Николай Орем родился, по всей вероятности, в
двадцатых годах XIV в. В 1349 г. он упоминается в документах
Парижского университета в качестве члена нормандской
университетской корпорации и магистра факультета
искусств. Несколько позднее, в пятидесятых годах, вплоть
до 1361 г., он преподает в Наваррской коллегии, причем с
1356 г. получает звание grand maître. В семидесятых годах
по поручению короля Карла V Орем выполнил переводы с
латинского на французский нескольких сочинений
Аристотеля, снабдив их глоссами и комментариями, а именно:
«Никомаховой Этики» (1370), «Политики» и «Экономики»
(1374) и сочинения «О небе» (1377).
Среди оригинальных работ Орема особого внимания
заслуживает его трактат «De configuratione qualitatum»
(О конфигурации качеств), который и предлагается
читателю в переводе В.П. Зубова, авторитетнейшего
исследователя в области средневекового номинализма.
9<785836ll001094 >
■ ■

Николай Орем
О КОНФИГУРАЦИИ
КАЧЕСТВ
I

Николай Орем
О КОНФИГУРАЦИИ
КАЧЕСТВ
Предисловие,
перевод, примечания
В.П.Зубова
Эдиториал УРСС • Москва • 2000

Орем Пиколий
О конфшурнции качеств. Под. ред. В.П.Зубова. Пер. е лат. — М.:
Эдиториал УРСС, 2000. — 136 с.
ISBN 5-8.160 0109-Х
Николай Орем родился, по всей иеронтности, в двадцатых годах XIV в.
В 1349 г. он упоминается в документах Парижского университета в
качестве члени нормандской университетской корпорации и магистра факультета
искусств. НбОКпЛЫСО позднее, в пятидесятых годах, вплоть до 1361 г., он
преподаст и Нпннррской коллегии, причем с 1356 г. получает звание grand
maîlre. В семидесятых годах по поручению короля Карла V Орем выполнил
перешщь) С Л11ТИНВКОГО на французский нескольких сочинений Аристотеля,
снабдил их глоссами и комментариями, а именно: «Никомаховой Этики»
(1370), «Политики» и «Экономики" (1374) и сочинения «О небе» (1377).
Среди оригинальных работ Орема особого внимания заслуживает его
трактат "Ос wtiillgurationc quiililiiliiiii» (О конфигурации качеств), который
и предлашечеи читателю н переводе IÏ, П.Зубова, авторитетнейшею
исследователя в области средневекового ними
ПРЕДИСЛОВИЕ
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ
КАЧЕСТВ»
Оставшийся в рукописи трактат Николая Орема
«О конфигурации качеств» уже не раз привлекал
внимание исследователей. О нем писали, приводя из него
выдержки, Дюгем1), Вилейтнерг), Борхерт3), Дюран4), Анна-
Лиза Майер и другие8).
т) P. D a h е m, Études sur Leonard de Vinci, 3-me série, P.
3913 (перепечатка: P. 1955), pp. 375—398. Его же, Le système
du monde, t. VII, P. 1956, pp. 534—600.
B) H. Wieleituer, Über den Funktionsbegriff und die
fFHphisehe Darstellung bei Oresme—«Bibliotheca mathematical),
olge 3, Bd. 14 (1914), Heft 3, SS. 193—243; его же, Zur Frühgeschichte
der Räume von mehr als drei Dimensionen—«Isis», vol. 7 (1925).
pp. 486—489.
3} E. В о г с b e r t, Die Lehre von der Bewegung bei N. Oresme,
Münster 1934.
a) Ù. B. Durand, Nicole Oresme and the medieval origin ol
modern science—«Speculum», vol, 16 (1941), N 2, pp. 167—185.
5) A. M a i e r, Zwei Grundprobleme der scholastischen
Naturphilosophie. Das Problem der intensiven Grösse. Die Impetustheorie,
2. Auflage, Roma, 1951 (1-е изд., 1939—1940); An der Grenze von
Scholastik und Naturwissenschaft. Die Struktur der materiellen
Substanz. Das Problem der Gravitation. Die Mathematik der Form-
latitudeii, 2. Auflage, Roma, 1952 (1-е изд., 1943); Die Vorläufer
Galileis im 14. Jahrhundert, Roma, 1949. В первой книге см. в
особенности стр. 89—109. (Nicolaus von Oresme's Lehre von den confi-
gurationes intensionum), где дан анализ глав 1—24 первой части
трактата, с выдержками на языке оригипала по рукописям
ватиканской библиотеки 3097 и Киджи Е. IV. 109. Во второй книге—
стр. 289—343 (Oresmes Methode der graphischen Darstellung. Der
Traktat De conligurationihus intensionum), а также стр. 35?—384

6 В. П. ЗУБОВ
Однако нельзя сказать, чтобы в оценке трактата
исследователи были единодушны, В свое время Дюгем назвал
НиколаяОрема «изобретателем аналитическойгеометрии»1).
Следуя в основном Дюгему, Жильсон позднее
характеризовал Орема несколько осторожнее, как «одного из
предшественников Декарта»2). Другие авторы были зато еще
гораздо более сдержанны в своих оценках. Так, по Вилейт-
неру, «графическое изображение у схоластов было чисто
спекулятивным, имевшим лишь отдаленные черты
сходства с нашим современным методом координат»3). «Идею
функции,— писал он в другой статье,— мощно найти у
средневековых схоластов s Орем пытался дать ее графическое
выражение.... Однако средние века не имели ни
малейшего представления о зависимости одной величины от
другой, поддающейся исчислению»*). Согласно А. Майер,
Орем «дал и хотел дать нечто принципиально другое,
чем аналитическую геометрию»6).
Повод к двойственной оценке Орема дает
двойственность его самого, двойственность его поры, сумеречно-
предрассветной. Самый трактат в своем построении
облегчает возможность односторонней оценки, поскольку он
может быть довольно легко разделен на части разного
характера или, если можно так выразиться, стиля. Об
этом следует с самого начала напомнить именно потому,
{Die Nachwirkung der Oresmischen Lehre). Наконец, в третьей книге
стр. 123—131, (в главе «Velocitas totalis und Мотеntangeschwîndig-
keit»). Статья той же Мнйер La doctrine de Nicolas d'Oresme sur les
configurations intensionum (Revue des sciences philosophiques et
théologiques, T. XXXII, 1948, pp. 52—67) мне известна только
по ссылкам.
Укажем еще монографию Педерсена, в основном посвященную
другому труду Орема: О. Pedersen, Nicole Oresme og hans
naturfilosofiske system. En underspgelse of hans skrift «Le livre du
ciel et du monde», Munksgaard-Kebenhavn, 1956.
l) P. D u h e m, Études, стр. 375.
• a) E. G i 1 s 0 n, 1л philosophie au Moyen Âge, vol. 2, P., 1932,
p. 134.
s) H. W i e 1 e it ne r, Über den Funktionsbegriff..., p. 145.
*) H. W i e 1 e i t n e г, Der «Tractatus de latitudmibus forma-
rum» des Oresme—«Bibliotheca mathematical, Folg-e 3, Bd. 13
(1912/1913), S. 145.
Б) A. Mai er, An der Grenze..., p. 273.
fi-i. • £t bar t- ■ ■ '■ --*•• -' '-'■' •
Рис, 1. Страница трактата Орема (рукопись Парижской
Национальной библиотеки Ks 7371).

g В. П. ЗУБОВ
что в дальнейшем приведены в русском переноде лить
главы математического и философско-математического
характера и опущены другие, в которых Орем предстает
с иной, иногда неожиданной стороны. В этих опускаемых
Рис. 2. Орем за работой. Из французского перевода сочинения
Аристотеля «О небе» (Париж, Национальная библиотека, № 565),
нами разделах Орем является перед нами наиболее
отчетливо как сын своего века, во многом отказывающийся от
старых предрассудков и суеверий, но вместе с тем во
многом еще глубоко связанный со средневековьем.
Трактат, написанный Оремом до 1371 г. (по всей
вероятности, узд© в 50-х гг.), известен во многих списках, находя-
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 9
щихся в Париже1), Флоренции2), Риме8), Базеле4), Эр-
фурте5), Брюгге6) и Лондоне7). Заглавия его в этих
списках варьируют: «De contiguratione qualitàtum» («О
конфигурации качеств»), «De uniformitate et difformitate
Jntensiomim» («Об униформности и дифформноети интен-
сивностей)», «Tractatus de tiguratione poteutiarum et
mensura ditïormitatum» {«Трактат о фигурации сил и мере
дифформностей») и т. д.8).
Основные идеи математической части трактата могут
быть резюмированы совсем кратко так. По мысли Орема,
все отношения между вещами представимы в виде
отношений между геометрическими величинами, в частности,
и отношения между качествами, ближайшим образом его
занимающие. В качествах следует различать интенсивность
и экстенсивность. Интенсивность качества,
сосредоточенного в точке, изображается в виде отрезка прямой линии;
соответственно отношение между двумя «точечными»
интенсивностями мыслится как отношение между двумя
линиями. Качества, далее, могут мыслиться
распределенными по различным точкам предмета в одном изме-
рении^ Это — так называемые «линейные качества»,
которые, следовательно, изобразимы в виде двухмерных
фигур (говоря современным языком, линии абсцисс
соответствует экстенсивность качества, а ординатам — его
интенсивность). Если интенсивность постоянна, мы имеем
Ц Bibl, Nat., lat. 7371, fol. 214—226; 14579, fol. 18—40 v.;
14580, fol. 37—60 v; Arsenal 522* fol. 1—28.
3) Bibl. Laurentiana, Ashburnham, 210, fol. 101 v.—129, Bibl.
Naz., Convenu soppressi, I, IX, 26, fol; 14—36.
*) Vat., cod. 3097, fol. 1—22 v; Gbis. E. IV, 109, fol. 97—159
*) F. III, fol. 2—29.
б) Stadtbücberei, cod. Amplon., Q. 150. fol. 1—14.
в) 486, fol. 159—173.
7> BM, Sloane 2156, fol. 169^194 v.
Об указанных рукописях ср. A. D. M e n u t et A. J. D e n o-
m y, Maistre Nicole Oresme, Le Инге du ciel et du
monde—«Mediaeval Studies», vol. 5 (1943), p. 246, a также L. Thorttdike and
P. К i Ь г e, A catalogue of incipits of mediaeval scientific writings
in latin, Cambridge, Mass., 193% col. 141.
в) Во французском переводе'«Политики» Аристотеля,
относящемся к 1371 г., Орем называет »тот свой трактат «De difformitate
qualitàtum». См. P. D u h e m, t Études, стр. 375.

10 ______ в' п- ЗУБ0В
дело с качеством «униформным», которому
соответствует прямоугольник. Если интенсивности возрастают
пропорционально абсциссам, мы имеем дело с качеством
«униформяо-дифформным», изображаемым в
виде.прямоугольного треугольника или четырехугольника с двумя
непараллельными сторонами. «Дифформно.-дифформно»
интенсивности распределяются во всех других случаях; при
этом различаются два вида «дифформной дифформности»—
простая и сложная. Б случае простой «дифформной
дифформности» верхняя линия фигуры — кривая, либо дуга
окружности, либо какая-либо иная, причем такая дуга
окружности (или иной кривой) может быть либо вогнутой,
либо выпуклой. Сочетания указанных шести основных
видов (упаформность, униформная дифформность и четыре
вида простой дифформной дифформности) дает
разновидности сложной дифформной дифформности. Сюда относится
сочетание двух различных униформностей, униформности
и униформной дифформности и т. д. Всего, но теории
соединений, получается 63 возможных случая, что вместе
с четырьмя видами простой дифформной дифформности
дает 67 (см. ч. I, гл. 16, стр. 67 ) . Такие фигуры, как,
например, равнобедренный треугольник, половина крута
и т. п., изображают, следовательно, разновидности
сложной дифформной дифформности, поскольку в них
возрастание интенсивности сменяется убыванием ее. Наоборот,
прямоугольный треугольник изображает, как уже
сказано, униформную дифформпость, а четверть круга —
дифформность.
Отрицательными координатами Орем не пользуется.
Только в одном случае ( ч. I, гл. 19, стр. 70 ), говоря об
изображении противоположных качеств (теплоты и холода
и т. п.), Орем разбирает частный случай, когда сумма
абсолютных величин того и другого качества остается
постоянной, считая возможным изображать тогда
изменение подобных качеств посредством прямоугольника,
разделенного диагональю.
То, что было сказано о «линейных» качествах, может
быть распространено mutatis mutandis на качества
«плоскостные», распределяющиеся по двум измерениям
предмета, и качества «телесные», распределенные по всем трем
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» Ц
измерениям материального тела. Нетрудно видеть, что
поскольку одномерное качество изображается двухмерной
фигурой, а двухмерное («плоскостное»)— трехмерной,
то «телесное» качество должно было бы предполагать
наличие четырехмерного пространства. Здесь система
Орема встречается с первым камнем преткновения.
Орем исходил из представления, что отношения между
качествами (или физическими явлениями вообще)
постигаются легче посредством своего геометрического
изображения, поскольку «величина или отношение линий более
понятны и легче нами постигаются», нежели что-либо
другое (ч. I, гл. 1, стр. 42 ). Однако последовательно проводя
предпринятую им «геометризацию качеств», он должен был,
как мы видим, в конечном итоге отказаться от этой
наглядности. Дойдя до «телесных» качеств, Орем начинает
колебаться. Отвергая возможность четвертого измерения, он
осторожно говорит о двух видах телесности: одной —
подлинной (vera), другой — воображаемой (ymaginata). Эта
воображаемая телесность проистекает «от бесконечного
повторения интенсивности качества в соответствии с
множеством плоскостей в предмете» —телесное качество
мыслится (но уже с трудом представляется) в виде
проникающих друг в друга объемов.
Орем подчеркивает условность такого изображения,
так же как он не устает напоминать об условности
представлений, что тело состоит из бесконечного числа
плоскостей, плоскости — из линий, линии — из точек 1),
Толкование только что рассмотренных схем
распределения качеств и их интенсивностей в предмете Орем
распространяет во II и III части своего труда по аналогии
на явления движения. В этом случае по оси абсцисс
откладывается время, а по оси ординат откладываются
скорости, рассматриваемые как своего рода «интенсивности»
(intensiones) движения. Отсюда — неизбежные
повторения и отсылки к ранее сказанному2).
х) См. в особенности ч. I, гл.$, стр. 41 , ч. III, гл. 4, стр. 107
г) ...«нужно сказать совершенно то же, что в первой части
настоящего трактата было сказано об униформности и дифформности
постоянных качеств* (ч. II, гл. 6). Ср. также ч. II, гл. 8; ч. III, гл. 6;
ч. III, гл. 8; ч. III, гл. 9; ч. III, гл. 10.

12 В. П. ЗУБОВ
В начале части II (гл. 1, стр. 82 ) Орем, рассматривая
скорость движения как интенсивность, изображаемую
в виде «высоты*, различает при этом два рода
экстенсивности: во времени и в пространстве. Обе эти экстенсивности
мыслятся в виде линий, пересекающихся под прямым углом.
Так получается три оси координат1). Кроме того,
устанавливается (ч. II, гл. 5, стр. 90 ), что изменение {или движение)
может происходить с постоянной или переменной
скоростью сразу во всех точках предмета, изображаемого
горизонтальной линией, либо может распространяться по
частям, постепенно, по этой же горизонтальной линии.
Соответственно Орем приходит к понятию изменения скорости
или ускорения (velocitatio), которое может протекать либо
униформно, либо дифформно (т. е. быть постоянным или
переменным).
При сравнении униформных качеств друг с другом
следует принимать во внимание отношение не только ин-
тенсивностей (ix и г2), но и экстенсивноетей (ег и е2), иначе
говоря, отношение площадей. Соответственно Орем
формулирует правило (ч. III, гл. 6, стр. 109): если i,>i3 и
Ч~>4* то оба отношения перемножаются; если i1>ia,
но е1<е2, одно отношение делится на другое.
Интересно, что Орем применяет понятия
экстенсивности и интенсивности к кривизне линий (ч. I, гл. 20,
и 21, стр. 72 — 79). Интенсивность кривизны окружности
обратно пропорциональна радиусу, тогда как экстенсив-.
ность прямо пропорциональна ему. Поэтому, по только
что сказанному, кривизна окружности есть величина
постоянная.
В том же плане сравнения качеств Орем приходит
к идее эквивалентности униформно-дифформного качества
(или скорости движения) униформному качеству
(скорости), составляющему среднее арифметическое начального
J) Разумеется, говоря об оси абсцисс и оси ординат
применительно к теории Орема, мы пользуемся этими выражениями условно.
А. Манер особенно резко и не pas подчеркивает, что у Орема
собственно нет системы координат Как таковой, что он оперировал
не расстояниями точек прямой (или кривой) от осей, а
геометрически фигурами (ср. А. Maier, Zwei Grundprobleme..., p. 84).
Это верно. Но вместе с тем высота и основание фигуры являются
полными аналогами координат.
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА .0 КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ* 13
и конечного состояния, что доказывается равенством
прямоугольного треугольника и прямоугольника,
имеющего высоту, равную Va высоты этого треугольника
(ч. Ш, гл. 7, стр. ПО). Заметим, что откладывая времена
по оси абсцисс, а скорости — по оси ординат, Орем нигде
прямо не говорит, что площади фигур соответствуют
пройденным путям. Площади фигур соответствуют тому, что
он называл velocitas totalis (суммарной скоростью). Но
так как проходимые пути пропорциональны скоростям,
то площади позволяют судить и о пройденных путях.
С полной определенностью это выражено в следующих
словах Орема: «Если бы что-либо движущееся двигалось
в первую пропорциональную часть какого-либо времени,
разделенного указанным образом [т. е. путем деления
целого ■ пополам, затем второй половины — пополам и
т. д.], а во вторую двигалось бы вдвое быстрее, в третью
втрое быстрее, и так непрерывно до бесконечности, то
суммарная скорость (velocitas totalis) оказалась бы ровно
в четыре раза больше скорости первой части, так что
движущееся за весь час прошло бы вчетверо большее
расстояние, нежели то, которое оно прошло за первую часть
этого часа»1).
*) Часть III, гл. 8, стр.114. Не могу поэтому согласиться с
А. Майер там, где оиа говорит (Die Vorläufer..., p. 129), что Орем
«незаметно» (unvermerkt) превращает площадь фигуры, которая
изображает quantitas velocitatis (velocitas totalis), в пройденный
путь. Это делается вполне явно и сознательно, исходя из
пропорциональности скоростейи путей. Точно также никак нельзя согласиться
со следующей интерпретацией (А. Maier, An der Grenze ..., p. 341):
«Орем получает плоскую фигуру (точнее, пучок параллельных
прямых), которая для него представляет в качестве целого, в
качестве так или иначе очерченной площади,—скорость или
«интенсивность* движения в его меняющихся или постоянных значениях.
И мера этой площади есть не что иное, как это совокупное количество
(Gesamt quanti tat) наличных скоростей: понятие, лишенное
физического значения. Отсюда нет пути'к познанию, что эта мера
отвечает пройденному пути. Такое познание Получается лишь благодаря
тому, что на место одного понятиях» скорости, которое только что
применялось и которое обозначало интенсивность движения,
молчаливо (stillschweigend) подставляется другое, которое
приравнивает per definitionem суммарную скорость (die
Gesamtgeschwindigkeit)—пути». На самом деле здесь нет приравнивания
(Gleichsetzung), но есть отчетливое представление о пропорциональности.

В. П. ЗУБОВ
'У Орема, как и в других аналогичных трактатах,
анализ «униформно-дифформного» составляет обычно
«вершину премудрости», предел ваших знаний. Характерно,
что понятие «дифформно-дифформного», как правило,
определялось у Орема чисто отрицательным образом1),
а сравнение площадей криволинейных фигур, выясвение
их эквивалентности характеризовалось как «предмет более
высокого умозрения» («et hoc est altioris speculationis»,
4. Ill, гл. 7, стр. 112). Тем не менее Орем и здесь касался
отдельных вопросов, так, например, доказывал (ч. I,
гл. 14, стр. 61 ), что дифформно-дифформное качество,
изображаемое посредством полукруга, не может быть
изображено ни посредством сегмента круга, меньшего чем
данный, ни посредством сегмента круга, большего чем
данный, но что ему монет оказаться пропорциональной
фигура, ограниченная другой кривой, отличной от дуги
окружности. Что этой фигурой является половива
эллипса, Орем, видимо, не отдавал себе отчета2).
Сраввительво недавно А. Майер нашла два списка
другого сочинения Орема, теснейшим образом связанного
с интересующим нас трактатом. Оно носит заглавие
«Вопросы о геометрии Евклида» (Questiones super geometriam
Euclidis) и до настоящего времеви не издано3). Майер
*) «Всякое же другое линейное качество называется дифформно-
дифформньш» (часть £, гл. 11, стр. 56 ); «всякое ate качество,
отличающееся от указанных выше, называется дифформно-дифформным
и может быть описано посредством отрицании...» (там же, стр. 654);
«всякий раз, когда он (верхний край фигуры] имеет отличные от
сказанного свойства, качество (или интенсивность) оказывается
дифформно-дифформным» (часть III, гл. 2, стр. 102).
2) Ср. P. b ub em, Études, стр. 383.
3) См. A. M a i е г, Zwei Grundprobleme..., pp. 89—93, ивосо-
бенности An der Grenze..., pp. 343—353. Сочинение сохранилось,
как уже сказано в тексте, в двух списках (Vat. lat. 2225, fol. 90 г—
98 v; Chisianus F. IV, ß6, fol. 22 v—40 г).
Первый список—неполный (содержит 17 вопросов), и в
отношении текста очень несовершенен. Второй, из собрания Киджи,
содержат 21 вопрос. Порядок расположения вопросов в обоих
списках разный. Вопросы 8—15 (по нумерации первого из них) основаны
на идее «графического изображения тех или иных явлений при
помощи системы координат», т. с. касаются основной темы трактата.
Сочинение рассмотрено также в статье: D. В. Durand, Nicole
Oresme and the medieval origins of modéra science—«Speculum»,
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА eO КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 15
приводит из него отдельные выдержки, к сожалению,
оставляя в стороне, по ее собственному признанию, чисто
математические детали. «Вопросы» написаны,
по-видимому, раньше трактата (ср. ниже, стр. 124). Б наших
примечаниях приведены из него некоторые выдержки,
заимствуемые из книг Майер.
Предисловие к трактату Орема начинается в разных
списках различно: «Cum ymaginacionem veierum de unitor-
mitate et düformitate mtentioBum ordinäre incoepissem...»
(«Когда я начал приводить в порядок представления
древних об униформностиидифформностиинтенсивностей...»)—
в списке № 7371 Парижской Национальной библиотеки,
«... cum ymaginacionemmeom...»(«.. .мои представления...»)—
в списке № 14579 той же библиотеки, и наконец, в
парижском списке № 14580 соединено то и другое: «...cum
ymaginackmem veierum vel meant...it («...представления
древних и мои...»). Правильным, видимо, следует признать
второе чтение, а потому неправомерна ссылка на первое
и третье чтения в доказательство того, что Орем
имел предшественников, которых он именовал
«древними»1). Однако неправомерна лишь ссылка; самый
же факт, что ко времени Орема учение об интенсивно
сти качеств уже имело свою предысторию, сомнению не
подлежит.
О наличии предшественников прежде всего
свидетельствует уже сформировавшаяся и усвоенная Оремом
терминология. В первых же главах своего трактата (ч. I,
гл. 1—3) Орем указывает, что интевсивность правильнее
было бы называть долготой (longitudo), а не широтой
(latitudo), заявляя вместе с тем, что он не хочет отступать
от «обычного словоупотребления» (communis usus, см.
ч. I, гл. 3), а потому будет называть интенсивность
широтой.
vol. XII (1941), pp. 167—185. Автор ее подготовлял издание его
(см. «Journal of the history» of ideas», 1943, January, p. 14), ио мне
неизвестно, увидело ли оно свет.
*) Так поступал, например, Г. Зутер (И. Suter, Die Mathe-
matikauf denUniversitäten des Mittelalters, Zürich, 1887, pp. 48—49).

16 В. П. ЗУБОВ
Уже Дюгем1), а за ним Вилейтнер 2) отметили, что
в первый раз термин latitudo встречается в XIII веке
у Генриха Гентского, означая у этого автора
неопределенную интенсивность качества (как у Орема), а диапазон,
в пределах которого изменяется качество3). Однако,
насколько мне известно, никто еще не указал на античные
корни этого термина, который встречается уже у Галена,
применявшего его в значении именно диапазона изменений,
или вариаций.
В сочинении «О сохранении здоровья», определяя
здоровье как некую соразмерность (оирцзтрю), Гален
задавался вопросом, может ли иметь такая соразмерность
степени? На первый взгляд кажется, что нет, поскольку
равновесие (или темперация) элементов может быть
только чем-то одним- единственным: неравновесий много,
равновесие одно. Тем не менее .полагал Гален, нетрудно видеть,
что темперация, оставаясь темперацией, меняется,
например с Еозрастом. Существует соразмерность доподлинная
и достигающая предела (etc âxpov tjxo'joi) и
соразмерность, несколько отклоняющаяся от этой точности. Ведь
«часто случается, что лира кажется настроенной самым
лучшим образом;, а потом приходит другой музыкант и
настраивает ее точнее»*). Иначе говоря, высшее
«благорастворение» элементов в организме («евкрасия»)—одно,
но это не мешает тому, что наряду с ним существуют
близкие к нему «дискрасии», которые также можно называть
здоровыми. В противном случае пришлось бы называть
всех больными, кроме одного, и для всех существовала
бы одна темперация,— для мужей и жен, юношей и
стариков, мальчиков и атлетов, сильных и слабых и т. д.5).
Вот именно в этом контексте Гален и воспользовался
термином яХа-со;, широта — точным аналогом
латинского термина latitudo. Например: «Что удивительного.
Ч Дюгем, Études, стр. 320.
а) Н. Wielei t nor, Über den Funktionsbegriff..., p. 196.
s) Против такого понимания latitudo Орем возражал в конце
3-й главы первой части (ом. стр. 641).
*) Гален, De sanitate tuenda, I, 5 (Kühn, t VI, p. 13—17
et 23).
б) Галей, De constitutione artis medicae, 9 (Kühn, t. I,
pp. 256—257).
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 17
если все растягивают евкрасию на достаточно большую
широту, коль скоро и в ларах точнейшая
настройка не бывает единственной и неделимой»1). Гален
удивляется мнению тех, кто считает здоровье и евкрасию «чем-
то единственным без всякой широты»2). Здоровье не
является неделимым, но способно растягиваться на
достаточно большую широту3),
Итак, логический вид (то xqiyöv sboç) имеет, по Га лен у,
определенную «широту», в пределах которой он может
претерпевать изменения сообразно категории «сильнее
и слабее» ('Л (iäX>ov xai tjïtov). Средневековые latitudioes
formarum, intensio et remissio secundum magis et minus
(«широты форм», «интенсификация и ремиссия сообразно
категории «больше и меньше») — совершенно точный
перевод галеновских терминов. Даже глагол èx-eheiv
(растягиваться) в приведенной выдержке сродни латинскому
intendere4). Во всяком случае первоначальное понимание
latitudo как диапазона качественных изменений,
находимое в XIII веке у Генриха Гентского, оказывается в
ближайшем логическом родстве с галеноиской концепцией6).
Можно наметить и некоторые исторические связи:
учение об интенсивности качеств было в средние века тесно
связано с учением о «градусах» теплоты, холода, сухости
и влажности лекарств 8), а отсюда уже прямой мост к
Галену7).
') Гален, De sanitate tuenda, I, 5 (Kühn, t. VI, p. 23).
ä) Там же (Kühn, p. 28).
3) Гален, De optima nostri corporis constitutione, 3 (Kühn,
t. IV, p. 744).
4) У Аристотеля {De coelo, II, 6) средневековым intensio и
remissio соответствуют кккаоц и âvsatç, глаголу intendere—глагол
6) По формулировке Дюгема (Études, стр. 320), latitudo formae
для Генриха Гентского есть «существенное свойство, благодаря
которому эта форма более или менее близка к своей высшей форме,
более или менее совершенна, т. е. более или менее интенсивна».
в) Ср. В. П. 3 у б о в, Калориметрическая формула Рихмана
и ее предыстория—Труды Института истории естествознания и
техники АН СССР, т. 5, М., 1955, стр. 69—93.
7) А. Майер лишь сравнительно бегло касается соотношения
между учением о «широте форм» и медицинским учением о «градусах
лекарств».

18 В. П. ЗУБОВ
Очень интересна для уяснения истоков оремовсках
концепций аргументация в его «Вопросах к геометрии
Евклида», о которых уже была речь (стр. 610). Здесь мы
читаем: «Но кто-нибудь, может быть, скажет: господин
мой, не надо так представлять себе (domine, поп oportet
sic imaginari). Я на это скажу: представление —
правильное (imaginatio est bona). И это явствует благодаря
Аристотелю, который представляет время в виде линии.
Аналогично в науке о перспективе [оптике] совершенно
определенно представляют себе, что активная сила должна
быть воображаема в виде треугольных площадей,..
Следовательно, я говорю, что представление — правильное»
И несколько дальше: «Соответственно спрашивается,
следует ли представлять себе линейное качество в виде
площади... Отвечаю, что заключение правильное, и оно
может быть подтверждено теоретиками перспективы
[оптиками], которые так именно представляют себе
интенсификацию света, например Витело (Utilo) и [Роберт] Лин-
кольнский»1).
В главе 2-й первой части (стр. 640) Орем упоминает еще
о том, что «многие теологи в несобственном смысле
говорят о широте благодати», тем самым вновь отмечая, что
термин latitudo имел хождение и до него. В двенадцатом
веке парижский богослов Петр Ломбардский поставил
сильно беспокоивший его вопрос: может ли благодать
святого духа возрастать и убывать в человеке? Он сам
не подозревал, что доставленный в его «Сентенциях»
вопрос послужит в дальнейшем той канвой, по которой
на протяжении нескольких столетий будут вышиваться
все новые рисунки, вовсе не похожие на первоначальные
контуры. Соответствующий раздел «Сентенций» превратился
В одном месте (Zwei Gruridprobfeme..., pp. 97—98) она обращает
внимание на трактат Р. Бэкона «De graduatione mediemarum com-
positarum», где речь идет о «линии интенсивности и ремиссиия,
на которой от определенной точки откладываются соответствующие
«градусыв. В другом месте (An der Grenze..., p. 264) она указывает
на рукописный трактат магистра университета в Монделье ] or-
dan и s de Тиггв: De adinventione graduum in medicinis
simplieibus et compositis (Vat. lät. 2225, fol. 53 г—66 v). Этот трактат
Относится к 1325 г.
1) Цит. по А. Mater, Zwei Grundprobleme..., p. 101.
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА *0 КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 19
в бесчисленных комментариях к этой книге в рубрику,
под которой стало излагаться все учение об
интенсификации и ремиссии качеств (или «форм»). Здесь нередко речь
шла об интенсивности теплоты или света, а
первоначальная тема, если но вовсе забывалась, то во всяком случае
заслонялась чужеродным материалом.
Как мне уже пришлось однажды указывать1), наличие
подобных физических отступлений в комментариях к
«Сентенциям» Петра Ломбардского отнюдь не дает права
заключать вместе с Дюгемом, будто теологическая схоластика
явилась той почвой, на которой выросло самое
учение об интенсификации качеств: оно в
действительности имело более глубокие, античные корни и лишь
«заблудилось» в дебрях схоластических комментариев2). Здесь
достаточно констатировать, что термин latitudo ко
времени Орема имел уже хождение в литературе и с
принятыми его значениями, как мы видим, Орем посчитался
в своем трактате.
Самое важное, однако, заключается не в этом. Ко
времени Орема ряд вопросов был уже разработан совершенно
независимо от теологии в целом ряде математических или
полуматематических трактатов, появившихся по большей
части в Англии, точнее, в Оксфорде, еще точнее — в Мер-
тонском колледже Оксфордского университета.
«Кинематическое исследование движения, по-видимому, началось
за некоторое время до 1328 г. с анонимного трактата «De
proportione motuum et magnitudinum», приписываемого
двум различным авторам — Рихарду Верселльскому и
*) В. П. Зубов, Концепции Дюгема в свете новейших
исследований по истории естествознания, Труды совещания по
истории естествознания 24—26 декабря 1946 г., М.—Л., 1948, стр. 107.
2) По Дюгему (Études, стр. 3i7), «теории, которые должны
прояснить исследование различных свойств, изучаемых физиком, перш-
начально были изложены в связи с вопросом о благодати». Но можно
ли серьезно думать, что первой фазой этих теорий были
богословские рассуждения вроде тех, которые приводит сам Дюгем (там же,
стр. 447), и в которых сравнивались, например, любовь к богу
и любовь к ближнему, убывающие в геометрической прогрессии
1 : 2, грехи Платона и"Сократа и т. я. Ясно, что во веек атих случаях
уже использовался готовый аппарат, разрабатаидый дня другие
целей.

20 В. П. ЗУБОВ
Герарду Брюссельскому. Вопреки впечатлению, которое
еоздает Дюгем, дальнейшее развитие кинематики,
видимо, происходило в Англии раньше, чем во Франции. Более
того, закон эквивалентности ускоренных и равномерных
движений не был открыт Николаем Оремом, как в одном
месте заявляет Дюгем, поскольку он появляется в
сочинениях Джона из Дамблетона, Ричарда Суайнсхеда
(Суисета) и Вильяма из Хейтесбери, причем оба первые —
вне всякого сомнения, а последний — возможно — писали
раньше Орема. Более чем вероятно, что упомянутая
теорема, дискутировавшаяся в Англии до 1350 г., перешла
из Оксфорда в Париж... В лице Орема французская школа,
пользуясь координатами, проявляет тенденцию к более
геометрическому доказательству, тогда как английская
школа Хейтесбери, Дамблетона, Суайнсхеда проявляет
тенденцию к доказательству скорее арифметическому
и формально логическому»1).
Из сочинений представителей «мертонской школы»
особого внимания заслуживает «Калькулятор»
Ричарда Суайнсхеда, или Суисета, объединяющий 16
трактатов3).
Подробный анализ его завел бы нас слишком далеко и
должен составить предмет отдельного исследования. Но
нельзя не оттенить здесь некоторые особенности стиля
изложения, резко отличающие Суисета и Орема.
Орем по сравнению со своим английским собратом
прозрачен и прост. «Калькулятор» же превращается подчас
в непроходимые дебри. Отсутствие развитой
математической символики, пользование одними и теми же
буквенными обозначениями в разных смыслах на одной и той же
а) Marsbai] Clagett, Giovanni Marliani and late
medieval physics, New York, 1941, pp. 101—102.
a) «Калькулятор» Ричарда Суисета был издан трижды: в Падуе
около 1477 г. (но не в 1485 г., как иногда указывалось), в Павии
в 1498 г. и в Венеции в 1520 г. Все три издания очень редки. Мне
было доступно последнее из них (акземпляр Гос. Публичной
библиотеки в Ленинграде). По нему приводятся дальше все цитаты.
Экземпляр падуанского издания имелся в библиотеке историка математики
И. К). Тимченко, профессора Новороссийского университета (см.
его заметку в «Bibliotheoa mathematical», Folge *3, Bd\ X (1900),
во. sna—ühii
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 21
странице, пространное словесное изложение вместо
лаконичных формул,— все это приводит к тому, что глаз
зачастую теряется во множестве анализируемых случаев.
Следить за ходом мысли Суисета особенно трудно потому,
что автор всюду обнажает логический скелет
аргументации, прерывая ее вставками: «большая посылка очевидна»,
«меньшая посылка доказывается следующим образом»
и т. ц. А так как при доказательстве меньшей посылки
появляется своя меньшая посылка, требуется
напряженное внимание, чтобы не потерять основную нить. Нередко
приходится буквально разыскивать с лупой посылки
большие и меньшие в компактной массе текста, где пунктуация
резко отличается от современной, где часто посылка не
отделена никаким знаком препинания от вывода, а вывод
разбит на две части посредством точки.
Мало того, изложение ведется disputative, т. е.
сначала то или иное положение доказывается, а потом (и
далеко не всегда сразу же после доказательства) выдвигаются
возражения, после чего эти возражения критикуются
и т. д. и т. д., так что, приступая к чтению доказательства,
читатель еще не знает, имеет ли он дело с мнением,
которое автор защищает, или же с таким мнением, которое
он потом опровергнет, либо примет с ограничениями.
Если у Евклида доказываемое положение каждый раз
формулируется в начале, то у Суисета в начале
выдвигается нередко лишь тема для дальнейшего обсуждения.
Орем «десхоластизировал» изложение Суисета,
высвободил его из традиционной школьной оболочки. Это
вполне понятно, если вспомнить о других трудах того же
Орема, в частности, о его переводах сочинений Аристотеля
на французский язык1).
1) В 1370 г. Орем закончил, по поручению короля Карла V, перс-
вод «Этики», «Экономики» и «Политики» Аристотеля, в 1377
г.—перевод сочинения «О небе». «Этика» была напечатана в Париже в 1488 г.
«Экономика» вместе с «Политикой» там же в 1489 Г, Перевод «О небе»
остался ве напечатанным. Новые издания: Maistre Nicole
Oresme, Le livre de éthiques d'Aristote. Published... by A. D. Menut,
N. Y., 1940; Le livre du ciel et de monde, pnbl. by A. D. Menut
and A. J. Denomy—«Mediaeval Studies», vol. Ill (194t), pp. 185—
280; vol. IV (1942), pp. 159—297; vol. V (1943), pp. 167—333.
Переводы представляют бодьцюй интерес для истории научного

В. П. ЗУБОВ
Как было сказано выше (стр. 20 ), «мертопцы», в
отличие от Орема и его школы, были склонны более к арифмети-
зации и логизации проблем, пежели к геометризации их.
Действительно, в «Калькуляторе» Суисета нет чертежей —
они были добавлены позднео в некоторых рукописях,
в частности, добавлены и в печатном тексте 1520 г.
издателем Витторе Тринкавелло; им внесен среди прочих
и чертеж, который по своему существу тождествен оремов-
скому и который должен иллюстрировать эквивалентность
униформнотдифформного изменения плотности и
среднего униформного ее изменения1). Применительно к
движению сам Суисет без чертежей формулировал его так:
«Всякая широта движения, униформно приобретаемая
или теряемая, соответствует своему среднему градусу...,
так что столько же в точности будет пройдено, благодаря
этой так приобретаемой широте, сколько и благодаря ее
среднему градусу, если бы тело двигалось все время с этим
средним градусом»2).
И тем не менее, несмотря на отсутствие чертежей,
геометрические образы в завуалированной форме все-таки
лежали в основе рассуждений Суисета. Это видно хотя бы
из его доказательства того же тезиса применительно к уни-
формно-дифформно меняющейся плотности: «Более плотная
половина [тела] превышает средний градус [плотности] на
широту плотности от него до не-градуса. И пусть будет, к
примеру сказать, и та и другая половина .объемом в фут.
Тогда этому избытку будет соответствовать в [кубическом]
футе определенное количество материи. Если его отнять
французского языка. Орем обогатил его такими неологизмами, как
anatomie, deniocracie, incommensurable, matériel, probabilité,
scientifique, vélocité (ср. указатель в упомянутом новом издании
«Утики», стр. 79—82). Показательно, что сам Орем приложил
к книге толковый словарь (La table des mots divers et estranges,
там же, стр. 541—547).
Переводы Аристотеля были комментированы Оремом в разной
мере. В одном случае это простые пояснения («глоссы»). В других
случаях (комментарии к сочинению «О небе») Орем вдается в
развернутую критику аристотелевских положений (ср.,. например,
ниже, примеч. 47).
*) См. л. 19 об. указанного издания.
*) Трактат XIV, л. 39 об.
Рис. 3. Страница перевода Орема «Политики» Аристотеля
(рукопись Парижской Национальной библиотеки № 204).

В. П. ЗУБОВ
от более плотной половины и прибавить к половине более
разреженной [в, точке /1 так, чтобы более интенсивный
край [cd] этой широты явился бы продолжением более
разрешенного края более разрешенной половины [а], а
не-градус [е] оказался бы в средней точке, то целое не
станет ни более разреженным, ни более уплотненным,
поскольку весь объем непрерывно будет оставаться такой
же, как теперь, при постоянстве [количества) материи.
Следовательно, теперь целое будет соответствовать этому
среднему градусу, что и
требовалось доказать»1).
Чертеж сам
напрашивается при чтении текста и
в прямых скобках мы ввели
необходимые отсылки к не-
мУа).
Во всех случаях доказа-
01 '^ тельство упирается в тезис,
что «всякая сумма двух не-
ряс- 4- равных величин вдвое
больше средней между ними».
Алгебраически этот тезис доказывается у Суисета так
(если ввести современные знаки >, =, —). Пусть о>6
и с — сроднее между ними, т. е. а—с=с—Ь. Пусть а
убывает, приближаясь к с, а Ъ с тою скоростью
возрастает в направлении к с «Тогда в конце [изменения]
сумма а и Ь окажется вдвое больше с, ибо а и 6 будут тогда
равны между собою,— ведь столько же, сколько одно
приобретет, столько же другое потеряет. Следовательно, а и b
и теперь вдвое больше с, что и требовалось доказать»3).
J) Трактат V, л. 13 об.
•à. *) Нельзя поэтому согласиться с Дюгемом (Études, стр 449),
утверждавшим, будто достаточно со вниманием прочитать текст
Суисета и убедиться, что чертежи не предусматривались автором, и что
он никогда не обращался к иным приемам, кроме арифметических.
*) Трактат XIV, л. 39 об.
С этим уместно сравнить следующее рассуждение Жана Бури-
дана: «Если что-либо будет дифформно-белым или черным, так,
что одна часть за другой непрерывно от одного- конуса до другого
имеет все менее интенсивную белизну, то такое тело в целом не
будет называться в высшей степени белым, хотя бы ремиссия и на-
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ OPBMA «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 25
Таким образом, стремясь к арифметизации и логизации,
Суисет гнал от себя сами собою напрашивавшиеся
геометрические аналогии, очевидно, не считая их достаточно
доказательными. Наоборот, Орем поставил себе обратную
задачу — полной геометризапии проблемы в интересах
наглядности. С какими трудностями он на этом пути
встретился, мы уже видели (стр. 11 ). Но нужно еще добавить,
что этот наглядный геометризм,— или, вернее, тяготение
к нему,— вынудил Орема оставить в стороне целый ряд
тонкостей, подмеченных его предшественниками.
Вдаваться в них здесь — завело бы нас слишком
далеко1). •
Отметим лишь, что указанное обстоятельство могло быть
причиной, почему в последующее время (в XV—XVI вв.)
произведения «мертонцев» (в частности, в Италии)
продолжали привлекать внимание даже больше, чем
сочинения Орема: их наследие не было исчерпано а).
Где же искать общих корней «мертонской» и оремовой
школ, кроме уже отмеченных совпадений с античной
терминологией Галена? Прежде всего, в евклидовом учении
о пропорциях, с его средневековыми модификациями,
вплоть до трактата Томаса Брадвардина о пропорциях,
чиналась в одном конусе с высшой степени белизны. Напротив,
благодаря взаимной компенсации частей (reuompensando апаш
partem ad aliam), оно должно с большим правом именоваться по
среднему градусу между наиболее белой и неимение белой частью»
(lohannes Buridanus, Qucstiones super libris quattuor
De coelo et mundo, edited by E. A. Moody, Cambridge, Mass., 1942,
lib, I, mi. 22, pp. 99—100).
*) И. Ю. Тимченко был неправ, утверждая, что Суисет имел
дело исключительно с униформно-дифформными изменениями,
а потому труд Орема представлял собою значительный шаг вперед
(см. его заметку: Sur un point du «Tractatus de latitudinibus forma-
rum de N. Oresme»—eBibliotheca matbematica», Folge 3, Bd. I
(1900), pp. 515—516).
Суисет преимущественно занимался униформно-дифформными
изменениями, но кое-где касался и изменений дифформно-диф-
формеых.
я) Таким образом, повторяем, процесс протекал в обратном па-
правлении тому, которое намечал Дюгем, исходивший из
неправильной хронологии: оксфордская школа не схоластизировала
положения Орема, а наоборот, Орем «десхоластизировал» (по крайней мере,
частично) положения оксфордцев.

26 В- П. ЗУБОВ
написанного в 1328 г.1). Во-вторых, в аристотелевой
«Физике», осложненной позднейшими комментаторами,
в первую очередь Аверроэсом, а именно в тех
преимущественно разделах, где речь шла о пропорциональных
соотношениях между силой и сопротивлением, силой и
движением и т. д.
Слияние аристотелевой и евклидовой струи,
«математизация» Аристотеля и «физика ли зация» Евклида,—
такова та общая подоснова, на которой выросли
«калькуляции» XIV века.
Посмотрим теперь внимательнее, какое практическое
приложение они получали, как они «работали».
Сравнительно недавно А. Майер 2) охарактеризовала
«калькуляции» средневековых авторов, подобных Суисету
и Орему, как чисто отвлеченные подсчеты, не
подкрепляемые эмпирическими измерениями («Rechnen ohne
Messen»).
«Устанавливают, что „движущееся" (mobile) в
определенный момент имеет скорость, соответствующую двум;
скорость, соответствующую четырем, вообще говоря,
скорость а, не задаваясь вопросом о том, что это значит,
с какой единицей измерения эти числа должны быть
соотнесены. И на основе этих высказываний производятся
с выбранными величинами вычисления, имеющие
видимость точности, но, которые, разумеется, не имеют
никакого соприкосновения с реальностью, а следовательно,
лишены всякого физического значения»3).
В частности, это относится и к тому, что Дюгем
предлагал назвать «правилом Орема». Орем, подобно всем
своим современникам, «не доходил до мысли применить
правило к падению тел, или, вообще говоря, в этом послед-
3) Ср. новое издание его, подготовленное на основе изучения
семи рукописей: Thomas of Bradwardine. His Tracta-
tus de proportion]bus. Its significance for the development of
mathematical physics. Edited and translated by H. Lamar Crosby
jr, Madison, 1955-
2) A. M a i e r, Die Vorläufer.. , p. 115.
a) Там же, стр. 123. Аналогично высказывается автор и в
других своих работах. Ср., например, Zwei Grundprobleme..., р. ö5:
«...подсчеты и конструирование a priori, без всякого контакта с
опытом, да и без всякого намерения установить такой контакт».
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА .0 КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 27
нем предположить частный случай униформно-дифформ-
ного движения»1).
Это верно, но верно лишь отчасти. Нельзя забывать,
что основным устремлением Орема оставалось приложение
теории конфигурации качеств к объяснению явлений
реального мира. В главе 22-й первой части Орем наметил целую
программу таких возможных объяснений, разительно
напоминающую в отдельных своих пунктах концепцию
древних атомистов, на которых он прямо и ссылается2).
«Ясно,— писал Орем, — что тела могут различным
образом варьировать в своих действиях соответственно
разнообразию фигур этих самых тел. Вот почему древние,
утверждавшие, что тела состоят из атомов, говорили, что
атомы огня пирамидальны вследствие его сильной
действенности, отчего тела и могут, в зависимости от различия
цирамид, больше или меньше колоть... Точно то же
относится к другим действиям или фигурам. Но коль скоро
так обстоит с фигурами тел, представляется логичным,
что соответственно можно говорить и о фигурах качеств...*.
В главе 23 первой части Орем пытался объяснить
различную, говоря на современном языке, теплопроводность
различием в пористости тел и в конфигурации качеств 3).
По тому же принципу делается попытка объяснить
магнитные явления4). Разумеется, подобные физические гипо-
i) Там же, стр. 129. Ср. стр. 120. Заметим, что не иначе судил
и сам Дюгем (ем. ниже, стр. 36 )•
3) См. часть 1, гл. 22, стр. 79 . На aiy сторону трактата
сравнительно недавно обратил внимание D. В. Durand, Nicole Oresme
and the medieval origins of modern science—«Speculum», vol. 16
(1941), N 2, pp. 175—179.
3) «Быть может, это является причиной, почему, когда в
оловянном или серебряном сосуде налиты очень горячие или
холодные вино или вода, эта теплота или этот холод быстрее будут
проникать и сильнее действовать на руку, держащую такой сосуд,
нежели в том случае, если сосуд деревянный, хотя дерево но своей
телесности более пористо или разрежено, чем олово. Иначе говори,
это происходит от того, что разреженность конфигурации качества,
присущая олову, вместе с большей телесной плотностью этого олова,
влияет сильнее, нежели телесная разреженность дерева, при
меньшей пористости его качественной конфигурации». Ср. также ч. Ut,
гл. 5 (стр. 108).
*) «...магнит, который притягивает железо вследствие
естественного соответствия и взаимной связи, обусловленной пропорцией

В. П. ЗУБОВ
тезы должны были оставаться у Орема в области самых
расплывчатых и общих предположений и неслучайно было
пользование в таких случаях оборотами вроде «forte»
(«быть может»), «potest esse» («возможно»), «si aliquis ve-
lit» («если кто-нибудь пожелает») и т. п.
Тем не менее, нельзя не признать смелой,— для XIV
века даже дерзкой,— попытку свести бесконечное
разнообразие физического мира к сложнейшему геометрическому
рисунку «качеств» и их «конфигураций». В зародыше —
здесь уже налицо концепция XVII века, пытавшегося
объяснить разнообразие явлений бесконечным
разнообразием корпускул и их формы. Вспомним Бойл».
Дело поэтому не столько в оторванности абстрактных
формул от физики, как утверждает А. Майер, сколько
в несовершенстве самой фиаики,— в неполноте
эмпирических данных, в несовершенстве экспериментального метода,
который позволил бы проверять и развивать те или иные
выдвигаемые положения. Вот почему, в отличие от Майер,
следует скорее подчеркнуть своеобразный «физикализм»
оремовского мышления, соглашаясь вместе с тем, что
разработанный французским ученым и его английскими
предшественниками математический аппарат в значительной
степени работал на холостом ходу. Орема, как и его
предшественников, следует упрекать не столько в
чрезмерной абстрактности, сколько в
недостаточной абстрактности,— в том, что от геометрических схем
он слишком поспешно переходил к проблемам
традиционной физики, решая в плане теории «широты форм»
вопросы, молчаливо предполагавшие ряд натурфилософских
положений аристотелизма.
Сказанное становится особенно наглядным при
рассмотрении тех глав трактата Орема, которые опущены в нашем
переводе. Орем не останавливается перед тем, чтобы
«объяснить» ссылкой на «конфигурацию качеств» такие
сложнейшие явления, как видовые отличия животных
между качеством первого и натуральным качеством другого и
соответствия качественной конфигурация в обоях» (ч. I, гл. 28).
В другом месте (ч. II, гл. Ю) Орем делает попытку объяснить
действие электрических рыб особенностями «конфигурации скорости»
(figuracio velocitatis).
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 29
или явления наследственности1), а вместе с тем и множество
совершенно фантастических «симпатий» и «антипатий»
между вещами, где, естественно, всплывают
многочисленные легендарные и полулегендарные рассказы Плиния
и Солина, столь популярные в средние века2)- Не будем
судить Орема слишком строго,— вспомним о легковерии
многих эрудитов XVÏ века, некритически включавших
в свои произведения энциклопедического характера
множество непроверявшихся ими лично сообщений о
различного рода удивительных и «диковинных» вещах (Кардано,
Порта и др.).
Для «физикализма» Орема характерна и другая
особенность: в ряде областей он никак не использовал
разработанные им понятия с целью расширения конкретных
сведений, а исходил от уже существовавшего багажа
научных данных, применяя его в иносказательных, или
символических, целях. Такова была, например,
оптика, законы которой нередко превращались в простое
средство для истолкования других процессов и явлений:
подробно, на протяжении целого ряда глав (ч. I, гл. 33—
40), проводится сопоставление души с зеркалом,
отражающим внешние явления то смутно и неясно, то в искаженной
форме, в зависимости от своей поверхности, своей
гладкости («униформности»), своего расстояния от предмета и т. д.
Еще более метафорический характер приобретали
оремовы аналогии там, где он начинал говорить о
психических состояниях, о вкусах и склонностях8), о душевных
«движениях»4), о возможности сравнивать страдания
и удовольствия разной интенсивности и продолжитель-
Ч «Естественная теплота льва иначе активна и обладает иной
■силой, нежели естественная теплота осла или зайца» (ч. I, гл. 24).
s) Например, о лечении «симпатическими» средствами, о корне
мандрагоры, о некоторых людях, которых не трогают змеи, и т. п.
(ч. I, гл. 25), о «дружбе» между человеком и собакой и о «вражде»
между волком и ягненком {ч. I, гл. 27), о козлиной крови,
производящей трещины в алмазе (ч. I, гл. 28) и т. д.
а) Ср., например, часть I, гл. 30, где в различной конфигурации
качеств ищется причина, почему «ослу нравятся волчцы (trilmli)
и не нравится каша, одно нравится здоровому человеку, а другое-
больному».
«) Часть II, гл. 36.

30 В. П. ЗУБОВ
ности1). Мысль о соответствии качественных
конфигураций лежала и в основе эстетики Орема, его
представлений о гармонии, созвучии и диссонансе. Здесь, как и
в области оптики, в основном использовалось достояние
предшественников, не пополнявшееся какими-либо
существенно новыми фактами 2).
Но если символизм или аллегоризм оремовых метафор
роднил его с господствующими течениями средневековья,
то, с другой стороны, Орему были свойственны и другие
черты, роднившие его с прогрессивными идеями более
позднего времени. С особой резкостью они выражены
в опущенных нами при переводе больших отступлепиях
I и II части, посвященных разоблачению «обманов магии»
и попытке рационально объяснить большинство
«магических явлений». Предшественниками французского
ученого в данном случае были Авиценна и Витело, на которых
он и ссылается3).
По Орему, «глупые чернокнижники» приписывают
действию «бестелесных духов» то, что на самом деле имеет
чисто физические причины4). «Сверхъестественные виде-
1) Часть И, гл. 39 и 40.
Е) Ср. в особенности ч. I, гл. 26—27; ч. II, гл. 1 и в особенности
ч. II, гл. 15—24—большой экскурс в область теории музыки
(respective акустики) со ссылками на Уоэция и другие источники. Б
главе 19-й этой второй части Орем упоминает также о написанном им
самим особом трактате «De divisione monoehordi».
Но все-таки, при всей зависимости Орема в этой области от
своих предшественников, было бы несправедливо пройти мимо
отдельных; штрихов, выразительно характеризующих его облик.
'1'ак, среди причин,' обусловливающих красоту звука, Орем
указывал его непривычность для слуха (inconsuetudo audiendi), ибо
«подчас из такой непривычности и новизны рождается восхищение,
которое в свою очередь рождает удовольствие (delectationem)».
Наоборот, звуки, которые мы слышим часто, «могут приедаться
и казаться менее красивыми, чем на самом деле» (ч. И, гл. 22). Это
чувство новизны очень показательно. Ведь неслучайно старшие
современники Орема, Филипа де Витри (1291—1361) и Жан де Мёр
(ок. 1290—он. 1351) написали один—музыкальный трактат под
заглавием «Ars nova», другой—«Ars novae musicae».
s) Часть I, гл. 25.
4) Эти разделы трактата, вместе с другими произведениями
Орема на ту же тему, рассмотрены в книге L. Tborndike,
Л history of magic and experimental science, vol. Ill, N. Y., 1934,
pp. 424—471.
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 31
ния» обусловлены телесным и душевным состоянием
визионера. Это, в частности, доказывается тем, что
«неспособные иметь подобные видения — лучшего склада и
сложения, духа более твердого и уверенного», тогда как
визионеры— «сложения меланхолического, духа робкого и
нетвердого» (ч. II, гл. 27). Вот почему легче поддаются таким
обманчивым впечатлениям «мальчики и юноши» по
«легкомыслию и доверчивости» (ч. II, гл. 28). Большую роль
играет, по Орему, внушение и самовнушение, оттого-то
для магических операций и выбираются места глухие,
дикие и страшные, именно потому, что они не могут
происходить в присутствии многих людей. «Ведь если бы что-
либо видимо было вовне, то скорее оно было бы усмотрено
тем, чьи глаза хорошо предрасположены к этому, нежели
тем, кто как бы ослеп, охваченный чрезвычайным
страхом. Следовательно, причина видения заключена в нем
внутри, в его фантазии. И так же, как не следует верить
больному в отношении вкуса, так и им в отношении
видений не следует верить больше, чем находящимся в
неистовом состоянии, которые также иногда заявляют, что видят
дьявола» (ч. II, гл. 30).
Причинами видений могут являться и такие чисто
материальные факторы, как одуряющие пары, дурманящие
вещества и т. п., не говоря уже о прямом обмане при
помощи зеркал и других фокусов (ч. II, гл. 31). йто касается
прорицаний, маги «охотнее говорят в среде невежд,
пользуются двусмысленными выражениями и словесными
уловками, рассказывают также о таких фактах, которые ложны
и подобны бабушкиным сказкам» (ч. II, гл. 35).
Изложение в этих главах довольно щедро
разукрашено цитатами из античных поэтов — Овидия, Лукана,
Стация и др. Характерно, наряду с упоминанием
Дельфийского оракула (ч. II, гл. 32), Орем высказывает
предположение о том, что и популярная в средние века легенда
о странствии св. Патрика по чистилищу также имеет в
основе рациональное объяснение — действие одуряющих
паров пещер и т. п. (там же).
Разумеется, Орем не мог и здесь вполне отрешиться
от господствующего «духа времени»,— так, говоря о
гипнотических явлениях (например, ч. II, гл. 38), он рассмат-

32 ß. П. ЗУБОВ
рнвал их наряду с фантастическими рассказами о действии
«дурного глаза», хотя и в этом случае пытался объяснить
такое действие предпочтительно физиолого-психологиче-
скими, а не «сверхъестественными» причинами (ч. II,
гл. 28). Целиком отказаться от допущения всякой
возможности «прорицаний», «видений» и т. п. Орем не сумел, да,
видимо, и не хотел, поскольку он не решался
распространять предложенные им рациональные объяснения на
тексты Библии, оговаривая, что вполне возможны случаи,
о которых повествуется «в историях и свидетельствах,
достойных доверия и как бы апробированных всеми»
(ч. II, гл. 35).
Какова была судьба трактата Орема? Известно, что
в XIV и XV вв. в университетах существовали специальные
курсы «De latitudinibus formarum».
В постановлениях факультета искусств Кельнского
университета в 1398 г. от испытуемого бакалавра
требовалось знание какого-нибудь трактата и до этому вопросу;
выбор трактата предоставлялся преподавателю1).
Курс «De latitudinibus formarum» читался в конце
XIV века в Венском университете2): Вели его по большей
части люди далекие от математики и естествознания, что
в немалой мере способствовало схоластизацни, своего
рода мумификации этой теории3).
1) S. Günther, Die Anfänge und Entwickelungsstadien des
Koordmatenprinzipes — Abhandlungen der iiaturbistorischen Gese 1-
schalt zu Nürnberg, 6, 1877 (итальянский перевод—в «Bulletino dî
hihliografia e di storia délie scieme materaatiche e fisiche», t. 10,
1877, pp. 375—376). О том же—H. Hankel, Zur Geschichte der
Mathematik im Altertum und Mittelalter, Leipzig, 1874, p. 351.
a) Ср. перечни лекций 90-х годов у J. Asehr-aeh,
Geschichte dor Wiener Universität im ersten Jahrhunderte ihres Brstehens,
Bd. I, Wien, 1865, SS. 139, 143, 147, .155, 188, а также H. S u t e г,
Die Mathematik auf den Universitäten des Mittelalters, Zürich,
1887, S.89.
3) Примером может служить в том же Венском университете
Николаи фон Динкельсбюль, забытый богослов XIV века;
единственное сочинение его, имеющее отношение к естествознанию хотя
бы по заглавию,—комментарий к «Физике» Аристотеля, который
представлял собою, по всей вероятности, трафаретный сборник
схоластических «quaestiones».
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 33
Примером такой мумификации может служить трактат
«О широте форм» (De latitudinibus formarum), написанный,
видимо, одним из учеников или последователей Орема1).
Дюгем имел все основания назвать этот трактат «сухим
компендием»2). Изложение сведено к многочисленным
определениям, предположениям и положениям. Живые нити,
связывающие их с действительным миром, отрезаны.
Школьно-догматическое изложение не благоприятствует
творческой работе абстрактно-математической мысли.
По-видимому, к более ранним источникам восходит то
новое, что мы находим в этом учебном пособии по сравнению
с трактатом Орема, в частности, констатация, что скорость
изменения стремится к нулю по мере приближения к
точкам максимума или минимума. Вот как гласит
соответствующий текст трактата:
1) Издан в 1486 г. Матвеем Кердонским в Падуе. Мне было
доступно издание в сборнике, напечатанном в Венеции в 1505 г.
{Questio de modalibus Bassani Politi etc., микрофильм экземпляра
Британского музея). Начало трактата в этом издании: «lncipit
perutilis traetatus de latitudinibus formarum secundum reverendum
magistrum Nicholaum Hörens (fol. 27). Заметим: «secundum magi-
strum» («согласно магистру»), а не «magistri» («магистра»). Такая же
формулировка—в еще более позднем венском издании 1515 г.'
G первого издания I486 г. сделан английский перевод: «An
abstract of NieÜolas Grèrae's treatise on the breadths, of forms«,
Annapolis, Maryland, 1941.
Страница (с чертежами) из этого же издания воспроизведена
в статье H. G. F u n к о и s е г, Historical development of the
graphical representation of statistical data—«Osiris», vol. 3(1938), p. 276.
Библиографы (например, Hain) упоминают еще издания: Падуя,
1482 и Вена, 1515. О первом из них Вилейтяер говорит, что никто
из специалистов новейшего времени его не видел. (H. W i е 1 e i t-
п е г. Der «'Iractatus de latitudinibus formarum» des Oresme—
«Bibliotheca mathematica», ßd. 13, 1912/1913, p. 116.)
A. M а й e p (An der Grenze..., pp. 371—375) нашла список
трактата (Ghis. F. IV. 66, fo!. 13—16), в конце которого в качестве
его автора указан некий Якопо де G а к т о Мартин о,
по всьй вероятности тождественный с Якопо из Неаполя,
автором трактата «De perfectione specierum» (Ghis. F. IV, 66, fol.
6 v—12 v; Vat. lat. 4545, fol. 32—48; Erfurt, 4трГ. 4Л, 387, fol.
79—85 v).
Этот последний трактат также частично посвящен проблемам
теории «широты форм». Якопо из Неаполя упоминается в источиит
ках 2-й половины XIV века. Ср. ниже, рис. 7 на стр. 38,
s) Du h em, Études, стр, 400.

34 В. П. ЗУБОВ
«Следует заметить, что в любой такой фигуре, как
полукруг, интенсификация формы кончается на высшем
градусе медленности, ремиссия же начинается с высшего
градуса медленности, а именно в средней точке круга,
где кончается интенсификация и начинается ремиссия,
как явствует из фигур cd и
V de»1). И дальше: «В любом
N. полукруге интенсифика-
\е ция широты начинается
А с высшего градуса скоро-
- 1 сти и кончается высшим
градусом медленности, а
именно в средней точке
дуги. Наоборот, ремиссия,
начинающаяся с той же самой середины, начинается с
высшего градуса медленности и кончается на высшем
градусе скорости; это явствует из фигуры cd. Но пусть кто-
либо не болтает зря, будто я подразумеваю под высшей
скоростью и высшей медленностью такие, которые
берутся в сопоставлении амтаюАе
с другими, отсутствую- тджнтст
щими в этой фигуре.
Ведь я не отрицаю, что
один полукруг
начинается с большей
скоростью, нежели другой,
ибо чем полукруг боль facuiuûzpatye &/сшааграа/с
ше,темс большей скоро- ш^т ^^^
стью начинается интен- ¥ш>. в"-
сификация его широты,
и с тем большей медленностью она кончается,— и
наоборот, в случае ремиссии. Нет, я утверждаю, что никакая
другая фигура, характеризуемая возрастанием
интенсивности, не начинается с большею скоростью, нежели
полукруг,— даже и не с той же скоростью, за исключением,
быть может, фигуры, составляющей часть полукруга»2).
L) Фигуры cd и de в издании 1505 г. отсутствуют и
реконструированы нами.
2) De latitudinibus formarurû, ч. 2, л. 29 об. (D3v) ао
венецианскому изданий» 1505 г<
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 35
Нельзя не указать также на одно из ранних отражений
оремовской геометризованной трактовки «широты форм»
в трактате Джованни Казале из Монферрато, один из
списков которого датирован 1355-м годом1). Автор говорит
об униформной «широте», уподобляя ее «прямоугольному
параллелограмму», а «широту» униформно-дифформную,
начинающуюся с «не-градуса» — треугольнику. Мало того,
он пользуется геометрическими доказательствами при
выводе эквивалентности униформно-дифформной
«широты», униформной «широте» со средним «градусом2),
Дюгем отмечал, что к началу XVI века большой
трактат Орема был основательно забыт. «В Париже, в начале
XVI века, все магистры постоянно читают «Трактат о
пространственном движении» Бернардино Торни, но никто
из них не читает «Трактат о фигурации потенций и диф-
формности мер» Николя Орема. Из этого последнего труда
знают только то, что повторил из него первый»3)*
По мнению Дюгема, виною тому было то, что в конце
XV — начале XVI веков печатались (преимущественно
в Италии) произведения ученых оксфордской школы и их
итальянских продолжателей; вот почему «в сочинениях
авторов 1-й половины XVI века и цитируются лишь те
книги, которые воспроизвело нарождающееся
книгопечатание». Не буду останавливаться на отдельных следах
оремовых влияний, которые восстановила А. Майер на
основании изучения преимущественно итальянских
рукописей4). Достаточно сказать, что местами можно здесь
встретиться с непониманием и грубыми недоразумениями,
и нередко не с прямым воздействием Орема, а со
знакомством с его идеями при посредстве выше
охарактеризованного трактата {Якопо из Неаполя) «О широте форм».
г) На охот список (Vat. lat. 2185, fol. 61 v—71 г) обратила
внимание А. Майер (An der Grenze..., p. 360), считающая, что указание
на 1340 г., якобы помеченный в другом (флорентийском) списке,
основано на ошибочном чтении.
2) Joannes de Casai i, De velocitate motus a Itéra Monis,
б указанном выше (стр. 629) сборнике Бассано Полито, л. СО об.
3) Duhem, Études, стр. 547.
*) A. M a i е г, An der Grenze..., pp. 354—384 (Die Nach wir*
kung der Oresmischer Lehre). См. также Duhem, Le système du
monde, t. VII, pp. 569—600.

36
В. П. ЗУБОВ
Итальянцы и французы XV—XVI веков преимуществен -
но продолжали вычислительную традицию «калькуляций»
мертонской школы. Тем не менее, геометризм Орема
сказался и на этих сочинениях: под его именно влиянием
в печатных изданиях мертонских авторов (Хейтесбери,
Суисета) появилась иллюстрирующие чертежи, которых
не было в первоначальных рукописях.
Уже Дюгем в свое время очень четко отметил то,
на что сравнительно недавно вновь обратила внимание
А. Майер (см. выше стр. 27 ): закон эквивалентности уни-
формно-дифформного движения униформному движению
со средней скоростью не применялся ни Оремом, ни его
последователями к падению тел. Закон эквивалентности
оставался хорошо известным в Париже, стал в XV веке
известен в Италии; для Анджело Фоссомброне это есть
общеизвестное положение («commune principium in ilia
materia»), для Бернардино Торни точно так же это вещь
общеизвестная («communis et notissima»). Вместе с тем
ученые XIV века (Альберт Саксонский и др.) знали, что
падение тел есть движение ускоряющееся. Однако никто
не связывал «закон эквивалентности» с законом падения1).
По Дюгему, и то и другое впервые было «спаяно»
в произведении всеми забытого доминиканца Доминика
Сото (1494—1560), испанца, обучавшегося в Париже,
автора одного из бесчисленных схоластических комментариев
к «Физике» Аристотеля2). Даже если бы это было так, нам
не пришлось бы переделывать историю механики по той
простой причине, что Сото не оказал никакого прямого или
косвенного воздействия на последующих ученых. Но
на самом деле это совершенно не так, и та «спайка»
(soudure), о которой в столь приподнятом тоне говорил Дюгем,
объясняется не углубленной работой мысли, а
компилятивным характером всего сочинения, компилятивностью,
г) См. Dub em, Études, в особенности стр. 509, 512.
2) Domini с us Soto, Super octo Ubros Physicorum Ccm-
mentaria, 1-е изд. , Саламанка, 1545; 3-е изд.—там же, 1572. Дюгем
(стр. 558) делал особый акцент на словах: «Этот вид движения
1 х. е. униформно-дифформное движение! собственно бывает у есте-
ственнодвижущихсп и брошенных тел (proprie accidit naturalitcr
motis et projectis)».
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА fO КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 37
не позволившей автору довести даже до своего
собственного сознания всю значительность вывода. Из
омертвевшего не может родиться живое.
Между схоластами типа Сото и Галилеем разница еще
больше, чем между представителями «мертонской» и
оремовой школ, с одной стороны, и Декартом, с другой.
Нелишне напомнить в этой связи слова самого отца
аналитической геометрии, который писал Мерсенну
в 1636 г.: «То, что я даю во второй книге [«Геометрии»]
относительно природы и свойств кривых и способов их
исследования, стоит, как мне кажется, на столько же выше
обыкновенной геометрии, на сколько риторика Цицерона
выше детской азбуки»1).
Ниже печатается в выдержках перевод трактата Орема
«О конфигурации качеств», а именно: перевод глав 1—22
первой части, глав 1—9 и 13 второй части и всех глав
(1—13) третьей. Этими главами исчерпывается
математическое содержание трактата. Что же касается остальных
глав, то, чтобы дать представление о композиции труда
в целом, приведены их заголовки, причем содержание
их частично освещено в нашей статье,
В основу положен список Парижской Национальной
библиотеки № 14580. Для разночтений были привлечены:
список XV века той же библиотеки № 7371, цитируемый
Вилейтнером (в моем распоряжении были фотографии
листов 214—226), список парижской рукописи № 14579,
цитируемой Борхертом (в моем распоряжении были фото
листов 18—20), а также некоторые разночтения
флорентийской рукописи Ashb. 210, цитируемой Дюраном (см.
выше, стр. 597), и ватиканской 3097, которой пользуется
Майер. Разночтения рукописей №№ 7371 и 14579,
приводимые по цитатам Вилейтнера, Борхерта, Дюрана и
Майер, обозначаются соответствующими буквами в скобках:
7371 (W), 14579 (В), Flor. 210 (D), Vat. lat. 3097 (M).
Ссылки, не сопровождаемые этими буквами, сделаны на
') R. Descartes, Qeuvres. g<jt Adam et Tannery, t. Ь
p. 1879, p. 479,

Б. П. ЗУБОВ
' ■'.■■:: \лу. :.-.:■:.■; ■■:■:.*■■ ■•■'-■ ;■ -У../.-.-.
■..■.■■■
..■■.■■■:.
....
■
■ ■■■ . !■*.
.,.■■■■...■■.■ .;„_„,■■■ ■-,■ ■
■ . ■ .
■ ■-■ ■
......,.....„..,,...■ i ■■.:■.■■:.■■■■'■-■■■.•
,--
• • ,.■ . . ■ -■ <
■ ... . . ■■
H$»j-
.i-e^;
■>,,::■,■■■ ■■■.■:■:..- ■ ;';>.■:, :>. ■ ■ ., j ....,,...
Рас. 7. Порван страница трактата «De latitudnibus formaru
(венецианское издание 1505 г.).
ТРАКТАТ НИКОЛАЯ ОРЕМА «О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ» 39
основании фотографий доступных мне листов, указанных
выше. Заголовки глав, заключенные в прямые скобки,
взяты из оглавления, предпосланного трактату. Заголовки
частей — из предисловия. Для облегчения в текст
введены абзацы. Все чертежа реконструированы (в
доступных мне рукописях имеются лишь схематические
рисуночки в гл. 15, 16 и 18 первой части).
Сличение доступных мне рукописных текстов показало,
что значительное число разночтений носит стилистический
характер, а потому при переводе они несущественны. Но
именно это наличие довольно большого числа разночтений
заставило отказаться от воспроизведения латинского
оригинала, критический текст которого, разумеется, может
быть подготовлен только на основе сличения всех
существующих рукописей.
Как почти и в любом переводе, многие выражения Оре-
ма не могли быть переданы однозначно по-русски. Так,
в зависимости от контекста, longitudo и latitudo передаются
словами «длина» и «ширина», «долгота» и «широта», «inten-
sio»—«интенсификация» и «интенсивность» (ср. примеч. 11),
«superficies» — «поверхность», «плоскость» и «площадь»,
«permanens» и «successivus» — «пребывающий» и
«последовательный», «постоянный» и «переменный», «curvitas»—
«кривизна», «кривая», «дуга» (см. стр. 75 ) и т. п.
Цифры в скобках имеют в виду примечания,
помещенные после текста.
В. II. Зубов

ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ »)
Николай Орем
Предисловие
Когда я начал приводить в порядок свои
представления 2) об униформности и дифформности интенсивностей I1],
я встретился и кое с чем другим, что я добавил к настоящей
теме, дабы этот трактат послужил на пользу не только
упражняющимся в учении, но и людям ученым. То, что
некоторые другие говорили об этом предмете темно,
думали смутно и располагали ненадлежащим образом, я
попытался изложить расчлененно и ясно, применив с
пользою к некоторым материям. Этот трактат3) имеет три
главные части:
Часть первая — о конфигурации и силе
униформности и дифформности пребывающих качеств;
Часть вторая об изображении и силе последовательных
качеств;
Часть третья — о приобретения и мере качества и
скорости 4).
*) Перевод В. П. Зубова.
2) Cum ymaginationem meara 14579; Cum ymaginationem veterum
vc! raeam 14580, ср. выше, стр. 611.
8) В рукописи 7371 дальше дано заглавие: De figurations poten-
tiarum et mensura dîfformitatum (О фигурации сил и мере дифформ-
ностей).
4) Далее следует перечисление глав е их заголовками. Эти
заголовки введены нами дальше в прямых скобках в начале каждой
главы.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 41
ЧАСТЬ I
[О КОНФИГУРАЦИИ И СИЛЕ УНИФОРМНОСТИ
И ДИФФОРМНОСТИ ПРЕБЫВАЮЩИХ КАЧЕСТВ]
Глава 1
[О непрерывности интенсивности]
Всякая вещь, поддающаяся измерению, за исключением
чисел1), воображается в виде непрерывной величины.
Следовательно, для ее измерения нужно воображать точки,
линии и поверхности, или их свойства; в них, как
утверждает Аристотель2), первично обнаруживается мера или
отношение, в прочих же предметах эта мера или
отношение познается посредством аналогии, благодаря которой
интеллект соотносит таковые предметы с точками,
линиями и т. д. [2J. И даже если неделимые точки или линии —
ничто, тем не менее нужно их математически вымыслить8)
для познания мер вещей и их отношений [3]. Стало быть,
всякая интенсивность, способная быть приобретаемой
последовательно, должна быть воображаема в виде
прямой линии, поставленной отвесно в какой-нибудь точке
пространства, т. е. предмета, способного к
интенсификации *). Так, например, какое бы отношение ни оказывалось
между одной интенсивностью и другой в случае
интенсивностей одного и того же вида, такое же отношение
обнаруживается и между одной линией и другой, и
наоборот.
Ведь подобно тому как одна линия соизмерима с одной
и несоизмерима с другой, так соответственно и
интенсивности: одни соизмеримы друг с другом, а другие никак
*) Exeepüs mimeris 14579, 14580, 7371, Flor. 210 (D). Вилеитнер
(стр. 200) неверно прочел в 7371: extra numéros.
а) В других списках вместо ut vult Aristoteles—ut vult
Philosophies.
») Fingere 7371, 14579, Flor. 210 (D); sumere 14580.
*) По чтению 14579: super aliquod punctum spacii vel subiecti
illias intensibilis. В рукописи 7371: super aliquod punctum aut
aliquot puncta intensibilis spacii vel subiecti. В рукописи 14580:
super aliquod punctum spacii vel subiecti illius rei intensibilis.

42 Д. ОРЕМ
не соизмеримы вследствие их непрерывности.
Следовательно, меру иптенсивностей возможно воображать в
полном соответствии с мерой линий, поскольку притом
интенсивность, так же как и линия, может до бесконечности
уменьшаться, и как таковая — до бесконечности
возрастать. И далее, сама интенсивность (intensio), в
соответствии с которой нечто называют в большей мере таковым
(например, в большей мере белым или в большей мере
быстрым), сама по себе есть нечто, соответствующее
интенсивности или экстенсивности точки, и, будучи
рассматриваема как континуум, она делима до бесконечности
только в одном смысле; а постольку нельзя вообразить ее себе
более подходящим образом, как посредством того вида
континуума, который является делимым первично и только
в одном смысле, т. е. в виде линии. И так как величина
или отношение линий более понятны и легче нами
постигаются, а, кроме того, линия занимает первое место среди
видов континуума, то подобная интенсификация
(intensio) должна быть воображаема в виде линий, особенно же
и наиболее подходящим образом в виде таких линий,
которые примыкают к предмету и поставлены отвесно
к нему [*]. Подобное рассмотрение, естественно,
способствует пониманию всякого измерения и ведет к нему,
как это будет показано подробно дальше в гл. 4.
Стало быть, равные интенсивности обозначаются
посредством равных линий, вдвое большая интенсивность
посредством вдвое большей линии, и так далее, все в той же
пропорции.
Сказанное следует понимать в универсальном смысле,
о всякой интенсивности, делимой в воображении,— будь
го интенсивность активного или неактивного качества,
ощутимого или неощутимого, присущего предмету или
среде, например, света самого тела и светлого сияния,
распространяющегося в среде (т. е. «образа», или
«влияния», или, иначе говоря, силы, разлитой в этой среде,
и т. д.),— может быть, за исключением интенсивности
кривизны, о которой мы скажем впоследствии, в гл. 20-й
и 21-й этой части.
Такого рода линия интенсивности, о которой теперь
идет речь, реально (secundum rem) не простирается за
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 43
пределы точки или за пределы предмета, а простирается
так лишь в воображении. И она может быть представлена
простирающейся в любом направлении; воображают же ее
поставленной отвесно под прямым утлом к предмету,
наделенному качеством, только потому, что это более
сподручно (convenientius).
Глава 2
[О широте качества]
Следовательно, всякая интенсивность, обозначенная
посредством вышеназванной линии, должна бы
собственно называться долготою (longitudo) этого качества.
Прежде всего цотому, что при непрерывном качественном
изменении не является существенно необходимой
последовательность в смысле экстенсивности, т. е. в соответствии с
частями-предмета (ведь целое может начать изменяться сразу
везде), но зато непременно требуется последовательность
в смысле интенсивности.
Стало быть, как при пространственном движении
именно это измерение называется длиною (longitudo)
пространства или пути, так соответственно подобного рода
интенсивность, сообразно с которой требуется
последовательность, должна была бы именоваться долготою ,означен-
ного качества. И подобно тому как скорость в
пространственном движении измеряется по длине пути, так при
качественном изменении скорость определяется по
интенсивности. Следовательно, эта интенсивность должна была
бы называться долготою. Далее1), ни одно качество,
приобретаемое в процессе качественного изменения, не может
быть воображаемо без интенсивности, т. е. без различия
в смысле интенсивном, тогда как оно вполне может быть
воображаемо без экстенсивности, более того: качество
неделимого предмета (например, души или ангела)
экстенсивности не имеет. Следовательно, поскольку длина
математически вообразима без ширины, а не наоборот, и
поскольку интенсивность должна быть соотносима с каким-то
») Item 7371; в рукописи 14580: tertio (в-третьих).

44 ft. ОРЕМ
измерением, как явствует из предшествующей главы, она
должна быть соотносима с длиною, а не с шириною, и в
более строгом значении слова должна была бы именоваться
долготою. Отсюда явствует, что качество неделимого вред-
мета собственно не имеет широты. Тем не менее многие
теологи в несобственном смысле говорят о широте
благодати; ведь если под широтой они понимают интенсивность,
то [при буквальном понимании] оказывалось бы, что
ширина может существовать без длины, а тогда их
исходное положение, очевидно, несообразно. Впрочем,
интенсивность и я буду называть широтою качества, как о том
подробнее скажу в следующей главе.
Глава 3
[О долготе качества]
Экстенсивность любого качества, имеющего протяжение,
должна была бы называться его широтою (latitudo),
и указанная экстенсивность может быть обозначена
посредством линии, проведенной через предмет, на каковой
линии отвесно поставлена линия интенсивности его
качества, ибо всякое такое качество имеет интенсивность и
экстенсивность, которые должны быть принимаемы во
внимание при определении его меры. Таким образом,
если интенсивность качества назвать долготою, то тогда
экстенсивность, оказывающаяся вторым измерением,
должна будет именоваться широтою и т. д. И наоборот, если
интенсивность назвать широтою, то экстенсивность будет
именоваться долготою. Следовательно, наподобие того,
как у тела или поверхности линия длины и линия
ширины примыкают друг к другу под прямым углом, так и
интенсивность качества, которую следовало бы называть его
долготою, должна быть представляема посредством
прямой, перпендикулярной к линии широты того же качества.
И так же как в пребывающих вещах (permanentes)
экстенсивное распространение качества в предмете следовало бы
называть его широтой, а интенсивность — долготой, так
соответственно и в вещах последовательных (success!vis),
каковыми являются движение, звук и т д. — протяжение
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 45
их во времени должно было бы называться широтою,
а их интенсивность долготою [*]. Тем не менее, хотя интен- ":
сивность более явна, более, так сказать, осязательна
и первична для нашего познания, нежели экстенсивность J
(а может быть, первичнее и по своей природе), тем не
менее, вопреки сказанному, экстенсивность1) связывается
в обычном словоупотреблении с первым измерением, или
долготою, а интенсивность с широтою. И поскольку
разница в подобном наименовании, или несобственное
значение термина роли не играет, и то же самое может быть
выражаемо двояко, я хочу последовать обычному
словоупотреблению, дабы не затруднить непривычным способом
выражения понимание того, что скажу. Итак,
экстенсивность качества будет именоваться его долготою, а его
интенсивность именоваться широтою (или высотою).
Как бы то ни было, из сказанного явствует, что
некоторые нынешние авторы (modérai) нехорошо называют
широтою качества это самое качество, взятое в целом (ipsam
totam), подобно тому как неправомерно понимать под
шириною поверхности всю поверхность или фигуру [е1.
Ведь подобно тому как некоторые ширины неравных
поверхностей или фигур бывают равными, так аналогично
(мы увидим это впоследствии) многие широты неравных
качеств равны друг другу, или наоборот.
Глава 4
[О величине качества]
Величина (quantitas) любого линейного качества
должна быть воображаема в виде площади (superficies) ['],
длина или основание которой есть длина, проведенная
через предмет, наделенный качеством, как сказано было
в предыдущей главе, и ширина (или высота) которой
обозначается посредством линии, поставленной отвесно к ос-
1) Так в рукописи 14580. В рукописях 7371, 14579 и Vat.
3097 (M) порядок перепутан: «...хотя экстенсивность... тем не менее,
вопреки сказанному, интенсивность...», что не дает надлежащего
смысла.

46 Н. ОРЕМ
нованию, как было указано в гл. 1J). Под линейным
качеством я понимаю качество какой-либо линии,
проведенной через предмет, наделенный этим качеством. А что
величина такого качества может быть воображаема в виде
такого рода площади,— очевидно; ведь можно найти
площадь, по длине равную этому качеству в его экстенсивности,
а по высоте подобную интенсивности этого качества, как
станет ясным дальше.
А то, что качество мы должны воображать так ради
более легкого познания его особенностей,— очевидно. Ведь
его унифорыность и дифформность быстрее, легче и
яснее оцениваются2), когда что-либо подобное вычерчивается
в виде плоской фигуры3), что быстро и вполне схватывается
воображением, будучи разъясняемо в наглядном примере.
Ведь для некоторых людей кажется довольно трудным
уразуметь, что такое увиформно-дифформное качество,
однако нет ничего легче, как то, что высота
прямоугольного треугольника униформно-дйфформна,— конечно, это
явствует с полной наглядностью, Итак, если
интенсивность подобного рода качества будет изображена (tigurata)
посредством высоты указанного треугольника и ей
уподоблена (что станет очевидным в гл. 8-й), то тогда легко
постичь дифформность этого качества, дифформное
расположение, фигуру и меру и т. д.; и не иначе можно
распознать виды или различные модификации дифформности,
как станет явным в главах 14-й и 15-й первой части.
Ведь воображение фигур значительно помогает постичь
вещи.
Вот почему теологи называют фигуральным
изображением чего-либо то, что позволяет по аналогии познать данную
вещь, соответствовать ее форме (conformari ei),
уподобляться ей. Оттого-то апостол (Фил., 3,21] говорит о
Христе, что он «преобразит» (reformatât) тело смирения
нашего» и т. д.
Итак, я утверждаю: подобно тому как точечное
качество представимо в виде линии, линейное качество в виде
1) В тексте неточно: ев главе 2-й».
г) Cicius et facilius 14580; cicius, facilius et clarius 14579, 7371.
3) Superficial! 7371; sensibili 14580.
ТРАКТАТ Ö КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 47
плоскости, так плоскостное качество представимо в виде
тела, основанием какового является плоскость,
наделенная этим качеством, что будет разъяснено впоследствии.
А так как в теле, наделенном качеством, - имеется
бесконечно много равных плоскостей и качество любой из них
вообразимо в виде тела, уместно, а пожалуй даже должно,
вообразить себе такого рода вымышленное тело, где
одновременно может быть воображаемо и другое, или даже
сколь угодно много других посредством
взаимопроникновения, вернее, посредством математического или
аналогичного предположения о существовании такого рода
вымышленных тел, каковое взаимопроникновение,
однако, реально (in re) не существует1). И хотя плоскостное
качество воображается в виде тела, это еще не значит,
что может существовать или может быть воображаемо
четвертое измерение в случае, когда воображают, что
телесное качество имеет двоякую телесность: одну —
подлинную .соответствующую протяженности предмета по всем
[трем! измерениям, а другую только воображаемую,
проистекающую от бесконечного повторения
интенсивности этого качества в соответствии с множеством
плоскостей в предмете. Правомерность такого представления
затронута нами лишь предварительно и впоследствии
станет более явной PI.
Глава 5
(Об изображении качеств]
Всякое линейное качество изображается (figuratur)
в виде некоей плоскости, поставленной вертикально и*
линии предмета. В самом деле, пусть ab — линия, наде-
*) Ввиду важности (а вместе с тем и трудности) этого текста
приводим его в подлиннике по рукописи 14580: «Cum autem in
corpore quali sunt infinite superficies equales fit cuiuslibet earuia
qualitas ymaginatur ut corpus, non est inconveniens, sed forte oportet
ymaginari unum corpus sie fictum ubi aliud potest ymaginari simul
vel etiara quodlibet simul per penetracionem vel etiam per matliemati-
cam supposicionem seu similem supposicionem corpommsic fictorum,
que tarnen penetracio non est in re». В рукописи 7371 вместо «fictum»,
ifictorums—-«situm», «siluatorum».

48 H. ОРЕМ
ленная качеством. Поскольку, согласно предыдущей
главе, такое качество обозначается посредством площади,
необходимо вообращать его в внде плоской фигуры,
посредством которой оно обозначается или воображается.
Высота этой площади обозначает интенсивность качества.
Необходимо при том, чтобы любая точка этой площади
или фигуры, находящаяся вне линии предмета ab,
располагалась по вертикали над этой самой линией ab,
KZ] .Q
Рис. 8.
как явствует из гл. 1. Ведь иначе интенсивность и
качества окажутся вне предмета, поскольку то, что
воображается находящимся над предметом, действительно
находится в предмете.в наоборот. Вот почему, если воображают
что-либо находящимся не по отвесу над предметом, то оно
оказывается в действительности за пределами предмета.
Отсюда явствует, что ни одно качество не может быть
воображаемо в виде площади или фигуры, угол которой
при основании больше прямого, например, в виде
четырехугольника abed, и не в виде части круга,
превосходящей полукруг, например, части efg, тогда как посредством
любой другой плоской фигуры то или иное линейное
качество может быть вообразимо.
Глава 6
[О расчленении фигур]
Хотя некое линейное качество и вообразимо в виде
любой плоской фигуры, за исключением указанных, однако
не любое может быть представлено посредством любой.
Ведь всякое линейное качество воображается или
обозначается только посредством такой фигуры, в которой соот-
TPAKTAT О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 49
кошению между интенсивностью этого качества в любой
точке соответствует отношение между линиями,
проведенными отвесно через эти точки и оканчивающимися у
верхнего края такой воображаемой фигуры. Например, пусть
линия ab разделена в какой-то точке с так, что
интенсивность в этой точке с вдвое больше, чем в точке а, и пусть
она в точке Ь будет втрое больше, чем в точке с. Вообразим
отвесную линию, проходящую через точ- .
ку с, как было указано в гл. 1. Тогда эта /
воображаемая линия, обозначающая ий- /
тенсивность в точке с, вдвое больше У
воображаемой линии, проходящей через а. /
А воображаемая линия, проходящая че- /
рез Ь, втрое больше, чем воображаемая (
линия, проходящая через с. Итак, это
качество вообразимо не иначе, как
посредством фигуры, которая вдвое выше 1 »- .
или больше, и верхний край которой
находится над точкой с вдвое выше или Рис. 9.
дальше, чем над точкой а, ж над 6 втрое
дальше, чем над а. При этом условии такого рода фигура
может варьировать по высоте в соответствии с
отношением интенсив ностей в прочих точках линии ab.
Отсюда же следует, что такого рода качество не может быть
обозначаемо ни посредством прямоугольного
четырехугольника, ни посредством полукруга. Аналогично — о
других бесчисленных фигурах.
Глава 7
[О соответствии фигур]
Любое линейное качество может быть обозначаемо
посредством всякой плоской фигуры, которая
воображается проходящей вертикально через него и высота которой
пропорциональна интенсивности этого качества. Фигура
же, проходящая вертикально через линию, наделенную
качеством, называется пропорциональной качеству по
своей высоте тогда, когда любые две линии, поставленные
отвесно на этой линии, являющейся основанием, и дохо^

50
дящие до края фигуры, т. е. до верхней границы
поверхности, пропорциональны по своей высоте интенсивностям
точек, через которые они проходят. Например, пусть
имеется линия ab, на которой находится поверхность abed.
Восставим на основании две
4 [перпендикулярные] линии е/
и gh. Если, стало быть,
отношение е/ к gh такое же, как
отношение интенсивности в
точке е к интенсивности в
точке g, и то же справедливо для
прочих точек и линий
соответственно, то тогда я утверждаю,
что такая поверхность или фи-
гура пропорциональна по своей
высоте интенсивности этого
качества так, что высота
площади, подобна интенсивности
качества. Вот почему
посредством такой фигуры или площади качество обозначается
самым подходящим образом. Но так как через ту же линию
ab могут проходить многие вертикальные плоскости,
пропорциональные или подобные друг другу по высоте, одни—
Рае.
имеющие большую, другие—меньшую площадь, например,
большая abkl и меньшая abmn, и сколь угодно много
других подобных друг другу по высоте, хотя и имеющих
неодинаковую высоту, отсюда следует, что качество линии ab
может быть обозначаемо безразлично посредством любой
из них, однако таким образом, что если это качество вооб-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 51
ражается в виде одной из указанных фигур, то тогда (при
сохранении той же фигуры качества) вдвое большее по
интенсивности качество будет обозначаемо посредством
вдвое более высокой фигуры, аналогичной по высоте. И так
пропорционально, сколь бы велико ни было большее или
меньшее качество, всегда первое качество можно тем не
менее воображать в начале s виде сколь угодно большей
или меньшей площади или фигуры. Ведь эти большие
и меньшие площади, одинаковым образом неравные и
неодинаковые по фигуре и высоте, тем не менее сохраняют
подобие, или пропорциональность, по высоте. Вот почему,
если на двух пересечениях обозначить две точки о и р
так, как показано на последнем чертеже, то тогда
отношение gh к ef будет равно отношению gp к ео и то же будет
справедливо о любых линиях, соответственно проведенных
отвесно к основанию ab. Вот потому-то я и утверждаю,
что поверхность abed и поверхность abmn подобны друг
другу по высоте, т. е. пропорциональны друг другу.
Глава 8
[О прямоугольно-треугольном качестве]
Всякое качество, вообразимое в виде треугольника,
имеющего прямой угол при основании, может быть
воображаемо в виде любого треугольника, имеющего прямой
угол при основании, и не может быть воображаемо в виде
какой-либо иной фигуры. А что такое качество
вообразимо в виде такого треугольника, явствует из
предшествующей главы, ибо некое качество может быть по своей
интенсивности пропорционально высоте такого
прямоугольного треугольника. Таково именно качество, которое
обычно называют униформно-дифформным, кончающимся
на не-градусе (qualitas uniformiter diltormis termiaata
ad non gradum). Однако более строгим было бы
определение его как качества униформно-неодинаковою по своей
интенсивности (qualitas uniiormiter inequalis intensive)
наподобие того, как у треугольника, которому оно
пропорционально, высота униформно-неодинакова. Равным
образом это качество скорее должно было бы завершаться

52 H. ОРЕМ
недостатком, нежели не-градусом. Но поскольку первое
словоупотребление более привычно у нынешних авторов
(modérai) и довольно наглядно, постольку в настоящем
трактате я его принимаю. А что вышесказанное качество
не может быть обозначаемо посредством другой фигуры,
явствует из того, что никакая другая фигура, как
очевидно, не подобна по своей высоте такому треугольнику,
имеющему прямой угол при основании, т. е. не
пропорциональна ему, а следовательно, и высота ее не пропорциональна
интенсивности этого качества. Это зна-
А чит, что вышеназванное качество нево-
/ образимо в виде такой фигуры, как
/ явствует из главы 6.
/ А то, что это качество может быть
ff- безразлично воображаемо посредством
с любого треугольника, имеющего
прямой угол при основании, явствует из
следующего1): пусть мы имеем два
треугольника, аименно abc, меньший, и abd,
. больший, с общим основанием ab.
Восставим затем перпендикуляр ef в
большем треугольнике, который пересечет
линию ас в точке g. Поскольку, стало
быть, оба треугольника abd и aef имеют равные углы,
постольку по четвертому положению 6-й книги Евклида [в ]
следует, что отношение bd к ef равно отношению ab к ае.
Треугольники же abc и aeg равноугольные, а потому,
согласно тому же четвертому положению 6-й книги, отношение Ъс
к eg равно отношению ab к ае. Следовательно, согласно
13-му положению 5-й книги [l0J, отношение bd к ef равно
отношению be к eg. И так ведется доказательство
применительно к любой вертикальной линии, соответственно
проведенной. Следовательно, эти треугольники, а именно
треугольник abc и треугольник abd, пропорциональны
по высоте, и то же справедливо в отношении любых
треугольников, имеющих прямой угол при основании аЪ.
Следовательно, одно и то же качество может быть уподоб-
*)'Некоторые ошибочные буквенные обозначений рукописи
исправлены дальше по смыслу.
К
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 53
лено любому из них и воображаемо посредством любого,
так, однако, что если определенное качество изображается
посредством одного треугольника, то вдвое более
интенсивное того же рода должно быть обозначаемо посредством
более высокого треугольника, и так далее, соответственно,
как было сказано в предшествующей главе.
Глава 9
[О треугольном качестве другого рода]
Всякое качество, вообразимое в виде треугольника,
не имеющего прямого угла при основании, разложимо на
два качества, каждое из которых представимо в виде
треугольника, имеющего прямой угол при основании. Ведь
ни одно качество не представимо в виде треугольника
или какой-либо иной фигуры, имеющей при основании
тупой угол, как явствует из гл. 5 настоящей части. Стало
быть, всякое треугольное качество либо уподобляется
треугольнику, имеющему прямой угол при основании,
о котором сказано в предыдущей главе, либо
треугольнику, имеющему при основании два острых угла. Итак,
пусть мы имеем какое-нибудь качество, представимое
в виде треугольника abd, имеющего два острых угла при
основании. Проведем из точки с отвесно через основание с
линию cb. Тогда образуются два подобных друг другу
прямоугольных треугольника, и одна часть качества
линии ab будет уподобляться одцому, а. другая — другому;

54 ' Я. ОРЕМ
суммарное же качество (totalis qualitas) слагается из этих
двух униформно-дифформных качеств, кончающихся на
не-градусе. И поскольку, следовательно, частичное
качество (parcialis qualitas) линии ad может быть уподоблено
любому более высокому или же более низкому
треугольнику, как явствует из предшествующей главы, например,
треугольнику ade или треугольнику adf, и так же обстоит
дело с качеством другой части, а именно линии db (в
случае, если оба треугольника обеих частей кончаются в
одной вершине), постольку отсюда следует, что все качество
линии ad в целом может быть представлено и в виде
треугольника abd, и в виде треугольника adf и так
безразлично в отношении любых других, при условии, чтобы
верхний угол 1) приходился по отвесу над точкой d. Отсюда
следует, что такое треугольное качество 3) не
предопределяет верхнего угла определенной величины и он может
становиться сколь угодно острым или тупым, и оба угла
при основании могут быть сколь угодно острыми3).
Следовательно, нет ни одного качества, какую бы
величину оно не имело, которое непрерывно предопределяло бы
при своем наглядном изображении в виде фигуры угол
определенной величины [при вершине], а также и то
качество, которое определяет прямой угол при основании
(о нем была речь в предшествующей главе).
И существует качество, которое определяет два
прямых угла при основании, а другие углы не определяет;
некое же качество определяет четыре прямых, как мы
сейчас покажем.
Глава 10
[О четырехугольном качестве]
Некоторое качество вообразимо в виде
четырехугольника и притом любого, имеющего то же самое основание;
и оно не может быть обозначено посредством какой-либо
г) angulus superior 7371; в рукописи 14580 ошибочно: triangulus.
г) Слова «...super punctum d. Unde patet quod talis qualitas
triangularis...» восполнены по рукописи 7371.
3) Следующие затем в рукописи 14580 слова «vel obtusi» («или
тупыми«) явно допз^ды быть опущены, как ошибка переписчика.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 55
другой фигуры. Эта последняя часть предложения
явствует из сказанного в гл. 6. Пусть мы имеем, стало быть,
прямоугольный четырехугольник abed. Возможно, что
качество линии ab по своей интенсивности
пропорционально высоте этого четырехугольника.. Следовательно, эта
интенсивность пропорциональна любому
прямоугольному четырехугольнику, имеющему то же основание ab,
Рис. 14.
поскольку все такие четырехугольники пропорциональны
друг другу по высоте, хотя высота их и неодинакова.
Следовательно, согласно гл. 7, это качество вообразимо
в виде четырехугольника abed и сходным образом в виде
большего четырехугольника àbej-, или же меньшего.
Любое такое качество называют униформным, или одинаково
интенсивным во всех своих частях.
Также следует знать, что некое качество вообразимо
в виде четырехугольника, имеющего два прямых угла
при основании, а два других угла неравных, т. е. в виде
четырехугольника abed и любого четырехугольника,
имеющего пропорциональную высоту и то же самое
основание ab,— большего или меньшего, как явствует
из гл. 7.
Всякое такое качество называется униформно-дифформ-
яым, кончающимся по обе стороны на градусе, так, что
более интенсивный край обозначается острым углом с,
а менее интенсивный край верхним тупым углом d.
Линия cd называется линией верхнего края (liaea summi-
tatis), или же в отношении к качеству она может быть
названа линией интенсификации (linea intensionis), ибо
соответственно ее различию варьирует интенсивность
(intensio) t11].

56 H. ОРЕМ
Глава 11
[О качестве униформном и дифформном]
Итак, всякое униформное качество вообразимо в виде
четырехугольника, а всякое качество униформно-дифформ-
ное, кончающееся не на-градусе, должно быть
воображаемо в виде прямоугольного треугольника, тогда как
качество, кончающееся на обоих концах на градусе, должно
быть воображаемо в виде четырехугольника, имеющего
прямые углы при основании, а остальные — друг другу
неравные. •
Всякое же другое линейное качество называется диф-
формно-дифформным и должно быть воображаемо в виде
фигур иначе расположенных, в соответствии с
разнообразными вариациями; отдельные виды их будут показаны
дальше. Указанные же различия интенсивностей нельзя
сделать понятными лучше и яснее, как посредством подобных
изображений (ymaginaciones) и соотношения с фигурами,
хотя могут встретиться и некоторые другие схемы (de-
scripciones), расположения (disposiciones) или понятия
(notüicaciones), которые даже посредством подобного
воображения фигур не могут стать явными.
Пусть, например, мы имеем определение: униформное
качество это такое качество, которое одинаково
интенсивно во всех чаетях предмета; качество униформно-дифформ-
ное это такое, в котором для любых трех точек отношение
расстояния между первой и второй к расстоянию между
второй и третьей равно отношению избытка интенсивности
первой по сравнению со второй к избытку интенсивности
второй по сравнению с третьей (наиболее интенсивную
точку из трех я называю в данном случае первой) [1В].
Сказанное уясняется в отношении униформно-дифформного
качества, кончающегося на не-градусе, посредством
обозначения или воображения его в виде треугольника abc1).
При этом, построив три перпендикулярные линии Ы, fg
и de-, проводят hi параллельно линии fd и равным обра-
г) Некоторые буквенные обозначена рукописи всрравяены
дальвде цо смыслу.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
57
зом gl параллельно }Ь, Тогда получаются два
равноугольных треугольника ghi и ckg. Следовательно, по четвертому
положению 6-й книги [Евклида] [13] отношение gk к Ы
равно отношению избытка ск
к избытку gh. И так как gk
равно fb, точно так же, как
el равно df, то отношение fb
к af (эти линии являются
расстояниями между тремя
точками основания) равно
отношению ск «.gh (избытков
высоты, пропорциональных ин-
тенсивностям тех же точек).
Коль скоро, следовательно,
качество линии ab таково,
что отношение интенсивностей точек линии равно
отношению высот линий, восставленных перпендикулярно
в тех же точках, предложенное явствует с очевидностью,
R -
Рис. 15.
Рис. 16.
а именно: каково отношение избытка интенсивности
первой точки по сравнению со второй к избытку
интенсивности второй по сравнению с третьей, таково и
отношение расстояния между первой точкой и второй к
расстоянию между второй и третьей. И так аналогично в
отношении любых трех точек. Следовательно, такого рода
дифформному качеству отвечает вышесказанное, и потому
оно хорошо обозначается посредством такого треугольника.

58 Н. ОРЕМ
Таким.же путем приведенное начертание или свойство
может быть доказано применительно к униформно-диф-
формному качеству, кончающемуся по обе стороны на
градусе. Пусть мы имеем качество, представимое в виде
четырехугольника abed. Проведем в нем линию de
параллельно основанию аЬ, тогда получится треугольник dec.
Затем проведем линии высоты в четырехугольнике и
другие поперечные, параллельные основанию, образующие
в этом треугольнике маленькие треугольники. Тогда
легко постичь сказанное об оных избытках и расстояниях
в означенном треугольнике, по аналогии с тем
доказательством, которое было дано в гл. 7, что легко может уяснить
себе всякий, кто пожелает в это вдуматься.
Всякое же качество, отличающееся от указанных выше,
называется дифформно-дифформным и может быть
описано посредством отрицания, а именно: это есть качество не
во всех своих частях одинаково интенсивное и отношение
между избытками интенсивностей трех точек (первой
в сравнении со второй и второй в сравнении с третьей) не
равно отношению их расстояний.
Глава 12
[О том же иначе]
Мы можем прийти к пониманию вышеуказанных
различий с другой стороны, воображая движение. В самом деле,
представим себе точку d, равномерно (regulariter)
движущуюся по линии ab Iм], и притом так, чтобы любая
точка линии ab, в которую приходит точка d, была бы
подобна и равна этой точке по своей интенсивности. Если,
стало быть, при начале движения точка d имеет какой-
нибудь градус и какую-нибудь интенсивность,
непрерывно и неизменно пребывая в том же градусе во время
указанного движения, то она опишет на линии ab униформное
качество. Если же в начале движения точка d вовсе не
имеет означенного качества и во время движения эта
точка d непрерывно изменяется и равномерно
(regulariter) интенсифицируется, то тогда она начертает качество
.униформно-дифформное, кончающееся на не-градусе. Если
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧБСТЙ 59
d интенсифицируется равномерно, имея в начале движения
то или иное качество (т. е. интенсивность), то тогда точка
начертает униформно-дифформное качество, кончающееся
но обе стороны на градусе. Сходно, если в начале
движения точка d имеет то или иное качество и это последнее
равномерно ослабевает вплоть до конца движения, тогда
d начертает униформно-дифформное качество,
кончающееся по обе стороны на градусе. А если качество d убывает
до не-градуса, то тогда описанное качество будет уни-
формно-дифформным, кончающимся на не-градусе. Если
же d движется равномерно, а интенсифицируется или
ослабевает неравномерно, либо наоборот, точка d
начертает качество дифформно-дифформное.
Может случиться, что точка d неравномерно движется
и неравномерно изменяется в своем качестве так, что одно
компенсирует другое, или эквивалентно ему; тогда она
начертает униформно-дифформное качество. Но всякий
раз, когда такой компенсации не будет, она начертает
качество дифформно-дифформное.
Глава 13
[О том же еще иначе]
Можно еще иначе провести различия между
вышесказанным, а именно, назвав верхнюю линию фигуры,
изображающей качество, линией интенсификации (linea inten-
sionis) или линией верхнего края (linea summitatis), как
о том говорилось в гл. 10. Такова, например, линия cd1)
в четырехугольнике abed. Если, стало быть, такая линия
верхнего края фигуры, изображающей качества, будет
параллельна основанию, например, основанию ab, то
тогда качество, представимое посредством такой
фигуры, — абсолютно-униформное (simpHciter unitormis).
Если же она не будет параллельна основанию,
оставаясь прямой, то тогда качество униформно-дифформ-
но. Итак, если названная линия соединяется с
основанием на одном конце, то эта униформная дифформ-
1) В рукописи: ab.

60 Ы. ОРЕМ
ность кончается на не-градусе, а если качество или диф-
формность не соединяется с основанием ни на том, ни
на другом конце, то она на обоих концах кончается на
градусе, ибо подобная линия [яе] может соединяться с ос-
с J нованиемна обоих своих
—' 1 концах, коль скоро и
она сама прямая, и
основание есть' прямая
линия; это могло бы
иметь место только в
случае, если бы обе
образовали одну линию. Отсю-
т™ ' * да явствует, что не мо-
р 17 жет существовать уни-
формно-дифформного
качества, кончающегося на
яе-традуее [на обоих концах]. Однако, если линия
интенсификации или верхнего края окажется кривой, или
состоящей из многих линий, а не одной, тогда качество,
воображаемое в виде фигуры, кончающейся на обоих
концах па градусе, иди на обоих концах на не-градусе, есть
качество дифформно-дифформное, и оно может также
кончаться на градусе на одном конце и не-градусе на другом.
Глава 14
[О простой дифформноЙ дифформности]
Дифформная дифформность, о которой теперь идет речь,
бывает двух видов, ибо одна — простая, а другая —
сложная. Простая дифформность — это та, которая может
быть обозначена посредством такой фигуры, чья линия
верхнего края, или линия интенсификации — одна и не
состоит из многих частей. Следовательно, она должна
быть кривой линией. Ведь если бы она была прямой, то
мы имели бы абсолютную униформность, или уяиформ-
ность дифформности, как явствует из предшествующей
главы. Необходимо притом, чтобы ее кривая не достигала
части круга, большей полукруга, так, чтобы угол при
\
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 61
основании не превышал прямого, что было разъяснено
в гл. 4. Однако вполне возможно, чтобы угол при
основании был меньше прямого и даже сколь угодно меньше.
Пусть, например, мы имеем линию ab, качество которой
обозначается посредством полукруга abc. Что это
возможно, явствует из 7-й главы, Итак, теперь я утверждаю, что
то же качество линии ab вообразимо или изобразимо в виде
фигуры большей высоты, нежели этот полукруг, а также
меньшей. Далее, проведем сколь угодно высоко линию cd,
проходящую отвесно через центр rf, и проведем другую
линию отвесно к линии ab, а именно линию е/.
Поскольку, стало быть, возможны две линии,
меньшие, чем эти две, проходящие
отвесно через те же точки и стоящие
друг к другу в таком же отношении,
как они (т. е. линии erf и ef), и
поскольку, соответственно, могут быть г <*
построены большие (или меньшие) Рис. 18а.
линии, проходящие через все
точки линии ab и сохраняющие между собою то же
отношение, какое существует между линиями
перпендикуляров, восстановленных на ab в полукруге, постольку на
основании ab можно построить фигуру менее высокую,
которая будет, однако, пропорциональна по высоте этому
полукругу abc. И по той же причине она может быть сколь
угодно высока. Стало быть, согласно гл. 7, качество
линии ab вообразимо безразлично посредством любой из
этих фигур.
Отсюда следует: если бы качество линии ab,
вообразимое в виде полукруга, не могло бы быть воображаемо
в виде большей или в виде меньшей фигуры, имеющей
другую пропорцию, то тогда интенсивность точки d нельзя
было бы обозначать посредством линии, большей или
меньшей, нежели линия cd. И то же было бы справедливо
относительно других точек, в тех случаях, когда
интенсивность не варьирует. Тогда любая интенсивность
определяла бы соответствующую ей линию определенной
величины, посредством которой она могла быть воображаема,
и тогда интенсивность была бы по величине равна линии,
или экстенсивности, и сравнима с нею. Следовательно,
m

62 H. ОРЕМ
пространственное движение оказалось бы сравнимо с
качественным изменением по скорости. Все это
представляется абсурдом.
Однако любая фигура, посредством которой
вообразимо это качество линии ab,— криволинейная. Вопрос же
о том, является ли сегментом крута фигура меньше
полукруга, посредством которой это качество может быть
воображаемо, этот вопрос я оставляю открытым, а вместе
с тем утверждаю; оно не может быть
j**^~—-^. обозначаемо посредством ни одной
jr Л^ большей фигуры, которая являлась бы
(- —^ сегментом круга, ибо оно не может
быть обозначаемо посредством ни одной
Рис. 186. фигуры, основанием или хордой
которой не являлась бы линия ab. Но ab
не может быть хордой в круге,
который меньше, чем [полу] круг acb, если бы он стал
полным, поскольку линия ab есть диаметр.
Следовательно, это качество невообразимо в виде большей
фигуры, которая являлась бы сегментом крута, меньшего,
чем полукрут acb. Но оно невообразимо и в виде фигуры,
являющейся сегментом большего круга, ибо такой
сегмент либо должен быть больше соответствующего
полукруга, а, следовательно, посредством него не могло- бы
быть обозначаемо ни одно качество, как явствует из гл. 4,
либо он будет меньше соответствующего полукруга, а
стало быть, поскольку такой сегмент, меньший, чем
половина большего круга, имеет ту же хорду, что и полукруг
acb, он будет меньше и составит, как это может быть
доказало на основании последнего положения 6-й книги
Евклида [16], часть этого полукруга [acb, что
противоречит условию].
Следовательно, это качество не может быть
обозначаемо посредством фигуры, являющейся сегментом круга
и превышающей по своей величине полукрут acb, однако
оно может быть обозначаемо посредством большей
криволинейной фигуры, как было сказано раньше. Итак,
кривая этой большей фигуры не является дугою окружности,
и тем не менее будет определять пропорциональную
высоту фигуры,— ту высоту, которую определяет дута окруж-
\
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 63
ности. Фигуры будут, следовательно, пропорциональны
по высоте, причем одна будет ограничена дугой
окружности, другая кривой, не являющейся дугою окружности.
Глава 15
[О четырех родах простой диффориной дифформности]
Всякая простая дифформная дифформность
воображаема, стало быть, либо в виде фигуры, не являющейся
сегментом круга и не имеющей высоту, пропорциональную
Рис. 19.
какому-либо сегменту круга, и верхний край ее
ограничивается иррациональной кривой, либо же она
вообразима в виде фигуры, верхний край которой ограничивается
рациональной кривой, а именно кривой окружности, или
кривою, пропорциональной ей по высоте. В обоих случаях
они называются либо выпуклыми, либо вогнутыми. И в
соответствии с различием их обоих существует четыре рода
простой дифформноя дифформности, а именно :
рациональная выпуклая, рациональная вогнутая,
иррациональная выпуклая и иррациональная вогнутая. Кроме этих

. ■.■■.■.....:■:■ :■: .-■..■■■ ■■ . - V ■■
■»—-t..*»*«» ■Г-*-* 'f'-*"^. :■■.■■■■■■■.■-■■■":.
mi"
r^^V-.^^*"-'.'?" л»*'*? •■«*.*(& --t*™
вся?»- Ä1" '
V.f-;-
■■: ' . ■:■.■■ -■■■
«.Д S-■■:■■■ .;l:'- -
: . .' V .■ ■ ■:
Spq«
, .-■■■.. - ■,. ■■■■■■■■.: . ■ ■ ■-
-'■ ,;.-....- ' . . ■ .:... :. ;!-. ■ !>■'■:'■'.■ ! ! '■ ' t..-.' ■ .;/ ! / ' • J:.-.. . ; ■
--•' ?—™--
Рис. 20. Страница трактата Орема (рукопись Парижской
Национальной библиотеки № 14580).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 65
различий, существуют другие акцидентальвые различия,
как-то: завершение на градусе или не-градусе, отчего
выпуклая дифформность, как рациональная, так и
иррациональная, может кончаться на обоих концах на
градусе, например, так, [как на рис. 19(1)], или на одном конце
на градусе, а на другом — на не-градусе, так, [как на
рис. 19(2)3, или на обоих концах на не-градусе так, [как
на рис. 19(3)1. Вогнутая же, как рациональная, так и
иррациональная, не может кончаться на обоих концах на
не-градусе, тогда как может кончаться на обоих
концах на градусе так, [как на рис. 19(4)1, или только на
одном так [как на 19(5)3.
Глава 16
[О сложной дифформности и поверхностных качествах]
Итак, после того как мы разделили вариации
дифформности, проистекающие из акцидентальных различий,
каковыми являются завершение на градусе или
не-градусе, о чем достаточно сказанного ранее, теперь укажем еще,
что кроме четырех родов изображения простого [дифформ-
ного] качества, предложенного в предыдущей главе,
существует еще два, выше указанных, а именно абсолютная
униформность и униформная дифформность. Таким
образом, существует шесть простых родов изображения
качественной интенсификации.
Поскольку сложная дифформная дифформность может
получаться путем комбинирования нескольких простых
конфигураций,— одного и того же рода, двух родов, трех,
четырех, пяти а шести,— постольку следует, на
основании правил арифметики, что в пределах каждого простого
рода, взятого в отдельности, может получиться некая
комбинация, т. е. соединение (compositio). Таким образом
мы имеем шесть слоншых дифформных дифформностей.
Точно так же из каждых простых родов, взятых попарно,
получается 15 сочетаний или сложных видов. Далее, беря
их по три, имеем 20, беря по четыре, имеем 15, беря по пяти,

66 H. ОРЕМ
имеем б1). И из всех вместе получается один вид. Таким
образом, в итоге существует 63 вида сложной дифформной
дифформности. И в каждом виде может иметь место
соединение из двух простых фигур, из трех, из четырех и т. д.
Следовательно, в любом виде могут иметь место до бес-
/ г
з
S
Рис. 21.
конечности разнообразные соединения в соответствии
с числом, порядком или расположением простых фигур,
из которых эти виды слагаются.
Дабы это стало очевиднее, приведем для некоторых
видов пример. Стало быть, сложная дифформная дифформ-
ность может получаться из нескольких простых одного
и того же рода, а именно из двух и более униформностей,
г) В доступных мне рукописях ошибочно 5, как и дальше 62
вместо 63. Дюгем (Études, т. III, стр. 385), основывавший«1!!
па рукописи 7371, дает цифру 6, но дальше оставляет 62.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 67
например [как на рис. 21 (1)], и такая может быть
названа степенным качеством или степенной дифформностью
(qualitas seu difformités gradualis). Далее, в другом
простом роде,—из двух и более униформно-дифформных как,
например, [на рис. 21(2)] или [как на рис. 21(3)1 [диф-
формно-дифформных]. Далее, из двух выпуклых
рациональных, так, [как на рис, 21(4)]. И так можно продолжать
соответственно дальше по всем указанным выше шести родам.
Далее соединение может получаться из двух родов,
например, из униформно- и дифформно-дифформного,
например, [как на рис. 21(5)î или из нескольких, относящихся
к этим двум родам, например, [как на рис. 21(6)1. Далее,
из двух других родов, например, униформного и
рационального вогнутого так, [как на рис. 21(7)3. Либо из
нескольких тех же двух родов. Соответственно может
получиться сочетание (mixtio) и в двух других родах, а также
в остальных двух,— до 15 сочетаний или видов. Далее
могут получиться сочетания из трех родов до 20 видов
и т. д., как было сказано выше; примеры таковых могут
быть достаточно хорошо поняты в соответствии со
сказанным. Итак, мы имеем 62 вида сложной дифформной
дифформности1) и четыре вида или рода простых (как
явствует из предшествующей главы). Следовательно,
существует 66 видов или родов дифформной дифформности,
один — униформной дифформности и один — простой
униформности. Достаточно также ясно из сказанного,
что к постижению различия этих видов дифформности
качества и прочих вещей мы не можем прийти иначе,
как путем аналогий (ex assimilationibus) и пользования
образами фигур (ymagines figurarum).
Глава 17
[О плоскостном качестве]
Как было разъяснено в гл. 4, плоскостное качество
(qualitas superficialis) есть качество, которое должно быть
воображаемо в виде телесной фигуры, расположенной по
1) Здесь в рукописях повторена ошибочная цифра 62 вместо 63,
как и дальше 66 вместо 67.

68 Н. ОРЕМ
отвесу на поверхности, наделенной качеством, как бы
на своем основании. Понятие об этой фигуре можно
получить из познания плоских фигур, посредством которых
изображаются линейные качества, о каковых было
сказано достаточно, — в меру, в какую это нужно для
исследуемого вопроса. Ведь подобно тому как одни линейные
качества униформны, а другие дифформны, причем из
последних одни дифформны униформно, а другие дифформ-
но, и получаются они многочисленными путями, подобно
этому обстоит дело и с качествами плоскостными. И по-
добно тому как униформное линейное качество вообразимо
в виде прямоугольного четырехугольника, так и
униформное плоскостное качество должно быть воображаемо в виде
тела, имеющего 8 прямых телесных углов. Такое тело
может быть вообращаемо более высоким и менее высоким,
при сохранении качества неизменным, как это было
сказано о линейном качестве в главах 7 и 10. А то, что было
сказано об униформно-дифформном линейном качестве,
то соответственно должно быть сказано и о качестве
плоскостном. Ведь верхний край фигуры, в виде которой
воображают униформно-дифформное плоскостное
качество1) есть плоскость, одинаково отстоящая на обоих
краях от лежащего внизу основания, каковое основание
воображают в виде плоскости, между тем как верхний край
той фигуры, посредством которой воображают униформно-
дифформное плоскостное качество, есть плоскость, не
параллельная основанию. Верхний же край, посредством
которого представляют дифформно-дифформное качество,
есть кривая или сложная многогранная поверхность.
Аналогично могут быть применены к плоскостному качеству
все ранее предложенные различения, описания, понятия,
виды и различия. Все ранее сказанное было сказано в
предположении, что основание, наделенное качеством, есть
прямая линия или плоскость.
Настоящая глава написана, чтобы сказанное выше было
легче уразумеваемо, хотя нижнее основание весьма часто
изображается иначе, причем предполагается, однако, что
1) В рукописи 14580; «qualitas difformiter difformis
superficialis uniformis» (дальше зачеркнуто: difformis). В рукописи 7371
«superficialis qualitas uniformis».
TPAKTAT О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 69
оно может быть выпрямлено, а тогда к нему становится
применимо все приведенное выше. Как бы то ни было,
можно сказать в общей форме, что верхний край фигуры,
посредством которой воображают униформное качество,
параллелен нижнему основанию. Верхний же край фигуры,
обозначающей униформно-дифформное качество,
непрерывен и определяется его частями, ближе
расположенными к нижнему основанию: если они доходят до
основания, то качество кончается1) на не-градусе, если же нет,
то это качество кончается на обоих краях на градусе.
Что касается верхнего края фигуры, обозначающей
качество дифформно-дифформное, оно непрерывно определяется
его частями, неравномерно (inequaliter)
приближающимися к нижнему основанию или удаляющимися от него.
И сказанное может быть легко уяснено на
вышеприведенных наглядных примерах, будучи применимо как
к линейному, так я к плоскостному или телесному
качеству.
Глава 18
[О телесном качестве и его разнообразной конфигурации]
Согласно ранее указанному способу представления
телесное качество в отношении предмета или какой-либо
его части изображается (iiguratur) в соответствии с
фигурой плоскостных качеств того же тела. Следовательно,
из ранее сказанного явствует, что в любом вообще роде
трехмерных фигур {figurarum solidarum) может быть
воображаемо или изображаемо какое-либо телесное качество.
Поскольку же из любой точки этой фигуры может быть
проведена, линия, перпендикулярная к основанию той же
фигуры так, что никакая часть этой линии не находится
вне той фигуры, посредством которой подобного рода
качество обозначается, постольку ни одно качество не
обозначается посредством фигуры просверленной или фигуры,
имеющей выемку у основания, вроде такой, 1как на
1) В рукописях 7371 и Vat. 3097 (M)-—descendat и terminatur,
т. е. «если он доходат до основания, то кончается...».

70 н. орвм
рис. 22(1)]или такой, [как на рис. 22(2)] или иной
подобной. Всяким же другим образом качество изображается
так, что в соответствии с часто упоминавшимся нами
представлением и уподоблением некое телесное качество бывает
пирамидальным, т. е. воображается в виде пирамиды или
в виде состоящего из пирамидальных качеств, либо из
круглых пирамид {конусов], либо из многогранных. Рав-
Рис. 22.
ным образом одни качества — состоящими, из пирамид
большей остроты, другие — из пирамид меньшей остроты,
если сравнивать их с первыми. Равным образом, некое
качество изобразимо в виде сферического сегмента или
цилиндра. И так до бесконечности, применительно к
общим типам и различиям, соответственно родам униформ-
ности и дифформности, установленными в главах 15-й,
16-й и т. д. Притом одно качество поддается изображению
в виде фигуры (ügurabilis) так-то, например, теплота,
а другое качество тех же тел — иначе, или так же,
например, белизна, а третье, может быть, и еще иначе, как,
например, сладость и т. д.
Глава 19
[Об изображении противоположностей в виде фигур]
В нашу задачу не входит здесь исследование вопроса,
могут ли противоположные качества существовать вместе
и одинаково первично в одной и той же части предмета.
Если, однако, допустить в воображении, что это
возможно, тогда разреженный предмет, униформно-плотный, имел
бы во всех своих частях равные доли от совокупности всех
противоположностей (de toto aggregate ex omnibus contra-
ÎPaKTaT О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 71
rüs), ибо чем меньше было бы одной противоположности
в одной его части, тем больше было бы другой
противоположности в этой же части, и наоборот. Стало быть,
такой предмет был бы униформно наделен качеством этого
рода противоположностей и если бы ближайший род,
охватывающий теплое и холодное, имел бы особое название,
то тогда предмет, в котором сосуществуют то и другое,
получил бы униформное наименование этого рода ["].
Стало быть, согласно гл. 10,
эта совокупность обеих
противоположностей вообразима
в виде прямоугольного
четырехугольника. Если,
следовательно, отнять ту часть
четырехугольника, в соответствии
с которой воображается соглас- 9 â
но сказанному в предыдущих Рис. 23.
главах одно из этих
противоположных качеств1), другая часть останется для
другого, противоположного качества. Таким образом,
линия верхнего края той фигуры, которая обозначает
все целое, явится основанием фигуры, обозначающей это
второе качество, как если бы фигура целого была
разделена2). Например, пусть ab — униформно плотный
предмет, в котором вместе наличны и теплота, и холод.
Следовательно, он будет униформным по теплоте и холоду,
рассматриваемыми как один род. Стало быть,
совокупность этих противоположностей будет воображаться в виде
прямоугольного четырехугольника abed. Итак, пусть
теплота увиформно-дифформного предмета ab кончается на
не-градусе в точке а и на высшем градусе в точке Ъ, иначе
говоря, на высшем градусе, с которым не может
сосуществовать холод. Следовательно, эта теплота будет воображаться
в виде треугольника abd. Стало быть, холод должен
воображаться в виде треугольника аса. Возьмем,
следовательно, фигуру и наложим а на d, а Ь на с — тогда станет ясно,
х) illarum contrariaruin qiinlit.ii tum 7371; illarum cont.rariarum
14580.
г) В рукописи 14580 пропуск, росполндемый по 7371.

ti. ОРЕМ
что холод униформно-дифформен и кончается на не-гра-
дусе в точке ft. И так вообще ведется рассуждение о
противоположностях, существующих вместе: в ту меру, в
какую становится иной фигура одной [противоположности),
в ту же меру, эквивалентно, варьирует обратным образом
и фигура другой противоположности,— на столько,
сколько нужно для восполнения всей совокупности до униформ-
ности. Отсюда явствует, что если одна из
противоположностей воображается в виде фигуры выгнутой, то другая,
сосуществующая с ней, должна быть воображаема в виде
вогнутой, и наоборот. И соответственно в отношении
прочего, как это можно легко уяснить из сказанного. То,
что мы сказали, применимо к качеству линейному,
плоскостному и телесному, хотя и было иллюстрировано на
примере лишь линейного качества.
Глава 20
[О способе, при помощи которого судят о кривизне
качеств в отношении их дифформности]
Теперь остается сказать о кривизне. Кривизна,
наподобие прочих качеств, имеет экстенсивность и
интенсивность; одна униформным, - другая — дифформным
образом. Однако не было еще сказано о пропорции кривизны
в интенсивных вещах, а именно, бывает ли одна вдвое
больше другой, или стоит к ней в каком-нибудь другом
отношении; иначе говоря, мы еще не знаем, быть может,
они непропорциональны друг другу, или же, наоборот,
пропорциональны. Ведь еще неизвестно, на основании чего
или по чему определяется интенсивность кривизны.
Предварительно можно сказать, что она определяется
одним из двух указываемых ниже способов. Во-первых,
большая кривизна определяется по уклонению ее от
прямизны и по расстоянию ее от таковой прямизны, т. е.
по величине угла, образуемого прямой и кривой линией,
каковым является угол касания, а может быть, какой-
нибудь другой угол, образуемый прямой и кривой линией.
Например, пусть мы имеем линию ab, с которой
встречаются две линии в точке a, a именно ас и ad. Мы скажем,
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 73
что линия da имеет большую кривизну, чем линия ас
во столько раз, во сколько угол bad больше угла bac.
Но угол, образованный прямой и кривой, и угол,
образованный двумя кривыми, друг другу не пропорциональны;
это может быть доказано .
на основании 15-го поло- у /
жения 3-й книги Евклида / jf
I17] и 5-го положения той S ^/
же книги [181, и, по мило- ^^L^^^^
сти божией, будет показа- —^ZZ~— , g
но в трактате о
совершенстве видов (de periectione
specierum)[18]. Итак, угол
abc и угол cad друг другу непропорциональны, а потому
весь угол bad и угол cad также непропорциональны, и,
следовательно, весь угол bad непропорционален
частичному углу bac, не превосходя его в каком-нибудь отношении,
Рис. 25.
которое обретается между числами и между любыми
непрерывными вещами, обладающими одним и тем же видом
интенсивности, т. е. между линией и линией, площадью
и площадью и т. д. Отсюда следует, что большая кривизна
и меньшая кривизна непропорциональны [прямизне]
и разного строения (alterius compositionis) с нею.
Это может быть показано и иначе. Пусть мы имеем угол,
образованный двумя кривыми линиями сходной кривизны,
обращенными в одну и ту же сторону, но пусть он будет
больше угла касания. Пусть это угол abc. Тогда можно
его разделить посредством линии сходной кривизны,
наподобие любого континиуума, на две равные части.
Итак, мы делим его на две равные части посредством линии
сходной кривизны, а именно ad. Я утверждаю, следона-

74 H. ОРЕМ
тельно: невозможно этот угол bad аналогично разделить
посредством прямой линии, что вполне понятно,
поскольку ddc приходится частью снаружи линии ad, частью
внутри, и как бы ее ни проводить, весь угол bac не будет
делиться пополам. На том же основании он не может быть
разделен посредством прямой линии на две части, из
которых одна вдвое больше другой, или в какой-нибудь иной
пропорции, рациональной и иррациональной, каковая
может существовать в непрерывных вещах одного и того
же вида. И на основании того же вывода можно будет
доказать, что названный угол нельзя разделить на равные или
пропорциональные части посредством какой-либо линии,
отличной по своей кривизне от линии ad, ибо, как и
раньше, такая разделяющая линия пришлась бы частью
внутри кривой, частью оказалась бы снаружи и при любых
условиях не делила бы весь угол пополам.
Из этого положения, доказуемого или уже
доказанного, вытекает с вероятностью следующее: подобно тому
как это (т. е. полное деление) неспособна сделать прямая
линия, поскольку она другого вида (rationia), чем линия
кривая, не может сделать это и более кривая линия, ибо
она другого вида, чем менее кривая и
непропорциональна ей.
Стало быть, если это так, следует сказать, что дифформ-
ная кривизна слагается из бесконечных частей разного
вида, непропорциональных друг другу, и что подобно тому
как ни один угол, образованный линиями сходной
кривизны, не может быть вдвое больше угла, образованного
линиями отличной друг друга кривизны, и не может быть
ему пропорциональным в том или ином отношении,
подобно этому непропорциональны друг другу и линии разной
кривизны, так что ни одна интенсивность дифформной
кривой не может стоять к другой, отличной от нее кривизне,
наличной в той же кривой, в отношении 2 : 1, и не в
отношении, являющемся половиной отношения 2:1, и ни
в каком соизмеримом или несоизмеримом отношении,
словом, ни в каком отношении, которое может быть
обнаружено между линией и линией [20].
Отсюда явствует соответственно, что интенсивность
кривизны не может быть воображаема в виде линии, и что
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 75
не существует другой кривизны, одинаковой по
интенсивности с другой кривизной иного вида. И кривизна не
может быть воображаема в виде какой-либо фигуры, а ее
интенсивность сравниваема (assimilanda) с другой
фигурой, поскольку высота любой фигуры обозначается
посредством линий.
Отсюда, далее, явствует, что ни одна кривизна не
бывает униформно-дифформной, ибо отличительным
признаком униформной дифформности является то, что она во
всем предмете сохраняет тот же вид (ratio), и что
отношение одной интенсивности к другой или избытков
интенсивности в различных частях равно отношению одного
расстояния к другому, а следовательно, равно отношению
линий, как явствует из текста гл. 11. Но это, как только
что было сказано, не может быть применимо к дифформно-
дифформной кривизне.
Отсюда же следует, что каждая кривизна бывает
несколько иначе дифформной, нежели могло бы быть какое-
либо иное качество другого рода, обладая некоторой
необычной, удивительной и отличной дифформностью.
Глава 21
[О некоем ином способе судить о кривизне]
Всякая кривизна окружности (curvitas circularise21]
униформна и, наоборот, всякая иная кривизна дифформ-
на [2а]. Теперь, стало быть, мы коснемся иного способа
судить о той и другой, и сначала скажем об униформной.
Мы утверждаем, что интенсивность кривой определяется
соответственно или сообразно величине радиуса того
круга, кривой (curvitas) которого она является, будь то
окружность или часть окружности так, что чем этот
радиус меньше, тем пропорционально кривизна будет
больше. Например, пусть будет больший круг, имеющий
радиус ab, и круг меньший, имеющий радиус ас. Если
следовательно, радиус ab вдвое больше радиуса ас, кривизна
меньшего круга будет вдвое интенсивнее кривизны
большего. И так же рассуждают о других отношениях и
кривизнах. Отсюда явствует, что с этой точки зрения неравные

76 H. ОРЕМ
ДРУГ Другу дуги (curvitates) пропорциональны друг другу
и принадлежат к одному и тому же виду (ratio).
Таким образом, можно, пожалуй, добавить к
положению, высказанному в предположительной форме в
предыдущей главе, что хотя большая [по интенсивности]
кривизна и меньшая кривизна дают в углах
непропорциональность, как это делают прямая линия и кривая линия,
тем не менее, может быть отсюда еще не следует, что
оттого они являются в собственном смысле
непропорциональными и принадлежат к разным видам. И поистине, не
настолько несравнимы друг с другом две кривые линии,
как линия прямая и линия кривая. Ведь о кривых
говорится, что одна является более кривой, нежели другая,
но того же нельзя сказать о кривой и прямой; да и о
прямой не говорится, что она более пряма, нежели кривая.
Зато можно, пожалуй, сказать, .что прямая и кривая
несравнимы друг с другом в собственном смысле слова,
тогда как две кривые сравнимы по кривизне, однако не
пропорциональны друг другу, подобно тому как угол,
образованный прямой и кривой, и угол, образованный
двумя кривыми сторонами, несравнимы и непропорциондл ь-
ны, и это на основании, указанном в гл. 201).
Пропорциональны же или нет две неравные кривые,
я пока еще не решаю. Но вы, читающие это, должны
сделать вывод, согласно сказанному в настоящей главе2),
что интенсивность кривизны определяется по тому,
насколько мал радиус (penes semidyametri parvitatem).
Отсюда следует, что кривизна всех окружностей является
абсолютно одинаковой; ведь, как это станет ясным
впоследствии, в третьей части настоящего труда, если какое-
либо качество интенсивнее другого, а вместе с тем в ту же
пропорцию экстенсивнее (или более протяженно), то оба
эти качества абсолютно равны друг другу. В данном же
случае отношение окружностей по величине равно
отношению между радиусами, соответствующих кругов. Это
явствует из пятого заключения Архимеда в его сочинении
*) В тексте 14580 ошибочно: в 7-й главе.
а) В тексте 14580: in precedent! capitulo. По-видимому, следует:
to present! capitule ■•
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 77
«О кривых поверхностях» [2S]. Стало быть, кривизна вдвое
большей окружности вдвое экстенсивнее, нежели кривизна
вдвое меньшей окружности. Й по сказанному, та же
кривизна вдвое большей окружности вдвое менее
интенсивна (duplo remissior).
Следовательно, кривизна вдвое большей окружности
и кривизна вдвое меньшей окружности равны. И таким
же образом говорится о всех подобных друг другу частях
неравных окружностей. Следовательно, кривизны всех
окружностей абсолютно одинаковы. И таким же образом
говорится, что все подобные друг другу части неравных
окружностей равны по кривизне, например, половина
одной — половине другой, четверть одной — четверти
другой и т. д. И это говорится разумно, ибо- кривизна
определяется по круговому движению, или обозначает круговое
движение, а одна окружность не обращается вокруг
центра больше, нежели другая, и одна часть окружности
более, нежели подобная ей другая, большая.
Следовательно, такие кривизны абсолютно равны, хотя они обладают
неравной экстенсивностью и неравной интенсивностью.
Сказанное, видимо, говорит против первого нашего
подхода, т. е. против предыдущей главы и в пользу
настоящей. Ведь если две неодинаковые дуги (curvitates) не
были бы пропорциональны по интенсивности, будучи
пропорциональными по экстенсивности, они были бы
абсолютно непропорциональными и неравными. Стало быть,
если интенсивность кривой определялась бы по указанному
способу, т. е, соответственно малости радиуса, всякая
кривизна, как униформная, так и дифформная, была бы
подобна другому, большему качеству; притом, как и это
другое качество, она воображалась бы в виде фигуры, в
которой кривая линия или кривая поверхность служазИ! бы
основанием, каковое основание вместе с этой линией или
поверхностью воображалось бы спрямленным, или даже
оставалось кривым соответственно схеме (disposicionem)
или представлению, описанному в главах 7, 16 и 18.
Впрочем, к пониманию подобного рода кривианы, ее
униформности и различной дифформности удобнее и легче
можно прийти посредством образа одного лишь движения,
нежели посредством фигуры, а именно: пусть из покояще-

78 H. ОРЕМ
гося центра а проведена линия, или диаметр ab;
представим себе, что он обращается или движется. Коль скоро,
следовательно, точка с непрерывно пребывает на конце
вращаемого радиуса, эта точка Ь.(или с) опишет
униформную кривую, т. е. дугу окружности. Если же точка с
станет непрерывно опускаться по диаметру,
приближаясь к центру с униформной скоростью, пока радиус
0
Рас. 26. Рис. 27.
продолжает униформно обращаться, я утверждаю, что
тогда точка с опишет униформно-дифформную кривую. Точно
так же, если бы точка униформно удалялась от центра,
она описала бы униформно-дифформную кривую. Вот
почему, если за время, пока b описывает окружность,
точка с проходила бы весь радиус в точности, униформно
поднимаясь в движении, которое оказывается
прямолинейным при отсутствии вращения радиуса, то тогда точка с
описала бы_ униформно-дифформную кривую, которую
математики называют спиралью (helyx), получившую
свое имя, может быть, от особого вида плюща, вьющегося
аналогичным образом и, согласно Философу, именуемого
elyx [24]. При помощи такой линии Архимед доказывает
квадратуру круга [аб].
А если радиус обращается униформно, причем точка с
дифформно приближается к центру или удаляется от него,
или наоборот, или же если радиус обращается, а с
приближается или удаляется, причем то и другое происходит
дифформно, с некомпенсируемой дифформпостыо (cum
diliormitate iucompeusabili), тогда с опишет дифформно-
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 79
дифформнущ кривую. И здесь возможны многочисленные
варианты; коротко говоря, такая дифформность может
варьировать столькими же способами и со столькими же
сходными различиями (вернее, с теми же различиями),
о которых речь уже была раньше, в главах 15 и 16.
Итак, из сказанного достаточно уясняется
конфигурация интенсивности в каждом виде пребывающего
телесного качества, разве только следует присоединить сюда
еще иную интенсивность, а именно интенсивность остроты
углов, в которой нельзя обрести ни постоянную (permanens)
униформность, ни постоянную дифформность, а только
переменную (successivam), что впоследствии [2в] будет
разъяснено.
Глава 22
[О различии действий, проистекающем из разнообразия
качественной дифформности]
Ясно, что тела могут различным образом варьировать
в своих действиях соответственно разнообразию фигур
этих самых тел. Вот почему древние, утверждавшие, что
тела состоят из атомов (ex athomis), говорили, что атомы
(athomalia) огня пирамидальны вследствие его сильной
действенности, отчего тела и могут, в зависимости от
различия пирамид, больше или меньше колоть, и что в
зависимости от той или иной своей остроты они бесспорно могут
рассекать сильнее или менее сильно. Точно то же
относится к другим действиям или фигурам.
Но коль скоро так обстоит с фигурами тел,
представляется логичным, что соответственно можно говорить и о
фигурах качеств, а именно, что некое качество имеет
частицы (particulae), по интенсивности пропорциональные
небольшим пирамидам, а потому оно активнее при прочих
равных условиях, нежели равное ему
абсолютно-униформное качество, либо что оно пропорционально другой
фигуре, не столь пронизывающей, иначе говоря, что могут
существовать два качества, в которых частицы одного были
бы пропорциональны более острым пирамидам, нежели
частицы другого. То качество, которое будет
соответствовать более острым пирамидам, оказалось бы действен-

80 H. ОРЕМ
нее при прочих равных условиях. То же самое — о
других фигурах. Ибо испытано на опыте, что качество,,
униформно распределенное по предмету, например, теплота
воды, иначе воздействует на осязание и производит иные
перемены, нежели равное ему качество, одна частица
которого интенсивная, а другая слабая, одна интенсивная,
другая [слабая] и т. д., поочередно, в соответствии с
частицами предмета, в результате чего такое качество
оказывается дифформным в соответствии с указанным
представлением его в виде небольших пирамид. Этим, быть может,
объясняется то, что говорят обычно, а именно, что
некоторые качества являются более колющими, например,
некоторые вкусовые свойства, запахи, холод и теплота,
в частности теплота, заключенная в перце. А иногда
встречаются два качества того же вида и одинаковой
интенсивности, из которых одно тем не менее более действенно,
более колет, нежели другое. Причину этого можно
указать, придерживаясь вышеуказанного представления.
Можно также еще сказать, что некое более слабое
качество небольшой теплоты бывает более действенным,
нежели более интенсивная теплота (например, теплота чистого
огня), оттого, что такое более интенсивное качество, (быть
может, униформное) не настолько превосходит другое по
интенсивности, насколько это другое превосходит его по
действенности, проистекающей из вышеуказанной фигуры.
И это может быть одной из причин действенности
раскаленного огня в сочетании с телесной компактностью (сот-
pacitas). Подобная неодинаковость действия может
получиться в результате одной лишь указанной причины даже
в том случае, если будет иметь место равенство между
компактностью и всем прочим и т. д.
Равным образом одна иа указанных выше
противоположностей, существующих в каком-нибудь предмете,
активнее, нежели обе противоположности, или нечто
подобное им, существующее в каком-нибудь предмете в
аналогичной пропорции и обладающее равной
интенсивностью. Вот, например, пусть а и Ь — два теплых тела.
Возможно, что о, нагревая что-либо холодное, действует
сильнее, нежели это делает Ъ, и что причина тому
заключается В'Пирамидальной форме противоположностей, суще-
ТРАКТАТ о конфигурации КАЧЕСТВ 81
ствующей в а, но не в Ь, соответственно представлению
(ymaginacionem), охарактеризованному в главе 18-й и
главе 19-й. Отсюда следует, что существует малое число
(или же вовсе не существует) полных химических
соединений (mixta compléta) абсолютно однородных; и если
некоторые однородны по веществу (subiectum), они могут
все же оказаться дифформными по качеству. Далее, если
острота и кривизна некоторых конусов (pyramidum rotun-
darum) стоят друг к другу в разных отношениях, согласно
представлению, выдвинутому в случае втором, то,
естественно, что и фигуры качеств, им пропорциональные,
стоят друг к другу в разных отношениях. Вот почему
может случиться, что действия качеств равным обрааом
стоят друг к другу в разных отношениях, поскольку
различие в действиях проистекает из различия фигур
действующих качеств, о чей сказано было раньше.
Это уясняется и другим путем, а именно: некоторые
считают будто фигуры или некие образы (yrnaginaciones1)),
запечатлевающиеся в определенных материях, т. е. при
известном расположении небесных светиля), имеют
удивительную действенность и силу. Верно это или нет, все-таки
гораздо вероятнее, что тела обладают действенност&ю и
силой в результате естественного образования фигур
активного качества, нежели искусственного образования
фигур количества, каковое, согласно философам, не
относится к разряду активных сил[27].
1Глава23. О различии пассивных состояний, которые цогут
получиться иа сказанного; гл. 24. О разнообразии естественных
сил в соответствии с их конфигурацией; гл. 25. Каким обрааом на
основании скааанного можно объяснить причины некоторых
действий; гл. 26. О красоте конфигураций качества в абсолютном
смысле и ее совершенстве; гл. 27. О красоте конфигураций в
относительном смысле и причинах естественной дружбы и вражды; гл. 28.
О сокровенных причинах некоторых естественных действий;
гл. 20. О причинах троякой дружбы в пределах одного вида;
гл. 30. О причинах удовольствия чувств п воображения; гл. 31,
Ц ymagines, Vat. 3097 (M).
а) IQ certis materiis scilicet quibusdam constellationibus celi.
Вместо этого в другой рукописи, "Vat. 3097 (M): in certi? teraporibus
sub quibusdam cODStellatkmibus celi, т. е. «в определенные моменты
при известном расположении небесных светил».

82 н.орем
О дпфформности познавательных способностей; гл. 32. Об
изменении этой дифформности; гл. 33. О причинах видений души; гл. 34,
О некоей помехе видений души; гл. 35. О некоторых различиях
ведений души; гл. 36. О некотором различии провидящих душ; гл. 37.
О различии видимых вещей в соответствии с положением; гл. 38.
О различии видения в соответствии с расстоянием; гл. 39. О
загадках видений; гл. 40. О действующих причинах видения!.
ЧАСТЬ II
[OB ИЗОБРАЖЕНИИ И СИЛЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КАЧЕСТВ]
Глава 1
[О дпфформности движения]
Всякое последовательное движение делимого предмета
имеет части. И оно делимо, во-первых, соответственно
разделению и экстенсивности (т. е. непрерывности)
движущегося1), во-вторых, соответственно разделению и
продолжительности (или непрерывности), в-третьих, лишь
воображаемым образом,— сообразно градусам и интенсивности
скоростей3). В соответствии с непрерывностью первого рода
движение именуется большим или малым, в соответствии
со вторым движение именуется кратким или долгим,
в соответствии с третьим — быстрым или медленным. Итак,
движение имеет двоякую экстенсивность (во-первых,
предметную, или присущую предмету, во-вторых —
временную) и одну интенсивность. Обе экстенсивности можно
вообразить как бы пересекающимися под прямым углом
в виде креста так, что экстенсивность длительности можно
будет назвать длиною, а экстенсивность предметную, или
присущую предмету (extensio subiectiva seu subiecti)—
шириною, тогда как интенсивность может быть названа
высотой этого движения (или скорости). Однако, если
в соответствии со сказанным выше, в третьей главе 1-й
1) Рукопись 14580: secundum diviaionem et extensionem seu
contramtatem mobilis; рукопись 7371 (В): secundum divisionem seu
continuitatem et extensionem mobilis. Первое чтение мне
представляется более правильным.
2) В рукописи 14580 ошибочно: secundum gradua et intensionis
veloeitatis, Исправляю на intensioneiu velocitatis. Ср. velocjtatis
intensionem в рукописи 7371 (В).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 83
части, интенсивность скорости именовать широтой
движения, тогда обе экстенсивности по отношению к его
интенсивности могут быть названы долготою. Таким образом,
скорость будет иметь двоякую долготу, подобно тому как
она имеет двоякую экстенсивность, причем в пределах
той и другой экстенсивности1) интенсивность может
разнообразно варьировать. И так как дифформность
проистекает из того, что интенсивность получает разнообразное
протяжение, то отсюда следует, что движение (или
скорость) может обладать двоякой дифформностью, равно как
и двоякою упиформностыо: во-первых, соответственно
частям (или протяженности) движущегося, что собственно
именуется униформностыо или дифформностью, и,
во-вторых, соответственно частям (или продолжительности)
времени, что собственно именуется равномерностью или
неравномерностью (regularitas ver irrégularités).
Следовательно, с точки зрения предмета (ratione subiecti)
движение обладает униформностыо или дифформностью, а
с точки зрения времени (или в соответствии со временем)—
равномерностью или неравномерностью. И соответственно
этому говорится, что движение неба дифформно, но
равномерно [*]. Что касается движения тяжелого тела вниз,
оно может быть, наоборот, униформным и неравномерным
или равномерным, притом равномерным и униформным,
или дифформным и неравномерным. Однако невозможно,
чтобы круговое движение было униформным. Лишь следуя
привычному словоупотреблению, я буду называть в несоб*
ственном смысле равномерность униформностыо и
неравномерность дифформностью, однако сопровождая додал*
нительным (или, вернее, первичным) определением.
Глава 2
[О том, что такое время, и что оно ие дифформно]
Первой из всех последовательных вещей является время,
ибо в одном своем значении время есть сама длящаяся
последовательность (successio morosa) вещей, способных
г) В тексте 14580 ошибочно: in utraque istarum intensionum,

84 н. орем
изменяться в соответствии с «прежде» и «после», иначе
говоря, их последовательная длительность (duracio suc-
cessiva). И в таком понимании время не есть движение,
а есть последовательность самого движения или
движущегося, ибо даже если бы все покоилось, тем не менее
продолжало бы существовать время, И если все движущееся
двигалось бы быстрее, чем теперь, время не ускорилось
бы. Таким образом, время в одном значении есть некая
акциденция, относящаяся к категории «когда». И оно
не тождественно с вещью, существующей во времени,
однако и неотделимо от нее, ибо без такойвещи оно не может
существовать, не заключая в себе противоречия, и не может
быть отделено от нее даже под действием абсолютной
божественной силы. Вот почему, говоря строго, время в
таком понимании не есть некая вещь, а модус вещи, как
говорит Аристотель, утверждающий, что акциденция не
есть вещь, а нечто, присущее вещи, т. е. состояние (dis-
posicio) вещи [№], Таким образом, время называется чем-то
сущим (ens), или вещью омонимически. И оно не может
быть обозначаемо наподобие субстанции просто, без по-
ставления в связь с чем-то другим (simpliciter incomplexi-
ve), а обозначается в связи с чем-то другим (complexi-
ve), и притом путем незавершенного мысленного полага-
ния, пусть само оно и принадлежит к числу таких вещей,
которые не получают наименования соответственно какой-
либо завершенной связи'). И в более строгом смысле время
подобает обозначать посредством синкатегорем I30],
например, посредством временных наречий, нежели
посредством существительных, хотя необходимость речи и
заставляет пользоваться существительными для его
наименования.
Итак, подобного рода длительность или
последовательность, как бы ее ни называть, не обладает какой-либо
интенсивностью, а лишь некоей протяженностью в
соответствии с «прежде» и «после». И поскольку в
предшествующей главе сказано, что дифформность проистекает из
различного протяжения интенсивного, постольку в этом смыс-
г) В рукописи 7371 (В) дальше: ut dicit Aristoteles (как говорит
Аристотель).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 85
ле время никак не может быть дифформным, и даже, строго
говоря, не может быть униформным, подобно тому, как
оно не называется быстрым или медленным. Однако в
несобственном смысле время может быть названо
униформным, ибо та длительность, каковой является, по
сказанному, время, измеряется в несобственном смысле
посредством униформного, т. о. равномерного движения. Вот
почему в другом значении, обычном у Аристотеля, слово
«время» применяется к тому движению, посредством
которого нами наиболее подходящим образом измеряется
вышеназванная длительность (morosa duracio), а именно к
движению неба. Оттого-то некоторые названия, означающие
круговращения неба и части их, считаются названиями,
означающими время, например, год, день, месяц и т. д.1).
И так как посредством одного такого оборота или части
его мы измеряем и счисляем а) все единое и великое
движение (totum uiium magnum motum), говоря, например,
что столько-то лет составляют тысячу дней3), то поэтому
время называется числом движения. Далее, поскольку
того же движения неба достаточно для измерения всех
длительностей изменчивых вещей4), существующих
одновременно, т. е. таких, одна из которых не существует
раньше, чем другая-, постольку в соответствии с этим
говорится5), что одно и то же время существует на небе, в мо£е
и т. д. Но хотя время, понимаемое в этом смысле, и
тождественно униформному или дифформному движению, тем
не менее движение измеряет его продолжительность не
в соответствии со своей [униформностью или] дифформ-
ностью.. Вот почему, каково бы это движение ни было,
пусть даже время не будет ничем иным [как этим
движением!, поскольку в наименовании «время» не соозначается
*) annus, dies, mensis etc., 14580; liora, dies, annus, raensis etc.
7371 (B).
2) Слова «vel numeramus» отсутствуют в рукописи 14580 и
восполняются по тексту 7371 (В).
3) tot anni sunt mille dies 14580; tot anni sunt mille anni, dies
etc. 7371 (B).
*) rerumj mutabtlium 14580; rerum naturalium (природных
вещей) 7371 (В).
6) Слово dicitur пропущено в 7371 (В).

86 H. ОРЕМ
какая-либо интенсивность, требующаяся для униформно-«
сти и дифформности, постольку, как бы ни существовало
время, оно отнюдь не называется в строгом смысле
униформным или дифформным1).
Глава 3
[О величине интенсификации скорости]
Поскольку та и другая униформность движения,
указанная в гл. 1, заключается в одинаковости интенсивности,
а та 0 другая дифформность проистекает из
неодинаковости, следует сначала сказать, на основании чего
определяется градусная величина (quantitas graduaïis)
интенсивности самой скорости.
В отношении скорости можно принимать во внимание
три близкие друг другу особенности: во-первых,
величину суммарной скорости (velocitatis totalis), с учетом
интенсивности и экстенсивности, о чем будет речь в
третьей части настоящего трактата2); второе, что можно
принимать во внимание — это обозначение, благодаря
которому говорится, что предмет становится таковым3) быстрее
или медленнее, о чем речь будет в следующей главе;
третье—это сама градуальная интенсивность, которая играет
роль в данном отношении, и о ней нужно сказать теперь.
Итак, я утверждаю в общей форме, что тот градус
скорости оказывается абсолютно более интенсивным, или
большим, при котором за равное время более
приобретается или теряется от того совершенства, в соответствии
с каковым движение совершается. Например, при
пространственном движении этот градус скорости тем
интенсивнее и тем больше, чем большее пространство или
расстояние проходится. При качественном изменении
аналогично градус скорости тем интенсивнее или тем больше,
чем более приобретается или теряется от качества интен-
*) Последние слева «vel difforme» отсутствуют в 7371 (В).
я) В 7371 дальше: «который будет посвящен мерам качеств
и скоростей».
s) tale fieri 14580; calefieri {«нагреваетсн») 7371 (В).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 87
ghbhocth. Также и при росте: чем больше приобретается
от количества и чем больше теряется при убывании. И так
вообще всюду, где есть движение и т. д.
Глава 4
[О различных видах скорости]
Нельзя пройти мимо того, что одно и то же движение
или течение (iluxus) обозначается посредством многих
названий, имеющих различный смысл. В соответствии
с этим и скорость, относящаяся к соответствующим
предметам, определяется или измеряется различно. Таким
образом, величина градуальной интенсивности
определяется многими способами, к которым, однако, применима
первая характеристика (descriptio), приведенная в
предшествующей главе. Например, при круговом движении
о двия*ущемся говорят, что оно движется и что оно кру-
говращается. Интенсивность скорости продвижения (то-'
Monis) определяется по куску пути (spacium lineare),
проходимому с этим градусом, тогда как интенсивность
градуса скорости кругового движения определяется по
углам, образуемым в центре. Отсюда оказывается, что то
или иное движущееся в. сравнении с другим продвигается
быстрее, но тем не менее круговращается медленнее. Так,
например, Марс движется быстрее Солнца, если принимать
во внимание его собственное движение, по большему кругу,
и тем не менее Солнце быстрее совершает круговой оборот
н быстрее обращается около центра. От этого оказывается
также,-что небо движется дифформно, а круговращается
униформно. Ведь части его, находящиеся около полюсов,
движутся медленнее, нежели другие, и тем не менее
обращаются с тою же [угловою] скоростью, что и другие.
Астрономы (astrologi), впрочем, более обращают внимание
на скорость обращения (circuitionis), чем на скорость
передвижения (motîonis).
Равным образом и при прямолинейном движении,
например, при опускании вниз (descensus), скорость
движения определяется по пройденному пути, тогда как
скорость-опускания определяется по приближению к центру.

88 H. ОРЕМ
Вот почему возможно, что а и Ь движутся с одинаковой
скоростью, и притом вниз, и тем не менее опускаются не
с одинаковой скоростью, а именно потому, что а движется
по прямой линии к центру, а Ь по круговой или поперечной
и таким образом а будет опускаться быстрее, чем Ь,
которое, однако, движется с такою же скоростью.
Равным образом спуск по наклону (condescensus)
определяется в соответствии с пропорцией приближения
к центру. Может оказаться, что тело, движущееся
униформно или равномерно, опускается дифформно по линии,
проведенной от центра, ибо оно будет быстрее
приближаться к центру, находясь вблизи, нежели вдали, и тем
не менее, однако, всегда будет сохраняться одна и та же
скорость движения.
Равным образом при качественном изменении
случается, что одно и то же побеление есть одновременно
приобретение белизны и усвоение ее, и тем не менее в
отношении одного предмета приобретение белизны происходит
быстрее, чем усвоение ее в другой, или наоборот. Более
того, иногда предмет становится по белизне более
интенсивным, а усвоение ее ослабевает, иногда же [и т. д.].
То же можно сказать и о прочем.
Равным образом при росте скорость приобретения
определяется по величине приобретенного, тогда как скорость
возрастания (или роста) определяется из отношения,
существующего между величиной в начале движения и
воображаемой величиной в конце его [31]. И так
соответственно о частях возрастания. В результате одно движущееся
тело иногда быстрее приобретает величину, нежели
другое, и тем не менее возрастает медленнее, так, например,
большое дерево, вырастающее за день на два пальца,
и малое дерево, возрастающее на один палец. Ведь
большое дерево быстрее приобретает величину, а возрастает
медленнее. Иногда же бывает наоборот. Отсюда явствует,
что если скорость приобретения величины униформна, то
скорость возрастания дифформна, и наоборот.
Соответственно то же можно сказать и об убывании.
Аналогично при разрежении одним и тем же течением
(t luxus) является движение частиц (или точек движущегося)
и разрежение его же, и тем не менее, если разрежение уни-
трактат о конфигураций качеств 89
формно, то пространственное движение частиц или точек
дифформно по скорости.
Вообще же говоря, тот градус скорости интенсивнее,
или больше, при котором за равное время предмет
становится в большей мере таким или большим по величине
в соответствии с тем обозначением, согласно которому
говорят о быстроте приобретения, каково бы это
приобретение ни было. Пример: градус скорости опускания тем
больше, чем больше опускается движущийся предмет, или
опускался бы, если бы продолжал движение. Равным
образом1) градус кругообращения тем больше, чем больше
движущийся предмет круговращается и т. д. И градус
усвоения тем больше, чем больше происходящее
уподобление и т, д. Градус возрастания — тот, при котором за
равное время предмет становится большим, и так о прочем.
И, как уже было сказано, соответственно
многочисленным обозначениям разнообразно варьирует или
обозначается скорость, а соответственно становится различной
униформность и дифформность.
Однако поскольку слово «движение» в отношении
некоторых вещей употребляется в собственном смысле,
особенно в отношении качества и в отношении места
(ubi), к другим же вещам приложимо лишь косвенным
образом, как, например, к другим выше приведенным
понятиям, а именно пропорциям и т. д., постольку теперь
я главным образом намерен сказать об униформности
и дифформности пространственного движения и
"качественного изменения, о прочем же можно говорить
соответственно сказанному о них.
Глава 5
[О некоторых Других последовательностях в движении}
Кроме троякой делимости или последовательности,
наличной в движении и указанной в гл. 1 настоящей части,
можно вообразить2) и две Другие последовательности
L) Similiter 14580; simpliciter 7371.
и) ymaginari 14580; assigner! («указать») 7371 (В)

90 Н. ОРЕМ
в движении, впрочем, сводимые к ражее указанным. Ведь
в движении иногда последовательность варьирует в
зависимости от своего начала: например, в случае
пространственного движения возможно, что движущееся
начинает двигаться все сразу, и возможно, что оно начнет
двигаться часть за частью. Можно вообразить, что точка d
течет на движущемся ab так, что пройденная точкой d
часть приходит в движение, а часть, еще не пройденная,
покоится до тех нор, пока не будет пройдена точкой d;
это имеет место, например, с гибким прутом, который
начинает двигаться именно так. Как раз это имеет место при
качественном изменении, где обнаруживается
последовательность соответственно квантитативным частям предмета.
Равно и при возникновении материальной субстанциальной
формы, где также имеет место последовательность
соответственно квантитативным частям, или соответственно
протяжению, а не соответственно градуальным частям и
интенсивности, например, при возникновении огня. Такого
рода последовательность до известной степени
уподобляется пространственному движению, как явствует из
приведенного примера с движущейся точкой d. А до
известной степени она уподобляется возрастанию,— в том
отношении, что непрерывно становится больше и больше,
или, иначе говоря, все большая и большая часть предмета
приходит в движение или же все больше и больше
порождается формы. И всякая последовательность, которая
при этом обнаруживается, либо имеет место в соответствии
с предметом, либо в соответствии с частями времени, либо
в соответствии со скоростью последовательности в самом
предмете. Соответственно в приведенном примере
воображают, что точка d движется быстрее иди медленнее, и
таким образом все сказанное сводится к подразделениям,
приведенным в гл. 1. Оттого всякая униформность или диф-
формность, которую можно обнаружить в этой
последовательности, должна быть сведена к двум родам
униформности и дифформяости, которые указаны в первой главе
и к которым она и сводится.
Наряду с этим можно вообразить и некую иную
последовательность. Ведь всякая скорость способна интенсифи-
пироватьсяи ослабевать. Ее непрерывная интенсификация
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 91
называется ускорением (velocitacio)1). Подобное ускорение,
или возрастание скорости может совершаться быстрее или
медленнее, отчего иногда бывает, что скорость
интенсифицируется, а ускорение ослабевает, между тем как в
других случаях и скорость, и ускорение интенсифицируются.
И равным образом такое ускорение происходит иногда
униформно, а иногда дифформно, и по-разному.
Поскольку же всякая делимость2) или
последовательность, обретающаяся в такой скорости, бывает разной
либо соответственно частям времени 3), либо
соответственно частям предмета, либо соответственно градуальной
интенсивности1), из каковой троякой делимостиБ)
получается двоякая униформность и дифформность, как
показано было в первой главе, постольку униформность и
дифформность любой части, которая может получиться от
этого, сводится к двум вышеуказанным родам, а именно
к униформности соответственно частям предмета и к уни-
формноети соответственно времени. То же относится и
к дифформности.
О той, которая была названа дифформностыо
соответственно частям движущегося предмета, я скажу сначала*).
Глава 6
[О дифформности скорости соответственно
квантитативным частям]
Об униформности предмета (uniformitas subiectiva)
и дифформности скоростей применительно к их
конфигурации и разнообразию фигур нужно сказать то же, что
1) «...eius vero continua intensio vocatur velocitacio. Нес
quidem velocitacio seu augmentacio velocitatis potest fieri velocius
aut tardius» 14580. У Борхерта, видимо, ошибочно: augmentacio
velocitacionis.
2) divisibilitas 7351 (B); diversitas («разница»), 14580.
*) У Борхерта неверно: corporis.
*) Исправляю по 7371 (В). В тексте 14580: extensionem.
fi) dmsibilitate (7351 В) лучше, чем divisione (14580).
в) В рукописи 14580: secundum partes subiecti primo mobilis
dicam. Очевидно, следует: secundum partes subiecti mobilis primo
dicam.

92 H. ОРЕМ
в первой части настоящего трактата было сказано об уни-
формности и дифформности постоянных качеств (регша-
неасшш qualitatum). Ведь дифформность скорости может
быть воображаема таким же образом, в таких же
соотношениях и конфигурациях, и может видоизменяться
столькими же способами, сколькими способами, как раньше
было показано, может варьировать дифформность
качеств. А именно, она может
кончаться на граду сей не-гра-.
дусе, быть дифформностыо
простой или сложной, причем
сложная может иметь
многообразные различия. То же
можно сказать и о всех других
отличиях, указанных выше.
Рис. 28. Например, пусть ab —
движущаяся линия;
возможно, что любая из ее точек а, с, d, Ь по сравнению с другой
движется с равной скоростью, т.е. все одинаково быстро, и
притом либо пространственно, либо качественно. Тогда
скорость будет униформной в отношении частей предмета.
Возможно, что скорость точки а окажется вдвое больше,
чем скорость точки с, разделяющей ab пополам, а скорость
с — вдвое больше, чем скорость точки d, делящей
оставшуюся половину пополам, и в той же пропорции будет
скорость других точек. Поскольку в последней точке Ь
нет никакой скорости, постольку в этом случае скорость
окажется униформно-дифформной, кончающейся на
неградусе в точке Ъ. И ее можно воображать в виде
треугольника, имеющего основанием линию ab и по высоте
пропорционального этой скорости по интенсивности.
Очевидно также, что существует другая униформно-диф-
формная скорость, кончающаяся на обоих концах на
градусе, и еще другая, дифформно-дифформная
любого вида.
Приведенный пример относится к скорости линейной,
которую следует воображать в виде плоской фигуры,
сходно с линейным качеством. И точно таким же образом можно
говорить в данном случае о плоскостной и телесной
скорости, как в первой части настоящего трактата говорилось
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 93
о конфигурации качества. Ведь все понятия (notificacio-
nes) и обозначения (descriptïones) качественной униформ-
носгаи дифформности, указанные в первой части в главах
11-й, 12-й и 13-й, применимы к униформности и
дифформности скорости, если ими воспользоваться. И они могут быть
легко к ним приложены.
Глава 7
[О некоем различии между пространственным движением
а качественным изменением]
Хотя все виды дифформности могут обретаться в
движении качественного изменения, а также в
пространственном движении, тем не менее прямая линия может
испытывать качественное изменение определенной дифформности,
оставаясь прямой, и аналогично кривая, оставаясь
кривою линией. Однако прямая не может двигаться
пространственно со скоростью, обладающей дифформной
дифформностыо, и при этом оставаться прямою, за исключением
случаев, когда такая дифформность слагается из двух уни~
формно-дифформных движений. Таковым, например,
является движение диаметра круга, взятого в целом {motus
tocius dyametri cireuli) [8äj. Но этот случай сюда не
относится. Следовательно, прямая линия не может двигаться
дифформно-дифформно иначе, как в отношении частей
предмета. В самом деле: если все точки этой прямой ab
движутся с одинаковой скоростью, движение униформно,
если же с неодинаковой, то такая неодинаковость должна
быть либо непрерывной —■ и тогда это движение униформ-
но-дифформно (таково движение радиуса круга,
обращающегося вокруг неподвижного центра),— либо не
непрерывной (такой, которая называется дифформно-дифформной).
Последнее может иметь место лишь при условии, что линия
перегибается или переламывается в пределах целого,
как это можно легко вывести из описанной дифформности
приведенной в 21-й главе первой части.
Кривая же линия или ломаная может двигаться
соответственно вариациям дифформности, находящим свое
выражение в разнообразии дифформной дифформности; она

94 н.орем
может также двигаться с униформной скоростью, во не
может двигаться со скоростью униформно-дифформной.
Возьмем, например, линию [abed]. Если а, Ь, с, d диф-
формпы, то невозможно, чтобы abed двигалась с униформно-
дифформной скоростью, как это можно было бы с
достаточной ясностью показать на основании сказанного. Ведь
Рис. 29.
всякая линия прямая, кривая, или как угодно дифформ-
ная, будучи изображаема (figurata) на
униформно-движущемся теле, движется с униформной скоростью. Что
касается всякой прямой линии, мысленно обозначаемой
(signata) на кругов решающемся теле, например, на небе,
она движется с униформно-дифформной скоростью, как бы
ее ни обозначать, или во всяком случае со скоростью,
слагающейся jH3 двух униформно-дифформных. Всякая
круговая линия, обозначаемая на небе концентрично оси его
движения (т. е. такая, чей центр находится на оси
движения) движется с униформной скоростью. Однако всякая
другая линия, обозначаемая на небе, будь то круговая,
ломаная или любая искривленная, движется с дифформно-
дифформной скоростью. Показанное на примерах линии
применимо аналогично и к поверхности, имеющей
соответственную фигуру. И всюду в настоящей главе, говоря
об униформности и дифформности, я подразумевал уни-
формность и дифформность соответственно
квантитативным частям предмета.
Глава 8
[О дифформности скорости в отношении времени]
Всякая скорость имеет длительность во времени (omnis
velocitas tempore durât). Следовательно, время или
длительность будет долготою этой скорости, а ее
интенсивность — ее широтою. И хотя время и линия друг с дру-
TPAKTAT О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 95
гом несравнимы по величине, тем не менее между одним
временем и другим нельзя обрести никакого отношения,
которое не было бы находимо в линиях, и наоборот. И
первично оно обретается в линиях, согласно Аристотелю
в 6-й книге «Физики» [33].
Сходно обстоит дело с интенсивностью скорости, а
именно: любое отношение, обретаемое между одною
интенсивностью скорости и другой, обретается аналогично
между линией и линией. Это справедливо и относительно
прочих интенсивностей скорости: всякое отношение,
обретаемое между интенсивностями скорости, обретается
сходным образом между линией и линией, как было сказано
в гл. 2 первой части.
Следовательно, к постижению дифформностей
скоростей мы можем прийти посредством воображения линий,
равно как и фигур. Начертим, к примеру сказать, прямую
линию ab, и пусть движется подвижное d в течение
времени е/ каким-либо образом, криволинейным или
прямолинейным движением (т. е. в высоту), и пусть оно
находится на линии ab или какой-нибудь другой. Восставим
по всей линии ab перпендикуляры в плоскости, каковая
плоскость или площадь (tigura) по своей высоте
пропорциональна скорости d по интенсивности. Я утверждаю
тогда, что этой плоскости или площади может быть
уподоблена скорость движущегося d и удобно воображаема
посредством нее так, что линия ab, являющаяся длиною
этой фигуры, обозначает долготу вариации этой скорости,
а высота той же фигуры будет обозначать интенсивность
в другом измерении (extensione) той же скорости.
Например, если во все мгновения времени е/ скорость
одинаково интенсивна, то тогда в любой точке линии ab
высота повсюду будет одинакова, а фигура униформно-
высока, т. е. окажется прямоугольным
четырехугольником, обозначающим эту абсолютно-униформную скорость.
Если же в первое мгновение этого времени будет
приобретена екорость, а в среднее мгновение всего времени
скорость окажется вдвое меньшей, в среднее же мгновение
второй половины вчетверо меньшей и так в той же
пропорции будет с остальными мгновениями, а следовательно,
в последнее мгновение скорость станет нулевой, то тогда

96 H. ОРЕМ
на линии ab окажутся линии высоты, образующие
вышеуказанную пропорцию, и получится фигура
прямоугольного треугольника, обозначающего эту скорость, каковая
скорость униформно-дифформная, кончающаяся на не-гра-
дуее в последнее свое мгновение.
Короче говоря, всякая униформность и всякая дифформ-
ность скоростей может быть обозначена и описана теми
же способами, которые были указаны в первой части
настоящего трактата для униформности и дифформяости
качеств, в трех главах — 11-й, 12-й и 13-й. Равным
образом, дифформная дифформноеть скорости в отношении
времени имеет столько же родов и видов и столько же
конфигураций, и такие же, как упомянутые в первой части
настоящего трактата, в главах 14-й, 15-й и 16-й, в связи
с днфформной дифформноетыо. Итак, существует четыре
простых и шесть сложных видов дифформной дифформ-
ности скорости в отношении времени, к Познанью
каковых легко прийти путем воображения фигур, и до сих
пор не существует другого пути, пусть он и несравнимо
труднее, чем путь к первым [т. е. к видам дифформно-диф-
формной скорости в отношении частей предмета].
Глава 9
[О сравнении обоих видов дифформности]
Относительно униформности в этом смысле трудность
невелика. Однако, как было сказано в гл. 1 настоящей
части, существует двоякая дифформноеть скорости1)—
относительно предмета (subiecüva) и относительно
времени (temporalis) Iм]. С интересующей нас в настоящей
книге точки зрения они различаются тем, что скорость
точечная (ptmctualjs) должна бьхть вообразима в виде
линии, линейная скорость относительно предмета — в виде
поверхности или плоской фигуры, скорость плоскостная
в виде тела, равно и телесная скорость в виде некоего тела,
как было сказано о конфигурации качества в гл. 18
первой части. Но если точечная мгновенная скорость (punetua-
г) В тексте 14580: velocitatis difficultas (вместо diftormitns).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 97
lis instantanea) воображается в виде прямой линии,
то скорость точечная временная {temporalis) воображается
я виде плоскости, временная линейная скорость — в виде
тела, равно как плоскостная и телесная воображаются
в виде тела, ибо четвертого измерения существовать
не может, как явствует из гл. 4 первой части.
И отсюда явствует, что- у движущейся линии
дифформноеть предметная (subiectiva) обозначается посредством
плоскостной фигуры, которая соответствует единице
времени, а дифформноеть скорости движущейся точки
обозначается посредством плоскостной фигуры. И поскольку
к познанию указанных выше телесных форм мы можем
прийти через познание плоских фигур, постольку из
сравнения предметной дифформности скорости движущейся
линии с временной дифформиостью скорости движущейся
точки можно получить соотношение других видов
дифформности.
Пусть, стало быть, мы имеем для примера линию ab,
движущуюся каким-либо образом в пространстве или
изменяющуюся качественно. Обозначим на ней точку d,
которая также движется. Тогда может случиться, что
предметная дифформноеть скорости линии ab будет
подобной и пропорциональной и имеющей ту же конфигурацию,
что и временная дифформноеть скорости точки d. А может
случиться, что эти дифформности будут иметь разную
конфигурацию, такую или иную. Тогда, очевидно, можно
сказать о точке а и о любой точке, обозначенной на
линии ab, или же вне ее, что иногда предметная
дифформноеть ее движения и временная дифформноеть подобны
друг другу, а иногда не подобны, иногда имеют созвучное
несходство, а иногда несходство несозвучное,
соответственно воображаемым фигурам, описанным в гл. 21
первой части. И это является общим для всех движений.
Кроме того, в высоте обнаруживается третья
дифформноеть, а именно самого качества, так что там в общем итоге
имеется тройная конфигурация: одна — качества и две —
качественного изменения или его скорости. И между всеми
ними может существовать разнообразное сходство и
несходство, соответственно разнообразным видам ранее
указанных конфигураций.

98 и. орем
[Глава 10. О причинах некоторых действий в соответствии
с ранее сказанным; гл. 11. О красоте конфигураций скоростей;
гл. 12. О конфигурации скоростей неба.]
Глава 13
[О дифформноети некоторых последовательных вещей]
Из вещей одни являются переменными (successive),
так что не могут каким-либо образом пребывать. Таковы
время и движение. Другие являются постоянными
(permanentes), так, что хотя они обладают бытием или
продолжительностью во времени, делимого и
последовательного, однако их сущность в течение всего этого времени
пребывает тою же и не может быть переменной иначе, чем
бывают неделимые и неизменные субстанции [*]. Первая
из таковых, бог, не обладает природой переменности и не
порождает в самой себе бытия, обладающего какой-либо
переменностью, но пребывает неделимо в неопределимо
сама в себе в своей неделимой и неизменной х) вечности,
каковая и есть не что иное, как сам бог.
Другие ше вещи имеют природу постоянную, каковая
может быть, однако, последовательной в своем целом (fco-
taliter successiva). Таковы некоторые акциденции, а
именно отношение, подобие, кривизна, разреженность и
вообще всякое качество, способное интенсифицироваться и
ослабевать I38]. Ведь как при интенсификации кривизны или
разреженности получается непрерывно все иная и иная
кривизна или разреженность, а в течение всего этого
времени существует одна последовательно меняющаяся
(successiva) кривизна или разреженность, так,
соответственно и при возрастании отношения или несходства.
То же самое я представляю себе в случае интенсификации
какого-либо качества, способного интенсифицироваться
и ослабевать, например, теплоты, белизны и т. д.
Аналогично в случае ослабления того же качества. И там нет
реального множества или наложения градусов друг на
друга (superposicio graduum), как воображают некото-
г) interraiuabili 14580; immutabüi 7371 (В).
трактат о КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 99
рые Е37]. Стало быть, такое качество1) в течение всего
времени, пока происходит качественное изменение, есть
качество последовательное (qualitas successiva) и в любой своей
части есть иное и иное. Но такое качество, поскольку
оно существует в предмете, есть вещь пребывающая,—
в смысле этого качества предмет вовсе не изменяется.
Таким же образом, следовательно, существует отношение
пребывающее и отношение последовательное, и
несходство, одно — пребывающее, а другое последовательное.
То же справедливо о других отношениях. Равным
образом существует кривизна пребывающая и кривизна
последовательная. Так же обстоит с разреженностью, а равным
образом с теплотою и белизною, из каковых одни
пребывающие, а другие последовательные. И так же — со
всеми качествами, способными интенсифицироваться и
ослабевать, равно как и с акциденциями, способными
интенсифицироваться и ослабевать, например, с остротою
угла.
Третьи вещи это такие, сущность которых
пребывающая и вместе с тем может быть последовательной в
отношении части, но не в отношении целого. Такова,
например, субстанциальная форма, приобретаемая
последовательно по квантитативным частям предмета, но не в
смысле интенсификации. И так же, я полагаю, обстоит с любой
материальной субстанциальной формой. Равным образом
и с плоским или телесным углом. Ведь в процессе
приобретения или утраты такой формы последняя непрерывно
бывает иной и иной в отношении частей, но не целого
(secundum totuin), и в течение всего этого времени в целом
она есть вещь последовательная в отношении частей (раг-
tialiter successiva). А при отсутствии такого движения
она есть вещь постоянная. Итак, стало быть, во всех
подобных вещах, последовательных либо в отношении
целого, либо в отношении частей, вещь, обладающая такою
последовательностью, что в одну часть времени она по
сравнению с другою более интенсивна, чем в иную часть
времени, обладает большей или меньшей униформностью или
дифформностью, и в соответствии с этим, согласно ранее
*) qualitas 14580; caliditas (теплота) 7371 (В).

100 H. ОРЕМ
установленным принципам изображения, она получает
различную конфигурацию, наподобие дифформности
скорости соответственно частям времени, о которой было уже
сказано. Отсюда следует, что в вещи, обладающей такого
рода последовательностью, время есть долгота, и
интенсивность (или величина ее) есть ее широта. Это можно
пояснить на примере теплоты, кривизны, формы огня
и т. д.
Следует, однако, заметить, что вещь последовательная
в целом (totaliter successive), каковы отношение, кривизна
или белизна, не может быть униформной, хотя скорость
интенсификации ее и может быть униформной. Зато
возможно, что вещь последовательная в отношении частей
может быть униформной, если, например, нечто
количественно возрастает в одной части и ровно на столько же
убывает в другой части. Если же такая вещь не убывает
в другой части (или убывает не ровно на столько же),
тогда она будет дифформной.
[Глава 14. Каким образом некоторые причины действуют
согласно сказанному; гл. 15. О природе и дифформности звуков;
гл. Iß. О красоте и темперации звука абсолютно единого; гл. 17.
О красоте звука, который называется единым во втором значении;
гл. 18. Разъяснение сказанного посредством примеров и действий;
гп. 19. О красоте звука, который называется единым в третьем
значении; гл. 20. О красоте звука, который называется единым в
четвертом значении; гл. 21. Повторение изложенного; гл. 22. О других
обстоятельствах, способствующих красоте звука; гл. 23. О
причинах, которым должны быть приписаны, в соответствии со
сказанным, многие действия; гл. 24. Удостоверение в том, что музыка
будет существовать в будущем веке; гл. 25. О приложении
дифформности звуков к магическому искусству; гл. 26. О фундаменте
магического искусства и первом его корне; гл. 27. О доказательстве
ранее сказанного из различия возрастов и комплекций; гл. 28, То же
доказывается из различия возрастов человека; гл. 29.
Аргументируется еще в пользу того же из отчуждения и самозамыкания души;
гл. 30. Аргументируется в пользу того же иа получающихся и
благоприятствующих фигур; гл. 31. О втором корне магического
искусства; гл. 32. О некоторых особенностях корня этого искусства;
гл. 33. О третьем корне магического искусства; гл. 34. О видах
обмана души посредством магического искусства и т. д.; гл. 35.
Уточнение некоторых положений, приведенных ранее; гл. 36. О
дифформности действий души; гл. 37. О причинах некоторых действий
в вашем собственном теле; гл. 38. О причинах некоторых действий
в чужом теле; гл. 39. О дифформности страданий; гл. 40. О
дифформности удовольствий.]
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИ КАЧЕСТВ 101
ЧАСТЬ III
[О ПРИОБРЕТЕНИИ И МЕРЕ КАЧЕСТВА И СКОРОСТИ]
Глава I
[Каким образом следует представлять себе
приобретение качества]
Из гл. 4 части второй явствует, что
последовательность в приобретении качества бывает двоякая:
соответственно экстенсивности/и соответственно интенсивности.
Итак, экстенсивное приобретение линейного качества
должно быть воображаемо в виде двия1ения точки,
текущей по самой линии предмета так, что пройденная часть
оказывается наделенной качеством, а часть еще не
пройденная — не наделенной; например, если точка с станет
двигаться по линии ab, и все, что пройдено, будет белым,
а все, что не пройдено, еще остается черным. Что касается
экстенсивного приобретения плоскостного качества, оно
должно быть представляемо в виде движения линии,
отделяющей плоскость, претерпевшую изменение, от другой
части, еще не изменившейся. Экстенсивное приобретение
телесного качества должно быть представляемо в виде
движения плоскости, отделяющей часть, претерпевшую
изменение, от части еще не изменившейся.
Интенсивное приобретение точечного качества должно
быть воображаемо в виде движения1) точки, непрерывно
располагающейся над точкой предмета, а интенсивное
приобретение линейного качества должно быть
представляемо в виде линии, поднимающейся перпендикулярно на
линии предмета и s своем течении или подъеме
оставляющей след в виде плоскости, посредством которой
обозначается приобретенное качество. Например, пусть ab —
линия предмета. Я утверждаю, стало быть, что
интенсификация (intensio) .точки а воображается в виде движения
или соответственного подъема точки с, а интенсификация
линии (или приобретение ею интенсивности) — в виде
подъема линии cd. Приобретение интенсивности плоскост-
>) В рукописи 14580; per modum (вместо per motmn).

102 Н. ОРЕМ
ным качеством соответственно должно быть воображаемо
в виде подъема плоскости, которая при своем
воображаемом движении оставляет след в виде тела, посредством
которого и обозначается это качество. Аналогично1}
приобретение интенсивности телесным качеством
воображается в виде движения плоскости качества, ибо плоскость
при своем воображаемом_ движении оставляет след в виде
тела, и невозможно быть четвертому измерению, как
явствует из 4-й главы первой части.
И так, как сейчас было сказано о приобретении
качества, так соответственно следует говорить и воображать
об утрате его, безразлично, утрачивается ли
экстенсивность или интенсивность. Ведь такая утрата воображается
посредством указанных движений теми способами, какие
были изложены. И так же, как теперь было сказано о
приобретении качества, так соответственно следует говорить
и воображать о приобретении или утрате скорости, как
в отношении интенсивности, так и экстенсивности.
Глава 2
[Приложение сказанного к униформности
и дифформности]
Как сказано в гл. 10 первой части, верхняя линия
фигуры, посредством которой воображается линейное
качество, называется в указанном случае линией верхнего
края (Hnea summitatis). Аналогично верхняя поверхность
всей той телесной фигуры, посредством которой
воображается плоскостное качество, а также телесное, называется
поверхностью верхнего края (superficies summitatis).
Теперь, как сказано было в главах 13 и 17 первой части,
всякий раз, когда этот верхний край, будь он линия или
поверхность, параллелен основанию, качество униформно;
всякий же раз, когда этот верхний край прямой и не
параллелен основанию или ие обладает эквивалентностью,
качество униформно-дифформно; наконец, всякий раз,
когда он имеет отличные от сказанного свойства, качество
х) В тексте 14580: sitaplkiter {вместо similiter)
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 103
(или интенсивность) оказывается дифформно-дифформ-
вым.
К этому представлению нужно присоединить движение
верхнего края, посредством которого обозначается
приобретение, как явствует из предшествующей главы. И
каждый легко может уяснить себе, каким образом из
сказанного можно с очевидностью вывести многое; из всего
этого я приведу кое-что, не ради полноты, но ради
упражнения1).
Ведь согласно словоупотреблению нынешних ученых
(moderni), если линия преобразуется из прямой в кривую
и наоборот, может быть дано первое мгновение, в которое
она является прямой, равно как и последнее; однако не
может быть дано первое или последнее мгновение, когда
она бывает кривой или ломаной [88]. Зато следует:
«теперь она кривая, -следовательно, и еще будет кривой»,
а также следует: «значит, и раньше она была кривой».
И линия может быть прямой только мгновение, но она
не может быть кривой или ломаной в точности мгновение
(precise per instans). То же справедливо о поверхности,
й так как прямизна линии или поверхности верхнего
края обозначает, что качество абсолютно униформно или
униформно-дифформно, а кривизна в какой-нибудь точке
того же верхнего края означает, что качество3) дифформно-
дифформно, как только что было сказано, то отсюда
следует, что могут быть даны первое и последнее мгновение,
в которые качество униформно или униформно-дифформно,
но не могут быть даны первое или последнее мгновение,
в которые оно дифформно-дифформно. Из этого также
следует, что если оно дифформно-дифформно,, то и еще
будет таковым, и раньше было дафформно-дифформным,
и что предмет может быть униформно-дифформным
только мгновение, равно как и униформным только мгновение.
Иначе говоря, качество может быть униформным или
униформно-дифформным в течение одного только
мгновения. И так же можно рассуждать о прочем, что легко
сделать на основании вышесказанного.
*) В рукоииси 14580 текстискажен: ex vitam (вместо exercieii?).
3) В тексте 14580 ощнбочно: curvitatem (вместо qualitatem).

104 н. ОРЕМ
Глава 3
[О некоторых короллариях к сказанному]
Как только что было сказано о прямизне линии или
поверхности, так можно говорить и вообще о
параллельности какой-нибудь линии или поверхности к другой;
ибо могут быть первое и последнее мгновения, когда какая-
нибудь линия параллельна другой, и она может быть
параллельной к другой только мгновение. И как было
сказано о кривизне линии, так в этом смысле нужно
говорить и о всех непараллельных линиях. И поскольку
параллельность обозначает униформность, а непараллельвость-
дифформноеть, то из предшествующей главы явствует,
как и прежде, что может быть дано первое, равным
образом и последнее мгновение, в которое качество униформно
(или иначе, когда оно не дифформно). Аналогично
и об остальном ранее сказанном.
Далее, любое качество может быть
униформно-диффоумным только мгновение, однако оно не может быть [ди-
формно1-дифформным только мгновение. Далее, хотя и
может быть дано первое мгновение, когда оно униформно-
дифформно, равно как и последнее, тем не менее, может
случиться, что его не дано.
Однако это не может случиться, если даны первое и
последнее мгновение, когда оно униформно, Ведь если
совершается переход от дифформно-дифформного качества
к униформно-дифформному, тогда может быть дано первое
мгновение, в котором оно униформно-дифформно; и если
будет наоборот, то может быть дано последнее мгновение,
когда оно униформно-дифформно. Если же от абсолютно-
униформного совершается переход к
униформно-дифформному, тогда не может быть дано первого мгновения, когда
качество униформно-дифформно, но лишь последнее
мгновение, когда оно не униформно-дифформно.
Точно так же не может быть дано последнее
мгновение, когда оно является таковым (ultimum in quo sic),
но лишь первое, когда оно не является таковым (primum
in quo non). Вот что вкратце становится явным из
рассмотрения прямизны и параллельности линий.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 105
Далее, возможно, что на протяжении всего времени
качественного изменения качество дифформно-униформно1),
а в мгновение, завершающее это изменение, оно
униформно. Далее, возможно, что предмет вовсе не имеет того
качества, в отношении которого он должен изменяться,
а непосредственно вслед за тем он униформно-дифформен
в отношении него. Это явствует из примера. Пусть линия
се, которая находится на другой линии cd, являющейся
линией верхнего края, располагается над линией
предмета ab и начинает быстрее подниматься на одном
конце, нежели на другом. Отсюда вытекает возмошвость,
что весь предмет сразу [во всех своих частях] начнет
изменяться в отношении какого-либо качества, но ни в
одном градусе этого качества он не начнет изменяться весь
сразу, а в каждом градусе постепенно (pars post partem).
Например, в отношении белизны он [в отношении своих
частей1 изменяется не постепенно, но в любом градусе
белизны изменяется постепенно. Тогда он весь сразу [во
всех своих частях] начинает быть белым, но ни в одном
градусе не начинает сразу быть белым, а в каждом из
них последовательно. Все это, сказанное о качестве, может
быть сказано о скорости и соответственно применено к ней.
Глава 4
Добавление еще некоторых других короллариев
В свою очередь непараллельность двух прямых линий
или поверхностей может сколь угодно возрастать и
равным образом сколь угодно убывать, а именно вплоть до
перпендикулярности. Например, если линия cd
непараллельна линии ab, то при опускании точки с в сторону
линии ab эта непараллельность сколь угодно убывает
вплоть до параллельности. И при поднимании точки с
или подъеме линии cds), непараллельность сколь угодно
возрастает до тех пор, пока линия cd не встанет отвесно,
1) В рукописи 14580: sit difformiter vel imiformiter.
a) В тексте 14580: abed.

106 H. ОРЕМ
ибо тогда она наиболее отклоняется от параллельности.
Аналогично можно сказать о непараллельности
плоскостей. А так как уменьшение дифформности обозначается
посредством уменьшения непараллельности, убыная и
возрастая соответственно, то отсюда следует, что
униформная дифформность может сколь угодно убывать вплоть
до абсолютной униформности и сколь угодно возрастать,
отступая от этой абсолютной униформности. Отсюда же
в свою очередь следует, что
.,--**** при постепенном качествен-
^^^"^^ . ном изменении, при кото-
^^*~^"'^ ром ничто не приобретает-
с^~^^ ся мгновенно (subito),
возможно мгновенное из-
i менение в какой-нибудь
точке, линии или плоскости
Рис да до какой-либо суммарной
широты или интенсивности
(ad aliquam latitudmem vel
intensionem totalem). Например, пусть половина
предмета ab— теплая в высшем градусе, а другая половина —
униформно-дифформная, кончающаяся на высшем
градусе в точке с и на не-градусе в точке Ъ так, что Диагональная
линия cb является линией верхнего края фигуры,
обозначающей униформно-дифформное качество. Вообразим
теперь, что линия cb движется до тех лор, пока не займет
положения перпендикулярно к ab, однако таким
образом, чтобы точка Ь все время оставалась неподвижной.
Тогда ясно, что поскольку линия cb непрерывно
поднимается или все более приближается к отвесному
положению, в конце концов получается теплота высшего
градуса и остаток будет непрерывно становиться все более
униформно-дифформным, причем качественное изменение
происходит все время последовательно; тем не менее
в последнее мгновение, которое завершает качественное
изменение, весь предмет имеет теплоту высшего градуса.
Аналогично точка Ь имеет тогда теплоту высшего градуса,
каковая точка непосредственно до того (immediate ante)
была холодной в высшем градусе, т. е. не имела никакой
теплоты.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 107
Точно таким же образом может обстоять дело с линией
или плоскостью в качественно-изменяющемся теле, при
условии, что последняя поверхность качественного
изменения или приобретения качества становится мгновенно
светлой, и допущении, что такое тело не освещает среду
в этой части до тех пор, пока эта последняя поверхность
не станет светлой. Отсюда следует, что свет тела в целом
может порождаться сразу
(simul) и мгновенно
(subito) в какой-либо среде,
хотя физически это и
невозможно.
Далее, хотя первый
случай качественного
изменения предмета ab не
кажется невозможным физи- Рис. 31.
чески, тем не менее
невозможно чему-либо превращаться мгновенно, становясь
из теплого в высшем градусе холодным в высшем градусе и
т.д. Отсюда может быть почерпнут аргумент в пользу того,
что неделимая точка не есть что-либо реальное, ни линия,
ни поверхность, хотя воображение их пригодно для
лучшего постижения меры вещей, как о том было упомянуто
в 1-й главе первой части. Можно было бы привести многое
другое, придерживаясь указанного способа
представления (ymaginacio), но все это говорится не в физическом
смысле и для некоторых кажется либо слишком грудным,
либо невозможным. Здесь же для краткости достаточно
приведенных примеров.
Глава 5
[О мере униформных качеств и скоростей]
Вообще говоря, мера или отношение двух любых
линейных или поверхностных качеств, так же как и
скоростей, соответствуем мере и отношению фигур, посредством
которых они в воображении сравниваются друг с другом.
Я говорю «сравниваются друг с другом», считаясь с
замечанием, сделанным в гл. 7 первой части.

108 н. opbm
Итак, для того чтобы найти меру качества или
скорости а определить их отношения, нужно довериться
геометрии и вернуться к геометрии. Я не буду вдаваться в этот
вопрос подробнее, а ограничусь тем, что заложу основу
для приложения измерения фигур к определению меры
качества и скоростей, пользуясь отдельными примерами
и задачами.
Итак, во-первых, я утверждаю, что отношение любых
униформных качеств, имеющих равные градусы, равно
отношению между предметами [являющимися носителями
этих качеств]. Так, отношение между любыми
четырехугольниками, имеющими одинаковую высоту, равно
отношению между их длинами. Аналогично отношение между
любыми униформными качествами равных предметов
равно отношению между их интенсивностями. Например,
если предметы равны и одно качество вдвое интенсивнее,
чем другое, то более интенсивное качество относится
к другому как 2:1. Однако отношение между интенснв-
ностями не столь близко и не столь легко постигается
путем наглядного представления (per sensum), как
отношение между экстенсивно стями.
Из сказанного следует, что посредством одного лишь
уплотнения качество интенсифицируется, если только не
ослабевает еще по какой-нибудь другой причине, и
посредством одного лишь разрежения оно ослабевает, если только
не возрастает еще по какой-нибудь другой причине. А
из этого в свою очередь следует, что если в одном и том
же предмете находятся вместе обе противоположности
и предмет этот уплотняется, то обе противоположности
интенсифицируются одновременно. Это кажется
согласным с опытом, ибо теплый предмет, уплотнившись и
сделавшись более компактным, сильнее нагревает менее
теплое и сильнее охлаждает менее холодное, чем он делал это
до своего уплотнения. Ведь та и другая
противоположность ощущается в плотном сильнее, нежели она
ощущалась в разреженном. И это представляется вполне
оправданным, ибо в одном лишь уплотнении еще не заключается
истинная причина нагревания,— ведь теплота от него
не прибывает; причина заключается в том, что в
соответствии с интенсификацией происходит пропорциональное
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 109
уменьшение экстенсивности. Хотя и невозможно, чтобы
одна из противоположностей испытывала подлинное
приращение качества от своего уменьшения, тем не менее
вполне возможно, что оно доподлинно интенсифицируется
без возрастания или убывания той и другой
противоположности в своем существе, как это и имеет место при
уплотнении.
Глава 6
[Еще Q том же]
Вновь возвращаясь к тому же, я утверждаю, что в
случае любых униформных качеств, неодинаковых по
экстенсивности и цо интенсивности, если более экстенсивное
вместе с тем более интенсивно, отношение большего к
меньшему равно сложному отношению, образуемому из
отношения такой экстенсивности (или более экстенсивного)
к другой экстенсивности, и отношения одной
интенсивности (или более интенсивного) к другой интенсивности.
А если экстенсивность меньшей из интенсивностей
больше, то тогда отношение одной экстенсивности к
экстенсивности [другого] предмета должно быть отнято от
отношения одной интенсивности к другой, или наоборот;
тогда останется отношение одного качества к другому,
и то качество окажется больше, которое было в более
интенсивном или в более экстенсивном, имевшем большее
отношение.
Например, пусть о — качество втрое более
экстенсивное, нежели качество Ь, и вместе с тем вдвое более
интенсивное. Следовательно, нужно сложить отношение 2 : 1
с отношением 3 : 1 и получится сложное отношение 6:1.
В таком отношении качество а превосходит качество Ь.
Предположим тедерь, что качество а вдвое экстенсивнее
качества Ь, а Ъ втрое интенсивнее качества а. Тогда
нужно отнять отношение 2 : 1 от отношения 3 : 1 и останется
отношение 3 : 2, ибо Ь имело большее отношение, т. е.
3 : 1. Таким образом, качество Ь больше в отношении 3 : 2.
А как одно отношение складывают с другим или
вычитают из другого, этому я научил в трактате, который
озаглавил «Algorismus proportiomim» [8в ].

110 H. ОРЕМ
При указанном измерении всегда следует принимать
во внимание всю экстенсивность качества, будь оно
линейное, плоскостное или телееное. И так же, как говорилось
о мере линейного качества, так следует говорить о мере
скорости, с тою лишь разницей, что вместо экстенсивности
берут время продолжительности (tempus duracionis) этой
скорости и пользуются градуальной интенсивностью. То же
о прочих последовательных вещах.
Например, униформная скорость, продолжающаяся
три дня, равна скорости втрое более интенсивной, которая
продолжается1) один день. И так рассуждают о муке
и наслаждении, равным образом о свете, если мыслят его
как последовательное бытие. Вот почему в книге Исайи
[30, 26] говорится: «Свет луны будет как свет солнца, а свет
солнца будет в семь раз сильнее», т. е. будет как
лунный свет семи дней, ибо свет одного дня, в семь раз более
интенсивный, равен свету, который продолжается семь
дней.
Глава 7
[О мере дифформных качеств и скоростей]
Всякое качество, если оно униформно-дифформно,
по своей величине таково, каким было бы униформное
качество того же или равного ему предмета, соответствующее
градусу средней точки того же предмета, При этом я имею
в виду случай, когда качество линейное. А если оно? было
бы плоскостным, то качество соответствовало бы градусу
средней линии, если телесным,— градусу средней
поверхности, подразумевается всегда соответственно.
Сначала покажем это применительно к линейному
качеству. Пусть, стало быть, мы имеем качество,
воображаемое в виде треугольника abc, униформно-дифформное,
кончающееся на гне-градусе в точке Ь. И пусть d —
средняя точка линии предмета, градус или интенсивность
каковой точки изображается посредством линии de.
Следовательно, качество, униформно распространенное по
l) durât 14580; datur («дана») 7371(B).
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ
111
Рис. :
предмету ab с градусом de, может быть воображено в виде
четырехугольника afgb, как явствует из 10-й главы первой
части.
Из положения 16 первой книги Евклида l40! известно,
что два маленьких треугольника cfe и egb друг другу равны.
Стало быть, больший
треугольник bac, означающий
униформно-дифформное
качество, и четырехугольник afgb,
означающий униформное
качество, соответствующее
градусу средней точки, равны
друг другу. Итак, качества,
вообразимые в виде такого
рода треугольника и
четырехугольника, равны друг другу,
что и требовалось доказать.
Таким же образом можно
вести доказательство в
отношении униформно-дифформного качества, кончающегося
на обоих краях на определенном градусе, как, например,
в отношении качества, представимого в виде
четырехугольника abed. В самом деле, проведем линию de параллельно
нижнему основанию и
получится треугольник ced.
Затем проведем через
градус средней точки линию
fg, равную и
параллельную нижнему основанию,
а также линию gd. Тогда,
по доказанному,
треугольник ced и
четырехугольник efgd равны друг другу,
Рис. 33. следовательно, при общем
обоим четырехугольнике
aedb образуются два равных четырехугольника: одрм aedb,
означающий униформно-дифформное качество, и
четырехугольник afgb, означающий униформное качество,
соответствующее градусу средней точки предмета ab.
Следовательно, согласно 10-й главе первой части, качества,

112 H. ОРЕМ
обозначаемые посредством такого рода четырехугольников,
равны друг другу.
Соответственно можно вести аргументацию в
отношении плоскостного, а также телесного1).
О скорости следует сказать совершенно то же, что
о линейном качестве, с тою разницей, что вместо средней
точки берут среднее мгновение времени, измеряющего
скорость движения. Так, следовательно, становится ясным,
какому униформному качеству (или скорости)
приравнивается униформно-дифформное качество (или скорость).
Что же касается отношения между униформно-дифформ-
ными качествами или скоростями, оно равно отношению
между теми абсолютно-униформными качествами и
скоростями, к которым они приравниваются. О их мере и
отношении сказано было в предшествующей главе,
Если же скорость или качество окажутся дифформно-
дифформными, то тогда в случае, когда они слагаются из
униформных или из униформио-дифформных частей, оно
может быть измеряемо посредством этих своих частей,
о мере каковых было сказано. А если качество дифформно
иначе, например, будет обладать той дифформностью,
которая обозначается посредством кривой, тогда
надлежит прибегнуть к измерению криволинейных фигур одной
посредством другой или посредством прямолинейных
фигур. И это есть предмет более высокого умозрения.
Глава 8
[О мере и протяжении некоторых дифформноетей
в бесконечность]
Конечная поверхность может становиться сколь угодно
длинной или высокой путем варьирования протяженности
без своего возрастания, ибо такая поверхность имеет
длину и ширину и для нее возможно возрастать сколь
угодно по одному из своих измерений без того, чтобы она
аналогично возрастала сама, однако лишь при условии,
*) В тексте 14580 ошибочно: de qualitate superficial!; ас etiara
de corporali velocitate. Следует:... de corporali. De veiocitate...
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ Ш
что по другому измерению она будет пропорционально
убывать. То же справедливо и относительно прочего.
Например, в отношении поверхности: возьмем квадратную
поверхность величиною в [один] фут, основанием которой
является линия ab, и пусть мы имеем другую аналогичную
поверхность, равную первой, с таким же
основанием. Пусть cd — линия, которая
в воображении делится до бесконечности
на непрерывно пропорциональные части,— S
непрерывно в отношении 2 :1, и которая
совпадает с основанием cd, делимым таким
же образом. Пусть е — первая, / — вторая,
g — третья часть и т. д. Возьмем, стало
быть, первую из этих частей, т. е. е, кото- /
рая составляет половину всего целого,
и поместим ее на первую поверхность со
стороны края Ъ. На это целое поставимвто- ■—'
рую часть, т. е. /, а затем на это целое
поставим третью часть, т. е. g и далее до
бесконечности. Когда это будет сделано, е
вообразим, что основание
ab делится на непрерывно
пропорциональные части
в отношении 2:1, в
направлении к Ь. Тогда сразу
станет ясным, что на
первой пропорциональной
части линии ab находится е
площадь высотою в;1 фут,
на второй части — высотою Ряс. 34.
в 2 фута, на третьей части—
высотою в 3 фута, на четвертой—в 4 и т. д. до
бесконечности. И так как суммарная площадь (totalis superficies)
составляет 2 фута, т. е. остается той же, какою она была
дана и раньше, и ничуть не возросла, то, следовательно,
вся площадь, которая находится на линии ab, вчетверо
больше той площади, которая находится на первой
пропорциональной части той же линии ab. Стало быть, то
качество или та скорость, которые по своей интенсивности
пропорциональны этой фигуре по высоте, будет ровно
е to

114 H. ОРЕМ
вчетверо больше той своей части, которая приходится на
первую часть времени или на первую часть предмета
соответственно его делению. Например, пусть первая
пропорциональная часть линии ab, получающаяся при делении
в отношении 2 : 1 и находящаяся у конца а, будет белой
или до известной степени теплой, вторая часть — вдвое
более белой, третья — втрое более белой, четвертая —
вчетверо и т д. до бесконечности, возрастая в порядке
натурального ряда чисел. Тогда из сказанного явствует,
что суммарная белизна (totalis albedo) линии ab ровно
в четыре раза больше белизны первой части. И так же
обстояло бы дело с белизной плоскостной и телесной, если
бы она имела соответственную интенсивность. Точно так
же, если бы что-либо движущееся двигалось в первую
пропорциональную часть какого-либо времени, разделенного
указанным образом, с определенной скоростью, а во
вторую двигалось бы вдвое быстрее, в третью — втрое
быстрее, и так непрерывно до бесконечности, то суммарная
скорость (velocitas totalis) оказалась бы ровно в четыре
раза больше скорости первой части, так что движущееся
за весь час прошло бы вчетверо большее расстояние,
нежели то, которое оно прошло за первую часть этого часа.
И если в первую часть (т. е. пропорциональную часть)
оно прошло 1 фут, то за все остальное время оно пройдет
3 фута [*1], а за все время 4 фута. Можно доказать это же
самое путем более тонкого и трудного доказательства,
однако, приведенное более подходяще и достаточно для
настоящего трактата, а потому мы оставим это
доказательство в стороне.
Глава 9
[О некоем примере]
Вообразим линию ab, мысленно разделенную (divisant
signacione) до бесконечности на непрерывно
пропорциональные части в отношении 4 : 1 так, что первая
пропорциональная часть составляет 8/4 целого, вторая —
Достатка, и так непрерывно до бесконечности. Например,
если вся линия равна 64, то первая пропорциональная
часть при таком делении была бы равна 48-ми, вторая-—
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ Ц5
12-ти, третья — 3-м и четвертая — я/4 остатка, т. е.
единицы, и т. д. Допустив это, вообразим на 1-й из этих
частей линии ab униформную площадь определенной высоты,
на 2-й части пусть находится площадь, вдвое более высокая,
на 3-й—вчетверо более высокая, на четвертой — в -8 раз
более высокая и т. д. до бесконечности, удваивая так,
Я JL - -LrUâ
m
Рис. 35.
чтобы высбты площадей пропорциональных частей
непрерывно возрастали в отношении 2 : 1, а длины непрерывно
убывали бы1) соответственно делению предмета в
отношении 4:1. Тогда вторая часть площади имеет длину,
соответствующую V4 длины первой, и высоту — вдвое
большую, чем первая, а третья так же относится ко второй,
четвертая к третьей и т. д. Я утверждаю, стало быть, что
суммарная площадь или фигура вдвое больше по всей
площади, чем ее первая часть, т. е. та часть, которая
находится на первой пропорциональной части, линии ab.
Пусть площадь, находящаяся на первой части, равна 48.
Тогда площадь, находящаяся на второй части, если бы
она не была выше первой, равнялась бы 12-ти. Однако
она вдвое выше, чем первая, а следовательно, вторая
площадь относится к первой, как 24 к 48, На том же основа-
*) В тексте 14580 лишние слова: «по высоте».

116 H. ОРЕМ
нши 3-я равна 6, четвертая равна 3 и т. д., все в той же
пропорции 1 : 2. Отсюда может быть определено и
отношение этих площадей, согласно сказанному в гл. 6
настоящей части. Итак, мы имеем, что 1-я часть вдвое больше
второй, 2-я вдвое больше 3-й, третья вдвое больше 4-й
и т. д. непрерывно. Следовательно, 1-я часть составляет
половину всей совокупности всех бесконечных частей
(tociüs aggregate ex omnibus infinitis), 2-я—половину
остатка и т. д.
Следовательно, вся совокупность (totum aggregatum)
по своей площади вдвое больше первой части, что и
требовалось доказать. То качество, которое по своей интеа-
сиввости было бы подобно или пропорционально высоте
этой фигуры, было бы также ровно вдвое больше первой
своей части [*3].
И так же рассуждают о скорости; например, если бн
двенадцатичасовой день был разделен так, что 1-я
пропорциональная его часть равнялась 4 часам, 2-я составляла
бы 3/4 остатка и т. д. Допустим затем, что какое-либо
движущееся движется в 1-ю из этих частей с определенной
скоростью, во 2-ю — со скоростью вдвое большей, в 3-ю—
с вчетверо большей скоростью, в четвертую со скоростью
в 8 раз большею, в пятую с 16 раз большею скоростью
и т. д. с интенсивностью, возрастающей до бесконечности.
Я утверждаю, что если в 1-ю часть дня, разделенного
указанным образом, оно проходило бы 1 лье (leucam), то за
весь день в целом прошло бы ровно 2 лье, и тем не менее
стало бы двигаться бесконечно быстро.
Глава 10
[О некоем другом примере и о дифформиоста
сложного целого, состоящего из униформных
и униформно-дифформных частей]
Пусть час ab делится до бесконечности путем
мысленной разметки (per signacionem) пропорциональных частей
в отношении 2 : 1, как это делается обычно, так, чтобы
1-я пропорциональная часть составляла половину линии
ab, 2-я была половиной остатка и так до бесконечности.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 117
Пусть при этом качество 1-й части будет униформно в
каком-либо градусе, качество 1-й части —
униформно-дифформно, начиная с этого градуса до вдвое большего,
качество 3-й части — униформно в этом двойном градусе,
[качество 4-й части — униформно-дифформно, начиная
с этого двойного градуса] до вдвое большего, и такое
чередование соблюдается в других частях наподобие составной
фигуры I42]. Я утверждаю, стало быть, что качество
целого будет стоять в трехсполовинном отношении (tripla ses-
quialtera) к качеству его 1-й части. Иными словами,
отношение целого к этой 1-й части будет равно 7 : 2.
И соответственно можно говорить о качестве плоскостном,
также о телесном.
Вывод становится очевидным так: возьмем части,
обозначенные нечетными числами, т. е. 3-ю, 5-ю, 7-ю
и т. д. Тогда из условий ясно, что 1-я часть вчетверо
больше 3-й по экстевсивности, равным образом 3-я вчетверо
больше 5-й по экстенсивности, 5-я—7-й, 7-я—9-й и т. д.
В свою очередь из условий ясно, что по интенсивности,
наоборот, качество 3-й части вдвое больше качества 1-й,
качество 5-й равным образом вдвое больше качества 3-й
по своей интенсивности и т. д. Поскольку же, согласно
сказанному в гл. 6 настоящей части, качество 1-й части
вдвое больше качества 3-й, а качество 3-й вдвое больше
качества 5-й и т. д., постольку вся совокупность (totum
aggregatum) частей, обозначаемых нечетными числами,
ровно вдвое больше 1-й части, обозначаемой посредством
единицы, каковая единица равнозначна всему числовому
ряду этих частей [за исключением первой]1). Тем же
способом можно показать, что качество 2-й части вдвое
больше качества 4-й, и качество 4-й вдвое больше качества 6-й,
в так относительно других частей, обозначаемых четными
числами. Однако здесь поступают иначе: ведь качество
2-й части униформно-дифформно, следовательно, согласно
гл. 7 настоящей части, оно по величине таково, каким
было бы, будучи униформным в градусе средней точки,-
!) Так, по-видимому, следует понимать слова: «que quidem uni-
tas tenet locum ipsarum in série numeroriun», если только текст
да искажен,

118 H. ОРЕМ
a из главы 6-й следует, что этот градус средней точки
стоит в отношении 3 : 2,— в таком же, в каком градус
1-й части стоит к градусу 2-й. Следовательно, качество
2-й части по величине таково, каким оно было бы, если
бы было униформно интенсивнее 1-й части в lVa раза.
А вместе с тем эта часть имеет вдвое меньшую
экстенсивность, чем 1-я. Следовательно, согласно 6-й главе
настоящей части, качество 1-й части в l1/^ раза больше 2-й,
т. е. отношение между ними равно 4 к 3. Но так, как
относится 1-я ко 2-й, так же 3-я относится к 4-й1), 5-я к 6-й
и т. д. Стало быть, вся совокупность (totum aggregatum)
частей, обозначаемых нечетными числами, стоит в
отношении 4 : 3 ко всей совокупности частей, обозначаемых
четными числами. Пусть, например, 1-я часть этого
качества равна 2, совокупность, образованная ею и другими
нечетными частями, равна 4, как ранее было показано.
Следовательно, совокупность, образованная всеми
четными, равна 3, как мы только что видели. Следовательно,
суммарное качество (totalis qualitas) равно 7. Итак,
отношение суммарного качества к 1-й своей части равно 7
к 2, т. е. является трехсполовинным отношением, что
и требовалось доказать. И это легко применить по
аналогии к скорости, как было сказано в предыдущей главе.
Глава 11
[О мере конечного качества и скорости и их протяжении
до бесконечности]
Возьмем вновь фигуру 8-й главы настоящей части.
Основанием этой фигуры была линия ab. Преобразуем
в воображении, или повернем фигуру так, чтобыоснованием
или длиной ее стала линия be, простирающаяся за
пределы с до бесконечности, а линия ab была бы первой и
максимальной высотой этой фигуры. Тогда согласно тому,
что говорится в указанной 8-й главе, суммарная площадь
(totalis superficies), т. е. эта фигура, вчетверо больше
половины площади, располагающейся на 1-й части линии,
т. е. на части be. Следовательно, суммарная площадь будет
1) В тексте 14580 неверно: «ta se habet Зэ ad 2"me,
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ Щ)
вдвое больше площади, расположенной на Ьс. Это
уясняется иначе так: ведь суммарная площадь части,
расположенной на be, имеет бесконечно много частей, из
каковых 2-я имеет ту же длину, что и первая, 3-я — ту же
длину, что и 2-я (или 1-я) и т. д. А вторая по высоте вдвое
меньше 1-й, 3-я — 2-й, 4-я — 3-й и т. д. Следовательно,
," ' 1 *==>
Рис. 36.
целое ровно вдвое больше 1-й части. На основании этого
обратно (conversive) можно доказать заключение гл. 8-й
настоящей части.
Отсюда явствует, что качество предмета, до
бесконечности протяженного, каковое надлежит представлять
себе в виде такой фигуры, ровно вдвое больше качества
1-й части подобного униформного качества.
Сходно, если что-либо движущееся движется в течение
1-го дня с определенной скоростью, а в течение 2-го дня
вдвое медленнее, чем в 1-й, и так до бесконечности, то оно
только за всю вечность (nunquam nisi in eternum) пройдет
путь, вдвое больший того, который был пройден в 1-го часть
времени.
Но какой бы отрезок пройденного пути ни брать, он
всегда будет меньше, чем удвоенный отрезок пути,
пройденного в 1-й день (quocumque spacio dato minor quam
duplum ad pertransitum die la, tantum spacium alium per-
transiret).
Глава 12
[О бесконечном протяжении secundum quid [44]
и об измерении конечного униформного качества]
Телесное качество имеет троякое предметное
измерение (dimensionem subiectivam) и конфигурация этого
предмета или качества может многообразно варьировать,
не испытывая приращения. Так, например, пусть о —

120 H. ОРЕМ
тело размером в 1 (кубический] фут, разделенное в
воображении на непрерывно пропорциональные части в
отношении 2 : 1. И пусть 1-я часть — Ь, 2-я — с, 3-я —d
и т. д. [до бесконечности]. Начнем, стало быть, с этой
первой части и образуем круг. Затем возьмем 2-ю и
прибавим ее к этой части, образовав кольцо (adiungatur circula-
riter), так, однако, чтобы ширина этой второй части
возросла на величину, благодаря которой весь получившийся
круг (totalis circulus) оказался бы вдвое более
протяженным, чем раньше, а вместе
с тем эта 2-я часть стала
насколько нужно, т. е.
соразмерно, меньшей по
толщине, что может произойти
без возрастания и без
разрежения этой 2-й части, т. е.
посредством одного лишь
преобразования (trausiigu-
raeio). Затем присоединяют
3-ю пропорциональную часть, а именно d, и весь круг
в целом (totalis circulus) становится втрое более широким.
Далее — 4-ю, и получается круг вчетверо более широкий,
за ней —5-ю и т.д. Следовательно, без возрастания и
без разрежения, посредством одного лишь
преобразования, возможно, что тело а станет до бесконечности
длинным и до бесконечности широким, и тем не менее не
возрастает, а в точности будет равно телу объемом в 1
[кубический] фут I45].
Теперь вернемся к нашей основной задаче: таким же
образом возможно вообразить, что некое конечное
качество, например, тяжесть в 1 фунт1), может в другом теле
весом в 1 фунт распространиться на бесконечную длину
и на бесконечную ширину, вместе с тем оставаясь везде
униформным, т. е. униформно-интенсивным, ибо предмет
униформно-тяжелый весом в 1 фунт может быть
преобразуем и простираться указанным образом без
качественного изменения, т. е. без ослабления или
интенсификации, путем некоего разрежения тяжести.
3 I с I й
>) В тексте 14580: Hnee uniqs.
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 121
Возможно, следовательно, что такое качество,
подобным образом протяженное, будет униформным, и
возможно, что оно окажется дифформно-дифформным. Однако
невозможно ему быть униформно-дифформным, что
некоторым кажется удивительным.
Усмотрение этого изящно и нетрудно. Если в теле,
ранее изображенном1), провести через точку Ь прямую
линию, продолжающуюся до бесконечности в обе
стороны, как если бы она была диаметром бесконечного круга
(да позволено будет так выразиться), то униформное
линейное качество этой линии будет изобразимо в виде
бесконечной плоской фигуры, имеющей униформную
высоту и до бесконечности длинной, а следовательно,
абсолютно бесконечной (simpliciter immita). Однако имеется
внутреннее противоречие и нельзя вообразить, чтобы
существовала площадь до бесконечности длинная, широта
которой униформно-дпфформна tno качеству]. Отсюда
явствует, что униформно-дифформное качество ве может
простираться указанным образом.
Далее, в указанном теле могла бы быть бесконечная
поверхность, униформное качество которой изобразимо
посредством тела абсолютно бесконечного, хотя и не
простирающегося во все стороны, а суммарное телесное
качество, или качество тела (totalis согрогеа vel corporis qua-
litas), было бы абсолютно конечным. Отсюда можно извлечь
аргумент в пользу того, что ни точка, ни линия, ни
поверхность не суть нечто, как это доказывалось в гл. 4-й
настоящей части [4в].
Кроме того, на том же основании можно было бы
аргументировать, что для активного тела естественным
является действовать соответственно своей глубине, а не только
соответственно ограничивающей его поверхности. Ведь
если бы светлое тело конечных размеров имело указанное
протяжение и действовало бы только соответственно своей
наружной неделимой поверхности2), то следовало бы,
что такой источник света, т. е. любой8) источник света,
г) Рукопись 14580; f abricato. Может быть, следует читать figurato?
2) Текст 14580: indivisibilem sed profundem (?).
8) Текст 14,380: «nulla lux» (никакой свет) вместо «ulia lux»
(любой свет).

122 Н. ОРЕМ
ограниченный поверхностью, мог бы действовать в
бесконечной прилегающей среде, производя вовне сияние
абсолютно бесконечное, и что результат действия
конечного агента мог бы быть абсолютно бесконечным [т. е.
безотносительно к сокращению его до другимизмерениям}.
Глава 13
[Об абсолютно-бесконечном протяжении конечного
и дифформного качества]
Конечное качество может быть воображаемо
простирающимся абсолютно во все стороны до бесконечности,
без своего возрастания, при условии, что его интенсивность
пропорционально уменьшается; однако это не может иметь
места без дифформной дифформяости. В самом деле, пусть
ab — тело абсолютно бесконечное по всем направлениям,
т. е. по всем сторонам, и пусть во всем нем находится
любое конечное качество, к примеру сказать, тяжесть,
равная 1 фунту. Вообразим, что ее непрерывно делят на
пропорциональные части в отношении 2:1. Возьмем,
стало быть, половину этого качества, и вообразим, что она
распределяется в одной из частей этого тела — в сколь
угодно большой сфере, находящейся где-либо в этом
бесконечном теле. Пусть это будет Ь, Затем берут вторую
пропорциональную часть, т. е. половину остатка этой
тяжести, и помещают в сферу, равную первой, так, что
качество распространяется по всей этой сфере, находящейся
в указанном бесконечном теле и расположенной концен-
трично вокруг первой. Пусть это будет с. И так как это
качество вдвое меньше первого, а простирается одинаково,
то оно соответственно вдвое менее интенсивно. Затем
нужно взять третью пропорциональную часть
вышеуказанной тяжести, которая должна распределиться по 3-й
сфере d, равной и расположенной концентрично с 1-й
и 2-й, наделив ее [качественной] формой. Как и раньше,
это качество оказывается соответственно менее
интенсивным. И так аналогично нужно поступать с другими,
продолжая до бесконечности. Стало быть, при наличии какого-
либо тела, абсолютно и по всем направлениям бесконеч-
TPAKTAT О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ Ш
ного, не было бы ничего невозможного в том, что какое-
либо [конечное] его качество, например, тяжесть,
распространялось бы, начиная с точки, как, например, тяжесть
в 1 фунт простирается в приведенном случае. Если это
так, сразу же ясно, что подобного рода тяжесть могла бы
простираться до бесконечности во все стороны, и что
в этом бесконечном теле повсюду имелась бы некая
частица конечной тяжести (aïiquid de gravitate finita). Стало
быть, не следует, что сила бесконечного тела непременно
должна быть бесконечной, за исключением случаев, если
она распределена униформно, или с такой дифформной
дифформностью, которая сводима к круговой
униформности, простирающейся до бесконечности [*']. Можно
боло бы многое добавить на основании сказанного, но здесь
достаточно лишь некоторых, как бы начальных элементов
ради упражнения. Благодарение богу.
На этом кончается трактат о конфигурации качеств
досточтимого наставника ученых Николая Орема [*8]

ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ H. ОРЕМА
1. Очень возможно, что в этик словах, как предполагает
A. M а й е р (An der Grenze..., p. 345), имеются в виду
упоминавшиеся выше «Вопросы о геометрии Евклида» (см. стр. 14 }. В этом
произведения вопросы трактованы более с
формально-математической стороны, без экскурсов в область принципиально-философскую,
как в трактате Орема. Из рукописи видно, что «Вопросы» были
предложены на диспуте в Париже. В пользу более раннего
возникновения их говорит и различие суждений Орема, касающееся
«телесных качеств» (ср. ниже, стр. 125). Наконец, характерно, что
большинство примеров решается еще как у Оксфордских
«калькуляторов», арифметически, а не геометрически (A. M а и е р, там же,
стр. 353}
2. Ср. Аристотель, Метафизика, X, 1 , 10о2 а: «Мер«
есть то, посредством чего поанается количественное (-пионом); а
количественное как такое познается либо посредством единицы, либо
посредством числа, веякое же число — посредством единицы.
Таким образом, все, обладающее количеством, познается как такое
посредством единицы, и то первое, посредством чего познается
количественное, есть единица, а потому единица есть начало числа
как числа. Отсюда и во всем остальном мерою называется то
исходное, посредством чего каждое познается; и для каждого мерою
является нечто единое—в длине, в ширине, в глубине, в тяжести,
в скорости«. Там же, V, 15, 1021 а: «...все зги отношения
указываются сообразно числу и являются случаями числового
определения (ipi8|jwö niOf))».
3. Глагол fingere, употребляемый в данном случае OpeMOMj
отличается от чаще употребляемого им глагола yrnaginare, большей
подчеркнутостью моментов вымысла, выдумывания, фикции;
напротив, yrnaginare для Орема — не столько воображать
(фантазировать), сколько «представлять в виде», «мыслить в образе» и т. п.
Как будет видно из дальнейшего, «воображать» отношения между
качествами по аналогии с отношением между линиями и т. д., значит,
по Орему, познавать действительные отношения, существующие
между этими качествами. Поэтому он говорит, что такие отношения
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Ы. ОРЕМА 125
«обозначаются» ( désigna otur) или «изображаются» (fignrantur)
в виде отношений между линиями в т. д. Это значит, что фиктивными
(произвольными) могут быть элементы отношения, а не сами
отношения, объективно соответствующие отношениям в вещах (в
качествах, движениях, скоростях и т. д.).
Интересен в этом отношении следующий отрывок из оремовых
«Вопросов о геометрии Евклида», приводимый A. M а й е р (An der
Grenze,.., pp. 348—349); «Отношение качеств таково, каково
отношение плоскостей, в том же смысле, в каком в музыке мы говорим,
что отношение звука к звуку таково, каково отношение струны
к струне» и т. д.
4. Здесь и дальше словом «предмет» переводится термин subie-
ctuiH, имевший, как известно, в средние века значение,
противоположное современному. Соответственно и linea subiectiva передается
как «линия, проходящая через предмет», или «пиния предмета».
5. Деление вещей на «пребывающие» (permanentes) и
«последовательные» (successivae) было широко распространенным в
средние века. В последующем, в ряде мест, в зависимости от контекста,
эти термины передаются кое-где выражениями «постоянные» и
«переменные». Ср. часть II, гл. 13.
6. Орем критикует то определение latitudo, которое можно
встретить у его предшественников, в частности у Ричарда Суисета.
Ср. «Калькулятор», трактат II (л. 5 об. по венецианскому изданию
1520 г.): «Широта тел состоит из всех градусов, заключенных между
более интенсивным краем и не-градусом». Иными словами, «широта»
рассматривается в данном случае как площадь, заключенная между
ординатами, или как диапазон изменения качества (ср. выше,
стр. 16 ).
7. Слово superficies здесь и дальше, в зависимости от контекста,
передается разно: поверхность, плоскость, площадь.
8. К тому же вопросу Орем возвращается дальше, в гл. 1-й
третьей части (стр.102). Приведем для сравнения соответствующее
место из «Вопросов к геометрии Евклида», написанных Оремом,
видимо, несколько ранее,-чем трактат. «Третье (заключение] гласит,
что посредством аналогичного представления качество плоскостное
следует воображать себе в виде тела, длина и ширина которого есть
протяжение плоскости | по которой распределяется качество], а
глубина — интенсивность этого качества. И равным образом качество
всего тела должно быть представляемо в виде одного тела, длина
и ширина которого есть протяжение всего тела, а глубина —
интенсивность этого качества. Но кто-нибудь, может быть, выскажет
сомнение: если линейное качество представляемо здесь как
плоскость, а плоскостное — как тело, имеющее три измерения, то, стало
быть, телесное качество следовало бы представлять имеющим четыре
измерения, в виде нового вида количества. Я говорю, что не следует.
Ибо если текущая точка (punetus fluens) представляется
порождающей линию, линия — плоскость, плоскость — тело, пе следует,
что когда воображают текущим тело (si corpus imaginatur fluere),
оно порождает четвертый род количества. Оно остается телом,
и потому в 1-й книге «О небе» Аристотель говорит: „от него (т. е. от

126 В. П. ЗУБОВ
тела) не бывает перехода к другому виду количества посредством
этого способа представлять вещи", и так именно следует сказать
в данном случае» (цит. по А. Maier, Zwei Grundprobleme... стр. 100).
Из приведенного отрывка явствует, что в «Вопросах» Орем не
решается сделать те выводы, которые содержатся в трактате и согласно
которым телесное качество следует мыслить в виде проникающих
друг друга объемов. Это одна из причин, заставляющих полагать,
что «Вопросы» написаны раньше трактата.
9. Четвертое положение VI книги «Начал» Евклида гласит,
что в равноугольных треугольниках сходственные стороны
пропорциональны.
'10. Согласно одиннадцатому положению V книга «Начал»
Евклида (по нумерация, принятой в настоящее время), отношения,
тождественные одному и тому же отношению, тождественны и друг
Другу.
11. Термин intensio (как и противоположный ему remissio)
имеет в латинском яаыке два значения, на что обратил внимание
Ричард Суисет в начале своего произведения «Калькулятор»:
«Слово intensio может быть употребляемо в двух смыслах.
Во-первых, в смысле того изменения, посредством которого качество
приобретается и в таком значении intensio есть движение. Во-вторых,
intensio называется тем качеством, благодаря которому что-либо
является интенсивным; так, теплое является интенсивным
благодаря теплоте. И соответственно следует говорить о ремиссии»
(«Калькулятор», трактат I, л. 2 венецианского издания 1520 г.).
На русском языке первое значение можно было бы передать словом
«интенсификация» , а второе — словом «интенсивность».
12. С приведенным определением необходимо сравнить
определения Суисета: « Униформно -дифф о рмное бывает тогда, когда
средний градус любой данной части, или градус, существующий в
средней точке, на столько же превосходится более интенсивным краем,
на сколько он сам превосходит край той же части, обладающей
меньшей-интенсивностью» ("Калькулятор», трактат XVI, л. 54 об.
венецианского издания 1520 г.). Или: «...середина превосходится
более интенсивным краем на такую же величину, на какую середина
превосходит край, обладающий меньшей интенсивностью» (там же,
трактат XIII, л. 40). В «Вопросах о геометрии Евклида» Орем
определял униформно-дифформную широту как такую, в которой
«любые три или более линии, одинаково отстоящие друг от друга,
превосходят одна другую в арифметической пропорции». См.
А. Maier (An der Grenze..,, pp. 346).
13. См. выше, примечание 9.
14. Разницу между «униформным» и «регулярным» Орем
раскрывает подробнее в гл. 1 второй части (см. стр. 8о ). где
«регулярность» определяется в отношении времени, а «уяиформносты» в
отношении пространства.
15. В дополнении к предложению 33-му VI книги «Начал»
Евклида, принадлежащем Феону, доказывается, что дуги двух
неравных окружностей, стягивающие равные вписанные углы,
относятся друг к другу как соответствующие секторы. См. «Начала
ПРИМЕЧАНИЯ Ü ТРАКТАТУ H. ОРЕМА 127
Евклида«, книги I—VI. Перевод Д. Д. Мордухай-Болтовского.
М.-Л., 1948, стр. 445.
16. Мысль Орема можно было бы пояснить так: если холодное
и теплое обозначить общим термином «температурное качество»,
то такое качество (безотносительно к своему знаку) окажется
униформно-распределенным по всей фигуре.
17. Предложение lfi-e книги III «Начал» Евклида (по
современному счету) гласит: «Прямая, проведенная под прямыми углами
к диаметру круга в его концах, упадет вне круга, и в пространстве
между прямой и окружностью не поместится никакая другая
прямая, и угол полукруга больше всякого прямолинейного, острого
угла, а остаток меньше» (пер. Д. Д. Мордухай-Болтовского, стр. 97).
18. В тексте: eins rpiinlo. Ссылка неточная, так как в только что
указанном 16-м предложении книги Ш содержится отсылка к пятому
предложению первой книги: «у равнобедренных треугольников
углы при основании равны между собой и по продолжении равных
прямых углы под основанием будут равны между собой» (пер.
Д. Д. Мордухай-Болтовского, стр, 19).
19. Трактат Орема «De perfections specierum» не фигурирует
в списках произведений этого ученого, и, возможно, не был написан.
Трудно решить, в какой мере его тематика совпадает с вопросами,
касающимися «образов» (species) вещей и затронутыми в написапных
Оремом после 1370 г. «Qnodlibeta». Ср. L. Т h о г n d i k е, A
history of magic and experimental science, vol. Ш, N. Y., 1934, pp.—
445—448 и отрывок из последнего произведения ( «Oresme on species»)
на стр. 742—743.
В списках трактата, которыми пользовалась A. M а й е р
(Vat, lat. 3097 и Chisianus Е. IV. 109), заглавие сочинения гласит не
«De perfections specierum» (как в списке 14580, которым
пользовались мы), a «Do perfectiooibus гегшп» и «De perfection!bus». Майер
предполагает, что часть этого сочинения (или все целиком)
содержится в рукописи Vat. lat. 986 (toi, 125—133 v)> обычно до сих пор
описывавшейся как анонимные «Вопросы к Сентенциям Петра
Ломбардского» (A. M a i е г, Die Vorläufer..., pp. 190; ср. An der Grenze...,
pp. 205).
20- Здесь и дальше выражения propoHio dupla, tripla, sesqnial-
tet'a и т. п. заменены ксе-где для облегчения текста цифровыми
обозначениями, т. е. пишутся в виде 2:1, 3 : 1, 3 : 2 и т. п. О том,
что значит половина отношения, Орем подробнее говорит в другом
свогм сочинении «Tiactatus proportïonum», или «Proportions»
(гд, I, л. 17-С по изданию в сборнике Бассаво Полито 1505 г,,
упомянутому выше, на стр.33 ). Разделить отношение — значит
найти между двумя величинами среднюю пропорциональную, т. е.
мр.жду Ь и с величину d, удовлетворяющую пропорции Ь : d=d : с.
Таким образом, половина «двойного» отношения 2 : 1 равна уТ.
21. Слово curvitas приходится в зависимости от контекста пеге-
давать словами «кривизна», «кривая» и «дуга». Для пояю-ания
дальнейшего следует помнить, что Орем различает интенсивность
кривизн!? окружности (обратно пропорциональную радиусу),
экстенсивность ее (прямо пропорциональную длина окружности) и

128
В. П. ЗУБОВ
абсолютную кривизну {curvitas simplicrier loquendo), выражаемую
отнощйнир-м обеих величин, т. е. постоянную для всех кругов.
22. Орем не пользовался громоздкими выражениями latitudo
uniformiter difformiter difformis и difformiter difformiter difformis,
которые можно встретить в некоторых других произведениях,
например в анонимном трактате, написанном после 132-1 г. (см.
L. Thor и dike, A history of magic and experimental science,
vo]. III..., p. 575). Здесь читаем: «Диф-
формно-дафформвая широта двояка,
ибо одна униформно-дифформна-диф-
формна, а другая дифформно-диф-
формно-дифформна». Однако, как
явствует из текста, Орем приводил то
же самое различие между обоями
видами дифформной дифформиости:
дифформно-дяфформная кривизна
окружности -униформна, адифформ-
но-дифформнап кривизна другой
кривой линии—дифформна. Разница
только в выражениях.
В анонимном трактате «De lati-
tudmibus formarum», вышедшем из
школы Орема (см. выше, стр. 33 )>
указанные громоздкие термины также
находят применение: «Часть, или
половина круга (portio vel medietas
circuli) изображает широту дифформ-
яо-дифформно-дифформную, а та и
другая половина этого полукруга
сама по себе униформно-дифформ'но-
дпфформная. Это явствует из фигур
cd и de. Половина же, которая
меньше такой четверти круга (medietas
que est minor quam medietas talis
portionis), изображает широту,
которая сама по себе униформно-дифформво-дифформна; это явствует
из фигуры с1), составляющей часть фигуры cd. Что же касается
фигуры, которая составляет больше2), чем половину такой части
(т. е. фигуры crfl, она равным образом изображает униформно-
дифформно-дифформную широту; это явствует из фигуры d,
составляющей часть фигуры cd. Фигура, которая больше" чем
половина такого полукруга, изображает вторую широту, т. е. дифформ-
но-дифформно-дифформную; однако часть ее, большая половина —
униформно [дифформыо J-дифформна, а остальная, вторая часть—
дифформно-дифформно-дифформна, как явствует из фигуры ей*)в
л) В тексте d.
а) В тексте ошибочно: «меньше».
я) В тексте cd. По смыслу вместо «большая половина»
следовало бы: «меньшая».
Рис. 38.
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Н. ОРЕМА 129
(л. 29 в 29 об. =03 и ВЪ об. венецианского издания 1505 г., в сб.
Бассано Полито). Два чертежа, перечерченные в более точном
виде из только что указанного издания, дополнены мною еще одним
(полукруг cde).
23. В рукописи 14580: «per quintam. conclusionem Archimenidb
de curvis simplicibus» («О простых кривых»). Следует читать: «De
curvis superficiebus» («О кривых поверхностях»). Имеется в виду
средневековый комментарий XIII века к 1-й книге Архимеда «О
шаре и цилиндре», опубликованный M. С 1 a g е 11 под заглавием:
«The De curvis superficiebus Archimenidis. A medieval commentary
of Johannes de Tinemue on book 1 of the „De sphaera et cylindro"
of Archimedes»—«Osiris», vol. И (1954), pp. 295—346.
Цитируемое Оремом положение в редакции, опубликованной
Кляджеттом, является не пятым, а третьим (в этой редакции
отсутствуют два добавочных положения, имеющиеся в другой редакции,
известной Орему). См. стр. 307 указанной публикации («окружности
любых двух кругов пропорциональны их диаметрам»).
24. В тексте Орема (рукопись 14580) ошибка; вместо Philoso-
phus следует читать: Plinius. См. Плиний, Естественная- история,
XVI, 34, 62, где перечислены виды плюща, в том числе helix.
25. Спрямление окружности с помощью спирали Архимед дал
в трактате «О спиралях». Орем, видимо, основывается на сочинении,
упомянутом в примечании 23.
26. Трудно решить, какое место настоящего трактата Орем
имеет в виду. Об углах он говорил раньше (в гл. 20-и), обещая
коснуться тех же вопросов в трактате «De perfectione specierum».
Возможно, что имеется в виду именно последний этот трактах,
возможно также, что имеется в виду беглое упоминание об остроте
углов в гл. 13 второй части (стр. 99).
27. Весь абзац очень характерен для скептического отношения
Орема к астрологической магия- Об отом ср. Сд. Jourdain,
iNicolas Oresme et les astrologues de la cour de Charles V, в его книге
«Excursions historiques et philosophiques à travers le Moyen âge.
P. 1888, pp. 561—585; L. Thorndike, соч., указанное в
примеч. 19, т. Ill, стр. 398—423.
28. Иными словами, различные точки небесной сферы
(«предмета») в зависимости от евоей близости к центру проходят
различные пути, но с точки зрения времени сфера движется равномерно
(или «регулярно»). Ср. ниже, в гл. 4 (стр. 89 ).
A. Ma вер (An der Grenze..., pp. 271) обращает внимание
на то, что подобное же различие униформности и равномерности,
дифформности и неравномерности встречается и в Других
произведениях Орема, а именно в «Вопросах к сочинению а сфере» (вопр. 4)
и во фрапцуяском переводе аристотелевского трактата «О небе»
(кн. II, гл. 13).
29. Ср. Аристотель, Вторая аналитика, I, 4: «...то,
что не приписывается подлежащему, я называю самим по себе,
;| то, что приписывается подлежащему,— акциденпией (тм ои^^;Этг
xota)». Слову dispositio соответствует греческое SiiQsniç,
означающее у Аристотеля («Категории», гл. 6 [8J) один иа видов качеств,

130 и- п- ЗУБОВ
а именно качества, сравнительно легко исчезающие (тенлота и
холод, здоровье и болезни).
30. Синкатегоремами в средневековой логаке назывались
второстепенные части речи, которые определяют главные части
речи (подлежащее и сказуемое), не означая какой-либо
самостоятельной реальности, способной существовать без данного предмета
или вне его.
31. Интересно сравнить с этими различениями Орема то, что
говорится у Ричарда Суисета в особом трактате «Калькулятора»,
посвященном скорости роста или возрастания (трактат VI: De
velocitate motus augmentatioDis). Скорость возрастания
определяется по «приобретению избытка над ранее данной величиной»
(«penes acquisstionem excessus supra qtiantitatem prenabitam»,
л. 24 об.). В переводе на язык формул это означает, что она
определяется по разности значений х2 и xt в ее отношении к a?t:
»Ч
Суисет особо опровергал две теории; согласно первой скорость
возрастания определяется отношением —, согласно второй скорость
можно определить по абсолютной величине приращения жа—х^Ьх.
Первая концепция неприемлема, по Суисету, потому, что если
две неодинаковые величины возрастают вдвое, втрое и т. д., это
значило бы, что обе они растут с одинаковой скоростью. Между
тем большая величина в этом случае «приобретает» больше, т. е.
казалось бы, увеличивается быстрее.
Согласно второй концепции речь идет о некоем приращении,
независимом от того, равны или не равны первоначальные
величины, и независимом от того, какие другие изменения
претерпевают за то же время эти же самые величины. Такая мера не
удовлетворяет Суисета именно по указанной причине: по ней нельзя судить,
не изменяется ли х еще как-нибудь за то же время.
В отличие от этого, защищаемый Суиестом тезис имеет, по его
мнению, всеобщее эначение (tenet generaliter) и не нуждается в
оговорках: скорость возрастания определяется «по приобретению
набытка (penes acquisitionem excessus) над ранее данной
величина—^i
ной», Т- е. по .
Xi
Как видно из текста, Орем проводил различие между скоростью
приобретения (velocitas acquisitionis) и скоростью возрастания или
роста (velocitas maioritatis seu augmentation!«): первая
определяется по величине приобретенного (quantitas arquisiti), вторая—«по
отношению, существующему между величиной в начале движения
и воображаемой величиной в конце его» (penes proportionein magiu-
tudinis que est in principio motus ad ymaginacionem que est in fine).
32. Речь идет, очевидно, о скоростях различных точек на
диаметре круга, вращающегося вокруг неподвижного центра. Ср.
несколько дальше об униформно-дифформном движении радиуса, где
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Н. ОРЕМА ' 131
явно имеются в виду длины дуг, проходимых различными точками
этого радиуса.
33. По всей вероятности, имеется в виду первая глава VI книги
«Физики» Аристотеля, где говорится, что «в силу одних и тех же
оснований и величина, и время, и движение слагаются из неделимых
частей и делятся на них, или же нет». И несколько дальше: если
допустить существование неделимых, то «подобным же образом,
как длина и движение, должно быть делимо и время» (пер. В. П.
Карпова, М„ 1937, стр. 125—126).
34. В глава 1 части II различались днфформность скорости
«соответственно частям (или протяженности) движущегося» и
«соответственно частям (или продолжительности) времени» (см. стр. 83 }■
35. Ср. выше, примечание 5.
36. Туманно и тяжело изложенные соображения Орема могут
быть сведены к следующему. Существуют предметы, целиком
наделенные тем или иным качеством, изменяющимся во времени, и
существуют предметы (см. дальше, стр. 99 : «Третьи вещи это такие...»),
которые постепенно (по частям) наделяются тем или иным качеством,
как бы распространяющимся по этим предметам.
37. Существовали две основные концепции интенсификации;
согласно первой одна интенсивность сменяет другую, согласно
другой она получается путем «суммирования», т. е.
первоначальная интенсивность, сохраняясь, входит в состав новой как ее часть.
Первая концепция постепенно вытеснялась второй, которая стала
господствующей в трактатах XV века, например, в сочинении Якопо
де Форлв (Jacobus de Forlivio). В качестве одного из ранних
представителей «теории суммирования» можно назвать скотиста Жана
де Бассоль (ум. в 1347 г.), согласно которому «первое приращение
(augmentum primum) интенсифицируемой формы происходит путем
прикладывания (appositio) такого градуса формы к
первоначальному градусу, из каковых получается в том же носителе одно
гомогенное неделимое целое» (loannis de Bassoli s, Opera...
in quattuor Sententiarum libros, Parisiis, 1517, lib. I, dist. 17, qu. 2,
fol. CXVI; экземпляр—в библиотеке Академии наук УССР в Киево).
38. Понятия о «первом и последнем мгновении» процессов
качественного изменения имеют многовековую историю, о которой
достаточно напомнить здесь в общих чертах.
Согласно Аристотелю (Физика, VI, 5, 236а) существует первый
момент закончившегося изменения, во не существует первого
момента в смысл« начала изменения. Первый момент закончившегося
изменения наступает сразу и есть нечто «неделимое» {атоу.т).
Если, например, белое переходит в черное, существует первый
момент, когда белое стало черным, но не существует первого
момента, когда белое начало изменяться в черное. На отрезке времени
AB точке В (т. е. «неделимому») соответствует черное, т. е. завершив-
ишВея процесс. Процессу же изменения соответствует делимая
линия AB и на зтой линии нельзя указать начальную, или первую,
точку начавшегося изменения,—точку, непосредственно следующую
за А, т. е. за точкой покоя, или еще не начавшегося изменения".
Основные положения «Физики» Аристотеля и его книг «О вебе»

132 в- п- ЗУБОВ
были изложены на всходе античной эпохи систематизатором
греческой учености Проклом s его небольшом трактате «Начальные
основания физики или о движении» (издан с нем. переводом А. Рит-
цсыфельдом: Institutio physica sive de motu, Lipsiae, 1911; здесь
в сносках даны ссылки на параллельные места сочинений
Аристотеля). Трактат Прокла мало оригинален: по существу автор лишь
попытался более стройно, по образцу Евклида, в виде теорем
изложить основные начала перипатетической физики, в том числе и
вопросы о первом и последнем моменте качественного изменения.
«Физика» Аристотели и «Начальные основания» Прокла явились
основой, на которой развивалось учение о том же в средние века.
Первый латинский перевод сочинения Прокла появился около
1160 г. (ср. М. Gräbmann, Die Proklosübersetzungen des
Wilhelm von Moerbccke und ihre Verwertung in der lateinischen
Literatur des Mittelalters— «Bysantinische Zeitschrift», Bd. 30,
1929/30, S. 79). С развитием аристотелевского учения можно
встретиться, например, в XIII веке в многочисленных вариантах у
Роджера Бэкона, показывавшего, что при переходе одного качества
в другое нельзя указать последний момент существования
первоначального качества, а только первый момептсуществованиянового
качества; если взять ранее приведенный пример, нет последнего
момента существования не-черного (т. о. белого), но есть первый
момент существования черного. Ср. S. Harrison Thomson,
An unnoticed treatise of R. Bacon on time and motion—«Isis», vol. 27
(2), 1937, pp. 219—224. К параллелям из «Communia naturalia»
Бэкона, приводимым в этой статье, можно было бы добавить еще
гл. 41-ю из «Opus tertium» (R. Bacon, Opera quaedam hactenus
inedita, vol. I, éd. J. S, Brewer, London, 1859, p. 147). Дальнейшее
усложнение вопрос о первом в последнем мгновении качественного
изменения получил в так называемых задачах об incipit и desinit,
которые стали весьма популярными в XIV веке, причем вопрос
стал рассматриваться отдельно применительно к «вещам
пребывающим» и «вещам последовательным» {ср. выше, примечание 5).
39. «Algorismus proportionum» издан M. Курде (Берлин,
1868). В «Tractatus proportionum» так определяются понятия
вычитания и сложения отношений: «Вычесть одно отношение из
другого значит найти между большими членами средний член,
стоящий к меньшему в том отношении, которое должно быть
вычтено, или же член, к каковому больший член стоит в этом же самом
вычитаемом отношении. Сложить же одно отношение с другим
значит взять одно из них и найти третий член, каковой стоит к болыизму
в отношении, которое ты хочешь прибавить, иди к каковому
меньший стоит в отношение, которое надлежит прибавлять. Так, если
к отношению а, равному отношению Ь к с, ты хочешь прибавить
отношение е, возьми член d, стоящий к 6, в отношении е, или же
другой член /, к которому с стоит в отношении е. Например, так
прибавляют к полуторному отношению двойное. Тогда ясно, что
значит удваивать,~утраивать отношение и т. д. И все это для
вдумчивого читателя уясняется из пятой книги Евклида» (цитирую по
изданию в сборнике Басеана Полито, л. 17-С).
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ H. ОРВМА 133
Короче говоря, «вычитание» отношений соответствует нашему
делению: если из отношения а = — «вычитается» другое отношение
е=—, то либо член / нового отношения -у- должен
удовлетворять условию — = е, либо член d нового отношения —
условию -т=е, иначе говоря. f = ce и d = —. Отсюда отношение -г-
Аналогично «сложение» отношений а и в соответствует нашему
умножению,
40. Предложение 15-е первой книги «Начал» Евклида по
современному счету гласит, что две прямые образуют при пересечении
равные вертикальные углы.
41. Как отмечено А. Майер (А. Mater, Die Vorläufer
Galileis im 14. Jahrhundert, Rom, 1949, S. 128), пример Орема в той же
форме встречается в трактате Суисета «De motibus» (Эрфуртская
научная библиотека, Amplon. Fol. 135, л. 46). Указание, что во 2-ю
половину времени проходится путь втрое больший, чем в 1-ю,
имеется и у другого
представителя оксфордской
школы—Вильяма Хейтесбери («Хентисбера»)
в его «Tria predicaments de motu»
(см. M. С I a g e 11, Giovanni
Marliani and late medieval
physics, N. Y., 1941, p. 112; С
Wilson, William Heyteshury,
Madison, 1956, pp. 123-124).
42. Аналогичный пример
рассматривался уже
представителями оксфордской школы. Ср.
Дюгем, Études, стр. 476.
43. Сравним с этим
аналогичное построение у Ричарда
Суисета в «Калькуляторе»
(трактат II, л. 6).
Тела А и В, обладающие
одинаковой интенсивностью, а
также время Т делятся на
пропорциональные части в отношении
2:1. Допустим, далее, что в теле В за время tx удваивается
интенсивность 1-й части, за Ц—интенсивность 2-й и т. д., так что «в конце»
удваивается вся интенсивность. В теле А за время tx удваивается
интенсивность всех частей, кроме 1-й, за га—всех частей, кроме 1-й
и 2-й, за t%—всех частей, кроме 1-й, 2-й и 3-й и т. д,, что наглядно
'.I
2
,
4
2
2
S
2
2
1
S
2
2
2
2
2
2
1
2
t-я часть 2-я$-я 4 ->
Рис. 39.

134 ß. П. ЗУБОВ
иллюстрируется чертежом в издания 1520 г., где начальная
интенсивность принята равной 2. Сунсет доказывает, что интенсивности
А и В равны (т. е. в случае, показанном на чертеже, интенсивность
А равна интенсивоости 2-е его пропорциональной части). Равештво
иптенсивностей А и В доказывается тем, что В в каждую
пропорциональную часть времени возрастает на свою пропорциональную
часть 1-ю, 2-ю, 3-ю и т. д., тогда как А возрастает на величину
разностей между целым и пропорциональными частями 1-й, 1-й и 2-й
и т. д., т. е. на такую же величину, поскольку любая
пропорциональная часть равна сумме всех последующих. На вопрос, каким
образом суммирование бесконечно возрастающих ннтенсивностей
дает в итоге конечную интенсивность, Суисет отвечает ссылкой
на то, что возрастание интенсивности компенсируется убыванием
величины пропорциональной части.
Пример Суисета приведен в книге С. В о у е г, The concepts of
the calculus, N. Y., 1939, p. 76. Латинский текст цитируется так же
по editio prïnceps. Текст издания 1520 г. более точен и в отдельных
местах более вразумителен.
44. Различные значения термина secundum quid,
соответствующего греческому to xaS'6, разъяснены у Аристотеля (Метафизика,
ка. V, гл. 18). Здесь его следует понимать в значении: «Каким
образом бесконечное протяжение возможно или мыслимо».
45. Аналогичный пример встречается в анонимном трактате
XIV века «Об отношении диагонали квадрата к стороне его»,
изданном H. Suter по списку А 50 Бернской городской библиотеки
в статье: Die Quaeslio «De proporlume dyanietri uuadrati ad costam
ejusdem» des Albertus de Saxonia—«Zeitschrift für Mathematik und
Physik», Jatirgang XXXII, 1887, Historisch-Uterarische Abteilung,
SS .41—56.
Зутер приписал трактат Альберту Саксонскому неправильно,
см. P. D une m, Études sur Léonard de Vinci, t. I P. 1906, pp.
,■541—344, Для доказательства, что «бесконечное число тел, каждое
из которых имеет определзнную данную величину, возможно
соединить так, чтобы они без сгущения (sine condensatione) образовали
одно конечное тело, занимающее конечное пространство», берут,
например, бесконечное число равных яблок или чего-либо
подобного; второе иа них расплющивают и «завертывают» в него первое;
так поступают с третьим, с четвертым и с пятым и т. д. Каждый
последующий листок должен быть, очевидно, больше и тоньше
предыдущего, чтобы можно было обернуть им этот предшествующий.
Соотношение между их толщиной образует, по мнению автора,
непрорывную пропорцию; получается убывающий до бесконечности ряд.
Сумма его членов равна конечной величине.
Пример с яблоками имеется я у Альберта Саксонского,
который, однако, критиковал рассуждение, указывая, что толщина слоев
не образует непрерывной пропорции.
46. В главе 4 третьей части (стр. 107) «мгновенные изменения,
мыслимые матема ти чески, исключались из мира физических явлений.
Интересна следующая глосса Орема в его комментарии к
трактату Аристотеля «О небе»: «Слово делимое употребляется в двух
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ Н. ОРЕМ Л
135
смыслах. Во-первых, делимое бывает таковым посредством
реального разделения (separation) частей, и, во-вторых, посредством
различения в уме (signacion). И не следует понимать так, будто всякая
величина или всякий континуум делимы в первом смысле; ведь
физически невозможно разделить небо подобно тому, как
раскалывают полено, отделяя одну часть от другой. Далее, деля полено,
камень и другое материальное и разрушимое тело, можно дойти до
такой малой части, что ее нельзя
будет больше разделить, не разрушая
ее субстанции. Между тем всякий
континуум, или всякая величина
делимы посредством различения в
уме,—так же как астрологи делят
небесные круги на градусы, а
градусы на минуты, минуты—на
секунды, секунды—»а терции и далее—на
кварты, и далее—на квинты. И так
можно действовать в воображения,
не переставая» (Maistre
Nicole О г е s m е, Le Livre du Ciel
et du Monde—«Mediaeval Studies»,
vol. Ill, p. 389).
47. Тот же пример был приведен позднее во французском
комментарии Орема к трактату Аристотеля «О небе» (см. Maistre Nicole
Oresme, указанное соч., стр. 215).
Из сопоставления обоих отрывков явствует, что сферы Ь, с, d
и т. д. видоизменяют свои) форму и облегают в виде слоев сферу а.
Так именно следует понимать выражение латинского текста «cir-
cumeen tri сей, соответствующее во французском тексте словам «environ
ceste une autre». В комментарии Орема пример служил к
опровержению аристотелевского тезиса, согласно которому бесконечно
протяженное физическое тело неизбежно должно было бы иметь
бесконечную тяжесть.
48. Рукопись ,№.7371 имеет любопытную концовку,
добавленную переписчиком: «На атом кончается трактат магистра Николая
Орема об униформпости и дифформности ннтенсивностей.
Благодарение богу. Аминь. Аминь. Кто хочет еще писать, пусть пишет,
Я больше не хочу».
JS. Д. Зубов
Рис
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. (В.П. Зубов). . . , 5
ТРАКТАТ О КОНФИГУРАЦИИ КАЧЕСТВ 40
Примечания к трактату Н. Орема (В. П. Зубов) . . .124