ш s
*2?
S иг
та «е-
sf
3
«ма!
111
$
X
Ш
ЗГ
X
s
МИНЧЕН
ЗАДАЧ И
ПО ФИЗИКЕ
С РЕШЕНИЯМИ
Издательство
^ Мир*
Москва

University of California,
Berkeley
PHYSICS PROBLEMS
With Solutions
MIN CHEN
Massachusetts Institute
of Technology
Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, New Jerse

МИНЧЕН
ЗАДАЧИ
ПО ФИЗИКЕ
С РЕШЕНИЯМИ
Перевод с английского
Ю. А. ЯНАЙТА
Под редакцией
В. И. ГРИГОРЬЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1978

УДК 53@76.1)
МЫ
Сборник задач по физике с ответами и решениями включает
около 300 задач по основным разделам современной физики —
механике, электричеству и магнетизму, оптике, теплоте и стати-
стической физике, квантовой механике, атомной и ядерной фи-
зике. Задачи предлагались студентам старших курсов Калифор-
нийского университета в Беркли в 1959—1968 гг.
Сборник предназначен для студентов, изучающих физику в
университетах, педагогических институтах и высших технических
учебных заведениях, а также для преподавателей физических
дисциплин.
Редакция литературы по физике
Original English language edition pub-
lished by Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, New Jersey, U. S. A. Copyright
© 1974 by Prentice-Hall, Inc.
68-78 © Перевод на русский язык, «Мир», 1978
-78

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Калифорнийский университет в Беркли занимает одно из
ведущих мест в системе подготовки научных кадров и проведе-
ния научных исследований в США. Курс физики в пяти томах,
известный под названием Берклеевского, подготовленный круп-
ными учеными-физиками в Беркли, переведен на русский язык
в издательстве «Наука» и пользуется популярностью среди фи-
зиков в нашей стране. Вполне вероятно, что читатели с интере-
сом встретят и выпуск сборника задач по физике, также подго-
товленного в стенах этого университета.
В настоящем сборнике приведено около 300 задач по основ-
ным разделам университетского курса физики—- механике, элек-
тричеству и магнетизму, оптике, теплоте и статистической
физике, квантовой механике, атомной и ядерной физике. В него
включено также небольшое число задач по математическим дис-
циплинам. Задачи такого типа предлагаются на вступительных
экзаменах по физике для аспирантов физического факультета
в Беркли.
Построение сборника довольно своеобразно: оно отражает
специфику письменных экзаменов по физике в университетах
США. Будущий аспирант, прежде чем приступить к выполнению
самостоятельной научно-исследовательской работы, должен по-
мимо устных экзаменов выдержать четыре письменных экзаме-
на, решив каждый раз серию задач по определенным разделам
курса физики. Именно по таким сериям и сгруппированы задачи
в данном сборнике. Естественно, что при такой подборке задач
оказалось невозможным систематизировать их по темам. Все
серии задач оценены одинаковым числом баллов (которыми ха-
рактеризуется степень трудности каждой задачи), но вряд ли
можно считать такую оценку вполне объективной. На наш
взгляд лучше решить 3—4 довольно сложных, чем 20—25 эле-
ментарных задач, с которыми вполне может справиться выпуск-
ник средней школы. Преподаватели, которые всерьез ознакомят-
ся с содержанием этого сборника, смогут получить представление
об уровне подготовки физиков в Калифорнийском универ-
ситете и о требованиях, предъявляемых к тем студентам, кото-
рые стремятся получить углубленную подготовку в одной из
областей физики.

Предисловие к русскому изданию
Автор сборника взял на себя нелегкий труд — составить от-
веты и решения ко всем задачам. Разумеется, это не обошлось
без некоторых ошибок и неточностей. Поэтому при переводе
в решения некоторых задач внесены, с любезного разрешения
автора, необходимые уточнения или даны соответствующие при-
мечания. Вполне возможно, что некоторые погрешности остались
незамеченными. Опечатки, обнаруженные при переводе амери-
канского издания сборника, устранены; обозначения ряда физи-
ческих величин заменены общепринятыми.
При решении задач можно руководствоваться общеизвест-
ным Берклеевским курсом физики в пяти томах, Фейнмановски-
ми лекциями по физике и рядом других учебных пособий,
приведенных в списке литературы в конце книги. Сборник может
оказаться полезным для студентов, изучающих физику в универ-
ситетах, педагогических институтах и высших технических учеб-
ных заведениях, а также для преподавателей физических дис-
циплин.
В. И. Григорьев, Ю. Л. Янайт

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В данный сборник включены задачи, отобранные из числа
предлагавшихся на письменных вступительных экзаменах в
аспирантуру Калифорнийского университета в Беркли в период
1959—1968 гг. Они составлены преподавателями физического
факультета в Беркли, принимавшими постоянное участие в экза-
менационных комиссиях на протяжении этих девяти лет. Такие
экзамены проводятся два раза в год. Все поступающие в аспи-
рантуру обязаны в течение двух дней пройти испытания по та-
ким разделам университетского курса физики, как механика,
электричество и магнетизм, оптика, теплота и атомная физика.
Экзамен проводится в четыре этапа, на каждый из которых от-
водится три часа. Пользоваться при этом конспектами, табли-
цами и другими источниками не разрешается. С момента утверж-
дения данного сборника к печати по существу изменилось толь-
ко одно: теперь несколько повышены требования к знанию основ
квантовой механики.
Проведение экзамена преследует две цели. С одной стороны,
он позволяет установить, необходимо ли поступающему в аспи-
рантуру дополнительное изучение определенных разделов уни-
верситетского курса физики (так называемый placement test);
с другой стороны, он служит квалификационным экзаменом
(qualification test) для получения ученой степени. Сдавшие его
успешно сразу же получают допуск к устному вступительному
экзамену. Студентам предоставлены три возможности для сдачи
письменного экзамена: один раз как «placement test» и дважды,
если это необходимо, в качестве квалификационного. Студенту,
не сдавшему экзамен повторно, может быть отказано в приеме
в аспирантуру на соискание степени доктора философии в Ка-
лифорнийском университете в Беркли.
Отобранные задачи объединены в серии подобно тому, как
это было принято на самих вступительных экзаменах. Степень
трудности каждой задачи оценивается в баллах (они помещены
в скобках рядом с номерами задач); сумма баллов в каждой
серии задач равна 100. На решение задач одной серии должно
затрачиваться не более трех часов. Чтобы настоящий сборник
принес максимальную пользу, читатели должны попытаться
вначале решать задачи самостоятельно, не обращаясь ни к при-
веденным решениям, ни к каким-либо другим руководствам.

Предисловие автора
Мы надеемся, что данный сборник задач с решениями будет
благожелательно воспринят студентами как в университете в
Беркли, так и в других университетах. Он может оказать суще-
ственную помощь при подготовке к экзамену, а в более широком
плане — в оценке своего опыта и способностей. Подготовка по
этому задачнику в обществе одного-двух друзей может даже
стать занимательным занятием.
В конце сборника приведен список литературы; в ней содер-
жатся все основные сведения, которые могут потребоваться сту-
денту в затруднительных случаях. Чаще всего, однако, наилуч-
шим пособием служит материал уже знакомого учебника.
Решения задач выполнены автором и проверены д-рами
Ч. Фонгом, Р. Кунцельманом, К. Вангом, Ч. Ф. Чэном и Чин-
фу-Цзяном. Несмотря на тщательное выполнение решений и их
проверку рецензентами, ошибки все же возможны. Автор будет
очень рад присланным замечаниям. За правильность решений
задач руководство физического факультета Калифорнийского
университета в Беркли ответственности не несет.
Автор весьма признателен профессору Эмилио Сегре за ока-
занную им поддержку и ценные советы. Он выражает также
свою благодарность рецензентам за добросовестно выполненную
ими работу и многочисленные предложения и особенно Сюзанне
за проявленное ею терпение при оформлении рукописи.
Мин Чен

I. МЕХАНИКА
ЗАДАЧИ
1.1.1 A5 баллов). Частица массой т\ и импульсом Pi
упруго сталкивается с частицей массой тг, которая первона-
чально находилась в покое.
а) Определите максимально возможный импульс частицы
гпч в лабораторной системе отсчета после столкновения.
(Используйте формулы релятивистской теории.)
б) Примените полученный результат к случаю столкнове-
ния протона, импульс которого равен отношению энергии
покоя протона к скорости света с, с неподвижным электро-
ном. Найдите численное значение максимального импуль-
са электрона в МэВ/с после столкновения.
1.1.2 A5 баллов). На гладкой ровной поверхности обыкно-
венного стола лежит тонкий однородный стержень массой m и
длиной L. На конце стержня перпендикулярно его оси действует
импульс силы F, направленный горизонтально.
а) На какое расстояние передвинется центр масс стерж-
ня за время полного своего оборота?
б) Чему равны энергии поступательного и вращательного
движений стержня и его полная ч кинетическая энергия
после воздействия импульса силы? ч
1.1.3 A5 баллов). Однородная балка массой m и длиной L
поддерживается на своих концах двумя одинаковыми пружи-
нами с жесткостью /г. Балку приводят в движение, нажимая на
один из ее концов, смещая его вниз на небольшое расстояние а
и затем освобождая. Решите задачу о движении балки, вводя
нормальные моды и частоты колебаний. Схематически изобра-
зите нормальные моды.

10 /. Механика
1.1.4 A0 баллов). Дана матрица А нз N X N действительных
элементов.
а) Пусть А — симметрическая матрица, т. е. Aij=Aji. До-
кажите, что все ее собственные значения действительны.
б) Пусть А не является симметрической матрицей; дока-
жите, что любые ее комплексные собственные значения
образуют сопряженные пары.
1.1.5 A5 баллов). В северном полушарии на широте 45° с вы-
соты h (h много меньше радиуса Земли) падает покоившееся
вначале тело массой т. В каком месте оно упадет относительно
отвеса, опущенного из исходной точки? Не забудьте указать не
только величину, но и направление смещения.
1.1.6 A5 баллов). Упругая струна длиной L подвешена меж-
ду двумя опорами. Натяжение струны Г, а ее линейная плот-
ность р. Общая масса струны M = pL. Колебания струны воз-
буждаются ударом молоточка, который сообщает небольшому
участку длиной а в середине струны поперечную скорость Vq.
Определите амплитуды первых трех низкочастотных гармоник.
1.1.7 E баллов). Твердое тело движется в воздухе с очень
большой скоростью V (превышающей среднюю скорость движе-
ния молекул воздуха). Докажите, что сила сопротивления про-
порциональна AV2, где А — площадь лобовой поверхности тела.
1.1.8 E баллов). Какой стала бы продолжительность суток
на Земле, если Земля вращалась бы с такой скоростью, что тела
на экваторе парили в невесомости?
1.1.9 E баллов). Дайте определение циклической координа-
ты. Какие преимущества она дает при решении задач?
1.2.1 A0 баллов).
а) E баллов). Покажите, что косоэрмитова матрица
(Л+=—А) может иметь только одно вещественное соб-
ственное значение, и оно равно нулю.
б) E баллов). Используя метод вычетов, вычислите
^Adx.
1.2.2 A5 баллов).
а) A0 баллов). Сколь огромную энергию пришлось бы
затратить, чтобы «разнести» всю Землю (т. е. удалить
все ее составные части на оо)?

Задачи
И
б) E баллов). Предположим, что затем произошло бы
быстрое (без потерь энергии на излучение) воссоединение
разнесенных на бесконечность этих частей Земли. Рас-
плавилась бы она? Свой ответ обоснуйте.
1.2.3 C0*баллов).
а) B0 баллов). Жесткий стержень массой т и длиной а
подвешен с обоих концов на невесомых нитях, имеющих
одинаковую длину L.
Стержень выводят из состояния покоя, прикладывая не-
большой импульс силы Р к одному из его концов в на-
правлении, перпендикулярном стержню и нити. Опреде-
лите частоты и амплитуды нормальных мод колебаний,
б) A0 баллов). Стержень находится в покое. Каково на-
тяжение одной из нитей сразу после того, как другую
мгновенно перережут?
1.2.4 B5 баллов). Частица массой т движется в поле цент-
ральной силы с потенциалом V(r) =Krz {К > 0).
а) A0 баллов). Определите кинетическую энергию и мо-
мент импульса частицы при движении ее по круговой
орбите (радиусом а).
б) E баллов). Чему равен период такого кругового
движения?
в) A0 баллов). Каков период малых радиальных коле-
баний частицы относительно г=а, если ее движение под
действием возмущений слегка отклонилось от кругового?
1.2.5 B0 баллов). Полагают, что можно получить моноэнер-
гетические фотоны высоких энергий путем рассеяния лазерного
излучения на пучке быстрых электронов, выходящих из элек-
тронного ускорителя. Выведите формулу для максимальной
энергии каждого из рассеиваемых фотонов в зависимости от
энергии фотонов лазерного излучения и энергии электронов
в пучке. Выполните численные расчеты в случае излучения

12
/. Механика
рубинового лазера, которое рассеивается на электронах с энер-
гией 20 ГэВ, получаемых от Стэнфордского линейного ускорителя.
1.3.1 A5 баллов). Шарик массой М и радиусом а скатывает-
ся без скольжения по наклонной плоскости, образующей с гори-
зонтом угол б.
а) Определите ускорение центра масс шарика.
б) Если шарик толкнуть вверх по наклонной плоскости
с начальной скоростью vOt то через какой промежуток
времени он вернется в исходную точку?
1.3.2 A5 баллов). Нестабильная частица с энергией покоя
1000 МэВ и средним временем жизни в состоянии покоя 10~8 с
распадается на мю-мезон (пг1Хс2= 100 МэВ) и нейтрино.
а) Вычислите среднюю длину распада, если частица имеет
импульс 1000 МэВ/с.
б) Какова энергия мю-мезона в последнем случае, если
он испущен под углом 15°?
1.3.3 A5 баллов). Рассмотрим две балки массами М\ и М2
и длиной L\ и Z,2, жестко прикрепленные к горизонтальному не-
весомому стержню. Концы стержня лежат на опорах; стержень
обладает крутильной жесткостью К и может вращаться только
вокруг своей продольной оси. Система совершает колебания под
действием силы тяжести. Напишите лагранжиан системы (введя
свои переменные) и найдите уравнения движения.
7V
/X
1.3.4 B5 баллов). На шероховатой плоскости, наклоненной
под углом 9 (tg в = (х, где \к — коэффициент трения как покоя,
так и скольжения), расположена частица. К частице прикрепле-

Задачи
13
на нить, проходящая через небольшое отверстие в наклонной
плоскости.
Частица
,Нить
^Отверстие
Нить очень медленно подтягивают, и можно считать, что части-
ца все время находится в почти статическом равновесии. Опре-
делите траекторию частицы на наклонной плоскости.
1.3.5 A5 баллов). Стержень массой М и длиной L свободно
падает в вертикальной плоскости, как показано на рисунке.
Опора
В начальном состоянии покоя стержень составлял с горизон-
талью угол 30°. Определите давление на ось вращения стержня
в тот момент, когда он проходит горизонтальное положение.
1.3.6 A5 баллов). Движущийся протон сталкивается с дру-
гим протоном, который первоначально находился в покое. Ка-
кой минимальной кинетической энергией должен обладать дви-
жущийся протон, чтобы стала возможной реакция р + Р =
= Р + Р + Р + Р? Масса антипротона р равна массе протона.
Представьте полученный вами результат в виде отношения ки-
нетической энергии к энергии покоя протона. Каково прибли-
женно численное значение кинетической энергии в МэВ?
1.4.1 A5 баллов). Предположим, что приливные волны на
Земле вызываются только Солнцем.

14
/. Механика
|j Пружинные
весы
а) Откуда черпается энергия, рассеиваемая во время при-
ливов, и чему равна максимальная величина этой энер-
гии?
б) Какие процессы обеспечивают сохранение суммарного
момента импульса системы?
1.4.2 E баллов). Время жизни мю-мезона составляет2• 1СН с.
Пучок мю-мезонов выходит из циклотрона со скоростью 0,8 с,
где с — скорость света. Каково должно быть
время жизни мю-мезонов в этом пучке в
лабораторной системе отсчета?
1.4.3 E баллов). На рисунке показан
блок пренебрежимо малой массы, подве-
шенный к пружинным весам. К концам
нити, переброшенной через блок, прикреп-
лены грузы массами 1 и 5 кг. Грузы дви-
жутся с ускорением под действием силы
тяжести. Какой вес покажут пружинные
весы при движении грузов — 6 кг, мень-
ше или больше?
1.4.4 E баллов). Из винтовки вылетает пуля. Если допустить
свободную отдачу (т. е. движению винтовки не противодействует
плечо стрелка), то будет ли кинетическая энергия винтовки по-
сле выстрела равна, меньше или больше кинетической энергии
пули?
1.4.5 E баллов). На рисунке заштрихованная область пред-
ставляет однородную пластину в форме буквы L. Определите
координаты х и у ее центра масс.
0 12 3 4
1.4.6 E баллов). В стакане с водой при температуре 0°С
плавает кубик льда. Лед растаял. Поднимется, упадет или оста-
нется прежним уровень воды в стакане?

Задачи
15
1.4.7 E баллов). Волчок вращается вокруг своей оси в на-
правлении, указанном на рисунке. Острие волчка упирается
в стол. По часовой стрелке или против нее прецессирует ось
волчка, если смотреть на него сверху?
1.4.8 E баллов). К концам пружины жесткостью k прикреп-
лены грузы с массами т и Ът. Чему равен период колебаний
системы?
1.4.9 E баллов). Зависимость потенциальной энергии взаи-
модействия двух частиц V от расстояния г между ними дается
выражением
где а и Ь — положительные коэффициенты. На каком расстоя-
нии г частицы находятся в статическом равновесии?
1.4.10 E баллов). Две частицы с одинаковыми массами
скреплены пружинами, как показано на рисунке. Частицы могут
свободно колебаться в продольном направлении. Изобразите
стрелками (или опишите) соотношения амплитуд и фаз колеба-
ний частиц, соответствующих двум нормальным модам.A и 2).
i
т
т
-АААААг-
1.4.11 E баллов). Предположим, что радиус Земли сократил-
ся на 1%, а масса ее осталась неизменной. Увеличится или
уменьшится ускорение свободного падения g на поверхности
Земли? Если да, то на сколько процентов?
1.4.12 E баллов). Пустая цилиндрическая консервная банка
и такая же банка, но с плотно набитым колбасным фаршем на
чинают одновременно скатываться по наклонной плоскости. Ка-
кая из банок скатится вниз первой?

16
/ Механика
1.4.13 E баллов). Цилиндрический стакан наполнен водой
до уровня 40 см. В стенке стакана имеются два одинаковых от-
верстия: одно —на высоте 10 см, а другое —на высоте 30 см.
Чему равно отношение масс воды в начальный момент времени,
вытекающей за 1 с из обоих отверстий?
30 см
1.4.14 E баллов). Длинная натянутая струна прикреплена
справа к жесткой стене. По струне слева направо распростра-
няется со скоростью 1 м/с поперечное возмущение, имеющее вид
равнобедренного треугольного импульса. В начальный момент
времени вершина этого импульса отстоит от стены на расстоя-
ние 2 м. Нарисуйте профиль струны спустя 2 с и спустя 5 с от
начала отсчета.
1.4.15 A0 баллов). Формула для кориолисовой силы имеет вид
F = — 2/жо X v.
а) В каком случае применйют эту формулу и какой смысл
имеют входящие в нее символы?
б) Река в северном полушарии течет к югу. Ширина рус-
ла реки на широте X равна W. Уровни воды на восточном
и западном берегах реки должны быть различными. Ка-
кой из них будет выше?
в) Выведите формулу для разности уровней, подробно
поясняя значение каждого используемого в ней символа.
г) Оцените весьма приближенно эту разность уровней для

Задачи
17
реки Миссисипи1). Укажите числовые данные, которые
вы приписали (пусть даже по догадке) различным пара-
метрам.
1.4.16 A0 баллов). Диск плотно насажен на вал, проходя-
щий через центр диска, причем ось симметрии диска п образует
с валом угол б.
Диск
Вал
Главный центральный момент инерции диска относительно оси
симметрии п обозначим через С, а относительно любой оси !?,
перпендикулярной п, — через А. Вал вращается в подшипниках
с постоянной угловой скоростью о). Определите величину вра-
щающего момента, действующего на подшипники.
1.5.1 A0 баллов). Брусок массой М лежит на идеально глад-
ком горизонтальном столе и посредством пружин, характеризуе-
мых жесткостью k\ и й2, связан с двумя неподвижными опорами.
а) Какова будет частота продольных колебаний бруска,
если его слегка вывести из равновесного положения? Пред-
положим, что амплитуда колебаний бруска равна Лив
тот момент, когда он проходит положение равновесия,
к нему прилипает упавший сверху груз массой т. Опре-
делите:
б) новую частоту колебаний,
в) новую амплитуду колебаний.
м
шшжжжжжшяш
1.5.2 A0 баллов). На гладком горизонтальном столе распо-
ложен клин с углом р при вершине. Масса клина равна М. На
наклонную поверхность клина помещают брусок массой т,
*) Вместо этого попытайтесь оценить разность уровней у знакомой вам
реки. О правильности ответа можно судить по сопоставлению ваших число-
вых данных с теми, что приводит автор. — Прим. ред.

18
/. Механика
который начинает скользить вниз. Трением между любыми по-
верхностями можно пренебречь. Чему равно ускорение клина от-
носительно стола (до того момента, когда брусок коснется стола)?
U
1.5.3 C балла). К краю стола, как показано на рисунке, при-
креплен блок, массой и коэффициентом трения которого можно
пренебречь. Трение на поверхности стола также можно не учи-
тывать. Через блок переброшена невесомая нить, к концам ко-
торой прикреплены два бруска массами 10 и 5 кг. Будет ли на-
тяжение нити больше, равно или меньше, чем в том случае,
когда брусок массой 5 кг приклеен к столу?
Юнг
5кг
1.5.4 C балла). Диск вращается в горизонтальной плоско-
сти вокруг своей оси. В узкую радиальную канавку, расположен-
ную на верхней поверхности диска, вставлено лезвие безопас-
ной бритвы. В каком направлении — в сторону или против вра-
щения — начнет падать лезвие, если оно будет двигаться по
направлению к центру диска?
1.5.5 C балла). Представьте себе, что радиус Земли умень-
шился на 1%, а масса ее осталась прежней. Увеличится ли,
останется прежней или уменьшится энергия вращения Земли?
Если изменится, то на сколько процентов?
1.5.6 C балла). Однородный тонкий стержень массой М и
длиной L висит на шарнире без трения. В нижней своей части,
как показано на рисунке, он связан со стеной посредством пру-

Задачи
19
жины, обладающей жесткостью к. Чему равен период колеба-
ний стержня?
м
Ш/VV
I
I
1.5.7 C балла). Два тонких стержня каждый массой М и
длиной L подвешены на шарнирах и соединены внизу пружиной
таким образом, что в состоянии покоя они находятся в вертикаль-
ном положении. Жесткость пружины равна k. Покажите стрел-
ками характер колебаний, соответствующих двум нормальным
модам. Какие частоты соответствуют этим нормальным модам?
М
м
1.5.8 C балла). Каково (с точностью до одной значащей
цифры) отношение масс Солнца и Земли?
1.5.9 C балла). Два человека одинакового веса держатся
руками за концы каната, переброшенного через блок. Оба начи-
нают подниматься по канату вверх. Один из них взбирается со
скоростью (относительно каната), вдвое превышающей скорость
другого. Трением в блоке можно пренебречь. Кто первым достиг-
нет блока: а) более быстрый, б) менее быстрый, в) оба одновре-
менно или г) ответ неоднозначен?
1.5.10 C балла). Пробка погружена в ведро с водой и удер-
живается в ней с помощью пружины, прикрепленной ко дну
ведра. Ведро держит в руке человек, находящийся в лифте. Что
произойдет с пружиной в начале спуска лифта, когда он дви
жется ускоренно: а) пружина растянется, б) сожмется или в) ее
состояние не изменится?

20 /. Механика
1.5.11 C балла). Один из спутников запущен на круговую
орбиту радиусом R. Другой — на орбиту радиусом 1,01 R. Будет
ли период обращения второго спутника больше, равен или мень-
ше периода обращения первого спутника? Если периоды обра-
щения различаются, то на сколько процентов?
1.5.12 C балла). Шарик радиусомR погружается в жидкость,
коэффициент вязкости которой равен ц. Сила сопротивления,
действующая на шарик со стороны жидкости, по закону Стокса
равна 6nr\Rv. Одновременно в жидкость погружается другой
шарик той же массы, но радиусом 2R. Чему равны отношения
а) их начальных ускорений <W#2h,
б) их установившихся скоростей Vr/v2b?
1.5.13 C балла). Частица движется в поле одной из сил,
определяемых следующими выражениями:
1) Fx = 2yz (I — 6xyz), Fy = 2xz A — Qxyz), Fz = 2xy A — 6xyz)
и
2) Fx = y2 + z2 + 2 (xy + yz + zx), Fy = x2 + z2 + 2 (xy+yz + zx\
2 2 + )
а) Для какой из них можно ввести потенциал V(x,y>г)?
б) В поле какой силы сохраняется полная (кинетическая
плюс потенциальная) энергия движущейся частицы?
1.5.14 B0 баллов). Шар радиусом г вращается вокруг своей
оси с угловой скоростью о. Ось вращения горизонтальна. Шар
падает на ровную поверхность, некоторое время вращается на
месте, а затем начинает катиться без скольжения. Коэффициент
трения равен \х.
а) Чему равна конечная скорость центра масс шара?
б) Какое расстояние пройдет шар, прежде чем устано-
вится эта скорость?
в) Вычислите конечную скорость центра масс шара для
случая большого |л, когда начальное скольжение пол-
ностью отсутствует.
1.5.15 A3 баллов). Мяч в форме эллипсоида вращения
имеет главные центральные моменты инерции /ь U и /з1)- При
броске ему случайно сообщили вращение с угловой скоростью со
под углом 9 (<90°) к большой оси мяча.
а) Определите величину и направление момента импульса
(относительно большой оси мяча).
б) Чему равна угловая скорость прецессии? (Влиянием
сопротивления воздуха и силы тяжести пренебречь.)
1.5.16 A4 баллов). Частица движется в поле центральной
силы. Рассмотрите только радиальную часть движения.
1) У эллипсоида вращения два главных центральных момента инерции
совпадают (/3 = h). — Прим. перев.

Задачи
21
а) Что представляет собой «эффективный» потенциал,
описывающий радиальную часть движения частицы? (На-
рисуйте графики этого потенциала и его составляющих.)
б) Какому условию удовлетворяет эффективный потен-
циал в случае кругового движения?
в) Вычислите угловую скорость кругового движения в
центральном поле с потенциалом V(r)=kr2/2.
1.6.1 A0 баллов). Тонкая прямоугольная пластина со сторо-
нами а и 2а вращается вокруг оси, совпадающей с одной из ее
диагоналей, с постоянной угловой скоростью со.
а) Вычислите главные центральные моменты инерции.
б) Определите момент импульса и его направление.
в) Вычислите момент, действующий на ось вращения.
1.6.2 A0 баллов). Космический корабль движется по круго-
вой орбите радиусом г0. Ракетный двигатель мгновенно увели-
чивает линейную скорость корабля на 8%. Каково расстояние
до апогея новой орбиты? Нарисуйте аккуратно новую стацио-
нарную орбиту. Постройте график одномерного эффективного
потенциала и покажите, как он изменился после сообщения ко-
раблю дополнительного импульса.
1.6.3 A0 баллов). Однородный диск массой т и радиусом а
вращается вокруг неподвижной оси. По внешней окружности
диска проходит невесомая нить, прикрепленная с одной стороны
к диску, а с другой —к пружине, противоположный конец кото-
рой закреплен неподвижно. По окружности радиусом а/2 прохо-
дит другая нить, которая через пружину связана с грузом, имею-
щим массу т. Напишите уравнения Лагранжа для диска и гру-
за. (Уравнения не решайте.)

22
/. Механика
1.6.4 A0 баллов). Груз массой т прикреплен к пружине, а
пружина — к точке подвеса. Под действием внешней силы точка
подвеса совершает вертикальное движение по закону х =
= х0 cos со/. Какова амплитуда стационарных колебаний груза
в вязкой среде, если ее сила сопротивления равна —Ьх?
т
1.6.5 A0 баллов). Сплошной однородный цилиндр радиусом
а катится без скольжения по внутренней поверхности непод-
вижного цилиндра большего радиуса R.
а) Выпишите лагранжиан для этой системы.
б) Найдите уравнение движения.
в) Определите частоту малых колебаний цилиндра около
положения устойчивого равновесия.
1.6.6 A0 баллов).
а) Определите радиус сходимости степенного ряда
оо
пп Х '
б) Используя метод вычетов, докажите следующее тож
дество:
f71 , dx = - g-«'"" cos тс,
J (x + сJ + а2 а
— oo
где а и с — действительные величины, причем а > 0.

Задачи
23
1.6.7 A0 баллов). Спутник движется по сильно вытянутой
эллиптической орбите в плоскости земного экватора. Нарисуйте
эту орбиту, отметьте положение Земли и опишите влияние не-
большого сопротивления атмосферы на траекторию спутника.
Рассмотрите особо любые изменения, которые могут возникнуть
у эксцентриситета орбиты е, периода обращения спутника Г,
большой полуоси орбиты а и расстояния кратчайшего сближе-
ния с Землей R\.
1.6.8 A0 баллов). В трубу А (см. рисунок) мощным насосом
нагнетают воду. Течение ламинарное. В трубе В скорость тече-
ния равна 20 см/с. Сечение трубы В равно 6 см2, сечение трубки
С составляет 1,0 см2. Определите разность уровней h ртутного
манометра.
1.6.9 E баллов). Три материальные точки расположены в
вершинах прямоугольного треугольника, как показано на рисун-
ке. Найдите главные моменты инерции относительно осей, про-
ходящих через точку Р, расположенную в середине гипотенузы.
Укажите ориентацию главных осей относительно одной из сто-
рон треугольника.
Зт
1.6.10 A0 баллов). Ребенок, едущий в поезде, держит за ни-
точку длиной 1 м шар, наполненный гелием. Поезд мчится со

24
/. Механика
скоростью 100 км/час по искривленному дугой пути радиусом
3 км.
а) Каков угол отклонения нити от вертикали?
б) На приведенном внизу рисунке отметьте направление
проекции нити в горизонтальной плоскости.
Траектория
поезда.
1.6.11 E баллов). Человек, изображенный на рисунке, весит
70 кг. Он сидит на перекладине и медленно поднимает себя,
подтягивая веревку, переброшенную через блок. С какой силой
он должен тянуть веревку?
1.7.1 B0 баллов). Представьте себе, что вы ритмично хлопае-
те в ладони, причем промежуток времени между двумя после-
довательными хлопками равен Т\. Каждый хлопок дает звук
в течение весьма короткого (по сравнению с Т{) интервала вре-
мени А/. В течение интервала времени Д^ звуковое давление
около вашего уха можно считать постоянным. В остальное вре-
мя оно равно нулю.
а) Покажите качественно, что дает фурье-преобразование
звука хлопка. (Для этого не нужно выполнять непосред-
ственно разложение в ряд Фурье.)
б) Представьте себе, что вместо ритмично повторяю-
щихся хлопков имеется только один хлопок длительно-
стью tsi. Как будет выглядеть качественно фурье-преобра-
зование в этом случае? Сравните его с предыдущим
результатом.

Задачи 25
В обоих случаях (а и б) требуется показать с помощью графи-
ков «спектр» Фурье, т. е. показать зависимость интенсивности
от частоты с соответствующими масштабными соотношениями,
поясняющими качественно форму спектра.
1.7.2 A0 баллов). Даны унитарная матрица 5 и матрица Г,
связанные друг с другом соотношением 5 = 1 —2iT. Покажите,
что
а) в предельном случае, когда |7г;|<С1,0, матрица Т
является эрмитовой и
б) для любой матрицы Т справедливо следующее ра-
венство:
1т«а|Г|а» = -? ({п\Т\а)J>
п
где \а) — произвольный вектор состояния в пространстве, в кото-
ром действуют операторы S и Г, а \п) представляет полный
набор таких векторов состояния.
1.7.3 A5 баллов). В кузове грузовика лежит деревянный
ящик, частично загруженный кирпичом. Дно ящика — квадрат
со стороной 1 м, масса ящика по сравнению с массой кирпича
пренебрежимо мала. Известно, что ящик начинает скользить,
если грузовик трогается с ускорением, большим чем 6 м/с2. До
какой высоты можно уложить кирпичи в ящике без опасения,
что он опрокинется при таком ускорении?
1.7.4 A5 баллов). Ящик с точными приборами поставлен на
амортизирующую прокладку для защиты от вертикальных ви-
браций.
а) Под нагрузкой прокладка сдавливается на 6 см. Чему
равен период собственных колебаний ящика?
б) Пол вибрирует с частотой 20 Гц. Каково отношение
амплитуд колебаний ящика и пола?
1.7.5 B0 баллов). Капитан небольшого судна, попавшего в
экваториальную штилевую полосу, решил прибегнуть к хитро-
сти, а именно поднять якорь массой 200 кг на верх двадцати-
метровой мачты. Масса остальной части судна равна 1000 кг,
(Радиус Земли 6400 км.) Судно придет в движение.
а) Почему?
б) В каком направлении?
в) С какой скоростью?
г) Откуда берется энергия, приводящая судно в дви-
жение?
1.7.6 B0 баллов). Кольцо массой гп\ может скользить по
стержню массой пг2 и длиной L, который на одном конце при-
креплен к неподвижному шарниру и висит вертикально. Кольцо

26 /. Механика
связано с шарниром через невесомую пружину с жесткостью k
так, что при равновесии центры масс кольца и стержня совпа-
дают. Движение происходит в вертикальной плоскости под дей-
ствием силы тяжести.
а) Составьте лагранжиан системы в координатах 9 и /?,
показанных на рисунке.
б) Получите дифференциальные уравнения движения в
координатах 8 и R.
в) Найдите одну из нормальных мод и соответствующую
ей частоту колебаний (в предположении, что амплитуда
колебаний мала).
1.8.1 A0 баллов). Покажите, что любая действительная и
всюду аналитическая функция должна быть постоянной.
1.8.2 A0 баллов). Даны вектор V и тензор Т:
(
а2/ \а2\ а22
на плоскости х\9 х2 в декартовой системе координат. Вычислите
компоненты вектора и тензора в новой системе координат, по-
лученной путем поворота старой системы на +90° вокруг оси
xi X х2.
1.8.3 B0 баллов). Докажите, что функция f(r)= e^xrfr удов-
летворяет дифференциальному уравнению
1.8.4 B0 баллов). Составьте лагранжиан и найдите уравне-
ние движения для системы, состоящей из материальной точки
массой т, расположенной на верхнем конце невесомого стержня
длиной L. Нижний конец стержня прикреплен к шарниру (тре-

Задачи
27
ние в шарнире не учитывать). Шарнир совершает вертикальные
колебания по гармоническому закону
h (t) = h0 cos со/.
Единственной степени свободы отвечает координата 6 меж-
ду стержнем и вертикалью. (Такую систему называют обращен-
ным маятником.)
Шарнир
Сила
тяжести
Поршень
1.8.5 B0 баллов). В аэропорту, расположенном на широте
экватора, имеются трое одинаковых маятниковых часов. Часы А
оставляют в аэропорту, часы В помещают в самолет, отлетаю-
щий на восток, а часы 3 — в самолет, отлетающий на запад.
Однажды точно в полдень, когда все часы показывают одно и
то же время, самолеты взлетают. Самолет J3 облетает земной
шар по экватору в восточном направлении с постоянной путе-
вой скоростью. Самолет 3 облетает земной шар в западном
направлении с той же путевой скоростью. На следующие сутки
оба самолета прибывают в аэропорт одновременно, поскольку
путевые скорости у них одинаковы. Часы А, оставленные в
аэропорту, показывают в момент прибытия самолетов точно
полдень, т. е. между взлетом и посадкой обоих самолетов про-
шло 24 ч, 0 мин и 0,00000000 с.
а) Будут ли эти трое часов по-прежнему показывать одно
и то же время? Если нет, то перечислите физические при-
чины, которые, по вашему мнению, могли бы вызвать это
расхождение.
б) Примите во внимание наиболее существенную при-
чину и определите показания часов В и 3 в тот момент,
когда часы А в аэропорту показывают полдень (после
24-часового полета). Радиус Земли можно считать рав-
ным 6000 кмт

28 /. Механика
1.8.6 B0 баллов). Согласно ньютоновской теории тяготения,
гравитационный потенциал Солнца определяется (в предполо-
жении сферической симметрии) формулой
_ GM
Ф~- —»
где G = 67'10~9 ед. СГС (гравитационная постоянная), GM =
= 1,3-1026 ед. СГС, М — масса Солнца, г — расстояние от его
центра.
а) Получите формулу для силы, действующей на ча-
стицу массой /п, удаленную от Солнца на расстояние г.
б) По Эйнштейну, ньютоновская теория требует уточне-
ния. Если ввести поправку первого порядка, то гравита-
ционный потенциал можно записать в виде
GM , A
Исходя из соображений размерностей, попытайтесь найти вы-
ражение для поправочного коэффициента А. Он должен зави-
сеть от скорости света, а также от G и М. Хорошим считается
только решение, полученное с точностью до множителя 2.
в) Оцените относительную величину поправки (к ньюто-
новскому потенциалу), приняв расстояние от Солнца до
Земли равным г — 1,5-1013 см.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1.1.1. Пусть Р3 и Р4 — импульсы частиц соответственно 1 и 2
после столкновения, а |Р4| —максимально возможный импульс
частицы массой т^ когда в системе, связанной с центром масс,
частица 1 после столкновения движется назад. При этом Рь Р3
и Р4 имеют одно и то же направление.
До столкновения После столкновения
а) |Р4| можно найти из уравнений, выражающих законы
сохранения импульса и энергии:
27 | ___ pip (О\
где
?3 =
Но удобнее использовать 4-векторы. Введем 4-векторы
/=1,2,3,4.
При этом для удобства мы приняли с= 1, а / = ^—1 . Тогда
уравнения A) и B) можно заменить одним уравнением
Pl+P2 = P* + Pi, C)
ИЛИ
Рассмотрим скалярное произведение
l 22 2 P2)-2(Pi-P4)-2(P2-P4),
которое является инвариантом, и воспользуемся следующими со-
отношениями:
Р2 = _ W2
D)
Р Р Я? + РР

30
/. Механика
где i, / = 1, 2, 3, 4. Отсюда имеем
— mf = — mf — 2m^ — 2m0^, + ^moEA + 2^,Я. — 2Р, • Р.;
1 1 2 2J1 24 14 14
это соотношение можно упростить, учитывая, что Р4 параллельно
Рь Таким образом, можно написать уравнение
1 = 0, E)
откуда получаем
Pi
При этом мы отбросили второе, тривиальное решение уравнения
E), а именно |Р4| = 0.
б) Дано
| р{ |==mi = 938,2 МэВ.
Следовательно,
?, = л/pf+Tnf = 938,2 • д/2"-
Подставляя в F) эти значения и т^ = 0,5 МэВ, находим макси-
мальный импульс электрона после столкновения:
IP | _ 2 @,5) @,5 + 938,2 У?) oqo o _
14 ' ~ @,5 + 938,2 V2"J - (938,2J ' ~
- A327)^ (938,2J 938,2= 1,4 МэВ/с.
1.1.2.
а) Пусть ^о — скорость центра масс стержня, а 0О — угловая
скорость вращения стержня относительно центра масс.
В случае импульсного воздействия справедливы следующие
уравнения движения:
F = mv0 A)
и
pL /и

Ответы и решения
31
ИЛИ
FL
2/ '
B)
где /= Gз)^(^/2J—момент инерции стержня относительно
оси, проходящей через центр масс.
Если за время t стержень совершает полный оборот, то
C)
откуда
2я
Следовательно, за время полного оборота центр стержня пере-
местится на расстояние
l
* "' т 60
Подставляя сюда выражение B), находим
_?_ jtmL2 _ jiL
~ т 3FL 3
б) Энергия поступательного движения
D)
Энергия вращательного движения
Полная кинетическая энергия стержня равна их сумме:
2F2
1.1.3. Пусть Ь — длина каждой пружины в состоянии покоя
(заметьте, что в поле силы тяжести она не совпадает с длиной
свободной пружины: Ь = Длина свободной пружины — mgl2k),
a jci, х2 и х — соответственно длины пружин 1 и 2 и высота
центра масс стержня в момент времени L

32 /. Механика
Для абсолютно жесткого стержня jci + лгд ===== 2лг. В соответствии
со вторым законом Ньютона имеем
тх = — k (xi — b) — k {x2 — b),
или
mx = — k (x\ + X2) + 2kb,
откуда
/72 tTl
Положим теперь
= x4- —в и =jc — — 6
Из уравнения
Jq = Вращающий момент
получаем
/9 = — k (x2 — о) -к- + k (х\ — о) -х-,
ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ JC2 — Х\ = L0,
Подставляя сюда / = mL2/12, получаем
ё + -^е = о. C)
Решения уравнений A) и C) записываются соответственно в
виде
- В), D)
- D), E)
где
V'W /Ж
— и со2==д/— .
Запишем начальные условия при / = 0:
i == 0 и 6 --= 0.

Ответы и решения 33
Подставляя F) в D) и (б), имеем
6
~ = 4cos5, G)
О = — Ащ sin В, (8)
-?-==CcosZ), (9)
0 = —Cco2sinD. A0)
Из (8) и A0) следует
B = D = 0, (И)
а из G) и (9) с учетом A1)
Л = 6-|- и С = -|-. A2)
После подстановки (И) и A2) в D) и (б) получаем
cos <oit, где 0! = л / — ,
х —
8 = -у- cos со2/, где (о2 ==: Л/— •
Li \ 17%
Обе нормальные моды колебаний определяются выражениями
Хх = хх + х2 = B6 — a) cos coj/, A3)
Х2 = х2 — Х\ = acosco2/. A4)
В случае Х\ = 0 имеем *2 = —дгь или моду Х2.
Если же Х2 =ш 0, то имеем х2 «в лсь или моду Х\.
hi- f-
1.1.4.
а) Матрица А — симметрическая, т. е. Ац = Ац. Мы имеем
Е^/*/ = а**; (О
2 Зак. 743

34 /. Механика
здесь if»* — собственный вектор матрицы А и а — соответствую-
щее ему собственное значение матрицы Л. Умножим A) на г|э*
слева и просуммируем по всем i:
^f = aZ^% B)
Z
Перейдем от A) к его комплексно сопряженному выражению и
умножим обе его части на % слева:
В равенстве D) \|),« и \|>/ можно поменять местами:
= а'Ь>, E)
Поскольку А — действительная матрица, то Л* = А. Более того,
если она еще и симметрическая, то A*ij = Ajt. Меняя местами
индексы / и / в левой части выражения E) и учитывая свойство
Аи = Ац, получаем
ZyiAi^t = a*Z^% F)
Сравнивая выражения B) и F), заключаем, что а = а*у т. е.
а — действительная величина.
б) Пусть а — одно из собственных значений, тогда
ЕЛЛ ^ G)
здесь Aij — элементы действительной матрицы, которая не яв-
ляется симметрической. Перейдем в G) к комплексно сопря-
женным величинам:
Отсюда следует, что а* также представляет собой собственное
значение матрицы Л.
1.1.5. В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью
со, уравнение движения записывается в виде
а = — — 2(о X v — о) X (« X R), A)
где
т /

Ответы и решения
35
— действующее ускорение свободного падения, а со = 2я/86400=
= 7- Ю-5 рад/с — угловая скорость вращения Земли. В резуль-
тате уравнение A) принимает вид
B)
В системе отсчета, показанной на рисунке, получаем
г == §у ИЛИ Vy = CLyt = gt,
ах = 2(uVy sin 45°.
Следовательно,
C)
D)
Из выражения C) имеем
А~у#2. откуда '=-\/lF
E)
F)

36
/. Механика
Подставляя выражение для t в E), находим
2со ЦТ
Тело упадет к востоку от отвеса, опущенного из исходной точки.
1.1.6. Движение струны описывается уравнением
где Т — натяжение, а р — линейная плотность струны.
M=pL
а
Начальные условия при t = 0 записываются в виде
у = 0 при всех значениях х>
Запишем общее решение уравнения A):
При / = 0 имеем у == 0. Следовательно,
i4nsin—j"A; = 0 при любом значении X.
Это справедливо только в том случае, когда все коэффициенты
Ап равны нулю:
Ап = 0 при любом значении П.
C)

Ответы и решения 37
Таким образом, из решения B) имеем
л-1
Отсюда следует
О
(L+a)/2
(L-a)/2
-IS-Vf {«-[tO -f)l—[tO +¦?)]}•
Искомые амплитуды Ви В2 и В3 первых трех низкочастот-
ных гармоник можно определить, подставляя в E) значения
п= 1, 2 и З1).
1.1.7. Число молекул воздуха, которым за промежуток вре-
мени Д/ сообщена скорость V, пропорционально ЛУД/. Следова-
тельно, полный импульс ДР этих молекул пропорционален
AV2kt. Сила сопротивления воздуха
t — д/ '
как видно из предыдущего, пропорциональна AV2.
1.1.8. Чтобы тела парили в невесомости, центробежная сила
на экваторе должна уравновешивать силу земного притяжения,
т. е.
*)
) Дальнейшее упрощение формулы E) дает
р . пл . ппа _ 2v0a / р . яя
_ . . . _ sin _.
В результате имеем
о 2t;oa ^ A?" d n i о i
я V *
— Поим, пеоев.

38 /. Механика
Подставляя сюда R = 6-106 м и g = 9,8 м/с2, получаем
откуда
= ^-ъ 1600я с « 1,5 ч.
8
Примерно такой период обращения имеют искусственные
спутники Земли на малых высотах.
1.1.9. Циклическими называются такие координаты, от кото-
рых гамильтониан не зависит в явном виде. Поскольку
то импульсы, сопряженные с циклическими координатами, яв-
ляются интегралами движения.
1.2.1.
а) Пусть а — действительное собственное значение косоэр-
митовой матрицы Л, т. е.
A$ = aty. A)
Умножая обе части равенства A) на \|)+ слева, получаем
г|)+Лг|5 = ш|)"Ч. B)
Для эрмитово-сопряженной матрицы имеем
г|з+Л+ = аф+ C)
(здесь мы воспользовались условием а* = а). Если мы умножим
обе части равенства C) на ф справа, то получим
г|)+Л+г|) = а\|)+г|). D)
Но Л+ = —Л, и D) принимает вид
г|)+Лг|) = - т|)+<ф. E)
Из B) и E) следует
а = 0. F)
б) Нам нужно вычислить
т Г sin2 х *

Ответы и решения
39
Поскольку функция sin z не определена при г = х + iy -» °°, мы
должны выразить функцию sin2 я через егх. Имеем
В верхней полуплоскости ei2z убывает экспоненциально, и, сле-
довательно, интеграл
Г \~ei2z
г2
•dz
по дуге CR обращается в нуль. Теперь можно вычислить /, за-
меняя вначале х на z и выполняя затем интегрирование вдоль
границы верхнего полукруга:
'-S-
= Re
sin2 x
J2x
2л:2
1 —<
Со
2z2
= Re {ni Выч [/ (г), 0]},
где Выч[/(г),0] — вычет подынтегральной функции в точке
z = 0. В данном случае подынтегральная функция имеет в этой
точке полюс порядка /г = 2. Таким образом,
1 —
U-0
Выч [/ (г), 0] = •
Окончательно получаем
1.2.2.
а) Будем производить эту разрушительную работу посте-
пенно, удаляя каждый раз с Земли тонкий слой толщиной dr.

40
/. Механика
Чтобы удалить такой слой на бесконечность, нужно затратить
энергию, или совершить работу, численно равную потенциальной
Шалите этот слой
на бесконечность
энергии взаимодействия этого слоя с оставшейся массой, но
взятую с обратным знаком:
<1(Работа) = — A(Потенц. эн.) = G
О)
где Мг = Dя/3) рг3 — масса, заключенная внутри сферы радиу-
сом г, dmr =—АкргЧг — масса сферического слоя толщиной
—dr и радиусом г, а р — плотность Земли. После подстановки
получаем
1 f> .0
B)
16я2
d (Работа) ж — d (Потенц. эн.) = — G —-х— p2r4 dr.
Полная работа, которую необходимо произвести, равна инте-
гралу от правой части равенства B) в пределах от г = R до
г = 0:
здесь Л1 — масса, a R — радиус Земли.
б) Предположим, что вся потенциальная энергия C/б)Х
X(GM2IR) преобразуется в тепловую. Считая теплоемкость
Земли постоянной, приходим к следующему соотношению:
D)

Ответы и решения
41
где ДГ — приращение температуры Земли вследствие поглоще-
ния ею выделенного тепла. Полагая
Cv & 0,3 кал/(г • К) = 1,2 • 103 Дж/(кг . К),
находим
4 • 10 • 6. Ю6 ~ =
5 С^
Действительно, Земля бы расплавилась.
1.2.3.
« 3 • 104 К.
а
а) Пусть 01 и 02 — углы отклонения нитей от вертикали.
Угловая скорость центра масс стержня
6(
Кинетическая энергия поступательного движения стержня равна
t = -о" ^6 == -g- L2 @1 + в2J. A)
Между углами S, 0i и 02 существует соотношение
6 = — @J — 02).
Кинетическая энергия вращательного движения записывается
в виде
где / = та2/12 — момент инерции стержни.

42 /. Механика
Потенциальная энергия (при малых углах 0! и 02) равна
0? + 0i); (З)
здесь мы воспользовались разложением функций cos0i|2 в сте-
пенной ряд. Из выражений A), B) и C) получаем выражение
для лагранжиана:
D)
где Т = Tt + Тг.
Из уравнения Лагранжа следуют два уравнения движения:
(§« + б*) + пг- & -б*) + т m?Le* - °> E)
Т (б2 + 01) + -^ @2 - §0 + 4" "*gL02 = 0. F)
Суммируя оба уравнения и вычитая одно из другого, по-
лучаем
или
mL2 (в, + в2) + mgL @, + 02) = О,
или
Решения уравнений G) и (8) можно записать в виде
Хх = в, — 02 = 2Л sin ®xt + 2А' cos о,/,
J2 = в, + 02 = 2В sin co2* + 2В' cos 02/;
здесь оI и 02 — частоты, соответствующие этим решениям:
Удовлетворяя начальным условиям 0i = 0 и 92 = 0, полу-
чаем
4' = в' = о, A1)

Ответы и решения
43
Следовательно,
Sj = A sin (u]t + В sin ®2t у
82 = — A sin щг + В sin ©^.
A2)
A3)
Начальные значения 8i и 02 при t = 0 можно найти из выраже-
ний для импульса
9, - 62), A4)
), A5)
откуда
<16>
0=_-^-. A7)
Из A2), A3), A6) и A7) определяем амплитуды нормальных
мод:
л гР зр
б) Пусть Т — натяжение нити. В соответствии со вторым
законом Ньютона имеем
tug — 1 =-7)-U, (lo)
тд
Кроме того, имеем уравнение для вращающего момента относи-
тельно точки А:
tfl
A9)

44 /. Механика
Подставляя 0 из уравнения A9) в A8), находим
T = -jmg. B0)
1.2.4.
а) В случае круговой орбиты сила притяжения —dV/dr
должна быть равна центростремительной силе:
откуда
v = г л/ЗКг = а л/З/Са. A)
При этом кинетическая энергия частицы дается выражением
а момент импульса частицы
J = mr20 = mrv = тг2 д/з^Г = та2 д/З^о", C)
где использовано соотношение 6 = v/r = v/a.
б) Зная угловую скорость 6 = ^/ЗКа, находим период кру-
гового движения
8
в) После воздействия возмущения расстояние частицы от
центра будет меняться вблизи г = а по некоторому закону
r = r(t). Запишем г в виде г = а-{-х, где х — малая величина.
Движение по х в первом приближении описывается уравнением
где
Подставляя полученные выражения для V (а) и V"(a) в D),
приходим к уравнению гармонического осциллятора
с частотой

Ответы и решения 45
1.2.5.
Введем следующие 4-векторы, условившись считать с = 1
и У = V — 1 •
Pi = (Р., /?,), Яз = (Рз, /Яз),
Из законов сохранения импульса и энергии следует
^1+^2 = ^3 + ^4, (О
ИЛИ
Р3 = Pi + Р2 — р^
После возведения в квадрат получаем
+ 2(l-cos024)?2?4.
(Замечание. Вернитесь к решению задачи 1.1.1 и обратите вни-
мание на некоторые отличия, возникшие на данном этапе ре-
шения.) Отсюда находим ?4:
Р (?i-[ Pi|cose12)?2 ,9*
п* — {Ег - | Pi | cos 814) + A - cos 824) E2 • W
При энергии электронов 20 ГэВ величина me ничтожно мала по
сравнению с Ей следовательно, Е\ « IP^. Чтобы получить мак-
симальную величину ?4, следует принять cos0i2 = —1,
cos6h= 1 и cos 624 = —1. При этом вектор Р4 по направлению
совпадает с Pi и противоположен Р2.
До рассеяния После рассеяния
Из B) следует
т. е. энергия рассеянного фотона почти совпадает с энергией
*) Для фотонов Ег=\Фг\ и ?*4 = |Р41. В дальнейших формулах 012
обозначает угол между направлениями импульсов электрона и фотона до
рассеяния, 0i4—угол между направлениями импульсов налетающего электрона
и рассеянного фотона, 024 — угол рассеяния фотона. Приводимый в данной
задаче рисунок поясняет рассеяние фотонов на встречном пучке быстрых элек-
тронов, когда 012 = 024=як014 = Q.— Прим. перев.

46
/. Механика
встречного электрона
1.3.1.
Mff
а) Пусть Р — положение мгновенного центра вращения ша-
рика на наклонной плоскости в момент времени /. Вращение ша-
рика относительно этого центра описывается уравнением
-Afgasin6 = /0e, A)
где /,0 — момент инерции шарика относительно оси, проходящей
через точку Р. Согласно теореме о параллельных осях1), имеем
/„ = -| Ма2 + Ma2 = - Ма\
Следовательно, ускорение центра масс шарика равно
х = aQ = — у g sin 6.
B)
б) Из закона сохранения энергии следует, что в исходной
точке шарик должен обладать той же скоростью и0> с которой
его толкнули, но противоположно направленной. Для движения
с постоянным ускорением
Vf = Vi + xt9 C)
где Vi и Vf — начальная и конечная скорости соответственно.
Подставляя сюда у/=—vOi ^ = о0 и х= — E/7)gsm6, получаем
2t>o = f gt sin 6, D)
' = 5g sin 6 ' E)
1.3.2.
а) Частица имеет массу покоя т0 = 1000 МэВ/с2 и обладает
импульсом Р= 1000 МэВ/с. Скорость частицы равна2)
а = _Р?1=1ооо_с=: с
me2 V2 -1000 V2 V ;
откуда
1) Она называется также ^теоремой Штейнера. — Прим. перев.
2) В формуле A) т = у2 т0. Это следует из релятивистского соотно-
2 <уР2с2 + niQC4 . — Прим. перев.
шения тс

Ответы и решения
47
Найдем среднее время жизни частицы:
f=(l — p2)-1/2r0 = -~-r0 = V2'- 10~8c. B)
Следовательно, средняя длина распада частицы равна
5 = yf=300cM.
б) Введем 4-векторы:
В соответствии с законом сохранения энергии и импульса имеем
Pv^Px — P»- D)
Возведем обе части уравнения D) в квадрат:
или
Подставляя известные значения ?х, |Рц|, тц и тх, получаем
2000 V2" ?ц - 2000 | Р^ | cos 15° = 10002 + 1002.
При столь высокой энергии мю-мезона членом т2 можно пре-
небречь и положить Еп « Рд. Таким образом,
? ^ 500 « 1ЮО МэВ.
* V2~cosl5°
Более подробно об операциях с 4-векторами см. в задаче 1.1.1.
1.3.3. Пусть 0i и 02 — углы отклонения каждого из стерж-
ней от вертикали. Моменты инерции стержней равны
а сумма кинетических энергий
т=I ле2 +1 /2в1 = 1 M!L?e? +1 м2ьЩ.
$ & \j p
A)
B)

48 I. Механика
Потенциальная энергия всей системы
V = МхёЦ- A - cos60 + M2gif{\ - cos92) +-?(9i - W- C)
Лагранжиан системы записывается в виде
2 = Т - V = -§* м^ +1 |1
^ - cos6i) ~ ^^2g(l ~ cos92) - §(9I - 62J«
« ~ ^Ti^i©? +1 Af2Li6f -1 Al,L,ffef - \ M2L2gQi - ¦?.(91 - 92J
D)
(при этом мы произвели разложение cos 9i и cos 9г в степенной
ряд). Из выражения D) находим
dtKdBiJ 3
ML8
После подстановки этих выражений в уравнение Лагранжа по-
лучаем следующие уравнения движения:
+ у Af,L,g8, + /С (9, - 92) = О,
-K(Qi- 62) = О,
или
кг F)
2L202 + 3g92 - -g- @, - 92) = 0.
Положим 0i = Аеш и 02 = Веш. Тогда уравнения F) при-
нимают вид
+ ^ (А - В) = 0,
лк G)
- -|^- (Л - Б) = 0.

Ответы и решения
49
Преобразуем эти уравнения к виду
Чтобы уравнения (8) не противоречили одно другому, должно
выполняться следующее условие:
откуда
(- 2L,co* + 3^ + ^) (- 2^ + 3^ +
- О,
ИЛИ
Уравнение A0) можно решить и определить частоты соь «2,
соз и @4!). Подставляя найденные частоты со;- (/=1, 2, 3, 4)
в уравнения (8), можно получить соответствующие этим часто-
там соотношения амплитуд Aj и В;-. Таким образом, общее ре-
шение системы F) записывается в виде
и 02=
1.3.4. Введем три единичных вектора: xi — в направлении
кратчайшего спуска по наклонной плоскости, Si — в направлении
J) Нужно не забывать, что в системе с двумя степенями свободы воз-
можны колебания только с двумя частотами. Из уравнения A0) следуют че-
тыре значения частоты. Два из них положительны, а два других отличаются
от последних только знаком. В данной задаче им соответствуют синфазные
(со;;) и противофазные (со^ > ы2с) колебания. — Прим. перед.

50 /. Механика
касательной к траектории частицы и ti — вдоль нити по направ-
лению к отверстию (см. рисунок).
Условие квазистатического равновесия частицы, когда она
едва движется, записывается в виде
здесь F/ — сила трения, действующая на частицу со стороны пло-
скости и всегда противоположная направлению движения, а Т —
натяжение нити. По определению F/=—\iFns\. Подставляя сюда
Fn = mg cos Q и (x==tg0, получаем
Ff = — mg sin 0 St.
Теперь уравнение A) принимает вид
Т + mg sin 0 X! = mg sin 0 Sj. B)
Возведем обе части уравнения B) в квадрат:
Т2 + m2g2 sin2 0 + 2Tmg sin 0 (t, • x{) = m2g2 sin2 0.
После упрощения получаем
T(T + 2mg sin 0 cos 6) = 0, C)
где cos 6=(ti-xi).
Если частица находится выше отверстия, т. е. когда
(Х^б^у и 0 ^ cos 6^1,
то из уравнения C) следует, что Т ^ 0. Таким образом, по-
скольку натяжение нити Т не может быть отрицательным, при-
нимаем Г= 0.
Если же частица находится ниже отверстия, т. е. когда
;я и -I<cos6<0?

Ответы и решения
51
то натяжениеТ оказывается положительным:
Т = — 2mg sin Э cos 6 > 0.
Траекторию частицы определяет результирующая сила
F = Т + mg sin Э xi = mg sin 9 (x! — 2 cos 6 ti) =
= mg sin Э [Xi + 2 cos 6 (sin б yx — cos 6 x{)] =
= mg sin Э [1 — 2 cos2 6) x{ + 2 cos 6 sin б yj ==
= mg sin 8 cos 26 (— x{ + tg 26 yx).
Направление yi показано на рисунке, приведенном ниже.
А
D)
х
(mg
Траекторию частицы можно построить следующим образом. На
участке от А до В натяжение нити бесконечно мало (но поло-
жительно) и частица просто соскальзывает вниз по наклонной
плоскости. Пусть б ^ я/2; из D) мы получаем уравнение
dy + ол 2 sin 6 cos 6 2xy
dx ^ cos2 6 — sin2 6 x2 — y2 '
E)
где
х = г cos (я — 6) = — г cos б и у = г sin (я — 6) = г sin б.
Это уравнение можно преобразовать к виду
{х2 — у2) dy — 2ху dx = 0. F)
Оно имеет следующее решение:
?+у = С, или x2+(V_^J==?.> G)
где С — постоянная, определяемая из условия С=у=ВР при
0

52 /. Механика
Таким образом, траектория частицы между точками В и Р,
описываемая уравнением G), представляет собой полуокруж-
ность радиусом С/2 с центром в точке х=0, у=С/2.
1.3.5. Пусть Ру — вертикальная составляющая реакции опо-
ры. Сила, действующая на опору по вертикали, равна — Ру.
Когда стержень проходит горизонтальное положение, он обла-
дает кинетической энергией /02/2, которая соответствует разно-
сти потенциальных энергий стержня в начальном и конечном
состояниях:
здесь / — момент инерции стержня относительно оси вращения.
Для однородного стержня, закрепленного на одном конце, /=
=ML2/3. Следовательно,
Ордината центра масс стержня у= (L/2)sin0, и мы имеем
и у = ~к L(d cos 0 — 02 sin 0).
Стержень Т
I Ось
т вращения
Щ
Уравнение движения центра масс стержня имеет вид
Mg - Ру = My = ~ ML (ё cos 9 — б2 sin 6). B)
При горизонтальном положении стержня б2sin 0^=0. Вращатель-
ное движение стержня относительно центра масс описывается
уравнением
Подставляя сюда /ц. M=ML2/l2, получаем
PycosQ =^MLQ. C)
Подставляя 0 нз выражения C) в уравнение B), получаем
откуда
Р,-Ъ D)

Ответы и решения
Величина —Ру представляет собой составляющую силы, дейст-
вующую вертикально вниз на ось вращения стержня. Реакцию
опоры Рх можно найти из условия, что Рх должна быть равна
центростремительной силе, действующей на стержень. В момент
времени, когда стержень проходит горизонтальное положение,
L
Рх = J *L *е2 dx = \ MLQ2. E)
о
Подставляя сюда выражение для 82 из A), находим
Сила — Рх направлена так, что она стремится сдвинуть ось вра-
щения стержня влево.
1.3.6. Пороговое значение энергии движущегося протона
определяется выражением
гпор = дмA+^ + 4|). A)
В случае реакции
Р + Р->Р + Р + Р + Р
имеем
ДЛ1 = 2/Пр и mi = m2 = //Xp.
Следовательно,
^поР = 6тр = 5,62 ГэВ.
Замечание. Вывод формулы A) см. в книге: /. D. Jackson,
Classical Electrodynamics, стр. 397—400 1). Другой подход см. в
решении задачи IV. 11.7, разд. «Атомная физика и квантовая
механика» настоящего сборника.
1.4.1.
а) Приливные волны совершают работу за счет энергии вра-
щения Земли. Максимальная энергия, которую могут рассеять
приливные волны, равна кинетической энергии вращения Земли
/со2/2, где / — момент инерции Земли, а со — угловая скорость
ее вращения.
б) Рассечем мысленно Землю пополам плоскостью, перпен-
дикулярной плоскости земной орбиты и проходящей через цент-
ры Солнца и Земли. Поскольку форма Земли несколько отли-
чается от шарообразной, одна из ее половин окажется несколько
ближе к Солнцу, чем другая. Поэтому в соответствии с законом
*) См. перевод: Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир»,
М., 1965, стр. 435—439. — Прим. перев.

54 /. Механика
обратных квадратов она будет притягиваться к Солнцу сильнее,
чем другая половина.
Пусть и и г2— радиус-векторы, определяющие положения
центров масс двух половин Земли относительно Солнца, Fj и
F2 — силы притяжения рассматриваемых половин Земли Солн-
цем и Го — радиус-вектор, определяющий положение центра
масс первой половины относительно центра масс Земли. Таким
образом, мы имеем !)
г, = г + г0 и г2 = г — г0.
Вращающий момент, действующий на Землю со стороны Солн-
ца, приблизительно равен нулю, и можно записать
^C + rXF. A)
Здесь этот момент мы представили в виде суммы момента пары
сил C=r0X(Fi — F2) относительно центра масс Земли и мо-
мента силы F, приложенной к центру масс Земли, относительно
Солнца. Момент пары С уменьшает угловую скорость вращения
Земли, в то время как момент г X F увеличивает орбитальный
момент Земли L0P6. С увеличением последнего возрастает ра-
диус земной орбиты, а также период обращения Земли (в соот-
ветствии с законом Кеплера ы2г3=4л2г3/Т2 = const). Сохране-
ние суммарного момента импульса наглядно видно из уравнения
A): уменьшение момента, связанного с суточным вращением
Земли, приводит к немедленному возрастанию орбитального
момента Земли на ту же самую величину.
1.4.2. Среднее время жизни = 2 • 1(Г6/лЛ — @,8J = 3 • КГ6 с.
1.4.3. Меньше.
1.4.4. Меньше.
1.4.5. х=1,5иу=1.
1.4.6. Останется прежним.
1.4.7. Из векторного соотношения между моментом внешней
силы М, угловой скоростью прецессии Q и собственным момен-
том импульса L волчка
следует, что вектор Q направлен вверх, поэтому ось волчка
прецессирует против часовой стрелки.
') Радиус-вектор г определяет положение центра масс Земли относитель-
но центра Солнца. — Прим. перев.

Ответы и решения 55
1.4.8. Приведенная масса системы равна
3-1 з
Следовательно, период колебаний равен
1.4.9. При статическом равновесии
dV ( dV \
-gf = 0 (поскольку F = jf).
Таким образом,
откуда
г = —
1.4.10.
а) <- ~-> или -> < колебания в противофазе (мода 1);
б) <— <- или ~> -> — колебания в фазе (мода 2).
1.4.11. Поскольку g=GM/R2y то &g/g — -2&R/R. Следова-
тельно, уменьшение радиуса Земли на 1% привело бы к увели-
чению ускорения свободного падения g на 2%.
1.4.12. Пусть Р — мгновенная ось вращения банки в момент
времени /. Запишем уравнение вращательного движения отно-
сительно Р:
/ё = Mk2Q = MgR sin 9, или k2Q = gR sin 6,
где / — момент инерции банки относительно оси Р, a k2—квад-
рат радиуса инерции банки. Для пустой банки
а для заполненной
Отсюда видно, что k\ > kj, и, следовательно, §2 > 9|. Запол-
ненная банка скатится первой.
1.4.13.
Скорость потока из нижн. отв. у Pi
Скорость потока из верхн. отв.

56
/. Механика
здесь Pi — давление воды у нижнего отверстия, а Р«—у верх-
него отверстия.
1.4.14.
Спустя 2 с
Спустя 5 с
I
I
1.4.15. Кориолисова сила
F = —
X v.
а) Она действует на частицу массой т, за которой наблю-
дают в системе координат, вращающейся с угловой скоростью©
относительно инерциальной системы; v — скорость этой частицы
во вращающейся системе координат.
б) Кориолисова сила направлена на запад. Поэтому уровень
воды на западном берегу выше, чем на восточном.
в)
14
И
Зипид -* —
Поскольку | со X v | = сои sin А,, то
2соа sin %
Вооток
Разность уровней
A)
B)

Ответы и решения 57
здесь v — скорость течения воды, X— географическая широта,
со— угловая скорость вращения Земли, W — ширина реки, g—
ускорение свободного падения на поверхности Земли.
г) v = 8 км/ч «2,2- 102 см/с; X = 30°, sin*, = 0,5; со--=2л;/Г =
= 7,3 • 10 рад/с (Г = 86 400 с); W « 4 км = 4 • 105 см; g »
» 103 см/с2.
Подставляя эти значения в формулу B), получаем
Я = 2Ww^-== 2 D- 105)G,3.10")B,2.102H,5-10»6,4см.
1.4.16.
Как показано на рисунке, единичный вектор п направлен
вдоль оси диска, вектор п' перпендикулярен вектору п и лежит
в плоскости рисунка, а вектор ги перпендикулярен плоскости
рисунка. Угловую скорость со можно разложить на две состав-
ляющие по направлениям п и п':
(о = псо cos б + n'co sin б. A)
Момент импульса диска записывается в виде
М = nCco cos б + п'Лсо sin б. B)
Уравнение движения диска в системе координат, вращающейся
с угловой скоростью (о, имеет вид
Вращающий момент = [^ ) =* <о X М + -^, C)
где производная (d/dt)o относится к лабораторной системе, а
d/dt — к вращающейся системе координат. Поскольку во вра-
щающейся вместе с диском системе координат диск неподвижен,
то второй член в правой части уравнения C) равен нулю. Сле-
довательно,
Вращающий момент = tii (Лео2 sin б cos б — Ceo2 sin б cos б) =
= П! (Л — С) со2 sin 6 cos б,
где ni= n Хп;.

58
/. Механика
1.5.1.
а) Пусть х — расстояние, на которое брусок смещается отно-
сительно положения равновесия. Из уравнения движения
Mx + (k{ + k2)x = 0 A)
определяем частоту колебаний
со
=V]
М
B)
б) Новая система, масса которой равна М + т, имеет часто-
ту колебаний
«=л/Ш- C)
в) Пусть Vi — скорость бруска, с которой он проходит поло-
жение равновесия. В соответствии с законом сохранения энер-
гии имеем
= ±(kl + k,)A\ D)
где А — амплитуда колебаний. Запишем закон сохранения
импульса
Mvt = (М + т) Vf, E)
где Vf — скорость бруска с прилипшим к нему грузом т. Выра-
зим переход кинетической энергии в потенциальную в виде
Исключая из уравнений D) — F) V{ и vfi находим соотношение
между новой амплитудой колебаний В и амплитудой Л:
1.5.2.
а: -*
Пусть N — нормальная сила реакции, действующая на массу
m со стороны клина. Уравнение движения бруска массой т

Ответы и решения 59
в направлении у записывается в виде
my = mg — iVcosp, A)
а в направлении х
mx = N sin p. B)
Уравнение движения клина массой М в направлении х имеет
вид
М = —Wsinp. C)
Поскольку брусок движется по клину, мы можем написать сле-
дующее уравнение связи:
r-V = tgp. D)
х — X
Из уравнений B) и C) имеем
Подставляя N из уравнения B) в A) и учитывая E), получаем
my = mg + MX ctg p. F)
Подставляя х из E) в D), находим
Х—-У i+M/m * G)
Наконец, исключая у в G) с помощью F), получаем ускорение
клина относительно стола
v_ fng ctg р
М + т + М ctg2 р #
1.5.3. Натяжение нити меньше, чем в случае, когда брусок
массой 5 кг приклеен к столу.
1.5.4. Кориолисова сила —2mco X v действует в направлении
линейной скорости, с которой вращается диск. Следовательно,
лезвие падает по направлению вращения диска.
1.5.5. Поскольку должен выполняться закон сохранения мо-
мента импульса, мы имеем
/ = /0 = const. A)
Так как момент инерции / пропорционален /?2, уравнение A)
принимает вид
#2в = const,
или
2if+-f=0-

60
/. Механика
Следовательно, сокращение радиуса Земли на 1% приведет
к увеличению 9 на 2%. Поскольку энергия вращения Земли про-
порциональна 9:
1 вр 2 2 '
то она также увеличится на 2%.
1.5.6. Обозначим через 9 угол отклонения стержня от верти-
кали. Уравнение движения стержня записывается следующим
образом:
/9 = —(Mg sin 9) -у — kL sin 9.
При малых углах отклонения 9 (sin 9^9) оно принимает вид
После подстановки выражения для момента инерции стержня
I=ML2/3 имеем
Отсюда получаем частоту колебаний
С0 = Л/17
ML
и период
1.5.7.
ML
М
М
а) Синфазные
колебания
1—ЧЖ—'
6) Противофазные
колебания
В случае малых отклонений уравнения движения стержней
записываются в виде
6 + MgQ ±
= 0.

Ответы и решения 61
Соответствующие частоты колебаний равны
ML •
1.5.8. Отношение масс Солнца и Земли равно 3-Ю5.
1.5.9. в) Оба одновременно.
1.5.10. б) Пружина сожмется. Деформация пружины описы-
вается выражением
d ~ (Рвода ~ Рпробка) * ОбъвМ • g^.
Когда лифт спускается с ускорением, то ?эфф становится меньше
и пружина сокращается.
1.5.11. Квадрат периода обращения спутника пропорциона-
лен кубу радиуса его орбиты. Следовательно, период обращения
второго спутника на 1,5% больше первого.
1.5.12.
а) В начальный момент времени t=0 имеем v=0\ поэтому1)
1
б) В случае двух шариков с одинаковыми массами устано-
вившаяся скорость обратно пропорциональна силе сопротивле-
ния среды. Следовательно,
1.5.13. а) Обе силы удовлетворяют условиям
dFx dFy
-W==~dT и т- д-
Следовательно, для них можно ввести потенциалы
Vx = - 2хуг + Ъх2у2г2 + const
и
V2 = - (ху2 + ух2 + xz2 + zx2 + yz2 + zy2 + 2xyz) + const,
б) Полная энергия сохраняется в поле обеих сил.
1.5.14. Запишем уравнение движения шара в направлении х:
или x = \ig. A)
*) Автор пренебрегает подъемной силой (силой Архимеда), которая в от-
личие от силы тяжести не одинакова для обоих шариков. С учетом этой силы
отношения clrIuzr и Vr/v2r должны быть больше 1 и 2 соответственно.—
Прим. не рев.

62 /. Механика
Вращение шара вокруг его оси описывается уравнением
/в = - \imgr, B)
где /=2mr2/5 — момент инерции шара.
Интегрируя уравнения A) и B), получаем
* = Vgt, C)
ё = --*М/ + со. D)
Пусть, начиная с момента t=tu шар катится без скольжения:
гё = *. E)
Подставляя это условие в уравнения C) и D), получаем
откуда
а) Конечную скорость движения центра масс шара находим
из уравнения C), подставляя в него выражение F) для t\t
*ц.м = 1*#1=яУ©Г. G)
б) Прежде чем установится эта скорость, шар пройдет рас-
:тояние
ог \2 2соV2
)
в) При движении без скольжения момент внешних сил равен
яулю, поэтому должен выполняться закон сохранения момента
импульса
/o@ = /(of, (8)
где /0 = 2mr2/5, а / — момент инерции шара относительно мгно-
венной оси: /=/о + тг2=7тг2/5. Таким образом,
2со
cof= —,
и конечная скорость движения центра масс шара равна
2сог
что совпадает с полученной ранее скоростью [см. выражение G)].

Ответы и решения
63
1.5.15.
а) Момент импульса равен
J = /jcojf + /2co2j + 4й>зк =
= /i© sin 0 i + /3co cos 0 k.
A)
Здесь со = л/с°1 + <*>? + ©з, /i > /з, к — направляющий вектор
вдоль оси симметрии эллипсоида.
б) Частота прецессии определяется по формуле
со (Л — /з) cos 6
сор= Ti ,
B)
которая непосредственно следует из динамических уравнений
Эйлера.
1.5.16.
а) Эффективный потенциал определяют следующим образом:
На рисунке показана зависимость эффективного потенциала от
г для конкретного случая, когда V{r)=kr2/2,
б) Круговое движение имеет место при равенстве полной
энергии Е минимальному значению ?/Эфф. Радиус орбиты R мож-
но найти из уравнения
dr
r-R
= 0.

64
/. Механика
в) Если V{r)=kr2/2, то
'эфф:
Условие минимума ?/эфф записывается в виде
откуда находим (v/RJ=k/m. Следовательно, угловая скорость
кругового движения равна У/г/т.
1.6.1.
а) Моменты инерции относительно главных центральных
осей 1Х и 1У вычисляются непосредственно:
1
1
B)
Момент инерции /2 для тонкой пластины равен сумме 1Х и 1У:
i = -ттг таг.
C)
б) Пусть i, j и к — единичные векторы вдоль осей х, у и z
соответственно. Вектор момента импульса L (а также вектор
угловой скорости со) не совпадает ни с одной из главных осей,
но располагается в плоскости #, у. Его величина и направление
даются выражением
L = У
= i/*<«>cos *
уЮ sin б
= i4ma2cos6 + f4
D)

Ответы и решения 65
Здесь 1Х и 1У заменены выражениями A) и B) соответственно.
Отметим, что в этой формуле б — угол между векторами со и L
в) На ось вращения действует момент
"-(*)„• <5>
где (dL/dt)o — производная по времени вектора L в инерциаль-
ной системе отсчета. В общем случае
Во вращающейся с телом системе отсчета первый член в правой
части уравнения F) обращается в нуль. Следовательно,
N = <о X L = (-i- maVsin6 cos б — -~- ma2co2 sin б cos 6) k =
= -г ma2®2 sin б cos б к.
1.6.2. Космический корабль движется по круговой орбите
радиусом г0. При этом центробежная сила инерции должна урав-
новешивать силу притяжения, действующую по закону обратных
квадратов:
тГоё2 = 4-- A)
Следовательно, момент импульса корабля
/0 = тЭго = л/mkrQ. B)
Возрастание линейной скорости корабля на 8% вызывает увели-
чение момента импульса также на 8%. Таким образом, / =
= 1,О8/о. Дифференциальное уравнение движения корабля
имеет вид
d2u . km ,~ч
где и = 1/г.
Это уравнение имеет следующее решение:
_ 1 1 м.
м
и ~ km/J2 + A cos 9 ' (q>
где А — постоянная. Используя начальное условие r=ro=Jl/km
при Э = 0, можно определить А:
д
Следовательно,
Го Л Го L V /
г —ГЛ
Л
0,86+ 0,14 cos 6 '
3 Зак. 743

66
/. Механика
Отсюда находим, что расстояние до апогея равно 1,40г0.
Энергия системы
V=1,08v0
Новая орбита
*- Г
'/2mrz-k/r
1,4гс
Другое решение. Пусть V и R — скорость корабля и расстоя-
ние до него в апогее. В соответствии с законом сохранения мо-
мента импульса и энергии имеем
= mVR, G)
k \ — > k
r0 2 R
1 9
y/ntr
(8)
Из уравнений G) и (8) находим
R==
Подставляя сюда выражение для k/r0 из равенства A), т. е.
-j- = mv% A0)
получаем R ж 1,4г0.
1.6.3. Пусть Ь\ и Ь2 — первоначальные длины пружин 1 и 2,
когда вся система находится в равновесии, и диск не вращает-
ся. При повороте диска на угол 8 от положения равновесия
пружина 1 растягивается на длину х\ = ав. Если при этом
растягивается и пружина 2 на длину х2, то груз опускается
на длину Хз = а9/2 + Х2- Кинетическая энергия системы Т равна
сумме кинетической энергии диска Гд и кинетической энергии
груза Ггр:
'"> maW Aч
B)
т -- _iyj —
Д 2
ab

Ответы и решения
Потенциальная энергия системы
C)
Составляем функцию Лагранжа
(Ьг+хг)
Уравнения Лагранжа записываются в виде
d
dt \ дх2
|——- = 0 и
длг2
— Ji±-==O.
D)
E)
Подставляя выражение для лагранжиана D) в эти уравнения,
мы непосредственно получаем два уравнения движения.
1.6.4. Обозначим через х смещение груза от положения рав-
новесия в момент времени t. При этом пружина растягивается

68
/. Механика
на длину х — хоеш. Уравнение движения груза записывается
в виде
тх + Ьх + kx =
Оно имеет частное (стационарное) решение
kx0
- wco2J + Ь2а>2
cos (со/ — 6),
где
ls ~ "~ k - mco2 '
Амплитуда стационарного движения, установившегося по про-
шествии достаточно длительного времени, равна
kx0
— таJJ
I. 6.5.
а) Кинетическую энергию цилиндра можно представить в ви-
де суммы энергии поступательного движения центра масс ци-
линдра и энергии вращения его относительно центра масс. Обо-
значим через 6 угловую скорость вращения цилиндра. Кинетиче-
скую энергию цилиндра можно записать в виде
1*1
T = -jI0Q2 +-^т{Я— аJ62, A)
где для сплошного цилиндра /0 = та2/2. При движении без
скольжения aQ = (R — а)8. Следовательно, выражение A) при-
нимает вид
4 2 4
Потенциальная энергия цилиндра равна
V«=-(fl-a)mgcos6 A/= 0 при 6 = 90°).
C)

Ответы и решения 69
Составляем функцию Лагранжа
2> = T-V = jm{R-aL2 + mg{R-a)cos6. D)
б) Подставляя выражение D) в уравнение Лагранжа, полу-
чаем уравнение движения
в) В случае малых колебаний sin б « б, и уравнение E) за-
писывается в виде
откуда получаем
со
""Л/ 3(/?-а) '
1.6.6.
а) Чтобы определить значения л;, при которых заданный ряд
сходится, можно использовать следующий признак сходимости:
если для любого бесконечного ряда модуль отношения п-го чле-
на ряда к (п— 1)-му члену имеет предел А < 1, то такой ряд
сходится. Мы имеем
R = ап = п\хп(п- \)п~х = пх(п-\)п~х
~~ ап-х ~ nn(n- \)\xn~x ~ пп
= ^1--J Х-»- При П->оо. A)
Следовательно, при |*|<е ряд сходится абсолютно. В случае
х=— е знаки членов ряда чередуются, члены ряда монотонно
убывают по величине и я-й член в пределе стремится к нулю.
Поэтому при х = —е ряд сходится х). В случае х = е применим
асимптотическую формулу Стирлинга
Таким образом, из выражения A) имеем
и ряд при х=е, согласно признаку Раабе, расходится.
4) Согласно теореме Лейбница о сходимости знакопеременного ряда. -
Прим. перев.

70 /. Механика
б) Преобразуем заданный нам интеграл следующим образом:
еШх
cosmx
, D Г
pitnz -л
2 + cJ + a2 dz\ {z = x + iy).
Здесь интегрирование выполняется в верхней полуплоскости,
если т > 0, и соответственно в нижней полуплоскости, если
т < 0. Следовательно, при т > 0
/ = Re {2я/ Выч [/ (z); —c + ia]} =
2я/ 2^ J = "f ^~am cos mc-
При т < 0 имеем
/ = Re Bя/ Выч [/ (г); — с — ш]} =
[im(-c-ia)-\ я
2ш _2/-—J = - je-fl!m' cos тс.
I. 6.7.
Глиптическая
Сила
\ торможения
Прецессия \
орбиты \ i
\
\
Как известно из первого закона Кеплера, Земля должна на-
ходиться в одном из фокусов эллиптической орбиты.
Тормозящее действие атмосферы проявляется при движении
спутника только вблизи Земли. Пусть в результате этого тормо-
жения спутник теряет за один оборот импульс АЛ При этом
момент импульса спутника уменьшается на
Д/ = -ДРЯь A)
где R\ — показанное на рисунке расстояние от центра Земли до
перигея орбиты. Эксцентриситет орбиты е связан с моментом
импульса / соотношением
Ъ , . ЕР /оч

Ответы и решения
где Е — полная энергия системы, k — постоянная в выражении
для потенциальной энергии V = —mk/r. В случае эллиптической
орбиты полная энергия Е отрицательна и 0 < е < 1. Дифферент
цируя соотношение B), затем находим
Ае _ Р А? + 2EJ А/ . /оч
7^9 W
здесь Д? — энергия, теряемая спутником за один оборот. Исполь-
зуя соотношения
получаем
Ae _ 2 [2?- V (Ri)] /А/
_
e emk2
В случае эллиптической орбиты
2? - V (Я,) = /п
Поскольку знак Д/ отрицателен, из D) и E) следует
Из этой формулы мы видим, что эксцентриситет орбиты умень-
шается. С каждым оборотом спутник становится ближе к Земле.
Его орбита все больше и больше приближается к круговой.
Большая полуось орбиты а пропорциональна 1/W, где W —
энергия связи: W = —Е. Поскольку спутник теряет энергию, то
W возрастает. Следовательно, а уменьшается. Уменьшается так-
же и период его обращения Г, так как в соответствии с третьим
законом Кеплера квадрат периода пропорционален кубу боль-
шой полуоси.
Спутник теряет свою энергию на торможение лишь при сбли-
жении с Землей. Поэтому подавляющую часть периода обраще-
ния он движется вне атмосферы, а остальную, меньшую, часть —
в ней. С каждым оборотом полярный угол, соответствующий
наибольшему сближению с Землей, увеличивается. При этом
орбита спутника прецессирует в направлении, показанном на
рисунке. Кратчайшее расстояние между спутником и Землей R\
можно найти, пользуясь законами сохранения момента импульса
и энергии:
±4. k (\ 4. EP\-
2E "T" 2? V "^ "m&J ~
2ЕР ^
mk2 **
Л
2mk '

72
/. Механика
здесь, поскольку Е < О, знак корня во втором выражении изме-
нен на противоположный. Следовательно, по мере уменьшения /
расстояние R\ сокращается.
1.6.8. Обе трубы горизонтальны; следовательно, каких-либо
изменений потенциальной энергии жидкости нет. В сечении С
кинетическая энергия единичного объема жидкости равна pv'2c/2y
а в сечении В ра|/2. Дано, что vB — 20 см/с. Скорость vc мож-
но найти из закона сохранения массы
*, Площадь сечения В 1 оп Л__/.
VC = VB площадь сечения t = 120 СМ/С'
Разность давлений в сечениях В и С находим из закона сохра-
нения энергии для 1 см3 воды:
-ТPvb = 7000 г/<см ' °2) 1У>
она должна быть равна разности давлений в трубках маномет-
ра, подсоединенных к В и С, которая определяется по высоте
водяного столба (р = 1) между уровнями2):
Следовательно,
= PB-Pc
см.
1.6.9. Поскольку рассматриваемые материальные точки рас-
се
Зт
т
2т
положены в одной плоскости, то ось, перпендикулярная этой
плоскости в точке Р, является одной из главных осей инерции.
*) Это частный вид уравнения Бернулли для стационарного движения не-
сжимаемой жидкости. — Прим. перев.
2) Расчет справедлив для манометра, в котором плотность жидкости
вдвое превышает плотность воды. В случае ртутного манометра следует при-
менить формулу (ррт — Рводы)?/* = Рь — Рс\ ТОГДа ррт — рводы = 12,5 И
h « 5,5 мм. — Прим. перев.

Ответы и решения 73
Назовем ее осью г. Тогда момент инерции относительно этой
оси записывается в виде
Iz = Sm~ + 2m^ + m^ = 3ma2. (t)
Очевидно, второй главной осью инерции должна быть гипоте-
нуза треугольника, так как вне ее расположена только одна
материальная точка. Следовательно,
/Л.= 2т-^- = та2. B)
Используя соотношение 1ХЦ-1У = /г, находим
1У = 2пга2.
1.6.10.
а) Плотность гелия составляет примерно !/7 плотности воз-
духа. Поскольку шар находится в воздухе, простой путь реше-
ния задачи состоит в следующем: считать плотность шара рав-
ной —eh рвозд и не обращать в дальнейшем внимания на присут-
ствие воздуха. Действующее ускорение «свободного падения»
шара равно в этом случае —*hg, а центробежное ускорение
—6а/7, причем
v2 1002. Ю5 о-
a=-R = 3-3600* =25>
Следовательно,
или
6 = arctg 0,0262 « l°30'.
б) К центру кривизны пути.
1.6.11. Пусть Г—натяжение веревки. В состоянии равнове-
сия 2T=W = 70 кг. Отсюда Т = 35 кг.
1.7.1. Разложение функции /(/) в ряд Фурье записывается
в виде
оо оо
/ (о=it+2л»cos пЫ+ЕВп sin mL A)
а) Прежде всего отметим, что в нашем случае f(t) —четная
функция времени t\ следовательно, все Вп должны обращаться
в нуль. Кроме того, заданный сигнал является периодическим
(с периодом Т\). Таким образом, мы имеем следующее условие:
B)

74
/. Механика
Из A) и B) находим
@ = 0!==—,
и разложение A) принимает вид
C)
Нетрудно заметить, что сумма большого числа фурье-компо-
нент с приблизительно одинаковыми амплитудами обращается
в нуль, за исключением тех промежутков времени, где многие
из этих компонент оказываются в фазе. В соответствии с задан-
ной волновой картиной фурье-компоненты должны находиться
в фазе лишь в течение тех промежутков времени, когда длятся
хлопки, т. е. в промежутках
А/, т{ = 09 1, 2, 3, ...,
должно выполняться условие
cos
Оно справедливо при
1.
ИЛИ П
ю 'д; •
Таким образом, приходим к заключению, что
Апж const при n<-^jf.
Чтобы остальные компоненты не вызывали существенного иска-
жения исходной волновой картины, они должны быть достаточ-
но малыми:
Ап->0 при п>-^~.
В результате получаем следующее распределение:
Ап
Непрерывный спектр А (си)
(случай 6)
Дискретный спектр
{случай а)
со
Зщ
ncuj>!/At
a>= ncOj« I/At

Ответы и решения 75
б) Пусть Т2 — временной интервал, внутри которого можно
услышать звук одиночного хлопка. Этот интервал может быть
сколь угодно большим, но обязательно конечным. Если допу-
стить, что в случае „а" интервал Т\ между двумя последова-
тельными хлопками превышает Г2, то к решению данной задачи
можно применить результат, полученный выше. Однако в том
случае, когда Т2 произвольно велико, частота соь определяемая
формулой C), становится весьма малой. Отсюда следует, что
спектр одиночного хлопка является непрерывным.
К такому же выводу можно прийти, выполняя преобразова-
ние Фурье, т. е. записывая функцию /(/) в виде
+ оо
f@ = -^= \ е'«М(<в)Лв,
— оо
причем
+ <х> +Д</2
^ -to<rf/s=_' ( е-шdt.
Таким образом, мы и здесь получаем непрерывный спектр Л (со).
Его поведение отражено выше на рисунке.
1.7.2.
а) 5 — унитарная матрица, следовательно,
S+S=l. A)
Подставляя сюда заданное в условии задачи соотношение
S = l—2iT,
получаем
A+2*Т+)A — 2/Г) = 1
или
1 - 21 {Т -Т+) + 4Т+Т = 1. B)
При |7\-j|<Cl членом Т+Т можно пренебречь. Тогда выраже-
ние B) принимает вид
Г-Г+ = О или Г = Г\
т. е. Т — эрмитова матрица.
б) Из выражения B) имеем
i(T-T+) = 2T+T. C)
Для упругих переходов (а->а) равенство C) можно переписать
в виде

76
/. Механика
где
поскольку \п) — полный набор промежуточных состояний.
Так как Tta==T*aa, то приведенное выше равенство прини-
мает вид
/ [<а | Г | а> — «а | Г | а»*] = Е 2 <а | Г+ | ^7> <п | Г | а>.
п
Используя соотношение
получаем окончательно
1.7.3.
та
Предельная высота кладки h соответствует случаю, когда
результирующая сила R направлена в сторону нижнего ребра
ящика: при большей высоте кладки ящик опрокидывается. Для
моментов сил имеем
mgL = та -g-, т.е. 9,8 • 0,5 = 6 у,
откуда h = 1,6 м.
1.7.4.
а) В состоянии покоя вертикальная составляющая сил долж-
на быть равна нулю:
mg + kx = Q.
Нам дано х = —6 см. Следовательно,
, mg
/г— 6 .
При возникновении собственных колебаний их период равен
Г = 2яа/-? = 2яд/-| ^0,5 с.
A)

Ответы и решения 77
б) Если пол вибрирует но закону Аеш*\ то уравнение дви-
жения записывается в виде
fTLX I t? V — J\k&^®0^' B^
здесь мы приняли, что состоянию равновесия соответствует зна-
чение координаты х = 0. Перепишем уравнение B), подставляя
вместо k его выражение A):
1 1
х -f- — gx = --- Agei(*ot. C)
Это уравнение имеет стационарное решение
Л
Следовательно, искомое отношение амплитуд при соо = 40я рад/с
равно
1.7.5.
а) При подъеме якоря возникает кориолисова сила
F = — 2/шо X v,
действующая на судно и вызывающая его движение.
б) Судно станет относить на запад.
в) Пусть v — скорость, с которой поднимают якорь на мачту»
Тогда судно приобретает ускорение
М9
где т — масса якоря, М — масса судна. Высота мачты 5 и вре-
мя Т поднятия якоря связаны со скоростью v соотношением
о
Конечная скорость судна равна
т т
Л1
2.200-7,29. 10~5. 20
1200
= 4,9-10 м/с.
Здесь 7,29-10~5 рад/с —угловая скорость вращения Земли (со =
= 2я/Г.3 = 6,283/86400 рад/с = 7,29• 10 рад/с).

78 I. Механика
Другое решение.
в) Воспользуемся свойством сохранения момента импульса
судна и якоря относительно центра масс Земли в инерциальной
системе:
(М + т) cor2 = [Mr2 + m(r + SJ} со'.
Отсюда
, 2mcoS
(О ^ @ гтт-1 \— >
(М + т)г
и для скорости судна относительно воды получаем
V = (а/ — (о)г = — "]пгт—$ (направлена на запад).
г) Судно фактически теряет кинетическую энергию за счет
работы, совершаемой против центростремительной силы.
1.7.6.
а) Пусть Ro — длина пружины в свободном состоянии. Усло-
вие равновесия системы записывается в виде
-у — Ro)
(у ) mxg.
Следовательно,
R
При растяжении пружины до длины R она запасает потенци-
альную энергию
Потенциальная энергия стержня и кольца в поле силы тя-
жести
V = — m{gR cos 0 — у m2gL cos 0.
При 0 = 90° эта потенциальная энергия принимается равной
нулю.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических
энергий вращательного и поступательного движения стержня и
кольца:
Т = 1 /ё2 +1 т, (# + #2ё2) = j m2L*? +1 т, (R2 ?
Лагранжиан системы записывается в виде
g=T-V = ~ m2m2 + \ m, (R2+R2&)+ (m{gR + m2g ±) cos9-

Ответы и решения 79
б) Подставляя выражение B) в уравнения Лагранжа
dt V ае У дЭ dt\dk) dR
получаем уравнения движения
(mi/?2 + у m2L2) 9 + (mxR + m2 ±) g sin 6 = 0, C)
m{R + (k- ш,92) R + mxg A - cos 9) - 1 kL = 0. D)
в) В случае малых колебаний 8<1 и R — L/2 < L/2. По-
этому в уравнении C) можно положить sin 0 « 0, а в D)
cos0= 1 и 0 = 0. Таким образом, уравнения C) и D) прини-
мают вид
+ ~ /w2L2) 0 + (mi/?, + у m2L) g0 = 0, E)
Из последнего уравнения сразу находим частоту одной из нор-
мальных мод:
@ =
. 1.8.1. Действительную и аналитическую функцию можно раз-
ложить в степенной ряд:
Отсюда следует, что при %~»оо все члены этого ряда, за исклю-
чением первого, неограниченно возрастают. Таким образом, если
f(x) — аналитическая функция при л:-*оо, то все коэффициен-
ты ап при возрастающих членах должны быть равны нулю. По-
этому
f {x) = ao = const.
1.8.2. Матрица преобразования при повороте системы коор-
динат записывается в виде
cos0 sin9
—sine
/ 0 1\
0яи90О=1-1 о;-

80 /. Механика
Обозначим через V и V вектор V и тензор Т соответственно
в новой системе координат. Тогда
«12 an
1.8.3. Если радиус-вектор г отличен от нуля, то левую часть
дифференциального уравнения V2/ — a2f = —4яб(г) можно за-
писать в сферических координатах г, 8 и ф. Мы имеем
где L — оператор, зависящий от d/dQ и д/ду. Поскольку f=e~ar/r9
то Lf 35 0. Следовательно, при г Ф 0
V2/ - а2/ = у (- аJ е~аг - а2 ^ = 0. A)
Пусть теперь г—*0; вычислим интеграл
/ = J (V2/ - a2/) rfV
по объему, ограниченному сферой радиусом а с центром в точке
г = 0. В результате прямых вычислений и применения формулы
для дивергенции имеем
а
I = J (V/ . rfS) - a2 jj / rfV = 4я - aae-a* - a2 J e"ar4nr2 dr.
о
В предельном случае, когда a->0,
/= —4л. B)
Учитывая совместно A) и B), получаем
(Более подробное решение см. в задаче II. 2.1, разд. «Электри-
чество и магнетизм».)
1.8.4. Координаты х и у материальной точки зависят от L,
h(t) и 6:
х= Lsin0,
у = h (/) + L cos 9 = hQ cos 0/ + L cos 0. ^
Дифференцируя выражения A) no t, получаем
B)
у <=* — (coAq sin со/ + QL sin 0), '

Ответы и решения
Кинетическая энергия материальной точки записывается в виде
= — F2L2 cos2 9 + &L2 sin2 0 + со2Ло sin2 со/ + 2cd/*o0L sin 9 sin co/)=
= -- (92L2 + со2/*2 sin2 со/ + 2(oWL sin 9 sin со/). C)
Потенциальная энергия
V = mg# = mg (h0 cos со/ + L cos 0). D)
Составляем лагранжиан системы:
% = T - 1/ = |- [92L2 + (D2^ sin2 со/ + 2(d/*09L sin 9 siaco/ -
— 2g {h0 cos со/ + L cos 9)]. E)
Подставляя его в уравнение Лагранжа
dt\dQ J дд
находим уравнение движения
L20 + (o2/t0L sin 0 cos со/ + со/го?0 cos 0 sin со/ —
— со/го?0 cos 0 sin со/ — gL sin 0 = 0,
или
10 + со2Л0 sin 0 cos со/ — g sin 0 = 0.
Рассмотрим случай малых колебаний. Перейдем к переменной
0' = 0 — я; тогда можно написать
sine = — sin0'« — 0',
и последнее уравнение движения принимает вид
& + (g- co2/70 cos со/) 07 = 0.
Если шарнир закреплен неподвижно, т. е. 1ц = 0, то полученное
уравнение совпадает с уравнением движения математического
маятника.
1.8.5.
а) Нет, часы будут показывать разное время благодаря
действию следующих эффектов:
1) ускорения Кориолиса —2o>Xv,
2) ослабления гравитационного притяжения с ростом вы-
соты.
3) центростремительного ускорения -~u2ri/r,

82 /. Механика
4) сил трения между воздухом и маятником,
5) релятивистского эффекта / = т/дЛ—{v/cJ9
6) ускорения при взлете и посадке,
7) ускорения, связанного с орбитальным движением Земли,
и т. д.
б) В качестве системы отсчета выберем инерциальную си-
стему с началом координат в центре Земли. В этой системе
кориолисова сила отсутствует. Действующее ускорение свобод-
ного падения ?эфф для объекта, движущегося вблизи земной
поверхности с угловой скоростью со, дается выражением
т. е.
GM
где ?0 = GM/#2.
Период колебаний математического маятника равен, как из-
вестно, Т = 2nVL/g > гДе ^ — длина маятника, которую мы
считаем неизменной. Угловая скорость самолета 3, летящего
на запад, в инерциальной системе равна нулю. Поэтому период
колебаний маятника в нем
^
= 2я л/— л/ ? = Го ; B)
V g V I + tfR/g Vl + (o2R/g
? =
I + tfR/g Vl + (o2R/g
здесь TQ = 2TC^L/g —период колебаний часов, оставленных
в аэропорту. Угловая скорость самолета В, летящего на восток,
вдвое превышает угловую скорость вращения Земли. Следова-
тельно,
= 2яд/— а/ ! = . То — C)
V ^г V 1 - 3co2R/g Vl - 3co2/?/g V '
Учитывая, что co2R <C g, периоды колебаний обоих маятниковых
часов в летящих самолетах можно приближенно представить
следующими выражениями:
гр т . 1 rp (o2R гр . здг
и
т т 1 гр со2/? т ЛГ

Ответы и решения 83
Подставляя сюда g = g0 — со2/? = 9,8 м/с2, R = 6-10° м и Г,о =
= 24 ч и учитывая, что со = 2я/Г0, получаем
ДГ= 4я2-6'106
9.8 • 24 • 3600
Поскольку Гв > Го, часы В идут медленнее часов А, а по-
скольку Тз<Т0, часы Т3 идут быстрее. По прибытии самоле-
тов в аэропорт часы В отстанут на 420 с, а часы 3 уйдут вперед
на 140 с относительно часов А, оставленных в аэропорту.
1.8.6.
а) Поскольку Солнце представляет собой однородный шар,
то сила равна
f = -G^L. A)
б) Согласно общей теории относительности, гравитационный
потенциал записывается в виде
-<p = i^ + 4, B)
где А может зависеть только от с, G и М.
Пусть- D(Л) — размерность параметра А. Из B) приходим
к следующему соотношению:
D{A) = D(GMr). C)
Используя соотношение
D (-—-) = D {тс2) и D {энергия),
получаем
Dif) = D{2?). D)
Из C) и D) имеем
Следовательно,
л G2M2
в) Отношение второго члена к первому в формуле B) равно
GM 1,3- Ю26
1,5 - 1013 - 9 - 1020
10"
Для Земли эта величина очень мала. Только для Меркурия эта
поправка является ощутимой.

II. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ЗАДАЧИ
II. 1.1 B0 баллов).
а) Каково отношение толщины скин-слоя в меди на ча-
стоте 1 кГц к его толщине на частоте 100 МГц?
б) Чему равна напряженность электрического поля в ла-
зерном пучке при плотности энергии в нем 106 Дж/см3?
в) Как связаны между собой параметры R, L и С после-
довательного колебательного контура в случае критиче-
ского затухания?
II. 1.2 B0 баллов). Предположим, что электрон колеблется с
частотой со = 1015 рад/с. Начальная амплитуда А = 10~8 см.
а) Вычислите энергию, излучаемую электроном за один
период.
б) Чему равно отношение энергии, излучаемой за один
период, к средней механической энергии электрона?
в) За какое время т энергия электрона уменьшится
вдвое?
II. 1.3 B0 баллов).
а) Чему равна энергия взаимодействия двух параллельных
диполей, расположенных на расстоянии d друг от друга?
Предположите, что вектор, соединяющий оба диполя, пер-
пендикулярен направлениям их дипольных моментов.
б) Две проводящие сферы (радиусом R каждая) поме-
щены в однородное электростатическое поле Е, направ-
ленное перпендикулярно линии, соединяющей обе сферы.
Расстояние между центрами сфер равно d. Определите
силу взаимодействия между сферами, считая R <^ d.
II. 1.4 B0 баллов). Имеется цилиндр радиусом а и длиной
L, однородно заполненный полностью ионизованным газом, те-
кущим со скоростью v вдоль оси цилиндра, с плотностью элект-
рического заряда р.
а) Определите магнитное поле на расстоянии г от оси
цилиндра. (Краевыми эффектами пренебречь.)
б) Предположим, что в цилиндр инжектируется парал-
лельный пучок быстрых протонов массой т и начальной
скоростью V, направленной параллельно оси цилиндра.
Такую систему можно использовать для фокусировки про-

Задачи 85
тонов в некоторую точку, расположенную на оси цилин-
дра. Определите фокусное расстояние /, предполагая
L <С / и пренебрегая электростатическими и релятивист-
скими эффектами. (Фокусное расстояние / — это расстоя-
ние от конца цилиндра до фокуса.)
II. 1.5 B0 баллов). Вычислите поле равномерно движущегося
точечного заряда, применяя к 4-вектору потенциала (Ах, Ау,
Аг, iV) преобразование Лоренца от системы отсчета, связанной
с зарядом, к лабораторной системе отсчета.
11.2.1 A5 баллов). Докажите, что V2 -г—- = — 4я6(г).
11.2.2 A5 баллов). Четыре положительных заряда и столько
же отрицательных зарядов расположены по одному в вершинах
куба. Знаки зарядов чередуются от вершины к вершине, так что
ближайшие к каждому заряду три других заряда противопо-
ложны ему по знаку. Как зависит от расстояния результирую-
щее электростатическое поле в точках, значительно удаленных
от этой системы?
11.2.3 A5 баллов). Два электрических диполя, расположен-
ные на оси х и противоположно ориентированные вдоль оси г,
осциллируют точно в противофазе. Их х-координаты отличаются
на Х/2. Вычислите вектор Пойнтинга на больших расстояниях
от этой системы.
II.2.4 A5 баллов). Две одинаковые круговые петли из сверх-
проводника, обладающие каждая индуктивностью L, располо-
жены коаксиально на большом расстоянии друг от другас
В каждой петле в одном и том же направлении течет ток /.
Петли затем совмещают. Каков будет результирующий ток /i,2
в каждой петле? Чему равны энергии системы в исходном и ко-
нечном состояниях? Какие переходы энергии при этом проис-
ходят?

86
//. Электричество и магнетизм
II.2.5 A5 баллов). В изображенной ниже электрической цепи,
запатентованной Штейнмецем !), частота приложенного перемен-
ного напряжения V равна со = \/л/ТС. Определите зависимость
тока, протекающего через резистор, от этого напряжения и па-
раметров цепи.
П.2.6 A5 баллов). Плоская электромагнитная волна падает
нормально на проводник, диэлектрическая и магнитная прони-
цаемости которого принимаются такими же, как у свободного
пространства. Частота волны и проводимость проводника тако-
вы, что величины токов проводимости и смещения внутри про-
водника равны друг другу. Определите коэффициент отражения
волны, т. е. отношение энергии отраженной волны к энергии
падающей волны.
II.2.7 A0 баллов). Незаряженная проводящая сфера поме-
щена в однородное электрическое поле. Запишите в полярных
координатах возмущение поля, вызванное сферой, в произволь-
ных точках пространства вне сферы.
11.3.1 B0 баллов). Согласно классической теории, электрон
вращается по круговой орбите вокруг протона. Исходя из клас-
сической теории излучения, получите дифференциальное уравне-
ние, описывающее изменение энергии электрона. Используя най-
денное уравнение, вычислите ориентировочно время «падения»
слабо связанного (почти свободного) электрона на первую бо-
ровскую орбиту.
11.3.2 B0 баллов). Какому распределению зарядов соответ-
ствует сферически симметричный потенциал V(r)= e~Kr/r?
11.3.3 A0 баллов). Плоская электромагнитная волна с на-
пряженностью электрического поля ?=106 ед. СГСЭ падает
1 Чарлз (Карл) Штейнмец A865—1923)—широко известный на рубеже
XIX—XX вв. теоретик и практик в области электротехники. — Прим. перев.

Задача 87
нормально на плоскую поверхность диэлектрика, диэлектриче-
ская проницаемость которого е= 1,44. Вычислите давление вол-
ны на поверхность. (Показатель преломления п полагайте рав-
ным Vе-)
II.3.4 B0 баллов). Обкладки конденсатора (см. рисунок)
представляют собой два концентрических цилиндра радиусами
г\ и г2 {г\ < г2) и длиной L > г2. Область, ограниченная радиу-
сами Г\ и /*3 = V/'ir2> заполнена диэлектриком с диэлектриче-
ской постоянной К (в образовавшемся зазоре — воздух).
а) Какова емкость такого конденсатора?
б) Чему равны величины ?, Р и D внутри диэлектрика
(г\ < г < г3) и в воздушном зазоре (г3 < г < г2) на рас-
стоянии г от оси конденсатора, если разность потенциалов
на обкладках конденсатора равна V?
в) Какую работу нужно затратить, чтобы удалить из кон-
денсатора диэлектрик при условии, что разность потен-
циалов на обкладках конденсатора поддерживается по-
стоянной?
И.3.5 A0 баллов). На кольцевой железный сердечник радиу-
сом d и площадью поперечного сечения Л (с?2>Л) намотана
катушка из N витков провода. Предположите, что магнитная
проницаемость железа jli = const ^> 1.
а) Как зависит магнитный поток в сердечнике Ф =
= \ BndA от тока /, протекающего через катушку?
б) Если в сердечнике сделать зазор шириной б F2<сЛ),
то каким станет магнитный поток при той же величине
тока /?
в) Какова энергия магнитного поля в сердечнике, в за-
зоре?
г) Вычислите индуктивность катушки при наличии за-
зора.

//. Электричество и магнетизм
П.3.6 B0 баллов). Круговая петля радиусом а расположена
концентрически в плоскости другой, значительно большей петли
радиусом 6(а<6). Большая петля закреплена неподвижно, и
по ней протекает постоянный ток /, а меньшую петлю вращают
вокруг диаметра с угловой частотой со (ее электрическое сопро-
тивление равно Ry а индуктивность пренебрежимо мала).
а) Определите, как зависит ток в малой петле от вре-
мени.
б) Найдите, какой момент силы должен быть приложен
к малой петле, чтобы привести ее во вращение с указан-
ной частотой?
в) Определите э. д. с, индуцируемую в большой петле,
как функцию времени.
11.4.1 E баллов). Вычислите энергию взаимодействия Е трех
зарядов qy q и — q, расположенных в вершинах равностороннего
треугольника с длиной сторон а.
11.4.2 E баллов). Каков порядок величины отношения сил
электростатического и гравитационного притяжения между про-
тоном и электроном?
11.4.3 E баллов). Точечный заряд q находится на расстоя-
нии d от проводящей плоскости. Какую энергию нужно затра-
тить, чтобы удалить его на бесконечное расстояние от пло-
скости?
11.4.4 E баллов). Некоторое распределение зарядов создает
однородное электрическое поле ?о, направленное по оси х. В это
поле в плоскости х — 0 вводят тонкую пластинку с поверхност-
ной плотностью заряда а. Предполагая, что введение пластинки
не нарушает исходного распределения зарядов, найдите резуль-
тирующее поле по обе стороны от пластинки.
11.4.5 E баллов). Рассмотрим две концентрично расположен-
ные металлические сферы радиусами гх и г2 (г2 > г\). Наружная
сфера несет заряд q, а внутренняя сфера заземлена. Чему равен
заряд на внутренней сфере?
11.4.6 E баллов). Определите распределение магнитного
поля внутри длинного прямолинейного однородного проводника
радиусом /?, по которому течет ток /.
11.4.7 E баллов). На два одинаковых железных тороидаль-
ных сердечника намотано соответственно N и 2N витков одного
и того же провода. Предположим, что на вторую обмотку ушло
ровно вдвое больше провода, чем на первую. Соединим обе об-
мотки последовательно. Каково будет отношение напряжении
на обмотках, когда в них течет

Задачи 89
а) постоянный ток?
б) переменный ток высокой частоты?
11.4.8 E баллов). На расстоянии d от плоской границы среды
из мягкого железа, заполняющего полупространство, располо-
жен параллельно ей тонкий длинный проводник с током /.
Предположите, что магнитная проницаемость железа беско-
нечно велика (\х = оо). Определите силу, действующую на еди-
ницу длины проводника. Является ли она притягивающей или
отталкивающей?
11.4.9 E баллов). Однородно намагниченная бусинка объе-
мом V расположена в центре круговой петли радиусом г, по ко-
торой протекает ток /. Магнитный момент единицы объема бу-
синки направлен параллельно плоскости петли и равен М. Опре-
делите вращающий момент, действующий на петлю.
11.4.10 E баллов). К рельсам железнодорожного пути, изо-
лированным от земли и друг от друга, подключен милливольт-
метр. Определите его показания, когда по ним идет поезд со
скоростью 180 км/ч. Предположите, что вертикальная состав-
ляющая магнитного поля Земли равна 0,2. Гс, а расстояние
между рельсами L = 1 м.
11.4.11 E баллов). Электрический диполь р помещен в по-
стоянное электрическое поле Е под углом а к направлению
поля. Какую нужно затратить работу, чтобы повернуть диполь
вокруг перпендикулярной ему оси на 180°?
11.4.12 E баллов). В однородное электрическое поле ?0
вдоль его направления помещен очень длинный тонкий стержень
с диэлектрической проницаемостью К. Определите напряжен-
ность поля Е и электрическую индукцию D внутри стержня.
11.4.13 E баллов). Как связаны между собой параметры
R, L и С последовательного колебательного контура в случае
критического затухания?
11.4.14 E баллов). Освещенность земной поверхности равна
в среднем 1,3 • 103 Дж/(м2»с). Каковы амплитуды полей Е в В/м
и В в Вб/м2, если предположить, что земная поверхность осве-
щается монохроматическим светом?
11.4.15 E баллов). На границе раздела двух диэлектриков
имеется поверхностный заряд плотностью а. Напишите гранич-
ные условия для компонент вектора напряженности электриче-
ского поля.
11.4.16 E баллов). Как зависит от расстояния г потенциал
электрического поля диполя?

90 //. Электричество и магнетизм
11.4.17 E баллов). Чему ориентировочно равна напряжен-
ность магнитного поля Земли на ее поверхности?
11.4.18 E баллов). Чему равен электрический потенциал
внутри изолированной проводящей сферы радиусом /?, которой
сообщен заряд Q?
11.4.19 E баллов). Напишите выражения для плотностей
энергии и импульса электромагнитного поля в вакууме.
11.4.20 E баллов). Определите величину и направление век-
тора Пойнтинга на поверхности длинного прямолинейного про-
водника кругового сечения, по которому течет постоянный ток /.
Радиус провода й, а сопротивление провода на единицу длины
равно R.
П.5.1 E баллов). Каким сопротивлением — емкостным или
индуктивным — обладает параллельный LC-контур на частоте
со ниже резонансной со0?
11.5.2 E баллов). Определите силу, действующую на элект-
рический диполь в однородном электрическом поле.
11.5.3 E баллов). N идентичных конденсаторов соединены
параллельно и подключены к источнику напряжения V. Затем
их отключают от источника, разъединяют и, не разряжая, вновь
соединяют, но последовательно. Определите результирующее на-
пряжение на конденсаторах.
II. 5.4 E баллов). Две одинаковые катушки, каждая из ко-
торых обладает индуктивностью L, соединены последовательно
и расположены так близко друг от друга, что магнитный поток
одной катушки полностью пронизывает другую. Чему равна об-
щая индуктивность такой цепи?
11.5.5 E баллов). Изолированный металлический объект за-
ряжают в вакууме до потенциала Vo, и он запасает электриче-
скую энергию Wq. Затем объект отключают от источника потен-
циала (заряд объекта при этом не изменяется) и погружают в
диэлектрическую среду, занимающую большой объем и харак-
теризуемую диэлектрической проницаемостью К. Какова будет
теперь энергия электрического поля?
11.5.6 E баллов). Как изменяется с расстоянием г от источ-
ника напряженность электрического поля сферической электро-
магнитной волны при больших значениях г?
11.5.7 E баллов). Электромагнитная волна падает нормаль-
но на идеальную проводящую поверхность. Изменяются ли при
отражении волны фазы векторов Е и Н на 180°? Если да, то
какого из них?

Задачи
91
П.5.8 E баллов). Центры двух металлических сфер радиу-
сом R каждая отстоят друг от друга на расстояние d (d> 2R).
Заряд одной из сфер равен Q, а другой —Q. Будет ли сила взаи-
модействия между ними больше, равна или меньше силы взаи-
модействия точечных зарядов Q и —Q, разнесенных на то же
расстояние d?
11.5.9 E баллов). Напишите выражение для силы взаимо-
действия (отнесенной к единице длины) двух длинных парал-
лельных проводов с токами /, текущими в одном и том же
направлении; расстояние между проводами d. Является ли эта
сила притягивающей или отталкивающей?
11.5.10 E баллов). Лабораторный кольцевой электромагнит
имеет диаметр полюсов сердечника 15 см, воздушный зазор
между ними 1 см и длину магнитопровода 1 м. Обмотка магнита
состоит из 22 000 витков медного провода.
а) Вычислите магнитную индукцию в зазоре в единицах
Вб/(м2-А), т. е. отнесенную к току 1 А, при условии, что
начальная магнитная проницаемость сердечника равна
1000.
б) При токах свыше 0,5 А происходит насыщение сер-
дечника. Оцените магнитную индукцию в зазоре при токе
1 А, пользуясь приведенным на рисунке графиком В(Н).
«Г
2 3 4 5 6
juQH, Ujui1
7 8*Ю~
II.5.11 B0 баллов). Рассмотрим простой преобразователь
электрической энергии в механическую, схематически показан-
ный ниже на рисунке. К источнику напряжения V подключены
два длинных параллельных проводника с нулевым сопротивле-
нием, расположенных на расстоянии I один от другого. Их за-
мыкает скользящий вдоль них стержень, обладающий сопротив-

92
//. Электричество и магнетизм
лением /?, который движется параллельно самому себе и
остается перпендикулярным проводникам. Перпендикулярно
плоскости проводников приложено внешнее однородное магнит-
ное поле В.
Стержень
Проводник
X X X X X X X
X X X X X XX
X X X X XX X
XXX XX XX
X X X X X X X
Проводник -*- х
а) Чему равна установившаяся скорость стержня в от-
сутствие внешней механической нагрузки?
б) Получите выражение для скорости движения стержня
в зависимости от времени, считая массу стержня равной
т, а началом движения момент t = 0.
в) Определите установившуюся скорость стержня в слу-
чае, когда к нему приложена сила F в направлении, про-
тивоположном движению.
г) Чему в случае «в» равен к. п. д. преобразователя, т. е.
какая часть электрической энергии, отбираемой от источ-
ника напряжения, преобразуется в механическую работу?
И.5.12 B0 баллов). Пластинами плоского конденсатора слу-
жат два диска радиусом г-о с небольшим зазором шириной d
(d<Cr0). Пластинам сообщены заряды Qo и —Qo. В момент
времени t = 0 центры пластин соединяют тонким прямым прово-
дом, имеющим сопротивление R. Пусть R столь велико, что ин-
дуктивностью цепи можно пренебречь, а поле между пластинами
в любой момент времени можно считать однородным.
а) Найдите зависимость заряда на каждой пластине кон-
денсатора от времени.
б) Определите ток i(t)> протекающий через круговое сече-
ние радиусом р (р < го) любой из пластин. (Сечение

Задачи 93
является концентрическим относительно пластины кон-
денсатора.)
в) Получите зависимость магнитного поля между пла-
стинами от времени и от радиальной координаты.
г) Объясните подробно, почему только азимутальная
компонента магнитного поля отлична от нуля.
II.5.13 A0 баллов). Световая волна имеет частоту f =
= 4-1014 Гц и длину волны К = 5• 10~7 м. Какова скорость рас-
пространения этой волны? Чему равен показатель преломления
среди пу в которой она распространяется? Какова длина волны
света Яо, после того как он вышел из данной среды и стал рас-
пространяться в воздухе?
II.6.1 B0 баллов). Система, показанная на рисунке, состоит
из двух плоских проводящих пластин длиной /, шириной Ъ
(в направлении, перпендикулярном рисунку) и зазором а между
ними (а<6,/). Справа пластины закорочены, а слева к ним
мгновенно подключают источник напряжения Vo. Будем пред-
полагать, что ток в пластинах протекает только по направлению
/. Всеми сопротивлениями и всеми эффектами, связанными с
конечной скоростью распространения электромагнитных полей,
можно пренебречь.
7
а
±
а) Определите зависимость магнитного поля В в зазоре
между пластинами от тока /, протекающего в цепи.
б) Чему равна индуктивность цепи?
в) Найдите зависимость тока в цепи от времени.
г) Чему равно напряжение на пластинах на расстоянии
х от закороченного конца?
д) Каков поток энергии в системе на расстоянии х от
закороченного конца?
И.6.2 B0 баллов). В двух круговых петлях радиусами R и
расстоянием между центрами L(L^R) протекают в одном и том
же направлении равные токи /. Определите вращательный мо-
мент, действующий на петли и силу взаимодействия между ними

94
//. Электричество и магнетизм
в зависимости от угла 0, образованного осями петель с направ-
лением L.
II.6.3 A0 баллов). Длинный провод изогнут подобно шпиль-
ке для волос, как показано на рисунке. Получите точное выра-
жение для магнитного поля в точке Р, находящейся в центре
полуокружности.
/
11.6.4 B0 баллов). Определите самую низкочастотную моду
электромагнитных колебаний в прямоугольном объемном резо-
наторе со сторонами а > Ь > d и идеально проводящими стен-
ками. Найдите соответствующую ей резонансную частоту и опи-
шите зависимость поля от пространственных координат.
11.6.5 B0 баллов). Плоская электромагнитная волна часто-
той со падает нормально на поверхность немагнитного металла,
имеющего проводимость а.
а) Напишите дифференциальное уравнение в частных
производных для магнитного поля внутри металла. Ча-
стоту о считайте достаточно низкой, так что токами сме-
щения внутри металла можно пренебречь.
б) Задайте граничные условия для тангенциальных ком-
понент Е1 и W электрического и магнитного полей на по-
верхности.
в) Пользуясь формулой E' = ZH'Xn, где п — единич-
ный вектор нормали к поверхности, найдите выражение
для поверхностного импеданса Z(a, со).
11.6.6 A0 баллов). По прямолинейному круглому проводу с
однородной проводимостью о и площадью поперечного сечения
А течет постоянный ток /. Определите направление и величину
вектора Пойнтинга на поверхности провода. Возьмите интеграл
от нормальной компоненты вектора Пойнтинга по поверхности

Задачи ^5
провода на отрезке длиной L и сравните полученный результат
с количеством джоулева тепла, выделяемого током на этом
отрезке.
II.7.1 B0 баллов). По центральному проводнику длинного
коаксиального кабеля (на рисунке показано поперечное сечение
такого кабеля) и по наружному цилиндрическому проводнику
текут одинаковые по величине, но противоположно направлен-
ные токи /.
а) Определите распределение магнитного поля в четырех
различных областях:
1) г < а, 2) а < г < Ь,
3) Ь<г<с, 4) г>с.
б) Вычислите индуктивность L отрезка этого кабеля дли-
ной 10 см (толщиной цилиндрического проводника можно
пренебречь, полагая с^>а и с 3> с — Ь).
В
-A\ i i i ),i I \D 2c
II.7.2 B0 баллов).
а) «Черный ящик» содержит источники неизвестного на-
пряжения и резисторы с неизвестными сопротивлениями.
Схема соединения их не дана. Известно лишь, что
если подключить к выходным клеммам черного ящика

96
//. Электричество и магнетизм
резистор с сопротивлением /? = 10 Ом, то через него будет
протекать ток силой 1 А, а при подключении резистора
с сопротивлением R = 18 Ом ток составит 0,6 А. Опреде-
лите, какое сопротивление должен иметь подключенный
резистор, чтобы ток стал равным 0,1 А.
б) Предложите простой фильтр, способный сильно осла-
бить пульсации напряжения частотой 60 Гц на выходе
электрической цепи, приведенной на рисунке1).
Вход
Выход
11.7.3 B0 баллов). Центры двух магнитных диполей щ и jw2
находятся на фиксированном расстоянии г друг от друга. Ди-
поли могут свободно вращаться вокруг своих центров.
а) Покажите расположение диполей, соответствующее
максимальной энергии ?Макс взаимодействия между ними,
и вычислите эту энергию.
б) Покажите взаимное расположение диполей, соответ-
ствующее минимальной энергии ?мин, и вычислите эту
энергию.
11.7.4 A0 баллов). Конденсатор С= 1 мкФ мгновенно под-
ключают к источнику постоянного напряжения Vo = 100 В через
*) Для определенности предположите, что к входным клеммам подключен
либо генератор тока (обладающий, согласно определению, бесконечным вну-
тренним сопротивлением), либо генератор э. д. с. с конечным внутренним со-
противлением. — Прим. перев.

Задачи
97
резистор R = 100 Ом. За какой промежуток времени конденса-
тор зарядится до напряжения 50 В?
11.7.5 A0 баллов). Электрон влетает в однородное магнитное
поле Н = 104 Э под углом 45° со скоростью v = 104 см/с. Рас-
считайте полностью все последующее движение электрона.
(Имейте в виду, что нужно получить точные количественные
характеристики этого движения.)
11.7.6 B0 баллов). Длинный прямолинейный проводник ра-
диусом а имеет внутри круглое отверстие радиусом Ь, вытяну-
тое параллельно оси проводника, но смещенное относительно
этой оси на расстояние с, причем h + с < а. В проводнике течет
ток /, равномерно распределенный по его сечению. Определите
магнитное поле в произвольной точке пространства.
II.8.1 B0 баллов). Пластмассовый диск диаметром D = 2 см,
высотой Л = 1 см и плотностью р = 1 г/см3 плотно огибает
рамка из латунного провода с общим сопротивлением R = 1 Ом,
В подвешенном состоянии эта система представляет собой кру-
тильный маятник без трения с периодом колебаний Т = 10 с.
В исходном состоянии диск покоится в однородном магнитном
поле В = 10 000 Гс, направленном параллельно плоскости рамки
(как показано на рисунке). В момент / = 0 переключатель S
4 Зак. 713

98
//. Электричество и магнетизм
переводят в положение Му и на рамку подается напряжение
1/0 = 0,1 В. Затем в момент времени ?=Г1 = 10-4 с пере-
ключатель ставят в исходное положение N. Определите зависи-
„J-TL
о 1
м
R=/Om
• В =-10000 Гс
h e / см
мость амплитуды колебаний маятника (в радианах) от вре-
мени t.
Н.8.2 B0 баллов). Имеется ящик, снабженный двумя клем-
мами. Известно, что в нем находятся катушка индуктивности с
пренебрежимо малым сопротивлением, конденсатор и резистор.
Если на клеммы подать постоянное напряжение 100 В, то через
них потечет ток силой 0,1 А. При подаче же на них переменного
напряжения 100 В частотой 60 Гц ток равен 1 А. Если ампли-
туду переменного напряжения поддерживать постоянной, а ча-
стоту его повышать, то при частоте 1000 Гц ток очень сильно
возрастает. Как соединены упомянутые три элемента внутри
ящика и каковы значения их параметров?
11.8.3 B0 баллов). Исходя из уравнений Максвелла, полу-
чите выражение, описывающее распространение плоской элект-
ромагнитной волны с частотой ш в неограниченной среде, имею-
щей проводимость а, диэлектрическую и магнитную проницае-
мости е и \х.
11.8.4 A0 баллов). Какой минимальной энергией (в МэВ)
должен обладать протон, чтобы при столкновении его с дейтро*
ном образовалась пара протон — антипротон?
11.8.5 A0 баллов). Катушку индуктивности L мгновенно под-
ключают через резистор R к батарее с напряжением V. Опреде-
лите стационарное значение тока в цепи. Через какой промежу-
ток времени ток в цепи нарастет до половины стационарного
значения?

Задачи
99
И.8.6 B0 баллов). Запишите выражения для скалярного
и векторного потенциалов, соответствующие следующему маг-
нитному полю:
11.9.1 A5 баллов). В длинной трубке, содержащей пол-
ностью ионизованный газ (водород), вдоль ее оси движутся
электроны со средней скоростью 105 см/с, образуя цилиндриче-
ский пучок диаметром 50 см. Полный ток пучка равен 104 А.
Определите величину и направление силы Fy действующей на от-
дельный электрон на боковой поверхности пучка.
11.9.2 B0 баллов). Эффективная проводимость среды, содер-
жащей N электронов в одном кубическом метре, определяется
формулой а = —iNe2li3)tn, где е и т — заряд и масса электрона.
Пользуясь уравнениями Максвелла, получите выражение для
скорости распространения электромагнитных волн в этой среде,
а из него — показатель преломления среды. Объясните, как эта
задача связана с отражением радиоволн от ионосферы.
11.9.3 A0 баллов). Электрическая цепь подключена к источ-
нику напряжения V. Определите электрическую энергию, запа-
сенную в этой цепи.
11.9.4 E баллов). Чему равна (с точностью до двух поряд-
ков) величина остаточного давления газа внутри электронной
лампы в миллиметрах ртутного столба?
11.9.5 B0 баллов). Прямоугольная замкнутая проволочная
рамка имеет высоту Н и ширину W. В момент времени t = 0
она начинает свободно падать. В начальный момент времени
нижняя сторона рамки находится на высоте h над плоскостью
у = 0. Выше этой плоскости магнитное (и электрическое) поле
отсутствует, а ниже ее имеется однородное магнитное поле 5,
перпендикулярное плоскости рисунка и направленное на чита-
теля. Масса рамки т, сопротивление R. Определите движение
рамки во времени. Найдите скорость рамки v и постройте ее
4*

100 //. Электричество и магнетизм
зависимость от времени t. Особый интерес представляет движе-
ние в промежутках времени от t = 0 до t\, от t{ до t2 и при
t > t2. Как изменится движение рамки, если увеличить пропор-
ционально размеры Н и W, оставляя неизменной толщину про-
вода, из которой сделана рамка?
п-в
D
П
II. 9.6 A0 баллов). Точечный заряд q (измеряемый в куло-
нах) расположен на расстоянии d от неограниченной проводя-
щей заземленной пластины. Восстановите нормаль от поверх-
ности пластины к точке расположения заряда. Найдите плот-
ность зарядов, индуцированных на поверхности пластины, как
функцию расстояния г от этой нормали.
II.9.7 B0 баллов). Пластины плоского конденсатора, имею-
щие форму квадрата со стороной 1 м, расположены на расстоя-
нии 1 см друг от друга. Разность потенциалов между пласти-
нами 1000 В.
а) Определите силу (в ньютонах), действующую
между пластинами.
б) Пренебрегая краевыми эффектами, вычислите плот-
ность заряда на пластинах (в кулонах на квадратный
метр).
И. 10.1 B0 баллов). При комнатной температуре измеряют
проводимость следующих материалов: меди высокой чистоты,
германия м-типа и ниобия. Затем образцы погружают в жидкий
гелий (при температуре 4 К) и снова проводят измерения. Изме-
нится ли проводимость каждого материала? (Дайте лишь ка-
чественное объяснение.) В какую сторону? Почему?
II. 10.2 B0 баллов). По тонкостенному проводящему ци-
линдру диаметром 10 см течет ток. Этот цилиндр расположен
внутри другого проводящего цилиндра диаметром 20 см. Оба ци-
линдра являются концентрическими.
а) Вычислите индуктивность единицы длины такой
системы, предполагая, что по внешнему цилиндру течет
такой же по величине ток, что и по внутреннему цилиндру,

Задачи 101
но в противоположном направлении и что оба цилиндра
являются частью последовательной электрической цепи.
б) Выясните, стремится ли сила, действующая на
внешний цилиндр, расширить или сжать его. (Обоснуйте
ваш ответ.)
II. 10.3 B0 баллов). Электрический заряд Q расположен на
одном и том же расстоянии d от двух взаимно перпендикуляр-
ных бесконечных проводящих плоскостей. Определите потен-
циал поля в произвольной точке пространства.
II. 10.4 B0 баллов). Тороидальный сердечник изготовлен из
согнутого в кольцо стержня диаметром 1 см и длиной 1 м. На
него равномерно намотана обмотка с плотностью 100 витков/см.
Магнитную проницаемость стержня считайте равной проницае-
мости свободного пространства.
а) Каково магнитное поле в сердечнике, если через об-
мотку течет ток силой 100 А?
б) Найдите индуктивность обмотки (в генри), предпо-
лагая, что намотка является очень плотной и ее толщиной
можно пренебречь;
в) Вычислите электрическую энергию, затрачиваемую
на создание магнитного поля в сердечнике при токе силой
100 А;
г) Определите по известным значениям В и Н энергию
магнитного поля, сосредоточенного в сердечнике.
Пренебречь радиальным изменением поля, считать его одно-
родным и равным по величине полю в центре сердечника. Ука-
зать всюду единицу измерения.
II. 10.5 B0 баллов). Два конденсатора различной емкости
С\ и С2 заряжены порознь от одного и того же источника напря-
жения V. Затем положительно заряженную обкладку одного
конденсатора соединяют с отрицательно заряженной обкладкой
другого конденсатора. Оставшиеся свободными обкладки затем
соединяют между собой.
а) Определите результирующий заряд на каждом кон-
денсаторе.
б) Вычислите изменение энергии электрического поля.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
II.1.1.
а) Толщина скин-слоя определяется выражением
т. е. она обратно пропорциональна квадратному корню из час-
тоты. Следовательно, мы имеем
= л/W/W « 300.
б) Плотность энергии лазерного луча связана с пиковым
значением электрического поля Е соотношением
Плотность энергии = Е2/8тс.
Отсюда находим Е = д/вя-1013 = 1,6-107 ед. СГСЭ=4,8- 10п В/м.
в) Уравнение колебательного контура записывается в виде
Lw + RI + % = °- 0)
Дифференцируя его по времени t, получаем следующее урав-
нение:
т d2l . D dl , / А
Ищем решение в виде
После подстановки его в уравнение получаем
L62 + i?6/--~ = 0.
Решения последнего уравнения записываются в виде
Критическому затуханию соответствует условие
II. 1.2. Пусть

Ответы и решения 103
Тогда энергия колебаний электрона массой т равна
? =--ягЛ2со2 A)
2 » v '
откуда находим
Л = У2?/тсо2. B)
Мощность излучения дается выражением
?/?_ 2 2„2 /ov
где а==—Лео2 sin со/. Подставляя сюда выражение B) для А
и усредняя по периоду, получаем
Следовательно, энергия электрона зависит от времени / следую-
щим образом:
v др д /«u \ 2я А2
9 9 4 Ifi
2яЛ V© 10"" -2я
Зс3 3-27-1030 ^
= 1,8- 101 эрг = 1,1 • 10"9эВ,
б) Средняя механическая энергия электрона равна сумме
средней кинетической и средней потенциальной энергий. На*
ходим
Е = -у rnv2 = у тЛ2со2;
здесь t; = о)Л — максимальная скорость электрона. Отношение
излучаемой за период энергии к средней механической энергии
составляет
Д? 2я Л2 2 4 2 __ 4лг2(о _ 4я D,8J. 1Q-20. 1015 _ Q n 8
^ <«> Зс3 тЛ2со2 3/псЗ з • 27 • 1030 • 9,1 • 10~28
в) Искомое время т можно найти из выражения E), полагая
в нем Е = ?о/2:
3 In 2 - 0>69'3'27' 1q3° '9Л * 10~28 - 1 1 Ю^7г
1 1 . Юг
2D,8J.1О-2°.1О30 ^'1Д Ш С>
II. 1.3.
а) Потенциал точечного заряда как функция расстояния г
записывается в виде
V=q/r. A)

104 П. Электричество и магнетизм
Дифференцируя это выражение по —ху получаем потенциал
диполя, ориентированного в направлении оси х:
т/ dV Л xq Ax Pcos6
d dx г3 г2 '
где Р = q Ах — дипольный момент. Электрическое поле диполя
имеет вид!)
р? _ -PsinB jj , 2Я cos 6 -
Etf — р и1  р Г1 >
где 8] и Ti — единичные векторы. Принимая теперь 0 = 90°
и г = d, находим потенциальную энергию взаимодействия двух
параллельных диполей
б) Дипольный момент проводящей сферы, помещенной в од-
нородное электрическое поле ?, равен R3E, где 7? — радиус
сферы. Сила взаимодействия двух сфер F = —dW/dr, или
F = {ER3J -jj- = —^4— (отталкивающая).
II.1.4.
а) Согласно закону Ампера, мы имеем
здесь / — полный ток, проходящий через ограниченную замкну-
тым контуром поверхность. Подставляя / = pvnr2 и учитывая
независимость магнитного поля В от углов, получаем
= -~ pvnr2,
откуда
б) Пусть б = 2npv/c. Сила, действующая на протон, дви-
жущийся со скоростью V на расстоянии г = у0 от оси ци-
линдра, равна
dvu eV'B ebV
dt с с
Отсюда находим
dvy ebV
J) Автор использует систему единиц СГСЭ и записывает поле в сфери-
ческой системе координат г, 9 и ф с центром в середине диполя и полярной
осью, направленной параллельно дипольному моменту. При этом Е = 0.—
Прим. ред.

Ответы и решения
105
После интегрирования получаем
Следовательно,
еЬУ
тс
У4-
A)
еЬУ
2тс
еЬУ
2тс
Уо
( L V
\у) = ~~
еЬР
В случае L «С / величина Ау очень мала по сравнению с yOi
и направление движения протона при выходе его из цилиндра
определяется соотношением
°" УП B)
У
1±
!
Подставляя сюда выражение A) для vy, находим
тс*
У
г тсУ = тс _ тс2У = .
/ У® eb y0V't е 6 / 2npevL 2nepL v 9
здесь для получения окончательного результата мы использо-
вали следующие подстановки: t = L\V и б = 2npv/c.
II. 1.5.
Обозначим через Oxyz лабораторную систему отсчета, а че-
рез O°x0y°z0 — систему отсчета, связанную с движущимся заря-
дом (который поместим в начало отсчета 0°). Потенциалы то-
чечного заряда в системе O0x°y°z0 определяются выражениями1)
*) Предложенное автором решение заменено более общим и одновре-
менно более компактным. На рисунке, воспроизводимом без изменений, пока-
зано положение точки Р с координатами (Ь, 0, 0), в которой ранее отыски-
вались поля. Чтобы определить поля в этой конкретной точке, достаточно в
общем решении положить х = Ь, у = 0 и z — 0. — Прим. ред.

106 //. Электричество и магнетизм
где
Преобразования Лоренца от системы отсчета O0x°y°z0y свя-
занной с зарядом, к лабораторной системе Oxyz описываются
с помощью матрицы
10 0 0
0 1 0
Т= I
' 0 0 y
• 0 0 фу у
в предположении, что система O°x°y0z0 движется относительно
системы Oxyz вдоль оси z со скоростью v. Здесь y = l/Vl ~"P2
а р = v/c. Применяя эту матрицу преобразования к компонен-
там потенциала
г
./У
получаем
Преобразования Лоренца для координат записываются в виде
Используя теперь выражения:
находим компоненты полей Е и В, создаваемых в точке P(x,y,z)
равномерно движущимся зарядом:
р дУ_ д_(уе\ д 1
дх дх \ rQ ) дх ух2 + у2 + у2 (z — vt)
уех
[xz + у
Р dV уеу
У~ ~ду~ [х2 + у2 + у2 (z ~ irfJ]Vs
? =__j^ 1 дЛ2 ye (z — vt)
dz с dt [x2 + y2 + y2 (z - •
Q _ dAz _
ду [х2
дАг
+ у* + y2 (z -
о

Ответы и решения 107
11.2.1. Пусть
Проинтегрируем эту функцию по объему:
/ = J / (г)dV = J V2 у dV = J J V у • ds (теорема Гаусса);
s
здесь S — поверхность, ограничивающая объем V. В сфериче-
ских координатах интеграл принимает вид
/ = — \ \ —- г2 sin 8 dy dQ = — \ \ sin 9 dqp dQ =
s s
О, если точка г = 0 не принадлежит области V,
— 4я, если точка г = 0 принадлежит области V.
Мы видим, что функция f(r) является обобщенной функцией
—4яб(г). Следовательно,
II. 2.2. Один заряд создает электростатическое поле
р я
Диполь на большом расстоянии создает поле
1 dx '
где Ал: — расстояние между двумя зарядами. Чтобы найти
поле Е2 двух противоположно ориентированных диполей (квад-
руполя), разделенных расстоянием Ау, нужно просто продиффе-
ренцировать поле одного диполя Е\ по —у.
Аналогично определяем поле Еъ восьми зарядов (октуполя),
расположенных в вершинах куба:
Поскольку Ал: = Ay = Az = const, отсюда следует, что поле Е^
обратно пропорционально г5.
И. 2.3. В случае дипольного излучения векторы электриче-
ского и магнитного полей в волновой зоне можно найти по
формулам
ikr

108 //. Электричество и магнетизм
Акт
/ ~ _f •
ч P Z »
здесь k = 2лД— волновое число, р — дипольный момент, an —
единичный вектор в направлении переноса излучения, которое
в нашем случае совпадает с направлением радиус-вектора
к точке наблюдения. (Поля пропорциональны 1/г, поскольку их
интенсивности изменяются по закону обратных квадратов. На-
правление переноса излучения определяется векторным произ-
ведением Е X В || п. В написанных выше выражениях для ди-
иольного излучения один множитель k следует из разложения
векторного потенциала, а другой — непосредственно из уравне-
ния В = V X А = ik X А.) Электрическое поле, создаваемое
двумя диполями вместе, записывается в виде
* ~-"~12~dx~~ 2~ln АР) АП—^-,
а индукция магнитного поля
при получении этих формул мы пренебрегли всеми членами, про-
порциональными 1/г3. Искомый вектор Пойнтинга S на больших
расстояниях от излучателей будет1)
здесь cos 9 = z/r и tg ф = у/х.
И. 2.4. Петля из сверхпроводника обладает чрезвычайно ма-
лым сопротивлением. Поэтому в случае каких-либо изменений
магнитного потока Ф, пронизывающего петлю, индуцированная
в ней э. д. с. должна незамедлительно вызывать большие изме-
нения тока, чтобы сохранить этот поток Ф неизменным. До сов-
мещения обеих петель каждую из них пронизывал поток
Фнач = /Ш = С/, A)
где А — площадь петли, С — постоянная. Запишем выражение
для магнитного потока, пронизывающего обе петли после их
совмещения:
Фкоиеч = С// = С(Л + /0; B)
Здесь /' — суммарный ток в совмещенных петлях. Из условия
Фнач = Фионеч имеем
Г = /, или /( = /? = //2, C)
!) Обычно в дипольном приближении вычисляют не суммы напряженно-
стей полей диполей, а поле суммарного дипольного момента. — Прим. ред.

Ответы и решения 109
поскольку обе петли одинаковы. Энергию системы в исходном
состоянии можно записать в виде
Энергию системы в конечном состоянии — в виде
D)
Учитывая C) и то, что для совмещенных петель М = L, по-
лучаем
W — — / /2
w конеч — 2 "
Энергия системы уменьшилась на
Ш XV7 — -L / /2
w нач w конеч — 2 *
Это уменьшение связано с преобразованием энергии поля в ме-
ханическую энергию (т. е. работу против сил, например, трения
или удерживающей петлю руки) и энергию излучения.
II. 2.5. Полный импеданс электрической цепи равен1)
1 . г , R
= mL + ,
_ R . . (oL + ((o/?CJ (oL -
~" 1 + (®RCJ + * 1
Подставляя сюда (o = l/yLC, получаем
(L
*) Автор получает очень громоздкие формулы, не позволяющие раскрыть
весьма интересную особенность данной электрической цепи, на которую, по-ви-
димому, обратил внимание Штейнмец. Дадим более простое решение этой за-
дачи. Для произвольной частоты со
R
V V 7 V "t i ;,> пп V
. v # v RC 1 -f- ?(OaC* *
R "" "X" ~ ~R ~T~ ~ ~R~ R ~ i(*L + R(\ — co2LC) '
В частном случае (см. условие задачи), когда со2 = 1/LC, получаем
— ток через резистор не зависит от его сопротивления. Иными словами, рас-
сматриваемая цепь представляет собой простейший стабилизатор переменного
тока. Физика процесса очевидна: если R = 0, то ток ограничен индуктивным
сопротивлением. При 0 < R < оо ток поддерживается на том же уровне
вследствие резонанса напряжений на элементах С и L; эти напряжения рас-
тут пропорционально R. — Прим. перев.

ПО //. Электричество и магнетизм
Общий ток, протекающий в цепи, равен
Через резистор протекает ток
1общ ^
1 t
• =
RL L2
L + R2C l (L + R2C) л/LC
где
V
LC~ L + R2C '
II. 2.6. Пусть электрическое поле изменяется по закону
Е = Еое'<«'-к'г>.
Тогда для плотности тока смещения Jd имеем
/ J?i ^_ /сово-Ё1
JdZ=l An dt ~ 4л '
а плотность тока проводимости равна <т?. В случае равенства
обоих токов по величине
Определим теперь комплексный показатель преломления п:
4шт
Принимая во внимание равенство A), получаем
здесь /г0 и х — действительные положительные величины. Вели-
чина к называется коэффициентом поглощения. Из B) находим
1+V2

Ответы и решения 111
Определим теперь коэффициент отражения. При нормальном па-
дении волны он связан с показателем преломления следующим
образом:
п-1
Подставляя сюда из C) значения д0 и и, находим г = 0,047.
II. 2.7. Введение незаряженной проводящей сферы в однород-
ное электрическое поле вызывает такое же возмущение поля
за ее пределами, как и помещенный вместо нее в точке, совпа-
дающей с центром сферы, электрический диполь с моментом
Р = R3E0, где /? —радиус сферы. Следовательно, возмущение
внешнего поля в сферических координатах г, 0 и ф можно оха-
рактеризовать полем диполя с компонентами:
Е _ 2Р cos 6 - р _ Р sin 6 а с _Q
И. 3.1. Если электрон движется с ускорением, то он теряет
свою энергию на излучение. Полная энергия электронно-протон-
ной системы убывает со скоростью
dE 2a2e2 /1Ч
где а — ускорение, е — заряд электрона, а с — скорость света.
Ускорение электрона а связано с радиусом г его орбиты сле-
дующим образом:
та = е2/г2у
откуда
Используя последнее выражение и учитывая, что а = v2/r, на-
ходим полную энергию электронно-протонной системы
C)
Подставляя выражение C) и B) в (I), получаем
2r2 dt Ът2гксъ ' к }
или после очевидного упрощения
dt 3/п2г2с3 •

112 //. Электричество и магнетизм
Интегрирование этого уравнения дает
¦??(*»-eg);
здесь R — начальное расстояние между протоном и электроном,
Яо — радиус первой боровской орбиты.
II. 3.2. Полагая г Ф О, запишем уравнение Пуассона в сфери-
ческих координатах
^ A)
где Л—-дифференциальный оператор, зависящий только от уг-
лов. В случае сферически симметричного потенциала AV(r) = 0.
Подставляя в уравнение A) выражение для V(г) из условия
задачи, получаем при гФ 0
1 d2 __,r Я2,
-Ir
/ \ \ w \r л/е
Перейдем теперь к случаю г->0. Тогда
Но, как было показано в решении задачи II. 2.1,
Г~79 1
Следовательно, в общем случае имеем
При г-*0 вклад в общий заряд дает только член б (г), по-
скольку объем пропорционален г3.
II.3.3. Пусть ?, Ef и Е" — амплитуды электрического поля
падающей, преломленной и отраженной волн соответственно.
Известно, что плотность импульса плоской волны дается сле-
дующими выражениями:
для преломленной волны в диэлектрике1)
для падающей волны в воздухе
2 4яс
*) Мы уточнили здесь используемое автором выражение для плотности
импульса электромагнитной волны [см., например, В. Л. Гинзбург, В. А. Уга-
ров, УФН, 118, 175 A976).] —Прим. ред.

Ответы и решения 113
и для отраженной волны в воздухе
5 4тсс
Падающая волна передает единичной площадке среды в еди-
ницу времени импульс Р2 = cG2, а преломленная и отраженная
волны уносят импульс Pi,3 = -~ Gx — cG3. В соответствии со вто-
рым законом Ньютона давление на поверхность среды должно
быть равным разности Р2 и Р^з, т. е.
Давление = Р2-Риз = ±- [ЕН - i- ?'#' + ?"#") .
В случае нормального падения волны ?, Е' и Е" связаны между
собой довольно простыми соотношениями
rt + 1
р„ ___ п—
а И = ?, Я7 = яЕ7 и #" = Я77. После подстановки этих со-
отношений в формулу для давления находим
L
2я
П. 3.4.
а) Пусть Я — линейная плотность заряда на цилиндре ра-
диусом г\. По теореме Гаусса имеем ')
и
A)
где А — площадь боковой поверхности цилиндрического сечения
радиусом г и длиной, равной единице. Поскольку Ет зависит
только от г, то из A) сразу получаем
^ B)
4) Автор использует рационализированную формулу (система СИ). Здесь
е — диэлектрическая проницаемость. В случае воздушной среды она совпадает
с электрической постоянной е = е0. В случае диэлектрика с относительной
диэлектрической проницаемостью К она равна е = ео/С. — Прим. перев,.

114 //. Электричество и магнетизм
Разность потенциалов между двумя цилиндрами в соответствии
с условиями задачи вычисляется следующим образом:
V = J Er dr = 2^7 [0/Ю1п ('•з/п) + In (Ыг3)}. C)
Таким образом, емкость конденсатора
•->aL
С "" Т" ~~ (\/К) In (гз/г,) + In (г2/г3) • W
б) Из выражения C) можно найти плотность заряда X:
л 2тсе0У ,-ч
A/Ю1п(гз/г1) + 1п(г2/г8) # w
Применяя теорему Гаусса, определяем поле Е в диэлектрике
и в воздушном зазоре:
2пе0Кг '
Г\<Г < Г3>
!Hi7' гз<г<г2.
Следовательно, электрическая индукция D в диэлектрике равна
D==-2*7> '1<г<г2> G)
а поляризация
-eo?=
()
0, г3 < г < г2.
в) В случае когда разность потенциалов между обкладками
конденсатора поддерживается постоянной, конденсатор уже
нельзя рассматривать как изолированную систему. Он должен
быть подключен к источнику зарядов (батарее), или к источнику
энергии. Пусть С — емкость конденсатора в отсутствие диэлек-
трика. Из выражения D) мы имеем
L — In (га/г,) • W
Работа, затрачиваемая на удаление диэлектрика, дается выра-
жением
Работа = | СУ2 -1CV2 - (Q7 - Q) V,

Ответы и решения 115
где Q' — заряд на одной из обкладок конденсатора после удале-
ния диэлектрика. Поскольку Q' = CV\ a Q = СУ, мы получаем
Работа = —• (С — С7) =
2jteL (
in (r2/n) j ;
здесь мы использовали выражения D) и (9) для С и С\
II. 3.5.
а) Магнитную индукцию в тороидальном сердечнике вычис-
ляют по формуле
Следовательно, полный поток Ф, пронизывающий поперечное
сечение А этого тороида, равен
б) Для эквивалентной магнитной цепи тороида справедливо
следующее уравнение:
где R\ — магнитное сопротивление части тороида с железом,
a R2 — магнитное сопротивление воздушного зазора. Учитывая,
что Ф1 = Ф2 = Ф, и подставляя в последнее уравнение
2nd-6 6
1 WA Уг цА '
находим
т„ NIA NIA NIA
В)
Энергия поля в железе = -^— В2 X Объеж =
Энергия поля в зазоре =
Мы видим, что в случае \х > 1 создание поля в зазоре сопря-
жено с большими затратами энергии даже при очень малой ши-
рине зазора 6.
г) Индуктивность отдельного витка равна d(b/dl. Всего то-
роид содержит Af витков, и каждый виток пронизывается общим
магнитным потоком; следовательно,

116 //. Электричество и Магнетизм
Подставляя сюда
* ~~~ цб + 2nd '
находим
jj,6 + 2nd
II. 3.6.
а) Магнитная индукция, создаваемая током большой петли,
в центре системы равна
Полный магнитный поток, пересекающий малую петлю, дается
выражением
где А — ориентированная площадь малой петли, а 6 — угол
между осями петель. При вращении малой петли с постоянной
угловой скоростью со мы имеем 9 = cot. Э. д. с, наводимая
в петле, равна —dO/dt. Используя выражение B), получаем
для малой петли
Э. д. c.^-^^j^asmat. C)
Ток в малой петле 1\ определяем по закону Ома:
^ D)
б) В соответствии с законом сохранения энергии механиче-
ская мощность xdQ/dt должна быть равна мощности тока, наве-
денного в петле, т. е.
Используя выражения D) и B), получаем
ш sin2 (at
R *
в) Из выражения B) находим взаимную индуктивность двух
петель
dO 2 зта2и,0 j
=и COS@/-

Ответы и решения 117
Теперь можно определить э. д. с. взаимной индукции, наведен-
ную в большой петле:
я2/со2а Vo . ( яа2ипо) cos cat V
—2co/ = — p
dl\
26
II.4.1.
E — jL g2 <?2 __ Q2
a a a a
II. 4.2.
Электрич. притяжение в D,8) « 10
.
Гравитац. притяжение Gtnemp 6,67 . Ю""8 • 107 • 2000 • 107
1Q39
При вычислении этого отношения мы воспользовались значе-
ниями ^ = 4,8- Ю-10 ед. СГСЭ, me^l0~27 г, mp « 2000те
и G = 6,67-Ю-8 ед. СГС.
И. 4.3. Потенциальная энергия взаимодействия точечного за-
ряда q с плоскостью равна половине энергии взаимодействия
двух точечных зарядов q и —q, разнесенных на расстояние 2d.
Следовательно,
Е = - q2/4d.
11.4.4. Поле поверхностного заряда по обе стороны от плас-
тинки определяем по теореме Гаусса; оно равно ±2яа для *3~0.
Применяя принцип суперпозиции полей, находим результирую-
щее поле
Е = ?0 =Ь 2.тсог для х ^ 0.
11.4.5. Пусть qr — заряд на внутренней сфере. Потенциал этой
сферы равен сумме потенциалов, обусловленных зарядами q и qf
соответственно:
Поскольку внутренняя сфера заземлена, V = 0. Следовательно,
«---¦?*
И. 4.6. Применяя закон Ампера
сразу находим

118 //. Электричество и магнетизм
II. 4.
Для
.7. Для постоянного тока
V R
2N A2N
высокочастотного тока
V N ZN _ LN
V2N Z2M ~ L2N
1
2 *
N2
BNJ '
1
4 >
здесь Li — индуктивность обмотки с числом витков i.
II. 4.8. Сила взаимодействия между проводником и средой
такая же, как и сила взаимодействия между двумя параллель-
ными проводниками с током /, разнесенными на расстояние 2d.
Следовательно,
F = — 2 • 10~7 jj Н/м (притягивающая).
II.4.9. Магнитная индукция В в центре петли записывается
в виде
Теперь можно найти вращающий момент, действующий на бу-
синку:
d - ылллг BMV MVI
Вращающий момент = HMV = = —~—.
Здесь мы исходили из концепции взаимодействия постоянных
магнитов. Однако если решать эту задачу с точки зрения взаи-
модействия круговых токов, то М следует заменить на
ЛГ s= М/\ю, а # — на В. Аналогичная ситуация встречается в за-
дачах П. 6.2 и П. 7.3.
II.4.10. Прибор покажет напряжение, равное индуцирован-
ной идущим поездом э. д. с:
9. a. ,. = -
dt — — — - ™ А 3,6-Ю3 —
= 2-5. 10 Вб/с=10"В.
11.4.11. Искомая работа равна разности потенциальных энер-
гий диполя до и после поворота его на 180°, т. е. 2/??cosa.
11.4.12. В силу непрерывности тангенциальной составляющей
напряженности электрического поля на границе имеем Е = Е$.
Отсюда следует, что электрическая индукция
II.4.13. Какпоказано в решении задачи II. 1.1

Ответы и решения Н9
II.4.14. Поскольку для освещенности монохроматическим све-
том справедлива следующая формула:
Освещенность = A (ео?* + ?-)) = | г0Е> - -^ Я»,
где ?0 и #о — амплитуды полей Е и В, мы имеем
Вб/м2.
П. 4.15. Согласно теореме Гаусса, имеем следующее соотно-
шение для нормальной составляющей напряженности Е элек-
трического поля:
= <г/е0.
Тангенциальная же составляющая электрического поля Е со-
храняется непрерывной. Следовательно,
11.4.16.
Р-г _ 1
4яе0/ г2
11.4.17. 0,5 Гс.
11.4.18. Внутри проводящей сферы электрический потенциал
равен1) QIAnboR.
II. 4.19. В системе единиц СИ
Плотность энергии = -у (ео?2 -\ В2 J ,
Плотность импульса = —Щ—.
II. 4.20.
Вектор Пойнтинга = Е X Н = (RIk) X (-^g- в) =
D/2 Л
= — -щ- Г! (направлен внутрь провода).
II.5.1. Запишем сначала выражение для комплексной про-
водимости контура
1 1 . . n I - oJLC
/со/.
1) С точностью до произвольной постоянной. — Прим. ред,

120 //. Электричество и магнетизм
Отсюда находим комплексное сопротивление
г, i($L icoL
Z = 2777 = ^WT>
1 — ccrLC 1 — ©7©о
Поскольку со2 < cog, то Z имеет индуктивный характер.
II.5.2. 0.
II. 5.3. Цепь из последовательно соединенных конденсаторов
обладает емкостью C/N, где С — емкость каждого конденсатора.
Результирующее напряжение равно
!W = N
(Q — заряд на каждом конденсаторе), поскольку V = QIC.
II. 5.4. 4L.
II. 5.5. Используя тот факт, что диэлектрик не оказывает
влияния на величину электрической индукции D, мы находим
~ К
Другое доказательство:
Н. 5.6. Е ~ — , так как энергия волны убывает по закону об-
ратных квадратов.
II. 5.7. Из условия непрерывности тангенциальной состав-
ляющей электрического поля имеем
Е + Ед = 0, или Ед = -- Е,
где ER — электрический вектор отраженной волны. Как видно,
он сдвинут по фазе на 180° относительно электрического век-
тора падающей волны Е.
II. 5.8. Больше. (Под действием сил притяжения заряды на
металлических сферах перераспределяются таким образом, что
расстояние между ними уменьшается.)
II. 5.9.
и _
Г
2nd '
Силэ вызывает притяжение проводоз,

Ответы и решения 121
II. 5.10.
а) Криволинейный интеграл от напряженности магнитного
поля по любому замкнутому контуру равен полному намагни-
чивающему току через поверхность, натянутую на этот контур:
Н dl — I = ni;
здесь п — число витков провода. Поскольку ширина зазора зна-
чительно меньше диаметра полюсов магнита, то поле в зазоре
можно считать однородным. В этом случае приведенная выше
формула принимает вид
где индексы 1 и 2 относятся к полям в воздушном зазоре и в же-
лезном сердечнике соответственно. Нх и Н2 связаны с Вх и В2
соотношениями
ТТ Ц\ Bj ТГ ]h_ В2
1 Hi Но ' 2 Н2 НПО '
В случае очень узкого зазора В{ « В2у и мы получаем
4- = TJrri- ~ 2>5 Вб/(м2 • А).
б) Для тока / = 0,5 А имеем [iQH = 1,25-10~3 Вб/м2. При
увеличении тока i до 1 А значение |хо# становится равным
2,5-10~3 Вб/м2. Из приведенного в условии задачи графика В(Н)
определяем В « 1,7 Вб/м2 (тогда как при отсутствии насыщения
6 = 2,5 Вб/м2).
И.5.11.
а) В системе устанавливается стационарное движение, когда
индуцированная в ней э. д. с. компенсирует напряжение источ-
ника, т. е. когда
Blv = V.
Отсюда находим
v = V/BL
б) В любой момент времени / по стержню протекает ток1)
._ V-Blv
l~~ R
Отсюда находим уравнение движения стержня
V — Blv o/
mv = Fx^=e — Bl.
J) Автор пренебрегает реакцией тока /, порождающего противодействую-
щее магнитное поле. — Прим. ред.

122 //. Электричество и магнетизм
Его решение с учетом начального условия, а именно v = О при
t = 0, записывается в виде
в) В этом случае уравнение движения принимает вид
V — Blv D1 r?
mv =
5вг F •
Движение является установившимся, если г) = 0. Отсюда по-
лучаем
u ~~ Bl {BlJ '
г) При условии, указанном в п. «в» нашей задачи, ток
в стержне равен
. V — Blv_ F
l~~ R ~~ ВГ
Отбираемая от источника мощность равна Vi. Часть этой мощ-
ности величиной Fv преобразуется в механическую работу. Сле-
довательно,
к п д = *-^ = F G/Б/) ~"FR/B42 = 1 — FR
И. 5.12.
а) Запишем уравнение цепи
*¦&+%-<>¦
Отсюда находим
б) Поскольку заряд Q распределен равномерно по поверх-
ности пластины конденсатора, часть этого заряда, сосредоточен-
ная вне круга радиусом р, равна
Q / 2 2\ Q0
г
Отсюда находим ток через круговое сечение радиусом р:
i — — -; L. g—tlRC^
dt r20RC
в) Магнитное поле определяем по закону Ампера:
г\ М'О-' М'оУо -*flDQ
6 2яг 2nRCr

Ответы и решения
123
г) Присутствие только 0-компоненты магнитного поля можно
объяснить следующим образом (см. фиг. 1). Вычислим магнит-
ные поля Вг и Bz в произвольной точке Р(/', 97, z')y где г\ 9'
и г' — цилиндрические коордииаты рассматриваемой точки. Для
этого определим сначала поля, индуцированные в данной точке
токами, текущими по двум элементарным радиальным отрез-
кам ЬЛ\ и Д/2 с координатами (г, в7+ 9,г) и (г, 97— 9,г).
Фиг. 1.
В точке Р (для простоты она выбрана в плоскости х, г) инду-
цируются поля
Bj — ii X (ri - r')~ (cos9 x + sin9 у) X [(r cos9 - r') x +
B2 ~ (cos 9 x — sin 9 y) X [(/ cos 9 — /) x — r sin 9 у + {z - г7) z].
Следовательно,
= — 2 cos 9 {z — г7) 9.
Отсюда видно, что компоненты Вг и 5Z магнитного поля, инду-
цированного в точке Р токами на обоих отрезках, обращаются
в нуль. Если проинтегрировать этот результат по г и 9 и сло-
жить затем полученные поля токов в обеих пластинах, то по-
лучим как раз искомое магнитное поле между пластинами кон-
денсатора. Из проведенного нами решения можно сделать вы-
вод, что единственная, отличная от нуля компонента магнитного
поля имеет направление 9.

124
//. Электричество и магнетизм
Другое доказательство. Поскольку векторы тока и положения
точки являются полярными, то из закона Ампера следует, что
магнитное поле представляет собой аксиальный вектор. Если
считать законы электромагнетизма инвариатными относительно
зеркального отражения пространства, то при таком отражении
вектор магнитного поля должен изменять свое направление
в пространстве. Пусть Р и Q —две точки на плоскости, симмет-
рично расположенные относительно центрального проводника
(см. фиг. 2,а). В силу аксиальной симметрии магнитного поля
а
-Диен 1
\
-хр'
-Диск 2 —¦
Зеркало
-Диск 2'
Р'х-
< Диск Г
Фиг. 2.
компоненты Вг и Вг в этих точках связаны друг с другом так,
как показано на фиг. 2, а. Пусть точка Рг является зеркальным
отражением точки Р. Как видно из фиг. 2,6, компоненты маг-
нитного поля в точке Рг должны быть противоположны по на-
правлению компонентам поля, отраженным в зеркале. Повернем
теперь картину на фиг. 2,6 на 180°. Тогда получим ситуацию,
показанную на фиг. 2, в. Сравнивая ее с фиг. 2, а, мы видим, что
точка Рг совпадает с точкой Q, а направление поля Br(Bz)
в точке Рг противоположно направлению соответствующего поля
в точке Q. Следовательно, компоненты Вг и Вг должны отсут-
ствовать.
Н.5.13.
Скорость = Частота X Длина волны =
= 4 • 1014 • 5 - 1(Г7=2- 108 м/с.
Показатель преломления
п = c/v = 3/2-
Длина волны в воздухе
¦\-7
М.

Ответы и решения 125
II.6.1.
а) Снаружи магнитное поле равно нулю, а в зазоре между
пластинами оно отлично от нуля и является приблизительно
однородным. Из формулы
В • ds = Hq/,
где вектор ds перпендикулярен плоскости рисунка, получаем
ВЬ « Но/, или В « -——
(вектор В направлен от читателя к плоскости рисунка). Здесь
мы учли, что а «С Ь и тем самым пренебрегли членами, завися-
щими от а/Ь.
б) Индуктивность цепи определяем по формуле
b~~ dl/dt ~ dl ~ dl \D/i>— dl\b ш) ~
в) Уравнение данной электрической цепи записывается в виде
т/ т di л
dt '
откуда находим
г) Индуктивность обеих пластин на расстоянии х от закоро-
ченного конца равна
Ll=—S~.
Следовательно,
т/ г dt \IqXcl гу
vx=L^-Tt=~brV^
д) На расстоянии х от закороченного конца имеем
Поток
II. 6.2. При L ^> R две петли с током взаимодействуют по-
добно двум магнитным диполям с моментами \iqIA, где А —
площадь петли. Индукцию В внутри второй петли, обусловлен-
ную током в первой петле, можно представить в виде векторной
суммы двух компонент: Вг — в направлении возрастания радиус-
вектора г и Be — в направлении увеличения угла 9. Мы имеем
__ Но /D2 Sin9 __ \i0
~ 4 lK L3 ~~ 4

126 //. Электричество и магнетизм
Здесь x = Lcos0, */ = Lsin9, a \ioInR2— эквивалентный ди-
польный момент отдельной петли. Вращающий момент, дей-
ствующий на вторую петлю, можно вычислить по формуле
т = /АХВ = цо/(АХН),
или
г г>9 / г> • л i г> л\ Зяи0/2/?4 sin 9 cos 9
% = inR2 (Br sin B + BQ cos 9) = ———jjj .
Вектор вращающего момента направлен в плоскость чертежа.
Сила, действующая на вторую петлю, равна
где
ш, CR2? T^
sin29-3cos2e
II. 6.3. Магнитное поле в точке Р, обусловленное током /
в прямолинейных частях рассматриваемого провода, равно полю
тока той же величины, протекающего в бесконечном прямоли-
нейном проводе, расположенном от точки Р на расстоянии г.
Поле, создаваемое током / вдоль полуокружности, равно в точ-
ности половине поля кругового тока /. Следовательно, в точке Р
магнитное поле
Оно направлено по нормали к плоскости чертежа.
Приведенное здесь решение станет очевидным, если ввести
в рассмотрение другой идентичный контур, как показано на
рисунке штриховой линией. Теперь мы имеем два бесконечных
прямолинейных провода и один круговой контур — все с то-
ками /. Поскольку поле в точке Р не зависит от поворота одного
изогнутого провода относительно другого в плоскости чертежа
и поля токов попросту суммируются, то поле тока в одном изо-
гнутом проводе равно половине поля, обусловленного токами во
всей рассматриваемой системе проводов.

Ответы и решения 127
11.6.4. Волновое уравнение в случае прямоугольного резона-
тора имеет вид
где
2 Ю2
У = М-оео — —
а вместо г|э может стоять любой из векторов Е или В электро-
магнитного поля. Граничные условия для полей записываются
следующим образом:
-А===0 при х = 0, а и */ = 0, Ь.
Общее решение уравнения A) имеет вид
• / \ л тпх пли /ЛЧ
Фш (х, У) = BQ cos —j- cos -f-, B)
где m, n = 1, 2, 3, ... . Подставляя это решение в A), находим
C)
Зависимость полей от координаты z соответствует стоячим
волнам:
•фЛ (г) — Asinkz + C cos /гг.
Для выполнения граничных условий при z = 0 и г =* d множи-
тель k должен удовлетворять соотношению
*=-?, Z = 0, 1, 2,... . D)
Собственные частоты резонатора определяем из формулы для у
после подстановки в нее выражений D) и C):
пс
I т2 . п2 . I2
v а2 Ь2 d2
Ё случае а> b > d самая низкая частота колебаний соответ-
ствует значениям т = 1, п = 0 и / = 0, т. е.
Этой частоте соответствует поле

128 //. Электричество и магнетизм
II. 6.5.
а) Уравнения Максвелла с учетом закона Ома J = аЕ
и в пренебрежении токами смещения *) записываются в виде
VXH- —Е = 0.
С
В случае гармонических колебаний с частотой со во втором урав-
нении можно исключить поле Е и получить следующее волновое
уравнение:
V X V X Н + -^^ ill = 0 B)
с
в предположении, что
Н = HQel <°>'-kr>.
При нормальном падении плоской волны вектор Н параллелен
границе раздела. Следовательно,
а поскольку
V X V X Н = V(V . Н) - V2H = - V2H = - -JJr Н,
то уравнение B) принимает вид
где п X Н = Н'. Это и есть искомое уравнение в частных про-
изводных.
б) Поскольку разность потенциалов электрического поля
между двумя точками не зависит от пути, соединяющего эти
точки, должно выполняться условие Е* = Ее, т. е. тангенциаль-
ная компонента электрического поля должна быть непрерыв-
ной. Если металл обладает высокой проводимостью, то заряды
в его поверхностном слое движутся в такт с изменением элек-
трического поля падающей плоской волны и Н* в глубине ме-
талла отсутствует. Мы имеем
Н<=^-К и Н^ = 0, D)
1) Пренебрежение токами смещения соответствует переходу к квазиста-
ционарному приближению, в котором не учитывается запаздывание, а, зна-
чит, не могут быть описаны и электромагнитные волны. Таким образом, в этой
задаче поле внутри проводника, описываемое получаемым ниже уравнением
B), не является волновым. — Прим. ред.

Ответы и решения 129
где К — поверхностный ток, протекающий примерно в толще
скин-слоя; К = оЕК При г-*0 из D) имеем Н' = Н*.
в) Используя уравнение C), можно найти
Входящая в это выражение величина б называется толщиной
скин-слоя:
л/2л\као
Подставляя E) во второе уравнение Максвелла A), получаем
Таким образом, находим поверхностный импеданс
II. 6.6. Магнитное поле на поверхности провода имеет ком-
поненты
Ве = ^7 и бг = 0, A)
где а — радиус провода. Электрическое поле связано с раз-
ностью потенциалов V = IR на отрезке длиной L следующим
образом:
Оно направлено вдоль провода. Вектор Пойнтинга на поверх-
ности провода
8-±(ЕХВ) = ??|?.(-?.)—S;?'. C)
где Г\ — единичный вектор нормали. Как видно, вектор Пойн-
тинга направлен по радиусу внутрь проводника.
Энергия поля, поглощаемая проводом на длине L в единицу
времени, равна
и она преобразуется в джоулево тепло.
II. 7.1.
а) В соответствии с законом Ампера
dl = |i0/', A)
где V — ток через поверхность, ограниченную замкнутым конту-
ром, по которому производится интегрирование.
5 За к. 743

130
//. Электричество и Магнетизм
1) г < а. В этом случае /'=/г2/а2, и из A) получаем
~е 2jtr
2) а < г < Ь. Г = /, и из A) следует
е 2лг 2лг
3) 6 < г < с.
и из A) находим
B)
C)
Но/ с
2-г2
^е ~ 2яг с2-Ь2 '
4) г > с. В этом случае V = 0. Следовательно, Bq = 0. Ра-
диальные компоненты поля и компоненты вдоль оси z тожде-
ственно равны нулю во всех четырех областях.
б) Согласно определению,
d Ф/dt
dl/dt
dQ)
dl
D)
здесь Ф — полный магнитный поток, пронизывающий сечение
ABCD. Используя выражение C), находим
Следовательно, индуктивность
II. 7.2.
2л Ш а '
А
а) Сначала докажем общую теорию о том, что любой такой
«черный ящик» эквивалентен одному источнику э. д. с. с после-
довательно включенным резистором. Приведенная на рисунке

Ответы и решения 131
схема показывает, как можно в самом общем виде соединить
различные источники э. д. с. и резисторы внутри черного ящика.
Пусть U — ток в 1-й ветви электрической цепи. Для каждого
замкнутого контура этой цепи можно составить следующее урав-
нение:
+ bill, I = 1, 2, ..., N, A)
= ?
где uij и bi — коэффициенты, зависящие от сопротивлений ре-
зисторов. Систему A) следует дополнить уравнением сохране-
ния полного тока
N
1,4 = 1. B)
/-I
Решая систему уравнений A), находим токи if.
Ч = Z (#< - btRI) Aih j = 1, ..., N; C)
здесь (Aij) — обратная матрица по отношению к (а^-). Под-
ставляя выражение C) в B), имеем
N
uttl
или
Введем теперь обозначения
и г = ¦
^ п « ' — N
? biAtj ? biAtj
U i Ui
Тогда выражение D) принимает вид
#=/(/?+ г), E)
где <$ — э. д. с. эквивалентного источника, г — сопротивление
эквивалентного резистора.
Подставляя данные из условия задачи, получаем & = 12 В
и г = 2 Ом. Следовательно, чтобы в цепи протекал ток силой
0,1 А, нужно подключить резистор с сопротивлением /?= 118Ом.

132
//. Электричество и магнетизм
б) Чтобы снизить пульсации напряжения частотой 60 Гц,
фильтр, показанный на рисунке, должен иметь при этой частоте
очень низкое сопротивление. Следовательно,
1С — — — (—— V — 7. 1П~6
II. 7.3.
а)
= —Hi
\i2 cos п
\i2 cos 0
б)
II.7.4. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону
Подставляя сюда Vo = 100 В и V = 50 В, находим
II. 7.5. Перпендикулярная полю компонента скорости элек-
трона равна
и±=~~- см/с = 7,071 • 103 см/с.
Из условия равенства сил
находим радиус траектории электрона
cv±m C.1О1О)G,ЫО3)(О,9ЫО-27)
еН
4,8-Ш-10-104
= 4х0 • 10~8 см.

Ответы и решения
133
Зная vi и /?, находим частоту
f = vj2nR = 298- 1010 Гц.
Таким образом, электрон движется по спирали радиусом
R = 4- Ю-8 см с шагом vx{2nmc/eH) = 2nR = 25-10~8 см.
11.7.6.
U
Рассматриваемую систему можно мысленно заменить двумя
сплошными проводниками 1 и 2 радиусами а и 6, по которым
текут токи с плотностью /, что и в исходном проводнике. Только
ток в проводнике 1 совпадает по направлению с током в исход-
ном проводнике, а в проводнике 2 он имеет противоположное
направление. Согласно принципу суперпозиции поле в любой
точке пространства не изменится при такой замене. Применяя
закон Ампера, находим магнитную индукцию Ви обусловлен-
ную током в проводнике Г.
или
\iolr
>1 —
2я (а2 - Ь2) '
г<ау
г>а.
[ 2пг (а2 - Ь2) '
При этом мы использовали выражения для плотности тока
A)
B)
J ~ я (а2 - Ь2) '
/г2
i = J* Площадь = 2 _ . 2 при г

134 //. Электричество и магнетизм
В прямоугольной системе координат, показанной на рисунке,
вектор магнитной индукции Bi записывается в виде
Мы предположили, что в проводнике 1 ток течет по направле-
нию от читателя. Аналогично находим выражение для магнит-
ной индукции В2, индуцированной током в проводнике 2:
2nr' {a2 -b2)' ^
Для вектора магнитной индукции В2 имеем
- сJ + у
У(* с) + у л/(х с)
Искомое поле В равно векторной сумме Bi и В2
__ / Вхх __ В2(х-с) \-
\ л/х2 + у2 У(* - сJ -f У2 )
В области г > а имеем
R _ lie/ Г /_of Ь2 \ - __
D "" 2я (а2 - б2) [^ V х2 + у2 (х - сJ + у2 ) *
В области г' <С b (и г < а)
В = 2я (<? У
( 2я (а-
Наконец, в области г' > b (но г < а)
2n(a2-b2)
II.8.1. При решении задачи влиянием индуктивности рамки
можно пренебречь, поскольку мы рассматриваем довольно боль-
шой промежуток времени Т\ = 10~4 с; кроме того, магнитное
поле рамки пренебрежимо мало по сравнению с внешним по-
лем. Следовательно, мы можем считать ток в рамке при
/^ 10~4 с постоянным и равным 0,1 А. В магнитном поле В на
боковые стороны рамки действуют силы
рЛ = BIh = 1(Г3 Н = Ю2 дин, A)

Ответы и решения 135
а силы, действующие на верхнюю и нижнюю стороны рамки,
равны нулю. Следовательно, импульс силы, действующей на
каждую из боковых сторон, равен
F = FhM=l02 дин- Ю с=1(Г2 дин-с, B)
а импульс момента
т = 0,02 дин -см -с. C)
Момент инерции диска
D/2
I = J 9hx22nx dx = я/2 г • см2. D)
о
Начальная угловая скорость диска
При вращении диска и рамки с угловой скоростью 0 в рамке
наводятся электродвижущая сила QBhD cos 9 и ток /, равный
QBhD cos 9/7?. Следовательно, на рамку со стороны поля дей-
ствует вращающий момент
Tj = — DhiB 9 cos 9 = - ,^2z^cos2 9 q = _ 4 . iO"89 Cos20 H • м =
= — 0,49 cos2 0 дин • см.
Пусть coo — собственная частота колебаний маятника:
со0 = ^- = 0,628 с-1.
Поскольку Оо^оао1), то амплитуда колебаний мала: А <С 1.
Тогда уравнение движения диска записывается в виде
или
ё + <о*е=^ = -*^^ё«-^ё = -ьё, E)
где Ь = B2h2D2/IR = 0,26. Здесь, поскольку отклонение 0 мало,
мы положили cos26» 1. Решение уравнения E) имеет вид
где
b ±j д/^сол — b2
co± = ^Y_i = 0,13 ± 0,615/ 0 = V- О-
И начальное отклонение равно нулю. — Прим. ред.

136 //. Электричество и магнетизм
Подставляя начальные условия 0 = 0 и 6i = 90 при / = 0,
имеем
В = — А и Л(со+— со-) = 90,
откуда находим
л во 0,013 ЛЛ1ЛС.
А = 7^=^т = W = ~ °>0106/ Рад-
Таким образом,
0 — _ 0,01 06 [^(-0.13+0,615/) t _ ?(-0,13-0,615/) t] у _
= 0,0212в-°»ш sin @,615/).
Рамка с диском совершают затухающие колебания, амплитуда
которых убывает по закону 0,0212е-°'ш.
II.8.2. Ток сильно возрастает при частоте 1000 Гц. Этот факт
заставляет предполагать, что внутри ящика элементы L и С
соединены последовательно. Условие резонанса записывается
как
1С 0)
При постоянном напряжении 100 В в цепи протекает ток 0,1 А.
Отсюда находим сопротивление резистора
Я =-у-=1000 Ом.
Резистор должен быть подключен параллельно цепи LC. Ком-
плексная проводимость такой цепи дается выражением
Z R ~ /coL - y/oC '
где j = <\]—1. Отсюда находим полный импеданс цепи
Z = * С?)
V(l//?2)+[coC/(co2LC-l)]2 f Vw;
здесь
В соответствии с условием задачи при переменном напряжении
?/Эфф = 100 В, круговая частота которого о) = 2я-60 рад/с,
в цепи течет ток /Зфф = 1 А. Следовательно,
^*l=100 Ом. C)

Ответы и решения 137
Из выражений A) — C) мы можем найти L и С. Имеем
= ю-4,
откуда получаем C = 2,63-10~5 Ф. Индуктивность определяем
из формулы A): Z. = 0,965-10~3 Г.
П. 8.3. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной
форме, предполагая, что поля изменяются по закону
i(p l)
A)
B)
C)
E. D)
J + eE/E E.
С С С С С
Исключая Н из уравнения C) или Е из D), получаем
^L E)
F)
Предположим, что плоская волна распространяется в на-
правлении х. Тогда поля Е и Н являются функциями только х
и t. Таким образом, уравнения E) и F) для отдельных компо-
нент записываются в виде
d2Ey to\i
^ (/7 + ^ E
- = —(/<* + сое) Ну,
d2Hz
Общее решение всех этих уравнений имеет вид
где
О) / , . ДОГ
= — Л/tie + / -=—
^7 V СО
— комплексное волновое число.

138 //. Электричество и магнетизм
И. 8.4. Кинетическая энергия налетающей частицы мини-
мальна, когда все частицы после столкновения движутся с оди-
наковыми скоростями. В данном случае это объясняется тем,
что после столкновения все частицы относительно центра масс
системы находятся в покое. Следовательно, инвариантная масса
частиц после столкновения равна в точности сумме масс всех
этих частиц:
М = тр + пгп + 2пгр + т-ж 5тр. A)
Закон сохранения энергии и импульса можно записать в форме
для 4-векторов:
Рр + Pd = Pf ^ PPl + Pn + PPl + Рр + Р_. B)
Квадраты 4-векторов импульса являются инвариантами:
(VpP) = -mP' (р&-рб) = -м\ и (Prpf) = -M>. C)
Здесь всюду принималось с= 1. Возведем равенство B) в квад-
рат. Тогда, приняв во внимание C), получим
m2p + m2 + 2?pmd = M2;
здесь ?р — полная энергия протона. Она равна
Следовательно, кинетическая энергия /(Р налетающего протона
равна
/Ср = ?р - тр = 3752 МэВ.
II. 8.5. Цепь описывается уравнением
Его решение, удовлетворяющее начальному условию при t = О,
имеет вид
* A
Стационарный ток в цепи равен V/R. Время t, в течение кото-
рого ток в цепи достигнет половины стационарного значения,
находим из соотношения
Следовательно,

Ответы и решения 139
дЛх дЛ
dz дх
II. 8.6. Из уравнения VX А= В, записанного в виде
dAz дЛу
ду dz ^'
дх ~RX>
дЛу дЛх
дх ду '
получаем два возможных решения для векторного потен-
циала А:
А = (kxz, - kyz, 0) и А' = -| (- х2 + у2) к,
которые связаны между собой соотношением калибровочной ин-
вариантности
следовательно, потенциалы А и А7 тождественны.
Из уравнения В = —Уф, записанного в.виде
дх у* ду dz '
находим выражение для скалярного потенциала ф1):
Ф = — kxy + C,
где С — константа.
II. 9.1. Магнитная индукция на боковой поверхности пучка
равна
B=JgL = 8 • 10" Вб/м2.
Следовательно, на электрон, движущийся вдоль границы пучка,
действует сила
F = evXB.
Ее значение равно
F = 1,6 • 1(Г19- 103 • 8 • 10~3 = 1,28 - 10~18Н.
Сила направлена к оси пучка и стремится сжать его.
4) Потенциал ф можно ввести во всем пространстве, за исключением то-
чек, расположенных на оси г. — Прим. ред.

140 //. Электричество и Магнетизм
II. 9.2. В случае среды, заполненной электронами, уравнения
Максвелла для гармонических полей можно записать в виде
vxe = /|b, v.b = o,
A)
Исключая либо В, либо Е в первом или третьем уравнениях
системы A), приходим к волновому уравнению
из которого следует соотношение
-*2 + ^?--^ = 0; C)
здесь мы предположили, что Е и В изменяются как e~m+ihz.
В случае ц = 1 и е= 1 это соотношение принимает вид1)
СО2
где
4nNe2
9
о2 =
р
р m
Частота сор называется плазменной частотой. Показатель пре-
ломления среды по определению равен
Из выражений D) и E) получаем
При высоких частотах падающей волны, когда со > сор, пока-
затель преломления п является действительным, и волна сво-
бодно проходит через плазму. При частотах ниже плазменной,
когда со <С сор, показатель преломления п становится чисто мни-
мым. От ионосферы такие волны отражаются.
II.9.3. Найдем сначала эквивалентную емкость С данной
системы. Так как конденсаторы С2 и С3 соединены последова-
тельно, то
J) Автор фактически предполагает, что среда представляет собой разре-
женный газ и частота со значительно превышает все резонансные частоты ве-
щества. — Прим. ред.

Ответы и решения 141
где С2з — эквивалентная емкость этих двух конденсаторов. По-
скольку конденсатор С\ соединен с цепью (Сг, С3) парал-
лельно, то
С = С23 + С{ = с22+3Сз -гС,.
Электрическая энергия, запасенная в системе, равна
т/2 (CiC2 + С2С3 + С1С3) v2
V — 2 (C2 + C3) *
II. 9.4. 10 мм рт. ст.
II. 9.5.
а) В течение времени 0 ^ / ^ t{ скорость рамки совпадает
со скоростью свободно падающего тела, т. е. v = gt. К моменту
времени / = t\ ее скорость достигает значения
б) В интервале времени t\ ^ / ^ t2 наводимая в рамке
Эдс B
где А — площадь рамки в области у<.0. Через рамку проте-
кает ток
/ = -g-v (направлен по часовой стрелке).
Сила, действующая на рамку со стороны магнитного поля,
р B2W2
г = BWI = б— v (направлена вверх).
Уравнение движения рамки записывается в виде
B2W2
v.
Отсюда находим
в) При t ^ t2 на рамку действует только сила тяжести. Сле-
довательно, ее скорость равна
mgR ,
V =
B2W2
г) При увеличении размеров рамки в N раз на ее изготов-
ление уйдет в N раз больше провода. Она будет иметь ширину
W = NW, массу mf = Nm и сопротивление R' = NR.

142
//. Электричество и магнетизм
Из п. «а» следует
v'=v в интервале времени
Подстановка R', W и т! вместо Rt W и т оставляет прежним
вид уравнения A). Следовательно, в интервале времени t\ <
<t<t2
B'W2 ,л J4
V =
_ mgR
B2W2
_ jngR\ -
B*W2)
mR vr II/__ ,
Таким образом, пропорциональное увеличение размеров рамки
не изменяет ее движения.
II. 9.6.
Пластина
Если поместить заряд противоположного знака —q на оси z
на расстоянии d за пластиной, как показано на рисунке,
и убрать пластину, то потенциал обоих зарядов во всех точках
плоскости г = 0, в том числе и на бесконечности, будет равен
нулю. Таким образом, потенциал новой системы удовлетворяет
всем граничным условиям старой системы и в то же время яв-
ляется решением уравнения Лапласа. Поскольку при данных
граничных условиях решение этого уравнения единственно, то
очевидно, что поле справа от пластины эквивалентно полю упо-
мянутых двух зарядов. Следовательно, в области г ^ 0 мы
имеем
4яе0 VBr - rfJ + г2 4яе0 V(« + dJ + r2 '
С помощью теоремы Гаусса можно получить выражение для по-
верхностной плотности заряда а:
ИЛИ
а = —
дг г-о'
qd
; (d2 + r2)Vt

Ответы и решения 143
II. 9.7.
а) Полная энергия системы дается выражением
W = ^ 8о?2 # Объем = у е0Е2Ах,
где Л = 1 м2, л; = 0,01 м, Е = 105 В/м и 8о = 8,8-10-12 Ф/м.
Если увеличить расстояние х между пластинами на dxy то энер-
гия электрического поля изменится на
Затраченная на это механическая работа Fdx должна быть
равна изменению энергии dW. Следовательно,
F dx = у еоЕ2А dx,
откуда находим
^ = -1ео?2Л = О,5.8,8. 10~12 • (lO5J • 1 =4,4- Ю~2Н.
б) С помощью теоремы Гаусса находим
а = ео? = 8,8 • 102 • 105 = 8,8 • 10~7 Кл/м2.
И. 10.1.
а) Медь — нормальный металл; при понижении температуры
его проводимость увеличивается. Это происходит потому, что
при понижении температуры энергия теплового движения элек-
тронов и атомов в металле уменьшается. Следовательно, число
столкновений электронов между собой и электронов с атомами
падает. Электрический ток при этом испытывает меньшее со-
противление, и проводимость увеличивается.
б) Ниобий — сверхпроводящий металл; его проводимость
при температуре ниже критической температуры Тс становится
бесконечной. Простое объяснение этого явления заключается
в следующем. При температуре ниже критической электроны
в ниобии оказываются связанными между собой посредством
взаимодействия с фононами. В силу коллективного движения
электронов столкновения между ними практически исключены.
Поэтому в сверхпроводнике отсутствует ограничение тока в от-
личие от несверхпроводящего металла, где столкновения элек-
тронов играют решающую роль и вызывают переход электриче-
ской энергии в тепловую.
в) Германий — полупроводник. При очень низкой темпера-
туре большинство электронов занимает низшие энергетические
уровни, и средняя энергия связи становится много больше энер-
гии теплового движения CkT/2). Количество электронов в зоне

144
//. Электричество и магнетизм
проводимости уменьшается; следовательно, при низких темпера-
турах германий имеет плохую проводимость.
II. 10.2.
а) Решение аналогично решению задачи П. 7.1. Мы имеем
L = — In — = 1 4 • 1(Г7 Г
б) Как показано на рисунке, сила, действующая на внешний
цилиндр, направлена по радиусу и стремится разорвать ци-
линдр. Здесь действует такое правило: система, подключенная
к источнику (например, к батарее) стремится запасти максимум
энергии и увеличить свою индуктивность (так как W = L/2/2).
II. 10.3.
Q(d,d)
Q(-d.-d)
Как показано на рисунке, при рассмотрении поля в первом
квадранте действие двух проводящих плоскостей можно заме-
нить действием трех точечных зарядов. В этом квадранте элек-
трический потенциал определяется формулой
1
(у -
+¦
1
l
(у
-dY У
В остальной части пространства всюду V{xt y) =

Ответы и решения 145
II. 10.4.
а) В соответствии с законом Ампера магнитное поле запи-
сывается в виде
R п Ni (U
# = И<о —• A)
Подставляя сюда N/1= 10 000 витков/м и i= 100 А, получаем
? = 4я- 10~7- 10000- 100 = 4я- 10"! = 1,257 Вб/м2. B)
б) Магнитный поток, пронизывающий сечение сердечника,
равен
ф = в А = An • 10 • — • 10~4 = л • 10~5 Вб, C)
и индуктивность
L==Jf-= lo4-^10 =я2.10-^Ю-2Г. D)
в) Электрическая энергия, затрачиваемая на создание маг-
нитного поля, дается выражением
t
E^~\&idt, E)
о
где э. д. с. самоиндукции
Подставляя ее в формулу E), получаем
di = Щ- « 50 Дж %
= —. 10 » 50 Дж.
г) Энергия магнитного поля равна
Е = — А1= {4л ' 10J — Ю
2цп 8я • 10~7 ' 4
И. 10.5.
а) Начальные заряды на конденсаторах С\ и С2 равны со-
ответственно CXV и C2V. После соединения конденсаторов на
них остается общий заряд Q = (С\ — С2) V. Одна часть его
(Ci - C2) 7d
с, + с2
1) Не следует путать эту энергию с той, что отбирается от источника.
Из-за различных потерь (тепловых, на излучение и др.) последняя оказы-
вается всегда больше. Аналогичная ситуация имеет место при аккумулирова-
нии энергии электрического поля в конденсаторе. — Прим. перев,

146 //. Электричество и магнетизм
сосредоточена на конденсаторе Си Другая
(d - с2) vc2
на конденсаторе Сг.
б) Энергия конденсаторов до их соединения
После соединения конденсаторов
F= 1 Q2 1 (Ci -г С2JУ2
* ~~~ 2 С, + С2 ~ 2 С, + С2
Следовательно, потери энергии составляют
АЕ = Ей-Е= otrV2,rA [(С, + С2J - (Cj - С2J] = -?&- V2.

III. ТЕПЛОТА,
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА
ЗАДАЧИ
III. 1.1 E баллов). Оцените удельную теплоемкость одноцен-
товой монеты 1).
III. 1.2 E баллов). Оцените степень магнитной поляризации
атомарного водорода в магнитном поле Земли на широте
Беркли2) при нормальных условиях3).
III. 1.3 A0 баллов). Молекулы газа распределены по двум
состояниям с внутренними энергиями 0 и 8 со статистическими
весами g\ и g2 соответственно. Вычислите вклад этих состояний
в молярную теплоемкость газа.
III. 1.4 E баллов). На скалах Дувра расположена радиоло-
кационная станция (РЛС), работающая на длине волны 5 м.
С высоты 200 м она осуществляет обзор Английского канала4).
Над каналом в 20 км от РЛС на предельно малой высоте летит
самолет. Оказывается, что сигналы от РЛС до него не доходят,
и поэтому он не дает отраженных сигналов. Почему это проис-
ходит? С другой стороны, на определенных высотах самолет
отражает чрезвычайно сильные сигналы. Что это за высоты?
(Использование этого физического явления сыграло немаловаж-
ную роль для победы англичан в Битве за Англию во время вто-
рой мировой войны.)
III. 1.5 B0 баллов). В камере-обскуре требуется получить
изображение протяженного объекта желтого цвета. Расстояние
от отверстия камеры до фотопленки равно D. Как следует вы-
брать диаметр отверстия dy чтобы получить изображение с мак-
симальной резкостью? Как при таком оптимальном диаметре
отверстия и неизменной чувствительности пленки время выдерж-
ки зависит от расстояния D?
III. 1.6 B0 баллов). В замкнутом сосуде объемом 1 л при
комнатной температуре находится водород при начальном дав-
лении 10~4 мм рт. ст. В момент времени t = 0 в нем мгновенно
нагревают до яркого свечения проволочную спираль общей пло-
щадью поверхности 0,2 см2. Молекулы водорода при ударах о
1) Отчеканенной из меди. — Прим. перев.
2) Примерно на средней широте. — Прим. перев.
8) Нормальным условиям соответствуют температура 0°С и давление
760 мм рт. ст. — Прим. перев.
4) Так в англосаксонских странах называют пролив Ла-Манш. — Прим.
перев.

148 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
раскаленную спираль диссоциируют. Образовавшиеся нейтраль-
ные атомы водорода при контакте со стенками сосуда оседают на
них. Чему равна приблизительно средняя длина свободного про-
бега молекул водорода при начальном давлении? Получите функ-
циональную зависимость давления от времени /. Через какой
промежуток времени давление в сосуде упадет до значения
10~7 мм рт. ст. Влиянием нагретой спирали на температуру газа
можно пренебречь.
III. 1.7 B5 баллов). Тройной точке воды соответствуют сле-
дующие параметры:
температура 0,01 °С,
давление 4,58 мм рт. ст.,
удельный объем твердой фазы 1,0907 см3/г,
удельный объем жидкой фазы 1,0001 см3/г,
удельная теплота парообразования 596 кал/г,
удельная теплота плавления 80 кал/г.
Постройте диаграмму Р — Т. Детальное изображение ее не
требуется, но она должна быть качественно правильной. Просле-
дите, что произойдет с чистой водой, находящейся в сосуде при
постоянной температуре —1 °С и высоком начальном давлении,
если в сосуде начать медленно уменьшать давление. Должны
произойти два фазовых перехода. Опишите эти переходы и вы-
числите давления, при которых они происходят.
III.2.1 A0 баллов). Дайте численные ответы (с точностью
до одной значащей цифры) на следующие вопросы:
а) Сколько молекул содержится в 1 см3 воздуха при нор-
мальных условиях?
б) Какова средняя длина свободного пробега молекулы
азота в воздухе при нормальных условиях?
в) При какой температуре среднеквадратичная скорость
молекул азота станет такой, что они покинут Землю и
удалятся в космос?
III. 2.2 A0 баллов).
а) Вычислите скорость звука в воздухе при нормальных
условиях.
б) Каков предельный к. п. д. наиболее эффективных теп-
ловых двигателей, работающих по круговому циклу с дву-
мя тепловыми резервуарами при температурах 7*1 и Г2,
когда Т\ > Г2?
в) Какой физический эффект проявляется при адиабати-
ческом размагничивании парамагнитной соли?
III. 2.3 A0 баллов)
а) Опишите с помощью характеристических функций фа-
зовый переход первого рода в веществе,

Задачи 149
б) Напишите формулу Больцмана, связывающую энтро-
пию системы в заданном состоянии с термодинамической
вероятностью этого состояния.
в) Какому значению ближе всего соответствует удельная
теплоемкость меди: 10~2, 10~1, 1 или 10 кал/(г-К)?
III. 2.4 A0 баллов). Тело массой 100 г нагревают квазиста-
тически и записывают зависимость его равновесной темпера-
туры от мощности нагрева (см. табл. 1). Затем нагрев прекра-
щают и измеряют спад температуры (см. табл. 2). Определите
Таблица 1
Зависимость равновесной температуры
тела от мощности нагрева
Мощность нагрева, Равновесная температура,
Вт °С
0 20
1 25
2 30
3 35
4 40
Таблица 2
Зависимость температуры тела от времени
при охлаждении
Температура, _ Температура,
Время, с °С Время, с °С
0
50
100
150
200
250
40,00
35,74
32,39
29,76
27,68
26,05
300
350
400
450
500
—
24,74
23,75
22,95
22,32
21,83
—
удельную теплоемкость тела в Дж/(г-К), полагая, что при охла-
ждении температура внутри него всюду одинакова.
III. 2.5 E баллов). Система состоит из N частиц, каждая из
которых может иметь энергию ?" = 0, Е = kT и Е = 2kT. Опре-
делите число частиц N, если в равновесном состоянии энергия
системы равна 1000 kT.
III.2.6 A0 баллов). Кусок льда при температуре 0°С и ста-
кан с водой при той же температуре 0 °С расположены рядом
под небольшим колоколом, из которого полностью откачивают
воздух.

150 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
а) Опишите конечное состояние системы под колоколом,
если температура льда, воды и колокола поддерживается
отдельными термостатами строго равной 0 °С. Обоснуйте
свой ответ. (Тройной точке воды соответствуют темпера-
тура 0,0098 °С и давление 4,579 мм рт. ст., а критической
точке — температура 374 °С и давление 218 атм.)
б) К какому конечному состоянию придет система, если
убрать термостаты, а саму систему теплоизолировать?
III. 2.7 C балла). Какой минимальный диаметр d должна
иметь линза, чтобы с ее помощью с расстояния D = 30 км мож-
но было различить два объекта, разнесенные на х = 30 см друг
от друга?
III. 2.8 C балла). На точечный источник света стали смот-
реть через плоскопараллельную стеклянную пластинку. Будет ли
он казаться расположенным ближе, дальше или на том же рас-
стоянии, что и без пластинки.
III. 2.9 C балла). Диапроектор проецирует изображение
предмета на экран. Расстояние от объектива до экрана равно
4,5 м. Определите фокусное расстояние объектива, если предмет
размером 2,5 см оказывается увеличенным на экране до размера
60 см.
III. 2.10 C балла). На каком расстоянии от глаза находится
изображение, видимое в микроскопе?
III. 2.11 C балла). Через узкую щель проходит монохрома-
тический пучок света и создает на экране дифракционную кар-
тину Фраунгофера. Во сколько раз изменятся интенсивность све-
та в центре экрана и энергия света, проходящего через щель,
если увеличить ширину щели вдвое?
III. 2.12 C балла). Кольца Ньютона формируются при со-
прикосновении выпуклой линзы с плоской стеклянной поверх-
ностью. Их можно наблюдать в проходящем или отраженном
свете. Больше или меньше интенсивность колец в отраженном
свете, чем в проходящем, или она одинакова в обоих случаях?
III. 2.13 C балла). Свет с круговой поляризацией падает на
четвертьволновую пластинку. Какую поляризацию он имеет по-
сле выхода из пластинки?
III. 2.14 C балла). На ирисовую диафрагму с переменным
радиусом отверстия /?, расположенную на расстоянии D от эк-
рана, падает свет с длиной волны К. Диафрагму постепенно от-
крывают, начиная с R « 0. При каком радиусе R интенсивность
света в центре экрана впервые обратится в нуль?

Задачи
151
III. 2.15 C балла). Источник света и экран находятся на рас-
стоянии I друг от друга. Между ними помещают тонкую линзу
на таком расстоянии от экрана, что получают на нем четкое изо-
бражение источника. В каких пределах должно заключаться фо-
кусное расстояние линзы, чтобы четкому изображению источ-
ника соответствовало одно положение линзы, два ее положения
или не нашлось бы ни одного такого положения?
III. 2.16 C балла). Каковы приближенные численные значе-
ния показателя преломления стекла и его дисперсии dn/dX в ви-
димой части спектра?
III.2.17 C балла). При условии, данном в задаче III. 2.15,
источник света имеет размер 2 см, а его изображение на экране
1 см. Линзу сдвигают в другое положение, при котором снова
получают на экране четкое изображение источника. Каков раз-
мер этого изображения?
III. 2.18 C балла). На звезду смотрят ночью невооруженным
глазом. Какой размер имеет ее изображение на сетчатке глаза?
III. 2.19 C балла). В каком случае плоское зеркало дает
действительное изображение?
III. 2.20 C балла). В чем состоит сущность критерия Рэлея?
III. 2.21 C балла). Оптическая система состоит из двух тон-
ких линз с фокусным расстоянием f, разнесенных на расстояние
/ друг от друга. Допустимы ли любые значения /? Если нет, то
при каких значениях / эта система линз имеет отрицательное
фокусное расстояние?
III. 3.1 A0 баллов). В оптической системе, показанной ниже
на рисунке, лучи света от точечного источника вначале откло-
няются призмой, а затем собираются тонкой линзой с фокусным
расстоянием /. Призма изготовлена из стекла с показателем пре-
ломления п и имеет малый преломляющий угол а (т. е. допу-
стима малоугловая аппроксимация).
Призма
Линза
Источник

152
///. Теплота, статистическая физика и оптика
а) На какой угол призма отклоняет лучи при почти нор-
мальном падении на нее (т. е. почти перпендикулярном
одной из ее граней)?
б) Определите положение изображения, формируемого
системой, по горизонтали и вертикали для указанных на
рисунке расстояний между источником, призмой и линзой.
III. 3.2 A0 баллов). Стопа из N стеклянных пластинок с по-
казателем преломления п и толщиной пластинок t собрана та-
ким образом, что каждая пластинка выступает на высоту 5 от-
носительно предыдущей, как показано на рисунке.
-*¦ t
Слева на стопу падает пучок света с длиной волны %. Рас-
смотрите пучки света, исходящие от каждой ступеньки, и опре-
делите условие образования интерференционной картины за сто-
пой при малых углах падения входного пучка. Определите поря-
док интерференции, если п = 1,5, / = 0,5 см и К = 5000 А. Вы-
числите угловую дисперсию и разрешающую способность стопы,
состоящей из 40 пластинок с тем же показателем преломления и
той же толщиной пластинок. При этом предположите, что вну-
три стопы показатель преломления почти не меняется.
III. 3.3 A0 баллов). Свет с круговой поляризацией падает на
систему, состоящую из двух четвертьволновых пластинок, опти-
ческие оси которых скрещены под углом 9. Показатель прелом-
ления для необыкновенных лучей меньше, чем для обыкновен-
ных.
а) Определите поляризацию света на выходе системы,
если В = 0, 45 и 90°.
б) Можно ли утверждать, что две четвертьволновые пла-
стинки по своему действию эквивалентны одной полувол-
новой пластинке?
Если среди ответов на поставленные вопросы окажется, что по-
ляризация является круговой, то уточните, правая она или ле-
вая. Для линейной поляризации укажите ее направление. (За-
мечание. Если смотреть в направлении источника света, то пра-

Задачи 153
вой круговой поляризации соответствует вращение электриче-
ского вектора волны по часовой стрелке.)
III. 3.4 B0 баллов). Предположим, что вам нужно опознать
следующие оптические элементы:
а) два линейных поляризатора,
б) четвертьволновую пластинку,
в) полуволновую пластинку,
г) круговой поляризатор.
Опишите подробно, каким образом можно идентифицировать ка-
ждый из этих элементов, не прибегая к помощи других оптиче-
ских устройств (за исключением лампы и экрана). Как бы вы
поступили, если в п. «а» вам был бы предложен только один ли-
нейный поляризатор?
III. 3.5 B0 баллов). Рассмотрим образец из N атомов, обла-
дающих магнитными моментами. Пусть спиновый магнитный
момент каждого атома равен Уг. Известно, что при очень низких
температурах такая система является ферромагнетиком, по-
скольку при Т —> 0 все спины выстраиваются в одном направле-
нии. Наоборот, при достаточно высоких температурах они ориен-
тированы беспорядочно. Пренебрегая всеми степенями свободы,
за исключением спиновой,
а) определите энтропию этой системы методами стати-
стической физики и термодинамики, выразив ее в послед-
нем случае через теплоемкость и спиновую температуру,
б) докажите, что теплоемкость С(Т) должна удовлетво-
рять уравнению
независимо от деталей взаимодействия, характерного для
ферромагнетика, и, следовательно, без учета конкретной
зависимости С от Т.
III. 3.6 B0 баллов). Тонкостенный сосуд объемом V нахо-
дится при постоянной температуре Т. Из сосуда в окружающее
безвоздушное пространство медленно вытекает газ через отвер-
стие площадью А. Через какое время давление в сосуде упадет
в е раз?
III. 3.7 A0 баллов). Предположим, что Земля и Солнце пол-
ностью поглощают падающее на них электромагнитное излуче-
ние и что Земля находится в равновесном состоянии при темпе-
ратуре Г. Температура поверхности Солнца Го = 5500 К, радиус
его # = 7-1010 см, радиус Земли г == 6,4-108 см, а расстояние

154
///. Теплота, статистическая физика и оптика
между Солнцем и Землей D = 1,5-1013 см. На основе этих дан-
ных вычислите температуру Земли Г.
III.4.1 A0 баллов).
а) Один литр газа N2, содержащийся в запаянном цилин-
дре при атмосферном давлении и температуре 0 °С, нагре-
вают до 100 °С посредством контакта с неограниченным
тепловым резервуаром, имеющим температуру 100 °С. Как
изменится при этом энтропия газа и Вселенной?
б) Предположим, что одна из стенок этого цилиндра мо-
жет перемещаться подобно поршню. Предложите способ
повышения температуры газа до 100 °С (с конечным объ-
емом 1 л) без изменения энтропии Вселенной. [Универ-
сальную газовую постоянную R полагайте равной
2 кал/(моль-К).]
III. 4.2 A0 баллов). Покажите, как с помощью третьей лин-
зы (см. рисунок) можно повысить светосилу оптической си-
стемы, не изменяя положений предмета и его изображения.
\—70 см
Предмет
F -/0 см
Изображение
F «/0см
Укажите положение и фокусное расстояние этой дополнительной
линзы.
III. 4.3 E баллов). Кольца Ньютона наблюдают в отражен-
ном свете. Они формируются в тонком воздушном слое между
плоской поверхностью и сферической радиусом 50 см. Опреде-
лите длину волны света, если радиус третьего светлого кольца
равен 0,09 см, а двадцать третьего — 0,25 см.
III.4.4 A5 баллов). Камера заполнена воздухом. Темпера-
тура ее стенок Т\. На дне камеры разлито немного воды. Да-
вление в камере ри объем ее V\. Состояние системы равновес-
ное. Объем камеры начали медленно увеличивать, сохраняя не-
изменной температуру стенок Т\. Как только объем камеры уд-
воился (V2 = 2V\), вода на дне ее почти полностью исчезла.

Задачи 155
а) Определите температуру стенок Гь если вначале дав-
ление было /7i = 3 атм, а потом стало /?2 = 2 атм.
б) Каким станет давление в камере /?3, если еще раз уд-
воить ее объем A/3 = 2У2)?
в) Определите массу воды (в жидкой и парообразной фа-
зах) и массу воздуха в камере, если известно, что Уг =
= 44,8 л.
III.4.5 A0 баллов).
а) Вычислите изменение энтропии одного моля идеаль-
ного газа в результате свободного расширения его до уд-
военного объема.
б) Каково изменение энтропии, если два разнородных не-
взаимодействующих идеальных газа по одному молю ка-
ждый смешиваются вместе?
в) Как изменится энтропия системы, если открыть кла-
пан между двумя резервуарами равного объема, содер-
жащими один и тот же газ при одинаковых давлениях и
температуре?
III. 4.6 B0 баллов). На вертикальной нити горизонтально
подвешена поглощающая пластинка. Снизу ее освещает направ-
ленный вверх пучок света с правой круговой поляризацией (т. е.
электрический вектор вращается по часовой стрелке, если смот-
реть в сторону источника света).
а) Определите вращательный момент та, действующий на
пластинку в предположении, что она полностью погло-
щает свет, а мощность пучка поляризованного света рав-
на 1 Вт и сосредоточена в видимой части спектра со сред-
ней длиной волны 6200 А. (Ответ выразите в дин-см, от-
веты на все последующие вопросы — в единицах та.)
б) Каким будет вращательный момент Тб, если вместо
поглощающей пластинки подвесить посеребренную с зер-
кальной поверхностью, так что свет будет отражаться
назад, т.е. под углом 180° к первоначальному направле-
нию?
в) Предположим теперь, что подвешена прозрачная полу-
волновая пластинка. Свет проходит через нее и свободно
распространяется дальше. Чему равен вращательный мо-
мент тв в этом случае? (Отражениями от поверхностей
пластинки пренебречь.)
г) Найдите вращательный момент тг, если подвешена
прозрачная полуволиовая пластинка с серебряным покры-
тием сверху — свет проходит через пластинку, отражает-
ся от ее зеркальной поверхности и снова проходит через
нее.

156
///. Теплота, статистическая физика и оптика
д) Наконец, пусть подвешена прозрачная полуволновая
пластинка, над которой закреплена четвертьволновая пла-
стинка (не связанная механически с первой), посеребрен-
ная сверху (чтобы свет мог пройти через систему в об-
ратном направлении). Какой вращательный момент тд
действует на подвешенную пластинку?
III. 4.7 B0 баллов). Дайте краткие ответы на следующие во-
просы.
а) Некая община решила ограничить у себя рождаемость
и потребовала, чтобы каждая супружеская пара после ро-
ждения сына прекратила производить потомство. Какую
долю среди детей будут составлять мальчики после вве-
дения этого ограничения, если до него она равнялась
51%? Ответ обоснуйте.
б) Предположим, что имеется устройство, способное по-
рознь излучать электромагнитные волны и измерять их
интенсивность от некоторого объекта на любой частоте.
Как экспериментально определить, является ли данный
объект абсолютно черным телом?
III. 4.8 A0 баллов). Образец (некоторый кристалл), содер-
жащий большое количество протонов, помещен в однородное
магнитное поле В. При облучении этого образца электромагнит-
ными волнами с соответствующей поляризацией наблюдается
максимум поглощения (связанный с переориентацией спинов
протонов) при частоте 100 МГц. Какова поляризация Р спинов
протонов этого образца при комнатной температуре и наличии
поля В?
Замечание. Р определяется следующим образом:
р _
N (|) - N
jV (f) + N
III. 5.1 E баллов). Используя координатную сетку, изобра-
женную на рисунке, постройте зависимость молярной теплоем-
кости водорода от температуры.
г
10
100 W00
I, К
юооа

Задачи
157
HI.5.2 E баллов). Через резистор сопротивлением 100 Ом
течет ток 1 А. Температура резистора поддерживается с по-
мощью термостата постоянной и равной 30 °С. Чему равна ско-
рость увеличения энтропии резистора? Ответ выразите в
Дж/(К-с).
III. 5.3 E баллов). При низких температурах в качестве теп-
лообменной среды используют Не4. Станет ли теплообмен луч-
ше, хуже или совсем не изменится, если при тех же условиях
Не4 заменить на Не3?
III. 5.4 E баллов). Заполненную газом трубку вращают во-
круг одного из ее концов с угловой скоростью со. Определите
равновесное распределение плотности газа р(л:) в трубке.
III. 5.5 E баллов). Шарик (с моментом инерции /), подве-
шенный на тонкой проволоке (момент возвращающей силы ра-
вен С0), окружен газом с температурой Т. Вычислите средние
значения б2 и б2. Как они изменятся, если уменьшить давление
газа в миллион раз?
III. 5.6 E баллов). Вычислите к. п. д. обратимой машины, ра-
ботающей по следующему замкнутому циклу:
Z00
100
Б
1
А*
I
I
i
500
S, Дэк/К
п
1
1
1
1000
III. 5.7 E баллов). Требуется охладить газ, пропуская его че-
рез пористую диафрагму. Что можно сказать о значении
{dh/dp)T {) при начальных условиях? Должно ли оно быть боль-
ше или меньше нуля или равно ему?
III. 5.8 E баллов). Частица совершает броуновское движе-
ние в газе при температуре Т и давлении р0. Средний квадрат
смещения частицы d2 обратно пропорционален вязкости газа.
Увеличится, уменьшится или останется прежней величина d2,
если давление газа уменьшить наполовину?
*) Символом h автор обозначает удельную энтальпию или удельную тед-
довую функцию. — Прим. переа.

158 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
III. 5.9 E баллов). Фотонный газ заполняет камеру объе-
мом Кнач при температуре Тнач. Эту систему адиабатически и об-
ратимо расширяют до объема Кконеч = 8УНач. Во сколько раз
изменится температура системы?
III. 5.10 E баллов). Рассмотрим теплоизолированную си-
стему, состоящую из груза, подвешенного на пружине. В ис-
ходном состоянии груз был смещен на расстояние А от положе-
ния равновесия. Затем его освободили, и система постепенно под
влиянием вязкого трения пришла в состояние покоя. Изменилась
ли при этом энтропия Вселенной? Если да, то на сколько?
III. 5.11 E баллов). Кусок меди объемом 1 см3 находится
при температуре, очень близкой к абсолютному нулю. Предпо-
ложим, что электроны в нем ведут себя подобно вырожденному
газу Ферми. Отметьте характерные особенности распределения
электронов по энергиям (dN/dE и ?"Макс)-
III. 5.12 A0 баллов). Вычислите минимальную работу (в
джоулях), которую нужно затратить на замораживание одного
литра воды с начальной температурой Г = 20°С, если исполь-
зуется тепловой резервуар при температуре 20 °С. Удельная теп-
лота плавления льда 80 кал/г.
III. 5.13 A5 баллов). Определите точку кипения воды на вы-
соте 300 м над уровнем моря. Изложите подробно все этапы
расчета и использованные приближения. Удельная теплота па-
рообразования воды при нормальных условиях 540 кал/г.
III. 5.14 A0 баллов). При атмосферном давлении удельные
теплоемкости воды и льда в пределах нескольких градусов /
ниже точки замерзания определяются выражениями
ср (вода) = 4222 — 22,6/ ДжДК • кг),
Ср (лед) =2112 + 7,5/ ДжДК • кг).
Определите удельную энтропию каждой фазы в Дж/(К-кг) при
температуре —10 °С (воспользуйтесь подходящей формулой).
Какая из этих фаз находится в более упорядоченном состоянии?
III. 5.15 A0 баллов). Две линзы с фокусными расстояниями
20 и 30 см соответственно разнесены на расстояние 10 см. Перед
первой линзой на расстоянии 30 см от нее перпендикулярно оп-
тической оси системы расположен предмет высотой 5 см. Опре-
делите размер изображения, формируемого оптической систе-
мой. Выясните также, прямое оно или обратное.
III. 6.1 A0 баллов). В тонкой клинообразной пленке из пласт-
массы с показателем преломления 1,4 наблюдают интерферен-

Задачи 159
ционные полосы. Определите длину волны света, падающего
нормально на пленку, если угол клина равен 20", а расстояние
между полосами 0,25 см.
III. 6.2 A0 баллов). Два одинаковых тела с постоянной теп-
лоемкостью Ср используют в качестве тепловых резервуаров
в тепловой машине. Их начальные температуры равны 7^ и Т2
соответственно. Получите выражение для максимальной работы,
которую может совершить эта система, в предположении, что
оба тела находятся при постоянном давлении и не претерпевают
фазовых превращений.
III.6.3 A0 баллов). Сосуд в форме куба с ребром 1 см со-
держит гелий при нормальных условиях. Каково по порядку ве-
личины
а) число столкновений в секунду, испытываемых отдель-
ным атомом гелия?
б) число столкновений атомов с одной из стенок сосуда
в одну секунду?
III. 6.4 A0 баллов). В идеальном электронном газе среднее
число частиц в квантовом состоянии с энергией Я; равно
где
а) Получите выражение, из которого можно найти jli в за-
висимости от плотности числа частиц п, температуры Т и
других параметров.
б) Покажите, что эта формула в предельном случае
пХъ «< 1 (где Я — дебройлевская длина волны для тепло-
вого движения частиц) сводится к распределению Макс-
велла — Больцмана.
в) Рассмотрите электронный газ в металле при комнат-
ной температуре. Оцените степень несоответствия пре-
дельному случаю и покажите, что статистика Максвел-
ла — Больцмана не применима к этому газу.
III. 6.5 A0 баллов). В ионизованной среде, находящейся в
постоянном магнитном поле, распространяется в направлении
поля плоская электромагнитная волна с частотой со. Показа-
тель преломления этой среды дается выражением
где Кий — постоянные величины, а знак + или — соответ-
ствуют вращению электрического вектора волны в обратном
или прямом направлении относительно вращения электронов в

160
///. Теплота, статистическая физика и оптика
данном магнитном поле. Рассмотрим в такой среде слой тол-
щиной L, перпендикулярно которому направлено магнитное поле.
Определите величину фарадеевского вращения, т. е. угол, на
который поворачивается плоскость поляризации волны при про-
хождении ею этого слоя, в зависимости от приведенных постоян-
ных. Отражениями волны от поверхностей слоя пренебрегите.
Частоту со полагайте достаточно большой, чтобы выполнялось
условие п2± > 0.
. Магнитное
поле
III. 6.6 E баллов). Аквариум заполняется водой. В нем не-
подвижно застыла рыбка — она смотрит вертикально вверх и
видит расположенный над водой источник монохроматического
света. Вычислите сдвиг частоты света Av, наблюдаемого рыб-
кой, если уровень воды в аквариуме поднимается со скоростью
dh/dt (показатель преломления воды равен п).
III. 6.7 E баллов). Показатели преломления кварца для
света с длиной волны 5829,90 А равны пе = 1,55379 и п0 =
= 1,54225. Какой толщины должна быть четвертьволновая пла-
стинка из этого кварца, вырезанная вдоль его оптической оси?
III. 6.8 A0 баллов). Разрешающая способность интерферо-
метра Фабри — Перо определяется по формуле
X тпг
ТГ ~ 1 - г2 '
где т — порядок интерференции, г2 — коэффициент отражения
зеркал (г2 чуть меньше единицы). Любой газовый лазер имеет
на своих концах зеркала и излучает спектр линий, соответствую-
щих различным порядкам интерференции волн между этими зер-
калами. Предположим, что длина лазера равна 30 см и он излу-
чает свет со средней длиной волны 6000 А.
а) Определите разность длин волн ДА, между двумя со-
седними линиями излучения вблизи длины волны 6000 А.
б) Какой минимальный коэффициент отражения должны
иметь зеркала в интерферометре Фабри—Перо, располо-

Задачи
161
женные на расстоянии 1,5 см друг от друга, чтобы с его
помощью можно было разрешить две линии с разностью
длин волн ДА,, найденной в п. «а»?
III. 6.9 B0 баллов). Среда состоит из трех слоев, как пока-
зано ниже на рисунке. Из слоя I на слой II падает нормально
электромагнитная волна с интенсивностью /0. Определите интен-
сивность волны, проходящей в слой III (считайте, что он про-
стирается вниз до бесконечности), и интенсивность отраженной
волны в слое I (распространяющейся в направлении, противо-
положном падающей волне).
III. 6.10 E баллов). Исходя из ограничений, налагаемых ди-
фракцией, вычислите максимальное расстояние /, на котором че-
ловеческий глаз может различить две светящиеся фары автомо-
биля.
III. 6.11 E баллов).
а) Свет, отраженный от плоской поверхности диэлектри-
ка, полностью поляризован. Какой угол образуют отра-
женный и преломленный лучи света?
б) Какой угол с нормалью составляет в этом случае пре-
ломленный луч?
III. 7.1 C балла). Две близко расположенные параллельные
щели освещают вначале красным светом, а затем фиолетовым.
В каком случае за щелями получается более широкая интерфе-
ренционная картина?
III. 7.2 C балла). Где располагается изображение предмета,
помещенного в центр кривизны вогнутого сферического зеркала?
III. 7.3 C балла). В какой плоскости расположен вектор Е
поляризованного света после отражения его от стекла под уг-
лом Брюстера?
III. 7.4 C балла). Пучок света сходится в точке Я. На пути
пучка перед точкой Р, ставят плоскопараллельную стеклянную
пластинку. В каком направлении сместится точка сходимости
пучка, если пластинка расположена перпендикулярно его оси?
6 За к. 743

162 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
III. 7.5 C балла). Объект расположен на главной оптиче-
ской оси между тонкой собирающей линзой и ее фокусом. Где
расположено изображение объекта?
III. 7.6 C балла). Какая граница спектра (красная или фио-
летовая) данного порядка интерференции в дифракционной ре-
шетке расположена ближе к спектру следующего, более высо-
кого порядка?
III. 7.7 C балла). Что можно сказать о фокусном расстоя-
нии f тонкой собирающей линзы для красного света? Больше
оно или меньше, чем для фиолетового света?
III. 7.8 C балла). Объект помещен за фокальной плоскостью
тонкой рассеивающей линзы. Какое будет изображение — дей-
ствительное или мнимое?
III. 7.9 C балла). Какие аберрации свойственны линзам, но
отсутствуют в зеркалах?
III. 7.10 C балла). Какие опыты дают прямое подтвержде-
ние поперечности световых волн?
III. 7.11 C балла). Какому углу между отраженным и пре-
ломленным лучами соответствует отражение света с полной по-
ляризацией?
III. 7.12 C балла). В каком случае луч, не параллельный
главной оптической оси, проходит без изменения направления
через толстую линзу?
III. 7.13 C балла). Какому диапазону частот соответствует
видимый участок спектра электромагнитных волн?
III. 7.14 C балла). Монохроматический пучок света падает
из вакуума на среду с показателем преломления п. Как свя-
заны между собой частоты падающей и преломленной волн? Ка-
ково соотношение между длинами этих волн?
III. 7.15 C балла). Пресс-папье в виде стеклянного полуша-
рия лежит на странице книги. Определите положение и масштаб
изображения буквы, находящейся в центре, под плоской поверх-
ностью пресс-папье. Дайте иллюстрацию своему расчету; изо-
бразите ход лучей, используя в качестве предмета небольшую
стрелку вместо буквы. Показатель преломления стекла пола-
гайте равным 1,6.
III. 7.16 A5 баллов). Как показано на рисунке, две близко
расположенные параллельные щели, каждая шириной w (w <C
<СЯ), освещаются монохроматическим светом от удаленного ис-

Задачи
163
точника. На большом расстоянии от щелей наблюдают интерфе-
ренционную картину.
Между одной из щелей и экраном вводят поочередно тонкие
стеклянные пластинки различной толщины б и измеряют интен-
сивность света в центре экрана С как функцию толщины б. По-
глощение света в стеклянных пластинках отсутствует. Пусть при
6 = 0 интенсивность света в центре экрана равна /q.
а) Как зависит интенсивность света в центре экрана С от
толщины пластинки 6?
б) При каких значениях б интенсивность света в центре
минимальна?
в) Предположим, что ширину одной щели увеличили
вдвое, а ширину другой оставили без изменения. Как в
этом случае будет зависеть интенсивность в центре экрана
от толщины б?
III. 7.17 B0 баллов). Скорость звука в воздухе ^330 м/с.
Имеется свисток, который издает непрерывный тон с частотой
3300 Гц. На большом расстоянии от свистка находится диск
диаметром 2 м из идеального звукопоглощающего материала.
Он расположен перпендикулярно линии, соединяющей свисток и
центр диска.
Если вы находитесь непосредственно за диском, то никакого
звука от свистка не услышите. Если вы отойдете от диска на
большое расстояние и он по-прежнему будет скрывать свисток
от вас, то вы, вероятно, сочтете, что опять не услышите звука.
Однако это не так — вы его услышите, причем столь же явствен-
но, как и без диска.
а) Почему это происходит? (Замечание. Пренебрегите
влиянием земной поверхности, строений, деревьев и т. п.
Считайте, что свисток расположен в однородном воздуш-
ном пространстве, а вы и диск «подвешены» в этом

164 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
пространстве, например, с помощью воздушных шаров
или чего-либо еще.)
б) Получите формулу (по возможности наиболее про-
стым путем), чтобы дать ответ на такой вопрос: на ка-
ком расстоянии (в метрах) вы должны находиться по-
зади диска, чтобы при его введении интенсивность звука
упала примерно вдвое? Определите это расстояние не бо-
лее чем с двукратной ошибкой.
III. 7.18 A0 баллов). Пучок света (X = 6000 А) от находя-
щегося на Земле лазера фокусируют с помощью телескопа, диа-
метр линзы (или зеркала) которого равен 2 м, на лунный кра-
тер (расстояние от Земли до Луны 400 000 км). Каков будет раз-
мер светового пятна на Луне? Влиянием земной атмосферы пре-
небрегите.
III. 8.1 E баллов). В неподвижном сосуде содержится газ.
Масса молекулы газа равна пг. Предположим, что газ находится
в равновесном состоянии при абсолютной температуре Т. Обо-
значим через Vx компоненту скорости молекулы в направле-
нии х. Определите средние значения Vх, V2X и V3X.
III. 8.2 E баллов). В опыте Милликена с падающими кап-
лями установившаяся скорость масляной капли обратно пропор-
циональна вязкости воздуха. Как изменится установившаяся
скорость падения капли (увеличится, уменьшится или останется
постоянной), если возрастет температура воздуха?
III. 8.3 E баллов). 50 г молока с температурой Т\ медленно
вливают в 250 г жидкого кофе с температурой Г2. Их удельные
теплоемкости полагайте такими же, как у воды. Какая устано-
вится конечная температура смеси Г/. Чему равно общее изме-
нение энтропии AS?
III.8.4 E баллов). Идеальный одноатомный газ подвергают
сжатию (без подвода или отвода тепла), и его объем умень-
шается вдвое. Каково отношение нового давления к первона-
чальному?
III. 8.5 E баллов). Теплоемкость электронного газа в ме-
талле С = уТ, где Т — абсолютная температура, у — константа.
Какой вклад оказывает этот электронный газ в энтропию ме-
талла S?
III. 8.6 E баллов). Движение атомов, находящихся в состоя-
нии теплового равновесия при абсолютной температуре Г, приво-
дит к доплеровскому уширению спектральной линии. Например,
если vz — компонента скорости атома б направлении г, a vq —

Задачи
165
естественная частота линии, то излучение наблюдается с часто-
той v = vo(l + vjc). Чему равен средний квадрат ширины ли-
нии (v — voJ?
III. 8.7 E баллов). Твердое тело плотностью pi плавится при
давлении р и абсолютной температуре Г, превращаясь в жид-
кость плотностью р2- Удельная теплота плавления тела L. Опре-
делите изменение энтропии AS и изменение внутренней энер-
гии At/ в результате перехода одного грамма вещества в рас-
плавленное состояние.
III. 8.8 E баллов). Атом может находиться в любом из двух
квантовых состояний с разностью энергий Е. Постройте качест-
венную зависимость удельной теплоемкости С ансамбля таких
атомов от абсолютной температуры Т. Не забудьте правильно
отразить предельные случаи Т —> 0 и Т —> ос.
III. 8.9 E баллов). Газ состоит из двухатомных «жестких»
(т. е. не колеблющихся) молекул. На основе квантовомеханиче-
ского подхода определите молярную теплоемкость этого газа
а) при «низких» температурах,
б) при «высоких» температурах.
(Критерий для «низких» и «высоких» температур установите
сами.)
III. 8.10 E баллов). Мощность излучения абсолютно чер-
ного тела в интервале длин волн от К до X + dX равна E(k)d%.
Ниже на рисунке приведен график зависимости Е(К) при темпе-
ратуре тела 2000 К. Постройте в этом же масштабе зависимость
Е(К) для температуры тела 1000 К.
/
/
!

166
///. Теплота, статистическая физика и оптика
III. 8.11 B0 баллов).
а) Вычислите максимальную работу (в джоулях), кото-
рую может произвести тепловая машина, если в качестве
первого теплового резервуара используется кусок железа
массой 200 кг с начальной температурой 1500 °С, а в ка-
честве второго — вода океана с температурой 12 °С.
Удельная теплоемкость железа постоянна и равна
0,6Дж/(Кт).
б) Вычислите изменение энтропии Вселенной, вызванное
этим процессом.
III. 8.12 B0 баллов).
а) Полупрозрачное зеркало с серебряным покрытием от-
ражает половину падающего на него света, а другую по-
ловину пропускает. Предположим, что на зеркало падает
линейно-поляризованный свет, электрический вектор ко-
торого параллелен плоскости зеркала. Определите изме-
нения фаз отраженной и прошедшей волн (полагая тол-
щину зеркала равной нулю).
б) Пучок монохроматического когерентного света с та-
кой же поляризацией, как и выше, проходит в направле-
нии А на систему зеркал, расположенных в углах прямо-
угольника, как показано на рисунке. Зеркала В и Е полу-
прозрачные, а С и D отражают свет полностью. Оптиче-
ские длины путей подобраны так, что в направлении G
происходит полное интерференционное гашение света. По
закону сохранения энергии в направлении F должна на-
блюдаться интерференция с усилением света. Покажите,
что это происходит на самом деле.
С'
У
•
\
Е
D
S
ч *
III. 8.13 A0 баллов). Лучи света от предмета, помещенного
в воду (с показателем преломления п = 4/з) пересекают сфери-

Задачи
167
ческий воздушный пузырек радиусом R, как показано на ри-
сунке.
Предмет пузырек
Наблюдатель
В каком месте располагается изображение предмета, если
а) он удален от пузырька по горизонтали на огромное
расстояние (практически на бесконечность)? Выясните,
является ли изображение прямым или обратным, действи-
тельным или мнимым.
б) предмет касается пузырька с левой стороны?
Рассмотрите только лучи, проходящие вблизи горизонталь-
ной оптической оси.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
III. 1.1. Здесь важно иметь в виду следующее: при обычных
температурах к меди применим закон Дюлонга и Пти, т. е. ее
молярная теплоемкость равна 3R « 6 кал/(К-моль).
Атомы меди совершают колебания в трех направлениях от-
носительно положения равновесия в узлах решетки. Потен-
циальная энергия атомов является квадратичной функцией сме-
щений х, у и z от положения равновесия, а кинетическая энер-
гия — квадратичной функцией скоростей dx/dt, dy/dt и dz/dt.
Следовательно, имеется шесть степеней свободы1). Частоты ко-
лебаний таковы, что kT 3> йсо, поэтому справедлив классиче-
ский закон о равномерном распределении энергии по степеням
свободы, и молярная теплоемкость равна 6(/?/2) = 3/R.
Удельная теплоемкость, или теплоемкость одного грамма ве-
щества, показывает, во сколько раз ока 'отличается от удельной
теплоемкости воды, которая, согласно определению, равна
1 кал/(г-К). Следовательно, масса монеты здесь никакой роли
не играет, существен лишь атомный вес меди:
cv » 3R (кал/К • моль) ^ъТ = -^g- « 0,1 калДК • г).
III. 1.2. Здесь стоит вопрос о порядке величины. Степень по-
ляризации будет порядка \xBHlkT, где |лБ—магнетон Бора. Она
непосредственно следует из выражения для показателя степени
при больцмановском распределении и в процентном отношении
равна \00\ibH/kT.
Большинство физиков знают, что |ыБ « 10~20 эрг/Гс. Это зна-
чение нетрудно вычислить по формуле |ыБ = еЬ/2тес. Магнит*
ное поле Земли на средней широте равно примерно 0,5 Гс. Сле-
довательно, при нормальных условиях
\iBH/kT « A(Г20)@,5)/A,4 • 1(Г16)B73) « 1(Г7.
Отсюда видно, что поляризация в действительности очень мала.
]) В действительности здесь важно то, что число степеней свободы равно 3
и средняя кинетическая энергия молекул равна их средней потенциальной
энергии. — Прим. ред.

Ответы и решения 169
III. 1.3. Эту задачу можно решить формально, записав ста-
тистическую сумму
и используя затем формулу, связывающую внутреннюю энер-
гию со статистической суммой. Однако мы дадим решение, в ко-
тором применяется только распределение Больцмана.
Пусть п\ — число молекул в состоянии 1, а п2 — число мо-
лекул в состоянии 2. Тогда
njnx = (gjgx) exp (- ff/kT).
Рассмотрим один моль газа. В этом случае п\ + n<i = No — чис-
ло Авогадро. Выражая n<i через No и щ, имеем
(No - n,)/n, = (gjgi) exp (- &lkT).
Отсюда находим
и
n2 = -
exp (-
Следовательно, внутренняя энергия одного моля газа состав-
ляет
ТТ —
f/внутр -
Искомая молярная теплоемкость газа при постоянном объеме
будет
дТ )у
e{&/kT)No$
gl gl g\
(ft/gl)

170
///. Теплота, статистическая физика и оптика
III. 1.4. Здесь мы имеем дело, по существу, с зеркалом
Ллойда.
Самолет
Когда самолет летит очень низко над водой, на него падают
две волны: прямая волна от передающей антенны РЛС и волна,
отраженная от водной поверхности, прошедшая путь такой же
длины от передатчика. (На рисунке положение самолета изо-
бражено умышленно выше, чтобы не произошло наложения пря-
мого и отраженного лучей.) Поскольку при отражении от воды
фаза волны изменяется на противоположную, то прямая и отра-
женная волны, идущие под малым углом к самолету, взаимно
уничтожают друг друга, и на него не поступает никакого сиг-
нала.
При некоторой высоте самолета над водой разность хода ме-
жду обеими волнами может достигнуть значения К/2, тогда РЛС
принимает сильный отраженный сигнал. Вообще, прием сильных
сигналов соответствует разности хода (п + 72) Я,» где/г = 0, 1, 2
и т. д. При этом из рисунка видим, что (п-\-1/2)К ж 2Н sinQ,
или Н + h ~ ds'm 0 — (п + l/2)kd/2H. В рассматриваемом слу-
чае Ы/2Н = E) B-104) /2 B00) =250 м. Таким образом, прием
сильных отраженных от самолета сигналов соответствует высо-
там h = [C/2, 5/2, ... и т. д.) -250 — 200] м.
III. 1.5. При достаточно большом отверстии камеры изо-
бражение любой точки объекта представляет собой геометри-
ческую тень, отбрасываемую этим отверстием. Тень имеет форму
диска с диаметром, примерно равным диаметру отверстия d.

Ответы и решения 171
При достаточно малом отверстии камеры изображение точки
представляет собой дифракционный диск с угловым диаметром,
равным приблизительно 2(l,22X/d) « 2,4X1 d, или линейным диа-
метром на фотопленке около 2,\XD\d. Чтобы получить резкое
изображение объекта, эту величину следует уменьшить. Опти-
мальный диаметр отверстия соответствует случаю, когда раз-
меры дифракционного изображения и геометрической тени оди-
наковы, т. е. когда
d«2,4-^-f или d =
Световой поток, пропускаемый отверстием камеры, пропор-
ционален площади этого отверстия, т. е. d2. Площадь изображе-
ния объекта на фотопленке пропорциональна D2. Следовательно,
освещенность пленки L пропорциональна отношению
-^==2,4-?Г= 2,4 -?-, или L~-fr.
Время выдержки обратно пропорционально освещенности L, или
прямо пропорционально D.
III. 1.6. Средняя длина свободного пробега X дается форму-
лой X « 1/nS, где п — число молекул в единице объема, а 5 =
= nd2 — сечение столкновения. В нашем случае
д = (Ю-4/760)(б,0 • 1023/22,4 • Ю3) = 3,53 • 1012 молекул/см3.
Для величины d можно принять значение, в четыре раза пре-
вышающее радиус первой боровской орбиты, т. е. d « 2-10-8см.
Подставляя в формулу для X значения п и d, получаем
X =1/C,5 • 1012)яD • 10
16) = 230 см.
Столь большая величина X указывает на то, что образовавшие-
ся в результате диссоциации молекулы атомарного водорода не
испытывают никаких столкновений с остальными молекулами
и беспрепятственно движутся к стенкам сосуда. Таким образом,
скорость спада давления полностью определяется числом моле-
кул, диссоциированных на разогретой спирали в единицу вре-
мени.
Число молекул, бомбардирующих поверхность спирали в еди-
ницу времени, равно (lU)nvA, где v — средняя скорость молекул
(б = ^8RTJkM ). Следовательно,
— (nV) = — nv

172 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
откуда
здесь V — объем сосуда A л). Поскольку давление газа в со-
суде пропорционально числу содержащихся в нем молекул п,
то последнее выражение эквивалентно следующему:
Таким образом, давление р спадает со временем по экспонен-
циальному закону. Время /, в течение которого давление умень-
шается в 10 раз, находим из уравнения
е- (vA/AV) t
Следовательно,
0,1,
или
4V
vAt
4V
1
0,4343 *
0A343vA #
Подставляя сюда V = 103 см3, А = 0,2 см2 и
_ _ ^ (8) (8,31 ¦ W) C00)
получаем
f_ D)(Ю3)
1
@,4343) A7,8 • 104) @,2) и> u
Это время, за которое давление спадает в 10 раз. Чтобы давле-
ние снизилось в 1000 раз требуется время / = C) @,26) =
= 0,78 с.
III. 1.7. Диаграмма Р — Т для воды приведена ниже на ри-
сунке. Кривая плавления имеет отрицательный наклон, и ее про-
изводная терпит разрыв в тройной точке, где сходятся кривые
сублимации (возгонки) и испарения. Обе эти особенности кри-
вой следуют из уравнения Клапейрона—Клаузиуса
dP L
dT T ЬУ '
Отрицательный наклон кривой плавления объясняется тем,
что объем воды при замораживании увеличивается. Наклон кри-
вой испарения меньше наклона кривой сублимации вследствие

Ответы и решения
173
того, что теплота парообразования меньше теплоты сублимации
довательно, при нормальных условиях
Твердое тело \
Жидкость
Пар
-1 0,01
Т,°С
Процесс, который требуется рассмотреть в задаче, соответ-
ствует спуску по вертикальной прямой, проходящей через точки
А и В. В точке А жидкость, находящаяся при высоком давлении,
переходит в твердую фазу. В точке В происходит сублимация
этой фазы.
Чтобы вычислить давление РА в точке Л, нужно найти изме-
нение давления вдоль кривой плавления, соответствующее пони-
жению температуры на 1,01 градуса. Определяем сначала
dP __ L _ (80) D,184-107)
dT ~ ГД7 ^ B73) A,0001-1,0907)
1 атм
'Ы' 1,013 • 106 дин/см2 ~~
= - 133,6 атм/К-
Следовательно,
РА = Р (в тройной точке) + 133,6 - 1,01 =
= Р (в тройной точке) + 134,9 атм « 135 атм.
Чтобы найти давление Рв в точке ?, мы должны найти из-
менение давления вдоль кривой сублимации при понижении тем-
пературы на те же 1,01 градуса. Для простоты будем полагать,
что к пару применимо уравнение состояния идеального газа
PV = nRT.
Отсюда
^пар = B2,4 • ^) (-Л-) = 2,06 • 105 см3/г
-??- — (80+ 596) D,184-КГ)
dT 273-2,06-105
1 мм рт. ст.
1,359-980 дин/см3
°'378 ММ

174 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
Следовательно,
РВ = Р (в тройной точке) — 0,378 • 1,01 =
= 4,58 — 0,38 = 4,20 мм рт. ст.
III. 2.1.
а)
iV0 6,02-1023 о ml» / ч
п=~уг-= 22 4* Юэ ^ молекул/см3.
б) Средняя длина свободного пробега L= 1/япа2, где а —
диаметр молекулы N2: а « 3 • 10~8 см. Следовательно,
яC.1019)C.1б-8J 85-Ю3^1' ° СМ-
в) Среднюю кинетическую энергию одной молекулы N2, или
jrn\v), A)
следует приравнять C/2)kT:
1 ч
1 ^ (хР") =: -— Й7" f 2)
откуда
Чтобы удалить молекулу азота с поверхности Земли, нужно со-
вершить работу против поля земного притяжения. Эта работа
дается выражением 1)
оо 2
— dr = rug г 0, C)
го
где Го — радиус Земли. Используя выражения A) и C), нахо-
дим необходимое условие, когда молекулы N2 удаляются в кос-
мос:
откуда получаем
т __ 2mgr0 _ 2Mgr0 _ 2 ¦ 28 -980- 6,38 ¦ Ю8
l—~bk~~~ SR — 3.8,ЗЬ107
Здесь М — молекулярная масса азота, равная 28 г/моль.
*) Автор использует неудачное выражение, скрывающее явную зависи-
мость g от го: g = GM3\r\. — Прим. рзд.

Ответы и решения 175
III. 2.2.
а) Скорость звука в воздухе дается выражением
м '
где М ж 29 г/моль — средняя молекулярная масса воздуха, у ^==
= cv\cv = 1,40, R = 8,31 • 107 эрг/(моль-К) и Т = 273 К. После
подстановки получаем
У «331 м/с.
б) К. и.л. = (Т1-Т2)/Т1 (Тг>Т2).
в) При адиабатическом размагничивании парамагнитной
соли ее температура падает до очень низкого значения
— 0,01 К.
III. 2.3.
а) Пусть g\(P,T) и g2(P,T)—термодинамические потен-
циалы Гиббса для двух фаз вещества. При фазовом переходе
первого рода они обладают следующими свойствами:
но
dgi (fi T) , dg2 (/>, Т)
дТ ^ дТ
и
<?gi (Л Т) _^ dg2 (Л Т) .
здесь Т и Р — температура перехода и давление паров соответ-
ственно. Для простой системы, описываемой параметрами Я, v
и Г, справедливо уравнение
dg = — 5 dT + v dP,
где
Отсюда видно, что
5! ф S2 И V\ ф V2-
б) s = k In W; здесь W — термодинамическая вероятность
данного состояния.
в) Как было показано в решении задачи III. 1.1, молярная
теплоемкость меди равна 3R, а удельная теплоемкость
^ = ¦§-«0,1 кал/(г-К).
III.2.4. Пусть С(Т)—теплоемкость тела, WHarv(T)—мощ-
ность нагрева и Потери — тепловая мощность, теряемая телом.

176
///. Теплота, статистическая физика и оптика
В равновесном состоянии
^нагр(Г) = ^потери (П
В процессе охлаждения тела величина №потери(^) связана с теп-
лоемкостью тела С(Т) и температурой Т соотношением
С(Г)^ = Гпотерй(Г), A)
где ДГ/Д/ — изменение температуры в единицу времени. Поль-
зуясь данными из табл. 3, строим графики зависимости Т и
x W'z -
300 400
i, с
500
ДГ/Д/ для процесса охлаждения. Из последней кривой опреде-
ляем значения ДГ/Д/ для температур Т = 25, 30, 35 и 40 °С.
т, °c ]
25
30
35
40
m —wr
нагр потери'
Вт
1
2
3
4
Л TIM, К/с
0,026
0,046
0,072
0,097
•-»
Таблица 3
w
нЯрр
38
43,5
41,6
41

Ответы и решения
177
Подставляя их, а также значения Потери = WHarp в формулу
A), определяем числовые значения С (Г), которые представлены
в последнем столбце табл. 3.
Разделив значения С(Т) (см. табл. 3) на массу тела 100 г,
получим удельную теплоемкость с(Т) в единицах Дж/(К-г).
III. 2.5. Согласно распределению Больцмана, число частиц
Ni(Ei), находящихся в i-м состоянии (/= 1, 2, 3), пропорцио-
нально ехр(—Ei/kT). Поэтому для чисел частиц с энергиями
Ei = 0, Е2 = Е — kT и ?з = 2? = 2kT получаем следующее
соотношение:
N{:N2:N3=l :e~l :е~2. A)
Поскольку общее число частиц должно сохраняться, то
Из формул A) и B) находим
\/е + l/e2
1
и
1 + \/е+ l/e2 e
N 1
iV3 1 + \/е + \/е2 е2 '
Полная энергия системы определяется выражением
NkT { 1 (
Е = EiNi -4- EnNo -4- E>*No = -=—-п гт-тг I —I—¦
111 А А ' 6 6 1 + \/е + 1/е2 V е ' б
и по условию задачи равна 1000 йГ. Следовательно, искомое чис-
ло частиц равно
хг 1 иии II "~г" е —г" е ) «^пл
N = g-.+2e-2 " « 240°-
III. 2.6.
Р
т,°с

178 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
Воспользуемся правилом фаз Гиббса
где F — число термодинамических степеней свободы, с — число
компонент системы и р — число фаз.
а) В условии задачи сказано, что температура системы под-
держивается постоянной и равной 0°С. Следовательно, одна
степень свободы исчезает. Так как с = 1 и р = 2, а темпера-
тура постоянна, мы имеем F = 1 — 1=0. Это говорит о том,
что на диаграмме Р — Т равновесному состоянию отвечает лишь
одна точка. Ее положение зависит только от давления, и число
фаз системы в этом состоянии не может быть больше двух. На-
чальное давление паров под колоколом равно нулю. Из диа-
граммы Р — Т мы видим, что вода и лед должны испаряться.
Давление паров растет до тех пор, пока не достигнет значения,
соответствующего точке А. В конечном состоянии вся вода ис-
чезнет: часть ее превратится в пар, а остальное — в лед. Именно
этому конечному состоянию системы соответствует точка А на
диаграмме Р — Т.
б) Если система теплоизолирована, то, согласно правилу фаз
Гиббса, должны сосуществовать одновременно три фазы: при
с = 1 и F = 0 имеем р — 3. Конечное состояние системы соот-
ветствует тройной точке.
III. 2.7. Предельное угловое разрешение круглой линзы дает-
ся формулой
е—?—1,22 А.
откуда находим выражение для диаметра линзы
d—1,22 —.
Подставляя % = 5000А = 5* 10~7 м, х = 0,3 м и D = 30 км =
= 3-104 м, получаем
rf= 1,22 • б • 10~7-3- 104/0,3^6,1 . 1(Г2 м = 6,1 см.
III. 2.8. Ближе.
III. 2.9. Увеличение диапроектора равно отношению расстоя-
ния q от объектива до экрана к расстоянию р от объектива до
предмета. По условию задачи оно равно 24. Следовательно,
q 4,6
Р==-24—-54Гм-
Подставляя значения р и q в формулу линзы
f р ^ <?'

Ответы и решения 179
получаем
/ = 0,18 м.
III. 2.10. По принятым нормам среднее расстояние наилуч-
шего зрения равно 25 см, и обычно на этом расстоянии от глаза
находится изображение предмета, видимое в микроскопе.
III. 2.11. Амплитуда волны в центре экрана пропорциональна
ширине щели. Следовательно, интенсивность света в центре уве-
личится в 4 раза1). Энергия света, проходящего через щель,
возрастет в 2 раза.
III. 2.12. Интенсивность колец в отраженном свете будет
меньше, чем в проходящем, поскольку коэффициент отражения
стекла при нормальном падении света мал2).
III. 2.13. Поляризация будет линейной.
III. 2.14. Интенсивность света в центре экрана станет равной
нулю, когда радиус диафрагмы совпадет с радиусом второй зо-
ны Френеля, т. е.
III. 2.15. Воспользуемся формулой линзы
и найдем из нее р:
Отсюда получаем условия
/<4/, / = 4/ и />4/,
соответствующие следующим числам реальных значений р, а
именно 0, 1 и 2.
III. 2.16. п = 1,5, dnldX == Ю-5 1/А.
*) См. Г. С. Ландсберг, Оптика, «Наука», М., 1976, стр. 172—179.—
Прим. ред.
2) Автор, очевидно, имеет в виду максимальную и минимальную интен-
сивности света в наблюдаемой картине. Что касается ее контраста, то он в
отраженном свете выше, чем в проходящем, так как в этом случае отсут-
ствует «затушевывание» и без того слабой интерференционной картины более
интенсивным (проходящим) пучком света. — Прим. перевч

180 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
III. 2.17. Используем формулу р\ + Q\ = I. В исходном по-
ложении линзы Mi ~ Ц\1р\ = Уг- Следовательно, 2qx + Я\ = /.
Отсюда q\ = 1/3 и р\ = 2//3. В другом положении линзы р^ =
= //3, а 92 = 2//3, поэтому М2 = qdP2 = 2. Таким образом,
размер изображения вдвое превышает размер источника.
III. 2.18. Первый минимум в дифракционной картине Фраун-
гофера соответствует углу
6=1,22-5-.
где d — диаметр зрачка. Следовательно, изображение звезды
на сетчатке глаза имеет диаметр
d3B = 2 Г 1,22 -J-Л D = 2,44 ~.
зв V ' d ) ' d
Здесь D — расстояние от зрачка до сетчатки. Если принять
d да 5 мм = 0,5 см и D да 3 см, то D/d да 6 и
л =2,44 . 6Л = 14,6 • 5 • 10 см да 7 • 1(Г4 см.
III. 2.19. В случае мнимого объекта, расположенного в зер-
кале.
III. 2.20. Согласно критерию Рэлея, максимальная разре-
шающая способность оптического прибора соответствует усло-
вию, когда главный максимум дифракционной картины от од-
ного точечного объекта точно совпадает с первым минимумом
дифракционной картины от другого близко расположенного с
первым точечного объекта. Этому условию отвечает минималь-
ное угловое разрешение оптического прибора. Например, в слу-
чае круглой диафрагмы
6 = 1,22 4-,
где d — диаметр апертуры.
III. 2.21. Выбор / не произволен. Чтобы система имела отри-
цательное фокусное расстояние, должно выполняться условие
/ < / < 2/.

Ответы и решений, 181
III. 3.1.
а) Согласно закону Снеллиуса
sin 0! =ttsin02. A)
Отсюда при малых углах падения 0i имеем
B)
Аналогично, поскольку угол а мал, для второй грани призмы
можно записать
04 = я03. C)
Из простых геометрических соотношений между углами тре-
угольников (первый рисунок) имеем
а + я — а'=л;, или а7 = а.
Следовательно,
а = 02 + 03 D)
е4 —е3). E)
Из соотношений B) — E) находим угол отклонения лучей б;
6=ф-1)а,
который, как мы видим, не зависит от угла падения 0ь

182
///. Теплота, статистическая физика и оптика
б) Пусть О' — мнимое изображение точечного источника в
призме.
Призма ^ Линза
В п. «а» было показано, что любой луч, проходя через приз-
му, отклоняется на угол б.
Из второго рисунка мы видим, что расстояния от мнимого
изображения О' и от источника О до призмы в первом прибли-
жении одинаковы, поскольку углы аир малы. Подставляя рас-
стояние
Р = ! + Т = У
в формулу Гаусса для линзы, получаем
1 ¦ 1 1
C/2)f f q — f •
Отсюда находим положение изображения по горизонтали
Отклонение положения мнимого изображения источника 00' по
вертикали связано с углом б соотношением 00' = /б. Теперь
легко найти положение изображения, даваемое линзой по вер-
тикали 1Г. Поскольку
00' ~ р *
IV = - 2100' = - 2/6 = - 2/ (п - 1) а.
то
Здесь знак — означает, что изображение расположено ниже оси
системы.
HI. 3.2. Такой оптический прибор называется пропускающим
эшелоном. Принцип действия его аналогичен щелевой дифрак-

Ответы и решения 183
ционной решетке. Изменение фазы б, вносимое одной «щелью»
относительно другой, дается выражением
Л __ 2я [(п — cos 9) t + s sin 9]
где 6 — угол между дифрагированным лучом и падающим пуч-
ком. В случае малых углов дифракции 9 имеем
A)
Применим теперь формулу для углового распределения интен-
сивности света на ЛЛщелевой дифракционной решетке:
. „ о sin2 N —
здесь
= у- s sin 6 «-~ s6.
Множитель sin2 р/р2 обусловлен дифракцией от одной «щели», а
множитель sin2 (N6/2)/sin2 F/2) связан с интерференцией пучков
от N «щелей».
Дифракционные максимумы соответствуют значениям
-^- = 0, л, 2я, ...,
или
- = тзх, где т~ целое число.
Отсюда находим углы, соответствующие максимумам в дифрак-
ционной картине:
1
Подставляя в формулу C) значения 0 ^ 0, п = 1,5, t = 0,5 см
и X = 5000 А, получаем
1[тE.10-5)-@,5J]«0.
Следовательно, порядок интерференции
m = 5- 103. D)
Выражение для угловой дисперсии А0/АЛ можно получить непо-
средственно из формулы C). Для малых значений dn/dX оно
Имеет вид

184 III. Теплота, статистическая физика и оптика
Разрешающая способность эшелона зависит от углового рас-
стояния А0 между главным максимумом и ближайшим миниму-
мом в интерференционной картине m-го порядка. Дифракцион-
ные минимумы соответствуют значениям
или, если учесть A), углам дифракции
r + nA-in-Dt]. F)
Из F) и C) находим угловую полуширину главного максимума
А9 = (е;-9т) = 1А. G)
Пусть 8i и 02 — углы дифракции, соответствующие главным
максимумам на длинах волн Х\ и Яг- Предельное угловое разре-
шение эшелона дается формулой G), когда А0 равно разности
углов дифракции 0i и 02:
1 Я
Л0 tt 0i — 02 = тг •
о iV
Из формулы C) находим 0i — 02. Тогда последнее выраже-
ние принимает вид
-i- ЕтЯ, _ („_ 1) ^] _ i-[тя2 _ („ _ 1)^] = ± А-,
откуда следует, что разрешающая способность эшелона равна
III. 3.3. Компоненты электрического вектора световой волны
с правой круговой поляризацией записываются следующим об-
разом:
Ех = Ео sin (со/ — со — )
Еу = Ео sin (со/ + 90° - со —) .
\ Vy /
Поскольку пе < п0, то ve > v0. Предположим, что оптическая
ось первой пластинки направлена по оси х. Тогда компоненты
электрического вектора на выходе первой пластинки принимают
вид
И
4° - sin (со/ + 90° + 90°) = - sin со/,

Ответы и решения 185
т. е. свет на выходе пластинки является линейно-поляризован-
ным, причем вектор поляризации составляет с оптической осью
пластинки угол 45°.
а) В случае 0 = 0 компоненты электрического вектора на
выходе второй пластинки равны
?* * ~ sin(ot
и
Ef ~ sin (со/ — 90°) = — cos со/.
Следовательно, свет имеет левую круговую поляризацию.
В случае Э = 45° фаза компоненты Ех относительно Еу не
изменится, и свет останется линейно-поляризованным, как и на
выходе первой пластинки.
В случае 6 = 90° имеем
Ef ~ sin (со/ + 90°) = cos со/
и
Еу ~ — sin со/,
т. е. получаем свет с правой круговой поляризацией.
б) Две четвертьволновые пластинки эквивалентны одной по-
луволновой только в одном случае: когда 6 = 0.
III. 3.4.
а) При наличии источника неполяризованного света оба по-
ляризатора можно опознать по изменению интенсивности света,
проходящего одновременно через них. Интенсивность пропор-
циональна cos20, где 0 — угол, под которым скрещены оба по-
ляризатора.
б) Скрестим оба поляризатора под углом 0 = 90°. Свет че-
рез такую систему совершенно не проходит.
в) Поместим любой из остальных элементов между двумя
поляризаторами и будем поворачивать его вокруг оси светового
пучка. Пусть интенсивность света на выходе первого поляриза-
тора равна 1/2. Тогда
1) если максимальная интенсивность света на выходе
второго поляризатора также равна //2, то неизвестный
элемент — полуволновая пластинка (этот случай соответ-
ствует повороту полуволновой пластинки относительно
любого из поляризаторов на угол 45°);
2) если-интенсивность света на выходе второго линейного
поляризатора постоянна и равна //8, то неизвестный эле-
мент— круговой поляризатор (поскольку каждый из трех
элементов ослабляет интенсивность света вдвое);
3) если интенсивность света на выходе второго линейного
поляризатора изменяется от 0 до //4, то имеем четверть-
волновую пластинку (максимум интенсивности получает-

186
///. Теплота, статистическая физика и оптика
ся, когда оптическая ось пластинки образует угол 45° с
оптической осью любого из поляризаторов и каждый из
них ослабляет свет вдвое).
г) Если в наборе имеется только один линейный поляриза-
тор, то его и круговой поляризатор можно отделить от осталь-
ных двух элементов, пользуясь тем, что любой из этих двух по-
ляризаторов ослабляет интенсивность света от лампы вдвое, в
то время как остальные элементы таким свойством не обладают.
Теперь можно опознать каждый элемент отдельно, манипули-
руя между двумя поляризаторами любой из оставшихся двух
пластинок, пока не представятся следующие два случая распо-
ложения:
1) Между четвертьволновой пластинкой и лампой на-
ходится круговой поляризатор. Вся эта система выпол-
няет функцию линейного поляризатора, как показано на
первом рисунке.
Лампа
Круговой Четвертьволновая Линейный
поляризатор пластинка поляризатор
При вращении крайнего линейного поляризатора ин-
тенсивность света в направлении А должна изменяться
как cos2(B + ft/4), где 8 — угол между осями линейного
поляризатора и четвертьволновой пластинки. Заметьте,
что при вращении первого (кругового) поляризатора ин-
тенсивность света в направлении А меняться не должна.
2) Между четвертьволновой пластинкой и источником
света расположен линейный поляризатор. Если оптиче-
ские оси четвертьволновой пластинки и линейного поля-
ризатора образуют угол ±45°, то эта система выполняет
функцию кругового поляризатора (см. второй рисунок).
45°
7
Линейный Четвертьволновая Круговой
поляризатор пластинка поляризатор
Лампа

Ответы и решения 187
В этом случае свет в направлении В либо проходит, либо
не проходит в зависимости от того, под каким углом, +45
или —45°, скрещена пластинка относительно линейного
поляризатора. Заметим, что интенсивность в направлении
В остается постоянной при вращении второго (кругового)
поляризатора.
Система, состоящая из полуволновой пластинки и двух ос-
тальных элементов, не способна полностью ослабить первона-
чально неполяризованный пучок света. Следовательно, произ-
ведя опыты по п. 1 и 2, мы тем самым идентифицировали все че-
тыре оптических элемента.
III. 3.5.
а) В статистической физике энтропию определяют следую-
щим образом:
S = k In W {nt\
где tii — среднее число частиц в i-м состоянии, a W(rti) —число
всевозможных способов реализации системы из совокупностей
частиц tii, i = I, 2, .... В нашем случае
где П\ и п2— число атомов с прямой и противоположной ориен-
тациями спинов соответственно, причем щ + п2 = N. Поскольку
П{ ^> 1, можно воспользоваться формулой Стирлинга
\пп\ = п(\п п — 1).
Таким образом, получаем
S = k [N In N - (щ In щ+п2 In n2)-N + (щ+п2)] = - k ? nt ln-J-.
i
В нашем случае i = 1, 2, т. е.
f) A)
Энтропию можно определить и другим способом. Опытным
путем было установлено, что если количество тепла, сообщаемое
системе в каждой точке любого непрерывного процесса, разде-
лить на температуру Т и проинтегрировать полученное отноше-
ние, то результат оказывается независимым от пути интегриро-
вания. Поскольку в физике инварианты играют большую роль,
то приведем эту величину:
„ [ dQ Г CdT .
bT = )-Y-=)-j—. B)
о о

188 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
б) При Г—* 0 все спины принимают одинаковую ориента-
цию. Следовательно, П\ = Л/, п2 — О, и из A) получаем So =
= 0 1). При Г —> оо спины ориентированы беспорядочно, и П\ =
— /г2 = jV/2. В этом случае
S^ = - jfetf In (-2L) = kN In 2. C)
Из B) и C) следует
III. 3.6. Среднюю скорость теплового движения молекул газа
v можно считать постоянной, поскольку температура сосуда не-
изменна 2).
Среднее значение скорости, с которой молекулы газа дви-
жутся через отверстие, определяется выражением
1
[n(v cos 6) d (cos 6)
w — +1 — 4 •
\ nd (cos 0)
Число молекул, покидающих сосуд в единицу времени, равно
dn nvA nvA
A)
здесь п — число молекул, оставшихся в сосуде; А — площадь от-
верстия; V — объем сосуда. Решение уравнения A) имеет вид
Таким образом, полагая п = по/е> находим искомое время
w /ЖГ3)
t = —г, где у = л/ .
vA V зет
III. 3.7. Согласно закону Стефана — Больцмана, плотность
мощности излучения абсолютно черного тела, имеющего темпе-
ратуру Г, равна
Е (Т) = аТ\
j) Рассуждения автора непоследовательны, так как выведенное на основе
формулы Стирлинга выражение A) неприменимо при «2-^0. Правильное до-
казательство So = 0 (теорема Нернста) см. в учебниках по статистической
физике. — Прим. ред.
2) А также потому, что газ из него вытекает медленно. — Прим. перев.
3) Здесь m — масса одной молекулы. — Прим. перев.

Ответы и решения 189
где а —постоянная Стефана — Больцмана. Применяя к излуче-
нию закон обратных квадратов, находим плотность мощности
солнечной радиации на Земле:
Следовательно, Земля поглощает излучение мощностью
г\ A)
которая предполагается равной мощности теплового излучения
Земли:
Е3 = оТЧпг2. B)
Из A) и B) находим
или 7 =
Следовательно, Т ж 275 К, что не сильно отличается от комнат-
ной температуры.
III. 4.1. В соответствии с первым началом термодинамики и
определением энтропии имеем
TdS = CvdT + PdV. A)
а) Изменение энтропии газообразного азота, если он зани-
мает постоянный объем, а температура его повышается от То =
= О °С до Т = 100 °С, вычисляется по формуле
CudT 373
\ C\Q$\2C B)
Молярная теплоемкость двухатомного газа при комнатной тем-
пературе равна E/2)#- Следовательно, теплоемкость одного
литра этого газа составляет
4 4 ¦2 • ib"=0'223 кал/к-
w 4 b
Подставляя это значение Cv в формулу B), получаем
ASNf = 0,312 • 0,223 = 0,0696 кал/К.
Изменение энтропии резервуара при температуре 100°С равно
Д5рез в
Следовательно, энтропия Вселенной изменяется на
ASBc = ASN, + ASpea = 9,8 • 10~4 кал/К.

190
///. Теплота, статистическая физика и оптика
б) Пользуясь тем, что одна из стенок сосуда подвижна, мож-
но вначале газ сжать адиабатически, а затем, когда его темпе-
ратура поднимется до 100 °С, привести сосуд в контакт с тепло-
вым резервуаром и заставить газ расширяться изотермически до
первоначального объема.
Изотермический
процесс
Адиабатический*
процесс
V
При адиабатическом процессе энтропия не изменяется. При
изотермическом процессе изменение энтропии азота составляет
(Q/T), а теплового резервуара (-Q/T). Таким образом, общее
изменение энтропии Вселенной равно нулю:
II 1.4.2. Подставляя в формулу линзы
р ^ я f
значения р = 20 см и f = 10 см, определяем положение изо-
бражения, полученное с помощью первой линзы: q = 20 см. Это
изображение служит объектом для второй линзы и находится
от нее на расстоянии 70 — 20 = 50 см. Пользуясь формулой лин-
зы, находим положение изображения, даваемое второй линзой и
отстоящее от нее на расстоянии 12,5 см, как показано на ри-
сунке.

Ответы и решения 191
Если третью линзу поместить точно в то место, где располо-
жено первое изображение, то для второй линзы его положение
как объекта не изменится, и, следовательно, положение изобра-
жения в системе останется неизменным. Чтобы произошло уве-
личение светосилы системы, третья линза должна быть соби-
рающей.
На рисунке показан луч света, теряемый в отсутствие проме-
жуточной линзы. В лучевой оптике ее называют иногда поле-
вой линзой.
III. 4.3. Положение светлых колец Ньютона дается форму-
лой
где rm — радиус m-го светлого кольца, a d — поправка к тол-
щине слоя, учитывающая недостаточно плотное соприкосновение
сферической и плоской поверхностей. Подставляя в эту фор-
мулу значения
# = 50 см, г3 = 0,09 см и г23 = 0,26 см,
получаем
о « . 0,0625 47 - 00 /оч
2ri + '• so = -у А ДЛЯ ^ = 23. B)
Исключая d в одном из выражений A) или B), находим
Я = 5,44- 10~5 см = 5440 А.
III. 4.4.
а) Согласно условию задачи, вода и пар в состояниях 1 и 2
находятся в равновесии при температуре Т\. Следовательно, да-
вление паров воды /?п, которое в общем случае является функ-
цией только температуры, остается постоянным. Обозначим че-
рез р0 парциальное давление воздуха в системе в состоянии 1.
Тогда придем к следующим соотношениям:
Pi = Pn + Po = 3 атм, A)
P2 = Pn + -f = 2атм, B)
из которых находим
рп=1 атм и ро = 2 атм.

192 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
Поскольку рП равно одной атмосфере, и этому давлению паров
соответствует точка кипения воды при нормальных условиях, то
приходим к выводу, что
Т1 = 100°С.
б) Если Уз = 2^2, то рз = P2V2/V3 = 1 атм.
в) Полагая V2 = 44,8 л, ра = 1 атм и Т\ = 100 °С, находим
число молей воды и воздуха:
B73 \
-373") B)== 1,46 моль.
Молекулярная масса воды составляет 18 г/моль, а воздуха
29 г/моль. Следовательно, масса воды в граммах равна
18-дгВОда = 26,28 г, а масса воздуха 29• дВОзд = 42,34 г.
III. 4.5.
а) Внутренняя энергия идеального газа зависит только от
его температуры. Поэтому при свободном расширении этого газа
изменения его энтропии не происходит:
б) Энтропия одного моля идеального газа, находящегося при
температуре Г и давлении р, дается выражением
S(T, p) = Cp\nT-R\np + Ki
где К — числовая константа. Для смеси двух молей идеального
газа с одинаковыми температурами и объемами имеем
Si2(Т, р) = (СР1 + СР2) lnT-2R In pr + 2/С.
Здесь рг — парциальное давление любого из газов. После сме*
шения каждый газ занимает вдвое больший объем, поэтому
p'
Следовательно, изменение энтропии равно
Sl2 -2S = 2R\np-2R\n-^ = 2R In 2.
в) В случае смешения двух объемов одного и того же газа
давление газа в конечном состоянии равно давлению в исходном
состоянии, поэтому изменения энтропии не происходит.
III. 4.6.
а) Энергия фотона с длиной волны 6200 А равна
« 2 эВ. A)

Ответы и решения 193
Следовательно, общее число фотонов, испускаемых в одну се-
кунду источником света мощностью 1 Вт, составит
! фотон/с. B)
Каждый фотон обладает моментом импульса
Суммарный момент импульса1), переносимый светом в одну се-
кунду, равен
Te = -jf = nYft«C- 1018)A(Г27) = 3.1(Г9дин.см.
Его направление параллельно или антипараллельно направле-
нию распространения в зависимости от того, является ли свет
лево- или правополяризованным.
б) Пусть ПП обозначает правую круговую поляризацию фо-
тонов, а ЛП —левую круговую поляризацию. При полном отра-
жении света от зеркала электрический вектор волны изменяет
фазу на я. Поэтому ПП-фотон после отражения становится
ЛП-фотоном. Однако направление момента импульса в про-
странстве не изменяется. Следовательно, суммарный момент им-
пульса, передаваемый пластинке в одну секунду, равен нулю.
в) После прохождения полуволновой пластинки ПП-фотон
превращается в ЛП-фотон, поэтому на пластинку действует мо-
мент, вдвое превышающий вычисленный в п. «а»:
тв = 2та.
г) Полуволновая пластинка превращает ПП-фотон в ЛП-
фотон, который после отражения от посеребренной поверхности
вновь становится ПП-фотоном, а пройдя еще раз полуволновую
пластинку, оказывается ЛП-фотоном. Сравнивая этот фотон с
первоначальным, заключаем, что вращательный момент, дейст-
вующий на пластинку, равен нулю.
Д)
1. ПП-фотоны на выходе полуволновой пластинки стано-
вятся ЛП-фотонами.
2. ЛП-фотоны на выходе четвертьволновой пластинки
превращаются в линейно-поляризованные фотоны,
3. Линейно-поляризованные фотоны после отражения от
зеркальной поверхности остаются линейно-поляризован-
ными, причем направление вектора поляризации меняется
на противоположное.
*) Автор рассматривает свет, поляризованный по кругу, что в квантовой
теории соответствует одинаковому направлению спинов фотонов. — Прим. ред.
7 Зак 713

194 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
4. Линейно-поляризованные фотоны, проходя четверть-
волновую пластинку в обратном направлении, становятся
ЛП-фотонами.
5. ЛП-фотоны, проходя в обратном направлении через по-
луволновую пластинку, превращаются в ПП-фотоны.
Что касается пластинки, то на нее попадают один ПП-фотон
снизу (передаваемый им момент импульса равен Ь\) и один
ЛП-фотон сверху (|), а покидают ее один ЛП-фотон вверх (f)
и один ПП-фотон вниз (|). В результате имеем
J + |-t-T = 4J.
Таким образом,
тд = 4та.
III. 4.7.
а) Число рождающихся мальчиков определяется выраже-
нием
где Р — вероятность рождения мальчика, равная 51%. Число
рождающихся девочек
Из этих соотношений получаем, что /гм/пд = Р/A — Р). Таким
образом, после ограничения рождаемости мальчики будут, как
и прежде, составлять 51% рождающихся детей,
б) Поступим следующим образом:
1. Направим электромагнитное излучение известной ча-
стоты vo в направлении объекта.
2. Измерим интенсивность излучения объекта на несколь-
ких частотах: vo, vo ± Av, vo ± 2Av, ....
3. Построим зависимость интенсивности принятого уст-
ройством излучения от частоты. В случае абсолютно чер-
ного тела эта зависимость должна быть монотонной. Если
же объект — не абсолютно черное тело, то на графике по-
явится пик при частоте v0, вызванный отражением от
объекта падающего излучения, имеющим ту же частоту.
4. Для дополнительной проверки можно перестроить из-
лучаемую устройством волну на новую частоту vo + Av.
Если объект является абсолютно черным телом, то спектр
излучения его останется прежним. В противном случае от-
меченный ранее пик сместится на частоту vo + Av. На яв-
лении отражения излучения основана работа радиолока-
тора.

Ответы и решения
195
III. 4.8. При термодинамическом равновесии распределение
протонов по состояниям описывается функцией распределения
Максвелла — Больцмана *)
6.1023.1(Г34.108
= /(¦» 1+2,4- 1(Г6.
Следовательно, для поляризации Р получаем
111.5.1.
1,2 • 1<Гв.
У н
у
У
ю
100
т, к
1000
юооо
При низких температурах внутренняя энергия газа равна
Е = 3/2/?Г, а молярная теплоемкость cv = 3/2/?. Они соответ-
ствуют трем степеням свободы — трем компонентам импульса,
квадратичная форма от которых определяет кинетическую
энергию молекулы. Колебательные и вращательные движения
запрещены, поскольку энергия теплового движения kT меньше
разности энергетических уровней между первым возбужденным
и основным состояниями молекулы. С ростом температуры мо-
лекулы начинают вращаться. При этом теплоемкость стано-
вится равной
поскольку у молекулы появляются две дополнительные степени
свободы, связанные с ее вращением. При еще более высоких
температурах cv = 7/2R. Увеличение коэффициента обусловлено
возникновением у молекул двух колебательных степеней сво-
боды. При очень высоких температурах мы должны учитывать
возбуждение электронных уровней.
*) Здесь Е(\) и Е(|) обозначают энергии протонов со спинами, на-
правленными по магнитному полю и против него. — Прим. ред.

196 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
III. 3.2.
= A=_?Zl=-!O2_/2 = 0,33/2 ДжДК • с).
1 1 O\JO
III. 5.3. Хуже. Теплообмен пропорционален скорости потока
жидкости. Не4 при температуре ниже точки ^-перехода (Г »
« 2,2 К) становится сверхтекучим, и скорость потока его может
быть огромной. Не3 ведет себя как нормальная жидкость и
имеет обычную вязкость при низких температурах. Следова-
тельно, скорость потока Не3 меньше скорости потока Не4.
III. 5.4. При одномерном рассмотрении потенциальная энер-
гия молекулы газа в трубке в точке х (отсчитываемой от оси
вращения трубки) дается выражением
где m — масса молекулы. Плотность молекул подчиняется
больцмановскому распределению:
здесь М — масса одного моля газа, a R — универсальная газо-
вая постоянная.
Замечание. М = Nom и R = Nok, где jV0 — число Авогадро и
k — постоянная Больцмана.
III. 5.5. Согласно теореме Больцмана о равнораспределении
энергии по степеням свободы, имеем
Пот. 9H. = -^CQ2 = -ir
Кин. эн. = /82 =
Следовательно,
б2 = Щ- и 02 =
Эти величины от давления не зависят.
III.5.6. В процессе В —> С, показанном на рисунке в условии
задачи, система поглощает тепло
с.
, ,с 300-500 7г-ЛПП тт
dS = s = 75 000 Дж.

Ответы и решения 197
В процессе С -> А она отдает тепло QCa = 100-500 = 50 000Дж.
Поскольку Qab =: 0, то к. п. д. машины равен
Работа Qnr — QrA
III. 5.7. Разность удельных энтальпий системы между двумя
близлежащими точками термодинамического равновесия дается
выражением
где по определению
Если газ охлаждать путем уменьшения давления р, то
Используя соотношение
(dpldT)h (др/дТ)н
и тот факт, что ср > 0, получаем
(dp/dT)h ^v"
III. 5.8. Вязкость газа очень слабо зависит от давления (при
увеличении давления до 1000 атм она при постоянной темпера-
туре возрастает всего на 20—40%). Поэтому средний квадрат
смещения частицы не изменится.
III. 5.9. Для описания излучения абсолютно черного тела
рассмотрим следующее уравнение для TdS:
и соотношения !)
Тогда получим
Т dS = 0 = — T3V dT + -^ Т dV,
откуда
dV , ЫТ ____ п
— "г~Т- —и-
!) В этих соотношениях и — плотность энергии системы, V = uV — ее
внутренняя энергия, а — постоянная Стефана — Больцмана и с — скорость
света. — Прим. перев.

198 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
После интегрирования имеем
VT3 = const.
Следовательно, в результате адиабатического расширения ка-
меры получаем
т -( Унач У/зГ
1 конеч — \ т/ I ¦• нач*
\ Vконеч /
ПОСКОЛЬКУ Уконеч = 8УНач, ТО
1 конеч — 2 нач>
т. е. температура уменьшится в два раза.
III. 5.10. Изменение энтропии определяется выражением
д п Механическая работа kA2
1\г> ¦ ^ — -зуг-,
где k — жесткость пружины, Т — абсолютная температура.
III. 5.11. При температуре абсолютного нуля все электроны
занимают нижние энергетические уровни. В этом случае
dE.
В результате интегрирования в пределах от 0 до ?Макс> где
? — энергия Ферми, получаем
ИЛИ Ямакс~ЛГ/з.
Энергия Ферми определяется выражением
_ п2 ( 3n2N У/з
— 2/71 V V ) *
III. 5.12. Пусть Т и Грез — температуры воды и теплового ре-
зервуара соответственно. Максимальный к. п. д. процесса, кото-
рый можно получить при использовании двух термостатов с тем-
пературами Т и Грез, равен
Отсюда находим минимальную затрачиваемую работу
резг~ Cv dT + рез2~ 80 • 1000 =
293
= 293.10Чп-||-20- 103+ 20'8207з100° ~7-103 Дж.

Ответы и решения
III. 5.13. Атмосферное давление зависит от высоты над по-
верхностью Земли:
Подставляя h = 300 м, g = 9,80 м/с2, М = 29 г/моль, R
= 8,3 Дж/(К-моль) иГ« 300 К, получаем
Р = Ро ехр (- ^) ^ Ро ехр (- 0,034) «A — 0,034) Ро>
т. е. АР = — 0,034Р0. Испарение представляет собой фазовый пе-
реход первого рода, описываемый уравнением Клапейрона 1)
dP __ L
dT — T(v-vB) >
где L — удельная теплота парообразовании, v и vB — удельные
объемы пара и воды соответственно. Заметим, что vB < v. Ис-
пользуя уравнение состояния идеального газа, отнесенное к од-
ному грамму пара, или v = RT/18P, имеем
АР _ 18L А^
~Р~-
откуда
1X1 540-
/=100-1=99 °С.
2-373* АР _
Ш ~" 540-18 Ро ^
III. 5.14. Из уравнения
находим изменение энтропии при постоянном давлении:
dsC
Интегрируя последнее уравнение в интервале температур от 0
до —10 °С, получаем следующие изменения энтропии:
s - s0 = 4222 In (Ц-) + 226 (для воды) A)
S' - s'Q = 2112 In (Ц-) - 76 (для льда); B)
*) Точнее, Клапейрона — Клаузиуса. С именем Клапейрона (а также Мен-
делеева) связывают обычно уравнение состояния идеального газа. — Прим.
перев.

200
///. Теплота, статистическая физика и оптика
здесь so(Sq)— энтропия воды (льда) при температуре 0°С, при-
чем s0 связано с s'Q через удельную теплоту плавления /:
s0 ьо~ 273 ""
273
"" 1Z
Суммируя значения C) и A), получаем
s - s'Q = 4222 In (Ц)+ 1453,
а вычитая B) из D), имеем
s - s' = 2110 In (|5|) + 1528 = 1450 > 0.
C)
D)
Поскольку s > s', лед представляет собой более упорядоченную
термодинамическую систему.
III. 5.15. Подставляя в формулу линзы
JL
A)
значения р\ = 30 см и f\ = 20 см, находим q\ = 60 см. Первая
линза дает изображение /, увеличенное в 5(qjpi) раз, т. е. 10см.
Расстояние от этого изображения до второй линзы равно
р2 = Ю — 60 == — 50 см.
B)
Снова воспользовавшись формулой линзы A) для р2 = —50см
и /2 = 30 см, находим для изображения 2.
1
:-о-= 18,8 см.
Ь~ 730+750Г~ 8
Размер изображения 2, полученный в системе линз, равен
= — «3,75 см.
Таким образом, изображение получается обратным с высотой
3,75 см.
j Предмет
5см
Изображение I

Ответы и решения
201
III. 6.1. Условие формирования светлых полос записывается
в виде
m=l, 2, 3, ....
A)
При переходе от одной полосы к следующей оптическая тол-
щина клина nd изменяется на К/2. Следовательно,
К = 2п (Ad) = 2п (ДО) tg 6 « 2п (ДО) 6;
здесь ДО — расстояние между полосами, равное 0,25 см. Под-
ставляя данные из условия задачи, получаем
Я = 2-1,4-0,26-55^-10»«7000А.
III.6.2. Пусть t\ и ^ — мгновенные значения температур
тела 1 и тела 2, a dW — элементарная работа, совершаемая си-
стемой, когда этим телам сообщают тепло —dQ\ и dQ2 соответ-
ственно (знак минус перед dQ\ означает, что это тепло фактиче-
dW
ски отбирается от тела 1). В таком случае максимально дости-
жимый
к п д =
1\. 11. Д.
Следовательно,
Lpat\
A)
В соответствии с первым законом термодинамики часть тепла,
отбираемого от тела 1, затрачивается системой на работу, а
остальная часть передается телу 2, т. е.
или
B)

202 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
Подставляя выражение B) в A), получаем
dW = - i^ [W + Ср B/, - Г, - Т2)},
или
d(Wil)^-CpBtl-Tl-T2)dtl. C)
Интегрируя это выражение в пределах от Т\ до Г/, где Г/ — ко-
нечная температура обоих тел, имеем
WTf = Ср [71 - Г? - (Г! + Г2) (Г! - 7»]. D)
Здесь мы учли начальное условие W = 0 при t\ = 7У Конечную
температуру Г/ находим из уравнения B), полагая в нем t2 =
E)
Максимальную работу W, совершаемую рассматриваемой си-
стемой, не трудно найти, если подставить E) в выражение D).
III. 6.3.
а) Число столкновений = Число атомов в ед. объема X
X Четырехкратная величина поперечного сечения атома X Сред-
няя скорость атомов = C-1019) Dя- Ю~16) A05) « 4-109 с*1. Здесь
использована система единиц СГС.
б) Число столкновений со стенкой = Число атомов в ед. объ-
ема X Средняя скорость атомов/6 = 0,5-1024 с-1.
III. 6.4.
а) Параметр \i можно найти из условия
Используя приведенное в условии задачи выражение для fji9
получаем
здесь множитель 2 в числителе введен потому, что электроны
обладают спином 112. Так как Е = /?2/2т, то выражение A) при-
нимает вид
в п'
Отсюда можно найти ц. В случае е^Р <С 1 подынтегральное вы-
ражение в B) можно разложить в ряд и получить следующее

Ответы и решения 203
-V-
соотношение:
б) Дебройлевская длина волны для теплового движения ча-
стицы с массой пг и энергией nkT дается выражением
f2nh2
mkT *
При пк3 <С 1 в разложении C) можно пренебречь членами вы-
сокого порядка малости и записать
е,з = ^ = ^Яз«1, D)
где V — объем, занимаемый частицами. Таким образом, среднее
число частиц Ni в состоянии с энергией ?г- равно
в) При комнатной температуре kT « V40 эВ; подставляя в
формулу для к это значение kT, а также постоянные тес'2 «
« 0,5-106 эВ и he = 1973 эВ-А, получаем
/
л/
V 0
6,3.19732
!
0,5. 10».
Следовательно,
и статистика Максвелла — Больцмана к электронному газу не
применима.
III. 6.5. Линейно-поляризованную волну можно представить
в виде суперпозиции двух волн с круговой поляризацией, имею-
щих одинаковые амплитуды, но противоположные направления
вращения вектора поляризации. После прохождения слоя иони-
зованной среды волна с положительной круговой поляризацией
будет опережать волну с отрицательной круговой поляризацией
по фазе на угол
К К Л _L JK?_ 2Q
(со — й) со (со + Q) J к соЯ со2 — Q2 *
Следовательно, угол поворота плоскости поляризации равен
III. 6.6. Оптическая длина пути возрастает со скоростью
щ ч dt *

204 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
что равносильно удалению источника света от наблюдателя со
скоростью
Отсюда следует
Av п — 1 dh
v c dt
HI. 6.7, Пусть х — толщина четвертьволновой пластинки. Тог-
да справедливо следующее соотношение:
V 1
Отсюда находим
5,8299 <10~5
=^263- 10 СМ.
*= 4.0,01154
III. 6.8.
а) Найдем разность фаз между двумя волнами излучения X
и Х/ при прохождении ими расстояния d:
здесь АХ — разность длин волн. Подставляя в эту формулу d =
== 2• 30 = 60 см, X = 6000 А и б = 2я, находим
дл = ?«б-нг3А.
б) Разрешающая способность должна быть равна
А 1 лС
Порядок интерференции
2d 2.1.5.Ю8
— = 6000
=50 000.
Из формулы, приведенной в задаче, находим, что коэффициент
отражения должен удовлетворять условию
о 1 ЯГ л <^ г\
или
Отсюда для разрешения двух линий с Д^ = 6-10~3 А следует
выбрать
г ъ 1 - ¦? » 0,92.

Ответы и решения
205
III. 6.9. Обозначим напряженности электрических полей в об-
ласти / через Ео и Еи в области // через Е2 и Е2 и в области ///
через ?з соответственно.
Я Лх
/Я
При нормальном падении волны картина обладает вращатель-
ной симметрией. Поэтому будем считать, что электрические поля
перпендикулярны плоскости рисунка. Граничные условия та-
ковы, что компоненты электрического и магнитного поля, парал-
лельные границе раздела в одном слое, должны оставаться в лю-
бой момент времени параллельными ей по другую сторону гра-
ницы раздела. Отсюда мы имеем следующие соотношения:
?о + Е\ = Е2 + ^2,
Е2 + Е2 = ?з,
Ve7 (?о ~ Ег) = л/72 (Е2 - Ё2\
Ve2 (Е2 — Ё2) = Ve3 E3.
Из этих соотношений можно найти зависимость Е{ и Еъ от Ео:
р _
1~
-V
e3
T °*
1 + Ve3/ei Vei + Уё3
Мы видим, что искомые поля не зависят от г2{). Интенсив-
ность волны в слое /// пропорциональна Е23, а интенсивность от*
раженной волны в слое / пропорциональна Е*.
III. 6.10. В соответствии с критерием Рэлея
мы имеем
Dd
1,22Я *
1) Такой вывод можно получить только, не учитывая толщины слоя II -
Прим. ред.

206 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
Подставляя d = 0,5 см, /) « 1,22 м и Л = 5000 А, находим
1,22.10^.0,5 JLlgy - 1Q» сы - 10 КМ.
1,22-5000. Ю-8 5-Ю-5
III. 6.11.
а) 90°.
б) ф = arctg(fli/fl2), гДе п\ и п2 — показатели преломления
первой и второй диэлектрических сред.
III. 7.1. При освещении красным светом.
III. 7.2. В центре кривизны зеркала.
III. 7.3. В плоскости, перпендикулярной плоскости отраже-
ния.
III. 7.4. Если пучок света падает слева, то точка сходимости
пучка сместится вправо от точки Р.
III. 7.5. За фокусом по ту же сторону от линзы, что и объект,
III. 7.6. Красная.
II 1.7.7. Фокусное расстояние обратно пропорционально ве-
личине (д — 1) ( ).
V ' 1 I 2 /
ПОСКОЛЬКУ ПКрасн < Яфиол, ТО /краен > /фиол-
III. 7.8. Мнимое.
III.7.9. Хроматическая аберрация.
III. 7.10. Свет не проходит через систему из скрещенных под
прямым углом линейного поляризатора и анализатора1).
III. 7.11. я/2.
III. 7.12. Когда он проходит через оптический центр линзы.
III. 7.13. Диапазону 4000—7000 А, что соответствует часто-
там 7,5-1014—4,3-1014 Гц.
III. 7.14. (Опад ==: &)пр*> ^пад == ^Апр.
III. 7.15. Лучи, идущие из центра круга, не преломляются.
Поэтому изображение будет казаться расположенным в той же
плоскости, где и буква. В случае малых углов 8 имеем О7 = пв
1) Вообще, любые поляризационные эксперименты показывают наличие
поперечной компоненты. — Прим. ред.

Ответы и решения
207
(из закона Снеллиуса). Поскольку V = гЭ' = nrB = nl, то раз-
мер изображения в п раз больше размера буквы.
Полусфера
III. 7.16.
а) Сдвиг фаз в точке С между лучами, исходящими от обеих
щелей, равен
2яб / 1Ч 2я6
(П1)
Интенсивность света в точке С пропорциональна cos2(A/2). Сле-
довательно,
г т 9 (п — 1) Jt6 /1Ч
/c = /0COS2i j-L . A)
б) Из формулы A) получаем, что интенсивность минимальна
при 1)
в) Амплитуда волны в точке С равна
Ас = 2Ае*"* + Ае! <®'+А> = Ае*"* B + е^).
Отсюда получаем интенсивность в точке С:
1С~\АС\2~4+ 1 + 4 Re [е'А] ^5 + 4 cos A ~5 + 4 cos
2jt6 {" "
HI. 7.17. По существу это задача о дифракции Френеля на
круглом экране. Длина звуковой волны от свистка X = v/f =
== 0,1 м. Поскольку источник удален от диска на большое рас-
стояние, звуковая волна в любой точке на поверхности диска
Точнее, при б «= Bk + 1)У2(я— 1), где k = 0, 1, 2, .... — Прим. ред.

208 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
имеет одну и ту же фазу. Для точки, расположенной на оси ди-
ска, радиус /-й зоны Френеля определяется выражением
Отсюда получаем
здесь D — расстояние между наблюдателем и диском. Площадь
проекции /-й зоны записывается в виде
(я/?2 — nRf_x j cos 9 ж п \KD + -у- J cos 9,
где
п
cos 9 = •
Результирующая амплитуда звуковой волны вдоль оси диска
равна
где
А = к[КР + (Д2/2)] cos 6 cqs 9 = п [XD
Компоненты амплитуды, перпендикулярные оси, отсутствуют в
силу осевой симметрии.
а) Если наблюдатель находится непосредственно за диском,
то D = 0. Следовательно, At = 0 для любого I Ф 0. Поскольку
первой зоне Френеля, примыкающей к периферии диска, соот-
ветствует I = г/(К/2) (где г = 1 м — радиус диска), то резуль-
тирующая амплитуда звуковой волны равна нулю и свиста не
слышно.
б) Если теперь отойти далеко за диск, то D > К. Первой
зоне Френеля, примыкающей с внешней стороны к диску, соот-
ветствует U = г2/аХ>, и для результирующей амплитуды полу-
чаем
dAt

Ответы и решения 209
Поскольку Лоо = 0, то
Л = 1(-1)г'+Ч,. B)
В отсутствие диска результирующая амплитуда
/-0
Условие ослабления интенсивности звука в два раза при введе-
нии диска записывается в виде
1
ИЛИ
а2=1 в\
А2 -L A2
Л/, — 2 Ло •
Подставляя Л/, из формулы A), получаем
я(ЯР + /Д2/2)Р2 \2 = j_ /
K+D2)V' J ~~^
Поскольку /?/, = 1 м, a /iA, = 1/Д последнее равенство прини-
мает вид
г D3 + р/2 Л 2 _ j_
I A+^2У7г J 2 '
Отсюда получаем уравнение
?N_D4_2,5 D2— 1=0,
из которого находим D « 1,5 м.
III. 7.18. Размер пятна равен приблизительно ширине цен-
трального максимума дифракционной картины от круглого от-
верстия. Первое темное кольцо появляется при
sina=l,22-jjr,
где
Радиус пятна == R
Расстояние Земля-Луна D '
При Я = 6000 A, d = 2 м и D = 400 000 км получаем
/^=1,22-^= 1-22D-1°82>^-10~7>^1,5. 10^ м.
III. 8.1. Vx==0, так как Vx ¦— нечетная функция. V2X = —,
поскольку V*x = vl = vi = y^2 = y(^f)- i^ = 0f так как
^х — нечетная функция.

210 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
III. 8.2. Скорость падения капли уменьшится, поскольку с
повышением температуры вязкость воздуха возрастает.
III. 8.3.
Jf— 6 *
Общее изменение энтропии при смешении молока и кофе
дается выражением
Tf Tf
AS = 50 \ ^j Ь 250 jj ^-j- = 50си In \j~) + 250cv In (y-J =
= 50 In (Г1+65Гг) + 250 In ( Tl + 5Г2 ) кал/К,
поскольку для воды ^vr = 1 кал/(г-К).
III. 8.4. Уравнение состояния для адиабитического процесса
имеет вид
P\Vy\ = Р2У2 = const,
причем для одноатомного газа y = 5/з- Поскольку V2 = VJ2, то
для отношения давлений получаем
III. 8.5. Из определения энтропии следует
III. 8.6.
, 1к кт
с' тс*
III. 8.7. Изменение энтропии равно AS = LIT. В соответствии
с первым законом термодинамики изменение внутренней энер-
гии дается выражением
mj = t&s-p&v = l-p(- -V
V Р2 Pi /
III. 8.8. Поскольку N2 ~ Ner*ihT, Nx ~ N ¦ и N{ + N2 = N,
мы имеем
r_ dEnom __FdN2 __p d ( Ne~E!kT \_кгр» (l/kT2)eE/kT
dT ~ dT ~ d\EfkT)~ (BfkT

Ответы и решения
211
Следовательно,
NE2
при
-г
¦*- Г
Г = Е/к
III. 8.9.
а) 3/2# при Т < ввр,
б) 5/2^? ПРИ Т > вВр,
где ввр — характеристическая температура для вращения моле-
кул.
III. 8.10. Площадь, ограниченная кривой, уменьшится в 24 =
= 16 раз, а значение X, соответствующее максимуму кривой,
увеличится вдвое.
III.8.11.
а) Теплоемкость железа равна
Сж=200. 103 • 0,6= 1,2 • КГ5 Дж/К.
Для тепловой машины с двумя тепловыми резервуарами при
температурах Т и Т\ (Т\ = 12 °С = 285 К) максимальный
/с. п. C. =
Вычисляем максимальную работу
1773
1773
285
285
= (Н88-2851п^-)сж==A488-521)Сж =
= (967) A,2 -105)= 1,16 -108 Дж.

212 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
б) Изменение энтропии тела, связанное с передачей ему теп-
ла AQ, дается выражением
Следовательно, изменение энтропии железа
285
«^нач — \ *р ^ж \ j1
1
1пГ>
ж*'* I 285 /
1773
«-(in 6,22) Ся==-1,83с»
а изменение энтропии океана
°конеч °нач ~ 285 ~~ ' ж#
Общее изменение энтропии равно их сумме:
ASo6lu = 3,39 Сж = 4,07 • 105 Дж/К.
III. 8.12.
а) Пусть б — сдвиг фазы отраженного света относительно
падающего света с амплитудой А. Тогда амплитуды прошедшего
и отраженного света связаны с А соотношениями
T Rel6 {р1) A)
Если теперь изменить направления отраженного и прошедшего
лучей на противоположные, то по правилу обращения световых
лучей мы должны получить первоначальный луч. При этом (см.
рисунок) мы имеем
RR* + ТГ = А2
и
0, B)
где
Г = Т и R* = -4=e~i\
Уз
RR* + TT* - A2

Ответы и решения 213
После подстановки выражений A) в B) получаем
Отсюда б = ±я/2.
б) Луч BEG (см. рисунок в условии задачи) претерпевает
только одно отражение —от полупрозрачного зеркала Е. По-
этому сдвиг фаз между лучами BEG и BEF равен я/2. Анало-
гично сдвиг фаз между лучами BCDEF и BCDEG равен также
я/2. Следовательно, если лучи BEG и BCDEG идут в противо-
фазе, то лучи BEF и BCDEF — в фазе. Математически это мо-
жно записать следующим образом:
б (BEG) - б (BEF) = пг Bя) ± -2-,
б (BCDEF) - б (BCDEG) = п Bя) ± ¦?,
б (BCDEG) - 6 (B?G) = / Bя) + Я (в противофазе).
Для однотипных зеркал следует выбрать один определенный
знак в правых частях первых двух выражений. Суммируя все
три выражения и учитывая, что +я/2 -f я/2 -f я = 2я, а
—я/2 — я/2 + я = 0, получаем
б (BCDEF) - 6 (BEF) = (I + m + n + 1) • 2я,
т. е. лучи BCDEF и BEF в направлении F идут в фазе.
III. 8.13.
а) По закону Снеллиуса мы имеем
sin 6' 4

214 ///. Теплота, статистическая физика и оптика
Расстояние от центра пузырька до изображения, как показано
на рисунке, равно —q. Оно является отрицательным, поскольку
изображение располагается по ту же сторону от пузырька, что и
предмет. Используя закон синусов для треугольника, можно
найти соотношение между расстоянием q и радиусом пузырька
я = R B)
sin 9 sina ' ^ '
где a = я— (я —29'+е) — 9 = 2(в7— 9). Таким образом,
sin9(qi
п _
q
_
2 sin (8' - 9) cos (9' - 6)
Если лучи идут близко от горизонтальной оптической оси, то уг-
лы 9 и 0' оказываются очень малыми. Поэтому в формулах A)
и C) можно произвести следующую замену: sin 9^9, sin 9' «
« 9', sin (9' — 9) « 9' — 9 и cos (8' — 8) « 1, после чего фор-
мула C) принимает вид
* — 2 F' - 9) ' ^ }
а формула A) —
9' = 4Д9. D)
Подставляя D) в C'), получаем
<7=|Я. E)
Фактически это расстояние отрицательно, поскольку изображе-
ние расположено по ту же сторону от пузырька, что и предмет.
Следовательно, изображение является мнимым и прямым. Так
как предмет находится на бесконечности, то q по определению
представляет собой фокусное расстояние пузырька.
Эту задачу можно решить и другим путем, если воспользо-
ваться формулами для толстой линзы, выведенными для пара-
ксиальных лучей от точечного источника, претерпевающих пре-
ломление на сферических поверхностях радиусами R\ или /?2.
Мы можем записать
T-jLirL ®
/1 А!
G)
здесь /j и f2 — переднее и заднее фокусные расстояния для ле-
вой и правой сферических поверхностей соответственно. Подста-
вляя в формулы п = 4/з> п! = 1, /?i ¦= R и /?2 = — R> получаем
/;=-ЗЯ и /? = -4Я. (8)

Ответы и решения 215
фокусное расстояние линзы / определяется выражением
п_ \__ , _п 2Rn
f~l{ ?2 Ж'
откуда находим
f- f ^ (9)
Подставляя в (9) выражения для f[ и f'2 из формул (8), полу-
чаем
Наконец, можно найти q, используя формулу Гаусса для линзы
р q f
Отсюда, полагая по условию задачи р = оо, получаем
б) При р = R мы имеем
q f R ИЗ ' V 3R *
Следовательно,
<1 = — Т*-

IV. АТОМНАЯ ФИЗИКА
И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ЗАДАЧИ
IV. 1.1 B0 баллов).
а) Почему при резерфордовском рассеянии а-частиц в
тонкой золотой фольге пренебрегают влиянием электро-
нов атома на сс-частицу?
б) Объясните, почему при комптоновском рассеянии рент-
геновских лучей не учитывают влияния ядер атомов.
IV. 1.2 B0 баллов). Оцените магнитное поле, действующее
на протон в атоме водорода со стороны электрона, находяще-
гося в состоянии 2р.
IV. 1.3 B0 баллов). Ртутная лампа излучает 1018 фотонов в
секунду на спектральной линии 2537 А. Полагая, что плотность
паров ртути в лампе мала и они находятся в тепловом равнове-
сии при температуре Т = 300 К, вычислите доплеровское уши-
рение спектральной линии. Оцените ее естественную ширину.
Какова мощность излучения лампы на этой спектральной ли-
нии?
IV. 1.4 B0 баллов). Калий — щелочной металл с атомным
номером Z = 19.
а) Какова конфигурация электронных оболочек этого
атома в основном состоянии?
б) Какие квантовые числа L, S и / характеризуют основ-
ное состояние атома калия?
в) Опишите количественно зеемановское расщепление
уровней атома, находящегося в основном и первом воз-
бужденном состояниях.
IV. 1.5 B0 баллов). Рассмотрим прямоугольную потенциаль-
ную яму с бесконечно высокими стенками и шириной 2а, как по-
казано на рисунке у^^ у^^

Задачи 217
Волновая функция частицы, находящейся в этой потенциальной
яме, записывается в виде
~ ( их . Зтсх . 1 Зя* Л . ч
-ф == С ( COS -5 г sin г Т cos ~о—) (внутри потенциальной ямы),
«ф = 0 (вне потенциальной ямы).
а) Вычислите коэффициент С.
б) Какие значения можно получить при измерении пол-
ной энергии частицы и какова вероятность появления ка-
ждого из этих значений?
IV. 2.1 A5 баллов). Дайте числовые значения следующих
физических постоянных (в общепринятых единицах):
а) массы нейтрона mn,
б) постоянной Планка Л,
в) постоянной тонкой структуры а,
г) комптоновской длины волны электрона Яе,
д) классического радиуса электрона г0,
е) времени жизни атома водорода в возбужденном 2р-
состоянии,
ж) магнитного момента протона |яр,
з) времени жизни свободного нейтрона т,
и) скорости электрона на первой боровской орбите v.
Ответы на п. «в», «г» и «д» выразите через фундаментальные
постоянные е, Ь, гпе и с.
IV. 2.2 B5 баллов).
а) Одномерное движение частицы массой m в поле с по-
тенциалом V (х) описывается стационарным уравнением
Шредингера
Предполагая V(x) = V(—х), а решение ^(х) невыро-
жденным, докажите, что ty(x) имеет определенную чет-
ность, т. е. что
) = + ф (— х) — четная функция
или
г|э (х) = — 1^ (— Л:) — нечетная функция.

218
IV. Атомная физика и квантовая механика
б) Рассмотрите движение частицы в потенциальном поле,
показанном на следующем рисунке:
-а
-Ъ
Постройте приближенную картину решений стационар-
ного уравнения Шредингера, соответствующих двум са-
мым низким собственным значениям энергии частицы в
данном потенциальном поле. Обозначьте полученные ре-
шения через \|?i и \|?2, а соответствующие им энергии через
Е\ и Е2.
в) Частное решение полного уравнения Шредингера для
приведенного выше потенциального поля можно предста-
вить в виде суперпозиции функций
,-i (EJk)t
o-i(E2/h)t
Получите волновой пакет \|э, который в момент времени
/ = 0 сосредоточен (почти) полностью в левой потен-
циальной яме. Опишите подробно дальнейшее движение
пакета во времени.
IV. 2.3 B0 баллов). Позитрон имеет ту же массу, что и элек-
трон, но положительный заряд и противоположный спиновый
магнитный момент. Если в атоме водорода заменить протон по-
зитроном, то получится атом позитрония.
а) Атом позитрония в основном состоянии имеет два
очень близко расположенных энергетических уровня lSQ
и 3S\. Какой из них расположен ниже?
б) Какова энергия связи электрона в атоме позитрония
в основном состоянии?
в) Предположим, что атом позитрония покоится и, нахо-
дясь в состоянии ^о, аннигилирует с образованием двух
Y-квантов. Определите энергию у-квантов и относитель-
ные направления их разлета.

Задачи _21_9
IV. 2.4 A5 баллов).
а) Вычислите значение матричного элемента
(t',m'\[L+,L-]\l,m).
б) Докажите, что
eioym = cos @/2) + lay sin (9/2).
IV. 2.5 B5 баллов). На какую величину сдвинется энергети-
ческий уровень 15 атома водорода, если представить заряд про-
тона не точечным, а равномерно распределенным по сфериче-
ской оболочке радиусом 10~13 см? Воспользуйтесь первым при-
ближением теории возмущений.
IV.3.1 E баллов). Предположим, что заряд протона ока-
зался вдвое большим. С каким зарядовым числом Z и массовым
числом А существовало бы наиболее тяжелое устойчивое ядро?
IV. 3.2 E баллов). Оцените порядок величины магнитного
поля, в котором обычное ядро вместо эффекта Зеемана давало
бы эффект Пашена — Бака? (Такой эффект никогда не наблю-
дался.)
IV. 3.3 E баллов). Какой минимальной кинетической энер-
гией должен обладать протон, чтобы при его столкновении с тя-
желым ядром образовался антинейтрон?
IV. 3.4 E баллов). Попадая в вещество, отрицательно заря-
женные мюоны очень быстро втягиваются на боровские ор-
биты вокруг ядер, а затем постепенно захватываются протонами
атомных ядер (К-захват). Эта картина очень напоминает про-
цесс р-распада, только протекающий в обратном порядке. Ве-
роятность такого захвата в различных веществах довольно точ-
но подчиняется следующему закону:
Вероятность захвата мюона = const • Z*.
Объясните, почему в этом законе показатель степени р дол-
жен быть равен 4.
IV. 3.5 E баллов). До какого значения энергии протонов их
Рассеяние на нейтронах можно считать изотропным?
IV. 3.6 A5 баллов). Определите (без подробных вычисле-
ний) энергетические уровни частицы массой т, движущейся в
одномерном потенциальном поле
+ оо, х<0,
V(x)= . тю'**

220 IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 3.7 E баллов). Перечислите известные вам точные сим-
метрии (законы сохранения). Приведите примеры приближен-
ных симметрии.
IV. 3.8 E баллов). Имеется мезон, который может распа-
даться двумя возможными путями с образованием различных
продуктов распада. Оба процесса характеризуются временами
распада t\ и t* Напишите формулу для неопределенности массы
этого мезона.
IV.3.9 E баллов). Каковы фазовая и групповая скорости
волны де Бройля у свободного электрона, движущегося со ско-
ростью V, определяемой по классической теории?
IV. 3.10 A0 баллов). Укажите, в каких областях трехмер-
ного конфигурационного пространства волновая функция \|э дол-
жна обращаться в нуль для каждого из перечисленных ниже
энергетических состояний атома водорода:
а) ls-состояние,
б) 25-состояние,
в) 2/7-состояние (в этом случае рассмотрите отдельно ка-
ждое из возможных состояний).
IV. 3.11 A0 баллов). Напишите простейшую формулу для
энергии связи электрона, находящегося на /(-оболочке, с ядром
атома, имеющим заряд Z. Рассмотрите, как изменится (увели-
чится или уменьшится) эта энергия связи, если учесть
а) релятивистскую поправку,
б) эффект экранировки центрального поля остальными
электронами,
в) конечный размер ядра.
IV. 3.12 A0 баллов). Найдите зависимость (с точностью до
знака) потенциальной энергии взаимодействия двух частиц от
расстояния г между ними (г велико) для следующих конкретных
случаев:
а) два нейтральных атома,
б) два ионизованных атома,
в) один нейтральный атом и один ион,
г) два нейтрона (учтите только ядерные силы),
д) два нейтрона (с учетом электромагнитных сил).
IV. 3.13 A5 баллов). Рассмотрим квантовомеханическую мо-
дель— однородную сферу, которая может свободно вращаться
относительно своего центра. Предположим, что центр сферы сов-
падает с началом координат. Поскольку точки на поверхности
сферы не отличимы друг от друга, квадрат модуля волновой
функции |г|)@, ф) |2 не зависит от углов 6 и ср. Определите воз-

Задачи
221
можные значения момента импульса сферы и покажите, как вы
их получили.
IV. 4.1 A5 баллов). Одномерный потенциальный барьер
имеет следующую форму:
Определите коэффициент прозрачности этого барьера для ча-
стиц массой т, движущихся к нему слева с энергией Е (V\ <
<E<V0).
IV.4.2 E баллов). Найдите собственные значения и норми-
рованные собственные векторы следующей матрицы:
3 2
/
IV.4.3 B0 баллов). Предположим, что \|э является собствен-
ной функцией уравнения Шредингера для одной частицы. Вве-
дем в рассмотрение вектор С, удовлетворяющий соотношению
а) Какой физический смысл имеет вектор С?
б) Найдите выражение для С в явном виде.
IV. 4.4 B0 баллов).
а) Напишите волновую функцию для атома водорода в
основном состоянии.
б) Получите выражение для вероятности найти частицу
(электрон) в шаровом слое между г и г + dr.
в) При каком значении г эта вероятность максимальна?
IV. 4.5 B0 баллов). Дайте числовые значения (не более чем
трехкратной ошибкой) следующих физических величин:
а) расстояния между ядрами атомов в молекуле водо-
рода;
б) длины волны, соответствующей максимуму спектраль-
ной плотности излучения абсолютно черного тела при тем-
пературе 3 К;

222 IV. Атомная физика и квантовая механика
в) ширины запрещенной зоны, расположенной между ва-
лентной зоной и зоной проводимости, в чистом кристалле
германия;
г) энергии, выделяемой при делении одного ядра
урана-235;
д) частоты излучения в красной области спектра;
е) интервала времени, в течение которого свет проходит
расстояние, равное диаметру одного протона;
ж) магнитного момента свободного электрона.
IV. 4.6 B0 баллов). Частица массой m находится в основном
состоянии в одномерной потенциальной яме с очень высокими
(«бесконечными») стенками, разделенными промежутком дли-
ной а. Стенки ямы мгновенно и симметрично раздвигаются до
расстояния 2а.
а) Какова вероятность того, что частица в этой расши-
ренной системе находится в основном состоянии?
б) Сохранится ли энергия частицы в результате раздви-
жения стенок?
IV. 5.1 B0 баллов). Кратко объясните:
а) Что такое принцип соответствия?
б) Что представляет собой закон Дюлонга и Пти?
в) Почему в спектрах поглощения щелочных металлов
наблюдается только главная серия?
г) Почему g-фактор Ланде для всех синглетных уровней
равен 1, а для всех S-уровней равен 2?
д) Назовите два экспериментальных факта, непосредст-
венно подтверждающих корпускулярную природу элек-
тромагнитного излучения.
IV. 5.2 B0 баллов). Мю-мезон (мюон) и протон образуют
водородоподобный атом. Масса мю-мезона в 210 раз превышает
массу электрона.
а) Какой энергией обладает фотон, испускаемый таким
атомом при переходе из первого возбужденного состоя-
ния в основное?
б) Чему равен радиус первой боровской орбиты у та-
кого атома?
в) Какова скорость мю-мезона на п-и боровской орбите?
п — главное квантовое число.
IV. 5.3 B0 баллов). Студенты, проходящие химический прак-
тикум, определяют присутствие малых примесей натрия в об-
разце по характерному желтому окрашиванию (линия 5890 А)
пламени бунзеновской горелки, в котором сжигается образец.
Этот эффект может показаться необъяснимым, так как темпера-

Задачи 223
тура пламени сравнительно невелика B000 К). Проведите ко-
личественный расчет и покажите, что здесь нет ничего стран-
ного.
IV. 5.4 B0 баллов). Частица движется в одномерном потен-
циальном поле
0, если
Vo, если х > 0.
(
Предположим, что она обладает энергией Е > Vo и движется
слева направо.
а) Определите волновую функцию частицы. Нормировать
ее не нужно.
б) Произведите нормировку волновой функции таким об-
разом, чтобы она соответствовала единичному потоку дви-
жущихся частиц (одна частица в одну секунду).
в) Решите задачу «а» для случая Е < Vq и сделайте вы-
вод из полученного результата.
IV. 5.5 B0 баллов). Состояние частицы массой т характери-
зуется (ненормированной) волновой функцией
. , v e"ikr + beikr
где г — расстояние от начала координат.
а) Чему равна энергия частицы?
б) Является ли эта частица свободной? Если нет, то опи-
шите, по возможности, потенциальное поле, в котором она
находится.
IV. 6.1 A5 баллов).
а) В уравнения электродинамики входит уравнение не-
прерывности, которое связывает изменение плотности за-
ряда во времени с дивергенцией плотности тока. Исполь-
зуйте аналогичное уравнение квантовой механики для
того, чтобы получить выражение для потока вероятности
в нерелятивистском случае.
б) Вычислите поток вероятности для ненормированной
волновой функции \р = e~ikx.
в) Применимо ли понятие потока к действительной вол-
новой функции?
IV. 6.2 B0 баллов). На лестнице стоит мальчик и с высоты
Н роняет вниз маленькие шарики массой т. Представим себе,
что он целится идеально точно. Используя принцип неопреде-
ленности, оцените средний разброс шариков около мишени.

224
IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 6.3 B0 баллов). Согласно закону Мозли, частота линии
Ка рентгеновского излучения v зависит от атомного номера эле-
мента Z следующим образом:
Vv~=aZ — Ь.
а) Выразите приближенно коэффициент а через фунда-
ментальные физические постоянные.
б) Объясните, почему частоты спектральных линий рент-
геновского излучения изменяются от элемента к элементу
в соответствии с таким простым законом, а частоты линий
оптических спектров описываются более сложно.
IV. 6.4 A0 баллов). Частица с массой покоя Ш\ налетает со
скоростью v на покоящуюся частицу массой Шч и поглощается
ею. Определите массу покоя М и скорость V образовавшейся
частицы.
IV. 6.5 A5 баллов). Электроны влетают через щель 5i в об-
ласть с однородным магнитным полем В и, описав в этой обла-
сти полуокружность, покидают ее через щель S2. При входе в
эту область спины электронов ориентированы вверх (ср^О),
как показано на рисунке. Магнитный момент электронов jli =
= —(eg/2mec)s, где фактор g = 2 + а/я (здесь а — постоян-
ная тонкой структуры).
О О
а) Определите частоту, с которой прецессирует спин элек-
тронов.
б) Вычислите циклотронную частоту электронов.
в) Под каким углом ф к первоначальному направлению
ориентированы спины электронов при выходе из области
с магнитным полем?
Замечание. Можно доказать, что квантовомеханическое выраже-
ние для изменения среднего значения спина электрона во вре-

Задачи 225
мени аналогично выражению из классической динамики. Следо-
вательно, здесь может быть полностью оправдан классический
подход к решению задачи, и его нужно использовать.
IV. 6.6 B0 баллов).
а) Используя классические формулы для кинетической и
потенциальной энергий электронно-протонной системы и
квантовый постулат Бора, получите выражение для энер-
гии уровней в атоме водорода.
б) Оцените разность энергий между четвертым и вторым
уровнями.
IV. 7.1 B0 баллов). Электрон движется параллельно оси х
слева направо в потенциальном поле V = 0 в области х < 0 и
V = 20 эВ в области х > 0 (см. рисунок).
V=0
V-гОэВ
х зи
Кинетическая энергия электрона при х = —оо равна 10 эВ. Бу-
дем рассматривать движение электрона как одномерную пло-
скую волну.
а) Напишите уравнение Шредингера для областей х < 0
и х> 0;
б) постройте на графике решения этого уравнения для
обеих областей;
в) чему равна дебройлевская длина волны электрона (в
сантиметрах) при х < 0?
г) найдите граничные условия при х = 0;
д) что можно сказать о вероятности нахождения элек-
трона вблизи некоторого положительного значения коор-
динаты х?
IV. 7.2 B0 баллов).
а) Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор с
характеристической частотой vo. Каковы собственное зна-
чение энергии и четность собственного состояния, соответ-
ствующие квантовому числу я?
Какие значения может принимать /г?
V28 Зак, 743

226 IV. Атомная физика и квантовая механика
б) Волновую функцию трехмерного гармонического ос-
циллятора можно записать в виде произведения трех соб-
ственных функций одномерного гармонического осцилля-
тора, каждая из которых зависит от определенной декар-
товой координаты и соответствует квантовому числу пХу
пу или пг. Найдите энергию, четность и кратность выро-
ждения четырех самых нижних отдельных групп энерге-
тических уровней.
в) Задачу о трехмерном гармоническом осцилляторе мо-
жно решить и в сферических координатах. Несмотря на
использование других собственных функций, собственные
значения энергии окажутся теми же самыми. На основе
своих знаний о четности и вырождении различных со-
стояний установите, какому значению орбитального кван-
тового числа / соответствует каждая группа уровней, о ко-
торых говорилось в п. «б».
IV. 7.3 B0 баллов). Свободный атом углерода имеет четыре
электрона в s-состояниях и два электрона в /?-состояниях.
а) Определите, пользуясь принципом Паули, число раз-
решенных состояний для последней пары электронов.
б) В предположении LS-связи квантовые числа для сум-
марного полного момента J, суммарного орбитального мо-
мента L2 = (l\ + hJ и суммарного спинового момента
S2=(si+s2J получаются «хорошими»1). Определите
наборы квантовых чисел /, L и S для /?-состояний обоих
электронов и вычислите их мультиплетность.
в) Сложите мультиплетности термов, найденных в п. «б»,
и убедитесь, что полученный результат в точности совпа-
дает с полученным в п. «а».
IV. 7.4 B0 баллов). Атомный номер натрия равен 11.
а) Какова электронная конфигурация этого атома в ос-
новном состоянии? (Используйте стандартное символиче-
ское обозначение, которое показывает распределение
электронов атома по различным состояниям.)
б) Обозначьте основное состояние атома, как принято в
спектроскопии. (Примером может служить обозначение
53F)
)
в) Самая низкочастотная линия в спектре поглощения
натрия представляет собой дублет. Какие спектроскопиче-
ские обозначения следует приписать соответствующей па-
*) «Хорошими» квантовыми числами называют те, которые определяют
точно (или в некотором достаточно точном для рассматриваемой ситуации
приближении) сохраняющиеся величины. — Прим. ред.

Задачи 227
ре возбужденных энергетических уровней, на которые пе-
реходит атом в процессе поглощения.
г) Чем можно объяснить расщепление на эти два энер-
гетических уровня?
д) Суммарный полный момент атома / различен для
этих двух уровней. Выше или ниже расположен уровень,
соответствующий большему значению /?
е) Рассматриваемое расщепление на два уровня пропор-
ционально средней величине гп, где г — расстояние между
валентным электроном и ядром атома. Вычислите наибо-
лее простым путем значение п.
IV. 7.5 B0 баллов).
а) Выпишите все перестановочные соотношения для опе-
раторов момента импульса Lx, Ly, Lz и оператора L2.
б) Пусть г|)/т — собственная функция операторов L2 и L2,
отвечающая их собственным значениям h4(l-\-\) и
Ьт соответственно. Докажите, что ф = (Lx + iLv) \p/m
также является собственной функцией операторов L2 и LZi
и найдите их собственные значения.
в) Покажите, что в случае / = 0 функция г|?/т, рассматри-
ваемая в п. «б», является также собственной функцией
операторов Lx и Ly.
IV. 8.1 A5 баллов). Определив квантовые числа 5, L и /, за-
пишите в принятых спектроскопических обозначениях следую-
щие состояния атомов:
а) основное состояние нейтрального атома бора (атом-
ный номер Z = 5),
б) основное состояние однократно ионизованного атома
натрия (Z = 11),
в) основное состояние двукратно ионизованного атома
натрия,
г) первое возбужденное состояние однократно ионизован-
ного атома натрия,
д) основное состояние молекулы водорода.
IV. 8.2 A0 баллов). Частица массой т находится в основ-
ном состоянии с энергией Е = —В в одномерной потенциальной
яме шириной а. В решение уравнения Шредингера входят два
параметра, имеющие размерность длины:
di = a и d2 —
Ответьте качественно на следующий вопрос: до какого расстоя-
ния х можно считать отличной от нуля плотность вероятности
7*8*

228 IV. Атомная физика и квантовая механика
для этой частицы? Для иллюстрации ваших результатов по-
стройте график волновой функции.
IV. 8.3 A0 баллов). На рисунке представлена система из
двух магнитов А\ и А2\ каждый из них аналогичен магнитам, ис-
пользуемым в опытах Штерна и Герлаха. Через такую систему
проходят атомы только в состояних cSz~ +У2 (имеются в виду
атомы калия, узкий пучок которых падает слева). Представим
теперь, что между магнитами А\ и Ач на пучок атомов в тече-
ние одной микросекунды воздействует пространственно однород-
ное магнитное поле В. Каковы должны быть величина и направ-
ление поля В, чтобы ни один атом из этого пучка не попал на
детектор D?
А
А
IV.8.4 A0 баллов). Оцените приближенно время жизни т
атома водорода в возбужденном 2р-состоянии. Принимая во вни-
мание принцип неопределенности, мы могли бы сказать, что
энергетический уровень этого состояния имеет ширину 1) Д? «
« Ъ/х. Однако в известной серии опытов, проведенных более
двадцати лет назад, Лэмб и его сотрудники измерили энергию
этого уровня с погрешностью примерно в тысячу раз меньшей,
чем Д?. Объясните этот парадокс.
IV. 8.5 A5 баллов). Приведите формулы и числовые значе-
ния в сантиметрах (с точностью до одной значащей цифры) для
а) радиуса первой боровской орбиты в атоме водорода,
б) радиуса первой боровской орбиты в атоме ртути,
в) комптоновской длины волны электрона,
г) комптоновской длины волны пи-мезона,
д) дебройлевской длины волны нейтрона с энергией
10 кэВ,
е) дебройлевской длины волны протона с энергией
10 ГэВ,
ж) комптоновской длины волны нейтрино (с указанием
типов нейтрино),
з) радиуса наиболее тяжелого устойчивого ядра.
1) Здесь т обозначает среднее время пребывания атома в возбужденном
нестабильном состоянии, переход из которого является разрешенным. — Прим.
ред.

Задачи 229
IV. 8.6 A0 баллов).
а) Докажите, что для любого стационарного состояния
квантовое среднее значение импульса р должно равняться
нулю.
б) При каких условиях можно доказать, что квантовое
среднее значение оператора положения г обращается в
нуль?
IV. 8.7 A0 баллов).
а) Установите правила отбора для электрических диполь-
ных переходов в атомах легких элементов.
б) Какие из них остаются в силе для тяжелых элементов?
в) для ядер?
IV. 8.8 A0 баллов). Расщепление линий в сверхтонкой струк-
туре атома меньше расщепления в тонкой структуре примерно
в m/MZ раз, где т — масса электрона, М — масса протона, а
Z — атомный номер. Объясните, чем это вызвано.
IV. 8.9 A0 баллов). Рассмотрим функцию f(x), определяе-
мую степенным рядом вида
/1=0
где р — некоторое положительное целое число.
а) Какое суждение можно вынести о скорости возраста-
ния этой функции (по сравнению со степенной функцией)
при х—* +оо?
б) Может ли эта функция служить решением какого-ни-
будь конкретного уравнения Шредингера, удовлетворяя
одновременно условию нормировки
о
Дайте объяснение.
IV. 9.1 E баллов). В некотором циклотроне дейтроны уско-
ряются до энергии 16 МэВ. До какой энергии будут ускорены
а-частицы в этом циклотроне, если заменить в нем дейтерий ге-
лием?
IV. 9.2 E баллов). Какова плотность вещества в ядре атома
в г/см3?
IV.9.3 E баллов). Протоны и а-частицы, обладающие одина-
ковыми кинетическими энергиями, проходят через золотую
фольгу. Чему равно отношение их сечений кулоновского рассея-
ния (нерелятивистского)?
8 За к. 743

230 fV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 9.4 E баллов). Какая выделилась бы энергия (в джоу-
лях), если бы метеор из антивещества массой 1 кг столкнулся
с Землей?
IV.9.5 E баллов). Определите энергию основного состояния
атома, образованного из электрона и позитрона, которые свя-
заны между собой силами кулоновского притяжения.
IV. 9.6 E баллов). На сколько компонент расщепляется
спектральная линия атома натрия, соответствующая переходу
2?Ь/2—>2Dy2 в случае нормального эффекта Зеемаиа?
IV. 9.7 E баллов). Частица массой m находится в потен-
циальной яме, имеющей форму полусферы радиусом R. Оцените
приближенно кинетическую энергию частицы в основном состоя-
нии. (Рассмотрите только нерелятивистский квантовый случай.)
IV. 9.8 E баллов). Определите границу коротковолнового
рентгеновского излучения для трубки, находящейся под напря-
жением 25 кВ.
IV. 9.9 E баллов). Большое число идентичных фермионов
находится в прямоугольном ящике объемом V, занимая низшие
возможные уровни. Во сколько раз изменится максимальный им-
пульс частиц, если удвоить объем ящика, а число частиц оста-
вить неизменным?
IV. 9.10 E баллов). Укажите величину магнитного момента
протона не более чем с двукратной ошибкой.
IV.9.11 E баллов). Запишите в спектроскопических обозна-
чениях основное состояние атома гелия.
IV. 9.12 E баллов). Пусть гр(г, ^)—волновая функция ча-
стицы, движущейся в потенциальном поле V = kr2/2. Рассмо-
трим другое состояние этой частицы с волновой функцией
г|)(аг, t). Во сколько раз отличаются средние кинетическая и по-
тенциальная энергии в этих двух случаях?
IV. 9.13 A0 баллов). Исходя из элементарной теории Бора:
а) вычислите магнитное поле в центре атома водорода,
индуцированное электроном в основном состоянии;
б) оцените для этого состояния сверхтонкое расщепление
энергетического уровня1);
в) вычислите частоту радиоизлучения атомарного водо-
рода, распределенного в космосе (в пренебрежении маг-
нитным моментом электрона).
IV.9.14 A5 баллов). Рассмотрим атом, состоящий из двух
протонов и одного электрона.
1) Без учета аномального магнитного момента протона. — Прим. реду

Задачи
231
а) Предполагая, что расстояние R между протонами
жестко зафиксировано и нам известна зависимость энер-
гии электрона Ео в основном состоянии от /?, напишите
выражения для ?о(О) и Е0(оо) и оцените их численно.
б) Теперь предположите, что оба протона взаимодейст-
вуют друг с другом, и их «эффективная потенциальная
энергия» V(R) равна сумме E0(R) и энергии электроста-
тического отталкивания. Определите, как зависит рас-
стояние R между протонами в состоянии равновесия от
Eo(R).
в) Считая функцию E0(R) гладкой и монотонной в интер-
вале между предельными значениями Е0@) и Е0(оо),
постройте приближенно график зависимости V(R).
г) До сих пор мы не учитывали собственного движения
протонов. Охарактеризуйте качественно природу нижних
энергетических подуровней основного состояния элек-
трона и нижних возбужденных состояний обоих протонов.
IV. 9.15 A5 баллов). Параллельный пучок электронов, уско-
ренных в поле с разностью потенциалов 37 В, падает нормально
на экран, в котором имеется щель шириной 1 А (ясно, что такая
щель нереальна и рассматривается абстрактная задача). За эк-
раном, на расстоянии 10 см от него, перпендикулярно щели и на-
правлению пучка перемещается детектор очень малых разме-
ров (~ 1 А).
С
¦ Ю см
Детектор
^движется здесь
а) Какова примерно ширина области, в которой детектор
зарегистрирует электроны?
б) Какое распределение электронов будет регистрировать
детектор, если в экране сделать еще одну такую же щель,
параллельную первой и отстоящую от нее на расстояние
10 А? Нарисуйте это распределение.
в) Предположим, что интенсивность электронного пучка
уменьшилась настолько, что в любой момент времени в
пространстве между экраном и плоскостью детектора
имеется только один электрон. Произойдет ли изменение
картины?

232 IV. Атомная физика и квантовая механика
г) Какая наблюдалась бы картина, если бы одну из ще-
лей перекрыли вторым (прозрачным для электронов) де-
тектором, дающим нам информацию о том, через какую
щель прошел каждый электрон?
IV. 10.1 B0 баллов).
а) Мюон — это частица с массой 206 те, заряд которой
равен заряду электрона. Предположим, что отрицательно
заряженный мюон оказался захваченным атомом фос-
фора (Z = 15) и стал последовательно переходить на все
более низкие энергетические уровни. Определите энергию
фотона, испускаемого атомом, при переходе мюона с уро-
вня п = 3 на уровень п = 2.
б) Для точного определения массы мюона можно исполь-
зовать результаты прецизионного измерения энергии фо-
тона, излучаемого так, как описано в п. «а». Случайно
оказалось, что энергия фотона лежит примерно в сере-
дине длинноволновой границы /(-полосы поглощения у
свинца (Z = 82). Чтобы доказать, что данное утвержде-
ние справедливо, вычислите приближенно энергию, соот-
ветствующую границе /(-полосы поглощения для свинца.
в) Как, используя этот факт, вы произвели бы точное из-
мерение энергии фотона и почему упомянутый случайный
факт можно отнести к разряду «счастливых»?
IV. 10.2 B5 баллов).
а) Исходя из выражения для мощности излучения уско-
ренно движущегося электрона
dw 2 е2а2
получите формулу для сечения томсоновского рассеяния.
б) Опишите, какая существует связь между томсонов-
ским и комптоновским рассеянием?
в) Считая, что у-кванты с энергией 0,5 МэВ рассеиваются
атомами водорода под углом 90°, вычислите энергию
Y-квантов, рассеянных на электронах и протонах, а также
оцените по порядку величины отношение их сечений рас-
сеяния (у + е-)/(у + р).
IV. 10.3 B0 баллов). Напишите классическую формулу для
мощности излучения ускоренно движущегося заряда (см. за-
дачу IV. 10.2) и, применяя принцип соответствия, определите
среднее время жизни простого гармонического осциллятора в
возбужденном состоянии с высоко расположенными квантовыми
уровнями энергии. Результат выразите через квантовое число

Задачи 233
уровня я, классическую круговую частоту со, массу т и заряд е
осциллирующей частицы.
IV. 10.4 B0 баллов). Согласно одной из простых моделей,
атомное ядро из N нейтронов и Z протонов рассматривается как
совокупность нуклонов в бесконечно глубоком (квадратном) по-
тенциальном ящике.
а) Получите выражение для плотности энергетических
уровней (т. е. для числа уровней, приходящихся на еди-
ничный энергетический интервал) в таком потенциальном
ящике.
б) Чему равна максимальная кинетическая энергия от-
дельного нуклона, если ядро атома находится на самом
нижнем энергетическом уровне?
в) Покажите, что при постоянной плотности ядра найден-
ная выше максимальная энергия не зависит от числа ну-
клонов.
г) Как следует изменить рассматриваемую модель, чтобы
учесть электрическое взаимодействие между протонами?
IV. 10.5 A5 баллов). Парамагнитная соль титана подвер-
гается действию магнитного поля В = 10 000 Гс в гелиевом
криостате при температуре 1 К. Вычислите приближенно, какая
часть от общего числа ионов Tis+[3dl;2Dy2] имеет ориентацию
спина по направлению поля.
IV. 11.1 B0 баллов). Представьте себе метательное копье,
которое, упираясь своим острием в неподвижную горизонталь-
ную мраморную плиту, находится в «идеально сбалансирован-
ном» вертикальном положении. Используя принцип неопреде-
ленности, оцените время, через которое упадет это копье.
IV. 11.2 B0 баллов). В некоторых магнитных материалах мо-
гут существовать спиновые волны с частотой о = Dfe2, где D —
постоянная, a k — волновое число (модуль волнового вектора),
соответствующее данной спиновой волне. Энергетические уровни
квантованы: Е = пЬы.
а) Найдите зависимость фазовой v и групповой и скоро-
стей этих волн от частоты со.
б) Определите температурную зависимость интегральной
по спектру плотности энергии V, связанной со спиновыми
волнами, в состоянии теплового равновесия.
Замечание. Спиновые волны являются бозонами, энергия тепло-
вого движения которых описывается законом Планка для излу-
чения абсолютно черного тела. Здесь так же, как и в теории
свободного электронного газа, можно определить число частиц
N(k)y у которых волновые числа попадают в интервал между k

234 IV. Атомная физика и квантовая механика
и k + dk (только для спиновых волн не нужно писать множи-
тель 2, учитывающий поляризацию, т. е. спиновые состояния
электронов или, например, фотонов).
IV. 11.3 B0 баллов). Коротко опишите такие положения, рас-
сматриваемые в квантовой механике, как
а) физическая интерпретация волновой функции ty(x)t
б) правила векторного сложения моментов импульса,
в) правила отбора, т. е. допустимые изменения квантовых
чисел /, / и m для разрешенных излучательных электри-
ческих дипольных переходов,
в) соотношение, налагаемое на динамические величины G
и F, когда они одновременно могут иметь точно опреде-
ленные значения.
IV. 11.4 E баллов). Оцените кинетическую энергию нуклона
в ядре атома углерода. Диаметр ядра равен примерно
зхю-15 м.
IV. 11.5 E баллов). Мощность излучения Солнца (с учетом
излучения нейтрино) равна 4-Ю26 Вт. Предположим, что вся
энергия выделяется в результате ядерной реакции, протекающей
по протонно-протонному циклу:
26 МэВ.
Сколько рождается атомов гелия внутри Солнца в одну се-
кунду?
IV. 11.6 E баллов). Какова (с точностью ±30%) энергия фо-
тонов в /(-линиях характеристического рентгеновского спектра
атома меди?
IV. 11.7 E баллов). Какой минимальной энергией должен об-
ладать движущийся электрон, чтобы при его столкновении с
другим покоящимся электроном образовалась пара электрон —
позитрон:
IV. 11.8 E баллов). Атом с атомным номером Z — 26 часто
проявляет валентность -\-2. Обозначьте символически конфигу-
рацию электронных оболочек атома для этого случая. [Пример.
Для кислорода она записывается в виде (Is2, 2s2, 2p4)sP2.]
IV. 11.9 E баллов). Оцените зеемановское расщепление Av
спектральных линий атома водорода в магнитном поле В =
= 10 000 Гс,

Задачи
235
IV. 11.10 A0 баллов). Частица движется в одномерной сим-
метричной потенциальной яме вида
V
х
Укажите, как повлияют малые возмущения этого поля (они изо*
бражены ниже графически) на поведение частицы в различных
состояниях:
а)
б)
в)
— в основном состоянии,
— в первом возбужденном со*
стоянии,
— В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИЙ»
Для краткости ответов введем следующие обозначения: А —
если энергия состояния возрастет в первом приближении теорий
возмущений, В — если возрастет во втором приближении, С —
если уменьшится в первом приближении, D — если уменьшится
во втором приближении и ? — если не изменится в обоих при*
ближениях.
IV. 12.1 B0 баллов). Рассмотрим систему из двух частиц,
имеющих одинаковые массы М. Пусть эти частицы совершают
одномерное движение и взаимодействуют между собой с силой
^ = —k(x{—х2)У где х\ и х2 — координаты частиц. Предполо-
жим, что состояние этой системы описывается волновой функ-
Дней
4 - ехр[*
еХр [-
а) Чему равно среднее значение полной энергии относи-
тельного движения частиц?
б) Определите среднее значение модуля импульса отно-
сительного движения этих частиц.

236 IV. Атомная физика и квантовая механика
в) Если измерить относительный импульс р, то с какой
вероятностью можно получить значение
IV. 12.2 A0 баллов). При квантовомеханическом рассмотре-
нии процесса рассеяния используют волновую функцию вида
Акт
а) Воспользуйтесь этой функцией \|э и получите выраже-
ния для падающего и рассеянного потоков вероятности.
б) Найдите соотношение, связывающее /F) и сечение
рассеяния а@).
IV. 12.3 A0 баллов).
| | | | | | | | 1 f
/ Z 3 4 5 6 7 8 9 Ю 11 1Z 13
На рисунке нанесены экспериментальные точки, отражающие,
например, зависимость сечения рассеяния атома от энергии
бомбардирующих электронов. Они нанесены довольно редко —
нужно было получить самое общее представление о характере
процесса. Предположим, что вам предоставлена возможность
произвести пять дополнительных измерений. Какие значения
координаты Е вы бы приблизительно выбрали и почему?
IV. 12.4 E баллов). Счетчик регистрирует излучение долго-
живущего радиоактивного препарата. Среднее показание его
равно 104 импульсов в секунду. Какова вероятность того, что в
течение одной секунды он зарегистрирует менее 9700 импульсов?
IV. 12.5 E баллов). Время жизни радиоактивного элемента
в среднем составляет т = 10 дней. Какова вероятность того, что
произвольный атом этого элемента распадается в течение пятого
дня?
IV. 12.6 E баллов). Период полураспада свободного ней-
трона ~12 мин. Какой энергией (в МэВ) должен обладать ней-
трон, чтобы с вероятностью 50% он мог выжить, преодолев рас-
стояние в 10 световых лет от звезды до Земли?

Задачи 237
IV. 12.7 C балла), /(-мезон распадается на два нейтральных
пиона с нулевым спином. Каким спином обладает /(-мезон?
IV. 12.8 C балла).
а) Какому расположению трех положительных зарядов
на сфере отвечает состояние с наименьшей энергией?
б) В случае четырех зарядов?
IV. 12.9 C балла). Оцените высоту кулоновского барьера,
преодолеваемого а-частицами у поверхности ядра U238 при его
распаде.
IV.12.10 C балла). Какой радиус имела бы ls-оболочка во-
ображаемого атома из нейтрона и электрона, связанных между
собой силой только гравитационного взаимодействия?
IV. 12.11 C балла). Как зависит радиус /(-оболочки атома
от его атомного номера Z?
IV. 12.12 C балла). Атом водорода находится в возбужден-
ном состоянии, характеризуемом квантовыми числами п = 3 и
I = 2. На какие нижние уровни он может совершить излуча-
тельные переходы? (Рассмотрите только электрические диполь-
ные переходы.)
IV. 12.13 C балла). Сколько электронов может уместиться
на оболочке с главным квантовым числом п = 5?
IV.12.14 C балла). Рассмотрим атом из электрона и пози-
трона, находящийся в состоянии с орбитальным квантовым чис-
лом 1=1. Определите магнитный момент такого атома.
IV. 12.15 C балла). Определите собственные значения сле-
дующих четырех операторов, относящихся к спину электрона:
sx> sy> sz и s2 = s2x + sl + sl-
IV. 12.16 C балла). Представьте себе, что электрон, поме-
щенный в однородное магнитное поле, обладает только одной
степенью свободы — спиновой. Напишите выражение для энер-
гии электрона в различных состояниях в зависимости от магнит-
ного поля В и фундаментальных констант е, fi, m и с.
IV. 12.17 C балла). Покоящаяся частица (например, ней-
тральный пион) массой т распадается на два фотона. Опреде-
лите импульс р каждого фотона.
IV. 12.18 C балла). Фотон выбивает электрон из покояще-
гося атома водорода. При каком условии пренебрежение связью
электрона с ядром и его движением не вызывает грубых оши-
бок при анализе этого процесса?

238 IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 12.19 C балла). Атом водорода находится в состоянии,
характеризуемом главным квантовым числом п = 2. Какому ор-
битальному квантовому числу (/ = 0 или /= 1) соответствует
в полуклассическом представлении орбита с большим эксцен-
триситетом?
IV. 12.20 C балла). Какова (в электрон-вольтах) энергия
связи электрона, находящегося в основном состоянии, с ядром
однократно ионизованного атома гелия?
IV. 12.21 C балла). Назовите два важных механизма, кото-
рыми можно объяснить ослабление пучка фотонов с энергией
500 кэВ при его прохождении через вещество.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
IV. 1.1.
а) а-частицы обладают низкими энергиями, и размер ядра
атома оказывается малым по сравнению с длиной волны
де Бройля — Комптона для этих частиц. Следовательно, рассея-
ние частиц на ядрах является когерентным, причем сечение такого
когерентного рассеяния на протонах пропорционально Z2, где
Z — число протонов в ядре. Рассеяние же а-частиц на электро-
нах является некогерентным, поскольку радиус электронной ор-
биты намного превышает длину волны де Бройля для этих ча-
стиц. Сечение рассеяния а-частиц на электронах пропорцио-
нально Z. Отсюда видно, что рассеяние а-частиц на ядрах пре-
валирует над рассеянием их на электронах. Более того, энерге-
тические потери а-частиц при рассеянии на ядрах намного пре-
вышают их потери на ионизацию атома, поскольку энергия, пе-
редаваемая электрону при единичном акте рассеяния частицы
на электроне, меньше 2mev2a. Наконец, угол рассеяния а-частиц
на ядрах значительно больше, чем на электронах. Именно по
этим основным причинам пренебрегают влиянием атомных элек-
тронов.
б) Сечение комптоновского рассеяния обратно пропорцио-
нально квадрату массы рассеивающей частицы. Следовательно,
Сечение фотон-электронного рассеяния
Сечение фотон-ядерного рассеяния
откуда видно, что влияние ядер на рассеяние рентгеновских лу-
чей пренебрежимо мало.
IV. 1.2. Магнитное поле в центре петли с током i вычисляем
по формуле
где а — радиус петли. Если электрон в атоме водорода нахо*
Дится в 2/?-состоянии, то радиус его орбиты а и скорость орби-
тального движения v равны !)
а = n2aQ и v = а — >
*) Оценка делается на основе модели атома Бора. — Прим. ред.

240 IV. Атомная физика и квантовая механика
где а0 — боровский радиус электронной орбиты в атоме водо-
рода, а — постоянная тонкой структуры, а п = 2. Определяем
ток i:
ev еас A>6' 109) A/137) (з' 1q8) - 1 4- 1(Г4А
10) ~ '
i = = =
2ла 2шг3а0 B) C,14) (8) @,5
Следовательно,
В = Dя'10:)A>4;0Г) « 0,43 Вб/Л
B) B-Ю-10) ' '
IV. 1.3. В соответствии с классической волновой теорией от-
носительное доплеровское уширение линии дается выражением
где в нашем случае У(У2) — среднеквадратичная скорость ато-
мов ртути, а
К 2,537-Ю
Согласно закону равнораспределения,
" 2 '
откуда
1,38-ю-16)(з-Ю2)
1,66.10^)(
« 3,7 . 10 с.
Таким образом, из формулы A) получаем
Дсо0 = 3,7 • КГ7со = C,7 • 1(Г7) G,42 • 1015) « 3 • 109 с.
Используя соотношение неопределенностей, находим естествен-
ную ширину спектральной линии
где т — среднее время перехода, ответственного за излучение.
Для электрического дипольного перехода т ^ 10~8 с, так что
AcoN « 108 с-1 < ДсоБ.
Полная энергия излучения за одну секунду на данной спек-
тральной линии вычисляется по формуле
и// у- 2пЬс

Ответы и решения
241
(я — число испускаемых фотонов в одну секунду). Таким обра-
зом, находим *)
Jgi В«1 Дж.
IV. 1.4.
а) Is2, 2s2, 2р6, 3s2, 3pG, 4sl.
б) L = 0, S = У2, / = V2.
в)
- О 2ДЯ
•-/¦
В случае нормального эффекта Зеемана мы должны рассма-
тривать только то расщепление энергетического уровня, которое
отвечает изменениям квантового числа шь соответствующего
z-компоненте орбитального момента количества движения. Для
основного состояния mi = 0, а для первого возбужденного со-
стояния D/?) оно может принимать значения /П/ = —1, 0 и +1.
На рисунке приведена диаграмма энергетических уровней и по-
казаны разрешенные переходы. Сдвиг уровней Д? в магнитном
поле В составляет
eh
Согласно правилу отбора для разрешенных переходов с магнит-
ных подуровней, имеем Am/ = 0 или ±1. Им соответствует из-
лучение с энергией
hv = hvQ +
hv = hvOi
hv = hv0 —
4лтс
eh
4л me
/ = 0,
= — 1.
l) Здесь в числителе дроби стоит значение he в эВ-А; а в знаменателе —
Алина волны в А, деленная на 2jt, — Прим. перге,

242 IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 1.5.
а) Функция г|? должна быть нормированной. Из условия нор-
мировки
получаем
нгео(^)()]- ¦¦
—а
Здесь из подынтегрального выражения отброшены произведе-
ния с перекрестными членами, поскольку при интегрировании
они дают нули. Что касается оставшихся членов, то мы имеем
откуда
б) Подставляя поочередно каждый член волновой функции
в уравнение Шредингера, получаем
Ь2 d2 (пх \ Ь2 л2
COS Ы) CO
п2Ь2
Ь2 d2 .„(Ъпх\ Ь2
Ь2 d2 (Ълх\ 9П2л
cos I
cos
\ 9П2л2 /Зял:Л п (Злх\
I =-о—г cos -о— I ^tx cos I — 1 .
) 8ma2 \ 2а ) J \ a J '
2m dx2 wo V 2а
Можно показать, что все члены волновой функции описывают
собственные состояния системы, а Еи Е% и Еъ являются соб-
ственными значениями энергий, соответствующими этим состоя-
ниям. Поскольку исходная волновая функция представляет со-
бой линейную комбинацию трех собственных функций, то воз-
можные результаты измерений энергии записываются следую-
щим образом:
Е — п2Ъ2 р _ 9гс2й2 р _ 9л2й2
1 8та2 ' 2 2та2 3 8та2
Вероятность измерения каждого из этих значений пропорцио-
нальна квадрату веса соответствующего члена волновой функ-
ции, т. е,

Ответы и решения 243
а так как Р\ + Р2 + Ръ = 1» получаем
^ — "зз"' ^2~"зз и *з—
IV. 2.1.
а) mn = 939,5 МэВ/с2, или 1,675-10~27 кг,
б) /i = 6,626-Ю-27 эрг-с,
г) Яе ==^ = ^ = ^1^1^0,0243 А
' е mec mec2 5 • 105 '
1^
5 • 105
е) 1(Г9 с,
з) т = 103 с, поскольку сх = 3,03-1013 см,
и) v = ас « 2,2-108 см/с.
IV. 2.2.
а) В стационарном уравнении Шредингера
изменим знак координаты х. Тогда получим
Считая V(x) = V(—х), уравнение B) можно переписать в виде
- Ш **}* X)+V M *(-*) = ЕЪ{- х). C)
Следовательно, г|)(—х) также является решением уравнения
Шредингера, соответствующим тому же значению энергии Е. Но
из условия задачи известно, что решение уравнения должно быть
невырожденным; поэтому гр(л:) и \|э(—х) должны быть линейно
зависимыми. Если обе функции нормированы, то
Ф(*) = ±Ф(-*); D)
здесь знак ± означает, что решение может иметь либо положи-
тельную, либо отрицательную четность.
б) Заданное потенциальное поле V(x) удовлетворяет усло-
вию V(x) = V(—х). Значит, как было показано в предыдущем

244
IV. Атомная физика и квантовая механика
пункте, волновая функция имеет вполне определенную четность:
либо \р(х) = +*|>(—*), либ° Ф(*) =—'*(—•*)• Пусть
= 1ЙГ и *2 = {
где д — целое число. Поскольку волновая функция должна об-
ращаться в нуль при х — ±я, то ф(л:) ведет себя в области
—а < х < —6 подобно функции sin &i (л: -f a), a в области Ь <
< х < а — подобно функции ±sin&i(a — х). В областях же
—Ъ < л: < О и 0 < * < 6 она изменяется экспоненциально как
-k2(b+х) и _|_ (__)б-^2(б-х) соответственно1). Знак + (—) отве-
чает положительной (отрицательной) четности волновой функ-
ции. Основное состояние if)i системы имеет положительную чет-
ность (четно), а возбужденное состояние г|J — отрицательную
четность (нечетно). Энергию системы в /г-м состоянии можно
вычислить по формуле
^
Sma2
л— 1,
На рисунке построены волновые функции tf>i, tf>2 и (ур\ -f- \f>2) в
зависимости от х для момента времени / = 0.
в) Запишем волновой пакет в виде
Поскольку в правой потенциальной яме функции \р\ и гр2 скла-
дываются в противофазе (т. е. гасят друг друга), в левой по-
тенциальной яме складываются в фазе (т. е. усиливают друг
друга), а в области —b < х < Ь они пренебрежимо малы, то в
!) Можно порекомендовать читателю найти более корректное решение
этой задачи. — Прим. ред.

Ответы и решения 245
момент времени t — 0 волновой пакет ф почти полностью сосре-
доточен в левой потенциальной яме. С течением времени раз-
ность фаз между обеими составляющими волнового пакета из-
меняется как (Е2 — E\)t/h. Это означает, что волновой пакет
постепенно перемещается в правую потенциальную яму, а за-
тем возвращается обратно. Период таких колебаний равен
2лЬ
Е2 — Е\
IV. 2.3.
а) Ниже расположен уровень !5о, и вот почему. У позитрона
направления магнитного и спинового моментов совпадают, а у
электрона они противоположны друг другу. Из курса классиче-
ской электродинамики нам известно, что система, состоящая из
двух магнитных диполей, обладает минимальной потенциальной
энергией, когда оба диполя ориентированы в одном направле-
нии. Следовательно, в основном состоянии направления спинов
позитрона и электрона противоположны.
б) Приведенная масса позитрония равна \i = xhm^. Следо-
вательно,
Энергия связи = A/2) (Энергия связи в атоме водорода) =
= 6,8 эВ.
в) Еу = [2пге— (Энергия связи)]/2 » 0,5 МэВ. Согласно за-
конам сохранения импульса и момента количества движения,
оба Y~KBaHTa разлетаются в противоположных направлениях с
противоположно направленными моментами количества движе-
ния.
IV. 2.4.
а)
</', т' | [L+, L-] \1,т) = </', т' \ [Мх + 1МУ, Мх - Шу] \1,т) =
= (Г, tri 12 AМУМХ - 1МХМУ) | /, т) = </', т' \ 21 [Муу Мх] \ I, т) =
= </', т' 12НМг | /, т) = 2h2mb (I - V) Ь(т- т').
б) Если х — некоторый оператор (матрица), то функции от
этого оператора eix, cos x и sin x определяются с помощью фор-
мальных разложений в соответствующие ряды. Следовательно,
мы можем написать ряд
Л2-1 | (иг е
1 ' \laV 2
5i

246 IV. Атомная физика и квантовая механика
Пользуясь тем, что о2 = 1, получаем
_x (е/2J (е/2) ,
е (е/2K . (е/2M
- 31 + 5! .
IV. 2.5. Электрический потенциал внутри однородно заряжен-
ной сферы постоянен и равен V = е/а. Соответствующий потен-
циал точечного заряда изменяется как е/r. Определяем искомый
сдвиг энергетического уровня:
** - S *• (т - 4) ^ **»-(?)•«[ •—• (т -1) ^ * «
Отсюда мы видим, что энергетический уровень поднимется.
Следовательно, энергия связи уменьшится.
IV. 3.1. Устойчивость ядра зависит от величины отношения
г, определяемого выражением !)
Энергия кулоновского взаимодействия
Поверхностная энергия ядра
Поскольку радиус ядра ~Л'/3, а площадь его поверхности
~Л2/з, то
или
Z2e2
г = const • —д-.
При малых значениях г ядро устойчиво. Оно распадается при
г > Го, где г0 — критическое значение г, соответствующее ядру
с Z = Zo » 80 и А = Ао ^ 200. Для устойчивого ядра с удвоен-
ным зарядом должно выполняться соотношение
Z2e2 Z2 BeJ 4ZV
Го^ Const • —2—^ Const • ^ ^ Const • —~A— .
Отсюда находим
4Z2 Zl (80J
Л ^ Ло ~ 200 "" °Zj
{) Приводимый автором критерий устойчивости не является полным. —
JJpuM. ред.

Ответы а решения 247
а так как
А ~ 2Z —zz->
то получаем 2Z^<:32, или Z^16. Наиболее тяжелому устойчи-
вому ядру соответствовало бы Z ж 16 и А ж 32.
IV. 3.2. Эффект Пашена — Бака проявляется при увеличении
магнитного поля В до таких значений, когда энергия juHA? ста-
новится сравнимой с величиной сверхтонкого расщепления энер-
гетических уровней, имеющей порядок 10~6 эВ. Отсюда следует,
что
Ю-6 кг6 о 1Гк5 „
В = = го ^ 3 • 105 Гс.
|х*д 3.10-12
IV. 3.3. Кинетическая энергия равна тпс2 + шпс2 = 2mnc2.
IV. 3.4. Боровский радиус орбиты мюона пропорционален
1/Z; число же протонов в ядре пропорционально Z. Следова-
тельно, вероятность *) того, что мюон попадет в объем, занимае-
мый ядром, пропорциональна Z4.
IV. 3.5. До значений энергии ?р, не превышающих 10 МэВ,
при которых дебройлевская длина волны протона еще достаточ-
но велика по сравнению с Ь/тлс, где тл — масса пиона (Jp =
= 0-').
IV. 3.6. Данная задача аналогична задаче о линейном гар-
моническом осцилляторе. Потенциал, заданный в области х > 0,
совпадает с потенциалом для гармонического осциллятора. Сле-
довательно, уравнение Шредингера должно записываться ана-
логичным образом:
^ °> х>0-
Однако граничное условие в нашем случае имеет вид
В случае линейного гармонического осциллятора четным значе-
ниям п соответствуют четные волновые функции. При х = 0 эти
волновые функции отличны от нуля и, следовательно, не удовле-
творяют записанному выше граничному условию. Нечетным зна-
*) Амплитуда вероятности захвата пропорциональна отношению объема
яДра (который пропорционален Z) к размерам области, в которой может на-
удиться мюон (этот размер порядка радиуса боровской орбиты, т.е. ^1/Z).
ероятность (т. е. квадрат модуля амплитуды) оказывается поэтому пропор-
циональной Z\ - Прим. ред.

248 /V. Атомная физика и квантовая механика
чениям п отвечают нечетные волновые функции относительно х.
Поэтому
здесь m — любое положительное целое число. Отсюда мы ви-
дим, что функции
удовлетворяют уравнению Шредингера и заданному граничному
условию и их можно считать допустимыми решениями. Им со-
ответствуют собственные значения энергии
со, где т = 0, 1, 2, 3, ... .
IV. 3.7. Ниже перечислены точные симметрии и законы со-
хранения:
1) комбинированная четность СРТ = 1,
2) преобразования Лоренца,
3) закон сохранения вероятности (унитарность),
4) закон сохранения числа фермионов,
5) законы сохранения импульса, энергии и момента количе-
ства движения,
6) законы сохранения барионного и лептонного зарядов,
7) закон сохранения заряда.
Неуниверсальное сохранение имеет место для
1) четности,
2) зарядового сопряжения,
3) обращения времени,
4) зарядовой независимости ядерных сил,
5) G-четности,
6) странности,
и т. д.
IV. 3.8. Запишем отнесенную к единице времени вероятность
распада частицы в момент / в дифференциальной форме
Отсюда определяем вероятность того, что к моменту времени
/ мезон еще существует:
Таким образом, среднее время жизни частицы равно
/1*2

Ответы и решения 249
Согласно принципу неопределенности для энергии Е имеем
Следовательно, неопределенность массы частицы
„ Ь (U + U)
IV.3.9. Групповая скорость = "^|"=7Г = '^ =
h Ее
Фазовая скорость = Xv = -^- v = -^ = -
IV. ЗЛО.
а) Для ls-состояния волновая функция обращается в нуль
только на бесконечности.
б) Для 25-состояния она обращается в нуль как при г =
= 2ао, так и при г = оо.
в) Для 2/7-состояния (пг = ±1) волновая функция равна
нулю при Э = 0, я и г = 0, оо. Для 2/7-состояния (т = 0) она
равна нулю при Э = я/2, Зя/2 и при г = Э, оо. (Здесь m — маг-
нитное квантовое число, 0 — сферическая координата, допол-
няющая широту.)
IV. 3.11. Энергия связи дается формулой
а) При учете релятивистской поправки масса электрона ока-
жется больше. Следовательно, энергия связи увеличится (а
энергетический уровень опустится).
б) Экранировка уменьшает поле ядра, или эффективное зна-
чение Z; следовательно, станет меньше и энергия связи.
в) Если распределение заряда в ядре считать однородным и
сферически симметричным, то потенциальная энергия взаимо-
действия электрона с ядром будет такая же, как и для элек-
трона на определенной орбите в боровской модели. Однако, со-
гласно квантовомеханическим представлениям, имеется некото-
рая конечная вероятность попадания этого электрона внутрь
ядра атома. Отсюда следует, что учет конечного размера ядра
атома приводит к уменьшению энергии связи. (См. задачу
IV. 2.5.)
IV. 3.12.
а) Только гравитационное взаимодействие1), потенциал ко-
торого V ~ —1/г.
1) Автор имеет в виду такие большие расстояния г, на которых все
«атомные» силы (например, силы Ван-дер-Ваальса) можно считать пренебре-
жимо малыми. — Прим. ред.

250 IV. Атомная физика и квантовая механика
б) Кулоновское взаимодействие: V ~ 1//*.
в) В поле иона нейтральный атом ведет себя подобно элек-
трическому диполю. В этом случае V ~ —1/г2.
г) Ядерное взаимодействие, характеризуемое потенциалом
—е-ы/г.
д) Нейтроны — нейтральные частицы, не обладающие элек-
трической поляризацией. Поэтому здесь нужно учесть только
взаимодействие их магнитных моментов. Рассматривая ней-
троны как два магнитных диполя, получаем следующий вклад
в потенциальную энергию взаимодействия: —2d\d2lrz, где d\ =
= d2 = d (d — магнитный момент нейтрона).
IV. 3.13. Полную волновую функцию системы можно запи-
сать в виде произведения радиальной функции R(r) и угловой
функции ф(8, ф):
Ч>(/\ 9, ф) = Д(/-Жв, Ф).
В свою очередь функцию г^ (9, ф) можно представить как супер-
позицию собственных функций оператора момента импульса си-
стемы:
4>(е, Ф)=1 а,, тУГ(9, Ф).
Здесь Y? (9, ф) — общеизвестные сферические функции с цело-
численными индексами / и т, причем 0 ^ m ^ /. Функция
У'т(9, ф) характеризует состояние системы с собственным зна-
чением модуля момента импульса h^l(l-\-\). Квадраты всех
этих функций
| УГ (в, ф)|2, за исключением |Го(9, ф)|2,
зависят от угла 0<; то же самое относится и к перекрестным про-
изведениям !). Таким образом, единственной функцией, которая
удовлетворяет условию независимости
1) Если сумма определенного числа произведений с перекрестными чле-
нами не зависит от 9 и ф, т. е.
\>1 1 (9, ф) = const = Л,
то, интегрируя по всему угловому пространству и используя условие ортого-
нальности
f (9, ф) о|)™' (9, ф) dQ = 0 для 1Ф1' или тфт\
мы находим, что 4яЛ = 0. Таким образом, произведения с перекрестными
членами обращаются в нуль.

Ответы и решения 251
от углов 9 и ф, является
г() (9, ф)^Уо°(9, Ф);
следовательно, / = ш = 0. Это означает, что единственно воз-
можное значение момента импульса системы равно нулю, т. е.
система должна находиться в S-состоянии.
IV. 4.1. Одномерное уравнение Шредингера записывается в
виде
Если частицы расположены слева от барьера, то V = 0, и ура-
внение A) принимает вид
d2ty 2шЕ
Общее решение этого уравнения дается функцией
yL = Aeik*x + Be-ik*x, B)
где
, л/2пгЕ
*l = g—•
Для частиц, находящихся в центральной части, имеем V = Vo,
причем Vo > Е. Соответствующее решение уравнения Шредин-
гера для этой области записывается как
yM = Cek*x + De-k*x, C)
где
, _ л/2ш (Уо - Е)
К2— g .
Наконец, для частиц, находящихся справа от выступа потен-
циального барьера, V = V\ < Е. Здесь, поскольку мы рассма-
триваем волну, распространяющуюся в положительном направ-
лении оси х, решение уравнения A) будет следующим:
$R = Feik*, D)
где
, _ л/2т(Е-У1)
Яз— g •
Запишем теперь граничные условия
Ce~k>d'2 + Dek^2, E)
k2Ce~k*d/2 - k2 Dek>d'2, F)
2 + De-****2, G)
ik3Feik*d/2 = k2Cek>d/2 — k2 De-****. (8)

252 IV. Атомная физика и квантовая механика
Из условий E) и F) получаем
2*'M<r'*•** = {ikx + k2) Се-*** + (ikx - k2) Dek>d<2, (9)
а из условий G) и (8) —
(k2 + ik3) Feik^2 = 2k2Cek^2 A0)
и
(k2 - ik3) Feik^2 = 2k2 De-h*2.
Путем исключения из уравнений (9), A0) и A1) коэффициен-
тов С и D находим
(iki + k2) e~kid (k2 + ikz) , (ikx - k2) ekid (k2 -- ik3)
— 2k2 "Г ^
откуда получаем следующее выражение для коэффициента про-
зрачности барьера:
А>3|/42__ 16Л,Л|Л3 _
T^Af ~ (k2 - k{k3J (e~k>d - ek>dJ + (k{k2 + k2k3J (e~k>d + ek*dJ ~
[(Vo - E) - V^(?-i/!)]2 sh2 ^2rf + (Уо - e) We - Уя^ПлJ ch2 k2d
IV. 4.2. Нам дана матрица
-а о)-
Чтобы найти собственные значения матрицы, нужно решить ха-
рактеристическое уравнение
\А-ХЦ = 0, A)
которое в нашем случае принимает вид
3-Я 2
2 -К
=°-
Отсюда следует
C — Я) X +4 = 0,
или
(Я-4)(Я + 1) = 0. C)
Следовательно, собственными значениями матрицы А являются
X = 4 и Я = —1. Пусть К = 4. Согласно определению собствен-
ного вектора, имеем
3 — 4
2 -

Ответы и решения
253
Отсюда следует
= 0, или jci = 2лг2;
E)
при этом компоненты вектора должны удовлетворять условию
нормировки
*? + *! = 1. F)
Таким образом, собственному значению К = 4 соответствует соб-
ственный вектор
2
1
Для к = —1 имеем
/3+1
V 2
2
+1
откуда
= 0, или У\ = — Т
G)
(8)
(9)
В результате получаем собственный вектор
1
2
соответствующий собственному значению X = —1.
IV. 4.3.
а) С —вектор, характеризующий плотность потока вероят-
ности. Его аналогом в классической электродинамике является
вектор Пойнтинга.
б)
V V
= -^— \ div [i|)*
Следовательно,
С = -я?- [ V
*)^] dV = - J (V • C)dV

254 IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 4.4.
а) Волновая функция, отвечающая основному состоянию
атома водорода, имеет вид
где а0 — 0,5 А.
б) Вероятность нахождения электрона в слое между г и
г + dr вычисляется по формуле
Р (г) dr = | я|H12 dV, где dV = 4яг2 dr.
Подставляя сюда выражение для волновой функции г|H, полу-
чаем
в) При максимальном значении Р(г) производная dP(r)/dr
обращается в нуль. Следовательно, для нашего случая имеем
или
2r — -Н? = 0. B)
Отсюда следует, что Р(г) принимает максимальное значение
при г = по. Второе решение уравнения B), г = 0, соответствует
минимальному значению Р(г), равному нулю.
IV. 4.5.
а) R « |^« 1 А.
б) Из известного соотношения Амане?1 = 0,29 К-см находим,
что при Т = 3 К
Л» КГ1 см=107А.
в) Ширина запрещенной зоны «1,1 эВ.
г) При делении одного ядра освобождается энергия, пример-
но равная 200 МэВ. Она соответствует разности энергий связи
в исходном и конечных ядрах.
д)
е)

Ответы и решения 255
ж)
[ie = 0,9- 1(Г27 Дж/Гс.
IV. 4.6. Основному состоянию частицы, находящейся между
двумя непроницаемыми стенками, соответствует нормированная
волновая функция вида
/2"
где а — расстояние между стенками. Эта функция обращается
в нуль при х = —а/2 их — а/2.
а) Собственные функции состояний частицы в расширенном
потенциальном барьере записываются в виде
v \х) = Д/ ~~ cos ~о— для нечетных п
= y\l— sin-?НН. дЛЯ четных п (исключая д =
sinН
которые обращаются в нуль при х = а и х = —а. Функцию
ы°(х) можно разложить в ряд по ортонормированным собствен-
ным функциям vn:
где
+а/2
ап = \ и° (*) vn {x) dx
-а/2
— амплитуда вероятности нахождения частицы в состоянии п.
Вычисляем эту вероятность для основного состояния:
+а/2
лх пх - \ 64
)
-а/2
б) Энергия частицы сохраняется в статистическом смысле,
т. е. энергия частицы в исходном состоянии Е(и°) равна сумме
энергий Ег всех возможных состояний v\ взятых с весом Р,-, ко-
торый равен вероятности пребывания частицы в каждом из этих
состояний:
(См. задачу IV. 1.5.)

256 IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 5.1.
а) Принцип соответствия: классическая механика является
предельным случаем квантовой механики, когда постоянная
Планка оказывается пренебрежимо малой относительно некото-
рого характерного параметра системы, например момента им-
пульса. В этом случае все законы и предположения квантовой
механики должны сводиться к классическим.
б) Закон Дюлонга и Пти утверждает, что молярная тепло-
емкость любого металла равна 3/?, или 6 кал/моль»К1)-
в) Потому что первоначально каждый атом калия находится
в основном, или S-состоянии, и при переходе любого из них в
возбужденное 35-состояние происходит поглощение только того
фотона, длина волны которого соответствует главной серии.
г) Фактор g равен 2 для спинового момента электрона и 1
для орбитального момента.
д) Комптоновское рассеяние и фотоэффект.
IV. 5.2.
а) В случае системы, образуемой протоном и электроном,
испускаемый фотон обладает энергией
ее = 13,6 f-j —2 J = 10,2 эВ, поскольку п = 2.
Энергии уровней пропорциональны массе /и, и она у мюона в
210 раз превышает массу электрона. Следовательно2),
8^2100 эВ.
б) Радиус первой боровской орбиты обратно пропорциона-
лен массе т. Поскольку для электрона он равен по = 0,5 А, то
для мюона получаем следующее значение:
«и=0,5 • 2То« 0,0024А.
в) Скорость частицы на /г-й боровской орбите v = апЫп не
зависит от массы частицы, потому что ап обратно пропорцио-
нально m, a con пропорционально ей. Следовательно,
е2 ас
1)'
здесь а — постоянная тонкой структуры.
IV. 5.3. Из известного соотношения ХмьксТ = 0,29 см-К на-
ходим, что максимум спектральной плотности излучения при
температуре Т = 2000 К приходится на длину волны ЯМакс =
4) Этот закон справедлив при достаточно высоких температурах. — Прим.
ред.
2) Здесь не учитывается содвижение ядра. — Прим. ред.

Ответы и решения 257
= 1,45-10~4 см = 1,45-104 А. Фотоны с этой длиной волны об-
ладают энергией ^ 1 эВ, что вдвое меньше энергии фотонов в
желтой линии натрия B,07 эВ).
Чтобы разрешить противоречие, нужно рассмотреть спек-
тральное распределение энергии теплового излучения
j /л х С\1 ?i1 ?l1
X5
_?
X5 eCi/kT -1 Я5 eb4
Здесь подставлены числовые значения второй радиационной по-
стоянной с2 = 1,44• 10~2 м-К= 1,44-108 А-К и температуры
Т = 2000 К. На длине волны X = 5890 А имеем
/E890 А)
1
E890M е12'3 — 1
По сравнению с /A4 500 А) это очень малая величина. Дей-
ствительно,
/ E890 А) = /14 500 у в4'98 - 1 ^ ,2 4g,5 1,44-102 ^
/A4 500 А) V 5890 ) е12'3 — 1 ' 2,20 • 105 ~
«(88,6) F,54 . 10~4)« 0,058,
В то же время она больше, чем / (X < 5890 А). Поскольку все
атомы натрия находятся в основном состоянии 32Sy2, то ближай-
шим разрешенным возбужденным состоянием является 32A/2K/j.
Переходам
соответствует излучение линии 5890 А. Для электрических ди-
польных переходов AL = ±1, поэтому следующим близким воз-
бужденным состоянием является 4/?, переход с которого отвечает
излучению с X = 3300 А. Однако этим переходом можно прене-
бречь, поскольку / C300 А) < / E890 А) 1).
Мы приходим к выводу, что при такой низкой температуре
наблюдается в основном только желтая линия.
IV. 5.4. Запишем уравнение Шредингера. Для области х <^. 0
оно имеет вид
= 0> (D
а для области х > 0
1) Очевидно, что физиологическое восприятие рассматриваемого явления
не изменилось бы и при противоположном неравенстве: излучение с X =
= 3300 А лежит вне области спектральной чувствительности человеческого
глаза. — Прим. перев.

258 IV. Атомная физика и квантовая механика
а) Уравнения A) и B) имеют следующие решения:
ф, = Aeik« + Ве~^\ x < О, C)
<ф2 — Ceik*x + De-ik>x, x>Of D)
где
, V2m (Е - Кр)
И ^ =
Если частицы движутся слева направо, то D = 0. Для сшивания
решений воспользуемся граничными условиями
¦,«»-*,«» и &?>--*!?>-. E)
Они дают
kx (A-B) = k2C.
Отсюда находим
(б)
А' G)
Из выражений C), D), F) и G) получаем
ki+k2e )> (8)
oik2x
б) Если частицы движутся к барьеру со скоростью
v = <\f2E/m, то в ящике с единичным сечением и длиной
I = v будет находиться только одна частица. Плотность ча-
стиц, движущихся к барьеру, равна Л2. Следовательно, мы
имеем следующее условие нормировки:
откуда находим
в) В случае Е < Уо имеем

Ответы и решения 259
Таким образом, волновые функции (8) принимают вид
Частицы не могут полностью преодолеть потенциальный барьер
и отражаются от него обратно. Характеристическое расстояние,
на которое проникают частицы в глубь барьера (х > 0), равно
1 _ h
k3 V2m (Ко - Е) '
IV. 5.5. Подставим заданную волновую функцию в уравнение
Шредингера, записанное в сферической системе координат:
Выполняя дифференцирование, получаем
h2k2 , у
2т ™ \ / т& ~
B)
Функция V(г) оказывается постоянной, и ее можно положить
равной нулю. Из уравнения B) мы видим, что
h2k2
Е=-
2т
Следовательно, частица является свободной.
IV. 6.1.
а) Формула для потока вероятности имеет вид
= - ш \w grad * -(grad **
(Ее вывод дан в решении задачи IV. 4.3.)
б) Подставляя ф = eikx и ф* = e~ikx в приведенную выше
формулу, мы получаем
7*в - Ж J le~ik*{ik)eikX-(-'*)e-ikx*ikx]dA*=lz\ dA*u>
s
s s
здесь — скорость распространения волны.
в) Нет. Поток, соответствующий действительной волновой
функции тождественно равен нулю.
IV. 6.2. При свободном падении тела в поле силы тяжести
имеем
s = Ах + vxt.

260 IV. Атомная физика и квантовая механика
Здесь 5 — расстояние между шариком и отвесом, Ал; — началь-
ное смещение шарика, vx—горизонтальная составляющая его
скорости, равная kpjm. Применяя соотношение неопределенно-
стей
получаем
Минимальному значению s соответствует условие
ИЛИ
Отсюда находим-
Следовательно,
U
IV. 6.3.
aj Сравнивая формулы
получаем
где /? — постоянная Ридберга.
б) В атоме с большим атомным номером Z все электроны,
за исключением ls-электронов, удалены от ядра на довольно
большое расстояние. Поэтому на положение энергетических
уровней ls-электронов остальные электроны не оказывают влия-
ния. Считая, что
?Bp)~(l/22)(Z-lJ,

Ответы и решение 261
получаем
v==EBP)-E(U)
т. е. частный случай закона Мозли.
При анализе оптических спектров пренебрегать влиянием ос-
тальных электронов уже нельзя, поскольку именно они опреде-
ляют уровни оптических переходов.
IV. 6.4. Направим ось х вдоль направления движения первой
частицы. Тогда компоненты 4-импульсов обеих частиц записы-
ваются в виде
Pl = (ylmlvu О, 0, iy^c),
Р2 = @, 0, 0, im2c\
где
Определяем массу покоя образовавшейся частицы:
Л1 = | -
Скорость V этой частицы можно найти из выражения для ее
импульса Р. Поскольку импульс сохраняется, мы имеем
MV
Отсюда
y\m\v2 {с2 - V2) = M2V2c2.
Следовательно,
IV. 6.5.
а) На каждый электрон, попавший в магнитное поле, дей-
ствует вращающий момент
или
т = е^с (поскольку s ± В).
Угловая скорость прецессии спина равна отношению вращаю-
щего момента к спину:

262 tV. Атомная физика и квантовая механики
или
" ~ 2пгс '
причем вектор Q совпадает по направлению с вектором магнит-
ной индукции В.
б) Циклотронную частоту определяем по формуле со =
= eg/2mc & 8,8 • 106 рад-с-^Гс (если пренебречь постоянной
тонкой структуры а в выражении для фактора g).
Следовательно, измеряя ф, можно опытным путем определять
численное значение а. На этом принципе основаны известные
эксперименты по измерению малых отклонений g-фактора мюо-
на от значения, равного 2.
IV. 6.6.
а) Если электрон движется по круговой стационарной ор-
бите, то
здесь v — линейная скорость электрона, г — радиус орбиты. Со-
гласно квантовому постулату Бора,
Орбитальный момент электрона = mvr =nh, B)
где п = 1, 2, 3, ... . Исключая v в формулах A) и B), находим
Потенциальная энергия электрона на орбите
а кинетическая энергия
Следовательно, полная энергия электрона дается выражением
?' = — — =— me>k (п = 1 2 3 )
б)
жЛ4 / 1 1 \ Q
= A3 б эВ^ /-N-/ о 55 эВ

Ответы и решений
263
IV. 7.1.
а) Уравнения Шредингера для рассматриваемых областей
записываются следующим образом:
2m doc2 '
здесь VQ == 20 эВ, Е = 10 эВ.
б) Оба решения этих уравнений представлены на рисунке.
Re -f(x)
в) Дебройлевскую длину волны электрона вычисляем по
формуле
- ___ Ji_ h 2nhc
~ р ~ л/2тЕ ~ VBmc2) E '
Подставляя в нее значения т = 0,5 МэВ/с2, Ьс = 1,973 X
X Ю~и МэВ-см и Е = 10 эВ, получаем
,__A,973.Ю-11Jя_/!_1
здесь в
3,2.10~d
знаменателе стоит
10~5 МэВ
числовое
3,2
(
см;
значение величины
10~3 МэВ.
VBmc2) Е = Vl»02 МэВ
г) Граничные условия: функция г|?(х) и ее производная
()/dx при л: = 0 должны быть непрерывными.
д) Вероятность нахождения электрона в области х > 0 про-
порциональна ехр(—2х/к).
IV. 7.2.
а) Собственные значения энергии: Еп = (п -f -^Л /*v0 (^ =
= 0,1,2,.,. .).

264 IV. Атомная физика и квантовая механика
Четность собственных состояний: Р«=(~1)я.
б) Собственные значения энергии: Еп = Еп + Еуп + Егп =
= {пх + пу + пг + ^) Avo-
Четность собственных состояний: Я = (— 1)пх+пу+пг.
Свойства состояний, соответствующих четырем самым ниж-
ним энергетическим уровням, сведены в следующую таблицу:
Таблица
Кратность
пх + п +пг Еп Четность ^ п ^ % вырождения
—I
+1 110 2; 0
1
0
0
1
0
1
2
0
0
1
2
1
2
1
0
0
3
0
0
0
1
0
1
1
0
0
2
0
1
1
2
0
0
2
1
0
3
0
0
0
1
0
1
1
0
0
2
1
0
0
1
2
1
2
0
0
3
-|av0 -1 1 1 1 3; 1 10
в) Используя выражения для четности Р= (—1)' и числа
вырожденных состояний 2Z+1, находим, что каждой группе
уровней соответствуют те значения /, которые приведены в таб-
лице.
IV. 7.3.
а) Всего имеется 6 различных 2/?-состояний, поэтому число
всевозможных состояний первого 2р-электрона равно 6, а вто-
рого, согласно принципу Паули, — только 5. Таким образом,
число всевозможных размещений для двух 2/?-электронов равно

Ответы и решения 265
30. Фактически же вследствие неразличимости обоих электронов
число возможных состояний меньше, а именно 30/2 = 15.
б) Пусть S и L — полные спиновый и орбитальный моменты
обоих электронов. Общую волновую функцию г|э для обоих элек-
тронов можно представить в виде произведения спиновой волно-
вой функции ^s(si,s2) и орбитальной волновой функции г|)Ь(гьг2).
Теперь, если мы поменяем местами оба электрона, то получим
Отсюда следует, что
ЧB, 1), A)
но, согласно статистике Ферми, волновая функция для обоих
электронов должна быть антисимметричной, т. е.
¦ A,2) = (— 1) * B, 1). B)
Поэтому из A) и B) получаем
S + L = Четное число. C)
В силу того что S = si + s2, сумма S может быть либо 0, либр
1, а поскольку L = Ь + Ь» то L может принимать значения 0? 1
или 2. Отсюда получаем следующие возможные квантовые со-
стояния, удовлетворяющие условию C):
S
0
0
1
1
1
L
0
2
1
1
1
0
2
0
1
2
Мультиплетность состояний
2/+1
1
б
1
3
5
Полное число состояний равно 15.
IV. 7.4.
а) Is2, 2s2, 2/?6, 3s1.
б) 385./,.
в) 32А/2, 3*Р.,,.
г) Структура тонкого расщепления обязана спин-орбиталь-
ному взаимодействию, т. е. взаимодействию спина электрона с
0 Зак. 713

266 IV. Атомная физика и квантовая механика
магнитным полем ядра В, если рассматривать это взаимодей-
ствие в системе отсчета, жестко связанной с электроном.
д) Энергетический уровень, соответствующий большему зна-
чению /, расположен выше.
е) Поскольку потенциал кулоновского поля V ~ 1//-, то
dV/dr ~ г~2. Следовательно, при фиксированном значении L
энергия взаимодействия пропорциональна
Sw I dV qo . о
¦LT4F~r ~3S-L~r -3.
Отсюда видно, что п = —3.
IV. 7.5.
а)
[Lx, Ly] = ihLz,
[Ly, Lz] = ihLx,
[LZf Lx] = ihLyy
[Lh L2] — 0, i = x, y, z.
6)
L2q> = L2 (Lx + iLy) \\>im = (Lx + iLy) L2^im =
= (Lx + iLy) hH (I + 1) ф/т = ft2/ (/ + 1) Ф.
Таким образом доказано, что ф является собственным состоя-
нием оператора L2.
Lzq) == Lz \LX -f- iLy) if>/m = (ihLy -\- LXLZ -f- ftL^ -f- iLyLz) *ф/т ==:
= (L, + iLy) (mh + ft) a|>/w = (m + 1) ft (Lx + /L,) г|)/т = (m + 1) АФ.
Отсюда следует, что ф является также собственной функцией
оператора Lz.
в) Предположим, что
/, m
здесь пг = 0, 1, 2, ..., / и / = 0, 1, 2, ..., a Aim — постоянные
коэффициенты. Действуя оператором L2 на обе части равенства
A), получаем
11 ih .' - ¦ fii? у А 1A .-1 ' 1 i ili« | ОЧ
X т 00 ' ' I * / 1 **1 YtX \У | 1 / *г//и * \ /
/, m
Левая часть полученного соотношения равна нулю, так как опе-
раторы L2 и Lx коммутируют друг с другом, а /А|)оо = 0. Но
функции ifym являются ортонормированными; значит, все коэф-
фициенты Aim, за исключением ЛОо, в правой части соотношения
B) должны обращаться в нуль, т. е.
^/т^О (кроме AQq).

Ответы и решения
267
Таким образом мы доказали, что
Аналогичным путем можно доказать и второе соотношение
IV. 8.1.
а) 2Л/2, поскольку имеется один неспаренный электрон.
б) А5о, так как отсутствует внешний электрон.
в) 2Яз/2, поскольку имеется «дырка» в 2р-оболочке.
г) В данном случае один из 2/?~электронов переходит в со-
стояние 35, образуя «дырку» в 2/?-оболочке. Пользуясь правилом
Хунда, находим
S = s2p + s38=l, L = \ и / = 0.
Следовательно, получаем возбужденное состояние 3Р0.
Д) !50.
IV. 8.2. График волновой функции приведен на рисунке.
Плотность вероятности
Волновая функция частицы, находящейся в потенциальной
яме в основном состоянии, имеет только один максимум. Между
стенками потенциальной ямы она характеризуется длиной вол-
ны ~2а. Вне потенциальной ямы плотность вероятности спадает
экспоненциально:
На расстоянии х = d > а/2 + d вероятность нахождения ча-
стицы становится настолько малой, что ею можно пренебречь.

268 IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 8.3. Спиновый магнитный момент электрона равен
gsiibs. В магнитном поле спин электрона прецессирует с лармо-
ровой частотой
(*.-*.—й- о)
Если при прохождении электронами области между А\ и Л2 на-
правления их спинов изменяются на большой угол, скажем 180°,
то электроны не смогут пройти через магнитную систему Л2, по-
тому что в полях магнитов А\ и А2 на них действуют отклоняю-
щие силы в одном и том же направлении. Таким образом, мы
имеем условие
из которого находим магнитное поле
п 2тсл
Btt——
et
Это поле должно быть направлено либо параллельно пучку
электронов, либо перпендикулярно плоскости х, г.
IV. 8.4. В атоме большинство разрешенных переходов между
энергетическими уровнями происходит за время ~10~9 с. По-
этому можно считать, что время жизни возбужденного 2/?-со-
стояния в атоме водорода тоже порядка 10~9 с. Пользуясь соот-
ношением неопределенностей, находим ширину энергетического
уровня
Л?«А«.Ё?^!! = 6>6.1(Г7эВ; A)
здесь мы использовали значение Ь в следующих единицах:
Н= *'05-КГ27 эрг-с ~66. ю-"» эВ.с#
1,6-Ю-12 эрг/эВ
Значениям п = 2 и / = 1/2 соответствуют два уровня с / = 0 и
I = 1. Уровень с / = 0 является метастабильным, поэтому его
энергия может быть измерена с гораздо более высокой степенью
точности, чем та, которую дают вычисления по формуле A).Что
касается уровня с / = 1, то его положение более неопределенно.
Однако оба уровня расположены настолько близко друг к другу,
что частота перехода между ними лежит в микроволновом диа-
пазоне. Поскольку радиочастоты можно измерить с весьма вы-
сокой точностью, то имеется возможность определить экспери-
ментально среднюю частоту квантов, поглощенных на этом пе-
реходе, что равносильно измерению с большой точностью сред-

Ответы и решения 269
него энергетического сдвига между этими уровнями. Используя
соотношение
E (I = 1) = Е {I = 1) - Е (I = 0) + Е (I = 0),
можно определить среднюю энергию уровня, соответствующего
/ = 1, с гораздо большей точностью, чем она дается формулой
(о-
IV. 8.5.
а) а0 = -Дг « 0,53 А = 5,3 • 10~9 см.
б) г0 = -^г & 6,6 • 10~3 А = 6,6 • 10~и см.
в) Х = —«3,8- 10~ucm; Я = — «2,42- 10~10 см.
7 тс ' тс
г) X = -±; « 1,4 • 103 см; Я = -^ « 8,88 • Ю8 см.
:0,44- 10~3А =
= 44- 10~ijcm.
е) X=A- = -j^ = i^-= 1,973- 10~7 А= 1,973 • 10~15 см.
ж) Для мюонного нейтрино с tnv< 1,2 МэВ/с2 имеем
\= -^-j-^> Ю~3 А = 10~и см, и для электронного нейтрино с
mv<60 эВ/с2 имеем Х = -^-^30 А = 3- КГ7 см.
з) Поскольку гж 1,3- 10~13^/4 см, а ^Л «6, то получаем
г«8- 103 см.
IV. 8.6.
а) Пусть Р — оператор четности, который «отражает» все
координаты относительно начала системы отсчета. Полагая, что
все состояния имеют определенную четность, имеем
= — <-ф, рг|))=-<р>,
поскольку РР = 1. Следовательно, (р) е= 0.
б) Если все собственные состояния, соответствующие соб-
ственному значению энергии ?г-, имеют определенную и одинако-
вую четность, то среднее значение радиус-вектора г должно рав-
няться нулю.

270 IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 8.7.
а) Полагая, что в атомах легких элементов преобладает LS
связь, получаем следующие правила отбора для электрических
дипольных переходов:
1) должна изменяться четность,
2) М = ±1, AAf = ±1,0,
3) AS = 0,
4) Д/ = 0, ±1 (исключая переход /г- = 0 —> Jf = 0).
б) В атомах тяжелых элементов следует принимать во вни-
мание / — /-связь. Поэтому получаем следующие правила от-
бора:
1) в любой момент времени реализуется переход только
для одного электрона,
2) А/ = 0, ±1, и для электрона, совершившего переход,
Д/ = ± 1 и Д/ = 0 или ± 1,
3) изменяется четность.
в) В случае ядер налагается ограничение на изменение ядер-
ного спина Д/ = ±1, 0. Четность также должна изменяться (но
не для перехода U = 0 —> // = 0).
IV. 8.8. Сверхтонкое расщепление связано с взаимодействием
магнитного момента ядра ju,n и магнитного поля Ве, обусловлен-
ного орбитальным движением электрона. Энергия взаимодей-
ствия равна ju,n-Be; она обратно пропорциональна массе ядра М,
поскольку [хп = еЬ/2Мс !).
Тонкое расщепление объясняется взаимодействием магнит-
ного момента электрона jne с кулоновским полем ядра Е. Энер-
гия взаимодействия равна jute-E. Она обратно пропорциональна
массе электрона те, так как jne = eb/2mec. В то же время на ма-
лых расстояниях от ядра (г « 0) поле Е в пренебрежении эф-
фектом экранировки растет пропорционально заряду ядра (Е~
~ Z). Следовательно, энергия взаимодействия оказывается про-
порциональной Z. В результате получаем
Сверхтонкое расщепление \/М m
Тонкое расщепление Z/m MZ
IV. 8.9.
а) Дана функция
*) Магнитные моменты протонов и нейтронов, из которых состоят ядра,
не сводятся к указанному выражению для ^«» но имеют тот же порядок ве-
личины. — Прим. ред.

Ответы и решения 271
где
ап =
п ~ (п\)Р •
Мы видим, что при п -> оо
Следовательно, функция f(x) конечна при любом конечном зна-
чении х. В случае х -* оо она стремится к бесконечности быстрее
любой степенной функции.
б) Функция не относится к возможным решениям уравне-
ния Шредингера, поскольку не является нормируемой из-за рас-
ходимости интеграла.
IV. 9.1. Обозначим через Ка и Kd кинетические энергии а-ча-
стицы и дейтрона соответственно. Тогда 1)
v _ P\ (QaBRf
2Ma
Pi
Ко °
= 2.
2MD — 2MD
Отсюда находим
*g = MD Ql = B) BJ
KD ~ Ma Ql ~ D) A)
Следовательно,
Л:а = 2/Со = 32 МэВ.
IV. 9.2. Плотность ядра р~ 1015 г/см3. Такая величина по-
лучается при умножении плотности обычного вещества на отно-
шение объема атома к объему ядра:
= A г/см3) (^-)«(^)=1015 г/см3.
IV. 9.3. Отношение сечений равно 4, поскольку кулоновское
рассеяние пропорционально Z2.
IV. 9.4. 2тс2 = 2- C-108J = 1,8-1017 Дж.
*) Здесь используются следующие обозначения: Qa и Qd-^-заряды а-ча-
стицы и дейтрона, Май Md—их массы соответственно, В — индукция маг-
нитного поля в циклотроне, а R — радиус орбиты. Возможности ускорения
в циклотронах ограничены нерелятивистской областью энергий. Поэтому
приводимые здесь формулы также не нуждаются в релятивистских поправ-
ках. — Прим. ред.

272 IV. Атомная физика и квантовая механика
IV. 9.5. Она равна 6,8 эВ, так как приведенная масса пози-
трония равна половине массы электрона.
IV. 9.6. Атом натрия имеет шесть уровней энергии с тремя
парами различных переходов. Поэтому при зеемановском рас-
щеплении будут наблюдаться три спектральные линии, соответ-
ствующие krrij = +1, 0 и —1.
IV. 9.7. В соответствии с принципом неопределенности р«
& bjR. Следовательно,
Кип. от. «-53^.
IV.9.8. Из соотношения Ьс/%=25 кэВ находим Х=0,08А.
IV. 9.9. Максимальный импульс частиц изменится в
(V2)V3 раз, ПОТОМУ ЧТО РМакс ~ У~Чг.
IV. 9.10. Магнитный момент протона равен 2,8AЯд (^яд —
ядерный магнетон), т. е. 1,4-10~23 эрг/Гс.
IV. 9.11. ^о.
IV. 9.12. Кинетическая энергия увеличится в а2 раз1):
Кип. 9Н.=(^(аг\ 2^--^r*(ar)) = a2^(ar), -^ d (a/rJ a|) (ar)),
а потенциальная энергия уменьшится в а2 раз:
Пот. эн. = (^ (аг), -| г2^ (аг)^ = ^г(^ (аг), ~ а2г2^ (
4) Приведенное автором решение требует уточнения. Дело в том, что
нужно учесть изменение нормировки и правильно записать оператор кинети-
ческой энергии для трехмерного осциллятора. Для заданных условий имеем
2т
о
сюда входит нормировочный множитель N:
N = 1 А *'(г. 0 * (г,
7.
Следует заметить, что задача составлена формально, ибо состояние с вол-
новой функцией i|i(ar,/) не является решением уравнения Шредингера для
рассматриваемой задачи. Это очевидно хотя бы из того, что если первое
состояние i|) (г, t) было устойчивым, то изменение кинетической энергии в одну
сторону, а потенциальной в противоположную обязательно нарушит такую
устойчивость. — Прим. ред.

Ответы и решения 273
IV. 9.13.
а) Электрон в основном состоянии создает круговой ток
ev
2тса0 '
A)
где е — заряд и v — скорость электрона, а а0 — радиус боров-
ской орбиты. Этот ток создает в центре орбиты радиусом а0 маг-
нитное поле
в в _м в j^ " (ю-у)A>6; 10"9)B;20;210б) ^12,5 вб/м2=
2а0 An a\ J @,53 • КГ10J '
= 1,25- 105 Гс;
здесь использована подстановка v = ас =* 2,2-106 м/с и а3 =
= 0,53.10-10м.
б) Разность энергий между состояниями протона со спином,
направленным вверх и вниз, равна
Д? = 2В^ЯД = B,5 • 105)C,15 • 102)=7,88 • Ю эВ.
Здесь ^хяд = 3,15 • 102 эВ/Гс.
ч А? ЬЕс G,88 • Ю-7 эВ) C • 1018 А/с)
17 Ш±Т«1.2.1^ рад/с.
IV. 9.14.
а) При /? = 0 оба положительных заряда находятся в на-
чале координат. Следовательно, ?@) в 4 раза должно превы-
шать энергию связи электрона в атоме водорода в основном со-
стоянии:
?0@) = -4(Ян) = -54,4 эВ. A)
Если /?-* оо, то удаленный протон не оказывает никакого влия-
ния на электрон. Поэтому
?0(оо) = -#н = -13,6 эВ. B)
б) Полная потенциальная энергия системы по условию за-
дачи равна
V(R) = EQ(R)+^. C)

274
IV. Атомная физика и квантовая механика
Условие равновесия протонов записывается следующим обра
зом;
D)
Подставляя выражение для потенциальной энергии C) в D),
получаем
е2 , dE0C"
R2
е2 .
R2 *
откуда находим
Аоавн —
V
dE0
dR
E)
F)
^равн
в) Приблизительная зависимость E0(R) показана на следую-
щем рисунке:
1
~RH
-4RH
\
\
1 Краен
i Л
г) Если оба протона находятся в нижнем возбужденном со-
стоянии, то следует учитывать дополнительные энергетические
уровни, отвечающие колебательным и вращательным степеням
свободы протонов, с энергиями
®„ п=1, 2, 3, ...,
=Ь 2,3
,3,

Ответы и решения
275
причем (ос можно выразить через V(R), массу протона mv и
Аравн-
IV. 9.15.
а) Конечная энергия каждого электрона равна 37 эВ. Сле-
довательно, для дебройлевской длины волны электрона полу-
чаем
Р
he
1973
л/2тс2Е V(l>02 • 106) C7)
; 0,32 А.
Ширина центрального максимума дифракционной картины оп-
ределяется по формуле1) из классической оптики:
—
см;
это та ширина, в пределах которой электрон может быть заре-
гистрирован.
а = !А
= Ю см
Детектор
б) При наличии двойной щели будет наблюдаться следую-
щая интерференционная картина:
1) В данную формулу следует подставлять X = 2лX. Поскольку она спра-
ведлива лишь при к < а, то ее применение нельзя считать оправданным. —
Прим. перев.

276 IV. Атомная физика и квантовая механика
в) Согласно квантовой механике, волновая функция оди-
ночного электрона может интерферировать сама с собой. По-
этому должна наблюдаться та же картина, что и в п. «б».
г) Если бы существовал такой детектор и можно было бы
регистрировать прохождение электронов через одну из щелей,
то мы получили бы дифракционную картину от одной щели. Од-
нако из-за неопределенности координат и импульсов сами элек-
троны и детекторы оказываются столь ненадежными объектами
(т. е. нельзя ни жестко закрепить второй детектор на щели, ни
узнать, падают ли электроны на нее параллельным пучком),что
вряд ли можно получить какую-либо достоверную информацию
от второго детектора !). Сохранится интерференционная картина
от двойной щели. (См. книгу: R. M. Eisberg, Fundamental of Mo-
dern Physics, 1961, стр. 161.)
IV. 10.1.
а) Поскольку Z = 15, a % = 206me, то для энергии излу-
ченного фотона получаем
?3->2 = 22^ооB06)(~--~-)^88 кэВ
(здесь /?оо = 13,6 эВ).
б) Границе /(-полосы поглощения у свинца соответствует
энергия
EK = {Z- lJ/?oo = (81JA3,6 эВ)^89,3 кэВ,
и /(-серия линий рентгеновского излучения простирается (от
67) до 89,3 кэВ. Поэтому, когда мю-мезон переходит с уровня
п = 3 на уровень п = 2, он излучает фотон на частоте рентге-
новского излучения, под действием которого электрон из /(-обо-
лочки атома свинца может перейти в возбужденное состояние.
Следовательно, коэффициент поглощения у свинца оказывается
довольно значительным.
в) Давайте поступим следующим образом:
1) Установим источник у-квантов, энергия которых была
определена в п. «а».
2) Поместим счетчик у-квантов непосредственно за свин-
цовой фольгой, служащей поглотителем. Мы зафиксируем
слабый сигнал от источника, поскольку элемент с Z = 82
обладает большим поглощением, как было показано в
п. «б».
1) Объяснение автора может не удовлетворить читателя. Подробно об
интерференционном опыте с электронами можно узнать из книги: Р. Фейнман,
Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские лекции по физике, т. 3—4, «Мир», 1977,
стр. 207—216, или из книги: Э. Вихман, Квантовая физика (БКФ), «Наука»,
1974, стр. 206—207. Об аналогичном опыте с фотонами см. там же, стр. 168—
178. — Прим. перев.

Ответы и решений, 277
3) Будем последовательно заменять свинец другими по-
глощающими элементами с меньшими номерами Z (81,
80, 79 ...), но с одинаковой радиационной длиной. Попы-
таемся регистрировать у~кванты способом, указанным в
. п. 2.
4) Построим зависимость наблюдаемой интенсивности
излучения у-квантов от атомного номера Z соответствую-
щего поглотителя. При некотором значении Z = Z\ мы за-
метим резкое увеличение интенсивности наблюдаемого
излучения. Иными словами, для веществ с Z > Z\ реги-
стрируются сравнительно сильные сигналы, а с Z < Z{ —
только слабые. Таким образом, получаем следующее не-
равенство:
Энергия границы К-полосы поглощения у элемента
с номером Zx-\- 1 ^?з-»2^Энергия границы К-полосы
поглощения у элемента с номером Zb
где Z\ = 81, или
Из этого соотношения можно установить верхний и ниж-
ний пределы для массы мю-мезона:
203те < АИд < 209те.
Если бы масса мю-мезона оказалась значительно больше, то со-
ответственно намного больше, чем 82, оказалось бы и число Z\.
Элемент с таким номером вряд ли удалось бы найти среди из-
вестных нам устойчивых элементов, и, следовательно, он был
бы для нас недоступен.
IV. 10.2.
а) Энергия рассеянного излучения равна энергии излучения
движущегося заряда:
Энергия рассеянного излучения dw 2 е2п2 r-v
" Единица времени ~~dt~ "З С3 * ^ '
Если электрическое поле падающего излучения в месте распо-
ложения заряда равно ?, то
Подставляя выражение B) в A), находим
dw _
dt
C)

278 IV. Атомная физика и квантовая механика
Интенсивность падающего излучения равна
cF2
/ = ^Г- D)
По определению сечение томсоновского рассеяния дается вы-
ражением
1 dw
Таким образом, подставляя сюда выражения C) и D) для
dw/dt и /, получаем
б) Томсоновское рассеяние — это предельный нерелятивист-
ский случай комптоновского рассеяния. Кроме того, они совпа-
дают, если рассматривается рассеяние излучения в прямом на-
правлении при малом изменении длины волны, т. е.
в) Используя законы сохранения энергии и импульса, мы по-
лучаем следующую формулу для комптоновского рассеяния:
Подставляя в эту формулу 6 = 90°, гп0с2 = пгес2 = 0,5 МэВ и
?пад = 0,5 МэВ, находим энергию у-квантов, рассеянных на
электронах:
?расс~0,25 МэВ.
Если происходит рассеяние на протоне, то пг0с2 = пгрс2 >
> ?пад И
Из формулы E) следует, что сечение рассеяния пропорциональ-
но 1/т2. Отсюда для у-квантов малых энергий получаем такое
отношение сечений рассеяния на электронах и протонах:
VI. 10.3. Энергия осциллятора с квантовым числом п равна

Ответы и решения 279
где со — круговая частота осциллятора. Запишем соответствую-
щее выражение для энергии из классической механики:
Еп = ^А^\ B)
где Л — амплитуда колебаний. Из A) и B) следует
Подставляя в формулу излучения ускоренно движущегося за-
ряда
dw _ 2 е2а2
dt "~~ 3 с3
величину а = Лео2, получаем
dw 2 еМ2®4 2 е2оK
3 тс3
Bп+1)Н. D)
Согласно правилу отбора для осциллятора, Дп=±1. Если элек-
трон переходит из состояния с номером п в состояние с номе-
ром п— 1, мы говорим, что он больше не находится в состоя-
нии п. Следовательно, среднее время жизни осциллятора на
уровне п
_ Еп — Еп-х _ Зтс5
Х ~~~ dw/dt ~ 2е2а2Bп+ 1) *
IV. 10.4.
а) Частица массой т внутри потенциального ящика описы-
вается уравнением Шредингера
п2
2т \дх2 ^ ду2 ^ dz2 ) — ^'
Поскольку на стенках ящика потенциал обращается в бесконеч-
ность, то на стенках волновая функция
Собственные значения полной энергии Е протона (или нейтро-
на) определяются выражением
„ я2/г2 / о , о , оч n2h2n2
Е (п1 + п1 + п1)
где пх, tiy и пг — положительные целые числа, а а — размер по-
тенциального ящика. В результате получаем
dn та2
ЦТ ~~~ п2П2ц *

280 IV. Атомная физика и квантовая механика
б) Поскольку полное число нейтронов (или протонов) свя-
зано с п соотношением
ЯП6
или
(здесь п — положительно и каждому его значению соответст-
вуют два спиновых состояния частицы), то получаем для ней-
трона
ь2 л/2/3
и аналогично для протона
2ша2
в) Обозначим А/а3 == р, N/A = ап и Z/Л = ар. {Замечание.
Не забудьте, что Л = Л/ + Z.) Поскольку р, ап и ар являются
постоянными, a N = апА = апр«3 и Z = арЛ = арра3, то
— == («npJ/i =
z2/3
-^r==(app)^ =
Следовательно, энергия Ef в выше написанных формулах — по-
стоянная величина.
г) Здесь для оценки можно ввести общее потенциальное поле
Ляя всех протонов ]). При этом все энергетические уровни прото-
нов повысятся.
IV. 10.5.
Если предположить, что орбитальный момент Зй-электрона
в ионах Ti3+ полностью «заморожен», т. е. {Lz) = 0, то орби-
тальное движение не дает никакого вклада в эффективный маг-
нитный момент. (См. Ch. KitteL, Introduction to Solid State Phy-
sics, 1971, стр. 6292).) В этом случае мы имеем дело с нормаль-
ным эффектом Зеемана: происходит расщепление энергетиче-
ских уровней в магнитном поле на подуровни с различными зна-
чениями ms. Обозначим через М/2 (и iV_i/2) число электронов,
') В действительности этот потенциал не постоянен. — Прим. ред.
2) См. перевод раннего издания этой книги A956 г.): Ч. Киттель, Введе-
ние в физику твердого тела, Физматгиз, 1963, стр. 244—251; см. также Ч. Кит-
тель, Элементарная физика твердого тела, «Наука», 1965, стр. 267—27Ь —-
Црим. перев.

Ответы а решения 281
спин которых параллелен (и антипараллелен) направлению по-
ля 5. Мы имеем следующее отношение:
Ny2: N-4i = exp (-^) : exp (- -~r
где (в предположении g — 2)
(Замечание. Поскольку заряд электрона отрицательный, то на-
правления спинового и магнитного моментов противоположны
друг другу.) Отсюда находим относительную долю ионов ти-
тана, спин которых направлен по полю:
^ = ^ ^ = °'79#
exp (- 2x/kT) = 1 +ехр(— 1,86/1,38)
IV. 11.1. Согласно принципу неопределенности, момент им-
пульса копья / = /0 и сопряженная с ним угловая координата
0 не могут быть одновременно определены с произвольно высо-
кой точностью, т. е.
/ёо-ео = ут/20оео-Й; A)
здесь / — длина копья, а 0О и 0о — возможные начальные значе-
ния угловой координаты и угловой скорости копья. Для оценки
времени падения копья нужно определить порядок значений 0О
и 0о, соответствующих наилучшей балансировке копья в верти-
кальном положении. Проще всего предположить, что копье
идеально сбалансировано, когда неопределенность его кинетиче-
ской энергии равна по порядку величины неопределенности его
потенциальной энергии ]):
(в строго вертикальном положении потенциальная энергия
копья принята равной нулю), или
•во. B)
v ы
Из формул A) и B) получаем
Л0 Ь
~ т/2
4) В действительности это требует доказательства. — Прим. ред.

282 IV. Атомная физика и квантовая механика
и
Уравнение движения копья записывается в виде
/Sin0 I m о « ml
*ng —о— ^ "«г tnglv = Вращающий момент = /8 = -^
ИЛИ
Интегрируя это уравнение, находим решение
здесь мы учли начальное условие C). При 9 ^ 1 копье можно
считать практически упавшим. Таким образом, из E) получаем
искомое время
Если сюда подставить1) /= 1000 см и пг = 1 г, то получим
t « 30 с.
IV. 11.2.
а) Энергия волны квантована:
Отсюда находим фазовую скорость
Р Ьк ""
и групповую скорость волны
б) Согласно закону излучения абсолютно черного тела, теп-
ловая энергия имеет следующее распределение:
4) Автор подставляет далекие от действительности цифры. Однако, ввиду
того что под знаком логарифма получается огромное число («2-Ю18) и оно
при подстановке реальных цифр изменяется не более чем на порядок, ответ
рказывается практически тем же. — Прим. пере$.

Ответы и решения 283
(здесь х — постоянная Больцмана). Определяем интегральную
по спектру плотность энергии:
где 4nk2dk/h3 — плотность состояний. Подставляя в эту формулу
выражения для Еп и W(En), получаем
кЫк
( пЬ.
о ехр —
V пЬО ) I'
здесь
oo
хЫх
'-J
T-2T—г = const.
exp (x2) — 1
о
Следовательно,
IV. 11.3.
а) Волновая функция является функцией пространственных
координат х, у, z и времени /, описывающей состояние системы.
При этом:
1) Волновая функция представляет собой амплитуду ве-
роятности и может интерферировать сама с собой.
2) Квадрат модуля волновой функции характеризует ве-
роятностное состояние рассматриваемой системы.
3) Она описывает состояние одиночной частицы х) (фо-
тона, электрона и т. д.) в отличие от статистической функ-
ции распределения, которая характеризует состояние
большого числа таких частиц.
б) J = Ji + J2; на это правило векторного сложения двух мо-
ментов импульса Ji и J2 налагается следующее условие:
здесь мы предположили, что |/i| > |/2|.
в) Д/ = 0, ±1 (исключая / = 0 —> / = 0),
Дт = ± 1, 0.
*) В действительности важно не то, что частица одиночная (можно за-
писать волновую функцию и для нескольких частиц), а отсутствие влияния
«термостата». — Прим. ред.

284 IV. Атомная физика и квантовая механика
г) Коммутатор операторов G и F должен быть равен нулю:
[G, F] = GF-FG = 0.
IV. 11.4. Используя принцип неопределенности, найдем сна-
чала импульс нуклона. Если размер нуклона находится в преде-
лах Ах> то его импульс должен быть порядка
^ 1
Ал: 3-10
1(Г15 дин-с;
здесь Ал: приближенно равно диаметру ядра углерода: Ах »
ж 3-10~13 см. Отсюда кинетическая энергия нуклона в основном
состоянии равна
о (ЛРJ _ ЗЙ2
2/п 2 (Д*J m
',7 МэВ.
Средняя энергия нуклона должна быть несколько больше этого
значения. В самом деле, применяя статистику Ферми для слу-
чая kT <C Ef9 мы получаем следующее выражение для средней
энергии нуклона в ядре:
— —Е —— — fSn2fl\h — А Ь2°2
" f~b2m\v)~b 2mc2
Г Зя2 - 6 Т/з
1_Dя/3) C • 10~13K J
3-(l,973-lQ-nJ-12,6
9380- A0~13J -9
17 МэВ
(вывод формулы для энергии Ферми Ef дан в решении задачи
IV. 10.4).
IV. 11.5. В результате предполагаемой ядерной реакции на
Солнце выделяется
4-1026
26- 1,6- 10
-13
1038 атомов Не в секунду.
IV. 11.6. Энергия фотонов рентгеновского излучения в /(-ли-
ниях спектра меди равна — 13,6- B9—1JэВ^ 10,6 кэВ.
IV. 11.7. Воспользуемся законом сохранения 4-импульса
Pl+P2 = Pf,
где Pf — суммарный 4-импульс частиц после столкновения. Сле-
довательно,
откуда

Ответы и решения 285
Условию rtij = 4me соответствует минимальная энергия движу-
щегося электрона, при которой происходит рождение пары
электрон — позитрон. Следовательно, Ее = 7тес2, т. е. порого-
вая кинетическая энергия электрона равна приблизительно
ЗМэВ.
IV. 11.8. Потенциальная энергия системы минимальна, ког-
да магнитные моменты неспаренных электронов принимают
одинаковую ориентацию и спины электронов в состояниях с п =
= 3 выстраиваются в одном направлении. Следовательно, S —
= (Уг) F—2) = 2. Далее, согласно правилу Хунда, L = 2 и
/ = 4. Таким образом, атом находится в состоянии
(Is2, 2s2, 2p\ 3s2, Зр6, 4s2, 3d6MD4.
IV. 11.9. Величина расщепления между энергетическими под-
уровнями соответствует частоте
10
U C
6,28
IV. 11.10.
а) Л, потому что АЕ{ = (г|)о, #1"фо) больше нуля при Н\ > 0.
б) Л, так как АЕ\ = (г|эь H\ty\) больше нуля.
в) Z), поскольку АЕ\ = (ф0, H\tyo) = 0 для нечетной функ-
ции #ь а во втором приближении
IV. 12.1.
а) Подставим х = Х\ — х2, R = х\ -\- Х2, г|) = гр^фя и приве-
денную массу jli = М/2 в уравнение Шредингера для двух ча-
стиц с координатами х\ и х% Тогда получим следующее уравне-
ние, описывающее относительное движение:
После дифференцирования получаем
или
откуда находим

286
IV. Атомная физика и квантовая механика
б) Введем обозначение y2 = -\/\xk x2/h. Поскольку волновая
функция для основного состояния системы записывается в виде
то
здесь мы учли, что
в) Пусть \|?(р) —волновая функция в ^-представлении. Она
связана с г|эх посредством преобразования Фурье
-** dx\
здесь а = л/\х1г /2Н. Таким образом,
ехр | ^7=
Вероятность того, что импульс частицы примет значение р <
j2Mk =роэ дается выражением
[
\
о 'о Vlt о
где Ф(?о)—функция ошибок. Подставляя сюда
_ VV4JI
У 2
У 2/i
V2fi Vp^ У 2
находим, что искомая вероятность равна
= 0,84.

Ответы и решения 287
IV. 12.2.
а) Пусть г|)Пад = eihz и гррасс = f @) eikr/r. Тогда мы можем
записать
_/« Рг \ _ / I h d \_bk
«'пад — ^Фпад, — 4>пад/ — \4>пад, Т^Г 7 ^пад/ ~ ~ #
Если же использовать для / известное выражение, антисимме-
тризованное относительно г|)пад и -фдад, то
l j
2/m Ll ' l j J 2//n Z'* m
J
w pdCC 2//72 I ¦P"^^ V (ir YpdCC I 1 Л#» т расе I т]
б) По определению дифференциального сечения рассеяния
*«._«= _,,mf.
«w Упад
IV. 12.3. Прежде всего следует уточнить положения макси-
мума и минимума кривой и поведение кривой между ними. По-
этому следует произвести измерения при следующих значениях
Е: 5,5, 6,25, 6,5, 6,75 и 7,5. Представляет интерес также исследо-
вать асимптотическое поведение кривой при Е ^> 13. Если обра-
ботка результатов измерений а занимает немного времени, то
можно вначале произвести три измерения: при Е\ = 5,5, Ер =
= 6,5 и Е$ = 7,5, а затем, используя полученные новые данные,
определить подходящие значения Е для оставшихся двух изме-
рений. Здесь следует стремиться к тому, чтобы получить макси-
мальную информацию о характере кривой в тех областях, где ее
поведение отклоняется от монотонного. Например, если а(?г)
сильно отличается от 1/2[о(Е{ + 0,5) +а(?г — 0,5)], где i= 1,
2 или 3, то нужно произвести дополнительные измерения в точ-
ках Е{ ± 0,25.
IV. 12.4. Вероятность отсчета п импульсов в секунду подчи-
няется нормальному (гауссову) закону распределения
здесь Дл — среднеквадратичное отклонение пл а N — среднее
число отсчетоэ,

288 /V. Атомная физика и квантовая механика
При N » 1 имеем А/г ^ д/Л/" . Вероятность того, что счет-
чик зарегистрирует п < 9700 импульсов, определяется по фор-
муле
9700
Р{п<9700) = 7=- [ ехрГ- {n
Здесь введены следующие обозначения:
__ n-N _ п- 10 000
141,4
9700 - # - 300
— 2,13.
д/2 Л" 141,4
IV. 12.5. Вероятность распада атома, отнесенная к единице
времени, в момент / равна
р ia __ J_ е-ц% -__ J_ w Вероятность существования атома
^ ' х х ^ после момента времени /,
где т — среднее время жизни элемента, равное 10 дням. Вероят-
ность распада атома в течение пятого дня составляет
5 5
р= J p(t) dt =Д
X
4 4
= е~0А — е-°*5 = 0,670 — 0,606 = 0,064.
IV. 12.6. Для преодоления столь огромного расстояния ней-
трон должен двигаться со скоростью, близкой к скорости света,
и поэтому обладать очень большой энергией. Чтобы достигнуть
Земли, ему отведено время t = 10 лет, или около я»108 с. Со-
гласно условию задачи, только половина нейтронов должна «вы-
жить» к концу этого пути; отсюда мы получаем, что время, за-
трачиваемое нейтроном в его собственной системе отсчета на по-
крытие данного расстояния, должно быть равно периоду полу-
распада нейтрона, т. е. t0 = ,12 мин. Применяя соотношение
v
Y - mac* ~ to '
где / — время, измеряемое на Земле, находим
Еп = Y (mac2) = ¦? тас2 = ^^тпс2« D,4 • 105) тпс*«
« D,4 • 105) (940 МэВ)» 4 • 10е МэВ.

Ответы и решения 289
IV. 12.7. Пусть Lh — момент относительного импульса обоих
пионов. Четность системы равна (—1)L. Пионы подчиняются
статистике Бозе, так что система из двух пионов должна нахо-
диться в четном состоянии1). Следоватеельно, L четно для двух
таких бесспиновых частиц, как пионы. Значит, SK = L четно.
IV. 12.8.
а) В случае трех зарядов минимальной энергии соответст-
вует расположение зарядов в вершинах равностороннего тре-
угольника со стороной д/3 R-
б) В случае четырех зарядов минимальной энергии соответ-
ствует расположение зарядов в вершинах правильного тетраэд-
ра с ребром 2/?/Уз .
При таких конфигурациях заряды разнесены на максимально
возможные расстояния друг от друга, а сами состояния симме-
тричны относительно перестановки любых двух зарядов.
IV. 12.9.
Zze2 - 90-2-D,8-Ю-10J ^.
~~ 0,3. Ю-13), б- A,6- ID) ~3
здесь использована подстановка
R « V238"(l,3 • 1(Г13см) « 6 • 1,3 • 1(Г13см.
IV. 12.10. Из условия равенства сил
GMm mv2
имеем
Применяя квантовый постулат Бора, находим
nh
Таким образом,
ОМ — v2r=[ I r = —7~- •
\ mr J m2r
Отсюда при п = 1 получаем
GMm2 ~ GMm \m )~ GMm (e a°} ~~~ GM/m п° ~
^ 1,2- 103-см
(здесь ao = 5-lO~9 см).
*) Здесь не учитывается, что пионы — псевдоскалярные поля. — Прим. ред.

290 /V. Атомная физика и квантовая механика
IV. 12.11. Радиус /(-оболочки обратно пропорционален Z.
IV. 12.12. На уровни с п = 3, /=1 и п = 2, l=U
4
IV. 12.13. ?2B/+ 1) = 50.
IV. 12.14. Согласно статистике Ферми, волновая функция си-
стемы фермион — антифермион должна быть антисимметрич-
ной. Поэтому (—l)M-*+i ——1, т. е. сумма /+s должна быть
четной (см. задачу IV. 7.3). Отсюда при / = 1 получаем 5 == 1,
т. е. спины электрона и позитрона имеют одинаковую ориента-
цию. Поскольку заряды электрона и позитрона противоположны
по знаку, то магнитные моменты обеих частиц антипараллельны,
и суммарный магнитный момент системы равен нулю.
IV. 12.15. ±V2, ±7г, ±7г, 3Д.
IV. 12.17. р = тс/2.
IV. 12.18. При /iv>a2mec2, где G2)а2тес2= 13,6 эВ —энер-
гия связи.
IV. 12.19. В квантовой механике значению 1=0 соответствует
симметричное состояние. В иолуклассической теории значение
/ = 0 исключается, а значению / = 1 соответствует круговая ор-
бита (модель Зоммерфельда).
IV. 12.20. 4-13,6 эВ.
IV. 12.21. Комптоновское рассеяние и фотоэффект.

ПРИЛОЖЕНИЯ
НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
И СООТНОШЕНИЯ О
Физическая величина
Символ
Значение
Гравитационная постоян- G
ная
Ускорение свободного g
падения (на уровне
моря, широта 45°)
*Скорость света в вакууме с
Заряд электрона е
Масса электрона те
Масса протона тр
*Удельный заряд элек- е/те
трона
*Электрическая постоян- е0
ная
*Магнитная постоянная \х0
Число Авогадро No
Постоянная Больцмана k
*Универсальная газовая R
постоянная
*Объем одного моля иде- Vo
ального газа при нор-
мальных условиях
Постоянная Планка h
(й/2я)
h
*Постоянная Стефана — а
Больцмана
6,6732- 1(Г8 дин.См2/г2
980,62 см/с2
2,997925 • 1010 см/с
4,80325 • 10~10 ед. СГСЭ.
1,60219- КГ19 Кл
0,511004 МэВ/с2
0,910558- 10
"7
1836,
1,7588
e = 938,26 МэВ/с2
107 ед. СГСМ^/г
8,854- 102 Ф/м
4я- 10~7 Г/м
6,02217- 1023 моль-1
1,38062 - 10~16 эрг/К
8,61708- 10~п МэВ/К
8,31434- 107 эрг/(моль-К)
1,987 калДмоль • К)
22,4139 л
1,05459- 10~27 эрг-с
6,58218- 10~22 МэВ-с
6,62620 - 10~27 эрг • с
5,66961 - 10~8Вт/(м2.К4)
4) Значения физических постоянных соответствуют данным статьи
В. N. Taylor, W. H. Parker, D. N. Langenberg, Rev. Mod. Phys., 41, 375 A969).
Звездочкой отмечены постоянные и соотношения, добавленные при переводе —
они используются автором в решениях задач. — Прим. перев.

292
Приложения
*Вторая радиационная по-
стоянная в законе излу-
чения Планка
^Постоянная Вина (ЯмаксГ)
*Постоянная Ридберга для
атома Н
*Ионизационный потен-
циал атома Н
Постоянная тонкой струк-
туры (е2/Нс)
Магнетон Бора (eh/2tnec)
Ядерный магнетон
(еН/2трс)
1МэВ = 1,60219- 1(Г6 эрг
1 кал = 4,184 Дж
Ас =1,973- КГ11 МэВХ
X см =1973 эВ-А
1 физ. атм =
= 1,0332(кг-сила)/см2=
= 1,0132- 105 Н/м2 =
= 760 мм рт. ст.
lA=10~8 см = 10"0 м
с2 1,43883 см • К
b 0,2898 см • К
R 109678 см-1
/?н 13,6 эВ
а 1/137,036
7,29735 • 10~3
ЦБ 0,57864-10"и МэВ/Гс
9,27096 • 10~21 эрг/Гс
Иад 3,1515-10~18 МэВ/Гс
5,04919- 10~24 эрг/Гс
ПЕРЕВОД ЕДИНИЦ СИСТЕМЫ СИ
В СИСТЕМУ СГС (ГАУССОВУ)
Физическая
величина
Длина
Масса
Время
Сила
Работа и энергия
Мощность
Электрический за-
ряд
Объемная плот-
ность заряда
Поверхностная
плотность за-
ряда
Символ
L,l,d,r
М, т
t
F
W, E, U
Р
я, Q
р
о
1
1
1
1
1
1
1
1
1
СИ
м
кг
с
Н
Дж
Вт
Кл
Кл/м3
Кл/м2
102
103
1 с
105
107
107
3-
3-
3-
СГС
см
г
ДИН
эрг
эрг/с
109 ед. СГСЭ,,
103 ед. СГСЭ,/см3
105 ед. CrC3JcMs

Электрический ток
Плотность тока
Потенциал
Напряженность
электрического
поля
Электрическая по-
ЯСГГМ'Т'ЗЯТТИСТ
Л п. р ilo <X Ц W n
Электрическая ин-
дукция
Проводимость
Сопротивление
Емкость
Магнитный поток
Магнитная индук-
ция
Напряженность
магнитного поля
Магнитная поля-
ризация1)
Индуктивность
J
V
Е
Р
D
а
г, R
С
Ф
В
н
м
L
Приложения
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
А
А/м2
В
В/м
Кл/м2
Кл/м2
См/м
Ом
Ф
Вб
Вб/м2
А/м
Вб/м2
Г
293
3 • 109 ед. СГСЭ^/с
3- 105ед.СГСЭ,/(с-см2)
1/300 ед. СГСЭК
A/3) 10~4 ед. СГСЭк/см
3 • 10е ед. СГСЭ„/см
12я- 103 ед.СГСЭи/см
9 • 109 с
A/9) • 10-"с/см
9• 10"см
108 Гс • см2
108 Мкс
104 Гс
An- Ю-3 Э
A/4яI04 Гс
A/9I0~ис2/см
х) Магнитный момент, отнесенный к единице объема. — Прим. перев,

ЛИТЕРАТУРА ])
МЕХАНИКА
French A. P., Newtonian Mechanics, W. W. Norton, New York, 1971.
Sears F. W., Mechanics, Heat and Sound, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1950.
Kittel Ch., Knight W. D., Ruderman M. A, Berkeley Physics Course, Vol. I
(Mechanics), McGraw-Hill, New York, 1965 [имеется перевод: Ч. Киттель,
У. Найт, М. Рудерман, Берклеевский курс физики, т. I (Механика), «Нау-
ка», 1975].
Symon К. /?., Mechanics, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1971.
Goldstein #., Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1950
(имеется перевод: Г. Голдстейн, Классическая механика, «Наука», 1975).
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Taylor E. F., Wheeler J. A., Spracetime Physics, W. H. Freeman, San Francisco,
1966 (имеется перевод: Э. Ф. Тейлор, Дж. А.Уилер, Физика пространства —
времени, «Мир», 1971).
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Ford К. W., Classical and Modern Physics, Xerox, Stamford (Conn.), 1972.
Halliday D., Resnick R., Physics, Part 2, Wiley, New York, 1966.
Purcell E. M., Berkeley Physics Course, Vof. II (Electricity and Magnetism),
McGraw-Hill, New York, 1965 [имеется перевод: Э. Парселл, Берклеевский
курс физики, т. II (Электричество и магнетизм), «Наука», 1975].
Hauser W., Introduction to Principles of Electricity, Addison-Wesley, Reading
(Mass.), 1971.
Panofsky W. K., Phillips M.y Classical Electricity and Magnetism, Addison-
Wesey, Reading (Mass.), 1962 (имеется перевод: В. Пановский, М. Филипс,
Классическая электродинамика, Физматгиз, 1963).
Jackson J. D., Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1962 (имеется пе-
ревод: Дж. Джексон, Классическая электродинамика, «Мир», 1965).
ТЕПЛОТА
Zemansky M. W., Heat and Thermodynamics: An Intermediate Textbook,
McGraw-Hill, New York, 1968.
Morse P. M., Therma Physics, W. A. Benjamin, Menlo Park (Calif.), 1969
(имеется перевод 1-го изд.: Ф. Морс, Теплофизика, «Наука», 1968).
ОПТИКА
Jenkins F. A., White H. E., Fundamentals of Optics, McGraw-Hill, New York, 1957.
Rossi В., Optics, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1957.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Reif F., Berkeley Physics Course, Vol. V (Statistical Physics), McGraw-Hill,
New York, 1967 [имеется перевод: Ф. Рейф, Берклеевский курс физики, т. V
(Статистическая физика), «Наука», 1977].
Tolman R. С, Principles of Statistical Mechanics, Oxford University Press,
New York, 1938.
1) Литература дана в порядке возрастания сложности излагаемого в ней
материала.

Литература 295
Huang К., Statistical Mechanics, Wiley, New York, 1963 (имеется перевод:
К. Хуанг, Статистическая механика, «Мир», 1966).
ШИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Kittel Ch., Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, 1971 (имеется
перевод: Ч. Киттель, Элементарная статистическая физика, ИЛ, 1960).
Kittel Ch., Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, 1971 (имеется
перевод издания 1956 г.: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела,
Физматгиз, 1963).
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Saxon D. S., Elementary Quantum Mechanics, Holden-Day, San Francisco,
1968.
Merzbacher ?., Quantum Mechanics, Wiley, New York, 1970.
Bohm D., Quantum Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (New Jersey),
1951 (имеется перевод: Д. Бом, Квантовая теория, «Наука», 1965).
Schiff L. /., Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1968.
Messiah Л., Quantum Mechanics, Wiley, New York, 1961-1962.
Bethe H. Л., Jackiw R. W., Intermediate Quantum xVlechanics, W. A. Benjamin,
Menlo Park (Calif.), 1968 (имеется перевод другой книги одного из авто-
ров: Г. А. Бете, Квантовая механика, «Мир», 1965).
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Acosta V. et al., Essentials of Modern Physics, Harper & Row, New York, 1973.
Eisberg R. M., Fundamentals of Modern Physics, Wiley > New York, 1961.
Harnwell G. P., Stephens W. ?., Atomic Physics: An Atomic Description of
Physical Phenomena, Dover, New York, 1966.
Reinman A. L., Physics, Harper & Row, New York, 1971.
Born M.y Atomic Physics, Hafner & Blackie, Лондон, 1969 (имеется перевод
издания 1963 г.: М. Борн, Атомная физика, «Мир», 1970).
Fermi ?., Nuclear Physics, University of Chicago Press, Chicago, 1950 (име-
ется перевод: Э. Ферми, Ядерная физика, ИЛ, 1951).
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ
Хайкин С. 3., Физические основы механики, «Наука», 1971.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, «Мир»,
1976—1978.
Сивухин Д. В., Общий курс физики, т. I—III, «Наука», 1974—1976.
Стрелков С. /7., Введение в теорию колебаний, «Наука», 1964.
Борн М., Эйнштейновская теория относительности, «Мир», 1972.
Матвеев А. Я., Механика и теория относительности, «Высшая школа», 1976.
Угаров В. Л., Специальная теория относительности. «Наука», 1969.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Краткий курс теоретической физики, кн. 1
(Механика. Электродинамика), «Наука», 1969.
Тамм И. ?., Основы теории электричества, «Наука», 1976.
Ландсберг Г. С, Оптика, «Наука», 1976.
Хир К., Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические про-
цессы, «Мир», 1976.
Терлецкий Я. П., Статистическая физика, «Высшая школа», 1973.
Широков Ю. М.у Юдин Н. Я., Ядерная физика, «Наука», 1972.
Фок В. Л., Начала квантовой механики, «Наука», 1976.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М, Краткий курс теоретической физики, кн. 2
(Квантовая механика), «Наука», 1972.
Блохинцев Д. Я., Основы квантовой механики, «Наука», 1976.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие, автора 7
Раздел I. Механика 9
Задачи 9
Ответы и решения 29
Раздел II. Электричество и магнетизм 84
Задачи 84
Ответы и решения 102
Раздел III. Теплота, статистическая физика и оптика . .147
Задачи 147
Ответы и решения 168
Раздел IV. Атомная физика и квантовая механика 216
Задачи 216
Ответы и решения 239
Приложения 291
Некоторые физические константы и соотношения 291
Перевод единиц системы СИ в систему С ГС (гауссову) 292
Литература 294
ИБ № 1044
Мин Чен
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ С РЕШЕНИЯМИ
Редактор А. Ц. Куксенко
Художник И. В."Кравцов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Чуркина
Корректор В. С. Соколов
Сдано в набор 26.08.77. Подписано к печати 17.02.78. Формат бОХЭО1/^- Бум. тип. № 1»
Литературная гарнитура. Высокая печать. 9,25 бум. л., 18,50 печ. л. Уч.-изд. л. 14,90.
Зак. 743. Цена 1 р. 40 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполиграфирома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.,
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект 29,