ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультет
Кафедра общей физикиВ.	П. ЗАМУРАЕВ, А. П. КАЛИНИНАЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕУчебное пособиеНовосибирск2008
УДК 536.7
ББК В36я73-13	266Замураев В. П., Калинина А. П. Задачи с решениями по
термодинамике и молекулярной физике: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т.
Новосибирск, 2008. 72 с.ISBN 978-5-94356-730-8В учебном пособии изложены стандартные алгоритмы решения
типовых задач курса «Термодинамика и молекулярная физика», читаемого
на первом курсе физического факультета НГУ, а также подраздела
«Статистическая физика» из курса «Физика», читаемого на третьем курсе
факультета естественных наук в НГУ. Группировка задач по частям
повторяет структуру подраздела «Статистическая физика»: первая часть
содержит задачи по термодинамике, вторая часть - задачи по
статистической физике и третья часть - задачи по физической кинетике.Авторы выражают благодарность В. И. Иваникову, предложившему
задачу 1.2, и В. В. Замащикову, предложившему задачи 2.5, 3.2 и 3.6.Предназначено для преподавателей и студентов вузов.Печатается по решению кафедры общей физики
Рецензентд-р физ.-мат. наук, проф. С. С. КацнельсонISBN 978-5-94356-730-8© Новосибирский государственный
университет, 2008
© Замураев В. П., Калинина А. П., 2008
Часть 1. ТЕРМОДИНАМИКА1.1.	Для одного моля идеального газа рассмотреть следующие
равновесные процессы: изохорический, изобарический, изотермический,
адиабатический и политропический. Получить уравнение каждого
процесса в переменных р, V: J[p, V) = const. Вычислить: работу А,
совершенную газом; количество теплоты Q, полученное им; изменение
внутренней энергии Д£/ и энтропии AS; теплоемкость С. Получить
соотношение Майера. Считать молярные теплоемкости Ср и Су
известными и постоянными.1.2.	В горизонтальном, закрытом с одного конца цилиндре площади S
находится подвижный поршень массы М. Закрытая часть цилиндра
заполнена идеальным газом с показателем адиабаты у. Вне цилиндра
поддерживается постоянное давление р0. В положении равновесия объем
газа в цилиндре равен У0. Считая процесс в газе адиабатическим, найти
период малых колебаний поршня.1.3.	В цилиндре между двумя подвижными тяжелыми поршнями с
массами И| и ш2 находится один моль идеального газа объемом V0 при
давлении р0. Найти максимальную скорость поршней, если их отпустить.
Трение не учитывать. Подводом теплоты пренебречь.1.4.	Идеальный газ сжимается под поршнем в цилиндре так, что
уходящее в окружающую среду тепло равно изменению внутренней
энергии газа. Определить работу, затраченную на сжатие моля газа при
изменении объема в два раза. Чему равна теплоемкость в этом процессе?
Начальная температура газа Т0.1.5.	В цилиндрическом сосуде находится поршень, который может
перемещаться без трения. Первоначально поршень делит сосуд на части
объемом К0 каждая. Обе половины сосуда заполнены идеальным газом до
давления р0. Найти работу, которую нужно совершить, чтобы, медленно
двигая поршень, сжать газ в одной из частей сосуда вдвое. Сосуд
теплоизолирован. Рассмотреть случаи: а) поршень не проводит тепло;
б) поршень проводит тепло.1.6.	В сосуде с поршнем находится 1 моль идеального одноатомного
газа. Поршень удерживается пружиной. Найти теплоемкость газа.
Объемом газа при ненапряженной пружине пренебречь.1.7.	Два тела с постоянными (конечными) теплоемкостями С\ и С2
нагреты до разных температур Т\ и Тг (Т2 > Тх). Найти максимальную3
работу, которую можно получить, используя эти тела в качестве
нагревателя и холодильника в тепловой машине.1.8.	Тепловой двигатель совершает круговой процесс, обмениваясь
теплом с нагревателем (температура Т\ = 500 К) и природным резервуаром
воды (температура Т2 = 290 К). Полученная работа используется для
приведения в действие холодильной машины, совершающей также
круговой процесс. Холодильная машина забирает тепло от охлаждаемого
резервуара (температура Т3 = 250 К) и передает тепло тому же природному
резервуару воды. Найти минимальную мощность нагревателя, если от
холодильника для поддержания его температуры постоянной необходимо
отводить поток тепла Q3= 100 Вт.1.9.	Помещение может отапливаться либо путем непосредственного
сжигания дров в печке (при этом выделяется количество тепла Qx), либо с
помощью холодильной машины, которая работает по обратимому циклу
Карно и приводится в действие тепловой машиной, потребляющей то же
количество дров, что и печка, и работающей (также по циклу Карно)
между температурами t\ = 100 °С и /3 = 10 ”С. Во сколько раз количество
тепла Q, передаваемое помещению холодильной машиной, больше
величины Q\1 В помещении поддерживается температура t2 = 20 °С.
Температура наружного воздуха равна f3 (= 10 °С).1.10.	Показать, что энтропия идеального газа увеличивается в
процессе Гей-Люссака.1.11.	Пусть сосуд с жесткими адиабатическими стенками разделен
перегородкой на объемы V\ и V2, в которых находятся различные
идеальные газы при одинаковых температуре и давлении. Перегородка
убирается, происходит диффузия. Показать, что этот процесс
неравновесный. Рассмотреть парадокс Гиббса.1.12.	Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен поршнем
пренебрежимо малой массы на два равных объема. В одном объеме
находятся v молей идеального газа с молярными теплоемкостями Су и Ср,
не зависящими от температуры, а в другом создан высокий вакуум.
Начальные значения температуры и давления газа Т0 и р0. Поршень
отпускают, и он, свободно двигаясь, дает возможность газу заполнить весь
объем цилиндра. После этого, постепенно увеличивая давление на
поршень, медленно доводят объем газа до первоначальной величины.
Найти изменение внутренней энергии и энтропии газа при таком процессе.1.13.	Сосуд с водой, имеющей температуру Т, поместили в термостат.
Температура термостата постоянна и равна Те. Используя понятие
энтропии, показать, что процесс выравнивания температуры воды до4
температуры термостата неравновесный.1.14.	Свободная энергия системы равнаF=aT-ЪТЛпТ- RT\nV+ с,
где а, Ь, с - постоянные. Найти уравнение состояния, внутреннюю
энергию, энтропию и теплоемкости Су и Ср этой системы.1.15.	Показать, что на р,F-диаграмме адиабаты с ростом V падают
круче изотерм. Учесть, что Ср > Су> О и (др/дУ)т < 0.1.16.	Доказать, что у газа Ван-дер-Ваальса теплоемкость при
постоянном объеме зависит только от температуры, и найти выражение
для внутренней энергии и энтропии v молей газа.1.17.	В эксперименте 0,5 киломоля углекислого газа свободно
расширяется от объема V{ = 0,5 м3 до V2 = 3,0 м3, температура при этом
понижается на 12,2 °С (Су = 3,32 Л). Вычислить по этим данным
постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.1.18.	Два кубика одинаковой массы m из сплава с очень малым
изобарическим коэффициентом температурного расширения нагреваются:
один - до температуры Ти другой - до Т2; затем они оба помещаются в
адиабатически изолированный сосуд и приводятся в контакт. Рассчитать
изменение термодинамических функций S, U и F в результате
установления равновесия, если удельная теплоемкость Су = const.1.19.	Теплоемкость некоторого вещества в твердом состоянии равна
Ст, в жидком - Сж. При переходе из твердого состояния в жидкое,
происходящим при температуре Го, поглощается скрытая теплота q0.
Полагая, что все удельные теплоемкости не зависят от температуры,
вычислить скрытую теплоту перехода при температуре Т\ (< Т0).1.20.	Два тела большой массы имеют температуры Т\ = 300 К и
72 = 301 К. Как изменится вероятность состояния этой системы тел при
переходе энергии в 1 эрг от тела с большей температурой к телу с меньшей
температурой?Часть 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА2.1.	Система из двух невзаимодействующих осцилляторов с частотой
© обладает энергией Йш. Другая подобная система из двух осцилляторов с
частотой (о обладает энергией Зйсо. Между системами установлен
тепловой контакт. Найти изменение энтропии полной системы.5
2.2.	Спин s = 1/2 с магнитным моментом Цо помещен в магнитное
поле В. Вероятности начальных ориентаций спина в поле 0,9 и 0,1. После
подогрева они стали равны 0,6 и 0,4. Сколько теплоты при этом
поглощено?2.3.	В магнитное поле В помещены две системы: одна состоит из трех
спинов 1/2 с магнитным моментом Цо каждый; другая - из двух спинов 1/2
с магнитным моментом 2цо также каждый. Энергия составной системы
равна -3|iofi. Найти все доступные состояния и средний магнитный
момент первой подсистемы. Взаимодействие между спинами слабое.2.4.	Две системы А и А' состоящие соответственно из трех спинов 1/2
с магнитным моментом Цо каждый и двух спинов 1/2 с магнитным
моментом 2цо, помещены в магнитное поле В. Будучи первоначально
разделенными, они обладают полным магнитным моментом: первая -3|io и
вторая +4 Цо- Между системами устанавливается тепловой контакт.
Вычислить: а) вероятность w(M) того, что полный магнитный момент
системы А примет любое из возможных значений М\ б) среднее значение
М полного магнитного момента системы А.2.5.	Для идеального одноатомного газа найти молярную
теплоемкость процесса, в котором произведение плотности числа частиц
на наиболее вероятную скорость остается постоянным.2.6.	Пленки некоторых нерастворимых органических кислот и
спиртов на воде можно моделировать идеальным двумерным газом.
Написать распределение по скоростям в таком газе в декартовых и
полярных координатах. Определить среднюю энергию одной молекулы.2.7.	Найти среднюю скорость теплового движения молекул
идеального двумерного газа.2.8.	По плоской поверхности из источника радиуса г разлетаются
молекулы массы т и оседают на окружности радиуса R, расположенной
концентрически с источником. Мощность источника у, распределение
молекул по скоростям ф‘ ~ exp(-v/v0)dv. Найти давление на внешнюю
окружность. Столкновениями молекул между собой пренебречь.2.9.	Найти плотность потока молекул идеального двумерного газа
через малое отверстие.2.10.	Рассчитать среднюю и среднеквадратичную скорости частиц в
молекулярном пучке, а также их среднюю энергию. Не противоречит ли
результат первому началу термодинамики?6
2.11.	Рассчитать силу, с которой вытекающий из малого отверстия в
вакуум молекулярный пучок давит на пластинку радиуса г,
расположенную на расстоянии / от отверстия и центрированную с ним.
Площадь отверстия S.2.12.	На гладкой поверхности находится сосуд объема V с газом при
температуре Т. На короткое время т в боковой стенке сосуда открывается
малое отверстие площади S. Какова будет скорость сосуда, если его массой
можно пренебречь по сравнению с массой газа, а струя газа через
отверстие параллельна поверхности? Газ идеальный, масса молекулы т.
Вне сосуда вакуум.2.13.	На какой высоте содержание водорода в воздухе удваивается по
сравнению с содержанием углекислого газа? Среднюю по высоте
температуру считать равной 20 °С.2.14.	Во вращающейся центрифуге находится смесь изотопов
водорода D2 и Н2 в пропорции ND2 / = р. Во сколько раз можноувеличить соотношение компонент в смеси, если ее отбор производить с
боковой поверхности центрифуги.2.15.	Получить формулу ё = kT2d\nZ/дТ, связывающую среднюю
энергию системы с ее статистической суммой.2.16.	Найти давление газа в вершине бесконечной воронки, стоящей
вертикально в однородном поле силы тяжести, если число молекул в
воронке равно N, а угол раствора конуса 2а. Какова средняя
потенциальная энергия частицы газа?2.17.	Примесный атом находится в межузельной полости в кристалле
с потенциалом и(г) = а/ (ангармонический потенциал). Рассчитать его
среднюю энергию.2.18.	В теплоизолированном сосуде находится смесь из двух молей
Н2 и одного моля F2 при температуре Т0. Найти температуру газа после
того, как полностью прошла реакция Н2 + F2 —► 2HF. Считать, что при
низких температурах колебательное движение молекул заморожено, а при
высоких возбуждено. Энергия разрыва связи в молекуле Н2 равна в], в
молекуле F2 - е2, в молекуле HF - е3.2.19.	Двумерный гармонический осциллятор имеет дискретный
спектр энергии: е„ = hv(n + 1), п = 0, 1, 2, . . . Уровни его (я + 1)-кратно
вырожденные. Найти энергию и теплоемкость системы, состоящей из N
таких независимых осцилляторов.7
2.20.	Молекула окиси углерода СО имеет длину связи а =1,13 А,
массы атомов С и О соответственно т\ = 2-10-23 г и т2 = 2,7-10~23 г. Каково
квантовое число наиболее заселенного вращательного уровня энергии при
Т= 300 К?2.21.	Найти среднюю энергию, теплоемкость и населенности уровней
системы, которая может находиться в двух квантовых энергетических
состояниях со статистическими весами g0 и gv Разность энергетических
уровней Е| - Ео = Ае.2.22.	Молекулы вещества могут находиться в триплетном и
синглетном состояниях, разность энергий между которыми в отсутствие
магнитного поля равна Ет- Es = ДЕ. Найти магнитную восприимчивость
вещества, учитывая, что синглетное состояние не магнитно, а магнитные
моменты в состояниях триплета равны ц = Цо-/я, /и = 0, ±1. Т = 300 К.2.23.	Спин 3/2 находится в магнитном поле В. Найти среднюю
энергию спина. Потенциальная энергия спина в поле равна и = - уh(B, s),
где у - постоянная.Часть 3. ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА3.1.	На поверхности площадью S находится двумерный идеальный
газ из N молекул. Найти частоту столкновений молекулы такого газа (d -
диаметр молекулы).3.2.	Длинное цилиндрическое тело радиуса R находится в вакууме.
Внутри тела равномерно по его объему выделяется газ. Количество газа,
выделяемого за единицу времени в единице объема, постоянно и равно р.
Коэффициент диффузии газа в материале тела равен D. Найти
стационарное распределение газа в теле.3.3.	Найти установившуюся толщину льда на озере, если поток тепла
от земли равен q. Температура воздуха t< 0 °С. Коэффициент
теплопроводности льда постоянный.3.4.	На концах столба газа длиной / температура равна Т0 и 7У Найти
распределение температуры по длине столба и плотность потока
тепла в стационарном случае. Учесть зависимость коэффициента
теплопроводности газа от температуры.8
3.5.	Для измерения теплопроводности газа им заполняется
пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами
радиуса гх и гг. Заполнение производится при невысоком давлении
(~ 10 мм рт. ст.), чтобы исключить конвекцию. Внутренний цилиндр
нагревается источником тепла с удельной мощностью Q, установившиеся
температуры цилиндров t\ и t2 измеряются. Найти коэффициент
теплопроводности исследуемого газа. Рассчитать газокинетический
диаметр молекулы для азота, если г, = 0,5 см, г2 = 2 см, Q = 0,038 вт/см,
/, = 93 "С, t2 = 0 "С.3.6.	Внутри цилиндрического объема радиуса R с
теплоизолированными торцами выделяется теплота. Причем плотность
выделения ее в единицу времени зависит от расстояния от оси цилиндра
по закону (3 = аг, где а - постоянная. Найти распределение температуры в
объеме. Температура внешней боковой поверхности объема
поддерживается постоянной, равной Т0. Коэффициент теплопроводности х
постоянный.3.7.	Найти профиль скорости v и расход жидкости j (вытекающий за
единицу времени объе\() при ламинарном течении жидкости в трубе.
Радиус трубы г0, длина I, на концах трубы поддерживается разность
давлений Др.3.8.	Определить, на какой угол <р повернется диск, подвешенный на
упругой нити, если под ним на расстоянии h = 1 см вращается второй
такой же диск со скоростью © = 50 рад/с. Радиусы дисков R = 10 см,
модуль кручения нити а =100 дин см/рад, коэффициент внутреннего
трения воздуха т] = 1,8-10^ пуаз. Краевыми эффектами пренебречь.
Движение воздуха между дисками считать ламинарным. Каков будет угол
поворота верхнего диска в случае, если диски поместить в камеру, из
которой воздух откачивается до давления р= 10"4 мм рт. ст.?3.9.	В тонкостенном сосуде с гелием объема V имеется малое
отверстие площадью s. Как будет изменяться давление внутри сосуда, если
вначале оно равно давлению окружающего воздуха?
ОТВЕТЫ1.3. V, =х, =-IPpVp	т2у — 1 т1 (/Я) + т2)’V2=X2 =2Ppvo щ
у-1 т2(т]+т2)1.4.	А' = 2CV Г0(2(г' т - 1), С = - СУ.1.5.	а)Л' =р0 *V(y- l>(2r' 1 + (2/3/-1 -2),
б) А' = 2р0 Му - 1>((4/3)<т- т - 1).1.6.	С=2Л.1.8.	Q, = Q3 T,Ar3 (T2 - Т3)/(Т, - Т2) * 38 Вт.1.9.	QIQ, = (Г, - Г3)Г2/(Г2 - ГзУГ, = 7,1.1.12.	At/ = vCk7o(2y- 1 - 1), AS=v/Mn2.
\.\A.pV=RT,U= ЬТ+ с,S = -a+b + b\nT+RlnV,Cy= b, Cp = b + R.S = v( \ Сv dT/T+ /Mn(K/v -b) + const).1.17.	a = CV(r2 - ГОК,F2/(v(F, - V2)) ~ 0,42 Дж м3/моль2.1.18.	A5 = тСг1п((Г, + Г2)2/47’1 Г2) > 0, At/= О,AF = mCVln(7jr> -T22 I((T]+T2)/2)t'+t'2 ).l.\9.q = {cm-cx)T,\Ti(To/Tl) + q0T^Ta.2.1.	AS = * ln (10/3).1.7.	A - C\Tw + СгТм ~(Ci + C2) 7\0C]/(C,+C2) Cj/(C1+C2)
in20T1.16.	U = \(\CV ёГ-ау/К+сопвО,т10
2.2.	Q = 0,6M-2.3.	Л/ = Зц0 —+ (-ц0)-| = |ц0.2.4.	и<-Зцо) = 1/7, н<+Цо)= 6/7, м<+Зро) = н>(-Цо) = 0.гг - 1 6 3
М =-Зц0 ■ — + №<)•— = —V-o-2.5.	С = СИ +-.22.6.	dw(vx, v^) = тГ2пкТ • ехр(- m(v,2 + v2)/2kT) dv* dv^
dw(v, ф) = m/kT ■ exp(- mv2!2kT) v dv • dф/2я.E = mv212 = kT.2.7.	v = (nkT/2m)m.2.%.p=jmv<J2nR.2.9.	j = nv /п.2.10.	Vj = (9nkT/Sm)m, Щ = 2(kT!m)m, Ij = 2kT.2.11.	F= nkTS{ 1 - (1 + (rll)2)m).2.12.	u = -^—kT.2m V2.13.	h = Л7’1п2/(ц2 -Hi)g«4itM.2.14.(ND2/NH2)!m	= 2p.2.16.	p = N(mgf/(kT)2/(2n tg2a), й = 3kT.2.17.	ё =9*774.2(e, +e2 -2e3 )NA2.18.	T = — Tn7	21Л2.19.	E = Nhv cth(hv/2kT), Cv = 2Nk (hv/2kT)2/sh2(hvl2kT).2.20.	LM = 6.11
2.21.	Ё = Ео + Ае/(1 + (go/gi)-exp(A6/AT)),Cv= ^(go/g,)(Ae/A7)2-exp(Ae/Ar)/(l + (go/gi>exp(AE/*7))2,
N0 = N/(\ + (g1/g0)-exp(-AE/A7)), N\=N-N0.2.22.	x = M/H= (2цо2л/*7)/(3 + exp(AE/kT)).d In Z	dlnZ2.23.	й = кТ2-	= -yftB	= -yhB\dT	daу ЬВгде a = -—.
kT3.1.	v = 4l N/S ■ V 2d, где V = (ккТ/2т)ш.3.2.	л = -£-(Д2 -г2).AD3.3.	h = ~—t°C.Я3.4.	T= (ТоП + (Т,зп - T0vl)-xl!f\
q = - 2%/3 T i/2-(7’,3/2 - T03l2)/l.3.5.	x = 30/4я-1п(г2/г,)(7’.3/2 - т2ъпу'Тш ** Q/2K-ln(r2/r\)(Ti - Т2У1,Xn2 - 0-9 ' 10^ Дж/(см с К), « 3,6 A.3.6.	r = 7’0 + —(Л3 -r3).9X3.7.	v = Ap(r02 - r 2)/(4/ti), j = nAp г04/(Щ).3.8.	cp » 0,015 рад. прир = 10"* мм рт. ст. <р0',кТФ = пц<йР!*/2аИ = 81° при р » р0; • Ро ='3 1	22 exp(a) + 1 ехр(2а) + 1-J2ha3.9.р = р0 (1 + ехр(-1!тНе) - ехр(- //т„ом)), т = 4К/(5v ).12
РЕШЕНИЯ1.1.	Уравнение каждого процесса ищем в виде:
f(p,V') = const.Обычно вид этой функции находится из первого начала термодинамики в
дифференциальной формеbQ = dU + 5A,где 8Q - подведенная к системе теплота, dU - изменение внутренней
энергии, 5А - работа системы.Но чтобы получить искомое уравнение процесса, в выражение для
дифференциальной формы первого начала необходимо подставить
конкретные выражения для d U, 8А и 5Q. Так как исследуемая система -
идеальный газ, то для одного моля идеального газа мы имеем:-	термическое уравнение состояния р V= RT,-	калорическое уравнение состояния U =CVT,-	выражение для работы SA = PdV,-	полученное системой тепло связано с теплоемкостью исследуемого'5Q'dTравновесного процесса С определением: С =л/ ,/ процессДля одного моля идеального газа в соответствии с законом
Менделеева - Клапейрона (термическим уравнением состояния) давление
рравнор = RTIV,где R - универсальная газовая постоянная.Калорическое уравнение состояния для идеального газа имеет видU=U(T).Работа газа при изменении его объема от V\ до V2 равнаА = \ pdV.К13
Подведенное к системе количество теплоты Q при теплоемкости С равноQ = TfcdT.г,Теплоемкость в процессе, в котором сохраняется величинах, определяется
какСх = (dQ/dDx-Внутренняя энергия - функция состояния. Ее изменение не зависит
от процесса, а определяется только начальным и конечным состояниями
системы. По первому началу термодинамики (в интегральной форме)
изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного
равновесного состояния в другое равноAU= Q-A.Для равновесных процессов согласно второму началу термодинамики
дифференциально малое изменение энтропии определяется равенствомdS = 6Q/T= САТ/Т.1)Для изохорического процесса (процесса с постоянным объемом)
функция f(p,V)= V = const. Теплоемкость газа равна Су. По условию эта
теплоемкость постоянна. Поэтому согласно определению теплоемкостиQ = CyAT.Однако при постоянном объеме работа газа равна нулю, и согласно
первому началу термодинамики вся подведенная энергия должна перейти
в изменение внутренней энергии газа:A U=Q.На основе двух последних соотношений получаем выражение для
внутренней энергии:AU= СуАТ.14
Так как бесконечно малое количество подведенной к газу теплоты в
рассматриваемом процессе равно 8Q = CydT, то изменение энтропииhAS = \dQ!T=\Cv dT/T = Cv\n(T2/T]).
г,Полученные для данного процесса результаты занесены в
приведенной таблице в строку под номером 1.2)	Для изобарического процесса (процесса с постоянным давлением)
функция f(p,V)=p = const. Работа вычисляется с использованием прямого
определения для работы газа A=pdV с последующим применением
уравнения состоянияpV=RT\А=\pdV = p(V2 -V\) = RAT,Vlгде АТ= Т2-Т\.Согласно определению, теплоемкость газа равна Ср (р = const,
следовательно, х = р). Количество подведенной к газу теплоты Q = СрАТ.Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от
температуры (не зависит от объема), то приращение AU будет таким же,
как и в предыдущем процессе, т. е. AU=CyAT (не будет лишним
напомнить, что U - функция состояния).Если в первое начало термодинамики подставить найденные
выражения для A, Q и AU, то получится соотношение МайераА = Q- AU -> Ср АТ - СуАТ= RAT -> Cp-Cy=R.Оно получено для идеального газа и справедливо только для него.Выражение для приращения энтропии может быть получено так же,
как и выше для изохорического процесса. Единственное отличие
заключается в другой теплоемкости процесса - СР вместо Су.hAS = $SQ/T= Jcр dT/T = CP\n(T2/Tl).
т,Результаты приведены в таблице в строке 2.3)	В случае изотермического процесса f(p,V)=pV = const (следует из15
термического уравнения состояния). Изменения внутренней энергии не
происходит, так как температура газа остается постоянной (At/ = 0).
Согласно первому началу термодинамики, работа, а следовательно, и
подведенная теплота равны (А = Q). Выражая давление через объем
посредством термического уравнения состояния (р = RT/V), в результате
получаем:у,	У,Соответственно при постоянной температуре изменение энтропии будет
равноhS=QIT=R\n(V2IVx).Из определения теплоемкости следует, что в изотермическом процессе ее
величина будет бесконечно большой: ненулевое подведенное тепло при
нулевом изменении температуры. Результаты для изотермического
процесса приведены в строке 3 таблицы.4)	Адиабатический процесс - это равновесный процесс без подвода
теплоты: 8Q = 0. Изменения энтропии в соответствии со вторым началом
термодинамики не будет:bS = \5Q!T = b.Теплоемкость С = 0. Изменение внутренней энергии в этом процессе,
как и в других процессах, равно AU= Cvts.T (не зависит от процесса). По
первому началу совершаемая работаА=-Ш = - CAT.Остается найти уравнение процесса. Его можно получить из первого
начала термодинамики в дифференциальной форме. После подстановки в
него bQ = 0, dU= CvdTи 8А =pdVимеем дифференциальное уравнениеCydT+pdV = 0.Исключение температуры с помощью термического уравнения состояния
дает16
RdT=d(PV) = PdV + VdP,CvIRVdp + (CylR + l)pdK = 0, или Vdp + ypdV=0,где у = Ср/Су - показатель адиабаты. Уравнение решается разделением
переменных. Это дает уравнение адиабатического процесса:pVy = const.Результаты для адиабатического процесса представлены в строке 4
таблицы.5)	Политропическим называется процесс с постоянной
теплоемкостью. Она считается известной. ТогдаQ = CAT.Изменение энтропии находится аналогично случаю изохорического и
изобарического процессов с единственным изменением в теплоемкости
процесса:ТгAS = \SQIT = JCd7’/7’ = Cln(7’2/7]).г,По-прежнему AU= CVAT. В таком случае работа
A = Q- AU = (С-Су)АТ.Уравнение процесса находится, как и для предыдущего процесса:CdT=CydT+pdV.Аналогично исключается температура:RdT=d(PV) = PdV+ VdP,Cv IR- Vdp + (Су IR+\)pdV= C(Pd V + VdP).Вводится обозначение я = (С - Ср)/( С - Су) - показатель политропы. Как
и в случае адиабатического процесса, здесь производится группировка
слагаемых при приращении одинаковой переменной, после чего уравнение17
решается разделением переменных. После интегрирования находится
уравнение подтропического процесса:pV = const.Результаты для этого процесса заполняют строку 5 таблицы.№/АQAUASС1V0CATCy ATСуЩТ2/Т)Су2РRATCpATCyATCplnWTi)Ср3pVRT\n(V2IV\)RT\n(K2/K,)0R ln(K2/K,)±004pV-Су AT0CyAT005pV[С - Су)ATCATCyATСЩТ2/Т)с1.2.	При отклонении от положения равновесия, в котором координату
х будем полагать нулем, на поршень действует направленная вдоль оси хсила Fx = (p0- р) S, где р - давление в закрытой части цилиндра.Эта сила является геометрической суммой сил, действующих на
поршень с обеих сторон. Так как давление газа всегда направлено по
внутренней нормали к поверхности объема, внутри которого заключен газ,
то сила, вызванная давлением р0, сонаправлена оси х, а сила, вызванная
давлением р, имеет направление, противоположное оси х. Учитывая
адиабатичность процесса в замкнутой части объема, можно записать18
следующее соотношение:Povo =pVr,где V - объем закрытой части цилиндра.
Так как К = К0 - Sx, тоР = Ро' V0 'гSo-Sx;Учитывая малость колебаний -и разлагая р в ряд Тейлора по степеням х,
получаем:Р=А>0 + ySx!V0)\Ро~Р= -poiSx!V0.Тогда второй закон Ньютона для поршня имеет вид:Мх + = 0 <=> X + =0 о ЛГ + а2х = 0.К0	МУ0Отсюда частота колебаний' Щ,а периодт _ 2я; _ 2л; \МУ0
о) S \j ур^ '1.3.	С учетом того, что поршни тяжелые (тгта « ти т2), следует
записать законы сохранения импульса и энергии:[изменение суммарного импульса системы] = 0,19
[приобретенная кинетическая энергия поршней] = [работа газа],илит]х] + /и 2 *2 = 0)1	2 I 2 j
2т1*1 +2т2*2 =А-Обозначения в уравнениях соответствуют рисунку.В условии задачи сказано, что поршни «тяжелые». Из этого следует,
что скорость их движения достаточно мала для того, чтобы
адиабатическое расширение газа от конечного объема У0 до бесконечности
происходило равновесно. В этом случае работу газа А можно найти как
работу при равновесном адиабатическом процессе:A=\PdY=\PaV,0 dV = P0V£Го0 —1Ло-дау-1PqVq
у-1С учетом выражения для работы имеем систему уравнений:1 2
т,Х,
2 1 1+ 1 m - Р°У°
+ ~ т2Х2 - Г
2	у-1Решение системы уравнений дает:20
|2/>сЛ "h	.. _ \2Pova ™\Vj — JC] — I		, v2 x2 — n|у у-1 wl(/w1+w2)	V y-1 w2(w1+w2)1.4.	В первое начало термодинамики входит величина Q. Под ней
понимают количество теплоты, полученное системой. По условию задачи
уходящее тепло равно изменению внутренней энергии газа, поэтому в
соотношении между Q и AU возникает знак «минус»:2 =-At/.Так как газ идеальный, то его внутренняя энергия - функция только
температуры. Пусть теплоемкость Су постоянна. ТогдаQ = -Cy(T-T0).Здесь либо Су теплоемкость всего газа, либо количество газа равно
одному молю, и тогда Су - молярная теплоемкость. Таким образом,
теплоемкость газа в рассматриваемом процессе равнаС = -(8Q/dT) =-Су.Работа, совершаемая над газом, и подведенная к нему теплота идут
на изменение его внутренней энергии (первое начало термодинамики).
Для условий задачиА' = AU-Q = 2АU = 2Су(Т- Т0).Для нахождения конечной температуры необходимо получить
уравнение процесса. С этой целью рассматривается первое начало
термодинамики в дифференциальной форме. Для данной задачи оно имеет
вид-dU= dU + pdV.Слева - количество теплоты, полученное газом. Для идеального газа
уравнение можно преобразовать:2dC/+pdF=0 => 2CvdT+ RTdVIV=0.Оно решается разделением переменных, так что21
T/T0 =(V0/V)b-')I2,где у - показатель адиабаты. По условию газ сжимается с уменьшением
объема в два раза. Окончательно(г- I)/2А’ = 2СуТ0(2 -1).1.5.	Так как система теплоизолирована, то согласно первому началу
работа внешних сил приводит к изменению внутренней энергии
системы:/Г = дс/, + au2.Предполагается, что поршень перемещается без трения.Для идеального газа бесконечно малое изменение внутренней
энергии равно dU = vCv dТ. Если теплоемкость Су считать постоянной, то
конечное изменение U равноAU = vCv(T- Го) = vCV Т0 ( Т/То-1) = P0V0 ( Т/Т0 - 1) /(у- 1),где Т0 - начальная температура газа.а)	Так как поршень перемещается медленно и не проводит тепло, то
изменение объема газов в каждой из частей сосуда - адиабатические
процессы. Уравнение адиабаты для идеального газа было получено в
задаче 1.1 :pVy = const. В переменных Т, У оно имеет вид:7УТ“1 = const.Пользуясь им, получаем конечные температуры газов:Т\ = То (Ко/К,)1'”1 = 21" \ Т2 = Т0(Уо/У2)у~1 = (2/3 Г V
Работа внешних сил в этом случае равна22
А' = At/, + AU2 = ро Vo/(y - 1) (2Т" 1 + (2/3)т ‘1 - 2).б)	В случае теплопроводящего поршня температуру газа в обеих
частях сосуда можно считать одинаковой в любой момент времени.
Одинаково также число молей газа. Это следует из начальных данных.
В результатеА' = At/, + AU2 = 2vCv (Т- То) = 2Р0 У0 ( Т/Т0 - 1)/( у - 1).Конечная температура системы может быть найдена из уравнения
процесса. Для получения уравнения процесса первое начало
термодинамики записывается в дифференциальной форме для всей
системы:2dU + pidVi +p2dV2 = 0.Если подставить сюда выражение для dt/ через температуру и
теплоемкость (dU = vCydT), выразить давление с помощью термического
уравнения состояния идеального газа (р = vRT/V) и затем поделить все
слагаемые на 2vCvT, то дифференциальное уравнение примет видdr IT + (у - l)/2-(dF,/K, + dV2/V2) = 0.При преобразовании используются соотношение Майера Ср - Су = R и
показатель адиабаты у = CJCy. Интегрирование дает уравнение процесса:1п(7У7о) + (у - 1 )/2- 1п( К, V2IV02) = 0.Найдем значения экспоненты с показателями, равными правой и левой
частям уравнения. Получим равенство:Т/Т0= (V02/ViV2) (т~1)/2Конечная температура системы равнаТ = То (4/3)(т“ т.Работа внешних сил23
А' = 2P0V0 ( Т/То ~ 1)/( У ~ 1) = 2PoVo/(y - 1) ((4/3)Ст',)/2 - 1).1.6.	По определению теплоемкости и с учетом первого начала
термодинамики для идеального газаС = 6Q/8T = ди/дТ + рдУ/дТ =CV + pdV/dT.По условию задачи объем газа V = Sx (х - сжатие пружины, S - площадь
поршня) и Sp = кх (поршень удерживается пружиной, см. рисунок ниже),
откуда////Логарифмирование и дифференцирование дает:d (In ( V= const4/?)) => dV/V = dp/p.Аналогично из термического уравнения состояния можно получитьd (In (р = RT/Vp)) => dp/p + dV/V= dT/T.Из двух полученных уравнений находится производная8V/dT= V/2T,ПоэтомуV= Sx = S (Sp/k) = const p.sP, V24
C = Cv + pdV/dT=Cv + p VI2T=Cv+ Rf2 = 2R.(для одноатомного газа Су = 3 Л/2).1.7.	Максимальная работа будет получена, если использовать
тепловую машину, работающую по обратимому циклу Карно. Схема такой
машины приведена на рисунке.Однако теплоемкости тел (нагревателя и холодильника) в данной
задаче конечные и их температуры при тепловом контакте с рабочим
телом тепловой машины в общем случае изменяются. Поэтому для
получения максимальной работы применяется непрерывная
последовательность бесконечно малых циклов Карно, в пределах каждого
из которых текущие температуры тел Тх и Т2 (соответственно температуры
нагревателя и холодильника) можно считать постоянными. При контакте с
нагревателем (тело 1) рабочее тело получает количество тепла, равное
5Q\. Это тепло 6Qt, согласно рисунку, является «отданным теплом» для
нагревателя (тела 1). Другими словами, нагреватель получает тепло,
равное-60, = С, dr,.От холодильника (тело 2), согласно введенным обозначениям,
рабочее тело получает тепло, равное SQ2. В то же время холодильник
(тело 2) получает тепло, равноеbQ2 = C2dT2.Таким образом, тепловая машина будет совершать работу за счет25
внутренней энергии тел 1 и 2. Совершаемая за цикл работа равна сумметеплот, полученных рабочим телом в течение цикла:6А = 5б, - 5Q2 = - C.dr, - C2dT2.Работа машины продолжается до тех пор, пока температуры тел не
становятся равными: Т\ = Т2 = Т. Полная работа равнаА — С\Т\о + С2Т2 о — (Ci + С2)Т.Для нахождения конечной температуры тел можно воспользоваться
равенством Клаузиуса для обратимого цикла:_ тепло, полученное рабочим телом от / - го источника _
температура /' - го источникаbQJT - 8Q2IT2 = 0 => C,d7’1/7’1 + C2dT2/T2 = 0.Заметим, что знаки перед 5Q\ и 5Q2 стоят те же самые, что и в выражении
для работы, совершаемой в цикле. Действительно, в обоих случаях
фигурирует тепло, полученное рабочим телом. Интегрирование
последнего равенства дает конечную температуру:т_тс1кс1*с2) тс2/(с,+с2)1 - у10 ' 20Максимальная работа, которую можно получить, равнал - п т j.пт <г< лгс,/(с>+с2) тс2/(с,+с2)
А - С1/10 +C2/2o-(Ci +L2) /10	/2026
Следует обратить внимание на то, что максимальная работа будет
совершена в равновесном процессе. В этом случае суммарная энтропия
нагревателя и холодильника неизменна, т. е. выполняется условиеД5, + AS 2 = 0.Это условие эквивалентно написанному выше равенству Клаузиуса.1.8.	Температуры нагревателя Ль природного резервуара воды R2 и
охлаждаемого резервуара Л3 считаем постоянными. Схема установки
приведена на рисунке.Для суммарного циклического процесса, совершаемого системой из двух
рабочих тел, можно написать неравенство Клаузиуса:a_!ai+a_Mi<0т, т2 т, т2Его можно преобразовать к виду:а |а№1, аТ, г2 т,Сумма в числителе второго слагаемого в левой части неравенства
находится из закона сохранения энергии. Этот закон можно
сформулировать в различных формах. Первый вариант:27
[сумма всех теплот, полученных системой рабочих тел] = ОилиQ\	+бз =®-Второй вариант - через равенство работы, совершаемой первым рабочим
телом, значению работы внешних сил над вторым рабочим телом в
течение цикла:Q\ - is?!=a=\Qi\ ~ &.Отсюда независимо от варианта получаем \Q2 \ + \Q2 | = Q\ +Qj-
Исключение этой суммы приводит к неравенствуQ\ Q\ +Qz | бз < qT’l Т2 Тг ~ ’Из него следует ответQ. > СЬ-Т,ЛУ(Т2 - ТзУ(Т, - Т2) * 38 Вт.1.9.	В обычном способе отопления теплота, выделяющаяся при
сгорании топлива, непосредственно поступает в отапливаемое помещение.
Значительная доля этой теплоты уносится нагретыми газами и бесполезно
расходуется на нагрев окружающей среды. Но даже если отвлечься от этой
и других потерь, помещение при обычном способе обогрева получает
теплоты не больше, чем выделяется при сгорании топлива. В задаче
предлагается рассмотреть динамический способ отопления помещения.При динамическом способе отопления только часть теплоты от
сгорания топлива поступает в помещение, другая же часть расходуется на
работу тепловой машины. С ее помощью приводится в действие
холодильная машина, которая отбирает теплоту у окружающей среды и
передает ее в помещение. Таким образом, помещение получает теплоту и
от топки, и от холодной окружающей среды. Общее количество теплоты,
получаемое помещением, может оказаться больше, чем выделяющееся при
сгорании топлива. В этом выгода данного способа отопления. Он был28
предложен В. Томсоном. Схематично динамический способ отопления
изображен на рисунке.Пусть Т], Т2 и Тъ - температуры топки, помещения и окружающей
среды соответственно. Количество теплоты, получаемое при сгорании
топлива, равно Qt. Оно расходуется на работу А тепловой машины, часть
его \Q21 (Q2 < 0) поступает в помещение. Очевидно,A<Q\- \Q2\- из-за возможных потерь части тепла. Этой работой приводится в
действие холодильная машина. Здесь возможны тоже потери на трение и
т. д., поэтомуА>А'.Холодильная машина отбирает от окружающей среды тепло Qs и передает
помещению тепло IQ2 I (Q2 < 0; Q, без знака модуля обозначают теплоты,
полученные рабочими телами обеих тепловых машин. Здесь имеет место
неравенствоА'> Ift'l-ft,29
т. е. работа по отбиранию тепла от окружающей среды может оказаться
больше расчетной по причине возможности действия в системе
диссипативных сил. Из этих неравенств получается01- \Qi\> \Qi\-Qi,mmQi>(\Qi\+ tez'b-fii-В скобках стоит тепло, поступающее в отапливаемое помещение. Если для
выражения в скобках ввести обозначение Q = \Q2\ + \Qi I. то&>Q-Q,.Если теперь рассмотреть тепловую и холодильную машины как одну
термодинамическую систему, совершающую циклический процесс, то на
основании неравенства КлаузиусаQxIT, + {Q2 + Q1)IT2 + Q,IT,<0и с учетом того, что Q2 = - \Qi I и Q2 = - \Qi I, получаетсяQx!tx-(\q2\ + \Qib/T2 + Qi/T3<0,илиQy/Tl-Q/T2 + Q,/T3<0.Исключение £>3 даетQ\ITx-QIT2+ (e-Qi)/T3< 0,откудаQ<(Til-Tf')/ (Til-T2-') QhВ идеальном случае, когда какие-либо потери теплоты или работы
отсутствуют и все процессы квазистатические, имеет место равенствоQ = (Tf' -тх-1) / (Tf1 -т2-') -QlТак как Т} > Т2, то Tf' - T\~l > Tf' - Т2У и полученная формула дает
Q > Q\. Более того, разница температур Т2 и Tj сравнительно небольшая
(до нескольких десятков градусов), тогда как Тх значительно больше Т2 (на30
сотни градусов). Поэтому множитель перед Q\ может быть порядка 10. Это
говорит об эффективности динамического способа отопления.Для условий задачи Q!Q\ = (Тх - Т3)Т2/(Т2 - 7’3)/7’i ~ 7,1.1.10.	Процесс Гей-Люссака - это расширение газа в пустоту.Пусть сосуд с жесткими адиабатическими стенками разделен
перегородкой на объемы V] и V2. В первом объеме v молей идеального газа
при температуре Т, в другом объеме - вакуум. Перегородка убирается - газ
приходит в движение и заполняет весь объем сосуда V, + V2. Это процесс
Г ей-Люссака.Конечное состояние газа при его расширении равновесное. Подвода
теплоты нет: Q = 0. Работа внешних сил отсутствует: А' = 0 (стенки сосуда
жесткие). Внутренняя энергия газа в результате не изменится: Д£/=0. А
так как газ идеальный, то в соответствии с законом Джоуля конечная
температура равна начальной температуре. Сразу же следует сделать
уточнение. В процессе расширения говорить о температуре газа как целого
не имеет смысла. Это неравновесный процесс, что подтверждается тем,
что его конечным результатом является увеличение энтропии газа,
несмотря на отсутствие подвода теплоты. Процесс протекает с конечными
скоростями. Внутренняя энергия газа в процессе не остается постоянной.
Она переходит в кинетическую энергию поступательного движения газа.
Происходит это неравномерно. Уже с самого начала одни слои газа
приходят в движение, другие еще неподвижны. Все же в конце концов
кинетическая энергия движущегося газа диссипирует и переходит во
внутреннюю энергию, устанавливается равновесие. Поскольку процесс
неравновесный, то пользоваться непосредственно уравнением dS = bQ/T
нельзя: оно справедливо только для равновесных процессов. Однако
энтропия - функция состояния, ее изменение не зависит от процесса.
Путей решения задачи два: можно воспользоваться известным
выражением для энтропии идеального газа и по начальному и конечному
состояниям вычислить ее изменение. А можно реальный (неравновесный)
процесс, соединяющий два равновесных состояния, заменить подходящим
равновесным, соединяющим те же два равновесных состояния (в данном
случае самым простым из подходящих процессов является
изотермический) и искать изменения энтропии согласно формуле
dS = bQ/T в построенном равновесном процессе. Здесь рассматривается
второй путь.Вводится изотермический процесс перехода из начального состояния
с объемом V\ в конечное состояние с объемом Vt + У2. В этом процессе в
отличие от реального процесса есть подвод теплоты от термостата с
температурой Т. Эта теплота расходуется на работу газа - изотермическое
расширение. В результате31
ЯП SA ^'i + v2	vi+v2A5=J J = \ pdVIT= \vMV IV = \R\n(\ + V2!K,)>0.
T T у,	K)Возрастание энтропии указывает, что расширение в пустоту действительно
неравновесный процесс.1.11.	В этой задаче нет подвода теплоты, отсутствует работа внешних
сил. Внутренняя энергия системы двух газов сохраняется. Отсюда следуетО	= ДС/= v,C„(Т- То) + ViCviiT- То) -* Т= Т0,т. е. конечная температура смеси равна начальной температуре.Для каждого газа реальный процесс можно заменить изотермическим
(как в процессе Гей-Люссака), так чтоAS, = V, R In ((F, + V2)/V,), /=1,2.Энтропия - аддитивная величина. Ее изменение для системы равноAS = ASt + AS2 = v, /? In (1 + V2/V\) + v2 Я In (1 + K,/^)>0.Пусть (для большей наглядности результата) V{ = V2. Тогда V| = v2 = v иД5 = 2v Л In 2 > 0.Энтропия возросла, хотя подвода теплоты нет. Следовательно, диффузия -
неравновесный процесс.Если применить теперь полученную формулу для тождественных
газов, то получается парадоксальный вывод. Конечное состояние системы
макроскопически ничем не отличается от начального состояния.
Перегородка не играет никакой роли. Ее можно мысленно ставить и
мысленно же убирать. Поскольку энтропия - функция состояния, ее
значение для тождественных газов не должно зависеть от наличия или
отсутствия перегородки. А в соответствии с полученным выше
результатом энтропия возрастает. Этот парадоксальный вывод получил
название парадокса Гиббса. Разрешается он следующим образом.Для тождественных газов полученная формула для AS неприменима,
для них AS = 0. А формулой можно пользоваться, если молекулы или
атомы газов хоть как-то различаются и смесь таких газов можно разделить
на компоненты с помощью, например, центрифуги. Молекулы (атомы)32
одного и того же газа неразличимы, и установить, какая из частиц
первоначально была в объеме Vu а какая в объеме V2, невозможно. От
перехода неразличимых частиц из одного объема в другой
макроскопическое состояние системы не меняется.1.12.	Свободное расширение газа в пустоту следует из условия
задачи, в котором говорится, что масса поршня пренебрежимо мала -
неравновесный процесс. Поскольку система замкнутая (подвода тепла и
работы внешних сил нет, масса постоянная), ее внутренняя энергия в
конце процесса неравновесного расширения равна своему начальному
значению. Так как газ идеальный, то его температура будет также равна
начальной температуре (при двукратном увеличении объема). Энтропия
же при расширении газа возрастет в результате неравновесного процесса
без подвода тепла (это следствие второго начала термодинамики).Медленное сжатие - равновесный процесс без подвода тепла
(адиабатический процесс). Энтропия в этом процессе не изменится, а
внутренняя энергия увеличится за счет работы внешних сил.Таким образом, энтропия изменится (увеличится) при расширении
газа, внутренняя энергия - при сжатии. Энтропия - функция состояния, ее
изменение не зависит от процесса. Для вычисления этого изменения
неравновесный процесс заменяется подходящим равновесным, в данном
случае изотермическим процессом. Вычисление изменения энтропии для
такого процесса рассмотрено в задаче 1.10. Для равновесного процесса
можно использовать основное термодинамическое тождество. Итак:AS = ldQ/T = fdA/T = vRln(V/r0) = vJtln2>0.Внутренняя энергия изменяется при сжатии газа на величинуAU = vCv(T -Т0) = vC^7’0(2Y_1 -1),где сжатие - адиабатический процесс, т. е. pVy = const или TVy~1 = const
(У = CJCy).1.13.	Изменение энтропии воды, происходящее в результате
теплообмена с термостатом, в соответствии со вторым началом
термодинамики удовлетворяет неравенству:33
S2-St>№.* eЗдесь знак равенства имеет место для равновесного процесса; строгое
неравенство выполняется, если процесс неравновесный. Задача, таким
образом, сводится к тому, чтобы выяснить, какой из двух вариантов
реализуется.Вода имеет очень малую сжимаемость. Поэтому изменением объема
воды можно пренебречь. Поскольку энтропия - функция состояния, ее
изменение не зависит от процесса. Для вычисления изменения энтропии
воды реальный процесс выравнивания температуры заменяется
изохорическим процессом. Тогда-80 ТеS2-St= J— = \cmdTIT = cmA’a(TeIT),Т jгде m - масса воды, с - ее удельная теплоемкость.От термостата к воде подводится количество теплотыQ = Cm(Te -Т).После подстановки выражений для S2-S\ и Q (Те = const) приведенное
выше неравенство сводится к1п(Ге/7)> 1 - Т/Те-+ х = Т/Те и -lnx> 1 -х, или lnx<x- 1.34
Если на плоскости х, у построить логарифмическую кривую у = In х и
провести прямую линию у = х - 1, то из графика на рисунке видно, что
кривая лежит ниже прямой и лишь в точке (1,0) они касаются.Итак, в приведенном выше неравенстве знак «равно» имеет место
только при Т= Те. Во всех остальных случаях (ниже температура воды или
выше) выполняется строгое неравенство. Процесс теплообмена является
неравновесным.1.14.	Свободная энергия F задана в естественных (канонических)
переменных Т к V. Следовательно, выражения для F достаточно для
определения любой термодинамической характеристики системы. Из
основного термодинамического тождества7cLS = dU + PdVможно вывести выражение для приращения сIF через приращения ее
естественных переменных dV и dT. Замена переменных в основном
термодинамическом тождестве осуществляется с помощью
преобразования Лежандра:TdS =dTS - SdT.ОтсюдаdTS-SdT=dU+pdV=>d(U-TS)= -SdT-pdV = dF.В первую очередь рассмотрим частные производные свободной
энергии по ее естественным переменным. В частности, давление является
ее частной производнойP = -(dF/dV)T.Вычисление его дает термическое уравнение состоянияр = RT/V.Энтропия является частной производной свободной энергии по другой
переменнойS = -(dF!dT)v.Ее вычисление дает35
S = -a+b + b-]nT+R\nV.Исходя из определения свободной энергии, находится внутренняя энергияU=F+ TS=bT+c.Далее вычисляется теплоемкость при постоянном объеме:Су = T[dS/dT)y= Ь.Проделанные вычисления подтверждают, что данная свободная энергия
определяет термодинамику идеального газа. Можно убедиться, что и
теплоемкость при постоянном давлении соответствует соотношению
Майера:Ср = Ъ + R.1.15.	Доказательство проводится для общего случая сред,
характеризуемых объемом и давлением.Наклон адиабат и изотерм определяется соответственно
производными (dp/dV)s и (dp/dV)T. Следовательно, для решения задачи
необходимо рассмотреть производную (dp/dV)s и перейти от независимых
переменных S, V к переменным Т, V. Наиболее быстро результат может
быть получен, если перейти от частных производных к якобианам и
учесть, что теплоемкость С = T(dS!dT). Итак,(dp/dV)s = dis, p)/d(s, V) = d(s, ругцт, P) • д(т, Р)/д(т, V) ■ д(т, v)/d(s, ю == (dS/dT)p-(dp/dV)r/(dS/dT)v = CptCy idp/dV)T,
отсюда следует, что(dp/dV)s<(dp/dV)r< 0.1.16.	По определению теплоемкости и с учетом второго начала
термодинамикиCv=(dQ/dT)v= T(dS/dT)V-36
Поэтому, используя тот факт, что результат дифференцирования не
зависит от последовательности дифференцирования, получаем:(dCy/dV)T = 1{d*S/dVdT) = Td(dS/dV)^dT = T(&pldT\.Здесь (8S/dV)T = (dp/dT)v. Такое равенство получается с помощью
калибровочного соотношения д(Т, S)/d(p, V) = 1, а именно:(dS/dV)r=d(T, S)/d(T, V) = д(р, У)/д(Т, V) = (др/дГ)у.Итак, (ЭСУЭР)т= Цс?р/дТ2)у. Для газа Ван-дер-Ваальса (р = vRT/(V-bv) - av2/l
легко показать, что вторая производная от давления по температуре при
постоянном объеме равна нулю, т. е. Су не зависит от объема, а является
функцией только температуры.Из приведенных выше соотношений можно найти частные
производные от энтропии (ниже Су — молярная теплоемкость):(dS/dT)v = vCl{T)IT, (dS/dV)T = (др/дГ)у= vR/(V-bv)иdS = (dS!dT)ydT+ (dS/dV)j<iV= vCy(T)dm+ vRdV/(V- bv).Интегрирование последнего равенства дает энтропию:тS=v(\Cy dT/T+ R-ln(F/v - b) + const).Из основного термодинамического тождества следует:
dU= TdS-pdV= Cy(T)dT + av2 dV/V2.Интегрирование дает внутреннюю энергию:тU=v(fCy dT-av/V+ const).Замечание. Пропорциональность постоянных интегрирования числу молей
определяется требованием на аддитивность энтропии и внутренней37
энергии. Действительно, выражение в скобках зависит только от
интенсивных или удельных параметров: температуры и удельного объемаVN.1.17.	Свободное расширение - это процесс Гей-Люссака, т. е. без
подвода теплоты Q = 0 и совершения работы А' = 0, с сохранением
внутренней энергии ДU = 0. В предыдущей задаче было получено
выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса. Используя его,
сохранение внутренней энергии в рассматриваемом процессе можно
записать в виде равенстваC,.(T2-T,)~av_1_4^21= 0,откуда находится искомая постояннаяа = Су(Т2 - Г,)К, K2/(v(K, - К2))« 0,42 Дж-м7моль2.1.18.	Поскольку подвода тепла нет и работа внешних сил отсутствует,
внутренняя энергия системы остается такой же, какой была вначале, до
установления контакта между кубиками:ДU = mCv(T- Г,) + mCv(T- Т2) = 0,что позволяет сразу же найти конечную температуру кубиков:T=(Ti + Т2)/2.При этом используется равенство масс кубиков, учитывается, что
Су = const. Изменением объема кубиков пренебрегается.Изменение энтропии не зависит от процесса. Реальный процесс для
каждого кубика заменяется изохорическим, в котором энтропия кубика
меняется с температурой по закону5 = S0 + } ■Щ = S0 + J mCj-- =Sa + тСгЩПТоЪТ J	т I;0 *038
где S0 - значение энтропии при температуре Т0 (оно одно и то же для
обоих кубиков, так как кубики одинаковы). На Т, S-диаграмме точка
(То, S0) вводится как общая точка отсчета. На результат она не влияет.
Тогда с учетом аддитивности энтропии ее изменение для системы равноAS = AS, + AS2 = AS = mCy\n((T\ + Т2)2/4Т{ Т2) > 0.Энтропия адиабатически изолированной системы кубиков в результате
установления теплового равновесии возросла. Изменение свободной
энергии системы равноAF=AU- (T-2S- T.S, - T2S2) = mCy\n( 7]7' -Tp /((T1+T2)/2)t'+7'2 ).1.19.	Изменение энтропии не зависит от пути перехода системы из
одного состояния в другое. На этом основании изменение энтропии в
результате плавления вещества при температуре Т\ можно приравнять
изменению энтропии в следующем переходе. Вначале твердое вещество
нагревается от температуры Г, до То, затем происходит его плавление при
температуре Т0 (а при этой температуре теплота плавления вещества
известна), и, наконец, уже в жидком состоянии вещество охлаждается от
Т0 до 7у На T^S-диаграмме изображены: сплошной линией - путь перехода
при температуре Г, < То, пунктиром - предложенный путь перехода,
изменение энтропии на котором мы будем определять.Подсчитать изменение энтропии при таком переходе несложно:т0	ЦAS = \mCmdT/Т + mq0 /Т0 + \тСжйТ/Т =h	т0= m(Cm - Сж ) 1п(Г0 / Г,) + mq0 / 7^.С другой стороны, то же изменение энтропии в результате плавления
вещества при температуре Т\ равноAS = mq] / 7,.Приравнивание этих двух выражений для AS даетЯ\= (Ст ~Сж)Т^\п(Х0 !ТХ) +qQT\ !Т0.39
1.20.	Изменение энтропии системы при переходе малого количества
теплоты Q от одного тела к другому равноAS = Q/Tl-Q/T2.Но по формуле БольцманаAS = kln(W2/fVi).Приравняв эти два выражения для AS, можно найти
0УИ'1 = ехр(е/*.(7Г1-7’2'1)).Если Q = 1 эрг = 10 “7 Дж, W2/Wi » ехр(1012/12)» 10001О'° . Чудовищно
большое значение этого отношения говорит о том, что именно такой
переход всегда и происходит. Обратный же переход никогда не
наблюдается.Однако если Q = 1,2-10’12 эрг, то W2! Wl * exp (0,1) * 1. Таким
образом, происходят оба перехода с примерно одинаковой вероятностью.2.1.	Энергия линейного гармонического осциллятора определяется
формулой£ = йш(я + ^), л = 0,1,2,...Тогда для первой системы выполняется уравнение40
Е\= ЙО) («! + п2 + 1) = Й©,и, следовательно, nt = п2 = 0. Изначально первая система находится в
единственном квантовом состоянии, ее энтропия равна нулю: Si = 0.
Аналогично для второй системы:Е2= Йш («з + щ + 1) = ЗЙш.Отсюда л3 + «4 = 2. Возможные комбинации значений квантовых чисел п3
и п4 следующие:Из210п4012Три различные комбинации - три различных состояния системы.
Первоначальное значение энтропии второй системы S2 = Л In 3.Полная энергия объединенной системы равнаЕ = Е\ + Е2 = 4Й(о.После установления теплового контакта между исходными системами
энергия может быть локализована на любом из четырех осцилляторов, что
отображается уравнениемЕ\ = Йсо (п1 + п2 + п3 + п4 + 2) = 4Йсо,откуда И] + п2 + п3 + и4 = 2. Возможные комбинации значений квантовых
чисел объединенной системы приведены в таблице.«12000111000«20200100110«30020010101«40002001011Всего 10 различных комбинаций и, следовательно, 10 разных состояний
полной системы. Ее энтропия равна 5 = Л1п10. Результирующее
изменение энтропии полной системы&S = S-S\-S2 = Ain (10/3).2.2.	При фиксированных внешних параметрах уровни энергии41
остаются неизменными. Подвод теплоты Q приводит к изменению
распределения частиц по уровням энергии. В результате средняя энергия
системы увеличивается. Средняя энергия определяется выражениемЕ = Wj + E2w2.До подогрева она равна £, = -Цо ВО,9 + \io ВО, 1 = -0,8цо В, после
подогрева - Е2 = -Цо#0,6 + цоЯ-0,4 = -0,2ц<,В (здесь учтено, что
вероятность нахождения системы на нижнем уровне энергии выше).
Поглощаемая системой теплота равна Q = Е2 - Е] = 0,6цо В.2.3.	Система А и А '(из трех и двух спинов соответственно) образуют
полную систему А0. Энергия взаимодействия между спинами
пренебрежимо мала, так что полная энергия равна сумме энергий систем А
и А':Е0 = -(М + М')В,где М и М'- их магнитные моменты.Система А0 состоит из пяти спинов и поэтому обладает 25 = 32
возможными состояниями, каждое из которых может быть обозначено
квантовыми числами аи ст2, а3 (для первой системы А) и а\, а'2 (для
системы А'). Эти квантовые числа указывают ориентацию магнитных
моментов отдельных спинов. Энергия изолированной системы А0 равна£о = -Зц<>Я.В этом случае система А 'может находиться только в пяти равновероятных
доступных состояниях. Они перечислены в таблице.№<*i<*2ОзCT'lСТ 2ММ'11111-1Зцо02111-11Зцо031-1-111-Но4Цо4-11-111-Цо4цо5-1-1111-До4цоИ в этих пяти состояниях магнитный момент первой системы может
принимать только два значения: Зцо и -цо- Вероятности этих двух42
значений равны w(3|io) = 2/5 и w(-po) = 3/5 (число состояний с заданным
магнитным моментом подсистемы поделить на число состояний,
удовлетворяющих фиксированному значению полной энергии системы, в
данном случае Е0 = -Зро В).Среднее значение магнитного момента этой подсистемы равноЛ/ = Зц0-| + (-Цо)| = |цо-2.4.	Энергия полной системы А + А 'равнаЕ0 = ЗцоВ - 4цоВ = -ЦоВ.При установлении равновесия полная система может находиться влюбом из семи доступных состояний: (	, + +), (- + +,- +), (+-+,- +),(+ + -,-+), (- + +, + -), (+-+, + -), (+ + -,+-)• Только в одном из них
магнитный момент системы А равен -Зцо. в остальных шести он равен +Цо-
Возможные значения этого момента не реализуются. Таким образом,и<-Зцо) = 1/7, w(+|io) = 6/7, Ц+Зцо) = н'(-Цо) = 0.77 _ 1 6 3
М = -Зц0~ + Цо-- = -Цо-2.5.	Наиболее вероятная скорость атомов идеального газа равнаvmax \V тПо условию задачи rt-v^ = const. Отсюда следует, что п^Т = const или (с
учетом того, что концентрация атомов п = Л^/К, где NA - число Авогадро,V	- молярный объем), V = а4¥ (А - постоянная). Для идеального газа
теплоемкость43
_ _ dV _ А п V	RС-Су +Р~^~Су +P^Jf~y+P2Т~ +У'2.6.	Распределение Максвелла для идеального газа в общем случае
имеет вид<М?) = ~ехр2 кТdv,где dv - элемент объема пространства скоростей, Z - статистический
интеграл (нормировочная постоянная).Для двумерного газа распределение принимает видdw2 (iO = — exp2 кТd?2.Здесь dP2 - элемент объема двумерного пространства скоростей, a Z2-
статистический интеграл двумерного газа, его значение находится из
условия нормировки:, ( —..2 ^1	= — fexp
Z2Jmv2кТdv2,где интегрирование проводится по всему доступному частице газа
пространству скоростей.Если в этом двумерном пространстве ввести декартовые координаты
v, и vv, то элемент объема равенdv 2 = dvxdvy.Подставляя значение df2 в распределение, а также вычисляя
нормировочную постоянную, получаем:dw(vx, v^) = m/2nkTexp(- m(v2 + vy2)/2kT) dv* dvy,Якобиан перехода от декартовых координат к полярным равен
единице, поэтому, чтобы получить распределение в полярных44
координатах, достаточно в полученном распределении для декартовой
системы координат выразить элемент объема в пространстве скоростей
через переменные полярной системы координат. В полярных координатах
v и ф элемент объема в пространстве скоростей равенdv 2 = vd<pdv.Отсюда получаем:dw(v, ф) = (т/кТ-ехр(- mv2/2kT) v dv ) (ёф/2л) = dH'(v)dH^),где dw(v) и dw(9) - нормированные распределения по модулю скорости v и
углу ф:mA<v) = -e*p' 2\
mv2 кТvdv, dw(<p) = dtp / 2 л.Средняя энергия молекулы идеального двумерного газа равнаe = mv2/2 = " Jv2dw(y) = (mtkT)\v3 exp(-mv2 /2kT)dv = kT.2	оЗамечание. Интеграл может быть вычислен методом
дифференцирования по параметру:Jv2dw(y) = (m/kT)\v^ exp(-mv212kT)dv = 2a\v* exp(~av2)dv =
о	о' d'= 2 ada| vexp(-<n2 )dv = 2a|a m2.7.	Распределение Максвелла для идеального двумерного газа имеетвидmdw(v) =	exp2л кТmv2*Гdv.45
Здесь dv - элемент объема двумерного пространства скоростей. Если в
этом пространстве выразить элемент объема через полярные координаты и
проинтегрировать по угловой координате, получим распределение по
величине скорости (см. задачу 2.6):Средняя скорость теплового движения молекул двумерного газа равнаИнтеграл вычисляется с помощью дифференцирования по параметру а
(а = т!2кТ)\2.8.	Прежде всего заданное распределение следует нормировать. Для
этого оно записывается следующим образом:Постоянная А, входящая в данное выражение, находится по известной
мощности источника j:Давление двумерного газа, оказываемое молекулами со скоростью v на
окружность - это импульс, получаемый от этих молекул единицей длины
окружности в единицу времени. Каждая молекула со скоростью v передает
импульс mv, всего таких молекул в единицу времени на единицу длины
падает dj/2n R, так что полный передаваемый импульс или давление равно
произведению этих величин:( 2 Лdj = y4exp(-v/v0)dv.j = Af exp(-v / v0 )dv = Av0, A = j/v0.046
. djdp = mv	.2kRЧтобы определить полное давление, оказываемое всеми молекулами,
необходимо проинтегрировать по скоростям (интеграл вычисляется с
помощью дифференцирования по параметру а = l/v0):р = —J mvdj = ^ J exp(-v / v0 )vdv = -	J exp(-av)dv =2nR	2nRv0 о	2nRva da оmj d 1 mv0j2nRv0 da a 2nR2.9.	Пусть в некоторой области на плоскости находится идеальный
двумерный газ при температуре Т. На рисунке двумерная область
изображена схематически прямоугольником, а молекулы - окружностями
малого радиуса. Эти молекулы движутся хаотически в соответствии с
распределением Максвелла. Через участок длиной ДS границы области за
малый промежуток времени At пролетят все молекулы со скоростью v,
которые в момент времени / = 0 находились в параллелограмме с
основанием AS и стороной, равной vd/ и сонаправленной со скоростью
молекул V.Количество подобных молекул dN равно произведению объема
косоугольного цилиндра V на концентрацию подобных молекул в этом
цилиндре d«( v ), илиdN - Vdn(y) = vcos<pAtASndvf(y).В приведенной формуле dw( v ) - максвелловская вероятность иметь
скорость v, ап- полная концентрация молекул в сосуде.47
Плотность потока вылетающих через малое отверстие AS молекул с
данной скоростью v равнаj- dN	. , .dj =	 = vcos^Hdw(V).ASAlПлотность потока всех вылетающих молекул:f Л—	tnj = J vcos(pwdw(v) = n	j exp2nkT оmv
2 kTTdlv dv Jcos(pdcp =-тс/2_ n d 7 I 2V. - и d 1 Fn nv= - 2 — a — f expl- av Hv = - 2 — a	= —.7idao	nda2Va7t2.10.	Распределение молекул по величине скорости в пучке имеет вид
dw(v) = 2a2exp(-av2)v3dv,где a = т/2кТ.По определению средних:da2 оVj = J vdvv(v) = 2a2 jv4 exp(-av2)dv = 2a2 —- Jexp(-av2 )dv =
ii-f= 2 a2 d2 1 1л 19лкТda2 2 V a \ 8/и2 r2j/\ 2 d2 7 . 2\tj	2^21v = J v dw(v) = a —- J exp(-av )2vdv = a —-— =	,da 0	da “ rnmv2e, =—— = 2kT.J 2Средняя энергия молекул в пучке больше, чем в сосуде. Это вызвано
тем, что молекулы с более высокими скоростями вылетают из большего
объема (см. задачу 2.10 - объем косоугольного цилиндра пропорционален
модулю скорости молекулы), поэтому их доля в пучке больше, чем в
сосуде.2.11.	Импульс, передаваемый пластинке одной молекулой при48
упругом отражении, равен 2mvx, где ось х направлена перпендикулярно
плоскости пластинки. Если ф'(у15 v±) - число молекул, падающих на
единицу площади пластинки в единицу времени и имеющих данные
компоненты скорости vx и v± (vx - составляющая скорости,
перпендикулярная оси х), то сила, действующая на пластинку, равнаF = Sf 2mvxdj.Для dy имеет место выражение dj = vx«dw(v), где п - концентрация
частиц в сосуде, dw(v) = (a / ж)ъп exp(-arv2)dv - распределение
Максвелла (а = т/2кТ). В цилиндрических координатах
v2=v2+v\, dv = 2^dv^dvj, поэтому00	VxrllF = 2mSn(aIn)312n[v] exp(-avx)dvx J exp(-av2)2vxdvx.
о	0Очевидно, не все молекулы с данной v, попадают на пластинку, а только
те, у которых vj. < vxrll. Интегрирование дает окончательный результат:F = nkTS(\ -(1 +(г/Г)2Гш).2.12.	Скорость сосуда находится из закона сохранения импульса00	00	оОmNu = | mvxdj(v)г = J mvxSvхп<ЗМу)г = | mvxSvxndw(vx )г,
оо	огде m - масса молекулы, N - число их в сосуде, и - приобретенная сосудом
скорость, S - площадь отверстия, п - концентрация молекул в сосуде.
Пределы интегрирования указаны для проекции скорости на ось х. В силу
того, чтоdw(y) = dw(vx )dw(vy )dw(v2),а интегралы по вероятностям, связанные с проекциями скорости на ось z и
у, равны единицам, зависимость от этих координат не фигурирует в
конечном выражении.Предполагается, что отверстие открывается на столь малое время т,
что равновесное состояние газа в сосуде не изменяется. Полное число
молекул в сосуде связано с их концентрацией формулой N= nV (V- объем49
сосуда).После исключения числа частиц N для скорости сосуда получаем:Л 7 2а , ч Sx “Г Sxи = — J V.dw(v, ) = — v, =	кТ.У о	2К 2шКЗдесь использован закон равнораспределения энергии по степеням
свободы.2.13.	В соответствии с распределением Больцмана концентрация
молекул водорода и углекислого газа меняется с высотой по формулеи, = л,о exp(~iijgh/RT),где / = 1,2 (соответственно для Н2 с ц, = 2 и С02 с ц2 = 44).Изменение относительного содержания Н2 и С02 с высотой будет
определяться равенствомп\/п2 = п10/п20 ехр((ц2 - \i\)gh/RT),откуда h = RT In 2 /(р2 - )g а 4 км.2.14.	В лабораторной системе отсчета газ в центрифуге вращается как
единое целое, стало быть, имеется центростремительное ускорение, т. е.
система не находится в механическом равновесии и к ней нельзя
применить распределение Больцмана. В системе же отсчета, связанной с
центрифугой, объект исследования находится в равновесии, и к нему
можно применить указанное распределение. Но в этой системе отсчета на
частицы действует центробежная сила. Соответствующая потенциальная
энергия частицы равнаГ	Jи = -jma)2rdr = — mw2r2.Распределение Больцмана с учетом цилиндрической симметрии
имеет видdw(r) = 1 / Z exp (та)2 г2 / 2kT)2nrldr,50
где / - высота барабана центрифуги. Выражение для статистической
суммы получается из условия нормировки распределения:RZ = {ехр(та)2г2!2кТ)2лг1йг = М-^^-(exp(mco2 R2 /2кТ) - 1).
п	таВ результате для концентрации частиц получается формулаNmco2 ехр(то)2г2 / (2кТ))n(r) = Mhv(r) / (2л rldr) =2nlkT exp(mco2R2 !2кТ)-\Из формулы следует, что концентрация тяжелых частиц у боковой
стенки центрифуги относительно выше, что используется для разделения
смесей. Концентрация частиц у боковой стенки центрифуги равнаn(R) =Nmco2	12nlkT 1 - exp(-mw2R2 /2кТ)Соответствующее отношение концентраций молекул D2 и Н2 будет
пп./ин_ =mDi 1 - ехр(-/пН2 со2 R2! 2кТ)1-exp(~mDict) R /2кТ)С учетом того, что масса молекулы дейтерия в два раза тяжелее и
начальная пропорция изотопрв водорода D2 и Н2 равна (3, при отборе смеси
у боковой стенки центрифуги можно увеличить долю дейтерия:Nn. /N„_ = «п. / «н.	^г) /	— ftr\ / И и —	г- г	.2222 1 + ехр(-тНга> R /2кТ)Максимальное соотношение компонент в смеси равно04 /*Н2)шах =2Р-2.15.	Пусть для определенности спектр энергии системы
непрерывный. Распределение Гиббса для нее будетdw = \IZexp(-slkT)dr/hf,51
где dr - элемент объема фазового пространства, hf - объем этого
пространства, отвечающий одному состоянию системы (И - постоянная
Планка, / - число степеней свободы системы). Статистическая сумма Z
находится из условия нормировкиZ = 1 ехр(-е / кТ) dr / /г ЛИнтегрирование выполняется по всему доступному объему фазового
пространства.По определению, средняя энергии системы равнае = J cdw = J е ехр(-е / AF)dr I h!.Использование техники дифференцирования по параметру позволяет
получить искомую формулу:ё = 1 / Z-5(| ехр(-Е / W)dr / )/ д{-М кТ) = \ / Z-dZ / д(-\1 кТ) == кТ2д In Z/dT.Эта формула остается в силе, если спектр энергии дискретный. Она
применима также в случаях распределений Максвелла и Больцмана.2.16.	Распределение газа по высоте h определяется барометрической
формулой: n(h) = n0exp(-mgh/kT), где «о - концентрация молекул в
вершине воронки (при h = 0). Величины N и п0 связаны соотношениемN = |mi(Atga)2d/j = ittg2a п0 \h exp(-|JA)dA =о	оd2 00 d2 1
= 7itg2a n0 —T jexp(-|3A)dA = rctg2cw0 —r- = 2ntg2an{
dp2 о	dp2 Pp = mglkT./ kT'mgз гдеОтсюдаn0 = N/(2ntg2a.y(mg/klf, p0 = nJfT = N(mgf/(kT)2/(2ntg2a).
Средняя потенциальная энергия молекулы52
и = JmghdN IN = Jmghng exp(-mghIkT)x(htga)2dhIN
n= - kT/34 J Л3 exp(-/%)dA = kTp4 J exp(-/?A)dA = 3A7\2	о	2 d/? 02.17.	Полная энергия атома равна сумме кинетической и
потенциальной энергий: е = mv2/2 + и( г). Кинетическая энергия
определяется скоростью теплового движения атома, потенциальная
зависит только от его положения. Поэтому статистическая сумма
распадается на два множителя: Z = Z,Z2, где Z\ соответствует
распределению Максвелла, a Z2 - распределению Больцмана. Таким
образом, средняя энергия теплового движения атома равна ЗкТ/2. Чтобы
найти среднее значение потенциальной энергии, надо вычислить
статистическую сумму:Z2 = Jexp(-ar4 /kT)Anr2dr.
оЗдесь в качестве элемента объема рассматривается сферический слой
радиуса г и толщины dr. Интеграл в элементарных функциях не
вычисляется, но зависимость его от температуры может быть найдена. Для
этого следует сделать замену переменных t = (aJkT)wr. ТогдаZ2 = 4;r(A77a)3/4J ехр(-/4)/2 d/.оИнтеграл в выражении для Z2 является константой. ПоэтомуIn Z2 = const + 3/4 In Г.Средняя потенциальная анергия атома равнай = кТ2д In Z2 /дТ = ЗкТ/4.Среднее значение энергии атомаё = 9*77 4.53
2.18.	В соответствии с условиями задачи молярная теплоемкость при
постоянном объеме двухатомных газов на нижней температуре равна
Cv= 5RJ2. В результате реакции температура газовой смеси существенно
повышается и происходит возбуждение колебательного движения
молекул. Молярная теплоемкость при постоянном объеме двухатомных
газов становится раной Су = 1RJ2.Запишем закон сохранения энергии для рассматриваемой реакции:Слагаемые с е, (/=1-3) учитывают введение одного уровня отсчета
энергии для разных молекул (двухатомная молекула по сравнению с парой
соответствующих атомов при одной и той же температуре обладает
отрицательной энергией). Из закона сохранения энергии находится
температура газовой смеси после завершения реакции:2.19.	Статистическая сумма двумерного осциллятора вычисляется с
помощью дифференцирования по параметру а = hv/kT2(8, +е2 -2е3)А^
21ЛZ = £ ехр(-А v(n +1) / кТ)(п + 1) = £ ехр(-а(и + 1))(и + 1) =ооda о	da 1 - ехр(-а) da ехр(а) + 1ехр(а) _ ехр(й v / кТ)(ехр(а) + I)2 (ехр(й v / кТ) + I)2ОтсюдаIn Z = - 2 ln(exp(A v / кТ) + 1),и по формуле, полученной в задаче 2.15,54
_ , 2 d In Z , „, exp (Av / АГ) , exp(Av / *Г) -1e = kT 	= -hv + 2h\	—	— = Av——	-	dr	exp(Av / kT) +1 exp(Av / kT) +1= Avth|i—\
\2kT)Энергия и теплоемкость системы из N двумерных осцилляторов равны
соответственноЕ = Mjv-cth(Av/2£7), Cv = 2М (hv/2kT)2/sh\hv/2kT).2.20.	Для жесткой двухатомной молекулы вращательные
энергетические уровни имеют спектрE,~l(l +1), g,=2l + \.Здесь / - орбитальное квантовое число, g/ - кратность вырождения
уровней, /=ца2- момент инерции молекулы, ц = т\т21{т^ + т2) -
приведенная масса.Распределение Больцмана дает населенность вращательных уровней:п, = п0 ехр(-Й2/(/ +1) / 2IkT)(2l +1).Определяется экстремум этой функции:дп, /д1 = п0 ехр(-Й2/(/ + 1)/ 2ЛГ)(2 ——(21 + I)2) = 0,21кТоткуда/шзх =41кТ/П- 1/2.Расчет для условий задачи даетц= 1,15-Ю-23 г, /= 1,47-10'39 г-см2, /тах = 6.2.21.	Вероятность обнаружить систему в состоянии с той или иной
энергией определяется распределением Гиббса:55
w, = exp(-e,/kT)g,/( exp(-6o/*7)go + exp(-e,/A7)g,), / = О, 1.Средняя энергия системы по определению равнаё = е0и-0 +6^1 =е0 +Ae/(l + (g0/g1)-exp(AE/A7)).Тогда теплоемкость вычисляется по формулеСу = (де /дТ)у == Kg0 !g\) {b£/kT)2 exp(Af/Ar)/(l + (g0 /g1) exp(Af/*7’))2,т. е. Су-> 0 при Т —> 0. Энергия теплового движения мала, чтобы возбудить
состояния с энергией е(. При Т» А e/кТ Су= kgagx/(g0 + gx)2(Azl кТ)2.
В пределе Т -> ® теплоемкость также стремится к нулю. Все состояния
системы возбуждены. График зависимости теплоемкости от температуры
имеет максимум.Населенность уровня из определения вероятности равнаN, = Nw„ / = 0,1.2.22.	В магнитном поле напряженности Н молекула вещества
приобретает потенциальную энергию -ц//, где ц может иметь три
значения: ц = Цо /и, /я = 0, ±1. Соответственно магнитное триплетное
состояние распадается на три и спектр энергий имеет вид, показанный на
рисунке.	Ет + JU0 Н
	Ет	EsНамагниченность представляет собой суммарный магнитный момент
молекул единицы объема вещества:56
м= Ец,и„где ц, - проекция на направление поля магнитного момента молекулы,
находящейся на i'-ом уровне энергии; п, - концентрация таких молекул.
Величина их определяется распределением Гиббса:л( = пи/, = л / Z • ехр(-£, / кТ).Здесь л - полная концентрация молекул, Е, - энергия уровня (с учетом
расщепления статистический вес уровней равен единице); Z-
статистическая сумма. Последняя находится из условия нормировки:Z = Еехр(-£Д 7).После подстановки /?/ выражение для намагниченности преобразуется
к видум = пктд-±1.дТДля данной задачи статистическая сумма равнаZ = e\p(-Es/kT) + ехр(-(Ет - \1оН)/кТ) + ехр(-£?/*7) + exp(-(£y + ЦоН)!кТ).Путем дифференцирования Z по Н находится намагниченность:М = и|Оо(ехр(цоЯ/*7) - ехр(-Цо///А7))/(ехр(Л£/А:7) ++ ехр(р<>///£7’) + 1 + ехр(-цоЯ/Л7)).Обычно реализуются условия, при которых параметр \ioH/kT « 1. Если
провести разложение по этому параметру, то для намагниченности
получается выражениеЛ/= 2>ц102Н/кТ/(ехр(АЕ/кТ) + 3).Магнитная восприимчивость равнаX = М/Н= 2лцо2/*77(ехр(Д£/*7) + 3).Замечание. Решение задачи получено для изотропного магнетика.57
2.23. Статистическая сумма спина в поле равнаZ = ехр(ЪуПВ\ (
—— +ехр
2 кТ ,yhB) ( yhB'] ( ЗуhB\
1 + ехр —=— +ехр= ехр|^1
1 2 кТ J2кТI Унв}
1 + ехр --—кТ2 кТ)2кТ )Ы-«)= ехр(3а / 2)(1 + ехр(-а))(1 + ехр(-2а)), а =уПВ
кТ ‘ОтсюдаIn Z = — а + 1п(1 + ехр(-а)) + 1п(1 + ехр(-2а)).Находится средняя энергия спинай = кТ28 InZдТгде а == -у ЬВainzda= -уПВ12 ехр(а) + 1 ехр(2а) + 1yhB
кТ ‘3.1. Если газ не очень плотный, то при расчете частоты столкновений
следует учитывать только парные столкновения (столкновениями
одновременно более чем двух молекул можно пренебречь). При этом
молекулы в некотором приближении можно считать упругими шариками.
Если v, и Vj - скорости двух молекул, то для столкновения важны несами по себе эти скорости, а скорость относительного движения молекул:V = V + Vvij yi J'Задача решается в системе отсчета, связанной с рассматриваемой
молекулой. Все остальные молекулы движутся с относительными
скоростями и, как известно, распределены по скоростям с вероятностью,
определяемой распределением Максвелла, в которое входит приведенная
масса молекул ц.Вместо рассматриваемой молекулы можно ввести гипотетическую
частицу диаметром d= dt + dj (где d, и dj- диаметры сталкивающихся58
молекул), заменив все остальные молекулы материальными точками.
Таким образом, задача определения частоты столкновений сводится к
нахождению числа ударов о круг диаметром d частиц максвелловского
газа. Эта частота равна произведению плотности потока двумерного газа
(см. задачу 2.9) на длину окружности. Для частоты столкновений
молекулы /-го сорта с молекулами j-то сорта получаеми ,v„V/y = n(d, +dj)—— = njvu(dl + dj).Здесь Vy - средняя относительная скорость. Она вычисляется по той жеформуле, что и просто средняя скорость теплового движения молекул
двумерного газа, только с заменой массы молекулы на приведенную
массу, поскольку характер распределения молекул по скоростям один и
тот же (распределение Максвелла).Для полной частоты столкновений молекулы /'-го сорта (с
молекулами всех сортов) получаемv, = 2>;Vy(d, +dj) = v,diIrtj^1 + ц,/цу(1 + dj /d,).
j j
В случае наличия только одного сорта частиц частота столкновения
молекулы равна59
v - n-j2v2d = -Jl — v2d,s_ fnkTгде v = J	 - средняя скорость теплового движения молекулV	2тдвумерного газа.В действительности молекулы взаимодействуют не только при
непосредственном соприкосновении, но и при пролете на некотором
расстоянии друг от друга. Такой характер взаимодействия обычно
учитывается посредством введения эффективного сечения столкновения.3.2.	Будем считать, что газ только диффундирует,
концентрация будет удовлетворять уравнениюТогда егоdn/dt = DAn + Р,где А - лапласиан. В стационарном случае производная по времени равна
нулю. Задача обладает осевой симметрией. Кроме того, тело длинное и
можно не учитывать зависимость концентрации газа от координаты вдоль
оси тела. В результате уравнение упрощается и принимает видD1Аг dгdп
dг+ Р = 0,где г - радиус цилиндрическои системы координат.Решение этого уравнения должно удовлетворять граничным условиям:г = О I <Wd/l < оо,r = Rп = 0.Однократное интегрирование даетС учетом первого граничного условия постоянная А = 0 и уравнение
сводится к виду60
dn _ fir
dr~~2D'Последующее интегрирование с учетом второго граничного условия дает
распределение концентрации газа в телеи = -^-(Л2 -г2).4D3.3.	Поток тепла через толщу льда постоянный в силу
стационарности задачи и равен заданной величине q. С градиентом
температуры он связан законом Фурьеdrя = -х—,dyгде координата у направлена вверх от нижней поверхности льда.
Интегрирование этого уравнения не должно вызывать трудностей.
С учетом того, что абсолютная температура нижней поверхности льда
равна 273 К (температура замерзания воды), получаемГ - 273 = -—у.XТемпература воздуха задана. Для установившейся толщины льда получаем
формулуh = -—t°C.3.4.	По закону Фурье плотность потока теплагде коэффициент теплопроводностиХ = jwC^vX;Су - теплоемкость в расчете на одну молекулу (можно считать Су
постоянной); длина свободного пробега61
а - сечение столкновения (в первом приближении а также не зависит от
температуры); средняя скорость теплового движенияТак как задача стационарная, то поток тепла через любое сечение столба
газа остается постоянным, т. е.Интегрирование этого уравнения дает распределение температуры по
длине столба:Имеются два граничных условия: Т = Т0 при х = О и Т = Т\ при х = /.
Использование их дает возможность найти константу интегрирования и
величину q. В результате3.5.	Тепло, выделяющееся во внутреннем цилиндре, проходит через
газ (задача решается в приближении сплошной среды; после решения
может быть сделана еще оценка, подтверждающая применимость
приближения) и уходит как через боковую поверхность внешнего
цилиндра, так и через его торцевые поверхности. В случае длинных
цилиндров торцевые поверхности составляют малую часть боковой и
теплообменом через них можно пренебречь: считать, что цилиндрыv =Таким образом,2-a—Ti/2 = qx + const.3Т= (T0m + (7’,3/2 - T0myx/f)m,
q = - 2^/3 Г1/2 •(7’13/2 - T03,2)/l.62
бесконечно длинные. Поскольку задача имеет осевую симметрию, то ее
решение определяется одной единственной координатой, радиусом г.
В силу стационарности сколько тепла выделяется во внутреннем
цилиндре, столько его за то же самое время проходит через любую
поверхность, охватывающую источник тепловыделения и лежащую между
цилиндрами. Если эту поверхность выбрать в виде коаксиального
цилиндра радиуса г (гх<г< г2) и q(r) - плотность потока тепла по нормали,
тоq(r)2nrl = const = Ql(I - длина цилиндра).Для сплошной среды плотность теплового потока вычисляется по
формулеКоэффициент теплопроводности по элементарной кинетической теории
равенX = ^nCvv\.Здесь Cv = 5к/2 (колебательное движение молекул азота при
рассматриваемых температурах заморожено), v = -J&kT / пт,К = (V2mu/2)-1 - средняя длина свободного пробега. Легко видеть, что х
в первом приближении не зависит от плотности газа и пропорционален
квадратному корню из температуры:Х = ал/г, гдеа = 5/3-(к/п)3/2 m~ll2d~2.После подстановки х и q уравнение для Т примет видTuldT = -Q/(2na)dr/r.Интегрирование его, с учетом граничных условий Т= Тх при г = г, и Т= Тг
при г = г2, даетTln - ТГ = - 3Q/(4mx) 1п(г2 /г,)'.Коэффициент теплопроводности находится по формуле63
х = -Q/(2nrdT/dr) = 3QIn(r2 /r,)/(4я(Г,3'2 - T23'2))-Tu2
или приближенноXn2 *вЧг2 /г.)/(2я(71 -7’2)) = 0.9 10"4 Дж/(см с К).Для газокинетического диаметра молекулы получается выражение
d = (20k(k/nm)U2(Tl3/2 -Г23/2)/(901п(г2 /г,)))1'2.Расчет для азота даетdNl *3,7А.3.6.	Благодаря цилиндрической симметрии задачи плотность потока
тепла q не зависит от угла, она - функция только радиуса г. Поэтому
полный поток тепла через боковую поверхность произвольного цилиндра
радиуса г (r<R) равен произведению площади этой поверхности на
плотность потока тепла Inrlq. Из закона сохранения энергии в
стационарном случае полный поток тепла через боковую поверхность
равен полному теплу, которое выделяется в единицу времени внутри
выбранного цилиндра. В противном случае температура внутри цилиндра
будет изменяться. Итак,2nrlq = \РdV = 2аnl\r2dr =	;о	3откудаПо закону ФурьеВ результате для нахождения температуры получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка:64
dT ar2
dr 3%Интегрирование его при условии r = R, Т=Т0 приводит к искомому
распределению температуры в объемеT = T0+-^(R3 -г3).9х3.7.	Рассматривается стационарное течение. Цилиндрический канал
длинный, что позволяет не учитывать влияние его концов. Жидкость
несжимаемая. В результате можно считать, что имеется лишь одна
компонента скорости жидкости (обозначим ее через и), направленная
вдоль оси х. Эта компонента скорости зависит только от расстояния до оси
симметрии (радиуса г). Градиент давления постоянный, имеет
отрицательное значение. Течение ламинарное. Схема течения показана на
рисунке.В области течения выделяется цилиндрический слой жидкости между
радиусами г и г + dr. Жидкость не испытывает ускорения, поэтому
равнодействующая всех сил, действующих на жидкость в выделенном
объеме, равна нулю. Рассмотрим проекцию всех сил на ось х. По
цилиндрической поверхности радиуса г действует сила трения т2яг/|„ где
т - напряжение трения, нижний индекс указывает, на каком расстоянии
действует сила трения. По цилиндрической поверхности радиуса г + dr
сила трения действует в противоположном направлении -т.2кг1\г + йг. На
торцевые поверхности действуют силы давления. С учетом заданного
перепада давления проекция этих сил на ось х равна Aplnrdr. Балансовое65
уравнение имеет видт2яг/|г - т2яг/|г+& + Aplnrdr = 0.Сократив на 2л и разделив на /dr, получим дифференциальное уравнение:_d(rr) + Apr=0
dr /Напряжение трения для рассматриваемой задачи имеет видd игде г| - коэффициент вязкости. После подстановки т получаем
дифференциальное уравнение для скорости жидкости и:±(r*L) = -*e.r.dr v dr) т|/Для его решения имеются два граничных условия:|du/dr | < оо при г = 0 (на оси симметрии);и = 0 при г = R (условие прилипания на стенке).На оси симметрии обычно пишут условие симметрии du/dr = 0 при г = 0.
Однако, в случае осесимметричной задачи достаточно использовать
ограниченность производной. Однократное интегрирование с
использованием первого условия даетd и _ Др
dr 2т|/Последующее интегрирование с использованием второго условия дает
параболический профиль скоростиu = ^-(R2-r2).4т\1Он изображен на рисунке к задаче.Расход жидкости определяется выражениеме=|м(г)2тсг<1г = ^-Л4.о8л/66
Это формула Пуазейля, а рассмотренное течение называется течением
Пуазейля.3.8.	Пренебрежение краевыми эффектами означает, что весь момент
импульса, получаемый газом между дисками от нижнего из них,
передается верхнему диску, приводя его к повороту на угол <р. Решение
задачи оказывается различным при высоких и низких давлениях газа.
Промежуточное давление определяется из условия равенства длины
свободного пробега молекул расстоянию между дисками. Из равенства
\ = И следует, чтокТР° ' -JlhaПри низких давлениях (р «р0) молекулы газа друг с другом практически
не сталкиваются и переносят момент импульса от нижнего диска к
верхнему непосредственно. Если считать, что, ударяясь о диск, молекула
приобретает момент импульса, равный mur = miar2 (и = cor - линейная
скорость), и также вспомнить, что о единицу площади в единицу времени
ударяется riv / 4 молекул, то полный момент импульса, передаваемый от
нижнего диска верхнему, равенМ = f mar2 —rivlnrdr =— marivR4,
о 4	867
так чтоФ = twjcdhv/?4 / 8аоказывается прямо пропорциональным плотности и, следовательно,
давлению газа. Для заданных условийФ = соR*/(a v ) р = 0,015 рад.При высоких давлениях (р»ро) справедлива гипотеза локального
равновесия. Внутри газа возникают вязкие силы. На единичную площадку
в сечении, параллельном дискам, действует силаd и* = л—-где и = сог, ось координат z направлена от верхнего диска к нижнему.
Можно показать, что скорость вращения газа зависит от z линейно. На
верхнем диске она равна нулю, на нижнем - его угловой скорости со.
Поэтому т = I] cor//. Момент вязких сил, действующий на верхний диск,
равеня	.М = {Tr2urdr = ят|соЛ /(2/а),
оПоскольку коэффициент вязкости г| от давления не зависит, то и угол
поворота ф = щ(йЕ?/(21а) не меняется с давлением. Расчет для условий
задачи дает ф = 81°. Зависимость угла поворота верхнего диска от
концентрации газа качественно показана на рисунке.<Рx«hп3.9.	Размеры отверстия малы по сравнению с длиной свободного68
пробега:Молекулы пролетают через отверстие, не испытывая столкновений друг с
другом. Потоки молекул различных газов не связаны друг с другом.
Изменение числа частиц одного газа в сосуде равно разности влетающих и
вылетающих частиц этого газа. Снаружи гелий отсутствует. Поэтому
балансовое уравнение для гелия имеет вид:к^Г = "7Лне'Гне5’dt 4где иНе, vHfi - концентрация и средняя скорость атомов гелия в сосуде.
Сосуд тонкостенный, поэтому температуру гелия можно считать
постоянной и равной температуре наружного воздуха. Уравнение решается
методом разделения переменных:d^He _ _£не^^г
«Не 4КНачальное условие: ине = п0 при t = 0. Решение имеет вид:V не SпНе = /7„ ехр(—— /).4VУравнение состояния р = пкТ. Парциальное давление гелия в сосуде. v Un S чРНе = РоеХР(	ТГГ'У4VДля воздуха в балансовом уравнении необходимо учитывать как
влетающие, так и вылетающие молекулы:„ d пв 1 _	.V— = -ve5(w0 -пв).
dr 4Оно также решается методом разделения переменных при условии, что
начальная концентрация молекул воздуха в сосуде равна нулю:69
пв = л0(1 - ехр(-^-О), р„ = /?0(1 - ехр( V“'r, '))■4	V	AVСуммарное давление в сосуде определяется законом Дальтона:Р=РНе+Рв-Окончательнор = ро (1 + ехр(- f/тне) - ехр(-	т = 4 V/(Sv).70
Замураев В. П., Калинина А. П. Термодинамика и молекулярная
физика. Новосибирск: НГУ, 2007. 214 с.Сивухин Д. В. Общий курс физики: Термодинамика и молекулярная
физика. М.: Наука, 1979. 592 с.Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир, 1970. 304 с.Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и
кинетика. М.: Наука, 1977. 552 с.Базаров И. 77. Термодинамика. М.: Высш. шк., 1991. 376 с.Докторов А. Б., Бурштейн А. А. Термодинамика. Новосибирск: НГУ,
2004. 82 с.Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика.
М.: Иностр. лит., 1955.Левич В. Г. Введение в статистическую физику. М.: Гос. изд-во
техн.-теорет. лит., 1956. 528 с.Бурштейн А. И. Молекулярная физика. Новосибирск: Наука. Сиб.
отд-ние, 1986. 98 с.Замураев В. П., Калинина А. П. Задачи по термодинамике и
молекулярной физике. Новосибирск: НГУ, 2003.62 с.71
ОГЛАВЛЕНИЕЧасть 1. Термодинамика	3Часть 2. Статистическая физика	5Часть 3. Физическая кинетика	8Ответы	10Решения	13Библиографический список	71Учебное изданиеЗамураев Владимир Павлович,Калинина Анна ПавловнаЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ
Учебное пособиеРедактор Е. П. Войтенко
Подписано в печать 10.11.2008 г.Формат 60x84 1/16. Офсетная печать.Уч.-изд. л. 4,5. Усл.-печ. л. 4,1. Тираж 200 экз.Заказ № 432Редакционно-издательский центр НГУ.630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.