/
Author: Ольшанский А.Ю.
Tags: алгебра физико-математические науки математика геометрия
ISBN: 5-02-013916-5
Year: 1989
Text
\
СОВРЕМЕННАЯ
АЛГЕБРА
А. Ю. ОЛЬШАНСКИЙ
ГЕОМЕТРИЯ
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ
СООТНОШЕНИЙ
В ГРУППАХ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1989
I
J ББК 22144
0-56
УДК 512.24
Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих
соотношений в группах.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— (Совр.
алгебра) —448 с—ISBN 5-02-013916-5.
Особенностью книги является систематическое использование
элементарных топологических и геометрических фактов для
решения задач, естественным образом возникающих в алгебре. После
изложения первоначальных сведении обсуждается геометрически
наглядная интерпретация вывода следствий из определяющих
соотношений групп. Изучаются свойства плоских и- некоторых
других двумерных карт, связанные с известными вопросами общей
теории групп, такими, например, как проблемы Бернсанда и
О. Ю. Шмидта. К этим и ряду других задач применяется
развиваемый в книге метод диаграмм сокращений.
Для научных работников, аспирантов и студентов
университетов. Может служить основой для спецкурсов и спецсеминаров.
Ил. 96. Библиогр. 263 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук В. Н. Ремесленников
Научное издание
Ольшанский Александр Юрьевич
ГЕОМЕТРИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ В ГРУППАХ
Серия «Современная алгебра», выпуск 16
Заведующий редакцией II. А. Угарова
Редактор В. В. Донченко
Художественный редактор Т. Н. Иольчеико
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректоры Н. В. Румянцева, И. Я. Иришталъ
ИБ № 32386
Сдано в набор 14.06.88. Подписано к печати 06.04.89. Формат 84x108/32.
Бумага типографская № 2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 23,52. Усл. кр.-отт. 23,52. Уч.-изд. п. 24,1)4. Тираж 2330 экз.
Заказ № 247. Цена 5 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва Б-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск 77, Станиславского, 25
1602040000-068 f
0 053(02)-89 '
ISBN 5-02-013916-5
(Р\ Издательство «Наука».
^ главная редакция
физико-математической
литературы, 1989
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение • . . , , 9
Глава 1. Общие понятия теории групп 16
§ 1. Определение и примеры групп 16
1. Определение группы (16). 2. Примеры групп (18).
3. Изоморфизм групп (20).
§ 2. Циклические группы и подгруппы. Порождающие 20
1. Подгруппы (20). 2. Циклические группы (22). 3.
Подгруппы циклических групп (24), 4. Системы
порождающих (26).
§ 3. Смежные классы. Факторгруппы. Гомоморфизмы 27
1. Разбиение группы на смежные классы (27). 2.
Нормальные подгруппы и факторгруппы (30), 3. Теоремы о
гомоморфизмах (33).
§ 4. Соотношения в группах и свободные группы ... 35
1. Свободные группы (35). 2. Определяющие
соотношения (39). 3. Слова и подслова (43).
Глава 2. Основные типы групп и подгрупп .... 47
§ 5. р-подгруппы в конечных и абелевых группах ... 47
1. Классы сопряженных элементов. Центр (47). 2. р-под-
группы конечных групп (50), 3. Прямое произведение
(53). 4. Примарные разложения абелевых групп (55).
§ 6. Разрешимые группы. Тождества 58
1. Коммутант (58). 2. Разрешимые группы (60). 3. О
разрешимых и простых конечных группах (61). 4,
Тождества и многообразия (63).
§ 7. Условия конечности в группах 67
1. Локальная конечность. Условия max и min (67). 2.
Разрешимые нётеровы и артиповы группы (70). 3. Роль
инволюций (73).
Глава 3. Элементы двумерной топологии 79
§ 8. Топологическое пространство 79
1. Определение топологического и метрического
пространств (79). 2. Непрерывные отображения (81). 3. Фак-
торпростраиства (83). 4. Компактность (85). 5.
Связность (87).
§ 9. Поверхности и их клеточные разбиения .... 90
1. Теорема Жордана (90). 2. Комбинаторное определение
поверхности (91). 3. Сравнение различных
триангуляции (94). 4. Клеточные разбиения поверхностей (96).
5. Графы на поверхности (99).
^*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 10. Топологические инварианты поверхностей . . . 100
1. Эйлерова характеристика (100). 2. Следствия для
графов (101). 3. Ориентируемость поверхности (104).
4. Фундаментальная группа клеточного разбиения (107).
5. Вычисление фундаментальных групп поверхностей
(109).
Глава 4. Диаграммы над группами 114
§ ,11. Наглядная интерпретация вывода следствий
определяющих соотношений 114
1. Несколько примеров (114). 2. Понятие диаграммы
(116). 3. Лемма ван Кампена (119). 4. Кольцевые
диаграммы. Поддиаграммы (120). 5. 0-измельчение
диаграммы (122). 6. Сократимые пары клеток £124).
§ 12. Теория малых сокращений 125
1. Условия С'(Х) и C(h) (125). 2. Диаграммы над
группами с малыми сокращениями (126). 3. Алгоритм
Дева (130). 4. Пример А. И. Гольберга (131). 5.
Дополнительные замечания (133).
§ 13. Градуированные диаграммы 135
1. Примеры разбиения множества определяющих слов
(135). 2. Градуировка карт и диаграмм (138). 3.
Согласованные участки (140)" 4. Асферичность копредставле-
ния (143). 5. Аторичность (145).
Глава 5. А-карты 149
§ 14. Подкарты примыкания 149
1. Замечания о градуированных картах (149). 2. Связки
и подкарты примыкания (151). 3. Выделенные системы
подкарт примыкания (154). 4. Оценочный граф (156).
§ 15. Условия на градуировку 159
1. Вспомогательные параметры (159). 2. Условие А и
гладкие участки (160). 3. Связки и примыкания в
А-картах (162).
§ 16. Внешние дуги и ^-клетка 160
1. Определение весовой функции (166). 2.
Распределение весов в А-карте (167). 3. Существование 7-клетьи
(170).
§ 17. Пути, близкие к геодезическим, и разрезы А-карт 172
1. Сравнение длин гомотопных путей (172). 2. Разрез
кольцевой карты (174). 3. р-клетки (175). 4. Разрезы
дисковых карт (179).
Глава 6. Соотношения периодических групп .... 182
§ 18. Свободные бернсайдовы группы больших
нечетных периодов 184
1. Определяющие соотношения (184). 2. Первые
следствия индуктивных предположений (185). 3. Сравнение
периодических слов (187). 4. Нечетность показателя п
(192).
§ 19. Диаграммы как А-карты. Свойства групп B(9t, n) 193
1. Очень длинные периодические слова (193). 2.
Завершение индуктивного доказательства (196). 3. Группы
конечного периода (199).
Глава 7. Карты с дробными границами клеток . . . 204
§ 20. Оценочные графы для В-карт 204
1. Подкарты примыканий (204). 2. Выделенные подкар-
ОГЛАВЛЕНИЁ 5
ты примыкания (207). 3. Оценочные графы (208).
4. В-карты и их гладкие участки (210).
§ 21. Примыкания и веса в В-картах 212
1. Неравенства для подкарт примыкания (212). 2.
Распределение весов (215).
§ 22. Существование гу_клетк11 п его следствия . . . 220
1. v-клетка (220). 2. «Почти геодезические» пути (221).
3. Разрезы кольца и сферы с тремя дырами (222).
4. Применение Р-клеток (223).
§ 23. С-карты 225
1. Условие С (225). 2. Весовая функция для С-карт (226).
3. Веса внутренних и внешних ребер (227). 4. Строение
С-карт (232).
§ 24. Другие условия на разбиение границы карты 235
1. D-карты (235). 2. Карты на сфере с тремя дырами
(238). 3. Пути без самопересечений на сфере с тремя
дырами (.243).
Глава 8. Разбиения определяющих слов 246
§ 25. Схема задания групп G(i) и их свойства .
1. Вид соотношений (240). 2. Аналоги лемм главы 6
(249). 3. Сопряженность и перестановочность в ранге г
(251). 4. Диаграммы на сфере с тремя дырами (255).
§ 26. Индуктивный переход к G(; + l). Группа G(oo) 257
1. Подслова определяющих слов (257). 2. Диаграммы
ранга г + 1 как В-карты (262). 3. Строение группы
G(oo) (266).
Глава 9. Конструкции групп с заданными свойствами 269
§ 27. Построение групп с подгруппами ограниченных
порядков 269
1. Вопросы о строении групп с условиями конечности
(269). 2. Определяющие слова (270). 3. Проверка
условия R (271). 4. Порождающие пары для G(°o) (274).
§ 28. Группы с циклическими подгруппами .... 276
1. Основные теоремы (276). 2. Алгоритмические
вопросы (279). 3. Континуальность множества неизоморфных
квазиконечных групп (283).
§ 29. Тождества нестепсннбго вида 286
1. Одна задача из книги X. Нейман (286). 2. Конечные
группы в многообразии SW (286). 3. Определяющие
соотношения 2f-свободной группы (288). 4. Проверка
условия R (289).
§ 30. Многообразия, в которых конечные группы абелевы 292
1. Коммутаторы в G(i) (292). 2. Определяющие
соотношения ранга г+1 (295). 3. Основная теорема (298).
Глава 10. Расширения асферических групп .... 300
§ 31. Центральные расширения 300
1. Соотношения из взаимного коммутанта [F, N] (300).
2. Некоторые группы без кручения (304). 3. Счетная
нетопологизируемая группа (307). 4. Проблема
конечного базиса тождеств (309). 5. Другие примеры (311).
§ 32. Абелевы расширения и зависимости между
соотношениями 313
1. Максимальное абелево расширение (313). 2.
Геометрические зависимости (314). 3. Модуль соотношений
(317). 4. Преобразования Пайфер (322). 5. Алгебраиче-
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
екая независимость соотношений асферических групп
(325).
Глава 11. Копредставления в свободных произведениях 330
§ 33. Диаграммы сокращений над свободными
произведениями 330
1. Свободное произведение (330). 2. Копредставления и
диаграммы (333). 3. Свойства карт (336).
§ 34. Копредставления с условием R 341
1. Перенос на свободные произведения (341). 2.
Централизаторы и конечные подгруппы (345). 3. Пример
(346). 4. Замечание о центральных расширениях (348).
§ 35. Теоремы о вложениях групп 349
1. Вложения счетных групп без инволюций (349). 2.
Несколько следствий (352). 3. Подгруппы квазиконечных
групп (357). /
§ 36. Операции над группами 358
1. Точные операции (358). 2. Операции о™ (361). 3.
Построение операций Пя в классе всех групп (366).
Глава 12. Приложения к другим задачам 372
§ 37. О функциях роста групп и их копредставленпй 372
1. Степени роста (372). 2..Аменабельность (374). 3.
Леммы о внешних клетках (377). 4. Периодические неаме-
набельные группы (380).
§ 38. О групповых кольцах нётеровых групп .... 383
1. Вопрос Ф. Холла (383). 2. Нётерова группа G (384).
3. Правые идеалы в K[G] (386).
§ 39. Еще несколько применений метода 389
1. Подгруппы свободных n-периодичееких групп (389).
2. Об аппроксимации свободных ?г-периодических групп
(391). 3. Автоморфно допустимые подгруппы
свободных групп (395). 4. Об аппроксимации групп Fm (397).
5. Значения слов и вербальные подгруппы (398). 6.
Разные задачи (402).
Глава 13. Соотношения сопряженности 406
§ 40. Клетки для сопряженности 407
1. Условия на карты (407). 2. Примыкания в Н-картах
(409). 3. Весовые оценки (410). 4. Геометрия Н-карт
(412).
§ 41. Конечно порояаденные делимые группы .... 415
1. Сопрягающие слова (415). 2. Сокращения клеток (416).
3. Основные леммы (418). 4. Индуктивный шаг (422).
5. Две теоремы (424).
Список литературы 427
Именной указатель 440
Предметный указатель 443
Некоторые обозначения 447
ПРЕДИСЛОВИЕ
Группы вездесущи в математике и встречаются
обычно в виде групп преобразований. Более того, всякая
абстрактная группа реализуема как группа преобразований.
Однако для изучения внутреннего строения группы часто
удобнее другой универсальный способ описания
произвольной группы, состоящий в задании порождающих
элементов и основных (определяющих) соотношений
между ними.
Такое описание группы эффективно лишь в том
случае, когда оно позволяет получить содержательную
информацию о следствиях определяющих соотношений.
Состоящий из элементарных шагов
комбинаторно-алгебраический способ нахождения следствий, тем не менее, очень
плохо обозрим ввиду своей разветвленности и
неоднозначности. В то же время наглядное понятие диаграммы
над группой отражает процесс вывода следствия, а не
только конечный результат, что и объясняет роль
диаграмм в настоящей книге.
В этой книге простые геометрические и топологические
средства используются для решения ряда известных
задач теории групп, остававшихся до последнего времени
открытыми. Книга написана.на основе цикла работ 80-х
годов, выполненных автором и его учениками.
В первых главах даются первоначальные сведения
о группах и топологических пространствах, т. е. книга
адресована не только специалистам, но и студентам,
причем начиная с младших курсов. Для облегчения работы
читателя автор сознательно пошел на определенное
дублирование; доказательства лемм из глав 5 и 6
повторяются и обобщаются в главах 7 и 8 для решения более
широкого круга вопросов. Ради единообразия изложения
в этой книге почти все оригинальные доказательства
были переработаны. Рекомендуется также заглядывать в
предметный указатель.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Толчком к работе в новом направлении оказалось для
автора общение с Э. Б. Винбергом, который пригласил его
в 1975/76 учебном году стать соруководителем семинара
«Геометрия и группы» для студентов МГУ. Автор
выражает Э. Б. Виибергу свою глубокую признательность.
Автор сердечно благодарит С. В. Иванова, беседы с
которым существенно отразились на изложении материала.
В. С. Губа прочел рукопись и сделал ряд полезных
замечаний, за что автор ему искренне благодарен. Автор
благодарит рецензента и редакторов книги. Пользуясь
случаем, автор выражает благодарность "коллективу кафедры
высшей алгебры Московского университета, в котором он
имеет честь работать, а особенно — А. Л. Шмелькину,
под чьим руководством автор пришел на эту кафедру.
ВВЕДЕНИЕ
Отношения между алгеброй и геометрией
характеризуются, по-видимому, неравноправием сторон. Диалектику
их взаимосвязей точнее отражает формула «геометрия —
алгебра — геометрия», нежели зеркальная копия этой
схемы. Достаточно вспомнить для убедительности
несколько исторических примеров, таких как идея координатиза-
ции Декарта, или Эрлангенская программа Клейна, или
развитие алгебраической топологии начиная" с понятия
фундаментальной группы Пуанкаре. Хотя на уровне
отдельных фактов можно доказывать и обратное, типично
все-таки одностороннее движение, когда алгебраические
понятия используются, а часто и возникают при
изучении геометрических и топологических объектов.
Особенностью настоящей книги является
систематическое следование не совсем обычной формуле «алгебра —
геометрия — алгебра» и применение элементарных
топологических и геометрических соображений для решения
вопросов, естественным образом возникших в алгебре.
На этом пути получено решение ряда старых задач
теории групп. При этом речь идет в основном об общих,
алгебраических вопросах тех ее разделов, которые ранее
разрабатывались без привлечения какой-либо
геометрической интуиции. И, напротив, в книге совсем не
затрагиваются, скажем, группы, порожденные отражениями,
или другие дискретные группы явно геометрического
происхождения, негеометрическое изучение которых трудно
себе представить.
Простое, но важное для комбинаторной теории групп
наблюдение, сделанное ван Кампеном в 1933 г. [188],
оставалось незамеченным более трех десятилетий (в отличие
от многих других работ этого крупного математика). Суть
леммы ван Кампена состоит в наглядной геометрической
интерпретации вывода следствий из определяющих
соотношений группы. Представление о таком способе изобра-
• 0 ВВЕДЕНИЕ
жения следствий можно получить из рисунков 1а) и 16),
где показан вывод следствия а2Ь3 = Ъъа2 из соотношения
аЪ = Ьа и вывод следствия Ь6 = 1 из соотношений Ъ2 = а
и а3 = 1: при обходе границы любой области карты
читается одно из заданных определяющих слов {аЪа~хЪ~1
а о
Рис. 1
в первом случае и Ъ2оГх и а3 во втором случае), а при
обходе границы всей карты читается следствие (а2Ьъа~2Ь~3
в первом случае и Ъ% — во втором), если при движении
по ребру против стрелки читать обратную букву.
Кроме алгебро-геометрической окраски лемма ван
Кампоиа имеет и логическую, ибо в «диаграммах»
содержится не только информация о данных соотношениях и их
следствиях, но и адекватно отражен процесс вывода
следствий. Ее универсальный характер делает геометрический
подход естественным для широкого класса задач
комбинаторной теории групп. Тем удивительнее то обстоятельство,
что только в середине 60-х годов лемма ван Кампена
впервые была использована в работах Линдона [207]
и Вайнбаума [260] для теории «малых сокращений». (При
этом Линдон «переоткрыл» эту лемму заново.)
Алгебраическое изучение условий малых сокращений
в группах начал В. А. Тартаковский в 1949 г. [115]. Им,
а затем Бриттоном [141], Шиком [241], М. Д. Гриндлинге-
ром [159], [160] были найдены алгоритмы для
распознавания равенства слов в группах, определяющие соотношения
которых заданы словами со свойством «малого»
сокращения при умножении. Эти алгоритмы обобщают
алгоритм Дена [154] для фундаментальных групп компактных
2--многообразий. Линдой и Вайнбаум в прямом смысле
увидели, что означают малые сокращения для диаграмм
вывода, и принципиально упростили громоздкие
обоснования свойств групп с различными условиями ма-
ВВЕДЕНИЕ
И
лых сокращений — всего лишь с помощью формулы
Эйлера для плоских графов. Более тонкие соображения,
которые можно рассматривать как дискретные аналоги
формулы Гаусса — Бонне для площадей и кривизн,
позволили Линдону предельно ослабить традиционные условия
малых сокращений. Дальнейшие результаты в этой
области получены Липшуцом, Шунпом, А. И. Гольбергом
и другими авторами. Этой теме посвящена
заключительная глава 5 монографии Линдона и Шуппа
«Комбинаторная теория групп» [66].
Доказано, что группы с обычными условиями малых
сокращений близки по своим свойствам к свободным:
в них есть свободные подгруппы, они «насыщены»
нормальными подгруппами и т. п. Это обстоятельство
ограничивает возможности применения традиционной теории
малых сокращений, хотя такие приложения все-таки
имеются, например, к алгоритмической проблеме равенства
для групп альтернированных узлов (Вайнбаум [261], Ап-
пель и Шупп [133]; см. также [66]). Как правило же,
условия малых сокращений сразу выходили па первый
план, т. е. изучались группы, в которых эти условия
заранее предполагались данными. По этой причине не
было геометрического подхода к изучению групп, в которых
обычные условия малых сокращений заведомо не могут
выполняться,— периодических групп, простых групп,
групп с условиями обрыва цепей подгрупп и многих иных
важных типов групп.
В настоящей книге раскрываются новые грани
топологического подхода к групповым соотношениям.
Оказывается, можно зримо представить себе геометрические
ограничения, возникающие из задания определяющими
соотношениями значительно более обширных классов
групп — бернсайдовых, простых, артиновых, нётеро-
вых и др.
Бернсайдова проблематика в теории групп охватывает
большой круг вопросов — от «неограниченной» проблемы,
первый контрпример к которой найден Е. С. Голодом
[24] в 1964 г., до «ослабленной» проблемы, где
общепризнанным ориентиром являются работы А. И. Кострикина
[57], [59]. Эта тема давно перешагнула рамки теории групп.
Однако сам Бернсайд [143] особо выделил вопрос о
локальной конечности групп с тождеством хп = 1,
решенный отрицательно в замечательной серии статей [79], [80]
П. С. Новикова и С. И. Адяна. Комбинаторный анализ
12 ВВЕДЕНИЕ
преобразований слов, связанных с тождеством хп = 1, при
нечетных п > 4381 (а затем — при нечетных п > 665
в книге С. И. Адяна [5]) увенчался успехом после
доказательства большого количества утверждений путем
сложной совместной индукции. «Возможно, эта работа
является самой трудной для чтения среди всех работ по
математике, которые когда-либо были написаны»,—
подчеркивают Магнус и Чандлер в историческом очерке [118]
(с. 57), оценивая достижение П. С. Новикова и
С. И. Адяна.
Индуктивные построения типичны и для настоящей
книги, хотя они далеко не столь масштабны. Кроме того,
как и в [80], [5], важную роль играют периодические
слова, т7 е. слова с периодически повторяющимися буквами
в их записи. Эти общие элементы наводят на мысль о
сопоставлении нашего геометрического подхода и
аксиоматического исчисления Новикова — Адяна. Условно их
можно соотнести как методы, идущие от Линдона, с
одной стороны, и от В. А. Тартаковского, с другой стороны,
в традиционной теории малых сокращений (хотя это
сравнение, как и всякое иное, конечно, хромает).
Геометризация, первоначально охватившая условия сокращений,
оказывается возможной теперь и в случае значительно
более широкого круга задач комбинаторной и общей
теории групп. Несомненно, что в ближайшее время
продолжится как увеличение сферы применения геометрических
понятий, так и углубление понимания обнаруживаемых
алгебро-геометрических связей. Возможно, например, что
дополнительные перспективы открывают гиперболические
группы, которым посвящена недавняя работа М.
Громова [165].
Геометрический язык дает ряд явных преимуществ.
(К примеру, какой алгебраический или логический
эквивалент нужно использовать вместо наглядной теоремы
Жор дана о замкнутой кривой на плоскости?) Он
обеспечивает новые возможности: применение оценочных
графов, индукцию по числу областей карты, разрезы и
склейки диаграмм, сравнение путей с геодезическими и т. д.
Теоретико-групповая задача часто сводится к
вопросу о картах, в котором уже не содержится каких-либо
«групп», «соотношений» или «слов». Этих терминов
совсем нет, скажем, в таких ключевых главах, как 5 и 7.
Формально изложение не требует специальной
подготовки читателя. Предполагается лишь знакомство с таки-
ВВЕДЕНИЕ
13
ми понятиями, как отображения множеств, определители,
линейные пространства, математическая индукция,
непрерывность функции действительной переменной, т. е. лишь
с теми терминами, с которыми происходит знакомство в
самом начале любого университетского курса. Однако во
второй половине книги изредка встречаются
дополнительные понятия (например, групповое кольцо), а к концу
книги автор учитывает также, что некоторые соображения
становятся для читателя стандартными. В зависимости от
задач, поставленных перед собой читателем, он может
осваивать материал в объеме 6, 9, 10, ..., 13 глав.
Остановимся подробпее на общем плане книги.
Первая и вторая главы отведены основным понятиям
теории групп, причем читатель может пропустить
вторую, если он не намерен продвигаться далее главы 6.
В главе 3 приводятся самые простые сведения из
двумерной топологии. В главе 4 читатель познакомится с
языком доказательств: с понятием карты и диаграммы,
леммой ван Кампепа и ее приложением к группам с
условием малых сокращений.
В главе 5 вводится важное понятие подкарты
примыкания в градуированной карте, которое позволяет в
дальнейшем изучать карты с точки зрения некоторой
геометрии близости и областей. Альтернатива для двух областей
«иметь или не иметь общую границу» заменяется
понятием подкарты примыкания, которое значительно точнее
учитывает взаимное расположение областей. Отметим,
что идея обобщенных примыканий в градуированных
картах возникла не только в статьях автора книги, но и в
работе Рипса [233]. В [233], однако, условие на карты иное,
чем наше условие А, а вопрос о выполнимости
рассмотренных условий для каких-либо интересных классов групп
остался там нераскрытым.
Далее можно познакомиться с рядом характерных
черт нового геометрического подхода. Изучаются карты
с ограничениями на степени примыканий различных
областей. Выводятся важные технические оценки
количества внешних и внутренних ребер А-карт, доказывается
существование «коротких» разрезов этих карт. При
доказательствах важную роль играют пути в карте, близкие
к геодезическим.
В главе 6 изучаются соотношения периодических
групп. В частности, задаются определяющие соотношения
свободных бернсайдовых групп В (те, п) достаточно боль-
14 ВВЕДЕНИЕ
шого нечетного показателя п и передоказывается теорема
Новикова — Адяна для таких показателей. Наша оценка
п> 10ю (см. [95]), конечно, хуже, чем в работах [80], [5],
и чтобы не отвлекаться па скучные численные выкладки,
мы приводим здесь доказательство без точного
вычисления нижней границы для показателя п. В то же время
приводимое доказательство существенно короче
оригинального из [80], [5].
Глава 7 играет вспомогательную роль. Здесь
развивается метод главы 5, что делает возможным в
последующих главах 8 и 9 изучение соотношений новых видов,
описывающих группы с совершенно неожиданным
устройством. Построение этих групп дает ответы на
известные вопросы о строении нётеровых и артиновых групп
(проблемы максимальности и минимальности).
Конструируются неабелевы квазиконечные группы (т. е.
бесконечные группы, все собственные подгруппы которых
конечны), что является решением- проблемы О. Ю. Шмидта.
Все примеры излагаются в наиболее сильном варианте,
отвечающем на вопрос А. Тарского о существовании
бесконечных групп, все собственные подгруппы которых
имеют один и тот же простой порядок. Та же общая
конструкция положена далее в основу решения
известного вопроса о тождествах [76] (проблема 5): найдено
тождественное соотношение w(x, г/)=1, которому
удовлетворяет некоторая пеабелева группа (она эффективно
задается своим копредставлепием), в то время как любая
конечная группа с тождеством w(x, г/)=1 абелева.
Построенные группы являются асферическими, что
позволяет в главе 10 описать для них модули
соотношений и свойства их абелевых и центральных расширений.
В числе центральных расширений — группа А(т, п)
С. И. Адяна и другие полезные примеры, которыми даются
ответы на известные вопросы (например, на вопрос
А. А. Маркова о существовании счетной нетопологизируе-
мой группы, поставленный в [72], на вопрос Ф. Холла
и др). Попутно, в связи с известной в свое время
проблемой конечности базиса тождеств, приводится
бесконечная система групповых тождеств, не эквивалентная
никакой конечной системе.
Для соотношений, дополнительно налагаемых на
свободное произведение групп (а не на свободную группу),
также можно использовать методы глав 4—10, что ведет
в главе 11 к новым конструкциям и доказательству раз-
ВВЕДЕНИЕ
15
личных теорем вложения. Найдены, например, все
конечные группы, которые могут быть подгруппами
квазиконечных групп. Доказана новая теорема вложения: всякая
счетная группа G без элементов четных порядков вложи-
ма собственным образом в такую группу А, все
собственные подгруппы которой конечны или сопряжены с
подгруппами группы G. Отсюда получаются разнообразные
следствия, например несчетные артиновы группы,
существование которых долгое время было открытой
проблемой (см. [63], [62]). Рассмотрены и другие задачи.
В главу 12 вошли результаты разного характера,
объединенные геометрическим подходом к изучению
соотношений в группах с помощью градуированных
диаграмм. Во-первых, оценивается «рост» копредставления
для построенных ранее групп. Это позволяет с помощью
критерия Р. И. Григорчука [28] заключить, что такие
группы опровергают восходящую к работе Дж. фон Неймана
[220] гипотезу об аменабельности любых групп без
свободных подгрупп ранга 2. Далее доказывается одна
теорема о подгруппах свободной периодической группы
и строится нётерова группа с ненётеровой групповой
алгеброй. Решается одна задача Ф. Холла о вербальных
подгруппах4, приведено несколько аппроксимационных
теорем.
В последней главе изучается еще один тип
соотношений — соотношения сопряженности, налагая которые,
В. С. Губа [37] построил конечно порожденные делимые
группы, решив тем самым старую проблему (а заодно
дал ответ на один вопрос Д. В. Аносова). Избранное в
книге изложение этой темы предложено С. В. Ивановым;
оно позволяет конструировать группы, отвечающие и на
другие вопросы.
Если содержание глав 5—9 связано, в основном, с
работами автора, то в главах 10—13 в неменьшей степени
использованы результаты В. С. Атабекяна, И. С. Ашмано-
ва, В. С. Губы, Г. С. Дерябиной, С. В. Иванова и В. Н.
Образцова.
ГЛАВА 1
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
В настоящей книге, посвященной специальному
разделу теории групп, используются лишь основные понятия
общей теории. Их можно найти, конечно, как в вводных
теоретико-групповых курсах, так и в общих руководствах
по алгебре (например, в монографиях [18], [51], [58], [62],
[(55], [101], [117]). Но для удобства читателя
представляется все-таки целесообразным привести и здесь
необходимые определения и соглашения. Известными считаются
лишь самые основные теоретико-множественные понятия,
такие как пересечение и объединение множеств,
отображение одного множества в другое (биективное, инъектив-
ное, сюръективное).
§ 1. Определение и примеры групп
1. Определение группы. Под алгебраической
операцией па множестве G понимается закон, по которому
каждой упорядоченной паре элементов х, у е G
сопоставляется некоторый элемент z^G. Более формально,
алгебраическая операция — это отображение / декартова квадрата
G X G в G. Однако запись вида z = f(x, у) всегда
упрощают. Вместо этого пишут, например, z = x ■ у или
z = x + y, обозначая операцию знаками «•» или «+»;
пригодны и любые другие знаки: «*», «°», ... Еще
чаще знак операции совсем опускается: z = xy, c=ab
и т. д.
Множество G с заданной на нем операцией •
называется группой, если:
1) операция • ассоциативна, т. е. для всяких а, Ъ, с<=
sG выполняется равенство (ab)c — а(Ьс);
2) существует такой элемент е^б, что ае = еа — а
для всякого flefi (e называется единицей в G);
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ГРУПП 17
3) для всякого элемента а е G существует обратный
элемент (он обозначается а"1) такой, что аа~1 = а~ха = е.
Группа G называется абелевой или коммутативной,
если для всяких а, Ъ е G справедливо равенство аЪ = Ъа.
В абелевых группах часто используется аддитивная
запись операции, т. е. употребляют «+» как знак
операции. В таком случае вместо е пишут 0, а третья
аксиома имеет вид а + (—а) = (—я) + а = 0.
Легко видеть, что единица в группе G есть лишь
одна: если еще и ае' = е'а = а для всякого а, то, в
частности, ее' = е, но из условия 2) при а = е следует, что
ее' = е', откуда е = е. Единствен и обратный для
каждого а: если еще аоа = е, то
а0 = а0е = ao(acr') = (аоа) а-1 = ea~l = a-1.
Заметим еще, что всегда (ab)~1 = b~la~l, так как
(ab) (b-la-1) = ((ab)b-1)a-1 =
= (a(bb~1))d~1 =(ae)a~l = аа~} = е.
Аксиома ассоциативности используется часто в
формально более сильном виде, чем 1). Она позволяет
опускать скобки и вместо (аЪ)с или а(Ъс) писать аЪс, но эта
же аксиома позволяет легко доказать по индукции, что
произведение нескольких сомножителей афч ...ah в
группе G при заданном порядке множителей не зависит от
способа расстановки скобок. Тем самым придается
однозначный смысл записи степени ah для а ^ G я любого
целого положительного показателя к. Удобно считать, что
й° = е, а для отрицательных целых показателей к по
определению ah = (a_1)~\ (При аддитивной записи
операции пишут ка вместо ah и называют ка кратным
элемента а.) Равенства атап = ат+п и (am)" = amn, очевидные
для положительных показателей, справедливы в группе и
для любых целых т, п. Проверку, сводящуюся к
рассмотрению возможных сочетаний знаков в паре т, п,
оставляем как упражнение.
Во всякой группе равенства ах = Ъ и х = а~{Ъ
равносильны, ибо переход от первого ко второму осуществляется
путем умножения обеих частей слева на а-1, так что
уравнение ах = Ъ обладает в точности одним решением a~lb.
Аналогично у уравнения уа-=Ъ существует единственное
решение у = Ьа~\
2 А. Ю, Ольщанский
18 ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
Группа G называется конечной, если конечно число
всех ее элементов, т. е. конечно множество G. В
противном случае группа G называется бесконечной. Число
элементов конечной группы G называют ее порядком; пишут
\G\ = га.
2. Примеры групп. Понятие группы является
результатом абстрактного описания общих свойств различных
групп симметрии и преобразований. Приведем несколько
примеров групп, начиная с групп преобразований.
1. Пусть М — некоторое множество, скажем
множество чисел {1, 2, ..., га}. Обозначим Sym(if) множество всех
биективных отображений а: М -+■ М. Такие отображения
называют также перестановками на множестве М. Они
могут задаваться двумя строками, если множество М
конечно: например, в случае М = {1, 2, 3, 4} и а(1) = 2,
а (2) = 4, а(3) = 3, а (4)= 1 пишут
/1 2 3 4\
Если умножением в Sym(M) считать последовательное
выполнение двух отображений, то Sym (M) — группа,
единицей которой служит тождественное отображение. В
случае М = {{, 2, ..., га) группу Sym (Ж) обозначают также
Sym (га) и называют симметрической группой га-й
степени. Ее порядок равен га!, она неабелева при га &> 3,
например, в Sym(3)
1 2 3W1 2 3\ _ /1 2 3\ /1 2 3\ _ /1 2 3\ /1 2 3\
2 1 г)[з 2 i) ~ [з 12)^[2 з i; ~ (з 2 {)[г i зу
2. Все невырожденные матрицы порядка га с
элементами из некоторого поля К (в качестве К можно взять
или все вещественные числа, или все комплексные
числа, или все рациональные числа) образуют группу
GL(ra, К) относительно обычного умножения матриц. Эта
группа может быть реализована также как группа всех
иевыроягденных линейных операторов га-мерного
пространства над К относительно последовательного их
применения. Легко проверить, что группа GL(ra, К)
неабелева при га 5* 2.
3. Рассмотрим на евклидовой плоскости какую-либо
«достаточно правильную» фигуру F, т. е. фигуру,
обладающую несколькими симметриями. (Например,
правильный га-угольник переходит в себя при поворотах плоскости
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ГРУПП
19
вокруг его центра на углы вида 2лк/п, а также при
зеркальных отражениях относительно га осей, проходящих
через его центр). Поскольку последовательное
выполнение изометрических, т. е. сохраняющих расстояния,
преобразований плоскости, переводящих F в F, снова обладает
этим же свойством, равно как и обратные
преобразования, можно говорить о группе симметрия фигуры F.
В случае правильного га-угольника эта группа имеет
порядок 2га (га поворотов на углы 2лк/п, где к =0, 1, ...
. . ., га — 1, ига зеркальных симметрии) и называется
группой диэдра D (га).
Можно ввести и бесконечную диэдральную группу
D(°°), если «правильным °°-уголышком» назвать
координатную прямую ОХ, а его вершинами — все точки на ней
с целыми координатами (га; 0). Группа D(°°)
составляется из всех сдвигов плоскости вдоль ОХ на векторы вида
(га; 0) и всех зеркальных отражений относительно
прямых х = гаг/2, где гаг — целое число.
4. Если К — множество всех вещественных чисел, или
всех комплексных чисел, или всех рациональных чисел,
или всех целых чисел, или, вообще, К — произвольное
кольцо, то относительно сложения все числа из К
образуют абелеву группу. Аддитивная группа всех целых
чисел обозначается Z. Вычеты по модулю га образуют
группу по сложению Z(ra) порядка га.
5. Если К — множество всех действительных, или всех
комплексных, или всех рациональных чисел (или,
вообще, К — любое поле), то все ненулевые числа из К
образуют абелеву группу К* относительно умножения.
Число примеров групп неограниченно увеличивается
с помощью различных конструкций, позволяющих из
известных групп строить новые. Одной из наиболее важных
является конструкция декартова произведения.
Пусть G\, . . ., Gn — группы. Рассмотрим декартово
произведение G = G\ X ... X Gn множеств G\, ..., Gn, т. е.
множество последовательностей (аи Яг, • •., ап), где
Я( s Gt. Очевидная проверка убеждает в том, что
покомпонентное умножение
(аи .. ., ап) (bu .. ., bn) = {aib\, ..., a„bn)
превращает G в группу, которая называется декартовым
произведением групп G(, i = 1, . .., га. При необходимости
определение легко распространяется на случай любого
(бесконечного) множества сомножителей Gt. Порядок
2*
20 ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
декартова произведения G = G\ X ... X Gn конечных
групп равен IGil • |G2! ■... • \Gj.
3. Изоморфизм групп. Общая идея отождествления
одинаковых математических структур формализуется при
изучении групп в следующем определении изоморфных
групп.
Биективное отображение / группы G на группу Я
называется изоморфизмом групп, если для всяких х, у е G
выполняется условие /(ху) = /(х)f(у), т. е. /
«сохраняет» групповую операцию. Группы G и Я называются
изоморфными, если существует изоморфизм G ->- Я; пишут
Gaff.
Подставляя е вместо у, видим, что /(e)— единица
группы Я. Из определения следует также, что /(аг') =
= f(x)~\ что Я абелева тогда и только тогда, когда G —
абелева группа, и т. д. Список абстрактных свойств,
которые переносятся на все изоморфные группы, можно
неограниченно продолжать.
Отметим здесь для иллюстрации лишь две пары
изоморфных групп.
1. Если G = D(3), a ff = Sym(3)', то изоморфизм
G -*■ Я можно осуществить с помощью нумерации вершин
правильного треугольника. Тогда каждой симметрии из
G сопоставляется вызванная ею перестановка трех
вершин треугольника, т. е. перестановка на множестве
(1, 2, 3).
2. Если G — аддитивная группа всех вещественных
чисел, а Я — мультипликативная группа положительных
вещественных чисел, то изоморфизм между ними можно
задать с помощью отображения f(x) = ax, где а>0 и
аФ 1, поскольку при этом / — биекция, и
/ (Ж + у) = а*+у = а*а? = / (х) f(y).
Обратный изоморфизм f~l: Н -+ G есть логарифмирование.
Изоморфность групп G и Я имеет важное следствие для
вычислений, позволяя умножение (т. е. операцию в Я)
заменить сложением логарифмов чисел (операцией в G).
§ 2. Циклические группы и подгруппы.
Порождающие
1. Подгруппы. Подгруппой группы G называется
такое непустое подмножество Н <= G, что:
1) произведение аЪ принадлежит Я, если а е Я и
Ь е Я;
§ 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУППЫ
21
2) если а <= Я, то и а~х <= Н.
Из определения немедленно вытекает, что единица
группы G принадлежит Я, так как если а е= Я, то аа~1 е= Я
в силу условий 2) и 1). Поэтому подгруппа Я, в свою
очередь, является группой относительно операции,
определенной в G.
Назовем несколько примеров подгрупп для групп
из § 1.
1. В группе Зут(гс) четные перестановки образуют
подгруппу Alt (и), как следует из теорем курса алгебры
о четности произведения и четности обратной
перестановки.
2. Используя теорему об определителе произведения
двух матриц, заключаем, что все матрицы с
определителем 1 образуют подгруппу в GL(n, К). Она
обозначается SL(n, К). Правило вычисления обратной матрицы
позволяет утверждать, что подгруппами в GL(n, К)
являются также множество Т(п, К) треугольных
матриц (с нулями под главной диагональю) и подмножество
унитреугольных матриц UT(re, К). (Дополнительное
условие — диагональные элементы равны 1.)
3. Группа диэдра Т)(т) является подгруппой в Т)(п),
если п делится на т, поскольку в этом случае т из п
вершин правильного n-угольника являются вершинами
правильного т-уголышка.
4. При расширении понятия числа (от целых — к
рациональным — к вещественным — к комплексным)
получается цепь вложенных одна в другую аддитивных
подгрупп. В группе Z подгруппу образуют четные числа (2Z)
ц аналогично числа, кратные фиксированному целому п
(подгруппа пЪ).
5. Пусть С* — мультипликативная группа всех
комплексных чисел. Тогда для всякого целого
положительного п все корни n-ii степени из 1 образуют
в С* подгруппу Сп. Действительно, если хп = 1 и уп = 1,
то {ху)п = хпуп = 1, ибо С* — абелева группа. Кроме
того, (х-1)" = {хп)"х = I"1 = 1. Всего, как известпо, сущест-
-. 2пк . . 2пк
вует п корней из 1 степени п: с,п = cos~ + l sm~'
к = 0, 1, ..., п — 1, т. е. С„ — группа порядка п.
Очевидно, С», <= Сп, если п делится на т. Для
простого р можно образовать бесконечную цепь влоя;енпых
одна в другую подгрупп Ср с: С8 сг . .., объединение под-
22
ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
групп которой U С k называют группой типа р и обо-^
ft=i p
значают Ср00.
Тот факт, что С „о — подгруппа в С*, является
частным случаем следующего общего утверждения: объеди-
оо
нение Н = U Hh любого множества подгрупп, образую-
щих возрастающую цепь Н\ а Я2 с . .. в произвольной
группе G, является подгруппой в G. В самом деле, если
а, Ъ е Я, то а ^ Hi, & е Я, для некоторых i, /, откуда
и, И Ятах(4] J,, и ао <= #тах(<> л <= Я.
Пересечение Н\ П Я2 двух подгрупп Я[ и Яг группы G,
очевидно, всегда есть подгруппа в G (равно как и
пересечение П Нг любого множества подгрупп).
2. Циклические группы. Конечно, в каждой группе
есть очевидные подгруппы — подгруппа {е}, состоящая
только из единицы группы G, и, наоборот, подгруппа,
состоящая из всех элементов группы G. Эти две
«тривиальные» подгруппы называются несобственными подгруппами
группы G, а любая другая подгруппа называется
собственной подгруппой в G.
Какие же подгруппы, кроме тривиальных, можно
найти в произвольной «абстрактной» группе? Возможно
следующее общее рассуждение. Выберем произвольный
элемент а е G. Как следует из правила умножения степеней,
подмножество всех элементов группы G вида ah, где к —
любое целое число, есть абелеЕа подгруппа в G. Такая
подгруппа называется циклической подгруппой группы G,
а элемент а — ее порождающим элементом. Подгруппу,
порожденную элементом a^G, обозначают <а>. Если
<а> = G, то G называется циклической группой.
Выясним подробнее, как устроены простейшие из
групп — циклические. Среди примеров находятся
бесконечная группа Z (порожденная числом 1, так как все
целые числа кратны 1), а также группа Сп комплексных
корней n-й степени из 1, так как по формуле Муавра
2пк , . . 2лк I 2я , . . 2я\й
cos Ь i sin — = cos Ь i sm — .
п п I п п)
Установим, что других примеров по существу нет. С этой
целью рассмотрим две возможности.
1. Никакая степень ап при п > 0 не равна единице
в G. В таком случае говорят, что а имеет бесконечный по-
§ 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУППЫ 23
рядок. Докажем, что при этом циклическая группа <о>
изоморфна группе Z. Отображение /: Z -> G определим
формулой f(k)=ah. Тогда очевидно, что f(k + l) =
= j{k)f(l), и чтобы утверждать, что / — изоморфизм,
достаточно проверить инъективность отображения /.
Допустим, напротив, что /(&) = f{l) при к > I. Но это означает,
что ак = а\ откуда с помощью умпожения на а~1
получаем ак~' = е, где п = к — I > 0, вопреки бесконечности
порядка элемепта а.
2. Пусть ак = е для некоторого к > 0. В таком
случае существует минимальное положительное число п, для
которого ап = е. Оно называется порядком элемента а.
(Определение порядка элемепта a s G, разумеется,
применимо ко всякой группе G, а не только к циклической.)
Докажем, что в этом случае группа G = <а> изоморфна
группе Сп.
Выясним сначала, при каких целых m будет ат = е.
Для этого разделим т с остатком на п: т — nq + г, где
0 s? г < п. Тогда
и равенство ат — е по определению порядка элемента а
возможно лишь при г = 0, ибо г < п. Итак, для равенства
а™ = е необходимо, чтобы m делилось на п. Это же
условие, очевидно, является и достаточным.
Зададим теперь соответствие G-> Сп формулой /(а") =
2я 2я
= £\ где £, = cos h i sin—. Нужно сначала понять,
почему / — отображение, причем биективное. В самом
деле, равенство ак = аг равносильно равенству ah~l = e, что
равносильно делимости числа к — I на п, но точно так же
t,h = t,1 тогда и только тогда, когда к — I делится на п, так
как £ имеет порядок п в Сп. Равенства f(ahal)= f(ah+l) =
= Z,h+l = t,%1 = / (ak) {(а1) доказывают теперь изоморфность
групп G и Сп.
Поскольку равенство порядков двух групп является
необходимым условием их изоморфности, первый итог
подводит
Теорема 2.1. Порядок элемента a^G
произвольной группы G равен порядку циклической подгруппы <а>.
Две циклические группы изоморфны тогда и только
тогда, когда они имеют одинаковые порядки. ■
Если в группе G нет неединичных элементов
конечного порядка, то G называется группой без кручения.
24
ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
Следствие 2.1. В бесконечной циклической
группе G — <а> все степени аи различны при разных к.
Конечная циклическая группа G = <а> порядка п
исчерпывается различными элементами е = а°, а = а1, а2, ..., ап~1.
Доказательство. По теореме 2.1 достаточно
проверить утверждения для групп Z и С„. Но в этих случаях
они очевидны. ■
Заметим, что в качестве порождающего бесконечной
циклической группы <а> кроме а можно взять также а-1.
В конечной циклической группе может быть больше
возможностей выбора порождающего элемента.
Теорема 2.2. Элемент Ъ = ah циклической группы
G =<а> порядка п порождает группу G тогда и только
тогда, когда числа кип взаимно просты. В частности,
группа G порождается любым своим неединичным
элементом, если п простое.
Доказательство. Если G = <&>, то, в частности,
а — Ъ1 для некоторого целого I, откуда а — аш. Значит,
ак1~1 = е и kl — 1 делится на п. Равенство же вида
kl— i — nt возможно только тогда, когда наибольший
общий делитель для к, п равен 1.
Обратно, для взаимно простых чисел /сига можно
использовать стандартное свойство: существуют целые и, v
— такие, что ки + nv = 1. Отсюда
а = aku+nv = (ak)и (ап)" = Ъи ■ е = Ьи,
а для произвольного элемента а3 группы G а8 — Ъи\ т. е.
группа G состоит из степеней элемента Ъ. ■
3. Подгруппы циклических групп. Приведем теперь
полное описание подгрупп циклических групп.
Теорема 2.3. 1) Всякая подгруппа циклической
группы является циклической.
2) Пусть G =<а> и \G\ = п, а Н — подгруппа в G
порядка т. Тогда п/т — целое число, а в качестве
порождающего элемента в Я можно выбрать ап/т. Для каждого
положительного делителя m числа п в G существует
подгруппа порядка тп, причем единственная.
Доказательство. 1) Пусть Н — подгруппа
циклической группы G = <a>. Если Н = {е), то утверждение
очевидно. В противном случае в Н найдется неединичный
элемент а'. Можно считать, что t > 0 (в противном
случае—перейти к обратному). Существует, стало быть,
§ 2. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ПОДГРУППЫ 25
и наименьшее из положительных чисел I со свойством
а1 <= Н. Докажем теперь, что b = а' — порождающий
элемент для Я.
Возьмем произвольный элемент с е #. Как и всякий
элемент группы G, он имеет вид а'. Целый показатель s
разделим с остатком на 1: s = lq + r, где О «S г < I. Можно
теперь записать с = as =(al)qaT = bqa\ >откуда аг = Ъ~чс.
Правая часть последнего равенства принадлежит
подгруппе Н по определению элементов Ъ и с. Значит, ат <= Н,
и из выбора I следует, что г = 0, ибо г<1. Итак, с = Ъч,
т. е. #=<&>, что и утверждалось.
2) Выбрав I и Ь, как и выше, покажем, что п
делится на I. В противном случае n = lq + г, где 0 < г < I. Но
тогда е = ап = alqar = Ъ"ат, откуда ar = b~q <= Я, что опять-
таки противоречит выбору числа I.
Очевидным следствием равенства п = lq является тот
факт, что элемент Ъ = а1 имеет порядок q. Поэтому по
теореме 2.1 q = |#| = тп, т. е. п/т = I — целое число.
- Существование подгруппы порядка т для всякого
делителя т числа п доказывается предъявлением такой
подгруппы: нужно взять #=<a"/m>, и тогда \Н\ = т,
как и выше. Единственность следует из доказанной no-
рождаемости всякой такой подгруппы элементом ап/т. ■
Подгруппа Н называется максимальной в группе G,
если: 1) Н ¥= G; 2) любая подгруппа группы G,
содержащая Я, совпадает с G или с Н.
Следствие 2.2. 1) Если порядок п неединичной
циклической группы G = <а> является степенью ри
простого числа р, то в G есть единственная максимальная
подгруппа. Ее порождающим является ар.
2) Всякая собственная подгруппа группы С со
является конечной циклической группой и совпадает с одной
из групп Срк-
Доказательство. 1) pk~l делится на все
собственные делители числа п, и из теоремы 2.3 следует, что в
единственной подгруппе Н порядка ph~l содержатся все
собственные подгруппы группы G. В силу той же
теоремы подгруппа Н порождается элементом av.
2) Пусть geCpftXCyt-! для некоторого к. Если бы
<g> ф С и, то подгруппа <g> содержалась бы в некоторой
максимальной подгруппе группы С ft, но единственной
такой подгруппой, как доказано выше, является С &_!• Зна-
26 ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
чит) <£> = Cpk- Поэтому если Н — бесконечная подгруп-
оо
па группы С „о = I) Си, то найдется бесконечное мно-
v k=i v
жество элементов g4 e Н и номеров к-х таких, что g% e
*= СЛ\С fti-i и
р * р *
оо оо
1=1 рг ft=l р р
Если же Я — конечная подгруппа, то HczC г для
некоторого Z, и по теореме 2.3 Н = Cpk для к < Z. в
Группа Сроо, очевидно, не является циклической, в то
время как все собственные подгруппы в ней цикличны.
Поэтому группы типа р°° называют также квазицикличе-
скими группами.
4. Системы порождающих. Циклическая группа по
своему определению получается с помощью одного
элемента из G. А что получится, если в G выбрать не один
элемент, а произвольное подмножество S <= G?
Обозначим <5> подмножество в G, состоящее из всех
произведений вида
slhl* ... s^; si^S; e{ = ± 1, i = 1, .. ., re, (1)
с произвольным числом сомножителей. Легко видеть, что
<S) является подгруппой в G, так как
№...^)(^...?)-^...5?е<5>,
(^...4n)_1 = ^En...%eie<5>.
Подгруппа <£> называется подгруппой, порожденной в G
подмножеством S, а элементы из S называют
порождающими для этой подгруппы (или порождающими
группы G, если <S> = G).
Теорема 2.4. Подгруппа Н =<S> является
наименьшей подгруппой группы G, содержащей подмножество S,
т. е. Н содержится во всякой подгруппе К, содержащей S.
Доказательство. Всякий элемент из S имеет вид
(1) при п= 1. Поэтому H^S. Пусть, иаоброт, некоторая
подгруппа К содержит S. Тогда по определению
подгруппы в К содержатся все se для е = ±1 и s^Sh все
их произведения (1), т. е. К=>Н. в
§ 3, СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ФАКТОРГРУППЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ 27
Рассмотрим для примера подмножество S = {а, Ь}
группы G = Sym (3), где
_ /1 2 3\ ,/12 3\
а~ [2 1 зр ^3 2 \)'
Группа G порождается элементами а и Ь, так как любой
из шести ее элементов может быть представлен в ви-
де (1):
(г 3 l) = ba> (l 3 2) = aba> ■ • •
(При умножении перестановки выполняются
последовательно, начиная с правого сомножителя.)
Уже этот пример показывает, что запись вида (1)
может быть неоднозначной, скажем, здесь aba = bob.
Неоднозначен и выбор порождающих. В той же группе
G = Sym(3) вместо {а, Ь) можно взять, например, {а, с},
/1 2 3\
где с = „ , \ = аЪ (при этом Ъ = ас в G). Конечно, во
всякой группе G в качестве S можно взять множество
всех ее элементов, но для задания группы G множество
S выбирают обычно по возможности экономнее и проще.
§ 3. Смежные классы. Факторгруппы.
Гомоморфизмы
1. Разбиение группы на смежные классы. Всякую
подгруппу Н группы G можно подвергнуть левому «сдвигу»
на произвольный элемент а группы G:
aH = {ah\hsH}, a^G.
Подмножество аН называется левым смежным классом
группы G по подгруппе Н. Вполне аналогично
определяются правые смежные классы На.
Теорема 3.1. Группа G разбивается в объединение
попарно непересекающихся левых {правых) смежных
классов по подгруппе Н.
Доказательство. Во-первых,
G=UGaHl (1)
так как каждый элемент а = ае принадлежит смежному
классу аН. (Напоминаем, что е е Н.)
28
ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
Докажем теперь, что классы аН и ЬН, имеющие
какой-либо общий элемент с, совпадают. Пусть с = ah\ и
с = ЪЬ,2, где h\, h2 <= Я. Тогда а = ch^1 = bhji^1, а
всякий элемент ah^aH записывается в видеа/г=Ь(/г2/г^1/г)е
е &Я. Значит, аЯ <= ЬЯ. Аналогично ЬН с аЯ, а
следовательно, аН = &Я.
Остается в правой части равенства (1) исключить
повторы, т. е. каждый смежный класс записать лишь один
раз. ■
В частности, если Ъ е аН, то аН = ЬН. Другими
словами, каждый смежный класс может быть записан с
помощью любого своего элемента (или представителя
смежного класса, как еще говорят).
Пусть х и у принадлежат одному смежному классу
аН, т. е. х ~ ahu у = ahi, где hi, h2 <= Я. Тогда
х~ху = (а/^)-1 ah2 = Ki^a~1ah2 = h~[xh2 s Я.
Обратно, если х~ху = lie Я, то y = xh, т. е. уе-хН,
а значит, у Я = жЯ. Таким образом, для принадлежности
двух элементов х ж у группы G одному левому смежному
классу по подгруппе Я необходимо и достаточно, чтобы
ж_1г/еЯ. В случае правых смежных классов аналогичное
условие записывается в виде ху~1 еЯ.
Число различных смежных классов группы G по
подгруппе Я (в общем случае — мощность множества
смежных классов) называется индексом подгруппы Я в
группе G и обозначается \G\H\. Поскольку соответствие
аН ■*-*■ (аН)~х = На~х биективно, индекс не зависит от
того, какие смежные классы рассматриваются: левые или
правые. Следующая теорема Лагранжа связывает индекс
подгруппы и ее порядок с порядком группы.
Теорема 3.2. Если G — конечная группа
порядка п, Я — ее подгруппа, \Н\=пг и \G : Н\ =/, то n — jm.
В частности, порядок подгруппы и ее индекс делят
число п.
Доказательство. По теореме 3.1 G = axH\}...
... U afl, где ahH П ахН = 0 при различных k, I s
е {1, 2, ..., /}. Поэтому достаточно установить, что число
элементов всякого смежного класса аН совпадает с \Н\.
Но это следует из биективности отображения Я >-* аН,
при котором h >-* ah. Биективность же очевидна: если
ah\ = ahi, то после умножения слева на а-1 имеем
§ 3. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ФАКТОРГРУППЫ, ГОМОМОРФИЗМЫ 29
hx = hi. Таким образом, \G : Н\ = \G\ : \H\, чем и
объясняется обозначение для индекса. ■
Следствие 3.1. Порядок всякого элемента g
конечной группы G делит порядок группы G.
Доказательство. Утверждение следует из
теорем 2.1 и 3.2. ■
Следствие 3.2. Всякая группа G простого порядка
р является циклической.
Доказательство. Пусть g^G и g Ф е. Тогда
порядок циклической подгруппы <g> больше единицы, и в
силу теоремы 3.2 он равен р, т. е. <g> = G. ш
Рассмотрим далее две подгруппы с конечными
индексами.
Лемма 3.1. Если Я, К—подгруппы в G, то
\Н:Н(\К\ < \G:K\.
Доказательство. Достаточно установить, что
если hi (Я П К) и hi(H П К)— разные смежные классы
подгруппы Я по Я П К, то и hiK Ф hiK. Допустим, напротив,
что hiK = h2K. Это означает, что К[\2<=К. Но так как
h~\ е Я, то h1xh2 е=К Л Н% а следовательно, h1 (Я f|
Q К) = геа (Я П К)- Приходим к противоречию, в
Теорема 3.3, 1) Если \G: К\ =;' и \K:L\ =1, то
IG:L|=;7;
2) \G:H(]K\<\G:H\\G:K\ для подгрупп К, Я, L
группы G.
Доказательство. 1) Пусть
G = ахК U ... U оД, (2)
К = bib U ... U btL. (3)
, i i
После подстановки (3) в (2) получим G =t U U asbtL.
«=1 1=1
Допустим, что
a.btL = ambaL, (4)
Поскольку btL<=zK и bnL<=K, из (4) получаем аД =
= а„Д, т. е. s = ш, и после сокращения на as из (4)
имеем btL = bnL, а следовательно, t = re. Итак, все ;7 смеж-
ных классов вида aabtL различны.
2) Если обозначить Я П К = L, то по лемме 3.1 и
доказанному выше утверждению 1) теоремы получаем
\G;H[\K\ = \G:L\ = \G:H\ \H:L\<\G:H\ \G:K\.m
/
30 ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
Изредка в теоретико-групповых рассмотрениях
встречается понятие двойного смежного класса (например, в
главах 9—13 настоящей книги). Пусть Я, К — две не
обязательно различные подгруппы группы G, выбранные в
указанном порядке. Тогда подмножество
HaK = {hak\h^H,k^K}, a^G,
называется двойным смежным классом по паре (Я, К)
подгрупп группы G. Группа G представляется в виде
объединения непересекающихся двойных смежных
классов по (Я, К). Это утверждение можно рассматривать как
упражнение, поскольку его проверка вполне аналогична
доказательству теоремы 3.1.
В дальнейшем под произведением MN любых двух
подмножеств М и N группы G понимается всегда
подмножество {ху\х<=М, уеЮ. Если М = {а} (или N = {а}) —
одноэлементное подмножество, то пишут aN. (или Ма).
2. Нормальные подгруппы и факторгруппы. Выясним
теперь, в каком случае левостороннее разбиение группы
G на смежные классы по подгруппе Я совпадает с
правосторонним. Умножая равенство вида аН — На справа на
а~\ приходим к условию alia-1 = II, т. е. к следующему
определению.
Подгруппа Я группы G называется нормальной в G,
если для всякого h е II ц любого а е G выполняется
условие aha~l e Я. Это условие можно переписать в виде
aHa~l a H. Выполняется и обратное включение Я с
<= а.На~1. (Действительно, выбирая вместо а элемент а-1,
имеем а~хНа<=-П для нормальной подгруппы Я, что
после умножения слева на а и справа на а~1 приводит
к включению II а аНа~\) Значит, справедливо равенство
аНа~[ = Я при всяком oeG. Умножение справа на а
дает аН = На, т. е. каждый левый смежный класс по
нормальной подгруппе является и правым смежным
классом.
Уже в определении нормальной подгруппы вместе
с элементом h рассматриваются элементы группы G,
записываемые в виде aha~l, что приводит нас к еще одному
определению.
Элемент g <= G называется сопряженным с элементом
h e G в группе G, если существует такой элемент а е G,
что g = aha~[.
Сопряженность обладает всеми свойствами
эквивалентности:
§ 3. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ФАКТОРГРУППЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ 31
1) каждый элемент g сопряжен с g, ибо g = ege;
2) если элемент g сопряжен с h, то и элемент h
сопряжен с g, так как из g = aha~x следует, что h = a~ ga —
3) если элемент g сопряжен с h, a h сопряжен с /с, то
g и к сопряжены: из g = aha-1 и h = ЪкЪ"х следует, что
g^abkb^a^ ={ab)k(ab)~l.
Повторяясь, можно сказать, что нормальной в G
является такая подгруппа II, которая вместе с любым своим
элементом h содержит все сопряженные с ним в группе G
элементы. Как мы сейчас увидим, понятие нормальной
подгруппы тесно связано также с понятием
гомоморфизма групп.
Отображение / группы G\ в группу G2 называется
гомоморфизмом, если f(xy) = f{x)f(y) для любых х, у <= G\.
Изоморфизм, следовательно, является частным улучаем
гомоморфизма. Если при изоморфизме группа G2
«сохраняет всю информацию» об операции в Gb то при
гомоморфизме более или менее значительная ее часть может
быть «потеряна», и в группе G2 содержится лишь более
или мепее точная «модель» группы G\.
Образ Im/C G2 для гомоморфизма / определяется, как
и для всякого отображения: Im / = {f(x) \x <= GJ. Ядром
Ker/ciG] гомоморфизма / называется подмножество всех
элементов из Gu отображающихся в единицу группы G2:
Kerf = {xsGl\f{x)=e}.
Теорема 3.4. Ядро гомоморфизма /: G\ -> G2
является нормальной подгруппой группы G\, а его образ —
подгруппой в G2. Гомоморфизм f инъективен тогда и
только тогда, когда Кег / = {е}.
Доказательство. Так же, как и для
изоморфизмов, проверяется, что /(е)=е, т. е. е е= Кег/. Далее, как
и для изоморфизмов, /(а-1)=/(а)-1. Поэтому если
а е Кег /, то и а-1 <= Кег /. Наконец, если а, Ъ <= Кег /, то
f(ab)==f{a)f(b) = ee = e, т. е. аЪ <= Кег /. Итак, Кег/ —
подгруппа в G\, Пусть теперь ft е Кег / и eeG|. Тогда
f(aha-l)= /(a)/(fe)/(a~1)= f(a)ef(a)~> = /(a)/(a"1)= e,
а значит, a/га"'eKer/, и мы проверили нормальность
ядра гомоморфизма. Еще проще проверяется второе
утверждение: если у <= Im /, т. е. у = f(x) для х <= G, то
У~1 = f(x)-l = f(x~l)<^lmj, а если уи у2 е= Im / и у\=*
= f{xi)_, y2 = f(x2)_, то y\y2 = f{xilfix2l=fLxiX2)^lmf.
32 ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
Наконец, если Кег/ = {е} и f(a\)=f(a2), то /(fli)X
Х/(а2)_1 = е, т. е. /(ai)/(a2_1)=e, /(а1а2-1)=е, откуда
а^г-1 е Кег / = {е} и а\ = а2. ■
Приведем несколько примеров гомоморфизмов.
1. G\ = Sym(n), G2 = С2 = (±1). Пусть / сопоставляет
•каждой перестановке не Sym(rc) число 1 или —1 в
зависимости от ее четности. Тогда правило четности
произведения перестановок означает в точности, что / —
гомоморфизм. При этом Кег / = Alt {n)— нормальная
подгруппа в Sym(re).
2. Gi = GL(re, К), G2 = K*. Пусть /(a) = detа —
определитель матрицы а. Гомоморфность отображения /
следует из теоремы об определителе произведения двух
матриц. Здесь Ker/ = SL(ra, К) — нормальная подгруппа в
Gh(n,K).
3. Gi = Z, G2 = Cn, a f(n)= £n, где £ — фиксированный
порождающий элемент группы Сп. В этом случае Кег / =
= пЪ. Ядро нормально по теореме 3.4, но уместно
заметить, что в любой абелевой группе все подгруппы
нормальны.
4. G\ = G2 = А — абелева группа, и для
фиксированного целого к f(a)=a%. Тогда в силу коммутативности
группы А
f(ab) = (ab)" = ahbk = f(a)f(b),
т. е. / — гомоморфизм. Ядро Кег / = {а <= А | а* = е)
состоит из элементов, порядки которых делят число к. В
частности, если порядок т группы А взаимно прост с к, то
по следствию 3.1 Кег / = {е}, и инъективное по
теореме 3.4 отображение / является и сюръективным в силу
конечности множества А, т. е. в этом случае
/—изоморфизм. Изоморфизм группы на себя называется
автоморфизмом этой группы.
В связи с теоремой 3.4 заметим, что и, наоборот,
всякая нормальная подгруппа Н является ядром некоторого
гомоморфизма, а именно гомоморфизма группы G на ее
факторгруппу G/H. Прежде чем дать формальное
определение, скажем, что общее построение вполне
аналогично построению аддитивной группы вычетов Z(rc) как
группы смежных классов группы Z по подгруппе пЪ.
Итак, пусть G/H — множество смежных классов
группы G по нормальной подгруппе Н (в силу нормальности
все равно — левых или правых). Перемножая два смеж-
§ 3. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ. ФАКТОРГРУППЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ 33
ных класса аН и ЪН как подмножества в G, получим
аНЬН = аЬНН = аЪН,
так как НЪ =ЬН и ## = #. Тем самым на G/H задана
операция
(аН)(ЬН) = (аЬ)Н. (5)
Ее ассоциативность следует из ассоциативности групповой
операции в G. Единичным элементом служит смежный
класс Н = еН, а обратным для аН, как видно из (5),
будет а~1Н. Таким образом, множество G/H превращается
в группу, которая называется факторгруппой группы G
по нормальной подгруппе Н. Равенство (5) означает, что
отображение е группы G на факторгруппу G/H, при
котором е (а) = аН, является гомоморфизмом группы G на
G/H. Оно называется естественным гомоморфизмом
группы на свою факторгруппу G/H.
Кег е = {aeGle(a)=#} =
= {а е G\aH = Н) = {а е G\a е#} = Н.
3. Теоремы о гомоморфизмах. Определению или
вычислению той или иной факторгруппы помогает
Теорема 3.5. Пусть ср: G\-+G2— сюръективный
гомоморфизм групп с ядром N. Тогда факторгруппа GJN
изоморфна группе G2. Более того, существует такой
изоморфизм a: Gi/N -> G2, что ц> = аг (т. е. ф — результат
последовательного выполнения естественного
гомоморфизма г и изоморфизма а).
Доказательство. Сопоставим каждому смежному
классу aN элемент ф(а) из G2. При этом если a'N = aN,
т. е. а' = an, где п е N, то
ф(а')= ф((ш)= ф(а)ф(п) = ф'(а)е = ф(а).
Значит, отображение a: aN >->■ ф (а) задано корректно.
(Правая часть не зависит от выбора представителя
в смежном классе aN.)
Отображение а — гомоморфизм, так как
a(axNa2N) =
= a (a{a2N) = ф (а,а2) = ф (а,) ф (а2) = a (a{N) a (a2N).
Его сюръективность очевидна, а если a(aN)=e, т. е.
Ф (а) = е, то а е N по определению подгруппы N, a следо-
3 А. Ю. Ольшанский
34 ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
вательно, aN = N. Поскольку N — единица в G/N, из
теоремы 3.4 вытекает инъективность гомоморфизма а. .
Рассмотрим, наконец, ае. Вычислим
ае (а) = а (е (а)) = а {aN) = ф (а)
для всех а е G. Таким образом, ае = ср. ■
Следствие 3.3. Для всякого гомоморфизма групп
ф: G{ т*- G факторгруппа Gj/Ker ф изоморфна подгруппе
МфсС
Доказательство. Нужно обозначить G2 = Im ф
и применить теоремы 3.4 и 3.5 к гомоморфизму ф: Gi ->-
- G2. я
Из теоремы 3.5 выводится также следующая
Теорема 3.6. Пусть Я, N—подгруппы группы G,
причем N нормальна в G. Тогда HN = NH — подгруппа
в G, Я П N — нормальная подгруппа в Н и имеет место
изоморфизм
HN/NszH/Hf\N. (6)
Доказательство. Пусть hn^HN, где ИЯ,
ne-N. Тогда /ш = hnh~xh = n'fc, где и' = /m/i-1 e JV
вследствие нормальности подгруппы N. Поскольку hn = n'h s
s iV77, то и #iV a NH. Точно так же устанавливается и
обратное включение. Поскольку {HN)~X = N~xH~l — NH
и {HN) {HN) = HHNN = HN, подмножество HN является
подгруппой в G.
Обозначим через ф естественный гомоморфизм в:
G ->■ G/W, ограниченный на подгруппу Я. Тогда
1тФ = {ф(/г)|АеЯ} =
= h{h) \h е= Я} = ЩУ|й еЙ = Я]У/]У,
Кегф = {йеЯ|ф(й)=е} =
= {/г<=Я|е(/г)=е} = {/г е Я|й е N) = Я П iV.
По теореме 3.4 Я П IV — нормальная подгруппа в Я, а по
следствию 3.3 получается изоморфизм (6). ■
Установим в заключение соответствие между
подгруппами группы G и подгруппами факторгруппы G/N.
Теорема 3.7. Отображение /, ставящее в
соответствие каждой из подгрупп Я группы G, содержащих N,
подгруппу H/N в G/N, является биекцией между
множеством всех подгрупп группы G, содержащих нормальную
подгруппу N, и множеством всех подгрупп
факторгруппы G/N. При этом соответствии \G ; Н\ = \G/N : H/N\,
нормальной подгруппе Н группы G соответствует
% 4. СООТНОШЕНИЯ В ГРУППАХ И СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 35
нормальная подгруппа в GJN {и обратно), причем
{G/N)f{H/N) = G/H.
Доказательство. Тот факт, что множество
смежных классов H/N = {hN\h^ Я} является
подгруппой в G/N, следует из формулы (5) и из того, что
Я — подгруппа в G. Точно так же и обратно, если
некоторое множество К = {hiN)isI смежных классов образует
подгруппу в GIN, то множество Н = [J hiN есть подгруп-
па в G, т. е. отображение / сюръективно.
Допустим теперь, что для двух подгрупп А и В,
содержащих N, A/N = BIN. Пусть аеА. Тогда aN = bN для
некоторого ЬеВ. Значит, а~хЪ = n<s.N, т. е. а = Ъп~~х е
е В, ибо N cz В. Поэтому А <= В. Аналогично В <= А, &
следовательно, А = В. Тем самым инъективность
отображения / также доказана.
Утверждение теоремы об индексе подгруппы Я можно
объяснить следующим образом. Для элементов х, у е G
справедливо х~ху е Н в том и только в том случае, когда
x~xyN ев H/N, т. е. когда {xN)~x (yN)e=H/N. Поэтому
критерий принадлежности двух элементов одному смежному
классу позволяет заключить, что число \G : Н\ смежных
классов группы G по Я совпадает с \G/N : H/N\.
Если aha"1 е H для всех ^еЯиаеб.тои
{aN){hN){a-xN) = {aha~x)N^H/N,
т. е. подгруппа H/N нормальна в G/N.
Рассмотрим, наконец, гомоморфизм a: G/N -*■ G/H,
полагая a {aN) — аН. Это действительно отображение, так
как aN с: аН, и действительно гомоморфизм на G/H,
ибо a{aNbN) = a {abN) = аЪН = аНЬН = a{aN)a{bN).
Вычислим Кег а = {aN e G/N\a{aN) = Яе G/H) = {aN e
<=GJN\aH = H} = {aN^GJN\aeH}=HJN. Значит,
последнее утверждение теоремы — следствие теоремы 3.5. ш
§ 4. Соотношения в группах и свободные группы
1. Свободные группы. В обозначениях п. 2.4
(формула (2)) для порождающих группы Sym(3) можно
записать верные равенства а2 = е, Ь2 = е, а также {аЪ)ъ = е.
Конечно, такие равенства верны не для всяких
элементов произвольной группы, а следовательно, они как-то
характеризуют группу Sym(3), и их естественно назвать
3*
36
ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
соотношениями между порождающими этой группы.
Поскольку содержательное толкование левых и правых
частей этих равенств не позволяет различить данные
соотношения (везде единицы!), для формального
определения группового соотношения нужно ввести специальную
группу, составленную из «слов».
Рассмотрим вместе с любым множеством % символов
(или букв) множество %~х символов вида а-1, где а е %.
При этом считается, что в самом SC не было символов а~х
для а е Ш, Кроме того, считается, что (а~х)"х = а. Тогда
множество SIU51-1 называется групповым алфавитом,
а его элементы — буквами. Под словом в алфавите §1 U §1-1
(или под групповым словом в алфавите Щ понимается
всякая конечная последоватеяьность х\ . . . х„, где ZjSSl и
USC"-1. Число п называется длиной данного слова Х =
— Х[...хпп обозначается в дальнейшем 1X1. Удобно
также рассматривать и слово нулевой длины — пустое слово.
Например, если ?С = {а, Ь), то аЪа~х и Ъаа~х — различные
слова длины 3. Последнее из них является сократимым.
Вообще, слово X = Х\.. .хп сократимо, если для
некоторого номера i буквы xt и xi+\ в этой записи формально
являются взаимно обратными. Если вычеркнуть взаимно
обратные буквы xt и xi+i, то получится слово длины п — 2.
Говорят, что оно получилось из X в результате
сокращения. Если после нескольких сокращений из X получилось
несократимое слово X', то X' называют результатом
полного сокращения в слове X.
Определим операцию умножения двух несократимых
слов X и У в алфавите % U Ш.~1. Если «на стыке» слов X
и У невозможно сокращение, то слово XY (результат
приписывания к слову X слова У) объявляется
произведением слов X и У в данном порядке. В противном
случае произведением называется результат полного
сокращения слова ХУ, например аЪа~х ■ ab~xa = аа. (Вместо
аа пишут также а2; аналогичен смысл записи ап.)
Теорема 4.1. Множество F{%) всех несократимых
слов в алфавите SC U %~х является группой относительно
определенной выше операции умножения «•».
Доказательство. Равенство (X • У) • Z = X •
•(У • Z) не вызывает сомнения, если слова ХУ и YZ
несократимы. В общем случае докажем его индукцией по
длине среднего сомножителя У, а при фиксированной
длине \Y\ —по сумме 1Х| + |У| + \Z\. Если У пусто, то
оно очевидно.
| 4. СООТНОШЕНИЯ В ГРУППАХ И СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 3?
Пусть |У| = 1, т. е. У = а — буква из St U ST1. Пусть,
например, слово ХУ сократимо. Тогда X = Х\а~х. Если
YZ несократимо, то как слово (X • У) • Z, так и слово
X-(Y-Z) равны слову Xx-Z. Если же 2 = а-%, то
левая часть равна X\-(a~xZ\), а правая часть равна
(Xi -a~~x)-Z\, что одно и то же по предположению
индукции, ибо IX,| + \ZX\ < |Х| + \Z\.
Если 1У|>1, то можно записать Y = Yi-Y2, где
|У,1, \Y2\<n. Тогда
(Х-У)-2=(Х-(У,-У2))-2 =
= ((Z-y,)-y2)-Z = (Z.y1).(y2-Z) = X-(y1-(y2-Z)) =
= X((y,-y2)-Z) = X-(y-Z).
Здесь мы несколько раз использовали закон
ассоциативности, когда длина среднего сомножителя меньше п.
Единицей в Р(Щ является, очевидно, пустое слово.
Поэтому его обозначают «1». Это обозначение, впрочем,
употребляется наряду с «е» для единицы произвольной
группы. Обратным для X = х\ ... хп является слово
Группа F(Щ называется свободной группой.
Отождествляя SC с однобуквенными словами, считаем, что % —
система порождающих для F($). Ее называют также
базисом свободной группы. Естественно, что свободной
называют и всякую группу, изоморфную группе F(%).
В дальнейшем удобно рассматривать и сократимые
слова как элементы из /<7(Я): поскольку F (Щ—группа,
однозначный смысл приобретает любое произведение
х\ •... ■ хп, которое и считается равным в F(%)
сократимому слову х\ ... х„. Отсюда яспо также, что результат
полного сокращения не зависит от порядка выполнения
сокращений в слове X (ибо результат умножения в F(%)
однозначно определен).
Знак умножения «•» в F(Щ обычно опускается. Если
нужно подчеркнуть, что (сократимые) слова X и У
равны графически, а но только как элементы свободной
группы, пишем X = У. Под графическим равенством
понимается побуквенное равенство слов одинаковой длины.
Роль свободных групп проясняет
Теорема 4.2. Для всякой группы G с произвольным
множеством порождающих {gihei существует сюръектив-
ный гомоморфизм ц> свободной группы F (%) с базисом
91 = {ajisi на G, при котором ср(а;) = g{ для i е /.
38
ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУЙП
Доказательство. Однозначность записи
элемента Xei?(S() в виде несократимого слова Х= а^ ... ain,
где a\hG St, eft = =Ь 1, позволяет определить отображение
Ф (X) = gi1 ... gj™. Гомоморфность отображения ф
очевидна, а ф(а;) = gi по определению. ■
Отметим несколько элементарных свойств группы
F(«).
Теорема 4.3. 1) Если X — непустое несократимое
слово, то длина несократимой формы слова X" не меньше.
\Х\ + \п\ — 1 при п Ф 0. В частности, свободная группа
F (Щ есть группа без кручения. 2) Если XY = YX в Р(Щ,
то X и Y содержатся в одной циклической подгруппе
группы F(%), а если дополнительно при этом XY —
несократимое слово, то для некоторых целых к и I и
несократимого слова Z имеют место графические равенства
X = Zk, Y = Zl. 3) Абелевы подгруппы в F (Щ являются
циклическими.
Доказательство. 1) Пусть слово X циклически
несократимо, т. е. первая и последняя его буквы не
взаимно обратны. (Если такое слово написать на окружности,
то сокращений не возникает.) Тогда очевидно, что Хп =
= X ... X несократимо для всякого п > 0. Если же X
циклически сократимо, то X=YZY~X, где Z — непустое
циклически несократимое слово. Тогда Хп = (YZY~x)n =
= YZnY~x — непустое несократимое слово при пФО.
2) Докажем утверждение, проводя индукцию по
сумме длин |Х| + |У1 с очевидным основанием.
Предположим сначала, что запись XY сократима, т. е. X =
= X\Z, Y = Z~XY\, где \Z\ >0 и слово X\Y\ несократимо.
В таком случае XlYl=Z^YlXlZ в F(3t) и ZXXYXZ~X =
— Y\X\. Сравнивая здесь длины левой и правой частей,
видим, что в ZX\ (или в Y\Z"X) должны быть сокращения.
Значит, последняя буква а слова Z обратна к первой
букве слова Хи т. е. X = а~хХ'а и Y = a~lY'. Из в-'Г7' =
= a-xY'a-xX'a выводим X'{Y'arx) = {Y'arx)X'.
Поскольку \Х'I + \Y'arx\ = |Х1 + \Y\ — 2, по предположению
индукции X' = Z's и Y'a~x = Z" для некоторого Z'. Отсюда
X = (a-lZ'a)s и Y = {a-xZ'ay.
Если же XY несократимо, то из равенства длин
следует, что несократимо и YX. Допустим для
определенности, что |Х| < \Y\. Тогда из равенства XY=YX
выводим, что У начинается с X, т. е. У = XT для некоторо-
g 4. СООТНОШЕНИЯ В ГРУППАХ И СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 39
го Т, причем \Т\ < \Y\, ибо в случае пустого X
утверждение очевидно. Значит, ХХТ = ХТХ, откуда XT = ТХ.
Ввиду неравенства |Х| + \Т\ < \Х\ + |У| из
предположения индукции следует, что X = Zh, Т = Z* для некоторого
слова Z, а поэтому У = Zk+t.
3) Пусть X — непустое слово минимальной длины в
абелевой подгруппе G группы F(%), а У — произвольный
элемент из G. Тогда подгруппа #=<Х, У> циклична в
силу утверждения 2). Следовательно, X — Zh, У = Z1 для
Z е#. Но если \к\ > 1, то \Z\ < \Zh\, как видно из
утверждения 1). Поэтому к = ± 1 и У = Х±г, т. е. G =
=<Х>. а
Доказанные свойства можно, разумеется, получить
и как следствие общей теоремы Нильсена — Шрейера
о том, что всякая подгруппа свободной группы сама
является свободной группой [51], [62].
2. Определяющие соотношения. Поскольку во всякой
группе можно выбрать некоторую систему порождающих
{gih^i, по теореме 4.2 существует сюръективный
гомоморфизм ф: F(9t)-»-Cr, (где Ш = {aJi£=T), при котором ф(а,) =
= gi. Такой гомоморфизм называют копредставлением
группы G (в отличие от представлений, когда, наоборот,
рассматривается гомоморфизм не «в» G, а «из» G в
некоторую группу линейных операторов или перестановок
и т. п.). Разумеется, копредставление зависит от выбора
системы порождающих в G. Для всякого слова W & F (Щ
его значение W(gi , .. ., gi \ в G — это образ слова W=
— W(вг1, . .-,tti„) при гомоморфизме ф. (Более общо,
g e G называется значением слова W, если g — образ
слова W при некотором гомоморфизме F (§t)->- G.)
По теореме 3.5 G = F(9t)/Ker ф, и поэтому мы
приходим к универсальной возможности задать всякую группу
в виде фактор-группы свободной группы по некоторой ее
нормальной подгруппе N. В связи с этим привлекает
естественное внимание вопрос о способах задания
нормальной подгруппы N в свободной группе F = F' (Щ.
Перечисление всех элементов из N крайне редко бывает
удовлетворительным. Задание N своими порождающими как
подгруппы также весьма громоздко и является бесконечным
для неединичной нормальной подгруппы N бесконечного
индекса. Следует учесть, однако, что подгруппа N
нормальна, а значит, сопряженные с элементами из N
должны лежать в N, чем мы сейчас и воспользуемся.
40 ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
Нормальным замыканием S° подмножества S
группы G называется наименьшая нормальная подгруппа
группы G, содержащая подмножество S. Очевидно, что в
S° входят все сопряженные gs±1g~1, где s е S, g e G, и их
произведения. С другой стороны, понятно, что
всевозможные произведения конечного числа сомножителей вида
UigiSpgT1), *eS, gi^G, (1)
составляют нормальную подгруппу в G, содержащую под- ,
множество S. Стало быть, запись (1) дает общий вид
произвольного элемента из нормального замыкания SG.
Определим теперь элементарные преобразования слов
из F = F (Ш), которые не меняют смежного класса слова
по подгруппе Ж, где Я — подмножество в F.
1) Сокращение двух соседних взаимно обратных букв..
1') Обратное преобразование, т. е. удлинение слова
путем вставки в какое-то место двух соседних взаимно
обратных букв.
2) Замена слова Х= X\R±lX2, где fief, словом Х\Х2.
2') Обратное преобразование: замена слова Х\Х2
словом XiR±lX2, где йе£
Назовем здесь два слова X и Y ^-эквивалентными,
если Y может быть получено из X с помощью нескольких
элементарных преобразований перечисленных типов. По- .
нятпо, что тем самым действительно введено на F
отношение эквивалентности со всеми его атрибутами:
рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. Скажем
еще (временный термин), что соотношение W=V
IE-выводимо, или выводится из соотношений {i? = l|i?s
е Я), если W и V ^-эквивалентны.
Наконец, соотношение W = 1, где W ^ F, назовем -
следствием соотношений системы {R = l|i? е Я), если
для всякой группы G с выбранным в ней подмножеством
{gihsi (а значит, с заданным гомоморфизмом <р: F ->- G,
при котором ф (а{) = gt) значение слова W равно 1 в G,
если в G обращаются в 1 значения всех йе^.
Теорема 4.4. Следующие утверждения
равносильны:
1) соотношение W = 1 следствием системы
соотношений Ш = l|i? е^}, где @czF = F(%);
2) W принадлежит нормальному замыканию N = 9lF;
3) соотношение W = 1 ^-выводимо.
§ 4. СООТНОШЕНИЯ В ГРУППАХ И СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 41
Доказательство. 1) => 2. Рассмотрим
факторгруппу G = F/N и естественный гомоморфизм е: F -»- G. Так
как е (R) = 1 при всех R ей, то по условию 1) г (W) = 1,
т. е. PF е УУ.
2) =>3). По формуле (1) всякое слово W <^ N равно
п
в F слову W"= П XiR^Xi1, где Я* е= #. Слова Ж и W'
^-эквивалентны, поскольку И7 и W могут быть
приведены преобразованиями типа 1) к одинаковому
несократимому виду, а из слова W преобразованиями типа
2) получается Ц -Х^Г , что эквивалентно 1. Итак, W и
1 ^-эквивалентны.
3) => 1). Пусть ф — гомоморфизм F -»- G, при котором
значения всех слов йе^ обращаются в 1. Но тогда
элементарные преобразования типов 1)—2'), очевидно, не
меняют значения любого слова в G. Следовательно,
значение слова W равно 1 в G, ибо W ^-эквивалентно 1 по
условию 3). ■
Вследствие теоремы 4.4 при выполнении любого из
трех ее условий можно в дальнейшем использовать лишь
один термин: «1^ = 1 — следствие системы соотношений
Рассматривая то или иное соотношение между
элементами {gJisi какой-либо группы, мы, строго говоря, всегда
имеем в виду некоторое слово W из F = F (Щ (где 91 =
= (ahei), значение которого в G равно 1 для
непредставления ф: F ->- G такого, что ф(аг) = gu Однако при записи
соотношений обычно делают упрощение и в обозначениях
не различают элемент группы G и букву а{ е 2L
Например, говорят, что ап = 1 — соотношение, выполненное в
циклической группе <а> порядка п, что не приводит к
недоразумениям.
Множество соотношений {i? = l|i? <г $?} называют
определяющим для группы G =(gi\i<= />, если всякое
другое соотношение между порождающими gi группы G
следует из системы {R = Hi? е=$>}. Соотношения i? = 1
называют при этом определяющими соотношениями, а их
левые части — определяющими словами для G. По
теоремам 3.5 и 4.4 в этом случае G = FI91*, а значит,
определяющие соотношения действительно определяют всякую
группу с точностью до изоморфизма. Пишут
£=<*Ш = 1, Rz=m (2)
42
ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
и запись (2), как и гомоморфизм <р: F(Щ-* G, называют
непредставлением группы G. (В книге [51] пару (St, Ж)
предлагается называть генетическим кодом группы G.)
Проверим для примера, что приведенные в начале
параграфа соотношения определяют группу перестановок
Sym(3), т. е. группа
G = <a, Ш2 = 1, Ь2 = 1, (ab)3 = l> (3)
изоморфна Sym(3). Для гомоморфизма a: F(a, Ь)->-
-*■ Sym(3), при котором
/1 2 3\ , /12 3\
а~[2 1 3J' Ь^[3 2 lj'
а2, &2 и (аЬ)3, очевидно, лежат в ядре, т. е. N = {a2, b2,
(a6)3}*cRera, По теореме 3.7 равенство УУ = Кега
(а вместе с ним и изоморфность групп G = F/N и
Sym(3) = F/Kera), будет доказано, если мы установим,
что в группе G не более 6 элементов. Но на самом деле
е, а, Ъ, ab, ba, aba исчерпывают G: показатели при а и Ъ
можно считать равными 0 или 1 в силу первых двух
соотношений (3), ЪаЪ = aba в G (использовать третье
соотношение!), а всякое произведение длины > 3 может быть
укорочено, например abab =(ab)~l — Ь-1а-1 = ba в G.
В других порождающих — а и с (см. конец § 2)—та
же группа может быть задана иначе:
Sym(3)= G' =<a, clla2 = 1, с3 = 1, аса-1 = с-1). (4)
Здесь использована уже нестандартная запись
определяющих соотношений: вместо XY = 1 пишут иногда X = Г-1.
Отметим также, что запись копредставления (2) зависит
не только от выбора системы порождающих, но и от
выбора определяющих слов.
Заметим, что если относительно копредставления F ->■
->- G группа G наряду с (2) задана другой системой
определяющих соотношений G =ШШ'— 1, й'е^') и 91' —
конечное множество, то ив f можно оставить конечное
число слов, т. е. все соотношения R = 1 следуют из
конечного подмножества соотношений Ш= 1, й е ^ с й)
н \9"\ < °°. Действительно, поскольку соотношения R' = 1
следуют из (2), они по теореме 4.4 выводятся из
конечного множества этих соотношений, т. е. все соотношения
системы {R' = 1|Д' е Я') следуют из {R = 1\R^9>). Но из
Ш' = 11/?'ей?'} следуют, в свою очередь, все
соотношения системы (2).
§ 4. СООТНОШЕНИЯ В ГРУППАХ И СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 43
Группу, которая задается конечной системой
определяющих соотношений, называют конечно определенной.
Группа G, заданная копредставлением (2),
максимальна среди всех групп с данными соотношениями, что
выражается следующим предложением, называемым
теоремой Дика.
Теорема 4.5. Если группа G определена своим
копредставлением (2) и для некоторого отображения <р
системы ее порождающих 21 в группу G' значения всех слов
йей обращаются в 1 в G', то <р продолжается до
гомоморфизма G -»- G'.
Доказательство. Пусть V (а^, ..., а,п) =
= W(а^, . . ., ain) B Q Тогда по теореме 4.4 слова V и
W ^-эквивалентны, а поэтому их значения в группе G'
совпадают. Следовательно, отображение V (а^, .. ., а^*-*
h"*' ' (ф (а»1)' •••> Ф (ain)) определено корректно.
Очевидно, что оно продолжает ф и является гомоморфным. ■
С помощью теоремы 4.5 легко проверить, например,
что копредставления (3) и (4) задают изоморфные
группы. Действительно, существует гомоморфизм <р: G -»- G',
при котором а>->- а, Ь^* ас, так как (ас) 2 = 1 и (а ■ ас)3 =
= 1 в G'. Аналогично проверяется, что существует
гомоморфизм ф': G' -»- G, при котором а*-* а, с^-аЪ.
Поскольку отображения ф и ф' взаимно обратны, они являются
изоморфизмами.
3. Слова и подслова. По понятной причине при
изучении копредставлений приходится иметь дело со словами.
Приведем несколько относящихся к ним вспомогательных
терминов.
Произвольное слово Y называют подсловом слова X,
если X = UYV для некоторых слов U ж V. При этом если
слово U пусто, то Y называется началом слова X, а если
V пусто — концом слова X.
Если Х= YZ, то слово X' = ZY называется
циклическим сдвигом слова X. Понятно, что циклические сдвиги
слова X сопряжены с X в свободной группе F: X' =
*=ZXZ-1 bF.
Очевидно, что каждое слово сопряжено в F с
циклически несократимым. Предположим, что два циклически
несократимых слова X и X' сопряжены в F, т. е. X = ZX'Z~l
в F, где Z можно считать циклически несократимым. В
силу циклической несократимости слова X' в одном из слов
ZX' и X'Z~l нет сокращений, а поскольку X циклически
44 ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
несократимо, либо в первом произведении полностью
сокращается Z, либо во втором Z~l. Выбрав второй вариант,
имеем X' = YZ и X = ZY, т. е. слово X' — циклический
сдвиг слова X.
Некоторые слова иногда будет удобно рассматривать
как циклические слова, т. е. написанными на окружности.
Строго говоря, под циклическим словом понимается
множество всех циклических сдвигов некоторого слова X.
Подслово (не циклическое!) циклического слова X — это
подслово одного из циклических сдвигов обычного слова
X. Например, в список подслов длины 3 циклического
слова а2Ъа входят a2b, aba, ba2, a3.
Скажем, что X является истинной степенью в F, если
X = Yn для некоторого У, где га > 1. По теореме 4.3
каждое неединичное слово является степенью в F
некоторого слова У такого, что У уже не является в F истинной
степенью. Как и в [80], {5], непустое циклически
несократимое слово X назовем простым, если оно не является
истинной степенью в F. Очевидно, что циклический сдвиг
простого слова прост, а каждое неединичное в F слово
сопряжено в F с ненулевой степенью некоторого
простого слова. Заметим еще, что если А' = YX —
нетривиальный циклический сдвиг простого слова А = XY (т. е.
\Х\>0 и |У| >0), то А' Ф А, так как иначе по
теореме 4.3 X = Z\ У = Z1 и А =э Zh+l, где к + I > 1.
В связи с рассмотрением в гл. 6 определяющих
соотношений вида Ап = 1 важным, как и в [80], [5], является
понятие периодического слова. Под периодическим
словом с периодом А (А-периодическим словом) здесь
понимается любое подслово некоторой степени Ат, где т >
> 0. В этом смысле ababa — периодическое слово с
периодом не только аЪ или Ъа, но и аЪаЪаЪ"1 и т. п. В книге
рассматриваются лишь периодические слова с простыми
периодами. (Скажем, аЪаЪ не рассматривается как
период.) Они, очевидно, несократимы.
Разложения (аЬаЪ)аж (bab) (aba) периодических слов
ababa и ЪаЪаЪа с периодом аЪ находятся как бы «в
одинаковой фазе» относительно аЪ, а разложение (aba) Ъ —
«в другой фазе». Дадим формальное определение
согласованных разложений двух периодических слов X и У
с простым периодом А, где \Х\, |У| > \А\. Скажем, что
разложения X = Х\ ■ Х2 и У — Y\ ■ Y2 этих слов А-согла-
сованы, если для некоторой степени Ат, т > 0, найдется
разложение Am^U\U2 такое, что U\ ^V\X\ = W{Y\
g 4. СООТНОШЕНИЯ В ГРУППАХ И СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ 45
и U2 = X2V2 = Y2W2 для некоторых слов Vu V2, W\, W2.
(Можно сказать, что слова X и У налагаются одно на
другое с совмещением выделенных разрезов, так что
получается вновь .4-периодическое слово — рис. 2.)
Конечно, если какие-то разложения Х\Х2 и У1У2
.4-согласованы, то они же А '-согласованы и для всякого
циклического сдвига А' периода А. Кроме того, в А-пе-
риодическом слове вида Z\Z2Z$ при \Z2\ 5s \A\ слова Zx и
a b a b\ a.
* A A A i A '
Ъ а.
'alb a J
■d
Рис. 2
Z2 однозначно восстанавливаются по слову Z2 и своим
длинам. Поэтому если какие-то разложения Х\Х2 и У1У2
слов X и У Л-согласовапы, а X и У — подслова
.4-периодических слов С\ХС2 и D\YD2, то и разложения
(СХХ\) (Х2С2) и (D]Y\) (Y2D2) также -4-согласованы.
Бесконечность групп, определенных в гл. 6—13,
можно вывести, например, из цикличности их конечных
подгрупп (теоремы 19.6, 26.5), а можно предъявить
бесконечное множество попарно различных в этих группах
слов. Существование таких «апериодических» слов
произвольной длины в любом неоднобуквенном алфавите
установил Туэ [253]. (Приводимое ниже доказательство
близко к [38].) Для целого I ^ 2 назовем слово X 1-апериоди-
ческим, если в нем нет непустых подслов вида Y1.
Теорема 4.6. В алфавите {а, Ъ) существуют сколь
угодно длинные 6-апериодические слова. Более того,
число f(n) таких слов длины га больше чем (3/2)".
Доказательство. Очевидно, что /(1) = 2 > 3/2,
и для га ^ 1 доказываем далее неравенство / (га + 1) >
3
> у / (п) по индукции.
Каждое 6-апериодическое слово длины п + 1 есть
результат приписывания справа одной из букв а или b к
6-апериодическому слову длины га. Так можно получить
2/(га) слов X длины га + 1. Но некоторые из полученных
так слов могут содержать степени А6. Нужно оценить
число таких возможностей.
Понятно, что может получиться лишь равенство вида
X = YA6, так как иначе уже начало длины п слова X
46
ГЛ. 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
длины га + 1 содержит А6. Для слов А длины 1 (а их
всего 2) имеется 2/(га - 5) слов вида X = YA6, где Г 6-апе-
риодично, ибо тогда |У| = га + 5. Слов А длины 2 уже 4,
а соответствующих слов X длины п +1 не больше
4/(»-11), так как |У| = |Х|-6И1 = 11 и т. д. Отсюда
/(и + 1)> 2/(га)- 2/(га - 5)- 22/(га - И)- ... (5)
Поскольку по предположению индукции f(n — k)<
<Ш~А/(га), из (5) получаем
/(M+l)>2/(n)~2(4)"5/(ra)-22(4)"U/W-..-
что после применения формулы для суммы членов
геометрической прогрессии со знаменателем [jj Дает не"
равенство
/(, + 1)>{2-2(|)-5(1-2(4)-6)}/(,)>4/(п). .
Теорема 4.6 допускает усиление: замену в
формулировке первого утверждения 6-апериодических слов на
3-апериодические, а в случае алфавита из трех букв — на
2-апериодические. (См., например, [153], [5].) Такое
усиление, однако, не будет использовано в последующих
главах. Обобщения апериодичности, когда исключаются не
только подслова вида Ак, можно найти в [138].
ГЛАВА 2
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
Первоначальные сведения о группах разбиты на две
части, чтобы читатель при желании мог сразу перейти
к гл. 3—6, в которых не используется материал
настоящей гл. 2.
§ 5. р- подгруппы в конечных и абелевых группах
1. Классы сопряженных элементов. Центр. Теоремы
о примерных разложениях периодических абелевых групп
и о силовских подгруппах конечных групп подчеркивают
важную роль групп, в которых порядок каждого
элемента является степенью фиксированного простого числа р.
Параграф, посвященный ^-группам, мы начнем с
нескольких общих определений.
Как отмечено в § 3, сопряженность является
отношением эквивалентности на группе G, а следовательно,
всякая группа G разбивается в объединение
непересекающихся между собой классов сопряженных элементов.
Аналогично сопряженности элементов определяется
понятие сопряженной подгруппы: если Н — подгруппа
группы G и а е G, то аНа~1 называется сопряженной с Н
подгруппой. (аНа~х — действительно подгруппа, так как
{aha~l)~x = ah~la~l и (ahia~l) (ah2a~l) = a(hlh2)a-1.)
Очевидно, что подгруппа Н совпадает со всеми
сопряженными ей подгруппами тогда и только тогда, когда она
нормальна.
Выбрав произвольный элемент а е G, можем с его
помощью осуществить изоморфное отображение аа
группы G на себя (т. е. автоморфизм группы G) по правилу
х н->. аха~х для каждого х <s G. В самом деле,
а^(ху) = ахуа~1 =[аха~1) (ауа~х) = аа{х)аа(у),
48 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
и аа биективно, так как обладает обратным
отображением <хо_1. Автоморфизм «а называют внутренним
автоморфизмом группы G. Поскольку аа — автоморфизм,
сопряженные подгруппы Н и аНа~1 = аа(Н) изоморфны, а
сопряженные элементы х и аха~х = аа(х) имеют
одинаковые порядки.
Понятно, что аха~х = х тогда и только тогда, когда х
и а перестановочны в G. Естественно, что чем больше
элементов в G перестановочны с х, тем меньше должно
получиться различных элементов, сопряженных с х.
Точно сосчитать число элементов в классе сопряженности
можно с помощью понятия централизатора С(х)
элемента х в G. По определению С(х)= {a <s G\ax = ха).
Подмножество С(х) является подгруппой, так как: 1) ее
s С (х); 2) если ах = ха, то после умножения этого
равенства с двух сторон на в'-1 получим ха~1 = а~хх, т. е. а~х е
еС(г); 3) из ах — ха и Ъх = хЪ следует аЬх = хаЪ, т. е.
Существует параллельное понятие нормализатора
N(H) подгруппы Н группы £: N(H)= {a ^ G\aH = На}.
Как и выше, /V(#)— подгруппа в G. Из определения
видно, что //—нормальная в N'(H) подгруппа (причем
N(H)— наибольшая в G подгруппа с этим свойством).
Теорема 5.1. Число элементов группы G,
сопряженных с x<s. G (в общем случае — мощность этого
множества), равно индексу \G: C(x)\.
' Доказательство. Следующие утверждения
очевидно равносильны: axa~l = bxb~x, b~'axa~xb = х,
(b~la)x(b",a)'~1 = х, Ъ~1аеС(х), аС(х)=ЪС(х).
Другими словами, аха~х Ф bxb~l тогда и только тогда, когда
аС(х)Ф ЪС(х). Следовательно, существует столько же
различных элементов группы G, сопряженных с х,
сколько различных смежных классов по подгруппе С(х). ■
Точно так же устанавливается
Теорема 5.2. Число подгрупп группы G,
сопряженных с подгруппой Н, равно индексу \G : N(H)!. я
Следствие 5.1. Число элементов (число подгрупп)
одного класса сопряженности в конечной группе G
делит \G\.
Доказательство. Утверждение выводится из
теорем 5.1 и 5.2 с помощью теоремы 3.2. ■
В каком случае класс элементов, сопряженных в
группе G с х, состоит только из х? Очевидно, что в том
случае, когда х = аха~1 для всякого а е G. Такое равенство
§ 5. Р-ПОДГРУГШЫ В КОНЕЧНЫХ И АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ 49
равносильно условию ха — ах, т. е. х перестановочен со
всеми а <^ G.
Множество Z = {z <s G\za■ = az для всех а <= G)
называется центром группы G. Центр является подгруппой,
что легко проверить непосредственно или заметить, что
Z = П С (а). Равенство aza~l = z для z <s Z и а е G по-
a=G
зволяет сделать вывод, что подгруппа Z нормальна в G.
По той же причине нормальна в группе G и всякая
подгруппа, содержащаяся в Z. Очевидно также, что центр
группы G совпадает с G тогда и только тогда, когда
группа G абелева. В неабелевых группах центр нередко
состоит лишь из единицы. (Например, в Sym(w) при
п > 2.)
Рассмотрим важный класс групп с неединичным
центром.
Пусть р — простое число. Конечная группа G
называется р-группой, если ее порядок есть степень числа р.
Например, группа диэдра -0(4) является 2-группой, так
как 8 = 23.
Лемма 5.1. Если факторгруппа по некоторой
центральной подгруппе Н <= Z группы G циклична, то G —
абелева группа.
Доказательство. Пусть GIH порождается
смежным классом аН. Возьмем х, у <= G. Они лежат в
некоторых смежных классах (aH)k и (аН)1. Значит, х = akzx,
у = alZ2, где zi, z% — центральные элементы. Поэтому ху =
=aftZi«'z2 = ak+!z1z2 = a'+*z2Zji = a'z2ahzl = ух. ■
Лемма 5.2. Если в конечной неединичной группе G
индекс всякой подгруппы Н, отличной от G, делится на
одно и то же простое число р, то и порядок m центра
группы G делится на р.
Доказательство. Отметим, во-первых, что
порядок \G\=n делится на р, ибо n = \G:{e)\. Во-вторых,
G, как и всякая группа, распадается на непересекающиеся
классы сопряженных элементов. Поскольку объединение
всех одноэлементных классов есть центр Z, группу G
можно разложить в объединение непересекающихся
подмножеств:
G = zueii)...uch (1)
где С\, . . ., Ci — классы сопряженности, причем в каждом
из Ci содержится щ > 1 элементов. По теореме 5.1 щ —
индекс некоторой подгруппы в G (отличной от G, ибо
Hi > 1). Значит, числа п{ делятся на р по условию.
4 А. Ю. Ольшанский
50
•ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
I
Из разложения (1) имеем п = т + 2 пц откуда
i
т *= п— 2 пг также делится яа р. щ
Теорема 5.3. Центр всякой конечной неединичной
р-группы содержит некоторый неединичный элемент.
Доказательство. Из теоремы 3.2 следует, что
данная группа удовлетворяет условию леммы 5.2, ибо
всякий неединичный делитель числа ph делится на
простое р. Поскольку центр содержит не менее одного
элемента, его порядок не меньше р по лемме 5.2, т. е. в нем
существует неединичный элемент. ■
Следствие 5.2. Всякая группа порядка р2, где р
простое, абелева.
Доказательство. Пусть Z — центр данной
группы G. По теореме 5.3 '\Z\ > 1. Если \Z\ = р2, то Z = G
и G абелева. В противном случае по теореме 3.2 остается
одна возможность: \Z\~p. Значит, \GJZ\ — р2 : р — р,
а по следствию 3.2 группа G/Z циклическая. Поэтому по
лемме 5.1 группа G абелева. В таком случае \Z\ = р2
вопреки предположению. Полученное противоречие
доказывает лемму. ■
2. р-подгруппы конечных групп. Чуть ниже будет
выявлена причина, по которой р-группы играют
фундаментальную роль во всей теории конечных групп
(теорема 5.4 Силова). Но сначала будет доказана восходящая
к Коши
Лемма 5.3. Если порядок п конечной группы G
делится на простое число р, то число решений уравнения
хр — е в группе G делится на р. В частности, в G есть
элемент порядка р.
Доказательство. Рассмотрим уравнение
Х\Х2... Хр = а (2)
в группе G. Поскольку при любых фиксированных
Х\, ..., г,_1 s G уравнение (х\.. .xp-i)xp — а
относительно хр имеет в G единственное решение, число
строк-решений (х\, Х2, ..., хр) для уравнения (2) равно пр~х для
всякого ueG. Далее, если
xi...xp = e, (3)
то и циклический сдвиг вида (xh+i, ..., хр, х\, ..., хк)
строки [хх, ..., хр) также будет решением уравнения (3), так
§ 5. Р-ПОДГРУППЫ В КОНЕЧНЫХ И АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ 51
как произведение хк+х . .. xvx\ ... хк сопряжено с х\... хР,
а элемент, сопряженный с единицей, равен только е.
Легко видеть, что циклические сдвиги строки (х\, ...
..., Хр) являются различными строками, если не все Xi
в этой строке одинаковы. (Здесь важно, что число р
простое: к и р взаимно просты при 0 < к < р, а значит,
повторяя сдвиги на к, можно переместить х\ на любую
позицию в строке). Поэтому число N таких решений
уравнения (3) делится на р. Следовательно, делится на р и
число пр~1—N решений вида (х, ..., х) уравнения (3),
т. е. число решений уравнения хр = е в G. В частности,
среди решений уравнения хр = е есть неединичное. ■
Теорема 5.4. Если порядок конечной группы G
делится на pk (p простое), то в G существует подгруппа по-
рядка ph.
Доказательство. Проведем индукцию по
порядку п =.\G\ с очевидным основанием при п = 1. Можно
считать, конечно, что к ^ 1.
Предположим сначала, что в G есть отличная от G
подгруппа Н, индекс ;' которой не делится на р. В таком
случае п — mj по теореме 3.2, где m = \H\ и m делится
на ph. Поскольку m < га, по предположению индукции в Н,
а значит и в G, имеется подгруппа порядка ph.
Остается предположить, что индексы всех подгрупп,
отличных от G, делятся на р. По лемме 5.2 делится на р
и порядок m центра Z группы G. Значит, по лемме 5.3 в
Z найдется элемент z порядка р. Его циклическая
подгруппа N =<z> имеет порядок р и нормальна в G, так как
N czZ. Порядок факторгруппы G/N равен щ — п/р < п.
Число п\ делится на ph~l, и по предположению индукции
в G/N есть подгруппа порядка ph_i, которая по
теореме 3.7 имеет вид HJN, где Н — подгруппа в G. По
теореме 3.2 |#| —p.-ph~l = ph, что и требовалось. ■
Перенос теоремы Силова на любые делители порядка
группы невозможен. Минимальный контрпример —
группа Alt (4) порядка 12, в которой, как несложно проверить,
нет подгрупп порядка 6.
Если порядок га группы G представлен в виде га = рЧ,
где I уже не делится на простое р (т. е. ph —
максимальная степень числа р, делящая га), то подгруппы порядка
рь называются силовскими р-подгруппами группы G. Нам
в дальнейшем будет достаточно лишь первой теоремы
Силова (теоремы 5.4). Другие — о сопряженности
различных силовских р-подгрупп в G и об их числе — также иг-
4*
52 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
рают важную роль в алгебре и их доказательства
содержатся в любом руководстве по общей теории групп [51],
[62], [117].
Индекс силовской подгруппы взаимно прост с ее
порядком. Следующая теорема справедлива для всякой
нормальной подгруппы А, порядок которой взаимно прост
с ее индексом (теорема Шура). Мы же доказываем ее
здесь и применяем в гл. 11 в ослабленном варианте.
Теорема 5.5. Пусть А — подгруппа конечной
группы G; \G\ = п, \А\=тп и \G:A\—j, причем числа m
и ] взаимно просты. Тогда если А содержится в центре
группы G, то группа G изоморфна декартову
произведению групп А и В = G/A.
Доказательство. Зафиксируем в каждом
смежном классе Ъ = gA по одному элементу-представителю Ъ,
причем А = е. Обозначим также ge ^ В образ элемента g
при естественном гомоморфизме е: G-*-B. Итак, be = b.
Нам потребуется также функция <p(g, Ъ) двух
аргументов geGlbefi:
<p(g, Ъ)= gb ■ g*b~x.
Заметим, что значения функции ф лежат в подгруппе А
(а значит, в центре группы G), ибо
ф(£, Ъ)г = g'b*(ifb*)-1 = gBb{gsb)-1 = e^B.
Отметим также, что
Ф (gig2, ъ) = gigJ> (gigzfb-1 =
= gigib glb^g^g^lb g\ {gib)'1 = gl4> (g2, b)g^ ф (gu g\b).
В правой части можно убрать g\ и g~l, поскольку ф(#2, Ь)
находится в центре1) группы G. Поэтому, обозначив
g2b = с, имеем
4>(gig2, b)=ff(gh c)q>(g2, b). (4)
Проверим далее, что отображение /, заданное по
правилу f(g)= IJ ф Of, fr), является гомоморфизмом
') Читатель, знакомый с определением полупрямого
произведения, может заметить, что приводимое доказательство пригодно
для любой абелевой нормальной погруппы, а не только
центральной подгруппы Л. (В этом случае, однако, g\ и g^1 следует
оставить.) Общий случай теоремы Шура легко сводится к случаю
абелевой нормальной подгруппы — см. [51] или [117].
§ 5. Р-ПОДГРУППЫ В КОНЕЧНЫХ И АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ 53
группы G в группу А. Действительно, в силу (4)
/tei&) = Пф(*1&, &) =
ь=в
= П Ф (gx, с) П Ф (&, Щ = / (gt) f (g2),
с<=В bSB
поскольку с = g2b пробегает группу В вместе с
элементом Ъ.
Определим, наконец, гомоморфизмом a: G -»- А X В
формулой a(g) = (f(g), ge)- Очевидно, что Кега<=Кеге =
= А. Но для a <s. А всегда
ф(а, Ь)= аЪагЬ~х = abeb~l = a,
а значит, f(a) = a1. В силу взаимной простоты числа /
с порядком группы А ограничение /L является
изоморфизмом (см. пример 4 в § 3.2), а следовательно, Кег а с
cifl Ker / = {е}. Таким образом, мы получили инъектив-
ный гомоморфизм a: G ->- А X В, а так как \G\ — \А\ X
X \В\ = \А X В\, то а — изоморфизм. ■
3. Прямое произведение. Изучение периодических абе-
левых групп сводится к /^-группам с помощью
конструкции прямого произведения. Дадим сначала общее
определение, относящееся к любым, а не только к абелевым
группам.
Пусть {Gj.ei — некоторое множество нормальных
подгрупп произвольной группы G. Под произведением Я =
= Li &i понимают множество всевозможных элементов
г = 1
вида
g = gi^ ■ ■ ■ gin, (5)
где g-ii <= G^, . . ., gin<= Gin для некоторых iu ..., in e=/.
Очевидно, что Н — подгруппа в G, причем нормальная в
силу нормальности подгрупп G{ в G. Поскольку по
теореме 3.6 GtGj — Gjd, можно привести запись (5) к такому
виду, что все индексы U, ..., in различны, что и
предполагается в дальнейшем. Если все сомножители gt в
записи (5) (где gi e Gt) однозначно определяются элементом
g, то Н называют прямым произведением множителей Gh
а если еще Н = G, то говорят также, что группа G
разлагается в прямое произведение своих подгрупп Gt, i e /.
54
ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
Прежде чем установить простую связь прямых и
декартовых произведений (см. § 1), заметим, что если К
и L — нормальные подгруппы какой-либо группы и
KCi L — {е}, то каждый элемент х ^ К перестановочен
с каждым элементом у е= L. В самом деле, произведение
хух~1у~х = (хух~1)у~1 = х(ух~1у~1) принадлежит как К,
так и L ввиду нормальности этих двух подгрупп. Значит,
хух~1у~1 — е, откуда ху — ух.
Теорема 5.6. 1) Декартово произведение G групп
Gu ..., Gi разлагается в прямое произведение своих
подгрупп А\, ..., Ац изоморфных группам G\, ..., Gt
соответственно.
2) Прямое произведение G подгрупп А\, . .., At
изоморфно декартову произведению групп А\, .. ., At.
Доказательство. 1) Пусть А\ = {(е, .. ., g, ...
г
..., е) | g e Gi}— множество всех строк со всеми
единичными компонентами, кроме £-й. Тогда непосредственно
видно, что Ai — нормальная подгруппа в G, что At = Gt
при i = 1, ..., I (строке (е, . . ., g, ..., е) сопоставляется
g^Gi) и единственна запись (gu • • •, gn) = {g\e, ..., е)...
...(е, е, ..., gn).
2) Заметим, что при i ¥= j пересечение At П А}
единично, так как иначе неединичный элемент g <s At Л Aj имел
бы записи е . . .g. .. е=е ... g . . .е с разными компонен-
г j
тами из Ai (g и е). Поэтому подгруппы Л* и ^
поэлементно перестановочны, и два элемента g = gi . . ■ gi ж g' = gi--
... ^г из G (где gi, gi e 4{) перемножаются по
правилу gg' = (gigi) ... (gjg'j). Значит, ф: gx ... gi~
•-*■ (^i) . .-i^j) есть изоморфизм G-^у^Х ... X-4j. ■
В силу теоремы 5.6 прямое и декартово произведения
конечного числа множителей можно не различать, и для
прямых произведений также пишут G — GXX .. . X Gx.
Различие проявляется в случае бесконечного множества
множителей. (Если в этом случае декартово произведение
групп Gt, i e 7, отождествить с множеством функций /:
/ -*■ U Gi, где /(г)еС4) то прямое произведение нужно
i
отождествить с подгруппой, состоящей из всех функций,
принимающих лишь конечное число неединичных
значений.)
Теорема 5.7. Произведение А\...А1 нормальных
подгрупп является прямым тогда и только тогда, когда
§ 5. Р-ПОДГРУППЫ В КОНЕЧНЫХ И АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ 55
для всякого i = 1, ..., I
Ai[\(Al...A{-lAi+l...Al)={e}. (6)
Доказательство. Необходимость условий (6)
следует из однозначности записи (5) в прямом
произведении. Наоборот, пусть условия (6) выполняются и g —
= g\ ■ ■■ gi = g'i ■■■ ^г — Два произведения, где gu g\<=
е А^ Из этого равенства следует
(ft)""1 £i =■ (& ... g\){g2 ... girx^A2- ... -Аи
и из условия (6) при i — 1 получим, что (Vi)~x gi = e,
т- е- gi = gi- Теперь после сокращения на gx имеем g2 . ..
.. . g'i = g2 ... gu откуда g2 = g2 и т. д. ■
Если G = А X В, то по теореме 3.6
G/A=AX В/A =B/Ar\B = В/{е) = В.
Более общая ситуация рассматривается в следующей
теореме о факторизации прямого произведения.
Теорема 5.8. Пусть G = AlX...XAl и
подгруппы Nf нормальны в А{ для i = 1, . .., I. Пусть N = Ni ...
.'..#,. Тогда N = NlX...XNl и G/N s Ax/Ni X .. . X
X A,/N,.
Доказательство. Первое утверждение
непосредственно следует из определения. Далее построим
отображение ф из G в Н = A1/NlX . . .XA,./N, по правилу
<p(gi...gi) = (giNh ..., g,Nt), где g = gx... gi —
стандартное разложение элемента g^G. Понятно, что ф —
сюръективныи гомоморфизм группы G на Н, причем
Кег ф == {gl ... gl\glN1 =NU..., gM = Nt) =
= {gi... gl\gt e Nu .. ., g, e Nt] = 7VX X ... X Nt = N,
и по теореме 3.5 G/N = H. ■
4. Примарные разложения абелевых групп. Группа G
называется периодической, если каждый ее элемент
имеет конечный порядок. В случае, когда порядки всех
элементов группы G ограничены в совокупности, наименьшее
общее кратное порядков всех ее элементов п обладает,
очевидно, тем свойством, что gn = е для всякого g = G.
В этом случае говорят, что группа G имеет период п.
Например, группа Ср<х (см. п. 2.1) периодическая, но
порядки ее элементов не ограничены, а прямое
произведение любого множества групп Gh изоморфных конечной
56 гл. 2. основные типы групп й подгрупп
группе G порядка га, имеет, как п G, период sg га по
следствию 3.1.
Во всякой абелевой группе А все элементы конечных
порядков образуют подгруппу Т, поскольку из равенств
ап = е и Ът = е следует равенство (аЪ)тп = е. Она
называется периодической частью группы А. (В случае неабе-
левой группы Т не обязательно подгруппа,— рассмотреть
группу диэдра D(°°) из п. 1.2). Факторгруппа А/Т
является группой без кручения. Действительно, если (аТ)п =
= Т, то ап е= Т, т. е. ап = Ъ е= Т. Но по определению
подгруппы Т Ъ! = е для некоторого I ¥= О, так что anl = Ъ1 =
= е и а е= Г, а значит, аТ = Т — единичный смежный
класс.
Периодическая группа G называется р-группой, если
порядок каждого ее элемента является некоторой
степенью простого числа р. В силу следствия 3.1, с одной
стороны, и леммы 5.3, с другой стороны, конечная
группа является р-группой тогда и только тогда, когда ее
порядок равен степени числа р, т. е. данное определение
^-группы согласуется с приведенным в п. 1.
В каждой абелевой группе А можно выделить
максимальную /ьподгруппу — ее р-компоненту, состоящую из
всех элементов, порядки которых суть степени данного
простого р.
Теорема 5.9. Всякая периодическая абелева
группа А разлагается в прямое произведение конечного или
бесконечного числа различных своих р-компонент Ар.
Доказательство. Пусть а — элемент порядка га
а. а;
группы Ли п = рх ... pi — разложение числа га на
простые множители, где pt ¥= р, при i ¥= j. По теореме 2.1
порядок циклической подгруппы В = <а> равен га, а по
теореме 2.3 в В найдутся подгруппы В\, ..., В, порядков
a at
Pi , . . ., pi соответственно.
Проверим для Вх, -.-,Bi условие теоремы Ъ.11
например, для 2 = 1. Пусть g <= Д Bk П Вх. Тогда g = g2 . . .
... gi, где gi e Bi при i = 2, ..., l. Порядок элемента gi
есть число вида pi , так как gi<=Bi, а значит, g = e,
где m = р22 ... Pi1, т. е. порядок элемента g делит пг.
Но порядок элемента ge Вг есть ргх, и из взаимной про-
стоты чисел m и рх следует, что g = е.
§ 5. Р-ПОДГРУППЫ В КОНЕЧНЫХ И АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ 57
По теореме 5.7 заключаем, что произведение В' =
= В\ . .. Bi прямое, а значит, | В' | = 1 Вг | ... | 5г | = рг 1...
. .. р*1 = п = \В\, откуда В' = Ви В = Вгх ... XBt.
Поскольку Вг с: Лр . .., 5г с: Ащ, то а е Ц Ар и,
р
следовательно, А — произведение подгрупп Ар. Условие
(6) теоремы 5.7 для подгрупп Ар проверяется дословно
так же, как и для Вг, .. ., В\ выше. Отсюда следует
утверждение теоремы, н
Легко видеть, что примарная р-компонента конечной
абелевой группы А является силовской р-подгруппой в А.
Если циклическая группа G имеет порядок ph для
некоторого простого числа р, то G называется примарной
циклической группой. Основной для конечных абелевых
групп является
Теорема 5.10. Всякая конечная абелева группа А
разлагается в прямое произведение своих примарных
циклических подгрупп.
Доказательство. Теорема верна для единичной
группы. Далее доказываем ее индукцией по порядку п
группы А. По теореме 5.9 эта группа разлагается в
прямое произведение своих р-групп. Поэтому достаточно
доказать теорему для /ьгрупп. Итак, считаем, что га = ph,
р простое, к 3* 1.
Выберем в А элемент g максимального порядка р1
и обозначим <g> = В. Буквой С обозначим некоторую
подгруппу в А такую, что С П В = {е}, и максимальную с этим
свойством. По теореме 5.7 ВС — В X С, а так как
подгруппа С не содержит g, ее порядок меньше га, и по
предположению индукции группа С, а значит, и В X С
разлагается в прямое произведение примарных циклических
подгрупп.
Остается доказать, что ВС = А. Обосновывая это
равенство «от противного», мы можем допустить
существование элемента х из А, не лежащего в ВС.
Можно считать при этом, что xv^BC, т. е. xv = bc, где бей
с^С.
Если рш — порядок элемента х, то хр имеет порядок
Pm~l<pm^pl. Поскольку xv = be, а произведение ВС
прямое, порядок элемента Ь не превосходит порядка
элемента х, т. е. меньше р\ а значит, Ъ не порождает всю
подгруппу В. По следствию 2.2 Ь=(ар)' для некоторого
целого t. Поэтому если обозначить у = ха~\ то ур = с е С
58 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
и уФ ВС (так как хВС = уВС), т. е. смежный класс уВС
имеет порядок р.
Произведение D = (уУС строго содержит С, ибо уФС.
В таком случае из выбора С следует, что в D Г) В есть
неединичный элемент d = ysz, где zef, Поскольку ys =
= dz~l e ВС, порядок р смежного класса уВС должен
делить число s. Но тогда у3, как и ур, принадлежит С, т. е.
deC и В Г\ С з d¥= e вопреки выбору подгруппы С. ■
§ 6. Разрешимые группы. Тождества
1. Коммутант. В (неабелевой) группе G произведения
ху и ух отличаются на множитель, называемый
коммутатором. Коммутатором двух элементов х, у е G мы будем
считать произведение хух~1у~1. Коммутатор обозначается
[х, у], и, очевидно, ху = \х, у]ух. Отметим, что {у, х] =
= 1Х, У]~\ а коммутатор [у, х~1] — х~1[х, у]х сопряжен
с [х, у]. Вообще, любой элемент, сопряженный с
коммутатором, является коммутатором в G: а[х, у] а~1 = [аха~1,
ауа~1].
Коммутантом [G, G] группы G называется подгруппа,
порожденная всеми коммутаторами группы G. Поскольку
обратные к коммутаторам — коммутаторы, можно
сказать, что [G, G] состоит из всевозможных произведений
коммутаторов. Коммутант нормален в G, ибо
п
а К, Ух] ... [хп, уп] а"1 = П [axioT1, az/iflT1].
г=1
(Более того, коммутант [Н, Н] всякой нормальной в G
подгруппы Н нормален в группе G.)
Теорема 6.1. Факторгруппа по произвольной
нормальной подгруппе N группы G абелева тогда и только
тогда, когда N => [G, G].
Доказательство. Условие (xN) (yN) = (yN) (xN)
для любых х, у е G переписывается в виде xyN = yxN,
а с учетом критерия совпадения смежных классов — в
виде xy(yx)~l e N, т. е. [х, y]^N для любых х и у, что
равносильно включению [G, G] <= JV. ■
Таким образом, коммутант [G, G] — это наименьшая
нормальная в G подгруппа, факторгруппа по которой
абелева. Он равен {е} тогда и только тогда, когда группа G
абелева.
Если провести вычисления коммутантов в ряде групп
малых порядков: [Sym(3), Sym(3)] = Alt(3), [Alt(5),
§ е. Разрешимые группы, тождества gg
Alt (5) ] = Alt (5) и др., то может остаться впечатление,
что коммутант состоит из коммутаторов, т. е.
произведение коммутаторов — снова коммутатор. Покажем, что это
не всегда так.
В качестве примера рассмотрим мультипликативную
группу Gn всех матриц А над произвольным полем К
вида
4 =
1 ф (х) f (X, у)
0 1 iff (у)
0 0 1
обозначаемых далее для краткости А = || <р, г}), /||, где <р (х) =
п п
= 2 агтг, 'Ф (у) = 2 °зУз — произвольные линейные фор-
2=1 j=l
мы (ж = (хъ ..., хп), у = (уъ . .,, уп)), а / (х, у) =
п
— S сахгУ] — билинейная форма. Правила умножения
г,з—1
матриц и вычисления обратной матрицы показывают, что
Gn — действительно группа.
Непосредственно проверяется, что отображение
IIФ. % /II -*(Ф) 'Ф) группы Gn в аддитивную группу пар
линейных форм является гомоморфизмом, и по
теореме 6.1 [Gn, Gn] содержится в ядре Нп этого
гомоморфизма. (Группа GJHn абелева по теореме 3.5.) Подгруппа
Нп состоит из матриц вида НО, 0, /II, причем НО, 0, /II X
X ПО, 0, /'11 = 110, 0, / + /'Н. Легко видеть далее, что
Пф, 0, ОН"1 = П-ф, 0, ОН, НО, ф, ОН"1 = ПО, -ф, ОН и [Пф, 0,011,
ПО, ф, ОН] = ПО, 0, ффН. Произведение фф — билинейная
форма ранга ^ 1. В таком виде может быть записана
любая билинейная форма ранга 1, а поскольку каждая
билинейная форма ранга =£ п есть сумма не более п форм
ранга 1, Нп = [Gn, Gn]. )
Вычисление коммутатора произвольных матриц
Пф, ф, /II и Нф1, фь /ill дает матрицу ПО, 0, фф[ — ф1ф11.
Учитывая, что ранг суммы билинейных форм не больше
суммы их рангов, заключаем, что для всякого коммутатора
ПО, 0, g\\ ранг формы £ = 'фф1 — ф1ф не больше 2, а
элемент ПО, 0, fell коммутанта, где га — билинейная форма
ранга п, нельзя записать в виде произведения менее га/2
коммутаторов в Gn (и даже в виде степени произведения
менее чем га/2 коммутаторов, ибо ПО, 0, /II* = НО, 0, kf\\\
последнее замечание используется в § 31).
X
ео гл. 2. основные *ины групп и подгрупп
2. Разрешимые группы. Во всякой группе можно по
индукции определить ряд коммутантов: G' = [G, G], G =
= [G', G'l ..., G("=[G(M), G(*-"], ... Группа G
называется разрешимой, если Gw = ie} для некоторого номера &.
Например, для группы диэдра D(re) коммутант D(ra)'
состоит только из собственных вращений евклидовой
плоскости, и поэтому D(n)" — {е}. Это означает, что D(re) —
разрешимая группа ступени разрешимости < 2. Такие
группы называют также метабелевыми. Абелевы
группы — это разрешимые группы ступени 1.
Теорема 6.2. 1) Всякая подгруппа Н разрешимой
группы G разрешима.
2) Гомоморфный образ G\ разрешимой группы G
разрешим.
3) Если в группе G есть разрешимая нормальная
подгруппа N и факторгруппа G/N разрешима, то и группа G
разрешима.
Доказательство. 1) Очевидно, что Н' <= G'.
Далее по индукции Н{4 <= G{h) и при к > 1, т. е. Hw = {e},
если Gw = {e}.
2) Если /: G ->- G\ — сюръективный гомоморфизм, то
/([>, у])= 1{хух~1У~1) =
= f(x)f(y)f(x)-lf(y)-1 = [/(*), t{y)l
Отсюда же получаем, что у всякого коммутатора из G\
есть прообраз, который является коммутатором в G.
Значит, f([G, G])=[GU Gil Далее по индукции / (G(k)) = G?\
откуда G[h) = {е}, если G{k) = {e}.
3) Пусть Nm = {е} и (G/N){1) = Ш — единичная
подгруппа в G/N. В соответствии с утверждением 2) для
естественного гомоморфизма е: G ^-G/N имеем e(G{l)) =
= (G/N){1) = W), откуда GmczN. Согласно утверждению
1) G{l+h) a Nih) = {е}, т. е. группа G разрешима ступени
<:к + 1. ■
Как следует из теорем 6.2 и 6.1, разрешимые
группы — это в точности группы, обладающие конечным
рядом подгрупп,
G = G0=>Gl=> ...Gh~l=>Gh^{e}, (l)
где каждая подгруппа G; нормальна в Gt-i для £ = 1, ...
. . ., к и факторгруппы G.-i/G, абелевы. <-
§ б. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ. ТОЖДЕСТВА 01
К примеру, силовские подгруппы конечных групп
всегда разрешимы. Действительно, если \Р\ =ph>{, то
по теореме 5.3 центр Z в Р неединичен и P/Z — ^-группа
порядка < рк, которую можно считать разрешимой по
предположению индукции. Поскольку и подгруппа Z
разрешима (она абелева!), по теореме 6.2 разрешима и
группа Р- В качестве упражнения предлагается проверить
разрешимость групп UT(ra, К) и Т(п, К).
Если группа G обладает рядом (1), факторы Gj-i/G;
которого не только абелевы, но и циклические, то G
называется полициклической ■ группой. Легко видеть, что
всякая абелева группа А с конечным числом
порождающих а\, . . ., ап является полициклической. В самом деле,
подгруппу В = (а\, ..., ап-{> можно считать
полициклической по предположению индукции, а группа А/В —
= ,<а„> В/В = <апВ) циклична. Значит, полициклический
ряд группы А имеет вид А => В => В\ => В% =>. .., где
В\, 2?2, ... — группы из полициклического ряда группы В.
В любом случае теорема 3.7 позволяет утверждать, что
группа G является полициклической (с полициклическим
рядом длины к + I), если она обладает полициклической
нормальной подгруппой N (длины к), факторгруппа по
которой полициклична (длины I). Поэтому индукция по
длине ряда коммутантов позволяет заключить, что всякая
конечная разрешимая группа полициклична.
3. О разрешимых и простых конечных группах. При
изучении групп характерно стремление найти в них
ряды (1), факторы которых устроены проще, чем вся
группа G. В конечной группе G мы можем начать с ряда
G гз {е} и постепенно уплотнять его, вставляя
промежуточные подгруппы, пока это возможно. А возможно это
(как легко понять с помощью теоремы 3.7), если в
факторгруппе Gi-i/Gt построенного ряда есть собственная
нормальная подгруппа N/Gi. (Тогда уплотняем ряд:
... =э Gt-i =>N=> Gj=>...). На этом пути мы приходим к
следующему определению.
Группа G называется простой, если она неедипична
и не имеет собственных (т. е. отличных от G и {е})
нормальных подгрупп.
Поскольку в абелевой группе все подгруппы, в том
числе циклические, нормальны, из теоремы 2.3 сразу
следует, что простые абелевы группы — это в точности
циклические группы простых порядков. Простые группы
играют ключевую роль как в теории конечных [27], так и в
62 ГЛ. 2. ОСНОЁЙЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
теории непрерывных групп '[101]. В задачу этой книги не
входит ознакомление с этими разделами математики; мы
лишь отметим без проверки, что простой неабелевой
группой минимального порядка является группа Alt(5).
(С этим фактом связывается неразрешимость общего
уравнения 5-й степени в теории Галуа. Термин
«разрешимость» также произошел из этой теории, и, как
догадывается читатель, связан с разрешимостью
соответствующих алгебраических уравнений.)
В гл. 9 нам понадобится следующая теорема
Миллера — Морено.
Теорема 6.3. Если все собственные подгруппы
конечной группы G абелевы, то группа G разрешима.
Доказательство. Докажем теорему индукцией по
порядку п группы G с очевидным основанием п — \.
Далее считаем, что п > 1 и, более того, G — нециклическая
группа.
Допустим сначала, что пересечение С = А П В
некоторых различных максимальных подгрупп А ж В в G
неединично. Тогда элементы из С перестановочны как
с элементами из А, так и с элементами из В, так как
А и В абелевы по условию. Значит, С лежит в центре
подгруппы Я = (.А, ВУ, порожденной множеством A U В.
Но Я = G в силу максимальности подгрупп А и В в G
и неравенства А Ф В. Значит, С находится в центре
группы G. По теореме 3.7 условие теоремы 6.3 переносится
на группу G/C порядка, меньшего п. Значит,
факторгруппа GIC разрешима по предположению
индукции, а поскольку С абелева, по теореме 6.2
разрешима группа G.
Если некоторая максимальная подгруппа А
нормальна в G, то опять-таки G/A разрешима по предположению
индукции, а значит, разрешима и группа G. Поэтому для
завершения доказательства теоремы достаточно доказать
следующее утверждение.
Лемма 6.1. Если любые две различные
максимальные подгруппы конечной группы G пересекаются по {е},
то среди максимальных подгрупп найдется нормальная
в G подгруппа.
Доказательство. Пусть А — максимальная
подгруппа в G, \А\ = m и п = ml. Если А не является
нормальной в G, то она совпадает со своим нормализатором
из-за максимальности, и по теореме 5.2 существует I
максимальных подгрупп А\, . . ., Аи сопряженных с А. По-
§ б. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ. ТОЖДЕСТВА
63
I
скольку их попарные пересечения единичны, в U Ak
входит ml — 1 + 1 = п — 1 + 1 элементов, что меньше п.
i
Поэтому в G есть элемент Ь, не входящий в U Ah. Но
h=l
Ъ входит в некоторую максимальную подгруппу, которая,
следовательно, отлична от А\, .. ., Аи так же как и все
сопряженные с ней подгруппы Въ . .., Bi> (где п = m'l',
если В не нормальна в G). Значит, объединение ( U ^fe j U
U ( U 5Л содержит (п-1+ 1) + {п-1' + 1)- 1 = 2п-
— I — V + 1 элементов, что больше п, ибо собственные
делители I и V числа п не превосходят п/2. Однако в G
всего п элементов, и полученное противоречие доказывает
лемму 6.1. ■
Следствие 6.1. В каждой конечной неабелевой
группе G есть некоторая неабелева метабелева
подгруппа Я.
Доказательство. Выберем в качестве Я неабе-
леву подгруппу в G наименьшего возможного порядка.
По теореме 6.3 подгруппа Я разрешима. Значит, для
к>2 (так как Я неабелева) Я(А) = {е} и Я"1"1» Ф {е}. Но
тогда Hih~2) — неабелева группа, а следовательно, Я("~2) =
= Я по выбору Я и к = 2. ■
4. Тождества и многообразия. Абелевы группы
характеризуются тождественным соотношением ху = ух. В ме-
табелевых группах выполняется тождественное
равенство [[х, у), [z, ы;]] = 1. Похожим тождеством от 2'
переменных можно задать класс всех разрешимых групп
ступени < I. По следствию 3.1 во всякой конечной группе
порядка п тождественно хп = 1. Дадим теперь общее
определение тождества в группе.
Пусть W — произвольное слово в групповом
алфавите 91 U %~~1. Говорят, что в группе G выполняется
тождество W = 1, если всякое значение слова W в G равно 1.
Подчеркнем, что в отличие от определения соотношений
между порождающими, данного в § 4, здесь говорится
о всех значениях, т. е. рассматриваются все
гомоморфизмы ср: F(%)->-G (а не некоторый фиксированный
гомоморфизм ф). Чтобы не путать тождества с
соотношениями между порождающими, будем для тождеств использо-
64 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
вать последние буквы латинского алфавита. Например,
в группе Sym(3) х6 = 1 — тождество, а определяющие
соотношения а2 = Ъ2 =(аЪ)ъ = 1, конечно, не являются
тождествами в Sym(3); скажем, не всякий элемент из
этой группы, имеет порядок 2.
Любой класс групп, заданный одним тождеством или
произвольной системой тождеств, называется
многообразием групп. Например, все группы конечных периодов,
делящих п, т. е. группы с тождеством хп = 1, составляют
многообразие Бернсайда $3„, а многообразие 91„
периодических абелевых групп периодов, делящих п, задается
двумя тождествами хп = 1 и [х, у] = 1. Впрочем, это же
многообразие можно задать одним тождеством z" [x, у] =
= 1 (из которого, подставляя 1 вместо z, получаем
тождество [ж, г/] = 1, а подставляя 1 вместо х и у,—
тождество z™ = 1). Аналогично каждую конечную систему
тождеств можно заменить одним тождеством.
Пусть V—произвольное множество групповых слов.
По аналогии с понятием коммутанта произвольной
группы G определим понятие вербальной (=словесной)
подгруппы V(G) группы G как подгруппы, порожденной
всевозможными значениями слов из V в группе G. (В
случае коммутанта V состоит из одного слова [ж, у].)
Очевидно, что V(G)— 1 тогда и только тогда, когда группа G
удовлетворяет всем тождествам w = 1, где w ^ V, т. е.
когда G принадлежит многообразию S3, заданному всеми
тождествами этой системы. Точно так же, как в п. 1 для
коммутанта, проверяется, что подгруппа V(G) нормальна
в G и что нормальная подгруппа N содержит V(G)
тогда и только тогда, когда G/N содержится в 93. В
частности, V(G) зависит лишь от 93 (и от G) и не зависит от
конкретного выбора тождеств, задающих многообразие 93.
В каждом многообразии 93 есть свободные
относительно этого многообразия, или SB-свободные, группы. Именно,
пусть Sl = {a;}i(E/ и Р = Р(Щ— абсолютно свободная
группа, определенная в п. 4.1. Пусть V (F)—ее вербальная
подгруппа, отвечающая многообразию 93. Тогда
факторгруппа Ру(Щ = F/V(F) называется свободной группой
в многообразии % и, конечно, все группы, ей изоморфные,
свободны. Она порождается смежными классами bt =
= atV(F) и для нее справедливо утверждение, вполне
аналогичное теореме 4.2.
Теорема 6.4. Если igJi^i — любое подмножество
элементов произвольной группы G из многообразия 93, то
% 6. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ. ТОЖДЕСТВА
65
существует гомоморфизм a: Fr'(&)'-> G, при котором
a(bi)= gi для i e /.
Доказательство. По теореме 4.2 существует
гомоморфизм ср: F -*■ G такой, что ср(а{) = £,-. При этом
F(F)<= Кег ср, ибо F/Ker ср = Im ср <=■ G е 93. Значит, образ
ср(х) не зависит от выбора х в смежном классе gV(F)
(и равен cp(g)), что позволяет корректно определить
отображение a.(gV(F)) = cp(g). Гомоморфность
отображения a: Fv (%)-*■ G следует из гомоморфности ср, и сс(Ь;) =
= a(aiV(F))=(p(ai)=g{. ■
Множество порождающих {Ь(},<=/ называют базисом
свободной группы Fv многообразия 93. Частным случаем
понятия 93-свободной группы является понятие
свободной абелевой группы F/[F, F] — она свободна в
многообразии всех абелевых групп. Свободная бернсайдова
группа В(%, п)—свободная группа в многообразии 59п;
иными словами, 5(91, n)-=FJFn, где F = F{%) — абсолютно
свободная группа, a Fп — ее подгруппа, порожденная
п-ми степенями всех элементов. Такое неявное
определение группы В (% п) порождает много проблем, начиная
с проблемы Бернсайда (см. гл. 6). Вообще, в редких
случаях 93-свободные группы имеют хорошее конструктивное
описание. К таким исключениям относятся свободные
абелевы группы.
Теорема 6.5. Свободная абелева группа А с
базисом {at}isI разлагается в прямое произведение
бесконечных циклических подгрупп <а,->, i e /.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательное
прямое произведение В = X Bi, где Вг = <Ь{> — бесконечные
is/
циклические подгруппы. Отображение а\ >-*- Ь\.
продолжается по теореме 6.4 до гомоморфизма ср группы А на абе-
леву группу В. С другой стороны, однозначность записи
bi1 ... &г™ в группе В позволяет по правилу a [bi1 ...
hn\ ft. hn
•. . щп) = di . . . a-in корректно определить отображение
а: В—)-А, которое, как легко видеть, является
гомоморфизмом в силу абелевости группы А. Поскольку ср и а
взаимно обратны, они являются изоморфизмами и А =
= Х<а*>. ш
iSI
Свободная абелева группа А с базисом а\, ..., ап
имеет непредставление
(аъ .. ., ап || aiuja^aj1 = 1; 1 ^ i < / ^ п), (2)
5 А. Ю. Ольшанский
66 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
поскольку группа В, заданная копредставлением (2), абе-
лева и взаимно обратные гомоморфизмы между А и В
существуют в соответствий с теоремами 6.4 и 4.5. В
частности, <а, Ъ\\ [а, Ь] = 1> — свободная абелева группа с
двумя порождающими.
Для тождеств естественным образом определяется
понятие следствия: тождество W = 1 следует из системы
Vl = 1, Уг = 1, •. ., если во всякой группе G, в которой
тождественно V\ = 1, F2 = 1, • • -, является тождеством
и W = 1. Пример: из тождества ж2 = 1 следует [ж, г/] = 1.
Теорема 6.6. Если тождество W = 1 следует из
системы тождеств V\ = 1, F2 = 1, • • •, то оно является
следствием некоторой конечной подсистемы этой системы.
Доказательство. Пусть 91 U %~l—некоторый
групповой алфавит, в котором записаны все слова W, V\,
V2, ... Пусть G = F/V(F), где F = F(%), a V(F)-
вербальная подгруппа, определенная системой слов V\, V2, . ..
Поскольку Vi, V2, ... тождественно обращаются в 1 в G,
W = 1 — тождество в G. Значит, слово W(a\, .. ., а„)
лежит в V(F), a поэтому оно записывается в виде
k
W = Ц Vis (Utl, . .., Us,i s), где Ufj — какие-то слова,
8=1
причем в это произведение входит лишь конечное число
значений слов V\, V2, ..., скажем, max i, «S п. Значит, W
обращается тождественно в 1 во всякой группе, в которой
равны 1 все значения слов V\, . .., Vn. Таким образом,
W = 1 следует из системы V\ = 1, ..., Vn=i. ■
Две системы тождеств естественно назвать
равносильными, если каждое тождество первой системы является
следствием всех тождеств второй системы и наоборот.
Следствие 6.2. Если никакое из тоокдеств Vn+i =
= 1 бесконечной системы V{ = 1, V2 = 1, ... не является
следствием всех предыдущих тождеств V\ — 1, .. ., Vn =
= 1, то вся система не равносильна никакой конечной
системе тождеств.
Доказательство. Допустим, что W\ = 1, ...
. . ., Wm = 1 — конечная система, равносильная данной.
По теореме 6.6 все эти тождества следуют из конечного
множества тождеств V\ = 1, . .., Vn = 1. Тогда из V\ =
= 1, . .., Vn = 1 следуют все тождества У,- = 1, £ = 1,2,...,
ибо все они следуют из W\ = 1, .. ., Wm = 1. Значит,
Vn+i = 1 следует из Vi = 1, ..., Vn = 1 вопреки
условию .■
§ 7. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ 67
Во всяком многообразии 93 лежат подгруппы и
гомоморфные образы групп из 95 (что вполне аналогично
утверждениям 1) и 2) теоремы 6.2), а также любые
декартовы произведения групп из 95. Этот факт ясен
непосредственно, а Биркгоф доказал, что справедливо и обратное:
всякий класс групп (колец, алгебр Ли и др.), который
замкнут относительно перехода к подгруппам,
гомоморфным образам и декартовым произведениям, является
многообразием.
Пусть ^ — некоторый класс групп, состоящий,
возможно, из одной группы, а многообразие 95 задано всеми
тождествами, справедливыми во всех группах из <ё'.
Тогда говорят, что класс W порождает многообразие групп 95.
Из теоремы Биркгофа следует, что все группы из 95
являются гомоморфными образами подгрупп декартовых
произведений групп класса с&.
Теорему Биркгофа можно найти в [51], [70], [76].
Вообще, в [76] систематически развивается идея
классификации групп по их тождествам.
§ 7. Условия конечности в группах
1. Локальная конечность. Условия max и min. В
самом общем толковании условием конечности можно
назвать всякое условие, которое выполняется в любой
конечной группе, но не во всякой бесконечной. В литературе
можно найти необозримое множество такого рода условий,
вплоть до весьма причудливых. В настоящей книге
мы встретимся лишь с некоторыми из наиболее
простых и в то же время важных условий конечности
в группах.
Группа G называется локально конечной, если всякая
ее конечно порожденная подгруппа конечна. Таковы,
например, группа Ср00 или прямое произведение любого
множества конечных или локально конечных групп.
Аналогично можно определить локальную разрешимость
и ряд других «локальных» условий. Следующее
утверждение доказано О. Ю. Шмидтом.
Теорема 7.1. Если нормальная подгруппа N и
факторгруппа G/N группы G локально конечны, то и G
локально конечна.
Доказательство. Нужно доказать, что всякое
конечное подмножество S = {su . . ., sh) <= G порождает в G
5*
68 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
конечную подгруппу. Из условия следует, что смежные
классы s\N, ..., shN порождают конечную подгруппу H/N
в G/N. Расширив S, мы можем считать, что в S вместе
с каждым Si содержится sj , а также что в S входит
представитель каждого смежного класса группы Я по N.
Обозначим h представитель смежного класса произвольного
элемента h e Я. Тогда для s, t e S st = st ср (s, t), cp (s, t) e
s N, st e S. Этот закон умножения позволяет любое
произведение элементов из S привести к виду s • п, где ssS,
а п — произведение некоторых cp(s, t). Поскольку
конечное множество всевозможных ф,(я, t) порождает по
условию конечную подгруппу в N, множество произведений
вида sn также конечно. ■
Следствие. 7.1. Всякая разрешимая периодическая
группа G локально конечна.
Доказательство. Периодическая абелева
группа А локально конечна, так как если аи .. ., ak имеют
порядки Aii, • • •> nh, то число элементов аг1- ... -ah не
больше aii ... nh- Отсюда следствие выводится индукцией
по длине разрешимого ряда группы G с помощью
теоремы 7.1. ■
Очевидно, что всякая локально конечная группа
является периодической. Совпадают ли эти понятия, или, что
то же самое, конечна ли всякая периодическая группа
с конечным числом порождающих? Этот интригующий
вопрос, как отмечалось во введении, стоял несколько
десятилетий. Мы вернемся к нему в гл. 6.
Разумеется, конечность числа порождающих также
есть некоторое условие конечности, однако очень слабое.
Причина в том, что оно не переносится на подгруппы.
Всякая счетная группа может быть вложена в группу
с двумя порождающими [62], [66], [179]. Новые теоремы
о вложениях такого рода доказываются в § 35.
При усилении свойства конечной порождаемое™ мы
приходим к условию максимальности для подгрупп, или
условию max. Говорят, что группа G удовлетворяет
условию max, если всякий возрастающий ряд ее подгрупп
Hi а #2 <= ... обрывается, т. е. Hn — Hn+i = ..., начиная
с некоторого п. Легко доказывается
Теорема 7.2. В группе выполняется условие max
тогда и только тогда,- когда каждая ее подгруппа имеет
конечное число порождающих.
§ 7. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ G9
Доказательство. Пусть Я — подгруппа
группы G с условием max и а\ еЯ. Если {а{> Ф Н, то
найдется а2 е Н\(а{>, т. е. <а{У Ф <аи а2> с Я. Если
и <o-i, а2> Ф Я, то <аь а2> Ф <а\, а2, а3> <= Я и т. д. В
силу условия max этот процесс должен оборваться и для
некоторого А1 Я = <as, . .., a„>.
Обратно, предполагая, что в G все подгруппы конечно
порождены, рассмотрим ряд подгрупп Hi с Я2 с . . . Тог-
оо
да U Н{ = И = <ai, ..., an> для некоторых а\, . . ., ап е
е Я. При этом по определению подгруппы Н аг^. Я^,. ..
. . ., ап<= Hin для каких-то индексов U, . .., i„. Значит,
<аи ..., ап> <= Я,, где i = max {ii, ..., in). Поэтому H <= Ht,
откуда Ht = Ht+l = ... ■
Замена знаков включения на противоположные
приводит к условию минимальности для подгрупп: группа G
удовлетворяет условию min, если обрывается всякая
убывающая цепь ее подгрупп Hi => Н2 ^ . . ., т. е. Нп =
= Я„+1 = ... для некоторого п.
Группы с условиями max и min называются также
нётеровыми и артиновъиш группами соответственно по
аналогии с терминологией, принятой в теории колец и
модулей.
Очевидно, что всякая подгруппа группы с условием
max (с условием min) также удовлетворяет условию max
(условию min). По теореме 3.7 эти свойства переносятся
также и на факторгруппы.
Лемма 7.1. Пусть N—нормальная подгруппа
группы G и для некоторых подгрупп А и В группы G таких,
Доказательство. Пусть Ъ е В. По условию bN =
= BN. Тогда А = В.
Доказательство. Пусть Ь^В. По условию bN =
= aN для некоторого а^А. Значит, a~lbeN. В то же
время а~хЪ е В, поскольку 4сВ, Поэтому a~lb е N П В.
Согласно условию, которому удовлетворяет это
пересеченно, a~lb ei] откуда b ^ А. ■
Теорема 7.3. . Пусть нормальная подгруппа N
группы G и факторгруппа G/N удовлетворяют условию
min (условию max). Тогда условию min (условию max)
удовлетворяет и группа G.
Доказательство. Пусть Hi => Н2 => ... —
убывающий ряд подгрупп группы G. По условию ряд
подгрупп Нх П N => Я2 П N =э .. . стабилизируется начиная
70 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
с некоторого номера га, а ряд подгрупп H\N => H2N => ...
по условию (и теореме 3.7) стабилизируется начиная
с некоторого номера т. В таком случае по лемме 7.1
И, = Hl+l = . . . для I = max (яг, га).
Точно так же доказывается утверждение для условия
max. ■
2. Разрешимые нётеровы и артиновы группы.
Условию max удовлетворяет, как легко понять (например,
с помощью теорем 7.2 и 2.3), всякая циклическая
группа. Теорема 7.3 позволяет сделать вывод, что условие
max выполняется во всякой полициклической группе,
а также во всякой группе с конечным рядом G = G0 =>
=> Gi =>.. .=>G„_i => Gn = {e}, все факторы Gt_i/Gj
которого конечные или циклические. (Такая группа G
называется почти полициклической. Можно доказать, что
в почти полициклической группе есть полицпклическая
нормальная подгруппа конечного индекса.)
Теорема 7.4. Разрешимая группа G нётерова тогда
и только тогда, когда G — полициклическая группа.
Доказательство Утверждение «тогда, когда»
обосновано выше. Обратно, в п. 6.2 показано, что всякая
конечно порожденная абелева группа полициклична и что
группа G полициклична, если таковы N и G/N для
некоторой нормальной подгруппы N <= G. Поэтому с помощью
теорем 7.2 и 7.3 полицикличность группы G с условием
max доказывается индукцией по длине ее разрешимого
ряда: абелева группа G/[G, G] полициклична, а ступень
разрешимости коммутанта [G, G] меньше ступени
разрешимости группы G. ■
Всякая группа с условием минимальности
периодична, так как бесконечная циклическая группа этому
условию не удовлетворяет: Z => 2Z => 4Z =>... В силу
следствия 2.2 простейшим бесконечным примером группы
с условием min является группа СрХ. Чтобы
охарактеризовать разрешимые группы с условием min, приведем
сначала две леммы.
Лемма 7.2. Абелева группа А конечного периода п
с условием min конечна.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
когда период га прост. Выберем неединичный элемент
0]g4. Если найдется еще элемент а%^ А\(а{>, то
произведение (.а{> ■ <а2> прямое по теореме 5.7, ибо порядок
|<а2>| равен простому числу га, a <ai> П <а2> Ф <а2>, т. е.
<ai> П <а2> = {е}. Выберем далее аз <= {ах) X <а2> и т. д.
§ 7. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ 71
Продолжая этот процесс, если А бесконечна, построим
/ ОО
бесконечное прямое произведение X <сц>, которое со-
держит бесконечную строго убывающую цепь подгрупп
Hk = X <«{>, что противоречит условию min.
Если га составное и га = тпр, где р просто, то
подгруппа В = {а е А\ар = е) конечна в А, как доказано выше,
а факторгруппа А/В имеет период /га < га.
Доказательство завершается индукцией по га. ■
Группа G называется делимой (или полной), если для
всякого а е G и любого натурального га в G существует
такой элемент х, что хп = а. В качестве первого примера
неединичной делимой группы можно указать аддитивную
группу рациональных чисел. (Рассмотреть уравнение
пх = а.) Примером периодической делимой группы
служит группа СрХ. В самом деле, разрешимость уравнения
пх = а достаточно доказывать лишь для простых га. Если
п = р, то решение для a<=CphcCp00 лежит в С k+1, а
если пфр — то уже в Cph (см. пример 4 из п. 3.2).
Л е м м а 7.3. Делимая абелева группа G с условием
min разлагается в прямое произведение конечного числа
подгрупп, изоморфных квазициклическим группам С <*,.
Доказательство. Пусть А — ^-компонента
группы G. Обозначим, как и в лемме 7.2, В = {а е А \ар = е).
Подгруппа В конечна по лемме 7.2, и по теореме 5.10
В =<ai> X...X<a„> (l)
для некоторых циклических подгрупп <а;> порядка р.
Обозначим а11 = а1, а12 — некоторое решение
уравнения х9 = au в G, а\г = а12 и т. д. Очевидно, что axi име-
. со
ет порядок р , а подгруппа Аг = <аХ1, а12, . . .> = (J <axi>
г=1
ОО
изоморфна группе (J С , = С <*,. Аналогично определим
А2 = <а2Ь «221 • • • >, ГДе «21 = «2. И AS, • • • , К-
Докажем индукцией по i, что произведение Н = Ах ...
. . . А, прямое. В противном случае в некотором
пересечении At П А{ X ... X .4j_i есть неодииичный элемент
порядка р. Но все элементы порядка р групп Аи . .., At
содержатся соответственно в <ai>, . . ., <a;>, что противоречит
разложению (1) подгруппы В.
72 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
Для доказательства равенства Н = А выберем
произвольный элемент гб4я индукцией по его порядку
докажем, что х^Н. Поскольку хр имеет меньший порядок,
чем х, хр е Н. Значит,
е А;. Но в
каждой из делимых групп А^ найдутся такие элементы
г/г, что уР = Хг, откуда(xyZ1 ... Упг)Р = е- По
определению подгруппы В элемент х' = ху^1 .. . г/,71 принадлежит
В, а так как В с Н и уг, . . ., уп <= Н, то х = х'уг . ..
... уп <= Я.
Завершается доказательство ссылкой на теорему 5.9,
ибо конечность числа прямых множителей вытекает из
условия min. ■
Т о о р с м а 7.5. Разрешимая группа G артинова
тогда и только тогда, когда в G есть нормальная
подгруппа А конечного индекса, которая разлагается в прямое
произведение конечного числа подгрупп, изоморфных
квазициклическим группам С „о.
Доказательство. Прямое произведение A i X . . .
.. . X Ап групп с условием min обладает рядом
Ах X ... X Ап => А2 X ... X Ап =з ... => Ап => {е\,
все факторы которого, изоморфные группам А{,
удовлетворяют условию min. Значит, по теореме 7.3 группа А
и любая группа G такая, что факторгруппа G/A конечна,
удовлетворяют условию min, и «достаточность» доказана.
Пусть, наоборот, G — некоторая разрешимая артинова
группа. В силу условия min группа G обладает
минимальной подгруппой А, имеющей в G конечный индекс. Как
видно из теоремы 3.3, в А уже не может быть подгрупп
К¥= А, имеющих в А конечный индекс. Кроме того,
подгруппа А нормальна в G, так как иначе в силу
теоремы 3.3 она в пересечении с некоторой сопряженной с ней
подгруппой дала бы меньшую подгруппу конечного
индекса.
Поскольку коммутант нормальной подгруппы
нормален во всей группе, нормальны в А все подгруппы из
ряда коммутантов
А = Ат г> А' => А" =>... => Aih~l) => Am = {e}.
Покажем, что абелева нормальная подгруппа А{п~п
лежит в центре Z группы А. Пусть h e A(k~l). Тогда hn =
§ 7. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ 73
= 1 для некоторого п > 0 в силу периодичности
группы G. Если бы h имел бесконечно много сопряженных
hi, h2, ... в А, то элементы hi, h2, ... порождали бы в
A{h~u бесконечную абелеву подгруппу периода п, что
невозможно по лемме 7.2. Поэтому по теореме 5.1
централизатор элемента h в А имеет конечный индекс, а
значит, совпадает с А, т. е. h e Z.
Если Aih~l) ФА, то аналогично подгруппа А{и~2'1 /A{h~l)
лежит в центре группы A/Aik~l). Значит, всякая
циклическая подгруппа B/A(k-U — <hA(h-l)>, где Ае4м,
нормальна в А/А(к"1}. Поэтому подгруппа В нормальна в А
по теореме 3.7. Поскольку факторгруппа BJA(h~X) по
центральной подгруппе Aih~l) циклична, группа В абелева по
лемме 5.1. Тогда, как и в предыдущем абзаце, получим,
что абелева нормальная подгруппа В содержится в
центре Z, т. е. h e Z для всякого h e A{h~2> и A{h~2) — абелева
группа, что певерно. Поэтому А{к~Х) = А и А — абелева
группа.
В абелевой группе А подмножество Ап = {hn\h e А},
очевидно, является подгруппой для всякого п > 1.
Факторгруппа А/Ап имеет период < п и конечна по
лемме 7.2. Отсутствие в А меньших подгрупп конечного
индекса означает, что Ап = А для всех п, т. е. А — делимая
группа. Теперь утверждение теоремы получается из
леммы 7.3. ■
С. Н. Черников [119] доказал теорему 7.5 при более
слабом предположении локальной разрешимости
группы G (вместо разрешимости). Группы, имеющие (как
в утверждении этой теоремы) нормальную подгруппу
конечного индекса вида С ХХ . .. ХС «,, называются чер-
*>Х Рп
никовскими. В течение многих лет не было известно,
всякая ли группа с условием min является черниковской.
Один нз наиболее сильных результатов в этом
направлении получен в работах В. П. Шункова [127], а также Ке-
геля и Верфрица [19]: всякая локально конечная артинова
группа является черниковской. Доказательство этого
утверждения требует специальных сведений из теории
конечных простых групп и остается за рамками нашей
книги (см. [191]), Совершенно новые группы с условиями min
и max строятся в гл. 9.
3. Роль инволюций. Если в группе G есть элементы
четного порядка, то в G существуют, очевидно, и
элементы второго порядка. Всякий элемент порядка 2 называет-
74 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
ся инволюцией. Особую роль инволюций в периодических
группах подметил еще О. Ю. Шмидт [125], который
доказал, что всякая артинова 2-группа локально конечна.-
Специфика инволюций состоит в том, что две инволюции
всегда порождают небольшую группу.
Лемма 7.4. Пусть группа G порождается двумя
различными инволюциями i, j. Тогда: 1) если элемент а = Ц
имеет порядок п, то G изоморфна группе диэдра D(ra);
2) если п четно, то к = апП — инволюция,
перестановочная с i и с ]'; 3) если п нечетно, то все инволюции из G
сопряжены в G с помощью различных степеней
элемента а.
В данной формулировке под D(2) понимается
прямое произведение двух групп порядка 2.
Доказательство. 1) Заметим сначала, что
циклическая подгруппа <а> нормальна в G. Действительно,
iai"x = iai = iiji = ji = a~l (так как ijji = e) и
аналогично jaj~l = a"1 e <a>. Поскольку ia = j, факторгруппа
G/<a> порождается одним элементом i <a>, и ее порядок
не больше 2. Ои равен 2, так как G ¥= <а>. (В
циклической группе по теореме 2.3 не может быть двух
инволюций.) Значит, порядок группы G равен 2п, если
|<а>| = га.
Группа диэдра D(n) порождается двумя
инволюциями/и /, где / и / — зеркальные симметрии
относительно ОХ и относительно оси с аргументом л/га, поскольку
/7 — поворот на угол 2я/п вокруг центра по часовой
стрелке. Группа
Dn = <х, у\\х2 = 1, у2 = 1, {ху)п = 1>
по теореме 4.5 гомоморфно отображается на D(ra) и па G.
Но I.DJ =С 2га, как показано в предыдущем абзаце.
Значит, группа Dn изоморфна как D(ra), так и G, т. е. G =
^D(ra).
Если порядок элемента а бесконечен, то, как и выше,
существуют гомоморфизмы а и ср группы J9„ = (х, у\\х2 =
= 1, у2 = 1> на D(°°) и на G. Чтобы доказать, что
а и ф — изоморфизмы, достаточно установить, что любая
собственная нормальная подгруппа N в D^ имеет
конечный индекс. Действительно, если в N есть произведение
вида хух .. . ух (или уху .. .ху), то, переходя к
сопряженному элементу, получим х ^ N или у е N, т. е. D^/N
порождается одним элементом порядка < 2. Если же
§ 7. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ
75
(ху)п е N, то по теореме 4.5 группа D^/N есть
гомоморфный образ группы Dn, откуда \Da,/N\ < 2га.
2) к ¥= 1 и к2 = 1, так что к — инволюция. Далее,
ifci = ian,2i=(iai)nl2 ={a~l)nl2 = а~п/2 = ап'2 = к, т. е. ik =
= ki и аналогично ]к = kj.
3) Группа диэдра D(ra) при нечетном га содержит
в точности га инволюций. Поэтому достаточно показать,
что инволюции asia~s и аЧа~* различны при 0 < s < t ^
< га — 1. Если asia"s"= a*ia~\ то i = a,~siaa~t. Отсюда
ia*~si = a'~s. Но в то же время ia*~4 = as~'. Значит,
a2<f-s) _ g^ т е 2(t — s) делится на га, что невозможно при
нечетном га, так как 0<£ — s=^ra—1. ■
Элемент а называется вещественным относительно
инволюции i, если iai = a~l. Таков, например, а = Ц
для инволюций i, j.
Лемма 7.5. Если для некоторой инволюции i
периодической группы G существует бесконечно много
вещественных относительно i элементов четных порядков, то
в G найдется инволюция ], централизатор которой
бесконечен.
Доказательство. Пусть iaxi = a^1, iazi = а^1, . . .,
где отличные от i элементы а\, а%, ... имеют четные
порядки 211, 212, ... Любой элемент Д = iaft является
инволюцией, так как Д2 = iahiah = a^xah = 1. Кроме того,
iah i = ah = ah , т. е. инволюции ah нерестановочны с i.
Поэтому, если среди а/, а22, . . . бесконечно много
различных элементов, то централизатор C(i) бесконечен. В
противном случае можно выбрать бесконечную
подпоследовательность номеров kv k2, ... такую, что ahl = ah2 = ...
... = /'. Ио тогда бесконечен централизатор С (/), так как
ah1, ahi, ...eC(/). ■
Лемма 7.6. Если i—инволюция в бесконечной
периодической группе G, то или бесконечен ее
централизатор C(i), или бесконечно множество вещественных
относительно i элементов.
Доказательство. Если конечен C(i), то по
теореме 5.1 бесконечно множество инволюций ц, £2, • • -,
сопряженных с i, а все произведения щ, ih, ...
вещественны относительно i. ш
Теорема 7.6. Во всякой бесконечной 2-группе есть
инволюция, централизатор которой бесконечен.
76 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП II ПОДГРУПП
Доказательство. Утверждение вытекает из
лемм 7.6 и 7.5.
Следствие 7.2 [177]. Во всякой бесконечной 2-груп-
пе G есть бесконечные абелевы подгруппы.
Доказательство. Пусть С\ = C(i\)—
бесконечный централизатор некоторой инволюции i\ в G,
который существует по теореме 7.6. Пусть Н\ = <it}.
Применяя теорему 7.6 к группе С\/И\, найдем бесконечную
подгруппу D\/H\ с нормальной в ней подгруппой Н^Нх =
= <J2#i> порядка 2. Тогда по теореме 3.7 подгруппа
четвертого порядка #2 нормальна в D\\ она абелева по
лемме 5.1. Поскольку класс сопряженности элемента h в D\
конечен, бесконечен централизатор С2 элемента i% в А.
Аналогично можно найти бесконечную подгруппу Di с
сСг с нормальной подгруппой второго порядка Нг/Ih
в D2/H2, причем Нъ абелева, и т. д. Объединение Н =
со
= U H& является бесконечной абелевой подгруппой
8=1
в G. ■
Напомним, что бесконечная группа называется
квазиконечной, если все ее собственные подгруппы конечны.
Следствие 7.3. Существует единственная с
точностью до изоморфизма квазиконечная 2-группа G, это
группа С^.
Доказательство. По следствию 7.2 G — абелева
группа, а ввиду квазиконечности G — артииова группа.
Если обозначить Gn = (gn\g ^ G>, то группы G/Gn
конечны по лемме 7.2. Значит, подгруппы Gn бесконечны и
должны совпадать с G, т. е. G — делимая группа. По
лемме 7.3 G разлагается в прямое произведение
нескольких подгрупп, изоморфных С&00. Число множителей этого
разложения должно быть равно 1 в силу квазикопечно-
сти группы G.
Наконец, по следствию 2.2 группа С^ квазиконеч-
на. ■
При почетных р аналоги следствий 7.2 и 7.3 для
р-групп перестают быть верными даже в случае /ьгрупп
конечного периода. (См., например, теорему 28.1.) Это
еще раз подчеркивает трудность и специфику проблемы
Бернсайда для показателей вида 2". В [128] читатель
может найти еще более сильное свойство инволюций
периодической группы G: если централизатор какой-либо
инволюции группы G конечен, то в G есть разрешимая под-
§ 7. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ 77
группа конечного индекса. При доказательстве
теоремы 35.5 о подгруппах квазиконечных групп используется
следующий результат В. П. Шункова [126].
Теорема 7.7. Если бесконечная периодическая
группа G содержит инволюцию i, то или в центре Z группы G
есть некоторая инволюция, или в G есть собственная
бесконечная подгруппа с неединичным центром.
Доказательство. Допустим, что i не содержится
в Z. Тогда централизатор С = C0(i) — собственная
подгруппа в G. Если она бесконечна, то доказывать больше
ничего не надо. Поэтому считаем, что \С\ < °°, а значит,
по лемме 7.6 бесконечно множество Т вещественных
относительно i элементов. Можно считать, что бесконечно
подмножество М <= Т элементов нечетных порядков, ибо
иначе по лемме 7.5 бесконечен централизатор некоторой
инволюции из G.
Пусть а е М. Тогда k = ia — инволюция, ибо к2 =
= iaia = a~la — 1. Элементы вида 1Ъ~1кЪ, где Ъ е М,
вещественны относительно i, так как Ъ~хкЪ — инволюции.
Значит, как и выше, по лемме 7.5 можно считать, что
среди произведений ib~lkb лишь конечное число имеет
четный порядок. Всего же таких произведепий
бесконечно много, ибо из равенства ib^ kb1 = ib~l kh% следует, что
S^eCfJ;), и мы бы получили инволюцию к с
бесконечным централизатором. Поэтому в М есть бесконечное
подмножество N такое, что ib~lkb — различные элементы
нечетных порядков для Ъ е N.
Пусть с eiV. Рассмотрим s = ic"1^. Так как s имеет
нечетный порядок, то по лемме 7.4 для некоторого sx e <s>
имеем sj'1c~1kcsl = i. Аналогично для некоторого а1 е <а>
получим a^ka-L = i. Отсюда a1s^1c~1kcs1a^1 = к, т. е.
cs^1 = fcg ССт(к), s1 = c~1hai. Если обозначить g = c~1h,
то Sj = ga±. Тогда isj = igiia-J, = igia^1, а из
вещественности s1 получается, что is^ = s^1 = <Hlg~1. Значит,
a^igia^1 — g"1. Произведение / = ia^1 есть инволюция
(ia-Ча-1 = a^1 = l) и f1gj = g-1, т. е. / (Л_1с) / =
= (h~1c)~1. Итак, для любого элемента с^. N найдется
элемент 1г^Со(к) такой, что he — вещественный элемент
относительно инволюции / = гаТ/1.
Так как подгруппа С0(к) конечна, то в JV найдется
бесконечное множество элементов С\, Сг, ... таких, что
78 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ГРУПП И ПОДГРУПП
для некоторого re=CG(k) все произведения гси гс2, ...
вещественны относительно инволюции / = ia~[ll
jrcj = c^r"1, ..., jrcmf = c~V_1, . ..
Из первого и m-ro равепств получаем ;-1 (с^сх)/ =
= г (cmCil) г-1, или axi (с"1^) ia^1 = г (с^1) г-1.
Поскольку с1 и ст вещественны относительно i, из
последнего равенства получаем г~гаг (стС^1) а^г = СщС^
Так как множество элементов СщС^1 (т = 1, 2, . . .)
бесконечно, то бесконечен централизатор элемента d = а^гг.
При этом CG(d)^G. (Допустим, что k^CG(d).
Поскольку r^CG (к), имеем afV = d = Ы/с = ka-Jtkrk = ka^kr,
т. е. a^1 = ка"[1к. Значит, а^1ка1 = кф1, что
противоречит выбору элемента ах.) в
Следствие 7.4. iJc/Ht порядок элемента g
квазиконечной группы G имеет вид 2", то g лежит в центре Z
группы G.
Доказательство. Можно считать, что Z Ф G,
а значит, \Z\ < <». Если утверждение следствия неверно,
то очевидно, что инволюции есть в факторгруппе А =
= G/Z, которая также квазиконечиа по теореме 3.7.
Значит, по теореме 7.7 в А найдется центральная инволюция,
т. е. в А есть нормальная подгруппа N/Z порядка 2.
Тогда централизатор С конечной нормальной подгруппы N
группы G имеет в G конечный индекс, а значит, С = G
и N с: Z. Получаем противоречение. Поэтому g e Z. Я
ГЛАВА 3
ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Основным геометрическим инструментом для
изучения следствий соотношений в группах в настоящей
книге служат конечные карты на плоскости с комбинаторно
вводимой на них функцией длины путей, с их
«градуировкой» и рядом дополнительных условий, диктуемых
свойствами определяющих соотношений. В большинстве
случаев понятие непрерывного отображения — в
частности понятие пути — можно определить в терминах
обычной евклидовой метрики. Для понимания по существу
достаточно интуитивного представления о двумерном
континууме на уровне леммы Жордана. Тем не менее
полезно привести и формальные определения ряда
топологических понятий: во-первых, потому, что привлечение
метрики выглядело бы в данном контексте искусственным
приемом, а во-вторых, из-за необходимости рассматривать
порой не только односвязные карты, но и, к примеру,
карты на торе, сфере с одной или несколькими дырами.
§ 8. Топологическое пространство
1. Определение топологического и метрического
пространств. Т опологическим пространством называется
произвольное множество X с выделенной системой
подмножеств *Э~ такой, что:
1) ХеУ, Ф^<3~;
2) объединение любой совокупности подмножеств из
3~ также принадлежит 2Г;
3) пересечение любого конечного семейства
подмножеств из 0~ принадлежит 3~.
Систему подмножеств 0~ называют топологической
структурой или топологией на X. Элементы пространства
X принято называть точками, а подмножества А систе-
§0 , ГЛ. 3, ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
мы £Г — открытыми множествами в X. Дополнительные
подмножества Х\А к открытым называют замкнутыми.
Из определений 1)—3) очевидно, что 0 и X замкнуты,
что пересечение любой совокупности и объединение
конечного семейства замкнутых множеств замкнуто в X
(или, точнее, в (X, %Г)).
В любом множестве X можно определить
тривиальную топологию, включив в %Г только X ж 0. Напротив,
можно включить в 3~ все подмножества множества X
и получить так называемую дискретную топологию на X.
Важными примерами топологических пространств
являются метрические пространства.
Пусть на множестве X задана вещественнозначная
функция р(ж, у) двух аргументов х, jel, называемая
расстоянием и обладающая следующими свойствами:
1) Р(х> У)^ 0 для любых х, jel, причем р(ж, у)— 0
тогда и только тогда, когда х — у;
2) р(х, у)— р(у, х) для всяких х, у е X;
3) р(х, г/)<р(ж, z)+p(z, у) для любых х, у, zeX
(неравенство треугольника).
Тогда пара (X, р), или просто X, называется
метрическим пространством. В качестве X можно представлять
себе, например, вещественную прямую, плоскость или их
подмножества.
Расстояние р на X определяет топологию метрического
пространства X следующим образом. Открытым шаром
радиуса г с центром в точке а е X называется
подмножество В (а, г)= {ж е Х|р(а, х)<г), а открытым
множеством—объединение любого конечного или бесконечного
множества открытых шаров из X. Проверку
аксиом 1)—3) топологического пространства оставляем
читателю. (Обратим лишь внимание на то, что каждая точка
Ъ шара В (а, г) входит в В (а, г) вместе с некоторым
открытым шаром В(Ь, е), где в качестве 8 можно взять
г-р(а,Ь).)
В частности, в обычной топологии вещественной
прямой открытыми будут все подмножества, которые
являются объединениями какой-либо совокупности
интервалов. Уже на этом примере видно, что одна и та же
топология может задаваться разными метриками — скажем,
pi (ж, £/) = Хр(х, у), где X > 0, и р(х, у) определяют
одинаковые топологии.
Если У — произвольное подмножество пространства X,
наделенного топологией £Г, то система подмножеств !?
§ 8. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
81
множества У, состоящая из всех пересечений А Л У, где
А ^ £Г', очевидно, удовлетворяет аксиомам
топологического пространства (для У), т. е. является топологией на
У. Подмножество У с индуцированной таким образом
на нем с помощью £Г топологией 9" называется
подпространством топологического пространства X. Например,
говоря о треугольнике, квадрате, круге как о
топологических пространствах, мы имеем в виду топологии,
индуцированные на них топологией евклидовой плоскости;
топология сферы индуцирована топологией трехмерного
пространства и т. д.
2. Непрерывные отображения. Определение
непрерывности функции действительной переменной без
изменений переносится на отображения произвольных
метрических пространств, а именно отображение /: Х\ -»- Х2
метрического пространства Xi в метрическое пространство
Х2 называется непрерывным в точке а е Xi, если для
всякого открытого шара J3(/(a), е)сХ2, где е > 0, при
некотором 6>0 найдется открытый шар В {a, S)<=Xi
такой, что {{В(а, 6))<=Я(/(а), е).
Как мы сейчас увидим, условие непрерывности
отображения / связано лишь с топологиями пространств Xi
и Х2 и не зависит от конкретных метрик, задающих-
топологии. Собственно, этим и объясняется роль топологии
как науки о непрерывности, т. е. о свойствах,
сохраняющихся при непрерывных отображениях.
Сначала определим окрестность точки а
пространства X как произвольное открытое множество,
содержащее а. Теперь мы назовем отображение /: Х[ ->- Х2
топологического пространства Xi в топологическое
пространство Х2 непрерывным в точке aeli, если для всякой
окрестности С/2 точки /(a) найдется такая окрестность U\
точки а, что f{Ul)czU2.
Из определения топологии метрического пространства
следует, что данное ранее определение непрерывности
для отображения / метрических пространств влечет
непрерывность / в точке айв смысле отображения
топологических пространств. Поскольку в метрическом
пространстве каждая окрестность содержит точку вместе с
некоторым шаром с центром в ней, верно и обратпое, т. е.
Данные определения равносильны для метрических
пространств. Таким образом, последнее определение
действительно обобщает понятие непрерывной функции на
любые топологические пространства.
А. ю, Ольшанский
§2 ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Отображение /: Х1 ->- Х2 называется непрерывным,
если оно непрерывно в каждой точке топологического
пространства Х\.
Теорема 8.1. Отображение топологических
пространств /: Xt ->- Х2 непрерывно тогда и только тогда,
когда для любого открытого подмножества У<=Хг его
полный прообраз /_1 (У) открыт в Хь
Доказательство. 1) Пусть / непрерывно.
Возьмем а е /_1(У). Поскольку множество У открыто, оно
является окрестностью точки /(а), и найдется окрестность \
Uа точки а такая, что f(Ua)<=Y. Так как /_1 (У) =
= U Uа, множество/_1 (У) открыто в Хь
oe/-l(Y)
2) Пусть / '(У) открыто для любого открытого
подмножества У с: Х2, а е Xi, U — некоторая окрестность
точки f(a) в Х2. Тогда открыта V = f~l (U)— окрестность .
точки а, и /(F) <= U по определению. Таким образом,
проверяется непрерывность отображения / в любой
точке а. ■
Как видно из определения (или теоремы 8.1),
суперпозиция gf двух непрерывных отображепий ХХ->Х2Д-Х3
непрерывна.
Если непрерывное отображение /: Xi ->- Х2
биективно, причем обратное отображение /_1: Х2 ->- Xi также
непрерывно, то / называется гомеоморфизмом пространства
Х[ на Х2. Как видно из теоремы 8.1, гомеоморфизм
индуцирует биективное соответствие между открытыми
подмножествами в X! и в Хг, т. е. сохраняет топологическую;
структуру. Поэтому это понятие играет ту же роль, что
и понятие изоморфизма для алгебраиче-
С ских структур, и в топологии свойства
/^"Т^Г^Х пространств изучаются с точностью до го-
/ / \и! \ меоморфизма и, более того, гомеоморфные
I /л» \ ] пространства часто отождествляются.
\/ ^"\У Рассмотрим некоторые примеры. Ин-
Л\~ ~~/° тервал гомеоморфен действительной пря-
^ ^ мой (посредством, например, отображения
Рис.3 f(x) = x(l — x2)~l). Этот простой факт
воспринимается поначалу как апория Зе-
нона «Ахилл и черепаха». Другой гомеоморфизм
проиллюстрирован на рис. 3: осуществляется растяжение
треугольника, вписанного в единичную окружность, в каждом
направлении OD (D — точка пересечения со стороной
§ 8. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 83
треугольника) с коэффициентом, обратным длине
отрезка OD. Мы видим при этом, что гомеоморфны не только
круг и треугольник, но и окружность и замкнутая
ломаная ABC А. Список подобных примеров можно
продолжить. Они отвечают интуитивному представлению о
преобразованиях, сохраняющих близость точек.
В более общем случае, когда отображение /: X -»- У
осуществляет гомеоморфизм между пространством X и
его образом /(Х)с:У, говорят, что / есть вложение
пространства в У. Например, на рис. 3 отрезок АВ или
ломаная ABC могут быть получены при некоторых
вложениях единичного отрезка [0; 1] в евклидову плоскость,
а замкнутая ломаная АВСА — результат некоторого
вложения единичной окружности.
3. Факторпространства. Одним из основных способов
построения новых топологических пространств является
«склейка» из двух пространств X и У одного путем
отождествления каких-либо гомеоморфных подпространств
A czX и В <=. У. Аналогичное склеивание проводят и в
случае введения некоторого отношения эквивалентности
на одном пространстве X — эквивалентные точки
склеиваются в одну, причем к этому варианту сводится и
случай двух пространств: сначала можно рассмотреть
сумму Z (т. е. объединение непересекающихся
подпространств X и У, в котором подмножество U считается
открытым, если открыты С/ П X в X и С/ПУв У), а затем
склеить А и В в Z.
Пусть в общем случае на топологическом
пространстве X задано некоторое отношение
эквивалентности ~ с его обычными атрибутами: рефлексивностью
(х ~ х для любого ieZ), симметричностью (если х ~ у,
то у ~ х) и транзитивностью (если i ~ j и j ~ 2, то ж ~
~ z). Тогда множество X распадается на
непересекающиеся классы эквивалентных между собой элементов —
классы эквивалентности. Множество классов
эквивалентности обозначается XI ~ и называется
фактормножеством множества X по эквивалентности ~.
Если, например, в единичном квадрате Q со
сторонами а, Ъ, с, d (рис. 4, а) считать эквивалентными точки
(ж; 0) и (ж; 1) (а другие точки эквивалентны лишь
самим себе), то переход от Q к фактормножеству Ql~ есть
приклейка стороны Ъ к стороне d, что можно себе
представить как переход от Q к боковой поверхности цилинд-
6*
84 ГЛ, 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
ра (рис. 4, б), а можно — как переход к круговому
кольцу (рис. 4, б).
Естественное отображение г: X ->- X/'~ сопоставляет
каждому элементу цеХ его класс эквивалентности [а].
Зададим на фактормножестве топологию, объявив
открытыми в XI~ все подмножества А, полные прообразы.
8 Х(А) которых открыты в X. Поскольку г 11Ц АЛ =
= (J е-1 (4,) и е~Ч (J ^i) = Л ъ~гЩ, для X/ ~
выполняются все аксиомы топологического пространства.
Введенная таким образом топология называется фактортопо-
логией, а XI факторпространстеом пространства X.
В силу теоремы 8.1 естественное отображение является
непрерывным отображением X на XI ~ (и введенный
запас открытых множеств в XI ~ минимален для того,
чтобы оно было непрерывным); оно называется проекцией X
на XI ~.
Операция факторизации приводит к новым важным
примерам топологических пространств. Если склеить не
только горизонтальные стороны
квадрата Q (рис. 4, а), как сделано
выше, но и вертикальные,
отождествив каждую точку (0; у) с
(1; у), получим факторпростран-
ство, которое называется
(двумерным) тором (рис. 5). Если же
склеить только две
горизонтальные стороны, отождествив, однако, теперь центрально-
симметричные точки квадрата О, лежащие на Ъ и d, то
получится так называемый лист Мёбиуса (рис. 6).
Несколько труднее представить себе прективную плоскость,
которая получится, если в единичном круге отождествить
все диаметрально противоположные точки его цраничной
Рис. 5
§ 8. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
85
окружности. «Бутылка Клейна» получается, если в
квадрате Q, как и в первом примере (на рис. А, б, в),
отождествить точки горизонтальных сторон квадрата с равны-
\ьту
а'х-
-U^
А г
-4±-
/ /
~щ:
~^&*
Рис. 6
ми абсциссами, а такжо центрально-симметричные точки
его вертикальных сторон.
4. Компактность. Важнейшим из «условий
конечности» для топологических пространств является
компактность.
Пространство X называется компактным, если из
всякой системы открытых подмножеств {Ui}i=i такой, что
X = U Uг, можно выбрать некоторую конечную подсис-
iei
тему Uг , • • •, Uinc тем же свойством: X=Ut U • • • U Uin.
Теорема 8.2. Отрезок [0; 1] компактен.
Доказательство. Мы воспользуемся хорошо
известной из элементарного анализа теоремой Копти:
числовая последовательность {xh}hL=i имеет предел, если для
всякого е > 0 найдется такой номер N, что \хп — хт\ < г
для ксех т, п> N.
Пусть [0; 1] = U Uи где Uf открыты, п допустим,
i~I
что Ai = [0; 1] не содержится ни в каком конечном
объединении каких-либо из £/,-. Если отрезки [0; 1/2] и
[1/2; 1] содержатся каждый в конечном объединении
подмножеств системы Ш,-}<€=1, то это же справедливо и для
Ai. Значит, хотя бы один из них (обозначим его Д2)
также не содержится ни в каком конечном объединении
подмножеств Ui. Аналогично найдутся вложенные один в
Другой отрезки Аз, .. ., А„, ... с тем же свойством,
причел Д„ имеет длину 2"п. Если xt — середины этих
отрезков, то \хп — хт\ <2_mln(m'n) и по критерию Коши
последовательность {^й}Г=1 имеет некоторый предел хо.
Тогда х0 по условию принадлежит некоторому U\ .
Поскольку множество Uг открыто, в нем содержится и весь
отрезок [х0 — 2~"; ~ х0 + 2~п] для некоторого п, а значит,
86 гл. з. элементы двумерной топологии
и весь отрезок Ап+ь ибо lx„+i —^ol < 2-"-1. Полученное
противоречие доказывает теорему. Я
Полностью аналогично доказательство компактности
квадрата, а значит, гомеоморфных ему круга и
треугольника. Из определения следует также, что объединение
конечного числа компактных топологических
подпространств компактно.
Теорема 8.3. Образ компактного пространства X
при непрерывном отображении f компактен.
Доказательство. Если f(X)= \j Ut и Ui откры-
isi
ты в f(X), то X = U Vi, где V%—открытое по теореме
isl
8.1 множество, равное /_1(?7г). В таком случае из
компактности пространства X следует, что X = V i \] ...
• ■ • U Vin Для некоторых iu . . ., in, а значит, / (X) =
= Uh U ... U Uin. ш
Уточним доказанную теорему для случая
отображения отрезка [0; 1] в некоторое пространство X. Вообще,
произвольное непрерывное отображение р: [0; 1] -> X
называется путем в пространстве X (с началом в точке р(0)
и концом в точке p(i)j. Название связано с
представлением о точках t e [0; 1] как о моментах времени; при
этом p(t)— движущаяся по X точка.
Теорема 8.4. Если р: [0; 1] -*■ X—путь и
р([0; 1])сг U Ui, где U{ — открытые множества простран-
ства X, то найдется конечное число точек t0 = 0 < t\ <
< ... < tn = 1 таких, что образ,p([th-i; tk]) каждого из
отрезков [th-i; th] целиком содержится в некотором £/,-.
Доказательство. По условию U p1(Ui) =
г=1
= [0; 1], т. е. отрезок [0; 1] покрыт открытыми
множествами p~l(Ui) (каждое из которых — какое-то объединение
интервалов). Значит, по теореме 8.2 [0; 1] покрыт
некоторым конечным множеством интервалов (sk-\; sh), образ
каждого из которых при отображении р содержится в
одном из подмножеств U(. Пусть п — минимальное число
таких интервалов V\, .. ., Vn. Тогда они не содержатся
один в другом, и их можно упорядочить, считая Vh < V,,
если левый конец Vk меньше .левого конца Vt.
(Аналогичное неравенство будет справедливо и для правых
концов). Остается выбрать fi е У, fl V2, . . ., tn-\ е= Vn-i П
П7„. ■
§ 8. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
87
Для подпространств компактного пространства
справедлива
Теорема 8.5. Замкнутое подмножество Y
компактного пространства X компактно.
Доказательство. Пусть Y = U Ui, где Ui —
isl
= Vi П Y, a Vi открыты в X при is/. Тогда Х =
= ( U Vi) U {X\ Y), и в силу компактности для X и от-
крытости множества X\Y имеем X = F, [) ... \J Vin \J
U (X\Y), откуда Y = (Vi% f] У) U . . .'и (^n П Y) =
= Ui I] ... U Ui — конечное покрытие. ■
Для доказательства обратного утверждения нужно
ввести дополнительную «аксиому отделимости».
Пространство X называется хаусдорфовым, если для
любых его различных точек а и Ъ существуют
непересекающиеся окрестности Ua и Ub этих точек. Например,
хаусдорфовым является всякое метрическое
пространство, так как если р(а, b)=r, то В (а, г/2) П 5(5, г/2) =
= 0.
Теорема 8.6. Компактное подмножество X хаус-
дорфова пространства Y замкнуто в Y.
Доказательство. Пусть а е Y\X. Поскольку X
хаусдорфово, для каждой точки ieX можно найти
некоторые непересекающиеся окрестности Ux и Vx точек
ж и а. В силу компактности множество X есть
объединение конечного числа своих открытых подмножеств X Л Ux,
п
т. е. X a Ux П ... U Ux . Значит, окрестность П VXi
1 г=1
точки а пе пересекается с X, а так как а — произвольная
точка, множество Y\X открыто, а X замкнуто, В
Следствие 8.1. Всякое биективное непрерывное
отображение f компактного пространства X в
хаусдорфово пространство Y является вложением.
Доказательство. Пусть Z замкнуто в X. По
теореме 8.5 Z компактно, а по теореме 8.3 /(Z) также
компактно и по теореме 8.6 j{Z) замкнуто в У. В силу биек-
тивности / образ открытого множества из X
(являющегося дополнением к замкнутому) открыт в f(X). Поэтому
по теореме 8.1 отображение /_1: f(X) ->- X
непрерывно. В
5. Связность. Если в топологическом пространстве X
найдутся два непустых замкнутых подмножества А и В
88 гл. з. элементы двумерной топологии
таких, что A ft В = 0 и А [} В = Х, то пространство X
называют несвязным. В противном случае пространство X
связно. Очевидно, что пространство X несвязно в том
и только в том случае, когда в нем найдется
подмножество А, отличное от X и от 0, которое одновременно
замкнуто и открыто в X. (В этом случае X = А [) (Х\А).)
Примером несвязного пространства служит неодпоточеч-
ное пространство с дискретной топологией. Несвязно
пространство, состоящее из двух или более
непересекающихся шаров в евклидовом пространстве. Вообще, несвязность
наглядно ассоциируется с «распадением»,
«разорванностью» пространства.
Теорема 8.7. Всякий отрезок [а; Ъ] числовой
прямой связен.
Доказательство. Допустим, что, напротив,
X = [a; b] = A U В, где А ж В — непустые замкнутые
подмножества в X, не имеющие общих точек. Для
определенности можно считать, что uei. Пусть с — верхняя
грань всех таких iei, что [а; х]а А. Тогда с Ф Ъ, ибо
А Ф X. Точка с лежит в А вследствие замкнутости
подмножества А, а поскольку А по предположению открыто,
в А лежит и некоторый интервал (с — е; с + е), где 8 >
> 0, а значит, в А целиком содержится и отрезок [а; с +
+ е/2] вопреки определению числа с. Полученное
противоречие доказывает связность отрезка [а; Ъ]. Н
Свойство пространства X быть связным является его
топологическим инвариантом, т. е. сохраняется при
гомеоморфизмах, поскольку при этом сохраняются
открытость и замкнутость. Так как полный прообраз открытого
множества открыт, связность сохраняется и при любых
непрерывных отображениях /, т. е. /(X) связно, если
связно X. Более сильным условием является линейная
связность, к которой мы теперь переходим.
Пространство X называется линейно связным, если
любые две точки в нем можно соединить путем в X, т. е. для
любых в, 6еХ существует путь р: [0; 1] ->- X такой, что
р{0) = а ир(1)=Ь.
Обратным для пути р называют путь /г1, где p~1(t) =
= p{i — t). (He путать с обратным отображением!)
Очевидно, начало пути р является концом для р~х (и
наоборот). Заметим еще, что точку а всегда можно соедипить
с этой же точкой а тривиальным путем, т. е. таким
путем р, что p{t) = a для всех t ^ [0; 1]. Кроме того, если
точку а с точкой Ъ можно соединить путем р, а точки Ъ
% 8. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 89
я с — путем q, то а и с соединяются путем pq, где
Г р (20 для 0 < t < 1/2,
Pq® = [ q{2t—l) Для 1/2<*<1.
(При этом сначала проходится путь р, но уже за время
1/2, затем за такое же время проходится путь q.)
Теорема 8.8. Всякое линейно связное
пространство связно.
Доказательство. Допустим, что X — A U В —
объединение двух непересекающихся непустых
замкнутых и одновременно открытых подмножеств А ж В.
Выберем тогда точки а^ А и Ъ е В. Они соединяются в X
некоторым щтвм р. В силу непрерывности пути р
полные прообразы А и В подмножеств А ж В при
отображении р открыты в [0; 1] по теореме 8.1. Поскольку
[0; 1] = Л U В, получаем противоречие с теоремой 8.7.
Значит, сделанное допущение ошибочно и X связно. Ш
Как следствие получаем связность круга,
треугольника, кольца и многих других фигур.
В общем случае, если пространство X несвязно,
можно выделить в нем максимальные связные компоненты.
Для этого возьмем произвольную точку а е X и
рассмотрим все связные подпространства У.-, ie /,
содержащие а. Их объединение Ya = U У г также связно. Дей-
isl
ствительно, в случае «несвязного разложения» Ya = A U В,
где ое4, мы имели бы несвязное разложение У< =
= (4П Yt) U {В П У,), если В ft У,- непусто. Значит, все
5ПУ( = 0 и Уа = 4.
Таким образом, для каждой точки цеХ найдется
наибольшее связное подпространство Ya, содержащее эту
точку. Оно называется связной компонентой точки а в X.
Пространство X разбивается в объединение своих
связных компонент, но пересекающихся между собой.
Замыканием Y произвольного подмножества У <= X
называется наименьшее замкнутое в X подмножество,
содержащее У, т. е. У — это пересечение всех замкнутых
подпространств пространства X, содержащих У.
Замыкание связного подпространства У связно. (В
самом деле, если У = A U В —«несвязное разложение», то
либо А ft У пусто, либо В ft У пусто, так как иначе эти
подмножества давали бы несвязное разложение для У.
Отсюда Y <=- А пли У <= В, и У содержится в меньшем
90
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
замкнутом множестве, чем Y.) Следовательно, связная
компонента любой точки usX совпадает со своим замы-
п
канием. В том случае, когда X = [} X; ■—объединение ко-
печного числа связных компонент, каждая из них не
только замкнута, но и открыта, ибо Хг = Х\ [) Xj.
Отметим в заключение, что открыто-замкнутые
подмножества произвольного пространства X — ото в
точности подмножества, не имеющие границы в смысле
следующего определения: границей 3Y в X подмножества
YczX называется Г П XXY.
§ 9. Поверхности и их клеточные разбиения
1. Теорема Жордана. Фундаментальным фактом
топологии поверхностей является старая теорема Жордана
о замкнутой кривой на плоскости. Приведем
необходимые определения. Замкнутой кривой в топологическом
пространстве X назовем подпространство, гомеоморфное
окружности, а (жордановой) дугой в X —
подпространство, гомеоморфное отрезку. Точки подмножества У, не
лежащие на его границе, называются внутренними
точками в У.
Теорема 9.1. Для всякой замкнутой кривой С на
евклидовой плоскости R2 ее дополнение R2\C состоит из
двух компонент связности {которые линейно связны),
причем С является их общей границей. Если оке С —•
дуга на плоскости, то ее дополнение R2\C связно (и
линейно связно).
В элементарных курсах топологии приведенная
теорема часто не доказывается по причине большой
наглядности ее утверждения, с одной стороны, и аналитической
сложности доказательства, с другой стороны. Так же
поступим и мы, вооружаясь дополнительными
аргументами: во-первых, топологические понятия играют в нашей
книге служебную роль, а во-вторых, рассматриваемые в
последующих главах пути на плоскости можно, если
угодно, считать ломаными линиями (а для таких кривых
теорема Жордана превращается в упражнение).
Если А — одна из компонент связности множества
R2\C для замкнутой кривой С, то для всякой точки а ^ А
и всякой точки с е С существует дуга с концами в а и с,
все точки которой, отличные от с, принадлежат множе-
§ 9. ПОВЕРХНОСТИ И ИХ КЛЕТОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ 91
ству А (теорема Шёнфлиса). Столь же наглядно
утверждение, что одна из компонент гомеоморфна открытому
кругу, а вместе с С — замкнутому кругу.
2. Комбинаторное определение поверхности. Для
изучения топологии поверхностей эти поверхности
разбивают на куски, гомеоморфные кругам (или треугольникам).
Топологическим треугольником в пространстве X
называется пара (Т, /), где / — вложение некоторого
треугольника Т0 плоскости R2 в X и /(Го) = Т <= X. Иногда
подпространство Т также называют треугольником.
Образы вершин и сторон треугольника То при вложении /
(вместе с соответствующими ограничениями
отображения /) называются соответственно вершинами и
сторонами треугольника Т. Аналогично можно определить
топологический п-уголъник как вложение круга с
отмеченными на его границе п точками.
Триангуляцией А топологического пространства X
называется конечное множество А = {{Т{, /j)}™=i тополо-
п
гических треугольников в!со свойствами: 1) X = U Tf,
2) пересечение любой пары различных треугольников из
А либо пусто, либо совпадает с их общей вершиной, либо
совпадает с их общей стороной.
Пространство X, допускающее триангуляцию, можно
представлять себе склеенным из треугольников Т{, i =
= 1, . . ., п. Оно гомеоморфно факторпространству суммы
треугольников Ti: гомеоморфно отображающихся на Г,-
{i = 1, ..., п), по эквивалентности, отождествляющей
точки разных треугольников, имеющих одинаковые образы
в X при отображениях ]\'. Т\->Х. Из конечности
триангуляции н теоремы 8.3 следует компактность X.
Теорема 9.2. Всякое пространство X с
триангуляцией является хаусдорфовым.
Доказательство. Если точка а является
внутренней для одного из треугольников Т триангуляции А,
то для нее, очевидно, существует система замкнутых
окрестностей (т. е. замыканий некоторых ее окрестностей)
00
Ui таких, что П Uг = {а). Если же точка а лежит на
стороне какого-то треугольника Т и принадлежит
нескольким из треугольников данной триангуляции, то
замкнутые окрестности Ui можно склеить из конечного числа
замкнутых окрестностей точки а в каждом из этих тре-
92 ,
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
угольников и также получить условие П U\ = {а}.Поэто-
_ i=i
му если Ь¥= а, то ЪФИ\ для некоторого i и окрестность
X\Ut точки Ъ имеет пустое пересечение с окрестностью
Vi точки а. Тем самым проверена хаусдорфовость
пространства X. В
Пусть а — некоторая вершина триангуляции А
пространства X. Тогда объединение всех топологических
треугольников этой триангуляции с вершиной а называется
звездой St (а) триангуляции Д. Выделим два
простейших вида звезд. Если все стороны еь . .., еп
триангуляции Л, на которых лежит а, и все треугольники Т\, . ..
..., Тп из St (а) можно занумеровать таким образом, что е\
и е2 — стороны треугольника ^i, е% и е3 — стороны
треугольника Т2, ..., еп-\ и еп —стороны треугольника Тп-\,
а е„ и е{—стороны треугольника Тп, то назовем St (а)
круговой звездой (рис. 7). А если существует согласо-
Рис. 7 Рис. 8
ванная нумерация сторон е\, ..., en+i и всех
треугольников Ти ..., Тп из St(a) такая, что е{ и е2 — стороны
треугольника Т\, ..., еп и e„+i — стороны треугольника Г„,
то такую звезду назовем полукруговой (рис. 8). Бывают,
конечно, более сложные звезды — для примера можно
отождествить центры нескольких круговых или
полукруговых звезд, склеивая также некоторые из их ребер.
Назовем здесь связное топологическое пространство
поверхностью, если оно допускает такую триангуляцию,
все звезды которой круговые или полукруговые. Данное
определение имеет комбинаторный характер, и его выбор
объясняется тем, что применительно к
теоретико-групповым задачам компактные поверхности будут возникать
вместе с их клеточными разбиениями.
Если поверхность X допускает триангуляцию, все
звезды которой круговые, то X называется замкнутой по-
§ 9. ПОВЕРХНОСТИ И ИХ КЛЕТОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ 93
верхностью. В противном случае X называется
поверхностью с краем. Ее край есть объединение всех сторон
триангуляции А, которые являются сторонами ровно
одного топологического треугольника из А. Легко видеть,
что понятие края не зависит от конкретной
триангуляции А из X. Действительно, каждая точка, не
принадлежащая краю, имеет окрестность U, гомеоморфную
внутренности единичного круга, а значит, по теореме 9.1
дополнение к всякой дуге в U связно. В то же время
согласно той же теореме 9.1 в любой окрестности U точки
х края есть дуга С (рис. 9), разделяющая U на две
компоненты связности.
Поскольку звезда каждой вершины края является
полукруговой, край состоит из нескольких
непересекающихся между собой кривых в X — компонент края. Отметим
еще, что при любой триангуляции поверхности более двух
топологических треугольников не могут иметь общей
стороны е, так как иначе существовала бы окрестность U
Рис. 9 Рис. 10
точки о на е, разрезаемая дугой более чем на две
компоненты связности (так же, как и всякое подмножество
в U), чего не может быть, ибо каждая точка о на
поверхности обладает «круговой» или «полукруговой»
окрестностью.
Примерами замкнутых поверхностей являются сфера,
тор, проективная плоскость, бутылка Клейна;
поверхности с краем — диск (или круг), круговое кольцо,, лист
Мёбиуса. На рис. 10 приведен пример триангуляции
сферы: она разбита на 4 топологических треугольника, или,
другими словами, склеена из 4 треугольников.
Выбирая триангуляцию А поверхности X, удобно
иногда считать, что не более двух вершин каждого
топологического треугольника Т принадлежат краю. Этого
легко добиться, если каждый топологический треугольник
94
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
(Т, /) барицентрически разбить, т. е. выбрать вершину о
внутри треугольника То на плоскости и соединить ее
отрезками с вершинами и серединами сторон в То.
Гомеоморфизм /: Т0 ->- Т индуцирует разбиение
треугольника Г на 6 топологических треугольников. В дальнейшем
данное условие предполагается выполненным для всех
рассматриваемых триангуляции.
3. Сравнение различных триангуляции. Скажем, что
две триангуляции А и А' поверхностей X и X'
эквивалентны, если существует гомеоморфизм X ->- X',
переводящий топологические треугольники из А в
треугольники из А'.
Для сравнения различных триангуляции поверхности
полезна
Лемма 9.1. Пусть А и Г — две триангуляции
замкнутой поверхности X. Тогда существует эквивалентная А
триангуляция А' поверхности X такая, что стороны ее
треугольников имеют лишь конечное число точек
пересечения со сторонами треугольников из Г.
Доказательство. Рассмотрим произвольную
звезду St (а) триангуляции А. Она является гомеоморфиым
образом правильного гс-уголышка Рп: /: P„->St(a).
Перемещая вершину о внутри Рп (рис. 11), м"ожно заменить
вершину a = f(o) триангуляции А на
a' = f(o'). Полученная триангуляция
А' будет, очевидно, эквивалентна А.
Поэтому можно с самого начала
считать, что вершины триангуляции А не
лежат па сторонах триангуляции Г.
Пусть р: [0; 1] -*■ X осуществляет
гомеоморфизм отрезка [0; 1] и некоторой
Рис. 11 стороны триангуляции А. По
теоремам 8.2, 9.2 и 8.6 каждое ребро
триангуляции Г замкнуто в X. Поэтому и их объединение 1\
замкнуто в X. Отсюда и из непрерывности пути р
следует, что не только р(0)*£Т[ и р(1)<£1\, но для некоторых
t0>0 и £°<1 подпути рх=р{[0; к]) и P2 = p{[t°; 1]) не
имеют общих точек с IV
Рассмотрим теперь открытые звезды str(a;)
триангуляции Г, которые состоят по определению из всех точек
топологических треугольников Tt звезды Str(;r)
вершины х, за исключением точек тех сторон треугольников Ти
которые не содержат х. Очевидно, что все str(x)
действительно открыты в X и что они составляют покрытие
§ 9. ПОВЕРХНОСТИ И ИХ КЛЕТОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ 95
поверхности X. Поэтому по теореме 8.4, примененной
к подпути p([to; t0]), существуют числа t0<ti < .. .<
<tn = t° такие, что <?< = ]>([£»-f, t,]) лежит целиком в
одной открытой звезде str(;r).
Ограничимся пока одним таким путем qt, где 1 ^ г <
< п, а звезду Str(#) рассмотрим при этом как
многоугольник, радиусы которого — стороны триангуляции Г
(рис. 12). Пусть Z — объединение всех сторон
триангуляции А, кроме р. Поскольку Z замкнуто, для каждой
точки о пути Qi найдется окрестность
Uо, не пересекающаяся с Z. Ее
можно считать кружком с центром о
внутри str(z). По теореме 8.2 путь
qi покрывается конечным числом
таких кругов С/[, ...,Uh. Выбрав
точки p(tt-i)= s0 <= Ux и p{ti)=sk^
е Uh, а точки s,e[/,fl С/,+ 1 для I =
= 1, . .., к — 1, мы можем соединить
их отрезками и получить ломаную р11С. 12
wt = so — s\ — ... — sh с теми же
начальными и конечными точками, что и путь qt.
Каждый из отрезков Sj-i — s, имеет не более одной
точки пересечения с каждой из сторон триангуляции Г
(поскольку st можно выбрать не лежащими на этих
сторонах) . Как и q(, путь w{ не имеет общих точек с Z, ибо
k
Wi cz U Uj. Проделав аналогичную замену для всех qf,
j=i
получим путь w с началом в p{h) и концом в p{tn),
имеющий конечное число общих точек с ребрами из Г. Если
в w есть самопересечения, то их можно удалить,
уменьшая число звеньев ломаной. Путь р' = P\iopz соединяет
точки р(0) и р(1) и не имеет общих точек (кроме
начала и конца) со сторонами триангуляции А, отличными
от р, и конечное число раз пересекает стороны
триангуляции Г. Если при этом, например, р\ и w имеют общие
точки, отличные от р{к), то можно взять t0 = ini(t\ p (£)е
е w) и заменить рг на р([0; £0]), a w «начать» с точки
p(t0), т. е. р' можно считать дугой.
Замена р на р' в А приводит к эквивалентной
триангуляции А'. Действительно, два треугольника Т\ и Тч в А
с общей стороной ■ р можно объединить в
четырехугольник Q, в котором по построению и теореме 9.1
содержится р'. Он разбивается дугой р' на два треугольника
96 гл. з. элементы двумерной топологии
Т[ и Т'2. Соответствие Т1^Т'Х, T2++f2 и Тг «-> Tt для
1=/=1,2 позволяет определить эквивалентность между А
и А'.
Для завершения доказательства остается
последовательно применить описанный прием к каждой из сторон
р триангуляции А. в
Лемма 9.2. Если А и Г — две триангуляции
поверхности X с краем, то существует эквивалентная А
триангуляция А' такая, что каждая ее сторона, не
содержащаяся целиком в крае, имеет конечное число точек
пересечения со сторонами из Г.
Доказательство. Если вершина а триангуляции
А является также вершиной триангуляции Г и
принадлежит краю поверхности X, то переход к эквивалентной
триангуляции А' (рис. 13) позволяет уменьшить число
таких вершин, т. е. можно считать,
что вершины из А не совпадают с
вершинами из Г, лежащими на крае,
а остальные вершины из А не ле-
У///////*^^////////// жат и на сторонах триангуляции Г
///////a s а/////////, (как и в д0Казательстве леммы 9.1).
Рис. 13 В остальпом доказательство
совпадает с предыдущим, в
4. Клеточные разбиения поверхностей. Для
вычисления топологических инвариантов поверхностей и
рассмотрения карт на них нам удобно несколько обобщить
понятие триангуляции.
Пусть Р — некоторый «-угольник на плоскости (круг
с отмеченными вершинами на его окружности, если п =
= 1,2). Обозначим Ах, ..., Ап его вершины и А\А2, ...
.. ., АпА\ — его стороны. Пусть далее / — непрерывное
отображение Р ->- X, где X — некоторая поверхность,
причем: 1) ограничение / на внутренность и-угольника Р
есть вложение в X; 2) ограничение на внутренность
любой стороны е = AtAi+l (под которой понимается е без
вершин А( и Ai+i) является вложением в X; 3) если для
некоторых точек а и Ъ из Р f(a) = f(b), то а и Ъ
принадлежат границе дР, причем если а — вершина, то и & —
вершина в Р, а если а не является вершиной в Р, то
образы тех сторон, на которых лежат а и Ъ, совпадают в X.
Тогда пара (П, /), где П==/(Р), называется и-угольной
клеткой в X (пли и-клеткой).
Итак, определение и-клетки отличается от понятия
топологического треугольника не только тем, что п лю-
§ 9. ПОВЕРХНОСТИ И ИХ КЛЕТОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ 97
бое, а еще и тем, что вершины и целые ребра могут
склеиваться при отображении /. Заметим, однако, что
«-угольник Р допускает стандартное разбиение на 2и
треугольников Т\, . .., Т2„, если провести радиусы в вершины и
середины его сторон (барицентрическое подразделение).
Из приведенного выше определения видно, что
ограничение ф,- отображения / на каждый из Т( инъективно, а
значит, по следствию 8.1 является вложением, т. е.
(Т{, ф,)— топологический треугольник.
Клеточным разбиением А поверхности X называется
конечное множество ее клеток {(Пг, /,-)}i=i со свойства-
m
ми: 1) X = U Пг; 2) пересечение любой пары ПА и Пг
г=1
различных клеток состоит из нескольких общих ребер и
общих вершин этих клеток (возможно пустое
пересечение). Эквивалентность двух клеточных разбиений А и А'
определяется, как и для триангуляции: это такой
гомеоморфизм X -> X', при котором клетки, стороны и
вершины разбиения А переходят соответственно в клетки,
стороны и вершины разбиения А'.
Подразбиением клеточного разбиения А = {(П,-, fi)}T=i
назовем такое разбиение А' = {(П3-, /jjljLi поверхности X,
что: 1) каждая клетка П,- содержится в некоторой клетке
Пг; 2) стороны разбиения А состоят из нескольких сторон
разбиения А'; 3) вершины разбиения А являются
вершинами и разбиения А'. Применяя барицентрические
подразделения к многоугольникам Pi, можно заключить, что
для всякого клеточного разбиения А существует
подразбиение, являющееся уже триангуляцией.
Теорема 9.3. Для любых клеточных разбиений А
и Г поверхности X существуют их подразбиения А' и Г",
эквивалентные между собой.
Доказательство. Переходя к подразбиениям,
можем считать А и Г триангуляциями, причем
благодаря леммам 9.1 и 9.2 такими, что их стороны имеют лишь
конечное число точек пересечения, не принадлежащих
краю поверхности X. Поэтому по теореме 9.1 А и Г
вместе разрезают X на конечное число клеток, определяя
некоторое их общее подразбиение, ш ш,г%^-е-г ь -,
Если (П, /)—некоторая клетка и А, В— вершипы
стороны АВ многоугольника Р (где /(Р)=П), то
вершины f(A) и f(B) назовем граничными для стороны е =
~f(AB) клетки П. Если f(A) = f(B), то е назовем пет-
7 А, Ю. Ольшанский
98 ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
лей. Вообще, петлей на поверхности X называется путь
р такой, что p{ti) = p(t2) тогда и только тогда, когда
{th t2} = {0, 1} или t\ = Ц.
Степенью вершины о клеточного разбиения А
называется число сторон из А, имеющих о граничной точкой;
при этом каждая петля с граничной точкой о считается
дважды.
Выделим следующие элементарные преобразования
клеточного разбиения А.
1. Если вершина о имеет в А степень 2 и является
граничной для двух различных сторон е\ и е2, то она
«стирается», а в\ и е2 заменяются одной стороной е =
= е{ U е2.
2. Если вершина о «-клетки П (п > 3) имеет
степень 1 и является граничной для стороны е, то
«стирается» вся сторона е, кроме второй ее грапичной вершины.
(При этом некоторая «-клетка П заменяется (п — 2)-
клеткой ГГ; см. рис. 14.)
3. Пусть у- двух различных клеток П[ и Пг — к
-угольной и Z-угольноп, где к + I > 2,— есть общая сторона е.
Рис. 14
Рис. 15
Тогда можно перейти к разбиению А', в котором П1 и Пг
заменяются одной (к + I — 2)-клеткой П. (Все стороны
клеток Ш и Пг, кроме е, становятся сторонами в П, а все
точки стороны е, кроме граничных, «стираются»; см.
рис. 15.)
Теорема 9.4. Если Г — подразбиение клеточного
разбиения А поверхности X, то от Г к А можно перейти
с помощью нескольких элементарных преобразований
типов 1, 2, 3.
§ 9. ПОВЕРХНОСТИ И ИХ КЛЕТОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ 99
Доказательство. Считаем сначала, что А
состоит из одной клетки. Тогда с помощью нескольких
преобразований типа 3 можно сделать одноклеточным и Г. Как
следует из теоремы 9.1, в Г найдется вершина степени 1,
если не все стороны триангуляции Г содержатся в
сторонах триангуляции А. Их можно удалять с помощью
преобразований типа 2. После этого лишние вершины
степени 2 удаляются с помощью преобразований типа 1.
Если в А несколько клеток, то нужно, как и выше,
сначала провести элементарные преобразования
типов 3 и 2 для каждой из них, а затем — преобразования
типа 1. Я
5. Графы на поверхности. Пусть Г — некоторое
клеточное разбиение поверхности X, Ф(0)—некоторое
подмножество множества вершин этого разбиения, Ф(1) —
множество дуг или петель на X, каждая из которых
состоит из одной или нескольких сторон разбиения Г,
причем дуги и петли из Ф(1) не имеют общих точек, кроме
граничных, а их граничные точки содержатся в Ф (0).
Дополнительно потребуем, чтобы точки из Ф(0) и точки
дуг и петель из Ф(1) не принадлежали краю
поверхности X. Тогда пару (Ф(0), Ф(1)) назовем графом Ф на
поверхности X. Элементы множества Ф(0) называются
вершинами, а элементы из Ф(1)— ребрами графа Ф.
Вспомогательные «оценочные» графы, которые
понадобятся в последующих главах, будут строится для
данного клеточного разбиения А («карты» А) с помощью
Рис. 16
вершин и сторон барицентрического подразделения Г
разбиения А. (Например, выбираются новые вершины
внутри клеток из А и соединяются ребрами графа Ф,
пересекающими стороны разбиения А в их «серединах».)
Лемма 9.3. Для всякого графа Ф на поверхности
X с непустым множеством вершин Ф(0) существует
клеточное разбиение А поверхности X такое, что Ф(1)— под-
7*
100 ГЛ, 3, ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
множество в множестве сторон разбиения А, а множество
вершин разбиения А содержит помимо Ф(0) по одной
вершине на каждой компоненте края.
Доказательство. Пусть граф Ф определен с
помощью клеточного разбиения Г. Тогда вершины,
разбивающие ребра из Ф(1), удаляются из Г с помощью
изменения клеточного разбиения, показанного на рис. 16.
Аналогичным образом в Г можно оставить по одной вершине
на каждой компоненте края. Наконец, тем же способом
■удаляются лишние внутренние вершины в Г (не из
Ф(0)), что можно сделать благодаря связности
поверхности X. ■ .
§ 10. Топологические инварианты поверхностей
1. Эйлерова характеристика. Числом Эйлера
клеточного разбиения А поверхности X называется величина
Х(А)= щ — ni + п2, где щ — число различных вершин
разбиения А, п% — число его клеток, & п\ — число его
сторон.
Теорема 10.1. Числа Эйлера любых двух
клеточных разбиений, А и Г поверхности X совпадают.
Доказательство. Благодаря теореме 9.3
достаточно считать Г подразбиением для А, а по теореме 9.4
можем предположить, что переход от Г к А
осуществляется с помощью одного из элементарных преобразований
типов 1, 2, 3. Но каждое из них не меняет числа Эйлера,
поскольку уменьшает щ и nv на 1, сохраняя п2, либо
уменьшает щ и щ на 1, сохраняя щ. ■
Теорема 10.1 позволяет определить эйлерову
характеристику %{Х) поверхности X как число Эйлера
произвольного ее клеточного разбиения, и %{Х) является
топологическим инвариантом поверхности. В гл. 5 и 7 она
играет важную роль в глобальных оценках для карт на
поверхности.
Триангуляция на рис. 10 имеет 4 вершины, 6 сторон
и 4 клетки. Значит, эйлерова характеристика сферы
равна 4-6+4=2.
Данное в п. 8.3 определение тора как результата
склейки сторон квадрата позволяет сразу же вычислить
его эйлерову характеристику, так как после склейки
получаем 1 вершину, 2 стороны и 1 клетку. Эйлерова
характеристика тора равна 0.
§ 10, ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 101
По-разному склеивая две противоположные стороны
квадрата, мы получали в п. 8.3 как круговое кольцо, так
й лист Мёбиуса. Эйлерова характеристика в обоих
случаях равна нулю (2 вершины, 3 стороны, 1 клетка).
Эйлерова характеристика диска равна, конечно,
единице, поскольку она равна числу Эйлера любого
и-угольника.
В гл. 7 понадобится еще значение эйлеровой
характеристики сферы с тремя вырезанными в ней дырами (или
диска с двумя дырами).
Вычисление ее ясно, например, из рис. 17.
Эйлерова характеристика
получается равной 5 — 8 + 2 = — 1.
2. Следствия для графов.
Приводимые в этом пункте оценки
можно уточнить, но точность не Рис 17
характерна для неравенств гл. 5,
7 и ДР- , , л
Пусть ей/ — пара различных ребер графа Ф, причем
существует 2-угольник П на X со сторонами ей/ такой,
что в клетке П нет точек других ребер графа Ф. Скажем
тогда, что ей/ образуют 2-угольник в Ф. Аналогично
определяются 1-уголъники графа Ф.
Лемма 10.1. Пусть Ф — граф на поверхности X
без 1-у зольников и 2-у голъников, % = %{Х) и к — число
компонент края поверхности X. Тогда если Ф(0) непусто,
то найдется вершина оеФ(0), принадлежащая не
более чем m ребрам графа Ф, где т = 6(1 + & +
+ тах(0, -%)).
Доказательство. Пусть в соответствии с
леммой 9.3 ребра графа Ф являются сторонами некоторого
клеточного разбиения А поверхности X, в котором щ
клеток, щ сторон и п0 вершин, где п0 = п + fe, n —- число
вершин графа Ф. При этом число пу считаем минимально
возможным.
Допустим сначала, что в А нет 1-клеток и 2-клеток.
Тогда п2 ^ -о- пх. (У каждой клетки > 3 сторон, а каж-
Дая сторона принадлежит не более чем 2 клеткам из А.)
Кроме того, ?г0 — щ + п2 = %. Исключая щ из этих двух
Условий, имеем щ «с 3(?г + к)- 3%. Но если бы
утверждение леммы было неверным, то п(т+ l)s£2ni, ибо у
каждого ребра не более двух граничных точек, что в силу
определения т противоречит предыдущему неравенству.
102 ГЛ, 3, ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
Если в А есть 2-клетка П с разными сторонами, то
одна из них по условию не является ребром в Ф, и ее
можно стереть элементарным преобразованием типа 3
вопреки минимальности числа щ. Если же в 2-клетке одна
сторона (т. е. отображение /: Р -*- П склеивает стороны
2-угольника), то из определения поверхности заключаем,
что в А входит только П, и неравенство леммы
очевидно. Точно так же сторону 1-угольника в А можно
стереть, если только X не есть сфера, склеенная из двух
1-угольников. Но и здесь утверждение леммы
очевидно. ■
Лемма 10.2. Пусть Г — граф на сфере без
{-угольников и 2-уголъников. Тогда числа п0 и ni его вершин
л
и ребер связаны неравенством п0 >■ у пх + 1, если пх>0-
Доказательство. Как и в лемме 10.1, можно
выбрать клеточное разбиение А сферы, в котором п0 вершин
и п'х~^пх сторон. Как и в доказательстве леммы 10.1,
случаиг когда в А есть 1-угольные или 2-угольные клет-
т. ' ^ 2 i > '
ки, очевидны. В противном случае п2^-^-пх, п0 — пх+ п2=
1 ' 1
= 2, откуда щ > 2 + -j п1 > 1 + j пх. ш
При изучении карт на поверхностях для некоторых
оценок потребуются вспомогательные графы, несколько
выделенных вершин которых уже не лежат на данной
поверхности X. А именно, эти вершины выбираются на
дисках, края которых склеены с компонентами края
поверхности X. Другими словами, графы рассматриваются
на поверхности X', полученной из X путем заклеивания
дыр дисками. Если Ф — граф на X, а Ф' — граф на X',
причем Ф(0)сф'(0) и Ф(1)сф'(1), то назовем Ф'
расширением графа Ф, а его вершины вне X —
несобственными.
Для формулировки следующих лемм несколько усилим
условие отсутствия 1-угольников и 2-уголъников.
Скажем, что граф на поверхности X содержит кратные
ребра, если некоторая пара ребер ограничивает клетку на X
(внутри которой могут быть, вообще говоря, точки
других ребер из Ф). Если существуют ребра еи ..., е„, где
каждая пара (eit е,) (i Ф /) определяет 2-угольник на X,
то скажем, что е = еу имеет кратность п. Скажем
также, что граф Ф на X без петель, если ни одно его ребро
не является границей какой-либо 1-клетки на X.
§ 10. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЮЗ
Лемма 10.3. Пусть Ф — непустой граф на
поверхности X, а Ф' — его расширение на X' с несобственными
вершинами 0\, ..., Oi. Пусть далее Ф — граф без петель
и кратных ребер, а в любом 2-у голышке графа Ф' на X'
содержатся целиком некоторые компоненты края
поверхности X или некоторые ребра, отличные от его сторон.
Тогда если % = %(Х), а к — число компонент края
поверхности X, то в Ф найдется вершина о, которая
принадлежит в Ф' не более чем с ребрам, где с = 6(1 + & + £ —
-min(0, %)).
Доказательство. Легко видеть, что некоторым
гомеоморфизмом X' -+■ X' можно переместить граф Ф'
в X, оставляя при этом неподвижными все точки из Ф.
Это позволяет рассмотреть Ф' как граф на X без
1-угольников и 2-угольников. Далее повторяется рассуждение
леммы 10.1 — с тем, однако, отличием, что разбиение А
имеет на к + I (а не на к) вершин больше, чем Ф, что и
приводит к соответствующему изменению в оценке. Н
Следствие 10.1. Если в условиях леммы 10.3
%2s— 1, & «S 3, a Z=S4 (в частности, для сферы, тора,
диска, кругового кольца, сферы с тремя дырами,...), то с <
<60. ■
Вспомогательные графы будут возникать вместе с
некоторыми «весами», приписанными их вершинам и
ребрам. В таком виде они и послужат инструментом
вывода необходимых оценок.
Лемма 10.4. Пусть Ф и Ф' — графы,
удовлетворяющие условиям леммы 10.3. Пусть далее каждому ребру
е графа Ф приписано неотрицательное число — вес v(e),
а каждой вершине о графа Ф — неотрицательный вес
v(o) (v(0{), ..., v(0,) можно считать пулевыми). Пусть
при этом для некоторой константы а выполнено
условие v(e)<av(o), если вершина о графа Ф принадлежит
ребру е графа Ф'. Тогда сумма vo весов всех вершин
графа Ф и сумма vi весов всех ребер графа Ф связаны
неравенством v\ < cava, где с — константа из леммы 10.3.
Доказательство. Проведем индукцию по
числу вершин графа Ф. Случай п = 1, очевидно, следует нз
леммы 10.2. В общем случае выделим в Ф вершину о
в соответствии с леммой 10.2. Если теперь удалить из Ф
и Ф' вершину о вместе со всеми реб£ами, которым она
принадлежит, то получим графы Ф и Ф', причем для
соответствующих чисел vi и vo по предположению индук-
104 ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
ции vi s? cavo- Однако из выбора вершины о и условия
леммы следует, что v ^ Vi — cav(o). Значит,
vi < Vi + cav(o)^
s£ cavo + cav (o) = ca (vo + v (o)) = cava- a
Отметим, что более точные рассмотрения позволяют
улучшить приведенную оценку. Например, при % S» 0
и I = 0 справедливо неравенство vi < 3avo, которое при
а = 1 и v = 1 превращается в известное следствие
формулы Эйлера для графов без 1-угольников и 2-угольников.
3. Ориентируемость поверхности. Пусть / —
произвольный гомеоморфизм интервала (0; 1) на себя.
Нетрудно убедиться, что / — монотонная функция.
Действительно, предположим, что, напротив, для некоторых
чисел а, Ъ, с, d е(0; 1) имеем неравенства a < Ъ и /(a)<
</(&), c<d ж j(c)> f(d). Разберем тот случай, когда
Ъ < с, оставляя читателю разбор других вариантов. В
нашем случае очевидно, что максимум значепий функции
f(x) на [a; d] (который всегда достигается для
непрерывной функции на отрезке) отличен от /(a) и f(d). Пусть
M = f(x0) = max f(x). Тогда 0<М<1 по опре-
делению функции /. Из этого же определения следует,
что существует точка. х\ на (0; 1) такая, что M<f{x\)<
< 1. Пусть, например, ху> d. Тогда всякое значение из
промежутка (f{d); /(c)) принимается функцией / (в
силу ее непрерывности) как на (с; d), так и на (d; x{). Тем
самым получаемся противоречие с биективностью
отображения /.
Вследствие монотонности и биективности для /
имеется два варианта: 1) Km f(x) = 0, alim/ (x) = 1; 2) Нт/(ж) =
Х-»0 Ж^>1 Х-^0
= 1, а Пт/(ж) = 0. Отсюда видпо, в частности, что / нз-
прерывно продолжается до гомеоморфизма отрезка [0; 1] -*■
-»- [0; 1]. В первом случае говорят, что гомеоморфизм /
сохраняет ориентацию интервала (0; 1) (и отрезка [0; 1]),
а во втором случае — что / меняет ориентацию на
противоположную.
Пусть теперь Y — подпространство некоторого
топологического пространства X, гомеоморфное интервалу (0; 1).
Скажем, что два гомеоморфизма Д: (0; 1)->Г и Д>:
(0; 1)-*-Г задают на Y одинаковую ориентацию, если
/Гх/г является гомеоморфизмом (0; 1)-»-(0; 1), сохра-
§ 10. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ Ю5
йяющим ориентацию этого интервала. В противном
случае говорят, что /i и 1% задают противоположные
ориентации на Y. Легко видеть, что тем самым на множестве
гомеоморфизмов /: (0; 1)-> У задано отношение
эквивалентности, разбивающее его на два класса. Заданием
ориентации па Y называется по определению выбор одного
из этих двух классов гомеоморфизмов. Наглядно
ориентацию открытой (или замкнутой) дуги мы представляем
себе как направление, в котором «проходится» эта дуга;:
на рисунках естественно отмечать выбор ориентации
соответствующей стрелкой.
Переходя к ориентации клеток, начнем с
га-угольника Р на плоскости. Пусть /i, ...,/„ — гомеоморфизмы
интервала (0; 1) на стороны А\А%, ..., АпА\ (без их
вершин). Скажем, что они задают согласованную
ориентацию сторон га-угольника Р, если композиция f{ с
поворотом плоскости на угол 2кк/п задает на Ai+hAf+h+i ту же
ориентацию, что и fi+h для любых i, к (здесь индексы
рассматриваются по модулю га).
Существует, очевидно, два класса согласованно
ориентирующих наборов отображений (Д, ..., /„), каждый
из которых по определению задает одну из двух
возможных ориентации га-угольника Р. Их можно представлять
себе как обход га-угольника Р по часовой стрелке или
против часовой стрелки.
Клетка (П, /), где /: Р -*■ П, па поверхности X
называется ориентированной, если выбрана одна из двух
ориентации га-угольника Р. Если сторону е клетки П
записать в виде e = f(AAi+i), где AAi+l — сторона
га-угольника Р, то тем самым ориентация стороны AtA{+l ж
отображение / (гомеоморфное на AiAi+{\{Ai, Ai+i)) задают
ориентацию на е. Но для стороны е клеточного разбиения
А поверхности X, не принадлежащей краю поверхности,
имеется два представления вида e = f(AiAi+l)
(поскольку по этой стороне склеиваются разные клетки или одна
клетка). Назовем клеточное разбиение А = {(П{, /i)}£Li
ориентируемым, если существуют такие ориентации всех
его клеток, которые на каждой стороне разбиения А, не
содержащейся в крае поверхности X, задают две
противоположные ориентации. При этом выбор ориентации для
всех Р{ (где Д: Pf -*■ П*) назовем ориентацией клеточного
разбиения А.
Каждая компонента Y края.гомеоморфна окружности,
Поэтому если на А задана ориентация, то будем всегда
106 гл. з, элементы двумерной топологии
считать, что и на Y выбрана согласованная ориентация,
т. е. такая, чта каждая сторона е некоторой клетки П,
лежащая в Г, наделяется клеткой П и Y двумя
противоположными ориентациями. (Это возможно, ибо
ориентации последовательных сторон в Y, определяемые
клетками разбиения А, всегда согласованы; см. рис. 18.)
Примером ориентируемого разбиения является
триангуляция сферы на рис. 10 или квадрата на рис. 19. Если
Рис. 18 Рис- 19
с помощью описанной в п. 8.3 склейки перенести
последнюю триангуляцию на тор или круговое кольцо, то
получится, как легко видеть, ориентируемая триангуляция
тора (кругового кольца), а если перенести ее на лист
Мёбиуса или на бутылку Клейна, получатся
неориентируемые триангуляции этих поверхностей.
Теорема 10.2. Если поверхность X допускает
некоторое ориентируемое клеточное разбиение А, то и
всякое другое ее клеточное разбиение Г также
ориентируемо. *
Доказательство. Ввиду леммы 9.3
доказательство сразу же сводится к случаю, когда А —
подразбиение Г (или наоборот). По теореме 9.4 можно считать,
что переход от А.к Г осуществляется с помощью одного
Рис. 20
элементарного преобразования. Для элементарного
преобразования типа 3 ориентации клеток Ш и П2 задают
ориентацию клетки П и обратно. (Ограничимся рис. 20.)
Еще более очевидна связь ориентации для
преобразований типов 1 и 2, ■
§ 10. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ Ю7
Определяя теперь понятие ориентируемой поверхности
как поверхности, допускающей ориентируемое клеточное
разбиение, мы можем в силу теоремы 10.2 сделать
вывод, что для проверки ориентируемости X достаточно
рассмотреть произвольное клеточное разбиение
поверхности X. Ориентируемы сфера, диск, тор, круговое кольцо,
а также поверхности, получаемые из них вырезанием
нескольких дисков. Лист Мёбиуса, бутылка Клейна,
проективная плоскость и другие неориентируемые поверхности
не будут всерьез рассматриваться в настоящей книге.
Они возникают при изучении соотношений в группах
с инволюциями и, возможно, пригодятся при решении
проблемы Бернсайда для четных показателей.
4. Фундаментальная группа клеточного разбиения.
Точный смысл наглядному представлению о непрерывной
деформации пути в пространстве придает следующее
определение.
Пусть р и q — два пути [0; 1]-+Хс общим началом
p(0)=q(0) и общим концом p(l)=q(l). Они
называются гомотопными в топологическом пространстве X, если
существует такое
непрерывное на квадрате Q = { (x, у) I
0 =£ х, у ^ 1} отображение
Н: Q-+X (гомотопия), что
Щх, 0) = р(х) и Н(х, 1) =
= q(x) для всех же[0; 1], а
Н(0, у) = р(0) и #(1, у)~
= /»(1) для всех у s[0; 1].
Таким образом, гомотопия
задает непрерывное семейство
путей sy{x) = j{x, у) от р(0)
к р(1), совпадающих с р и q соответственно при
значениях параметра у, равных 0 и 1 (рис. 21).
Нетрудно проверить, что гомотопия есть отношение
эквивалентности, а разбиение на гомотопические классы
хорошо согласуется с умножением путей. Отсюда
получается понятие фундаментальной группы Я1 (X)
пространства X. Однако для поверхностей, оснащенных
клеточными разбиениями, удобнее будет комбинаторный
способ определения фундаментальной группы. Для этого
введем сначала комбинаторный аналог гомотопии.
Пусть А — клеточное разбиение поверхности X.
Любую сторону этого разбиения вместе с выбранной на ней
ориентацией назовем ребром, или элементарным путем
108 гл. з. элементы двумерной топологии
в А; т. е. каждая сторона дает два ребра в А, которые
называются взаимно обратными. При этом однозначно
определены вершины е-, е+, которые являются началом
и концом ребра е, так что (е-1)_= е+ и {е~1) + = е—
Если еи ..., еп — ребра из А, причем (е<) += (ei+i)_ для
i = 1, ..., п — 1, то определено произведение р = ei . .. еп
ребер ei, .. ., е„, которое называется линейчатым путем
(или путем) в А. По определению p_=(ei)- и р+=
= (е„) + — начало и во«е^ гаута р. Число п называется
длиной \р\ пути р. Рассматриваются также пути
длины 0, у которых отмечено лишь начало (совпадающее
с концом). Путь р называется циклом, если р- = р+\
р назовем путем без самопересечений, если все вершины
(ei)-, ..., (е„)_, (е„)+ различны. (В случае цикла без
самопересечений (е^—=(е„)+.) Очевидно, что
умножение путей р = ех ... еп и q = en+l ...em, где (е„) + =
= (en+i)-, по правилу pq = ех ... епеп+1 .. . ет является
ассоциативным. Кроме того, всякий линейчатый путь в
разбиении А можно рассматривать и как путь в любом
подразбиении Г (возможно, большей длины, ибо ребра из
А могут быть разбиты в Г на несколько ребер).
Путь вида ее~у, где е — ребро, назовем элементарным
циклом I типа в А. Комбинаторной деформацией I типа
линейчатого пути в\ .. . еп называется вычеркивание
элементарного цикла e{ei+i (если ei+1 = ei1) или вставка
между et и e,-+i элементарного цикла е~'е (если
е+=(е{)+). »
Если (П, /)— некоторая клетка в А, /: Р -*■ П, а\, . ..
..., ап — последовательные стороны ?г-угольника Р при
некоторой его ориентации, то путь е\ ... еп, где е4 = /(а;)
с той же ориентацией, назовем элементарным циклом
II типа в А. (Его будем называть также контуром
клетки П.) Комбинаторной деформацией II типа
произвольного пути р = еу . .. ет в А называется вычеркивание в р
(или вставка) элементарного цикла е{.. . eh II типа.
Два линейчатых пути р и q называются комбинаторно
гомотопными (пишем р ~ q), если один получается из
другого с помощью нескольких комбинаторных
деформаций I или II типа. Из определения очевидно, что
комбинаторная гомотопия является отношением
эквивалентности, а следовательно, множество линейчатых путей
разбивается на классы комбинаторно гомотопных путей.
Кроме того, если р ~ р', q ~ q' и р+ = q~, то, очевидно,
РЧ ~ p'q'- Поэтому умножение путей переносится на го-
§ 10. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ Ю9
мотопические классы: [р] [q] = [pq], когда произведение
определено, и в этих случаях умножение ассоциативно.
Зафиксируем теперь некоторую вершину о в
клеточном разбиении А и рассмотрим множество jti(A, о)
гомотопических классов всех циклов с началом (и концом)
в о. Тогда в Я[(Д, о) всегда определена ассоциативная
операция умножения классов циклов. Единичным
является класс 1 цикла нулевой длины («нулевого цикла»).
Наконец, для каждого класса [е{ ... еп] есть обратный
класс [e^1 ... е^1], поскольку цикл ех ... епе~^х .. . е^1
комбинаторными деформациями I типа превращается в
нулевой. Итак, Jti(A, о) является группой, которая
называется фундаментальной группой клеточного разбиения
А с отмеченной вершиной о.
Теорема 10.3. Всякий путь р, соединяющий
вершины о и о' клеточного разбиения А, индуцирует
изоморфизм групп jti(A, о) и jti(А, о'), зависящий лишь от
гомотопического класса пути р.
Доказательство. Каждому циклу s с началом
в о можно сопоставить цикл с началом в о' по правилу
<p(s) = p~!sp. Это отображение индуцирует гомоморфизм
ф: jti(A, o)^-nl(A, о'), где <р(|>])= [p-1]{s] \p], поскольку
Ф~(М) = [Р~{] N \р] = [р~Ч И [р] [р-1] И [р] = Ф (ИМИ).
Очевидно, что существует обратное отображение ф-1:
ni(A, o')-*-ni(A, о). Оно задается по правилу Ф~'(М) =
= [р] М Ср~Ч- Поэтому ф — изоморфизм. ■
Теорема 10.3 позволяет говорить просто о
фундаментальной группе ni(A) клеточного разбиения А
поверхности X.
5. Вычисление фундаментальных групп поверхностей.
Покажем теперь, что фундаментальная группа на самом
деле не зависит от способа клеточного разбиения
поверхности.
Лемма 10.5. Пусть Г — подразбиение клеточного
разбиения А поверхности X, о — общая отмеченная
вершина разбиений А и Г. Тогда каждый цикл р в Г с
началом в о комбинаторно гомотопен некоторому циклу
в А.
Доказательство. По теореме 9.4 достаточно
предполагать, что А получается из Г с помощью одного
элементарного преобразования типов 1—3. Можно также,
НО гл. з. элементы двумерной топологии
заменяя р на комбинаторно гомотопный цикл в Г,
считать, что в р нет подпутей вида ее-1. Поэтому если А
получается из Г преобразованием типа 1, т. е. стирается
вершина между сторонами а\ и аг с заменой их одной
стороной а, то ребра ai * и а^1 могут входить в р только
в виде ai02 или {axa2)~Y = а^а^1. Замена этих
вхождений на a±l дает цикл в А, гомотопный циклу р в Г.
При преобразовании типа 2 р можно не менять, так
как в р нет подпутей вида ее-1. Если же А получено из
Г с помощью преобразования типа 3—«стирания» ребра
е, где ер\ и е~хрч — контуры двух клеток из Г, то
заменим везде е*1 в р на р2 \ что выполняется с
использованием комбинаторных деформаций I и II типа.
Получится цикл в А. Я
Комбинаторно стягиваемым называется цикл,
(комбинаторно) гомотопный нулевому.
Лемма 10.6. Пусть Г — подразбиение клеточного
разбиения А поверхности X. Тогда всякий цикл р в А
комбинаторно стягиваем в том и только в том случае,
когда он комбинаторно стягиваем в А.
Доказательство. В силу теоремы 9.4 можно
считать, что А получается из Г с помощью одного
элементарного преобразования типа 1—3. Пусть цикл
(комбинаторно) стягиваем в Г. По определению существует ряд
циклов р = pi, р2, .. ., ps = 0, а от р{ к pi+\ можно
перейти с помощью одной комбинаторной деформации в Г.
Пути pi, .. ., ps не,обязательно являются циклами в А, и мы
сопоставим каждому циклу pi комбинаторно гомотопный
ему в Г цикл д,- из А таким образом, что qs = 0, а
каждый цикл g,+i получается из д; путем нескольких
комбинаторных деформаций в А.
Если А получается из Г «стиранием» ребра е между
клетками с контурами ety и е-1^, то, заменив во всех pt,
как и в лемме 10.5, ребра е±х везде на Ц~ , получим
цикл д,- в А, причем переход от qt к gi+i осуществляется,
как легко видеть, с помощью нескольких комбинаторных
деформаций в А.
В случае преобразования Г -*• А типа 2 нужно просто
опустить во всех pt стираемые ребра и обозначить
полученные пути д,-, а для преобразования тппа 3 замена pt на
д, проводится так же, как в лемме 10.4.
Доказательство обратного утверждения вполне
аналогично, а
§ 10. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ Ш
Теорема 10.4. Фундаментальные группы щ (А)
и m (Г) изоморфны для различных клеточных
разбиений А и Г поверхности X.
Доказательство. Поскольку изоморфизм
клеточных разбиений влечет, очевидно, изоморфизм их
фундаментальных групп, лемма 9.3 позволяет считать, что Г —
подразбиение разбиения А. В силу теоремы 10.3 ni(A)==
= Я1 (А, о), Я1 (Г) = Я1 (Г, о'), где о = о'.
Сопоставим классу комбинаторно гомотопных циклов
[/?] из яЦГ) класс [д] из Лу(А), где g — гомотопный
циклу р цикл в Г, который существует по лемме 10.5. Как
следует из леммы 10.6, отображение а: [р] -*■ [q]
корректно и инъективно. Оно является групповым
гомоморфизмом, так как если а([р{\)= [q{\, &([pi]) = [дг], то цикл р\р2
гомотопен в Г циклу gig2. Сюръективность для а
очевидна. Поэтому а — изоморфизм групп Я1(Г) и Л\(А). ■
Доказанная теорема позволяет дать определение
фундаментальной группы П\(Х) поверхности X как
фундаментальной группы ее произвольного клеточного
разбиения. Если П[(Х)— единичная группа, то поверхность X
называется односвязной. Односвязным является,
например, диск (поскольку у него есть клеточное разбиение,
состоящее из единственного 1-угольника, контур
которого комбинаторно стягиваем), односвязна и сфера.
Вычислим для примера фундаментальную группу Я[
кругового кольца. На рис. 22 изображено его клеточное
разбиение с одной клеткой и тремя
различными (с точностью до обратных)
ребрами а, Ъ, с. Сопоставим каждому из этих
ребер циклы а, Ъ, с по правилу а = аа~1,
b = aba~l, с = с.
Проверим сначала, что группа Я1
порождается гомотопическими классами
циклов a, b ж с (для которых сохраним те же
обозначения). Пусть р — произвольный Рис. 22
цикл с началом в о. Он является
произведением ребер: р = W(a, Ъ, с), где W— слово в алфавите
{a±l, Ь*1, с*1}. Заменяя а на а, Ъ на Ъ, с на с, получим цикл
р = W(a, Ъ, с). Достаточно показать, что р ~ р. При
указанной замене вместо прохождения очередного ребра ej
в р мы, очевидно, «доходим» от о до начала этого ребра,
«проходим» путь е4 и «возвращаемся» в о кратчайшим
способом — некоторым путем q, где q = 0 или g = a-1,
Но тут же мы должны пройти путь д-1 к началу ребра
112
ГЛ. 3. ЭЛЕМЕНТЫ ДВУМЕРНОЙ ТОПОЛОГИИ
ei+i и т. д. Значит, р получается из р комбинаторными
деформациями I типа, т. е. р ~ р.
Для нахождения соотношений группы jti заметим,
что цикл а стягиваем, а всякая комбинаторная
деформация I типа цикла р соответствует^ элементарному
преобразованию типа 1 в слове W(a, 5, с) (см. п. 4.2) либо
вставке или сокращению буквы a±l. Рассмотрим далее
комбинаторную деформацию II типа в р, например
замену с -*■ аЪа~1. Ей соответствует элементарное
преобразование
... с ...-*-... c(c~1aba~1). ..-*-... aba-1 ...
в слове W(a, Ъ, с), т. е. элементарное преобразование
типа 2, отвечающее соотношению c~xaba~l = 1. Наоборот,
любое преобразование типа 2 в W{a, b, с), отвечающее
слову c~laba~l, сводится к комбинаторной
деформации в р.
Теорема 4.4 позволяет сделать вывод, что
Я1 = (а, Ъ, сШ = 1, c~laba~Y = 1>.
Эта группа изоморфна бесконечной циклической группе
Z= <5>, так как с помощью теоремы 4.5 можно
установить следующие взаимно обратные гомоморфизмы:
<p(d)=c; г|}(а)=1, ty(b)=d, ty(c) = d. Итак,
фундаментальная группа кругового кольца является бесконечной
циклической группой.
В качестве другого примера рассмотрим «сферу с п
ручками»— ориентируемую поверхность Мп рода п без
края, которую можно определить как результат попарной
склейки ребер правильного 4?г-угольника. (Схема
склейки сторон приведена на рис. 23. В частности, при п = 1
получается тор.).
§ 10. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ИЗ
Естественное клеточное разбиение имеет 1 клетку,
1 вершину и 2п сторон. Все ребра а\, Ъ\, ..., ап, Ъп здесь
являются циклами, так что {ah b\, ..., а„, Ъп) — система
порождающих фундаментальной группы.
Элементарным преобразованиям типа 1 слов в
алфавите {а*1, .••,£>« *1 отвечают комбинаторные деформации I
типа и обратно. Поскольку контур единственной клетки
может быть записан в виде аф-^а^Ъ^1 ... афф^Ъп'1,
комбинаторные деформации II типа связаны с элементарными
преобразованиями слов в алфавите {af1,. .. , bn1},
отвечающими слову a-fi-^a^b^1 .. . dnbna^bn1. Отсюда по
теореме 4.4
п^{Мп) =<%, Ъъ ..., аП1 Ь„II«АвГ^Г1 • • • впМп^п^О-
В частности, фундаментальная группа тора является
свободной абелевой группой с двумя порождающими:
(а, ШаЪ = Ьа).
■• Ю. Ольшанский
ГЛАВА 4
ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
. Как уже говорилось во введении, в 1933 г. ван
Камней [188] сделал простое, но чрезвычайно интересное
наблюдение об универсальной возможности геометрической
интерпретации вывода следствий соотношений в группах
(которое до середины 60-х годов оставалось, однако,
незамеченным). Была обнаружена новая связь между
комбинаторно-топологическими и комбинаторно-групповыми
понятиями. Она была действительно новой — ее не
следует, например, смешивать с известным представлением
произвольной группы как фундаментальной группы
2-мерного топологического пространства. Чтобы подчеркнуть
это отличие, мы обратим внимание на то, что, во-первых,
в лемме ван Кампена рассматриваются лишь плоские
комплексы (затем была обнаружена польза и других
поверхностей), а не произвольные 2-комнлексы. Во-вторых,
лемма ван Кампена не только объединяет
абстрактно-алгебраические и топологические понятия, но и привносит,
несомненно, в эту связь дух математической логики, ибо
диаграммы ван Кампена адекватно отражают процесс
вывода следствий из заданных групповых соотношений.
,§ 11. Наглядная интерпретация вывода
следствий определяющих соотношений
1. Несколько примеров. Прежде чем перейти к точным
формулировкам, приведем некоторые примеры диаграмм,
иллюстрирующих вывод следствий из определяющих
соотношений, в добавление к тем, что появились во
введении.
Если в некоторой группе выполнены соотношения
а3 = 1 и ЪаЪ"1 = с, то отсюда, очевидно, следует, что
с3 = 1. Этот вывод отражен на рис. 24. Здесь обход
треугольной клетки (против часовой стрелки) дает слово а3,
§ И. НАГЛЯДНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЫВОДА СЛЕДСТВИЙ Ц5
\рбход любой из четырехугольных клеток — слово cba~lb~1,
а на контуре всего рисунка читаем с3, т. е. левую часть
следствия соотношений а5 — 1 и сЪа~хЪ~х = 1.
Несколько сложнее следующий пример, наглядно
иллюстрирующий теорему о том, что в любой группе G
с тождеством з? = 1 каждый элемент а лежит в
некоторой абелевой нормальной подгруппе N группы G. Для
этого необходимо и достаточно показать, что а
коммутирует с любым своим сопряженным элементом. (В
качестве N тогда можно взять подгруппу, порожденную
всеми элементами из G, сопряженными с а.) Но в
самом деле условие а(ЪаЪ~1) = (ЪаЪ~1)а равносильно
равенству аЪаЪ~1а~хЪа'~1Ъ~1 = 1, которое на рис. 25
«выводится» из справедливых в группе G (с тождеством
хъ = 1) соотношений Ъъ = 1, (аб)3 = 1 и {а~1Ъ)ъ = 1.
(Левые части этих соотношений написаны на треугольных
и шестиугольных клетках, а левая часть следствия
читается при обходе контура рисунка по часовой стрелке
начиная с отмеченной точки о.)
Раскроем теперь тайну построения подобных
примеров. Для этого подробнее проведем вывод следствия
a3b~la2b3 = 1 из соотношений а3 = 1 и Ъ2 — а (т. е.
a~lb2 = 1). Вспомним, что согласно теореме 4.4 в
свободной группе F = F(a, b) должно выполняться равенство
п
вида а36-1а2Ь3 = П^гДг1ХГ1, где X, е F, a Д,-
определяющие слова (т. е. а3 или a~lb2 в данном
примере). В частности, в нашем случае в F справедливо
равенство
аъЪ-ха2Ъг = (а3) {Ъ~1 • а3 • Ъ) {b~l ■ a~lb2 ■ Ь). (1)
Изобразим сомножители в виде трех
последовательных лепестков (рис. 26, а). Каждый из них нарисован
8*
116 ГЛ. 4 ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ ' i
в виде круга с «ножкой» (возможно, пустой).
Окружности размечаются так, чтобы прочитать Ri \ т. е. здесь
а±3 или (а~1Ъ2)м, а на ножке написано слово Xt (b~[ или
пустое слово в нашем случае). Тогда, обходя
последовательно лепестки, прочтем правую часть равенства (1).
а 5 v
Рис. 26
Чтобы получить слово, графически совпадающее с левой
частью этого равенства, нужно дополнительно провести
сокращения. Эти сокращения в слове, написанном на
контуре рисунка, можно осуществить путем
последовательных склеиваний соседних ребер контура с одинаковыми
метками (и согласованно направленными стрелками).
В нашем примере сначала склеиваются ножки, а потом —
по одному ребру клеток ГЬ и П3. В результате
получается «диаграмма», на контуре которой написано в точности
слово а3Ь~'а2Ь3 (рис. 26,6), что и требовалось.
Таким же способом можно построить диаграмму
вывода любого следствия определяющих соотношений
(причем даже для одного следствия W — 1 разные диаграммы
выводов могут не быть клеточно эквивалентными).
2. Понятие диаграммы. Теперь мы оформим
приведенное рассуждение с помощью точных понятий и
формулировок.
Произвольное клеточное разбиение А поверхности X
в дальнейшем для краткости называем картой на X.
В частности, карта на диске называется дисковой, на
круговом кольце — кольцевой, на сфере или торе —
сферической или торической. Ориентированные стороны
разбиения Л называем ребрами карты. Таким образом,
вместе с каждым ребром е ребром в А является и ребро е-1
с противоположной ориентацией (состоящее из тех же
точек поверхности X как сторона в А).
§ 11. НАГЛЯДНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЫВОДА СЛЕДСТВИЙ Ц7
Рассматривая ориентируемую поверхность X,
считаем, что на карте (т. е. клеточном разбиении) А выбрана
ориентация. Например, все контуры клеток будут
обходиться против часовой стрелки. В соответствии с
соглашением об ориентации компонент края, принятым
в п. 10.3, край дисковой карты обходится всегда по
часовой стрелке, а для кольцевой карты одна компонента края
(«внешняя») обходится по часовой стрелке, а другая
(«внутренняя»)—против. Если компонента Y края
состоит из п сторон, то в соответствии с определенной на
У ориентацией эти стороны можно задать ребрами еь ...
..., е„ такими, что е\ ... еп — петля, которую назовем
контуром карты А. Это определение вполне аналогично
понятию контура клетки из п. 10.4. У дисковой
диаграммы один контур, а у кольцевой — два (один из которых
называют внешним, а другой — внутренним). Контур
р — в\ ... еп (клетки или карты) часто будем
рассматривать с точностью до циклического сдвига, т. е. меняя
начало пути р и рассматривая все пути вида е(... епе\ ...
...e4_i.
Если ребро ё~г входит в контур р — е\...еп клетки П
(в контур карты А), то скажем, что е{ принадлежит
контуру клетки П (контуру карты А). При этом еТ1
может, конечно, не принадлежать дИ (так будем
обозначать контур клетки П) или соответственно контуру
карты <ЭД. В случае, когда е или е~~' принадлежат ОТ(дА),
говорим, что е лежит на р.
Понятие подпути вполне аналогично понятию подсло-
ва: р — подпуть пути д, если q = Р\РР2 для некоторых
путей pi и р%.
Пусть выбран некоторый алфавит 9t. Обозначим St1 ==
= 9tU9t-1 U Ш, т. е. символ 1 добавляется к групповому
алфавиту. (Можно обойтись без 1, как это было сделано
в примерах из п. 1, но иногда удобно допускать 1 по
техническим причинам.) Пусть далее каждому ребру е
карты А сопоставляется некоторая буква ср(е) из St1. Если
при этом ф(е_1)= <р(е)-1, то карту А назовем
диаграммой над %. (Естественно, что 1 = I"1.)
Для пути р = е\ . . . еп в диаграмме А над 9t меткой
ф(р) называется слово ф(^1) . ..ф(е„) в алфавите St1;
если п — \р\ =0, то ф(р)— 1 по определению. Метка
контура клетки П (или диаграммы А) определена с
точностью до циклического сдвига, т. е. это циклическое
слово.
118 ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
Пусть теперь произвольная группа G задана
некоторым своим копредставлением
С = <Ш = 1; йе». (2)
Назовем клетку диаграммы Д Я-клеткой, если метка
ф(р) ее контура графически равна (с точностью до
циклического сдвига) или некоторому слову Й^Й, или
слову й-1, где йеЖ, или слову, полученному после вставки
в R или R~l нескольких символов 1, где йе£ (Ясно,
что, выбирая начало и направление обхода и игнорируя
символ 1, можно всегда прочитать в точности R.) Так,
в первом примере из п. 1 каждая из клеток является
32-кдеткой, где Я = {а3, сЪа~1Ъ~1}, и т. д.
Клетку П назовем 0-клеткой, если метка W ее
контура ei...en графически равна ц>{в[). ..ц>{еп), где все
ф(е4)= 1 (напомним, чго «=»— знак графического
равенства), либо для некоторых 1Ф) ф(е1)=ае§() ф(^) =
53 а-1, а ф(еч)= 1 при к Ф i, j. Понятно, что в свободной
группе W = 1. Ребра с меткой 1 назовем 0-ребрами, а
ребра с метками из Я±! назовем %-ребрами. Длина \р\
произвольного пути р определяется как число его St-ребер
(т. е. \р\ =0 тогда и только тогда, когда ф(е)=1 для
каждого ребра е пути р). Периметр |<Ш| клетки П —
длина ее контура 9П. Аналогично определяется периметр
\дА\ дисковой диаграммы Д.
В примерах п. 1 не встречается 0-клеток. Но их
удобно иногда вводить по следующей причине. Если примеры
на рис. 24 и 25 Являются дисковыми диаграммами, то
изображение на рис. 26 не является диском (при удалении
^-^ контура карты она распада-
a/j^\Sp h 1У**^~^\.а ется на две компоненты связ-
I (a jaSh—*Txf Л | ности). Это приводит к неко-
\У^^К>_1_Л~~~* ГП Т0РЫМ техническим неудоб-
\^_^ *Ъ чХ^З*/ ствам ПРИ вырезании подди-
а "^~^JL^*b аграмм, склеивании некото-
Рис. 27 рых частей контура для
превращения Д в кольцевую или
торическую диаграмму и т. п. Несколько опережая
события, заметим, что с помощью 0-клеток диаграмму на
рис. 26,6 можно заменить дисковой (рис. 27). Читатель
в дальнейшем может наглядно представлять себе 0-клет-
ки в виде «очень тонких» клеток (или в виде «толстых»
ребер), а 0-ребра как «очень короткие» ребра по
сравнению с ребрами е, для которых у(е)^Ш±1,
§ 11. НАГЛЯДНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЫВОДА СЛЕДСТВИЙ 119
Итак, диаграммой на поверхности X над
копредставлением (2) мы назовем всякую диаграмму Д над
алфавитом 9t, каждая клетка которой является 32-клеткои или
0-клеткой. Для краткости в этом случае говорят также,
что Д — диаграмма над группой G. В частности,
диаграмма над свободной группой F = F (5t) состоит только
из 0-клеток, так как 5? = 0.
3. Лемма ван Кампена. Теперь мы можем ее
сформулировать.
Лемма 11.1. Пусть W — произвольное непустое
слово в алфавите St1 = % U ЭД-1 U {1). Тогда W = 1 в
группе G, заданной копредставлением (2), в том и только
в том случае, когда существует дисковая диаграмма над
(2), метка контура которой графически равна W.
Доказательство. 1) Пусть Д — дисковая
диаграмма над (2) с контуром р. В случае, когда в Д есть
лишь одна клетка П, для ц>{р) в свободной группе F =
— F {%) выполнено одно из двух равенств ф(р)=1 (если
П — 0-клетка)' или (f{p) — R±l, где R е <% (если П —
32-клетка). В любом случае W ^ ф(р) = 1 в G. Если в Д
более одной клетки, то Д разрезается некоторым путем t
па две дисковые диаграммы Ai и Дг с меньшим числом
клеток. Можем считать, что p\t и p2t~l — контуры для Ai
и Аг, где P\Pz — p. Из индуктивных соображений ф(р1^) =
= 1 в G и q{t~lp2)= l в G. Отсюда ф(р)= ф(Р1Рг) =
= ф {pltt~lp2) = ф {pit)ф{t~lp2) = 1 в G.
2) Пусть W = 1 в G. По теореме 4.4 слово W равно в
й;е Я- Построим на
F слову V, где Fsfl Х^ХХ^\
г=1
плоскости ломаную tx и
разметим ее так, чтобы
на ней было написано
слово Хх. Окружность sx,
прикрепленную к концу
этой ломаной, разметим
так, чтобы при обходе по
часовой стрелке
прочитать Л*1. Но чтобы
получить множество, го-
меоморфное диску, пририсуем 0-клетки к tx, s-^ji t^1 (рис.
28). Получим диаграмму с контуром вида [ег ... ek, где
Ф (ех) = 1=ф(е6) и ф(е2 ,,, еь_1)=Х1Д^^Г1. По ребру еь
Рис. 28
120 ГЛ. 4 ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
приклеим к ней аналогичную диаграмму, построенную
для слова X2Rf-1X'^1, и т. д, В итоге получится
диаграмма А' с меткой контура, графически равной V.
От слова V можно перейти к W с помощью
следующих преобразований: а) вычеркивание символа 1 в
некотором месте; б) вставки 1; в) сокращение взаимно
обратных соседних букв; г) вставка пары взаимно обратных
в г
Рис. 29
букв. Но каждое из этих преобразований может быть
достигнуто путем приклеивания к А' нескольких 0-клеток,
например так, как показано на рис. 29.
В итоге получится диаграмма с контуром р, где q>(p) =
= W. Ее можно назвать диаграммой вывода следствия
W—1 из определяющих соотношений (2) группы G. ■
4. Кольцевые диаграммы. Поддиаграммы. Если вывод
следствия W = 1 интерпретируется с помощью дисковой
диаграммы, то для вывода сопряженности двух слов
приспособлены кольцевые диаграммы, на что впервые
обратил внимание Шупп [243].
Лемма 11.2. Пусть V и W — два непустых слова в
алфавите St1. Тогда эти слова сопряжены в группе G,
заданной копредставлением (2), в том и только в том
случае, когда существует кольцевая диаграмма над (2) с
контурами р и q такими, что ср(/?)= V, ф(<?) = W~l.
Доказательство. 1) Пусть А — кольцевая
диаграмма с контурами ряд, причем Ц>(р)^У, <p(q)=W~l.
Пусть t — путь наименьшей длины в А, соединяющий
некоторую вершину oi на р с некоторой вершиной о% на q
?
§ 11. НАГЛЯДНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЫВОДА СЛЕДСТВИЙ 121
(рис. 30). Если р заменить циклическим сдвигом р' с
началом в oi, то q(p')= V, где V — циклический сдвиг
слова V. Аналогично ф(д/)= И7'-1, где W и q —
циклические сдвиги слова W и контура q,
причем ql" = о2. Разрез вдоль пути t
превращает А в дисковую диаграмму А с
контуром p'trf't^, где (ffysijil^).
Применяя к А лемму 11.1, получаем
vip'hq'h) = 1 в G, т. е. v'tw-1t-1 = i
в G, где T = (p(t\). Это означает, что V
и W сопряжены в G, а значит, сопря- рИСг зо
жены в G и слова V и W.
2) Пусть V и W сопряжены ъ G: V =•
= TWT"1. Можно считать, конечно, что |Г|=И=0 (в
противном случае умножить на аа~х, где а^%). Но для
равенства VTW~XT~X = 1 в G по лемме 11.1 существует
диаграмма Г с контуром р, где р = p\P2PsPi, ty(pi) — У, '
Ц>(Р2) — Т, (p(ps) = W-1 и ф(/?4) = Г-1. Отождествив пути
Р2 и pi, склеив их ребра с одинаковыми метками,
получим кольцевую диаграмму А, метки контуров которой
графически равны V и W~l. ■
Пусть р — некоторая петля на поверхности X, ребра
которой образуют край некоторого подпространства Y <=
<= X, гомеоморфного диску. (При этом ориентацию ребер
пути р выберем так, что обратные им ребра принадлежат
контурам клеток, содержащихся в У.) Тогда ограничение
разбиения А на Y является клеточным разбиением на Y,
которое называется подкартой Г карты А. Поскольку
подкарта Г однозначно определяется своим контуром р,
в дальнейшем подкарты часто задаются контуром.
(Пишем: «Пусть Г — подкарта с контуром р. ..».) Итак,
по определению подкарта — это всегда дисковая
подкарта.
Поддиаграммой произвольной диаграммы А
называется подкарта Г диаграммы А, ребрам которой приписаны
те же метки, что и в А. Как видно из определения,
понятие поддиаграммы весьма наглядно — ее можно
представлять себе как дисковую диаграмму, вырезанную из А.
При сравнении меток различных путей в диаграммах
часто (иногда без специальной ссылки) будет
применяться
Лемма 11.3. Если р и q — (комбинаторно)
гомотопные пути в некоторой диаграмме А над копредставлением
(2) группы G, то ф(р)=ф(<?) в группе G.
122 ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
Доказательство. Достаточно установить, что
значение метки ф(р) в группе G не меняется при
комбинаторных деформациях типов I и II (см. п. 10.4). Но
при комбинаторных деформациях типа I со словсэд ср(р)
совершается элементарное преобразование первого типа,
которое не меняет значения слова ф(р) даже в свободной
группе F(<&), а комбинаторная деформация типа II для
р влечет вставку в слово <р(р) подслова Л*1 (и,
возможно, нескольких 1), где R е= к, т. е. значение qp(p) в
группе G сохраняется по теореме 4.4. ■
Начиная с гл. 6 используется следующая
Лемма 11.4. Пусть А— некоторая кольцевая
диаграмма, контуры р\ и р2 которой начинаются в вершинах
о{ и 02, a s и q — какие-то пути в А с началом в 0\ и
концом в о2. Тогда q>(g) = cp(Pi)!q>(s) в G для некоторого
целого I.
Доказательство. Рассмотрим замкнутый путь
qs~{ в А с началом в ох. Вычисление фундаментальной
группы кольца, проведенное в п. 10.5, показывает, что
путь qs~{ комбинаторно гомотопен в А некоторой степе-
пи петли р\, а значит, по лемме 11.3 q>(qs~1) = <${pi)1 в G
и <p(g) = qp(pi)'qp(s) в G. Ш
5. 0-измельченне диаграммы. В связи с
привлечением понятия диаграммы для теоретико-групповой
комбинаторики становится важным кроме «одномерного»
процесса сокращения букв и «двумерный» процесс
сокращения клеток. Поскольку две клетки, подлежащие
сокращению (эта операция обсуждается ниже в п. 6), не
образуют, вообще говоря, дисковой подкарты в карте А, их
сокращение подготавливается введением дополнительных
52-клеток в А. Начнем с характерного примера.
Пусть П — некоторая ^-клетка в А. По определению
клетки существует непрерывное отображение /: Р ->- П
гс-угольника Р на П, являющееся вложением для
внутренности Р. Внутри гс-угольника Р можно расположить
гс-угольник Ро, соединив его вершины с
соответствующими вершинами в Р, т. е. разбить на га + 1 клетку:
гс-угольник Ро и 4-угольные клетки Pi, . . ., Рп. Тогда
отображение /: Р ->- П индуцирует подразбиение А0 разбиения А,
при котором П разбивается на По и клетки Щ, ..., П„.
Для новых ребер в Ао вводим метки таким образом,
чтобы метка контура клетки По совпала с меткой бывшей
клетки П в А, а клетки Пь ..., П„ стали 0-клетками
в Ао (рис. 31). Переход от карты А к карте Ао назовем
/
§ И, НАГЛЯДНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЫВОДА СЛЕДСТВИЙ 123
0-окаймлением клетки П. Заметим, что отображение
Ро -*■ По является по следствию 8.1 уже гомеоморфизмом
(в то время как /: Р ->- П таковым быть не обязано по
определению клетки).
0-окаймление является частным случаем О-измельче-
ния диаграммы А. Пусть от диаграммы А можно
перейти к диаграмме А' с помощью одного
элементарного преобразования
клеточного разбиения А (см. п. 9.4).
Скажем, что переход А' -*■ А являет- '
ся элементарным О-измельчением, а
если: 1) в случае преобразования
типа 1 qp(ei)=q>(e), а ц>(е2)= 1 П
(или q>(e,)sl, а ф(е2)=ф(е)) с
сохранением меток всех остальных
ребер; 2) в случае преобразования
типа 2 ф(е)=1; 3) в случае преобразования типа 3
одна из клеток Пь П2 становится 0-клеткой. 0-измелъ-
чением диаграммы А назовем результат применения
к ней нескольких элементарных 0-измельчений.
Например, 0-окаймление получается с помощью
нескольких элементарных 0-измельчений 2 и 3 типов. (Клетку
По можно назвать копией клетки П при 0-окаймлении.)
Очевидно, что 0-измельчение не меняет числа 52-клеток.
Другим примером 0-измельчения диаграммы А
является «раздвоение» некоторого пути р. Пусть р — путь без
самопересечений в диаграмме А, не содержащий ребер,
I /
Рис. 32
лежащих на крае поверхности. Тогда с помощью 0-из-
мельчения легко получить другой путь р' такой, что пет-
ля Pip')'1 ограничивает в А' некоторую дисковую
поддиаграмму, содержащую лишь 0-клетки, а значит, ф(р) =
= ф(р') в свободной группе F (рис. 32). Такой переход
от А к А' назовем раздвоением пути р. Тем же приемом
можно заменить любой путь, имеющий ребра на крае,
путем р', точки которого не принадлежат краю, за
исключением, возможно, р'_ = р- и р'+ = р+. Аналогично
при необходимости можно получать раздвоение контура
124 ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
диаграммы А, т. е. строить вспомогательную петлю р'
в А', которая вместе с контуром ограничивает некоторое
круговое кольцо, состоящее из 0-клеток.
Очевидно, что если какие-то вершины о\ и оч в А
соединены каким-то путем р, то в результате любого 0-из-
мельчения из р получится такой путь р, что ф(р)=ф(р)
в F. ((р{р) получается из ц>{р) после нескольких вставок
символа 1.)
6. Сократимые пары клеток. Пусть в некоторой
ориентируемой диаграмме над копредставлением (2) есть
пара 52-клеток IIi и Пг таких, что в некотором О-измельче-
нии А' диаграммы А копии Пх и П2 клеток 11\ и Пг
имеют вершины 0\ и Оч, которые можно соединить в А'
путем без самопересечения t таким, что ср(£)=1 в F,
а метки контуров pi и рч клеток Пх и П2,
начинающихся в 0\ и в Оч, взаимно обратны в F. Тогда пару {Щ, Пг)
назовем сократимой в А.
Нужно оправдать термин, т. е. показать, как в
диаграмме вывода А можно действительно сократить число
52-клеток на две.
Во-первых, с помощью О-окаймления клеток Пх и П2
можно добиться, чтобы pi и рч были путями без
самопересечений и имели лишь по
одной общей точке с путем
Рг t. Кроме того, путем
раздвоений путей р\, рч и t
Рис. 36 можно сделать так, что они
не имеют общих вершин
с краем поверхности. Дальнейшее О-измельчение
позволяет получить путь t' такой, что qp(£')=q>(£)=l в F
(рис. 33), и петлю (без самопересечений) q = p^t'p2t ,
где рх = Piqx, рг = q2Pi, a gx и g2 состоят лишь из 0-ре-
бер. Петля q ограничивает диск Г с двумя 52-клетками
Пх и П2 и несколькими О-клетками. При этом в F
Ф (?) = Ф (Рг) Ф (О Ф (Рг) Ф (t)'1 = Ф (Pi) ■ 1 • Ф Ы"1 -1 = 1.
Следовательно, по лемме 11.1 существует дисковая
диаграмма Г' с контуром q' таким, что ф(?')= ф(<?), все
клетки которой суть 0-клетки. Можно, наконец, вырезать из
А поддиаграмму Г и вместо нее вклеить диск Г',
уменьшив число 52-клеток на две в полученной диаграмме А'
над G на той же поверхности X.
§ 12, ТЕОРИЯ МАЛЫХ СОКРАЩЕНИЙ 125
Заметим, что если X — поверхность с краем, то в
результате описанного выше сокращения метки контуров
диаграммы А сохраняются. В результате нескольких
сокращений можно получить диаграмму А' без пар
сократимых клеток. Такие диаграммы называются
приведенными. Итак, нами получено следующее усиление
лемм 11.1 и 11.2:
Теорема 11.1. Пусть W—произвольное непустое
слово в алфавите St1. Тогда W — 1 в группе G, заданной
копредставлением (2), в том и только в том случае,
когда существует приведенная дисковая диаграмма над
копредставлением (2), метка контура которой графически
равна W. ■
Теорема 11.2. Пусть V и W — два непустых
слова в алфавите St1. Тогда эти слова сопряжены в группе
G, заданной копредставлением (2), в том и только в том
случае, когда существует приведенная кольцевая
диаграмма над копредставлением (2) с контурами р и q
такими, что ф(р) = V и ф (q) = W~l. ■
Множество 52-клеток произвольной диаграммы А
обозначается далее А(2), а их число |Д (2)I.
§ 12. Теория малых сокращений
1. Условия С (X) и С (к). Первые приложения
теорем о геометрически наглядном выводе следствий
относятся к копредставлениям групп с различными
условиями «малых сокращений». Они были получены в работах
Линдопа [207] и Вайнбаума [260], а алгебраическое
изучение ограничений на сокращения между
определяющими словами было начато раньше В. А. Тартаковским [115].
Прежде чем привести эти ограничения, условимся, что
в § 12 каждое определяющее слово R для группы
G = <ШД = 1, R е 52> выбирается несократимым и, более
того, циклически несократимым. Понятно, что это
требование не является ограничительным, так как
соотношения aSa~l = 1и5 = 1 равносильны.
Удобно принять и некоторые другие соглашения. Во-
первых, считаем, что в 52 вместе с каждым словом R
входит и графически обратное слово R~\ а во-вторых, если
■" = XY s= 52, то и YX е 52. Такую систему слов
называют симметризованной. Ясно, что добавление обратных
слов и циклических сдвигов не меняет множества всех
следствий, а значит, и группы G.
ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
Если R\ £з XY\ я R2 = XY2 — различные слова из Ж
с общим началом X, то X называется куском
(относительно Ж). Зафиксируем теперь произвольное число X, где
О < X < 1. Говорят, что группа G, а точнее ее симметри-
зованное непредставление 6? = <51Ш = 1; ЯеЖ,
удовлетворяет условию С'(Х), если из равенства i? = XF, где
Л е I, а X — некоторый кусок, следует, что 1Х| < X \Н\.
Ввиду симметризованности множества 91 условие
С (X) относится, конечно, не только к общим началам, но
и к общим концам слов из 91. Его можно
переформулировать: если R\ s^ZiX-1, a R2 = XZ2, где Ri и R2
принадлежат 91 и не взаимно обратны графически, то |Х| <
<Xmm(li?il, 1Лг1), т. е. в произведении R\R2
сокращается «малая» часть (при малом X) каждого из
сомножителей. Этим и объясняется название «условия малых
сокращений» применительно к условиям такого рода.
Рассмотрим, например, копредставление
пг (Мп) = {аи Ьъ . . ., ап, Ьп||а^аГ^Г1 • • • «nMn't^ О
(1)
(фундаментальная группа замкнутой ориентируемой
поверхности Мп рода п). Соответствующее (1) симметризо-
ванное копредставление содержит 8п определяющих слов:
4тг циклических сдвигов данного слова и столько же для
обратного слова. Это множество 91 вполне обозримо, и
легко видеть, что все куски состоят лишь из одной буквы,
т. е. Я1 (Мп) удовлетворяет условию С (X) для всякого
X > 1/4га. В частности, щ (М2) е С" (1/7).
Близки к условиям С (X) условия С (к), где к —
целое число, к > 2. Условие С (к) состоит в том, что
никакое слово из симметризованного множества 91 нельзя
записать в виде произведения менее чем к кусков.
Например, для группы щ(Мп) выполнено условие С(Ы).
Вообще, из условия С (X) очевидно следует условие
С([х-ч + 1).
2. Диаграммы над группами с малыми сокращениями.
Роль условий малых сокращений состоит в том, что чем
жестче эти условия (чем меньше, к примеру, параметр X
в условии С (X)), тем больше «следов» определяющих
слов сохраняется в произвольном их следствии.
Рассмотрим некоторую приведенную диаграмму Л
над симметризованным копредставлением G = <M\\R = 1;
ЛеЖс условием С (X) (или С (к)), считая, как обычно,
§ 12. ТЕОРИЯ МАЛЫХ СОКРАЩЕНИЙ
127
ориентацию в А фиксированной. Оценим длину общей
границы двух 0?-клеток Ш и Пг. Мы не будем принимать
во внимание 0-клетки, которые могут встретиться
«между» П] и Пг. Уточним сказанное с помощью определений.
Назовем два §1-ребра е\ и е% непосредственно близкими
Б Л, если или ei = е2, или е\ и е^1 (или е^1 и е2)
принадлежат контуру некоторой 0-клетки л из А.
(Напомним, что по определению 0-клетки другие ребра в дп
должны быть только 0-ребрами.) Расширяя данное
определение, назовем ей/ близкими ребрами, если
существует последовательность е = е\, е2, ..., е, == /, где е. и ei+i
непосредственно близки при £ = 1, ..., 1—1.
Скажем далее, что подпуть pi контура клетки П1
является пограничной дугой между П] и Пг, если в
контуре q2 клетки Пг можно выбрать подпуть р2 так, что pi =
= ехще2... Un-i^n, P2"1 = /1^1/2 • • -^n-i/n., пути щ, vs
Рис. 34
состоят из 0-ребер, е\, ..., е„, /ь ...,/„ — 91-ребра, причем
U близко к ei, .. ., /„ близко к еп (рис. 34). Аналогично
определяется пограничная дуга между П< и
контуром диаграммы А. Если пограничная дуга клетки не
содержится в пограничной дуге большей длины (т. е.
максимальна) , то назовем ее внутренней или внешней дугой
клетки П в зависимости от того, является ли она дугой
между клетками или дугой между П и контуром ЗА.
Допустим, что длина некоторой пограничной дуги р
между П] и П2 не меньше Х1Ш<1. Тогда, во-первых,
Hi Ф Пг, ибо в различных циклических сдвигах слов
ф(<?) и ф(д-1) (где q = дИ) нет общих начал длины
^ XldHil по условию С" (X). Во-вторых, если q\iiq2 —
контуры клеток П) и П2, то слова cp(<?i) и ф(дг) имеют
общее начало ср(р) длины ^Х\д1[\\, и тогда по условию
С" [X) имеем ср (дх) = ф (q^1) в свободной группе F.
Поскольку по определению близких ребер вершины (qi)~
11 (?г) - можно соединить путем (без самопересечений) t,
состоящим из 0-ребер (т, е. ф(£)=1 в F), пара клеток
128
ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
ITi и П2 оказывается сократимой в А. Итак, условие С (Я)
означает геометрически, что в приведенных диаграммах
над заданным непредставлением внутренняя дуга любой
клетки П имеет длину <А|Ш|. Аналогично условие С (к)
означает, что контур любой внутренней клетки (т. е.
$2-клетки без внешних дуг) состоит не менее чем из к дуг.
Теорема 12.1. Пусть в приведенной дисковой
диаграмме А над непредставлением группы G с условием
С'(Х), где Я ^ 1/6, есть хотя бы одна ^-клетка; пусть
метка ф(<?) контура q = dA циклически несократима и в
циклическом слове ф(д) нет собственных подслое, равных
в G единице. Тогда некоторая внешняя дуга р некоторой
^-клетки П удовлетворяет неравенству | р | > у | <ЭП |.
.Доказательство. Построим вспомогательный граф
Ф на сфере (считая, что диск Д лежит на сфере), выбрав
в качестве вершин графа Ф по одной вершине внутри
каждой $2-клетки диаграммы А и одну вершину О вне А.
Построение ребер в Ф (они не являются ребрами
диаграммы Див отличие от них не ориентированы!)
проведем следующим образом. Если р — подпутъ контура
клетки П1 и р — внутренняя пограничная дуга между Щ и П2,
то выберем ровно одно Sf-ребро е\ пути р и близкое ему
ребро е2, где е% входит в <Ш2. Выберем по одной точке
vx и v2 на ребрах ех и е2, не совпадающей с их
начальными и конечными вершинами (v\ = у2, если е\ = е2).
Соединим некоторой жордановой дугой v\ — v2 точки v\ и v2,
проводя ее через 0-клетки
(vi — у2 пересекает /i, ...
..., /s, если ei
непосредственно близко к /i, /i —
к /г, . .., fs — к е2).
Соединим далее v\ с
вершиной о\ графа Ф,
выбранной внутри Пь а и2 — с
вершиной о2 внутри П2.
Дугу oi — Vi-v2 — о2
объявим ребром в Ф. Аналогично соединяем о\ с точкой О
вне А, если р — внешняя дуга. В результате получим граф
на сфере (рис. 35).
Отметим, что в Ф не может быть 1-угольников в силу
циклической несократимости меток контуров клеток
и контура q диаграммы А; аналогично в Ф нет и 2-уголь-
ников, поскольку при его построении мы провели ровно
§ 12. ТЕОРИЯ МАЛЫХ СОКРАЩЕНИЙ
129
одно ребро, пересекающее каждую максимальную
пограничную дугу в А. Поэтому если по — число вершин в Ф,
a Hi — число его ребер, то по лемме 10.2
и0>уга1+1. (2)
В предположении, что утверждение теоремы 12.1
неверно, получим ниже противоречащее (2) неравенство.
Для этого каждое ребро из Ф, соединяющее вершины о,-
и Oj, внутренние для клеток П,- и И} карты А, как бы
разделим пополам, т. е. с коэффициентом 1/2 отнесем к о{
и с коэффициентом 1/2 — к о}. Если же о{ соединяется
ребром в Ф с О, то это ребро относим к о,- (с
коэффициентом 1). Выбрав вершину о$■, = о внутри некоторой
клетки П карты А, рассмотрим ряд возможностей.
1) Пусть контур дП состоит лишь из внутренних дуг.
Длина каждой такой дуги, как замечено выше, меньше
А,|ЗП|<;4-|дП|. Значит, число таких дуг не меньше 7.
Иными словами, на вершину о приходится не менее 7/2
ребер из Ф.
2) Пусть П имеет одну внешнюю дугу р. Поскольку
мы считаем, что | р |< -j | <ЭП |, число внутренних дуг
клетки П /длины <— |<9П| ) не менее четырех. Значит, к вер-
1
шине о мы должны отнести не менее 1 + 4- у = 3 ребер
из Ф.
3) Пусть П имеет две внешние дуги р\ и р2. Тогда
конец дуги р\ не может быть началом дуги р2 или быть
отделенным от него только 0-ребрами из дП (и наоборот),
так как иначе можно было
бы провести разрез
диаграммы А вида /i... /;, где ср (/*) =
= 1, г = 1, ..., I (рис. 36).
По теореме 11.1 это
означало бы, что собственные Рис. 36
подслова 'Cp(gi) и ф(?г)
Циклического слова <р(д) равны 1 в G вопреки условию.
Следовательно, клетка П имеет по крайней мере две
различные внутренние дуги, и к вершине о относится
не менее 2 • 1 + 2 • у = 3 ребер из Ф.
" А. Ю. Ольшанский
130 ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
4) Если у клетки П не менее 3 внешних дуг, то к П
относится не менее 3 ребер графа Ф.
На основании всех разобранных выше случаев 1)—4)
делаем вывод, что п0—l^^/З. (Слева вычитается 1,
так как в наших оценках число ребер в Ф подсчитыва-
лось по отношению к числу всех вершин из Ф, кроме
вершины О.) Полученное неравенство противоречит (2),
т. е. утверждение теоремы 12.1 справедливо. ■
3. Алгоритм Дела. Теорема 12.1 позволяет легко
обосновать некоторый алгоритм распознавания равенства
двух слов в группах с условием С (X) для Я =5 1/6.
Сделаем, однако, оговорку, что в нашу задачу не входит
формальное определение понятия алгоритма (что делается
в курсах математической логики [71]), поскольку
доказываются лишь некоторые теоремы о существовании (а не
об отсутствии) алгоритмов, т. е. алгоритмы
непосредственно указываются. Поэтому достаточно интуитивного
представления об алгоритме как о «явно заданном
способе» или «эффективном процессе» решения некоторой
массовой проблемы.
Пусть некоторая группа задана своим копредставлени-
ем, причем это задание эффективное, т. е. для каждого
слова R известно (или можно алгоритмически выяснить),
входит ли оно в список Л определяющих слов группы G.
(Для простоты рассуждений можно даже ограничиться
случаем конечно определенной группы G, т. е. группы,
которую можно задать конечным множеством
определяющих соотношений.) К фундаментальным алгоритмическим
проблемам относится вопрос о существовании алгоритма,
позроляющего для любой пары слов U, V в групповом
алфавите узнать, равны ли эти слова в группе G.
Поставленный вопрос равносилен, разумеется, проблеме
равенства W = 1 в G, ибо U = V тогда и только тогда, когда
U~]V = 1 в G. Другой важной алгоритмической задачей
является более тонкая проблема сопряженности слов
в G.
Рассмотрим для примера алгоритмическую проблему
равенства слов в конечно определенной группе G с
условием С" (1/6). При индуктивном построении алгоритма
распознавания равенства в G можно считать, что уже
имеется алгоритм, позволяющий для каждого слова W
длины < п выяснить за конечное число некоторых
элементарных шагов, представляет ли W единицу группы G
или нет. I
§ 12. ТЕОРИЯ МАЛЫХ СОКРАЩЕНИЙ 131
Возьмем теперь произвольное слово W длины п.
Чтобы узнать, верно ли равенство W — 1 в G, можно,
конечно, считать W циклически^, несократимым словом. Для
каждого собственного полслова циклического слова W по
предположению индукции можно выяснить, равно ли оно
1 в G. Если такое подслово есть, то, заменив его
единицей, мы можем уменьшить длину рассматриваемого
слова W, так что считаем, что таких подслов в слове W
и его циклических сдвигах нет. Нам известно из
теорем 11.1 и 12.1, что в том случае, когда W = 1 в G,
циклическое слово W содержит подслово X такое, что Д ei
1
= XY <= 91, причем |Z|>y|i?|. Значит, если таких
подслов в ТУ не обнаруживается, то можно сделать вывод,
что W Ф 1 в G. Если такое подслово X все-таки нашлось,
то, заменяя его в слове W на У-1, получим слово W,
равное в G слову W, так как R = XY = 1 в G. При этом
\W'\ < \W\, ибо \Y\ < \Х\. Задача сводится тем самым
к решенной уже проблеме для слов длины < п.
Итак, описан алгоритм распознавания равенства
слов в группах с условием С" (1/6). В частности, он
применим к фундаментальным группам замкнутых
поверхностей рода п > 1 (см. п. 1). Именно для этих групп Ден
[154] в 1912 г. предложил алгоритм распознавания
равенства, в процессе применения которого исследуемое слово
W заменяется с помощью определяющих соотношений
все более короткими словами (и слово W равно 1 в G,
если только остановка происходит при достижении
пустого слова). Идея обоснования алгоритма равенства для
групп (1) у Дена заключалась в использовании
регулярных мозаик на плоскости Лобачевского. В общем случае
групп с условием С (К) алгоритм Дена обосновывался
позже [159], [160] без привлечения каких-либо
геометрических соображений. Доказательства оказались довольно
длинными и разветвленными. Новый подход (с
использованием леммы ван Кампена) к изучению групп с
условиями малых сокращений типа С (К) и С (к) был найден
в работах [207], [260].
4. Пример А. И. Гольберга. Условие С'(к) перестает
быть ограничительным при больших значениях
параметра К. А. И. Гольберг [26] заметил, что уже условие С {%)
при X > 1/5, а также условие С (5) по существу ничего
не значат, так как любая группа может быть задана ко-
представлением с этими условиями. В частности, группа
132
ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
с такими условиями может иметь неразрешимую
проблему равенства слов, поскольку согласно знаменитой
теореме П. С. Новикова [77] (см. также статьи Буна [140])
существуют конечно определенные группы, проблема
равенства слов в которых алгоритмически неразрешима.
Построение копредставления с условием С (к) для
всякого Л, > 1/5, а также с условием С (5) начинается
с любого копредставления произвольной группы G,
которую для удобства записи считаем конечно определенной:
G = <ж,, .. , xJRi = 1, ..., Л» = 1>. (3)
Предполагается также, что \Rt\ > 5 для i = 1, . .., п,
чего легко добиться, приписывая к Ri слово х^хх .
Рассмотрим сначала случай п = 1. Пусть при этом
Rt = х$ ... 4), l>5, e{ = ± 1 Для i = 1, . . .,_ I.
Зададим другое копредставление
Gx = (xlx .. ., хт, yi, аи Ъи a, di\ 1 < t< Z||
Ух ■ ■ ■ yi = I* xn 'yidididi = 1, a\ = 1, h = 1, c4 = 1,
b^aibiddi = 1, d^bidfci = 1,
йеда^1^1 = 1; l<i<Z). (4)
Легко видеть, что копредставление (4) удовлетворяет
как условию С(5)2 так и условию С" (Я), если А,>1/5.
Заметим далее, что из
соотношений группы Gx следуют
равенства а\ = 1. Их можно
вывести непосредственно или увидеть
с помощью леммы 11.1 на
додекаэдре (рис. 37). Вместе с
соотношением а\ = 1 это означает,
что щ = 1 в Gx. Отсюда,
пользуясь соотношениями (4),
последовательно выводим Cidi = 1,
Ъ{ = 1, с\ = 1, а так как с\ =
= 1, ТО d = 1, di = 1, Уг = ZVi.
Значит, группа G может быть
порождена с помощью хг, ..., хт, причем в силу ее
соотношений ух ... yi = 1 ш yi = xVi имеем Лх (ж17 ..., хт) =1
в Gx. Следовательно, по теореме 4.5 группа G допускает
гомоморфизм на группу Gu тождественный на множестве
§ 12. ТЕОРИЯ МАЛЫХ СОКРАЩЕНИЙ 133
порождающих {хг, ...,хт}. Но по той же теореме
существует и обратный гомоморфизм G1-^-G, при котором
yi>-*x^v ai>-* 1, Ь*>-*1, c4i-*l, dji-*l для i = l, ...,Z.
Поэтому группы G я Gx изоморфны.
Аналогично, если я > 1, то для группы G строится
другое копредставление с условиями С(5) и С (к) ^при Х>
> 1/5, если серию новых порождающих г/у, a;j, Ьц, с„, й«
ввести для каждого из определяющих соотношений Rj
в (3) и очевидным образом размножить соотношения (4).
5. Дополнительные замечания. Сравнивая последний
пример и условия из пп. 2 и 3, читатель может заметить,
что вопрос о силе условий С {%) при X из интервала
(1/6; 1/5) остался у нас открытым. На самом деле он был
решен Линдоном [207], который привел алгоритмы
распознавания равенства для всех групп класса С (X) при
X ^ 1/5 и для групп с условием С (6) (а уже потом
А. И. Гольберг показал неулучшаемость этого результата
Линдона). Однако алгоритм Дена уже неприменим в
группах класса С (6). Дело в том, что для групп с
алгоритмом Дена периметр приведенных диаграмм растет не
медленнее некоторой непостоянной линейной функции
числа клеток, как легко следует из теоремы 11.1. С
другой стороны, рисунок «пчелиных сот» на плоскости
показывает, что при условии С(6) периметр может
возрастать примерно как квадратный корень этого числа. Лин-
дон доказывает, что число клеток приведенной дисковой
диаграммы действительно ограничивается некоторой
квадратичной функцией периметра диаграммы, откуда легко
выводится существование алгоритма распознавания
равенства при условии С(6). Для доказательства выписываются
формулы «кривизны» и «площадей» для карт, которые
можно считать некоторыми дискретными аналогами
теоремы Гаусса — Бонне.
С результатами Линдона читатель может
ознакомиться по книге [66]. Мы же преследуем в этой главе более
скромную цель. Она состоит в том, чтобы, во-первых,
ознакомить читателя с языком диаграмм. Общность леммы
ван Кампена объясняет важность и естественность этого
языка для комбинаторной теории групп. Во-вторых, на
примере теоремы 12.1 мы хотели проиллюстрировать в
пп. 2 и 3, как совсем простые факты о картах на
плоскости могут быть с успехом использованы для решения
чисто алгебраических задач.
134 гл- 4- ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
Условие С (к) гарантирует существование не менее к
пограничных дуг у всякой внутренней 52-клетки
приведенной диаграммы над заданным копредставлением.
Можно алгебраически сформулировать двойственное условие
на копредставление, которое (если игнорировать 0-клет-
ки) означает, что степень каждой внутренней вершины
диаграммы не меньше к. Такого рода условия малых
сокращений, а также их комбинации с условиями С (к)
также рассмотрены в книге [66]. И при этих
ограничениях тоже получены результаты о существовании алгоритмов
равенства и сопряженности (Бриттон, Шик, М. Д. Гринд-
лингер, Линдон, Шупп, В. В. Солдатова и др.— см. [66]), а в
[26] показана их неулучшаемость в определенном смысле.
Теория групп с условиями малых сокращений
развивалась, конечно, не только в алгоритмическом аспекте. Если
дать краткую характеристику строения групп с малыми
сокращениями, то она состоит в том, что эти группы во
многом похожи при малых значениях параметра К
(например, в условии С (К)) на свободные группы. В
группах с традиционными условиями малых сокращений
условие перестановочности двух элементов такое же, как
в свободных группах: два коммутирующих элемента
обязательно содержатся в одной циклической подгруппе (см.
[161] или § 13). При достаточно малом X в нециклических
группах с условием С (К) есть свободные нециклические
подгруппы. Идея построения такой подгруппы состоит
в том, что выбираются два слова ХиГв алфавите §1 U Ш"1
такие, что для всякого нетривиального слова W
результат приведения W(X, Y) к циклически несократимому
виду не содержит длинных кусков определяющих слов
(имеющих длину более половины определяющего слова),
а значит, W(X, У)Ф 1 по теореме 12.1 и подгруппа
<Х, У> свободна. В группах с малыми сокращениями, как
и в свободных группах, очень много нормальных
подгрупп. Например, эти подгруппы можно строить в С (%)-
группах G при малых X, налагая дополнительные
определяющие соотношения. При этом получится группа G с
условием С (р.) (возможно, (X > к, но (X также мало,
причем G\ Ф {е} по теореме 12.1). Ядро гомоморфизма
G -»- Gy нормально в G.
Сказанное означает, однако, что с помощью
традиционных условий малых сокращений нельзя изучать
периодические группы, или простые группы, или группы с
тождествами, или группы с жесткими условиями на подгруп-
g 13. ГРАДУИРОВАННЫЕ ДИАГРАММЫ
135
цы (типа цикличности и др.). Другими словами,
ограничения «тотального» характера на группу не могут быть
обеспечены посредством соотношений с обычными
условиями на - сокращения определяющих слов, подобными
условиям С (к), С'(Х). Поэтому в § 14 альтернатива для
двух клеток «иметь или не иметь общие дуги»
заменяется понятием подкарты примыкания одной клетки к
другой, которое значительно точнее учитывает их взаимное
расположение. Диаграммы изучаются с точки зрения
некоторой «геометрии близости» их клеток, в терминах
которой в гл. 5 формулируются совершенно новые условия
на карты.
§ 13. Градуированные диаграммы
1. Примеры разбиения множества определяющих слов.
Предположим, что мы захотели обеспечить с помощью
наложения определяющих соотношений, т. е.
факторизации G = F/N свободной группы F(a, b), некоторое общее
свойство элементов группы G (неединичной, или неабе-
левой, или бесконечной и т. п.), например, такое:
каждая пара некоммутирующих в G элементов порождает всю
группу G, т. е. все собственные подгруппы в G должны
быть абелевы.
Можно попытаться, выбрав первую пару слов, не
порождающих F, скажем а2 и Ъ, наложить какие-то
соотношения R\ = 1, Д2 = 1, где Ri = a(a2ba4b . ..a2nb), R2 =
= Ъ{а2Ь2а*Ь2. . . a2nb2). Тогда в группе GY = <а, Ы1#, = 1,
■#2 = 1> имеем а = а2Ь ... а2пЪ, Ъ — а2Ъ2... а2пЪ2, т. е. а
и Ъ уже порождают группу G\.
Нетрудно видеть, что при достаточно больших п
симметризация множества {R\, R2) удовлетворяет условию
малых сокращений С (X) с малым Я. Однако рано или
поздно данное условие придется нарушить. Действитель-
но, пусть X — подслово в i?i длины »г у | Дх |.
Поскольку, например, X и а должны порождать группу G, далее
возникнет соотношение /?з = 1, где R?, имеет вид
"•[л a ... X a J. Но тогда из содержит длинный ку-
сок X — до половины слова Ri (если IXI^yji?^
и.#i = XY, то в записи слова Rs можно заменить X на
•* ')• Следовательно, для M = {RU R%, й3} условие С (К)
136 ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
нарушается уже при К < 1/2 (а даже при % > 1/5
условие С" (X) ничего не значит, как нам известно из п. 12.4).
Можно заметить, однако, что слово X имеет весьма
малую длину по сравнению с Шз1. Таким образом,
возможности сокращений для системы St несимметричны по
отношению к разбиению Я = {R\, R%} U Шз).
Аналогично попытка добиться периодичности
группы G естественно приводит к первым соотношениям
Ri = 1, Л2 = 1, где /^2= a1, Д2==Ь2 для некоторых
натуральных 1\ и 1% Но поскольку нужно обеспечить
конечность порядков всех элементов в G, то возникнет,
в частности, и соотношение Лз = 1, где л3 = ^а о J
для некоторых натуральных чисел fei, /сг, h- Обратим
внимание только на систему 0? = {Ru R%, Rz), игнорируя пока
остальные соотношения в G и считая l\, h, h достаточно
большими. Тогда каждая из подсистем Я'х = {Ri, R2I
и Я^ч = Шз), как и в предыдущем примере, удовлетворяет
условию малых сокращений С (X) с А, = Z3 • Если же
сравнить слова из разных подсистем, например а1 к
а о \ , то их общее начало а может
составлять до половины слова а^. Однако его длина опять-
таки мала по сравнению с \Rs\-
Как же могут быть устроены приведенные диаграммы
А над копредставлениями с такими ограничениями? Эти
карты «заполнены» клетками с «малыми» и «большими»
периметрами, отвечающими словам из Я'х и ^2
соответственно, причем длина любой внутренней дуги между
двумя клетками одного типа мала по сравнению с их
периметрами, а длина всякой дуги между малой и большой
клетками не превосходит половины периметра малой
клетки. Попытка нарисовать на плоскости карту А
такого рода непременно дает рисунок, в котором есть
клетка я с длинной внешней дугой р (например,
\Р\ >"Ъ"1 9л\ ], либо на рисунке возникают «длинные»
и «узкие» полосы, состоящие из малых клеток,
«зажатых» между парой больших клеток (рис. 38). Эту
качественную гипотезу можно подкрепить и количественными
оценками.
Диаграммы с длинными внешними дугами клеток
отражают то обстоятельство, что в следствиях сохраняется
§13. ГРАДУИРОВАННЫЕ ДИАГРАММЫ 137
Рис. 38
большая информация об определяющих словах, что может
быть использовано при изучении группы G. Поэтому
становится важным анализ условий на определяющие
соотношения, гарантирующих отсутствие «длинных узких
полос» в приведенных диаграммах. Эта проблема является
одной из центральных
в последующих главах.
К примерам
соотношений,
удовлетворяющих такого рода
условиям, относятся
соотношения Ап = 1,
вводимые в гл. 6. Можно
пояснить, почему при этом не возникает «полос», которые
вообще не содержат ^-клеток. Этот случай отвечал бы
«непосредственному» примыканию клетки Hi с меткой
контура А х к клетке Пг с меткой контура В 2. Если
дуга р, разделяющая П] и Пг, достаточно длинна, то в словах
А х и В обнаружилось бы длинное периодическое под-
слово с простыми периодами А и В. В этом случае
нетрудно установить, что А и В±х должны совпадать
(с точностью до циклического сдвига), а клетки П1 и Пг
должны составлять сократимую пару в А, вопреки
приведенности диаграммы Д.
В том случае, когда «полоса» содержит ^-клетки,
анализ, разумеется, сложнее, но и он успешно проводится
в гл. 5 и 6. Но уже сейчас можно привести пример,
показывающий, что нечетность показателей в соотношениях
(akbl)m
Рис. 39
Ап = { существенна в дальнейшем. Действительно, с
помощью определяющих соотношений a2h = 1, b2' = 1
и (ahbl)m = 1 легко построить приведенную диаграмму
с «длинной узкой полосой» между двумя клетками
IIi иП2 (рис. 39).
138
ГЛ. 4, ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
2. Градуировка карт и диаграмм. Дадим теперь
точное определение градуировок копредставлений,
естественно возникающих в ряде задач, особенно в тех случаях,
когда соотношения задаются индуктивно.
Пусть множество слов 91 в групповом алфавите 31 U 9t_1
оо
разбито на подмножества: 91 = U ^ъ где некоторые
г=1
ЯР% могут быть пустыми, причем слово из ^ не может
совпадать с циклическим сдвигом слова из ^j или с
обратным к циклическому сдвигу слова из Я'} при / Ф i. Тогда
копредставление
G^(%\\R = l} Де^= у ^i) (1)
с данным разбиением множества определяющих слов
назовем градуированным копредставлением, а
определяющие слова из SPi называются определяющими словами
ранга i.
Если два слова 1иУ равны в группе
G (i) = А«R = 1, йей;- Д ?\ (2)
то назовем X и Y равными в ранге i; пишем X = Y.
о
G(0) = F(3I)—свободная группа и X = Y— равенство
в ранге 0, т. е. в F = F(%). Аналогично определяется
понятие сопряженности двух слов в ранге i, т. е. в группе
G(i).
Карту А на какой-либо поверхности назовем
градуированной, если множество ее клеток разбито на
подмножества клеток разных рангов, т. е. некоторым клеткам
приписан ранг 0, некоторым — ранг 1 и т. д., причем
клеток какого-то ранга может и вовсе не быть в А. Если
П — клетка ранга i, то пишем г(П)= i.
Диаграмма А градуирована, если градуированной
является карта, которая получается, если забыть о
размечающей функции ф на ребрах из А. Естественно, что для
диаграмм над градуированным копредставлением
градуировка в А вводится таким образом, что r(U)—i тогда
и только тогда, когда метка контура клетки П равна в F
определяющему слову ранга i (либо обратному ему, либо
циклическому сдвигу того или другого). При этом клетки
ранга 0 — это 0-клетки в смысле определения из п. 11.2.
§ 13. ГРАДУИРОВАННЫЕ ДИАГРАММЫ 13Э
Если ранги всех клеток карты (диаграммы) А не
превосходят г, то скажем, что А — карта (диаграмма)
ранга г- Если максимум рангов клеток из А равен i, то
употребляем также запись r(A) = i.
Для ориентированных градуированных диаграмм
естественно следующее видоизменение понятия пары
сократимых клеток. (Его полезно сравнить с данным в п. 11.6.)
При / > 1 пару клеток III и Пг ранга / назовем
сократимой в диаграмме А, или j-парой, если при пекотором
О-измельчении А' диаграммы А можно получить копии
Пх и П2 клеток П15 П2 и путь без самопересечений t,
соединяющий в А' некоторые вершины о\ и ог клеток Пх
3-1
и П2, такой, что q>(£) = 1, а метки контуров р1 и р2
клеток И[ и П2 (где (рг)- = оъ (р2)- = о2) взаимно обрат-
ны в F.
Операция сокращения клеток Пх и П2 минимально
отличается от описанной в п. 11.6. А именно, отличие
состоит в том, что метка пути q = Pit'p^t'1 равна 1 в ранге
/—1 (а не в F, как в § 11), ибо
з—1 о
Ф (?) = Ф (Pi) Ф (О Ф (рд Ф (О"1 = Ф (Pi) •! • Ф (to) -1 = 1.
Следовательно, по лемме 11.1 существует дисковая
диаграмма ранга /—1с контуром q' таким, что ф(?')^ ф(<?)-
Далее, как и в п. 11.6, вырезается из А диск Г и
вклеивается диск Г'.
Градуированная диаграмма А называется
приведенной, если она не содержит /-пар ни для какого / = 1, 2, . ..
Операция сокращения /-пары может увеличить число
^-клеток 1А(2)| диаграммы А. Но при этом вместо двух.
клеток ранга / появятся только клетки рангов </, что
позволяет довести процесс сокращения до конца,
получив приведенную диаграмму. Можно дать более
формальное объяснение с помощью понятия типа т(А)
диаграммы А. Пусть по определению т = т(А) = (то, ti, тг, ...),
где т{ — число клеток ранга i в диаграмме А. Упорядочим
типы лексикографически, сравнивая сначала в А и А'
число клеток максимального ранга. Если эти числа rh
и тй различны, скажем тА<т^, то считаем, что т(А)<
"^ Т(А'), а если rh = rh, сравниваем rh^1 и rh-1 и т. д.
Процесс сокращения /-пары заменяет, очевидно, А на
диаграмму меньшего типа. Но множество типов вполне упо-
140
ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
рядочено: любая убывающая последовательность типов
т > х > х" > .. . обрывается. Значит, всякую диаграмму
А можно заменить, как и в п. 11.6, приведенной
диаграммой с сохранением меток контуров диаграммы А. В
частности, справедливы следующие аналоги теорем 11.1
и 11.2.
Теорема 13.1. W — произвольное непустое слово
в алфавите % l = §t U <&~1 U Ш. Тогда W = 1 в группе G,
заданной градуированным копр ед став лением (1), в том и
только в том случае, когда существует приведенная
градуированная дисковая диаграмма над копредставлением
(1), метка контура которой графически равна W. ■
Теорема 13.2. Пусть V и W — два непустых
слова в алфавите St1. Тогда они сопряжены в группе G,
заданной градуированным копредставлением (1), в том
и только в том случае, когда существует приведенная
градуированная кольцевая диаграмма над (1) с контурами
р и q такими, что ф(р)= V, ф(д) = W~l. ■
Поскольку множество типов т(А) вполне
упорядочено, тип диаграммы является индуктивным параметром,
и индукцией по т(А) можно доказывать также другие
утверждения о градуированных диаграммах. Диаграммы из
§ 11 являются частными случаями градуированных
диаграмм, в которых ранги всех 52-клеток считаются
равными 1. В дальнейшем все карты и диаграммы
предполагаются градуированными, поэтому прилагательное
«градуированная» часто будет опускаться.
3. Согласованные участки. При условии, С'(К)
циклический сдвиг R определяющего слова R±l однозначно
определяется своим началом X, если \X\^K\R\. Поэтому
в диаграмме сократимость двух клеток, отвечающих
слову R, определяется по меткам сравнительно небольших по
длине подпутей их контуров. Это полезное соображение
встретится далее неоднократно. Заметим, в частности,
что циклический сдвиг слова вида А±п, где А — некоторое
простое слово длины I, однозначно восстанавливается по
первым I буквам.
Расширим далее понятие графического равенства:
А = В, если после удаления символов 1 из слов А и В
(если такие встречаются) слова A is. В становятся побук-
венно равными, т. е. графически равными в старом
смысле.
При индуктивном изучении диаграммы Г из нее
может быть вырезана поддиаграмма А меньшего типа. При
§ 13. ГРАДУИРОВАННЫЕ ДИАГРАММЫ 141
этом метки подпутей контуров некоторых клеток из Г
превращаются в метки подпутей контура поддиаграммы А.
Если в Г были сократимые клетки, то «участки» их
контуров в А (если эти клетки не содержатся в А, но имеют
общие ребра с ЗА) оказываются в некотором смысле
согласованными. Уточним понятие согласованности с
помощью приводимых ниже определений.
Под участком контура диаграммы А понимаем подпуть
ее контура, фиксированный в том или ином
рассмотрении. Циклический участок — это контур диаграммы А,
рассматриваемый вместе со всеми своими циклическими
сдвигами, т. е. без фиксации начала. Циклические участки
также включаются в понятие участка.
Предположим, что для каждого i > 1 выделены
некоторые простые слова, называемые периодами ранга i, так
что если А — период ранга i, а Ап — определяющее слово
в копредставлении (1), то Ап — определяющее слово
ранга i и Ат Ф- 31 для тФ п.
Пусть д1 и д2 — участки контура диаграммы А
ранга i, причем q>(ql) и ф(д2)—периодические слова с
периодами А и А~1 или А"1 и А, где А — простое слово.
Скажем, что участки ql и q2 А-согласованы, если
существуют вершины 0\ и 02 на путях д1 и q2, определяющие
^-согласованные разложения слов ф(д4) и ф(д2) (см.
п. 4.3), и существует путь без самопересечений t в А та-
г }—1
кой, что t- — о\, t+ — 02, а Ф (t) = 1 и, более того, ф (t) =
j-i
= 1, если А — период ранга /'.
Аналогично определяется и А-согласованностъ
клетки ранга / с меткой контура вида А±п и участка
контура диаграммы ql. (Вместо q2 взять контур ЗП
клетки П.)
Лемма 13.1. Пусть А — дисковая диаграмма ранга
i с контуром P\q\P%q2, где ф(дО и ср(дг) — А-периодиче-
ские слова, начинающиеся с простого слова А. Тогда
если q{ и дг А-согласованы в А, то слово ty(pi) равно в
ранге i некоторой степени слова А.
Доказательство. Пусть вершины 0\ и ог
определяют разложения gx = qYq± и q^1 — q2q2 такие, что
соответствующие разложения слов ф (дх) и ф (д2)
^-согласованы и ф (t) = 1, где f_ = olf t+ = о2. Тогда ср (gi) = AhAt
и ф (q2)==AlAl для некоторых к и I и начала Ах слова
142 ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
А. Из леммы 11.3 выводим
4>(Pi) = Ф^М^Ь^)-1 = А1АгЛ-АТгА-к L Al~h. ,
Лемма 13.2. Пусть в приведенной градуированной
диаграмме А контур клетки 111 имеет метку А±п для
некоторого периода А ранга /. Тогда:
1) если Г — поддиаграмма с
контуром p\q\P2(l2, где q\ — подпутъ в ЗШ,
a qz — подпутъ в ЗГЬ для некоторой
клетки П2 с меткой контура А*п,
причем III и П2 не содержатся в Г
(рис. 40), то q\ и д2 не могут быть А-
Рис. 40 согласованы в Г; 2) если Г —
поддиаграмма с контуром qxq, где q\ —
подпутъ в дШ и III не лежит в Г, та в Г нет клеток с
меткой контура А*п, А-согласованных с qx.
Доказательство. 1) В случае Hi = Пг
утверждение следует из ориентируемости карты А, ибо в А" нет
двух подслов X и Х~\ где |Х| > \А\. Пусть далее
П^Пг, а на gi и на д2 найдутся вершины ох и о2,
фигурирующие в определении согласованности, т. е.
определяющие Л-согласованные разложения меток контуров
Рх и Рг1 клеток Щ и П2. Если считать, что pi и р2 на-
чинаются в Oi и о2, то тогда ср (рг) = ф (р2) » т&к как
lg;| > \A\, i = l, 2. Значит, клетки П1 и П2 образуют
/-пару в А вопреки определению приведенной диаграммы.
2) Как и выше,,если бы в Г была клетка П2, Л-согла-
сованная с дь то Ш и П2 составляли бы /-пару в А. ■
Лемма 13.3. Пусть А — приведенная
градуированная диаграмма на поверхности X, контур которой
разбит на участки рх, р2, ..., причем у(рх) = А1 для
некоторого периода А ранга /, П — клетка, А-согласован-
ная с рх в А, и \дЛ\=п\А\. Тогда существует
приведенная диаграмма А' на X, контур которой разбит на
участки р[, p'z, ... (можно считать, что р\ состоит
из тех же точек, что и pi, £ = 1,2, ...) такая, что
т(Д')<т(Д), ф (р!) s= q> (pf) для *>2, ф(р1) = Al+ns для
некоторого целого sue диаграмме А', так же как и
в любом ее 0-измелъчении, нет клеток, А-согласован-
г
ных с рх.
Доказательство. Пусть выбраны вершины 0\ и о2
на pi и на дП, причем путь t, соединяющий их, позволя-
§ 13, ГРАДУИРОВАННЫЕ ДИАГРАММЫ 143
ет говорить о согласованности П с рг. Можно считать, что
точка ох определяет такое разложение р\ = gig2, что
Ф (Ях) = А *< Ф (?а) = А 2> h + h = I, а для контура р
клетки П с началом в вершине о\ ц>(р)^ А±п. Далее
нужно повторить те же
рассуждения, что и при
доказательстве теорем 11.1 и 13.1.
Д именно, вспомогательное
0-измельчение позволяет
считать, что t не имеет об- рИс. 41
щих точек с р и pi, кроме о'
и о. Поэтому из А можно вырезать клетку П, провести
разрез по t (рис. 41) и получить диаграмму А, в которой
участок рх заменен на гомотопный путь qxt'pt~lq2. По-
3-1
скольку ф(^)= 1, имеем
По теореме 13.1 путь qit'pt~lq2 можно заменить на путь
q с меткой А1±п, приклеивая к нему дисковую диаграмму
ранга /—1. Для полученной диаграммы А' получаем
т(А')<т(А), ибо г(П) = /. Продолжая этот процесс,
доказываем лемму. ■
4. Асферичность копредставления. По лемме 11.1 на
контуре любой дисковой диаграммы написано некоторое
соотношение группы G. Аналогично поверхность сферы,
разбитую на клетки, а точнее, сферическую диаграмму
над G можно трактовать как «соотношение» или
зависимость между соотношениями группы G. Эту аналогию
можно продолжить и на высшие размерности.
Тривиальные сферические диаграммы строятся легко. Достаточно
занять верхнюю полусферу одной клеткой Пь
отвечающей произвольному определяющему соотношению
группы G, так, чтобы контур клетки П; совпадал с
экватором, а на нижней полусфере расположить зеркальный
образ П2 клетки П1 относительно экваториальной
плоскости с зеркальной же разметкой ее ребер. В этом
примере получается, однако, неприведенная сферическая
диаграмма А, в которой клетки П1 и П2 образуют сократимую
пару. Эта диаграмма иллюстрирует тривиальную
зависимость между соотношениями.
Назовем произвольное градуированное копредставле-
ние (1) группы G диаграммно асферическим, или просто
144 ГЛ, 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
асферическим (или, еще короче, группу G назовем
асферической), если всякая градуированная сферическая
диаграмма либо не является приведенной, либо состоит
только из 0-клеток. Другими словами, G асферична, если
не существует приведенных сферических диаграмм над G,
содержащих ^-клетки. Асферичность копредставления
влечет ряд его алгебраических свойств, некоторые из
которых обсуждаются в гл. 10. Мы ограничимся примерами,
рассматривая лишь «вырожденные» градуировки, т. е.
Примером диаграммно асферической группы
является группа G = (а, &11а™ = 1, 5т = 1> (свободное
произведение двух циклических групп), поскольку в
приведенной диаграмме А над G ребро с меткой a,±l (или b±l) не
может принадлежать пограничной дуге между двумя
клетками, так как очевидно такие клетки образовывали
бы сократимую пару в А. Иными словами, из клеток
с метками а±п и Ъ±т нельзя склеить сферу без получения
при этом сократимых пар.
Асферичность следует из традиционных условий
малых сокращений. Справедлива, например,
Теорема 13.3. Непредставление с условием С(6)
асферично.
Доказательство. Предположим, что существует
приведенная сферическая диаграмма А над С (6)-группой
G с ^-клетками. Построим для А вспомогательный граф
Ф на сфере, как и в п. 12.2 (но без точки О вне А), т. е.
выберем по одной' точке внутри каждой ^-клетки из А
и соединим их «через» внутренние дуги между
^-клетками. Вследствие условия С(6) степень каждой вершины
в Ф не меньше 6, что приводит к неравенству даже более
сильному, чем в доказательстве теоремы 12.1: /г0^уйп
что, как и там, приводит к противоречию. ■
Теорема 13.4. Если градуированное копредстав-
ление (1) асферично, то ни одно из соотношений системы
Ш = 1|.йе<%} не следует из всех остальных (т. е.
можно сказать, что система определяющих соотношений
независима) .
Доказательство. Предположив противное, мы бы
по теореме 13.1 получили приведенную дисковую
диаграмму А над (1), которая не содержит клеток, отвечающих
одному из соотношений R = 1, в то время как метка
контура ЗА графически равна R. Но тогда к А можно при-
§ 13, ГРАДУИРОВАННЫЕ ДИАГРАММЫ
145
клеить по контуру одну клетку (отвечающую
соотношению R — 1) и получить приведенную сферическую
диаграмму ранга > 0 вопреки асферичности. ■
Еще один пример асферического копредставления дает
свободная абелева группа с двумя порождающими
G = <а, b\\aba-lb~l = 1>. (3)
Предлагаем читателю самостоятельно убедиться, что для
графа Ф, построенного, как и в теореме 12.1, для
гипотетической приведенной сферической диаграммы над (3)
1 1
(с ^-клетками), n0 = -^n1 и п2^.^п1- (Последнее
следует из того, что число сторон каждой клетки в Ф
должно быть не меньше четырех.)
Это противоречит формуле Эйлера
для сферы.
Заметим, что уже копредставле-
ние (а, Ъ, cWaba~lb~l = аса~хс~1 =
= bcb'lc~l — 1> свободной абелевой
группы с тремя порождающими не
является асферическим; пример
приведенной сферической диаграммы Рис. 42
(которую в данном случае
удобнее разместить на поверхности куба) дан на рис. 42.
5. Аторичность. Естественно теперь назвать
градуированное копредставление (1) аторическим, если не
существует приведенных градуированных диаграмм на торе
над копредставлением (1), содержащих ^-клетки.
Копредставление (3), являясь асферическим, не является
аторическим, так как уже одну клетку, размеченную в
соответствии с соотношением (3), можно свернуть в тор,
отождествив противоположные стороны. Аналогично тор
можно получить из одной клетки, отвечающей
соотношению abca~Yb~lc~l = 1 с условием С(6). Отметим без
подробного доказательства, что условие С (7) уже
обеспечивает аторичность. (Изменение соотношения Эйлера
для тора по сравнению со сферой компенсируется
усилением неравенств в доказательстве, аналогичном
приведенному для теоремы 12.1.)
Аторичность тесно связана с перестановочностью
элементов в группе G. Справедлива
Теорема 13.5. Пусть группа G обладает некото-
Рым градуированным аторическим копредставлением (1).
Тогда перестановочные в G элементы X и Y принадлежал
1® А. ю, Ольшанский
146
ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
одной (зависящей от X и Y) циклической подгруппе
группы G.
Доказательство. Мы можем считать, что X и
У— непустые слова в алфавите §tU§t-1. Поскольку
ХУХ-1У-1 = 1 в G, по теореме 13.1 существует
приведенная градуированная дисковая диаграмма Д над копред-
ставлением (1), контур которой разлагается в
произведение Х1У1Х2У2, где <p(a:i) = Х, (p(j/i) = У, <${х2)^Х-\
Утверждение теоремы мы докажем индукцией по
типу т(А) диаграммы А. Если г(Д)=0, то по теореме 13.1
XYX"1^1 = 1 в свободной группе F — F(%), а по
теореме 4.3 слова X и У содержатся в одной циклической
подгруппе группы F. Следовательно, они лежат и в одной
циклической подгруппе гомоморфного образа G группы F.
Далее можно считать, что в А есть клетки ненулевого
ранга. Склеивая пути Х\ и х^ , уг и у^ с
одинаковыми метками, мы из А получим торическую диаграмму Ао,
которая не может быть приведенной ввиду условия ато-
ричности копредставления группы G. Поэтому в Ао
найдется пара клеток П1 и П2, составляющих /-пару. С
помощью О-измельчений, описанных в п. 11.5, можно
добиться, чтобы общее начало о путей Х\ и у\ в Ао не
лежало на границах клеток П1 и Пг (точнее, их копий)
и на пути t без самопересечений, соединяющем вершины
0[ и о2 клеток П1 и Пг (см. определение /-пары).
С помощью дальнейших О-измельчений можно полу-
чить дисковую поддиаграмму Г с контуром q = Pit p%t
в измельченной диаграмме Л', которая содержит копии
Пх и П2 клеток И] и Пг и несколько О-клеток, причем
ср(д) = 1. Как отмечено в конце п. 11.5, метки путей
х\ и г/i в А' равны в F словам X и У. Дополнительно
можно считать, что никакое ребро путей х\ и у\ не лежит
на границе диска Г. Этого опять-таки можно добиться
путем изменения поддиаграммы Г, а именно О-окаймле-
ния ее контура. По той же причине можно считать, что
если ребра е; и ei+\ пути х\ (или j/i) не содержатся в Г,
то и вершина (е{) + =(ei+i)_ не принадлежит Г.
Разобьем пути Х\ и у\ в произведения хх = uoV\U\ ...
... vhuh и г/i = WqZxwx ... Z1W1, где пути V\, ..., vh, zh ..., z,
содержатся в Г, а ребра путей ио, ..., uh, wo, ..., ш( в Г
не содержатся. Если к + I > 0, то, изменяя пути х\ и у\,
§ 13. ГРАДУИРОВАННЫЕ ДИАГРАММЫ
147
уменьшим к + I следующим образом. Поскольку v\, ...
v%, z\, ..., Zi разрезают диск Г и не пересекаются меж-
jry собой, то из теоремы 9.1 по индукции легко выводится
существование среди этих путей одного, скажем z;,
разрезающего диск Г на две части Ti и Г2 так, что внутри
одной из них, например в Г2, уже нет ребер путей vu ...
..., zi. Если контур поддиаграммы Г2 имеет вид ZjS, то
замена подпути z; в г/i гомотопным ему подпутем Ц = s
(рис. 43) не изменит по лемме 11.3 значения ф(г/0 в G,
Рис. 43
^W
Рис. 44
т. е. для измененного пути /д также ф (yt) = Y в G. При
такой замене мы уменьшим сумму к + I, поскольку
дополнительное внутреннее О-окаймление контура подкар-
ты Г позволяет считать, что zt не имеет с Г общих
точек.
Замена у\ на г/i означает лишь переход к иному
способу склейки тора из квадрата (рис. 44). Поэтому после
нескольких подобных изменений путей х\ и у\ можно
получить дисковую диаграмму А над G с контуром x\y\Xiyi
такую, что: 1) y{xi)= ф(ж2)-1 = X в G; 2) ф(#0 =
35 Ф(^г)-1 = У в G; 3) число клеток любого
положительного ранга в А такое же, как и в А; 4) при естественной
склейке А в торическую диаграмму Ао найдется /-пара Я1
и 3t2 в Ао такая, что ни jti, ни л2, ни соединяющий их
путь t не имеют общих точек с х\ и z/i.
10*
4
148
ГЛ. 4. ДИАГРАММЫ НАД ГРУППАМИ
Последнее означает^ что соответствующая /-пара_есть
не только в До, но и в А. Сокращение этой /-пары в А
дает диаграмму Ai с контуром х1у1х2у2, для которой t(Ai)<
<т(А) в силу свойства 3), а свойства 1) и 2) позволяют
по предположению индукции заключить, что X и У
принадлежат одной циклической подгруппе группы G. ■
Понятие /-пары (Ш, П2) клеток с контурами р\ и р2
можно еще видоизменить, потребовав сразу, чтобы в
результате некоторого О-измельчения в А возникла
поддиаграмма Г, в которой есть копии nt и П2 клеток П1?
П2, а остальные клетки являются О-клетками и контур
, о -i^'1 i <\ °
дТ имеет вид р^рЛ, гДе Ф (h) = Ф (h) , = 1, Ф(Рь> =
= ф (рд~1 = Ф (Pi) = Ф (Рг)-1- в таком виде его можно
использовать и для неориентированных диаграмм.
Полностью аналогично теореме 13.5, например, доказательство
отсутствия инволюций в G, если над (1) нет
приведенных диаграмм на проективной плоскости, или
доказательство несопряженности любого неединичного элемента из
G со своим обратным, если над (1) нет приведенных
диаграмм на бутылке Клейна.
i
ГЛАВА 5
А-КАРТЫ
В настоящей главе изучаются только градуированные
карты (а не диаграммы), т. е. здесь нет никаких групп
и их копредставлений. Понятно, что градуировку можно
ввести на всякой карте, так что лишь при
дополнительных условиях можно ожидать каких-либо особых свойств
этих карт. Такие условия, как мы убедимся в
дальнейшем, действительно могут быть обеспечены для диаграмм
над копредставлениями многих групп, к которым
неприменимы традиционные ограничения типа С (к) на
сокращения определяющих слов. Здесь же подготавливается
необходимый технический аппарат, непосредственное
применение которого дает результаты уже в следующей главе.
§ 14. Подкарты примыкания
1. Замечания о градуированных картах. Введем
понятие подкарты примыкания, формализующее
представление о «длинных узких полосах» между клетками (см.
п. 13.1) и позволяющее измерять степень близости двух
клеток в градуированной карте. Из определений, однако,
не ясно, почему эти подкарты действительно «узкие и
длинные». При важном дополнительном условии А такие
эпитеты будут заменены далее точными оценками.
Кроме условий геодезичности некоторых путей
предполагается обычно, что периметры клеток растут вместе с ростом
их рангов. Поэтому полезно представлять себе клетки
большего ранга имеющими большие размеры.
Пусть А — градуированная карта на поверхности X.
Клетки ранга 0 в А называются О-клетками. Некоторые
из ребер в А называются 0-ребрами, а остальные, как и в
§ 11, назовем ^--ребрами, хотя никакого алфавита % в
случае карт не привлекается. Как и в § 11, требуется, чтобы
либо все ребра, принадлежащие 0-клетке П, были 0-реб-
рами, либо в точности два из этих ребер не были 0-реб-
150
ГЛ. 5. А-КАРТЫ
рами. Если е — 0-ребро, то е-1 — тоже 0-ребро. Все эти
требования естественны, так как они выполнялись для
диаграмм в § 11. Предполагается также, что все клетки
рангов i 5= 1 являются гомеоморфными образами
многоугольников и не имеют общих точек (т. е. «разделены»
0-клетками). Считаем дополнительно, что (е\) + Ф(е2)~
для любых двух Sf-ребер, т. е. 91-ребра «разделены» 0-реб-
рами. (В случае диаграмм выполнимость перечисленных
условий достигается путем 0-измельчения.) Точно так же
при рассмотрении градуированных карт предполагается,
что их клетки рангов i > 0 не имеют общих точек с
контурами.
Как и для диаграмм, А (2) означает множество клеток
положительных рангов в карте А, а 1А(2)| —их число.
Оно является естественным индуктивным параметром при
доказательстве утверждений о картах. Напомним, что
длиной пути р в А называется число его ЭД-ребер.
Условно клетки положительного ранга можно назвать
^-клетками, хотя никакой системы 5? не предполагается при
рассмотрении карт. Считаем далее, что |9П[ > 1, если
г(П)>0.
Градуированные карты нередко будут
рассматриваться вместе с фиксированным разбиением их контура
(контуров) . Чаще всего это будет относиться к дисковым
картам, контур которых разбивается обычно не более чем на
4 участка. В общем случае имеется в виду, что каждый из
контуров р карты, А представляется в виде произведения
р = pi ■. . Pt, где подпути ри ■ ■ ., Pi называются
участками контура р.
При рассмотрении карт в § 12 мы уже проводили
построение вспомогательных графов (основываясь на
существовании дуальной карты на поверхности). Похожие
конструкции возникнут и для градуированных карт.
Вспомогательные жордановы дуги на поверхности (не
являющиеся путями в карте А, т. е. не составленные из ее
ребер) будем называть линиями.
На каждом из ЭД-ребер е, принадлежащих 0-клетке я
(их два или нуль), зафиксируем «среднюю» точку, т. е.
точку, отличную от е- и е+. Соединяя их дугой внутри зх,
получим некоторую (далее фиксированную) линию,
которая называется связующей линией клетки п.
Понятие близких ребер определим, как в п. 12.2: два
SC-ребра ей/ близки в А, если е = / или существует
последовательность е = в\, е2, ..., ек = /, где е( и ei+1
§ 14. ПОДКАРТЫ ПРИМЫКАНИЯ 151
(или е*+! и ei"1) — Sf-ребра, принадлежащие одной
0-клетке. Поскольку точки на е; и ei+i соединены
связующей линией ti, зафиксирована и связующая линия t —
= t\t2.. . 4-i для пары близких ребер ей/.
2. Связки и подкарты примыкания. Пусть ей/ — два
близких ребра карты Д, причем ей/"1 (или е-1 и /)
принадлежат контурам ^-клеток Hi и П2 или участкам контура
карты А. Пусть далее в обозначениях предыдущего абзаца
еГ1 и e(+i входят в контур erViei+isi 0-клетки nt, причем
piP2---Pk-\ и Sfc-i ... S2S1 = s — пути без
самопересечений в А, у которых нет общих
вершин, а также р и s не имеют
общих точек с П( и Пг, кроме
р_, р+, s_, и s+. Тогда путь
/r'es-1/-1 является контуром
подкарты Г, содержащей клетки
rti, ..., Пь_1, которую назовем
0-связкой между клетками П1 и
Пг (или между клеткой и
участком контура, между двумя
участками контура — см. рис. 45). Связующая линия для ей/
называется связующей линией для Г. Пути е и /_1
назовем дугами примыкания для 0-связки Г. Пути р и s
имеют нулевую длину, так как состоят из 0-ребер.
Заметим, что если для близких ребер е и / в
диаграмме А с помощью клеток яь ..., nh-\ не определяется
связка, т. е. путь p_1es-1/-1 не является путем без
самопересечений, то 0-связку с дугами ей/-1 легко построить
с помощью 0-измельчения диаграммы А. (Вместо р и s
взять пунктирные линии на рис. 45.) Поэтому считаем
далее, что в рассматриваемых картах всегда, когда е и
/ — близкие ребра (где е и /_1 принадлежат ^-клеткам
или участкам контура дД), в А существует 0-связка с
контуром p~les~lf~\ где \р\ = \s\ =0. Аналогично можно
считать, что разные 0-связки не имеют общих точек, а их
боковые дуги р и s не имеют общих точек, кроме
концевых, с ^-клетками и контурами карты Д.
Пусть теперь выбраны две пары близких ребер
(еь /J и {е2, /г), где в\, е2 принадлежат контуру клетки
■Л, fi1, /Г1 — контуру клетки Пг (или участку q
контура ЗА), т. е. имеем две связки Ец и Ег. Определим с
помощью Ei и Е2 понятие подкарты 0-примыкания Г-клет-
ки III к П2 (П1 к q, q\ к g2). Если Ei = Е2 (т. е. ei = е2,
к
152
ГЛ. 5. А-КАРТЫ
/i = /2), то положим Г = Еь а е\ и /х х объявим дугами
примыкания для подкарты примыкания Г. Пусть Ei^E2,
a z-^e^w-J^1 и z^e^wj^1 — контуры этих связок. Пусть
далее i/i, г/2 — подпути контуров клеток Пь Пг (или путей
Я, Яь Ы, ГДе J/i(Уг) имеет вид eipe2 или e2pei(f2nfi или
/iu/г). Если z1y1w2y2 (или z2yxwxy2) является
контуром некоторой диско-
f~ 77, ^ "^ вой подкарты Г, не со-
v -^2 -^z _> картой О-примыкания
Рис 46 " клетки П1 к клетке П2
(к q), определенной
связками Ei и Ег (рис. 46). Пути у\ и г/2 назовем дугами
примыкания подкарты Г (пишем ух — Г Д Пх, г/2 = Г Д
Л П2 или г/2 = Г Д q), a z; и w2 — ее боковыми дугами.
Отношение Ij/il/lOTil (отношение |г/2|/|дП2|,
отношение |г/г1/|д1) называется степенью примыкания клетки П[
к клетке П2 (Пг к П;, участка q к П;). Степень
примыкания клетки П; к Пг (к участку q, участка gi к
участку q2) обозначаем (Пь Г, П2) ((Пь Г, q), (qu Г, q2)).
Определение несимметрично и, например, в случае
П] = Пг степень примыкания (П, Г, П)— пара чисел.
Связующей линией t для Г выбирается связующая линия
одной из связок Ei, E2.
В дальнейшем две подкарты примыкания Г, и Г2
называются дизъюнктными, если они не имеют общих
клеток, их дуги примыкания не имеют общих точек и их
боковые дуги также не имеют общих точек.
Выберем некоторое число е, где 0 < е < 1, и
зафиксируем его в последующих определениях.
Пусть к > 0 и уже определены понятия /-связки и
подкарты /-примыкания для всех / < к. Рассмотрим три
клетки я, П1 и Пг (возможно П1=П2) со свойствами:
1) г(к) = к,г(П1)>к,г(Щ>к;
2) существуют дизъюнктные подкарты Ti и Г2 /гпри-
мыкания клетки я к Л\ и /2-примыкания л к П2, где
/i < к, /2 < к, причем Ш не содержится в Г2, а П2 — в Г,;
3) (я, ГьПО^еи (я, Г2, П2)^е.
Тогда существует минимальная подкарта Е в Д,
содержащая я, Г; и Г2 (рис. 47). Точнее, пусть контуры для
Ti и Г2 равны соответственно i>iSi и v2s2, где i>x = Гх Д
f\Ki и2 — ^2 Л я2 а контур клетки я равен U\V\u2v2. Тог-
§ 14. ПОДКАРТЫ ПРИМЫКАНИЯ
153
да петля s^Ux s2m2 в А является контуром дисковой
подкарты Е, которую мы назовем к-связкой между Ш
и П2, определенной подкартами примыкания Г; и Г2
с главной клеткой я.
Определим дугу q\ примыкания связки Е к П]
равенством <?! = Г Д Пх. Пишем также дх = Е Д Пх. Аналогично
определяется q2 = Г2 Д П2 = Е Д П2. (Е Д П состоит из
двух дуг примыкания, если П; = П2 =
= П.) Контур дЕ можно записать в
BHflepigip2g2, где/>1 ир2 назовем
боковыми дугами для Е. Из
индуктивного определения следует, что они не иЛ
имеют общих точек, кроме
концевых, с какими-либо 5?-клетками
из А, не лежащими в Е, или с
контурами диаграммы А.
Для каждой /с-связки
фиксируется некоторая связующая линия t,
которая получается из связующих линий для Г] и Г2,
если концы этих линий соединить внутри клетки я. Как
видно из индуктивного определения, связующая линия
рассекает клетку я на две связные компоненты (так же,
как и весь диск Е), а другие клетки из Е — не более чем
на две компоненты.
Вполне аналогично определение связки между
клеткой и участком контура или между двумя участками
контура.
Пусть теперь Ei — /с-связка между Hi и П2, а Е2 —
некоторая /-связка между П1 и П2, где / ^ к, причем
либо Ei = Е2, либо Ei и Е2 дизъюнктны. Если Ei = E2, то
Рис. 48
А ~ Ei = Е2 назовем также подкартой /с-примыкания
клетки П1 к П2, определенной связкой Ei = E2. В случае
дизъюнктных Ei и Е2 введем обозначения vx = Ех Д Пх,
иг = Е2 Д Пх, sx = Ех Д П2, s2 = Е2 Д П2 (рис. 48), так
что контуры dEi и ЗЕ2 можно записать в виде piVxWiSi
154 ГЛ. 5. А-КАРТЫ
и P2S2W2V2. Пусть подпуть gi(^2) в dlli (в ЗШ) имеет
вид V\W2 или V2W\ («2««1 или Siss2). Если piqiP2l2 (или
W2q\W\q2) является контуром некоторой дисковой под-
карты Г, не содержащей клеток IIi и Ш, то назовем ее
подкартой k-примыкания клетки IIi к Ш, определенной
связками Ei и Ег.
Путь gi(?2) назовем дугой примыкания Гк П| (к Пг).
Пишем qx = Г Д Пх, q2 = Г Д П2 (в случае Ех = Е2 = Е
имеем дх = Е Д Пх, д2 = Е Д П2). Отношение Igil/ldllil
называется степенью примыкания клетки 111 к Пг с
помощью Г. Оно будет обозначаться (П], Г, П2). (Если
П1 = П2, то (П, Г, П) —пара чисел.) Пути pi и р2 (или
»2 и u?i) называются боковыми дугами для Г. В качестве
связующей линии для Г выбирается связующая линия t
одной из связок Ei, Е2.
Вполне аналогично определение подкарты
примыкания клетки к участку контура или участка контура q
к участку контура q'.
В дальнейшем мы чаще будем говорить о связках и
подкартах примыкания, а не о /с-связках и Л-примыкани-
ях, так как значение к несущественно, да и
индуктивное определение подкарт примыкания используется
редко, например, в лемме 15.3. Вместо «подкарты
примыкания Г клетки я к.. .» говорим также о Г-примыкании
клетки (и о степени Г-примыкания).
В данном выше определении приведено стандартное
разбиение контура, подкарты примыкания Г на четыре
участка PiqiP2q2, где qx = Г Д Пх, q2 = Г ДП2 (д2 = Г Д q,
если q — участок в ЗА). Контур подкарты примыкания
с таким разбиением на участки обозначаем 3(П1, Г, Пг),
или 3(ПЬ Г, q), или d(q, Г, q'), т. е. сокращенно пишем
Piqipzqz = 3(ПЬ Г, П2) и т. п.
3. Выделенные системы подкарт примыкания. Понятие
подкарты примыкания широко используется в
дальнейшем (и к нему нужно привыкнуть). В «глобальных»
оценках § 16 используются системы различных подкарт
примыкания в карте А. Выделение этих систем
подчиняется естественным дополнительным условиям, поскольку
между двумя клетками может быть много различных
подкарт примыкания и они не обязательно дизъюнктны.
Пусть Ж — некоторая система попарно дизъюнктных
подкарт примыкания в градуированной карте А,
состоящая из некоторых подкарт примыкания клеток к клеткам
иди клеток к выделенным участам контура карты А. На-
§ 14. ПОДКАРТЫ ПРИМЫКАНИЯ
155
зовем Ж полной системой, если каждая $2-клетка П из А
или содержится в некоторой подкарте Т ^ Ж, или
каждое ЭД-ребро из ЗП принадлежит одной из flBjjx дуг
примыкания некоторой карты Г е Ж.
Как видно из п. 2, в А всегда есть тривиальная
полная система Жо подкарт примыкания — достаточно для
каждого ®-ребра е каждой 52-клетки П из А взять
близкое ему ребро /-1, где / принадлежит клетке П' (или
участку контура q в ЗА), и включить в Ж о 0-связку (она же
подкарта О-примыкания) между П и П' (Пи j),
определенную с помощью ребер ей/.
Карта А называется правильной, если в ней не
существует такой 0-связки Е между клеткой П и этой же
клеткой П, что замкнутая кривая ts, где t — связующая линия
для Е, а все внутренние точки s
лежат внутри П, ограничивает
диск на поверхности (т. е. ts
стягиваема по поверхности — см.
рис. 49). Более общо, подкарту
примыкания Г клетки П к П
назовем неправильной, если
замкнутая кривая ts (где t — связующая
линия для Г, а все внутренние Рис. 49
точки для s лежат внутри П)
ограничивает диск на поверхности. Систему Л, в которой
нет неправильных подкарт примыкания, назовем
правильной. (Только они и будут рассматриваться.) В правильной
карте тривиальная полная система подкарт примыканий
Жо, очевидно, является правильной системой.
Если Ж и Ж' — две полные системы подкарт
примыкания в А, то их можно сравнивать, определив тип %{Ж)
как строку (т(Г1), т(Г2), .. .)> где все подкарты Т\, Гг, .. .
в Ж упорядочены по типу карты: т(Г;)> т(Гг)^ ...
Считаем, что х(Ж)<%(Ж'), если ^^1)<.х{Т'х) или т(Гх) =
= т (Г].), а т(Г2)<Ст(Г2) и т. д. Строки типов считаем
бесконечными, дополнив их нулями.
Правильная полная система Ж подкарт примыкания
называется выделенной, если х(Ж)'^ х(Ж') для любой
Другой правильной полной системы подкарт примыканий
Ж' в карте А. При рассмотрении карты А фиксируется
всегда какая-то одна выделенная система Ж, подкарты из
которой называются выделенными подпартами
примыканий в А.
156
ГЛ. 5. А-КАРТЫ
Те ^-клетки, которые не входят ни в одну из
выделенных подкарт примыкания, назовем обыкновенными
в А. Если Г — выделенная подкарта примыкания III к Пг
(ITi к q) и PiqiP2q2 = d(Iii, Г, П2) (или PiqiP2qz =
= 3(П], Г, q)), то особыми в карте А назовем те клетки
из Г, в контуре которых есть 31-ребро е, близкое к
ребру /, где /"' входит в путь р\ или в путь р2. Как видно
из определения, особыми могут оказаться главные
клетки связок, определяющих Г, или, по индукции, главные
клетки связок, определяющих подкарты примыкания,
определяющие связки, определяющие Г, и т. д. Все
остальные 52-клетки (т. е. не особые и не обыкновенные)
называем скрытыми в А. (Точнее, если П входит в подкар-
ту Г, то П скрыта с помощью Г.)
Лемма 14.1. Не существует выделенных подкарт
примыкания скрытой клетки к чему-либо.
Доказательство. Пусть клетка я скрыта с
помощью выделенной подкарты Г. Если допустить, что
существует выделенная подкарта Г' примыкания клетки я
к другой клетке или к участку контура, то, очевидно, Г
и Г' не дизъюнктны (они имеют по крайней мере общие
0-клетки) вопреки определению выделенной системы. ■
4. Оценочный граф. В доказательстве теоремы 12.1
появился вспомогательный граф на поверхности X, с
помощью которого мы получили требуемые оценки.
Аналогичное построение можно провести для градуированных
карт с выделенной системой подкарт примыкания Ж.
В качестве вершин графа Ф выберем по одной точке
О;, 02, ... внутри каждой обыкновенной клетки
диаграммы А. Связующая линия любой подкарты примыкания
Ге/ может разрезать каждую особую клетку из А не
более чем на две компоненты, как мы заметили в п. 3.
В соответствии с этим выберем еще для Ф по одной или
две вершины внутри каждой особой клетки (в последнем
случае в разных компонентах клетки).
Ребра (неориентированные) в Ф построим следующим
образом. Пусть Г — выделенная подкарта примыкания
клетки П] к клетке П2, а точки о\ и о2 внутри П1 и Пг
выбраны выше в качестве вершин для Ф (причем если,
например, особая клетка Пг разрезана связующей линией
подкарты Г на две части, то ог выбирается в той
компоненте, на границе которой лежит дуга примыкания
Г Д П2). Тогда в качестве ребра е в Ф
(определенного с помощью Г) рассматривается путь вида t\tti, где ли-
§ 14, ПОДКАРТЫ ПРИМЫКАНИЯ
15.7
ч_
Л, \
^
нии t\ и £2 соединяют внутри IIi и Пг соответственно
концы связующей для Г линии t с вершинами ог я о2
(рис. 50). Проводя таким образом ребра е для каждой
выделенной подкарты примыкания Г (между различными
^-клетками из А — обыкновенными и особыми), мы
получим в итоге оценочный граф Ф х
на поверхности X. ,<^1-
В случае, если выделено не- С
сколько участков контура q1, ...
..., q' диаграммы А на X, граф Ф ,
расширяется следующим образом. Ч_ —М- Лг
Поверхность X можно считать > °г
вложенной в замкнутую поверх- Рис 5о
ность X' (например, диск — в
сферу) так, что каждая компонента края для X
является границей некоторой дополнительной клетки из X'.
Выберем в качестве вершин графа Ф' все вершины из Ф
и еще I вершин Ои .. ., Ot (по одной для каждого участка
ql, ..., ql), лежащих на X'. А именно, если q1 лежит на
контуре q края, то 0, выбирается в соответствующей
дополнительной клетке из X'. (Можно представлять себе
точку Ох «около» q1, 02 — «около» q2 и т. д.). Далее, как
и при построении графа Ф, соединяем точки Ои ..., Ot
с некоторыми точками о\, ог, ... «через» связующие
линии выделенных подкарт примыканий клеток из А
к участкам контура q\ ..., ql. В итоге получится граф на
поверхности X', который мы обозначим Ф'.
Теорема 14.1. Для градуированной карты А
оценочные графы ФиФ' не имеют петель и кратных ребер.
Доказательство. Существование петли в Ф или
в Ф' означало бы по определению, что в А имеется
неправильная выделенная подкарта примыкания вопреки
определению выделенной системы.
Допустим далее, что в Ф есть кратные ребра. Это
означает, что вершины ох ъ о2 графа Ф, выбранные внутри
клеток П! и Пг карты А, соединены в Ф линиями и и v
через две подкарты примыкания Г; и Г2 (рис. 51). Тогда
с помощью связок, определяющих 1\ и Г2, можно
определить подкарту примыкания Г клетки П[ к П2, которая
содержит и Г], и Г2.
Предположим сначала, что П; и П2 — обыкновенные
клетки. Тогда замена в выделенной системе подкарт
примыкания подкарт Гь Г2 и всех других подкарт, которые
содержатся в Г, на подкарту Г дает полную правильную
158
ГЛ. 5. А-КАРТЫ
систему большего типа, что противоречит определению
выделенной системы.
Если, например, П[ — особая клетка, которая не
разрезается на две части никакой линией w из Ф
(проведенной «через» ту выделенную подкарту, которая содержит
П]), то противоречие получается, как и в предыдущем
Рис. 51 Рис. 52
случае. Аналогично получается противоречие, если w не
пересекает дугу примыкания Г Д Пх.
Предположим, наконец, что w пересекается с Т /\И1
(рис. 52). Тогда r(IIi)<r(n) для некоторой клетки П,
входящей в Г, поскольку главная клетка связки между
клетками по определению имеет меньший ранг, чем эти
клетки, а по индуктивному определению линии w
подобное неравенство распространяется на все клетки,
пересекаемые линией w. В таком случае, заменяя в
выделенной системе Ж подкарты Г[, Гг и все подкарты, имеющие
общие клетки с Г, на Г, мы увеличим г (Ж), так как Г
содержит некоторую клетку ранга большего, чем r(IIi),
не входящую в подкарты из Ж.
Новая система Ж' может оказаться неполной, так как
относительно нее клетка П[ становится обыкновенной.
Дополнить Ж' можно, включив в Ж" еще некоторые
0-связки: все ребра клетки Пл, не принадлежащие дугам
примыканий подкарт из Ж', входят в 0-связки (т. е.
в подкарты примыкания, состоящие из 0-клеток). Но
существование Ж" противоречит опять-таки определению
выделенной системы подкарт.
Случай примыкания клетки П[ к участку контура
разбирается аналогично. ■
Лемма 14.2. Пусть я — обыкновенная клетка и
Т\ — выделенная подкарта примыкания я к клетке П[,
где г (я) < г (Гм) и (я, Г], П^З? г. Тогда не существует
другой выделенной подкарты примыкания Г2 клетки я
§ 15. УСЛОВИЯ НА ГРАДУИРОВКУ
159
к клетке Пг такой, что г(П2)>г(я), или к участку
контура q с условием (я, Г2, П2)5г е((я, Г2, q)> г).
Доказательство. Допустив противное, мы
могли бы с помощью Г! и Г2 определить связку Е между
Ш и П2 (П] и q) с главной клеткой я. Е является
одновременно и подкартой примыкания. Тогда замена в
выделенной системе Ж подкарт Г[ и Г2 на Е увеличила бы
тип г (Ж), ибо т(Е)>т(Г!) и т(Е) >т(Г2), так как в Е
содержится дополнительная клетка я. Новая система Ж'
состояла бы из дизъюнктных карт, поскольку
обыкновенная клетка я не входила в подкарты из Ж. Она была бы
полной, как следует из полноты Ж. Ж' правильна,
поскольку в случае неправильной подкарты примыкания Е
в оценочном графе Ф', построенном для Ж, были бы
кратные ребра вопреки теореме 14.1. Но тогда неравенство
х(Ж')> г (Ж) противоречит определению выделенной
системы Ж. ■
§ 15. Условия на градуировку
1. Вспомогательные параметры. В определении
подкарты примыкания уже встретился параметр 8. Удобно
ввести еще несколько параметров для сокращения
записи, хотя все они могут быть выражены через один или
вообще заменены конкретными числами, скажем 0,1;
10~3 и т. п. Доказательства опираются на ряд неравенств,
в которые входят эти параметры. Совместность данной
системы неравенств можно проверить, предъявив
конкретные решения (и читатель при желании может найти их).
Мы же не делаем этого по двум причинам.
Во-первых, конкретные значения получаются очень
малыми или очень большими; например, в [95]
приводится значение п = 1010, а в такой ситуации конкретная
оценка числа немного добавляет к знанию, что
требуемым свойством обладают все достаточно большие п. Во-
вторых, численная проверка не проясняет, а
затуманивает происхождение неравенств и параметров,
производит впечатление случайности.
Вместо этого мы располагаем все положительные
параметры а, {}, ... «по старшинству», т. е. пишем, что
а >- р >- "f >- ... (а старше [}, [} старше у, . ..). Это
означает, что малая положительная величина [5 выбирается
после величины a, "f — после [}, ... (для переменных величин
мы писали бы р = о (а), Ч~°(Р) и т- Д-) •
160
ГЛ. 5. А-КАРТЫ
В каждом неравенстве можно выбрать младший
параметр. Если рассмотреть теперь все неравенства с данным
младшим параметром, например у, то всякий раз
совершенно ясно, что при уже выбранных значениях старших
параметров каждое их этих неравенств выполняется при
выборе достаточно малого значения у. Итак, значения
всех параметров можно выбрать таким образом, чтобы
система всех использованных неравенств была
совместной на основании принципа младшего параметра — ПМП,
который при желании можно формализовать в духе
нестандартного анализа.
Аббревиатура ПМП будет иногда для напоминания
приводиться в скобках после неравенств, например
10у<а(1 — б)— р (ПМП). Более подробные пояснения:
«ПМП; у» или «ПМП; у-<р-<«». В следующем ряду
каждый параметр младше предыдущего:
а, р, у, б, е, £, I. (1)'
Иногда один и тот же параметр возникает в неравенствах
разной природы. Это значит, что для каких-то иных
приложений такого метода, возможно, придется проводить
более тонкие различия — скажем, вместо у вводить два
параметра уь у 2 и т. п. Отметим еще, что по смыслу
задач вместо некоторых параметров часто удобнее
употреблять обратные (а поэтому б-1 и i_I считаются
целыми) или дополнительные до 1. Вспомогательные
обозначения:
а = у + сс, ft=l-P, 7=1-7, Л = б-1, я = Г1.
(2)
Все утверждения гл. 5 справедливы при достаточно
большом п и некотором выборе значений остальных
параметров.
2. Условие А и гладкие участки. Напомним, что
множество 52-клеток карты А обозначается А (2), что длина
\р\ пути р в А — это число §1-ребер в р. (В частности,
| Г Д П | и |ГД#| — обозначения длин дуг примыкания.)
Путь р в А называется геодезическим, если \р\ < \р'\
для всякого пути р', комбинаторно гомотопного пути р.
Аналогично циклический путь р называется
геодезическим, если с помощью нескольких комбинаторных
деформаций пути р (как циклического пути) нельзя получить
циклический путь длины <\р\.
§ 15. УСЛОВИЯ НА ГРАДУИРОВКУ 161
Условие А на (градуированную) карту А заключено
в следующих свойствах.
А1. Контур дП произвольной клетки ранга /
циклически несократим (т. е. не имеет подпутей вида ее-1)
и 1дП\>п].
А2. Всякий подпуть длины < max (/, 2) контура
произвольной клетки ранга / из А будет геодезическим в А.
A3. Если я, П е А (2) и Г — некоторая подкарта
примыкания клетки я к П, причем (я, Г, П)^ в, то |ГДП|<
<(1 + у) к, где к = г (П.).
Карту с условием А назовем А-картой. Чтобы
прокомментировать условие А, нужно забежать немного вперед.
При индуктивном введении соотношений вида Ап = 1
в гл. 6 длина \А\ периода А ранга / равна /, так что
\АП\ = щ и условие Al выполнено. Условие А2 связано
с выбором периодов ранга / как кратчайших слов среди
сопряженных с ними в ранге /' — 1. Условие A3 обобщает
следующее наблюдение: если простые периоды А и В
не являются циклическими сдвигами один другого, то для
слова X, которое одновременно является Л-периодическим
и ^-периодическим, причем \Х\ > \А\ (скажем, \Х\ >
>гп\А\) обязательно \Х\ < (1 + у) \В\, где у мало.
Если подкарта примыкания Г состоит только из 0-клеток
(т. е. я «непосредственно» примыкает к П), то
приведенный факт в точности отражается условием A3, так как в
этом случае дуги примыканий Г Д я и (Г Д П)-1 имеют
одинаковые метки, которые являются периодическими
словами, написанными на дл и дП. Конечно, настоящую
проверку условия А для «периодических» копредставле-
ний нам предстоит еще провести в гл. 6.
Условия А2 и A3 на подпути контуров клеток
переносятся при рассмотрении подкарт примыканий на
участки контуров этих подкарт (на дуги примыканий).
Поэтому для индуктивных доказательств потребуется
следующее определение, «индуцированное» условием А.
(Циклический) участок q контура карты А называется
гладким участком ранга k>0 (пишем r(q) = k), если:
1) каждый подпуть длины ^тах(&, 2) пути q
является геодезическим в А;
2) для любой подкарты примыкания Г некоторой
клетки л к q с условием (я, Г, q) > е верно неравенство
\Г Aq\<(l + y)k.
Вообще говоря, один и тот же участок q может иметь
различные ранги. Запись r(q) = k означает, что участ-
" А. Ю. Ольшанский
162 ГЛ. 5. А-КАРТЫ
ку g приписан ранг к в соответствии с условиями 1) и 2)\
(Избежать многозначности можно, конечно, считая, что
к — минимальный из рангов гладкого участка д.)
Лемма 15.1. 1) Подкарта А-карты также является
А-картой.
2) Если подпутъ р гладкого участка q ранга к А-кар-
ты Д является подпутем контура подкарты Г, то р
можно выбрать в качестве гладкого участка ранга к в дТ.
3) Если подпутъ q контура клетки П ранга к является
участком контура подкарты Г А-карты Д (и П не входит
в Г), то q — гладкий участок ранга к в дТ.
Доказательство. Первое и второе свойства
непосредственно следуют из определения А-карты и
определения гладкого участка, а третье — из сравнения этих
определений. И
3. Связки и примыкания в А-картах. Число 52-клеток
|А(2)| является естественным индуктивным параметром,
и утверждения, начиная с леммы 15.2 до теоремы 17.1
настоящей главы, доказываются совместной индукцией по
|Д(2)|. При этом «обратные» ссылки минимальны —
полезно запомнить лишь формулировку теоремы 17.1
(«дисковый» вариант).
Лемма 15.2. Всякая А-карта Д правильна.
Доказательство. Если бы в А была
неправильна 0-связка Е между клеткой П и П, то в Д пашлась бы
подкарта Г (заштрихована на рис. 49) такая, что |Г(2)| <
< |А(2)|, поскольку П^Г(2), контур которой ввиду
утверждения 3) леммы 15.1 состоял бы из единственного
гладкого участка ненулевой длины и еще одного пути
длины 0 в 0-связке Е. Но это противоречит утверждению
1) леммы 15.1 и теореме 17.1 для Г.
Лемма 15.3. Пусть А — А-карта, Г — подкарта
примыкания некоторой клетки П[ к клетке Пг, или клетки
П] к участку контура q, или участка контура ql к
участку контура q2. Обозначим Piqip^q-i = д(Л\, Г, Пг) (или
д(Пи Г, q), или d(q\ Г, q2)), a P = ma.x(\p1\, \р2\).
Тогда
Р<2в-1г(П,)-<5пг(П1)' (3)'
и, кроме того, в первом случае Р<^гег(Пг), а если во
втором или третьем случаях участок q (g1 или q2)
гладкий, то P<%nr{q) {P<lnr{qx), P<lnr{q2)).
Доказательство. Чтобы получить неравенство
(3), проведем дополнительную индукцию по r{Yl\)=k.
% 15. УСЛОВИЯ НА ГРАДУИРОВКУ 163
Обозначим Ei и Е2 связки, определяющие подкарту
примыкания Г, так что pi — боковая дуга связки Ei
(рис. 53). В случае, когда Ei — 0-связка, неравенство
\р{\ < 2e-1r(ni) справедливо, ибо |pil=0. В противном
случае пусть л; — главная клетка связки Ei и г(я) —/>0.
Тогда j < k по определению связки, и существуют
дизъюнктные подкарты примыкапий Гь
Гг клетки л к Hi и Пг (к П[ и д,
кд'и q2), причем (я, Г,-, Ш)>е, i —
= 1,2 ((я, Г, q)>& и т. д.). Если ^Г/Ж^Ж|я/?;
ввести еще обозначения p\qip\q\ " " "
для стандартных разбиений
контуров подкарт примыкания ГЛ, то путь
Pi равен PiUPz, где и-1 — подпуть Ряс. 53
контура клетки я.
Поскольку j < к, по предположению индукции и
условию А1
тах(|р2|, |pi|)<£re/<£|dn|. (4)
Из определения А-карты следует, что
\ql\<(l + V)k. (5)
Участок <7i. является гладким ранга / в Ti по
лемме 15.1, и так как |Г](2)| < |А(2)|, то по теореме 17.1
для Г[ получаем fi| q\\<. \p\q\p\ |, т. е. в силу (4) и (5)
\q\\<V-1((i + y)k + 2Z\dn\). (6)
С другой стороны, |gi|^se| <9я|, ибо (л, Гь П])^е.
Поэтому из (6) следует, что
\и\ «S \дп\ <(e-2Sf"I)"1P"1(l + T)fc (7)
(здесь е — 2£[3_1 > 0, ибо "С, -< г), а из (4) и (7) получим
I Pi I = IPWII < (1 + 2QJ> - 2йГ1)~1 $~l (i + y)k<
< 2е"гк < Ink (ИМИ; п = Г1).
Аналогично оцепивается |/>г1, а при доказательстве
неравенства P<t,nr(q) во втором варианте леммы
нужно кроме условия А использовать для получения
неравенства (5) определение гладкого участка ранга к.
Наконец, в случае примыкания д1 к q2 первый шаг состоит
не в понижении числа г(П])= к до j, а в сведении к
случаю примыкания клетки я к ql (к q2). ■
И*
164 ГЛ. 5. А-КАРТЫ
Доказанная лемма уже в некоторой степени
оправдывает термин «подкарта примыкания»: длины ее боковых
дуг меньше £rar(IIi)^ £ldllil в силу условия А1, т. е.
малы по сравнению с ЮТЫ.
Лемма 15.4. Если в А-карте А степень Т-примыка-
ния клетки 111 к клетке П2 (к участку контура q) равна
некоторому числу§ и piqlp2q2=d{Tlh Г, П2) (=Э(ПЬ Г, д)),
то
Гр-2^-1)1д.1<1?21. (8)
В частности, \q2\ >(г|з—2[1) Idllil, а если $>е,то \qA <
< (1 + 2[1) |д2|. Кроме того, если д2 = Г Д П2 (или q2 =
= Г Л Я и q — гладкий участок), то
l?il>p(l + 2Sr1)_1l?2l. (9)
В частности, если г|э > е, то \qx\ > (1 — 2(5) |g2|.
Доказательство. По лемме 15.1 q\ — гладкий
участок в дТ, а по_ теореме 17.1 для Г (применимой, ибо
|Г(2)| < IA(2)|) plgil ^ lp2?2Pil. Точно так же fMg2| =S
^ \p\qiPz\, если q% — гладкий участок в дТ. Значит, по
лемме 15.3 fllgil < lg2l + 2£ldIIil (p|g2| < Igil + 2£|Ш,|,
если g2 —гладкий участок). Поскольку Igil =г|з|5ПИ,
неравенство (8) (неравенство (9)) доказано. Частные
случаи этих неравенств верны, так как £-<е-Ч£1ц£1 = 1 — р\
Например, при ф^2^ из (8) получаем |д2!>(1 — [1—
-Sr^lgil >(1-2р)ф|Щ,| >(11>-2&)|ЗП,|. ■
Лемма 15.5. Пусть Г — подкарта примыкания
клетки л к клетке П (й гладкому участку q контура) в
А-карте А. Гогда если, (я, Г, И)> е ((я, Г, <?)> е), го г(я)<
< £г(П) и \дл\ < Slanl (г(я)< £/•(?))•
Доказательство. Если PiqiP2qz = д(л, Г, П)
(=9(я, Г, д)), то по лемме 15.4 \qx\ < (l + 2[})lg2|.
Кроме того, по определению А-карты (или гладкого
участка) \q2\ <(1 + ч)к, где к = г (П.) (к = r(q)). Поэтому из
неравенства \qi\ > е|<9я| > егаг(я) следует, что
г(я)^е-1ге-1(1 + 2^)(1 + -()/с<^(ПМП; re"1 = i),
\дп\ ^e-Mgil ^e_1(l + 2p)|g2| < s"1 (1 + 20) (1 + ч)к<
<£nfe*S£|dIII. ■
Лемма 15.6. Пусть Г—подкарта примыкания
клетки я к клетке П или к участку контура q в
А-карте А, причем (я, Г, П)3*а ((я, Г, д)>«). Пусть, далее,
PiqiP242 = d(n, Г, П) (=<9(л, Г, g)), a q' дополняет под-
| 15. УСЛОВИЯ НА ГРАДУИРОВКУ 165
путь q\ до контура <3я (рис. 54). Тогда
(1 + Ч)\РЛч'Г1Р2\ <(1-ч)Ы- (10)
Доказательство. По условию Ig'ljS (1 — ос)Х
Х|3я|, и по лемме 15.3 \p1(q')-lp2\ < {^~ а+2%)\дл\.
С другой стороны, по
ме 15.4 |д2|>(а-2р)!дя
сюда следует (10),
1 , . „ М
= _ + а и ^--а
X (1 + а - 2^_1 < (1 - у, ^ -г Рис 54
+ 7Г1(ПМП). и
Лемма 15.7. Пусть Г —
подкарта примыкания клетки я к клетке П (к гладкому
участку q контура) в А-карте А, (я, Г, П)>б((я, Г, q)>
>г) и д{л, Г, П) {или <Э(я, Г, q)) есть Piqip2q2. Тогда
для любого пути s в А, гомотопного пути q2, имеем
l?2l<(l + 7)(l-"()Mlsl<(1 + 3"()lsl-
Доказательство. По условиям А2 и A3 (или,
во втором варианте, по определению гладкого участка)
путь q2 можно записать в виде q'q", где д'—
геодезический в А путь, a \q"\<t\q'\. Значит,
|<7'1^Ид"ГЧ<Ы+ч1<?'1. (11)
Поскольку |д21 <(1 + у)1д'1, из (11) получим
Ы <(l + 4)\q'\ <{i + t) {i- Ч)~1 \*\- ■
Следующее утверждение согласуется с примерами
примыканий между «малыми» и «большими» клетками из
п. 13.1.
Лемма 15.8. В произвольной А-карте А степень
примыкания любой клетки я к любой клетке П или к
любому гладкому участку контура q с помощью
произвольной подкарты примыкания Г меньше а, а степень
примыкания клетки я к клетке П (к q) такой, что г(И)<
^ г(я) (r(q)^Z г (л)), меньше г.
Доказательство. Допустив, что первое
утверждение ошибочно, воспользуемся обозначениями
леммы 15.6 (см. рис. 54). По лемме 15.6 1д21>(1 + ч)х
Х(1 —^)-> |s|, где s = p\(q')~]p2, что противоречит
лемме 15.7.
Второе утверждение следует из леммы 15.5, так как
£< 1. и
166 ГЛ. 5. А-КАРТЫ
§ 16. Внешние дуги и у-клетка
1. Определение весовой функции. В случае А-карт
заменой теоремы 12.1 служит теорема 16.1. Для ее
вывода введем весовую функцию v(e) на множестве А(1)
всех ребер карты А со значениями на-отрезке [0; 1]. В
силу леммы 15.1 в А-карте А есть некоторая выделенная
система подкарт примыкания, которая считается
фиксированной.
Если $-ребро е принадлежит контуру обыкновенной
или особой клетки П, то определим вес v(e)
ориентированного ребра е формулой
v(e)= |Ш|-1/3. (1)!
Веса остальных ребер из А(1) считаются нулевыми. Вес
v(q) произвольного пути q = е{ ... еп равен по определе-
п
нию Zjv(ej). Вес v(n) клетки я— это вес ее контура.
i=l
Если v(rc)>0, то, очевидно,
v(n) = 1сЫ2/3. (2)
Суммируя веса всех клеток, входящих в какую-либо под-
карту Г, получим по определению вес v(F) подкарты Г.
При сравнении следующей леммы с леммой 15.4 уже
заметен эффект введения весов (вместо длин).
Лемма 16.1. Если Г— выделенная подкарта
примыкания в А-карте А клетки я к клетке П, (я, Г, П) > г и
<Э(я, Г, U) = p\qiP2q2, то y{q2)< eU2v{qi).
Доказательство. По лемме 15.4
v(g2)=lg2l №h1/3<(l + 2^)|g1||an|-1/31
а по лемме 15.5 (|Зя|/|Ш|)-1/8<£,/8. Значит,
v(g2)<(l + 2p)£i/3|g1| |c^|-1/3<e1/2v(g,) (ПМЩ. ■
Покажем далее «легковесность» подкарт примыкания.
Лемма 16.2. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания клетки И\ А-карты А к клетке П2 или к
участку q контура. Тогда v(F)< 3ev(ni).
Доказательство. Пусть Ei, Е2 — те связки,
которые определяют подкарту примыкания Г, а т, я2—
главные клетки этих связок (в случае 0-связок одной или
обеих может не быть). По определению связки и
лемме 15.5 |5я41 < 519ПИ, i = 1, 2, а по правилу (2)
§ 16 ВНЕШНИЕ ДУГИ И V-KJTOTKA
167
вычисления весов (и лемме 14.1)
v(ni)/v(n1) = (l^!/l9nIl)2/3<S2/3<6.
Значит, v(ni)+ v(n2)< 2sv(ni).
Далее, пусть яц, Я12, лгь л22 — главные клетки
связок, определяющих подкарты примыканий Гц и Г]2
клетки п\ к П1 и к П2 (к q). Аналогично для я2 определяются
я21, • •., Л24- Как и выше, \дпц\ < %\дп\\ < ^2!с?П11 и
v(nn)+... + v(n24)<8e2v(n,).
Продолжаем далее выделять главные клетки, пока не
дойдем до 0-связок в соответствии с индуктивный
определением. Общую сумму их весов оцениваем величиной
(28 + 882 + 32е3 + ..>(П,)<2е(1-4е)-Ч(П,)<
<3ev(n,).
Остается напомнить, что, как следует из индуктивного
построения Г, остальные клетки этой подкарты (не
учтенные выше) заведомо являются скрытыми и их вес
нулевой. Лемма доказана, в
2. Распределение весов в А-карте. Рассмотрим
А-карты на поверхностях, эйлерова характеристика которых
ограничена снизу некоторой общей константой, например
% ^ 0, а число I участков контура ограничено сверху
другой константой, папример I «£ 4. Назовем их для
краткости А°-картами. Таковы, в частности, карты на сфере,
диске, круговом кольце, торе.
Если Г — выделенная подкарта примыкания клетки П
к участку контура q, то назовем дугу Г Д П внешней,
а ее St-ребра — внешними ребрами в А. Остальные St-реб-
ра обыкновенных и особых клеток назовем внутренними.
Наша ближайшая цель — доказать, что почти весь вес
v(A) А°-карты А сосредоточен в ее внешних ребрах
(лемма 16.8). Это напоминает похожий результат (но о числе
внешних ребер) для приведенных диаграмм над С'{%)-
группами при малых %.
Лемма 16.3. Сумма Н весов всех особых клеток А°-
карты А не больше cr'ev(A).
Доказательство. Построим оценочные графы Ф
и Ф' для выделенной системы подкарт примыкания в А
(см. п. 14.4). Припишем каждой вершине о графа Ф,
выбранной внутри особой или обыкновеной клетки П, вес
v(o) = v(n). Тогда сумма весов vo всех вершин в Ф не
превосходит v(A) + Я. (Напомним, что внутри некоторых
168
ГЛ. 5. А-КАРТЫ
особых клеток находится по две вершины графа Ф.
Поэтому, выбирая в каждой клетке по одной вершине из Ф
и складывая их веса, получим v(A), а сумма весов
«вторых» вершин не больше Я, ибо они находятся в особых
клетках.)
Припишем далее каждому ребру из Ф', построенному
с помощью выделенной подкарты примыкания Г, вес
v(T). По определению получается, что Н — \\ — сумма
весов всех ребер графа Ф'. Заметим, что по лемме 16.2
граф Ф' удовлетворяет условию леммы 10.4 с константой
а = Зе. Значит, по следствию 10.1 и лемме 10.4 vi <
<60-3e-v0, т. е. Я «S 180е(Я +v(A)). Отсюда Я «S
=s£ 180e(l-180e)-1v(A)sSa-1ev(A). ■
Лемма 16.4. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания клетки Ш к клетке П2 в А-карте А и (П^Г, П2)<
<е, (П2, Г, П,)<е. Тогда если <9(ПЬ Г, Щ^ Р^Р2Я2,
то сумма Кт = v(gi) + v(g2) меньше 3ev(ni).
Доказательство. По лемме 14.1 v(ni)>0,
v(n2)>0, и из условия видно, что v(<?i)< ev(ni). Если
ЮТИ >Ш2\, то v(g2)<ev(n2)<ev(ni) по формуле (2).
Рассмотрим случай ЮТИ < ЮТ21. По лемме 15.3 и
условию Al \pi\, \p2\ <%\dU\\, а по теореме 17.1 для Г
(применимой, ибо |Г(2) I < |А(2) I)
Ы < Г1 1/>,<7,/>21 < Г1 (е + 2£) ЮТИ-
Следовательно,
V(?2)= igzi ют21-,/з ^Гг1 (е + 2£) 1шп) ютп-1/з <
< 2еЮТИ2/3 = 2ev(n,) (ПМП; Ъ< г).
Поэтому в любом случае Кт <(е + 2e)v{Ui) =
= 3ev(n,). ■
Лемма 16.5. Пусть К — сумма всех чисел Кт из
леммы 16.4 для всевозможных выделенных подкарт
примыкания Г А°-карты А, удовлетворяющих условию
леммы 16.4. Тогда К «S cr'ev (A).
Доказательство. В оценочном графе Ф,
построенном для А, припишем всем вершинам веса, как и в
доказательстве леммы 16.3. Как и там, vo < v(A)+ Я, где
Я — сумма весов всех особых клеток в А.
Каждому ребру в Ф, проведенному «через» подкарту
примыкания Г, припишем вес Кт лишь в том случае,
когда Г удовлетворяет условиям леммы 16.4 (иначе вес
ребра нулевой). Тогда K = v\ — сумма весов всех ребер
§ 16 ВНЕШНИЕ ДУГИ И v-КПЕТКА 169
в Ф. Теорема 14.1 и лемма 16.4 позволяют применить к
ф лемму 10.4 с константой а = 3е. Поэтому, учитывая
лемму 16.3, из следствия 10.1 выводим
£s£60-3e(v(A)+#)<
sS 180e(H-a-1e)v(A)sSa-1ev(A). ■
Лемма 16.6. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания клетки П1 к клетке П2 в А-карте А, причем
(Ш, Г, П2)> е. Пусть ?2 = Г Д П2. Сумму чисел
v(<72) для всех таких Г б А обозначим D. Тогда
D^eu2M, где М — сумма весов всех внутренних ребер
карты А.
Доказательство. Неравенство следует из
леммы 16.1, ибо v(ql)< 81/2v (q\). ■
Лемма 16.7. Пусть в условиях леммы 16.6 П1 —
обыкновенная клетка, q^ = Г Д П1( a G — сумма чисел
vwi) no всем таким Г в А°-карте А. Тогда
G^~a(l-a-h)-lM.
Доказательство. По лемме 15.8 v (q[) < av (Пх).
Заметим еще, что по леммам 14.2 и 15.5 степень
примыкания клетки П: к любому из участков контура с
помощью любой выделенной подкарты Г' меньше е, а
число таких подкарт Г' ограничено, скажем, константой а-1
в силу теоремы 14.1 и условия А0. Значит, отношение
числа v (qi) к сумме весов всех внутренних ребер контура
клетки П] не превышает a(l — a_1e)_1. Далее, по
лемме 14.2 обыкновенная клетка П[ обладает не более чем
одной такой дугой примыкания q\ к клеткам из А.
Поэтому, суммируя по всем обыкновенным клеткам,
получим нужную оценку для G. ■
Лемма 16.8. Если г(А)>0 для А°-карты А, то сум-
MaJV весов всех внешних ребер из А больше (1 — y)v(A) =
= yv(A).
Доказательство. Каждое внутреннее ребро в А
входит в одну из внутренних дуг примыкания. Поэтому,
сравнивая определения величин Я (лемма 16.3), К
(лемма 16.5), D (лемма 16.6) и G (лемма 16.7), видим, что
для суммы М весов внутренних ребер справедлива оценка
M^H + K + D + G.
(3)
170 ГЛ. 5. А-КАРТЫ
Подставив в (3) оценки лемм 16.3, 16.5, 16.6 и 16.7,
имеем
М ^ 2a-'ev(A)+ йМ + а(1 - а-'е)-1^.
Значит,
М ^ 2сс-'8(1 - Те - a(l - а~1г)-1)~Ч(А)< ^v(A).
Последнее неравенство справедливо, ибо е-< a, е -< у
и v(A)>0. Отсюда N = v(A)- M>(1 - f)v(A). ■
3. Существование "(-клетки.
Теорема 16.1. Пусть А — А°-карта и г(А)> 0.
Тогда в А существуют Я-клетка я и выделенные подкарты
Гь ..., Г; ее примыканий к участкам контура карты А
такие, что сумма степеней примыкания клетки я с
помощью Гь .. ., Г; больше -{ = { — '[.
Доказательство. Поскольку по лемме 16.8
N> fv(A), в А найдется клетка я, сумма весов впешних
ребер которой больше fv(jr). Но все 91-ребра,
принадлежащие одной клетке я, по определению имеют
одинаковый вес. Поэтому и число всех внешних ребер для я
больше "(|3я1, т. е. я — искомая клетка, в
Выведем другие непосредственные следствия
леммы 16.8 и теоремы 16.1, освобождаясь от выделенных
систем подкарт и весов в карте А.
Следствие 16.1. Пусть А — дисковая А-карта
ненулевого ранга, контур которой разбит на 4 участка <Д
д2, аъ, д4. Тогда в А найдутся ^.-клетка ли дизъюнктные
подкарты ее примыканий Гь ..., Г4 к q\ ..., ?4
соответственно (некоторые могут отсутствовать) такие, что
iU,ri,gi)>"7.
i=l
Доказательство. Подкарты примыкания Гь ...
..., Г, из теоремы 16.1 являются подкартами примыкания
клетки я к разным участкам контура в силу теоремы 14.1.
Дизъюнктиость следует из определения выделенной
(и полной) системы подкарт примыкания. ■
Следствие 16.2. Пусть А — кольцевая А-карта
с контурами qx и q2 (которые рассматриваются как
циклические участки) и г(А)> 0. Тогда в А найдутся Sl-клет-
ка л и дизъюнктные подкарты ее примыканий Т\ и Га
к ql и q2 соответственно (одной из них может и не быть\
§ 16 ВНЕШНИЕ ДУГИ И 7-КЛЕТКА
171
такие, что
(n,Tuql)+(n,V2,q2)>^.
Доказательство. Утверждение выводится так
же, как предыдущее. ■
Клетку я из следствий 16.1, 16.2 и теоремы 16.1 будем
в дальнейшем называть ^-клеткой в А. Контур f-клетки
«почти весь» состоит из внешних дуг. Но эти дуги
являются внешними в обобщенном смысле —«между»
ними и контуром находятся подкарты примыкания Г.
Оказывается, что можно дать оценку и длинам дуг клеток
с «непосредственным» примыканием к контуру (т. е. ког-
даг(Г) = 0).
Теорема 16.2. Если А — А°-карта ненулевого
ранга, то в А найдутся Л-клетка П и подкарта ее
примыкания Г к одному из участков q контура такие, что г(Г) =
= 0и (П, Г, q)>e.
Доказательство. Пусть Г — подкарта
примыкания некоторой 52-клетки П к одному из участков q
контура и (П, Г, д)> е. Такая подкарта существует, ибо
число I в утверждении теоремы 16.1 ограничено для А°-
карты, например Ка~\ а f == 1 — 7 > a-,e (ПМП;
е -< a). Выберем П так, чтобы число клеток в Г было
минимальным, и докажем, что г(Г) = 0.
Связки, определяющие Г, являются 0-связками, так
как иначе в такой связке (как видно из индуктивного
определения связки) нашлась бы я-главная клетка связки,,
степень Г'-примыкания которой к q не меньше е,
и |Г'(2) I < |Г(2)|. Значит, контур для Г имеет вид
P\4\P2q2, где \рА = \р2\ = 0, q1 = Г Д И, д2 = Г Д ?•
По выбору подкарты Г в ней нет клеток со степенью
примыкания к q%, не меньшей е, а по леммам 15.8 п 15Л
в Г нет клеток со степенью примыкания к <7ь большей а.
Поэтому по следствию 16.1 в Г вообще нет 5?-клеток, ибо
1>а + е. ■
Теорема 16.2 допускает существенное усиление, па-
пример замену е на 1/2 — 2а, если в контуре не более
двух участков. (В [95] фигурирует 1/3.) Однако такое
улучшение оценки пе будет использоваться.
В следующем параграфе мы получим ряд свойств
А-карт с помощью ^-клеток. Хотя подкарты Г
примыкания П! к Пг (к д) продолжают встречаться, их
индуктивное определение уже не применяется, и достаточно пом-
172 ГЛ. 5. А-КАРТЫ
нить, что их контуры имеют вид /?[<7;р2д2, где q\ — подпуть
контура клетки fti, a q% — подпуть в <9П2 (в q), причем
П] и П2 не входят в Г.
Для установления асферичности или аторичности
изучаемых далее копредставлений групп пригодится
Теорема 16.3. Сферическая или торическая
А-карта А имеет нулевой ранг.
Доказательство. Сумма весов внешних ребер
в А равна 0. (Этих ребер просто нет, поскольку А —
карта на поверхности без края.) Поэтому г(А)=0 по
лемме 16.8. и
§ 17. Пути, близкие к геодезическим,
и разрезы А-карт
Перейдем теперь к изучению общей структуры А-карт.
1. Сравнение длин гомотопных путей. Подпути длины
=£J k гладкого участка q ранга к являются геодезическими
по определению. Оказывается, подпути любой длины
пути q «почти геодезичны», поскольку параметр [1 = 1 — [1
в следующей теореме близок к 1.
Теорема 17.1. Пусть А — дисковая А-карта с
контуром qt или кольцевая А-карта с контурами q и t. Тогда
если участок q является гладким, то $\q\ «S |f|.
(Равенство возможно только тогда, когда \q\ — \t\ = 0.)
Доказательство. Докажем сначала первый
вариант теоремы. Допустим пока, что г(А)=0. Если е и
/ — разные $-ребра пути q, причем е и /-1 близки
(другими словами, существует
0-связка между q и q с
дугами примыканий е и
/), то, очевидно, найдутся
два ребра е' и /' с тем же
свойством, s = e'pf —
подпуть в q и Ipl = 0, т. е.
Ы = 2, что противоречит
геодезичности пути s (см.
определение гладкого
участка). Поэтому для каждого 91-ребра пути q
найдется близкое ему ребро пути Г1, а следовательно,
\t\>\q\.
Считая, что г(Д)>0, можем на основании следствия
16.1 выбрать в А ^-клетку л (рис. 55). Пусть Ti — под-
карта примыкания клетки л к q и д(л, Гь g) = £igip2g2,
t
Рис. 55
§ 17. ПУТИ, БЛИЗКИЕ К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ 173
а Г2 — подкарта примыкания л к t и д(л, Г2, £) = si*is2*2-
Контур клетки л запишем в виде q{wt\U. Пусть,_далее,
^1 = (л, Гь q), 1|)2 = (л, Г2, t). По лемме 15.8 ifr < а. Если
г|)2 5? а, то по лемме 15.6 \s^uq-jvs^1 \<\t2\. Тогда,
вырезая из А клетку л вместе с Г2, мы уменьшим длину
пути t и число 1Д(2)1, что по предположению индукции
позволяет считать утверждепие_леммы доказанным.
Итак, считаем,_что -фi, г|)2 < а, а значит, по следствию
16.1 фь i})2 > 1 — ее. В частности, обе подкарты Ti и Г2
действительно существуют.
По лемме 15.3 и условию Al Isjl, ls2l, \pi\, \p2\ <
< %\дл\. Кроме того, \и\ + Ы < ^\дл\, ибо \qi\ +
+ Uil > "fldnl. Отсюда по лемме 15.7
| д21 < (1 + Зу) | p^ws^t^s^upT11 <
<(l + 3-v)((v + 40|^| + |fa|). (1)
Пусть теперь q = q'q%q" и t = t"t2t'. Применяя
теорему 17.1 к картам с меньшим числом 52-клеток с
контурами q'p^ws^H' (гладкий участок q по лемме 15.1) и
q'fs^up^1 (гладкий участок q") и суммируя два
неравенства, имеем
!(lg'l + lg"l)<U'l + U''l+(4 + 4£)l3n|.
В сумме с неравенством (1), умноженным на [1, это дает
pl?l<UI+(]l(l + 34)-l)U2l +
+ (Ч + 4£)(1 + Р(1 + Зч))10л|. (2)
Заметим, 4To_U2lj>(l — a — 20) \дл\ по лемме 15.4 для
Г2, так как ф > "f — а. Поэтому дополнительное к UI
слагаемое в правой части неравенства (2) отрицательно, ибо
(l+F(l + 34))(Y + 4£) + (if(l + 3Y)-l)(4-a-2p)<0
СПМП; ч, l<§, al(l + 3f)-i = -P + 3^). Значит,
Plgl<UI.
Доказательство кольцевого варианта отличается лишь
тем, что вместо четырех дополнительных путей q', q",
t', t" требуются лишь два — дополнения путей qi и U до
контуров кольцевой карты. н
Начатый с леммы 15.2 цикл утверждений,
доказываемых совместной индукцией по числу 5?-клеток, закончен.
Для приложений в гл. 6 к диаграммам установим еще не-
174 ГЛ. 5. А-КАРТЫ
сколько характерных свойств А-карт. Из теоремы 17.1
непосредственно выводится связь между периметром
дисковой А-карты и периметрами ее клеток.
Следствие 17.1. Если дисковая А-карта А
содержит fft-клетку П, то I М| > [31<9П|.
Доказательство. Вырезая клетку П из А, мы
получим кольцевую А-карту А с контурами t и q, где q —
контур клетки П. При этом, как следует из определения
А-карты и гладкого участка, q является гладким
участком в А. Поэтому по теореме 17.1 \t\ > р|5П|. ■
2. Разрез кольцевой карты. Приведем еще один
пример применения ^-клеток.
•Лемма 17.1. Пусть А — кольцевая А-карта с
контурами р и q, причем любая петля, состоящая из 0-ребер,
стягиваема по кольцу в точку.
Тогда найдется путь t,
соединяющий некоторые вершины 0\ и о%
путей р и q соответственно,
такой, что \t\ <'\[}p\ + \q\).
Доказательство. Если
г (А) = 0, то, как видно из условия,
между р и q найдется 0-связка
и |*| =0.
Если г(Д)> 0, то по следствию
16.2 в А можно выбрать у-клет-
ку П и рассмотреть следующие
два случая.
1) Существуют подкарты примыканий ГР и Тя клетки
П к р и q, причем (П, ГР, p) + (U, T„ q)> у. Обозначим
<9(П, гр, p) = p]qip2q2, d(U, Fq, g)= sLf1s2t2 (рис. 56).
Тогда по лемме 15.4 (для Гр и Г3) \q2\ + \t2\ >(y - 4р) \дЛ\.
Поэтому
Ipl + \q\ >(у-4^)!Ш|.
Если теперь контур клетки П записать в виде t\uq\V,
то можно считать, что \и\ (или \v\) меньше -^^\д11\.
По лемме 15.3 и условию Al \pi\, |sil<£|dn|. Значит,
если t = pxu~ls2, то U|<|yY + 2и|Ш |. Отсюда и из
(3) следует утверждение леммы, ибо
' 1^у + 2^{У~Щ~1<У (ПМП; £-{?).
§ 17. ПУТИ. БЛИЗКИЕ К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ 175
2) Существует подкарта примыкания Г клетки П к
одному из контуров (например, к р) такая, что (П, Г, р)>
<^. Пусть <9(П, Г, p) = PiqiPiq2, a gig'— контур
клетки П, Р = Ч2Р' (рис. 57). Из
лемм 15.4 и 15.3 следует, что
ЫХч-2Р)|дП|,
|prVprM<(2S +т)1^п1.
(4)
В кольцевой А-карте с
контурами p^q'pT1?' и q
меньше 5?-клеток, чем в А, и из индуктивных
соображений можно найти путь t', соединяющий две вершины о'
и о2 на этих двух контурах, такой, что
\t'\<y(\p21q'p71\ + \p'\ + \q\)<
< У (IР I + I ЯI) + У (2£ + У -Л+'.2Р) \РЩ
в силу неравенства (4). Продолжая путь f при
необходимости с помощью подпути пути q (длипы ^vl*?'!)
и пути р~х или р2, получим путь t такой, что
1*1<|*'1 + (тт+£)|я11<7(|р| + к1) +
+ (у(К+ У-У + 2$) + ± у + £j\dll\<y(\p\ + \q\)
(ПМП; £<V). ■
3. (5-клетки. Если некоторые иэ участков контура
коротки по сравению с другими, то можно найти клетку,
сильно примыкающую к длинным участкам.
Лемма 17.2. Пусть А — дисковая А-карта с контуром
Pi4iP2q2, где qi и q2 — гладкие участки, причем |gil +
+ 1дг1>0, \pi\ + \p2\ sSf(lgil + lg2l). Тогда или
существует О-связка между q\ и q2, или найдутся клетка
П е Д (2) и дизъюнктные подкарты ее примыканий Т\ и
Гг к q\ и д2 соответственно такие, что (П, Fi, gi) +
+ Ш, Г2, д2)>|"=1-р.
Доказательство. По теореме 17.1 в А нет
О-связок между qx и gi, между q2 и q2. Поэтому
утверждение леммы справедливо, когда г(Д)=0. Если же г(А)>
> 0, то в А можно по следствию 16.1 выбрать -^-клетку П.
Проводя индукцию по 1А(2)|, рассмотрим варианты.
176 ГЛ. 5. А-КАРТЫ
1) Пусть степень Г-примыкания клетки П к р{ (или
к р2) с помощью некоторой подкарты Г больше а и
3(П, Г, Р\)= S\tis2t2, a t дополняет t\ до контура
клетки П (рис. 58). Тогда по лемме 15.6 ]_s1r1s2l < \t2\, и
если заменить в рх подпуть t2 на s^ts^1, то полученный
Ряс. 58
Рис. 59
путь р~\ короче, чем р\, и к подкарте А с контуром
Р\Ч\Р2Я2 можно из индуктивных соображений применить
лемму 17.2.
2) Пусть Гр и Тд — подкарты примыканий клетки П
к р\ (или к р2)_ж к qx (или к q2), причем (П, Гр, pi) +
+ (П, Гд, gi)>y. Обозначим 3(П, Тр, pi) = sltls2t2 и
3(11, Г9, qx) = s4ls42, контур ЗП запишем в виде tiWitlwl
и положим qi = uf2y, p{ =vt2u (рис. 59).
По лемме 15.8 (П, Гв, qi)<a, т. е. (П, Гр, pi)>^-cc,
и по лемме 15.4 •
и2|>(у-а-2^|ЗП|. (5)
Далее, |si|<£|3_n| по лемме 15.3 (£,/е{1,2}). Если
обозначить рх = vs2~1w1 (s1)-1, то в силу (5)
IPil-l^ilHH + iy-KI-KI-ls1^
> | й | + (у - а - 2р - 21 - 7) | ЗП | =
= Н + (у-27-а-2р-2£)|ЗП|. (6)
По теореме 17.1 (и лемме 15.1) для подкарты с
контуром utis1t1w1s^'1u получим
\ut2\<$Ll(\sl\+ 1*4 + 1104 + 18,1 + |Й|)<
<р"-'|й|+р-1(2^ + ^ + а).|ЗП|.
§ 17. ПУТИ, БЛИЗКИЕ К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
177
Сравнение этого неравенства с (6) показывает, что
\qi\ - \v\ = \ut2\ < ^ ЦрА -- \pi\),
поскольку yfr1 (2£ + у + a)< -|- — 2y — a — p — 2£.
Поэтому условие леммы, а значит, и ее заключение
выполнены для подкарты с контуром pxvp2q2, ибо | А(2) |< | А(2)|.
3) Пусть Г, Гь Гг — подкарты примыкания клетки П
к pi (или к р2), q\, q2 соответственно, причем сумма
степеней примыканий больше ^ (рис. 60). Можно считать,
?t 1г 9г
Рис. 60
1 1г
что (П, Г, pi)> 4 — | = р — у, ибо иначе (П, Гь gt) +
+ (П, Гг, (?2)>Р, и П — искомая клетка. Введем
обозначения 3(П, Г, pi) = sifis2f2, 3 (П, Г,, qi) = ^g^V =
=[1, 2, а t^w^u/g^u/' — контур ЗП. Пусть также р1 = pt2p,
Qi = 3i?a9i, Qi = <M2g2-
Рассмотрим путь р' = (^2) lu7' u>i) \ разрезающий
карту А. По лемме 15.3 его длина меньше (2£ + ч)|ЗП|.
Так как (5 — f > е, то по лемме 15.4 для Г
* li2|>(l + 2p)-1Uil>(l-2p)(p-^)|3n|.
Отсюда
IPil - Ip'l > Ijl + iFl + ((1 - 20) (Р —Т) —2С — ч) 13П1.
(7)
Оценим теперь, насколько | qx \ J- | g21 меньше, чем
I ?i I + | q21. По теореме 17.1 | ~qxq\ | < Р-11 p]q\w"sxP 1-
Складывая с аналогичным неравенством | q\q2|<| Р_1
с помощью леммы 15.3 получим
1 ps^wqlpl |
12
ISiffH + | fflffa I < P_1 (I Pi + IPi) + P_1(4S+ 1)|^П|. (8)
A- Ю. Ольшанский
478
ГЛ. 5. А-КАРТЫ
Сравнение неравенств (7) и (8) показывает, что
карта с контуром p'qlp2Q2 также удовлетворяет условию
леммы 17.2 (т.е. !Л +Ы^тОдИ + ЫП.таккак
#' (1 + 4Б)<(1 - 2р) (Р - -[)- 2£ - t
(ПМП; ч^Р, £^Р).
Остается применить лемму 17.2 к А, что возможно,
ибо |Д'(2)!<1Л(2)1.
4) Допустим, наконец, что существуют подкарты
примыканий Г! и Г2 клетки П к pi и kjj2, причем
(п, г,,Р,) + (п, г2,р2)>ч-р = р-т-
Обозначим ^!44 = 3(П,-Г|,рО, 1 = 1,2, й = Р^. а
ш^з*! — контур клетки П (рис. 61).
^ 4
W,
А г, /'
Л
^
ш-,
52 \Рг
Г "
'2
Л"
sf vpz
Рис. 61
В силу леммы 15.3 и теоремы 17.1 для Г, и Г2 имеем
i;«ii + i*;i>p(l.*y + l«Tl)-4ci»nixp.(p-Y)-4oieni-
Значит,
\РЛ + Ы > IpiI.+ IpsI + l7il + lp2l +(1(P-K)-4t).iani.
Опять же в силу теоремы 17.1
13i I + Ы < Г1 (I и. (*р~>1 (s0-1 Pill +
+ |pi(4)-1^(^)"1P2|)<P"1(Ipi!+IpiI + Ip2I +
+ |Р21) + Р"1(1 + ^)|Ш|. (Ю)
Оценки (9) и (10) противоречат условию леммы, ибо
^-'(1 + Ч)< Р(Р - f)- 4£ (ПМП; ч -< р, 1^ Р).
Поэтому случай 4) невозможен.
§ 17. ПУТИ, БЛИЗКИЕ К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ 179
Легко видеть, что любая f-клетка удовлетворяет
одному из рассмотренных выше условий или удовлетворяет
заключению леммы 17.2, так что лемма доказана.
Клетку П из утверждения леммы 17.2 назовем для краткости
^-клеткой. Заметим, что в силу леммы 15.8 (П, Г<, q<)>
> р — a, i = 1, 2, т. е. обе подкарты Г\ и Г2
действительно существуют. ■
4. Разрезы дисковых карт. Если контур дисковой
А-карты А удовлетворяет определенным условиям,
типичным для подкарт примыкания, то А оказывается, как
мы сейчас покажем с помощью р-клеток, в некотором
смысле узкой картой, что, как и лемма 15.3, оправдывает
термин «примыкание».
Лемма 17.3. Пусть А — дисковая А-карта с
контуром pigip2g2, причем q\ и q<i—гладкие участки рангов
к и I, k ^1 и
\pi\ + \ps\^4(\qi\ + \q2\). (И)
Тогда:
1) найдутся вершины 0\ и о2 на q\ и q-г и
соединяющий их путь х в А такой, что Ixl < ak;
2) вершины о\ и о2 можно выбрать так, что длины
начальных отрезков путей qi и q"^ {путей gj" и д2) до о\ и
02 меньше чем у_1(1рИ + ak)
(чем у_1(1р2| + ak));
3) если вместо (11)
выполнено условие \pi\, \р2\ < ak,
то любая вершина о пути q\
[пути q2) может быть
соединена в А некоторым путем у с
некоторой вершиной о' на дг
(на qi) так, что \у\ < у-1&.
Доказательство. Рис.62
1) Утверждение очевидно,
если между qi и д2 есть 0-связка. (Тогда Ы = 0.) В
противном случае по лемме 17.2 можно найти р-клетку П
вместе с дизъюнктными подкартами Т\ и Г2 ее
примыканий к gi и д2. Введем обозначения 4444 =
Г~^(П, Г{, qt), s = l, 2, а ^и^Хщ — контур клетки П (рис.
°4 .При этом |гл|<Р|ЗП|. Кроме того, по лемме 15.3
i _ 5|ЗП|. Если в качестве х выбрать, например,
siu2 ^1, то
12% Ы<(2£ + р)|Ш|. (12)
180 ' ГЛ. 5. А-КАРТЫ
Поскольку Ui|<a|dri| по лемме 15.8, имеем Ul|>
>((3 — а) | ОТ1, и по лемме 15.4 11\ | > ф — а — 2[3) | ОТ |.
По определению гладкого участка | £21 < (1 + у) к. Значит,
lOT|<(l/2-a-3^)-1(l + T)fc- (13)
Из (12) и (13) имеем
Ы <{2£, + $){1/2-а-Щ-1{1 + ч)к<ак
(ПМП; р^а).
2) Пусть q\ = u,\V\ и q^1 = u^v^1, где вершины
Oi и 02 — концы путей щ и uj1, причем среди
возможных пар из утверждения 1) пара {о\, о2) выбрана так, что
путь и\ наикратчайший. Но тогда, как видно из
доказательства утверждения 1), в подкарте с контуром р\щхщ
уже нет (J-клеток и 0-связок между щ и и% Значит, по
лемме 17.2
l»il + 1в2| <r'(IPil + Ы)<Г'(1Р11 +ак).
3) В обозначениях доказательства утверждения 1)
рассмотрим сначала тот случай, когда вершина о лежит на
пути t, построенном по ^-клетке П (рис. 62). Как
показано в доказательстве утверждения 1), 11\ | < (1 + у) к,
а конец пути t2 соединяется с вершиной на qi путем х,
где Ы < ак. ^Гогда вершина о соединяется с некоторой
вершиной на пути q% путем у, где \у\ < (1 + ^)к + ак <
<2к.
Если вершина о лежит на Ц, то нужно учесть, что
по теореме 17.1
11\ | < Р-11 sluThltW^sl \ < Г1 (4£ + р) | ОТ | + (Г111\ |.
В силу (13) правая часть меньше (3|3 + JJ-1 (1 + у)) к <.
3 3
< у к. Значит, | у | < -j к + ак<2к.
Если в А есть [3-клетка П, то в тех же обозначениях
пути SiU^M и s{u2~1s22 длины < ак разрезают А на три
подкарты. Продолжая подобные разрезы с помощью
(J-клеток или 0-связок между qx и q2, мы приходим к тому
случаю, когда о лежит на пути q[ (или q2) некоторой
подкарты с контуром вида p\q[p'2q2, где q[ и q2 — подпути в
qx и q2, а \рг\, \ р'2 \ < ак, причем по лемме 17.2 у»№
| Pi I + 1 Рг I > Y (I Чх I + I д'а I )• Отсюда | q\ \ < 2у~1ак, i = 1.,
§ 17. ПУТИ, БЛИЗКИЕ К ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ 181
Чг (q[)
пу-
о а вершина о соединяется с вершиной пути
теМ пл1ты<2у~1ак'+ак'<:у~1к. в
Лемма 17.4. Пусть А — дисковая А-карта с
контуром pi4\P2Q2, в котором Ч\ и дг — гладкие участки рангов
\ и I, k ^1, о IpH, I/721 < Х,пк. Тогда периметр любой
клетки П из А меньше Зу'Чпк < пк и г(А)<3^~%к < к.
Доказательство. Применяя несколько'раз лемму
17.3, мы можем разрезать А на несколько подкарт А{ с
контурами вида p\q\p\q\ (рис. 63),^где~ q\(,q\) — подпути
9i
9J
Pt"
PA *i \Pl2 -""Рг
92
9i
Рис. 63
пути <h(?a), |pjl<£»fc и v(|gi| + |?al)<|pil + |Pa|-
Значит, | dAt\ < 2 (l + у х) Ink. Поэтому по следствию 17.1
\дЩ<$-12(1 +у'1) &к<Зу~Хпк<пк (ПМП; I < у).
Второе утверждение следует теперь из условия А1. в
Лемма 17.5. Пусть А — дисковая А-карта с
контуром p\q\p2<l2, б котором q\ и qi — гладкие участки рангов
к и I, к^1, и величины \qi\ — М неотрицательны, где
/ = 1, 2 и М = у~Ч\р1\ + \р2\ + к). Тогда из А можно
вырезать подкарту с контуром вида РгЧхРгЧг, г°е 4i W2/ —
подпушь в qx
/ = 1,2 (рис.
(в 9а),
64).
/»,м
ak u\qj
\9i
— М для
9;
Pigzzgzzzzzzaz.
р'2
Рг
Рис. 64
Доказательство. При наложенных требованиях
выполнены условия леммы 17.3. Выберем в качестве
путей Pt и р2 разрезающие карту А пути, существование
которых гарантируется в утверждении 2) этой леммы, и
Смысл леммы 17.5 состоит в том, что если q\ и qi
Длинны по сравнению с р\ п pi, то от карты А можно «не
очень много» отрезать так, что в оставшейся карте длины
боковых путей р\ и р'2 уже малы по сравнению с г (gj
11 Г\Ч2), а не только по сравнению с \q[\ и j^l-
ГЛАВА б
СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
Различные аспекты проблемы Бернсайда в теории
групп (и не только в пей) относятся к числу наиболее
глубоких вопросов алгебры. Одной из самых общих
является следующая постановка: всякая ли периодическая
группа с конечным множеством порождающих конечна?
Положительно и совсем просто этот вопрос решается при
дополнительном условии разрешимости (следствие 7.1).
Положителен ответ для матричных групп над полем
(Бернсайд [144], Шур [248]; см. также [64]) и для групп
многих других классов. Этим была предопределена труд=
иость столь естественной задачи, и лишь в 1964 г.
Е. С. Голод [24] построил бесконечные конечно
порожденные р-группы. (См. также [20], [51].) Новые примеры
были найдены в 1972 г. С. В. Алешиным [11] в виде групп
автоматных преобразований. Среди групп, определяемых
как группы преобразований, наиболее простой и
изящный пример указан в 1980 году Р. И. Григорчуком [29].
Другие способы получения бесконечных периодических
групп с конечным числом порождающих можно найти
в работах В. И. Сущанского [111], Гупты и Сидки [170]
(см. также [75], [51])..
Сам Бернсайд выделил «ограниченную» проблему:
конечна ли всякая группа с конечным множеством
порождающих и тождеством вида хп = 1? Ответ очевиден при
га = 2, так как хух~]у~{ = х2(х~1у)2у-2, т. е. любая группа
с тождеством х1 = 1 абелева, и группы с т
порождающими имеют порядки «5 2™. Положительное решение
проблемы Бернсайда для групп периода 3 читатель может
вывести из примера, приведенного в начале гл. 4 (рис. 25).
Конечность таких групп была известна Бернсайду, а Ле-
вп и ван дер Варден [192] нашли точную границу
порядков т- порожденных групп периода 3. Она равна 3я'"',
ГЛ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП 183
где }{т) = Ym(m2 + ^' Бернсайду была известна и
конечность 2-порожденной группы периода 4, которая для
любого числа порождающих доказывается И. Н. Сановым
[104] в 1940 г. (см. [117]). Ступени разрешимости таких
групп не ограничены, а растут вместе с ростом числа
порождающих — эта известная задача Холла — Хигмена
решена Ю. П. Размысловым [103]. В 1958 г., используя
работу [175], М. Холл [172] доказал локальную конечность
групп периода 6.
Прямолинейные попытки использовать существование
сколь угодно длинных апериодических слов в конечном
алфавите (см., например, теорему 4.6) для
отрицательного решения проблемы Бернсайда неэффективны хотя бы
потому, что существует бесконечно много даже 2-аперио-
дическпх слов в алфавите {а, Ъ, с}, в то же время как
локально конечны не только группы периода 2, но и
группы периодов 3, 4, 6.
Отрицательное решение ограниченной проблемы
Бернсайда в общем случае было объявлено П. С. Новиковым
[78], [79] в 1959 г. В 1968 г. появилась серия
фундаментальных работ П. С. Новикова и С. И. Адяна [80], где
приведено отрицательное решение проблемы Бернсайда
для любых нечетных показателей п 5^4381. С. И. Адян
[5] снизил оценку до п > 665, однако сложность
доказательства еще очень велика. Цель гл. 6 — дать
существенно более короткое доказательство теоремы Новикова —
Адяна, чем оригинальное, хотя бы и с ухудшенной
оценкой для показателя п (например, для нечетных п> 1010).
Кроме теоремы 19.1 доказываются некоторые другие
результаты о свободных бернсайдовых группах —
теоремы 19.2, 19.3, 19.5, 19.6, полученные в работах [80]—[82],
[5] при it 5* 4381, а затем при п 5s 665.
Основная особенность нашего доказательства —
использование А-карт, необходимые свойства которых
установлены в предыдущей главе. В § 18 установлены
характерные черты диаграмм над свободными бернсайдовы-
ми группами в предположении, что диаграммы данного
Ранга i являются А-картами, а в § 19 мы освобождаемся
°т этого индуктивного предположения, что позволяет
доказать теорему 19.1 и получить в этой и последующих
главах другие результаты о периодических группах.
Отметим, наконец, что существует и «ослабленный»
вариант проблемы Бернсайда: ограничены ли порядки
184 ГЛ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
всех конечных групп данного периода га?
Основополагающие результаты для любого простого п принадлежат здесь
А. И. Костршшну [57] (и Хигмену [178] для п = 5).
Отсылая читателя к монографии [59], заметим, что мы
продвигаемся в совсем ином направлении, удаляясь от
конечных групп, а тем более модулярных алгебр Ли.
Абсолютно понятные по формулировкам вопросы,
связанные с именем Бернсайда, продолжают стимулировать
новые исследования. «Само собой напрашивается
сравнение влияния проблемы Бернсайда на комбинаторную
теорию групп с влиянием последней теоремы Ферма на
развитие алгебраической теории чисел»,— пишут авторы
книги [118].
§ 18. Свободные бернсайдовы группы
больших нечетных периодов
1. Определяющие соотношения. Пусть SI U
St-1—произвольный групповой алфавит, are — достаточно большое
нечетное число (см. п. 15.1). Ниже мы построим
градуированное копредставление группы В (91, п) с помощью
определяющих слов вида Ап, где А — некоторые простые
слова.
Инвариантное определение группы В (91, п)
получится в теореме 19.7, а эффективность ее задания и
алгоритмические вопросы (для нее и ряда других групп)
затронуты в § 28.
Напомним (см. п. 13.2), что при определении
градуированного копредставления G (0) = F (9t) — свободная
группа и $о = &- Кроме того, если Ап = 1 —
соотношение ранга i, то в соответствии с п. 13.3 слово А будет
называться периодом ранга i. Кроме периодических слов
с периодами ранга i в доказательстве встретятся слова
с простыми в ранге i периодами. Последнее понятие
обобщает данное в п. 4.3 определение простого слова на
произвольные градуированные копредставления.
Неединичное (в F (Щ) слово А назовем простым в
ранге i &* 0, если оно не сопряжено в ранге i с
какой-либо степенью Вт периода В ранга A: s£ i и не сопряжено
в ранге i со степенью какого-либо слова С, где \С\ < \А\.
Легко видеть, что простое в ранге 0 слово — это слово,
простое в смысле п. 4.3. Понятно также, что
циклический сдвиг и обратное слово для простого в ранге i
слова также просты в ранге i.
§ 18. СВОБОДНЫЕ БЕРНСАЙДОВЫ ГРУППЫ 185
Итак, пусть i>l и уже определена группа G(i — 1)
и множество слов Я,^\. Обозначим 36 { некоторое
максимальное подмножество простых в ранге I — 1 слов дли-
ны } с тем свойством, что если А, В е= 36,, причем А Ф В,
то слово А не сопряжено в ранге г— 1 (т. е. в G(i — 1))
с В или В~х.
Положим 9,i = {An\A^Sei) и Я{ = §U-\ U 9>г, а
значит,
G(i)=<«ILff = l; ЛеЙ(>
(в соответствии с формулой (2) § 13). Таким образом,
слова из 33{ — это периоды ранга L Пишем r(A)=i для
А е 95 х. Наконец,
В(Я,га) = С(оо) = Ли|Я = 1;Яе<% = [j St\ (1)
В соответствии с п. 13.2 мы должны объявить, что
г(11)= i S* 1 для клетки П диаграммы над G(i) или G(°°),
если метка контура клетки П равна в F (Щ слову из 9"i
(либо обратному ему, либо циклическому сдвигу того или
другого). В частности, |дП|=гаг, если г(П)=£>1, ибо
\Ап\ = ni для iefj. Каждой $?-клетке ранга i
однозначно отвечает период А ранга i. (Скажем, что П —
клетка с периодом А.)
Для любых градуированных копредставлений
справедлива
Лемма 18.1. Каждое слово X сопряжено в ранге
i ^ 0 со степенью некоторого периода ранга j < i или со
степенью некоторого простого в ранге i слова.
Доказательство. Применим индукцию по \Х\.
Если X не сопряжено со степенью слова меньшей длины,
то утверждение леммы сразу следует из определений,
т. е. X просто или X сопряжено со степенью периода
ранга ss i. Допустим, что xLzYlZ~l, где \Y\<C\X\. По
г
предположению индукции Y = UAmU~1, где А — период
Ранга /<Tf или А—простое в ранге i слово. Тогда
X = (ZU) Aml (ZU)-\ и лемма доказана. ■
2. Первые следствия индуктивных предположений.
&се утверждения начиная с леммы 18.2 до леммы 19.5
^оказываются совместной индукцией по рангу диаграмм
и соотношений. Поэтому в соответствии с леммами 19.4
186 ГЛ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
и 19.5 все приведенные диаграммы ранга i считаются
А-картами, а если для участка q контура дА <p(q) — В-
периодическое слово (где В — период ранга / < i или
простое в ранге i слово) и в А нет клеток, S-согласованных
с Я, то q — гладкий участок ранга \В\ в ЗА. При
индуктивных доказательствах основание индукции тривиально.
Лемма 18.2. Непредставление G(i)= (ШВ = {•
R е ^?;> является асферическим и аторическим.
Доказательство. По лемме 19.4 приведенные
диаграммы ранга i являются А-картами, а по теореме 16.3
сферические и ' торические А-карты имеют нулевой
ранг. ■
• Следствие 18.1. Пи одно из соотношений
системы {R = l\R<s $.3 не следует из остальных.
Доказательство. Утверждение следует из
леммы 18.2 н теоремы 13.4. и
i
Следствие 18.2. Если XY —YX, то существует
i h i ,
такое слово Z, что X — Z , Y = Z для некоторых
целых к и I.
Доказательство. Это следует из леммы 18.2 и
теоремы 13.5.
г
Лемма 18.3. Если X -ф 1 и слово X имеет
конечный порядок в ранге i, то оно сопряжено в ранге i с
некоторой степенью какого-то периода ранга k < i.
Доказательство. Предположив противное, с
помощью леммы'18.1 заключаем, что X сопряжено с Ат для
некоторого простого в ранге i слова А п т Ф 0. Тогда из
г
условия следует, что As = 1, 5=^0, для некоторого s.
По леммам 19.4 и 19.5 приведенная диаграмма этого
равенства (которая существует в силу теоремы 13.1)
является А-картой, а ее контур q — гладким участком, что
невозможно по теореме 17.1 (\t\ = 0, \q\ >0). ■
Лемма 18.4. Если А и В — простые в ранге i слова
и А = ХВ Х-1 для некоторого X, то I — ± 1.
Доказательство. Ы1 ^ |Z?| по определению
простого в ранге i слова. По теореме 13.2 существует
приведенная кольцевая диаграмма А ранга i с контурами р
и q, где ф(/?) = Л, q>(q)^B~'. По лемме 19.5 ее
контуры — гладкие циклические участки, а по лемме 19.4 А
является А-картой. Значит, по теореме 17.1 $\В'\ < \А\, т.е.
§ 18. СВОБОДНЫЕ БЕРНСАЙДОВЫ ГРУППЫ
187
Ш\В\ < \А\, что при \1\ > 2 противоречит неравенству
|д| < |5|, так как 2| = 2 - 2р > 1. ■
Лемма 18.5. Если слова X и Y сопряжены в ран-
ге i то найдется такое слово Z, что X = ZYZ
u\Z\<~a(\X\ + \Y\).
Доказательство. По теореме 13.2 существует
приведенная кольцевая диаграмма А ранга i с
контурами р и q, где ф(р)г1и<р(д)э У-1. По лемме 19.4 А
является А-картой. Поскольку X и Y можно считать пееди-
ничными, выполнено условие леммы 17.1 и диаграмма А
разрезается путем t, где \t\ <ч(|Х| + |У|). Разрез t
дает дисковую диаграмму А', из которой по теореме 13.1
получаем Х2Хг = TY2YXT , где ф (t) = Т, а Х2ХХ и
Y2YX — некоторые циклические сдвиги слов X = ХХХ2 и
F = YjY2- Сопрягая с помощью Хь если | Хх | ^ -к \ X \
[или Xi\ если | Х2 К -i | X 11 получим ХХХ2 = XXTY2X
XY^^X^1. Обозначим, наконец, Z = XtTY2, еслп| F21<
<{\Y\[z^XxTYT\ если | Yx | < U Y\). Тогда X 1
2
= ZYZ~\ где
<
(i + y)(\X\ + \Y\)^a(\X\ + \Y\).
3. Сравнение периодических слов. Нетрудно
проверить, что если X = У, где X и Y являются А- и 5-нерио-
дическими словами с простыми (в ранге 0) периодами
А и В, причем |Х| > \А I + \В\, то А и В совпадают с
точностью до циклического сдвига. Задача усложняется при
г
изучении равенства вида X = Y. К тому же при
сравнении периодов «близких» клеток (разделенных
«тонкими» подкартами примыканий) приходится иметь дело
с более общими равенствами X = ZjYZa, где \ZX\ и \Z2\
малы по сравнению с |Х| и 1У1. Рассмотрим эти вопросы,
"оказывая леммы 18.6—18.8 при фиксированном i>0
совместной индукцией по сумме длин L периодов (каких
менно — указывается) с тривиальным основанием L = 0.
188 ГЯ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
Лемма 18.6. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром р^/Мг, где ф((?i) и ф(дг)~' —
периодические слова с простым в ранге i периодом А.
Тогда если |р,1, W<aU| и Igil, I q21> f-g h + lj |Л |,
то gi u g2 А-согласованы в А. {Параметр индукции
L=UI + Ul.)
Доказательство состоит из нескольких шагов.
1) Можно считать, что ф (д^1) начинается с А (если
заменить А циклическим сдвигом), а ф (дх) — с А'Л, где
I^'|<4|^ИЕсли '^'^тИь то' иаобор°т' с™™,
что ф (дх) начинается с А, а ф (д^1) == Л'Л, получим
| А' |<"2 I A\.) Поэтому, удлиняя путь рхна \А'\ (и
укорачивая gi) без изменения обозначении, приходим к
диаграмме с контуром р^гр^2, где
| р! | < (j + а] \А | = а | А |,' | ?11, | д21 > | h \A |,
|р2|<аИ|, (2)
а слова ф(дО и ф(д2)~' начинаются с А. Поэтому если
ф(^1)=1, то лемма доказана. Далее считаем, что 4>{Pi)¥=
i
2) Допустим для определенности, что Igil > lg2l.
Поскольку Л-перйодические слова ф(дО и ф(дг) '
начинаются с А, то ф(дО= ф(д2)ф(д')-
По леммам 19.5 и 19.4 gi и д2 —
гладкие участки в А-карте А.
Значит, по теореме 17.1 fllgij_< 1дг1 +'
+ 1рИ + \р*\ < Ш +(a + a)UI.
Отсюда
lg'l = lg,!-lg2l<
1<(^-i-l)|g2l + Ul. (3)
3) Приклеим g"^1 к началу пути gi (с той же
меткой). Получится кольцевая диаграмма А, в которой начало
пути контура р\ и начало пути q соединены путем д2 •
Поскольку ф(д') Л-периодически продолжает слово
Ф (q7X), вершину о, = (р\)_- можно соединить с любой
вершиной о2 пути q в А некоторым путем s (рис. 65)
Рис. 65
§ 18. СВОБОДНЫЕ БЕРНСАЙДОБЫ ГРУППЫ 189
таким, что ф(«) — Л-периодическое слово и Ы > |д2|. Для
приведенной диаграммы, которая получится из А после
удаления у'-пар, сохраним те же обозначения. Лемма 11.3
позволяет утверждать, что и после удаления /-пар
вершина oi может быть соединена в А с о2 таким путем s, что
Ф (s) = Ф («)•
С другой стороны, по лемме 17.1 (она применима, ибо
<${р-дФч А-карту А можно разрезать некоторым
путем t, где Ul ^t(lpil + lp2l + lg'l)< Ul +4(jr1-l)lg2l
в силу (3). Значит, о\ и некоторую точку на q' можно
соединить в А путем s', где
|s'|<|*l+ ?(\Pi\ + \Pi\)<4$~1-l)\qi\ + 2\A\. (4)
i
Если обозначить ф(р1) = £) (где D ф 1 по предполо-
г\ * i
жению), то по лемме 11.4 имеем ф \s) — D ф (s'). По
t
лемме 18.1 D = YBmY , m¥=0, где В — простое в
ранге i слово или период ранга k <,i. Благодаря
лемме 13.3 (т. е. меняя при необходимости тп) и леммам 19.4,
19.5 можно считать, что в приведенной.диаграмме
сопряженности слов D и Вт циклический участок с меткой Вт
является гладким, а значит, по теореме 17.1
iBKls^r^KF^MKl-Ml (5)
в силу (2). Кроме того по лемме 18.5 можно считать, что
|Г|<а(|£| + |£т|)<а(а + 4)|Л|<|Л|. (6)
Отсюда ф (s) = ф (s) = YBmlY~\ (*'), т. е. если2=у-1ф («'),
то
Y~1^(s)Z~1B-mlL\. (7)
4) Из равенства (7) с помощью теоремы 13.1 можно
получить приведенную диаграмму Г ранга i с контуром
ж1^2у2, где |Xl |<| А| (см. (6)), \х2\<у (Г1 - l) |g21 +
+ 3 | Л |(см. (4) и (6)),|i;1| = |s|=.|?a|>-|fe|41(cM. (2)),
? \vi) — Л-периодическое слово, а ф(у2)-1 — 5-периодическое
слово. Как и в 3), можно считать, что v\ и у2 — гладкие
190 ГЛ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
участки рангов \А\ и |В\ в дТ. Заметим, что у ((Г-1 —.
— l)|ga| + 4|4|<v|ga|, ибо |д2|>|га|Л| и /Гх=6<<
<^Y. Поэтому к Г можно применить лемму 17.5 и
вырезать из Г подкарту Г' с контуром х'^[х'^'2, где \х[\, \х'2\<^
<a\A\,\v'1\>\v1\-y-1(\x1\ + \x2\ + \A\)>\q2\(i-.
-V"1v(P"1-l))-5v"1MI = (2-r1)l?2|-5Y-1MI>
> (| h (2 - p"1) - 5v_1) | Л | > | га | Л | (ПМП; /г-1 = 6 <
-<7). По теореме 17.1 для Г' | v2 | > р | ух | — \х[ \ —
-\х'2\>~ЩА\-\А\>~к\А\>к\В\ (см. (5)). .
5) Для того чтобы к Г' можно было применить
лемму 18.8, нужно только теперь, чтобы В было простым
словом. Но / = г(Г')< \B\ = к по лемме 17.4, а по
определению период ранга к прост в любом рапге / < к.
Применяя, наконец, к Г' лемму 18.8 (что возможно, ибо
V = \В\ + \А\ <£ = 2|Л| в силу (5)), получаем
сопряженность слов А и В в ранге i. Это противоречит простоте
слова А в ранге i и неравенству \В\ < \А\. ■
Лемма 18.7. Пусть ZXA JZ2 = А 2, т = rain (/nj, пг2) и
Л— простое в ранге i слово. Тогда если \Z1\ + \Zi\<c
<[■)) m 77 h — 11 —1 ИЛ |, то Z1 и Z2 равны в ранге
i степеням слова А. (Параметр-индукции L = 2\ А\.)
Доказательство. По теореме 13.1 существует
приведенная дисковая , диаграмма А ранга i с коптуром
PiQiPtSa, гДе Ф (Pi) = Zi, Ф 0»г) = Z2, Ф (?i) = Л™1, Ф Ы""1 =
== Л а. Диаграмма А является А-картой с гладкими
участками контура ранга \А\ qt n qz по леммам 19.4 и
19.5. С помощью леммы 17.5 вырежем из А
поддиаграмму А' с контуром p[q[p'2q2, где | р[ |, \ р'21 < а | Л |, | а] | >
■>\qj\-y-\\Zl\ + \Z2\ + \A\)>m\A\-(m-\h^\)yk
X \А\ = (-|га + 1J |Л |; / = 1,2. По" лемме 18.6 gj и ^
Л-согласованы в А', а значит, ^ и q2 Л-согласовапы в
А. Остается сослаться на лемму 13.1. а
Лемма 18.8. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром P\q\p2q2; <p(<7i), ф(<72)—
периодические слова с простыми в ранге i периодами А и В,
% 18. СВОБОДНЫЕ БЕРНСАЙДОВЫ ГРУППЫ 191
причем \А\ > \В\. Тогда если \р\\, \р2\ <а\В\, \qx\>
~~,--h\A\, \q2\ >h\B\, то слово А сопряжено в ранге i
с В±х. При этом если <р(</i) и ф(7г)-1 начинаются соот-
г ,
ветственно с А и В~\ то А == ср (р1)~1В±1(р (рх).
(Параметр индукции L = \А\ + \В\.)
Доказательство. По леммам 19.4 и 19.5 А
является А-картой с гладкими участками q\ и q2 рангов \А\
и \В\. Заменяя А и В циклическими сдвигами, считаем,
что (f(q\)=AAu (p(q2)"1 = B~mВи где Л, и Si — начала
слов А и В"1. Обозначим у(Р\)—Р\, (р(р2) = Р2. Имеем
P1AlA1P2BTlBm = 1. (8)
Подвергая (8) циклическому сдвигу, получим Лг_1Л1/'ах
хВ^1ВтР1А=1, т.е. А1'11 A^P^B^B^Ai1.
Подставим последнее выражение в (8), имея в виду, что
А'^А1-1А:
Р1А-1Р^В'тВ1Р~1А^1АА1Р2В-1Вт = 1.
Если обозначить здесь Zt == Р1Л-1Р^"1, Z2 =з Л1^1Л7/1Х
XAA^zB^1, то
\Zl\ + \Z2\<A\A\ + 2\B\+Aa\B\, (9)
Z1fi"mZ25m = 1. (10)
По теореме 17.1 для А
{h\A]<\qi\^fr1(\q2\ + \p1\ + \p.2\)<
<Г1(т+1 + 2а)|5|<р-1(т + 2)|5.
Поэтому в силу (9)
\Zi\ + \Z2\<
<(6$-1 (т + 2) + 3)\B\<W8m\B\<j ym\B\f
ибо /га > А - 1 и h'x = б -< ч- Значит,
i^i + i^i:<(y(w-4a-i)-i)|5|,
192 ГЛ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
и к равенству (10) применима лемма 18.7 (2|i?|:S^| 4|-ц
i
+ |Z?|). Следовательно, Z1==P1A~1P'^1 = Bs для некото-
г ,
рого s, а по лемме 18.4 s= ± 1, т. е. А = Р^В^Р^ щ
4. Нечетность показателя п. До сих пор нечетность
числа п не использовалась. Она существенна для
следующей леммы, утверждение которой полезно сравнить с
примером из п. 13.1 (рис. 39). Обращаем также внимание на
то, что в отличие от леммы 18.6 здесь фигурирует ф(дг),
а не Ф (д^1)-
'Лемма 18.9. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром P\q\Pi<l4, где <p(?i) и ф(дг) —
периодические слова с простым в ранге i периодом А и
max(|pil, |р21)<а|4|. Тогда max(Igil, |g2l)s£/i|4|.
Доказательство. По леммам 19.4 и 19.5 А
является А-картой с гладкими участками q\ и д2.
Рассуждая «от противного», можно считать lgilSs|g2I, l?il >
> h\A\ и ф(д053 АА\ (т. е. ф(д0 начинается с А, что
достигается заменой периода А своим циклическим
сдвигом). По теореме 17.1 имеем
}g*\>hQ1\-\Pi\-\Pi\>$(h-2a)\A\>lh\A\.
Следовательно, можно воспользоваться леммой 18.8, и если
ф (q^1) = A'Aft где А' — циклический сдвиг слова 4-1,
то А=(р(р1)~1 (4')'Ф (Pl), l=± 1. Поскольку A' =V~1A"1V,
где | V | <; | А |, получаем
a L z'1 (4_1)гг, - z = ±i, (И)
гдег=7ф(р1),т. е. \Z\ <(l + a)UI.
i
1) Допустим сначала, что I = — 1 в (11), т. е. ZA =
— AZ. Представим путь q2 в виде tfofa, где \t\\ <
< 141, ф(£2)=4-1_(т. е. (f_(ti)'1 = V), а слово (p{qi)
запишем в виде 4*4, где |4| < |4|. Тогда по лемме 11-3
ф (аГ1) =
= Ф (?а) Ф Ы Ф (Qfi) = Ф ('Г V) ZAhA 1 Ф (£-V) 4hZ4.
Длина 4-периодического слова ф («з ^а') Ak больше
А|4| и оно равно в ранге i слову ф (р^1) A~1Z~1, длпна
§ 19. ДИАГРАММЫ КАК А-КАРТЫ 193
которого меньше (а + 1 + 1 + а) 141. Приведенная
диаграмма этого равенства дает противоречие с теоремой 17.1,
ибо рА > 2 + 2а.
2) Пусть I = 1. Тогда
Z~2AZ2 L Z^A^Z L {Z~XAZ)-X ~ (A'1)'1 L A.
i
Поэтому Z2AmZ2 = Am для любых m. Выбрав m
достаточно большим, получим по лемме 18.7 равенство вида
Z2 = Ad для некоторого целого d. Отсюда Z~xAdZ = Ad, а
г
в то же время при I = 1 из (И) следует, что Z~xAdZ =
= А а. Поэтому Ага = 1. По лемме 18.3 d = 0, так как
4 — простое в ранге i слово. Значит, Z2 = 1. Из леммы
18.3 и нечетности порядков периодов рангов j^i в ран-
t
re i (п нечетно!) следует тогда, что Z = 1, так что (И)
превращается в равенство А — А , что опять-таки
невозможно в силу простоты слова 4 в рангеТи леммы 18.3 в
§ 19. Диаграммы как А-карты.
Свойства групп В (51, п)
1. Очень длинные периодические слова. Для перехода
к поддиаграммам примыкания в ранге i + 1 нам нужно
несколько модифицировать лемму 18.8, значительно
ослабив требование к длине пути q\ относительно
периода 4, но усилив условие на длину пути д2 относительно
периода В.
Лемма 19.1. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром P\q\Pi4i\ ф(д0> ф(дг)—
периодические слова с простыми в ранге i периодами А и В.
Пусть еще
IM|P2|<a|PI, 1?1|>(1 + уч)И1. \Ч2\>\гп\В\.
Тогда слово А сопряжено в ранге i с В±{, а если при этом
Ф(дО начинается с А, а ф(д2-1)- с В~1, то А — <${р\)~х X
*fi*Wi).
Доказательство. По леммам 19.4 и 19.5 А есть
А-карта с гладкими участками q\ и д2. Пусть ф(д!)=э44',
13
А- Ю. Ольшанский
194
ГЛ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
где | А' | > -z-yl ^1 и вершина о\ пути gi отвечает этому
разложению. Она разрезает путь q\ в произведение
1 / 1 \"1
qi = uv, где | у | >-^У [1 + у 7] I ?i I- Ввиду 3) из
леммы 17.3 существует разрезающий путь t = 0\ — 02, где
и'
Рис. 66
о2 лежит на дг и \t\ <^~1\В\. Пусть t~lvp2x — контур
для «отрезанной» подкарты А' (рис. 66) и q2 — ху. Нам
удобно считать, что <р(дг) начинается с В, чего можно
добиться, изменяя начало пути дг, т. е. теперь
|р2|<(1 + сс)|Я|, <р(х)^Вп\ UK^ + OlBI.
Поэтому по теореме 17.1 для А'
m1\B\ = \x\>$\y\-\t\-\p2\>±fri[l+±yy1\q1\-
- (у~г + 1 + i + a)\B\>± y\q1\~2y-1\B\. (1)
В то же время по теореме 17.1 для А
I <7i I > РI ?я I - I Pi I - I P21 > (4 Р№ - 2а) I B I-
Из неравенств (1) и (2) получаем
^ 1
(2)
■ •Jipen —2а) —2-у 1>TYS"
(ПМП;в-' = 1).
Заметим, что в силу Л-периодичности слово cp(gi)
начинается с А', т. е. q>(qi)= А'А (А — циклический сдвиг
слова А). В соответствии с этим можно выбрать
разложение q\ — wu' так, что q>(w)=A'. Выберем, как и выше,
вершины 0\ и 02 (см. рис. 66) и получим поддиаграмму
§ 19. ДИАГРАММЫ КАК А-КАРТЬ1 195
д"чс контуром piivsz, где
M<(y_1 + 1)|5|, ф(2) = 5т2, mt>jyen.
Обозначим прописными латинскими буквами метки
названных путей (ф(у)г=7 и т. д.). Тогда по лемме И.З
W = P^Z^S'1, V = TX-'Pz1. Но W = V, так что
ТХ-'Р, 1 P-'Z-'S-1, т.е. (Р^В'™1 (P^S) Bm*ll, где
lPlT\ + \P2S\<
<(2(у~1 + i) + 2(a + l))\B\<:(y^ym-^h-ij-ij\B\
(ПМП; re = i '). Поэтому в силу леммы 18.7 РХТ — В %
_ г i
P^S — В . Поскольку ф(у) s Y £з Bd — степень слова В
(так выбрали ог и 02),
А = Ф (и) L P^Y'1 Т-^Р^В-^Р, 1Ф (^Г^'ф (рО-
Остается заметить, что по лемме 18.4 с = ± 1. н
Лемма 19.2. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром р^хРчЧч-, г®е ф(#1) и ф(дг) —
периодические слова с простыми в ранге i периодами А
и В; \q2\>en\B\, max(l/>il, \p2\)<t,nc, где с =
= min(|J|, |5|). Тогда либо \q\\ <(1 + у) \А\, либо
слово А сопряжено в ранге i с В±х и при этом иг А = B±l
следует, что А = В~х и пути q\ и qi А-согласованы в А.
Доказательство. По леммам 19.4 и 19.5 А есть
А-карта с гладкими участками gi и q-i рангов \А\ и \В\.
По теореме 17.1
l?il>FM - Ipil - W >фе-2£)п|Я|,
а по лемме 17.5 можно выделить в А поддиаграмму А' с
контуром pWip'tf'i, где \р[ |, | р'3 \ <ас, q[ и q'2 — подпути
путей qt и д2 и
l92|>|g2|-Y~1(2£n + l)c>
> (era - 2^-1 (2£га + 1)) 151 > j гп \ В |
(ПМП; £<e). Аналогично |дх| — | д!|<3^_1^с.
13*
196 гл. 6, соотношения периодических групп
Предположим, что \q[ \ > [l + ~ -у] \А |. То гда
слова Л и В*1 сопряжены в ранге i по лемме 19.1 для А'.
Поэтому \А\ = \В\ в силу простоты слов А, В в ранге £.
Значит, по теореме 17.1 для А'
Ui I > РI <7г1 - I КI - I р'г 1 > [j Реге - 2а] | В | > -| гп | 51,
(3)
и если А^В*1, то А = В-1 по лемме 18.9 для А', ибо
7r-erc>fc. В таком случае согласованность путей q\ и q2
следует из леммы 18.6.
Остается рассмотреть случай 1 <7i 1 ^ U + у у] \ А \.
Тогда из (3)
м|>(1 + 4^_1иг1>(1+4т)_14еп1в|-
. Отсюда
\q1\-\q'i\<3y~1Znc<9y~X(l+jy)z~1\A\< \ у\М
(ПМП; S< е, 7), а( значит, | qx\ < (1 + у) \А |, что и
требовалось, в
2. Завершение индуктивного доказательства. Почти
очевидна
г
Лемма 19.3. 1) Если \Х\ «S i, то X" = 1 для
слова X.
2) Период А ранга i + 1 прост в любом ранге к < i.
3) Периоды А и B±l рангов к, l^i+ 1 сопряжены в
ранге /, где ;' < min(/c, Z), только тогда, когда А = В.
Доказательство. 1) Если X не является
простым в ранге i — 1 словом, то по лемме 18.1
утверждение следует из индуктивного предположения и
определения множеств слов Ш>. Если же X просто в ранге i — 1,
то по определению множества #?< слово X сопряжено
в ранге i — 1 с некоторым А е= %&{. Но А е ^i с: <#-< >
т. е. А = 1. Следовательно, и л = 1.
2) Период Л прост в ранге i по определению, а
52ft <= &.
§ 19. ДИАГРАММЫ. КАК А-КАРТЫ 197
3) Если бы, например, к < I, то период В не был бы
прост в ранге I — 1 вопреки его определению. Если к = I,
т0 A s ^ по определению множества слов $?г. ■
Для оправдания индуктивных предположений
рассмотрим далее диаграммы ранга i + 1. Заключительные
-леммы 19.4 « 19.5 доказываются путель совместной
индукции по числу Я-клеток.
Лемма 19.4. Приведенная диаграмма А ранга i + 1
является А-картой.
Доказательство. 1) По определению слов из 9")
длина контура любой клетки ранга / ^ i + 1 равна п], так
что условие А1 выполнено для А.
2) Пусть q — подпуть контура некоторой клетки П
из А ранга ;' s£ i + 1 и Igl s£ max(/, 2). Пусть р —
некоторый комбинаторно гомотопный пути q путь в А.
Обозначим Г поддиаграмму с контуром p~lq. (Можно,
конечно, считать, что р и q не имеют общих точек, кроме
j9_ = q~ и р+ = д+, что достигается, как обычно, с
помощью О-измельчения.) Если П не входит в Г, то
|Г(2)1 < |А(2)[, и по предположению индукции Г
является А-картой. Если при этом \q\ = 2, а \р\ < 2, то |ЗГ| <
sS 3, и по следствию 17.1 г(Г)=0. Тогда q>(q)=q>(p)
в F(%), что невозможно в силу циклической
несократимости периодов ранга /. Считаем далее, что Igl s£/. Если
lpl<lgl, то |ЗГ|<2/, и по следствию 17.1 периметры
всех 5?-клеток в Г меньше 2/(}-1, а значит, k = r(T)<
< 2/jj-1rc-1 < ]'. В таком случае получается по лемме 11.3,
что подслово ср(<7) циклического слова A±l (где А
—период клетки П) равно в ранге / — 1 слову ц>(р) меньшей
длины. Значит, простое в ранге / — 1 слово А сопряжено
в ранге /'— 1 со словом длины <|Л, чего быть не может.
Считаем теперь, что П входит в Г. Тогда П не входит
в поддиаграмму Г' с контуром pq', где q' дополняет
подпуть q до контура клетки П. Поэтому Г' является
А-картой, ибо |Г'(2)1 < 1А(2)|. В Г' нет клеток, А-согласо-
ванных с q', по лемме 13.2. Следовательно, по лемме 19.5
Для Г' q — гладкий участок в ЗГ', а по теореме 17.1
P's'l^lpl. Поэтому |g| <2(n-2)-4g'l <2р_1(п-
Условие А2 проверено.
3) Пусть Г — поддиаграмма примыкания некоторой
клетки ранга / к некоторой клетке П ранга к в А,
Р^Я\Рт = д(л. Г, П) и (я, Г, П) >г. Тогда |Г(2)1 <
198 гл. 6. соотношения периодических групп
< |Д(2)| и Г является А-картой по предположению
индукции, a qi и дг — гладкие участки рангов / и к в дТ
по лемме 19.5 для Г и лемме 13.2. Поэтому по лемме 15.3
для Г \р\\, \р2\ <%nmiu(i, к). Отсюда по лемме 17.4
г = г(Г)<гшп(/, к), а по лемме 19.3 периоды В и 4,
отвечающие клеткам я и П,— простые в ранге г слова.
Значит, по лемме 19.2 для Г либо 1дг1 < (1 + t) 141 =
= (1 + Ч)к (т. е. выполнено условие A3), либо А и B±l
сопряжены в ранге г, т. е. А = В по лемме 19.3. Отсюда
по лемме 19.2 следует ^-согласованность путей q\ и д2,
что противоречит лемме 13.2. Лемма доказана, и
Лемма 19.5. Пусть р — участок контура
приведенной диаграммы А ранга i + 1, метка которого — А-перио-
дическое слово, где А — простое в ранге i + 1 слово или
период ранга к ^ i + 1, причем в последнем случае в А
нет клеток ранга к, А-согласованных с q. {Если р —
циклический участок, то требуется дополнительно, чтобы
ф(р) = 4т для некоторого целого т.) В таком случае р —
гладкий участок в контуре диаграммы А.
Доказательство. 1) Пусть q — подпуть в р,
Igl s£max(l4|, 2), a t — некоторый гомотопный пути q
путь в А. Подкарта с контуром д£-1 является А-картой
по лемме 19.4. Если \t\ < Igl ^ 2, то |ЗГ| =£ 3,'что дает
противоречие, как и в лемме 19.4. Считаем поэтому, что
Igl s£ I.4I. Если 4 — простое слово в ранге i + 1, то оно
пе сопряжено в ранге i + 1 со словами меньшей длины,
и поэтому для подслова <р(д) циклического слова А име-
ем 1ф(д) I «S 1ф(0 I, если ф(д)=<р(£). Это позволяет
считать, что г(4)= k s£ i + 1.
Если теперь допустить, что Ul < Igl, то \дТ\ <2к
и по следствию 17.1 j = г(Т)< к. Тогда по лемме 19.3
А — простое в ранге / слово, и мы приходим к
предыдущему случаю. Итак, первое условие гладкости участка
ранга 141 проверено.
2) Пусть Г — поддиаграмма примыкания некоторой
клетки ранга / с периодом В к д, причем $(П, Г, д) =
= Р\Ч\РчЧ2-, и (П, Г, q)> г. Тогда Г является А-картой по
лемме 19.4, а поскольку IГ (2) I < IA (2) I, то по лемме 19.5
для Г д2 — гладкий участок контура ранга 141 в Г и
q\ — гладкий участок ранга / по леммам 13.2 и 19.5. По
лемме 15.3 для Г Ipil, \р%\ <£ramin(/, |4|). Отсюда по
лемме 17.4 г = г(Г)< min(/, 141), и по лемме 19.3
периоды 4 и В просты в ранге г. Значит, по лемме 19.2 для Г
§ 19. ДИАГРАММЫ КАК А-КАРТЫ
199
либо 1<Ы <(1 + Ч) 1-41 (т. е. проверено второе условие
определения гладкого участка), либо 4 и В±х сопряжены
в ранге г < ]'. Тогда по лемме 19.3 А=В±Х, а по
лемме 19.2 gi и дг 4-согласованы в Г, т. е. П и д 4-согла-
сованы в А вопреки условию леммы 19.5. Лемма
доказана, и
3. Группы конечного периода. Итак, на основании
сравнительно грубых оценок и ПМП доказано, что все
леммы гл. 6 справедливы для каждого достаточно
большого нечетного п и подходящих значений других
параметров из п. 15.1, позволяющих все рассмотренные
вспомогательные неравенства считать верными. (В [95]
получена численная оценка п > 1010, достаточная для
совместности системы неравенств такого рода.)
Теорема 19.1. Группа G(<*>) = В(91, п)
удовлетворяет тождеству X" = 1, и если число |31| ее порождающих
больше 1, то она бесконечна.
Доказательство. Пусть \Х\ = i. Тогда по лем-
ме 19.3 Хп — 1, а поскольку 9ti <=- Я для множеств
определяющих слов групп G{i) и G(°°), то Хп = 1 в G{°°).
Для доказательства второго утверждения достаточно
в силу теоремы 4.6 доказать, что все 6-апериодические
слова в алфавите (ai, аг) различны в G(°°). Допустим,
что V и ТУ —два таких слова, V Ф W, но V = W в G(°°).
Непустая циклически приведенная форма слова КТУ-1
записывается в виде U= V'W, где V и W — подслова
в V и И7-1. Следовательно, по теореме 13.1 существует
приведенная дисковая диаграмма А над
непредставлением (1) группы G(°°) из § 18 с контуром р, где (р(р)— Ц.
В силу конечности числа клеток А — диаграмма ранга i
Для некоторого i^l. По лемме 19.4 А является 4-кар-
той, а по теореме 16.2 в циклическом слове есть подслово
Т, равное в ранге 0 (а значит, графически из-за
несократимости) подслову некоторого определяющего слова 4"
Ранга / > 0 и длины 5= е |4"|. Такое слово обязано
содержать подслово 420, так как ere > 20. Поэтому или в V,
или в W есть подслово 46 вопреки выбору слов V
Фактически доказана экспоиенциальность роста
группы В(§1, п) при 1311 > 1 вследствие теоремы 4.6. Точное
°пределение роста группы будет дано в гл. 12.
Теорема 19.2. Все абелевы подгруппы группы
В(Я, п)
являются циклическими {порядков, делящих п).
200 ГЛ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
Доказательство. Пусть Н — абелева подгруппа
в G = G(°°). Поскольку все циклические подгруппы в G
имеют порядки «g /г, в И найдется максимальная
циклическая подгруппа К=(ХУ. Допустим, что Y е Н \ К.
Тогда из XY = YX в G (X я Y здесь представлены сло-
вами в алфавите 5t U^1) следует, что XY = YX для
1 k i i
некоторого i. По следствию 18.2 X = Z , Y = Z ддя
некоторого Z, а значит, <Х, У> с (Z> (1 Я п в G вопреки
теореме 2.3 и максимальности при выборе <Х>.
Следовательно, Я = <Х> — циклическая группа. Ее по-,
рядок делит число п, так как Хп = 1 в G по
теореме 19.1. ■
Напомним, что если п = 2т, то картина иная
(следствие 7.2).
Теорема 19.3. Система определяющих
соотношений Ш = Цйе$>} группы B(9t, п) при |31| > 1
бесконечна и независима. Она не эквивалентна какой-либо ко-
■ нечной системе соотношений.
Доказательство. Допустим, что 3t = 9ti для не-
г
которого i. Тогда по теореме 19.1 Хп = 1 для любого X,
в частности, для 6-апериодического слова длины > 20i,
которое существует по теореме 4.6. Отсюда, как и в
доказательстве теоремы 19.1, получается, что циклическое
слово Хп содержит подслово вида А20, 1 =S \A\ ^ i.
Поэтому подслово А& есть в X, ибо |Х| > \А20\. Последнее
противоречит выбору слова X. Значит, 31 Ф 31{ для всякого i
оо
и множество 31 = U 31 бесконечно.
Независимость соотношений R — 1, йей, имеет
место в силу следствия 18.1, справедливого для всякого i.
Отсюда получается, конечно, и последнее свойство (см.
замечание в п. 4.2). ■
Классы сопряженности циклических подгрупп
описывает
Теорема 19.4. 1) Каждый элемент сопряжен
в группе G = B(%, n) со степенью периода А
некоторого ранга i. 2) Период любого ранга имеет порядок п в G.
3) Если неединичные в G степени Ah и В1 периодов А и В
каких-то рангов i и / сопряжены, то А = В и Ак — В
в G (т. е. к = Z(modrc)). 4) Если циклические подгруппы
<Х> и <F> имеют неединичное пересечение в G, то <Х> с
cr <Z> и <Г> cr <Z> для некоторого Z.
§ 19. ДИАГРАММЫ КАК А-КАРТЫ
201
Доказательство. 1) По теореме 19.1 Хп = 1
г
в G для любого X. Значит, X1 = 1 для какого-то i, и
применима лемма 18.3.
2) Пусть А — период ранга i. Тогда Ап = 1 в G по
теореме 19.1. Если А'п = 1 в G, где m не делится на п, то
i
Am = 1 для некоторого i. Диаграмма этого равенства
является А-картой по лемме 19,4, а ее контур q можно
считать гладким участком благодаря леммам 13.3 и 19.5. Но
это противоречит теореме 17.1 (\q\ > 0, UI =0).
3) Пусть i&*j и циклические подгруппы (АкУ и (В'У
имеют порядок т. В качестве другого порождающего
элемента в <АкУ можно по теореме 2.3 выбрать А", где s\n,
а значит, s^yw в силу нечетности п. При этом Аки =
= А' и Asv = Ah, где числа и и v взаимно просты с т по
теореме 2.2. Отсюда получается сопряженность слов А3
и вы = Bw. Поскольку 5"= 1, можно считать, что |">|^
Пусть Д — приведенная диаграмма сопряженности
слов А3 и Bw над G. Она является А-картой по лемме 19.4.
Ее разрез с помощью леммы 17.1 (которая применима, ибо
А3 Ф 1 в G) дает дисковую А-карту с периметром,
меньшим
(U8| + |5№|)(1+T) = |4|(|.?| + U|K1 + Y)<
<jn(i + y)\A\.
По следствию 17.1 r = r(A)<i=\A\, т. е. А3 и Ви
г
сопряжены в ранге r<.i: As = ZBWZ , и по лемме 19.3
Г
А — простое в ранге г слово. Отсюда As = ZBu1Z_l для
любого t. В приведенной диаграмме Г последнего
равенства п& леммам 19.5 и 13.3 участок с меткой Bwt
(меняя показатель wt) можно считать гладким.
Если к Г применить при достаточно большом t лемму 17.5,
то получится поддиаграмма Г' ранга ri<j=\B\ по
лемме 17.4, а по лемме 19.2 для Г' получим А = В. Из
.Равенства Ast = ZAwtZ~x следует тогда по лемме 18.7,
г
что Z = Adx откуда А3 = Bw и Ак = В' в G.
L
02 ГЛ. 6. СООТНОШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУПП
4) В силу 1) можно, переходя к сопряженным,
счисть, что X за Ah, Y = 7jB17j~x для некоторых периодов А
и В рангов inj,i> ]. Так как 1 Ф Ха = У\ то Y = Z^'Z""1
в G в силу 3). Таким образом, 1 Ф As = ZA'Z~l в G
для некоторых s и f, где можно считать, что s\n, т. е.
Is| < re/3, a Ul < nil. Из диаграммы Ai последнего
равенства, как обычно, получается диаграмма сопряженности
Лг для А" и А*, результат удаления /-пар из которой
дает приведенную кольцевую диаграмму Лз, ранг г
которой (как и в 3)) меньше 141 по следствию 17.1, ибо
j + у) (I + Ч)< Р- Отсюда 4s L Z^Zi1, где, однако,
Zi = Z в G, как видно из леммы 11.3 (и способа
удаления /-пар). Поэтому, как и в 3) выше, Z = Ad в G, т. е.
<Х>, <7> с <4>. ■
С теоремой 7.6 резко контрастирует
Теорема 19.5 Централизатор любого
неединичного элемента X группы В (SC, п) является циклической
подгруппой порядка п.
Доказательство. По теореме 19.4 можно
считать, что 1е (АУ, где период А некоторого ранга i
имеет порядок п. Если теперь XY = YX, то по теореме 19.2
X = Z", Y = Z' в G. Значит, по теореме 19.4 А я Z
содержатся в одной циклической подгруппе. Но в G нет
циклических подгрупп порядка > п. Поэтому Z е (АУ
иУе (АУ, а централизатор элемента X равен (АУ. ■
Теорема 19.6. Все конечные подгруппы в B($t, п)
циклические.
Доказательство. Пусть Н — конечная
подгруппа. По теореме 19.2 достаточно установить, что Н абеле-
ва. В противном случае по следствию 6.1, в Н есть мета-
белева подгруппа К. Тогда коммутант К' абелев, и в К есть
некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа L,
содержащая К'. Факторгруппа KJL абелева по
теореме 6.1, а подгруппа L является циклической по
теореме 19.2. Значит, всякий элемент Fet, так же как и
сопряженные с ним в К элементы ZYZ~l, суть степени
одного X. Из теоремы 19.4 следует тогда, что ZYZ~l = Y,
т. е. L — центральная подгруппа в К. Поскольку КФ L,
можно найти циклическую подгруппу CJL в К, где С Ф L.
Подгруппа С нормальна в К по теореме 3.7, ибо CJL
нормальна в абелевой группе K/L. Кроме того, С абелева по
лемме 5.1. Это противоречит выбору подгруппы L.
Теорема доказана. ■
V
§ 19, ДИАГРАММЫ КАК А-КАРТЫ
203
Из нее легко также вывести утверждение теоремы 19.1
(без использования апериодических последовательностей
и теоремы 4.6).
В. Н. Образцов отметил в [83], что определение
группы G(°°) допускает больший произвол, а именно можно
написать 9*i = [А А\ А е SBi\, пЛ>п, т. е. порядки
периодов могут быть разными большими нечетными
числами. Так получается большое семейство периодических
групп, для которых справедливы аналоги доказанных
выше теорем. (См. также § 26, 28.)
Теорема 19.7. Группа В(91, п) является свободной
группой с базисом % в многообразии Бернсайда 33и,
определенном тождеством Хп = 1.
Доказательство. Пусть Fv{Щ — свободная в 33„
группа с базисом %. Поскольку Хп = 1 — тождество в
В (St, n) по теореме 19.1, можно задать гомоморфизм
a: Fv(St)-»-В(9t, n), тождественный на §1 (теорема 6.4).
С другой стороны, все определяющие соотношения
группы В (Ш-, п) имеют вид Ап = 1, т. е. выполняются в группе
Fv (9t) e 5gn. Следовательно, по теореме 4.5 существует
тождественный на % гомоморфизм ср: В (Я, п) -> Fv(St).
Итак, а и ср — взаимно обратные отображения, и
теорема доказана. ■
ГЛАВА 7
КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
Соотношения вида Ап = 1 инвариантны при
циклических сдвигах. Поэтому для их изучения мы
рассматривали в гл. 5 карты, в контурах клеток которых никакие
подпути не выделялись особо. Конечно, соотношения
степенного вида представляют собой лишь довольно
частный случай определяющих соотношений. Многие свойства
групп оказываются связанными с соотношениями более
сложного вида. Например, в начале § 13 рассмотрена
задача, приводящая к соотношениям, в которые входят
длинные периодические слова, разделенные короткими
промежутками, т. е. определяющие слова разбиваются в
произведения подслов разной природы. Для исследования
диаграмм над такими непредставлениями мы здесь
предварительно, в духе гл. 5, изучим необходимые свойства
возникающих из этих диаграмм градуированных карт,
в которых клетки рассматриваются вместе с разбиением
нх контуров на «длинные» и «короткие» участки.
Формально карты из гл. 5 являются частными примерами
дробных карт. Совместность системы появляющихся здесь
неравенств, как и в гл. 5, проще всего объяснить на
основании ПМП. Фиксируются постоянные параметры
а, р, ч, б, е, I, и, I-
Как и в гл. 5, дополнительно
a=i + a, р = 1-р, 7 = 1-7^ = б"1. d = Л-1, гс=Г\
§ 20. Оценочные графы для В-карт
1. Подкарты примыканий. Каждая 52-клетка
градуированной карты Д рассматривается теперь вместе с
некоторым фиксированным разбиением ее контура на
участки. При этом достаточно пока предполагать, что эти
разбиения двух типов: в плетках первого типа их контур Ч
% 20. ОЦЕНОЧНЫЕ ГРАФЫ ДЛЯ В-КАРТ
205
рассматривается как один циклический участок — его
мы называем длинным участком, а в клетках второго
типа q — sJi . .. shth {h = б-1), где участки s\, ..., sh (не-
которые,_ возможно, нулевой длины) называются
короткими, а t\, ..., th — длинными участками.
В отличие от § 14 понятия связки и подкарты
примыкания вводятся теперь не для пары клеток, а для пары
участков (контуров) клеток. Впрочем, зти
определения родственны понятиям из § 14, так что мы их
приведем без особых комметариев. Рангом r(q)
длинного участка q называется ранг клетки, подпутем
контура которой он является. (Определенный ранг
может быть приписан и некоторым фиксированным
участкам контура — так называемым гладким
участкам, вводимым ниже.) Участок клетки П
ориентирован в соответствии с ориентацией клетки П. Вообще,
можно повторить замечания п. 14.1 о градуированных
картах.
Итак, пусть р и q — два участка (клеток или
контуров из 5Д). Понятия их близких ребер, 0-связки,
определенной этими ребрами, и связующей линии этой связки
совпадают с данными в § 14. Различные 0-связки, как
и там, считаются дизъюнктными. С помощью двух 0-свя-
зок так же, как и в § 14, определяется понятие
подкарты 0-примыкания Г, ее связующей линии, дуг
примыкания |Г Д pl> I Г Л Я'\ и степеней примыкания (р, Г, q) =
= !ГЛр1/1р;1 и (?,г,р) = |гл?|/1?1.
Пусть теперь к > 0 и уже определены понятия
/-связки и подкарты /-примыкания для всех / < к. Рассмотрим
участки q\ и #2 (клеток или контура 5Д) и клетку я
ранга к, в контуре которой выделены длинные участки р\
и Р2 (возможно, pi = P2). Пусть при этом:
1) к<1 (к<т), если участку q\ (участку q2)
приписан ранг I (ранг т);
2) существуют дизъюнктные подкарты Т\ и Гг /i-при-
мыкания участка р\ к q и /г-примыкания рг к дг, где /i <
<к и ]2<к, а в Pi и Гг нет клеток, участками которых
являются pi, p2, q\, ?г;
3) (Ри Гь gi)>e, (p2, Г2, q2)>z.
^Тогда Тг и Г2 определяют к-связку Е с главной
клеткой я, как и в § 14: если контуры для Гх и Г2 равны
соответственно vlSl и v2s2, ще v1^T1f\p1, v2= T2^p2,
а контур клетки л равен u1y1u2i;2, то петля Sjii^s^u^1
является контуром дисковой подкарты Е (рис. 47). Опре-
206 1'Л. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
делим дугу zx примыкания связки Е к q1 равенством z1 =
= Г1Дд1. Пишем также г1 = ЕДд1. Аналогично z2 =
= Г2Дд2 = ЕДд2. Связующая линия для Е проводится,
как и в § 14.
Пусть теперь Ei — &-связка между участками q\ и д2,
а Е2 — некоторая /-связка между gi и д2, где / =S k,
причем либо Ei = Е2, либо Ei и Е2 дизъюнктны. Если Ei =
•= Е2, то Г = Ei = Ег назовем также подкартой &-примы-
кания участка q\ к д2, определенной fe-связкой Ei = Ег.
В случае дизъюнктных Ei и Ег введем обозначения
Vi = Ei Д ft, v2 = Е2 Д gl5 Sl = Ej Д g2, s2 = Ea Д g2,
так ,что контуры 3Ei и 3E2 можно записать в виде
PiViWiSi и P2S2W2V2. Пусть подпуть zi(z2) в gi (в дг) имеет
вид 'i?iiW2 или V2Wi(s2ssi или Siss2— см. рис. 48). Если
PiziP2%2 (или w2zlwiz2) является контуром некоторой
дисковой подкарты Г, не содержащей клеток, участками
которых являются gi и дг, то назовем ее подкартой к-при-
мыкания участка q\ и дг, определенной связками Ei и Е2.
Путь Zi(z2) назовем дугой примыкания Г к gi (к д2).
Пишем z1 = Г Д qu z2 = Г Д д2. (В случае Ei —< Е2
имеем гг = Е Д qu z2 = Е Д д2.) Отношение Uil/lgil
называется степенью примыкания участка q\ к д2 с
помощью Г. Оно будет обозначаться (?i, Г, д2).
Аналогично определяется (д2, Г, gi). Пути pi и р2 называются
боковыми дугами для Г. В качестве связующей линии
выбирается связующая линия одной из связок Ei, E2.
Обозначим также d(qu Г, g2) = piZip2z2.
Определим еще понятие подкарты примыкания 52-клет-
ки Г к участку g другой клетки или к участку q из ЗД.
Рис. 67
Пусть gi, ..., qu — все длинные участки контура клетки
П (и = 1 или u = h), а Г1( .. ., Гт— множество попарно
дизъюнктных подкарт примыкания некоторых из них к д,
х\у\х\у\ — их стандартные контуры, £ = 1, ..., тп (рис. 67).
Пусть далее существуют подпуть г/а пути д, содержащий
все подпути i/2, i = 1, .. ., m, подпуть i/i контура клетки
§ 20. ОЦЕНОЧНЫЕ ГРАФЫ ДЛЯ В-КАРТ 207
П содержащий все г/i, и для некоторых я*, £2 определено
произведение z = х\ухх\уг, причем z является контуром
некоторой (дисковой) подкарты Г карты Л, не
содержащей клетки П и клетки, участком которой является д.
Тогда Г называется подкартой примыкания клетки П к
участку д, определенной с помощью системы подкарт
Г1( . • ■, Гт. у1 = Г Д П, у% = Г Д q — дуги примыкания, а
х\ухх\Уч = д (П, Г, q). Степенью примыкания клетки П
к g с помощью 1\, ..., Тт называется отношение
т
2\у1\/\дП\.
Можно рассмотреть более общую ситуацию, когда g —
это не один участок, a g = s0^si . .. ttsh где t\, .. ., tt —
короткие, a so, ..., Si — длинные участки клетки П',
причем Ti, ..., Гт — подкарты примыкания участков q\, ...
.. ., gu ^-клетки П к so, .. ., st. Тогда так же, как и
выше, Т\, . . ., Гот определяют подкарту примыкания Г
клетки П к клетке П'.
2. Выделенные подкарты примыкания. В карте с
дробными границами клеток определю! выделенные
подкарты примыканий по аналогии с § 14.
Пусть Ж — какая-то система попарно дизъюнктных
подкарт примыканий каких-то участков 3?-клеток карты
Д к участкам клеток или к участкам контура ЗД.
Назовем Ж полной системой, если или каждая ;Й-клетка П из
А содержится в некоторой подкарте Г ^ Ж, или каждое
2(-ребро каждого длинного участка клетки П
принадлежит одной из двух дуг примыкания некоторой
карты Г е Л. Так же, как и в п. 14.3, в Д всегда
есть тривиальная полная система Жо, состоящая из
0-связок.
Карта Д на поверхности X называется правильной,
если в ней не существует 0-связки Е между участком g
некоторой клетки П и этим же участком, обладающей тем
свойством, что замкнутая кривая ts (где t — связующая
линия для Е, а все внутренние точки дуги s лежат
внутри П) ограничивает диск Y на поверхности X, внутри
которого нет ребер других участков клетки П. Вообще,
подкарту примыкания Г участка g клетки П к q назовем
неправильной, если замкнутая кривая ts (где t —
связующая линия для Г, а все внутренние точки для s лежат
в П) ограничивает диск, не содержащий других
участков клетки П. Систему Ж, в которой нет неправиль-
208 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
ных подкарт примыкания, назовем правильной. В
правильной карте такова тривиальная полная система
подкарт Ж о.
Тип х(Ж) системы подкарт Ж определяется, как и в
§ 14. Правильная полная система Ж называется
выделенной, если х(Ж)^ х(Ж') для любой другой правильной
полной системы Ж' подкарт примыканий карты Л. При
рассмотрении карты Л фиксируется некоторая
выделенная система Ж, и подкарты из Ж называются
выделенными подкартами примыканий в Л. Определение
обыкновенных, особых и скрытых клеток такое же, как
в § 14.
Лемма 20.1. Не существует выделенных подкарт
примыкания участков скрытой клетки к чему-либо.
Доказательство. Предположив противное, тут
же приходим к противоречию с дизъюнктностью подкарт
из Ж, как и в лемме 14.1. ■
3. Оценочные графы. Для оценок весов в § 21
построим вспомогательные графы Ф и Ф', аналогичные
определенным в § 14. Отличие в выборе вершин графа Ф
состоит в том, что теперь выбирается не одна (или две) точки
внутри каждой обыкновенной или особой клетки, а по
одной для каждого из участков этой клетки (а в случае
особой клетки, как и в § 14, придется выбрать для
некоторых из участков по две точки). Ребра в графах Ф и Ф'
проводятся точно так же, как в § 14 (через выделенные
подкарты примыканий участков клеток и контуров из
ЗЛ — см. рис. 50).
Раздробление границ клеток несколько ухудшает
формулировку следующего утверждения по сравнению с
теоремой 14.1.
Теорема 20.1. В вершине о оценочного графа Ф
может быть петля только тогда, когда о выбрана в
клетке типа 2 карты Д. При этом все другие вершины
графа Ф, расположенные в той же клетке ПеД(2), что и о
(в той же компоненте, что и о, если особая клетка П
разрезается некоторым ребром из Ф' на две компоненты),
не имеют петель, а в о нет других петель.
Кратность любого ребра в Ф' не превышает 3.
Доказательство. Если е — петля в Ф,
определенная с помощью подкарты примыкания Ti участка q
клетки П к q, то по определению выделенной системы
(в силу ее правильности) е имеет вид st, где t —
связующая линия для Ti, все внутренние точки для s лежат в П,
§ 20. ОЦЕНОЧНЫЕ ГРАФЫ ДЛЯ В-КАРТ
209
а внутри диска Y с границей st есть другие (а значит, все
остальные) участки клетки П (рис. 68). Существование
другой петли вой другой такой подкарты Г2 приводится
к противоречию точно так же, как существование
кратных ребер при доказательстве теоремы 14.1 (либо Т\
и Гг включаются в одну подкарту примыкания, либо
получается иное противоречие с определением выделенной
системы подкарт). Если о', о", ... — вершины в Ф,
отвечающие другим участкам q', q", ... клетки П, то в о',
о", ... ие может быть петель, ибо участки q', q", ... все
внутри F.
Допустим далее, что в Ф есть ребро кратности 4.
Пусть, например, и\_, ц2, из, к4 соединяют вершины о\ и о2
графа Ф, выбранные внутри двух клеток Hi и П2
(рис. 69), причем они проведены через подкарты
примыкания участка q\ клетки П[ к участку д2 клетки П2. Мы
Рис. 69
получим тогда три диска Y\, F2, F3 на поверхности, где
(с точностью до нумерации) Y\ ограничивается с
помощью Щ И U2, F2 — С ПОМОЩЬЮ U2 И Щ, F3 — С
ПОМОЩЬЮ щ и us.. Понятно, что не более чем в двух из них
(на рис. 69 в F2 и F3) содержатся все остальные участки
(кроме q\ и д2) клеток Hi и П2. Рассматривая оставшийся
диск (Fj на рис. 69), мы получаем противоречие, как и в
доказательстве теоремы 14.1. ■
Учитывая далее теорему 20.1, введем исправленные
оценочные графы Фо и Ф0, которые получаются, если в
Фиф' соответственно удалить все петли, а в том случае,
к°гда вершины oi и о2 соединяются кратными ребрами,
оставить лишь одно ребро oio2 (любое).
Лемма 20.2. Пусть П — обыкновенная клетка ранга
карты А. Тогда не существует одновременно
выделении подкарты примыкания Т\ длинного участка клетки П
к Участку qi другой клетки и другой выделенной подкар-
А' Ю. Ольшанский
Рис. 68
210 ГЛ, 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
ты примыкания длинного участка клетки П к участку
q2 другой клетки или к участку контура дг, если r(g"i)>
> к и г(дг)> к (в случае, когда участкам q~\ и q2
приписаны ранги), а степени IV и Т2-примыкания к q\ и к д2
не меньше г.
Доказательство повторяет рассуждения леммы 14.2. И
4. В-карты и их гладкие участки. В связи с
разбиением границ клеток ограничения на карту усложняется.
Приводимые ниже условия допускают, конечно,
варианты в зависимости от характера задачи и возникающих
соотношений, но они будут достаточны для гл. 8 —12.
Условие В состоит в том, что для карты Л справедливы
следующие свойства.
81. Всякий подпуть длины <тах(/, 2) любого
длинного участка ранга j > 1 является геодезическим в Л.
82. Если Г — некоторая подкарта примыкания
длинного участка q\ ранга j к длинному участку дг ранга к,
причем к Ф] и (дь Г, q2)> e, то \Т Д д2|<(1 + у) к.
83. Если степень Г-примыкания некоторой клетки я
к длинному участку q клетки П больше 1/3, то | Г Д q | <
<(1 + Т)г(П).
84. Пусть г(я)=г(П) = /, а Г — подкарта
примыкания клетки я к клетке П, определенная с помощью под-
карт примыкания Т\, . .., Гт длинных участков q\, ...,<?„
клетки л; к длинным участкам д1, . . ., qv клетки П.
Тогда среди qi, . . ., qu менее а-1 различных участков q(, для
которых найдутся Г, и ql(j — 1, .. ., m; 1=1, ... v)
такие, что (ф, Yh ql)>z.
85. 'Для клетки я типа 1 и любой ее подкарты
примыкания к длинному участку q клетки П (я, Г, д)г^28,
если г(п)= г(П).
86. Длинный (циклический) участок q произвольной
клетки ранга j (циклически) несократим и \q\>nj.
87. Если gi и дг — два длинных участка одной клет-
ки, то | qx | /1 g21 <Д + у 6-
88. Если р — короткий участок клетки ранга /, то
\р\ <dj.
89. Короткие участки являются геодезическими в А-
В10. Пусть q\pq2 —подпуть контура некоторой клетки
ранга /, где q\, дг — длинные участки. Кроме того, пусть
Г — подкарта примыкания q\ к дг, d(q\, Г, q2)= S\t\S2fo
(рис. 70), q\ *= Xitiyi, q2 = yihxi, а петля s^y^py^
стягиваема по Л в точку. Тогда Uil < t~lj.
§ 20. ОЦЕНОЧНЫЕ ГРАФЫ ДЛЯ B-KAPT
211
Условия В1—В10 определяют понятие В-карты. Они
иНдуцируют следующее определение. Участок q контура
В-карты Л является гладким участком ранга к > 0, если:
51. Всякий подпуть р в q длины =£ max(fe, 2) является
геодезическим в Д.
52. Если Г — некоторая подкарта примыкания
длинного участка р клетки я к q и г(п)Ф к, а (р, Г, д)3г gj T0
|ГДд|<(1 + т)&-
53. Если степень Г-примыкания некоторой клетки я
к q больше 1/3, то | Г Д q | < (1 + у) к.
54. Пусть я — клетка ранга к, a F — подкарта
примыкания клетки я к q, определенная с помощью подкарт
примыкания 1\, . .., Гт длинных участков gi, ..., qu
клетки я к g. Тогда среди q\, ...
..., qu менее а-1 различных ^— ' /z~~"~
участков д*, для которых най- Qc, t. g, у,• ^-ту^
дется Г, (j = 1, .. ., т) та- JY/srfyfr-^ >W A I
кая, что (qt, Г., q)> г. '¥< Т q у ^±7'
55. Для клетки я ранга -^1__2 2 _^-"У
к типа 1 и любой подкарты ~~
ее примыкания Г к g Рис- 70
(я, Г, д)<26.
Аналогом леммы 15.1 для В-карт является
Лемма 20.3. 1) Подкарта В-карты есть В-карта.
2) Если подпуть р гладкого участка q ранга к
контура В-карты Д является участком контура подкарты Г,
то р — гладкий участок ранга к в дТ.
3) Если подпуть q длинного участка клетки П ранга /
является участком контура подкарты Г В-карты Л (и П
не входит в Г), го g — гладкий участок ранга / в дТ.
Доказательство. Утверждение непосредственно
выводится из определения В-карты и сравнения этого
определения с определением гладкого участка. ■
Лемма 20.4. Если q — длинный участок клетки П
типа 2 в В-карте А, то (h - 1) |g| < |Ш| <(h + 1) |g|.
Доказательство. Если р — короткий участок
в 9П, то, как видно из условий В6 и В8, I Р I / I ? I <
В7
<.dri
ибо
ет из
14*
-*<
|5П
h =
В7.
■Л*
\<h
б-1.
■
(ПМП;
(«н4
Второе
п~1
.Л i ,
6)kl
= i).
+ h-
Знг
1 Л
неравенство
1ЧНТ,
Ы =
по условию
■(h+i)\q\,
также сразу ел'
212 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
Утверждения от леммы 20.5 до теоремы 22.4
доказываются совместной индукцией по числу |Д(2)| 91-кле-
ток карты Д.
Лемма 20.5. Всякая В-карта правильна.
Доказательство. Следует повторить
рассуждения леммы 15.2 с заменой ссылок на лемму 15.1 и
теорему 17.1 ссылками соответственно на лемму 20.3 и
теорему 22.4. В случае, когда рассматриваемый участок q
является коротким, нужно учесть условие В9. ■
§ 21. Примыкания и веса в В-картах
Покажем, что на В-карты переносятся основные
свойства А-карт, установленные в гл. 5.
1. Неравенства для подкарт примыкания.
Лемма 21.1. Пусть Г — подкарта примыкания q{
к q~2 в В-карте Д, где q~\ uq<i — участки клеток или
контуров карты Д, и d(q~u Г, ?г) = />i?iP2?2. Тогда:
1) если r(qi)—k (т. е. q\ — длинный участок клетки
ранга к или гладкий участок ранга к в дА), то
max(|/?il, lp2l)< 2he~lk < rf'fe < %пк,
что меньше £|9П|, если q\ — участок клетки П;
2) в любом случае \р\\, \р2\ < 2/&e-1l?il.
Доказательство. Как и в доказательстве
леммы 15.3, обозначим Ei и Ег связки, определяющие Г (см.
рис. 53). В случае, когда Ei — 0-связка, доказывать
нечего, ибо \р\\ = 0. В противном случае пусть я— главная
клетка связки Ei и г(я) = / > 0.
В случае 1) ; < к по определению связки, и
существуют подкарты примыкания Т\,Т2 длинных участков t\ и fo
клетки я к qi и q2, причем (th I\, q{)> e, i = 1, 2. Если
ввести еще обозначения р\ч\р\ч\ для стандартного
разбиения контура <9Г\, то путь р\ равен plup2, где
и-1 — подпуть в дл. Лемма 20.3 позволяет применить лем-
.му 21.1 к rt и Гг (в них меньше 52-клеток, чем в Д) и
получить
max(|pj|, \р\\)<2Ы~1]. (1)
Из определения связки и условия В2 (условия S2,
если q~\ — гладкий участок контура), следует, что
Ы1<(1 + 7)*> (2)
§ 21. ПРИМЫКАНИЯ И ВЕСА В В-КАРТАХ 213
а по теореме 22.4, которую можно применить к Гь так как
|Г,(2)1<]Г(2)|, и лемме 20.3 P|?l|<|p«?»Pi|»T. е. в
силу (1) и (2)
|?1|<Р"1((1 + 7)* + 4Ле~1/). (3)
С другой стороны,
№А>ъ\к\>ы1 (4)
по условию В6. Значит, из (3) получается, что
\q\\ <P_1 (1 + Y) (1 - 5hs-*$-1nT1)-1k<lk (5)
(ПМП; п'1 = i). Поэтому по лемме 20.4
| и |< | дл | < е-1 (h + 1) | q\ | < J- е-1 (h + 1) к. (fa)
Из оценок (1), (4), (5) следует, что \pt\, \р\\<к.
Значит, согласно (6) | рх\ <(у е-1 (h + 1) + 2 \к <2he~1k.
Второе утверждение леммы получается так же, если
(2) заменить на очевидное неравенство l^l^kil, что
позволяет заменить далее везде к на Igil. ■
Лемма 21.2. Если в В-карте А степень Т-примыка-
ния некоторого длинного участка р клетки П к участку q
некоторой клетки или контура 5Д равна г|) и P\q\p2q2 =
= д(р, Г, q), то (р — 2£ijr1) Igil < lg2l. Кроме того, если
</2 — длинный участок какой-то клетки или гладкий
участок из <9Д, го |</il > ^(1 + 2£ijr1) \q2\. В частности, если
ty> г, то имеем соответственно I gi I < (1 + 2$) I q2\ и I q{ I >
>(l-2p)lg2l.
Доказательство вполне аналогично доказательству
леммы 15.4 с заменой ссылок на леммы 15.1, 15.3 и
теорему 17.1 ссылками на леммы 20.3, 21.1 и
теорему 22.4. ■
Лемма 21.3. Пусть (П, Г, q) = ty, где П — клетка
В-карты A, a q — участок из дА. Тогда если P\qip2q2 =
= d(Jl,T,q),TO
\q2\ > (М)-2(й+1)£)|ОТ| >(ф-2р)|Ш|.
Доказательство. Пусть подкарта Г определена
с помощью подкарт примыкания Гь ..., Гт длинных
Участков q\ . .., qu клетки П к q. Мы считаем (заменяя
■ф на г|/ 3^ я|?), что для каждого участка дг существует не
214 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
более двух подкарт Г,- , Г,- (1 «£ /i, /2 «S m) (и даже не
более одной для всех, кроме одного из q*), так как
иначе можно укрупнить подкарты данной системы, уменьшив
их число, но не меняя \q2\.
Воспользуемся обозначениями рис. 67: x^y\x\y\ =
= д (q3, Г{, q). По теореме 22.4 и лемме 21.1 для Г*
т т
1?2|>2Ы1>2РЫ1-21»£|Ш|.
i=l г=1
m
Учтем теперь, что m<u + l^h+l, а 2 12/i | sS5 Ф |дП |.
_ г=1
Отсюда |д2|>(М)-2(/г+1)£)|Ш!>(г|)-2£)|ОТ| (ПМП;
^6). ■
Лемма 21.4. Пусть q\ — длинный участок клетки
ранга I, q2 — участок ранга к (клетки или контура В-кар-
ты Д), а Г — подкарта примыкания q~\ к q2. Тогда если
(<7ь Г, q2)^e, то либо Кг3/2к (а если при этом \q2\ ^
3* Г '&, го Igil <e3/2|g2|), либо /с = I.
Доказательство. Если P\q\p2q2 = d(q\, Г, д2),
то по лемме 21.2 IgJ <(1 + 2^) \q2\. Кроме того, по
определению В-карты (или гладкого участка) либо к — I,
либо |д21<(1 + Т)^- Поэтому из |gil>reZ следует, что
I < п~1г~х (1 + 20) (1 + ч) к < е3/2& (ПМП; п~] = i)
и
Igil <e-1(l.+ 2£)(l + ^)fc<2e-1glg2l < e3/2lg2l
(ПМП; g). И
Лемма 21.5. Пусть Г — подкарта примыкания
клетки п к участку q (клетки П или дА) в В-карте Д, причем
(я, Г, д)3*а. Пусть, далее, P\q\p2q2 = 9 (я, Г, д), а </'
дополняет путь q\ до контура дл (см. рис. 54). Тогда
(i + ^)\Pl(q')-lp2\<\q2\.
Доказательство. По условию |д'|^(1 — а)Х
X |9jt|, a по лемме 21.1 lpil,_lp2l < £|3я|. С другой
стороны, по лемме 21.3 \q2\ >(а — 2{J) Idjtl. Остается
заметить, что , -..■■;
(1 + 3Y) (j - а + 2%\ < 1 + а-2б (ПМП; £, у, Р < «)■ ■
§ 21. ПРИМЫКАНИЯ И ВЕСА В B-KAPTAX 215
Лемма 21.6. Пусть Г — подкарта примыкания
клетки я к гладкому или геодезическому участку q контура
В-карты кили к участку q клеткиИ. Пусть, далее, r(q) =
= Z, (я, Г, q)> 1/3 и д(л, Г, q) = P\q\p2q2. Тогда для
любого пути s в Д, гомотопного q2, имеем \q2\ <(1 + 3*у) Ы.
Доказательство. Утверждение очевидно для
геодезического участка в 9Д или для короткого участка q
в 9П (см. В9). В оставшихся случаях по условию ВЗ
(или S3) ?2 <(1 + T)Z. Значит, по условию В1 (или S1)
q2 — q'q", где q —геодезический путь, a \q" I < jlq'\-
Поэтому
\q'\<\s{q")-l\ <|s|+Tk'l. (7)
Поскольку \q2\ <(1 + -у) Ig'l, из (7) получим
Ы <(1 + т)1?'1 <(i + t)(i-t)_11sI <(i + 3t)UI. ■
Лемма 21.7. 5 В-карте Д степень Т-примыкания
любой клетки я ранга к к любому участку q клетки П
ранга I и к любому гладкому участку q контура ранга I,
а также к любому геодезическому участку в дА меньше а.
Доказательство. Утверждение следует из
лемм 21.5 и 21.6. ■
2. Распределение весов. Как и в § 16, введем теперь
весовую функцию на ребрах В-карты Д. Если q —
длинный участок произвольной обыкновенной или особой
клетки я, то для любого ребра е из q полагаем
v(e)=l?|-1/3. (8);
Веса остальных ребер в Д считаем нулевыми. Вес
пути, вес клетки и вес подкарты определяются, как в § 16.
Лемма 21.8. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания участка р клетки П ранга j к участку q какой-
либо клетки или контура в В-карте А. Тогда v(T)<
Доказательство. Пусть Е — одна из связок,
определяющих подкарту Г, а я — ее главная клетка.
Рассмотрим подкарту примыкания Г' некоторого длинного
Участка р' клетки я к р такую, что (р', Г, р)>г. Если
д(р', Г', р)= sihs2t2, то по лемме 21.2
lfel>(l-2p)|*,|^(l-2p)elp'l. (9)
Если р — длинный участок, то по условию В2 |£2| <
5-(1 + Т)/', а если р — короткий участок, то по условию
"8 \t2\ < \p\ <dj. Поэтому в любом случае из (9) еле-
216 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
дует, что \р'\ <(1 — 2[})_1е-1ф'. Из условия В7 получаем
.тогда v(n)<(/i+l)((l-2^)-1e-1d/)2/3<e(rt7)2/3 (ПМП;
п = i_1). В частности, \(л)< ev(ri).
Далее, повторяя рассуждения леммы 16.2, получим
v(r)<(2e + 8e2+...)(?i/)2/3<'3e(«/)2/3. ■
Кроме типов карт, встретившихся в гл. 5, нам
потребуются еще карты на сфере с тремя вырезанными из нее
дисками (иначе говоря, карты на плоскости с двумя
дырами) . Поэтому В°-картой назовем здесь карту на
поверхности X с эйлеровой характеристикой %>—1, число
I участков контура которой не больше 4.
По аналогии с § 16 внешними назовем $-ребра,
входящие в дуги примыканий Г Д </, где Г — выделенная
подкарта примыкания длинного участка q некоторой
особой или обыкновенной клетки к участку контура В-карты.
Лемма 21.9. Сумма Н весов всех особых клеток
В°-карты Д не больше a_1ev(A).
Доказательство. Построим оценочные графы Ф
и ф' для выделенной системы подкарт примыкания
в Л и исправленные оценочные графы Фо и Ф„ (см.
п. 20.3).
Для доказательства леммы введем также новые веса
с(е) ребер, а именно, если е принадлежит короткому
участку особой или обыкновенной клетки ранга j, причем
е является St-ребром, то положим a(e) = (n/)2/3|p|-1 (а
значит, о(р) = (гс/)2/3), Для остальных ребер считаем, что
o(e) = v(e). Заметим, что при этом a(n)ss2v(n) для
любой клетки П в силу условия В6.
Припишем каждой вершине о графа Фо, выбранной
внутри особой или обыкновенной клетки и относящейся
к участку р этой клетки, вес о(р). Тогда (как и в
лемме 16.3) сумма vo весов всех вершин в Ф не превосходит
c(A) + #<2v(A) + #.
Припишем далее каждому ребру из Ф', построенному
с помощью выделенной подкарты примыкания Г, вес
v(T), а каждому ребру е графа Ф0— максимальный вес
тех ребер из Ф' (их не более трех по теореме 20.1),
вместо которых оставлено е.
Если \' — сумма весов особых клеток, входящих в
подкарты примыкания какого-либо участка q к q, то из
теоремы 20.1 и леммы 21.8 следует, что v' < Зеа(Л). Значит,
Я =£ 3vi + Зео(Л), Vi — сумма весов ребер из Ф0.
§ 21. ПРИМЫКАНИЯ И ВЕСА В В-КАРТАХ 217
Заметим, что для В°-карт в следствии 10.1 с < 60.
Граф Фо удовлетворяет условию леммы 10.4 с
константой a = Зе в силу леммы 21.8 (ибо вес \(q) длинного
участка ранга / не меньше (nj)m по условию В6).
Следовательно, по лемме 10.4 vi «£ 60 ■ Зе • vo, т. е. Н sg
<3 •180е(Я + а(Л))+Зео(А). Отсюда Ж 2 ■ 543 X
X(l-540e)-18v(A)<a-1ev(A_). ■
Лемма 21.10. Пусть (qu T, q2)> г, где qu q2 —
длинные участки клеток рангов к и I соответственно в
В-карте Л, причем кФ1. Тогда если обозначить
d(qu Г, h)=PiqiP2q2, то v(q2)< 2Vev(gi).
Доказательство. По лемме 21.2
v(g2) = Ы !g2|-1/3<(l-2p)-4g1l lg2h1/3.
а по лемме 21.4 (I</il/l</2l)1/3 < Уе. Значит,
v(q2)<(l-2$)-4^\ql\\ql\-m<2Uv{ql). ■
Лемма 21.11. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания длинного участка q~\ к длинному участку q2 в
В-карте li^ причем (qu Г, </2)<е и {q2, Г, д,)< е,
a d{qu Г, q2) = p[qip2q2. Тогда сумма Кт = v(qi)+ v{q2)
меньше 3ev(gi).
Доказательство. По лемме 20.1 v(q~\), v(g2)>
>01 Из условия видно, что v(gi)< e\(qi). Если \q~i\ >
> lg2l, то v(q2)< ev(g2)^ ev(gi).
Рассмотрим случаи IgJ < \q2\. По лемме 21.1 и
условию В1 \р{\, \р2\ <t,\qi\, а по теореме 22.4 для Г
Ш <rl\piqiPi\ <r1(a + 2S)l?il.
Следовательно,
v(?2)=lg2l lg2h1/3ssr1(e + 2£)lgil lgih1/3 < 2ev(?i).
Поэтому в любом случае Кт <(е + 2e)v(gi) = 3ev(<ji). ■
Лемма 21.12. Пусть К — сумма всех чисел Кт из
леммы 21.11 для всевозмоокных выделенных подкарт
примыкания Г В°-карты Д, удовлетворяющих условию
леммы 21.11. Тогда
ЖсГ'е'у(Д). (10)
Доказательство. В оценочном графе Ф', как и
при доказательстве леммы 21.9, вершине, отвечающей
длинному участку q, припишем вес v(q), а ребру,
проходящему через подкарту Г, припишем вес Кт лишь в том
случае, когда Г удовлетворяет условиям леммы 21.11.
218 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
Исправленный оценочный граф Ф0 удовлетворяет
условию леммы 10.4 с константой а = Зе по лемме 21.11
(и с < 60). Если v' — сумма чисел Kv для подкарт
примыкания каких-либо длинных участков g к д, то, как
следует из теоремы 20.1, v'<2ev(A). Далее, как и в лемме
21.9, i£s£3vi + v', где vi — сумма весов ребер из Ф0, и
К ^ 3 • 180е (v (А) + Я) + 2ev (Д) «S or'ev (Д)
в силу оценки для Н из леммы 21.9. ■
Лемма 21.13. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания длинного участка q~\ клетки ITi к длинному
участку q2 клетки П2 в В°-карте Д, r(IIi)= г(Пг) и
(g"i, Г, &)>_г, d(qh Г,_д2) = ,P_igi/>2g2. Сумму весов всех
таких q\ {и д2, если (д2, Г, gi)^e) обозначим С. Тогда
CsSa-2S2/3v(A).
Доказательство. Рассмотрим сначала все такие
Г, где 111 = Пг = П. Если П — клетка типа 1, то v(gi) +
+ v(g2)< 48v(II) по условию В5. Если П — клетка
типа 2, то сумма Сп для подкарт примыкания между
длинными участками клетки П меньше (а-1 + 1)6(1 + 6)v(II),
как видно из условий В4, В10 и В7.
Рассмотрим далее случай Л\ Ф П2. Фиксируя r(ITi) =
= r(IT2) == А;, обозначим Ck соответствующую часть
суммы С. По лемме 21.2 и условиям В5 или В7 имеем
v(?i)< 1д112/3<((1 + 2£)|д2|)2/3<((1 + 2£)28)2/Ч>(П2).
Кроме того, v(gi)< 26v(ni) по условиям В5 или В7.
Для данной пары П[ и П2, где П1 Ф П2, существует
не более 6а-1 подкарт Г, удовлетворяющих условию
леммы 21.13, в силу условия В4 и теоремы 20.1. Значит, если
построить вспомогательный граф Ф с ребрами е,
соединяющими точки, выбранные по одной внутри клеток
ранга к (с весом равным весу клетки) через одну из таких
подкарт Г (v(e)= 6a_1v(r)), то Ф удовлетворяет
условию леммы 10.4 с константой а — 10а_1б2/3.
Следовательно, Ch < 60 • 10a~'62/3vft, где \k — сумма весов клеток
ранга & в Д. В итоге
С ^(3(а-1 + 1)6(1 + 6)+ 600a-'62/3)v(A)^
^а~262/МД).И
Лемма 21.14. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания длинного участка q~\ клетки Л\ к длинному
§ 21. ПРИМЫКАНИЯ И ВЕСА В В-КАРТАХ 219
участку д2 клетки П2 в В-карте Д, причем (дь Г, дг)^в
и г(П1)^г(П2). Пусть ql = Г Д ?2, а сумму чисел v(g[)
для всех таких подкарт Г обозначим D. Тогда
D ss 2У7М, (11)
где М — сумма весов всех внутренних ребер карты Д.
Доказательство. Утверждение прямо следует из
леммы 21.10, поскольку рассматриваемые там дуги q\
внутренние. ■
Лемма 21.15. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания некоторого длинного участка q\ обыкновенной
клетки Щ к участку q2 клетки П2, причем г(И\)Ф г(П2),
если д2— длинный участок, и (g~i, Г, д2)^=е. Пусть
— Г Г Г Г /Г\
d(q\, Г, ?г) = Pi?iP2?2, и G означает сумму чисел у [qx)
для всех таких подкарт Г в В°-карте' Д. Тогда
GsS(a + 6)(l-a-1e)-'M. (12)
Доказательство. Нужно повторить
доказательство леммы 16.7 с заменой ссылок на леммы 15.8, 14.2,
15.5 и на теорему 14.1 ссылками на леммы 21.4, 20.2, 21.4
и на теорему 20.1. ■
Лемма 21.16. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания длинного участка g~i клетки П\ к короткому
участку д2 клетки П2 в В°-карте Д, причем (gi, Г, д~2)<
<е и d(q~i, Г, q~2)~ PiqiP2<l2. Обозначим Е сумму весов
v(gi) для всевозможных таких подкарт Г. Тогда
E^a~lev{A). (13)
Доказательство. По теореме 22.4 для Г имеем
Iffil < $~l{\Pi\ + l/?21 + 1дг1). Отсюда по лемме 21.1
Igil <р-1(4Л8-1 + 1)|?21 <|'-1(4Ae-1 + l)d; (14)
по условию В8 при / = г(П2).
Введем теперь вес о, как и при доказательстве
леммы 21.9. Тогда в силу (14)
°(ei) = v(gi)ss
«S lgil2/3<e(«7)2/3<ea(g2) (ПМП; «=»= Г1), (15)
а по условию леммы, кроме того,
o(?i)< ea(gi). (16)
220 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
В оценочной графе Ф для А каждой вершине,
отвечающей участку q клетки, припишем вес c(q), а если
ребро е из Ф проходит через подкарту Г
рассматриваемого вида, то ему приписывается вес v(qi) = a(qi). В
силу (15) и (16)для исправленного оценочного графа Ф0
выполняется условие леммы 10.4 с константой а = е.
Поскольку по теореме 20.1 сумма весов ребер из Фо не
меньше Е/3, из леммы 10.4 следует, что
Е < 60 • Зе(а(А) + Я)< 180(2v(A)+Я)< cr'ev(A)
вследствие оценки леммы 21.9 для Н. ■
Для В-карт аналогом леммы 16.8 является
Лемма 21.17. Если г (А) для Ва-карты_А, то сум-
ма N весов всех внешних ребер из А больше (ч + 26)v(А).
Доказательство. Пусть Н, К, С, D, M,G,E —
суммы весов, определенные в леммах 21.9—21.17. Сравнивая
их определения, видим, что вес каждого внутреннего
ребра из А учтен по крайней мере в одной из этих шести
сумм. Значит,
M^H+K + C + D + G + E. (17)
Подставим в (17) оценки лемм 21.9, 21.13 и
(10) —(13):
М<(За-1е + а-2б2/3)у(А) + (2Уе+(а + б)(1-а-1е)-1)М.
Отсюда М<(ч - 26)v(А) (ПМП; е, б -< *f, a), что и
требуется, так как N f= v(A) — M. и
§ 22. Существование ^-клетки и его следствия
1. 7"клетка< Непосредственно из леммы 21.17
выводится
Теорема 22.1. Пусть А — В°-карта и г(А)>0.
Тогда в А найдется клетка я, для которой существуют
дизъюнктные подкарты примыканий Т\, .. ., Гг к
участкам контура дА такие, что никакие две из подкарт
примыкания Г;, Г3 {i=£j) клетки л к одному из участков q
из дА нельзя включить в какую-либо одну подкарту
примыкания Г клетки л к q, а сумма степеней Г г, • • •> Гг
примыканий клетки я больше Y-
Доказательство. Поскольку по лемме 21.17
N >(Т + 26) М, в А найдется клетка л, сумма весов
внешних ребер которой больше (^ + 28)v(n). Так как по ус-
§ 22. СУЩЕСТВОВАНИЕ у- КЛЕТКИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 221
ловию В7 отношение весов ребер различных длинных
участков клетки л меньше (1 + "2"°) <1 + -д-б, сумма
длин всех внешних ребер клетки л составляет больше
^ + 6 от суммы длин всех ее длинных участков, а с
учетом леммы 20.4 — больше Y от \дл\. Итак, л —
искомая клетка. Она, как и в § 16, называется
^-клеткой в А. и
Следствие 22.1. Пусть А — дисковая В-карта
ненулевого ранга, контур которой разбит на 4 участка q1, q2,
q'6, з4. Тогда в А найдутся Я-клетка л и дизъюнктные
подкарты Т\, . .., Г4 ее примыканий к ql, ..., qA (некоторые
4 _
могут отсутствовать) такие, что 2 (я, Г4, q%)>y. ■
г=1
Следствие 22.2. Пусть А — кольцевая В-карта
с контурами р и q (которые рассматриваются как
циклические участки) и г(Д)>0. Тогда в А найдутся Я-клет-
ка л и дизъюнктные подкарты ее примыканий Гр и Г,
соответственно (одной из них может и не быть) такие,
что (л, Гр, р) + (л, Г„ q)>l- ■ л**»**1
Теорема 22.2. Если А — В°-карта положительного
ранга, то найдутся длинный участок р некоторой Я-клет-
ки из А и подкарта Г его примыкания к одному из
участков контура q такая, что г(Г)= 0 и (р, Г, g)S& е.
Доказательство. Нужно в доказательстве.
теоремы 16.2 вместо клетки П рассматривать какой-либо ее
длинный участок р и заменить ссылки на теорему 16.1,
следствие 16.1 и леммы 15.8 и 15.1 ссылками
соответственно на теорему 22.1, следствие 22.1 и леммы 21.7 и 20.3. ■
Теорема 22.3. Сферическая или торическая
В-карта А имеет нулевой ранг.
Доказательство. Поскольку участков контура
в этих случаях нет, г(А)= 0 по теореме 22.1. ■
2. «Почти геодезические» пути. Приведем аналог
теоремы 17.1.
Теорема 22.4. Пусть А — дисковая В-карта с
контуром qt или кольцевая В-карта с контурами q и t.
Тогда если участок q является гладким, то f>\q\ ^ \t\.
Доказательство является повторением доказательства
теоремы 17.1 с формальной заменой ссылок на
леммы 15.1, 15.3, 15.4, 15.6—15.8, теорему 17.1 и
следствие 16.1 ссылками соответственно на леммы 20.3, 21.1,
21.5—21.7, теорему 22.4 и следствие 22.1. ■ /
222 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
3. Разрезы кольца и сферы с тремя дырами.
Лемма 22.1 Пусть А — кольцевая В-карта с
контурами р и q, причем любая петля, составленная из 0-ре-
бер, стягиваема по А в точку. Тогда найдется путь t,
соединяющий некоторые вершины о{ и о2 путей р и q
соответственно, такой, что \t\ ^ ч(\р\ + \q\).
Доказательство. Нужно в точности повторить
доказательство леммы 17.1, заменив ссылки на
леммы 15.3, 15.4, следствие 16.2 и условие А1 ссылками на
леммы 21.1, 21.3, следствие 22.2 и условие В6. ■
Лемма 22.2. Пусть А — В-карта на сфере с тремя
дырами и контурами Р\, p<z и рз, причем любая петля в А,
составленная из 0-ребер, стягиваема по А в точку. Тогда
найдется путь t, соединяющий некоторые вершины 0\ и
6>2 путей р\ и рч соответственно, такой, 4To\t\<cl-^-\- ^YjX
X (|Pil + |р*| + |PsU-
Доказательство. Если г(А) = 0, то, как видно
из условия, среди трех путей р\, р2, Рз найдутся два
(скажем, pi и ря), имеющие 0-связки с третьим (с рз), и в этом
случае и|<у|Рз|-
Если г(А)>0, то по теореме 22.1 в А можно выбрать
Y-клетку я. Доказывая лемму индукцией по числу 31-
клеток, рассмотрим несколько вариантов.
1) Пусть Г — подкарта примыкания клетки я к р = Р\
(или к р2, к рз), причем (я, Г, р)> у. Тогда, как и в
случае 2) из леммы 22.1 или
леммы 17.1 (см. рис. 57),
переход к карте с меньшим
числом клеток доказывает
утверждение.
2) Существуют две
дизъюнктные подкарты
примыкания клетки як/»з (или к р\, или к р%), причем сумма
степеней примыканий больше f (рис. 71). Тогда, как и в
случае 1) леммы 17.1 (или леммы 22.1) найдутся
вершины 0[ и о2 на рз и путь s = о{о2, разрезающий А на две
кольцевые карты Ai и Д2 с контурами pi, q\ и р2, q2,
причем Ы<,у1/>з1. Искомый путь получим, применяя
лемму 22.1 к А[ и к Аг:
UI<7(|Pil + Hil) + T(|P2l + l32|)+4|P3l-
§ 22. СУЩЕСТВОВАНИЕ 7-КЛЕТКИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 223
Отсюда с учетом неравенств \q\], \q?\ <(1 + ч)1,рз1
получаем утверждение леммы.
Если клетка я имеет две подкарты примыкания к р\
(или к рг), то оценка лишь улучшится. (В этом случае
на рис. 71 после перенумерации контуров нужно
соединить вершины путей рх и ръ.)
3) Остается предположить, что найдутся две
дизъюнктные подкарты примыкания клетки я к двум разным
участкам контура (рис. 72). Ее-
ли, например, 1\ —
подкарта примыкания к ри
то по лемме 21.1 \s\\,
[s2| <£|<9я1. Поэтому
найдутся вершины о\ ж о2
на разных циклических
участках контура кар- Рис- 72
ты А, которые могут
быть соединены путем s без самопересечений, где
Ы <(2£ + f)l0jtl. (1)
Применим теперь ко всем подкартам примыкания
Г), Г2, ... из теоремы 22.1 (а их не более четырех)
лемму 21.3. Она дает \р{\ + \р2\ + \р3\ >(т - 8j3) |<5я1, и из
сравнения с (1) получаем
|s|<2-Y(lpi! + lp2l + lpsl). (2\
Следовательно, разрез вдоль s превращает А в кольцевую
карту А' с суммой длин контуров, не превосходящей
(l + 2-2f)(lpil + \ps\ + \рз\).
Для нахождения вершин 0{, 02 и пути t достаточно
теперь к А' применить лемму 22.1:
\4<4(i + ly)(\Pi\ + \P2\ + \p3\) + \s\ +
+ y(|Pil + |p8| + \pa\),
и ввиду (2) неравенство леммы 22.2 доказано. ■
4. Применение ^-клеток. Следующие утверждения
звучат так же, как леммы 17.2, 17.3 и 17.5 для А-карт.
Лемма 22.3. Пусть А — дисковая В-карта с
контуром p[qip2q2, где q\ и q% — гладкие участки, причем \qx\ +
+ 1дг1>0, \pi\ + \p2\ «S T(l?il + Iffzl)- Тогда или суще-
ствует 0-связка между q\ и дг, или найдутся клетка
' 224 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
ПаД(2) и дизъюнктные подкарты ее примыкания Ti ц
Гг к q\ и qi соответственно такие, что (П, Гь q\) +
+ (П, Г2, д2)>Р = 1-р.
Доказательство. Нужно провести
рассмотрения, аналогичные проделанным в лемме 47.2 (см.
рис. 58—61). При этом в ссылках нужно сделать
подстановку вместо теоремы 17.1 теоремы 22.4, вместо
следствия 16.1 — следствия 22.1, вместо лемм 15.3, 15.6, 15.8,
17.2 — лемм 21.1, 21.5, 21.7 и 22.3 соответственно.
В разд. 3) доказательства благодаря лемме 21.3,
примененной к Г, Ш >($($-у)-2(h + 1)£)|<Ш|, что больше
(1 + 2р)_1(Р ~ Т) \дШ, как и в лемме 17.2. Аналогично
в разд. 4)|^| + |^|>(р(Р-7)-4(й + 1)£)|0П|, что
точно так же, как и в лемме 17.2, приводит к
противоречию. ■
Лемма 22.4. Пусть А — дисковая В-карта с
контуром р\Ц\Р2<12, причем q\ и 32 — гладкие участки рангов к
и I, где к < I, и
\pi\ + \p2\<4(\qi\ + \q2\). (3)
Тогда:
1) найдутся вершины ох и о2 на qy и q2 и
соединяющий их путь х в А такой, что \х\ < ак;
2) вершины о\ и 02 можно выбрать так,, что начальные
отрезки путей q\ и q^1 (путей qi и qi) до о{ и о2
имеют длину, меньшую чем \~у(\р\\ + ak) (чем "f~'(l/?2l +
+ ак)); ■ »
3) если вместо (3) выполнено условие \р\\, \р%\ < ак,
то любая вершина о пути q\ (пути (?г) может быть
соединена в А некоторым путем у с некоторой вершиной о' на
q2 (на q\) так, что \у\ < ^~1к.
Доказательство получается после формальной замены
в доказательстве леммы 17.3 ссылок на леммы 15.3 и 17.2
и на теорему 17.1 ссылками на леммы 21.3, 22.3 и
теорему 22.4. ■
Лемма 22.5. Пусть А — дисковая В-карта с
контуром P\q\P2q2, для которого q\ и дг — гладкие участки
рангов к и I, к < I, и величины \qs\ — М неотрицательны, где
/ = 1, 2 и М = ч~1(\р{\ + \р!2\+к). Тогда из А'-можно
вырезать подкарту с контуром вида р-АхР&г, где qt и q<i-~
подпуши в q1 и q.z и \ р[ \, \ р'2 | < ак, \q'j\>\ q, \ — M (j =
= 1, 2).
'«Л*
§ 23, С-КАРТЫ
225
Доказательство. Утверждение немедленно
следует из леммы 22.4 (так же, как лемма 17.5 из
леммы 17.3; см. рис. 64). ■
§ 23. С-карты
1. Условие С. В отличие от А-карт в В-карте контур
подкарты примыкания одной клетки к другой или
к участку контура разбивается не на 4, а на много
участков в соответствии с разбиениями контуров клеток.
Поэтому в дальнейшем встречаются не только В-карты, но
и С-карты, к определению которых мы сейчас переходим.
Под С-картой мы подразумеваем дисковую или
кольцевую В-карту А, контур (контуры) которой имеет вид
pisohsi . .. Usipzq (в случае дисковой карты) или s\t\ ...
...Siti и q (в кольцевом случае), где (X Z < h (l — l, h
в кольцевом варианте), участки «о, •.., st называются
длинными участками первого вида, tu ..., th p\, p2 —
короткими участками, q — длинным участком второго вида,
причем все участки (циклически) несократимы и для
некоторого / выполнены следующие условия:
С1. Каждый участок первого вида является гладким
участком ранга /и \s\\, ..., |s,_il ~>щ.
С2. Если J г£ 1, то Uol > t,nj или \st\ > %п].
СЗ. Участок q второго вида является гладким или
геодезическим.
G4. Короткие участки pi, p2, U, . .., U является
геодезическими.
С5. Длина любого короткого участка меньше dj.
G6. Пусть Г — подкарта примыкания участка st к sh,
а Чи дг — дуги примыкания. Тогда Igil, |g2l < %~lj
(О *£ й, j < J).
С7. Пусть П — клетка ранга / и Гь ..., Г,„ —
дизъюнктные подкарты примыканий ее длинных участков
?i. 42, . .. к So, ..., si. Тогда среди qu q.2, ... менее or1
различных участков q{, для которых найдется Г3
(/ = 1, ..., тп) такая, что (qt, Г3, sk) > г, а среди su . .., s(_i
иенее а-1 таких, что (sh, Th qi)> г, для некоторой ГУ
Происхождение условий CI—C7 объясняется
следующими леммами.
Лемма 23.1. Пусть Г — подкарта примыкания не-
к°торой клетки п ранга j к некоторому гладкому или гео-
езическому участку контура В-карты А или к участку
1 некоторой клетки ПеД(2). Пусть д(л, Г, q) = piqip2q2
IS
А- Ю( Ольшанский
226 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
и q\ = S0M1 • • • tigi, где t\, ..., tt — короткие участки
клетки я, So, Si, • • ■, si-\ — длинные участки клетки я, So, st —
подпути длинных участков, причем или Z13= 2, или \s0\ ;>
> £га/, или \sl\>t)nj. Тогда подкарта Г с контуром
PiSotiSi ... tistp2q2 является С-картой с длинными
участками s0, .. ., s; ранга j первого вида, длинным участком
qi второго вида и короткими участками pi, Р2, t\, .. ., tt.
Доказательство. Условие С1 следует из В6 и
леммы 20.3, условие С2 дано в лемме 23.1, СЗ следует
из леммы 20.3. Условие С4 вытекает из В9, С5 — из В8
и леммы 21.1, С6 —из В10, а С7 — из В4 (для А). ■
Лемма 23.2. Пусть Г — кольцевая карта,
полученная путем вырезания некоторой клетки П ранга / > 0 из
дисковой В-карты А с контуром q. Тогда если sj^ .. . 11 —
контур клетки П (где только один сомножитель Si, если
П — клетка типа 1) с длинными участками si, ..., s; и
короткими t\, ..., ti, а циклический участок q является в Г
геодезическим, то Г —■ С-карта с длинными участками
S], ..., s, ранга j первого вида, длинным участком q вто- -
рого вида и короткими участками t\, . .., tu
Доказательство. Условия С1 и С2 следуют из ,
В6, условие СЗ дано в формулировке леммы, С4
вытекает из В9, С5 - из В8, С6 - из В10, С7 - из В4 для А. ■
2. Весовая функция для С-карт. Определения связок
и подкарт примыкания были даны для В-карт в § 20.
Пусть Ж — какая-то система попарно дизъюнктных
подкарт примыкания каких-то участков 52-клеток и
участков контура С-карты А к участкам клеток и контура
(длинным или коротким). Назовем Ж полной системой
подкарт примыкания G-карты А, если каждое 51-ребро
любого длинного участка из дА и каждое §1-ребро любого
длинного участка клетки, не входящей в одну из
подкарт Г е Ж, принадлежит одной из дуг примыкания
некоторой подкарты Г' е Ж.
Подкарту примыкания Г участка q к q (q из ЗП или
из ЗА) назовем неправильной, если замкнутая кривая ts,
где t — связующая линия для Г, а все точки пути s
лежат в П (или вне А), за исключением s_ и s+,
ограничивает диск (не содержащий других участков клетки П,
если q — участок в ЗП). Систему Ж, в которой нет
неправильных подкарт примыканий, назовем правильной-
Тривиальная полная система Жо, состоящая из 0-связоК
(которая всегда имеется, как и в § 14 или 20), является
правильной. Для участка q клетки это следует из лем-
§ 23, с-карты 227
Мьг 20.5, а если бы правильность нарушалась для
участка q из дА, то от А можно было бы отрезать дисковую
В-карту с контуром вида pq, где \р\ = 0, a Igl > 0 и q —
гладкий или геодезический участок, что противоречит
теореме 22.4.
Правильная полная система Ж подкарт примыкания
называется выделенной, если %(Ж)~5? х(Ж') для любой
другой правильной полной системы Ж' С-карты А.
Определение выделенных подкарт, обыкновенных, особых
и скрытых клеток такое же, как и в § 20 (или в § 14).
Лемма 23.3. Не существует выделенных подкарт
примыкания участков скрытой клетки к чему-либо.
Доказательство такое же, как и у леммы 20.1
(или 14.1). ■
Определение оценочных графов Фи Ф' такое же, как
и в случае любых В-карт (п. 20.3) с той лишь разницей,
что теперь две разные вершины из Ф', не лежащие в Ф,
могут быть соединены в Ф' ребром 0{0} (через
выделенную подкарту примыкания участка контура к участку
контура). Но не может быть петли с вершиной в 0( е
е ф'\Ф в силу правильности выделенной системы, и для
Ф' и Ф по-прежнему справедлива теорема 20.1.
Исправленные оценочные графы Фо и Ф0 определяются, как
в §20.
Лемма 23.4. В С-карте А не существует двух
выделенных подкарт примыкания длинных участков
обыкновенной клетки П ранга к к участкам Ц\ и q~2 (контуров
или клеток), если степени примыканий не меньше г
11 r(b)< k(r(q~2)< к), в том случае, когда q~i(q~2)—
длинный участок клетки или контура.
Доказательство. Обоснование такое же, как
и в лемме 14.2. ■
В отличие от § 20 внешними назовем теперь лишь те
^-ребра, которые принадлежат дугам примыкания
длинных участков первого вида из ЗА к длинным участкам
из ЗА,
Вес ребер, принадлежащих контурам клеток,
определим, как ив § 21. Кроме того, определим вес ребра е
Длинного участка s первого вида из ЗА формулой
v(e)=|sh1/3. (1)
о©са остальных ребер считаем нулевыми. Вес пути,
клетки и подкарты определяется, как и в § 16 или в § 21.
15*
228 ГЛ, 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
3. Веса внутренних и внешних ребер.
Лемма 23.5. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания участка контура G-карты А к участку клетки
или контура. Тогда если ] — ранг участков первого вида
карты А, то у(Г)< Зе (<;«/')2/3.
Доказательство. В обозначениях леммы 21.8,
как и в этой лемме, получим v(n)< (h + 1) ((1 —
— 2^)-18-1ф')2/3, что меньше (£«У)2/3 (ПМП). Отсюда, как
и в § 21, следует нужная оценка. ■
Лемма 23.6. Сумма Но весов всех особых клеток С-
карты А не больше a-1sv(A).
Доказательство. Как и при доказательстве
леммы 21.9, введем новые веса о(е), а именно, если е
принадлежит короткому участку р особой или
обыкновенной клетки, или короткому участку р контура, или
длинному участку р первого вида такому, что \ip\ < t,nj
(где у — ранг участков первого вида), то пусть
о(е) = (^У)2/31р!-1.
Для остальных участков считаем, что a(e) = v(e).
Заметим, что при этом v(II)< о(П)< 2v(II) для любой
клетки П, а для дА выполняется неравенство v(5A)^ o(5A)<
<5v($A), ибо по определению С-карты среди коротких
участков контура и длинных участков первого вида по
крайней мере каждый пятый является участком s
первого вида и выполняется неравенство Ы > t,nj.
Припишем каждой вершине оценочного графа Ф',
относящейся'к участку р, вес v(p). Если для некоторого
участка а(р)¥= 0 и Г — выделенная подкарта примыкания
участка р к чему-либо, то v(T)/a(p)< 3s по лемме 23.5.
. Поскольку в Ф' все вершины, кроме одной (отвечающей
участку q второго вида), имеют ненулевые веса, то, как
и в лемме 21.9, получим Я0 =^ Зе • 60(Я0 + о(А)) +
+ Зео(А), откуда #0 <«-1ev(A), ибо o(A)<5v(A).*
Лемма 23.7. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания длинного участка q клетки л ранга / к участку
q2 первого вида ранга кФ ] контура С-карты А, причем
Ш>1~1]\ (Ь, Г, g2)S*e и d{qit Г, q2) = PiqiP2q2. Тогда
v(g2)<2s!/2v(gi).
Доказательство. Повторяется доказательство
леммы 21.10 для В-карт. ■
Лемма 23.8. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания длинного участка g~i клетки П ранга к к
участку q2 контура С-карты А, причем (qu Г, q2)< е. Пусть
§ 23. С-КАРТЫ
229
^г __ сумма весов ребер из q\ и q2, где P\qip2q2 =
z=d(q~u Г, q2)- Утверждается, что сумма Ко чисел Кт для
всех таких подкарт в А не больше 6е2/38~!М, где М —
сумма весов внутренних ребер из А.
Доказательство. Как видно из условия, v (q\) <
<ev(gi). Нужно оценить величину v(g2). Разумеется,
можно считать, что q2 ■— длинный участок первого вида
(иначе v(g2)=0). По теореме 22.4 и лемме 21.1 для Г
имеем
\q2\ ^Г'ОРИ + М + W)<F_1(e + 2£)!g1l < 2е|?,|.
Рассмотрим сначала случай \q~i\ < \q2\. Тогда
v(g2)=lg2llg2h,/3<2slg,llg2|-1/3<2E|g1|2/3 = 2ev(gi).
Предположим, что, напротив, \q2\ < \q~i\. Тогда
v(g2)=lg2llg2l-1/3^lg2l2/3<(2el31l)2/3-(2e)2/3v(gi).
Значит, в любом случае v(<?i) + v(g2) = Kv < 2e2/3v(gi),
а так как по определению все St-ребра клеток внутренние
и число участков контура С-карты меньше 3h = Зб-1,
лемма доказана. ■
Лемма 23.9. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания некоторого длинного участка q~\ клетки П к
некоторому длинному участку д2 контура С-карты A, r{q\) =
= r(q2) и (qh Г, g2)^e. Пусть d{q~\, Г, q2) = Piqip2q2.
Сумму весов v(?i) + v(g2) для всех таких Г обозначим Со.
ТогдаСо<ЪаГ1Ь2,\(А).
Доказательство. Обозначим 'ф = (?2, Г, q~\)-
В силу леммы 21.2
v(?,Klg1l2/3<((l + 2£)M)2/3<
<(1 + 2^)г|>2/3|д2|2/3 = (1 + 2^)4jj2/3v(g2), (2)
vM^lg2l2/3<((l-2^-4gil)2/3<(l + 2p)v(gi). (3)
Кроме того, если (дь Г, q2)< 26, то
v fe) < (1 + 2(3) | ?1|2/3 < (1 + 2(3) (28)2/3v (П) <|- 82/3v (П).
(4)
Обозначим Сп сумму чисел вида v(gi), v(g2) для под-
КаРт Г], Г2, ... примыкания фиксированной клетки П,
Дающих вклад в Со. Если П — клетка второго типа, то
\
230 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
вследствие условий С7, В7 и неравенства (3)
Сп <а_1б U + ~\ б (1 + 1 + 2Р) v (П) < 3a-18v (П).
Если П — клетка первого типа, то среди Гь Г2, ... по
условию С7 не более а-1 + 1 подкарт Г,-, для которых
(?2, Г;, qi)> е. Часть Сп суммы Сп (распространенная
на эти подкарты) в силу условия S5 и неравенства (4)
оценивается так:
С'п < (а-1 + 1) (26 + -| 62/3) v (П) < 2а-хб2/\ (П).
Осталось рассмотреть клетки первого типа и такие
подкарты их примыканий, что (q~\, Г, дг) =^ 26 (см. S5) и
(q2, Г, q~i)^s (С" —их вклад в Со). Для такой
подкарты в силу (4), (3) и (2)
vЫ + v (g2) < 262/3vМ, v (g,) + v (g2)< 2S2/3V(g2). (5)
Если теперь в оценочном графе приписать вершине,
относящейся к участку д, вес v(q), а ребрам,
проходящим через рассматриваемые подкарты Г, вес v (9i)+ v(<?2),
то в силу (5) стандартное рассуждение с помощью
леммы 10.4 дает оценку С" < oT'62/3v(A), а значит, Со <
<3a-'62/3v(A). ■
Лемма '23.10. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания длинного участка g"i клетки П ранга к к
длинному участку q2 первого вида контура G-карты А, причем
(?ь Г, д2)>е и r(q2)¥=k. Пусть d(qy, Г, q2) = Piqip2Q2-
Сумму чисел v(q2) для всех таких Г б А обозначим Do.
Тогда Da < ШМ + 2(£-2i)2/3v(A), где М — сумма весов
внутренних ребер в А.
Доказательство. Первое слагаемое
обосновывается леммой 23.7, а второе — тем, что в С-карте число
участков первого вида длины > t,nj составляет не менее
трети числа всех участков первого вида.
Лемма 23.11. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания длинного участка qx обыкновенной клетки Ш
к участку q2 контура С-карты А или к участку q2
клетки И2, причем r(q~i)¥= r(q2), если q2— длинный участок.
Пусть Piqip2qz = d(qu Г, q2) и (qu Г, q2)> е. Тогда если
§ 23. С-КАРТЫ 231
Qu означает сумму чисел v(gi) = v(gi) для всех таких
подкарт Г, то Со «ё аМ.
Доказательство. Если обыкновенная клетка I±i
имеет участок qu удовлетворяющий условию леммы, то
по леммам 23.4 и 21.4 таких участков в IU не более
одного. Из леммы 21.7 или из условия В7 следует, что
v(qi)< av(IIi). Суммируя по всем Пь доказываем
лемму, ибо все ребра клетки ITi внутренние. ■
Лемма 23.12. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания короткого участка р некоторой клетки П ранга
U к некоторому длинному участку q первого вида
контура С-карты А. Обозначим д(р, Г, q) = P\q\p2q2.
Утверждается, что сумма L чисел v(g2) = v(g2) no всем таким
Г не превосходит аМ.
Доказательство. По лемме 21.1 и условию В8
\pi\, \р2\ <2Ы-Чк, По теореме 22.4 Ig21 < Г1 (d* +
+ ihs~"ldk)< bh,E~ldk. Поэтому
v(?2)s= \q2\m<(5hd&-lk)2/3 =
= (5Ms-'i)2/3 (raft)2/3 < (5Ые-Ч)2/3v (П).
Учитывая, что число коротких участков клетки П не
больше h, а число длинных участков первого вида в ЗА не
более h + i, имеем L =£= 2(ft + h + 1) (56-V'«""'О2'3^^
*ZaM (ПМП; i).*
Лемма 23.13. Пусть Г — выделенная подкарта
примыкания короткого участка р контура к длинному
участку q первого вида и r(q)=k. Пусть д(р, Г, q) = p\q\p2q2.
Тогда сумма весов F для всех таких Г меньше 6v(A).
Доказательство. Как и в лемме 23.12, \q2\ <
<5Ые~'/с. Значит, v{q2)< (bhde~lk)2/3. Учитывая
условия С1 и С2, получим Fjv(A)< 5(5hd£-lk)2/3!{tnk)2/3 <
Лемма 23.14. Сумма весов всех внутренних ребер
С-карты А меньше 6I/2v(A).
Доказательство. По существу мы повторим
рассуждения из доказательства леммы 21.17. Пусть
величины F, M, L, Но, К0, Со, Go и Do определены в леммах 23.7—
^3.13. Величины К, С, D, Е определим точно так же, как
в леммах 21.12 21.13, 21.14 и 21.16. При этом для них
Справедливы оценки этих лемм, поскольку, при их выводе
никак не учитывался вид разбиения контура. Сравнивая
определения, видим, что вес каждого внутреннего ребра
ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
учтен по крайней мере в одной из таких сумм, т. е.
M^Ha + K0 + C0 + Ga + D0 + F + L + K + C + D + E.
(6)
Подставим в (6) оценки из указанных выше лемм:
М <(ЗсГ1е + Зсг'б2/3 + 2(£-2и)2/3 + б + cr262/3)v(A) +
+ (6e2/36-1l+a + 4s1/2 + a)M.
Отсюда M<6!/2v(A) (ПМП; i<\, г<Ь<1<<*)-ш
4. Строение С-карт.
Лемма 23.15. В С-карте А существует система
правильных попарно дизъюнктных подкарт примыкания
Ti, Гг, ... длинных участков первого вида к длинным
участка контура такая, что никакие две подкарты
примыкания Г;, Г; (i Ф j) участка q к участку р не содержатся
ни в какой одной подкарте примыкания q к р и сумма
длин дуг примыкания подкарт Гь Гг, ... ко всем длинным
участкам первого вида So, ■.., Si больше fi (Uol + ...
...+ U;|).
Доказательство. В качестве Гь Гг, ... выберем
все выделенные подкарты примыканий длинных участков
первого вида к длинным участкам в ЗА. Как видно из
определения выделенной системы, нам нужно доказать
только последнее утверждение леммы, т. е. оценить
число внешних ребер в so, .. ., «г-
Пусть каждый участок s{ содержит 0iUil внутренних
ребер, где 0 < 04 < 1. По определению весов и лемме 23.14
SmUil2/a<s1/sS|*«r. (7)
г=о г=0
Разобьем множество индексов 0, ..., I на два
подмножества I, J в зависимости от выполнения неравенства 6*^
^ б1/5 или 0i > б1/5. Очевидно, что
Sei|Si|<61/6i|Sl|. (8)
isl i=0
m I m \P~1
Известные неравенства 2жг^ 2Ж? ^
_ m
^ mv _1 2 xi Для любых x(>Q и 0<р < 1 вместе с
г = 1
§ 23. С-КАРТЫ
233
(7) и условием б!/5 < 0,- «£ 1 дают
< (б-1/16 2 6i i Si |2/3j3/s < (V1/1661/2 2 I si |2/3j =
/ l \3/2 I
= 813/2°Г£Ы2/3 <6ls/20(^ + l)1/22|si|,
\i=0 / г=0
что вместе с (8) доказывает утверждение леммы,
поскольку I < h = б"1 и б < р. ■
Лемма 23.16. Периметр любой дисковой В-карты
Д больше (1 — а) |сШ| Зля всякой клетки ПеД(2).
Доказательство. Пусть g — контур карты П,
at — контур клетки П. После вырезания П из А
получается кольцевая карта До с контурами q и t, причем для
доказательства леммы циклический участок q можно
считать геодезическим в До. Тогда по лемме 23.2 Д0
является С-картой.
Пусть t = t{Si . . . thSh — разбиение контура клетки П
на короткие и длинные участки (или t = sx, если П —
клетка первого типа), Гь Гг, ...— подкарты примыканий
участков si, ..., sh из леммы 23.15 для До. Если Ти
Г2, ...— те из них, которые являются подкартами
примыканий St к Sj, то сумма длин дуг примыкания вида Гй Д st
меньше (а"1 + l) б 2 I «i |, как видно из условий В4 и В7.
г
Значит, с помощью оставшихся Гх, Г2, ... можно
определить подкарту примыкания Г клетки П к q, причем
по лемме 23.15
2|г;л^|>(1-р-(а-1 + 1)б)21^|>(1-2Р)2|^|.
Следовательно, по лемме 20.4 (П, Г, q)> 1 — 3(3, и ввиду
леммы 21.3 \q\ >(1-5р)13П| >(1-а)|Ш|. ■
Лемма 23.17. Пусть Д — дисковая В-карта с кон-
тУром P\q\Piqi, где qx и q% — гладкие участки рангов к
и I, к £^1, а \р{\, \р.2\ < t,nk. Тогда периметр любой
клетки П из А меньше 3^"%пк < пк и г(Д)< 3^~lt,k < к.
Доказательство. Заменяя в доказательстве
леммы 17.4 ссылки на лемму 17.3 и следствие 17.1 ссылками
на леммы 22.4 и 23.16, р — на 1 - а и А1 — на В6,
получим нужные неравенства.
234 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
Лемма 23.18. 1) В дисковой С-карте со
стандартным разбиением контура P\S0tl .. . s,p2g не существует
подкарты Г примыкания s( к sh, если k — i>l. 2) Если
Uil>£ra/, то существует подкарта примыкания st к q.
Доказательство. 1) Доказывая «от противного»,
выберем в A st и sh (k> i) и Г с минимальной разностью
k — i. В силу леммы 21.1 некоторые вершины на s{ и sk
можно соединить (геодезическим) путем р, где \p\<d],
если / — ранг длинных участков первого вида в А.
Разрез по р позволяет, очевидно, отделить от А С-карту Ai
(ибо к > i + 1) с контуром Р^+1 • • • s/i, где siy sk —
подпути в Si и sk. Но существование А' противоречит
лемме 23.15 и условиям С1 и С6, так как 2(к — i + 1)<;~! <
<$(k — i<l)n при к - i > 1.
2) Доказывается, как и первое утверждение, с учетом
неравенства 2(к — i + l)tT! < $(к — i — 1)£га при к > i +
+ 1. ■
Лемма 23.19. Пусть А — дисковая G-карта со
стандартным разбиением контура PiS0t1s1 .. . tiSip2q и
участками s0, ...,si ранга j. Тогда путь q~x можно
разложить в произведение i0s0fx • • • sih+i ( Uo] = I so I, если
\s0\^t,nj, и \t'i+l\ = \s'i\ = 0, если \si\^.t,nj) так, что
\t'i\<i 3£w/, i — 0, ..., I + 1, и существуют
дизъюнктные подкарты Ai (без А0 или Aj, если |s0|^£ra/ или
\si\^.Z,nj) с контурами plsip^s'i, где \ р\|, |р\ \ < 2Ы~1],
«г = адг/г и l«»l,UiKS«7 (рис 73).
Доказательство. Пусть Ti, Гг, ... — подкарты
примыканий из леммы 23.15. Выберем из них только
подкарты До, Аь ... примыканий участков s0, s\, ... к q.
Рис. 73
, л л ^.tjHs')"1. Вследствие лем-
Обозначим d(Si, Ai, q) ~ Длительно существует Д„ ес-
мы 23.18 для каждого s, Де^™Хне подкарт Г,, Га, ...
ли Ы>Ъп]. Максимальность в выборе под у
™ран ирует, что если обозначить * - ЗД» Дл
§ 24. ДРУГИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗБИЕНИЕ ГРАНИЦЫ 235
ков £i и У* Уже нет подкарт примыкания к q. Значит, по
лемме 23.18 (например, для карты Г с контуром
(pi-i^yi-it&i (pl)'1*, где t — подпуть в q) \xt\, \yt\<.
£= t,nj.
Наконец, с помощью теоремы 22.4 для подкарты Г из
2 1
этих оценок, условия С5 на tt и леммы 21.1 для Pi—i и Pi
имеем
|*;|<р_1(2^/ + з«г/)<з^/.
Та же оценка получается для \ti\, если, например, |s0|^
<£ге/, так как тогда \ pls0tix1(p\)~1\<i2£,nj + 3d]. Ш
Лемма 23.20. Если ранг длинных участков первого
вида в дисковой С-карте А равен /, то r(A)< /.
Доказательство. Если Тк — подкарта
примыкания st к q (в стандартных обозначениях контура С-кар-
ты), то r(Th)<j по лемме 23.17. Но в силу леммы 23.19
карта А может быть разрезана на несколько подкарт
таких, как Th, и таких, периметры которых меньше (2£га/ +
+ 3£и/+ 3d/). Ранг последних меньше / по лемме 23.16
и условию В6. ■
§ 24. Другие условия на разбиение границы карты
1. D-карты. Для анализа подкарт, возникающих
«между» двумя клетками в В-карте, удобно ввести еще одну
разновидность карт, похожих на С-карты.
Под В-картой понимается дисковая В-карта, контур
которой имеет вид PiSgt^ .. . tiSip2s0t1sl ... £;/S;/, где 0<!
^ I, I'^.h, участки s0, . ..,s;, s0, . ..,s;/ называются
длинными участками, tu . . ., tt, £ь . . ., tv, pu p2 —
короткими участками, причем все участки несократимы и
для некоторого / выполнены следующие условия:
D1. Каждый длинный участок является гладким
участком ранга/ и Uil, ..., k-,1, | si |, ..., | si^ | > я/.
D2. Длина одного из длинных участков больше £га/.
D3. Короткие участки ti, ..., ti,tu .. ., tii,px, p2
является геодезическими.
D4. Длина любого короткого участка меньше dj.
D5. Повторяется формулировка условия С6, но не
только для пар s,-, sh но и для пар s гв .
236 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
D6. Формулируется условие С7 и добавляется такое
же условие, где so, ..., Si заменены на s0) ... 8гг.
D-карты появляются как подкарты примыкания одной
клетки к другой в В-карте А, т. е. для них легко
доказывается аналог леммы 23.1, па который, однако, мы далее
пе ссылаемся.
Определение выделенных подкарт примыкания в
D-карте точно такое же, как и в С-карте. Утверждение
леммы 23.4 без изменения переносится на D-карты.
Оценочные графы строятся так же, как и в случае С-карт.
Сохраняется определение весовой функции и
доказательство леммы 23.5, сохраняется оценка
#o<a-'ev(A) ' (1)
леммы 23.6, а в ее доказательстве следует лишь заменить
неравенство o(g)<5v(g) на o(q)<8v(q), ибо по
крайней мере каждый восьмой из участков контура является
длинным участком s таким, что Ы > t,nj.
На D-карты без изменения переносятся леммы 23.7 и
23.8. В частности,
Яо < 6е2/36_1М. (2)
Вследствие изменения условия D6 по сравнению с С7
правая часть неравенства из аналога леммы 23.9 для
D-карт удваивается:
Со^бсГ'б^МД). (3)
Без изменений переносятся на D-карты оценки
лемм 23.10, 23.11:
Z)o^2s1/2M + 4(£-V)2/3v(A), G0^aM. (4)
Ограничение числа длинных участков в контуре D-карты
величиной 2(fe + l) вместо h+l не меняет оценки
леммы 23.12:
L s£ аМ. (5)
Сохраняется и оценка леммы 23.13:
F<6v(A). (6)
Лемма 23.14 переносится на D-карты:
Лемма 24.1. Сумма весов внутренних ребер
D-карты меньше 61/2v(A).
Доказательство. Нужно повторить
доказательство леммы 23.14 с учетом неравенств (1) — (6). Замена
§ 24. ДРУГИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗБИЕНИЕ ГРАНИЦЫ 237
оценки для Ко оценкой (2) не меняет окончательного
вывода. ■
Лемма 24.2. В D-карте существует система
правильных попарно дизъюнктных подкарт примыкания Т\,
Гг . • • длинных участков контура к длинным участкам
контура такая, что никакие две подкарты примыкания
участка q к участку р не содержатся в одной подкарте Г
примыкания q к р и сумма длин дуг примыкания этих
подкарт больше Р( | s0
|+ ... + \si\ +\s0\ +... + k''+il).
Доказательство. В отличие от леммы 23.15 рас-
сматриваются участки во, . .., Si,s0, . . ., s^, число тп
которых не больше 2(h + 2)= 2(б-1 + 2). Но замена
неравенства I < h на I + V < 2h не меняет приведенных там
оценок. Ссылка на лемму 23.14 заменяется ссылкой на
лемму 24.1.
Лемма 24.3. 1) В D-карте А со стандартным
разбиением контура p1s0f1 . . . tl,Si, не существует подкарт
примыкания si к sh{Si к sh), если к — j>>l.
2) Если | si | > t,nj ( | Si I >> t,nj), mo существует под-
карта примыкания Sj (sj) к одному из участков s'h (sh).
Доказательство. 1) Доказывается точно так же,
как и лемма 23.18 (с использованием С-карты А[).
2) Допустив противное, можем вырезать из А
некоторую D-карту Г с длинными участками w0, ..., wm, w0, ...
...,wm>, в которой нет подкарт примыкания участков
wt к ivy. С учетом определения D-карты и утверждения
1) получаем противоречие с леммой 24.2, ибо 4£-1 <
< Кп- ■
Лемма 24.4. Пусть А — D-mpma со стандартным
разбиением контура р^,,^ . . . sip2s0t1 . . . tiiSii, j — ранг
длинных участков в дА. Тогда в А есть система
попарно дизъюнктных подкарт примыкания Гх, Г2, .. .
участков sk к участкам sh, такая, что для любого sh такого,,
что | sh | >> t,nj (для любого shr такого, что \ sh, | >> t,nf),
найдется подкарта примыкания Тт к некоторому sh>
(к некоторому sk) с контуром д (sk, Tm, sk,) = ихъ\и^г,
где Kb K|>2-d/.
Доказательство. Допустим сначала, что найдется
хотя бы одна такая подкарта Гт1 причем | vx | > 2г]-1/' Тог-
238 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
да по теореме 22.4 для Гт и лемме 21.1 \v21>{forf1/ —
— 4/ie-1/ ;> -g- г}-1/. Разрезая А по их и ц2, получаем три
карты Аь Гт, А2. Суммы длин участков su . ..,s;, (или
их частей), вошедших в контуры Дх и А2, меньше | st | + . . .
. .. + |s'j/|, и из индуктивных соображений к Дх и А2
можно применить лемму 24.4 (если в их контурах есть
участки sb ..., Si> или их части с длиной ^t,nj).
Остается предположить, что в Д нет ни одной подкар-
ты примыкания Гто участков sh к sh, такой, что | vx | >>
>> 2т]-1/ или | v21 > 2т!""1/. Но это приводит к
противоречию с леммой 24.2. Действительно, тогда сумма длин всех
дуг примыканий для подкарт примыканий из леммы 24.2
между sh и shr не превосходит 4t]_1/(Z + V + 1), а сумма
длин дуг примыканий между s0, ..., S; и между s0, ...
.. ., str меньше 2£-1/ (I + Z') в силу условия D5 и леммы
24.3. Однако сумма длин длинных участков в А не мень-
ше -?-.£»/ (Z + V + 2), как видно из определения D-карты,
и неравенство 5 (4т]_1 + 2£-1) << Р£п противоречит лемме
24.2. ■
Лемма 24.5. Если j — ранг длинных участков
D-карты А, то г(Д)'< /.
Доказательство. Для подкарт Гь Г2, ... из
леммы 24.2 г(Г{)</ по леммам 21.1 и 23.17. Но Д разрезается
на подкарты такого вида и подкарты, периметры которых
меньше i(enj + dj), а значит, ранги меньше / по
лемме 23.16. ■
2. Карты на сфере с тремя дырами. Такие карты
понадобятся для получения основных теорем гл. 9.
В-карту А на сфере с тремя дырами (и тремя
циклическими участками контура ql, q\, q°s) назовем Yi-кар-
той, если для некоторых целых к, I, / участки контура
q°i, Ч2, $1 являются гладкими участками рангов к, I, /
соответственно, причем:
El. \ql\>10T%
Е2. |<й|> юг1*;
ЕЗ. |gg|<Gmin(lg!|,|(7°|).
Лемма 24.6. Для некоторых i, i' e (1, 2} в Е-карте
Д найдется правильная подкарта примыкания Г учаспг-
§ 24. ДРУГИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗБИЕНИЕ ГРАНИЦЫ 239
ка ql к яЬ пгакая, что (ql, Г, q\r) > 0,1, а если i ф ъ', то
Л^,г,??)>о,1.
Доказательство. Проведем его в несколько
шагов по аналогии с рассмотрением С- или D-карт.
1) Определим выделенные подкарты примыкания в
Е-карте так же, как в С- или D-картах. St-ребра дуг
примыканий q% к qlr, i, i' е {1, 2, 3), для выделенных
подкарт назовем внешними ребрами, а остальные
—внутренними ребрами в Д. Сохраняется построение оценочных
графов и весовой функции. Утверждение леммы 23.4 без
изменения переносится на Е-карты. Сумма весов Н
особых клеток из внутренних подкарт примыкания
оценивается сверху величиной a~'ev(A) так же, как и в
лемме 21.9 для С-карт.
2) Пусть Г — выделенная подкарта примыкания q% к
qt, s, t e= {1, 2, 3}, а р&р^ = д (q°s, Г, q°t). Пусть, далее,
п — главная клетка одной из связок, определяющих
Г, а Г' — подкарта примыкания длинного участка р'
клетки я к q\ такая, что (р', Г, gi)S* е. Обозначим uivlu2v2 =
= ЗСр',Г, д,).Тогда
Ы >(1 + 2p)-Md <(1 + 2$)-1г\р'\ (7)
по лемме 21.2. Поскольку по определению гладкого
участка в В-карте |Уг1 <(l + f)i, гДе i *= k, I, j в зависимости
от значения t, из (7) и определения Е-карты следует, что
|p'|<S(l + 2P)e-1(l + 7)max(|g!|l |g8°|). (8)
Из определения В-карты и (8) получаем
v(n)<(h+l)\p'f3<
< (h + 1) (£ (1 + 2Р) б""1 (1 + у))"3 max (v (g?), v (gj)).
Если учесть, что (б"1 + 1) (g(l + 2p)e",(l + Ч))2/3 < Р
(ПМП; £), а число выделенных подкарт между gj, ql и q°3
не более трех, получим, как и в § 21 (или в § 16), для
суммы Н' всех особых клеток подкарт оценку
Н' < 2(1-48)-! • 3pv(A)<7pv(A). (9)
3) Величину К' определим для Е-карты так же, как
и в лемме 23.8 для С-карты. Как и там, получается оценка
Я'<10е2/3Ж. (10)
240 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
(Множитель ЗА заменяется на множитель 5, ибо в Е-кар-
те существует не более пяти выделенных подкарт
примыкания каждого из участков клетки к q\, ql, ql (см.
например, рис. 74).)
4) С" определяется для Е-карты, как Со для С-карты.
Заведомо верна оценка,
которую можно получить, как в
п \Ш$\ лемме 23'9:
C'<3a-'82/3v(A). (11)
р „, 5) Величина D'
определяется, как Do в лемме 23.10, но в
ее оценке второе слагаемое изменяется ввиду условий
Е1-ЕЗ:
D'<2eU2M+12/\(A). (12)
6) Определяя и оценивая G', как и G0 в лемме 23.11,
имеем
G' s£ aM. (13)
7) Величина V определяется, как и сумма L в
лемме 23.12 (вместо участков контура первого вида
рассматриваются теперь ql, ql, ql). Как и там, получается
L'^aM. (14)
8) Теперь, как и в лемме 23.14, учитывая оценки для
Н, К, С, D, Е и оценки (9) — (14), получаем оценку для М.
Прямой подстановкой легко убедиться, что она
не-хуже, чем
M<ccv(A). (15)
9) Пусть Г — выделенная подкарта примыкания
участка ql (или ql) к ql и d(q\, Г, q°3) = p1g,1p2?2- По лемме 21.1
\Pi\, IРяI <■2he~1k и по теореме 22.4
|gil<ri(l?°3l + 4fte-1A)<p-1s|^|(i + Ae-1S)<p|g;|.
Значит, v ((?i) ^ f>v (ql). Учитывая также условие ЕЗ,
заключаем, что сумма весов всех выделенных дуг
примыкания ql к ql q°2 К q°3 Я ql к qa3 меньше (20 + £3/3) (v (ql) +
+ v(gg))<3pv(A).
10) Допуская теперь, что степени примыкания ql к q%
и ql к q\ меньше 0,1, с учетом последнего неравенства
и (15) получаем, что сумма весов дуг примыкания
§ 24. ДРУГИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗБИЕНИЕ ГРАНИЦЫ 241
Sl = Г Д (?i и s3 = Г Д ql для выделенной подкарты
примыкания q\ к ql больше (1-а-0,2-3p)v(A)> 0,7v(A).
В силу сказанного можно считать, что | sx \ >-0,7 \ql \
(или \s21> 0,7 [g" I )• Допустим, что при этом |s2|^
^0,l|<?2|- Рассмотрим две возможности:
а) | ql | > \q\ |, т. е. v (g°)> v(ql) (но тогда v (Sl) + v (s2)<
^ v (ql) + 0,lv (ql) <; 0,7v (А); получаем противоречие);
б) |<72|<l<7i|; тогда по лемме 21.1 и теореме 22.4
1*2 I > Р I *1 I - 4/iS"1/C >
>(p.0,7-fe-iS)|?;|>0,l|g»|>0,l|g»|.
Вновь полученное противоречие показывает, что | s21 >
>0)l|?2L и лемма доказана. ■
Видоизменим понятие Е-карты, называя F-картой
кольцевую В-карту А с контурами ql и qlql, где для
некоторого I участок ql является гладким участком ранга I и
выполнены неравенства | ql | > 10£-1Z, \q\\, \ ql \ <. t, \ ql \.
Лемма 24.7. В F-карте А найдется правильная
подкарта примыкания Г участка ql к ql, причем (ql, Г,
д°)>0,1 (рис. 75).
Доказательство. Заметим, что не может быть
подкарты примыкания участка ql к ql (рис. 76), так как иначе
Рис. 75 рис. уб
с помощью леммы 21.1 можно разрезом длины <С 2hs x| ql\ <;
< 2hsTlt, | ql | превратить А в дисковую карту с контуром
qlt, где \t\< (2£ + Ы"\) \q\\<b\q\\, что противоречит
теореме 22.4. Далее при распределении весов в отличие
от предыдущей леммы нужно доложить v (е) — 0, если
ребро принадлежит пути ql или ql. Еще одно отличие
состоит в том, что теперь возможны две выделенные
подкарты примыкания участка ql к ql. В остальном
сохраняются оценки леммы 24.6. щ
Встретится еще одна разновидность карт на сфере
с тремя дырами. Назовем здесь В-карту на сфере с тре-
"> А. Ю. Ольшанский
242 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
мя дырами и циклическими участками контура qi, ql, q\
G-картой, если qu q2, q°3— гладкие участки рангов k, I, ],
причем
|q\ 1 >юог1*, kS|>loor'z,k° | >Ю0Г1/.
Следующая лемма похожа на леммы 24.6 и 24.7.
Лемма 24.8. В G-карте А найдется правильная
подкарпга Г примыкания участка q°s к qt {где s, fe
е{1, 2, 3}), Зля которой (q°s, Г, д?) > 0,01 и (д?, ВД) >
>0,01.
Доказательство. Определим веса ребер в А,
как и в доказательстве леммы 24.6. В неравенстве (8)
и далее вместо max(k° |, | ql |) теперь достаточно
поставить | q°s |, что приводит к той же оценке для Н'.
Продолжая дальше без изменений, получим, как и в
лемме 24.6, что M<ccv(A).
Существует не более трех выделенных подкарт
примыканий между участками q\, q\, q%. Тогда для дуг
примыканий gi, q^ одной из них, скажем Г = Г],
обязательно
^ Ы + v (qa) > j (1 - a) v (А) > 0,3v (A). (16)
Проверим для Г утверждение леммы. Итак, пусть
Г — подкарта 'примыкания q°s к qi и р^хР$2 = d (q°s, Г, д°).
Пусть q°s имеет, например, ранг k, q°t — ранг т е{/, к, I}.
По лемме 21.1 \рг\, \р2\ <2Ы~Хmin{к, т). Кроме того,
благодаря (16) можно считать, что | q1 \ > 0,3 | qt \.
По теореме 22.4 для Г
Ы >~$Ы - Ы - Ы >($-hs~lt)\ql\.
Если бы | g31 < 0,011 qt |, то тогда
lfl5l<Tl?il<T(P-fte"1trO,Ol|S?|<0104|g?|,
что влекло бы неравенство
v Ы + v (g3)<k? 13/3+ 0,011 д? |3/3< | q\ Г (0,042'3 + 0,0l)<
<0,3k?|3/3 = 0,3vk?)<0,3v(A)
вопреки (16). Значит, | g21 > 0,01 \q°t \ 1 и лемма доказана. ■
§ 24. ДРУГИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗБИЕНИЕ ГРАНИЦЫ 243
3. Пути без самопересечений на сфере с тремя
дырами. В доказательствах теорем последующих глав
сравниваются разные пути без самопересечений (т. е. две
жордановы дуги) на сфере с тремя дырками. Поэтому мы
закончим главу следующей простой леммой.
Л е м м а 24.9. Пусть X — сфера с тремя дырами,
граничными контурами которых служат циклические пути
pi, рч и ръ- Пусть точки (pi)- =
= (Pi)+ u (Pz)- ^ (Pz) +
являются соответственно началом и
концом путей q\ и q2 без
самопересечений на X, т. е. (<7i)_ =
= Ы-=Ы-. (?l)+=(?2)+ =
= (Pi)+ (рис. 77). Тогда для
некоторых целых к и I пути q2 и Рис. 77
p\qxPi. гомотопны в X.
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что ^i и^ — окружности на евклидовой
плоскости, a q\ — отрезок такой, что {Ц\)- = о\ лежит
на pi, a (qi)+ = 02 лежит на р2- Выберем далее число а,
равное 1/5 минимума радиусов окружностей р\, р2 и
длины отрезка q\. Путь q2 можпо заменить гомотопным ему
путем без самопересечений (обозначаем его по-прежнему
дг), каждая точка которого удалена не более чем на а от
одного из путей р\, р2, q\ (т. е. путь qi расположен
внутри множества Q, составленного из двух колец ширины а
Рис. 78
11 соединяющей их полосы ширины 2а). При этом можно
считать, что #2 не имеет с pi и р2 общих точек, кроме 0\
и °2. Если Qi ж Q2 — круги радиуса 2д с центрами в 0\ и
°А то X\(Qi U Q2) распадается на три подмножества Mi,
^2, М3, где М\ и М2 находятся в я-окрестностях путей р\
11 Р2 (рис. 78).
16*
244 ГЛ. 7. КАРТЫ С ДРОБНЫМИ ГРАНИЦАМИ КЛЕТОК
Подходящая гомотопия позволяет считать, что любой
подпуть пути #2, расположенный в М\ (в М2), является
дугой окружности, концентрической с pi (с р%), а
подпуть, расположенный в М3,— отрезком прямой,
параллельным q\ (т. е. другие участки пути д2 стянуты внутрь
Пусть w\, ..., iot — дуги или отрезки из Mi, M2 или
Мз, расположенные в порядке их прохождения вдоль q2.
Следующее предположение состоит в том, что в этом
ряду нет соседних w,, wi+\, принадлежащих одному Мг
и проходимых в пути д2 в противоположных
направлениях.. В самом деле, допуская противное, рассмотрим
подпуть WjUWj+i пути qi, где, например, Wj и wi+\ находятся
в Ми а и —в круге Qi (рис. 79). Тогда, стягивая путь
Рис. 79 Рис. 80
WjUWj+i no.ili"iU<2i (рис. 80) вместе с возможными
участками пути q<z, расположенными между дугами w} и wj+i
(т. е. имеющими промежуточные радиусы), в Qu мы
заменим путь qi гомотопным ему путем без
самопересечений, уменьшив число дуг t.
Утверждение леммы будет доказано, если мы
установим, что в ряду и>и .. ., wt несколько первых дуг лежат
в Ми затем одна — в М3, а оставшиеся — в М2.
Предположив противное, имеем дуги u>i, .. ., ws из Mi, где Wi,. ■ ■
..., ws проходятся в одном направлении вокруг центра
окружности р\ (возможно, s = 0), отрезок ws+i из Ж3,
дуги Ws+2, • • ., U>s+r ИЗ Мч И lOs+r+l — ОПЯТЬ ИЗ М3.
Отметим, что начало пути д2 имеет вид uiwi ...usWs,
где все щ лежат в Q\ и только и\ содержит точку о\,
а точки всех остальных подпутей не лежат на J)v
Отсюда, а также из отсутствия самопересечений и
изменений направления обхода в ряду W\, ..., ws следует,
что дуга W\ является внутренней (т. е. имеет меньший ра-
§ 24. ДРУГИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗБИЕНИЕ ГРАНИЦЫ 245
диус) по отношению к н^, . . ., ws. Аналогично и>$ —
внешняя дуга относительно и;2, .. ., ws — внешняя для wa-i.
Заметим еще, что г = 2, ибо путь д2 не имеет
самопересечений, а все ws+2, .. ., ws+T должны проходиться в
одном направлении. Значит, ws+i лежит в Mi, причем этот
виток является внешним по отношению w\, . . ., ws, что,
как и выше, следует из отсутствия самопересечений у q%
(Если радиус дуги ws+a меньше радиуса дуги и>3, то путь
Ws+iUs+5iPs+5 должен иметь пару wh wi+i дуг с
противоположными направлениями обхода, ибо конец о2 пути д2
лежит в Ж2.) Но тогда ws+5 находится в Мз, причем
обязательно внешним образом по отношению к паре ws+\,
ws+3, а дуга ws+q из М2 является внешней относительно
ws+2, и ее продолжение и5+7 (в круге Q%) не может
закончиться в точке 02, не пересекая пути u>s+1tts+2u>s+2tts+3u>s+3-
(Как заметил читатель, неоднократно использовалась
теорема 9.1 Жордана.)
Повторение приведенных выше аргументов
доказывает существование дуги ws+s, внешней относительно ws+4,
дуги ivs+io, внешней относительно ws+e, ..., т. е. путь д2
никак не может закончиться в о2. Полученное
противоречие означает справедливость леммы 24.9. ■
ГЛАВА 8
РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
Характерные для гл. 7 условия на разбиение границ
клеток в картах представляют интерес в связи с
изучением диаграмм над копредставлениями некоторого
специального типа. Разбиения границ клеток задаются
естественными разложениями определяющих слов. В
настоящей главе мы рассмотрим основные свойства копред-
ставлений такого рода, а в гл. 9 уточним вид
определяющих слов в зависимости от конкретной
теоретико-групповой задачи.
§ 25. Схема задания групп G (i) и их свойства
1. Вид соотношений. В индуктивном определении
групп G(i) намеренно оставляется некоторая
неопределенность, чтобы иметь возможность в дальнейшем
варьировать копредетавления G(i) для различных целей. Мы
потребуем лишь, чтобы копредетавления подчинялись
некоторым условиям Rl — R7 на подслова определяющих
слов. При этих ограничениях приведенные диаграммы
оказываются В-картами, что и позволяет привлечь для
их изучения результаты гл. 7. Используя прежние
параметры (см. начало гл. 7), зафиксируем дополнительно
достаточно большое нечетное число щ, считая, что
п = [(h + l)-Ireo], где [ ] — знак целой части.
Выберем некоторый групповой алфавит 3t U St-1 и
обозначим G(0) = F(%) свободную группу с базисом Я.
Положим 320 — ®. Пусть уже по индукции задано множество
определяющих слов 5?i_i, i > 1, и G(i — i)=<M\\R = i;
ДеЙн>. Кроме того, считаем, что для каждого
натурального / 5s 1 определено некоторое множество 36)
периодов ранга 7 < i.
При i Ss 1 слово X называется минимальным в ранге
i—i, если из равенства X=Y в G(i — 1) следует, что
§ 25. СХЕМА ЗАДАНИЯ ГРУПП И ИХ СВОЙСТВА 247
|Х| «s \Y\. Как и в § 18, непустое слово А называется
простым в ранге i — 1, если оно не сопряжено в ранге
j—1 (т. е. в G(i— 1)) со степенью некоторого слова
меньшей длины и не сопряжено в ранге i — 1 со степенью
какого-либо периода ранга к < i — 1. .
Обозначим 36 i некоторое множество простых в ранге
j — 1 слов длины i с тем условием, что если А, В е 361
и А Ф В, то слово А не сопряжено в ранге i — 1 с В или
В'1. Все слова из 36 i назовем периодами ранга i.
Множество определяющих слов £?,- ранга i
составляется по следующему правилу. Во-первых, в £?4 включаются
лпА
определяющие слова А (определяющие слова
первого типа) для некоторых слов А е= 36i, которые
называются периодами первого типа (а остальные периоды из 36г
называются периодами второго типа). Соотношения
АПА = 1 (1)
(где нечетное пА зависит, вообще говоря, от А и пА > п0),
называется определяющими соотношениями первого типа
ранга L
Во-вторых, для iefjB ^ могут входить слова
вида ТХА гТ2А . . . ThA (определяющие слова
второго типа), составляющие множество 9"А, а соотношения
ГИ^И"2 • • • T,Xh = 1 (2)
называются определяющими соотношениями второго
типа (пи ..., -nh зависят от А и от соотношения (2)). Для
них должны выполняться следующие условия R:
Rl. nk> п, к = 1, ..., h.
R2. Ui|/|/^|<;1 + -g-6, если m,rij — показатели
в одном из соотношений (2).
R3. Th — минимальные в ранге i—i слова и \ТЬ\ <
<d\A\,k = i,...,h.
R4. Слова Тк не содержатся в подгруппе <А>
группы G(i~ 1).
R5. Слова R^S^a не являются истинными степенями
в F(%) и, если в соответствии с (2) 7= А.Пк~1ТкАПк ...
m Лпк+1
• •. 1 ь+гл — циклическое подслово в R, I > а-1 —
— 4 и VVi, VV2 — циклические сдвиги слова R, то V\ **
248 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
R6. Пусть У== A7aiThAlih .. . Tk+iA'"2— подслово
циклического сдвига слова R е 9" а, гДе Z^a-1 —2, а7' =
I Г I
= А 1 VA ... У h'+iA — подслово циклического сдвига
слова (R') , где R' е 9°А, причем знаки показателей т1
и ти щ и гей/, ... т% и т3 совпадают. Пусть У и У
графически разлагаются в произведения 70 ... 7;и70...
...У'г, где У0^Лт1Г,А VlS44+1/',...,7lS
-iVs+!/2, у;^л;,лс\ ..., у;=А;,+1лЧ
Тогда-из равенств У0^=4уо; . ..;У;;1—ку следует, что
Л' == й, У == У и У' — подслово циклического слова
R (а не Л"1). h
R7. Если Л — период первого типа, то 2 I nk I ^ гел
ft=i
для показателей reft в (2).
Положим, наконец, 5?4 = $?;-i U #\-, а значит, G(i) =
= U &i >•
г=1 /
Поскольку простые в ранге ъ ^ 0 слова циклически
несократимы, циклически несократимы и определяющие
слова первого типа. В словах второго типа возможны
сокращения на стыках A Tk+1 и TkA . Подслово Тк
может сократиться полностью. (Впрочем, процесс сокра-
^—_^^ щения далеко не зайдет, что видно из
/jf ^\ неравенств \Ап\ > d\A\ > \Тк\.) Под
градуированной диаграммой ранга i
понимается диаграмма над G(i).
Поскольку в определяющих словах воз-
Рис. 81 можны сокращения, отвечающие им
клетки могут «выглядеть», как на
рис. 81 (с точностью до 0-клеток, ибо с помощью 0-измель-
чения мы всегда превращаем $?-клетки в топологические
многоугольники). Ранг клетки определяется, как и в § 18.
Как и там, каждой клетке ранга i сопоставляется
период А е 36i.
Определяющим словам первого типа сопоставляются
в диаграммах клетки второго типа, контур которых
рассматривается как один длинный циклический участок.
OJ
% 25. СХЕМА ЗАДАНИЯ ГРУПП И ИХ СВОЙСТВА 249
Если же клетка П отвечает слову вида (2), то
она называется клеткой второго типа. Ее контур
разбивается на участки в соответствии с записью (2).
Участки клетки П с метками А~ будем называть
длинными, а остальные (с метками Т\1) — короткими
участками в дП.
2. Аналоги лемм главы 6. Общая логика дальнейшего
изложения заимствуется из гл. 6. Утверждения начиная
с леммы 25.1 и до леммы 26.5 доказываются совместной
индукцией по рангу диаграмм и соотношений, так что
лемму 26.5 уже можно применять в ранге i, что
позволяет ссылаться на результаты гл. 7 о В-картах.
Лемма 25.1. Копредставление G(i) = <3flLR = 1,
R е $?;> является асферическим и аторическим.
Доказательство. По лемме 26.5 приведенные
диаграммы рапга i являются В-картами, а по теореме 22.3
сферические и торические В-карты имеют нулевой
ранг. ■
Следствие 25.1. Ни одно из соотношений
системы {R = 1\R e $>;} не следует из остальных.
Доказательство. Утверждение следует из
леммы 25.1 и теоремы 13.4. ■
Следствие 25.2. Если XY^=YX, mo существует
такое слово Z, что X=^Zk, Y~Zl для некоторых к и I.
Доказательство. Утверждение следует из
леммы 25.1 и теоремы 13.5.
г
Лемма 25.2. Если X=£l и слово X имеет
конечный порядок в ранге г, то оно сопряжено в ранге i с
некоторой степенью какого-то периода первого типа ранга
к ^ i и не сопряжено со степенью какого-либо периода
второго типа или простого в ранге i слова.
Доказательство совпадает с доказательством
леммы 18.3 с точностью до замены ссылки на теорему 17.1
ссылкой на теорему 22.4, а А-карты — на В-карту. ■
Лемма 25.3. Если А и В —• простые в ранге i
слова и А=^ХВ Х~1 для некоторого X, то 1 = ±1.
Доказательство. Нужно заменить в
доказательстве леммы 18.4 ссылки на леммы 19.4 и 19.5 и
теорему 17.1 ссылками на лемму 26.5 и теорему 22.4 (а А-кар-
ты — на В-карты). ■
250 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
Лемма 25.4. Если слова X и Y сопряжены в
ранге i, то существует такое слово Z, что' X = ZYZ~ и
\Z\ ^a(\X\ + \Y\).
Доказательство. Нужно повторить
доказательство леммы 18.5 с заменой А-карт на В-карты и ссылок
на леммы 19.4 и 17.1 ссылками на леммы 26.5 и 22.1. ■
Леммы 25.5—25.7 доказываются при фиксированном
i > 0 путем совместной индукции по сумме L длин
периодов. Формулировки и доказательства лемм 25.5—25.8
аналогичны утверждениям лемм 18.6—18.9.
Лемма 25.5. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром PiqiPzqi, где q>(qi) и ф(<?2)-1 —
периодические слова с простым в ранге i периодом А.
Тогда если max(|/>il, l/?2l)<ccU| и min (| qx |, | q21) >
^>\-кЪ + 1||Л|, то q\ и q<i А-согласованы в А.
(Параметр индукции L= \A\ + \А\.)
Лемма 25.6. Пусть ZrA 1Z2^=A 2, т = пйп (т3, т2)
и А — простое в ранге i слово. Тогда если | Z1| + | Z2 | <
<Ыт — j-h — l) — l) | -4 I, mo Zx и Z2 равны в ранге
i степеням слова А. Тот оке вывод верен, если А — период
ранга k ^ t и в некоторой диаграмме данного равенства
нет клеток, отвечающих соотношению (1). (Параметр
индукции L = 2\A\.)
Лемма 25.7. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром />i?i?2<?2, <p(<7i) и ф(?г)—
периодические слова с простыми в ранге i периодами А и В,
причем \А\~^\В\. Тогда если \рх\, \р%\ <<х\В\, \qA~>
2
>-^ге[Л|, \q2\ > h\B\, то слово А сопряжено в ранге
i с В±]. При этом если ср (qx) и ср (qj ) начинаются
соответственно с А и В~\ то А^= ср (рх)"1 В±3ф (р^.
(Параметр индукции L= \A\ + \В\.)
Лемма 25.8. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром />i<7i№<?2, где q>(qi) и ф(дг) —
периодические слова с простым в ранге i периодом А.
Тогда если max(l/?il, |рг1)<а1Л|, то ,max(lgil, \q2\)^h\A\,
а если max(|pil, \рг\)< 2гее_1|Л|, то max(|g,il, 1дг1)<
<r'ui.
Доказательство. Изменения в доказательствах
лемм 25.5—25.8 по сравнению с леммами 18.6—18.9
сводятся к замене А-карт на В-карты и в ссылках: теоре-
§ 25. СХЕМА ЗАДАНИЯ ГРУПП И ИХ СВОЙСТВА 251
мы 17.1 — на теорему 22.4, леммы 17.1 — на лемму 22.1,
леммы 17.4 — на лемму 23.17, леммы 17.5 — на лемму
22.5, леммы 18.5 — на лемму 25.4, леммы 18.3 — на
лемму 25.2, леммы 18.4—на лемму 25.3, лемм 18.6—18.8 —
на леммы 25.5—25.7 и лемм 19.4, 19.5 — на лемму 26.5.
Во втором варианте леммы 25.6 к А' можно применить
лемму 25.5, ибо г(А')< к по лемме 23.17. Второй вариант
леммы 25.8 выводится из первого с помощью леммы 22.5,
ибо (4/ге-1 + 1)ч~1 + б"1 < %~К ■
Лемма 25.9. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром PiqxP2q2, ф (<7i) и Ф (?г)—
периодические слова с простыми в ранге i периодами А и В. Пусть
еще \р1\, |р2|<а|Д|, | q11 > (l + -|y) \А \, \qa\ >
> С-11-^1/2. Тогда слово А сопряжено в ранге i с В±\
а если при этом ср^) начинается с A, a (((q^1) — с В"1,
то А^(р(р1Г1В±\Р(р1).
Доказательство. Нужно повторить
доказательство леммы 19.1 с заменой в выкладках константы ere на
£-1, а ссылок па теорему 17.1 и леммы 19.4, 19.5, 17.3,
18.7, 18.4 — ссылками на теорему 22.4 и леммы 26.5, 22.4,
25.6, 25.3. ■
Лемма 25.10. Пусть А — приведенная дисковая
диаграмма ранга i с контуром PiqiP2<l2, где ф (<?i) и ф(<7г) —
периодические слова с простыми в ранге i периодами А
и В, \q2\>%-x\B\, |/>il, \р2\<2ке-*с, где с = шп(\А\,
\В\). Тогда либо \qx\<(i + у) \А\ и \А\ > \В\,-либо
слово А сопряжено в ранге i с B±l, причем из А^В±1
следует, что А = В~1 и пути q\ и q<i А-согласованы в А.
Доказательство. Нужно повторить
доказательство леммы 19.2, заменяя константы так же, как это
сделано в формулировке леммы 25.10. При этом во втором
случае получится
^>\В\. Кроме того, следует вместо ссылок на леммы 17.5,
19.1, 18.9, 18.6 и теорему 17.1 привести ссылки на
леммы 22.5, 25.9, 25.8, 25.5 и теорему 22.4. ■
3. Сопряженность и перестановочность в ранге
/.Приведем дополнительные (по сравнению с гл. 6) леммы.
Лемма 25.11. Если А — период ранга k «S i, то
Аф\.
Доказательство. По лемме 26.5 и лемме 23.16
r ~ г(А)< к для приведенной дисковой диаграммы А ран-
252 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
га «S £ равенства .4=1. Значит, по определению
периода л — простое в ранге г слово. Но это
противоречит лемме 20.5 и теореме 22.4. (Здесь \q\ = 141 > 0,
a U1 = 0.)
Лемма 25.12. Если X1 ф1,а XlY = YX\ то ХГ= YX.
Доказательство. По лемме 18.1 можно считать,
что X = As для некоторого s, где А — период ранга к sS i
или А — простое в ранге i слово. Допустим, что А —
период первого типа ранга к. Поскольку числа пА в
соотношениях (1) нечетны, в силу теоремы 2.3 можно
считать, что AmY^YAm, где 0 < т «S тгА/3. Отсюда
получается диаграмма А сопряженности слов Ат и Ат с
помощью Y. Удаляя /-пары и учитывая лемму 11.3, можем
считать, что А — приведенная диаграмма. Леммы 22.1 и
23.16 позволяют сделать вывод, что в А нет клеток,
отвечающих соотношению £А = 1, так как -^ (1 + у) < 1 —
— а. Поэтому в любом случае для достаточно боль-
ших t к равенствам вида л i=ia применима
лемма 25.6. По этой лемме F = 4d для некоторого d,
что и доказывает лемму. ■
Лемма 25.13. Если X и Х~1 сопряжены в ранге i, to
г
Х = 1.
Доказательство. Если X_1 = ZXZ \ то Х==
=i=Z2ZZ"3. Отсюда по лемме 25.12 X^=ZXZ~\ т.е. Х =
= Х-1. В силу нечеткостей показателей пА и леммы 25.2
lil. ■
Лемма 25.14. Если X и ZXZ'1 перестановочны в
ранге i, то и XZ = ZX.
Доказательство. Согласно следствию 25.2 X и
ZXZ-1 лежат в одной циклической подгруппе группы
G(i). После перехода к сопряженным словам с помощью
леммы 18.1 можем считать, что Х=л\ ZXZ =А ,
где А — период ранга к «S i или А — простое в ранге i
слово.
Допустим сначала, что 4 — период первого типа ранга
к. При доказательстве равенства л 1 = А2 мы можем
(меняя с помощью теоремы 2.3 порождающий в подгруппе
<4!l>, ибо л"л=М) считать, что Оделит пА. Кроме того,
<л'4> = <л'2>, так как порядки сопряженных элементов
§ 25. СХЕМА ЗАДАНИЯ ГРУПП И ИХ СВОЙСТВА 253
совпадают. Отсюда l2 = slt + tnA для некоторых s и t.
рассмотрим контуры р, q приведенной диаграммы
сопряженности А 1 и А 2, где ф (q) = А 2. По лемме 13.3 можно
считать q гладким участком. По лемме 26.5 и теореме
22.4 \1Х \^Р\12\. С другой стороны, 11± |< | Z2| по выбору
I и 12 делится на 1г. Значит, [^[=[^1. Поскольку
ХфЦ (иначе утверждение леммы тривиально), l\ = h по
лемме 25.13.
В оставшемся случае А имеет в G(i) бесконечный
порядок по леммам 25.11 и 25.2. Тогда вариант h = — 1\
приводится к противоречию, как и выше, а вариант UJ <
<\h\ (или \h\ < \1\\) невозможен, так как тогда соп-
ряжены с помощью Zs слова А1 и л 2 для любого
s > 0, что противоречит лемме 26.5 и теореме 22.4 при
IvrM^P- Итак- h = h- ш
Лемма 25.15. Если степени X1 и Xй сопряжены
в ранге i, то X = X .
Доказательство. С помощью леммы 25.2
утверждение сводится к вариантам, рассмотренным в
доказательстве леммы 25.14. ■
Лемма 25.16. Если А — простое в ранге i слово или
период второго типа ранга к, то из X1 = 4 следует, что
1 = ±1.
Доказательство. По лемме 18.1 X = YBhY~1,
где В — простое в ранге i слово или период ранга «S j,
причем для В также нет соотношений (1), ибо иначе
слово А имело бы конечный порядок вопреки леммам 25.2
и 25.11. Рассмотрим два случая, имея в виду, что I Ф 0
по лемме 25.11 или по определению простого в ранге
i слова.
1) \А\ < [5|. Рассмотрим приведенную кольцевую
диаграмму ранга i для сопряженности слов Вм и 4. По
лемме 26.5 и теореме 22.4 В|й| \l\ \B\ s£ UI, т. е. Blftl Ш «S 1
2) \В\ < 1лI. Как и выше, получаем, что р[5ы| «S |л|,
и, разрезая кольцевую диаграмму А с помощью леммы 22.1,
получим дисковую диаграмму с периметром <(1 + £_1)Х
X(l + 2f)U| <3I4|. Значит, по лемме 23.16 г = г(А)<
< |л|, и А — простое в ранге i слово, сопряженное в
ранге г с Вы. Но тогда |5| > |лЧ по определению простого
слова. Получаем противоречие. ■
254 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
Лемма 25.17. Пусть А, В — простые в ранге i
слова или периоды рангов «S i, причем неединичные в GU)
ii
степени А 1 и В 2 сопряжены в ранге i. Тогда: 1)
слова А и В сопряжены в ранге min(i, 1Л| — 1, 151 — 1);
2) A =s В и Аг=^= В 2, если. А и В — периоды рангов
«S i; 3) l\ = ± 1%, если А (или В)—простое в ранге I
слово.
Доказательство. По условию для некоторого
слова X тшюкА1 ±=ХВ1*Х~Х, а значит, Ah и (ХВХ'1)4
перестановочны в ранге i. По лемме 25.12 А и ХВХ~1
перестановочны в ранге i. По следствию 25.2 эти слова
лежат в одной циклической подгруппе группы G(i).
Поэтому по лемме 18.1 А ж В сопряжены в ранге i со
степенями некоторого С, где С — простое в ранге i слово или
период некоторого ранга.
Докажем, что слово А (и В) сопряжено в ранге i с С',
где t = ± 1. Действительно, лемма 13.3 позволяет
применить к диаграмме этой сопряженности лемму 26.5 и
теорему 22.4, откуда 1.41 S* $\t\ \C\. Отсюда, во-первых, \С\ <
< 1.41, если \t\ S5 2. Во-вторых, если г — ранг диаграммы
сопряженности А и С*, то в силу лемм 22.1 и 23.16 г <
< 1.41, ибо (1 + JT1) (1 + ч)<(1 — а) га. Но простое в
ранге г слово А не может быть сопряжено в ранге г со
словом С меньшей длины. В силу сказанного и леммы 25.15
А = (ХВХ~1)±1. Кроме того, li = ±l2 по лемме 25.2,
если А (или В) — простое в ранге i слово.
Далее, пусть для определенности \В\ ^\А\. Тогда из
сопряженности слов А и В в ранге i, как и выше,
выводим, что А я В сопряжены в ранге j — 1, если А —
период ранга /. Поскольку А — простое в ранге / — 1 слово,
отсюда следует, что \В\ — \А\, и утверждение 1)
доказано. По определению периодов из сопряженности А и B±l
в ранге 7 — 1 следует равенство А = В, а по лемме 25.15
Ah^Bl\ в
Лемма 25.18. Если для некоторых целых к и I,
простого в ранге i слова А и некоторого слова Т имеет мес-
-—(k+i)
то равенство AhTA1^ Т~\ то Тi A 2 . Если же
AhTAlJ=T, mo k = l = 0 или Т ев (Ay cz G (i).
Доказательство. Из равенства AhTA = Т"1 й
обратного ему равенства T^=A~lT~1A~h следует, что
§ 25. СХЕМА ЗАДАНИЯ ГРУПП И ИХ СВОЙСТВА 255
j^-lf-xAl~h = Т. Если к — 1ф0, то из равенств
j,^(i-k)tf l=A(l~k)t с помощью леммы 25.6 выводим, что
рЛ= As для некоторого целого s. Подставляя в условие,
получим Ak+l+s =LA~\ откуда по лемме 25.2 s =
_ __ — (к + I), что и требуется. Если же к = I, то по
условию (АкТ)2=1, т.е. AkT^l вследствие нечетности
показателя пА и леммы 25.2. Значит, Т = А =А
Если Т = АкТА1 и, например к Ф 0, то и I Ф О по
лемме 25.2, ибо А1 = T~lA~hT. 'Из последнего равенства
следует также, по лемме 25.15, что к = —I, а равенство
Ak=L Т~гАпТ, как и выше (с помощью леммы 25.6);
влечет Ге (А), в
4. Диаграммы на сфере с тремя дырами. Эти
диаграммы полезны для изучения классов сопряженности
коммутаторов.
Лемма 25.19. Пусть А— приведенная диаграмма
ранга i на сфере с тремя дырами и контурами ql,q°,
q3- Пусть q\ имеет метку А \ a q.2 — метку А * [или
А 1 , если А — период первого типа), где А —
простое в ранге i слово или период ранга j^.i, а т1 >
>100£-1. Пусть еще ср (qf) = С 2, где С — простое в
ранге i слово или период ранга к ^ i; при этом если С
и А^1 сопряжены в ранге i, то С = А-1. Тогда если
контуры в А— гладкие участки рангов \А\и \С\, то
\Щ\^ 100£-1 или, когда А = С — период первого типа,
| т2 + vnc | ^ 100£-1 для некоторого v.
Доказательство. Доказывая лемму «от
противного», можем считать А G-картой. Пусть Г —
поддиаграмма, существование которой утверждается леммой 24.8.
В обозначениях этой леммы невозможно равенство s = t,
так как с учетом леммы 21.1 это противоречит лемме 25.8.
Допустим теперь, что Г — поддиаграмма примыкания
<?i к q°2. Тогда в силу леммы 25.10 участки q\ и q\
^-согласованы. Значит, соединяя соответствующие
вершины путей q\ и q\ путем без самопересечений
и разрезая А вдоль этого пути, получим кольцевую
Диаграмму, метка одного из контуров которой равна 1 в
256 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
ранге i. Но тогда и для другого контура q°3 имеем
С "-=1, что невозможно, как показывает последовательное
применение лемм 13.3, 26.5 и теоремы 22.4 к диаграмме
этого равенства.
Если Г —поддиаграмма примыкания q\ к дз(или q\ к qf),
то, как и выше, получаем ^-согласованность ql и ql,
что после соответствующего разреза дает сопряженность
m ,m,±m„ rr n^ j r лт2 i л
слов 4 'ii .По лемме 25.15 тогда А = 1, что
невозможно, как и в предыдущем абзаце. ■
Лемма 25.20. Если в условиях леммы 25.19 т2 Ф 0
(мим гпчФуПс для периода С первого типа), то
\сп'Ы\лЧ (3)
Доказател ьство. Допустив противное, можем
считать, что А — Е-карта. Пусть тогда Г — подкарта
примыкания ql к q°t, существование которой следует из
леммы 24.6 (s, {е (1, 2}). Если s = t = 1 (или s = t = 2),
то с помощью лемм 21.1 и 25.8 мы приходим к
противоречию, так как 0,lffii > £-1. Если s = 1, t = 2, то по
лемме 25.10 для Г получаем ^-согласованность участков
ql и q\. Но поскольку <р (<7i)-1 = срО?!!)-1, отсюда
следует, что ф(<?з) = 1, т-е- ^ 2 = 1> что Уже опровергалось
в доказательстве леммы 25.19 при m2=^vnc.
Таким образом, неравенство (3) справедливо. ■
Лемма 25.21. Пусть А и С — периоды рангов < i
или простые в ранге i слова, V = С, где к > 100£-1, а ес-
1
ли С — период первого типа, то й^-тг пс; при этом
считаем, что А = С, если А и C±l сопряжены в ранге i. Пусть,
далее, W — слово, которое не коммутирует с V в ранге i,
имеет минимальную длину среди слов двойного смежного
класса <Ch)W<Ck> <= G(i), а коммутатор CWC^W'1 con-
ряжен в ранге i с А', где \Ц^-2 пА, если А — период
первого типа. Утверждается, что в этом случае \l\ ^
^ 100£~\ а пара (ChWC~hW~l, Ch) одновременным
сопряжением в ранге i приводится к виду (А1, В), где \В\ <
<103Г2 UI <rf' Ш.
Доказательство. Рассмотрим приведенную
кольцевую диаграмму А ранга i с контурами р и q, где ф((?)ЕЗ
^А~\ p = PiP2PsPi, ф(/>1).= ф(/>з)_1 = С\ фЫэ
§ 26. ИНДУКТИВНЫЙ ПЕРЕХОД. ГРУППА G(°o) 257
== (f(Pi)~l = W- Склеивая пути рч и pj1, получим
диаграмму А' на сфере с тремя дырами, результат
приведения которой (т. е. удаления /-пар) обозначим До.
Циклически участки pi, р3 я q можно считать гладкими в До,
если изменить их метки в соответствии с леммой 13.3.
(Значения меток в G(i) при этом сохраняются.)
Неравенство
izlssioor1 Щ
получается в результате применения леммы 25.19 к До.
По лемме 25.20 \А'\ > %\Ch\, а значит,
\A\>lQ-%2\Ch\. (5)
По лемме 22.2 точки (pi)- и (рз)~ в До можно
соединить путем s (без самопересечений) таким, что
Ы<|Л'|+2|С*| <201£"2|Л| (6)
вследствие (4) и (5).
Путь р2 без самопересечений в А' имеет метку W.
Такую же в ранге i метку имеет и некоторый путь р0 без
самопересечений в До. (Подробнее процесс построения
замены путей при удалении /-пар описан, например, при v
доказательстве теоремы 13.5.) По лемме 24.9 и
лемме 11.3 слова (f(s) и ф(ро) лежат в одном двойном
смежном классе (Ck}W(Ch) группы G(i). Следовательно, из (6)
и выбора слова W следует, что
IW|<201£-2UI. (7)
Отсюда и из (5) \ChWC~hW\ < 700£~2UI. По условию
X [ck, W] Х-1 i A1 для некоторого X. При этом в силу
леммы 25.4 и неравенства (4) можно считать, что
1X1 < а(700£-2 + Ю0&-1) UI < 400Г21-41. (8)
Обозначим В = ХСкХ~К Тогда из (8) и (5) получим \В\ =
= 21X1 + \Ch\ < 103£-2UI, что и требовалось. ■
§ 26. Индуктивный переход к G(i + 1).
Группа G (оо)
1. Подслова определяющих слов.
Лемма 26.1. Пусть А — приведенная диаграмма ран-
га i с контуром P\q\Piqi- Пусть А — некоторый период
Ранга i + 1 и <p(qi) = X = S0TiSl .. . T,S, — подслово
определяющего слова ранга i + 1 (или его циклического сдви-
17
' А. ю. Ольшанский
258 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
га) второго типа, где Si, ..., St~i — степени периода А
ранга i + 1, So, St — А-периодические слова в соответствии
с определением соотношений (2) § 25 (с возможным
сдвигом нумерации для Tk). Кроме того, \р{\, \р2\ < d\A\, Z^
<а-1-1,|50|,|5;|>4еп|Л|.
Тогда слово Y == ф (q^1) не может быть
A±l-периодическим словом, а если Y — подслово какого-либо
определяющего слова из &'А ранга i + 1 (либо обратного ему, либо
циклического сдвига того или другого), то X и Y—под-
слова одного определяющего слова ранга i + 1,
существуют разложения q\ = qnqi2qi3, ?Г1== ЧцЦггЧж, где Ф (?iss) =
= Ф (?2a) = -^ hTh+i ... A k+m, m ^ а-1 — 3, и существует
путь, соединяющий в А начала путей qn и ql2 и
имеющий метку, равную 1 в ранге i.
Доказател ьство. Пусть в соответствии с
разложением (2) из § 25 для определяющих слов ранга i + 1
имеем q\ = soMi ... t^, q^1 ="s0^i • • • s'i> (I' = О, если
Y — ^'-периодическое слово). Тогда А — D-карта:
условие Dl выполняется по определению слов из ^1+i и в
силу леммы 26.5; D2 верно, ибо I > 2; t\, t%, ... —
геодезические в силу минимальности слов Т\, Гг, . • • в ранге i
по их определению, т. е. выполнено условие D3; D4
справедливо, так как \th\, \t'h>\<id(i + {) по определению
слов из S'i+i; справедливость D5 вытекает из условия R4,
а также лемм 25.10 и 13.1; D6 справедливо, ибо г(А)<
<» + 1.
Лемма 24.4 позволяет выделить подкарты примыкания
Гь Гг, ... участков so, . .., Si к s0, ..., si>, причем в силу
леммы 21.1 к ним применима лемма 25.10. Из нее и
выбора периодов ранга J+1 следует, что У —подслово
определяющего слова, заданного с помощью периода А.
Y не может быть Л-периодическим словом, так как в этом
случае s0 и s: Л-согласованы с (s0) 1 по лемме 25.10, и из
леммы 13.1 следует равенство слова Т\ единице в ранге i
вопреки выбору определяющих слов.
Аналогично s0 и sa не могут быть Л-согласованы с
одним (sft)~\ т. е. Л-согласованы я0 и (s0)_1, sa я
(si)_1> ... В силу лемм 21.1 и 13.1 получаем разложения
s0 = uv, s0 = u'v', где ф (v) и ф (z/) — степени слова А с
показателями, большими по абсолютной величине, чем
§ 26. ИНДУКТИВНЫЙ ПЕРЕХОД. ГРУППА G(oo) 259
2-d — 1, а путь w, соединяющий i>_ и vL, имеет длину
меньше (2/ie_1 + 2) | А | и ф (w) = Аи для некоторого и.
По теореме 22.4 для диаграммы последнего равенства
| и | < Р""1 (2/ге-1 + 2) <; d. Поэтому, укорачивая v или v\,
считаем, что ф (w) = 1. Такое же замечание относится
к si и Si, ив словах X и Y можно выбрать равные в
ранге i поде лова У и V, отрезав лишь некоторые начальные
полслова в S0 и в S'0 = ф (s0) и конечные — в Si и S'i.
Точно так же можно выбрать вершины ох, .... oj_x
и о'и ..., o'i-х на sx, ..., s;_x и на sb ..., s'i-u так что
для к = 1, ..., I — 1 метка пути okokf проходящего в
поддиаграмме 1\, равна 1 в ранге i, а точки о^ и ok делят
Sk и Sfe на пути, метки которых суть степени слова А. X
Следовательно, слова V и V допускают разложения, i
удовлетворяющие требованию условия R6. На основании .»
R6 и R5 выделяются теперь пути qn и д22 с метками .■•
ф(?1я) и Ф(?2з). гДе ф(?и) = ф(?а2) = Va ...5«-i. ■ 5
Лемма 26.2. Пусть А — приведенная диаграмма * . ".
ракгд i'^j с контуром p\q\piqi, ф(?1)= S0T\Si ... ГД — .; ,
подслово определяющего слова второго типа ранга i + 1 ;
(или его циклического сдвига), где Si, ..., Si-i — степени
периода А ранга i + 1, S0, St — А-периодические слова,
Т\, ..., Ti — слова из записи (2) § 25. Пусть, далее,
\р\\, Ш <2Ae-1U|, \qi\>jhn'\A\, где п'—
модуль любого из показателей пк в формуле (2) § 25. Тогда
если ф(#2) — периодическое слово с простым в ранге V
периодом В, то 1ф(?2)1<(1 + ч)\В\.
Доказательство. Пусть q\ = sot\S\ .. .tist — раз- < у
ложение пути q\, отвечающее данному в условии
разложению слова ф(<?1). Лемму достаточно доказывать,
заменив в А пути pi и р2 гомотопными им геодезическими р\
и pi. Как и в лемме 26.1, можно проверить, что А
является С-картой с длинными участками s0, .. ., st первого
вида ранга i + 1, длинным участком q второго вида
и короткими участками р\, р2, t\, . .., U. Действительно,
С2 следует из неравенства | qx I > у h n' \ A \ и
неравенств \TJ <d\A\; СЗ следует из леммы 26.5; С1 и G4—
С7 объясняются точно так же, как условия D1 и D3—D6
в доказательстве леммы 26.1.
7*
260 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
По лемме 23.19 путь q^1 допускает разложение q^=
= tfatl ... t'is'it'i+1, где | t'k \ < 3£n | A |, к = 0, ..., Гв+ 1,
и существуют дизъюнктные подкарты Ak с контурами
PkShPls'k, где |рЯ | К | < 27ib-1 | Л | и sk = xkskyk, причем
Uftl. |Ы<£ПМ1 (см. рис. 73).
Оценим \qz\, применив к Ah теорему 22.4 и лемму 21.1:
M>2KI>2№ftl-4farVl)>
ft ft
• ■ >S(Pl*ft|-2S«|^|-4fte-1|4|)>
>p(|gil-Sl*fti-(fe + i)3S»Hi)>
>-|-Рп'Ь|Л|-Ы|Л| —(fe + 1)3£га|Л|>1»'й|Л|. (1)
Если, например, |s0l *£ еп|4|, то по теореме 22.4 для А0
Wi I < 6£п 141 + "р~г (en + 4feS-1) | 4 |<2ега | 4 |<0Лч1 g21
вследствие оценки (1). Кроме того, в этом случае
Uofiaril <{&n + d + l-1)\A\ <2enUI.
Поэтому при доказательстве леммы достаточно установить
неравенство. | q2 | < (1 + -^yj | В | в предположении, что
длины всех sh больше еп\А\ и | qx \ > -j n' (h — 1) \А\
(т. е. отрезать подкарту, содержащую в контуре s°, по
пути р\, и аналогично поступить с sh если Ы <вге|Л|).
По-прежнему верна оценка
\qa\>±n'h\A\, ■ (2)
ибо вывод (1) сохраняется при замене величины -$ nh
на! n'(h — 1).
Допустим, что | (?21 ^ (1 + "о" 7) l-^l- Предполагаем
сначала, что |(?21^2|5|. Мы можем считать далее, что
Ф (q^1) г= ВВ' = В'В3 где В — циклический сдвиг слова В
§ 26. ИНДУКТИВНЫЙ ПЕРЕХОД. ГРУППА G(ao) 261
и \В'\~^-2у\В\. Представим путь q^1 в виде U' и £"£,
где <р(*) = Я, Ф0н5.
Условимся здесь для некоторой вершины о пути <?2 \
определяющей какое-то его разложение q^1 = vw,
обозначить символом__о некоторую вершину, дающую
разложение q^1 = vw, где \v\ = \v\ + \В\ (если о
существует). - ,
Оценки
|^|>РК|-4Й8"1И1>(Реп-4йе-1)|Л|>|8/г|^|
(3)
позволяют (ибо £ <( в) так выбрать вершину о на s0 (или
на sb если участок s0 «отрезан» от А), что:
1) вершина о лежит на некотором su;
2) разложения s0 = vQwQ и su = vuwu, определяемые
этими вершинами, таковы, что | wQ [, | wu | > -^- &п [Л |
(ввиду (3));
3) вершина о делит путь ql~1= vw так, что | v | <—- &д|Л|.
Аналогично выбирается вершина ох на пути q2 со
свойствами:
1) ох и ох лежат на некоторых su и s„2;
2) разложения su = vxwx, su — v2w2, определяемые эти-
1 2 1
ми вершинами, таковы, что \vx\, \vi\>-o&n\A\;
2
3) вершина ох отстоит не более чем на -^ &п | А | от (д2)—
Учитывая оценку леммы 21.1 на длины боковых дуг
подкарт примыкания До, Д„, Ди1? 4„ , мы с помощью
лемм 22.5 и 22.4 можем соединить вершины о, о, о\ и 0\
с некоторыми вершинами О, О, Ох и 0\ путей s0, su, sUi
и su путями zi, z2, zi, 22 (рис. 82), длины которых меньше
7~'(4^&_1 + 2) |Л|. Можно, конечно, считать, что Z\, ...
.. ., Z2 не имеют пересечений и определяют две
поддиаграммы Г, Г с контурами zlyiZ2y2 и ziylz~2y2-
Вследствие выбора точек о и 0\ и теоремы 22.4 для Г
и Г начало и конец слов ф (г/1) и <р(г/2) суть Л-периоди-
262 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
ческие слова длины, не меньшей
р 1. т | А | - (2йе-1 + у"1 (4fee-1 + 2)) | А | > j гп \ А |. '
Учитывая, что U" | = U' I г^5 т V И + у V) I ?21> имеем'
\y2\ = \~y2\>h(1 + h)~1\^-im\A\>
что вместе с (2) дает
откуда \уЦ >$\у2\ - |z,| - |z2l >0,lffeii'UI.
Теперь, пользуясь равенством ф(г/2)= ф(г/2), можно
приклеить к диаграмме Г зеркальную копию диаграммы
Рис. 82
Г и после удаления возможных /-пар получить
приведенную диаграмму с контуром z^1z1y1z2z^1 (у1) ~\
Поскольку |z71z1|, I z2z^11 <id\ A\, к этой диаграмме
можно применить лемму 26.1 (0,1уб-1 > а"1), т. е. у\
удовлетворяет требованиям леммы 26.1 в силу условия R.
В результате получаем противоречие с условием R5, так
как у1 и у1 не имеют общих подпутеи из-за условия
М <2|Я|.
Если, наконец, [g2l>2|Sl, то можно, очевидно,
выбрать в дг два подпути t", t', не имеющих
общих ребер, метки которых одинаковы, а длины больше
1 / 1 \~~i
у7(1 + yY \Qz\- Но только это cboiictbo и было
использовано в доказательстве первого случая (у2, у2 —
подпути в t" и t'). Лемма доказана. ■
2. Диаграммы ранга i■ + 1 как В-карты. Освободимся
от индуктивных предположений, сделанных в § 25, закан-
§ 26. ИНДУКТИВНЫЙ ПЕРЕХОД. ГРУППА G(oo) 263
чивая начатое там изучение основных свойств групп G(i).
Леммы 26.3—26.5 доказываются с помощью совместной
индукции по числу ^-клеток.
Лемма 26.3. Во всякой приведенной диаграмме
ранга i + 1 на диске, кольце, сфере, торе или сфере с
тремя дырами выполнены условия В2, В5, В6, В7, В8
определения В-карты.
Доказательство. Условие В2 проверяется так же,
как условие A3 в доказательстве леммы 19.4 с заменой
ссылок на леммы 15.3, 17.4, 19.2, 19.5 ссылками на
леммы 21.1, 23.17, 25.10 и 26.5.
Условия В6—В8 следуют из выполнимости условий
R для определяющих слов.
Проверим В5. Пусть / = г(я)=г(П) и допустим, что
(я, Г, q)^ 28, а рщ\РчЪ = д(п, Г, q). По леммам 26.5 и
13.2 | <721 s5= у $wa/ или дг — гладкий участок для Г и
также | q21 > р \28пА — 4ns-1) / > у $па] по теореме 22.4.
В любом случае П — клетка первого типа, так как в клет-
3
ке второго типа | д21 < у §па1 в силу R2 и R7. Из
лемм 13.2 и 26.5 следует, что qi и q<i — гладкие участки
в дТ. Значит, по леммам 21.1 и 23.17 (для Г) г(Г)</,
а по лемме 25.10 q\ и q% 4-согласовапы вопреки
лемме 13.2. ■
Лемма 26.4. Во всякой приведенной диаграмме
ранга i + 1 на диске, кольце, сфере, торе или сфере с тремя
дырами выполнены условия В1, ВЗ, В4, В9 и В10
определения В-карты.
Доказательство состоит из нескольких шагов.
1) Пусть q — подпуть длинного участка q клетки П
ранга / в Л и \q\ «£max(/, 2). Проверяя условие В1,
рассмотрим пока случай, когда П не входит в подкарту Г
с контуром p~xq, где р — гомотопный пути q путь в А.
Г является В-картой по лемме 26.5. Если \q\ = 2, а \р\ <
< \q\, то |ЗГ|<3 и г(Г)=0 по лемме 23.16 (ибо
периметр 52-клетки ^п). Тогда q>(q)= <f(p) в F(&), что
невозможно в силу циклической несократимости периодов
ранга /. Поэтому считаем, что \q\ *£ /. Тогда |<9Г1 < 2/, и по
лемме 23.16 г(Г) </. В таком случае подслово <р(д)
циклического слова A±l (А — период клетки П) равно в
ранге /— 1 слову ф(р) меньшей длины, чего пе может быть,
ибо А просто в ранге / — 1.
264 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
2) При проверке условия В9 первый случай (П не
содержится в Г) полностью аналогичен разобранному
выше в силу R3, ибо 2d <(1 — а)п и можно применять
лемму 23.16.
3) Проверим В10, когда р — один короткий участок
в дп. По лемме 26.5 для Г t\ и ti гладкие (так как в слу- Г
чае, когда период А, отвечающий клетке я, имеет первый
тип, |<7i|, | q21 < у $па] в силу R2 и R3). Применяя
к Г леммы 21.1 и 23.17, заключаем, что г(Г)</ и
период А прост в ранге г (Г). Тогда по леммам 25.10 и 13.1
слово (f(p) содержится в (A}dG(j — 1) вопреки
условию R4.
4) Рассматривая случай, когда П содержится в под-
карте с контуром p~'q, при проверке В1 или В9 мы
заменим q на путь qu дополняющий q до дИ, и получим под-
карту Г, не содержащую П (т. е. по предположению
индукции В-карту), следующего вида:
а) Г — подкарта с контуром q\P, где \р\ < dj, p —
геодезический путь в Г, Igil >(п — d)j и q\ — подпуть в дН,
начинающийся и кончающийся некоторыми подпутями
длинных участков из дп.
Допуская при проверке условия В10, что в р
содержится длинный участок клетки я, мы также получим под-
карту вида а) (с контуром УхРУ^1 в обозначениях
условия В10).
К подкарте похожего вида мы приходим, если
допускаем, что нарушено условие ВЗ:
б) Г — подкарта примыкания некоторой клетки я
ранга / к некоторому длинному участку q клетки П,
(я, Г, д)>1/3и |ГЛ?|>(1 + 7)'-(П)..
Для доказательства свойства В4 нужно рассмотреть
карты вида
в) Г — подкарта примыкания некоторой клетки я
ранга ] к клетке П ранга /, определенная с помощью подкарт
примыкания Т\, ..., Гт длинных участков su . .., su
клетки я к длинным участкам клетки П, причем найдется
^= а-1 различных sv со степенью 1\-примыкания ^ &.
Остается показать, что подкарты вида а)—в)
невозможны. Доказывая это «от противного», рассмотрим
гипотетический контрпример с минимальным числом
52-кдеток.
5) Допустим сначала для определенности, что Г —
подкарта вида б). Обозначим д(п, Г, q) = piq\p2q2- Запишем
§ 26. ИНДУКТИВНЫЙ ПЕРЕХОД. ГРУППА б (ее) 265
далее q\ = sot\S\.. .Ush где ti, ..., ft — короткие участки
клетки я, si, ..., S;-i — длинные участки, a so, $i — под-
пути длинных участков. По лемме 26.5 для Т sh —
гладкие участки ранга / в дГ. Поэтому по лемме 21.1 для Г
\pi\, 1^21 < 2hs~1j, Такому же ограничению подчинены
длины геодезических путей р\ а р2, гомотопных р\ и р2
(которыми мы и заменим р\ и р2 в контуре <ЗГ).
Проверим, что Г является С-картой с длинными участками
So, . .., Si первого вида ранга /, длинным участком дг
второго вида и короткими участками р\, р%, tu .. ., tt.
Условие С1 выполнено по определению слов из ^ и
лемме 26.5 для Г, С2 справедливо в силу неравенства
\4i\>-o\9n\. В силу леммы 13.2 и леммы 26.5 для Г
выполнено условие СЗ для Г. Если бы один из участков
th не был геодезическим в Г, то нашлась бы
поддиаграмма Г' в Г с контуром tkt, где \t\ < \th\, Г' — В-карта, ибо
|Г'(2) I < 1А(2) |. Значит, по лемме 23.16 г(Г')</, так как
2d<(l — а)п. Отсюда ср (t ) = q>(th) вопреки условию
R3. Поэтому условие С4 также выполняется. Условие С5
следует из R3, а также из неравенства 2he~l < d.
Справедливость условия С6 в случае «соседних» участков Si
и Si+i следует из проведенной выше на шаге 3)
проверки. Если допустить, что С6 нарушается для s{ и sk, где
к — г>1, то в Г есть подкарта вида а), т. е. случай
б) сведен к случаю а). (Нужно отметить, конечно, что
случай а) мы не сводим к случаю б) с тем же числом
5?-клеток!) Наконец, если бы нарушалось условие С7 с
помощью некоторой клетки П' из Г, то подкарта
примыкания П' к я имела бы меньше 5?-клеток, чем Г, и
имела бы вид в), вопреки минимальности в выборе
контрпримера.
Теперь по лемме 23.20 г(Г)</. Поскольку среди
участков sh есть участок длины ^ щ со степенью
примыкания > е к <?2, то r(g2)^/ по свойству В2, доказанному
в лемме 26.3, и по лемме 21.4. Остается применить
лемму 26.2, которая показывает, что карта вида б)
невозможна.
6) Если Г — контрпример вида а), то так же, как и
выше, проверяется, что Г является С-картой, причем без
длинного участка второго вида (т. е. \q\ =0), что
противоречит лемме 23.18.
Если Г — контрпример вида в), то так же, как на
шаге 5), проверяются теперь условия D1—D6, т. е. Г явля-
266 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
ется D-картой. Применяя лемму 26.1 и условие R5, мы
получим тогда, что п и II образуют /-пару в Д вопреки
приведенности диаграммы А. Лемма 26.4 доказана. ■
Лемма 26.5. Над градуированным копредставлени-
ем с условием R всякая приведенная диаграмма А ранга
г" + 1 на диске, сфере, кольце, торе или сфере с тремя
дырами является Ъ-картой. Если q— (циклический)
участок в ЗА с А-периодической меткой (в циклическом
случае ф(?)—степень слова А), где А — простое в ранге
i + 1 слово или период ранга k ^ £ + 1 (причем в
случае периода А первого типа \q\ s£ (3/2) 8гса& или в А нет
клеток первого типа, А-согласованных с q),ro q — гладкий
участок ранга \А\ в ЗА.
Доказательство. Первое утверждение состоит из
лемм 26.3 и 26.4. Поэтому при проверке второго
утверждения можно считать, что А является В-картой.
При проверке условия S1, так же как в первом
случае доказательства свойства В1 в лемме 26.4, приходим
к подкарте Г, где 1<9Г|<2|4|, откуда по лемме 23.16
г(Г)< |Л|, что, как и там, дает противоречие. Условие
S2 проверяется точно так же, как и свойство В2 в
лемме 26.3. Если нарушено условие S5, то так же, как и при
проверке условия В5 в лемме 26.3, | g|^= \q2 \ >-% §nAh.
а клетка л 4-согласована с q вопреки условию леммы 26.5.
Условия S3 и S4 проверяются так же, как условия ВЗ и
В4 соответственно в лемме 26.4. ■
3. Строение группы G (°°). Пусть G(°°) —группа,
заданная в § 25 определяющими соотношениями с
условием R.
Теорема 26.1. Группа G(°°) бесконечна, если
|«| >1.
Доказательство. Нужно повторить
доказательство теоремы 19.1 с заменой ссылок на лемму 19.5 и
теорему 16.2 ссылками на лемму 26.5 и теорему 22.2
соответственно. ■
Множество периодов 36\ ранга £ назовем
максимальным, если оно не содержится в большем множестве
простых в ранге £ — 1 слов 36% длины £ таком, что из
сопряженности в ранге £ — 1 A±l с В, где А, В е 36 и следует,
что А = В.
Теорема 26.2. Пусть для каждого £ > 1 множество
периодов ранга £ максимально, а каждый период А
любого ранга является периодом первого типа. Тогда группа
§ 26. ИНДУКТИВНЫЙ ПЕРЕХОД. ГРУППА G(oo) 267
G(°°) периодична (причем для всякого X найдется чис-
ло пА такое, что X = 1 # £?(°°), где пА определены
в п. 25.1).
Доказательство. Покажем, что каждое слово А
длины i~Sz 1 имеет конечный порядок в G(°°). Если А не
является простым в ранге £ — 1 словом, то утверждение
можно вывести из индуктивного предположения
относительно слов меньшей длины. Если же А просто в ранге
£—1, то из максимальности множества 36\ следует, что
слово А±х сопряжено в ранге £— 1 с некоторым периодом
ранга i. Поэтому А = 1. ■
Теорема 26.3. Система определяющих
соотношений {R = l|i? e $?} группы G(oo) независима.
Доказательство. Независимость вытекает из
следствия 25.1. ■
Теорема 26.4. 1) Период А первого типа имеет
порядок пА, а период второго типа имеет бесконечный
порядок в G(°°).
2) Если неединичные в G(°°) степени Ah и В1
периодов А и В каких-то рангов сопряжены в G(°°), то А = В
uAh = B' в G(°°).
3) Если каждое из множеств 36\ максимально для
£3^1, то всякий элемент X из G(°o) сопряжен в этой
группе со степенью периода какого-то ранга ]. В любом
случае X сопряжен со степенью некоторого периода или
со степенью слова А, простого в любом ранге.
4) Если А — период какого-то ранга или простое в
любом ранге слово, то подгруппа (А) не содержится ни в
какой большей циклической подгруппе группы G(°°).
Доказательство. 1) Допустим, что Ат = 1, где
1 < т < пА. После применения к диаграмме этого
равенства лемм 13.3 и 26.5 приходим к противоречию с
теоремой 22.4 (здесь \q\ > 0, a \t\ =0). Аналогично
приводится к противоречию любое равенство Ат = 1, т Ф 0, если
А — период второго типа или простое в любом ранге
слово.
2) Следует из леммы 25.17, доказанной для всех £.
3) Утверждение получается при повторении
доказательства теоремы 26.2 (кроме последней фразы).
4) Утверждение следует из леммы 25.17 и
утверждения 3) настоящей теоремы. ■
• Теорема 26.5. Централизатор неединичного
элемента XeG(°°) является циклической подгруппой. Вся-
268 ГЛ. 8. РАЗБИЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СЛОВ
пая абелева или конечная подгруппа Я группы G(°°)
циклична.
Доказательство. По теореме 26.4
(утверждение 3)) можно считать, что X = А% где А — простое
слово в любом ранге или период какого-то ранга. Если XY —
= YX в G(°°), то XY = YX для некоторого i и AY = YA
по лемме 25.12. Значит, по следствию 25.2 4, Уе <Z>
для некоторого Z, а по теореме 26.4 (утверждение 4))
<АУ = <Z>, т. е. Уе <Л>, а следовательно, (АУ —
централизатор для X. Из доказанного следует, конечно,
цикличность абелевых подгрупп в G(°°).
При доказательстве абелевости конечной подгруппы
можно в силу следствия 6.1 считать, что Я — метабелева
группа. Как показано выше, ее коммутант Я' —
циклическая группа. Она лежит в центре группы Я по
лемме 25.14. Поскольку ZXZ~l =[Z, X]X и элемент [Z, X]
перестановочен с X для X, Z е Я, перестановочны также
ZXZ~l и X. Но тогда по лемме 25.14 перестановочны X
и Z для всяких X, Z е Я, т. е. Я — абелева группа.
Цикличность абелевых подгрупп уже была доказана. ■
От общих условий Rl—R7 перейдем теперь к
конкретным построениям.
ГЛАВА 9
КОНСТРУКЦИИ ГРУПП
С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
§ 27. Построение групп с подгруппами
ограниченных порядков
1. Вопросы о строении групп с условиями конечности.
В § 7 мы рассмотрели естественные условия конечности,
которые возникли при распространении проблематики,
характерной для конечных групп, на абстрактные
бесконечные группы.
Среди очевидных примеров нётеровых групп (или
групп с условием max) находятся почти полицикличеекие
группы (см. § 7), а среди разрешимых групп все нётеро-
вы группы полицикличны (теорема 7.4). Проблема
максимальности, впервые сформулированная в литературе,
видимо, Бэром [135] в 1956 г., состояла в том, всякая ли н!ё-
терова группа является почти полициклической.
Теоремой 7.5 описаны разрешимые артиновы группы
(т. е. группы с условием min). Они, в частности, почти
абелевы. Проблема минимальности (проблема С. Н.
Черникова) состояла в существовании артиновых групп,
которые не являются почти абелевыми.
Квазиконечные группы по своему определению
являются пограничными между конечными и бесконечными:
гРУнпами. Однако о строении таких групп можно было
только догадываться — с 1938 г. (см. [62], [120])
известна проблема О. Ю. Шмидта о существовании квазиконет-
ных групп, отличных от простейших групп Ср0о (см.
п- 2.3). Сам О. Ю. Шмидт [125] доказал, что других
квазиконечных групп нет среди 2-групп (следствие 7.3), а в
Работах М. И. Каргаполова [50], Ф. Холла и Кулатилаки
1Д76] установлено, что иные примеры отсутствуют и сре-
Ди локально конечных групп.
270 ГЛ. 9, ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
Означенные выше (и некоторые другие известные в
теории групп) вопросы решаются в настоящей главе.
Первые результаты, состоящие в эффективном построении
совершенно новых типов бесконечных групп, содержатся
в работах (89], [90], [92]. Более того, оказалось, что
группы с неожиданными ранее свойствами вовсе не
являются изолированными исключениями. Предлагаемое
изложение примыкает к статье [96] и основано на
использовании геометрической техники гл. 7. В этом, более
сильном варианте содержится и ответ на вопрос, известный
как проблема Тарского [191], (236]: существуют ли
бесконечные группы, все собственные подгруппы которых
имеют фиксированный простой порядок р? В частности,
совмещаются такие сильные условия конечности, как
конечность периода и конечность собственных подгрупп
бесконечной группы.
2. Определяющие слова. Понятно, что если в группе G
все собственные подгруппы имеют простой порядок, то G
порождается любой парой своих неперестановочных
элементов. Трудности первой попытки обеспечить это
свойство с помощью определяющих соотношений обсуждались
в начале § 13.
Алфавит Ш составим лишь из двух букв аи а2.
Группы G(i) строятся по схеме, предложенной в п. 25.1, но
при следующих дополнительных требованиях.
На каждрм шаге в качестве S6i выбирается некоторое
максимальное множество периодов ранга i (см.
определение в п. 26.3). Все периоды А ранга i объясняются
периодами первого типа, причем пА — щ для всех А, т. е.
вводятся соотношения
Ап» = 1. (1)
Для каждого периода 4е^ зафиксируем некоторое
максимальное подмножество слов ЩА такое, что:
1) если Ге'Ул.юК |Г| <d\A\;
2) каждый двойной смежный класс группы G(i — 1)
по паре подгрупп (АУ,(АУ (или, короче, по <АУ)
содержит не более одного слова из ^А, причем это слово имеет
минимальную длину среди слов, представляющих тот же
двойной смежный класс.
Из определения, в частности, следует, что слова из Ща
минимальны в ранге i — 1 и не равны в ранге i — 1
степеням слова А,
§ 27. ГРУППЫ С ПОДГРУППАМИ ОГРАНИЧЕННЫХ ПОРЯДКОВ 271
Множество определяющих слов ff'i ранга i построим
по следующему правилу. Включим, во-первых, в 5^ все
слова А ° (определяющие слова первого типа), а
соотношения (1) назовем определяющими соотношениями
первого типа ранга i.
Рассмотрим, далее, А <= SSi, и если Я( не содержится
в подгруппе <Л> группы G(i — 1), то для каждого слова
fe^A, не лежащего в двойном смежном классе <A>ai<A>
группы G(i — 1), введем определяющее соотношение
а{АпТАп+2... TAn+2h~2 = 1, (2)
а если а2 не содержится в подгруппе С4>с G(i— 1) и не
лежит в двойном смежном классе (A>ai(A~> группы
G(i — 1), то для каждого Т е= <^Д) не принадлежащего
классу (А>а2(А} группы G(i — 1), введем соотношение
a2An+1TAn+3...TAn+2h'l = l. (2')
Соотношения (2) и (2') назовем определяющими
соотношениями второго типа ранга i, а их левые части
назовем определяющими словами второго типа ранга i и
также включим в 9"i. Положим, как и в § 25, $2,- = $&-1 U £?<,
после чего определены все группы G(i) и группа G(°°).
3. Проверка условия R. Для ее проведения
потребуется
Лемма 27.1. Пусть VVi и VV1— циклические
сдвиги определяющего слова Д±1 второго типа ранга i,
причем V содержит подслово вида
А°ТхАпТ2А\ (3)
где с — d + 3, m^ n, а слова Т\ и Т2 — это а\, или а2, или
Т^°уА в соответствии с определением соотношений (2),
(2'). Тогда VV1^VV1. R не является истинной
степенью в F(3I).
Доказательство. Очевидно, что каждое подслово
Циклического слова (2) или (2') может быть записано
в виде
BU1AmiU2Am*...UhC, (4)
гДе тп\, Ш2, ... >к, В — конец некоторой степени сло-
вэ А (возможно, пустой), С — начало некоторой
степени слова Л, U\, ..., Uk имеют вид аи или а2, или Т <= *УА,
fio если В пусто (С пусто), то U\(Uk) может быть концом
272 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
(началом) слова Т. Для доказательства леммы достаточно
из графического равенства слов (3) и (4) вывести
равенства
В в А\ Ux а Ти пц = т, U2 s Г2, С э Ас, ft = 2.
Допустим сначала, что |В| < 141. Тогда, поскольку
\их\ <(с — 2)\А\ по определению слов (2), (2'), имеем
A'^BUiD, где
tf>l>Ul (5)
и D — начало слова A 1U2 . .. Поскольку D
одновременно является концом степени слова А, то D — степень
слова А в силу неравенства (5) и простоты слова А в
ранге 0, a BU\ s= Ai для некоторого / > с — 2. В таком
случае, сокращая равенства слов (3) и (4) на B\U\, полу-
чаем, что А"'1 — начало слова А , а значит, Т\ и Г1Л —
начала слова Ап~с+1. Это опять-таки возможно, только
если слово Т\ графически является степенью слова А.
Последнее, однако, противоречит построению слов (2) и (2').
Итак, 1JS1 ^ |А|. Поэтому из сравнения (3) и (4)
видим, что В начинается с А, а поскольку В — конец
некоторой степени слова А, то В ^ А\ j ^ 1. Если j Зг 2с — 1,
то Т\ та. I\А — начала степеней слова ,4, откуда следует,
что Т\ — степень слова А, чего не может быть, как
отмечено выше. Следовательно, / <1 2с — 1. Теперь опять-
таки из сравнения (3) и (4) имеем
где \А\ < \Е\ «=(4с- б)\А\ < п\А\. «Поэтому, являясь
одновременно началом и концом слова А, Е есть степень
слова А. Значит, проводя в (6), сокращения, получим
равенство вида UiAa = АЪТХ (или AaU{ == Т{АЪ). Но по
определению множества °Уа и слов (2), (2') такое
возможно только тогда, когда о = Ь = 0. Это влечет равенства
A°^Aj^B и и{ = Тх. Аналогично, Лс эС, Т2 = Uh.
Остается заметить, что неравенство ft > 2 приводит те-
перь к А ==А игА -,. откуда, как мы неоднократно
выводили выше, U2 = А* для некоторого £ вопреки
определению слов (2) и (2'). Таким образом, лемма дока'
зана.
Лемма 27.2. Непредставления групп G(i), опредв'
ленные в п. 2, удовлетворяют условию R.
§ 27. группы с Подгруппами ограниченных Порядков 273
Доказательство. Проверим условия Rl—R7,
проводя индукцию по i.
Непосредственно видно, что все показатели пк в (2)
и (2') удовлетворяют условию R1. Условие R2 выполнено,
так как ^h< 1 + у б (ПМП; п = Г1).
Для слова Т условие R3 выполняется по определению
множества °УА- Остается проверить R3 для а\{аг) в (2)
г—1 г—1
(или в (2')), т. е. доказать, что а± Ф 1 (а2 Ф 1). Рас-
г-1
сматривая приведенную диаграмму А равенства аг= 1,
мы можем сослаться на лемму 26.5, ибо G(i — l)
удовлетворяет условию R по предположению индукции. Зна-
о
чит, по лемме 23.16 а1 = 1, ибо |<9А| =1. Но это явный
абсурд.
Условие R4 для Т также следует из определения
множества °Уа. Элемент ai(«2) не содержится в (АУ сг
cG(i-l) при определении соотношений (2)
(соотношений (2')).
Условие R5 следует из леммы 27.1, так как а < 1/5.
Пусть V и V — слова из посылки в условии R6. Ра-
1 X . <jyi с t—X tYl-\ t C-i
венство V0 = V0, т. е. A 1TflA 1 = A Tk,A , означает,,
что Th и Th, лежат в одном двойном смежном классе
группы G(i — 1) по подгруппе {А}. В один двойной смежный
класс по {А} попадают аналогично Tk+1 и Th,+1, 2\+2 и
Tk'+2 и т. д. Поскольку среди Tkl Тк+Ъ ... (среди T'h,t
T'kr+1, ...) все слова, кроме одного, равны Ге^(Ге
е Ща) , получаем из определения множества ЩА, что T=s
= Г, ибо г>а-"1-2>3.
Разберем, например,; вариант Tk = T, Tk+1 = аъ Th+2 =5
= Ги T'h, = a2, T'h>+1 = T, T'h,+2=^T. Он невозможен,
так Как тогда ах и Т лежат в одном смежном классе по
{А} вопреки определению слова (2). Аналогично из
определения слов (2) и (2') выводим, что возможен только
вариант Tk=T'h,, ..., Tk+i = Tk,+i.
i+l ,
Рассмотрим опять одно из равенств Vj — Vj, т. е.
/ '
Ab}Tj+1ACi+11= AbiTj+1ACj+1. Из него следует
АЪ-
18 д. Ю, Ольшанский
АЪГьзТ *-Т- AC}+1~Ci+1
А 1 j+i * з+1л
(7)
274 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
Если bj — bj=£0 или с$+1 — С}Ф$, то по лемме 25.18
получаем, что Tj+l e (A} czG(i — 1) вопреки определению
слов (2) и (2'). Следовательно, b] = Ь,- и с]+1 = Cj+1.
В итоге мы приходим не только к графическому
равенству слов V и V, но и к графическому равенству
сомножителей и .Ami, Гь и 2\/ и т. д. Учитывая
теперь условие R5 и различие всех показателей в
формулах (2) и (2'), приходим к выводу, что условие R6
выполняется.
Имеет место и условие R7, так как п = [щ(к +
+ 1)-']. ■
4. Порождающие пары для G(°°). Лемма 27.2
позволяет применять к группам G(i) и G(°°) все результаты
гл. 8. Однако в отличие от доказательства теоремы 19.1
здесь потребуются еще дополнительные усилия для
доказательства цикличности всех собственных подгрупп
группы G(°°). Следующая лемма формулируется в большей
общности, чем та, которая необходима нам в следующем
параграфе.
Лемма 27.3. Пусть G(°°)—произвольная группа,
заданная градуированным копредставлением с условием
R, а Я — некоторая ее неабелева подгруппа. Тогда
найдется период F некоторого ранга i^l u некоммутирую-
щее с ним в G(°°) слово Т такие, что \Т\ <3|F| и
подгруппа (F, Т) содержится в некоторой сопряженной с Я
подгруппе группы G(°°).
Доказательство. Пусть V — произвольное нееди-
ничнов в группе G — G(°°) слово, представляющее
элемент из Я. По теореме 26.4 слово V сопряжено в G(°°)
со степенью С\ где С — период некоторого ранга.
Переходя к сопряженной подгруппе, можем считать, что
V = С, а возводя в подходящую степень,— что 100£-1 <С
<&<ис/2.
В силу теоремы 26.5 найдется элемент feff такой,
что [С*, W] Ф 1 в Я. Очевидно, что можно считать при
этом слово Т имеющим минимальную длину среди всех
слов из <C*>W<C*>. По теореме 26.4 коммутатор [С\ W]
сопряжен в G(°°) со степенью А1, где А — период
некоторого ранга. Теперь с помощью леммы 25.21 можно от
В перейти к сопряженной подгруппе, содержащей А1
и слово В, которое не перестановочно с А', причем
mssioo;-1, wi^duu m
§ 27. ГРУППЫ С ПОДГРУППАМИ ОГРАНИЧЕННЫХ ПОРЯДКОВ 275
Слово В можно, конечно, считать минимальным, т. е.
минимальным в любом ранге. Возводя А1 в подходящую
степень, рассмотрим подгруппу (В: А'У, где
^nA^t^jnA, А* = (А1У, ВАфАВ. (9)
Снова по теореме 26.4 найдется период F некоторого
ранга такой, что слово В А1 сопряжено в G(°°) со
степенью F".
Обозначим А приведенную кольцевую диаграмму для
этой сопряженности. Пусть zp n q — контуры для А,
где q>(z) = B, <p(p)=4f, ф((?)_1 = F". Меняя t, можно
с помощью леммы 13.3 добиться, чтобы в А не было
клеток, ^-согласованных с р (и по-прежнему 11 \ ^
~^-ъпАу Аналогично считаем, что в А нет клеток, F-
согласованных с q. Проверим, что А является С-картой,
если в качестве длинных участков первого и второго
видов взять соответственно р и д, а в качестве короткого z.
Условия С1 и СЗ выполнены по лемме 26.5, условие
С2 следует из (9), поскольку 1/3 > £. С4 следует из
минимальности слова В, а условие С5 — из (8). Условие С6
выполняется в силу лемм 21.1 и 25.8, поскольку участок
первого вида здесь только один. Наконец, условие С7
справедливо вследствие леммы 26.5 и определения
гладкого участка (условие S4).
Таким образом, к А применима лемма 23.15 и
существует подкарта примыкания участка р к q такая, что
(p,T,q)>f.
Пусть P\q\Piq2 = д(р, Г, q). По лемме 21.1 \pi\, 1/?2! <
< 2herl\A\. Значит, по теореме 22.4
Ы >1>Ы - IpiI - Ы >р2М >t~l\A\, (10)
ибо |p|>-g-rel^l- Отсюда по лемме 25.10 для Г
получается, что 1дг1 <(1 + Y) I^K либо 4=Fi участки р и q
■4-согласованы. В последнем случае по лемме 13.1 слово
B^cp(z) должно быть равно в G(°°) степени слова А
вопреки (9). Итак,
1д21<(1 + т)1Л. (И)
С другой стороны, по теореме 22.4 для А
\q\ <Г'(1р1 + Ы)<Г2\р\ <Г3М, (12)
так как \z\ <d\A\ <$\р\. Из неравенств (10) —(12)
18*
276 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
\q\ <|Г5(1 + ч)1Л. Отсюда к! < 2, ибо y(q)=Fa, т. е.
а = ± 1. Из (10) и (11) выводится также, что
IF] > \q2\ >f\p\ =p3UM >(1-а)(|ЛМ + \В\)>аГЧВ\,
так как lg,l >|1/>1, a \В\ < pU'l ввиду (8) и (9).
Значит^ по лемме 25.4 ВА1 = XF±lX~l в G(°°), где |Х| <
< а(1 +(1 - a)~l)\F\. Перейдем теперь от L = <ЯЛ\ В>
к сопряженной подгруппе (F, Х~1ВХ) и обозначим
Т ^ Х-ЩХ. Тогда_
1Г1 <{2a(l+(l-a)-l)+a)\F\ <S\F\,
что и требовалось. ■
Лемма 27.4. Все собственные подгруппы группы
G(°°) абелевы.
Доказательство. Пусть Я— неабелева
подгруппа. При доказательстве можно считать, что в Я есть
элементы F и Т, удовлетворяющие утверждению леммы 27.3.
Но поскольку \T\'<3\F\ <d\F\, из определения
соотношений вида 2 и 2' следует, что аи а% е (F, ТУ а Я, т. е.
Я = б(оо). ■
§ 28. Группы с циклическими подгруппами
1. Основные теоремы. Пусть р = по — достаточно
большое простое число. На основании ПМП нами
установлено в гл. 7 и 8, что существует значение гео, начиная
с которого все рассматриваемые в этих главах
неравенства совместны. (В [96] предлагается, например, оценка
по>Ю75.) Пусть G(°°) — группа, построенная в п. 27.2.
Теорема 28.1. Группа G(°°) бесконечна, а всякая
ее собственная подгруппа является конечной
циклической и имеет простой порядок р.
Доказательство. Благодаря лемме 27.2
бесконечность группы G(°°) выводится из теоремы 26.1. Далее, по
лемме 27.4 достаточно рассмотреть только абелевы
подгруппы в G(°°). Такая подгруппа является
циклической по теореме 26.5. Ее порождающий элемент X
удовлетворяет соотношению Хр = 1 по теореме 26.2, так как
при определении группы G(°°) в § 27 все числа пА
равны ге0 = р. Теорема доказана. ■
Понятно, что теоремой 28.1 решаются проблемы
О. Ю. Шмидта, Тарского, Бэра, С. Н. Черникова,
формулировки которых были приведены в начале главы. С ее
помощью можно дать ответы и на некоторые другие воп-
§ 28. ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПОДГРУППАМИ 277
росы, поставленные в литературе, например, на вопрос,
доставленный в 1947 г. А. Г. Курошем и С. Н.
Черниковым [63], [62]: всякая ли артинова группа локально
конечна?
Отметим еще вопрос из книги М. Судзуки [110],
возникший в связи с изучением М-групп, т. е. групп, в
которых для любых подгрупп Я, К, L таких, что Н а К,
выполняется соотношение <Я, К П ЬУ = К П <Я, ЬУ —
тождество модулярности, которое в случае нормальных
подгрупп справедливо, как нетрудно проверить, в любой
группе. Изучение М-групп, начатое Ивасавой [185], [186],
упиралось в проблему существования групп, похожих на
G{°°). В частности, может ли в бесконечной М-группе
всякий ряд подгрупп #i с Я2 сг . .. с Hi иметь огра-
Ф Ф Ф
ничейную длину? Ясно, что для групп из теоремы 28.1
I ^ 3, а тождество модулярности легко выводится в G(°°)
из описания ее подгрупп. С использованием групп, в
которых все собственные подгруппы имеют простые поряд*
ки, и некоторых их центральных расширений (о которых
речь пойдет в гл. 10) строение М-групп описывается
Р. Шмидтом [242].
Легко видеть, что группа G(°°) является простой.
В самом деле, если в ней есть нормальная подгруппа N
порядка р, то с помощью теорем 3.7 и 3.2 в G(°°) можно
было бы найти подгруппу Я порядка р2 вопреки
теореме 28.1.
Теорема 28.2. Для всякого достаточно большого
нечетного числа щ группа G(o°), построенная в § 27,
бесконечна, порождается двумя элементами, а всякая ее
максимальная подгруппа является циклической подгруппой
порядка щ, причем любые две различные подгруппы
порядка щ пересекаются в G(°°) no Ш.
Доказательство. Бесконечность группы G =
= G(°o) следует из леммы 27.2 и теоремы 26.1. Все
собственные подгруппы в G абелевы по лемме 27.4. Они
являются циклическими по теореме 26.5. Порядок
максимальных циклических подгрупп равен щ по теореме 26.4.
Любые две максимальные циклические подгруппы имеют
в G тривиальное пересечение, ибо по теореме 26.5
централизатор всякого неединичного элемента группы G
является циклической подгруппой. ■
Если гео — степень простого числа р, то G(°°) — р-груп-
па. В частности, так получаются неабелевы квазиконеч-
278 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
ные р-группы (конечного периода) для любого простого
р 5= 3 — факт, который полезно сравнить со
следствием 7.3.
Впервые неабелевы квазиконечные р-группы для
всякого р 5= 3 (а не только р > щ) были построены Г. С.
Дерябиной [40], хотя и с неограниченными в совокупности
порядками элементов. (В [40] использовались статьи [90],
[92] в отличие от настоящего изложения, где за основу
выбрана [96].) В первом варианте доказательства
теоремы 28.1 в [96] была существенно использована простота
периода т. Это ограничение было снято в работе
В. С, Атабекяна и С. В. Иванова [15], т. е. ими доказана
теорема 28.2. (Из [15] заимствована здесь лемма 27.3.)
Можно строить не только периодические, но и,
напротив, простые группы без кручения с циклическими
подгруппами. (Первые примеры найдены в [90].)
Теорема 28.3. Существует простая группа G без
кручения с порождающими а\, а%, каждая собственная
подгруппа которой является бесконечной циклической.
Извлечение корня в G однозначно, т. е. из равенства
Xh=Yh, кФО, следует равенство X = Y для X, Y <= G;
более того, из равенства X" = Y1 (к, I Ф 0) следует, что X
и Y — элементы одной циклической подгруппы, а
значит, любые две различные максимальные подгруппы в G
имеют тривиальное пересечение.
Доказательство. Определим группу G тем же
способом, каким была определена группа G(°°) в § 27,
с одним отличием: определяющих слов первого типа
теперь нет, т. е. не налагаются в ранге i ^ 1
соотношения (1) (см. § 27 или § 25). Таким образом, в
градуированных диаграммах теперь все клетки имеют второй тип,
что лишь упрощает доказательства лемм 25.1—26.5, хотя
можно и упростить формулировки некоторых из них.
Отсутствие кручения в G следует из теоремы 26.4. Все
собственные подгруппы в G абелевы, поскольку леммы из
§ 27 без изменений переносятся на копредставление
группы G. Из теоремы 26.5 выводим теперь, что все они цик-
личны. Тривиальность пересечений различных
максимальных подгрупп выводится из утверждения той же
теоремы о централизаторах элементов.
Осталось показать, что G — простая группа.
Во-первых, аха2 ^ й2й1 в G по лемме 23.16, которая применима
г
к предполагаемой диаграмме равенства ахагах аг =1
§ 28. ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПОДГРУППАМИ 279
яо леммам 27.2 и 26.5. Если в G есть неединичная
нормальная подгруппа, то по доказанным выше свойствам она
бесконечная циклическая, т. е. вида <Х>. С помощью лем-
лы 25.14 заключаем, что X лежит в центре группы G.
Отсюда следует, что X содержится во всякой
максимальной подгруппе группы G. Но две такие подгруппы в G
пересекаются тривиально, а единственность максимальной
подгруппы в G невозможна, ибо любой элемент из G ле-
яшт в некоторой максимальной подгруппе. Получаем
противоречие. ■
Таким образом, существуют простые нётеровы группы
без кручения, отличные от почти полициклических.
Решетка подгрупп группы G устроена очень просто — она
составлена из счетного множества решеток подгрупп
бесконечной циклической группы, склеенных по единичной
подгруппе, и всей группы G. Поскольку группа
автоморфизмов группы G с двумя порождающими а\ и а2 счетна,
не всякий автоморфизм решетки ее подгрупп (а таких
автоморфизмов, как легко видеть, существует
континуум) индуцирован групповым автоморфизмом. В частности,
решаются вопросы 2.666 Л. Е. Садовского и 5.69
Б. В. Яковлева из [60].
2. Алгоритмические вопросы. В отношении
построенных в настоящей главе групп не рассматривались пока
традиционные для комбинаторной теории вопросы о
существовании алгоритмов равенства и сопряженности слов.
Неясно было даже, можно ли эффективно задать
множество определяющих слов 31. Ответы на эти вопросы
положительны, и для обоснования мы используем здесь
прием, предложенный в 1982 г. А. М. Сторожевым
(курсовая работа).
Теорема 28.4. Система определяющих слов 31
группы G(°o), определенной в § 27 (и группы G — см.
теоремы 28.1—28.3), может быть выбрана эффективно.
Имеются алгоритмы для распознавания равенства и
сопряженности слов в группе G(°°) (и в G).
Доказательство. Докажем сначала
утверждение теоремы для групп G (г) индукцией по i с очевидным
основанием i = 0. Лемма 26.5 применяется в силу
утверждения леммы 27.2.
1. Если слово А длины i сопряжено со степенью
периода В1 ранга «£ £— 1, то лемма 13.3 и теорема 22.4
позволяют считать, что \В'\ < $~Ч. Значит, простота
слова А в ранге i — 1 эффективно проверяется в силу индук-
280 гл. э. группы с заданными свойствами
тивного предположения. Поскольку для G(i — i) есть
алгоритм сопряженности, множество слов 96г выбирается
эффективно.
Для эффективного, выбора множеств слов ЩА нужно
объяснить, как решается вопрос о существовании для
данных слов Т\, Т2 длины <d|4| целых чисел к и I таких,
i-l h j
что Тг = А I\А , в частности, вопрос о разреши-
г—1 i—1 k
мости уравнения Т = А . Но если Т = А , то по
лемме 13.3 и теореме 22.4 можно считать, что к < $~1\А\~1\Т\,
а значит, данный вопрос решается с помощью алгоритма
равенства в G(i — 1). Аналогично, если Т2Ф- <Л> с:
cG(i-l), то равенство 7\ = Л Г2Л возможно
только при \к\, \l\ < 3y~ld. Действительно, допустив, что
\к\ 3* 3f_1d, мы с помощью теоремы 22.4 для диаграммы
данного равенства получим, что 111 > f>k — 2d > -_- 7 d,
что позволяет последовательно применить леммы 22.5,
25.8 и 25.6 и заключить, что Т2 e <4>, вопреки
предположению.
Точно так же алгоритмически решается вопрос о
включениях Т е (A)ai(A} или 71 е <4>а2<4>. В итоге
получаем эффективное задание множества ff'i, а значит, и
множества Я,-.
2. Для обоснования алгоритма распознавания
равенства в G(i), основанном на некотором переборе диаграмм,
достаточно по теореме 13.1 ограничить число 5?-клеток в
приведенной дисковой диаграмме ранга i в зависимости
от ее периметра. С помощью индукции по длине Igl
контура докажем, что число N 5?-клеток в А подчинено
неравенству N «£ 6(ra~4gl)3.
Разобьем контур q на 4 участка q = qxqzqzqi,
различающиеся по длине не более чем на единицу. С помощью
следствия 22.1 выберем в А некоторую ^-клетку я вместе
с подкартами 1\, ...., Г4 ее примыкания к qx, ..., g4.
Отметим еще, что
(i+2n-1)|g|>|gi|>(i-2n-1]|g|r
ибо при Igl <(1 — а) га в А нет 31 -клеток по лемме 23.16.
Рассмотрим сначала тот случай, когда отсутствует
одна из карт, скажем Гь Тогда существует содержащая
Г2, Гз, Г4 подкарта примыкания Г клетки я к участку
§ 28. ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПОДГРУППАМИ 281
/7==g2g3g4 такая, что (я, Г, р)> f. Пусть Sltis2t2 =
=_£(я, Г, р). По лемме 21.3 Ш >(ч~2$)\дп\. Если
^^Г^РУР для л- то Ш<ч\дл>\, а по лемме 21.1
|s2 Mi |<27|3я|. ^ Поэтому диаграмму А можно
разрезать путем и = s2 \Sl х на две дисковые
диаграммы Ai и А2 с контурами и~% и ut2, где t2t2 — контур для
Д. В таком случае
Ы < 2Т(7-2(5)-iU2l < 3TU2| < 3Tlg|
по лемме 23.16. Отсюда
l5Ail = l*2l + l«l<(4 + 2n-1 + 3v)|g|<|g|f
\дА2\ = \t2\ + \и\ = \q\ - \t2\ + \и\ < \q].
Поэтому по предположению индукции числа Ni и N2
^-клеток в А, и А2 удовлетворяют неравенствам
^i<6(U2l(l + 3'Y)ra-1)3,
tf2*£6((|g|-(l-3T)U2|)ra-i)3. (1)
Поскольку U2|<(l+2n-1j|g|, из (1) следует,
iV = iV1+iV2^6(|g|^i)3.
Допустим теперь, что все Г1; Г2, Г3, Г4 действительно
существуют, и обозначим 444*2 = д (я, Г4, g,), i = 1, ...
• ■■Л, а контуры 5л и q запишем в виде ^^^Фз^,
9г
что
и ^«Уг^г^^ (рис. 83). Выделим еще 4 подкартЫ
К ...,А4 с контурами (sl-1)-1^(4)~Ч (индексы по-
давлены по модулю 4).
из
к
282 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
Как и в первом случае, | s) | < £ | дл | < 2£ | g |, откуда
I А | < fT1 (j + 2«_1 + 4£) | g | по теореме 22.4 для I\.
Значит, l^l^i-p-1 + 5£J | g|. Кроме того, |^|<1|д|
[и два из W{ имеют длину меньше -г \ q |), а ] у{ | ■< у \ дл |<;
< 2у | q |, откуда | Mi 1 < (у + 4£ + 2y) Ы (a Для ДВУХ
Д i | <9Д| | < -о-1 g |). Применяя предположение индукции
Fi и Д{, i = 1, ..., 4, имеем
iV<(6(ip-1 + 5^3 + 2(-i)3)(6|g^-3) + l<6(|g|«-1)3,
ибо Igl >(1 — а)п.
3. Алгоритм распознавания сопряженности слов в G(i)
получается из алгоритма равенства с помощью
леммы 25.4.
оо
Поскольку 31 = U i%i, группа G(°°) (группа G) име-
г=1
ет эффективное задание определяющими
соотношениями. Равенство Х = 1 в G(°°) (в G) возможно по
г
лемме 23.16 только тогда, когда X = 1 для £ =
= 1(1 — а)~1п~1\Х\], а сопряженность слов X и У влечет
по леммам 25.4 и 23.16 их сопряженность в ранге
i = {(l + 2a)(l-a)-ln-l{\X\ + \Y\)}. Теорема
доказана. ■
Заметим, что в группах G(°°) и G тривиальным
образом объясняется алгоритм для решения вопроса о
вхождении произвольного элемента X в произвольную под-
групу Я = <УЬ ..., Ут>. Если YtYj¥= YjYt для некоторых
i, /, то Я = С, т. е. Хе Я. Если же Я — абелева
подгруппа, то она является циклической и существует
единственный период А некоторого ранга (причем \А\ < max |У;1)
такой, что Н a Z (A}Z~{ для некоторого Z. При этом
\Ъ\ <ос(1 + j}~')max 1УП. Наконец, вопрос о
существовании равенства вида X = Ак для некоторого к решается
также алгоритмически. (Для G(°°) к < щ, а для G к <
<|-IU!-MXI.)
Эффективность задания свободных бернсайдовых групп
В (91, п) нечетного периода п ~> 665, существование алго-
§ 28. ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПОДГРУППАМИ 283
ритмов распознавания равенства и сопряженности в этих
группах были установлены П. С. Новиковым и С. И. Адя-
ном вместе с построением этих групп в работах [81],
[82], [5].
Теорема 28.5. Свободная бернсайдова группа
достаточно большого нечетного периода п эффективно
задается своим непредставлением и существуют алгоритмы
для распознавания равенства и сопряженности в В (St, n).
Доказательство. По теореме 19.7 группа
В (91, п) свободна в многообразии 39„. Значит, для В (9t, n)
существуют гомоморфизмы вычеркивания, когда все
порождающие из произвольного подмножества 91' <=■ Щ.
заменяются единицами. Поэтому для обоснования алгоритмов
можно считать, что 91 — конечное множество. В таком
случае доказательство повторяет с некоторыми
упрощениями (не нужны множества ЩА, двойные смежные
классы) доказательство теоремы 28.4. Ссылки на теорему 22.4,
следствие 22.1 и леммы 25.2, 26.5, 22.5, 25.8, 25.6, 23.16,
21.3, 21.1, 25.4 нужно заменить соответственно ссылками
на теорему 17.1, следствие 16.1 и леммы 18.2, 19.5, 17.5,
18.9, 18.7, следствие 17.1 и леммы 15.4, 15.3, 18.5. ■
3. Континуальность множества неизоморфных
квазиконечных групп. При построении квазиконечной группы
G(°°) не обязательно фиксировать простое число р = щ.
Можно взять произвольную последовательность простых
чисел !? = (pi, p2, ...), где все pi>n0. Положим п =
= [Pi(h + I)-1]. Тогда в определении соотношения (1) в
§ 27 можно вместо «о поставить р{, где pt зависит от А,
а в определении соотношений (2), (2') заменить п на щ.
(Для определенности можно считать, что периоды ранга
i лексикографически упорядочены и для каждого А пи-
шется соотношение А =1, где рА — первое из
неиспользованных еще чисел из !Р.) В результате вместо
G(°o) получится группа G(^).
Теорема 28.6. Существует континуум
неизоморфных групп вида G{$?) для разных последовательностей !Р
таких, что всякая собственная подгруппа каждой группы
G (£Р) имеет простой порядок, а все подгруппы
одинакового порядка сопряжены в G(^).
Доказательство. Так же, как в теореме 28.1,
доказывается, что группа G(^) бесконечна, а каждая ее
собственная подгруппа имеет некоторый простой порядок
Pi, где pi из 9. Отметим еще, что существуют периоды
сколь угодно высоких рангов. Это утверждение аргумен-
284 гл. 9. группы с заданными свойствами
тируется, как и в теореме 19.3 (с заменой ссылки на
теорему 19.1 ссылкой на теорему 26.2).
Из леммы 25.11 следует теперь, что в G(£P) есть
подгруппы любых порядков р{, где pt e $р% причем все
подгруппы одинакового порядка сопряжены в G(t?) по
теореме 26.4.
Поскольку существует континуальное множество
последовательностей 9*, теорема доказана. ■
Обширные классы групп с циклическими
подгруппами можно строить не только путем варьирования
порядков их подгрупп. Так же, как в [91}, [12], доказывается
следующая
Теорема 28.7. Для всякого достаточно большого
простого числа р = щ существует континуум
неизоморфных групп периода р, все собственные подгруппы
которых имеют порядок р.
Доказательство. Если в § 27, определяя
соотношения (2) и (2'), для некоторых рангов последний
сомножитель An+2h~2(An+2h-1) заменить на A2n+2h (на
_д2п+2л+1^ т0 такая замена не повлияет на оценки,
проведенные в леммах из § 25—27, т. е. построенная группа
обладает всеми свойствами группы G(°°).
Выберем теперь произвольное подмножество /
натурального ряда и построим группу Gj(°°). Отличие от
6?(оо) состоит в следующем. Будем последовательно
нумеровать встречающиеся периоды всех рангов, начиная с
ранга 2 (а их бесконечно много, как и в предыдущей
теореме), выбирая для периодов одного ранга, например,
лексикографический порядок. Теперь, если Ак — период
ранга i, то сохраним для него старое определение
соотношений второго типа при i e / или сделаем указанное
в предыдущем абзаце изменение при i Ф-1.
Пусть I Ф J и к — первое из чисел, попадающее
ровно в одно из подмножеств, скажем, к^ I, кФ-J. Пусть
Ак— период ранга i при построении Gf(°°). Тогда,
очевидно, копредставления групп Gj(i —1) и G;(i-1)
совпадают, т. е. Ак — период ранга i и для G, (<*>). Из
простоты слова Ак в ранге i — 1 и теоремы 22.4 следует, что
для Ак существуют соотношения второго типа. Если
допустить, что ядра копредставлений для I я J совпадают,
то в группах Gi(°°) и Gj(°°) должны выполняться как
соотношения второго типа R = i, так и RAh = l1 т. е.
А\ = 1г вопреки лемме 25.11.
§ 28. ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПОДГРУППАМИ 285
Таким образом, группы £/(°°) и Gj(o°) при 1Ф]
получаются при факторизации 2-порожденной свободной
группы F(au <ц) по разным нормальным подгруппам.
Поскольку число различных гомоморфизмов конечно
порожденной группы F(a\, аг) на фиксированную счетную
группу Gi{°°) счетно, среди групп Gx(oo) есть континуальное
множество неизоморфных между собой групп, так как
континуально множество различных
последовательностей /. ■
Если снять требование простоты порядков подгрупп, то
теорема 28.7 без изменений переносится на любой
достаточно большой нечетный показатель п. В частности, по
теореме 6.4 в свободной бернсайдовой группе В (St, n) при
IStl ^ 2 существует континуальное множество ядер iVj
гомоморфизмов на группы с циклическими подгруппами.
Отсюда следует, конечно, что В (St, n) не удовлетворяет
условию max для нормальных подгрупп (иначе каждая
нормальная подгруппа была бы. нормальным
замыканием конечного множества). Условие min для нормальных
в В (St, n) подгрупп также не выполняется — достаточно
рассмотреть ряд пересечений iVj => iVj П Nj => iVj П Nj П
П NK => . .. Эти пересечения неединичны, как видно из
теоремы 19.5 о централизаторах в В (St, n), и различны,
ибо факторгруппы по ним содержат все новые простые
факторы В (St, n)/Nh В (St, n)/NJt ... В предположении,
что п 5= 665, а 1st| 5? 66 или IStl 5? 2, а п — нечетное
составное число, имеющее собственный нечетный делитель,
больший 663, убывающие и возрастающие цепи
нормальных подгрупп в В (St, n) найдены ранее С. И. Адя-
ном [9].
Как мы заметили в п. 1, решетки подгрупп одинаковы
у всех групп со свойствами, перечисленными в
теореме 28.3. Поэтому неизоморфные группы такого рода
показывают, что группа с однозначным извлечением корня
может не определяться решеткой своих подгрупп
(вопрос 2.66а из [60]). Но действительно, в построении
группы G в теореме 28.3 возможны те же изменения,
что и для группы G(°°) в теореме 28.7. Поэтому
справедлива
Теорема 28.8. Существует континуум
неизоморфных простых 2-порожденных групп без кручения, в
которых всякая максимальная подгруппа является
бесконечной циклической, а любые две различные
максимальные подгруппы имеют единичное пересечение, ш
286 ГЛ. 9, ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
§ 29. Тождества нестепеннбго вида
1. Одна задача из книги X. Нейман. Следствия
тождества хп = 1 при достаточно большом нечетном п можно
изучать, как видно из главы 6, с помощью анализа ко-
представления свободной группы многообразия Бернсай-
да S„, т. е. посредством замены одного тождества серией
определяющих соотношений. Без особых изменений такой
подход эффективен и в случае более общих тождеств
вида v(xi, ..., хт)п = 1, где v — некоторое групповое слово.
Опираясь на технику гл. 7 и 8, мы можем
продемонстрировать теперь возможность изучения следствий некоторых
тождеств нестепеннбго вида.
В качестве примера приведены тождества, которые
могут выполняться в неабелевых группах, в то время как
все конечные группы с такими тождествами абелевы. Эта
известная в теории многообразий групп задача
поставлена, например, в книге [76]. Ее мотивировка состоит в том,
что многие важные многообразия групп порождаются
своими конечными группами. Лишь из сопоставления теорем
П. С. Новикова — С. И. Адяна [80], [5] и А. И. Кострики-
на [57], [59] стало ясно, что это верно не для всех
многообразий. Позже Ю. Г. Клейман {54] нашел даже
многообразия разрешимых групп, не порождаемые своими
конечными группами. Однако упомянутая выше проблема
X. Нейман оставалась открытой. (Например, многообразие
8Р для р 5* 5 содержит не только неабелевы конечные
группы, но по теореме Ю. П. Размыслова [102] и
конечные группы произвольной ступени разрешимости.)
Известно было, что она равносильна вопросу о
существовании неабелевых многообразий, в которых все
разрешимые (не обязательно конечные) группы абелевы, и в
[76] вопрос приведен в двух эквивалентных
формулировках: 5 и 5'.
2. Конечные группы в многообразии Ш. Напомним
следствие 6.1: каждая конечная неабелева группа
содержит некоторую неабелеву метабелеву подгруппу.
Поэтому поставленный выше вопрос будет решен, если указать
такое групповое тождество
ю(хи .. ., xm)=i, (1)
которое выполняется в некоторой неабелевой группе, в
§ 29. ТОЖДЕСТВА НЕСТЕПЕННОГО ВИДА 287
то время как всякая метабелева группа с тождеством (1)
абелева ').
Для построения слова w выберем некоторый
групповой алфавит {x±l, y±l}. Напомним, что [X, Y] обозначает
коммутатор XYX~lY~l и что d = r\~l — целое число.
Положим
"(*, y)^№,ydY, 1у\ x-*f\ (2)
и определим
w (х, у) = [х, у] v (х, у)п [х, у]4 v (х, у)п+1 ...
>..[*, У]**'1 v(x,yrk-\ (3)
где параметр h (см. список в начале гл. 7) выбирается
с дополнительным условием h = 1 (mod 10) и
еюм-i = 8iofe+2 = бюь+з = еюь+5 = еюм-6 = 1, ,,.
Еюм-4 — 8ЮМ-7 — 8юм-8 = ^Юк+9 = 8ю*+ю = — 1
для к = 0, 1, ..., (h — 1)/10. Смысл этой причудливой на
первый взгляд закономерности состоит в том, что в
длинной периодической последовательности, составленной из
двух символов 1 и — 1 с периодом -Р=(1, 1, 1, —1, 1, 1,
— 1, — 1, — 1, —1), нельзя выбрать в качестве другого
периода «зеркальное» для Р слово (которое получается при
чтении Р с конца) или «противоположное» для Р слово
(которое получается при полной смене знаков в Р), а
также зеркальное для противоположного. Это свойство
важно для леммы 29.3. При желании нетрудно убедиться,
что такого сорта периодов длины <10 с равным числом
символов 1 и —1 не существует.
Лемма 29.1. Пусть в конечной группе G выполнено
тоокдество (1), где слово w определено равенством (3).
Тогда G — абелева группа.
Доказательство. Как замечено в начале
параграфа, достаточно доказать лемму в предположении, что
G — метабелева группа. Но очевидно, что в метабелевой
группе единичны все значения слова v(x, у) (см. (2)),
ибо значения слова [xd, yd] попадают в абелев коммутант
[G, G]. Следовательно, значения слова w(x, у) в G
совпадают со значениями коммутатора [х, у], ибо в записи
') Из аппроксимационной теоремы Ф. Холла следует, что и
наоборот, если любая конечная группа с тождеством (1) абелева,
то абелева и всякая (бесконечная) разрешимая группа с этим
тождеством.
288 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
ft-1
(3) 2 ei = 0, поскольку h — 1 делится на 10. По-
г=1
этому равенство w(G)= Ш влечет [G, G] = {1). ■
Для доказательства теоремы 30.1 достаточно, таким
образом, указать некоторую неабелеву группу G с
тождествами (1), (3). Обозначим, далее, 9Й многообразие всех
групп с этим тождеством. Можно ограничиться
конструкцией 2-порожденной 5Ш-свободной группы, но
доказательство ничуть не меняется при рассмотрении свободной в
Ш группы с произвольным базисом St, к заданию копред-
ставления которой мы сейчас и переходим.
3. Определяющие соотношения ЗЧ-свободной группы.
Построение групп G(i) проводится по схеме из п. 25.1,
хотя и несколько сложнее, чем в § 27, из-за специфики
задачи, связанной с обеспечением некоторых тождественных
равенств. Как всегда, начинаем с (абсолютно) свободной
группы G(0) = F($&) с заданным базисом Я; 5?о = 0.
Внесем далее следующие уточнения в схему из п. 25.1.
1) При выборе множества #?< периодов ранга i ^ 1
требуется дополнительно, чтобы некоторая степень Af
каждого слова iefj была сопряжена в ранге i — 1 с
некоторым значением v (x, у) (см. (2)) для некоторых
г—1
таких слов X, У, что w{X, Y) ф 1. При этом
ограничении 96{ выбирается максимальным относительно
обычного условия: если А и B±l сопряжены в ранге i — 1,
где А, В<^9е{, то А =В.
Отметим, что по лемме 30.3 1 < |/| < 100£-1.
2) При определении слов из Я'г нет соотношений
первого типа.
3) Множество всевозможных упорядоченных пар слов
(X, У) разбивается на классы 4?i пар (X, У), для которых
значения w(X, Y) сопряжены в ранге i — 1 и значения
v(X, Y) также сопряжены в ранге i — 1. Удобно как-то
пронумеровать '«Ра, ь Ч?а,2, ... все те классы 4?i пар
i—1
(X, У), для которых w(X,Y)=£i, a v(X, У) сопряжено
в ранге г — 1 со степенью слова А е $6{. (По леммам 29.4
и 25.17 ^a, j^&b.i для различных A, fie #?<.)
На основании лемм 29.4 и 18.1^ в каждом из классов
g'xj можно выбрать пару (XAJ, YA,i) следующим обра-'
зом. Слово ХА,} графически равно степени слова С а, и где
С a, j — простое в ранге i — 1 слово или период ранга
к =S i — 1 (причем в первом случае СА, ,• графически сов-
§ 29. ТОЖДЕСТВА НЕОСТЕПЕННОГО ВИДА 289
падает с A±l, если оно сопряжено с A±l в ранге i— 1).
Далее, YA)j = ZAjYAjZa,}, где УАЛ графически
равно степени слова ВА, и а ВА } — или простое в ранге i — 1
слово (оно совпадает с A±l, если оно сопряжено с A±l
в ранге i — 1, и BAj^CAzlj, если ВА} и С а1,
сопряжены в ранге i — 1), или период ранга I < i — 1. Для
данных Ха, j и УА] j слово ZA, i выбирается минимально
возможной длины из таких, что пара (XAj, ZAjYAjZAj)
лежит в &а,}. Назовем (ХАЛ, YAi}, ZA,j) (A, ])-тройкой.
4) Теперь для каждой (А, ])-тройки введем
определяющее слово RA,) ранга /. Пусть f(A, /) — то
единственное по леммам 29.4, 25.15 и теореме 26.4 число, для
которого слова v(XA,s, Ya,j) и АНА'п сопряжены в ранге
i — 1. Положим
Я, -=Т, .лпКА^ТЪ} ■ л<.п+1ЖА,1) 7,8ft_1/)(n+ft-1)AA,i)
llA,j — 1 А,]л -I А,}Л ■ ■ ■ 1 AJ л ,
(5)
где ei, 62, ... те же, что ив (3), т. е. определяются по
правилу (4), и Га, ,- — некоторое минимальное в ранге
i-i _
i-1 слово такое, что TAtj = WAj [XAJ, YAii\WAij,
a WA, j — слово минимальной длины со свойством
v(XAJ, YAlj) l=WAJA«A^W2'}.
Как видно из определений, слово ВА ,- сопряжено в
ранге i-i с w(XAi], YAJ), а значит, RA,j^9ti-i.
4. Проверка условия R. Выполнимость условий
Rl — R7 здесь объясняется сложнее, чем в § 27.
Проверка опирается на некоторые леммы из § 30, а значит,
утверждения лемм 29.2—30.5 доказываются совместной
индукцией по рангу.
Лемма 29.2. Для непредставления G(i)
выполнено условие R5.
Доказательство. Пусть V = Ащ"1Т]1АПк . ..
т лПк+1
■••i-k+iA- —циклическое подслово определяющего
слова (5) ранга i, причем 1> а-1 -4 3* 10. Все
показатели nh_u ., ., nk+l одного знака, и для определенности
считаем, что все они неотрицательны. По лемме 30.3
п„>п для s = k — i, ..., к + l, а но лемме 30.4 \TS\ <
< d\A [ для s = к, .. ., к + I, и, кроме того, Ts е= (A> с
c=G(j —1) до лемме 30.5. Поэтому, как и в доказатель-
19 А. Ю, Ольшанский
290 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
стве леммы 27.1, получаем Т1 Аа==А Тг (ибо по
определению все Т, = T±l). Здесь показатель —1
невозможен по лемме 25.18, применение которой в ранге i — 1
допустимо по лемме 29.4, и лемме 30.5. Показатель 1
означает по лемме 25.18, что а = Ъ = 0. Заканчивается
доказательство, как и в лемме 27.1. ш
Лемма 29.3. Для копредставления G(i)
справедливо условие R6.
Доказательство. Пусть V — подслово
циклического слова R е УА, где А — период ранга i и даны ра-
t-i ,
венства Vu = Vu, т. е. для и = 0, . .., I
AKTh+uACu+1 =* Ab'uT'k,+Ju+1 (6)
в соответствии с условием R6 (здесь Ъ0 = пг1, Ь0 = тпи
с1+1 = тъ с[+1 = т'2), где Ти+и=Т^) и T'k,+U=- T^t для
некоторых / и t.
Слова Га, j и TA,t входят либо с одинаковыми
показателями во все равенства системы (6), либо везде с
противоположными, так как иначе можно исключить ТА, t из
двух равенств системы (6) и получить равенство вида
TAjAa — A TAj, что противоречит леммам 25.18 и 30.5,
применимым в ранге i — 1.
Циклическая последовательность ео = 1, si, . .., e,,-i
(см. определение (4)) не содержит
подпоследовательности ек, . .., 8А+ю, для которой или зеркальная (см. п. 1),
или противоположная, или зеркальная копия
противоположной также содержалась бы в 1, Е\, . . ., eh~i. С учетом
сказанного в предыдущем абзаце это означает, во-первых,
что если Тк+и = Тд,J, то и 2V+U == Гд^ (а не ТА\),
а во-вторых, что слово V (см. формулировку условия R6)
есть подслово циклического слова R' (а не (R')~l),
поскольку I > 10.
Как видно из (4), среди чисел 0, 1, . . ., 10 найдутся
такие и — 1, и, и + 1, что
Th+u-i = TAj, Th+u=TAj, Tk+u+i = TA:j. (i)
Тогда, как отмечено выше, и
Th'+u-i = TAit, Th'+u=TAit, Th'+u+1=;TAit. (о)
g 29. ТОЖДЕСТВА НЕОСТЕПЕННОГО ВИДА
291
С учетом (7) и (8) сравним равенства (6) с номерами
и и и — 1 и, обозначив Т = TAij, исключим из них Thr+U:
Значит, по леммам 25.18 и 30.5 в ранге i — 1
Сц+1 + Ou+l = си+1 + Ои+1- (9)
Равенство (9) означает, что f(A, j) = f(A, t), ибо
только при этом условии (n + r)f(A, /) = (га + s)f(A, t)
для 0 < г, s < h в силу неравенств \f(A, /) I, \f(A, t) \ <
<100£-! из леммы 30.3 (ПМП; n~l = i<%, i<8 = h~l).
Поскольку показатели при А-в (5) однозначно
определяются порядковыми номерами сомножителей вида
-_д(ч+г)/<а, 1) и числами д_Д) у^ из (9) следует, что и
Си + Ъи = Си + Ъ'и. (10)
Теперь с учетом (7), (8) мы можем сравнить еще ра*
венства (6) с номерами и — 1 и и и исключить из них
ТАу.
I Г Г Г
лЬи—1~Ъи~1~Ьи+Ьигт1ДГи—си~Си + 1 + си + 1 1 гр
Следовательно, опять по леммам 25.18 и 30.5
си — cu+l —' си + си+1 = 0. (11)
Сравнение (10) и (11) дает Ъи — Ъи = с'и+1 — си+1,
что в силу (6) означает сопряженность ТК+и и Th>+U
в ранге г — 1 с помощью степени слова А, т. е. TA,j и TA>t
сопряжены в ранге i— 1 с помощью степени слова А. Но
тогда слова RAii и RA , сопряжены в ранге i — 1, а
значит, как замечено уже в п. 2, сопряжены в ранге i — 1
слова w(XA.j, Ya,j) и w(XA,t, YAit). Кроме того,
сопряженность слов v(XAh Fa,;,-) и v(XAi ,, FA, i) в ранге i — 1
следует из равенства f(A, /)= f(A, t). По определению
такое возможно лишь при t = j. Значит, R = R', Th+U =
= Г(,'+11 и из (6) с помощью лемм 25.18 и 30.5 следует
тогда, что Ъи = Ь^, си+1 = с„+1 для и = 0, . . ., I, т. е. F==
==F'. Это и требовалось проверить. ■
Лемма 29.4. Для копредставления G(i) имеет
место условие R.
Доказательство. R1 следует из формулы (5)
и леммы 30.3. Условие R2 выполняется, поскольку
19*
292 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
п 1
_, , <С 1 + 17 Ь (ПМП; п). По лемме 30.4 верно условие
R3, ибо слова ТА,,- минимальны в ранге i — 1 (где i = 141)
по определению. Условие R4 обеспечивается леммой 30.5,
a R5, R6 доказаны в леммах 29.2 и 29.3. Условие R7
обеспечено отсутствием периодов первого типа. ■
§ 30. Многообразия, в которых конечные
группы абелевы
1. Коммутаторы в G(i). Нетрудно показать, что
построенная в § 29 группа G(°°) свободна в
многообразии 9Я. Однако прежде нужно освободиться от индуктив*
ных гипотез, использованных в § 29. Коммутаторная
структура определяющих слов требует при их изучении
привлечения диаграмм на сферах с тремя дырами. При
доказательстве леммы 30.2 еще раз используется лемма
24.9 о путях без самопересечений на таких картах.
Лемма 30.2 справедлива при более слабых ограничениях на
копредставление, чем в § 29, и хотя она более в книге не
применяется, мы сформулируем ее для всех копредстав-
лений с условием R. Но сначала установим следующее
вспомогательное неравенство.
Лемма 30.1. Пусть копредставление группы G(i)
удовлетворяет условию R, В — период ранга k ^ i или
простое в ранге i слово и 10£-1 < I (и I < пв — 10£-1, если
В — период первого типа). Тогда, если слово B'U
сопряжено в ранге I со словом W, то
1\В\ ^Г1тах(|£/|, \W\). (1)
Доказательство. Рассмотрим приведенную
кольцевую диаграмму А для сопряженности слов B'U и W
с контурами р и q, где ср(/>) = BlU, ф(^/) = W~l.
Представим р в виде р\Р2, где у(р\) = В\ ф(р2)=Е [/. В силу
леммы 13.3 и леммы 26.5 р\ можно считать гладким
участком ранга \В\ в <9Д и \1\ > 10£-1. Если неравенство (1)
нарушено, то А является F-картой, и по лемме 24.7 в А
существует поддиаграмма примыкания Г участка р\ к р\
такая, что (р\, Г, />i)>0, 1. В силу лемм 21.1 и 23.17
к Г применима лемма 25.8 (ибо г(Г)<|5|), вследствие
которой длины дуг примыкания меньше t,~4B\, что
противоречит неравенству \р\\ > 10£_1Ш[. Лемма
доказана. ■
§30. МНОГООБРАЗИЯ И ИХ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 293
Важной для теоремы 30.1 является
Лемма 30.2. Пусть копредставление группы G(i)
удовлетворяет условию R и допустим, что неединичный
в ранге i коммутатор [X, ZYZ"1] сопряжен в ранге i с
некоторым словом Q. Тогда в двойном смежном классе
(ХУ Z <Г> <= G (г) найдется такое слово V, что
\V\<7^(\X\ + \Y\ + \Q\). (2)
Доказательство. Сведем сначала утверждение
к случаю, когда Y = В', где В — простое в ранге i слово
или период ранга k < i. Для этого запишем
Y = SB S на основании леммы 18.1. Меняя I в
диаграмме сопряженности слов Y и В1 с помощью
леммы 13.3, мы можем применить к ней теорему 22.4,
откуда \Y\7z£\B'\, а по лемме 25.4 \S\ < a(\Bl\ +
+ I ГI) < 21 УI. Запишем [X, ZYZ'1] L[X, ZxBlZ~x\,
где Z\ s= ZS. Допустим, что существует такое слово
Fie (ХУг^В'У, что
' IFil <6t-1(\X\ + \Bl\ + \Q\). (3)
Тогда, если обозначить F = ViS~l e (X)Z(Y}, то
171 *£ 17,1+ |£| <7l-l(\X\ + \Y\ + \Q\),
ибо \S\ <2|Fl, a \Y\ >$\B'\.
Итак, достаточно доказать (3), считая, что Y = В1.
Обозначим D = Z~XXZ. Пусть А — приведенная
кольцевая диаграмма ранга i для сопряженности слов [D, Y]
и *?, P\P2PsPi — внешний контур для А, где cp(pi) =
— ф(/>з)-1 =D, ф(/)2)= ф(^4)-1 = Y, a q — внутренний
контур, ф(д) =<?"'.
Путь р\ можно приклеить к р^ , образовав из А
диаграмму До на сфере с 3 дырами с контурами q, pi и р4,
причем вершины 0\ ж о% контуров рг и р± соединяются в
До путем р\ без самопересечений.
В процессе приведения для До (она может оказаться
неприведенной в ранге г) происходит удаление /-пар, что
может, конечно, изменить соединяющий о\ и о2 путь р\.
Однако в приведенной диаграмме Г найдется путь р без
самопересечений, соединяющий о\ и о2, такой, что ср (р) •=
- Ф (Рд = D.
294 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
По лемме 22.2 вершины о\ и о2 можно соединить в Г
таким путем (без самопересечений) s, что
\s\<\p2\ + \Pi\ + \q\<2\Y\ + \Q\. (4)
Сравнивая теперь метки путей s и р с помощью
лемм 11.3 и 24.9, приходим к выводу, что
D = q,(p) = Y 1q>(s)Y 2 = B1q)(s)B2 (5)
для некоторых целых пц, т2, h: h, так как ф(рг)^
^ф(^)_1 = 7зВ'. Если В— период первого типа, то
с помощью умножений в (5) на В добьемся еще,
чтобы \U + 12\ < пв/2.
Заметим теперь, что слово В * 2ф (s) сопряжено в
ранге i с X. Следовательно, неравенство (4) и лемма 30.1
дают либо Ui + l2\ «S 10£-1, _ либо Ui + Z2ll5l<
< £-'(1X1+2171 + \Q\y TaK KaK p|B| ^ \Y\t то в любом
случае
|Z, + Z2I |fi|<lir1(IXl + \Y\ + \Q\). (6)
Если обозначить l^sffsjB1 2, то из (4) и (6)
|Ж|<(11Г' + 2)(!Х| + |У| + |^|). (7)
В силу этого обозначения и (5) В XWB 1 = D = Z XZ.
Отсюда
' W l^Y1 x{ZYm\ (8)
Но из этой сопряженности и леммы 25.4 следует
существование такого слова U, что
ZJW_1 = X, (9)
\U\<a(\W\ + \X\)< а(11Г'+ 3) (|Х| + |У| + \Q\),
(10)
как видно из (7). Из (8) и (9) следует, что слово
ZY lU~1 перестановочно с X в ранге L
Сделаем теперь общее замечание о том, что любое
слово Р, перестановочное с X, может быть записано в ви-
де Р = X Xj, где |Xil<6|X|. Действительно, Х =
г
_ г£дтг£ 1 ^ля некот0рОГО периода ранга «S i или про-
§ 30. МНОГООБРАЗИЯ И ИХ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 295
стого в ранге i слова А. Как и в начале доказательства
леммы (там для У и Б'), имеем \Ат\ *£ JT-'IXI, \T\ < 2|Х|.
По теоремам 26.4 и 26.5 Р = ТАиТ для некоторого
и. Запишем и = km + г, где \г\ < |/ге|. Тогда
P^Xh(TAT-1)r и 174Г-Ч =2|Г| + \А\ < 6|Х|, т. е.
[X.K6IXI.
Итак, ZY^U^1 = XhXx, т. е. X^ZY™1 = Xj/7.
Обозначим Хх17 = Fr Тогда Уг е= <Х> Z <У>, а так как | Хх |<
< 6 | X |, из (10) следует, что
Wi\<6t-l(\X\ + \Y\ + \Q\),
т. е. неравенство (3), а вместе с ним и лемма,
доказаны. ■
2. Определяющие соотношения ранга i+l. Перейдем
к оценкам некоторых параметров, характеризующих
слова ИЗ £?i+l-
Лемма 30.3. Пусть А — простое в ранге i слово или
период ранга j ^ i, а некоторая степень А1 слова А
сопряжена в ранге i с некоторым значением v(X, Y) для
таких слов X, 7, что ш(Х,?)ф\ {см. (2), (3). §29).
Тогда
1 < 1/1 < lOOg-1. (И)
Доказательство. Докажем сначала, что 1/1 > 1.
i
Для этого достаточно установить, что v (X, Y) Ф 1 для
данных слов X, Y. Допустим, напротив,
[[Xd, Ydf, X~d[Xd, Yd]dXd] L 1.
По леммам 29.4 и 25.14 fXd, Yd]d ж Xd перестановочны
в ранге i, а по лемме 25.12 Xd и [Xd, Yd] перестановочны
в ранге i. Поэтому в ранге i перестановочны Xd и YdXdY~d.
Снова по лемме 25.14 получаем перестановочность Xd ж
Yd в ранге i, а по лемме 25.12 перестановочность X и У
i
в ранге i, откуда w (X, Y) = 1 вопреки предположению.
Значит, |/| 3* 1.
По лемме 18.1 слово [Xd, Yd] сопряжено в ранге i с С™,
где С — простое в ранге i слово или период ранга k ^ i.
Здесь m Ф 0, ибо иначе, как и выше, и>(Х, У) = 1. При
этом можно считать, что С = А±х, если С я А сопряжены
в ранге i. Тогда v(X, Y) сопряжено в ранге i с [Cmd,
296 ГЛ. 9. ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
ZCmdZ~l] для некоторого Z. Следовательно, существует
приведенная кольцевая диаграмма А ранга i с контурами
р и q, где t
(f(q)^A-f, р = Р1р2рзрь *р(р1) = ф(рз)~1вэС"т',
ч>(Р2)^ч>Ы~1^гстаг-1.
Склеивая pi и р~1, , получим диаграмму на сфере
с тремя дырами. После удаления /-пар к ней можно
применить лемму 25.19, так как d>100£_1. Следовательно,
Пусть X, У, Af определены, как в условии леммы 30.3.
По лемме 18.1 слово X сопряжено в ранге i со степенью
С слова С, где С — простое в ранге i слово или период
ранга <; i, причем в первом случае можно считать, что
С = А, если С я A±l сопряжены в ранге L Считаем X = Ск
после замены в условии леммы 30.3 слов X nY на
сопряженные. Аналогично У = ZYZ,~l, где У = В\ В — простое
в ранге i слово (совпадающее с А, если В сопряжено в
ранге i с А±х) или В — период ранга «?i, совпадающий
с С, если В 11 С сопряжены в ранге i (по теореме 26.4
В и С~1 не сопряжены в ранге i). При данных_ X, У, A, f
и данном классе сопряженности для ю(Х, У) слово Z
возьмем минимальной возможной длины (У при этом
можно поменять). Обозначим далее буквой W слово
минимальной длины со свойством v (X, Y) = WA W ,
а буквой Т — некоторое минимальное в ранге i слово та-
кое, что Т = W [X, Y] W. В данных обозначениях
справедлива
Лемма 30.4. Имеем \Т\ <7^l\Af\ <d\A\.
Доказательство. По лемме 25.12 слова Xd и Yd
не перестановочны в ранге i, так как иначе [X, Y] = 1 и
г
w (X, Y) = 1. Для слова [Xd, Yd] по лемме 18.1
найдется простое в ранге i слово D или период D ранга <£
такое, что [Хл, Yd] и D" сопряжены в ранге i для
некоторого s ¥= 0. По лемме 25.13 можно считать, что D совпадает
с А {с В, с С), если D сопряжено в ранге i с A±l
Из диаграммы сопряженности слов [Chd, ZBldZ"x] и Ds
можно, как и в лемме 30.3, получить диаграмму на
сфере с тремя дырами, откуда по лемме 25.20
\D'\>td\k\\C\ (а также 10*1 ^%d\l\ \B\). (12)
§ 30. МНОГООБРАЗИЯ И ИХ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 297
Легко видеть, что при замене слова Z на любое
другое из двойного смежного класса <OZ<Z?> cr G{i)
значения слов v(X, ZYZ~l) и w(X, ZYZ~X) заменяются на
сопряженные. Поэтому на основании определения слова Z,
неравенства (12) и леммы 30.2
|Z|<15£-2J£*I. (13)
i
По лемме 25.4 можно считать, что [X , ZY Z-1J =
= UDSU~\ где
\U\ <a(|Z)*| + 21Ш1С1 + 2|Z|d|B| +4|Z|),
т. е. в силу (12) и (13)
|*7|<31£-2|Z)'|. (14)
Аналогично имеем [ZYdZ~1, X~d] = VD'V~1, где
\V\<31Zr2\D'\, (15)
поскольку [У*, X~d] — циклический сдвиг слова [Xd, Yd].
По определению слова А1 и [UDdsU~l, VD^V'1]
сопряжены в ранге i. Отсюда так же, как (12), получаем
\Ai\>\d\Dt\. (16)
Кроме того, по лемме 25.4 и определению слова W
\W\ <a(M\D'\ +250^-2|£»М + U'l),
т. е. благодаря (16)
\W\ <3£-'W'| (ПМП; d-1 = ri-<g). (17)
Заметим еще, что
\[Х, Y]\ < 4|Z| + 2|С*| + 2\В1\ < 61g-2|Z)M
в силу (13) и (12). Вместе с (16) это дает
|[Х, F]l <6ir3riU'l. (18)
Отсюда и из (17)
IЛ < 2IWI + 61g-3TiUM < 7trl\Af\.
Поскольку I/! ^ 100£-1 по лемме 30.3, второе неравенство
Утверждения леммы 30.4 следует из ПМП: 700и < £2. ■
Лемма 30.5. Слово TAiJJ определяемое в § 29 для
периода А ранга i + 1, не равно в ранге i какой-либо
степени слова А.
298 ГЛ. 9, ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ
Доказательство. Воспользуемся
обозначениями леммы 30.4, где Т = TAi s. Если утверждение
леммы 30.5 неверно, то существует приведенная кольцевая
диаграмма А ранга i для сопряженности слов [X, У] и 4™,
где т¥=0, так как иначе w (X, У) = 1. По лемме 26.5 и
теореме 22.4 для А имеем
pUlsSjilml Uis=|[X, Y]\.
С другой стороны, из неравенств (11) и (18) получаем
Ul > 0,0i£U'| > 0,01£VЧ[Х, Y]\,
что противоречит предыдущему неравенству в силу ПМП.
Лемма 30.5 доказана. ■
3. Основная теорема. Вопрос о групповых тождествах,
обсуждаемый в начале § 29, решает
Теорема 30.1. Существует неабелево
многообразие групп йч без неабелевых конечных групп. Оно может
быть задано тождеством (1), где слово w определено
равенством (3) § 29.
Доказательство. Проверим, что соотношение
w(x, J/)=1 является тождеством в группе G(°°).
Допустим, что w(X, Y)¥= 1 в G(°°) для некоторых слов X и У.
Пусть 4 — слово минимальной длины такое,j^to
некоторая его степень сопряжена в G(°°) с v(X, Y). По
лемме 18.1 можно считать, что А — период некоторого
ранга i или А — простое в любом ранге слово. Оценки (11),
(12), (13), (16), леммы 30.3 и 30.4 показывают, что X
и У можно изменить так, что
i;(X,y)<4d(2|Xd| + 2|Fd| + 4|Z|)<i-n|4|.
Поскольку слово v(X, У) сопряжено в некотором
ранге с А', то по теореме 13.2 существует приведенная
диаграмма А для этой сопряженности. По лемме 22.1
некоторый разрез превращает А в дисковую диаграмму,
периметр которой меньше (1 + 2у) уИ + |/|]<(1 — а) »
по лемме 30.3. Значит, ее ранг меньше 141 по лемме 23.16.
Но тогда обязательно А — период ранга 141 по
определению множества 8В\а\, а по определению слов RA } полу-
чается, что w (X, Y) = 1 вопреки выбору слов X я Y.
Таким образом, группа G(°°) принадлежит
многообразию 5ЭТ. На самом деле, она является свободной группой
§ 30. МНОГООБРАЗИЯ И ИХ КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 299
в 2ч с базисом Щ,, что доказывается с использованием
теорем 6.4 и 4.5 точно так же, как теорема 19.7, поскольку
все определяющие слова (5) § 29 представляют собой, как
видно из их задания, некоторые значения слова w(x, у).
Если |St| > 1, то группа G(°°) неабелева, так как ина-
i
че для некоторого i [«i, a2] = ^ что противоречит
лемме 23.16. Вместе с леммой 29.1 это доказывает
теорему. ■
Поскольку лемма 29.4 доказана для всех i, к группе
G(°°), т. е. к SJJ-свободным группам, можно применять
результаты § 26. В частности, они не имеют кручения
по теореме 26.4, а централизаторы неединичных
элементов в этих группах циюшчны по теореме 26.5. Явные
ограничения на длины слов, данные в леммах 30.3—30.5,
позволяют точно так же, как в теоремах 28.4 и 28.5,
обосновать алгоритмы распознавания равенства и
сопряженности слов в Яч-свободных группах.
Несомненно, существуют неабелевы многообразия
конечных периодов, в которых, как и в 2ч, все конечные
группы абелевы, и их построение должно проводиться
с не очень значительными изменениями в изложении
§ 29-30.
ГЛАВА 10
РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
Если для некоторой нормальной подгруппы N
группы Я факторгруппа H/N изоморфна данной группе G,
то Я называется расширением группы G с помощью
нормальной подгруппы Я. Такое расширение назовем абеле-
вым, если N -*- абелева подгруппа. В случае, когда N
содержится в центре группы Я, назовем расширение
центральным.
В гл. 6, 8 п 9 предметом изучения были группы с ди-
аграммно асферическими копредставлениями.
Асферичность градуированного копредставления группы G
позволяет описать строение максимальных абелевых и
центральных расширений группы G и получить ряд
следствий для других расширений, к которым можно прийти,
налагая дополнительные соотношения на эти
максимальные расширения.
§ 31. Центральные расширения
1. Соотношения из взаимного коммутанта [F,iV].
Начнем с определения.
Взаимным коммутантом [U, V] двух подгрупп U и V
произвольной группы F называется подгруппа,
порожденная всеми коммутаторами элементов из U с элементами
из У, т. е.
[U, У] = <[и, v]\aeU,veV>.
Легко видеть, что [U, У] — нормальная подгруппа, если
таковыми являются U и У. Понятно также, что
факторгруппа N/[F, N] содержится в центре группы FJ[F, N].
Наоборот, если L, N — нормальные в F подгруппы, Lcz N
и подгруппа NIL группы F/L центральна, то [F, N] с: L.
Пусть группа G задана копредставлением
G = <*ПД = 1, R е Я>, (1)
§ 31. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
301
т. е. задан гомоморфизм свободной группы F = F(9t) на
G с ядром N. Тогда ядром копредставления ф: F ->• Я,
Я=<ЯП[я, Д]=1; яе«, Де#>, (2J
является подгруппа [F, N]cz F. Действительно, [a, R] <=
е [F, N], а с другой стороны, AVKcr if) содержится в
центре группы Я, как видно из соотношений (2); значит,
[F, N] = Кег г|). Отсюда видно, что если некоторое
центральное расширение К группы G с помощью подгруппы
L имеет множество порождающих 9t, которые
удовлетворяют соотношениям (1) в факторгруппе K/L, то К
представляется в виде факторгруппы группы Я. В этом
смысле Я является свободным центральным расширением
группы G, заданной копредставлением (1). Поскольку
Я = F/[F, N] и FfN = G, важно выяснить устройство ядра
[F, N] и центральной подгруппы N/[F, N] в свободном
центральном расширении Я.
Рассматривая произвольную ориентированную
диаграмму А над копредставлением (1), обозначим o+(R)
число клеток в А, меткой контура которых является
слово R ^ 31 или его циклический сдвиг. Аналогично
О-(Я) — число клеток в Л с меткой контура Я-1.
Алгебраическим числом R-клеток в А (т. е. клеток с меткой
контура R±l) назовем здесь разпость од(Я)= a+{R)— o~{R).
Лемма 31.1. Если для всякого йеЙ
алгебраическое число R-клеток дисковой диаграммы А над
копредставлением (1) равно 0, то метка контура р этой
диаграммы принадлежит в F взаимному коммутанту [F, N].
Доказательство. Если провести достаточное
число разрезов (и вспомогательных 0-измелъчений), то
диаграмму А можно превратить в букет диаграмм Ai,
А2, ..., каждая из которых содержит не более одной
52-клетки и имеет контур вида skqhtk, где ср (sk) = cp (th )
в F, а ф(дл) = Я±1, где йе|, или ф(дл)=1 в F, причем
все Aft содержат только одну общую вершину о, где
о = (sk)-=■(**)+ (рис 84).
Поскольку разрезы не меняют метки ц>(р)= cp(si?i£i)X
X ф^гдг^г) • • • в группе F, имеем
Ф (р) = [S^ST1) . • • (SmR%S^), (3)
где й^еЙ и S^=(p(sk). Каждый из сомножителей
в (3) принадлежит N. Значит, их можно переставлять
302 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
между собой в F/[F, N]. В силу условия леммы
достаточно поэтому доказать, что SRS'lTR-lT-1 s [F, N] для
всякого йей?. Но это очевидно, так как SRS~l совпадает
с Л в группе F/[F, N]. ■
Считаем далее копредставление (1) градуированным.
N{ означает нормальное замыкание в F множества %;
со
N= U Ni.
г=1
Лемма 31.2, Пусть дано асферическое
копредставление (1) группы G = F/N. Тогда:
1) для всякого йеЗ? и произвольной сферической
диаграммы А ранга i над (1) Oa(R)—0;
2) если слово X представляет в F элемент из [F, Nt],
то сгд(-й) = 0 для всякого R ^ 0£ и всякой дисковой диаг*
раммы А ранга i, метка контура которой графически
равна X.
Доказательство. Утверждения 1) и 2)
докажем, проводя совместную индукцию по рангу i.
1) При доказательстве этого утверждения проведем
индукцию по типу т(А). Утверждение очевидно, если в А
нет 52-клеток. В противном случае, как следует из
определения асферичности, в А найдется /-пара (сократимых)
клеток И{ и Пг. После 0-измельчения получим копии Hi
и Па этих клеток и поддиаграмму Г, их содержащую,
такую, что метка контура дТ содержится в [F, Ns-i], ибо
она равна в F слову XsiJ^fi^^-1, где R{ е %_i <=
ciVj-i. К слову X можно по предположению индукции
применить утверждение 2) леммы. Поэтому 0 ■ {R') = 0
при всяком й'ей для поддиаграммы Г', которая
вклеивается вместо Г при удалении /-пары. После этого имеем
т(А') <т(А), где А' получается из А удалением данной
/-пары. По предположению индукции 0д' (R) — 0 для
всякого flef Поскольку алгебраическое число #-клеток
§ 31. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 303
в А не менялось при вырезании поддиаграммы Г и
вклеивании Г', первое утверждение доказано.
2) Тождественное в F соотношение
[W, UV\ = [W, U][UWU-\ UVU~l]
показывает, что слово X может быть записано в F в виде
Л [Уй, ShRf^Sb1], где 5ft, Yke=F, i?ift<=$i. Посколь
ку здесь каждый из коммутаторов есть
произведение двух слов, сопряженных с Rik и RT^, при ret.
метрической интерпретации равенства Х = 1 в G (см.
п. 11.3) получается дисковая диаграмма Ао с нулевыми
о"д {R) для каждого ДеЙ. Если теперь А — другая
дисковая диаграмма с контуром, имеющим метку X, то А
вместе с зеркальной копией А0 диаграммы Ао дают
сферическую диаграмму А. В силу утверждения 1) a-^(h)-
для любого йеЙ. Значит, и
0Д (R) = 0К (R) - 0дО (R) = 0S (R) + сдо (R) = 0. и
Теорема 31.1. Пусть градуированное
копредставление (1) группы G —F/N является асферическим. Тогда:
1) следующие условия для слова Xe]f эквивалентны:
a) Ie[F, N]: б) в записи Jj[ SkRi^Sh \ представляющей
к
слово X в группе F, сумма показателей при R равна
нулю для каждого R е.Й?;
2) группа N = N/[F, N] является свободной абелевой
с базисом [R}r<=&, где R = R[F, N].
Доказательство. 1) Из б) следует а) по
лемме 31.1. Для объяснения обратной импликации нужно по
записи IX 5fti?jft15ft~1 стандартным образом построить
k
дисковую диаграмму равенства (см. рис. 28) и применить
к ней утверждение 2) леммы 31.2.
2) Группа N порождается всеми ДеЙ вместе с
сопряженными им в F_ словами. Но R и SRS~X имеют оди-
наковые_образы в N, ибо SRS~lR~l <= [F, N]. Значит,
элементы R действительно порождают абелеву группу N.
Для завершения доказательства в силу теоремы 6.5
достаточно убедиться, что для различных Ri , . . ., Ri. <= $,
из равенства R^ 1 .'. . Ri£ = 1 в N следуют равенства тх =
— ... = mh = 0. Но действительно, получается равенство
304 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
-A?1 ...<' = Ig [F, N]. Отсюда W = R?1 ... Д^Х-1-
1 ft In.
= 1 в F, и остается применить утверждение 1) теоремы к
- X и к W. ■
Следствие 31.1. Пусть группа G = F/N задана
градуированным копредставлением (1) с условием R.
Тогда группа N = N/ [F, N] является свободной абелевой
группой с базисом |Я)де^, где R = R[F, N].
Доказательство. Утверждение вытекает из
теоремы 31.1, ибо по следствию 25.1 копредставление с
условиями Rl — R7 асферично. ■
2. Некоторые группы без кручения. Теорема 31.1 и ее
следствие применяются к группам, уже изученным в
предыдущих главах.
Теорема 31.2. Пусть п — достаточно большое
нечетное число (например, га>1010). Тогда любая
свободная группа Н многообразия, заданного тождеством хпу —
= ухп, является группой без кручения, а ее вербальная
подгруппа Я", порожденная п-ми степенями элементов,
является свободной абелевой группой.
Доказательство. Пусть F = F(51) — абсолютно
свободная группа, так что Я = F/V, где вербальная
подгруппа V задана тождеством хпух~пу~х = 1. Тогда V =
= W, Щ, где N — вербальная в F подгруппа, отвечающая
тождеству хп = 1, т. е. F/N = В (51, п)—свободная берн-
сайдова группа по теореме 19.7. По лемме 18.2
градуированное копредставление группы В (51, п), определенное
в п. 18.1, является асферическим. По теореме 3.7 Я" ^
= N/ [F, N]. Поэтому Яп — свободная абелева группа по
теореме 31.1.
Допустим теперь, что 1'= 1 в группе Я, X Ф 1 и I >
> 0. Заметим, что X" е Яп и в силу доказанного выше
X" = 1, так как (Х")! = 1, а свободная абелева группа не
имеет кручения. По той же причине X Ф Я". Поскольку
Н/Нп = В (51, п), слово X сопряжено в Н/Нп со степенью
Ah периода А какого-то ранга в силу теоремы 19.4.
Значит, заменяя X сопряженным, можем считать, что X =
= AkZ в группе Я, где Z е Я71. Поскольку Z —
центральный элемент в Я, имеем
i = Xn = (AhZ)n={An)hZn (4)
в Я. Теперь нужно вспомнить (см. п. 18.1), что слово
R = Ап входит в список определяющих слов 52. Значит,
по теореме 31.1 R — базисный элемент в Я". Поэтому из
§31. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
305
теоремы 6.5 и равенства Rh = Z " (см. (4)) следует, что
k делится на га. Но тогда X = AhZ e Я" вопреки
предположению. ■
Добавим, что если |5t| > 1, то по теореме 19.3 и
теореме 31.1 подгруппа Н" является свободной абелевой
группой с бесконечным базисом, Это означает, что класс
центральных расширений свободной бернсайдовой
группы В (те, га) = В (51, п) (где гаг = iStl > 1) весьма богат.
Заметим еще, что при изучении центральных расширений
произвольной группы G используется обычно
мультипликатор Шура М группы G = FJN, который вычисляется
по формуле М = (N [\[F, F])/[F, N]. (Он не зависит от
выбора копредставления (1) группы G и совпадает со
второй группой гомологии группы G с целыми
коэффициентами.) При выводе следствия 31.2 используется тот
факт, что подгруппы свободных абелевых групп также
являются свободными абелевыми ([62]).
Следствие 31.2. Мультипликатор Шура свободной
тп-порожденной группы В (гаг, га) является при гаг > 1 и
достаточно большом нечетном п свободной абелевой
группой счетного ранга.
Доказательство. Представим В (гаг, га) в виде
F/N, где F — гаг-порожденная свободная группа. Тогда
М = (N П [F, F])/[F, N] с NJ [F, N] = N.
По теореме 31.2 N, а_значит, и М суть свободные абеле-
вы группы. Группа N имеет бесконечный базис, как
замечено выше. То же справедливо и для М, поскольку по
теоремам 3.6 и 3.7
N/M ^ NJN П [F, F]^N [F, F]/ [F, F] с F/ [F, F],
т. е. факторгруппа N/M так же, как и гаг-порожденная
группа FJ [F, F], имеет конечное число порождающих
(например, по теоремам 7.2 и 7.4). ■ .
Известный вопрос о группах без кручения был решен
С. И. Адяном [4], построившим неабелеву группу без
кручения, в которой неединичное пересечение имеют любые
Две неединичные подгруппы. Легко показать, что среди
абелевых групп таким свойством обладают в точности
все подгруппы аддитивной группы рациональных
чисел Q. Первые неабелевы группы такого сорта были
найдены в [4], [5] как центральные расширения группы
В (гаг, га), где гаг > 2, га > 665, га нечетно.
"О А. ю. Ольшанский
306 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
Теорема 31.3. Существует неабелева группа без
кручения, любые неединичные подгруппы которой имеют
неединичное пересечение.
Доказательство. Пусть II есть т-порожденная
свободная группа в многообразии с тождеством хпу = ухп,
где яг > 1, а п — достаточно большое нечетное число. Как
установлено в доказательстве теоремы 31.2, абелева
группа Нп свободно порождается элементами -Яд = А\, где
Ak пробегает множество периодов всевозможных рангов.
Поскольку Rh лежат, в центре группы Н, подгруппа L,
составленная из всех произведений JJ[ Ru , где 2j sh — О,
k h
является нормальной в II. Очевидно также, что в
факторгруппе А (яг, n) = H/L смежный класс R\L = R^L —
= ... = С имеет бесконечный порядок. Таким образом,
группа А (яг, п) является расширением группы В (яг, п)
с помощью бесконечной циклической центральной
подгруппы <С>. Далее, если X — элемент конечного порядка
в А (яг, п) и X Ф 1, то, как и в доказательстве
теоремы 31.2 (см. (4)), выкладка
1 = Xn=(AhCl)n = (An)hCtn
приводит к противоречию, ибо к не делится на п, а Ап =
= С в А (яг, п). Наконец, любая неединичпая
подгруппа К из А (яг, п) имеет неединичное пересечение с <С>,
так как К без кручения и из А (яг, ге)/<С> ^ В (яг, п)
следует, что Хп е ,<С>\{1) для всякого неединичного
элемента XeZ. Остается учесть, что в бесконечной
циклической группе <С> неединично пересечение любых двух
неединичных подгрупп. ■
Построенный пример можно усилить, потребовав,
чтобы все собственные подгруппы были циклическими;
справедлива
Теорема 31.4. Существует неабелева группа, все
собственные подгруппы которой являются бесконечными
циклическими, а пересечение любых двух из них отлично
от единицы.
Доказательство. Копредставление группы
G = G(°°) из п. 27.1 удовлетворяет условию R по
лемме 27.2. Пусть при этом G = F/N. Тогда по
следствию 31.1 группа N = N/[F, N] является свободной абе-
левой с базисом {#)йе^> где R=R[F, N]. Поскольку
группа G является периодической по теореме 26.2, а каж-
§31. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 307
дый ее элемент по теореме 26.4 сопряжен в G со степенью
периода некоторого ранга i, доказательство проводится,
как и в теореме 31.3 (с заменой п на р = п0). ■
Для сравнения напомним теорему 28.3, согласно
которой существуют пеабелевы группы с бесконечными
циклическими собственными подгруппами, в которых,
напротив, любые две различные максимальные подгруппы
имеют единичное пересечение.
При переходе от групп G(°°) к их центральным
расширениям, построенным в теоремах 31.3 и 31.4,
соотношения первого типа Ап = 1 заменяются на соотношения
Ап = Вп или (А = В ) для всех периодов любых
рангов.
3. Счетная нетопологизируемая группа. Группа G,
которая наделена структурой топологического пространства,
называется топологической (непрерывной), если
групповые операции непрерывны, т. е. непрерывны отображения
х^-ух и (х,у)>->-ху. (Здесь нужно пояснить, что
открытыми в G X G считаются все те множества, которые
являются объединениями подмножеств вида U X V, где U
и V открыты в G.)
Отсылая читателя к фундаментальной монографии
[101], мы остановимся здесь лишь на одной задаче о
непрерывных группах, которая решается с помощью
конструкций центральных расширений. Речь пойдет о
поставленном А. А, Марковым в 1946 г. в статье [72] вопросе
о существовании а) бесконечных и б) счетных нетополо-
гизируемых групп. Имеются в виду отделимые
топологии (когда для любых различных точек а и Ъ найдется
окрестность точки а, не содержащая Ъ). Спрашивается,
всякую ли бесконечную (счетную) группу G можно
превратить в топологическую группу путем введения на ней
некоторой отделимой недискретной топологии? (Понятно,
что всякая группа является топологической группой с
дискретной топологией.) В несчетном случае отрицательный
ответ был приведен в работе Шелаха [250].
Теорема 31.5. Пусть ЗВ — множество периодов
всех рангов, определенных в § 18 для произвольного
алфавита St, где Ш\ = т> {, а п — достаточно большое
нечетное число. Тогда бесконечная группа К, заданная
всеми соотношениями вида- Ап = 1 и Ап = В11, где А, В <=
s 85, не допускает недискретных отделимых топологий,
уна является центральным расширением группы G =
308 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
«= В (гаг, га) с помощью циклической центральной
подгруппы порядка п.
Доказательство. Определенная в
доказательстве теоремы 31.3 группа А (гаг, п) является расширением
группы G = B(m, n) с помощью бесконечной
циклической центральной подгруппы <С>. Пусть К=А(т, п)КСпУ.
Как видно из определения группы А (гаг, п),
группа К задается именно теми определяющими
соотношениями, которые указаны в приведенной выше
формулировке. Группа К бесконечна по теореме 19.1 и является
расширением группы G с помощью циклической группы
<С>/<С">, которую мы обозначим <Z)>, т. е. D — образ
элемента С при каноническом гомоморфизме <С> ->•
-> <С>/<СИ>.
В теореме 31.3 мы проверили, что если ХеА(т, п)
и 1е (С), то Хп<£(.СпУ. Это означает, что в группе К
для всякого XeZ\(fl> выполняется Хп е <D>\{0.
Отсюда следует, что множество всех неединичных элементов
группы К есть объединение конечного числа множеств
решений уравнений Хп = а (где правая часть а
принимает га—1 неединичных значений из <Z)>) и конечного
множества <D>\{1}.
Допустим теперь, что на К введена некоторая
отделимая топология. В такой топологии каждая точка
является замкнутым множеством. Из непрерывности
умножения следует далее, что если Ъ Ф а и* Х0 = Ъ,
то Хп Ф а для всех X из некоторой окрестности точки Х0.
Поэтому совокупность всех точек X таких, что Хп Ф а,
открыта в it, а значит, множество решений любого
уравнения Хп = а замкнуто в К. Из предыдущего абзаца
следует теперь, что дополнение единицы замкнуто в К как
объединение конечного числа замкнутых множеств.
Следовательно, {1} — открытое множество в К, а значит, от- .
крыто и всякое одноточечное подмножество в К,
поскольку сдвиги на элементы из К суть непрерывные
отображения К ->- К. Отсюда следует, что рассматриваемая
топология на К дискретна. ■
Отметим, что, налагая дополнительные соотношения
на свободную группу с континуальным базисом из
многообразия теоремы 31.2 (с тождеством хпу = ухп),
И. Н. Зябрев и Е. А. Резниченко [46] получили пример
(линейно) связной топологической группы, в некоторой
окрестпостп единицы которой выполнено тождество
(а именно хп = 1), не справедливое во всей группе. Тем
§ 31. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 309
самым получен ответ на вопрос В. П. Платонова ([60],
2.48), поставленный в связи с работой Мычельского [216].
Однако здесь мы не останавливаемся на доказательстве,
приводящем к задачам о свободных топологических
группах поскольку оно труднее и в большем объеме
использует топологические соображения, чем доказательство
теоремы 31.5.
4. Проблема конечного базиса тождеств. В 1935 г. в
диссертации Б. Неймана [217], т. е. уже в первой работе,
посвященной многообразиям групп, был поставлен
вопрос: всякая ли система групповых тождеств равносильна
конечной системе? Он долгое время оставался открытым,
пока не был отрицательно решен разными методами (и с
минимальными временными интервалами) в работах [86],
[2], [259]. Укажем еще один пример, который легко
обосновывается с помощью центрального расширения группы
В (St, п), где St = {аи а2, . . .}. Для простого р > 1010
рассмотрим бесконечную систему тождеств
[хи Х2]р = 1, ([хи Х2] [х3, Xi])p =
= 1, ..., ([хи х2]... [x2h-h x2h\y = 1, ... (5)
Лемма 31.3. При к > 2 слово [ah а2]. . . [a2k-i, a2k]
не равно в группе В (St, р) какому-либо значению слов
вида ([хи х2]... [х2к-з, х2к-2])т, m<=Z.
Доказательство. В п. 6.1 были указаны такие
группы G2h, в коммутантах которых есть произведения
вида [gu g2].. . [g2k-i, g2h], не представимые в виде
значений слов ([хи х2]... [x2k-S, x2k-2])m в G2h. Заметим еще,
что в G2h выполняется тождество хр = 1. Действительно,
каждая матрица из G2k имеет вид Е + А, где Е —
единичная матрица и
0 Ф / I
4=оо ч> .
о о о I
Поскольку А3 = 0, а р > 2, (Е + Af = Е + рА + (* )л2 =
==£', ибо биномиальные коэффициенты при А я А2
Делятся на характеристику поля. Поэтому по
теореме 6.4 существует гомоморфизм а: В (St, p)-+ G2h такой,
что <x,{at) — g( при £=1, ..., 2к, так что указапное в
лемме свойстео группы В (St, p) следует из аналогичных
свойств групп G2h. ■
310 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
По теореме 19.4 слово [аи а2]. . . [ягл-ь a2ft] сопряжено
в В (St, р) со степенью (очевидно, нетривиальной)
некоторого периода. Поэтому по лемме 31.3 существует
период С некоторого ранга такой, что С" — значение слова
[хи х2]. . . [x2h-u х2н] в В (St, p) (1 < I < р) и С не
является в В (St, р) значением какого-либо слова ([хи х2]. . .
Для копредставления FJN группы В (St, p) группа
N/[F, N] является свободной абелевой группой по
теореме 31.2, причем по теореме 31.1 базисом служат
элементы Ар = Av [F, N], где А — периоды всевозможных
рангов. Обозначим L/ [F, N] подгруппу, порожденную в N
2
всеми Av для А Ф С, а также словом С9 . Очевидно (см.
также теорему 5.8), что NIL — группа порядка р, а
группа К = FJL является таким центральным расширением
группы В (St, р), что Ар = 1 в К для всех периодов,
кроме С, а Ср Ф 1 и Ср3 = 1 в К.
1 Лемма 31.4, В группе К выполняется тождество
([xi, х2]... [x2ks, x2h-2])p = l и не выполняется тождество
{[х\, х2].. .[х2к-и x2h])p = 1.
Доказательство, Пусть Хь ..., X2ft-2 <= К.
Если W^[Xh Х2]...[Х2»-з, X2k-2]eN/L, то W* = l в К,
ибо \N/L\=p. В противном случае на основании
теоремы 19.4 считаем, что в группе В (St, p) W = As ДЪя
некоторого периода A, i<s<p. Из простоты р следует, что
А = Wm в В (91, р) для некоторого тп, а значит, А Ф С по
определению периода С. Поэтому Av = \ ъ К. Поскольку
W = A'Z в группе К, где Zv = 1 и Z — центральный
элемент, то Wp = i ъ К. Первое утверждение доказано.
По выбору С слово С1 равно в В (St, p) слову вида
{Хь Х2]. . . [X2ft_i, X2ft]. Значит, в группе К
[X,, Х2].. . [Х2„_,, X2ft] = C'Z, Z s NIL.
Отсюда ([Хи Х2]... [X2k_!, X2ft])" = С'^1вХ, ибо 1 <
< I < p, что доказывает второе утверждение леммы. ■
Теорема 31.6. Система тождеств (5)
неравносильна никакой конечной системе групповых тождеств.
Доказательство. Согласно следствию 6.2
достаточно показать, что при к &* 2 к-е тождество системы (5)
не следует из всех предыдущих. Все тождества [х\, х2]р =
= 1, .. ., ([хи х2\. .. [х2к-з, х2к-2])р = 1 следуют из
последнего. (Нужно вместо части переменных подставить еди-
§ 31. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
311
ницы.) Поэтому достаточно объяснить, почему из
(к— 1)-го тождества не следует к-е тождество
системы (5). Но это свойство вытекает из леммы 31,4. ■
Из доказательства теоремы 31.6 видно, что
«бесконечно базируемые» многообразия содержатся уже
внутри многообразия, заданного тождествамихр = 1 и [хр, у] —
= 1. Существенно бесконечные системы групповых
тождеств от двух переменных можно получить путем замены
переменных х{ в (5) на любые различные элементы
базиса коммутанта [F2, F2\ где F2 = F (сц, а2).
5. Другие примеры. Дополнительная факторизация
группы А (/в, п) впервые была использована С. И. Адя-
ном применительно к одной задаче о силовских
подгруппах. Силовской р-подгруппой произвольной (а не только
конечной) группы Я называется такая /^-подгруппа Р с: Я,
которая не содержится в больших /ьподгруппах
группы Я. Из теоремы 5.5 легко следует, что если силовская
р-подгруппа Р содержится в центре локально конечной
группы Я, то Я = PXQ для некоторой подгруппы Q.
(Указание. В качестве Q взять множество всех
элементов, порядки которых не делятся на р.) Верно ли
аналогичное утверждение для произвольных периодических
групп? Приведем здесь некоторое обобщение
контрпримера из [5], где рассмотрен случай р = 2.
Теорема 31.7. Для всякого простого р можно
указать группу К конечного периода, силовская р-подгруп-
па Р которой центральна, но не является прямым
множителем группы К.
Доказательство. Пусть п — достаточно
большое нечетное число, не делящееся на р. Пусть Я —
свободная группа с двумя порождающими в многообразии,
заданном тождеством хпу = ухп. Из теоремы 31.2 и
следствия 31.2 вытекает, что Нп — свободная абелева группа
с бесконечным базисом, ее можно гомоморфно
отобразить, например, на прямое произведение Р трех
циклических групп порядка р, т. е. Hn/L s* P для некоторой
подгруппы L (нормальной в Я, поскольку Нп — центральная
подгруппа). Положим K = H/L. Тогда К/Р ^В(2, п),
а значит, Р — силовская ^-подгруппа в К. Если бы К =
= PXQ, то существовал бы гомоморфизм проецирования
группы К на Р. Но такой гомоморфизм невозможен,
поскольку К — 2-порожденная группа, а группа Р не
может быть порождена двумя элементами, н
312 гл. to. расширения асферических групп
Пример из теоремы 31.4 подчиняется более жестким
условиям, чем группы А(т, га), и может быть
использован для решения одного вопроса о решетках подгрупп.
Так, в [238] ставился вопрос о существовании
бесконечных групп с циклическими собственными подгруппами
периода р2 (где р — некоторое простое число), причем
любые две неединичные подгруппы имеют неединичное
пересечение. (Задача связана с изучением М-групп; см. § 28.)
Теорема 31.8. Для всякого достаточно большого
простого числа р и любого целого к 7* 0 можно указать
такое расширение К группы G{°°) периода р из
теоремы' 28.1 с помощью центральной циклической
подгруппы D порядка ph, что любая подгруппа группы К цик-
лична {кроме К) и либо содержит D, либо содержится
в D. В частности, К является М-группой.
Доказательство. Обозпачим буквой S группу,
построенную в теореме 31.4. В S есть центральная
бесконечная циклическая подгруппа <С> и 5/<С> = G(°°).
Положим К — S/(fi ). Предположим, что пекоторая
подгруппа Т группы К не содержится в D = (C}/{C ).
В силу простоты числа р и теоремы 26.4 можно считать,
что в подгруппе TD содержится период А какого-то
ранга i, использованный при построении группы G^p°). (При
этом Т заменяется сопряженной подгруппой.) Запишем
А = А\А2, где А{ <= Т, A2^D, т. е. А2 = С1. Напомним
еще, что Ар = С по определению групп S и К. Значит,
4?С'р е= С. Отсюда С*-1 е Т. Кроме того, Cpk = 1 е= Т.
В силу взаимной простоты чисел
1р — 1 и У имеем С «= Т, т. е. D <=
<= Т, что и требовалось. ■
Из теорем 28.1 и 2.3 следует,
что решетка подгрупп группы К
устроена, как показано на рис. 85.
Непосредственно проверяется, что
все решетки такого сорта моду-
лярны. Группы с такими
решетками подгрупп использованы в
[242] для описания произвольных
М-групп.
В заключение параграфа
укажем еще одно применение цент-
асферических групп. В 1940 г.
понятие маргинальной подгруп-
Рис, 85
ральных
Ф. Холл
расширении
[173] ввел '
§ 32. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ
313
пы. Для произвольного группового слова v — v(x{, ...
..., xk) элемент g группы G называется маргинальным
для v, если для любых gu ..., gh и при любом i < к
верны равенства
v(gi, ■■■, gu ■■ ., gk)= v(gu ..., gig, . . ., gk) =
= i>(gi, •••, ggi, -.., gh).
Легко видеть, что множество всех и-маргинальных
элементов является (автоморфно допустимой) подгруппой
v*(G) в G. Например, для v = [xu х2] подгруппа v*(G) —
центр группы G. Легко показать, что центр конечно
порожденной группы имеет конечный индекс в G, если
коммутант этой группы конечен. Следующий вопрос был
поставлен Ф. Холлом (см., например, [258] и [60], 2.45в):
всегда ли, когда для некоторого слова v вербальная
подгруппа у (Я) нётеровой группы Н конечна, маргинальная
подгруппа v* (Я) имеет в II конечный индекс? Эта задача
имеет положительное решение для «внешних
коммутаторных» слов v и любой группы Н [60], а также для
любого слова v и линейной группы Я [74].
Теорема 31.9. Группа К из теоремы 31.8
(например, при к = 1) и слово хр дают контрпример к
сформулированному выше вопросу Ф. Холла.
Доказательство. Группа К нётерова, как
видно из теоремы 31.8 (см. также рис. 85). Вербальная
подгруппа, отвечающая слову v = хр, конечна в К, ибо хр е
s D для всякого Хе£ Выберем теперь произвольный
элемент Y из маргинальной подгруппы v* (К). Тогда
1 = 1Р =(1 • Y)p = Yp по определению маргинальной
подгруппы. Поскольку по теореме 31.8 в К имеется лишь
одна подгруппа простого порядка, делаем вывод, что Y е
еД Следовательно, v*(K)czD. Теперь вспоминаем, что
KJD = G(oo)—бесконечная группа по теореме 28.1.
Значит, v* (К) имеет в К бесконечный индекс, и теорема
доказана.
§ 32. Абелевы расширения
и зависимости между соотношениями
1. Максимальное абелево расширение. Если группа G
имеет копредставлепие
G= <*11Д = 1; Йе^> (1)
т. е. G = FJN, где N — ядро гомоморфизма F -*• G, то
314 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
ядром копредставления
Я = <«Н [XRX~\ Я'] = 1; R, R' е 91, X е F> (2)
является коммутант [N, N] подгруппы N. Группа Я =
= F/[N, N] является максимальным абелевым
расширением группы (1), т. е. максимальным ее расширением с
помощью абелевой нормальной подгруппы (в том же
смысле, в каком F/ [F, N] — максимальное центральное
расширение группы G; см. п. 31.1). Здесь мы выясним строение
так называемого модуля соотношений М = N/ [N, N] как
Cr-модуля в случае асферического градуированного
копредставления (1) и обсудим понятия «геометрической»
и «алгебраической» зависимости между соотношениями,
используя преобразования Пайфер (точнее, некоторое их
обобщение на градуированный случай).
2. Геометрические зависимости. Пусть задано
некоторое (градуированное) копредставление (1) группы G.
Под сферической зависимостью между соотношениями
группы G будем понимать всякую сферическую
диаграмму над (1). Очень близким является понятие дисковой
зависимости— это дисковая диаграмма над (1), метка
контура которой равна единице в свободной группе F — F($H).
Если данные градуированные диаграммы являются
приведенными, то будем говорить о приведенных зависимостях.
Пусть А — дисковая зависимость. Тогда, склеивая
последовательно соседние ребра ее контура со взаиНшо
обратными метками (возможно, еще проводя
дополнительное О-измельчение), мы можем получить из А
сферическую зависимость Д0. (Вообще говоря, такая склейка
неоднозначна, как и процесс сокращения в F.)
Лемма 32.1. Дисковая зависимость А является
приведенной тогда и только тогда, когда является
приведенной полученная из нее сферическая зависимость До.
Доказательство. Очевидно, что пара
сократимых клеток из А (/-пара) сохранится и в До- Допустим,
что, наоборот, /-пара найдется в Д0, и установим
существование /-пары в А с помощью рассуждения,
примененного уже при доказательстве теоремы 13.5.
По определению /-пары после некоторого О-измельче-
ния в Д0 можно найти две клетки П] и П2 ранга / с
вершинами 0\ и 02 на них, которые соединяются в А0 путем
3-1
без самопересечений t таким, что Ф {t) = 1, а метки
контуров р\ и р2 клеток П] и Пг взаимно обратны в F
(причем (pi)- = oh (/?2)- = о2).
§ 32. ЛВЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ
315
Обозначим буквой D образ границы ЗД в До. В силу
связности диаграммы Д и ее границы множество D
связно и односвязно в До, т. е. составляющие его стороны
образуют дерево в А0 (рис. 86).
Если путь t не пересекает D, то очевидно, что с его
помощью клетки П] и П2 образуют /-пару и в Д (точнее,
в О-измельчении диаграммы Д).
Поэтому допустим далее, что t пересекается
с D. Дополнительное измельчение
позволяет считать, что D содержится в
диске Е, в который входят лишь 0-клет-
ки. Но тогда с помощью 0-измельче-
ния и изменения пути t (этот процесс
подробно описан в § 13 — см. рис. 43)
можно последовательно уменьшать
число участков пути t, содержащихся Рис. 86
в Е. При этом сохраняется метка
пути t в ранге 0, ибо ?-(Е) = 0. В итоге путь t можно
заменить на гомотопный ему путь t' без самопересечений та-
3-1
кой, что <p(t') = (p(t), причем t' не имеет с D общих
точек. Этот случай уже рассмотрен. ■
Выберем произвольное определяющее слово Й£Й.
. о
R может быть истинной степенью в F, т. е. S = R и
к> 1. В любом случае можно выбрать такое слово S,
некоторая степень S которого равна Я в группе F и
которое уже не является истинной степенью в F. Слово S
называется корнем из Я.
Как нетрудно понять, слово 5, так же как и
показатель nR определены в F однозначно. Централизатор CR
элемента Я в свободной группе F совпадает с
циклической подгруппой <5>.
Для изучения геометрических зависимостей введем
здесь следующую эквивалентность между клетками. Две
Я-клетки IIi и П2 сферической или дисковой диаграммы
А над (1) назовем эквивалентными, если существуют
такие вершины oi и ог на их контурах р\ и рч, что при ус-
0 +1 °
ловии (pi)- = o\, (P2)- = 04 имеем ф (рх) = Я-- , ср (р2) =
о
= Л±1,ф(*)еЛ'Св, где t- = ou t+ = о2. (Здесь N — ядро
копредставления (1).) Заметим, что выполнимость
последнего условия не'зависит от выбра пути t в силу
односвязности А и. леммы 11.3. В том случае, когда
316 гл. ю. Расширения асферических групп
R = S , выбор вершины 0\ (о2) может быть
существенно разным на dlli (на ЗГЬ). Но если, скажем, о\ я о1Т-
две такие вершины на Щ, то метка соединяющего их
подпути в dlli лежит в <5> = Сп. Поэтому условие cp(£)s
s NCR не зависит от выбора о\ и о2. Поскольку (по
теореме 3.6) NCR — подгруппа в F, введенное отношение
действительно является эквивалентностью на множестве 32-
клеток (и подмножестве Я-клеток) диаграммы А.
Лемма 32.2. Пусть А — дисковая или сферическая
зависимость между соотношениями (1). Тогда, если
непредставление (1) является асферическим, то
алгебраическое число R-клеток равно 0 для каждого из классов
эквивалентных клеток диаграммы А.
Доказательство. Проведем индукцию по типу
т(А). Если в А нет 32-клеток, то утверждение очевидно.-
В противном случае в силу асферичности копредставле-
ния (1) и леммы 32.1 в А найдется /'-пара клеток II i и П2.
Пусть клетки П1 и Пг отвечают некоторому
определяющему слову Я0 <s Я. Как видно из
определения /-пары и п. 11.6, после О-измельчения можно
получить в А дисковую поддиаграмму Г ранга / с контуром
q = p\t'p2t~x, которая содержит клетки Ш и Пг (точнее,
их копии) с вершинами 0\ и 02 на контурах р\ и р2,
так что (/J,)-= 0i, (р2)- = 02, Ф Ы = Ф (рГ1) = Д*\
з-1
Ф (t) == ф (£') = 1. Других 52-клеток в Г нет. итсюда
видно, что П1 и Пг — эквивалентные До-клетки и оГ(Я0) = 0.,
(Отметим, что при 0-измельчении сохраняются все
классы эквивалентных клеток.) _
Рассмотрим теперь отдельно дисковую диаграмму Г
равенства ф (?) = 1. Обозначим ее контур q, так что
3-1
ф(д)—ф(?). Поскольку по условию ф (£) == ф (£') = 1^
диаграмму Г можно построить следующим образом. Обо-
3-1
значим Ai некоторую диаграмму равенства ф(£)=1,
t\ — ее контур. Пусть Д2 — зеркальная копия
диаграммы Ai с контуром t2. Тогда можно соединить Ai и Аг на
плоскости путем р с меткой ф(/>) = ф (/>i)—ф \Р-2 / и
окружить 0-клетками, чтобы получилась дисковая диаграмма
Г с контуром p\tip2t2, где ф(рО = ф(рг)-1 = ф(рО,
Ф(*0.^Ф(*2)-1 - Ф(0 (рис. 87),
| 32. АБЕЯЕВЫ РАСШИРЕНИЙ 317
Ясно, что в Г для каждой Я-клетки п\ из Ai
найдется ее зеркальная копия яг из Аг. На щ и п2 можно
выбрать вершины о\ и о2 так, что если w\ я w2 — контуры
этих клеток с начальными вершинами в о\ я о2, то
ф(и>ч)= 4>(и>2)~1, а путь Oi02 имеет вид s1p~1s^1} где
3 3
ф(51) = ф(«2). Значит, ц>(охо2) = ф(51)-1.ф(я1)_1== 1, т. е.
Рис. 87
ф(01 — 02)eJV. Отсюда следует, что п\ и Яг лежат в
одном классе эквивалентных клеток диаграммы Г. Эта пара
дает нулевой вклад в алгебраическое число клеток
данного класса эквивалентности.
Таким образом, вырезая из А поддиаграмму Г
наклеивая вместо нее Г, мы получим такую диаграмму А, для
которой алгебраическое число Д-клеток в каждом из
классов эквивалентности нулевое тогда и только тогда,
когда то же самое справедливо для А. Но оно действительно
нулевое: из г(Г)<г(Г) следует, что т(А)<т(А), и
можно использовать предположение индукции. ■
3. Модуль соотношений. Абелева подгруппа М =
= N/[N, N\ нормальна в группе Я. Поэтому группа Н
действует на М посредством сопряжений: m >-*■ xmx , где
m е М, х е Я. При этом образ xmx'1 зависит лишь от
смежного класса хМ, так как для m' s M выполняется
равенство (xm')m(xm')-1 = xmx~l ввиду
коммутативности М. Такая точка зрения позволяет рассматривать М
как 6?-модуль. В этом пункте мы выясним его строение
в случае асферического градуированного копредставле-
ния (1). При этом дополнительно предполагается, что
читатель знаком с понятиями кольца, модуля над кольцом
с единицей, подмодуля, фактормодуля, гомоморфизма и
прямой суммы модулей (см., например, [58]). Напомним
лишь, что если кольцо К является полем, то модули над
К — это линейные .пространства, подмодули —
подпространства, а гомоморфизмы /(Г-модулей — линейные
отображения ^-пространств.
318 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
Каждое кольцо К является (левым) модулем над
самим собой, и если L — какой-то модуль над кольцом К,
то заданием образа I единицы I <^ К ъ L однозначно
определяется модульный гомоморфизм по правилу к >-»• Ы.
Поэтому К является свободным модулем над К с одним
порождающим элементом а = 1. Свободный К-модулъ
с произвольным базисом {аг)<<в1 определяется как прямая
сумма модулей К,, i e /, где Kt и К изоморфны как К-шо-
дули. Непосредственно проверяется характерное свойство
свободных объектов, которое состоит в том, что, выбирая
в произвольном .ЙГ-модуле L любые элементы U, i e /, мы
можем задать единственный модульный гомоморфизм
/: ф.Кг-^-L такой, что f(at)= U для ie/. Отсюда так же,
iel
как и в случае групп, вытекает возможность
представления каждого модуля L в виде фактормодуля свободного
модуля, т. е. задания L с помощью порождающих а{ и
определяющих соотношений вида 2 ^наг = 0, где левые
г
части — jK-линейные комбинации порождающих
элементов а и
Групповым кольцом К [G] группы G с
коэффициентами в коммутативном кольце К (или групповой алгеброй
группы G над К) называется свободный Z-модуль с
элементами geG в качестве базиса, в котором умножение
задано по правилу ♦
(2^)(2^) = 2(«№,
где произведения KgKh вычисляются в К, a gh — в G.
Определенная выше абелева группа М превращается
в модуль над групповым кольцом Z[G] группы G, где
Z — кольцо целых чисел. Действительно, в М уже есть
коммутативная групповая операция, а также
согласованная с ней операция умножения на целые числа k e Z —
это возведение в к-ю степень. Операция ° умножения
элемента тп е М на g s G определяется по правилу g ° m =
= gmg~l. Как уже отмечалось, правая часть определена
корректно. Теперь ° распространяется па всё
целочисленное групповое кольцо Z [G] по правилу
fLbggym = TIgmeg~1.
При этом непосредственно проверяются все модульные
аксиомы, а правую часть последнего равенства записыва-
§ 32. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ
319
ют чаще аддитивно, в виде 2 ^gg ° m, сочетая мультишш-
8
кативную запись операции в G с аддитивной записью
операции в М.
Разумеется, приведенное определение пригодно для
всякого расширения Я группы G с помощью некоторой
абелевой подгруппы М. Взгляд на М как на G-модулъ
(т. е. модуль над групповым кольцом Z [G]) позволяет
учесть не только абстрактное строение подгруппы М, но
ц действие на ней группы II посредством внутренних
автоморфизмов.
G-модуль М = N/ [N, N], где G = F/N — группа,
заданная копредставлением (1) с ядром N, называется
модулем соотношений группы G. Поскольку N порождается
трансформами вида XRX~l, где йе^, lef, модуль М
порождается (как G-модуль) смежными классами R =
= R[N1 N]. Его строение следующим образом описывает--
ся в терминах порождающих R и модульных
соотношений между ними.
Теорема 32.1. Если градуированное копредставле-
ние (1) группы G является асферическим, то модуль
соотношений М = N/[N, N] группы G = F/N порождается
элементами R = R [N, Щ, где R <^ 52, и имеет следующие
определяющие соотношения:
(1-5)»Л=0, ДеЯ, (3)
где S — корень из R в свободной группе F.
Доказательство. Поскольку по определению
R = S , SRS~[ = R в F, т. е. S°R = R, и равенства
(3) выполняются в М. Допустим теперь, что
2 Kgi »й;=0 (4)
г*=1
в М, где ki eZ, gt e G, ДеЙ, и докажем, что это
соотношение следует из (3). Увеличивая число слагаемых,
считаем, что %i — ± 1. По определению модуля М из
равенства (4) следует, что в F выполняется
h k-
П gitfgT1 = T<=[N, N]. (5)
г=1
Элемент Т г равен в группе F произведению
коммутаторов Tj вида [xjR'jX^^jR'-yJ1], где В.], ^ей11,
320 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
Xj, yj^. F. Отсюда
Я;е=$, xJlZj<=N. (6)
В силу (5) и (6)
М?1*1) •.. isuRtgn1) М а ч («х (л;)-1 zt1) ...
_...М;агГ1)(г1(Д'1)-1гГ1) = 1 (7)
в F. По левой части равенства (7) стандартным образом
можно построить дисковую диаграмму А (см. п. 11.3,
рис. 28) с ^-клетками П1( ..., Щ, И'ъ П", ..., И[, П';,
отвечающими определяющим словам Rf1, .... R^1, Rb
(Ri)1, .. ., Ri, (Ri)1. А является дисковой зависимостью,
и к ней применима лемма 32.2. В силу условия xJlZj^. N
клетки nj и Uj являются эквивалентными в А и дают
нулевой вклад в алгебраическое число клеток своего
класса эквивалентности. Поэтому по лемме 32.2 клетки
П17 ...,Щ также можно разбить на пары эквивалентных
клеток, контуры которых имеют взаимно обратные метки
в F.
Если П8, П( — пара таких клеток, то сомножители с
номерами s и t в (7) имеют вид ggRgT1 и gtR~1gt,
причем g71gt e NCR в силу эквивалентности П8 и Ut в А.
Значит, g~1gt = STg, где g^N, S —корень из R.
Упорядочивая s и t, можем предполагать, что г ^ 0.
Учитывая, что g о R = R для g e N, имеем
lsg„ ° Rs + hgt »Л, = ±(?,»Й- gt°R) =
= ±gs{R-S*g°R)=±gs({-S*)°R =
= ±gs{l + S + ... + S'-1) (1 -S)'R.
Эта сумма равна 0 в М в силу (3). В итоге мы
разбили левую часть равенства (4) на к/2 сумм, каждая из
которых равна 0 вследствие соотношений (3). Итак, (4)
следует из (3), и теорема доказана. ■
Порождающие модуля М разделены в соотношениях
(3). Поэтому М распадается в прямую сумму 1-порож-
денных модулей MR, каждый из которых задается одним
соотношением (1 — S)° R = 0. (Используя понятие
индуцированного модуля [64], можно сказать, что MR яв-
§ 32. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ
321
ляется G-модулем, индуцированным тривиальным
модулем Z подгруппы <£> с: G, т. е. индуцированным
бесконечной циклической группой Z, на которой тождественно
действует циклическая группа <£> порядка nR в G.)
Следствие 32.1. Если градуированное копред-
ставление (1) группы G является асферическим и среди
определяющих слов нет таких, которые являются
истинными степенями в свободной группе F, то модуль
соотношений группы G является свободным G-модулем с
базисом
Доказательство. Поскольку по условию теперь
S = йе N, соотношения (3) тривиальны, что и
доказывает следствие. ■
Используя понятие когомологической размерности
cd G группы G, можно сделать вывод, что в условиях
следствия 32.1 cdG sg 2, причем в силу теорем Столлингса
[251] и Суона [252] cdG = 2, если G не является
свободной группой. Замечание Линдона [206] показывает, что
в более общих предположениях теоремы 32.1 когомологии
группы G имеют период 2.
Лемма 25.1 позволяет применять теорему 32.1 и
следствие 32.1 ко всем группам с условием R, в частности к
группам, построенным в § 27—30.
оо
Следствие 32.2. Пусть $ — {} $вь где множе-
i=i
ства 96i периодов А рангов i > 1 определены в
зависимости от Щ, и п в § 18. Тогда для достаточно больших
нечетных п модуль соотношений свободной бернсайдовой
группы В (St, n) порождается элементами RA = An, A <=
^ SS, и имеет определяющие соотношения (1 — А)° RA =
= 0. щ
Доказательство. Утверждение следует из
теоремы 32.1 и леммы 18.2. ■
Отметим, что если "N — ядро копредставления (1)
группы В (®, я) из § 18, то Н = F/ [N, N] — свободная
группа с базисом 91 произведения (в смысле [76])
многообразия всех абелевых групп и многообразия всех групп
периодов, делящих п. Следствие 32.2 проясняет строение
группы Я. -*- &]
Теорема 32.1 сформулирована в {66] (правда, без
градуировки системы слов Я). Однако в доказательстве
использованного там предложения III.10.1 есть ошибка.
Она исправляется в статье Коллинза и Хюбшмана [148],
* А. Ю. Ольшанский
322 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП :
а также, в градуированном варианте, в [16]. В этих
нетривиальных доказательствах использованы преобразования
Пайфер. Лемма 32.2 позволяет обойтись без этих
преобразований в доказательстве теоремы 32.1. Однако
преобразования Пайфер интересны с точки зрения чисто
алгебраической переформулировки понятия дисковой или
сферической зависимости между соотношениями.
4. Преобразования Пайфер. Пусть Ж = (Wu ..., Wh) —
произвольная последовательность элементов свободной
группы F,
W^UiflUT1,
Ui<=F, Щ<=31, 8i = ±l, i = 1, ...,fc, (8)
а Я — градуированное множество определяющих слов
группы G. Назовем W{ элементом ранга /, если R{ —
определяющее слово ранга /. Тип х(Ж) последовательности
Ж определяется числами элементов каждого ранга точно
так же. как был определен в § 13 тип диаграммы. Если
W\ ... Wh = 1 в F, то назовем Ж (алгебраической)
зависимостью между соотношениями копредставления (1).
Определим преобразования зависимостей (и вообще
последовательностей слов).
Пусть при некотором ie{l,,,i?J;} элементы W{ и
Wi+1 ранга j таковы, что U^U^i лежит в нормальном
замыкании iVj-i множества $?,-_i, Ri = Ri+i и е* = — ei+1.
Тогда WiW^x = 1. Поэтому слово W$V\±\ можпо
записать в F в виде W\ .. . Wu где все элементы W[, . .., W ь
имеют ранги <! / — 1- Преобразование первого рода
состоит в замене Ж на Ж', где
Ж' = (Wv ..., WVi, W[,..., Wu Wi+2, ...,Wh). (9)
Если W^PPj = 1, то, опуская W\ и Wh, записываем W1. .,
...Wi в конце последовательности (9). Заметим, что
х(Ж')< х(Ж). Частным случаем преобразования
первого рода является вычеркивание в Ж элементов Wi и Wi+\,
если WtWi+i = 1 в F.
Преобразованием второго рода называется преобра-
довапие
(Wu...,WhWi+1,...,Wh)->
-> (Wu .... Wm+iWT1, Wu..., Wk), (10)
§ 32. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ 323
т.е. замена W\ = W {W i+1W ^ и W'i+l = Wh а также
преобразование
(Wlx...,WuWi+Xr...,Wk)~>.
-> (Wly ...., Wi+U WT^WiWi+11 .../J. (H)
Пусть Si — корень элемента Ri в F. Тогда переход
(Wlt ..,?;,., Wk) -> (Wb ....,, W'h .. „. Wk)%
где W'i=s t/ii?i*(f/i)_1 и U'i^UiSf1, назовем
преобразованием третьего ^рода.
Отметим, что класс сопряженности произведения
\V\ .. ■ Wh не меняется при преобразованиях. В частности,
зависимость преобразуется снова в зависимость.
Каждой последовательности Ж сопоставим букет
В = В (Ж) и дисковую диаграмму (дисковую зависимость,
если Ж — алгебраическая зависимость) А = А(Ж)
согласно следующему правилу. Для каждого элемента W{
построим клетку П; на плоскости и ломаную <ио$, где
Oi — вершина на дИ. Затем построенные клетки с
«ножками» путем отождествления вершин о$ с о, собираем
в букет В, лепестки В; которого располагаются на
плоскости и размечаются буквами из ь31 U 3t_1 так, что при
обходе контура букета В по часовой стрелке читается слово
W\. . . Wh. (Подобное построение уже проводилось при
доказательстве леммы 11.1.) Чтобы получить дисковую
диаграмму А к В добавляются 0-клетки (опять-таки так
же, как в лемме 11.1, см. рис. 28).
Всякому преобразованию последовательности Ж
сопоставим преобразование ее букета В -*- В' следующим
образом.
1) Пусть Ж ->- Ж' — преобразование первого рода.
Тогда вместо В; и B(+i вклеиваем лепестки Вь . . ., Вг,
построенные для W1: ...,Wh и располагаем их вокруг о
в порядке, определенном строкой (9).
2) Пусть преобразование Ж -*■ Ж' второго рода
задано формулой (Ю). Соответствующее преобразование
В -»- В' второго рода заключается в замене лепестка
Bi+1 на Bj, a Bj — на B,-+i, причем «ножка» последнего
удлиняется: ее метка вместо Ut+\ становится равной WiVi+i.
Аналогично определяется переход В -*■ В' в случае (11).
Преобразование Й(ЗР)-*- В (Ж') второго рода можно пред-
*
324 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
ставить себе как раздвоение границы одного из
лепестков В4 с последующим отгибанием удлинившейся ножки
лепестка Bi+i от В; (рис. 88).
3) Преобразование В(Ж)-+В(Ж') третьего рода
удлиняет ножку для В*; ее метка вместо U( становится равной
UiSi1. Его можно представлять себе как (частичное)
Рис. 88
Рис. 89
раздвоение контура клетки П; с последующим
Отгибанием (рис. 89).
Алгебраическая зависимость Ж называется
тривиальной, если с помощью преобразований первого, второго
и третьего родов она может быть превращена в пустую
последовательность (длины к = 0). Очевидно, что
уменьшать длину могут лишь преобразования первого рода.
Наша цель состоит в том, чтобы установить, что для
асферических градуированных копредставлений все
алгебраические зависимости между соотношениями
тривиальны. Обратное утверждение доказать нетрудно.
Лемма 32.3. Если все алгебраические зависимости
между соотношениями градуированного копредставления
(1) тривиальны, то оно асферично.
Доказательство. Пусть А — некоторая
сферическая диаграмма над (1), содержащая $?-клетки. Разрез
вдоль некоторого ребра превращает ее в дисковую
диаграмму, которую, как и в доказательстве леммы 31.1 (см.
рис. 84), дополнительными разрезами можно превратить
§ 32. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ
325
в диаграмму А. (Ж) некоторой зависимости Ж, так как
при всех разрезах метка контура диаграммы остается
равной 1 в F.
По условию зависимость Ж тривиальна. Значит, с
помощью преобразований второго и третьего родов из нее
можно получить зависимость Ж' = (Wt, .. ., W'h), так что
некоторая пара элементов W\, Wi+1 удовлетворяет
условиям преобразования первого рода. Это значит, что
соответствующие клетки П| и ni+i образуют/-пару А(Ж').
Заметим теперь, что от В (Ж') можно вернуться
к В(Ж), приклеивая обратно части некоторых «ножек»
(см. рис. 88, 89). Отсюда следует, что не только в А (Ж'),
но и после дополнительного 0-измельчения в А (Ж)
можно получить путь без самопересечений, соединяющий
вершины на дИ{ и дПг+1, в точности в'соответствии с
определением /-пары. Стало быть, А (Ж), а значит, и А не
являются приведенными диаграммами. Лемма доказана. ■
Основное утверждение будет доказано в следующем
пункте.
5. Алгебраическая независимость соотношений
асферических групп. Главное препятствие здесь состоит в том,
что /-пара в А (Ж) не обязательно означает возможность
непосредственного применения преобразования первого
рода в Ж, ибо путь в А (Ж), фигурирующий в
определении /-пары, может быть весьма причудливым. Поэтому
приходится его предварительно распутывать с помощью
преобразований второго и третьего родов букета В (Ж).
Скажем, что две клетки образуют /-пару в В (Ж), если они
образуют /-пару в А (Ж).
Лемма 32.4. Если в букете В (Ж) есть j-napa, то
тип x(7f) последовательности Ж можно уменьшить с
помощью нескольких преобразований первого, второго и
третьего родов.
Доказательство. Пусть П и П' — две клетки,
Дающие /-пару в В (Ж). Это означает по определению, что
после дополнительного 0-измельчения диаграммы А (Ж)
мы получим в А (Ж) замкнутый путь q без
самопересечений, ограничивающий поддиаграмму Г с двумя 5?-клет-
о j-i
ками П и П', причем q=ptp't', где ср (t) = ср (V) = 1,
о
Ф (Р) = ф (р') и пути р и р' совпадают (с точностью до
0-ребер) с dll и д~П". Дополнительно считаем, что длина
И = \t'\ минимально возможная.
326 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
Для каждого 91-ребра е (т. е. ребра с меткой из
5tU9t-1) диаграммы А (Ж) найдется близкое ему ребро е
(см. п. 12.2) из букета В(Ж). Поэтому каждому пути t
в А (Ж) сопоставляется путь t в В (Ж). Соответствующие
ребра путей t и t можно, конечно, считать и метрически
близкими, определяя (метрические) длины 0-ребер
малыми по сравнению с длинами ®-ребер на евклидовой
плоскости (рис. 28). Можно считать, что й-ребро е пути t
и ребро ё пути t являются основаниями узкой и
длинной трапеции с короткими боковыми сторонами, если е —
ребро ножки букета В (Ж). Если же ё — ребро клетки п,
то е и ё считаем дугами концентрических окружностей с
центрами внутри я. Поэтому имеют смысл выражения
такие, как «ребро е находится между ребрами е\ и е2»
или «е является внешним по отношению к паре (еь е2)>>.
Как устроен путь д? Поскольку В (Ж) — букет,
составленный из Вг, циклический сдвиг пути g можно раз
ложить в произведение вида JJ и^р^щ1, где р\ — кон-
i
тур некоторой клетки XIhi (с началом в отмеченной на Пй.
точке Ok), а Щ — ее ножка, если pf1 не совпадает с вы-
деленными выше вхождениями путей р и р в q.
Рассмотрим оставшиеся два случая, например, <p(pi)== <р(р),,
причем р — циклический сдвиг пути р{. В Э*ом случае
начало пути р* может не совпадать с о^ (если <р (р) =
= Sr — истинная степень в F), а путь щ=-.и (конец
пути t) является произведением и'и", где и' — ножка
клетки П, а слово ф (и") равно в F некоторой степени корня
S. Отметим еще, что pi и pi+1 — контуры разных
клеток (иначе можно было бы сократить длину U1).
Если путь t=(t')~l не имеет самопересечений, то он
состоит только из ножек клеток ПиП'и еще, возможно,
подпутей контуров р и р', если ц>(р) — истинная степень
в F. В таком случае, не меняя этих ножек, можно с
помощью преобразований второго рода сделать П и П
соседними (при циклическом обходе вокруг о) и
применить к ним преобразование первого рода. (Возможно,
что предварительно придется выполнить
преобразования третьего рода, добиваясь, чтобы путь I не
включал ребер из р и р" — см. рис. 89.) Значит,
соответствующими преобразованиями можно уменьшить тип %(Ж)-
Поэтому ниже мы с помощью преобразований второго и
§ 32. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ
327
третьего родов сведем доказательство к этому случаю.
Индукция по числу клеток в В (Ж) позволяет также
считать, что путь g содержит контуры всех клеток из B(7f),
поскольку можно условиться при перестановке
преобразованием второго рода клетки, контур которой входит в д,
и клетки, контур которой не входит в д, всегда удлинять
ножку последней.
Пусть gf— подпуть в q, близкий к и^р^Щ1, т. е.
все St-ребра из д,- близки к соответствующим §1-ребрам из
Uiptlui- Тогда путь q разлагается в произведение
JIgi3i> гДе пути Qi состоят только из 0-ребер, находя-
г
щихся в некотором малом круге с центром в о. Путь g
ограничивает некоторую область на плоскости, и можно
выбрать близкий ему и не пересекающий его путь s без
самопересечений вне этой области; s можно, как и д,
составить из прямолинейных отрезков и дуг окружностей,
параллельных пли концентрических соответствующим
звеньям пути д. Обозначим s» подпуть пути s,
соответствующий подпути qt. Проведенное построение дает право
для путей Si и д3-, обходящих одну и ту же клетку,
говорить, является ли s» внешним или внутренним по
отношению к gj.
Если каждый путь st является внешним по
отношению к д<, то путь t лишь однажды проходит через о.
Поэтому либо сн не имеет самопересечений, либо найдется
путь t\ без самопересечений в букете Bi, полученном из
В = В(ЖР) с помощью преобразований третьего рода,
примененных к П и П', причем ф(?])= ф(?) (см. рис. 90, где
Рис. 90
Для наглядности «витки» пути t разделены). Но случай,
Когда t не имеет самопересечений, был разобран выше.
Теперь можно считать, что некоторый путь st является
внутренним по отношению к д;, а поскольку заведомо
существует путь st>, внешний для д; и для всех q^
обходящих ту же клетку, можно выбрать два пути, скажем, Si
и s2, следующих один за другим при циклическом обходе
328 ГЛ. 10. РАСШИРЕНИЯ АСФЕРИЧЕСКИХ ГРУПП
пути s так, что Si является внешним для всех qh
обходящих ту же клетку, a s2 является внутренним для
некоторого qt. Пусть S2 обходит некоторую клетку я (рис. 91, а).
Рассмотрим непустое множество путей q{, . ■., qi,
внешних по отношению к S2, и на каждом отметим по точке
Рис. 91
vt, . . ., vt, близкой к контуру дп. Тогда, ecnn*S2 обходит
клетку я, скажем, против часовой стрелки, то, начиная
движение по замкнутому пути q от любой из точек va e
е {v{, ...,' У;} в противоположном направлении до встречи
с некоторой точкой v$ множества ivh ..., t>,}, мы, пройдя
некоторый путь ра», попадем в v9, обходя клетку опять-
таки против часовой стрелки, ибо путь q не пересекается
с путем s и не обходит подпуть Si внешним образом. Это
обстоятельство позволяет «отогнуть» вокруг я
(рис. 91, б, в, г) все подпути qt, . .., qt пути g, внешние
относительно S2, вместе с подпутями q-,, входящими в
определенные выше пути ра$.
Итак, можно определить преобразования второго рода
букета В, которые заключаются в перебрасывании всех
клеток, обходимых путями рац, через клетку я с
соответствующим удлинением ножек. В преобразованном
букете В' клетки П и П' снова образуют /-пару, но
соединяющий их путь V меньшее число раз (по сравнению с t)
обходит клетки из В'. Индукция по числу вхождений в I
контуров клеток из В завершает доказательство. ■
§ 32. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ
329
Теорема 32.2. Градуированное непредставление
(1) является асферическим тогда и только тогда, когда
не существует нетривиальных алгебраических
зависимостей между определяющими соотношениями.
Доказательство. В одну сторону утверждение
совпадает с леммой 32.3. Доказывая обратную
импликацию, предположим, что Ж — непустая зависимость
между соотношениями (1). Тогда диаграмма А (Ж) является
дисковой зависимостью, и по лемме 32.1 в А (Ж), а
значит, по определению и в В (Ж) есть /-пара. В таком
случае тип г (Ж) можно уменьшить по лемме 32.4 с
помощью преобразований первого, второго и третьего родов.
Следовательно, всякая зависимость Ж сводится с помощью
таких преобразований к пустой, т. е. она тривиальна, н
Подведем итог: топологическое условие диаграммной
асферичности градуированного копредставления
оказалось равносильным комбинаторно-алгебраическому
условию независимости соотношений (понимавшейся в этой
главе в более сильном смысле, чем в теореме 13.4).
ГЛАВА 11
КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Свободные произведения в комбинаторпой теории
групп играют не менее важную роль, чем прямые. Их
топологическое обоснование состоит в том, что свободное
произведение F групп G\, G2, .. • является
фундаментальной группой букета пространств с фундаментальными
группами G\, G2, ... [73]. Если произвольная группа G
порождается своими подгруппами G\, G2, ..., то она
естественным образом представляется в виде
факторгруппы свободного произведения F. Поэтому группа G может
быть задана соотношениями, возникающими при такой
факторизации. Лиидон [207], [66] сформулировал аналог
леммы ван Кампена для свободных произведший и
применил его в случае произведений с малыми
сокращениями. В гл. 11 метод и техника гл. 4—10 распространяются
на диаграммы над свободными произведениями и
прилагаются к факторгруппам свободных произведений.
§ 33. Диаграммы сокращений
над свободными произведениями
1. Свободное произведение. Свободным
произведением групп А = <«Ш = 1; R е Ж) и В = <ЭШ' = 1; R' е
е $?'>, где St П 33 = 0, называется группа
А * В = <St U 8Ш = 1; Лейи Я'У. (1)
Группы А и В называются свободными множителями в
А * В. Вполне аналогично определяется свободпое
произведение любого множества множителей Gi, G2, ...
Теорема 33.1 Тождественные отображения St -*•
-*- St U 33 и 33 ->- St U 23 продолжаются до изоморфных вло^
жений А -*• А * В и В -»- А * В, причем образы А и В
§ 33. ДИАГРАММЫ СОКРАЩЕНИЙ 331
групп А и В в А * В пересекаются по единичной
подгруппе.
Доказательство. По теореме 4.5 отображение
$ -»- St U 33 продолжается до гомоморфизма /: А -*■ А * В.
Но по той же теореме продолжается до гомоморфизма <р:
А * В -»• А тождественное на St отображение, при котором
8->-{1}. Поэтому ф/ — тождественное отображение
А -*■ А, а_ значит, / — изоморфное вложение. Точно так
же В = В. Поскольку ф(2?)=Ш, а ограничение_отобра-
жения ф на А — изоморфизм, пересечение А П В —
единичная подгруппа. ■
Конечно, теорема 33.1 распространяется на любое
число множителей. Она позволяет в дальнейшем
отождествлять сомножители с подгруппами свободного
произведения, которыми порождается последнее. Каждый элемент
из А * В допускает запись вида u\V\ . .. uhvh, где щ, ...
..., uh e A, Vi, ..., vh^B. При этом можно считать, что
иг, • • •, uh и Vi, ..., vh-i — неединичные элементы в А и В.
Такого рода нормальная запись имеется у любого
элемента и в случае произвольного числа свободных
сомножителей — требуется, чтобы все множители были
неединичными элементами свободных сомножителей, а соседние
множители не принадлежали одному свободному
сомножителю. Число множителей в нормальной записи
элемента g называется его длиной \g\; 1 имеет длину 0, а все
неединичные элементы свободных сомножителей —
длину 1.
Теорема 33.2. Каждый элемент свободного
произведения А * В имеет единственную нормальную форму.
Доказательство. С помощью рассмотрения
частного двух нормальных форм задача сводится к
доказательству неединичности нормальной записи
ненулевой длины в F = А * В. Пусть имеется такая запись
х\... xh,. где Xi e {A U 5}\Ш. Допустим, что х\... xh = 1
в F и к — минимальное возможное число. Данную запись
можно считать циклически приведенной в свободном
произведении, т. е. предположить, что х\ и хк не лежат в
одном свободном сомножителе. В самом деле, иначе можно
перейти к сопряженной нормальной форме х2 ... (хкх^г)
длины к — 1, ибо к > 1 по теореме 33.1.
Каждый из элементов х{ представляется некоторым
непустым словом W{ ов алфавите St или 33. По лемме 11.1
существует дисковая диаграмма над копредставлением
(1), метка контура которой графически равна Wi... Wh.
332 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Считаем, что число г 52-клеток в диаграмме А
минимальное возможное для рассматриваемых контрпримеров,
а при данном г минимальна сумма Zj |И^|. Пусть
pi.. ,ph — контур диаграммы А и <f>(pi) = Wu а е —
произвольное ребро пути pi; пусть также ср(е)= й^Я. В
силу минимальности контрпримера ребро е не может быть
близким (см. п. 12.2) к ребру /, где f'1 из дА. Значит,
е близко к некоторому ребру /, где f~l из контура
некоторой 52-клетки п. Тогда по определению все ребра клетки
я имеют метки из St1. Но в таком случае можно выре-
зать из А клетку я, заменив подпуть р\ путем Pi, где
Ф (Pi) = Ф (Pi) ~ x\ в А. Получится новый
контрпример с меньшим числом 52-клеток. Противоречие
доказывает теорему, И
При умножении двух нормальных форм х\ ... хк и
yi .. . Hi получается очевидно нормальная форма хх ...
• • • ХьУ\ ■ • ■ У и если хк и у\ из разных свободных
сомножителей. Если они лежат в одном сомножителе, то при
условии хкФу~[х получится нормальная форма х\ ...
• • • (xhyi).. . у и Если же хь = у^1, то нужно перемножить
х\ ... хк-\ и г/2 • • • J/;. Мы видим, что правила орфографии
в свободном произведении очень похожи на правило
умножения слов в свободной группе. Из них вытекает
Следствие 33.1. Свободное произведение F
однозначно определяется сомножителями (и не зависит от
выбора их непредставлений). Подгруппы свободных
сомножителей канонически порождают в F свое свободное
произведение. ■
Слово «канонически» в последней фазе означает, что
вложения подгрупп 4'с4, В' а В, ... продолжаются
до вложения свободного произведения А' * В' * ... в
А * В * ...
Значение свободных произведений определяется
следующим аналогом теоремы 4.2.
Теорема 33.3. Пусть /<: -А< -> Н — произвольные
гомоморфизмы групп, i e /. Тогда существует
(единственный) гомоморфизм свободного произведения:
/: * Ai-^H, сужение которого на подгруппу А{ совпа-
дает с ft для всякого i е /.
Доказательство. Утверждение теоремы прямо
следует из определения (1) и теоремы 4.2. в
§ 33. ДИАГРАММЫ СОКРАЩЕНИЙ
333
Очевидно, что, как и в свободной группе, в свободном
произведении каждый элемент сопряжен с некоторым
циклически приведенным элементом, т. е. таким, что все
циклические сдвиги его нормальной формы суть
нормальные формы. Аналогична теореме 4.3
Теорема 33.4. 1) Если элемент X не сопряжен
в свободном произведении F с элементом какого-либо
'свободного сомножителя, то при \п\ > 1 длина
нормальной формы элемента Хп больше нормальной
формы элемента X. В частности, порядок элемента X в F
бесконечен.
2) Если XY = YX в F, то либо X и Y содержатся в
одной циклической подгруппе группы F, либо X и Y
содержатся в подгруппе, сопряженной в F с одним из
свободных сомножителей.
3) Абелева подгруппа в F является циклической или
содержится в подгруппе, сопряженной с одним из
свободных сомножителей.
Доказательство теоремы 33.4 можно провести по
образцу теоремы 4.3 с учетом правил умножения
нормальных форм в свободном произведении. Мы оставляем это
доказательство читателю в качестве упражнения.
Отметим, кроме того, что все приведенные свойства сразу
следуют из общей теоремы Куроша о подгруппах
свободного произведения ([62], § 34).
2. Непредставления и диаграммы. Пусть F = * Gp,,
&Х — I
где / — произвольное множество индексов. Наличие
нормальной формы элементов из F означает, что их
естественно рассматривать как слова в алфавите St, который
получается как объединение всех неединичных
элементов всех сомножителей Gu. Удобно ввести и расширенный
алфавит St1=§tU{l}. (St1 — свободная амальгама групп
Gn, т. е. такое их объединение, что СЙПС^ = {1} при
u^v.)
Каждое слово W в алфавите St однозначно
записывается в виде W\ ... Wk, где все буквы, входящие в запись
Wh принадлежат одному сомножителю (или подалфави-
ТУ) GHt), причем ц(1)Ф \i(l + i) для 1=1, ..., к — 1.
Число к слогов Wt назовем длиной \W\ слова W. Если
все слоги Wi представляют неединичные элементы
сомножителей, то I W\ совпадает с длиной нормальной формы
элемента WeF. Длиной слова W в алфавите St1 назовем
длину в алфавите St слова, полученного вычеркиванием из
W символов 1,
334 ГЛ. II. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Пусть теперь G — произвольная группа, порождаемая
множеством своих подгрупп Gu, ц е /. По теореме 33.3
группа G является гомоморфным образом группы F, т. е.
G e= F/N для некоторой нормальной в F подгруппы N.
Как и в "случае свободной группы F, можно говорить
о непредставлении F -> G группы G с ядром N. Как и в
п. 4.2, N можно задать в виде нормального замыкания
в F некоторого множества определяющих слов 31. Будем
употреблять запись
G=<Fm=l; Яе$>, (2)
называя ее непредставлением группы G в свободном
произведении F. При этом, если w e N, то соотношение
w = 1 называем следствием определяющих соотношений
R — {, Аей, группы G. (Здесь можно также
сформулировать понятие выводимости следствия и аналог
теоремы 4.4, но мы не будем на этом останавливаться.)
В дальнейшем считаем, что циклически приведенные
формы слов R не лежат в Ш1, чтобы не налагать
дополнительные соотношения на отдельные сомножители Gu.
Понятие диаграммы над алфавитом 01 остается таким
же, как в п. 11.2 (с тем единственным уточнением, что
теперь для каждого а е Щ, обратный символ я-1 также
считается буквой из Sf: если а е GM, то а~1 — обратный
элемент для а в Сй). 0-клеткой назовем теперь такую
клетку, все §1-ребра контура р которой имеют метки из
одного сомножителя Gv, причем ср(р)=1 в G> (Такую
клетку можно назвать ц-клеткой.) ^-клеткой
называется такая клетка, обход которой начиная с подходящей
вершины и в подходящем направлении дает слово R',
которое можно получить из некоторого йеЙ, если
вставить несколько символов 1 и заменить некоторые
буквы а¥={ произведениями вида a\...ah, где аи ..., ak
из того же свободного множителя £?„, что и а, причем
ах... ah = а в G„.
Диаграммой над непредставлением (2) называем
теперь, как и в § 11, всякую диаграмму А над
алфавитом Sf, каждая клетка которой является $?-клеткой или
0-клеткой.
Понятие градуированного копредставлеиия и
градуированной диаграммы, как и в § 13, определяется разбпо-
оо
нием множества слов Я — (J #V Естественно, что
г=»1
§ 33. ДИАГРАММЫ СОКРАЩЕНИЙ '' 335
G(0)~F, а для t>0
G (i) = <\F\\ R = 1; R e Sti = Ц^Л
по определению. Равенство или сопряженность слов в
ранге i — это их равенство или сопряженность в G(i).
Соотношениям ранга i отвечают клетки ранга i в
диаграмме А, и тип т(А) имеет тот же смысл, что и в § 13.
Понятия j-пары клеток и приведенной диаграммы
сохраняются без изменения (см. п. 13.2), так же как
понятия асферического и аторического копредставлеиия.
Аналогична теореме 13.1
Теорема 33.5. Пусть W —непустое слово в
алфавите Ш1. Тогда W = 1 в группе G, заданной
градуированным непредставлением (2), тогда и только тогда, когда
существует приведенная градуированная дисковая
диаграмма над (2), метка контура которой графически равна
слову W.
Доказательство. Утверждение «тогда»
доказывается так же, как и в лемме 11.1. Пусть, наоборот, W = 1
в G. Тогда, как в лемме 11.1, строится дисковая
диаграмма А', метка контура которой графически равна слову V
такому, что V = W в F. В силу теоремы 33.2 переход от
V к W может быть осуществлен с помощью
преобразований следующего вида: 1) замена подслова а^ач, где
а\, a<i e G„, буквой а, если а = а\а% в G,, (а,\, й2, а могут
быть единичными); 2) обратная замена а на а\а2 при тех
же условиях. Очевидно, что такие преобразования метки
контура диаграммы А' можно осуществить с помощью
приклеивания к А' 0-клетки с меткой контура а\а2а~х.
В итоге получится дисковая диаграмма А с меткой
контура W. Если она не является приведенной, то процесс
удаления /-пар осуществляется так же, как в п. 13.2. И
Теорема 33.6. Пусть V и W — два непустых слова
в алфавите W. Тогда они сопряжены в группе G,
заданной градуированным копредставлением (2), тогда и
только тогда, когда существует приведенная кольцевая
градуированная диаграмма над (2) с контурами р и q
такими, что у(р) = V, ф(д)33 W~l.
Доказательство. Утверждение выводится из
теоремы 33.5 так же, как теорема 13.2 из
теоремы 13.1. ■
Заметим, что в книге [66] при рассмотрении диаграмм
над свободными произведениями вводятся «первичные»
336 ГЛ. И. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
и «вторичные» вершины, а сегменты (см. п. 3)
разбиваются на полусегменты (а не на произвольное число
ребер, как здесь). Для «подгонки меток» там используются
дополнительные предположения о малом сокращении
определяющих слов.
Аналогом теоремы 13.5 является
Теорема 33.7. Если градуированное
непредставление (2) группы G является аторическим, то
перестановочные элементы X, Y е G должны лежать в одной
циклической подгруппе, либо в подгруппе, сопряженной
в G с образом одного из сомножителей Gv, u. e /.
Доказательство проводится точно так же, как
доказательство теоремы 13.5 с заменой ссылки на теорему 4.3
ссылкой на теорему 33.4. ■
3. Свойства карт. Чтобы не делать излишних
уточнений в понятиях А-карт, В-карт и др., будем
рассматривать сразу А-диаграммы, В-диаграммы и т. д., т. е.
предполагать их ребра помеченными буквами из ^'-свободной
амальгамы некоторого семейства групп {G^^j (не имея
в виду, однако, пока никакого копредставления (2)^.
Пусть р = е\ . . . ет — некоторый путь в карте А,
состоящий не только из 0-ребер. Тогда его можно
разложить в произведение p = pi...ph так, что множество
Й-ребер каждого подпути pt непусто, все они имеют
метки из одного сомножителя GU{1) и \i(l)¥= ц(1 + i]^ для
l — i, ..., k — i. Назовем подпути р сегментами пути р,
а их число к — длиной пути р. Разложение на сегменты
определяется с,точностью до 0-ребер. Длина пути,
составленного из 0-ребер, считается нулевой. В отличие от
аддитивности длины пути в прежнем смысле телерь можно
утверждать лишь, что если q = q\q2, то
Igil + \q2\ -К \q\ < l?il + М- (3)
Несколько расширим понятие О-измелъчения (см.
п. 11.5): если при элементарном О-измельчении первого
типа ребро е разбивается в произведение е = e\ei,
причем метка а ребра е лежит в Сй\{1}, то ребрам е\ и ег
можно приписать любые метки ах, аг е (?„ такие, что
а\й2 =■ а в 6>
Понятия связок, подкарт примыкания, степени
примыкания, связующей линии определяются так же, как в
§ 14 или в § 20 (в зависимости от того, рассматриваем ли
мы «целые» или «раздробленные» контуры клеток). В
определении А-, В-, С-, D-диаграмм А и гладких участков
§ 33. ДИАГРАММЫ СОКРАЩЕНИЙ 337
контура условия налагаются не только на диаграмму А,
но и на всевозможные ее О-измельчения. В условиях А2,
Б1, S1 и др., где рассматривается подпуть участка,
предполагается, что первый и последний сегменты в А
имеют неединичные метки в соответствующих свободных
сомножителях. (Это требование не является
ограничительным при применениях, ибо оно достигается с
помощью О-измельчения, заменяющего р на путь меньшей
длины, если указанное требование нарушено.) Те же
условия на подпути участков налагаются теперь в
формулировках лемм 15.1 и 20.3 (утверждения 2) и 3)).
Система параметров а, [3, ... сохраняется.
При рассмотрении А- и В-карт понятие полной
системы подкарт примыкания карты А теперь несколько
ослабляется: Ж называется полной системой, если каждая
52-клетка из А или содержится в некоторой подкарте
Г е Ж, или в каждом сегменте контура этой клетки
найдется St-ребро, принадлежащее одной из двух дуг
примыкания некоторой подкарты Г е Ж. Аналогичное ослаб'
ление условия полноты (т. е. выбор хотя бы одного Я-реб-
ра из сегмента участка контура) делается и при
рассмотрении С-, D-, Е-, F-, G-карт.
В формулировках лемм 17.1 и 17.3, 22.1 и 22.4
требуется дополнительно, чтобы вершины о, о', 0\, о% (с
помощью которых строятся разрезающие пути) были
концами некоторых сегментов участков контура диаграммы
(если контур не состоит из одного циклического сегмента).
Леммы 33.1 и 33.2 доказываются посредством
совместной индукции по типу т(Д).
Лемма 33.1. Для любой градуированной
А-диаграммы существует такое ее О-измелъчение, которое
обладает полной правильной системой 0-связок.
Доказательство. Пусть Ж — некоторая
(возможно, пустая) дизъюнктная система 0-связок между
ребрами сегментов клеток в А (или сегментов клеток и
сегментов участков контура дА). Назовем сегмент е
участка q клетки П связанным в Ж, если существует связка
Ге/, в контур которой входит некоторое St-ребро
сегмента е. В противном случае е — несвязанный в Ж
сегмент. Лемма будет доказана, если в предположении, что
система Ж не является полной, мы всегда сможем,
увеличив Ж, уменьшить общее число несвязанных сегментов
всех $?-клеток из А с помощью некоторого О-измельчения
диаграммы А. _
22 а, Ю, Ольшанский
338 ГЛ. П. КОПРЁДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Допустим, что е — некоторый несвязанный в Ж
сегмент, принадлежащий участку клетки П. Зафиксируем
(л е / такое, что все St-ребра из е являются ц-ребрами,
т. е. имеют метки из G„. Все 0-клетки, граничащие с П
по ребрам из е, можно считать ц.-клетками, т. е. в их
контурах все Я-ребра суть (л-ребра. Обозначим iSi множество
таких клеток. Если некоторая ц.-клетка, не входящая в
связки системы Ж, имеет общее ц-ребро с некоторой
клеткой из Si, то, добавляя эту клетку к Su получим
множество £г и т. д. Пусть S — множество точек на
поверхности А, входящих в клетки множества U Sk. Очевид-
но, что его внутренность S0 связна.
Рассмотрим границу dS множества S. Допустим
сначала, что в OS найдется (л-ребро /' из сегмента е', отлич-
; ного от е. Соединим внутри S
некоторые внутренние точки
о' ребра /' и о ребра / (/ —
некоторое ребро сегмента е)
некоторой не проходящей
через вершины
диаграммы А жордановой дугой t
(рис. 92). Разделим далее
ребро / на три ребра /ь /2, /з
дополнительныши точками о\
и 02 так, что (/г)_ = ои
(/г)+ = 02, а о лежит на j%.
Аналогично разделим /' на
/i, /а, /з, где (/а)_ = о2,
/2. Соединим точки ох и оъ о2 и о2
которые пересекают в точности
., eft_x между'^-клетками яи я2, ...
Рис. 92
на
(/г)+,= 01, а о'
дугами ti и t2,
те же ребра ех, e2, ..
,.., nh, что и дуга t.
С помощью О-измельчения можно добиться, чтобы
пути t\ и ti были составлены из ребер диаграммы А. При
этом, если обозначить q(f)=a, то в измельченной
диаграмме положим ф(/г) = я, cp(/i)=l, ср(/3)=1. Ребра
путей ti и h определяем как 0-ребра (т. е. их метки
равны 1). Заметим далее, что каждое ребро еь ег, •••
разрезается путями t\ и ti на три ребра. Пусть, например,
е\ = щигиг. Тогда полагаем (р(и2)=а, а метки ребер т
и щ определяем так, чтобы новые клетки, на которые
разрезается теперь клетка П\, стали ц-клетками. Затем
§ 33. ДИАГРАММЫ СОКРАЩЕНИЙ 339
аналогичную подгонку проводим с ребрами клеток Яг, .. .
..., Ль. так, что в итоге <р (/2) == а~ .
Теперь t\\ihh~ контур 0-связки Г' (заштрихована
на рис. 92), и, добавляя ее к Ж, мы в новой системе Ж'
имеем сегмент е в качестве связанного сегмента. Нужно,
однако, пояснить, почему Г' — правильная 0-связка, т. е.
правильная подкарта примыкания. В самом деле, в
противном случае е и е' — сегменты одной клетки П,
входящие в подпуть q = ewf ее контура, q содержит подпуть q
такой, что q- = ои q+ = о[, a qt — контур дисковой
поддиаграммы А, не содержащей П._Поскольку т(А)< т(А),
из индуктивных соображений к А применима лемма 33.2.
Но тогда получаем противоречие с леммой 15.1 и
теоремой 17.1, ибо \t\ = 0, |g| >0.
Рассмотрим второй случай — когда в OS все ц-ребра
лежат на е. Пусть о ж о' — произвольные внутренние
точки ребра ё из е. Допустим сначала, что их можно
соединить в S путем t, который не гомотопен в А подпути
оо' в ОН. Разобьем тогда ё на несколько ребер так, чтобы о
и о' лежали па разных ji-ребрах / и /', а затем с помощью
пути t , соединяющего о и о', как и выше, построим
0-связку между некоторыми ребрами /г и /2 в 0-измель-
чении диаграммы А и перейдем к новой системе Ж'.
Если же такого пути t нет, то очевидно S можно
рассматривать как диск (возможно, с вырезанными из него
дырами, контуры которых состоят из 0-ребер). При этом
контур диска имеет вид ер, где р состоит из 0-ребер.
Следовательно, по лемме 11.3 ср(е)=1 в ранге 0, т. е.
ф(е)=1 в G„ вопреки условию А2 (так как после 0-пз-
мельченпя в А нашелся бы гомотопный е путь
длины 0). ■ "*-'■';■ -"•
В силу доказанной леммы аналоги утверждений из
§ 16, 17 доказываются в предположении о существовании
в рассматриваемых диаграммах полных правильных
систем подкарт примыканий.
Лемма 33.2, После внесенных выше изменений в
определение А-карты все утверждения гл. 5 от леммы 15.1
до леммы 17.5 остаются справедливыми, а формулировки
лемм 17.1 и 17.3 усиливаются, как было указано выше.
Доказательство. Для обоснования
сформулированной «метатеорвмы» укажем на необходимые
изменения в рассуждениях гл. 5. (Они невелики.) Во-первых,
в связи с нарушением аддитивности длин путей (3) нуж-
22*
340 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
но заметить следующее. Если раньше, например, из
неравенства \р\>а\дл\, где р — подпуть контура дл, для
дополнительного подпути р' следовало неравенство \р'\ <
<(1 —а)|<9л1, то теперь всего лишь неравенство
Ip'l <(1-а)|Зя1 + 2^(1-а + 2п-1)\дл\.
Однако подобные поправки никак не сказываются на
итоговых оценках каждой из лемм, поскольку n~l = i —
самый младший параметр (ПМП).
Во-вторых, формулой v(e)= |дП[-1/3 из § 16 теперь
следует определять не вес ребра е из дИ, а вес сегмента
е в-дИ, и если е содержит к St-ребер е\, . .., eh, то для
каждого из них по определению v(e()= v(e)k~1. Теперь
для подпути q из дИ вместо равенства v(q)=\q\\qU\~U3
можно гарантировать лишь неравенства
(|?|-2)|Ш|-1/3^(дК1д||Ш|-1/3, ;
что не сказывается на окончательных оценках лемм по
той же причине, что и в предыдущем абзаце.
В-третьих, если для подпути q контура некоторой
клетки я обозначить q некоторый минимальный подпуть
в дл, составленный из целых сегментов из дл и
содержащий подпуть q, то v(g)s£ v(g)+ 2|<9я|1/3. Поскольку
|<9л1_1/3 < 11/3, оценки для весов v(q) (где q есть $i или дг
в леммах 16.1, 16.4, 16.7) справедливы и для v(q). В
силу полноты выделенной системы подкарт примыкания
отсюда следует, что, как и в лемме 16.8, М «£ Н + К + D +
+ G (т. е. учтены и те внутренние ребра, которые не
входят в дуги выделенных подкарт примыкания).
Наконец, предложенное перемещение вершин в точки
деления путей на сегменты в измененных формулировках
лемм 17.1 и 17.3 обеспечивается опять-таки достаточным
запасом в оценках этих лемм. В остальном
доказательства из гл. 5 не меняются. ■
Полные аналоги лемм 33.1 и 33.2 справедливы и для
В-карт. Нужно только вместо ссылок на лемму 15.1 и
теорему 17.1 сослаться на лемму 20.3 и теорему 22.4, а
поправки для весов отнести к § 21, а не к § 16. В
остальном так же, как и выше, совместной индукцией по т(А)
доказываются следующие две леммы.
Лемма 33.3. Для любой градуированной
^-диаграммы существует такое ее Q-измелъчение, которое
обладает полной правильной системой 0-сеязок; ■
§ 34. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ С УСЛОВИЕМ R 341
Лемма 33.4. После внесенных в настоящем пункте
изменений в определение В-карты все утверждения гл. 7
от леммы 20.3 до леммы 22.5 остаются справедливыми,
а формулировки лемм 22.1 и 22.4 можно даже усилить,
как было указано выше. ■
Вполне аналогично обосновывается следующая пара
лемм.
Лемма 33.5. Для всякой градуированной С-, D-, Е-,
Y-диаграммы или (^-диаграммы существует такое ее 0-из-
мелъчение, которое обладает полной правильной
системой ^-связок.
Лемма 33.6. После внесенных в настоящем пункте
изменений в определения С-, D-, Е-, F- и G-карт для них
остаются справедливыми все утверждения из § 23—24.
При доказательстве леммы 33.5 отличие от
доказательств лемм 33.1 и 33.3 возникает в тот момент, когда
еже' — сегменты одного участка контура (а не
клетки П). Тогда дисковая диаграмма с контуром qt является
В-картой по лемме 33.3. ■
§ 34. Копредставления с условием R
1. Перенос на свободные произведения. Теорема 33.3
указывает на возможность изучения групп, порождаемых,
заданными подгруппами, с помощью описания их
копредставления
/Л|Д = 1; ДеЯ^ДзеЛ. (1)
По аналогии с условием R, рассмотренным в контексте
§ 25, определим здесь аналогичное условие для
градуированного копредставления (1) над свободным
произведением F групп Сц, (д, е /. Все группы G„ предполагаются
в настоящем параграфе не содержащими инволюций.
Уточним понятие подслова слова W в алфавите
S11 = U Сц. Если W = W\ ... Wh — разложение на сло-
и
ги, то подсловом слова W назовем любое слово со
слоговым разложением U\ .. . Uh где для некоторого i имеем
в соответствующих сомножителях £?„ равенства U% =
= Wi+\, ..., Ui-i — Wi+l-2, а слова Ui и Wt и слова Ut и
Wi+t-\ представляют, элементы одинаковых сомножителей.
Простым, или простым в ранге 0, называем слово
длины ^2, которое не сопряжено в ранге 0 со степенью
342 гл. п. копредставления в свободных произведениях
какого-либо слова меньшей длины. Понятие
периодического слова сохраняется, и периодические слова
рассматриваем только с простыми периодами. В определении
А-согласованных разложений знак «=» заменяется теперь
на ««», что означает послоговое равенство. Леммы 13.1—
13.3 без изменений переносятся на диаграммы над
свободными произведениями. При определении 1-апериодиче-
ского слова X в нем запрещаются подслова Y1, где \Y\ >
^ 2. Справедлива
Лемма 34.1. Если среди групп G„, \i e /; по
крайней мере три неединичных или среди них найдутся две'
неединичные, причем одна из двух имеет порядок ^3,
то в алфавите S11 существуют сколь угодно длинные
приведенные 1-апериодические слова.
Доказательство. Пусть W — 6-апериодическое
слово в 2-буквенном алфавите {х, у}. Если а, Ъ, с —
неединичные элементы из трех сомножителей Gv, то 6-апе-
риодическим словом в алфавите 91' будет, как легко
видеть, результат подстановки в W вместо х слова аЪ,
а вместо у слова ас. Если же Ъ, с — неединичные
элементы одного множителя, а — неединичный элемент другого,
то замена х*-* ab,y>-+ ас даст во всяком случае 7-аперио-
дическое слово относительно Й1. Поэтому утверждение
леммы следует из теоремы 4.6. Н
Применительно к копредставлениям в свободных
произведениях, внесем следующие поправки в схему
определения групп G(i), приведенную в § 25. Во-первых,
считаем теперь, что $.\ = S?o = &. Далее, слово X назовем
здесь свободным в ранге i — 1, если X не сопряжено в
ранге i — 1 с элементом из 911, т. е. с образом в G(i — 1)
элемента одного из свободных сомножителей G„. В
определении простого в ранге i — 1 слова А добавляется
требование, чтобы слово А было свободным в ранге г—1.
В остальном схема построения групп G(i) и
группы G(°°) такая же, как в § 25. Условия R переносятся
на градуированное копредставление (1) с заменой лишь
знака «=» на «~».
Лемма 34.2. Пусть копредставление (1) группы
G(°°), построенной по указанной выше схеме,
удовлетворяет условию R. Тогда для него справедливо
утверждение леммы 18.1 и все утверждения, начиная с леммы 25.1
и кончая леммой 26.5, со следующими поправками: в
формулировках лемм 18.1, 25.2, 25.12—25.15 дополнительно
требуется, чтобы слово X было свободным в ранге i; в кон-
§ 34. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ С УСЛОВИЕМ К
343
це формулировки следствия 25.2 добавляются слова: «или
подгруппа <Х, У> <= G(i) сопряжена в ранге i с
подгруппой образа одного из сомножителей G„ в группе G{i)»,
в лемме 26.5 требуется, чтобы первый и последний слоги
слова ф(д) представляли неединичные элементы
соответствующих сомножителей.
Доказательство. Все доказательства
перечисленных утверждений повторяются в случае
непредставлений в свободных произведениях фактически без
изменений с учетом лемм 33.4 и 33.6. Ссылки на теоремы 13.1,
13.2 и 13.5 заменяются соответственно ссылками на
теоремы 33.5, 33.6 и 33.7.
В доказательстве леммы 25.5 как будто появляется
дополнительная возможность: |Б| = 1, т. е. В е G^ для
некоторого [i е /. Но тогда |ВГ| = 1 для любого показателя г.
Поэтому из приведенных в § 18 формул (4), (6) и (7)
следует ф(я) = W, где I W\ < 2Ц| + 1 + ^(рг1 - 1) | q21 <
<1(l<72l, ибо |д2|^5 б-1 \А |/6. С другой стороны,
|s| 5* |g2l. Получаем противоречие с теоремой 22.4 и
леммой 26.5, так как f < fl, т. е. допущенная возможность не
реализуется. Н
Далее в леммах 34.2—34.13 предполагается, что
копредставление (1) группы G(°°) построено по описанной
выше схеме и удовлетворяет условию R.
Лемма 34.3. Группа G(°°) бесконечна, если среди
групп G„ более одной неединичной группы.
Доказательство. Утверждение доказывается,
как теорема 26.1, с использованием леммы 34.1 вместо
теоремы 4.6. Н
Лемма 34.4. Естественные отображения G„ ->■ G(°°)
являются изоморфными вложениями для всех р, ^ /.
Доказательство. Допустим, что а = \ в G(°°),
г
где аеСДШ. Тогда а=1 для некоторого i. Пусть
А — приведенная дисковая диаграмма этого равенства,
которая существует по теореме 33.5. В силу лемм 34.2, 33.6
можно применить к Д леммы 26.5 и 23.16. Поскольку
1<9Д| = 1, из леммы 23.16 следует, что г(Д)=0, ибо п> 1,
т. е. а = 1 в F, что противоречит теореме 33.1. Н
В силу леммы 34.4 можно считать далее группы G„
подгруппами в G(°°). Очевидно, что G(°°) = <GU; це/>,
Лемма 34.5. G„ П Gv = {1} в G(°°), если ц Ф v.
Более того G», П XGvX~l = {1} для всякого X е G(°°).
344 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Доказательство. Допустив равенство а — Ъ, где
а е G„\{1}, Ъ е Gv, получим противоречие, как и в
предыдущем доказательстве (п > 2). Допустив
сопряженность неединичных элементов а е G^ и MG„
рассмотрим на основании теоремы 33.6 приведенную кольцевую
диаграмму А этой сопряженности. Некоторый разрез
превращает ее в дисковую диаграмму Д', где |<9Д'| ^ 3
по лемме 22.1. Значит, г(Д)=г(Д') = 0 по лемме 23.16,
т. е. элементы разных свободных сомножителей
сопряжены в свободном произведении, что невозможно, как
видно из теоремы 33.2. Н
Назовем элемент X группы G(°°) свободным, если оп
свободен в любом ранге i S* 0, т. е. если X не сопряжен
в G(°°) ни с каким элементом одной из подгрупп G„.
Лемма 34.6. Пусть для каждого i ^ 2 множество
периодов 36i максимально, а каждый период А является
периодом первого типа. Тогда каждый свободный элемент
X группы G(oo) имеет некоторый конечный порядок пЛ
(где пА — показатели из определения группы G(°°)).
Доказательство. Утверждение обосновывается,
как и теорема 26.2. Н
Лемма 34.7. 1) Период А первого типа имеет
порядок пА, а период второго типа имеет бесконечный
порядок в G(°°).
2) Если неединичные в G(°°) степени Ah и В1
периодов А и В каких-то рангов сопряжены в G (<*>), *o A = В
и А" = А' в G(°°).
3) Если каждое из множеств Э5\ максимально для
i 5г 2, то всякий свободный элемент X из G(°°) сопряжен
в этой группе со степенью некоторого периода какого-то
ранга i. В любом случае X сопряжен со степенью
некоторого периода или со степенью слова А, простого в
любом ранге.
4) Если А — период какого-то ранга или простое в
любом ранге слово, то подгруппа (АУ не содерзюится ни в
какой большей циклической подгруппе группы G(°°).
Доказательство. Нужно повторить
доказательство теоремы 26.4. Н
Лемма 34.8. Неединичная степень слова А, где
А — период некоторого ранга или простое в любом ранге
слово, свободна в G(°°).
Доказательство. Допустим, что слово Ат
сопряжено в некотором ранге i с а е Сд. Применим к
кольцевой диаграмме этой сопряженности лемму 13.3, После
§ 34. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ С УСЛОВИЕМ R 345
этого лемма 26.5 приводит к противоречию с
теоремой 22.4, ибо L4I > 2, \а\ = 1, а р > 1/2. Н
2. Централизаторы и конечные подгруппы.
Лемма 34.9. Централизатор любого свободного
элемента группы G(°°) является циклической подгруппой
в G(°°).
Доказательство состоит в дословном повторении
первой половины доказательства теоремы 26.5. Н
Лемма 34.10. Пусть а и а' — неединичные
элементы некоторой подгруппы G^ и а' = ХаХ~1, где Хе G(°°).
Тогда X е= G^
Доказательство. Пусть Д — минимальная
дисковая диаграмма ранга i с контуром xipx2p\ где <р(хг) =
^ф(ж71) = Х, ф(р)= а, ф(р')_1 = а'. Склеивая пути х\
и ж-Г .1 получим кольцевую диаграмму До с контурами р
и р', причем вершины р~ и р- соединены в До путем х
с меткой X. Удаление /-пар из До дает приведенную
кольцевую диаграмму Г, в которой р- и р~ соединены путем
х таким, что Ф (х) = X. Как и в доказательстве
леммы 34.5, г(Г)=0. Значит, разрезая Г по пути х, имеем
Ф (х) аф(ж)-1 = а'. Но из этого равенства в свободном
произведении следует, что q)(x)eG|„ Лемма доказана,
так как X = ф (х ). щ
Лемма 34.11. Централизатор в группе G(°°)
любого неединичного элемента из подгруппы G^ содержится в
G,. Если X Ф G„ то G, П XG«X~l = {1}.
Доказательство. Оба утверждения
непосредственно следуют из леммы 34.10. Н
Лемма 34.12. Всякая абелева подгруппа группы
G(oo) является циклической или содержится в
подгруппе, сопряженной с некоторой подгруппой G^, це/.
Доказательство. Если в абелевой подгруппе Н
есть неединичный несвободный элемент, то утверждение
леммы для Н справедливо ввиду леммы 34.11. В
противном случае достаточно применить лемму 34.9. И
Лемма 34.13. Пусть К—конечная подгруппа
группы G (<*>). Тогда: 1) группа К содержится в подгруппе
вида XG^X'1 или является циклической группой; 2) если
K[\G^{i), то KczGu.
Доказательство. Докажем первое утверждение
лемм, проводя индукцию по порядку подгруппы К.
346 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Если К — абелева группа, то достаточно сослаться на
лемму 34.12. Рассматривая общий случай, допустим сначала,
что в К есть собственная нормальная подгруппа N.
Применим к ./V предположение индукции. Возможны два
варианта. В первом случае, переходя к сопряженной с К
подгруппе, можно считать, что N <= G„. Тогда по
лемме 34.10 и К<= G„, поскольку N нормальна в К. Во втором
варианте ./V = (ХУ — циклическая подгруппа, причем
X — свободный элемент в G(°°) (иначе возвращаемся
к первому варианту). Тогда из лемм 34.7 и 25.15 следует,
что <Х> — центральная подгруппа в К, и группа К
является циклической по лемме 34.9.
Допустим теперь, что К — простая пеабелева группа.
Тогда по лемме 6.1 в К найдутся две различные
максимальные подгруппы М и L такие, что М (\ ЬФ {I}. По
предположению индукции утверждение леммы 34.13
справедливо для М и L. Поэтому нужно рассмотреть
следующие возможности.
1) М cz XG^X*1, L a YG^Y-1 для некоторых ц и v.
Поскольку МГ\ЬФ{\}, из лемм 34.5 и 34.11 выводим
u, = v и ХСД-' = FGvF-1. По тогда K^XG^X-1, ибо
группа К порождается любыми двумя своими
максимальными подгруппами.
2) McXG^X-1, Lc<F>, ще F-свободный в £(<*)
элемент. Но тогда условие М (\ЬФ{{} вступает в
противоречие с леммами 34.7 и 34.8, т. е. этот случай
невозможен.
3) М<=-(ХУ, L<=(Yy, где X и Y свободны. Тогда в
М П L есть .неединичный свободный элемент в силу
леммы 34.8, а вся группа К = (М, L> содержится в его
централизаторе, а значит, она циклична по лемме 34.9.
Теперь нужно доказать второе утверждение теоремы.
Применяя к подгруппе К первое утверждение, получим
два варианта: 1) K^XGvX~l и 2) Хс <Х>, где элемент '
X свободен. В первом из них имеем G^ П XGVX-1 — {1},
откуда и, =■ v и XGvX~l = G^ по леммам 34.5 и 34.11.
Значит, К<= G„. Второй вариант, т. -е. G» П <Х> Ф 1,
невозможен, как и выше, опять-таки в силу лемм 34.7 и 34.8. ■
3. Пример. Рассмотрим характерное построение ко-
представления с условием R. Способ выбора
определяющих соотношений предложен В. Н. Образцовым [85],
который получил таким образом доказательство одной
общей теоремы о вложениях групп (теорема 35.1). Ранее
теорему о вложимости конечных групп нечетных поряд-
§ 34. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ С УСЛОВИЕМ R 347
ков в квазиконечные группы доказала Г. С. Дерябина
[41] (на основании [90], [92], в отличие от [85], где уже
используется статья [96]).
Пусть {GJ^j — произвольное счетное семейство не
более чем счетных групп без инволюций, в котором
хотя бы две неединичные, скажем G\ и G%. В общей схеме
построения групп G(i), о которой шла речь в п. 34.1 (см.
также п. 25.1), сделаем теперь следующие уточнения.
Во-первых, зафиксируем неединичные элементы а\ е
е G\ и а2 s G2, а остальные элементы из 9t = (J G^N^l}
произвольно упорядочим по типу натурального ряда
(или его конечного отрезка). Далее, множество 36i
периодов каждого ранга i теперь максимально, а все периоды
объявляются периодами первого типа, причем пл = щ
для всех А, т. е. вводятся соотношения первого типа
Ап° = 1 (2)
для каждого 4е^, (Как и в § 25, п =[(h + 1)-1«о]
нечетно, а остальные параметры взяты из списка,
приведенного в начале гл. 7. На основании ПМП все неравенства
с этими параметрами справедливы, если щ — любое
достаточно большое число, а значения остальных
параметров соответствующим образом подобраны.)
Во-вторых, как и в § 27, для каждого периода А
ранга i зафиксируем некоторое максимальное подмножество
слов °Ца со следующими свойствами:
1) если Ге^, то 1 «S \T\ <d\A\;
2) каждый двойной смежный класс группы G(i— 1)
по паре подгрупп (АУ, (АУ содержит не более одного
слова из ^Ул, причем это слово имеет минимальную длину
среди слов, представляющих тот же двойной смежный
класс.
С помощью каждого периода А е 95\ строятся далее
соотношения второго типа. Если а\ не содержится в
группе (АУ cz G(i — 1), то для каждого Ге^(А) не лежащего
в (АУа\ {АУ, вводится соотношение
а,ЛТЛв+8.. .ТАп+ън-ъ = 1. (3)
Если Яг не содержится в подгруппе (АУ <=■ G(i— 1) и не
лежит в (АУа,\(АУ, то для каждого слова Т^^а, не
лежащего в (АУа2(АУ, рассмотрим еще соотношение
a2An+1-TAn+i...TAn+3h-2 = l. (4)
348 ГЛ. И. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Наконец, если s — максимальный номер букв, входящих
в -запись слова A, as+i ей и as+i не содержится в
(АХаг, а2><4>, то для каждого слова Т^<уА, не
лежащего в <4>as+i<4>, введем соотношение
as+1An+2TAn+s... TAn+3h~l = 1. (5)
Все соотношения (3) — (5) называются
соотношениями второго типа и включаются вместе с (2) в 9*,. Как
всегда, Ш{ = S24_i U 9>{, G(j)=<FUfl = l;fle^>, G(oo) =
= <^||Я = 1, Де<й=Дя^.
Лемма 34.14. Построенное выше копредставление
группы G(i) удовлетворяет условию R.
Доказательство. Утверждение леммы 34.2
позволяет без изменения перенести доказательство
леммы 27.2 на рассматриваемые в настоящей главе
непредставления в свободных произведениях. Н
4. Замечание о центральных расширениях. Пусть
задано градуированное копредставление (1) группы G в
свободном произведении F. Группа G представлена в
виде факторгруппы F/N, где ./V — ядро копредставления, и,
как и в § 31, можно образовать факторгруппу #и=
— F/[F, N], которая является расширением группы G =
= F/N с помощью центральной подгруппы N = N/[F, N].
В определенном смысле данное расширение является
максимальным среди центральных расширений группы G,
и для доказательства теоремы 35.5 полезно отметить
некоторые свойства группы Н, параллельные уже
полученным в § 31 для случая, когда F — свободная группа.
В группах G„ по условию нет инволюций. Поэтому
циклический сдвиг какого-либо определяющего слова R
не может совпадать в F со словом R~l. Значит,
алгебраическое число .R-клеток aA(R) = a+(R)~ a~(R)
корректно определяется для ориентированной диаграммы Д, как
и в § 31. Это дает возможность повторить
доказательства лемм 31.1 и 31.2 и сформулировать следующий
аналог теоремы 31.1.
Теорема 34.1. Пусть градуированное
копредставление (1) группы G в свободном произведении F групп
без инволюций является диаграммно асферическим. Тогда
группа N — N/[F, N] есть свободная абелева группа с
базисом {#}Hs$, где R = R[F,N].m
§ 35. ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИЯХ ГРУПП
349
Для группы из п. 3 уточним число порождающих в N.
Лемма 34.15. Если среди групп G^ более одной
неединичной, то построенное в п. % множество
определяющих слов 31 бесконечно.
Доказательство. Допустим, что 52{ = Я для
некоторого L Поскольку среди G„ нет групп порядка 2,
лемма 34.1 позволяет найти 7-апериодическое слово X
такое, что |Х| > 20г. Если X — свободное в G(°°) слово, то
X °=1 по лемме 34.6. В силу лемм 34.2 и 33.4 к
приведенной диаграмме этого равенства можно применить
теорему 22.2, с помощью которой в X ° обнаруживается
Л-периодическое подслово длины > [ere] 141, где А —
период ранга sg i. Легко видеть, что этого не может быть
в силу выбора слова X (что объяснялось также при
доказательстве теоремы 19.3). Если же слово X
сопряжено с a s £(,, то противоречие получается путем
применения теоремы 22.2 к кольцевой диаграмме этой
сопряженности. Н
§ 35. Теоремы о вложениях групп
1. Вложения счетных групп без инволюций. Как и в
п. 33.2, обозначим §1' свободную амальгаму групп G„,
\х ^ /, т. е. такое множество, которое равно U G^, при-
чем G„ П Gv = {1} в §1' при и. Ф v. Говорят, что
отображение /: %х ->■ G является вложением амальгамы %} в
группу Н, если оно инъективно и его сужения на группы G„
являются гомоморфизмами.
Пусть, как и раньше, щ — достаточно большое
нечетное число, удовлетворяющее неравенствам из глав 7, 8.
(В [96] предлагается оценка п > 1075, правда, при иной
системе неравенств.)
Теорема 35.1. Пусть {СУце1—конечное или
счетное множество неединичных конечных или счетных групп
G„ без инволюций, \1\^2, щ — достаточно большое
нечетное число (см. выше). Тогда свободная амальгама Ш1
групп G„ вложима в счетную простую группу G со
следующими свойствами:
1) если X, 7е G, причем XeG„\{l}, Y&G» для
некоторого \i, то группа G порождается парой (X, Y);
2) всякая собственная подгруппа группы G является
Циклической группой порядка, делящего щ, или содер-
350 ГЛ. И. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
жится в подгруппе, сопряженной с некоторой из
групп Сц.
В качестве G можно взять группу G(°°), построенную
в п. 34.3.
Доказательство. Пусть G = G(°°). Лемма 34.14
позволяет применить к группе G леммы 34.4 и 34.5 и
заключить, что естественное отображение S11 ->- G является
вложением амальгамы <&1 в G. Группа G бесконечна по
лемме 34.3. Она счетна ввиду счетности порождающего
множества Я1.
Рассмотрим два неединичных в G элемента I и У
такие, что X е G„, Y Ф Gn для некоторого индекса и,.
Обозначим # = <Х, У>. Допустим, что Y = UZU~l, где 2eG,
для v ^ /. Докажем, что тогда произведение XY —
свободный в G элемент. Действительно, в противном случае
существует приведенная кольцевая диаграмма (какого-то
ранга) для сопряженности произведения XUZU'1 с
некоторым V <^ Gx, К ^ /. Склеивая подпути с метками V
и U~l, получим диаграмму Д на сфере с тремя дырами,
метки контуров которой суть X, Z и V. Результат
удаления /-пар из Д дает приведенную диаграмму А0. Имея в
виду лемму 33.4, мы можем провести разрезы на До с
помощью лемм 22.1 и 22.2 и превратить ее в дисковую
диаграмму Г, периметр которой не больше 9. В силу лемм
33.6 и 23.16 г(Г) = г(До)=0. Отсюда следует
сопряженность буквы V и произведения XU-^ZU-^l (где С*х = U в G)
в свободном произведении G (0) = * Gv. Но это
невозможно, ибо X, Z — буквы, U^UY1 ф £ц, так что циклически
приведенная форма произведения XU^U^1 имеет длину
•> 1. Таким образом, можно считать, что Y — свободный
элемент в G = G(°°).
По лемме 34.7 слово Y сопряжено в G со степенью С\
где С — период некоторого ранга. Переходя к
сопряженной подгруппе, можем считать, что Ch e Я, а возводя в
подходящую степень и учитывая лемму 34.7,— что
100 £-1 < к < j «о- в СИЛУ леммы 34.11 в Н найдется
такой элемент W, что [С\ W] Ф 1 в G. Далее, в подгруппе
Я, сопряженной с Н, можно, как и в лемме 27.3, найти
период F некоторого ранга и неперестановочное с ним
слово Т такие, что \Т\ < 31 Л. (При этом нужно
дополнительно отметить, что встречающийся в доказательстве
аналога леммы 27.3 коммутатор [С\ W] должен быть свобод-
§ 35. ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИЯХ ГРУПП
351
ньш элементом в G. В самом деле, если он сопряжен в G
со словом V длины 1, то неравенство \V\ < 10~%к дает
противоречие точно так же, как в леммме 25.20. Кроме
того, слово ZA' свободно в G, ибо иначе при
рассмотрении С-диаграммы Д слово Fa заменяется на букву V, что
приводит к противоречению с неравенством (10) § 27,
означающего, что IЛ = \q\ > 1.)
Поскольку d > 3, из определения в § 34 соотношений
(3) и (4) ранга |F| следует теперь, что аи а2 <^ (F, ТУ <=
аШ. Очевидно далее, что А = Я[Я2 (или а2а\)—период
ранга 2, и элемент Т = а\ не перестановочен с А в
ранге 1 (или в ранге 0, что то же самое). Из (5) выводим,
что из е Н. Заметим, что а\ и яз или а2 и а% лежат в
разных группах G„. Поэтому одно из слов а\а%, а%а\, а2а3,
a3ffl2 — период ранга 2. Отсюда опять с помощью (5)
получаем, что я4 е н и т. д. Следовательно, Н = G и Н =
= G. Свойство 1) проверено.
Пусть теперь И — произвольная подгруппа. Если в
U есть неединичный элемент вида ХаХ~1, где я е G„, то
из доказанного свойства 1) следует, что Н <=■ XG^X"1 или
# = G. Поэтому при доказательстве свойства 2) можно
считать все неединичные элементы из Н свободными в G.
Если Н неабелева, то, как и выше, получим Н — G. Если
Я абелева, то она циклична по лемме 34.9, а по
лемме 34.6 ее порядок делит щ.
Докажем простоту группы G. Предположим, что ./V —
неединичная нормальная в G подгруппа. Если она имеет
неединичное пересечение с одной из подгрупп G^, то по
доказанному свойству i) N = G или N <=■ Gv. В последнем
случае из леммы 34.10 следовало бы, что GM = G, что
противоречит лемме 34.5. Остается предположить, что ./V —
Циклическая подгруппа, неединичные элементы которой
свободны. В таком случае ./V — центральная в G
подгруппа по лемме 34.7. Но тогда G — конечная циклическая
группа по леммам 34.9 и 34.7, что противоречит
лемме 34.3. Итак, N = G, и теорема полностью доказана. Н
Нетрудпо понять, что теорема 35.1 не распространяет-
ся на группы G„ с инволюциями, так как всякая
инволюция i е 6ц вместе с любой сопряженной ей инволюцией /
Должна порождать в G диэдральную подгруппу.
Представляется, однако, что, учтя исключения такого рода в
Формулировке (как это делается далее в § 36) более об-
Щей теоремы, можно не оговаривать отсутствие инволю-
Чий в G„.
352 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
2. Несколько следствий. Начнем с применений
теоремы 35.1 к вопросам о строении групп с условием min,
в частности, рассмотрим известную проблему о
существовании несчетных артиновых групп. Видимо, впервые она
была поставлена в 1947 г. А. Г. Курошем и С. Н.
Черниковым в обзоре [63] (см. также книгу [62]). Счет-
ность локально конечных артиновых групп
следует из теоремы В. П. Шункова [127] (см. также
[190] и [191]).
Непосредственно из теоремы 35.1 вытекает
Следствие 35.1. Если в условии теоремы 35.1 все
группы Gv артиновы, то и содержащая их группа G арти-
нова. Н
Можно также добавить, что если порядки элементов
из всех Сц ограничены в совокупности, то и группа G
имеет конечный период, а если порядки элементов групп
Сц имеют простые делители из некоторого множества
простых чисел Р, то путем выбора числа щ это же свойство
обеспечивается и для группы G.
Следствие 35.2. Всякая квазиконечная группа G\
(конечного периода) без инволюций содержится в виде
собственной подгруппы в некоторой простой артиновой
группе G (конечного периода) без инволюций.
Доказательство. Достаточно взять в качестве
G2 циклическую группу порядка m (или даже
порядка 3), а в качестве G — группу из теоремьг«85.1 для
множества {Gi, G2). ■
Доказанное утверждение отвечает, в частности, на
один вопрос В. П. Шункова ([60], 9.81).
Следствие 35.3 [84]. Существует квазиконечная
группа G, в которую вложима любая конечная группа
нечетного порядка.
Доказательство. Множество всех
неизоморфных между собой групп G» нечетных порядков счетно.
Поэтому к этой системе групп применима теорема 35.1,
дающая квазиконечную группу G. В
Так же, как в § 28, можно обосновать эффективность
построения группы G из следствия 35.3 и
алгоритмическую разрешимость в ней проблем равенства,
сопряженности и вхождения.
Приведем теперь ответ на сформулированный выше
вопрос о несчетных артиновых группах. При
доказательстве теоремы 35.2 естественно предполагать, что
читатель знаком с трансфинитной индукцией.
§ 35. ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИЯХ ГРУПП
353
Теорема 35.2. Существуют артиновы группы
первой несчетной мощности К]. (Более того, такие группы
могут иметь конечный период и быть простыми.)
Доказательство. Проведем индуктивное
построение групп Gx для всех порядковых чисел х, не
превышающих первого несчетного порядкового числа ©i,
вместе с вложениями Gv ->- G" дри v < х.
Возьмем в качестве G1 произвольную счетную артино-
ву группу без инволюций, скажем, циклическую группу
порядка щ. Пусть далее х «£ ©i и артиновы группы Gv
построены уже (вместе с вложениями) для всех v < х,
причем они счетны при v < x и не имеют инволюций.
Если х — предельный трансфинит, то положим
= [J Gv. Если же х = X + 1, то Gk — счетная группа без
инволюций. Рассмотрим ее свободную амальгаму St1,
например, с циклической группой порядка щ и применим
к S11 теорему 35.1. Полученную простую счетную группу
без ипволюций (с естественным вложением в нее группы
GK) обозначим G". Очевидно, что G" Ф Gx и что по
теореме 35.1 можно строить все группы G* имеющими
конечный период щ.
В силу строгих включений Gv <= G" при v < x группа
G* несчетна и имеет мощность К]. Для доказательства
теоремы нужно показать по индукции, что все построенные
группы Gv артиновы при х < соь
Пусть х = v + 1. Поскольку группа G" была построена
из групп Gv и Z„o с помощью теоремы 35.1, любая
собственная подгруппа группы G* конечна или изоморфна
подгруппе группы G\ Поскольку группа Gv артинова по
предположению индукции, артинова и группа G".
Пусть х — предельный трансфинит, т. е. GK = jj Gv.
r V<K
о этом случае достаточно показать, что всякая
собственная подгруппа Н группы G* содержится в некоторой
подгруппе Gv для v < х.
Допустим, что, напротив, для всякого v <; х в Н
найдется элемент Y <£GV и установим равенство Н = Gx.
Для этой цели докажем включения Gv cr H для всякого
v<!x. Действительно, в Н найдется.неединичный элемент
X, который лежит в G*1, где vx>v. Найдется также
непредельный трансфинит v2 > v1 такой, что в GV2\GVi~1
23
А. ю. Ольшанский
354 гл. и. копредставления в свободных произведениях
содержится неединичный элемент У из подгруппы Я. Но
из построения группы G а и теоремы 35.1 следует, что
<Х, У> = G 2, т. е. Я гэ G 2 =э Gv, что и требовалось.
Группа G * проста, поскольку объединение
возрастающей цепи простых групп всегда является простой
группой. Н
Следствие 35.4. Существует несчетная группа
(артинова, конечного периода), все собственные
подгруппы которой счетны.
Доказательство. Пусть Я — несчетная артино-
ва группа. В силу условия минимальности в ней есть
минимальная подгруппа G несчетной мощности, что и
доказывает следствие. (Как видно из построения группы
G * в доказательстве теоремы 35.2, в качестве G
можно взять всю группу G 1, ибо всякая собственная
подгруппа Я группы G * содержится в Gv при v < ©i.) ■
Совсем из других соображений существование «групп
Йонсона», т. е. несчетных групп, все собственные
подгруппы которых счетны, было установлено ранее (хотя и без
дополнительных свойств группы G) Шелахом [250].
Следующее утверждение одновременно, независимо и
по-разному доказано С. В. Ивановым [49] и В. Н.
Образцовым [85]. *
Теорема 35.3. Существуют счетные простые
(кроме того,, артиновы, конечного периода) группы без
максимальных подгрупп.
Доказательство. Рассмотрим группу G =
оо
= (J G\ которая, в частности, была построена при до-
казательстве теоремы 35.2. Группа G" проста как
объединение возрастающей цепи простых по теореме 35.1 групп
G\ Как было установлено при доказательстве
теоремы 35.2, каждая собственная подгруппа Я с Сш
содержится в некоторой из групп G'. Поэтому группа G" не имеет
максимальных подгрупп. BS
Утверждение теоремы 35.3 интересно в связи с одним
вопросом о подгруппах Фраттини. Подгруппой Фраттини
Ф (G) произвольной группы G называется пересечение
всех максимальных подгрупп группы G (0(G)=G, если
в G нет максимальных подгрупп). Для конечно
порожденных групп Gi и G2 всегда 0(Gt X G2) = ®(Gi)X
§ 35. ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИЯХ ГРУПП 355
X Ф (G2) [240]. Вопрос о справедливости такого
равенства для любых групп был сведен в [155] к вопросу о
существовании бесконечной простой группы G без
максимальных подгрупп. (В этом случае 0(G)XO(G)= GXG,
а диагональная подгруппа {(g, g)} максимальна в G X G
(упражнение), откуда Ф(СХб)={1}.) Первый пример
бесконечной (однако несчетной) простой группы без
максимальных подгрупп найден Шелахом [250]. Из
теоремы 35.3 следует, что 0(GiXG2) и Ф(С1)ХФ(С2) не
всегда совпадают уже в классе счетных групп.
Ряд теоретико-групповых работ посвящено
ослабленным условиям минимальности и максимальности. Слабое
условие минимальности min-°° для группы G состоит в
том, что в группе G нет бесконечных убывающих цепей
подгрупп Я] => Яг => ... таких, что все индексы \H{:Hi+i\
бесконечны. Аналогично определяется условие тах-оо.
Этим условиям удовлетворяют, например, все конечно
порожденные разрешимые группы конечного ранга
(Робинсон [234], Д. И. Зайцев [45]). В то время как
требования max и min антагонистичны (ср. теоремы 7.4 и 7.5),
условия тах-оо и min-°° значительно ближе. Более того,
они совпадают в классах всех разрешимых групп или
всех локальных конечных групп (Бэр [136], Д. И.
Зайцев [44]), и не было примеров, показывающих, что
условия тах-оо и min-oo различны.
Следствие 35.5. Существует группа G,
удовлетворяющая условию min-oo (и даже условию min), но не
удовлетворяющая условию тах-оо. (При этом в качестве
G можно взять простую группу конечного периода.)
Доказательство. Достаточно показать, что в ар-
тиновой группе GM (см. доказательство теоремы 35.3)
подгруппы G! таковы, что индексы |G1+1 : G'\ бесконечны
для каждого i = 1, 2, ... Для этого нужно вспомнить,
что по своему построению (с помощью теоремы 35.1)
группа Gi+1 бесконечная и простая. Значит, в ней не
может быть никаких собственных подгрупп Я конечного
индекса — иначе по теоремам 3.3 и 5.2 в группе GI+1
была бы собственная нормальная подгруппа Л {+1яЯа;-1
3CS(7
конечного индекса в Gl+1. щ
Приведем еще одно приложение теоремы 35.1,
которое перекликается с первыми общими теоремами о
вложениях, полученными Хигменом, Б. Нейманом и X.
Нейман [179] в 1949 г. Они доказали, в частности, что любая
23*
356 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
счетная группа может быть вложена в некоторую 2-по-
рожденную группу. Аналогичный вопрос можно ставить
«внутри» любого многообразия групп S3. Однако до
последнего времени не было известно ни одного
многообразия групп S3, кроме многообразия всех групп и
единичного многообразия (в котором нет неединичных групп),
с тем свойством, что всякая счетная группа из 23 вложи-
ма в r-порожденную группу из S3 для некоторого
натурального г. Самостоятельный интерес эта задача
имеет и для многообразия Бернсайда групп данного
периода.
Пусть по — любое достаточно большое нечетное
число (см. п. 1).
Теорема 35.4. Всякая счетная группа Н из
многообразия Бернсайда Ъп [т. е. группа Н с тождеством
х ° = lj изоморфно вложима в некоторую 2-порожденную
группу G из S9n •
Доказательство. Рассмотрим две группы G\ и
G2, где G; = Я, a G2 = Ъп , и применим к ним
теорему 35.1, в соответствии с которой полученная группа G
является 2-порожденной и удовлетворяет тождеству
/°=1. И
В терминологии, предложенной в [100], м%огообразие
Эк имеет инъекционный ранг 2. Вообще, если
многообразие .(групп) S3 имеет инъекционный ранг г, то 33-сво-
бодную группу Fv{°°) со счетным базисом St можно
вложить не только в некоторую r-порожденную группу G из
S3, но и свободную r-порожденную группу Fv(r) этого
многообразия. Действительно, по теореме 6.4 существует
гомоморфизм а группы Fv{r) на группу G. Пусть, кроме
того, ^: Fv{°°)-^ G — изоморфное вложение. Выберем для
каждого элемента базиса а е % такой элемент b^Fv(r),
что а(Ь)= $(а). Теперь по, теореме 6.4 можно определить
гомоморфизм t- Fv (<»)->- Fv(r) такой, что ч(а)=Ь.
Значит, ay = fl и Ker t — Ш, поскольку Кег р = Ш, т. е. f —
вложение. Тем самым получено
Следствие 35.6. В 2-порожденной свободной
группе многообразия 23п есть подгруппа, изоморфная
счетно порожденной свободной группе многообразия S3ry
Первое доказательство приведенного утверждения
для «о 5г 665 дал В. Л. Ширванян, и этому посвящена его
§ 35. ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИЯХ ГРУПП
357
работа [123], в которой усиливается теорема С. И. Адя-
на [5] о возможности вложения 3-порожденной свободной
re-периодической группы в 2-порожденную свободную
л-периодическую группу при нечетных п ^ 665.
3. Подгруппы квазиконечных групп. Напомним, что
бесконечная группа квазиконечна, если конечны все ее
собственные подгруппы. Доказав теорему 28.1, мы
получили первые примеры квазиконечных групп, отличных от
квазициклических групп СрОС. Теперь же представляется
возможность описать все конечные группы, которые
могут быть подгруппами квазиконечных групп. В [42]
доказана
Теорема 35.5. Конечная группа К вложима в
некоторую квазиконечную группу Я в том и только в том
случае, когда группа К разлагается в прямое
произведение К = К\Х К2 группы К\ нечетного порядка и абе-
левой 2-группы К2.
Доказательство. Для доказательства
необходимости условия теоремы рассмотрим конечную подгруппу
К квазиконечной группы Н. Силовская 2-подгруппа К2
группы К содержится в центре группы Я по
следствию 7.4. Тем более, К2 — центральная подгруппа в К.
Факторгруппа К/К2 имеет нечетный порядок, как видно
из определения силовской 2-подгруппы. Поэтому по
теореме 5.5 К = К2 X К\, где очевидно К\ = К/К2.
Докажем «достаточность», т. е. возможность вложения
конечной группы К в некоторую квазиконечную
группу Я, если К = Кх X К2, где К2 — абелева 2-группа,
а К\ — группа нечетного порядка. Для этой цели
рассмотрим произвольную вспомогательную группу G\ нечетного
порядка и свободную амальгаму групп К\ и G\ вложим
в квазиконечную группу G в соответствии с
теоремой 35.1. Как утверждается в этой теореме, копредстав-
ление группы G можно построить по правилу,
предложенному в п. 34.3, т. е. оно по лемме 34.14
удовлетворяет условию R для копредставлений в свободном
произведении F. Поэтому в силу леммы 34.2 и следствия 25.1
данное градуированное непредставление группы G = F/N
асферично.
Образуем теперь расширение Т =_F/ [F, /V] группы G
с помощью центральной подгруппы TV = N/[F, N]. Груп- ^
па TV является свободной абелевой группой по ,
теореме 34.1, причем ее свободный базис бесконечен по
лемме 34.15. Поэтому по теореме 6.4 (и теореме 3.3) груп-
358 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕПИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
пу К.2 можно представить в виде некоторой
факторгруппы: Кг = N/M. Поскольку М лежит в центре группы Т,
можно образовать факторгруппу Я = F/M, которая
является расширением группы G с помощью К2.
Подгруппа К\ вложена в G. Значит, по теореме 3.7 в II
содержится некоторое расширение Ко группы К\ с
помощью центральной подгруппы К2. По теореме 5.5 Ко =
= К^ X К2, т. е. группа К изоморфно вложена в Я, и
остается доказать, что Я — квазиконечная группа.
Бесконечность группы Я очевидна, ибо такова ее
факторгруппа G. Допустим далее, что S — бесконечная
подгруппа в II. Тогда бесконечна группа SK2/K2, так как
по теореме 3.6 она изоморфна группе S/K2 П 5, а
подгруппа К2 П S конечна. Поскольку SK2/K2 <= Н/К2 = G, из
квазиконечности группы G следует, что SK2/K2 — Н/К2,
т. е. SK2 = II по теореме 3.7. Ввиду того что К2 лежит
в центре группы Я, из равенства SK2 = Я вытекает
нормальность подгруппы S в II.
По теореме 3.6 имеем II/S = SK2/S = K2/S П К2, т. е.
H/S является 2-группой, ибо таковой является К2. С
другой стороны, группа Я является факторгруппой группы
F — Ki * Gu которая порождается элементами нечетных
порядков. (Напомним, что К\ и G\ — конечные группы
нечетных порядков.) Значит, II, а также Я/5 порождаются
своими элементами нечетных порядков. Но Я/5*является
2-группой. Следовательно, \II/S\ =1 и S = II, что и
требовалось. И
Как видно из доказательства «достаточности» в
теореме 35.5, группа К может быть вложена в квазиконечную
группу конечного периода, делящегося па те же простые
числа, что и \К\.
§ 36. Операции над группами
1. Точные операции. Говорят, что на классе всех групп
задана точная операция °, если каждому семейству групп
G;,, р, е /; сопоставлена группа G = О G^, причем за-
ЦЗЕ1
даны вложения, образами которых (они называются
сомножителями и также обозначаются G„) порождается
группа G, а любые изоморфизмы сомножителей G^ -*■ Яй
продолжаются до изоморфизма О-произведений G-v О Я^
(абстрактность операции О)-
Классическими примерами точных операций являют-
§ 36. ОПЕРАЦИИ НАД ГРУППАМИ
359
ся прямое и свободное умножения групп, для которых
справедлив ряд дополнительных постулатов. К их
основным свойствам относятся следующие постулаты.
Постулат Мальцева. Он состоит в том, что для
любых подгрупп Сц сомножителей Gw тождественные
вложения Сд-э-Сц продолжаются до вложения группы О G^
в G, т. е. подгруппы сомножителей порождают в G свое
О-про из ведение.
Постулат ассоциативности. Если
множество / разбито на подмножества К, 1е/, то группа G
канонически изоморфна группе О / О Gp\.
a-j [»six j
Постулат фу нкт ор и о с та. Если G — О G^ и
Я = О Яц, то любая система гомоморфизмов Gtl ->- Яй
продолжается до гомоморфизма G ->■ II.
Постулат правильности. Каждый
сомножитель Gu имеет в G = О G^ единичное пересечение с нор-
it
мальным замыканием в G объединения всех остальных
сомножителей. (Заметим, что правильные операции и
только они факторизуются до прямого произведения.)
Точные операции можно, конечно, определить и
внутри тех или иных многообразий и других классов групп.
Так, важным примером является свободное умножение
>Kj; внутри данного многообразия 93. Если G^ — группы
из 23, то G = ^jgGn определяется как факторгруппа
свободного произведения F = >(с G^ по вербальной иод-
группе V(F), отвечающей тождествам многообразия 23.
В частности, свободным умножением внутри класса всех
абелевых групп служит обычное прямое умножение.
Легко проверить, что внутри многообразия 23 умножение ^55
ассоциативно, фупкторно и правильно. Однако постулат
Мальцева, как правило, нарушается, хотя есть и
исключения, среди которых, например, многообразие абелевых
групп. (Первые примеры неабелевых «мальцевских»
многообразий приведены в [87], чем дается ответ па один
вопрос из книги [70].)
Операция ^ может быть распространена на класс
всех групп — в этом, случае группа F = >К G^ факторн-
зуется по пересечению подгруппы V (F) с декартовой под-
360 -ТЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
группой С — ядром канонического гомоморфизма
группы F на прямое произведение X G>- Определенная так
операция носит название Ъ-вербалъного умножения [215].
Таких операций очень много, но ни одна из них, кроме
прямого и свободного умножений, не удовлетворяет
постулату Мальцева [124]. Характерными мальцевскими (а
также правильными, функторными) операциями являются
умножения Грюнберга — Шмелъкина [166], [124]. Для
фиксированного многообразия 93 они определяются
посредством факторизации свободного произведения F по
V(C), где С—декартова подгруппа в F. Среди таких
операций не существует, однако, нетривиальных
примеров с постулатом ассоциативности.
Аксиоматическое изучение операций на группах было
начато О. Н. Головиным в 40-х годах. Обзор [23]
посвящен вопросам классификации операций. В этой статье
как один из основных открытых вопросов «проблема А»
вновь ставится проблема А. И. Мальцева,
сформулированная им в 1948 г., существуют ли, кроме свободного и
прямого умножений, ассоциативные мальцевские
операции? Этот вопрос представляется авторам [23]
«центральным во всей «абстрактной» теории точных» операций. Он
поставлен и в книге [62] (с. 475).
В классе групп без инволюций мальцевские
ассоциативные операции были построены С. И. Адяном Цб]1),
который заметил, что метод работ [80], [5] может быть
распространеп на изучение факторизации свободных
произведений по специально выбранным соотношениям вида
Ап = 1. Введенное С. И. Адяном «-периодическое
умножение П" (п нечетно, п 5s 665) обладает интересными
свойствами. В частности, группа Jx^n проста (здесь
м.
более одного неединичного сомножителя тогда и только
тогда, когда каждая из групп G» порождается и-ми
степенями своих элементов [8]).
Класс всех групп без инволюций весьма обширен, но,
к примеру, в своем пересечении с классом конечных групп
содержит лишь разрешимые группы. Поэтому в п. 3 будет
построена мальцевская ассоциативная операция (точнее,
серия операций) в классе всех групп, что полностью
решает [98] сформулированную выше задачу А. И. Мальце-
') Поправка об отсутствии инволюций в сомножителях
содержится в [8].
' § 36. ОПЕРАЦИИ НАД ГРУППАМИ . 361
ва. Эти операции, вводимые для. достаточно больших
(четных или нечетных) п, скажем п ^= 1010, обозначаются П",
как и в [6], [8]. В случае сомножителей без инволюций и
нечетного п они, по существу, совпадают с гг-периодиче-
скими произведениями С. И. Адяна. (Однако
отождествление этих операций является отдельным вопросом,
так как схема, предложенная в гл. 6, уже в исходных
определениях отличается от подхода Новикова — Адяна.)
Отметим, что в случае четных п или сомножителей G№
с инволюциями группа П™^ не обязана теперь быть
периодической при периодических сомножителях.
В классе групп без инволюций интересны операции
О™, предложенные С. В. Ивановым. Их определение, в
отличие от определения операции П", не является
индуктивным, что является несомненным достоинством и
облегчает вывод основных свойств операций О™- (В то же
время доказательство ассоциативности для И" не
приводится. Сравнение свойств множеств периодов всех рангов,
возникающих при разных порядках применения
операции И", а значит, при разных определениях этих
множеств, заняло бы здесь много места.) Операции О™, в
отличие от П", являются в классе всех групп без инволюций
не только мальцевскими и ассоциативными, но и
правильными и функторными.
2. Операции О . Итак, в этом пункте
рассматриваются только множители без инволюций и фиксируется
достаточно большое нечетное п (например, п > 1010). Пусть
F — свободное произведение групп G^ Я1 — их свободная
амальгама, а С — декартова подгруппа в F. Определим
подгруппу N с р как подгруппу, порожденную всеми
такими словами Хп в алфавите 911, что Хп представляет
какой-то элемент из С. Другими словами, Хп «исчезает» в
прямом произведении ХСц^ F/C. Обозначим 0"&ц фак-
торгруппу G = F/N, причем гомоморфизмы G^-> О™ Gp, —
v-
это канонические гомоморфизмы в факторгруппу. При
таком определении операции О™ неясно, могут ли в
группе G появиться инволюции. (Не могут, как следует далее
из тооремы 36.2.) Но если отвлечься от этого
обстоятельства (или рассматривать пока операцию О™ в классе
всех групп), то прямо из определения выводится
362 ГЛ. И. КОПРЕДСТАВЛЕПИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Теорема 36.1. Операция О™ является точной,
функтурной, правильной и ассоциативной.
Доказательство. Пусть f/. Gu -*- Н„ —
произвольные гомоморфизмы. По теореме 33.3 они
продолжаются до гомоморфизма свободного произведения/: F-*~H =
= ОпНр. Кроме того, имеется канонический гомомор-
м.
физм ф: F-+G— OnG^ и чтобы гомоморфизмы /„ про-
у.
должалпсь до гомоморфизма G -*• Н, достаточно
установить, что Кег ф с Кег /.
По определению Кегф порождается словами X", где
X" исчезает в X G^. Это означает в точности, что для
всякого и. X" превращается в 1 в группе Gw если из X
вычеркнуть все буквы, не принадлежащие G> Но данное
свойство сохраняется при переходе от G^ к Н^
посредством канонического гомоморфизма я|): F-^K—^H^.
Значит, "ф(Хп) лежит в ядре гомоморфизма а: К ~+ Н.
Остается заметить, что / = агр. Таким образом, О — функ-
торная операция.
Как видно из определения операции Оп, N czC, т. е.
группа OnGV канонически факторизуется до ирямого про-
и
изведения. Отсюда (и из теоремы 3.7) следует, конечно,
точность и правильность операции О™.
Для доказательства ассоциативности рассмотрим
произвольное разбиение / = П 1% множества индексов. Группа
G = 0™f Оп&Л является факторгруппой свободного про-
изведения F = ^ G% /где Gx = О" (*Л по нормальной
подгруппе N, порожденной такими словами Хп /в
алфавите St1 = U Gx\ что для всякого л. X" дает единицу в
G%, если заменить на 1 все буквы, не принадлежащие G .
Если представить каждый элемент из G% в виде слова в
алфавите $х = U ^и> т0 отсюДа в силу правильности
операнд
ции О" следует3 что X" = 1 в X G^, а значит3 X" исче-
§ 36. ОПЕРАЦИЯ НАД ГРУППАМИ 363
зает при подстановке 1 в X вместо всех букв алфавита
gt1 кроме букв из произвольного G^. Поэтому Xя = 1
в G.
Аналогично, если Z" = 1 в G (I — слово в алфавите
St1), то по определению групп G1, мы получим 1 в группе
G\ если заменим в X на 1 все буквы из St1 \ SC>,-
Поэтому, переписывая X в алфавите St1, мы должны иметь
X" — 1 в Q. Тем самым ассоциативность доказана. ■
Постулат Мальцева никак не выводится из столь же
общих соображений, и для его обоснования нужно
построить градуированное копредставление группы G = О G^.
Как обычно, G (0) = F = %. G^, а группы G(i) получа-
ются после задания множеств 324 их определяющих слов.
По определению S?o = 5?i = Ф. При индуктивном
определении вводится множество SBi периодов ранга i S5 2 как
множество, состоящее из слов длины £, простых в ранге
i-1 и имеющих конечные порядки в группе F/C ^ X G^,
и максимальное относительно условия, что если A, Be
е $вi и А Ф В, то А не сопряжено в ранге i — 1 с В
или с J3-1. Если тА — порядок слова А в F/C, то
определим пА, как наименьшее общее кратное чисел тА и п.
Положим, наконец, ^» = [аПа \ А «= .^}, &t\ = 5?i-i U 9"и
G(i) = (F\\R = l; Д е= Я»> и G (oo) = <F||# = 1; йеЖ =
oo
= U #i>.
Для того чтобы распространить на определенное так
градуированное копредставление результаты из § 18, 19,
нужно внести следующие уточнения. В формулировке
следствия 18.2 добавляются слова: «...или подгруппа
<Х, 7>c:G(i) сопряжена в ранге i с подгруппой образа
одного из сомножителей G^ в группе G(i)». В
формулировках лемм 18.1 и 18.3 дополнительно требуется, чтобы
слово X было свободным в ранге i. В утверждении 1)
леммы 19.3 говорится теперь, что если т — порядок слова А
в F/C и \А\ «Si, то порядок слова А в G(i) делит
наименьшее общее кратное чисел т и п. В лемме 19.5
требуется, чтобы первый и последний слоги слова ц>{р)
представляли неединичные элементы соответствующих
сомножителей.
364 ГЛ. И. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Следующее утверждение вполне аналогично
лемме 34.2.
Лемма 36.1. Для построенного градуированного ко-
представления G(°°) в свободном произведении F
справедливы с учетом указанных выше поправок все
утверждения из § 18, 19, начиная с леммы 18.1 и кончая
леммой 19.5.
Доказательство. Объяснение сделанных
поправок такое же, как и в лемме 34.2 (Нужно учесть
леммы 33.1 и 33.2 вместо лемм 33.3—33.6. Вместо леммы 25.5
рассмотреть лемму 18.6, а ссылку на теорему 22.4
заменить ссылкой на теорему 17.1.) и
Лемма 36.2. Группа G(°°) совпадает с группой
G=OnG».
м.
Доказательство. Пусть А — период ранга i
ивА = ns. Тогда для слова X = А" получим Хп = 1
в группе F 1С. Значит, соотношение А А = 1
справедливо в G по определению операции О™. Обратно, пусть
Хп — одно из слов, порождающих нормальную подгруппу
N в F (такую, что G = F/N) ,т.е.Х" = 1в F/C. Но
тогда по лемме 19.3 (с измененной выше формулировкой)
Х» = 1 в G{\X\), а тем более в G(°°). Следовательно,
копре дставления групп G и £(°о) имеют одно и то же
множество соотношении, и
Выделим теперь произвольные подгруппы G^ в
группах G^ и обозначим St'1 = U G'^.
Лемма 36.3. Если все сегменты контура р
приведенной дисковой диаграммы А ранга i имеют метки из St,
то и сегменты всех клеток диаграммы А обладают тем же
свойством.
Доказательство. Рассуждая «от противного»,
выберем контрпример А с минимальным числом 5?-кле-
ток. По лемме 19.5 и следствию 17.1 \р\ > 1, и слово ф(^)
можно считать циклически приведенным. По теореме 16.2
в А найдется Й-клетка П и подкарта ее примыкания Г к
р такая, что г(Г) = 0 и (П, Г, р)> е. Пусть <9(П, Г, р) =
= PiqiP242- Поскольку гп > 2, то и q)(?i)> 2\A\, где А —
период клетки П. Следовательно, все слоги слова А
содержатся в множестве слогов слова ф(gi), отличных от пер-
лпА
вого и последнего. Так как А == ф (<9П), то все слоги
метки клетки П лежат в (St')'. Пусть q дополняет подпуть
§ 36. ОПЕРАЦИИ НАД ГРУППАМИ 365
gi до контура клетки П. Тогда,_вырезая клетку П из А
и заменяя_подпуть q2 в р на p^qpT1, мы приходим к
диаграмме А с меньшим числом 5?-клеток и аналогичным
условием на сегменты контура. Поскольку в А нет клеток,
опровергающих утверждение леммы, то нет их и в А. н
Теорема 36.2. Операция О определена в классе
всех групп без инволюций и удовлетворяет в нем
постулату Мальцева.
Доказательство. Ввиду нечетности числа п,
отсутствия инволюций в множителях G^ и леммы 18.3 в
группе G = О™ £ц пет инволюций.
Пусть G'^ — подгруппы групп G^, Я — порожденная
ими подгруппа в G, a G' = О™ G> Из определения опера-
ции непосредственно видно, что каждое соотношение
между множителями G^ группы G' выполняется и в группе
Я между элементами подгрупп G^. Обратно, пусть W = 1
в G, где W — циклически несократимое слово в алфавите
(St')1. Как следует из леммы 36.3, это равенство вытекает
.та .
только из соотношении вида А =1, где А — слово в ал-
АПА
фавите (St')1. Поэтому достаточно показать, что А =1 —
следствие соотношений группы G'. Но по определению
число пА есть наименьшее общее кратное порядка m
слова Л в группе F/C и числа п. Поскольку F'/C —
подгруппа в F/C, по лемме 19.3, примененной к группе G',
АПА = 1 в G'(\А\), а следовательно, и в G'. Итак,
между G' и Я установлен канонический изоморфизм, а
Можно отметить несколько свойств операции О
(в классе без инволюций), аналогичных свойствам
«-периодических произведений, установленных в [6], [8].
Непосредственно из определения видно, что О G^
—периодическая группа (конечного периода), если сомножители G^
являются периодическими группами (ограниченных
периодов). Кроме того, внутри многообразия 33„
«-периодических групп операция О совпадает со свободным
умножением в 33„. Поскольку определяющие соотношения
групп Сг(оо) = Оя£ц являются весьма частными слу-
чаями соотношений с условием R, можно применить
результаты из § 34, согласно которым группа OnGll
366 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
бесконечна, если среди сомножителей более одной
неединичной группы; Gy. П XG^X-1 = {1} при X Ф G/,
всякая абелева или конечная подгруппа в G (°о) является
циклической или содержится в подгруппе, сопряженной с
некоторым сомножителем G/, централизатор элемента X из
Сц лежит в Сц, а если X не сопряжен с элементами
сомножителей Сгц, то его централизатор цикличен и др.
Из определения операции О видно, что подгруппа
N (где F/N^OnGil) такова, что 7(F) П С => N =>
=>F(C), если V — оператор взятия вербальной
подгруппы, отвечающей слову хп. Можно поэтому сказать, что
О™ — операция, промежуточная между вербальным
умножением и операцией Грюнберга — Шмелькина.
Разумеется, аналогичные операции можно определить для
любых слов. Их можно назвать квазивербальными, поскольку
способ их задания соответствует заданию
квазимногообразий (определение которых см. в [70]).
3. Построение операций \\п в классе всех групп.
Теперь G» — произвольные группы, а п — любое четное или
нечетное достаточно большое целое число. Дадим
индуктивное определение копре дставления группы Цп G^.
Как всегда, G (0) = >fc G^, <%0 = $,х = 0. Новое условие
v- *
состоит в том, что периоды не должны быть
произведениями пары инволюций. Точнее, множество дб\ периодов
ранга i 5^ 2 состоит теперь по определению из простых
в ранге i — 1 слов длины i, которые не равны в ранге
i — 1 произведению каких-либо двух инволюций (группы
G(i — 1)), причем $6i максимально с тем свойством, что
если А, В е ggi и А Ф В, то А и B±l не сопряжены в
ранге £ — 1. Далее,
G(£) = <F||i? = l; i?e=^i>,,
со
G(oo) = <F[|# = 1; /?<=;%= U $г>.
г=1
По определению полагаем П™^ = G (оо), где гомомор-
и
физмы G„ ->- G(°°) заданы канонически.
§36. ОПЕРАЦИИ НАД ГРУППАМИ 367
Способ задания операции Пп позволяет использовать
для ее изучения леммы из § 18, 19. Однако в их
формулировки (как и в случае операции О/ необходимо
внести некоторые изменения. В формулировке следствия 18.2
добавляются слова «...или подгруппа (X, Y>^G(i)
сопряжена в ранге i с подгруппой образа одного из
сомножителей G^ в группе G(i)». В формулировках лемм 18.1,
18.3 и утверждения 1) леммы 19.3 дополнительно
требуется, чтобы слово X было свободным в ранге I. В конце
формулировок лемм 18.9, 19.2 и утверждения 1)
леммы 19.3 добавляются теперь слова: «...либо А —
произведение двух инволюций в группе G(i)>>. Формулируя
лемму 19.5, требуем, чтобы первый и последний слоги в ф(р)
представляли неединичные элементы соответствующих
сомножителей.
Зафиксируем перечисленные изменения, как в
лемме 36.1.
Лемма 36.4. С учетом указанных выше поправок
для построенного в настоящем пункте копредставления
группы G(°°) справедливы утверждения от леммы 18.1 до
леммы 19.5.
Доказательство. Кроме пояснений, уже
сделанных ранее (в лемме 36.1 или 34.2), нужно объяснить
поправки, связанные с парами инволюций.
При доказательстве леммы 18.9, как и в § 18, полу-
г г
чим Z2 = 1. Далее, из равенства А — Z A Z следует,
г
что (AZ)2 = 1. Заметим, что Z и AZ неединичны в ранге £,
ибо по лемме 18.3 простое в ранге i слово А имеет бес-
i
конечный порядок в G(i). Поэтому А = (AZ)Z—
произведение двух инволюций в G (i).
Доказательство леммы 19.2 меняется лишь в момент
применения леммы 18.9, изменение формулировки
которой и привело к соответствующему изменению
формулировки в 19.2. В доказательстве леммы 19.3 нужно
дополнительно отметить, что степень произведения двух
инволюций X ж Y — тоже произведение двух инволюций,
С т—1 1—т~[
так как (XY)m = X \(YX) 2 Y (YX) 2 J, если к не-
четно, и (XY)m=x{{Y{XY) 2 jX\Y(XY) 2 j), если к
четно. Применение. леммы 19.2 при доказательстве лемм
19.4 и 19.5 дает тот же самый вывод, ибо период А ка-
368 ГЛ. 11. КОПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
кого-либо ранга к не равен произведению двух инволюций
в G (к — 1) по определению множества c£h. ш
Лемма 36.5. Если свободное в ранге i слово X
сопряжено в ранге i с Х-1, то X сопряжено в ранге i со
степенью некоторого периода ранга к ^ I или X —
произведение двух инволюций в G(i).
Доказательство. Если не реализуется первая
возможность, то по леммам 36.4 и 18.1 слово X
сопряжено в ранге i со степенью простого в ранге i слова А, т. е.
А = ZA~ Z~ , Z > О, для некоторого Z. Но тогда и
1 г
для всех s A = ZA~S Z~ . Применим к дисковой
диаграмме этого равенства при достаточно большом s
лемму 17.5 и вырежем из нее поддиаграмму, к которой уже
применима лемма 18.9. Отсюда А — произведение двух
инволюций в G(i). Как мы заметили в лемме 36.4, тогда
ж А1 — произведение двух инволюций.
Лемма 36.6. Операция П" является точной.
г
Доказательство. Если бы а = 1, где а е
е СДШ, то приведенная диаграмма этого равенства
имела бы ранг 0 по лемме 36.4 и следствию 17.1, т. е. а = 1
в G(0), что невозможно. И
Рассмотрим теперь произвольные подгруппы G^ групп
G^. По лемме 36.6 как G^, так и G^ — подгруппы»
группы G = Ц"^ = G (оо) и групп G (i) для всякого i. Обо-
значим соответственно Н и Н (i) подгруппы,
порожденные ими в G и в G(i). Кроме того, обозначим G' и G' (i)
группы, определенные по семейству групп G^ тем же
способом, каким G и G (i) определены группами G^, [i e /.
Чтобы отличить соотношения, определенные для G' (г) в
алфавите (St')1 = U G^, мы назовем их соотношениями
рангов 1', 2', ...
Лемма 36.7. Между группами G' (i) и H(i) можно
установить канонический изоморфизм.
Доказательство. Проведем индукцию по i
с очевидным основанием i = 0. Докажем сначала, что
любое из определяющих соотношений Ап = 1 ранга I'
выполняется и в G(i).
Допустим вначале, что слово А сопряжено в ранге
i — 1 с элементом а из St1, и рассмотрим приведенную
кольцевую диаграмму А ранга i — 1 для этой сопряжен-
§ 36. ОПЕРАЦИИ НАД ГРУППАМИ
369
ностн. По лемме 36.4 к А можно применить теорему 16.2,
которая (как и в доказательстве леммы 36.3) позволяет
вырезать из А 5?-клетку П, метки сегментов которой,
так же как и слоги слова А, принадлежат алфавиту (St')1.
Так как г(П)< i, то по индуктивному предположению
соотношение в H(i), отвечающее клетке II, выполняется
и в G'{i— 1). Отрезая эту клетку, мы заменим слово А
сопряженным с ним в ранге (i — 1)' словом А\, все слоги
которого по-прежнему из (St')1. Заметим, что l^4il > 1,
ибо иначе слово А\ не является простым в ранге (i— 1)'
вопреки определению периодов. Продолжая процесс
вырезания Й-клеток, получим, что в ранге 0, т. е. в
свободном произведении, циклически приведенное слово длины
> 1 сопряжено с элементом из свободного сомножителя.
Полученное противоречие означает, что слово А
свободно в ранге i — 1.
Если допустить, что А — произведение двух
инволюций X и У в G(i — 1), то А и А"1 сопряжены в ранге
i — 1: XY = X (XY) X . Рассматривая тогда, как и
выше, диаграмму этой сопряженности, приходим к
выводу, что А и А"1 сопряжены в ранге (i — 1)'. В силу
леммы 36.5 (в ранге (i — 1)') этот вывод противоречит
выбору периода А.
Допустим еще, что слово А не является простым в
ранге i—1, т. е. сопряжено в ранге i — 1 со степенью
слова В длины С i — 1 или со степенью периода В ранга
^ i — 1. В силу установленных уже свойств слова А
слово В свободно в ранге i — 1 и не является произведением
двух инволюций в G(i—i). Значит, по лемме 19.3
i—1 г—1
Вп = 1, откуда и Ап = 1. В силу изоморфизма
(г-1)'
Н (i — 1) ^zG' (i — 1) имеем Ап ===== 1. Но тогда по лемме
18.3 слово А не может быть периодом ранга к.
Итак, для слова А мы проверили все условия из
определения множества периодов S6и Поэтому оно сопряжено
в ранге i — 1 с + 1-й степенью периода ранга L Отсюда
AnLi.
г
Обратно, пусть W = 1,. где W — слово в алфавите
St1. Как и выше, отсюда выводим, что это равенство
вытекает только из соотношений вида Ап = 1, где периоды А
рангов к < i записаны в алфавите St1. Поэтому
достаточно показать, что Ап = 1 — следствие соотношений группы
" А. Ю, Ольшанский
370 ГЛ. 11. КОПРЕДСТДЕЛЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
G' (i). Но по определению периода А ранга к слово А не
сопряжено в G(k — 1) (а значит, и в G'(k — i) ввиду
изоморфизма G'(к — 1) = Н(к — 1)) со степенью слова
длины < к. Оно имеет по лемме 18.3 бесконечный
порядок в G(к — 1), а значит, и в G' (к — 1), т. е. пе
сопряжено со степенями периодов рангов < (к — 1)'. Слово А не
является произведением пары инволюций в ранге к — 1,
поэтому то же верно и в ранге (к — 1)'. Поэтому по
определению множества $въ слово А сопряжено в ранге
(к— 1)' с ±1-й степенью некоторого периода ранга к' и
ft'
А — {. Лемма доказана, g
Теорема 36.3. Для всякого достаточно большого
целого п операция Нп является точной малъцевской
(ассоциативной) операцией в классе всех групп.
Доказательство. Воспользуемся
обозначениями, введенными перед леммой 36.7. Для проверки
постулата Мальцева нужно установить канонический
изоморфизм между группами Н и G'. Но он действительно
имеет место на основании леммы 36.7, верной для всех i ^ 0.
Точность операции отмечена в лемме 36.6 (а
доказательство ассоциативности, как уже сказано в п. 36.1,
остается за пределами этой книги ')). ■
Теорема 36.4. Группа G = JJ.™ G^ бесконечна,
если по крайней мере два сомножителя неединичны.
Любой элемент X е G либо сопряжен в G с элементом одного
из сомножителей Gm либо сопряжен со степенью
некоторого периода А какого-то ранга i (а значит, Х" = 1), либо
имеет бесконечный порядок и равен произведению двух
инволюций в G. Периоды всех рангов имеют порядок п
в G.
Доказательство. Пусть сначала среди
сомножителей лишь две неединичные группы G\ — <а> и Gi =
= (ЬУ порядка 2. Тогда, как легко видеть, всякий элемент
из 6?х ^ G2 сопряжен с а или с Ъ или равен
произведению двух инволюций (аЪа — аЪаГх, ЪаЪа = Ъ(аЪа~1)
и т. д.). Отсюда видно, что каждое множество периодов
SSt пусто и G = Gx >fc G2 — бесконечная группа. В
остальных случаях бесконечность группы G устанавливает-
') Замечание при корректуре. Совсем недавно
С. В. Иванов указал автору на доказательство ассоциативности,
которое проводится в духе настоящей книги, но на порядок короче,
чем в [98].
§ 36. ОПЕРАЦИИ НАД ГРУППАМИ 371
Ся так же, как в теореме 19.1 (с использованием
леммы 34.1 вместо теоремы 4.6).
Второе предложение следует из лемм 18.1, 18.3 и 19.3.
Порядок периодов находится так же, как и в
теореме 19.4. а
В том случае, когда п нечетно, а в множителях Gfi
нет инволюций, из теоремы 36.4 следует, что G —
периодическая группа (конечного периода), если
периодическими группами (ограниченных периодов) являются все
группы G^; внутри многообразия S3„ операции II" i О
совпадают ■ (и являются свободным умножением внутри
§Э„). В случае любых сомножителей (а также четных п)
можно проверить для конечных абелевых подгрупп в G
и централизаторов ее элементов свойства, отмеченные в
конце п. 2 для операции О •
В заключение главы обратим внимание на то
обстоятельство, что в комбинаторной теории групп (в
частности, в связи с вычислением фундаментальных групп
топологических пространств) не менее важны, чем
свободные произведения, такие конструкции, как свободное
произведение с объединенной подгруппой, HNN-расшире-
ния, группы, действующие на деревьях [249]. В ряде
случаев можно рассмотреть градуированные копредставле-
ния групп (скажем, с условиями типа R) в этих
конструкциях. Однако примеры Б. Неймана [218] амальгамы
двух периодических групп, не вложимой ни в какую
периодическую группу, и пример Камма [145] простой
группы, разложимой в свободное произведение двух свободных
групп с объединенной подгруппой, свидетельствуют о
необходимости дополнительных условий на объединяемую
подгруппу (или на сопрягаемые подгруппы в случае
непредставлений над HNN-расширениями). К. И. Лоссов
[68] предлагает, например, следующее условие на
объединяемую подгруппу Н групп G„ без инволюций: хНх~1 П
П Н = Ш, если х е G^XH. При этом амальгама St1 = U G^
и
вложима в группу G, всякий элемент которой, не
сопряженный в G с элементами из $', имеет порядок,
делящий заданное большое нечетное число п.
Полученные таким способом новые периодические группы дают,
в частности, ответ на один вопрос С. П. Стрункова о
централизаторах элементов ([60], 2.75).
24*
ГЛАВА 12
ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
Развитый в настоящей книге метод находит
применения и в различных вопросах, которые не укладываются
однозначно в последовательно рассмотренные ранее темы
такие, как «группы с подгруппами простых порядков»,
«теоремы о вложениях» и др.
§ 37. О функциях роста групп
и их копредставлений
1. Степени роста. Пусть G — группа с конечной
системой порождающих S. Обозначим f(k) число элементов
группы G, представимых в виде произведения не более
чем к множителей вида s±l, где s e S. Определенная
таким путем функция / = /g называется функцией
роста группы G относительно системы порождающих S.
Легко сосчитать, например, число несократимых слов
X длины к, Зг 1 в групповом алфавите 91= («i, . ..,«„(.
Это число равно 2m(2m — 1)*"1, так как первая буква
выбирается произвольно, а каждая следующая 2т — 1
способами, ибо она не должна быть обратной для
предыдущей. Значит, при m > 1 для (абсолютно) свободной
группы Fm относительно базиса ЭД
k
/(&) = !+ 22m (2m - l)i_1 = (m - 1)_1 (m (2m - l)ft-l),
(1)
т. e. f(k) растет как показательная функция. Если же
i i m
подсчитать число слов а-^ ... а„, где 2 I h \ ^ к, то
получится полином от к степени т, равный функции
роста m-порожденной свободной абелевой группы.
§ 37. О ФУНКЦИЯХ РОСТА
373
Функция роста группы G зависит от выбора системы
порождающих S. Однако справедлива
Лемма 37.1. Пусть to u fo — функции роста
конечно порожденной группы G относительно систем
порождающих S = {su . .., s,} и Т = {tu .. ., t,J. Тогда
существует константа С > 0 такая, что /g (k) ^ /G (Ск) для
всех к.
Доказательство. Порождающие t\, .. ., tm
выражаются как-то через S: ti = Wl(sl, . .., s;), . . ., tm =
= Wm{s\, . . ., Si). Обозначим буквой С максимум длин
слов W\, . .., Wm. Тогда любое произведение не более
чем к множителей из T±l может быть с помощью
подстановки ti I-* Wi (s1,..., si) переписано как произведение не
более чем Ск множителей из S±l, т. е. fcity^foiCk). ш
Доказанное утверждение наводит на мысль
определить отношение эквивалентности на множестве функций
натурального аргумента: / ~ g, если для некоторых
констант С > О и £>>0 f(k)scg(Ck) и g(k)<f(Dk) для
всех к. (Легко видеть, что «~»— действительно экви-
валентность.) Класс эквивалентности функции роста /g
группы G называется степенью роста группы G. По
лемме 37.1 степень роста группы G не зависит от
способа выбора системы порождающих S. Она является
важной характеристикой «поведения группы G в
бесконечности».
Если / — полином, то, очевидно, и любая
эквивалентная функция мажорируется некоторым полиномом (той
же степени). Поэтому имеет смысл говорить о группах
полиномиального [или степенного) роста (данной
степени ш), к которым относятся, например, конечно
порожденные абелевы группы. Значительным достижением
явилось описание класса групп полиномиального роста [164].
При этом степени полиномов находятся по формуле Бас-
са [137].
Если f(k) ограничена снизу функцией вида с\ где
с > 1, то и любая эквивалентная функция мажорирует
некоторую показательную функцию с4,с1>1. Поэтому
имеет смысл говорить о группах показательного (или
экспоненциального) роста, к которым относится, например,
свободная группа Fm ранга m > 1.
В ответ на вопрос Милнора [214] о существовании
групп промежуточного роста важные примеры построил
Р. И. Григорчук [30]. Им найдены группы, которые «рас-
374 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
тут на бесконечности» быстрее любого полинома, но
медленнее любой показательной функции с\ где с > 1.
Различные группы, копредставления которых
строились в предыдущих глазах, имеют показательный рост,
что является более сильной и точной их характеристикой,
чем просто бесконечность. Для свободных бернсаидовых
групп нечетных показателей п S^ 665 соответствующая
теорема принадлежит С. И. Адяну [5].
Теорема 37.1.Если число порождающих |$(| больше
1, то свободная бернсайдова группа B(§t, п) .достаточно
большого нечетного периода п имеет показательный рост.
Доказательство. При доказательстве
теоремы 19.-1 уже было установлено, что два разных 6-аперио-
дических слова представляют разные элементы группы
B(3t, п). Значит, рост группы В (St, n) является
показательным вследствие теоремы 4.6. Ш
Конечно, из теоремы 4.6 получается грубая оценка
для функции / = /с где G = B(St, п). При желании
ее можно уточнять. Для |St| = лг > 1 И. Н. Зябрев привел
оценку вида log2m-i/(&)> k(l — 2а"), т. е. с ростом п
функция / «стремительно приближается» к функции (1)
роста свободной группы Fm. Он же, в ответ на вопрос
В. И. Трофимова, показал, что в граф группы (см.
определение в [69]) В (St, n) вложимо дерево Т^т-и степень
каждой вершины которого равна 2т — 1. (Легко понять,
что из вложимости кубического дерева Т$ в граф Г
группы G (пли в некоторую степень последнего) всегда
следует экспоненциальность роста группы G. Верно ли
обратное?)
Если градуированное непредставление группы G
удовлетворяет условию R (см. § 25), то, уточняя
доказательство теоремы 26.1 (как это сделано в теореме 37.1 по
отношению к теореме 19.1), получим экспоненциальность
роста группы G. В частности, экспоненциален рост групп,
определенных в § 27, 29, 33, и других групп, построенных
по такой же схеме.
2. Аменабельность. Найденные примеры имеют
непосредственное отношение к известному вопросу об амена-
бельных группах, восходящему к работе Дж. фон
Неймана [220]. Аменабельные группы имеют приложения в эр-
годической теории, теории динамических систем,
абстрактном гармоническом анализе и других областях, однако в
литературе по теории групп этот класс редко рассмат-
§ 37. О ФУНКЦИЯХ РОСТА 375
ривается. Не вдаваясь в подробности, отметим, что он был
введен в 1927 г. Дж. Нейманом в связи с его
исследованием парадокса Хаусдорфа — Банаха — Тарского.
Существует много эквивалентных определений амена-
бельной группы. Одним из основных является следующее.
Группа G называется аменабелъной, если в пространстве
B(G) всех ограниченных комплексных функций на G с
нормой II /|| = sup \f{g)\ существует линейный функ-
g=G _
ционал лг такой, что: 1) лг(/)= лг(/); 2) inf f{x)< m(f)<
^swpf(x) для всех вещественнозначиых f^B(G);
3) m(gf)=m(f) для всех geG, /e£(G), где gf(x) =
= f(gx). (Функционал тп называется левоинвариантным
средним на G.)
С помощью тп можно определить меру р, каждого
подмножества X группы G по формуле и. (X) = m (%х), где
Xz {а) = 1 для uel и %х(а)=0 для а е= X. Отсюда
получается другая характеризация аменабельных групп как
групп, на множестве всех подмножеств которых можно
ввести такую неотрицательную функцию {меру) ц, что:
1) ц(Хи У)=|х(Х)+ц(У), если ХП У = 0; 2) ц(С)=1;
3) \L{gX)=\i{X) для всех geG и X с G.
Тривиальными примерами аменабельных групп
являются конечные группы (m(f) = | G\~x-*2 / {g)\ V-iX) —
\ e=G
— \X\\G |~Л. Дж. Нейман [220] доказал, что класс
аменабельных групп содержит все абелевы группы, что он
вместе с любой группой содержит ее подгруппы и
гомоморфные образы, что он содержит расширение группы G с
помощью Н, если G и Н аменабельны, наконец, он локально
замкнут, т. е. если {На}ае1 — система аменабельных
подгрупп группы G, любые две из которых связаны
отношением включения, то и U На— аменабельная подгруппа.
а
Отсюда видно, что класс аменабельных групп весьма
широк; он включает все (локально) разрешимые группы и
многие другие подклассы. Новые примеры аменабельных
групп найдены недавно Р. И. Григорчуком [30].
С другой стороны, Дж. Нейманом в той же работе
показано, что 2-порожденная свободная группа F2 уже
неаменабельна. В связи с этим возникла гипотеза
(подробнее см. в [34]) об аменабельности всякой группы G,
не содержащей подгрупп, изоморфных F2. Ниже эта
гипотеза опровергается теоремой 37.2.
376 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
Аменабельность можно определить и в чисто
групповых терминах. Известен следующий критерий Фёлнера
[157]. Группа G аменабельна тогда и только тогда, когда
для любых конечных подмножеств М, S с G и любого
8 > 0 существует такое конечное подмножество N <= G,
что N => М и
\Nf\sN\ ■ |ЛГ|-1>(1-е) (2)
для всякого seS. Условие (2) означает, что образы
подмножества N при сдвигах на элементы из S мало
отличаются от N. Так, в бесконечной циклической группе Z в
качестве N выбирается один из отрезков [—1; I].
Другой критерий аменабельности для групп, заданных
непредставлением G = FJN, выведен Р. И. Григорчуком
[29] с помощью определенной им функции роста копред-
ставлеиия.
Пусть dk — число несократимых слов длины к в
алфавите [а1 , .. ., 41!, которые содержатся в ядре
непредставления группы G = FJN. Если А" Ф Ш, то порядок роста
чисел dh всегда экспоненциален. Это нетрудно вывести,
рассматривая вместе с фиксированным неединичным
W <= N все слова вида XWX~l <= N. Отсюда следует
также, что lira У dh ^ У2пг — 1, где Km — знак верхнего пре-
дела. (На самом деле, неравенство здесь строгое.) С
другой стороны из формулы (1) для числа всех оиов длины
к в Fm следует, что lira У dh^.2m — 1. Критерий Р. И.
ft->oo
Григорчупа состоит в том, что группа G аменабельна
тогда и только тогда, когда последнее неравенство
превращается в равенство.
Критерии аменабельности Фёлнера и Р. И. Григорчу-
ка делают аменабельность интересным свойством и при
абстрактном теоретико-групповом подходе. Всякая неаме-
набельная конечно порожденная группа имеет
показательный рост [1], что легко вывести из критерия
Фёлнера. Обратное неверно; примером может служить метабе-
лева группа <а, ЫаЬа'1 = Ь2>. Поэтому неаменабельные
группы еще дальше от конечных, чем группы
показательного роста.
Альтернатива Дж. Неймана подтверждена Риккертом
[231] в случае почти связных локально компактных групп.
Общая же гипотеза была опровергнута в статье [93], где
доказано, что построенные в [89]—[92] простые группы
§ 37. О ФУНКЦИЯХ РОСТА
377
(как периодические, так и группы без кручения), все
подгруппы которых цикличны, не являются аменабельными.
Затем неаменабельность свободных бернсайдовых групп
нечетных периодов п > 665 была доказана С. И. Адяном
[Ю]. Как в [93], так и в [10] используется критерий
p. И. Григорчука.
3. Леммы о внешних клетках. Для доказательства
теоремы 37.2 потребуется оценка числа клеток дисковой
А-карты А, имеющих общие ребра с ЗА, в зависимости
от длины ЗА.
Внесем здесь следующее изменение в определение пол-
ной системы подкарт примыкания, данное в § 14. 0-пол-
ной системой подкарт назовем такую полную систему,
в которой все подкарты примыкания клеток к участкам
контура карты А имеют ранг 0. В соответствии с этим
понятие выделенной системы подкарт заменяется
понятием ^-выделенной системы. Таким образом, теперь
внешние ребра 52-клеток — это те и только те ребра, которые
имеют близкие ребра на ЗА, т. е. входят в контуры 0-свя-
зок между клетками из А и границей ЗА. Веса ребер
вводятся по-прежнему формулой (1) § 16.
Укажем на изменения, которые нужно сделать,
проводя для 0-выделенных систем оценки, аналогичные
полученным в § 16. Рассматривается только оценочный граф
Ф (а Ф' не нужен). Лемма 14.2 используется в новой
редакции— последние слова в ее формулировке «...или к
участку контура q» следует опустить. В обозначениях из
§ 16 лемму 16.7 заменяет теперь следующая
Лемма 37.2. G^jaM+ 4aiV.
Доказательство. Рассмотрим сначала те
обыкновенные клетки Пх, у которых более четверти §1-ребер
контура являются внешними. Тогда отношение v (q1)
(см. лемму 16.7) к сумме весов всех внешних ребер
клетки П[ меньше a (х) = ^а- Значит, для части G
суммы G, распространенной только на эти клетки, G < icxN,
где N — сумма весов всех внешних ребер.
Очевидно, G =Ъ + G, где G учитывает клетки И1, у
которых не менее xl^nj ребер внутренние. Поскольку
|5Г|<а|ЗП|, то G^.a(—\ M, что и доказывает
лемму, ш ^
\ *
378 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
Лемму 16.8 заменяет теперь
Лемма 37.3. Если г (А) > 0, то N>-~v (A).
Доказательство. Заменяя в доказательстве
леммы 16.8 оценку для G пз леммы 16.7 на оценку из
леммы 37.2, получим
М < 2a_18V (А) + г1/2М + J- аМ + ШГ.
Поскольку N = v(A)- И, отсюда получается
iV>(l + 4a-4a-81/2jA-81/2-2a-18-lS)_1X
Xv(A)>i-v(A). B
Назовем 52-клетку внешней, если она имеет внешнее
ребро.
Лемма 37.4. Число г$ внешних клеток ранга /
дисковой А-карты А удовлетворяет неравенству г,- <;
, от—2/3 — 1/Зт д 7
5s. Ocj n i, гое ij — минимум периметров клеток ран-
га ] из А, а I = | ЗА |.
Доказательство. Очевидно, что никакая внешняя
клетка П не может быть скрытой. Поэтому по формуле (2)
§ 16 ее вес не меньше if3, если г (П) =/, и v (А) >г^|/3.
Кроме того, из формулы (1) § 16 видно, что^сли р —
контур диаграммы А, то iV<«~1/3|p| = n~1/3l. Отсюда с
помощью леммы 37.3 получаем rj < lj2l3v (A) < 8l]~2/3N <
^ 8lj~2/?n~1/3l, что и требовалось, ш
Как уже отмечалось (после теоремы 19.6), свойства
группы G(°°), определенной в § 18, сохраняются, если
в определении множества 9"{ заменить п на пА, где пА >
> п, пА нечетно. Воспользуемся этим при доказательстве
теоремы 37.2, положив St = {ab а2), пА = щ, где i=\A\,
причем
щ = п, щ-х < ant, i > 1. (3)
Пусть группа G = G(°°) определяется
последовательностью чисел щ, П2, ... в соответствии с п. 18.1.
Лемма 37.5. Пусть А — период какого-то ранга i 5s
> 1. Тогда никакое непустое подслово V длины, менъ-
" ■ лпг
шеи гщ, циклического слова А не равно 1 в G.
Доказательство. Предположив противное, можем
считать, что 1<\У\^^щ\А\. Если V = 1 в G, то су-
F,;
§ 37. О ФУНКЦИЯХ РОСТА 379
шествует приведенная дисковая диаграмма А этого
равенства, и r(A)<i по следствию 17.1. Тогда контур q
этой диаграммы — гладкий участок по лемме 19.5, что
противоречит теореме 17.1 (Igl > 0, \t\ ==0). и
Рассмотрим теперь произвольную приведенную
дисковую диаграмму Г с контуром pq, где путь q не содержит
двух различных ребер ей/ таких, что е и /_1 близки,
а также никакое ребро е пути р не близко к ребру пути
q-1 (т. е. между у и ? нет 0-связок). Для каждой
клетки П, имеющей 0-связки с q, укажем первое ребро е\
пути q, 0-связанное с П, последнее такое ребро е2 и
метку пути t = e\sez, где ё\ и е2 близки к ех и е2, а t~l —
подпуть в дИ.
Лемма 37.6. Перечисленные данные позволяют
однозначно (с точностью до букв «1») определить
слово ф(д).
Доказательство. Очевидно, что при наложенных
условиях путь q можно разбить в произведение вида
qi ... qt, для каждого пути qt найдется клетка П,-
указанного выше вида такая, что отвечающие ей первые
и последние 91-ребра е\ и е\ таковы, что е\ — первое
ребро для qi, е\ —последнее ребро пути qi.
Если в поддиаграмме Г{ с контуром Piti p24i, где
ti — e\sie\, \p\\ = |рг1 = 0, нет 52-клеток, то слово ф(д;)
известно, ибо ф(?;) = ф(^)- Допустим, что в Г4 есть
52-клетки. Все они включаются в подкарты Гц, ..., I\ft(i)
с контурами вида qaV{jP{jU{1, где qi} — подпути в <?;,
Ра — подпути в й1 (рис. 93), а v^ и щ состоят из 0-ребер.
Рис. 93
При этом Г,7 содержат меньше ^-клеток, чем Г, и
удовлетворяют условиям леммы. Значит, из индуктивных
соображений можно считать, что слова ф(<7«) однозначно
определены. Запишем д4 = ы^дпи^?.^... Слово y(wu)
однозначно определяется как начало слова ф(^)
известной длины. Слово Ц>(ра) равно в G слову ф(<?г1)-1.
Поэтому, если U = Wi\w, то по лемме 37.5 слово ц>(рп)
однозначно восстанавливается как начало известного
слова w, равное в G известному слову. Далее, поскольку из-
380
ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
вестна длина lu^l, можно найти и и><2, и т. д., так что
слова ф(<?г) однозначно восстанавливаются в любом
случае. ■
4. Периодические неаменабельные группы. В
качестве неаменабельной группы без подгрупп, изоморфных
Ь\, мы предъявим здесь периодическую группу,
определенную в п. 3. Приводимые здесь (грубые) оценки
обеспечиваются путем роста порядков элементов. Нам
понадобится несложная
Лемма 37.7. Рассмотрим всевозможные способы
расстановки пар скобок разных рангов (скажем, «круглые»,
«квадратные»; и т. п.) в строке 1, 2, . .., I, причем
расставляется не более го пар ранга 0, ..., не более ra пар
S
ранга s. Утверждается, что если 2 2j rj^'l, то число L
таких расстановок меньше
й(2е1гТУ>.
3=0
Доказательство. Для оценки можно считать,
что расставляется ровно г,- пар скобок ранга /. Чтобы
расставить го скобок ранга 0 нужно сначала среди I + 2г0
символов 2г0 объявить скобками. Это можно сделать
, = —.л ..,,— способами. Затем из 2го скобок г0
\ zro / {Zro)J- щ
пужно объявить левыми, а остальные — правыми, что
делается не более чем I г° = (2г0)! (г0!)~2 способами,
так что получается не более (I + 2го)\(1\)~1(г01)~2
вариантов расстановки скобок ранга 0. Продолжая
аналогичный подсчет для скобок рангов 1, .. ., I, имеем
£<Ш + 2г0 + ... + 2П)\ (П (/ + 2г0 + ...
.3=0
■■■ +2г}-1)\) П (О0~
е. ' j==0
\ 3=0 I j=0
2 2
Г: S
3
3=0
<(20j=° Ц(Гз\Г\
§ 37. О ФУНКЦИЯХ РОСТА
381
ибо по условию 2 ^ гj ^ I. Теперь утверждение леммы
з=о
получается из хорошо известного неравенства Стерлинга
г!>(ге-1)г- ■
Лемма 37.8. Число dt несократимых слов длины
1^1, равных 1 в группе G, меньше Зш, где 0 = 1/2 +
+ ЗУа.
Доказательство. Пусть W = l в G, \W\=l и
слово W несократимо. По теореме 13.1 существует
приведенная дисковая диаграмма Д над заданным
градуированным копредставлением группы G такая, что при
обходе ее контура, начиная с некоторой вершины о,
читается слово W.
Пусть ри р2 — подпути контура <9Д, р{ = ех ... ет,
Рг1 = ег ... em. Если любая пара \е\, е\\ является парой
близких ребер (т. е. определяющих 0-связку), а пути р\
и />2 уже нельзя удлинить с
сохранением этих свойств, то пару
(Ри Р2) назовем мостиком в Д.
(На рис. 94 имеется 4 мостика.)
Наоборот, если подпуть q в дА
является максимальным подпутем,
не содержащим ребер мостиков,
то скажем, что q определяет
отдельную подкарту в Д. (На
рис. 94 имеется 3 отдельных под-
карты.) Поскольку W —
несократимое слово, а Д — односвязная карта, число мостиков го
меньше удвоенного числа отдельных подкарт.
По следствию 17.1 длина контура отдельной подкар-
ты больше (}га. Значит, го < 2$~1п~Ч. Сумма длин
мостиков (если длиной мостика (pi, Р2) считать \р\\ = 1^1)
меньше 1/2. На одном мостике длины t можно написать
4 • З'-1 различных несократимых слов <p(pi) = у(Р2)~1-
Следовательно, число способов пометить все мостики в Д
не превышает 4 °-3 <3
Опишем теперь возможные несократимые граничные
метки дисковых диаграмм Д таких, что \дА\ = I.
Во-первых, каждый мостик может быть отмечен двумя парами
скобок («ранга 0») в ряде чисел 1, 2, ..., I, которыми
пронумеруем все ребра контура дА. Одна пара отвечает
началу, а другая — концу мостика при обходе дА. Далее,
382 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
если на дА есть ребра, близкие ребрам, лежащим на
контуре некоторой клетки я ранга /, то ставим пару скобок
ранга / перед первым и после последнего ребра,
близкого ребрам из дтс. Из леммы 37.6 (примененной при
\р\=0 к отдельным подкартам) следует, что при уже
введенных метках всех мостиков метка контура дА
однозначно определяется способом расстановки скобок
рангов 1, 2, ... и заданием для каждой пары скобок ранга
/^1 некоторого подслова циклического слова А±пз, где
А — некоторый период ранга /. Число г,- пар скобок
ранга / ограничивается леммой 37.4.
Число периодов ранга / (вместе с их циклическими
сдвигами и им обратными словами) не превосходит 4j.
Поэтому число непустых подслов определяющих слов
ранга / не больше i'jnj. Учитывая число способов
разметки мостиков, можем теперь оценить число -di с
помощью леммы 37.7:
ОО ОО
di < g,^»-!) д (2е1гГуг; д (4^)Г^ (4)
ОО
поскольку lj = jrij, a 2 2 ^ ^ I в силу леммы 37.4, оцен-
3=0
ки г0 •< 2р~1п~11 и формулы (3). При оценке множителя
(2elrf1)2rj
учтем, что функция (а/х)х возрастав* при :г<Г
<а/е. Из леммы 37.4 при /^1 получим
Логарифм правой части по основанию 3 меньше la
в силу условия (3). Так как г0 < 2р~1я~1/, то и (2<?Zr0) г°<;
<3lV". Значит,
со -
Аналогично log3 (4;//г;-) J-< jal/2l. Отсюда
После подстановки (5) и (6) в (4) получаем
утверждение леммы, _ поскольку п~1 + Уа((1 — Усе)-1 +
+ (1-У^)-2)<ЗУа. ■
§ 38. О ГРУППОВЫХ КОЛЬЦАХ НЁТЕРОВЫХ ГРУПП 383
Как следует из леммы 19.3, определенная в п. 3
группа G является периодической. Она представлена в
виде F2/N, а значит, в соответствии с критерием
аменабельности копредставления для аменабельности группы G
необходимо, чтобы lim У dx = 3. Однако по лемме 37.8
Нт^<Зе<3
l-*oo
в силу выбора параметра а. Поэтому справедлива
Теорема 37.2. Группа G является периодической
неаменабелъной группой, в
§ 38. О групповых кольцах нётеровых групп
1. Вопрос Ф. Холла. Кольцо R называется нётеровым
справа, если обрывается всякая строго возрастающая
цепь 1\ с: /2 с: ... его правых идеалов. Аналогично
определяются нётеровы слева кольца. Для группового кольца
K[G] произвольной группы G над коммутативным
кольцом I с 1 нётеровости справа и слева равносильны,
поскольку отображение £tagg-^-Jti&gg~1 индуцирует би-
g e
екцию множества правых идеалов на множество левых
идеалов (и наоборот).
В каком случае кольцо K[G] нётерово? Необходимо,
очевидно, чтобы нётеровым было кольцо К, ибо по
каждому правому идеалу / кольца К можно построить
правый идеал I[G] в K[G]. Нетрудно показать, что нётеро-
вость группы G также необходима. Действительно, пусть
Hi с #2 с ...— бесконечная строго возрастающая цепь
подгрупп группы G. Определим для каждой подгруппы
Hh подмножество Ih <=■ K[G] как множество, состоящее из
всех таких сумм 2 agSi B которых для всякого правого
g
смежного класса Hha группы G по Hh справедливо
равенство 2 сс§ = 0. Очевидная проверка показывает, что
gsHka
Ih — правый идеал в K[G], a /i с /2 с ,,,— бесконечная
строго возрастающая цепь правых идеалов в K[G].
Хорошо известно, что целочисленное групповое
кольцо Z[A] конечно порожденной абелевой группы А
нётерово. Это — прямое следствие теоремы Гильберта о
базисе. Та же идея использована Ф. Холлом [174] для до-
384 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
казательства нётеровости кольца Z[G], если группа G
обладает полициклической подгруппой конечного индекса.
Это доказательство не меняется при замене Z на любое
коммутативное нётерово кольцо с 1. Таким образом,
перечисленные выше необходимые условия нётеровости
кольца K[G] оказались и достаточными для всех
известных до конца 70-х годов примеров групп, т. е. они
являются также и достаточными в классе всех разрешимых
групп и многих других классах.
После отрицательного решения общей проблемы
максимальности (теорема 28.1) вопрос, который А. А. Бовди
записал в [43] под номером 148 как проблему Ф. Холла,
приобрел самостоятельный интерес: всякое ли групповое
кольцо K[G] нётеровой группы G над нётеровым кольцом
К является нётеровым? В настоящем параграфе
излагается доказательство следующей теоремы С. В.
Иванова [48].
Теорема 38.1. Существует нётерова группа G,
групповое кольцо K[G] которой над произвольным кольцом К
с 1 содержит правый идеал, разложимый в прямую
сумму- счетного множества ненулевых правых идеалов
кольца K[G].
Следовательно, кольцо K[G] не является нётеровым.
Группа G и означенные в теореме правые идеалы будут
явно указаны. В связи с теоремой 38.1 интересен вопрос
Роузблейда [237]: существует ли группа с нётеровым
групповым кольцом, отличная от почти полициклических?
2. Нётерова группа G. Градуированное
непредставление группы' G = G(°°)= <ai, а2Ш = 1; I?el> строится
так же, как в п. 27.1, с одним отличием: включив букву
а\ в множество периодов %в\ ранга 1, мы не вводим
теперь никаких соотношений (ни первого, ни второго типа)
с этим периодом. В остальном сохраняется индуктивное
определение периодов, и для каждого из периодов,
отличных от а\, вводятся все соотношения первого и
второго типов, как и в § 27.
Лемма 38.1. Непредставления групп G(i) и G
удовлетворяют условию R из § 25.
Доказательство. Нужно повторить
доказательство леммы 27.2. а
Лемма 38.1 позволяет применять к группам G(i) все
результаты гл. 8.
Лемма 38.2. Элемент а,\ имеет бесконечный порядок
в группе G, а а2 — конечный порядок щ.
§ 38. О ГРУППОВЫХ КОЛЬЦАХ НЁТЕРОВЫХ ГРУПП 385
Доказательство. Утверждение вытекает из
леммы 38.1 и теоремы 26.4. и
Лемма 38.3. Пусть И — пеабелева подгруппа
группы G. Тогда найдутся период F некоторого ранга i > 1
и некоммутирующее с ним в G слово Т такие, что \Т\ <
<3|F|, а подгруппа (F, ТУ содержится в некоторой
сопряженной с Н подгруппе группы G.
Доказательство. Повторяя доказательство лем-
мы 27.3, мы должны отбросить ограничения h ^ у п0
2
и (или) t ^-^-rc0, если С и (или) А совпадают с а\. В
остальном рассуждения не меняются, и в ходе
доказательства, как и в лемме 27.3, возникает неравенство \F\ S=
2* $3\А*\, откуда \F\ > 1, ибо £>-g-ra0. ■
Лемма 38.4. Все собственные подгруппы группы G
цикличны.
Доказательство. Ссылаясь па лемму 38.3 вместо
леммы 27.3, точно так же, как в доказательстве леммы
27.4, получаем, что все собственные подгруппы группы G
абелевы. В силу леммы 38.1 и теоремы 26.5 они
цикличны. ■
Пусть V — произвольное несократимое слово в алфави-
те [cly , a£\. Слово V имеет вид ах a2 ••• ax a2 ai >
где li Ф 0 при £ = 1, ...,£ и ki-фО при £ = 2, ..., t.
Содержанием слова V по букве а2 назовем слово в
алфавите {+ 1, ± 2, . ..}, равное 1г ... 1и и обозначим его C2{V)-
Например, если V = а1а2а^1а^~1а21, то С2(У) = 1 —1.
Лемма 38.5. Пусть для непустого несократимого
слова V справедливо равенство V = 1 в G. Пусть еще
содержание C2(V) является словом в подалфавите {'1, 2).
Тогда в C2(V) есть некоторое непустое подслово вида У6.
Доказательство. Слово V графически
записывается в виде U~lWU, где W циклически несократимо. Как
видно из условия леммы, слово U не может содержать
буквы а2, т. е. U = а™ для некоторого т. Поэтому
C2(W)^C2(V).
Вследствие лемм 38.1 и 26.5 к приведенной дисковой
диаграмме равенства W = 1 можно применить теорему
22.2, в соответствии с которой слово W±l содержит
подслово вида А\ где t = [en]~1, а слово А—период некото-
^ А. Ю. Ольшанский
386 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
рого ранга, причем А Ф а\ в силу сделанного в
определении группы G исключения для периода а\.
Период А, как и все периоды, отличные от а\,
содержит в своей записи букву а2, ибо А по своему
определению не может быть степенью буквы а\. Не может А
быть и степенью буквы а2 (слово V не может содержать
я2, так как C2(V) состоит из символов 1 и 2). Значит,
некоторый циклический сдвиг Ж слова А имеет вид
аг .. . а2, где к Ф О, I Ф 0. Отсюда ясно, что слово C2{V)
содержит подслово С2(А)'~\ где С2(А) непусто.
Поскольку ere — 2 > 6, лемма доказана. ■.
3. Правые идеалы в 2?[G]. Пусть К — произвольное
кольцо с 1, G— группа, построенная в п. 2. Если
X = 2 agg — стандартная запись элемента X е K[G],
то обозначим supp X = {g e G\as Ф 0} (носитель
элемента X).
Лемма 38.6. Пусть X ^ K[G], X Ф 0 и X = (1 - a) У,
где а е G. Тогда для всякого х е supp X существует
такое целое к, что ак Ф 1 и ahX е supp X.
Доказательство. Обозначим supp F = S и
допустим, что утверждение леммы неверпо для некоторого
х е supp X. Элемент х содержится в S U а£. Пусть
сначала х = Si <s 5. Тогда для любого А; > 0 такого, что а" =^
Ф 1. имеем ahsi Ф supp X. *
Поскольку asi ^ supp X, слагаемое вида a5 asi в X =
= У — aY должно сократиться с некоторым a, s2, где S2<=
е5. Значит, asi = s2. Аналогично as2 = Sn, ..., ast-i = st
и ast = si, причем коэффициенты из i£ в У при Sj
одинаковы для 7 = 1, .. ., t. Получается, что а' = 1 zfass
сокращается в X с as s<, т. е. Si ^ supp X,— получаем
противоречие. Аналогично можно прийти к
противоречию, если предположить, что х = asi и ah*~ls\ Ф supp X
для таких & < 0, что ак Ф 1. ■
Лемма 38.7. Яг/сгь ХеЩб], ^^0 и Х =
= 1 2 аг I Z тута некотором Z и некотором элементе а
порядка m группы G. Тогда для всякого х е supp X и
всякого целого I a'x e supp X
Доказательство. Утверждение следует из
равенства а'Х = X. ш
§ 38. О ГРУППОВЫХ КОЛЬЦАХ НЙТЕРОВЫХ ГРУПП 387
Лемма 38.8. Пусть для некоторых Y, Z<^K[G]
имеет место равенство
(l)-a1)Y = (^aljZ. ' (1)
Тогда обе части равенства (1) равны нулю.
Доказательство. Если утверждение леммы
неверно, то существуют такие ненулевые X, Y, Z e K[G],
что
(2)
(3)
На основании теоремы 4.6 существует 6-апериодиче-
ское слово Й = cojco2. .. со; в алфавите {1, 2}, где I
больше числа элементов в supp X.
Выберем какой-нибудь элемент ТG supp X. В силу
равенства (3) и лемм 38.2, 38.7 а2 Те suppX.
Вследствие равенства (2) и леммы 38.6 существует
такое целое к\ Ф 0, что а-^аг Те suppX.
Пользуясь далее попеременно равенствами (3) и (2)
вместе с леммами 38.7 и 38.6 соответственно, для
каждого t (где 1 =S t s£ I) получим ненулевые числа к\, ..., kt
такие, что
ftj —(0; ft __m
«i^a ... a^a, Tesuppl.
(4)
Однако ^> IsuppXl. Поэтому в (4) должны быть пов-
ftj —0>t
торы, т. е. для некоторых целых t &* s слово а± а.2 ...
.. . atsa2 s равно 1 в G. Для обратного слова V такяге
as —ft. ш/ —ft* , _,
имеем V = а2 а1 .. . а2 ах =1 в G.
Поскольку числа к\, к2, ... ненулевые, C2(V)^
— ws. .. со, = Q. С другой стороны, к слову V применима
лемма 38.5, по которой слово С2(У) содержит непустое
подслово вида У6. Полученное противоречие с выбором
Q завершает доказательство, ш
Доказательство теоремы 38.1. По лемме 38.2
элемент а\ имеет бесконечный порядок в G. Поэтому из
равенства вида (1 — a\)Y = 0 в K[G] следует, что У = 0.
25*
388 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
(Иначе вместе с у е= supp 7 также и ay <s supp 7, а2;/ е
е supp 7, ..., но supp 7 — конечное множество.)
Рассмотрим правые идеалы 1т для т = 1, 2, . .., по-
рожденные элементами (1 — а-^)™- 2 а2, т- е.
Im = Ul-ai)n2ctZ\Z<=K[G] .
Так как элемент а2 имеет порядок ге0 в G по лемме 38.2,
"о
то 2j ffi2 ^ 0 и в силу сделанного выше замечания все
г=1
идеалы 1т ненулевые. Покажем теперь, что сумма
со
J = Zj 1т — прямая сумма идеалов 1т. В самом деле,
т = 1
предположим, что для некоторых к, I имеет место
равенство
(5)
в котором (1 — at)h I 2 <4 I Zft =^ 0. *
Сокращая (5) слева на (1 — ai)s, получим
(Л ^ К = (1 ~ ai)(-il1fl^2 - • • • -(l-ai)'"1^^ Д
Лемма 38.8 применительно к последнему равенству дает
вопреки выбору слагаемого в (5) из право-
со
го идеала Ik. Таким образом, / = © /т.
т=1
Поскольку нётеровость группы G следует из леммы
38.4, теорема 38.1 полностью доказана. ■
С. В. Иванов предложил и другой пример группы G
для теоремы 38.1 — некоторое изменение доказательства
позволяет взять в качестве G группу конечного периода.
§ 39. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 389
§ 39. Еще несколько применений метода
1. Подгруппы свободных «-периодических групп.
Теорема Нильсена — Шрейера утверждает, что любая
подгруппа абсолютно свободной группы также абсолютно
свободна. Многообразия групп S3 с аналогичным
свойством 33-свободных групп называются шрейеровыми.
Согласно теореме П. Неймана и Уайгольда [221], [76]
многообразие 93, отличное от многообразия всех групп и не
удовлетворяющее тождеству коммутативности, не может
быть шрейеровым. В частности, в свободных
re-периодических группах при ге > 2 есть подгруппы, которые не
являются свободными ге-периодическими.
Тем не менее все нециклические подгруппы в
В(31, ге) оказываются настолько «большими», насколько
возможно. Точная формулировка этого факта содержится
в теореме 39.1 В. С. Атабекяна [12], [14], приводимый
здесь вариант доказательства которой принадлежит
С. В. Иванову. Из теоремы 39.1 следуют, конечно,
доказанные ранее теоремы 19.2, 19.6 и следствие 35.6.
Достаточно большое нечетное число щ (в остальном
произвольное) вместе с другими параметрами выбирается,
как в гл. 7.
Пусть копредставление группы G = G(°°)= В (St, reo)
задано, как в п. 18.1.
Лемма 39.1. Для любой неабелевой подгруппы Н
группы G найдется сопряженная с Н подгруппа,
содержащая период F некоторого ранга i^l и некоммутиру-
ющее с ним в G слово Т такое, что \Т\ < 3|F|.
Доказательство. Утверждение следует из
леммы 27.3, ибо копредставление группы G удовлетворяет
условию R. (Соотношения второго типа здесь
отсутствуют.) в
Расширим алфавит St, добавив к нему две буквы: St =
— 9tU{bi, 62). Построим по индукции вспомогательные
группы С(0=<ЯШ = 1; R^Mi> и группу G(°°). Для
этого, выбрав неабелеву подгруппу Н cr G, зафиксируем
слова F и Т (в алфавите St) в соответствии с леммой
39.1. Далее, как и в § 27, множество периодов 85\
каждого ранга i в алфавите St выбирается максимальным п
Для каждого периода А ранга i < \F\ задается только
одно соотношение А " — \ первого типа.
390 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
Заметим, что выбранное слово F может быть
включено в множество периодов $в\щ. Действительно, если бы
слово F пе было простым в ранге \F\ — 1, то оно было
бы сопряжено в ранге \F\ — 1 со степенью W
некоторого слова W, где \W\ ^ \F\ — 1. Канонический
гомоморфизм G(\F\ — 1)-> В (91, по) делает слово F сопряженным
с W1 в В (St, яо),_а гомоморфизм свободной по-периодиче-
ской группы В (St, ra0)-»-B(9t, га0), тождественный на 21
и такой, что Ъг >-*1, &21-^ 1? даст сопряженность слова F
с W в В (St, яо) • Но это противоречит теореме 19.4, ибо
\W\<\F\. _ _ _ _-
Определяя множества S^fi и ^1Л = ^ifi-i U SVb кроме
всех определяющих соотношений ранга \F\ первого типа,
введем два соотношения второго типа с периодом F:
biFnTFn+2...TFn+2h~2 = l,
b2Fn+lTFn+3. .. TFn+2h~l = 1.
Для периодов А рангов i> \F\ соотношения первого
типа вводятся, как в § 27, а соотношений второго
типа нет. _
Лемма 39.2. Непредставления групп G(i) и G~(°°)
удовлетворяют условию R.
Доказательство.— Оно совпадает с
доказательством леммы 27.2. в _ щ
Лемма 39.3. Группа G(°°) удовлетворяет тождест-
ву х °= 1.
Доказательство. Это следует из леммы 39.2 и
теоремы 26.2. ■ _
Лемма 39.4. Элементы Ъ\ и Ъ2 группы G(°°)
составляют базис свободной щ-периодической подгруппы.
Доказательство. По теореме 6.4 и лемме_39.3
существует гомоморфизм 5г = В({&1, Ь2), Ио)~>" G(°°),
тождественный на {Ь\, Ь2). Поэтому достаточно показать,
что всякое соотношение между Ъ\ и Ь2 в группе G(°°)
следует из соотношений, справедливых в В2, т. е. из
соотношений вида А ° = 1. _
Итак, пусть W(bu b2)=l в G(°°), где W — непустое
циклически несократимое слово. Рассмотрим
приведенную градуированную дисковую диаграмму Д над G(°°)
для этого равенства. Вследствие лемм 39.2 и 26.5 к А
применима теорема 22.2, в соответствии с которой
длинный участок некоторой клетки П примыкает к дА с по-
§ 39. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 391
мощью подкарты примыкания ранга 0. Значит,
циклическое слово W~l и метка длинного участка клетки П
имеют общее подслово вида А\ где t> [ere] — 1, a A±l —
период для П. Так как период F не содержит букв Ъ\ и Ъ2
в своей записи, то АФ F. Поэтому клетка П отвечает
п
соотношению А =1 первого типа, причем слово А
записывается в алфавите {&г\ Ь^-1}, как и W. Вырезая
клетку П из А, получим дисковую диаграмму Ai
меньшего типа, метка коптура которой — некоторое слово
Wi(bi, Ъ2). Из индуктивных соображений равенство
W\ = 1 следует из соотношений вида В ° = 1. Стало быть,
из таких же соотношений выводится и равенство
W(b\, b2) = 1, что и требовалось доказать, а
Теорема 39.1. Для всякого достаточно большого
нечетного по в любой нециклической подгруппе II
свободной щ-периодической группы В (St, щ) содержится
подгруппа К, изоморфная свободной По-периодической
группе со счетным базисом.
Доказательство. Пусть Н — пециклическая
подгруппа группы G = В (St, no). Она неабелева по теореме
19.2. Заменяя Н на сопряженную подгруппу, выберем
слова F, Т е Н в соответствии с леммой 39.1.
По теореме 6.4 и лемме 39.3 тождественное на St
отображение продолжается до гомоморфизма a: G-*-G~(°°).
В силу соотношений (1) для группы G(°°) подгруппа
а(Н) содержит подгруппу (Ъ\, Ъ2)— 2-порожденную
свободную гео-периодическую группу по лемме 39.4.
Пусть с\, с2 — некоторые прообразы из Н элементов
Ъ\, Ъ2 относительно гомоморфизма а. По теореме 6.4
отображение Ъх t-* clf Ъ% !-»■ с2 продолжается до
гомоморфизма ср: (Ъ\, Ь2> -*■ Н. Поскольку aq)(bi)=bt для £ = 1, 2,
Ф является вложением, т. е. <ci, сг> — 2-порожденная
свободная «о-периодическая подгруппа, содержащаяся в
Н. В ней, в свою очередь, по следствию 35.6 содержится
искомая подгруппа К. а
2. Об аппроксимации свободных ге-периодических
групп. Пусть 9!> — произвольный класс групп. Говорят,
что некоторая группа G аппроксимируется группами из
^, если для всякого неединичного элемента g^G
найдется сюръективный гомоморфизм а группы G на
некоторую группу С из "й?, при котором a(g)¥= 1. Нетрудно
видеть (см. также [51]), что аппроксимирующие
гомоморфизмы позволяют вложить группу G в декартово про-
392 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
изведение групп класса %?, причем проекции группы G
на множители сюръективны. Наряду с общепринятым в
теории групп (и алгебре) понятием аппроксимации,
в [169] предлагается его усиление. Группа G вполне
аппроксимируется группами класса 9', если для каждого
конечного множества {gi, . . ., gm) неединичных элементов
из G существует сюръективный гомоморфизм a: G -»- С е
^W такой, что a(gi)^ 1 для £ = 1, ..., пг. Если ^
состоит из одной группы С, то говорят, что группа G
(вполне) аппроксимируется группой С. Приводимые
далее утверждения об аппроксимации свободных
«-периодических групп доказаны В. С. Атабекяном [12], [14].
Для доказательств теорем 39.2 и 39.3 определим
вспомогательные группы G(i, /), i, 7 S= 0, и группы
G(°°, j). Группы G(i, j) определим с помощью
индукции по i. Для i < / множества SSi вводятся, как в § 27,
по не налагается соотношений второго типа (т. е.
определяющие соотношения такие же, как соотношения
рангов i < / для свободной бернсайдовой группы). При I > /
индуктивный переход от i — 1 к i в определении группы
G(i, j) осуществляется точно так же, как в § 27. Если
3?ч — множество определяющих слов группы G(i, /), то
G(oo,/)= А|1Д = 1; Де= 0 яА.
Лемма 39.5. Копредставления группы G(i, j) и
^(°°i i) удовлетворяют условию R. Для всякого />0 е
п
группе G(°°, j) выполняется тождество х ° = 1.
Доказательство. Первое утверждение
обосновывается, как и лемма 27.2, а используя его, второе можно
вывести из теоремы 26.2. а
Лемма 39.6. Для любого /5*0 всякая собственная
подгруппа группы G(°°, j) является циклической.
Доказательство. Пусть Н — неабелева
подгруппа в G(°°, /). Напомним, что, переходя от Я к
сопряженной подгруппе, мы добились при доказательстве
леммы 27.3 того, что А1 е Н, В е #, где А — период
какого-то ранга, А1В Ф ВА\ \В\ <d\A\. Еще один переход
к сопряженной подгруппе позволил считать, что F е Н,
Т '<= Н, где F — период какого-то ранга, FT Ф TF и
|71<3|F1. При этом было показано, что |^|>
> р3 | Ах | ^ -^ р3тг01 А | > | А |. Значит, повторяя этот
прием с заменой Н па сопряженную подгруппу, получим
§ 39. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 393
fl Ti'^H, Fi — период некоторого ранга, F\T\ Ф T\F\ и
причем \F\\ > \F\ и т. д. Следовательно,
можно так выбрать пару (F, Т), что \F\ >/'.
Поскольку для ранга \F\ >/ были введены
соотношения второго типа, то <ц, аг е Н в силу этих соотношений
(как и в лемме 27.4), т. е. H = G(°°, j). Для
завершения доказательства остается добавить, что каждая абе-
лева подгруппа группы G(°o, j) является циклической в
силу леммы 39.5 и теоремы 26.5. ■
Лемма 39.7. Для всех j группы G(°°, j) являются
бесконечными и простыми.
Доказательство. Бесконечность следует из
леммы 39.5 и теоремы 26.1. Далее, по лемме 39.6 собственная
нормальная подгруппа N в G(°°, j) может быть только
конечной, а значит, по теореме 5.1 централизатор
каждого элемента из ./V бесконечен в G(°°, j). Однако, если
N Ф Ш, это противоречит теореме 26.5. а
Лемма 39.8. Если |9t| =2, то группа В (St, п0)
аппроксимируется (и даже вполне аппроксимируется)
семейством групп {G (oo, /)}jL0-
Доказательство. В силу теоремы 6.4 и леммы
39.5 тождественное на St отобрая!ение продолжается до
сюръективного гомоморфизма щ: В(31, по)^- G(°°, j) для
всякого j S= 0.
Пусть X— слово, не равное 1 в В (St, no)- Обозначим
Ш=/ и докажем, что а,(Х)Ф 1, откуда и будет
следовать первое утверждение леммы.
Допустим, что ccj(X)=1 в G(°°, /). По лемме 23.16
(которая применима благодаря леммам 39.5 и 26.5) тог-
г
да «j (X) = 1, где £</. Но по определению групп G(i, /)
при i < 7 все их соотношения следуют из соотношений
п
вида А ° = 1, справедливых и в В (St, п0). Отсюда X = 1
в В (St, По). Получим противоречие.
Если задано не одно слово X, а конечное множество
неединичных в В (St, п0) слов {Xi, . .., Xm}, то а,(Хк)Ф 1
для всех к — I, . . ., пг при / ^ max | Xh |. щ
и
Напомним, что В(т, по) = В (St, щ), если |St| = m.
Теорема 39.2. Для всякого достаточно большого
нечетного По и любых целых пг ^ к ^ 2 пг-порожденная
свободная no-периодическая группа В(т, по)
аппроксимируется (и даже вполне аппроксимируется) группой
В (Л, по).
394 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
Доказательство. Зафиксируем произвольное
конечное множество неедипичных элементов {'Xi, ..., Х(}
группы B(m, по). Обозначим {а\, ..., ат), {6i, 62} и
{ci, ..., cj некоторые базисы групп В(т, щ), В(2, ге0)
и В (А;, по). Увеличивая I, считаем, что [ai, аг]е
е {X,, ..., X,}.
По следствию 35.6 существует вложение и,:
В(тга, ге0)-^В(2, ге0), а по лемме 39.8 существует сюръ-
ективный гомоморфизм а: В(2, по)-*- G(°°, 7) такой, что
ан^Х^^М для i = l, ..., £. Посколькуaj.i(a^a^1^1) =^=
=7^ 1, гомоморфизм au, является сюръективпым вследствие
леммы 39.6, причем
G(°°, /)= <an(ai)> ац(а2)^-
Теорема 6.4 и лемма 39.5 позволяют определить
такой гомоморфизм т: В (А;, щ)-+G(<*>, j), что т(сг) =
= еси.(аг) для £ = 1, ..., ft. Отображение г сюръективпо,
так как G(°°, /)= <x(ci), t(c2)>.
B(m, ге0)^В(2, га0)
|ф ^ |«
B(ft, ra0)^G(oo//)
Определим теперь гомоморфизм <р: В(т, яо)-*-
-^-B(ft, по) такой, что оси, = тер. Для этого в силу
определения х нужно положить <f(at)=Ci для £=1, ..., ft,
а для £ > ft образом ,<р (а() нужно объявить любой такой
элемент из В (ft, щ), который под действием т переходит
в au,(ai). (Такой элемент существует в силу сюръек-
тивности т.) По теореме 6.4 отображение ф
продолжается до, очевидно, сюръективного гомоморфизма ф:
В(т, щ)-+В(к, по). Если бы ф(Х;)=1 для некоторого
£ = 1, ..., I, то и а\л (Xt) = x(f (Xi) = i вопреки
определению гомоморфизма а. Значит, ф — искомый
аппроксимирующий гомоморфизм, щ
Теорема 39.3. Для всякого достаточно большого
нечетного щ и целого m &* 2 свободная по-периодическая
группа В(т, щ) с m порождающими аппроксимируется
(и даже вполне аппроксимируется) простыми группами,
все собственные подгруппы которых цикличны.
Доказательство. В силу теоремы 39.2 и леммы
39.8 группа В («г, щ) вполне аппроксимируется группа-
§ 39. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 395
ми G(°°, j), так что нужно учесть еще утверждения
лемм 39.6 и 39.7. ■
3. Автоморфно допустимые подгруппы свободных
групп. Несколько интересных примеров можно получить,
если при определении периодов по образцу § 18
пропускать некоторые соотношения.
Рассмотрим сначала одну задачу об автоморфно
допустимых подгруппах (абсолютно) свободных групп F,
т. е. таких подгруппах Н с: F, для которых а (Н) — Н при
любом автоморфизме а группы F. Очевидными
примерами автоморфно допустимых подгрупп являются
вербальные подгруппы. Поскольку свободные группы весьма
богаты автоморфизмами, Б. Нейман [219] высказал
предположение, что все автоморфно допустимые подгруппы
в абсолютно свободной группе F с бесконечным базисом
являются вербальными, иными словами, что в группе F
нельзя выделить в инвариантных терминах какую-либо
подгруппу кроме вербальных. Первые контрпримеры
были независимо построены в работах [88] и [142]. Как в
статье Брайанта, так и у автора примеры возникали
сначала в свободных группах некоторых (локально
конечных) многообразий, а затем «поднимались» в F, т. е.
полученные подгруппы в F, не совпадая с вербальными,
все-таки содержали в себе нетривиальные вербальные в
F подгруппы. Покажем, что с помощью проведенных в
гл. 6 построений совсем нетрудно дать примеры,
свободные и от этого ограничения.
Пусть, как и в гл. 6, п — большое нечетное число
(например, п>1010), а F = F(Ql)—абсолютно свободная
группа. Скажем, что слово W в алфавите % U St-1 равно
1 по модулю п, если в его записи сумма всех
показателей, с которыми входит любая буква a ^ 91, равна 0 по
модулю п. (Например, слово а\ а.2 аг а~\ равно 1 по
модулю 3.) Можно заметить, что такие слова составляют в
F вербальную подгруппу, заданную словами [х, у] и хп.
(Иначе говоря, такие слова лежат в ядре любого
гомоморфизма группы F в циклическую группу порядка п.)
Обозначим "F подгруппу, порожденную в F п-жш
степенями всех слов, не равных 1 по модулю п. Поскольку
это условие, как замечено выше, может быть переписано
в инвариантных терминах, подгруппа nF автоморфно
допустима в F.
Определим градуированное копредставление с ядром
""• Для этого, повторяя индуктивное определение мно-
396 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
жества 36 i периодов А ранга i из § 18, налагаем
соотношения Ап = 1 тогда и только тогда, когда слово А не
равно 1 по модулю га. Сохраним обозначения G(i) и
G(°°) для возникающих при этом градуированных ко-
представлений. Формулировки и доказательства лемм
18.1 — 19.5 при этом не меняются, за исключением
утверждения 1) леммы 19.3, которое нужно опустить.
Лемма 39.9. Ядро N копредставления группы G(°°)
совпадает с подгруппой "F.
Доказательство. Включение N<= nF прямо
следует из вида определяющих слов для G(°°).
Предположив, что N Ф nF можем выбрать слово X наименьшей
длины, не равное 1 по модулю га такое, что Хп е= nF\N,
так как "F порождается га-ми степенями таких слов.
Заметим, что если X не равно 1 по модулю га и X => У в
G(°°), то и 7 не равно 1 по модулю га, ибо все слова из
Л" равны 1 по модулю п. Поэтому из леммы 18.1
следует, что слово X является простым в ранге |Х| — 1.
Значит, по определению множества 36m либо X —
период ранга IZI, либо слово X сопряжено с периодом ран-
га |Х| в ранге |Х| — 1. В любом случае Xй = 1, т. е.
Хп ■€= N вопреки выбору X. Следовательно, N = nF. ■
Теорема 39.4. Во всякой нециклической
(абсолютно) свободной группе F автоморфно допустимая
подгруппа "F не является вербальной и даже нещсодержит
никакой неединичной вербальной подгруппы группы F.
Более того, в факторгруппе F/nF есть нециклическая
абсолютно свободная подгруппа.
Доказательство. Выберем два слова V1 ==
= a^a^a-L а% аг и V2 = а%ага.г aj~ а„_, равных 1 по модулю га,
и докажем, что их образы в F/nF (т. е. в силу леммы
39.9 в группе G(°o)) свободно порождают абсолютно
свободную подгруппу. Отсюда следует, что факторгруппа
F/nF не удовлетворяет никакому нетривиальному
групповому тождеству, а значит, подгруппа "F не может
содержать никакую неединичную вербальную в F
подгруппу.
Допустим, что W(VU V2) = 1 — соотношение в G(°°),
где W — циклически несократимое слово в алфавите
1^1 i-V2 }. Из определения V\ и V% видно, что после
подстановки вместо V\ и V2 слов в алфавите [а^1, а^1}
получится пепустое циклически несократимое слово W в
алфавите {«г1,;^1]- Слова V\ и V2 единичны по модулю
§ 39. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 397
п, поэтому для любого подслова U слова W сумма
показателей для вхождений буквы а\ (или а®) в U может
принимать лишь значения 0, ±1, +2 по модулю п.
С другой стороны, к приведенной дисковой
диаграмме равенства W=i можно в силу леммы 19.5
применить теорему 16.2, в соответствии с которой в W±x есть
подслово U = Ат, где А — период некоторого ранга и
т "> [era]. Поскольку слово А не равно 1 по модулю га,
для одного из слов А, А2, Аъ сумма показателей, с
которыми входит в это слово буква а\ или буква аг, отлична
от 0, ±1, ±2 (по модулю га). Полученное противоречие
показывает, что между V\ и Уч пет нетривиальных
соотношений в F/nF, и теорема доказана, в
Отметим еще одно свойство группы G = F/nF для
простого га = р. По определению а? <= VF для а е %.
Поэтому в коммутант [G, G] входят в точности те слова X,
которые равны 1 по модулю га. Значит, Хр = 1 в G для
любого элемента X, не принадлежащего подгруппе
[G, G]. Пусть, наоборот, X<s[G, G]\{\). Тогда слово X
сопряжено в G со словом вида Ah, где .4 — период
некоторого ранга. Это следует из максимальности в выборе
множеств периодов 36i и лемм 39.9 и 18.1. Если бы
слово А было отлично от 1 по модулю р, то к не делилось
на р (ибо Ар =А в G), а значит, слово X было
неединичным по модулю р, так как (к, р)=1. Поэтому для
периода А не вводится соотношения Ар = 1, и слово А
имеет бесконечный порядок в G, что следует из
теоремы 26.4. Следовательно, бесконечен порядок и у X. Нами
доказана
Теорема 39.5. Для всякого достаточно большого
простого р группа G = F/PF такова, что ее (неединичный)
коммутант не имеет кручения, в то время как любой
элемент группы G, не принадлежащий ее коммутанту,
имеет порядок р (причем G Ф [G, G]).m
Теорема 39.4 вполне аналогична утверждению,
доказанному Ю. В. Семеновым при несколько ином
определении подгруппы nF — она выбирается как подгруппа,
порожденная га-ми степенями всех примитивных
элементов группы F. (Элемент g ^ F называется примитивным,
если его можно включить в некоторый базис свободной
группы F.)
4. Об аппроксимации групп Fm. Из теоремы Бирк-
гофа, сформулированной в конце § 6, следует, что если
многообразие групп 3? порождается некоторым классом
398 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
групп *&, то 35-свободные группы аппроксимируются
группами из f и и подгруппами. В связи с обстоятельным
изучением аппроксимациопных свойств абсолютно
свободных групп, проведенным к настоящему времени,
В. М. Левчук записал ([60], 6.18) как известный вопрос
следующую задачу Мескина: аппроксимируется ли
абсолютно свободная нециклическая группа (всяким)
классом 2-порожденных групп, порождающим многообразие
всех групп? Как заметил С. В. Иванов, ответ отрицателен.
Теорема 39.6. Пусть F% — 2-я о рожденная
абсолютно свободная группа. Тогда определенная в п. 3 группа
^У^г порождает многообразие всех групп, но не
аппроксимирует никакую группу Fm.
Доказательство. По теореме 39.4 в группе G =
= ру^г есть нециклические абсолютно свободные
подгруппы. Поэтому в ней не выполняется никакое
нетривиальное тождество, и группа G порождает многообразие
всех групп.
Пусть {ai, ..., am) — базис в Fm. Для доказательства
теоремы достаточно показать, что неединичный
коммутатор с = [ ... [[а™, щ\, а\], ..., а„] отображается в 1
при любом сюръективном гомоморфизме ср: Fm -»- G. Но в
самом деле, если <р(а() записывается как слово, не
равное 1 по модулю п, то ф(а,-)" = 1 в G по определению
группы G. Тогда и ср(с)=1. Если же все слова tp(a()
равны 1 по модулю п, то гомоморфизм ср: Fm -> G,
очевидно, не может быть сюръективным. в
5. Значения слов и вербальные подгруппы. Если в
некоторой группе G лишь конечное число различных
коммутаторов, то коммутант [G, G] — конечная подгтш-
па. (Эта теорема Шура вытекает, например, из [236],
10.1.4.) Еще проще показать, что если в G конечно
множество элементов вида g" для некоторого п, то
отвечающая слову х" вербальная подгруппа группы G конечна.
В связи с этим известен был вопрос Ф. Холла (см. [2581;
[60]. 2.45а): верно ли, что вербальная подгруппа w(G)
произвольной группы G конечна, если слово w
принимает в G лишь конечное число различных зиачепий? Этот
вопрос даже более естественен, чем задача Ф. Холла,
рассмотренная в п. 31.5, хотя положительно решались
они при одинаковых дополнительных ограничениях
одновременно (Тёрнер-Смит [2581, ГО. И. Мерзляков [74]).
В качестве контрпримера С. В. Иванов предложил
слово w(x, у) вида [[хрп, урп]п, урпТ, обосновав его в духе
§ 39, ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 399
настоящей книги, но с привлечением дополнительных
соображений. Для сокращения объема мы используем ниже
иные аргументы, выбрав в качестве w(x, у) более
длинное слово (см. (2), (3) § 29), о котором полезная
информация уже была получена нами в § 29, 30.
Пригодится еще одна поверхность Мг (см. конец § 10).
Лемма 39.10. Всякая приведенная диаграмма над
непредставлением группы G(°°), определенным в п. 29.2,
на замкнутой компактной ориентируемой поверхности
рода 2 имеет ранг Q.
Доказательство. Если расширить понятие Б°-
карты, включив в него и S-карты на Мг, то все
утверждения о них сохраняются, ибо в следствии 10.1
по-прежнему С < 60 (к ==1 = 0, % = —2). Поэтому приведенное
утверждение можпо добавить к лемме 25.1 (расширив
соответственно и теорему 22.3). ■
Образуем далее для копредставления группы G(°°) =
— FJN из § 29 центральное расширение Н = F/[F, N]
этой группы.
Лемма 39.11. Если коммутаторы С = XYX~xY~l и
C1^X1Y1X'^ Y^ равны в группе G(°°), то они равны и
в группе Н.
Доказательство. Пусть А — диаграмма
равенства слов С и С\ в G{°°). По лемме 31.1 достаточно
показать, что для всякого R е 01 алгебраическое число
Я-клеток в А равно 0. Для этой цели склеим в ЗА 4
пары участков контура с метками X и Х~\ Y и Y~\ X\ и
XJ1, Yx и YZ1. После этого получится диаграмма А
на поверхности М%. Алгебраическое число Л-клеток в А'
равно 0, что выводится из леммы 39.10 и асферичности
(лемма 25.1) так же, как лемма 31.2 из асферичности.
Значит, то же верно и для А, и лемма доказана. ■
Придерживаясь далее обозначений из § 29, сделаем
небольшую поправку: выбирая слово ZAj при данных
XAj и Yaj, требуем, чтобы ZAj имело наименьшую
возможную длину среди всех слов Z с тем свойством, что
пара (XAJ, ZYAjZ~l) одновременным сопряжением в ран-
£е £—1 = 1.41 — 1 переводится в заданную пару (XAti,
Yaj). Очевидно, что при этом по-прежнему сохраняется
минимальность длины слова ZA:1 в двойном смежном
классе <XAj}ZA:J<YAiJ} группы G{i — 1). Аналогичное
замечание относится к выбору слова Z перед
леммой 30.4.
400 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
При выборе (А, /)-тройки для класса пар Я!> Aj
допускался некоторый произвол. Теперь все тройки (X, Y, Z),
которые могут быть выбраны в качестве (А, /)-тройки
ранга i, назовем обобщенными {A, j)-тройками, т. е. для
пары (А, /) может быть несколько обобщенных {А, /)-
троек. При фиксированных A, / обобщенные
определяющие слова Raj, RA,h • • • > построенные для каждой
обобщенной (А, /)-тройки, сопряжены в ранге i — 1 = \А\ — 1,
как видно из их определения. _
Лемма 39.12. Пусть Х7ФУХ в G(°°). Тогда пара
(X, Y) внутренним автоморфизмом группы G(°°) может
быть переведена в некоторую пару (X, ZYZ~l) для
некоторой обобщенной (A, j)-тройки (X, Y, Z).
Доказательство. Из лемм 25.12 и 25.14 следует
(как и при доказательстве леммы 30.3), что v[X, Y)¥= l
в G(°°), ибо [X, У] Ф 1. Поэтому слово v(X, Y)
сопряжено в G(°°) со словом вида А', где / Ф 0, а А — простое
в любом ранге слово или период некоторого ранга i
(теорема 26.4). Далее, переходя к сопряженной паре, мы
можем определить для нее слова Z, Y, W, Т, В, С, как
перед леммой 30.4. Построим далее слово R = RAj, как
оно определялось в § 29 (там при дополнительном усло-
вип iv (X, Y) Ф \). Отметим, что неравенства лемм 30.3—
г—1
30.5 сохраняются, так как v(X, Y) ф 1 дли i = \А\.
Допустим, что R = 1, и рассмотрим приведенную
диаграмму А этого равенства. Разбиение ее контура на
участки с метками А{пШ{ и Т±х является стандартным
для С-карты. (По лемме 26.5 участки с метками A{nVh)1
являются гладкими, условие С6 следует из лемм 25.8 и
21.1, а остальные свойства вытекают из лемм 30.3—30.5.)
Но это противоречит лемме 23.18, ибо здесь длина
участка второго вида пулевая,
j—1
Итак, R ф 1. Значит, по определению множества 9"А
слово R можно сделать определяющим, а (X, Y, Z)
сделать (A, j)-тройкой, н
Несколько расширим далее понятие D-карты, добавив
кольцевые карты с контурами t\S\ .. . tksh и t1s1 . .. thSh,
что не меняет доказательств лемм 24.1—24.5. (В
формулировке леммы 24.3 в утверждении 1) нужно исключить
для кольцевых карт случай k = h, i = 1.)
§ 39. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 401
Лемма 39.13. Пусть R и R' — обобщенные
определяющие слова, построенные для одного класса пар слов
Фаз, где \A\=i. Тогда существует степень U = Ат пе-
риода А такая, что Taj = UTajU .
Доказательство. Пусть А — приведенная
кольцевая диаграмма ранга i — 1 для сопряженности слов R
и R'. Так же, как в лемме 26.1, проверяется, что А
является D-картой (в расширенном выше смысле),
выбираются пары вершин (ох, ох), ...,{oh, од) и соединяются
вершины этих пар путями . (без пересечений) с
единичными метками в ранге i — 1. Это позволяет провести
дальнейшее рассуждение, в точности следуя
доказательству леммы 29.3 вплоть до вывода о сопряженности слов
Taj, и Taj в ранге i — 1 с помощью степени слова А. ■
Лемма 39.14. Для двух обобщенных (A, j)-троек
(X, Y, Z) и (X', Y', Z') существует слово U,
посредством которого сопряжены в ранге г—1 = 1.41 — 1 как
коммутаторы [X, 7] и [X', Y'} {где F== ZYZ~l,
Y'^Z'Y'Z'-1), так и слова v(X, Y) и v(X', Г').
Доказательство. Из определения слова Raj вид-
;iiq\ ratto J[X, Y] и TAj, а также v(X, Y) и AHAJ)
сопряжены в ранге i — 1, причем сопрягающее слово одно и
то же. Аналогичное замечание относится к Raj, и
остается сослаться на лемму 39.13. ш
Лемма 39.15. Для данных A, j и любых
обобщенных (A, j) -троек (X, Y, Z) и (X', У, Z') значения слов
w(X, Y) и w(X', У) совпадают в группе H = Fj[F, N].
Доказательство. Как _видно из определения,
элементы w(X, Y) и w(X', Y') сопряжены в ранге
1-41 — 1, а по_ лемме _39.14 одновременно сопряжены
[X, Y] и [X', Y'], v(X, Y) и v(X\ У). Поскольку слово
v графически является коммутатором, эти сопряжения
переносятся и в группу Н по лемме 39.11. Поскольку
значения слов w(X, Y) и w(X', Y') лежат в центре
группы Н, они совпадают в Н. ш
Лемма 39.16. Базис свободной абелевой группы
N/[F, N] можно составить из всех неединичных значений
слова w в Н.
Доказательство. Все_ значения слова w лежат в
центральной в Н подгруппе N = N/[F, N] по теореме 30.1.
По лемме 39.12 все значения слова w совпадают в Н
26 д. ю, Ольшанский
402 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
со значениями w(X, ZYZ~l) для некоторых обобщенных
(А, /) -троек (X, Y, Z), поскольку при вычислении
значений слова w добавочные множители из N у
аргументов можно опускать ввиду центральности подгруппы N
и коммутаторного строения слова w. По лемме 39.15
(X, Y, Z) можно считать {А, /)-тройкой (не
обобщенной, а обычной). Поскольку слова RA, и w(X, Y) (где
— i~1 -Л
Y = ZYZ ) сопряжены в ранге i — 1, то в группе Н
w(X, Y)^RAJQAJ, (2)
где QAJ лежит в подгруппе, порожденной всеми RB,h при
\В\ < i. Можно сказать, что система равенств (2)
имеет «треугольный» вид. Отсюда с помощью индукции по i
заключаем, что система значений w(X, Y) составляет
базис в N тогда и только тогда, когда базис составляют
элементы RAJ. Но последние действительно являются
базисными для N в силу утверждения 2) теоремы 31.1
(и леммы 25.1). щ
Ответом на обсуждаемый в данном пункте вопрос
Ф. Холла является
Теорема 39.7. Можно указать группу G, в которой
слово w(х, у), заданное формулами (2), (3) § 29,
принимает всего одно неединичное значение, но определяет
бесконечную вербальную подгруппу.
Доказательство. Выберем в центральное
подгруппе N группы Н базис из значений слова w в Н в
соответствии с леммой 39.16. Обозначим L подгруппу,
порожденную всеми базисными элементами, кроме какого-то
одного. Из леммы 39.16 очевидно следует, что H/L —
искомая группа, м
6. Разные задачи. Приведем еще несколько
результатов, ограничиваясь их формулировками. Помимо
знакомых уже «ходов», используются и другие соображения,
которые часто выходят на первый план. По этой причине,
а также чтобы не увеличивать объем книги,
доказательства опускаются. К тому же сейчас продолжают
появляться новые приложения метода.
Уайгольд обратил внимание на то обстоятельство, что
не было известно ни одной конечно порожденной простой
группы, которая бы не порождалась двумя элементами.
В [60] записан его вопрос о существовании таких групп
(вопрос 6.44). В. С. Губа [36] доказал следующую
теорему, которая влечет положительный ответ на вопрос Уай-
гольда.
§ 39. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 403
Теорема 39.8. Существует конечно порожденная
простая группа G, все 2-порожденные подгруппы которой
являются свободными.
Градуированное непредставление группы G устроено
проще, чем копредставления из гл. 8. Достаточно,
например, в доказательстве рассматривать только подкарты
Опримыкания. С другой стороны, определение группы G
не укладывается в схему восьмой главы — в
определяющих словах уже совсем нет подслов, являющихся
степенями. Основной является лемма о соотношениях в
произвольных группах, содержащих несвободную 2-норож-
деиную подгруппу. Статья [36] связана со статьей [35]
того же автора, где показано, что при весьма
естественных условиях малого сокращения на G (условия в [35]
имеют «классический», а не «градуированный» характер)
всякая 2-порожденная подгруппа группы G свободна.
Причем оказывается, что группы G с таким свойством
составляют подавляющее большинство в следующем
точном смысле.
Рассмотрим класс всех групп с m порождающими и к
соотношениями. Подкласс этого класса будем называть
плотным, если отношение количества копредставлений
вида
<аи ..., ajRi = l, ..., #s=l>,
задающих группы из этого подкласса, к количеству всех
таких копредставлений стремится к 1 при !i?il + ...
... + \Rh\ -*■ °о. В статье [35] показано, в частности, что
при m > 4, к = 1 класс групп со свободными 2-порожден-
ными подгруппами является плотным. Представляется
правдоподобной следующая гипотеза: для всяких т, к и
I, где Km, класс групп, в которых свободна всякая 1-ло~
рожденная подгруппа, является плотным.
Известные ранее артиновы группы имеют конечную
«ширину». Назовем здесь шириной группы G
наименьшую мощность m = m(G) со следующим свойством:
всякая подгруппа, порождаемая конечным множеством
элементов из G, порождается его подмножеством мощпости
*^т. (Термин введен Л. Н. Шевриным; чаще он
употребляется в ином смысле.) Нетрудно, например, понять, что
ширина бесконечной циклической группы Z бесконечна.
(Рассмотреть подмножества чисел вида р\... jo,_ipf+i... ph,
гДе ри ..., pk — различные простые числа.) В 1965 г.
Л. Н. Шеврин поставил вопросы ([60], 1.81): а) всякая
26*
404 ГЛ. 12. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
ли группа конечной ширины артинова? б)" всякая ли ар-
тинова группа имеет конечную ширину?
Отрицательный ответ на второй вопрос дала Г. С.
Дерябина [40]. Контрпример можно получить с помощью
следствия 35.1, если в качестве {G^}^; взять все
циклические группы нечетных порядков. Совсем недавно
отрицательный ответ на первый вопрос получен С. В.
Ивановым [49].
В заметке [49] С. В. Иванов доказывает, что в
свободной я-периодической группе достаточно большого
нечетного составного периода любая собственная нормальная
подгруппа уже не является свободной я-периодической.
Для простых п соответствующий вопрос С. И. Адяна
([60], 7.1) пока открыт. В статье [49] используется
понятие корня Уб? из подгруппы G группы Н:
Кроме того, вводится подгруппа N*(G), порожденная
нормализаторами в Н всех неединичных подгрупп из G.
Если достаточно большое нечетное п не является
степенью простого числа, то для всякой неединичной
подгруппы GczB(5T, n) оказывается, что У б? = N*(G), а если
п=р\ Z>1, то V"GczN*(G)cz}/~V~G- (В случае
простого п понятие корня из G бессодержательно.)
Из сопоставления теорем А. И. Кострикинй [57], [59]
и П. С. Новикова и С. И. Адяна [80], [5], следует, что для
простых р > 665 существует бесконечная простая группа
с нетривиальным тождеством (см. также теоремы 28.1
и 28.7). Поэтому около 20 лет назад А. Л. Шмелькин
([60], 1.83) спросил, существует ли простая группа с
неограниченными в совокупности порядками элементов,
в которой выполняется нетривиальное тождественное
соотношение. Совмещая конструкции из § 27 и § 29,
В. С. Атабекян [13], [14] построил простые группы без
кручения, а также периодические простые группы с
неограниченными в совокупности порядками элементов,
в которых выполняются нетривиальные тождества.
В книге [76] обсуждается следующая задача
(проблема 19): существует ли вербальная функция V такая, что
при некотором т > 1 кратчайший неединичный элемент
из V(Fm) длиннее, чем кратчайший нетривиальный
элемент из Т^оо)? (Другими словами, существует ли
тождество, все нетривиальные следствия которого для т пере-
§ 39. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕНЕНИЙ МЕТОДА 405
менных длиннее данного тождества?) Распространяя
предложенный в § 29, 30 подход на некоторые тождества
от трех переменных, А. М. Сторожев построил требуемый
контрпример.
Подгруппа Н группы G называется паранормальной,
если для всякого не G нормальное замыкание подгруппы
Н в подгруппе К=(Н, аНа~1У совпадает с К. Если
аналогичное условие выполнено для К= {хНх~1\х^ <а>>, то
Н называется полинормальной подгруппой в К.
Поставленный 3. И. Боревичем вопрос о совпадении этих
понятий отрицательным образом решается С. В. Ивановым
[47]. Там же независимо от А. А. Махнёва решается
аналогичный вопрос о совпадении абнормальности
подгруппы с условием самонормализуемости всех ее надгрупп.
(Пример А. А. Махнёва является конечным.
Соответствующий вопрос ставится в книгах [122] (проблема 20)
и [183].)
ГЛАВА 43
СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
К тем или иным условиям па диаграммы сокращений
мы приходили в результате учета определенных
требований ко всем элементам группы (например,
периодичность) или ко всем парам элементов (цикличность
собственных подгрупп или тождества с двумя переменными
в гл. 9). В заключительной главе рассматривается еще
одно условие тотального характера на элементы группы,
а именно сопряженность всякой пары элементов,
подчиненной некоторым естественным ограничениям.
Понятно, что сопряжепность заданных слов А и В
можно обеспечить с помощью наложения некоторого
определяющего соотношения вида ХАХ~1В~] — 1.
Впервые необходимость введения большого числа подобных
соотношений для построения групп с заданными»
свойствами встречается в статье В. С. Губы [37], где
решается известная задача (см., например, [60], 1.1) о
существовании неединичной конечно порожденной делимой
группы. Очевидно, что простейшие делимые группы Q
и С„ (см. п. 7.2) не являются конечно порожденными.
Построение делимых групп с конечным числом
порождающих здесь проще, чем в [37],— как при использовании
ставших шаблонными в этой книге методов изучения под-
карт примыкания, так и при изложении оригинальной
части статьи [37]. Мы следуем в основном плану,
предложенному С. В. Ивановым, который привел также
некоторые дополнительные примеры применения
соотношений сопряженности.
Как обычно, сначала дается информация о ^картах
(§ 40), а затем появляются диаграммы (§ 41). При этом
уже пе все леммы (особенно в трафаретной части,
относящейся к картам) приводятся полностью, а часто
указываются лишь необходимые изменения в их ранее
доказанных аналогах.
§ 40. КЛЕТКИ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОСТИ 407
§ 40. Клетки для сопряженности
1. Условия на карты. Ограничимся рассмотрением
клеток двух типов, которые отвечают за периодичность
группы и за сопряженность всех ее элементов с элементами
из некоторой квазициклической подгруппы. Несколько
усложняя изложение, можно было бы рассматривать и
третий тип клеток, если ставить, например, задачу
построения группы, у которой дополнительно все
собственные подгруппы абелевы.
Контур клетки первого типа рассматривается как один
циклический участок, называемый длинным участком
первого типа. Контур клетки второго типа записывается
в виде sitiS2t2, где si и s2 называются длинными
участками второго типа, a t\ и t2 — короткими участками.
Циклическому участку q клетки П первого типа
приписывается некоторый (натуральный) ранг, который однако
теперь не обязательно совпадает с рангом клетки П.
(Впрочем, всегда r(qi)^r(q2), если г(П^^ г(П2).)
Определенный ранг может быть приписан и некоторым участкам
контура — так называемым гладким участкам первого
типа, определяемым ниже. Точно так же, как и в п. 20.1,
индуктивно определяется понятие k-связки (где к — ранг
главной клетки связки). В тех же обозначениях
требуется, чтобы г(л)<г(П), если q{ или q2 — участки клетки
П, и если я имеет первый тип, то ранг ее контура
меньше I (меньше пъ). Как и в § 20, определяются подкар-
ты ^-примыкания вместе со связующими линиями,
степени примыкания участков и клеток к участкам контура
клетки или всей карты.
При определении правильной системы подкарт
примыкания условие налагается только на длинные участки
q (см. п. 20.2). В остальном понятия типа карты,
правильной системы подкарт примыкания, выделенных
подкарт примыкания, обыкновенных, особых и скрытых
клеток заимствуются из § 20 (см. также § 14).
Доказательство леммы 20.1, так же как и теоремы 20.1, сохраняется
без изменений.
Лемма 40.1. Пусть П — обыкновенная клетка ран-
га k, a Т\ — выделенная подкарта примыкания ее
длинного участка pi к участку q{ другой клетки И\ ранга
1>к и (pi, Г, qi)> е. Тогда не существует другой
выделенной подкарты примыкания Т2 длинного участка р2
408
ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
клетки П к участку q2 контура дА или к длинному
участку Q2 клетки Пг ранга m> k такой, что (р2, Г, q<i)~^- е.
Доказательство. Нужно повторить рассуждения
лемм 14.2 и 20.2. н
Назовем теперь карту А Н-картой, если:
HI. Всякий подпуть длины sg;max(/, 2) любого
длинного участка первого типа ранга /3* 1 является
геодезическим в А.
Н2. Пусть Г — подкарта примыкания длинного
участка р к длинному участку q первого типа и (р, Г, q) 3* е.
Тогда | Г Д q \ < (1 + у) г (q). Если р — длинный участок
второго типа клетки л, q — какой-либо участок клетки П
и {Р, Г, q)> 8, то г(я)<г(П).
НЗ. Контур q клетки первого типа циклически
несократим, и Igl >nr(q).
Н4. Степень Г-примыкания любого длинного участка
к любому участку второго типа меньше е для всякой
подкарты Г.
Н5. Если р — короткий участок клетки П, a q — ее
длинный участок, то 1 ^ \р\ < 84У|д|.
Н6. Длинные участки клетки второго типа имеют
равные длины.
Как обычно, параллельно вводится понятие гладкого
участка контура. Подпуть q контура Н-карты А может
быть объявлен гладким участком первого типа ранга к,
если: ♦
1) всякий подпуть в q длины sgmax(&, 2) несократим
и является геодезическим в А;
2) если для подкарты примыкания Г длинного
участка р некоторой клетки (р, Г, q)> г, то |ГД2|<(1 +
+ y)r(q).
Участок q контура дА назовем гладким участком
второго типа, если он несократим, и степень примыкания к
нему любого длинного участка любой клетки меньше 8.
Лемма 40.2. 1) Подкарта Н-карты есть Н-карта.
2) Если подпуть р участка первого типа ранга к
(участка второго типа) контура Н-карты является
участком контура подкарты Г, то р-гладкий участок первого
типа ранга к (участок второго типа) в дТ.
3) Если подпуть р длинного участка ранга / клетки
П (или участка второго типа) является участком
контура подкарты Г в Н-карте А и И не входит в Г, то р —
гладкий участок первого типа ранга / (гладкий участок
второго типа) в дТ.
§ 40. КЛЕТКИ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОСТИ 409
Доказательство. Утверждение непосредственно
следует из определений Н-карты и гладких участков
первого и второго типов, н
Лемма 40.3. Если q — длинный участок клетки П
второго типа в Н-карте А, то 2\q\ < |<9П| <(2 + е) Igl.
Доказательство. Утверждение вытекает из
условий Н5 и Н6. н
2. Примыкания в Н-картах. Леммы 40.4—40.16
доказываются путем совместной индукции по числу 52-клеток
карты А.
Л емм а 40.4. Всякая Н-карта правильна.
Доказательство. В доказательстве леммы 15.2
нужно заменить ссылки на лемму 15.1 и теорему 17.1
ссылками на леммы 40.2, 40.16. в
Лемма 40.5. Пусть Г — подкарта примыкания
участка q~\ к q2 в Н-карте А, где q~\ и q~i — участки клеток
или контуров карты А, и d(q~\, Г, Q2) — PiQiP2q2- Тогда:
1) если q~\ — участок первого типа и- r(q~\) = k, то
max(|/?il, |рг1)< Зв~1к < t,nk,
что меньше £|(9П[, если q\ —участок клетки П;
2) l^iI = \р%\ = 0, если q~i — участок второго типа;
3) в любом случае ma.x(\pi\, \р2\)< Зе—хI^iI.
Доказательство. В случаях 1) и 3)
доказательство проводится так же, как и доказательство леммы 21.1,
с заменой условий В2, В6 на Н2, НЗ и ссылок на
леммы 20.3 и 20.4 ссылками на леммы 40.2 и 40.3. (В
случае 3) вместо множителя 2/i8-1 появляется множитель
Зе-1.)
В случае 2) связки Е, и Е2 являются 0-связками,
т. е. \pi\ = \р2\ =0, ибо главные клетки в Ei i Ег
отсутствуют, как видно из условия Н4 и определения участка
второго типа, н
Формулировки и доказательства лемм 40.6 и 40.7
совпадают соответственно с формулировками и
доказательствами лемм 21.2 и 21.3. (Ссылки на леммы 20.3, 21.1 и
теорему 22.4 нужно заменить ссылками на леммы 40.2,
40.5 и 40.16, а В-карты — на Н-карты.)
Лемма 40.8. Пусть q~\ — длинный участок клетки л,
Q2 — участок ранга к (клетки или контура Н-карты А),
а Г — подкарта примыкания q{ к д2. Тогда, если (qh Г,
#2)3*8, то r(qi)<t,k, а если q2~ участок клетки П, то
г(л)<г(П) и l£il<e3/2lg2l.
410
ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
Доказательство. Нужно повторить
доказательство леммы 15.5, используя определение Н-карты и
лемму 40.6 (вместо леммы 15.4). Последнее неравенство
объясняется, как и в лемме 21.4. в
Формулировка и доказательство леммы 40.9 такие же,
как и у леммы 21.5 (с заменой В-карты на Н-карту,
а ссылок па леммы 21.1 и 21.3 ссылками на леммы 40.5
и 40.7).
Лемма 40.10. Пусть Г — подкарта примыкания
клетки л к длинному участку q клетки П или к гладкому
участку контура Н-карты А, д(л, Г, q) — PiQiP2Q2 и (я,
Г, q) > е. Тогда для любого пути s в А, гомотопного пути
<72, М<(1 + Зт)Ы.
Доказательство. Как видно из условия Н4,
участок q имеет первый тип. Поэтому на основании
определения Н-карты можно повторить доказательство леммы
15.7. н
Лемма 40.11. В И-карте А степень V-примыкания
любой клетки л к любому длинному участку клетки П
или к любому гладкому участку контура ЗА меньше ее.
Доказательство. Утверждение следует из лемм
40.9 и 40.10. н
3. Весовые оценки. Как обычно, вес §1-ребра е
длинного участка q некоторой клетки задается формулой
v(e)= [д|~1/3 и v(e) = 0 для всех других ребер. Дисковую
или кольцевую. Н-карту назовем W-картой, если число
участков ее контура не больше 4.
Лемма 40.12. Сумма Н весов всех особых клеток
W-карты А не больше a~'ev(A).
Доказательство. Пусть Г — выделепная подкарта
примыкания участка р клетки П к участку q какой-либо
клетки или контура в Н-карте А. Допустим, что л —
главная клетка одной из двух связок, определяющих подкарту
Г. По лемме 40.5 ни р, ни q не могут быть в этом
случае участками второго типа.
Пусть, как и в лемме 21.8, р' — длинный участок
клетки л такой, что (р', Г, р) > 8. Как и там (но с
помощью леммы 40.6), имеем \р'\ <(1 + у) (1 — 2р)_1е-1/,
если р — длинный участок ранга /. Если же р — короткий
участок в ЗП, то по лемме 40.6 и условию Н5 \р'\ <(1 —
— 2(3)~18-1|/И < е2УЫ, где s — длинный участок в дИ.
В любом случае по условиям Н6 и НЗ \р'\ < e2\s\, где
s — длинный участок в <Ш. Тогда по лемме 40.3 и опре-
§ 40. КЛЕТКИ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
411
делению весов ребер v(n)<ev(s). Отсюда, как в
лемме 21.8, v(T)< 3ev(s), и далее, как и в лемме 21.9,
выводится оцепка Н <^a~lsv(A). в
Лемма 40.13. Пусть (gi, Г, q2)> е, где q~\, дг —
длинные участки клеток в Н-карте А. Тогда, если d(q\,
Г, q~2) = PiqiP2Q2, то y(q2)<2lev(qi).
Доказательство. По условию Н4 участок дг
имеет первый тип. Поэтому повторяется доказательство
леммы 21.10 с заменой ссылок на леммы 21.1 и 21.4
ссылками на леммы 40.6 и 40.8. н
Лемма 40.14. Пусть А является Н-картой
ненулевого ранга. Тогда в А существует ^-клетка л и
выделенные подкарты ее примыканий к участкам контура
карты А такие, что сумма степеней примыкания клетки л
с помощью этих подкарт больше у.
Доказательство. Проведем необходимые оценки,
следуя привычной уже схеме из § 16 или из § 21.
Величина Kv определяется и оценивается, как в
лемме 21.11 (с замепой ссылок на лемму 21.1 и теорему
22.4 ссылками на леммы 40.5 и 40.16). Поэтому если К —
величина, определенная для Н°-карт, как в лемме 21.12,
то, так же как и там,
K^a~lev(A). (1)
Величины D и М для Н-карт определяются, как в
лемме 21.14 (но без ограничения на ранги клеток). Из
леммы 40.13
D<2llM. (2)
Пусть Г — выделенная подкарта примыкания
некоторого длинного участка gi обыкновенной клетки П]
^участку дг клетки Ш, причем (дь Г, дг) ^ е, д (qlt Г, д2) =
= p\qip\q\, a G — сумма чисел v (дг) по всем таким под-
картам Г в А. Тогда
■G^a(l-a-ls)-lM. (3)
Это неравенство с учетом лемм 40.8 и 40.11
обосновывается точно так же, как и в лемме 16.7.
Рассмотрим еще выделенную подкарту примыкания Г
короткого участка q~\ клетки П к какому-либо длинному
участку д2. Пусть d(qu Г, дг) = PiqiP2q2, a E — сумма
чисел у(дг) по всем таким Г из А. По леммам 40.2, 40.5
412
ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
и лемме 40.16 для Г
l?2l<rI(6e-I + l)l?ik
Суммируя по всем Г для коротких участков Ц\ и qx
фиксированной клетки П, получим отсюда и из условия Н5
следующую оценку для соответствующей части Еа
суммы Е:
^п<Г1(бе-1+1)(|д1| + |д;|)<783(/Ы+ VW\),
где si, S2 — длинные участки клетки П. По определению
весовой функции тогда Еп< e2v(II), а значит,
E^e2v{A). (4)
Теперь на основании неравенств (1)—(4),
неравенства
M^H+K+D+G+E
и леммы 40.12, как и в лемме 21.17, выводим М <yv(A),
что и влечет существование у-клетки. н
Из леммы 40.14, как и в § 16 (или в § 22),
непосредственно вытекают следствия 40.1 и 40.2, формулировки
которых (с точностью до замены букв А и В на Н)
совпадают соответственно с формулировками следствий 16.1
(или 22.1) и 16.2 (или 22.2).
4. Геометрия Н-карт. щ
Лемма 40.15. В Н.°-карте А ненулевого ранга пай-
дется длинный участок р ^-клетки из А и подкарта Г
его примыкания к одному из участков q контура такая,
что г(Г) = 0 и (р, Г, q)>e.
Доказательство повторяет доказательство теоремы
22.2 после замены ссылок на теорему 22.1, следствие 22.1
и леммы 21.7 и 20.3 ссылками на лемму 40.14, следствие
40.1 и леммы 40.11 и 40.4. в
Лемма 40.16. Пусть А — дисковая И-карта с
контуром qt или кольцевая К-карта с контурами q и t.
Тогда, если участок q является гладким, то $\q\ < |i|.
Доказательство. Повторяется доказательство
теоремы 17.1 с формальной заменой ссылок на леммы
15.1, 15.3, 15.4, 15.6—15.8 и следствие 16.1 ссылками
соответственно на леммы 40.4—40.6, 40.9—40.11 и
следствие 40.1. н
При доказательстве лемм 40.17—40.23 используется
совместная индукция по числу 52-клеток в карте А.
§ 40. КЛЕТКИ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОСТИ 413
Лемма 40.17. Если дисковая И-карта А содержит
Si-клетку П, то |ЗД|>(1-ЗР)Ш1.
Доказательство. Пусть Ао — кольцевая карта,
полученная после удаления из А клетки П, q — контур
клетки П. Можпо очевидно считать, что контур р карты
А является геодезическим циклическим участком в Ао-
Рассмотрим некоторую ^-клетку л в А. Если я = П,
то по лемме 40.7 |ЗД| >(7~ 20) IOTI >(1 -Щ Ш\, что
и требуется. Если клетка П не входит в подкарту
примыкания Г клетки л к р, то лемма 40.9 дает
противоречие с геодезичностыо пути р в А0, ибо (л, Г, р)>ч>а.
Если л — клетка второго типа, то клетка П не может
входить в подкарту примыкания Г' какого-то длинного
участка s клетки л к р, так как геодезический участок р
является гладким участком ранга \р\, а по леммам 40.2,
40.5 и 40.23 для Г' получим в этом случае, что г(Г') = 0.
Поэтому можно считать, что П не входит в Г. Этот
случай уже рассмотрен.
Остается предположить, что я — клетка первого типа,
аПеГ(2). Тогда
]ЙЗл|<|ЗД|, (5)
ибо для клетки первого типа это неравенство выводится
из леммы 40.16 так же, как следствие 17.1 из
теоремы 17.1.
Обозначим далее PiqiP2q2 = д(л, Г, р). Геодезический
участок дг можно считать гладким участком ранга l^l
в дТ. По леммам 40.2 и 40.5 к Г применима лемма 40.21
(ибо 1Г(2) I < 1Д(2) I), в соответствии с которой |<9П| <
< 3n(~lt,nr(s), где s — контур клетки л. Поскольку по
условию НЗ \s\ >nr(s), с помощью (5) получаем
№\<34-%f-4dA\<}m\,
что и требовалось, н
Лемма 40.18 формулируется и доказывается, как
лемма 17.1 (с заменой А-карты на Н-карту, а ссылок на
леммы 15.3, 15.4 и следствие 16.2 ссылками на леммы
40.5, 40.6 и следствие 40.2).
Лемма 40.19. Пусть А — дисковая Н-карта с
контуром p\q\P2q2, где q\ и q<i — гладкие участки, причем l?il +
+ l#2l>0 и \р\\ + \рг\ s? y(I<7iI + 1?г1), или А
—кольцевая Л-карта с гладкими контурами q\ и дг, причем Isfil +
+ \qz\ > 0. Тогда или существует 0-связка между q\ и дг
414
ГЛ. 13, СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
(и эта возможность обязательно реализуется, если хотя
бы один из участков q\, q2 имеет второй тип), или
найдется клетка ПеД(2) и дизъюнктные подкарты Г; и Гг
ее примыканий к qi и q2 соответственно такие, что
(П, Г,, ?1) + (П, Г2, q2)>J.
Доказательство. Нужно повторить
доказательство леммы 22.3 с заменой h на 2, а ссылок на теорему
22.4, следствие 16.1 и леммы 21.1, 21.5, 21.7 — ссылками
на лемму 40.16, следствие 40.1 и леммы 40.5, 40.9, 40.11.
Если qi (или q2)— участок второго типа, то второй
вариант невозможен, ибо степень Г[ — примыкания клетки
П к q\ больше Р — а > 8 вопреки условию Н4. н
Лемма 40.20. Пусть А — дисковая И-карта с
контуром piqiP2%2, причем q\ и q2 —либо гладкие участки
первого типа рангов к и I, либо участки второго типа и
\pi\ + \р2\ ^f(l?il + М). Тогда: 1) найдутся вершины
01 и 02 на qi и q2 и соединяющий их путь х в А такой,
что \х\ =0, если хотя бы один из участков q\, q2 имеет
второй тип, и Ы<сстш(&, I) в противном случае; то
же верно, если А — кольцевая К-карта с гладкими
контурами рангов к и I; 2), 3) — см. формулировку
леммы 17.3. *
Доказательство. Уточнение в формулировке по
сравнению с леммой 17.3 прямо следует из уточнения в
формулировке леммы 40.19. Кроме того, ссылки па
лемму 15.3 и теорему 17.1 заменяются ссылками па леммы
40.5 и 40.16. в
Лемма 40.21. Пусть А — дисковая ll-карта с
контуром piqiP2q2, где gi и q2— гладкие участки рангов к
и I, k^l, a \pi\, \р2\ <t,nk. Тогда периметр любой
клетки из А меньше З^^пк < пк. В случае, когда \р\\, 1/>г1 <
< <zk или когда А — кольцевая карта с гладкими
контурами рангов к и I, периметры клеток в А меньше f-1^-
Доказательство. В доказательстве леммы 17.4
нужно теперь ссылаться на леммы 40.20 и 40.17 вместо
леммы 17.3 и следствия 17.1. в
Лемма 40.22 формулируется и доказывается, как
лемма 17.5 (с заменой А-карты на Н-карту, а ссылки па
лемму 17.3 — ссылкой на лемму 40.20).
Лемма 40.23. Пусть p\q\P2qi — контур R-карты А,
где \pi\ = |/?г1 = 0, q\— гладкий участок, a q2— гладкий
участок второго типа. Тогда г(А) = 0.
§ 41. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ ДЕЛИМЫЕ ГРУППЫ 415
Доказательство. Если бы г"(А)>0, то в А
существовала бы по лемме 40.14 у-клетка. Степень ее
примыкания к gi меньше а по лемме 40.11, а к дг— мепыпе
е_по_условию Н4. Но это противоречило бы неравенству
Y >ос + е. в
§ 41. Конечно порожденные делимые группы
1. Сопрягающие слова. Извлечение корней будет
осуществляться с помощью наложения соотношений вида
А = SBPS~\ где сопрягающее слово S очень длинно по
сравнению с А и Вр и является Z-апериодическим уже
для небольших значений I.
Зафиксируем произвольную последовательность Qi,
Q2, ... непустых 6-апериодических слов в алфавите Ш =
= {а\, а2} с первыми и последними буквами а2, причем
\Qi\ < \Qi+\\ для i = 1, 2, ... Существование такой
последовательности следует из теоремы 4.6. Определим при
i>2 вспомогательные слова Si-i.i формулами
Si-i,i = Qr(i)aiQr(.i)+iai ••• <?r(j)+[£-i]ai' №
где r(i)> r.(i — 1) + [£_I]. (При этом условии выбор чисел
r(i) уточняется ниже.)
Лемма 41.1. Пусть S = 5,_,,г-^ V{VU2, где |7| 5*
>e\S\. Тогда: 1) если V±x — подслово в S' = Sh-ih, то
k = i; 2) V не является подсловом в S'1; 3) если
V1VV2 = U'1VU'a, mo U[ = Ulf U2 = U2; 4) если V —
А-периодическое слово, mo | V | <! (1 + у) \А |.
Доказательство. Так как £ < 8, в подслове V
есть подслово V0 —ai@fcai- Отсюда получаем свойства
1) —3), поскольку слова Qh являются 6-апериодическими
с первыми и последними буквами а2, а кроме того каждое
из пих входит пе более одного раза в запись (1) не более
чем одного слова Si-i,*.
Заметим, что в приведенном выше рассуждении
свойство 3) можно усилить, заменив неравенство |F|^e|5|
на | V | ^ -g- 7s I S|- Если теперь допустить, что
нарушается свойство 4), то V — VjW — WVz, где |ИН;>7(1 +"\')_1X
X|V| и Vlt V2 непусты. Значит, S^=(U1V1)WU2=z
= UXW (V2U2) и | W | > -j 781 S | вопреки свойству З) в
усиленном выше варианте, в
416
ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
Пусть р — любое нечетное простое число.
Зафиксируем некоторую последовательность его степеней гц, п%, .. .,
где п\ достаточно велико, а именно п\ > щ, и П2 = рп\,
п3 = pri2,
Введем по индукции определяющие слова рангов i > 1.
Выберем в качестве периода А{ ранга i > 1 простое в
ранге i — 1 слово минимальной длины. Оно существует по
лемме 41.13. (Например, А\ = а\, но длина |Л4| при £>1
может отличаться от i.) Определяющим соотношением
первого типа ранга i назовем
А? = 1. (2)
Число r(i) в (1) выберем достаточно большим, так
что
| 54_1>41 > max (е~*п! \ А, \\ 2 | S^.j-x |). (3)
В качестве определяющего соотношения 2 типа ранга
i рассмотрим при i > 2
"i—1,г^Ч"г-1,г^Ч-1 = !• (*)
Удобно вместе с (4) рассматривать и его следствия
Si—i,tAi Si—ijAi—i = 1 * (5)
при l^k<n{-i. Левые части равенств (2), (4), (5)
включаем. в множество ^ определяющих слов ранга i.
Как обычно, % = 52,-1 U ^;, & = U &%, а группы G(i)
и G(°°) задаются соответственно с помощью 5?г и 5?.
2. Сокращения клеток. Клетки первого типа
отвечают соотношениям (2), а клетки второго типа отвечают по
определению соотношениям (5). Определяя тип
диаграммы А над G(i) или над G(°°), теперь отдельно
подсчитываем числа т{ и Т{ клеток ранга i первого и второго
типов и сравниваем сначала Tj, т. е. т(А) =(т0, ть тх, ...).
Контур клетки первого типа с периодом А{
называется (длинным) циклическим участком первого типа ранга
k=\Ai\. Если участок р клетки второго типа,
отвечающей соотношению (5), имеет метку £l-i,i, то назовем
его длинным участком второго типа. Если же р отвечает
подслову А\~х или Afph в (5), то р называется далее
коротким участком клетки второго типа.
§ 41. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ ДЕЛИМЫЕ ГРУППЫ 417
Согласованность между клетками первого типа с
периодом А (т. е. попятие /-пары), их согласованность с
участками контура и Л-согласованность участков
контуров определяются, как и в § 13, по добавляется, что
Id =S \A\ для согласующего пути t. Рассмотрим теперь
клетки второго типа П и П' ранга i с контурами S\t\S2h
и s1t1s2t2 такие, что
Ф (*i) = Ф (*2) = Ф Ы = Ф Ы = Я-м,
(о)
Ф (h) = Af, Ф (t2) I АТХ Ф (О = А\\ Ф (t2) I ATI,.
Участки sx и s2 (или s2 и s,) называются
согласованными в А, если существует путь х без самопересечений в А
с вершинами ох и о2 на sx и s2 соответственно такой, что
о
ф(ж) = 1, а точки ог и о2 определяют такие разложения
. о о
U1V1 и U2V2 слов q>(sT) и ф (s2) , что U1 = U2nV1 = V2
(рис. 95). Аналогично, если в участке q контура
диаграммы есть вддпуть р такой, что ф (р)-1 —'подслово слова
Ф (sj) и \q>(p)\'^e\s11, то с
помощью вспомогательного пути
х определяется согласованность
участка sx второго типа с р, а
значит, по определению и с д.
Если П и ГГ — разные
клетки второго типа с
согласованными в А длинными
участками, то пара (II, П') является
сократимой парой (или i-na-
рой) в следующем смысле.
Разрезая вдоль пути х, проводя О-измельчение и вырезая из А
поддиаграмму Г с двумя 52-клетками П и П', мы
получим в А дыру, метка края которой равна в ранге 0 слову
Ф (s'i) Ф ih) VT1 ■ 1 • 72<р (tT) Ф (s2) Ф (t2) Ux-i-UT\ (t2),
равному в F вследствие (6) словуSi-^iAi^+^ST-^ijAT-T11
отвечающему соотношению (5), если k + l<nf-i.
Поэтому, вклеивая вместо двух клеток П и П' одну клетку
второго типа, мы уменьшим тип т(А). Если же k + l =
= n{-i + m, где m &* О, то с помощью приклеивания
клеток первого типа рангов i и j-1 моншо заменить к +1
27 д. ю. Ольшанский
Рис. 95
418 ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
на т и свести этот случай к предыдущему, понижая
т(А) в силу принятого выше определения типа
диаграммы.
Таким образом мы приходим к возможности
интерпретации равенств и сопряженности с помощью приведенных
диаграмм (над G(i) или над G(°°)), т. е. диаграмм без
/-пар.
Назовем клетку П самосогласованной в А, если
длинные участки S\ и S2 клетки П согласованы в А, причем
соединяющий соответствующие вершины на «i и «2 путь х
вместе с некоторой дугой у, проходящей внутри П,
образует петлю, не стягиваемую по А в точку. Как видно из
формулы (5), в этом случае согласующий путь х вместе
с одной или другой частью контура дИ, на которые
последний делится точками ж_ и х+, образует цикл z, метка
которого равна в ранге 0 слову Af^x или слову Afv .
Лемма 41.2. Каждое слово X сопряжено в ранге
г S* 0 со степенью некоторого периода ранга / ^ i или со
степенью простого в ранге i слова, причем в некоторой
приведенной диаграмме такой сопряженности нет
самосогласованных клеток.
Доказательство. Первое утверждение
содержится в лемме 18.1. Если в А есть самосогласованные
клетки, то в силу сделапного выше замечапия можно один
из контуров диаграммы А заменить на путь z с меткой
Aj]lr или Afvk, уменьшив число 3?-клеток в А. н
3. Основные леммы. Леммы 41.3—41.16 доказываются
совместной индукцией по рангу, что в силу лемм 41.14—
41.16 позволяет пользоваться в ранге i результатами из
§ 40 о Н-картах.
г
^Лемма 41.3. Если Хф\ и слово X имеет конечный
порядок в ранге i "> 0, то оно сопряжено в ранге i с
некоторой степенью какого-то из периодов А\, ..., Аи
Доказательство. Повторяется доказательство
леммы 18.3 с формальной заменой ссылок на леммы 19.4,
19.5 и теорему 17.1 ссылками на леммы 41.14, 41.15 и
40.16. н
Лемма 41.4. Если А и В — простые в ранге i слова
и А = ХВ X для некоторого X, то I = ±1.
Доказательство. Пусть А — приведенная
кольцевая диаграмма ранга I данной сопряженности. В А не
может быть самосогласованных клеток какого-либо ранга
§ 41, КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ ДЕЛИМЫЕ ГРУППЫ 419
/, ибо иначе слова А и В были бы сопряжены в ранге i
с Af\, что противоречит их простоте в ранге i. Поэтому
можно заменить в доказательстве леммы 18.4 ссылки на
леммы 19.4, 19.5 и теорему 17.1 ссылками на леммы
41.14, 41.15 и 40.16. н
Лемма 41.5. Если в некоторой приведенной
диаграмме А сопряженности слов X и Y нет самосогласован-
г
ных клеток, то X = ZYZ для некоторого Z, где \Z\ =Si
^а(Ш + |Г|).
Доказательство. Нужно заменить в
доказательстве леммы 18.5 ссылки на лемму 19.4 и теорему 17.1
ссылками на леммы 41.14 и 40.16. н
Обозначим далее для i < j
Sij = Stj+iOi+lj+2 . . . iJj-1,),
считая также S« = 1 и Sij = SJi при i > /.
Если q— некоторый контур диаграммы А и cp(<?)s
= А" — степень периода А некоторого ранга, то назовем
произвольную вершину на q, начиная с которой читается
на контуре А", фазовой вершиной.
Лемма 41.6. Пусть А — кольцевая диаграмма ранга
i для сопряженности степеней периодов А\ и Aj с
контурами qi и #2 соответственно, а к, / «S i. Тогда любые
фазовые вершины Ot и 02 на q\ и q% можно соединить в
г
А таким путем t, что Ф (t) — Sh<rA™Srj для некоторого
т, причем величины [Su~itU[ меньше максимума М полу-
периметров клеток из А для и = к, г, /.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по
т(А). Но прежде заметим, что в процессе сокращения
любой /-пары П и П' клеток первого типа появляются
новые клетки с меньшими периметрами, чем П и П',
3-1
так как они интерпретируют равенство вида ф(£) = 1,
где по определению \t\ ^ \А\ для периода А клеток П
и П', а по лемме 40.17 их периметры меньше
(l-3p)-'UI <n\A\ ^ IOTI = №'|. Аналогичное
замечание справедливо в случае применения леммы 13.3 к
клетке П, А -согласованной с участком контура диаграммы.
В случае сокращения клеток П и П' второго типа вместо
них может появиться клетка п с большим периметром
(пе превосходящим (1 + е)|ЗП| в силу (3)), однако
длинные участки клетки я имеют ту же длину, что и
длинные участки клеток ПиП',
27*
420 ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
Допустим сначала, что в Д есть самосогласованная
о
клетка И ранга I. Поскольку ср (х) = 1 для согласующего
пути х, можно, вклеив в Д несколько 0-клеток, добиться,
чтобы кольцо Д распалось на три кольца Дх, Д2, Д3 с
контурами q1 и vx, v~[x и v2, v^1 и q2 соответственно,
причем ф (vx) s= CjEfx, 4>(v^sbJCi (или наоборот), а фазовые
вершины о1 = (yj- и о2 = (v2)~ соед1шялись путем ох—о2,
о i
гдеф^—o2)=iSi_liJ (рис. 96) и \Sl-1J\<-j\dIl\.
Применим предположение индукции к диаграммам Д1
и Дз, имеющим меньший тип, чем Д, поскольку клетка II
входит.в Дг. Получим путь t = 0\0\OiOi, где
i / т \ / т \ О
ф (t) = ^fe,r1^lr11'5'r1,i—lj •S'l—1,1 \Sl,rzAr*Sr^j) =
причем iSu-i.ul^-M для и = гх, r2. Если, например, r^
<г2; то в силу (4) Ar^Srir2 = Sr^A^, где c = mlp2 \
Hj обозначив m = m2 + с и г = г2, получим
Предположим теперь, что в Д нет самосогласованных
клеток. Не увеличивая т(Д), можно считать диаграмму
Д приведенной, а ввиду лемм 13.3
и 41.15 можно считать q\ и q%
гладкими участками. (Если в
результате таких замен в Д
появились самосогласованные клетки,
то приходим к разобранному выше
случаю.) По лемме 40.21 / =
= г(Д)< mm(fc, /), а значит, Ak и
А, — простые в ранге / слова.
Разрезая Д некоторым путем с мет-
- г7 л aw
кои Z, получим равенства Ak =
= ZA^Z"1 для любых целых w.
Применяя к диаграммам такого равенства при
достаточно большом w леммы 40.22, 40.21 и 41.12, заключаем, что
к = ]\ A'jt = Aj1 а по лемме 41.8 в ранге /<i Z = А™
Рис. 96
§ 41. КОНКЧЙО ПОРОЖДЕННЫЙ ДЕЛИМЫЙ ГРУППЫ 421
для некоторого т. Остается положить г = к = /, и
утверждение леммы доказано. ■
формулировки лемм 41.7—41.12 совпадают
соответственно с формулировками лемм 18.6—19.2, но в леммах
41.7 и 41.12 добавляется, что \t\ «£ \A\ для согласующего
пути t. В доказательствах ссылки на леммы 19.4, 19.5,
17.1, 17.3, 17.4, 18.1, 18.3—18.5 и теорему 17.1
заменяются ссылками на леммы 41.14, 41.15, 40.18, 40.20, 40.21,
41.2, 41.3—41.5 и 40.16. Однако в лемме 41.7 требуется
еще следующее дополнение к доказательству леммы 18.6,
обозначения которого используем ниже.
Применение леммы 40.18 в доказательстве
утверждения 3) возможно, если в Д нет самосогласованных
клеток. При этом длина согласующего пути р\ меньше (а +
+ а)\А\ <\А\ (см. (2) § 18). Покажем далее, что
самосогласованные клетки невозможны в Д.
По лемме 40.21 периметры всех клеток в Д меньше
Y-1I4|. В силу замечания из доказательства леммы 41.6
после сокращений клеток периметры клеток меньше
Tl(l + e)UI в Д. _.
Допустим, что в Д есть самосогласованные клетки.
Тогда (после возможного добавления к Д нескольких
0-клеток) диаграмма Д расслаивается на три кольцевых
диаграммы А\, Дг, Дз такие, что все самосогласованные
клетки из Д находятся в Дг, а контуры и и v диаграммы
Дг имеют метки вида А% и Aj. Приклеивая к контурам
диаграмм Дь Д2 и Дз клетки с метками-4ft и Ai J,
можем считать, что \а\ <nh, \b\ <rij. (При этом в силу (3)
периметры добавленных клеток меньше \Sk~itk\ и IS>-i,jlj
т. е. меньше ^"4.41.)
По лемме 41.6 диаграмму Дг можно разрезать
некоторым путем w = 010г, метка которого равна в ранге i
слову W вида ShrA™Srj, где в силу (2) \тп\ <пг, а
величины I5ft_iiftl, 1Я-1,г1, \Sj-\j\ меньше -^■у~1 (I + г)\А\
вследствие отмеченного выше ограничения на периметры
клеток в Д. Заметим, что в силу (3) (для
определенности к^г)
i5kr|<i5r_1>ri(i+y + 4-+ ■••) =
= 2|£г_1,г1<"Г1(1 + е)И|.
422 ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
Поэтому из (3) следует, что
\W\<4rl\A\. (7)
По лемме 40.18 вершину о\ пути р\ можно соединить
с 0\ таким путем wu что| ю1 {^Ы + 4j(\Pi\ +
|и|).Аналогично, точка 0% соединяется с некоторой вершиной на
q путем w<i таким, что | ю2 \ <; у (| v | + | р2 \ + I Я.' I) + у X
Х(| v| + |/>2|)-Е> силу оценок для Ig'l, \р\\ и \р%\ (см. 3)
в доказательстве леммы 18.6) и ограничений для \и\ и
\v\ (например, в силу (3) Ы <пк\Ак\ < e,i\Sh-\<ll\ < \А\)
имеем
max(lwil, lw2l)<Yl?2l- (8)
Метки путей w~^xq2 и ww2 связаны по лемме 11.4 со-
— \ ' i
отношением вида ср (w11q2) = ср (и) ср (w) ср (w2)l т. е.
Ф Ы = Ф К) AlW<P Ю- ^
Здесь можно считать вследствие соотношений (2), что
\c\<nh, т. е. в силу (3) \А\ \ < е* | Sk-lth | <s31 А |.
Поэтому из (7) —(9) следует, что слово ф(<?г) равно в ранге
i некоторому слову V длины, меньшей 3-у 1 ^21, ибо \qi\^
>h\A\. С другой стороны, по леммам 41.15 и 40.16
1дг1 *£ P"M'F|. Поскольку 3"fP~' < 1, получается
обещанное выше противоречие.
Уточнение в формулировке леммы 41.12 (по
сравнению с леммой 19.2) для UI следует из аналогичного
уточнения в лемме 41.7.
Утверждения 2) и 3) леммы 19.3 по-прежнему
очевидны.
4. Индуктивный шаг.
Лемма 41.13. Период Ai+X существует.
Доказательство. Предположив противное, можем
выбрать 6-апериодическое слово X, длина которого
больше 20-кратпой длины каждого из определяющих слов
п. г
рангов «Si (см. теорему 4.6). По лемме 41.2 X =1 для
некоторого k^i. В силу выбора X и леммы 40.15 в
слове X есть непустое подслово вида Ав для некоторого
периода А (если в лемме 40.15 р — участок первого типа)
§ U. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ ДЕЛИМЫЕ ГРУППЫ 423
или подслово а\ (если р — участок второго типа, так как
такое подслово есть в любом подслове слова Sk-\ih длины
~&ъ\р\)- Полученное противоречие доказывает лемму. ■
Следующие три леммы доказываются путем
совместной индукции по типу диаграмм.
Лемма 41.14. Всякая приведенная дисковая или
кольцевая диаграмма ранга i + 1 (без самосогласованных
клеток в кольцевом случае) является Tl-картой, если в
качестве рангов циклических участков клеток рангов
k < i + 1 1 типа взять длины периодов Ah.
Доказательство. Свойства НЗ, Н5 и Н6 следуют
из выбора определяющих слов.
Свойство HI проверяется так же, как свойство А2 в
лемме 19.4 с заменой ссылок па следствие 17.1, лемму
19.5 и теорему 17.1 ссылками на леммы 40.17, 41.15 и
40.16.
Проверяя Н4, можно в силу приведенности А, лемм
41.15, 41.16 и 41.1 считать дуги примыкания Г Д р и
Г Д q гладкими в дТ. Из индуктивных соображений
можно также считать, что в связках, определяющих под-
карту примыкания Г, пет главпых клеток, т. е. Г — под-
карта 0-примыкания. Поэтому к Г применима лемма
40.23. Из нее и леммы 41.1 следует, что р и q —
согласованные в А участки второго типа, если (р, Г, (?)> г.
В случае, когда р и q — участки разных клеток второго
тина, эти клетки образуют сократимую пару в А вопреки
приведенности. Если р и q — участки одной клетки ран-
га / ^ i + 1, то А™ = 1 в G (г + 1), где 0 < m < щ, причем
диаграмма А' этого равенства имеет меньший тип, чем
А. С сохранением последнего свойства можно изменить
А с помощью леммы 13.3 и считать, что циклический
участок с меткой А™ — гладкий в ЗА' вопреки лемме
40.16 (lgl>0, М=0).
При проверке условия Н2 случай, когда р и q —
участки первого типа, рассматривается, как при проверке
условия A3 в лемме 19.4 (с заменой ссылок на леммы
15.3 и 19.2 ссылками на леммы 41.5 и 41.12).
Если р — участок второго типа, a q — первого типа,
то Г является Н-картой (ибо т(Г)<т(А)) и из Н4 для
Г следует, что в связках, определяющих Г, нет главных
клеток, т. е. это 0-связки, и к Г применима (как и при
проверке условия Н4) лемма 40.23. Требуемое
неравенство следует теперь из утверждения 4) леммы 41.1.
424
ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
Если р — длинный участок второго типа клетки я, то
в случае (р, Г, q)> e участок q не может иметь тип 2
ввиду Н4. Если q — короткий участок клетки П, то из
лемм 40.3, 40.6 (для подкарты, не содержащей П) и
условия Н5 следует, что \дп\ < Зг~1\р\ < Зе_1(1 + 2§) \q\ <
<е21<9П| < |ЗП|. Отсюда г(я)<г(П), ибо я— клетка
второго типа.
Если же q — участок первого типа, то | Г Д q | < (1 +
+ Т)Г(?)> как уже доказано. Значит, по условию НЗ и
лемме 40.6
,Ш < Зе-Цр\ < Зе->(1 + 2Р) (1 + ч)пГ1Ш\ < |Ш|,
откуда опять-таки следует, что г(я)< г(П). ■
Лемма 41.15. Пусть q — участок контура
приведенной диаграммы А ранга i + 1, метка которого — А-перио-
дическое слово, где А — простое в ранге г+1 слово или
период ранга k «S i + 1, причем в последнем случае в А
нет клеток первого типа, А-согласованных с q. (Если q —
циклический участок, то требуется дополнительно, чтобы
<p(q)^Am для некоторого т.) В таком случае q —
гладкий участок первого типа в ЗА.
Доказательство. Условие 1) проверяется так же,
как первое условие в лемме 19.5 (вместо леммы 19.4
используется лемма 41.14). Условие 2) для длинного
участка р первого типа проверяется, как второе условие в
лемме 19.5. (Ссылаемся на леммы 40.5, 40.21 и 41.12
вместо лемм 15.3, 17.4 и 19.2.) Случай участка р второго
типа разбирается, как в предыдущей лемме при
проверке условия Н2, ибо т(Г)< т(А). ■
Лемма 41.16. Если метка несократимого участка q
контура Н-карты А ранга i +1 графически равна под-
слову одного из слов Sh~ifi, причем в А нет участков
клеток второго типа, согласованных с q, то q — гладкий
участок второго типа <? <9А.
Доказательство. Данное свойство проверяется,
как и условие Н4 в лемме 41.14. ■
5. Две теоремы. Поставленную в начале главы задачу
решает
Теорема 41.1. Для всякого простого р > 3 заданные
в п. I соотношения определяют 2-порожденную
бесконечную делимую р-группу G = £(<»). Кроме того- в G есть
подгруппа Н, изоморфная квазициклической группе С «,
такая, что каждый элемент g<^G сопряжен с некоторым
элементом из Н.
§ 41. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ ДЕЛИМЫЕ ГРУППЫ 425
Доказательство. Пусть А1^а1 — период ранга 1
и Aj- = 1 — первое определяющее соотношение. Элемент
А1 имеет в G порядок пх, так как иначе а™ = 1, где т=
= «iP~\ а по лемме 40.17 диаграмма этого равенства
имела бы ранг 0, что невозможно. (Аналогично a^a^aj1 ф
Ф 1 в G, т. е. G неабелева.)
Из (4) следует далее, что для А2 =_512425Г31
справедливо ~А\ = Аг, а для А, = S^A3S^ — А?л = А2 и т. д.
OQ
Значит, объединение U <44> = Я изоморфно группе Ср00.
Как замечено в п. 7.2, группа Ср00 является
делимой и остается доказать последнее утверждение теоремы.
Поскольку число групповых слов с длинами, не
превосходящими длины любого слова X, копечно, из леммы 41.2
и способа наложения соотношений ясно, что слово X
сопряжено со степенью периода At некоторого ранга. Но
все периоды сопряжены с элементами из Я. ■
Отметим, что в иеединичной р-группе (конечной или
бесконечной) не может быть менее чем р классов
сопряженных элементов. (Более того, разные элементы одной
подгруппы Я порядка р не могут быть сопряжены в G —
докажите это самостоятельно.) Следующий пример
указан С. В. Ивановым.
Теорема 41.2. Для всякого достаточно большого
простого р существует 2-порожденная бесконечная
группа периода р, в которой имеется в точности р различных
классов сопряженных элементов, а значит, любая
подгруппа порядка р содержит элементы из всех этих
классов.
Доказательство. Построим копредставление
группы G = G(°°) так же, как в п. 1, с тем только отличием,
что теперь р — достаточно большое простое число
(скажем, р>п0), п\ = п% = .. . = р, определяющие
соотношения первого типа имеют вид А\ = 1, а определяющие
соотношения второго типа ранга i 5= 2 имеют вид
Si-^AfSTl^iAT^ = I, 0<m<p. (10)
Для измененного копредставления справедливы все
леммы настоящего параграфа. Как и в доказательстве
предыдущей теоремы, группа G неабелева, а любой ее
элемент сопряжен в G со степенью одного из периодов
426
ГЛ. 13. СООТНОШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОСТИ
Ai, A2, ..'., а значит, в силу (10) — со степенью элемента
Ах—а\ порядка р. Из сделанного выше замечания
следует, что в G в точности р классов сопряженности.
Группа G бесконечна, так как конечная р-группа с р
классами сопряженных элементов абелева в силу теоремы 5.3.
(Все классы состоят из центральных элементов.) ■
В указанной в начале главы статье [37] В. С. Губа
построил также нециклическую конечно порожденную
группу (без кручения), в которой каждый элемент
сопряжен с некоторой степенью фиксированного элемента.
Тем самым был дан ответ на соответствующий вопрос
Д. В. Аносова, записанный в [60] Р. И. Григорчуком
(8.8а)). Понятно, что эта задача решается также и
теоремой 41.2.
При построении группы £(°°) в теореме 41.1 можно
с помощью определяющих соотношений извлекать корни
составных степеней и заменить подгруппу Я, например,
на С оо X . . . ХС оо для различных простых pi, ..., ps. Не-
значительные технические изменения позволяют заменить
Н на группу Q, т. е. построить, как в [37], делимую
группу без кручения с двумя порождающими.
Отметим, что С. В. Ивановым предложены и
дальнейшие усиления. Во-первых, можно, налагая наряду с (2)
и (5) соотношения, аналогичные введенным в ^ 27,
добиться, чтобы все собственные подгруппы в G были
циклическими и квазициклическими (в теореме 41.1) или
имели простой порядок (в теореме 41.2). Во-вторых,
рассматривая, как в главе 11, диаграммы над свободными
произведениями, можно доказывать теоремы вложения
с условиями па классы сопряженных элементов.
Например, всякая счетная группа без кручения вложима в 2-
порожденную группу без кручения, в которой
сопряжены между собой все неединичные элементы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Адельсон-Вельский Г. М., Шрейдер Ю. А.
Банахово сроднее на группах // УМН.—1957.—Т. 12, № 6,—
С. 131—136.
2. А д я н СИ. Бесконечные неприводимые системы групповых
тождеств / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1970.— Т. 34, № 4.—
С. 715—734.
3. А д я н СИ. О подгруппах свободных периодических групп
нечетного показателя / Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стек-
лова.—Т. 112.—М.: Наука, 1971.-С. 64-72.
4. А д я н СИ. О некоторых группах без кручения // Изв. АН
СССР. Сер. мат.- 1971,-Т. 35, № 3.-С. 459-468.
5. А д я п С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.—
М.: Наука, 1975.
6. А д я н СИ. Периодические произведения групп // Тр. мат. -
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова.—Т. 142.—М.: Наука,
197G.—С. 3—21.
7. А д я н СИ. Аксиоматический метод построения групп с
заданными свойствами II УМН.—1977.—Т. 32, № 1.—С. 3—15.
8. А д я н СИ. О простоте периодических произведений групп /
ДАН СССР,- 1978.— Т. 241, № 4.- С. 745-748.
9. А д я п С. И. Нормальные подгруппы свободных
периодических групп / Изв. АН СССР. Сер. мат.—1981.—Т. 45, № 5.x-
С. 931-947.
10. А д я н С. И. Случайные блуждепия на свободных
периодических группах II Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1982.— Т. 46,
№ 6.—С 1139—1149.
И. Алешин СВ. Конечные автоматы и проблема Бернсайда
о периодических группах / Мат. заметки.— 1971.— Т. 11,
№3.—С. 319—328.
. 12. А т а б е к я н В. С Об аппроксимации в подгруппах
свободных периодических групп.— Деп. ВИНИТИ 22.07.1986,
№ 5380-В86.
13. А т а б е к я н В. С О простых бесконечных группах с
тождеством.—Деп. ВИНИТИ 22.07.1986, № 5381-В86.
14. А т а б е к я н В. С О простых и свободных периодических
группах / Вести. МГУ: Мат., мех.—1987.—№ 76.—С. 76—78.
15. Атабекян В. С, Иванов СВ. Два замечания о
группах ограниченного периода.— Деп. ВИНИТИ 30.03.1987,
№ 2243-В87.
16. Ашманов И. С, Ольшанский А. Ю. Об абелевых п
центральных расширениях асферических групп / Изв. вузов,
Математика.— 1985.—№ П.—С. 48—60.
428 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
17. Борисович К). Г., В л из н я ко в Н. М., Израиле-
в и ч Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию.— М.:
Высшая-школа, 1980.
18. Ван дер Вар д ей Б. Л. Алгебра: Пер. с нем.—М.:
Наука, 1976.
19. В а п ь к о в Б. П. О группах с малой мерой налегания //
Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их
приложения.—Тула, 1983.—С. 17—34.
20. В и н б е р г Э. Б. К теореме о бесконечпомерности
ассоциативной алгебры / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1965.— Т. 29.—
С. 209—214.
21. Гладкий А. В. О простых словах Дика.— Сиб. мат. ж.—
1961.—Т. 2.—С. 36-45.
22. Гладкий А. В. О группах с й-сократимым базисом / Сиб.
мат. ж.- 1961.-Т. 2.—С. 366-383.
23. Г о л о в и н О. Н., Бронштейн М. А. Аксиоматическая
классификация точных операций // Избранные вопросы
алгебры и логики.— Новосибирск: Наука, 1973.— С. 40—96.
24. Г о л о д Е. С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых
группах // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1964.—Т. 28, № 2.—
С. 273—276.
25. Голод Е. С. О некоторых проблемах бернсайдовского типа //
Труды Международного конгресса математиков.— М.: Мир,
1968.—С. 284—289.
26. Г о л ь б е р г А. И. О невозможности усиления некоторых
результатов Гриндлингера и Линдона / УМН.—1978.— Т. 33,
№ 6.—С. 201—202.
27. Г о р е и с т е й н Д. Копечпые простые группы. Введение в
их классификацию: Пор. с англ.'—М.: Мир, 1985.
28. Григорчук Р. И. Симметрические случайные блуждания
на дискретных группах // Многокомпонентные случайные
системы.—М.: Наука. 1978.—С. 132—152.
29. Г р и г о р ч у к Р. И. О проблеме Берпсайда о периодических
группах // Фупкцион. анализ и его прил.— 1980.—Т. 14, № 1.—
С 53-54.
30. Г р и г о р ч у к Р. И. К проблеме Мплнора о групповом
росте / ДАН СССР.-1983.-Т. 271, № 1.-С. 30—33.
31. Гриндлингер М. Д. К проблемам тождества слов и
сопряженности / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1965.— Т. 29.—
С. 245-268.
32. Гриндлингер М. Д. Решение проблемы тождества для
одного класса групп алгоритмом Дэна и проблемы
сопряженности обобщением алгоритма Дэна // ДАН СССР.—1964.—
Т. 151.— С. 507—509.
33. Г р и н д л и и г е р М. Д. Решение проблемы сопряженности
для одного класса групп, совпадающих со своим антицентром
с помощью обобщенного алгоритма Дэпа II ДАН СССР.—
1964.—Т. 158.—С. 1254—1256.
34. Г р и п лиф Ф. Инвариантные средние на
топологических г руппах и нх приложения: Пер. с англ.— М.: Мир,
1973.
35. Г у б а В. С. Об условиях, при которых 2-порожденные
подгруппы в группах с малым сокращением свободны / Изв.
вузов. Математика.—1986.—№ 7.—С. 13—20.
36. Г у б а В. С. Конечно-порожденная простая группа со свобод-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
429
ными 2-порожденными подгрукпами / Сиб. мат. ж.—1986.—
Т. 27, № 5.— С. 50—67.
37 Губа В. С. Конечно-порожденная полная группа / Изв. АН
СССР. Сер. мат.—1986.—Т. 50, № 5.—С. 883—924.
38. Г у р о в и ч Г. А. Бесповторныо последовательности // Кваит.—
1975.—№ 9.-С. 7—11.
39. Д е р я б и н а Г. С. К проблеме сопряжопности для групп с
одним определяющим соотношением // Вести. МГУ: Мат.,
мех.- 1983 — № 2 — С. 3-7.
40 Дерябина Г. С. О боскопечпых р-группах с циклическими
подгруппами // Мат. сб.—1984.—Т. 124(166), № 4(8).—
С. 495—504.
41. Дерябина Г. С. О вложимости конечных групп нечетного
порядка в квазикопечпые группы,— Деп. ВИНИТИ 21.06.1984,
№ 4179-ДЕП.
42. Д е р я б и н а Г. С, Ольшанский А. 10. Подгруппы ква-
зиконечпых групп // УМН.- 1986.- Т. 41, № 6- С. 169-170.
43. Днестровская тетрадь: Нерешепные проблемы теории колец
и модулей.— 1-е изд.— Кишинев, 1969.
44. 3 а й ц е в Д. И. О группах, которые удовлетворяют слабому
условию минимальности / Мат. сб.— 1969.— Т. 78.— С. 323—
331.
45. 3 а й ц е в Д. И. О разрешимых группах конечного ранга //
Группы с ограничениями для подгрупп.— Киев: Наукова
думка, 1971.—С. 115—130.
46. 3 я б р е в И. Н., Р е з н и ч е н к о Е. А. О тождествах в
связпых топологических группах // Тезисы сообщений 18-й
Всесоюзной алгебраической конференции. Часть 1.—Кишинев,
1985.-С. 208.
47. И в а н о в СВ. Группы с полинормалыюй и слабо абнор-
мальной подгруппами / Структурные свойства
алгебраических систем.— Нальчик: КБГУ, 1985.— С. 50—60.
48. И в а н о в С. В. Нётеровость групп и их групповых колец /
Тезисы сообщений 19-й Всесоюзной алгебраической
конференции. Часть 1.—Львов, 1987.—С. 115.
49. И в а н о в СВ. Два замечапия о группах конечного
периода I/ Тезисы сообщений 19-й Всесоюзной алгебраической
конференции. Часть 2.— Львов, 1987.— С. 105.
50. К а р г а и о л о в М. И. О проблеме О. Ю. Шмидта / Сиб.
мат. ж.— 1963.- Т. 4.— С. 232—235.
51. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы
теории групп.— 3-е изд.— М.: Наука, 1982.
52. Кашинц ев Е. В. Аналоги одной теоремы Магнуса для
групп с малым сокращением и невозможность их усиления /
Мат. заметки.— 1985.— Т. 38, № 4.—С. 494—502.
53. К а ш и н ц е в Е. В. Обобщение одпого результата
Гриндлингера / Уч. зап. Ивановск. пед. ин-та.—Т. 62.—С. 152—155.
54. К л е й м а н Ю. Г. О тождествах в группах / Тр. Моск. мат.
о-ва.- 1982.- Т. 44.- С. 62-108.
55. К о к с е т е р Г. С. М., М о з о р У. Порождающие элементы
и определяющие соотношения дискретных групп: Пер. с
англ.— М.: Наука, 1980.
56. К о с т р и к и и А. И. Решение ослабленной проблемы Берн-
сайда для показателя 5 / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1955.—
Т. 19, №3.—С. 233—244.
430
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
57. К о с т р и к и н А. И. О проблеме Бернсайда // Изв. АН СССР.
Сер. мат. 1959.— Т. 23, № i__ с. 3—34.
58. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Наука, 1977.
59. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда.—М.: Наука, 1986.
60. Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп.—
9-е изд.— Новосибирск, 1984.
61. Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов: Пер. с
англ.—М.: Мир, 1967.
62. Курош А. Г. Теория групп —3-е изд.—М.: Наука, 1967.
63. К у р о ш А. Г., Черников С. Н. Разрешимые и нильпо-
тентные группы // УМН.—1947.—Т. 2, № 3.—С. 18—59.
64. К э р т и с Ч., Р а й н е р И. Теория представлений конечных
групп и ассоциативных алгебр: Пер. с англ.— М.: Наука, 1969.
65. Лен г С. Алгебра: Пер. с англ.—М.: Мир, 1968.
66. Липдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер.
с апгл.— М.: Мир, 1980.
67. Л о с с о в К. И. ^-универсальность свободных произведений
с объединенными конечными подгруппами.— Сиб. мат. ж.—
1986.—Т. 27, № 6.—С. 128—139.
68. Л о с с о в К. И. Достаточные условия вложимости амальгамы
в периодическую группу // Тезисы сообщений 19-п
Всесоюзной алгебраической конференции. Часть 1.—Львов, 1987.—
С. 163.
69. М а г н у с В., К а р р а с А., С о л и т э р Д. Комбинаторная
теория групп: Пер. с англ.— М.: Наука, 1974.
70. Мальцев А. И. Алгебраические системы.—М.: Наука, 1970.
71. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции.—2-е
изд.— М.: Наука, 1986.
72. М а р к о в А. А. О безусловно замкнутых мпожествах / Мат.
сб.- 1946,- Т. 18, № 1.- С. 3-28. *
73. М а с с и У., С т о л л и и г с Дж. Алгебраическая топология:
Пер. с англ.—М.: Мир, 1977.
74. М о р з л я к о в Ю. И. Вербальные и маргинальные
подгруппы линейных групп // ДАН СССР.—1967.— Т. 177, № 5.—
С. 1008—1011.
75. М е р з л я к о в Ю. И. О бесконечных конечно-порожденных
периодических группах / ДАН СССР.— 1988.— Т. 268, № 4.—
С. 803-805.
76. Нейман X. Многообразия групп: Пер. с англ.—М.: Мир,
1969. '
77. Н о в и к о в П. С. Об алгоритмической неразрешимости
проблемы тождества слов в теории групп // Тр. мат. ин-та АН
СССР им. В. А. Стеклова.—Т. 44.—М.: Наука, 1955.
78. Н о в и к о в П. С. Решение проблемы Бернсайда о
периодических группах // УМН.— 1959.— Т. 14, № 5.— С. 236—237.
79. Новиков П. С. О периодических группах II ДАН СССР.—
1959.-Т. 127.-С. 749-752.
80. Н о в и к о в П. С, А д я и СИ. О бесконечных
периодических группах. I, II, III.— Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1968.—
Т. 32, №1.-С. 212-244.- №2.- С. 521-524.-№ 3.-С. 709-
731.
81. Новиков П. С, Ад ян С. И. Определяющие соотношения
и проблема тождества для свободных периодических групп
нечетного порядка /I Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1968.— Т. 32,
№4.—С. 971-979.
СПИСОК ЛИТКРАТУРЫ
431
82. Н о в и к о в П. С, А д я н СИ. О коммутативных
подгруппах и проблеме сопряженности в свободных периодических
группах нечетного порядка.— Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1968.-Т. 32, № 5.-С 1176-1190.
83. О б р а з ц о в В. Н. Об одном классе периодических групп //
Тезисы сообщений 18-й Всесоюзной алгебраической
конференции.—Часть 2.—Кишинев, 1985.—С. 70.
84. О б р а з ц о в В. Н. О квазиконечиых группах / Тезисы
докладов 10-го Всесоюзного симпозиума по теории групп.— Минск,
1986.- С. 164.
85. О б р а з ц о в В. Ы. Теорема о вложении групп и ее
следствия II Тевисы сообщений 19-й Всесоюзной алгебраической
конференции. Часть 1,—Львов, 1987.—С. 203.
86 Ольшанский А. Ю. О проблеме конечного базиса
тождеств в группах // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1970.- Т. 34,
№ 2.— С. 376—384.
87. О л ь ш а н с к и й А. Ю. Два замечания о многообразиях
групп.—Вестн. МГУ: Мат., мех.—1971, № 2.—С. 45—50.
88. О л ь ш а н с к и й А. Ю. О характеристических подгруппах
свободных групп / УМН.-1974.-Т. 29, № 1.-С. 179-180.
89. О л ь ш а н с к и й А. Ю. Бесконечные группы с циклическими
подгруппами // ДАН СССР.- 1979.-Т. 245, № 4.-С. 785-787.
90. Ольшанский А. Ю. Бесконечная простая нётерова группа
без кручения / Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1979.- Т. 43, № 6.—
С. 1328—1393.
91. Ольшанский А. Ю. О группах с циклическими
подгруппами // ДАН Болгарии.-1979.-Т. 32, № 5.-С. 1165-1166.
92. О л ь ш а и с к и й А. Ю. Бесконечная группа с подгруппами
простых порядков / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1980.— Т. 44,
№ 2.—С. 309—321.
93. Ольшанский А. Ю. К вопросу о существовании
инвариантного среднего на группе / УМН.— 1980.— Т. 35, № 4.—
С. 199-200.
94. О л ь ш а и с к и й А. Ю. Замечапие о счетной петопологизи-
руемой группе // Вестн. МГУ: мат., мох.— 1980.— № 3.— С. 103.
95. О л ь ш а н с к и й А. Ю. О теореме Новикова — Адяна / Мат.
сб.— 1982.-Т. 118, № 2.-С. 203-235.
96. О л ь ш а и с к и й А. Ю. Группы ограниченного периода с
подгруппами простого порядка / Алгебра и логика.—1982.—
Т. 21, №5.—С. 553-618.
97. Ольшанский А. Ю. Многообразия, в которых все
коночные группы абелевы // Мат. сб.—1985.— Т. 126, № 1.—
С. 59—82.
98. Ольшанский А. Ю. Проблема А. И. Мальцева об
операциях над группами / Тр. Семинара им. И. Г. Петровского.—
1989.—Т. 14.-С. 231—255.
99. Паласиньски М. К проблеме тождества и
сопряженности для конечно определенных групп / Z. math. Logik Gruncll.
Math. 1980.- Bd 26, N 4.- S. 311-326.
100. Петров А. Н. Об инъекционных рангах многообразий
полугрупп / Изв, вузов. Математика.— 1985.— № 11.— С. 82—84.
101. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— 3-е изд.— М.:
Наука, 1973.
102. Р а з м ы с л о в 10. П. Об энгелевых алгебрах Ли // Алгебра
и логика- 1971.-Т. 10, № 1.— С. 33-34.
432 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
103. Р а з м ы с л о в Ю. П. О проблеме Холла — Хннмена // Изв.
АН СССР. Сер. мат.— 1978.— Т. 42, № 4.— С. 833-847.
104. Сапов И. Н. Решение проблемы Берысайда для
показателя 4 / Уч. зап. ЛГУ.— 1940.—Т. 55.—С. 166—170.
105. Солдатова В. Н. О группах с б-базисом, б < 1/4 и одним
дополнительным условием / Сиб. мат. ж.— 1966.— Т. 7.—
С. 627-637.
106. Солдатова В. В. Об одпом классе конечпо определенных
групп / ДАН СССР.—1967.—Т. 172.—С. 1276—1277.
107. Солдатова В. В. О централизаторе любого элемента /
Уч. зап. Ивановен, гос. пед. ин-та.— 1969.— Т. 61.— С. 209—
224.
108. Струнков СП. О проблеме О. 10. Шмидта / Сиб.
мат. ж.— 1966.— Т. 7.— С. 476—479.
109.. Струнков СП. Подгруппы периодических групп / ДАН
СССР.— 1966.—Т. 170.—С. 279—281.
НО. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее
подгрупп: Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1960.
111. Сущанский В. И. Периодические ^-группы подстановок
и неограниченная проблема Бернсайда // ДАН СССР, 1979.—
Т. 247, № 3.- С. 557-560.
112. Тартаковский В. А. О проблеме тождества для-неко-.
торых типов групп / ДАН СССР.— 1947.— Т. 58.— С. 1909—
1910.
ИЗ. Тартаковский В. А. Метод решета в теории групп /
Мат. сб.— 1949.— Т. 25.— С. 3—50.
114. Тартаковский В. А. Применение метода решета к
решению проблемы тождества в некоторых типах групп / Мат.
сб.— 1949.—Т. 25.—С. 251—274.
115. Тартаковский В. А. Решение проблемы тожества для
групп с А-сократимым базисом при к = 6 // Изв. АН СССР.
Сер. мат.—1949.—Т. 13, № 6.—С. 483—494.
116. Харари Ф. Теория графов: Hep. с англ.—М.: Мир,
1973.
117. Холл М. Теория групп: Пер. с англ.—М.: ИЛ, 1962.
118. Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной
теории групп: Пер. с англ.—М.: Мир, 1985.
119. Черников СН. О локально разрешимых группах,
удовлетворяющих условию минимальности для подгрупп / Мат.
сб.— 1951.— Т. 28 (70).— С. 119—129.
120. Черников С. Н. О проблеме Шмидта / Укр. мат. ж.—
1971.—Т. 23, № 5.—С. 598-603.
121. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы
подгрупп,— М.: Наука, 1980.
122. Ш е м е т к о в Л. А. Формации конечных групп.— М.: Наука,
1973.
123. Ширвапяп В. Л. Вложение группы В(оо, п) в группу
В (2, п) II Изв. АН СССР. Сер. мат.—1976 —Т. 40, № 1.—
С. 190—208.
124. Шмелькин А. Л. К теории правильных произведений
групп / Мат. сб.—I960.—Т. 51, № 3.—С. 277—292.
125. Шмидт О. Ю. Избрапные труды. Математика.—М.: Изд-во
АН СССР, 1959.
126. Шунков В. П. К теории периодических групп / ДАН
СССР.- 1967,- Т. 175, № 6.- С. 1236-1237.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 433
127. Шунков В. П. О проблеме минимальности для локально
конечных групп / Алгебра и логика.— 1970.— Т. 9, № 2.—
С. 220—248. v
128. Шунков В. П. О периодических группах с почти
регулярной инволюцией / Алгебра и логика.— 1972.— Т. 11, № 4.—
С 470-493.
129. Adjan S. I. Identites dans les groupes ff Acta Congres Int.
Math.— 1971.—V. 1.—P. 263—267.
130. Adjan S. I. Periodic groups of odd exponent ff Lect. Notes
Math.- 1974,- V. 372.— P. 8-12.
131. Adjan S. I. Classifications of periodic words and their
application in group theory / Lect. Notes Math.—1980.—V. 806.—
P. 1—40.
132. Adjan S. I. On the word problem for groups defined
by periodic relations / Lect. Notes Math,—1980.— V. 806.—
P. 41—46.
133. A p p e 1 K. I., S с h u p p P. E. The conjugacy problem for the
group of any tame alternating knot is solvable / Proc. Amer.
Math. Soc— 1972.— V. 33.- P. 329-336.
134. В а с h m u t h S., M о с h i z u k i H. Y., W a 1 k u p D. A non-
solvable group of exponent 5 ff Bull. Amer. Math. Soc— 1970.—
V. 76.— P. 638—640.
135. Baer R. Noethersche Gruppen / Math. Z.—1956.—V. 66,—
P. 269-282.
136. Baer R. Poliminimaxgruppen / Math. Ann.— 1968.— Bd 175.—
S. 1—43.
137. Bass H. The degree of polinomial growth of finitely
generated nilpotent groups / Proc. London Math. Soc— 1972.— V. 25,
N 4.— P. 603-614.
138. Bean D. R., Ehrenfeucht A., McNulty G. F.
Avoidable patterns in strings of symbols ff Pacific J. Math.— 1979.—
V. 85, N 2,— P. 261-295.
139. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras / Proc.
Cambridge Phil. Soc— 1935.— V. 31.— P. 433—454.
140. Boon W. W. Certain simple unsolvable problems of group
theory. I—VI II Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Ser. A.—1954.—
V. 57.- P. 231—237, 492—497.— 1955.- V. 58.— P. 252-256, 571—
577.— 1957.— V. 60.— P. 22—27, 227—232.
141. Britton J. L. Solution of the word problem for certain types
of groups I, II / Proc. Glasgow Math. Assoc. 3.— 1956.— P. 45—
54.— 1957.— P. 68—90.
142. Bryant R. M. Characteristic subgroups of free groups ff Lect.
Notes Math.— 1974.— V. 372.— P. 141-149.
143. В urn side W. On an unsettled question in the theory of
discontinuous groups I/ Quart. J. Pure Appl. Math.— 1902.— V. 33.—
,P. 230—238.
144. Burnside W. Theory of groups of finite order.— Second
edition.— Cambridge: Cambridge University Press, 1911.
145. С a m m R. Simple free product / J. London Math. Soc-^
1953.- V. 28.— P. 66—76.
146. Cohen D. E., Lyndon R. С Free bases for normal
subgroups of free groups / Trans. Amer. Math. Soc—1963.—
V. 108.- P. 528-537.
147. Collins D. J. Free subgroups of small cancellation groups /
Proc. London Math. Soc— 1973.— V. 26, N 2.— P. 193—206,
28A. Ю. Ольшанский
434
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
148. Collins D. J., Huebschmann J. Spherical diagrams and
identites among relations / Math. Ann.— 1982.— Bd 261, N 2.—
S. 155—183.
149. Comorford L. P. Real elements in small cancellation
groups // Math. Ann.—1974.—Bd 208, N 4.—S. 279—293.
150. С о m e r f о r d L. P. Powers and conjugacy in small
cancellation groups / Arch. Math.— 1975.— V. 26, N 4.— P. 353—360.
151. Comerford L. P. Quadratic equations over small
cancellation groups / J. Algebra.— 1981.— V. 69, N 1.— P. 175—185.
152. С om erf ord L. P., "Truf f au 11 B. The conjugacy problem
for free products of sixth-groups with cyclic amalgamation /
Math. Z.—1976,—Bd 149, N 2.—P. 169—181.
153. Dean R. A. A sequence without repeats on x, x~l, y, y~l //
Amer. Math. Monthly.— 1965.— V. 72.— P. 383—385.
154. D e h n M. t)ber unendliche diskontinuerliche Gruppen.— Math.
•Ann.— 1911.— Bd. 71.— S. 116—144.
155. D 1 a b V., К о f i n e к V. The Frattini subgroups of a direct
product of groups.—Czech. Math. J.—1960.-V. 10(85).—
P. 350-358.
156. Do Long Van. Problomes dos mots et de conjugaison pour
une classe de groupes de presentation finie / С. г. Acad. sci.
Paris, ser. I.— V. 292, N 17.— P. 773—776.
157. F 0 1 n e r E. On groups with full Banach meain value // Math.
Scand.- 1955.— V. 3.— P. 243-254.
158. G о w d у S. On r-th roots in eighth-groups // Proc. Amer. Math.
Soc— 1975.- V. 51.— P. 253-259.
159. Greendlinger M. Dehn's algorithm for the word
problem I/ Comm. Pure Appl. Math.—I960.—V. 13.—P. 67—83.
160. Greendlinger M. On Dehn's algorithms for the conjugacy
and word problems with applications // Comm. Pure Appl.
Math.— I960.— V. 13.- P. 641—677. «
161. Greendlinger M. A class of groups all of whose elements
. have trivial contralizers / Math. Z.—1962.—Bd 78.—S. 91—
96.
162. Greendlinger E., Greendlinger M. On Dehn
presentations and Dehn algorithms / 111. J. Math.— 1986.— V. 30,
N 2.— P. 360-363.
163. Greendlinger L., Greendlinger M. On three of
Lyndon's results about maps / Contemp. Math.— 1984.— V. 33.—
P. 212—213.
164. G г о m о v M. Groups of polynomial growth and expanding
maps // Publ. Math. IHES.— 1981.- V. 53.- P. 53-73.
165. Gromov M. Hyperbolic groups / IHES, France, Preprint.—
P. 187.
166. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble
groups // Proc. London Math. Soc. (3).—1957.—V. 7, N 25.—
p 29 62.
167. Grunewald F. J., Havas G., Mennicke J.,
Newman M. F. Groups of exponent eight // Lect. Notes Math.—
1980.- V. 806.- P. 49-188.
168 Grunewald F. J., Mennicke J. Finiteness proofs for
' groups of exponent 8 // Lect. Notes Math.—1980.— V. 806.—
P. 189—210.
169. Gupta N., Levin F. Generating groups of certain product
varieties / Arch. Math-1978.-V. 30, N 2.-P. 113-117.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
435
170. Gupta M., S i d к i S. On the Burnside problem for periodic
groups // Math. Z.— 1983.— Bd 182.— S. 385—388.
171. Hall M. Solution of the Burnside problem for exponent 6 /
Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.—1957.—V. 43.—P. 746—753.
172. Hall M. Solution of the Burnside problem for exponent six /
111. J. Math.— 1958.— V. 2.— P. 764—786.
173. Hall P. Verbal and marginal subgroups // J. reine angew.
Math.— 1940.— Bd 182.— S. 130—141.
174. Hall P. Finiteness conditions for soluble groups / Proc.
London Math. Soc— 1954.— V. 4, N 16.- P. 419-436.
175. Hall P., H i g m a n G. The p-length of a p-soluble group
and reduction theorems for Burnside's problem / Proc. London
Math. Soc. (3) — 1956.- V. 7.— P. 1—42.
176. Hall P., К u 1 a t i 1 а к а С R. A property of locally finite
groups / J. London Math. Soc— 1964.— V. 39.— P. 235—239.
177. Held D. On abelian subgroups of inifinite 2-groups / Acta Sci.
Math. (Szeged).—1966.—V. 27.—P. 97—98.
178. II i g m a n G. On finite groups of exponent five // Proc Cambr.
Phil. Soc— 1956.— V. 52.— P. 381—390.
179. II i g m a n G., Neumann B. II., Neumann H. Embedding
theorems for groups / J. London Math. Soc— 1949.— V. 24.—
P. 247—254.
180. Hill P., Pride S. J., V e 11 a A. D. Subgroups of small
cancellation groups / J. reine angew Math.— 1984,— Bd 349, N 8.—
S. 24-54.
181. Hill P., Pride S. J., Vella A. D. On the Г(g)-conditions
of small cancellation theory / Isr. J. Math.— 1985.—V. 52, N 4.—
P. 293-304.
182. Howie J., Pride S.J. A spelling theorem for staggered
generalized 2-complexes, with applications / Invent. Math.—
1984.— V. 76, N 1.— P. 55—74.
183. II u p p e r t B. Endliche Gruppen. I,— Berlin; Heidelberg; N. Y.:
Springer-Verlag, 1967.
184. H u r w i t z R. D. On the conjugacy problem in a free product
with commuting subgroups II Math. Ann.— 1976,— Bd. 221.—
S. 1-8.
185. I w a s a w a K. Uber die endlichen Gruppen und die Verbande
ihrer Unlergruppen II J. Univ. Tokyo.— 1941.— V. 4.— P. 171—
199.
186. I w a s a w a K. On the structure of infinite Af-groups II Japan.
J. Math.- 1943.— V. 18.— P. 709—718.
187. J u h a s A. Small cancellation theory with weakened small
cancellation hypothesis / Isr. J. Math.—1986.—V. 55, N 1.—
P. 65-93.
188. van Kampen E. R. On some lemmas in the theory of
groups / Amer. J. Math.— 1933.— V. 55.— P. 268—273.
189. Kegel O. H. Noethershe 2-Gruppen sind emdlich I/ Monatsh.
Math.— 1967.— Bd 71.— S. 424-426.
190. Kegel O. II., W oh r fritz B. A. F. Strong finiteness
conditions in locally finite groups II Math. Z.—1970.—Bd 117,
N 1-4.— S. 309-324.
191. Kegel O. H., Wehrfr-itz B. A. F. Locally finite groups /
Amsterdam: North-Holland Publ., 1973.
192. Levi F., van der Waerden B. L. Uber eine besondere
Klasse von Gruppen II Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.—
1933.— Bd 9.- S. 154—158.
28*
436
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
193. Lipschutz S. Elements in S-groups with trivial
centralizes / Comm. Pure Appl. Math.— I960.— V. 13.— P. 679—683.
194. Lipschutz S. On powers of elements in S-groups // Proc.
Amer. Math. Soc— 1962.— V. 13.— P. 181—186.
195. Lipschutz S. On'square roots in eighth-groups / Comm.
Pure Appl. Math.—1962.—V. 15.—P. 39—43.
196. Lipschutz S. Atn extension of Greendlinger's results on
the word problem / Proc. Amer. Math. Soc— 1964.— V. 15.—
P. 37—43.
197. Lipschutz S. Powers in eighth-groups / Proc. Amer. Math.
Soc— 1965.— V. 16.— P. 1105—1106.
198. Lipschutz S. Generalization of Dehn's result on the conju-
gacy problem / Proc. Amer. Math. Soc— 1966.— V. 17.— P. 759—
762.
199'. Lipschutz S. On the conjugacy problem and Greendlinger's
eighth-groups / Proc. Amer. Math. Soc—1969.—V. 23.—
P. 101—106.
200. Lipschutz S. On Greendlinger groups // Comm. Pure Appl.
Math- 1970- V. 23 — P. 743-747.
201. Lipschutz S. On conjugate powers in eighth-groups // Bull.
Amer. Math. Soc—1971.—V. 77.—P. 1050—1051.
202. Lipschutz S. On conjugacy in Greendlinger eighth-groups /
Arch. Math.— 1972.— V. 23 — P. 121—124.
203. Lip s ch u tz S. On powers, conjugacy classes and
small-cancellation groups / Lect. Notes Math.— 1973.— V. 319.- P. 126—
132.
204. Lipschutz S. Identity theorems in small-cancellatian
groups // Comm. Pure Appl. Math.—1973.—V. 26, N 5—6.—
P. 775-780.
205. Lipschutz S. On the word problem and T-iorA groups //
Word Problems.— Amsterdam: North-Holland Publ.—1973.—
P. 443-452.
206. Lyndon R. C. Cohomology theory of groups with a single
defining relation // Ann. Math.— 1950.— V. 52.- P. 650-655.
207. Lyndon R. С On Dehn's algorithm / Math. Ann.— 1966.—
Bd 166.— S. 208-228.
208. Lyndon R. С On the Freiheitssatz // J. London Math. Soc—
1972.— V. 5.— P. 95—101.
209. Lyndon R. C. Geometric methods in the theory of abstract
infinite groups / Permutations: actes du colloque, Paris V,
1972.— Paris: Gauthier-Villars, 1974.— P. 9—14.
210. McCool J. Elements of finite order in free product sixth-
groups // Glasgow Math. J.- 1968.- V. 9.- P. 128-145.
211. McCool J. The order problem amd power problem for free
product sixth-groups / Glasgow Math. J.—1969.— V. 10.—
P. 1-9.
212. Miller С F., S с h u p p P. E. Embeddings into Hopf ian
groups / J. Algebra.-1971.-V. 17.-P. 171-176.
213. Miller С F., Schupp P. E. The geometry of HNN
extensions I/ Comm. Pure Appl. Math,— 1973,— V. 26.—P. 787—
802.
214. M i 1 n о r J. Problem 5603 // Amer. Math. Monthly.— 1968.—
V. 75, N 6.— P. 685-686.
215. M о r a n S. Associative operations on groups I / Proc. London
Math. Soc— 1956.—V. 6.- P. 581—596.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 437
216. Mycielski J. On the extention of equalities in connectedb*
topological groups / Fund. Math.— 1957.— V. 44, N 3.— P. 300—
302.
217. Neumann В. Н. Identical relations in groups: Dissertation.—
The University, Cambridge, 1935.
218. Neumann В. Н. On amalgams of periodic groups / Proc.
Roy. Soc— I960.— V. A255.— P. 477—489.
219. Neumann В. Н. On characteristic subgroups of free groups //
Math. Z.— 1966.— Bd 94, N 2.— S. 143-151.
220. Neumann J. von. Zur allgemeinen Thoorio des Masses //
Fund. Math.—1929.—V. 13.-P. 73—116.
221. Neumann P. M., Wiegold J. Schreier varieties of
groups /I Math. Z.—1964.—Bd 85.— S. 392-400.
222. Newman M. F. Bibliography Ц Lect. Notes Math.— 1980.—
V. 806.— P. 255—274.
223. Ol'sanskii A. Yu.| On a geometric method in the
combinatorial group theory I/ Proc. Int. Congress Math.—1983.—V. 1.—
P. 415-424.
224. Peiffer R. Uber Identitiiten zwischon Relation // Math. Ann.
1949.-Bd 121.—S. 67—99.
225. Perraud J. Sur lor conditions de petite simplification et
l'algorithme de Dehn / С. г. Acad. Sci. Paris.—1977.—V. 284.
N 12.— P. A659 — A662.
226. Perraud J. Sur 1'utilisation de l'algorithme de Dehn dans un
produit libre / С r. Acad. Sci. Paris.— 1977.— V. 284, N 21.—
P. A1341 — A1344.
227. Perraud J. Sur la condition de petite simplification C"(l/6)
dans un produit libre amalgame // C. r. Acad. Sci. Paris. 1980.—
V. 291, N 4.- P. A247 — A250.
228. Perraud J. On small cancellation theory over H. N. N.
extensions / Proc Roy. Soc. Edinburgh.— 1983.— V. 94, N 1—2.—
P. 25-47.
229. Pride S. J. On the hopficity and related properties of small
cancellation groups // J. London Math. Soc—1976.— V. 14,
N 2,— P. 269—276.
230. Pride S. J. Subgroups of small cancellation groups: a
survey // London Math. Soc. Lect. Note Ser.—1982.—V. 71.—
P. 298-302.
231. Rickert N. W. Amenable groups and groups with fixed
point property I/ Trans. Amer. Math. Soc— 1967.— V. 127, N 2,—
P. 221—232.
232. Rips E. Subgroups of small cancellation groups / Bull.
London Math. Soc- 1982.- V. 14, N 1.— P. 45—47.
233. Rips E. Generalized small cancellation theory and
applications. I: The word problem // Isr. J. Math.—1982.—V. 41.—
N 1—2.—P. 1—146.
234. Robinson D. J. S. A mote on groups of finite rank / Com--
positio Math.— 1969.— V. 31.— P. 240—246.
235. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized
soluble groups.— V. 1—2.— Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer-
Verlag, 1972.
236. Rob in son D. J. S. A course in the theory of
groups.—Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1982.
237. Roseblade J. E. Group rings of polycyclic groups / J.
Pure Appl. Algebra.— 1973.— V. 3, N 4.— P. 307—328.
438
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
238. Rudolph R. Ein Untergruppensatz fur modulare Gruppen /
Monatsh. Math.— 1982.— Bd 94.— N 2.— S. 149—153.
239. Sacerdote G. S., Schupp P. E. SQ-universality of HNN
and I-relator groups // J. London Math. Soc—1974.—V. 7.—
P. 733—740.
240. Schenkman E. Group theory.— Toronto; N. Y.; London:
D. van Nostrand Company, 1965.
241. Schick II. Ahnlichkeitsanalyse von Gruppenrelationen //
Acta. Math.— 1956.— Bd 96.— S. 157—252.
242. Schmidt R. Gruppen mit modularem Untergruppenverbamd //
Arch. Math,— 1986.— T. 46.— S. 118—124.
243. Schupp P. E. On Dehn's algorithm and the conjugacy
problem / Math. Ann.— 1968.— Bd 178, N 2.— S. 119—130.
244. Schupp P. E. On Greendlinger lemma / Comm. Pure Appl.
Math. 1970.— V. 23, N 2.— P. 233—240.
245. Schupp P. E. On the conjugacy problem for certain quotient
groups of free products / Math. Ann.— 1970.— Bd 186.— S. 123—
129.
246. Schupp P. E. Small cancellation theory over free products
with amalgamation / Math. Ann.—1971.— Bd 193, N 4.—
S. 255—264.
247. Schupp P. E. A survey of small cancellation theory // Word
Problems: Amsterdam; London: North-Holland, 1973.—P. 569—
589.
248. S с h u r I. Uber Gruppen periodischer linearer Substituionen //
Sitzungsber. Preuss. Akad.—1911.—S. 619—627.
249. S e r r e J. P. Arbres, amalgames et SL2.— Notes College de
France 1968/69. (Русский перевод: С е р р Ж.-П. Деревья,
амальгамы и SL2 // Математика.—1974.—Т. 8, № 2.—С. Э-%7.)
250. S h е 1 a h S. On a problem of Kurosh, Jansson group, and
applications / Word Problems, II.— Amsterdam: North-Holland,
1980.— P. 373-394.
251. S t a 11 i n g s J. R. On torsion-free groups with infinitely many
ends // Ann. Math.— 1968.— V. 88.- P. 312-334.
252. Swan R. G. Groups of cohomological dimension one / J.
Algebra.— 1969.— V. 12.— P. 585-610.
253. T h u e A. tjber unendlicho Zeichenreihen // Norcke Vid. Selsk.
Skr., I Mat. Nat. Kl. Christiania.— 1906.— Bd 7.— S. 1—22.
254. Truffault B. Sur le probleme des mots pour les groupes
de Greendlinger / С. г. Acad. Sci. Paris.—1968.—V. 267.—
P. 1-3.
255. Truffault B. Centralisateurs des element dans les groupes
de Greendlinger // С r. Acad. Sci. Paris,— 1974.— V. A279, N 9.—
P. 317-319.
256. Truffault B. Cemtralisateurs des elements d'ordre fini dans
les groupes de Greendlinger // Math. Z —1974.—Bd 136.—N 1.—
S. 7—11.
257. Truffault B. Note sur un theoreme de Lipschutz // Arch.
Math.— 1974.- V. 25, N 1.— P. 1—2.
258. Turner-Smith R. P. Marginal subgroup properties for
outer commutator words // Proc. London Math. Soc. (3) — 1964.—
V. 14.- P. 321—341.
259. V a u g li a n - L e e M. R. Uncountably many varieties of
groups // Bull. London Math. Soc. (2).-1970.—V. 2, N 6.—
P. 280-286.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 439
260. Weinbaum CM. Visualizing the word problem, with an
application to sixth groups / Pacific J. Math.— 1966.— V. 16.—
P. 557-578.
261. Weinbaum CM. The word and conjugacy problem for the
knot group of any tame prime alternating knot // Proc. Amer.
Math. Soc—1971.—V. 22.—P. 22—26.
262. Weinbaum CM. On relators and diagrams for groups with
one defining relation / 111. J. Math.—1972.—V. 16, N 2.—
P. 308—322.
263. Zieschang H., Vogt E., С о 1 d e w e у H. D. Flachen und
ebene diskontinuierliche Gruppen.— Berlin; Heidelberg; N. Y.:
Sprioager-Verlag, 1970.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адельсон-Вельский Г. М. 427
Адян С. И. 11, 12, 14, 183, 283,
285, 286, 305, 311, 357, 360, 361,
374; 377, 404, 427, 430, 431, 433
Алешин С. В. 182, 427
Аносов Д. В. 15, 426
Аппель (Appel К. I.) 11, 433
Атабекян В. С, 15, 278, 389, 392,
404, 427
Ашмапов И. С. 15, 427
Банах (Banach S.) 375
Васе (Bass H.) 373, 433
Вахмут (Bachmuth S.) 433
Вернсайд (Burnside W.) 11, 64, 65,
76, 107, 182, 183, 433
Вин (Bean D. R.) 433
Виркгоф (Birkhoff G.) 67, 397, 433
Влизняков Н. М. 427
Вовди А. А. 384
Бонне (Bonnet О.) 11
Воревич 3. И. 405
Борисович Ю. Г. 428
Брайант (Bryant R. М.) 395, 433
Вриттон (Britton J. L.) 10, 134, 433
Бронштейн М. А. 428
Бун (Boon W. W.) 132, 433
Бэр (Baer R.) 269, 276, 355, 433
Вайнбаум fWeinbaum С. М.) 10,
11, 125, 438
Ваньков В. П. 428
Ванд дер Варден (van der Waer-
bden B. L.) 182, 428, 435
Велла (Vella A. D.) 435
Верфриц (Wehrfritz B. A. F.) 73,
435 i
Винберг Э. В. 8, 428
Вон-Ли (Vaughan-Lee M, R.) 438
Галуа (Galois E.) 62
Гаусс (Gauss С.) 11
Гильберт (Hilbert D.) 383
Гладкий А. В. 428
Головин О. Н. 360, 428
Голод Е, Д, И, 182, 428
Гольберг А. И. 11, 131, 133, 428
Горенстейн (Gorenstein D.) 428
Гоуди (Gowdy S.) 434
Григорчук Р. И. 15, 182, 373, 375,
376, 377, 426, 428
Гриндлиигер Е. И. 434
Гриндлингер М. Д. 10, 134, 428, 434
Гринлиф (Greenleaf F.) 428
Громов (Gromov M.) 12, 434
Грюнберг (Gruenberg К. W.) 360,
#366, 434
Грюневальд (GrueneWald F. J.) 434
Губа В. С. 8, 15, 402, 406, 426, 428,
429 •
Гупта (Gupta N.) 182, 434
Гурвиц (Hurwitz R. D.) 435
Гуревич Г. А. 429
Декарт (Descartes R.) 9
Ден (Dehn M.) 10, 130, 131, 434
Дерябина Г. С. 15, 278, 347, 404,
429
Дин (Dean R. А.) 434
Длаб (Dlah V.) 434 *
До Лоиг Ван 434
Жордан (Jordan С.) 79, 90, 245
Зайцев Д. И. 355, 429
Зенон 82
Зябрев И. Н. 308, 374, 429
Иванов С. В. 8, 15, 278, 354, 370,
384, 388, 389, 398, 404—406,
425, 426, 429
Ивасава (Iwasawa К.) 277, 435
Израилевич Я. А, 428
Камерфорд (Comerford L. Р.) 434
Камм (Camra R.) 371, 433
ьан Кампен (van Kampen E. R.)
9, 10, 13, 114, 119, 330, 435
Каргаполов М. И. 269, 429
Каррас (Karrass A.) 430
Кашинцев Е. В. 429
Кегель (Kegel О. Н.) 73, 435
Клейман Ю. Г. 286, 429
Клейн (Klein F.) 9, 84, 106
Коксетер (Coxeter H, S, М.) 429
1
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
441
Колдевей (Coldeweu H, D.) 438
Коллинз (Collins D. J.) 321, 433
Коржинек (Korinek U.) 434
Костригага А. И. И, 184, 286, 404,
429, 430
Коши (Cauchy A.) 50, 85
Коэн (Cohen D. Е.) 433
Кроуэлл (Crowell R. Н.) 430
Кулатилака (Kulatilaka С. R.) 269,
435
Курош А. Г. 277, 352, 430
Кэртис (Curtis С. W.) 430
Лагранж (Lagrange J.) 28
Леви (Levi F.) 182, 435
Левин (Levin F.) 434
Левчук В. М. 398
Ленг (Lang S.) 430
Линдон (Lyndon R. С.) 10—12, 125,
133, 134, 321, 330, 430, 433, 435
Липшуц (Lipschutz S.) 11, 435, 436
Лобачевский Н. И. 131
Лоссов К. И. 371, 430
Магнус (Magnus W.) 12, 430, 432
Маккул (McCool J.) 436
Макналти (McNully G. F.) 433
Мальцев А. И. 359, 360, 361, 430
Марков А. А. 14, 307, 430
Масси (Massey W. S.) 430
Махнев А. А. 405
Мёбиус (Mobhis A.) 84, 106
Мечнике (Mennicke J.) 434
Мерзляков 10. И. 398, 429, 430
Мескин (Meskin S.) 398
Миллер (Miller С. F.) 436
Миллер Дж. (Miller G. А.) 62
Милнор (Milnor J.) 373, 436
Мозер (Moser W. О.) 429
Моран (Moran S.) 436
Морено (Moreno H. С.) 62
Мочизуки (Mochizuki H. Y.) 433
Муавр (Moivre A.) 22
Мычельский (Mycielski J.) 309, 436
Пайфер (Peiffer R.) 314, 322, 437
Паласиньски М. 431
Петров А. Н. 431
Перро (Perraud J.) 437
Платонов В. П. 309
Понтрягин Л. С. 431
Прайд (Pride S. J.) 435, 437
Пуанкаре (Poincare Н.) 9
Размыслов 10. П. 183, 286, 431, 432
Райнер (Reiner I.) 430
Резниченко Е. А. 308, 429
Риккерт (Rickert N. W.) 376, 437
Рипс (Rips E.) 13, 437
Робинсон (Robinson D. J. S.) 437
Роузблейд (Roseblade J. E.) 384,
437
Рудольф (Rudolph R.) 437
Садог.ский Л. Е. 279
Санов И. Н. 183, 432
Сасердот (Sacerdote G. S.) 437
Семенов Ю. С. 397
Cepp (Serre J.-P.) 438
Сидки (Sidki S.) 182, 434
Силов (Sylow L.) 50
Солдатова В. В. 134, 432
Солитэр (Solitar D.) 430
Стирлинг (Stirling J.) 381
Столлингс (Stallings J. R.) 321,
430, 438
Сторожев А. М. 279, 405
Струнков С. П. 371, 432
Судзуки (Suzuki M.) 277, 432
Суон (Swan R, G.) 321, 438
Сушанский В. И. 182, 432
Тарский (Tarski A.) 14, 270, 276,
375
Тартаковский
432
Тернер-Смит (Turner-Smith
389, 438
Трофимов В. И. 374
Трюфо (Truffault В.) 434,
Туэ (Thue A.) 45, 438
В. А. 10, 12, 125,
R. F.)-
438
Нейман Б. (Neumann В. Н.) 309,
355, 371, 395, 435, 437
Нейман Дж. (Neumann J. von) 15,
374—376, 436
Нейман П. (Neumann P. M.) 389,
437
Нейман X. (Neumann H.) 286, 355,
430, 435
Нильсен (Nielsen J.) 39, 389
Новиков П. С. И, 12, 14, 132, 183,
283, 286, 361, 404, 430, 431
Ньюмен (Newman M. F.) 434, 437
Уайтольд (Wiegold J.) 389, 402, 437
Уолкап (Walkup D.) 433
Фёльнер (F0lner E.) 376, 434
Ферма (Fermat P.) 184
Фогт (Uogt E.) 438
Фокс (Fox R. H.) 430
Фоменко Т. Н. 428
Фраттини (Frattini G.) 354
Образцов В. Н. 15, 203, 346, 354,
431
Ольшанский А. Ю. 427, 429, 431,
437
Хавас (Havas G.) 434
Харари (Harary F.) 432
Хаусдорф (Hausdorff F.)
Хелд (Held D.) 435
375
Ы
442
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Хигмен (Higman G.) 183, 184, 355,
435
Хилл (Hill P.) 435
Холл М. (Hall M.) 183, 432, 435
Холл Ф. (Hall Ph.) 14, 15, 183,
269, 287, 312, 313, 383, 384, 398,
402, 435
Хоуи (Howie J.) 435
Хупперт (Huppert В.) 435
Хюбшман (Huebschmann J.) 321,
433
Цишанг (Ziechang H.) 438
Чандлер (Chandler В.) 12, 432
Черников С. Н. 73, 269, 276, 277,
352, 430, 432
Шеврин Л. Н. 403
Шелах (Shelah S.) 307, 354, 355, 438
Шеметков Л. А. 432
Шенкман (Schenkman E.) 438
Шенфлис (Schoenflies A.) 91
Шик (Schick H.) 10, 134, 438
Ширванян В. Л. 356, 432
Шмелькин А. Л. 8, 360, 366, 404,
432
Шмидт О. Ю. 14, 67, 74, 269, 276,
432
Шмидт P. (Schmidt В.) 277, 438
Шрайер (Schreier О.) 39, 389
Шрейдер Ю. А. 427
Шунков В. П. 73, 77, 352, 432, 433
Шупп (Schupp P. E.) 11, 120, 134,
430, 433, 436—438
Шур (Schur I.) 52, 182, 305, 398,
438
Эйлер (Euler L.) 11, 100, 104
Эренфойхт (Ehrenfeucht А.)_433
Юхас (Juhas A.) 435
Яковлев Б. В. 279
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм группы 32
—• — внутренний 48
Алфавит групповой 36
Амальгама групп свободная 333
Базис свободной группы 37
многообразия 65
Буква 36
Букет алгебраической зависимости
323
Бутылка Клейна 84
Вершина 91
— графа 99
— фазовая 419
Вес (весовая функция) на карте 166,
215, 227
Вложение амальгамы в группу 349
— пространства 83
Гомеоморфизм 82
Гомоморфизм 31
— естественный 33
Гомотопия 107
Граница 90
Граф без петель 102
1-угольников и 2-уголышков
101
— на поверхности 99
— оценочный 157,. 208
исправленный 209, 227
Группа 16
— абелева 17
— аменабельная 375
—.аппроксимируемая группами
некоторого класса 391
— артинова 69
— без кручения 23
— бесконечная 18
— вполне аппроксимируемая
группами некоторого класса 392
— делимая 71
— диэдра 19
— квазиконечиая 76
— квазициклическая 26
— конечная 18
— конечно определенная 43
— локально конечная 67
— метабелева 60
— нётерова 69
— периодическая 55
— поверхности фундаментальная 111
•— полицнклическая 61
Группа почти полициклическая 70
— простая 61
— разрешимая 60
— свободная 37
абелева 65
бернсайдова 65
в многообразии 64
— симметрическая 18
— типа р°° 22
— топологическая 307
— циклическая 22
примарная 57
— черниковская 73
— S3 -свободная 64
Деформация комбинаторная I
типа 108
II типа 108
Диаграмма градуированная 138, 334
— над алфавитом 117, 334
группой 119
копредставлением группы 119,
334
— приведенная 125, 139, 334
Длина пути 118, 150, 336
— слова 36
в свободном произведении 333
— элемента свободного
произведения 331
Дуга боковая 154, 206
— внешняя 127, 167
— внутренняя 127
— жорданова 90
— примыкания 154, 206, 207
Зависимость алгебраическая между
соотношениями 322
тривиальная 324
— дисковая 314
— приведенная 314
— сферическая 314
Замыкание 89
Запись нормальная в свободном
произведении 331
Звезда 92
— круговая 92
— открытая 94
— полукруговая 92
Значение слова 39
Изоморфизм групп 20
Инволюция 74
Индекс подгруппы 28
444
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Карта 116
— градуированная 138
—дисковая 116
— кольцевая 116
— правильная 155, 207
— сферическая 116
—торическая 116
Класс гомотопический 109
—, порождающий многообразие 67
— смежный1 27
■ двойной 30
— сопряженных элементов 47
Клетка 96
— обыкновенная 156, 208, 227
— особая 156, 208, 227
— ранга 0 (0-клетка) 138
— скрытая 156, 208, 227
— самосогласованная 418
— связки главная 153, 205
— с периодом А 185, 248
— 1-го типа 204, 407
— 2-го типа 205, 407
Кольцо групповое 318
— нётерово 383
Коммутант 58
— взаимный 300
Коммутатор 58
Компонента связности 89
Конец пути 108
— слова 43
Контур карты 117
внешний 117
внутренний 117
— клетки 108
Копия клетки 123
Копредставление группы 39, 42
в свободном произведении 334
градуированное 138, 334
диаграммно асферическое 143,
335
аторическое 145, 335
Корень из слова 315
Край поверхности 93
Кратность ребра графа 102
Кривая замкнутая 90
Критерий аменабельности Григор-
чука 376
Фёльнера 376
Кусок 125
Линия 150
— связующая 154, 206, 336
Лист Мёбиуса 84
Мера на группе 375
Метка пути 117
Многообразие Бернсайда 64
— групп 64
Множество замкнутое 80
— открытое 80
— периодов максимальное 266
Множитель свободный 330
Модуль свободный 318
— соотношений группы 319
Мультипликатор Шура 305
Начало пути 108
— слова 43
Нормализатор подгруппы 48
Нормальное замыкание 40
Окрестность 81
Операция алгебраическая 16
— точная 358
— Пп 366
— Оп 361
Ориентация дуги 105
— клеточного разбиения 105
Отображение непрерывное 82
Пара клеток сократимая 124, 417
Параметры числовые
вспомогательные 160
Периметр дисковой карты
(диаграммы) 118
— клетки 118
Период группы 55
-—ранга i 141, 185, 247
Петля 98
Плоскость проективная 84
Поверхность 92
— замкнутая 92
— односвязная 111
— ориентируемая 107
— с краем 93
Подгруппа 20
— автоморфно допустимая 395
— вербальная 64
— Декартова 359, 360
— максимальная 25
—маргинальная 313
— нормальная 30
—силовская 51, 311
— собственная 22
— Фраттини 354
— циклическая 22
Поддиаграмма 124
Подкарта 124
— примыкания 154, 206, 207, 336
выделенная 155, 208, 227
— ft-примыкания 154, 206
— 0-примыкания 152, 205
Подкарты примыкания
дизъюнктные 152
Подпространство 81
Подпуть 117
Подразбиенпе клеточного разбиения
97
Подразделение барицентрическое 97
Подслово 43, 341
— циклического слова 44
Порождающие элементы группы 26
Порядок группы 18
— элемента 23
Постулат ассоциативности 359
— Мальцева 359
— правильности 359
— функторности 359
Представитель смежного класса 28
Преобразование клеточного
разбиения элементарное 98
— Пайфер 322
■=- слов элементарное 40
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
445
Принцип младшего параметра (ПМП)
160
Произведение групп вербальное 360
Грюнберга — Шмелькина 360
декартово 19
прямое 53
свободное 330
в многообразии 359
— путей 108
— слов 36 i
Пространство компактное 85
— линейно связное 88
— метрическое 80
— связное 88
— топологическое 79
— хаусдорфово 87
Пути гомотопные 107, 108
Путь без самопересечений 108
— в клеточном разбиении 108
топологическом пространстве
86
— геодезический 160
— несократимый 161
— обратный 88
Равенство слов в ранге 1 138, 335
— — графическое 37, 140
Разбиение клеточное 97
Раздвоение пути 123
Разложение слов А-согласованные
44, 342
Ранг диаграммы 139
— длинного участка контура
клетки 205
— карты 139
— клетки 138, 185
Расстояние (метрика) 80
Расширение графа на поверхности
102
— группы 300
абелево 300
центральное 300
Ребра близкие 127, 150, 205
Ребро внешнее 167, 216, 227
— графа 99
—клеточного разбиения 107, 116
—, принадлежащее контуру 117
Рост группы показательный
(экспоненциальный) 373
■- полиномиальный (степенной)
373
Связка 154, 336
Сдвиг слова циклический 43
Сегмент пути 336
Система определяющих соотношений
симметризованная 125
— подкарт примыкания выделенная
155, 208, 227
полная 155, 207, 226, 337
— правильная 155, 208, 226,
407
0-выделенная 377
0-полная 377
Системы тождеств равносильные
(эквивалентные) 66
Следствие системы тождеств 66
•=^ — Соотношении 40, 334
Слова ^-эквивалентные 40
Слово групповое 36
— минимальное в ранге i 246
— определяющее ранга i 138
— — 1-го типа 247, 271
2-го типа 248, 271
— периодическое 44, 342
— простое 44, 341
в ранге г 184, 247, 342
—, равное 1 по модулю п 395
— свободное в ранге г 342
— сократимое 36
— циклически несократимое 38
— циклическое 44
— i-апериодическое 45, 342
Слог 333
Соотношение группы определяющее
41
1-го типа 247, 271
— 2-го типа 247, 271
— модуля определяющее 318
Сопряженность в ранге г 138, 335
Сопряженные подгруппы 47
— элементы
Степень вершины 98
— примыкания 154, 206, 207, 336
— роста группы 373
Сторона 91
Сфера с п ручками 112
Тип диаграммы 139, 416
— последовательности 322
— системы подкарт 155, 208
Тождество в группе 63
Топология 79
— дискретная 80
— отделимая 307
— тривиальная 80
Тор 84
Точка внутренняя 90
Треугольник топологический 91
Триангуляции эквивалентные 84
Триангуляция 91
Условие максимальности (шах) 68
— минимальности (min) 69
— А 161
— В 210
— C(ft) 126
— С'М 126
— тах-оо 355
— min-oo 355
— Б 247, 342
Условия конечности 67
Участки согласованные 417
— А-согласованные 141
Участок гладкий 161, 211
1-го типа 408
2-го типа 408
— клетки длинный 205, 249
короткий 205, 249
— контура 141, 150
— — длинный 1-го вида 225, 235
■ 2-го вида 225
■ короткий 225, 235
— циклический 141
446
Факторгруппа 33
Фактормножество 83
Факторпространство 84
Функция роста группы 372
Характеристика эйлерова 100
Централизатор элемента 48
Центр группы 49
Цикл 108
— комбинаторно стягиваемый НО
Число Эйлера клеточного
разбиения 100 —
■— R-клеток алгебраическое 301
Шар1 открытый 80
Эквивалентность клеток диаграммы
315
— клеточных разбиений 97
Элемент группы G(°o) свободный
344
— порождающий 22
— свободный в ранге г 342
Ядро гомоморфизма 31
УКАЗАТЕЛЬ
А-карта 161
А°-карта 167
А-согласованность клетки и участка
контура 141
(А, Я-тройка 289
■— обобщенная 400
В-карта 211
В°-карта 216
С-карта 225
D-карта 235, 400
Е-карта 238
F-карта 241
G-карта 242
G-моДуль 319
П-карта 408
Н°-карта 410
j-napa 139, 148, 335, 417
fc-связка 153, 205, 407
М-группа 277
п-клетка 96
п-угольник топологический 91
р-группа 49, 56
р-компонента абелевой группы 56
Я-ребро 118, 149
eg-клетка 118, 334
р-клетка 179
Y-клетка 171, 221
(i-кдетка 334
О-измельчение 123, 336
0-клетка 118, 149, 334
0-окаймленне 122
0-ребро 118, 149
0-связка 151, 205
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Sym(ra) 18
GL(re, К) 18
D(re) 19
D(oo) 19
Z 19, 318
Z(n) 19
T(re, K) 21
UT(re, K) 21
<S>, <X, У> 26
Я 36
|X| 36
F(8t) 36
= 37
Я. 41
[x, y] 58
[G, G] 58
8„ 64
B(8t, n) 65, 185
В (a, r) 80
'St (a) 92
ОТ 117
dA 117
a1 H7, ззз
«P(i>) И7
\P\ 118, 336
|<Ш| 118
I ад | H8
Д(2) 125, 150
|Д(2)| 125, 150 •
г(П) 138
1138
9>i 138, 247
&t 138, 248
G(i) 138, 185, 248,
342
г(Д) 139
t(A) 139
(П, Г, g) 152
(91, Г, q2) 152, 206
(П,, Г, П2) 154
а(Пь Г, П2) 154
д (II, Г, q) 154
а(9,,Г,7г) 154,206,
207
ГЛП 154, 206,207
Г Л q 154, 206, 207
х(М) 155
-< 159
а, ^ ч,_6, е, £, Ц, I,
а, р, у, d, h, n
160, 204
r(q) 161
%i 185, 247
G(oo) 185, 248, 342
9>A 247
aA(R) 301
B(m, n) 305
« 342
Alexander Ol'sanskii
GEOMETRY OF DEFINING RELATIONS
IN GROUPS
Moscow, Nauka, Main Editorial Board for Physical and
Mathematical Literature, 1989.
Readership: The monograph is addressed to students and researchers
in algebra and topology.
From the book's review: «... The list of problems solved by new
method is very impresive... Undoubtedly Ol'shanskii's results
will serve as a catalyst for new ideas and new more exact
formulations of general problems in the group theory as well as
in the whole of algebra.»
Professor VLADIMIR REMESLENNIKOV
Summary: The main feature of the book is a systematic application
of elementary geometric and topological techniques for solving
some problems arising in algebra. The essence is new method
developed by the author, which he calls the method of
graded diagrams. It permits to greatly extend the area of "visual"
groups.
The book exhibits the solution of some well — known
problems due to W. Burnside, 0. Schmidt, Л. Tarski, Ph. Hall,
Л. Kurosh, S. Chernikov, R. Baer, B. Neumann and others.
Contents: General notions of the group theory. Basic types of groups
and subgroups. The elements of the 2-dimensional topology.
Diagrams over groups. A-maps. Relations of periodic groups.
Maps with partitioned boundaries of cells. Partition of defining
relations. Construction of groups with prescribed properties.
Extensions of aspheric groups. Free product presentations.
Applications to other problems. Conjugacy relations.
The author: Alexander Yurievich Ol'sanskii is Professor of
Mathematics at Moscow State University, D. Sci. in Mathematics, the
Moscow Mathematical Society Prise Winner, the author
of a number of papers in the field of infinite groups, the invited
speaker at ICM-82.