Развитие комбинаторной теории групп - Магнус В., Чандлер Б.

Author: Магнус В. Чандлер Б.

Tags: математика комбинаторика теория групп точные науки

Year: 1985

Similar

Теория групп

Геометрия определяющих соотношений в группах

Введение в теорию узлов

Лекции по обшей алгебре

Text

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Выход в свет английского издания настоящей книги приуро-
приурочен к столетию возникновения комбинаторной теории групп. На-
Начало этой теории обычно связывается с работой В. Дика 1882 г.,
в которой впервые были введены понятия порождающих и опре-
определяющих соотношений. Книга написана одним из создателей
комбинаторной теории групп, известным американским алгебра-
алгебраистом Вильгельмом Магнусом и его учеником Брюсом Чандле-
ром. Комбинаторная теория групп долгое время развивалась
под влиянием геометрии, топологии, ряда классических разделов
алгебры и дифференциальных уравнений. Как самостоятельная
наука со своей проблематикой она оформилась по существу толь-
только после того, как в 1911 г. М. Дэн сформулировал основные
алгоритмические проблемы теории групп: проблему распознава-
распознавания равенства, известную в литературе также под названием
«проблема тождества» (от Identitaetsproblem у самого Дэна),
проблему сопряженности и проблему изоморфизма. Принципи-
Принципиальное решение этих проблем было получено впоследствии
благодаря проникновению в теорию групп идей и методов
математической логики. Глубокая связь комбинаторной теории
групп с математической логикой обусловлена тем, что задание
групп (и вообще алгебраических систем) с помощью опреде-
определяющих соотношений есть не что иное, как аксиоматическое
описание этих систем посредством исчислений специального
вида, родственных логическим исчислениям.
Полученное еще в 1931 г. учеником Дэна В. Магнусом по-
положительное решение проблемы распознавания равенства для
групп с одним определяющим соотношением оставалось наибо-
наиболее существенным продвижением в исследовании этой проблемы
вплоть до 50-х годов, когда П. С. Новиков впервые построил
примеры конечно определенных групп с неразрешимой пробле-
проблемой распознавания равенства. В. Магнусу принадлежит также
существенный вклад в исследование другой важной проблемы
теории групп — проблемы Бернсайда о периодических группах,
поставленной в 1902 г. Намеченный Магнусом в его работах
начиная с 1935 г. подход к исследованию проблемы Бернсайда

6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
привел к формулировке новой проблемы, которая в нашей
литературе известна под не очень удачным названием «ослаб-
«ослабленной» проблемы Бернсайда '). Подход Магнуса лежит в основе
доказательства полученных в дальнейшем результатов по этой
проблеме.
Книга представляет большой интерес для читателей не толь-
только потому, что Вильгельм Магнус внес выдающийся вклад
в развитие комбинаторной теории групп. Без преувеличения
можно сказать, что он был свидетелем почти всех крупных со-
событий в истории комбинаторной теории групп в 20-м веке.
Очень важным достоинством книги является то, что авторы
не ограничиваются формулировкой тех или иных важных ре-
результатов в рассматриваемой области, а стараются также про-
проследить историю возникновения и взаимного влияния фунда-
фундаментальных идей и методов, которые в конечном счете и
определяют развитие науки. Для широкого круга читателей
будут интересны главы, в которых авторы делятся своими на-
наблюдениями о закономерностях развития современной матема-
математики, об обмене научной информацией между математиками
разных стран, о трудностях, возникающих в связи с быстрым
ростом объема публикуемой научной информации.
Авторы с уважением пишут о вкладе советских математи-
математиков в развитие комбинаторной теории групп и особо отмечают
выдающуюся роль Математического института им. В. А. Стек-
лова АН СССР в развитии математических исследований и в
плодотворном обмене научной информацией между советскими
и зарубежными математиками. Отмечая, что из-за языко-
языковых барьеров работы советских исследователей часто не по-
получают должного признания на Западе, авторы приводят в
качестве наиболее вопиющего примера такого рода (стр. 76)
работу А. М. Ляпунова по теории устойчивости движения, ко-
которая сначала была опубликована на русском языке, а затем
в 1907 г. была переведена на французский язык; но только
после опубликования ее в 1947 г. на английском языке в со-
совместном издании Принстонского и Оксфордского университетов-
она получила полное международное признание.
Не претендуя на полный обзор литературы, авторы отме-
отмечают, что они избегали громоздко формулируемых результатов,,
ограничиваясь во многих случаях ссылками на более поздние
монографии, содержащие эти результаты. В частности, работы,,
вышедшие после. 1950 г., приводятся только выборочно в виде
иллюстраций. Многие публикации советских авторов по комби-
комбинаторной теории групп были включены в списки литературы
') Сам Магнус назвал ее ограниченной (restricted) проблемой Берн-
сайда, см., стр. 164. По-вядимому, разумнее ее называть, проблемой Берн-
сайда — Магнуса.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 7
русских переводов двух постоянно цитируемых авторами основ-
основных монографий по комбинаторной теории групп: Магнус В.,
Каррас А., Солитэр Д. [1966], Линдон Р., Шупп П. [1976].
Учитывая это обстоятельство, мы ограничились добавлением
в библиографию нескольких обзорных статей, которые вышли
недавно и содержат достаточно полную информацию о статьях
по комбинаторной теории групп, опубликованных в последние
годы. Эти добавленные обзоры в библиографии отмечены звез-
звездочкой.
По поводу терминологии следует заметить, что в качестве
русского перевода термина presentation мы используем слово
«задание», а не буквальный перевод «представление». Термин
generators имеет в нашей литературе два перевода: «образую-
«образующие» и «порождающие». При переводе мы исходили из того,
что термин «порождающие» точнее отражает суть дела.
Книга предназначена для тех, кто занимается комбинатор-
комбинаторной теорией групп и ее приложениями, и для широкого круга
лиц, интересующихся историей математики. Читатель может
почерпнуть в ней также много интересных идей, лежащих на
стыке различных разделов математики с комбинаторной тео-
теорией групп, идей, которые возникли в науке в первой половине
20-го века и являются актуальными в настоящее время.
С. И. Ад ян

ПРЕДИСЛОВИЕ
Одним из наиболее распространенных явлений в развитии
науки является возникновение новых дисциплин в результате
решения или попыток решения каких-либо проблем в уже су-
существующих областях. Возросшая в двадцатом веке специали-
специализация наук привела к тому, что в любой области значительное
число исследователей не в состоянии понимать работы своих
коллег даже из соседнего раздела той же науки. Имеется
и другая тенденция — методы, развитые для решения задач
какого-то класса, очень часто оказываются весьма полезными и
в областях, которые на первый взгляд далеки от этих задач. По-
Поэтому исследование упомянутого выше явления образования
новых независимых дисциплин в той или иной науке способ-
способствует более полному пониманию закономерностей развития
этой науки в наше время.
Как нам кажется, в этом отношении история развития ком-
комбинаторной теории групп в конце девятнадцатого — начале
двадцатого века может служить характерным примером. Эта
область и достаточно самостоятельна, и в то же время тесно
связана с другими разделами математики. Тот факт, что на
развитие комбинаторной теории групп, по крайней мере до на-
настоящего времени, не влияли практические нужды науки и
техники, предоставляет нам возможность отчетливо про-
продемонстрировать на примере этой дисциплины роль чисто
интеллектуальных аспектов развития математики. Имеются
и другие особенности комбинаторной теории групп, делающие
ее подходящим объектом исторического исследования. Это
относительно молодая дисциплина — ей около ста лет. Хотя
публикаций по ее тематике не так уж мало (около 5000 ста-
статей), мы располагаем двумя обзорными работами — статьей
Магнуса, написанной в 1939 г., и сборником рефератов, опуб-
опубликованным Баумслагом в 1974 г. Почти все исследования в
этой области принадлежат либо живущим ныне математикам,
либо их учителям и старщим коллегам. Это позволяет допол-
дополнять письменные источники устной информацией, что особенно
важно, когда нас интересуют побудительные причины исследо-
исследований или распространения идей.

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
Мы дополнили чисто математические рассмотрения био-
биографическими данными и общим описанием внешних усло-
условий, в которых проходили математические исследования, исполь-
используя примеры из нашей области в качестве иллюстраций.
В гл. II. 14 мы также попытались описать некоторые последствия
быстрого роста числа математических исследований.
Мы крайне признательны за помощь, оказанную нам при
написании этой книги. Невозможно перечислить имена всех
лиц, которые помогли нам информацией или советом. Отдельно
мы хотели бы выразить свою благодарность Национальному
научному фонду, который полностью субсидировал работу над
первой частью книги — без этой поддержки, мы не смогли бы
начать нашу работу. Гостеприимство Центра математических
исследований Варвикского университета в Ковентри (Англия)
позволило нам побеседовать со многими специалистами по тео-
теории групп, посетившими этот Центр в 1978 г. Политехниче-
Политехнический институт Нью-Йорка через свое отделение математики
предоставил нам необходимую техническую и библиографиче-
библиографическую помощь. Наконец, прекрасная, хорошо организованная би-
библиотека Курантовского института математических наук Нью-
Йоркского университета позволила свести до приятного мини-
минимума обычно обременительную работу по розыску источников,
необходимых для исторического исследования.
Ноябрь 1982 г. Брюс Чандлер, Вильгельм Магнус

Часть I
НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Глава I. 1
ВВЕДЕНИЕ В ЧАСТЬ I
Комбинаторную теорию групп можно охарактеризовать как
теорию групп, которые описываются порождающими и опреде-
определяющими соотношениями или, как теперь часто говорят, своим
заданием (presentationI). Конечно, это не полное определе-
определение данной области математики, и мы даже не будем пытать-
пытаться дать таковое. Но по крайней мере для ч. I такого описания
нам будет достаточно.
Первая проблема, с которой сталкивается историк, состоит
в отыскании начального момента развития. В нашем случае
это довольно просто. Работа Вальтера фон Дика [1882] — пер-
первая статья, в которой порождающие и определяющие соотно-
соотношения не только вводятся как новые понятия, но и эффективно
используются в математическом исследовании. Вполне веро-
вероятно, что по крайней мере зародыши идей Дика можно
проследить и у более ранних авторов. Тщательное изучение
возникновения различных аспектов понятия группы было про-
проведено Вуссингом в [1969].
Начиная с обзора и анализа содержания первой статьи
Дика, наша книга описывает развитие комбинаторной теории
групп, ее понятия, задачи, результаты и связь с другими обла-
областями математики, особенно с топологией. Здесь мы сталкиваем-
сталкиваемся со второй трудностью, ожидающей любого историка. Невоз-
Невозможно написать всеобщую историю. В случае математики
даже технические термины, появляющиеся в важных для на-
нашего рассмотрения дисциплинах, можно объяснить лишь
весьма поверхностно. Мы пытались разрешить эти трудности
посредством компромисса, средства, которое по самой своей
природе не может быть вполне удовлетворительным.
Часть I нашей книги охватывает период с 1882 по 1918 г.—
конец первой мировой войны. Причина выбора именно этого
интервала не только в том, что война сократила математичес-
') Как уже отмечалось в предисловии редактора перевода, в качестве
русского перевода слова «presentation» принято слово «задание», а не бук-
буквальный перевод «представление». — Прим. перев.

ГЛ. I. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЧАСТЬ I 11
кую «продукцию» в участвовавших в ней странах. В это время
произошло также изменение в характере исследований в ком-
комбинаторной теории групп. После войны появились новые авторы
и новые проблемы, и вся эта область начала самостоятельное
существование. Это—тема ч. II.
Главы 1.2—1.5 части I в основном следуют историче-
историческому ходу развития, при этом в гл. I. 5 рассматривается толь-
только одна тема — представление групп графами. В этих гла-
главах мы пытались свести технические трудности к минимуму.
Надеемся, что содержащийся в них материал будет доступен
любому читателю, знакомому с основными фактами теории
групп. Возможно, не совсем так обстоит дело с большой по
объему гл. 1.6, которая разбита на шесть разделов. В ней
рассматриваются многочисленные исследования по теории
групп, которые появились до 1918 г., но не оказали тогда не-
непосредственного влияния на развитие комбинаторной теории
групп. Источники упомянутых исследований разнообразны,
например теория арифметических линейных групп, теория
фуксовых групп, римановы поверхности, дифференциальные
уравнения и даже теория конечных групп. Важность этих ис-
исследований выявилась лишь позднее (а в ряде случаев и го-
гораздо позднее). В гл. 1.6 не только описываются исходные
исследования, появившиеся до 1918 г., но говорится также об
их развитии после 1918 г. Это не мешает нам вернуться к тем
же темам в другом контексте в ч. II.
Глава 1.6 требует в какой-то мере больших предваритель-
предварительных знаний, чем другие главы. Наоборот, для гл. 1.7, где мы
даем обзор состояния дел к концу рассматриваемого периода,
таких знаний не требуется.
В гл. I. 8 речь идет не о математике как таковой, а об об-
обстановке, в которой протекали математические исследования
в течение периода, охватываемого первой частью. Библиогра-
Библиографические замечания, составляющие гл. 1.9, — это в основном
ссылки на некрологи.
Глава I. 10 посвящена терминологии. Она преследует двоя-
двоякую цель. Содержащийся в ней список устаревших терминов
должен облегчить современному читателю восприятие ориги-
оригинальных работ, написанных до 1918 г. С другой стороны, при-
приведенные в этой главе определения 22 современных понятий
будут полезны читателю, не знакомому с основами комбина-
комбинаторной теории групп. В гл. I. 10 включен также небольшой
перечень стандартных обозначений.
И наконец, в гл. 1.11 коротко описываются использованные
нами источники. Мы пытались привлечь все существенные ра-
работы, опубликованные до 1918 г. Вероятно, мы что-то пропус-
пропустили, хотя некоторые пробелы могли возникнуть из-за нашего

12 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
понимания слова «существенный», а не по недосмотру. Наде-
Надеемся, что эти пробелы не столь значительны.
Большинство цитат из оригинальных статей на иностранных
языках переведены. Нам кажется, что в математике опасность
искажения при переводе крайне мала.
Глава I. 2
ОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ: ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ ДИКА
Описание группы посредством ее задания, т. е. системы по-
порождающих и определяющих соотношений, является специфи-
специфическим способом абстрактного описания группы. Именно с этой
точки зрения задание группы рассматривается в разд. 4 гл. 3
обширного исследования Вуссинга [1969], посвященного исто-
истокам понятия абстрактной группы.
Статья Дика [1882], несомненно, содержит решающий шаг
в определении группы посредством ее задания. Мы не будем
пытаться проанализировать вопрос том, какие из идей или
понятий из работы Дика встречались еще до него. Вместо это-
этого мы сформулируем некоторые из его результатов, безусловно
новые и важные, несмотря на уязвимость их доказательств.
Во введении к своей статье [1882] Дик упоминает теорию
автоморфных функций и цитирует работы Шварца, Клейна,
Фукса, Пуанкаре и Шоттки. В этих работах группы возникали
как дискретные (в сегодняшнем смысле) группы геометрических
преобразований. При этом элементы групп имели наглядное
представление в виде экземпляров фундаментальной области.
Затем Дик говорит о том, что геометрическая трактовка групп
приводит к односторонности (Einseitigkeit), которая однажды
послужила причиной ошибки в одной из его ранних работ. Вве-
Введение завершается следующей формулировкой цели статьи:
«Дальнейшее изучение существующих теоретико-групповых проблем тре-
требует замены всякого геометрического описания аналитическим (комбинатор-
(комбинаторным). Тем не менее исходная геометрическая интерпретация послужила ис-
источником некоторых подходов. Задачей настоящей работы является развитие
как геометрического выражения, так и аналитического содержания этих под-
подходов».
Первый раздел статьи Дика озаглавлен так: «Описание
группы G как отправная точка исследования». Приведем это
описание:
«Пусть Ах, Аг, ..., Ат— это т произвольных операций, которые могут
применяться к некоторому (единичному) объекту /. Этот объект мы всюду
в дальнейшем будем обозначать 1. Тогда Ai можно рассматривать как поро-
порождающие операции некоторой группы. Эта группа получается применением
к нашему объекту / всех операций в произвольном числе и в произвольных
комбинациях.

ГЛ. I. 2. ОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ 13
Наиболее общая группа с т порождающими операциями получается, если
предположить, что Ai ие имеют периодов и к тому же ие связаны между со-
собой никакими соотношениями. Мы также будем рассматривать операции, про-
противоположные к At, и обозначать их, как это обычно делается, через AJ'1
Таким образом, мы получаем бесконечное множество преобразований, при-
принадлежащих нашей группе G, применяя сначала операции Аи А^1, А2,
А2\ ..., Ат, Л к единице, затем снова применяя те же операции к получен-
полученным уже преобразованиям и так далее. Поскольку мы не предполагаем ни-
никаких соотношений между порождающими операциями, все полученные та-
таким образом преобразования будут различаться между собой и каждое из
них может быть получено из порождающих преобразований с помощью толь-
только одного вполне определенного процесса. Это обстоятельство выражается
формулой
AfAf ... А?А? ... »
В статье Дика ничего не говорится о значениях, которые
могут принимать показатели v, ]x, но дальнейшие замечания
показывают, что случай, когда перед или после Ai идет АТ1,
исключается.
Затем Дик использует искусственный прием для того, чтобы
избежать необходимости использования обратных операций.
Для этого он вводит дополнительный порождающий элемент
А„ и постулирует равенство
AiA2A3 ... AmAn = 1 = AnAmAm-x ... А2АХ.
Следующий раздел он посвящает тому, что в статье названо
«геометрической конкретизацией (Versinnlichung) группы G».
Здесь он существенно опирается на теорию фуксовых групп. Он
строит (пг + 1)-угольник Р, стороны которого являются дугами
окружностей, ортогональными к заданной окружности К, а вер-
вершины лежат на К- Эти вершины обозначаются символами
а\, а.2, ..., ат, ап. Отразим теперь многоугольник Р относи-
относительно всех его сторон, затем отразим все его образы относи-
относительно всех их сторон и т. д. В результате получится покрытие
круга с границей К образами многоугольника Р. Пусть Р за-
закрашен, закрасим также все его образы, получаемые из него
за четное число шагов. Рассмотрим теперь все отображения
рассматриваемого покрытия в себя, при котором закрашенные
области переходят в закрашенные. В рассматриваемом случае
все такие отображения могут быть получены с помощью мёбиу-
совых преобразований рассматриваемого круга. Каждое ото-
отображение однозначно задается образом Р. Такие отображения
образуют группу, изоморфную абстрактной группе G, построен-
построенной в предыдущем разделе статьи Дика. Доказательство осно-
основывается на соображении, очень близком к использованию гра-
графа группы (который, действительно, прямо получается из по-
покрытия Дика). Цитируем:

14 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
«Расположение многоугольников в нашей сети таково, что, начиная с
многоугольника Р и применяя операции Аи А2, ..., Ат, Ап только положи-
положительным образом, мы можем достичь любого другого закрашенного много-
многоугольника, причем достичь только по одному пути — не учитывая вставки
путей AlA2...AmAn, А2А^,..АпА1 и т. п., сводящихся к единичному».
В четвертом разделе статьи Дика изучается связь между рас-
рассматриваемой группой G с порождающими А\, А2, ..., Ат и про-
произвольной группой G с порождающими А\, А2, ..., Ат. Он начи-
начинает с предположения о том, что элемент
F(i4lf A2, ..., Am)^F
переходит в единичный элемент при замене всех Л» на At, и заме-
замечает, что F и все сопряженные с ним элементы порождают под-
подгруппу Н, которая коммутирует со всеми элементами группы G
и тем самым по терминологии Софуса Ли является «выделен-
«выделенной». Эта подгруппа Н состоит в точности из тех элементов груп-
группы G, которые становятся равными 1 при замене At на Л,-. В этом
месте Дик забывает о сопряженных к F~l. Этот недосмотр можно
объяснить тем, что он до этого ввел конструкцию, позволяющую
избегать обратных элементов. Затем Дик анализирует группу,
которая получается из G, если предположить, что на ее поро-
порождающие наложено произвольное число соотношений. В сле-
следующем разделе он обобщает эту ситуацию и, если говорить со-
современным языком, устанавливает, что добавление соотношения
между порождающими группы & приводит к факторгруппе этой
группы. Наконец, Дик приводит геометрическую интерпретацию
своего построения факторгруппы. При этом фундаментальная об-
область для факторгруппы в покрытии, соответствующем группе,
строится с помощью представителей смежных классов по нор-
нормальной подгруппе.
Переработанное изложение результатов Дика содержится в
книге Бернсайда [1897а] (или [1911]). Статья Дика [1882]
упоминается даже в предисловии к этой важной книге. В общем
эта статья в течение последующих десятилетий была одной из
наиболее цитируемых теоретико-групповых работ. Ее важность
впоследствии отмечалась также Миллером в исторической
статье [1935]. Об этой важности говорится и в работе Лёви
[1910] по «алгебраической теории групп», где содержится весь-
весьма современный и тщательно написанный обзор того, что было
тогда известно в теории групп, исключая группы Ли.
Статьи Дика [1882] и [1883] содержат много больше, чем
основы теории заданий групп. В частности, работа [1883] важ-
важна для теории групп подстановок. Но все же наиболее замет-
заметным ее последствием, вероятно, является то, что после этой
работы описание групп посредством задания стало общеприня-
общепринятым. Во многих случаях задание используется как сжатый спо-
способ описать группу и ограниченное число ее свойств; в частно-

ГЛ. I. 2. ОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ 15
сти, неразрешимость группы часто может быть непосредственно
видна из ее задания. Вероятно, именно по этим причинам вскоре
после 1882 г. даже для конечных групп, которые могут быть
описаны посредством подстановок или матриц, были найдены
задания. Например, Дик в работе [1883] приводит задания для
простых групп порядка 60 и 168. Бернсайд в [1899] и Фрике
в [1899] делают то же самое для простой группы порядка 504,
а в работе Бернсайда [1897b] содержатся задания для всех
симметрических групп. О более поздних исследованиях, где за-
задания конечных групп использовались более существенно, мож-
можно прочитать в монографии Коксетера и Мозера [1972]. Ко-
Конечно, задания играют действительно важную роль именно в
теории бесконечных групп. Об этой роли будет идти речь в
последующих главах настоящей книги. Теперь же мы попы-
попытаемся указать место двух основных результатов работы Дика
[1882] в исторической перспективе. Используя сегодняшнюю
A980 г.) терминологию, их можно сформулировать следующим
образом.
Предложение 1. Существует такая группа Gem порождаю-
порождающими А\, А2, ..., Ат, что всякий ее элемент может быть ровно
одним способом представлен в виде
А'}А'? ... А? или 1, A)
где ii, г2, ..., U е {1, 2, ..., m}, iv ф iv+i, v = 1, ..., /—1, и
е\, е2, •¦•> et — ненулевые целые числа.
Предложение 2. Всякая группа Gem порождающими
А\, А2, ..., Ащ является гомоморфным образом группы G. Про-
Произвольная группа G может быть получена выбором подходящего
множества выражений вида A), которые мы обозначим через
F\, F2, ..., Fr, и постулированием равенств
Fp(Au Л2, .... Ап)=1 (р=1, 2, ..., г). B)
Ядро отображения G->-G, Ац^-А^ (ц = 1, 2, ..., т) в этом
случае состоит из всевозможных произведений элементов вида
TFplT~\ T<=G,
где в Fp мы заменили Лц на Ац.
Могут сказать, что доказательства, данные Диком для этих
теорем, не вполне строги, хотя и убедительны. В частности,
его геометрическая интерпретация предложения 1 интуитивно
ясна, но не удовлетворяет сегодняшним требованиям строгости.
Само это предложение принималось как самоочевидное, напри-
например, Бернсайдом (см. Бернсайд [1911, с. 373]). Действительно,

16 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
это предложение выглядит довольно правдоподобно, однако его
чисто арифметическое доказательство не совсем тривиально.
Особенно элегантное доказательство, использующее перестанов-
перестановки, дано Шрейером в [1927а], [1927b]. Интересно отметить, что
это предложение совершенно не используется в изложении тео-
теории задания групп у де Сегье [1904], где в то же время содер-
содержатся интересные применения этой теории.
Мы мало что знаем о де Сегье, помимо того, что, согласно
Вуссингу [1969], он был ученым-любителем, не имеющим ни-
никакого ученого звания, — это довольно необычно для работаю-
работающего математика, особенно европейского. Его основным трудом
является двухтомная монография по теории групп, первый том
которой вышел в 1904 г., а второй — в 1912 г. Существенная
часть материала этих томов принадлежит самому автору. Стиль
де Сегье резко отличается от стиля Дика. В работе де Сегье
отсутствуют какие-либо интуитивные соображения (в том числе
и геометрические). Ей присуща тенденция к максимально воз-
возможной абстрактности и общности, но при этом общие теоремы
снабжаются многочисленными примерами и рассмотрением
частных случаев. Де Сегье, возможно, был первым алгебраи-
алгебраистом, обратившим внимание на открытие Кантором несчетных
мощностей. Его стиль более сжат, чем у Дика или Бернсайда.
Быть может, именно по этой причине книги де Сегье имели
меньшее влияние, чем книга Бернсайда, несмотря на огромный
объем содержащегося в них материала.
Здесь мы коснемся только первого тома монографии де Сегье,
вышедшего в 1904 г. Он начинается с введения в теорию мно-
множеств, следующего Кантору [1895], затем определяется понятие
полугруппы с двусторонним сокращением. Именно это понятие
де Сегье назвал «полугруппой» и тем самым впервые ввел в
обращение этот термин (на с. 8 своей книги). Затем (на с. 15—
16) он определяет порождающие группы а\, а% ... и отмечает,
что их число не обязательно счетно. Он ставит себе следующую
задачу:
«Найти общую форму соотношений, являющихся следствиями заданной
системы S соотношений между порождающими аи а2, ... (зависимыми или
нет), если S определяет группу. В этом случае а^1 имеет смысл... . Пусть S
задана в виде Fi = 1, F4 = I, ..., причем а^ может входить в соотно-
соотношения».
Он утверждает:
«Тогда всякое следствие системы соотношений S может быть приведено
к стандартному виду
v,p
посредством тождественных преобразований (это означает, что между фор-
формально различными произведениями не предполагается никаких соотноше-
соотношений, кроме atajl = ajxal'= t).»

ГЛ. I. 2. ОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ 17
Чуть дальше (на с. 17) де Сегье использует порождающие
и определяющие соотношения для построения групп G, содер-
содержащих нормальную подгруппу А с факторгруппой G/A = В,
таких, что А и В заданы порождающими и определяющими
соотношениями. Использование этих понятий пронизывает всю
книгу.
Мы видим, что де Сегье, как и Дик, широко использовал
предложение 2, причем доказательство де Сегье более непосред-
непосредственно и современно, чем у Дика. Это частично объясняется
тем, что за прошедшие между публикациями Дика и де Сегье
22 года стало вполне ясным и начало повсеместно применяться
понятие гомоморфизма. Однако предложение 1 вовсе не возни-
возникает при подходе де Сегье. Он ввел понятие полугруппы и по-
поэтому не придавал особого значения свободным группам. Его
точка зрения (хотя и не сформулированная во всех деталях),
в сущности, совпадала с той, которую Дэн излагал в лекциях
и обсуждениях: группа возникает из множества объединенных
в пары а;, аг1 символов путем образования слов с заданной на
словах операцией приписывания, которая очевидным образом
ассоциативна. Классы эквивалентности слов по отношению к
некоторым правилам, задающим обратимые преобразования
слов, и являются элементами группы. В этой ситуации свобод-
свободные группы соответствуют частному случаю, когда правила пре-
преобразования утверждают существование обратного для каж-
каждого элемента группы. Тот факт, что всякое отображение мно-
множества свободных порождающих а1 (без аг1) на некоторое
множество элементов произвольной группы G задает гомомор-
гомоморфизм свободной группы в группу G, становится совершенно
очевидным. Утверждение, которое мы называем предложением 1,
у Дэна называется решением проблемы равенства для свобод-
свободных групп. Эта точка зрения сохранялась в большей части ли-
литературы. Задания групп вводились через факторгруппы сво-
свободных групп. Такая процедура давала небольшие технические
преимущества, но, конечно, как отмечал Дэн в своих лекциях,
не существует логического различия между понятиями свобод-
свободной группы и произвольной группы, определенной своим зада-
заданием. Тем не менее все же остается нечто, что так или иначе
нужно доказывать. Замечательно, что вплоть до 1926 г. не су-
существовало алгебраического доказательства предложения 1 и
впоследствии такие доказательства появились только как част-
частные случаи доказательств теорем о свободных произведениях
групп. Такой ход развития резко отличается от развития алгеб-
алгебраического подхода к общему понятию группы и, в частности,
понятию конечной группы. Книга Вуссинга [1969] содержит
подробный обзор большого количества статей, посвященных
аксиоматической и алгебраической концепциям групп и опуб-

18 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
ликованных до 1919 г. Большое число учебников по алгебре,
и в особенности по теории групп, содержит тщательный анализ
однопорожденных (т. е. циклических) групп. Но первым учеб-
учебником по теории групп, дающим явное алгебраическое обосно-
обоснование решения проблемы распознавания равенства в свободных
группах, является книга А. Г. Куроша [1944] (на русском язы-
языке). По-английски первое доказательство для этой проблемы в
учебной литературе появилось в книге Цассенхауза [1958], и
даже там оно оказалось частным случаем решения проблемы
распознавания равенства в произведениях и к тому же названо
теоремой существования. По-видимому, первое комбинаторное
(в смысле Дэна) доказательство, попавшее в учебник, содер-
содержится в книге Магнуса, Карраса и Солитэра [1966]. В этих
доказательствах проявляется разница между двумя понятиями
свободной группы. Доказательство существования начинается с
нормальной формы A) для элементов свободной группы и за-
затем устанавливает, что приписывание с последующей редукцией"
задает ассоциативную операцию на таких элементах. Комбина-
Комбинаторное доказательство использует полугруппу слов и затем по-
показывает, что нормальная форма (т. е. редуцированный эле-
элемент произвольного класса эквивалентности слов) не зависит
от порядка проведения редукций. Тот и другой подходы были-
использованы Артином — один в [1926], другой — в [1947а]
соответственно, в более общем контексте существования свобод-
свободных произведений и для решения проблемы распознавания ра-
равенства в свободных произведениях. До 1926 г. содержание
предложения 1 принималось как очевидное, вероятно исходя из-
существующих не вполне явных геометрических доказательств.
Природа этих доказательств будет выявлена в последующих
главах.
Глава I. 3
НАЧАЛО: ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП
Даже если не принимать во внимание свидетельства самого
Дика, совершенно ясно, что теория дискретных групп послу-
послужила основой для его теоретико-групповых исследований в
11882]. Дик был студентом Ф. Клейна и в 1882 г. работал его
ассистентом в Лейпцигском университете. Вскоре вслед за пуб-
публикацией Дика появились две важные работы по теории дис-
дискретных групп, принадлежавшие двум ведущим математикам,,
работавшим в то время в этой области. Первой из них была
большая F1 с.) статья А. Пуанкаре [1882] по фуксовым груп-
группам. Во введении к ней Пуанкаре пишет, что он уже публико-
публиковал ранее наброски своих идей и результаты, но хотел бы по-
попытаться теперь систематически изложить всю теорию. Почти

ГЛ. 1.3. НАЧАЛО: ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ ГРУПП 19
одновременно появилась большая G8 с.) статья Клейна [1883],
которая особенно важна для теории заданий групп, так как со-
содержит то, что теперь известно как клейнова теория «компози-
«композиции групп». Этот термин был фактически введен Фрике и Клей-
Клейном в [1897, с. 190—194]. В [1883] Клейн использовал слово
Ineinanderschiebung (сцепление) (с. 200). Композиция групп
может применяться для решения проблемы распознавания ра-
равенства для свободных произведений групп, которые действуют
на точках топологического пространства. Простейший пример,
описанный Фрике и Клейном, таков. Рассмотрим четыре непе-
непересекающихся диска Dv DJ, D2, D'2 в комплексной плоскости.
Через Е обозначим оставшуюся часть плоскости, через А\, Л2 —
два преобразования Мёбиуса (т. е. дробно-линейные преобра-
преобразования комплексной плоскости), такие, что А\ отображает
внешность Di на внешность D'v а А2 отображает внешность D2
на внешность D'2. Тогда при aieZ (ai Ф0) преобразование
Л°' отображает Е во внешность Dx или D'v Поскольку и D{, и
D[ лежат вне D2 и D2, отображение
AT At (au p,^0)
переводит Е во внешность D2 или D2. Повторение этого рас-
рассуждения показывает, что всякое отображение вида
с отличными от нуля целыми ai, ..., am, рь ..., pm отобра-
отображает Е на множество точек, не пересекающееся с Е, и, следова-
следовательно, не может быть тождественным преобразованием. Это
доказывает существование «наиболее общей» группы с двумя
порождающими в смысле Дика [1882] простым, но не алгеб-
алгебраическим способом. Приведенное рассуждение легко можно
обобщить на случай свободного произведения счетного числа
циклических групп. Это было сделано более или менее явно
Фрике и Клейном в [1897]. Такие группы в дальнейшем также
возникали как дискретные группы преобразований Мёбиуса
комплексной плоскости. Принадлежащая Клейну конструкция
композиции была развита и обобщена в последние годы для
получения новых теоретико-групповых результатов, см., напри-
например, Маскит [1965] и Линдон и Ульман [1969].
Истоки теории дискретных групп, даже если ограничиться
только группами мёбиусовых преобразований, весьма многооб-
многообразны. Эти группы играют важную роль в качестве инструмента,
используемого в теории таких объектов и конструкций, как ал-
алгебраические функции одного комплексного переменного (т. е.
в теории римановых поверхностей), униформизация, автоморф-
ные функции, в алгебраической теории квадратичных форм,

20 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
теории алгебраических расширений с заданной группой Галуа
(теории уравнений пятой степени) и в теории однородных линей-
линейных дифференциальных уравнений (таких, как гипергеометриче-
гипергеометрическое уравнение). К этим группам приводят также геометрические
идеи, лежащие в основе неевклидовой геометрии, включая и
дифференциальную геометрию. Однако мы ограничимся связью
между теорией дискретных групп и теорией заданий групп.
С одной стороны, в литературе до 1914 г. появилось большое
число заданий дискретных групп, например у Фрике и Клейна
в [1897]. (По поводу обзора этих результатов см. Магнус
[1974а].) С другой стороны, эти задания не так уж часто
используются и их можно считать скорее удобным способом опи-
описания групп, чем средством исследования их свойств. В част-
частности, нигде не было сделано попытки систематического по-
построения заданий подгрупп — даже нормальных подгрупп конеч-
конечного индекса, исходя из заданий всей группы. И это несмотря
на то, что подгруппы некоторых дискретных групп, например
подгруппы эллиптической модулярной группы PSLB, Z), пред-
представляют значительный интерес. (Мы коснемся некоторых ра-
работ, где исследуются подгруппы, в гл. I. 6.)
Причины, ;по которым теория дискретных групп в начале
своего развития не стимулировала развитие теории заданий
групп, ясны. Дискретные группы исходно определяются не с
помощью заданий. Обычно их вводят, указывая множество по-
порождающих элементов, описывающих конформные преобразова-
преобразования комплексной плоскости, переводящие некоторую окружность
в себя, или являющихся матрицами размера 2X2, удовлетво-
удовлетворяющими каким-либо арифметическим условиям (например,
элементы матриц должны быть целыми алгебраическими чис-
числами данного поля, для которых выполнены некоторые соотно-
соотношения). Мы будем называть эти две ситуации геометрической
и алгебраической соответственно. Простейший пример геометри-
геометрической ситуации — это обсуждавшаяся выше композиционная
конструкция Клейна. Простейший пример алгебраической си-
ситуации появляется опять-таки в связи с PSLB, Z).
И в том, и в другом случае задание группы получается из
построения фундаментальной области для этой группы, причем
оно получается относительно легко, если эта фундаментальная
область двумерна, т. е. лежит в комплексной плоскости. В гео-
геометрическом случае основная проблема состоит в отыскании по-
порождающих отображений с данной фундаментальной областью
и соответствиями между дугами ее границы, отвечающими дей-
действию порождающих. Это более или менее сложная геометри-
геометрическая задача, для решения которой не требуется теоретико-
групповых средств. В арифметическом случае прежде всего
нужно найти множество порождающих. Это обычно бывает не-
нетривиально, а иногда и очень сложно, как, например, в случаях,

ГЛ. I. 4. ПОБУДИТЕЛЬНЫЕ МОТИВЫ 2Н
изученных Фрике и Клейном в [1897, ч. 3] или Бьянки в статье
[1892], которая будет более подробно рассмотрена в гл. 1.6.
В этих работах используются геометрические, алгебраические и
смешанные методы. Так же сложно и строить фундаментальную
область. Когда построение завершено, определяющие соотно-
соотношения для группы найти относительно легко, если область дву-
двумерна (при размерности три и выше задача становится суще-
существенно более сложной). До 1914 г. было опубликовано несколько^
статей, которые позднее оказались важными для комбинатор-
комбинаторной теории групп. Их мы коснемся в гл. 1.6. Однако изучае-
изучаемые в этих статьях вопросы не стимулировали и, разумеется, не
могли стимулировать исследований в указанном направлении.
В теории дискретных групп есть только одна широко обсуж-
обсуждавшаяся в литературе до 1914 г. задача, для которой развитие
методов комбинаторной теории групп одновременно было бы по-
полезным и вытекало бы из существа проблемы. Это задача оты-
отыскания всех подгрупп или по крайней мере всех нормальных
подгрупп конечного индекса по конечному заданию группы, а
также дополнительная задача получения информации о возни-
возникающих факторгруппах. Впервые с абстрактной и общей точки
зрения эта задача была рассмотрена Рейдемейстером в [1926].
Его работа называлась «Узлы и группы». Топологическая тема-
тематика не является здесь случайностью. Основания для суще-
существенного развития комбинаторной теории групп появились в=
топологии задолго до Рейдемейстера. О них мы подробнее по-
поговорим в следующей главе.
Глава I. 4
ПОБУДИТЕЛЬНЫЕ МОТИВЫ:
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
В большой работе «Analysis Situs» [1895] Пуанкаре ввел'
понятие фундаментальной группы топологического простран-
пространства. Он начинает с эвристического введения, где рассматри-
рассматривает функции Fi (i = l, 2, ..., К) (не обязательно однознач-
однозначные) на многообразии, заданные уравнениями в координатах xk
(k = 1, ..., п), и предполагает, что эти функции удовлетворяют
дифференциальным уравнениям
dFt = Xi,ldx1+ ...+Хипс1хп,
где Xi%k — заданные однозначные дифференцируемые функции^
от Xk и Fi, удовлетворяющие некоторым условиям интегрируе-
интегрируемости. Затем Пуанкаре изучает преобразования функций Fi,
осуществляющиеся в результате их продолжения вдоль замкну-
замкнутой петли. Эти преобразования образуют группу g, и Пуанкаре-

¦22 ч- I- НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
показывает, или по крайней мере сознает, что все такие груп-
группы g являются гомоморфными образами одной группы G —
фундаментальной группы.
Пуанкаре ожидал от теории групп помощи для топологии,
«го ожидания оправдались — он показал, что фундаментальная
группа действительно определяет топологические инварианты
пространства, найденные Бетти. Ему удалось также доказать,
что трактовка фундаментальной группы как характеристики то-
топологического пространства ведет к более тонкой классифика-
классификации таких пространств, чем та, что была возможна раньше. Наи-
Наиболее замечательным достижением Пуанкаре в этом направле-
направлении было построение трехмерного пространства, у которого
число Бетти и коэффициенты кручения (введенные Пуанкаре в
[1904]) были теми же, что у замкнутого трехмерного сфериче-
сферического пространства, а фундаментальной группой Г являлась не-
некоторая совершенная группа, среди факторгрупп которой
имеется группа икосаэдра (т. е. As). Этот результат содержится
в статье Пуанкаре [1904, с. 729—732, т. 1 Избранных трудов] ').
В самом конце этой работы Пуанкаре ставит вопрос, известный
теперь как «гипотеза Пуанкаре»:
«Может ли получиться, что фундаментальная группа пространства V со-
состоит только из тождественного преобразования, а V неодносвязно?»
Эта проблема до сих пор A980 г.) открыта. Но сейчас ее
можно по крайней мере сформулировать в чисто алгебраических
(по существу, теоретико-групповых) терминах; см. Бирман
[1973], где имеются также другие ее алгебраические варианты.
См. также Линдон и Шупп [1977, с. 266].
По ряду причин топологические работы Пуанкаре трудно
читать. Одна из этих причин чисто техническая: он использует
и для абелевых, и для неабелевых групп символ сложения в
качестве операции, свободно переходя от одного случая к дру-
другому. Однако основная трудность проистекает из того, что ме-
методы, которые Пуанкаре использует для построения топологи-
топологических пространств, являются интуитивными обобщениями идей
и результатов, относящихся к теории фуксовых групп, римано-
вых поверхностей и дифференциальных уравнений. При этом
он даже не пытается отделить интуицию от доказательства и
уточнить свои предположения. Из конструкции пространства с
совершенной фундаментальной группой ясно, что эта группа
имеет конечное задание. Но, за исключением этого примера,
трудно сказать, что Пуанкаре где-нибудь использует теоретико-
групповые методы существенным образом. Это замечание ил-
иллюстрируется тем обстоятельством, что он не замечает, что его
инварианты кручения пространства (в дополнение к числу Бет-
') В работах, переведенных на русский язык, страницы указываются по
русскому изданию. — Прим. ред.

ГЛ. 1.4. ПОБУДИТЕЛЬНЫЕ МОТИВЫ 2&
ти) в действительности вычисляются просто факторизацией
фундаментальной группы по коммутанту. Этот результат был
получен Титце в статье [1908] объемом 118 с. Она в отличие
от статьи Пуанкаре важна не содержащимися в ней новыми
идеями, а тщательным анализом основных предположений и
методов, серьезной попыткой отделить подлинные доказатель-
доказательства от интуитивных соображений и, наконец, свбими теорети-
теоретико-групповыми результатами.
Титце начинает с определения многообразия произвольной
конечной размерности посредством клеточных комплексов, ко-
которые он также называет Schemata (схемы). Титце упоминает
различные источники такой конструкции, определяющей много-
многообразие (в действительности — пространство) с помощью конеч-
конечного объема информации. Среди этих источников — статьи Дика,
Пуанкаре (работу которого Титце отмечает как основу для всей
своей статьи) и неопубликованные лекции Виртингера. Но в ра-
работе [1908] Титце говорит также, что систематическое развитие
используемой им конструкции согласуется с имеющимся в по-
появившейся на год раньше работе Дэна и Хегора [1907].
В разд. 12 статьи [1908] Титце использует свою конструк-
конструкцию для введения фундаментальной группы многообразия и
показывает, что эта группа имеет конечное задание. В разд. 13
доказывается топологическая инвариантность фундаментальной
группы. Другими словами, Титце доказывает, что две гомео-
морфные «схемы» имеют изоморфные фундаментальные груп-
группы. Для этих целей ему нужен чисто теоретико-групповой ре-
результат, который доказан им в разд. 11 и который до сих пор
связан с его именем. Это теорема о том, что любые два конеч-
конечных задания произвольной группы могут быть переведены одно
в другое применением конечного числа некоторых обратимых
преобразований (так называемых «преобразований Титце») иа
заданного конечного набора.
Раздел 11 статьи Титце предваряется краткой сводкой, от-
относящейся к понятиям порождающих и определяющих соотно-
соотношений. Вслед за этим Титце отмечает:
«Сразу видно, что две группы, определенные различными системами по-
порождающих и определяющих соотношений, могут быть изоморфными... Од-
Однако не решена ни общая проблема описания всех способов получения дан-
данной группы, ни даже частная проблема отыскания метода распознавания п»
заданиям двух групп, изоморфны ли они.»
Затем Титце вводит суммы показателей степени порождаю-
порождающих, входящих в определяющие соотношения группы, рассмат-
рассматривает матрицу, составленную из этих сумм показателей, и ее
элементарные делители, отмечает, что они, по существу, яв-
являются инвариантами абелевой группы, получаемой из заданной
группы наложением соотношений коммутативности, и, наконец,,
доказывает, что для изоморфных групп инварианты соответ-

•24 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
•ствующих абелевых групп совпадают. Это приводит его к упо-
упомянутому выше открытию, что коэффициенты кручения Пуан-,
каре могут быть вычислены по заданию фундаментальной груп-
,пы. В свое рассмотрение Титце включает также примеры пар
неизоморфных групп с одинаковыми инвариантами соответ-
соответствующих абелевых групп.
В конце разд. 14 (с. 80) работы [1908] Титце следующим
образом суммирует свои результаты о роли фундаментальной
группы:
«...таким образом, фундаментальная группа ориентируемого (zweiseitige)
замкнутого трехмерного многообразия характеризует его в большей степени,
чем все ранее известные топологические инварианты, вместе взятые. Однако
это утверждение должно быть до некоторой степени ограничено. В то время
как относительно двух числовых последовательностей всегда можно узнать,
совпадают ли они, вопрос о том, изоморфны ли две группы, не всегда разре-
разрешим. Таким образом, для фундаментальных групп ситуация не такая, как
для других топологических инвариантов: вопрос о совпадении или несовпаде-
несовпадении фундаментальных групп двух многообразий не всегда разрешим».
Последний раздел оаботы Титие содержит построение двух
легомеоморфных многообразий, которые оба имеют фундамен-
фундаментальную группу порядка 5.
Теоретико-групповая часть работы Титце [1908] отличается
.исключительной ясностью. Доказательства совершенно прозрач-
прозрачны, и их правильность очевидна. Оценка ее топологической
части лежала бы далеко в стороне от предмета настоящей
книги. Следует, однако, отметить, что Титце приводит множе-
множество ссылок и на каждом шагу отмечает зависимость своей
.работы от работы Пуанкаре. Фактически некоторые части его
большой статьи можно читать как разъясняющие комментарии
к соответствующим частям статьи Пуанкаре.
Результат Титце об эквивалентности конечных заданий групп
и его тест на изоморфизм, основанный на изоморфизме фактор-
факторгрупп по коммутанту, являются первыми теоремами в комбина-
комбинаторной теории групп после Дика и де Сегье. Обе теоремы были
доказаны теоретико-групповыми методами и обе возникли из
открытой Пуанкаре возможности приложения теории групп к
топологии. Помимо этого, результаты Титие были мотивированы
специфическими трудностями, возникающими при работе с груп-
группами, для которых известно только их задание с помощью по-
порождающих и определяющих соотношений.
Четыре статьи Дэна [1910], [1911], [1912], [1914] замеча-
замечательным образом углубляют и продолжают работу Титце. Дэн
также отдает должное открытию Пуанкаре фундаментальной
группы как побудительной причине для своей работы. Он об-
обнаруживает, что трудности в комбинаторной теории групп по-
появляются на значительно более низком уровне, чем тот, на ко-
котором находится проблема изоморфизма, поставленная Титце.

ГЛ. I. 4. ПОБУДИТЕЛЬНЫЕ МОТИВЫ 25>
Дэн получил решения поставленных им теоретико-групповых
проблем в ряде важных случаев. Он также решил топологиче-
топологическую задачу, поставленную Титце в [1908, с. 98], изучив фун-
фундаментальную группу некоторого пространства. Но в отличие
от Титце он не пользовался алгебраическими методами. Дока-
Доказательства его алгебраических результатов опирались на тео-
теорию одномерных комплексов. Рассмотрим теперь его работы
более подробно.
Работа Дэна [1910] названа «О топологии трехмерного
пространства». Начинается она, однако, с главы, относящейся
к группам, определяемым конечным заданием. Следующая era
работа [1911] целиком посвящена таким группам. Мы сейчас
обсудим обе эти статьи, говоря о них как о «первой» и «вто-
«второй».
Вторая статья начинается с формулировки трех фундамен-
фундаментальных проблем ') :
1. Проблема распознавания равенства (слов) (названная
Дэном Identitaetsproblem). Пусть произвольный элемент группы
задан своим построением из порождающих. Найти метод опре-
определения за конечное число шагов, равен этот элемент единице
или нет.
2. Проблема распознавания сопряженности (названная Дэ-
Дэном Transformationsproblem). Пусть даны два произвольных
элемента S а Т группы. Найти метод выяснения, сопряжены
ли S и Г, т. е. существует ли в группе такой элемент U, что
S = UTU~\
3. Проблема распознавания изоморфизма. Даны две группы.
Выяснить, изоморфны они или нет (а также является ли дан-
данное соответствие изоморфизмом).
Первые две проблемы ставились в обеих работах, но особо'
выделены во второй. Третья проблема появляется только во
второй, но, как было упомянуто выше, была сформулирована
(без специального выделения) уже Титце в [1908]. В [1911]
Дэн приводит топологическую мотивировку этих проблем. Ци-
Цитируем:
«Всякая заузленная кривая в пространстве требует для своей полной ха-
рактеризации решения этих трех проблем в частном случае. Всякой кривой К
соответствует бесконечная группа GK, определяемая описанным выше обра-
образом (т. е. посредством конечного задания). Кривая К незаузлена тогда и
только тогда, когда группа GK абелева. Отсюда получаем решение проблемы
распознавания равенства. Всякой другой кривой в пространстве соответ-
соответствует в GK определенный элемент. Две кривые в пространстве могут быть
непрерывно деформированы одна в другую, не задевая К, в том и только том
:) В названиях этих проблем слово «распознавание» часто опускают. —
Прим. перев.

26 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
случае, когда соответствующие элементы в GK сопряжены. Наконец, вопрос
о том, может ли данная кривая К' быть непрерывно н без самопересечений
деформирована в кривую К, требует решения третьей проблемы для G^ и
Этот отрывок требует значительных комментариев.
В своей первой статье Дэн доказал чисто топологический
результат, известный с тех пор под названием «леммы Дэна»,
из которого вытекает, что группа узла абелева и, значит, цик-
.лическая тогда и только тогда, когда узел в трехмерном про-
пространстве изотопен окружности. В доказательстве этой леммы
имелась ошибка, отмеченная в письме Кнезера Дэну от 22 апре-
-ля 1929 г. Тем не менее лемма верна и была доказана Папа-
кирьякопулосом в 1957 г., через пять лет после смерти Дэна.
Но все это не умаляет важности статьи Дэна для развития
комбинаторной теории групп. Мы заговорили об этом здесь
только потому, что асферичность узлов упоминается Дэном во
введении ко второй статье. Даже без леммы Дэна ясно, что
узел не может быть изотопен окружности в трехмерном про-
пространстве, если группа узла неабелева.
Важность работы Дэна для комбинаторной теории групп
•основана отчасти на его открытии, что задание группы узла
может быть извлечено из проекции этого узла на евклидову
•плоскость при условии, что эта проекция достаточно регулярна.
С каждой из конечного числа областей, на которые проекция
разбивает плоскость, Дэн связал порождающий элемент группы,
а с каждой из конечного числа двойных точек проекции (кото-
(которые должны разделяться на точки верхнего и нижнего пересе-
пересечения) он связал определяющее соотношение. Его определяю-
определяющие соотношения включают три или четыре порождающих или
обратных к ним. Метод Дэна применим и при изучении зацеп-
.лений, т. е. вложений нескольких замкнутых кривых в трех-
трехмерное пространство. Таким образом, с каждым узлом ассо-
ассоциируется характеризующая его группа с легко вычисляемым
заданием, а начиная с работы Листинга [1848] узлы составляли
интенсивно изучаемый класс топологических объектов. Ясно, что
это открытие стимулировало работу Дэна. Но стоит отметить,
что он был не единственным и даже не первым математиком,
сделавшим это открытие. Виртингер в докладе [1905], прочи-
прочитанном на заседании Немецкого математического общества
(Deutsche Mathematiker-Vereinigung), объяснил, каким образом
алгебраические особенности аналитической функции двух ком-
комплексных переменных задают некоторые топологические струк-
структуры. Именно, рассматривая пересечение соответствующей ал-
алгебраической поверхности (двумерное вещественное многообра-
многообразие, вложенное в четырехмерное вещественное пространство) с
достаточно малой гиперсферой, центр которой совпадает с осо-
особенностью поверхности, можно получить систему заузленных

ГЛ. I. 4. ПОБУДИТЕЛЬНЫЕ МОТИВЫ 27
или сцепленных кривых. Помимо этого Виртингер дал метод
определения фундаментальной группы узла и показал, как ее
можно найти, исходя из проекции этого узла на евклидову
плоскость. Метод Виртингера отличается от метода Дэна, по-
поскольку в нем с порождающими группы связывались ориенти-
ориентированные сегменты проекции узла, но столь же прост. Факти-
Фактически более поздние авторы монографий по теории узлов, на-
например Рейдемейстер в [1932а] (ссылающийся на тот же
доклад Виртингера [1905], что и мы), предпочитали именно его.
Нужно сказать, что Виртингер никогда не публиковал своих
результатов и идей. Мы знаем о них из опубликованной много
позднее статьи одного из его учеников, Браунера [1928]. Но
хотя сообщение о докладе Виртингера состояло всего из одной
строчки, его содержание, по-видимому, стало широко известно.
В частности, Титце в [1908, с. 96, 105], рассматривая тот же
узел (трилистник, или клеверный лист), что и Дэн, приводит
задание его группы и несколькими строками ниже цитирует
доклад Виртингера. Мы не располагаем сведениями о том, что
Дэн был знаком с идеями Виртингера, но зная о большой важ-
важности в то время алгебраической геометрии, можно предполо-
предположить, что открытие Виртингера послужило мощным стимулом
в исследованиях по группам узлов. Однако именно Дэн развил
теоретико-групповые методы для топологических целей. Они
получили два замечательных применения.
В своей первой работе Дэн построил бесконечное семейство-
«пространств Пуанкаре», т. е. замкнутых трехмерных многооб-
многообразий с совершенной нетривиальной фундаментальной группой.
Он смог явно выписать задания для таких групп, строя своиг
пространства путем склеивания поверхностей заузленного и не-
заузленного торов. Фундаментальной группой оказывается фак-
факторгруппа группы узла, соответствующей заузленному тору.
Расположить его так, чтобы фундаментальная группа простран-
пространства совпадала со своим коммутантом, нетрудно. Трудность со-
состоит в доказательстве нетривиальности этой группы. В дей-
действительности это составляет часть проблемы распознавания
равенства. Дэн не только показал, что построенные им фунда-
фундаментальные группы нетривиальны, но также установил, что все
они, за одним исключением (группы, найденной Пуанкаре в
[1904]), бесконечны. С этой целью Дэн развил теоретико-гра-
теоретико-графовый метод, который мы разберем в следующей главе.
Вторая важная проблема, решенная с применением теории-
групп Дэном в [1914], была поставлена Титце в [1908, с. 97].
Дэн доказал, что трилистник (клеверный лист) нельзя, непре-
непрерывно деформируя без самопересечений, перевести в собственное
зеркальное отражение. Его доказательство основывалось на по-
построении группы автоморфизмов для группы узла. (Уже Титце
осознавал, см. [1908, с. 90], что топологические преобразования;

;28 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
пространства индуцируют автоморфизмы фундаментальной
группы.) Это, вероятно, самая замечательная работа Дэна, не-
несмотря на то что уже его диссертация ] 1901 ] содержала ре-
решение третьей из 23 проблем, поставленных Гильбертом на
Международном математическом конгрессе в 1900 г. в Париже.
Дэн заметил в [1911], что конечно заданные группы могут
иметь подгруппы, не имеющие конечного задания. В качестве
примера он указал подгруппу, порожденную всеми сопряжен-
сопряженными с Si элементами в свободной группе с образующими
Si, S2-
В той же работе Дэн решил проблемы распознавания изо-
изоморфизма и сопряженности для групп, заданных системами со-
соотношений, в которых каждый порождающий встречается не
более двух раз. Термин свободный порождающий (означающий
порождающий, не входящий ни в одно определяющее соотно-
соотношение) впервые встречается в этой работе. Доказательства осно-
основаны на рассуждениях, взятых из теории дискретных групп
движений неевклидовой плоскости и из топологии. В конечном
итоге рассматриваемые группы возникают как фундаменталь-
фундаментальные группы двумерных многообразий с особенностями.
В работе [1912] Дэн еще раз вернулся к проблемам распо-
распознавания равенства и сопряженности для фундаментальных
групп Фг ориентируемых двумерных многообразий. Рассмотрен-
Рассмотренные им группы задавались порождающими а,-, bi, t = l, ..., g,
и одним определяющим соотношением R = 1, где
В [1912] Дэн доказал следующую теорему:
Пусть g > У и W — несократимое слово от порождающих
•at, bi. Если W = 1, то существует подслово Wo слова W, имею-
имеющее длину не менее 2g + 1, которое входит в качестве подслова
в циклическую перестановку одного из слов R, R~K
Эта теорема, очевидно, решает проблему распознавания ра-
равенства в группах Фй при g > 1. (При g = 1 теорема неверна,
но в этом случае разрешимость проблемы распознавания ра-
равенства почти очевидна.) Дело тут, однако, не в решении этой
•проблемы в конкретном классе групп. Она уже была решена
Дэном более громоздким способом в его статье ,[1911]. Там
использовалась неевклидова геометрия и то, что группы Фй
можно рассматривать как дискретные группы движений неев-
неевклидовой плоскости с фундаментальной областью, являющейся
правильным 4^-угольником. Важно, что Дэн нашел алгебраи-
алгебраическое решение проблемы распознавания равенства (хотя соот-
соответствующее доказательство было не алгебраическим). Это ре-
решение имеет следующие алгебраические особенности.

ГЛ. I. 5. ОПИСАНИЕ ГРУПП С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ 29
Возьмем слово W в алфавите порождающих. Произведем
в нем свободные сокращения. Если W = 1 в группе, то в F
входит подслово Wo, такое, что оно входит также в циклическую
перестановку некоторого несократимого определяющего слова ')
или обратного к нему слова и число символов (порождающих
и обратных к ним) в нем превосходит половину числа символов
в несократимом определяющем слове. Заменим в W подслово
'Wq словом, обратным к оставшейся части упомянутого опреде-
определяющего слова (или обратного к нему). Это даст более корот-
короткое слово W. Сократим W и поступим с полученным словом
точно так же и т. д. Мы получим в конце концов пустое слово
в том и только том случае, когда W = 1.
Описанная процедура сейчас носит название алгоритма Дэна
для распознавания равенства в группе Фё. Этот термин был
введен в обращение Магнусом и впервые появился в названии
диссертации Гриндлингера [1960а]. В ней показано, что алго-
алгоритм Дэна применим в широком классе конечно заданных
групп; доказательства и результаты Гриндлингера чисто алгеб-
алгебраические. Теорема Дэна является их весьма частным случаем.
В действительности Дэн в [1912] получил результат, более
сильный, чем процитированный выше (по содержанию, но не
по форме совпадающий с теоремой на с. 415 этой работы).
Кроме того, Дэн в [1912] дает относительно простое чисто ал-
алгебраическое решение проблемы распознавания сопряженности
в группах Фг. В своей предыдущей статье [1911] он решал эту
проблему с использованием неевклидовой геометрии, выражая
решение в геометрических терминах. И в этом случае резуль-
результаты Дэна были значительно обобщены и получили чисто ал-
алгебраическое доказательство в работе Гриндлингера [1960b].
Вслед за этой работой Гриндлингера появился ряд других, от-
относящихся к алгоритму Дэна, но мы не будем их здесь рас-
рассматривать. Остановимся, однако, еще раз на доказательствах
Дэна. Они не алгебраичны. Дэн, в сущности, использовал гра-
графовый метод, о котором пойдет речь в следующей главе.
Глава I. 5
ОПИСАНИЕ ГРУПП С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
Название этой главы входит в заголовок девятнадцатой
главы второго издания книги Бернсайда «Теория групп конеч-
конечного порядка», вышедшего в 1911 г. С одной стороны, оно охва-
охватывает описание группы посредством покрытия сферы, евклидо-
евклидовой плоскости или неевклидовой плоскости копиями фундамен-
фундаментальной области этой группы, которая в таком случае должна
¦) То есть левой части А определяющего соотношения /1= 1.—Прим.
ред.

30 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
действовать на заданном многообразии как дискретная группа
преобразований. С другой стороны, то же название применяется
по отношению к одномерному комплексу, который может быть
связан с тем или иным заданием группы. Такой комплекс на-
называется диаграммой Кэли, цветной группой, изображением
группы (Gruppenbild) или графом группы. Мы будем пользо-
пользоваться последним термином.
Ясно, что покрытие двумерного многообразия копиями фун-
фундаментальной области какой-либо группы, действующей на этом
многообразии, непосредственно приводит к графу данной груп-
группы. В самом деле, достаточно рассмотреть комплекс, двойствен-
двойственный к тому, который возникает из покрытия. Именно так граф
группы был введен Бернсайдом в [1911]. Впрочем, Бернсайд
одновременно приводит и абстрактное определение, показываю-
показывающее, что граф группы не зависит от наличия действия группы
на двумерном многообразии. Прежде чем обсуждать важность
самой идеи графа группы, дадим исторический обзор развития
этого понятия и его применений. При этом мы не будем ка-
касаться большинства работ, рассматривающих только конечные
группы. Хорошим источником информации об этом предмете мо-
могут служить книги Бернсайда [1911] и Коксетера и Мозера
[1965].
Кэли начинает свою статью [1878b] словами:
«Я приведу основы общей теории в той мере, в которой это необходимо
для понимания излагаемого мною квазигеометрического подхода.»
В этой статье, названной «К теории групп», Кэли приводит
определение группы, строит таблицу умножения для группы А
четных подстановок на множестве из четырех элементов и за-
замечает, что использование 12 символов для 12 элементов группы
излишне, можно обойтись двумя символами а, р. Остальные
элементы группы могут быть выражены через эти:
1, а, а2, р2ар2, ра2, р2а, р2, р<х2ра2, ра, Р, р2а2, р2ар4
Далее, Кэли рассматривает пример того, что он называет
hemihedron (полугранником). Это куб, «вершины» которого
срезаны так, что получается многогранник с восемью треуголь-
треугольными гранями и шестью квадратными, который затем пред-
представляется диаграммой, приведенной на рис. 1. Многогранник
может быть получен из этой диаграммы отождествлением ре-
ребер, концы которых имеют одинаковые пометки а, /, k. Кэли
продолжает:
«...диаграмма, линии которой, окрашенные в красный и черный цвета, так
и будут называться красными и черными; при этом черные линии изобра-
изображены сплошными, а красные — пунктирными: каждая грань обозначает неко-
некоторую циклическую перестановку в соответствии со стрелками. Первоначаль-
Первоначальный рисунок содержал стрелки, но символы отсутствовали; затем, однако, я
их ввел таким образом, что группа, задаваемая диаграммой в ее тепереш-

ГЛ. 1.5. ОПИСАНИЕ ГРУПП С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
31
нем виде, является в точности группой, содержащей упоминавшиеся выше
подстановки
a = abc ¦ def ¦ ghi ¦ jkl и р = ajg ¦ bif ¦ cek ¦ dhl
(а не другой группой, эквивалентной этой).
Заметьте, что на диаграмме, если учесть направление линий, задаваемое
стрелками, из каждой точки выходит ровно одна черная линия и ровно одна
красная...
Эта диаграмма обладает тем свойством, что всякий путь, ведущий нз
какого-нибудь символа в него же, ведет также и из любого другого символа
(лежащего на этом маршруте) в тот же самый символ.
....именно в силу этого свойства наша диаграмма задает группу.»
Далее Кэли изучает свой пример более подробно и заме-
замечает, что его конструкцию можно обобщить и что диаграммы
этого типа, удовлетворяющие определенным требованиям, при-
приводят к группам. Последнее показать нетрудно, и мы можем
теперь процитировать определение, данное Бернсайдом в [1911,
с. 424—425]:
«Предположим теперь, что задана диаграмма, состоящая из N точек,
соединенных N(N—1)/2 окрашенными направленными линиями с соблюде-
соблюдением следующих условий:
(I) произвольная линия любого цвета (а) имеет одну стрелку, указы-
указывающую ее направление, или (Ь) не имеет никакой стрелки, в этом случае
линия считается эквивалентной двум совпадающим линиям, проведенным в
противоположных направлениях;
(II) имеется ровно одна линия любого цвета, ведущая в произвольную
точку диаграммы, и ровно одна линия любого цвета, выходящая из всякой
точки; линия, у которой стрелка отсутствует, обозначает две линии этого
цвета, идущие в противоположных направлениях;
(III) всякий путь, являющийся, если его начать с какой-нибудь точки
диаграммы, замкнутым, т. е. ведущим в ту же точку, будет замкнутым, если
его начать с любой другой точки.
Тогда, если эти условия выполнены, диаграмма является графическим
изображением определенной группы порядка N».
Далее Бернсайд [1911, с. 426] замечает, что мы можем вы-
выбросить все линии какого-нибудь одного цвета, если при этом
диаграмма не потеряет связности, и в заключение пишет:

32 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
«Простейшая диаграмма, представляющая группу, должна содержать
наименьшее число цветов и при этом связывать все точки... Можно заметить,
что эта упрощенная диаграмма строится из полученного выше представле-
представления группы путем регулярного деления поверхности...»
Вместо бернсайдовского определения цветной группы нам
хотелось бы воспользоваться определением Машке [1896], прак-
практически совпадающим с бернсайдовским. И то, и другое яв-
являются непосредственной реализацией идей Кэли. В то же вре-
время нам хотелось бы подчеркнуть, что предложенное Дэном опре-
определение изображения группы (Gruppenbild) основано на ином
подходе. Кэли, Машке и Бернсайд исходили из того, что группа
известна, и строили граф, который позволял затем выявлять
порождающие и определяющие соотношения. Дэн в [1910] на-
начинает с задания группы G с помощью конечного числа по-
порождающих av, v == 1, ..., k, и конечного числа определяющих
соотношений Si = 1 Sm = 1 и затем описывает процедуру
построения изображения группы. Мы приведем первый абзац
этого построения:
«Мы строим следующий одномерный комплекс (Streckenkomplex) Ca, ас-
ассоциированный с G:
Пусть
Si = а\а\ ¦ ¦ ¦ 4, (ei = +l или -1)-
Мы выбираем точку Z и окружность (замкнутую кривую) К1 с I вершинами
Z, Ръ ..., P(_i и помечаем ZPX меткой + а^ или — aki, РХР2 — меткой + акг
или — акг и т. д. в зависимости от значений +1 или —1 чисел еь ег,
Затем мы берем вторую окружность К2, дуги которой, проходимые в данном
направлении, начиная с Z, должны получить метки +ак или — ak , ...
..., + ak или —ak , ак или —ак . (Знаки опять выбираются в соответствии
со знаками ei.) Мы продолжаем таким образом до тех пор, пока не исчерпаем
все циклические перестановки мономов, входящих в Si. В результате мы полу-
получим / окружностей, проходящих через Z, дуги которых при заданной ориен-
ориентации получили описанные выше метки. Если мы обратим ориентацию, то-
знаки меток на дугах изменятся на противоположные. Пусть теперь имеются
две дуги ZP и ZQ, имеющие (если считать Z начальной точкой) одну и туже
метку. Тогда мы отождествляем Р и Q, равно как и дуги ZP и ZQ, и про-
продолжаем этот процесс до тех пор, пока все метки на дугах, выходящих из Z,
не станут различными. Мы будем проделывать то же самое для всех точек
на всех наших окружностях до тех пор, пока метки на дугах, выходящих
из любой фиксированной точки, не станут различными. Обозначим получен-
полученный комплекс через С1 и назовем Z его центром.»
Описанное построение проделывается для всех определяю-
определяющих соотношений группы G. Хотя, вообще говоря (например,
для бесконечных групп), это построение может потребовать бес-
бесконечного числа шагов, Дэн отмечает, что должно быть верным
следующее. Рассмотрим две различные точки Р и Q, полученные
в результате г0 шагов построения. Если Р и Q все еще разли-
различаются после г > го шагов построения при достаточно боль-
большом г, то они будут различаться и после s ^> r шагов при сколь

ГЛ. I. 5. ОПИСАНИЕ ГРУПП С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ 33
угодно больших s. Дэн также замечает, что он лишь доказал
существование изображения группы, но не дал метода его по-
построения за конечное число шагов. Он указывает, что построе-
построение изображения группы дает возможность решать проблему
распознавания равенства для группы G. (Очевидно, что эти две
проблемы совпадают, но Дэн этого не отмечает.)
Наконец, Дэн в [1910] приводит изображение графа конеч-
конечной группы с порождающими ai, аг и определяющими соотно-
соотношениями
а\ = 1, а\=\, ар2аха2 = 1
и замечает в подстрочном примечании:
«Связь группы икосаэдра с этим комплексом известна. (См. Maschke, Am.
Journ., 1896.) В целом понятие «изображения группы» не дает ничего суще-
существенно нового в случае конечных групп. Оно тесно связано с цветной диа-
диаграммой Кэли.»
Трудно понять, как Дэн не заметил, что его изображение
группы совпадает с цветной диаграммой Кэли, причем не только
для конечных групп. Впрочем, верно, что идея Кэли до Дэна
применялась в основном к конечным группам, где она ведет к
определению рода группы как наименьшего рода замкнутого
ориентированного двумерного многообразия, на котором можно
нарисовать граф этой группы так, чтобы ребра не пересекались
нигде, кроме вершин.
Прежде чем обсуждать, как Дэн использовал граф группы,
мы коротко упомянем о воздействии этого понятия на теорию
конечных групп. Безусловно, идея графа группы выглядела
изящной и привлекательной. В книге Бернсайда [1911] цветная
группа (для группы октаэдра или 24) была помещена на фрон-
фронтиспис. Дж. А. Миллер, который практически во всех своих
359 статьях, перепечатанных в собрании его сочинений, зани-
занимался только конечными группами, еще в 1935 г. писал:
«Эти диаграммы полезны для иллюстративных целей, но, видимо, до на-
настоящего времени не привели к каким-либо новым теоремам в теории групп.»
По-видимому (если не касаться бесконечных групп, кото-
которыми не интересовался и о которых не так уж много знал
Миллер), это верно и по сей день A980 г.). Надежда получить
новую интересную классификацию конечных групп в соответ-
соответствии с их родом не сбылась. Можно отметить все же важность
для теории уравнений седьмой степени с группой Галуа Gi68
того факта, что простая группа GJ68 порядка 168 имеет род 3.
Теорию этих уравнений нельзя построить аналогично теории
уравнений пятой степени с группой Галуа Л5 из-за того, что
автоморфные функции на римановой поверхности положитель-
положительного рода не являются рациональными функциями какой-либо
одной автоморфной функции, см. Фрике [1926, с. 211—240].

34 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Однако этот результат слишком специален для того, чтобы
иметь существенный вес в наших рассмотрениях.
Возвращаясь к Дэну, можно отметить, что использование
графов бесконечных групп оказалось весьма существенным для
развития теории таких групп. Начнем с работы Дэна [1910],
где мы находим построение графа группы узла-трилистника.
Эта группа задается четырьмя порождающими Си С2, С3, С4 и
соотношениями
' ' 'Ci = 1.
Дэн не указывает своего способа построения, а приводит
окончательный результат, который оказывается неожиданно
простым и выглядит, по крайней мере с интуитивной точки
зрения, весьма убедительным. То, что эта группа не абелева,
становится очевидным, и вся информация о ней, которая потре-
потребовалась Дэну в его статьях [1910] и [1914], может быть получена
из этого графа. Следует отметить, что центр группы три-
трилистника является бесконечной циклической группой, а фактор-
факторгруппа по центру — это хорошо известная модулярная группа
PSLB,Z), задаваемая двумя порождающими а, Ь и соотноше-
соотношениями а2 = 63=1. Дэн мог бы воспользоваться этим фактом
для построения графа. Действительно, граф модулярной группы
может быть легко извлечен из хорошо известного покрытия не-
неевклидовой плоскости фундаментальными областями этой груп-
группы. Однако конструкция Дэна является прямой и весьма про-
простой. В подстрочном примечании в [1914] он также замечает,
что его аспирант построил «интересный групповой граф» для
группы узла восьмерки (узла Листинга). Все, что мы знаем
(из устной информации) по данному поводу, — это имя аспи-
аспиранта: Фриц Клейн. Очень вероятно, что он, как и другой аспи-
аспирант Дэна Гизекинг, погиб в первой мировой войне, унесшей
много молодежи (в частности, научной молодежи) Европы.
В [1911] Дэн предваряет главу о фундаментальных группах
замкнутых поверхностей следующими замечаниями:
«Нельзя сказать, что в случае фундаментальных групп замкнутых поверх-
поверхностей чистая теория групп может оказать существенную помощь топологии.
Напротив, решение топологических проблем стимулирует исследования в тео-
теории групп.»
В своей статье Дэн изучает проблему распознавания ра-
равенства и сопряженности для фундаментальных групп замкну-
замкнутых двумерных многообразий. При этом он использует покры-
покрытия неевклидовой плоскости фундаментальными областями дис-
дискретной группы преобразований Мёбиуса; эти преобразования
дают точное представление для фундаментальных групп. Хотя
существование таких представлений было известно уже в те-
течение определенного времени (и содержится, например, в фун-
фундаментальном труде Фрике и Клейна [1897]), для них не было

ГЛ. I. 5. ОПИСАНИЕ ГРУПП С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ 35
известно никаких явных формул. Отыскание соответствующих
формул составило содержание первой главы диссертации Ги-
зекинга —аспиранта Дэна. Диссертация появилась в 1912 г.,
и Дэн в [1912] ссылается на нее. В то же время он замечает,
что неевклидова геометрия совсем не нужна для решения про-
проблем распознавания равенства и сопряженности для этих групп.
Все, что ему нужно, — это топологические свойства графа груп-
группы (который просто двойствен покрытию неевклидовой плоско-
плоскости неевклидовыми многоугольниками). Упомянутые свойства
состоят в следующем: граф состоит из ^-угольников (g > 1)
и в каждой вершине сходится ровно 4g из них. В [1912] Дэн
заметил, что это условие можно ослабить: достаточно предпо-
предполагать, что граф составлен из многоугольников с числом вершин
не менее семи и в каждой вершине сходится не менее четырех
из этих многоугольников. При этом молчаливо подразумевается,
что никакие два многоугольника не могут иметь более одной
общей стороны. Как показывает работа Гриндлингера [1960b],
число 7 является в некотором смысле оптимальным.
Независимо от частных результатов, полученных Дэном с
использованием его «изображений групп», остается вопрос, мо-
может ли введенное Кэли графическое представление служить ка-
каким-нибудь другим целям, кроме, по выражению Миллера из
[1935], «иллюстративных». В конце концов результаты Дэна
можно получить алгебраически, и в более сложных случаях, чем
те, которые изучал Дэн, алгебраические методы оказываются
более простыми, поскольку описание графа конкретной группы
может стать безнадежным делом. Уже в случае группы узла
Листинга (узел восьмерки) никто даже не пытался воспроиз-
воспроизвести граф группы, найденный аспирантом Дэна Фрицем Клей-
Клейном. Алгебраически же нетрудно доказать, что эта группа яв-
является бесконечным циклическим расширением свободной груп-
группы ранга 2, а это позволяет непосредственно вычислить ее
группу автоморфизмов (см. Магнус [1931]). Времена интуи-
интуитивного использования топологии прошли. Дэн любил повто-
повторять, что он всегда знал результат из работы Шрейера [1927а]
о том, что подгруппа свободной группы свободна, так как «в
конечном итоге подграфы дерева — это деревья». Но строгий
вывод соответствующего топологического утверждения и извле-
извлечение из него теоретико-группового требует определенной рабо-
работы, а с другой стороны, и шрейерово алгебраическое доказа-
доказательство не очень сложно.
Вопреки всем соображениям такого сорта мы полагаем, что
Дэн был прав. Он был прав не только в том общем смысле,
что, как он отметил, топологические задачи (и, мы можем до-
добавить, понятия) стимулируют исследования в теории групп.
Уверенность Дэна в важности «изображений групп», особенно
подчеркиваемая в устных обсуждениях, основывалась на глу-

36 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
боком внутреннем осознании того факта, что графическое зада-
задание группы является адекватным выражением определенной
стороны ее природы. Графы использовались в комбинаторной
теории групп, по крайней мере эпизодически, начиная с момен-
момента, когда они были введены в работе Дэна [1910], да и сама
работа Шрейера [1927а], о которой говорил Дэн, содержит
интересное расширение конструкции Дэна — граф смежных
классов по подгруппе. Но наиболее впечатляющим подтвержде-
подтверждением оценки Дэна, вероятно, является работа Столлингса
[1968]. Основная ее теорема гласит: «Конечно заданная группа
без кручения, имеющая конечное число концов, является сво-
свободным произведением двух нетривиальных сомножителей».
Число концов группы определяется следующим образом (см.
Хопф [1944]). Удалим конечное число ребер из графа группы.
Подсчитаем число бесконечных компонент связности получив-
получившегося графа. Точная верхняя грань N числа таких компонент
при числе удаляемых ребер, стремящемся к бесконечности, на-
называется числом концов группы. ./V может принимать только
три значения: 1, 2 или оо.
Следует обратить внимание на то, что данное определение
является чрезвычайно простым в топологических терминах, в то
время как любой перевод его в алгебраические термины ока-
оказывается неуклюжим и запутанным. Конечно, можно сказать,
что все это связано с необходимостью уточнения определения.
Дэн, безусловно, так не считал. В своем публичном выступлении
перед учеными-нематематиками [1928] он утверждал, что про-
продолжающийся рост математического знания требует появления
новых идей, которые позволят достичь дальнейших упрощений.
Он также выражал надежду, что топология должна обновить
свои силы в результате такого привлечения новых идей. Следует
обратить внимание на год, когда это было сказано. В течение
последующих десяти лет появились монографии по топологии
Александрова и Хопфа, Лефшеца, Зейферта и Трельфалля, за-
зафиксировавшие расцвет топологических исследований, продол-
продолжающийся по сей день.
Глава I. 6
ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА
В этой главе мы кратко изложим содержание ряда работ,
породивших или предвосхитивших более поздние исследования.
Мы коснемся самых разнообразных тем и явлений. Единствен-
Единственная черта, объединяющая эти работы, негативная — все они не
оказали одновременно и быстрого, и прямого воздействия на
развитие комбинаторной теории групп. Их воздействие могло
быть относительно быстрым, но косвенным в силу, например,
того, что соответствующая работа относилась лишь к конечным

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 37
группам. Возникающие в них новые приемы распространялись
с большей или меньшей скоростью и на исследования беско-
бесконечных групп. Такие статьи обычно не упоминались авторами,
использовавшими их идеи или понятия. Другие работы, которые
мы рассмотрим, относятся к конкретным группам, много позже
вновь привлекшим внимание. Некоторые статьи были просто
забыты, и их результаты и идеи переоткрывались заново. Мы
не всегда можем выяснить причины, по которым тот или иной
результат или идея опять возникали в позднейших исследова-
исследованиях. Что касается конкретных групп или классов групп, по-
появившихся вне чистой теории групп, особенно в теории чисел
(например, в так называемой арифметической теории квадра-
квадратичных форм), в геометрии (дискретные группы) и в топологии
(фундаментальные группы поверхностей, представляющих топо-
топологический интерес), то здесь весьма естественным выглядит
ход развития, при котором они оказываются предметом даль-
дальнейших исследований, когда такие исследования становятся воз-
возможными благодаря прогрессу комбинаторной теории групп или
когда в той области, где возникли эти группы, появляются ка-
какие-то новые связанные с ними задачи. Что касается общих
идей, то, по-видимому, постоянная тенденция к обобщению и
абстрагированию играет важную роль в позднейших исследо-
исследованиях.
Опасность объяснять все задним числом, всегда присут-
присутствующая в исторических рассмотрениях, особенно велика, ко-
когда мы пытаемся проследить развитие математических идей и
понятий. Восприняв однажды общий и абстрактный метод по-
построения чего-либо, мы затем легко обнаруживаем его приме-
применения в более ранних работах, относящихся к специфическим
ситуациям. Такие применения кажутся нам лишь слегка зама-
замаскированными использованиями общего метода. В действитель-
действительности, однако, выделение этого метода в «химически чистом»
виде было большим достижением, которое стало возможным
лишь как реакция на возникновение новых проблем. Сделанные
сейчас замечания мы попытаемся проиллюстрировать в конце
настоящей главы на примере возникновения понятия сплетения.
В действительности появление самого понятия группы могло бы
послужить той же цели, но этот предмет слишком сложен для
рассмотрения здесь. Во всяком случае, смысл настоящих заме-
замечаний состоит в следующем. Мы стремимся предостеречь против
поспешного присваивания приоритетов конкретным авторам и
надеемся, что перечень предвестников в этой главе не вызовет
неоправданных заявлений типа заявления Эмми Нётер: Axiom
Null: Es steht schon bei Dedekind (Аксиома нуль: даная тео-
теорема может быть найдена уже в работе Дедекинда). В случае
Эмми Нётер эта «аксиома» была, конечно, выражением ее соб-
собственной скромности, так как она применяла ее к собственным

38 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
теоремам. Но в исторических сочинениях таким аксиомам не
место.
Мы попытаемся объединить рассматриваемые работы в не-
некоторые группы, внутри которых наблюдается хоть какая-то
общность.
А. Арифметические линейные группы
высших размерностей
Самая ранняя работа по этой тематике относится к 1866 г.
Она появилась в связи с одной задачей двумерной топологии,
более точно, теории римановых поверхностей. В этой работе нет
слов «группа» или «матрица». Используя современную терми-
терминологию, можно сказать, что Клебш и Гордан решили в [ 1866]
следующую задачу. Как известно, первая группа гомологии
замкнутого ориентированного двумерного многообразия рода g
является свободной абелевой группой ранга 2g. Тем самым пе-
переход от одного гомологического базиса к другому задается
элементом группы GLBg, Z), т. е. группы целочисленных
Bg X 2g) -матриц. В то же время топологические соображения
показывают, что матрица такого перехода должна сохранять
кососимметрическую билинейную форму. Возникает вопрос, есть
ли еще какие-нибудь ограничения на эту матрицу. Ответ на этот
вопрос отрицательный. Доказательство сводилось к установле-
установлению следующих двух утверждений:
(I) симплектическая группа SpBg,Z) конечно порождена;
(II) ее порождающие могут быть указаны в явном виде, и
можно показать, что всякий порождающий соответствует топо-
топологически допустимому преобразованию.
Клебш и Гордан в работе [1866] нашли конечное множество
порождающих группы SpBg,Z), используя чисто алгебраиче-
алгебраические методы. Хуа и Райнер в [1949]! также нашли алгебраиче-
алгебраическими методами некоторую конечную систему порождающих.
Их результаты более экономны, чем у Клебша — Гордана.
В частности, как показано в упомянутой работе Хуа и Райнера,
при произвольных значениях g достаточно четырех порождаю-
порождающих.
Вообще симплектические группы, в особенности над полями,
по-прежнему вызывают интерес как важные примеры групп Ли
и, в случае конечных полей, конечных простых неабелевых
групп. Основным источником информации, относящейся к этому
последнему аспекту, является книга Диксона [1901а]. (В ней
симплектические группы называются абелевыми линейными
группами. Термин «симплектический» был введен А. Вейлем в
[1939].) Тем не менее группы SpBg,Z) сами по себе не при-
привлекали большого внимания вплоть до работ Зигеля [1939] и
11943а], в которых доказано, что рассматриваемые группы дей-

ГЛ. 1.6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 39
ствуют как дискретные группы преобразований комплексного
симметрического пространства размерности ^(^ -|— 1) /2, по-
построены фундаментальные области, причем из вида областей
вытекает, что симплектические группы не только конечно по-
порождены, но и конечно заданы, и, наконец, найдены автоморф-
ные функции от g(g + 1)/2 комплексных переменных для этих
групп. Однако геометрия не менее чем шестимерного простран-
пространства (отвечающего случаю g ^ 2) оказывается достаточно
сложной для получения геометрическими методами конечного
задания группы SpBg,Z) при g ^ 2. Заключительный шаг в
получении такого задания был сделан в работе Бера [1975],
где используются алгебраические методы. Эта информация
представляет интерес для теории классов отображений двумер-
двумерных замкнутых ориентированных многообразий. См. Бирман
[1975, в особенности с. 190].
Группы SpBg,Z) появлялись и в других работах после
1914 г., о чем в различных контекстах будет идти речь дальше.
Все уже упомянутые работы связаны с проблемой задания та-
такой группы при g > 1 (случай g = 1 совпадает со случаем дву-
двумерной специальной линейной группы). Результат работы Клеб-
ша и Гордана [1866] был известен математикам, работающим
в области аналитических функций, в связи с теорией римановых
поверхностей; в конце концов этот результат появился в книге
по абелевым функциям. Возникновение этих групп в теории
двумерных многообразий также весьма естественно. Время воз-
возникновения определялось развитием топологии и теории моду-
модулей римановых поверхностей. (Некоторые ссылки будут приве-
приведены ниже.) Однако первое появление группы SpBg, Z) в ра-
работе Знгеля [1935] явилось важным и неожиданным событием
в развитии математики 20-го столетия. Здесь эти группы появи-
появились в арифметической теории целочисленных положительно
определенных квадратичных форм от конечного числа перемен-
переменных. Таким образом, работа Зигеля установила новые связи
между теорией чисел и важными разделами анализа, и суще-
существенным элементом этих связей явилось представление ариф-
арифметически заданных симплектических групп как дискретных
групп, действующиих на симметрических пространствах. (Они
изучались Э. Картаном в [1936].)
Для линейных групп Gn = GL(n, Z) матриц размера п X ti
с целыми коэффициентами и определителем ± 1 Минковский в
[1905] доказал следующую теорему:
Пусть aVil, где v, ц — 1 пи aVVi = а^, — это п(п-\-\)/2
действительных чисел, задающих положительно определенную
квадратичную форму от п переменных. Будем считать aVVi де-
декартовыми координатами точки из некоторой части S евклидова
пространства размерности п(п-\- 1)/2. Тогда Gn действует как

40 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
дискретная группа на S и имеет фундаментальную область, яв-
являющуюся выпуклым многогранным конусом, ограниченным
конечным числом гиперплоскостей. Во всякой граничной точке
конуса, исключая его вершину, сходится только конечное число
различных образов фундаментальной области, получаемых под
действием Gn.
Из этой теоремы очевидным образом вытекает существова-
существование конечного задания для Gn. (Разумеется, очевидно, что Gn
конечно порождена.) Минковского не слишком интересовала Gn
как группа и заведомо не интересовало отыскание конечных за-
заданий групп. Его исследование возникло из задач теории чисел
и геометрии. Тем не менее Нильсен в [1924b] получил конечное
задание группы Gn при п = 3 без использования идей Минков-
Минковского, хотя очень вероятно, что он знал о работе Минковского.
Впрочем, по-видимому, при работе с шестимерным (веществен-
(вещественным) пространством не удается воспользоваться геометрической
интуицией, полезной при решении двумерных задач.
Помимо общего интереса к описанию заданий для важных
групп Нильсен, по-видимому, имел и особые теоретико-группо-
теоретико-групповые побудительные мотивы для своей работы. Мы обсудим де-
детали этой работы и следствия из нее в гл. II. 2.
Хотя Минковский и не интересовался Gn как группой, для
него были важны ее конечные подгруппы. Дело в том, что эти
подгруппы возникают как группы линейных преобразований,
сохраняющих некоторую положительно определенную квадра-
квадратичную форму от п переменных с фиксированными целыми ко-
коэффициентами. В 1887 г. он показал, что порядки таких под-
подгрупп делят число N(n), зависящее только от п, а также что
эти порядки не делятся ни на какое натуральное число, пре-
превосходящее /i-f-1. Доказательство Минковского имеет важное
теоретико-групповое значение, так как в нем устанавливается
и используется тот факт, что произвольная конечная подгруппа
в SL(n, Z) имеет тривиальное пересечение со всякой конгруэнц-
подгруппой по модулю р, где р есть 4 или нечетное простое
число. Этот факт может считаться предвестником идеи изуче-
изучения группы путем систематического анализа ее конечных фак-
факторгрупп. Последняя идея принадлежит Ф. Холлу, он же ввел
термин «резидуально конечный» (другими словами, финитно
аппроксимируемый), как сообщает Грюнберг в [1957]. Вместе
с тем нельзя сказать, что работа Минковского оказала прямое
влияние на теорию групп, если не считать повышение важности
изучения именно тех групп, которые в ней рассматривались.
Две весьма общие теоремы о счетных линейных группах
были доказаны Гурвицем. Первая из них (Гурвиц [1895])
гласит:

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 41
Пусть R — подкольцо целых алгебраических чисел поля ал-
алгебраических чисел. Пусть, далее, SL(n,R)—группа («Х")-
матриц с определителем +1 и элементами из R. Тогда группа
SL(n,R) конечно порождена.
Основная трудность в доказательстве этой теоремы возни-
возникает при п = 2. При л =3 доказательство явно проведено Гур-
вицем, который при этом замечает, что случаи п > 3 разби-
разбираются аналогично. Замечательной особенностью этого доказа-
доказательства является использование конгруэнц-подгрупп.
По-видимому, работа Гурвица была в основном забыта. Нам
не удалось обнаружить ссылки на нее в обширной современной
литературе по счетным линейным группам. Конечно, эта работа
появилась в журнале, который малодоступен, поскольку мате-
математические отделы обычно не подписываются на периодические
издания, публикующие большое число нематематических ста-
статей. Публикация собрания сочинений Гурвица в 1931 г. могла
оказаться запоздалой, или, быть может, принятое в этом изда-
издании деление работ Гурвица на «теорию чисел» и «теорию функ-
функций» мешало специалистам по теории групп изучить это из-
издание более тщательно.
Гурвиц в [1905] доказал также следующий общий резуль-
результат:
Пусть G — некоторая группа (п X п) -матриц с определите-
определителем, равным +1, и элементами из поля С комплексных чисел.
Предположим, что G дискретна, т. е. что не существует беско-
бесконечной последовательности Мг (г = 1, 2, ...) различных матриц
из G, такой, что
lim Mr = I,
где I — единичная матрица, а предел понимается как покоорди-
покоординатный предел для элементов матриц. Тогда G содержит счетное
число элементов и действует как дискретная группа на про-
пространстве коэффициентов положительно определенных эрмито-
эрмитовых форм от п переменных.
В этой же статье Гурвиц находит фундаментальную область
для группы Пикара в трехмерном вещественном пространстве.
Здесь группа Пикара определяется как унимодулярная группа
BX2)-матриц с элементами из кольца гауссовых целых чисел.
Этот результат был ранее получен Бьянки в [1892] и Фрике
и Клейном в [1897]. Последние также получили задание группы
Пикара, используя построение фундаментальной области.
Работы Гурвица полезны также как источник ссылок. В них
упоминаются ранние статьи Бьянки, Блюменталя, Фрике,

42 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Фубини, Минковского и Стади на близкие темы. На некоторые
из этих работ мы будем ссылаться ниже.
Бибербах доказал в [1911], что всякая дискретная группа
движений /г-мерного евклидова пространства, имеющая ограни-
ограниченную фундаментальную область, содержит свободную абелеву
нормальную подгруппу ранга п. Эта подгруппа состоит из сдви-
сдвигов, и Бибербах показал также, что для фиксированного п су-
существует только конечное число неизоморфных групп такого
типа. Доказательство этого результата было упрощено Фробе-
ниусом в [1911]; он также показал, что даже число классов
сопряженности по таким подгруппам в произвольных /г-мерных
аффинных группах конечно.
Пусть /„ обозначает класс максимальных групп такого типа
(п фиксировано). Маккарти в [1970] доказал, что группы из /„
можно определить как абстрактные группы с тем свойством,
что они имеют свободную абелеву подгруппу ранга п и являются
«едва бесконечными» (just infinite). Последнее означает, что
сама группа бесконечна, но все ее собственные факторгруппы
конечны. Это один из немногих известных примеров, когда
класс геометрически определяемых групп удается просто опре-
определить, используя только понятия теории абстрактных групп.
(Другим примером является характеризация групп узлов в бо-
более чем четырехмерном пространстве, полученная Кервером в
[1965].)
В. Арифметически задаваемые
двумерные линейные группы
Основная масса весьма обширной литературы на тему, ука-
указанную в заголовке, относится не к истории комбинаторной
теории групп, а к теории римановых поверхностей, автоморфных
функций и дискретных групп. В работах Фрике и Клейна [1897],
а также Фрике [1913] содержатся хорошие обзоры результа-
результатов из этой области. Краткое изложение более поздних резуль-
результатов можно найти в книге Магнуса [1974а].
Пусть задано множество преобразований Мёбиуса
(Z—комплексный аргумент). Нетрудно показать (см. Фрике и
Клейн [1897]), что эти преобразования порождают группу, ди-
дискретно действующую на части комплексной плоскости (группу
Клейна) или в гиперболическом (неевклидовом) трехмерном
пространстве в том и только том случае, когда группа G, по-
порожденная матрицами

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 43
дискретна в том смысле, как это было определено выше в на-
настоящей главе. Пусть а, р, у, б — алгебраические целые числа
из некоторого вполне вещественного поля алгебраических чи-
чисел К. Блюменталь в работах [1903, 1904] показал, как можно
задать дискретное действие группы G в комплексном простран-
пространстве размерности п, где п — это степень поля К над полем
рациональных чисел. Группа G называется модулярной группой
Гильберта. Мы не собираемся здесь затрагивать этот случай
и вообще не собираемся обсуждать большинство случаев, когда
арифметически задаваемая группа дискретно действует на ча-
части комплексной плоскости или на трехмерном гиперболическом
пространстве. Вместо этого мы обсудим несколько специфиче-
специфических примеров. Возникающие в них группы появляются и в чи-
чисто теоретико-групповых исследованиях, причем вне связи со
своим действием на каком-либо конкретном пространстве.
Мы рассмотрим следующие группы: прежде всего эллипти-
эллиптическую модулярную группу М, состоящую из преобразований
Мёбиуса, для которых а, р, у, б е Z, затем группу Пикара Р,
в которой а, р, у, б — гауссовы целые числа, наконец, группу
Бьянки Bd, для которой а, Р, у, б — целые элементы квадратич-
квадратичного расширения поля рациональных чисел, порожденного мни-
мнимым элементом V— D , где D — целое положительное число.
Разумеется, во всех этих случаях предполагается, что аб—$у=
= 1. Заметим, что Р = В\.
Модулярную группу М и ее подгруппы интенсивно изучали
Клейн и Фрике в [1890, 1892]. Эта группа порождается двумя
преобразованиями Мёбиуса а и Ь с матрицами
/0 -14 /1 -14
(л о) и (л о)
и может быть задана определяющими соотношениями
Эти утверждения легко вытекают из построения фундамен-
фундаментальной области для М в верхней полуплоскости комплексной
плоскости, на которой М действует как дискретная группа пре-
преобразований. Трудно сказать, кто первым нашел эту фундамен-
фундаментальную область. Ее построение содержится в неявном виде в
теории редукции для бинарных квадратичных форм, и в этом
смысле оно было известно уже Гауссу, которому, однако, никак
нельзя приписать открытие задания группы М. С другой сто-
стороны, указанное задание было, безусловно, известно Дику
(см. [1882]).
Подгруппы группы М, в особенности ее нормальные под-
подгруппы конечного индекса, представляют интерес с точки зре-
зрения теории алгебраических уравнений, алгебраической теории

44 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
чисел и теории автоморфных функций. Причины такого интереса
в полной мере рассмотрены Клейном и Фрике в [1890, 1892]
и Фрике в [1926]; здесь их было бы трудно изложить. Особенно
важны так называемые главные конгруэнц-подгруппы Мп уров-
уровня п, состоящие из тех преобразований Мёбиуса, матрицы ко-
которых сравнимы по модулю п с +/, где / — единичная матрица.
Клейн впервые отметил в [1880], а Фрике в [1886] и Пик в
[1886] одновременно и независимо доказали, что М содержит
нормальные подгруппы, более того, нормальные подгруппы ко-
конечного индекса, не содержащие никакой подгруппы М„- Доказа-
Доказательства Фрике и Пика использовали изящные теоретико-число-
теоретико-числовые соображения. Существует чисто теоретико-групповое дока-
доказательство, основанное на теореме Жордана — Гёльдера и на
том факте, что в композиционном ряде для М/Мп содержатся
только циклические группы и группы PSLB,p). Это доказатель-
доказательство (приведенное в явной форме у Магнуса в [1974а], где со-
содержится также дополнительная информация), быть может, вос-
восходит еще к временам до 1914 г. Однако мы не смогли найти
его в литературе.
Меннике в [1965] и, в более широком контексте, Басе, Мил-
нор и Серр в [1967] доказали, что при п ^ 3 группы SL(n, Z)
обладают так называемым конгруэнц-подгрупповым свойством.
Это свойство состоит в том, что всякая нормальная подгруппа»
не лежащая в центре, содержит конгруэнц-подгруппу. Отсюда
непосредственно вытекает следующая чисто теоретико-группо-
теоретико-групповая теорема:
Существует бесконечно много явно строящихся конечно за-
заданных бесконечных групп, в которых всякая нормальная под-
подгруппа имеет конечный индекс и пересечение всех нормальных
подгрупп тривиально. Все эти группы не содержат абелевых
нормальных подгрупп.
До сих пор не известно примера группы с такими свойства-
свойствами, построение которой использовало бы только чисто теорети-
теоретико-групповые методы. Тем не менее имеются общие теоремы,
описывающие структуру таких групп (см. Вильсон [1971]).
Группа М является, вероятно, наиболее хорошо изученной
бесконечной конечно заданной группой. Мы опускаем ссылки
на работы, относящиеся к заданию подгрупп группы М. Груп-
Группа М разлагается в свободное произведение двух своих цикли-
циклических подгрупп второго и третьего порядков. Поэтому теорема
Куроша из [1934] полностью описывает абстрактную структуру
всех ее подгрупп. Изучалась же не абстрактная, а конкретная
теоретико-числовая структура этих подгрупп. Упомянем, одна-
однако, работу Б. Неймана [1933], где описывается построение мно-
множества 5 подгрупп группы М, характеризуемого тем, что каждая

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 45
из этих подгрупп содержит порождающий а и любая пара вза-
взаимно простых целых чисел входит в первый столбец ровно од-
одной матрицы, представляющей некоторый элемент данной под-
подгруппы. Замечательно, что 5 имеет мощность континуума.
Упомянем, наконец, работу Левина [1968], где доказана гипо-
гипотеза Б. Неймана, утверждающая, что всякая счетная группа
вкладывается в подходящую факторгруппу группы М. Многое
в развитии комбинаторной теории групп можно проиллюстри-
проиллюстрировать на примерах того, какую информацию о модулярной
группе М давала нам эта теория. Доказательство результата
Б. Неймана из [1933] использовало алгоритм построения под-
подгрупп в группе с известным заданием — так называемый метод
Рейдемейстера — Шрейера, см. Шрейер [1927а]. Для характе-
ризации подгрупп группы М как свободных произведений цик-
циклических групп порядка 2, 3 или оо требуется теорема Куроша
о подгруппах (см. [1934]). Среди средств, использованных Ле-
вином при доказательстве его теоремы из [1968], имеются очень
мощные методы, развитые в комбинаторной теории групп. Их
перечисление, однако, увело бы нас слишком далеко от темы.
Все группы Во, очевидно, дискретны и, что несколько менее
очевидно, не действуют дискретно ни на какой части комплекс-
комплексной плоскости. Бьянки в [1892], [1893а], [1893b] и Юмбер в
[1915—1920] указали порождающие для этих групп и провели
или хотя бы наметили построение фундаментальных областей
для этих групп в трехмерном гиперболическом пространстве.
Построение в явном виде проведено Бьянки в [1892] для D —
= 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15, 19 и Юмбером в [1915—1920]
для D = 21.
Группа Р = В\ еще до этого изучалась Пикаром в [1896], ко-
который нашел ее порождающие и фундаментальную область в
трехмерном гиперболическом пространстве. В книге Фрике и
Клейна [1897] этой группе посвящена целая глава. Там строится
фундаментальная область, которая затем используется для зада-
задания группы. Несмотря на прошедшее с тех пор время, трудности,
возникающие при построении задания группы, исходя из вида
ее фундаментальной области, весьма значительны даже для трех-
трехмерного (вещественного) пространства. Только спустя почти сто-
столетие Суон в [1971] указал эффективный метод нахождения за-
заданий групп Bd, дающий ответ в явном виде для D = 1, 2, 3, 5, 6,
7, 11, 15, 19. Работа Суона, основанная на статьях Бьянки и Юм-
бера, использует также один топологический результат Макбета
из [1964]. В той же работе [1971] Суон доказал некоторые об-
общие теоремы, справедливые для BD при достаточно больших D.
Некоторые из этих теорем связаны с теоретико-числовыми свой-
свойствами кольца целых алгебраических чисел в поле, порожденном
V— D. Для D=l, 2, 3, 7, 11 явное задание группы Bd было ука-
указано Файном в [1974]. Оно было получено чисто алгебраическим

46 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
методом, основывающимся на работе Кона [1968]. Статья
Файна проливает свет на внутреннюю структуру групп BD при
указанных частных значениях D. А именно, в ней доказывается,
что эти группы имеют подгруппы конечного индекса, которые
можно представить как свободные произведения с объединенной
подгруппой групп с хорошо изученной простой структурой. Со-
Соответствующий результат для D = 1 был получен ранее Валь-
дингером в [1965] и Дрилликом в [1971].
Группе Пикара Р было уделено несколько больше внимания,
чем другим группам BD- Это может объясняться влиянием ра-
работы Фрике и Клейна [1897], где было получено простое задание
группы Р. В их книге содержится краткая история проведенных
к тому времени исследований, касающихся этой группы. В ней
также отмечается важность группы Р для восходящей к Дирихле
и Эрмиту арифметической теории бинарных квадратичных и эр-
эрмитовых форм с коэффициентами в кольце гауссовых целых чи-
чисел. Ссылки, относящиеся к этой теме, см. у Фрике и Клейна
[1897, с. 91—93]. Среди более поздних работ имеется детальное
исследование Сансоне [1923], где строится новое задание для Р,
а также статья Дриллика [1971], где указывается бесконечное
множество нормальных подгрупп конечного индекса в Р, не со-
содержащих конгруэнц-подгрупп.
С. Геометрические конструкции. Фуксовы группы
Конечно порожденные дискретные группы мебиусовых преоб-
преобразований комплексной плоскости, отображающих внутренность
круга на себя, называются фуксовыми группами. В действитель-
действительности обычно термин «фуксовы группы» используется по отно-
отношению к группам из более широкого класса, но для наших целей
удобно использовать его только для упомянутых групп. Добавим
к классу фуксовых (в нашем смысле) групп дискретные группы
движений евклидовой плоскости и конечные группы преобразова-
преобразований Мёбиуса. Как показали Фрике и Клейн в [1897, с. 186—187],
получающийся класс групп совпадает с классом конечно поро-
порожденных групп, допускающих задание следующего типа:
Порождающие: ср (р = 1, ..., г), da (сг=1, ..., s), av, bv
(v = l, .... g).
Определяющие соотношения:
При этом не исключается возможность, что одно или два множе-
множества порождающих из числа {ср}, {da}, {av, 6V} окажутся пу-
пустыми.

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 47
Фрике и Клейн получили этот результат геометрическим ме-
методом. Эти авторы использовали построение фундаментальных
областей специальной формы в комплексной плоскости. При этом
их доказательства далеко не просты и не вполне удовлетворяют
сегодняшним стандартам строгости, однако результаты, несо-
несомненно, верны: они были подтверждены с использованием более
мощных средств.
По-видимому, Фрике (которому принадлежит большая часть
книги Фрике и Клейна [1897]) считал задания фуксовых групп
с помощью определяющих соотношений важным средством опре-
определения этих групп сжатым и чисто теоретико-групповым обра-
образом, но почти не находил возможностей для их использования
в других исследованиях.
Однако задания, введенные Фрике для групп некоторого
класса, важного в геометрии и топологии (об этом пойдет речь
ниже), использовались в огромном числе более поздних работ
по комбинаторной теории групп. Помимо прочего на них прове-
проверялась верность и применимость новых теорем. Поскольку фук-
совы группы без кручения являются также фундаментальными
группами двумерных ориентируемых многообразий, развитие то-
топологии в свою очередь приводило к возникновению новых во-
вопросов, относящихся к этим группам. Вероятно, наиболее важ-
важный из таких вопросов был поставлен Г. Хопфом на Междуна-
Международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1932 г. Хопф спросил,
может ли такая группа быть изоморфной своей факторгруппе,
отличной от самой группы. Ясно, что этот вопрос можно задать
по отношению к любой группе, определенной своим заданием, и
он оказывается далеко не тривиальным, если группа конечно по-
порождена и бесконечна. Довольно странно, что Хопф, по-види-
по-видимому, был первым, кто привлек внимание специалистов по тео-
теории групп к этой проблеме.
Подробное описание того, как фуксовы группы возникают в
более поздних работах по комбинаторной теории групп, потребо-
потребовало бы значительного объема, и мы его отложим до обзора бо-
более позднего периода. Здесь все же упомянем диссертацию Гизе-
кинга [1912], написанную по инициативе Макса Дэна. В первой
части этой работы проводится явное построение фундаменталь-
фундаментальной области для группы Ф2 с порождающими а, Ъ, с, d и опре-
определяющим соотношением
Для этого на неевклидовой плоскости, представляемой внутрен-
внутренностью единичного круга, строится правильный восьмиугольник,
центр которого совпадает с центром единичного круга, а углы
равны я/4. После этого оказывается возможным ввести поро-
порождающие группы Ф2 как B X 2)-матрицы с определителем, рав-
равным + 1, и элементами из некоторого поля алгебраических чисел.

48 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Эти матрицы определяют мёбиусовы преобразования, отобра-
отображающие единичный круг на себя и соответствующим образом пе-
переводящие восьмиугольник в другой восьмиугольник, смежный с
первым. Получающееся матричное представление группы Фг за-
затем используется в теоретико-групповых рассмотрениях. Точ-
Точность этого представления не доказывается непосредственно, а
извлекается из геометрических соображений.
Вторая часть работы Гизекинга [1912] содержит единствен-
единственный появившийся до 1918 г. пример чисто геометрического по-
построения фундаментальной области группы в трехмерном неев-
неевклидовом пространстве. Это построение дает задание для груп-
группы. Оно имитирует соответствующее построение в неевклидовой
плоскости, где отражения относительно сторон треугольника с
нулевыми углами приводят к группе с тремя порождающими и
соотношениями, устанавливающими равенство единице квадра-
квадратов этих порождающих. В трехмерном неевклидовом простран-
пространстве роль треугольника выполняет тетраэдр. Само построение и
возникающее задание группы коротко описаны у Магнуса в
[1974а, с. 153—155]. Оригинальная работа Гизекинга почти не-
недоступна.
D. Группы кос и группы классов отображений
В работе по теории римановых поверхностей [1891] Гурвиц
открыл и исследовал класс групп, которые затем, при другом их
определении, получили известность как «группы кос». Это на-
название охватывает частный, хотя и важный вид групп. Связь
между статьей Гурвица [1891] и более поздними результатами
детально рассматривается в работе Магнуса [1974b]. Мы еще
раз вкратце вернемся к этой теме в гл. II. 10. Сейчас же хотелось
бы отметить, что в данном случае мы имеем дело с крайней и,
можно надеяться, необычной ситуацией игнорирования важной
работы. Статья Гурвица может расматриваться как первый под-
подход к идее фундаментальной группы пространства произвольной
размерности. Можно утверждать, что эта статья содержит также
иллюстрацию к теореме о том, что в расслоенном пространстве
фундаментальная группа базисного пространства действует как
группа преобразований слоя. Разумеется, Гурвиц не имел в
своем распоряжении общих понятий, участвующих в этой фор-
формулировке, поскольку эти понятия появились много позднее, в
результате длительного развития топологии. Тем не менее статья
Гурвица написана очень ясно. Топологические доказательства
в ней можно считать вполне строгими, хотя сейчас их можно
было бы изложить по-другому. Вдобавок ко всему Гурвиц был
хорошо известным математиком и статья была опубликована в
одном из. самых распространенных математических журналов
своего времени. И тем не менее, по-видимому, его вклад в от-

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 49
крытие группы кос был впервые упомянут лишь Магнусом в
[1974b]. Однако работа Гурвица [1891] широко и часто упоми-
упоминалась в связи с другими затронутыми в ней вопросами.
В статье Гурвица [1891] также содержатся некоторые идеи,
которые можно считать зачатками теории групп классов отобра-
отображений для двумерных многообразий. Однако основной вклад в
развитие этой тематики до 1914 г. внесли Фрике и Клейн (см.
[1897, с. 285—447] и [1912, с. 286—439]). Лишь небольшая ее
часть относится к истории комбинаторной теории групп, и мы от-
отсылаем читателя к книгам Магнуса [1974b] и Бирман [1975],
содержащим библиографию и обзор более поздних результатов.
Диссертация Дж. Нильсена [1913] состоит из двух частей.
Первые три раздела посвящены связанной с дифференциаль-
дифференциальной геометрией теме, предложенной Нильсену Ландсбергом.
В последнем разделе исследуется задача нахождения наимень-
наименьшего числа неподвижных точек для взаимно однозначного то-
топологического отображения тора в себя. Эта задача возникла
из вопроса, поставленного Дэном, который стал научным ру-
руководителем Нильсена после смерти Ландсберга. Важную роль
в работе играет однородная модулярная группа GLB,Z). Од-
Однако основное значение этой работы состоит в том, что Ниль-
Нильсен в ряде своих последующих работ продолжал заниматься
задачей отыскания неподвижных точек для топологических ото-
отображений двумерных многообразий в себя. Эти работы содер-
содержат теоретико-групповые результаты, важные для теории групп
классов отображений. Некоторые ссылки и подробности можно
найти в гл. II. 10.
Е. Дифференциальные уравнения,
линейные группы и группы Ли
Шлезингер в [1909] дал обзор теории линейных дифферен-
дифференциальных уравнений со списком литературы, состоящим из
1742 работ, опубликованных с 1865 по 1907 г. Он цитирует
много работ по линейным группам (над полями характеристи-
характеристики 0). Вообще говоря, эти работы оказали влияние на более
позднее развитие комбинаторной теории групп лишь в том же
отношении, что и теория абстрактных конечных групп, а именно
они привели к повышению уровня сложности и к введению но-
новых аспектов в исследование групп. Все же можно выделить
несколько работ, которые предвосхищают более позднее разви-
развитие комбинаторной теории групп, хотя воздействие некоторых
из них сказалось лишь после того, как стали доступными новые
мощные средства, пришедшие из алгебры и алгебраической
геометрии.
Мы начнем наш обзор с исследования, которое восходит к
работе Пуанкаре [1884], где ставятся следующие проблемы.

50 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
1. Дано линейное дифференциальное уравнение с алгебраи-
алгебраическими коэффициентами. Найти его группу.
2. Дано линейное дифференциальное уравнение второго по-
порядка с коэффициентами, зависящими от произвольных пара-
параметров. Придать этим параметрам такие значения, чтобы груп-
группа уравнения была фуксова.
Вторая проблема указывает на происхождение затронутых
вопросов: они возникли из теории автоморфных функций. Сам
Пуанкаре проясняет это, цитируя в начале статьи свои преды-
предыдущие работы, опубликованные в том же журнале, — даже на-
названия этих работ подтверждают наше мнение (см. Пуанкаре
Ц882], [1883]).
Группа, упомянутая в первой проблеме, поставленной Пуан-
Пуанкаре,— это группа монодромии линейного (однородного) диф-
дифференциального уравнения. Выбрав п линейно независимых ре-
решений этого дифференциального уравнения (порядка п) в
окрестности неособой точки, а затем продолжив их аналитиче-
аналитически вдоль k простых замкнутых петель вокруг k особых точек
уравнения, получим определенное число линейных подстановок
этих решений. Простым преобразованием уравнения можно до-
достичь того, что матрицы этих подстановок будут иметь опреде-
определитель + 1. Эти матрицы и порождают группу монодромии М.
Замена базиса приводит к сопряжению всех матриц при по-
помощи фиксированной невырожденной матрицы. Далее Пуанкаре
задает следующий вопрос (совершенно не зависящий от теории
дифференциальных уравнений): какие величины нужно знать,
чтобы определить класс сопряженности группы М в специаль-
специальной линейной группе SL(n,C) матриц порядка п с определите-
определителем + 1 и матричными элементами, принадлежащими полю С
комплексных чисел? Эти величины называются инвариантами,
и Пуанкаре показывает, что для однозначного определения
класса сопряженности группы М в SL(n,C), вообще говоря,
достаточно знать коэффициенты характеристических уравнений
для порождающих группы М и для конечного числа их произ-
произведений. (Здесь имеются очевидные исключения: например,
группа, порожденная верхнетреугольными матрицами.)
Для случая п = 2 Фогт [1889] доказал более точные ре-
результаты. В «общем случае» необходимо 3& — 3 инвариантов
подгруппы в SLB, С) с k порождающими, чтобы определить не
один, а несколько, но не более 2к~2, классов сопряженности в
SLB, С). Можно также интерпретировать некоторые из ре-
результатов Фогта как первое построение системы порождающих
для группы автоморфизмов свободной группы. Впоследствии
Фрике и Клейн [1897], [1911] развили эту теорию и применили
ее к изучению групп классов отображений (см. Бирман [1975])
двумерных ориентированных многообразий с краем и без края.
Гораздо позже Хоровиц [1972, 1975] дал систематическое ал-

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 51
гебраическое обоснование и нашел чисто теоретико-групповые
приложения некоторых из результатов Фрике и Клейна [1897],
[1912]. Первоначальные исследования Пуанкаре также впослед-
впоследствии вновь привлекли внимание и были значительно углублены
и систематизированы, по крайней мере в своих алгебраических
аспектах, Прочези [1976], Лероном [1976] и Размысловым
[1974].
Мы не можем документально обосновать несомненное прямое
влияние этой деятельности Пуанкаре, Фогта, Фрике и многих
других на чисто теоретико-групповые исследования в последую-
последующие годы. Но можно с уверенностью сказать, что интерес спе-
специалистов в теории групп к конечно порожденным линейным
группам поддерживался отчасти важностью этих групп для про-
проблем из других областей. Обзор Верфрица [1973] показывает,
как много работы было здесь проделано с начала двадцатого
столетия. Рассматриваемые группы имеют некоторые удиви-
удивительно простые свойства, особенно если матричные элементы
принадлежат полю характеристики 0. В этом (и не только
в этом) случае Мальцев [1940] доказал их финитную аппрокси-
аппроксимируемость. Позже Сельберг [I960] установил, что всякая та-
такая группа содержит нормальную подгруппу конечного индекса
без кручения, а Тите [1972] доказал, что эти группы либо со-
содержат свободную подгруппу ранга 2 (а следовательно, и бес-
бесконечного ранга), либо являются конечными расширениями
разрешимых групп. Следует заметить, что вторая альтернатива
включает группы верхнетреугольных матриц, для которых не
имеет места теорема Пуанкаре о характеризации их классов
сопряженности конечным числом инвариантов.
Из трех упомянутых здесь теорем только теорема Сельберга
была бы, по крайней мере на уровне понятий, легкодоступна
математикам до 1914 г. Термин «финитно аппроксимируемая»
введен Ф. Холлом в 1955 г. Оглядываясь на пройденный путь,
можно видеть, что это понятие естественно возникает из хорошо
известных свойств факторгрупп по конгруэнц-подгруппам в мат-
матричных группах над полями алгебраических чисел. В работе
Мальцева [1940] фактически присутствует понятие финитной
аппроксимируемости, хотя он не ввел специального термина.
Однако только в ретроспективе плодотворные абстракции вы-
выглядят естественными.
Наконец, теорема Титса просто не могла быть сформулиро-
сформулирована до 1914 г., несмотря на то что свободные группы были
хорошо известны. Дело в том, что они были известны как раз-
разновидность «наиболее общих» групп. То, что они появляются
как подгруппы практически всех фуксовых групп, стало ясно
только после того, как Рейдемейстер [1926] и Шрейер [1927а]
развили метод вычисления задания подгруппы по заданию всей
группы. Что же касается используемых Титсом методов,

52 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
например топологии Зарисского (см., например, Верфриц.
[1973]), то о них не могло быть и речи до 1914 г.
Существует другой аспект теории обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, который в конце концов окольным путем
привел к развитию важных средств для исследования чисто
теоретико-групповых проблем. Мы имеем в виду теорию, перво-
первоначально называвшуюся теорией Пикара — Вессьо, которая
была позже названа теорией алгебраических групп. Долгое вре-
время одной из ее главных целей было найти условия, при которых
решения обыкновенного дифференциального уравнения могут
быть выражены в замкнутой форме с помощью квадратур и
некоторых функций, включая, конечно, алгебраические функции
и коэффициенты. С самого начала эта теория рассматривалась
как обобщение теории Галуа алгебраических уравнений. Она
привела к теории матричных групп, матричные элементы ко-
которых удовлетворяют определенным алгебраическим уравне-
уравнениям (например, уравнению, характеризующему ортогональные
матрицы) и, наконец, позволила доказать, например, следую-
следующую теорему Пикела [1971], которая относится к чистой тео-
теории групп и никак не связана с дифференциальными уравне-
уравнениями:
Пусть Р — конечно порожденная нильпотентная группа, т. е.
группа, в которой только конечное число членов нижнего цент-
центрального ряда отлично от единицы. Рассмотрим множество S
всех ее различных конечных факторгрупп. Тогда существует
только конечное число нильпотентных групп, которые имеют то
же множество S конечных факторгрупп, что и Р.
До сих пор не известно доказательства этой теоремы, не
использующего теории алгебраических групп.
Мы привели результат Пикела как иллюстрацию единства
математики. Мы не можем даже пытаться полностью осветить
историю появления этого результата или воздать должное мно-
многим математикам, способствовавшим этому. Упомянем только
исходные работы Пикара [1896] и Вессьо [1892], раннее и очень
прозрачное систематическое обоснование всей теории, данное
Лёви [1908], важный обзор Ритта [1950], а также записки лек-
лекций Хамфри [1975], которые содержат ссылки на более поздние
работы.
Построенная Ли теория групп преобразований, или «непре-
«непрерывных групп», как они назывались долгое время, была перво-
первоначально связана с теорией дифференциальных уравнений в
частных производных. Одной из последних важных работ рас-
рассматриваемого периода, из которой эта связь ясно видна, по-
видимому, является исследование Эмми Нётер [1918], получив-
получившей «промежуточные интегралы» системы дифференциальных

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 5$
уравнений в частных производных, исходя из группы Ли, остав-
оставляющей эту систему инвариантной.
Существует четко различимое, хотя не очень хорошо под-
подтвержденное документально, раннее влияние теории групп Ли
на теорию конечных групп. Построение простых групп конечного
порядка, данное Диксоном [1901а] в его образцовой работе по
(конечным) линейным группам, а также в его последующих
работах (Диксон [1901b], [1905]), идет параллельно построе-
построению простых групп Ли, хотя, конечно, методы здесь другие.
Данная Бернсайдом [1911, с. 166] характеризация конечных
групп, являющихся прямыми произведениями групп, порядок
которых есть степень простого числа, ясно демонстрирует пере-
перенос понятия нильпотентной группы с групп Ли на конечные
группы. Теперь A980) мы говорим о «конечных простых группах
типа Ли».
Из письма Ф. Холла известно, что он заинтересовался тео-
теорией групп, читая книгу Бернсайда [1911] по теории групп ко-
конечного порядка. Это устанавливает связь между работами
Бернсайда но группам, порядок которых есть степень простого
числа, и статьей Ф. Холла [1933] на ту же тему. Название ра-
работы Холла «К теории групп, порядок которых есть степень
простого числа» не отражает того факта, что она является ве-
вехой и в истории комбинаторной теории групп. Такая роль этой
статьи обусловлена одним из ее разделов, посвященным «ком-
«коммутаторному исчислению». В этом разделе Холл систематически
исследует довольно сложную взаимосвязь между ассоциативной
групповой операцией и операцией, сопоставляющей двум эле-
элементам группы их коммутатор. Результатом явился первый по-
подробный анализ групп нижнего центрального ряда (термин,
введенный Холлом) свободных групп и их связей с другими
вполне инвариантными подгруппами свободных групп.
В конце концов выяснилось, что нижний центральный ряд
свободных и многих других групп определяет некоторую алгеб-
алгебру Ли и что корни такой связи можно найти в написанных
в начале века работах Кемпбелла [1898], Бейкера [1904] и
Хаусдорфа [1906]. Эти работы были непосредственно мотиви-
мотивированы теорией групп Ли.
Взаимосвязь между нижним центральным рядом и ассоции-
ассоциированной с ним алгеброй Ли подробно описана в пятой главе
книги Магнуса, Карраса и Солитэра [1966]. Там же приведено
доказательство так называемой формулы Кемпбелла — Бейке-
Бейкера— Хаусдорфа. Что касается ранней истории этой формулы,
см. Шмид [1982]. В комбинаторной теории групп ее впервые
применил Адельсбергер в своей диссертации [1930], где пер-
первые два ее члена использовались для исследования нильпотент-
ных групп класса 2 (т. е. групп, для которых уже третий член
нижнего центрального ряда тривиален). Эта диссертация была

54 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
основана на одной идее из работы [1927] Рейдемейстера (ко-
(который был ее научным руководителем). Однако в ней нет ссылок
на первоначальную работу Хаусдорфа [1906], хотя Рейдемей-
стер говорил Магнусу в 1936 г., что именно эта работа под-
подсказала ему тему диссертации. Впоследствии Магнус заметил
связь обсуждаемой формулы со своими исследованиями и ис-
использовал ее в полной мере в 1950 г. Существуют и еще более
поздние работы, где применяется эта формула, все же случаев
ее применения немного, если не говорить о результатах, полу-
полученных, исходя из выражаемой этой формулой глубокой связи
между алгебрами Ли и группами Ли, но такие результаты все
равно должны сопровождаться доказательствами, не исполь-
использующими рассматриваемую формулу. Более подробно о рабо-
работах Ф. Холла пойдет речь в гл. II. 7.
F. Конечные группы
После публикации в 1870 г. «Трактата о подстановках» Ка-
Камилла Жордана теория конечных групп стала быстро разви-
развиваться. Появились многочисленные учебники на английском,
французском, немецком, итальянском и русском языках, неко-
некоторые из них были целиком посвящены теории групп, в других
ей отводились главы как важной части алгебры, особенно тео-
теории Галуа. Теория представлений конечных групп группами
матриц, развитая Фробениусом, Бернсайдом, Шуром и другими,
ввела в теорию групп новые аспекты. Большое число результа-
результатов, некоторые из них выдающегося значения, появилось в США,
где интерес к чистой математике быстро рос и где Истон [1902]
опубликовал библиографию по теории групп.
Ввиду огромного объема и большой разбросанности сведе-
сведений о конечных группах, накопленных уже после 1914 г., во
многих случаях не удается продемонстрировать влияние резуль-
результатов в области конечных групп на позднейшее развитие комби-
комбинаторной теории групп, просто цитируя те или иные работы.
Например, проблема отыскания конечно заданной простой бес-
бесконечной группы стала совершенно естественной после 1920 г.
Тот факт, что успех в ее решении пришел гораздо позже (Томп-
(Томпсон, Хигман; см. Хигман [1974]), недвусмысленно говорит о
чрезвычайной и сразу выявляющейся трудности задачи. Дру-
Другими понятиями теории конечных групп, которые допускают
естественные обобщения, являются понятия разрешимости (опре-
(определяемое в терминах обрыва производного ряда) и нильпотент-
нильпотентности (уже обсуждавшееся выше). Здесь мы снова сталкиваем-
сталкиваемся со значительными трудностями даже для случая конечно по-
порожденных групп, исключение составляют лишь абелевы группы.
Однако движение вперед во всей этой области было более или
менее устойчивым благодаря возможности найти разного рода

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 55
«разумные» дополнительные ограничения, которые ведут к под-
поддающимся решению задачам. Так, в случае теоремы Жордана —
Гёльдера, которая неверна даже для бесконечных циклических
групп, Хирш [1938] показал, что тем не менее можно спасти ее
в ослабленной форме, если ограничиться классом разрешимых
групп с условием максимальности для подгрупп. Такие группы
называются полициклическими, так как они имеют конечный
нормальный ряд с циклическими факторами. Наборы цикличе-
циклических факторов для двух различных рядов не обязательно сов-
совпадают, но число бесконечных факторов является инвариантом!
Полициклические группы всегда имеют конечное задание. По
этому и другим близким вопросам см. Робинсон [1972] и гл. II. 10.
Описывать и дальше с той же степенью подробности все ре-
результаты, возникающие из теории конечных групп, значило бы
включить в книгу обзор большей части комбинаторной теории
групп вплоть до настоящего времени. Здесь мы не можем сде-
сделать этого и воздержимся даже от упоминания о переносе еще
каких-либо понятий с конечных групп на бесконечные, хотя сре-
среди этих понятий многие, как, например, понятие подгруппы
Фраттини (т. е. подгруппы, порожденной элементами, которые
не могут входить ни в какое минимальное множество порождаю-
порождающих), имеют явно «комбинаторный» характер.
Некоторые методы и конструкции, которые впервые появи-
появились в теории представлений групп, были использованы в ком-
комбинаторной теории групп. Здесь перенос понятий менее «есте-
«естествен», чем в упомянутых выше случаях, и мы опишем ситуацию
более детально.
Первый пример — это метод отыскания всех представлений
(конечной) группы как транзитивной группы перестановок, воз-
возникающих путем рассмотрения действия элементов группы на
правые смежные классы по некоторой подгруппе. Мы не будем
стараться проследить возникновение этого метода, упомянем
лишь, что он появляется со всеми подробностями и следствиями
уже в работе Фробениуса [1895]. Затем он был использован
Шрейером [1927а] для очень элегантного решения проблемы
распознавания равенства в свободных группах, т. е. для дока-
доказательства того, что различные несократимые слова, составлен-
составленные из свободных порождающих, представляют различные эле-
элементы группы (Шрейер называет этот факт «существованием
свободных групп»). Само собой разумеется, Шрейер не ссылает-
ссылается на Фробениуса или кого-нибудь еще. Этот метод был тогда
общеизвестен.
Более сложным примером является открытие сплетения АгВ
двух групп А и В Калужниным и Краснером [1918] (которые
называли его «общим произведением» — le produit general).
Сплетение АгВ может быть естественно получено из регуляр-
регулярного представления группы А матрицами перестановок, в кото-

56 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
рых ненулевые матричные элементы заменяются произвольными
элементами из В. Поэтому можно сказать, что эта конструкция
восходит к более ранним авторам, например к Фробениусу
[1898], [1899]. Кербер [1971] указывает других возможных
предшественников этой конструкции. Здесь, однако, следует за-
заметить две вещи. Прежде всего Калужнин и Краснер дают аб-
абстрактное определение группы А г В. Но более важно то, что
они доказывают следующую теорему:
Любая группа G, содержащая нормальную подгруппу, изо-
изоморфную В, такую, что G/B^A, изоморфна некоторой под-
подгруппе в А г В.
Этот результат делает сплетения мощным средством теории
многообразий групп. Подробности см. в книге X. Нейман [1967].
По-видимому, самое замечательное средство в комбинаторной
теории- групп, возникшее из ранней (до 1914 г.) теории пред-
представлений групп, — это мультипликатор Шура. Шур в [1904]
начинает с решения следующей задачи: пусть Н — конечная
группа дробно-линейных преобразований, состоящая из матриц
а, Ь, ... порядка п. Сами эти матрицы образуют группу G, в
центре которой лежит абелева подгруппа Л, такая, что G/A ^ Н.
Подгруппа А определяется неоднозначно, так как матрицы
а, Ь, ... могут быть без изменения Н заменены на пропорцио-
пропорциональные им Ка, \nb, ... (где %, \и, ... — комплексные числа, не
равные нулю). Задача состоит в том, чтобы найти подгруппы А
наименьшего порядка. Шур показывает, что решение этой за-
задачи может быть сведено к построению определенной абелевой
группы М, которую он называет мультипликатором абстрактной
группы Я. Группа М может быть определена следующим усло-
условием: существуют зависящие от Н группы К (называемые груп-
группами представлений (Darstellungsgruppen)), такие, что К со-
содержит в своем центре некоторую подгруппу М, такую, что
К/М ^ Н и при этом М содержится в коммутанте группы К и
имеет минимальный порядок. Группа М одна и та же для всех
таких групп К.
Шур в [1904] показывает, что М можно построить, исходя
непосредственно из таблицы умножения для Н. Таким образом,
по крайней мере в принципе, группа М может быть построена,
если известно задание группы Н порождающими и соотноше-
соотношениями.
Оказалось, что мультипликатор М группы Н является вто-
второй группой когомологий группы Н с коэффициентами в группе
С* ненулевых комплексных чисел, построенной Эйленбергом и
Маклейном [1949]. Это немедленно становится ясно, если читать
работу Шура после статьи Эйленберга и Маклейна, которые,

ГЛ. [.6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 57
впрочем, не сознавали эту связь в 1949 г., о чем говорится в за-
замечаниях на с. 180—181 книги Маклейна [1963].
Прошло некоторое время, прежде чем теория когомогологий
групп стала полезной в комбинаторной теории групп. Сегодня
это, несомненно, так, в частности Баумслаг [1976а] использовал
мультипликатор Шура для доказательства того, что некоторые
группы не являются конечно заданными. Он заметил, что груп-
группа, у которой мультипликатор Шура имеет бесконечное число
порождающих, не может быть конечно заданной (обратное не-
неверно, см. Баумслаг [1976b]).
Заметим мимоходом, что Фрике и Клейн [1897, с. 200—209]
занимались очень частным случаем задачи Шура для (беско-
(бесконечных) фуксовых групп.
Обратившись теперь к работам по теории абстрактных групп,
которые много позже привели к важным достижениям, мы
должны, несомненно, первое место отвести проблеме, поставлен-
поставленной Бернсайдом в [1902]. Пусть В(п, е) обозначает группу с п
порождающими, которая задана определяющими соотношениями
хе = 1, где п и е фиксированы, а х пробегает все множество
слов в алфавите порождающих. Бернсайд задается вопросом,
для каких значений п и е группа В(п,е) конечна. Ответ на этот
вопрос тривиален для всех конечных п и е= 1, 2. Бернсайд до-
доказал, что В конечна, если е = 3, а немного позже де Сегье
в [1904, с. 72] доказал то же самое для п = 2 и е = 4. Следую-
Следующие 4 работы на эту тему появились в 1933, 1940 и 1950 гг. Напи-
Написаны они соответственно Леви и ван дер Варденом, И. Н. Сано-
вым, Магнусом и Мейером-Вундерли. Обзор истории этой про-
проблемы до 1960 г. можно найти в книге Магнуса, Карраса и Со-
литэра [1966, с. 390—398]. Хотя все еще остается много откры-
открытых вопросов, самая трудная часть проблемы Бернсайда была
решена: С. И. Адян и П. С. Новиков доказали, что В(п,е) бес-
бесконечна для всех и^2й нечетных е^ 665 (см. Адян [1975]).
Возможно, эта работа является самой трудной для чтения сре-
среди всех работ по математике, которые когда-либо были напи-
написаны. Дело не только в ее длине C35 с). Существуют и другие
очень длинные работы, даже в теории групп, например доказа-
доказательство Фейта и Томпсона [1963] того, что группы нечетного
порядка являются разрешимыми. Но по крайней мере читатель,
знакомый с теорией конечных групп и их представлений, на про-
протяжении всей работы Фейта и Томпсона будет сталкиваться со
знакомыми терминами и с употреблением знакомых ему теорем.
В работе Новикова и Адяна все обстоит иначе. Ее нужно читать
слово за словом, с самого начала. Доказательство основано на
чрезвычайно сложных комбинаторных рассуждениях.
Само собой напрашивается сравнение влияния проблемы
Бернсайда на комбинаторную теорию групп с влиянием послед-
последней теоремы Ферма на развитие алгебраической теории чисел.

58 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Обе проблемы по своей природе являются довольно частными.
В случае проблемы Бернсайда автор сам почувствовал это,
включив результат своей работы 1902 г. в свой учебник [1911]
всего лишь как упражнение на с. 143. Но, несмотря на их до-
довольно частный характер, обе проблемы обворожили целые по-
поколения математиков и никогда не были забыты. В случае про-
проблемы Бернсайда это не так легко подтвердить документально
ссылками на опубликованные статьи, но Дэн упоминал ее в
своих устных лекциях еще до появления работы Леви и ван дер
Вардена в 1933 г. Наконец, обе проблемы являлись стимулято-
стимуляторами развития, на них опробывались новые методы, совершен-
совершенствовались старые. В случае последней теоремы Ферма это хо-
хорошо известно. В случае проблемы Бернсайда на это указывает
по крайней мере обзор ее истории до 1960 г. (цитированный
выше). Следует заметить, что решение проблемы Бернсайда
позволило С. И. Адяну и П. С. Новикову (см. Адян [1975]) при-
придумать особенно удивительные примеры феноменов в теории бес-
бесконечных групп, опровергающие все ожидания, которые могли
возникнуть у нас на основе опыта обращения с группами, кото-
которые в каком-то смысле близки к конечным группам. В анализе
и топологии за долгое время мы привыкли к сюрпризам, кото-
которые преподносит нам бесконечность. Здесь мы заметим, что
эти сюрпризы не обязательно связаны с несчетностью конти-
континуума. Счетного множества конечных слов в конечном алфавите
вместе с простыми правилами преобразования оказывается до-
достаточно. Более подробно о проблеме Бернсайда см. гл. II. 7.
В том же году, что и работа Бернсайда, появилась статья
Хойера [1902] примерно такой же длины и такого же уровня
математической сложности, но судьба ее была иной, чем у ра-
работы Бернсайда: ее постигло полное забвение (наше внимание
к ней было привлечено Гашюцем, сообщившим о ней Баум-
слагу). Тем не менее и в своих методах, и в результатах она
предвосхищает хорошо известную формулу, найденную Шрейе-
ром [1927а], которая является основой для одного из важных
методов комбинаторной теории групп.
На современном языке содержание этой работы может быть
описано следующим образом: пусть rv — свободная полугруппа
с v порождающими и с правым (но не с левым) сокращением.
Если мы постулируем соотношения между ее порождающими
(т. е. равенства вида W\ = W2, где W\, Wi — слова в алфавите
порождающих и где W\ = W^ влечет за собой W\W = W2W для
всех слов W и, обратно, из WiW = W2W для всех W следует
Wi = W2), то элементами из rv будут классы равных друг другу
элементов. Предположим, что мы вводим столько соотношений,
что число классов эквивалентности становится равным конеч-
конечному числу п. Тогда эти классы эквивалентности образуют груп-

ГЛ. I. 6. ПРЕДВЕСТНИКИ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОГРЕССА 59"
пу (это не обязательно верно, если п бесконечно). Хойер дока-
доказывает следующую теорему:
Необходимо по крайней мере nv— (п— 1) соотношений, что-
чтобы получить конечное число классов эквивалентности. С другой
стороны, для любых конечных значений v и п мы всегда можем
найти nv — (п — 1) соотношений так, что 1\ будет изоморфна
данной конечной группе порядка п с v порождающими.
Затем Хойер замечает, что в группе имеют место оба закона
сокращения, хотя в rv левый закон сокращения не может быть
выведен из правого. Он также замечает, что конечная группа
порядка п с v порождающими в принципе может быть опреде-
определена меньше чем пу — (п—1) соотношениями, если мы допу-
допускаем оба закона сокращения.
Число nv — (п—1) — это, конечно, в точности число свобод-
свободных порождающих подгруппы индекса п в свободной группе с v
свободными порождающими, которое было найдено Шрейером
[1927]. Замечательно, что доказательства Хойера и Шрейера ис-
используют также один и тот же метод: Хойер представляет эле-
элементы из G словами (т. е. элементами из rv) минимальной
длины. Это — в точности определение минимальной шрейеров-
ской системы представителей смежных классов свободной груп-
группы по подгруппе. Надо также заметить, что Хойер не только
вводит понятие полугруппы раньше, чем это сделал де Сегье
[1904], которому обычно приписывается это понятие, но, кроме
того, он понимает роль законов сокращения (которые де Сегье
считал заданными a priori) и независимость правого и левого
законов сокращения.
Почти наверняка Шрейер не знал о существовании работы
Хойера. Название «Об определении и исследовании транзитив-
транзитивных групп», конечно, не отражает ее содержания. В период,
когда была опубликована эта работа, появлялись многочислен-
многочисленные статьи по транзитивным группам перестановок, которые не
имели ничего общего с методами типа использованных Хойером,
так что вполне понятно, что люди, интересовавшиеся возникно-
возникновением комбинаторных аспектов теории групп, проглядели ра-
работу Хойера и тогда, и позднее. С другой стороны, по крайней-
мере некоторое время, Хойер был активно работающим исследо-
исследователем. Его статьи по алгебре и теории групп появлялись с
1897 по 1906 г. Очевидно, он не пытался найти дальнейшее при-
приложение своего подхода к теории групп, заданных порождаю-
порождающими и соотношениями. Единственное объяснение, которое мы
можем дать этому факту, несколько неопределенно — просто
было слишком рано. В конце концов, никто не исследовал под-
подгруппы свободных групп систематически до работы Нильсена

•60 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
[1921]. Работа Хойера была вновь открыта Гашюцем [1956], ко-
который ссылается на нее.
Последнее замечание, которое мы хотим здесь сделать о
влиянии теории конечных групп, существовавшей до 1914 г., на
комбинаторную теорию групп, нельзя считать абсолютно под-
подтвержденным, хотя оно основано на разумной, по нашему мне-
мнению, догадке. Наряду с Ремаком [1911] О. Ю. Шмидт [1913]
был первым, кто обобщил теорему об однозначном разложении
групп в прямое произведение неразложимых сомножителей с
класса конечных абелевых групп на класс всех конечных групп.
Поскольку О. Ю. Шмидт в [1916] подчеркивал важность
включения, насколько это возможно, бесконечных групп в об-
общую теорию абстрактных групп и поскольку А. Г. Курош посе-
посещал в 1930 г. семинар Шмидта, мы высказываем предположе-
предположение, что статья Куроша 1934 г. мотивировалась попыткой пере-
перенести теорию прямых произведений групп в теорию недавно от-
открытых свободных произведений групп, которые, как отмечает
Курош, были введены Шрейером в [1927а]. Один из результа-
результатов этой статьи — доказательство теоремы Куроша о подгруп-
подгруппах, которую можно рассматривать как первую общую струк-
структурную теорему в комбинаторной теории групп. Весьма замеча-
замечательно, что теория разложений групп на свободно неразложимые
сомножители оказалась значительно проще, чем теория разло-
разложений на прямо неразложимые сомножители. Подробнее теория
свободных произведений будет описана в гл. II. 4.
Глава I. 7
РЕЗЮМЕ
В этой главе мы постараемся описать возникновение комби-
комбинаторной теории групп в период до 1918 г. как новой ветви тео-
теории групп, используя при этом минимум специальных терминов,
а также деталей и ссылок на литературу, написанную на мало
понятном для современного читателя языке.
Теория групп начиналась как теория групп преобразований,
т. е. взаимно однозначных отображений математических объек-
объектов на себя. Если объект — это конечное множество, то соответ-
соответствующая группа является группой перестановок. В таком виде
теория групп стала важным инструментом в теории алгебраиче-
алгебраических уравнений. Книга Камилла Жордана по «подстановкам и
алгебраическим уравнениям», вышедшая в 1870 г., явилась пер-
первым памятником этим идеям. Она посвящена конечным груп-
группам, а простейшей существенной характеристикой конечной
группы является разложение ее порядка в произведение простых
сомножителей. Книга Жордана не только стройно излагала на-
накопленные к тому времени сведения о конечных группах и их

ГЛ. I. 7. РЕЗЮМЕ 61
роли в теории уравнений, но и содержала новые результаты. По
отзывам современников ее появление значительно ускорило раз-
развитие теории конечных групп.
Бесконечные группы преобразований стали предметом об-
обширных исследований примерно в то же время. Однако начало
их изучению положила не основополагающая работа, а своего
рода манифест. В 1872 г. Феликс Клейн прочел публичную лек-
лекцию (Antrittsvorlesung) в Эрлангенском университете, которая
была обязательной для вновь назначаемого профессора.
Как и Бернхардт Риман в 1854 г. в своей лекции при вступ-
вступлении в должность профессора Гёттингенского университета,
Клейн не употреблял в своем докладе математических символов.
Он представлял свою работу и частично работу своего старого
друга и коллеги из Норвегии Софуса Ли как начало программы,
согласно которой геометрия должна рассматриваться с точки
зрения групп преобразований, действующих на некоторых про-
пространствах. Лекция Клейна соединила множество различных
геометрий, теорию алгебраических инвариантов и даже диффе-
дифференциальные уравнения с теорией групп. Столетие спустя было
осуществлено факсимильное издание этой блестящей и часто ци-
цитируемой работы. Мы не можем оценить здесь ее действитель-
действительное влияние, хотя с уверенностью можно сказать, что труды Со-
Софуса Ли, молчаливого соратника Клейна, оказались гораздо бо-
более важными, чем собственные работы Клейна в теории групп
преобразований.
Однако для возникновения комбинаторной теории групп были
важны другие стороны работы Клейна. Группы, появившиеся
в его лекции, нелегко задать в терминах порождающих и соотно-
соотношений, да и по сей день A980 г.) в этом нет особой надобности.
Даже понятие порождающего элемента должно быть изменено
в духе рассматриваемых Ли «инфинитезимальных подстановок»,
чтобы его можно было использовать в группах, о которых го-
говорил Клейн, ведь эти группы имеют несчетное количество эле-
элементов. Надо сказать, что в то время уже рассматривались счет-
счетные бесконечные конечно порожденные группы. Они появились
в книге по теории абелевых функций Клебша и Гордана [1866],
где, однако, даже не употреблялось слово «группа», и позже
в ряде работ по группам монодромии однородных линейных
дифференциальных уравнений, первой из которых является, по-
видимому, публикация Жордана [1874].
Все эти работы стали важны для комбинаторной теории
групп только гораздо позже. Главная проблема здесь заключена
в конечном счете не в манипулировании порождающими, а в той
роли, которую играют определяющие соотношения. Эта роль
стала, буквально, видимой, почти осязаемой, благодаря откры-
открытию групп симметрии бесконечных мозаик на неевклидовой пло-
плоскости.

62 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
В наши дни принято говорить, что теория групп есть теория
симметрии. Конечно, сказать, что объект обладает симметрией,
это то же самое, что сказать, что он допускает отображение на
себя, и множество всех таких симметрии образует группу. Ясно,
что каждая группа является группой симметрии, поскольку она
действует перестановками на множестве своих элементов. Но
слово «симметрия» имеет также и обыденное значение, которое
не возникает, если мы рассматриваем симметрии конечных мно-
множеств, т. е. симметрические группы перестановок. Конечные гео-
геометрические объекты имеют либо слишком мало, а именно ко-
конечное число, симметрии, как, например, куб, либо слишком
много, а именно континуум, симметрии, как окружность или сфе-
сфера. Но орнаменты или мозаики на евклидовой или неевклидовой
плоскости, составленные из одинаковых многоугольников, имеют
как раз такую структуру, что их группы симметрии допускают
описание в терминах порождающих и определяющих соотноше-
соотношений. Порождающие и обратные к ним элементы соответствуют
ребрам основного многоугольника, а определяющие соотноше-
соотношения — его вершинам. Если многоугольник становится все более
сложным, то он может быть представлен как фундаментальная
область различных групп движений все большим количеством
способов. Например, квадрат может рассматриваться и как
фундаментальная область группы, порожденной отражениями
относительно его четырех сторон, и как фундаментальная об-
область группы, порожденной двумя сдвигами. Но в обоих слу-
случаях мы немедленно получим описание группы в терминах по-
порождающих и определяющих соотношений.
У читавшего статью Дика [1882] не может возникнуть сомне-
сомнений в том, что это исследование было навеяно интуитивными
геометрическими соображениями именно такого типа. Дик тогда
был ассистентом Клейна в Лейпцигском университете, и иссле-
исследования Клейна, возникшие из проблем униформизации алгеб-
алгебраических кривых автоморфными функциями, всегда были про-
пронизаны теорией дискретных групп преобразований неевклидо-
неевклидовых пространств. Его важная статья по римановой теории функ-
функций комплексного переменного, упоминавшаяся в гл. 1.3, появи-
появилась спустя год после статьи Дика.
Группы симметрии мозаик способствовали возникновению
комбинаторной теории групп, но не сыграли важной роли в ее
дальнейшем развитии. Одна из причин этого довольно оче-
очевидна: простота первоначального подхода была обманчива. Ка-
Казалось гораздо более естественным использовать геометриче-
геометрические аргументы, а не алгебраические. Очевидно, Клейн не видел
необходимости в развитии алгебраической теории свободных
произведений, хотя это понятие можно извлечь из его статьи
1883 г. Другая причина неэффективности воздействия геометрии
на дальнейшее развитие комбинаторной теории групп заключена

ГЛ. I. 7. РЕЗЮМЕ 63
в вопросе, какие бесконечные группы надо изучать. В теории ко-
конечных групп эта проблема никогда не возникала, и ясно по-
почему. Что же касается теории бесконечных групп, то здесь нужны
дополнительные соображения, чтобы начать исследование тех
групп, которые важны в том или ином смысле и не поддаются
изучению как «конкретные» группы преобразований, обычным
образом действующие на хорошо известных математических
объектах. Не может быть никакого сомнения в том, что открытие
Пуанкаре фундаментальной группы пространства наряду с воз-
возрастающим интересом к топологии явилось решающим шагом
в этом направлении. Мы не знаем, что привело Пуанкаре к
этому открытию, и в частности какие из разделов современной
ему теории дифференциальных уравнений и фундаментальных
областей групп, действующих дискретно на трехмерных про-
пространствах, повлияли на это открытие. Невозможно восстано-
восстановить ход мыслей гения, а у самого Пуанкаре было слишком
много идей, чтобы еще находить время объяснять, как они воз-
возникают. Хотя Пуанкаре дал толчок дальнейшему развитию ком-
комбинаторной теории групп, он практически ничего нового в нее не
внес. Отдав должное Титце, работа которого была описана в
гл. 1.3, можно с уверенностью сказать, что заслуга развития
этой теории принадлежит в первую очередь Дэну.
Мы хотим подчеркнуть, что воздействие открытия Пуанкаре
на теорию групп имело несколько весьма важных методологиче-
методологических следствий. Прежде всего положение Кэли о том, что «груп-
«группа определяется законом комбинации своих символов», теперь
должно было приниматься всерьез. Объект, на котором действует
группа преобразований, полностью исчезает, если мы опреде-
определяем группу в терминах порождающих и определяющих соотно-
соотношений. Конечно, и теория конечных групп также развилась к
этому времени A910 г.) в абстрактном направлении. В частно-
частности, многие теоремы могли быть и были сформулированы в со-
совершенно абстрактной форме. Но ни теория групп перестановок,
ни теория представлений групп линейными преобразованиями
конечномерных векторных пространств не отбрасываются при
таком ходе развития. Напротив, работы Фробениуса, Бернсайда
и Диксона по представлениям групп и по линейным группам над
конечными полями следует рассматривать как одни из наиболее
важных работ по теории конечных групп, написанных в период
с 1870 по 1910 г. И теория групп Ли (или «непрерывных групп»,
как они тогда назывались), конечно, не отделилась от представ-
представления о группе как группе преобразований некоторого простран-
пространства. Здесь можно добавить, что в определении фундаменталь-
фундаментальной группы, данном Паункаре, подразумевается ее действие на
пространстве, но в возникающем описании этой группы в тер-
терминах порождающих и соотношений об этом ничего не гово-
говорится.

64 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Второе следствие возникновения комбинаторной теории групп
для всей теории групп связано с тем, что фундаментальные
проблемы новой дисциплины не могли быть решены с помощью
уже существовавших математических теорий. Прежде всего не
было никакой пользы от анализа. Основной была проблема,
присущая дискретной математике, а именно проблема распоз-
распознавания эквивалентности (или равенства, как обычно говорят)
слов произвольной, но конечной длины в конечном или беско-
бесконечном алфавите при определенных правилах преобразования.
Эти правила заданы в каждой отдельной задаче, но могут ока-
оказаться совершенно произвольными; возможностей бесконечно
много, и они смущают своим разнообразием. Конечно, в то вре-
время уже существовал важный раздел дискретной математики, а
именно теория чисел. Она играла (и играет) существенную роль
в абстрактной теории конечных групп. Но в комбинаторной тео-
теории групп теория чисел полезна в лучшем случае в отдельных
задачах.
Здесь следует добавить, что сама топология произвела на
свет новый тип дискретной, комбинаторной, математики. При
желании можно увидеть его уже у Эйлера, в его решении задачи
о кенигсбергских мостах. Однако лишь Дэн, и это, по-видимому,
не случайно, первым пошел по этому пути (в статье по тополо-
топологии, написанной совместно с Хегором). Но что кажется случай-
случайным или, если угодно, чудесным, так это то, что независимо от
Дэна и независимо от топологии другой математик в это же вре-
время начал задавать вопросы типа проблемы распознавания ра-
равенства в комбинаторной теории групп, но в гораздо более об-
общей и абстрактной постановке. Мы имеем в виду работу Туэ,
который может считаться основателем общей теории полугрупп.
Если исключить один часто цитируемый фрагмент, эта его ра-
работа сегодня прочно забыта. Нам неизвестно, повлиял ли Туэ на
Дэна, и есть причины в этом сомневаться. Мы знаем, что Дэн
был лично знаком с Туэ, но довольно поверхностно. Дэн упоми-
упоминает работы Туэ, замечая, что они посвящены комбинаторным
задачам. Но он никогда не пользовался ими, и, конечно, неиз-
неизвестны прямые приложения результатов Туэ к теоретико-груп-
теоретико-групповым проблемам Дэна.
Третьим следствием возникновения комбинаторной теории
групп стало усиление акцента на «проблемах разрешения», «ал-
«алгоритмах» или «общих и эффективных методах». Вновь и вновь
появляются в работах Дэна выражения, вроде: «найти метод,
позволяющий выяснить за конечное число шагов», например,
можно ли слово в порождающих группы привести к пустому
слову, используя правила замены одного подслова другим, уста-
устанавливаемые определяющими соотношениями группы. Конечно,
проблема «поиска метода решения», по крайней мере так же
стара, как алгоритм Евклида. Интерес к ней усилился, когда

ГЛ. I. 7. РЕЗЮМЕ 65
Гильберт сформулировал свою десятую проблему на междуна-
международном конгрессе в Париже в 1900 г. Но и Евклид, и Гильберт
имели в виду задачи теории чисел, а эта дисциплина чрезвы-
чрезвычайно богата глубокими теоремами. В комбинаторной теории
групп поиск алгоритма был основным вопросом, и нельзя было
ждать помощи от уже известных теорем.
Нам известно (из устной традиции), что Дэн полностью соз-
сознавал, что проблема распознавания равенства в теории групп
ввела в математику новый аспект, привела к постановке нового
типа вопросов. Он также сознавал ее трудность и имел обык-
обыкновение говорить: «Решить проблему распознавания равенства
для всех групп, может быть, столь же невозможно, как и ре-
решить все математические проблемы». Но в 1912 г. Дэн не мог
предвидеть взаимодействия между математической логикой и
теорией групп, которое возникло примерно полвека спустя и
было вызвано к жизни проблемой распознавания равенства.
(См. гл. 11.11.)
Мы уже упоминали (в гл. 1.5), что подход Дэна к комби-
комбинаторной теории групп был геометрическим, а не алгебраиче-
алгебраическим. Позже были развиты весьма эффективные алгебраические
методы, но они появились только после окончания первой ми-
мировой войны. Несмотря на то что это были специфические ме-
методы комбинаторной теории групп, их возникновение было осно-
основательно подготовлено развитием других частей теории групп
и алгебры в целом.
Прогресс в теории групп в рассматриваемый период проис-
происходил отчасти благодаря процессу, который можно охарактери-
охарактеризовать как совершенствование методов и понятий. Это совершен-
совершенствование включает возрастание степени абстракции. Хорошим
примером, демонстрирующим последствия этого процесса, будет
сравнение статьи Фробениуса и Штикельбергера [1879] с гл. 7
из второго издания книги Бернсайда по теории конечных групп,
которое вышло в 1911 г. В обоих случаях излагается основная
теорема о конечных абелевых группах. В статье Фробениуса
46 с, а в главе книги Бернсайда — только 21. К тому же послед-
последняя содержит фрагмент, посвященный теории групп автоморфиз-
автоморфизмов абелевых групп, порядок которых есть степень простого чис-
числа. Фробениус пользуется теорией билинейных форм с целыми
коэффициентами, один из разделов его статьи посвящен срав-
сравнениям степеней целых чисел по модулю составного числа.
Бернсайд использует индукцию по факторгруппам, предложен-
предложенную за несколько лет до этого Хилтоном. Оба автора пишут
очень ясно и не опускают детали, но Бернсайд имел в распо-
распоряжении предыдущие главы своей книги, которые содержат пер-
первую теорему Силова и теорию композиционных рядов группы.
Ни то, ни другое не было известно в полном объеме Фробениусу
и Штикельбергеру в то время, когда писалась их работа.

66 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Беглого взгляда на оглавление в книге Бернсайда [второе
издание, 1911] достаточно, чтобы увидеть большое количество
тем, которые разработаны в теории конечных групп, но могли
бы быть по крайней мере частично перенесены в теорию беско-
бесконечных групп, включая группы, заданные порождающими и оп-
определяющими соотношениями. Мы упомянем некоторые из них
примерно в том порядке, в котором они появились позже в ком-
комбинаторной теории групп.
A) Группа автоморфизмов группы. Внутренние и внешние авто-
автоморфизмы.
B) Действие элементов группы на правых смежных классах по
подгруппе. Отсюда получается теоретико-групповое описание
представлений группы как транзитивной группы перестано-
перестановок и теория индуцированных представлений, построенная
Фробениусом.
C) Понятие характеристической подгруппы, коммутанта, произ-
производного ряда и разрешимости. Последние три понятия про-
происходят из теории групп Ли.
D) Абстрактное описание прямых произведений групп, порядок
которых есть степень простого числа, как нильпотентных
групп (т. е. групп с нижним центральным рядом конечной
длины).
E) Понятие многообразия групп, появляющегося здесь только
как множество конечно порожденных групп, в которых за-
заданная степень каждого элемента является единицей.
F) Мультипликатор Шура.
G) Понятие разложения группы в прямое произведение групп,
оказавшее косвенное влияние на дальнейшее развитие тео-
теории.
В книге Бернсайда мы не найдем понятия подгруппы Фрат-
тини, которое было введено в 1885 г. (и перенесено на бесконеч-
бесконечные группы Б. Нейманом в 1937 г.).
В дополнение к собственно теоретико-групповым исследова-
исследованиям имелись исследования в других разделах алгебры, вызван-
вызванные к жизни отчасти теоретико-групповыми исследованиями, и,
в свою очередь, оказавшие влияние на развитие теории групп.
Как ключевые слова упомянем лишь следующие термины: ассо-
ассоциативные алгебры, включая групповые кольца, модули пред-
представлений, алгебры Ли.
Существует также и другая причина, почему условия для
чисто алгебраических исследований в комбинаторной теории
групп после 1919 г. были гораздо более благоприятными, чем
в 1882 г. Эта причина — проявление общего закона возникнове-
возникновения новых дисциплин. Его можно сформулировать следующим
образом: теория групп нашла себя. Группы были важны для ал-

ГЛ. I. 8. ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ 67
гебраических уравнений, анализа (особенно для дифференци-
дифференциальных уравнений), геометрии, кристаллографии, теории чисел
и топологии. Теперь же (с 1919 г.) они стали интересными сами
по себе. Такая ситуация выявляется уже в исследовании групп,
в задание которых порождающими и соотношениями каждый
порождающий входит не более двух раз. Конечно, Дэн пытался
найти геометрическую интерпретацию этих групп, но сама про-
проблема здесь является чисто алгебраической. Однако Дэн не был
алгебраистом. Он был геометром до мозга костей и подходил к
каждой задаче с восприятием и методами геометра. Тем не ме-
менее первый математик, работавший в комбинаторной теории
групп чисто алгебраическими методами, был в какой-то степени
учеником Дэна. Нильсен еще не закончил свою диссертацию,
когда умер его научный руководитель, и последняя ее часть,
написанная в Кильском университете и опубликованная в 1913 г.,
относилась к проблеме, поставленной Дэном. Эта проблема
имела, конечно же, геометрическую природу, а именно была за-
задачей о неподвижной точке. Однако за диссертацией Нильсена
последовало несколько чисто алгебраических статей, вдохнов-
вдохновленных идеями Дэна. Результаты этих статей и расцвет комби-
комбинаторной теории групп как дисциплины, имеющей свои собствен-
собственные методы и задачи, подлежат рассмотрению в ч. II нашей
книги.
Глава 1.8
ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ.
РАСШИРЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
В ТЕОРИИ ГРУПП И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
В этой главе обсуждается расширение и распределение ма-
математических исследований в период от 1880 г. до конца первой
мировой войны, а также формы общения математиков. Мы не
ограничиваемся исследованиями в какой-либо определенной об-
области математики, хотя некоторые из рассматриваемых нами
примеров берутся из литературы, цитированной в настоящей
книге. Трудно было бы ограничиться комбинаторной теорией
групп — по этому предмету имеется сравнительно мало работ, и
они были упомянуты и проанализированы в предыдущих главах.
Мы, однако, кратко обсудим, как расширялись исследования в
теории конечных групп, и отметим, что ситуация здесь отлича-
отличалась от положения в других дисциплинах. Формы общения хо-
хорошо освещены в публикациях рассматриваемого периода
A880—1918 гг.): как в журналах и книгах, так и в личных до-
документах, таких, как письма Минковского [1973] к Гильберту.
В рассматриваемый период «математический мир» был зна-
значительно меньше, чем в последующие три десятилетия. Это от-
относится не только к количеству математиков, но также к их

68 ч. i. начальный период развития
географическому распределению. Из всех неевропейских стран,
внесших глубокий вклад в математику в предыдущие века, толь-
только Индия включилась в современное развитие науки, которое
в Европе началось с изобретением дифференциального и интег-
интегрального исчисления. Индия была наиболее заметно представ-
представлена блистательным гением Сринивасы Рамануджана A887—
1920), работы которого лежат вне пределов нашего рассмотре-
рассмотрения.
Математические исследования проводились в основном в трех
регионах, каждый из которых был до известной степени одноро-
однороден в смысле возможностей, предоставляемых ученым. Это кон-
континентальная Европа, Великобритания и Северная Америка
(представленная в то время почти исключительно Соединенными
Штатами Америки). Исследования с 1880 до 1918 г. были сосре-
сосредоточены почти исключительно в университетах. В США поло-
положение было таким практически с самого начала. В Англии си-
ситуация была более сложной. Странно слышать, что Артур Кэли
A821 —1895) был юристом вплоть до 1863 г., когда он стал про-
профессором чистой математики в Кембридже. Однако те измене-
изменения, которые были возможны в Великобритании в XVIII — в на-
начале XIX в., все же постепенно происходили, и в период с 1880
по 1918 г. имена практически всех известных английских мате-
математиков оказались связаны с университетами. Несомненно, то
же относится и к континентальной Европе, но здесь резкие изме-
изменения произошли раньше — под влиянием Великой французской
революции и наполеоновской эпохи. В XVIII в. важную роль
в математических исследованиях играли академии. Леонард Эй-
Эйлер A707—1783) никогда не был связан ни с каким универси-
университетом, а Жозеф Луи Лагранж A736—1813) преподавал только
с 1755 по 1766 г. в артиллерийской школе в Турине (Италия)
(вероятно, на гораздо более низком уровне, чем уровень его ис-
исследований) и стал работать в университете Ecole Normale
Superieure de Paris лишь в 1795 г. в возрасте 59 лет.
Мы приводим эти факты, поскольку именно университеты от-
открывали возможности общения, закрытые для ученых-одиночек
и только в ограниченной степени доступные академикам, об-
общающимся со своими коллегами. Университет, предоставляя воз-
возможность контактов между профессором и его учениками, дает
исключительно эффективный канал для распространения идей и
создания школ. Это ясно видно в университетах континенталь-
континентальной Европы и в высших школах Соединенных Штатов Америки.
В Великобритании, особенно в Англии, ситуация была сложнее.
Здесь докторская степень не была необходимым условием для
академической карьеры, и некоторые ведущие математики стра-
страны не имели степени доктора (философии1)); обстоятельства
') На Западе ученый, защитивший диссертацию по математике, получает
степень доктора философии. — Прим. ред.

ГЛ. I. 8. ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ 69
изменились только много позже, в XX в. Интересно отметить,
что Бернсайд был доктором наук в Дублине и доктором права
в Эдинбурге и одновременно почетным членом Колледжа Пемб-
роук в Кембридже и членом Королевского общества, однако пре-
преподавал в качестве профессора математики в Королевском мор-
морском колледже в Гринвиче. Сомнительно, чтобы он когда-либо
читал курс по теории групп, и нам неизвестны его ученики, по-
получившие степень доктора философии. Разумеется, он был весь-
весьма влиятелен в других отношениях; большое влияние имели его
работы, а также его широко цитировавшаяся книга, чтение кото-
которой побудило Ф. Холла заняться теоретико-групповыми зада-
задачами. Однако различие между Бернсайдом и Холлом весьма за-
заметно и иллюстрирует изменение роли университетов в Англии.
Холл стал профессором в Кембридже, и большое количество
известных английских алгебраистов писали диссертации под его
руководством.
Возможности для личных контактов вне университетов были
связаны с заседаниями математических обществ, выступлениями
на семинарах, частными поездками и международными конгрес-
конгрессами. Согласно Миллеру [1935], к 1890 г. были основаны сле-
следующие математические общества: Лондонское математическое
общество (London Mathematical Society) A865), Французское
математическое общество (Societe Mathematique de France)
A872), Эдинбургское математическое общество (Edinburgh
Mathematical Society) A883), математическое общество Па-
Палермо (Circulo Matematico di Palermo) A884), Американское
математическое общество (American Mathematical Society)
(первоначально — Нью-Йоркское) A888), Немецкое математи-
математическое общество (Deutsche Mathematiker Vereinigung) A890).
Миллер в [1935] не упоминает Московское математическое об-
общество, которое было основано уже в 1864 г. Международные
математические конгрессы проводились в 1897, 1900, 1904, 1908
и 1912 гг. соответственно в Цюрихе, Париже, Гейдельберге,
Риме и Кембридже (Англия). Нам известен по крайней мере
один случай, когда персональный контакт на таком конгрессе
привел к плодотворному математическому сотрудничеству: Хе-
гор из Копенгагена и Дэн из Мюнстера (Германия), встретив-
встретившись на конгрессе в Гейдельберге, разработали план совмест-
совместной заметки о топологии (analysis situs) для Немецкой энци-
энциклопедии математических наук, выпущенной в 1907 г.
У нас нет количественных данных, которые позволили бы
оценить число путешествий, предпринятых для выступления на
семинарах или для частных встреч. Общее впечатление можно
составить по письмам Минковского Гильберту, опубликованным
в 1973 г. Разумеется, путешествия были дороже, чем в настоя-
настоящее время, по отношению к заработной плате и требовали го-
гораздо больше времени, если преодолевались значительные

70 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
расстояния. Последнее обстоятельство не было особенно сущест-
существенно в Европе, и стоит отметить, что не было валютных ограни-
ограничений (золотые монеты Франции, Италии и Швейцарии прини-
принимались во всех трех странах) и что только в России и Турции
требовались паспорта для иностранцев. Однако пересечение
Атлантического океана было более смелым предприятием. Оно
предпринималось в основном в одном направлении: американ-
американские студенты и ученые посещали европейские университеты
для обучения и написания диссертаций. Это известно из био-
биографий американских математиков и из списка студентов, по-
получивших степень доктора философии в Гёттингене. Нам не
известно ни одного случая, когда европеец поехал бы в Соеди-
Соединенные Штаты Америки учиться. Однако известно несколько слу-
случаев, когда европейские ученые посещали американские универ-
университеты в качестве приглашенных профессоров или переходили
туда на постоянную работу. Среди людей, упоминавшихся в на-
настоящей книге, К.лейн и Машке представляют соответственно
примеры первой и второй из этих категорий. То, что такие ви-
визиты или перемещения были мало распространены, вероятно,
объясняется не недостатком американского гостеприимства. Ис-
История переговоров между Феликсом Клейном и Университетом
Джона Гопкинса (согласно Рид [1978]) показывает, как трудно
было европейцу приспособиться к условиям жизни в Америке.
Возможно, роль играло также подсознательное чувство, что
Америка — необычная страна. Довольно любопытно читать в
путеводителе по США, опубликованном Бедекером (Лейпциг)
в 1909 г., не только предостережение о том, что американская
жизнь дорога по европейским понятиям, но также заверения
о том, что даже в западных частях страны совершенно необя-
необязательно носить пистолет. (Разумеется, это заверение не было
нужно таким людям, как Клейн, который знал американцев.)
Внутри Европы перемещение математиков через националь-
национальные границы происходило чаще, но не было по-настоящему рас-
распространено. Прежде всего Швейцария и в меньшей, но все же
заметной степени Германия иногда предоставляли университет-
университетские посты иностранным ученым. В Германии занимаемая
должность даже обеспечивала гражданство. Среди математи-
математиков, упоминающихся в настоящей книге, Минковский был про-
профессором в Eidgenoessishe Technische Hochschule (Высшая Тех-
Техническая школа) в Цюрихе с 1896 по 1902 г., а Гурвиц пере-
перешел туда на постоянную работу в 1892 г. Норвежец Софус Ли
занимал профессорскую должность в Лейпциге с 1886 по 1898 г.,
а родившийся в России Исайя Шур был назначен профессором1
Боннского университета в 1911 г.
Каков бы ни был эффект личных контактов — служебных,
во время поездок и при международных обменах, — мы распо-
располагаем весьма малым его документальным подтверждением.

ГЛ. I. 8. ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ 71
Документальное подтверждение встречи Дэна и Хегора в Гей-
дельберге в 1904 г. является исключением. Встреча была за-
засвидетельствована госпожой Тони Дэн (устное сообщение). Од-
Однако разумно предположить, что личные контакты были важны
и во многих других случаях.
Несомненно, наиболее эффективным и распространенным из
средств общения были публикации. Для них с 1826 г. появи-
появилось новое и вполне оправдавшее себя средство: математиче-
математические журналы. В XVIII в. математикам приходилось полагаться
на книги и издания академий. Эти виды публикаций продол-
продолжали играть свою роль, однако возрастающий объем исследо-
исследований и усиливающаяся специализация ученых превратили пуб-
публикации академий в довольно громоздкое средство общения.
В одном толстом томе, опубликованном академией, могло быть
не более трех-четырех математических работ. Как правило,
один университет мог подписаться не более чем на один экзем-
экземпляр такого издания, и математикам, лингвистам и историкам
приходилось затем пользоваться им совместно. (Даже разделе-
разделение статей на два класса, соответствующее делению наук на
естественные и гуманитарные, установилось лишь после 1900
или даже 1918 г.)
Первыми двумя математическими журналами были Journal
fur die reine und angewandte Mathematik (почти век называв-
называвшийся журналом Крелля по имени его основателя) и Journal
des mathematiques pures et appliques (называвшийся также
журналом Лиувилля по имени его основателя). Издатели обоих
журналов были частными лицами (и журналы издавались на
коммерческой основе), хотя до 1918 г. на титульном листе жур-
журнала Крелля отмечалась поддержка прусских властей (Die tha-
tige Beforderung hoher Koniglich Preussischer Behorden). Эта
поддержка состояла, по крайней мере изначально, из подпис-
подписных взносов военных школ Пруссии. Журнал Крелля был
основан в 1826 г., а журнал Лиувилля впервые вышел в
1838 г. Позже математические общества и даже отдельные уни-
университеты стали издавать математические журналы, а издавае-
издаваемые на коммерческих началах журналы существовали, по край-
крайней мере до 1914 г., только в Европе. Количество журналов,
печатающих математические работы, постоянно увеличивалось.
Первый номер ежегодника Jahrbuch iiber die Fortschritte der
Mathematik (появившийся в 1872 г.) указывает на 80 источни-
источников математических публикаций и содержит 426 с. Номер, вы-
вышедший в 1913 г., указывает на 160 источников, включая ин-
индийский и японский журналы, и содержит 1210 с. (Разумеется,
не все математические работы публиковались именно в мате-
математических журналах.)
Похоже, что языковые барьеры не играли никакой роли, по
крайней мере для работающих математиков. Использование

72 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
латыни как языка ученых прекратилось в середине XIX в. даже
в Германии, где, вероятно, К. Ф. Гаусс и К- Г. Дж. Якоби были
последними крупными математиками, пользовавшимися ей. Од-
Однако латынь оставалась языком, понятным всем ученым, по-
поэтому более старая литература была по-прежнему доступна.
Подавляющее большинство математических работ писалось на
одном из четырех языков, принятых на математических кон-
конгрессах, т. е. английском, французском, немецком и итальян-
итальянском. Судя по обилию ссылок на работы, написанные не на род-
родном языке автора, а на одном из этих четырех, математические
тексты на этих языках были понятны всюду. Это касается ра-
работающих ученых. Для студентов ситуация была иной. В своей
монографии Бернсайд [1911, с. 506] с сожалением отмечает
отсутствие написанных по-английски учебников по алгебраиче-
алгебраической теории чисел. Он ссылается на гильбертовскую Zahlbe-
richt (Гильберт [1897]) и добавляет, что она переведена на
французский. Из четырех упомянутых выше языков француз-
французский явно был наиболее распространенным. В качестве иллю-
иллюстрации мы можем отметить тот факт, что многочисленные
разговоры по-французски, имеющиеся в некоторых романах
Толстого, в немецких изданиях не переводились.
Публиковать длинные работы было проще, чем в последу-
последующие времена. Вводные разделы появлялись тогда гораздо
чаще, чем сейчас; то же касается скрупулезных вычислений и яв-
явных формул. Когда Миттаг-Лефлер основал журнал Acta Ma-
thematica в 1882 г., он специально оговорил, что «ни одна ра-
работа не будет отвергнута только по соображениям ее длины».
Помимо самих журналов оттиски опубликованных работ,
выдаваемые автору, вероятно, играли большую роль в распро-
распространении результатов, чем теперь A980 г.). По крайней мере
книготорговая фирма Густава Фока в Лейпциге скупала собра-
собрания оттисков и продавала их по отдельности. Магнусу до сих
пор принадлежат оттиски работ Фрике, Фробениуса и Шура,
вышедших в таких малодоступных журналах, как Sitzungsbe-
richte der Preussischen Akademie или Nachrichten der Gesell-
schaft der Wissenschaften zu Gottingen, которые он приобрел
в этой фирме еще до 1933 г. Важность оттисков была связана
с отсутствием легкодоступных и недорогих способов копирова-
копирования. Мы не располагаем точной датой появления фотокопий,
они, несомненно, существовали задолго до 1900 г., однако были
дороги. (Многие предпочитали пользоваться неудобными нега-
негативами — белая печать на черном фоне, поскольку они были
примерно в два раза дешевле, чем фотокопии.) При этом после
заказа копии приходилось ждать доставки по крайней мере
сутки. Препринты были практически неизвестны, хотя метод
мимеографирования существовал и до 1900 г. Даже пишущие
машинки, обеспечивающие по крайней мере две копии, мате-

ГЛ. I. 8. ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ 73
матиками использовались очень редко, поскольку формулы при-
приходилось вставлять от руки. До второй мировой войны боль-
большинство математических журналов принимало работы, напи-
написанные от руки.
Письма, разумеется, были распространенным средством об-
общения, хотя длинные письма, содержащие подробные доказа-
доказательства, определенно были редки. Вместе с журналами они
составляли весьма эффективное средство общения. Приведем
пример с авторами из трех стран: Дик [1883] узнал из письма
Васильева из Казани (Россия), что задание группы икосаэдра,
опубликованное Диком [1882], было известно Гамильтону уже
в 1856 г. Терминология Гамильтона (он предпочитал говорить
о «корнях из единицы», а не об «элементах группы») отличается
от терминологии Кэли и Дика, однако результаты действительно
совпадают.
Систематические изложения методов и результатов какой-
либо дисциплины существовали весьма давно, еще до «Начал»
Евклида. В теории групп первым систематическим изложением
является «Трактат о подстановках» Камилла Жордана; этот
труд вышел в 1870 г. За ним последовали многочисленные
учебники, которые либо, подобно «Руководству по алгебре» Ве-
бера [1896], содержали главы по теории групп, либо целиком
были посвящены этой теории, как «Теория групп конечного по-
порядка» Бернсайда [1897а]. Эти работы сыграли важную роль;
они служили не только учебниками, но и для ссылок. Однако
возрастающий объем математических знаний стимулировал но-
новые усилия по такой организации информации, при которой
она легче и эффективнее усваивается. Такова была цель рефе-
реферативных журналов и обзоров различного уровня сложности.
Первый том ежегодника Jahrbuch tiber die Fortschritte des
Mathematik содержит рефераты статей, опубликованных в
1868 г. Это был первый и до 1930 г. единственный рефератив-
реферативный журнал по математике. Он издавался Георгом Раймером
в Берлине. Все рефераты писались по-немецки, несмотря на то
что в немецких журналах публиковались также работы, напи-
написанные на французском, итальянском и английском языках.
Этот журнал был (и остается) весьма важным источником ин-
информации. Минимальный объем приводимой информации о пуб-
публикации— полное название, точная ссылка (включая номера
страниц) и (для книг) место издания и язык публикации. Из-
Издатели даже предприняли серьезную попытку компенсировать
потери информации, вызванные первой мировой войной. Том 48
A920 г.) содержит специальный раздел, содержащий рефераты
русских работ, появившихся в военные годы. Рефераты группи-
группируются по разделам. Начиная с 1897 г. теории групп посвящен
специальный раздел. Поскольку рефераты за целый год со-
•браны в одном разделе, сравнительно легко составить впечат-

74 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
ление о литературе в данной области за десятилетие. Однако
перекрестные ссылки отсутствуют, можно пропустить работы,
содержащие теоретико-групповые результаты и попавшие в дру-
другие разделы, например Минковский [1905].
Качество рефератов варьируется в широких пределах. В тео-
теории групп по крайней мере три четверти рефератов добросо-
добросовестны и дают представление о содержании работы и об ее
важности. Многие рефераты также содержат ссылки на более
ранние работы, связанные с той же тематикой. Поскольку об-
общее количество референтов, по крайней мере до 1918 г., было
невелико (не более 60 по всей математике), можно заметить,
что качество реферата зависело в основном лично от референта.
Следуя древнему принципу De mortuis nil nisi bene (о мерт-
мертвых— либо ничего, либо хорошее), мы не будем касаться не-
некомпетентных, недобросовестных референтов или референтов-
снобов; один из авторов настоящей книги (Магнус) хотел бы,
однако, поблагодарить здесь Лёви за прекрасные рефераты.
Необходимость в обзорах литературы, включающих обзоры
результатов, удовлетворялась в основном отчетами (Berichte),
публикуемыми Немецким математическим обществом и «Эн-
«Энциклопедией математических наук» (Enzyklopadie der mathema-
tischen Wissenschaften). Наиболее знаменитый из отчетов Не-
Немецкого математического общества, связанный с теорией полей
алгебраических чисел, был написан Гильбертом в 1897 г.; он
является, по существу, монографией, содержащей доказатель-
доказательства большинства известных теорем, а также новые результа-
результаты. Однако в теории групп ничего подобного не существует.
Отчет Шлезингера [1909] содержит очень большое количество
ссылок на работы, связанные с теоретико-групповыми исследо-
исследованиями в теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
эти работы помечены символом [s] (от слова «substitution» —
подстановка). Однако в этом тексте не много информации, су-
существенной для специалиста по теории групп. Американский
обзор литературы, целиком посвященный теории групп, написан
Истоном [1902] и опубликован в Бостоне. Он представляет со-
собой библиографию с весьма сжатой информацией о результатах.
Указанная выше «Энциклопедия математических наук» со-
содержит две заметки о конечных группах, обе в т. 1, 1900 г.
Они были написаны Буркхардом («Конечные дискретные груп-
группы») и Виманом («Конечные группы линейных подстановок»).
Том 2 содержит статью (№ ПВ.4) Фрике об автоморфных функ-
функциях, в том числе эллиптических модулярных функциях; эта
статья — хороший обзор области, включающий ссылки на неко-
некоторые теоретико-групповые результаты. Она была опубликована
в 1913 г.
Быстрое развитие математических наук в рассматриваемый
период приводило к тому, что некоторые статьи из Энциклопе-

ГЛ. I. 8. ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ 75
дии устаревали за сравнительно короткое время. В связи с этим
около 1910 г. начала выходить французская энциклопедия, оза-
озаглавленная Encyclopedie des sciences mathematiques pures et
appliques. Ее издание было прервано в связи с первой мировой
войной и никогда не было завершено. Статья о теории групп
прерывается посередине абзаца. Несмотря на то что в опубли-
опубликованной части рассматриваются только результаты весьма об-
общего характера, она длиннее статей Буркхардта и Вимана,
вместе взятых. В наши дни публикация незавершенной работы
кажется почти невозможной. Эта работа даже не упоминается
в списке публикаций в Fortschritte der Mathematik. Однако ее
существование может быть подтверждено одним из авторов на-
настоящего труда (Магнусом), который некогда имел опублико-
опубликованную часть.
Гораздо лучшая обзорная статья по теории групп, написан-
написанная перед первой мировой войной, вышла в 1910 г. во втором
издании справочника Repertorium, основанного Паскалем, кото-
который был профессором Неапольского университета в Италии.
Эта статья по теории групп написана Лёви. Несмотря на сжа-
сжатую форму, она написана очень ясно, хорошо организована, со-
современна и предваряется тщательным изложением исторического
развития предмета с многочисленными библиографическими
ссылками.
Библиографические ссылки в литературе до 1914 г. (и даже
до второй мировой войны) обычно были в плачевном состоянии.
Оно выражалось не только в том, что многие авторы не упоми-
упоминали существенные публикации. Такое случается и сейчас. Но
сама форма ссылок в большинстве работ, даже в Энциклопе-
Энциклопедии, была по сегодняшним стандартам непригодна. Чаще всего
в ссылке не приводилось ни название работы, ни ее длина.
Даже год публикации часто отсутствовал. Во многих случаях
ссылка состояла только из сокращенного названия журнала и
номера первой страницы работы. Это особенно раздражает
читателя, когда таких ссылок много. В Энциклопедии все би-
библиографические ссылки приводились в подстрочных примеча-
примечаниях. Поскольку каждая из таких ссылок приводится только
однажды, одни подстрочные примечания содержат отсылки к
другим. Имя автора часто приводится только в тексте, а в ссыл-
ссылке не упоминается. Такой способ цитирования был обязателен
для авторов статей Энциклопедии, даже во втором издании
(которое начало выходить с 1930 г. и не было завершено). Но
в журналах и монографиях авторы могли делать, что им забла-
заблагорассудится. Сегодняшний читатель с благодарностью отметит
таких авторов, как Бернсайд, Фрике, Лёви, Миллер и других,
выделявшихся среди своих современников тщательным оформ-
оформлением ссылок.

76 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Мы закончим этот раздел несколькими замечаниями отно-
относительно расширения исследований и распространения идей;
они основаны на несистематизированных наблюдениях.
Интерес к теории групп (во всяком случае постольку, по-
поскольку речь идет о конечных группах), видимо, довольно
сильно возрос за период с 1870 по 1914 г. Список учебников в
библиографии Вуссинга [1969] показывает, что этот интерес
носил международный характер. В других областях ситуация
была иной. Например, в тот же период теория полей алгебраи-
алгебраических чисел развивалась в основном на Европейском конти-
континенте в соответствии с тем, что она восходит к Эрнсту Эдуарду
Куммеру A810—1893) и получила мощный стимул с выходом
Zahlbericht Давида Гильберта в 1897 г. Ее приложения к тео-
теории групп были хорошо известны и в Англии, и в Америке,
однако мы уже приводили замечание Бернсайда о том, что до
самого 1911 г. не существовало написанных по-английски учеб-
учебников в этой области. Ситуация в других дисциплинах, напри-
например в алгебраической геометрии, представляется схожей.
Мы не знаем явных примеров непризнания важных работ
по теории групп, хотя можно отметить, что работа Молина
A861—1941) по представлениям конечных групп несправедливо
оставалась в тени по сравнению с работами Бернсайда, Фробе-
ниуса и Шура на ту же тему. Разумеется, невнимание к авто-
авторам имело место и в других областях. В качестве примера
можно упомянуть А. М. Ляпунова A857—1918). То, что его
важная работа по устойчивости движения, вышедшая на рус-
русском языке, осталась незамеченной, понятно. В то время очень
немногие вне России могли прочитать ее. Однако она снова
вышла во Франции под названием Probleme generale de la sta-
bilite de mouvement в журнале Annales de la Faculte des Scien-
Sciences de l'Uni|versite Toulouse, ser. 2, v. 9, p. 203—474, в 1907 г.
и тоже осталась незамеченной людьми, работающими в этой об-
области. Окончательное мировое признание к этой работе при-
пришло лишь после второй мировой войны, когда она в 1947 г.
была перепечатана издательством Принстонского университета
(совместно с издательством Оксфордского университета).
Влияние ведущих математиков на их учеников в рассматри-
рассматриваемый период очень трудно оценить. Несомненно, Феликс
Клейн оказал очень сильное влияние на своих учеников Дика
и Фрике. Хорошо известно также влияние Гильберта на уче-
учеников, хотя некоторые из них, например Дэн, в дальнейшем
отошли от диссертационной тематики. Однако Титце не был уче-
учеником Пуанкаре, хотя его длинной работе 1908 г., безусловно,
дали толчок работы последнего. (Титце получил степень док-
доктора философии в Вене в 1904 г.; его диссертация была посвя-
посвящена функциональным уравнениям, решения которых не могут

ГЛ. I. 9. БИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ 77
удовлетворять никаким алгебраическим дифференциальным
уравнениям.)
По-видимому, можно с уверенностью утверждать, что в те
времена было легче, чем теперь, перейти к работе в новой
области. Это подтверждается тем, что немало известных матема-
математиков, упомянутых в нашем исследовании, выполнили суще-
существенные работы в нескольких областях. Фробениус известен в
основном как алгебраист, однако начинал он как аналитик, и
около трети его работ посвящено анализу. Имеется и много
других примеров такого же рода, и среди них удивительный
пример Диксона, работавшего в теории групп, но тем не менее
успевшего написать монументальную «Историю теории чисел»,
вышедшую в трех томах и насчитывающую более 1600 с. (Ее
и сейчас можно купить, книга переиздана нью-йоркским изда-
издательством Chelsey.) С другой стороны, имеются примеры «хими-
«химически чистых» специалистов; в теории групп они представлены
Миллером A863—1951), 359 работ которого посвящено почти
исключительно теории конечных групп.
В качестве последнего примера упомянем написанную в
1901 г. диссертацию Боя (вошедшую в его работу [1903]).
Она содержит доказательство топологического результата, ныне
известного как теорема Уитни — Грауштейна. Удивительно то,
что руководителем Боя был Давид Гильберт. Гильберт внес
вклад почти во все разделы математики, но топология является
самым заметным исключением. Безусловно, в настоящее время
крайне маловероятно, чтобы научный руководитель предложил
ученику тему в посторонней для себя области. Мы не знаем
других подобных случаев даже в то время.
Мы сознаем, что замечания, приведенные в конце настоящей
главы, составляют довольно обрывочную картину существовав-
существовавшего положения. Мы надеемся добиться большей четкости в
освещении последующего периода.
Глава 1.9
БИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
Эта глава содержит ссылки на некрологи об упомянутых в
настоящей книге математиках, работы которых появились до
1918 г. Если цитируемый некролог содержит библиографию, то
это отмечается. В большинстве случаев библиография в них
отсутствует. В некоторых случаях, в особенности это касается
русских авторов, могут также существовать некрологи с биб-
библиографией, которые мы не смогли обнаружить.
Как правило, упоминаемые некрологи (обычно не содержа-
содержащие полной библиографии) опубликованы в одном из следу-

78 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
ющих трех изданий:
World's Who's Who in Science, First Edition. — Marquis-
Who's Who, 1968.
Publications of Leo Baeck Institute, New York, Yearbook 18.—
Seeker and Warburg, London, 1973. Этот источник содержит
некрологи о немецких математиках еврейского происхождения,
ставших жертвами нацистов в 1933—1945 гг.
J. С. Poggendorff. Biographisch-Literarisches Handworter-
buch. Vol. II—IV. — Johann Ambrosius Barth, Leipzig; Vol. V—
VI.— Verlag Chemie, Berlin; Vol. Vila.— Akademie Verlag, Berlin.
Мы будем обозначать эти источники буквами (W. W.),
(L. В. I.) и (Р.) соответственно.
Бейкер Генри Фредерик (Baker Henry Frederick) A866—1956) (W. W.)
Бернсайд Уильям (Burnside William) A852—1927) (W.W.)
Бибербах Людвиг (Bieberbach Ludwig) A886—?) (W.W.)
Блюменталь Otto (Blumenthal Otto) A876—1944) (L.B.I., с 157)
Бой В. (Boy W.). Мы ничего о нем не знаем (даже его имени), кроме того,
что он был аспирантом Давида Гильберта.
Бьянки Луиджи (Bianchi Luigi) A856—1928) (W.W.)
Вебер Генрих (Weber Heinrich) A842—1913) (W.W.)
Вессьо Э. (Vessiot E.) A864—1933) (P.)
Виртингер В. (Wirtinger W.) A865—1945)
Гамильтон, сэр Уильям Роуэн (Hamilton Sir William Rowan) A805—1865)
(W. W.) Избранные сочинения: The Mathematical papers of Sir William
Rowan Hamilton C volumes), Cambridge University Press, Cambridge
England, 1930—1967; некролог в т. 1, с. IX—XVI.
Гизекинг Хьюго (Gieseking Hugo). Диссертация, 1912 г. Умер во время пер-
первой мировой войны.
Гильберт Давид (Hilbert David) A862—1943) (W.W.) Подробная биография
в кн.: Рид К. Гильберт. — М.: Наука, 1977. Избранные сочинения: David
Hilbert. Gessammelte Abhandlungen, 3 Volumes, Verlag Julius Springer,
Berlin, 1932—1934.
Граве Дмитрий Александрович A863—1939). Биография в кн.: А. П. Юшке-
Юшкевич. История математики в России до 1917 г.—М.: Наука, 1961.
Гурвиц Адольф (Hurwitz Adolf) A859—1919). Биография и избранные сочи-
сочинения в кн.: Mathematische Werke von Adolf Hurwitz, 2 volumes, Birk-
hauser Verlag, Basel, 1932. Некролог, написанный Д. Гильбертом: Nach-
richten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Goettingen, 1920, pp. 1—9.
Диксон Леонард Юджин (Dickson Leonard Eugene) A874—1954) (W. W.)
фон Дик Вальтер (Dyck Walter von) A856—1934)' (W.W.)
Дэн Макс (Dehn Max) A878—1951). Некролог с библиографией в кн.: Маг-
Магнус, Муфанг [1954]. Подробная биография имеется у Зигеля [1965]. Ме-
Мемориальный очерк по случаю столетия со дня рождения в кн.: Магнус
[1978].
Жордан Камилл (Jordan Kamille) A838—1922) (P.)
Кантор Георг Фердинанд Людвиг Филипп (Cantor Georg Ferdinand Ludwig
Philipp) A845—1918) (W.W.)
Кемпбелл Дж. E. (Campbell J. E.) A862—1924) (P.)
Клебш Рудольф Фридрих Альфред (Clebsch Rudolf Friedrich Alfred) (в пуб-
ликаииях A. Clebsch) A833—1872) (W.W.)
Клейн Кристиан Феликс (Klein Christian Felix) (в публикациях Felix Klein
или F. Klein) A849—1925) (W. W.). Библиография в: Felix Klein, Gesam-
melte mathematische Abhandlungen, 3 volumes, Julus Springer, Berlin,
1921—1923
Кэли Артур (Cayley Arthur) A821—1895) (W. W.). Collected papers of Arthur
Cayley, 12 volumes, Cambridge University press, Cambridge, England, 1896.

ГЛ. I. 9. БИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ 79
Лёви Альфред (Loewy Alfred) A873—1935) (L. В. I., с. 170)
Ли Мариус Софус (Lie Marius Sophus) (в публикациях S. Lie или Sophus
Lie) A842—1899) (W. W.) Библиография в: Sophys Lie, Samlede Abhand-
lunger/Gesammelte Abhandlungen, 6 Volumes, H. Ashehoug, Oslo/B. G. Teu-
bner, Leipzig, 1927—1934.
Листинг Иоганн Бенедикт (Listing Johann Benedict) A808—1882) (P.)
Машке (Maschke H.) A853—1908) (P.)
Миллер Джордж Абрам (Miller George Abram) A863—1951) (W. W.) Из-
Избранные сочинения: The Collected Works of George Abram Miller, 4 vo-
volumes, University of Illinois, Urbana, IL, 1935—1955.
Минковский Герман (Minkowski Hermann) A864—1909) (W. W.). Некролог:
D. Hilbert, Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottin-
gen, 1901, p. 1—30. Избранные сочинения: Gesammelte Abhandlungen von
Hermann Minkowski, 2 volumes, Leipzig, 1911. Переиздание: Chelsea Pub-
Publishing Co., New York, 1967.
Нётер Эмми (Noether Emmy) A882—1935) (W. W.) Биография и библио-
библиография в: Auguste Dick, Emmy Noether, Birkhauser Verlag, Basel, 1970.')
Нильсен Якоб (Nielsen Jacob) A890—1959). Некролог с биографией: Werner
Fenchel, Jacob Nielsen in Memoriam, Acta Math. 103, Issue 3—4. pp. VII—
XIX, 1960.
Пик Г. (Pick G.) A859—1943 (?)) (P.)
Пикар Шарль Эмиль (Picard Charles Emile) (в публикациях Е. Picard)
A856—1941) (W.W.)
Пуанкаре Жюль Анри (Poincare Jules Henri) (в публикациях Н. Poincare или
Henri Poincare A854—1912) (W.W.). Том 38 A921 г.) журнала Acta
Mathematica посвящен его памяти. Избранные сочинения: Oeuvres de
Henri Poincare, 11 volumes, Gauthier Villars, Paris, 1928—1956.
Ремак Роберт Эрих (Remak Robert Erich) A888 —ок. 1942) (L.B.I., c. 176)
Риман Бернхард (Riemann Bernhard) A826—1866) (W.W). Биографию и из-
избранные сочинения см. в кн.: Риман [1892] в списке литературы.
де Сегье Ж.-А. (de Seguier J.-A.) A862—1937). Мы не знаем даже его имени.
Имеющаяся у иас информация о том, что он не работал ни в каком учре-
учреждении, и даты взяты из книги Вуссинга [1969].
Титце Генрих (Tietze Heinrich) A880—1964). Некролог, написанный Г. Аума-
ном, см. в: Bayerische Akademie der Wissenschaften, Jahrbuch 1964,
pp. 197—201.
Туэ Аксель (Thue Axel) A863—1922). Некролог и частичная библиография в:
Selected Mathematical Papers of Axel Thue, Universitets Forlaget, Oslo —
Bergen — Troms0, 1977.
Фогт (Vogt H.) (?—?).
Фраттини Г. (Frattini G.) A852—1925) (P.)
Фрике Роберт (Fricke Robert) A861—1930) (P.)
Фробениус Фердинанд Георг (Frobenius Ferdinand Georg) A849—1917) (W.
W.). Собрание сочинений: Ferdinand Georg Frobenius, Gesammelte Ab-
Abhandlungen (ed. J.-P. Serre), Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New
York, 1968.
Хаусдорф Феликс (Hausdorff Felix) A868—1942) (L.B.I., с 165)
Хегор Пауль (Heegaard Poul) A871—?)
Хойер П. (Ноуег Р.). Мы не знаем ни его имени, ни каких-либо дат. В. Га-
шюц сообщил нам, что Хойер был учителем математики.
Шлезингер Людвиг (Schlesinger Ludwig) A864—1933) (P.)
Шмидт Отто Юльевич A891—1956) (W. W.) 2)
1 См. также: Александров П. С. Памяти Эмми Нётер.— УМН 1936,
вып. 2, с. 256—265. — Прим. перев.
2) См. также: Курош А. Г. Отто Юльевнч Шмидт. Некролог. — УМН,
т. 11, вып. 6, 1956, с. 227—233. —Прим. перев.

80 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Шур Исайя (Schur Issai) A875—1941). Биография и избранные сочинения
в: Issai Schur, Gesammelte Abhandlungen, 3 volumes, Springer-Verlag, New
York — Heidelberg — Berlin, 1973.
Юмбер Мари Жорж (Humbert Marie Georges) A859—1921) (W. W.)
Глава 1.10
ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕРМИНОЛОГИИ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯХ
Одна из задач любого исторического обзора — упростить для
читателя обращение к первоисточникам. Поскольку мы имеем
дело со сравнительно недавней историей, это несложная задача,
и мы надеемся, что приводимых ниже замечаний будет доста-
достаточно. Однако тот факт, что речь идет о недавнем времени,
приводит также к своеобразной трудности. Количество необхо-
необходимых нам специальных терминов быстро увеличивается при
приближении к сегодняшнему дню и возникает вопрос, какие из
них нужно определять. Задача осложняется тем, что нам также
необходимы понятия не только из теории групп, но и из других
разделов математики. Во второй части настоящей главы мы
приведем несколько определений и объясним, почему другие
определения мы заменили ссылкой на литературу. Нако-
Наконец, мы объясним некоторые обозначения, использованные в
тексте.
В теории групп, как и в других областях, терминология из-
изменилась с момента, к которому относится начало нашего ис-
исторического обзора. За исключением нескольких случаев, когда
мы цитируем авторов дословно, мы всегда использовали совре-
современную A980 г.) терминологию. К счастью, трудности, возни-
возникающие для современного читателя при чтении более старых
работ из-за изменения терминологии, не настолько велики, по-
поскольку привычка определять термины, входящие в статью,
была в прошлом гораздо более распространена, чем сегодня.
Даже лингвистические трудности у читателей, которым необ-
необходим словарь для чтения на языке, отличном от их родного,
не слишком велики в тех случаях, когда используемые термины
происходят от латинских или греческих корней. Они слегка
возрастают для читателей статей, написанных по-немецки, из-за
реформы в правописании, проведенной в Германии в 1900 г.
Эта реформа во многих случаях заменила букву «с» на букву
«к» и выбросила букву «h» во многих словах с сочетанием «th».
Вдобавок некоторые слова, которые практически в английском,
французском и итальянском одинаковы из-за их общего латин-
латинского корня, выглядят совершенно иначе по-немецки. Мы упо-
упомянем здесь только два примера, которые часто встречаются

ГЛ. 1.10. ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕРМИНОЛОГИИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯХ 81
в теории групп '):
divisor, diviseur, divisore, Teiler (дивизор),
distinguished, distingue, distinto, ausgezeichnet (выделенный).
Единственные термины, часто употребляющиеся в старой
литературе, которые, как нам кажется, требуют разъяснения,—
это термины, соответствующие нынешним словам subgroup
(подгруппа) и normal subgroup (нормальный делитель), а так-
также словам isomorphism (изоморфизм), discrete (дискретный)
и discontinuous (разрывный). Subgroup часто называется
в литературе divisor (дивизором), a normal subgroup — dis-
distinguished (выделенной) или invariant (инвариантной) sub-
subgroup или divisor. Термин isomorphism в старой литературе
означает то, что сейчас называется homomorphism. Когда тре-
требовалось подчеркнуть различие, употреблялись эпитеты holo-
hedral (голоэдральный) или merohedral (мероэдральный). Тер-
Термин isomorphism также иногда используется (например, в книге
Бернсайда [1911]) для обозначения понятия, которое сейчас
называется automorphism (автоморфизм). Термин homomor-
homomorphism появился уже у де Сегье [1904], но у Бернсайда в [1911]
его нет. Он был введен Клейном. Вероятно, наиболее смущаю-
смущающие современного читателя термины — это discrete и disconti-
discontinuous2). Примерно до 1940 г. эти термины в основном приме-
применялись к бесконечным (по большей части счетным) группам,
не являющимся группами Ли (которые тогда назывались «не-
«непрерывными группами»). Однако это употребление не повсе-
повсеместно. Когда рассматривается группа отображений топологи-
топологического (в частности, метрического) пространства на себя, тер-
термин discontinuous почти эквивалентен термину discrete в совре-
современном словоупотреблении, а термин properly discontinuous
использовался в ситуации, в которой сейчас употребляют dis-
discontinuous. Эти замечания применимы по крайней мере к опре-
определениям, данным на с. 61—63 в типичной работе Фрике и
Клейна [1897].
Термин «фундаментальная область дискретной группы G»
всегда обозначает открытое множество в топологическом про-
пространстве S, возможно, с частью границы, такое, что каждая
точка из S является образом по крайней мере одной точки из
фундаментальной области при действии группы G, но G не
') Весь следующий абзац относится в основном к литературе на англий-
английском языке и к английскому оригиналу нашего перевода. Мы сохранили в нем
английскую терминологию, чтобы помочь советскому читателю ориентиро-
ориентироваться в соответствующих статьях. — Прим. перев.
2) В литературе на русском языке имеется традиция (которой мы сле-
следуем и в настоящем издании) употреблять в обоих случаях термин «дискрет-
«дискретный», и последующие замечания имеют отношение только к англоязычной
литературе. — Прим. перев.

82 Ч. 1. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
может отображать никакую точку этого открытого множе-
множества в другую его точку. Образы фундаментальной области
при действии группы G заполняют тогда пространство 5
(или ту его часть, где G дискретна) без пропусков и пере-
перекрытий.
Понятие фундаментальной области является наиболее важ-
важным неэлементарным не теоретико-групповым понятием, появив-
появившимся в гл. I. 1—1.5 и 1.7. Мы не даем определений неэлемен-
неэлементарных понятий, появившихся в гл. 1.6, которая представляет
собой довольно беглый обзор и в качестве такового пред-
представляет интерес только для читателей, которые так или иначе
знакомы с упомянутыми там темами. Однако некоторые из тео-
теоретико-групповых понятий, появившихся в гл 1.6, например по-
понятие нижнего центрального ряда, будут определены в ч. II,
где обсуждается история более поздних периодов. Сейчас мы
дадим только краткие определения специфических понятий ком-
комбинаторной теории групп, появившихся в гл. 1.1—1.5 и 1.8.
Понятия из других областей, встречающиеся в этих главах,
предполагаются известными или же слишком сложны, чтобы
определять их в этой главе. Некоторые из определений можно
найти в указанной литературе.
Задание группы G определяется следующим образом. Пусть
нам дано множество (не обязательно конечное или даже счет-
счетное) пар символов av, а. Конечная последовательность таких
символов называется словом, а число символов в слове назы-
называется его длиной. Пустое слово (не содержащее символов)
обозначается через 1. Если W\, W2 — слова, то их произведением
W\Wi называется слово, получаемое приписыванием второго
слова к первому. Символы av и а называются взаимно обрат-
обратными, и обратное W~l к слову W получается заменой каждого
символа в W на его обратный с последующим обращением
порядка символов. Слова ava~! и a^{av называются тривиаль-
тривиальными определяющими словами. Кроме этих мы можем вы-
выбрать произвольное множество слов R%, которые называются
определяющими словами. Два слова называются эквивалент-
эквивалентными, если их можно перевести друг в друга вставкой пли вы-
вычеркиванием подслов, которые являются определяющими сло-
словами или их обратными. Классы эквивалентности слов образуют
группу G с классом эквивалентности слова 1 в качестве еди-
единицы. Любое конкретное слово W определяет элемент g из G,
а именно класс эквивалентности, к которому принадлежит это
слово. Несколько поступаясь точностью выражения, мы назо-
назовем символы av (а не их классы эквивалентности) порожда-
порождающими группы G и будем писать /?*, = 1 и называть такие ра-
равенства определяющими соотношениями группы G. Список из
порождающих av и определяющих слов Rk называется заданием

ГЛ. I. 10. ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕРМИНОЛОГИИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯХ 83
группы G. Термины «конечно порожденная», «с конечным чис-
числом соотношений» и «конечно заданная» ясны сами по себе.
Группа G называется свободной, если у нее есть задание с
образующими av и пустым множеством (нетривиальных) опреде-
определяющих соотношений. Элементы av называются тогда свобод-
свободными порождающими. Слово называется (свободно) несокра-
несократимым, если оно не содержит подслова, которое было бы три-
тривиальным определяющим словом. Слово называется циклически
несократимым, если, кроме того, его первый и последний сим-
символы не являются обратными друг другу. Число свободных по-
порождающих называется рангом свободной группы.
Свободное произведение двух групп А к В с заданиями av,
Ri и b^Sx может быть определено как группа G с порожда-
порождающими av, 6ц и определяющими соотношениями R9, Sa. (Здесь
R-p являются словами, составленными из букв aV) а Sa — сло-
словами, составленными из букв 6Ц.) Обозначим G через А^В и
заметим, что (очевидным образом) каждый элемент g?= l из G
может быть представлен словом одного из видов
а, р, ар, a^OsPa ... %рк (/?> 2),
где а, ось ..., а* — слова, составленные из букв av, а р, Pi, ...
..., Ря — слова, составленные из букв 6ц, и где а, р, Рь аг, Рг,
а2, ..., а* — слова, которые не определяют единичный элемент
в А или в В. Первая теорема о свободных произведениях (ино-
(иногда называемая теоремой существования свободных произведе-
произведений) утверждает тогда, что ни одно из перечисленных выше
слов не равно единице в G. Эти слова называются в таком
случае нормальными формами элементов, которые они пред-
представляют. Свободная группа является свободным произведе-
произведением бесконечных циклических групп, порожденных различ-
различными порождающими, и ее отличные от единицы элементы
имеют нормальную форму, описываемую предложением 1
гл. 1.2.
Термином группа без кручения обозначается группа, в кото-
которой единица является единственным элементом конечного по-
порядка.
Мы завершим эту главу несколькими замечаниями об ис-
используемых обозначениях. Символы Z, Q, R, ,С означают со-
соответственно целые, рациональные, вещественные и комплекс-
комплексные числа. Символы GL(n,R), SL(n,R) и PSL(n,R) означают
группу невырожденных пХ «-матриц (полную линейную груп-
группу), группу пХ^-матриц с определителем, равным + 1 (специ-
(специальная линейная группа), и проективную специальную линей-
линейную группу над (коммутативной) областью целостности R с
единицей. Симплектическая линейная группа Bга X 2га) -матриц
с элементами из R обозначается через SpBn,R).

84 Ч. I. НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
Глава I. 11
источники
Многие из статей, опубликованных до 1918 г. и перечислен-
перечисленных в нашей библиографии, цитируются также в работе Вус-
синга [1969], озаглавленной «Происхождение понятия абстракт-
абстрактной группы». Хотя кажется, что тема этой книги довольно огра-
ограничена, книга Вуссинга насчитывает 258 с. и дает 747 ссылок.
В ней перечисляется довольно большое число случаев, когда в
разнообразных математических дисциплинах понятие группы
оказалось важным, и анализируется воздействие этих дисцип-
дисциплин на развитие понятия группы. По отношению к указанной
теме книга Вуссинга является почти совершенным и полным
обзором фактов, которые можно было бы только надеяться
найти в соответствующей главе истории математики.
Мы не можем претендовать на такую же степень полноты
в нашем обзоре. Одна из причин этого уже упоминалась в
гл. I. 1. Пути, по которым передавались идеи и результаты,
в рассматриваемый нами период обычно не документировались.
Но даже наш отчет о фактах, т. е. опубликованных результа-
результатах, может иметь пробелы. Основная причина этого в необозри-
необозримости того объема материала, который необходимо было бы
обработать. За период с 1882 по 1918 г. было опубликовано не-
несколько тысяч статей по теории групп, и в гл. 1.8 мы уже ука-
указывали, что даже статьи, перечисленные в разделах по теории
групп в журнале Fortschritte der Mathematik, не содержат всю
необходимую информацию. И поскольку мы, конечно, не чи-
читали и не могли прочесть все эти математические статьи,- то по
крайней мере постараемся описать кратко, что же мы факти-
фактически сделали.
Мы буквально следовали совету, данному Эмми Нётер Маг-
Магнусу в 1934 г., когда он согласился написать заметку по «об-
«общей теории групп», т. е. теории групп, за исключением теории
групп Ли, теории представлений групп и линейных групп, для
второго издания «Немецкой энциклопедии математических
наук» (Магнус [1939]). Она сказала: «Напишите все, что Вы
знаете. Затем просмотрите литературу и расширьте». Результат
такого просмотра и надо отразить. В то время Магнус прочел
все рефераты в Fortschritte der Mathematik по теории групп до
1936 г. После этого встал вопрос: что важно? Такой же вопрос
встал, конечно, и при написании настоящей книги, но в нашем
случае проблема была даже более трудной, поскольку нас инте-
интересовали связи между работами, в чем старые рефераты дают
еще меньше помощи, чем при регистрации фактов (т. е. тео-
теорем). Поэтому мы начали с ясных и хорошо известных статей

ГЛ. I. 11. ИСТОЧНИКИ 85-
Дика, Титце и Дэна, важных монографий Фрике и Клейна,.
Бернсайда и де Сегье, энциклопедических обзоров, включая об-
обзор Миллера и, конечно, книги Вуссинга. Мы также пользова-
пользовались собраниями сочинений Фробениуса, Шура, Минковскоп*
и Гурвица — особенно добросовестного автора по части ссылок.
Мы хотим выразить благодарность за ценные советы и инфор-
информацию, полученные нами от коллег, интересующихся историей.
Все это не гарантирует полноты. Но мы надеемся, что нам
удалось зафиксировать по крайней мере по одному примеру
для каждого типичного явления в области передачи идей и
упомянуть основные теоремы, открытые до 1918 г. в нашей
области.

Часть II
СТАНОВЛЕНИЕ
КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
КАК НЕЗАВИСИМОЙ ОБЛАСТИ
Глава II. 1
ВВЕДЕНИЕ В ЧАСТЬ II
Эта часть нашей книги в основном имеет дело с достиже-
достижениями в период с 1918 по1945 г., т. е. с конца первой мировой
войны до конца второй мировой войны. Причины выбора этих
.дат связаны не только с уменьшением числа математических
исследований во время этих войн. Начиная со статей Ниль-
Нильсена, т. е. с 1918 г., исследовались и решались такие задачи
комбинаторной теории групп, которые не были связаны непо-
непосредственно с проблемами из топологии или какой-либо другой
области. Это не значило, что проблемы такого типа перестали
•стимулировать комбинаторную теорию групп. Но теперь эта
область начала ставить свои собственные задачи и развивать
собственные методы, причем в этом развитии участвовало но-
новое поколение авторов. В годы, последовавшие за 1945 годом,
описываемое явление также имело место, но в гораздо менее
выраженной форме. Основное же изменение, которое произошло
после 1945 г., состояло в сильном увеличении скорости роста ли-
литературы. В настоящее время комбинаторная теория групп иг-
играет важную роль во всех разделах теории бесконечных групп,
за исключением теории групп Ли и абелевых групп. Если вклю-
включить и последние, то литература, прореферированная в журнале
Mathematical Reviews за период с 1940 по 1970 г., составит
4563 публикации. Баумслаг в [1974] расклассифицировал эти
рефераты по 24 главам и 264 параграфам и дополнил класси-
классификацию перекрестными ссылками. Общий объем этой двух-
двухтомной работы — более 1000 страниц. Очевидно, никакое исто-
историческое сочинение не может полностью покрыть такое количе-
количество материала, и сейчас мы остановимся на нашем подходе
к выбору тем для ч. II нашей книги.
Для периода с 1918 по 1937 г. мы выбрали семь тем, отве-
отвечающих наиболее важным результатам этого периода. Соответ-
Соответствующие семь глав идут в хронологическом порядке в соот-
соответствии с моментом выхода первых работ по данной теме.
Остальной материал внутри глав располагается в соответствии
•с ходом развития исследований. В прослеживании этого разви-
развития и цитировании литературы мы старались исходить из со-

ГЛ. 11.2. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ 87"
обряжений целесообразности. Мы старались избегать форму-
формулировок слишком громоздких результатов и ссылаемся во всех
случаях на обзоры и монографии, покрывающие более позднюю1
литературу. Хотя число статей, опубликованных за двадцати-
двадцатилетие с 1918 по 1937 г., еще не столь велико, мы даже не ста-
старались упомянуть их все. Некоторые из них, относящиеся к
специальным классам групп (например, к группам, порожден-
порожденным отражениями, и группам кос), упоминаются позже, в
гл. II. 10. Там, а также в гл. П.9 мы бегло упоминаем сравни-
сравнительно большое число тем, возникших до 1950 г. За одним
исключением, мы не касаемся направлений в исследованиях,
возникших после 1950 г. Этим исключением является внедрение
математической логики в теорию групп. Ему посвящена гл. II. 11.
В этой главе, как и в упомянутых семи главах (П. 2—II. 8), мы
старались объяснить причины выделения рассматриваемых там
отдельных тем.
Конечно, необходимость отбора лишь части материала, от-
относящегося к периоду после 1918 г., неизбежно привела к тому,
что на содержании нашей книги отразились личные вкусы ее
авторов. То же относится и к отбору цитируемой литературы.
Разумеется, здесь возможны улучшения, и мы приносим изви-
извинения за возможные существенные упущения. Однако мы не
считали необходимым осветить сколько-нибудь систематическим
образом всю литературу после 1950 г. Статьи, которые появи-
появились после этой даты, во многих случаях цитируются просто
для иллюстрации.
Объем предварительных знаний, необходимых для ч. II, не-
несколько больше, чем для ч. I. Хотя мы и даем определения
терминов, относящихся к комбинаторной теории групп, но пред-
предполагаем знание основных понятий алгебры. Мы старались све-
свести к минимуму число и сложность формул и предпочитаем
теоремы, которые могут быть сформулированы просто.
Главы 11.12—11.14 являются аналогами гл. 1.8. Здесь мы
имеем дело не с математикой как таковой, а с процессом раз-
развития математики. То, что мы предлагаем читателю, не явля-
является систематическим исследованием, а представляет собой на-
набор наблюдений, проиллюстрированных примерами из нашей:
специальной области.
Глава II. 2
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ
Большая часть этой главы будет посвящена изложению ре-
результатов, полученных Нильсеном A890—1959) в основном в
период с 1917 по 1924 г. Кроме того, мы используем его статьи:
для распределения материала, давая после каждой из них на-
набросок более поздних исследований, связанных с этой статьей..

38 Ч. 11. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Замечание в гл. II. 1 о разрушительном воздействии первой
мировой войны может быть проиллюстрировано датами публи-
публикаций статей Нильсена. В гл. I. б мы упоминали диссертацию
Нильсена. Она появилась в 1913 г. Нильсен имел германское
гражданство и был в том же году призван в германский флот.
(По национальности он был датчанином и стал гражданином
„Дании после 1920 г., когда место его рождения вернулось к
Дании, утратившей его в 1866 г.) Он прослужил в армии до
1918 г. и только благодаря особым обстоятельствам сумел опуб-
опубликовать за это время две статьи, датированные 1917 и 1918 гг.
(Подробную биографию Нильсена см. у Фенхеля в ;[1960].)
Даже внешний вид публикаций 1917 г. отражает влияние войны.
Бумага со временем пожелтела и стала ломкой, в то время как
•бумага более ранних томов того же журнала Mathematische
Annalen и теперь еще в достаточно хорошем состоянии. Тома
журнала, публиковавшиеся в эти годы, гораздо тоньше опубли-
опубликованных ранее или позднее.
Название статьи Нильсена 1917 г. содержит устаревшие
термины. Его буквальный перевод: «Изоморфизмы общей бес-
бесконечной группы с двумя порождающими». Сегодня мы бы на-
написали так: «Автоморфизмы свободной группы с двумя сво-
свободными порождающими».
Нильсен сам объясняет мотивы опубликования своей статьи.
Это — продолжение второй части его диссертации [1913] (крат-
(кратко упомянутой в гл. 1.6). В ней Нильсен исследовал неподвиж-
неподвижные точки топологических отображений тора на себя. Классы
топологически эквивалентных отображений образуют группу
(группу классов отображений), которая в этом случае изо-
изоморфна группе автоморфизмов фундаментальной группы то-
тора— свободной абелевой группы ранга 2. Нильсен [1917] пока-
показывает, что в случае тора, из которого вырезан небольшой круг,
группа классов отображений изоморфна группе классов авто-
автоморфизмов (т. е. факторгруппе группы всех автоморфизмов по
подгруппе внутренних автоморфизмов) свободной группы F2
ранга 2. Конечно, F2 является фундаментальной группой тора,
ш которого удален круг. Важность этой работы определяется
не столько ее топологическим, сколько теоретико-групповым со-
содержанием. Методы, введенные Нильсеном, заслуживают не
меньшего внимания, чем его результаты.
Два основных результата, полученные Нильсеном [1917],
можно сформулировать следующим образом (лишь слегка из-
изменив его собственные формулировки):
Теорема N1. Пусть со— автоморфизм свободной группы F2
,с двумя свободными порождающими а,Ъ. Пусть а, Р — образы
.элементов а и Ь соответственно при действии автоморфизма со.
Для любого слова W, составленного из букв а,Ь, пусть sa(W)

ГЛ. II. 2. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ 89-
u Sb{W)—сумма показателей в W букв а и Ъ соответственно.
Тогда определитель матрицы
„_
равен +1, и любая такая матрица определяет в точности один.
класс автоморфизмов (класс смежности по подгруппе внутрен-
внутренних автоморфизмов в группе всех автоморфизмов) группы F2.
Теорема N2. Элементы а, |3 из F2 являются образами эле-
элементов а, Ь при действии автоморфизма группы F2 тогда и
только тогда, когда
в F2, где Т — некоторый элемент из F2.
В подстрочном примечании Нильсен отметил, что теорема N2:
принадлежит Максу Дэну, но что Дэн дал другое доказатель-
доказательство, которое, однако, никогда не было опубликовано и не было
найдено в записках, оставшихся после Дэна. (Рукописи Дэна
невозможно полностью расшифровать, поскольку они слишком
отрывочны или написаны скорописью.)
Нильсеновское доказательство теоремы N1 основано на до-
доказательстве того факта, что группа автоморфизмов группы F2
порождается очевидными автоморфизмами, которые либо пере-
переставляют порождающие, либо переводят один из них в обрат-
обратный или в произведение с другим порождающим. Чтобы это
доказать, Нильсен использует соображения, связанные с сокра-
сокращением слов. Пусть а есть слово W(a, |3) в алфавите {а, |3, сс~',
Р}. Если заменить в W(a, Р) элементы а и (или) р соответ-
соответствующими словами в алфавите {а, Ъ, а~х, Ь~1}, содержащими'
более одного символа, то в результате произойдет достаточно
большое число сокращений. Отметим здесь, что Нильсен рас-
рассматривает решение проблемы распознавания равенства в сво-
свободных группах как нечто очевидное: если в слове W(a,b) мы
выкинем все подслова вида aa~l, a~xa, bb~\ Ъ~ХЪ и повторим:
этот процесс снова и снова, то через конечное число шагов
получится слово W, в котором такие сокращения невозможны.
Слово W называется свободно несократимым, и различные сво-
свободно несократимые слова находятся во взаимно однозначном
соответствии с различными элементами свободной группы. (Пер-
(Первое доказательство этой теоремы было опубликовано Шрейером
[1927а]. Конечно, оно верно при подходящем обобщении для
свободных групп с произвольным числом порождающих.)
Доказательство теоремы N2 использует идею сокращения
того же типа, что и доказательство теоремы N1. Конечно^,

:90 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
когда известны порождающие группы автоморфизмов, часть тео-
теоремы N2, относящаяся к достаточности, очевидна.
Следующая статья Нильсена [1918] устанавливает, что груп-
группа автоморфизмов свободной группы Fn с п свободными порож-
порождающими также порождается очевидными автоморфизмами.
Эти автоморфизмы или переставляют порождающие, или, остав-
оставляя все порождающие, кроме одного, на месте, отображают
оставшийся порождающий либо в обратный к нему, либо в его
произведение с другим порождающим. На самом деле этот ре-
результат и его алгебраическое доказательство имелись уже у
Фогта в [1889, с. 17—20]. Однако сравнение текста Фогта с
текстом Нильсена ясно показывает, что в рассуждении Фогта
имеется пробел. Между прочим, Фогт замечает, что Стуфф
[1888] уже доказал этот результат, используя геометрические
рассуждения и теорию дискретных подгрупп группы SL{2,C).
Фрике и Клейн [1897], [1912] неявно используют тот же резуль-
результат. Все же доказательство Нильсена, безусловно, является пер-
ным полным алгебраическим доказательством, а геометрические
доказательства не были достаточно строгими.
Следует отметить, что статья Нильсена 1918 г. уже не со-
содержит прямых топологических мотивировок. Она явно важна
с теоретико-групповой точки зрения, во-первых, в силу важности
свободных групп (ведь каждая группа является фактор-
факторгруппой свободной группы) и, во-вторых, поскольку автомор-
автоморфизмы группы Fn определяют для каждой группы с п порож-
порождающими все возможные переходы от одного набора порожда-
порождающих к другому. Однако для п > 2 полная группа автомор-
автоморфизмов группы Fn не имеет того значения для топологических
отображений на себя двумерного многообразия с группой Fn
в качестве фундаментальной группы, которое она имеет в слу-
случае п = 2. При я>2 существуют автоморфизмы группы Fn,
которые не индуцируются топологическими отображениями
многообразия на себя.
Следующая статья Нильсена по теории групп появилась в
1921 г. (В списке его публикаций она имеет номер 8. Статьи,
написанные в промежутке, посвящены задачам механики и не-
неподвижным точкам топологических отображений двумерных
многообразий на себя.) Статья называется «О вычислениях с
некоммутирующими сомножителями и приложениях к теории
групп» (она написана по-датски). В ней Нильсен совершен-
совершенствует развитые в его работах 1917—1918 гг. методы, чтобы
исследовать конечно порожденные подгруппы свободных групп;
здесь он впервые использует этот термин в опубликованной ра-
работе. (Термин был введен Дэном.) Вкратце результаты Ниль-
Нильсена из [1921] можно резюмировать следующим образом:
Пусть Fn — свободная группа со свободными порождающими
му, v = 1, 2, ..., п. Пусть g-ц, ц = 1, • • •, т, — любые т элемен-

ГЛ. И. 2. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ 91
тов из Fn, заданные как свободно несократимые слова в алфа-
алфавите из букв av. Слова g^ порождают подгруппу G группы Fn-
Мы можем получить для группы G новую систему порождаю-
порождающих, применяя конечное число раз преобразования слов gn, ко-
которые Нильсен использовал при построении автоморфизмов сво-
свободной группы, т. е. перестановки слов gn или замены одного
из gn на обратное или на g^gp, где р ф ц. Такие преобразова-
преобразования называются элементарными преобразованиями Нильсена,
а общие преобразования Нильсена—это композиции конечного
числа элементарных преобразований. Пусть L — полное число,
вхождений символов a±l в слова gn из данного множества.
Тогда L называется длиной этого множества. Нильсен дает
простой алгоритм, отдельные шаги которого состоят из элемен-
элементарных преобразований Нильсена и последующих свободных,
сокращений. Шаги эти выбираются так, что ни один из них не
увеличивает длину рассматриваемого множества слов, и после
конечного числа шагов мы приходим к множеству слов g'
имеющему минимальную длину. Это множество удовлетворяет
некоторым эффективно проверяемым условиям, в современной
терминологии — оно нильсеновски приведенное. Некоторые из
элементов g' могут быть пустыми словами, т. е. единицей груп-
группы. Остальные, как показал Нильсен, будут «независимы», т. е.
они будут свободными порождающими свободной группы.
Из этих результатов вытекают два следствия. Одно из них
состоит в том, что конечно порожденная подгруппа свободной;
группы также свободна. Дэн в разговоре с Магнусом упомянул,,
что он давно вывел этот результат геометрически, исходя из
того, что связный подграф дерева (которое является графом
свободной группы) также есть дерево. Однако статья Нильсена,,
конечно, содержит первое алгебраическое доказательство этой
теоремы, а также очень важный алгоритм.
Другое следствие результатов Нильсена состоит в том, что
конечно порожденная свободная группа не может быть изоморф-
изоморфна своей собственной факторгруппе, т. е. гомоморфное отобра-
отображение группы Fn на Fn всегда имеет тривиальное ядро. Это
было замечено Федерером и йонссоном [1950, с. 10]. Действи-
Действительно, если гомоморфизм т) отображает порождающие ау на
элементы gv группы Fn, то множество всех слов gv с помощью
преобразований Нильсена можно перевести в нильсеновски
приведенное множество. Число элементов в этом множестве
снова должно быть равно п, поскольку, факторизуя по комму-
коммутанту, легко показать, что группа, изоморфная группе Fn, не
может иметь меньше чем п порождающих. С другой стороны,
Нильсен показал, что элементы g'v из приведенного множества
не могут удовлетворять никакому нетривиальному соотноше-
соотношению, т. е. что слово W(g'), составленное из элементов g^r.

<92 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
может быть равно пустому слову в Fn, только если оно может
быть переведено в 1 сокращениями подслов gvgv~l и g'y~lgy.
Это доказывает, что Fn не может быть изоморфна никакой
своей собственной факторгруппе. Последнее свойство осмыс-
осмысленно для любой группы и в настоящее время называется хоп-
фовостью в честь Хопфа. Основание для этого следующее.
В двух статьях [1930] и [1931] Хопф исследовал отобра-
отображения одного двумерного многообразия в другое. Эти ото-
отображения индуцируют также гомоморфизмы фундаментальной
группы первого многообразия на фундаментальную группу его
образа, и Хопф топологическими методами показал, что эти
группы в самом деле не могут быть изоморфны никакой своей
собственной факторгруппе. Простейший случай — это тот, в
котором рассматриваемая фундаментальная группа свободна
(и, разумеется, конечного ранга), и удивительно, что в течение
30 лет никто (по-видимому, даже сам Нильсен) не заметил, что
Нильсен уже дал алгебраическое (и более простое, чем топо-
топологическое доказательство Хопфа) доказательство того факта,
что свободные группы конечного ранга хопфовы, за десять лет
до того, как Хопф поставил свой вопрос.
Хопф, конечно, понимал, что его проблема имеет общую при-
природу, и в разговорах спрашивал, существует ли конечно порож-
порожденная, в частности конечно заданная, группа, которая может
¦быть изоморфна некоторой своей собственной факторгруппе.
(Для бесконечно порожденных групп такие примеры найти лег-
легко.) Б. Нейман сообщил об этом вопросе Магнусу, и Магнус
в [1935] для случая свободных групп дал алгебраическое дока-
доказательство, сильно отличавшееся от доказательства Нильсена.
Это, кажется, первый случай, когда задача Хопфа была явно
•сформулирована в печати. Некоторые результаты, связанные с
этой задачей, будут описаны в гл. П. 5 и II. 10.
Нильсен вернулся к автоморфизмам свободных групп в двух
¦статьях [1924а] и [1924b]. Первая из них очень трудна для по-
понимания. В ней Нильсен находит конечные задания групп A(Fn)
^автоморфизмов свободных групп Fn для п ^ 3. (Случай п — 2
прост, и соответствующее задание содержится в статье Нильсена
[1917].) Поскольку порождающие группы A(Fn) были найдены
раньше (Нильсен [1918]), задача решается построением един-
единственной нормальной формы для произвольного автоморфизма
¦а как слова в таких порождающих (где, конечно, а может быть
.^словом произвольно большой длины) и последовательным пере-
перечислением множества соотношений, которых достаточно, чтобы
привести каждое слово к нормальной форме. Проведенный Маг-
Магнусом в 1970 г. выборочный опрос показал, что через десять лет
после смерти Нильсена в 1959 г. среди опрошенных математиков
не было ни одного, который разобрался бы в статье Нильсена
шли был бы в состоянии вывести его результат.

ГЛ. 11.2. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ 93
Положение существенно изменилось с появлением трех ста-
статей Маккула [1974], [1975а], [1975b]. В первой из этих работ
Маккул использовал новый метод, чтобы получить конечное за-
задание для A(Fn), которое, как он затем показал в [1975а], экви-
эквивалентно заданию, найденному Нильсеном. Наконец, Маккул
[1975b] доказал следующую очень общую теорему.
Пусть W\, ..., Wm — любое конечное число циклически запи-
записанных слов в порождающих группы Fn- Тогда подгруппа группы
A(Fn), сохраняющая каждое из этих слов, имеет конечное зада-
задание и существует эффективный алгоритм для построения такого
¦задания.
Интересно отметить, что Маккул использует методы, разви-
развитые Хиггинсом и Линдоном в [1962] и [1974], относящиеся, в
свою очередь, к другой проблеме, возникшей из работы Ниль-
Нильсена по группам автоморфизмов свободных групп и впервые ре-
решенной Уайтхедом в [1936а], [1936b]. Пусть IF,, ..., Wt и
W[, ..., W't — два конечных множества циклически записанных
слов в свободных порождающих свободной группы Fn, где
л <с оо. Тогда Уайтхед дает явный алгоритм, позволяющий ре-
решать за конечное (и даже оцениваемое) число шагов, будут ли
эти два множества переводиться друг в друга каким-либо авто-
автоморфизмом группы Fn. Статья Уайтхеда использует сложные то-
лологические рассуждения. В работе Хиггинса и Линдона [1974]
применяются более простые идеи, основанные на теории графов.
Их доказательство было упрощено Хором в работе [1979], где
получено также упрощение доказательства теоремы Маккула.
Чисто алгебраическое доказательство этой теоремы было полу-
получено Рапапорт в [1958]. Мы не будем стараться описать ме-
методы, которые здесь использовались, или давать полный список
ссылок. Все это можно найти у Линдона и Шуппа [1977,
с. 40—69].
Статья Нильсена [1924b] появилась почти одновременно с
«го работой [1924а], но написана позднее и использует [1924а].
Последние два ее параграфа ясно показывают, что побудитель-
побудительной причиной для этой работы был вопрос о структуре группы
автоморфизмов A(Fn) при п > 2, хотя основная тема статьи —
это вывод конечного задания для группы GLC, Z) CX3)-мат-
CX3)-матриц с элементами из кольца целых чисел и определителем ±1.
Эту группу можно описать как группу автоморфизмов свободной
абелевой группы ранга 3 или, как это видно из заглавия статьи
Нильсена, как группу аффинных преобразований трехмерного
евклидова пространства, которые отображают кубическую ре-
решетку на себя, сохраняя одну неподвижную точку. Легко ви-
видеть, что это факторгруппа Л(Р3)//С3, где Д означает подгруппу

94 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
в Л(/7з), состоящую из автоморфизмов, сохраняющих смежные
классы Fa по коммутанту F's. Один из результатов Нильсена
гласит, что Кз порождается элементами, сопряженными (вЛ(/73))
с одним автоморфизмом, который Нильсен выписывает явно. Его
доказательство состоит в том, что, как он устанавливает,
GL C, Z) получается добавлением еще одного определяющего
соотношения к заданию группы A(F3), которое Нильсен нашел
в [1924а].
Основная часть статьи Нильсена [1924b] посвящена отыска-
отысканию конечного задания группы GLC, Z). Существование такого
задания непосредственно вытекает из работы Минковского
[1905]. Там Минковский показывает, что GZ,C, Z) действует
как дискретная группа аффинных преобразований на части
евклидова пространства (вещественной) размерности 6, образо-
образованной наборами коэффициентов положительно определенных
квадратичных форм от трех переменных, и доказывает, что
GL C, Z) имеет фундаментальную область, представляющую со-
собой выпуклый конус, ограниченный конечным числом гиперпло-
гиперплоскостей. Кроме того, Минковский показывает, что, за исключе-
исключением вершины этого конуса, любая точка его границы может
принадлежать границам только конечного числа образов этого
конуса, полученных при действии группы GLC, Z).
Тем не менее использование этих соображений для получения
в явном виде задания группы GLC, Z) представляется тяжелой
задачей, и действительно Нильсен выбрал другой способ, никак
не использующий результатов Минковского, хотя он вряд ли мог
не знать о его работе. Как и Минковский, Нильсен использует
геометрический язык, но его доказательство чисто алгебраиче-
алгебраическое. Пусть М — матрица из GZ,C, Z) и а(М)—сумма квадра-
квадратов элементов этой матрицы. Матрицы из ортогональной под-
подгруппы О3 группы GLC, Z) характеризуются тем, что ст(М) = 3.
Нильсен использует множество порождающих группы О3 в каче-
качестве части своего множества порождающих для группы GLC, Z).
К этим порождающим он добавляет трансвекции, которые опре-
определяются как матрицы с матричными элементами +1 по глав-
главной диагонали и единственным ненулевым элементом, равным^
+ 1, вне нее. Затем он доказывает следующую лемму:
Каждый элемент из GLC, Z) может быть записан в виде
cofjo •¦¦ fn (*У
где (о^О3 и /р, р = 1, ..., г, — трансвекции или обратные к
ним и где для р = 1, ..., г — 1
<*(fjp+i ¦¦¦ fr>><*(/p+i ---fr)- (**>
Теперь можно построить множество соотношений в этих по-
порождающих, задающее группу GLC, Z). Для этого нужно взять

ГЛ. II. 2. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ 95
множество определяющих соотношений для О3 и, кроме того,
множество соотношений, достаточных для того, чтобы привести
произведение любого элемента вида (*) и порождающего или
обратного к нему снова к такому же виду (возможно, изменив
значение индекса г, но сохранив неравенства (**)). Вычисления,
необходимые для осуществления этой программы, нелегки и
сперва проделываются для гораздо более простого случая груп-
группы GLB, Z). Получающееся задание Нильсен затем упрощает.
Мы привели так много деталей из статьи Нильсена, потому
что она иллюстрирует важный метод в сравнительно простом
случае. Нильсен [1924b] не занимался случаем GL(n, Z) при
п > 3. Однако Магнус [1934а] показал, что случай п = 3, в
-сущности, критический. Его нельзя непосредственно свести к
случаю п = 2, в то время как случай п ^ 4 непосредственно и
очень просто сводится к случаю п = 3. Гораздо позже было
обнаружено, что и сама структура группы GLB, Z) очень отли-
отличается от структуры групп GL(n, Z) при п ^ 3. В то время как
GLB, Z) содержит бесконечно много нормальных делителей
•бесконечного индекса и одновременно бесконечного порядка,
Меннике в [1965] и Басе, Милнор и Серр в [1967] показали, что
в GL(n,Z) при п>2 таких подгрупп не существует. Как бы
тс ни было, этот результат не имеет отношения к заданиям групп
определяющими соотношениями. Пока что мы не можем, начав
с подходящего задания, строить бесконечные группы, в которых
каждый бесконечный нормальный делитель имеет конечный ин-
индекс, если не предполагать наличия бесконечного абелева нор-
нормального делителя.
Магнус в [1934а] также доказал, что ядро Кп естественного
гомоморфизма A(Fn) на GL(n,Z) порождено сопряженными
элементами к одному элементу, и вдобавок явно предъявил ко-
конечное число порождающих для Кп при всех п. Следующая
статья, в которой давалась информация о структуре группы
A(Fn), — статья Баумслага [1963] — содержала общую теорему,
утверждающую, что группы автоморфизмов конечно порожден-
порожденных финитно аппроксимируемых групп сами финитно аппрокси-
аппроксимируемы. Это доказывает, что группа A(Fn) финитно аппрокси-
аппроксимируема. Согласно Гроссману [1974], финитно аппроксимируема
и факторгруппа группы А (р„) по подгруппе внутренних авто-
автоморфизмов. Действие группы Кп на пополняющем идеале груп-
группового кольца группы Fn показывает, что Кп — нильпотентно ап-
аппроксимируемая группа без кручения. Относительно этого и не-
нескольких смежных результатов см. Магнус [1980]. При п ^2
не известно никакого конечномерного матричного представления
труппы A(Fn), и имеются соображения в пользу того, что их
и не существует, см. Магнус и Треткофф [1980].
Замечательно, что группы, о которых, по крайней мере при
л > 2, сравнительно мало известно, являются, как можно пока-

96 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
зать, полными, т. е. имеют тривиальный центр и не имеют ника-
никаких автоморфизмов, кроме внутренних. Это было доказано для
всех A(Fn) Дайером и Форманеком [1975]. Для конечных под-
подгрупп G группы A(Fn) Дайер и Скотт [1975] доказали, что эле-
элементы из Fn, которые отображаются на себя под действием
группы G, образуют свободный сомножитель в группе Fn.
Статьи, посвященные группам A(Fn) и опубликованные после
1934 г., используют множество методов и результатов, большая
часть которых не была доступна Нильсену в 1924 г. Здесь мы
не можем входить в детали и должны отослать за информацией
к Линдону и Шуппу [1976]. Но мы хотели бы отметить, что
история теории групп A(Fn) иллюстрирует тот факт, что даже
в теории бесконечных групп существуют специальные группы,
определенные из чисто алгебраических соображений, которые
привлекают внимание исследователей в течение долгого вре-
времени, несмотря на перерывы в несколько десятилетий в публи-
публикациях статей, которые им посвящены. В гл. II. 10, посвященной
группам классов отображений, мы встретим другие специальные
группы, которые были предметом исследований в течение еще
более долгого времени. Но те группы представляют непосред-
непосредственный топологический интерес. Аналогично некоторые линей-
линейные группы, в частности группы SL(n,Z), важны для теории
чисел, в то время как группы A (Fn) интересны сами по себе
(в противоположность некоторым из своих подгрупп) в основ-
основном в связи с преобразованиями Нильсена, которые играют все
более важную роль, например, в теории групп с одним соотно-
соотношением. Похоже, что не известно ни одного топологического
пространства с фундаментальной группой Fn, такого, что его то-
топологические отображения на себя индуцируют полную группу
внешних автоморфизмов группы Fn, если п ^ 3.
В своей последней работе [1955] Нильсен снова вернулся к
проблеме нахождения свободных порождающих для подгруппы
S свободной группы Fn. В статье Нильсена [1921] было пока-
показано, как явно построить конечное число свободных порождаю-
порождающих группы S, заданной конечным числом порождающих av
(v = 1, ..., п), которые являются словами в порождающих
группы Fn. Теперь, в 1955 г., Нильсен применяет свой метод к
случаю, когда множество элементов av бесконечно. Нильсен, ра-
разумеется, знал, что Шрейер [1927а] доказал, что S является
свободной группой даже в этом случае, и он также упоминает
более поздние статьи Леви [1930], Холла и Радо [1948], Холла
[1949а] и Федерера и Йонссона [1950], которые посвящены той
же проблеме или связанным с ней вопросам. Но очевидно, что
побудительной причиной для статьи Нильсена служила пробле-
проблема распознавания равенства. Он замечает, что ядро К гомомор-
гомоморфизма свободной группы F на группу G состоит из нормального
делителя группы F, порожденного элементами, сопряженными

ГЛ. II. 2. СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ АВТОМОРФИЗМЫ 97
к определяющим словам из задания группы G. Проблема рас-
распознавания равенства для G эквивалентна проблеме выяснения
по данному элементу группы F, принадлежит ли он подгруппе К-
Процитируем теперь Нильсена (с небольшим изменением обо-
обозначений) :
«Если группа К определена данным бесконечным связанным или несвя-
несвязанным множеством элементов
5: аь а2, ..., (*)
порождающим К, то существует функция L(l), такая, что все элементы из К
длины, не превосходящей /, содержатся в подгруппе Kl, порожденной частью
«ь .. •, a.L множества (») и для Kl базис можно построить за конечное число
шагов. Однако зависимость функции L or l нельзя, вообще, говоря, опреде-
определить до тех пор, пока из структуры множества S мы не извлечем некоторую
дополнительную информацию. Поэтому лишь для конечно порожденных групп
К совпадение их элементов может быть безусловно установлено за конечное
число шагов.»
Уместно упомянуть, что неразрешимость проблемы распозна-
распознавания равенства даже для некоторых конечно заданных групп
была доказана П. С. Новиковым в [1955] и Буном в [1954—
1957] примерно в тоже время, когда появилась статья Нильсена.
Менее существенный — логический — аспект теоремы о под-
подгруппах для свободных групп состоит в том, что она справедли-
справедлива при любых мощностях группы и ее подгрупп. Большая часть
комбинаторной теории групп работает со счетными группами,
хотя, как любил отмечать в разговорах Дэн, нет никакой при-
причины, почему понятие задания должно быть применимо лишь к
счетным группам, в то время как задания легко строятся для
некоторых групп Ли. Но Леви [1930] был первым, кто заметил,
что даже в случае теоремы о подгруппах для свободных групп
с бесконечным числом порождающих доказательство того, что
каждая их подгруппа свободна, требует полного упорядочения
порождающих. Похоже, что этому вопросу не уделялось доста-
достаточно внимания, но он упоминается, например, Федерером и
йонссоном [1950], которые предполагают, что группа вполне
упорядочена и это упорядочение согласовано с длинами слов,
представляющих ее порождающие.
В принципе большая часть проблем комбинаторной теории
групп может быть переформулирована в виде проблем, касаю-
касающихся свободных групп. Конечно, нет смысла делать это всегда.
Однако заголовок статьи Нильсена [1921] «Вычисления с не-
коммутирующими сомножителями» (Regnig med ikke kommuta-
tive Factorer) описывает исключительно ценную технику, важ-
важность которой сохраняется и сейчас. Добавим, что работы Ниль-
Нильсена, вероятно, помогли осознать важность других «свободных»
алгебраических структур, например свободных ассоциативных
колец и колец Ли.

98 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Здесь мы не можем дать полную оценку работ Нильсена и
вернемся к ним в гл. II. 10. Но кроме технических подробностей,
нам нечего добавить к некрологу, написанному Фенхелем [1960].
Глава II. 3
МЕТОД РЕЙДЕМЕЙСТЕРА —ШРЕЙЕРА
Эта глава, как указано в названии, посвящена скорее методу,
чем теоремам. Метод Рейдемейстера — Шрейера позволяет вы-
вычислять задание подгруппы Я группы G по заданию G.
И Курт Рейдемейстер A893—1971), и Отто Шрейер A901 —
1929) опубликовали свои первые статьи после первой мировой
войны. Оба они сделали важный вклад в комбинаторную теорию
групп, оба они были многосторонними математиками, и у обоих
руководителями диссертаций были известные специалисты по
теории чисел. Здесь, однако, сходство кончается. Рейдемейстер
был, как и Дэн, в основном геометром. Его влияние на комби-
комбинаторную теорию групп было прежде всего влиянием первопро-
первопроходца. Его идеи оказывали стимулирующее влияние, которое
было длительным, по крайней мере в некоторых случаях. Шрейер
тоже использовал геометрические идеи, но он был прежде всего
сильным алгебраистом, доказавшим фундаментальные теоремы.
Мы постараемся подтвердить эти общие замечания некоторыми
конкретными данными.
Диссертация Рейдемейстера [1921] относится к одной теме
в алгебраической теории чисел, предложенной Гекке. Из боль-
большого числа G1) статей, перечисленных в некрологе о нем, напи-
написанном Артци [1972], это единственная статья, посвященная тео-
теории чисел. Редко случается, чтобы высокопродуктивный матема-
математик так основательно забросил тему своей диссертации после
защиты. Очевидно, под влиянием Бляшке Рейдемейстер сразу
после получения докторской степени начал работать над пробле-
проблемами дифференциальной геометрии. Позже он заинтересовался
топологией, в частности теорией узлов. Разумно предположить,
что в то время, когда Рейдемейстер работал в Венском универ-
университете A922—1925), этот интерес стимулировался Виртингером.
Это предполржение подтверждается замечанием из его работы
[1926], что метод вычисления фундаментальной группы узла по
его проекции, появившийся в статье Артина [1925], восходит
к Виртингеру. Рейдемейстер в статье [1932а] упоминает, что ее
источником послужил доклад, который Виртингер сделал в
1905 г., но не опубликовал. Позже мы опишем вклад Рейдемей-
Рейдемейстера в комбинаторную теорию групп, который был следствием
его интереса к топологии. Здесь, кроме его статей, следует упо-
упомянуть также его книги и его студентов. Его книга по теории
узлов, появившаяся в 1932 г., была первой и, вплоть до появле-

ГЛ. II. 3. МЕТОД РЕИДЕЛШИСТЕРА —ШРЕЙЕРА 99
ния книги Кроуэлла и Фокса [1963], единственной монографией
по этому предмету. А его книга по комбинаторной топологии,
которая появилась в том же году, содержит почти современ-
современный обзор комбинаторной теории групп. Из статей, написанных
под его влиянием, для теории групп наибольшее значение имеют
работы Пайффер [1949] и Линдона [1950].
Полный обзор работ Рейдемейстера см. у Артци [1972].
Диссертация Шрейера называлась «Расширения групп» и
была опубликована в двух частях в 1926 г. Его научным руко-
руководителем был Фуртвенглер, основной областью интересов ко-
которого была теория полей классов для алгебраических чисел.
Эта теория была основана Гильбертом [1897] в его знаменитом
сочинении Zahlbericht. Co времен Галуа теория групп была тесно
связана с теорией полей алгебраических чисел, а Гильберт рас-
распространил эту связь на теоретико-числовые вопросы. Мы не мо-
можем сказать, были ли у Фуртвенглера специальные причины,
чтобы заинтересоваться расширениями групп уже в то время,
ко такие причины, несомненно, появились позднее, когда в
1930 г. он доказал важный теоретико-числовой результат, ис-
используя теоретико-групповые методы, включающие расширения
групп. Мы опишем этот результат ниже в главе, посвященной
метабелевым группам.
Кроме Фуртвенглера на Шрейера, по-видимому, оказывали
влияние Виртингер и Рейдемейстер. Согласно неподписанному
некрологу, который появился (на непронумерованных страницах,
но зато с фотографией) на трех страницах, следующих за с. 106
т. 7 A930) записок математического семинара Гамбургского
университета (Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar
der Hamburgishen Universitat), Шрейер посещал курсы, которые
читали эти математики, когда он был студентом в Вене. Это мо-
может объяснить его интерес к комбинаторной теории групп, ко-
который выразился в его первой публикации [1924]. В ней, обоб-
обобщая известную теорему Дэна [1914], он дает простое алгебраи-
алгебраическое доказательство того факта, что некоторые торические
узлы не изотопны своим зеркальным отражениям. Между про-
прочим, группы, которые здесь возникают, имеют задания вида
(А, В; АаВ&=\)
и служат простейшими примерами свободных произведений с
объединенной подгруппой. Эта тема снова появляется в полной
общности у Шрейера в [1927а] и будет рассмотрена нами в
гл. П. 4. В гл. II. 9 мы также упомянем статьи Шрейера [1926а]
и [1926b] (диссертация). Кроме этих статей, которые имеют
прямое отношение к комбинаторной теории групп, Шрейер внес
важный вклад и в другие разделы теории групп. Классические
группы Ли (конечномерные вещественные и комплексные) мож-
можно рассматривать как топологические пространства. Шрейер в

100 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
[1927b] показал, что фундаментальная группа таких пространств
всегда абелева, и в [1928] нашел важное уточнение теоремы
Жордана — Гёльдера через 39 лет после публикации статьи
Гёльдера. Редко случается, чтобы столь широко используемая и
фундаментальная теорема была бы усилена спустя столь долгое
время. (Случай с этой теоремой совсем необычен — Цассенхауз
в' [1934] нашел дальнейшее ее усиление.)
Хотя Шрейер и использовал геометрические идеи в тех или
иных ситуациях, в его работе чувствуется тенденция к алгебраи-
зации, что контрастирует с работами Дэна, где по крайней мере
все мотивировки, если не доказательства, были геометрическими.
Отчасти это соответствовало общей тенденции. Хотя Рейдемей-
стер, как и Дэн, был прежде всего геометром, его книга по
«комбинаторной топологии» (Рейдемейстер [1932b]) почти не
содержит рисунков. Абстракция и строгость были в то время в
большой моде. Это повлияло также и на учебники. Достаточно
лишь сравнить более ранний учебник Шёнфлиса и Дэна [1930]
по аналитической геометрии с учебником Шрейера и Шпернера
[1931, 1935] по алгебре и аналитической геометрии (который
был переведен на английский язык в 1951 г.). Имеется следую-
следующая неопубликованная «рецензия» на последнюю книгу: «Это
в основном книга по алгебре. Однако в ней есть некоторые при-
приложения к геометрии, например доказательство фундаменталь-
фундаментальной теоремы алгебры». Для читателей, которые учили матема-
математику после, скажем, 1950 г., мы здесь упомянем, что термин
«основная теорема алебры» был введен в употребление Гауссом
(если не раньше) и находится в употреблении примерно в тече-
течение столетия. Это теорема, которая гласит, что поле комплекс-
комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Мы посвятили Шрейеру и его работам довольно много места.
Нет сомнения, что статья Шрейера от 1927 г., озаглавленная
«Подгруппы свободных групп» (Die Untergruppen der freien
Gruppen), является одной из наиболее важных когда-либо пу-
публиковавшихся статей по комбинаторной теории групп. Прошло
много времени, пока все ее аспекты были полностью восприняты;
и она гораздо шире, чем указано в названии. Мы еще упомянем
ее в нескольких следующих главах.
Шрейер умер в 1929 г. от того, что тогда называлось «общим
заражением крови», в возрасте 28 лет. Открытые Домагком не-
несколько лет спустя сульфамидные препараты, возможно, спасли
бы ему жизнь.
После нашего довольно длинного вступления мы можем на-
конем, начать обсуждение метода Рейдемейстера — Шрейера.
Этот метод позволяет находить задание подгруппы Я группы G,
задание которой известно. Ясно, что эта задача осмысленна,
только если мы уже кое-что знаем про G. Например, G может
быть фактически тривиальной и совсем не иметь собственных

ГЛ. II. 3. МЕТОД РЕПДЕМЕЙСТЕРА — ШРЕЙЕРА 101
подгрупп, или она может быть бесконечной, но не иметь соб-
собственных подгрупп конечного индекса. (Простые и удивительные
примеры таких возможностей можно найти в работе Хигмана
[1951а].)
Впервые задание некоторой подгруппы Я бесконечного ин-
индекса в группе G было получено из задания группы G, наверное,
Дэном, хотя он никогда не публиковал этот результат. Однако
этот результат явился основой подхода Дэна к исследованию
групп с одним соотношением (этот материал тоже не опублико-
опубликован, но он известен Магнусу благодаря беседам с Дэном). Пер-
Первое упоминание этого результата Дэна можно найти в его работе
[1911], где отмечается, что некоторая подгруппа свободной груп-
группы с двумя порождающими бесконечно порождена.
Вот что было обнаружено Дэном: пусть G — группа с порож-
порождающими а, Ь, с, ..., и пусть сумма показателей, с которыми а
входит в каждое соотношение, равна 0. Тогда G содержит нор-
нормальный делитель Я, элементы которого представлены всеми
словами от порождающих, сумма показателей элемента а в ко-
которых равна 0. (Факторгруппа G/H является бесконечной цик-
циклической группой, и степени элемента а являются представите-
представителями смежных классов группы G по Я.) Группа Я порождена
тогда элементами
bn=anba~n, сп = апса-'\ ..., п = 0, ±1, ±2, ... .
Мы получаем определяющие слова для Я следующим образом.
Пусть R(a,b,c, ...) — определяющее слово для G. Запишем его
как слово от Ъп, сп, • • ¦, применяя свободные сокращения и
вставки и используя символы Ьп, сп, ¦ ¦ ¦ только как обозначения
для слов, составленных из букв а, Ь, с Предположим те-
теперь, что R переходит в слово
S(... bn ...;... сп ...;...), (*)
где точки означают, что в S могут встретиться разные Ьп, сп, ... .
Тогда все слова
S(...bn+t ...;..- cn+t ...;...), t = 0, ±1, ±2, ... (••)
являются определяющими словами для Я, и мы получим пол-
полный набор определяющих слов для Я, применив этот процесс ко
всем определяющим словам R группы G. Конечно, определяю-
определяющее слово (**) группы Я получается из R, если мы заменим R
на a'Ra.-'.
Можно высказать гипотезу, что интерес Дэна к этому ча-
частному случаю возник из того факта, что группы узлов К всегда
можно задать такими соотношениями, чтобы можно было при-
применить описанную здесь процедуру, причем в случае групп узлов
построенный нормальный делитель будет коммутантом К'- Фак-
торизуя коммутант К' по его коммутанту, мы получим важный

102 Ч. П. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
инвариант узла, известный как полином Александера для узла
(см. Кроуэлл и Фокс [1963]). Однако в опубликованных или не-
неопубликованных статьях Дэна нет никаких указаний, которые
бы подтвердили эту гипотезу. Фактически Дэн использовал ука-
указанное построение подгруппы только для исследования групп с
одним соотношением. Мы расскажем об этом в гл. II. 5. Тем не
менее группы узлов стимулировали систематическое изучение
подгрупп групп с известным заданием.
Фундаментальная статья Рейдемейстера [1926] называется
«Узлы и группы». Она начинается с поясняющих замечаний о
заданиях групп и продолжается доказательством следующих ре-
результатов:
Пусть G — группа с конечным числом порождающих gi, i =
= 1, 2, ..., п. Пусть Я— ее нормальный делитель и Vj — пол-
полный набор представителей правых смежных классов G по под-
подгруппе Я, записанных как слова, составленные из букв g;. Рей-
демейстер рассматривает только случай, когда / принимает ко-
конечное число / значений, где / — индекс подгруппы Я в G,
но замечает, что его конструкция будет работать и в случае,
когда / бесконечно. Представителем самой подгруппы Я всегда
будет пустое слово 1. Далее, пусть rjgi = rj,,- — некоторый пред-
представитель смежного класса по подгруппе Я, содержащий rjgi
(конечно, сам элемент r-u i является одним из элементов гк, где
k — какой-то элемент множества индексов). Элементы
порождают Я, и определяющие соотношения для группы Я в по-
порождающих hj, i можно построить с помощью процедуры, кото-
которая завершается за конечное число шагов, если пи} конечны.
Здесь мы не будем описывать эту процедуру. Она излагается во
всех учебниках по комбинаторной теории групп, но довольно
сложна, в особенности в первоначальном варианте, предложен-
предложенном Рейдемейстером, который был затем упрощен Шрейером в
[1927а], Гуревичем в [1931] и более поздними авторами.
Мотивы, побудившие Рейдемейстера написать работу [1926],
становятся ясными из второй части этой работы. Он сначала
замечает, что для всех групп узлов К факторгруппа К/К' груп-
группы Д" по ее коммутанту К' является бесконечной циклической.
Поэтому факторизация группы узла по коммутанту не позво-
позволяет нам различать разные узлы. Тем не менее для каждого
целого п ^ 1 у группы К есть в точности один нормальный де-
делитель Я„ индекса п с циклической факторгруппой К/Нп. Фак-
торизуя Нп по коммутанту, мы теперь сможем различать разные
узлы. Это наблюдение вызвало длинную серию статей многих
авторов, которые показывали, как различать узлы, используя
характеристические факторгруппы групп узлов. Мы упомянем
только некоторые из этих статей, представляющие интерес, вы-

ГЛ. II. 3. МЕТОД РЕЙДЕМЕИСТЕРА —ШРЕПЕРА ЮЗ
ходящий за рамки теории узлов. Но в статье Рейдемейстера есть
другой аспект, заслуживающий внимания. Рейдемейстер подчер-
подчеркивает тот факт, что группа Нп, определенная выше, является
фундаментальной группой я-кратного накрытия пространства,
для которого группа К является фундаментальной группой. Ко-
Конечно, это, по существу, не новое наблюдение. Вероятно, оно при-
принадлежит Пуанкаре; мы не можем ни на что сослаться, и, ко-
конечно, очень трудно утверждать, что что-то не принадлежит Пу-
Пуанкаре, но здесь вопрос приоритета несуществен. Для нас важен
следующий факт.
Топологические интерпретации теоретико-групповых структур
могут послужить новым инструментом для доказательства тео-
теоретико-групповых теорем и могут служить интуитивным путево-
путеводителем для открытия и формулировки этих теорем. Граф груп-
группы был первой из обнаруженных плодотворных топологических
интерпретаций. Использование накрывающих пространств яв-
является второй такой топологической интерпретацией, и позже
Рейдемейстер (в [1932b]) начал систематически изучать ее. Тем
не менее прошло немало времени, прежде чем в комбинаторной
теории групп использование топологических интерпретаций стало
общепризнанным методом. Здесь мы не будем касаться более
поздних исследований, они будут рассмотрены в гл. II. 10. Еще
одна топологическая интерпретация теоретико-групповых струк-
структур была найдена ван Кампеном [1933а], [1933b]. Сейчас она
тоже по достоинству оценена, но в течение многих лет эта ин-
интерпретация в основном лишь упоминалась с уважением, хотя,
по существу, и не забывалась. Снова мы отложим подробное
обсуждение до гл. II. 10.
Шрейер в [1927а] говорит о работе Рейдемейстера [1926].
Почти наверняка он присутствовал на докладе, который Рейде-
Рейдемейстер прочитал в январе 1926 г. в Гамбурге. Здесь мы рас-
рассмотрим лишь ту часть статьи Шрейера, которая посвящена вы-
вычислению заданий подгрупп. Другая часть той же статьи будет
играть важную роль в следующей главе.
Шрейер первым показал, что введенный Рейдемейстером ме-
метод можно распространить на случаи, когда подгруппа Н не яв-
является нормальным делителем в G или когда G — бесконечно
порожденная группа, или когда Я имеет бесконечный индекс.
Затем Шрейер показал, что система определяющих соотношений
может быть значительно упрощена, если выбрать в качестве
представителей по Н систему слов W, составленных из порож-
порождающих группы G, имеющую следующее свойство:
Каждый начальный отрезок любого слова W (включая
пустое слово 1) снова является представителем смежного
класса.

104 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Система представителей смежных классов, удовлетворяю-
удовлетворяющая этому условию, называется теперь системой Шрейера. Су-
Существование такой системы было доказано Шрейером с исполь-
использованием следующего наблюдения: если несократимое слово W
имеет минимальную длину, т. е. если нет более короткого слова
W, представляющего тот же смежный класс по подгруппе Я,
то автоматически все начальные отрезки слова W тоже являются
представителями различных смежных классов по подгруппе Я,
и все они имеют минимальную длину. Система Шрейера, в кото-
которой все представители смежных классов удовлетворяют этому
условию, называется минимальной, и минимальная система
Шрейера всегда существует (по крайней мере, если G счетна).
Использование таких специальных систем представителей
смежных классов позволило Шрейеру доказать следующую тео-
теорему.
Если F — свободная группа любого (конечного или бесконеч-
бесконечного) ранга, то любая ее подгруппа свободна. Если F имеет ко-
конечный ранг п и если Я — ее подгруппа конечного индекса }, то
ранг группы Я равен в точности 1 +/(«—1). Если Я — нетри-
нетривиальный нормальный делитель группы F и j бесконечно, то
ранг группы Н обязательно бесконечен.
Шрейер приводит два доказательства этой теоремы. Одно из
них чисто алгебраическое, другое использует «граф смежных
классов» группы G с известным заданием по подгруппе Я. Это
понятие — естественное обобщение графа группы. Вершины гра-
графа представляют смежные классы по подгруппе Н, а не эле-
элементы из G. Наконец, Шрейер приводит поразительно простое
решение проблемы распознавания равенства в свободной груп-
группе, показывая, что несократимое непустое слово, записанное че-
через порождающие, не может представлять единичный элемент.
Его доказательство настолько просто, что мы здесь можем его
воспроизвести.
Пусть W = SiS2 ••• Sr — слово, записанное в порождающих
свободной группы F, где Si (t= 1, .... г) означает либо по-
порождающий, либо обратный к нему, причем S, и Si+i не могут
быть взаимно обратными. Мы отобразим F на конечную группу
перестановок следующим образом. Порождающие, которые не
входят в W, отображаются в тождественную перестановку из
г + 1 символов. Остальные порождающие отображаются на эле-
элементы симметрической группы перестановок из г + 1 элементов
так, чтобы Si переводил символ i в г + 1, независимо от того,
порождающий это или обратный к нему. Эти требования опре-
определяют перестановки, сопоставленные порождающим, неодно-
неоднозначно, но они непротиворечивы, поскольку Si и SIrfi по условию
не являются взаимно обратными элементами. Независимо от

ГЛ. П. 3. МЕТОД РЕЙДЕМЕЙСТЕРА — ШРЕЙЕРА 105
того, как мы доопределим перестановки для всех S» (г = 1, ...
..., г), произведение SiS2 ... Sr будет переводить символ 1 в
символ г-\- 1. Поэтому W не может представлять единицу в F.
Фактически Шрейер доказал таким образом, что F финитно
аппроксимируема, другими словами, резидуально конечна (по-
(последний термин был введен примерно 30 лет спустя Ф. Холлом),
т. е. для каждого элемента g ф- 1 из F существует гомоморфизм
группы F в конечную группу, при котором g переходит не в 1.
Доказательства некоторых из результатов Шрейера были
модернизированы Леви [1930] и Гуревичем [1931]. Леви заме-
заметил также, что, по крайней мере неявно, Шрейер предполагал,
что порождающие свободной группы должны быть вполне упо-
упорядочены и что это предположение неустранимо, если применять
метод Рейдемейстера — Шрейера к группам с бесконечным чис-
числом порождающих. Мы не нашли нигде в литературе до 1955 г.
упоминаний о трудностях, которые могут возникнуть в случае,
когда группа имеет задание с бесконечным (даже счетным) чис-
числом определяющих соотношений. Термины «рекурсивно перечис-
перечислимый» или «рекурсивный», которые появились в математиче-
математической логике и которые играют сейчас важную роль в комбина-
комбинаторной теории групп, не встречались в нашей области до публи-
публикаций П. С. Новикова и Буна. Некоторая информация об этих
вопросах содержится в гл. II. 11.
Каррас и Солитэр в § 2.4 и 3.2 книги Магнуса, Карраса и
Солитэра [1966] усилили два результата Шрейера. Они пока-
показали, что любая подгруппа Н бесконечного индекса в свободной
группе F бесконечно порождена, если она содержит нетривиаль-
нетривиальный нормальный делитель группы F, и что метод Рейдемейсте-
Рейдемейстера— Шрейера приводит к множеству порождающих, приведен-
приведенных по Нильсену, для подгруппы Н свободной группы F тогда
и только тогда, когда система представителей смежных классов
группы F по подгруппе Н является минимальной системой
Шрейера.
Теория подгрупп свободных групп далеко не ограничивается
результатами упомянутого здесь типа. В частности, последова-
последовательности, и в особенности возрастающие и убывающие последо-
последовательности, подгрупп свободных групп исследовались для раз-
различных целей и с разных точек зрения. Но хотя многие резуль-
результаты получены с помощью методов, восходящих к Нильсену или
Шрейеру, они принадлежат уже к следующему уровню развития
теории, и мы отсылаем читателя за целым рядом деталей к Маг-
Магнусу, Каррасу и Солитэру [1966] н Линдону и Шуппу [1977].
Применение метода Рейдемейстера — Шрейера к теории сво-
свободных групп является в некотором смысле особенно достойным
внимания, поскольку приводит к доказательству общей теоремы.
Имеется несколько других следствий, также достаточно общих,
но более очевидных, например тот факт, что подгруппа Н ко-

106 Ч- И- СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
нечного индекса в конечно заданной группе G сама конечно за-
задана и содержит подгруппу N, которая является нормальным
делителем конечного индекса в G. Далее, конечно порожденная
группа может иметь только конечное число подгрупп данного
конечного индекса, и их пересечение — снова подгруппа конеч-
конечного индекса, характеристическая во всей группе. Но важность
метода Рейдемейстера — Шрейера основана на том, что он явно
очерчивает как данные, необходимые для нахождения задания
подгруппы, так и процесс этого нахождения. Во многих частных
случаях исходные данные получить нетрудно, и метод Рейде-
Рейдемейстера— Шрейера был использован в ряде работ для иссле-
исследования конкретных групп, для которых имеется явное задание.
Случай, упоминавшийся выше, который изучал Дэн, появляется
в литературе наиболее часто.
Следующие задачи тесно связаны с задачами, из которых и
возник метод Рейдемейстера — Шрейера.
Задача 1. Пусть группа G задана с помощью определяющих
соотношений и S — множество слов, записанных в порождаю-
порождающих группы G. Пусть, далее, элементы множества S порождают
подгруппу Н в G. Найти задание группы Н.
Задача 2. Пусть группа G задана с помощью определяющих
соотношений и R — множество различных элементов из G, со-
содержащее единицу. Найти все подгруппы Н группы G с множе-
множеством R в качестве полного множества представителей правых
смежных классов. (Конечно, здесь можно ограничиться случаем,
когда множество R является системой Шрейера.)
Задаче 1 посвящены значительные исследования, некоторые
из них будут обсуждаться в следующей главе в другом контек-
контексте. Сейчас мы используем эти задачи просто в качестве заго-
заголовков, под которыми объединим несколько разбросанных, но
интересных статей.
Для конечных групп G Тодд и Коксетер в [1936] развили
практический метод решения задачи 1, а Коксетер и Мозер в
[1972, с. 16] отметили, что этот метод является достаточно ме-
механическим, чтобы использовать его на ЭВМ. Они упоминают
также несколько работ, в которых этот метод запрограммиро-
запрограммирован. Но эти результаты, так же как и интенсивное использо-
использование ЭВМ в теории простых групп конечного порядка, нахо-
находятся за пределами рассмотрения настоящей монографии.
Задача 2 была едва затронута в исследованиях. Однако к
ней относится статья Б. Неймана [1933], которую мы хотим
упомянуть здесь по двум причинам. Одна из них — почему была
написана эта статья. Проблема, которой посвящена эта статья,
возникла из оснований геометрии. Она была сформулирована

ГЛ. II. 3. МЕТОД РЕЙДЕМЕЙСТЕРА —ШРЕЙЕРА 107
Арнольдом Шмидтом, последним аспирантом Гильберта, и, по
информации, полученной от самого Неймана, попала к нему
через Бернайса, Хопфа и Шура. (О геометрических аспектах
см. А. Шмидт [1934].) Вопрос, как его сформулировал Бернайс,
заключается в следующем: пусть G = SLB, Z) — унимодуляр-
ная линейная группа матриц второго порядка над целыми чис-
числами. Содержит ли G подгруппу Я со следующими свойствами:
(i) Каждая упорядоченная пара взаимно простых целых
чисел встречается в точности один раз в качестве первого
столбца в элементе из Я.
(И) Группа Я содержит матрицу
Б. Нейман доказал, что этот вопрос эквивалентен нахожде-
нахождению всех подгрупп Я, которые содержат А и имеют в качестве
представителей смежных классов в G все степени матрицы
т==и
Используя задание группы G с помощью определяющих соот-
соотношений, Нейман затем показал, что возможные подгруппы Я
находятся во взаимно однозначном соответствии с биективными
отображениями f множества целых чисел на себя, являющи-
являющимися решениями следующих функциональных уравнений:
Наконец, Нейман явно построил множество таких отобра-
отображений, имеющее мощность континуума.
Несмотря на частный характер этой статьи, мы довольно
подробно изложили ее содержание по следующим причинам:
(i) Насколько нам известно, это единственная статья по
комбинаторной теории групп, которая непосредственно вызвана
конкретной проблемой из оснований геометрии. Б. Нейман за-
заявлял в своих интервью, что на его интересы в математике
сильно повлияли работы Гильберта в этой области. Однако это
влияние, по-видимому, было косвенным и выражалось скорее
в выборе проблем для исследования, чем в попытках примене-
применения результатов.
(и) Эта статья является первым (и очень нетривиальным)
применением метода Рейдемейстера — Шрейера, который уста-
устанавливает существование некоторых подгрупп бесконечного ин-
индекса. В большинстве приложений существование подгрупп, за-
задание которых мы ищем, известно заранее.

108 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
(iii) Группа SLB,Z) является одной из наиболее интен-
интенсивно исследуемых счетных групп, поскольку она играет важ-
важную роль как в теории чисел, так и в теории автоморфных
функций.
Статья Неймана появилась в трудах Прусской академии
наук н для большинства исследователей сейчас труднодоступна.
Она явилась основой для статей Магнуса [1973] и Треткоффа
[1975], короткий реферат этой статьи Неймана имеется в ра-
работе Магнуса [1974а].
Статья Ф. Холла [1936] тоже имеет отношение к задаче 2.
Пусть G— конечная группа и gn(G)— число упорядоченных
n-ок С], ..., с„ элементов из G, которые порождают G. Холл
называет gn{G) п-й функцией Эйлера группы G. Если G не
порождается п элементами, то gn(G) = 0. В противном случае
G является факторгруппой Fn/N свободной группы Fn ранга п
по подгруппе N, a gn(G)—число таких упорядоченных п-ок
представителей смежных классов группы Fn no N, которые
имеете с элементами из N порождают Fn. Более общо, можно
рассматривать только такие n-ки порождающих, которые удов-
удовлетворяют некоторым соотношениям. Тогда Fn заменяется на
группу с п порождающими, в которой эти соотношения явля-
являются определяющими соотношениями.
Мы не можем вдаваться в детали статьи Холла, которая
содержит целую россыпь удивительных результатов. Например,
если G — простая группа, порядок которой — составное число,
то метод Холла дает замечательно простой способ для вычис-
вычисления наибольшего числа е, такого, что декартова степень
Ge может быть порождена п элементами. Этот результат был
использован Сторком [1972] для построения характеристиче-
характеристической подгруппы группы F2 конечного индекса, которая не впол-
вполне инвариантна и факторгруппа группы F2 по которой неразре-
неразрешима.
Холл упоминает, что часть результатов его статьи была
предвосхищена Вайсснером в [1935]. Влияние статьи Вайсснера,
кажется, больше заметно в общей комбинаторике, чем в теории
групп (см., например, Рота [1964]).
Глава II. 4
СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
С ОБЪЕДИНЕННОЙ ПОДГРУППОЙ
В этой главе мы опишем возникновение двух новых идей, ко-
которые оказали глубокое влияние на развитие комбинаторной
теории групп. Их появление ассоциируется с тремя именами:

ГЛ. II. 4. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 109
Шрейера, о важной роли которого упоминалось в гл. II. 3, Ар-
тина A898—1962) и А. Г. Куроша A908—1971).
Артин был очень разносторонним математиком. В комбина-
комбинаторной теории групп он появлялся как редкий гость, но каждый
раз с очень оригинальными идеями. Мы снова будем говорить
о нем в гл. II. 6 в связи с теоретико-групповой проблемой, ко-
которую он поставил в работе по теории полей классов, и в
гл. II. 10 в связи с его результатами в топологии. Среди матема-
математиков XX столетия он является выдающейся фигурой, его влия-
влияние основывалось не только на его идеях и работах, но также
на книгах и лекциях. Тем не менее здесь мы не имеем возмож-
возможности рассказать о нем подробно и дать оценку его деятельно-
деятельности, так как это увело бы нас слишком далеко в сторону от
темы нашей книги.
А. Г. Курош тоже работал в нескольких областях, но в ком-
комбинаторной теории групп он является центральной фигурой, и
не только благодаря его важным вкладам в эту область, в част-
частности теореме, носящей его имя, но также благодаря влиянию
на других математиков и его обстоятельной монографии по тео-
теории групп, первое издание которой появилось в 1944 г. Другие
части теории групп разрабатывались в России задолго до Ку-
Куроша, но, вне всякого сомнения, он и его ученики сыграли
важную роль в том, что Советский Союз стал выдающимся цен-
центром исследований по комбинаторной теории групп.
Курош начинал как тополог. Его учителем был П. С. Алек-
Александров из Московского университета, где Курош в 1930 г. за-
защитил кандидатскую диссертацию. В том же году Курош стал
участником семинара О. Ю. Шмидта по теории групп в Москве.
Предварительным условием для допуска на семинар являлось
наличие собственных результатов в этой области. Мы не знаем
подробностей, но можно предположить, что на первую статью
Куроша, появившуюся в 1932 г., в каком-то смысле оказали
влияние идеи О. Ю. Шмидта A891—1956), который был, ве-
вероятно, первым специалистом по теории групп, старавшимся
включить бесконечные группы в круг рассмотрения теории аб-
абстрактных групп. До того как он опубликовал в 1916 г. свою
книгу, в учебниках бесконечные группы рассматривались как
группы преобразований метрических пространств. Позже, после
того как мы опишем результаты Куроша по свободным произве-
произведениям, мы объясним связь между ними и результатами Шмид-
Шмидта о прямых произведениях. В написанном Курошем некрологе
Шмидту (который появился в «Успехах математических наук»,
т. 11, вып. 6 G2), ноябрь — декабрь 1956 г.) отмечается выда-
выдающаяся роль последнего как организатора теоретико-групповых
исследований в Советском Союзе и основателя московской ал-
алгебраической школы. Но деятельность Шмидта простиралась
далеко за пределы математики. Он организовал экспедицию в

ПО Ч. И. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Арктику, в которой лично принимал участие. Согласно Курошу,
это предприятие было вызвано его глубоким интересом к кос-
космогонии— тема, которой Шмидт посвятил почти 15 лет своей
жизни. Мы не знаем, какие аргументы он, математик, исполь-
использовал, чтобы убедить правительство СССР в 1930 г. предоста-
предоставить ему снаряжение для арктических экспедиций.
Начиная описание относящихся к нашей теме математиче-
математических результатов, мы должны сначала упомянуть один пара-
параграф книги Клейна [1926, с. 361—364], которая вышла новым
изданием вскоре после смерти автора и содержит «третью
часть», написанную не автором, а редактором — Бляшке. В ко-
коротком предисловии Бляшке приписывает параграф о свобод-
свободных произведениях Артину. Однако Шрейер в [1927] упоми-
упоминает, а Артин в [1926] подтверждает, что результаты этого
параграфа были независимо получены Артином и Шрейером.
Мы процитируем начало очерка Артина [1926]:
«Рассмотрим конечное или бесконечное множество групп G\, (?2, .... Мы
допускаем наличие в этом множестве изоморфных групп, но постулируем,
что не имеется никакого правила для перемножения двух элементов из раз-
различных групп (вне зависимости от того, изоморфны они или нет).
Определим теперь свободное произведение G наших групп как множество,
состоящее из следующих символов:
1. Единица 1.
2. Все символы вида
А = аха2 ... ап,
где щ означает любой элемент из наших групп G\, G%, ... и выполняются сле-
следующие условия:
(а) ни один из элементов а; не равен 1;
(б) соседние элементы щ и т+\ должны принадлежать различным груп-
группам.
Два элемента из G называются равными:
0,0-2 . • • ап — Ь\Ьг ... Ьт,
тогда и только тогда, когда п = т и щ = bi при всех i.»
Затем Артин показывает, что подходящее (и очевидное в
теоретико-групповом смысле) правило композиции элементов
превращает G в группу. Артин называет определенные выше
выражения «нормальными формами элементов группы».
Довольно странно, что Артин заканчивает свои общие рас-
рассуждения следующим образом:
«Теперь становится ясной цель наших рассуждений. Таким же образом,
как совместность правил действий с комплексными числами можно вывести
из доказательства справедливости элементарных правил действий с парами
действительных чисел, мы убедились сейчас в совместности правил для вы-
вычислений с некоммутирующими элементами. Важность этого обстоятельства
для оснований теории групп очевидна.»
В подстрочном примечании Артин добавляет:
«В частном случае, когда все сомножители в свободном произведении яв-
являются бесконечными циклическими группами, Дэн доказал геометрически кор-
корректность этой операции, построив так называемое изображение группы.»

ГЛ. II. 4. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Ш
Наконец, как бы в качестве запоздалого разъяснения, Артин
говорит, что свободное произведение циклической группы по-
порядка 3 н циклической группы порядка 2 можно также опреде-
определить как группу с двумя порождающими Ъ, с и определяющими
соотношениями &3= 1, с2= 1.
Здесь Артин впервые дает чисто алгебраическое решение
проблемы распознавания равенства для свободных групп, кото-
которые можно определить как свободные произведения бесконеч-
бесконечных циклических групп. (Другое, очень элегантное, доказатель-
доказательство Шрейера мы уже упоминали в гл. II. 3.) Но действитель-
действительное значение свободного произведения для теории групп
гораздо более точно выражено в начальных фразах статьи Ку-
роша [1933]:
«Группа G называется свободным произведением своих подгрупп Hi,
G=J^[#; (где I пробегает произвольное множество индексов), если каж-
каждый элемент g ф 1 группы G может быть единственным способом представ-
представлен в виде произведения
g = hih2 ... hn; И1Ф\, hi^Hu НгФН1+1 A)
(где, однако, Я,- = Н,- допустимо, если j Ф i + 1). Таким образом, ие суще-
существует нетривиального соотношения в G, связывающего элементы из разных
групп Hi.
В силу этого каждое свободное произведение можно рассматривать как
определенное в результате объединения множеств порождающих и опреде-
определяющих соотношений всех сомножителей Яг.»
На языке Дэна можно сказать, что нормальнная форма A)
для элементов из G дает явное решение проблемы распознава-
распознавания равенства в G, если эта проблема решена для всех групп Hi.
Курош в работе []933] доказал ограниченные варианты сле-
следующих теорем, которые были доказаны в полной общности в
его статье [1934]. В его собственной формулировке они выгля-
выглядят так:
I. Теорема Куроша о подгруппах. Каждая подгруппа F
группы G сама разлагается в свободное произведение
где каждый сомножитель Fв — либо бесконечная циклическая
группа, либо группа, сопряженная (в G) некоторой подгруппе
одной из групп #,. (Группа F может состоять лишь из одного
сомножителя.)
II. Теорема об изоморфизме. Если G может быть представ-
представлена двумя способами как свободное произведение свободно
неразложимых подгрупп:

112 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
то существует взаимно однозначное соответствие между груп-
группами Н, и F$, такое, что соответствующие группы изоморфны.
Если соответствующие группы не бесконечные циклические, то
они сопряжены в G.
Историческая важность этих теорем очевидна. Они являются
первыми общими структурными теоремами в комбинаторной
теории групп и позже нашли много приложений. Глядя назад
на первое появление в 1883 г. свободных произведений в виде
«композиции групп» Клейна (см. гл. 1.3), мы теперь видим, что
(хочется сказать «наконец-то») алгебра, по крайней мере до
некоторой степени, догнала геометрию. Клейн, исходя из вида
фундаментальной области группы с двумя порождающими Ь, с
и определяющими соотношениями
без труда заметил, что в этой группе единственные элементы
конечного порядка —это те, которые сопряжены степеням Ь
или с. Мы видим теперь, что это легко следует из теоремы Ку-
роша о подгруппах. Отдавая должное силе геометрических ме-
методов, мы должны здесь заметить, что даже теперь, через
50 лет, для так называемых «групп треугольника» с заданием
bm = cn = {bc)k = 1
нелегко чисто алгебраически доказать, что элементы конечного
порядка в такой группе сопряжены степеням элементов Ъ, с или
be, по крайней мере, если m, п, k не очень велики (см. Магнус
[1974а, с. 100—101]).
Теорема об изоморфизме была дополнена Бэром и Леви
[1936] следующим результатом:
III. Теорема об измельчении. Если заданы два разложения
группы G в свободное произведение, то существует третье раз-
разложение этой группы в свободное произведение, такое, что со-
сомножители первых двух разложений сами являются свободными
произведениями сомножителей третьего разложения.
Затем Курош в [1937] показал, что существуют группы, ко-
которые не допускают никакого разложения в свободное произве-
произведение свободно неразложимых групп. В качестве примера он
привел следующую группу Т:
Порождающие:
а0, аи а2, ..., ап, ....
b\, b2, ¦. ., Ьп
Определяющие соотношения:
Q-nbnPLn "п —пп-i, /г— 1, 2, 3, ....

ГЛ. П. 4. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 113
Группа Т является пределом убывающей цепочки свободных
групп, или, как мы бы сегодня сказали, локально свободна, т. е.
каждая конечно порожденная подгруппа группы Т является
свободной группой. При этом Т есть свободное произведение
бесконечной циклической группы, порожденной элементом Ь\,
и подгруппы 7" группы Т, порожденной элементами
аи а2, ... ап, ..., Ь2, . .. Ьп, . . .,
которая, очевидно, изоморфна группе Т. Таким образом, 7
могла бы быть лишь свободным произведением бесконечного
числа бесконечных циклических групп. Но Курош показывает,
что это не так, устанавливая, что Т не может разлагаться в
свободное произведение бесконечного числа групп. В его до-
доказательстве используется следующая интересная лемма:
Пусть группа G является свободным произведением двух
своих подгрупп Hi и Н2. Если коммутатор
двух элементов gi, go группы G принадлежит подгруппе Н\ и
не равен 1, то и g\, и g2 принадлежат Н\.
Следующим щагом в развитии теории свободных произведе-
произведений явилась следующая
Теорема Грушко — Неймана. Пусть G — конечно заданная
группа, изоморфная свободному произведению двух групп В
и С. Тогда существует преобразование Нильсена порождающих
g: (г = 1, ..., п) группы G, которое переводит их в два мно-
окества порождающих Ь\ (/=1, ..., г) и Ck (k—\, ..., s) так,
что, пользуясь этими порождающими, определяющие соотноше-
соотношения группы G можно записать в виде слов, составленных только
113 букв, Ь, или ТОЛЬКО U3 букв Сц.
Здесь г -\- s ^ п, и имеет место такое следствие.
Минимальное число порождающих свободного произведения
равно сумме соответствующих чисел для сомножителей.
Хотя статьи Грушко [1940] и Б. Неймана [1943Ь] разде-
разделяет 3 года, совершенно очевидно, что их результаты были по-
получены независимо. Вторая мировая война значительно услож-
усложнила международный обмен литературой.
Большая часть более поздних статей, посвященных свой-
свойствам свободных произведений или свободных произведений
групп специальных типов, выходит за пределы нашего обзора,
в котором мы не можем останавливаться на подробностях или
частных результатах. Но теория свободных произведений по-

114 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
является также и в более широком алгебраическом контексте.
Мы соединим ее описание с беглым анализом некоторых осо-
особенностей работ А. Г. Куроша.
В своей первой алгебраической статье [1932] Курош внес
вклад в аналог сформулированной выше теоремы об изомор-
изоморфизме для прямых, а не для свободных произведений. Здесь
ситуация значительно сложнее, чем в случае свободных произ-
произведений, по крайней мере, если у группы G есть нетривиальный
центр, и этому случаю посвящена одна из наиболее важных
статей О. Ю. Шмидта (а именно [1928]). Очевидно, статья
Куроша [1932] была написана под влиянием Шмидта, и весьма
вероятно, что позднее Курош изучал свободные произведения
как аналоги прямых произведений. И прямое, и свободное про-
произведения являются бинарными операциями, определенными на
любых группах в качестве сомножителей: эти операции ассоциа-
ассоциативны и коммутативны и (это Курош мог вынести из своих
предыдущих занятий топологией) оба произведения имеют то-
топологический смысл, поскольку существуют произведения топо-
топологических пространств, такие, что фундаментальная группа
произведения является свободным или прямым произведением
фундаментальных групп сомножителей. Вопрос о том, суще-
существуют ли другие универсальные произведения групп с какими-
либо из свойств прямых или свободных произведений, был изу-
изучен учеником Куроша О. Н. Головиным [1950], который по-
построил бесконечную последовательность таких произведений,
первое из которых было ранее открыто Леви [1944]. За первой
работой Головина последовал ряд важных работ его и других
авторов на ту же тему. Однако мы воздержимся от деталей:
итоги развития до 1964 г. по этой теме были подведены Магну-
Магнусом, Каррасом и Солитэром в [1966, разд. 6.4], а с того вре-
времени в этом направлении было сделано немного.
Несмотря на важность работы Куроша для развития комби-
комбинаторной теории групп, лишь небольшая ее часть попадает в
эту область, если мы ее очертим узко как теорию заданий
групп. Однако Курош сделал также очень многое для развития
теории бесконечных групп (за пределами теории групп Ли), не
связанной с заданиями групп.
Статья А. П. Дицмана, А. Г. Куроша и А. И. Узкова [1938]
о силовских подгруппах бесконечных групп является хорошей
иллюстрацией этого типа работ. Монография Куроша «Теория
групп» [1944] и в еще большей степени английский перевод ее
расширенного варианта [1955, 1956] содержат систематическое
изучение проблем, возникающих в общей теории бесконечных
групп1). Мы не можем входить в детали, но упомянем по край-
крайней мере одну характерную черту, а именно исследование
1) Наиболее полным является третье издание этой книги: А. Г. Курош,
Теория групп. — М.: Наука, 1967. — Прим. перев.

ГЛ. П. 4. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 115
групп с заданными локальными свойствами. Мы говорим, что
группа обладает каким-то локальным свойством типа разре-
разрешимости, бесконечности, свободы и т. п., если этим свойством
обладает каждая ее конечно порожденная подгруппа.
Помимо того, что Курош интересовался общей теорией бес-
бесконечных групп, он рассматривал теорию групп как часть
чего-то большего. Его взгляды явно и точно сформулированы
во введении к его книге «Лекции по общей алгебре»1), которая
появилась в английском переводе в 1963 г. Следует отметить,
что, несмотря на то что в ней делается упор на важности об-
общих понятий, эта книга содержит параграф о таких частных
предметах, как алгебра кватернионов и алгебра Кэли.
В библиографии к книге Куроша по теории групп автор с
наибольшим числом приведенных работ — это Рейнхольд Бэр
A902—1979). Это не случайно. Хотя Бэр занимался комбина-
комбинаторной теорией групп лишь спорадически, его работы очень
важны практически для всех аспектов теории бесконечных и
конечных групп и для многочисленных проблем из других раз-
разделов алгебры. Благодаря всему этому Бэр очень близок Ку-
рошу по духу. Так случилось, что сходство этих математиков
идет еще дальше. Бэр тоже начинал как тополог ([1927],
[1929]), и научным руководителем его диссертации был Кне-
зер, бывший в свое время, как и П. С. Александров, ведущим
топологом. Как и у Куроша, у Бэра было много учеников, кото-
которые не только писали под его руководством диссертации, но и
потом продолжали активно заниматься математическими иссле-
исследованиями. Как и Курош, он определенно был алгебраистом.
Его книга «Линейная алгебра и проективная геометрия» (Бэр
[1952]), так же как и гораздо более элементарная книга
Шрейера и Шпернера [1931,1935], практически относится к
чистой алгебре. Между прочим, отметим, что Фридрих Леви —
соавтор Бэра в их совместной статье по подгруппам свободных
произведений, как Дэн и Рейдемейстер, был также геометром
и написал книгу по геометрическим конфигурациям (Леви
[1929]).
Вернемся теперь к обсуждению наиболее важного аспекта
статьи Шрейера [1927а]. Она содержит обобщение понятия
свободного произведения. Шрейер назвал его свободным произ-
произведением с объединенной подгруппой, и оно известно также
под названием обобщенного свободного произведения. Раздел
статьи Шрейера, где вводится это понятие, называется «Теорема
существования», и занимает всего 3 с. в его 22-страничной
статье. Начнем с определения Шрейера:
«Пусть М — множество групп G;, где i пробегает произвольное множество
индексов, и пусть Н — еще какая-то группа. Предположим, что каждая из
') М.: Наука, 1962. — Прим. перев.

116 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЕ ТЕОРИИ ГРУПП
групп G; содержит подгруппу Hi, изоморфную группе Я. Если h означает
произвольный элемент из Н, то пусть й,- — соответствующий элемент из Hi,
определенный с помощью фиксированного изоморфизма между этими груп-
группами. Мы постараемся построить группу Р со следующими свойствами:
1. Для каждой группы Gi (с элементами gi) из множества М группа Р
содержит подгруппу Gi (с элементами Jf,), изоморфную группе Gi. Пусть
{&' ¦*-*¦ ей — изоморфизм между группами G, и Gi (для каждого i). Отиосл-
тельно этих изоморфизмов всякий элемент hi из Я; будет соответствовать эле-
элементу hi из Hi e Gi.
2. Подгруппы Gi порождают Р, т. е. каждый элемент из Р может быть
разложен в произведение элементов из подгрупп Gi.
3. Подгруппы группы Р, которые соответствуют подгруппам Я, групп
Gi относительно изоморфизмов {-<->-}, совпадают. Это значит, что Р содержит
подгруппу Не элементами /г, изоморфную группе Я относительно изомор-
изоморфизма {h *-+¦ ft} и hi = ft при всех i.
4. Группа Р наиболее общая в смысле, который будет уточнен ниже.»
Термин «наиболее общая» объясняется следующим образом.
Очевидно, каждый элемент из Р можно привести к одному из
следующих видов:
h или huiui • ¦ ¦ йп, (*)
где h — элемент из Я, п ^ 1 и й\, ..., а„ принадлежат некото-
некоторым группам G^, ..., G? и являются фиксированными пред-
представителями в Gt, ..., ~Gin правых смежных классов по под-
подгруппе Я, отличных от класса Я. Наконец, [,ф{1+^ при / =
==1,2, ..., п—1. Теперь «теорема существования» утверждает,
что существует группа Р, в которой для каждого элемента
форма («) единственна. Это и есть наиболее общая группа Р,
и (*) является нормальной формой ее элементов.
Во введении к своей статье [1927а] Шрейер упоминает, что
этот результат позволяет решать проблему распознавания ра-
равенства для групп с двумя непересекающимися множествами X
и У порождающих и единственным определяющим соотношением
f(X)g(Y)=\,
где f(X) и g(Y) — несократимые непустые слова, составленные
из порождающих, входящих в X и У соответственно. Очевидно,
что это представляет собой обобщение его результата из [1924].
Статья 1924 г. называется «О группах с соотношением AGBb=l»
и, очевидно, является исходной точкой для его более поздних
исследований.
Вследствие своей более общей природы свободные произве-
произведения с объединенной подгруппой приводят к теоремам о под-
подгруппах, которые значительно более сложны, чем теоремы для
обыкновенных свободных произведений. Литература на эту тему
довольно обширна. Б. Нейман в [1954] дает детальный обзор
всего, что было известно в то время. Но это ни в коей мере не
конец. Дополнительные ссылки см. в книге Линдона и Шуппа
[1977].

ГЛ. II. 4. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 117
Структурные теоремы составляют лишь небольшую часть
в многообразии результатов, полученных с использованием по-
понятий и свойств свободных произведений с объединенной под-
подгруппой. Один класс таких результатов — это решение пробле-
проблемы распознавания равенства в разных ситуациях. Мы начнем
наш обзор, приведя довольно частный, но поучительный пример,
принадлежащпй Хигману, см. [1951а].
Пусть #3 — группа с порождающими а, Ь, с и определяю-
определяющими соотношениями
аЬаГх — Ь , ЪсЬ~х = с•', сас~{ — а2,
а Н^ — группа с четырьмя порождающими а, Ъ, с, d и соотно-
соотношениями
Хигман показывает, что Н3 является тривиальной группой по-
порядка 1. (Фактически, чтобы это показать, требуются остроум-
остроумные вычисления.) Затем Хигман доказывает, что у Н\ нет под-
подгрупп конечного индекса, устанавливая, что тривиальная группа
является единственной конечной факторгруппой группы Я4.
(Для конечно порожденных групп эти утверждения эквивалент-
эквивалентны.) Теперь возникает вопрос, тривиальна ли также группа Я4.
Если нет, то, очевидно, существует конечно порожденная беско-
бесконечная простая группа, т. е. нечто, существование чего до того
времени не было известно. (Разумеется, было известно, что, на-
например, факторгруппы по центру групп («Хя) -матриц с опре-
определителем + 1 и элементами'из бесконечного поля просты при
п ^ 3. Но все эти группы бесконечно порождены.) Хигман дока-
доказывает, что #4 действительно бесконечна. Сначала рассмотрим
группу #1 с заданием
Н1 = (а, Ъ; aba-^b2).
Согласно общей теории групп с одним соотношением, оба эле-
элемента а и b порождают бесконечные циклические подгруппы
в Н\. Таким образом, группа
Н12 = (а, Ъ, с\ aba~l = b\ bcb~l = с2)
является свободным произведением группы Hi и другой группы
с одним соотношением Н2, порождаемой элементами b и с, с
объединенной бесконечной циклической подгруппой (порождае-
(порождаемой элементом Ь). Из нормальной формы элементов группы #!2
следует, что awe порождают в Я!2 свободную подгруппу ран-
ранга 2. То же верно для подгруппы, порожденной элементами а
и с в группе
H3i = (c, d, a; cdc~1 = d2, dad~l = a2).

118 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Итак, #4 является свободным произведением групп Н\2 и #34
с объединенной свободной подгруппой ранга 2, порожденной
элементами а и с. Это и доказывает, что Я4 бесконечна.
Хигман вынужден был оставить открытым вопрос о том, яв-
является ли сама группа Я4 простои. Позже Шупп в [1971] до-
доказал, что это не так. В терминологии, предложенной Хигманом,
Шупп доказал, что Н^ является SQ-универсальной. Это значит,
что каждая счетная группа изоморфна подгруппе некоторой
факторгруппы группы /74. Поскольку Нейман в [1937b] уже
доказал, что существует несчетное множество неизоморфных
групп с двумя порождающими, то Н\ в действительности содер-
содержит несчетное множество различных нормальных делителей.
Заметим здесь, что этим свойством обладают не только отдель-
отдельные группы, ио и все группы из ряда широких классов, напри-
например из класса свободных произведений двух нетривиальных
групп, порядок одной из которых не равен 2. Относительно ли-
литературы по этой теме см. гл. V. 10 книги Линдона и Шуппа
[1977]. SQ-универсальность является поучительным примером
понятия, введение которого привело к продуктивному исследо-
исследованию.
Позднее мы встретим другие, менее частные приложения
теории свободных произведений с объединенной подгруппой, в
особенности в следующей главе, посвященной группам с одним
соотношением. Но пока что наиболее важным следствием тео-
теоремы Шрейера является, несомненно, теория HNN-расширений.
Эта теория была создана с использованием теории свободных
произведений с объединенной подгруппой и указанные две тео-
теории в некотором смысле эквивалентны. Однако HNN-расшире-
HNN-расширения, если и применяются не чаще, то по крайней мере их при-
применения более впечатляющи, чем применения обобщенных сво-
свободных произведений. Этот факт, по-видимому, является при-
причиной того, что Линдон и Шупп [1977, с. 246—257] вводят
сначала HNN-расширения.
Сейчас мы приведем цитату из работы Хигмана, Неймана
и Нейман [1949]:
«Пусть ц — изоморфизм подгруппы А группы G на другую подгруппу В
группы G (группа В не обязательно отлична от А). Тогда существует группа
Н, содержащая G, и элемент t из Я, такие, что сопряжение с помощью эле-
элемента t действует на любой элемент из А как ц:
t~xat = \i (a) va e Л-
Если G локально бесконечна, то и Я локально бесконечна.»
В частности, t всегда имеет бесконечный порядок в Н. Бук-
Буква t называется стабильной (или проходной) буквой HNN-рас-
HNN-расширения.
Следующий результат теории HNN-расширенин известен как
лемма Бриттона (Бриттон [1963]).

ГЛ. II. 4. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 119
Пусть go, gu ¦ ¦ ¦, gn — последовательность элементов из G,
и пусть е с индексами означает +1 или —1. Последовательность
go> 'e'> Su te'2, ..., te", gn называется приведенной, если она не
содержит подпоследовательности вида t'1, gt, t с gi e А или t,
gi, t~x c Si ^ В. Для приведенной последовательности при п ^ 1
элемент
из Н отличен от единичного элемента.
Построение HNN-расширений можно обобщить, введя более
одной проходной буквы и более одного изоморфизма подгрупп,
и лемму Бриттона можно сформулировать соответствующим об-
образом. При этом она опять дает единственность нормальной
формы для элементов из Н. Но это небольшие улучшения.
Чтобы подтвердить наши замечания о применениях HNN-рас-
HNN-расширений, мы упомянем здесь следующие результаты исходной
статьи Хигмана, Б. Неймана и X. Нейман.
Каждую группу G можно вложить в группу G*, в которой
все элементы одного и того же порядка сопряжены. В частно-
частности, любую группу без кручения можно вложить в группу G**,
содержащую только два класса сопряженных элементов. Если
G счетна, то счетна и группа G**. (Единственная группа, содер-
содержащая элементы конечного порядка и насчитывающая лишь
два класса сопряженных элементов, — это группа порядка 2.)
Кроме того, каждая счетная группа G может быть вложена в
группу Н, порожденную только двумя элементами. Если число
определяющих соотношений для G равно п, то Н также можно
задать п определяющими соотношениями. Однако статья
Б. Неймана [1937b], упомянутая выше, показывает, что невоз-
невозможно все счетные группы вложить в одну группу с двумя по-
порождающими, поскольку такая группа содержала бы только
счетное число подгрупп с двумя порождающими, в то время
как таких попарно неизоморфных групп имеется несчетное
число.
Построение бесконечных групп, содержащих лишь два клас-
класса сопряженных элементов, иллюстрирует большие возможности
HNN-расширений. В отношении теорем вложения основные
сюрпризы пришли позже. Они основаны на фундаментальной
теореме, доказанной Хигманом в [1961], которая в то же время
демонстрирует, что некоторые понятия и идеи, развитые в ма-
математической логике, имеют важное значение для комбинатор-
комбинаторной теории групп. Краткий обзор этих результатов будет дан
в гл. II. И.
Мы закончим эту главу, упомянув, что свободные произведе-
произведения с объединенной подгруппой и HNN-расширения допускают
плодотворные топологические интерпретации. Свободное произ-

120 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
ведение с объединенной подгруппой можно интерпретировать
как фундаментальную группу пространства, возникающего из
пространств, фундаментальные группы которых являются со-
сомножителями этого произведения, при отождествлении некото-
некоторых подпространств. HNN-расширение группы G также можно
интерпретировать как фундаментальную группу пространства,
получаемого из пространства с фундаментальной группой G
приклеиванием одномерной ручки. Точные определения этил-
конструкций см. у Линдона и Шуппа [1977, с. 246—257]. Они
основаны на топологической теореме, доказанной ван Кампе-
ном [1933а], [1933b], и обычно носящей его имя, хотя Масси
[1967, с. 129] называет ее теоремой Зейферта — ван Кампена.
Позднейшее использование графов в комбинаторной теории
групп, объединяющее теории свободных произведений с объеди-
объединенной подгруппой и HNN-расширений, — это теория групп,
действующих на деревьях, изложенная в монографии Серра
[1977].
Глава П. 5
ГРУППЫ С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ
Согласно теореме, которая упоминалась в конце гл. П.4,
каждая конечно заданная группа может быть вложена в группу
с двумя порождающими и с прежним числом определяющих
соотношений. Это показывает, что для проблемы распознава-
распознавания равенства число порождающих в группе несущественно,
если их по крайней мере два. На интуитивном уровне этот
факт становится ясным практически с самого начала построе-
построения теории заданий групп. Именно определяющие соотношения
делают столь трудной даже проблему распознавания равенства.
И в самом деле, для свободных (т. е. не подчиненных никаким
соотношениям) групп решение проблемы равенства слов было,
по крайней мере на интуитивном уровне, очевидно уже Дику
в 1882 г. Однако в течение почти полустолетия проблема рас-
распознавания равенства для групп с одним соотношением реша-
решалась в основном с помощью геометрических методов для неко-
некоторых групп узлов и для фундаментальных групп двумерных
многообразий до тех пор, пока Шрейер [1927а] не заметил,
что его теорема о свободных произведениях с объединенной
подгруппой дает решение проблемы распознавания равенства
для упомянутого в гл. II. 4 класса групп с одним соотношением.
Эта статья содержит практически все из полученных ранее при-
примеров.
Однако систематическое исследование началось не благодаря
проблеме равенства слов, а благодаря теореме о подгруппах
групп с одним соотношением. Теорема принадлежит Дэну, ко-

ГЛ. II. 5. ГРУППЫ С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ 121
торый назвал ее Freiheitssatz. Это немецкое слово сейчас при-
принято (в англоязычной литературе) в качестве технического
термина; корректным эквивалентом будет «теорема о сво-
свободе». Эту теорему можно сформулировать следующим об-
образом:
Пусть g-v (v=l,2, ...) — множество порождающих некото-
некоторой группы, и пусть R — циклически несократимое слово, состав-
составленное из этих порождающих (это значит, что R не содержит
никаких подслое вида ava~l и a~1av и что первый и последний
символы в R образуют пару, отличную от пар вида av, a~[ и
а~\ av при всех v). Тогда в группе S с порождающими av и
определяющим соотношением R = 1 любое подмножество мно-
множества порождающих, содержащее не все те av, которые вхо-
входят в Ry свободно порождает свободную группу.
Эта теорема является точным аналогом теоремы, утверж-
утверждающей, что неприводимое алгебраическое уравнение, в кото-
котором фактически встречаются п комплексных переменных, не
может иметь своим следствием никакое неприводимое алгебраи-
алгебраическое уравнение, в котором появляются не все из этих пере-
переменных.
Насколько мы знаем, не существует записанного Дэном до-
доказательства (или по крайней мере наброска доказательства)
теоремы о свободе. Тем не менее нужно отметить, что многие
бумаги, оставшиеся после Дэна, очень трудно расшифровать.
Это относится даже к его рукописям, использующим обычный
алфавит. А многие из оставшихся после него заметок написаны
скорописью. Бумаги Дэна хранятся сейчас в архиве Дэна в
Техасском университете. Тем не менее мы кое-что знаем о под-
подходе Дэна к этой проблеме. Очевидно, он чувствовал, что его
доказательство имеет непригодную для публикации форму, и
предложил в июле 1928 г. Магнусу в качестве темы для диссер-
диссертации доказательство теоремы о свободе, наметив метод, кото-
который он использовал, следующим образом:
Предположим, что один порождающий элемент группы S,
окажем t, входит в R, но сумма показателей, с которыми он
входит, равняется 0. Пусть а,Ь,с, ... — остальные порождаю-
порождающие группы S, и пусть So — подгруппа, которую они порож-
порождают. Тогда Дэн рассматривает граф группы S как слоистую
структуру, каждый слой которой состоит из графа одной из
подгрупп tnSot~n = Sn, где яе2. Объединение этих слоев (ко-
(которые, конечно же, могут пересекаться) образует граф нормаль-
нормального делителя N группы S, представителями смежных классов
по которому являются степени элемента t. Проблема заключа-
заключалась в том, чтобы доказать, что каждый слой — дерево.

122 ч- Н- СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Доказательство теоремы о свободе, данное Магнусом в
[1930], чисто алгебраическое. Тем не менее в нем остался один
элемент из подхода Дэна. Это — использование определенного
выше нормального делителя N. Предположим, что порождаю-
порождающий элемент t действительно входит в R и сумма его показа-
показателей равна 0 и что теорема о свободе уже доказана для
групп 5* с одним соотношением R* длины, меньшей, чем длина
элемента R. Тогда подгруппа N имеет следующую структуру:
она содержит бесконечное множество подгрупп 5*, где п про-
пробегает целые числа, каждая из которых изоморфна группе S*.
Можно описать группу N как бесконечное обобщенное свобод-
свободное произведение групп 5*, где при всех п свободные подгруп-
подгруппы групп 5* и 5* + 1 объединяются. Теорема Шрейера показы-
показывает тогда, что в группе 5 порождающие, отличные от t, сво-
свободно порождают свободную группу. Довольно изощренная мо-
модификация этого рассуждения приводит к тому же результату,
если сумма показателей элемента t не равна 0 в R, но таким
свойством обладает другой порождающий, входящий в R. На-
Наконец, если сумма экспонент для каждого порождающего, вхо-
входящего в R, отлична от 0, то этот случай можно свести к пре-
предыдущему, добавив подходящий корень из элемента t к груп-
группе 5 и проведя затем преобразование Нильсена. Здесь под
словами «добавить корень m-Pi степени» мы понимаем следую-
следующее: образуем свободное произведение группы 5 и бесконечной
циклической группы, порожденной элементом т, и отождествим
t с %т. Это приводит к тому, что S вкладывается в большую
группу S', в которой теперь t = %т, т. е. t является т-\\ сте-
степенью.
Эти замечания по поводу доказательства теоремы о свободе
показывают силу теоремы Шрейера о свободных произведениях
с объединенной подгруппой. Однако Магнус в [1930] не исполь-
использовал теорему Шрейера, а непосредственно вывел необходимый
для его доказательства ее частный случай. Только в подстроч-
подстрочном примечании, добавленном при чтении корректуры, Магнус
заметил, что его лемма является непосредственным следствием
результата Шрейера.
Кроме теоремы о свободе Дэн указал Магнусу на другую
проблему, некоторое продвижение в решении которой тоже со-
содержится в работе Магнуса [1930]. Дэн назвал ее проблемой
корня. В своем простейшем варианте она состоит в следующем.
Пусть S — группа с одним определяющим словом R. Какие сло-
слова /?', составленные из порождающих группы S, обладают тем
свойством, что из R' = 1 следует R = 1? Слово R' с таким свой-
свойством называется дедуктивным корнем элемента R. Если в то
же время R является дедуктивным корнем элемента R', то эле-
элементы R и R' называются эквивалентными. Магнус доказал, что

ГЛ. II. 5. ГРУППЫ С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ 123
в этом случае R' в свободной группе сопряжен с R или с /?-'.
Другими словами, если в свободной группе {R} означает нор-
нормальное замыкание элемента R, т. е. нормальный делитель, по-
порожденный всеми сопряженными к R элементами, то в свою
очередь этот нормальный делитель однозначно определяет пару
циклически несократимых слов R±l. Там же перечисляются все
дедуктивные корни некоторых слов специального вида и ставит-
ставится проблема эквивалентности пар определяющих слов, в частно-
частности формулируется вопрос: всегда ли можно перевести друг в
друга с помощью комбинаций сопряжений и преобразований
Нильсена эквивалентные пары определяющих слов? (Эти ком-
комбинации позже Рапапорт в [1968] назвала Q-преобразованиями.)
Эта проблема корня была в модифицированной форме снова
рассмотрена значительно позже Стейнбергом [1964]. Незави-
Независимо от теории заданий групп Бэр [1945] исследовал значи-
значительно более изолированную проблему представления групп в
виде факторгрупп.
Присоединение к группе элементов, которое в простейшей
форме появилось в работе Магнуса [1930] в качестве инстру-
инструмента для решения другой проблемы, было в полной общности
рассмотрено Б. Нейманом в [1943а]. Он основывает свои дока-
доказательства непосредственно на теореме Шрейера. Из многих по-
последующих статей на эту тему мы здесь упомянем только не-
некоторые ранние работы. Скотт в [1951] использовал идею при-
присоединения элементов для введения понятия алгебраически зам-
замкнутой группы и показал, что каждая такая группа содержит
все конечные группы. (В гл. II. 11 мы встретимся с замечатель-
замечательным усилением этой теоремы.) Герштенхабер и Ротхаус [1962]
доказали тонкую теорему о возможности присоединения решений
г уравнений от г неизвестных к конечно порожденной группе G,
если она изоморфна подгруппе компактной связной группы Ли
Я. Группа, получающаяся в результате такого присоединения,
тоже имеет изоморфную копию в Н. Интерес Неймана к част-
частному случаю этой задачи, когда присоединяются только корни из
элементов, привел также к диссертации Баумслага [I960]. Она
содержит систематическую теорию следующего класса групп:
пусть <в означает непустое множество простых чисел у. Классы
Е, U, D определяются как классы групп, в которых каждый эле-
элемент для каждого уеш имеет соответственно по крайней мере
один, максимум один или в точности один корень у-й степени.
Использование основного результата, полученного Магнусом
[1930], а именно теоремы о свободе, началось с двух статей Маг-
Магнуса [1931], [1932]. Первая содержит решение проблемы распоз-
распознавания равенства для частного класса групп с одним соотноше-
соотношением, а вторая содержит решение проблемы распознавания ра-
равенства для всех групп с одним соотношением. Существенной
чертой этого решения проблемы равенства и, более общо, всех

124 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОП ТЕОРИИ ГРУПП
решений проблемы равенства, которые используют теорему
Шрейера, является то, что они требуют решения проблемы, ко-
которую Магнус назвал erweitertes Idenfcitatsproblem и которую
называют теперь проблемой (распознавания) вхождения. Она
была сформулирована Михайловой в [1958] так: Пусть G —
группа, и пусть W— произвольное слово, составленное из ее
порождающих. Найти алгоритм для решения того, является или
нет W элементом конечно порожденной подгруппы Н, порож-
порождающие которой заданы явно в виде слов от порождающих
группы G. Нильсен в [1921] решил эту проблему для свободных
групп. У Магнуса в [1930], [1932] она появляется только в ча-
частном виде, где порождающие группы Н образуют собственное
подмножество множества порождающих группы G. Этот частный
случай известен также под названием обобщенной проблемы
распознавания равенства. Очевидно, что решение проблемы ра-
равенства для свободного произведения групп d и G2 с объеди-
объединенными изоморфными подгруппами Нг и Н2 требует, в сущ-
сущности, решения проблемы вхождения для Я,- в G, (/ = 1,2).
Очень беглый набросок доказательства теоремы о свободе
появился в книге Рейдемейстера [1932b]. После этого следую-
следующее и наиболее важное применение этой теоремы было найдено
в статье Линдона [1950], которая появилась под влиянием Рей-
Рейдемейстера, встретившегося с Линдоном в Принстоне в 1948 г.
Мы хотели бы привести один из результатов Линдона. Но для
этого нам нужно сначала сказать несколько слов о диссертации
Пайффер [1949], которая тоже была написана под влиянием
Рейдемейстера. Пайффер начинает со свободной группы Z с по-
порождающими sv (v = 1, ..., п) и Гц (|д = 1, ..., m) и строит
нормальный делитель R*, порожденный всеми элементами вида
tr^t-1, где t — произвольное несократимое слово, составленное из
sv- Тогда факторгруппа Z/R* является свободной группой S со
свободными порождающими sv- Затем она (Пайффер) опреде-
определяет гомоморфизм W группы R* на нормальную подгруппу N
группы 5. Для этого при ц= I, 2, ..., m задаются произволь-
произвольные, отличные от 1 элементы Щлц) группы S и постулируются
равенства
({v))\ Witr^^tWir^r1 для всех /sS
и вообще
W (r/l) ^ W (r\) W (г\) для всех r\, r\ s R\
Ясно, что S/N является группой с порождающими sv и опреде-
определяющими соотношениями 1F(/v)= I, a N получается из группы
R* заменой символов гп словами И?(/"ц), составленными из
букв sv.
Теперь возникает следующая проблема: задать группу N че-
через порождающие группы R* как факторгруппу R*/K группы R*

ГЛ. П. 5. ГРУППЫ С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ 125
по подходящему множеству определяющих соотношений. Группа
R* свободно порождена элементами tr^t-1, где \х = 1, ..., т at
пробегает полное множество несократимых слов, составленных
из порождающих sv. Пусть Qitr^t-1)—некоторое слово, состав-
составленное из этих порождающих. Отображение W переводит Q
в элемент
группы N. Если Qk — слово такого типа, такое что
то Qk называется производным тождеством. Все такие Qs яв-
являются произведениями слов, сопряженных левым частям опре-
определяющих соотношений в задании группы N через порождаю-
порождающие группы R*.
Эти соотношения всегда можно выбрать так, чтобы среди Qk
были все слова, определяемые формулой
где
p, о = 1, 2, ..., m, t\ = W (t2rat2V) h
и где t\, U независимо пробегают несократимые слова, состав-
составленные из sv- Такие слова Р называются тождествами Пайффер.
Группа R с порождающими sv, Гц. и определяющими соотноше-
соотношениями Р = 1 может быть, а может и не быть группой N. Один
из основных результатов статьи Пайффер [1949] состоит в сле-
следующем:
Если п > 1, то группа N является факторгруппой группы R
по ее центру.
Эта работа содержит также другие результаты, связанные
с изменением множества порождающих группы R*, а также с то-
топологическими конструкциями, которые связывают двумерные
комплексы с некоторыми введенными в работе группами. Мы не
будем все это здесь описывать и привели довольно подробный
обзор первой части статьи Пайффер [1949] только потому, что
не могли найти в имеющихся учебниках и монографиях ника-
никакого упоминания о ней.
Возвращаясь теперь к статье Линдона [1950], мы можем
сформулировать ее первую основную теорему:
Рассмотрим группу с порождающими sv и единственным опре-
определяющим соотношением W(r\)= 1. Если W(r\) как несократи-
несократимое слово, составленное из sv, не равно в свободной группе ника-
никакой степени Ve другого слова V, составленного из sv, при е > 1,

126 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
то тождества Пайффер определяют полный набор производных
тождеств. Если такое е > 1 существует и если е максимальное
из возможных, то, чтобы получить полную систему тождеств, мы
должны добавить к тождествам Пайффер производные тождества
e=l, 2, ..., е~\.
Вторая часть статьи Линдона содержит вычисление групп
когомологий для групп с одним соотношением. Мы не имеем
возможности вдаваться в детали. Беглый обзор роли теории
групп когомологий в комбинаторной теории групп можно найти
в гл. II. 9.
Отметим кстати, что Дэн упоминал проблему производных
тождеств в начале 1930-х годов во время одной беседы с Маг-
Магнусом. Однако в дальнейшем ни Дэн, ни кто-либо из его учени-
учеников не исследовал эту проблему.
Следующая общая теорема о группах с одним соотношением
была установлена Каррасом, Магнусом и Солитэром в [I960].
Пусть 5 — группа с порождающими av и одним циклически не-
несократимым соотношением R = 1. Предположим, что в свобод-
свободной группе, порожденной элементами av, слово R можно запи-
записать в виде R = Qe, где положительный показатель е максима-
максимален. Тогда при е = 1 группа 5 не имеет отличных от 1 элемен-
элементов конечного порядка. При е > 1 все элементы конечного по-
порядка, отличные от 1, сопряжены степеням элемента Q, и их по-
порядки являются делителями числа е, а порядок элемента Q в
точности равен е. При доказательстве использовались те же ме-
методы, что и в статье Магнуса [1932].
Последняя общая теорема, которую мы здесь упомянем,
принадлежит Багерзаде [1975]:
Пусть М — подгруппа группы S с одним определяющим, со-
соотношением, порожденная подмножеством порождающих ах, та-
таким, что к нему применима теорема о свободе. Пусть se5 —
элемент, не содержащийся в М. Тогда подгруппа, являющаяся
пересечением М и s~lMs, циклическая.
Около I960 г. теория групп с одним соотношением получила
новый стимул для своего развития. Это произошло благодаря
открытию Баумслага, обнаружившего, что группы с одним со-
соотношением, имеющие кручение (т. е. элементы конечного по-
порядка, отличные от единицы), можно успешно исследовать мето-
методами, которые неприменимы к группам без кручения. Баумслаг
совместно с другими авторами, в частности с Каррасом и Соли-
Солитэром, показал, что некоторые группы с одним соотношением
могут быть устроены весьма сложно. Результаты этих трех ав-
авторов прочертили границу между свободными группами и груп-
группами с одним соотношением, показав, какие свойства свободных

ГЛ. П. 5. ГРУППЫ С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ 127
групп сохраняются для групп с одним соотношением, а какие
нет. На эти достижения, которые начали появляться через 30 лет
после доказательства теоремы о свободе, можно посмотреть с
двух точек зрения. С одной стороны, можно сказать, что теорема
о свободе и последующее решение Магнусом проблемы распозна-
распознавания равенства для групп с одним соотношением оставили впе-
впечатление, что с группами с одним соотношением почти так же
легко работать, как со свободными группами, и что этот факт
надолго задержал более тщательное исследование групп с одним
соотношением. Такая интерпретация принадлежит Баумслагу и,
конечно, является весьма правдоподобной. С другой стороны,
можно подчеркнуть, что Дэн с его необычайной интуицией обна-
обнаружил тот единственный аспект, в котором группы с одним со-
соотношением абсолютно похожи на свободные группы.
Мы сначала опишем состояние наших знаний о группах с од-
одним соотношением, имеющих кручение. Чтобы избежать утоми-
утомительных повторений, мы (только в этой главе) будем обозна-
обозначать такие группы буквой Т. Затем мы приведем некоторые при-
примеры групп с одним соотношением, имеющих удивительные свой-
свойства.
В статье [1968], тема которой была предложена ему Баум-
слагом, Б. Ньюман анонсировал следующий результат, который
сейчас известен как теорема транскрипции:
Пусть Т — группа с порождающими Ь, с, d, ... и определяю-
определяющим словом R, которое циклически несократимо и равно в сво-
свободной группе некоторому слову Qn, где п > 1. Пусть, далее,
W—несократимое слово, содержащее букву Ъ, и пусть V — не-
несократимое слово, не содержащее буквы Ь. Предположим, что W
и V определяют в Т один и тот же элемент. Тогда W содержит
подслово, которое тождественно равно подслову слова Q±n и
длина которого больше, чем (п — ri)^, где q — длина слова Q.
В качестве следствия Ныоман получает, что для Т разреши-
разрешима проблема сопряженности. До сих пор A980 г.) аналог этого
результата для групп с одним соотношением без кручения полу-
получен только в некоторых частных случаях.
Другое следствие результата Б. Ньюмана можно охарактери-
охарактеризовать как замечательное обобщение теоремы о свободе в слу-
случае групп с кручением, заданных только двумя порождающими
Ъ, с и одним соотношением. В этом случае сама теорема о сво-
свободе тривиальна. Но Ньюман показал, что если R не является
степенью элементов Ь или с, то элементы Ьу и с свободно по-
порождают свободную подгруппу группы Т при условии, что
у > 2р, где р — наибольшая абсолютная величина показателей
элемента b в R. Более слабый вариант этого следствия получили
Ри и Мендельсон в [1974], используя представление группы Т

128 Ч. П. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
B X 2)-матрицами. Магнус в [1975] показал, что этот метод не
может дать полностью результат Ньюмана и что существует бес-
бесконечно много групп Т, не имеющих точного матричного пред-
представления такого типа. Его доказательство использует теорему
об эквивалентных соотношениях, установленную вслед за теоре-
теоремой о свободе.
Доказательство Б. Ньюмана теоремы о транскрипции не было
опубликовано, но короткое доказательство, принадлежащее Мак-
кулу и Шуппу, появилось на с. 279—282 в книге Линдона и
Шуппа [1977]. Нет смысла воспроизводить здесь (опубликован-
(опубликованную на с. 148—158 той же монографии) коллекцию из 31 из-
известной теоремы о произвольных и конкретных группах с одним
соотношением. Мы отметим только две поздние работы Прайда
[1977а], [1977b]. Первая из них описывает структуру всех под-
подгрупп с двумя порождающими любой группы Т, а вторая содер-
содержит решение проблемы изоморфизма для класса групп Т с дву-
двумя порождающими. Это пока что наиболее значительный из по-
полученных до сих пор (до 1980 г.) результатов, относящихся к
трудной проблеме изоморфизма.
Мы завершаем эту главу несколькими примерами групп с од-
одним соотношением, имеющих неожиданные свойства. Первым
примером является группа Si, m с порождающими а, Ъ и опре-
определяющим соотношением
Баумслаг и Солитэр [1962] доказали, что при взаимно простых
/, т ^ 2 такая группа нехопфова; это значит, что она содержит
такой нормальный делитель N ф\, что Si, т изоморфна группе
Si, m/N. Существование бесконечно порожденных нехопфовых
групп очевидно. Хопф в работе [1930] поставил вопрос о том,
существуют ли конечно порожденные и, в частности, конечно
заданные группы с этим свойством; хопфовость свободных ко-
конечно порожденных групп была установлена алгебраическими
методами Магнусом в [1935]. Затем стало ясно, что это следует
также из результатов Нильсена [1921], Мальцева [1940] и
М. Холла [1950а]. Но первые конечно порожденные нехопфовы
группы были построены Б. Нейманом лишь в работе [1950], а
первые конечно заданные нехопфовы группы были вскоре обна-
обнаружены Хигманом [1951b]. У группы Хигмана три порождаю-
порождающих а, Ь, с и два определяющих соотношения
После этого оставался открытым вопрос, поставленный Б. Ней-
Нейманом, верно ли, что по крайней мере группы с одним соотно-
соотношением хопфовы. Примеры Баумслага — Солитэра показывают,
что это не всегда так. Кроме того, их статья содержит резуль-

ГЛ. II. 5. ГРУППЫ С ОДНИМ СООТНОШЕНИЕМ 129
тат, гласящий, что группа с порождающими a, b и определяю-
определяющим соотношением
хопфова, хотя она содержит нехопфову подгруппу, изоморфную
S2,3.
И в других отношениях группы Si, m сильно отличаются от
свободных групп. Это видно, например, из замечания Б. Нью-
мана (см. [1968]), что группа S2p, 2 (где р— простое число) со-
содержит абелеву подгруппу, изоморфную аддитивной группе
р-адических рациональных чисел и, следовательно, не конечно
порождена. В свободной группе любая абелева подгруппа по-
порождается одним элементом. (Ньюман показал также, что груп-
группы с одним соотношением без кручения не могут содержать в
качестве подгруппы аддитивную группу всех рациональных чи-
чисел.)
С другой стороны, существуют группы с одним соотноше-
соотношением, у которых столько общих свойств со свободными группа-
группами, что удивительным является то, что они сами не свободны.
Эти группы мы обозначим через S\ ,, где i, / — ненулевые целые
числа. Они являются частным случаем групп, которые Баумслаг
[1969] назвал парасвободными, и определяются как группы с
тремя порождающими а, Ь, с и одним определяющим соотно-
соотношением
Группы S* . имеют следующие общие свойства со свободной
группой F ранга 2:
(i) S* содержит свободный нормальный делитель, фактор-
факторгруппа по которому — бесконечная циклическая группа.
(И) Каждая подгруппа с двумя порождающими группы S*t ,
свободна.
(ш) Пусть ynG означает п-н член нижнего центрального
ряда группы G (определение см. в гл. II. 7). Тогда пересечение
всех групп ynS* . является единичным элементом и
всех л-
(iv) S] J-/SJ". SiF/F", где G" — вторая производная подгруппа
группы G (т. е. [Gf, G'], где G' = [G,G]).
Трудность проблемы изоморфизма для групп с одним соот-
соотношением без кручения хорошо иллюстрируется тем обстоятель-
обстоятельством, что до сих пор A980 г.) не получено доказательства того,
что какие-либо две из групп S* , неизоморфны.

130 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Вероятно, наиболее удивительным из перечисленных свойств
является свойство (iii). В пользу его нетривиальности свиде-
свидетельствует доказанное Магнусом в [1939с] утверждение о том,
что группа Gcm + r порождающими и г определяющими соот-
соотношениями является свободной группой Fm ранга т, если G
можно представить как группу с т порождающими. Доказатель-
Доказательство основано на том факте, что в этой ситуации ynFm/yn+[Fm и
4nG/yn+\G должны быть изоморфны при всех п. Следовательно,
можно было бы предположить, что и, наоборот, наличия этих
изоморфизмов достаточно для доказательства того, что G изо-
изоморфна Fm, если пересечение всех подгрупп y,,G тривиально. Ко-
Конечно, группы S? . являются контрпримерами, опровергающими
это предположение.
Наших знаний о группах с одним соотношением сейчас до-
достаточно для написания монографии, посвященной исключитель-
исключительно этой теме. По существующим учебникам и особенно по сбор-
сборнику рефератов из Mathematical Reviews (т. 1—40), составлен-
составленному Баумслагом [1974], ясно видно, каким большим объемом
информации мы располагаем. Целью же настоящей главы было
просто показать, что класс групп с одним соотношением хотя и
достаточно велик, чтобы быть интересным, но слишком ограни-
ограничен, чтобы быть объектом систематического исследования. В на-
настоящее время (к 1980 г.) нет оснований полагать, что в обо-
обозримом будущем можно будет построить систематическую тео-
теорию групп с двумя определяющими соотношениями.
Глава II. 6
МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
Название этой главы не вполне отражает ее основную цель.
Мы обсудим метабелевы группы именно здесь, а не в разделе
«Специальные группы» гл. II. 10, где это казалось бы более есте-
естественным, так как изучению этих групп положили начало про-
проблемы, возникшие в трех различных областях за пределами тео-
теории групп. В течение короткого отрезка времени Фуртвенглер
[1930], Рейдемейстер [1932а] и Муфанг [1937] использовали
метабелевы группы для решения проблем, имеющих отношение
к алгебраической теории чисел, теории узлов и основаниям гео-
геометрии соответственно. Мы приведем необходимую информацию
об этих проблемах, начав с нескольких замечаний об авторах.
Затем будут рассмотрены теоремы о метабелевых группах, ис-
использованные при решении упомянутых проблем. Закончим мы
беглым обзором некоторых более поздних достижений, возник-
возникших из этих первоначальных или связанных с ними исследо-
исследований.

ГЛ. II. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 131
Филипп Фуртвенглер A869—1940) учился в Гёттингене в то
время, когда Гильберт занимался там теорией чисел. Фуртвенг-
Фуртвенглер внес фундаментальный вклад в теорию полей классов —
ветвь алгебраической теории чисел, созданную Гильбертом.
«Теорема о главных идеалах», доказательство которой является
целью обсуждаемой здесь статьи Фуртвенглера, была последней
из не доказанных к тому времени общих гипотез, сформулиро-
сформулированных Гильбертом. В своих теоретико-числовых статьях Гиль-
Гильберт систематически использует теорию групп, но все группы,
появляющиеся в его работах, абелевы. Замечательно, что Фурт-
Фуртвенглер проявил активный интерес к неабелевым группам за-
задолго до того, как их применимость к теории чисел была обна-
обнаружена Артином в статье [1927]. Чтобы подтвердить последнее
замечание, напомним, что тема диссертации Шрейера была ему
предложена Фуртвенглером еще до 1923 г. и относится к общей
теории расширений групп. Между прочим, распределение статей
Фуртвенглера по многим годам, в течение которых он продук-
продуктивно занимался математикой, демонстрирует феномен, несов-
несовместимый с широко распространенным взглядом, согласно кото-
которому математик в молодости создает оригинальные идеи и, если
он вообще продолжает продуктивно работать, то использует по-
последующие годы для получения результатов, фундамент которых
он заложил в юности. Однако Фуртвенглеру был 61 год, когда
появилась его статья с теоремой о главных идеалах, причем идеи
и техника, на которой базируется ее доказательство, были раз-
развиты только в предыдущем десятилетии, и это развитие отчасти
было начато им самим. Кроме того, его теорема далеко не три-
тривиальна: в противном случае Артин, который открыл теоретико-
групповую формулировку этой теоремы и был одним из наиболее
блестящих молодых математиков своего поколения, сам бы дока-
доказал ее. Между прочим, имя Артина снова появится ниже в связи
с этой проблемой.
Оценка работы Рейдемейстера уже была дана в гл. II. 3.
Рут Муфанг A905—1977) была студенткой Макса Дэна.
Большая часть ее работы посвящена проблемам оснований гео-
геометрии. Ее наиболее выдающимся вкладом в эту область яв-
является результат, который добавляет третье важное открытие к
двум другим, ранее сделанным Гильбертом [1901, 1930]. От
Евклида к Декарту геометрия заменялась алгеброй — основой
всей математики. Повернув это развитие вспять, Гильберт пока-
показал, что подмножество его системы аксиом для геометрии на
плоскости (в сущности, аксиомы инцидентности) вместе с тео-
теоремой инцидентности Дезарга позволяет ввести координаты на
прямой, которые являются элементами некоторого тела. Если
заменить теорему Дезарга на теорему Паппа, то эти координаты
становятся элементами поля. Муфанг [1933] показала, что дру-
другая теорема инцидентности, названная теоремой о полном четы-

132 ч- П. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
рехугольнике (или об инвариантности четвертой гармонической
точки), позволяет ввести координаты, являющиеся элементами
альтернативной алгебры с делением. Эта и следующая [1934]
ее статьи стимулировали дальнейшее исследование этих алгебр
и других неассоциативных алгебраических структур (луп Му-
фанг). Ее работа основана на мощной геометрической интуиции
и на развитии трудной алгебраической техники. Она дополнена
серией работ по квантовой механике. Эти работы возникли вслед-
вследствие того, что при гитлеровском режиме германский министр
образования запретил принимать ее на работу на преподава-
преподавательскую должность. Она стала одной из первых математиков в
Германии, кто, имея докторскую степень, пошел работать в про-
промышленные фирмы; и уж конечно, Муфанг оказалась первой
женщиной в Германии, занявшей такое положение. В 1946 г.
она вернулась к преподавательской работе и стала первой жен-
женщиной— профессором математики в Германии. Ниже мы рас-
рассмотрим ее единственную статью по теории групп и объясним,
как ее истоки связаны с основаниями геометрии.
А. Теорема о главных идеалах
В качестве косвенного источника, содержащего информацию
о статье Фуртвенглера [1930], упомянем работу Эдвардса
[1977], в которой имеется исторический обзор алгебраической
теории чисел вплоть до работ Гильберта, и добавление Г. Хассе
в книге Гильберта [1932], где кратко изложены результаты бо-
более поздних исследований вплоть до 1930 г., кончая формулиров-
формулировкой результата Фуртвенглера. Здесь мы можем дать лишь не-
несколько определений и коротко пояснить, почему теорема о глав-
главных идеалах привлекла столько внимания.
Пусть К — конечное алгебраическое расширение поля Q ра-
рациональных чисел, и пусть R(K)— кольцо целых алгебраических
чисел в К- В общем случае элементы из R(K) не разлагаются
однозначно (с точностью до обратимых элементов) в произве-
произведение простых чисел. Однако идеалы в R{K) разлагаются одно-
однозначно в произведение простых идеалов. Семейство идеалов
кольца R(K) распадается на конечное число непересекающихся
классов, которые определяются следующим образом. Пусть /i
и /г — два идеала из R(K). Тогда ]\ и /2 принадлежат одному
и тому же классу идеалов тогда и только тогда, когда суще-
существуют элементы а и р из R(K), такие, что
Здесь {а}, {Р} означают главные идеалы, порожденные элемен-
элементами аир соответственно (т. е. идеалы, состоящие из произве-
произведений элемента а (соответственно р) на произвольные элементы
из /?(/С)).

ГЛ. П. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 133
Рассмотрим теперь поле К*, являющееся конечным нормаль-
нормальным расширением (или расширением Галуа) поля К- Пусть п —
степень поля К* над К- Про'стой идеал я кольца R(K) или будет
произведением d различных простых идеалов кольца R(K*), где
d — делитель числа п, или будет делиться на степень л*а про-
простого идеала я* из R(K*), где d > 1. В последнем случае мы
скажем, что К* разветвлено над К- (Этот термин возникает из
алгебраической теории римановых поверхностей, т. е. из теории
конечных алгебраических расширений Е поля рациональных
функций комплексного переменного с коэффициентами из поля
С, комплексных чисел. Точка на римановой поверхности может
быть при этом описана как идеал в подкольце, содержащемся
в ?.)
Теория полей классов имеет дело со случаем, когда группа
Галуа поля /<* над К абелева. Она описывает разложение в
R(K*) идеалов я из R(K). Наиболее элементарный пример этой
красивой, но сложной теории дается теоремой Лежандра, со-
согласно которой нечетное простое число р являехся суммой двух
квадратов натуральных чисел тогда и только тогда, когда р =
= 1 mod 4. (В этом случае R(K) является кольцом Z целых чи-
чисел и R(K*) является кольцом Z(i) целых гауссовых чисел.)
Здесь мы не можем пытаться дать что-либо, претендующее на
полное описание теории полей классов, но теперь мы по крайней
мере можем сформулировать теорему о главных идеалах. Она
гласит:
Пусть задано поле К- Тогда существует максимальное нераз-
ветвленное расширение Галуа К* поля К с абелевой группой
Галуа. В R(K*) каждый идеал из R(K) становится главным.
Эту теорему можно проиллюстрировать на простейшем при-
примере— в случае, когда К получается из Q присоединением
у— 5 . Кольцо R(K) тогда имеет два класса идеалов. Присоеди-
Присоединением V— 1 к К мы получаем неразветвлеиное расширение
К*, такое, что в R(K") каждый идеал, порожденный элементами
из R(K), становится главным. (Согласно Гильберту [1932, с. 51],
в действительности все идеалы в R(K*) главные.)
Теорема о главных идеалах показывает, что, вложив кольцо
R(K) в большее кольцо, мы избавляемся от необходимости опе-
оперировать с идеалами вместо чисел для получения теоремы об
однозначном разложении на множители. (Конечно, вычислитель-
вычислительные преимущества, связанные с этим открытием, минимальны,
поскольку практически все кольца R(K) содержат бесконечно
много обратимых элементов, а единственными исключениями яв-
являются целые числа и мнимоквадратичные поля.) Далее, в об-
общем случае число классов идеалов в большем кольце может быть
не равно единице. В этом отношении пример, приведенный выше,

134 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
неадекватен. Возникает вопрос, поставленный Фуртвенглером и
известный как проблема башни полней классов: приведет ли ко-
конечное число повторений описанного выше процесса, ведущего
от К к К*, в конечном счете к кольцу, где все идеалы, а не толь-
только те, которые порождены элементами из R(K), станут глав-
главными? В общем случае этого не произойдет. В красивой работе
[1964] Голод и Шафаревич дали критерий для поля алгебраи-
алгебраических чисел К, гарантирующий, что К нельзя вложить ни в ка-
какое другое поле алгебраических чисел К** конечной степени над
Q, такое, что в /?(/(**) каждый идеал является главным. Они
показали также, что это явление может иметь место уже для
некоторых мнимоквадратичных числовых полей, т. е. для полей,
которые получаются из Q присоединением V—D, где D — по-
положительное целое число. В качестве примера они берут
?) = 3 -5 • 7 • 11 - 13 - 17 - 19 = 4 849 845.
Кох в [1969] показал, что существует бесконечно много даже
таких полей, где D является произведением лишь четырех про-
простых чисел.
Статья Голода и Шафаревича [1964] содержит несколько
алгебраических теорем, необходимых для доказательства их тео-
теоретико-числового результата. Некоторые из них являются чисто
теоретико-групповыми и будут сформулированы после описания
статьи Фуртвенглера, к которому мы сейчас переходим.
Фуртвенглер в начале своей статьи [1930] с благодарностью
отмечает работы Артина [1927] и Шрейера [1926а, Ь], которые
содержат теоретико-групповую формулировку теоремы о глав-
главных идеалах и основные результаты теории расширений групп
соответственно. Затем он определяет метабелеву группу М как
группу с абелевым коммутантом М'. Этот термин стандартен, но
в более ранней литературе многие авторы использовали его для
обозначения групп, у которых факторгруппа по центру абелева.
Такие группы сейчас называются нильпотентными группами
класса 2. Они образуют собственный подкласс в классе метабе-
левых групп.
Фуртвенглер использует следующее обозначение, которое с
тех пор стало стандартным и которое, как он говорит, подска-
подсказано обозначениями, привычными в теории чисел. Пусть а, Ь —
любые элементы группы G, тогда b~lab записывается как аь.
Нам потребуются только конечно порожденные группы М, для
которых М/М' конечна. Абелева группа А=М/М' будет тогда
прямым произведением конечного числа конечных циклических
групп.
Пусть {si\i=l, ..., п}—такое множество элементов из М,
что произведения
s = s™'s™a • •. s™«, 0<m(. <et, i=l я,

ГЛ. II. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 135
образуют полную систему различных представителей смежных
классов группы М по М'; при этом мы предполагаем, что
Для каждого элемента t e M' элемент ts зависит только от
смежного класса sM'. Теперь введем групповое кольцо Z (А)
абелевой группы А над кольцом целых чисел с помощью отобра-
отображения
s{ lM ->¦ о\ • sM ->• or, xa2 2 . .. апп, М -^ 1,
где а,- — порождающие коммутативного кольца, в котором
а\1 -1=0.
Для каждого элемента aeZ(A) мы можем определить ta, где
а — это многочлен от сть ..., оп с целыми коэффициентами сте-
степени не более е,— 1 по переменной ст,-. Элемент Vх определен од-
однозначно, поскольку для любых a, peZ (А) и t f= M
Следовательно, можно согласованным образом положить
Теперь мы в состоянии, наконец, сформулировать результат
Фуртвенглера, из которого следует теорема о главных идеалах
для полей алгебраических чисел. Он гласит:
Пусть
и предположим, что М порождается элементами si, t= 1, 2, ...
..., п. Тогда
fU •¦• h-\U+\ ¦¦¦ fn — i
для любого набора элементов tt = sf' e M''.
Здесь, конечно, следует заметить, что U будет удовлетворять
соотношению
Доказательство Фуртвенглера насчитывает почти 20 печатных
страниц изощренных вычислений. Позже мы упомянем другие

136 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
доказательства, но сначала дадим обзор истории проблемы
башни групп, которая возникла из проблемы башни полей клас-
классов, и опишем теоретико-групповой результат, найденный и ис-
использованный Голодом и Шафаревичем в их конструкции бес-
бесконечной башни полей классов.
В своем простейшем варианте проблема башни групп форму-
формулируется следующим образом. Пусть Р — конечная р-группа, т. е.
группа, в которой порядок каждого элемента является степенью
фиксированного простого числа р. В такой группе последователь-
последовательность производных групп Р, Р', Р", ..., в которой каждый член
является коммутантом предыдущей группы, обязательно закан-
заканчивается за конечное число шагов единичным элементом, т. е.
/>(") = 1 для достаточно большого п. Вопрос: пусть задана абе-
лева группа А — Р/Р'; существует ли верхняя граница для чис-
числа п, зависящая только от структуры и порядка группы Л? Она
существует, если А циклическая, и в этом случае п = \, или
если А имеет порядок 4, и в этом случае п ^ 2. Но, согласно
Серру [1964], это не так во всех остальных случаях. Указанная
статья Серра завершает серию исследований по этой проблеме.
Некоторые из них в какой-то степени теоретико-числовые
(Шольц и Таусски [1934]), а большая часть — чисто теоретико-
групповые (Таусски [1937], Магнус [1935], Ито [1950] —мы
упоминаем только ранние статьи).
Несмотря на эти теоретико-групповые результаты, могло бы
оказаться, что башня полей классов всегда конечна. То, что это
тоже не так, следует из двух теорем, одна из которых чисто
теоретико-групповая и принадлежит Голоду и Шафаревичу
[1964]. Она гласит:
Пусть Р — конечная р-группа и d(P) — минимальное число ее
порождающих (которое, согласно Бернсайду [1913], всегда рав-
равно минимальному числу порождающих группы А = Р/Р'). Пусть
г(Р) — минимальное число определяющих соотношений, необхо-
необходимых для задания группы Р. Тогда
r(P)>\{d{P)-\f.
Теперь чтобы получить конструкцию поля алгебраических чи-
чисел К, для которого башня полей классов бесконечна, нужна
теорема Шафаревича [1963]. Рассматривая только р-компоненту
(которую мы здесь определять не будем) группы башни полей
классов, мы получим или конечную р-группу Р, если башня об-
обрывается, или так называемую про-р-группу Р*.
Группа Р* является обратным пределом (это понятие будет
определено в конце гл. П. 9) бесконечной последовательности
конечных р-групп. Минимальное число d ее порождающих яв-
является также минимальным числом порождающих р-компоненты

ГЛ. II. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 137
(абелевой) группы Галуа Gal (/(*//() поля классов К* поля К-
Для Р* можно определить (конечное) число г*(Р*) как аналог
минимального числа г{Р) определяющих соотношений для конеч-
конечной р-группы Р. Если башня полей классов конечна, то г = г*.
Наконец, пусть р — минимальное число порождающих муль-
мультипликативной группы обратимых элементов в К- Это алгебраи-
алгебраические целые числа е в К, для которых e-I тоже целое алгебраи-
алгебраическое число. Шафаревич в [1963] доказал, что
и заметил, что из указанного выше в теореме Голода и Шафаре-
впча неравенства вытекает, что группа башни полей классов
должна быть бесконечной, если
Явное построение мнимоквадратичного поля с бесконечной баш-
башней полей классов можно теперь получить из теоретико-число-
теоретико-числовых результатов, восходящих к Гауссу.
Мы не будем здесь упоминать статьи, связанные с результа-
результатами, полученными Голодом и Шафаревичем (и частично уси-
усиливающие их). Хотелось бы остановиться на значении этих ре-
результатов. Использование теории групп (включая неабелевы
группы) в теории полей алгебраических чисел не является, ко-
конечно, чем-либо новым. Характеризуя работу Галуа, Жордан
сказал, что «теория групп является метафизикой теории урав-
уравнений», и Zahlbericht Гильберта содержит многочисленные при-
примеры использования теории групп в теории алгебраических чи-
чисел. Теорема же Голода и Шафаревича является первой важной
теоремой, которая верна для большого класса групп и в кото-
которую существенно входит минимальное число определяющих со-
соотношений для задания группы. Кроме того, конструкция про-
р-групп основана на введении топологических понятий в теорию
счетных групп, что стало возможным только после того, как бо-
более ранние топологические понятия, такие, как «открытое мно-
множество» и «окрестность», были очищены посредством абстрак-
абстракции. Мы полагаем, что такое сочетание идей из различных обла-
областей делает теорему Голода и Шафаревича особенно интересной.
Вернемся теперь к доказательству теоремы о главных идеа-
идеалах. Обычно первые доказательства теорем являются трудными
и впоследствии бывают упрощены. Что касается доказательства
Фуртвенглера, задача его упрощения была поставлена Магнусу
Зигелем в 1932 г. Так случилось, что в то время Магнус заинте-
заинтересовался другим вопросом, касавшимся метабелевых групп и
поставленным топологом Кнезером, который спросил, существуют
ли группы евклидовых преобразований плоскости, имеющие два
порождающих и бесконечное число соотношений. Любая такая

138 ч- П. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
группа является метабелевой и может быть представлена па-
парой матриц вида
(g t\
U l )•
где g, t — комплексные числа и |g|= 1. Используя методы Маг-
Магнуса из [1934b], легко показать, что даже свободные метабе-
левы группы с конечным числом порождающих (т. е. группы с
определяющими соотношениями, выражающими тот факт, что
любые два коммутатора коммутируют) имеют точное представ-
представление такими матрицами. Однако оказалось на удивление труд-
трудным установить, что такая группа может не задаваться конеч-
конечным числом соотношений. В более общих условиях это было
доказано А. Л. Шмелькиным [1965а]. Магнусу [1934b] удалось
упростить доказательство теоремы о главных идеалах, показав,
что введенная ранее в этой главе метабелева группа М имеет
точное матричное представление, заданное отображением вида
vo l У
где ti — независимые переменные. Произвольный элемент 5 из
М представляется тогда матрицей
О 1
где L — линейная форма от ti с коэффициентами из группового
кольца абелевой группы А = М/М' (порожденной элементами
ст,), а а — произведение элементов а,, т. е. элемент из А. Дока-
Доказательство основано на теореме Рейдемейстера — Шрейера. Его
легко можно обобщить на более сложные случаи. В самой об-
общей форме оно выглядит так. Пусть G — группа с порождаю-
порождающими gv, где v пробегает какое-то множество индексов, a F —
свободная группа со свободными порождающими g*. Тогда G
является факторгруппой группы F относительно гомоморфизма,
заданного отображением g* *—> gv- Пусть R — ядро этого отобра-
отображения и R' — коммутант группы R. Тогда группа F/R' имеет
точное представление группой BX2)-матриц с нулем в левом
нижнем углу и порождается матрицами вида
о
1 )•
где U — независимые переменные, коммутирующие со всеми gv.
Произвольный элемент из F/R' имеет тогда вид
(g Le\
VO 1 )'

ГЛ. II. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 139
где g — элемент из G, a Lg — линейная форма от (конечного
числа) элементов tv с коэффициентами из целочисленного груп-
группового кольца Z (G) группы G. Для конечных групп эта тео-
теорема была доказана Магнусом в [1939b], который использовал
ее для упрощения доказательства теоремы М. Холла из [1938]
в теории расширений групп. Для произвольных групп она была
полностью доказана М. Холлом [1959, с. 256]. Возможность эф-
эффективного использования этого результата основана на том, что
абелева группа R/R' (являющаяся Z (G)-модулем) вложена при
этом в свободный Z(G)-модуль с базисными элементами U- Не
все элементы этого свободного модуля являются формами Lg,
но вычисления теперь становятся легче и прозрачнее. В резуль-
результате доказательство теоремы Фуртвенглера сводится к 4 стр.
из работы Магнуса [1934b]. Существуют различные более позд-
поздние применения этого метода, см., например, Бахмут [1965,
1966]. Имеются также обобщения, использующие верхнетре-
верхнетреугольные матрицы порядка п > 2, а не порядка 2. Наиболее
позднее из таких обобщений содержится в статье К. Гупты и
Н. Гупты [1978], где есть также ссылки на предшествующие
работы.
Заметим здесь, что описанное выше матричное представление
группы F/R' связано с важной техникой, которая была развита
позже и элементы которой мы сейчас обрисуем.
В 1953 г. Фокс начал публикацию серии статей под назва-
названием «Свободное дифференциальное исчисление», в которой он
ввел в комбинаторную теорию групп новый метод, с тех пор
широко используемый. Его основные определения таковы.
Пусть F— свободная группа со свободными порождающими
Xi, i= I, 2, ..., и пусть Z (F)—целочисленное групповое коль-
кольцо группы F. Пусть е — отображение кольца Z (F) на кольцо Z
целых чисел, заданное формулой xt\—>1, где 1 обозначает теперь
как целое число 1, так и единичный элемент группы F. Диффе-
Дифференцирование D определяется как произвольное отображение из
Z (F) в Z (F) со следующим свойством: Для всех элементов
D(mu-\- nv) = mD(u) + nD(v), m, neZ.
Таким образом, дифференцирование D однозначно опреде-
определяется элементами D(xi), которые можно выбрать произвольно.
Мы можем явно выразить D(u) через D(xt), введя частные про-
производные Фокса du/dxj, которые задаются следующим образом.
Рассмотрим сначала случаи, когда и = 1 или u = xfl, и поло-
положим
* о. ^=1, ^ = -*г« ^
dxt dxt ' dxt ' axi

140 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Затем предположим, что и является произведением
где yj суть элементы вида х, или хг1, и положим
п
ди v~» dyv
дх. ' ' ^' ' - v~' дх.
Тогда для любого дифференцирования D имеем
— DI )
i
Рассмотрим дифференцирование, определенное отображением
и*—>и — е(ы). Оно задается формулой
J- i
Левый идеал, порожденный элементами я,-— 1, Фокс назвал по-
пополняющим идеалом кольца Z (F).
Связь этой конструкции с матричным представлением груп-
группы F/R', описанным выше, устанавливается следующими фор-
формулами. Пусть и — слово, составленное из букв ^'.Сопоставим
х- и хг1 в слове и матрицы
М;==| о 1 ;• mi =vo
Г'О-
соответственно, где ti — независимые переменные, образующие
базис в свободном модуле над кольцом Z(F). Заменим теперь
xf1 в и на Mf1. Мы получим матрицу
Другими словами, производные Фокса появляются в качестве
коэффициентов при tt.
Неясно, когда впервые эта связь была замечена. Она упоми-
упоминается Линдоном и Шуппом [1977, с. 104—105], и похоже, что
в течение многих лет она никем не отмечалась (включая Фокса
и Магнуса).
За статьей Магнуса [1934b] непосредственно следовала статья
Иянаги [1934], содержащая новое доказательство теоремы о
главных идеалах. Важность этого доказательства заключается
не столько в его краткости (оно лишь немногим короче, чем
доказательство Магнуса), но в том, что оно основано на исполь-
использовании понятий и теорем, которые интересны в более широком
контексте. (Сам Ияиага видел достоинство своего доказатель-

ГЛ. II. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 141
ства в том, что оно не использует метод Рейдемейстера — Шрейе-
ра. В 1934 г. это была правильная оценка. Сегодня A980 г.)
этот метод рассматривается как элементарный.)
Иянага начинает с того, что преобразует теорему о главных
идеалах в теорему о переносе (Verlagerung). Избегая, по воз-
возможности, технических подробностей, это понятие можно ввести
следующим образом (см. Цассенхауз [1956, с. 164—168]): пусть
G— группа с подгруппой Н конечного индекса п. Мы можем
следующим образом построить гомоморфный образ (называе-
(называемый переносом) группы G в виде подгруппы абелевой группы
Н/Н': пусть п, / = 1, ..., п, — представители правых смежных
классов группы G по подгруппе Н, и пусть g— элемент из G.
Тогда
rtg = h(i, g)rni),
где j(i) обозначает перестановку символов i=l, ..., п и где
h(i,g) — элемент из Н, зависящий от g. Если бы элементы
h(i,g) были вещественными числами, это рассматривалось бы
как мономиальное матричное представление группы G, т. е. мат-
матричное представление, возникающее из представления матри-
матрицами—подстановками, если заменить в последних ненулевые
элементы (которые равны 1) вещественными числами. Абсолют-
Абсолютное значение произведения этих вещественных чисел было бы
тогда равно абсолютному значению v определителя матрицы, и
отображение элемента g в v давало бы одномерное представле-
представление группы G, матричными элементами которого были бы по-
положительные вещественные числа. В нашем случае h(i,g) яв-
являются элементами группы, которая даже не обязана быть ком-
коммутативной. Однако если определить n(g) как элемент из Н/Н',
положив
п
n(g) — Uh(i, g)modHf,
то это определение будет корректным, и те же рассуждения, ко-
которые показывают, что абсолютные значения определителей мо-
номиальных представлений над полем вещественных чисел дают
одномерное представление группы, позволяют теперь доказать,
что отображение т, заданное формулой
т: gy->n(g),
является гомоморфизмом G в Н/Н'. Это отображение т назы-
называется переносом группы G в Н, и теорема о главных идеалах
теперь может быть сформулирована следующим образом:
Пусть М — метабелева группа, порожденная представителями
смежных классов по подгруппе М', и предположим, что М/М'
конечна. Тогда перенос М в М' имеет порядок 1.

142 Ч. П. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
В теории конечных групп понятие переноса очень важно. Как
видно из приведенных выше определений, оно относится не толь-
только к этой теории, но для бесконечных групп это понятие вряд ли
может играть важную роль, поскольку требуется, чтобы индекс
группы Н в G был конечен. По этой причине оно больше не бу-
будет встречаться в нашем историческом обзоре.
Следующее понятие, которое появляется в статье Иянаги, —
это порядковый идеал (Ordnungsideal). Если записывать группу
М' аддитивно, то ее можно рассматривать как Z (Л)-модуль, где.
снова А=М/М' и где Z (А)— групповое кольцо группы А над
Z. Пусть {|яр|р=1, ..., г}—минимальная система элементов
из М'', такая, что каждый элемент из М' может быть выражен
в виде суммы
г
S аоц aoeZ (Л).
р-1 '
Образуем все (г X г) -определители системы из г линейных соот-
соотношений вида
У а> =0.
р-1 р^>
Тогда в Z (Л) эти определители порождают идеал Q и каждый
элемент со из Q обладает тем свойством, что со[л = 0 для всех
элементов ^ из М'. Этот идеал оказывается не зависящим от
выбора элементов [лр и называется порядковым идеалом группы
М'. Мы не можем описать метод Иянаги для вычисления Й и
лишь заметим, что его доказательство теоремы о главных идеа-
идеалах основано на том, что произведения
/1 • • • fi-ili±i ¦ • ¦ In
(которые мы ввели выше, когда давали принадлежащую Фурт-
венглеру формулировку теоремы) являются элементами из Q.
Термин «порядковый идеал» — один из многих терминов, ко-
которые появились в языке алгебры в XX столетии. Они позво-
позволяют коротко формулировать результаты. В нашем определении
порядкового идеала мы использовали другой такой термин, а
именно «Z (Л)-модуль». Он не встречается в статье Иянаги, ко-
который дает для него просто явное описание.
Третье важное понятие, появившееся в статье Иянаги
[1934], — это расщепляющееся расширение группы. Оно принад-
принадлежит Артину, который в записях своих лекций привел также
доказательство основной теоремы о существовании таких расши-
расширений, но в печати оно впервые появилось в статье Иянаги. Мы
расскажем о расщепляющихся расширениях в гл. II. 9. Область
применимости теоремы о главных идеалах была проанализиро-
проанализирована Виттом [1936]. Другое доказательство дал Шуман [1938].
Он использует топологические идеи, возникающие из понятия

ГЛ. II. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 143
графа группы и развитые им в [1937], и анализирует связь ме-
между своим доказательством и доказательством Иянаги. В § 4
своей работы Шуман также строит для любой конечной группы
G вида G = F/R (где F свободна) представление для F/R' в
терминах пар символов, для которых определена бинарная ассо-
ассоциативная композиция. Можно показать, что такие пары симво-
символов можно отождествить с элементами первых строк матричных
представлений, предложенных Магнусом [1934b], [1939b].
В. Применения к теории узлов и зацеплений
Интерес Шумана к метабелевым группам, упомянутый выше,
конечно, был не случайным. Несколькими годами раньше он и
Рейдемейстер использовали метабелевы группы, чтобы получить
«инварианты» узлов и зацеплений. Это были алгебраические ве-
величины, которые можно вычислить, спроектировав одну или не-
несколько достаточно гладких непересекающихся кривых в трех-
трехмерном пространстве на плоскость, и которые не меняются, если
заменить кривую или кривые на изотопные им.
В 1923 г. тополог Александер нашел инварианты для узлов
и зацеплений, используя чисто геометрические методы. В случае
узла инвариант, который он нашел, называется L-полиномом.
Буква L выбрана в честь Лорана, и L-полином— это конечный
ряд Лорана от переменной х с целыми коэффициентами /„, т. е.
выражение
+ N
L(x)= Z lnxn,
n=-N
где N произвольно, но конечно. Рейдемейстер [1932а] показал,
что L-полином узла может на самом деле быть вычислен по за-
заданию фундаментальной группы К. Такая группа конечно за-
задана, и абелева группа С = К/К' всегда бесконечная цикличе-
циклическая. Поэтому хотя у изотопных узлов фундаментальные группы
изоморфны (этот факт был упомянут Александером [1928],
который при этом добавляет, что использовать его, по-види-
по-видимому, будет трудно), невозможно различить два узла просто
факторизацией групп по коммутанту. Однако можно попро-
попробовать использовать другие факторгруппы группы К, кото-
которые должны быть изоморфными для изоморфных групп, и
одна такая возможность дается факторгруппой по второму ком-
коммутанту К/К". Эта факторгруппа является максимальной ме-
табелевой факторгруппой группы К- Ее коммутант—абелева
группа А = К'/К". В общем случае группа А может быть бес-
бесконечно порожденной. Тем не менее она имеет финитную струк-
структуру благодаря тому, что К конечно порождена. Если мы запи-
запишем А аддитивно и введем групповое кольцо Z (С) бесконечной
циклической группы С над кольцом целых чисел Z, то найдется

144 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
конечное число элементов а%. в А, таких, что каждый элемент из
А можно записать в виде суммы
Другими словами, А — конечно порожденный /, (С) -модуль.
Ясно, что Z (С) — это в точности кольцо всех L-полиномов от пе-
переменной х, если определить С как мультипликативную группу,
элементами которой являются степени хп элемента х. Те эле-
элементы у из Z(C), для которых уаг. = 0 при всех >„, образуют
идеал У в Z (С) (который фактически и есть порядковый идеал,
определенный Иянагой [1934]). Поскольку Z (С) является коль-
кольцом главных идеалов, все элементы из J— это кратные един-
единственного элемента Lk, который, однако, определен неоднознач-
неоднозначно, поскольку мы можем заменить его на любой элемент ±хпЬк-
(Элементы ±хп являются единицами кольца Z(C), т. е. эле-
элементами, которые в Z (С) имеют обратные.) Обычно Lk норма-
нормализуют так, чтобы коэффициент при старшей входящей в LK сте-
степени х был положительным, а ненулевой член наименьшей сте-
степени в LK имел бы степень 0. Именно такой нормализованный
элемент L^ называется обычно L-полиномом (а также полино-
полиномом Александера) группы К.
В своей книге Рейдемейстер [1932а] отдает дань уважения
Александеру, доказывая инвариантность полинома LK как ха-
характеристики узла (не зависящей от проекции на плоскость) гео-
геометрическим и алгебраическим методами. Без сомнения, алгеб-
алгебраический вывод имеет серьезные методологические преимуще-
преимущества, и в то время, когда Рейдемейстер его нашел, алгебраиче-
алгебраические методы, которые он использовал, еще не были стандарт-
стандартными. Действительно, использование характеристических фак-
факторгрупп, отличных от факторгрупп по коммутанту, для иссле-
исследования групп с известным заданием в основном принадлежит
Рейдемейстеру и может рассматриваться как одно из его наи-
наиболее важных достижений. В следующей главе мы упомянем
другие его достижения такого же типа. Что касается статьи
Александера, то открытие того, что L-полином является инвари-
инвариантом узла, — это изумительное открытие. Как можно додумать-
додуматься до идеи сопоставить многочлен и проекцию заузленной кри-
кривой на плоскость?
Александер [1928] нашел также L-полиномы от двух пере-
переменных, являющиеся инвариантами пары зацепленных кривых
в трехмерном пространстве, обе из которых сами могут быть
узлами. Рейдемейстер и Шуман в [1934] получили эти инва-
инварианты, исходя из структуры максимальной метабелевой фак-
факторгруппы фундаментальной группы зацепления. Их метод не
ограничивается зацеплениями двух кривых, а результаты техни-
технически гораздо более сложные, чем в случае одной кривой. Здесь

ГЛ. II. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 145
мы не будем их описывать и даже опустим ссылки на более
поздние статьи, касающиеся этой темы. (Глава 23 сборника
Баумслага [1974] дает хороший обзор литературы за 1940—
1970 гг.) Все же мы сейчас бегло расскажем о статье Зейферта,
которая появилась в 1934 г. Она не имеет никакого отношения
к метабелевым группам, если не считать того, что в ней вводит-
вводится новый метод для исследования групп узлов, который может
работать и в тех случаях, когда вычисления метабелевых фак-
факторгрупп этих групп не дает никакой информации.
Если группа К узла бесконечная циклическая, то LK = 1.Это
так, когда узел изотопен окружности; но возможны также слу-
случаи, когда L/c = 1, хотя К — фундаментальная группа действи-
действительно заузленной кривой и, согласно лемме Дэна, не является
циклической. Это невозможно доказать, воспользовавшись ка-
какой-либо разрешимой факторгруппой группы К, поскольку авто-
автоматически все такие факторгруппы также будут циклическими.
Зейферт в [1934] построил первый пример узла, полином Алек-
сандера LK которого равен 1. Чтобы доказать, что группа этого
узла не бесконечная циклическая, он отображает ее гомоморфно
на бесконечную группу BX2)-матриц с определителем ±1.
Фактически ему даже не нужно было вычислять эти матрицы,
поскольку он мог показать, что его группа узла имеет фактор-
факторгруппу с таким же заданием, как и у некоторой бесконечной
фуксовой группы. Такое рассуждение могло бы показаться ско-
скорее хитрым трюком, чем методом, но гораздо позже оно было
использовано другими и оказалось очень эффективным. Мы сно-
снова не будем давать никаких ссылок; соответствующие статьи
упоминаются в обзоре Магнуса [1981].
С. Одна проблема из оснований геометрии
Гильберт в [1901] и [1930] показал, что существует плоская
геометрия, в которой все аксиомы инцидентности и порядка
удовлетворяются, а вместо теоремы Паппа справедлива тео-
теорема Дезарга. В своем доказательстве он ввел так называе-
называемую упорядоченную некоммутативную числовую систему (Zahl-
system), для которой мы теперь использовали бы термин «упо-
«упорядоченное тело» или «упорядоченное (ассоциативное, но не
коммутативное) кольцо с делением». Такое кольцо с делением
должно содержать поле Q рациональных чисел (порождаемое
единичным элементом кольца), и элементы Q должны принад-
принадлежать центру кольца, т. е. они должны коммутировать со
всеми элементами.
Муфанг в [1937] заметила, что конструкцию Гильберта
можно описать как вложение группового кольца Q(G) некото-
некоторой группы (с коэффициентами из Q) в кольцо с делением.
Действительно, если мы возьмем группу G, порожденную двумя

146 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
элементами s и /, с определяющими соотношениями
ts = yst, ys = sy, yt = ty,
то элемент у порождает центр группы G. Его можно отожде-
отождествить с отличным от 1 элементом из Q, и Гильберт полагает
7 = 2. Группа G упорядочивается с помощью правил
ycsn > sm, yctn > tm, если п<т, при всех ceZ,
ycsktl > snt"\ если k < n или если k = n, г. Km, при всех с е Z.
Групповое кольцо группы G над полем рациональных чисел Q
может быть теперь вложено в кольцо с делением R, элементы
которого имеют вид
оо
Р= Z rk.lSktl,
к, l=-N
где N — конечное, но произвольно большое число, a rk,i — ра-
рациональные числа. Мы можем упорядочить R, объявив, что р
положителен тогда и только тогда, когда наибольший из мо-
мономов sktl имеет положительный коэффициент. Мы также пола-
полагаем, что из р = 0 следует rk,i = 0 для всех k,l. Заметим, что
упорядочение элементов из группы G таково, что для элемен-
элементов, принадлежащих разным смежным классам по центру, боль-
больший всегда «бесконечно больше», чем меньший. Это значит, что
никакой положительный кратный меньшего элемента не может
превзойти больший элемент. Это позволяет определить обрат-
обратный для любого р. Сперва мы выберем наибольший из членов
I г*., I sktl,
который обозначим через ц. Тогда рц~] имеет разложение вида
1 + р*, где единица бесконечно больше, чем р*, и мы можем
определить р~', положив
Муфанг в [1937] рассматривает случай свободной метабеле-
вой группы М с двумя порождающими а,Ь, т. е. факторгруппу
F/F" свободной группы с двумя порождающими, и показывает,
что ее групповое кольцо Q(M) над полем рациональных чисел
Q можно вложить в упорядоченное кольцо с делением R. В этом
случае R содержит абелево подкольцо Ro, состоящее из рацио-
рациональных функций с рациональными коэффициентами от счет-
счетного числа переменных. Тогда сопряжения элементами a, b дей-
действуют как автоморфизмы кольца Rq. Следует заметить, что
переменные, порождающие Ro, не могут все быть заменены ал-
алгебраически независимыми вещественными числами, поскольку
вещественные числа архимедово упорядочены (каждое положи-
положительное число меньше некоторого целого кратного числа 1).

ГЛ. П.6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 147
Однако Муфанг показывает, что можно свести число таких
переменных к 1, если увеличить центр Q кольца R, взяв вместо
Q достаточно большое подполе поля вещественных чисел. (Воп-
(Вопрос о том, можно ли даже в этом случае в качестве центра
кольца R взять Q, был оставлен Муфанг открытым.)
Детали построения кольца R слишком сложны, чтобы их
здесь воспроизводить. Мы отметим только один легко получае-
получаемый побочный продукт такого построения. Именно, свободную
полугруппу, порожденную двумя элементами а,Ь (но без а,
b~l), можно точно вложить в группу М = F/F". Это эквива-
эквивалентно тому, что в F/F" два различных слова, составленные
из букв а,Ь с положительными показателями, определяют раз-
различные элементы.
Если не считать первоначального построения Гильберта (ко-
(которое, однако, не формулировалось в терминах теории групп),
статья Муфанг [1937], вероятно, является первым систематиче-
систематическим исследованием этой проблемы для неабелевых групп. За
ней среди других последовали работа Леви [1942а], которая
обобщает результат Гильберта и показывает, что любая группа
без кручения с коммутантом, содержащимся в центре, упорядо-
упорядочиваема, очень общее исследование Биркгофа [1942] по реше-
точно упорядоченным группам и две статьи Б. Неймана [1949а],
[1949b]. Вторая из этих статей особенно важна, поскольку со-
содержит доказательство теоремы о том, что любая упорядочен-
упорядоченная группа может быть вложена в упорядоченное кольцо с де-
делением. Она содержит также явное доказательство того факта,
что свободные группы могут быть упорядочены, на что указы-
указывал Бнркгоф в [1946]. Наконец, она содержит ссылки на не-
несколько статей об упорядоченных алгебраических системах. Это
дает хорошую предварительную информацию о более широком
круге вопросов, к которому принадлежит теория упорядочен-
упорядоченных групп. В обеих статьях Нейман упоминает работу Гиль-
Гильберта в качестве исходной точки для исследования. Что каса-
касается более поздней литературы, то тут мы снова ссылаемся на
сборник рефератов Баумслага [1974, гл. 14].
D. Некоторые замечания
о дальнейшем развитии и обобщениях
Пока что в этой главе мы подчеркивали влияние проблем
из других областей на изучение метабелевых групп. Если мы
посмотрим на эти группы с чисто теоретико-групповой точки
зрения, то увидим, что они образуют один из многих подклас-
подклассов в классе разрешимых групп, т. е. в классе групп G, для
которых последовательность производных групп (или высших
коммутантов) G, G', G", ... через конечное число шагов за-
заканчивается единичной группой. Число членов, отличных от

148 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
единичного элемента, в этой последовательности иногда называ-
называется ступенью (по-немецки Stufe) или длиной разрешимости
разрешимой группы, так что метабелевы группы (не являю-
являющиеся абелевыми) являются разрешимыми группами ступени 2.
Эти группы служат предметом большого числа статей (про ко-
конечно порожденные бесконечные группы), опубликованных в
основном после 1950 г., где были исследованы свойства финит-
финитной аппроксимируемости, задания с помощью определяющих
соотношений, автоморфизмы и другие вопросы. А. И. Мальцев
в [1951] показал, что даже конечно порожденные группы этого
класса могут иметь бесконечное число соотношений. Однако
конечно порожденная группа может еще быть описана в тер-
терминах конечно порожденного группового кольца соответству-
соответствующей абелизированной группы, рассматриваемого как кольцо
/^-операторов, действующих на конечно порожденном /^-модуле.
Ниже мы упомянем другое, более слабое условие конечности,
которому удовлетворяют конечно порожденные метабелевы
группы, но, вообще говоря, не удовлетворяют конечно порож-
порожденные разрешимые группы ступени 3.
Можно было бы ожидать, что исторический обзор теории
бесконечных разрешимых групп начнется с теории бесконечных
абелевых групп. Мы же исключили их из рассмотрения в нашей
книге и лишь попутно упомянем, что общая теория абелевых
групп начала развиваться со статей Ульма [1933] по класси-
классификации счетных абелевых групп и Понтрягина [1934] по тео-
теории топологических коммутативных групп. Здесь, однако, труд-
трудности возникают, только если мы начнем рассматривать беско-
бесконечно порожденные группы, поскольку теория конечно порож-
порожденных абелевых групп, в сущности, была завершена в 1879 г.
работами Фробениуса и Штикельбергера. Таким образом, то,
что мы проходим мимо теории бесконечных абелевых групп,
становится совершенно законным, если мы ограничиваемся тео-
теорией конечно порожденных разрешимых групп, хотя мы, воз-
возможно, должны будем рассматривать и их бесконечно порож-
порожденные (очевидно, разрешимые) подгруппы. Это как раз то,
что произошло исторически, но, как оказалось, для того, чтобы
получать нетривиальные результаты, здесь нужны дополнитель-
дополнительные условия конечности.
Эмми Нётер A892—1935) в нескольких работах (например,
в [1921]) продемонстрировала важность так называемого усло-
условия обрыва цепей для алгебраических структур, в частности для
колец. В случае групп сформулированное Нётер условие обрыва
возрастающих цепей (или условие максимальности) принимает
следующую форму: группа G удовлетворяет условию максималь-
максимальности для возрастающих цепей подгрупп, если каждая строго
возрастающая цепь подгрупп 1 cr d cr G2 с: G3 с: ... группы G
должна кончаться через конечное число шагов группой G. Это

ГЛ. II. 6. МЕТАБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 149
условие сейчас обычно кратко обозначается Мах. Если мы огра-
ограничим подгруппы Gi, G2, G3, ... классом нормальных подгрупп,
то оно будет обозначаться через Мах-л. (Эти обозначения теперь
довольно стандартны.)
В серии из пяти статей [1938—1954] Хирш исследовал ко-
конечно порожденные разрешимые группы, удовлетворяющие
условию Мах. Один из его результатов гласит, что такая груп-
группа G содержит возрастающую цепочку подгрупп
такую, что каждая из этих подгрупп является нормальным де-
делителем в последующей и все факторы Hi+\/Hi таких групп
при I = 0, ..., п—1 циклические. Ф. Холл в [1954а] ввел для
таких групп термин полициклические. В статьях Мальцева
[1951], Ауслендера [1967] и Суона [1967] установлен, наконец,
замечательный факт, что класс полициклических групп совпа-
совпадает с классом всех разрешимых групп (п X «) -матриц с эле-
элементами из кольца целых чисел.
По поводу обширной литературы по полициклическим груп-
группам (вплоть до 1970 г.) см. Робинсон [1972]. Там читатель
может также найти обзор теории разрешимых групп, которые
удовлетворяют условию Min. Под этим мы понимаем, конечно,
условие, что каждая строго убывающая последовательность
подгрупп группы G, начинающаяся с самой группы G, заканчи-
заканчивается через конечное число шагов единичной группой. Условие
Min было введено С. Н. Черниковым в более широком контек-
контексте в статье [1940] по бесконечным локально разрешимым груп-
группам. (Следуя Курошу, говорят, что группа локально обладает
некоторым свойством, если этим свойством обладают все ее
конечно порожденные подгруппы.)
Из многих классов разрешимых групп, характеризующихся
условием конечности некоторого типа (в очень широком смыс-
смысле), теория которых представлена в книге Робинсона [1972],
отметим так называемые нильпотентные группы, которые будут
рассмотрены в следующей главе. Мы закончим настоящую гла-
главу замечанием о роли условия Мах-n, которое показывает его
большую важность для теории разрешимых групп и также объ-
объясняет, почему, например, не существует никакой систематиче-
систематической теории разрешимых групп ступени 3. Следующие резуль-
результаты принадлежат Ф. Холлу [1954а]. Формулируя их, мы бу-
будем использовать некоторые обозначения и понятия, которые
объясняются в следующей главе, а также понятие многообра-
многообразия групп, которое будет определено в гл. II. 8.
Пусть G — конечно порожденная группа. Положим ViG = G
и ynG —(yn-iG, G) для п> 1 и 6nG =(ynG, ynG). (Группы
ynG — это просто члены нижнего центрального ряда.) Назовем

150 ч- И. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
уп и бя под групповыми функциями. Используя для коммутатора
символ (. , .), мы можем определить большой класс таких под-
групповых функций, например F2G,yiG). Введем частичное
упорядочение на этих функциях, положив ф =?С г|з, если q>(G)
содержится в яр (G) для всех групп G. Мы разделим пбдгруппо-
вые функции на два непересекающихся подкласса. Первый под-
подкласс будет содержать все функции ср, такие, что бя ^ ф для
некоторого достаточно большого л. Второй подкласс будет со-
содержать все такие функции \|э, что г|> =^(б2,yi). Ф. Холл доказы-
доказывает, что конечно порожденные группы G, принадлежащие мно-
многообразию групп, заданному некоторым тождеством cp(G)=l
(где ф фиксировано), удовлетворяют условию Мах-л, и таких
групп существует лишь счетное число. Но не все конечно по-
порожденные группы G, принадлежащие многообразию i|>(G)=l
(где \jp фиксировано), удовлетворяют условию Мах-л, и таких
групп уже несчетное число.
Метабелевы группы определяются условием 62(G)=1, и
соответственно они удовлетворяют условию Мах-л, и суще-
существует лишь счетное множество неизоморфных конечно порож-
порожденных метабелевых групп. С другой стороны, группы G, для
которых F2(G),7i (G)) = 1, не всегда удовлетворяют условию
Мах-л. Это группы G, у которых второй коммутант G" принад-
принадлежит центру. В связи с этим Холл доказывает теорему, кото-
которая уточняет его общий результат. Существует несчетное
множество неизоморфных групп с двумя порождающими, для
которых центр является любой заранее фиксированной нетриви-
нетривиальной счетной абелевой группой.
Наше освещение результатов статьи Ф. Холла [1954а] ил-
иллюстрирует возрастающую сложность необходимой терминоло-
терминологии, что довольно типично для многих важных статей, опубли-
опубликованных после 1945 г. Почти полный исторический обзор ре-
результатов по теории бесконечных разрешимых групп вплоть до
1970 г. можно найти в разд. 65—69 сборника Баумслага [1974].
Очевидно, было бы бессмысленно повторять в нашем тексте со-
содержание этих разделов, составляющих 21 с. большого форма-
формата, набранных мелким шрифтом.
Глава II. 7
КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И НИЖНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ РЯД
В 1933 г. появилась 66-страничная статья Ф. Холла, озаглав-
озаглавленная «К теории групп, порядок которых есть степень простого
числа». Во введении статья характеризуется как «первые шаги
в попытке построить систематическую общую теорию групп, по-
порядок которых — степень простого числа». Эти группы называ-

ГЛ. II. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 15)
ются также р-группами, где, если р не указано, как в 3-груипах
и т. п., то молчаливо предполагается, что р — произвольное про-
простое число и что порядок р-группы является степенью числа р.
Позже были введены и бесконечные р-группы как такие груп-
группы, в которых каждый элемент имеет порядок, равный степени
числа р (см., например, Санов [1949]). Затем Холл кратко
упоминает более ранние результаты о некоторых конкретных
р-группах, включая исследования американской школы, и про-
продолжает описание своего собственного подхода так:
«Мы руководствовались той идеей, что структура группы должна выра-
выражаться, насколько это возможно, внутренними связями между ее характе-
характеристическими подгруппами. Подгруппа, согласно Фробениусу, является харак-
характеристической, если оиа переводится в себя любым автоморфизмом группы;
таким образом, характеристические подгруппы отражают то, что действи-
действительно можно было бы назвать инвариантными особенностями групповой
структуры.»
В подстрочном примечании к слову «инвариантный» добав-
добавляется: «если бы слово «инвариантный» не использовалось не-
некоторыми авторами для обозначения более слабого понятия са-
самосопряженности». (Заметим здесь, что оба термина «инвари-
«инвариантный» и «самосопряженный» с тех пор исчезли из литературы.
Они заменены на довольно невразумительное слово «нормаль-
«нормальный».)
Упомянув о некоторых элементарных операциях построения
новых характеристических подгрупп из заданных, в частности
о произведении и пересечении (в терминологии Холла join и
meet) двух заданных подгрупп, Холл продолжает:
«В дальнейшем очень важную роль будет играть другой способ построе-
построения характеристических подгрупп — коммутация.»
Фактически подгруппы, построенные Ф. Холлом с использо-
использованием коммутации, являются не только характеристическими,
но даже вполне инвариантными. Это понятие было введено в
том же году Леви [1933] под названием vollinvariant. В соот-
соответствии с определением вполне инвариантная подгруппа Н не
только отображается на себя под действием любых автомор-
автоморфизмов всей группы G, но отображается на себя и каждым
эндоморфизмом группы G, т. е. любым гомоморфным отобра-
отображением G в себя (или на некоторую подгруппу К группы G).
Примерно половина статьи Холла (§ 2 и 3, с. 42—73) посвя-
посвящена в основном построению групп с использованием коммута-
коммутации и связи коммутации как бинарной композиции с обычной
бинарной композицией групповых элементов. Полученные здесь
результаты верны для всех групп и, в частности, совершенно
не зависят от теории р-групп. Термин коммутаторное исчисле-
исчисление для такого типа результатов был введен гораздо позже
Магнусом, Каррасом и Солитэром [1966], но теперь A980 г.)
является стандартным (см., например, Баумслаг [1974, гл. 8]).

152 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Мы не можем дать полный обзор всей массы результатов,
содержащихся в статье Холла [1933]. Довольно беглое их опи-
описание, в котором подчеркиваются скорее идеи, чем конкретные
теоремы, будет дано ниже. Эта статья содержит первое из длин-
длинной серии важных достижений Холла в теории групп и смеж-
смежных вопросах. Одно из них уже упоминалось в разд. II. 6D.
Многие из других относятся лишь к теории конечных групп и
по этой причине в настоящей книге не будут упоминаться.
Ф. Холл играл большую роль в развитии чистой математики в
Англии не только благодаря собственным работам, но и благо-
благодаря работам его многочисленных учеников. Сам он заинтере-
заинтересовался теорией групп, читая работы Уильяма Бернсайда
A852—1927) или, более точно, его теоретико-групповые рабо-
работы, в частности «Теорию групп конечного порядка» [1911] и
две статьи по р-группам [1912, 1913]. (Бернсайд работал также
в нескольких других областях, включая гидродинамику.) Во
введении к своей статье 1933 г. Ф. Холл цитирует несколько ре-
результатов из этих публикаций и, в частности, отмечает, что
теорема 7 на с. 166 в книге Бернсайда [1911] вводит, по край-
крайней мере неявно, нижний центральный ряд и доказывает, что
в группах конечного порядка этот ряд кончается единичным
элементом тогда и только тогда, когда группа является прямым
произведением групп, порядок которых — степень простого чи-
числа. Хотя Холла (р. 1904) можно назвать учеником Бернсайда,
это не совсем точно в обычном понимании этого слова, которое
предполагает непосредственное общение благодаря одновремен-
одновременному пребыванию в одном университете. По крайней мере на-
начиная с конца XIX столетия в подавляющем большинстве слу-
случаев имел место именно последний тип отношений учителя и
ученика.
Теперь мы должны ввести некоторые обозначения. Мы по-
постараемся свести к минимуму технические подробности и ис-
используем обозначения, которые теперь более или менее стан-
стандартны, но не использовались в статье Холла [1933], хотя
некоторые из них были позже им введены. Мы будем использо-
использовать следующие обозначения.
G всегда будет группой, a L,M,N — ее нормальными дели-
делителями, и, v, w будут обозначать элементы из G. Буквы а, Ь, с
зарезервированы для порождающих группы G.
Для любых двух элементов и, v положим
(и, v) = u~lvluv, uv = v[uv, u~v = v~]u~lv.
Здесь (u,v) — коммутатор и и v. Если L, М — две нормальные
(две характеристические, вполне инвариантные) подгруппы
группы G. то теми же свойствами будут обладать их произве-
произведение LM, пересечение L (] М и коммутант (L,M), определенный

ГЛ. II. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 153
как группа, порожденная всеми коммутаторами (и, v), где
и е L, v е М. Очевидно, что (L, М) с: L П М
Если мы рассмотрим коммутацию (т. е. операцию образо-
образования коммутатора) как бинарную операцию, то первая труд-
трудность, которая при этом возникает, это как ее обозначить, по-
поскольку коммутация — не ассоциативная операция. Это значит,
что имеется 2Bп — 3)\/[п\(п— 2)!] возможностей для образо-
образования композиции (или произведения) из п компонент (кото-
(которые мы будем также называть сомножителями), заданных в
фиксированном порядке. (См., например, Эрдели [1955].) Эти
композиции задаются различными расстановками скобок. Для
п = 4 имеются следующие возможности такой расстановки:
(((*, *), *)> *); ((*. (*, *)), *); (*. (*. (*. *))); (*. (К *). *));
((*, *), (*, *)),
где звездочкой обозначены сомножители.
Число сомножителей, входящих в запись коммутатора, не-
независимо от расстановки скобок называется его весом W. Чи-
Число левых скобок в коммутаторе веса W всегда равно W—1.
Если все эти скобки находятся в левом конце коммутатора, он
называется простым коммутатором. Холл использует
(иь и2, и3, ..., ип) = ((иь и2, и3, .. ., и„_,), ип)
для обозначения простого коммутатора веса п с компонентами
ии ..., ип (в указанном порядке). Как указано выше, мы мо-
можем подставить нормальные делители группы G на место ком-
компонент коммутатора, и в результате снова получится нормаль-
нормальный делитель группы G. Если, в частности, подставить саму
группу G вместо всех компонент простых коммутаторов, то по-
получим подгруппы из нижнего центрального ряда группы G,
впервые введенные Файтом [1906]. Они обозначаются через Gn
или через yn(G) и последовательно определяются формулами
G^G, Gn = (Gn_I( G) = ynG при л>1.
(Обозначение yn(G) теперь A980 г.) наиболее широко принято.
Оно было также введено Ф. Холлом в [1954]. Холл в [1933]
и более поздние авторы использовали обозначение Gn.) Термин
«нижний центральный ряд» отражает два свойства последова-
последовательности групп Gn- Во-первых, Gn/Gn+\ является центром
группы G/Gn+u и, во-вторых, из всех таких убывающих после-
последовательностей нормальных делителей группы G нижний цент-
центральный ряд убывает быстрее всего. Если Г„ является я-м чле-
членом в каком-нибудь другом убывающем центральном ряде, то
Тп содержит Gn- Конечно, Gn — не только нормальный дели-
делитель, но также вполне инвариантная подгруппа в G. Совершен-
Совершенно необязательно, чтобы Gn+\ была собственной подгруппой

154 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
группы Gn, и если это не так, то все последующие группы Gm при
т > п совпадают с Gn, и так может произойти, даже если п = 1.
Группа G, для которой Gn+) = 1, но Gn?=\, при некотором ко-
конечном п называется нильпотентной класса п. Эта терминоло-
терминология возникла из теории групп Ли, где она впервые была ис-
использована для алгебры Ли, ассоциированной с группой. У Хол-
Холла в [1933] ее еще не было. Тем не менее термин «класс нильпо-
нильпотентности группы» был введен в употребление им.
Другая последовательность коммутаторных подгрупп, играю-
играющая важную роль в статье Ф. Холла, — это производный ряд.
Его члены Gin) (или 6n(G)) последовательно определяются фор-
формулами
&U = (G,G\ &» = {Ctn-x\ G(nl)) при п>\.
В теории конечных групп такая последовательность, конечно же,
рассматривалась давно. Если G(n) = 1 для конечного л, то
группа G является разрешимой. Характеризация Бернсайда ко-
конечных нильпотентных групп (упомянутая выше) показывает
также, что разрешимые группы не обязательно нильпотентны,
хотя нильпотентные группы всегда разрешимы. Уточнением
этого утверждения является результат Ф. Холла, который гла-
гласит, что
Gin)czym(G) при ш = 2п.
С другой стороны, никакая из групп yn(G) не содержится це-
целиком в G", если G — свободная неабелева группа. Это проис-
происходит из-за того, что G'/G" в этом и во многих других случаях
является бесконечно порожденной абелевой группой, даже если
G конечно порождена. Но в этом случае yn(G)/yn+i{G) — ко-
конечно порожденная группа. Более точно, Холл показал, что про-
простые коммутаторы
(и„ и2, ..., ип),
где и\, ..., и„ пробегают независимо полный набор порождаю-
порождающих группы G, порождают полную систему смежных классов
по подгруппе yn+\(G) в группе yn(G). (Этот результат не опти-
оптимален; точная верхняя оценка для числа порождающих дается
формулой, принадлежащей Витту [1937], и будет приведена
ниже.) Абелевы группы yn(G)/yn+i (G) являются инвариантами
группы G в том смысле, что они должны быть изоморфны для
изоморфных групп. Поскольку конечно порожденные абелевы
группы были полностью расклассифицированы Фробениусом и
Штикельбергером [1879], это дает некоторые тесты для про-
проверки конечно порожденных групп на изоморфность. Для п =
= 2,3 Рейдемейстер [1927] и его ученица Герта Адельсбергер
[1930] уже применяли эту технику. В статье Адельсбергер фак-
факторгруппа G/Gi появляется в слегка завуалированной форме,
основанной на формуле Бейкера — Хаусдорфа, которая будет

ГЛ. И. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 155
кратко обсуждаться в конце этой главы. Холл использует эту
технику в основном в связи с теорией р-групп, которой мы
здесь не касаемся. Из его результатов, важных для теории
групп вообще, мы упомянем следующий.
Пусть L,M,N — любые три нормальных делителя группы G.
Определим А, В, С как следующие простые коммутанты:
А = (L, М, N), В = (М, N, L), С = (N, L, М).
Тогда каждая из этих групп содержится в произведении (или
объединении, что то же самое в этом случае) двух других групп:
А а ВС, ВаСА, СаАВ.
Заметим, что {L, M, N) = (M, L, N) и ВС = СВ. Мы не можем
входить в детали применения этих формул. Их доказательство
основано на следующих тождествах (т. е. соотношениях, вер-
верных для элементов любой группы):
(и, v)(v, и)= 1,
(и, vw) = (u, w){u, v)(u, v, w)
(uv, w) = {u, w) (u, до, v)(v, w).
Эти соотношения Холл позже дополнил тождеством
((и, v), w11)) ¦ (w, и), О • ((о, w), uv)=l, (**)
которое не было им опубликовано. Оно, в сущности, является
симметричной записью тождества, ранее обнаруженного Вит-
том [1937] и использованного им для доказательства теоремы,
которая будет сформулирована ниже в этой главе. Тождества
(*), (**) выражают весьма сложную природу связи между
коммутацией и обычной композицией групповых элементов. Наи-
Наиболее изощренное, а также наиболее важное из соотношений
такого типа, найденное Холлом, почти дословно по Холлу (хотя
и не в его обозначениях) можно описать следующим образом:
Для любых двух элементов и и v произвольной группы G
пусть формально различные сложные (т. е. не обязательно про-
простые) коммутаторы элементов и и v упорядочены по возраста-
возрастанию весов, причем в остальном порядок произвольный:
Тогда существует такой набор целозначных многочленов
где /i (п) — /2(л)== п и все они обращаются в нуль при п = 0,
что степень многочлена fi(n) не превосходит веса Wi элемента zi
по переменным и и v и для любых и и v и всех положительных

156 Ч. II-. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
целых чисел п
Это равенство означает, что если z\, где к = к(е),— последний
член в последовательности zit ..., z{, ..., имеющей вес по пе-
переменным и и v меньше, чем е, то
(uvr = z['in)zf/in>...z[>.{n)-Ze(u,v\, (***)
где t,e{u,v) — элемент группы уе{К), а К — подгруппа группы G,
порожденная элементами и и v. Соотношение (***) выполня-
выполняется при всех е = 2, 3, ... .
Особенно важный случай получается из соотношения (»**),
если положить я = р и е = р, где р — простое число. В этом
случае все значения fi(p), ..., fk(p) обязательно являются
кратными числа р. Мы вернемся к этому случаю в конце данной
главы в связи с проблемой Бернсайда.
Статья Ф. Холла [1933] была прореферирована Магнусом
для Zentralblatt fur Mathematik (т. 7, с. 291). Хотя в реферате
выделялись теоремы о р-группах, Магнус особенно заинтере-
заинтересовался формулой (***) (доказательство которой, данное Хол-
Холлом, оказалось очень трудным). Эта формула справедлива в
свободной группе со свободными порождающими и, v и факти-
фактически ее нужно доказывать только в этом случае. Кроме того,
она носит характер формулы приближения с остаточным чле-
членом, и первые три члена легко вычисляются явно:
fl{n) = n, f2(n) = n, f3(n)= n n~ ' •
Но вычисление более высоких членов быстро становится труд-
трудным. С ростом веса коммутаторы становятся все более и более
громоздкими, и длинное выражение в правой части формулы
(***) сводится при этом к сравнительно короткому слову в ле-
левой части благодаря сокращению членов ии~[, и~[и и т. п. По-
Поэтому было бы желательно избавиться от обратных элементов.
Дик [1882] и другие пытались сделать это, вводя третий по-
порождающий t и полагая uvt=l. Но тогда приходится сокра-
сокращать подслова uvt, tuv, vtu, как только они появятся в длинном
слове. Для линейных операторов (матриц, интегральных опе-
операторов и т. п.), которые часто появляются как элементы (муль-
(мультипликативных) групп, существует стандартный способ вычис-
вычисления обратного к оператору, если тот в каком-то смысле
«близок» к единичному оператору. Надо просто использовать гео-
геометрическую прогрессию для разложения 1/(х-\- 1) в ряд. Этот
прием предполагает, что операторы являются элементами неко-

ГЛ. II. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 157
торого кольца и что бесконечный ряд имеет тот или иной смысл.
С помощью методов, которые были найдены на рубеже столе-
столетий Гильбертом при построении неархимедовых тел и Гензелем
в конструкции р-адических чисел, легко показать, что оба усло-
условия выполняются для свободных групп. Эти довольно туманные
рассуждения Магнус в [1935] уточнил следующим образом.
Пусть a,-, i= 1,2 — свободные порождающие свободной
группы F. Мы вводим «свободное ассоциативное кольцо» R с
порождающими S; и единичным элементом 1. Пусть Ro состоит
из всех конечных линейных комбинаций с целыми коэффициен-
коэффициентами произведений вида
<[% ¦•¦*%> е1'е* еп>0' // + .^'/' (#>
которые вместе с 1 образуют базис кольца Ro с коэффициен-
коэффициентами из Z. Расширим ^о до кольца R, состоящего из бесконеч-
бесконечных сумм членов такого типа. Элементы s,- порождают идеал /
в R. Факторкольцо R/J — это кольцо Z целых чисел, а базис
кольца R/Jd+l состоит из 1 и тех членов из (#), для которых
Эта сумма будет называться размерностью соответствующего
базисного элемента, а также любой комбинации базисных эле-
элементов такой размерности. Элемент из R вида 1 + со, где со е /,
имеет обратный
A + w)~l = l — со + <о2— «3+
Бесконечный ряд в правой части корректно определен, посколь-
поскольку каждая степень элемента со содержит только конечное число
членов фиксированной размерности и только конечное число
степеней, внесших вклад в виде членов такого типа. Итак, ото-
отображение
o-i н-*' 1 + si
определяет отображение свободной группы F в мультиплика-
мультипликативную группу кольца R, и каждое слово W, составленное из
букв at, представляется в R в виде
1 + S, + S2 + ... + Sn + Sn+l +...,
где в правой части член Sn является (для п= 1,2, ...) элемен-
элементом размерности п. Если все члены Si,S2, ... равны нулю, мы
скажем, что размерность элемента W равна <х>. В противном
случае возьмем первый отличный от нуля член Sn и назовем
п размерностью слова W, a Sn обозначим через 6W. Магнус
[1935] доказал, что
(i) отображение а,->—э-1 + S; задает вложение свободной
группы F в мультипликативную группу кольца R;

158 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
(п) элементы группы F размерности ^ п образуют вполне
инвариантную подгруппу DnF группы F. Она называется п-й
размерной подгруппой;
(Hi) факторгруппы DnF/Dn+\F являются абелевыми группа-
группами без кручения. Они конечно порождены, если F конечно по-
порождена;
(iv) пересечение всех групп DnF состоит из единичного эле-
элемента;
(v) группа DnF содержит п-й элемент yn(F) из нижнего
центрального ряда в качестве подгруппы. Если F конечно по-
порождена, то yn(F) имеет конечный индекс в DnF.
Статья Магнуса [1935] содержит также применения к дру-
другим проблемам, в частности к вычислению групп автоморфиз-
автоморфизмов, к проблеме изоморфизма для групп с одним соотношением
и к группам, порядок которых — степень простого числа. В ней
также имеется доказательство того, что всякая конечно порож-
порожденная свободная группа хопфова, т. е. не изоморфна никакой
своей собственной факторгруппе. Этот результат неявно со-
содержится в более ранней статье Нильсена [1921] и в статье
Леви [1933], которая в связи с этим цитируется Магнусом в
[1935]. Наконец, в этой статье строится точное конечномерное
матричное представление группы F/DnF.
Ясно, что кольцо Ro могло бы быть введено как подкольцо
группового кольца Z(F) свободной группы F над кольцом Z
целых чисел. В этом случае
где Xi — порождающие группы F. Элементы s,- порождают
идеал /* в Z(F), который называется теперь (см. Фокс [1953])
фундаментальным или пополняющим идеалом группы F. Его
можно определить также как идеал, порожденный всеми эле-
элементами g—1 кольца Z(F), где g — произвольный элемент
из F. Такое определение позволяет определить л-ю размерную
подгруппу DnG произвольной группы G как подгруппу элемен-
элементов h, для которых h—1 принадлежит У*", где /* порожден
всеми элементами вида g— 1 при g^G. Эта конструкция, при-
принадлежащая Фоксу, делает также ненужным введение беско-
бесконечных сумм.
Магнус в [1934] отметил две нерешенные проблемы. Одна
из них до некоторой степени техническая и возникает из при-
приложений подгрупп DnF к теории автоморфизмов свободных
групп и групп с одним соотношением. Не вдаваясь в детали,
отметим только, что группа автоморфизмов свободной группы F
с m свободными порождающими индуцирует группу автомор-
автоморфизмов свободной абелевой группы DnF/Dn+\F, которая явля-
является подгруппой линейной группы GL(dn,Z) матриц порядка dn

ГЛ. II. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 159
с матричными элементами из кольца целых чисел и определи-
определителем ±1, где dn — ранг группы DnF/Dn+lF. В то же время этой
группе соответствует матричное представление группы GL(n, Z),
и возникает вопрос, каковы его неприводимые компоненты. Час-
Частичный ответ был дан Вефером [1950] и Барроу [1958].
Другая проблема была, в сущности, гипотезой, которая вско-
вскоре после того была доказана. Она утверждает, что
DnF = yn (F)
для всех п и всех конечно порожденных свободных групп F.
Наиболее заметное воздействие этой (напрашивающейся)
гипотезы заключается не в ее доказательстве (которое доста-
достаточно трудно), а в том, что с ее помощью в комбинаторную
теорию групп в качестве полезного инструмента вводятся коль-
кольца Ли. Прежде чем описывать это достижение, мы кратко упо-
упомянем обобщенную форму этой гипотезы, которая гласила, что
равенство DnG = yn(G) верно для всех групп. Согласно Рипсу
[1972], она не верна, хотя верна во многих частных случаях.
О частичном ответе на этот вопрос и его модификациях см,
Сандлинг [1972].
Первое доказательство того, что DnF = yn(F), дал Грюн в
[1937]. Он использует матричное представление для F/yn(F),
и за его рассуждениями нелегко проследить. Его публикация,
похоже, не оставила никакого следа в литературе. Следующее
доказательство основано на подходе, предложенном Магнусом
[1937а], сформулировавшим следующую теорему, которая ис-
использовалась им для доказательства равенства DnF — yn(F).
Сначала определим свободное кольцо Ли Ло с порождаю-
порождающими а,- (/=1,2, ...). В Ло имеются две бинарные операции,
которые называются сложением и умножением. Элементы из
Ло образуют абелеву группу относительно сложения. Умноже-
Умножение и сложение связаны дистрибутивными законами, но умно-
умножение не коммутативно и не ассоциативно. Обозначив произве-
произведение двух элементов <p,if> из Ло через [ф, "ф], мы вместо этих
законов предполагаем, что для любых элементов ф, if> и % вы-
выполняются равенства
[ Ф. М + Н, ф] = 0
[[ф, if], X] + [[X, Ф], Ч>] + [М>, X], ф] = 0-
Последнее соотношение называется тождеством Якоби. Ска-
Скажем, что элемент ф, который был получен из а, только с по-
помощью умножения и содержит d членов, которые берутся из
множества порождающих а, (возможно, с повторениями), имеет
степень d, и скажем то же самое относительно любых линей-
линейных комбинаций таких элементов с целыми коэффициентами.
Определим теперь отображение ц элементов из Ло на некоторые

160 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
элементы из Ro, которые назовем лиевыми элементами коль-
кольца Ro. Это отображение задается следующим образом:
(i) Oi-^sr,
(ii) если <р, \|) принадлежат Ао и ф-^и, \|)-^-и, где и, v при-
принадлежат Ro, то
Ф ± л|-> -> и ± v, [ф, ib] -> uv — vu.
Выражение uv — vu обозначается также через [u,v] и называ-
называется скобочным или лиевым произведением или (в старой ли-
литературе) альтернантом элементов и и v.
Теорема, которая нас интересует, гласит: отображение \а
является взаимно однозначным отображением из Ло в Rq. Она
была доказана Магнусом в [1937b], где также показано, что
аддитивная группа лиевых элементов степени (или размерно-
размерности) d является прямой суммой бесконечных циклических групп,
и дан рекуррентный способ построения множества линейно не-
независимых (над кольцом целых чисел) базисных элементов
для подпространства лиевых элементов степени d в случае ко-
конечно порожденного свободного лиева кольца Ло. Вместе с ра-
равенством DnF = yn(F) это дает построение базиса для свобод-
свободной абелевой группы yn(F)/yn+i (F) в случае, когда F конечно
порождена. М. Холл в [1950b] предложил эквивалентную кон-
конструкцию, которая основана на методе, использованном Ф. Хол-
Холлом в [1933] для вывода формулы (***), приведенной ранее
в этой главе.
Чтобы доказать, что DdF = yd{F) при всех d, необходимо
доказать сначала, что элементы Sd = 6U7, которые появляются
в представлении слова W^F размерности d как элемента из
R, являются лиевыми элементами размерности d в Ro- В дока-
доказательстве этого факта, данном Магнусом [1937b], имеется
пробел. Чтобы заполнить этот пробел, требуется тождество ти-
типа (-**), упоминавшегося выше. Вместе с полным доказатель-
доказательством того, что DnF = ynF, оно было предложено Виттом
[1937]. Эта статья важна по нескольким причинам.
На описанную выше конструкцию, отображающую свободное
лиево кольцо Ао в ассоциативное кольцо Ro, мы можем смот-
смотреть как на точное представление кольца Ао в Ro. Оно харак-
характеризуется тем, что каждый элемент из #0 является образом
в точности одного элемента из Ло при отображении \i и что
элемент uv — vu из Ro является образом элемента [ф, if] из Ло,
где м = (х(ф) и d = |j,(i|)). В случае, который пока что рассмат-
рассматривался, кольца Ло и Яо имеют базис и каждый элемент этих
колец является однозначно определенной линейной комбина-
комбинацией элементов базиса с целыми коэффициентами. Легко опре-
определить кольца с такими же свойствами над произвольным фик-
фиксированным полем К, выступающим в качестве поля коэффи-

ГЛ. II. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 161
циентов, и мы можем также рассмотреть общие лиевы кольца Л
с коэффициентами из К как факторкольца свободного лиева
кольца. Витт [1937] доказал следующую теорему:
Пусть А — произвольное кольцо Ли с коэффициентами из
фиксированного поля К- Тогда существует в точности одно ас-
ассоциативное кольцо А, тоже с коэффициентами из К, такое,
что А в него изоморфно вкладывается, и А порождается
теми своими элементами, которые представляют элементы из А.
В случае когда А свободно и свободно порождено некоторыми
элементами <т,-, кольцо А является свободным ассоциативным
кольцом Ro с коэффициентами из К, порожденным теми своими
элементами s,-, которые представляют элементы а,- из А.
Алгебра А называется теперь универсальной обертывающей
алгеброй алгебры Ли Л, а теорема Витта, сформулированная
выше, была названа Джекобсоном в [1961, с. 178] теоремой
Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Пуанкаре [1899] и Биркгоф
[1937] оба построили ассоциативные алгебры, лиевы элементы
которых образуют заданную алгебру Ли. (Для нильпотентных
алгебр Ли это трудная проблема даже в случае конечного ба-
базиса.)
Другой важный результат, полученный Виттом [1937],—
это явная формула для числа линейно независимых лиевых эле-
элементов размерности d в конечно порожденной свободной ассо-
ассоциативной алгебре. Эта формула дает нам также ранг свобод-
свободной абелевой группы ya(F)/yd+i (F) для конечно порожденной
свободной группы F.
Следующее применение теории нижнего центрального ряда
к заданиям групп с помощью определяющих соотношений со-
содержится в работе Магнуса [1939с]. Она начинается с замеча-
замечания о том, что для доказательства хопфовости конечно порож-
порожденных свободных групп нижний центральный ряд не требу-
требуется, так как хопфовость можно вывести из того факта, что для
всякого неединичного элемента g свободной группы F суще-
существует не содержащая g подгруппа в F, индекс которой есть
степень числа 2. Систематическое исследование этого и связан-
связанных с ним более общих вопросов принадлежит М. Холлу
[1949а], [1949b]. Основная тема статьи Магнуса [1939с]—до-
[1939с]—доказательство следующей теоремы, в которой используется толь-
только тот факт, что пересечение групп yn{F) тривиально, и которая
гласит:
Если группа G задана с помощью ш-\- г порождающих
п\, ..., ат, Ъ\, ..., Ъг и г определяющих соотношений и если
Ь\= ... = Ъг = 1 в G, то G — свободная группа, свободно по-
порожденная элементами а\, ..., ат.

162 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Этот результат не так очевиден, как кажется. Краткое до-
доказательство, использующее совершенно другие мощные сред-
средства, развитые значительно позже, принадлежит Штаммбаху
[1967]. В гл. VII и VIII сборника Баумслага [1974] можно
найти многочисленные более поздние примеры использования
нижнего центрального ряда в комбинаторной теории групп. Мы
не можем здесь рассказывать об этих достижениях, но кратко
опишем начала теории, связывающей кольца Ли и нильпотент-
но аппроксимируемые группы, а также некоторые из результа-
результатов, полученных из формулы (***) Ф. Холла, которые завер-
завершаются статьями А. И. Кострикина [1957], [1959].
Магнус в [1940] показал, что нижний центральный ряд
группы G определяет связанную с ней алгебру Ли. Он также
ввел формулу, найденную Бейкером [1904] и Хаусдорфом
[1906], в качестве одного из средств коммутаторного исчисле-
исчисления. Эта формула выражает следующее обстоятельство. Пусть
S[,s2 — порождающие свободного ассоциативного кольца R с
коэффициентами в кольце Q рациональных чисел. Определим
экспоненту exp s формулой
n-0
Тогда, положив
exp S) exp s2 = exp s3,
мы получаем, что вз является лиевым элементом в R. Магнус
узнал об этой формуле из разговора с Рейдемейстером, чья
статья 1927 г. использует подход, подсказанный статьей Хаус-
Хаусдорфа, хотя он и не ссылается на последнюю. (Нам придется
вернуться к формуле Бейкера — Хаусдорфа в конце этой главы.)
Одновременно с Магнусом Цассенхауз в [1940] для любой
заданной р-группы построил связанное с ней кольцо Ли с коэф-
коэффициентами из некоторого кольца характеристики р. Этот метод
не является следствием метода Магнуса. Он основан на широ-
широком исследовании лиевых колец простой характеристики (Цас-
(Цассенхауз [1939]). Систематическая теория связи между нижним
центральным рядом группы и соответствующим кольцом Ли
была развита Лазаром [1954]. Его результаты содержат все
предыдущие в качестве частных случаев. Указанная статья со-
содержит также многочисленные применения (в частности, новое
доказательство одного из результатов А. И. Мальцева из [1949])
и примеры.
Вернемся теперь к формуле Холла (***) и ее применениям.
Сам Холл использовал ее в основном в случае, когда показатель
q является я-й степенью простого числа р, для того чтобы оха-
охарактеризовать р-группы, в которых q-e степени сами образуют
группу. Это значит, что для каждой фиксированной степени

ГЛ. И. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 163
числа р произведение ^-х степеней двух элементов группы снова
является q-н степенью элемента группы. Его формула показы-
показывает, что любая р-группа класса нильпотентности, меньшего р,
обладает таким свойством. Магнус в [1937b] показал, что со-
совпадение групп из нижнего центрального ряда с размерными
подгруппами свободной группы приводит к простому доказа-
доказательству формулы Холла. Опишем теперь кратко значение этой
формулы для проблемы Бернсайда, которая звучит следующим
образом. Пусть В = В (п, е)—группа с п порождающими и (бес-
(бесконечным) множеством определяющих соотношений вида Xе = 1
для каждого элемента х из В. При каких значениях я^2 ие
группа В конечна? Первые результаты по этой проблеме мы
упоминали в гл. I. 6. Теперь мы будем иметь дело лишь со слу-
случаем, когда е — р является простым числом, не меньшим пяти.
Чтобы объяснить роль формулы Холла в этой проблеме, мы
перепишем ее в следующем виде для п = р:
где а\, а2 — порождающие свободной группы F, a cv, где
v = 2, ..., р—1, — элементы из yv(F) и t,p — элемент из yP(F).
Используя метод размерных подгрупп в F, можно показать,
что 8?р является однородным лиевым элементом, вес которого
по переменным s\, s2 равен р. Этот элемент определен не совсем
однозначно, но он единственен по модулю р, т. е. с точностью
до р-кратной линейной комбинации лиевых элементов веса р.
Легко видеть, что в обозначениях, использованных нами в тео-
теории размерных подгрупп,
6?р^ (s, + s,)p - sf - sP(modp).
Тот факт, что правая часть этого сравнения в действительности
(по модулю р) есть однородный лиев элемент степени р в Ro,
был впервые доказан Джекобсоном[1937] в совсем другом кон-
контексте. Это утверждение было переоткрыто Цассенхаузом
[1939], который отмечает, что существенно использует формулу
Артина для 8?р. Важность рассматриваемого соотношения для
проблемы Бернсайда была замечена Цассенхаузом в [1940] и
Магнусом в [1940], а его систематическое применение к этой
проблеме начинается со статьи Грюна [1940], содержащей мно-
многочисленные обобщения теоретико-группового эквивалента этой
формулы для б^р.
Такой «эквивалент» получается следующим образом. Суще-
Существует корректно определенное слово соР, составленное из букв
аи а2, являющееся произведением коммутаторов (если угодно,
простых коммутаторов) веса р по переменным а\, а2 и представ-
представляющее элемент, не принадлежащий yp+i(F), такое, что

164 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИЙ ГРУПП
Кроме того, сор не является р-й степенью никакого элемента из
F. Однако если мы рассмотрим теперь аь а2 как порождающие
группы ВB,р), то в этой группе а>р определяет элемент не
только из уР(В), но даже из ур+1(В). Любой коммутатор веса
т + 1, содержащий компоненту шр, определит также элемент
из ут+р+[(В). Так как всякое соотношение в В, верное для по-
порождающих, верно и для любой пары элементов, то мы можем
получить гораздо больше соотношений, утверждающих, что в В
коммутатор принадлежит элементу нижнего центрального ряда
с большим номером, чем это следует из его веса. Допустим те-
теперь, что мы можем вывести достаточно много соотношений та-
такого типа, чтобы доказать, что для достаточно большого т и
заданного р
\т(ВB, p))czym+i(BB, p)).
Тогда, хоть мы и не решили бы проблему Бернсайда для групп
с двумя порождающими показателя р, но получили бы (для
этих групп) решение так называемой ограниченной проблемы
Бернсайда (термин, введенный Магнусом в [1950])'). Эта про-
проблема состоит в следующем: существует ли максимальная ко-
конечная р-группа В0(п,'р), такая, что все конечные р-группы,
имеющие не более п порождающих и содержащие только эле-
элементы порядка р, являются факторгруппами группы В0(п, р)?
Все эти соображения точно сформулированы в упомянутой
выше статье Грюна [1940]. Пропуская около дюжины статей,
посвященных ограниченной проблеме Бернсайда (рефераты ко-
которых опубликованы Баумслагом в [1974, § 7В]), обратимся
теперь к статье Кострикина [1959], где доказано, что для всех
конечных п и всех простых чисел р существует максимальная
конечная группа Вй(п,р)\ он вывел эту теорему из следующей
доказанной им же теоремы о лиевых кольцах.
Пусть i$n,p) — лиево кольцо с п порождающими и коэффи-
коэффициентами из поля Галуа, содержащего р элементов (т. е. с це-
целыми коэффициентами mod p). Предположим, что в А(п,р) вы-
выполняется (р—$-е условие Энгеля, которое гласит, что для
любых двух элементов <р, if> е Л (л, р)
[[¦ ¦¦ [[ф. 'ФЬ'Ф]. • • •]. ^] = 0 (ф повторяется р— 1 раз)
Тогда А(п, р) нильпотентно, т. е. для некоторого достаточно
большого m любое произведение m множителей в А равно нулю.
Чтобы понять, откуда берется условие Энгеля, нужно вер-
вернуться к явному виду элемента 6?Р. Детали этого рассуждения,
') См. примечание на стр. 6. — Прим. ред.

ГЛ. II. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 165
которые довольно техничны, мы не будем здесь объяснять. По-
Последовательное систематическое изложение и доказательство ос-
основных фактов этой теории вплоть до 1960 г. (исключая, впро-
впрочем, выдающиеся результаты Лазара и А. И. Кострикина) мож-
можно найти в гл. 5 книги Магнуса, Карраса и Солитэра [1966].
Почти одновременно с принадлежащим Кострикину доказа-
доказательством того, что ограниченная проблема Бернсайда имеет
положительное решение, П. С. Новиков объявил, что для всех
нечетных показателей е > 72 и по крайней мере двух порож-
порождающих полная проблема Бернсайда имеет отрицательное ре-
решение. Этот анонс оказался несколько преждевременным, хотя
и не был опровергнут. До сих пор не известно даже, конечна
ли группа В B, 5), но мы знаем (М. Холл [1958]), что группы
В (п, 6) конечны. Результат, утверждающий, что группы В(п,е)
бесконечны для всех нечетных показателей е^4381 (позже эта
оценка была понижена до е^665), был получен лишь позже
в очень тесном сотрудничестве П. С. Новикова с С. И. Адяном.
Он опубликован со всеми подробностями в книге Адяна [1975]
вместе с решением для групп Бернсайда проблем распознавания
равенства и сопряженности.
Обширная библиография, перечисляющая статьи, связанные
с проблемой Бернсайда, была составлена Ньюманом и опубли-
опубликована Меннике в [1980, с. 255—271]. Проблема Бернсайда яви-
явилась катализатором в исследованиях по теории групп анало-
аналогично «великой теореме Ферма» в теории чисел. Проблема с
весьма простой формулировкой, которая оказывается крайне
трудной для решения, таит в себе нечто неотразимо притягатель-
притягательное для разума математика.
Мы закончим наш обзор по проблеме Бернсайда замеча-
замечанием, что объединение теорем Кострикина и Новикова — Адяна
немедленно приводит к следующему результату:
Для всех простых чисел р > 665 существует конечно порож-
порожденная простая бесконечная группа, не содержащая подгрупп
конечного индекса, в которой каждый неединичный элемент
имеет порядок р.
Это только одна из нескольких теорем, появившихся из ра-
работы Новикова и Адяна; она иллюстрирует тот факт, что даже
конечно порожденные периодические группы не обязаны обла-
обладать какими-либо простыми свойствами из тех, которыми обла-
обладают конечные группы.
Теория лиевых колец, появление которой в комбинаторной
теории групп мы описали выше, сама является некоторым от-
ответвлением очень важной области теории групп. Вначале она на-
называлась теорией групп преобразований или теорией непрерыв-
непрерывных групп (где непрерывный является переводом немецкого сло-
слова continuierlich или, после 1900 г., kontinuierlich, а не немец-
немецкого слова stetig, у которого тот же перевод). Повсеместно

166 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
принятое теперешнее ее название — это теория групп Ли в честь
ее основателя Мариуса Софуса Ли A842—1899), который изве-
известен как Софус Ли. Идеи, проблемы, методы и результаты этой
теории вошли не только во многие разделы математики (прежде
всего анализа, геометрии, а после работ Диксона [1901, 1905]—
и теории конечных групп), но также и в теоретическую физику
XX столетия. Ясно, что мы не можем привести здесь что-нибудь
даже отдаленно напоминающее очерк истории этого предмета
и ограничимся лишь несколькими замечаниями. Начнем с того,
что термин «условие Энгеля» связан с именем Фридриха Энгеля
A860—1941), сотрудничество с которым было существенно уже
для ранних работ Ли.
С каждой группой преобразований, которая удовлетворяет
некоторым условиям конечности (числа параметров) и регуляр-
регулярности (дифференцируемое™), Ли связал алгебру Ли (т.е. лиево
кольцо с конечным базисом и коэффициентами из поля веще-
вещественных или комплексных чисел). Немедленно встал вопрос,
можно ли найти группу преобразований с данной алгеброй Ли
и определить все такие группы с точностью до теоретико-груп-
теоретико-группового изоморфизма и (как бы мы сегодня сказали) топологи-
топологического гомеоморфизма. Этот вопрос привел к глубоким иссле-
исследованиям по классификации алгебр Ли и линейных групп, т. е.
групп обратимых матриц конечного порядка, являющихся наи-
наиболее часто встречающимися группами преобразований. Пред-
Предположим, что у нас есть алгебра Ли Л с базисными элементами
рь ..., C/2 и что мы можем найти матрицы Вь ..., Вп, такие,
что в ассоциативной алгебре А с базисными элементами Ви ...
..., Вп отображение Bv->-fiv (v = 1, ..., п) и лиево умножение
в А приводят к точному представлению алгебры Л в А. Пусть
теперь t\, ..., tn — это п (вещественных или комплексных) па-
параметров. Образуем матрицы
ехр(*,В,+ ...+tnBn)^M(tb ...,/„).
Здесь экспонента определяется как бесконечный ряд, который,
как легко видеть, сходится при всех значениях параметров. Роль
экспоненты основана на том факте, что она является собствен-
собственной функцией дифференциального оператора; дифференцирова-
дифференцирование матрицы М по U означает умножение на Bv по крайней мере
в точке t\ = ... = tn — 0. Отсюда следует, что экспоненциаль-
экспоненциальная матричная функция М, определенная выше, порождает
группу, зависящую от п параметров tv с данной алгеброй Ли
в качестве своей алгебры Ли.
В этом месте на сцену выходит открытие, сделанное Кемп-
беллом [1898], которое немного позже привело к формуле Бей-
кера — Хаусдорфа. Кемпбелл показал, что, по крайней мере для
достаточно малых значений \tv\ и |tv), матрицу
M(tu ...,tn)M(xu ..., хп)

ГЛ. II. 7. КОММУТАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 167
также можно записать как степень от лиева элемента (завися-
(зависящего от tv, tv) в А. Формула Бейкера — Хаусдорфа является
абстрактной конструкцией, которая обходит проблему сходи-
сходимости (выраженную словами «достаточно малое значение»), ис-
используя формальные степенные ряды от некоммутирующих пе-
переменных вместо матриц. Она устанавливает важный факт: воз-
возможно не только вложить лиево кольцо в ассоциативное, ис-
используя лиево умножение, но и, наоборот, возможно также, по
крайней мере для случая свободного лиева кольца над полем
нулевой характеристики, ввести в лиевом кольце ассоциативное
умножение. Конечно, сформулированная выше теорема Пуан-
Пуанкаре— Биркгофа— Витта дает значительно больше. Она позво-
позволяет фактически построить минимальное ассоциативное кольцо,
из которого данное лиево кольцо (теперь уже над произвольным
полем и не обязательно свободное) может быть получено с по-
помощью лиева умножения. В теории групп Ли эта теорема в наше
время заменила формулу Кемпбелла — Бейкера — Хаусдорфа
(см., например, Джекобсон [1961] или Хамфри [1972]). Именно
такого рода приложение стимулировало работу Биркгофа [1937],
которая была принята к печати всего за несколько недель до
работы Витта по другую сторону Атлантического океана. Заме-
Замечательно здесь не столько совпадение по времени, сколько то,
что Биркгоф в своей «теореме 3» утверждает:
«Свободная алгебра Ли с п порождающими изоморфна свободной алгеб-
алгебре альтернантов на и символах.»
Он продолжает: «Иными словами, из тождеств Ли — Якоби
следуют все остальные тождества, выполняющиеся для альтер-
альтернантов». То, что автор подчеркивает этот результат, не имеет
отношения к основной цели работы, которая посвящена, как это
видно из названия, матричным представлениям алгебр Ли и
групп Ли. Дело скорее в том, что Биркгоф был крупным пред-
представителем общей тенденции к абстракции и обобщениям, воз-
возникшей после первой мировой войны; эта тенденция была осо-
особенно сильна в алгебре, где ее наиболее влиятельным вырази-
выразителем, вероятно, была Эмми Нётер. Наше замечание относи-
относительно Биркгофа применимо также к Джекобсону, работа ко-
которого от 1937 г. упоминалась выше в этой главе. Помимо при-
приведенной здесь формулы он ввел дифференцирование как общее
алгебраическое понятие, значение которого выходит за рамки
анализа; именно одна из его работ впервые придала теории ал-
алгебр Ли статус автономной области математических исследо-
исследований.
В заключение этой главы отметим, что основная тема работы
Биркгофа [1937] присутствует также у И. А. Адо в [1936]. Эта
работа написана по-русски и бегло упоминается Биркгофом. (Ее
продолжение (Адо [1947]) было переведено на английский.) Тем

168 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
не менее авторы явно работали независимо, и почти одновре-
одновременное появление их работ свидетельствует о том, что, несмотря
на возрастающую специализацию, существует не ограниченное
национальными барьерами понимание важности некоторых про-
проблем, хотя и носящих несколько технический характер и не та-
таких знаменитых, как проблемы Гильберта или некоторые гипо-
гипотезы.
Глава II. 8
МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП
Грубо говоря, многообразие групп — это класс всех групп,
в которых для всех элементов выполнены некоторые соотноше-
соотношения, называемые законами или тождествами. Наиболее полно ис-
исследованное многообразие групп — это многообразие абелевых
групп, в которых выполнен закон коммутативности, или, дру-
другими словами, в которых для произвольных элементов х\, Хг
группы выполняется тождество
(хи х2)= 1,
где, как обычно, (х\,Х2) обозначает коммутатор элементов х\ и х2
Х\ Х2 Х\Х2Ш
Аналогично многообразие Бернсайда с показателем е опреде-
определяется как класс групп, в котором для всех элементов х выпол-
выполняется тождество
Метабелевы группы из гл. П. 6 можно определить как элементы
многообразия групп, заданного тождеством
((хи х.2), (х3, х4))= 1,
а нильпотентные группы класса с, обсуждавшиеся в гл. II. 7, об-
образуют многообразие, заданное тождеством
\Х\, Хч, ••-, Хс, Xc+i)=:l,
где скобки ( ) означают простой (с + 1)-кратный коммутатор,
определенный в гл. II. 7.
Каждое из этих многообразий задано единственным тожде-
тождеством, но,конечно, нетрудно определить многообразие, используя
более одного тождества, например многообразие метабелевых
групп, являющихся нильпотентными класса с. Все упомя-
упомянутые выше конкретные многообразия обсуждались в предыду-
предыдущих главах. Биркгоф [1935] сформулировал в большой общ-
общности понятие многообразия не только для групп, но и для дру-
других алгебраических структур и доказал о них некоторые общие

ГЛ. II. 8. МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП 169
теоремы. Начало систематической теории многообразий групп
отмечено работой Б. Неймана [1937а], появившейся в немец-
немецком журнале, но на английском языке. В предыдущих главах
мы уже цитировали работы Б. Неймана, опубликованные как
до, так и после 1937 г., но конкретно эта работа является пер-
первым из его многочисленных крупных вкладов в комбинаторную
теорию групп. Она является также частью его диссертации, за
которую он получил свою вторую докторскую степень. Эту сте-
степень ему присвоил Кембриджский университет в Англии, куда
он эмигрировал из Германии в 1933 г. (Диссертация на соиска-
соискание первой докторской степени в Берлинском университете по-
появилась в 1932 г.)
Хотя Нейман в [1937а] не использовал термин «многообразие
групп» (этот термин был введен Ф. Холлом в 1949 г.), его тер-
терминология близка к принятой в алгебраической геометрии. Он
использует термин эндоморфизм (имея в виду гомоморфное ото-
отображение группы на одну из ее подгрупп), введенный Ф. Хол-
Холлом. Нейман начинает со следующего определения.
Пусть Fn — свободная группа со свободными порождающими
Х\, ..., х„. Назовем их переменными и назовем функцией лю-
любое слово W(x\, ..., хп), составленное из этих порождающих.
Пусть G— произвольная группа, и пусть (а{, ..., ап) — произ-
произвольная n-ка элементов из G. Эта n-ка будет называться точ-
точкой, а элемент W(alt ..., ап) из G— значением функции W
в этой точке. Нейман доказывает следующее. Значения функ-
функции, или более общо, множества функций (не обязательно от
одного и того же числа переменных) во всех точках группы G
образуют вполне инвариантную подгруппу в G. Такую под-
подгруппу Нейман называет словарной подгруппой. Теперь она на-
называется вербальной подгруппой, и мы в дальнейшем будем
пользоваться этим термином. Группа G может иметь вполне ин-
инвариантные подгруппы, не являющиеся вербальными, например
подгруппу, порожденную всеми элементами, порядок которых —
фиксированное простое число р, но в свободной группе все впол-
вполне инвариантные подгруппы являются, конечно, вербальными.
Вербальная подгруппа однозначно определяется множеством
2 функций Wa от переменных х\, хг, ¦ ¦., где каждая функция
Wo, разумеется, зависит только от конечного числа переменных,
причем, конечно, число функций Wa не более чем счетно. Пусть
F — свободная группа, и пусть Q^(F)—вербальная подгруппа в
F, порожденная функцией Wa. Тогда группа
называется относительно свободной группой, заданной тожде-
тождествами Wa= 1. Такую группу можно определить иначе, поль-
пользуясь тем, что в ней имеется такое множество порождающих,
что каждое соотношение, записанное в этих порождающих,

170 Ч. 11. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
является тождеством для группы. Класс относительно свобод-
свободных групп с тождествами Wa=l вместе со всеми их факторгруп-
факторгруппами образует многообразие групп, определенное тождествами
Wo = 1. Если свободная группа F, с которой мы начали, имеет
п свободных порождающих (п конечно), то относительно сво-
свободная группа полученного многообразия обозначается через
Vn(F), а число п называется ее рангом. Можно показать, что
группа Vn(F) всегда может быть задана функциями Wo от не
более чем п переменных.
Существуют два тривиальных многообразия. Одно из них со-
состоит только из групп порядка 1 и может быть задано тожде-
тождеством х=1. Другое состоит из всех групп. Одна и та же груп-
группа G может принадлежать различным многообразиям. Однако
если она содержит свободную подгруппу ранга 2, она может
принадлежать только многообразию всех групп. Вероятно, наи-
наиболее важные аспекты статьи Неймана [1937а] можно резю-
резюмировать в следующих утверждениях:
(i) Каждая группа G однозначно определяет некоторое мно-
многообразие, которое мы будем обозначать через <p(G). Его ко-
конечно порожденные (п порождающими) относительно свобод-
свободные группы будут обозначаться через (pn(G).
(И) Если группа G конечна, то группы opra(G) тоже конечны
и являются подгруппами прямого произведения Nn(G) групп,
изоморфных группе G, где Nn(G)^\G\n, a \G\ — порядок
группы G.
(iii) Существует алгоритм, который позволяет находить
op«(G) для конечной группы G непосредственно по G.
Нейман иллюстрирует утверждение (iii) явными примерами.
Он цитирует также статью Ф. Холла [1936], которая начинается
с совершенно другой задачи, ничего не использует из теории мно-
многообразий и тем не менее содержит интересный результат, важ-
важный для нахождения групп opn(G) в случае, когда G — простая
группа конечного порядка.
Для этого случая Холл показывает, как вычислить макси-
максимальное число dn{G), определяемое тем условием, что прямое
произведение dn(G) групп, изоморфных группе G, может быть
порождено п элементами. Для п = 2 и простых групп G поряд-
порядков 60, 168, 360, 660 и 1092 он приводит значения чисел d-2(G).
Очевидно, что
После статьи Б. Неймана [1937а] теория многообразий групп
в течение долгого времени оставалась почти без движения. Сле-
Следующие две статьи по этому вопросу принадлежат Леви [1942]
и Веферу [1950]. Глава 6 сборника Баумслага [1974] перечне-

ГЛ. II. 8. МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП 171
ляет 108 статей по многообразиям групп, опубликованных в
1954—1970 гг. Они включают публикации Б. Неймана, Ханны
Нейман A914—1971) и их сына П. Неймана. Монография Хан-
Ханны Нейман [1967] до сих пор является образцовой. Влияние
этой книги особенно велико благодаря сформулированным в ней
многочисленным проблемам, которые стимулировали значитель-
значительную часть позднейших исследований. Ковач и Ньюман в [1973]
подвели итог на 1973 г. статьям, касающимся этих проблем.
Только библиография этого обзора насчитывает 67 наимено-
наименований.
Здесь мы кратко опишем только две темы из теории много-
многообразий. Одна из них — это теорема о построении расширений
групп, мимоходом отмеченная в гл. I. 6. Эта теорема была уста-
установлена А. Л. Калужниным и Краснером в 1948 г. (см. [1951])
задолго до того, как появились многочисленные статьи по мно-
многообразиям, и явилась важным инструментом в их исследова-
исследовании, а также при построении групп с некоторыми свойствами.
Калужнин и Краснер построили так называемое полное произ-
произведение множества Гь Г2, ..., Г5 групп перестановок и пока-
показали, что в случае s = 2 такое произведение двух групп А и В
является группой, содержащей в качестве подгрупп все расши-
расширения группы А с помощью группы В (т. е. все группы G, со-
содержащие нормальную подгруппу, изоморфную А, причем
G/Ag^B). Термин wreath product (сплетение, буквально «бу-
«букет») происходит от немецкого слова Gruppenkranz, предложен-
предложенного Пойа [1937]. Впервые в печати этот английский термин
появился в работе Б. Неймана [1956]. Следуя обозначениям и
определению Баумслага [1959], мы строим группу АгВ (спле-
(сплетение групп А я В) для двух групп А и В следующим образом.
Пусть для всякого (>gB Аь — это изоморфная копия груп-
группы А. Образуем прямое произведение К всех групп Аь, и пусть
аь — произвольный элемент из Аь. Тогда для любого элемента
с из В действие элемента с на К определим формулой
с~хаьс = аЬс.
Это задает группу АгВ как расширение группы К с помощью
группы, изоморфной группе В.
Несколькими авторами было замечено (см., например,
X. Нейман [1967, с. 46]) (и мы отмечали это в гл. 1.6), что кон-
конструкция сплетения не нова. Действительно, ее можно описать
в элементарных терминах, грубо говоря, следующим образом.
Возьмите правое регулярное представление группы В группой
перестановок и замените отличные от нуля элементы в каж-
каждой из этих перестановок всевозможными способами элементами
группы А. Подгруппа диагональных матриц в получившейся
группе, очевидно, изоморфна группе К- Таким образом, моно-
миальные представления групп являются первым шагом в

172 Ч. И. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
направлении построения сплетений. Тем не менее мы полагаем,
что использование сплетений Калужниным и Краснером оправ-
оправдывает нашу точку зрения об их приоритете. В теории многооб-
многообразий сплетение служит нескольким целям, наиболее важной из
которых является, вероятно, конструкция произведения UV двух
многообразий U я V. Произведение — это многообразие групп G,
имеющих принадлежащую U нормальную подгруппу N, такую,
что G/N принадлежит многообразию V. Обо всех этих темах,
включая исторические примечания, определения и обобщения,
см. X. Нейман [1967, гл. 2].
Вторая тема, которую мы хотим упомянуть, может быть ква-
квалифицирована как фундаментальная задача теории многообра-
многообразий. Она является аналогом известной проблемы классической
теории алгебраических инвариантов, решенной Гильбертом в
[1890], и формулируется столь же просто: может ли произволь-
произвольное многообразие быть определено конечным числом тождеств?
Для многообразий, порожденных конечными группами, этот во-
вопрос был поставлен Б. Нейманом [1937а]. Для этих многообра-
многообразий утвердительный ответ был получен Шейлой Оутс и Пауэл-
лом [1964]. (Конечно, здесь нужно также рассматривать мно-
многообразия бесконечного ранга. Очевидно, что конечно порож-
порожденные относительно свободные группы многообразия, порож-
порожденного конечной группой, будучи сами конечными, могут быть
заданы конечным числом тождеств.) Но для многообразий, со-
содержащих бесконечное число конечно порожденных групп, про-
проблема значительно труднее. Частичные результаты перечислены
на с. 39 книги X. Нейман [1967]. Полностью проблема была
решена три года спустя. В течение шести месяцев 1970 г.
А. Ю. Ольшанский1), Воон-Ли и С. И. Адян дали примеры мно-
многообразий, которые могут быть заданы только бесконечным чис-
числом тождеств. Пример, предложенный Адяном, особенно заме-
замечателен, поскольку включает только тождества от двух перемен-
переменных. С другой стороны, он основан на очень трудных результа-
результатах, которые С. И. Адян н П. С. Новиков получили при дока-
доказательстве того, что существуют группы Бернсайда бесконечного1
порядка.
В качестве непосредственного следствия из существования
этих примеров мы получаем, что существует несчетное число
различных многообразий групп.
Мы не можем объяснить, почему после публикации Б. Ней-
Неймана [1937а] потребовалось столько времени для оживления
интереса к теории многообразий групп. У нас есть похожий, но
далеко не такой поразительный пример из теории ассоциативных
колец. В 1937 г. появилась докторская диссертация Вагнера, по-
') В работе Л. Ю. Ольшанского [1970] доказано существование конти-
континуума многообразий групп; из этого вытекает существование многообразия,
не задаваемого конечным числом тождеств. — Прим. перев.

ГЛ. П. 9. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРУПП 173
следнего аспиранта Дэна в Германии. Предмет этой важной
работы можно очень точно характеризовать как исследование
многообразий колец. Сейчас кольца таких многообразий назы-
называются кольцами с полиномиальными тождествами или просто
Р/-кольцами (сокращение, которое непосвященные иногда ин-
интерпретируют как кольца главных идеалов («principal ideal
rings»)). Похоже, что статья Вагнера не имела прямого влияния
на развитие в этой области, хотя она была вполне оценена Кап-
ланским [1948] в его первом обзоре результатов, полученных к
тому времени.
Глава II. 9
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРУПП
И РАСШИРЕНИЯ ГРУПП
В гл. I. 5 мы описали первое продуктивное использование Дэ-
Дэном и другими авторами введенного Кэли графа группы. В (до-
(довольно расплывчатых) общих терминах это использование мож-
можно описать как метод сопоставления топологического клеточ-
клеточного комплекса (в случае графа—1-комплекса) группе и по-
получения результатов о группе из этого сопоставления. Первым
шагом вперед по сравнению с методами, использованными Дэ-
Дэном, явилось, вероятно, установление связи между накрываю-
накрывающим пространством и подгруппами фундаментальной группы
базы накрытия, использованное Рейдемейстером в [1932b]. Ван
Кампен в [1933а], [1933b] ввел важное и очень продуктивное
обобщение с использованием 2-комплексов. Его идеи, которые
заработали в полную силу только 30 лет спустя, были прояс-
прояснены Линдоном и Шуппом [1977, с. 170 и 317]. Главы 3 и 5
книги Линдона и Шуппа посвящены геометрическим методам,
в них объясняются все технические подробности и дается неко-
некоторая информация исторического характера. Глава 5 называет-
называется «Теория малых сокращений». Линдон и Шупп используют
геометрический подход к этой теории. Теория малых сокраще-
сокращений возникла как чисто алгебраическая в работе Тартаковского
[1949], который предложил алгоритмы решения проблемы ра-
равенства слов для большого класса групп, имеющих такие зада-
задания, что лишь относительно небольшие отрезки определяющих
слов могут сокращаться друг с другом. Эти алгоритмы в неко-
некоторых своих частях очень трудны. Используя по-прежнему чисто
алгебраические рассуждения, Гриндлингер [1960а], 1960b] ввел
классы групп с аналогичными условиями на соотношения, в ко-
которых проблемы распознавания равенства и сопряженности мо-
могут быть решены с применением алгоритма очень простого типа,
а именно алгоритма, который Дэн в [1912] использовал при ре-
решении указанных проблем для фундаментальных групп замкну-

174 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
тых 2-мерных многообразий (см. гл. 1.5). Уже Дэн использовал
рассуждения геометрического характера, но методы, использо-
использованные Линдоном и Шуппом в [1977] (которые по большей
части принадлежат авторам), имеют значительно более изощ-
изощренную и, без сомнения, более сложную природу. Здесь мы не
можем их описать.
Возможность связать с группой симплициальный клеточный
комплекс имеет также другие последствия чисто теоретико-груп-
теоретико-групповой природы. Каждому такому комплексу соответствует не-
несколько групп. Из этих групп роль фундаментальной (или пер-
первой гомотопической) отмечалась много раз в предыдущих гла-
главах. Такому комплексу тоже соответствуют две бесконечные
последовательности абелевых групп, являющиеся инвариантами
пространства, которое ими определяется. Это — группы гомоло-
гомологии (ранее называвшиеся группами Бетти) и группы когомо-
логий. В работах нескольких авторов, появившихся в 1940-х го-
годах, было показано, что связь между клеточными комплексами и
группами приводит к чисто алгебраическому определению групп
гомологии и когомологий любой заданной группы G, которые
являются инвариантами этой группы (т.е. изоморфны для групп,
изоморфных группе G). Фрейденталь в [1931] ввел также по-
понятие концов топологических пространств и групп, а Хопф в
[1944] доказал важную теорему о возможном числе концов у
пространств, в которой тоже участвует число концов счетной
группы как ее инвариант.
Наконец, теория бесконечных алгебраических расширений
поля вместе с появлением более абстрактного определения топо-
топологического пространства также в 40-х годах привели к введе-
введению топологических структур на группах, которые не основаны
на каком-либо сопоставлении клеточного комплекса группе.
Для изложения всех упомянутых здесь тем требуется значи-
значительный технический аппарат. Кроме того, большая часть их
применений в комбинаторной теории групп появилась по окон-
окончании рассматриваемого нами периода. По этим причинам мы
ограничиваемся здесь чисто качественным описанием основных
идей и будем упоминать примеры приложений, только если они
допускают особенно простую формулировку. Тем не менее мы
сделаем исключение для первого применения теории когомоло-
когомологий, связанного с теорией расширений групп, и начнем наш рас-
рассказ с краткого описания некоторых аспектов этой темы, хотя
это не совсем согласуется с характером изложения исторических
фактов, принятым нами в предыдущих главах.
Пусть Q и Л —группы. Задачей теории расширений являет-
является построение всех групп G, которые содержат нормальный де-
делитель, изоморфный группе А (обозначаемый снова через А,
поскольку это не приводит к недоразумениям), таких, что фак-
факторгруппа G/A изоморфна Q. Можно заметить, что, вероятно,

ГЛ. П. 9. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРУПП 175
первая ясная формулировка этой задачи возникла у Гёльдера
в [1895] или де Сегье в [1904, с. 17—22]. Однако систематиче-
систематический подход к ней содержится лишь в докторской диссертации
Шрейера [1926а, Ь], уже упоминавшейся в гл. II. 3. Краткое и
наглядное изложение основных результатов можно найти в
гл. III книги Цассенхауза [1937] или в [1949] либо в книге
Куроша [1944], который замечает, что информация, необходи-
необходимая для построения всех расширений G, слишком сложна и ста-
становится прозрачной, только если наложить дополнительные усло-
условия на А или Q или на обе группы, и упоминает в этой связи
работы Шрейера [1926а, Ь], Бэра [1934], Тьюринга [1938] и
М. Холла [1938]. Последняя статья в особенности важна с точ-
точки зрения комбинаторной теории групп, поскольку она демон-
демонстрирует роль определяющих соотношений группы Q (если
имеется задание Q как факторгруппы свободной группы) при
построении так называемых центральных расширений G группы
А с помощью группы Q. (См. также разд. 15.4 в книге М. Холла
[1959].) Кроме того, М. Холл [1938] указывает, что одна из
теорем, которые нужны в его статье, связана с «некоторым ти-
типом алгебро-топологического замыкания в полупростых алгеб-
алгебрах». Использование им понятий такого же рода в теории сво-
свободных групп и групп, связанных с ними (см. М. Холл [1950а]),
мы еще будем обсуждать ниже в этой главе.
Один частный вопрос в теории расширений групп, который
привлек много внимания, возник из понятия расщепляющегося
расширения. Скажем, что расширение G группы А с помощью
группы Q расщепляется, если G содержит такую подгруппу Qo,
изоморфную Q, что элементы из Qo дают полную систему пред-
представителей смежных классов группы G по подгруппе А. В этом
случае группу G называют также полупрямым произведением
групп А и Q. (Прямое произведение групп А и Q является очень
частным случаем полупрямого произведения.) В теории конеч-
конечных групп расщепляющиеся расширения в течение значитель-
значительного времени играли важную роль. Например, если порядки
конечных групп А и Q взаимно просты, то G — всегда расщеп-
расщепляющееся расширение. (См., например, Цассенхауз [1937,
с. 125]; теорема принадлежит Шуру.) Для произвольных групп
имеется принадлежащая Артину фундаментальная теорема, до-
доказательство которой было опубликовано Иянагой в [1934], оно
имеется также у Цассенхауза [1937b, с. 98]. Предположим, что
G — расширение группы А с помощью группы Q и А абелева.
Тогда существует группа G* с нормальным делителем Л*, та-
такая, что
(i) G*/A*/ Q
(ii) G* — расщепляющееся расширение группы Л* с по-
помощью группы Q;

176 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
(ш) А* — прямое произведение группы А и другой абелевой
группы.
Цассенхауз упоминает, что эта теорема может быть обоб-
обобщена на случай произвольной группы А с использованием тео-
теории свободных произведений групп. Такое обобщение с явным
доказательством было опубликовано Секи в [1941]. Группа G*
называется расщепляющей группой (по-немецки Zerfallungsgrup-
ре) группы G. О последующем развитии этой темы см. § 155—
157 в сборнике Баумслага [1974] и специально (в отношении
теории многообразий) — у Ф. Холла в [1945b].
Формулы и определения, необходимые в теории расширений,
сильно упрощаются, если группа А абелева. В дальнейшем мы
будем предполагать это и будем записывать группу А аддитив-
аддитивно, обозначая ее элементы символами а,- (/=1, 2, ...). Эле-
Элементы группы Q будут обозначаться через uv (v = 1, 2, ...).
Установим теперь необходимые условия для существования рас-
расширения G группы А с помощью Q. Они окажутся также и до-
достаточными.
Для каждого «v e Q должен существовать смежный класс
gyA группы А в G. Здесь gv— элемент из G, определенный не-
неоднозначно, поскольку его можно заменить любым другим эле-
элементом из того же класса. Тем не менее, поскольку А абелева,
элемент
зависит только от класса gvA, т. е. от элемента иу абстрактной
группы Q. Обозначим его через амУ. Отображение
а,- -> atuv
определяет автоморфизм группы А, а множество всех таких ав-
автоморфизмов образует группу, являющуюся гомоморфным обра-
образом группы Q. Мы будем говорить, что отображения ai^-aiUv
описывают действие группы Q на А; фактически А является
2'(B)-модулем, где Z(Q)—целочисленное групповое кольцо груп-
группы Q. Если ам\- = а; для всех v и i, то скажем, что группа Q
действует на А тривиально.
Предположим теперь, что
в Q, и рассмотрим соответствующие соотношения между g^, gv.
Получим, что
f («v
где /(mv, Мщ) — элемент из А, зависящий от uv и и^. Мы можем
взглянуть на / как на функцию от упорядоченной пары элемен-
элементов из Q. Эта функция называется системой факторов группы Q

ГЛ. II. 9. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРУПП 177
в группе А, и ее можно выбрать произвольным образом. Закон
ассоциативности для элементов из G приводит к функциональ-
функциональному уравнению
f(u, v)w+f(uv, w) = f(u, vw) + f(v, w), (*)
где и, v, w— произвольные элементы из Q. Каждая функция f,
удовлетворяющая условию (*), действительно определяет рас-
расширение О группы А с помощью Q с заданным действием груп-
группы Q на А. Нет смысла различать расширения, которые отли-
отличаются только тем, что мы выбрали разные представители для
смежных классов группы А в G. Если два расширения могут
быть переведены друг в друга заменой элемента gv представи-
представителем gy = gy ¦ av, где av — произвольный элемент из Л и где
gv-av означает произведение элементов gx и av в G, то такие
расширения мы назовем эквивалентными и будем использовать
один и тот же символ для соответствующих систем факторов.
Пусть теперь f (uv, и^)— система факторов, ассоциированная с
g'v; тогда
/' (uv, ы„) = all + а^ -ak + f (uv, ы„),
где а^и^ означает результат действия элемента ый на av. Мы
можем сформулировать этот результат следующим образом.
Пусть ф(ы)—произвольная функция от элементов и группы
Q со значениями в А. Тогда системы факторов /(«, v) и f(u, v) —
— Ф {и) v — ф (и) + Ф(uv) эквивалентны.
Очевидно, функция fo(u,v), определенная формулой
fO(U, 1>)=ф(ыI> + фA>)— ф(«"о') (**)
с произвольной ф(м), удовлетворяет функциональному уравне-
уравнению (¦*)—в этом можно убедиться простой выкладкой.
Поскольку функциональное уравнение (*) линейно, то воз-
возможные системы факторов образуют группу по сложению. То же
верно и для специальной системы факторов, определенной фор-
формулой (**). Факторгруппа первой из этих групп по второй будет
обозначаться через
Я2«Э, А)
и называется в настоящее время (по причинам, которые будут
объяснены ниже) второй группой когомологий группы Q с коэф-
коэффициентами в А.
Нужно заметить, что порядок группы H2(Q,A) не связан с
числом неизоморфных расширений G группы А с помощью Q
при заданном действии группы Q на А. Стандартным относя-
относящимся сюда примером (происхождение которого мы не смогли
проследить) является следующий. Пусть р ^ 3 — простое чис-
число, А — прямая сумма двух циклических групп порядка р, и
пусть Q — циклическая группа порядка р. Если G неабелева, то

178 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
мы можем всегда предполагать, что действие группы Q на А
задается формулами
п\п = а.\ + а2, а2и = а2,
где и — порождающий группы Q, а а\, а2 — подходящим образом
выбранные порождающие группы А. Тогда, конечно,
ра\ = ра2 = 0, ир = 1.
Таким образом, существуют ровно два неизоморфных расшире-
расширения группы А с помощью Q с указанным действием группы Q
на А; в одном из расширений все элементы группы G имеют
порядок р, а в другом порядок прообраза элемента и в G равен
р2. Тем не менее, порядок группы H2(Q,A) должен быть поло-
положительной степенью числа р и, следовательно, больше чем 2.
Классы эквивалентных расширений дают более тонкую класси-
классификацию, чем классы изоморфных групп, причем такое уточне-
уточнение может быть важным даже в физических задачах, как можно
видеть из следующего примера, информацией о котором мы обя-
обязаны Ауслендеру. Группа симметрии кристаллической решетки
является конечным расширением свободной абелевой группы с
тремя свободными порождающими. Такая решетка и ее отраже-
отражение относительно плоскости всегда имеют изоморфные группы
симметрии. Но они не обязательно эквивалентны как расшире-
расширения, и соответствующие этим разным решеткам кристаллы мо-
могут иметь разные физические свойства.
Перед тем как ввести понятие групп гомологии и когомоло-
гий групп, мы должны кое-что сказать о топологических исто-
истоках этих понятий. Известная статья Бернхарда Римана A826—
1866) по теории абелевых функций, которая появилась в 1857 г.,
является, по-видимому, самой ранней публикацией на эту тему.
Эта статья относится только к простейшему возможному случаю,
а именно к поверхностям (двумерным ориентированным про-
пространствам), и совсем не использует понятие группы. Процити-
Процитируем одно из основных определений:
«Если на поверхности можно нарисовать и замкнутых кривых, которые
ни по отдельности, ни вместе не образуют полной границы части поверхности,
но вместе с произвольной новой замкнутой кривой они образуют полную
границу части поверхности, то поверхность называется (и + 1)-связной.»
Это определение имеет смысл, поскольку связность поверх-
поверхности, как можно показать, не зависит от выбора этих п кри-
кривых. В течение длительного времени число п называлось пер-
первым числом Бетти поверхности в честь Энрико Бетти A823—
1892), который в 1871 г. обобщил это определение Римана на
пространства более высоких размерностей и соответствующее
понятие связности. Теория групп вошла в теорию гомологии в
статье Пуанкаре [1895], который показал, что первое число

ГЛ. II. 9. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРУПП 179
Бетти является рангом максимальной свободной абелевой груп-
группы, выделяемой прямым слагаемым в факторгруппе по комму-
коммутанту фундаментальной группы т рассматриваемого простран-
пространства. Эта группа, т. е. л,/л[, называется теперь первой группой
гомологии Н{ этого пространства. Однако высказанное утверж-
утверждение является теоремой, а не определением, поскольку суще-
существует определение не только группы #ь но всех групп
гомологии Нп для произвольной размерности п> \, не за-
зависящее от фундаментальной (первой гомотопической) группы.
Мы не будем приводить точного определения, но приведем
необходимые ключевые слова (указывая в скобках терми-
терминологию для важного одномерного случая). Первое необхо-
необходимое понятие — это понятие топологического симплекса, ко-
которое в размерностях 1, 2 и 3 является соответственно
интервалом (или ребром), треугольником и тетраэдром. Затем
нам потребуется симплициальное разбиение топологического
пространства (в размерности 1 это будет его представ-
представление графом). Потом нам потребуется свободная аддитив-
аддитивная абелева группа Sn, порожденная символами, обозначаю-
обозначающими n-мерные симплексы. Предполагается, что у каждого
симплекса есть ориентация и смене знака у симплекса соответ-
соответствует изменение ориентации. Определим теперь цепи симплек-
симплексов (пути, состоящие из ребер) и замкнутые цепи, или циклы
(замкнутые ориентированные пути). Циклы образуют подгруп-
подгруппу С„ группы Sn- Определим граничный оператор 6Л, который
отображает цепь на ее границу. Поскольку границы замкнуты,
т. е. б„бл+1 = 0, то 6,г+1 отображает все (л+1)-мерные цепи в
циклы, которые образуют подгруппу Вп группы Сп. Фактор-
Факторгруппа Сп/Вп = Нп есть по определению п-я группа гомологии
пространства. Конечно, надо доказать, что Нп не зависит от
симплициального разбиения пространства. Хопф в [1942] ис-
использовал эти понятия, чтобы определить вторую группу гомо-
гомологии H2(G) любой заданной группы G, ассоциируя с G симпли-
циальный комплекс. (Хопф назвал H2(G) второй группой Бетти
группы G.) Затем Хопф в [1945] определил п-ю группу гомоло-
гомологии Hn(G) любой группы G чисто алгебраическим образом.
Идея, лежащая в основе такого определения, намечена в пре-
предисловии к книге Маклейна [1963]. Определения групп гомо-
гомологии пространств с минимумом технических подробностей и
некоторыми историческими замечаниями можно найти в книгах
Зейферта и Трельфалля [1934] и Стилуэлла [1980, с. 170—172].
Первым применением теории гомологии групп явилась уди-
удивительная теорема, доказанная Хопфом в [1942]:
Пусть G задана как факторгруппа F/R свободной группы F.
Тогда вторая группа гомологии H2(G) является факторгруппой
{F' П R)/[F, R] = H2(G),

180 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
где F' [)R означает пересечение коммутанта F' группы F с R,
a [F, R]—нормальный делитель в F, порожденный всеми ком-
коммутаторами произвольных элементов из F с произвольными эле-
элементами из R.
Из приложений этой теоремы мы упомянем статьи Баум-
слага [1971], [1976а], [1976b], где исследуется ее связь с про-
проблемой построения конечно порожденных групп с бесконечным
числом соотношений.
Перелистывая гл. 17 сборника Баумслага [1974], читатель
может убедиться, что литература о когомологиях групп значи-
значительно богаче, чем литература о гомологиях групп. Хотя Ри-
ман в [1857], конечно же, не дал даже определения первой
группы когомологий для группы (понятие группы не появляется
в его работе) и хотя мы не можем явно продемонстрировать
непосредственное влияние его идей на позднейшее развитие
теории, анализ этой работы является естественным введением
в интересующий нас предмет.
Когомологий имеют дело с теорией функций на группе, а эти
функции должны обладать некоторыми свойствами, которые
можно характеризовать как свойства интегралов, взятых по
определенным подпространствам в пространстве, ассоциирован-
ассоциированном с группой. В статье Римана эти интегралы появляются в
следующем контексте.
Пусть S — риманова поверхность алгебраической функции
комплексного переменного г. Топологически 5 эквивалентна
замкнутому ориентируемому 2-мерному многообразию. Предпо-
Предположим, что род g этого многообразия не меньше 1. Тогда суще-
существует g линейно независимых алгебраических функций fv(z)
(v = l, ..., g) переменной z, однозначных на 5 и таких, что
интегралы
по произвольной гладкой кривой С, выходящей из фиксирован-
фиксированной точки z0 и входящей в произвольную точку г, конечны для
всех значений точки z. Интегралы /v называются абелевыми
интегралами первого рода на 5. Они не однозначны на S, но их
многозначность можно полностью описать, зафиксировав го и
взяв в качестве С замкнутую кривую Со. Значения получающих-
получающихся интегралов Iv(Co) зависят не от самой кривой Со, а только
от ее класса эквивалентности в группе гомологии поверхно-
поверхности 5.
Мы не будем стараться анализировать дальше ситуацию,
изучаемую в статье Римана; наши замечания были нужны
только, чтобы пояснить, как ввести на группе не произвольные

ГЛ. II. 9. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРУПП 181
функции, а такие, которые обладают свойствами интегралов.
Поскольку интеграл — это линейный функционал, то значения
интегралов должны быть элементами абелевой группы А, ко-
которую мы будем записывать аддитивно. Если Q — группа, то
пусть х, у, 2, Х\, х2, х3, ... — ее произвольные элементы. (В Q ум-
умножение мы будем записывать мультипликативно.) Мы рас-
рассматриваем элементы группы Q как точки, а упорядоченные
пары (х,у) — как ориентированные отрезки. Аналогично тройки
(х,у, z) рассматриваются как треугольники с ориентацией
и т. д. Одномерный интеграл h(x,y), взятый по отрезку (х,у),—
это функция двух «переменных» .v, у со значениями в А, такая,,
что
/,(jc, х) = 0, /,(*, У) + 1ЛУ, х} = 0.
Поскольку интегралы по границе по определению равны
нулю, то
h(x, y) + h(y, Z) + /,B, JC)==O.
До сих пор мы не использовали то, что Q — группа, и рассмат-
рассматривали ее просто как множество элементов. Предположим те-
теперь, что Q действует на А как группа автоморфизмов. Опреде-
Определим изоморфное отображение группы А на себя, заданное эле-
элементом ,?е Q, которое мы будем записывать в виде
а <—> ах,
где а — произвольный элемент из А, и потребуем, чтобы выпол-
выполнялось равенство
h{x, y)z = Ii(xz, yz).
(Заметим, что 1\{х,у)еА) Это означает, что мы рассматри-
рассматриваем отрезок (xz, yz) как образ отрезка (х, у) под действием
элемента z и что интегралы по этим двум отрезкам связаны та-
таким образом, что второй интеграл не зависит от конкретного
вида первого отрезка {х,у), а зависит только от значения ин-
интеграла Ii(x,y) и от элемента z. В случае когда действие груп-
группы Q на А тривиально, т. е. когда
ах = а для всех а и всех х,
интеграл 1\{х,у) просто инвариантен относительно группы Q.
Функция Ii(x,y), удовлетворяющая всем упомянутым усло-
условиям, называется одномерным коциклом. Очевидно, коциклы об-
образуют абелеву группу по сложению. Они отвечают одномерным
интегралам, которые обращаются в нуль, если их брать по
границе двумерного многообразия. Очевидно, что интеграл об-
обладает указанным свойством, если его значение по отрезку яв-
является разностью значений некоторой функции, взятых в кон-
концах отрезка. В соответствии с этим мы введем особый тип

182 ч- И- СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
функций /*(х, у), задаваемых формулой
ri(x,y) = I0(y)-J0(x),
где значения функции Jo снова лежат в Л и где
Такие функции /* называются кограницами. Легко проверить,
что все кограницы являются коциклами и образуют подгруппу
(по сложению) в группе коциклов. Факторгруппа группы ко-
коциклов по подгруппе кограниц называется первой группой ко-
когомологий Hl(Q,A). Ее определение включает в себя не только
группы Q и А, но также действие группы Q на А.
Вторая группа когомологий H2(Q,A) определяется аналогич-
аналогичным образом. Определим сначала 2-мерные коциклы 12(х1у х2, х^)
как функции от трех элементов группы Q со значениями в А,
такие, что
12(хи х2, xi)y = I2(x[y, х2у, х3у),
12(хь х2, х3) = 0, если Xi = x2 или Xi = x3, или х2 = х3,
/2(ЛГ,, Х2, Х3) — 12(Х{, Х2, Х4) + /2(*1, ХЪ, Х4) — /2(Х2, Х3) ^4) = °-
Последнее условие означает, что 2-мерный коцикл обладает
свойствами 2-мерного интеграла, который обращается в нуль,
если его взять по границе тетраэдра с вершинами Х\, х%, х$, х^
и согласованной ориентацией граней. Опять-таки из анализа
известно, что 2-мерный интеграл обладает таким свойством,
если его можно выразить как интеграл по границе каждой гра-
грани. В нашем контексте это значит, что мы можем определить
специальные 2-мерные коциклы 1\ следующим образом. По-
Положим
Il(xv x2, x3) = Jl(xl, x2)-J2(xv *3) + Л(*2» *з)>
где значения функции /i принадлежат группе А и
, х2у).
•Функции Г2 называются 2-мерными кограницами. Факторгруп-
Факторгруппа аддитивной группы коциклов по аддитивной подгруппе ко-
кограниц называется второй группой когомологий H2(Q,A)
группы Q с коэффициентами в А.
Мы можем ввести новые функции f(x,y) от двух элементов
х, У группы Q, которые снова будут элементами из А, положив
f(Xi, X2) = I2(XlX2, ХЬ 1),
/( ) f{\ x2x~l)x.

ГЛ. II. 9. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРУПП 183
Условия на /г, выписанные выше, эквивалентны тогда условиям,
выведенным ранее для системы факторов f(x\,x2), при условии,,
что мы нормализуем систему факторов так, чтобы в расширении
группы А с помощью группы Q представитель класса смежности
группы А являлся бы единичным элементом группы Q. Это при-
приводит к соотношениям
f(xu 1) = /A, х2) = 0.
Функция ф, которую мы ввели в нашем обзоре теории расши-
расширений, связана с функцией /, с помощью соотношений
Ху = UV, Х2 = V,
/,(*[, 1) = ф(Ы, V), /,(Х2, 1)
Конечно, теперь фA)=0, поскольку нам не нужно менять пред-
представитель группы А в расширении группы А с помощью груп-
группы Q.
Интерпретация теории расширений абелевых групп в тер-
терминах групп когомологий была первым теоретико-групповым
применением последней. Затем последовало много других, и
одно из применений будет упомянуто ниже. Однако наше по-
поверхностное и элементарное описание некоторых основных по-
понятий этой теории не должно создавать впечатления, что она
развивалась медленно. В двух фундаментальных статьях Эй-
ленберга и Маклейна [1947] содержится большое число важ-
важных теорем и мощный технический аппарат. В частности, пол-
полное определение всех групп когомологий Hn(Q,A) любой раз-
размерности п появляется уже на первых нескольких страницах
первой из этих работ вместе с теоретико-групповой интерпрета-
интерпретацией групп #>(Q, Л) и #2(Q, A).
Появление теории когомологий (не только групп, но и раз-
различных других алгебраических и топологических структур) как
новой и очень абстрактной дисциплины было подготовлено
двумя десятилетиями развития как алгебры, так и топологии,,
которое привело к сильным аксиоматическим и понятийным
(т. е. свободным от вычислений) построениям в обеих областях.
Тщательный анализ этого процесса потребовал бы отдельной
монографии. Книга Маклейна [1963] дает хорошее представле-
представление о новых терминах и даже новых типах формул, которые
сопровождали становление и развитие теории гомологии, вклю-
включая теорию когомологий.
Из примеров использования теории когомологий в комбина-
комбинаторной теории групп мы упомянем здесь только статью Стол-
лингса [1968] и отсылаем за литературой (большая часть ко-
которой опубликована после 1950 г.) к гл. 17, с. 569—616, сбор-
сборника Баумслага [1974]. В статье Столлингса используется

184 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
также другое топологическое понятие — концы группы, которое
мы ввели в гл. 1.5. Результаты Столлингса допускают замеча-
замечательно простую формулировку.
Почти очевидно, что расширение любой группы А (абелевой
или нет) с помощью свободной группы всегда расщепляется.
Отсюда следует, что когомологическая размерность свободных
групп равна 1. Это означает, что все группы когомологий
Hn(F, А) свободной группы F с коэффициентами в любой абе-
абелевой группе А и любым действием группы F на А тривиальны
(т. е. Нп(F, А) = 0) при всех п > 1. (Достаточно доказать это
для п = 2, а переход к п > 2 несложен.) Столлингс показал,
что только свободные группы являются конечно порожденными
группами с таким свойством. Он показал также, что конечные
расширения конечно порожденных свободных групп, не имею-
имеющие кручения, являются снова свободными и что конечно по-
порожденная группа без кручения с бесконечным числом концов
является нетривиальным свободным произведением. Последняя
из этих теорем уже упоминалась в гл. 1.5. Обобщения теорем
Столлингса можно найти в сборнике Баумслага [1974, с. 605—
606]. Относительно понятия концов группы в дополнение к ска-
сказанному в гл. 1.5 мы упомянем здесь, что это частный случай
понятия, применимого к значительно более широкому многооб-
многообразию структур (см. Фрейденталь [1931], [1945] и Хопф
[1944]). Определение числа концов группы, которое мы привели
в гл. 1.5, основано на графе группы, возникающем из определе-
определения группы с помощью определяющих соотношений, содержа-
содержащих, во всяком случае, лишь конечное число порождающих.
При этом не видно простого доказательства независимости чи-
числа концов группы от ее задания.
Последние две темы, которые мы будем обсуждать в этой
главе, связаны между собой, хотя имеют различное происхож-
происхождение. Они включают понятия подгрупповой топологии и обрат-
обратных пределов групп. Первое из этих понятий возникло до неко-
некоторой степени «естественно» из все более абстрактной форму-
формулировки основных понятий топологии и переноса этих понятий
на алгебраические системы. Понятие обратного предела групп
естественно появилось в теории Галуа бесконечных алгебраиче-
алгебраических расширений полей.
Тот факт, что группы можно рассматривать как топологи-
топологические пространства, где роль точек играют элементы групп,
разумеется, существен в теории групп Ли, которые сам Ли на-
называл непрерывными группами. Абстрактная формулировка,
упомянутая выше, состоит в том, чтобы определять окрестность
точки, не оговаривая, что такая окрестность должна иметь ка-
какие-то свойства, сходные со свойствами шара в конечномерном
евклидовом пространстве. В частности, она может состоять
только из счетного числа точек (элементов счетной группы), и

ГЛ. II. 9. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГРУПП 185
мы можем считать окрестностями единицы, например, все нор-
нормальные делители конечного индекса группы G при условии,
что пересечение всех таких нормальных делителей в этой группе
тривиально. Окрестности произвольного элемента g можно опре-
определить как смежные классы по этим нормальным делителям,
содержащие g. Такая топология называется подгрупповой топо-
топологией в группе G.
После того как для группы G определена (разумная) топо-
топология, мы можем пополнить группу относительно этой тополо-
топологии и получить группу G*, которая, вообще говоря, содержит
несчетное число элементов, даже если G была счетна. Этот про-
процесс пополнения алгебраической структуры был впервые про-
проведен в случае поля рациональных чисел, где пополнение отно-
относительно некоторой специальной топологии приводит к полю
вещественных чисел. То, что это есть применение намеченной
выше процедуры, становится очевидным, если мы используем
метод Веиерштрасса, который ввел вещественные числа, исполь-
используя последовательности вложенных интервалов с рациональ-
рациональными концами, причем длины интервалов стремятся к нулю.
(Этот метод, разумеется, эквивалентен более популярному ме-
методу построения вещественных чисел с помощью дедекиндовых
сечений.)
Курт Гензель A861 —1941) сделал важное открытие, состоя-
состоящее в том, что любое простое число р определяет некоторую
топологию на поле рациональных чисел. Пополнение этого поля
относительно такой топологии было названо им полем р-ади-
ческих чисел. Конечно, ни Вейерштрасс, ни Гензель не исполь-
использовали топологической терминологии. Развитие основных кон-
концепций топологии и их приложение к алгебраическим структу-
структурам, которые в XIX столетии никому не пришло бы в голову
рассматривать как топологические пространства, мы не имеем
возможности здесь описать. Можно упомянуть лишь несколько
работ, которые либо имеют систематизирующий характер, либо
оказали существенное влияние на дальнейшее развитие. В тео-
теории пополнений следует отметить работу ван Данцига [1932],
а что касается применений для топологических групп — работы
Понтрягина [1934], [1938]. Последний источник, который мы
хотим упомянуть, — это монография, содержание которой изла-
излагается М. Холлом в [1950а] вместе с большим числом других
важных источников. Статья Холла представляет первое систе-
систематическое применение понятия подгрупповой топологии к ком-
комбинаторной теории групп. В ней речь идет о группах G, обла-
обладающих тем свойством, что для любого неединичного эле-
элемента g группы G существует счетная подгруппа конечного
индекса в G, не содержащая g. Это опоеделение охватывает
все счетно порожденные свободные группы и оказывается
эквивалентным определению финитной аппроксимируемости»

186 ч- П- СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
введенному Ф. Холлом как частный случай общего свойства
аппроксимируемости (см. Грюнберг [1957]).
М. Холл в [1950а] также устанавливает связь между под-
групповой топологией и понятием проективного или обратного
предела, которое определяется следующим образом.
Пусть Gs (s=l,2, ...) — бесконечная последовательность
групп. (В общем случае s может пробегать произвольное на-
направленное множество.) Предположим, что существуют гомо-
гомоморфизмы
Gs+1 -> Gs
для всех s, и построим группу Р, элементами которой являются
последовательности
(8\> ёг> • • •> gs> 8s+\> • ¦ •).
где gs^ Gs и где для всех s элемент gs является гомоморф-
гомоморфным образом элемента gs+\- (Произведение двух таких после-
последовательностей определяется почленно.) Если существует груп-
группа G с такими нормальными делителями Ns, что Ns+\ содер-
содержится в Ns, Gs = = G/Ns и пересечение всех Ns равно единице,
то Р есть пополнение группы G относительно подгрупповой то-
топологии, заданной подгруппами Ns.
(При построении подгрупповой топологии, где окрестностя-
окрестностями единицы будут нормальные делители группы G, требование,
чтобы эти подгруппы имели конечный индекс в G, гарантирует,
что пересечение любых двух из них снова имеет конечный ин-
индекс.) За литературой по этому предмету мы отсылаем к § 9,
с. 375—380, сборника Баумслага [1974]. Здесь мы упомянем
только, что последовательности групп Gs с описанными выше
свойствами автоматически возникают в теории Галуа бесконеч-
бесконечных алгебраических расширений поля. Эта тема была иссле-
исследована значительно раньше, например, Круллем [1928], вводя-
вводящим также оператор замыкания, который Халанай [1947] рас-
рассматривал как оператор пополнения группы Галуа в подгруп-
подгрупповой топологии.
В гл. 1.6 мы уже отмечали принадлежащую Титцу [1972]
важную теорему о структуре конечно порожденных линейных
групп над полями характеристики нуль. Доказательство этой
теоремы использует топологию Зарисского, которая является
существенным инструментом в алгебраической геометрии. Здесь
мы не можем вдаваться в детали, но отметим, что в отличие
от подгрупповой топологии топология Зарисского основана на
определении замкнутых множеств и она не позволяет отделить
две точки Р] и Р2 с помощью открытых множеств Si и S2 с
пустым пересечением так, чтобы Pi^S\, P2^S2. Для инфор-
информации см. Верфриц [1973].

ГЛ. И. 10. ЗАМЕЧАНИЯ О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГРУПП 187
Глава II. 10
ЗАМЕЧАНИЯ О НЕКОТОРЫХ
СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССАХ ГРУПП
Существенная часть всей литературы по теории групп по-
посвящена группам специального вида. Даже если ограничиться
публикациями, в которых речь идет о группах, явно заданных
порождающими и определяющими соотношениями, и то мы за-
заведомо не смогли бы уделить им всем достаточного внимания
в нашей книге. К счастью, монография Коксетера и Мозера
[1972] содержит максимум информации по этим вопросам, ко-
который можно надеяться найти в книге разумного объема. Груп-
Группы, упоминаемые в этой книге (являющейся третьим изданием
монографии, первое издание которой вышло в 1957 г.), как
правило, имеют конечный порядок. Однако доказательства ко-
конечности групп, определенных соотношениями, составляют, ра-
разумеется, предмет комбинаторной теории групп. Вероятно, наи-
наиболее важные результаты здесь относятся к группам, порож-
порожденным отражениями, называемым также группами Коксетера.
Это группы с конечным числом порождающих Ri {i =
= 1,2, ..., п) и определяющими соотношениями
(RiRk)Pik=U Pik = Pki,
Pii=\, i, k~ 1, 2, .. ., п.
Коксетер и Мозер в [1972] перечисляют все такого типа
группы, которые не разлагаются в прямое произведение групп
того же типа и при этом или конечны, или порождены отраже-
отражениями в конечномерном евклидовом пространстве. Такие груп-
группы играют важную роль в теории конечных простых групп и в
теории конечномерных простых групп Ли и алгебр Ли, см.,
например, Бурбаки [1968]. Результаты о них принадлежат в
основном Коксетеру, библиографические ссылки можно найти
у Коксетера и Мозера в [1972].
Теперь мы должны перейти к отложенному нами в
разд. I.6.D обзору результатов. Основой этих результатов слу-
служат две публикации — Артина [1925] и Нильсена [1927—1931].
Обе работы оказали существенное влияние на дальнейшие ис-
исследования. Однако это влияние имело совершенно различный
характер, да и стиль самих статей совершенно различен. Ста-
Статью Артина легко прочитать всякому, кто знает, что такое сво-
свободная группа. В этой статье вводится новый вид топологиче-
топологических объектов. Делается это очень привлекательным интуитив-
интуитивным образом; автор отказывается от требований строгости
изложения. (Строгий формальный подход характерен для более
поздней его работы [1947b].) Эту статью очень часто цитируют,
ее используют во вводных или полупопулярных лекциях по

188 ч- п- становление комбинаторной теории групп
топологии. Статьи Нильсена [1927—1931] также тщательно и
ясно написаны, но их никак нельзя назвать легкими для вос-
восприятия. Частично это объясняется их большим объемом, все-
всего— 327 с. Но помимо этого, доказательства некоторых теорем
требуют хорошего знания неевклидовой геометрии, а этого не
так-то легко достичь. Отдельные теоремы, доказанные Нильсе-
Нильсеном в этих статьях, используются достаточно широко, но наибо-
наиболее убедительно непреходящее значение этих статей Нильсена
подтверждается тем, что сейчас, через 50 лет после их появле-
появления, выходит их английский перевод.
В то время когда были опубликованы статьи Нильсена, ни-
никто не мог предполагать, что одна из затронутых в них тем,
а именно теория групп классов отображений двумерных мно-
многообразий, тесно связана с предметом статьи Артина. Сейчас
это совершенно ясно и даже зафиксировано в названии моно-
монографии Бирман [1975]. Мы отсылаем читателя к этой моногра-
монографии за определениями топологических понятий, в том числе
понятия косы и класса отображений, ограничившись здесь тео-
теоретико-групповыми аспектами работ Артина и Нильсена.
Хотя коса является топологическим объектом, но группу Вп
кос с п нитями можно определить чисто алгебраически. А имен-
именно, Вп состоит из всех таких автоморфизмов C свободной груп-
группы Fn с п порождающими xv (v= 1, ..., п), для которых образ
p(xv) порождающего xv сопряжен с некоторым порождающим
хд, причем отображение v—>ц является перестановкой на мно-
множестве 1,2, ..., ли
Очевидно, при всех п группа Вп является подгруппой груп-
группы Bn+i, Далее, Вп содержит нормальный делитель В* индекса
п\, называемый группой крашеных кос, элементы которого ха-
характеризуются тем свойством, что они переводят каждый по-
порождающий ху в сопряженный с ним самим. Используя топо-
топологические методы, Артин получил задание группы Вп порож-
порождающими и определяющими соотношениями. Он показал также,
что задания для групп всех узлов или зацеплений могут быть
получены при подходящих п и C е Вп с использованием порож-
порождающих х„ и определяющих соотношений
R (у \ у (v = I n)
С другой стороны, всякая группа с таким заданием является
группой некоторого узла или зацепления, проекция которого
может быть получена из проекции C (рассматриваемой как то-
топологическая коса) на евклидову плоскость.
Следующая статья о группах кос принадлежит Бурау
[1934], в ней найдено задание для В*п (с использованием зада-
задания Вп, полученного Артином). Позднее, в [1935] Бурау нашел

ГЛ. II. 10. ЗАМЕЧАНИЯ О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГРУПП 189
также представление Вп матрицами л-го порядка, элементы ко-
которых берутся из кольца многочленов от переменных х и л~'
с целыми коэффициентами. (Вопрос о точности этого представ-
представления при п > 3 остается открытым.) Еще одна ранняя теоре-
теоретико-групповая статья по группам кос принадлежит Магнусу
[1934с]. В ней получено задание группы кос Вп, исходя из ее
алгебраического (а не геометрического, как у Артина) опреде-
определения (позднее этот же результат был переоткрыт Боненблас-
том в [1947]). В той же работе Магнуса найдено задание груп-
группы классов отображений сферы с п выколотыми точками как
•факторгруппы группы Вп и дана геометрическая интерпрета-
интерпретация связи между этими двумя группами. По-видимому, следу-
следующим теоретико-групповым исследованием групп кос является
работа А. А. Маркова [1945], которая содержит много резуль-
результатов, в частности там построен убывающий нормальный ряд
длины п в В*п, последовательные факторы которого суть свобод-
свободные группы рангов 1,2, ..., п—1. Этот же результат был по-
получен в уже упоминавшейся статье Артина [1947а]. Мы не
можем остановиться подробно на деталях этой и других работ,
появившихся в то же время или позднее (например, Артин
[1947b]), и отошлем читателя к разд. 256 сборника Баумслага
[1974] и, специально по части теоретико-групповых аспектов
теории кос, к обзору Магнуса [1973], где в конце упоминается
интерпретация групп кос как специального вида групп из нового
класса групп, связанных с группами Коксетера. В связи с об-
обобщением групп кос, связывающим эти группы с общей тео-
теорией групп классов отображений двумерных многообразий, мы
уже упоминали монографию Бирман [1975], где особое внима-
внимание уделяется топологическим аспектам.
Последний из упомянутых источников возвращает нас к
статьям Нильсена [1927—1931]. В них рассматриваются гомео-
гомеоморфизмы на себя замкнутых ориентируемых двумерных много-
многообразий рода g> 1. Фундаментальная группа <$>g такого мно-
многообразия имеет задание с 2g порождающими щ, bit i=
= 1, 2, ..., g, и одним определяющим словом
2 02 ... ugbgug b
g
Нильсен показал, что группа классов отображений Mg этого
многообразия изоморфна группе внешних автоморфизмов (т. е.
факторгруппе группы автоморфизмов по группе внутренних ав-
автоморфизмов). Он доказал также, что все автоморфизмы Фё
индуцируются такими автоморфизмами группы, свободно по-
порожденной at, bi, которые отображают указанное определяю-
определяющее слово в элемент, сопряженный с ним или обратный к нему.
Нильсен, кроме того, интенсивно изучал внешние автоморфиз-
автоморфизмы конечного порядка в связи с задачей о неподвижной точке

190 Ч. П. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
отображений. Эта тема в некотором смысле продолжает дис-
диссертацию Нильсена, упоминавшуюся в разд. I.6.D. Однако пе-
переход от g = 1 к ^> 1 составляет огромную трудность. Трудно
даже найти порождающие элементы для Ме. В полной общно-
общности это впервые сделал Дэн в [1938], его результаты были пе-
переоткрыты и усилены Ликоришем в [1964]. Оба последних ав-
автора использовали топологические методы. Подход Нильсена
характеризуется существенным использованием неевклидовой
геометрии. В соответствии с традицией, восходящей к Пуанкаре,
Клейну и Фрике, группа Ф8 представляется как дискретная
группа преобразований Мёбиуса, отображающих внутренность
единичного круга комплексной плоскости на себя. При этих
условиях точки единичной окружности оказываются предельны-
предельными для последовательностей образов заданной внутренней точ-
точки, получаемых действием Фг. Нильсен ввел специальные бес-
бесконечные последовательности элементов из Фг для того, чтобы
задавать отдельные точки границы круга. Можно считать, что
это изобретение было предвосхищено Фрике, предложившим
похожую процедуру в книге Фрике и Клейна [1897, с. 415—428].
По-английски она изложена у Магнуса в [1974а, гл. 4]. Однако
сложность и изощренность построений у Нильсена на порядок
выше, чем у Фрике.
Интерес к работе Нильсена сохранился отчасти из-за ее
важности для теории групп Клейна, которая развивалась по-
последние десятилетия и не имеет отношения к теме настоящей
книги.
Соответствующую информацию можно найти у Берса и Кра
[1974]. Отметим также, что теория гомоморфных отображений
группы Фг важна для построения трехмерных многообразий-
Например, поставленный Пуанкаре и упоминавшийся в гл. 1.4
вопрос (так называемую гипотезу Пуанкаре) сейчас можно
сформулировать в чисто теоретико-групповых терминах как не-
некоторую проблему, касающуюся гомоморфизмов группы Фи на
прямое произведение двух свободных групп ранга g. Формули-
Формулировку этого результата и ссылки на литературу можно найти
в книге Линдона и Шуппа [1977, с. 266].
Изучение специальных видов групп всегда служило побуди-
побудительной причиной для развития комбинаторной теории групп
и никогда не останавливалось, хотя для их изучения бывали
урожайные и бесплодные годы. Так например, комбинаторная
теория групп позволила получить много результатов, относя-
относящихся к фуксовым группам, важнейшими примерами которых
являются как раз упоминавшиеся группы Фе. По этому поводу
упомянем только три статьи Хора, Карраса и Солитэра [1971,
1973], поскольку они знаменуют момент, когда теория групп,
наконец, догнала топологию. Из классификации замкнутых ори-
ориентируемых двумерных многообразий конечного рода и возмож-

ГЛ. II. 10. ЗАМЕЧАНИЯ О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ГРУПП 191
ности отождествить подгруппу фундаментальной группы много-
многообразия с фундаментальной группой его неразветвленного на-
накрывающего пространства непосредственно следует, что всякая
подгруппа конечного индекса в Фг является группой Фк при
некотором k ^ g. Этот и многие другие результаты о фуксовых
группах были доказаны Хором, Каррасом и Солитэром чисто
теоретико-групповым методом. Их метод доказательства инте-
интересен сам по себе. Они ввели обобщения свободного произведе-
произведения с объединенной подгруппой и назвали их древесными про-
произведениями, в какой-то степени предвосхищая работу Серра
[1977]. Наконец, указанные статьи доказали старое утвержде-
утверждение Дэна о существовании некой топологической компоненты
в самой внутренней структуре фундаментальной группы.
Изучение групп узлов и зацеплений, а также фундаменталь-
фундаментальных групп трехмерных многообразий (всерьез начавшееся кни-
книгой Зейферта и Трельфалля [1934]) также продолжалось.
Статьи Браунера [1928] и Бурау [1932], [1934], [1935] явля-
являются его далеко не единственными примерами. Помимо моно-
монографий Рейдемейстера [1932а] и Кроуэлла и Фокса [1963]
упомянем также книгу Ньювирта [1965]. Важные результаты
получили топологическими методами Хакен в [1962], Вальдхау-
зен в [1968] и другие. Относительно принципиально иной ситуа-
ситуации, возникающей в размерностях 4, 5 и т. д., см. также Хакен
[1973] и Кервер [1965].
Добавочная историческая информация, относящаяся к вза-
взаимодействию топологии и комбинаторной теории групп, имеется
в монографии Стилуэлла [1980].
Ограничившись этими довольно отрывочными замечаниями,
мы покидаем теорию специальных групп, возникших из тополо-
топологии, и переходим к бесконечным группам, которые изучались
методами, перенесенными из теории конечных групп. Опять мы
ограничимся лишь несколькими указаниями. Вероятно, наибо-
наиболее просто формулируемые и относительно ранние результаты
принадлежат Хиршу [1938—1954], который ввел класс беско-
бесконечных групп, названных им S-группами и известных теперь
под названием полициклических групп. Эти группы обобщают
конечные разрешимые группы, поскольку имеют конечный нор-
нормальный ряд с циклическими факторами. Если вся группа бес-
бесконечна, то среди этих факторов обязательно есть бесконечные
циклические группы. Хотя в этой ситуации теорема Жордана —
Гёльдера не выполняется, число этих бесконечных циклических
факторов является инвариантом группы. Комбинация резуль-
результатов статей А. И. Мальцева [1949] и Ауслендера [1967] пока-
показывает, что полициклические группы — это в точности все раз-
разрешимые подгруппы конечномерных матричных групп над коль-
кольцом целых чисел.

192 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
В гл. II. 4 мы упоминали принадлежащую А. Г. Курошу идею
рассмотрения локальных свойств групп, т. е. таких свойств, ко-
которыми обладает всякая конечно порожденная подгруппа дан-
данной группы, но не обязательно вся группа. Это оказалась весь-
весьма плодотворная идея, позволившая определить классы специ-
специальных групп, достаточно обширные, чтобы быть интересными,
и все еще поддающиеся структурному анализу. Например, Ку-
рош в [1939] ввел локально свободные группы, а годом позже
Фукс-Рабинович [1940] доказал, что среди таких групп нет
простых. Однако в последние годы теория таких групп развива-
развивалась очень слабо в отличие от обширной теории локально ко-
конечных групп. В той же гл. II. 4 мы упомянули многочисленные
результаты Бэра по теории бесконечных групп, которые мы не
можем включить в наш обзор. Три статьи Бэра [1945] прояс-
проясняют причины, по которым мы не касаемся его результатов.
Бэр изучает возможность представления данной группы в виде
факторгруппы. Его исходной точкой служит замечание, что
всякая группа является факторгруппой свободной. Бэру уда-
удалось осуществить некоторую эффективную классификацию в
этом вопросе. Однако его статьи содержат 125 с. и очень боль-
большое число теорем. Даже самая короткая из его статей [1949]
о группах, удовлетворяющих условию обрыва убывающих це-
цепей для нормальных подгрупп, содержит большое число резуль-
результатов, которые коротко не сформулировать, а за ней последова-
последовали многочисленные работы самого Бэра и других авторов, пе-
перечисленные в разд. 89 сборника Баумслага [1974], где отра-
отражены публикации с 1940 по 1970 г. Эта книга является един-
единственным адекватным источником информации по этой и свя-
связанным с ней темам.
Мы завершаем эту главу несколькими замечаниями о группе
Гейзенберга. В действительности это название используется для
различных групп, в которых коммутант содержится в центре.
Нам не удалось установить происхождение этого термина. Хо-
Хотелось бы только отметить, что группы столь простого вида
играют важную роль в неожиданно большом числе математиче-
математических дисциплин. В обзоре Хоува [1980] перечисляются эти дис-
дисциплины, но рассматриваются только применения группы Гей-
Гейзенберга в функциональном анализе. Другие важные примене-
применения отмечены в монографии Ауслендера и Толимиери [1975].
Глава II. 11
ПОСТСКРИПТУМ.
ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Во всех предыдущих главах речь шла об исследованиях,
начало которым было положено еще в первой половине двадца-
двадцатого столетия, хотя во многих случаях мы прослеживали их

ГЛ. II. 11. ПОСТСКРИПТУМ. ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ 193
развитие и в более поздний период. В настоящей главе мы сде-
сделаем исключение из этого общего правила, которое было при-
принято нами, чтобы избежать излишнего разбухания нашего ис-
исследования. Причиной, заставившей нас сделать такое исключе-
исключение, является специфическая природа влияния, которое мате-
математическая логика оказала на комбинаторную теорию групп.
Мы сталкиваемся здесь с ситуацией, где понятия и методы од-
одной математической дисциплины становятся необходимы для
формулировки теорем и получения ответов на открытые вопро-
вопросы другой дисциплины. Конечно, явления такого рода наблюда-
наблюдались и раньше, но здесь имеется важное различие. В некотором
отношении связи между топологией и комбинаторной теорией
групп носят аналогичный характер. Однако имеется существен-
существенная разница между этими двумя ситуациями. Топология и ком-
комбинаторная теория групп развивались вместе, а явление, кото-
которое мы собираемся описать, состоит в воздействии высокораз-
высокоразвитой сложной математической теории на другую, также вполне
зрелую дисциплину.
В гл. I. 7 мы кратко упомянули, какое важное значение Дэн
придавал проблемам разрешения в комбинаторной теории
групп, а также что к этому же типу вопросов относится десятая
проблема Гильберта, которая заключается в разыскании метода
для выяснения, имеет ли решение любое заданное диофантово
уравнение. Решением проблемы разрешения является алгоритм
или общая и эффективная процедура. Во времена Гильберта и
Дэна все, что можно было сказать об этих понятиях, это —
«если кто-то видел алгоритм, то он знал, что это алгоритм».
Одним из величайших достижений математики двадцатого века
является установление точного смысла понятия «алгоритм», что
дало возможность доказать существование неразрешимых про-
проблем разрешения. Мы не будем приводить точных определе-
определений использованных терминов, а также таких понятий теории
алгоритмов, как «рекурсивно перечислимое» и «рекурсивное»,
которые могут относиться к множествам несократимых слов в
конечно порожденных свободных группах. Это единственные
специальные термины из теории алгоритмов, которые нам по-
понадобятся для формулировки теоремы Хигмана. Для ознаком-
ознакомления с ними мы отсылаем читателя к с. 298—321 книги Рот-
мана [1973], в которой изложение алгоритмических понятий
приспособлено к нуждам теории групп. То же можно сказать
и относительно (до некоторой степени исторической) статьи
Стилуэлла [1982], где говорится о проблеме распознавания
равенства и проблеме изоморфизма. История теории рекурсив-
рекурсивных функций изложена Клини в [1981]. И Стилуэлл и Клини
упоминают различные публикации и описывают фундаменталь-
фундаментальный вклад, сделанный Чёрчем, Гёделем, Постом, Тьюрингом
и др.

194 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Мы начнем с результата, известного как
Теорема Новикова— Буна. Существует конечно заданная
группа с неразрешимой проблемой распознавания равенства.
Полное и детальное доказательство этой теоремы было опуб-
опубликовано П. С. Новиковым в [1955]. Однако результат был им
объявлен еще за три года до этого. Доказательство Буна со-
содержится в серии статей [1954—1957]. Следует отметить, что
к этому времени П. С. Новиков, родившийся в 1901 г., был уже
известным математиком, но результат такой важности он опуб-
опубликовал впервые. Его более поздний вклад в решение проблемы
Бернсайда был упомянут в разд. I.6.F. Макс Дэн, впервые по-
поставивший проблему распознавания равенства, умер в 1952 г.
в возрасте 72 лет незадолго до публикаций Новикова и Буна.
За открытием конечно заданной группы с неразрешимой
проблемой равенства последовали доказательства неразреши-
неразрешимости многих других теоретико-групповых проблем. Моногра-
Монография Миллера III [1971] содержит обзор результатов по этой
тематике, полученных к тому времени. Мы упомянем здесь толь-
только один более поздний неопубликованный результат Миллера,
на примере которого видно, сколь сложной может быть ситуа-
ситуация с алгоритмическими проблемами в группах. Именно, суще-
существует конечно заданная группа G с разрешимой проблемой
равенства и разрешимой проблемой сопряженности, которая
содержит подгруппу Н индекса 2 с неразрешимой проблемой
сопряженности. (Конечно, проблема распознавания равенства в
Н разрешима.) С другой стороны, существует и такая конечно
заданная группа Н, что для нее разрешима проблема сопря-
сопряженности, неразрешимая в некоторой группе G, содержащей Н
в качестве подгруппы индекса 2. (Конечно, G также имеет ко-
конечное задание и разрешимую проблему равенства.)
Пока мы описали лишь некий новый и очень важный ас-
аспект, который был внесен в комбинаторную теорию групп бла-
благодаря открытиям математической логики. Но это только на-
начало. Для того чтобы объяснить, что мы имеем в виду, вер-
вернемся назад — ко времени возникновения комбинаторной теории
групп.
В работах Дика, Дэна и Титце рассматривались исключи-
исключительно конечно заданные группы. Дэн в [1911] впервые отме-
отметил, что такие группы могут содержать подгруппы, не являю-
являющиеся конечно порожденными. Теория групп с одним определя-
определяющим соотношением позволяет легко строить пример подгрупп
таких групп, которые не являются ни конечно порожденными,
ни конечно заданными. В работе Б. Неймана [1937b] установ-
установлено существование несчетного числа различных групп с двумя
порождающими, не имеющих конечного задания. Все это как

ГЛ. И. 11. ПОСТСКРИПТУМ. ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ 195
будто показывает, что свойство группы быть конечно заданной
(или иметь конечное задание) ведет себя довольно непредска-
непредсказуемо. Это оказывается вовсе не так, если мы попытаемся опи-
описать ситуацию -на языке математической логики. Даваемое ло-
логикой прояснение содержится в следующей теореме Хигмана из
[1961]:
Конечно порожденная группа G может быть вложена как
подгруппа в некоторую конечно заданную группу тогда и толь-
только тогда, когда множество определяющих слов в ее задании
(как множество несократимых слов в алфавите порождающих)
является рекурсивно перечислимым.
Заметим, что в доказательстве Хигмана в качестве левых
частей соотношений рассматривались слова, содержащие только
положительные степени порождающих. Однако к таким соотно-
соотношениям всегда можно перейти, пользуясь приемом, предложен-
предложенным Диком в [1882]: нужно добавить один дополнительный по-
порождающий и одно дополнительное определяющее слово, явля-
являющееся произведением всех порождающих. Тогда элемент, об-
обратный к данному порождающему, можно записать как произ-
произведение всех остальных порождающих.
Теорема Хигмана характеризует конечно порожденные под-
подгруппы конечно заданных групп. Это невозможно сделать, не
используя понятий математической логики. Помимо прочего
доказательство теоремы Хигмана позволяет строить неожи-
неожиданные примеры конечно заданных групп. Упомянем два
из них:
Существует конечно заданная группа, в которую вложима
в качестве подгруппы всякая счетная абелева группа.
Существует конечно заданная группа, в которую вложима
в качестве подгруппы любая конечно заданная группа.
Не существует, однако, счетно порожденной группы, в кото-
которую вложима в качестве подгруппы всякая конечно порожден-
порожденная группа. Это вытекает из работы Б. Неймана [1937b], со-
согласно которой существует несчетное число попарно неизо-
неизоморфных групп с двумя порождающими. В то же время счетно
порожденная группа может иметь только счетное число под-
подгрупп с двумя порождающими. Последнее рассуждение явля-
является примером использования канторовской теории трансфи-
трансфинитных чисел, с некоторой точки зрения оно более интересно,
чем его доказательство существования трансцендентного числа.
Ведь Лиувилль еще до простого доказательства Кантора явно
построил несчетное множество трансцендентных чисел. В то же
время до сих пор не известно не опирающегося на теорию

196 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
трансфинитов доказательства несуществования искомой счетно
порожденной группы.
Следующая тема в комбинаторной теории групп, для кото-
которой существенно привлечение понятий из математической логи-
логики, — это алгебраически замкнутые группы. Отправной точкой
здесь служит статья Б. Неймана [1943а], в которой изучается
проблема решения уравнений в группах. Это является аналогом
решения алгебраического уравнения с коэффициентами из ка-
какого-либо поля. Однако формулировка проблемы в случае групп
сложнее. В сборнике Баумслага [1974] на с. 442—445 указано
16 статей, вышедших до 1970 г., в которых рассматривается
эта проблема. Из них мы упомянем только работу Герстенха-
бера и Ротхауза [1962], поскольку в ней к указанной проблеме
применяются не методы комбинаторной теории групп, а теория
компактных связных групп Ли. Если имеется понятие алге-
алгебраически замкнутого поля, его нетрудно перенести на группы
и получить понятие алгебраически замкнутой группы. Это и
было сделано Скоттом в работе [1951]. Приведем необходимые
определения, следуя Линдону и Шуппу [1977, с. 307].
Пусть G — группа, a gk (/г = 1,2, ¦ ¦ •) — некоторые ее эле-
элементы. Пусть, далее, символы х/ (/=1,2, ...) обозначают «пе-
«переменные» или «неизвестные». Пусть, наконец, Wi(xj, gk) (i =
= 1, ..., т) и Vi{x,-, gk) {I = 1, ..., n)—конечные множества
слов в алфавите х,- и gk. Тогда система равенств и «неравенств»
Wi(xi,gk)=\, Vi{x,,gk)^\ (*)
называется совместимой с группой G, если существует такая
группа Н и такое вложение ср: G-*-H, что система (*) имеет
решение в Н (при этом, конечно, подразумевается, что х,- про-
пробегают Н).
Группа А называется алгебраически замкнутой, если всякое
конечное множество равенств и «неравенств», совместимое с А,
имеет решение уже в А.
Простейший (и очень типичный) пример уравнения, которое
несовместимо с данной группой G, может быть построен так.
Пусть а и Ь — элементы в G, имеющие различные конечные по-
порядки. Тогда уравнение
x~laxb"l = l
несовместимо с группой G, так как в противном случае а и b
обязаны были бы иметь один и тот же порядок.
В работе [1951] Скотт доказал, что всякая счетная группа
может быть вложена как подгруппа в счетную алгебраически
замкнутую группу. Он также установил, что во всякую счетную
алгебраически замкнутую группу изоморфно вкладывается про-
произвольная конечная группа. С другой стороны, из результатов

ГЛ. II. 11. ПОСТСКРИПТУМ. ВЛИЯНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ 197
работы Б. Неймана [1937b] с помощью приведенного выше
рассуждения вытекает существование несчетного числа неизо-
неизоморфных счетных алгебраически замкнутых групп. Возникает
вопрос: какие группы могут быть подгруппами всех счетных ал-
алгебраически замкнутых групп? Для конечно порожденных групп
ответ на этот вопрос дается следующей теоремой:
Конечно порожденная группа G вложима в любую счетную
алгебраически замкнутую группу тогда и только тогда, когда
в группе G разрешима проблема распознавания равенства.
Прямая импликация этой теоремы получена в работе Б. Ней-
Неймана [1973], обратная — в работе Макинтайра [1972]. Допол-
Дополнительные сведения по алгебраически замкнутым группам мож-
можно найти у Б. Неймана в [1973] и в книге Линдона и Шуггпа
[1977, с. 307—315].
Б. Нейман в [1973] отметил, что в силу сформулированной
теоремы хотя и существует несчетное число попарно неизоморф-
неизоморфных счетных алгебраически замкнутых групп, но, вероятно, не-
невозможно явно указать две такие группы, которые не изо-
изоморфны.
Последняя тема, которую мы затронем в этой главе, отно-
относится к роли конечно заданных бесконечных простых групп.
Существует сколько угодно счетных бесконечных простых групп.
Такую группу можно построить, взяв, например, группу обра-
обратимых матриц третьего порядка с элементами из счетного бес-
бесконечного поля. Доказательство имеется у Ротмана в [1973,
с. 165—173]. (Сам результат был известен гораздо раньше.
Нам не удалось найти его первоисточник.) Но существование
конечно порожденной бесконечной простой группы уже пред-
представляло собой сложную проблему, впервые решенную Хигма-
ном в [1951]. Вскоре за этой работой Камм в [1953] было по-
построено несчетное семейство неизоморфных простых групп с
двумя порождающими. Однако проблема нахождения конечно
заданной бесконечной простой группы была решена только в
1969 г. Томпсоном. Работа Томпсона не была опубликована, но
вскоре Хигман в [1973] явно указал бесконечное (разумеется,
счетное) множество неизоморфных конечно заданных бесконеч-
бесконечных простых групп. Все эти результаты имело бы смысл по-
поместить в предыдущую главу, относящуюся к группам специ-
специального вида, если бы не связь рассматриваемых групп с груп-
группами, где разрешима проблема распознавания равенства. Мы
процитируем наиболее поздний результат на эту тему по статье
Томпсона [1980], где можно также найти ссылки на более ран-
ранние публикации:
«Конечно порожденная группа имеет разрешимую проблему распознава-
распознавания равенства тогда и только тогда, когда ее можно вложить в конечно

198 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
порожденную простую группу (при этом элементы, не сопряженные в исход-
исходной группе, останутся несопряженными), являющуюся подгруппой конечно
заданной группы.»
Десятая проблема Гильберта, поставленная в 1900 г. на
Международном математическом конгрессе в Париже, — это
проблема существования алгоритма для выяснения по произ-
произвольному диофантову уравнению, существует ли у него реше-
решение. (Диофантово уравнение — это уравнение вида
Р(хь ...,*„) = 0,
где Р — некоторый многочлен с целыми коэффициентами, а ре-
решение уравнения — это набор из удовлетворяющих ему п це-
целых чисел.) Потребовались большая часть нашего столетия и
усилия многих видных математиков, чтобы доказать отсутствие
искомого алгоритма. Эти усилия увенчались работой Матиясе-
вича [1971], где ответ был дан в неожиданной форме. Замеча-
Замечательно, что решение теоретико-числовой проблемы Гильберта
можно использовать для доказательства существования конечно
заданной группы с неразрешимой проблемой равенства. Такое
доказательство и библиографические указания можно найти у
Линдона и Шуппа в [1977, с 292—307].
Хотя наш длинный исторический обзор затрагивает лишь
малую часть математики и далеко не полон, он демонстрирует
значительное взаимопроникновение задач и направлений иссле-
исследования. Открытие общего фундамента для проблемы Гильбер-
Гильберта, из теории чисел и проблемы распознавания равенства из
теории групп поддерживает нашу надежду на то, что все же
нечто вроде единства математики будет продолжать суще-
существовать.
Глава И. 12
ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ
Эта глава является продолжением части гл. 1.8. Мы попы-
попытаемся описать развитие форм общения после окончания к
1919 г. первой мировой войны.
1919 г. выбран потому, что он знаменует начало новой эры
в комбинаторной теории групп; такое явление отсутствует в
большинстве других разделов математики. Другие важные из-
изменения произошли уже после второй мировой войны.
С середины девятнадцатого столетия и по настоящее время
основным средством фиксации на бумаге математических ис-
исследований являются журналы по математике и смежным об-
областям. Их число возросло со 180 в 1920 г. примерно до 600
в 1948 г. и примерно до 1600 в 1980 г. Эти числа взяты из спис-
списков в Jahrbuch fur die Fortschrifte der Mathematik и Mathema-

ГЛ. II. 12. ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ 199
tical Reviews. Однако они не вполне отражают действительный
рост математических исследований. Для периода с 1940 по
1980 г. таблица в начале гл. П. 14 намного лучше отражает суть
дела. Она показывает, что за эти годы число опубликованных
статей возросло в 12 раз, т. е. оно росло гораздо быстрее, чем
число журналов. Причина здесь двоякая. Во-первых, журналы
(или по крайней мере многие из них) стали более объемисты-
объемистыми. Во-вторых, увеличилось число коротких статей.
Повышение стоимости математических журналов (даже вы-
выходящих на условиях постраничной оплаты авторами статей
или выпускаемых математическими обществами) чрезвычайно
уменьшило за последние десятилетия число индивидуальных
подписчиков. Сегодня это означает, что математики (исключая
весьма состоятельных) в своей работе сильно зависят от до-
доступности университетских или крупнейших общественных биб-
библиотек. Именно крайне быстрое увеличение числа университет-
университетских библиотек в различных странах позволило сохранить боль-
большинство журналов, в частности выпускаемых на коммерческой
основе.
Как уже было отмечено, все эти изменения стали суще-
существенными только после второй мировой войны. Их влияние
ослаблялось развитием техники копирования печатных мате-
материалов и рукописей. В частности, изобретение ксерокопирова-
ксерокопирования крайне упростило и удешевило накопление математических
текстов, а также облегчило их хранение, так как позволило по-
получать только нужную часть книги или журнала вместо целого
тома. Это привело к возникновению новой формы ограничен-
ограниченных публикаций, так называемых препринтов, которые явля-
являются копиями машинописного текста, рассылаемыми неболь-
небольшому числу коллег.
Роль книг, монографий и реферативных журналов в рассмат-
рассматриваемый период будет обсуждаться (в несколько ином кон-
контексте) в гл. II. 14. Письма, о которых мы бегло упомянули в
гл. 1.8, конечно, по-прежнему использовались для обмена ин-
информацией и получения нужных сведений, но их значение в об-
обмене идеями и поддержании научных контактов после второй
мировой войны уменьшилось. Хотя это утверждение — не более
чем догадка, основанная на личном опыте одного из авторов,
мы можем документально подтвердить возрастание роли нефор-
неформальных дискуссий между активно работающими математика-
математиками— наиболее трудно учитываемой из форм устного общения.
Небольшая статистическая таблица в начале гл. II. 14 показы-
показывает, что процент совместных статей примерно учетверился за
сорок лет с 1940 по 1980 г. и что абсолютное число таких статей
в 1980 г. вдвое превышает общее число публикаций в 1940 г.
Конечно, мы понимаем, что не все совместные работы возникли
из устных обсуждений. Переписка и одновременное независимое

200 ч- "• СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
получение результата двумя авторами также приводят к сов-
совместным публикациям. Тем не менее мы полагаем, что не-
неформальные обсуждения являются основной причиной быстрого
роста числа совместных работ. В подтверждение нашей точки
зрения сошлемся на статью Зимана, опубликованную в майском
номере журнала Hew Scientist за 1967 г. Там автор объясняет
причины образования Научно-исследовательского математи-
математического центра в Уорикском университете (Ковентри, Англия).
Зиман является основателем и директором этого института,
который начиная с 1966 г. привлекает большое число
математиков к своим программам, меняющимся из года в год.
В своей статье (и, более подробно, в некоторых неопубликован-
неопубликованных заметках) Зиман разъясняет необходимость для матема-
математиков неформальных обсуждений, а также говорит о своих
предложениях по организации такого рода общения. В своих за-
заметках он отмечает важную роль устного общения в работе двух
других научно-исследовательских институтов:' Института пер-
перспективных исследований в Принстоне (Нью Джерси) и Ин-
Института высших исследований под Парижем. Принстонский
институт был основан в 1930 г. на средства двух частных лиц,
осознавших важность меморандума Абрахама Флекснера (став-
(ставшего первым директором института), который утверждал, что
большая учебная нагрузка преподавателей американских уни-
университетов затрудняет развитие науки в Соединенных Штатах;
при этом он отмечал намного более благоприятные условия в
европейских университетах. И действительно, Освальд Веблен,
первый руководитель отдела математики Принстонского инсти-
института, рассказывал Магнусу, что в весьма солидном Принстон-
ском университете у него было 18 часов нагрузки в неделю и
он обрадовался возможности освободить время для научных
занятий, которую предложил ему Институт. По ряду причин
(одной из которых было, вероятно, существование Института
перспективных исследований) учебная нагрузка работающих
математиков существенно уменьшилась после второй мировой
войны, и, наконец, теперь отмеченная Зиманом функция стала
действительно одной из основных для Института.
Институт высших исследований под Парижем был основан
в 1958 г. при содействии промышленности стран Общего рынка.
Его работа, в которой участвуют многие математики из раз-
различных стран, построена примерно так же, как и в Принстон-
ском институте.
Научно-исследовательские математические институты появи-
появились относительно недавно, после первой мировой войны, хотя
в других областях науки они существовали значительно раньше.
Все эти институты способствуют контактам между математика-
математиками, и мы упомянем еще два, поддерживающих обширные меж-
международные связи. Это Институт Тата фундаментальных иссле-

ГЛ. II. 12. ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ 201
дований в Бомбее (Индия) и Институт математических иссле-
исследований в Обервольфахе (ФРГ). Институт Тата был основан
в 1945 г. состоятельной семьей промышленников. Он пригла-
приглашает меньшее число исследователей, чем уже упомянутые цент-
центры, отдавая предпочтение выдающимся ученым, которые во
время своего пребывания также читают лекции. Институт в
Обервольфахе специализируется на организации конференций
продолжительностью в одну неделю с фиксированной програм-
программой лекций, читаемых участниками. Он был основан в 1943 г.
Вильгельмом Зюссом, но фактически начал функционировать
только после 1950 г. при поддержке западно-германской про-
промышленности. В течение многих лет его конференции по теории
групп испытывали сильное влияние Рейнхольда Бэра, о котором
мы еще будем много говорить в следующей главе.
Как и исследовательские институты, специализированные
конференции появились у математиков сравнительно недавно.
Начиная со второй мировой войны их количество растет и они
охватывают все большее число стран. Как средство общения
по эффективности они превосходят международные математи-
математические конгрессы и даже, до некоторой степени, съезды различ-
различных математических обществ. Разумеется, их полезность и само
существование обусловлено разветвленностью и специализиро-
ванностью самих математических исследований. То же верно
и в отношении специализированных журналов, которые (за не-
немногими исключениями) начали появляться еще позже. Такие
журналы обычно покрывают более широкую область исследо-
исследований, чем соответствующие конференций. (Имеется Journal of
Algebra, но пока нет журнала по теории групп.)
Помимо конференций и других организованных встреч уси-
усилению личных контактов между математиками после второй
мировой войны способствовал рост числа приглашений и науч-
научного обмена. Эти формы научных связей финансируются прави-
правительственными учреждениями, частными фондами и универси-
университетами. Некоторые из этих организаций оплачивают также
транспортные расходы участников конференций. (В пятидесятые
годы это делали в основном американские организации.) Воз-
Возникновение воздушного сообщения, которое было редкостью до
второй мировой войны, сделало осмысленными даже заокеан-
заокеанские путешествия ради сравнительно непродолжительных визи-
визитов. Помимо этого, существенно уменьшилась стоимость путе-
путешествия по отношению к общему бюджету ученых.
В качестве последнего в длинном списке изменений, привед-
приведших к расширению устного общения, упомянем появление но-
новых университетов, в том числе в странах, имеющих продолжи-
продолжительный опыт научных исследований, а также значительный
рост математических отделов различных институтов. Сейчас
для такого отдела стало зачастую возможным принять на

202 ч- "¦ СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
работу нескольких математиков, работающих в одной и той же
области. Такая ситуация встречалась иногда в крупнейших
университетах и до 1940 г., но после 1950 г. это стало более
обычным явлением. Здесь мы также должны отметить Математи-
Математический институт им. В. А. Стеклова в Москве. Это научно-иссле-
научно-исследовательский институт без обширной программы для приезжа-
приезжающих ученых, со структурой, более типичной для других, осо-
особенно экспериментальных, наук, где большие лаборатории со-
составляют основу сотрудничества ученых. Такие академические
институты существовали в различных областях науки с начала
столетия (например, Институт кайзера Вильгельма — теперь
Институт Макса Планка в Германии), но их не было в мате-
математике. Ряд математиков, имена которых мы постоянно упоми-
упоминаем, например С. И. Адян, А. И. Кострикин, П. С. Новиков,
И. Р. Шафаревич, работают или работали в Институте
им. Стеклова.
В гл. 1.8 мы говорили об отношениях ученика и учителя в
университетах, но не в академической среде. На протяжении
всей книги мы по различным поводам упоминали научных
руководителей и тему докторской диссертации различных ма-
математиков, сыгравших важную роль в комбинаторной теории
групп. Все эти математики начали свою научную деятельность
до 1935 г. Мы попытались дополнить эту информацию, расспро-
расспросив около 90 математиков последующих поколений о том, как
они пришли в математику вообще и в нашу область матема-
математики в частности. Мы также просмотрели их публикации, что-
чтобы проследить влияние научного руководителя. Полученные
нами данные было бы трудно представить в виде статистиче-
статистической таблицы. Вместо этого мы можем сообщить о нашем об-
общем впечатлении: можно сказать, что мы обнаружили очень
мало неожиданного. Людей, заинтересовавшихся математикой
только после поступления в высшее учебное заведение, мень-
меньшинство, но заметное меньшинство. Интерес к узкой области
часто возникает в результате личного контакта со старшим
математиком, очевидным примером является выбор научного
руководителя. Но он может появиться и в результате чтения
конспекта лекций, записанного по другую сторону Атлантики.
Влияние диссертации на дальнейшие исследования возросло.
Это является просто выражением тенденции, состоящей в узкой
специализации. Специализация, в свою очередь, обусловлена в
основном значительным ростом за последние 50 лет усилий, не-
необходимых для приобретения базовых знаний в нужной области.
Тем не менее взаимодействие между разными ветвями матема-
математики не прекратилось, и мы попытались это продемонстриро-
продемонстрировать в нашей книге.
' Хотя математические публикации стали в большей степени
использовать такие формальные символы, как ], V, G и т. д.,

ГЛ. II. 12. ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ 203
математическое общение все еще основывается на использова-
использовании какого-либо из многочисленных естественных языков.
В гл. I. 8 мы обрисовали лингвистическую ситуацию вплоть до
первой мировой войны. В последующие годы положение меня-
менялось медленно, но существенно. Английский язык начал вытес-
вытеснять французский в роли языка, понимаемого большинством;
английский, французский, немецкий и итальянский, четыре офи-
официальных языка международных конгрессов, все еще покры-
покрывали большую часть литературы, несмотря на быстрый рост чи-
числа авторов, для которых родным являлся, например, польский,
японский, венгерский и т. д. В частности, и говорящие по-рус-
по-русски авторы продолжали публиковать, по крайней мере наибо-
наиболее важные свои работы, на одном из этих языков. Начиная
примерно с 1938 г. они стали использовать только русский
язык. Некоторое время последствия этого изменения были не-
незаметны из-за общего сокращения международных связей в те-
течение второй мировой войны и сразу после нее. Во время двух
последующих десятилетий английский и русский стали основ-
основными языками математической литературы. Это в большей или
меньшей степени верно для различных областей; в комбинатор-
комбинаторной теории групп указанное явление выражено особенно силь-
сильно, соответствующая цифра составляет около девяноста процен-
процентов статей. По ряду причин число англоговорящих математиков,
умеющих читать по-русски, всегда было невелико (хотя и мед-
медленно возрастало). Это могло бы привести к серьезным труд-
трудностям, если бы не организованная Американским математиче-
математическим обществом в 1949 г. программа переводов, которая сде-
сделала доступными для математиков, читающих по-английски,
большое число важнейших русских научных работ. Постепенно
временной разрыв между публикацией русского оригинала и
его английского перевода значительно сократился. Умение чи-
читать (и не только читать) по-английски весьма распространено
среди авторов, пишущих научные работы по-русски.
То, что английский стал международным языком математи-
математиков, особенно замечательно в свете того факта, что после пер-
первой, а затем второй мировой войны в большом числе стран
были созданы высшие учебные заведения, способствующие ма-
математическим исследованиям. Мы не готовы детально анализи-
анализировать причины преобладания английского языка. Наиболее
очевидные из них уже были упомянуты. Одна из них состоит
в том, что на протяжении двух десятилетий после второй ми-
мировой войны американские научные организации постоянно рас-
расширяли финансирование приглашений в Соединенные Штаты
Америки большого числа математиков из разных стран.
Мы надеемся, что наше описание языковой ситуации в ма-
математике в основном правильно, если говорить только о ком-
комбинаторной теории групп. Для математики в целом ситуация,

204 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
вероятно, более сложна и менее удовлетворительна. Например,
в 1960—1967 гг. выходил китайский математический журнал
(использовавший, разумеется, китайскую письменность), кото-
который Американское математическое общество сочло изданием,
достаточно важным для того, чтобы переводить его целиком.
Перевод вышел в девяти томах под названием Acta Mathema-
tica Sinica. Исключая японских математиков, для подавляющего
большинства исследователей оригинальное издание осталось бы
недоступным, если бы не этот перевод.
До сих пор мы говорили о проблемах, связанных с языком
только исследовательских работ. Учебники (даже самые эле-
элементарные) переводились со многих языков на многие, в част-
частности имеются многочисленные переводы с английского на рус-
русский (и, конечно, наоборот). Во многих странах студент-мате-
студент-математик может изучить основные результаты своей дисциплины,
пользуясь учебниками, написанными на его родном языке.
Вероятно, наибольшим лингвистическим препятствием, за-
затрудняющим общение между математиками, является сам язык
математики. Изобретение новых специальных терминов абсо-
абсолютно необходимо для развития математики. Весьма простое
на вид утверждение «существуют конечно заданные бесконеч-
бесконечные простые группы» невозможно было бы сформулировать на
математическом языке, который был известен Гауссу. Даже
само слово «группа» означало бы для него не абстрактную
группу, а, в лучшем случае, группу подстановок. Но конечно,
труднее усвоить новое понятие, чем новое слово для обозначе-
обозначения известного понятия. Все это очень способствует популярно-
популярности математических бесед, семинаров, вводных лекций и т. д.,
которые мы упоминали раньше. Для многих они являются са-
самым простым способом познакомиться с новыми понятиями.
Глава II. 13
ГЕОГРАФИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ИССЛЕДОВАНИЙ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ УЧЕНЫХ
Наш вклад в изучение двух тем, упомянутых в названии
этой главы, относительно скромен. Математические исследова-
исследования ведутся теперь на значительно большей части земного шара,
чем это было в начале двадцатого столетия. Индия и Япония
присоединились к Европе и Северной Америке еще до первой
мировой войны, внеся в развитие математики существенный,
хотя и не относящийся к нашей области вклад. С тех пор такой
вклад был внесен математиками из гораздо большего числа
государств, причем довольно часто эти математики являлись
уроженцами других стран. Например, после первой мировой
войны появилось много математиков — выходцев из Китая, хотя

ГЛ. II. 13. ГЕОГРАФИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ 205
и не работавших в этой стране, по крайней мере в момент пуб-
публикации своих статей. Так случилось, что в нашей библиогра-
библиографии упомянут только один китайский автор — Хуа Ло-ген, ко-
который в момент появления указанной статьи работал в Соеди-
Соединенных Штатах, но затем вернулся на родину.
Мы не обсуждаем географическое распределение всех мате-
математических исследований, а ограничиваемся только комбина-
комбинаторной теорией групп. Мы лишь перечислим несколько конкрет-
конкретных фактов и приведем некоторые статистические данные о пе-
перемещениях и примеры. Разумеется, мы не будем пытаться
извлечь какие-то общие закономерности из столь ограниченного
материала. Несколько отвлекаясь, отметим, что ни один из
рассмотренных нами фактов не противоречит общему правилу,
сформулированному осенью 1980 г. Липманом Берсом в его
выступлении в Колумбийском университете (Нью-Йорк). Это
правило состоит в том, что иммиграция ученых может оказаться
полезной для научных исследований в какой-то стране лишь
в том случае, если эти исследования уже находятся на уровне,
сравнимом с уровнем иммигрантов.
До 1933 г., т. е. в течение более чем половины всего пе-
периода существования комбинаторной теории групп, подавля-
подавляющее большинство статей в этой области было написано по-не-
по-немецки. Это обстоятельство мы не беремся объяснять. Мощный
стимул в виде открытой Пуанкаре фундаментальной группы
пространства был воспринят Титце и Дэном, но не вызвал за-
заметной реакции во Франции, если не считать публикацию моно-
монографии де Сегье. Статьи Юмбера, Фогта и итальянца Бьянки
касались периферийных вопросов теории. Англия, страна Кэли
и Бернсайда, внесла существенный вклад в другие области тео-
теории групп, но не в теорию групп, заданных порождающими и
определяющими соотношениями. Особенно удивляет отсутствие
в этот период американских работ. Ведь теория групп в целом
давно и очень успешно развивалась в Америке. Было напеча-
напечатано несколько учебников по конечным группам, сотни статей
на эту тему были опубликованы таким плодовитым автором,
как Миллер, и многими другими. Блестящая работа Диксона
по простым конечным группам 1933 г. была единодушно при-
признана классической. Рассматривались даже графы групп. Мы
уже упоминали работу Машке 1896 г., а за ней последовал ряд
публикаций в американских журналах. Но теория задания групп
порождающими и определяющими соотношениями не появля-
появлялась в американских журналах или статьях американских ав-
авторов иначе как в виде задания конкретных групп, используе-
используемого как краткий способ их описания.
Неожиданно в 1933—1934 гг. совершенно независимо появи-
появились статьи четырех авторов, которым принадлежит заслуга
вовлечения комбинаторной теории групп в орбиту международ-

206 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
ной математики. Одним из них был Г. С. М. Коксетер, в трех
статьях которого, опубликованных в 1934 г. в британских и
американских журналах (они вошли в книгу Коксетера и Мо-
зера [1972]), последовательно изучались группы, порожденные
отражениями, и связанные с ними проблемы. Мы кратко об-
обсуждали его работу в гл. II. 10. В 1933 г. ван Кампен опубли-
опубликовал важные работы (упомянутые в начале гл. II. 9) в жур-
журнале American Journal of Mathematics. Длительное влияние,
оказанное статьей Ф. Холла, опубликованной в 1933 г. в Анг-
Англии, описано в гл. II. 7. А в гл. II. 4 мы пытались объяснить,
каким образом статьи А. Г. Куроша [1933], [1934] ознамено-
ознаменовали начало необыкновенного расцвета комбинаторной теории
групп в Советском Союзе. Вряд ли найдется раздел этой тео-
теории, в который исследователи этой страны не внесли бы значи-
значительного вклада. В порядке разъяснения (или, лучше сказать,
извинения) мы должны отметить, что наша библиография не
отражает упомянутый факт адекватным образом. Причина
этого чисто практическая. Наш текст написан для англоязыч-
англоязычных математиков, и там, где нам нужно было сослаться на об-
обзоры, а не на оригинальные статьи, мы, конечно, выбирали
тексты на английском. Английский вместе с русским являются
теперь основными языками в этой области. Это не означает, что
теперь (в 1980 г.) ученые этой области работают только в Со-
Советском Союзе и англоязычных странах, хотя Великобритания,
Канада, США и Австралия имеют большой вес. Математики
других стран часто используют английский при публикации
своих статей, хотя статьи на многих других языках также про-
продолжают печататься. Можно сказать, что сегодня исследования
по комбинаторной теории групп распространились достаточно
широко, хотя и не равномерно. Основные понятия этой теории,
а именно понятия свободной группы и задания группы с по-
помощью определяющих соотношений, появляются в большинстве
учебников по теории групп. В 1933 г. все было иначе. Возвра-
Возвращаясь к тому времени, мы попытаемся проследить события,
приведшие к изменению ситуации.
В начале глав II. 2—II. 6 мы упоминали имена Нильсена,
Рейдемейстера, Шрейера, Дэна, Артина и Фуртвенглера как
ученых, внесших наибольший вклад в развитие комбинаторной
теории групп. В 1933 г. прошло четыре года со смерти Шрейера.
За исключением Рейдемейстера, остальные упомянутые мате-
математики потеряли интерес к этой области, по крайней мере на
время. Это значило, что в течение ряда последующих лет Рей-
демейстер оставался единственным математиком, интересую-
интересующимся комбинаторной теорией групп, обучавшимся в немецком
университете и обладавшим устойчивой репутацией и академи-
академическим положением. Большинству других исследователей было
не более тридцати лет, и никто из них не занимал прочного

ГЛ. II. 13. ГЕОГРАФИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ 207
положения. В действительности для некоторых из них ситуация
была как раз обратной. Они лишились своего положения, по-
потому что именно в 1933 г. Гитлер пришел к власти в Германии.
Это относится к ученым, которые сами (или их супруги) имели
еврейское происхождение. Рейнхольд Бэр уехал в Англию и от-
оттуда— в Америку, Фридрих Леви — в Индию, Бернхард Нейман
и Курт Хирш — в Англию. Макс Дэн был вынужден уйти на
пенсию раньше срока и переехал из Германии в Норвегию в
1939 г. Артин уехал в Америку в 1935 г. (Впрочем, отметим,
что и Рейдемейстер был временно отстранен от должности и
затем переведен в менее значительный университет как «поли-
«политически неблагонадежный».) Как мы увидим дальше, некоторые
из этих перемещений в дальнейшем способствовали распростра-
распространению интереса к комбинаторной теории групп в других стра-
странах. За исключением одного случая (Австралия), трудно точно
оценить это влияние. В конце концов публикации также всегда
были средством передачи идей и проблем. Курош никогда не
видел Шрейера, но читал его работы. То же можно сказать и
о Маршалле Холле (мл.), работа которого 1938 г. основана на
другой части работы Шрейера. Кроме того, ведь комбинатор-
комбинаторная теория групп возникла как ветвь топологии и продолжала
оставаться полезным инструментом в этом разделе математики.
Интерес к топологии распространился во многих странах еще
до рассматриваемого периода, и важный вклад в комбинатор-
комбинаторную теорию групп продолжал поступать от ученых, преимуще-
преимущественно занимавшихся топологией. Мы упомянем здесь только
нескольких: это Хопф, Уайтхед, Эйленберг.
Как бы то ни было, переезды ученых несомненно оказали
свое влияние. Это влияние стало стираться все больше и боль-
больше в связи с системой приглашений профессоров и научных со-
сотрудников, которая начала вводиться около 1930 г. и получила
широкое распространение после 1950 г., в особенности в амери-
американских научных учреждениях. Мы, однако, не будем касаться
этих явлений, а ограничимся изучением случаев, когда матема-
математики поселялись не там, где они родились. В тех случаях, ко-
когда ученый обучался в той стране, куда он переехал, единствен-
единственным (однако отнюдь не пренебрежимым) эффектом являлось
усиление интеллектуального потенциала этой страны. Мы не
знаем, сколько имен из нашего списка следует отнести к этому
классу: вероятно, не более шести. Как весьма яркий пример
особо упомянем Поста A897—1954), который родился в Авгу-
стове (в то время находившемся на территории России )}) и пе-
переехал в Америку в возрасте семи лет. Кроме того, мы знаем
32 ученых, приехавших в другую страну после того, как они
начали публиковать свои математические результаты. Это те,
') Сейчас это территория ПНР. — Прим. перев.

208 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
кто способствовал распространению интереса к комбинаторной
теории групп во многих странах или содействовал своим лич-
личным престижем, учебной и организационной деятельностью по-
популярности институтов, в которых работал. Примером такого
ученого, упоминаемого в нашей библиографии, хотя и не зани-
занимавшегося комбинаторной теорией групп, является Герман
Вейль, уехавший из Геттингена в 1933 г. и работавший в Прин-
стонском институте перспективных исследований.
39 имен из нашей библиографии, принадлежащие переехав-
переехавшим из одной страны в другую ученым, составляют немногим
менее одной шестой от общего числа упоминаемых авторов. Из
них 21 были беженцами, 18 из которых спасались от Гитлера
(хотя и не обязательно из Германии). Остальные переменили
место жительства по разным причинам, среди которых были
как культурная и научная привлекательность страны, где они
поселились, так и экономические и чисто личные соображения.
Англоязычные страны (Австралия, Канада, Великобритания и
Соединенные Штаты Америки) оказались принимающей стра-
страной в трех четвертых случаев. В остальных случаях в роли
такой страны выступили Франция, Германия, Индия, Палестина,
Норвегия, Швейцария и Советский Союз.
Даже в относительно стабильных условиях перед первой ми-
мировой войной встречались случаи перемены места жительства.
Например, Ли на несколько лет переехал в Германию. Его пре-
пребывание там способствовало распространению интереса к его
работам, но, несомненно, этот эффект не был слишком значи-
значительным. Идеи и результаты Ли, пока он жил в Лейпциге, неза-
независимо от этого привлекли внимание многих математиков в раз-
различных странах мира. Машке умер через несколько лет после
того, как перешел в Чикагский университет, не успев оказать
заметного воздействия. Его пребывание там было организовано
Феликсом Клейном, который способствовал выезду немецких
математиков в Соединенные Штаты, считая, что важность про-
проводимых в этой стране математических исследований будет
расти. Приезд Гурвица в Швейцарию и временный переезд туда
Минковского из Германии вряд ли могут рассматриваться как
случаи переселения. Однако еще до первой мировой войны по-
появился и случай вынужденной эмиграции. Шур, будучи евреем,
не имел возможности утвердиться как математик в царской
России и уехал в Германию. Он разделил судьбу Дэна, став бе-
беженцем еще раз. Ведущий математик и выдающийся педагог, он
в течение 16 лет заведовал кафедрой в Берлине. В 1939 г. ему
удалось с большими трудностями бежать из гитлеровской Гер-
Германии в Палестину, где он умер, не вернувшись к активной на-
научной работе. Дэн нашел убежище в 1939 г. в Норвегии, но в
опасных условиях был вынужден вылететь в 1940 г. в Америку.
Хотя у него и были там ученики, он не нашел того признания,

ГЛ. П. 13. ГЕОГРАФИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ 209
которого заслуживал. Его имя сегодня в англоязычных странах
известно шире, чем в момент его смерти.
До сих пор мы говорили о перемещении ученых, чья науч-
научная репутация установилась еще до первой мировой войны. За
исключением Дэна, никто из них не играл значительной роли
в истории комбинаторной теории групп. На этом материале мы
не можем продемонстрировать случай решающей роли переезда
в распространении идей, хотя другие результаты (повышение
интеллектуального потенциала и популярности институтов) вид-
видны на примерах Шура и Г. Вейля. Мы обращаемся теперь к опи-
описанию ряда случаев, связанных со следующим поколением мате-
математиков, начиная с таких, как Хирш, Б. Нейман и Ханна Ней-
Нейман (урожденная фон Каммерер). Они уехали (как беженцы)
из Германии в Англию в 1933 г. (или вскоре после этого) и вто-
вторично получили там докторскую степень, хотя Б. Нейман (уче-
(ученик Шура) и Хирш уже получили ее в германских университе-
университетах. Ханна Нейман имела ранее степень, эквивалентную Master's
Degree. Она (как и Б. Нейман) испытывала сильное влияние
Шура.
Мы упоминали работы Хирша в гл. II. 10. Помимо своих
публикаций Хирш оказал влияние на развитие математических
исследований в Англии также и тем, что превратил отдел мате-
математики Куин Мэри-колледжа Лондонского университета в центр
алгебраических исследований. Насколько нам известно, до этого,
по крайней мере в Англии, не было отделов с такой общностью
математических интересов сотрудников. До 1948 г. комбинатор-
комбинаторная теория групп была представлена в Англии в основном Хир-
шем, Б. Нейманом, Уайтхедом и, конечно, Ф. Холлом. В 1948 г.
Ханна Нейман включилась в исследование в этой начавшей
бурно развиваться области. В какой-то мере это было обуслов-
обусловлено влиянием Ф. Холла, которое заключалось не только в со-
содержании его собственных работ, но также в стимулирующем
воздействии его лекций. Значительная часть целого поколения
алгебраистов, учившихся в Англии, находилась под его влия-
влиянием. Среди них упомянем Карла Грюнберга (по совпадению
также беженца, — но из Австрии) и Г. Хигмана, чья совмест-
совместная с Б. Нейманом и Ханной Нейман работа, вероятно, являет-
является наиболее часто цитируемой публикацией в комбинаторной
теории групп. Величина вклада Хирша и Нейманов в развитие
комбинаторной теории групп видна отчетливо. Замечательно, что
наша история не кончается на этом. Б. Нейман пользовался
большим влиянием и как педагог. Он был руководителем дис-
сертационой работы Баумслага (выходца из Южной Африки),
который вскоре после защиты диссертации эмигрировал в Со-
Соединенные Штаты. Его большую роль в оживлении исследова-
исследований по комбинаторной теории групп на Североамериканском
континенте мы можем упомянуть только вскользь. В какой-то

210 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
степени она — результат переездов Нейманов, которые в даль-
дальнейшем, приняв в 1960 г. предложение работать в 1962—1963 г.
в Австралийском национальном университете в Канберре,
переехали в Австралию. В последующие годы Канберра ста-
стала центром теоретико-групповых исследований, привлекаю-
привлекающим различных ученых, готовящим активных исследователей и
явившимся местом организации двух международных конферен-
конференций, труды которых вышли в виде двух книг, опубликованных
в 1967 и 1974 гг.: Proceedings of the International Conference on
the Theory of Groups, Canberra, 1965, ed. В. Н. Neumann and
Kovacs, Gordon and Breach, New York; International Conference
on the Theory of Groups, ed. M. F. Newman, Lecture Notes in
Mathematics 372, Springer-Verlag, Berlin —Heidelberg — New
York. Список участников этих конференций показывает рост
числа австралийских ученых.
Разумеется, причина этих достижений не только в присут-
присутствии Б. Неймана и Ханны Нейман в Канберре. Они стали воз-
возможными благодаря счастливому стечению обстоятельств; нуж-
нужные люди вовремя получали финансовую и организационную
поддержку от Австралийского национального университета.
Рейнхольд Бэр A902—1979) дает нам пример трех переез-
переездов. После двух лет работы в Манчестерском университете он
уехал в Америку и стал работать в Университете штата Илли-
Иллинойс (г. Урбана). С 1940 по 1957 г. он подготовил 20 аспиран-
аспирантов, многие из которых активно работали и дальше. Вернув-
Вернувшись в Германию (в университет Франкфурта-на-Майне) в
1957 г., он проработал там еще 11 лет и под его руководством
было подготовлено 28 диссертаций. По любым стандартам это
значительное достижение. По крайней мере 25 из этих 28 его
учеников по-прежнему ведут активную работу — это почти (а мо-
может быть, и абсолютно) уникально среди математиков. Между
прочим, темы его аспирантов не ограничиваются теорией групп
или вообще алгеброй. Некоторые из этих тем относятся к гео-
геометрии или анализу.
Имеется гораздо меньше заметных примеров передвижений
проблем исследования в результате переездов. Л. А. Калужнин,
ныне гражданин СССР, уехал из Гамбурга в 1933 г. в Париж,
где после второй мировой войны он встретил Лазара, бывшего
тогда студентом, и предложил ему изучить возможность приме-
применения колец Ли к задачам комбинаторной теории групп. Эта
проблематика была хорошо знакома Калужнину, так как он
продолжал следить за немецкими публикациями. В результате
появилась основополагающая статья Лазара [1953].
Мы могли бы рассмотреть большее число отдельных исто-
историй, прослеживая различные степени научного влияния, возник-
возникшего в результате переездов, начиная от полного отсутствия та-
такового до весьма значительного. Однако нам кажется, что этого

ГЛ. II. 14. СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ
211
не стоит делать по двум причинам. Комбинаторная теория групп
слишком ограниченная область, чтобы дать нам материал для
полной картины. Кроме того, возможны важные влияния, возни-
возникающие в результате переездов, но менее уловимые, чем переме-
перемещение интереса к определенной тематике и исследовательской
активности из одной страны в другую. Такие случаи не просто
зафиксировать. Стиль преподавания и стиль публикаций важны
во всякой области. В математике влияние того или иного при-
приехавшего ученого может выразиться в повышении роли абстрак-
абстракции и аксиоматизации, или большем внимании к мотивировкам
и историческому контексту, или в стремлении к установлению
связей между различными областями. То же относится и к стан-
стандартам преподавания и обучения, включая планирование учеб-
учебных программ. На основании рассмотрения одной математиче-
математической дисциплины нельзя составить представление обо всех этих
явлениях. И наконец, попытка описать неуловимое тут же ведет
к спекуляциям, от которых мы хотели воздержаться в своей ра-
работе.
Глава II. 14
СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ
В развитии математики XX в. имеются два беспрецедентных
явления. Это — возрастание объема научного знания и увеличе-
увеличение сложности доказательств. Начнем с рассмотрения первого
явления. Прежде всего воспроизведем статистическую таблицу,
принадлежащую Ютцу из Миссурийского университета, опубли-
опубликованную в журнале Notices of the American Mathematical So-
Society, № 211, с 424, Aug. 1981. Мы уже упоминали эту таблицу
в гл. II. 12 в связи с содержанием ее двух последних столбцов.
Сейчас нас будут интересовать два первых столбца, в которых
приведено число математических статей, прореферированных в
журнале Mathematical Reviews в течение последнего года каж-
каждого из десятилетий 1940—1980 гг.
Год
1940
1950
1960
1970
1980
Число
статей
1579
3 298
4 393
12011
18 383
Из них
совместных
92
214
473
1 680
3 932
Процент
совместных
статей
5,8
6,5
10,8
14,0
21,4
Из таблицы ясно виден быстрый рост производства «матема-
«математической продукции» в течение десятилетий, прошедших после

212 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
второй мировой войны. У нас нет точных данных, относящихся
к скорости роста числа публикаций по теории бесконечных групп
(если исключить группы Ли). Бесспорно, результаты в этой об-
области составляют лишь весьма малую часть всего, что делается
в математике. Баумслаг в [1974] приводит 4563 работы по
бесконечным группам, относящиеся к трем десятилетиям A940—
1970 гг.). Это число слегка превосходит общее количество ма-
математических публикаций за один 1960 г., которое в свою оче-
очередь составляет менее одной четверти от числа публикаций в
1980 г.
Тот печальный факт, что объем зафиксированного публика-
публикациями математического знания превосходит возможности вос-
восприятия любого отдельного человека, не является новостью. Со-
Сомнительно, чтобы кто-либо за последние сто лет действительно
прочел все труды Леонарда Эйлера или все 1742 статьи по ли-
линейным дифференциальным уравнениям, которые были опубли-
опубликованы в период с 1865 по 1907 г. и перечислены в библиогра-
библиографии к обзору Шлезингера [1909]. К моменту окончания своего
обзора по общей теории групп (т. е. теории групп, исключая
группы Ли и представления групп) [1939] Магнус оценивал об-
общий объем литературы по теории групп в 8000 статей. (Около
4% из них принадлежало одному автору — Дж. Миллеру.) Нет
человека, который бы прочитал все эти статьи, и большая часть
из них сейчас представляет интерес в основном для историков
математики. Никакой математический результат не может пол-
полностью устареть, так как если он был верным, то и продолжает
оставаться таковым. Однако в математике постоянно, начиная
с семнадцатого века, развиваются процессы, делающие ненуж-
ненужной существенную часть предшествующей работы. Используя
примеры, упоминавшиеся уже в этой главе, заметим, что число
статей Эйлера по квадратичному закону взаимности настолько
велико, что затрудняет для современного читателя выяснение
того факта, что Эйлер не доказывает этот закон во всех слу-
случаях. Гаусс доказал потом его во всей общности; теперь из-
известны другие, очень короткие и ясные доказательства этого за-
закона. Большая часть результатов и их доказательств из библи-
библиографии Шлезингера сейчас может быть получена из мощной
теоремы существования и единственности, а в том, что касается
большого числа частных случаев, достаточно располагать тща-
тщательно расклассифицированным обзором, позволяющим быстро
отыскивать их при необходимости. То же самое верно и в отно-
отношении литературы по теории групп, вышедшей, скажем, до
1940 г. Мы характеризуем два описанных только что процесса
как концентрацию и организацию хранения. В комбинаторной
теории групп метод Рейдемейстера — Шрейера или теорема Ку-
роша о подгруппах свободных произведений являются приме-
примерами концентрации, а обзор Коксетера и Мозера [1972] — при-

ГЛ. II. 14. СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ 213
мером организации хранения. Ни один из этих двух процессов
не происходит автоматически. Нужно учиться использованию
мощных общих теорем в частных ситуациях; организация хра-
хранения должна основываться на каких-то принципах упорядоче-
упорядочения и классификации, которые в некотором неопределенном
смысле должны представляться математикам «естественными»
и удобными. Не существует ничего аналогичного алфавитному
упорядочению слов в словаре, что могло бы оказаться полезным
при поиске математической информации.
Прежде чем переходить к тому, как происходила концентра-
концентрация и организация хранения математического знания на протя-
протяжении последних 50 лет, мы должны упомянуть другую парал-
параллельно развивающуюся проблему — рост сложности доказа-
доказательств. У этой проблемы есть два аспекта. С одной стороны,
математические дисциплины обладают вертикальной структурой,
требующей понимания и освоения более ранних результатов для
понимания и даже для формулировки более поздних. Чем старее
становится математическая дисциплина, тем важнее этот аспект.
Другой аспект связан с тем фактом, что даже доказательство
единичной теоремы может требовать очень длинных цепочек или
даже «деревьев» рассуждений, т. е. рассмотрения большого числа
случаев и подслучаев. Для комбинаторной теории групп, яв-
являющейся относительно молодой дисциплиной, в течение долгого
времени первый аспект не играл существенной роли, в то время
как второй был очень важен, начиная с самых ранних этапов
развития теории. Сейчас мы проиллюстрируем это наблюдение
несколькими примерами.
В статье Тартаковского [1949], как и в более поздних рабо-
работах Гриндлингера [1960а], [1960b] изучается то, что теперь на-
называется «теорией малых сокращений», и дается решение про-
проблемы распознавания равенства для широкого класса конечно
заданных групп. Хотя проблема распознавания равенства была
сформулирована Дэном еще в 1910 г. и хотя эта проблема, по
крайней мере после 1920 г., служила предметом большого числа
исследований, никаких предварительных знаний для понимания
статей Тартаковского и Гриндлингера не требуется. С другой
стороны, эти работы, в особенности статья Тартаковского, дают
примеры сложных доказательств со множеством случаев и под-
подслучаев. Безусловно, работы такого сорта не впервые появились
в комбинаторной теории групп. Еще в 1924 г. была опублико-
опубликована 41-страничная статья Нильсена [1924а], содержащая весь-
весьма сложные и трудные доказательства. Ее содержание мы рас-
рассмотрели в гл. II. 2, там же говорилось о работе Маккула [1974] ^
[1975а], [1975b], которая упрощает и обобщает работу Ниль-
Нильсена. В гл. II.2 мы не отмечали статью де Сегье [1924], которая
была опубликована вскоре после работы Нильсена, состоит всего
из четырех страниц и имеет своей целью решить ту же самую

214 ч- П. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
проблему, а именно проблему отыскания задания групп авто-
автоморфизмов свободных групп конечного ранга. Она представляет
собой пример некорректного и, можно даже сказать, недопусти-
недопустимого способа борьбы со сложностью доказательств. Статья де
Сегье столь коротка и так сжато написана, что возникали серьез-
серьезные сомнения в ее правильности. В 1934 г. Магнус попытался
разобрать ее. Потерпев неудачу, он спросил Нильсена о его мне-
мнении. Нильсен сразу ответил, что и он не смог понять эту статью.
Ситуация, при которой правильность результата в течение
долгого времени зиждется лишь на авторитете одного ученого,
представляется новой, не имевшей места до начала двадцатого
века, в крайнем случае до конца девятнадцатого века. (Здесь
мы игнорируем более старое явление, когда доказательства в
какой-то момент отвергаются как устаревшие, поскольку пере-
переместилась граница между интуитивными и строгими рассужде-
рассуждениями.)
Крайне большие трудности, порождаемые возрастающей
сложностью доказательств, могут быть разрешены только в ходе
процесса, который мы называем усовершенствованием (stream-
(streamlining). Этот процесс состоит в упрощении доказательств за
счет использования новых идей и методов, а также включения
частной теоремы в контекст какой-либо объемлющей теории,
где она оказывается лишь одним из многих результатов и где
переход от очередного результата к следующему воспринимается
читателем достаточно легко.
Большая часть теории малых сокращений была таким обра-
образом усовершенствована вскоре после появления статьи Гринд-
лингера в 1960 г. Этот процесс нашел отражение в книге
Линдона и Шуппа [1977]. Статья Нильсена [1924а] была ана-
аналогичным образом усовершенствована Маккулом лишь спустя
полвека. Возможно, это объясняется тем, что хотя работа Ниль-
Нильсена и цитировалась в различных обзорах, но в действитель-
действительности она использовалась относительно редко. Нам известно
только три примера существенного ее использования — Б. Ней-
Нейман [1932], Магнус [1934а] и Фукс-Рабинович [1941]. С другой
стороны, интерес к группе автоморфизмов свободных групп со-
сохранялся постоянно из-за их связи с теорией групп классов
отображений двумерных многообразий. Мы уже упоминали об
этой теории в гл. II. 10; интерес к ней возрос в течение десяти-
десятилетия, предшествовавшего публикации статей Маккула.
Теперь мы постараемся описать попытки, предпринимав-
предпринимавшиеся после первой мировой войны с целью преодоления труд-
трудностей, возникающих из-за большой разветвленности и слож-
сложности исследований. Примеры мы будем брать в основном из
комбинаторной теории групп.
Когда наконец, после почти тридцатилетней работы, в 1927 г.
была завершена немецкая Энциклопедия математических наук,

ГЛ. II. 14. СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ 215
стало совершенно очевидно, что большая ее часть уже устарела.
Через несколько лет началась подготовка нового издания.
Несколько статей появилось до и после второй мировой вой-
войны, которая началась как раз в тот месяц, когда был опублико-
опубликован обзор Магнуса [1939] по общей теории групп. (Эта статья,,
по крайней мере, была завершена, а не прервана посередине, как
случилось с аналогичной статьей во французской энциклопедии,
издание которой было прервано первой мировой войной.) Неза-
Независимо от войны работа над вторым изданием немецкой энцик-
энциклопедии затруднялась тем, что политика гитлеровской Герма-
Германии делала невозможным международное сотрудничество мате-
математиков. Даже к первому изданию были привлечены некоторые
авторы не из Германии. Для второго издания это было бы не-
необходимым и при более благоприятных обстоятельствах. Но в
условиях сильного снижения научной активности в Германии,
вызванного эмиграцией многих ученых, ситуация стала безна-
безнадежной. В результате появилось только небольшое число ста-
статей, которые были полезны хотя бы на какое-то время. Однако
их полезность ограничивалась еще и другим явлением. Появи-
Появились признаки того, что энциклопедии традиционного стиля пе-
перестали соответствовать задаче организации математического
знания. Предполагалось, что энциклопедия должна служить ис-
источником информации (по возможности полным) о развитии и
фактическом состоянии отдельных дисциплин. Однако тради-
традиционный стиль вынуждал или, по меньшей мере, склонял авто-
авторов выкидывать описания методов и доказательств. В резуль-
результате большинство статей служило только одной цели, которую
мы назвали организацией хранения. Это полезно, но недоста-
недостаточно. Помимо этого ограничения еще одна особенность делала
саму идею традиционной энциклопедии устаревшей. Это ее жест-
жесткость требующая некоторого плана и дробления материала в.
соответствии с ним. Однако математика начала меняться так
быстро, что всякий план устаревал задолго до своей полной реа-
реализации. Нужны были более гибкие и открытые для изменения
подходы. И такие подходы начали возникать в период между
двумя мировыми войнами. Мы попытаемся их перечислить.
Учебники традиционного типа все более заменялись моно-
монографиями. Учебник был (и остается в случае таких элементар-
элементарных предметов, как математический анализ) замкнутым в себе
изложением предмета. Монография может тоже обладать этой
чертой, но может и отсылать читателя к литературе, лишь ча-
частично описывая некоторые методы и результаты и тем облегчая
работу с литературой. Работы Вебера [1894, 1896] и даже Фри-
ке [1926] — типичные учебники. С другой стороны, книги Берн-
сайда [1911] и Куроша [1944] в нашей терминологии — моно-
монографии, несмотря на то что изложение в них в значительной
степени замкнуто в себе. Далее, учебник адресован прежде всего

216 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
студенту, монография — ученому-математику. Не существует,
однако, четкой границы между этими двумя категориями. Моно-
Монография может использоваться как основа учебного курса в уни-
университете, а книга Вебера [1894, 1896], когда она появилась,
представляла интерес и для активно работающего ученого. Во
всяком случае, сегодня существенная часть математического
знания содержится в монографиях, служащих помимо прочего
целям, которые мы назвали концентрацией знания и усовершен-
усовершенствованием доказательств.
К монографиям близки обзоры, которые могут иметь форму
классифицирующего указателя литературы и служить в основ-
основном цели организации хранения или могут содержать наброски
методов и доказательств и тогда соответствовать задачам кон-
концентрации и усовершенствования. Примером первого вида обзо-
обзоров может служить книга Коксетера и Мозера [1972], а хоро-
хорошим примером обзоров второго типа — книга Линдона и Шуппа
[1977].
Разумеется, ни монографии, ни обзоры не являются изобрете-
изобретением двадцатого века, но они не намного старше. Их важность
быстро возросла после 1930 г., когда они начали перенимать
функции энциклопедий. В то же время стали появляться про-
продолжающиеся серии монографий и обзоров, предназначенные от-
отражать текущее состояние исследований в математике. Они из-
издавались самыми разными коммерческими издательствами, ака-
академическими учреждениями, университетами, математическими
обществами различных стран и дополнялись обзорными статья-
статьями в журналах и трудами конференций. Начиная с 1978 г. жур-
журнал Bulletin of the American Mathematical Society публикует
в каждом номере несколько обзорных статей. Новый вид обзора
ввела редколлегия журнала Mathematical Reviews. Такой обзор
представляет собой собрание рефератов статей, опубликованных
в 1940—1970 гг. по нескольким математическим областям. Эти
рефераты располагаются в соответствии с тематической класси-
классификацией, разрабатываемой редактором, и дополняются пере-
перекрестными ссылками на другие рефераты, где эта книга или
¦статья упоминается. В конце такой работы помещается указа-
указатель названий работ в соответствии с алфавитным порядком
имен авторов. Такой же указатель имеется для статей, проре-
прореферированных в журнале Zentralblatt der Mathematik за 1930—
1940 гг. Простое чтение оглавления такого обзора дает хорошее
представление о структуре покрываемой им области исследова-
исследований. Авторам настоящей книги повезло — в их распоряжении
имелся обзор такого типа — сборник Баумслага [1974], охваты-
охватывающий и комбинаторную теорию групп. Он нам очень приго-
пригодился.
Невозможно отрицать, что почти все существующие моногра-
монографии и обзоры более беспорядочны, чем энциклопедии. Суще-

ГЛ. II. 14. СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ 217
ствует, однако, одна серия, целью которой является именно ор-
организация математического знания. На титульном листе книг
этой серии всегда стоит имя одного и того же автора — Н. Бур-
баки. Как пишутся эти книги, рассказал А. Картан в статье
[1980], посвященной пятидесятилетию всего предприятия. Мы
не собираемся описывать его идейные основы, да для этого и
нет существенных причин, поскольку комбинаторная теория
групп едва затрагивалась книгами Бурбаки. Важной для нашей
области следовало бы считать лишь книгу Бурбаки [1968]. По
этой причине мы также не можем оценивать влияние Бурбаки.
Отметим лишь, что эти публикации способствовали стандартиза-
стандартизации терминологии н даже обозначений в математике. В какой-то
степени предложенные Бурбаки стандарты стали сейчас обще-
общепринятыми. Ясно, сколь важное это достижение. Ведь концен-
концентрации математического знания в определенной степени сопро-
сопровождается размножением технических терминов.
Упомянем, кстати, нематематическую и, как нам кажется,
весьма необычную черту предприятия, носящего имя Н. Бур-
Бурбаки. Считается, что математики склонны к индивидуализму.
Конечно, достаточно часто они участвуют в каком-либо общем
деле. Современный пример — специалисты в области теории
групп, занимающиеся классификацией простых конечных групп.
Здесь, однако, имеется общая, ясно определенная, ограниченная
и чисто математическая цель. Работать же в составе группы
Бурбаки означает принимать определенную (хотя, возможно, и
не формулируемую явно) философию математики. Задача этой
группы столь же незавершаема, как цель Французской акаде-
академии— совершенствование французского языка. Но в отличие от
членства во Французской академии быть членом группы Бур-
Бурбаки означает тратить уйму времени, работать анонимно, не рас-
рассчитывая на почести и престиж. Имеются, однако, и другие при-
примеры объединения людей, преследующих общие интеллектуаль-
интеллектуальные цели. Как отмечено в 11-м издании Британской энциклопе-
энциклопедии, Французская академия была основана на таких началах,
однако уже через несколько лет дело упорядочил Ришелье, сде-
сделавший ее государственным институтом. Необычайной чертой
группы Бурбаки является то, что она продолжает функциониро-
функционировать на все той же основе после 50 лет глубоких изменений в
структуре и составе математического мира.
Возникает вопрос, насколько эффективными оказались все
эти попытки организации математического знания. Чтобы более
точно сформулировать этот вопрос, мы попытаемся сформулиро-
сформулировать некий стандарт для математической «продукции». Этот
стандарт, хотя и не всегда применяется на практике, факти-
фактически был принят среди математиков конца девятнадцатого и
начала двадцатого веков. В соответствии с ним математик не
должен пользоваться доказанной кем-то теоремой, пока сам не

218 Ч. II. СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
поймет ее доказательство. Мы не имеем возможности занимать-
заниматься здесь исследованием вопроса о том, что значит «понять до-
доказательство». В топологии рассуждения, считавшиеся убеди-
убедительными в 1900 г., могли бы быть отклонены как нестрогие в
1950 г. На в основной части математики ситуация с конца
XIX в. была ясной. Такой известный математик, как Эдмунд
Ландау A877—1938), являет собой пример ученого, чья дея-
деятельность, даже в незначительных деталях, соответствовала ука-
указанному стандарту. Разумеется, мы не можем представить убе-
убедительные аргументы в пользу того, что этот стандарт Ландау
не может далее выдерживаться, скажем, в комбинаторной тео-
теории групп, но хотели бы рискнуть высказать мысль, что выдер-
выдерживать этот стандарт в нашей области сегодня сложнее, чем это
было в теории чисел во времена Ландау. Чтобы подтвердить
нашу точку зрения, упомянем, что во многих статьях и моно-
монографиях опускаются вычисления, о которых при этом говорится,
что они «непосредственные» или «стандартные». Мы даже не ка-
касаемся здесь сравнительно нового и деликатного вопроса о до-
достоверности утверждений, доказанных лишь с использованием
ЭВМ.
Ослабление стандарта Ландау может быть причиной для
серьезного беспокойства. В то же время случаи дублирования
результатов в литературе, хотя менее тревожные, также могут
считаться показателем эффективности современных методов
организации научного знания.
Ясно, что самое тщательное реферирование и наиболее четко
составленные монографии и обзоры не могут полностью исклю-
исключить дублирования результатов, даже если применять этот тер-
термин только в ситуациях, когда для доказательства одной и той
же теоремы используется один и тот же метод. Просматривая
журнал Mathematical Reviews, где дублирование отмечается,
если референт его обнаруживает, мы вынесли впечатление, что
такие крайние случаи дублирования сравнительно редки по от-
отношению к общему числу новых результатов. Даже ситуации,
когда статья содержит результат, который оказывается частным
случаем более ранней теоремы, встречаются не так часто. Впро-
Впрочем, такие случаи, по крайней мере, дают новое подтверждение
значимости более общего результата.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Замечание. В конце каждой ссылки мы перечисляем главы, в которых
она цитировалась. При этом мы используем римские цифры I и II для обо-
обозначения частей, за которыми идут номера глав в этих частях, обозначенные
арабскими цифрами. Например, 1.1, 2, 6.В, 8 означает часть I, главы 1, 2,8
и параграф 6.В.
Адельсбергер (Adeisberger H.)
[1930] Ober unendliche diskrete Gruppen. J. reine u. angewandte Math.
163, 104—124. I. 6.E, II. 7.
Адо И. Д.
[1936] О представлениях групп Ли линейными подстановками. — Бюлл.
Казанского физ.-мат. об-ва, т. 111, сер. 7, с. 3—41, II.7.
[1947] Представление алгебр Ли матрицами. — УМН, т. 2, № 6, с. 159—
173. II. 7.
Адян С. И.
[1970] Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств. — Изв.
АН СССР, сер. мат., т. 34, с. 715—734. И. 8.
[1975] Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М.: Наука. 1.6,
II. 7.
[1984*] Исследования по проблеме Бернсайда и связанным с ией вопро-
вопросам.— Труды матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 168, с. 171—196.
Адян С. И., Маканин Г. С.
[1984*] Исследования по алгоритмическим вопросам алгебры. — Труды
матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 168, с. 197—217.
Александер (Alexander J. W.)
;[1928] Topological invariants of knots and links. Trans. American Math.
Soc. 30, № 2, 275—306. II. 6.
Артин (Artin E.)
[1925] Theorie der Zopfe. Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 4, Spt. 1,
47—72, II. 3, 10.
[1926] Das freie Produkt von Gruppen. In: Klein F. Vorlesungen fiber ho-
here Geometrie, Julius Springer, Berlin, 1926, § 92. Переиздание:
Chelsea, New York, 1949. 1.2, 11.4,6.
[1927] Beweis des allgemeinen Reziprozitatsgesetzes. Abh. Math. Sem.
Hamburg Univ., 5, ft. 4, 353—363. II. 6.
1947a] The free product of groups. Amer. J. Math. 69, 1—4.
1947b] Theory of braids. Ann. of Math. B) 48, 101—126. II. 10.
1947c] Braids and permutations. Ann. of Math. B) 48, 643—649. II. 10.
1965] The Collected Papers of Emil Artin, edited by S. Lang and
J. T. Tate. Addison-Wesley, Reading, MA.
Артци (Artzy R.)
[1972] Kurt Reidemeister. Jber. Deutsche Math.-Verein. 74, 96—104. II. 3.

220 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ауслендер (Auslander L.)
[1967] On a problem of Philip Hall. Annals of Math. B) 86, 112—116.
II. 6, 10.
Ауслендер, Толимиери (Auslander L., Tolimieri R.)
[1975] Abelian harmonic analysis, theta functions and function algebras
on a nilmanifold. Lecture Notes in Mathematics 436, Springer-Ver-
lag, Berlin —Heidelberg —New York. II. 10.
Багерзаде (Bagherzadeh G. H.)
,[1975] Commutativity in one-relator groups. J. London Math Soc. B) 13,
№ 3, 459—471. II. 5.
Барроу (Burrow M. D.)
[1958] Invariants of free Lie rings. Comm. Pure and Appl. Math. 11,
419—43. II. 7.
Басе X., Милнор Дж, Cepp Ж--П. (Bass H., Milnor J., Serre J.-P.)
[1967] Solution of the congruence subgroup theorem for SLn (n ^= 3) and
Sp2n (n>2). Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., Paris. № 33,
39—137. 1.6.B, II.2. [Имеется перевод: Басе X., Милнор Дж.,
Cepp Ж--П. Решение конгруэнц-проблемы дли SLn (и ^ 3) и
Sp2n (n> 2). — Математика. 14:6, 1970, с. 64—128; 15:1, 1971,
с. 44—60.]
Баумслаг (Baumslag G.)
[1959] Wreath products and p-groups. Proc. Cambridge Philos. Soc. 55,
Part 3, 224—231. II. 8.
[1960] Some aspects of groups with unique roots. Acta Math. 104. № 3—
4, 218—303. II. 5.
[1963] Automorphism groups of residually finite groups. J. London Math.
Soc. 38, № 1, 117—118. II. 2.
[1969] Groups with the same lower central sequence as a relatively free
group II. Properties, Trans. American Math. Soc. 142, 507—538.
II. 7.
[1971] A finitely generated infinitely related group with trivial multipli-
cator, Bull. Australian Math. Soc. 5, 131—136. II. 9.
[1973] Finitely presented metabelian groups. Proc. 2nd Internat. Conf.
Theory of Groups. Canberra, 1973, 65—74. Lecture Notes in Mat-
Mathematics, 372. Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York.
II. 6.
[1974] Reviews on Infinite Groups. 2 Volumes, American Math. Soc, Pro-
Providence, RI. II. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
[1976a] Multiplicators and metabelian groups. J. Australian Math. Soc. Se-
Series A, 22, № 3, 305—312. I. 6.F, II. 9.
[1976b] A remark on groups with trivial multiplicator. American J. Math.
97, 863—864. I.6.F, II. 9.
Баумслаг, Солитэр (Baumslag G., Solitar D.)
[1962] Some two-generator, one-relator nonHopfian groups. Bull. Ame-
American Math. Soc. 68, 199—201. II. 5.
Бахмут С. (Bachmuth S.)
[1965, 1966] Automorphisms of free metabelian groups. Trans. American
Math. Soc. 118, 93—104. Induced automorphisms of free groups and
free metabelian groups. Trans. American Math. Soc. 122, 1—17. II. 6.
Бейкер (Baker H. F.)
[1904] Alternants and continuous groups. Proc. London Math. Soc. B) 3,
24—47. I.6.E. II. 7.
Бер (Behr H.)
[1975] Eine endliche Presentation der Symplektischen Gruppe Sp4(Z).
Math. Z. 141, № 1, 47—56. I. 6.A.
Бернсайд (Burnside W.)
[1897a] Theory of Groups of Finite Order, Cambridge University Press,
Cambridge, England. I. 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 221
[1897b] Note on the symmetric group. Proc. London Math Soc fl) 28,
119—129. 1.2. ' K '
[1899] Note on the simple groups of order 504. Math. Annal. 52, 174—176.
[1902] On an unsettled question in the theory of discontinuous groups
Quart. J. Math. 33, 230—238. I. 6.F.
[1911] Theory of Groups of Finite Order, 2nd ed. Cambridge University
Press, Cambridge, England. Переиздание: Dover, New York, 1955.
1.2, 5, II. 7.
[1912, 1913] On some properties of groups whose orders are powers of a
prime. I, II, Proc. London Math. Soc. 11, 225—245; 13, 6—12. II. 7.
Берс, Кра (ред.) (Bers L., Kra I., ed.)
[1974] A crash course on Kleinean groups. Lecture Notes in Mathematics
400, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York. 11.10.
Бетти (Betti E.)
[1871] Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni. Annali Mat.
Puri ed applicati B) 4, 140—158. II. 9.
Бибербах (Bieberbach L.)
[1911] Die Bewegungsgruppen der euklidischen Raume. Math. Annal. 70,
297—336. I. 6.A.
Биркгоф (Birkhoff G.)
[1935] On the structure of abstract algebras. Proc. Cambridge Philos.
Soc. 31, № 4, 433—454. II. 8.
[1937] Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices. An-
Annals Math. B) 38, № 2, 526—532. II. 7.
[1942] Lattice ordered groups. Annals Math. B) 43, 298—331. II. 6.
[1946] Review of Everatt and Ulam: «On Ordered groups». Math. Reviews
7, 4. II. 6.
Бирман (Birman J. S.)
[1973] Poincare's conjecture and the homotopy group of a closed, orien-
table 2-manifold. J. Australian Math. Soc. 17, 214—221. 1.4.
[1975] Braids, Links and Mapping Class Groups. Princeton University
Press. Princeton, N. J. (Annals of Math. Studies, № 82). I. 6.A, D,
II. 10.
Блюменталь (Blumenthal O.)
[1903, 1904] Ober Modulfunctionen von mehreren Veranderlichen. Math.
Annal. 56, 509—547; 58, 497—527.
Боненбласт (Bohnenblust F.)
[1947] The algebraic braid group. Annals of Math. B) 48, 127—136. II. 10.
Бой (Boy W.)
[1903] Uber die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Fla-
chen. Math. Annal. 57, 151—184. (Изложение диссертации с таким
же названием.) I. 8.
Браунер (Brauner K-)
[1928] Zur Geometrie der Funktionen zweier komplexer Veranderlicher,
Abh. Math. Seminar Hamburg Univ. 6, 1—55. I. 4.
Бриттон (Britton J. L.)
[1963] The word problem. Annals of Math. 77, 16—32. II. 4.
Буи (Boone W. W.)
[1954—1957] Certain simple, unsolvable problems of group theory I, II,
III, IV, V, VI. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 57, 231—237,
492—497 A954), 58, 252—256, 571—577 A955), 60, 22—27, 227—232
A957). 11.11.
Бун, Хигман (Boone W. W., Higman G.)
[1974] An algebraic characterization of the unsolvability of the word
problem. J. Australian Math. Soc. 18, 41—53. 11.11.
Бурау (Burau W.)
[1932] Ober Zopfinvarianten. Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 9, 117—
124. II. 10.

222 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1934] Kennzeichnung der Schlauchverkettungen. Abh. Math. Sem. Ham-
Hamburg. Univ. 10, 285—297. II. 10.
[1935] Ober Verkettungsgruppen. Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 11,
171—178. II. 10.
Бурбаки (Bourbaki N.)
[1968] Groupes et Algebres de Lie. Chaps. 4, 5, 6, Hermann, Paris. [Имеет-
[Имеется перевод: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. 4—6. — М.:
Мир, 1970.] II. 10, 14.
Бьянки (Bianchi L.)
[1892] Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a
corpi quadratici imaginari. Math. Annal. 40, 332—421. 1.3, 6.A, B.
[1893a] Sui gruppi di sostituzioni lineari. Math. Annal. 42, 30—57. I. 6.B.
[1893b] Sopra alcune classi di gruppi di sostituzioni lineari a coefficienti
complessi. Math. Annal. 43, 101—135. I. 6.B.
Бэр (Baer R.)
[1927] Kurventypen auf Flachen. J. reine u. angew. Math. 156, 231—246.
II. 4.
[1929] Die Abbildungstypen-Gruppe der orientierbaren geschlossenen Fla-
chen vom Geschlecht 2. J. reine u. angew. Math. 160, 1—25. II. 4.
[1934] Erweiterung von Gruppen und ihren Automorphismen. Math. Z. 38,
375—416. II. 9.
[1945] Representations of groups as quotient groups I, II, III. Trans. Ame-
American Math. Soc. 58, 295—347, 348—389, 390—419. II. 5, 10.
[1949] Groups with descending chain conditions for normal subgroups.
Duke Math. J. 16, 1—22. II. 10.
[1952] Linear Algebra and Projective Geometry. Academic Press, New-
York. Имеется перевод: Бэр Р. Линейная алгебра н проективная
геометрия. — М.: ИЛ, 1955.
Бэр, Леви (Baer R., Levi F.)
[1936] Freie Produkte und ihre Untergruppen. Сотр. Math. 3, 391—398.
II. 4.
Вагнер (Wagner W.)
[1937] Uber die Grundlagen der Geometrie und allgemeine Zahlsysteme.
Math. Annal. 113, 528—567. II. 8.
Вайсснер (Weissner L.)
[1935] Abstract theory of inversion of finite series. Trans. American Math.
Soc. 38, 474—484. II. 3.
Вальдхаузен (Waldhausen W.)
[1968] The word problem in fundamental groups of sufficiently large irre-
irreducible 3-manifold. Annals of Math. 88, 272—280. II. 10.
Вальдингер (Waldinger H.)
[1965] On the subgroups of the Picard group. Proc. American Math. Soc.
16, 1373—1378. I. 6.B.
ван дер Варден см. Леви
Вебер (Weber H.)
[1894, 1896] Lehrbuch der Algebra, Vol. 1, 2, Vieweg & Sohn. Braunsch-
Braunschweig (в 3-х томах). 1.8, П. 4.
[1899] Lehrbuch der Algebra, 2 Vols. Vieweg & Sohn, Braunschweig.
11.14.
Вефер (Wever F.)
[1950] Uber Regeln in Guppen. Math. Annal. 122, № 4, 334—339. 11.7,8
Вейль (Weyl H.)
[1939] The Classical Groups. Princeton University Press and Oxford Uni-
University press. [Имеется перевод: Вейль Г. Классические группы,
Их инварианты н представления. — М.: ИЛ, 1947.] 1.6.
Верфриц (Wehrfritz В. A. F.)
[1973] Infinite Linear Groups. Ergebnisse der Mathematik 76, Springer-
Verlag, New York —Heidelberg —Berlin. I. 6.E, II. 9.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 223
Вессьо (Vessiot E.)
[1892] Sur 1'integration des equations differentielles lineaires Ann de 1'Ecole
Normale C), 9, 197—280. (These, Paris. Gauthier-Villars et Fits)
1.6.E. ';
Виртингер (Wirtinger W.)
[1905] Ober die Verzweigungen bei Funktionen von zwei Veranderlichen.
Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker Vereinigung 14, 517.
Публикация состоит только из названия доклада на заседании
Математического общества. I. 4, П. 3.
Вильсон (Wilson J. S.)
[1971] Groups with every proper quotient group finite. Proc. Cambridge
Philos Soc. 69, 373—391. I. 6.B.
Витт (Witt E.)
[1936] Bemerkungen zum Beweis der Hauptidealsatzes von S. Iyanaga.
Abh. Math. Seminar Hamburg. Univ. 11, 221. II. 6.
[1937] Treue Darstellung Liescher Ringe. J. reine u. angew. Math. 177,
152—160. II. 7.
Воган-Ли (Vaughan-Lee M. R.)
[1970] Uncountably many varieties of groups. Bull. London Math. Soc. 2,
280—286. II. 8.
Вуссинг (Wussing H.)
[1969] Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffs. V. E. B. Deutscher
Verlag der Wissenschaften, Berlin. [Готовится перевод на англ. яз.
в изд-ве MIT-Press, Cambridge, MA.] I. 2, 11.
Гамильтон (Hamilton W. R.)
[1856a] Account of the isocian calculus. Proc. Royal Irish Acad. 6, 415—
416. (T. 6 этого издания выходил в 1853—1858 гг. Доклад Га-
Гамильтона был прочитан 10 ноября 1856 г.) Переиздание: Mathe-
Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton, vol. 3, № 54,
p. 609. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1967. I. 8.
[1856b] Memorandum respecting a new system of roots of unity. Phil. Mag.
12, 496. Перепечатано в: The Mathematical Papers of Sir William
Rowan Hamilton, Vol. 3 (Algebra), № 55, p. 610. Cambridge Uni-
University Press, Cambridge, England, 1967. 1.8.
Гашюц (Gaschutz W.)
[1956] Erzeugendenzahl und Existenz von p-Faktorgruppen. Archiv. d.
Math. 7, 91—93. I.6.F.
Гёльдер (Holder O.)
[1895] Bildung zusammengesetzter Gruppen. Math. Annal. 46, 321—422.
II. 9.
Герстенхабер, Ротхауз (Gerstenhaber M., Rothaus O. S.)
[1962] The solution of sets of equations in groups. Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A. 48, 1531—1533. II. 5, 11.
Гизекииг (Gieseking H.)
[1912] Analytische Untersuchungen iiber topologische Gruppen, Ph. D. the-
thesis. I. 5, 6.B.
Гильберт (Hilbert D.)
[1890] Ober die Theorie der algebraischen Formen. Math. Annal. 36,473—
543. Перепечатано в: David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen,
Vol. 2, 199—257, Julius Springer, Berlin, 1933. II. 8.
[1897] Die Theorie der algebraischen Zahlkorper. Jahresbericht der deuts-
deutschen Mathematiker-Vereinigung 6. Перепечатано в: David Hilbert,
Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Julius Springer, Berlin, 1932.
1.8, II. 8.
[1900] См.: Mathematical developments arising from Hilbert's problems.
Proc. of Symposium in Pure Mathematics 28, ed. F. Browder, Ame-
American Math. Soc, Providence, RI, 1978. 1.4, 7.
[1901, 1930] Grundlagen der Geometrie, Teubner, Leipzig, Berlin. Седьмое
издание A930 г.) значительно расширено по сравнению с преды-

224 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
дущими. [Имеется перевод: Гильберт Д. Основания геометрии. —
М. —Л.: ОГИЗ, 1948.] П. 8.
[1932] David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1, Zahlentheorie,
Julius Springer, Berlin. II. 6.
Головин О. Н.
[1950] Нильпотентные произведения групп. — Матем. сб., т. 27F9),
с. 427—454. II. 4.
Голод Е. С, Шафаревич И. Р.
[1964] О башне полей классов. — Изв. АН СССР, сер. матем, 28, 261—
__ 272. II. 6.
Гордаи см. Клебш.
Граве Д. А.
[1908] Теория конечных групп. — Киев. 1.9.
Гриндлингер М. Д.
[1960а] Dehn's algorithm for the word problem. Comm. Pure and Appl.
Math. 13, 67—83. 1.4, 9, 11.14.
[1960b] Dehn's algorithm for the conjugacy and word problems, with app-
applications. Comm. Pure and Appl. Math. 13, 641—677. I. 4, 5,9, II. 14.
Гроссман (Grossman E. K..)
[1974] On the residual finiteness of certain mapping class groups. J. Lon-
London Math. Soc. 9, 160—164. II. 2.
Грушко И. А.
[1940] О базисах свободного произведения групп. — Матем. сб., т. 8E0),
№ 1, с. 169—182. II. 4.
Грюн (Grun О.)
[1937] Ober eine Faktorgruppe freier Gruppen I. Deutsche Math. 1, 772—
782. II. 7.
[1940] Zusammenhang zwischen Potenzbildung und Kommutatorbildung.
J. f. d. reine u. angew. Math. 182, 158—177. II. 7.
Грюнберг (Grunberg K- W.)
[1957] Residual properties of finite soluble groups. Proc. London. Math.
Society C) 7, 29—62. I.6.A, II. 9.
Гупта К-, Гупта H. (Gupta К. G., Gupta N. D.)
[1978] Generalized Magnus embeddings and some applications. Math. Z.
160, 75—87. II. 6.
Гурвиц (Hurwitz A.)
[1891] Ober Riemannsche Flachen mit gegebenen Verzweigungspunkten
(Part II, pp. 23—34), Math. Annal. 39, 1—61. Перепечатано в:
Mathematische Werke von Adolf Hurwitz, Vol. 1, Birkhauser Ver-
lag, Basel, 1932. I. 6.D.
[1895] Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlkor-
per. Nachrichten d. K. Gesellschaft d. Wissensch. zu Gottingen.
Math. Phys. Kl, 1895, 332—356. Перепечатано в: Mathematische
Werke von Adolf Hurwitz, Vol. 1, Birkhauser Verlag, Basel, 1932.
I. 6.A, D.
[1905] Zur Theorie der automorphen Funktionen von beliebig vielen Veran-
derlichen. Math. Annal. 61, 325—368. Перепечатано в: Mathema-
Mathematische Werke von Adolf Hurwitz, Vol. 1, Birkhauser Verlag, Basel,
1932. I. 6.A.
Гуревич (Hurewicz W.)
[1931] Zu einer Arbeit von O. Schreier. Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ.
8, 307—314. II. 3.
Дайер, Скотт П. (Dyer J. L., Scott P.)
[1975] Periodic automorphisms of free groups. Comm. Algebra 3, 195—201.
II. 2.
Дайер, Форманек (Dyer J. L., Formanek E.)
[1975] The automorphism group of a free group is complete. J. London
Math. Soc. B) 11, 181—190. II. 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 225
ван Данциг Д. (Dantzig D. van)
[1932] Zur topologischen Algebra I. Komplettierungstheorie, Math. Annal.
107, 587—629. Н.Э.
Джекобсон (Jacobson N.)
[1937] Abstract derivation and Lie algebras. Trans. American Math. Soc.
42, 206—224. II. 7.
[1961] Lie Algebras. Interscience Wiley. New York —London,
фон Дик (Dyck W. von)
[1882] Gruppentheoretische Studien. Math. Annal. 20, 1—44. 1.2, 6.B, 7,
II. 5, 7, 11.
[1883] Gruppentheoretische Studien II. Math. Annal. 22, 70—108. 1.2, 8.
Диксон (Dickson L. E.)
[1901a] Linear groups with an exposition of the Galois field theory. Teub-
ner, Leipzig. Переиздание: Dover, New York, 1958. 1.6.A, E.
[1901b] Theory of linear groups in an arbitrary field. Trans. American
Math. Soc. 2, 383—391. I. 6.E, II. 7, 11.
[1905] A new system of simple groups. Math. Annal. 60, 137—150. I. 6.E,
II. 7.
Дицман А. П., Курош А. Г., Узкое А. И.
[1938] Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen. — Матем. сб.,
т. 13D5), с. 179—185. П. 4.
Дриллнк (Drillick A.)
[1971] The Picard Group. Ph. D. Thesis, New York University, New York.
I.6.B.
Дэн (Dehn M.)
[1901] Uber den Rauminhalt. Math. Annal. 55, 465—478. I. 4.
,?1910] Ober die Topologie des dreidimensionalen Raumes. Math. Annal.
69, 137—168. 1.4, 5.
[1911] Ober unendliche diskontinuierliche Gruppen. Math. Annal. 71,
116—144. 1.4, 5, II. 3.
[1912] Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flachen. Math. Annal.
72, 413—421. 1.4, 7.
[1914] Die beiden Kleeblattschlingen. Math. Annal. 75, 1—12. 1.4.5.
[1928] Uber die geistige Eigenart des Mathematikers. Frankfurter. Univer-
sitatsreden № 27. Universitatsdruckerei Werner und Winter, Frank-
Frankfurt am Main. Предисловие и I. 5.
[1938] Die Gruppe der Abbildungsklassen. Acta Math. 69, 135—206. II. 10.
Дэн, см. Шёнфлис
Дэн, Хегор (Dehn M., Heegaard P.)
[1907] Analysis Situs, Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften
3 (III AB3), pp. 153—220. Teubner, Leipzig — Berlin. 1.4, 7, 8.
Жордан (Jordan C.)
[1870] Traite des substitutiones et des equations algebriques. Paris. I. 6.F,
7, 8.
[1874] Sur une application de la theorie des substitutions aux equations
differentielles lineaires. Comptes Rendues de l'Academie de France
78, 741—743. 11.7.
Зейферт (Seifert H.)
[1934] Uber das Geschlecht von Knoten. Math. Annal. 110, 571—592. II. 6.
Зейферт, Трельфалль (Seifert H., Threlfall W.)
[1934] Lehrbuch der Topologie. Teubner, Leipzig. Переиздание: Chelsea,
New York, 1947. [Имеется перевод: Зейферт X., Трельфалль В. То-
Топология. М. — Л.: ГОНТИ, 1938.] II. 9, 10.
Зигель (Siegel С. L.)
[1935] Ober die analytische Theorie der quadratischen Formen. Annals of
Math. 36, 527—606. Перепечатано в: Carl Ludwig Siegel. Gesam-
melte Abhandlungen, vol. 1. Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg—
New York, 1966. I. 6.A.

226 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1939] Einfiihrung in die Theorie der Modulfunktionen я-ten Grades. Math.
Annal. 116, 617—657. Перепечатано в: Carl Ludwig Siegel. Ge-
sammelte Abhandlungen, vol. 2. Springer-Verlag, Berlin — Heidel-
Heidelberg—New York, 1966. I. 6.A.
[1943a] Symplectic geometry. American J. Math. 65, 1—86. Переиздано в
виде книги: Academic Press, New York, 1964. Перепечатано в:
Carl Ludwig Siegel. Gesammelte Abhandlungen, vol. 2. Springer-
Verlag, Berlin —Heidelberg—New York, 1966. I. 6.A.
[1943b] Discontinuous groups. Annals of Math. 44, 674—689. Перепечатано
в: Carl Ludwig Siegel. Gesammelte Abhandlungen, vol. 2. Springer-
Verlag, Berlin —Heidelberg —New York, 1966. I. 6.A.
[1965] Zur Geschichte des Frankfurter Mathematischen Seminars, Victorio
Kloosterman, Frankfurt am Main. Перепечатано в: Carl Ludwig
Siegel. Gesammelte Abhandlungen, Vol. 3, pp. 462—474. Springer-
Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1966. Английский пере-
перевод: Math. Intelligencer 1, 223—230 A979). 1.9.
Истон (Easton B. S.)
[1902] The Constructive Development of Group Theory (with bibliography),
Boston. I. 6.F.
Ито (Ito N.)
,[1950] Note on p-groups. Nagoya Math. J. 1, 113—116. II. 6.
Иянага С. (Iyanaga S.)
[1934] Zum Beweis des Hauptidealsatzes. Abh. Math. Sem. Hamburg.
Univ. 10, 349—357. II. 6.
Ионссон, см. Федерер.
Калужнин Л. А., Краснер (Kaloujnine L., Krasner M.)
[1948, 1951] Le produit complet des groupes de permutations et le probleme
d'extension des groupes. Comptes Rendues Acad. Sci. Paris 227,
806—808 A948). Produit complet des groupes de permutations et
le probleme d'extensions des groupes III. Acta Sci. Math. Szeged.
14, 69—82 A951). I. 6.F, II. 8.
Камм (Camm Ruth)
[1953] Simple free products. J. London Math. Soc. 28, 66—76. 11.11.
ван Кампен (van Kampen E. R.)
[1933a] On the connection between the fundamental groups of some rela-
related spaces. American J. Math. 15, 261—267. II. 3, 9, 13.
[1933b] On some lemmas in the theory of groups. American J. Math. 55,
268—273. II. 3, 4, 9, 13.
Кантор (Cantor G.)
[1895] Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. Art. I.
Math. Annal. 46, 481—512. 1.2.
Капланский (Kaplansky I.)
[1948] Rings with a polynomial identity. Bull. American Math. Soc. 54,
575—580. II. 8.
Kappac, Магнус, Солитэр (Karrass A., Magnus W., Solitar D.)
[1960] Elements of finite order in groups with a single defining relation.
Comm. Pure and Appl. Math. 13, 57—66. II. 5.
Kappac см. Магнус, Хор
Картан A. (Cartan Henri)
[1980] Nicolas Bourbaki and contemporary mathematics. The Mathemati-
Mathematical Intelligencer 2, 175—180. II. 14.
Картан Э. (Cartan E.)
[1936] Sur les domaines bornees homogenes de l'espace de m variables
complexes. Abh. Math. Seminar Hansischen Univ. 11, 116—162.
I. 6.A.
Кемпбелл (Campbell J. E.)
[1898] On a law of combination of operators. Proc. London Math. Soc.
29, 14—32. II. 7.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 227
Кербер (Kerber A.)
[1971] Representation of permutation groups I. Lecture Notes in Mathema-
Mathematics, Vol. 240, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York.
I. 6. F.
Кервэр (Kervaire M.)
[1965] Les neuds de dimensions superieurs. Bull. Soc. Math. France 93,
225—271. I. 6.A, II. 10.
Клебш, Гордан (Clebsch A., Gordan P.)
[1866] Theorie der Abelschen Functionen (pp. 305—306). Teubner, Leip-
Leipzig. I. 6.A, 7.
Клейн (Klein F.)
[1872a] Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische Forschun-
gen, Erlangen. Перепечатано в: Felix Klein, Gesammelte Mathe-
matische Abhandlungen, Vol. 1, 460—497, Julius Springer, Berlin,
1921. Эта работа известна в литературе как «Эрлангенская про-
программа». I. 7.
[1872b] Uber Liniengeometrie und metrische Geometrie. Math. Annal. 5T
257—277. 1.7.
[1880] Zur Theorie der elliptischen Modulfunctionen. Math. Annal. 17,
62—70. I. 6.B.
[1883] Neue Beitrage zur Riemanschen Functionentheorie. Math. Annal. 21,
141—218 (esp. pp. 200—202). 1.3, 7, II. 4.
[1926] Vorlesungen fiber hohere Geometrie, 3rd Edition, ed. W. Blaschke,
Grundlehren der math. Wissenschaften 22, Springer-Verlag, Berlin.
[Имеется перевод: Клейн Ф. Введение в высшую геометрию. —•
М—Л.: ГТТИ, 1939.] II. 4.
Клейн, фрике (Klein F., Fricke R.)
[1890, 1892] Vorlesungen fiber die Theorie der elliptischen Modulfunctionen,
2 Volumes. Teubner, Leipzig. Перепечатано в: Johnson Corporation
(Academic Press), 1966, New York. I. 6.B.
Клейн см. также Фрике.
Клини (Kleene S. С.)
[1981] The theory of recursive functions approaching its centennial. Bull.
Amer. Math. Soc, New Ser. 5, 43—61. II. 11.
Ковач, Ньюман M. (Kovacs L, Newman M.)
[1973] Hanna Neumann's problems on varieties of groups. Proc. 2nd In-
Intern. Conference on the Theory of Groups. Lecture Notes in Mathe-
Mathematics, Vol. 372, 417—431. ed. M. F. Newman, Springer-Verlag,
Berlin —Heidelberg —New York. II. 8.
Коксетер, Мозер (Coxeter H. S. M., Moser W. O.)
[1965, 1972] Generators and Relations for Discrete Groups. 2nd ed., Ergeb-
nisse der Mathematik 14, Springer-Verlag, New York—Berlin —
Heidelberg, 3rd ed., 1972. [Имеется перевод: Коксетер Г. С. М.,
Мозер У. Порождающие элементы и определяющие соотношения
дискретных групп. — М.: Наука, 1980.] 1.2, 5, 11.10, 14.
Коксетер см. Тодд.
Кон (Cohn P. M.)
[1968] A presentation for SL2 for euclidean imaginary number fields. Mat-
hematica 15, 156—163. I. 6.B.
Кострикин А. И.
[1957] О связи между периодическими группами и кольцами Ли.-—Изв.
АН СССР, сер. матем., т. 21, № 3, с. 289—310. II. 7.
[1959] О проблеме Бернсайда. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 23, с. 3—
34, № 1. П. 7.
Кох (Koch HJ
[1969] Zum Satz von Golod — Schafarewitsch. Math Nachr. 42, 321—333.
II. 6.

228 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Кра см. Берс.
Краснер см. Калужнин Л. А.
Крулль (Krull W.)
[1928] Galoische Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen.
Math. Annal. 100, 687—698. II. 9.
Кроуэлл, Фокс (Crowell R. H., Fox R. H.)
[1963] Introduction to Knot Theory, Ginn, Boston. [Имеется перевод:
Введение в теорию узлов. — М.: Мир, 1967.] П. 3, 10.
Курош А. Г.
[1932] Zur Zerlegung unendlicher Gruppen. Math. Annal. 106, 107—113,
II. 4.
[1933] Ober freie Produkte von Gruppen. Math. Annal. 108, 26—36, II. 4.
f 1934] Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen.
Math. Annal. 109, 647—660. I. 6B, F, II. 4.
[1937] Zum Zerlegungsproblem der Theorie der freien Produkte. Матем.
сб., т. 2D4) : 5, с. 995—1001. П. 4.
[1939] Локально свободные группы. — ДАН СССР, т. 24. с. 99—101.
II. 10.
[1944, 1953] Теория групп. I изд. М, —Л.: ОГИЗ, 1944; II изд. М.:
ГОНТИ, 1953. 1.2, 11.4, 9.
[1955, 1956] The theory of groups. Vol. 1, vol. 2. Chelsea, N. Y. Перевод
на англ. язык. II изд. [1944, 1953]. П. 4.
[1962, 1973] Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1962 (I изд.), 1973
(II изд.) П. 4.
Курош А. Г. см. Дицман А. П.
Кэли (Cayley A.)
[1878а] On the theory of groups. American J. Math. 1, 50—52. Перепеча-
Перепечатано в: The Collected Papers of Arthur Cayley, Volume 10, 401—
403, Cambridge University Press, Cambridge, England, 1896. 1.7.
[1878b] On the theory of groups. Proc. London Math. Soc. 9, 126—133.
Перепечатано в: The Collected Papers of Arthur Cayley, volume
10, 324—330, Cambridge University Press, Cambridge, England,
1896. 1.5.
[1889] On the theory of groups. American J. Math. 11. 139—157. Перепеча-
Перепечатано в: The Collected Papers of Arthur Cayley, Volume 12, 639—
656, Cambridge University Press, Cambridge, England, 1897.
Лазар (Lazard M.)
[1954] Sur les groupes nilpotentes et les anneaux de Lie. Annales Sci.
L'Ecole Normale Superiure C) 71, 101—190. II. 7.
Ландау (Landau E.)
[1927] Vorlesungen iiber Zahlentheorie, 3 volumes, S. Hirzel, Leipzig.
11. 14.
Леви (Levi F. W.)
[1929] Geometrische Konfigurationen, S. Hirzel, Leipzig. II. 4.
[19301 Ober die Untergruppen der freien Gruppen. Math. Z. 32, 315—318.
11.2, 3.
[1933] Ober de Untergruppen der freien Gruppen II. Math. Z. 37, 90—97.
II. 7.
[1941] On the number of generators of a free product and a lemma of
Alexander Kurosch. J. Indian Math. Soc. (N. S.) 5, 149—155. II. 4.
[1942al Ordered groups. Proc. Indian Math. Akad. Sci. 16, 265—263. II. 6.
[1942b] Groups in which the commutator operation satisfies certain alge-
algebraic conditions. J. Indian Math. Soc. (N. S.) 6, 87—97. II. 7.
[1944] Notes on groups theory, IV—VI. J. Indian Math. Soc. (N. S.) 8,
78—91. II. 4.

Ч-ИПЧ^ЛЧ ЛП1ЕГЛ1& t*Dl 229
Левн, ван дер Варден (Levi F., Waerden В. L. van der)
[1933] Ober eine besondere Klasse von Gruppen. Abh. Math. Sem. Ham-
Hamburg Univ. 9, 154—158. II. 6.F.
Леви см. Бэр.
Левин (Levin F.)
[1968] Factor groups of the modular group. J. London Math. Soc. 43, № 2,
195—203. I. 6.B.
Лёви (Loewy A.)
[1908] Die Rationalitatsgruppe einer linearen homogenen Differentialglei-
chung. Math. Annal. 65, 129—160. I. 6.E.
[1910] Algebraische Gruppentheorie. pp. 168—249 in: E. Pascal. Reperto-
rium der hoheren Mathematik. Vol. 1. Analysis, ed. Paul Epstein,
2nd Ed., First part. Teubner, Leipzig, Berlin. 1.2, 8.
Лерон (Leron U.)
[1976] Trace identities and polynomial identities on «X« matrices.
J. Algebra 42, 369—377. I. 6.E.
Ли (Lie S.)
[1872] Uber Complexe, insbesondere Linien—und Kugelcomplexe, mit An-
wendungen auf die Theorie der partiellen Differentialgleichungen.
Math. Annal. 5, 145—256. 1.7.
[1888] Theorie der Transformationsgruppen, Vol. 1. Teubner, Leipzig. 1.7,
Ликориш (Lickorish W. B. R.)
[1964] A finite set of generators for the homotopy group of a 2-mani-
fold. Proc. Cambridge Philos. Soc. 60, 769—778. II. 10.
Линдон (Lyndon R.)
[1950] Cohomology theory of groups with a single defining relation. An-
Annals Math. B) 52, 650—665. II. 5.
Линдон, Ульман (Lyndon R. C., Ullman J. L.)
[1969] Groups generated by two parabolic linear fractional transforma-
transformations, Canadian J. Math. 21, 1388—1403. 1.3.
Линдон, Шупп (Lyndon R. C, Schupp P. E.)
[1977] Combinatorial Group Theory, Ergebnisse der Mathematik 89,
Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York. [Имеется пере-
перевод: Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.:
Мир, 1980.] 1.4, II. 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 14.
Линдон см. Хиггинс
Листинг (Listing J. В.)
[1848] Vorstudien zur Topologie. Goettingen. 1.4.
Магнус (Magnus W.)
[1930] Ober discontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation
(Der Freiheitssatz). J. f. d. reine u. angew. Math. 163, 141—165.
II. 5.
[1931] Untersuchungen uber einige unendliche diskontinuierliche Gruppen.
Math. Annal. 105, 52—74. 1.5, II. 5.
[1932] Das Identitatsproblem fur Gruppen mit einer definierenden Rela-
Relation. Math. Annal. 106, 295—307. II. 5.
[1934a] Uber n-dimensionale Gittertransformationen. Acta Math. 64, 353—
367. I. 6.A, II. 2, 14.
[1934b] Uber den Bewies des Hauptidealsatzes. J. eine u. angew. Math.
170, 235—240. II. 6.
[1934c] Uber Automorphismen von Fundamentalgruppen berandeter Flachen.
Math. Annal. 109, 617—646. II. 10.
[1935] Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen
Ring. Math. Annal. Ill, 259—280. II. 2, 5, 6, 7.
[1937a] Neuere Ergebnisse uber auflosbare Gruppen. Jahresber. Deutsche
Math. Ver. 47, 69—78. II. 7.
[1937b] Uber Beziehungen zwischen hoheren Kommutatoren. J. f. d. reine
u. angew. Math. 177, 105—115. II. 7.

230 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1939а] Allgemeine Gruppentheorie. Enzyklopadie der mathematischen Wis-
senschaften I, 2nd edition, Issue 4, 1, Teubner, Leipzig. I. 11, II. 14.
[1939b] On a theorem of Marshall Hall. Annals of Math. 40, 764—768.
II. 6.
[1939c] Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen gegebener Grup-
pen. Monatschefte f. Math. u. Physik 47, 307—313. 11.5,7.
[1940] Uber Gruppen und zugeordnete Liesche Ringe. J. f. d. reine u. an-
gew. Math. 182, 142—149. II. 7.
[1950] A connection between the Baker — Hausdorff formula and a prob-
problem of Burnside. Annals of Math. 52, 111—126; 57, 606 A953).
I.6.E, F, II. 7.
[1973] Rational representations of Fuchsian groups and nonparabolic sub-
subgroups of the modular group. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen II.
Math. Phys. Kl, 1973, № 9, 179—189. II. 3.
[1974a] Noneuclidean Tessellations and Their Groups. Academic Press, New
York. 1.3, 6. В, С, II. 3, 4, 10.
[1974b] Braid Groups: A Survey. Proc. 2nd Intern. Conference on the Theo-
Theory of Groups. Lecture Notes in Mathematics, 463—487. Springer-
Verlag, Berlin — Heidelberg — New York. I. 6.D, 11.10.
[1975] Two-generator subgroups of RSL B, C). Nachr. Akad. Wiss. Got.
tingen II, Math. Phys. Kl, 1975, № 7, 81—94. II. 5.
[19781 Max Dehn. The Mathematical Intelligencer 1, 132—142. 1.9.
[1980] Rings of Fricke characters and automorphism groups of free
groups. Math. Z. 170, 91 — 103. II. 2.
[1981] The uses of 2 by 2 matrices in combinatorial group theory. A sur-
survey, Resultate der Mathematik 4, 171—192.
Магнус, Каррас, Солитэр (Magnus W., Karrass A., Solitar D.)
[1966] Combinatorial Group Theory. Wiley, New York, 2nd Ed. Dover,
New York, 1976. [Имеется перевод: Магнус В., Каррас А., Соли-
Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. — М.: Наука, 1974.] I. 2, 6. Е..
F, II. 3, 4, 7.
Магнус, Муфанг (Magnus W., Moufang Ruth)
[1954] Max Dehn zum Gedachtnis. Math. Annal. 127, 215—227. 1.9.
Магнус, Треткофф (Magnus W., Tretkoff Carol)
[1980] Representations of automorphism groups of free groups. Word'
Problems II, ed. S. I. Adian, W.W. Boone, and G. Higman, 255—
259. North Holland, Amsterdam—New York—Oxford. II. 2.
Магнус см. Каррас.
Маканин Г. С. см. Адян С. И.
Макбет (Macbeath A. M.)
[1964] Groups of homeomorphisms of a simply connected space. Annals-
Math. B) 79, 473—488. I.6.B.
Макинтайр (Macintyre A.)
[1972] On algebraically closed groups. Annals of Math. 96, 53—97. II. 11.
Маккарти (McCarthy D.)
[1970] Infinite groups whose proper quotient groups are finite. Comm.
Pure and Appl. Math. 23, 767—790. I. 6.A.
Маккул (McCool J.)
[1974] A presentation of the automorphism group of a free group of finite
rank. J. London Math. Soc. 8, 259—266. II. 2, 14.
[1975a] On Nielsen's presentation of the automorphism group of a free
group. J. London Math. Soc. 10, 265—270. II. 2, 14.
[1975b] Some finitely presented subgroups of the automorphism group of a
free group. J. Algebra 35, 205—213. II. 2, 14.
Маклейн (MacLane S.)
[1963] Homology. Springer-Verlag, Berlin — G6ttingen — Heidelberg. [Имеет-
[Имеется перевод: Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.] I. 6.B, II. 9.
Маклейн см. Эйленберг.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 231
Мальцев А. И.
[1940] О точных представлениях бесконечных групп матриц. — Матем.
сб., т. 8, с. 405—422. I. 6E, II. 5.
[1949] Нильпотентные группы без кручения. — Изв. АН СССР, сер. ма-
матем., т. 13, с. 201—212. II. 7, 10.
[1951] О некоторых классах бесконечных разрешимых групп. — Матем.
сб., т. 28, с. 567—588. II. 6.
Марков А. А.
[1945] Основы алгебраической теории кос. — Труды МИАН им. В. А. Стек-
лова, т. 16. П. 10.
Маскит (Maskit В.)
[1965] On Klein's combination theorem. Trans. Amer. Math. Soc. 120.
499—509. I. 3.
[1971] On Klein's combination theorem III. Annals of Math. Studies 66,
297—316. Princeton University Press, Princeton, N. J. 1.3.
Масси (Massey W. S.)
[1967] Algebraic Topology: An Introduction. Harcourt, Brace and World,
New York. [Имеется перевод в кн.: Масси У., Столлиигс Дж. Ал-
Алгебраическая топология. Введение. — М.: Мир, 1977.] II. 4.
Матиясевич Ю. В.
[1971] Диофантова представимость перечислимых предикатов. — Изв. АН
СССР, сер. матем., т. 35, № 1, с. 3—30. II. 11.
Машке (Maschke H.)
[1896] The representation of finite groups, especially of the rotation groups
of the regular bodies in three- and four-dimensional space by Cay-
ley's color diagrams. American J. Math. 18, 156—194. 1.5.
Мейер-Вундерли (Mcier-Wunderli H.)
[1950] Uber endliche p-Gruppen, deren Elemente der Gleichung x" = 1 ge-
niigen. Comm. Math. Helvetici 24, 18—45. I. 6.F.
Мендельсон см. Ри
Меннике (Mennicke J. L.)
[1965] Finite factor groups of the unimodular group. Annals of Math. 31,
31—37. I. 6.B, II. 2.
[1980] Editor. Burnside groups. Lecture Notes in Mathematics 806, Pro-
Proceedings Bielefeld, 1977, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg —
New York. II. 7.
Миллер III (Miller С F. Ill)
[1971] On group-theoretic decision problems and their classification. Prin-
Princeton University Press. I. 11.
Миллер Дж. (Miller G. A.)
[1900] Report on the groups of infinite order. Bull. American Math. Soc.
7, 121—130. Перепечатано в: Collected Works of George Abram
Miller, № 64, Vol. 2, pp. 19—26. University of Illinois, Urbana, IL.
1.8.
[19351 History of the theory of groups to 1900. The Collected Works of
George Abram Miller, Vol. 1, № 62, pp. 427—467. University of
Illinois, Urbana, IL. 1.2, 8.
[1938] Note on the history of group theory during the period covered by
this volume. The Collected Works of George Abram Miller, Vol. 2,
№ 63, pp. 1 — 18. University of Illinois, Urbana, IL. 1.8.
[1946—19551 The Collected Works of George Abram Miller, Vols. 3 and
4. The University of Illinois, Urbana, IL. I. 8.
Милнор см. Басе
Минковский (Minkowski H.)
[1887] Zur Theorie der positiven quadratischen Formen. J.f. d. reine u.
angew. Math. 101, 196—202. Перепечатано в: Gesammelte Abhand-
lungen von Hermann Minkowski, Chelsea, New York, 1967. I. 6.A,
II. 2.

232 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1905] Diskontinuitatsbereich fur arithmetische Aquivalenz. J. reine u. an-
gew. Math. 129, 220—247. Перепечатано в: Gesammelte Abhand-
lungen von Hermann Minkowski, Clelsea, New York, 1967. I.6.A, 8,
II. 2.
[1973] Hermann Minkowski, Briefe an David Hilbert, eds. L. Ruedenberg
and H. Zassenhaus, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg—New
York. 1.8.
Михайлова К. А.
[1958] Проблема вхождения для прямых произведений групп. — ДАН,
т. 119, № 6, с. 1103—1105. П. 5.
Муфанг (Moufang Ruth)
[1933] Alternativkorper und der Satz vom vollstandigen Vierseit (D9).
Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 9, 207—222. II. 6.
[1934] Zur Struktur von Alternativkorper. Math. Annal. 110, 416—430.
II. 6.
[1937] Einige Untersuchungen iiber geordnete Schiefkorper, J. reine u. an-
gew. Math. 176, 203—223. II. 6.
Мозер см. Коксетер.
Муфанг, см. Магнус
Нейман Б. (Neumann В. Н.)
[1932] Die Automorphismengruppen der freien Gruppen. Math. Annal. 107,
367—386; см. также Zentralblatt f. Math. 5, 244 A933). 11.14.
[1933] Uber ein gruppentheoretisch arithmetisches Problems. S.-B. Preus-
sische Akademie d. Wiss. Phys.-Math. Kl- (Обзор этих результа-
результатов есть в книге Магнуса [1976а].) I. 6.B, II. 3.
[1937а] Identical relations in groups I. Math Annal. 114, 506—525. II. 8.
[1937b] Some remarks on infinite groups. J. London Math. Soc. 12, 120—
127. 1.7, II. 4, 11.
[1943a] Adjunction of elements to groups. J. London Math. Soc. 18, 4—11.
II. 5, 11.
[1943b] On the number of generators of a free products. J. London Math.
Soc. 18, 12—20. II. 4.
[1949a] On ordered groups. American J. Math. 71, 1—18. II. 6.
[1949b] On ordered division rings. Trans. American Math. Soc. 66, 202—
252. II. 6.
[1950] A two-generator group isomorphic to a proper factor group. J. Lon-
London Math. Soc. 25, 247—248. II. 5.
[1954] An essay on free products with amalgamations. Phil. Trans. Royal
Soc. London 246, № 919, 503—554. (June 15, 1954). II. 4.
[1956] Ascending derived series. Compositio Math. 13, 47—64. II. 8.
[1973] The isomorphism problem for algebraically closed groups. In: Word
Problems, North Holland. Amsterdam, pp. 553—562. 11.11.
Нейман Б. см. Хигман
Нейман X. (Neumann H.)
[1967] Varietes of Groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzge-
biete 37, Springer-Verlag, Berlin—Heidelberg—New York. [Имеет-
[Имеется перевод: Нейман X. Многообразия групп. — М.: Мнр, 1969.J
I.6.E, II. 8.
Нейман X. см. Хигман.
Нётер Э. (Noether E.)
[1918] Invariante Variationsprobleme. Nachr. К. Ges. d. Wiss. zu Gottin-
gen. Math. Phys. Kl, 1—23. I. 6.E.
[1921] Idealtheorie in Ringbereichen. Math. Annal. 83, 24—66. II. 6.
Ннльсен (Nielsen J.)
[1913] Kurvennetze auf Flachen. Ph. D. Thesis, University of Kiel (Ger-
(Germany). I. 6.D, 7, II. 2, 10.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 233
[1917] Die Isomorphismengruppe der allgemeinen unendlichen Gruppe mit
zwei Erzeugenden. Math. Annal. 78, 385—397. II. 2.
[1918] Uber die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation. Math.
Annal. 79, 269—272. II. 2.
[1921] Om Regning med ikke kommutative Faktorer og dens Anvendelse i
Gruppeteorien. Matematisk Tidsskrift B, 77—94. Английский пер.;
Math. Scientist 6, 73—85 A981). I. 6.D, 11,2,5,7.
[1924a] Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen. Math. Annal. 91,
169—209. I. 6.A, II. 2, 14.
[1924b] Die Gruppe der dreidimensionalen Gittertransformationen. Det. Kgl.
Danske Videnskabernes Selskab. Math.-Fys. Meddelelser. 5, 12, 1—
29. I. 6.A, II. 2.
[1927—1931] Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseiti-
gen Flachen I, II, III. Acta Math. 50, 189—358; 53, 1—76; 58, 87—
167. II. 10.
[1955] A basis for subgroups of free groups. Math. Scand. 3, 31—43. II. 2.
Новиков П. С.
[1955] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов
в теории групп. — Труды МИАН им. В. А. Стеклова, № 44. II. 2,
Носков Г. А., Ремесленников В. Н., Романьков В. А.
[1979*] Бесконечные группы. — Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Ал-
Алгебра. Топология. Геометрия, т. 17, с. 65—157.
Ньювирт (Neuwirth L. Р.)
[1965] Knot Groups. Annals of Mathematics Studies 56, Princeton Univer-
University Press, Princeton. N. J. II. 10.
Ньюман Б. (Newman В. В.)
[1968] Some results on one-relator groups. Bull. American Math. Soc. 74,
568—571. II. 5.
Ньюман М. см. Ковач
Ольшанский А. Ю.
[1970] О проблеме конечного базиса для тождеств в группах. — Изв.
АН СССР, сер. матем., т. 34, № 2, с. 376—384. П. 8.
Оутс, Пауэлл (Oates Sheila, Powell M. В.)
[1964] Identical relations in finite groups. J. Algebra 1, 11—39. II. 8.
Пайффер (Peiffer Renee)
[1949] Uber Identitaten zwischen Relationen. Math. Annal. 121, 67—99.
II. 5.
Папакирьякопулос (Papakyriakopuolos Ch. D.)
[1957] On Dehn's lemma and the asphericity of knots. Annals of Math.
B) 66, 1—26. I. 4.
Пауэлл, см. Оутс
Пик (Pick G.)
[1886] uber gewisse ganzzahlige lineare Substitutionen welche sich nicht
durch algebraische Congruenzen erklaren lassen. Math. Annal. 28,
119—124. I.6.B.
Пикар (Picard E.)
[1896] Traite d'Analyse, Vol. 3, Gauthier-Villars, Paris. I. 6.B, E.
Пикел (Pickel P. F.)
[1971] Finitely generated nilpotent groups with isomorphic finite quotients.
Trans. American Math. Soc. 160, 327—341. I. 6.E.
Пойя (Polya G.)
[1937] Kombinatorische Anzahlbestimmung fur Gruppen, Graphen und
chemische Verbindungen. Acta Math. 68, 145—254. II. 8.
Понтрягин Л. С.
[1934] The theory of topological commutative groups. Annals of Math.
B) 35, 361—388. [Имеется перевод: Понтрягин Л. С. Теория то-
топологических коммутативных групп. — УМН, т. 2, 1936, с. 177—
195.] П. 6, 9.

234 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1938] Непрерывные группы. — М.-Л.: Огиз. II. 9.
Пост (Post E. L.)
[1944] Recursively enumerabl sets of positive integers and their decision
problems. Bull. American Math. Soc. 50, 284—316. II. 11.
Прайд (Pride S. J.)
[1977a] The two-generator subgroups of one-relator groups with torsion.
Trans. American Math. Soc. 234, 483—496. II. 5.
[1977b] The isomorphism problem for two-generator one-relator groups with
torsion is solvable. Trans. American Math. Soc. 227, 109—139. II. 5.
Прочези (Procesi C.)
[1976] The invariant theory of л by я matrices. Advances in Math. 19,
306—381. I. 6.E.
Пуанкаре (Poincare H.)
[1882] Theorie des groupes fuchsiens. Acta Math. 1, 1—62. [Имеется пе-
перевод: Пуанкаре А. Теория фуксовых групп. — В кн.: Пуанка-
Пуанкаре А. Избранные труды, т. 3. — М.: Наука, 1974, с. 9—62] 1.3,
6.Е.
[1883] Memoire sur les groupes kleineens. Acta Math. 3, 49—92. I. 6.E.
[1884] Sur les groupes des equations lineaires. Acta Math. 4, 201—312.
[Имеется перевод: Пуанкаре А. О группах линейных уравнений.—
В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды, т. 3.—М.: Наука, 1974,
с. 145—234.] I. 6.E.
[1895] Analysis Situs (§ 12). Journal d'Ecole Polytechnique Normale 1,
1—121. Перепечатано в: Oeuvres de Henri Poincare, 11 Volumes,
Gauthier-Villars, Paris, 1928—1956. (Vol. 6, pp. 193—288, особенно
pp. 239—242.) [Имеется перевод: Пуанкаре A. Analysis Situs. —
В кн.: Пуанкаре А. Избранные труды, т. I.—М.: Наука, 1972,
с. 457—644.] 1.4, II. 9.
[1899] Sur les groupes continues. Trans. Cambridge Philos. Soc. 18,220—
255. Oeuvres de Henri Poincare, 3, 173—212, Gauthier-Villars, Pa-
Paris. II. 7.
[1904] Cinquieme complement a l'analysis situs. Rendiconti de Circulo
mathematico di Palermo 18, 41—110. Oeuvres de Henri Poincare,
Vol. 6, 435—498, Gauthier-Villars, Paris. [Имеется перевод: Пуан-
Пуанкаре А. Пятое дополнение к «Analysis Situs». — В кн.: Пуан-
Пуанкаре А. Избранные труды, т. I. — М.: Наука, 1972, 676—734.]
1.4.
Радо см. Холл М.
Райнер см. Хуа Л.-Г.
Размыслов Ю. П.
[1974] Тождества со следом полных матричных алгебр над полями ха-
характеристики нуль. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 38, с. 723—
756. I. 6.
Рапапорт (Rapaport Elvira Strasser)
[1958] On free groups and their automorphisms. Acta Math. 99, 139—163.
II. 2.
[1968] Groups of order 1. Some properties of presentations. Acta Math.
121, 127—150. II. 5.
Рейдемейстер (Reidemeister K.)
[1921] Relativklassenzahl gewisser relativ-quadratischer Zahlkorper. Abh.
Math. Sem. Hamburg. Univ. 1, 27—48. II. 3.
[1926] Knoten und Gruppen. Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 5, 7—23.
1.3, 6.E.
[1927] Uber unendliche diskrete Gruppen. Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ.
5, 33—39. I. 6.E, II. 7.
[1932a] Knotentheorie. Ergebnisse der Mathematik 1, № 1, Springer-Verlag.
Berlin. 1,4, II. 3, 6, 10.
[1932b] Einfflhrung in die kombinatorische Topologie. F. R. Vieweg & Sohn,
Braunschweig. II. 3, 5, 9.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 235
Рейдемейстер, Шуман (Reidemeister К., Schumann H. G.)
[1934] L-Polynome von Verkettungen. Abh. Math: Sem. Hamburg. Univ.
10, 256—262. II. 6.
Рейнер см. Хуа Л.-г.
Ремак (Remak R.)
[1911] Ober die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkt unzerlegbare
Faktoren. J. f. d. reine u. angew. Math. 139, 293—308. I. 6.D.
Реманн см. Хуррелбринк.
Ремесленников В. Н., Романьков В. А.
[1983*] Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп.—
Алгебра. Топология. Геометрия, т. 21, с. 3—79.
Ри, Мендельсон (Ree R., Mendelsohn N. S.)
[1974] Free subgroups of groups with a single difining relation. Archiv
der Math. 19, 577—580. II. 5.
Рид (Reid Constance)
[1978] The road not taken. The Mathematical Intelligencer 1, 21—23. 1.8.
Риман (Riemann B.)
[1857] Theorie der Abelschen Functionen. J. f. d. reine u. angew. Math. 54.
Перепечатано в Риман [1892], pp. 88—144. И. 9.
[1892] Gesammelte mathematische Werke, eds. H. Weber and R. Dedekind.
Переиздание: Dover, New York, 1953, под заголовком The Collec-
Collected Works of Bernhard Riemann. (Текст является немецким ориги-
оригиналом.) I. 7.
Рипс (Rips I. A.)
[1972] On the fourth integer dimension subgroups. Israel J. Math. 12,
342—346. 11.7.
Ритт (Ritt J. F.)
[1950] Differential Algebra. American Math. Soc. Colloquium Publications
33, American Math. Soc, New York. I. 6.E.
Робинсон (Robinson Derek J. S.)
[1972] Finiteness Conditions and Generalized Soluble Groups. 2 Vol. Er-
gebnisse der Mathematik 62, 63. Springer-Verlag, New York — Hei-
Heidelberg—Berlin. 1. 6.F, II. 6.
Романьков В. А. см. Ремесленников В. Н.
Рота (Rota G.-C.)
[1964] Theory of Moebius functions. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie u. verw.
Gebiete, 2, 340—386. II. 3.
Ротман (Rotman J. J.)
[1973] The Theory of Groups. 2nd Ed., Allyn & Bacon, Boston. 11.10, 11.
Ротхауз см. Герстехабер
Сандлинг (Sandling R.)
[1972a] The dimension subgroup problem. J. Algebra 21, 216—231. II. 7.
[1972bl Dimension subgroups over arbitrary coefficient rings. J. Algebra 21,
250-261. II. 7.
[1972c] Modular augmentation ideals. Proc. Cambridge Philos. Soc. 71,
25—32. II. 7.
Санов И. Н.
[1940] Решение проблемы Бернсайда для показателя 4. — Ученые запис-
записки ЛГУ, матем. сер., т. 10, с. 166—170. I. 6.F.
[1949] Применение колец Лн к теории периодических групп. — УМН,
т. 4, вып. 3, с. 180. II. 7.
Сансоне (Sansone G.)
[1923] I sottogruppi de gruppo di Picard e due teoremi sui gruppi finiti
analoghi al teorema del Dyck, Rend. Circulo Mat. Palermo 47, 273—
333. I.6.B.
де Сегье (Seguier de J.-A.)
[1904] Theorie des Groupes iFnis. Elements de la Theorie des Groupes
Abstraits, Gauthier-Villars, Paris. I. 2, 6.F.

236 список литературы
[1912] Theorie des Groupes Finis. Elements de la Theorie des Groupes
de Substitutions. Gauthier-Villars, Paris. I. 6.A, E.
[1924] Sur les automorphisms de certaines groupes. Comptes rendues
hebdomadaires des seances de l'academie des sciences 179, 139—
142. II. 14.
Секн (Seki Takejiro)
[1941] Ober die Existenz der Zerfallungsgruppe in der Erweiterungstheo-
rie der Gruppen, Tohoku Math. J. 48, 235—238. II. 9.
Сельберг (Selberg A.)
[1960] On discontinuous groups in higher dimensional symmetric spaces.
Contributions to Function Theory. Internat. Colloquium Function
Theory, Tata Institute of Fundamental Research. Bombay (pp. 147—
164). I.6.E.
Cepp (Serre J.-P.)
[1964] Cohomologie galoisienne. Lecture Notes in Mathematics 5. Sprin-
ger-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York. [Имеется перевод:
Cepp Ж.— П. Когомологии Галуа. — М.: Мир, 1968.1 II. 6.
[1977] Arbres, amalgames, SL2, Asterisque 46 (Soc. Math, de France).
[Имеется перевод: Cepp Ж. — П. Деревья, амальгамы, SL2. —
Математика, т. 18, 1974, № 1, с. 3—31, № 2, с. 3—27.] II. 4,10.
Скотт П. см. Дайер
Серр см. Басе.
Скотт У. (Scott W. R.)
[1951] Algebraically closed groups. Proc. American Math. Soc. 2, 118—
121. II. 5, 11.
Солитэр см. Баумслаг, Хор, Каррас и Магиус
Стейнберг (Steinberg A.)
[1964] On free nilpotent quotient groups. Math. Z. 85, 185—196. II. 5.
Стилуэлл (Stillwell J.)
[1980] Classical Topology and Combinatorial Group Theory. Graduate
Texts in Mathematics 72, Springer-Verlag, New York—Heidelberg—
Berlin. II. 9, 10.
[1982] The word problem and the isomorphism problem for groups. Bull.
American Math. Soc, New Ser. 6, 33—56.
Столлингс (Stallings J. R.)
[1968] On torsion free groups with infinitely many ends. Annals of Math.
B) 88, 312—334. I. 5, II. 9.
Сторк (Stork D.)
[1972] The action of the automorphism groups of F2 upon the Ae and
PSLB,7)-defining subgroups of F2. Trans. American Math. Soc.
172, 111—117. II. 3.
Стуфф (Stouff X.)
[1888] Sur la transformation des functions fuchsiennes. Annals de l'Ecole
Normale Superieure C) 5, 219—326. (These, Paris). II. 2.
Суон (Swan R. G.)
[1967] Representations of polycyclic groups. Proc. American Math. Soc.
18, 573—574. I. 6.
[1971] Generators and relations for certain special linear groups. Advan-
Advances in Math. 6, 1—77. I. 6.B.
Тартаковский В. А.
[1949] Метод решета в теории групп. — Матем. сб., т. 25 F7), вып. !,
с. 3—50. Перевод на аигл. яз. этой статьи и статей, связанных с
ией, см. в: American Math. Soc. Transl. 60, 1952. II. 9.
Таусски (Taussky О.)
[1937] A remark on the class field tower. J. London Math. Soc. 12, 82—85.
II. 6.
Таусски, см. также Шольц

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 237
Тите (Tits J.)
[1972] Free subgroups in linear groups. J. Algebra 20, 250—270. 1.6.E,
II. 9.
Титце (Tietze H.)
[1908] Ober die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfal-
tigkeiten. Monatshefte fur Mathematik und Physik 19, 1—118.
1.4, 11.13.
Тодд, Коксетер (Todd J. A., Coxeter H. S. M.)
[1936] A practical method for enumerating cosets of a finite abstract gro-
group. Proc. Edinburg. Math. Soc. B) 5, 25—34. II. 3.
Толимиери см. Ауслендер
Томпсон Дж. см. Феит
Томпсон P. (Thompson Richard J.)
f 19801 Embeddings into finitely generated simple groups which preserve
word problems, pp. 401—414 in: Word Problems II, eds. S. I. Adian
W. W. Boone, and Q. Higman, North Holland, Amsterdam. 11.11.
Трельфалль см. Зейферт
Треткофф (Tretkoff С.)
[1975] Nonparabolic subgroups of the modular group. Glasgow Math. J.
16, 90—102. II. 3.
Треткофф, см. также Магнус
Туэ (Thue A.)
[1906—1914] a. Ober unendliche Zeichenreihen, Christiania Vidensk.-Selsk.
Skr. 906, № 7, A906); b. Die Losung eines Spezialfalles eines ge-
nerellen logischen Problems. Kra. Vidensk. Selsk. Skrifter I. Math.
Nat. Kl. № 8, Kra. A910); с Probleme iiber Veranderungen von
Zeichenreihen nach gegebenen Regeln, Kra. Vidensk. Selsk. Skrifter I.
Math. Nat. KL № 10 A914). (Эти три статьи перепечатаны в:
Selected Mathematical Papers of Axel Thue, Universitetsforlaget
Oslo, Bergen, Tromso, 1977. Там они имеют соответственно Но-
Номера 8, 17 и 28. В последней статье вводится то, что теперь на-
называется «система Туэ».) 1.7, II. 11.
Тьюринг (Turing A. M.)
[1938] The extensions of a group. Compos. Math. 5, 357—367. II. 9.
Уайтхед (Whitehead J. H. C.)
[1936a] On certain sets in a free group. Proc. London Math. Soc. 41, 48—
56. II. 2.
[1936b] On equivalent sets of elements in a free group. Annals of Math.
37, 782—800. II. 2.
Узков А. И., см. Дицман А. П.
Ульм (Ulm H.)
[1933] Zur Theorie der abza'hlbar unendlichen Abelschen Qruppen. Math.
Annal. 107, 774—803. II. 6.
Ульман см. Линдон
Файн (Fine В.)
[1974] The structure of PSL^fl); R, the ring of integers in a Euclidean
quadratic imaginary number field. In: Discontinuous Groups and
Riemann Surfaces, pp. 145—170, Annals of Mathematics Studies,
№ 79, Princeton University Press, NJ. I. 6.B.
Файт (Fite W. B.)
[1906] Groups whose orders are powers of a prime. Trans. American Math.
Soc. 7, 61—68. II. 7.
Федерер, Ионссон (Federer H., Jonsson B.)
[1950] Some properties of free groups. Trans. American Math. Soc. 68,
1—27. II. 2.

238 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Фейт, Томпсон (Feit W., Thompson J. Q.)
[1963] Solvability of groups of odd order. Pacific J. of Math. 13, 755—
1029. I. 6.F.
Фенхель (Fenchel W.)
[1960] Jakob Nielsen in Memoriam. Acta Math. 103, Issues 3 4 po VII—
XIX. II. 2.
Фогт (Vogt H.)
[1889] Sur les invariants fondamentaux des equations differentielles lineai-
res du second ordre. Annales de PEcole Normale Superieure C) 6,
Suppl. 3—72 (These, Paris). I. 6.E.
Фокс (Fox R. H.)
[1953] Free differential calculus I. Annals Math. B) 57, 547—560. II. 6.
Фокс и др. (Fox R. H. et al.)
[1954—1960] Free differential calculus II, III, IV, V. Annals Math. B) 59,
196—210; 64, 407—419; 71, 408—422. II. 6.
Фокс см. Кроуэлл
Форманек см. Дайер
Фраттини (Frattini Q.)
[1885] Intorno alia generazioni dei gruppi di operazioni. Atti Accad. naz.
Lincei, Rend. Ivs. 1, 281—285. 1.7.
Фрейденталь (Freudenlhal H.)
[1931] Uber Enden topologischer Raume und Qruppen. Math. Z. 33, 692—
713. II. 9.
[1945] Uber die Enden diskreter Raume und Qruppen. Comment. Math.
Helvetic! 17, 1—38. II. 9.
Фрике (Fricke R.)
[1886] Uber die Substitutionsgruppen welche zu den aus dem Legendres-
chen Integralmodul gezogenen Wurzeln gehoren. Math. Annal. 28,
99—118. I. 6.B.
[1899] Uber eine einfache Qruppe von 504 Operationen. Math. Annal. 52,
321—339. 1.2.
[1913] Automorphe Funktionen mit Einschluss der elliptischen Modulfunk-
tionen. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften II. B.4,
pp. 349—470, Teubner, Leipzig, Berlin. I. 6.B.
[1926] Lehrbuch der Algebra, Vol. 2, Vieweg & Sohn, Braunschweig. I. 6.B.
Фрике, Клейн (Fricke R., Klein F.)
[1897] Vorlesungen uber die Theorie der automorphen Funktionen, Vol. 1.
Teubner, Leipzig, Berlin. Johnson Reprint, Academic Press, New
York, 1966 I. 3, 5, 6.A, В, Е, F, II. 10.
[1912] Vorlesungen uber die Theorie der automorphen Funktionen, Vol. 2.
Teubner, Leipzig, Berlin. Johnson Reprint, Academic Press, New
York, 1966. I. 6.D, E.
Фрике см. также Клейи
Фробениус (Frobenius F. Q.)
[1895] Uber endliche Qruppen. Sitzungsberichte d. K- Pressischen Akade-
mie d. Wissensch, Berlin, pp. 81 —112, Jahrgang. Перепечатано в:
Ferdinand Qeorg Frobenius, Gesammelte Abhandlungen, Vol. 2, ed.
J.-P. Serre, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1968.
I. 6.F.
[1898] Ober die Beziehungen zwischen den Charakteren einer Qruppe und
denen ihrer Untergruppen. Sitzungsberichte d. K. Preussischen Aka-
demie d. Wissensch, Berlin, pp. 501—515, Jahrgang. Перепечатано
в: Ferdinand Qeorg Frobenius, Gesammelte Abhandlungen, Vol. 3,
ed. J.-P. Serre, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York,
1968. I. 6.F.
[1899] Uber die Composition der Charaktere enier Gruppe. Sitzungsberichte
d. K. Preussischen Akademie d. Wissensch, Berlin, pp. 330—339,
Jahrgang. Перепечатано в: Ferdinand Qeorg Frobenius, Gesammelte

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 239
Abhandlungen, Vol. 3, № 58, ed. J.-P. Serre, Springer-Verlag, Ber-
Berlin—Heidelberg—New York, 1968. I. 6.F.
[1911] Uber die unzerlegbaren diskreten Bewegungsgruppen. Sitzungsbe-
richte d. K. Preussischen Akademie d. Wissensch, Berlin, pp. 654—
665, Jahrgang. Перепечатано в: Ferdinand Qeorg Frobenius. Ge-
sammelte Abhandlungen, Vol. 3, ed. J.-P. Serre, Springer-Verlag,
Berlin —Heidelberg—New York, 1968. I. 6.A.
Фробениус, Штикельбергер (Frobenius F. Q., Stickelberger L.)
[1879] Ober Qruppen mit vertauschbaren Elementen. J. reine u. angew.
Math. 86, 217—262. Перепечатано в: Ferdinand Qeorg Frobenius,
Qesammelte Abhandlungen, Vol. 1, ed. J.-P. Serre, Springer-Verlag,
Berlin —Heidelberg—New York, 1968. 1.7, II. 6, 7.
Фуртвенглер (Furtwangler Ph.)
[1930] Beweis der Hauptidealsatzes fur den Klassenkorper algebraischer
Zahlkorper. Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 7, 14—36. II. 3,6.
Фус-Рабинович Д. И.
[140] О непростоте локально свободной группы. — Матем. сб., т. 7 D9),
№ 2, с. 327—328. И. 10.
[1941] О группах автоморфизмов свободных произведений П. — Матем.
сб., т. 9 E1), № 1, с. 183—220. П. 14.
Хакен (Haken W.)
[1962] Ober das Homoomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten I. Math.
Z. 80, 89—120. II. 10.
[1973] Connections between topological and group theoretical decision
problems. In: Word Problems, ed. Boone—Cannonito — Lyndon,
North Holland, Amsterdam, pp. 427—441. II. 10.
Халанай (Halanay A.)
[1947] La theorie de Galois des extensions separables infinies et les grou-
pes topologiques. Bull. Math. Soc. Roumaine Sci. 48, 65—76. II. 9.
Хамфри (Humphreys J. E.)
[1972] Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate
Texts in Mathematics 9, Springer-Verlag, New York — Heidelberg —
Berlin. I. 6.E.
[1975] Linear Algebraic Groups. Graduate Texts in Mathematics 21,
Springer-Verlag, New York — Heidelberg—Berlin. [Имеется пере-
перевод: Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980.] I. 6.E.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
[1906] Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie. Berichte
d. Sachsischen Akad. d. Wissensch. (Math. Phys. Kl) Leipzig 58,
19—48. I. 6.E, II. 7.
Хегор, см. Дэн
Хиггиис, Линдон (Higgins P. J., Lyndon R. C.)
[1962, 1974] Equivalence of elements under automorphisms of a free group.
J. London Math. Soc. 8, 254—258. Опубликовано в 1962 г. как Mi-
Mimeographed Notes, Queen Mary College, London. II. 2.
Хигман (Higman G.)
[1951a] A finitely generated infinite simple group. J. London Math. Soc. 26,
61—64. II. 3, 4, 11.
[1951b] A finitely related group with an isomorphic proper quotient group.
J. London Math. Soc. 26, 59—61. II. 5.
[1961] Subgroups of finitely presented groups. Proc. Royal Soc. London,
Ser. A, 455—475. II. 4, 11.
[1974] Finitely Presented Infinite Simple Groups. Notes on Pure Mathe-
Mathematics № 9, Dept. of Pure Mathematics and Dept. of Mathematics,
I. A. S. Australian National University, Canberra. 1.6.F, 11.11.
Хигман, Нейман Б., Нейман X. (Higman G., Neumann В. H., Neumann H.)
[1949] Embedding theorems for groups. J. London Math. Soc. 24, 247—
254.11.4,13.

240 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Хигман, см. Бун
Хирш (Hirsch К. А.)
[1938] On infinite soluble groups I. Proc. London Math. Soc. B) 44, 53—
60. I.6.F, II. 6, 10.
[1938—1954] On infinite soluble groups. Proc. London Math. Soc. B) 44,
53—60, 336—344; 49, 184—194. J. London Math. Soc. 27, 81—85;
29,250-251. П.6, 10.
Хойер (Hoyer P.)
[1902] Ober Definition und Behandlung transitiver Gruppen. J. f. d. reine
u. angew. Math. 124, 102—114. I. 6.F.
Холл М. (Hall M.)
[1938] Group rings and extensions. Annals of Math. 39, 220—234. 11.6,9.
[1949a] Coset representations in free groups. Trans. American Math. Soc.
67, 421—432. II. 2, 7.
[1949b] Subgroups of finite index in a free group. Canadian Math. J. 1,
187—190. 11.7.
[1950a] A topology for free groups and related groups. Annals of Math.
B) 52, 127—139. II. 5, 9.
[1950b] A basis for free Lie gings and higher commutators in free groups.
Proc. Amer. Math. Soc. 1, 575—581. II. 7.
[1958] Solution of the Burnside problem for exponent six. Illinois J. of
Math. 2, № 4B (Miller Memorial issue), 764—786. II. 7.
[1959] The Theory of Groups (Lemma 15.51, p. 231). Macmillan, New
York. [Имеется перевод: Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962,
(лемма 15.5.1, с. 254).] II. 6, 9.
Холл М., Радо (Hall M., Rado Т.)
[1948] On Schreier systems in free groups. Trans. American Math. Soc. 64,
386—408. II. 2.
Холл Ф. (Hall P.)
[1933] A contribution to the theory of groups of prime power order. Proc.
London Math. Soc. C) 36, 29—95. I. 6.E, II. 7, 13.
[1936] The Eulerian functions of a group. Quart. J. Math. Oxford Ser. 7,
№ 26, 134—151. II. 3, 7.
[1954a] Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc.
C) 4, 419—436. II. 6.
[1954b] The splitting properties of relatively free groups. Proc. London
Math. Soc. C) 4, 343—356. II. 9.
Хопф (Hopf H.)
[1930] Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. J. reine u.
angew. Math. 163, 71—88. II. 2.
[1931] Beitrage zur Theorie der Flachenabbildungen. J. reine u. angew.
Math. 165,225—236. II. 2.
[1942] Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe. Comm. Math.
Helvetici 14, 257—309. Н.Э.
[1944] Enden offener Raume und unendliche diskontinuierliche Gruppen.
Comment. Math. Helvetici 16, 81—100. II. 9.
[1945] Ober die Bettischen Gruppen, die zu einer beliebigen Gruppe ge-
horen. Comment. Math. Helvetici 17, 39—79. II. 9.
Хор (Hoare A. H. M.)
[1979] Coinitial graphs and Whitehead automorphisms. Canadian J. Math.
31, 112—123. II. 2.
Хор, Каррас, Солнтэр (Hoare A. H. M., Karrass A., Solitar D.)
[1971, 1973] Subgroups of finite index in Fuchsian groups. Math. Z. 120,
289—298. Subgroups of in finite index in Fuchsian groups. Math.
Z. 125, 59—69. Subgroups of NEC-groups. Comm. Pure Appl. Math.
26, 731—744. II. 10.
Хоровнц (Horowitz R.)
[1972, 1975] Characters of free groups represented in the two dimensional
linear group. Comm. Pure and Appl. Math. 25, 635—649 A972). In-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 241
duced automorphisms on Fricke characters of free groups. Trans.
American Math. Soc. 208, 41—55 A975). I. 6.E.
Хоув (Howe R.)
[1930] On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis. Bull.
(New Ser.) American Math. Soc. 3, 821—843. II. 10.
Хуа Л.-г, Раннер (Hua L. K., Reiner I.)
[1949] On the generators of the symplectic modular group. Trans. Ameri-
American Math. Soc. 65, 415—426. I. 6.A.
Хуррелбринк, Реманн (Hurrelbrink J., Rehmann U.)
[1975] Eine endliche Presentation der Gruppe G2(Z). Math. Z. 141, 243—
251. I. 6.A.
Цассенхауз (Zassenhaus H.)
[1934] Zum Satz von Jordan — Holder — Schreier. Abh. Math. Seminar
Hamburg. Univ. 10, 106—108. II. 3.
[1937, 1956] Lehrbuch der Gruppentheorie. Hamburger math. Einzelschrif-
ten, Teubner, Leipzig, Berlin. Расширенный перевод на англ. язык
появился в 1949 н 1956 под названием The Theory of Groups,
Chelsea, New York. I. 2. II. 6, 9.
[1939] Ober Leische Ringe mit Primzahlcharakteristik. Abh. Math. Seminar
Hans. Univ. Hamburg 13, 1—100. II. 7.
[1940] Ein Verfahren, jeder endlichen Gruppe einen Lie-Bing mit der Cha-
rakteristik p zuzuordnen. Abh. Math. Seminar Hans. Univ. Ham-
Hamburg 13, 200—207. II. 7.
Черников С. Н.
[1940] Бесконечные локально разрешимые группы. — Матем. сб., т. 7,
№ 1, с. 35—64. II. 6.
Чжоу Гэйлян (Chow Kei-Liang)
[1948] On the algebraic braid group. Ann. of Math. B) 49, 654—658. II, 10.
Шафаревич И. Р.
[1963] Расширения с заданными точками ветвления. Inst. Hautes Etudes
Sci. Publ. Math. № 18, 71—95. II. 6.
[1973] Uber einige Tatsachen in der Entwicklung der Mathematik. Jahr-
buch der Akademie der Wissenschaften zu Gottingen, pp. 31—42.
Английский перевод: The Math. Intelligencer 3, 182—184 A981).
Шафаревич И. Р., см. также Голод Е. О.
Шёнфлис, Дэн (Schoenflies A., Dehn M.)
[1930] Einfuhrung in die analytische Geometrie der Ebene und des Rau-
mes, 2nd Ed., Julius Springer, Berlin. II. 3.
Шлезингер (Schlesinger L.)
[1909] Bericht uber die Entwicklung der Theorie der linearen Differential-
gleichungen seit 1865. Erganzungsband III zu dem 18. Bande des
Jahresberichts der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Teubner,
Leipzig, Berlin. I. 6.E, II. 14.
Шмелькин А. Л.
[1965a] О разрешимых произведениях групп (теорема 3).—Сибирский
матем. ж., т. 6, № 1, с. 212—220. П. 6.
[1965b] Сплетения н многообразия групп.— Изв. АН СССР, сер. матем.,
т. 29, с. 149—170. И. 8.
Шмид (Schmid W.)
[1982] Poincare and Lie groups. Bull. (New Ser.) American Math. Soc.
6, 175—186. I. 6G.
Шмидт A. (Schmidt A.)
[1934] Die Herleitung der Spriegelung aus der ebenen Bewegung. Math.
Annal. 109, 538—571. II. 3.
Шмндт О. Ю.
[1913] Sur les produits directs. Bull, de la Soc. Math, de France 41, 161—
164. I. 6.F.
[1916] Абстрактная теория групп. — Киев. I. 6.F, II. 4.

242 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1928] Ober unendliche Gruppen mit endlicher Kette. Math. Z. 29, 34—
41. II. 4.
[1933] Абстрактная теория групп. — M. — Л.: Гос. изд-во технико-тео-
технико-теоретической литературы. I. 6.F.
Шольц, Таусски (Scholz A., Taussky Olga)
[1934] Die Hauptideale der kubischen Klassenkorper imaginarquadratis-
cher Zahlkorper. J. reine u. angew. Math. 171, 19—41. II. 6.
Шпернер, см. Шрейер
Шрейер (Schreier О.)
[1924] Ober die Gruppen AaBb = 1. Abh. Math. Seminar Hamburg. Univ.
3, 167—169. II. 3, 4.
[1926a, b] Ober die Erweiterung von Gruppen I.II. Monatshefte f. Math. u.
Phys. 34, 165—180; Abh. Math. Seminar Hamburg Univ. 4, 321—
346. II. 3, 6, 9.
[1927a] Die Untergruppen der freien Gruppen. Abh. Math. Sem. Ham-
Hamburg. Univ. 5, 161 — 183. 1.2, 5, 6.F., II. 2, 3, 4, 5.
[1927b] Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im Grossen. Abh. Math. Se-
Seminar Hamburg. Univ. 5, 233—244. II. 3.
[1928] Ober den Jordan — Holderschen Satz. Abh. Math. Sem. Hamburg.
Univ. 6, 300—302. II. 3.
[1930] Анонимный некролог в: Abh. Math. Seminar Hamburg. Univ.,.
Vol. 7, вслед за с. 106. И. 3.
Шрейер, Шпернер (Schreier О., Sperner E.)
[1931. 1935] Einfiihrung in die analytische Geometrie und Algebra, 2Vols.,
Teubner, Leipzig, Berlin. Частично опубликовано на англ. языке
под заголовком: Introduction to Modern Algebra and Matrix Theo-
Theory, Chelsea, New York, 1951. II. 3.
Штаммбах (Stammbach U.)
[1967] Ein neuer Beweis eines Satzen von Magnus. Proc. Cambridge Phi-
los. Soc. 63, 929—930. II. 7.
Штикельбергер, см. Фробениус
Шуман (Schumann H. G.)
[1933] Zum Beweis des Hauptidealsatzes. Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ.
12, 42—47. II. 6.
[1937] Ober Moduln and Gruppenbilder. Math. Ann. 114, 385—413. II. 6.
Шуман, см. также Рейдемейстер
Шупп (Schupp P. E.)
[1971] Small cancellation theory over free products with amalgamations.
Math. Annal. 193, 255—264. II. 4.
Шупп см. также Линдон
Шур (Schur I.)
[1904] Ober die Darstellung des endlichen Gruppen durch gebrochen li-
neare Substitionen. J. reine u. angew. Math. 127, 20—50. Перепеча-
Перепечатано в: Issai Schur. Gesammelte Abhandlungen 1, 86—116. Sprin-
ger-Verlag, New York —Heidelberg —Berlin, 1973. I. 6.F.
Эдварде (Edwards H. M.)
fl977] Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Num-
Number Theory, Springer-Verlag, New York — Heidelberg—Berlin. II. 6.
[Имеется перевод: Эдварде Г. Последняя теорема Ферма. — М.:
Мир, 1980.]
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., MacLane S.)
[1949] Cohomology theory in abstract groups. Annals of Math. 48, 51—78,
326—341. I. 6.F, II. 9.
Энциклопедия математических наук и их приложений (Enzyklopadie der Mat-
hematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen)
[1904—1927] Teubner, Leipzig, Berlin. 1.8, II. 14.
Эрдели (Erdelyi A.)
[1955] ed. Higher Transcendental Functions, Vol. 3, McGraw-Hill, New
York. II. 7.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 243
Юмбер (Humbert M. Q.)
[1915—1920] (a) Sur la reduction des formes d'Hermite dans un corps quad-
ratique imaginaire; (b) Sur ba formation du domaine fondamental
d'un groupe automorphe; (c) Sur les representations propres d'un
entier par les formes positives d'Hermite dans un corps quadratique
imaginaire; (d) Sur la mesure de l'ensemble des classes positives
d'Hermite, de discriminant donne dans un corps quadratique ima-
imaginaire; (e) Sur la mesure des classes d'Hermite de discriminant
donne dans un corps quadratique imaginaire, et sur certains volu-
volumes non euclidiens; (f) Expression de l'aire non euclidienne du do-
domaine fondamentale lie a une forme d'Hermite indefinie. Bee
статьи появились в: Comptes Rendues hebdomadaires de l'Acade-
mie des Sciences, Paris, в следующих томах: (а) A915) 161, № 8,
189—196, 227—234. (b) A919) 168, № 5, 205—211. (с) A919) 169,
309—315. (d) A919) 169, 407—414. (e) A919) № 8, 448—454,
<f) A920) 171, 377—382, 445—450. I. 6.B.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адельсбергер (Adelsberger H.) 53, 154
Адо И. Д. 167
Адян С. И. 57, 58, 165, 172, 202
Александер (Alexander J. W.) 143,
144
Александров П. С. 36, 109, 115
Артнн (Artin E.) 18, 98, 109, 110,131,
135, 142, 163, 175, 187—189, 206,
207
Артци (Artzy R.) 98, 99
Ауслендер (Auslander L.) 149, 178,
191, 192
Багерзаде (Bagherzadeh Q. Н.) 126
Барроу (Burrow M. D.) 159
Басе (Bass H.) 44, 95
Баумслаг (Baumslag G.) 8, 57, 58,
86, 95, 123, 126—128, 130, 145, 147,
150, 151, 162, 164, 170, 171, 176,
179, 180, 183, 184, 186, 189, 192,
209, 212, 216
Бахмут (Bachmuth S.) 139
Бейкер (Baker H. F.) 53, 78, 162
Бер (Behr H.) 39
Бернайс (Bernays P.) 107
Бернсайд (Burnside W.) 5, 14, 15,
31, 32, 53, 54, 57, 63, 65, 66, 69,
72, 73, 76, 78, 85, 152, 205, 215
Берс (Bers L.) 190, 205
Беттн (Betti E.) 22, 178
Бнбербах (Bieberbach L.) 42, 78
Биркгоф (Birkhoff Q.) 147, 161, 167,
168
Бирман (Birman J. S.) 22, 39, 49,50,
188, 189
Блюменталь (Blumenthal О.) 41. 43,
78
Бляшке (Blaschke W.) 98, ПО
Бой (Boy W.) 77, 78
Боненбласт (Bohenblust F.) 189
Браунер (Brauner К.) 27, 191
Бриттон (Britton J. L.) 118
Бун "(Bonn W. W.) 97, 105, 193
Бурау (Burau W.) 188, 191
Бурбаки (Bourbaki N.) 187, 217
Буркхард (Burkhardt H.) 74, 75
Бьянки (Bianchi L.) 21, 41, 78, 205
Бэр (Baer R.) 112, 115, 123, 175,192,
201, 207, 210
Вагнер (Wagner W.) 172, 173
Вайснер (Weissner L.) 108
Вальдннгер (Waldinger H.) 46
Вальдхаузен (Waldhausen W.) 191
ван дер Варден (Van der Waer-
den B. L.) 57, 58
Васильев А. В. 73
Вебер (Weber H.) 73, 78, 215, 216
Веблен (Veblen O.) 159, 170, 200
Вефер (Wever F.) 159, 170
Вейль (Weyl H.) 38, 208, 209
Верфрнц (Wehrfritz B. A. F.) 51, 52,.
186
Вессьо (Vessiot E.) 52, 78
Вильсон (Wilson J. S.) 444
Виман (Wiman A.) 74, 75
Виртннгер (Wirtinger W.) 23, 26, 78,
98, 99
Витт (Witt E.) 142, 154, 155, 160,
161, 167
Воган-Ли (Vaughan-Lee M. R.) 172
Вуссинг (Wussing H.) 10, 12, 16, 17,
76, 85
Галуа (Galois E.) 137
Гамильтон (Hamilton W. R.) 73, 78
Гаусс (Gauss K. F.) 43, 72, 100, 137,
212
Гашюц (Gaschutz W.) 58, 60
Гекке (Hecke E.) 98
Гензель (Hensel K.) 157, 185
Герстенхабер (Gerstenhaber M.) 123,
196
Гёдель (Goedel K.) 193
Гёльдер (Holder O.) 100, 175
Гизекинг (Gieseking H.) 34, 35, 78
Гильберт (Hilbert D.) 28, 65, 69, 72,
74, 76, 78, 99, 107, 131—133, 137,
145—147, 157, 172, 193, 198
Головин О. Н. 114
Голод Е. С. 134, 136, 137
Гордан (Gordan P.) 38, 39, 61
Граве Д. А. 78
Гриндлингер М. Д. 29, 35, 173, 213,
214
Гроссман (Grossman E. К.) 95
Грушко И. А. 113
Грюн (Griin О.) 159, 163, 164
Грюнберг (Griinberg К. W.) 40, 186,
209

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
245"-
Гупта К. (Gupta К. G.) 139
Гупта Н. (Gupta N. D.) 139
Гурвиц (Hurwitz A.) 40, 41, 49, 70,
78, 85, 208
Гуревич (Hurewicz W.) 102, 105
Дайер (Dyer J. L.) 96
Данциг ван (van Danzig D.) 185
Джекобсон (Jacobson N.) 161, 163,
167
Дик фон (von Dyck W.) 5, 10, 12—
19, 24, 43, 62, 73, 76, 78, 84, 120,
156, 194, 195
Диксон (Dickson L. E.) 38, 53, 63,
77, 78, 166, 205
Дицман А. П. 114
Дрнллик (Drillick A.) 46
Дэн M. (Dehn M.) 5, 17, 18, 23—26,
32—36, 49, 58, 63—65, 67, 69, 71,
76, 78, 84, 89—91, 97, 98, 100—102,
106, 110, 111, 115, 120—122, 126,
127, 131, 145, 173, 174, 190, 191,
193, 209, 205—208, 213
Дэн Т. (Dehn Т.) 71
Жордан (Jordan С.) 54, 60, 61, 73,
78, 137
Зейферт (Seifert H.) 36, 145, 179, 191
Зигель (Siegel С. L.) 38, 39, 137
Зиман (Zeeman E. С.) 200
Зюсс (Suess W.) 201
Истон (Easton В. S.) 54, 74
Ито (Ito N.) 136
Иянага (Iyanaga S.) 140—144, 175
Ионссон (Jonsson В.) 91, 96, 97
Калужнин Л. А. 55, 56, 171, 172, 210
Камм (Camm Ruth) 197
Кампеи ван (van Kampen) E. R. 103,
120, 173, 206
Кантор (Cantor G.) 16, 78, 195
Капланский (Kaplansky I.) 173
Каррас (Karrass A.) 6, 18, 53, 58,
105, 114, 126, 151, 165, 190, 191
Картан A. (Cartan Henri) 217
Картан Э. (Cartan E.) 39
Кемпбелл (Campbell J. E.) 53, 78,
166
Кербер (Kerber A.) 56
Кервэр (Kervaire M.) 42, 191
Клебш (Clebsch A.) 38, 39, 61, 78
Клейн Феликс (Klein Felix) 12, 18—
21, 34, 41, 43, 44, 49—51, 57, 61,
62, 76, 78, 85, 90, 110, 112, 190,
208
Клейн Фриц (Klein Fritz) 34, 35
Клини (Kleene S. С.) 193
Кнезер (Kneser H.) 26, 115, 137
Ковач (Kovacs L. G.) 171
Коксетер (Coxeter H. S. М.) 15. 30,.
106, 187, 189, 206, 212, 216
Кон (Cohn P. M.) 46
КострикинА. И. 162, 164, 165, 202
Кох (Koch H.) 134
Кра (Кга I.) 190
Краснер (Krasner M.) 55, 56, 171,172
Крелль (Crelle A. L.) 71
Кроуэлл (Crowell R. Н.) 99, 102, 191
Крулль (Krull W.) 186
Куммер (Kummer E. Е.) 77
Курош А. Г. 18, 44, 60, 109—115,.
192, 206, 207, 215
Кэли (Cayley A.) 32, 33, 35, 63, 68,.
73, 78, 173, 205
Лагранж (Lagrange J. L.) 68
Лазар (Lazard M.) 162, 165, 210
Ландау (Landau E.) 218
Ландсберг (Landsberg G.) 49
Леви (Levi F.) 57, 58, 96, 97, 105,.
112, 114, 115, 147, 151, 158, 170,.
207
Левин (Levin F.) 45
Лерон (Leron U.) 51
Лефшец (Lefschetz S.) 36
Лёви (Loewy A.) 14, 52, 74, 75, 79
Ли (Lie S.) 52, 61, 70, 79, 166, 184,.
208
Ликориш (Lickorish W. В. R.) 190
Линдон (Lyndon R. С.) 6, 19, 22, 93,
96, 99, 105, 116, 118, 120, 124—126,.
128, 140, 173, 174, 190, 196, 197,
198, 214 , 216
Листинг (Listing J. В.) 26, 79
Лиувилль (Liouville J.) 71, 195
Лоран (Laurent) 143
Ляпунов А. М. 6, 76
Магнус (Magnus W.) 5, 6, 8, 18, 20;
35, 42, 44, 49, 53, 54, 57, 72, 74,
75, 84, 91, 92, 95, 101, 108, 114,
121—128, 130, 136—140, 143, 145,
151, 156—165, 189—191, 200, 212,
214, 215
Макбет (Macbeath A. M.) 45
Макинтайр (Macintyre A.) 197
Маккарти (McCarthy D.) 42
Маккул (McCool J.) 98, 128, 208,
213, 214
Маклейн (McLane S.) 56, 57, 179, 183
Мальцев А. И. 51, 128, 148, 149, 162,
191
Марков А. А. 189
Маскит (Maskit В.) 19
Масси (Massey W. W.) 120
Матиясевич Ю. В. 198

•246
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Машке (Maschke H.) 32, 70, 79, 205,
208
.Мейер-Вундерли (Meier-Wunderli H.)
57
Мендельсон (Mendelsohn N. S.) 127
Меннике (Mennicke J. L.) 44, 95, 165
Миллер Дж. (Miller G. А.) 14, 33,
31, 69, 75, 77, 79, 85, 205, 212
Миллер III (Miller С. F. III) 194
Милнор (Milnor J.) 44, 95
Минковский (Minkowski H.) 39, 40,
42, 67, 69, 70, 74, 79, 85, 94, 208
Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler G.)
72
Михайлова К. А. 124
Мозер (Moser W. О. J.) 15, 31, 106,
187, 206, 212, 216
Молин (Molien Т.) 76
.Муфанг (Moufang Ruth) 130—132,
145—147
Нейман Б. (Neumann В. Н.) 45, 66,
92, 106—108, 113, 116, 118, 119,
123, 147, 169—172, 194—197, 207
209, 210, 214
Нейман П. (Neumann P. M.) 171, 172,
210
.Нейман X. (Neumann H.) 56, 118,
119, 171, 172, 209, 210
Нетер (Noether E.) 37, 52, 79, 84,
148, 167
Нильсен (Nielsen J.) 40, 49, 59, 67,
79, 86—98, 124, 128, 158, 187—190,
206, 213, 214
Новиков П. С. 5, 57, 58, 97, 105, 165
172, 194, 202
Ньювирт (Neuwirth L. Р.) 191
Ньюман Б. (Newman В. В.) 127—
129, 171
Ньюман М. (Newman M. F.) 165
Ольшанский А. Ю. 172
Оутс (Oates Sheila) 172
Лайффер (Peiffer Renee) 99, 124,
125
Папакирьякопулос (Papakyriakopu-
los Ch. D.) 26
Паскаль (Pascal E.) 75
Пауэлл (Powell M. B.) 172
Пик (Pick G.) 44, 79
Пикар (Picard E.) 52, 79
Пикел (Pickel P. F.) 52
Пойя (Polya G.) 171
Понтрягин Л. С. 148, 185
Пост (Post E. L.) 193, 207
Прайд (Pride S. J.) 128
Прочези (Procesi С.) 51
Пуанкаре (Poincare H.) 12, 18, 21 —
24, 49, 50, 51, 63, 76, 79, 103, 161,
178, 190, 205
Радо (Rado T.) 96
Размыслов Ю. П. 51
Рамануджан (Ramanujan S.) 68
Рапапорт (Rapaport E. S.) 93, 123
Рейдемейстер (Reidemeister К.) 21,
51, 54, 98—100, 103, 115, 124, 130,
138, 143, 144, 154, 162, 173, 191,
206, 207
Рейнер (Reiner I.) 38, 73
Ремак (Remak R.) 60, 79
Ри (Ree R.) 127
Рид (Reid Constance) 70
Риман (Riemann BJ 61, 79, 178, 180
Рипс (Rips I. A.) 159
Ритт (Ritt J. F.) 52
Ришелье (Richelieu) 217
Робинсон (Robinson Derek J. S.) 55,
149
Рота (Rota G.-C.) 108
Ротман (Rotman J. J.) 193, 197
Ротхауз (Rothaus O. S.) 123, 196
Сандлинг (Sandling R.) 159
Санов И. Н. 57, 151
Сансоне (Sansone G.) 46
Сегье де (Seguier de J.-A.) 16, 17,
24, 57, 59, 79, 85, 175, 205, 213,
214
Секи (Seki Takejiro) 176
Сельберг (Selberg A.) 51
Cepp (Serre J.-P.) 44. 95, 120, 136,
191
Скотт П. (Scott P.) 96
Скотт У. (Sott W. R.) 123, 196
Солитэр (Solitar D.) 6, 18, 53, 57,
105, 114, 126, 128, 151, 165, 190,
191
Стади (Study E.) 42
Стейнберг (Steinberg A.) 123
Стилуэлл (Stillwell J.) 179, 191, 193
Столлингс (Stallings J. R.) 36, 183,
184
Сторк (Stork D.) 108
Стуфф (Stouff X.) 90
Суон (Swan R. G.) 45, 149
Тартаковский В. А. 173, 213
Таусски (Taussky О.) 136
Тите (Tits J.) 51
Титце (Tietze H.) 23—25, 63, 76, 79,
84, 186, 194, 205
Тодд (Todd J. A.) 106
Толимиери (Tolimieri R.) 192
Томпсон Дж. (Thompson J. G.) 57

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
247'
Томпсон P. (Thompson Richard J.)
54, 197
Трельфалль (Threlfall W.) 36, 179,
191
Треткофф (Tretkoff С.) 95, 108
Туэ (Thue A.) 64, 79
Тьюринг (Turing A. M.) 175, 193
Уайтхед (Whitehead J. H. С.) 93, 207,
209
Узков А. И. 114
Ульм (Ulm H.) 148
Ульман (Ulman J. L.) 19
Файн (Fine В.) 45
Файт (Fite W. В.) 153
Федерер (Federer H.) 91, 96, 97
Фейт (Feit W.) 57
Фенхель (Fenchel W.) 88, 98
Флекснер (Flexner A.) 200
Фогт (Vogt H.) 50, 51, 79, 90, 205
Фокс (Fox R. Н.) 99, 102, 139, 140,
158, 191
Форманек (Formanek E.) 96
Фраттини (Frattini G.) 79
Фрейденталь (Freudenthal H.) 174,
184
Фрикё (Fricke R.) 15, 19—21, 33,34,
41, 43, 44. 49—51, 57, 72, 74—76,
79
Фробеннус (Frobenius F. G.) 42,
54—56, 63, 65, 72, 76, 79, 85, 148,
154, 190, 215
Фубини (Fubini G.) 42
Фукс (Fuchs I. L.) 12
Фукс-Рабинович Д. И. (Fuchs-Rabi-
nowitsch, D. J.) 192, 214
Фуртвенглер (Furtwangler Ph.) 99,
130—132, 134, 135, 139, 206
Хакен (Haken W.) 191
Халанай (Halanay A.) 186
Хамфри (Humphreys J. E.) 52, 167
Xacce (Hasse H.) 132
Хаусдорф (Hausdorff F.) 53, 54, 79,
162
Xerop (Heegaard P.) 23, 64, 69, 71,
79
Хиггннс (Higgins P. J.) 93
Хнгман (Higman G.) 54, 101, 117—
119, 128, 191, 197, 209
Хилтон (Hilton) 65
Хирш (Hirsh K. A.) 55, 149, 191,207,
209
Хойер (Hoyer P.) 58—60, 79
Холл М. (Hall M.) 96, 128, 139, 160,
161, 165, 175, 185, 186, 207
Холл Ф. (Hall Ph.) 40, 51,53, 54,69,.
105, 108, 149, 156, 160, 162, 163,
169, 170, 176, 186, 206, 209
Хопф (Hopf H.) 36, 47, 92, 107, 128,
174, 179, 184, 207
Хор (Hoare A. H. M.) 93, 190, 191
Хоровиц (Horowitz R.) 50
Хоув (Howe R.) 192
Xya (Hua L. K.) 38, 205
Цассенхауз (Zassenhaus H.) 18, 100,,
141, 162, 163, 171, 176
Чандлер (Chandler B.) 5
Черников С. Н. 149
Чёрч (Church A.) 193
Шафаревич И. Р. 134, 136, 137, 202'
Шварц (Schwarz H.) 12
Шенфлис (Schoenflies A.) 100
Шлезингер (Schlesinger L.) 59, 74,.
79, 212
Шмелькин А. Л. 138
Шмид (Schmid W.) 53
Шмидт A. (Schmidt A.) 107
Шмидт О. Ю. 60, 79, 109, ПО, 114
Шольц (Scholz A.) 136
Шоттки (Schottky F.) 12
Шпернер (Sperner E.) 100, 115
Шрейер (Schreier О.) 16, 35, 36, 45,.
51, 55, 58, 59, 60, 89, 96, 98—100,
102, 103—105, 109—111, 115, 116,
120, 131, 134, 138, 175, 206, 207
Штаммбах (Stammbach H.) 162
Штикельбергер (Stickelberger L.) 65,
148, 114
Шуман (Schumann H. G.) 140, 142—
144
Шугш (Schupp P. E.) 6, 22, 93, 96,
105, 116, 118, 120, 128, 140, 173,
174, 190, 196, 197, 198, 214, 216
Шур (Schur I). 54—56, 70, 72, 75,
76, 80, 85, 107, 175, 208, 209
Эдварде (Edwards H. М.) 132
Эйленберг (Eilenberg S.) 56, 183, 207
Эйлер (Euler L.) 64, 68, 212
Энгель (Engel F.) 166
Эрдели (Erdelyi A.) 153
Юмбер (Humbert M. G.) 45, 80, 20S
Ютц (Utz W. R.) 211

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев интеграл первого рода 180
Автоморфизм 81
Алгебра Ли 66, 161, 166
— ассоциативная 66
— универсальная обертывающая ал-
алгебры Ли 161
Алгебраически замкнутая группа 123
196
Алгоритм 64, 193
— Дэна 29
— Евклида 64
Альтернант 160
Великая теорема Ферма 57, 58
Вербальная подгруппа 169
^Вполне инвариантная подгруппа 151
Вторая группа Бетти 179
Гипотеза Пуанкаре 190
Гомоморфизм 81
Граф группы 30, 173
Группа автоморфизмов группы 66,
189
— — свободной группы 92
финитно аппроксимируемой
группы 95
— алгебраически замкнутая 123, 196
— без кручения 83
— Бернсайда 172
— Бетти 174
— — вторая 179
— Бьянки 43
— Гейзенберга 192
— гомологии 174
— — первая 179
п-я 179
— дискретная 20, 81
— классов отображений 88, 189
— когомологий 174
вторая 177, 182
— — первая 182
— Коксетера 187
определенная 5
— кос 87, 188, 189
— крашеных кос 188
— локально свободная 113
метабелева 134, 138, 168
— модулярная Гильберта 43
— нильпотентная 66, 149, 168
класса 2 134
п 154, 168
— нильпотентно аппроксимируемая
162
— однопорожденная 18
— относительно свободная 169
— парасвободная 129
— Пикара 41, 43
— полициклическая 55, 149, 191
— порожденная отражениями
186, 187
87,
43,
— преобразований Мёбиуса 42,
190
— разрешимая 66, 147, 154
— расщепляющаяся 176
— решеточно упорядоченная 147
— с заданными локальными свой-
свойствами 115
— свободная 17, 83
— симметрическая 15
— симплектическая 38
— треугольника 112
— узла 102, 188, 191
— финитно аппроксимируемая 40,
185
— фуксова 145, 190
— фундаментальная 21, 24, 27, 48,
60, 88, 100, 120, 143, 173, 191
— хопфова 92, 158
— циклическая 18
Дедуктивный корень 122
Десятая проблема Гильберта 65, 193,
198
Диаграмма Кэли 30
Дивизор 81
Дифференцирование 139, 167
Длина множества 91
— разрешимости 148
— слова 82
Задание группы 7, 10, 82
Задача о неподвижной точке
Замкнутое множество 186
Зацепление 26
189

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
249»
Идеал пополняющий 140, 158
— порядковый 142
— фундаментальный 140, 158
Изображение группы 32, ПО
Инварианты узлов и зацеплений 143
Классы эквивалентных расширений
178
Когомологическая размерность 184
Кограница 182
— двумерная 182
Кольцо Ли 159, 161
— — свободное 159
— с полиномиальными тождествами
173
Комбинаторная теория групп 10
Коммутант 66, 152
Коммутатор 152, 168
— простой 153
Коммутаторное исчисление 53, 151,
162
Коммутация 153, 155
Конгруэнц-подгруппа 40
Концы группы 36, 184
— топологического пространства 174,
184
Коса 188
Коцикл двумерный 182
— одномерный 181
Лемма Бриттона 118, 119
— Дэна 26
Лиев элемент 160
— — однородный 163
Лиево произведение 160
Локальные свойства групп 149, 192
Лупа My фанг 132
Метод Вейерштрасса 185
— Рейдемейстера — Шрейера 98,100,
105—107, 141, 212
Минимальная система Щрейера 105
Многообразие Бернсайда 168
— групп 66, 168—170
— тривиальное 170
Множество замкнутое 186
— нильсеновски приведенное 91, 105
Модуль представления 66
Модулярная группа Гильберта 43
Мономиальное матричное представ-
представление 141
— представление группы 171
Мультипликатор Шура группы 56, 66
Накрывающее пространство 173
Неразрешимая проблема разрешения
193
Несократимое слово 83, 89
Нижний центральный ряд 161, 162
Нильсеновски приведенное множе-
множество 91, 105
Нормальная форма элементов 83
Нормальный делитель 81
Обобщенная проблема распознавания
равенства 124
Обобщенное свободное произведение
115
Образующие 7
Обратное к слову слово 82
Обратный предел группы 184, 186
Однородный лиев элемент 163
Определяющее слово 82
— соотношение 10, 82
Основная теорема о конечных абеле-
вых группах 65
Первая теорема Силова 65
Первое число Бетти 178
Перенос 141
Подгруппа 81
— бесконечного индекса 101
— вербальная 169
— вполне инвариантная 151
— выделенная 14, 81
— группы с известным заданием 102!
— из нижнего центрального ряда
153
— инвариантная 81
— нормальная 14, 81
— размерная 158, 163
— свободной группы 90
— Фратини 55, 66
— фундаментальной группы базы на-
накрытия 173
— характеристическая 66
Подгрупповая топология 184, 185
— функция 150
Поле р-адических чисел 185
Полином Александера 102, 143—145 ¦
Полное произведение множества
групп перестановок 171
Полугруппа 16
— с сокращением 58, 59
Полупрямое произведение групп 175-
Пополнение алгебраической структу-
структуры 185
— группы 185
Порождающие 7, 10, 82
Представление 7
— группы 66
— мономиальное матричное 141
группы 171
Представления модуль 66
Преобразование Мёбиуса 19, 42.
— Нильсена 91, 122

:250
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Проблема башни групп 136
— — полей классов 134
— Бернсайда 5, 57, 58, 163—165
— — ограниченная 164—165
ослабленная 6
— вхождения 124
— Гильберта десятая 65, 193, 198
— корня 122
— нахождения свободных порождаю-
порождающих 96
— производных тождеств 126
— разрешения 193
неразрешимая 193
— (распознавания) равенства (слов)
25, 35, 64, 173
— — — — для групп Бернсайда 165
— — — — с одним определяющим
соотношением 5, 116, 120, 127
— -свободных групп 17, 18,
120
— — — обобщенная 124
— — сопряженности 5, 25, 35
— — — для групп Бернсайда 165
— — изоморфизма 5, 25
— — — для групп с одним соотно-
соотношением без кручения 129
— решения уравнений в группах 196
Произведение групп полупрямое 175
— — прямое 66
— древесное 191
— лиево 160
— многообразий 172
— общее 55
— свободное 18, 83, 111
— — обобщенное 115
с объединенной подгруппой 115
— скобочное 160
— слов 82
Производное тождество 125
Производный ряд 66, 154
про-уР-группа 136
Прямое произведение групп 66
Разветвленное расширение поля 133
Размерная подгруппа 158
Размерность базисного элемента 157
— когомологическая 184
— слова 157
Ранг группы 170
Расстановка скобок 153
Расширение группы 99
— — расщепляющееся 142, 175
центральное 175
— разветвленное 133
Расширения групп эквивалентные 177
"Расщепляющееся расширение группы
142, 175
Рекурсивность 193
Рекурсивная перечислимость 193
Решение проблемы распознавания
равенства 55, 111
Ряд нижний центральный 161, 162
— производный 66, 154
Свободно несократимое слово 83, 89
Свободное произведение 18, 83, 111
— — с объединенной подгруппой 115
Симметрия 62
Симплициальное разбиение топологи-
топологического пространства 179
Симплициальный клеточный комплекс
174
Система порождающих для группы
автоморфизмов 50
— факторов группы 176
— Шрейера 59, 104
— — минимальная 105
Скобочное произведение 160
Слово 82
— обратное к слову 82
— определяющее 82
— (свободно) несократимое 83, 89
— циклически несократимое 83
Сплетение 55, 171, 172
Степень элемента 159
Ступень разрешимости группы 148
Теорема Витта 161
— Голода — Шафаревича 136
— Грушко — Неймана 113
— Дезарга 145
— Дэна 99
— Дэна о свободе 121—124
— Жордана — Гёльдера 55, 100, 191
— Зсйферта — ван Ка.ипена 120
— Кострикина 165
— Куроша о подгруппах 111, 212
— Новикова — Адяна 165
— Новикова — Буна 194
— об измельчении 112
— — изоморфизме 111
— для прямых произведений
114
— о главных идеалах 134
— — группах с одним соотношением
126
— — лиевых кольцах 164
— — подгруппах 97
— — построении расширений группы
171
— основная о конечных абелевых
группах 65
— Паппа 145
— Пикела 52
— Пуанкаре 51
— Пуанкаре — Биркгофа — Витта
161, 167

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
25 Г
— Рейдемейстера — Шрейера 138
— Сельберга 51
— Си.юва первая 65
— Столлингса 184
— существования свободных произ-
произведений 83
— Титса 51
— Уитни — Грауштейна 77
— Ферма 57, 58
— Хигмана 119, 193, 195
— Хопфа 179
— Шрейера 118, 122
Теория Галуа бесконечных алгебраи-
алгебраических расширений 186
— гомологии 183
— групп когомологий 126
комбинаторная 10
— — преобразований 165
— малых сокращений 173
— HNN-расширений 118
— узлов 103
Тождество 168
— Пайффер 125
— Якоби 159
Топологический клеточный комплекс
173
— симплекс 179
Топология Зарисского 52, 186
— подгрупповая 184, 185
Узел 26
Универсальная обертывающая алгеб-
алгебра алгебры Ли 161
Условие конечности 148
— максимальности 148
— обрыва возрастающих цепей 148
цепей 148
— Энгеля 164, 166
— Мах 149
— Min 149
Финитная аппроксимируемость 51
Формула Артина 163
— Бейкера — Хаусдорфа 154, 162^
166, 167
— Ватта 161
— Холла 162, 163
Фундаментальная группа 21, 24, 27,
48, 60, 88, 100, 120, 143, 173, 191
— область 62, 81
— — для группы Пикара 41
Функция подгрупповая 150
— Эйлера группы 108
Цветная диаграмма Кэли 33
Центральное расширение группы 175>
Цепи симплексов 179
Циклически несократимое слово 83
Частные производные Фокса 139
Число Бетти первое 178
Эквивалентные расширения групп 177
Экспоненциальная матричная функ-
функция 166
Эндоморфизм 151, 169
Эрлагенская программа Клейна 61
HNN-расширение 118—120
1-полином 102, 143—145
n-я функция Эйлера группы 108-
р-группа 151
Р1-кольцо 173
Q-преобразование 123
S-rpynna 191
SQ-универсальная группа 118

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 8
Часть I
НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ
КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
Глава I. 1. Введение в часть I 10
Глава I. 2. Основание теории: теоретико-групповые исследования Дика 12
Глава 1. 3. Начало: теория дискретных групп 18
Глава I. 4. Побудительные мотивы: фундаментальные группы тополо-
топологических пространств . 21
Глава 1.5. Описание групп с помощью графов 29
Глава 1.6. Предвестники последующего прогресса 36
A. Арифметические линейные группы высших размерностей ... 38
B. Арифметически задаваемые двумерные линейные группы . . 42
C. Геометрические конструкции. Фуксовы группы 46
D. Группы кос и группы классов отображений 48
E. Дифференциальные уравнения, линейные группы и группы Ли 49
F. Конечные группы 54
Глава 1.7. Резюме -^ . . 60
Глава I. 8. Формы общения. Расширение исследований в теории групп
и их распределение 67
Глава I. 9. Биографические заметки 77
Глава I. 10. Замечания о терминологии и определениях 80
Глава I. 11. Источники 84
Часть II
СТАНОВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРУПП
КАК НЕЗАВИСИМОЙ ОБЛАСТИ
Глава П. 1. Введение в часть II 86
Глава II. 2. Свободные группы и их автоморфизмы 87
Глава П. 3. Метод Рейдемейстера — Шрейера 98
Глава 11.4. Свободные произведения и свободные произведения с
объединенной подгруппой 108
Глава П. 5. Группы с одним соотношением 120
Глава П. 6. Метабелевы группы и смежные вопросы 130
A. Теорема о главных идеалах 132
B. Применения к теории узлов и зацеплений 143
C. Одна проблема из оснований геометрии 145
D. Некоторые замечания о дальнейшем развитии и обобщениях . . 147

ОГЛАВЛЕНИЕ 253
Глава II. 7. Коммутаторное исчисление н нижний центральный ряд 150
Глава II. 8. Многообразия групп 168
Глава II.9. Топологические свойства групп и расширения групп . . 173
Глава II. 10. Замечания о некоторых специальных классах групп . . 187
Глава 11.11. Постскриптум. Влияние математической логики . . . 192
Глава II. 12. Формы общения 198
Глава II. 13. Географическое распределение исследований. Перемеще-
Перемещения ученых 204
Глава 11.14. Структура математического знания 211
Список литературы 219
Именной указатель 244
Предметный указатель 248