием, ассоциированным
с матричным уравнением Шредингера // В кн. «Солитоны» / Под ред.
Р. Буллаф, Ф. Кодри. - М.: Мир, 1983.
215. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны.
Методы решения и исследования эволюционных уравнений. — М.: Мир,
1985.
216. Degasperis A., Lombardo S. Multicomponent integrable wave equations:
I. Darboux-dressing transformation // J. Phys. A.: Math. Theor. 2007. V. 40.
P. 961-977.
217. Манцызов Б.И., Сильников Р.А. Осциллирующий брэгговский 27Г7г-им-
пульс в резонансно поглощающей решетке // Письма в ЖЭТФ. 2001.
Т. 74, №9. С. 511-514.
218. DeRossi A., Conti С, ТгШо 5. Stability, multistability, and wobbling of
optical gap soliton // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81, № 1. P. 85-88.
219. Kivshar Y.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable
systems // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61, №4. P. 763-915.
220. Kamchatnov A.M. On Whitham theory for perturbed integrable equations //
Physica D. 2004. V. 188. P. 247-261.
221. Davidson Л., Dueholm В., Kryger В., Pedersen N. Experimental
investigation of trapped sine-Gordon solitons // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55, № 19.
P. 2059-2062.
222. Fogel M.В., Trullinger S.E., Bishop A.R., Kmmhansl J.A. Dynamics of
sine-Gordon solitons in the presence of perturbations // Phys. Rev. B. 1977.
V. 15, №3. P. 1578-1592.
223. Goodman R.H., Slusher R.E., Weinstein M.I. Stopping light on a defect //
J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19, №7. P. 1635-1651.
224. Mak W.C., Malomed B.A., Chu P.L. Interaction of a soliton with a local
defect in a fiber Bragg grating // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. V. 20, № 4.
P. 725-735.
225. Mak W.C., Malomed B.A., Chu P.L. Interaction of a soliton with a localized
gain in a fiber Bragg grating // Phys. Rev. E. 2003. V. 67. P. 026608.
226. Chen P. Y., Malomed B.A., Chu P.L. Trapping Bragg solitons by a pair of
defects // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 066601.
227. Malomed B. Variational methods in nonlinear fiber optics and related fields //
Progress in Optics V. 43 / Ed. E. Wolf. 2002. P. 69-190.
228. Kivshar Yu.S., FeiZ.F., Vazquez L. Resonant soliton-impurity interactions //
Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67, № 10. P. 1177-1180.

229. Fei Z.F., Kivshar Yu.S., Vazquez L. Resonant kink-impurity interaction in
the sine-Gordon model // Phys. Rev. A. 1992. V. 45, №8. P. 6019-6029.
230. Fei Z.F., Kivshar Yu.S., Vazquez L. Resonant kink-impurity interaction in
the v?4 model // Phys. Rev. A. 1992. V. 45, № 8. P. 5214-5220.
231. Goodman R.H., Holmes P.J., WeinsteinM.I. Interaction of sine-Gordon kinks
with defects: phase space transport in a two-mode model // Physica D. 2002.
V. 161. P. 21-44.
232. Campbell D.K., Schonfeld J.F., Wingate C.A. Resonace structurein kink-
antikink interaction in ip4 theory // Physica D. 1983. V. 9. P. 1-32.
233. Peyrard M., Cambell D.K. Kink-antikink interaction in modified sine-Gordon
model // Physica D. 1983. V. 9. P. 33-51.
234. Pelinovsky D.E., Kivshar Yu.S., Afanasjev V. V. Internal modes of envelope
solitons // Physica D. 1998. V. 116. P. 121-142.
235. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E., Cretegny Т., Peyrard M. Internal modes of
solitary waves // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80, №23. P. 5032-5035.
236. Barashenkov I. V., Pelinovsky D.E., Zemlyanaya E. V. Vibrations and
oscillatory instabilities of gap solitons // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80, №23.
P. 5117-5120.
237. Etrich C, Peschel U., Lederer F., Malomed В., Kivshar Yu. Origin of the
persistent oscillations of solitary waves in nonlinear quadratic media // Phys.
Rev. E. 1996. V. 54, №4. P. 4321-4324.
238. Манцызов Б. И. Оптический зумерон как результат биений
внутренних мод брэгговского солитона // Письма в ЖЭТФ. 2005. Т. 82, № 5.
С. 284-289.
239. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. — М.:
ВИНИТИ АН СССР, 1964.
240. Бломберген Н. Нелинейная оптика. — М.: Мир, 1966.
241. Franken P. A., Hill А.Е., Peters С. W., Weinreich G. Generation of Optical
Harmonics // Phys. Rev. Lett. 1961. V. 7, №4. P. 118-119.
242. Giordmaine LA. Mixing of Light Beams in Crystals // Phys. Rev. Lett. 1962.
V. 8, №1. P. 19-20.
243. Maker P.O., Terhune R. W., Nisenoff M., Savage CM. Effects of Dispersion
and Focusing on the Production of Optical Harmonics // Phys. Rev. Lett.
1962. V. 8, № 1. P. 21-23.
244. Armstrong J.A., Bloembergen N., Ducuing /., Pershan P.S. Interactions
between light in a nonlinear dielectric // Phys. Rev. 1962. V. 127, №6.
P. 1918-1940.
245. Fejer M.M., Magel G.A., Jundt D.H., Byer R.L. Quasi-Phase-Matched
Second Harmonic Generation: Tuning and Tolerances // IEEE J. Quant. Electron.
1992. V. 28, № 11. P. 2631-2653.
246. Sapaev U., Reid D. General second-harmonic pulse shaping in grating-
engineered quasi-phase-matched nonlinear crystals // Opt. Express. 2005.
V. 13, №9. P. 3264-3276.

247. Gu X., Korotkov R., Ding Y., Kang J., Khurgin J. Backward second-harmonic
generation in periodically poled lithium niobate // J. Opt. Soc. Am. B. 1998.
V. 15, №5. P. 1561-1566.
248. Mu X., Zotova I., Ding Y., Risk W. Backward second-harmonic generation in
submicron-period ion-exchanged КТЮР04 waveguide // Opt. Comm. 2000.
V. 181. P. 153-159.
249. Rafailov E., Loza-Alvarez P., Brown C. et al. Second-harmonic generation
from a first-order quasi-phase-matched GaAs / AlGaAs waveguide crystal //
Opt. Lett. 2001. V. 26, №24. P. 1984-1986.
250. Комиссарова M.B., Сухорукое А. П. О свойствах параметрического
усилителя света при кратном соотношении частот // Квант, электрон. 1993.
Т. 20, № 10. С. 1025-1027.
251. Чиркин А. С, Волков В.В., Лаптев Г.Д., Морозов Е.Ю.
Последовательные трехчастотные волновые взаимодействия в нелинейной оптике
периодически-неоднородных сред // Квант, электрон. 2000. Т. 30, № 10.
С. 847-858.
252. Волков В. В., Чиркин А. С. Квазисинхронное параметрическое усиление
волн при низкочастотной накачке // Квант, электрон. 1998. Т. 25, №2.
С. 101-102.
253. Гречин С.Г., Дмитриев В.Г. Условия квазисинхронизма при
одновременной генерации нескольких гармоник лазерного излучения в кристаллах
с регулярной доменной структурой // Квант, электрон. 2001. Т. 31, № 10.
С. 933-936.
254. Lifshitz R., Arte A., Bahabad A. Photonic quasicrystals for nonlinear optical
frequency conversion // Phys. Rev. Lett. 2005. V. 95, № 13. P. 133901-1-4.
255. Гречин С.Г., Дмитриев В.Г., Юрьев Ю.В. Генерация второй гармоники
при одновременной реализации синхронного и квазисинхронного
взаимодействий в нелинейных кристаллах с регулярной доменной структурой //
Квант, электрон. 1999. Т. 26, №2. С. 155-157.
256. Berger V. Nonlinear photonic crystal // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81, № 19.
P. 4136-4139.
257. Broderick N. G. R., Ross G. W., Offerhaus H. L., Richardson D. J., Hanna D. С
Hexagonally poled lithium niobate: a two-dimensional nonlinear photonic
crystal // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 4345-4348.
258. Sattiel S., Kivshar Yu. Phase matching in nonlinear x(2) photonic crystals //
Opt. Lett. 2000. V. 25, № 16. P. 1204-1206.
259. M.deSterke, Saitiei 5., Kivshar Yu. Efficient collinear fourth-harmonic
generation by two-channel multistep cascading in a single two-dimensional
nonlinear photonic crystal // Opt. Lett. 2001. V. 26, № 8. P. 539-541.
260. Xu P., Ji 5., Zhu S., Yu X., Sun J. et al. Conical second harmonic generation
in a two-dimensional x(2) photonic crystals: a hexagonally poled LiTa03
crystal // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 93, № 13. P. 133904-1-4.
261. Беляков В. А., Шипов H.B. К теории нелинейно-оптического
преобразования частоты в холестерических жидких кристаллах // ЖЭТФ. 1982. Т. 82,
№4. С. 1159-1169.

262. Беляков В.А., Шипов Н.В. Об эффективном преобразовании частоты в
простых условиях синхронизма в периодических нелинейных средах //
Письма в ЖТФ. 1983. Т. 9, № 1. С. 22-25.
263. Беляков В. А. Дифракционная оптика периодических сред сложной
структуры. - М.: Наука, 1988.
264. Беляков В.А. Об эффективном нелинейно-оптического преобразовании
частоты в периодических средах в условиях дифракции волновых полей //
Письма в ЖЭТФ. 1999. Т. 70, № 12. С. 793-799.
265. Майер А.А., Сухорукое А.П., Кузьмин Р.Н. О синхронном
преобразовании частоты излучения в условиях брэгговской дифракции // Письма
в ЖЭТФ. 1979. Т. 29, № 1. С. 30-33.
266. Майер А. А., Сухорукое А.П. Синхронное нелинейное взаимодествие волн
при брэгговской дифракции в средах с периодической структурой //
ЖЭТФ. 1979. Т. 77, №4. С. 1282-1296.
267. Martorell /., Corbalan R. Enhancement of second harmonic generation in a
periodic structure with a defect // Opt. Commun. 1994. V. 108. P. 319-323.
268. Martorell /., Vilaseca R., Corbalan R. Scattering of second-harmonic light
from small sphericales ordered in a crystalline lattice // Phys. Rev. 1997.
V. 55, № 6. P. 4520-4525.
269. Martorell J., Vilaseca R., Corbalan R. Second-harmonic generation in a
photonic crystal // Appl. Phys. Lett. 1997. V. 70, №6. P. 702-704.
270. Bethune D.S. Optical harmonic generation and mixing in multilayer media:
analysis using transfer matrix techniques // J. Opt. Soc. Am. B. 1989. V. 6,
№5. P. 910-916.
271. Bloembergen N., Sievers A.J. Nonlinear optical properties of periodic laminar
structures // Appl. Phys. Lett. 1970. V. 17, № 11. P. 483-485.
272. Van J. P., der Ziel M. Ilegems Optical second harmonic generation in periodic
multiplayer GaAs-A10.3GaO.7As structures // Appl. Phys. Lett. 1976. V. 28,
№ 8. P. 437-439.
273. Trull J., Martorell J., Vilaseca R. Angular dependence of phase-matched
second-harmonic generation in photonic crystal // J. Opt. Soc. Am. B. 1998.
V. 15, №10. P. 2581-2585.
274. Steel M. C.deSterke Continuous-wave parametric amplification in Bragg
gratings // J. Opt. Soc. Am. B. 1995. V. 12, № 12. P. 2445-2452.
275. Steel M. C.deSterke Bragg-assisted parametric amplification of short optical
pulses // Opt. Lett. 1996. V. 21, №6. P. 420-422.
276. Bragheri F., Faccio D., Romagnoli M., Krauss 7"., Roberts J. Effects of
random and systematic perturbations in a one-dimensional photonic crystal
wavelength converter // Phys. Rev. E 2004. V. 70. P. 017601-1-4.
277. Centini M., Sibilia C, Scalora M., D'Aguanno G. et al. Dispersive properties
of finite, one-dimensional photonic band gap structures: applications to
nonlinear quadratic interactions // Phys. Rev. E. 1999. V. 60, № 4. P. 4891-4898.
278. D'Aguanno G., Centini M., Scalora M., Sibilia С et al. Photonic band gap
effects in finite structures and applications to x(2) interactions // Phys. Rev.
E2001. V. 64. P. 016609-1-9.

279. Balakin A. V., Boucher D., Bushuev V.A., Koroteev N.I., Mantsyzov B.I.,
Masselin P., Ozheredov I.A., ShkurinovA.P. Enhancement of
second-harmonic generation with femtosecond laser pulses near the photonic band edge
for different polarizations of incident light // Opt. Lett. 1999. V. 24, № 12.
P. 793-795.
280. Балакин А.В., Буше Д., Бушуев В.А., Манцызов Б.И., Масселин П.,
Ожередов И.А., Шкуринов А.П. Усиление генерации сигнала суммарной
частоты в многослойных периодических структурах на краях брэгговской
запрещенной зоны // Письма в ЖЭТФ. 1999. Т. 70, № 11. С. 718-721.
281. Balakin A.V., Bushuev V.A., Mantsyzov В.I., Ozheredov I. A., Petrov E. V.,
Shkurinov A.P., Masselin P., Mouret G. Enhancement of sum frequency
generation near the photonic band gap edge under the quasi-phase-matching
conditions // Phys. Rev. E 2001. V. 63. P. 046609-1-11.
282. Li J. J., Li Z. Y., Zhang D.Z. Second harmonic generation in one-dimensional
nonlinear photonic crystals solved by the transfer matrix method // Phys.
Rev. E 2007. V. 75. P. 056606-1-7.
283. Манцызов Б.И., Петров Е.В., Терешин Е.Б., Трофимов В.А. Динамика
генерации второй гармоники в тонких одномерных структурах с
фотонными запрещенными зонами // Изв. РАН, сер. физическая. 2004. Т. 68,
№12. С. 1710-1713.
284. Бушуев В.А., Манцызов Б.И., Петров Е.В. Усиление сигнала суммарной
частоты в одномерных фотонных кристаллах при неколлинеарной
геометрии взаимодействия волн// Изв. РАН, сер. физическая. 2001. Т. 65, № 12.
С. 1753-1757.
285. Astic М., Delaye Ph., Frey R., Roosen G. Enhancement of nonlinear effects
at the degenerate band edge of two-dimensional photonic crystal // Phys.
Rev. E 2009. V. 79. P. 056608-1-10.
286. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. — М.:
Наука, 1990.
287. Dumeige У., Sagnes /., Monnier P. et al. x(2) semiconductor photonic
crystal // J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19, №9. P. 2094-2101.
288. Dumeige Y., Vidakovic P., Sauvage S. et al. Enhancement of
second-harmonic generation in a one-dimensional semiconductor photonic band gap //
Appl. Phys. Lett. 2001. V. 78, №20. P. 3021-3023.
289. Петров E.B., Манцызов Б. И. Изменения условий фазового
синхронизма при генерации сигнала второй гармоники в конечном одномерном
фотонном кристалле вблизи условия Брэгга: случаи слабой и сильной
дифракций // ЖЭТФ. 2005. Т. 128, № 3. С. 464-475.
290. Cowan A.R., Young J. F. Mode matching for second-harmonic generation in
photonic crystal waveguides // Phys. Rev. E 2002. V. 65. P. 085106-1-6.
291. Torres J., Coquillat D., Legros R., Lascaray J.P. et al. Giant
second-harmonic generation in a one-dimensional GaN photonic crystal // Phys. Rev. В
2004. V. 69. P. 085105-1-8.
292. Mondia J. P. H.M.vanDriel, Jiang W. et al. Enhanced second-harmonic
generation from planar photonic crystal // Opt. Lett. 2003. V. 28, № 24.
P. 2500-2502.

293. Vecchi G., Torres J., Coquillat D. et al. Enhancement of visible second-
harmonic generation in epitaxial GaN-based two-dimensional photonic crystal
structures // Appl. Phys. Lett. 2004. V. 84, №8. P. 1245-1247.
294. Coquillat D., Torres /., Peyrade D. et al. Equifrequency surfaces in a two-
dimensional GaN-based photonic crystal // Opt. Express. 2004. V. 12, №6.
P. 1097-1108.
295. Pacradouni V., Mandeville W.J., Cowan A.R. et al. Photonic band structure
of dielectric membranes periodically textured in two dimensions // Phys. Rev.
B. 2000. V. 62, № 7. P. 4204-4207.
296. Tikhodeev S.G., Yablonskii A.L., Muljarov E.A., Gippius N.A., Ishihara T
Quasiguided modes and optical properties of photonic crystal slabs // Phys.
Rev. В 2002. V. 66. P. 045102-1-17.
297. Trull J., Vilaseca R., Martorell /., Corbalan R. Second-harmonic generation
in local modes of a truncated periodic structure // Opt. Lett. 1995. V. 20,
№ 17. P. 1746-1748.
298. Долгова Т.В., Майдыковский А.И., Мартемьянов М.Г., Маровский Г.,
Шумахер Д., Маттей Г., Федянин А.А., Акципетров О.А. Гигантская
второя гармоника в микрорезонаторах на основе фотонных кристаллов
пористого кремния // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73. С. 8.
299. Dolgova Т. V., Maidykovski A.I., Martemyanov M.G., Fedyanin A.A., Ak-
tsipetrov О.A. et al. Giant optical second-harmonic generation in single
and coupled microcavities formed from one-dimensional photonic crystals //
J. Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19, №9. P. 2129-2140.
300. Martemyanov M.G., Kim E.M., Dolgova T.V., Fedyanin A.A., Akt-
sipetrov O.A., Marowsky G. Third-harmonic generation in silicon photonic
crystals and microcavities // Phys. Rev. E 2004. V. 70. P. 073311-1-4.
301. Murzina TV., Kolmychek I.A., Maydykovskiy A.I., Nikulin A.A., Sy-
chev F.Yu., Aktsipetrov O.A. Second- and third-harmonic generation and
hyper-Rayleigh scattering in porous-silicon-based photonic microcavities //
Opt. Lett. 2008. V. 33. P. 2581-2583.
302. Гусев Д.Г., Мартемьянов М.Г., Соболева И.В., Долгова Т.В.,
Федянин А.А., Акципетров О.А. Генерация третьей оптической гармоники
в связанных микрорезонаторах на основе пористого кремния // Письма
в ЖЭТФ. 2004. Т. 80. С. 737.
303. Раздольский И.Э., Мурзина Т.В., Акципетров О.A., Jnoue М.
Кубичные эффекты самовоздействия в фотонно-кристаллических
микрорезонаторах // Письма в ЖЭТФ. 2006. Т. 84. С. 529.
304. Раздольский Н.Э., Мурзина Т.В., Акципетров О.А., Иноуэ М. Эффект
Бормана в фотонных кристаллах: нелинейно-оптические следствия //
Письма в ЖЭТФ 2008. Т. 87. С. 461-464.
305. Inoue М., Fujikawa R., Baryshev A., Khanikaev A., Lim Р.В., Uchida Н.,
Aktsipetrov О. A., Fedyanin A., Murzina Т., Granovsky A. Magnetophotonic
crystals // J. Phys. D: Appl. Phys. 2006. V. 39. P. R151.
306. Федянин А. А., Йошида Т., Нишимура К., Маровский Г., Иноуэ М.,
Акципетров О. А. Генерация магнитоиндуцированной второй гармоники в маг-

нитофотонных микрорезонаторах на основе феррит-гранатов // Письма
в ЖЭТФ. 2002. Т. 76. С. 609.
307. Мурзина Т.В., Каира Р.В., Рассудов А.А., Акципетров О.А., Нишиму-
ра К., Учида X., Иноуэ М. Генерация магнитоиндуцированной третьей
гармоники в магнитофотонных микрорезонаторах // Письма в ЖЭТФ.
2003. Т. 77. С. 639.
308. Aktsipetrov О. A., Dolgova Т. V., Fedyanin A.A., Murzina Т. V., Inoue М.,
Nishimura К., Uchida Н. Magnetization-induced second- and third-harmonic
generation in magnetophotonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 2005. V. 22.
P. 176.
309. Мурзина Т.В., Каира Р.В., Раздольский Н.Э., Майдыковский А.И.,
Акципетров О.A., Inoue М. Нелинейная оптика магнитофотонных
кристаллов // Российские нанотехнологии. 2007. №2. С. ПО.
310. Murzina T.V., Sychev F.Yu., Kolmychek I. A., Aktsipetrov O.A. Tunable
ferroelectric photonic crystals based on porous silicon templates infiltrated
by sodium nitrite // Appl. Phys. Lett. 2007. V. 90. P. 161120.
311. Fedyanin A.A., Aktsipetrov O.A., Kurdyukov D.A., Golubev V. G., Inoue M.
Nonlinear diffraction and second-harmonic generation enhancement in silicon-
opal photonic crystals // Appl. Phys. Lett. 2005. V. 87. P. 151111.
312. Murzina T. V., Kim E.M., Kapra R. V., Moshnina I. V., Aktsipetrov O.A.,
Kurdyukov D.A., Kaplan S.F., Golubev V.G., Bader M.A., Marowsky G.
Magnetophotonic crystals based on yttrium-iron-garnet infiltrated opals:
Magnetization-induced second-harmonic generation // Appl. Phys. Lett. 2006.
V. 88. P. 022501.
313. Kawase K., Sato M., Taniuchi Т., Ito H. Coherent tunable THz-wave
generation from LiNbC>3 with monolithic grating coupler // Appl. Phys. Lett. 1996.
V.68, №18. P. 2483-2485.
314. Ding Y., Kurgin J. A new scheme for efficient generation of coherent and
incoherent submillimeter to THz waves in periodically-poled lithium niobate //
Opt. Commun. 1998. V. 148, № 1. P. 105-109.
315. Shi W., Ding Y., Fernelius N., Vodopyanov K. Efficient tunable and coherent
0,18 5,27-THz sourse based on GaSe crystal // Opt. Lett. 2002. V. 27, № 16.
P. 1454-1456.
316. Бушу ев В. А., Манцызов Б. И. Несинхронное усиление при генерации те-
рагерцового излучения в нелинейном одномерном фотонном кристалле //
Изв. РАН, сер. физическая. 2003. Т. 67, № 12. С. 1714-1718.
317. Бушуев В.А., Манцызов Б.И., Петров Е.В. Усиление генерации те-
рагерцового излучения в нелинейном одномерном фотонном кристалле
с микрорезонатором // Изв. РАН, сер. физическая. 2005. Т. 69, № 12.
С. 1799-1804.
318. Петров Е.В., Манцызов Б. И. Генерация сигналов на разностной частоте
терагерцового диапазона в системе составных одномерных фотонных
кристаллов // Квантовая электроника. 2007. Т. 37, № 4. С. 358-362.
319. Микаэлян А.Л., Тер-Микаэлян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические
генераторы на твердом теле. — М.: Советское радио, 1967.

320. Акулин В.М., Карлов Н.В. Интенсивные резонансные взаимодействия в
квантовой электронике. — М.: Наука, 1987.
321. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Коллективное
спонтанное излучение: сверхизлучение Дике // УФН. 1980. Т. 131, №4.
С. 653-694.
322. Lamb G.L. Jr. Analytical descriptions of ultrashort optical pulse propagation
in a resonant medium // Rev. Mod. Phys. 1971. V. 43, №2. P. 99-125.
323. Polder D., Shuurmans M., Vrehen Q. Superfluorescence:
quantum-mechanical derivation of Maxwell-BIoch description with fluctuating field source //
Phys. Rev. A. 1979. V. 19, №3. P. 1192-1203.
324. Haake F., King #., Schroder G., Haus J., Glauber R. Fluctuations in super-
fluorescence // Phys. Rev. A. 1979. V. 20, №5. P. 2047-2063.
325. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983.
326. Russell P. St. J. Bragg resonance of light in optical superlattices // Phys. Rev.
Lett. 1986. V. 56, № 6. P. 596-599.
327. Russell P. St. J. Optical superlattices for modulation and deflection of light //
J. Appl. Phys. 1986. V. 59, № 10. P. 3344-3355.
328. Savo S., DiGennaro E., Miletto C. et al. Pendellosung effect in photonic
crystals // Opt. Express. 2008. V. 16, № 12. P. 9097-9105.
329. Рытое СМ. Электромагнитные свойства мелкослоистой среды // ЖЭТФ.
1955. Т. 29, №5. С. 605-616.
330. Физические величины: Справочник / Под ред. И. С. Григорьева, Е.З. Мей-
лихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. С. 884.

СПИСОК НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫХ
СОКРАЩЕНИЙ
БС — брэгговский солитон
ВГ — вторая гармоника
ДДИ — дифракционное деление импульса
ДФС — дисперсионный фазовый синхронизм
МБ — (уравнения) Максвелла-Блоха
МС — многослойная структура
НУ — несинхронное усиление
НУШ — нелинейное уравнение Шрёдингера
РФК — резонансный фотонный кристалл
РЧ — разностная частота
СИП — самоиндуцированная прозрачность
СЧ — суммарная частота
УСГ — уравнение sin-Гордон
ФЗЗ — фотонная запрещенная зона
ФК — фотонный кристалл
ФКС — фазовый квазисинхронизм

МАНЦЫЗОВ Борис Иванович
КОГЕРЕНТНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА ФОТОННЫХ
КРИСТАЛЛОВ