Text
                    И.В. Савельев
Курс общей физики, том III.
ОПТИКА, АТОМНАЯ ФИЗИКА, ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными
идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысла
физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно
небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство по физике,
обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем
теоретической физики и других физических дисциплин.


ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию...............................1 Из предисловия к первому изданию.............................8 ЧАСТЬ I ОПТИКА Глава I. Введение ..........................................................................9 § 1. Основные законы оптики.................................................9 § 2. Развитие представлений о природе света . ... 16 § 3. Принцип Ферма...........................................................19 § 4. Скорость света.......................................................21 § 5. Световой поток. 23 § 6. Фотометрические величины и их единицы ... 25 § 7. Фотометрия...33 Глава II. Геометрическая оптика ........... 34 § 8. Основные понятия и определения.....................................................34 § 9. Центрированная оптическая система..................................................37 § 10. Сложение оптических систем.........................................................47 § 11. Преломление на сферической поверхности .... 51 § 12. Линза. . : 58 § 13. Погрешности оптических систем .... . . 62 § 14. Оптические приборы . . . . 64 § 15. Светосила объектива . .... 69, Глава III. Интерференция света ... а ........ 72 § 16. Световая волна.....................................................................72 § 17. Интерференция световых волн........................................................78 § 18. Способы наблюдения интерференции света .... 88 § 19. Интерференция света при отражении от тонких пла- стинок ............................................ 90 § 20. Применения интерференции света...............99 Глава IV. Дифракция света.................................. 103 § 21. Принцип Гюйгенса — Френеля .... ... 106 § 22. Зоны Френеля. 108 1* 3
§ 23. Дифракции Френеля от простейших преград . . ..114 § 24. Дифракция Фраунгофера от щели....................128 § 25. Дифракционная решетка . ... ....................134 § 26. Дифракция рентгеновских. лучей..................144 § 27. Разрешающая сила объектива......................152 Глава V. Поляризация света..................................155 § 28. Естественный й поляризованный свет . . . . . . 155 § 29. Поляризация при отражении н Преломлении . . . 159 § 30. Поляризация прн двойном лучепреломлении . . . 164 § 31. Интерференция поляризованных лучей. Эллиптиче- ская поляризация......................., ... 170 § 32. Кристаллическая пластинка' между двумя поляриза- торами 175 § 33. Искусственное двойное лучепреломление............180 § 34. Вращение плоскости поляризации...................182 Глава VI. Оптяка движущихся сред н теория относительности 190 § 35. Опыт Физо и опыт Майкельсоиа...................190 § 36. 'Специальная теория относительности............197 § 37. Преобразования Лореица.........................200 § 38. Следствия из, преобразований Лоренца...........203 § 39. Интервал .... 208 § 40. Сложение скоростей.............................212 § 41. Эффект Допплера............................. 214 § 42. Релятивистская динамика . . . .................218 Глава VII. Взаимодействие электромагнитных волн с веще- ством ................................-.................228 § 43. Дисперсия света .............................228 § 44. Групповая скорость...........................229 § 45. Элементарная теория дисперсии................233 § 46. Поглощение света . 236 § 47. Рассеяние света ........................... 238 § 48. Эффект Вавилова — Черенкова..................242 Глава VIII. Тепловое излучение . . . ...................244 § 49. Тептювое излучение и люминесценция...........244 § 50. Закон Кирхгофа...............................246 § 51. Закон Стефана — Больцмана и закон Вина .... 251 § 52. Формула . Рэлея—Джинса................. ....'. 253 § 53. Формула Планка........................... . 259 § 54. Оптическая пирометрия.................... .... 264 Глава IX. Фотоны........................................272 § 55. Тормозное рентгеновское излучение............272 § 56. Фотоэффект . 275 § 57. Опыт Боте. Фотоны............................281 § 58. Эффект Комптона .............................285 4
ЧАСТЬ II АТОМНАЯ ФИЗИКА Глава X. Боровская теория атома.......................... 290 § 59. Закономерности в атомных спектрах...............290 § 60. Модель атома Томсона............................293 § 61. Опыты по рассеянию а-частиц. Ядерная модель атома . .........................................295 § 62. Постулаты Бора. Опыт Франка и Герца ..... 301 § 63. Элементарная воровская теория водородного атома 305 Глава XI. Квантовомеханическая теория водородного атома 308 § 64. Гипотеза де-Бройля. Волновые свойства вещества 308 § 65. Уравнение Шредингера............................310 § 66. Кваитовомеханическое описание движения микроча- стиц .................................._..........314 § 67. Свойства волновой функции. Квантование .... 320 S 68. Частица в бесконечно глубокой одномерной потен- циальной яме. Прохождение частиц через потен- циальный барьер .............................321 § 69. Атом водорода ... 330 Гл а в а XII. Многоэлектронные атомы ......................338 § 70. Спектры щелочных металлов . ....................338 § 71. Нормальный эффект Зеемана ;.................344 § 72. Мультиплетность спектров и спин электрона . . . 347 § 73. Момент импульса в квантовой механике........354 § 74. Результирующий момент многоэлектрониогр атома . 357 § 75. Аномальный эффект Зеемана ......................360 § 76. Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням '.........................................367 § 77. Периодическая система элементов Менделеева . . . 369 § 78. Рентгеновские спектры .........................377 § 79. Ширина спектральных линий . . .................381 § 80. Вынужденное излучение . . 386 Глава XIII. Молекулы и кристаллы...........................389 § 81. Энергия молекулы . . . ......... 389 § 82. Молекулярные спектры............................395 § 83. Комбинационное рассеяние света..................403 § 84. Теплоемкость кристаллов....................... 405 § 85. Эффект Мёссбауэра ..............................417 § 8в Лазеры. Нелинейная оптика . ....................424 ЧАСТЬ III ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ Глава XIV. Атомное ядро....................................434 § 87. Состав и характеристика атомного ядра...........434 § 88. Масса н энергия связи ядра ... ...........438 § 89. Природа ядериых сил.............................441 5
§ 90. Радиоактивность .............448 § pt. Ядерные реакции.......457 § 03: Деление ядер.....................463 § 5Ж Термоядерные реакции......472 Г ли в а XV. Элементарные частицы...................... 476 § 94. Космические лучи ........................... 476 § 95. Методы наблюдения элементарных частиц .... 478 § 96. Классы элементарных частиц и виды взаимодей- ствий .............................................482 § 97. Частицы и античастицы.......................487 § 98. Изотопический спин........................ 495 § 9®. Странные частицы............................499 § Ц)0. Несохранение четности в слабых взаимодействиях 503 § 101. Нейтрино....................................509 § И». Систематика элементарных частиц.............512 Приложение. Голография..................................518 Предметный указатель....................................522
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ При подготовке к настоящему изданию сделан ряд изменений и дополнений. Заново написан § 42 «Реляти- вистская динамика». Существенные добавления и изме- нения сделаны в параграфах 11, 16, 17, 32, 66, 68, 77 и 86. Небольшие добавления и изменения сделаны в некото- рых, других параграфах. При ссылках на первый и второй тома курса имеется в виду четвертое издание этих томов. Выражаю благодарность всем, кто критическими за- мечаниями и советами содействовал улучшению книги. Октябрь 1970 г. И. Савельев
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Курс общей физики, который завершается этим то- мом, предназначается прежде всего для студентов инже- нерно-физических специальностей втузов. Курс возник как итог многолетней работы автора на кафедре общей физики Московского инженерно-физического Института. Автор постоянно общался со студентами не только через барьер лекторской кафедры, но и на практических заня- тиях, консультациях, экзаменах и зачетах. Изложение многих вопросов оттачивалось во время этих весьма пло- дотворных для автора встреч. Большую помощь в соз- дании курса оказали также коллеги автора по кафедре, с которыми обсуждались построение и методика изложе- ния отдельных разделов курса. Особо следует отметить роль в создании курса доцентов кафедры О. И. Замши и И. Е. Иродова. И. Савельев
ЧАСТЬ I ОПТИКА ГЛАВА I ВВЕДЕНИЕ § 1. Основные законы оптики С давних времен известны четыре основных закона оптических явлений: 1) закон прямолинейного распро- странения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света. В однородной среде свет распространяется прямоли- нейно. Это вытекает из того, что непрозрачные предметы при освещении их источниками малых размеров дйют тени с резко очерченными границами. Закон прямолиней- ного распространения является приближенным; при про- хождении света через очень малые отверстия наблюда- ются отклонения от прямолинейности, тем большие, чем меньше отверстие. Независимость световых лучей заключается в том, что они при пересечении не возмущают друг друга. Пе- реселения лучей не мешают каждому из них распростра- няться независимо друг от друга1). При прохождении света через границу двух прозрач- ных веществ падающий луч разделяется на два — отра- женный и преломленный (рис. 1). Направления этих лучей определяются законами отражения и преломления света. Закон отражения света гласит, что отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, *) Независимость световых лучей наблюдается лишь при не слишком больших интенсивностях света. При интенсивностях, полу- чаемых с помощью лазеров, независимость световых лучей перестает соблюдаться (см. § 86). 9
восстановленной в точке падения. Угол отражения равен углу падения*): (1.1) Закон преломления света формулируется следующим образом: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных ве- ществ: sin /| sin i2 ~ п12- (1.2) Величина п)2 называется относительным по- казателем преломления второго вещества по отношению к первому* 2). Погрузим в вещество 1 плоскопараллельную пластин- ку из вещества 2 (рис. 2). Опыт дает, что луч, прошед- ший через пластинку, оказывается параллельным падаю- щему лучу. Напишем соотношение (1.2) для преломле- ния луча на обеих поверхностях пластинки: sin г, sin г2 '..~ — П12> . ., — п21 Sin l2 Sin/j (1.3) ’) Знак минус при i' означает, что углы it и i{ отсчитываются в разные стороны от нормали. Подробнее об этом см. в койне пара- графа. 2) Заметим, что если условно считать для отражения п12 = —1, то уравнение (1.2) будет описывать и отражение света. 10
(для второй поверхности в законе (1.2) взят показатель преломления первого вещества по отношению ко второму, т. е. п21) • Из геометрических соображений i' = i2; углы и i, одинаковы, поскольку луч после прохождения через пла- стинку остался параллельным прежнему направлению. Поэтому, перемножив выражения (1.3), получим, что = (1.4) Отсюда вытекает закон обратимости (или вза- имности) световых лучей: если навстречу лучу, Рис. 3. претерпевшему ряд отражений и преломлений, пустить другой луч, то он пойдет по тому же пути, что и первый (прямой) луч, но в обратном направлении. Показатель преломления вещества по отношению к пустоте называется абсолютным показателем преломления (или просто показателем пре- ломления) данного вещества. Вещество с большим показателем преломления называется оптически бо- лее плотным. Относительный показатель преломления двух веществ «и связан простым соотношением с их абсолютными показателями преломления щ и п2. Чтобы найти это соот- ношение, рассмотрим прохождение луча-чер,ез две сло- женные вместе плоскопараллельные пластинки, поме- щающиеся в пустоте (рис. 3). В этом случае луч, прошед- ший через обе пластинки, так же как и в случае одной И
пластинки, параллелен падающему лучу, т. е. i' = i. На- пишем условие (1.2) для всех -трех преломляющих по- верхностей. При этом для первой поверхности нужно взять относительный показатель преломления вещества / по отношению к вакууму, т. е. абсолютный показатель преломления первого вещества пи а для третьей поверх- ности— относительный показатель преломления вакуума по отношению к веществу 2, который согласно (1.4) ра- вен 1/«2, где «2 — абсолютный показатель преломления второго вещества. Таким образом, sin/ . sin/( sin4 1 smii ” sin i2 sin г пг Перемножив эти выражения и учтя, что I' — I, i{ = и <2 = j2, придем к соотношению: П1П12/п2 — 1, откуда «12! (1-5) Итак, относительный показатель преломления двух веществ равен отношению их абсолютных показателей преломления. Использовав соотношение (1.5), закону преломления (1.2) можно придать следующий вид: rtj sin i] = п2 sin /2. (1.6) Из этой формулы видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плот- ную луч удаляется от нормали к поверхности (рис. 4). Увеличе- ние угла падения ч сопрово- ждается более быстрым ростом угла переломления i2 и по дости- жении углом н значения /пред = arcsin я12 (1.7) угол i2 становится равным л/2. Величина (1.7) называется пре- дельным углом. Энергия, которую несет с собой падающий луч, рас пределяется между отраженны^ и преломленным луча- ми. По мере увеличения угла падения интенсивность От- раженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. 12
При углах падения, заключенных в пределах от /пред до л/2, свет во вторую среду не проникает1), интенсивность отраженного луча равна интенсивности падающего. Это явление называется полным внутренним отражением. Применим, закон преломления для рассмотрения про- хождения света через призму. Угол Ф между преломляю- щими гранями призмы (рис. 5) называется преломля- ющим угло.м, линия пересечения граней — прелом- ляющим ребром, а плоскость, перпендикулярная к преломляющему реб- ру,— главным сечен и- е м призмы. Если падающий луч лежит в главном сече- нии, вышедший из призмы луч также будет находиться в этом сечении. Угол а ме- жду направлениями падаю- щего и вышедшего лучей называют углом откло- нения. Условимся считать поло- жительными углы, отсчиты- ваемые от некоторого на- правления (например, от нормали к преломляющей по- верхности) по часовой стрелке, а отрицательными — уг- лы, отсчитываемые против часовой стрелки. При этом условии углы ii и i2 на рис. 5 будут отрицательными. На рисунке указаны модули этих углов, т. е. положительные величины: (—б) и (—i2). Из рисунка видно, что а = [(- it) - (- i2)J + (it - i3) = ~it~ (i3 - i2), e==/3+(~ i2) = /3-i2. Объединив эти выражения, получим: а — it — t| — •&. (1-9) Обозначим показатель преломления призмы через п, а окружающей призму среды — через по. Согласно зако- ну преломления (1.6) пй sin i, = п sin i2, nsin i3 = nosinz4, (1-Ю) ’) Точнее, световая волна проникает во вторую среду на рас- стояние порядка длины волны и затем возвращается обратно. 13
откуда ij = arcsin sin z2J, i4 = arcsin sin i3j = arcsin sin (i2 + ft)] • Подставив эти значения углов h и it в формулу (1.9), получим угол отклонении луча, лежащего в главном се- чении, как функцию угла i2: а = arcsin — sin (t2 + ft) - arcsin I—sin z2) — ft. (1.11) I L J \ / Угол отклонения будет минимальным при выполнении условия da _ (n/tip) cos (t2 + 0)_________(п/пр) cos i2__ di2 - [(n/n0)sin (r2 + ft)]2 }-'Т - [(n/n0) sin i2]2 Легко видеть, что это условие выполняется в двух случаях: 1) t2 + ft = /2; 2) Z2 + ft = — h- Поскольку Ф -k 0, физический смысл имеет лишь вто- рое решение, согласно которому . _ ft . _ h— т. е. z2— z3 [см. (1-8)]. Отсюда вытекает, что угол отклонения а минимален при симметричном относительно граней ходе лучей в призме. В этом случае выражение (1.11) имеет вид: amIn = 2 arcsin sin -у) - ft. Из этого соотношения ,легко найти относительный показатель преломления призмы п = Sin [(ft + amin)/2] .. 9' no sin (ft/2) ' Таким образом, показатель преломления призмы по отношению к окружающей ее среде может быть опре- делен путем измерения углов ft и атщ. Рассмотрим случай, когда преломляющий угол ft очень мал. Отметим, что при ft = 0 призма превращается 14
б плоскопараллельную пластинку, которая не изменяет направления луча (а = 0). Разложим первое слагаемое выражения (1.11) в ряд по степеням Ф, пренебрегая чле- нами высших порядков малости: [и /• . [п . . \ , (n/«0)cosi2 Л — sin Uz+'fl') = arcsin — sin i.> + — v. n0 J Uo / /l-[(n/«0)smz2]2 Тогда формула (1.11) принимает вид: а = (n//Zo)cosi2 ф _ 0 V1 - 1(п/п0) sin z2]2 Согласно (1.10) (n/«o)sini2 — sin it. Поэтому корень, стоящий в знаменателе, можно заменить через cos ir. a==M^lL_iU. (1.13) \ По COS Ц / Если углы А и i2 не очень велики, множитель cos t2/cos it мало отличается от единицы, так что для вы- числения угла отклонения можно пользоваться прибли- женной формулой: —(£-’)«• <1|4> В табл. 1 приведены значения угла а как функции угла i’i для случая п/по = 1,5 и & = 10'. Во втором столб- це даны значения, полученные по точной формуле (1.11), Таблица 1 й а, вычисленный по фор- муле; 1, а, вычисленный по фор- муле: (1.11) (1.13) (1.11) (1.13) 1° 5' 00" 5'00" 5 О3 10'07" 10'04" 10° 5'08" 5'08" 60° 14'37" । 14'30" 20° 5'33" 5'33" 70° 24'38" 24' 11" 30° 6'21" 6'20" 80° 59'00" 55'09" 40э 7'43" 7' 42" в третьем столбце — вычисленные по приближенной фор- муле (1.13). По формуле (1.14) в этом случае получается а — 5'. Как видно из таблицы, при углах падения it, меньших 10°, угол а практически не зависит от t‘i. 15
§ 2. Развитие представлений о природе света В конце XVII в. почти одновременно возникли две, казалось бы, взаимоисключающие теории света. Ньютой предложил теорию истечения; согласно которой свет представляет собой поток световых частиц (корпу- скул), летящих от светящегося тела по прямолинейным траекториям. Гюйгенс выдвинул волновую теорию, которая рассматривала свет как упругую волну, распро- страняющуюся в мировом эфире. В течение, ста с лишним лет корпускулярная теория имела гораздо больше при- верженцев, чем волновая. Однако в начале XIX в. Френелю удалось на основе волновых представлений объяснить все известные в то время оптические явле- ния. В результате волновая теория света получила все- общее признание, а корпус- кулярная теория была за- быта почти на столетие. Заметим, что обе теории Рис. 6. приводят к различной зави- симости между показателем преломления и скоростью света в веществе. Ньютон считал, что преломление света вызвано действием на световые корпускулы на границе двух сред сил, изменяющих нормальную составляющую скорости корпускул (рис. 6). Из рисунка следует, что . Г|Т • • &2Т Sini,=——, Sint2 = -J2-. 1 02 Поскольку тангенциальная составляющая скорости не изменяется (с1т = с2т), должно выполняться соотно- шение: sin i] _ v2 sin i2 a. Сопоставив это выражение с законом преломления (1.2), получим, что П12 = v2lvi. Если преломление проис- ходит на границе вакуума с веществом, то «12 равен абсо- лютному показателю преломления и2 второго вещества, 1в
а скорость v\ равна скорости света в пустоте с. В этом случае, опуская* индекс 2 при п и v, находим, что (2.1) Волновая теория приводит к обратному соотношению. Построим по принципу Гюйгенса (см. т. I, § 83) волновой фронт преломленной волны (рис. 7). Пусть на поверх- ность раздела двух сред падает плоская волна с фрон- том АА'. Волновой фронт во второй чить, проведя огибаю- щую вторичных волн, центры которых лежат на поверхности разде- ла сред. Если угол па- дения отличен от нуля, различные участки волнового фронта АА'. достигнут преломляю- щей поверхности не од- новременно. Поэтому возбуждение вторич- ной волны в точке А' начнется раньше, чем ходимое для того, чтобы волна в первой среде про- шла путь АВ — vtAi. Таким образом, в момент, когда начнется возбуждение вторичной волны с центром в точ- ке В, волна с центром в точке А' успеет пройти во второй среде путь А'В' = у2АА Возбуждение вторичной волны в точке С, лежащей как раз посередине между точками В и Д', начнется с запаздыванием на время Д^/2, так что эта волна успеет пройти во второй среде путь, равный о2А//2. Отсюда следует, что фронт преломленной волны будет плоским. В изотропной среде лучи перпендикулярны к волно- вым поверхностям. Поэтому угол АА'В между прелом- ляющей плоскостью и фронтом падающей волны равен углу падения it. Аналогично, угол А'ВВ' между прелом- ляющей поверхностью и фронтом преломленной волны равен углу преломления 12. Из рис. 7 следует, что среде можно полу- Среда? Среда 2 Рис. 7. в точке В, на время А/, необ- . . a, AZ . . v2 AZ Sin = sinz2 = -|^- 17
Поделив эти выражения друг на друга, придем к фор- муле sin t~! _ t?i sin it v2 Сопоставление с формулой (1.2) дает, что = vjvz. Наконец, полагая вместо среды 1 вакуум и опуская ин- декс 2 при п и v, получим соотношение (2.2) обратное соотношению (2.1) корпускулярной теории. В 1851 г. Фуко измерил скорость света в воде и полу- чил значение, согласующееся с формулой (2.2). Таким образом было получено еще одно экспериментальное до- казательство справедливости волновой теории. Первоначально считалось, что свет есть поперечная волна, распространяющаяся в гипотетической упругой среде, будто бы заполняющей все мировое пространство и получившей название мирового эфира. В 1864 г. Мак- свелл создал электромагнитную теорию света, согласно которой свет есть электромагнитная волна с длиной вол- ны, заключающейся в пределах от 0,40 до 0,75 л/к1). Та- ким образом, на смену упругим световым волнам при- шли электромагнитные волны. В конце XIX и в начале XX вв. ряд новых опытных фактов заставил вновь вернуться к представлению об особых световых частицах — фотонах. Было уста- новлено, что свет имеет двойственную природу, сочетая в себе как волновые свойства, так и свойства, присущие частицам. В одних явлениях, таких как интерференция, дифракция и поляризация, свет ведет себя как волна, в других (фотоэффект, эффект Комптона, о которых речь идет в гл. IX) — как поток частиц (фотонов). Впоследствии выяснилось, что двойственная корпу- скулярно-волновая природа присуща не только свету (и электромагнитным волнам вообще), но и мельчайшим частицам вещества— электронам, протонам, нейтронам и т. п. (см. § 64). ’) 1 мк (микрон) —10-6 м = 10 3 мм, 18
§ 3. Принцип Ферма В однородной среде свет распространяется прямоли- нейно. В неоднородной среде световые лучи искривляют- ся. Путь, по которому распространяется свет в неодно- родной среде, может быть найден с помощью принципа, установленного французским математиком Ферма в 1679 г. Принцип Ферма гласит, что свет распространяется по та- кому пути, для прохождения ко- торого ему требуется мшшмаль- ное время. / Для прохождения участка пу- / ти ds (рис. 8) свету нужно время / dt = ds/v, где v — скорость света 1 в данной точке среды. Заменив и рис через с и п по формуле (2.2), получим, что dt = (l/c)nds. Следовательно, время т, за- трачиваемое светом на прохождение пути от точки 1 до точки 2, можно вычислить по формуле 2 1 f л т = — п ds. с J 1 Согласно принципу Ферма т должно быть минималь- ным. Поскольку с—константа, должна быть минималь- на величина 2 L = | nds, (3.1) 1 которую называют оптической длиной пути. В однородной среде оптическая длина пути равна произ- ведению геометрической длины пути s на показатель преломления среды п: L ----- ns. (3.2) Принцип Ферма можно сформулировать следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптиче- ская длина которого минимальна1). 1) Точнее, оптическая длина пути должна быть экстремальна, т. е. либо минимальна, либо максимальна, либо стационарна — оди- накова для всех возможных путей. В последнем случае все пути света между двумя точками оказываются таутохрон и ы ми (тре- бующими для своего прохождения одинакового времени). 19
Законы отражения и преломления света вытекают из принципа Ферма. Пусть свет попадает из точки А в точ- ку В, отразившись от поверхности MN (рис. 9). Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому минималь- ность оптической длины пути сводится к минимальности его геометрической длины. Геометрическая длина произ- вольно взятого пути равна АО'В = А'О'В (вспомогатель- ная точка А’ является зеркальным изображением точки А). Из рисунка видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которого угол отражения равен углу падения. Заметим, что при удале- нии точки О' от точки О геометрическая длина пути не- ограниченно возрастает, так что в данном случае имеется только один экстремум — минимум. Теперь найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была экстремальна (рис. 10). Для произвольного луча оптическая длина пути равна L — nlsl + n2s2 = nt а2 + х2 + п2\ а22 + (Ь — х)2. Чтобы найти экстремальное значение, продифферен- цируем L по х и приравняем полученное выражение нулю: dL______п,х Пг(Ь — х) _ х b — х ~уТ2+(ь-л)2 • 20
Множители при ni и п2 равны соответственно sin и sin i2. Таким образом, мы приходим к соотношению /2| sin ij — П2 sin i2, выражающему закон преломления. § 4. Скорость света Первые определения скорости света были осуще- ствлены на основании астрономических наблюдений. В 1676 г. датский астроном Рёмер определил скорость света из наблюдений за затмениями спутников Юпитера. Он получил для с значение 215000 км)сек. Движение Земли по орбите приво- дит к тому, что видимое положение звезд на небесной сфере изменяется. Это явление, называемое аберра- цией света, использовал в 1727 г. английский' астроном Бредли для опре- деления скорости света. Предположим, что направление на наблюдаемую в телескоп звезду пер- пендикулярно к плоскости земной ор- биты. Тогда угол между направлени- ем на звезду и вектором скорости Земли v будет в течение всего годэ равен л/2 (рис. 11). Направим ось телескопа точно на звезду. За время т, которое требуется свету, чтобы прой- ти расстояние от объектива до окуля- ра, телескоп сместится вместе с Зем- лей в перпендикулярном к лучу света направлении на расстояние пт.' В результате изображе- ние звезды окажется не в центре окуляра. Для того что- бы изображение получилось точно в центре окуляра, нужно повернуть ось телескопа в направлении вектора v на угол а, тангенс которого, как видно из рис. 11, удо- влетворяет условию Направление ., на звезду (С =>. Объектив Окуляр у VT Рис. 11. i v tga = 7- (4.1) Точно так же падающие вертикально капли до- ждя пролетят сквозь длинную трубу, установленную 21
иа движущейся тележке, лишь в том случае, если не- много повернуть ось трубы от вертикали в направлении движения тележки. Итак, видимое положение звезды оказывается сме- щенным относительно истинного на угол а. Вектор ско- рости Земли все время поворачивается в плоскости ор- биты. Поэтому ось телескопа тоже поворачивается, описывая конус вокруг истинного направления на звезду. Соответственно видимое положение звезды на небесной сфере описывает окружность, угловой диа- метр которой равен 2а. Если направление на звезду образует с плоскостью земной орбиты угол, отличный от прямого, видимое положение звезды описывает эл- липс, большая ось которого имеет угловой размер 2а. Для звезды, лежащей в плоскости орбиты, эллипс вы- рождается в прямую. Из астрономических наблюдений Брэдли нашел, что 2а = 40",9. Соответствующее значение с, полученное по формуле (4.1), оказалось равным 303000 км!сек. В земных условиях скорость света впервые была из- мерена французским физиком Физо в 1849 г. Схема опы- та изображена на рис. 12. Свет от источника S падал Рис. 12. на полупрозрачное зеркало. Отразившийся от зеркала свет попадал на край быстро вращающегося зубчатого диска. Всякий раз, когда против светового пучка оказы- валась прорезь между зубцами, возникал световой сиг- нал, который доходил до зеркала М и отражался обрат- но. Если в момент, когда свет возвращался к диску, против пучка оказывалась прорезь, отраженный сигнал проходил частично через полупрозрачное зеркало и по- падал в глаз наблюдателя. Если на пути отраженного сигнала оказывался зубец диска, наблюдатель света не видел. 22
За время т = 2//с, которое свет затрачивал на прохо- ждение пути до зеркала М и обратно, диск успевал повернуться на угол Дф = сот = 2/®/с, где «— угловая скорость вращения диска. При постепенном увеличе- нии <о угол Дф возрастал. Когда он достигал значения (1/2) (2n/z) (z— число зубьев на диске), наблюдалось первое затемнение. Ему соответствовала угловая ско- рость со = «и. Второе затемнение получалось при такой скорости и = (02, для которой Дф = (3/2) (2n/z), третье — при Дф = (5/2) (2n/z), и т. д. Условие fe-го затемнения можно записать в виде 2/<о. / 1 \ 2зт —- = I k — I----- с \ 2 / г По этой формуле, зная I, z и угловую скорость <о*, при которой получается А-е затемнение, можно опреде- лить скорость света с. В опыте Физо I было около 8,6 клц для с получилось, значение 313000 км/сек. В 1928 г. для определения скорости света были при- менены ячейки Керра (см. § 33). С их помощью можно осуществить прерывание светового пучка с гораздо боль- шей частотой (~107 сек-1), чем с помощью зубчатого диска. Это позволило произвести измерения с при I по- рядка нескольких метров. Майкельсон произвел несколько измерений скорости света методом вращающейся призмы. В опытах Май- кельсона, осуществленных в 1932 г., свет распространял- ся в трубе длиной 1,6 км, из которой был откачан воздух. В настоящее время скорость света в пустоте прини- мается равной с = 299 792,5 ± 0,3 км/сек. (4.2) § 5. Световой поток Электромагнитная волна несет с собой энергию. Плотность потока энергии дается вектором Пойнтинга (см. т. II, § 112). Всякая реальная электромагнитная волна представляет собой наложение колебаний с дли- нами волн, заключенными в некотором интервале ДХ. Этот интервал остается конечным даже для монохрома- тической (одноцветной) световой волны. В белом свете ДХ охватывает весь диапазон воспринимаемых глазом 23
электромагнитных волн, т. е. простирается от 0,40 до 0,75 мк. Распределение энергии потока по длинам волн мож- но охарактеризовать с помощью функции распределения ф(Я) = ^. (5.D где с/Фа — поток энергии, приходящийся на длины волн от X до X + dX. Поток энергии, переносимый волнами, заключенными в конечном интервале от Xi до Хг, может быть предста- влен следующим образом: Фэ = / 4>(k)dk. (5.2) 7ц Действие света на глаз (световое ощущение) в силь- ной степени зависит от длины волны. Это легко понять, если учесть, что электромагнитные волны с X, меньшей 0,40 мк и большей 0,75 мк, совсем не вызывают зритель- ного ощущения. Чувствительность среднего нормального человеческого глаза к излучению разной длины волны дается так называемой кривой видности (рис. 13). По горизонтальной оси отложена длина волны X, пр вер- тикальной оси — функция видности V (X). Наибо- лее чувствителен глаз к излучению с длиной волны 24
0,555 лк1) (зеленая часть спектра). Функция видности для этой длины волны принята равной единице. При том же потоке энергии оцениваемая зрительно интенсивность света для других длин волн оказывается меньше. Соот- ветственно и функция видности для этих длин волн мень- ше единицы. Значения функции видности обратно про- порциональны величинам энергетических потоков, кото- рые вызывают одинаковое по интенсивности зрительное ощущение: У(Л1) (d<D3)2 (</Фэ), • Так, например, У(Х) = 0,5 означает, что для получе- ния зрительного ощущения такой же интенсивности свет данной длины волны должен иметь энергетическую мощ- ность в два раза- большую, чем свет, для которого У(л)=1. Вне интервала видимых длин волн функция видности равна нулю. Для характеристики интенсивности света с учетом его способности вызывать зрительное ощущение вводится величина Ф, называемая световым потоком. Для интервала d'K световой поток определяется как произве- дение потока энергии на соответствующее значение функции видности: </Ф = У(Л)</Фэ. (5.3) Выразив поток энергии через функцию распределе- ния энергии по длинам волн согласно формуле (5.1), можно написать: 4/Ф = V (X) <Р (Л) rfA. (5.4) Полный световой поток равен оа Ф= [ У(Х)ф(Л)</Л. (5.5) о Функция видности У(М—безразмерная величина. Следовательно, размерность светового потока совпадает с размерностью потока энергии. Это дает основание определить световой поток как поток лучистой энергии, оцениваемый по зрительному ощущению. !) Интересно то, что в излучении Солнца эта длина волны пред- ставлена с наибольшей интенсивностью. 25
§• 6. Фотометрические величины и их единицы Сила света. Назовем точечным такой источник света, размерами которого можно пренебречь по сравне- нию с расстоянием от места наблюдения до источника. В однородной и изотропной среде волна, излучаемая то- чечным источником, будет сферической. Для характери- стики точечных источников света применяется сила света /, которая определяется как поток излучения источника, приходящийся на единицу телесного угла: ' = (6-1) (б/Ф— световой поток, излучаемый источником в преде- лах телесного угла dQ). В общем случае сила света зависит от направления: ! = !(&, <р) (•& и <р— полярный и азимутальный углы в сферической системе координат). Если / не зависит от на- правления, источник света называется изотропным. Для изотропного источника / = (6-2) где Ф — полный световой поток, излучаемый источником по всем направлениям. В случае протяженного источника можно говорить о силе света элемента его поверхности dS. Тогда под с?Ф в формуле (6.1) следует понимать световой поток, излу- чаемый элементом поверхности dS в пределах телесного угла dQ. Единица силы света — свеча (св) является одной из основных единиц Международной системы единиц (СИ). Ее значение принимается таким, чтобы яркость (см. ниже) полного излучателя при температуре затвердева- ния платины была равна 60 св на I см2 (ГОСТ 9867-61). Под полным излучателем понимается устройство, обла- дающее свойствами абсолютно черного тела (см. § 50). Световой поток. Единицей светового потока является люмен (лм). Он равен световому потоку, излучаемому изотропным источником с силой света в 1 св в пределах телесного угла в один стерадиан: 1 1 лм = 1 св • 1 стер. (6.3) 26
Опытным путем установлено, что световому потоку в 1 лм, образованному излучением с длиной волны X = 0,555 мк, соответствует поток энергии в 0,0016 вт. Величина А0,0016 вт/лм (6.4) носит название механического эквивалента света. Световому потоку в 1 лм, образованному излучением, для которого функция видности равна V(X), соответ- ствует поток энергии в A/V(X) вт. Освещенность. Степень освещенности некоторой по- верхности падающим на нее световым потоком характе- ризуется величиной Е = ^, (6-5) называемой освещенностью (</ФПад— световой по- ток, падающий на элемент поверхности dS). Единицей освещенности является люкс (лк), раз- ный освещенности, создаваемой потоком в 1 лм, равно- мерно распределенным по по- верхности в 1 м?: 1 лк = 1 лм : 1 м2 х). (6.6) Освещенность Е, создаваемую точечным источником, можно вы- разить через силу света /, рас- стояние г от поверхности до ис- точника и угол а между нор- малью к поверхности п и направ- лением на источник. На площадку dS (рис. 14) падает поток d<$aaR = IdQ, заключенный в пределах телесного угла dQ, опирающегося на dS. Угол dQ равен dS cos сх/r2. Следовательно, t/Фпад = = I dS cos <x/r2. Разделив этот поток на dS, получим: „ I cos a (6.7) Светимость. Протяженный источник света можно охарактеризовать светимостью R различных его * 1 *) Раньше применялась также единица освещенности — фот (ф); 1 $•= 1 лм : 1 см2 — 104 лк. 27
участков, под которой понимается световой поток, ис- пускаемый единицей поверхности наружу по всем на- правлениям (в пределах значений О от 0 до л/2; & — угол, образуемый данным направлением с внешней нормалью к поверхности): К = (6.8) (t/Фисп—поток, испускаемый наружу по всем направле- ниям элементом поверхности dS источника). Светимость может возникнуть за счет отражения по- верхностью падающего на нее света. Тогда под т/ФИСа в формуле (6.8) следует понимать поток, отраженный элементом поверхности dS по,всем направлениям. Светимость измеряется в тех же единицах, что и осве- щенность— в люксах, (и фотах). Яркость. Светимость характеризует излучение (или отражение) света данным местом поверхности по всем направлениям. Для характеристики излучения (отраже- ния) света в заданном направлении служит яркость В. Направление можно задать полярным углом (от- считываемым от внешней нормали п к излучающей пло- . щадке AS) и азимутальным уг- / /лом ф. Яркость определяется как /'У/ / отношение силы света элемента р- / ной поверхности AS в данном п / // / направлении к проекции площад- / // / ки AS на плоскость, перпенди- / кулярную к взятому направле- / нию. / / Рассмотрим элементарный те- лесный угол dQ, опирающийся 4 на светящуюся площадку AS и Рис. 15. ориентированный в направлении (•О, ф) (рис. 15). Сила света пло- щадки AS в данном направлении согласно определению (6.1) равна 1 = df&fdQ, где ^Ф— световой поток, распро- страняющийся в пределах угла dQ. Проекцией AS на плоскость, перпендикулярную к направлению (&, ф) (на рис. 15 след этой плоскости изображен пунктиром), бу- дет AS cos Ф. Следовательно, яркость пр определению равна
В общем случае яркость различна для разных напра- влений: В=В(Ф, <р). Как и светимость, яркость может быть использована для характеристики поверхности, от- ражающей падающий на нее свет. Согласно формуле (6.9) поток, излучаемый площад- кой AS в пределах телесного угла dQ по направлению, определяемому & и <р, равен <р) d£l AS cos О. (6.10) Источники, яркость которых одинакова по всем на- правлениям (В = const), называются ламбертовски- ми (подчиняющимися закону Ламберта) или коси- нусными (поток, посылаемый элементом поверхности такого источника, пропорционален cos О). Строго следует закону Ламберта только абсолютно черное тело. Светимость R и яркость В ламбертовского источника связаны простым соотношением. Чтобы найти его, под- ставим в(6.10) dQ = sin Odd dtp и проинтегрируем полу- ченное выражение по <р в пределах от 0 до 2л и по # от 0 до л/2, учтя, что В — const. В результате мы найдем полный световой поток, искускаемый элементом поверх- ности AS ламбертовского источника наружу по всем на- правлениям: 2л л/2 АФнсп — В AS | dtp sin&cost}dO = лВ AS. о о Разделив этот поток на AS, получим светимость [см. (6.8)]. Таким образом, для ламбертовского источника Я = лВ. (6.11) Единицей яркости служит свеча на квадратный метр (ce/м2), или нит (нт). Яркостью в один нит об- ладает равномерно светящаяся плоская поверхность в направлении нормали к ней, если в этом направлении сила света одного квадратного метра поверхности равна одной свече* 1). •) Раньше применялась также единица яркости—стильб (сб), равный 1 се: 1 см2. Между стильбом н нитом имеется соотношение: 1 сб = 104 нт. 29
§ 7. Фотометрия Приборы, применяемые для сравнения источников света или световых потоков, называются фотомет- рами. Фотометры подразделяются на визуальные (основанные на показаниях глаза) и объективные (не требующие участия глаза). Визуальные фотометры основаны на способности гла- за хорошо устанавливать равенство яркостей двух со- прикасающихся поверхностей. Наибольшее распростра- нение получил фотометр Люммера — Бродхуна (рис. 16). Рис. 16. Основным его элементом является кубик, образованный двумя сложенными вместе прямоугольными стеклянны- ми призмами. Грань одной из них сошлифована по краям таким образом, что касание между призмами осу- ществляется только в средней части поверхностей на эл- липтическом участке ab. На этом участке призмы при- шлифованы настолько хорошо, что образуют оптический контакт, т. е. ведут себя подобно сплошному прозрач- ному телу. Следовательно, свет проходит через этот кон-. 30
такт, не претерпевая ни отражения, ни преломления. Предельный угол для стекла меньше 45°, поэтому вне области оптического контакта лучи в обеих призмах пре- терпевают полное внутреннее отражение и в соседнюю призму не проникают. Сравниваемые источники света Si и S2 устанавли- ваются по разные стороны от белой непрозрачной пла- стинки Р, которая рассеивает упавший на нее свет диф- фузно (равномерно по всем направлениям). Часть рас- сеянного света попадает на -одинаковые рассеивающие пластинки Pi и Р2. Между пластинками поставлен не- прозрачный, поглощающий свет экран Е. Поэтому на пла- стинку Рг попадает лишь свет от источника Sb на пла- стинку Р2— от источника S2. Отраженные от Pi и Р2 пучки света попадают на чкубик. Идущий от кубика к линзе пучок света образован в средней части лучами, идущими от Pi, во внешней части — лучами, идущими от Р2. В результате помещенный за линзой глаз увидит два концентрических поля сравнения, яркости которых про- порциональны освещенностям пластинок Pi и Р2. При одинаковой с обеих сторон освещенности пластин- ки Р граница между полями сравнения исчезает. Одина- ковой освещенности можно достигнуть, подбирая рас- стояния ri и г2 источников света от пластинки Р. Если источники можно считать точечными, то равенству осве- щенностей будет соответствовать условие [см. формулу (6-7)]: из которого по известной силе света эталонного источ- ника можно найти силу света источника, сравниваемого с эталоном. Вместо изменения расстояний от источников можно ослаблять поток света, идущий от одного из источников, в известное число раз. Для этого можно воспользовать- ся, например, образованным двумя клиньями фильтром переменной толщины (см. рис. 16). Фильтр должен быть нейтральным, т. е. в одинаковой степени поглощать свет различной длины волны. Равенство яркостей устанавливается глазом доста- точно точно только в том случае, если оба поля срав- нения имеют одинаковый цвет. Уже при небольшом 31
различии цветов сравнение яркостей сильно затрудняет- ся, а при большом различии делается невозможным. Объективные методы фотометрии делятся на фото- графические и электрические. Фотографические методы основаны на том, что почернение фоточувствительного слоя в широких пределах пропорционально количеству световой энергии, попавшей на пластинку (или пленку) за время экспозиции. В электрических фотометрах в качестве приемников света применяются фотоэлементы, фотоумножители, фо- тосопротивления, болометры и термо- пары. —----------- Простейший фотоэлектрический фотометр состоит из фотоэлемента и стрелочного гальванометра, измеряю- , щего возникающий под действием све- та фототок. Шкала гальванометра мо- < жет быть проградуирована непосред- ственно в люксах. Имеются фотоэле- менты, кривая чувствительности кото- —рых к свету различной длины волны —___________близка к кривой чувствительности че- ловеческого глаза. В фотоумножите- лях (см. т. II, § 87) возникший под Рис. 17. действием света фототок подвергается многократному усилению, в резуль- тате чего чувствительность фотометра значительно по- вышается. Фотосопротивление представляет собой полупровод- ник, носители тока в котором возникают в результате внутреннего фотоэффекта. Электрическое сопротивление такого полупроводника сильно зависит от интенсивности падающего на него света. Действие болометра основано на изменении электри- ческого сопротивления тонкого (0,1—1 мк) слоя металла (или полупроводника) при нагревании, обусловленном поглощением этим слоем падающего на него излучения. Для более полного поглощения излучения поверхность чувствительного элемента покрывается чернью. На рис. 17 показан термостолбик, применяемый для измерения интенсивности излучения. Он представляет со- бой термобатарею, составленную из чередующихся топ- ких полосок двух различных металлов. Полоскй од- 32
ного металла на рисунке зачернены, другого — оставле- ны незачерненными. Спаи, прикрепленные к массивной рамке, имеют одинаковую с ней температуру. Внутрен- ние спаи зачернены и под действием падающего на них излучения нагреваются. По возникающей при этом тер- мо-э. д. с. можно судить об интенсивности излучения. Для увеличения чувствительности термостолбик поме- щают в эвакуированный баллон. Объективные фотометры позволяют измерять интен- сивность излучения за пределами видимой части спектра. Так, фотопластинки и фотоэлементы применяются для определения интенсивности ультрафиолетового излуче- ния, болометры «. термостолбики — для исследования инфракрасного излучения.
ГЛАВА II ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА § 8. Основные понятия и определения Многие оптические явления, в частности действие оптических приборов, можно рассматривать, исходя из представления о световых лучах. Раздел оптики, основы- вающийся на этом представлении, называется- геоме- трической (или лучевой) оптикой. В изотропной среде под лучами понимаются линии, нормальные к волновым поверхностям. Вдоль этих ли- ний распространяется световая энергия. При пересече- нии лучи не возмущают друг друга. В однородной среде они прямолинейны. На границе раздела двух сред лучи претерпевают отражение и преломление по законам (1.1) и (1.2). Представления, геометрической оптики справедливы лишь в той степени, в какой можно пренебречь явле- ниями интерференции и дифракции световых волн. Ди- фракция сказывается тем слабее, чем меньше длина волны. Поэтому можно сказать, что геометрическая оп- тика является предельным случаем волновой оптики, соответствующим исчезающе малой длине волны. Совокупность лучей образует пучок. Если лучи при своем продолжении пересекаются в одной точке, пучок называется гомоцентрическим. Г омоцентрическо- му пучку лучей соответствует сферическая волновая поверхность. На рис. 18, а показан сходящийся, а на рис. 18,6 — расходящийся гомоцентрический пучок. Частным случаем гомоцентрического пучка является пу- чок параллельных лучей; ему соответствует плоская све- яговая волна. 34
Рассмотрим небольшой участок волновой поверхности двоякой кривизны (рис. 19). Возьмем нормальные сече- ния АВ и CD этой поверхности, соответствующие наи- большей и наименьшей кривизне. Из геометрии известно. что эти сечения взаимно перпендикулярны. Лучи, перпендикулярные к се- чению АВ большей кри- визны, пересекутся в точ- ке Pi. Лучи, перпендику- лярные к близким к се- чению АВ и параллель- ным ему сечениям А'В' и А"В", пересекутся в точ- ках Р\ и Р’[, лежащих приблизительно на одной прямой с точкой Pi. Ана- логично, лучи, перпендикулярные к сечению CD мень- шей кривизны и близким к нему течениям А'А" и B'B"t пересекутся в точках Р?, Р? ,и Р", лежащих на приблизи- тельно прямолинейном отрезке. Итак, в случае, когда пучку лучей соответствует вол- новая поверхность двоякой кривизны, пересечение лучей Рис. 19. происходит не в одной точке, а в совокупности точек, расположенных на двух взаимно перпендикулярных пря- молинейных отрезках. Такой пучок лучей называется астигматическим. Расстояние между отрезками P'iP\' и P^P'i называют астигматической раз- ностью. При пересечении астигматического пучка пло- скостью, перпендикулярной к его оси, получается эллип- тическое сечение (/ и ГИ на рис. 19). В точках Р1 и Р% 2* 33
эллипс переходит в прямые Р\Р’{ и Р2Р2. Одно из сече- ний (II на рис. 19) —круговое; оно называется круж- ком наименьшего рассеяния. С уменьшением астигматической разности длина отрезков P'iP'( и Р2Р2 и радиус кружка наименьшего рассеяния убывают. Всякая оптическая система осуществляет преобразо- вание световых пучков. Если система не нарушает гомо- центричности пучков, то лучи, вышедшие из точки Р, пересекутся в одной точке Р'. Эта точка , представляет собой оптическое изображение точки Р. Если любая точка предмета изображается в виде точки, изоб- ражение называется то ч ечн ы м или стигматиче- ским. Изображение называется действительным, если световые лучи в точке Р' действительно пересекаются (см. рис. 18,а), и мнимым, если в Р' пересекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обрат- ном распространению света (см. рис. 18, б). Действитель- ные изображения непосредственно освещают соответ- ственным образом • расположенный экран (например, лист белой бумаги). Мнимое изображение такого осве- щения произвести не может, но при помощи оптических приборов мнимые изображения могут быть преобра- зованы в действительные; например, в нашем глазу мнимое изображение преобразуется в действитель- ное, освещающее определенный участок сетчатой обо- лочки. Вследствие обратимости световых лучей источник све- та Р и изображение Р' могут поменяться ролями — то- чечный источник, помещенный в Р', будет иметь свое изо- бражение в Р. По этой причине Р и Р' называют сопряжёнными точками. Оптическая система, которая дает стигматическое изображение, геометрически подобное1) отображаемому предмету, называется идеальной. С помощью такой системы пространственная непрерывность точек Р ото- бражается в виде пространственной непрерывности точек Р' Первая непрерывность называется простран- ством предметов, вторая — пространством *) Имеются в виду предмет и изображение, лежащие в плоско- стях, перпендикулярных к оси системы. Для предметов, имеющих протяженность вдоль оси, подобие предмета и изображения не со- храняется (см. рис. 24). 36
изображений. В обоих пространствах точки, прямые и плоскости однозначно соответствуют друг другу. Такое соотношение двух пространств называется в геометрии коллинеарным соответствием1). § 9. Центрированная оптическая система Оптическая система представляет собой совокупность отражающих - и преломляющих поверхностей, отделяю- щих друг от друга оптически однородные среды. Обычно эти поверхности бывают сферическими или плоскими (плоскость можно рассматривать как сферу бесконечно- го радиуса). Реже применяются более сложные, но имею- щие ось симметрии поверхности (эллипсоид, гипербо- лоид, параболоид вращения и др.). Оптическая система, образованная сферическими (в частности плоскими) поверхностями, называется цен- трированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту прямую называют оптической осью системы. На рис. 20 показаны внешние преломляющие поверх- ности и оптическая ось некоторой идеальной центриро- ванной оптической системы. Пусть на систему падает пучок лучей, параллельных оптической осн (рис. 20,а). ’) Теория идеальной оптической системы была создана Гауссом. 37
Эти лучи можно рассматривать как исходящие из точки, лежащей на оси на бесконечно большом расстоянии от системы. Поскольку система идеальна, пучок лучей по выходе из нее остается гомоцентрическим. В зависимости от конкретного устройства системы вышедший пучок бу- дет либо сходящимся (сплошные лучи), либо расходя- щимся (пунктирные лучи), либо параллельным (циф- рами 1 и Г, а также 2 и 2' обозначены сопряженные лучи). Точка F', в которой пересекаются вышедшие из системы лучи, называется задним или вторым фо- кусом системы. Из соображений симметрии ясно, что F' лежит на оптической оси. Как видно из рис. 20, а, фокус F' может находиться по любую сторону от си- стемы (в частности, он может оказаться внутри" си- стемы). Задний фокус представляет собой точку, сопряжен- ную с бесконечно удаленной точкой в пространстве пред- метов, лежащей на оптической оси системы. Бесконечно удаленной, перпендикулярной к оптической оси плос- кости в пространстве предметов будет, очевидно, соот- ветствовать в пространстве изображений перпендику- лярная к той, же оси плоскость F'F', проходящая через фокус F'. Эта плоскость называется фокальной. Пу- чок параллельных лучей, образующих с оптической осью любой угол, после выхода из системы соберется в одной из точек плоскости F'. Следовательно, изображение бес- конечно удаленного предмета будет лежать в фокальной плоскости. В пространстве предметов существует лежащая на оптической оси точка F (рис. 20,6), обладающая тем свойством, что вышедшие из нее (на рисунке — сплош- ные) или сходящиеся в ней (пунктирные) лучи после прохождения через систему становятся параллельными оптической оси. Эта >точка называется передним или первым фокусом системы, а проходящая через нее плоскость, перпендикулярная к оптической оси, назы- вается передней фокальной плоскостью. Она сопряжена с бесконечно удаленной плоскостью в про- странстве изображений. Пучок лучей, вышедших из лю- бой точки фокальной плоскости, после .прохождения через систему превращается в параллельный пучок, об- разующий с оптической осью угол, вообще говоря, от- личный от нуля. 38
Рассмотрим две сопряженные плоскости, перпендику- лярные к оптической оси системы. Отрезок прямой у (рис. 21), лежащий в одной из этих плоскостей, будет иметь своим изображением отрезок прямой у', лежа- щий во второй плоскости. Из осевой симметрии системы вытекает, что отрезки у и у' должны лежать в одной, проходящей через оптическую ось плоскости (в плоскости рисунка). При этом изображение у' может быть обра- щено либо в ту же сторону, что и предмет у (рис. 21,а), либо в противоположную сторону (рис. 21,6). В первом случае изображение называется прямым, во втором — обратным. Отрезки, откладываемые от оптической оси вверх, считаются положительными, откладываемые Z7J Рис. 21. вниз — отрицательными. На рисунках указываются дей- ствительные длины отрезков, т. е. для отрицательных от- резков положительные величины: (—у) и (—у'). Отношение линейных размеров изображения и пред- мета называется линейным или поперечным уве- личением. Обозначив его буквой р, можно написать: (9.1) Линейное увеличение—алгебраическая величина. Оно положительно, если изображение прямое (знаки у и у' одинаковы), и отрицательно, если изображение обрат- ное (знак у' противоположен знаку у). Докажем, что существуют две такие сопряженные плоскости, которые отображают друг друга с увеличе- нием р = +1. Рассмотрим луч 7, идущий в пространстве предметов через передний-фокус Г и пересекающий пер- вую преломляющую поверхность в точке А (рис. 22). В пространстве изображений ему будет соответствовать параллельный оптической оси луч Г, вышедший из точ- ки А' последней преломляющей поверхности. В зависи- мости от конкретных свойств системы расстояние от оси
до точки Д' может быть либо меньше (рис. 22, а), либо больше (рис. 22, б), чем расстояние до точки А. Ход луча внутри системы нас не интересует. Теперь возьмем в пространстве предметов луч 2, ле- жащий на одной прямой с лучом Г. Поскольку луч 2 параллелен оптической оси, в пространстве изображений ему будет соответствовать луч 2', идущий через задний фокус F'. Идеальная оптическая система не нарушает гомоцентричности световых пучков. Поэтому любому лу- чу 3, проходящему через точку Р пересечения лучей 1 и 2, будет соответствовать луч 3', идущий через точку Р' пересечения лучей Р и 2' (в случае б пересекаются не сами лучи, а их воображаемые продолжения внутри си- стемы). Таким образом, Р и Р' оказываются сопряжен- ными точками. Проведем через эти точки плоскости Н и Н', перпендикулярные к оптической оси. Отрезку HP, лежащему в плоскости Н, соответствует изображе- ние Н'Р', лежащее в плоскости Н', причем изображение является прямым и имеет такие же размеры, как и предмет. Поскольку изображение, даваемое идеальной оптической системой, подобно предмету, точка Q, лежа- 40
щая посередине отрезка HP, отобразится точкой Q', ле- жащей посередине отрезка Н'Р'. Аналогично, точка R, лежащая на двойном по сравнению с точкой Р расстоя- нии от оси, отобразится точкой R', лежащей на двойном расстоянии по сравнению с точкой Р'. Точки Р и Р' были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверж- дать, что любой предмет, лежащий в плоскости Н, ото- бразится системой в плоскости Н' с увеличением, рав- ным + 1. Иначе говоря, с таким увеличением отобра- жают друг друга сами плоскости. Плоскость Н называется передней или первой, а плоскость Hf — задней или второй главной плоскостью оптической системы. Точки пересечения этих плоскостей с оптической осью (их обозначают так- же буквами Н и Н') называют главными точками системы. Как видно из рис. 22, главные плоскости (и точки) могут находиться как вне, так и внутри систе- мы. Может случиться, что одна из плоскостей проходит внутри, а другая — вне системы. Возможно, наконец, что обе плоскости будут лежать вне системы по одну и ту же сторону от нее. Фокальные и главные плоскости называются карди- нальны ми плоскостями ‘ оптической системы. Главные точки и фокусы называются кардинальны- ми точками. Расстояние от передней главной точки Н до переднего фокуса F представляет собой перед- нее фокусное расстояние / системы. Аналогич- но, расстояние от Н' до F' является задним фокус- ным расстоянием f'. Фокусные расстояния f и f' —- алгебраические величины. Они положительны, если дан- ный фокус лежит справа от соответствующей, главной точки, и отрицательны в противно^ случае. ,Так, напри- мер, для системы, изображенной на рис. 23, заднее фо- кусное расстояние f' положительно, а переднее фокусное расстояние f отрицательно. На рисунке указана истин- ная длина отрезка HF, т. е. положительная величина (—/), равная модулю f. Ниже будет показано [см. формулу (11.16)], что меж- ду фокусными расстояниями f и f' центрированной опти- ческой системы, образованной сферическими преломляю- щими поверхностями, имеется соотношение: 41
где п — показатель преломления среды, находящейся пе- ред оптической системой, п'— показатель преломления среды, находящейся за системой. Из (9.2) вытекает, что в случае, когда показатели преломления сред, находя- щихся по обе стороны оптической системы, одинаковы, фокусные расстояния [ и Г отличаются только знаком: (9.3) Величина Ф = Г=“7 (9Л) называется оптической силой системы. Чем боль- ше Ф, тем меньше фокусное расстояние f' и, следова- тельно, тем сильнее преломляются лучи оптической си- стемой. Оптическая сила измеряется в диоптриях (дп). Чтобы получить Ф в диоптриях, фокусное расстояние в формуле (9.4) должно быть взято в метрах. При поло- жительной Ф заднее фокусное расстояние f' также поло- жительно; следовательно, система дает действительное изображение бесконечно удаленной точки — параллель- ный пучок лучей превращается в сходящийся. В этом случае оптическая система называется собиратель- и о й. При отрицательной Ф изображение бесконечно удаленной точки будет мнимым — параллельный пучок лучей превращается системой в расходящийся. Такая си- стема носит название рассеивающей. 42
Задание кардинальных плоскостей (или, что то же са- мое, кардинальных точек) полностью определяет свой- ства оптической системы. В частности, зная положение кардинальных плоскостей, можно построить оптическое изображение, даваемое системой. Возьмем в простран- стве предметов отрезок ОР, перпендикулярный к опти- ческой оси системы (рис. 23). Положение этого отрезка можно задать либо расстоянием х, отсчитанным от точ- ки F до точки О, либо расстоянием s от Н до О. Вели- чины х и s, как и фокусные расстояния f и f, являются алгебраическими (на рисунках указываются их модули)., Проведем из точки Р луч 1, параллельный оптической оси. Он пересечет плоскость Н в точке А. В соответ- ствии со свойствами главных плоскостей сопряженный лучу 1 луч Г должен проходить через сопряженную с точкой А точку А' плоскости Н'. Так как луч 1 парал- лелен оптической оси, сопряженный с ним луч 1' пойдет через задний фокус F'. Теперь проведем из точки Р луч 2, проходящий через передний фокус F. Он пересе- чет плоскость Н в точке В. Сопряженный с ним луч 2' пройдет через сопряженную с точкой В точку В' плос- кости И' и будет параллельным оптической оси. Точ- ка Р' пересечения лучей 1' и 2' представляет собой изоб- ражение точки Р. Легко видеть, что изображение О'Р.' отрезка ОР должно быть перпендикулярным к оптиче- ской оси. Положение изображения О'Р' можно охарактеризо- вать либо расстоянием х' от точки F' до точки О', либо расстоянием s' от Н' до О'. Величины х' и s' являются алгебраическими. В случае, изображенном на рис. 23, они положительны. Величина х', определяющая положение изображения, закономерно связана с величиной х, определяющей по- ложение предмета, и с фокусными расстояниями f и f'. Для прямоугольных треугольников с общей вершиной в точке Т7 (рис. 23) можно написать соотношение: ОР у -х ИВ ~-if ~-f • (9.5) Аналогично, для треугольников с общей вершиной в точке F' имеем Н'А' _ tJ __ г О'Р' —у' х' * (9.6) 43
Объединив оба соотношения, получим, что (—л)/(—)) = *= fix', откуда xx'-ff. (9.7) Выражение (9.7) называется формулой Ньюто- на1). При выполнении условия (9.3) формула Ньютона принимает вид: хх' = — f2. (9.8) От формулы, связывающей расстояния х и х' пред- мета и изображения от фокусов системы, легко перейти к формуле, устанавливающей связь между расстояниями s и s' от главных точек. Как следует из рис. 23, (—х) — — (—s) — (—f) (т. е. х = s — f), х' = s' — f. Подставив эти выражения для х и х' в формулу (9.7) и произведя преобразования, получим: • т+-? = 1- (9-9) При выполнении условия (9.3) формула (9.9) упро- щается следующим образом: Соотношения (9.7) — (9.10) представляют собой фор- мулы центрированной оптической системы. Из выражений (9.5) и (9.6) получаются формулы для линейного увеличения, даваемого центрированной опти- ческой системой: ₽-Т=-7=-Г- (9-"> Как следует из (9.11), линейное увеличение не зави- сит от размера предмета у. Поэтому изображение пло- ского предмета, перпендикулярного к оси системы, будет ему подобно. Напротив, изображение предмета, имею- щего протяженность вдоль оптической оси, не будет ему подобно (рис. 24). Это вытекает хотя бы из зависимости линейного увеличения от х. ’) Рекомендуем читателю произвести построение изображения и провести рассуждения, приведшие к формуле (9.7), для случая, когда предмет ОР расположен между плоскостями F и Н, а также для иного, чем на рис. 23, взаимного расположения кардинальных плоскостей, например, для последовательности FHF'H' или HFH'F'. 44
В оптике часто приходится иметь дело с изображе- нием пространственных предметов, отдельные точки ко- торых лежат на разных расстояниях х от фокальной плоскости. Для характеристики свойств системы в этом случае вводится в рассмотрение продольное уве- личение а, показывающее отношение длины изобра- жения dx' к длине изображаемого отрезка dx, располо- женного вдоль оптической оси: « = £• (9.12) Дифференцирование соотношения (9.7) дает, что х dx' + + х' dx = 0, откуда dxr х' (X--—-- = - - ах х (9.13) Приняв во внимание (9.11), выражение (9.13) можно преобразовать следующим образом: <914> Соотношение (9.14) устанавливает связь между попе- речным р и продольным а увеличениями. Продольное увеличение характеризует резкость изо- бражения пространственного объекта на плоском экране (так называемую глубину резко изображаемого про- странства). Возьмем два произвольных сопряженных луча: 1 и 1' (рис. 25). Отношение тангенсов углов и' и и, образуемых сопряженными лучами с оптической осью, называется угловым увеличением у системы: V-Tfr- (9.15) 45
Из рисунка видно, что V = {su' _ _ tg ц' _ _ (- fi-H- х) _ f + x Y tg« tg(- и) f' + x' f'+x'" Заменив в соответствии с (9.7) х' через ff'/x (или х через ff'/x') и произведя преобразования, получим: y=-^=4-- <916> С учетом (9.11) выражение (9.16) можно преобразо- вать следующим образом: = (9Л7) Наконец, перемножив выражения (9.14) и (9.17), найдем соотношение, устанавливающее связь между всеми тремя увеличениями: ау = р. (9.18) Сопряженные точки N и N', для которых у = +1, яв- ляются, как и точки Н, Н', F и F', кардинальными точ- ками системы. Они называются узловыми точка м и или узлами. Сопряженные лучи, проходящие через узлы, параллельны между собой (см. лучи 2—2' и 3—3' на рис. 26). Перпендикулярные к оптической оси пло- скости, проходящие через узлы, называются узловыми плоскостями. Таким образом, всего имеется три па- ры кардинальных точек (фокусы, главные точки и узлы) и три пары кардинальных плоскостей центрированной оптической системы. Приравняв единице выражение (9.16), получим для координат узлов следующие значения; x'N- = f- (9-19) 46
Из рис. 26 легко видеть, что при соблюдении условия (9.3) узлы совпадают с главными точками. В этом слу- чае лучу, проходящему через переднюю главную точ- ку Н, соответствует параллельный ему сопряженный луч, идущий через заднюю главную точку Н'. Свойство узловых точек можно использовать при по- строении изображения. На рис. 27, кроме луча 1, парал- лельного оси, и луча 2, идущего через фокус, изображен луч 3, проходящий через передний узел N. Этот луч пе- ресекает плоскость Н в точке С. Сопряженный с лучом 3 луч 3' проходит через сопряженную с точкой С точку С' плоскости Н'. Кроме того, луч 3' должен проходить через задний узел N'. Для построения изображения достаточно взять любую пару из лучей 1, 2 и 3. § 10. Сложение оптических систем Если две центрированные оптические системы разме- стить одну за другой так, чтобы их оси совпадали, они образуют единую центрированную оптическую систему. Зная расстояние между системами и положение их 47
кардинальных плоскостей, можно найти положение кар- динальных плоскостей составной системы. На рис. 28 показаны главные плоскости и фокусы складываемых систем. Обозначения, относящиеся к пер- вой системе, снабжены индексом.!, относящиеся ко вто- рой системе — индексом 2. Расстояние от заднего фоку- са F( первой системы до переднего фокуса F2 второй си- стемы обозначено символом А. Когда F2 лежит справа от Ft, Л положительно, в -противном случае А отрица- тельно. Случай, изображенный на рис. 28, соответствует положительному А. Расстояние от задней главной пло- скости Ht первой системы до передней главной плоско- сти Н2 второй системы обозначим через d: Величина d также алгебраическая; она будет отрицательной, если плоскость Н2 окажется слева от плоскости Н\. Расстоя- ние А можно выразить через d: A=d-/;-(-/2)=d-/;+f2. (юл) Возьмем луч /, параллельный оптической оси. Выйдя из первой системы, он пройдет через фокус Ft и попа- дет .во вторую систему. Если фокусы F\ и F2 не совпа- дают (А¥=0), луч по выходе из второй системы пересе- чет ось в точке F', которая по определению является зад- ним фокусом составной системы. Точка пересечения луча 1' с воображаемым продолжением луча 1 будет ле- жать на задней главной плоскости Н' составной системы. Это следует из того, что точка пересечения луча 1' с плоскостью FF должна находиться на таком же рас- стоянии от оси, как и точка пересечения луча 1 с плос- 48
костью Н (положение последней плоскости пока не из- вестно, она изображена на рис. 28 пунктиром). Расстоя- ние H'F' представляет собой заднее фокусное расстоя- ние f' составной системы. Для случая, изображенного на рис. 28, фокусное расстояние f' .отрицательно, так что истинное расстояние между точками Н' и F' равно (—Г). Каждый из фокусов Ft, F'lt F2 и F2 образует начало системы отсчета. Координаты в этих системах мы будем обозначать соответственно xv х\, х2 и х'. Рядом, в скобках, будем указывать обозначение точки, для кото- рой написана данная координата. Координата x'(F') фокуса F', отсчитанная в системе с началом в точке F2, связана с координатой x2(FQ точки Fi, отсчитанной в системе с началом в F2 (для рассматриваемого случая х2 (F') — — А), формулой (9-7): (-^x'2(F') = f2f'2, откуда x'2(F')=-^. (10.2) Для прямоугольных треугольников с общей вершиной в точке F, можно написать соотношение: у ... fi _ К -у' Л-f2 ’ Аналогично, для треугольников с общей вершиной в точке F' имеем: у. - =_и/—= zJL______= zZA . (ю.4) ~У fz~yx2^f f2~~f‘Ji^ ^г(А —fs) Приравняв правые части соотношений (10.3) и (10.4), придем к формуле для заднего фокусного расстояния суммарной системы: Г —(Ю.5) Проследив путь параллельного оси луча, идущего справа налево и проходящего последовательно через вто- рую и первую системы, легко прийти к формулам для переднего фокусного расстояния f суммарной системы и 49
координаты Xi(F) переднего фокуса F, отсчитанной от точки Ft. Повторив рассуждения, приведшие нас к фор- мулам (10.2) и (10.5), можно получить: x1(F)=-^L, (10.6) / = (Ю.7) Найдем оптическую силу суммарной системы. Со- гласно формуле (9.4) _ пС п<Л Ф = -г=-----гт-» Г М где п2 — показатель преломления среды, находящейся за второй системой. Преобразуем это выражение следующим образом; ф= _ « f'i f'2' Но n/f'i представляет собой оптическую силу Ф1 первой системы, a n'2[f2 — оптическую силу Фг второй системы. Следовательно, Ф=-^-Ф1Ф2. (10.8) Выразим в этой формуле А через d в соответствии с (10.1): d—f'i+fo f'i }•> d Ф =----------- Ф|Ф2 = — Ф<Ф2 - — Ф,Ф2--Ф.Ф2. Учтя, что f'tln= а fzln== ~ 1/Ф2’ получим Ф = Ф1+Ф2-^-Ф1Ф2. (10.9) Напомним, что в этой формуле d— расстояние между плоскостями Hi и Н2, п — показатель преломления сре- ды, находящейся между системами. Вычислив оптическую силу суммарной системы, мож- но по формулам г=4- <10Л°) [см. (9.4)] найти ее фокусные расстояния. 50
Часто вместо величин (10.2) и (10.6) бывает удоб- нее пользоваться расстояниями (/Л — Н) и (Н2 — Н'), определяющими положение главных плоскостей суммар- ной системы по отношению к главным плоскостям скла- дываемых систем. Из рис. 28 следует, что -(H1-7/)=-f1-x1(F) + f, Подставив значения (10.6), (10.7), (10.2) и (10.5), по- лучим: (10.11) А ' Из формулы (10.8) А — —пФ/Ф^г; кроме того, fi = =—Г2 = п'21Ф2, Произведя такую замену в форму- лах (16.11), найдем: (10.12) С помощью формул, полученных в этом параграфе, можно найти положение кардинальных плоскостей слож- ной оптической системы, образованной любым количе- ством соосных центрированных систем. § 11. Преломление на сферической поверхности Сколь угодно сложную центрированную оптическую систему можно рассматривать как сумму простейших систем, каждая из которых образована одной прелом- ляющей (или отражающей) сферической (в частности, плоской) .поверхностью. Следовательно, сферические по- верхности раздела двух оптически однородных сред представляют собой те элементы, из которых строится любая центрированная система. Рассмотрим прохожде- ние гомоцентрического пучка через такую поверхность. На рис. 29 изображена преломляющая поверхность радиуса R с центром в точке С. Показатели преломления сред, лежащих по обе стороны поверхности, равны п 51
и п'. Прямую, проходящую через точечный источник све- та Р и центр кривизны С, назовем осью системы. Точ- ка О пересечения поверхности с осью называется вер- шиной преломляющей поверхности. Примем точку О за начало отсчета. Координаты предмета Р и изображе- ния Р', отсчитываемые от точки О, обозначим соответ- ственно s и s'. Возьмем в пространстве предметов произвольный луч 1, образующий с осью угол и. Он падает на прелом- ляющую поверхность в точке А под углом i (для луча /, изображенного на рис. 29, углы и и i отрицательны). Рис. 29. Сопряженный лучу 1 луч Г образует с нормалью угол I' и пересекает ось в точке Р', отстоящей от вершины на расстояние s'. Независимость s' от угла и, под которым идет луч /, означала бы, что исходящий из точки Р пу- чок лучей после преломления на сферической поверх- ности остался бы гомоцентрическим. Соответствующий расчет показывает, что это справедливо лишь для лучей, образующих с осью небольшие углы и. Такие лучие назы- ваются параксиальными (приосевЫми). Для парак- сиальных лучей все углы, обозначенные на рис. 29, будут малыми. Поэтому синусы и тангенсы этих углов можно считать равными самим углам. Согласно закону преломления (1.6) п sin i = п' sin i'. Заменив синусы углами, получим: ni = n'i'. (Ч-О Из треугольников РАС и Р'АС следует, что (— i) = (— и) + ф или i — и — ф, ( — г') = ф— и' или I' = и' — ф. 52
Подставив эти значения I и i' в формулу (11.1), придем к соотношению: и (и — ф) = п' (и' — ф'). (Н-2) Для параксиальных лучей длиной отрезка ОВ можно пренебречь по сравнению с (—s), s' и R и считать РВ = (—s), BP' = s' и ВС = R. Тогда, полагая углы равными их тангенсам, можно написать: т-е- « = 7» «V Ф = -д.(11.3) Заменив в (11.2) углы их значениями (11.3), сокра- тив на h и произведя преобразования, получим формулу: Для того чтобы эта формула давала правильный ре- зультат при обращении поверхности выпуклостью в лю- бую сторону, с радиусом кривизны R нужно обращаться как с алгебраической величиной: для выпуклой поверх- ности (центр кривизны С лежит справа от вершины О) считать его положительным, для вогнутой поверхности (С лежит слева от О) —отрицательным. Величина Ф = -^ (11.5) называется оптической силой преломляющей по- верхности. Она характеризует преломляющую способ- ность поверхности. Из формулы (11.4) видно, что при фиксированном расстоянии до предмета s расстояние до изображения s' тем меньше (т. е. лучи преломляются тем сильнее), чем больше Ф. Из уравнения (11.4) следует, что при заданном s, не- зависимо от значения и, получается одно и то же зна- чение s'. Таким образом, для параксиальных лучей гомо- центрический пучок в первом приближении остается после преломления на сферической поверхности гомо- центрическим. Итак, оптическая система, образованная сферической поверхностью, для параксиальных лучей является идеальной. Размеры участка поверхности, через который 53
проходят параксиальные лучи, малы по сравнению с ра- диусом кривизны поверхности R, вследствие чего этот участок можно в первом приближении считать плоским. Пучок лучей, сходящихся в любой точке Р преломляю- щей поверхности (рис. 30, а), преобразуется в пучок, ис- ходящий из точки Р', совпадающей с точкой Р. Следова- тельно, плоскость, проходящая через точку О, отобра- жается с линейным увеличением, равным +1, в виде совпадающей с ней плоскости. Отсюда вытекает, что главные плоскости Н и Н' преломляющей поверхности совмещены друг с другом и проходят через вершину О преломляющей поверхности. Таким образом, координаты s н s', отсчитываемые от точки О, совпадают с коорди- натами s и s', которыми мы пользовались в § 9. Лучу 1, идущему через центр кривизны поверхности С (рис. 30,6), соответствует сопряженный луч 1', идущий по тому же направлению. Следовательно, узлы N и Л" также совмещены jjpyr с другом и совпадают с центром поверхности С. Найдем фокусные расстояния преломляющей поверх- ности. Предмету, удаленному на бесконечность (s = оо), соответствует изображение, помещающееся в заднем фо- кусе F', т. е. отстоящее от точки Н' на расстояние s' =» = /'. Подставив эти значения s и s' в формулу (11.4), имеем: ~ = ф, f ОО R откуда (п-6) 64
Если предмет поместить в переднем фокусе F, т. е. на расстоянии s = f от точки Н, то изображение окажется на расстоянии s' = со; п' _ п __ п' — п _ , °О f ~ ~ ’ откуда / = --#-2? = --^. (.11.7) Из формул (Н.6) и (11.7) следует, что ф = (11.8) Таким образом, величина (11.5) совпадает с оптиче- ской силой системы, определяемой формулой (9.4). Разделив уравнение (11.4) на Ф и приняв во внима- ние (11.6) и (11.7), можно написать: что совпадает с формулой центрированной оптической системы (9.9). Если перейти к координатам предмета х и изображения х', отсчитываемым от фокусов F и F', по- лучится для сферической поверхности формула Ньютона (9.7). Все остальные формулы, полученные в § 9 для центрированной оптической системы, также справедливы для одной преломляющей поверхности, если ограничи- ваться рассмотрением параксиальных пучков лучей. Отметим, что, положив в формуле (11.4) п'/п ——1, т. е. п' = —п’), мы получим известную формулу сфери- ческого зеркала: 1-5- — = — s ”* s' ~~ R Построим изображение Q2P2 отрезка Q\P\, даваемое преломляющей поверхностью (рис. 31). Проведем из точки Ch произвольный луч QiX и сопряженный с ним луч AQ%. Все лучи будем считать параксиальными, так что углы 11, i2, —U\ и «г очень малы. Поэтому можно счи- тать, что >) См. сноску на стр. 10. 55
откуда (11.9) <2 Уг si Аналогично можно считать, что Л Л _Ы(= ы2 = -г-. S1 &2 откуда -^- = 2^, (11.10) S1 и2 Согласно закону преломления (1.6) njt — п212 (мы заменили синусы углами), т. е. Д = -2*-. (Н.П) «2 «1 Заменим в формуле (11.9) отношения ii/iz и sz/s’i их значениями (Н.П) и (11.10). В результате получится соотношение: «2 _ У1 «1 tii У2 иг ’ которому можно придать следующий вид: n2«2f/2 = «l«lf/l- (П-12) Если за первой преломляющей поверхностью распо- ложить вторую так, чтобы Q2P2 служило для нее пред- метом, то вторая поверхность даст изображение Q3P3 размера у-з. Повторив рассуждения, приведшие нас к со- отношению (11.12), найдем, что пЗизУз ~ ^2ы21/2> где п3 — показатель преломления среды, расположенной за второй поверхностью. К тому же результату мы при- 56
дем, расположив за второй преломляющей поверхностью третью и т. д. Таким образом, в случае центрированной системы, образованной совокупностью сферических поверхностей, разделяющих однородные среды с показателями пре- ломления «1, «2, Пз и т. д., имеет место соотношение: = п2и2у2^п3и3у3= ... (11.13) Это соотношение носит название теоремы (или усло- вия) Лагранжа — Гельмгольца. Само же выра- жение пиу называется инвариантом Лагран- жа — Гельмгсгльца. Углы щ, и-2 и т. д. суть углы, образованные с осью системы произвольными сопряженными лучами, прохо- дящими через точки Q,, в которых предмет (в случае «1, из и т. д.) или соответствующее изображение (в случае «2, щ и т. д.) пересекается с осью системы. В частности, в качестве углов щ, «з и т. д. можно взять наибольшие углы в пучках лучей, падающих на поверхность 1, 2 и т. д., а в качестве и2, щ и т. д. — наибольшие углы в сопряженных пучках. Тогда эти углы будут определять апертуру (максимальное раскрытие) соответствующих пучков. Можно также взять такие лучи, чтобы h на рис. 31 было равно i/ь Тогда угол «1 будет углом, под которым предмет QiPi виден с расстояния sb и2— углом, под которым предмет QiPi-виден с. расстояния s2 и т. д. Условие Лагранжа — Гельмгольца накладывает ог- раничения на преобразования световых пучков при по- мощи оптических систем. Ограничения вытекают по су- ществу из принципа сохранения светового потока (т. е. из принципа сохранения энергии). Особенно велико зна- чение этих ограничений в фотометрических расчетах. Обратимся к рис. 23. Из подобия треугольников FHB и РАВ вытекает соотношение: -V — 3 У-if ' (Н.14) Аналогично из подобия треугольников A'F'H' и А'Р'В' следует соотношение: Г ; . s' У У - у' ‘ (11.15) 57
Разделив (11.14) на (11.15) и произведя несложные пре- образования, получим: Х_ _ X JL f У s' ' Заменим в соответствии с (11.10) s/s' отношением и'/и: L= _ /' иу ’ Наконец, приняв во внимание условие (11.12), придем к соотношению: 1 = (11.16) f п ' ' Этим соотношением мы уже пользовались при рассмот- рении центрированных систем [см. формулу (9.2)]. § 12г Линза Линза представляет собой систему двух сферических преломляющих поверхностей (рис. 32). Если расстоя- нием d между их вершинами пренебречь нельзя, линзу называют толстой. Линза с пренебрежимо малым d называется тонкой. Все величины, относящиеся к первой поверхности, снабдим индексом 1, относящиеся ко второй поверх- ности— индексом 2. .Показатель преломления линзы обо- значим через п, показатель преломления среды, окру- жающей линзу, — через «о.. 58
Найдем оптические силы преломляющих поверхно- стей. В соответствии с формулой (11.5) Воспользуемся выведенными в § 10 формулами сло- жения систем. Толщина линзы d совпадает с расстоя- нием от задней главной плоскости Н'\ первой поверх- ности до передней главной плоскости Н2 второй поверх- ности. Оптическую силу линзы найдем по формуле (10.9): Ф = Ф. + Ф, - — Ф.Ф, = 1 2 п 1 - __ п — п0 ( п0— и d (п — по)(по — и) RT %2 П R^2 ~ __ я — п0 {n — no)d — n (Rt — /?г) п R\R2 Согласно (9.4) f'— п2/Ф = п0[Ф, f — —fit/Ф = —п0/Ф. Подставив сюда выражение для Ф, получим: fr _ £ ПИр_____R1R2 ПП I V ' ' — п — п0 (п — п0) d — n (Ri — /?2) ’ ‘ / Главные плоскости Hi и Н{ совпадают с верши-, ной 01 первой поверхности, а плоскости Н2 и Н2 — с вершиной Оз второй поверхности. Поэтому расстояние (01 — Н) от вершины первой поверхности до передней главной плоскости линзы представляет собой расстояние (Hi — Н), которое можно вычислить по формуле (10.12): (O1-//) = (H1-//) = ^-^-d = ^>d. Аналогично, (o2-//') = (^-/n=-^^d=- п (в рассматриваемом случае и, = п'2 = п^. Подставив значения Фь Фг и Ф, получим: ZZ} гт\ __ _______HpRjd_____ ) ' 1 ' n(Ri- R2)—(n — tio)d * I /л _ _tloRid I «О Ф| Л Ф “ (12.2) 59
В случае тонкой линзы расстоянием d между верши- нами преломляющих поверхностей Oi и О-> можно пре- небречь и считать эти вершины находящимися в одной точке, которую называют оптическим центром тонкой линзы. Положив в формулах (12.2) d равным нулю, получим, что отрезки (Oi — Н) и (€)>—Н'} также равны нулю. Это означает, что обе главные плоскости тонкой линзы проходят через ее оптический центр. Если показатели преломления сред, находящихся по обе сто- роны линзы, одинаковы, то узлы совпадают с главными точками, т. е. помещаются также в оптическом центре линзы. Отсюда вытекает, что любой луч, идущий через оптический центр линзы, не изменяет своего направ- ления. Формула (10.9) имеет для тонкой линзы вид: 0 = 0,4-02. (12.3) Таким образом, оптическая сила тонкой линзы равна алгебраической сумме оптических сил преломляющих поверхностей. Выражение (12.1) упрощается для тонкой линзы сле- дующим образом.' f'=~f,= n-n • О2-4) Л ~г По 1\2 — *4 Подставив в (9.9) значения (12.4) для f' и f, получим известную формулу тонкой линзы: Формулу тонкой линзы можно получить непосред- ственно, путем последовательного применения соотноше- ния (11.4) к обеим преломляющим поверхностям. Возь- мем на оси линзы светящуюся точку Р (рис. 33). Эту 60
точку можно рассматривать как предмет Pt, отображае- мый первой преломляющей поверхностью. Пучок лучей, вышедший из Pi, после преломления на первой поверх- ности превратится в пучок с центром в точке Р[. Та- ким образом, точка Pi является изображением точки Pi, даваемым первой преломляющей поверхностью. Соглас- но (11.4) расстояния и s' точек Р, и Р{ от вершины поверхности Oi связаны соотношением: П[ я,— п1 < S1 Я1 п п0 п—п0 или —--------=-------. si si (12.6) На вторую преломляющую поверхность падает гомо- центрический пучок с центром в точке Р[. Следователь- но, изображение Pi, даваемое первой поверхностью, одновременно является предметом Рг для второй поверх- ности. После преломления на второй поверхности лучи соберутся в точке Рг. Для расстояний s2 и s2 точек Р2 и Р'2 от вершины О2 второй поверхности можно в соответствии с (11.4) написать: f г tl-2 ^2 ^2 s2 s2 ^2 По П п0~п ИЛИ —--------= -----. «2 S2 ^2 (12.7) Сложим соотношения (12.6) и (12.7). Для тонкой лин- зы расстояния s'.и s2 можно считать совпадающими. Поэтому слагаемые «/s' и (—n/s2) в сумме дадут нуль и мы получим выражение: Яр - Яр Я—Яр | Яр — я «2 $1 Для линзы точка Pi является предметом Р, а точка Р2 — его изображением Р'. Расстояние s предмета Р от линзы совпадает с st, а расстояние s' изображения Р' совпадает с s2. Заменив в полученной нами формуле s' на s' и Sj на s и произведя преобразования, придем к формуле (12.5). В заключение напомним, что Ri и Rz— алгебраиче- ские величины [см. текст, следующий за формулой (11.4)]. 61
§ 13. Погрешности оптических систем В § 11 мы установили, что сферическая преломляю- щая поверхность (а следовательно и центрированная си- стема таких поверхностей) дает стигматическое изобра- жение только при использовании параксиальных лучей. Такое ограничение приводит к сильному сокращению размеров изображаемых оптической системой предметов. Кроме того, узость световых пучков обусловливает ма- лую освещенность изображения, так как световой поток пропорционален телесному углу, в пределах которого он Заключается [см. формулу (6.10)]. По этим причинам на практике приходится использовать широкие световые пучки, образующие с оптической осью системы значи- тельные углы, В результате отказа от параксиальное™ возникают различные искажения изображения. Таким об- разом, реальные оптические системы обладают аберра- циями или погрешностями. Наличие аберраций может существенно снизить качество оптического изобра- жения, даваемого системой. Однако, применяя соответ- ствующим образом подобранные комбинации линз, мож- но добиться практически полного устранения аберраций. Рассмотрим кратко основные аберрации оптических систем. Сферическая аберрация. Края линзы сильнее откло- няют лучи, чем требуется для прохождения их через изо- бражение, даваемое средней частью линзы (рис. 34), В результате изображение светящейся точки на экране получается в виде расплывчатого пятна. Этот вид по- грешности оптических систем называется сфериче- ской аберрацией. Комбинируя положительные (со- бирательные) и отрицательные (рассеивающие) линзы, имеющие различные показатели преломления, удается почти полностью устранить сферическую аберрацию. 62
Кома. У линз, исправленных на сферическую абер- рацию для широких пучков, исходящих от точечного объ- екта, лежащего на оптической оси системы, может со- храниться сферическая аберрация для косых пучков (ис- ходящих от объекта, лежащего в стороне от оси). В этом случае изображение светящейся течки на экране имеет вид вытянутого несимметричного пятна. Такая аберра- ция называется комой. Соответствующей комбинацией положительных и отрицательных линз можно устранить и эту аберрацию. Хроматическая аберрация. Показатель преломления зависит от длины волны. Это явление называется дис- персией (см. § 43). Дисперсия даже параксиальные лучи раз- ного цвета собираются линзой г- в различных точках и изобра- \ жение оказывается окрашен- I ным. Разные сорта стекол / обладают неодинаковой дис- I* Персией. Поэтому, комбинируя положительные и отрицатель- ные линзы, изготовленные из разных стекол, удается осуще- ствить ахроматическую (т. Хроматическую аберрацию) оптическую систему. Система, исправленная на сферическую и хроматиче- скую аберрации, но не устраняющая астигматизм (см. ниже), называется апланатом. Астигматизм. Изображение точечного объекта в ко- сых лучах имеет вид двух взаимно перпендикулярных смещенных друг относительно друга прямолинейных от- резков, т. е. является астигматическим (см. § 8). Астиг- матизм устраняется путем подбора радиусов кривизны и оптических сил преломляющих поверхностей. Оптическую систему, исправленную кроме сфериче- ской и хроматической аберраций также и на астигма- тизм, называют анастигматом. Дисторсия. Дисторсией называется искажение изоб- ражения, вызванное неодинаковостью поперечного уве- личения в пределах поля зрения. На рис. 35 приведено изображение квадрата, искаженное вследствие дистор- сии. Если линейное увеличение растет с расстоянием у от оси системы, имеет место подушкообразная приводит к тому, что 63
дисторсия (рис. 35, а). При уменьшении увеличения но мере удаления от оси системы наблюдается б о ч к о- образнаядисторсия (рис. 35, б). Для одновременного устранения всех аберраций тре- буется создавать весьма сложные оптические системы. Обычно идут по другому пути — устраняют полностью лишь те недостатки, которые особенно вредны, для тех целей, для которых предназначается оптическая система, и мирятся с неполным устранением остальных недо- статков. § 14. Оптические приборы Рассмотрим кратко лишь некоторые приборы, воору- жающие глаз. Их назначение заключается в том, чтобы дать на сетчатке глаза увеличенное изображение уда- ленных или близких, но ма- лых по размерам предметов. Рис. 36 показывает, что размеры изображения на сетчатке определяются уг- лом <р, под которым виден Рис. 36. рассматриваемый предмет. Достигаемый за счет приме- нения прибора эффект характеризуется увеличением оптического прибора Г, определяемым соотношением: г tg<p' tg«p ’ (14.1) где ф' и ф — углы, под которыми предмет виден через прибор и без него. Угол ф растет с уменьшением расстояния s от глаза до предмета (рис. 36). Посредством мышечного усилия фокусное расстояние глаза может меняться в довольно широких пределах, приспосабливаясь к расстоянию до рассматриваемого предмета. Однако эта способность глаза, называемая аккомодацией, ограничена мини- мальным расстоянием s порядка 20 см. Тем самым огра- ничено и возрастание изображения за счет приближения глаза к рассматриваемому предмету. Дальнейшее увели- чение изображения может быть достигнуто с помощью лупы или микроскопа. Лупа. Простейшая лупа представляет собой положи- тельную линзу с небольшим фокусным расстоянием (бо* 64
на и лучшего зрения Р' Рис. 37. лее сложные лупы состоят из нескольких линз). Рас- сматриваемый предмет ОР (рис. 37) располагается за фокусом F на небольшом расстоянии от него. В этом случае получается прямое увеличенное изображение О'Р', которое рассматривается глазом. Положение лупы под- бирается так, чтобы расстояние от изображения до гла- за равнялось расстоянию 1из, т. е. наименьшему рас- стоянию, на котором пред- мет можно рассматривать без утомления. Для нор- мального глаза 1НЗ = 25 см. При оценке увеличения, даваемого лупой, нужно ис- ходить из того, что при рас- сматривании невооружен- ным глазом предмет распо- лагают на расстоянии наи- лучшего зрения. Следова- тельно, tg гр = у/1цз, где у — размер предмета. Аналогич- но, I g ср' = //7/нз, где у' — размер даваемого лупой изо- бражения. Подставив эти значения tg ер и tg ф' в фор- мулу (14.1), получим Г = -^ = ^ = р, (14.2) tg Ф У г т. е. Г равно поперечному увеличению. Практически глаз располагают вблизи заднего фо- куса лупы. Из рис. 37 видно, что в этом случае tg <р' = = уЦ'. Взяв отношение этого выражения к tg (р = у/1из, найдем, что Г = -^. (14.3) Таким образом, лупа с фокусным расстоянием, на- пример, 5 см дает пятикратное увеличение. Наибольшее увеличение, которое можно получить с помощью лупы, составляет примерно 25. Микроскоп. Для получения больших увеличений (до 2000) применяется микроскоп. Он состоит из двух опти- ческих систем — объектива (Об) и окуляра (Ок), разде- ленных значительным по сравнению с их фокусными расстояниями промежутком (рис. 38). Рассматриваемый 3 И. В. Савельев, т. Ill 65
предмет ОР помещается перед первым фокусом объек- тива f'i в непосредственной близости от него. Объектив дает увеличенное обратное изображение предмета О'Р', которое рассматривается через окуляр как через лупу. Согласно формуле (9.11) поперечное увеличение, давае- мое объективом, равно где через Д обозначено расстояние между задним фоку- сом объектива F{ и передним фокусом окуляра Рг (изо- бражение О'Р' должно располагаться в непосредствен- ной близости от фокуса окуляра Рг, поэтому х\ можно Рис. 38. положить равным. А). Следовательно, размер изображе- ния, даваемого объективом, будет равен - У = - УР1 = У -у-» /1 Для тангенса угла <р', под которым виден предмет через микроскоп, получается выражение , , —if л (см. аналогичное выражение для лупы). Разделив это значение tg <р' на tg <р — уЦнз, находим Г = flf2 Из полученной формулы видно, что для получения больших увеличений нужно уменьшать фокусные рас- 66 (14.4)
стояния объектива и окуляра. Практически f't состав- ляет величину порядка 1 мм, f'z 10 мм, А ~ 100 мм. При этих значениях получается Г=: 2ВДИ00 =2500 Казалось бы, что, уменьшая фокусные расстояния и увеличивая А, можно достигнуть сколь угодно боль- ших Г. Однако предел увеличению, даваемому микроско- пом, кладется волновой природой света (см. § 27). Зрительная труба. Для рассматривания удаленных предметов применяются зрительные трубы. Зрительные трубы, предназначенные для наблюдения небесных све- тил, называются телескопами. Зрительная труба состоит из объектива (Об) и оку- ляра (Ок), расположенных так, что задний фокус объек- тива F'i совпадает с передним фокусом окуляра Кг (рис. 39). Подобные оптические системы называются те- лескопическими. Для наводки на резкость рас- стояние между объективом и окуляром может немного меняться. Изображение О'Р' удаленного предмета, даваемое объективом, лежит практически в задней фокальной плоскости объектива. Это изображение рассматривается через окуляр как через лупу. Длиной трубы можно пре- небречь по сравнению с расстоянием до предмета. По- этому можно считать, что невооруженном глазом пред- мет будет виден под углом <р, тангенс которого равен — y'lfi- Тангенс угла q/, под которым предмет виден в зрительную трубу, равен — y'/f'2. Следовательно, для увеличения, даваемого зрительной трубой, получается выражение Г = -^=-^-, (14.5) Ф <₽ f2 из которого вытекает, что Г равно отношению фокусных расстояний объектйва и окуляра. Как видно из рис. 39, зрительная труба дает перевер- нутое изображение рассматриваемого предмета. Для те- лескопов это не имеет значения. В трубах же, предна- значенных для наблюдения земных объектов, для полу- чения прямого изображения вводятся дополнительные оборачивающие системы. 3* 67
Кроме телескопов, в которых происходит только пре- ломление световых лучей (такие системы называются рефракторами), применяются также телескопы, в ко- торых роль объектива выполняет параболическое вогну- тое зеркало. Изображение, даваемое зеркалом, рассмат- ривается через окуляр. Подобные телескопы называются Рис. 39. рефлекторами. Впервые рефлектор был построен Ньютоном. Одно из преимуществ рефлектора заклю- чается в отсутствии хроматической аберрации. Отличными оптическими качествами в сочетании с от- носительной простотой изготовления обладают м е н и с- ковые телескопы, изобретенные советским оптотех- ником Д. Д. Максутовым. В этих телескопах (рис. 40) роль объектива вы- полняет сферическое (вместо гораздо более сложного в изготовлении параболического) зерка- ло в сочетании с выпук- ло-вогнутой линзой (ме- ниском). Такая линза, как и зеркало, является ахроматической. Заметная сферическая аберрация, при- сущая и сферическому зеркалу и мениску, имеет у них противоположные знаки, вследствие чего почти пол- ностью устраняется. Лучи, идущие, от предмета, пройдя через мениск М, отражаются от сферического зеркала St и падают на алюминированный участок мениска S2, представляющий собой выпуклое зеркало. Отразившись от S2, лучи попа- 68
дают в окуляр. Поскольку лучи несколько раз проходят в приборе путь туда и обратно, телескойы Максутова отличаются также малыми размерами и весом. Системы Максутова применяются для наблюдения как небесных светил, так и земных объектов. § 15. Светосила объектива Светосилой объектива называется величина, характе- ризующая освещенность даваемого объективом изобра- жения при заданной яркости предмета. Вычислим освещенность изображения, даваемого объективом фотоаппарата или проектора. Будем считать, что объектив состоит из одной тонкой линзы (рис. 41). AS Аш Рис. 41. Пусть предмет и изображение лежат в плоскостях, пер- пендикулярных к оптической оси объектива. Площадка предмета AS отображается объективом в виде площадки AS' изображения. В соответствии с формулой (6.10) площадка AS посылает через объектив поток (cos 6 = 1) АФ = В Aw AS, где В — яркость площадки, Aw — телесный угол, под ко- торым видна линза (в случае сложного объектива — угол, под которым виден так называемый входной зрачок объектива) из места расположения площадки AS. Этот угол называется апертурным углом входа. Из объектива выйдет ослабленный за счет поглоще- ния и отражений на преломляющих поверхностях поток АФ' = k ДФ = kB Ла AS, 69
где k — характеризующий ослабление потока коэффи- циент, меньший единицы. Этот поток создает освещен- ность изображения = (15.1) Поскольку отношение линейных размеров изображе- ния и предмета равно поперечному увеличению р, Д5'/Д5 = р2. Заменив в выражении (9.11) х через s — f (см. рис. 23), можно написать о -1= - 1 f/S Р X s — f 1 — f/s ’ Согласно (9.9) 1—fls — f'ls'-, следовательно, Если показатели преломления по обе стороны объек- тива одинаковы, f' = —f [см. формулу (9^3)] и Таким образом, (15.2) где s и s' — расстояния от центра линзы до предмета и изображения. Введем в рассмотрение угол Дсо', под которым видна линза (в случае сложного объектива — угол, под кото- рым виден так называемый выходной зрачок объ- ектива) из места расположения площадки AS'. Этот угол называется апертурным углом выхода. Вследствие малости углов Дсо и До/ их можно пред- ставить следующим образом: . л(£>/2)2 . , л(£)/2)2 Дсо = , Дсо' = . (15.3) s2 s' В этих выражениях D — диаметр оправы линзы (в случае сложного объектива—диаметр так называе- мой действующей диафрагмы объектива). Из формул (15.3) вытекает, что s'2/s2 =* Дсо/Дсо'. По- этому отношению (15.2) можно придать вид: 70
Подставив получающееся отсюда значение отношения Д£/Д£' в формулу (15.1), получим: E = kBbv>'. (15.5) В случае фотоаппарата расстояние s' до изображе- ния практически равно фокусному расстоянию f'. Поэто- му Дю' можно положить равным n(DI2)2lf'2. Подста- новка этого значения в (15.5) дает E^-kB^2. (15.6) Таким образом, при. заданной яркости предмета В освещенность изображения, даваемого объективом фо- тоаппарата, пропорциональна величине (b/f')z, которую называют геометрической светосилой или просто светосилой объектива. Произведение коэф- фициента k на геометрическую светосилу называют фи- зической светосилой. Величина £)//' называется относительным отверстием. Часто светосилой объектива называют отношение Ь/f', т. е. относительное отверстие объектива. В случае проектора фокусному расстоянию f практи- чески равно расстояние s до предмета. Поэтому можно положить равным jr(D/2)2/f2 угол До. Представим (15.5) в виде E = kB^- Дю. Лео Заменив в соответствии с (15.4) Дю'/Дю через 1/р2 и подставив значение До, получим Е= (15.7) Следовательно, и в этом случае освещенность изо- бражения пропорциональна светосиле объектива (b/f')2 (напомним, что' f = —f'). Кроме того, освещенность обратно пропорциональна квадрату линейного увеличе- ния, т. е. обратно пропорциональна площади изобра- жения.
ГЛАВА III ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА (16-1) § 16. Световая волна Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других — как поток особых частиц (фотонов4). В гла- вах III—VII излагается волновая оптика, т. е. круг явлений, в основе которых лежит волновая при- рода света. В главах VIII и IX рассматривается сово- купность явлений, обусловленных корпускулярной при- родой света. Плоская электромагнитная волна, распространяю- щаяся, например, вдоль оси х, описывается уравнениями [см. т. II, формулы (110.13)]: Е = Ет cos (at — kx + а), Н = Hm cos (at — kx + a). Значение начальной фазы а определяется выбором начал отсчета t и х. При рассмотрении одной волны на- чала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы а стала равной нулю. При совместном рас- смотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы обратились в нуль, как правило, не удается. В электромагнитной волне колеблются два вектора — напряженности электрического и напряженности маг- нитного полей. Как показывает опь!т, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются колебаниями электрического вектора. В соответствии с этим мы будем в дальнейшем говорить о световом векторе, подразумевая под ним век- тор напряженности электрического поля. О магнитном векторе световой волны мы упоминать почти не будем. 72
Обозначим модуль амплитуды светового вектора бук- вой А. Закон, по которому изменяется во времени и в пространстве проекция светового вектора, A cos (ое>/ — kx. + а), (16.2) будем называть уравнением световой волны, а величину А — амплитудой световой волны. Длины волн видимого света заключены в пределах: Ло = 0,40-0,75 мк. (16.3) Эти значения относятся к световым волнам в ваку- уме. В среде с показателем преломления п длины свето- вых волн будут иными. В случае колебаний частоты v длина волны в вакууме- равна 7о = c/v. В среде, в кото- рой фазовая скорость световой волны равна v = cfn, длина волны имеет значение Л = v/v = c/vti = ho/п. Та- ким образом, длина световой волны в среде с показате- лем преломления п связана с длиной волны в вакууме соотношением: Л = -^. (16.4) Частоты видимых световых волн лежат в пределах: v = (0,75 - 0,40) • 1013 гц. (16.5) Частота изменений вектора плотности потока энер- гии, переносимой волной, будет еще больше (она равна 2v). Ни глаз, ни какой-либо иной приемник световой энергии не может уследить за столь частыми измене- ниями потока энергии, вследствие чего они регистрируют усредненный по времени световой поток. Среднее по вре- мени значение плотности светового потока, т. е. средний по времени световой поток через единицу поверхности площадки, перпендикулярной к направлению распрост- ранения волны, носит название интенсивности света / в данной точке пространства1). ’) Нам представляется такое определение интенсивности света единственно возможным. В руководствах по оптике, к сожалению, обычно не дается четкого определения интенсивности света, хотя это понятие многократно в них используется. В физическом энци- клопедическом словаре (т. 2, стр. 1-87) сказано, что «интенсивность света — часто применяемая количественная характеристика света, не имеющая точного определения». На наш взгляд такое положение вещей совершенно неприемлемо. Всякая количественная характери- стика должна быть строго определена. 73
Фазовая скорость электромагнитных волн в веществе v связана со скоростью этих волн в пустоте с следующим соотношением [см. т. II, формулу (109.10)]: Сопоставив это выражение с формулой (2.2), получим, что показатель преломления п = ]/ец- Для всех извест- ных в настоящее время прозрачных веществ магнитная проницаемость ц практически равна единице. Поэтому можно положить п = Уе. (16.6) Формула (16.6) связывает оптические свойства веще- ства с его электрическими свойствами. На первый взгляд может показаться, что эта формула неверна. Например, для Воды е = 81, а п = 1,33. Однако надо иметь в виду, что значение е = 81 получено из электростатических из- мерений. В быстропеременных электрических полях зна- чение е получается иным, причем оно зависит от частоты колебаний поля. Этим объясняется дисперсия света, т. е. зависимость показателя преломления (или скорости све- та) от частоты (или длины волны). Подстановка в фор- мулу (16.6) значения е, полученного для соответствую- щей частоты, приводит к правильному значению п. Плотность потока энергии, переносимой электромаг- нитной волной, дается вектором Пойнтинга S = [ЕН] [см. т. II, формулу (112.3)]. Согласно формуле (110.11) второго тома модули амплитуд векторов Е и Н в элек- тромагнитной волне связаны соотношением: Ёт /ее0 = Н т У рро ~ Н т У Ро (мы положили р = 1). Отсюда следует, что где п — показатель преломления среды, в которой рас- пространяется электромагнитная волна. Таким образом, Нт пропорционально Ет и п: Нтс\эпЁт. (16.7) Среднее по времени значение модуля вектора Пойн- тинга S пропорционально ЕтНт. Следовательно, приняв 74
во внимание соотношение (16.7), можно написать, что S cv пЕ2т = nA2. В соответствии с формулой (5.3) плотность светового потока равна плотности потока энергии, умноженной на функцию видности,-Следовательно, интенсивность света / (равная усредненной по времени плотности светового потока) пропорциональна S, т. е. показатёлю преломлен ния среды1) и квадрату амплитуды световой волны: 1ыпА2. (16.8) Рассмотрим поведение световой волны на границе раздела двух однородных и изотропных прозрачных сред. Пусть волна распространяется первоначально в среде 1 с показателем преломления гц. Для простоты будем считать, что граница раздела плоская и напра- вление распространения волны перпендикулярно к этой плоскости. Достигнув поверхности раздела, волна ча- стично пройдет в среду 2 с показателем преломления я2, частично же она отразится, в результате чего возникнет волна, распространяющаяся навстречу первоначальной (падающей) волне. Обозначим световой вектор падаю- щей волны в непосредственной близости к границе раз- дела символом Ei, световой, вектор прошедшей волны — символом Е2 и световой вектор отраженной волны — символом Е{ (векторы Е2 и Ef берутся, как и вектор Еь в непосредственной близости к границе раздела сред). Вследствие однородности и изотропности сред все три вектора лежат в одной плоскости (перпендику- лярной к поверхности раздела сред). В первой среде имеет место суперпозиция падающей и отраженной волн. Результирующее электрическое поле характеризуется вектором Ei + Е{. Во второй среде поле характеризуется вектором Е2. Тангенциальные составляющие вектора Е ’) Пропорциональность интенсивности света показателю прелом- ления обычно упускается из вида и предполагается, что /с«Д2. Эго вполне допустимо, пока рассматривается распространение света в однородной среде. Однако в случае прохождения света через гра- ницу раздела двух сред выражение для интенсивности, не учиты- вающее множитель п, приводит к несохранению светового потока. Подробнее об этом говорится в конце данного параграфа. 75
в обеих средах должны быть одинаковыми [см. т. II, формулу (17.3)]: тангенц. сост. (Ei + Е[) = тангенц. сост. Е2. (16.9) Примем направление вектора Ej за ось х и спроекти- руем все световые векторы на эту ось. В соответствии с условием (16.9) получим: Eix + E'1x = E,x. (16.10) При указанном выборе оси х проекция Е1х положительна и равна модулю вектора Ei. Знаки двух других проекций нам надлежит установить. Если знак проекции окажется положительным, это будет означать, что соответствую- щий вектор Е направлен в ту же сторону, что и JEi, и, следовательно, колебания в падающей волне и в волне, характеризуемой данным Е, происходят на границе раз- дела в одинаковой фазе. Если же знак проекции ока- жется отрицательным, это будет означать, что векторы Е и Ej направлены в противоположные стороны, так что колебания в соответствующих волнах происходят на границе раздела в противофазе. Энергия, которую несет с собой падающая волна, рас- пределяется на границе раздела между волной, прошед- шей во вторую среду, и отраженной волной. Плотность потока энергии, переносимой волной, пропорциональна, как мы установили выше [см. формулу (16.8)], произве- дению пЕ2. Следовательно, из закона сохранения энер- гии вытекает уравнение: пел о Исключив Е\х из уравнений (16.10) и (16.11), можно прийти к соотношению р2 _ 2EixEix 2х 1+(«2/«,)* Левая часть этого выражения больше нуля, поэтому должна быть положительна и правая часть. Отсюда вы- текает, что Е1хЕ2х > 0. Значит, векторы Е, и Ег всегда имеют одинаковое направление, т. е. колебания в падаю- щей волне и в волне, прошедшей во вторую среду, про- исходят на границе раздела в одинаковой фазе — фаза при прохождении волны через эту границу не претерпе- вает скачка. 76
Исключив из уравнений (16.10) и (16.11) Е2х, легко получить для Е'1х следующее значение: а-ЩК <16Л2) Из этой формулы вытекает, что при п2 < nt знак Е'х совпадает со знаком Е1х. Это означает, что колебания в падающей и отраженной волнах происходят на грани- це раздела в одинаковой фазе — фаза волны при отра- жении не изменяется. Если же n2 > nit то знак Е'х про- тивоположен знаку Eix, колебания в падающей и отраженной волнах происходят на границе раздела в противофазе — фаза волны при отражении изменяется скачком на л. Полученный нами результат справедлив и при наклонном падении волны на границу раздела двух прозрачных сред. Итак, при отражении световой волны от границы раз- дела среды, оптически менее плотной, со средой, оптиче- ски более плотной (при щ <п2), фаза колебаний свето- вого вектора претерпевает изменение на л. При отраже- нии от границы раздела среды, оптически более плотной, со средой, оптически менее плотной (при ni > п2), такого изменения фазы не происходит. Выражение (16.12) позволяет найти коэффициент отражения р световой волны (для случая нормального падения на границу раздела двух прозрачных сред). Действительно, по определению ____ _ «1£и Р 7, fhE2ix ’ где I't — интенсивность отраженной -волны, а Д — интен- сивность падающей волны. Подстановка в это выраже- ние отношения Е\х1Е\х, получающегося из (16.12), при- водит после несложных преобразований к формуле: р=(~-тт)2 <1613) \ «12 1 * / («12 •-= П2М1 — показатель преломления второй среды по отношению к первой). Для коэффициента проникновения волны т во вторую среду получается выражение: /2 п2Е2 пхЕ2х h п{Е2 ni^ix / 2 V П19 --------- у п12 + 1 / (16.141 77
Легко убедиться в том, что сумма выражений (16.13) и (16.14), как и должно быть, равна единице. Если бы мы приняли интенсивность пропорциональной Е2 (не учли множитель п), в выражении (16.14) отсутствовал бы множитель и сумма р-Н была отлична от еди- ницы, что означало бы несохранение светового потока. Отметим, что замена в формуле (16.13) п12 на обрат- ную ему величину «21 = IM12 не изменяет значения р. Следовательно, коэффициент, отражения поверхности раздела двух данных сред для обоих направлений рас- пространения света имеет одинаковую величину. Показатель преломления стекол близок к 1,5. Под- ставив в формулу (16.13) «12—1,5, получим р.= 0,04. Таким образом, каждая поверхность стеклянной пла- стинки отражает (при падении, близком к нормальному) около 4% упавшего на нее светового потока. § 17. Интерференция световых волн Пусть две волны одинаковой частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке простран- ства колебания одинакового направления: At cos (at + а,), А2 cos (w/ + а.2). Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется, как известно [см. т. I, формулу (69.2)], формулой: А2 = А2 + А? + 2А(А2 cos (а2 — а(). Если разность фаз а2 — ои возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени, то волны называются когерентным.и. Источники таких волн также называются когерентными. В случае некогерентных волн а2 — он непрерывно из- меняется, принимая с равной вероятностью любые зна- чения, вследствие чего среднее по времени значение cos (а2 ai) равно нулю. В этом случае Т2= Af+А|. Отсюда, приняв во внимание соотношение (16.8), за- ключаем, что интенсивность, наблюдаемая при наложе- 78
нии некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности: / = Л + /2. (17.1) В случае когерентных волн cos («г — »i) имеет по- стоянное во времени (но свое для каждой точки про- странства) значение, так что I = Ц + /2 + 2 V/t/2 cos (а2 — eq). (17.2) В тех точках пространства, для которых cos (а2 — оц) > > 0, / будет превышать Д Ч- /2; в точках, для ко- торых cos(a2— cci)<0, / будет меньше h + /2. Таким образом, при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в про- странстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — минимумы интенсивности. Это явление Называется интерференцией волн. Осо- бенно отчетливо проявляется интерференция в том слу- чае, когда интенсивность обеих интерферирующих волн одинакова: Л =/2. Тогда согласно (17.2) в минимумах / = 0, в максимумах же 7 = 4Ц. Для некогерентных волн прй том же условии получается всюду одинаковая осве- щенность 7 = 271 (см. формулу (17.1)]. Из сказанного1 вытекает, что при освещении какой- либо поверхности несколькими источниками света (на- пример, двумя лампочками) должна, казалось бы, на- блюдаться интерференционная картина с характерным для нее чередованием максимумов и. минимумов интен- сивности. Однако из повседневного опыта известно, что в указанном случае освещенность поверхности монотон- но убывает по мере удаления от источников света и ни- какой интерференционной картины не наблюдается. Это объясняется тем, что естественные источники света не когерентны. Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых атомами тела. Излучение отдельного атома продолжается около 10~8 сек. За это время успе- вает образоваться последовательность горбов и впадин (или, как говорят, цуг волн) протяженностью примерно 3 м. «Погаснув»^ атом через некоторое время «вспыхи- вает» вновь. Однако фаза нового цуга волн никак не связана с фазой предыдущего цуга. Одновременно «вспыхивает» большое количество атомов. Возбуждае- мые ими цуги волн, налагаясь друг на друга, образуют 79
испускаемую телом световую волну. В этой волне излу- чение одной группы атомов через время порядка 10-8 сек. сменяется излучением другой группы, причем фаза ре- зультирующей волны претерпевает случайные скачкооб- разные изменения. Обсудим понятие когерентности более подробно. Све- товая волна, описываемая, например, уравнениями: A cos — kx + а) или ~ cos (cat — kr + а) с постоянными A, at и а, является абстракцией. В реаль- ной световой волне фаза а (а также А и о, но нас будет интересовать только а) изменяется беспорядочным об- разом с течением времени, а также при перемещении от одной точки пространства к другой. Рассмотрим сначала изменение фазы а с течением времени t. Введем время когерентности т, опре- делив его как время, за которое случайное изменение фазы достигает значения За время т колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становится некогерентным по отношению к самому себе. Из сказан- ного выше об излучении естественного источника света ясно, что время когерентности световой волны, испу- скаемой таким источником, ~ 10~8 сек. Время когерент- ности называют также продолжительностью цуга волн. За время т волна проходит путь ст, кото- рый представляет собой длину цуга (иногда эту вели- чину называют длиной когерентности). На длине цуга случайные изменения фазы достигают величины ~л. При т ~ 10'8 сек длина цуга составляет ~З.Л. Теперь рассмотрим изменения фазы при переходе от одной точки пространства к другой. В идеальной плоской или сферической волне а одинакова во всех точках пло- скости х = const или сферы г = const. Эти плоскости и сферы мы в свое время назвали волновыми поверхностя- ми. В реальной световой волне фаза а при переходе от одной точки «волновой поверхности»1) к другой изме- няется беспорядочным образом. Введем расстояние /, ’) Мы взяли термин «волновая поверхность» в кавычки, потому что в данном случае применительно к плоскостям х = const и сфе- рам г — const его можно употреблять лишь условно. При неодина- ковости фаз в разных точках эти плоскости и сферы перестают быть поверхностями одинаковой фазы. 80
при смещении на которое вдоль «волновой поверхности» случайное изменение фазы достигает значения ^л. Ко- лебания в двух точках «волновой поверхности», отстоя- щих друг от друга на расстояние, меньшее /, будут при- близительно когерентными. Такого рода когерентность называется пространственной. Все пространство, зани- маемое волной, можно разбить на части, в каждой из которых волна сохраняет когерентность. Объем такой части пространства, называемый объемом коге- рентности, по порядку величины равен произведе- нию длины цуга на площадь круга диаметра I. Пространственная когерентность световой волны вблизи поверхности излучающёго ее нагретого тела ограничивается размером I всего в несколько длин волн. Это вызвано тем, что разные участки нагретого тела излучают независимо друга от друга. По мере удаления от источника степень пространственной когерентности возрастает. Излучение лазера (см. § 86) обладает огром- ной пространственной когерентностью. У выходного от- верстия лазера пространственная когерентность наблю- дается во всем поперечном сечении светового пучка. Кратко можно сказать, что когерентностью назы- вается согласованное протекание нескольких колеба- тельных или волновых процессов. Согласованность, за- ключающаяся в том, что разность фаз двух колебаний (аг—cci) остается неизменной с течением времени в дан- ной точке пространства, называется временной когерент- ностью. Согласованность, заключающаяся в том, что остается постоянной разность фаз колебаний, происхо- дящих в разных точках «волновой поверхности», назы- вается пространственной когерентностью. Выше было выяснено, что естественные источники света не когерентны. Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или прелом- лений) волну, излучаемую одним источником, на две ча- сти. Если заставить эти две волны пройти разные опти- ческие пути, а потом наложить их друг на друга, наблю- дается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колеба- ния должны принадлежать одному и тому же результи- рующему цугу волн. Если эта разность будет порядка 3 м (см. выше), наложатся колебания, соответствующие 81
разным цугам, и разность фаз между ними будет непре- рывно меняться хаотическим образом. Пусть разделение на две когерентные волны проис- ходит в точке О (рис. 42). До точки Р-первая волна про- ходит в среде с показателем преломления Hi путь sb вто- рая волна проходит в среде с показателем преломления п2 путь .§2- Если в точке О фаза колебания равна at, то первая волна возбудит в точке Р колебание А‘ cos ы ~ "Ъ?) ’ о___________________ лг а ВТ0Рая волна — коле- у. бание . Cs£>e^>c' $г / s \ - A cos a\t-----, --** £ \ t>2 ) Рис. 42. где D1 = c/Hj и 1)2 = — с/п2 — фазовая ско- рость первой и второй волны. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна 6=o(-|-v)==?(n2S2“niSl)- Заменив а/с через 2nv/c = 2л//.о Р-о— длина волны в вакууме), выражению для разности фаз можно при- дать вид: б = ^Д, (17.3) Ло где Д = n2s2 — L2 — (17.4) — величина, равная разности оптических длин проходи- мых волнами путей [см. формулу (3.2)'] и называемая оптической разностью хода. Из формулы (17.3) видно, что если оптическая раз- ность хода Д равна, целому числу длин волн в вакууме: Д=±йЛ0 (fc = 0, 1, 2, ...), (17.5) то разность фаз б оказывается кратной 2л и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут проис- ходить с одинаковой фазой. Следовательно, условие (17.5) есть условие интерференционного максимума. 82
Если А равна полуцелому числу длин волн в вакууме: А = ± (fc + Ло (fe = 0, 1, 2, ...), (17.6) то 6 = ± (/г2л + л), так что колебания в точке Р нахо- дятся в противофазе. Таким образом, условие (17.6) есть условие интерференционного минимума. Рассмотрим две цилиндрические когерентные свето- вые волны (рис. 43), исходящие из действительных или мнимых источников Si и S2, имеющих вид параллельных светящихся тонких нитей либо узких щелей. Об- f ласть OPQ, в которой эти \ \ волны перекрываются, . \ \ \ п называется полем ин- \ I I т е р ф е р е н п, и и. Во всей <С) I J-<T\ \ этой области наблюдает- _____i_______________Х-ч ся чередование мест с А Л максимальной и мини- Ir-Z / мальной интенсивностью / / / Ws п света. Если в поле интер- / / / * ференции внести экран £, / / то на нем будет видна интерференционная кар- тина, которая в случае Рис- 43- цилиндрических волн имеет вид чередующихся светлых и темных прямолиней- ных полос. Вычислим ширину этих полос в предположе- нии, что экран параллелен плоскости, проходящей через источники Si и S2. Положение точки на экране будем ха- рактеризовать координатой х, отсчитываемой в направ- лении, перпендикулярном к линиям Si и S2 (рис. 44). Начало отсчета выберем в точке О, относительно кото- рой Si и S2 расположены симметрично. Источники будем считать колеблющимися в одинаковой фазе. Из рис. 44 следует, что sf=/2+ s^=i2+(*+4)2> откуда Sl ~ Sl = (S2 + Sl) (S2 “ Sl) ~ ^Xci- 83
Как мы вскоре увидим, для получения различимой интерференционной картины расстояние между источ- никами d должно быть значительно меньше расстояния до экрана I. Расстояние х, в пределах которого обра- зуются интерференционные полосы, также бывает значи- тельно меньше I. При этих условиях можно положить «2 + $i ~ 21. В среде с показателем преломления п = 1 разность s2 — «1 дает оптическую разность хода А. Сле- довательно, можно написать: А = -^. (17.7) Подставив это значение /X в условие (17.5), получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных xmax=±^Z0 (£ = 0,1,2,...). (17.8) Подстановка значения (17.7) в условие (17.6) дает координаты минимумов интенсивности: хга1п = ± (* + |)|*о (£==0,1,2,...). (17.9) Назовем шириной интерференционной по- лосы Ах расстояние между двумя соседними миниму- мами интенсивности. Из формулы (17.9) вытекает, что ширина полосы Дх = ^-Л0. (17.10) 84
Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами. Из выраже- ния (17.8) следует, что расстояние между полосами так- же определяется формулой (17.10). В соответствии с этой формулой расстояние между полосами растет с уменьшением расстояния между источниками d. При d, сравнимом с I, расстояние между полосами было бы того же порядка, что и Хо, т. е. составило бы несколько десятых микрона. В этом случае отдельные полосы были бы совершенно неразличимы. Для того чтобы ин- терференционная картина стала отчетливой, необходимо выполнение упоминавшегося выше условия: d << /. Ширина интерференционных полос н расстояние между ними зависят от длины волны Хо. Только в центре картины, при х = 0, совпадут максимумы всех длин волн. По мере удаления от центра картины максимумы разных цветов смещаются друг относительно друга все больше и больше. Это приводит к смазыванию интерференцион- ной картины при наблюдении ее в белом свете. В моно- хроматическом свете число различимых полос интерфе- ренции заметно возрастает. Справа на рис. 44 показана получающаяся в монохроматическом свете зависимость интенсивности света I от координаты х. Измерив расстояние между полосами Дх и зная I и d, можно по формуле (17.10) вычислить /.о- Именно из опы- тов по интерференции света впервые были определены длины волшдля световых лучей разного цвета. Даже в монохроматическом свете изображенный на рис. 44 ход интенсивности будет наблюдаться лишь при исчезающе малой толщине светящейся нити или ширине щели. В случае конечных размеров источника света ин- терференционная картина становится менее резкой и даже может исчезнуть совсем. Это объясняется тем, что каждая точка источника дает на экране свою интер- ференционную картину, которая может не совпадать с картинами от других точек. Для оценки предельных допустимых размеров источ- ника рассмотрим интерференционную схему, изображен- ную на рис. 45, а. Свет, распространяющийся от источ- ника линейных размеров Ь, разделяется соответствую- щим устройством (например, описанными в следующем параграфе бизеркалами или бипризмой и т. п.) на два 85
пучка, которые, перекрываясь, интерферируют друг с другом. От точки А источника в точку экрана Р прико- дят лучи 1 и 2, которые образуют угол 2«, называемый Рис. 45. апертурой интерференции. Обозначим отрезки, проходи- мые лучами 1 и 2 на пути к точке Р, буквами li и fa. То- гда разность хода для этих лучей составит ДИ-/2-Л. (17.11) Аналогично, разность хода для лучей 3 и 4, исходя- щих из точки В, будет равна Лд = /4-/з. (17.12) 86
где 1з и /4— отрезки, проходимые лучами 3 и 4 па пути к точке Р. Если обе разности хода отличаются незначительно, интерференционные картины, порождаемые на экране точками А и В (а также всеми промежуточными точка- ми источника), совпадут и результирующая картина окажется резкой. При заметном отличии Ад и Ав интер- ференционная картина будет размытой. В случае, когда Ад — Ав = X, максимумы от разных участков источника заполнят весь промежуток между соседними максиму- мами, даваемыми краями источника, так что экран бу- дет освещен равномерно. Интерференционная картина будет еще хорошо различима при условии, что &А “ &В < ^/2- На рис. 45,6 изображено наложение интерференцион- ных картин, получающихся от отдельных участков источ- ника в случае, когда разность хода от краев источника составляет Х/2. Буквами А помечены максимумы, полу- чающиеся от края А, буквами В — максимумы, получаю- щиеся от края В. В верхней части рисунка показана (весьма приблизительно) результирующая интенсивность. Подставляя значения (17.11) и (17.12), выражению Ад — Ав можно придать вид: Ал ~ Ад = & ~ /.) “ (/4 - 4) = (/2 - А) + (/з - /.)• (17-13) Представив себе волну, исходящую из точки Р и рас- пространяющуюся через верхнее плечо интерферометра, легко сообразить, что пути АР и DP являются тауто- хронными (точки А и D лежат на одной волновой по- верхности этой волны). Поэтому, полагая лучи 1 и 3 па- раллельными, можно написать: 13 ~ Л = BD - b sin и. Аналогично, /2 — /4 = АС — b sin и. Подставив эти значения в (17.13), находим, что Ад — An = 2b sin и. Таким образом, условие, при котором интерферен- ционная картина получается отчетливой, имеет вид: 26sinu<X/2. (17.14) 87
Не для всех интерференционных схем лучи I и 3, а также 2 и 4 параллельны. Однако и в случае непарал- лельное™ этих лучей разность величин Да и Дв бывает порядка 26 sin п, так что условие (17.14) сохраняет свое значение. Из этого условия вытекает, что чем больше апертура интерференции (т. е. угол 2«), тем меньше допустимые размеры источника. § 18. Способы наблюдения интерференции света Рассмотрим две конкретные интерференционные схе- мы, одна из которых использует для разделения свето- вой волны на две части отражение, а другая — прелом- ление света1)- Зеркала Френеля. Два плоских соприкасающихся зеркала ОМ и ON располагаются так, что их отражаю- щие поверхности образуют угол, близкий к 180° (рис. 46). Соответственно угол а на рис. 46 очень мал. Параллель- но линии рересечения зеркал О на расстоянии г от нее помещается прямолинейный источник света S (например, узкая светящаяся щель). Зеркала отбрасывают на экран *) Напомним, что интерферировать могут только колебания одинакового направления. В описанных ниже, а также в других интерференционных приборах направления колебаний во взаимодей- ствующих лучах практически совпадают. 88
Е две цилиндрические когерентные волны, распростра- няющиеся так, как если бы они исходили из мнимых источников и Sz- Экран Ei преграждает свету путь от источника S к экрану Е. Луч OQ представляет собой отражение луча SO от зеркала ОМ, луч ОР— отражение луча SO от зеркала ON. Легко сообразить, что угол между лучами ОР и OQ равен 2а. Поскольку S и Si расположены относительно ОМ симметрично, длина отрезка OSi равна OS, т. е. г. Аналогичные рассуждения приводят к тому же резуль- тату для отрезка 0S2. Таким образом, расстояние между источниками Si и S2 равно d = 2r sin а ~ 2г а. Из рис. 46 вытекает, что а — г cos а ~ г. Следовательно, I = г + Ь, где b — расстояние от линии пересечения зеркал О до экрана Е. Подставив найденные нами значения d и I в формулу (17.10), найдем ширину интерференционной полосы: = (181) Область перекрытия волн PQ имеет протяженность 2b tg а 2Ьа. Число наблюдаемых интерференционных полос N найдем, разделив эту длину на ширину полосы Дх. В результате получим: Бипризма Френеля. Изготовленные из одного куска стекла две призмы с малым преломляющим углом О имеют общее основание (рис. 47). Параллельно этому основанию на расстоянии а от него располагается пря- молинейный источник света S. Угол падения лучей на бипризму мал, вследствие чего все лучи отклоняются бипризмой на одинаковый угол а = (п—!)& [см. фор- мулу (1.14)]. В результате образуются две когерентные 89
цилиндрические волны, исходящие из мнимых источни- ков Si и S2, лежащих в одной плоскости с 5. Расстояние между источниками равно d = 2а sin а 2а а = 2а (п — 1) Ф. Расстояние от источников до экрана: 1 = а + Ь. Ширину интерференционной полосы находим по фор- муле (17.10)! Область перекрытия волн PQ имеет протяженность: 26 tga ~ 26a — 2b (п — 1) О. Число наблюдаемых полос N —4аЬ^Т-^-> (18.4) Zq, (a -f- b) § 19. Интерференция света при отражении от тонких пластинок При падении световой волны на тонкую прозрачную пластинку или пленку происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают коге- рентные световые волны, которые могут интерферировать. Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластин- ку падает параллельный пучок света, представленный на рис. 48 только одним лучом. Пластинка отбрасывает вверх два когерентных параллельных пучка света, из которых один образуется за счет отражения от верхней поверхности пластинки, второй — вследствие отражения 90
от нижней поверхности. При входе в пластинку и при выходе из нее второй пучок претерпевает преломление. Кррме этих двух пучков пластинка отбросит вверх пуч- ки, возникающие ‘в результате трех-, пяти- и т. д. крат- ного отражения от поверхностен пластинки. Однако ввиду их малой интенсивности мы эти пучки принимать во внимание не будем1)- Не будем также интересо- ваться пучками, прошедшими через пластинку. Проведем' перпендикулярную к лучам 1 и 2 плоскость АВ. На пути от этой плоскости разность фаз волн, пред- ставленных луч~ами 1 и 2, не изменяется. Следовательно, оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна A = ns2— «1, где si — длина отрезка ОА, $2 —суммарная длина от- резков ОС и СВ, п — показа- тель преломления пластинки. Показатель преломления ок- ружающей пластинку среды Рис. 48. полагаем равным единице. Из рис. 48 следует, что s2 — 2&/cos i2, Si = 2b tg i2 sin ii (b — толщина пластинки). Подставим эти значения в выражение для А: (19.1) Произведя замену sin A = п sin i2 и учтя, что sin2 i2 = — 1—cos2i2, легко привести (19.1) к виду: A = 2bncosi2. (19.2) Приняв во внимание, что п cos i2 — Уп2 — n2 sin2 i2 = V n2 — sin2 it, разность хода А можно выразить через-угол падения ь: А = 2b )/n2 —sin2//. (19.3) *) От поверхности раздела прозрачных сред отражается при- мерно 5% падающего светового потока. После Двух отражений ин- тенсивность будет равна 0,05 • 0,05, или 0,25% интенсивности перво- начального пучка. После трех отражений — 0,05 • 0,05 • 0,05, или 0,0125%, что составляет ‘/«о интенсивности однократно отражённого пучка. S1
При вычислении разности фаз 6 между колебаниями в лучах 1 и 2 нужно, кроме оптической разности хода А, учесть еще одно обстоятельство. При отражении свето- вой волны от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной (отражение в точке О на рис. 48) фаза колебаний светового вектора (вектора Е электромагнитной волны) претерпевает из- менение на л. При отражении от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной (отражение в точке С) такого изменения фазы не происходит. По этой причине между лучами 1 и 2 возникает дополнительная разность фаз, равная п. Ее можно учесть, добавив к А (или вычтя из нее) половину длины волны в вакууме. В результате получим: А = 2Ь У п2 — sin2 if — . (19.4) Если на пути пучков 1 и 2 поставить собирательную линзу, они сойдутся в одной из точек фокальной плос- кости линзы и будут интерферировать. Результат интер- ференции зависит от значения величины (19.4). При А = /г/.о получатся максимумы, при А = (&+1/2)Ло— минимумы интенсивности (k — целое число либо нуль). Таким образом, условие максимума интенсивности имеет вид: 2Ь у'п2 — sin2?, = ^/г + yj Ло. (19.5) Значение k в этом выражении называется поряд- ком интерференционного максимума. Воз- можные для данной пластинки (т. е. при заданных b и п) значения k лежат в пределах: « -4) <1М> (нижний предел получается при sin if = 1, верхний — при sin i’i = 0). При очень малой величине b условию (19.6) удовлет- воряет только одно значение k = 0. Например, положив в (19.6) п = 1,5, Ао = 0,5 мк и Ъ = 0,1 мк, получим: — 0,052 </г <0,100. При большой толщине пластинки может наблюдаться большое количество максимумов высокого порядка. Так, 92
положив в предыдущем примере b равной 1 мм, придем к условию: 4472 < k < 60Э0. Таким образом, с ростом толщины пластинки увели- чивается число наблюдаемых интерференционных мак- симумов и их порядок. Всякая реальная световая волна представляет собой наложение волн вида (16.2) с частотами, заключенными в интервале Асо, которому соответствует интервал длин волн ДХо. Даже у монохроматического (одноцветного) света интервал длин волн является хотя и очень малым, но конечным. По этой причине интерференционные мак- симумы имеют конечную угловую ширину Ай, которую можно найти, продифференцировав (19.5) слева по ii, а справа по Хо. В результате получим (2Ь Уп2 — sin2 i,)] AZ, = (k + у) ДХ0, откуда угловая ширина интерференционного максимума = ........ (/г + jj АХр, (19.7) Теперь найдем угловое расстояние между .соседними максимумами (т. е. между максимумами, для которых значения k отличаются на единицу). Для этого продиф- ференцируем (19.5) слева'по й, а справа по k (рассма- тривая k как непрерывно изменяющийся параметр): (2Ь Уп2 — sin2 it)j 6ij = Хо 6k. Значение бй, соответствующее изменению k на еди- ницу (б/г = 1), представляет собой угловое расстояние между соседними максимумами: = ~~-Д — (19-8) —тт- (2Ь Vn2 — sin2 ij) (ll J Если угловая ширина максимума Ай станет равной по модулю (или превзойдет) угловому расстоянию ме- жду соседними максимумами бй, интерференционная картина полностью смажется. Поэтому для наблюдения 93
интерференции при отражении света от прозрачных пластинок необходимо выполнение условия: |Дй| < < |6й|. Подставив значения (19.7) и (19.8) для Дй и 6i’i, получим: + "2) ДА0< Ло или (*+!)<<• <'9.9) Выше мы выяснили, что порядок возникающих мак- симумов возрастает с увеличением толщины пластинки. Из (19.9) вытекает, что чем больше интервал длин волн ДЛо, тем'меньше должен быть порядок максимумов, т. е. тем меньше толщина пластйнки, при которой может на- блюдаться интерференция. Согласно (19.5) Z; + 1/2 = 2й У n2 — sin2 q /Ао. Подста- вив это выражение в неравенство (19.9), получим пре- дельную толщину пластинки, цри которой можно наблю- дать интерференцию: U --------- > I 1 IUI 2ДХ0/я2 -sin2 где й —угол, под которым лучи падают на пластинку. При наблюдении в белом свете интервал А7.о опре- деляется способностью глаза различать оттенки света блйзких длин волн. Лучи, отличающиеся по длине волны менее чем на 20 А, средний глаз воспринимает как имеющие одинаковый цвет. Поэтому для оценки условий, при которых может наблюдаться интерферен- ция от пластинок в белом свете, ДХо следует положить равным 20А, т. е. 2-Ю-3 мк. Положив, кроме того, Zo = = 0,5 мк, п = 1,5, й = 0 (нормальное падение света на пластинку), найдем по формуле (19.10), что толщина пластинки не должна превышать примерно 40 мк. При наблюдении в монохроматическом свете с ДХо = 1А толщина пластинки может достигать 1 мм. Полосы равного наклона. Пусть тонкая плоскопарал- лельная пластинка (рис. 49) освещается рассеянным монохроматическим светом. Расположим параллельно пластинке положительную линзу, в фокальной плоско- сти которой поместим экран. В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, 94
параллельные плоскости рисунка и падающие на пла- стинку под углом i\, после отражения от обеих поверх- ностей пластинки соберутся линзой в точке Р' и созда- дут в этой точке освещенность, величина которой зави- сит от значения оптической разности хода (19.3). Лучи, идущие в других плоскостях, но падающие на пластинку под тем же углом i', соберутся линзой в других точках, отстоящих от центра экрана О на такое же расстояние, как и точка Р'. Освещенность во всех этих точках будет Рис. 49. одинакова. Таким образом, лучи, падающие на пла- стинку под одинаковым углом if, создадут на экране со- вокупность одинаково освещенных точек, расположен- ных по окружности с центром в О. Аналогично, лучи, падающие под другим углом 4, создадут на экране совокупность одинаково (но иначе, поскольку А иная) освещенных точек, расположенных по окружности дру- гого радиуса. В результате .на экране возникнет система чередующихся светлых и темных круговых полос с об- щим центром в точке О. Каждая полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковым уг- лом ц. Поэтому получающиеся в описанных условиях интерференционные полосы носят название полос равного наклона. При ином расположении линзы относительно пластинки (экран во всех случаях должен совпадать с фокальной плоскостью линзы) форма полос равного наклона будет другой. Каждая точка интерференционной картины обуслов- лена лучами, образующими до прохождения через линзу параллельный пучок. Поэтому при наблюдении полос
равного наклона экран должен располагаться в фокаль- ной плоскости линзы, т. е. так, как его располагают для получения на нем изображения бесконечно удаленных предметов. В соответствии с этим говорят, что линии равного наклона локализованы в бесконечности. Роль линзы может играть хрусталик, а экрана — сетчатка глаза. В этом случае для наблюдения полос равного на- клона глаз должен быть акквмодировац так, как при рассматривании .очень удаленных предметов. Положение максимумов зависит от длины волны Хо [см. формулу (19.5)]. Поэтому в белом свете полу- чается совокупность смещенных друг относительно друга полос, образованных лучами разных цветов, и интерфе- ренционная картина приобретает радужную окраску. Полосы равной толщины. Возьмем пластинку в виде клина с углом при вершине $ (рис. 50). Пусть на нее падает параллельный пучок лучей. Из всех лучей, на которые разделяется' падающий луч О, рассмотрим лучи 1 и 2, отразившиеся от верхней и нижней поверх- ностей пластинки. Если свести их линзой в точке Р, они будут интерферировать. При небольшом О разность хода лучей можно с достаточной степенью точности вы- числять по формуле (19.4), беря в качестве b толщину пластинки в месте падения на нее луча. Лучи 1' и 2', образовавшиеся за счет деления луча О', упавшего в другую точку пластинки, соберутся линзой в точке Р'. Разность хода этих лучей определяется толщиной Ь'. Если расположить экран так, чтобы он был сопря- жен с поверхностью, проходящей через точки Q, Q', 96
на нем возникнет система светлых и темных полос. Каждая из полос образуется за счет отражений от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину. Поэтому в данном случае интерференционные полосьГназываются полосами равной толщины. Полосы равной толщины локализованы вблизи пла- стинки— над ней (рис. 51, а) либо под ней (рис. 51, б). При нормальном падении пучка на пластинку (строго Рис. 51. говоря, при нормальном падении луча 2 на нижнюю по- верхность пластинки) полосы равной толщины локали- зованы на верхней поверхности пластинки1). При наблюдении в белом свете полосы будут окра- шенными, так что поверхность пластинки или пленки представляется имеющей радужную окраску. Такую окраску имеют, например, расплывшиеся на поверхности ’) Удивительно, что во многих учебниках физики интерференция света при отражении от тонких пластинок излагается совершенно неправильно. В частности, «доказывается», что полосы равной тол- щины во всех случаях локализованы ва поверхности пластинки. Не- правильность заключается в том, что рассматривается интерференция не разных частей одного и того же луча, а интерференция частей двух разных лучей падающего пучка. Очевидно, что, рассуждая таким способом и беря надлежащим образом выбранные лучи, мож- но «доказать» локализацию интерференционной картины в любом на- перед заданном месте. С особенной прямотой высказался по этому поводу Р. В. Поль в своей Оптике: «В этом вопросе авторы учеб- ников предпочитают плутовать. Изображая... толстые клинья и на- клонное падение лучей, они пытаются, пользуясь какими-либо фаль- шивыми чертежами, показать, что точки пересечения интерферирую- щих лучей лежат на поверхности клина» (Р, В. Поль, Оптика и атомная физика, Наука, 1966, стр. 133). 4 И. В. Савельев, т. III QJ
воды тонкие пленки нефти или масла, а также мыльные пленки. Цвета побежалости, возникающие на поверхно- сти стальных изделий при их закалке, тоже обусловлены интерференцией от пленки прозрачных окислов. Сопоставим два рассмотренных нами случая интер- ференции при отражении от тонких пленок. Полосы рав- ного наклона получаются при освещении пластинки по- стоянной толщины (d = const) рассеянным светом, в ко- тором содержатся лучи различных направлений (i\ и /о варьируют в более или менее широких пределах). Локализованы полосы равного наклона в бесконечности. Полосы равной толщины наблюдаются при освещении пластинки непостоянной толщины (d меняется) парал- лельным пучком света (ii = const). Локализованы по- лосы равной толщины вблизи пластинки, при нормаль- ном падении — на поверхности пластинки. В реальных условиях, например, при наблюдении радужных цветов на мыльной или масляной плен- ке, изменяется как угол падения лучей, так и толщина пленки. В этом случае наблюдаются по- лосы смешанного типа. Заметим, что интерференция от тонких пленок может наблю- даться не только в отраженном, но и в проходящем свете. Кольца Ньютона. Классиче- ским примером полос равной тол- щины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг С другом плоскопараллельнрй толстой стеклянной пла- стинйи и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис. 52). Роль тонкой пленки, от поверхно- стей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (вслед- ствие большой толщины пластинки и линзы за счет от- ражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении — эллипсов. Най- дем радиусы колец Ньютона, получающихся при паде- нии света по нормали к пластинке, В этом случае
cos i2«« 1 и оптическая разность хода равна удвоенной толщине зазора [см. формулу (19.2); предполагается, что в зазоре п = 1]. Как следует из рис. 52, 7?2 = (/?-Ь)2 + г2« R2~2Rb+r\ (19.11) где R — радиус кривизны линзы, г — радиус окружно- сти, всем точкам которой соответствует одинаковый за- зор Ь. Ввиду малости b мы пренебрегли величиной Ь2 по сравнению с 2Rb. В соответствии с (19.11) Ь = г2/2/?. Чтобы учесть возникающее при отражении от пластинки изменение фазы на л, нужно при вычислении Д к 2b = r2/R приба- вить Хо/2. В результате получится: А = 4-+4- (19.12> В точках, для которых А = AZo = 2£(Хо/2), возникнут максимумы; в точках, для которых А = (k + ’/2) Хо =» = {2k + 1) (Zfi/2), — минимумы интенсивности. Оба усло- вия можно объединить в одно: Л ^0 A=/nv, причем четным значениям т будут соответствовать мак- симумы, а нечетным — минимумы интенсивности. Подставив сюда выражение (19.12) для А и разре- шив получающееся уравнение относительно г, найдем радиусы светлых и темных колец Ньютона: r = ]/—(m~ 1) (m=l, 2, 3, ...). (19.13) Четным т соответствуют радиусы светлых колец, не- четным т — радиусы темных колец. Значению т = 1 соответствует г = 0, т. е. точка в месте касания пла- стинки и линзы. В этой точке наблюдается минимум ин- тенсивности, обусловленный изменением фазы на л при отражении световой волны от пластинки. § 20. Применения интерференции света Явление интерференции света находит самые разно- образные применения. Оно используется, например, для определения показателей преломления газообразных веществ, для весьма точного измерения длин и 4* 99
углов, для контроля качества обработки поверхностей и т. п. Интерференция при отражении от тонких пленок ле- жит в основе так называемого просветления оп- тики. Прохождение света через каждую преломляю- щую поверхность линзы сопровождается отражением примерно 4% падающего света. В сложных объективах такие отражения совершаются многократно и суммар- ная потеря светового потока достигает заметной вели- чины. Кроме того, отражения от поверхностей линз при- водят к возникновению бликов. В просветленной оптике для устранения отражения света на каждую свободную поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления иным, чем у линзы. Тол- щина пленки подбирается так, чтобы волны, отражен- ные от обеих ее поверхностей, погашали друг друга. Особенно хороший ре- зультат достигается в том случае, если показатель преломления пленки ра- вен корню квадратному из показателя преломле- ния линзы. При этом условии интенсивность обеих отраженных от по- верхностей пленки воли одинакова. Имеется несколько разновидностей интерфе- ренционных приборов, на- зываемых интерферо- метрами. На рис. 53 изображена схеме интер- ферометра Майкельсона. Пучок света от источника S падает на полупрозрач- ную пластинку Pt, покрытую тонким слоем серебра (этот слой показан на рис. 53 точками). Половина упавшего светового пучка отражается пластинкой в направлении луча 1, половина проходит сквозь пла- стинку и распространяется в направлении луча 2. Пучок 1 отражается от зеркала и возвращается к Plt где он делится на два равных по интенсивности пучка. Один из них проходит сквозь пластинку и образует пу- 100
чок 1', второй отражается в направлении к S; этот пу- чок нас интересовать дальше не будет. Пучок 2, отра- зившись от зеркала Л12, тоже возвращается к пластинке Pi, где он Делится на две части: отразившийся от полу- прозрачного слоя пучок 2' и прошедший сквозь слой пучок, которым мы также интересоваться больше, не будем. Пучки света Г и 2' когерентны и обладают одинако- вой интенсивностью. Результат интерференции этих пуч- ков зависит от оптической разности их хода от пла- стинки Pt до зеркал Mt и Л12 и обратно. Луч 2 проходит толщу пластинки Pi трижды, луч 1 — только один раз. Чтобы скомпенсировать возникающую за счет этого разную (вследствие дисперсии) для различных длин волн оптическую разность хода, на пути луча 1 ста- вится точно такая, как Pi, но не посеребренная пла- стинка Р2. Тем самым уравниваются пути лучей 1 и 2 в стекле. Интерференционная картина наблюдается с помощью зрительной трубы Т. Разность хода лучей удобно оценивать, заменив мысленно зеркало М2 его мнимым изображением М'> в полупрозрачной пластинке Pi. Тогда лучи 1' и 2' можно рассматривать как возникшие за счет отражения от прозрачной пластинки, ограниченной плоскостями Mi и М'>. С помощью юстировочных винтов можно изменять угол между этими плоскостями, в частности их можно устанавливать строго параллельно друг другу. Вращая микрометрический винт W2, можно плавно пе- ремещать зеркало Л1?_, не изменяя его наклона. Тем са- мым можно менять толщину «пластинки», в частности можно заставить плоскости и М'2 пересечься друг с другом (рис. 53, б). Наблюдаемая интерференционная картина зависит от юстировки зеркал и от характера пучка света, па- дающего на прибор. Если падающий пучок параллелен, а плоскости Mi и М2 образуют угол/не равный нулю, то в поле зрения прибора наблюдаются прямолинейные полосы равной толщины, расположенные параллельно линии пересечения плоскостей Mt п М'2. В белом свете все полосы, кроме располагающейся по упомянутой ли- нии пересечения полосы нулевого порядка, будут окра- шенными. Нулевая полоса будет черной, так как луч / отражается от пластинки Pi снаружи, а луч 2 — 101
изнутри, что дает разность фаз, равную л. Полосы в бе- лом свете наблюдаются лишь при малой толщине «пла- стинки» MiM'2 [см. формулу (19.10) и следующий за ней текст]. В монохроматическом свете, соответствую- щем красной линии кадмия, Майкельсон наблюдал отчетливую интерференционную картину при разности хода порядка 500000 длин волн (расстояние между Л11 и М'г составляет в этом случае приблизительно 150 мм). При строго параллельном расположении плоскостей Mi и М'2 и слегка расходящемся пучке света в поле зрения прибора наблюдаются полосы равного наклона, имеющие вид концентрических колец. При вращении микрометрического винта IF2 кольца увеличиваются или уменьшаются в диаметре. При этом в центре картины либо возникают новые кольца, либо уменьшающиеся кольца "стягиваются в точку и затем исчезают. Смеще- ние картины на одну полосу соответствует перемеще- нию зеркала Мг на половину длины волны. Пластинка Рг может вращаться вокруг оси, перпен- дикулярной к плоскости рисунка. В нормальном- поло- жении она строго параллельна пластинке Pi. Поворот пластинки приводит к смещению интерференционной картины. Это позволяет использовать пластинку Р2 в ка- честве компенсатора возникаю- щих в интерферометре небольших разностей хода. Зеркало Рис. 54. С помощью описанного при- бора Майкельсон осуществил в 1890—1895 гг. первое сравнение длины волны красной линии кад- мия с длиной нормального метра. Для этой цели было изготовлено девять специальных эталонов длины. Каждый эталон представлял собой два параллельных зеркала Ai и Аг, укрепленных на метал- лическом основании (рис. 54). Расстояние между пло- скостями зеркал определяло длину эталона. Первый эталон имел длину, равную • 0,39 мм. Длина каждого следующего эталона превышала длину предыдущего почти точно в два раза. Последний, девятый, эталон имел длину 100 мм. Вначале определялось число длин волн, укладыва- ющихся на длине первого эталона. Эталон устанавли- 102
вался на интерферометре вместо зеркала Mi (рис. 55, я; остальная схема —как на рис. 53). Рядом с ним поме- щалось вспомогательное зеркало N. Это зеркало уста- навливалось строго параллельно плоскости М2. По- этому при освещении прибора монохроматическим све- том, соответствующим красной линии кадмия, в части поля зрения, образованной отражением от зеркала N, наблюдались полосы равного наклона в виде колец (ле- вая нижняя 'часть рис. 55, б, на котором изображена картина, видимая в трубу). Угол, образованный плоско- стями зеркал Ai и А2 с плоскостью М2, был слегка от- личён от нуля. При освещении прибора белым светом' и пересечении плоскости М2 с одним из в трубе, наведенной на это зеркало, получалась нулевая черная полоса1). Первоначально плос- кость М2 приводилась (путем перемещения зер-. кала М2) в такое положе- ние, чтобы нулевая поло- са пришлась на середину зеркала А{ (рис. 55,6, правая нижняя часть по- ля зрения). Затем прибор вместо белого света освещался монохроматическим, труба наводилась на бесконечность и в левой ниж- ней части поля зрения (рис. 55, б) возникала си- стема колец. Медленным вращением микрометрического винта 1 Мг (рис. 53) плоскость М'2 смещалась в направ- лении зеркала А2. При этом кольца стягивались к центру и исчезали.. Смещение картины на одну полосу соответ- ствовало перемещению плоскости М2 на половину длины волны. В конце концов плоскость М2 приводи- лась в такое положение, при котором в белом свете по- лучалась черная полоса, совпадающая с серединой зер- кала А2 (при этом в правом верхнем углу поля зрения наблюдается такая картина, какая изображена в пра- вом нижнем углу на рис. 55, б). Половина сосчитанного к этому времени количества исчезнувших ’) Чтобы не повторять рис. 55,6 дважды, на и кольца в зеркале N, и полосы в зеркале Ль В эти две картины наблюдаются не одновременно, а зеркал эталона Рис. 55. колец давала нем изображены действительности поочередно. 103
число длин волн, укладывавшихся на длине первого эталона. Затем производилось сравнение первых двух этало- нов. Для этого они устанавливались рядом вместо зер- кала (рис. 56,а). Эталон 2 был укреплен непо- движно, эталон 1 устанавливался на салазках, которые могли перемещаться вдоль эталона 2 с помощью мик- рометрического винта W3. Поле зрения разделяется на четыре части, каждая из которых соответствует одному из зеркал Дь А2, Bi и В2 (рис. 56, б). Перемещением зеркала М2 плоскость М'2 совмещалась с зеркалом Д так, чтобы против середины этого зеркала получалась । нулевая черная полоса. При неизменном положении плоскости М2эталон 1 уста- навливался так, чтобы та- кая же черная полоса воз- никала и против середины зеркала Ah Наблюдавшаяся при этом картина соответ- ствует рис. 56, б. В этом случае зекала At и В\ ока- 4 4 Рис. ,56. зывались расположенными в одной плоскости. Далее плоскость М2 приводилась в совпадение с зеркалом А2 (при этом полосы наблюдались только в квадрате А2 на рис. 56, б), после чего эталон 1 перемещался так, чтобы с новым положением плоскости Л12 совпало зеркало At (в этом случае нулевая полоса снова получается в се- редине квадрата At на рис. 56, б, но в квадрате Bt по- лос уже не будет). Таким способом эталон 1 переме- щался на расстояние, в точности равное его длине. За- тем снова перемещалось зеркало М2 до тех пор, пока плоскость М2 не совпадет с зеркалом А2. Если бы длина /2 эталона 2 точно в два раза превышала длину Л эталона /, нулевая полоса возникала бы. одновре- менно в серединах квадратов А2 и В2. Однако в действи- тельности /г немного отличалась от 24. Поэтому нуле- вая полоса в В2 приходилась не на середину зеркала, а была смещена в сторону. Определяя, какому числу полос соответствует это смещение, можно было найти разность между 24 и-12. 104
Подобным образом производилось попарное сравне- ние всех эталонов. Последний десятисантиметровый эталон сопоставлялся с нормальным метром (работа производилась в Международном Бюро мер и весов в Севре близ Парижа). Эталон перемещался описан- ным выше способом десять раз. Совпадение зеркал эта- лона со штрихами нормального метра устанавливалось под микроскопом. Согласно полученным Майкельсоном результатам на длине нормального метра укладывается 1 553 163,5 длин волн красной линии кадмия. Международная система единиц (СИ) устанавли- вает, что метр — это длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходам между уровнями 2р10 и 5d$ атома криптона-86 (см. § 77 и примеча- г~Ъцш,-ит77П7рдГ~ ние на стр. 429). _________________ В настоящее время длины •*-- -*— ВОЛН МНОГИХ СПеКТраЛЬНЫХ ЛИНИЙ известны с большой степенью точности. Поэтому отпала необ- Рис. 57. ходимость непосредственного сче- та числа длин волн, укладывающихся «а данной длине. На рис. 57 изображен так называемый эталон Фаб- ри— Перо. Он состоит из двух стеклянных пластинок, прижатых к торцам круглой трубы. Поверхности, отме- ченные точками, покрыты тонким слоем серебра. Эти по- верхности строго параллельны друг другу. Пучки моно- хроматического света, отразившиеся от посеребренных поверхностей, интерферируя, дают кольца равного накло- на. Если, например, для двух длин волн X, и Х2 в центре картины получается светлое пятно, можно написать сле- дующие соотношения [см. формулу (19.5); й нужно по- ложить равным нулю]: 2Z = ^,+4)^. 2/= Х2, (20.1) где I — длина эталона, и k2— целые числа, Xi и Хг — длины волн в среде, находящейся внутри эталона. Если величины /, Xi и Х2 известны с достаточной сте- пенью точности, подбор целых чисел kt и Х2, удовлетво- ряющих соотношениям (20.1), оказывается однознач- ным. Определив числа k{ и k2, можно выразить длину эталона в длинах волн Xi и Х2-
ГЛ ABA IV ДИФРАКЦИЯ СВЕТА § 21. Принцип Гюйгенса — Френеля Дифракцией называется совокупность явлений, на- блюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от за- конов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Огибание препятствий звуковыми волнами (т. е. ди- фракция звуковых волн) наблюдается постоянно'в обы- денной жизни. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено тем, что масштабы дифракции сильно за- висят от соотношения размеров, препятствия и длины волны. При длине волны, сравнимой с размерами пре- пятствия (что обычно имеет место для звуковых волн), дифракция выражена очень сильно. В случае, если, как это имеет место для света, длина волны значительно меньше размеров препятствия, дифракция выражена слабо и обнаруживается с трудом. Явление дифракции - волн может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса (см. т. I, § 83). Однако принцип Гюйгенса не дает никаких указаний об ампли- туде, а следовательно и об интенсивности волн, распро- страняющихся в различных направлениях. Этот недо- статок был устранен Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных воли позволяет найти амплитуду результирующей волны в лю- бой точке пространства. С помощью усовершенствован- ию
пого им принципа Френелю удалось дать удовлетвори- тельное объяснение ряда дифракционных явлений, а также устранить одно из основных затруднений вол- новой теории света — показать, как согласуется волно- вая природа с наблюдающимся на опыте прямолиней- ным распространением света. Пусть S на рис. 58 представляет собой одну из вол- новых поверхностей света, распространяющегося от не- которого источника. Амплитуда светового колебания в точке Р, ле- /\л жащей перед этой поверхностью, ( tgtCp может быть согласно Френелю най- г дона из следующих соображений. \ Каждый элемент поверхности слу- I жит источником вторичной сфери- / I ческой волны, амплитуда которой \ с / пропорциональна величине элемен- ) / 1 a dS. Амплитуда сферической вол- \ / ны убывает с расстоянием г от источника по закону 1/г [см. т. I, рис. 58. формулу (78.9)]. Следовательно, от каждого участка dS волновой поверхности в точку Р. приходит колебание de, = К cos (а/ — kr + а0). (21.1) В этом выражении (at + ао) — фаза колебания в ме- сте расположения волновой поверхности S, k— волно- вое число, г — расстояние от элемента поверхности dS до точки Р. Величина Яо определяется амплитудой све- тового колебания в том месте, где находится dS. Коэф- фициент пропорциональности К Френель считал убы- вающим при увеличении угла <р между нормалью п к dS и направлением от dS к точке Р и обращающимся в нуль при <р = л/2. Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний (21.1), взятых для всей волновой поверхности S: Е, — J К (ф) -у- cos (at — kr 4- ct0) dS. (21.2) s Формулу (21.2) можно рассматривать как аналити- ческое выражение принципа Гюйгенса — Френеля. 107
Вычисления по формуле (21.2) представляют собой в общем случае чрезвычайно трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся сим- метрией, нахождение амплитуды результирующего ко- лебания может быть осуществлено простым алгебраи- ческим или геометрическим суммированием. Различают два случая дифракции. Если источник света и точка наблюдения Р расположены от препят- ствия настолько далеко, что лучи, падающие на препят- ствие, и лучи, идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции Фраун- гофера или о дифракции в параллельных лучах. В противном случае говорят о дифракции Френеля. Дифракцию Фраунгофера можно наблю- дать, поместив за источником света 5 и перед точкой наблюдения Р по линзе так, чтобы точки S и Р оказа- лись в фокальной плоскости соответствующей линзы (рис. 59). § 22. Зоны Френеля Применим принцип Гюйгенса — Френеля для нахо- ждения амплитуды светового колебания, возбуждаемого в точке Р сферической волной, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 60). Волновая поверхность такой волны симметрична отно- сительно прямой SP. Воспользовавшись этим, Френель разбил волновую поверхность на кольцевые зоны, по- строенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки Р отличаются на Z/2 (X— длина волны в той среде, в которой распространяется волна). Легко ви- 108
деть, что расстояние Ьт от внешнего края m-й зоны до точки Р можно представить следующим образом: bm = b + m^, (22.1) где Ь — расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р. Рис. 60. Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т. е. от точек, лежащих у внешних краев зон, или в середине зон и т. д.), будут находиться в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на л. Для оценки амплитуд колебаний нужно найти пло- щади зон. Внешняя граница m-й зоны выделяет на вол- новой поверхности сферический сегмент высоты hm (рис. 61). Обозначим площадь этого сегмента Sm. Тогда 109
площадь т-й зоны можно представить в виде: Sm Sm—i, где Sm-i — площадь сферического сегмента, выделяе- мого внешней границей (т—1)-й зоны. Из рис. 61 следует, что r2m = a2-(a~ hm)2 = (Ь + т 4)2 - (b + (а—радиус волновой поверхности, гт—радиус внеш- ней границы т-й зоны). Возведя скобки в квадрат, по- лучим г2т = 2ahm -h2m = ЬтЬ + т2 (|)2 - 2bhm - h^, (22.2) откуда . , „МЛ2 Ьтл + пг21 -у h,n = 2 (а+ 6) ‘ (22.3) Ограничиваясь рассмотрением не слишком больших т, можно ввиду малости Z пренебречь слагаемым, со- держащим X2. В этом приближении <22-4> Площадь сферического сегмента равна 5 = 2я/?/г (R — радиус сферы, h—высота сегмента). Следова- тельно, Sm = 2nahm = ^mK и, т и а площадь т-й зоны Френеля д о ~_________________ о о ______ &m-l a + b ’ Полученное нами выражение не зависит от т. Это означает, что при не слишком больших т площади зон Френеля примерно одинаковы. Произведем оценку радиусов зон. Согласно (22.2) r2m = 2ahm — h2m. При не слишком больших т высота сег- мента hm а, поэтому можно считать, что г2т = 2а/гт. Подставив сюда значение (22.4) для hm, найдем радиус внешней границы т-й зоны Френеля; <22-5> по
Если положить а = Ь = 1 м и Z = 0,5 мк, то для ра- диуса первой (центральной) зоны получается значение: Г1 = 0,5_мм. Радиусы последующих зон возрастают как Ут. Выше мы нашли, что площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние Ьт от зоны до точки Р медленно растет с т по линейному закону [см. (22.1)]. Угол <р ме- жду нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с номером зоны т. Все это приво- дит к тому, что амплитуда Ат колебания,- возбуждае- мого т-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом т [см. (21.1)]. Даже при очень больших т, когда, как мо- жно заключить из (22.3), площадь зоны начинает заметно расти с т, убывание множителя /((<р) перевешивает рост Д5т (напомним, что /((<₽) стремится к нулю при ф->л/2), так что Ат продолжает убывать. Таким обра- зом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р. зонами Френеля, образуют монотонно убывающую после- довательность: Л1>Л2>Л3> ... > Am-i > Ат> Ат+1 > ... Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на л. Поэтому амплитуда А результирую- щего светового колебания в точке Р может быть найдена алгебраически: А — Ai — А2 + А3 — А4+ .. (22.6) В это выражение Bte амплитуды от нечетных зон входят с одним знаком, а от четных зон — с другим. Запи- шем (22.6) в виде: А А2 + -у) + (-у — А4 + -у) + ... (22.7) Вследствие монотонного убывания Ат можно прибли- женно считать, что А/n-l + Лт+1 При этом условии выражения, заключенные в круглые скобки, будут равны нулю и формула (22.7) упрощается следующим образом: (22.8)
Полученный нами результат означает, что амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной. Иными словами, дей- ствие всей волновой поверхности эквивалентно половине действия центральной зоны. По произведенной выше оценке центральная зона имеет размеры порядка долей миллиметра. Следовательно, свет от точки 5 к точке Р распространяется как бы в пределах очень узкого пря- мого канала, т. е. практически прямолинейно. Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только централь- ную зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна Л], т. е. в два раза превзойдет амплитуду (22.8). Соответ- ственно интенсивность света в точке Р будет в этом слу- 'чае в четыре раза больше, чем при от- /г сутствии преград между точками S и Р. I X Теперь решим задачу о распростра- I I нении света от источника 5 к точке Р ме- X 1 тодом графического сложения амплитуд. Разобьем волновую поверхность на рав- ные по площади кольцевые зоны, анало- Рис. 62. гичные зонам Френеля, но гораздо мень- шие по ширине. Колебание, создаваемое в точке Р каждой такой зоной, можно изобразить в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, приня- тым за начало отсчета, дает начальную фазу колебания (см. т. I, § 68). Колебание, создаваемое в Р любой из таких зон, имеет приблизительно такую же амплитуду, как и колебание, создаваемое предшествующей зоной, но будет отставать от него по фазе на практически оди- наковую для всех соседних зон величину. Следовательно, векторная диаграмма, получающаяся при сложении ко- лебаний, возбуждаемых отдельными зонами, имеет вид, показанный на рис. 62. Если бы величина амплитуды при переходе от зоны к зоне оставалась строго постоянной, конец последнего из изображенных на рис. 62 векторов совпал бы с нача- лом первого вектора. В действительности величина амп- литуды, хотя и очень слабо, но убывает, вследствие чего векторы образуют не замкнутую фигуру, а ломаную спи- ралевидную линию. Если ширину кольцевых зон устре- 112
мить к нулю (количество их будет при этом неограничен- но возрастать), векторная диаграмма примет вид спи- рали, закручивающейся к точке С (рис. 63). Фазы коле- бания в точках О и 1 отличаются на л (бесконечно ма- лые векторы, образующие спираль, направлены в этих точках в противоположные стороны). Следовательно, участок спирали О — 1 соответствует первой зоне Френеля. Век- тор, проведенный из точки О в точку 1 (рис. 64,а), изображает колебание, воз- буждаемое в точке Р этой зоной. Анало- гично, вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (рис. 64,6), изображает колеба- ние, возбуждаемое второй зоной Френе- ля. В соответствии с тем, что колебания рИс. 63. от первой и второй зон находятся в про- тивофазе, векторы 01 и 12 направлены в противополож- ные стороны. Колебание, возбуждаемое в точке Р всей волновой по- верхностью, изобразится вектором ОС (рис. 64,в). Из рис. 64 видно, что амплитуда в этом случае равна по- ловине амплитуды, создаваемой в Р первой зоной. Этот результат мы получили ранее алгебраически [см. фор- мулу (22.8)]. Заметим, что колебание, возбуждаемое внутренней половиной первой зоны Френеля, изобразит- ся вектором ОВ (рис. 64,г). Таким образом, половина действия первой зоны Френеля не эквивалентна действию половины зоны. Вектор ОВ в ]/2 раз больше векто- ра ОС. Поэтому, переходя к интенсивностям, можно ска- зать, что интенсивность света, создаваемая половиной 113
первой зоны Френеля, в два раза превышает интенсив- ность, создаваемую всей волновой поверхностью. Колебания от четных и нечетных зон Френеля нахо- дятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослаб- ляют друг друга. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая .перекрывала бы все четные или все нечетные зоны, то амплитуда колебания в точке Р резко возрастает. Такая пластинка называется зонной. На рис. 65 изображена зонная пластинка, перекрывающая четные зоны. Зонная пластинка во много раз увеличивает интенсив- ность света в точке Р, действуя по- добно собирательной линзе. Еще большего эффекта можно достиг- нуть, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на л. Это можно осуще- ствить с помощью прозрачной пла- стинки, толщина которой в местах, соответствующих четным и нечет- mu. ио. ным 30нам, отличается на надлежа- щим образом подобранную вели- чину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с обычной (или амплитуд- ной) зонной пластинкой фазовая дает дополнительное увеличение. амплитуды в два раза, а интенсивности све- та — в четыре раза. § 23. Дифракция Френеля от простейших преград Рассмотренные в предыдущем параграфе методы ал- гебраического и графического сложения амплитуд поз- воляют решить простейшие задачи на дифракцию света. Дифракция от круглого отверстия. Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса Го. Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущен- ный из источника света S, попал в центр отверстия (рис. 66, а). На продолжении этого перпендикуляра возь- мем точку Р. При радиусе отверстия г0> значительно меньшем, чем указанные на рис. 66 длины а и Ь, а можно считать равной расстоянию от источника 5 до преграды, a b — расстоянию от преграды до точки Р, Если 114
расстояния а и Ь удовлетворяют условию [см. (22.5)] r^V ~^ьт^ где т — целое число, то отверстие оставит открытыми ровно т первых зон Френеля, построенных для точки Р. Рис. 66. Разрешив (23.1) относительно т, получим число откры- тых зон Френеля: т=т-(4+4)- (м-2) В соответствии с (22.6) амплитуда колебания в точ- ке Р будет равна: А = А,-Л2 + Л3-Л4+ ... ±Ат. (23.3) В этом выражении амплитуда Ат берется со знаком плюс, если т нечетное, и со знаком минус, если т четное. Формулу (23.3) можно записать следующим образом: ^-1+(4-л+4-)+- I - Ат_, + + (т нечетное), I _ Лт_2 + Ад- ) + _ Ат (т четное). Как было установлено в предыдущем параграфе, вы- ражения, заключенные в круглые скобки, можно поло- жить равными нулю. Амплитуды от двух соседних зон 115
мало отличаются по величине. Поэтому Ат^/2— Ат мо- жно заменить через —Ат/2. В результате получится: И =4-±4^’ <23-4> где опять-таки знак плюс берется для нечетных т и ми- нус— для четных. При малых т величина Ат мало отличается от At. Следовательно, при нечетных т амплитуда в точке Р будет приближенно равна А1г при четных т — нулю. Этот результат легко получить с помощью векторной диаграммы, изображенной на рис. 63. Если убрать пре- граду, амплитуда в точке Р станет равной AJ2 [см. (22.8)]. Таким образом, преграда с отверстием, откры- вающим небольшое нечетное число зон, не только не ослабляет свет в точке Р, но, напротив, приводит к уве- личению амплитуды почти в два раза, а интенсивности — почти в четыре раза. Заметим, что при неограниченном увеличении разме- ров отверстия Ат будет стремиться к нулю и (23.4) пе- рейдет в (22.8). Поместим в точку Р плоский экран, параллельный преграде с отверстием (см. рис. 66). Выясним характер дифракционной картины, которая будет наблюдаться на этом экране. Вследствие симметрии преграды относи- тельно прямой SP интенсивность света (т. е. освещен- ность) в разных точках экрана будет зависеть только от расстояния г от центра дифракционной картины, по- мещающегося в точке Р. В самой этой точке интенсив- ность будет достигать максимума или минимума в зави- симости от того, каким — четным или нечетным — будет число открытых зон Френеля. Пусть, например, это число равно трем. Тогда в центре дифракционной картины по- лучится максимум интенсивности. Картина зон Френеля для точки Р дана на рис. 67, а. Теперь сместимся по экрану из точки Р в точку Р'. Прямая SP' уже не будет осью симметрии преграды. Ограниченная краями отвер- стия картина зон Френеля для точки Р' имеет вид, по- казанный на рис. 67,6. Края отверстия закроют часть третьей зоны, одновременно частично откроется четвер- тая зона. В итоге интенсивность света уменьшится и при некотором положении точки Р' станет равной нулю. Если сместиться по экрану в точку Р", края отверстия частично 116
закроют не только третью, но и вторую зону Френеля, одновременно откроется частично и пятая зона (рис. 67, в). В итоге действие открытых участков нечетных зон пере- весит действие открытых участков четных зон и интен- Р11С. 67. сивность достигнет максимума, правда, более слабого, чем максимум, наблюдающийся в точке Р. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия представляет собой чередование светлых и тем- ных концентрических колец. В центре картины будет либо Рис. 68. светлое (т нечетное), либо темное (т четное) пятно (рис. 68). Ход интенсивности / с расстоянием г от центра дифракционной картины изображен на рис. 66,6 (для нечетного т) и на рис. 66, в (для четного т). При пере- мещении экрана параллельно самому себе вдоль пря- мой SP картины, изображенные на рис. 68, будут сме- нять друг друга [согласно (23.2) при изменении b зна- чение т становится то нечетным, то четным]. 117
Если отверстие открывает не более одной зоны Фре- неля, на экране получается размытое светлое пятно; че- редование светлых и темных колец в этом случае не воз- никает. Если отверстие открывает большое число зон, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в очень узкой области на границе геометрической тени; внутри этой области освещенность оказывается практи- чески постоянной. Дифракция от круглого диска. Поместим между то- чечным источником света S и точкой наблюдения Р не- прозрачный круглый диск радиуса г0 (рис. 69, а) так, Рис. 69. чтобы он закрывал т первых зон Френеля [т можно найти по формуле (23.2)]. Тогда амплитуда световой волны в точке Р будет равна Л — -^т+1 Д'т+2 Т" А/п+З . . . — _ Ат+1 । (Ат+1 . д , Ат+з \ ( ~ 2 М 2 Л^+2 + ~2~) + • •' Так как выражения, стоящие в скобках, можно поло- жить равными нулю, получаем Л==^2~’ (23.5) Выясним характер дифракционной картины, получаю- щейся на экране, расположенном в точке Р перпендику- лярно к линии'’ SP. Очевидно, что интенсивность света может зависеть только от расстояния г от центра кар- тины Р. При небольшом числе закрытых зон Лт+1 мало отличается от At. Поэтому в точке Р интенсивность бу- 118
дет почти такая же, как при отсутствии преграды между S и Р [см. (22.8)]. Для точки Р', смещенной относи- тельно точки Р в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать часть (т + 1)-й зоны Френеля, одно- временно откроется часть m-й зоны. Это приведет к ослаб- лению интенсивности. При некотором положении точки Р' интенсивность станет равной нулю. Если сместиться из центра дифракционной картины еще дальше, диск пе- рекроет дополнительно часть (т + 2)-й зоны, одновре- менно откроется часть (т—1)-й зоны. В результате ин- тенсивность возрастет и в точ- ке Р" достигнет максимума. Таким образом, в случае непрозрачного круглого диска дифракционная картина имеет вид чередующихся концентри- ческих светлых и темных ко- лец. В центре картины при лю- бом (как четном, так и нечет- ном) т получается светлое пятно (рис. 70). Зависимость интенсивности света I от рас- стояния г от центра карти- Рис. 70. вы изображена на рис. 69, б. Если непрозрачный диск закрывает много зон Фре- неля, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в узкой области на границе геометрической тени. В-этом случае Am+l Aj и величина (23.5) очень мала, так что интенсивность света в области геометрической тени практически всюду равна нулю. Если диск закры- вает лишь небольшую часть первой зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени — освещенность экрана всю- ду остается такой же, как при отсутствии преград. Светлое пятнышко в центре тени, отбрасываемой ди- ском, послужило причиной инцидента, происшедшего ме- жду Пуассоном и Френелем. Парижская Академия наук предложила дифракцию света в качестве темы на пре- мию за 1818 г. Устроители конкурса были сторонниками корпускулярной теории света и рассчитывали, что кон- курсные работы принесут окончательную победу их тео- рии. Однако на конкурс была представлена Френелем работа, в которой все известные к тому времени опти- ческие явления объяснялись с волновой точки зрения. 119
Рассматривая работу Френеля, Пуассон, бывший членом конкурсной комиссии, обратил внимание на то, что из теории Френеля вытекает «нелепый» вывод: в центре тени, отбрасываемой небольшим круглым диском, долж- но находиться светлое пятно. Араго тут же произвел опыт и оказалось, что такое пятно действительно есть. Это принесло победу и всеобщее признание волновой теории света. Дифракция от прямолинейного края полуплоскости. Поместим на пути световой волны (которую мы для про- стоты будем считать плоской) непрозрачную полупло- скость с прямолинейным краем (рис. 71). Расположим Лолуплоснооть 3'2'1' О 123 Волновая Рис. 71. эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. За полуплоскостью поставим на расстоянии Ь параллельный ей экран, на котором возь- мем точку Р. Разобьем открытую часть волновой поверх- ности на зоны, имеющие вид очень узких прямолиней- ных полосок, параллельных краю полуплоскости. Ши- рину зон выберем так, чтобы отсчитанные в плоскости рисунка расстояния от точки Р до краев любой зоны отличались на одинаковую величину А. При этом усло- вии колебания, создаваемые в точке Р соседними зона- ми, будут отличаться по фазе на постоянную величину. Зонам, расположенным справа от точки Р, припишем номера I, 2, 3 и т. д., расположенным слева — номера Г, 2', 3' и т.. д. («штрихованные» и «нештрихованные» зоны). Зоны с номерами тит' имеют одинаковую ши- рину и расположены относительно точки Р симметрично. Поэтому создаваемые ими в Р колебания совпадают по амплитуде и фазе. Для выяснения зависимости ампли- 120
туды от номера зоны т оценим площади зон. Из рис. 72 видно, что ширина первой зоны равна di = V(b + А)2 - b2 = ]/2ЬА + А2 « У 26А (вследствие узости зон А <С Ь). Суммарная ширина первых т зон di + d2 + ... + dm = У(Ь + mA)2 — b2 = У 2b mA + m2A2. При не очень больших т членом т2Д2 под корнем можно пренебречь. Тогда di + d2 + ... + dm = У2ЬтА = dt Ут. Отсюда же. Величина то dm = di (Ут - Ут - 1). Расчет по этой формуле дает, что di: d2: d3: d4: ... = 1:0,41: 0,32: 0,27 : ... (23.6) В таких же соотношениях находятся и площади зон. Следовательно, амплитуда колебаний, создаваемых в точке Р отдельными зонами, вначале (для первых зон) убывает очень быстро; затем это убывание становится медленным. По этой причине ломаная линия, получающаяся при графическом сложении колебаний, возбуждае- мых прямолинейными зонами, идет сначала более полого, чем в случае кольцевых зон (площа- ди которых при аналогичном по- строении примерно равны). На рис. 73 сопоставлены обе вектор- ные диаграммы. В обоих слу- чаях отставание по фазе каждого следующего колебания взято одно и амплитуды для кольцевых зон (рис. 73, о) принята по- стоянной, а для прямолинейных зон (рис. 73,6)—убы- вающей в соответствии с пропорцией (23.6). Графики па рис. 73 являются приближенными. При точном построе- нии графиков необходимо учитывать зависимость ам- плитуды от г и <р [см. (21.1)]. Однако на общем харак- тере кривых это не отразится. 121
На рис. 73,6 показаны только колебания, вызванные зонами, лежащими справа от точки Р. Зоны с номе- рами тит' расположены симметрично относительно точки Р. Поэтому естественно при построении диаграммы Рис. 73. векторы, изображающие соответствующие этим зонам колебания, располагать симметрично относительно на- чала координат О (рис. 74). Если ширину зон устремить к нулю, ломаная линия, изображенная иа рис. 74, пре- вратится в плавную кривую (рис. 75), которая называется спиралью Корню. Уравнение спирали Корню может быть найдено теоретически. В параметрической оно имеет вид: имеются таблицы, форме (23.7) назы- V , Г ла2 j £ « cos -77- du, ’ J 2 о и Г . ли2 , t]= sin—g— du. о Выражения (23.7) ваются интегралами Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, по которым можно находить однако значения интегралов для разных v. Чтобы понять смысл параметра v, сопоставим беско- нечно узкую зону и возбуждаемое этой зоной в точке Р колебание dA. Вектор dA совпадает с участком спирали, отвечающим определенному значению параметра v. Это 122
значение v связано с расстоянием х' от точки Р до про- екции на экран данной бесконечно узкой зоны соотно- шением: _________________________ WW <2М> (а — расстояние от источника света до полуплоскости, b — расстояние от полуплоскости до экрана, Z— длина В рассматриваемом нами случае плоской волны а = оо и 2 (23.9) Числа, отмеченные вдоль кривой на рис. 75, дают зна- чения V. Точки Fi и F2, к которым асимптотически при- ближается кривая при стремлении v к + оо и —оо, на- зываются фокусами или полюсами спирали. Их 123
координаты равны: £=+4» П = + у для точки Л» f 1 1 г £ = - у, г\ = - — для точки F2. Правый завиток спирали (участок OFi) соответствует зонам, расположенным справа от точки Р, левый завиток (участок F2O) — зонам, расположенным слева от точки Р. С помощью спирали Корню можно найти амплитуду светового колебания для точек, находящихся на любом расстоянии х1) от края геометрической тени (см. рис. 71). Для точки Р, лежащей на границе геометрической тени, все штрихованные зоны будут закрыты. Колебаниям от нештрихованных зон соответствует правый завиток спи- рали. Следовательно, результирующее колебание изо- бразится вектором, начало которого находится в точке О, ') Легко сообразить, что координата х и взятая для края полу- плоскости величива х', фигурирующая в формуле (23.9), отличаются только знаком. 124
конец — в точке F{ (рис. 76,а). При смещении точки Р в область геометрической тени полуплоскость станет за- крывать все большее число нештрихованных зон. По- этому начало результирующего вектора будет переме- щаться по правому завитку, приближаясь к полюсу F\ (рис. 76,6).. В результате амплитуда колебания в точке Р будет монотонно стремиться к нулю. Если точка Р смещается от границы геометрической тени вправо, в дополнение к нештрихованным зонам от- крывается все возрастающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении к полюсу Г2. В результате амплитуда проходит через ряд максимумов (первый из них равен длине отрезка МРг на рис. 76, в) и минимумов (первый из них равен длине отрезка NFi на рис. 76,г). При полностью открытой волновой поверх- ности амплитуда равна длине отрезка Е2Е] (рис. 76,6), т. е. ровно в два раза превышает амплитуду на границе геометрической тени (см. рис. 76,а). Соответственно ин- тенсивность на границе геометрической тени составляет ’/« интенсивности /0, получающейся на экране в отсут- ствие преград. Зависимость интенсивности света / от расстояния х дана на рис. 77. Из графика видно, что при Рис. 77. переходе в область геометрической тени интенсивность изменяется не скачком, а постепенно стремится к нулю. Справа от границы геометрической тени расположен ряд чередующихся максимумов и минимумов интенсивности. Максимумы получаются при значениях параметра v (для точек, совпадающих с началом результирующего 125
вектора), равных —1,22; —2,34; —3,08; —3,69 и т. д. По- ложив b — 1 м, ?. = 0,5 мк, можно, подставив в фор- мулу (23.9) приведенные значения v, получить для ко- ординат максимумов (см. рис. 77) следующие величины; Рис. 78. *1 = 0,61 мм; х2 = 1,17 мм; х3 = 1,54 мм-, — 1,85 мм-,.,. Таким образом, максимумы располагаются довольно гу- сто. При меньших расстояниях В максимумы распола- гаются еще гуще. С помощью спирали Корню можно также найти относительную величину интенсивности в максимумах и минимумах. Для первого максимума полу- чается значение 1,37 /о, для первого минимума 0,78/о. Фотография дифракцион- ной картины от края полупло- скости дана на рис. 78. Дифракция от щели. Бес- конечно длинную щель обра- зуют две обращенные в раз- ные стороны полуплоскости, Волновая поверхность -1—1—L р" р' р рис уд расстояние между краями ко- торых равно ширине щели. По- этому ясно, что задача о дифракции Френеля от щели может быть решена с помощью спирали Корню. Волно- вую поверхность падающего света, плоскость щели и экран, на котором наблюдается Дифракционная картина, будем считать параллельными друг другу (рис. 79). Для точки Р, лежащей точно против середины щели, начало и конец вектора амплитуды оказываются в сим- 126
метричных относительно начала координат точках спи- рали (рис. 80). Если сместиться в точку Р', лежащую против края щели, начало результирующего вектора пе- реместится в середину спирали О. Конец вектора пере- местится по спирали в направлении полюса F\. При углублении в область гео- метрической тени конец и начало вектора амплитуды будут скользить по спирали и в конце концов окажутся в ближайших точках сосед- них витков кривой (см. на рис. 80 вектор, соответствую- щий точке Р"). Интенсив- ность света при этом прак- тически станет равной нулю. При дальнейшем скольже- нии по спирали начало и ко- рис 80. нец вектора снова отойдут друг от друга и интенсивность будет расти. То же самое будет происходить при смещении из точки Р в противо- положную сторону; так как дифракционная картина дол- жна быть симметричной относительно середины щели. Если менять ширину щели, сдвигая полуплоскости в противоположные стороны, интенсивность в средней точке Р будет пульсировать, попеременно проходя через максимумы (рис. 81, о) и отличные от нуля минимумы (рис. 81, б). Итак, дифракционная картина от щели представляет собой либо светлую (в случае, изображенном на рис. 81, а), 127
либо относительно темную (в случае, изображенном на рис. 81,6) центральную полосу, по обе стороны которой располагаются симметричные относительно нее чередую- щиеся темные и светлые полосы. При большой ширине щели начало и конец вектора амплитуды лежат на внутренних витках спирали вблизи полюсов Fi и Fz- Поэтому интенсивность света вне обла- сти геометрической тени будет практически постоянна. Только на границах геометрической тени образуется си- стема густо расположенных узких темных и светлых полос. § 24. Дифракция Фраунгофера от щели Пусть на бесконечно длинную ’) щель падает плоская световая волна (рис. 82). Поместим за щелью собира- тельную линзу, а в фокальной плоскости линзы — экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны шири- ной dx. Вторичные волны, посылаемые зонами под уг- лом к оптической оси лиизы, соберутся в некоторой точке экрана Р. Каждая элементарная зона создаст в точке Р колебание dg [см. формулу (21.1)], кото рое можно изобразить с помощью вектора dA. Линза собирает в фокальной плоскости плоские (а не сферические) вол- ны. Поэтому, множитель 1/г в выражении для dg в случае *) Практически достаточно, чтобы длина щели была во много раз больше, чем ее ширина. 128
дифракции Фраунгофера будет отсутствовать. Ограни- чившись рассмотрением не слишком больших углов ф, можно коэффициент К в формуле (21.1) считать при- близительно постоянным. Тогда амплитуда колебания, посылаемого зоной в любую точку экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны dx. Следовательно, амплитуда dA колеба- ния dg, возбуждаемого зоной ширины dx в любой точке экрана, может быть представлена в виде: dA = С dx, где С — коэффициент пропорциональности, не зависящий от угла <р. Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колеба- ний, посылаемых в некоторую точку экрана всеми зо- нами, через Ло. Ее можно найти, проинтегрировав dA по всей ширине щели Ь\ ь Ло = J dA = J С dx — Cb. о Отсюда С = Ао/Ь и, следовательно, dA =-^r-dx. и Теперь определим фазовые соотношения между от- дельными колебаниями dg. Сопоставим фазы колебаний, создаваемых в точке Р элементарными зонами с коор- динатами 0 и х (рис. 82). Оптические пути ОР и QP таутохронны. Поэтому разность фаз между рассматри- ваемыми колебаниями образуется на пути Л, равном хsin ф. Если фазу колебания, создаваемого элементар- ной зоной, примыкающей к левому краю щели (х = 0), положить равной od, то фаза колебания, создаваемого зоной с координатой х, будет равна , п Л , 2л CJI — 2я-г- = <Й1-г- X Sin ф, Л Л где Л — длина волны в данной среде. Таким образом, колебание, создаваемое элементар- ной зоной с координатой х в точке Р, положение которой 5 И. В. Савельев, т. П1 129
на экране определяется углом ср (рис. 82), может быть представлено следующим образом: d£ = -у- cos (со/ —у- х sin dx. Результирующее колебание, создаваемое в точке Р всем открытым участком волновой поверхности, найдем, проинтегрировав dg по ширине щели; ь <- f Л> / . 2л \ , § = -у- cos Icat-------х sin ср I dx = о До ( Л \ Г • I t \ = -7— — : Sin СйГ--------5- Ь Sill ф I — Sin®/ = b \ 2л sin <р / L \ Л J Г . sin [(л/Л.) b sin <р] 1 ( . л , . \ ') L и (л/Я) b sin q> J \ Л ч / Модуль выражения, стоящего в квадратных скобках, дает амплитуду Л<р результирующего колебания в точ- ке Р (положение которой определяется углом ср): А (241) V I и (л/Л) b sin q> I ' Для точки, лежащей против центра линзы, ср = 0. Подстановка этого значения в формулу (24.1) дает Дч> = До* 2)- Этот результат можно получить более про- стым путем. При <р = 0 колебания от всех элементарных зон приходят в точку Р в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраи- ческой сумме амплитуд складываемых колебаний. При значениях ср, удовлетворяющих условию: (л/?.)6 sin ср = ±ka, т. е. в случае, если b sin <р = ± kK (k = 1, 2, 3, ...), (24.2) амплитуда Д<р обращается в нуль. Таким образом, усло- вие (24.2) определяет положение минимумов интенсив- ности. ]) Мы воспользовались формулой: • о „ . а —р а + р sin а — sin р = 2 sin —g2— cos —у-. 2) Напомним, что lim(sinu/u) =1 (при малых и можно пола- гать sin и « и).
Условие (24.2) легко получить из следующих сооб- ражений. Если разность хода Л от краев щели равна ±kK, открытую часть волновой поверхности можно раз- бить на 2k равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна Z/2 (см. рис. 83, вы- полненный для k = 2). Колебания, посылаемые в точку наблюдения Р соответствен- ными участками двух со- седних зон (например, по- меченными крестиками уча- стками зон 1 и 2), находятся в противофазе. Поэтому ко- лебания от каждой пары соседних зон взаимно пога- шают друг друга и резуль- тирующая амплитуда в точ- Рис. 8ь. ке Р равна нулю. При Л = = ± (k + 72) Л число зон будет нечетным, действие од- ной из них окажется не компенсированным, так что бу- дет наблюдаться максимум интенсивности. Интенсивность света пропорциональна квадрату ам- плитуды. Следовательно, / _ / sin2 [(лА) 6 s*n Ч>1 ч ° [(л/Х)6 sin <р]2 ’ (24.3) где 10 — интенсивность света в середине дифракционной картины (против центра линзы), /ф — интенсивность в точке, положение которой определяется данным зна- чением <р. Из формулы (24.3) вытекает, что /_<Р = 7<р. Это озна- чает, что дифракционная картина симметрична относи- тельно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси х на рис. 82) дифрак- ционная картина, наблюдаемая на экране, остается не- подвижной (ее середина лежит против центра линзы). Напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране. График функции (24.3) изображен на рис. 84. По оси абсцисс отложены значения sin дэ, по оси ординат — ин- тенсивность 7<f. Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели b и длины 5* 131
волны X. Из условия (24.2) sirup = ±kK/b. Модуль sin <р не может превзойти единицу. Поэтому ki^b 1, откуда k <4-- (24.4) Л При ширине щели, мепыней длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно спадает от середины картины к ее краям. Значения угла <р, отвечающие краям центрального максимума, удовлетворяют условию [см. (24.2)]: b sin ср= = ±1, откуда <р = ±arcsin (1/6). Следовательно, угло- вая ширина центрального максимума равна б<р = 2 arcsin -у-. (24.5) В случае, если b 1, sin (1/6) можно положить рав- ным 1/6. Тогда формула для угловой ширины централь- ного максимума упрощается следующим образом: 6<р = ^-. (24.6) Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на одинаковые по ширине очень узкие зоны. Колебание ДА от каждой такой зоны имеет одинаковую амплитуду и отстает от предыдущего колебания по фазе на одну и ту же вели- 132
чину б, зависящую от угла <р, определяющего направле- ние на точку наблюдения Р. При <р = 0 разность фаз 6 равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показан- ный на рис. 85, а. Амплитуда результирующего колеба- ния Ао равна алгебраической сумме амплитуд склады- ваемых колебаний. Если разность фаз колебаний, соот- ветствующих краям ще- ли, равна л (т. е. Д — = b sin <р = Х/2), векто- ры ДА располагаются вдоль полуокружности (рис. 85,6) длиной Ао. Следовательно, для ре- зультирующей амплитуды получается значение: А = = 2/1 о/л. В случае, когда Д = b sin <р = X, колебания от краев щели отличаются по фазе на 2л. Соответ- Рис. 85. ствующая векторная диа- грамма изображена на рис. 85, в. Векторы ДА располагаются вдоль окружности длиной А о- Результирующая ампли- туда равна нулю — имеет место первый минимум. Первый максимум наблю- дается при Д = b sin ф = = 3/./2. В этом случае ко- лебания от краев щели от- личаются по фазе на Зл. Строя последовательно векторы ДА, мы обойдем полтора раза окружность диаметра Ai = 2А0/Зл (рис. 85,г).Таким образом, амплитуда At первого максимума составляет 2/Зл от амплитуды Ао нулевого максимума, а интенсив- ность Л =(2/Зл)270 ~0,045/о. Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. В итоге получаются следующие соотношения: ’ - I - I - I - 1 Ш2 • f-L? • Ш2 • О • /1 . . /3 • ... ~ I • ( Зл ) • ( 5л ) • ( 7л ) • • • • - = 1: 0,045:0,016:0,008: ... (24.7) 133
Таким образом, центральный максимум значительно пре- восходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная доля светового потока, про- шедшего через щель. Если ширина щели b значи- тельно меньше расстояния I от щели до экрана (рис. 86), дифракция Фраунгофера бу- дет иметь место и в отсутст- вие линзы между щелью и эк- раном (падающая на щель волна должна быть плоской). В этом случае лучи, идущие в точку Р ют краев щели, бу- дут практически параллельны- ми, так что все полученные нами выше результаты остаются справедливыми. В ча- стности, будут справедливыми формулы (24.5) и (24.6) для ширины центрального максимума и соотношение (24.7) между интенсивностями. § 25. Дифракционная решетка Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга rz7 - '/Strip Рис. 87. на одно и то же расстояние щелей (рис. 87). Расстоя- ние d между серединами соседних щелей называется постоянной или периодом решетки. Расположим параллельно решетке собирательную линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран. 134
Выясним характер дифракционной картины, получаю- щейся на экране при падении на решетку плоской све- товой волны (для простоты будем считать волновые по- верхности параллельными плоскости решетки). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую графи- ком, изображенным на рис. 84. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точ- ку Р от различных щелей, были некогерентными, резуль- тирующая картина от N щелей отличалась бы от кар- тины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все ин- тенсивности возросли бы в N раз. Однако колебания от различных щелей являются когерентными; поэтому для нахождения результирующей интенсивности нужно найти фазовые соотношения между этими колебаниями. Разобьем открываемую щелями часть волновой по- верхности на очень узкие параллельные щелям зоны. Вектор амплитуды колебания, создаваемого в точке Р, экрана i-й зоной, обозначим АА{. Тогда вектор ампли- туды результирующего колебания можно представить следующим образом: А = 2 AAj = 2 АА^ + 2 AAj + . .. + 2 AAj = по веем по 1-й по по TV-й щелям щели щели щели = Ai + A2+ ... 4- An, где Ai—вектор амплитуды колебания, создаваемого в точке Р i-й щелью.. Модули всех этих векторов одина- ковы и зависят от угла <р [ем. формулу (24.1)]. Каждый следующий вектор' повернут относительно предыдущего на один и тот же угол*, равный разности фаз 6 колеба- ний, возбуждаемых соседними щелями. Для направлений, удовлетворяющих условию: sin <р = ±(/?=1, 2, 3, ...), (25.1) все А,- равны нулю [см. формулу (24.2)]. Поэтому и ам- плитуда результирующего колебания в соответствующей точке экрана будет равна нулю. Таким образом, усло- вие (25.1) минимума для одной щели является также условием минимума для решетки. 135
Из рис. 87 видно, что разность хода лучей от сосед- них щелей равна Л = d sin ф. Следовательно, разность фаз . о Д 2л , . о = 2л -г- = и sin m, Л Л * где Л — длина волны в данной среде. Для тех направлений, для которых 6 = ±2лт, т. е. е/8Шф=±тЛ (m = 0, 1, 2, ...), (25.2) колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответ- ствующей точке экрана равна Ллах-Ч (25.3) где Ац, — амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом ф. Формула (25.2) определяет положения максимумов интенсивности, называемых главными. Число т дает так называемый порядок главного максимума. Мак- симум нулевого порядка только один, максимумов пер- вого, второго и т. д. порядков бывает по два. Возведя (25.3) в квадрат, получим, что интенсивность главных максимумов /тах пропорциональна интенсивно- сти 7q>, создаваемой в направлении ф одной щелью: /тах = Л%. (25.4) Кроме минимумов, определяемых условием (25.1), в промежутках между соседними главными максимумами имеется по (N — 1)-му добавочному минимуму. Эти ми- нимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направления добавочных минимумов определяют- ся условием: rfsin<p= ± Л-Л N (25.5) (// = 1, 2, .... N-l, W+l, ..., 2.V-1, 2Л/+1, .. .) [k' принимает все целочисленные значения, кроме О, N, 2N, ..., т. е. кроме тех, при которых условие (25.5) пе- реходит в (25.2)]. Докажем справедливость этого условия на примерах N = 5 (N нечетное) и N = 6 (N четное). Если N = 5, 136
определяемая (25.5) разность фаз для соседних щелей равна b = ^-k' (k' = 1, 2, 3, 4, 6, 7, ...). На рис. 88 показано взаимное расположение векто- ров амплитуды колебаний от всех пяти щелей, получаю- щееся при различных k' (начала векторов совмещены Рис. 88. в одной точке). Очевидно, что во всех изображенных на рисунке случаях сумма векторов равна нулю (если на- чало каждого следующего вектора поместить в конец предыдущего, они образуют замкнутую фигуру — пяти- угольник). Векторная диаграмма для N = 6 приведена Рис. 89. на рис. 89. Сумма векторов в этом случае, как легко ви- деть, также равна нулю. Аналогичный результат полу- чается при любом числе щелей N. Между дополнительными минимумами располагают- ся слабые вторичные максимумы. Число таких макси- мумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно N — 2. Соответствующий расчет дает, что интенсивность вторичных максимумов не превышает V23 интенсивности ближайшего главного мак- симума. 137
Таким образом, дифракционная картина, получаю- щаяся от решетки, имеет вид, показанный на рис. 90 (ри- сунок выполнен для N — 4 и d/b = 3). Пунктирная кри- вая, проходящая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на N2 [см. формулу (25.4)]. При взятом на рисунке от- ношении периода решетки к ширине щели (d/b = 3) глав- ные максимумы 3-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Вообще из фор- мул ,(25.1) и (25.2) вытекает, что главный максимум m-го порядка придется на k-и минимум от одной щели, если будет выполнено равенство: m/d = k/b, или m/k = = d/b. Это возможно, если d/b равно отношению двух целых чисел г и s (практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный мак- симум r-го порядка наложится на s-й минимум от одной щели, максимум 2г-го порядка — на 2s-fl минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков г, 2г, Зг и т. д. будут отсутствовать. Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки d к длине волны X. Модуль sin tp не может превысить единицу. По- этому из (25.2) вытекает, что (25.6) Найдем угловую ширину центрального (нулевого) максимума. Положение примыкающих к нему дополни- 133
тельных минимумов определяется условием [см. (25.5)]: dsin<p=±X/Ar (рис. 90). Следовательно, этим миниму- мам соответствуют значения ф = ±arcsin(К/Nd), откуда угловая ширина максимума бф0 = 2 arcsin ~ (25.7) Nd Nd v ' (при больших N величина 'kfNd значительно меньше еди- ницы). Положение дополнительных минимумов, примыкаю- щих к главному максимуму m-го порядка, определяется условием: d sin ф = (m ± l/N)}.. Отсюда для угловой ширины т-го максимума получается выражение: Я • ( I i \ X • ( 1 \ X /ПС о\ оф.„ = arcsin I т + -^-1 — arcsin \т — -^-1 . (25.8) Обозначив m'Kld = х, a 7.!Nd = Nx, формулу (25.8) можно записать следующим образом: 6фт = arcsin (х + Дх) — arcsin (х — Дх). (25.9) При большом числе щелей Дх = K/Nd будет очень мало. Поэтому можно положить arcsin (х ± Дх) ~ ~ arcsin х ± (arcsin х)'Дх. Подстановка этих значений в формулу (25.9) дает для бфт приближенное значение: бфт ~ 2 (arcsin х)' Дх = Л2Ах = -- . (25.10) /1-х2 У1 - m2 (X/d)2 Nd v ’ При m = 0 эта формула переходит в (25.7). Произведение Nd дает длину дифракционной решет- ки. Следовательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропорциональна длине решетки. С увеличе- нием порядка максимума т бфт возрастает. Положение главных максимумов зависит от длины волны X. Поэтому при пропускании через решетку бе- лого света все максимумы, кроме центрального, разло- жатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный — наружу. Та- ким образом, дифракционная решетка может быть ис- пользована как спектральный прибор. Заметим, что в то время как стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи. На рис. 91 показаны 139
схематически спектры разных порядков, даваемые ре- шеткой при пропускании через нее белого света. В центре лежит узкий максимум нулевого порядка; у него окра- шены только края [йфо зависит от X, см. формулу (25.7)], По обе стороны от центрального максимума расположе- ны два спектра 1-го порядка, затем два спектра 2-го по- рядка и т. д. Положения красного конца спектра т-го Рис. 91. порядка и фиолетового конца спектра (т + 1)-го по- рядка определяются соотношениями: sin <ркр = т , sin <рфиол = (ш + где d нужно брать в микронах. При условии, что 0,76m > 0,40 (m + 1), спектры т-го и (т + 1)-го порядков частично перекры- ваются. Из неравенства получается т > '%- Следова- тельно, частичное перекрывание начинается со спектров 2-го и 3-го порядков (см. рис. 91, на котором для нагляд- ности спектры разных порядков смещены друг относи- тельно друга по вертикали). Основными характеристиками любого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное рас- стояние между двумя спектральными линиями, отличаю- щимися по длине волны на 1 А. Разрешающая сила опре- деляет минимальную разность длин волн б/., при которой две линии воспринимаются на спектре раздельно. Угловой дисперсией называется величина: где бф— угловое расстояние между спектральными ли- ниями, отличающимися по длине волны на б/.. Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной ре- шетки, продифференцируем условие (25.2) главного 140
максимума слева по ф, а справа по к. Опуская знак ми- нус, получим: d cos ф б<р = т йк, откуда £> = 4?-=. (25.12) ОЛ a cos ф ' В пределах небольших углов cos ф - 1 и D~-J. (25.13) Из полученного выражения следует, что угловая дис- персия обратно пропорциональна периоду решетки d. Чем выше порядок спект- ра, тем больше диспер- сия. Линейной дис- персией называют личину: Ь'лпн > где б/ — линейное стояние на экране на фотопластинке между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на бл. Из рис. 92 видно, что при небольших ф имеем б/ « ~ /'бф, где f'— фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Следовательно, линей- ная дисперсия может быть выражена через угловую дис- персию D: Dma = rD. Для дифракционной решетки (при небольших ф) (25.14) Возможность разрешения (т. е. раздельного вос- приятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектраль- ного максимума. На рис. 93 показана результирующая 141
интенсивность (сплошные кривые), наблюдающаяся при наложении двух близких максимумов (пунктирные кри- вые). В случае а оба максимума воспринимаются как один. В случае б между максимумами лежит мини- мум. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, спек- тральные липни считаются полностью разрешенными, zz; б) Рис. 93. значении 6А. Разрешающей прибора называют безразмерную величину если середина одного максимума совпадает с краем другого (рис. 93, б). В этом случае ми- нимум между линиями составляет около 80% от максимумов. Такое взаимное расположение максимумов получает- ся при определенном (для данного прибора) силой спектрального л ёА * R = (25.15) Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положение середины tn-го максимума для длины вол- ны Ai определяется условием: d sin чРшах = mhy. Края m-vo максимума для длины волны Аг расположены под углами, удовлетворяющими соотношению: d sin Q-n;iii == (m zh n j 7^2* Середина максимума для длины волны (А + 6А) нало- жится на край максимума для длины волны А в том слу- чае, если т (А + б А) = [т + А. откуда V - Л/ т = Решая это соотношение относительно А/бА, находим R = mN. (25.16) 142
Итак, разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра т и числу щелей N. На рис. 94 сопоставлены дифракционные картины, получающиеся для двух спектральных линий с помощью решеток, отличающихся значениями D и R. Решетки I и II обладают одинаковой разрешающей силой (у них одинаковое N), но различной дисперсией (у решетки I d в два раза больше, соответ- ственно дисперсия в два раза меньше, чем у решетки II). Решетки II и III имеют одинаковую дисперсию (у них одинаковые d), но раз- ную разрешающую силу (у решетки III число штрихов Af и разрешающая сила R в два раза меньше, чем у решетки II). Дифракционные решет- ки бывают прозрачные и от- ражательные. Прозрачные решетки изготавливаются из стеклянных или кварцевых Рис. 94. пластинок, на поверхность которых с помощью специальной машины наносится ал- мазным резцом ряд параллельных штрихов. Промежут- ки между штрихами служат щелями. Отражательные решетки наносятся алмазным резцом на поверхность металлического зеркала. Теория отража- тельной дифракционной решетки ничем не отличается от теории прозрачной решетки. Свет падает на отражатель- ную решетку наклонно. При этом решетка с периодом d действует, как при нормальном падении света действо- вала бы решетка с периодом d cos i, где i — угол паде- ния. Это позволяет наблюдать спектр при отражении света, например, от патефонной пластинки, имеющей всего несколько штрихов (канавок) на 1 мм, если рас- положить ее так, чтобы угол падения был близок к л/2. Роуланд изобрел вогнутую отражательную решетку, ко- торая сама (без линзы) фокусирует дифракционные спектры. Лучшие решетки имеют до 1200 штрихов на 1 мм (d 0,8 мк). Из формулы (25.6) следует, что спектры 143
2-го порядка в видимом свете при таком периоде уже не наблюдаются. Общее число штрихов у подобных реше- ток достигает 2-105 (длина порядка 200 мм}. По фор- муле (25.12) для периода d = 1 мк (104 А) в спектре 1-го порядка (т = 1) получается значение дисперсии, рав- ное 10*4 рад/А. При* фокусном расстоянии прибора }'=2м линейная дисперсия составляет 0,2 мм)А. Ширина види- мого спектра 1-го порядка достигает в этом случае более 700 мм. § 26. Дифракция рентгеновских лучей Пусть две за другой так -2,2 -Г, 2 о о 1 1 1 1 "2J дифракционные решетки поставлены одна , что их штрихи взаимно перпендикулярны. Тогда первая решетка — (ШТрИХИ КОТОрОЙ, СКЭ- [ } | жем, вертикальны) 0;1 1;1 2;1 даст в горизонтальном т 1 -2;О 7 -1;О 7 । 1;О 7 1 2;О ° направлении ряд мак- симумов, положения которых определяются условием: di sin epi = ± mi% (m, = 0, 1, 2, ...). (26.1) 7 I -£-/ । । -7,-7 1 1 0,-1 । 4'-7 । 1 1 ~2;~2 о—— । -1;-2 1 1 О;-2 1 1 7;-^ о 1 1 2;-2 Рис. 95. Вторая решетка (с горизонтальными штри- хами) разобьет каждый из образовавшихся таким об- разом пучков на расположенные по вертикали макси- мумы, положения которых определяются условием: d2sin<p2= ±m2X (m2 = 0, 1, 2, ...). (26.2) В итоге дифракционная картина будет иметь вид правильно расположенных пятен, каждому из которых соответствуют два целочисленных индекса т\ и т2 (рис. 95). Тот же результат получится, если вместо двух раз- дельных решеток взять одну прозрачную пластинку с на- несенными на нее двумя системами взаимно перпендику- лярных штрихов. Такая пластинка представляет собой двумерную периодическую структуру (обычная решет- ка— одномерную структуру). Измерив углы ср± и <p2, 144
определяющие положение максимумов, и зная длину полны %, можно найти по формулам (26.1) и (26.2) пе- риоды структуры di и Если направления, в которых структура периодична (например, направления, перпен- дикулярные к штрихам решеток), образуют угол а, от- личный от л/2, дифракционые максимумы расположатся не в вершинах прямоугольников (как на рис. 95), а в вершинах параллелограммов. В этом случае по дифрак- ционной картине можно определить не только периоды di и dz, но и угол а. Дифракционную картину, аналогичную изображенной на рис. 95, дают любые двумерные периодические струк- туры, например система небольших отверстий или си- стема непрозрачных маленьких шариков. Заметим, что для получения дифракционной картины нужно, чтобы период структуры d был больше X. В про- тивном случае условия (26.1) и (26.2) могут быть удов- летворены только при значениях пц и tnz, равных нулю (модуль sin <р не должен превосходить единицу). Дифракция наблюдается также иа трехмерных струк- турах, т. е. пространственных образованиях, обнаружи- вающих периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. Подобными структурами яв- ляются все кристаллические тела. Однако период их 10~4 мк) слишком мал для того, чтобы можно было наблюдать дифракцию в види- мом свете. Условие d > X вы- полняется в случае кристаллов лишь для рентгеновских лучей. Впервые дифракция рентгенов- ских лучей от кристаллов наб- людалась в 1913 г. в опыте Лауэ, Фридриха и Книппинга (Лауэ принадлежит идея, ос- тальным авторам — практиче- ское осуществление опытов). Найдем условия образова- ния дифракционных максиму- мов от трехмерной структуры. Проведем в направлениях, по которым свойства структуры обнаруживают перио- дичность, координатные оси х, у и z (рис. 96). Простран- ственную структуру можно представить как совокуп- ность параллельных линейных цепочек из структурных 145
элементов, расположенных вдоль одной из коорди- натных осей. Рассмотрим действие отдельной линейной цепочки, параллельной, например, оси х (рис. 97). Пусть на нее падает пучок параллельных лучей, образующих с осью х угол «о. Каждый структурный элемент является источником вторичных волн, распространяющихся во все стороны 1). Между сосед- ними источниками имеет- ся разность фаз бо = = 2лДс//., где До = = cos «о (di — период структуры вдоль оси х). Кроме того, между вто- ричными волнами, рас- пространяющимися в на- правлениях, образующих с осью х угол а (все та- кие направления лежат вдоль образующих конуса, осью которого служит ось х), возникает дополнительная разность хода Д — cos а. Колебания от соседних структурных элементов будут взаимно усиливаться для тех направлений, для которых (^(cosa — cosa0)= ± (m^O, 1, 2, ...). (26.3) Каждому значению mi соответствует свой конус на- правлений, вдоль которых получаются максимумы ин- тенсивности от одной отдельно взятой цепочки, парал- лельной оси х. Ось этого конуса совпадает с осью х. Условие максимума для цепочки, паралелльной оси у, имеет вид: d2 (cos р — cos р0) = ± т2Л (т2 = 0, 1, 2, ...), (26.4) где d2— период структуры в направлении оси у, Ро — угол между падающим пучком и осью у, р — угол, образуе- мый с осью у направлениями, вдоль которых получаются дифракционные максимумы. Каждому значению т2 со- ответствует конус направлений, ось которого совпадает с осью у. В .направлениях, удовлетворяющих одновременно ус- ловиям (26.3) и (26.4), колебания от различных парал- ’) Под действием рентгеновского излучения каждый атом кри- сталлической решетки становится источником сферических волн той же частоты, что и падающая волна. 146
дельных оси х (либо оси у) цепочек, лежащих в одной плоскости, перпендикулярной к оси z, взаимно усили- вают друг друга ’) и получаются более интенсивные максимумы. Указанные направления лежат вдоль линий пересечения конусов направлений, один из которых определяется условием (26.3), второй — условием (26.4). Наконец, для цепочки, параллельной оси z, направ- ления максимумов определяются условием: г/3 (cos у — cos уо) = ± m3X (ш3 = 0, 1, 2, ...), (26.5) где d3~— период структуры в направлении оси z, уо — угол между падающим пучком и осью z, у — угол, обра- зуемый с осью z направлениями, вдоль которых полу- чаются максимумы интенсивности. Как и в предыдущих случаях, каждому значению т3 соответствует конус на- правлений, осью которого является ось z. В направлениях, удовлетворяющих одновременно условиям (26.3), (26.4) и (26.5), колебания от всех па- раллельных оси х, либо оси у, либо оси z цепочек взаим- но усиливают друг друга* 2). Следовательно, именно в этих направлениях получаются дифракционные макси- мумы от пространственной структуры. Направления этих максимумов лежат на линиях пересечения трех конусов, оси которых параллельны координатным осям. Для удобства обозрения запишем все три условия еще раз вместе: dj (cos а — cosa0) = ± d2 (cos р — cos Pu) = ± т2К, clj (cos y — cos у0)= ± m3X (mf=0, 1, 2, ...). (26.6) Уравнения (26.6) носят название формул Лауз. Каждому определяемому этими уравнениями направле- нию (а, р, у) соответствуют три целочисленных индекса mi, т2 и т3. Наибольшее значение модуля разности ко- синусов равно 2. Следовательно, условия (26.6) могут быть выполнены при отличных от нуля значениях индек- сов т лишь в том случае, если 2. не превышает 2d. ') Иначе говоря, взаимно усиливают друг друга колебания от структурных элементов, лежащих в одной и той же плоскости, пер- пендикулярной к оси z, и, следовательно, образующих двумерную структуру. 2) Иначе говоря, взаимно усиливают друг друга колебания от всех элементов, образующих пространственную структуру. 147
Углы а, р и у не являются независимыми. В случае, например, прямоугольной системы координат они свя- заны соотношением: cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1. (26.7) Таким образом, при заданных ао, Ро, уо и X углы а, Р, у» определяющие направления максимумов, могут быть найдены путем решения системы из четырех урав- ний. Если число уравнений превышает число неизве- стных, система уравнений разрешима только при соб- людении определенных условий1)- В нашем случае си- стема оказывается разрешимой лишь для некоторых, вполне определенных длин волн (X можно рассматри- вать как четвертое неизвестное, значения которого, по- лучающиеся из решения системы, и дают те длины волн, для которых наблюдаются максимумы). Каждому такому значению % соответствует, вообще говоря, только один максимум. Однако может получиться и несколько сим- метрично расположенных максимумов. Если длина волны является фиксированной (моно- хроматическое излучение), систему уравнений можно сделать совместной, варьируя значения ао, Ро и у0, т. е. поворачивая пространственную структуру относительно направления падающего пучка. При рассмотрении дифракции от трехмерной струк- туры мы не касались вопроса о том, каким образом лучи, идущие от различных структурных элементов, сво- дятся в одну точку экрана. В случае дифракции, наблю- даемой в видимом свете, это, как мы знаём, достигается с помощью линзы, в фокальной плоскости которой рас- положен экран. Для рентгеновских лучей осуществить линзу нельзя, так как показатель преломления этих лу- чей во всех веществах практически равен единице. По- этому интерференция вторичных волн достигается путем использования весьма узких пучков лучей, которые и без линзы дают на экране (или фотопластинке) пятна очень малых размеров. Русский ученый Ю. В. Вульф и английские физики У. Г. и У. Л. Брэгги показали независимо друг от друга, что расчет дифракционной картины от кристаллической ') Только при соблюдении этих условий три конуса могут пере- сечься друг с другом по одной линии. 148
решетки можно провести также следующим простым способом. Проведем через узлы кристаллической решет- ки параллельные равноотстоящие плоскости (рис. 98). В дальнейшем мы будем называть их атомными слоями. Если падающая на кристалл волна плоская, огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в та- ком слое, также будет представлять собой плоскость. Таким образом, суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно пред- ставить в виде плоской волны, отразившейся от усеянной атомами поверх- ности по обычным зако- нам отражения. Плоские вторичные волны, отра- зившиеся от разных атом- ных слоев, когерентны и будут интерферировать между собой подобно вол- нам, посылаемым в дан- рнс 98 ном направлении различ- ными щелями дифракционной решетки. При этом, как и в случае решетки, вторичные волны будут практически погашать друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода между соседними волнами является кратной X. Из рис. 98 видно, что разность хода двух волн, отразившихся от соседних атомных слоев, равна 2d sin#, где d — период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, # — угол, дополнительный к углу падения и на- зываемый углом скольжения падающих лучей. Сле- довательно, направления, в которых получаются ди- фракционные максимумы, определяются условием: 2dsin#=±mZ, (m=l, 2,...). (26.8) Соотношение (26.8) называется формулой Вуль- фа — Брэгга. Атомные слои в кристалле можно провести множест- вом способов (рис. 99). Каждая система слоев может дать дифракционный максимум, если для нее окажется выполненным условие (26.8). Однако заметную интен- сивность имеют лишь те максимумы, которые полу- чаются за счет отражений от слоев, достаточно густо 149
// // // и /// /// /// Рис. 99. стной структурой, можно муле (26.8) длины волн. усеянных атомами (например, от слоев I и П на рис. 99). Заметим, что расчет по формулам Лауэ и расчет по формуле Вульфа — Брэгга приводят к совпадающим ре- зультатам. Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов нахо- дит два основных применения. Она используется для исследования спектрально- го состава рентгеновского излучения (рентгенов- ская спектроскопия) и для изучения структуры кристаллов (рентгеност- руктурный анализ). Определяя направления максимумов, получающих- ся при дифракции исследуе- мого рентгеновского излуче- ния от кристаллов с изве- вычислить, например, по фор- Первоначалыю для определе- ния длин волн были использованы кристаллы кубической системы, причем межплоскостные расстояния определя- лись из плотности и молекулярного веса кристалла. В методе структурного анализа, предложенном Лауэ, пучок рентгеновского излучения со сплошным спектром направляется на неподвижный монокристалл. Для каж- дой системы слоев, достаточно густо усеянных атомами, находится в излучении длина волны, при которой вы- полняется условие (26.8). Поэтому на поставленной за кристаллом фотопластинке получается (после проявле- ния) совокупность черных пятнышек. Взаимное распо- ложение пятнышек отражает симметрию кристалла. По расстояниям между пятнышками и по их интенсивности удается найти размещение атомов в кристалле и рас- стояния между ними. На рис. 100 приведена лауэграмма берилла (минерала из группы силикатов). В методе структурного анализа, разработанном Де- баем и Шерером, используются монохроматическое рент- геновское излучение и поликристаллические образцы. Исследуемое вещество измельчается в порошок, из ко- торого прессуется образец в виде проволочки. Образец устанавливается по оси цилиндрической камеры, на бо- 150
ковую поверхность которой укладывается фотопленка (рис. 101). В огромном количестве беспорядочно ориен- тированных кристалликов найдется множество таких, Рис. 100. для которых окажется выполненным условие (26.8), при- чем дифрагированный луч будег для разных кристалли- ков лежать во всевозможных плоскостях. В результате для каждой системы атомных слоев и каждого т полу- чится не одно направление максимума, а конус на- правлений, ось которого совпадает с направлением 151
падающего пучка (рис. 101). Получающаяся на пленке картина (дебаеграмма) имеет вид, показанный на рис. 102. Каждая пара симметрично расположенных Рис. 102. линий соответствует одному из дифракционных максиму- мов, удовлетворяющих условию (26.8) при некотором значении т. Расшифровка рентгенограммы позволяет определить структуру кристалла. § 27. Разрешающая сила объектива Картина, получающаяся на экране в случае дифрак- ции Фраунгофера от круглого отверстия, имеет вид цен- трального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами (рис. 103). Соответствую- щий расчет дает, что пер- вый минимум находится на угловом расстоянии от цент- ра дифракционной картины, равном Фшы = arcsin 1,22 , (27.1) где D — диаметр отверстия [напомним, что для щели это расстояние равно arcsin(X/6)]. Если £)^>Х, фор- мулу (27.1) можно упро- стить следующим образом: Фп11п=1,224- (27.2) Подавляющая часть (около 84%) светового по- тока, прошедшего через отверстие, попадает в область центрального светлого пятна. Интенсивность первого максимума составляет всего 1,74%, а второго — 0,41% от 152
интенсивности центрального максимума. Интенсивность остальных максимумов еще меньше. Поэтому в первом приближении дифракционную картину можно считать состоящей из одного лишь светлого пятна с угловым ра- диусом, определяемым формулой (27.2). Это пятно яв- ляется по существу изображением бесконечно удален- ного точечного источника света (на отверстие падает плоская световая волна). Дифракционная картина не зависит от расстояния между отверстием и линзой. В частности, она остается такой же и в случае, когда края отверстия совмещены с краями линзы. Отсюда вытекает, что самая совер- шенная линза не может дать идеального оптического изображения. Вследствие волновой природы света изо- бражение точки, даваемое линзой, имеет вид пятнышка, представляющего собой центральный максимум ди- фракционной картины. Угловой размер этого пятнышка уменьшается с ростом диаметра оправы линзы D. При очень малом угловом расстоянии между двумя точками их изображения, получающиеся с помощью ка- кого-либо оптического прибора, наложатся друг па дру- га и дадут одно светящееся пятно. Следовательно, две очень близкие точки не будут восприниматься прибором раздельно или, как говорят, не будут разрешаться при- бором. Поэтому, как бы ни было велико по размерам изображение, на нем не будут видны соответствующие детали. Именно это мы имели в виду, когда писали в § 14, что предел увеличению, даваемому микроскопом, кладется волновой природой сйёта. Обозначим через бф наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются оптическим прибором. Величина, обратная 6ф, назы- вается разрешающей силой прибора: (27.3) Найдем разрешающую силу объектива зрительной трубы или фотоаппарата для случая, когда рассматри- ваются или фотографируются очень удаленные предме- ты. При этом условии лучи, идущие в объектив от каж- дой точки предмета, можно считать параллельными и пользоваться формулой (27.2). Согласно критерию Рэлея две близкие точки будут еще разрешены, если середина 153
центрального дифракционного максимума для одной точки совпадет с краем центрального максимума (т. е. первым минимумом) для второй точки (см. рис. 93, б, который применим и к данному случаю). Из рис. 104 вид- но, что это произойдет, если угловое расстояние между точками бф окажется равным угловому радиусу (27.2) центрального максиму- ма. Следовательно, бф = 1,22^- или «"ТйГ’ <27л> где D — диаметр опра- рис Ю4 вы (или входного зрач- ка) объектива. Как следует из формулы (27.4)., разрешающая сила объектива тем больше, чем. больше его диаметр. Диаметр зрачка глаза при. нормальном освещении со- ставляет примерно 2. мм. Подставив это значение в фор- мулу (27.4) и взяв 7 = 0,5 мк = 0,5 - 10-3 мм, получим: бф = 1,22 0,5‘ГО- = 0,.305 • 10“3 рад ~ 1'. Таким образом, минимальное угловое расстояние между точками, при котором глаз воспринимает их еще раздельно, равно одной угловой минуте. Любопытно, что расстояние между соседними светочувствительными эле- ментами сетчатки глаза соответствует этому угловому расстоянию.
ГЛАВА V ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА § 28. Естественный и поляризованный свет Электромагнитные волны, как мы знаем, поперечны (см. т. II, § ПО). Вместе с тем световые волны обычно не обнаруживают асимметрии относительно направления распространения (луча). Это обусловлено тем, что в естественном свете имеются ко- лебания, совершающиеся в самых различных направлениях, перпен- s' дикулярных к лучу (рис. 105). В § 17 было указано, что свето- v вая волна слагается из множе- s' ства цугов волн, испускаемых от- s дельными атомами. Плоскость Рис. 105. колебаний для каждого цуга ори- ентирована случайным образом. Поэтому в результирую- щей волне колебания различных направлений представ- лены с равной вероятностью. В естественном свете колебания различных направле- ний быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний упорядочены каким- либо образом, называется поляризованным. Если колебания светового вектора происходят только в одной плоскости (рис. 106), свет называют плоско- (или прямолинейно-) поляризованным. Плоскость, в которой колеблется световой вектор (т. е. вектор на- пряженности электрического поля Е), мы будем назы- вать плоскостью колебаний. По историческим причинам плоскостью поляризации была на- звана не плоскость, в которой колеблется вектор Е, 155
а перпендикулярная к ней плоскость. Определенная та- ким образом плоскость поляризации обладает меньшей наглядностью, чем плоскость колебаний. Поэтому в даль- нейшем мы термином Плоскость ''У Луч «плоскость поляризации» колебаний s' . пользоваться не будем. У',__Плоскополяризованный i жт ^Плоскость свет можно получить из f ^1. У поляризации J ' естественного с помощью приборов, называемых по- ляризаторами. Эти Iприборы свободно про- пускают колебания, па- Рис. 106. раллельные плоскости, ко- торую мы будем назы- вать плоскостью поляризатора, и полностью задерживают колебания, перпендикулярные к этой пло- скости. Колебание амплитуды А, совершающееся в плоскости, образующей угол <р с плоскостью по- ляризатора, можно разложить на два колебания с амп- литудами Л л = A cos <р и Д±= Лепир (рис. 107; луч Плоскость 'поляризатора Рис. 107. Рис. 108. перпендикулярен к плоскости рисунка). Первое колеба- ние пройдет через прибор, второе будет задержано. Ин- тенсивность прошедшей волны пропорциональна Лц = = j42cos2<f>, т. е. равна 1 cos2 ср, где /—интенсивность колебания с амплитудой А. Следовательно, колебание, параллельное плоскости поляризатора, несет с собой долю интенсивности, равную cos2 <р. В естественном свете все значения ср равновероятны. Поэтому доля света, про- шедшего через поляризатор, будет равна среднему зна- 153
чению cos2 ср, т. е. ‘/г- При вращении поляризатора во- круг направления естественного луча интенсивность про- шедшего света остается одной и той же, изменяется лишь ориентация плоскости колебаний света, выходящего из прибора. Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет амплитуды До и интенсивности 70 (рис. 108). Сквозь прибор пройдет составляющая колебания с амплитудой А — Ао cos ф, где ф — угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляризатора. Следова- тельно, интенсивность прошедшего света 7 определяется выражением: / = /0со82ф. (28.1) Соотношение (28.1) носит название закона М а- л ю с а. Поставим на пути естественного луча два поляриза- тора, плоскости которых образуют угол ф. Из первого поляризатора выйдет плоскополяризованный свет, интен- сивность которого /о составит половину интенсивности естественного света 7ест* Согласно закону Малюса из второго поляризатора выйдет свет интенсивности 70 cos2 ф. Таким образом, интенсивность света, прошедшего через два поляризатора, равна / = у/ест-со82ф. (28.2) Максимальная интенсивность, равная ’/г/ест, полу- чается при ф = 0 (поляризаторы параллельны). При Ф = л/2 интенсивность равна нулю — скрещенные поля- ризаторы света не пропускают. Свет, в котором колебания одного направления пре- обладают над колебаниями других направлений, назы- вается частично поляризованным. Такой свет можно рассматривать как смесь естественного и плоско- поляризованного. Если пропустить частично поляризо- ванный свет через поляризатор, то при вращении прибо- ра вокруг направления луча интенсивность прошедшего света будет изменяться в пределах от /тах до 1тш, при- чем переход от одного из этих значений к другому будет совершаться при повороте на угол ф — п/2 (за один пол- ный поворот два раза будет достигаться максимальное 157
и два раза минимальное значение интенсивности). Сте- пенью поляризации называют выражение: /max I mln Лпах +1 mln (28.3) Для плосксполяризованного света /тщ = 0 и Р = 1; для естественного света /max = /mm и Р — 0. Рассмотрим две когерентные плоскопюляризованные световые волны, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны. ~~ вершаются вдоль Рис. 109. Пусть колебания в одной волне со- оси х (рис. 109), во второй — вдоль оси у (оси х и у лежат в перпен- дикулярной к лучу плоскости). Проекции световых векторов этих оси мы световых волн на соответствующие изменяются по закону: Ех — At cos at, I Ey = Д2 cos (at + a). J (28.4) Величины Ex и Ev представля- ют собой координаты конца ре- зультирующего светового вектора Е (см. рис. 109). Из учения о знаем, механических что два взаимно колебаниях перпендику- (см. т. I, § 71) лярных гармонических колебания одинаковой частоты при сложении дают в общем случае движение по эллип- су (в частности может получиться движение по прямой или по окружности). Аналогично, точка с координатами (28.4), т. е. конец вектора Е, движется по эллипсу. Сле- довательно, две когерентные пл-оскополяризованные све- товые волны, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны, при наложении друг на друга дают волну, в которой световой вектор (вектор Е) изменяется со временем так, что конец его описывает эллипс. Такой свет называется эллиптически поляризован- н ы м. При разности фаз а, кратной л, эллипс вырож- дается в прямую и получается плоскополяризованный свет. При разности фаз, равной нечетному числу л/2, и равенстве амплитуд складываемых волн эллипс превра- щается в окружность. В этом случае получается свет, поляризованный по кругу. 158
Заметим, что частично поляризованный и естествен- ный свет также можно представить как наложение двух плоскополяризованных волн с взаимно перпендикуляр- ными плоскостями колебаний. Однако эти волны не ко- герентны, значение а в (28.4) все время меняется, вслед- ствие чего направление результирующего вектора Е из- меняется беспорядочным образом. В случае естествен- ного света амплитуды складываемых волн должны быть одинаковыми, в случае частично поля- ризованного света — разными. В зависимости от направления вра- щения вектора Е различают правую и левую эллиптическую и круговую поля- ризацию. Если по отношению к направ- лению, противоположному направлению луча, вектор Е вращается по часовой стрелке, поляризация называется пра- вой, в противном случае — левой. Пусть эллиптически поляризованный свет падает на поляризатор. Прибор про- пускает составляющую Ец вектора Е по Рис. 110. направлению плоскости поляризатора (рис. ПО). Максимальное значение этой составляющей достигается в точках 1 и 2. Следовательно, амплитуда вышедшего из прибора плоскополяризованного света равна длине отрезка 01'. Вращая поляризатор вокруг направления луча, мы будем наблюдать изменения ин- тенсивности в пределах от /max (получающейся при сов- падении плоскости поляризатора с большой полуосью эллипса) до /шт (получающейся при совпадении плос- кости поляризатора с малой полуосью эллипса). Такой же характер изменения интенсивности света при враще- нии поляризатора получается в случае частично поляри- зованного света. В случае света, поляризованного по кру- гу, вращение поляризатора не сопровождается (как и в случае естественного света) изменением интенсивности света, прошедшего через прибор. § 29. Поляризация при отражении и преломлении Если угол падения света на границу раздела двух ди- электриков (например, на поверхность стеклянной пла- стинки) не равен нулю, отраженный и преломленный 159
лучи оказываются частично поляризованными1). В от- раженном луче преобладают колебания, перпендикуляр- ные к плоскости падения (на рис. 111 эти колебания обо- значены точками), в преломленном луче — колебания, параллельные плоскости падения (на рисунке они изо- бражены двусторонними стрелками). Степень иЪляриза- ции зависит от угла падения. При угле падения, удовле- творяющем условию tg«B = «12 (29.1) (где п12 — показатель преломления второй среды относи- тельно первой), отраженный луч полностью поляризован (он содержит только колебания, перпендикулярные к плоскости падения). Степень поляризации преломленного луча при угле падения, равном 1В, достигает наиболь- шего значения, однако этот луч остается поляризован- ным только частично. Соотношение (29.1) носит название закона Брю- стера. Угол iB называют углом Брюстера или углом полной поляризации. Легко проверить, что при падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны. Степень поляризации отраженного и преломленного лучей при различных углах падения получается из ре- шения уравнений Максвелла с учетом условий на гра- нице диэлектриков. К числу этих условий принадлежат: равенство тангенциальных составляющих векторов Е и Н по обе стороны границы раздела (с одной стороны нужно брать сумму соответствующих векторов для падающей и отраженной волны, с другой — вектор для преломленной волны) и равенство нормальных составляющих векто- ров Dh В [см. т. II, формулы (17.1), (17.3), (45.1) и (45.3)]. В результате получаются следующие формулы: _ 1Л\ sin (б ~ *г) J- Sin(i,+i2) ’ Wx-»)x^, (А “(М-Ю- 2 sin ;2 cos i'i (29.2) (712)|| (-^1)|| sin (l] + l2) COS («! — 12) ’ ’) При отражении от проводящей поверхности (например, от поверхности металла) получается эллиптически поляризованный свет. 160
Где(Л1)х, (At) х и (Л2)± — амплитуда *) составляющей светового вектора, перпендикулярной к плоскости паде- ния, соответственно в падающем, отраженном и прелом- ленном лучах; (Л|)л, (Л1)й и (/Ц, — аналогичные величины для составляющих, параллельных плоскости падения; it — угол падения, i2— угол преломления. Точно такие же формулы для амплитуд световых ко- лебаний были получены Френелем на основе представ- ления о свете как об упругих волнах, распространяю- щихся в эфире. Поэтому соотно- шения (29.2) называют форму- \ / лами Френеля. \ Третья из формул (29.2) да- \ х/4 ет, что при q + i2 — л/2 (что соот- \ ветствует углу Брюстера) ампли- \ туда составляющей, параллель-----------V---------> ной плоскости падения, для отра- AS женного луча обращается в нуль. Таким образом, из формул Фре- неля непосредственно вытекает закон Брюстера. При малых углах падения си- Р11С щ нусы и тангенсы в формулах (29.2) можно заменить самими углами, а косинусы счи-- тать равными 1. Кроме того, в этом случае можно положить q = П|212 (это следует из закона преломления после замены синусов углами). В результате формулы Френеля для малых углов падения принимают вид: Возведя уравнения (29.3) в квадрат и умножив полупившиеся значения на показатель преломления *) Точнее—максимальное значение проекции. Знак -минус в первой из формул отражает сзачок фазы на я при отражении от оптически более плотной среды (см. § 16). 6 И. В. Савельев, т. Ill |g£
соответствующей среды, получим отношения между ин- тенсивностями падающего, отраженного и преломленного лучей для случая малых углов падения [см. формулу (16.8)]. При этом, например, интенсивность отраженного света Г\ можно вычислять как сумму интенсивностей обеих составляющих (Z[)x и (Л)й, так как эти составляю- щие в естественном свете не когерентны [в случае неко- герентных волн складываются не амплитуды, а интен- сивности, см. формулу (17.1)]. В итоге получается: Jr т { п12 — 1 \2 = Л fcnj /2 = П12/1 (29.4) 2 Взяв отношение интенсивности отраженного света 1\ к интенсивности падающего света h, получим коэффи- циент отражения р данной поверхности. В соответствии с (29.4) ₽-(^-)2 «ад [ср. с формулой (16.13)]. Физическая суть явлений, приводящих к поляризации отраженного и преломленного лучей, заключается в сле- дующем. Предположим для простоты, что отражение и преломление происходит на границе диэлектрика с ваку- умом. Падающая световая волна, проникнув в диэлек- трик, заставляет входящие в состав атомов электрические заряды совершать вынужденные колебания. Колеблю- щиеся заряды излучают электромагнитные волны (см. т. II, § 114)» которые мы назовем вторичными. Вне ди- электрика вторичные волны, налагаясь друг на друга, дают отраженную волну. Внутри диэлектрика вторичные волны складываются с падающей (первичной) волной. Ре- зультирующая первичной и вторичной волн дает прелом- ленную волну. Вынужденные колебания зарядов совер- шаются в направлении вектора Е этой результирующей волны. Рассмотрим один из зарядов, излучающих вторичную волну. Разложим колебание этого заряда на два коле- бания, одно из которых совершается в плоскости паде- ния (на рис. 112 это колебание изображено сплошной двусторонней стрелкой), второе — в направлении, пер- 162
пендикулярном к этой плоскости (оно изображено пунк- тирной двусторонней стрелкой). Каждому из колебаний соответствует плоскополяризованная вторичная волна. Излучение колеблющегося заряда имеет направленный характер (см. т. II, рис. 246). Сильнее всего заряд излу- чает в направлениях, перпендикулярных к направлению колебаний; в направлении колебаний заряд не излучает. Сплошные и пунктирные ле- пестки на рис. 112 изобра- жают диаграммы направ- ленности соответствующих колебаний. Из рисунка вид- но, что в направлении отра- женного луча интенсивность волны с плоскостью колеба- ний, перпендикулярной к плоскости падения (пунктир- ный лепесток), намного пре- вышает интенсивность вол- ны, в которой вектор Е ко- леблется в плоскости паде- ния (сплошной лепесток). Следовательно, в отражен- ном луче колебания,перпен- Преломленный дикулярные к плоскости па- дения, преобладают над колебаниями иных направле- ний— отраженный луч будет частично поляризован. При падении света под углом Брюстера направление колеба- ний заряда, параллельных плоскости падения (сплош- ная двусторонняя стрелка), совпадает с направлением отраженного луча, так что интенсивность излучения волны с соответствующим направлением поляризации обращается в нуль — отраженный луч оказывается пол- ностью поляризованным. В естественном падающем луче интенсивность коле- баний различных направлений одинакова. Энергия этих колебаний распределяется между отраженной и прелом- ленной волной. Поэтому, если в отраженном луче будет больше интенсивность колебаний одного направления, то в силу закона сохранения энергии в преломленном луче должна быть больше интенсивность колебаний другого направления. Отсюда следует, что преломленный луч будет частично поляризован. 6* 163
Поляризация происходит также при рассеянии света на частицах, значительно меньших длины световой вол- ны. Рассеиваемый пучок света вызывает в частицах ко- лебания зарядов, направления которых лежат в плос- кости, перпендикулярной гП; Рассеиваемый к ПуЧКу (рИс. 113). Коле- ----------------------------------------У.-бания вектора Е во вто- ричной волне происходят в плоскости, проходящей АX----------------------через направление коле- jX баний зарядов (см. т. II, X рис. 245). Поэтому свет, рассеиваемый частица- ми в направлениях, пер- Рис. 113. пендикулярных к пучку, будет полностью поляри- зован. В направлениях, образующих с пучком угол, от- личный от л/2, рассеянный свет поляризован только ча- стично. § 30. Поляризация при двойном лучепреломлении Рис. 114. Пр_и прохождении света через некоторые кристаллы световой луч разделяется на два луча. Это явление, по- лучившее название двойного лучепреломления, было наблюдено в 1670 г. Эр’азмом Бартоломином для исландского шпата (разновид- ность углекислого кальция, СаСОз — кристаллы гексаго- нальной системы). При двой- ном лучепреломлении один из лучей удовлетворяет обычному закону преломления и лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью. Этот луч называется обыкновенн,ым и обозначается на чертежах буквой о. Для другого луча, называемого необыкно- венным (его принято обозначать буквой е), отношение sin ii/sin i2 не остается постоянным при изменении угла падения. Даже при нормальном падении необыкновен- ный луч, вообще говоря, отклоняется от первоначального направления (рис. 114). Кроме того, необыкновенный 164
луч не лежит, как правило, в одной плоскости с па- дающим лучом и нормалью к преломляющей по- верхности. Явление двойного лучепреломления наблюдается для всех прозрачных кристаллов, за исключением принадле- жащих к кубической системе. У так называемых одно- осных кристаллов имеется направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с одинаковой скоростью. Это направ- ление называется оптической осью кристалла. Следует иметь в виду, что оптическая ось — это не пря- мая линия, проходящая через какую-то точку кристалла, а определеное направление в кристалле. Любая прямая, параллельная данному направлению, является оптиче- ской осью кристалла. Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется главным сечением или главной плоскостью кристалла. Обычно пользуются главным сечением, проходящим через световой луч. Исследование обыкновенного и необыкновенного лу- чей с помощью, например, стеклянного зеркала показы- вает, что оба луча полностью поляризованы во Взаимно перпендикулярных направлениях (см. рис. 114). Пло- скость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна к главному сечению кристалла. В необыкновенном луче колебания светового вектора совершаются в плоскости, совпадающей с главным сечением. По выходе из кри- сталла оба луча отличаются друг от друга -только на- правлением поляризации, так что названия «обыкновен- ный» и «необыкновенный» луч имеют смысл только внутри кристалла. В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это явление называется дихроиз- мом. Весьма сильным дихроизмом в видимых лучах обладает кристалл турмалина. В нем обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине 1 мм. Таким же свойством обладает поляроид — целлуло- идная пленка, в которую введено большое количество одинаково ориентированных кристалликов сульфата йодистого хинина (в этих кристаллах один из лучей по- глощается на пути примерно в 0,1 мм). Следовательно, поляроид может быть использован в качестве поляри- затора. 165
Большое распространение получил поляризатор, на- зываемый призмой Николя (или сокращенно про- сто н и к о л е м). Он представляет собой призму из ис- ландского шпата (рис. 115), разрезанную по диагонали и склеенную канадским бальзамом1). Показатель преломления канадского бальзама п лежит между по- казателями преломления п0 и пе обыкновенного и не- обыкновенного лучей в кристалле (п0 > п > пе). Угол Рис. 115. падения оказывается таким, что обыкновенный луч пре- терпевает на прослойке бальзама полное внутреннее от- ражение и отклоняется в сторону, необыкновенный же луч свободно проходит через эту прослойку и выходит из призмы. Помимо одноосных кристаллов (таких как исланд- ский шпат, турмалин, кварц) существуют двуосные кристаллы (например, слюда, гипс), у которых имеется два направления, в которых свет не разделяется на два луча. В таких кристаллах оба луча необыкновен- ные— показатели преломления для них зависят от на- правления в кристалле. Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов. В кристаллах некубической системы зави- симость от направления обнаруживает, в частности, ди- электрическая проницаемость е. В одноосных кристал- лах е в направлении оптической оси и в направлениях, перпендикулярных к ней, имеет различные значения efl и е±. В других направлениях е имеет промежуточные значения. Если значения е для разных направлений >). Канадским бальзамом называется смолообразное вещество, добываемое из канадской пихты. Показатель преломления этого ве- щества близок к показателю преломления стекла, поэтому канадский бальзам применяется для склеивания стеклянных частей в оптиче- ских приборах. 166
в одноосном кристалле изображать отрезками, отложен- ными по этим направлениям из некоторой точки, то концы отрезков расположатся по поверхности эллип- соида вращения, ось симметрии которого совпадает с оптической осью кристалла. На рис. 116 показано сечение этого эл- липсоида главной плоскостью кри- сталла. В § 16 было показано, что п = Уе [см. формулу (16.6)]. Следователь- но, из анизотропии е вытекает, что электромагнитным волнам с различ- ными направлениями колебаний вектора Е соответствуют разные значения показателя преломления п. Поэтому скорость световых волн в кристалле будет зависеть от направления колебаний светового вектора Е. Выше было указано, что в обыкновенном луче коле- бания светового вектора происходят в направлении, перпендикулярном к главному се- чению кристалла (на рис. 117 эти колебания изображены точка- ми на соответствующем луче). Поэтому при любом направлении обыкновенного луча (на рисунке указаны три направления: 1, 2 и 3) вектор Е образует с оптиче- ской осью кристалла прямой угол и скорость световой волны будет одна и та же, равная t>o = c/|/e±o Изображая скорость обыкновен- ного луча в виде отрезков, отло- Рис. 117. верхность. На рис. женных по разным направлени- ям, мы получим сферическую по- 117 показано пересечение этой по- верхности с плоскостью чертежа. Такая картина, как на рисунке, наблюдается в любом главном сечении, т. е. в любой плоскости, проходящей через оптическую ось кристалла. Представим себе, что в точке О кристалла 167
помещается точечный источник света. Тогда построен- ная нами сфера будет не что иное, как волновая по- верхность обыкновенных лучей в кристалле. Колебания в необыкновенном луче совершаются в главном сечении. Поэтому для разных лучей направ- ления колебаний вектора Е (на рис. 117 эти направле- ния изображены двусторонними стрелками) образуют с оптической осью разные углы а. Для луча 1 угол а = л/2, вследствие чего скорость равна оо = с/)/е±, для луча 2 угол а = 0 и скорость равна се = с/j/сц- Для луча 3 скорость имеет промежуточное значение. Таким образом, волновая поверхность необыкновенных лучей представляет собой эллипсоид вращения. В местах пе-. ресечения с оптической осью кристалла сфера и эллип- соид соприкасаются. Величина по = c/vOi называется показателем преломления обыкновенного луча, величина ne = c!ve — показателем преломления не- обыкновенного луча. Следовательно, под пе под- разумевается показатель преломления необыкновенного луча для иаправлеиия распространения, перпендику- лярного к оптической оси кристалла. Огтичеаагя fh/кпш/пге/гмый О/я/шцатель/л/й Рис. 118. В зависимости от того, какая из скоростей, vo или ve, больше, различают положительные и отрицательные од- ноосные кристаллы (рис. 118). У положительных кри- сталлов ve<vo (это означает, что пе>п0). У отрица- тельных кристаллов ve > fо («е < «о) ? Легко Запомнить, какие кристаллы называются положительными, а какие отрицательными. У положительных кристаллов эллип- 168
о е Ось Рис. 119. собой плоскости. соид скоростей вытянут по вертикали, что соответствует вертикальному штриху в знаке « + », у отрицательных кристаллов эллипсоид растянут по горизонтали, ассо- циируясь с горизонтальной чертой — знаком «—». Зная вид волновых поверхностей, можно с помощью принципа Гюйгенса определять направления обыкно- венного и необыкновенного лучей в кристалле. На рис. 119 построены волно- вые поверхности обыкновен- ного и необыкновенного лу- чей с центром в точке 2, ле- жащей на поверхности кри- z сталла. Построение выпол- нено для момента времени, когда волновой фронт до- стигает точки 1. Огибаю- щие всех вторичных волн (волны, центры которых, ле- жат в промежутке между точками 1 и 2, на рисунке не показаны) для обыкно- венного и необыкновенного лучей, очевидно, представляют ломленный луч о или е, выходящий из точки 2, проходит через точку касания огибающей с соответствующей вол- новой поверхностью. Ранее при рассмотрении распространения света в изотропных средах мы всегда наблюдали, что направ- ление, в котором распространяется энергия световой волны (т. е. луч), совпадает с нормалью к волновой поверхности. Как следует из рис. 119, то же самое на- блюдается для обыкновенного луча о. Однако необыкно- венный луч е заметно отклоняется от нормали к со- ответствующей волновой поверхности. Таким образом, в случае анизотропных сред понятие луча должно быть уточнено: под лучом следует понимать направление, в котором переносится световая энергия. На рис. 120 изображены три случая нормального па- дения света на поверхность кристалла, отличающиеся направлением оптической оси кристалла. В случае а лучи о и е распространяются вдоль оптической оси и поэтому идут не разделяясь. Рис. 120, б показывает, что даже при нормальном падении света на преломляющую 169
поверхность необыкновенный луч может отклониться от нормали к этой поверхности (ср. с рис. 114). На рис. 120, в оптическая ось кристалла параллельна пре- ломляющей поверхности. В этом случае при нормаль- ном падении света обыкновенный о и необыкновенный е лучи идут по одному и тому же направлению, но оии распространяются с разной скоростью, вследствие чего Рис. 120. между ними возникает все возрастающая разность фаз. Характер поляризации обыкновенного и необыкновен- ного лучей на рис. 120 не указан. Он таков же, как для лучей, изображенных на рис. 119. § 31. Интерференция поляризованных лучей. Эллиптическая поляризация При наложении двух когерентных лучей, поляризо- ванных во взаимно перпендикулярных направлениях, ни- какой интерференционной картины, с характерным для нее чередованием максимумов и минимумов интенсивно- сти, не наблюдается. Интерференция возникает только 170
в том случае, если колебания во взаимодействующих лучах совершаются вдоль одного и того же направле- ния. Направления колебаний в двух лучах, первоначаль- но поляризованных во взаимно перпендикулярных на- правлениях, можно свести в одну плоскость, пропустив эти лучи через поляризационное устройство, установ- ленное так, чтобы его плоскость не совпадала с пло- скостью колебаний ни одного'из лучей. Рассмотрим, что получается при наложении вышед- ших из кристаллической пластинки обыкновенного и не- обыкновенного лучей. При нормальном падении света а) Рис. 121. б) на параллельную оптической оси грань кристалла обык- новенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь, но с различной скоростью. В связи с этим между ними возникает разность хода A = (no-ne)d (31.1) или .разность фаз 6== Ого-^Н 2я> (31.2) где d — путь, пройденный лучами в кристалле, Ао—> длина волны в вакууме [см. формулы (17.3) и (17.4)]. Таким образом, если пропустить естественный свет через вырезанную параллельно оптической оси кри- сталлическую пластинку толщины d (рис. 121, а)], из пластинки выйдут два поляризованных во взаимно 171
перпендикулярных плоскостях луча 1 и 21), между кото- рыми будет существовать разность фаз (31.2). Поставим на пути этих лучей какой-нибудь поляризатор, например поляроид или нйколь. Колебания обоих лучей после прохождения через поляризатор будут лежать в одной плоскости. Амплитуды их будут равны составляющим амплитуд лучей 1 и 2 в направлении плоскости поляриза- тора (рис. 121, б). Поскольку оба луча получены разделением света, по- лученного от одного источника, они, казалось бы, должны интерферировать, и при толщине кристалла d такой, что возникающая между лучами разность хода (31.1) равна, например, Хр/2, интенсивность выходящих из поляризатора лучей (при определенной ориентации плоскости поляризатора) должна быть равна нулю. Опыт, однако, показывает, что, если лучи 1 и 2 воз- никают за счет прохождения через кристалл естествен- ного света, они не дают интерференции, т. е. не яв- ляются когерентными. Это объясняется весьма просто. Хотя обыкновенный и необыкновенный лучи порождены одним и тем же источником света, они содержат в основном колебания, принадлежащие разным цугам волн, испускаемых отдельными атомами. Колебания, соответствующие одному такому цугу волн, совер- шаются в случайно ориентированной плоскости. В обык- новенном луче колебания обусловлены преимуще- ственно цугами, плоскости колебаний которых близки к одному направлению в пространстве, в необыкновен- ном луче — цугами, плоскости колебаний которых близки к другому, перпендикулярному к .первому на- правлению. Поскольку отдельные цуги некогерентны, возникающие из естественного света обыкновенный и не- обыкновенный лучи, а следовательно и лучи 1 и 2, так- же оказываются некогерентными. Иначе обстоит дело, если на кристаллическую пла- стинку, изображенную на рис. 121, падает плоскополя- ризованный свет. В этом случае колебания каждого цуга разделяются между обыкновенным и необыкновен- ным лучами в одной и той же пропорции (зависящей от ') В кристалле луч 1 был необыкновенным н мог быть обозна- чен буквой е, луч 2 был обыкновенным (о). По выходе из кристалла втн лучи утратили право называться обыкновенным н необыкно- венным.
ориентации оптической оси пластинки относительно пло- скости колебаний в падающем луче), так что лучи о и е, а следовательно и лучи 1 и 2, оказываются когерент- ными. В § 28 было показано, что две когерентные плоско- поляризованные световые волны, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны, при наложении друг на друга дают, вообще говоря, эллиптически поляризо- ванный свет. В частном случае может получиться свет, полязированный по кругу, или свет. Какая из этих трех воз- можностей имеет место, зави- сит от толщины кристалличе- ской пластинки и показателей преломления по и пе, а также от соотношения амплитуд лу- чей 1 и 2. Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для которой (по — ne)rf = W4, на- зывается пластинкой в четверть волны; пластин- ка, для которой (по — ne)d = = Хо/2, называется пластин- кой в пол волны и т. Д. *). Пропустим плоскополяризован- ный свет через пластинку в четверть волны (рис. 122). Если расположить пластинку так, чтобы угол ф между плоскостью колебаний Р в падающем луче и осью пла- стинки О равнялся 45°, амплитуды обоих лучей, вышедших из пластинки, будут одинаковы (предполагается, что ди- хроизма нет). Сдвиг по фазе между колебаниями в этих лучах составит л/2. Следовательно, свет, вышедший из пластинки, будет поляризован по кругу. При ином зна- чении угла ф амплитуды вышедших из пластинки лучей будут неодинаковыми. Поэтому при наложении эти лучи образуют свет, поляризованный по эллипсу, одна из осей которого совпадает по направлению с осью пла- стинки О. При ф, равном 0 или я/2, в пластинке будет 9 Пластинка, для которой (ло — nc)d = (k + ’А) Ко .. <fi — Целое число), будет оказывать такое же действие, как пластинка в чет- верть волны; аналогично, пластинка, для которой (по — ne)d = = (й + '/2)^0, будет действовать как пластинка в полволны. 173
распространяться только один луч (в первом случае — необыкновенный, во втором — обыкновенный), так что на выходе из пластинки свет останется плоскополяризо- ванным с плоскостью колебаний, совпадающей с Р. Если на пути эллиптически поляризбванного света (или света, поляризованного по кругу) поставить пла- стинку в четверть волны, расположив ее оптической осью вдоль одной из полуосей эллипса, то такая пла- стинка внесет О Е £' Рис. 123. дополнительную разность фаз, равную л/2. В результате разность фаз Р' двух плоскополяризованных волн, дающих в сумме эллиптически поляризованную волну, станет равна 0 или л, так что суперпо- зиция этих волн даст плоскопо- ляризованную волну. Следова- тельно, надлежащим образом по- вернутая пластинка в четверть волны превращает эллиптически поляризованный свет в плоско- поляризованный. На этом осно- вывается метод, с помощью кото- рого можно отличить эллип- тически поляризованный свет от частично поляризованного или поляризованный по кругу, от естественного. свет, Исследуемый свет пропускается через пластинку в чет- верть волны и помещенный за ней поляризатор. Если исследуемый луч является эллиптически поля- ризованным (или поляризованным по кругу), то, вра- щая пластинку и поляризатор вокруг направления луча, удается добиться полного затемнения поля зре- ния. Если же свет является частично поляризованным (или естественным), то ни при каком положении пла- стинки и поляризатора невозможно получить полного погашения исследуемого луча. Рассмотрим прохождение плоскополяризованного света через пластинку в полволны. Колебание Е в па- дающем луче, совершающееся в плоскости Р, возбудит при входе в кристалл колебание Ео обыкновенного луча и колебание Ее необыкновенного луча (рис. 123). За время прохождения через пластинку разность фаз между колебаниями Ео и Ее изменится на л. Поэтому
на выходе из пластинки фазовое соотношение между обыкновенным и необыкновенным лучами будет соот- ветствовать взаимному расположению векторов Ее и Е'о (на входе в пластинку оно соответствовало взаимному расположению векторов Ее и Ео). Следовательно, свет, вышедший из пластинки, будет поляризован в плоско- сти Р'. Плоскости Р и Р' расположены симметрично от- носительно оптической оси пластинки О. Таким обра- зом, пластинка в полволны поворачивает плоскость прошедшего через нее света на угол 2<р, где ср — угол между плоскостью колебаний в падающем луче и осью пластинки. Легко видеть, что пластинка в целое число волн оставит прошедший через нее плоскополяризованный свет без изменений. § 32. Кристаллическая пластинка между двумя поляризаторами Поместим между двумя поляризаторами Р и Р' пла- стинку из одноосного кристалла, вырезанную парал- лельно оптической оси О (рис. 124). Из поляризатора Р выйдет плоскополяризованный свет интенсивности /. Пройдя через пластинку, свет станет в общем случае поляризованным по эллипсу. По выходе из поляриза- тора Р' свет снова будет плоскополяризованный1). Его ) Второй по ходу луча поляризатор Р' называют также ана- лизатором. 175
интенсивность !' зависит от взаимной ориентации плос- костей поляризаторов Р и Р' и оптической оси пла- стинки, а также от разности фаз б, приобретаемой обыкновенным и необыкновенным лучами при прохо- ждении через пластинку. Рассмотрим два частных случая: а) оба поляриза- тора параллельны (рис. .125, а) и б) поляризаторы Р и Р' скрещены (рис. 125, б). Обозначим угол между плоскостью поляризатора Р и осью 00 кристаллической пластинки буквой <р. Световое колебание, вышедшее из поляризатора Р, изобразится вектором Е, лежащим в плоскости Р. При входе в. пластинку колебание - Е воз- будит два колебания — перпендикулярное к оптической оси колебание Ео (обыкновенный луч) и параллельное оси колебание Ее (необыкновенный луч). Эти колебания будут когерентными; проходя через пластинку, очи при- обретут разность фаз б, которая определяется толщиной Пластинки и разностью показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей. Амплитуды этих колебаний равны проекциям вектора Е на соответ- ствующие направления: Ео = Е sin ф, Ее = Е cos <р. Через поляризатор Р' пройдут составляющие колеба- ний Ео и Ее по направлению плоскости Р'. В первом слу- чае (см. рис. 125, о) амплитуды этих составляющих равны: = Ео sin ф = Е sin2 ф, £е| = Ев cos ф = Е cos2 ф. (32.1) 176
Если положить <р = 45° (рис. 125 выполнен в этом предположении), то амплитуды (32.1) будут одинако- выми и равными: = = (32.2) Колебания Еоц и Бец будут интерферировать. Амп- литуда Е\ результирующего колебания связана с амп- литудами интерферирующих колебаний соотношением: £« = £о|| + £е| + 2£«|£е| cos б. Подставив сюда значения амплитуд (32.2), получим: £^ £2 + у £2 + 2 y£2cos6 = у £2(1 + cos б) = = у£2р 4-^1 — 2sin2yj] = E2cos2y- \ Интенсивности пропорциональны квадратам соответ- ствующих амплитуд. Поэтому можно написать, что /; = /cos24, (32.3) где I — интенсивность света, прошедшего через поля- ризатор Р, /ц — интенсивность по. выходе света из поля- ризатора Р', получающаяся при условии, что поляриза- торы Р и Р' параллельны, б — разность фаз, приобре- таемая обыкновенным и необыкновенным лучами в кристаллической пластинке. Во втором случае (рис. 125, б) амплитуды Е£± и Eh, получающиеся по выходе из поляризатора Р', будут та- кой же величины, как и амплитуды (32.2). Это следует непосредственно из сравнения рис. 125, а и б. Однако, в отличие от первого случая, проекции векторов Ео и Ее на направление Р' имеют разные знаки. Э^о означает, что в дополнение к разности фаз б, которая имелась в первом случае, возникает дополнительно разность фаз л. Следовательно, интенсивность на выходе из си- стемы при скрещенных поляризаторах можно найти, за- менив в формуле (32.3) б на л + б. В итоге получим: г 2 л + б , . 2 в то «х h = I cos —g— = I sm у, (32.4) ’) Мы воспользовались формулой: cos 6 = 1 —.2 sin2 (6/2). 177
Из формул (32.3) и (32.4) вытекает, что при б = 2£л (£ = 0,1,2,...) (32.5) интенсивность будет равна I, а интенсивность обращается в нуль. При значениях же б = (2£ + 1)л (£ = 0,1,2,...) (32.6) интенсивность становится равной нулю, а интенсив- ность достигает значения I. Разность показателей преломления по — пе зависит от длины волны света Ао. Кроме того, Ао входит непосред- ственно в выражение (31.2) для 6. Пусть свет, падаю- щий на поляризатор Р, состоит из излучения двух длин волн Ai и Аг таких, что б для Л1 удовлетворяет условию (32.5), а для Аг — условию (32.6). В этом случае при параллельных поляризаторах через пластинку и поляри- затор Р' пройдет беспрепятственно свет с длиной вол- ны Ai и полностью будет задержан свет с длиной вол- ны Аг. При скрещенных поляризаторах пройдет беспре- пятственно свет с длиной волны Аг и полностью будет задержан свет с длиной волны Ai. Следовательно, при одном расположении поляризаторов окраска прошед- шего через систему света будет соответствовать длине волны Ai, при другом расположении — длине волны Аг. Такие две окраски называются дополнительными. При вращении одного из поляризаторов окраска непрерывно меняется, переходя за каждые четверть оборота от од- ного дополнительного цвета к другому. То же самое на- блюдается и при ф, отличном от л/4 (но не равном 0 или л/2), только цвета оказываются менее насыщенными. Разность фаз б зависит от толщины пластинки. По- этому, если двоякопреломляющая прозрачная пластинка, помещенная между поляризаторами, имеет в разных ме- стах неодинаковую толщину, эти места при наблюдении со стороны поляризатора Р' будут представляться окра- шенными в различные цвета. При вращении поляриза- тора Р' эти цвета изменяются, причем каждый из цветов переходит в дополнительный к нему цвет. Поясним это следующим примером. На рис. 126, а изображена поме- щенная между поляризаторами пластинка, у которой 178
нижняя половина толще верхней. Пусть свет, проходя- щий через пластинку, содержит излучение только двух длин волн: Xi и Х2. На рис. 126, б дан «вид» со стороны поляризатора Р'. По выходе из кристаллической пла- стинки каждая из составляющих излучения будет, во- обще говоря, поляризована по эллипсу. Ориентация и эксцентриситет эллипсов для длин волн М и Х2, а также Рис. 126. для разных половин пластинки будут различны [напом- ним, что отношение полуосей и ориентация эллипса от- носительно координатных осей зависят от разности фаз складываемых взаимно 'перпендикулярных колебаний (см. т. I, § 71); в данном случае координатными осями служат оптическая ось пластинки и перпендикулярная к ней ось]. При установке плоскости поляризатора Р' в положение Р{ в излучении, прошедшем через Р', бу- дет преобладать в верхней половине пластинки длина волны Хь в нижней половине — Х2. Поэтому обе поло- вины будут иметь разную окраску. При установке поля- ризатора Р' в положение Р2 окраска верхней половины будет определяться излучением с длиной волны Х2, ниж- ней половины — излучением с длиной волны Xi. Таким образом, при повороте поляризатора Р' на 90° обе поло- вины пластинки как бы обмениваются окраской. Разу- меется, так будет обстоять дело лишь при определен- ном соотношении толщин обеих частей пластинки. 179
§ 33. Искусственное двойное лучепреломление Двойное лучепреломление может возникать в про- зрачных. изотропных телах, а также в кристаллах куби- ческой системы под влиянием различных воздействий. В частности, это происходит при механических деформа- циях тел. Мерой возникающей оптической анизотропии может служить разность показателей преломления обык- новенного и необыкновенного лучей. Опыт показывает, что эта разность пропорцио- Р | Р' нальна напряжению о в дан- у II ной точке тела [т. е. силе, при- Q I хбдящейся на единицу площа- ди; см. т. I, формулу (45.3)]: ' *" по — пе = ka, (33.1) где k — коэффициент пропор- ?циональности, зависящий от свойств вещества. Поместим стеклянную плас- Рнс. 127. тинку Q между скрещенными поляризаторами Р и Р' (рис. 127). Пока стекло не деформировано, такая система свет не пропускает. Если же стекло подвергнуть деформации (например, одностороннему сжатию), свет через систему начинает проходить, причем наблюдаемая в прошедших лучах картина будет испещрена цветными полосами. Каждая Такая полоса соответствует одинаково деформи- рованным местам пластинки. Следовательно, по харак- теру расположения полос можно судить о распределении напряжений внутри пластинки. На искусственном двойном лучепреломлении основы- вается оптический метод исследования напряжений. Из- готовленная из прозрачного изотропного материала (на- пример, из целлулоида или плексигласа) модель ка- кой-либо детали или конструкции помещается между скрещенными поляризаторами. Модель подвергается дей- ствию нагрузок, аналогичных тем, какие будет испыты- вать само изделие. Наблюдаемая при этом в проходящем белом свете картина позволяет определить распределе- ние напряжений, а также судить об их величине. Остаточные напряжения также приводят к искус- ственной оптической анизотропии. Поэтому оптический 180
метод применяется для проверки стеклянных изделий на отсутствие в них вредных напряжений. Такой метод от- браковки является очень чувствительным. В 1875 г. Керр обнаружил, что в жидкостях (и в аморфных твердых телах) под воздействием электри- ческого поля возникает двойное лучепреломление. Это явление получило название эффекта Керра. В 1930г. эффект Керра был наблюден также и в газах. На рис. 128 изображена схема установки для наблю- дения эффекта Керра в жидкостях. Установка состоит Рис. 128. из ячейки Керра, помещенной между скрещенными по- ляризаторами Р и Р'. Ячейка Керра представляет собой герметичную кювету с жидкостью, в которую введены пластины конденсатора. При подаче на пластины напря- жения между ними возникает практически однородное электрическое поле. Под его действием жидкость при- обретает свойства одноосного кристалла с оптической осью, ориентированной вдоль поля. Разность показате- лей преломления по и пе пропорциональна квадрату на- пряженности поля Е: no — ne = kE2. (33.2) На пути I между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает разность хода A = (n„-ne)/ = feZE2 или разность фаз -Д-2л = 2л-Д/Е2. Ло Aq Последнее выражение принято записывать следую- щим образом: д = 2лВ/£2, (33.3) 181
где В — характерная для вещества величина, называе- мая постоянной Керра. Постоянная Керра зави- сит от температуры вещества и от длины волны света Хо. В выражения (33.2) и (33.3) входит квадрат на- пряженности поля. Поэтому знак разности (по — пе), а также разности фаз б не изменяется при изменении на- правления поля. Из известных жидкостей наибольшей постоянной Кер- ра обладает нитробензол (CeHgNOs). Для него В = = 2,2 • 10-10 см/в2. При I = 10 см и Е — 10000 в/см по фор- муле (33.3) получается для нитробензола б = 0,44л ~ л/2. Эффект Керра объясняется оптической анизотропией молекул жидкости, т. е. различной поляризуемостью мо- лекул по разным направлениям. В отсутствие поля мо- лекулы ориентированы хаотическим образом, поэтому жидкость в целом не обнаруживает анизотропии. Под действием поля молекулы поворачиваются так, чтобы в направлении поля были ориентированы либо их ди- польные электрические моменты (у полярных молекул), либо направления наибольшей поляризуемости (у не- полярных молекул). В результате жидкость становится анизотропной. Ориентирующему действию поля проти- вится тепловое движение молекул. Этим обусловливает- ся наблюдающееся на опыте уменьшение постоянной Керра В с повышением температуры. Время, в течение которого устанавливается (при включении поля) или исчезает (при выключении поля) преимущественная ориентация молекул; составляет око- ло 10~10 сек. Таким образом, ячейка Керра, помещенная между скрещенными поляризаторами (см. рис. 128), мо- жет служить практически безынерционным световым за- твором. В отсутствие напряжения на пластинах конден- сатора затвор будет закрыт. При включении напряжения затвор пропускает значительную часть света, падающего на первый поляризатор. В § 4 отмечалось, что такие за- творы были использованы для измерения скорости света в лабораторных условиях. § 34. Вращение плоскости поляризации Естественное вращение. При прохождении плоско- поляризованного света через некоторые вещества на- блюдается вращение плоскости колебаний светового век- тора или, как принято говорить, вращение плоскости 182
поляризации. Вещества, обладающие такой способно- стью, называются оптически активными. К их числу принадлежат кристаллические тела (например, кварц, киноварь), чистые жидкости (скипидар, никотин) и растворы оптически активных веществ в неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и др.). Кристаллические вещества, например кварц, сильнее всего вращают плоскость поляризации в случае, когда свет распространяется вдоль оптической оси кристалла. Угол поворота <р пропорционален пути I, пройденному лучом в кристалле: <p = al. (34.1) Коэффициент а называют постоянной вращения. Ее принято выражать в угловых градусах на миллиметр. Постоянная вращения зависит от длины волны (диспер- сия вращательной способности). Так, например, у квар- ца для желтых лучей (2.0 = 0,5890 мк) а — 21,7 град!мм, а для фиолетовых лучей (7^=0,4047 жк) а=48,9 град 1мм. В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути луча в растворе I и концентрации активного вещества с: <р = [a] cl, (34.2) где [а] — величина, называемая удельной постоян- ной вращения. В зависимости от направления вращения плоскости поляризации оптически активные вещества подраз- деляются на право- и левовращающие. Если смотреть навстречу лучу, то в правовращающих веще- ствах плоскость поляризации будет поворачиваться по часовой стрелке, в левовращающих — против часовой стрелки. Таким образом, направление луча и направле- ние вращения образуют в правовращающем веществе левовинтовую систему, а в левовращающем веществе — правовинтовую систему. Направление вращения (отно- сительно луча) не зависит от направления луча в оп- тически активной среде. Поэтому, если, например, луч, прошедший вдоль оптической оси через кристалл кварца, отразить зеркалом и заставить пройти через кристалл еще раз в обратном направлении, то восста- навливается первоначальное положение плоскости поля- ризации. 183
Для объяснения вращения плоскости поляризации Френель предположил, что в оптически активных веще- ствах лучи, поляризованные Рис. 129. по кругу вправо и влево, распространяются с неодинаковой скоро- стью. Плоскополяризо- ванный свет можно представить как супер- позицию двух поляри- ч зованных по кругу \ волн, правой и левой, с » одинаковыми частота- / ми и амплитудами. ' Действительно, геомет- рическая сумма Е све- товых векторов Е] и Ег поляризованных по кру- гу волн в каждый мо- мент времени будет ле- жать в одной и той же плоскости Р (рис. 129,а). Если скорости распростране- ния обеих волн окажутся неодинаковыми, то по мере про- хождения через вещество один из векторов, Ei или Ег, будет отставать в своем вращении о г другого вектора, в результате чего плоскость Р', в которой лежит резуль- тирующий вектор Е, будет поворачиваться относитель- но первоначальной плоско- сти Р (рис. 129,б). Различие в скоростях света с разным направлени- ем круговой поляризации об- условливается асимметрией молекул, либо асимметрич- ным размещением атомов в кристалле. На рис. 130 при- Рис. 130; веден пример асимметрич- ной молекулы. В центре тетраэдра помещается «том угле- рода, в Вершинах — отличающиеся друг от друга атомы или группировки атомов (радикалы), обозначенные бук- вами X, У, Z и Т. Если смотреть на тетраэдр, изобра- женный на рис. 130, а, вдоль направления СХ, то при обходе по часовой стрелке будет иметь место чередова- 1Е4
ние ZYTZ, а при обходе против часовой стрелки — ZTYZ. То же самое наблюдается для любого из других направ- лений: CY, CZ и СТ. Молекула, изображенная на рис. 130,б, является зеркальным отражением молекулы, показанной на рис. 130, а. Чередование радикалов X, У, Z, Т в молекуле б противоположно их чередованию в мо- лекуле а. Поэтому, если, например, вещество, образо- ванное молекулами а, правовращающее, то вещество, образованное молекулами б, будет левовращающим. Оказывается, что все оптически активные вещества существуют в двух разновидностях — правовращающей и левовращающей. Таким образом, существуют право- п левовращающий кварц, право- и левовращающий са- хар и т. д. Молекулы или кристаллы одной разновидно- сти являются зеркальным отражением молекулы или кристаллов другой разновидности (в кристаллографии две такие формы кристаллов носят название энантио- морфных). Обе разновидности отличаются только направлением, вращения плоскости поляризации. Чис- ленное значение постоянной вращения у них одинаково. Если между двумя скрещенными поляризаторами по- местить оптически активное вещество (кристалл кварца или прозрачную кювету с раствором сахара), то поле зрения просветляется. Чтобы снова получить темноту, нужно повернуть второй поляризатор на угол <р, опре- деляемый выражением (34.1) или (34.2). Зная удельную постоянную вращения [а] данного вещества и длину /, можно, измерив угол поворота <р, определить по фор- муле (34.2) концентрацию раствора с. Такой способ определенья концентрации широко применяется в про- изводстве различных веществ, в частности в сахарова- рении (соответствующий прибор называется сахари- метром). Установка поляризатора на темноту не может быть осуществлена достаточно точно. Поэтому вместо обыч- ного поляризатора применяются так называемые полу- теневые устройства, с помощью которых про- изводится установка не на темноту, а на равенство освещенностей двух половин поля зрения. Простейшее полутеневое устройство представляет собой сочетание двух расположенных рядом друг с другом поляризаторов, плоскости которых Р' и Р" образуют небольшой (по- рядка 5°) угол (рис. 131). Если плоскость колебаний 185
падающего света перпендикулярна к биссектрисе этого угла, то обе половины поля зрения будут освещены оди- наково. При малейшем повороте плоскости колебаний равенство освещенностей сразу нарушится. Глаз очень чувствителен к Р'\ Е’» Е / ipn I I / <Е" Рис. 131. I Е вращении плоскости .поляри- Цилиндрический стеклянный нарушениям равенства освещенностей двух соседних полей. Поэтому с помощью полутеневого устрой- ства положение плоскости поля- ризации может быть установлено с гораздо большей точностью, чем путем установки поляризатора на темноту. На рис. 132 изображена схема простейшего сахариметра. Р — обычный поляризатор, Р' — полу- теневое устройство, К. — кювета, в которую наливают исследуе- мый раствор. Полутеневое устройство устанавливается на равенство освещенностей обеих половин поля зрения дважды — до и после заливки раствора в кювету. Угол между обоими положениями устройства дает угол по- ворота плоскости поляризации раствором. На оправе полутеневого устройства наносится шкала, против деле- ний которой отмечаются непосредственно значения кон- центрации. Н. А. Умов создал очень эффектный демонстрацион- ный опыт, основанный на зации (винт Умова), сосуд длиной 0,5—I м и диаметром порядка 10 см заполняется концентри- рованным раствором са- хара и герметически заку- поривается. Если через сосуд пропустить вдоль его оси плоскополяризо- ванный белый свет, то при наблюдении сбоку жидкость представляется заполненной навитыми вокруг оси сосуда радужно окрашенными лен- тами (рис. 133). При вращении поляризатора Р вся кар- тина смещается вдоль оси сосуда. Чтобы понять причины возникновения винта Умова, рассмотрим прохождение плоскополяризованного моно- Рис. 132. 186
хроматического света через раствор сахара, заключен- ный в сосуде с плоскими стенками (рис. 134). При на- блюдении сбоку мы будем видеть рассеянный свет. Если бы раствор сахара не вращал плоскость поляриза- ции, вынужденные колебания зарядов, обусловленные проходящим через раст- вор светом, совершались бы в одной плоскости, со- впадающей с плоскостью поляризатора Р. Вследст- вие направленности излу- чения элекрического ди- поля (см. т. II, рис. 246) Рис. 133. интенсивность рассеян- ного света максимальна в направлении, перпендикуляр- ном к плоскости Р, и равна нулю в направлениях, лежа- щих в этой плоскости. Оптическая активность сахара приводит к тому, что направление колебаний повора- чивается по мере прохождения плоскополяризованного света через сосуд. Поэтому в одних местах колеба- ния зарядов совершаются в вертикальном направле- нии «(при наблюдении сбоку эти места будут светлыми), в других местах — в горизонтальном направлении (эти места будут темными). Таким образом, сбоку жидкость Рис. 134. представляется состоящей из чередующихся светлых и темных слоев, перпендикулярных к лучу света, идущему через сосуд. Расстояние между соседними светлыми (или темными) слоями равно тому пути, при прохождении которого плоскость поляризации поворачивается на 180°. При пропускании белого света из-за дисперсии враща- тельной способности максимумы интенсивности рассеян-, ного света для разных длин волн придутся на разные сечения сосуда, так что жидкость будет представляться распавшейся на радужно окрашенные слои. 187
В цилиндрическом сосуде из-за преломления рассе- янных лучей при выходе из стекла в воздух*) окрашен- ные слои оказываются наклоненными относительно оси сосуда, давая картину, изображенную на рис. 133. На рис. 135,6 дан поперечный разрез сосуда. Лучи, идущие в глаз наблюдателя от верхней части, от середины и от нижней части сосуда, обозначены 2' и S'. Середина сосуда будет казаться темной в том сечении, где коле- бания зарядов имеют направление, указанное двусторон- ней стрелкой 2 (на рис. 135, а это сечение обозначено тоже цифрой 2). Верх- няя часть сосуда будет 1' темной ,в том сечении, в котором колебания совершаются вдоль на- 3> правления 1 (сечение 1 на рис. 135,а). Нако- нец. нижняя часть со- суда будет темной в том сечении, в котором колебания зарядов со- вершаются вдоль направления 3 (сечение 3 на рис. 135, а). Сечения 1 и 3 лежат симметрично относительно сече- ния 2. Точки 1, 2 и 3 воспринимаются наблюдателем как имеющие одинаковую яркость (в монохроматическом свете) или одинаковую окраску (в белом свете). Магнитное вращение плоскости поляризации. Опти- чески неактивные вещества приобретают способность вращать плоскость поляризации под действием магнит- ного поля. Это явление было обнаружено Фарадеем (1846 г.) и поэтому называется иногда эффектом Фарадея. Оно наблюдается только при распростра- нении света вдоль направления магнитного поля (точ- нее— вдоль направления намагничения). Поэтому для наблюдения эффекта Фарадея в полюсных наконечни- ках электромагнита просверливают отверстия, через ко- торые пропускается луч света. Исследуемое вещество помещается между полюсами электромагнита. Угол поворота плоскости поляризации ф пропорцио- нален пути I, проходимому светом в веществе, и напря- *) На границе раствора со стеклом луч преломляется незначи- тельно (относительный показатель преломления близок к единице). 188
женности магнитного поля Н (точнее — намагничению вещества): V^VIH. (34.3) Коэффициент V называется постоянной Верде или удельным магнитным вращением. По- стоянная V, как и постоянная вращения а, зависит от длины волны. Направление вращения определяется по отношению к направлению магнитного Поля. Для положитель- ных веществ направление поля и направление вращения образуют правовинтовую систему, для отрицатель- н ы х веществ — левовинтовую систему. От направления луча знак вращения не зависит. Следовательно, если, отразив луч зеркалом, заставить его пройти через на- магниченное вещество еще раз в обратном направлении, поворот плоскости поляризации удвоится. Магнитное вращение плоскости поляризации обуслов- лено возникающей под действием магнитного поля пре- цессией электронных орбит (см. т. II, § 52). В резуль- тате прецессии электронов скорость волн с различным направлением круговой поляризации становится неоди- наковой, а это, как мы видели, приводит к вращению плоскости поляризации. Оптически активные вещества под действием магнит- ного поля приобретают дополнительную способность вра- щать плоскость поляризации, которая складывается с их естественной способностью.
Г Л А В A VI ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 35. Опыт Физо и опыт Майкельсона До сих пор мы предполагали, что источники, прием- ники и другие тела, относительно которых рассматри- валось распространение света, неподвижны. Естествен- но заинтересоваться вопросом, как скажется на рас- пространении света движение, например, источника или приемника световых волн. При этом возникает необхо- димость указать, относительно чего происходит движе- ние. В акустике (см. т. I, § 86) мы рассмотрели движе- ние источника и приемника звуковых волн относительно среды, в которой эти волны распространяются. Выясни- лось, что такое движение оказывает влияние на проте- кание акустических явлений (эффект Допплера) и, сле- довательно, может быть обнаружено. Первоначально волновая теория рассматривала свет как упругие волны, распространяющиеся в некой среде, получившей название мирового эфира. После возникно- вения теории Максвелла на смену упругому эфиру при- шел эфир — носитель электромагнитных волн и полей. Под этим эфиром подразумевалась особая среда, запол- няющая, как и ее предшественник упругий эфир, все мировое пространство и пронизывающая все тела. Раз эфир представлял собой некую среду, можно было рас- считывать обнаружить движение тел, например источни- ков или приемников света, по отношению к этой среде. В частности, следовало ожидать существования «эфир- ного ветра», обдувающего Землю при ее движении во- круг Солнца. 190
Обнаружение движения тел относительно эфира при- вело бы к появлению абсолютной системы отсчета, по отношению к которой можно было бы рассматривать движение всех других систем. В механике (см. т. I, § 17) мы познакомились с принципом относительности Галилея, согласно которому все механические явления протекают в различных инерциальных системах отсчета одинаковым образом1)- Из этого утверждения вытекает полная равноправность в механическом отношении всех инерциальных систем отсчета. Обнаружение эфира сде- лало бы возможным выделение (с помощью оптических явлений) особенной (связанной с эфиром), преимуще- ственной, абсолютной системы отсчета. Тогда движение остальных систем можно было бы рассматривать по от- ношению к этой абсолютной системе. Из сказанного вытекает, что выяснение вопроса о взаимодействии мирового эфира с движущимися телами имело большое значение. Можно было допустить три возможности: 1) эфир совершенно не возмущается дви- жущимися телами; 2) эфир увлекается движущимися телами частично, приобретая скорость, равную av, где v — скорость тела относительно абсолютной системы от- счета, а — коэффициент увлечения, меньший единицы; 3) эфир полностью увлекается движущимися телами, например Землей, подобно тому как тело при своем дви- жении увлекает прилежащие к его поверхности слои газа (см. т. I, § 60). Однако такая возможность опро- вергается рядом опытных фактов, в частности существо- ванием явления аберрации света. В § 4 мы видели, что изменение видимого положения звезд может быть объ- яснено движением телескопа относительно системы от- счета (среды), в которой рассматривается распростра- нение световой волны. Опыт Физо. В 1851 г. Физо, с целью выяснения во- проса о том, увлекается ли эфир движущимися телами, осуществил следующий опыт. Параллельный пучок света от источника S разделялся посеребренной полупрозрач- ной пластинкой Р на два пучка, обозначенных цифра- ми 1 и 2 (рис. 136). За счет отражения от зеркал Л4Ь Мг и М3 пучки, пройдя в общей сложности одинаковый ’) Иными словами, уравнения механики инвариантны по отно- шению к преобразованию координат и времени от одной инерциаль- ной системы отсчета к другой. 191
путь L, снова попадали на пластинку Р. Пучок 1 ча- стично проходил через Р, пучок 2 частично отражался, в результате чего возникало два когерентных пучка 1' и 2', которые давали в фокальной плоскости зрительной трубы интерференционную картину в виде полос. На пути пучков 1 и 2 были установлены две трубы, по ко- торым могла пропускаться вода со скоростью и в на- правлении, показанном стрелками. Луч 2 распростра- нялся в обеих трубах навстречу движению воды, луч 1 — по течению. При неподвижной воде пучки 1 и 2 проходят путь L за одинаковое время. Если вода при своем движении хотя бы частично увлекает эфир, то при включении тока воды луч 2, который распространяется против течения, затратит на прохождение пути L большее время, чем распространяющийся 'по течению луч 1. В результате между лучами возникнет некоторая разность хода и ин- терференционная картина сместится. Интересующая нас разность хода возникает лишь на пути лучей, пролегаю- щем в воде. Этот путь имеет длину 21. Обозначим ско- рость света относительно эфира в воде буквой v. Когда эфир не увлекается водой, скорость света относительно установки будет совпадать с v. Предположим, чта вода при своем движении частично увлекает эфир, сообщая ему относительно установки скорость аи (и — скорость воды, а — коэффициент увлечения). Тогда скорость све- 192
та относительно установки для луча / будет равна v + аи, а для луча 2 равна о — аи. Луч 1 пройдет «путь 2/ за время Л = 2//(о + оси), луч 2 — за. время = = 21/(у— аи). Таким образом, число полос, на которое сместится интерференционная картина при включении тока воды, составит'): ... с (t2 — <i) _ с / 21 21 \ _ 4с1аи 1 Хо Ло \t> —аи v + auj Л0(о2 — а2и2) Физо обнаружил, что интерференционные полосы дей- ствительно смещаются. Определенное из величины сме- щения значение коэффициента увлечения оказалось рав- ным «=1--^-. (35.1) где п — показатель преломления воды. Таким образом, опыт Физо показал, что эфир (если он существует) увлекается движущейся водой только частично. Опыт Майкельсона. В 1881 г. Майкельсон осущест- вил знаменитый опыт, с помощью которого он рассчи- тывал обнаружить движение Земли относительно эфира (эфирный ветер). В 1887 г. Майкельсон повторил свой опыт совместно с Морли на более совершенном при- боре. Установка Майкельсона — Морли изображена на рис. 137. Кирпичное основание поддерживало кольцевой чугунный желоб с ртутью. На ртути плавал деревянный поплавок, имеющий форму нижней половины разрезан- ного вдоль бубликд. На поплавок устанавливалась мас- сивная квадратная каменная плита. Такое устройство позволяло очень плавно без толчков поворачивать плиту вокруг вертикальной оси прибора. На плите монтиро- вался интерферометр Майкельсона (см. рис. 53), видо- измененный так, что оба луча, прежде чем вернуться к полупрозрачной пластинке, несколько раз проходили туда и обратно путь, совпадающий с диагональю плиты. Схема хода лучей показана на рис. 138. Обозначения на этом рцсунке соответствуют обозначениям на рис. 53. ') Оптическую длину пути nl можно представить следующим образом: nl—(c/v)l = ct, где / — время, затрачиваемое лучом на прохождение пути I в среде с показателем преломления п. Тогда выражение для оптической разности хода принимает вид: Д — /12^2 — = с(/г — /|). 7 И. В. Савельев, т. III 193
Рис. 137. Рис. 138.
Опыт основывался на следующих соображениях. Предположим, что плечо интерферометра РМ2 (рис. 139) совпадает с направлением движения Земли относитель- но эфира. Тогда время,, необходимое лучу 1, чтобы прой- ти путь до зеркала М\ и обратно, будет отлично от времени, необходимого для прохождения пути РМ2Р лучом 2. В результате, даже при равенстве длин обоих плеч, между лучами 1 и 2 воз- никнет некоторая разность хо- да. Если повернуть прибор на 90°, плечи поменяются местами и разность хода изменит знак. Это должно привести к смеще- нию интерференционной карти- ны, величину которого, как по- казывают соответствующие расчеты, вполне можно было бы обнаружить. Чтобы вычислить ожидае- мое смещение интерференцион- ной картины, найдем времена прохождения соответ- ствующих путей лучами 1 и 2. Если эфир не увлекается Землей и скорость света относительно эфира равна с (показатель преломления воздуха практически равен единице), то скорость света относительно прибора будет равна с — v для направления РМ2 и с 4- v для направ- ления М2Р. Следовательно, время для луча 2 опреде- лится выражением: t2 = —----1------ = - 22/С 2 = ~ + 4-) (35.2) z в V С + V С2 — V1 С . V2 с \ с2 ] ' ' (скорость движения Земли по орбите равна 30 км/сек', поэтому о2/с2 = Ю“8 1). Прежде чем приступить к вычислению времени Л, рассмотрим следующий пример из механики. Пусть ка- теру, который развивает скорость с относительно воды, требуется пересечь реку, текущую со скоростью v, в на- правлении, точно перпендикулярном к ее берегам (рис. 140). Для того чтобы катер перемещался в задан- ном направлении, его скорость с относительно .воды дол- жна быть направлена так, как показано на рисунке. 7* 195
Поэтому скорость катера относительно берегов будет равна | с + v | = — и2. Такова же будет в опыте Май- кельсона скорость луча 1 относительно прибора. Следо- вательно, время для луча 1 равно , = 21 1 /с2 - V2 2£(1+12±V) с \ +2 cj ’ (35.3) Подставив в выражение Д = с(/2 —/;) (см. сноску на стр. 193) значения (35.3) и (35.2) для и t?, полу- чим разность хода лучей 1 и 2: У////////////////Л А = 2/ 1 V2 . V2 ‘ ~2 ~с^~)\~ 1 ~с^ ' с (с+и) При повороте прибора .на 90° раз- ность хода изменит знак. Следователь- но, число полос, на которое сместится интерференционная картина, составит ДДГ = -^. = 2-/-(35=4) Хо Хо с2 Рис- 14°- Длина плеча I (учитывая много- кратные отражения) составляла на установке Майкельсона — Морли 11 м. Длина волны при- менявшегося ими света равнялась 0,59мк (0,59-10-6м). Подстановка этих значений в формулу дает ДА/ = ——1 „ 10~8 = 0,37 ~ 0,4 полосы. 0,59 • 10~6 Прибор позволял обнаружить смещение порядка 0,01 полосы. Однако никакого смещения интерференционной картины обнаружено не было. Чтобы исключить возмож- ность того, что в момент измерений плоскость горизонта оказалась перпендикулярной к вектору орбитальной ско- рости Земли, опыт повторялся в различное время суток. Впоследствии опыт производился многократно в различ- ное время года (за год вектор орбитальной скорости Земли поворачивается в пространстве на 360°) и неиз- менно давал отрицательные результаты. Обнаружить эфирный ветер не удавалось. Мировой эфир оставался неуловимым. ') Мы воспользовались формулами: f^l—x «1 — (1/2) х и 1/(1 — х) = 1 4-х, справедливыми для малых х. 196
Было предпринято несколько попыток объяснить от- рицательный результат опыта Майкельсона, не отказы- ваясь от гипотезы о мировом эфире. Однако все эти попытки оказались несостоятельными. Исчерпытающее непротиворечивое объяснение всех опытных' фактов, в том числе и результатов опыта Майкельсона, было дано в 1905 г. Эйнштейном. Для этого Эйнштейну пришлось кардинальным образом изменить существовавшие до того времени представления о пространстве и времени. § 36. Специальная теория относительности Эйнштейн пришел к. выводу, что мирового эфира, т. е. особой среды, которая могла бы служить абсолютной системой отсчета, не существует. В соответствии с этим Эйнштейн распространил механический принцип относи- тельности Галилея на все без исключения физические явления. Согласно принципу относительности Эйнштейна все законы природы инвариантны по от- ношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой (в специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета). Далее Эйнштейн постулировал в соответствии с Опыт- ными фактами, что скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света. Принцип относительности и принцип постоянства ско- рости света образуют основу специальной теории отно- сительности, которая представляет собой по существу физическую теорию пространства и времени. В классической -механике пространство и время рас- сматривались независимо друг от друга. Ньютон считал, что существуют абсолютное пространство и абсолютное время. Абсолютное пространство определялось им как безотносительное к чему-либо внешнему вместилище ве- щей, остающееся всегда одинаковым и неподвижным. О времени Ньютон писал: «Абсолютное, истинное или математическое время само по себе и в силу своей внут- ренней природы течет равномерно, безотносительно к чему-либо внешнему». В соответствии с этим считалось совершенно очевидным, что два события, одновремен- ные в какой-либо системе отсчета, будут одновремен- ными и во всех остальных системах отсчета. Однако 197
заключающийся в испускании У‘ К К X Х‘ Рис. 141. легко убедиться в том, что последнее утверждение нахо- дится в противоречии с принципом постоянства скоро- сти света. Возьмем две инерциальные системы отсчета, которые мы обозначим буквами К и К' (рис. 141). Пусть си- стема К' движется относительно системы К со скоро- стью V. Направим оси х и х' вдоль вектора v; оси у и у', а также г и / предположим параллельными друг другу. Рассмотрим в обеих системах один и тот же процесс, телом, находящимся в на- чале координат О’ систе- мы К!, светового сигнала и достижении этим сигна- лом тел А и В. Источник сигнала и тела А и В по- коятся относительно си- стемы К', причем изме- ренные в этой системе расстояния О'А и О'В одинаковы. Тогда в систе- ме К' сигнал будет дости- гать тел А и В в один и тот же момент времени (скорость света во всех на- правлениях одинакова и равна с). Рассмотрим тот же процесс в системе отсчета К. Относительно этой системы свет также распространяется по всем направлениям со скоростью е. Тело А движется навстречу лучу света, тело В лучу приходится догонять. Поэтому тела А луч достигнет раньше, чем тела В. Таким образом, события, которые в системе К' были одновременными, в си- стеме Л оказываются неодновременными. Отсюда выте- кает, что время в разных системах течет неодинаковым образом. Эйнштейн обратил внимание на то, что утверждение об одновременности двух событий, как и всякое другое физическое утверждение, нуждается в экспериментальной проверке. Чтобы описать событие в некоторой систе- ме отсчета, нужно указать, в каком месте и в какое время оно происходит. Эта задача окажется осуществи- мой, если в каждой точке пространства поместить метку, указывающую координаты, а также часы, по которым можно было бы отметить момент времени, в который происходит событие в данном месте. Координатные метки 198
можно нанести путем перекладывания единичного мас- штаба. В качестве часов можно взять любую систему, совершающую периодически повторяющийся процесс. Чтобы сравнивать моменты времени, в которые происхо- дят два события в разных точках пространства, нужно убедиться в том, что часы, находящиеся в этих точках, идут синхронно. Синхронизацию можно, казалось бы, выполнить, по- местив часы сначала рядом, а затем, после сверки их показаний, перенести часы в соответствующие точки пространства. Однако такой способ нужно отвергнуть, так как мы не знаем, как повлияет на ход часов их перенос из одного места в другое. Поэтому нужно сна- чала расставить часы по местам и лишь затем произве- сти сверку их показаний. Это можно сделать, посылая от одних часов к другим световой сигнал1). Пусть из точки А посылается в момент it (отсчитанный по часам в Л) световой сигнал, который отражается от зеркала, помещенного в точке В, и возвращается в А в момент /2. Часы в В нужно считать синхронными с часами в А, если в момент дохождения до них сигнала часы в В показывали время t, равное (Л + /2)/2. Такую сверку необходимо проделать для всех часов, расположенных в разных точках системы К. События в А и В будут считаться одновременными в системе К, если соответ- ствующие им отсчеты времени по часам в А и В сов- падут. Аналогично производится синхронизация всех часов в системе К' и любой другой инерциальной системе от- счета. Скорость светового сигнала, с помощью которого осуществляется синхронизация, во всех инерциальных системах отсчета одна и та же. Этим и обусловлен выбор в качестве сигнала для синхронизации хода часов имен- но светового сигнала. Оказывается, что скорость света является предельной. Никакой сигнал, никакое воздей- ствие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света. Этим и объ- ясняется одинаковость скорости света во всех системах отсчета. Согласно принципу относительности законы природы во всех системах должны быть одинаковы. Тот !) Проверка часов по радиосигналам представляет собой по су- ществу такую синхронизацию. 199
факт, что скорость сигнала не может превышать пре- дельного значения, есть также закон природы. Поэтому значение предельной скорости должно быть одинаково во всех системах отсчета. § 37. Преобразования Лоренца Обратимся снова к рассмотрению двух инерциаль- ных систем отсчета К. и К' (К' движется относительно К Со скоростью v). Направим координатные оси так, как показано на рис. 141. Какому-либо событию соответ- ствуют в системе К значения координат л времени, рав- ные х, у, z, t, в системе К' — х', у', z', t'. В классической физике считалось, что время в обеих системах течет оди- наково, т. е. что t = t'. Если в момент / = f = О начала координат обеих систем совпадали, то тогда между ко- ординатами событий в обеих системах имеются следую- щие соотношения: х = х' + vt' = х' + vt; t = t'. Совокупность уравнений (37.1) носит название пре- образований Галилея*). Из них вытекает закон сложения скоростей классической механики: «, = «' + &; «„ = «„. «г = «г- (37-2) л л У li z, z Легко видеть, что этот закон находится в противо- речии с принципом постоянства скорости света. Дей- ствительно, если в системе К' световой сигнал распро- страняется со скоростью с (и'х = с), то согласно (37.2) в системе К скорость сигнала окажется равной ux=c+v, т. е. превзойдет с. Отсюда вытекает, что преобразования Галилея должны быть заменены другими формулами. Эти формулы нетрудно найти. Из однородности пространства следует, что формулы преобразования не должны изменяться при переносе на- чала координат (т. е. при замене х на х + а и т. д.). Этому условию могут удовлетворять только линейные ‘) См. т. I, § 17. 200
преобразования. При указанном на рис. 141 выборе ко- ординатных осей плоскость у = 0 совпадает с плоско- стью у' = 0, а плоскость z = 0 — с плоскостью z' = 0. Отсюда следует, что, например, координаты у и у' могут быть связаны только соотношением вида У = еУ'- В силу полной равноправности систем К и К' должно также соблюдаться соотношение / = с тем же значением е, что и в первом случае. Перемно- жая оба соотношения, получим, что е2=1, откуда е=±1. Знак плюс соответствует одинаково направленным осям у и у', знак минус — противоположно направленным. На- правив оси одинаковым образом; получим: У = У'. (37.3) Такие же рассуждения приводят к формуле: z = г'. (37.4) Обратимся к нахождению преобразований для х и t. Начало координат системы К имеет координату х — 0 в системе К и х' = —vt' в системе К.'. Следовательно, при обращении х' + vt' в нуль должна обращаться в нуль и координата х. Для этого линейное преобразова- ние должно иметь вид: х — Y (х' + v t'). (37.5) Аналогично, начало координат системы К' имеет ко- ординату х' = 0 в системе К' и х = vt в системе А, от- куда следует, что х' = у (х - vt). (37.6) Из полного равноправия систем К и К' вытекает, что коэффициент пропорциональности в обоих случаях дол- жен быть один и тот же (различный знак при v в этих формулах обусловлен противоположным направлением движения систем друг относительно друга — если систе- ма К' движется относительно К вправо, то система К движется относительно К' влево). Формула (37.5) позволяет по известным коорди- нате х' и времени t' события в системе К' определить координату х события в системе К. Чтобы найти формулу 201
для определения времени t события в системе К, исклю- чим х из уравнений (37.5) и (37.6) и разрешим получив- шееся выражение относительно t. В результате получим: (37.7) Для нахождения коэффициента пропорциональности у используем принцип постоянства скорости света. Пред- положим, что в момент времени t — V — 0 (в обеих си- стемах время отсчитывается от момента, когда их начала координат совпадают) в направлении оси х посылается световой сигнал, который производит вспышку света на экране, находящемся в точке с координатой х = а. Это событие (вспышка) описывается координатами х = а, t = b в системе К и х' == a', t' — Ь' в системе Л', причем а — cb, а' = cb', так что кординаты события в обеих си- стемах можно представить в виде: x = cb, t = b и х' — сЬ', t' = b'. Подставив эти значения в формулы (37.5) и (37.6), по- лучим: cb = у (cb' + vb') = у (с + о) Ь', cb' = y (cb — vb) = у (с — и) Ь. (37.8) Перемножив оба уравнения, придем к соотношению: с2 = у2 (с2 — V2), откуда (37.9) Подстановка этого значения в (37.5) и (37.7) даст окончательные формулы для х и t. Добавив к ним фор- мулы (37.3) и (37.4), получим совокупность уравнений; х’+ vf г —г'. (37.10) 202
По формулам (37.10) осуществляется переход от ко- ординат и времени, отсчитанных в системе К', к коорди- натам и времени в системе К (короче, переход от систе- мы К' к системе К). Если разрешить уравнения (37.10) относительно штрихованных величин, получатся форму- лы преобразования для перехода от системы К к си- стеме К': (37.11) Как и следовало ожидать, учитывая полную равно- правность систем К и К', формулы (37.11) отличаются от формул (37.10) тольког знаком при v. Формулы (37.10) и (37.11) носят название преобразований Лоренца. Легко видеть, что в случае v <^. с преобра- зования Лоренца переходят в преобразования Галилея (37.1). Таким образом, преобразования Галилея сохра- няют значение для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. При v>c выражения (37.10) и (37.11) для х, t, х'. и t' становятся мнимыми. Это находится в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости света в пустоте, невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, движущейся со ско- ростью с, так как при v = с в знаменателях формул для х и t получается нуль. § 38. Следствия из преобразований Лоренца Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных с точки зрения классической механики следствий. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами Xi и х2 про- исходят одновременно два события в момент времени /1 = /2 = Ь. Согласно формулам (37.11) в системе К' 203
этим событиям будут соответствовать координаты Х2 *i — vb х2 — vb и моменты времени хг X X Рис. 142. Из написанных формул видно, что в случае, если со- бытия в системе К происходят в одном и том же месте пространства (xi = Хг), то они будут, совпадать в про- странстве (x't = x£j и во времени (/, = /0 также и в си- стеме К'. Если же события в системе К пространственно разобщены (%! ¥= х2), то в системе К' они также окажутся пространственно разобщенными (x't ф х'), но не будут одновременными =#^0. Знак разности опреде- ляется знаком выражения v (xi — х2); следовательно, в разных системах К' (при разных v) разность бу- дет различна по величине и может отличаться по знаку. Это означает, что в од- них системах событие 1 будет предшествовать событию 2, в других системах, наоборот, со- бытие 2 будет предше- ствовать событию 1. Заметим, что сказанное относится лишь к со- бытиям, между которы- ми отсутствует причин- ная связь. Причинно выстрел и попадание пули в мишень) ни в одной из систем отсчета не будут одновременными и во всех системах событие, являю- щееся причиной, будет предшествовать следствию. По- дробнее об этом будет речь в следующем параграфе. Длина тел в разных системах. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х и покоящийся относительно системы отсчета К‘ (рис. 142). Длина его в этой системе 204 связанные события
равна Zo = х' — х', где х' и х'2 — не изменяющиеся со вре- менем t' координаты концов стержня. Относительно си- стемы К стержень движется со скоростью V. Для опре- деления его длины в этой системе нужно отметить коор- динаты концов стержня Х| и х2 в один и тот же момент времени Л = t2 = Ъ. Их разность 1 — х2 — х{ даст длину стержня, измеренную в системе К. Чтобы найти соотно- шение между /0 и I, следует взять ту из формул преоб- разований Лоренца, которая содержит х', х и t, т. е. пер- вую из формул (37.11). Согласно этой формуле xt — vb х2 — vb откуда Х2~Х\ *2-Х1 или окончательно 1 = 10 (38.1) Таким образом, длина стержня /, измеренная в систе- ме, относительно которой он движется, оказывается меньше длины /о, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень длины /о = х2— xt покоится относи- тельно системы К, то для определения его длины в си- стеме К' нужно отметить координаты концов х' и х' в один и тот же момент времени Z' = Z' = b. Разность I — = х' — х' даст длину стержня в системе К', относитель- но которой он движется со скоростью v. Использовав первое из уравнений (37.10), снова придем к соотноше- нию (38.1). Заметим, что в направлении осей у и z размеры стержня одинаковы во всех системах отсчета. Итак, у движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше ско- рость движения. Это явление называется лоренцевЫм (или фитцджеральдовым) сокращением. Любопытно, что визуально (или на фотографии) изменение формы тел, даже при сравнимых со скоростью света скоростях, 205
не может быть обнаружено. Причина этого весьма про- ста. Наблюдая визуально или фотографируя какое-либо тело, мы регистрируем импульсы света от разных уча- стков тела, достигшие одновременно сетчатки глаза или фотопластинки. Испускаются же эти импульсы неодно- временно. Импульсы от более удаленных участков были испущены раньше, чем от более близких участков. Та- ким образом, если тело движется, на сетчатке глаза или на фотографии получается искаженное изображение тела. Соответствующий расчет показывает, что след- ствием указанного искажения будет уничтожение лорен- цева сокращения1), так что тела кажутся не искажен- ными, а лишь повернутыми. Следовательно, тело сфери- ческой формы даже при больших скоростях движения будет восприниматься визуально как тело сферического очертания. Длительность событий в разных системах. Пусть в точке, неподвижной относительно системы К', происхо- дит событие, длящееся время Д£о = Началу со- бытия соответствует в этой системе координата х'\ = а и момент времени t\, концу события — координата х' = а и момент времени t'2. Относительно системы К точка, в которой происходит событие, перемещается. Согласно формулам (37.10) началу и концу события соответ- ствуют в системе К'. Введя обозначение /2 — ii = Д/, получим: (38.2) ’) Если бы лоренцева сокращения ие было, быстро движущиеся тела должны были бы представляться вытянутыми в направлении движения. 206
В этой формуле Д/о — длительность события, изме- ренная по часам системы, движущейся с той же ско- ростью, что и тело, в котором происходит процесс (тело в этой системе покоится). Иначе 'можно сказать, .что Д4 определено по часам, движущимся вместе с телом. Промежуток Д/ измерен по часам системы, относительно которой тело движется со скоростью v. Иначе можно сказать, что Д/ определено по часам, движущимся отно- сительно тела со скоростью v. Как следует из (38.2), про- межуток времени Д/о, измеренный по часам, неподвиж- ным относительно тела, оказывается меньше, чем проме- жуток времени Д7, измеренный по часам, движущимся относительно тела. Рассматривая протекание процесса в системе К, мо- жно определить Д/ как длительность события, измерен- ную по неподвижным часам, а Д/о—как длительность, измеренную по часам, движущимся со скоростью V. Со- гласно (38.2) Д/о < ДЛ поэтому можно сказать, что дви- жущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы (имеется в виду, что во всем, кроме скорости движения, часы совершенно идентичны). Время Д/о, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела. Как видно из (38.2), собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела. Можно показать, что собственное время есть инвариант (т. е. одинаково во всех системах отсчета). Соотношение (38.2) получило непосредственное экс- периментальное подтверждение. В составе космических лучей (см. § 94) имеются частицы, именуемые р+- и р_- мезонами. Эти частицы нестабильны — они распадаются самопроизвольно на позитрон (или электрон) и два ней- трино. Среднее время жизни р-мезонов, измеренное в условиях, когда они неподвижны (или движутся с малой скоростью), составляет около 2*10-6 сек. Казалось бы, что, даже двигаясь со скоростью света, р-мезоны могут пройти лишь путь порядка 600 м. Однако, как показы- вают наблюдения, р-мезоны образуются в космических лучах на высоте 20—30 км и успевают в значительном количестве достигнуть земной поверхности. Это объяс- няется тем, что 2-10 6 сек — собственное время жизни р-мезона, т. е. время, измеренное по часам, движущимся 207
вместе с ним. Время, отсчитанное по часам эксперимен- татора, связанного с Землей, оказывается гораздо боль- шим [см. формулу (38.2); v мезона близка к с]. Поэтому нет ничего удивительного в том, что этот эксперимента- тор наблюдает пробег мезона, значительно больший 600 м. Отметим, что с позиции наблюдателя, движуще- гося вместе с мезоном, расстояние, пролетаемое им до поверхности Земли, сокращается до 600 м [см. формулу (38.1)], так что мезон успевает пролететь это расстояние за 2 • 10”6 сек. § 39. Интервал Какое-либо событие можно охарактеризовать местом, где оно произошло (координатами х. у, z), и временем t, когда оно произошло. Таким образом, событию можно сопоставить четыре числа: х, у, z, t. Введем воображае- мое четырехмерное пространство, на координатных осях которого будем откладывать пространственные коорди- наты и время. В этом пространстве событие изобразится точкой, которую принято называть мировой точкой. Всякой; частице (даже неподвижной) соответствует в в четырехмерном пространстве некоторая линия, назы- ваемая мировой линией (для покоящейся частицы она имеет вид прямой линии, параллельной оси /). Пусть одно событие имеет координаты хь у\, zt, tit другое событие — координаты х2, у2, z2, t2. Величину «12 = Vе2 (*2 - Л)2 - (х2 - xt)2 - (у2 - г/,)2 - (z2 - Z,)2 (39.1) называют интервалом между соответствующими со- бытиями. Введя расстояние /12 = У (х2 - х.)2 + (у2 - ijiY + (z2 - zt)2 между точками обычного трехмерного пространства, в которых произошли оба события, и обозначив разность /2—У] через t12, выражение для интервала можно запи- сать в виде: ________ Si2= Vc2fl2- /?2. (39.2) Легко убедиться в том, что величина интервала ме- жду двумя данными событиями оказывается во всех инерциальных системах одной и той же. Чтобы упростить 208
выкладки, запишем квадрат интервала в системе К в виде Ду2 = с2 Д/2 — Дх2 — Ду2 — Дг2, где Д£ = t2 — ti, hx = х2— Х| и т. д. Интервал между теми же событиями в системе К' равен Ду'2 с2 Д/'2 - Дх'2 - Ду'2 - Дг'2. (39.3) Согласно формулам (37.11) , . 1 Ы —Ах Дх' = Ду' = Ду, Дз' = Лг, ДГ = /-£ Подставив эти значения в формулу (39.3), после неслож- ных преобразований получим, что As'2 = с2Д/2— Дх2 — — Ду2 — Дг2, т. ё. что Дз'2 = Дз2. Таким образом, интервал (39.1) является инвариан- том по отношению к переходу от одной инерциальной си- стемы отсчета к другой. В предыдущем параграфе мы видели, что промежуток времени Л2 и расстояние Ц2 не являются инвариантами. Следовательно, каждое из сла- гаемых, образующих величину s22 = c2i22 —122, изменяет- ся при переходе от одной системы к другой; сама же величина s22 остается неизменной. Пусть первое событие заключается в том, что из точ- ки с координатами xb у\, Zi отправлен в -момент вре- мени t\ световой сигнал, а вторым событием является прием этого сигнала в точке х2, у2, г2 в момент времени t2. Сигнал распространяется со скоростью с; следовательно, расстояние между точками Ц2 равно сЛ2. Отсюда сле- дует, что интервал si2 между событиями равен нулю [см. (39.2)]. Если расстояние 1\2 между точками, в кото- рых произошли два события, превышает cti2 (l\2>ct\2), то рассматриваемые события никак не могут оказать влияние друг на друга (не существует воздействий, рас- пространяющихся со скоростью, большей чем с), т. е. не могут быть причинно связанными друг с другом. Из (39.2) следует, что интервал si2 в этом случае будет мнимым. Мнимые интервалы называются простран- ственноподобными. События, разделенные такими 209
интервалами, ни в какой системе отсчета не могут ока- заться пространственно совмещенными. В самом деле, для пространственного совмещения событий необходимо, чтобы Z]2 равнялось нулю. Но тогда подкоренное выра- жение в (39.2) станет положительным, а интервал — ве- щественным. В силу же инвариантности интервала он во всех системах отсчета должен оставаться мнимым. Для событии, разделенных пространственноподобным интер- валом, всегда можно найти такую систему отсчета, в ко- торой они происходят одновременно (/12 = 0). Вещественные интервалы называются времени- подобными. Для них выполняется условие: /12 < сЛг- Следовательно, события, разделенные времениподобными интервалами, могут быть Рис. 143. причинно связанными друг с другом. Для таких событий не существует системы от- счета, в которой они проис- ходили бы одновременно [при Лг = 0 подкоренное вы- ражение в (39.2) становится отрицательным, а интер- , вал — мнимым], зато имеется система отсчета, в которой они происходят в одной и той же точке пространства (/12 = 0). Возьмем мировую точку О некоторого события за на- чало отсчета времени и ко- ординат. Проведем в четы- рехмерном пространстве че- рез эту точку взаимно перпендикулярные оси х, у, z, /’)- На рис. 143 взята плоскость х, t, для которой у = z = 0. Движение частицы со скоростью с, происходящее в трех- мерном пространстве вдоль оси х, изобразится на рис. 143 прямыми х = ±ct. Скорость частицы не может превы-, сить с. Поэтому мировые линии всех частиц, проходящих при своем движении через мировую точку О, будут ле- жать в пределах незаштрихованной области. В четырех- ') В двумерном пространстве (на плоскости) можно провести только две взаимно перпендикулярные оси, в трехмерном — три, в четырехмерном — четыре. 210
мерном пространстве этой области соответствует конус, осью которого является t. Образующие конуса предста- вляют собой мировые линии световых сигналов. Поэтому его называют световым конусом. Для любой мировой точки Л, лежащей в области, на- званной на рис. 143 абсолютно будущей, с2/2 — — х2 > 0. Следовательно, интервал s0A между события- ми О и Л времениподобный, причем в выбранной нами на рис. 143 системе отсчета tA — to а > 0. Если брать си- стемы отсчета, скорость которых v относительно нашей системы меняется непрерывно, будет непрерывно изме- няться и промежуток времени /од1). Однако, как мы знаем, ни в одной из систем отсчета toA не может стать равным нулю (два события, разделенные времениподоб- ным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить одновременно). Следовательно, не суще- ствует и таких систем отсчета, в которых toA < 0 (чтобы стать отрицательным, toA должен при непрерывном изме- нении v измениться скачком). Таким образом, во всех системах отсчета событие Л будет происходить .позже события О. Для любой мировой точки В, лежащей в а б-, солютно прошедшей области, c2t2— х2 также больше нуля, т. е. интервал sOb времениподобный, однако tB = tOB < 0. Это значит, что tBo — —toe > 0. Во всех системах отсчета событие В предшествует собы- тию О. Для любого события С или D, мировая точка кото- рого лежит в абсолютно удаленных областях, с212 — х2 < 0. Следовательно, интервалы soc и s0D про- странствепноподобные. В любой системе отсчета собы- тия О и С или О и D происходят в разных точках про- странства. Понятие одновременности для этих событий является относительным. В одних, системах отсчета со- бытие С (или D) происходит позже, в других — раньше события О. Наконец, имеется одна система отсчета, в ко- торой событие С (и одна, в которой событие D) проис- ходит одновременно с событием О. Очевидно, что события, о которых идет речь в начале предыдущего параграфа (стр. 203—204), разделены про- странственноподобным интервалом. *) Инвариантен только интервал soa, промежутки же времени и длины не инвариантны. 211
§ 40. Сложение скоростей Рассмотрим движение материальной точки В систе- ме К. положение точки определяется в каждый момент времени t координатами х, у, г. Выражения: ___ dx ______ dy ______ dz ux—~dT> иУ~ dt ’ Uz~ dt представляют собой проекции на оси х, у, z вектора ско- рости точки относительно системы К. В системе К' поло- жение точки характеризуется каждый момент времени t' координатами х', у', г'. Проекции на оси х'у', г' век- тора скорости точки относительно системы К' опреде- ляются выражениями: , __ dx' , dy' , _ rfz' Ux ~ df ’ uy ~ df ’ “г ~ df ' Из формул (37.10) вытекает, что dt'+^dx' dx = —°——, dy = dtf, dz — dz', dt = —-^===-. Разделив первые три равенства на четвертое, получим формулы преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой: и'+о В случае, когда v С с, соотношения (40.1) переходят в формулы сложения скоростей (37.2) классической ме- ханики. 212
(40.2) с. Если тело движется параллельно оси х, его скорость и относительно системы К совпадает с их, а скорость и' от- носительно системы К' — с и'х. EJ этом случае закон сло- жения скоростей имеет вид: и' + о и =-----—. 1+2LL + с2 Пусть скорость и' равна с. Тогда для и получается пр формуле (40.2) значение: С + V и =------- 1+-^- с2 Этот результат не является удивительным, так как в основе преобразований Лоренца (а следовательно и фор- мул сложения скоростей) лежит утверждение, что ско- рость света одинакова во всех системах отсчета. Положив в формуле (40.2) и' = v — с, получим для и также зна- чение, равное с. Таким образом, если складываемые ско- рости и' и v не превышают с, то и результирующая ско- рость и не может превысить с. Легко убедиться в том, что результат опыта Физо (см. § 35) объясняется релятивистским законом сложе- ния скоростей. Свяжем с прибором систему отсчета К, а с движущейся водой — систему К.'. Тогда под и' нужно подразумевать скорость света относительно воды, рав- ную с/п, под v — скорость течения воды (которая в § 35 была обозначена буквой и). Согласйо (40.2) скорость света относительно прибора будет равна: с . с , ---1-0 —+ о _ п_______ п 1 + -^ 1+— ПС2 ПС Если v с, полученное выражение можно предста- вить следующим образом: — + V п “"ЛЛ ПС (мы пренебрегли членом (и/п)(и/с)). Такой же резуль- тат дает классическая формула сложения скоростей 213 v ПС
в предположении, что коэффициент увлечения эфира ра- вен (1 — 1/п2), т. е. значению, полученному Физо. Следует обратить внимание на то, что одинакова во всех системах отсчета лишь скорость света в вакууме. Скорость света в веществе различна в разных системах отсчета. Значение с/n она имеет в системе отсчета, свя- занной со средой, в которой происходит распространение света. Из формул (37.11) легко получить выражения для скоростей в системе К' через скорости в системе К'. ux-v Уих ’ с2 , vux 1 (40.3) , vux * -9 Эти формулы отличаются от формул (40.1) лишь знаком перед V. Такой результат, конечно, можно было пред- видеть заранее. § 41. Эффект Допплера В акустике изменение частоты, обусловленное эффек- том Допплера, определяется скоростями движения источ- ника и приемника по отношению к среде, являющейся носителем звуковых волн [см. т. I, формулу (86.3)]. Для световых волн также существует эффект Допплера. Од- нако, поскольку особой среды, которая служила бы но- сителем электромагнитных волн, не существует, доппле- ровское смещение частоты световых волн определяется только относительной скоростью источника и приемника. Свяжем с приемником света начало координат си- стемы К, а с источником — начало координат систе- мы К' (рис. 144). Оси х и х' направим, как обычно, вдоль вектора скорости v, с которой система К' (т. е. источник) движется относительно системы К. (т. е. при- 214
емника). Уравнение плоской световой волны, испускае- мой источником по направлению к приемнику, будет в системе К' иметь вид ’) Е (х', Е) = A' cos [<о' (/' + y-j + a'J, (41.1) где o' — частота волны, фиксируемая в системе отсчета, связанной с источником, т. е. частота, с которой колеб- лется источник. Чтобы не ограничивать общности, мы допускаем, что начальная фаза а' может быть отлична от нуля [см. формулы (16.1) и следующий за ними текст]. Мы снабдили штрихами все величи- ны, кроме с, которая одинакова во всех си- стемах отсчета. Согласно принципу относительности зако- и Приемник Источник х х' ны природы имеют оди- Рнс 144 наковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, в систе- ме К волна (41.1) описывается уравнением: Е (х, t) — A cos [\о [t 4- у) + aj, (41-2) где со — частота, фиксируемая в системе отсчета К, т. е. частота, воспринимаемая приемником. Уравнение волны в системе К можно получить из уравнения (41.1), перейдя от х' и t' к х и / с помощью преобразований Лоренца. Заменив в (41.1) х' и V со- гласно (37.11), получим: Последнее выражение легко привести к виду: Е (х, /) = A' cos СО' (41.3) ’) В выражении для фазы взят знак плюс, так как волна рас* прост роняется в сторону убывания х [см. т. 1, формулу (78.5)]. 215
Уравнение (41.3) описывает в системе К ту же вол- ну, что и уравнение (41.2). Поэтому должно выполняться соотношение1): Переходя от круговой частоты © к обычной v и обо- значая частоту у' в системе источника через Vo, получим: (41.4) Скорость v источника по отношению к приемнику есть величина алгебраическая. При удалении источника »>0и согласно (41.4) v<vo; при приближении источ- ника к приемнику v < 0 и v > va. В случае, если v <С с, формулу (41.4) можно при- ближенно записать следующим образом: v 1-1JL 2 с откуда, ограничиваясь членами порядка v/c, получаем v==v4 (41-5) Из (41.5) можно найти относительное изменение ча- стоты: Ду v_ v с ’ (41-6) где под Av подразумевается v — Vo- Из теории относительности следует, что, кроме рас- смотренного нами продольного эффекта, для ’) Сопоставление уравнений (41.2) и (41.3) дает, что а —.а'. Следовательно, положив в (41.1) а' = 0, нужно в (41.2) считать а = 0..Это объясняемся очень просто: преобразования (37.11) преду- сматривают такой выбор начала отсчета в системах К и К', что при х' = 0 и t' — 0 значения хи/ также обращаются в нуль. 216
световых волн должен существовать также попереч- ный эффект Допплера. Он заключается в умень- шении воспринимаемой приемником частоты, наблю- дающемся в том случае, когда вектор относительной скорости Направлен перпендикулярно к, прямой, прохо- дящей через приемник и источник'),Диогда, например, источник движется по окружности, в центре которой на- ходится приемник). В этом случае частота ve в системе источника связана с частотой v в системе приемника со- отношением: _____ V = vo]/ 1--J~vo(l-1-J). (41.7) Относительное изменение частоты при поперечном эффекте Допплера пропорционально квадрату отношения и/с и, следова- тельно, значительно меньше, чем при продольном эф- фекте (для которого относительное изменение частоты пропорционально первой степени и/с); Существование поперечного эффекта Допплера было доказано экспериментально Айвсом в 1938 г. В опытах Айвса определялось изменение частоты излучения ато- мов водорода в каналовых лучах (см, т. II, § 89). Ско- рость атомов составляла примерно 2-10® м/сек. Эти опыты представляют собой непосредственное экспери- ментальное подтверждение справедливости преобразо- ваний Лоренца. В общем случае вектор относительной скорости мож- но разложить на две составляющие, одна из которых направлена параллельно, а Другая — перпендикулярно к лучу. Первая составляющая обусловит продольный, вторая — поперечный эффект Допплера. Продольный эффект Допплера используется для определения «радиальной» скорости звезд. Измеряя от- носительное смещение линий в спектрах звезд, можно по формуле (41.6) определить v. Тепловое движение молекул светящегося газа при- водит вследствие эффекта Допплера к уширению спек- тральных линий. Из-за хаотичности теплового движения ') Напомним, что для звуковых волн поперечного эффекта Допп- лера не существует. Я17
все направления скоростей молекулы относительно спек- трографа равновероятны. Поэтому в регистрируемом прибором излучении присутствуют все частоты, заклю- ченные в интервале от vo(l—v/c) до vo(l + v/c), где vo — частота, излучаемая молекулами, и — скорость теп- лового движения [см. формулу (41.6)]. Таким образом, регистрируемая ширина спектральной линии составит 2voo/c. Величину 6vd = 2v0-J (41.9) называют допплеровской шириной спект- ральной линии1). По величине допплеровского уширения спектральных линий можно судить о скорости теплового движения мо- лекул, а следовательно и о температуре светящегося газа. § 42. Релятивистская динамика Принцип относительности Эйнштейна утверждает, что все законы природы инвариантны по отношению к пе- реходу от одной инерциальной системы отсчета к дру- гой. Уравнения Ньютона, как мы знаем, инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея (см. т. 1, § 17). Однако легко убедиться в том, что по отношению к преобразованиям Лоренца эти уравнения не инва- риантны. С этой целью рассмотрим, как выглядит в 'инерциальных системах X и К' абсолютно неупругое ’.центральное столкновение двух одинаковых шаров !|(рис. 145,а). Пусть система' К' движется Относительно системы К со скоростью v. В системе К шары движутся навстречу друг другу вдоль оси х с одинаковыми по величине скоростями, проекции которых на ось х равны: uxt = v и их2 = —v. При этих условиях после столкнове- ния шары в системе К будут покоиться: их\ = их2 = 0. Полный импульс системы и до и после столкновения ра- вен нулю — в системе К импульс сохраняется. Теперь рассмотрим тот же процесс в системе К'. Воспользовавшись первой из формул (40.3), найдем для скоростей шаров до столкновения значения и'х} = 0 и ) Строгое рассмотрение требует учета распределения молекул по скоростям. Под v в (41.9) подразумевается наиболее вероятная скорость молекул. 218
и'х2 = — 2v/( 1 4- v2/c2), а для скоростей шаров после столкновения значение u'xl = и'х2 = — v. Полагая, как это делается в ньютоновской механике, массу шаров инва- риантной, получим для суммарного импульса до столк- новения значение —2mv/(l + v2/e2) и после столкнове- ния— значение —2mv. Таким образом, исходя из представлений ньютоновской механики, мы пришли к выводу, будто в системе К.' импульс не сохраняется. Один из основных законов механики — закон сохранения им- пульса — в ньютоновской формулировке оказывается не инвариантным. Инвариантная относительно преобразований Лоренца форма уравнений механики была найдена Эйнштейном. Рассуждения Эйнштейна слишком сложны для того, чтобы их излагать на страницах учебника общей физики. Поэтому мы выберем другой путь. Прежде всего заме- тим, что сохранение суммарного импульса шаров в си- стеме К' можно получить, если допустить, что масса шара зависит от величины его скорости. Для выяснения вида этой зависимости рассмотренное нами неупругое 219
столкновение не годится, поскольку при таком соударе- нии не сохраняется кинетическая энергия системы, что, как мы увидим ниже, приводит к дополнительному свое- образному эффекту. Поэтому мы рассмотрим другой мысленный* эксперимент, предложенный Толменом. Рассмотрим абсолютно упругое соударение двух оди- наковых шаров, которое в системе К. выглядит так, как показано на рис. 145,б1)- Проекции на оси системы К скоростей шаров, до и после соударения имеют значе- ния, приведенные в табл. 2. Легко видеть, что в систе- Таблица 2 Система координат До столкновения После столкновения I-й шар 2-й шар 1-й шар 2-й шар к их а — а а — а иУ ь — ь — ь ь и Va2 + b2 Ка2 + Ь2 Va2 + b2 V а2+ Ь2 К' г их 0 — 2а _ 1 + -^ С2 _ — 2а ~ 1 + а2 0 — 2а а2 1+-^ с2 — 2а ~~ 1 + а2 иу 1 о 1 © 1 м] *0 1 -У 1 7 Ъ|°- । II сч 1еч , Q | 1 •G 1 —— с2 V . 1 —а2 II + — n I a + 1 “1 “ я “ и г — n 1 й 1 1 “1 “ Я -й “ II + — й 1 Я + ^ ” Я “ 1 и' V 1 — а2 К 4а2 + у2 1+а2 V 1—а2 1/ 4д2 + V2 Г 1+а2 ') Отметим,' что хотя скорости шаров до и после столкновения коллинеарны, рассматриваемый удар является нецентральным. 220
ме К. имеет место сохранение как импульса, так и энер- гии (указанные в третьей строке таблицы величины ско- ростей шаров и до и после соударения одинаковы). Теперь рассмотрим тот же процесс в системе К', дви- жущейся относительно К со скоростью v, равной а. Рас- чет по формулам (40.3) дает для проекций скоростей значения, приведенные во второй части табл. 2. Для упрощения записей применены обозначения: (42.1) В последней строке таблицы даны величины скоростей шаров до и после удара. Из табл. 2 следует, что составляющая суммарного импульса по оси х' будет одинакова до и после удара при любой зависимости т от и' (величина скорости и* для каждого из шаров до и после удара одна и та же, проекция скорости на ось х' также одна и та же). Ина- че обстоит дело с составляющей импульса по оси у'. В предположении инвариантности массы для проекции суммарного импульса на ось у' получаются значения W (—У— j- ~У 1 = 2тУц2 т\ 1-а2 т 1+а2 ) 1-а1 до удара и т ( ~У I У \ _ _ 2тУ«2 \ 1-а2 1+а2 ) 1-а1 после удара. Поскольку эти значения неодинаковы, мы приходим к несохранению импульса. Допустим, что т = т(и'), и потребуем сохранения проекции суммарного импульса на ось у'. В результате получим следующее функциональное уравнение: т{—У_\_У___+У2^У...= (1-а2)1-а2^( 1+а2 /1+а2 „ ( Y \ -Y д_ //4д2 +V2^ V Ц1-а2/ 1-а2 \ 1+а2 /1+а2' Сократив на отличный от нуля общий множитель у и приведя подобные члены, придем к соотношению: / у \ 2 / /4а2 + у2 \ 2 /И -1——5- ;--г = ГП |-—5---1 ТЧ—Г • \ 1 — а2 / 1 — а2 \ 1+а2 /1+а2 (42.2) 221
Это соотношение должно выполняться при любых значе- ниях а и Ь. В частности, оно должно выполняться и при Ь, равном нулю. В этом случае соотношение (42.2) принимает вид [у обращается в нуль вместе с fe; см. формулы (42.1)]: т (0) = т (• (42.3) ' ’ 1 — а2 \ 1 + а2 / 1 + а2 v ' Подставив значение (42.1) для а, перепишем (42.3) следующим образом: 1 °2 т (= т (0) “hr' (42‘4) \1+7г- у 1~72' Это соотношение связывает массу шара, движущегося со скоростью = (42.5) 1+Л- с2 с массой покоящегося шара т0 = т(0). Перепишем равенство (42^5) следующим образом: Отсюда Перемножив эти равенства, получим, что 222
откуда Подставив это значение в формулу (42.4) и заменив обозначение величины скорости и' на v, придем к окон- чательной формуле: т = -7^=. (42.6) /-4 Здесь т0 — инвариантная, т. е. одинаковая во всех инер- циальных системах отсчета, величина, называемая мас- сой покоя данного тела; m = m(v)—масса того же тела, которой оно обладает, двигаясь со скоростью v. Величина т называется релятивистской мас- сой или просто массой тела. Формула (42.6) нам уже хорошо знакома. Напомним, что Томсон в опытах по определению удельного заряда электрона наблюдал изменение получаемых им значе- ний е/т, происходившее в точном соответствии с фор- мулой- (42.6) [см. т. II, § 66]. Умножив (42.6) на скорость v, получим релятивист- ское выражение для импульса материальной точки: р= (42.7) При v <С с выражение (42.7) переходит в классическое выражение для импульса р = mov, где т0— постоянная величина. Аналогично, все другие формулы релятивист- ской динамики переходят при скоростях, много меньших скорости света в пустоте, в формулы классической ме- ханики. Одна из формулировок второго закона Ньютона гла- сит, что производная импульса материальной точки по времени равна действующей на тело силе [см. т. I, фор- мулу (22.3)]. В такой формулировке уравнение второго закона оказывается инвариантным относительно преоб- разований Лоренца, если под импульсом подразумевать 223
величину (42.7). Следовательно, релятивистское выра- жение второго закона Ньютона имеет вид: (42.8) где f — результирующая сил, действующих на тело. При переходе от одной системы отсчета к другой сила f пре- образуется по определенным законам. Рассмотрение этих законов выходит за рамки нашего курса. Найдем релятивистское выражение для энергии ма- териальной точки (для краткости будем называть ее частицей). Будем исходить из уравнения движения (42.8). Умножим его на vdt: (— w°v \ v dt = fv dt. Правая часть этого соотношения .дает работу dA, совер- шаемую над частицей за время dt. Из закона сохранения энергии следует, что работа, совершаемая над частицей, должна быть равна приращению энергии частицы dE. Поэтому можно написать: Преобразуем правую часть этого выражения, помня, что vz =. V2, a v dv = v dv: тосг НН Интегрирование полученного нами соотношения дает: Е — —const. 224
Эйнштейн положил константу равной нулю. При этом условии для энергии частицы получается выражение: Е =—= тс2, (42.9) /‘-£ где т— релятивистская масса частицы. В случае, когда скорость частицы v — 0, энергия при- нимает значение £0=т0с2. (42.10) Величина (42.10) носит название энергии покоя частицы. Эта энергия, очевидно, представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движе- нием частицы как целого. Кинетическую энергию частицы Т естественно опре- делить как разность Е и Ео. Подставив значения (42.9) и (42.10) этих величин, получим: Ч/-5- ) ) (42.11) В случае малых скоростей (t> с) эту формулу можно преобразовать следующим образом: "ЦР I 1 с2 ' 1 ~ т.с 1J 2 • 7 Мы пришли к классическому выражению для кинетиче- ской энергии частицы. В этом нет ничего удивитель- ного— выше уже отмечалось, что при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики переходят в формулы классической механики. Исключив из уравнений (42.7) и (42.9) скорость v [уравнение (42.7) нужно взять в скалярном виде], по- лучим выражение энергии частицы через импульс р: Е = с Vр2 + т2с2 (42.12) (классическое выражение имеет вид: Е = р2/2т). Формулы (42.9) и (42.10) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, со- стоящего из. многих частиц. Энергия Ео покоящегося 8 И. В. Савельев, т. Ш 225
тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра инерции тела) и энергию их взаимодействия друг с дру- гом. В энергию покоя, как и в полную энергию (42.9), не входит потенциальная энергия тела во внешнем сило- вом поле. Из соотношения (42.9) вытекает, что энергия и масса тела всегда пропорциональны друг другу. Всякое *) из- менение энергии тела ДЕ сопровождается изменением массы тела Дт = &Е[с* 2 и, наоборот, всякое изменение массы Д/п сопровождается изменением энергии ДЕ = = с2Дт. Это утверждение носит название закона взаимосвязи или закона пропорциональ- ности массы и энергии2). Отметим, что пропорциональность между релятивист- ской массой и энергией приводит к тому, что утвержде- ние о сохранении суммарной релятивистской массы ча- стиц представляет собой сказанное иными словами утверждение о сохранении суммарной полной энергии. В связи с этим в физике не принято говорить о законе сохранения релятивистской массы как об отдельном законе. Обратимся снова к неупругому соударению двух ша- ров (рис.. 145,а). На первый взгляд может показаться, что записав закон сохранения импульса в системе К' в виде т (ио) ио~^т (и')и' (42.13) (где и'о = — 2d/(1 + v2/c2), а и' = —v) и взяв в качестве т(и') функцию (42.6), мы получим тождество. Однако нас ждет .разочарование. В самом деле, подставив в (42.13) функцию т(и') и соответствующие значения про- екций скоростей, получим соотношение: т0___________ 2р/(1 + Р2/са)У с / — =2 V2 (-о), (42.14) ') За исключением изменения потенциальной энергии во внеш- нем поле сил. 2) Иногда говорят об эквивалентности массы и энергии, подра- зумевая под этим их взаимосвязь и пропорциональность друг другу. Очевидно, что термин «пропорциональность» правильнее отражает существо дела, чем термин «эквивалентность». 226
которое после элементарных преобразований приобретает вид: Таким образом, никакого тождества не получилось. Причина нашей неудачи заключается в том, что мы без должных на то оснований полагали, что масса покоя Мо составного тела, возникающего после удара шаров, равна удвоенной массе покоя каждого шара в отдельности. В действительности внутренняя энергия составного тела больше суммы внутренних энергий шаров перед ударом (удар неупругий), а следовательно, и масса покоя Мо должна быть больше 2/п0 [см. формулу (42.10)]. Если не делать заранее никаких предположений отно- сительно Мо, в правую часть уравнения (42.14) нужно вместо 2т0 подставить Л10. Тогда после преобразований мы придем к соотношению: MQ 2т (v). (42.15) Заметим, что формула (42.15) следует непосредствен- но из закона сохранения энергии. В этом можно убе- диться, умножив обе части формулы на с2 и приняв во внимание выражение (42.9). Итак, при неупругих соударениях масса покоя обра- зующегося составного тела не равна сумме масс покоя соударяющихся частиц. При взаимодействиях частиц суммарная масса покоя не сохраняется.
ГЛАВА V4I ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ § 43. Дисперсия света Дисперсией света называются явления, обусловлен- ные зависимостью показателя преломления вещества от частоты (или длины) световой волны. Эту зависимость можно охарактеризовать функцией n = f (Хо), (43.1) где Хо — длина световой волны в вакууме. Первое экспериментальное исследование дисперсии света было выполнено Ньютоном в 1672 г. по способу преломления в стеклянной призме. 0 кр Рис? 146. Характер дисперсии становится особенно наглядным, если применить метод скрещенных призм. Первая (вспо- могательная) стеклянная, призма разворачивает пучок света вдоль одного, направления (см. пунктирную по- лосу на рис. 146, а и б). Вторая призма, изготовленная из исследуемого вещества, Отклоняет каждый из лучей в 228
другом направлении. Это отклонение определяется зна- чением п(Хо) для данного вещества, так что получаю- щаяся на экране искривленная радужная полоса на- глядно передает ход показателя преломления с длиной волны ?.(). Для всех прозрачных бесцветных веществ функция (43.1) имеет в видимой части спектра вид, показанный на рис. 146, в. С уменьшением длины волны показатель преломления увеличивается со все возрастающей ско- ростью, так что величина dnld).a, называемая диспер- сией вещества, также увеличивается по модулю с уменьшением Такой характер дисперсии называют нормальным. Рис. 146,а соответствует случаю нор- мальной дисперсии. Зависимость пот Zo в области нормальной дисперсии может быть представлена приближенно формулой: п==й + ^ + тг + •••» (43.2) Ло Ло где а, Ь, с, ... — постоянные, значения которых для каж- дого вещества определяются экспериментально. В боль- шинстве случаев можно ограничиться двумя первыми членами формулы, полагая , b п = а + ~^. В этом случае дисперсия вещества изменяется по закону; dn___________________________2b Если вещество поглощает часть лучей, в области по- глощения и вблизи от нее ход дисперсии обнаруживает аномалию (рис. 146,6). На некотором участке более ко- роткие волны преломляются меньше, чем более длин- ные. Такой ход зависимости п от Хо называется ано- мальной д ис Персией. § 44. Групповая скорость Волна, описываемая уравнением Е, = A cos (<о/ — kx), (44.1) представляет собой последовательность горбов и впадин, имеющую бесконечные протяженность и длительность. 229
В самом деле, уравнение (44.1) определяет смещение g для всех значений х и t, заключенных в пределах от —оо до +оо. Ясно, что с помощью такой волны нельзя передать никакого сигнала. Для того чтобы волна могла быть использована для передачи сигнала, на ней нужно сделать «отметку», скажем, оборвать ее на какой-то про- межуток времени. Однако в этом случае волна уже не будет описываться уравнением (44.1). Возьмем фиксированное значение фазы волны (44.1): at — kx = const. Дифференцирование этого выражения дает: и dt — kdx= =0, откуда для скорости v = dxfdt, с которой переме- щается данное значение фазы в пространстве, полу- чается значение: v = (44.2) Величина v, как мы знаем, называется фазовой ско- ростью волны. В § 19 мы уже отмечали, что даже свет, определяе- мый как монохроматический, представляет собой нало- жение волн вида (44.1) с частотами, заключенными в интервале Дю. Суперпозиция волн, мало отличаю- щихся друг от друга по частоте (или длине волны), на- зывается группой волн. Выражение группы волн имеет вид: Ы|Лб>/2 J cos (rot — kax) da. (44.3) co—Aco/2 Суммируемые в (44.3) волны отличаются друг от друга по 7, а следовательно и по k (k = 2лД). В некото- рый момент времени t отличие по фазе складываемых волн в разных точках (для разных х) будет различно. В одних точках волны усиливают друг друга больше, в других — меньше. В том месте, где волны в данный момент больше всего усиливают друг друга, будет на- блюдаться максимум интенсивности. С течением времени этот максимум перемешается в пространстве. Сказанное можно пояснить на примере сложения двух волн с раз- личными к (рис. 147). Одна из волн изображена сплош- ной линией, вторая — пунктирной. Интенсивность макси- мальна в точке А, где фазы обеих волн в данный момент 230
совпадают. В точках В и С обе волны находятся в про- тивофазе, вследствие чего интенсивность результирую- щей волны минимальна. Точку, в которой амплитуда (а следовательно и ин- тенсивность) группы волн имеет максимум, называют центром группы волн. Если все составляющие группы волн распространяются с одинаковой фазовой скоростью v, то относительное расположение волн остается все время неизменным. Следовательно, центр Рис. 147. группы также будет перемещаться в пространстве со скоростью V. Иначе обстоит дело, если наблюдается дис- персия, т. е. зависимость- фазовой скорости волн от ча- стоты. В этом случае центр группы волн перемещается со скоростью « = >> <44-4) называемой групповой скоростью. Заменив согласно (44.2) со через vk, выражение для групповой скорости можно представить в виде d(vk) , , dv U — —л/--= и + К-77- . dk dk Заменим в этом выражении dvjdk через (dv/dh) X X (dk/dk). По определению k = 2лД или Л = 2л/&. Сле- довательно dl./dk = — 2л/&2 = —Z/А:, так что dvfdk = — —(dv/dh) (K/k). Подставив это значение в формулу для и, получим: u = v-K~. (44.5) Очевидно, что выражения (44.4) и (44.5) эквива- лентны. Докажем правильность формулы (44.4) на примере двух слагаемых волн, описываемых уравнениями £] = a cos (со? — kx), £2 = a cos [(со + Дсо) t — (k + Д/г) х]. 231
Для упрощения выкладок мы положили амплитуды обеих волн одинаковыми. Будем предполагать выпол- няющимися условия: Д® <С со; &k k. Сложив уравне- ния и произведя преобразования по формуле для суммы косинусов, получим уравнение результирующей волны: I = + £2 = [2° cos t ~ *]] cos (“* “ kx) (44.6) (во втором множителе мы пренебрегли Дсо по сравнению. с2(ои ДА по сравнению с 2k). Множитель, стоящий в квадратных скобках, изме- няется с t и х гораздо медленнее, чем второй множи- тель. Поэтому выражение (44.6) можно рассматривать как уравнение плоской волны, амплитуда которой изме- няется по закону1) Амплитуда = [2а cos 1 — x^j. Максимуму амплитуды соответствует фаза, равная нулю (или ±тл, где т — целое число). Следовательно, координата хт центра группы волн в момент времени t определяется из условия: Дсо , ДА л — f_ —Хт = 0. Отсюда для групповой скорости и = dxmldt получается значение: и = Ды/Д/г. Перейдя к дифференциалам, полу- чим формулу (44.4). Из формулы (44.5) видно, что ъ зависимости от зна- ка dvldk групповая скорость « может быть как меньше, так и больше фазовой скорости v. В отсутствие диспер- сии dvjdk = 0 и групповая скорость совпадает с фазовой. Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому в тех случаях, когда понятие групповой скорости имеет смысл, скорость переноса энергии волной равна групповой скорости. Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в данной среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Такой случай имеет место в области аномальной дисперсии. В этой ’) Ср. с т. I, формулами (70.1) и (70.2). Зависимость функции (44.6) от * при фиксированном t изображается кривой, аналогичной кривой на рис. 173,а в т. I. 232
области поглощение очень велико и понятие групповой скорости оказывается неприменимым. Из сказанного в этом параграфе ясно, что во всех описанных в § 4 опытах Определялась не фазовая, а группойая скорость световых волн (напомним, что в вакууме эти скорости совпадают). § 45. Элементарная теория дисперсии Дисперсия света может быть объяснена на основе электромагнитной теории и электронной теории веще- ства. Для этого нужно рассмотреть процесс взаимодей- ствия света с веществом. Движение электронов в ато- ме подчиняется законом квантовой механики (см. § 66). В частности, понятие траектории электрона в атоме теряет всякий смысл. Однако, как показал Лоренц, для качественного понимания многих оптических явле- ний достаточно ограничиться гипотезой о существова- нии внутри атомов и молекул электронов, связайных квази-упруго. Будучи выведены из положения равновесия, такие электроны начнут колебаться, постепенно теряя энергию колебания на излучение электромагнитных воли. В результате колебания будут затухающими. Затухание можно учесть, введя «силу трения», пропорциональную скорости. При прохождении через вещество электромагнитной волны каждый электрон оказывается под действием электрической силы, изменяющейся по закону: f = еЕ0 cos (at 4- а), (45.1) где а — величина, определяемая координатами данного электрона, Ео — амплитуда напряженности электриче- ского поля волны. Под воздействием этой силы электрон начинает со- вершать вынужденные колебания, амплитуда (гт) и фаза (<р) которых определяются формулами: _______(еЕ0/т)____ Гт~ , (см. т. 1, формулы (75.7) и (75.8); ©о — собственная ча- стота электрона, Р — коэффициент затухания]. 233
Колеблющийся электрон возбуждает вторичную вол- ну, распространяющуюся со скоростью с. Вторичные волны, складываясь с первичной, образуют результи- рующую волну. Фазы вторичных волн отличаются от фазы первичной волны [см. (45.2)]. Это приводит к тому, что результирующая волна распространяется в веще- стве с фазовой скоростью v, отличной от скорости волн в пустоте (фазовая скорость первичной и вторичной волн в веществе равна с). Различие между v и с будет тем больше, чем сильнее вынужденные колебания электро- нов (т. е. чем ближе частота волны к резонансной ча- стоте электронов). Отсюда вытекает существование за- висимости и от ю, т. е. дисперсии. Чтобы упростить вычисления, затуханием за счет из- лучения вначале будем пренебрегать. Впоследствии мы учтем затухание, внеся в полученные формулы соответ- ствующие поправки. Положив в формулах (45.2) 0 = 0, получим: » = 0. <о0 — со Таким образом, при отсутствии затухания электрон будет совершать под действием силы (45.1) колебание, описываемое формулой: г (t) — cos (at 4- а). COq —со Учтя, что мгновенное значение напряженности элект- рического поля в данной точке вещества равно Е (t) — = Eq cos (cot + се), мгновенное значение смещения элек- трона из положения равновесия можно представить в виде: r(t) = (е/,п) 2ЦП _ COq — со В результате смещения электронов1) из положений равновесия молекула приобретет электрический ди- польный момент [см. т. II, формулу (13.3)]: Р (0 = 2 etrt (t) = -^7) Е (t) ’) Масса ядер во много раз больше массы электронов, поэтому смещениями положительных зарядов можно пренебречь. 234
(суммирование производится по всем электронам, вхо- дящим в состав молекулы; направления смещений гД/) совпадают с направлением Е(/), поэтому геометриче- ческое сложение можно заменить алгебраическим). Умножив p(t) на число молекул в единице объема N, получим мгновенное значение вектора поляризации ве- щества: I £2 / tTl г I = = ]E(t). (45.3) Диэлектрическая проницаемость вещества по опреде- делению [см. т. II, формулы (16.8) и (15.2)] равна: е=1+х=1 + ^. Подставив сюда значение Р/Е из (45.3) и заменив со- гласно (16.6) е через /г2, получим формулу: При значениях частоты волны со, заметно отличаю- щихся от всех собственных частот соос, сумма в (45.4) будет мала по сравнению с единицей, так что п2 я? 1. Вблизи каждой из соб- ственных частот функ- ция (45.4) терпит раз- рыв: при со—>ыог она обращается в +оо,если со < СООг» И в —оо, если 7 со > coo,-. Такое поведе- ние функции обуслов- лено тем, что мы прене- брегли затуханием о (если положить р = О, то выражение (45.2) Рис. 148. для амплитуды выну- жденных колебаний обращается в оо при со = соо; когда р отлично от нуля, амплитуда при всех значениях со остается конечной). Учет затухания приводит к за- висимости п2 от со, показанной на рис. 148 [пунктиром показан ход функции (45.4)]. Перейдя от п2 к п и от со к Хо, получим кривую, изо- браженную на рис. 149 (дан лишь участок кривой 235
в области одной из резонансных длин волн). Пунктирная кривая изображает ход коэффициента поглощения света веществом (см. следующий параграф). Участок 3—4 аналогичен кривой, приведенной на рис. 146, в. Участки 1—2 и - 3—4 соответствуют нормальной дисперсии (dn/dXo<O). На участке 2—3 дисперсия аномальна (dnld'Ka > 0). В области 1—2 показатель преломления меньше единицы, следовательно, фазовая скорость вол- ны превышает с. Это обстоятельство не противоречит теории относительности, осно- вывающейся на утверждении, что скорость передачи сигнала не может превысить с. В пре- дыдущем параграфе мы выяс- нили, что передать сигнал с помощью идеально монохрома- тической волны невозможно. Передача же энергии (т. е. сиг- нала) с помощью не вполне монохроматической волны (группы волн) осуществляется со скоростью, равной группо- ^Орез Рис. 149. Л вой скорости (44.5). В области нормальной дисперсии dvfd'k>Q (dn и dv имеют разные знаки, a dti/db <G), так что, хотя и>.с, групповая скорость оказывается меньше с. В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл (поглощение очень ве- лико). Поэтому вычисленное по формуле (44.5) значе- ние и не будет характеризовать скорости передачи энер- гии. Соответствующий расчет дает и в этой области для скорости передачи энергии значение, меньшее с. В заключение отметим, что при известных допуще- ниях, хорошо оправдывающихся на опыте для многих ве- ществ, из формулы (45.4) может быть получена прибли- женная формула (43.2). § 46. Поглощение света При прохождении электромагнитной волны через ве- щество часть энергии волны затрачивается йа возбужде- ние колебаний электронов. Частично эта энергия вновь возвращается излучению в виде вторичных волн, возбу- ждаемых электронами; частично же она переходит в дру- 236
гие виды энергии (например, в энергию движения ато- мов, т. е. во внутреннюю энергию вещества). Таким об- разом, интенсивность света при прохождении черкез ве- щество уменьшается — свет поглощается в веществе. Вы- нужденные колебания электронов, а следовательно и поглощение света, становятся особенно интенсивными при резонансной частоте (см. изображенную пунктиром кривую поглощения на рис. 149). Опыт показывает, что изменение интенсивности света на пути dl пропорционально величине этого пути и вели- чине самой интенсивности: dl = — х/ dl. (46.1) В этом выражении х — постоянная, зависящая от свойств поглощающего вещества и называемая коэф- фициентом поглощения. Знак минус поставлен потому, что dl и dl имеют разные знаки. Пусть на входе в поглощающий слой (на границе или в каком-то месте внутри вещества) интенсивность света равна /о- Найдем интенсивность I света, прошедшего слой вещества толщины I. Для этого проинтегрируем выражение (46.1), предварительно разделив переменные: В результате получим: 1п/ — 1п/0 = —х/, откуда / = /ое-и'. (46.2) Соотношение (фб.2) носит название закона Бугера. Согласно этому закону интенсивность света убывает в поглощающем веществе экспоненциально. При I = 1/х интенсивность / оказывается в е раз меньше, чем Д. Таким образом, коэффициент поглощения есть величина, обратная толщине слоя, при прохождении которого ин- тенсивность света убывает в е раз. Коэффициент поглощения зависит от длины волны света Z. (или частоты <о). У вещества, находящегося в таком состоянии, что атомы или молекулы практиче- ски не воздействуют друг на друга (газы и пары метал- лов при невысоком давлении), коэффициент поглощения для большинства длин волн, близок к нулю н лишь для очень узких спектральных областей (шириной в несколько 237
Рис. 150. сотых ангстрема) обнаруживает резкие максимумы (рис. 150). Эти максимумы соответствуют резонансным частотам колебаний электронов внутри атомов. В случае многоатомных молекул обнаруживаются также частоты, соответствующие колебаниям атомов внутри молекул. Так как массы атомов в десятки тысяч раз больше мас- сы электрона, молекуляр- ные частоты бывают на- много меньше атомных—• они попадают в инфра-. красную область спектра. Твердые тела, жидко- сти и газы при высоких давлениях дают широкие полосы поглощения (рис. 151). По мере повышения давления газов максимумы поглощения, первоначально очень узкие (см. рис. 150), все более расширяются, и при высоких давлениях спектр поглощения газов приближается к спектрам поглоще- ния жидкостей. Этот факт указывает на то, что рас- ширение полос поглощения есть результат взаимодействия атомов друг с другом. Металлы практически непро- зрачны для света (х для них со- ставляет величину порядка де- сятков тысяч обратных сантимет- ров; для сравнения укажем, что для стекла х ~ 10~2 см-1). Это обусловлено наличием в металлах свободных электронов. Под действием электрического поля световой волны свободные электроны приходят в движение — в металле возникают быстропеременные то- ки, сопровождающиеся выделением ленц-джоулева теп- ла. В результате энергия световой волны быстро умень- шается, превращаясь во внутреннюю энергию металла. § 47. Рассеяние света С классической точки зрения процесс рассеяния света заключается в том, что свет, проходящий через вещество, возбуждает колебания электронов в атомах. Колеблю- щиеся электроны становятся источниками вторичных 238
волн, распространяющихся по всем направлениям. Это явление, казалось бы, должно при всех условиях при- водить к рассеянию света. Однако вторичные волны яв- ляются когерентными, так что необходимо учесть их вза- имную интерференцию. Соответствующий расчет показывает, что в случае однородной среды вторичные волны полностью гасят друг друга во всех направлениях, кроме направления распространения первичной волны. Поэтому перераспре- деление света по направлениям, т. е. рассеяние света, отсутствует. В направлении первичного луча вторичные волны, интерферируя с первичной проходящей волной, образуют результирующую волну с фазовой скоростью, отличной от с. Этим, как мы видели в предыдущих параграфах, объясняются преломление и дисперсия света. Таким образом, рассеяние света возникает только в неоднородной среде. Световые волны, дифрагируя на неоднородностях среды, дают дифракционную картину, характеризующуюся довольно равномерным распределе- нием интенсивности по всем направлениям. Такую ди- фракцию на мелких неоднородностях называют рас- сеянием света1). Среды с явно выраженной оптической неоднородно- стью носят название мутных сред. К их числу при- надлежат: 1) дымы, т. е. взвеси мельчайших частиц в газах; 2) туманы — взвеси в газах мельчайших капелек жидкости; 3) взвеси или суспензии, образованные пла- вающими в жидкости твердыми частичками; 4) эмуль- сии, т. е. взвеси мельчайших капелек одной жидкости в другой, не растворяющей первую (примером эмульсии может служить молоко, представляющее собой взвесь капелек жира в воде); 5) твердые тела вроде перламут- ра, опалов, молочных стекол и т. д. В результате рассеяния света в боковых направле- ниях интенсивность в направлении распространения убы- вает быстрее, чем в случае одного лишь поглощения. Поэтому для мутного вещества в выражении (46.2), на- ряду с коэффициентом истинного поглощения х, должен стоять добавочный коэффициент х', обусловленный ') Иногда это явление называют диффузией или явле- нием Тиндаля. 239
рассеянием: / =/ое-(х+хэ । (47.1) Величина и' носит название коэффициента экс- тинкции. Если размеры неоднородностей малы по сравнению с длиной световой волны (не более ~0,IX), интенсив- ность рассеянного света / оказывается пропорциональ- ной четвертой степени частоты или обратно пропорцио- нальной четвертой степени Длины волны: loo со4 се (47.2) Эта зависимость носит название закона Рэлея. Ее происхождение легко понять, если учесть, что соглас- но электромагнитной теории интенсивность вторичных волн пропорциональна квадрату ускорения излучающего электрона [см. т. II, формулу (114.5)]. Движение электро- на под действием световой волны происходит по гармо- ническому закону: г = rm cos at. В этом случае ускорение пропорционально со2. Следовательно, интенсивность излу- чения будет пропорциональна со4. Если размеры неоднородностей сравнимы с длиной волны, электроны, находящиеся в различных местах не- однородности, колеблются с заметным сдвигом по фазе. Это обстоятельство усложняет явление и приводит к иным закономерностям. Интенсивность рассеянного све- та становится пропорциональной всего лишь квадрату частоты (обратно пропорциональной квадрату длины волны). Напомним, -что рассеянный свет является частично поляризованным (см. § 29, рис. 113). Проявление закономерности (47.2) легко наблюдать, пропуская пучок белого света через сосуд с мутной жидкостью (рис. 152). Вследствие рассеяния след пучка в жидкости хорошо виден сбоку, причем, так как корот- кие световые волны рассеиваются гораздо сильнее длин- ных, этот след представляется голубоватым. Прошедший через жидкость пучок оказывается обогащённым длин- новолновым излучением и образует на экране Е не бе- лое, а красновато-желтое пятно. Поставив на входе пуч- ка в сосуд поляризатор, мы обаружим, что интенсивность рассеянного света в различных направлениях, перпенди- 240
кулярных к первичному пучку, не одинакова. Направлен- ность излучения диполя (см. т. II, рис. 246) приводит к тому, что в направлениях, совпадающих с плоскостью колебаний первичного пучка, интенсивность рассеянного света практически равна нулю, в направлениях же, пер- пендикулярных к плоскости колебаний, интенсивность рассеянного света максимальна. Поворачивая поляриза- тор вокруг направления первичного пучка, мы будем наблюдать попеременное усиление и ослабление света, рассеивающегося в данном направлении. Даже тщательно очищенные от посторонних приме- сей и загрязнений жидкости н газы, которых нельзя на- звать мутными с-редами, в некоторой степени рассеивают 1^0 / ^тах Рис. 152. свет. Л. И. Мандельштам и М. Смолуховский устано- вили, что причиной появления оптических неоднородно- стей являются в этом случае флуктуации плотности (т. е. наблюдаемые в пределах малых объемов отклонения плотности от ее среднего значения). Эти флуктуации вы- званы беспорядочным движением молекул вещества; по- этому обусловленное ими рассеяние света называется молекулярным. Молекулярным рассеянием объясняется голубой цвет неба. Непрерывно возникающие в атмосфере, вследствие беспорядочного молекулярного движения, места сгуще- ния и разрежения воздуха рассеивают солнечный свет. При этом согласно закону (47.2) голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем желтые и красные, обуслов- ливая голубой цвет неба. Когда Солице находится низко над горизонтом, распространяющиеся непосредственно от него лучи проходят большую толщу рассеивающей среды, в результате чего они оказываются обогащенны- ми большими длинами волн. По этой причине небо на Заре окрашивается в красные тона. 241
Особенно благоприятные условия для возникновения значительных флуктуаций плотности имеются вблизи критического состояния вещества (в критической точке dpfdV = 0; см. т. I, § 118). Эти флуктуации приводят к столь интенсивному рассеянию света, что «на просвет» стеклянная ампула с веществом кажется совершенно черной (это явление называется критической опа- лесценцией). § 48. Эффект Вавилова — Черенкова В 1934 г. П. А. Черенков, работавший под руковод- ством С. И. Вавилова, обнаружил особый вид свечения жидкостей под действием у-лучей радия. Вавилов вы- сказал правильное предположение, что источником излу- чения служат быстрые электроны, создаваемые у-лу- чами. Полное теоретическое объяснение этого явления, по- лучившего название эффек- та Вавилова—Черенко- в а, было дано в 1937 г. И. Е. Таммом и И. М. Фран- ком *). Согласно электромагнитной теории заряд, движущийся без ускорения, не излучает элек- тромагнитных волн (см. т. II, § 114). Однако,-как показали Тамм и Франк, это справедливо лишь в том случае, если скорость заряженной частицы v не превышает фа- зовую скорость с/п. электромагнитных волн в той среде, в которой движется частица* 2). При условии, что скорость заряженной частицы v > с/п, даже двигаясь равномерно, частица будет излучать электромагнитные волны. В действительности излучающая частица теряет энер- гию, вследствие чего движется с отрицательным ускоре- нием. Но это ускорение является не причиной (как в *) В 1958 г. работа Черенкова, Тамма и Франка была отмечена Нобелевской премией. 2) Напомним, что согласно теории относительности скорость ча- стицы не может не только превысить, но и достигнуть значения, равного скорости света в пустоте, 242
случае v < c/n), а следствием излучения. Если бы по- теря энергии за счет излучения восполнялась каким-либо способом, то частица, движущаяся равномерно со ско- ростью v > с/п, все равно была бы источником излу- чения. В излучении Вавилова — Черенкова преобладают ко- роткие волны, поэтому оно имеет голубую окраску. На- иболее характерным свойством этого излучения является то, что оно испускается не по всем направлениям, а лишь вдоль образующих конуса, ось которого совпа- дает с направлением скорости частицы (рис. 153). Угол О’ между направлениями распространения излучения и вектором скорости частицы определяется следующим со- отношением: CosO = -^- = —. (48.1) V tlV ' ' Экспериментально наблюдался эффект Вавилова — Черенкова для • электронов, мезонов и протонов, при дви- жении их в жидких и твердых средах. Эффект Вавилова — Черенкова находит все более широкое применение в экспериментальной технике. В так называемых счетчиках Черенкова свето- вая Ёспышка, порождаемая быстродвижущейся заряжен- ной частицей, превращается с помощью фотоумножи- теля *) в импульс тока. Для того чтобы заставить срабо- тать такой счетчик, энергия частицы должна превысить пороговое значение,, определяемое условием: v = с/п. Поэтому черенковские счетчики позволяют не только ре- гистрировать частицы, но и судить об их энергии. Уда- ется даже определить угол между направлением вспышки и скорость частицы, что дает возможность вы- числить по формуле (48.1) скорость (а значит и энер- гию) частицы. Ч Фотоумножителем называют электронный умножитель (см. т. II, стр. 320), первый электрод которого (фотокатод) способен испускать электроны под действием света.
ГЛАВА VIII ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ § 49. Тепловое излучение и люминесценция Энергия, расходуемая светящимся телом на излуче- ние, может пополняться из различных источников. Окис- ляющийся на воздухе фосфор светится за счет энергии, выделяемой при химическом превращении. Такой вид свечения называется хемилюминесценцией. Све- чение, возникающее при различных видах самостоятель- ного газового разряда, носит название элeктpoлю- м и н е с ц е н ц и и. Свечение твердых тел, вызванное бомбардировкой их электронами, называют катодо- л юм и н есцен цией.-Испускание телом излучения не- которой характерной для него длины волны Zj можно вы- звать, облучая это тело (или облучив предварительно) излучением длины волны Кг. меньшей чем Кь Такие про- цессы объединяются под "названием фотолюминес- ценции *). Самым распространенным является свечение тел, обусловленное их нагреванием. Этот вид свечения назы- вается тепловым (или температурным) излу- чением. Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако при невысоких температурах излу- чаются практически лишь длинные (инфракрасные) элек- тромагнитные волны. Окружим излучающее тело непроницаемой оболочкой с идеально отражающей поверхностью (рис. 154). Воздух ’) Люминесценцией называется излучение, избыточное над теп- ловым излучением тела при дайной температуре н имеющее дли- тельность, значительно превосходящую период излучаемых волн. Люмииесцирующие вещества называются люминофорами. 244
из оболочки удалим. Отраженное оболочкой излучение, упав на тело, поглотится им (частично или полностью). Следовательно, будет происходить непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излуче- нием. Если распределение энергии между телом и излу- чением остается неизменным для каждой длины волны, состояние системы тело — излучение будет равновесным. Опыт показывает, что единственным видом излучения, которое может находиться в равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение. Все остальные виды излучения оказываются неравно- весными. Способность теплового излучения tf l\ . находиться в равновесии с излучаю- и гш' и щими телами обусловлена тем, что его и и интенсивность возрастает при повыше- (к? -X» нии температуры. Допустим, что рав- >, jg новесие между телом и излучением (см. рис. 154) нарушено и тело излу- чает энергии больше, чем поглощает. Рис- ,54- Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к понижению температуры. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излу- чаемой телом энергии. Температура тела будет пони- жаться до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энер- гии. Если равновесие нарушится в другую сторону, т. е. количество излучаемой энергии окажется меньше, чем поглощаемой, температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. Таким обра- зом, нарушение равновесия в системе тело — излучение вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие. Иначе обстоит дело в случае любого из видов люми- несценции. Покажем это на примере хемилюминесцен- ции. Пока протекает обусловливающая излучение хими- ческая реакция, излучающее тело все больше и больше удаляется - от первоначального состояния. Поглощение телом излучения не изменит направления реакции, а на- оборот приведет к более быстрому (вследствие нагрева- ния) протеканию реакции в первоначальном направле- нии. Равновесие установится лишь тогда, когда будет из- расходован весь запас реагирующих веществ и Свечение, 245
обусловленное химическими процессами, заменится теп- ловым излучением. Итак, из всех видов излучения расновесным может быть только тепловое излучение. К равновесным состоя- ниям и процессам применимы законы термодинамики. Следовательно, и тепловое излучение должно подчи- няться некоторым общим закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики. К рассмотрению этих за- кономерностей мы и перейдем. § 50. Закон Кирхгофа Для характеристики теплового излучения, мы будем пользоваться величиной потока энергии, измеряемой в ваттах (напомним, что световой поток связан с потоком энергии через функцию видности; см. § 5). Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2л), называют энергетической све- тимостью тела /?э [ср. с величиной (6.8)]. Излучение состоит из волн различных частот ® *) (или длин X). Обозначим поток энергии, испускаемый едини- цей поверхности тела в интервале частот da, через dRa (чтобы не усложнять обозначений, мы опустили индекс «э» при R). При малой величине интервала da поток dRa будет пропорционален da'. dRa~rada. (50.1) Величина го называется испускательной спо- собностью тела. Опыт показывает, что испускатель- ная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом, г№ есть функция частоты и температуры. Соответственно и энергетическая светимость является функцией температуры. Зная испускательную способность, можно вычислить энергетическую светимость: оо /?эу- == J dR,aT = J da (50.2) о *) Вместо обычной частоты v удобнее пользоваться круговой частотой w, 246
(чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от температуры, мы их снабдили индексом «Т»), Излучение можно характеризовать вместо частоты со длиной волны А. Участку спектра dco будет соответство- вать интервал длин волн dZ. Определяющие один и тот же участок величины dco и d7. связаны простым соотно- шением, вытекающим из формулы: Z = c/v = 2лс/со. Диф- ференцирование дает: (50-3) Знак минус в этом выражении не имеет существенно- го значения, он лишь указывает на то, что с возраста- нием одной из величин, со или К другая величина убы- вает. Поэтому знак минус в дальнейшем мы не будем писать. Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал dZ, может быть по аналогии с (50.1) предста- влена в виде: d/?x = rxdA. (50.4) Если интервалы dco и dZ, входящие в выражения (50.1) и (50.4), связаны соотношением (50.3), т. е. отно- сятся к одному и тому же участку спектра, то величины d/?o и d/?x должны совпадать: го dco = dZ. Заменив в последнем равенстве dz согласно (50.3), по- лучим: , 2лс , X2 , rada = rK-^da = rK-^- da, откуда 2лс Z2 ~ ~ ~2лс * <50-5) С помощью (50.5) можно перейти от Гц к га и на- оборот. Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии d(ba, обусловленный элек- тромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале dco. Часть этого потока dO© будет поглощена 247
телом. Безразмерная величина аТ аФы (50.6) называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность зависит от темпера- туры тела. Следовательно, аат есть функция частоты и температуры. По определению аат не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего упавшее на него из- лучение всех частот, ааТ s= 1. Такое тело называют абсолютно черным. Тело, для которого аыт & ат = const < 1, назы- вается серым. Между испускательной и поглоща- тельной способностью любого тела имеется определенная связь. В этом можно убедиться, рассмотрев следую- щий эксперимент. Пусть внутри за- мкнутой оболочки, поддерживаемой при постоянной температуре Т, поме- щены несколько тел (рис. 155). Полость внутри оболочки эвакуирована, так что тела могут обмениваться энергией между собой и с оболочкой лишь путем испускания и поглощения элек- тромагнитных волн. Опыт показывает, что такая система через некоторое время придет в состояние теплового рав- новесия — все тела примут одну и ту же температуру, равную температуре оболочки. Т. В таком состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью гюТ, теряет в единицу времени с единицы поверхности больше энергии, чем тело, обладающее меньшей гшТ. Поскольку температура (а следовательно и энергия) тел не ме- няется, то тело; испускающее больше энергии, должно и больше поглощать, т. е. обладать большей ошт- Таким образом, чем больше испускательная способность тела гшТ, тем больше и его поглощательная Способность ааТ. Отсюда вытекает соотношение: / гаТ \ _ / гй>т \ \ ааТ /1 \ /2 / ГаТ \ _ \ “®Г /3 где индексы 1, 2, 3 и т. д. относятся к разным телам. 248
Кирхгоф сформулировал следующий закон: отноше- ние испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же. {универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры: Т). (50.7) а>Т Сами величины гыТ и аот, взятые отдельно, могут ме- няться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для всех тел. Это означает, что тело, сильнее поглощаю- щее какие-либо лучи, будет эти лучи сильнее и испускать (не следует смешивать испускание лучей с их отраже- нием). Для абсолютно черного тела по определению а,УГ 1. Следовательно, нз формулы (50.7) вытекает, что rhlT для такого тела равна f (со» Т). Таким образом, универсальная функция Кирхгофа f(w, Т) есть, не что иное, как испуска- тельная способность абсолютно черного тела. При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты — f (со, Т). В экс- периментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны — <р(А, Т). Обе функции связаны друг с другом формулой /(®, Г) = -^Ф(Л, Т), (50.8) аналогичной формуле (50.5). Согласно (50.8) для того, чтобы по известной функции f(<o, Т) найти ф(Х, Т)., нуж- но заменить в f (<о, Т) частоту ы через 2лс/А и получив- шееся выражение умножить на 2лсД2: Ф(А, П = Т). (50.9) Для нахождения f (w, Т) по известной <р(л, Т) нужно воспользоваться соотношением: /(о, 7) = -2^ф(^, У). (50.10) Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способ- ность аат, близкую к единице, лишь в ограниченном 249
интервале частот; в далекой инфракрасной области их по- глощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу. Такое устройство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием (рис. 156). Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти об- ратно из отверстия, претерпевает многократные отраже- ния. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все из- © лучение любой частоты поглощает- , ся такой полостью1)- Согласно за- кону Кирхгофа испускательная спо- собность такого устройства очень близка к f (а, Т), причем Т означает температуру стенок полости. Таким образом, если стенки полости под- держивать при некоторой температу- Рис. 156. ре Т, то из отверстия выходит излуче- ние, весьма близкое по спектрально- му составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя болометром •|(см. § 7) интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально вид функции f (со, Т) или гр(Х, Т). Результаты таких опытов приведены на рис. 157. Разные кривые относятся к различным значениям темпе- ратуры Т абсолютно черного тела. Площадь, охватывае- мая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре. Кривые на рис. 157 очень похожи на кривые распре- деления молекул газа по скоростям (см. т. I, рис. 240). Правда, есть и существенное отличие. В то время как кривые распределения по скоростям для разных темпе- ратур пересекают друг друга (охватываемые ими площа- ди одинаковы), кривые спектрального распределения из- лучения абсолютно черного тела для более низких тем- ператур целиком лежат внутри кривых, соответствующих более высоким температурам (как мы увидим в следую- *) По тон же причине внутренность комнаты в яркий солнечный день при рассматривании издали через открытое окно кажется темной. 250
щем параграфе, площадь, охватываемая этими кривыми, пропорциональна четвертой степени температуры). Рис. 157. Максимум испускательной способности с увеличе- нием температуры сдвигается в сторону более коротких волн. § 51. Закон Стефана — Больцмана и закон Вина Теоретическое объяснение излучения абсолютно чер- ного тела имело огромное значение в истории физики — оно привело к понятию квантов энергии. Долгое время многочисленные попытки получить тео- ретически вид функции f (со, Т) не давали общего реше- ния задачи. Стефан (1879), анализируя эксперимен- тальные данные, пришел к выводу, что энергетическая светимость /?э любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выво- дов. Больцман (1884), исходя из термодинамических со- ображений, получил теоретически для энергетической светимости абсолютно черного тела следующее значение: оо /?*= p(w, 7')d(0 = o7'4, (51.1) о 251
где о— постоянная величина, Т — абсолютная темпера- тура. Таким образом, заключение, к которому Стефан пришел для нечерных тел (с абсолютно черными телами он не экспериментировал), оказалось справедливым лишь для абсолютно черных тел. Соотношение (51.1) между энергетической свети- мостью абсолютно черного тела и его абсолютной темпе- ратурой получило название закона Стефана — Больцмана. Константу о называют постоянной Стефана — Больцмана. Ее экспериментальное зна- чение равно: <т = 5,7 • 10-8 вт!м2 • град'. (51.2) Вин (1893), воспользовавшись, кроме термодинамики, электромагнитной теорией, показал, что функция спек- трального распределения должна иметь вид: f(©, 7-) = ®3е(-^). (51.3) где Г — неизвестная функция отношения частоты к тем- пературе. Согласно формуле (50.9) для функции <р(Х, Т) полу- чается выражение: Ф U, Г) = (-^)3 F ( ^-) = ф (Z7), (51.4) где ф (/J ) — неизвестная функция произведения 77". Соотношение (51,4) позволяет устновить зависимость между длиной волны Л™, на которую приходится макси- мум функции ф(Х, Т), и температурой. Продифференци- руем (51.4) по А: (51.5) Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию При длине волны km, соот- ветствующей максимуму функции <р(Л, Г), выражение (51.5) должно обращаться в нуль: =^V(Xm7-) = 0. \dxlK^ 4 ш 252
Поскольку, как следует из опыта, Хт ¥= <х>, должно выполняться условие: 4r(ZmT) = O. Решение последнего уравнения относительно неизвестного Т„,Т дает для этого неизвестного некоторое число, которое мы обозначим буквой Ь. Таким образом, получается соотношение: Пт = 6, (51.6) которое носит название закона смещения Вина. Экспериментальное значение константы b равно: Ь = 2,90- 107А -град = 2,90- 103 мк • град. (51.7) § 52. Формула Рэлея — Джииса Рэлей и Джинс сделали попытку определить функ- цию f(ft>, Т), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колеба- ние приходится в среднем энергия, равная двум половни- кам kT— одна половинка на электрическую, вторая—• на магнитную энергию волны (напомним, что по класси- ческим представленйям на каждую колебательную сте- пень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT). Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенйи которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излуче- ния будет распределена в объеме полости с определен- ной плотностью и = и(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией u(<o, Т), определяемой условием: dum = «(«, T)d&, где dua — доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dot. Полная плотность энергии может быть представлена в виде: оо n(7)=J и(<о, T)da. (52.1) о Равновесная плотность энергии излучения и(Т) зави- сит только от температуры и не зависит от свойств сте- нок полости. Это следует из термодинамических сообра- жений. Рассмотрим две полости, стенки которых изгото- влены из разных материалов и имеют первоначально 233
одинаковую температуру. Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, щ (Т) > и2(Т). Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. Г58) и тем самым позволим стенкам по- лостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению и\ > и2, поток энергии из первой по- лости во вторую должен быть больше, чем поток, теку- щий во встречном направлении. В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет 7 2 повышаться. Стенки же первой по- ^flocTH станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они будут охлаждаться. Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобре- Рис. 158. сти различные температуры — это запрещено вторым началом термо- динамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости щ и и2 должно быть признано неправомерным. Вывод о ра- венстве «1 (Г) и и2(Т) распространяется на каждую спек- тральную составляющую м(к>, Т). Независимость равновесного излучения от природы стенок полости можно пояснить следующими соображе- ниями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую на них энергию Фэ и испускали бы такой же по величине поток энергии Фэ. Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю «Фэ упавшего на них по- тока Фэ и отразят поток, равный (1 —м)Фэ. Кроме того, они излучат поток мФэ (равный поглощенному потоку). В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии Фэ = (1—м)Фэ4-мФэ, такой же, какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки. Равновесная плотность энергии излучения м связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела /?э простым соотношением, которое мы сейчас выведем. В случае плоской волны (т. е. когда энергия перено- сится волной в одном, определяемом вектором к напра- влении) плотность потока энергии I может быть пред- ставлена как произведение плотности энергии и на ско- рость волны с: I = си [см. т. I, формулу (82.8)]. Через каждую точку внутри полости проходит бесчисленное ко- 254
лйчество волн, направления которых равномерно распре- делены в пределах телесного угла 4л. Поток энергии I = си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в пределах телесного угла dQ будет заключен поток энергии, плотность кото- рого равна: d/ = -^-dQ. Возьмем на поверхности полости элементарную пло- щадку AS (рис. 159). Эта площадка телесного угла dQ = sinOdfidcp в направлении, образующем с нор- малью угол О, поток энергии: с1Фэ = dl • AS cos ft = = -^dQ- AS cosft = 4л = —- AS cos O' sin О dO dm. 4.тг ’ посылает в пределах По всем направлениям, заключенным в пределах те- лесного угла 2л, площадка AS посылает поток энергии: л/2 2л Фэ = Jс1Фэ = -^-AS J cosOsinOdoJ d<p = yuAS. о о “ Вместе с тем поток Фэ должен быть таким, какой из- лучали бы абсолютно черные стенки. Последний же по- ток по определению равен AS. Следовательно, (52.2) Соотношение (52.2) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Отсюда выте- кает, что f(m, Т)==~и(а>, Г). (52.3) Рэлей и Джинс исходили из того, что равновесное из- лучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Такое представление оправдывается тем, что заме- на поглощающих стенок полости идеально отражающими 255
стенками не изменяет плотности энергии равновесного излучения. Возникновение стоячих волн возможно лишь при выполнении определенных условий (см. т. I, § 85). Пусть полость имеет форму прямоугольного параллелепи- педа со сторонами а, Ь и с. Совместим с ребрами паралле- лепипеда координатные оси х, у, z (рис. 160). Условие возникновения стоячей волны вдоль оси х имеет вид: эх , эх а = mi -у = пг1 или kx = гщ — (гщ = 1,2, ...), (52.4) где kx — модуль волнового вектора, совпадающий в дан- ном случае с проекцией волнового вектора на ось х. За- метим, что данная стоя- чая волна образована на- ложением двух бегущих волн, для которых значе- ния kx отличаются зна- ком. Для стоячих волн, устанавливающихся вдоль оси у или оси z, должны выполняться условия, ана- логичные (52.4). Если волновой вектор к не сов- падает с направлением ни одной из координатных осей, условия, аналогичные (52.4), должны выполняться одновременно для всех трех проекций вектора к: л ЗХ < _ ЗХ л зх = , ky = m2-j-, kz = m3~ (mh m2, ma = 0, 1, 2, ...). (52.5) В этом случае стоячая волна с данным значением X (т. е. k) представляет собой суперпозицию восьми бегу- щих волн одинаковой длины, но различных направлений, для которых проекции волнового вектора равны: (1) +kx, + ky, + kz. (5) - kx, - ky, + kg', (2) - kx, + ky, + kg", (6) — kx, + ky, -kz, (3) + kx, ky> + k& (7) 4- kx, — ky. kzi (4) +kx, + ky, kzi (8) kX, ky, -kg. 256
Одинаковые по модулю векторы к, соответствующие восьми приведенным выше комбинациям чисел kx, kv и k,, располагаются в разных октантах. Векторы (1) и (8) имеют противоположные направления; то же самое отно- сится к векторам (2) и (7), (3) и (6), а также (4) и (5). Векторы (1) и (2) симметричны относительно координат- ной плоскости yz, векторы (1) и (3) — относительно пло- скости xz и т. д. Каждая тройка чисел т2 и определяет возмож- ное значение волнового числа: /~( Я \2 ( я \2 . ( Л \2 =У т) ~!ги • По определению k = 2л/л = о>/с. Следовательно, каж- дой тройке чисел т\, т2 и т3 соответствует возможное значение частоты стоячей вол- ны с» (или длины волны 7). Определим количество возмож- ных частот dNa, попадающих в интервал du. Для этого возь- мем прямоугольную систему координат с осями kx, ky, kz (рис. 161). Такую систему на- зывают координатной системой в ^-пространстве. Каждой стоя- чей волне с данным значением k будет соответствовать в ^-пространстве точка с коорди- натами, определяемыми усло- виями (52.5) (точки разме- щаются в октанте с положительными kx, ky, kz). Плот- ность этих точек в ^-пространстве равна 1:~у—= -^г cldc л (объем прямоугольного параллелепипеда с вершинами, помещающимися в соседних точках, равен &kx/\kv&kz = ЗТ JT л в пРе&елы такого параллелепипеда попа- дает одна точка). Количество волн dNk, для которых мо- дуль волнового вектора лежит в пределах от k до k + dk, равно количеству точек в ’/в объема шарового слоя тол- щины dk (см: рис. 161): dNk = • Т 4nF dk = V (52.6) к л3 8 2лг v 7 9 9 И. В. Савельев, т. 111 257
(V — объем полости). Произведя в (52.6) замену: k = co/с, dk = dale, найдем число волн dNa, частоты ко- торых попадают в интервал от ® до со + dco: dNa~V^. (52.7) Вдоль заданного направления могут распространять- ся две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризован- ные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (52.7) ум- ножить на Два. Число колебаний (52.7) пропорционально объему полости V. Поэтому можно говорить о числе ко- лебаний dn№, приходящихся на единицу объема полости. Учтя оба направления поляризации, получим: dna = ^-. (52.8) Умножив (52.8) на среднюю энергию одного колеба- ния, получим приходящуюся на интервал частот da энергию излучения, заключенную в единице объема, т. е. и(а, T)da. Исходя из закона равнораспределения энер- гии по степеням свободы, Рэлей и Джинс приписали каждому колебанию энергию, равную kT (см. выше). В этом случае лу2 и (со, Т) da — kT dna — kT da или и (a, T) = ^kT. (52.9) Перейдя от и(а, Т) к f(a, Т) по формуле (52.3), по- лучим: f^T^S^kT- <52Л°) Выражение (52.10), равно как н (52.9), называется формулой Рэлея—Джинса. Заметим, что функ- ция (52.10) удовлетворяет полученному Вином условию (51.3). Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согла- суется с экспериментальными данными лишь при боль- ших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (см. рис. 162, на котором сплошной 258
линией изображена экспериментальная кривая, пункти- ром— кривая, построенная по формуле Рэлея — Джинса). Интегрирование выражения (52.9) или (52.10) по (» в пределах от 0 до оо дает для равновесной плотности энергии и(Т) и для энергетической светимости /?э бес- конечно большие значения.. Этот результат, получивший Рис. 162. название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливает- ся при конечных значениях и(Т). § 53. Формула Плавка Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точ- ки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представле- ниями классической статистической физики и электроди- намики. В 1900 г. Планку удалось найти вид функции f(a, Т), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуж- дое классическим представлениям, а именно допустить, 9* 259
что электромагнитное излучение испускается в виде от- дельных порций энергии е (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения: е = й(о. (53.1) Коэффициент пропорциональности й получил впо- следствии название постоянной П л а н к а *). Опре- деленное из опыта значение равно: й = 1,054 • 10~34 дж сек = 1,054 • 10-27 эрг сек. (53.2) В механике есть имеющая размерность «энергиях X время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют кван- том действия. Заметим, что размерность й совпа- дает с размерностью момента импульса. Если излучение испускается порциями йш, то его энер- гия еп должна быть кратной этой величине: еп = пйсо (п = 0, 1,2, ...). (53.3) Согласно закону Больцмана вероятность Р„ того, что энергия излучения имеет величину еп, определяется вы- ражением: Рп = Ае~ e"/kT = Ае~п'1е>,кТ. (53.4) Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Рп должна быть равна единице. Действительно, сумма Рп представляет собой вероят- ность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак, S Рп = А% e-^'kT= 1, п=0 п=0 откуда yi e-nha/kT n-0 ’) Собственно говоря, постоянной Планка h называют коэффи- циент пропорциональности между в н частотой, е = ftv. Постоянная ft (Л перечеркнутое) есть постоянная Планка h, деленная на 2л. Чис- ленное значение постоянной Планка равно: ft = 6,62- 10’34 дж • сек = — 6,62 • 10'27 эрг • сек. 260
Подставив найденное значение А в формулу (53.4), по- лучим: —nho/kT Р =--------------. г П оо У e-nhv>!kT п=0 Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени. Произведем через равные промежутки времени Д/ очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значе- ний на число измерений N, мы найдем среднее по вре7 мени значение энергии ё. При очень большом N количе- ство измерений Nn, которые дадут результат еп, будет равно NPn- Поэтому ОО оо оо ё = 4-J} Nrfin = -4S NPn^n = 2 РпЪп <53,5> п=0 п==0 п-0 [ср. с т. I, формулой (106.11)]. Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты и определяется следующим выражением: 2 пИа>е~п,!а>/кГ ё=^------------------- (53.6) у e~ntni>!kT п=0 Чтобы произвести вычисления, обозначим tualkT = х и допустим, что величина х может изменяться, прини- мая непрерывный ряд значений. Тогда выражение для ё можно записать в виде: оо 2 ие~пх ~ ё = Ли ----------= — Ли-у- 1п е~пх. (53.7) 2 е~пх п = 0 Выражение, стоящее под знаком логарифма, пред- ставляет собой сумму членов бесконечной геометриче- ской прогрессии с первым членом, равным единице, и 261
знаменателем прогрессии, равным е-ж. Так как знамена- тель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле пх — 1 — ё п=0 Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив диф- ференцирование, получим: d - 1 t е~х е = — й<о — In---— = ----—г = “7—т • dx 1 — е х 1 — е ех — 1 е~х Наконец, заменив х его значением tu^kT, получим окон- чательное выражение для средней энергии излучения ча- стоты со: firn е»ш>)кТ _ । (53.8) Заметим, что при fi, стремящемся к нулю, формула (53.8) переходит в классическое выражение ё = kT. В этом можно убедиться, положив ehalhT ~ 1 + h&fkT, что выполняется тем точнее, чем меньше fi. Таким обра- зом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было-бы равно kT. Заменив в формуле Рэлея — Джинса kT выражением (53.8), получим формулу, найденную Планком: (ЗД Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале ча- стот от 0 до оо. Она удовлетворяет критерию Вина (51.3). При условии, что tialkT <с Г (малые частоты или большие длины волн), е*®1ит можно положить равным приближенно 1 + tialkT, в результате чего формула (53.9) переходит в формулу Рэлея — Джинса. Это сле- дует также непосредственно из того, что при указанном условии выражение (53.8) приближенно равняется kT. Осуществив преобразование по формуле (50.9), по- лучим: <₽(*> Т)=Ы^2 .р (53.10) 262
На рис. 163 сопоставлены графики функций (Б3.9) и (53.10)', построенные для одной и той же температуры (5000° К). Масштабы по оси абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением % — 2лс/а значения X и со совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота ыт, соответствующая максимуму /(со, Т), не совпадает с 2лс/Кп, где — длина волны, отвечающая максимуму <p(Z, Т). Рис. 163. Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение: со оо = J f (co, Т) da = J 4я2с2 ей<о/ет _ } • о о Введем вместо со безразмерную переменную х = — halkT. Подстановка со = (kTlti)x, da = (kT/ti)dx пре- образует формулу для к виду: п» Л / kT \4 Г х3 dx ~ 4л2с2 ) J е*—1" о Определенный интеграл в последнем выражении мо- жет быть вычислен. Он равен л4/15 ~ 6,5. Подставив его значение, мы придем к закону Стефана — Больцмана: <53Л1) 263
Подстановка в эту формулу численных значений k, с и й дает для постоянной Стефана — Больцмана вели- чину 5,6696 • 10~8 вт1м2-градк, очень' хорошо согласую- щуюся с экспериментальным значением (51.2). В заключение найдем значение постоянной в законе смещения Вина (51.5). Для этого продифференцируем функцию (53.10) по X и приравняем получившееся вы- ражение нулю: dtp (X, Т) 4я2Ис2 [(2лйсД7Х) e™clkn - 5 (e2nlic/kTK - 1)] _ n dX ~ Удовлетворяющие этому уравнению значения X = 0 и X = оо соответствуют минимумам функции ср(Х, Т). Значение Хщ, при котором функция достигает макси- мума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначив 2nticlkT'km = х, полу- чим уравнение: хех — 5(ех — 1) = 0. Решение ’) этого трансцендентного уравнения дает х = 4,965. Следовательно, 2лйс/£7’Хт = 4,965, откуда п«-да-6- <5312> Подстановка численных значений й, с и k дает для b величину 2,90 • 103 мк • град, совпадающую с эксперимен- тальным значением (51.7). Таким образом, формула Планка дает исчерпываю- щее описание равновесного теплового излучения. § 54. Оптическая пирометрия В соотношения (53.10), (53.11) и (53.12) входит тем- пература излучающего тела. Поэтому любое из них мо- жет быть использовано для определения температуры раскаленных тел. Соответствующие приборы называются оптическими пирометрами. Они подразделяют- ся на три основные группы: 1) радиационные, 2) ярко- стные и 3) цветовые пирометры. ') Решение можно найти методом последовательных приближе- ний. Замечая, что е5 S> 1, можно в первом приближении записать уравнение в виде: хех — 5ех « 0, откуда х ~ 5. Второе приближение получим из уравиення: хе5 — 5(е5— 1) = 0, и т. д. 264
Радиационные пирометры. Схема радиационного пи- рометра показана на рис. 164. Прибор наводится на из- лучатель так, чтобы резкое изображение излучающей поверхности, даваемое объективом Об, полностью пере- крывало приемник излучения Пр- Контроль за этим осуществляется при помощи окуляра Ок. В качестве приемника обычно применяется термостолбик (см. рис. 17). По отклонению стрел- ки гальванометра Г можно су- дить о температуре излучате- ля. Покажем, что это действи- тельно так. Кроме энергетической све- тимости Ra, для характеристи- ки излучающего тела можно ввести энергетическую Рис 164 яркость Ва, аналогичную яркости В, определяемой выражением (6.9). Очевидно, что соотношения, существующие между световым пото- ком Ф, светимостью R и яркостью В (см. § 6), справед- ливы для потока энергии Фо, энергетической светимости Ra и энергетической яркости Вэ. В частности, согласно (6.11) для ламбертовского излучателя R3 = лВ3. (54.1) Приняв во внимание (53.11), получим для энерге- тической яркости абсолютно черного тела выражение: (54.2) В соответствии с формулой (6.10) поток энергии АФЭ, излучаемый светящейся площадкой AS в пределах те- лесного угла AQ по направлению, образующему угол fl с нормалью к площадке, равен ДФЭ = В3 Ай AS cos fl. (54.3) Пусть AS' на рис. 165 — площадь приемника, a AS — та часть поверхности излучателя, изображение которой перекрывает площадку AS'. Тогда по определению по- перечного увеличения р можно написать, что -r^-jr-p2. (54.4) AS cos v r ' 265
Согласно формуле (9.11) р2 — f2/xz, где f — фокусное расстояние объектива, х— расстояние от переднего фо- куса объектива до AS, практически равное расстоянию от объектива до AS. Подставив это значение р2 в фор- мулу (54.4), найдем, что у 2 AS cos & — AS' -у-. Тедесный угол А£2, под которым виден объектив из любой точки площадки AS, равен ^D2 Лй “ 4х2 ’ (54.5) (54.6) где D — диаметр объектива. Подстановка значений (54.5) и (54.6) в формулу (54.3) дает для потока энергии, падающего на приемник, следующее выражение: АФэ = Вэ^-(^)2А5' [ср. это выражение с формулой (15.6)]. Из (54.7) видно, что если изображение излучателя полностью перекрывает приемник, поток энергии, падаю- щий на приемник, будет, независимо от расстояния до (54.7) Рис. 165. излучателя (это расстояние должно быть велико по срав- нению с фокусным расстоянием объектива пирометра), пропорционален энергетической яркости излучателя Ва. Последняя же для абсолютно черного тела связана е температурой соотношением (54.2). В нашем расчете мы принебрегли рядом факторов: поглощением излучения на пути к приемнику, теплооб- меном приемника с остальными частями прибора, не- одинаковым поглощением приемником излучения разных частот и т. д. Действие всех этих факторов трудно учесть. Поэтому прибор градуируют по абсолютно чер- 266
ному телу, нанося против делений шкалы соответствую- щие температуры. Для нечерного тела показания радиационного пиро- метра дают не истинную температуру Т, а то значение температуры Трад, при котором энергетическая свети- мость абсолютно черного тела /?э равна энергетической светимости /?э исследуемого тела при его истинной тем- пературе Т: ^э(7’Рад) = 7?э(П (54.8) [напомним, что /?3 и Вд связаны соотношением (54.1)]. Температура Трап называется радиационной. Найдем связь между радиационной температурой нечер- ного тела Трад и его истинной температурой Т. Обозна- чим через ат отношение энергетических светимостей дан- ного тела R3 и абсолютно черного тела R3, взятых для одной и той же температуры. Тогда можно написать, что R3(T) — aTR'3(T). Подставив это значение в (54.8), получим: Выразив /?* через температуру согласно закону (53.11), придем к соотношению: «’’•J.., ““г’Т, (54.9) откуда 7’=т~Трад. (54.10) Мт Так как ат для нечерных тел меньше единицы, ис- тинная температура больше радиационной. В справоч- никах имеются таблицы значений ат для различных из- лучателей. Например, для вольфрама при истинной тем- пературе 1500° К «т == 0,15, а при 3000° К ат = 0,32; для никеля при 1500° К «т = 0,06 и т. д. Таким образом, при истинной температуре вольфрама 3000° К радиационный пирометр покажет температуру: Трал ]/0^2 • 3000 = 0,75 • 3000 = 2250°К. 26Г
нитью, показана на рис. Яркостные пирометры. Наибольшее распространение получил метод определения температур, основывающий- ся на сравнении излучения светящегося тела с излуче- нием абсолютно черного тела на одном и том же фикси- рованном узком участке спектра AZ. Обычно исполь- зуется участок, лежащий в окрестности Л, — 0,66 мк (красная часть спектра). Схема яркостного пирометра, обычно называемого пирометром с исчезающей 166. Имеющая форму полу- окружности нить лампочки Л лежит в плоскости, пер- пендикулярной к оси прибо- ра. Объектив Об создает в этой же плоскости изображе- ние поверхности исследуе- мого излучателя. Свето- фильтр Ф пропускает к оку- ляру Ок лишь красные лучи с длиной волны вблизи 0,66 мк. Наблюдая через оку- ляр, подбирают с помощью реостата Р такой накал нити, чтобы ее яркость совпала с яркостью изображения излучателя (в этом случае нить «исчезает», т. е. становится неразличимой на фоне изо- бражения). Предварительно прибор градуируют по абсо- лютно черному телу, нанося против делений шкалы галь- ванометра соответствующие значения температуры. Для нечерного тела прибор даст то значение темпе- ратуры 7’ярк, при котором яркость Вэ (X, Тяри) абсолют- но черного тела для Л, = 0,66 мк равна яркости иссле- дуемого тела Вэ(7, Т) при истинной температуре Т: 7'ярк) = Вэ(Х, Г). (54.11) Соотношение Ва = (1/л)/?э имеет место для каждой спектральной составляющей. Следовательно, ВАК Т) = ±гкт. Заменив гхт в соответствии с (50.7), получим ВАК Т’) = -^«АГФ(Л, Т), (54.12) 268
где акт — поглощательная способность излучающего тела. Подставим в (54.11) значение (54.12) для Ва(К,Т), учтя, что для абсолютно черного тела а\т = 1. В резуль- тате, сокращая на л, придем к соотношению: ср (Л, Тярк) = = «>.тф(21, Т) или Ч> Т’ярк) ЙЛГ = ф(х, Т) ’ (54.13) где акт — поглощательная способность исследуемого тела при истинной температуре Т для пропускаемой све- тофильтром длины волны Z. Подставив в (54.13) выражение (53.10) для <р(Л., Т), получим: е2лЯс/6ЛТ _ । акг = 2ntic/k'kT , • (54.14) е яр* — 1 Оценим порядок величины показателя степени при е, приняв X = 0,66 ми, Т ~ Тярк ~ 3000° К: 2л7;с 2-3,14-1,05-10~34-3-108 7 WKT ~ 1,^8 • 10~23 • 0,66 • 10-6 • 3 • 103 ~ Так как е1 1, единицей в числителе и знаменателе выражения (54.14) можно пренебречь. Тогда акт = е(2"МШ(1/г-1/гярк), откуда Т —___________7*ярк /КД 1 К\ 1 + (ЛЛ/2ЯЙС) In акт - Гярк • ' Из формулы (54.15) видно, что истинная температура Т нечерных тел всегда больше яркостной температуры Тярк(1п < 0). Значения a-fT для разных излучателей можно найти в справочниках. Например, для вольфрама при Т = — 3000° К и Л, = 0,66 мк а^т = 0,46. Вычисления по фор- муле (54.15) дают в этом случае для яркостной темпера- туры значение = 2700° К (как было выяснено выше, радиационная температура в этом случае равна 2250°К). Цветовые пирометры. Для серого тела испускатель-* ная способность может быть записана в виде: Гхг = Оуф (Л., Т), (54.16) 269
где ат = const. Следовательно, максимум испускатель- ной способности серого тела при-температуре Т придется на ту же длину волны km, что и для абсолютно чер- ного тела при той же температуре. Поэтому, если опре- делена km, температура серого тела может быть вычис- лена по формуле (53.12). Найденная таким способом температура, называется цветовой. Максимум в спек- тре излучения Солнца (до прохождения излучения через атмосферу Земли) приходится на длину волны km = = 0,47 лпс1). Подстановка в (53.12) дает для цветовой температуры Солнца значение: 60000 Радиационная температура Солнца получается рав- ной примерно 5800° К. Малое различие между цветовой и радиационной температурой указывает на то, что по- верхность Солнца по своим свойствам близка к абсо- лютно черному телу. Вместо исследования всего спектрального распреде- ления, для определения температуры серого тела доста- точно найти отношение его испускательных способностей для двух длин волн: (54.17) Действительно, согласно (54.16) g = <p(ki, Т')/ср(к2, Т). Воспользовавшись выражением (53.11), получим: / к2 \5 e^nhclkr^ j ° _ । (54.18) По произведенной выше оценке при X порядка не- скольких десятых микрона и Г ~ 3000° К единицей в чис- лителе и знаменателе выражения (54.18) можно вполне пренебречь. Логарифмируя, придем к соотношению: ln6-5lni 2лИс /1 1 \ ~W^\k2 kJ’ откуда т _ (2nhc/,k) (\/К2- 1 /kj) 1 цп 1 In £ - 5 In (к2/к!) • (54.19) ') После прохождения излучения через атмосферу максимум смещается в сторону более длинных воли и приходится приблизи- тельно iia 0,55 мк (см. сноску на стр. 25). 270
Для абсолютно черных и серых тел вычисленная по формуле (54.19) цветовая температура совпадает с ис- тинной. Для тел, не слишком сильно отличающихся от серых, цветовая температура обычно бывает выше истин- ной. Для тел, характер излучения которых сильно отли- чается от излучения серых тел, понятие цветовой тем- пературы теряет смысл. Один из типов цветовых пирометров представляет собой в принципе прибор, отличающийся от изображен- ного на рис. 164 тем, что перед объективом установлен вращающийся диск с вмонтированными в него синим и красным светофильтрами. В цепи приемника получает- ся ток периодически изменяющейся силы, отношение максимумов И минимумов которого imax/l'mln тем больше, чем больше Специальная электронная схема преобра- зует этот ток так, что показания прибора, включенного на выходе, оказываются пропорциональными imax/t’min* Прибор градуируется по абсолютно черному телу.
ГЛАВА IX ФОТОНЫ § 55. Тормозное рентгеновское излучение В предыдущей главе мы видели, что для объяснения свойств теплового излучения пришлось ввести представ- ление об испускании электромагнитного излучения пор- циями йю. Квантовая природа излучения подтверждается также существованием коротковолновой грани- ц ы тормозного рентгенов- ского спектра. Рентгеновские лучи воз- никают при бомбардировке быстрыми электронами твер- дых мишеней. Существует два вида рентгеновских тру- бок — ионные и элек- тронные. В ионных труб- ках (рис. 167) поддержи- вается тлеющий разряд при низком давлении (порядка 10~3 мм рт. ст.). Катоду трубки /( придается вогнутая форма, вследствие чего выходящие из него катодные лучи (см. т. II, § 89) фокусируются на мишени Ак из тяжелого металла (W, Си, Pt и т. п.). Эту мишень на- зывают антикатодом. Чтобы соударения с остат- ками газа не привели к заметному рассеянию катодных лучей, антикатод Ак приближают к катоду настолько, что он попадает в область круксова темного простран- ства. При таком расположении анода разряд гаснет. По- этому трубку снабжают особым анодом Л, отстоящим от катода дальше, чем антикатод. Для стекания зарядов с антикатода он соединяется накоротко с анодом. 272
По этой причине ионные В электронных трубках (рис. 168) свободные электро- ны возникают вследствие термоэлектронной эмиссии с нагреваемого током катода (вольфрамовой спирали). Цилиндр Ц служит для фокусировки электронного пучка. Давление газа в таких трубках составляет 10 5-> 10 7 мм рт. ст. Антикатод трубки Ак служит одно- временно и анодом. Электронные трубки гораздо устой- чивее и проще в эксплуатации. “ трубки теперь применяются редко. Почти вся энергия элек- тронов выделяется на анти- катоде в виде тепла (в излу- чение превращается лишь 1—3% энергии). Поэтому в мощных трубках антикатод приходится интенсивно охлаждать. С этой целью в теле антикатода делаются каналы, по которым циркулирует охлаждающая жидкость (вода или масло). Если между катодом и антикатодом приложено на- пряжение U, электроны разгоняются до энергии eV. По- пав в вещество антикатода, электроны испытывают силь- ное торможение и становятся источником электромагнит- ных волн. Интенсивность излучения равна ji0 е2ш2 е0 блс2 [см. т. II, формулу (114.5)]. Предположим, что ускорение электрона w остается постоянным по величине в течение всего времени тор- можения т. Тогда интенсивность излучения также будет постоянной, и за время торможения электрон излучит энергию: U7 = Zt=1/' Но eVx -\ f Но og У е0 блс2 У е0 6лс2т т ’’ где но—начальная скорость электрона. Полученный результат показывает, что заметное из- лучение может наблюдаться лишь при резком торможе- нии быстрых электронов. На рентгеновские трубки по- дается напряжение до 50 кэв. Пройдя такую разность потенциалов, электрон приобретает скорость порядка 273
0,4 с. Особенно большая скорость может быть сообщена электронам в бетатроне (см. т. II, § 104). Энергии в 50 Мэв соответствует скорость, равная 0,99995 с. Напра- вив ускоренный в бетатроне пучок электронов на твер- дую мишень, получают рентгеновские лучи весьма малой длины волны. Чем меньше длина волны, тем меньше по- глощаются лучи в веществе. Поэтому рентгеновские лу- чи, получаемые на бетатроне, обладают особенно боль- шой проникающей способ- Рис. 169. ностью. При достаточно большой скорости электронов, кроме тормозного излуче- ния (т. е. излучения,, обу- словленного торможением элетронов), возбуждается также характеристиче- ское излучение (вызван- ное возбуждением внутрен- них электронных оболочек атомов антикатода). Это из- лучение рассматривается в § 78. Сейчас нас будет инте- ресовать лишь тормозное излучение. Согласно класси- ческой электродинамике при торможении электрона дол- жны возникать волны всех длин — от нуля до бесконечности. Длина волны, на ко- торую приходится максимум интенсивности излучения, должна уменьшаться по мере увеличения скорости элек- тронов, т. е. напряжения на трубке U. На рис. 169 даны экспериментальные кривые распределения интенсивно- сти тормозного рентгеновского излучения по длинам волн, полученные для разных значений U. Как видно из рисунка, выводы теории в основном подтверждаются на опыте. Однако имеется одно принципиальное отступле- ние от требований классической электродинамики. Оно заключается в том, что кривые распределения интенсив- ности не идут к началу координат, а обрываются при конечных значениях длины волны Хщш- Эксперименталь- но установлено, что коротковолновая граница тормоз- ного рентгеновского спектра Липп связана с ускоряющим 274
напряжением U соотношением: ЛИ|П = -^, (55.1) где Xmin выражена в ангстремах, a U — в вольтах. Существование коротковолновой границы непосред- ственно вытекает из квантовой природы излучения. Дей- ствительно, если излучение возникает за счет энергии, теряемой электроном при торможении, то величина кван- та й® не может превысить энергию электрона eV-. й© Отсюда получается, что частота излучения не может превысить значения ®max = eUl-h, а следовательно длина волны не может быть меньше значения: . _ 2лс _ (2лЙс/е) Лмп —--------------- (55.2) ®max U Таким образом, мы пришли к эмпирическому соот- ношению (55.1). Найденное из сопоставления (55.1) и (55.2) значение, й хорошо согласуется со значениями, определенными иными способами. Из всех методов опре- деления й метод, основанный на измерении коротковол- новой границы тормозного рентгеновского спектра, счи- тается самым точным. § 56. Фотоэффект Фотоэлектрическим эффектом или фотоэффектом называется испускание электронов веществом под дей- ствием света. Это явление было открыто в 1887 г. Г. Гер- цем, который заметил, что проскакивание искры между цинковыми шариками разрядника значительно облег- чается, если один из шариков осветить ультрафиолето- выми лучами. В 1888—1889 гг. А. Г. Столетов подверг фотоэффект тщательному исследованию и установил следующие закономерности: 1) испускаемые под дейст- вием света заряды имеют отрицательный знак; 2) на- ибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи; 3) величина испущенного телом заряда пропорциональна поглощенной им световой энергии. В 1898 г. Ленард и Томсон, измерив удельный заряд испускаемых под дей- ствием света частиц, установили, что эти частицы яв- ляются электронами. 275
Схема современной установки для исследования фотоэффекта показана на рис. 170. Свет проникает че- рез кварцевое окошко Кв в эвакуированный баллон и освещает катод К, изготовленный из исследуемого ма- териала. Электроны, испущенные вследствие фотоэффек- та, перемещаются под действием электрического поля к аноду А. В результате в цепи прибора течет фототок, измеряемый галь- ванометром Г. Напряжение меж- ду анодом и катодом можно из- менять с помощью потенциоме- тра П. Фотоэффект в сильной степе- ни зависит от состояния освещае- мой поверхности (в частности от находящихся на ней окислов и Рис. 170. адсорбированных веществ). Мил- ликен разработал прибор, позво- ляющий удалять с изучаемой поверхности, находящейся в высоком вакууме, поверхностную пленку. Существен- ное усовершенствование методики исследования фотоэф- фекта было осуществлено. П. И. Лукирским и С. С. При- лежаевым, которые применили метод сферического кон- денсатора. Анодом в их установке служили посереб- ренные стенки стеклянного сферического баллона. В центре баллона размещался катод в виде шарика. На рис. 171 изображена вольт-амперная характери- стика, т. е. кривая, показы- вающая зависимость фото- тока i от напряжения между электродами U при неиз- менном потоке света Ф. Из этой кривой видно, что при некотором, не очень большом напряжении фототок до- стигает насыщения — все электроны, испущенные като- дом, попадают на анод. Следовательно, сила тока на- сыщения 1и определяется количеством электронов, испу- скаемых катодом в единицу времени под действием света. 276
При U = 0 фототок не исчезает. Это служит свиде- тельством того, что электроны покидают катод со ско- ростью, отличной от нуля. Для того чтобы фототок стал равным нулю, нужно приложить задерживающее напряжение U3 (его называют также задержи- вающим потенциалом). При таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему при вылете из катода наибольшим значением скорости vm, не удает- ся преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. Поэтому можно написать, что ^mv^ = eU3, (56.1) где т— масса электрона. Таким образом, измерив за- держивающее напряжение Us, можно определить макси- мальное значение скорости фото- электронов *)• При неизменном спектральном составе падающего на катод све- та сила тока насыщения (т. е. ко- личество испускаемых электро- нов) строго пропорциональна све- товому потоку Ф: 1„<хФ. (56.2) Это утверждение носит название закона Столетова. Задерживающее напряжение U3 от интенсивности света не за- висит. Проведя измерения на упоминавшемся выше при- боре, Милликен установил, что при освещении катода монохроматическим светом U3 изменяется с частотой света со по линейному закону: U3 = аа> ~ <р, (56.3) где а и <р — константы, причем а не зависит от мате- риала катода. График функции (56.3) дан на рис. 172. Умножив (56.3) на е и заменив eU3 согласно (56.1), получим: ') В случае предложенной Лукирским и Прилежаевым формы электродов кривая вблизи Ua идет очень круто, /уо позволяет опре- делить U3 с большей точностью. 277
Из последнего соотношения вытекает, что для того, чтобы электроны могли покинуть катод под действием света (для того, чтобы vrn была вещественной), необхо- димо выполнение условия: или <о>®0 = ^-. (56.5) Соответственно для длины волны получается условие: Л<Х0 = -~. (56.6) Частота ®о или длина волны Хо называется крас- ной границей фотоэффекта. Ее можно найти, определив частоту, при которой задерживающее напря- жение обращается в нуль (см. рис. 172). Законы фотоэффекта противоречат представлениям волновой теории света. Согласно этим представлениям, под действием электромагнитной световой волны элек- троны вещества должны совершать вынужденные коле- бания с амплитудой, пропорциональной амплитуде вол- ны. При достаточной интенсивности колебаний связь электрона с веществом может быть нарушена и электро- ны будут вылетать наружу со скоростью, величина ко- торой должна зависеть от амплитуды падающего света (т. е. от его интенсивности). В действительности такой зависимости нет — скорость электронов зависит только от частоты падающего света. Эйнштейн (1905) показал, что все закономерности фотоэффекта легко объясняются, если предположить, что свет поглощается такими же порциями Л® (квантами), какими он, по предположению Планка, испускается. По мысли Эйнштейна энергия, полученная электроном, до- ставляется ему в виде кванта ha, который усваивается им целиком. Часть этой энергии, равная работе выхода е<р (см. т. II, § 74), затрачивается на то, чтобы электрон мог покинуть тело. Если электрон освобождается светом не у самой поверхности, а на некоторой глубине, то часть энергии, равная W', может быть потеряна вследствие случайных столкновений в веществе. Остаток энергии образует кинетическую энергию Wh электрона, покинув- шего вещество. Энергия Wh будет максимальна, если 278
W = 0. В этом случае должно выполняться соотноше- ние: ой = -у ти7т + е<р, (56.7) которое называется формулой Эйнштейна. Легко видеть, что выражение (56.7) совпадает с эмпирической формулой (56.4). Отсюда вытекает, что последний член в (56.4) представляет собой работу выхода, а коэффи- циент а равен й/е. Следовательно, определив тангенс угла наклона прямой на рис. 172, можно найти отноше- ние постоянной Планка й к элементарному заряду е. Полученное таким образом значение й совпадает со зна- чениями, найденными из спектрального распределения равновесного теплового излучения и из коротковолновой границы тормозного рентгеновского спектра. Отрезок <р, отсекаемый продолжением прямой на оси UB (см< рис. 172), дает потенциал выхода для вещества, из кото- рого сделан катод. Теория Эйнштейна объясняет также пропорциональ- ность силы тока насыщения iH падающему световому по- току Ф. Действительно, величина светового потока опре- деляется числом квантов света, падающих на поверх- ность в единицу времени. Вместе с тем число освобож- даемых электронов должно быть пропорционально числу падающих квантов. Заметим, что, как показы- вает опыт, лишь малая часть квантов передает свою энергию фотоэлектронам. Энергия остальных кван- тов затрачивается на нагревание вещества, поглощаю- щего свет. Кроме рассмотренного нами внешнего фотоэф- фекта (называемого обычно просто фотоэффектом), существует также внутренний фотоэффект, на- блюдаемый в диэлектриках и полупроводниках. Он за- ключается в обусловленном действием света перерас- пределении электронов по энергетическим уровням. Если энергия кванта йго превышает ширину запрещенной зоны (см. т. II, § 71), поглотивший квант электрон переходит из валентной зоны в зону проводимости. В результате появляется дополнительная пара носителей тока — электрон и дырка, что проявляется в. увеличении элек- тропроводности вещества. Если в веществе имеются при- меси, под действием света электроны могут переходить 279
из валентной зоны на уровни примеси или с примесных уровней в зону проводимости, В первом случае возни- кает дырочная, во втором — электронная фотопрово- димость. На внутреннем фотоэффекте основано действие так называемых ф о т о с о п р о т и в л е н и й. Количество об- разующихся носителей тока пропорционально падаю- щему световому потоку. Поэтому фотосопротивления применяются для целей фотометрии. Первым полупро- водником, нашедшим применение для этих целей, был селен. В последнее время для видимой части спектра стали широко применяться фотосопротивления из CdS. Фотосопротивления из полупроводников PbS, PbSe, PbTe и InSb используются в каче- © —стве детекторов инфракрас- 7 s''~ । ного излучения; они намного Ъш* \/' Ьш превосходят термоэлектриче- Г ские болометры. q / ! q В области р — «-перехода I (см т у, § 7g) или на Грани. р-п-переход це металла с полупроводником может наблюдаться вентиль- п и ы й фотоэффект. Он за- ключается в возникновении под действием света электро- движущей силы (фото-э. д. с.). На рис. 173 показан ход потенциальной энергии электронов (сплошная кривая) и дырок (пунктирная кривая) в области р — «-перехода (ср. т. II, рис. 173). Неосновные для данной области носители (электроны в p-области и дырки в «-об- ласти), возникшие под действием света, проходят че- рез переход. В результате в p-области накапливается избыточный положительный заряд, в «-области — из- быточный отрицательный заряд. Это приводит к возник- новению приложенного к переходу напряжения, которое и представляет собой фотоэлектродвижущую силу. Если р- и «-области кристалла подключить к внеш- ней нагрузке, в ней будет течь ток. При не очень боль- ших освещенностях сила тока пропорциональна падаю- щему на кристалл световому потоку. На этом основано действие фотоэлектрических фотометров, в частности, применяемых в фотографии экспонометров. Несколько 280
десятков соединенных последовательно кремниевых р — n-переходов образуют солнечную батарею. Такие батареи применяются для питания радиоаппара- туры на космических ракетах и спутниках Земли. § 57. Опыт Боте. Фотоны Для объяснения распределения энергии в спектре равновесного теплового излучения достаточно, как по- казал Планк, допустить, что свет только испускается порциями йсо. Для объяснения фотоэффекта достаточно предположить, что свет поглощается такими же порция- ми. Однако Эйнштейн пошел значительно дальше. Он Рис. 174. выдвинул гипотезу, что свет и распространяется в виде дискретных частиц, названных первоначально световыми квантами. Впоследствии эти частицы получили назва- ние фотонов. Гипотеза Эйнштейна была подтверждена рядом опытов. Наиболее непосредственное подтверждение дал опыт Бо- те. Тонкая металлическая фольга Ф (рис. 174) помеша- лась между двумя газоразряд- ными счетчиками Сч (см. т. II, § 86). Фольга освещалась сла- бым пучком рентгеновских лу- чей, под действием которых она сама становилась источником рентгеновских лучей (это явление называется рентгеновской флуоресценцией). Вследствие малой интенсивности первичного пучка ко- личество квантов, испускаемых фольгой, было невелико. При попадании в него рентгеновских лучей счетчик сра- батывал и приводил в действие особый механизм М, де- лавший отметку на движущейся ленте Л. Если бы из- лучаемая энергия распространялась равномерно во все стороны, как это следует из волновых представлений, оба счетчика должны были бы срабатывать одновремен- но и отметки на ленте приходились бы одна против другой. В действительности же наблюдалось совершен- но беспорядочное расположение отметок. Это можно 281
объяснить лишь тем, что в отдельных актах испускания возникают световые частицы, летящие то в одном, то в другом направлении. Итак, было экспериментально доказано существова- ние особых световых частиц — фотонов. Фотон обладает энергией е = йш=^£> (57.1) определяемой только его частотой ® или длиной волны Л. Подстановка значений й и с приводит к формуле: 6^22390, (57.2) где е выражена в электрон-вольтах, а X — в ангстре- мах1)- Длине волны X = 0,555 мк = 5550 А соответствует энергия фотона 8 = 2,23 эв. Для рентгеновских лучей (Z ~ 10-4 ч-8 • 102 А) энергия фотона лежит в пределах от 15 эв до 100 Мэв. Согласно теории относительности частица с энер- гией е, обладает массой гп=.е/с2 [см. (42.9)]. Подставив значение е, получим для массы фотона выражение: т = ^. (57.3) Фотон есть частица, движущаяся со скоростью с. Подстановка в формулу (42.6) значения о — с обращает знаменатель формулы в нуль. Вместе с тем, как мы ви- дели, масса фотона т конечна. Это возможно только в том случае, если масса покоя т0 равна нулю. Таким образом, фотон — особенная частица, существенно отли- чающаяся от таких частиц, как электрон, протон и ней- трон, которые обладают не равной нулю массой покоя и могут находиться в состоянии покоя. Фотон не имеет массы покоя и может существовать, только двигаясь со скоростью с. Положив в формуле (42.12) т0 = 0, получим: Е = ср. Отсюда следует, что фотон обладает импульсом: 8 Й(й 2лй Р ~~ с с (57.4) Л • ') Изменив последние две цифры, можно получить легко запо- минающуюся формулу: е = -л 282
Учтя, что 2л/Л равно волновому числу k, т. е. модулю волнового вектора к, импульс фотона можно записать в векторном виде: р = Лк. (57.5) Из наличия у фотона импульса вытекает, что свет, падающий на какое-либо тело, должен оказывать на это тело давление, равное импульсу, сообщаемому фотонами единице поверхности в единицу времени. Пусть плотность потока фотонов (число фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени) равна N. Если все фо- тоны поглощаются телом, давление равно Р = pN = = (e/c)N. При условии, что все фотоны отражаются те- лом в обратном направлении, давление будет в два раза больше: Р = 2(е/с)М Наконец, если отражается доля фотонов, равная и (и—коэффициент отражения), и по- глощается доля, равная (1 — и), для давления получится выражение: P = 2^xN + ~(l -x)W = (l Плотность потока фотонов М можно представить как произведение плотности фотонов п (т. е. количества фо- тонов в единице объема) на их скорость с, т. е. М = пс. Далее, замечая, что произведение не дает энергию фо- тонов, заключенных в единице объема, w (плотность энергии), можно написать: Р = (\ +х) w, что совпадает с выражением для давления, получаю- щимся из электромагнитной теории [см. т. II, формулу (113.2)]. Мы рассмотрели ряд явлений, в которых свет ведет себя как поток частиц (фотонов): Однако не надо забы- вать, что такие явления, как интерференция и дифрак- ция света, могут быть объяснены только на основе вол- новых представлений. Таким образом; свет обнаруживает ко р пу с к у л я р но - во л новой дуализм (двойст- венность): в одних явлениях проявляется его волновая природа и он ведет себя как электромагнитная волна, в других явлениях проявляется корпускулярная природа света и он ведет себя как поток фотонов. В § 64 мы увидим, что корпускулярно-волновой дуализм 283
присущ не только световым частицам, но и частицам вещества (электронам, протонам, атомам и т. д.). Выясним, в каком соотношении находятся волновая и корпускулярная картина. Ответ на этот вопрос можно получить, рассмотрев с обеих точек зрения освещенность какой-либо поверхности. Согласно волновым представле- ниям освещенность в некоторой точке поверхности про- порциональна квадрату амплитуды световой волны. С корпускулярной точки зрения освещенность пропор- циональна плотности потока фотонов. Следовательно, между квадратом аплитуды световой волны и плотно- стью потока фотонов имеется прямая пропорциональ- ность. Носителем энергии и импульса является фотон. Энергия выделяется в той точке поверхности, в которую попадает фотон. Квадрат амплитуды волны определяет вероятность того, что фотон попадает в данную точку поверхности. Точнее, вероятность того, что фотон будет обнаружен в пределах объема dV, заключающего в себе рассматриваемую точку пространства, определяется вы- ражением: dP = X42dV, (57.6) где х — коэффициент пропорциональности, А— ампли- туда световой волны. Величина т£=эИ2 (57.7) называется плотностью вероятности. Из сказанного вытекает, что распределение фотонов по поверхности, на которую падает свет, должно иметь статистический характер. Наблюдаемая на опыте равно- мерность освещенности обусловлена тем, что обычно плотность потока фотонов бывает очень большой. Так, например, при освещенности, равной 50 лк (такая осве- щенность нужна, чтобы глаза не утомлялись при чте- нии) , и длине волны 0,555 мк на 1 см2 поверхности па- дает примерно 2 • 1013 фотонов в секунду. Относительные отклонения статистических величин от среднего значе- ния (их называют относительными флуктуациями) об- ратно пропорциональны корню квадратному из числа частиц. Поэтому при указанной величине потока фото- нов флуктуации будут ничтожны и поверхность пред- ставляется освещенной равномерно. 284
Флуктуации слабых световых потоков были обнару- жены С. И. Вавиловым и его сотрудниками. Они устано- вили, что в области наибольшей чувствительности (7, = — 0,555 мк) глаз начинает реагировать на свет при по- падании на зрачок примерно 100 фотонов в секунду. При такой интенсивности Вавилов наблюдал флуктуации светового потока, носившие отчетливо выраженный ста- тистический характер. § 58. Эффект Комптона закономер- Особенно отчетливо проявляются корпускулярные свойства света в явлении, которое получило название эффекта Комптона. В 1923 г. А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, обна- ружил, что в рассеянных лу- чах, наряду с излучением пер- воначальной длины волны X, содержатся также лучи боль- шей длины волны X'. Разность АХ = X — К оказалась незави- сящей от % и от природы рас- сеивающего вещества. Экспе- риментально была установлена следующая ность: А ДХ = Х0(1 — cost!) = 2Z0sin2-g-, (58.1) где Ф — угол, образуемый направлением рассеянного из- лучения с направлением первичного пучка, Хо— постоян- ная, равная 0,0242 А. Схема опыта Комптона показана на рис. 175. Выде- ляемый диафрагмами Д узкий пучок монохроматического (характеристического) рентгеновского излучения направ- лялся на рассеивающее вещество РВ. Спектральный со- став рассеянного излучения исследовался с помощью рентгеновского спектрографа, состоящего из кристалла Кр и ионизационной камеры ИД. На рис. 176 приведены результаты исследования рас- сеяния монохроматических рентгеновских лучей [линия 285
К,а') молибдена] на графите. Кривая а характеризует первичное-излучение. Остальные кривые относятся к раз- ным углам рассеяния б, значения которых указаны на рисунке. По оси ординат отложена интенсивность излу- чения, по оси абсцисс — величина, пропорциональная длине волны. Рис. 177 характеризует зависимость соотношения ин- тенсивностей смещенной М и несмещенной Р компонент от атомного номера рассеивающего вещества. Верхняя кривая в левом столбце характеризует первичное излу- чение (линия Ка серебра). При рассеянии веществами с малым атомным номером (Li, Be, В) практически все рассеянное излучение имеет смещенную длину волны. По мере увеличения атомного номера все большая часть излучения рассеивается без изменения длины волны. Все особенности эффекта Комптона можно объяс- нить, рассматривая рассеяние как процесс упругого столкновения рентгеновских фотонов с практически сво- бодными электронами. Свободными можно считать наи- ’) См. § 78. 286
более слабо связанные с атомами электроны, энергия связи которых значительно меньше той энергии, которую фотон может передать электрону при соударении’)• Пусть на первоначально покоящийся свободный элек- трон падает фотон с энергией fi<o и импульсом fik. Энер- гия электрона до столкновения равна тос2 (т0 — масса покоя электрона), импульс равен нулю. После столкно- вения электрон будет обладать энергией тс2 и импуль- сом ту [т и т0 связаны соотношением (42.6) ]. Энергия и импульс фотона также изменятся и станут равными fico' и fik'. Из законов сохранения энергии и импульса ') При упругом соударении фотон не может передать электрону (или какой-либо другой частице) всю свою энергию. Такой процесс нарушал бы законы сохранения энергии и импульса. 287
вытекают два соотношения: Л® + т6с2 = Лео' + тс2, Лк = mv + Лк'. Разделив первое из уравнений на с, можно привести его к виду: тс = тос + b (k — k') (напомним, что <о/с есть k). Возведение этого уравнения в квадрат дает: (тс)2 = (mocj2 + (bk)2 + (Л/г')2 — 2(Л/г) (Л/г') + 2т0сЛ (/г — /г'). (58.2) Из рис. 178 следует, что (mv)2 = (bk)2 + (bk')2 - 2 (bk) (bk1) cos 0, (58.3) где ft — угол между векторами k' и k, т. e. между на- правлением распространения рассеянного света и направле- нием первичного пучка. Вычтя уравнение (58.3) из (58.2), получим: т2 (с2 — v2) — = т2с2 — 2b2kk' (1 — cos О) + + 2mocb (k — k'). Приняв во внимание соот- ношение (42.6), легко убе- диться в том, что т2(с2 — v2) = т2с2. Таким образом, мы приходим к равенству: ШцС (k — k') = bkk' (1 — cos O’). Умножим это равенство на 2л и разделим на kk'm^c. Наконец, учтя, что 2 л//? = к, получим формулу: АХ = к' - к = (1 - cos ft), (58.4) совпадающую с эмпирической формулой (58.1), если положить Хо = 2лЬ/т0с. 288
Величина 1П0С (58.5) называется комптоновской длиной волны той частицы, масса т0 которой имеется в виду. Подстановка численных значений й, т0 и с дает для комптоновской длины волны электрона значение Л = 3,86 1СГ11 см = 0,00386 А. (58.6) Умножив А электрона на 2л, получим для ко значе- ние 0,0242 А, совпадающее с эмпирическим значением коэффициента в формуле (58.1). При рассеянии фотонов на электронах, связь которых с атомом велика, обмен энергией и импульсом происхо- дит с атомом как целым. Так как масса атома намного превосходит массу электрона, комптоновское смещение в этом случае ничтожно и 7/ практически совпадает с к. По мере роста атомного номера увеличивается относительное число электронов с сильной связью, чем и обусловливается ослабление смещенной линии (см. рис. 177). Ю И. В. Савельев, т. III
ЧАСТЬ II АТОМНАЯ ФИЗИКА ГЛАВАХ БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ АТОМА § 59. Закономерности в атомных спектрах Изолированные атомы в виде разреженного газа или паров металла испускают спектр, состоящий из отдель- ных спектральных линий. В соответствии с этим спектр испускания атомов называется линейчатым. На Рис. 179. рис. 179 показан спектр испускания паров ртути. Такой же характер имеют и спектры других атомов. Изучение атомных спектров послужило ключом к по- знанию строения атомов. Прежде всего было замечено, что линии в спектрах атомов расположены не беспоря- дочно, а объединяются в группы или, как их называют, серии линий. Отчетливее всего это обнаруживается в спектре простейшего атома — водорода. На рис. 180 представлена часть спектра атомарного водорода в ви- димой и близкой ультрафиолетовой области. Символами На, Н$, и /76 обозначены видимые линии, //«, указы- вает границу серии (см. ниже). Очевидно, что линии 290
располагаются не беспорядочным образом, а в опреде- ленном порядке. Расстояние между линиями закономер- но убывает по мере перехода от более длинных волн к более коротким. Швейцарский физик Бальмер (1885) установил, что длины волн этой серии линий водорода могут быть точ- но представлены формулой: * = (59.1) где Хо— константа, п — целое число, принимающее зна- чения: 3, 4, 5 и т. д. Рис. 180. В спектроскопии принято характеризовать спектраль- ные линии не частотой, а обратной длине волны вели- чиной , _ 1 о v Л 2лс ’ (59.2) которую называют волновым числом (не смеши- вать с волновым числом & = 2л/Х = <о/с!). Это вызвано тем, что длина волны (а следовательно и волновое чис- ло) измеряется в настоящее время с гораздо большей точностью [об этой точности можно судить по приведен- ному ниже значению (59.4) константы У?], чем точность, с которой определена скорость света с. Поэтому значе- ние частоты не может быть столь же точным, как зна- чение волнового числа. Если преобразовать (59.1) в выражение для волно- вого числа, получится формула: = (« = 3, 4, 5, ...), (59.3) 10’ 291
где буквой R обозначена константа, равная 4/?.о. Эту кон- станту называют в честь шведского спектроскописта постоянной Ридберга. Она равна R = 109 737,309 ± 0,012 слГ1. (59.4) Мы не станем придерживаться спектроскопических обозначений и будем для характеристики спектральных линий пользоваться круговой частотой о. Соответствен- но постоянной Ридберга мы будем называть величину, в 2л с раз большую, чем R в формуле (59.3). Обозначать эту величину мы будем той же буквой R. Следователь- но, нужно иметь в виду, что величина, называемая в дальнейшем постоянной Ридберга, имеет значение /? = 2,07 • 10’6 сек-1 (59.5) и представляет собой, строго говоря, произведение по- стоянной Ридберга на 2лс. Таким образом, формулу (59.3) мы будем писать в виде: = (п = 3, 4, 5, ...). (59.6) Формула (59.6) [так же как и (59.3)] называется формулой Бальмера, а соответствующая серия спектральных линий водородного атома — серпе й Бальмера. Дальнейшие исследования показали, что в спектре водорода имеется еще несколько серий. В ультрафиолетовой части спектра находится серия Лай- мана. Остальные серии лежат в инфракрасной области. Линин этих серий могут быть представлены в виде фор- мул, аналогичных (59.6): серия Лаймана серия Пашена серия Брэкета серия Пфунда (п = 2, 3, 4, ...) (и = 4, 5, 6, ...) (п = 5, 6, 7, ...) (и = 6, 7, 8, ...), Частоты всех линий спектра водородного атома мож- но представить одной формулой: (59-7> 292
где т имеет значение 1 для серии Лаймана, 2 — для серии Бальмера и т. д. При заданном т число п при- нимает все целочисленные значения, начиная с т + 1. Выражение (59.7) называют обобщенной форму- лой Бальмер а. При возрастании п частота линии в каждой серин стремится к предельному значению которое назы- вается границей серин (на рис. 180 символом Нх отмечена граница серин Бальмера). Возьмем ряд значений выражения Т (п) = Щп1: JL JL JL р ’ ' з2 (59.8) Частота любой линии спектра водорода может быть представлена в виде разности двух чисел ряда (59.8). Эти числа называют спектральными термами или просто термами1). Так, например, частота первой линии серин Бальмера равна 7(2)—7(3), второй линии серин Пфунда — 7(5) — 7 (7) и т. д. Изучение спектров других атомов показало, что ча- стоты линий и в этом случае могут быть представлены в виде разностей двух термов: <э = 7t (т) — 72(п). (59.9) Однако терм 7 (п) обычно имеет более сложный вид, чем для водородного атома. Кроме того, первый и вто- рой члены формулы (59.9) берутся из различных рядов термов. § 60. Модель атома Томсона Для объяснения характера спектра, испускаемого изолированным атомом, следовало предположить, что электрон в излучающем атоме совершает гармонические колебания и, следовательно, удерживается около поло- жения равновесия квазнупругой силой вида f = —kr, где г — отклонение электрона от положения равновесия. В 1903 г. Томсон предложил модель атома, согласно которой атом представляет собой равномерно заполнен- ную положительным электричеством сферу, внутри •) В спектроскопии термами называют числа, в 2лс раз мень- шие. Их разности дают волновые числа V спектральных линий. 293
которой находится электрон (рис. 181). Суммарный по- ложительный заряд сферы равен заряду электрона, так что атом в целом нейтрален. Напряженность поля внутри равномерно заряженной сферы определяется выражением') = (0<г<Я), где е — заряд сферы, a R — ее радиус [см. т. II, фор- мулу (8.12)]. Следовательно, на электрон, находящийся на расстоянии г от положения равновесия (от центра сферы), будет действовать сила: 0f = (- е)Е = ~^гг= - kr. п В таких условиях электрон, выведен- ный каким-либо образом из положения равновесия, будет совершать колебания с частотой Рис. 181- т/Т / ё5 /пл п “ = <60Л) (е — заряд электрона, т — масса электрона, R— радиус атома). Последним соотношением можно воспользоваться для оценки размеров атома. Согласно (60.1) Длине волны X — 0,6 jhk = 6*10~5 см (видимая об- ласть спектра) соответствует со ~ 3 • 1015 сек-'. Следова- тельно, / 4 82-1О“20 V3 я Я = -----------------30 « 3 • 10 СМ. \ 0,91 • 10“27-32- Ю30/ Полученное значение совпадает по порядку величи- ны с газокинетическими размерами атомов, что можно было бы рассматривать как подтверждение модели Том- сона. Однако в дальнейшем выяснилась несостоятель- ность этой модели, так что в настоящее время она имеет лишь исторический интерес как одно из звеньев в цепи развития представлений о строении атомов. ') Здесь и дальше в этом томе мы пользуемся гауссовой систе- мой единиц. 294
§ 61. Опыты по рассеянию а-частиц. Ядерная модель атома Для того чтобы выяснить характер распределения по- ложительных и отрицательных зарядов в атоме, было необходимо непосредственное опытное «зондирование» внутренних областей атома. Такое зондирование осуще- ствили Резерфорд и его сотрудники с помощью а-ча- стиц, наблюдая изменение направления их полета (рас- сеяние) при прохождении через тонкие слои вещества. Напомним, что а-частицаМи называют частицы, вы- брасываемые с огромной скоростью некоторыми веще- ствами при радиоактивном распаде. В то время, когда Резерфорд приступал к своим опытам, было известно, что а-частицы имеют положительный заряд, равный удвоенному элементарному за- ряду, и что при потере этого заряда (при присоединении двух электронов) а-частица превращается в атом гелия. Скорость, с которой а-частицы вылетают из радиоактивного вещества, бывает порядка 109 см!сек. Опыт осуществлялся сле- дующим образом (рис. 182). Внутри полости, сделанной в куске свинца, помещалось радиоактивное вещество Р, служившее источником а-ча- стиц. Вследствие сильного торможения в свинце а-части- цы могли выходить наружу лишь через узкое отверстие. На пути получавшегося таким способом узкого пучка а-частиц располагалась тонкая металлическая фоль- га Ф. При прохождении через фольгу а-частицы откло- нялись от первоначального направления движения на различные углы •&. Рассеянные а-частицы ударялись об экран Е, покрытый сернистым цинком, и вызываемые ими сцинтилляции ’) наблюдались в микроскоп М. Мик- роскоп и экран можно было вращать вокруг оси, про- ходящей через центр рассеивающей фольги, и устанав- ливать таким образом под любым углом &. Весь прибор Рис. 182. ') Сцинтилляцией называется вспышка света, производимая за- ряженными частицами при ударе их о вещество, способное люми- лесцировать. 295
помещался в откачанный кожух, чтобы устранить тор- можение а-частиц за счет столкновений с молекулами воздуха. Оказалось, что некоторое количество а-частиц рас- сеивается на очень большие углы (почти до 180°). Про- анализировав результаты опыта, Резерфорд пришел к выводу, что столь сильное отклонение а-частиц воз- можно только в том случае, если внутри атома имеется чрезвычайно сильное электрическое поле, которое соз- дается зарядом, связанным с большой массой и скон- центрированным в очень малом объеме. Основываясь на этом выводе, Резерфорд предложил в 1911 г. ядерпую модель атома. Согласно предположению Резерфорда атом представляет собой систему зарядов, в центре ко- торой расположено тяжелое положительное ядро с за- рядом Ze, имеющее размеры, не превышающие 10-12 см, а вокруг ядра расположены Z электронов, распределен- ных по всему объему, занимаемому атомом. Почти вся масса атома сосредоточена в ядре. Исходя из таких предположений, Резерфорд разра- ботал количественную теорию рассеяния а-частиц и вы- вел формулу для распределения рассеянных частиц по значениям угла &. При выводе формулы Резерфорд рас- суждал следующим образом. Отклонения а-частиц об- условлены воздействием на них со стороны атомных ядер. Заметного отклонения из-за взаимодействия с элек- тронами не может быть, поскольку масса электрона на четыре порядка меньше массы а-частнцы. Когда ча- стица пролетает вблизи ядра, на нее действует кулонов- ская сила отталкивания: Траектория частицы в этом случае представляет со- бой гиперболу, асимптоты которой образуют между собой угол (рис. 183,а). Этот угол характеризует от- клонение частицы от первоначального направления. Расстояние b от ядра до первоначального направления полета а-частицы называется прицельным пара- метром. Чем ближе пролетает частица от ядра (чем меньше Ь), тем, естественно, сильнее она отклоняется (тем больше &). Между величинами b и & имеется простое соотношение, которое мы сейчас установим. 296
Из закона сохранения энергии следует, что вдали от ядра величина импульса р рассеянной частицы будет такой же, как и величина импульса ро до рассеяния: р = Ро- Следовательно (см. рис. 183,6), для модуля при- ращения вектора импульса частицы, возникающего в ре- зультате рассеяния, можно написать выражение: A ft | Ap| = 2p0sin-2- = 2mav sin-g-, (61.2) где Шу — масса а-частицы, v — се начальная скорость. С другой стороны, согласно второму закону Ньютона I Ар 1=| fndt, (61.3) где [п — проекция силы (61.1) на направление вектора Ар (см. рис. 183,о), равная /'cosip. Как видно из рис. 183, а и б, угол чр можно заменить через полярный угол <р и угол отклонения б-: , п •& ^ = Т-Т-<Р- Из последнего соотношения следует, что Г Г , f /' , о 1 2Ze2 . / Д' Тп = f cos гр = f Sin (<p + у) = ~ sin (ф + -g- Подставим это выражение в формулу нив одновременно dt через dq/cp: л—О |Ap| = 2Ze2 [ .^(ф + ^Нф . 1 .1 г2<р с (61.3), заме- (61.4) 297
Величина таг2ф есть не что иное, как момент им- пульса а-частицы М, взятый относительно рассеиваю- щего ядра. Сила, действующая на а-частицу, является центральной. Поэтому момент М остается все время по- стоянным и равным своему первоначальному значению Мо = mavb. После замены г2ф через vb интеграл (61.4) легко вычисляется: л-0 . . , 2Ze2 f . I , й \ , 2Ze- n 0 |AP|==“^J sin(<p+-2-p(p = -^2cosT. 0 Из сопоставления последнего выражения с форму- лой (61.2) вытекает, что о . й 27.е- о й 2/nau sm-g- = 2 cos -g-, откуда 1) = <61-5) настолько тонкий, чтобы каждая частица М Рис. 184. Рассмотрим слой рассеивающего вещества при прохождении через него пролетала вблизи только одного ядра, т. е. чтобы каждая частица претерпевала только однократное рассеяние. Для того чтобы испы- тать рассеяние на угол, лежащий в пределах от # до •& + do, части- ца должна пролететь вблизи одного из ядер по траектории,прицель- ный параметр которой заключен в пределах от Ь до b + db (рис. 184), причем dO и db, как следует из (61.5), связаны соотношением: 1 б/й _____ m^v2 sin2 (й/2) 2 — 2ZeT (61.6) Знак минус в этом выражении обусловлен тем, что с увеличением b (db > 0) угол отклонения убывает ') Приведенный вывод формулы (61.5) принадлежит И. Е. Иро- дову. 298
(Л><0). В дальнейшем нас будет интересовать лишь абсолютное значение db в функции от О и с/й, поэтому знак минус мы не будем учитывать. Обозначим площадь поперечного сечения пучка а-ча- стиц буквой S. Тогда количество атомов рассеивающей фольги на пути пучка можно представить в виде nSd, где п— число атомов в единице объема, a d — толщина фольги. Если а-частицы распределены равномерно по сечению пучка и число их очень велико (что имеет ме- сто на самом деле), то относительное количество а-ча- стиц, пролетающих вблизи одного из ядер по траектории с прицельным параметром от b до b + db (и, следовательно, от- клоняющихся в пределах углов от •& до •& + db), будет равно (см. рис. 185): dNf, _ nSd • 2лЬ db _ N — S — ~nd2nbdb. (61.7) В этом выражении dN$ — число частиц, рассеянных в пределах УГЛОВ ОТ О ДО О + db, N — ПОЛ- Рис. 185. ное число частиц в пучке. В обо- их случаях под числом частиц подразумевается поток частиц через соответствующую поверхность. Заменив в формуле (61.7) b и db через b и db в соответствии с (61.5) и (61.6), получим: AV0 , I 2Ze2 \2 , b —vr- = nd ------5- 2л ctg N \ mav‘ ] & 2 1 db sin2 (bj2) 2 Преобразуем множители, содержащие угол fh ctg (0/2) _____ cos (0/2) sin (0/2) _ sin & sin2 (b/2) sin4 (b/2) 2 sin' (b/2) С учетом этого преобразования dl\f® __ .1 2Ze2 \2 2л sin О db N П \ mav2 / 4sin4('&/2) Наконец, замечая, что 2nsin'0</'& есть телесный угол с/Q, в пределах которого заключены направления, 299
соответствующие углам от О до О + d»>, можно написать: - nd ()2 /.%9Т. (61.8) N \muv2 / sm4 (0/2) 4 ' Последнее выражение называется формулой Ре- зерфорда для рассеяния а-частиц. В 1913 г. сотруд- ники Резерфорда произвели проверку этой формулы пу- тем подсчета сцинтилляций, наблюдавшихся под раз- ными углами й' за одинаковые промежутки времени. В условиях опыта (см. рис. 182) счету подвергались а-частицы, заключенные в пределах одного и того же телесного угла (определявшегося площадью экрана Е и расстоянием его от фольги), поэтому число сцинтилля- ций, наблюдавшихся под разными углами, должно было быть, в соответствии с формулой Резерфорда, пропорцио- нально l/sin4(t)/2). Этот результат теории хорошо под- твердился на опыте. Зависимость рассеяния от толщины фольги и скорости а-частиц также оказалась в соответ- ствии с формулой (61.8). Справедливость теории, исходящей из кулоновского взаимодействия между а-частицей и ядром атома, сви- детельствует о том, что даже отбрасываемая в обратном направлении а-частица не проникает в область поло.- жительного заряда атома (как мы видели при рассмот- рении модели атома Томсона, взаимодействие в этом случае определялось бы не законом 2Ze2/r2, а соответ- ствовало бы закону 2Ze2rlR3). Вместе с тем, летящая точно по направлению к ядру а-частица подошла бы к его центру на расстояние, которое можно определить, приравняв кинетическую энергию а-частицы потенциаль- ной энергии взаимодействия а-частицы с ядром в мо- мент полной остановки частицы: nitlv2 _ 2Ze2 2 Гщ1п (/"min—минимальное расстояние между центрами а-ча- стицы и ядра). Положив Z = 10, и = 109 см/сек и /иа=4- 1,66-10 24 = = 6,6-1024 г, получим 4Ze2 4 • 10 • 4,82 • 10'2с . к ln-i2 Anin 2 ~ 1П—24 1П18 ~ ’ Ю см mav 6,6-10 -10 300
Таким образом, результаты опытов по рассеянию а-частиц свидетельствуют в пользу ядерной модели ато- ма, предложенной Резерфордом. Однако ядерная мо- дель оказалась в противоречии с законами классиче- ской механики и электродинамики. Поскольку система неподвижных зарядов не может находиться в устойчивом состоя- нии, Резерфорду пришлось отка- заться от статической модели атома и предположить, что элек- троны движутся вокруг ядра, опи- сывая замкнутые траектории. Но в этом случае электрон будет дви- гаться с ускорением, в связи с чем, согласно крассической электродинамике, он должен не- прерывно излучать электромаг- нитные (световые) волны. Процесс излучения сопрово- ждается потерей энергии, так что электрон должен в ко- нечном счете упасть на ядро (рис. 186). § 62. Постулаты Бора. Опыт Франка и Герца В предыдущем параграфе было выяснено, что ядер- ная модель атома в сочетании с классической механикой и электродинамикой оказалась неспособной объяснить ни устойчивость атома, ни характер атомного спектра. Выход из создавшегося тупика был найден в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором, правда, ценой введе- ния предположении, противоречащих как классической механике, так и классической электродинамике. Допу- щения, сделанные Бором, содержатся в двух высказан- ных им постулатах. 1. Из бесконечного множества электронных орбит, возможных с точки зрения классической механики, осу- ществляются в действительности только некоторые ди- скретные орбиты, удовлетворяющие определенным кван- товым условиям. Электрон, находящийся на одной из этих орбит, несмотря на то, что он движется с ускоре- нием, не излучает электромагнитных волн (света). 2. Излучение испускается или поглощается в виде светового кванта энергии /до при переходе электрона из одного стационарного (устойчивого) состояния 301
в другое. Величина светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона: tia = En — Ет. (62.1) Частота излучаемой линии будет равна: <о = ъ Если произвольную аддитивную постоянную в выра- жении для энергии выбрать так, чтобы Е обращалась в нуль при удалении электрона от ядра на бесконеч- ность, то все Et будут меньше нуля (для удаления элек- трона от ядра нужно совершить положительную работу).. Положительными же будут величины (—Ei/fi). С уче-. том этого обстоятельства С другой стороны, как мы знаем, и = Т (т) — Т (п), где T(i)> 0 (см. § 59). Из сравнения последних двух выражений следует, что терм с точностью до множителя (—1/й) равен энер- гии соответствующего стационарного состояния атома: (62.2) Существование дискретных энергетических уровней атома подтверждается опытами, осуществленными Фран- ком п Герцем. Схема их установки приведена на рис. 187, а. В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (~1 мм рт. ст.), имелись три электрода: катод К, сетка С и анод А. Электроны, вы- летавшие из катода вследствие термоэлектронной эмис- сии, ускорялись разностью потенциалов U, приложенной между катодом и сеткой. Эту разность потенциалов можно было плавно менять с помощью потенциометра П. Между сеткой и анодом создавалось слабое электриче- ское поле (разность потенциалов порядка 0,5 в), тормо- зившее движение электронов к аноду. На рис. 187,6 показано изменение потенциальной энергии электрона 302
Ер — —еср между электродами при различных значениях напряжения между катодом и сеткой (<р — потенциал в соответствующей точке поля). Рис. 187. Определялась зависимость силы тока i в цепи анода (измерявшейся гальванометром Полученные результаты пред- ставлены на рис. 188. Сила то- ка вначале монотонно возра- стает, достигает максимума при U = 4,9 в, после чего с дальнейшим увеличением U резко падает, достигает мини- мума и снова начинает расти. Максимумы силы тока повто- ряются при U, равном 9,8 в, 14,7 в и т. д. ’). Такой ход кривой объясня- ется тем, что вследствие диск- Г) от напряжения U- энергию только опреде- ретности энергетических уров- ней атомы могут воспринимать ленными порциями: AEj == Е2 — Е1 либо АЕ2 — £з~Е1 и т. д., где Е1г Е2, Ез, ... — энергии 1-го, 2-го, 3-го и т. д. ста- ционарного состояния. ') Практически максимумы получаются при напряжениях 4,1 в, 9,0 в, 13,9 вит. д., что обусловлено наличием, даже при отсутствии извне прикладываемого напряжения, контактной разности потенциа- лов между электродами порядка 0,8 в. 303
До тех пор, пока энергия электрона меньше AEb со- ударения между электроном и атомом ртути носят упру- гий характер, причем, поскольку масса электрона во много раз меньше массы атома ртути, энергия элек- трона при столкновениях практически не изменяется. Часть электронов попадает на сетку, остальные же, про- скочив через сетку, достигают анода, создавая ток в цепи гальванометра Г. Чем больше скорость, с которой электроны достигают сетки (чем больше U), тем боль- ше будет доля электронов, проскочивших через сетку, н тем, следовательно, больше будет сила тока I. Когда энергия, накапливаемая электроном в проме- жутке катод — сетка, достигает или превосходит \Elt соударения перестают быть упругими — электроны при ударах об атомы передают им энергию Д-Е^ и продол- жают затем двигаться с меньшей скоростью. Поэтому число электронов, достигающих анода, уменьшается. На- пример, при U = 5,3 в электрон сообщает атому энер- гию, соответствующую 4,9 в (первый потенциал возбу- ждения атома ртути), и продолжает двигаться с энер- гией 0,4 эв. Если даже такой электрон окажется между сеткой и анодом, он не сможет преодолеть задержи- вающее напряжение 0,5 в и будет возвращен обратно на сетку. Атомы, получившие при соударении с электронами энергию ДЕЬ переходят в возбужденное состояние, из которого они спустя весьма короткое время (~ 10“8 сек) возвращаются в основное состояние, излучая световой квант (фотон) с частотой й = AEJfi. При напряжении, превышающем 9,8 в, электрон на пути катод — анод может дважды претерпеть неупругое соударение с атомами ртути, теряя при этом энергию 9,8 в, вследствие чего сила тока i снова начнет умень- шаться. При еще большем напряжении возможны трех- кратные неупругие соударения электронов с атомами, что приводит к возникновению максимума при Е/=14,7в, и т. д. При достаточном разрежении паров ртути и соответ- ствующей величине ускоряющего напряжения электроны за время до столкновения с атомами могут приобретать скорость, достаточную для перевода атома в состояние с энергией Е3. В этом случае на кривой i = f(U) наблю- даются максимумы при напряжениях, кратных второму 304
потенциалу возбуждения атома (для ртути этот потен- циал равен 6,7 в), или при напряжениях, равных сумме первого и второго потенциалов возбуждения и т. д. Таким образом, в опытах Франка и Герца непосред- ственно обнаруживается существование у атомов ди- скретных энергетических уровней. § 63. Элементарная боровская теория водородного атома Бор предположил, что из всех возможных орбит электрона осуществляются только те. для которых мо- мент импульса равен целому кратному постоянной План- ка й, деленной па 2.ч: mevr = nh (п=1, 2, 3, ...). (63.1) Число п называется главным квантовым чис- лом. Постоянная й имеет значение (53.2). Рассмотрим электрон, движущийся в поле атомного ядра с зарядом Ze. При Z = 1 такая система соответ- ствует атому водорода, при иных Z — водородоподоб- ному иону, т. е. атому с порядковым номером Z, из ко- торого удалены все электроны, кроме одного. Согласно второму закону Ньютона произведение массы электро- на те на его центростремительное ускорение и2/г дол- жно равняться кулоновской силе: (63.2) Исключая v из (63.1) и (63.2), получаем, что радиус электронных орбит в атоме может принимать лишь ряд дискретных значений: '-"-тй"’ (« = 1,2.3,...). (63.3) Для первой орбиты водородного атома (Z = 1, п = 1) получается Г] =—2—= 0,529 А, (63.4) т, е. величина порядка газокинетических размеров атома. 305
Внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (ядро неподвижно) и энергии взаи- модействия электрона с ядром (потенциальной энергии): „ mev2 Ze2 С------------ 2 Из (63.2) следует, что теУ2 Ze2 2 2г ‘ Ze2 E=0 Следовательно, с Ze2 Ze2 Наконец, учтя значения г, зволенные атома: <«=1’ 2> 3, ...). (63.5) Схема энергетических уровней, опре- деляемых (63.5), дана на рис. 189. При переходе атома водорода (Z = 1) из состояния п в состояние т испускает- ся квант даваемые (63.3), получим до- значения внутренней энергии £ . mt.e‘ ~ 2/)2 _1____1_\ п2 т2 / ' Частота испущенного света равна «2Г mee Рис. 189. 2й3 {т2 Таким образом, мы пришли к обоб- щенной формуле Бальмера (59.7), при- чем для постоянной Ридберга получает- ся значение: п _ тев* (63.6) Если подставить в это выражение значения входящих в него констант, получается величина, поразительно хо- рошо согласующаяся с экспериментальным значением постоянной Ридберга. Итак, совпадение выводов теории Бора с опытными данными для водорода не оставляет желать лучшего. Теория Бора была весьма крупным шагом в развитии 306
теории атома. Она с полной отчетливостью показала неприменимость классической физики к внутриатомным явлениям и главенствующее значение квантовых зако- нов в микромире. Изложенная выше элементарная теория была в тече- ние последующего десятилетия подвергнута дальней-, шему развитию и уточнениям, с которыми мы не станем знакомиться, поскольку в настоящее время теория Бора имеет преимущественно историческое значение. После первых успехов теории все яснее давали себя знать ее недочеты. Особенно тягостной была неудача всех попы- ток построения теории атома гелия -— одного из простей- ших атомов, непосредственно следующего за атомом водорода. Самой слабой стороной теории Бора, обусловившей последующие неудачи, была ее внутренняя логическая противоречивость: она не была ни последовательно клас- сической, ни последовательно квантовой теорией. В на- стоящее время, после открытия своеобразных волновых свойств вещества, совершенно ясно, что теория Бора, опирающаяся на классическую механику, могла быть только переходным этапом на пути к созданию последо- вательной теории атомных явлений.
Г Л ABA XI КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОДОРОДНОГО АТОМА § 64. Гипотеза де-Бройля. Волновые свойства вещества Недостаточность теории Бора сделала необходимым критический пересмотр основ квантовой теории и пред- ставлений о природе элементарных частиц (электронов, протонов и т. п.). Возник вопрос о том, насколько исчерпывающим является представление электрона в виде малой механической частицы, характеризуе- мой определенными координатами и определенной ско- ростью. В результате углубления наших знаний о природе света выяснилось, что в оптических явлениях обнаружи- вается своеобразный дуализм (см. § 57). Наряду с та- кими свойствами света, которые самым непосредствен- ным образом свидетельствуют о его волновой природе (интерференция, дифракция), имеются и другие свой- ства, столь же непосредственно обнаруживающие его корпускулярную природу (фотоэффект, явление Комп- тона). В 1924 г. Луи де-Бройль выдвинул смелую гипотезу, что дуализм не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение. «В оптике, — писал он, — в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории ве- щества обратная ошибка?» Допуская, что частицы вещества наряду с корпуску- лярными свойствами имеют также и волновые, де-Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила пе- 308
(64.1) (64.2) Фото- ллссгшнка рехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Фотон, как известно [см. формулы (57.1) и (57.4)], обладает энергией Е = Лео и импульсом 2лЙ Р-—• По идее де-Бройля, движение электрона или какой- либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого равна , 2лй 2лй Л -— " ~' р tnv а частота £ Й Гипотеза де-Бройля вскоре была блестяще подтвер- ждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер обнару- жили, что пучок электронов, рассеивающийся от кри- сталлической пластинки, дает дифракционную картину. Томсон и независимо от него Тартаковскии получили ди- фракционную картину при про- хождении электронного пучка через металлическую фольгу. Опыт осуществлялся следую- щим образом (рнс. 190). Пучок электронов, ускоренных раз- ностью потенциалов порядка нескольких десятков киловольт, проходил через тонкую метал- лическую фольгу и попадал на фотопластинку. Элек- трон при ударе о фотопластинку оказывает на нее такое же действие, как п фотон. Полученная таким способом электронограмма золота (рис. 191, а) сопоставлена с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой алюминия (рис. 191,6). Сходство обеих картин порази- тельно. Штерн и его сотрудники показали, что дифракцион- ные явления обнаруживаются также у атомных и моле- кулярных пучков. Во всех перечисленных случаях элеюпрсяов Рис. 190. 309
дифракционная картина соответствует длине волны, опре- деляемой соотношением (64.1). Из описанных опытов с несомненностью выте- кает, что пучок микрочастиц определенной скорости и Рис. 191. маправления дает дифракционную картину, подобную картине, получаемой от плоской волны. § 65. Уравнение Шредингера Обнаружение волновых свойств микрочастиц1) сви- детельствовало о том, что классическая механика не мо- жет дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимость создать механику микро- частиц, которая учитывала бы также и их волновые свой- ства. Новая механика, созданная Шредингером, Гайзен- бергом, Дираком и другими, получила название волно- вой или квантовой механики. Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теорети- чески, а представляют собой обобщение большого числа опытных фактов, уравнение Шредингера также нельзя *) Микрочастицами называют элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны и другие простые частицы), а также сложные частицы, образованные из элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов и т. д.). 810
вывести из каких-либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное’ пред- положение, справедливость которого доказывается тем обстоятельством, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фак- тами. Состояние микрочастицы описывается в квантовой ме- ханике так называемой волновой функцией, кото- рую принято обозначать буквой Y. Она является функ- цией координат и времени и может быть найдена путем решения уравнения: = (65.1) Это уравнение было установлено Шредингером в 1926 г. и называется уравнением Шредингера со временем (или временным уравнением Шредингера). Величины, входящие в это уравнение, имеют следующие значения: Z — мнимая единица; h — постоянная Планка, деленная па 2л; т — масса частицы; • п Z.w . <Э-У\ А —оператор Лапласа (АЧ/ = J; U — потенциальная энергия частицы. Как следует из уравнения (65.1), вид волновой функ- ции Т определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U есть функция координат и времени. Для стационарного (не меняющеюся со време- нем) силового поля U не зависит явно от времени. В по- следнем случае волновая функция Т распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй — только от координат: V (х, у, z, t) = у, z) (65.2) (Е— полная энергия частицы). В самом деле, подстановка функции (65.2) в урав- нение (65.1) дает: —Лфе- ’* + U^e~1 z = ih — i j фе_' *. Сокращая все члены этого уравнения на общий множи- - i[E/h)t тель е и произведя соответствующие преооразова- 311
ния, получим дифференциальное уравнение, определяю- щее функцию ф: Дф+ —-(£-6/) ф = 0. (65.3) Если функция U зависит от времени явно, то и решение последнего уравнения — функция ф— будет зависеть от времени, что противоречит предположению (65.2). Уравнение (65.3) называется уравнением Шре- дингера для стационарных состояний (или уравнением Шредингера без времени). В дальнейшем мы будем называть его просто уравнение:.! Шредингера. К уравнению Шредингера можно прийти путем сле- дующих рассуждений. Из опытов по дифракции микро- частиц вытекает, что параллельный пучок частиц обла- дает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской вол- ны, распространяющейся в направлении оси х, имеет, как известно, вид: / 9Л \ £ (х, /) = a cos \ (£>t — х J. Это выражение часто пишут в комплексном виде: . ( . 2Л \ . .. —1х I £ (х, /) = ае ' к ', (65.4) подразумевая, что надо принимать во внимание веще- ственную часть этого выражения [см. т. I, форму- лу (79.9)]. Согласно гипотезе де-Бройля свободному движению частицы соответствует плоская волна с частотой <о = = E/h и длиной волны Л = 2лЪ1р. Заменяя и X в выра- жении (65.4) энергией и импульсом частицы, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х: V (х, /) = ае ‘ h h = ае Л <Е Р \ (65.5) Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция (65.5), воспользуемся соотноше- нием между Е и р; »)2 E = t- (65.6) 312
Продифференцировав функцию (65.5) один раз по /, а второй раз дважды по х, получим: dt д2Чг дхг Из этих соотношений можно выразить Е и р2 через функ- цию Т и ее производные: р _ Ti d'V 1 _ d’F 1 L ~ i dt «Г _ l" dt V ’ Подставляя последние выражения в соотношение (65.6), получим дифференциальное уравнение: Ъ2 д2Ч .. d’F 2т дхг ~th 01 ’ Если направление волны не совпадает с осью х (или у, или г}, фаза колебаний будет зависеть от всех коор- динат: х, у и z. Можно показать, что в этом случае диф- ференциальное уравнение имеет вид: Ъ2 2т d-V дг2 dt • Полученное уравнение совпадает с уравнением Шре- дингера (65.1) для случая U = 0 (частица по условию свободна). Подстановка (65.2) в это уравнение (такая подстановка правомерна, так как U — 0, т. е. не зависит от t) приводит к уравнению Шредингера для стационар- ных состояний: Дф + -g-r Еф = 0. (65.7) Это уравнение совпадает с уравнением (65.3) для случая (7 = 0. Таким образом, мы получили уравнение Шредингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует об- общить уравнение (65.7) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е сла- гается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U. 313
В случае свободной частицы полная энергия Е сов- падает с кинетической Г,.так что величину Е в уравне- нии (65.7) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщая уравнение (65.7) на случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для та- кой частицы под величиной Е: полную или только кине- тическую энергию. Если принять, что Е — полная энер- гия частицы, обобщенное уравнение, определяющее ф, а значит, и сама ф не будет зависеть от вида функции U, т. е. от характера силового поля. Это, очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. По- этому следует признать, что при наличии сил, действую- щих на частицу, вместо Е в уравнение (65.7) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е — U. Про- изведя такую замену, мы придем к уравнению (65.3). Чтобы предостеречь читателя от иногда встречающе- гося заблуждения, необходимо еще раз подчеркнуть, что приведенные нами рассуждения не могут рассматри- ваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель — пояснить, каким образом можно было прийти к установ- лению вида волнового уравнения для микрочастицы. До- казательством же правильности уравнения Шредингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения. § 66. Квантовомеханическое описание движения микрочастиц Соотношение между волновой функцией 'F и описы- ваемой ею частицей аналогично соотношению между све- товой волной и фотоном. В § 57 мы установили, что ква- драт амплитуды световой волны определяет вероятность попадания фотона в соответствующую точку простран- ства. Точно так же квадрат модуля *) волновой функции для какой-либо точки пространства, будучи умножен на включающий в себя эту точку элемент объема dV, опре- деляет вероятность dP того, что частица будет обнару- жена в пределах объема dV: dp = | Д [2 dV = W dV. (66.1) !) Волновая функция и ее квадрат являются комплексными ве- личинами. Вероятность же может выражаться только вещественным числом. 314
Таким образом, физический смысл функции V заклю- чается в том, что квадрат ее модуля дает плотность ве- роятности (вероятность, отнесенную к единице объема) нахождения частицы в соответствующем месте прост- ранства. Для стационарных состояний волновая функция имеет вид (65.2) и 4f4f* = е~1 #ф • в‘= фф‘, так что в этом случае плотность вероятности равна фф* и, следовательно, от времени не зависит. Из сказанного вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет опреде- лить местонахождение частицы в пространстве или тра- екторию, по которой новой функции мож- но лишь предска- зать, с какой веро- ятностью частица может быть обнару- жена в различных точках пространства. На первый взгляд может показаться, что квантовая меха- движется частица. С помощью вод- ника дает значи- тельно менее точное и исчерпывающее описание движе- ния частицы, чем классическая механика, которая опре- деляет «точно» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако в действительности это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц. Она лишь не опреде- ляет того, чего нет на самом деле. В применении к ми- крочастицам понятия определенного местоположения и траектории вообще теряют смысл. Движение по опреде- ленной траектории несовместимо с волновыми свойства- ми, что становится совершенно очевидным, если про- анализировать существо опытов по дифракции. Рассмотрим дифракцию от двух близко расположен- ных отверстий (рис. 192). Вследствие интерференции волн, распространяющихся от отверстий, дифракцион- ная картина не будет тождественна наложению дифрак- ционных картин, получающихся от каждого из отверстий 315
в отдельности (картина, получающаяся в случае рис. 192, а, не совпадает с наложением картин, получаю- щихся в случаях бив). Следовательно, вероятность по- падания электрона (или какой-либо другой микрочасти- цы) в различные точки экрана при прохождении пучка через оба отверстия также не будет равна сумме вероят- ностей для случаев прохождения пучка через каждое из отверстий в отдельности. Отсюда неизбежно следует вы- вод, что на характер движения каждого электрона ока- зывают влияние оба отверстия. Такой вывод не совме- стим с представлением о траекториях. Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и-, двигался по траектории, он прохо- дил бы через определенное отверстие — первое или вто- рое. Явление же дифракции доказывает, что в прохожде- нии каждого электрона участвуют оба отверстия — и пер- вое, и второе. Не следует, однако, представлять дело так, что какая- то часть электрона проходит через одно отверстие, а другая часть — через второе. Электрон, как и другие микрочастицы, всегда обнаруживается как целое, с при- сущей ему массой, зарядом и другими характерными для него величинами. Таким образом, электрон, протон, атом- ное ядро представляют собой частицы с весьма своеоб- разными свойствами. Обычный шарик, даже и очень ма- лых размеров (макроскопическая частица), не может служить прообразом микрочастицы. С уменьшением раз- меров начинают проявляться качественно новые свой- ства, не обнаруживающиеся у макрочастиц. В ряде случаев утверждение об отсутствии траекто- рий у микрочастиц, казалось бы, противоречит опытным фактам. Так, например, в камере Вильсона путь, по кото- рому движется микрочастица, обнаруживается в виде узких следов (треков), образованных капельками тума- на; движение электронов в электроннолучевой трубке превосходно рассчитывается по классическим законам, и т. п. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при известных условиях понятия траектории и опреде- ленного местоположения оказываются применимыми к микрочастицам, но только с некоторой степенью точ- ности. Положение оказывается опять-таки точно таким, как и в оптике. Если размеры преград или отверстий велики 316
по сравнению с длиной волны, распространение света происходит как бы вдоль определенных лучей (траекто- рий). При определенных условиях понятия положения в пространстве и траектории оказываются приближенно применимыми к движению микрочастиц, подобно тому как оказывается справедливым закон прямолинейного распространения света. Степень точности, с какой к частице может быть при- менено представление об определенном положении ее в пространстве, дается соотношением и е о п р е д е- л е н н о с т е й, установленным Гайзенбергом. Согласно этому соотношению частица пе может иметь одновре- менно вполне точные значения, например, ко- ординаты х и соответ- ствующей этой коорди- нате составляющей импульса рх, причем не- определенности в зна- чениях этих величин удовлетворяют усло- вию: ДлДрх^й. (66.2) Такая запись озна- чает, что произведение неопределенностей координаты и соответствующего ей импульса не может быть меньше величины порядка й. Чем точнее определена одна из величин, х или рх, тем больше становится неопределенность другой. Возможны состояния частицы, при которых одна из величин имеет вполне точное значение, но тогда вторая величина будет совершенно неопределенной. Соотношения, аналогичные (66.2), справедливы для любой координаты и соответствующего ей импульса, а также для ряда других величин, например, для взятых попарно проекций момента импульса па координат- ные оси. Чтобы пояснить соотношение неопределенностей, рас- смотрим следующий пример. Для определения положе- ния свободно летящей микрочастицы поставим на се пути щель шириной Дх, расположенную перпендикуляр- но к направлению движения частицы (рис. 193). До 317
Рис. 194. прохождения частицы через щель ее составляющая им- пульса рх имеет точное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к импульсу), так что Држ = О, зато координата х частицы является совершенно неопре- деленной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности ко- ординаты х появляется неопределенность Дх, но это до- стигается ценой утраты определенности значения рх- Дей- ствительно, вследствие дифракции имеется некоторая ве- роятность того, что ча- стица будет двигаться в пределах угла 2ф, где Ф — угол, соответствую- щий первому дифрак- ционному минимуму (максимумами высших порядков можно пре- небречь, поскольку их Интенсивность мала по сравнению с интенсивностью цен- трального максимума). Таким образом, появляется не- определенность: ДрА = р sinep. В § 24 мы нашли, что краю центрального дифракци- онного максимума (первому минимуму), получающегося от щели шириной Дх, соответствует угол ф, для которого X Sinro = -Т—. Дх Следовательно, ДРх = Р Д7> откуда с учетом (64.1) получается соотношение Дх ДрА = рЛ = 2я5, согласующееся с (66.2). Оценим неопределенность кординаты и импульса для электрона в электроннолучевой трубке. Пусть след элек- тронного пучка на экране имеет радиус г порядка Ю-3 см, длина трубки I порядка 10 см (рис. 194). Тогда kpxlpx ~ 10-4. Импульс электрона связан с ускоряющим напряжением U соотношением: 318
откуда р = \/2meU. При напряжении U ~ Ю4 в энер- гия электрона равна 104 эв — 1,6 • 10~8 эрг. Оценим вели- чину импульса: р= V 2 • 0,91 • 10-27 • 1,6 • Ю-8 « 5 • 10~'8. Следовательно, /\рх ~ 5 10-18 • 10-4 = 5 • 10~22. И, на- конец, согласно соотношению (66.2): Дх « Ар.г 1,05- 10~27 5-10“22 ~ 2 10“6 см. Полученный результат свидетельствует о том, что движение электрона в рассматриваемом случае будет практически неотличимо от движения по траектории. Соотношение неопределенностей отражает двойствен- ную корпускулярно-волновую природу микрочастиц. Од- ного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности, оно позволяет объяс- нить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и мини- мальную возможную энергию электрона в таком атоме. Если бы электрон упал на точечное ядро, его коорди- наты и импульс приняли бы определенные (нулевые)' значения, что несовместимо с принципом неопределен- ности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона Дг и неопределенность импульса Др были связаны условием (66.2). Формально энергия была бы минимальна при г = 0 и р = 0. Поэтому, произ- водя оценку наименьшей возможной энергии, нужно по- ложить Дг г и Др ~ р. Подставив эти значения в (66.2), получим соотношение гр = h (66.3) (для определенности вместо знака мы взяли знак = ). Энергия электрона в атоме водорода равна Р .. Р2 ег Е 2т г Заменив согласно (66.3) р через h/r, получим, что ГР еР 2тг2 г ' (66.4) 319
Найдем значение г, при котором Е минимальна. Про- дифференцировав функцию (66.4) по г и приравняв про- изводную нулю, придем к уравнению: --^т+4-=о> тг6 откуда следует, что (66.5) Полученное нами значение совпадает с радиусом первой боровской орбиты водородного атома [см. формулу (63.4)]. Энергию основного состояния можно найти, подста- вив значение (66.5) в формулу (66.4): г, Ъ2 ( те2 те2 _ те* ^mln -= 2^- ~ • Найденное значение также совпадает с энергией первого боровского уровня для Z = 1 [см. формулу (63.5)]. То обстоятельство, что мы получили точные значения г и Е, является, конечно, просто удачей. Приведенный нами расчет может претендовать лишь на то, чтобы дать оценку порядка величины г и Е. § 67. Свойства волновой функции. Квантование Значение уравнения Шредингера далеко не исчерпы- вается тем, что с его помощью можно найти вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Из этого уравнения н из условий, налагаемых на волно- вую функцию, непосредственно вытекают правила кван- тования энергии. Упомянутые условия состоят в том, что волновая функция ф в соответствии с ее физическим смыслом дол- жна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных х, у и г. В уравнение Шредингера входит в качестве параметра полная энер- гия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравне- ние Шредингера, имеют решения, удовлетворяющие сформулированным выше условиям (т. е. однозначные, конечные и непрерывные), не при любых значениях па- раметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях. 320
Эти избранные значения называются собственными значениями параметра, а соответствующие им ре- шения уравнения — собственными функциями задачи. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет весьма трудную ма- тематическую задачу. Поэтому в дальнейшем мы будем ограничиваться обсуждением результатов, получающихся при решении уравнения Шредингера для различных слу- чаев движения, почти не касаясь чисто математической стороны соответствующей задачи. Отметим, что волновые функции должны быть всегда «нормированы» таким образом, чтобы |фф*г/У=1. (67.1) Интегрирование производится по всей области изме- нения переменных х, у и z. Интеграл (67.1) представляет собой сумму вероятностей нахождения частицы во всех возможных элементах объема, т. е. вероятность обнару- жить частицу в каком-либо месте пространства. Эта ве- роятность есть вероятность достоверного события и, сле- довательно, должна быть равна единице. § 68. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Прохождение частиц через потенциальный барьер Частица в потенциальной яме. Чтобы пояснить ска- занное в предыдущем параграфе, рассмотрим конкрет- ный пример, достаточно простой для того, чтобы можно было решить уравнение Шредингера без большого труда. Исследуем поведение частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что ча- стица может двигаться только вдоль оси х. Пусть дви- жение ограничено непроницаемыми для частицы стенка- ми: х = 0 и х = I. Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующей вид (рис. 195,о): она равна нулю при О х -С I и обращается в бесконечность при х < 0 и х > I. Поскольку функция ф зависит только от одной коор- динаты х, уравнение (65.3) будет иметь вид: ^-+^-(£-[/)ф-0. (68.1) И И. В. Савельев, т. Ill 321
За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу, а сле- довательно и функция ф, за пределами ямы равна нулю. Далее, из условия непрерывности следует, что ф должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е. что ф(0) = 0, | Ф(О = о. J (68.2) Выражения (68.2) и определяют те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения (68.1), имею- щие физический смысл. В области, где ф не равна тождественно нулю, урав- нение (68.1) принимает следующий вид (U в этой обла- сти равна нулю): -^-+^£ф = 0. (68.3) Введя, обозначение 2mElh2 — со2, получим уравнение, хорошо известное из теории колебаний: ф" + о2ф = 0. Решения такого уравнения, как известно1), имеют вид: ф (х) — a sin (<ох + а). ') См. т. 1, формулу (62.7). Здесь удобнее взять синус вместо косинуса. 322
Условиям (68.2) можно удовлетворить соответствую- щим выбором постоянных со и а. Прежде всего, из усло- вия ф(0) =0 получаем: $(0) = <zsina = 0, откуда следует, что а должна быть равна нулю. Далее, должно выполняться условие: ф (/) = a sin со/ — 0, что возможно лишь в случае, если <о/ = ± пл (п = 1, 2, 3, ...) (68.4) (п = 0 отпадает, поскольку при этом получается ф =0— частица нигде не находится). Из (68.4) вытекает, что решения уравнения (68.3) бу- дут иметь физический смысл не при всех значениях энер- гии Е, а лишь при значениях, удовлетворяющих соотно- шению: - (о2 = -^-£„ = 4п2 («=1. 2, 3, ...). Таким образом, не прибегая ни к каким дополнитель- ным предположениям (как это пришлось сделать Бору), мы получили квантование энергии частицы и нашли соб- ственные значения этой энергии: = («=Ь2,3,...). (68.5) Схема энергетических уровней изображена на рис. 195,6. Произведем оценку расстояний между сосед- ними уровнями для различных значений массы частицы т и ширины ямы I. Разность энергий двух соседних уров- ней равна Д£„ = £„+1-£п = ^(2п + 1) ~ -—-п. п n-r-i п 2т1г ' ' ml2 Если взять т йорядка массы молекулы (~10~23 г), а I порядка 10 см (молекулы газа в сосуде), получается АС, 3,142 • 1,052 • 10~54 1п-з2 Д£п 10~23, 102 П эрг. Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии, так что хотя квантование энергии в принципе 11* 323
будет иметь место, но па характере движения молекул сказываться не будет. Аналогичный результат получается, если взять т по- рядка массы электрона (~ 10~27 г) при тех же размерах ямы (свободные электроны в металле). В этом случае Д£п — 10-28п эрг ~ 10-16/г эв. Однако совсем иной результат получается для элек- трона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров (~10-8 см). В этом случае ЛГ 3,142- 1.052-1СГ54 1П-ю 1п9 Дс„ ~ _16—п — 10 п эрг ~ Ют эв. Очевидно, что в этом случае дискретность энергети- ческих уровней будет проявляться весьма заметным об- разом. Собственными функциями, как следует из условия (68.4), будут , / х . ппх ф„ \х) = а sin —j— • Для нахождения коэффициента а воспользуемся усло- вием нормировки (67.1), которое в данном случае запи- шется следующим образом: i о I «9 tl3T,X t 1 аг sirr—j— ах = I. о На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение sin2(/inx//) (равное, как известно, 1/2) на длину промежутка I. В результате получится: g2(1/2)/ = I, откуда а= V2/1. Таким образом, собственные функции имеют вид: ф„ (*) = }/~sin (п=1, 2, 3, ...). (68.6) Графики функций (68.6) изображены на рис. 196, m На рис. 196, б дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, рав- ная фф*. Как следует из графиков, частица в состоянии-, 324
например, с п = 2 не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, не совместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны. Прохождение через барьер. Пусть частица, движу- щаяся слева направо, падает на потенциальный барьер высоты Uo и ширины I (рис. 197,а). По классическим представлениям поведение частицы' имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (E>U0), частица беспрепятственно проходит «над» барьером (на участке лишь уменьшается 325
скорость частицы, но затем при х> I снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше Uo (как изображено на рисунке), то частица отражается от барь- ера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может. Совершенно иначе выглядит поведение частицы со- гласно квантовой механике. Во-первых, даже при Е > Uo имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е < Uo имеется отличная от нуля вероят- ность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и ока- жется в области, где х> I. Такое, совершенно невозмож- ное с классической точки зрения, поведение микрочасти- цы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера. Рассмотрим случай Е < Uo. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид: dx2 1 п2 Y для областей I и III и ^- + ^.(£_ио)ф = О для области II, причем Е — U0<0. Легко убедиться (хотя бы подстановкой), что общее решение уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеет вид: Ф1 = Ate‘ax + Bje-*0* для области I, г|)2 = Л2е₽* + В2е-Рл для области II, (68.7) •ф3 = A3eiax + B3e~iax для области III, причем аир определяются из выражений: а2 = > ₽2 = . (68.8) Заметим, что решение вида е'1ах соответствует волне, распространяющейся в направлении оси х, а решение вида e~iax— волне, распространяющейся в противопо- ложном направлении. Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х, имеет вид cos(<of — kx), а волна, распространяющаяся в на- 326
правлении убывания х,— вид cos(<b/ + kx) [см. т. I, фор- мулы (78.2) и (78.5)]. В § 65 мы установили, что волно- вая функция свободной частицы, движущейся в напра- влении оси х, имеет вид (65.5). Если отбросить в этой формуле временной множитель, то для ф получится зна- чение ег<1>/й)ж. Для частицы, движущейся в противополож- ном направлении, нужно, очевидно, взять В области /// имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В3 следует положить равным нулю. Для на- хождения остальных коэффициентов воспользуемся усло- виями, которым должна удовлетворять функция ф. ДЛя того чтобы ф была непрерывна во всей области измене- ний X ОТ —оо до + ОО, должны выполняться условия: фДО) =ф2(0) и ф2(0 =фз(0- Для того чтобы ф была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: ф'(0) = ф'(0) и ф'(/) = ф'(/). Из этих условий вытекают соотношения: Д1 + В1 = А2 + В2, А2еы + В2е-₽г = Л3егаг, <68 1аЛ1 — iaB1 = РЛ2 — рВ2, рА>е₽г - рВ2е~₽г = iaA3elal. Разделим все уравнения на Аг и введем обозначения: , Вх - А2 1 В2 А2 Ь1 а также п = |. (68.10) Тогда уравнения (68.9) примут вид: 1 + b 1 = а2 + Ь2, а2е$1 + b^e~^1 = a3eiai, 2 2 ,3 (68.11) i — ibx = Пйг — nb2, па^еР1 — nb2e~$l = 1а^м. Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны 327
определяет вероятность отражения частицы от потенци- ального барьера и может быть названо коэффициен- том отражения. Отношение квадратов модулей прошедшей и падаю- щей волны £’ = -^ = 1«з12 (68.12) определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом про- хождения (или коэффициентом прозрач- ности). Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величи- ны D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением: R + D = 1. Умножим первое из уравнений (68.11) на i и сложим с третьим. В результате получим: 2/ = (п + /) «2 - (п -1) b2. (68.13) Теперь умножим второе из уравнений (68.11) на i и вы- чтем его из четвертого. Получим: (n — i) еР‘'а2 — (n +i) e~&b2 = 0. (68.14) Решая совместно уравнения (68.13) и (68.14), найдем, что _ 2, (и +«) °2 („ + /)2е-₽'_(„-02еР/’ -2~ (n + ife-V-ln-tfeW Наконец, подставив найденные нами значения а2 и Ь2 во второе из уравнений (68.11), получим выражение для а3: 3 („ + 1-)2е-₽'-(„-о2^ Величина р/ = i обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаме- нателе выражения для а3 слагаемым, содержащим мно- 328
житель е~Ь1, можно пренебречь по сравнению со слагае- мым, содержащим множитель (комплексные числа п + I и п — i имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить Согласно (68.12) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что | п — i | = V п2 + 1, получим: где 2 . Рг . . U0~E _ Uo а2 Е Е 1 [см. формулу (68.8)]. Выражение 16п2/(н2 + I)2 имеет величину порядка единицы1)- Поэтому можно считать, что 2 ,_______ D ~ е~^1 = е h . (68.15) Как следует из полученного нами выражения, вероят- ность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера I и от его превыше- ния над Е, т. е. от 170 — Е. Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет рав- ным 0,012 = 0,0001, т.е. уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины Uo — Е. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы т. В случае потенциального барьера произвольной фор- мы (см., например, рис. 197,6) формула (68.15) должна быть заменена более общей формулой: ь —Г V2m (U—E) dx D^e ' а , (68.16) где Е = Е'(х). *) Фукция 16х/(х + I)2 имеет при х=1 максимум, равный 4. В интервале значений х от 0,07 до 14 значения функции лежат в пределах от 1 до 4. 329
При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис. 197,6), в связи с чем рассмотренное нами явление часто называют туннель- ным эффектом. С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находя- щаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицатель- ной кинетической энергией (в туннеле Е < U). Однако туннель — явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой же меха- нике деление полной энергии на кинетическую и потен- циальную не имеет смысла, так как противоречит прин- ципу неопределенности. Действительно, тот факт, что ча- стица обладает определенной кинетической энергией Т, был бы равнозначен тому, что частица имеет определен- ный импульс р. Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию U, означал бы, что частица находится в точно заданном месте простран- ства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и V. Таким об- разом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и V. Ясно, что при такой ситуации заключение об отрицательности Т в туннеле становится беспочвенным. § 69. Атом водорода В атоме водорода или водородоподобном ионе потен- циальная энергия электрона равна и = г ’ где Ze— заряд ядра, г — расстояние между ядром и электроном. Уравнение Шредингера (65.3) имет в этом случае вид Дф + (Е + ^-) ф = 0. (69.1) Поскольку поле является центрально-симметричным, удобно воспользоваться сферической системой коорди- нат: г, ф, ф. Подставив в (69.1) выражение оператора 330
Лапласа в сферических кординатах, получим уравнение: r2 dr V dr P r2 sin О db \S,U дй) -4т 2 A A -?v+ (e + —] ф = 0. (69.2) 1 ’ r2 sin2 О dip2 1 Й2 \ 1 г /V \ f Можно показать, что уравнение (69.2) имеет требуе- мые (т. е. однозначные, конечные и непрерывные) реше- ния в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях £; 2) при дискретных отрицательных значе- ниях энергии, равных («=1> 2, 3, ...). (69.3) Случай Е > 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай £ < 0 соответствует электрону, находящемуся в пределах атома. Сравнение (69.3) с (63.5) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения полу- чаются логическим путем из основного предположения о том, что движение микрочастиц описывается уравнением Шредингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предпо- ложения. Собственные функции уравнения (69.2) содержат три целочисленных параметра. Один из них совпадает с но- мером уровня энергии п, два других принято обозначать буквами I и т. Эти числа называются квантовыми: п — главное квантовое число, I — азимутальное квантовое число, т — магнитное квантовое число. При данном п числа I и т могут принимать следую* щие значения: 1 = 0, 1, 2, п- К т. е. всего п различных значений; т=-1, -/+1.........-1, 0, +1, .... l-l, I, т. е. всего 2/ + 1 различных значений. Таким образом, каждому Еп (кроме £j) соответ- ствует несколько волновых функций фп/ш. отличающихся значениями квантовых чисел I и т. Это означает, что 331
атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Состояния с одинаковой энергией называются в ы- рожденными, а число различных состояний с каким- либо значением энергии называется кратностью вы- рождения соответствующего энергетического уровня. Кратность вырождения уровней водорода легко вы- числить, исходя из возможных значений для I и т. Ка- ждому из п значений квантового числа I соответствует 2/ + 1 значений квантового числа т. Следовательно, чис- Т а бл и ц а 3 Уровень Волновая Значение энергии функция — Еп Kim п 1 т Ё! Ф1, 0, 0 1 0 0 Фа. о. о 2 0 0 рп Фг, 1, -1 2 1 -1 Фг, 1, 0 2 1 0 Фг, 1, +1 2 1 +1 Фз, 0. 0 3 0 0 Фз. 1, -1 3 1 -1 фз, 1, 0 3 1 0 Фз, 1,+1 3 1 +1 Е3 фз, 2,-2 3 2 —2 Фз, 2, —1 3 2 -1 Фз, 2,0 3 2 0 Фз, 2, +1 3 2 +1 Фз, 2, +2 3 2 +2 ло различных состоя- ний, соответствующих данному п, равно п~ 1 2(2/+1) = п2. г=о Таким образом, ка- ждый уровень энергии водородного атома имеет вырождение кратности и2. В табл. 3 приведе- ны состояния, соответ- ствующие первым трем энергетическим уров- ням. Как мы выяснили, состояние электрона в водородном атоме за- висит от трех кванто- вых чисел п, 1и т, при- чем значение главного квантового числа п определяет энергию состояния. Естественно предположить, что и два других квантовых числа определяют какие-то физические величины. Действительно, в квантовой механике доказы- вается, что азимутальное квантовое число I определяет величину момента импульса электрона в атоме, а маг- нитное квантовое число т — величину проекции этого момента на заданное направление в пространстве. Под заданным направлением (мы будем обозначать его бук- вой z) понимают направление, выделенное физически, 332
путем создания, например магнитного или электриче- ского поля. Момент импульса М оказывается равным: (69.4) Проекция момента импульса на заданное направле- ние равна: Мг = tnh. (69.5) Соотношения (69.4) и (69.5) показывают, что момент импульса электрона в атоме и проекция этого момента являются, как и энергия, квантованными величинами1). Постоянную й можно рассматривать как естественную единицу момента импульса. Итак, состояния с различными значениями азимуталь- ного квантового числа I отличаются величиной момента импульса. В атомной физике применяются заимствован- ные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с I = 0, называют s-электроном (соответствующее состояние — s-состояни- ем), с /=1—р-электроном, с / = 2— d-электроном, с I = 3 — f-электроном, затем идут g, h и т. д. уже по алфа- виту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа I. Та- ким образом, электрон в состоянии с п = 3 и I = 1 обо- значается символом Зр и т. д. Поскольку I всегда меньше п, возможны следующие состояния электрона: 1s, 2s, 2р, 3s, Зр, 3d, 4s, 4р, 4d, 4f и т. д. *) Микрочастица (электрон, атом и т. д.), находящаяся в со- стоянии с отличным от нуля моментом импульса М, обладает также и магнитным моментом Ц (см. §§ 71, 72 и 75). Направления Мир связаны между собой (в случае электрона эти направления проти- воположны). Поэтому проекция Ц на физически выделенное на- правление должна также квантоваться. Квантование проекции маг- нитного момента атома непосредственно обнаруживается в опыте Штерна и Герлаха (см. т. II, § 51). 333
Схему уровней энергии можно было бы изобразить так, как это было сделано в § 63 (см. рис. 189). Однако гораздо удобнее пользоваться схемой, показанной на рис. 198. На этой схеме отражено (правда, частично) вырождение уровней; кроме того, она имеет еще ряд су- щественных преимуществ, которые вскоре станут оче- видными. Мы знаем, что испускание и поглощение света проис- ходит при переходах электрона с одного уровня на дру- гой. В квантовой механике доказывается, что возможны только такие переходы, при которых квантовое число I изменяется на единицу: Д/=±1. (69.6) Условие, выраженное соотношением (69.6), называет- ся п р а.в и л о м отбора. Существование правила (69.6) обусловлено тем, что фотон обладает собственным момен- том импульса (спином1)), равным примерно h (в даль- нейшем мы уточним его значение). При испускании фотон уносит из атома этот момент, а при поглощении привносит, так что правило отбора (69.6) есть просто следствие закона сохранения момента импульса. На рис. 198 показаны переходы, разрешенные пра- вилом (69.6). Пользуясь условными обозначениями со- стояний электрона, переходы, приводящие к возникнове- нию серии Лаймана, можно записать в виде: пр-» 1s (п — 2, 3, ...); серии Бальмера соответствуют переходы: ns-»2p и nd-»2p (п = 3, 4, ...), и т. д. Состояние 1s является основным состоянием атома водорода. В этом состоянии атом обладает минимальной энергией. Чтобы перевести атом из основного состояния в возбужденное (т. е. в состояние с большей энергией), ему необходимо сообщить энергию. Это может быть Осу- ществлено за счет теплового соударения атомов' (по этой причине нагретые тела светятся — атомы излучают, воз- вращаясь из возбужденного в основное состояние), или >) См. т. II, § 51. 334
Рис. 198.
за счет столкновения атома с достаточно быстрым элек- троном (см. § 62), или, наконец, за счет поглощения атомом фотона. Фотон при поглощении его атомом исчезает, переда- вая атому всю свою энергию. Атом не может поглотить только часть фотона, ибо фотон, как и электрон, как и RR*r^\ О 2 4 6 8 18 72 74 16 г Рис. 199. другие элементарные частицы, является неделимым. По- этому атом может поглощать только те фотоны, энергия которых в точности1) соответствует разности энергий двух его уровней. Поскольку поглощающий атом обычно находится в основном состоянии, спектр поглощения водородного атома должен состоять из линий, соответ- ствующих переходам ls->np (п = 2, 3, ...). Этот результат полностью согласуется с опытом. >) Вернее, с точностью до небольшой поправки, которая будет введена § 79, 336
Собственные функции s-состояний (т. е. состояний с I = 0) оказываются не зависящими от углов й и <р. Это можно записать следующим образом: К о, о = /?»(/)• Вероятность найти электрон в тонком шаровом слое радиуса г и толщины dr согласно (66.1) равна dPr — фф* dV = Ra (г) R*n (г) 4nr2 dr. Выражение RnRtAnr2 представляет собой плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии г от ядра. Волновые функции для I, отличных от пуля, распа- даются на два множителя, один из которых зависит толь- ко от г, а другой — только от углов & и <р. Таким обра- зом, и в этом случае можно ввести понятие плотности вероятности нахождения электрона на расстоянии г от ядра, подразумевая под R(r) ту часть функции ф, кото- рая зависит только от г. На рис. 199 приведены плотности вероятности для случаев: 1) п = 1, I = 0; 2) п = 2, I = 1 и 3) п = 3, I = 2. За единицу масштаба для оси г принят радиус первой боровской орбиты [см. (63.4)]. На графиках отмечены радиусы соответствующих боровских орбит. Как видно из рисунка, эти радиусы совпадают с наиболее вероят- ными расстояниями электрона От ядра.
ГЛАВА XII МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ § 70. Спектры щелочных металлов Спектры испускания атомов щелочных металлов, по- добно спектру водорода, состоят из нескольких серий линий. Наиболее интенсивные из них получили назва- ния: главная, резкая, диффузная и основ- ная (или серия Бергмана). Эти названия имеют сле- дующее происхождение. Главная серия названа так потому, что наблюдается и при поглощении. Следова- тельно, она соответствует переходам атома в основное состояние. Резкая и диффузная серии состоят соответ- ственно из резких и размытых (диффузных) линий. Се- рия Бергмана была названа основной (фундаменталь- ной) за свое сходство с сериями водорода. Еще 'в конце прошлого столетия Ридберг установил эмпирические формулы, позволяющие вычислить частоты серий щелочных металлов. Эти формулы для всех серий сходны и имеют вид: (™-'> где ©оо — частота, соответствующая границе серии, /? — постоянная Ридберга (59.5), п—целое число, а —дроб- ное число. Таким образом, частоты линий могут быть представ- лены как разности двух термов: постоянного (юоо) и переменного, имеющего более сложный вид, чем баль- меровский терм Rin2. Константы и а для различных серий имеют, вообще говоря, разное значение. Так, на- пример, спектральные серии натрия можно представить следующими формулами. 338
Резкая серия: ® = хг (и = 4, 5, ...) °° (п + з)2 ' ’ ’ ' (буква s является начальной буквой наименования се- рии: sharp — резкий). Главная серия: и = Рх - , ± ц (п = 3, 4, ...) (п + р)2 v ' (principal — главный). Диффузная серия: со = £>оо - т-уж (П= з, 4, ...) (diffuse — диффузный). Основная серия (серия Бергмана): ® = /?оо--(7Г77)Г (п = 4, 5, ...) (fundamental — основной). При указанных1) значениях числа п константы в пе- ременных термах имеют для натрия значения: s = —1,35, р = -0,87, d = -0,01, / = 0,00. Вследствие равенства константы f нулю переменный терм в формуле для основной серии совпадает с баль- меровским, а сама серия, как уже отмечалось, является водородоподобной. Для сокращения условились записывать переменные термы, указывая число п с добавлением букв S, Р, D, F соответственно для каждой серии. Тогда переменный терм резкой серии вместо R/(n + s)2 будет иметь вид nS. 1) Можно было бы, например, считать, что п в формуле для резкой серии принимает значения:-2, Зит. д., а константа s равна +0,65. Частоты линий от этого, очевидно, не изменились бы. Была бы лишь иной нумерация термов. Вначале, когда рассмотрение оста- валось чисто эмпирически^, нумерация термов производилась именно таким образом. Однако мы будем придерживаться нумерации, со- гласующейся с теоретическим объяснением схемы термов. 339
Переменный терм главной серии запишется как пР, диф- фузной — tiD и, наконец, основной — nF. Переписывая формулы для серий натрия с использо- ванием сокращенных обозначений, учтем также то об- стоятельство, что, как было установлено эксперименталь- но, постоянный терм главной серии Р^ оказался совпа- дающшм с переменным термом резкой серии для п = 3 (Рх = 3S). Постоянные термы и Dm оказались одина- ковыми и равными переменному терму главной серии для п = 3 (Sa, = Doo = ЗР). Постоянный терм основной серии Fa, оказался равным переменному терму диффуз- ной серии для п = 3 (Foo = 3D). Таким образом, спект- ральные серии натрия могут быть представлены в сле- дующем виде: Резкая серия: ю = ЗР — nS (п = 4, 5, ...) Главная серия: co = 3S — пР (н = 3, 4, ...) Диффузная серия: и = ЗР — nD (п = 3, 4, ...) Основная серия: о = 3D — nF (п = 4, 5, ...) Мы пришли к весьма существенному результату. Вы- яснилось, что линии всех четырех спектральных серий можно получить путем комбинации четырех типов (ря- дов) термов: nS, пР, nD и nF [ср. с формулой (59.9)]. Терм с точностью до постоянного множителя совпа- дает с энергией соответствующего состояния атома [см. формулу (62.2)]. Следовательно, каждому ряду спект- ральных термов должен соответствовать свой ряд энер- гетических уровней. Эмпирическая схема уровней атома натрия изображена на рис. 200. Схемы уровней других щелочных металлов имеют такой же характер, как у натрия. Схема уровней натрия (рис. 200) отличается от схе- мы уровней водородного атома (рис. 198) тем, что ана- логичные уровни в различных рядах лежат на неоди- наковой высоте. Несмотря на это отличие, обе схемы обнаруживают большое сходство. Это сходство дает основание предположить, что спектры щелочных метал- лов испускаются при переходах самого внешнего (так называемого валентного или о п т и ч е с к о г о) элек- трона с одного уровня на другой. Из рис. 200 видно, что энергия состояния оказы- вается зависящей, кроме числа п, также от того, в ка- 340
Рнс. 200.
кой ряд попадает данный терм, т. е. от номера ряда термов. На схеме уровней атома водорода различные ряды термов (с совпадающими по высоте уровнями) от- личаются значениями момента импульса электрона. Естественно предположить, что различные ряды термов щелочных металлов также отличаются значениями мо- мента импульса оптического электрона. Поскольку уровни различных рядов в этом случае не лежат на одинаковой высоте, следует принять, что энергия опти- ческого электрона в атоме щелочного металла зависит от величины момента импульса электрона (чего мы не наблюдали для водорода). В более сложных, чем водород, атомах, имеющих несколько электронов, можно считать, что каждый из электронов движется в усредненном поле ядра и осталь- ных электронов. Это" поле уже не будет кулоновским (т. е. пропорциональным 1/г2), но обладает централь- ной симметрией (зависит только от г). В самом деле, в зависимости от степени проникновения электрона в глубь атома заряд ядра будет для данного электрона в большей или меньшей степени экранироваться дру- гими электронами, так что эффективный заряд, воздей- ствующий на рассматриваемый электрон, не будет по- стоянным. Вместе с тем, поскольку электроны движутся в атоме с огромными скоростями, усредненное по вре- мени поле можно считать центрально-симметричным. Решение уравнения Шредингера (65.3) для электро- на, движущегося в центрально-симметричном некуло- новском поле, дает результат, аналогичный результату для водородного атома, с тем отличием, что энергети- ческие уровни зависят не только от квантового числа п, но и от квантового числа I: = Ent, Ф = Фп/т- Таким образом, в этом случае снимается вырожде- ние по Z. Отличие в энергии между состояниями с раз- личными I и одинаковыми п вообще не так велико, как между состояниями с различными п. С увеличением I энергия уровней с одинаковыми п возрастает. Числа / и т по-прежнему определяют момент им- пульса электрона и его проекцию на заданное направ- ление. 342
Момент импульса атома в целом слагается из момен- тов всех электронов, входящих в состав атома. Сложение моментов импульса осуществляется по квантовым “зако- нам, согласно которым величина результирующего мо- мента М определяется выражением: М = h |/£(£4-1), £ = 4" l2, It 4~ ^2 — 1, • • > 1^1 — ^2'Ь где /| и /2 — числа, определяющие складываемые мо- менты Mi и М2 по формуле: Mt = t> Vli (/<+!) • Таким образом, результирующий момент может иметь 2/2 4- 1 или 2£ 4- 1 (нужно взять меньшее из двух /) различных значении. Исследования оптических спектров ионов щелочных металлов показали, что Момент импульса атомного остатка (т. е. ядра и остальных электронов, кроме наименее связанного оптического электрона, удаляю- щегося при ионизации) равен нулю. Следовательно, момент атома щелочного металла равен моменту его оптического электрона и £ атома совпадает с / этого электрона. Поскольку при возбуждении атома и испускании све- та остальные электроны не изменяют своего энергети- ческого состояния, схему уровней атома можно считать тождественной схеме уровней оптического электрона. Таким образом, квантовая механика объясняет все осо- бенности приведенной на рис. 200 схемы. На рис. 200 показаны переходы между уровнями, приводящие к возникновению различных серий. Эти пе- реходы подчиняются действующему и в данном случае правилу отбора: возможны лишь такие переходы, при которых момент атома изменяется иа единицу: Д£=±1. (70.3) Из всего сказанного выше становится ясным про- исхождение символов s, р, d и т. д. Будучи ’заимство- ваны из названий спектральных серий, эти буквы по- служили вначале для обозначения рядов термов, а за- тем были перенесены на состояния с соответствующими значениями £ или /. (70.2) 343
§ 71. Нормальный эффект Зеемана Если атомы, излучающие свет, поместить в магнит- ное поле, то линии, испускаемые этими атомами, рас- щепляются на несколько компонент. Это явление было обнаружено голландским физиком Зееманом в 1896 г. при наблюдении свечения паров натрия и носит его имя. Расщепление весьма невелико — при Н = 20 -е- 30 тысяч эрстед оно достигает лишь несколько десятых долей Г ангстрема. Напрашивается предположение, что расщепление линий обусловлено расщеплением под действием маг- нитного поля энергетических уровней атома. Причину такого расщепления легко понять, если учесть, что вра- щающийся по орбите электрон обладает, наряду с ме- ханическим ') моментом М, также и магнитным момен- том: <711) [см. т. II, формулу (51.3)]. Хотя представление об орбитах, как и вообще пред- ставление о траекториях микрочастиц, является непра- вильным, соотношение (71.1) остается, как показывает опыт, справедливым. Известно [см. т. II, формулу (48.7)], что магнитный момент обладает в магнитном поле энергией: U — — jiH = — pH cos а = — 77ц//, (71.2) где — проекция магнитного момента на направление поля. Вычислим величину орбитального магнитного момен- та электрона и величину проекции момента на направ- ление поля. Подставим в соотношение (71.1) квантово- механическое выражение для механического момента: ^ТП)- Величина р.в = — 0,927 • 1О-20 эрг!гаусс (71.3) называется магнетоном Бора. ') Так мы для краткости будем называть момент импульса. 344
Проекция магнитного момента на направление поля равна: q в Z=7 Рис. 201. т=О т=-1 , ч пг-П/ Без поля С полем где т — магнитное квантовое число. Согласно (71.2) атом получает в магнитном поле до- бавочную энергию: АЕ = — = цвНт. Следовательно, энергети- ческий уровень Еп[ расщеп- ляется на 2/ + 1 равноот- стоящих друг от друга поду- ровней (магнитное поле сни- мает вырождение по т), в связи с чем расщепляются и спектральные линии. На рис. 201 показано рас- щепление уровней и спек- тральных линий для перехода между состояниями с I = 1 и / = 0 (для S-перехода). В отсутствие поля на- блюдается одна линия, частота которой обозначена <оо- При включении поля, кроме линии <оо, появляются две 1=0^ Рис. 202. расположенные симметрично относительно нее линии с частотами «о + Асоо и соо — Аюо- На рис. 202 дана аналогичная схема для более слож- ного случая — для перехода D-*P. На первый взгляд может-показаться, что первоначальная линия должна 345
в этом случае расщепиться на семь компонент. Однако на самом деле получается, как и в предыдущем случае, лишь три компоненты: линия с частотой соо и две сим- метрично расположенные относительно нее линии с ча- стотами «о + Л®о и соо — Дсоо. Это объясняется тем, что для магнитного квантового числа т также имеется правило отбора, согласно которому возможны только такие переходы, при которых квантовое число т либо остается неизменным, либо изменяется на единицу: Дт = 0, +1. (71.4) Происхождение этого правила можно пояснить сле- дующим образом. Если механический момент электрона при излучении изменяется на еди- ницу1) (фотон уносит с собой момент, равный единице), то из- менение проекции момента не мо- жет быть больше единицы. С учетом правила (71.4) воз- можны только переходы, указан- ные на рис. 202. В результате по- лучаются три компоненты с ча- стотами, указанными выше. Опыт а)о~Лыд ш0+Дыо показывает, что эти компоненты поляризованы. Характер поляри- Рис. 203. зации зависит от направления наблюдения. При поперечном наблюдении (т. е. при наблюдении в направлении, перпендикулярном к вектору Н) световой (электриче- ский) вектор несмещенной компоненты (ее называют л-компонентой) колеблется в направлении, параллель- ном вектору Н, а в смещенных о-компонентах — в на- правлении, перпендикулярном к Н (рис. 203,а). При продольном наблюдении получаются только две сме- щенные компоненты. Обе поляризованы по кругу: сме- щенная в сторону меньших частот — против часовой стрелки, смещенная в сторону больших частот — по ча- совой стрелке (рис. 203, б). Получающееся в рассмотренных случаях смещение компонент называется нормальным или лорен- *) Точнее, изменяется на единицу квантовое число I, определяю- щее величину механического момента. 346
цевым1) смещением. Величина нормального сме- щения, очевидно, равна: А еЪ Н еН <В° Ъ ~ 2тес Ъ ~ 2тес ‘ Оценим величину расщепления компонент поля порядка 104 эрстед. Поскольку Л = 2лс/со, .... 2лс . neff ДЛ = —=- Д®0 =--------------------5-. 1 1 со2 и теа2 (71.5) ДЛ для Частота со для видимого света 3-1015 сек-1. Следовательно, А, 3,14 ..4,8 • 10~10.104 имеет порядок ---------гй---------чй~ ~ 0>2 -10 8 см, — 0,2 А. 0,91 • 10 27 • 9 • 1О30 Описанным в этом параграфе образом расщепляются только немногие спектральные линии. В большинстве случаев расщепление носит более сложный характер (в частности, число компонент может быть больше трех) и для его объяснения приходится привлекать дополни- тельные соображения (см. § 75). § 72. Мультиплетность спектров и спин электрона Исследование спектров щелочных металлов при по- мощи приборов с большой разрешающей силой показа- ло, что каждая линия этих спектров является двойной (дублет). Так, например, характерная для натрия жел- тая линия ЗР—>35 состоит из двух линий с длинами волн 5890 А и 5896 А. То же относится и к другим ли- ниям главной серии, а также к линиям других серий. В табл. 4 приведены некоторые дублеты натрия. В чет- вертом столбце указаны волновые числа линий у' [см. (59.2)]. В последнем столбце дано расщепление компо- нент дублетов (разность волновых чисел). Расщепление спектральных линий, очевидно, обуслов- лено расщеплением энергетических уровней. Поскольку рарщепление линий главной серии пР—>35 различно, а для линий резкой серии nS —»ЗР одно и то же *) Лоренц дал классическое объяснение нормального эффекта Зеемана и вычислил величину нормального смещения. Обратите вни- мание иа то, что Дсоо совпадает с ларморовой частотой [см. т. II, формулу (52.1)]. 347
Таблица 4 Серия Переход К, А V', см 1 Av' Главная ЗР- >3S ( 5 890 1 5896 17017 1 17 000 1 17 4Р - >3S ( 3 302 1 3 302,6 30 306 1 30 300 1 6 5Р - >3S 1 2 852,8 1 2 853 35 002 1 35 000 | 2 Резкая 4S- >ЗР ( 11382 1 11404 8 787 1 8 770 J 17 5S- >ЗР 1 6 154 | 6 160,5 16217 1 16 200 J 17 6S- >ЗР ( 5 158 1 5 149 19417 1 19 400 J 17 (см. табл. 4), приходится предположить, что уровни S яв- ляются одиночными (синглетами), а уровни Р — двой- ными (дублетными) (см. рис. 204). Дальнейший анализ спектра натрия показал, что уровни D и F также яв- ляются двойными. Структура спектра, отражающая расщепление линий на компоненты, называется тонкой структурой. Сложные линии, состоящие из нескольких компонент, получили название мультиплетов. Тонкая струк- тура обнаруживается, кроме щелочных металлов, также и у других элементов, причем число компонент в муль- типлете может быть равно двум (дублеты), трем (три- плеты), четырем (квартеты), пяти (квинтеты) и т. д. В частном случае спектральные линии даже с учетом тонкой структуры могут быть одиночными (синглеты). Для объяснения мультиплетной структуры спектров и аномального эффекта Зеемана (см. § 75) Гаудсмит и Юленбек выдвинули в 1925 г. гипотезу о том, что элек- трон обладает собственным моментом импульса Ms, не связанным с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван спином. Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Согласно этим представлениям электрон уподоблялся волчку или ве- 348
(72.1) (72.2) ретену. Кстати, отсюда происходит и сам термин «спин»: по-английски spin означает «верчение». Однако очень скоро пришлось отказаться от подобных модельных представлений, в частности по следующей причине. Вра- щающийся заряженный шарик должен обладать магнит- ным моментом, причем отношение магнитного момента к механическому должно иметь значение [см. (71.1)]: JL = _ е М 2тес Действительно, было установлено, что электрон, на- ряду с собственным механическим моментом, обладает также и собственным магнитным моментом щ. Однако ряд опытных фактов, в частности аномальный эффект Зеемана, -свидетельствует о том, что отношение собствен- ных магнитного и механического моментов в два раза больше, чем для орбитальных моментов: Из е_ Ms тес Таким образом, представление об электроне как о вращающемся шарике оказалось несостоятельным. Спин следует считать внутренним свойством, присущим электрону подобно тому, как ему присущи заряд и масса. Предположение о спине электрона было подтвер- ждено большим количеством опытных фактов и должно, считаться совершенно доказанным. Оказалось также, что наличие спина и все его свойства автоматически вы- текают из установленного Дираком уравнения квантовой механики, удовлетворяющего требованиям теории отно- сительности. Таким образом, выяснилось, что спин элек- трона является свойством одновременно квантовым и релятивистским. В настоящее время также установлено, что спином обладают и другие элементарные частицы: протоны, нейтроны, фотоны и др. Величина собственного момента импульса электрона определяется по общим законам квантовой механики [см. формулу (69.4)] так называемым спиновым квантовым числом s, равным V21): Ms = h /s(s+l) = h = 4J (72.3) ‘) Для протона и нейтрона s также равно половине, для фо- тона s равно единице. 349
Составляющая механического момента по заданному направлению может принимать квантованные значения, отличающиеся друг от друга на й: Л1«г = msh, где ms = ± s = ± ’/2. (72.4) Чтобы найти величину собственного магнитного мо- мента электрона, умножим Ms на отношение (72.2) ц, к Ms: = V^+T) = HlffV iiigC = -2jjb Vs(s + 1) = - /3. (72.5) Знак' минус указывает на то, что механический Ms н магнитный моменты электрона направлены в про- тивоположные стороны. Проекция собственного магнитного момента элек- трона на заданное направление может иметь следую- щие значения: Psz —------— М,, ==--------- f,ms — тес sz mgC s = --^(± V2) = ^pB (72.6) (минус получается, если ms = + ’/2, плюс — если ms = = - V2). Таким образом, проекция собственного момента им- пульса электрона может принимать значения + ’/2® и •—’/г®, а собственного магнитного момента — значения +цв и —цв. В ряд формул, в частности в выражение для энергии, входят не сами моменты, а их проекции. Поэтому принято говорить, что собственный механиче- ский момент (спин) электрона равен половине (подра- зумевается в единицах й), а собственный магнитный мо- мент равен одному магнетону Бора. Рассмотрим теперь на примере атома натрия, как существование спина электрона может объяснить муль- типлетную структуру спектра. Поскольку момент атом- ного остатка равен нулю, момент атома натрия равен моменту оптического электрона. Момент же электрона будет слагаться из двух моментов: орбитального Л4;, об- условленного движением электрона в' атоме, и спино- вого Ms, не связанного с движением электрона в про- 350
странстве. Результирующая этих двух моментов дает полный момент импульса оптического электрона. Сложе- ние орбитального и спинового моментов в полный мо- мент осуществляется по тем же квантовым законам, по которым складываются орбитальные моменты разных электронов [см. (70.2)]. Величина полного момента М, определяется квантовым числом J: причем / может иметь значения: / = 14- s, 11 - s |, где / и s соответственно азимутальное и спиновое кван- товые числа. При / = 0 квантовое число / имеет только одно значение: / = s = */2. При I, отличном от нуля, воз- можны два значения: / = / + V2 и / = I— */2, которые соответствуют двум возможным взаимным ориентациям моментов Mt и Ms — «параллельной» и «антипараллель- ной» *). Теперь учтем, что с механическими моментами свя- заны магнитные моменты, которые взаимодействуют друг с другом подобно тому, как взаимодействуют два тока или две магнитные стрелки. Энергия этого взаимодей- ствия (называемого спин-орбитальным взаи- модействием) зависит от взаимной ориентации орбитального и собственного моментов. Следовательно, состояния с различными j должны обладать различной энергией. Таким образом, каждый терм ряда Р (/=1) рас- щепляется на два, соответствующих / = V2 и j = 3/2; каждый терм ряда D (1 = 2) расщепляется' на термы с / — 3/2 и / = 5/2, и т. д. Каждому терму ряда S (I = 0) соответствует только одно значение j = */2; поэтому тер- мы ряда S не расщепляются. Итак, каждый ряд термов, кроме S, распадается на два ряда — структура термов оказывается дублетной (двойной). Термы принято обозначать символами: 2S%, 2Р%, 2Р./2, 2D%, 2£)./и 2F7i, 2Л/„ ... ’) Термины «параллельный» и «антипараллельный» взяты в ка- вычки, поскольку два складываемых момента никогда не бывают направленными вдоль, одной прямой. Подробнее об этом см. в сле- дующем параграфе. 351
Рис. 204.
Правый нижний индекс дает значение j. Верхний ле- вый индекс указывает мультиплетность термов. Хотя ряд 5 является одиночным, при символе терма ставится также 2, чтобы показать, что этот ряд принадлежит к системе термов, в целом дублетной. 2п 2п 2г> 2п 2г п Ъ,/г Рз/2 р1/г ОУг -из/г /-7/2,5/г ---- /О------ 10----- 9------- 9 9----- 9------ в------- 8 -8 О----- Рис. 205. С учетом тонкой структуры схема термов выглядит более сложно, о чем дают представление схемы уровней натрия (рис. 204) и цезия (рис. 205). Схему для натрия следует сравнить со схемой, изображенной на рис. 200. Поскольку мультиплетное расщепление термов D и F для натрия очень мало, подуровни D и F, отличающиеся зна- чениями /, изображены на схеме слитно. Мультиплетное 12 И. В. Савельев, т. III 353
расщепление у цезия значительно больше, чем у натрия. На схеме цезия видно, что тонкая структура диффузной серии состоит не из двух линий, а из трех: 52D»/t->6?Ps/s~36 127 А, 52D./1->62P%~34892A, 52£)%->62Р./2~30 ЮОА. Возникновение этих линий пояснено дополнительно на рис. 206, Изображенный пунктиром переход 52£>«/а->62Р1/2 запрещен правилом отбо- ра: Д/ = 0, ±1. (72.7) В нижней части схемы на рис. 206 показано, как выглядит сам мульти- плет. Толщина линий на схеме пример- но соответствует интенсивности спек- тральных линий. Совокупность полу- чающихся линий выглядит как дублет, у которого одна из компонент в свою очередь оказывается двойной. Такая группа линий называется не трипле- том, а сложным дублет ом, так Рис. 206. как она возникает в результате ком- бинации дублетных термов. Заметим в заключение, что в связи с существованием спина электрона естественно возникает вопрос о том, что и у водородного атома уровни с I > 0 должны быть двойными, а спектральные линии — дублетными. Тонкая структура водородного спектра действительно была об- наружена экспериментально. § 73. Момент импульса в квантовой механике В то время как момент импульса М и его проекция Mz имеют значения, определяемые формулами (69.4) и (69.5), две остальные проекции момента Мх и Му ока- зываются совершенно неопределенными1)- С подобным положением мы уже встречались в § 66 при обсуждении ') Исключение составляет случай М = 0, когда все три проекции момента на оси х, у, г имеют определенное значение, равное нулю. №4
квантовомеханического описания движения микрочастиц. Согласно соотношению (66.2) координата и составляю- щая импульса также не могут иметь одновременно опре- деленного значения. Неопределенность двух проекций момента приводит к тому, что направление момента в пространстве ока- зывается также неопределенным. Известно только, какой угол образует вектор М с направлением оси z. Отме- тим также, что поскольку 1<УИ1+ 1), наибольшая ве- личина проекции момента всегда меньше величины са-. мого момента. Следовательно, на- правление момента не может совпа- дать с выделенным в пространстве направлением. Это согласуется с тем обстоятельством, что направле- ние момента в пространстве являет- ся неопределенным. Вследствие неопределенности на- правления вектора М в простран- стве мы избегали до сих пор пользо- ваться графическим изображением моментов. Однако графический спо- соб сложения векторов отличается большой наглядностью, _ и в ряде случаев целесообразно им восполь- зоваться. При этом всякий раз необходимо помнить условность соответствующих графических построений. Поскольку М и Mz имеют определенные значения, вектор М может иметь направление одной из образую- щих конуса, изображенного на рис. 207, причем с равной вероятностью вектор М может быть обнаружен в любом положении, совпадающем с одной из образующих ко- нуса. Можно представлять себе дело так, что вектор М равномерно вращается (прецессирует) вокруг направле- ния z, составляя с этим направлением угол б, косинус которого равен „ Мг т cos & = —— — , ,.... (73.1) Тогда все направления, характеризуемые углом О, дей- ствительно будут равновероятными. Для представления о прецессии вектора М вокруг направления z имеются еще и следующие основания. 12* 355
ного тяготения м г/М Рис. 208. Вследствие того, что с механическим моментом связан магнитный момент, эти моменты, находясь в магнитном поле, должны вести себя подобно гироскопу в поле зем- . т. I, § 44). В самом деле, на маг- нитный момент в магнитном поле (рис. 208) действует момент сил [ц.Н] (см. т. II, формулу (48.4)]. Вследствие гироскопического эффек- та под действием этого момента сил I момент М (а следовательно и мо- мент ц) будет прецессировать во- круг направления поля Н, т. е. во- круг заданного направления в про- странстве. Скорость прецессии будет тем больше, чем больше момент сил [цН], т. е. чем сильнее воздействие поля Н на момент ц. Теперь рассмотрим некоторые вопросы, связанные со сложением моментов в результирующий момент. Прежде всего от- метим, что два момента не могут быть точно параллель- ными или антипараллельными друг другу. Действи- тельно, так как V + /2)(Л + /г + 0 < М \ мг < Vldli+l) + VM2+1), _ А \> наибольшая величина результирующей '--.А/ меньше суммы величин Л4| и М2, в то вре- "*/ мя как для параллельности векторов Mi и /м, М2 необходимо, чтобы Almax = Mi + Af2. / Далее, поскольку / Vi /i-/2i(i/1-/2i+i)> ' > I У/1(/1 + 1) - УШПУ |, Рнс-20э- наименьшая величина результирующей больше разности Mi и М2. Для антипараллельности же необходимо, чтобы Mmln = |M1-M2|. По классическим представлениям два складываемых вместе момента, в силу взаимодействия друг с другом, должны прецессировать вокруг направления результи- рующего момента (рис. 209), 356
Медленно быстро Мг Если воздействовать на моменты АЛ и М2 магнитным полем, будут наблюдаться разные явления в зависимо- сти от соотношения между взаимодействием моментов друг с другом и с магнитным полем. Рассмотрим два случая: 1) слабое поле — взаимодействие моментов друг с другом больше воздействия на каждый из них магнит- ного поля; 2) сильное поле — действие поля па каждый из моментов превосходит взаимодействие их между собой. В первом случае (рис. 210, а) моменты складываются в результирующий момент Л4, определяемый квантовым числом, L, и этот мо- мент проектируется на направление по- ля. При этом проис- ходят два вида пре- цессии: прецессия моментов Mi и М2 вокруг направления М и прецессия ре- зультирующего век- тора М вокруг на- правления Н. Ско- рость первой прецес- сии будет гораздо больше, так как взаимодействие моментов между собой превосходит воздействие на каждый из них магнитного Рис. 210. поля. Во втором случае (рис. 210,6) поле разрывает связь между моментами М] и М2 и каждый из них прецесси- рует вокруг направления поля независимо от другого. Проектироваться на направление поля векторы М! и М2 будут тоже каждый в отдельности. Все сказанное в этом параграфе о прецессии векторов моментов следует рассматривать лишь как классическую аналогию, поясняющую сложение моментов и образова- ние их проекций на заданное направление. § 74. Результирующий момент многоэлектронного атома Каждый электрон в атоме обладает орбитальным мо- ментом импульса Л1г и собственным моментом Als. Ме- ханические моменты связаны с соответствующими маг- нитными моментами, вследствие чего между всеми Al; и Ms имеется взаимодействие. 357
Моменты Mi и Ms складываются в результирующий момент атома Mj. При этом возможны два случая. 1. Моменты Mi взаимодействуют между собой силь- нее, чем с Ms, которые в свою очередь сильнее связаны друг с другом, чем с Мг. Вследствие этого все Мг скла- дываются в результирующую ML, a Ms складываются в Ms, а затем уже ML и Мв дают результирующую Mj. Такой вид связи встречается чаще всего и называется связью Рессель — Саундерса. 2. Каждая пара Мг и Ms взаимодействует между собой сильнее, чем с другими М; и Ms, вследствие чего образуются результирующие Mj для каждого электрона в отдельности, которые затем уже объединяются в Mj атома. Такой вид связи, называемый (j,/)-cвязью, на- блюдается у тяжелых атомов. Сложение моментов осуществляется по квантовым законам [см. (70.2)]. Поясним сказанное несколькими примерами, относящимися к случаю связи Рессель — Саундерса. 1. Два орбитальных момента, определяемых числами li — 2 и /2= К могут быть сложены тремя способами и могут дать результирующий момент, соответствующий 1,=2 Рис. 211. значениям квантового числа L, равным 3, 2 и 1. Условно такое сложение можно изобразить векторной схемой, приведенной на рис. 211. 2. При сложении спиновых моментов Ms квантовое число S результирующего спинового *) момента ато- ма Ms может быть целым или полуцелым в зависимости от того, каким будет число электронов в атоме — четным или нечетным. При четном числе электронов N квантовое число S принимает все целые значения от М-Уг (все Afs «парал- ’) Квантовое число S не следует путать с символом терма S. 358
лельны» друг другу) до нуля (все Ms попарно компен- сируют друг друга). Так, например, при N — 4 (рис. 212, а) 5 может иметь значения 2, 1, 0. При нечетном N квантовое число S принимает все полуцелые значения от N • ]/2 (все Ms «йараллельпы» друг другу) до ‘/г (все Ms, кроме одного, попарно ком- пенсируют друг друга). Например, при N — 5 возмож- ными значениями 5 будут: 5/2, 3/г, Vs (рис. 212,6), (Hit) (H!l) (till) (Hill) (Itltl) OHIO Рис. 212. 3. При сложении ML и Мв квантовое число J ре- зультирующего момента Mj может иметь одно из сле- дующих значений: J = £ + S, L + S-1, ..., |£ — S|. Следовательно, J будет целым, если 5 — целое (т. е. при четном числе электронов в атоме), и полуцелым, если 5 — полуцелое (т. е. при нечетном числе электро- нов). Так, например: 1) в случае L — 2, S = 1 возможные значения J рав- ны 3, 2, 1, (рис. 213, а); 2) в случае £ = 2, 5 = 3/2 возможные значения J равны 7/2, 5/г, 3/г, V2 (рис. 213,6). Энергия атома зависит от взаимной ориентации мо- ментов Mi (т. е. от квантового числа £), от взаимной ориентации моментов Ms (от квантового числа 5) и от взаимной ориентации ML и Ms (от квантового числа 7). Условно терм атома записывается следующим образом: 25+1 Lj, (74.1) 359
где под L подразумевается одна из букв S, Р, D, F и т. д. в Зависимости от значения числа L. Например, термы 3Л). 3Рь 3Р2 относятся к состояниям с одинаковыми L = 1, одинако- выми 5 = 1, но различными J, равными 0, 1,2. Число 2S + 1 дает мультиплетность терма, т. е. число4 подуровней для данного значения L (впрочем, лишь а) в случае, если 5 < L; когда 5 > L, число подуровней ровно 2L + 1). Обозначениями типа (74.1) мы уже пользовались в § 72 применительно к атомам щелочных металлов. Од- нако для этих элементов характерно то, что S атома, совпадая с s оптического электрона, равно ‘/г- Теперь же мы познакомились с символическими обозначениями тер- мов для любых случаев. § 75. Аномальный эффект Зеемана Нормальный эффект Зеемана заключается, как мы уже знаем, в том, что при воздействии на атом 'магнит- ного поля вместо одной линии, излучаемой атомом в от- сутствие поля, получается три, причем величина смеще- ния этих линий друг относительно друга равна нормаль- ному смещению Дгоо [см. (71.5)]. Однако, как показывает 360
опыт, такое расщепление получается только для линий, не имеющих тонкой структуры (для синглетов). У ли- ний, обладающих тонкой структурой, число компонент бывает больше трех, а величина расщепления составляет рациональную дробь от нормального смещения Д(оо: Aq = Aq0^, (75.1) где т и q — небольшие целые числа. Например, расщеп- ление желтого дублета натрия выглядит так, как пока- зано на рис. 214. Такое расщепление спектральных ли- ний называется ано- мальным эффек- 5890% 5896А том Зе е м а на1). Аномальный эффект > ,гр » Зеемана полностью ' иУг объясняется существо- ванием спина электро- на и удвоенным отно- шением собственных магнитного и механиче- ского моментов [см. (72.1) и (72.2)]. Рассмотрим вектор- Рис- 214- ную модель атома, изо- браженную на рис. 215. При построении этой схемы масштабы выбраны так, что векторы ML и pt изобра- жаются отрезками одинаковой длины. При этом усло- вии вектор gs изобразится отрезком, в два раза боль- шим, чем отрезок, изображающий вектор Ms. Из-за «удвоенного магнетизма» спина результирую- щий вектор магнитного момента атома gj не совпадает по направлению с ревультирующим вектором механиче- ского момента Mj. Вследствие взаимодействия между ML и Ms они прецессируют вокруг направления MJ; во- влекая в эту прецессию и результирующий вектор маг-, нитного момента атома gj. В магнитном поле вектор Mj прецессирует вокруг на- правления поля, имея неизменную прдекцию на это на- правление, равную Mjf/ = hmj, *) Аномальный эффект Зеемана называют также сложным, а нормальный эффект — простым. 361
где mj — квантовое число, которое может принимать зна- чения: —J, —J + 1, ..., —1,0, + 1, .... J — 1, Л В слабом поле (т. е. в таком поле, действие кото- рого на ul и lis значительно слабее взаимодействия рь с ps) прецессия векто- ров Мг и Ms, а следова- тельно, и вектора pj во- круг направления Mj совершается с гораздо большей скоростью, чем прецессия Mj вокруг на- правления Н. Поэтому ве- личина составляющей jijn магнитного момента pj по направлению Н будет та- кой, как если бы она была образована значением pj, усредненным по враще- нию вокруг направления Mj. Обозначим это усред- ненное значение символом pj. Легко собразить, что pj имеет направление, противоположное направ- лению вектора Mj, и, сле- довательно, образует с Н угол л — б, где &— угол между направлениями векторов Mj и Н. Таким образом, Pjjj = Pj cos (л - е) = - Pj cos О, где р7 = | pj I. Значение cos О можно найти по формуле (73.1), по- ложив в ней I = J и т = mj. В результате получим: mj V^jh - - Йи • (75.2) Из рис. 215 следует, что Pj = р£ cos a + ps cos р. (75.3) Чтобы сделать менее громоздкими дальнейшие вы- кладки, выражения вида УХ(Х + 1) мы будем обозна- 362
чать X* («X со звездочкой»). Тогда, например, /* будет означать (/+!)> а Е*2 будет равнозначно £(£+!). Применив такие обозначения, выражениям для магнит- ных моментов можно придать следующий вид: - Тй^7 " 2^7 4 /ДГ+Т) - ^1-, "7Й7“7^» VSiS+iT-W. (75.4) Применив теорему косинусов к треугольнику с угла- ми а и р (рис. 215), получим: = М^ + Mj — 2'MLMf cos а, М2 = М2 + М2 - 2ММ, cos В, Lt О J О J 1 откуда M2L+M2-Ml L*2 + J*2 — S*2 C0S “= 2MlMj 2L*J* ’ M2s + M2j-M2l S'2 + J'2 - L'2 (75‘5) C0S ₽= 2MsMj = 2<ГГ • Подстановка выражений (75.4) и (75.5) в формулу (75.3) дает: r, L‘2 + J‘2-S*2 , о_. е. S>2 + r2-L‘2 Ил Нв^ 2L*J* т "Hb’J 2S*J* * что можно привести к виду: Ил ~ Нв^ I 1 + r2 + S,2-L*2 2Г2 Итак, усредненный по времени магнитный атома оказывается равным: Йл = Нв^/’ = V-вё VJ + 1)> где 1 , /(/+1) + S(S+1)-L(L+1) ё 27(7+1) момент (75.6) (75.7) Выражение (75.7) называется множителем (или фактором) Ланде. Если S = 0, то J — L и g = 1; если L — 0, то J — S и g — 2. В магнитном поле атом приобретает дополнительную энергию: ДЕ = PjH = njjjH. 363
Значение pJH можно найти но формуле (75.2), под- ставив в нее выражение (75.6) дляр7. В результате, по- лучится: SE = pBgHmj. (75.8) Таким образом, в магнитном поле каждый энергети- ческий уровень расщепляется на 2/ 4- 1 равноотстоящих подуровней, причем величина расщепления зависит от множителя Ланде, т. е. от квантовых чисел L, S и 7 дан- ного уровня. Рассмотрим расщепление натриевого дублета, обра- зованного переходами 33Д^—»323у2 и 32Р«/3 —» 32Sy2 (см. рис. 204). Множитель Ланде имеет следующие значения: для терма 2Si/2 (L — 0, 5 = */2, 7 = */2) „ 1 , Va-V. + Va-V.-O-i , , - 9. £= 1 +-------2-1/3-3/2---= 1 т 1 =2, терма 2А/2 (L = 1, 5 = >/2, 7 = >/2) „ . . У2-3/2 + У3-3/2-1-2 ... , , _2/ . g —1 + 9. с/;; з/7 — 1 /з — /3 > для ДЛЯ 2-7а-3/г терма 2Ру2 (L = 1, 5 = ’/2, 7 = 3/2), а 1,72-7г + 1/2-72-1-2_. ! 4/ е-1 + 2-з/2-72 1 + /з - /з- На рис. 216, а показано расщепление уровней и пере- ходы для линии 2Р>/2-» 2Si/2. Для уровня 25у2 приращение энергии (75.8) равно ДЕ' = где g' = 2 = 6/3. Для уровня 2Pi/2 получается ДЕ" = iiBHg"m", где g" = 2/3. Смещение линий относительно первоначальной опре- деляется следующим выражением: ЕЕ" — LE' ц Г,Н , А® =-----g---= т" ~ = Л“« (ё"т" В скобках, в разрывах линий, изображающих пере- ходы между уровнями на рис. 216, приведены значения (g"m" — g'm'j) для соответствующих спектральных ли- ний. 364
Из рис. 216, а следует, что при включении поля пер- воначальная линия оказывается вовсе отсутствующей. Рис. 216. Вместо нее появляются четыре .линии, смещения кото- рых, выраженные в единицах нормального смещения, со- ставляют: —4/з, —2/з, “Ь2/з и + 4/з, что можно записать следующим образом: Аш = До)о [ ± 2/з, ±4/з1- 365
Расщепление линии 2Р»/2 -*2Si/^ пояснено нарис. 216, б. При рассмотрении этой схемы следует иметь в виду, что для квантового числа mj имеется правило отбора: &mj — 0, ± 1 [ср. с (71.4)]. Из схемы вытекает, что для перехода 2Р% “* 2S‘/a первоначальная линия при включении поля С полем Рис. 217. также отсутствует. Смещения получающихся ний равны: Лш = Ди0[± 73, ±%, ±5/з1- шести ли- В сильном магнитном поле связь между Мь и Ms разрывается и они начинают прецессировать порознь во- круг направления Н и, следовательно, проектируются на направление поля независимо друг от друга. В этом слу- чае Ь£. — цвН tnL + т5 — Цв^ (mL + 2ш$), т. е. расщепление становится целым кратным нормаль- ного расщепления. Для переходов имеют место правила отбора: Д/ц£ = О, ± 1, krns = 0. 366
В результате получается нормальный зеемановский триплет (рис. 217). Такое явление называется эффек- том Пашена — Бака. Этот эффект наблюдается, когда магнитное расщепление линий становится больше мультиплетного расщепления. § 76. Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням Каждый электрон в атоме движется в первом при- ближении в центрально-симметричном некулоновском поле. Состояние электрона в этом случае определяется тремя квантовыми числами: п, I и т, физический смысл которых был выяснен в § 70. В связи с существованием спина электрона к указанным квантовым числам нужно добавить квантовое число ms, которое может принимать значения ±У2 и определяет составляющую сцина по за- данному направлению. В дальнейшем для магнитного квантового числа мы будем вместо т пользоваться_обо- значением mi, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что это число определяет составляющую орбитального мо- мента, величина которого дается квантовым числом I. Таким образом, состояние каждого электрона в ато- ме характеризуется четырьмя квантовыми числами: главным п (п— 1, 2, 3, ...), азимутальным/ (/ = 0, 1, 2, ..., п— 1), магнитным mt (mt = — I, ..., — 1, 0, +1, ..., + /), спиновым ms (ms=+y2, — Уг). .Энергия состояния зависит в основном от чисел пи/. Кроме того, имеется слабая зависимость энергии от чи- сел mi и ms, поскольку их значения связаны с взаимной ориентацией моментов М/ и Ms, от которой зависит вели- чина взаимодействия между орбитальным и собственным магнитными моментами электрона. За некоторыми ис- ключениями, энергия состояния сильнее возрастает с увеличением числа п, чем с увеличением /. Поэтому, как правило, состояние с большим п обладает, незави- симо от значения I, большей энергией. В нормальном (невозбужденном) состоянии атома электроны должны располагаться на самых низких до- ступных для них энергетических уровнях. Поэтому, 367
казалось бы, в любом атоме в нормальном состоянии все электроны должны находиться в состоянии 1s (п. — 1, 1 = 0), а основные термы всех атомов должны быть типа S-термов (L — 0). Опыт, однако, показывает, что это не так. Объяснение наблюдаемых типов термов заключается в следующем. Согласно одному из законов квантовой механики,-называемому принципом Паули ^.вод- ном и том же атоме (или в какой-либо квантовой си- стеме) не может быть двух электронов, обладающих одинаковой совокупностью четырех квантовых чисел: п, I, mi и ms. Иными словами, в одном и том же состоянии не могут находиться одновременно два электрона. Данному п соответствуют, как мы уже знаем, га2 со- стояний, отличающихся значениями I и mi (см. § 69). Квантовое число ms может принимать два значения: ±!/г- Поэтому в состояниях с данным значением п мо- гут находиться в атоме не более 2п2 электронов: п = 1 могут иметь 2 электрона, /1 = 2 могут иметь 8 электронов, п = 3 могут иметь 18 электронов, /1 = 4 могут иметь 32 электрона, п = 5 могут иметь 50 электронов и т. д. Совокупность электронов, имеющих одинаковые п и I, образует оболбчку. Совокупность оболочек с оди- наковым п образует группу или слой. В соответ- ствии с значением п слоям дают обозначения, заимство- ванные из спектроскопии рентгеновских лучей: п 1 2 34567 ... Слой KLMNOPQ ... Подразделение возможных состояний электрона в атоме на оболочки и слои показано в табл. 5, в которой вместо обозначений ms — ±’/2 применены символы: Оболочки, как указано в таблице, могут обозначаться двумя способами (например, Lt либо 2s). Для полностью заполненной оболочки характерно равенство нулю суммарного орбитального и спинового *) Этот принцип называют также принципом запрета или принципом исключения. Он справедлив не только для электронов, но и для других частиц с нолуцелым спином.
Таблица 5 моментов (L = 0; S = 0). Следовательно, момент количе- ства движения такой оболочки равен нулю (/ = 0.) Убе- димся в этом на примере Sd-оболочки. Спины всех де- сяти электронов, входящих в эту оболочку, попарно ком- пенсируют друг друга, вследствие чего S = 0. Квантовое число проекции результирующего орбитального момента ML этой оболочки на ось z имеет единственное значе- ние tnL = У, т1 — 0. Следовательно, L также равно нулю. Таким образом, при определении L и 5 атома запол- ненные оболочки можно не принимать во внимание. § 77. Периодическая система элементов Менделеева Принцип Паули дает объяснение периодической по- вторяемости свойств атомов. Проследим построение пе- риодической системы элементов Д. И. Мен- делеева. Начнем с атома с Z = 1, имеющего один электрон. Каждый последующий атом будем получать, увеличивая заряд ядра предыдущего атома на единицу и добавляя к нему один электрон, который мы будем 369
помещать в доступное ему согласно принципу Паули со- стояние с наименьшей энергией. В атоме водорода имеется в основном состоянии один 1s электрон с произвольной ориентацией спина. Его кван- товые числа: п = 1, 1 — 0, mi —О, ms=±’/2. Соответ- ственно основной терм водородного атома имеет вид Если заряд ядра атома водорода увеличить на еди- ницу и добавить к нему еще один электрон, получится атом гелия. Оба электрона в этом атоме могут находить- ся в /(-слое, но с антипараллельной ориентацией спинов. Так называемая электронная конфигурация амома может быть записана как 1s2 (два ls-электрона). Основным тер- мом будет ’So (L — О, S = = 0,7 = 0). На атоме гелия заканчи- вается заполнение слоя К. Третий электрон атома лития может занять лишь уровень 2s (рис. 218). Получается элек- тронная конфигурация ls22s. Основное состояние характеризуется L — О, S = */2. По- этому основным термом, как и у водорода, будет 2Sy2. Третий электрон атома лития, занимая более высокий энергетический уровень, чем остальные два электрона, оказывается слабее, чем они, связанным с ядром атома. В результате он определяет оптические и химические свойства атома. У четвертого элемента, бериллия, полностью запол- няется оболочка 2s. У последующих шести элементов (В, С, N, О, F и Ne) происходит заполнение электро- нами оболочки 2р, в результате чего неон имеет пол- ностью заполненные слои Л’ (двумя электронами) и L (восемью электронами), образующие устойчивую си- стему, подобную системе гелия, чем обусловливаются специфические свойства инертных газов. Процесс застройки электронных оболочек у элементов периодической системы наглядно представлен в табл. 6. Одиннадцатый элемент, натрий, имеет, кроме заполнен- ных слоев К и L, один электрон в оболочке 3s, Электрон- ная конфигурация имеет вид: ls22s22p63s. Основным 370
Таблица 6 Эле- мент К L M N Основной терм Эле- мент К L M N Основной терм Is 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p Is 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 1 н 2 Не I. 2 — — — — — — — ‘Se 19 К 20 Ca 21 Sc 22 Ti 23 V 24 Cr 25 Mn 26 Fe 27 Cd 28 Ni 2 2 2 2. 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 2 3 5 5 6 7 8 1 2 2 2 2 I 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 'So 3F2 7S3 sd4 iF^ 3F< 3 Li 4 Be 5 В 6С ZN 80 9F 10 Ne 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 — — — 'So 3Po sPt 'So 29 Cu 30 Zn 31 Ga 32 Ge .33 As 34 Se 35 Br 36 Kr 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 4o 10 10 10 10 10 10 I 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 2S'/, 'So 3Po 4Sv, 3F2 2p% 'So 11 . Na 12 Mg 13 Al 14 Si 15 P 16S 17C1 18 Ar 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 8 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 © 6 — — 'So 3Fo <s,/; *P1 'So
3 to Продолжение табл, б Элемент К L M N 0 P Основной терм Элемент К L M N 0 P Основной терм is ip id 4f 5s 5p 5d 6s ip M if 5s 5p 5d 6s 37 Rb 38 Sr 39 Y 40 Zr 41 Nb 42 Mo 43 Tc 44 Ru 45 Rh 46 Pd 2 2 2 2 2 2' 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 2 4 5 5 7 8 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 2Ч. 'So 2Ч 3A, 7s3 6S=/, 'So 55 Cs 56 Ba 57 La 58 Ce 59 Pr 60 Nd 61 Pm 62 Sm 63 Eu 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 8 8 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 I 1 2 2 2 2 2 2 2 2 'So 3^4 4/% Ji 47 Ag 48 Cd 49 In 50 Sn 51 Sb 52 Те 53 J 54 Xe 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 8 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 — 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 — >So tp4, 3Pa 3Л 2/\ So 64Gd 65 Tb 66 Dy 67 Ho 68 Er 69 Tu 70 Yb 71 Lu 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 8 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 7 8 10 11 12 13 14 14 8 8 8 8 8 8 8 8 1 1 I 2 2 2 2 2 2 2 2 SD, s/8 Wo 'So
Продолжение табл. 6 Эле- мент К L M o p Q Основ- ной терм Эле- мент К L M 0 P Q 7s Основ- ной терм 5s 5P 5d 5f 6s 6p 6d 7s 5p 5s 5d 5f 6s 6p 6d 72 Hf 2 8 18 32 8 2 2 8E2 87 Fr 2 8 18 32 8 8 1 2S-/s 73 Та 2 8 18 32 8 3 — 2 — — — 88 Ra 2 8 18 32 8 — 8 — 2 ’So 74 W 2 8 18 32 8 4 — 2 — — — 3D0 89 Ac 2 8 18 32 8 — 8 1 2 75 Re 2 8 18 32 8 5 — 2 — — — 90 Th 2 8 18 32 8 — 8 2 2 3F,~ 76 0s 2 8 18 32 8 7 — 1 — — — 5 Я. 91 Pa 2 8 18 32 8 2 8 1 2 77 Ir 2 8 18 32 8 7 — 2 — — — 92 U 2 8 18 32 8 3 8 1 2 78 Pt 2 8 18 32 8 9 — 1 — — — 3D3 93 Np 2 8 18 32 8 4 8 1 2 6L"I, 94 Pu 2 8 18 32 8 6 8 — 2 7Fn 95 Am 2 8 18 32 8 7 8 2 96 Cm 2 8 18 32 8 7 8 1 2 ~ '2 ’D, 79 Au 2 8 18 32 8 10 1 97 Bk 2 8 18 32 8 8 8 1 2 72 98 Cf 2 8 18 32 8 10 8 — 2 7S 80 Hg 2 8 18 32 8 — 2 — — — *Sft 99 Es 2 8 18 32 8 11 8 — 2 81 T1 2 8 18 32 8 — 2 1 *— — 100 Fm 2 8 18 32 8 12 8 — 2 82 Pb 2 8 18 32 18 — 2 2 — — V 101 Md 2 8 18 32 8 13 8 — 2 2F^ 83 Bi 2 8 18 32 18 — 2 3 — — 4s’/2 102 (No) 2 8 18 32 8 14 8 — 2 ’So 84 Po 2 8 18 32 8 — 2 4 — V 103 Lw 2 8 18 32 18 14 8 1 2 85 At •2 8 18 32 8 — 2 5 — — 2P3/2 104 Ku 2 8 18 32 18 14 8 2 2 TV 86 Rn 2 8 18 32 8 2 6 ’So
термом будет 2Sya. Электрон 3s связан с ядром слабее других и является валентным или оптическим электро- ном. В связи с этим химические и оптические свойства натрия подобны свойствам лития. Основное состояние оптического электрона в атоме натрия характеризуется значением п = 3. Этим и объяс- няется то обстоятельство, что на схеме' уровней атома натрия (см. рис. 204) основной уровень помечен циф- рой 3. Попутно отметим, что атом цезия имеет в основ- ном состоянии электронную конфигурацию ls22s22p63s23p63d104s24p64d105s25p66s. Следовательно, его оптический электрон имеет в основ- ном состоянии п = 6. В соответствии с этим помечены уровни на рис. 205. У следующих за натрием элементов нормально за- полняются оболочки 3s и Зр. Оболочка 3d при данной общей конфигурации оказывается энергетически выше оболочки 4s, в связи с чем при незавершенном в целом заполнении слоя М начинается заполнение слоя N. Обо- лочка 4р лежит уже выше, чем 3d, так что после 4s за- полняется оболочка 3d. С аналогичными отступлениями от обычной последо- вательности, повторяющимися время от времени, осуще- ствляется застройка электронных уровней всех атомов. При этом периодически повторяются сходные электрон- ные конфигурации (например, Is, 2s, 3s и т. д.) сверх полностью заполненных оболочек или слоев, чем обусло- вливается периодическая повторяемость химических и оптических свойств атомов. Как видно из табл. 6, заполнение оболочки 4f, которая может содержать 14 электронов, начинается лишь после Того, как полностью заполняются оболочки 5s, 5р и 6s. Квантовомеханический расчет показывает, что в d- и особенно в f-состоянии электрон находится гораздо бли- же к ядру, чем в s- и p-состояниях. Следовательно, 4/- электроны располагаются во внутренних областях атома. Поэтому у элементов с номера 58 по 71, называемых ред- кими землями или лантанидами, внешняя оболочка (6s2) оказывается одинаковой. В связи с этим лантани- ды весьма близки по своим химическим свойствам, кото- рые определяются внешними (валентными) электронами. Аналогичную группу химически родственных элементов 374
образуют актиниды (атомные номера с 90 по 103), у ко- торых заполняется 5/-оболочка при неизменной внешней оболочке 7s2. Изложенные в § 74 правила сложения моментов по- зволяют вычислить значения квантовых чисел L, S ц J, возможные при заданной электронной конфигурации. Так, например, при конфигурации пр2 (два электрона с главным квантовым числом п и /=1) возможными значениями L будут 0, 1, 2 = 1, l2 = 1), а квантовое число S может иметь значения 0 и 1 (Si — ‘/г, s2 = !/2). В соответствии с этим, казалось бы, при конфигурации пр2 возможны термы: 1S, lP, XD, 3S, 3Р, 3D. Однако при установлении вида термов, возможных при данной кон- фигурации эквивалентных электронов (т. е. электронов с одинаковыми п и /), необходимо считаться с принци- пом Паули — для эквивалентных электронов возможны лишь такие термы, для которых значения хотя бы одного квантового числа (тг или ms) обоих электронов не сов- падают1). Этому требованию, очевидно, не удовлетво- ряет, например, терм 3D. Действительно, L — 2 означает, что орбитальные моменты электронов «параллельны», следовательно, значения у этих электронов будут сов- падать. 'Аналогично 5=1 означает, что спины электро- нов также «параллельны», вследствие чего совпадают и значения та. В итоге все четыре квантовых числа (и, /, m-i и ms) у обоих электронов оказываются одинаковыми, что противоречит принципу Паули. Таким образом, терм 3D в системе из двух эквивалентных электронов реали- зоваться не может. Чтобы установить возможные термы, согласующиеся с принципом Паули, используют следующий прием: в столбцах таблицы, помеченных значениями /п; отдельно взятого электрона, проставляют в виде стрелок значения ms (стрелка вверх означает ms = +V2, стрелка вниз — ms = —’/2 (см. табл. 7, составленную для двух эквива? лентных р-электронов). В таблице содержатся все до- пустимые принципом-Паули сочетания значений mt и ms обоих электронов. В тех случаях, когда обе стрелки по- падают в один столбец (это означает, что mi обоих элек- тронов одинаково), они направлены в противоположные ) Для неэквивалентных электронов, т. е. электронов, отличаю- щихся либо п, либо /, либо и тем и другим, это требование отпадает. 375
Таблица 7 стороны (ms должны быть разными). В следующих столбцах таблицы проставлены соответствующие данно- му сочетанию значения квантовых чисел ML и Ms, рав- ные алгебраической сумме чисел т{ и ms. Совокупность допустимых значений ML и Ms позволяет установить до- пустимые сочетания значений L и S. Одна из таких сово- купностей, помеченная буквой А в последнем столбце таблицы, соответствует сочетанию L = 2, 5 = 0, т. е. терму ’£>, вторая совокупность, помеченная буквой В, со- ответствует L = 1, 5 = 1, т. е. терму 3Р и, наконец, сово- купность, помеченная буквой С, соответствует L — 0, S = = 0, т. е. терму ’S. Таким образом, из указанных выше шести формально возможных термов не противоречат принципу Паули только три: '5, 3Р, 'D, причем терм 3Р является триплетом — он’подразделяется на компоненты: 3Р2, 3Pi, 3Ро- Возникает вопрос, какой из этих термов со- ответствует основному состоянию, т. е. состоянию с наи- меньшей энергией. Ответ на этот вопрос дают два эмпи- рических правила Хунда. I. Из термов, даваемых эквивалентными электрона- ми, наименьшей энергии соответствует терм с наиболь- 376
шим возможным значением S (т. е. терм с наибольшей мультиплетностыо) и с наибольшим возможным при таком S значением L. 2. Мультиплеты, образованные эквивалентными элек- тронами, являются правильными (это значит, что с уве- личением / возрастает энергия состояния), если запол- нено не более половины оболочки, и обращенными (с уве- личением / энергия убывает), если заполнено больше половины оболочки. Из второго правила Хунда следует, что в случае, ко- гда заполнено не более половины оболочки, наименьшей энергией обладает компонента мультиплета с 1 = |L—S|, в противном случае — компонента с J L + S. В рассмотренном нами примере двух р-электронов наименьшей энергией обладает терм 3Р (у него наиболь- шее S), а из, трех его компонент наименьшей энер- гией обладает 3Ро, так как оболочка заполнена только на одну треть (в р-оболочке может находиться 6 элек- тронов) . Отметим, что результирующие моменты заполненных оболочек равны нулю. Поэтому при определении с по- мощью правила’ Хунда основного терма, атома следует рассматривать только незаполненную оболочку. Конфи- гурацией пр2 сверх заполненных оболочек обладают уг- лерод (С), кремний (Si), германий (Ge), олово (Sn) и свинец (РЬ). У всех этих элементов основным являет- ся терм 3Р0 (см. табл. 6). § 78. Рентгеновские спектры Оптические спектры возникают при переходах слабее всего связанного с ядром оптического электрона из воз- бужденного состояния в основное. Возбуждение атомов может происходить за счет соударений между атомами, соударений атомов с электронами или за счет поглоще- ния фотонов. При поглощении атомом порции энергии, достаточной для вырывания (или возбуждения) одного из внут- ренних электронов, испускается характеристиче- ское рентгеновское излучение. Соответствующая пор- ция энергии может быть сообщена атому за счет удара достаточно быстрым электроном или поглощения рентге- новского фотона. 377
В то время как тормозное рентгеновское излучение не зависит от материала антикатода и определяется лишь энергией бомбардирующих антикатод электронов, характеристическое излучение определяется природой вещества, из которого изготовлен антикатод. До тех пор пока энергия электрона недостаточна для возбуждения характеристического излучения, возникает только тор- мозное излучение. При достаточной энергии бомбарди- рующих электронов на фоне сплошного тормозного спектра появляются резкие линии характеристического спектра, причем .интенсивность этих линий во много раз превосходит интенсивность фона. Рентгеновские спектры отличаются заметной просто- той. Они состоят из нескольких серий, обозначаемых буквами К, L, М, N и О. Каждая серия насчитывает небольшое число линий, обозначаемых в порядке убы- вания длины волны индексами: а, р, у, ... (Ка, Kf,, ..; La, L$, Lv, ... и т. д.). Спектры разных элементов имеют сходный характер. При увеличении атомного номера Z весь рентгеновский спектр лишь смещается в коротко- волновую часть, не меняя своей структуры (рис. 219). Это объясняется тем, что рентгеновские спектры возни- кают при переходах электронов во внутренних частях атомов, которые (части) имеют сходное строение. Схема возникновения рентгеновских спектров дана на рис. 220. Возбуждение атома состоит в удалении од- ного из внутренних электронов. Если под влиянием внеш- него быстрого электрона или рентгеновского фотона вырывается один из двух электронов К-слоя, то освобо- дившееся место может быть занято электроном из ка- кого-либо внешнего слоя (L, М, N и т. д.). При этом воз- никает A-серия. Аналогично возникают и другие серии. Серия К обязательно сопровождается остальными се- риями, так как. при испускании ее линий освобождаются уровни в слоях L, М и т. д., которые будут в свою оче- редь заполняться электронами из более высоких слоев. Мозли (1913) установил простой закон, связывающий частоты спектральных линий с атомным номербм испу- скающего их элемента: ]/w = C(Z-o). (78.1) Закон Мозли можно сформулировать следующим об- разом: корень квадратный из частоты является линей- 378
ной функцией атомного номера Z. Константа о сохра- няет свое значение в пределах одной и той же серии для всех элементов, но меняется при переходе, от одной се- рии к другой. По измерениям Мозли о = 1 для К-серии и о = 7,5 для L-серии. Константа С имеет свое значение для каждой линии одинаковое, пднякп, для всех элемен- тов. Насколько точно выполняется закон Мозли, можно судить по диаграм- ме, изображенной на рис. 221 (ее называют диаграммой Мозли). /(-серия Рис. 220. Л Рис. 219. Зависимость, установленная Мозли, позволяет по из- меренной длине волны рентгеновских линий точно уста- новить атомный номер данного элемента; она сыграла большую роль при размещении элементов в периодиче- ской системе. Мозли дал простое теоретическое объяснение найден- ного им закона. Он установил, что для линии- Ка константа С в формуле (78.1) имеет значение, равное где /? — постоянная Ридберга. Следовательно, для этой линии зависимость (78.1) можно записать в виде © = /?(£-1)2(^—). (78.2) 379
Линия такой же частоты получается при переходе электрона, находящегося в поле заряда (Z— 1)е, с уров- ня п = 2 на уровень п = 1. Для других линий формуле (78.1) можно придать вид: « = (78.3) где о в пределах одной и той же серии постоянна. Смысл константы о легко понять: электроны, совер- шающие переход при испускании рентгеновских лучей, находятся под воздействием ядра, притяжение которого несколько ослаблено действием остальных окружающих его электронов. Это так называемое экранирующее дей- ствие и находит свое выражение в необходимости вы- честь из Z некоторую величину о. На какой-либо электрон одной из внутренних оболо- чек дальше отстоящие от ядра электроны воздействуют слабо, так как создаваемое ими внутри поле в среднем равно нулю (поля внутри заряженной сферической по- верхности нет). Поэтому внутренние электроны нахо- дятся в основном лишь под воздействием роля ядра и электронов, находящихся ближе к ядру. Таким образом, поправка о вызывается наличием более глубоких элек- 380
тронов и слабым возмущением со стороны остальных электронов. Формула (78.1) является не вполне точной. Она ос- нована на допущении, что постоянная экранирования для обоих термов, входящих в выражение (78.3), имеет одинаковое значение. На самом же деле экранирование, например, для /(-терма будет слабее, чем для L-терма, потому что электрон, находящийся в £-оболочке, экра- нируют оба электрона /(-оболочки и, кроме того, частич- ное участие в экранировании принимают остальные электроны /.-оболочки, в то время как для электрона Л'-оболочки экранирование осуществляется только од- ним вторым Л'-электроном. С учетом сделанных замеча- ний формулу (78.3) следует писать в виде: d((z~ °i>2 (2-о2)2 u> — А 1--5---------5--- ( пг Приближенность формулы (78.1) можно заметить на графике, изображенном на рис. 221. При вниматель- ном рассмотрении обнаруживается, что построенный на основе опытных данных график для /(-серии имеет не вполне прямолинейный характер. § 79. Ширина спектральных линий Из возбужденного состояния атом может перейти спонтанно (самопроизвольно) в более низкое энергети- ческое состояние. Время, за которое число атомов, на- ходящихся в данном возбужденном состоянии, умень- шается в е раз, называется временем жизни возбужденного состояния1). Время жизни возбужденных состояний атомов имеет порядок 10-8—10'9 сек. Время жизни метастабильиых состояний может достигать деся- тых долей секунды. Возможность спонтанных переходов указывает на то, что возбужденные состояния нельзя рассматривать как строго стационарные. В соответствии, с этим энергия возбужденного состояния не является точно определен- ной и возбужденный энергетический уровень имеет ’) Определенное таким образом время жизни совпадает со сред- ним временим пребывания атомов в возбужденном состоянии. 381
конечную ширину доказывается, что Г (рис. 222). В квантовой механике ширина уровня обратно пропорцио- нальна времени жизни т возбужден- ного состояния: Г = А. (79.1) Основное состояние атома ста- ционарно (из него невозможен спонтанный переход в другие со- стояния). Поэтому энергия основ- ного состояния является определен- ной вполне точно. Рис. 222. Вследствие конечной ширины возбужденных уровней энергия испускаемых атомами фотонов имеет разброс, описы- ваемый кривой, изображенной на рис. 222. Соответ- ственно спектральная линия (рис. 223) обладает конеч- ной шириной *): х г 1 Взяв т ~ 10"8 сек, получим для б®о значение поряд- ка 108 сект1. Интервал частот бы связан с интервалом длин волн 6Х соотношением: 6Л = ~ б<о = -£-6й> = ~ бо (79.3) (О'4 (0 '2лс (знак минус мы опустили). Выражения (79.2) и (79.3) дают так называемую естест- венную ширину спектраль- ной линии. Подставив в (79.3) Л ~ 5000 А и бы ~ 108 сект1, по- лучим для естественной ширины спектральной линии значение по- (79.2) Рис. 223. рядка 10~4А. Тепловое движение излучающих атомов приводит к дополнительному так называемому допплеровско- >) Ширина спектральной линии бо определяется как разность частот, которым соответствует интенсивность, равная половине ин- тенсивности в максимуме. В связи с этим бы. называют иногда полушириной спектральной линии. Мы будем пользоваться тер- мином «ширина линии», 382
му расширению спектральных линий. Пусть в мо- мент испускания фотона атом обладает импульсом ро и соответственно энергией поступательного движения рЦ2та (та — масса атома). Фотон уносит с собой им- пульс fik, равный по модулю йш/с [см. (57.5)]. Поэтому Импульс атома изменяется и становится равным р = = ро —fik. Следовательно, изменяется и энергия посту- пательного движения атома. Обозначим через Л£Пт из- менение внутренней энергии атома, т. е. разность Еп— Ет, где Еп и Ет — значения энергии уровней, меж- ду которыми совершается переход. На основании закона сохранения энергии ЬЕпт должно равняться сумме энер- гии фотона и изменения энергии поступательного движе- ния излучающего атома: &Епт = }1Ы 4- „------тс—= fiw---------—й т 2та 2та та 2та Изменение энергии поступательного движения атома мало по сравнению с энергией фотона fiio. Поэтому в пер- вом приближении можно считать, что А£пт=й(о, как мы и поступали в предыдущих параграфах. Заменив tik че- рез fiw/c ~ &Епт/с и учтя, что ро = mav (v — скорость теплового движения атома), слагаемое pofik/ma в фор- муле (79.4) можно представить в виде: ^ = ^A£„mcos<p, (79.5) где <р — угол между ро и fik, который может изменяться в пределах от 0 до л. В том же приближении (Бк)г . (Д<р)2 , (&Е„ту . 2та 2тасг 2тас2 Таким образом, формуле (79.4) можно придать вид: A£nm = Sw--^A£„mcos<p + -^f-. (79.6) Найдем среднее значение энергии отдачи, приобре- таемой атомом при испускании фотона. В отдельном акте излучения атом получает, энергию; Е отд = ЕЕпт ties. 383
Согласно (79.6) эта величина равна ,, (AEnm)2 v . г ^отд ~ 2тас2~ ~с '^пт cos Ф • Среднее значение этого выражения равно первому сла- гаемому (costp принимает с равной вероятностью все значения от —1 до +1, вследствие чего второе слагае- мое в среднем равно нулю). Итак, обозначив среднюю энергию отдачи, приобре- таемую атомом при испускании фотона, буквой R, мож- но написать: С учетом (79.7) формулу (79.6) можно записать сле- дующим образом: \Епт = йы - -у \Епт cos <р + R. Разрешив это уравнение относительно частоты фо- тона о, получим: ЬЕпт R . V ЕЕпт ® _ ___ ___ _ ___ cos ф. Наконец, введя обозначения: «0 = ^. (79.8) = (79-9) бмй = 2-у-^-^ 2 ^0)», (79.10) мы придем к соотношению: о = (i)0 — Айд +-^ 6«£> cos <р. (79.11) В источнике излучения, в котором все направления теплового движения атомов равновероятны, cos <р при- нимает все значения от —1 до +1. Следовательно, ча- стоты излучающих фотонов будут заключены в пределах интервала 6(oD. Таким образом, выражение (79.10) дает допплеровскую ширину спектральной линии. Из (79.10) ’) Ср. с формулой (41.9), 384
следует, что относительное допплеровское уширение ли- ний быс/ы не зависит от частоты и равно 2(и/с). Со- гласно (79.3) 6Х/Л = бы/ы. Средняя скорость атомов (с атомным весом ~ 100) при температуре порядка не- скольких тысяч градусов составляет приблизительно 103 м!сек. Б этих условиях допплеровская ширина спек- тральной линии для X = 5000 А будет равна б7д = 2~7 = 2-з^~5000 «= 3- 10~2А. Действительная ширина спектральной линии бы сла- гается из естественной ширины (79,2) и допплеровской ширины (79.10): бы = бы0 4- быо. Середина линии приходится на частоту ыо — Дыд [см. (79.11)]. Величина ы0 представляет собой ту часто- ту, которую имел бы фотон при условии, что энергия &Епт полностью пошла на излучение. Получение атомом при излучении энергии отдачи R приводит к смещению спектральной линии в сторону меньших частот (т. е. больших длин волн) на величину Дык, определяемую формулой (79.9). Заменив в этой формуле R согласно (79.7), получим: Из этого выражения следует, что относительное сме- щение частоты Дыв/ы оказывается пропорциональным частоте ы. Оценим Дык для видимого света (ы~3-1015 сек-1). Массу атома положим равной 10~22 г (атомный вес по- рядка 100). По формуле (79.12) Д^я 2. io~22 • 9 • ю20 Ю сек , откуда для ДХв получается значение порядка 10-7 А, ко- торым вполне можно пренебречь. Заметим, что при поглощении атомом фотона йы им- пульс фотона fik сообщается атому, вследствие чего атом приходит в поступательное движение. Энергия этого движения может быть определена по формуле (79.7). 13 И. В. Савельев, т. 111 385
Следовательно, для того чтобы вызвать в атоме переход Ет-+Еп, фотон должен обладать энергией: = АЕпт+ R, а частота фотона должна быть равна со' = <во + Acor, где Асоп определяется формулой (79.9). Таким образом, спектральная линия, середина кото- рой лежит в спектре испускания данного атома при частоте соо— Acor, в спектре поглощения того же атома будет иметь частоту too 4- Асон. Для видимого света смещение линий испускания и поглощения друг относи- тельно друга (составляющее 2AA,R 10-7 А) на пять по- рядков меньше допплеровской ширины линии (равной ~3-10"2А) и на три порядка меньше естественной ши- рины линии (равной ~ 10~4 А). Следовательно, для ви- димого света линии испускания и поглощения можно считать точно совмещенными друг с другом. § 80. Вынужденное излучение Кроме самопроизвольных (спонтанных) переходов с одного энергетического уровня на другой, наблюдаются также вынужденные (пли индуцированные) переходы, обусловленные действием на атом падающего на него излучения. Самопроизвольные переходы могут осуществляться только в одном направлении — с более высоких уровней на более низкие. Вынужденные пере- ходы могут с равной вероятностью происходить как в одном, так и в другом направлении. В случае перехода на более высокий уровень атом поглощает падающее на него излучение. При вынужденном переходе с одного из возбужденных уровней на более низкий энергетический уровень происходит излучение атомом фотона, дополни- тельного к тому фотону, под действием которого произо- шел переход. Это дополнительное излучение называется вынужденным (или индуцированным). Вынужденное излучение обладает весьма важными свойствами. Направление его распространения в точно- сти совпадает с направлением распространения внеш- него излучения, вызвавшего переход. То же самое отно- сится к частоте, фазе и поляризации вынужденного и внешнего излучений. Таким образом, вынужденное и внешнее излучения оказываются когерентными. Эта осо- 386
бенность вынужденного излучения лежит в основе дей» ствия усилителей и генераторов света, называемых ла*, зерами (см. § 86). Вынужденное излучение является обращением проч цесса поглощения света. Вероятности обоих процессов, как уже отмечалось, в точности одинаковы. Вероятность Рпт вынужденного перехода атома в единицу времени с энергетического уровня Еп на уровень Ет пропорцио- нальна плотности энергии внешнего электромагнит- ного поля1), приходящейся на частоту со, соответствую- щую данному переходу [о — (Еп— Em)/h]: Рпт=Вптиа. (80.1) Величина Впт называется коэффициентом Эйн- штейна. Согласно сказанному выше В тп “ Впт- Если число атомов в состоянии п будет Nn, то коли- чество атомов, совершающих в единицу времени вынуж- денный переход п—>т, окажется равным Мпт = PnmNn = BnmuaNn. (80.2) Аналогично, количество атомов, совершающих в еди- ницу времени вынужденный переход т—>п, будет равно = Ртп^т = BmnUaNm. (80.3) Основываясь на равновероятности вынужденных пе- реходов п-^-т и т->п, Эйнштейн дал весьма простой вывод формулы Планка. Равновесие Между веществом и излучением будет достигнуто при условии, что число атомов N{ в каждом из состояний остается без измене- ний. Это возможно только в том случае, если число атомов, переходящих в единицу времени из состояния п в состояние т, будет равно числу атомов, совершающих переход в противоположном направлении. Пусть En>Em. Тогда переходы т—>п смогут происходить только под воздействием излучения. Переходы же п-*т будут со- вершаться как вынужденно, так и спонтанно. Обозначим вероятность спонтанного перехода атома в единицу вре- мени из состояния п в состояние т через Апт- Число атомов, совершающих в единицу времени спонтанный переход п—>т, определится выражением: bN'nm= АптЬ’п. (80.4) ’) В § 52 равновесное значение величины мы обозначали Т). 13* 387
В состоянии равновесия должно выполняться усло- вие: ~ + АЛ'гМ‘ Подстановка в эту формулу значений (80.2), (80.3) и (80.4) [в которых должно быть взято равновесное зна- чение нш, т. е. и {(л, Т) ] дает BmnU (®> = Вптц (о, Т) Nn 4- AnmNn, откуда / 'г\ ____AnmNn_______ АПгп____J___ ’ BmnNт — BnmNп В пт Nm!Nп 1 (мы воспользовались тем, что Втп = Впт). Равновесное распределение атомов по состояниям с различной энергией определяется законом Больцмана, согласно которому -^L = e(£n-£m)/ftr = eto/ftr Nn Таким образом, мы приходим к формуле „(и, 7-)_Аа. (80.5) Enin е * Для определения коэффициента Апт1Впт Эйнштейн воспользовался тем, что при малых частотах выраже- ние (80.5) должно переходить в формулу Рэлея — Джин- са. В случае Йо <С kT можно произвести замену 1 tn^kT, в результате чего (80.5) принимает вид: Сравнение с формулой (52.9) дает для Апт1ВПт зна- чение: Апт = ЙМ3 &пт Я2С3 Подстановка этого значения в (80.5) приводит к фор- муле Планка [см. формулу (53.9); напомним, что f (<а, Т) и н(<о, Т) связаны соотношением (52.3)].
ГЛАВА XIII МОЛЕКУЛЫ И КРИСТАЛЛЫ § 81. Энергия молекулы Силы, удерживающие атомы в молекуле, вызваны взаимодействием внешних электронов. Электроны внут- ренних оболочек при объединении атомов в молекулу остаются в прежних состояниях. Это подтверждается тем, что рентгеновские спектры тяжелых элементов за- метно не зависят от того, в состав какого химического соединения входит данный элемент. Различают два вида связи. Один из них осущест- вляется в тех молекулах, в которых часть электронов движется около обоих ядер1)- Такая связь называется гомеополярной (или ковалентной, или атомной). Она образуется парами электронов с про- тивоположно направленными спинами. Среди молекул этого типа следует различать молекулы с одинаковыми ядрами (Нг, N2,02) и молекулы с разными ядрами (на- пример, CN). В молекулах первого рода электроны рас- пределены симметрично. В молекулах второго рода име- ется некоторая асимметрия в распределении электронов, благодаря чему молекулы приобретают электрический дипольный момент. Второй тип связи имеет место, когда электроны в мо- лекуле- можно разделить на две групгГы, каждая из ко- торых все время находится около одного из ядер. Элек- троны распределяются так, что около одного из ядер образуется избыток электронов, а около другого — их недостаток. Таким образом, молекула как бы состоит ’) Мы ограничимся рассмотрением только двухатомных молекул. 389
из двух ионов противоположных знаков, притягивающих- ся друг к другу. Связь этого типа называется гетеро- полярной (или и о н н ой). Примером молекул с ге- терополярной связью могут служить NaCl, KBr, НС1 и т. д. Простейший пример гомеополярной связи мы имеем в молекуле водорода. Вскоре после создания квантовой механики Гайтлер и Лондон (1927) предприняли успеш- ную попытку квантовомеханического расчета основного состояния молекулы Н2. Им удалось решить уравнение Шредингера для системы, состоящей из двух протонов _е (ядер атома водорода) и /Ах. двух электронов (рис. 224). / г Потенциальная энергия та- кой системы равна = __________________ а ' / ° г‘а 'га 'lb \ /Ггь е2 . е2 . е2 Гг* Г12 Рис. 224. Волновая функция ф за- висит от координат обоих электронов. Следовательно, уравнение Шредингера име- ет вид: u L \ '12 J__________1__________1__________1_ f“ia r 2а rlb Д-)1ф = 0, (81.1) r2b / Л где Д, — оператор Лапласа, содержащий координаты одного электрона, а Д2— оператор Лапласа, содержащий координаты другого электрона. Квантовое число ms каждого из электронов может иметь два значения: ±*/2- Если знаки ms обоих электро- нов различны, спины оринтированы в противоположные стороны, т. е. антипараллельны; при совпадении знаков ms спины параллельны. Получающиеся из уравнения (81.1) собственные значения энергии оказываются зави- сящими от расстояния между ядрами R, т. е. Е = £(/?), причем в случаях параллельной и антипараллельной ори- ентации спинов характер этой зависимости существенно 390
различен (рис. 225). Образование молекулы возможно лишь при сближении атомов с антипараллельными спи- нами. Асимптотическое значение Ео, к которому стремится энергия молекулы при /?-*оо, для обеих изображенных на рис. £25 кривых одинаково и равно сумме энергий изолированных атомов. Величина ED есть энергия связи молекулы. Она равна энергии, которую нужно сообщить молекуле, чтобы вызвать разделение ее на изоли- рованные атомы, т. е. вызвать диссоциацию молекулы. Аналогично обстоит дело и в случае других двухатомных молекул. Энергия, обусловленная электронной конфигурацией (электронная энергия), имеет ми- нимум при некотором значении R и может быть изображена кривой такого же вида, как для водородной молекулы (см. кривую 1 на рис. 226). При изменении электронной конфигурации (при возбу- ждении молекулы) изменяется кривая зависимости элек- тронной энергии от расстояния между ядрами R. Асимптотическое значение энергии также становится иным — равным суммарной энергии изолированных атомов в новом квантовом состоянии (см. кривую 2 на рис. 226). В основном изменение энергети- ческого запаса молекулы происхо- 0--------------дит, как и в атоме, в результате изменений в электронной конфигу- Рис. 226. рации, образующей периферическую часть молекулы. Однако при задан- ной электронной конфигурации ядра молекулы могут различным образом колебаться и вращаться относитель- но общего центра инерции. С этими видами движения связаны известные запасы энергии, которые должны быть учтены в общем балансе. Обозначим: Ее — энергия, обусловленная электронной конфигура- цией (электронная энергия); 391
Ev — энергия, соответствующая колебаниям молекулы (колебательная или вибрационная энергия); Ег— энергия, связанная с вращением молекулы (вра- щательная или ротационная энергия). В первом приближении отдельные виды молекуляр- ных движений — движение’электронов, колебание и вра- щение молекулы — можно считать независимыми друг от друга. Поэтому полную энергию какого-либо стационар- ного состояния молекулы можно представить в виде: Е = Ее + Ев + Ег. Как показывают опыт и квантовомеханические рас- четы, энергии Ev и Ег могут, как и Ее, принимать лишь дискретные значения. Рассмотрим гармонический осциллятор, т. е. частицу, находящуюся под действием квазиупругой силы [ = = —kx. Потенциальная энергия такой частицы равна: 17 = -^-. (81.2) Введя собственную частоту со» = У k/m классическо- го гармонического осциллятора [см. т. I, формулу (73.4); т — масса частицы1)], можно написать: 2 2 mor.x Следовательно, уравнение Шредингера для гармони- ческого осциллятора выглядит следующим образом: d2ip , 2т ! та?„х2\ ~dx^^'~hr\E° —;Ф = °> где Ev—дюлная энергия осциллятора. Это уравнение имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при значениях параметра Ev, равных Е»=(п+4)6(йо- (81-3) Число V, называемое колебательным кванто- вым числом, может иметь значения: 0, 1, 2 и т. д. ') В случае двухатомной молекулы под т в этом выражении нужно подразумевать так называемую приведенную массу молекулы, равную питъЦгщ + m2), где т\ н m2 — массы ядер. 392
Схема уровней гармонического осциллятора дана на рис. 227. Уровни вписаны в кривую потенциальной энер- гии U. Отметим, что в то время как полная энергия Е ка- кой-либо квантовой системы имеет определенное значе- ние, потенциальная энергия U и кинетическая энергия Т остаются неопределенными (в силу соотношения Е= = Т + U при определенности полной энергии Е и одной из энергий Т или U другая из этих энергий также ока- залась бы определенной). Это легко понять, если учесть, что U является функцией координат, а Т — функцией импульсов. Поэтому одновременная определенность U и Т означала бы одновременную определенность ко- ординат и импульсов, что, как мы знаем, исключено соотношением не- определенностей (66.2). Для колебательного квантового числа v имеется правило отбора: Дп=±1. (81.4) Поэтому энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями й(о„. Этот резуль- тат, получающийся естественным образом в квантовой механике, совпадает с тем весьма чужеродным для клас- сической физики предположением, которое пришлось сделать Планку, чтобы вычислить испускательную спо- собность абсолютно черного тела (см. § 53). Отличие заключается лишь в том, что согласно Планку колеба- тельная энергия пропорциональна и имеет мини- мальное значение, равное нулю; квантовая механика же приводит к результату, что наименьшее возможное зна- чение энергии гармонического колебания равно не нулю, a Ev0 = Это значение называется нулевой энергией. Существование нулевой энергии подтвер- ждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому ко- нечному значению, указывающему на то, что и при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются. 393
Кривая потенциальной энергии молекулы (см. рис. 226) совпадает с параболой только при малых ко- лебаниях. Ангармоничность (отклонения от гармонично- сти), наступающая при увеличении интенсивности коле- баний, приводит к тому, что с увеличением квантового числа v уровни сгущаются, имея своим пределом энер- гию Ео диссоциированной моле- кулы (рис. 228). Теперь обратимся к вопросу о вращательной энергии молеку- лы. Энергия системы, имеющей момент инерции / и вращающей- ся с угловой скоростью о)г, равна, как известно из механики, _ (Ч-)2 _ Л12 2 21 2/ ’ где Л1 = /о)г— момент импульса системы. Согласно квантовой ме- ханике момент импульса может принимать лишь ди- скретные значения: м = ь У/(7+ 1) (У— квантовое число момента импульса). Следователь- но, вращательная энергия молекулы может иметь только квантованные значения: fi2Z(J+l) Ег =-----21----- (81.5) где У — момент инерции молекулы относительно оси, про- ходящей через ее центр инерции, J — вращательное квантовое число, принимающее значения: 0, 1, 2 и т. д. Итак, в соответствии с (81.3) и (81.5) полная энер- гия молекулы равна: Е = Ее + (о -Ьyj йь)оч----gy---. (81.6) Опыт и теория показывают, что расстояние между вращательными уровнями ДЕГ значительно меньше рас- стояния между колебательными уровнями ДЕГ, которое в свою очередь значительно меньше, чем расстояние ме- жду электронными уровнями ДЕе. Таким образом, схема 394
энергетических уровней молекулы выглядит так, как по- казано на рис. 229 (приведены только два электронных уровня). Совокупность уровней содержится в правом Рис. 229. столбце. Первые два столбца лишь поясняют возникно- вение уровней. § 82. Молекулярные спектры Молекулярные спектры сильно отличаются от атом- ных. В то время как атомные спектры состоят из отдель- ных линий, молекулярные спектры при наблюдении в прибор средней разрешающей силы представляются со- стоящими из полос, резких с одного края и размытых с другого (см. рис. 230, на котором дан участок спектра, получающегося при тлеющем разряде в воздухе). Такие полосы встречаются в близкой инфракрасной, видимой и ультрафиолетовой частях спектра1). ') В далекой инфракрасной области спектры молекул носят не- сколько другой характер. Об этом будет подробнее речь впереди. 395
В соответствии с их характером спектры молекул носят название полосатых спектров. Резкий край полосы, называемый кантом, может располагаться как с длинноволновой, так и с коротковолновой стороны Рис. 230. полосы. При применении приборов высокой разрешаю- щей силы обнаруживается, что полосы состоят из боль- шого числа тесно расположенных линий (см. рис. 231, на котором видна тонкая структура одной из полос спе- ктра молекул азота). Полосы располагаются с определенной правильно- стью, образуя серии полос (употребляются также названия: системы полос и группы полос). В спектре имеется ряд серий. Нередко отдельные полосы или даже Рис. 231. серии полос перекрывают друг друга, что очень затруд- няет расшифровку спектра. Таким образом, спектры молекул значительно более сложны, чем спектры атомов, что, конечно, находится в связи с соответственно более сложной структурой мо- лекул. Квантовая механика дает объяснение характера молекулярных спектров. Теоретическая трактовка спек- тров многоатомных молекул весьма сложна. Мы ограни- чимся рассмотрением только двухатомных молекул. 396
В предыдущем параграфе было показано, что энергия молекулы слагается из электронной, колебательной и вращательной энергий [см. формулу (81.6)]. В основном состоянии молекулы все три вида энергии имеют ми- нимальное значение. При сообщении молекуле достаточ- ного количества энергии она переходит в возбужденное состояние и затем, совершая разрешенный правилами отбора переход в одно из более низких энергетических состояний, излучает фотон: fio = ДЕе + ДЕ0 + ДЕГ = Ее — Ее + (г/ + у) fiOo — (необходимо иметь в виду, что как так и / отличают- ся для различных электронных конфигураций моле- кулы) . Как уже отмечалось, \Ее > ДЕ0 » КЕГ. Поэтому при слабых возбуждениях изменяется только Ег, при более сильных — Е-и лишь'при еще более силь- ных возбуждениях изменяется электронная конфигура- ция молекулй, т. е. Ее. Вращательные (ротационные) полосы. Наименьший фотон соответствует переходам молекулы из одного вра- щательного состояния в другое (электронная конфигу- рация и энергия колебания при этом не изменяются): _ А р _ (/' +1) ИЧ" (J" + 1) fi® —ДЕГ =---------------. Возможные изменения квантового числа I ограни- чены правилом отбора: Д/=±1. (82.1) Поэтому частоты линий, испускаемых при переходах между вращательными уровнями, могут иметь значения: й=^ = В[(/+1)(/ + 2)-/(/+1)] = = 2В(7 + 1) = Ш1 (/+ 1), где / — квантовое число уровня, на который совершает- ся переход (оно может иметь значения: 0, 1, 2, ...), а в=4- <82-2> 397
Схема возникновения вращательной полосы показана на рис. 232. Вращательный спектр состоит из ряда рав- ноотстоящих линий, расположенных в очень далекой инфракрасной области. Измерив расстояние между ли- ниями Дм = W1, можно определить константу (82.2) и найти момент инерции молекулы. Затем, зная массы ядер, можно вы- числить равновесное расстояние между ними Ro в двухатомной мо- лекуле. Частота аи бывает порядка 1013 сек~‘ (X ~ 100 мк), так что для моментов инерции молекул получаются значения порядка 10~40 г'См2. Например, для моле- кулы НС1 / = 2,71 • IO40 г-см2, что соответствует Ro = 1,29 А. Колебательно-вращательные по- лосы. Рассмотрим переходы между двумя колебательными уровнями, принадлежащими к одной и той же электронной конфигурации. Каж- дый из этих уровней распадается на ряд вращательных уровней, характеризуемых кванто- выми числами J' и J" (рис. 233). В этом случае йсо = Д£о + &Er = fi®0 + y) ~ (v" + 4) + . й2/'(/'+1) й2/" (/" 4-1) +-----21-----------2Г ’ Для v действует правило отбора (81.4), для / — пра- вило (82.1). Учитывая, что v’ > v", получим: а) в случае, если Г > J", = <о0 + В [(/ + 1)(/ + 2) — J (J 4- 1)] — (о0 4-.2В (J 4-1) = = ©„4-25* (* = 1,2,3,...), где I— вращательное квантовое число нижнего уровня, которое может принимать значения: 0, 1, 2, ...; В — та же величина, что и (82.2); б) в случае, если J' < J", о = (о0 4- В [(/ — !)/ — /(/ + 1)] = <»р — 2BJ = Юр — 2Bk (*= 1, 2, 3, ...), J М+1) з 1г г е 1 г о о UJj 3(11 р 3ti)f Рис. 232. 398
где J — вращательное квантовое число нижнего уровня, которое может принимать значения: 1, 2, ... (в этом случае J" = J не может иметь значения 0, так как тог- да J' равнялось бы —1). Оба случая можно охватить одной формулой: о —- со0 ± 2Bk — со0 ± (k = 1, 2, 3, ...). Совокупность вращательных линий, принадлежащих к одному и тому же колебательному переходу, назы- вается колебательно-вращательной поло- сой. Колебательная часть частоты юо- опре- деляет спектральную область, в которой распо- лагается полоса; враща- тельная часть ± coi/г опре- деляет тонкую структуру полосы, т. е. расщепление отдельных линий. Об- ласть, в которой распола- гаются колебательно-вра- щательные полосы, про- стирается примерно от 8000 А до 50 000 А (0,8— 5 мк). Как видно из рис. 23, колебательно-вращатель- 3 V’——1 hti) 1 О Рнс. 233. 3 2 1 О J'(J’+1) 12 Б 2 О J"(J"+1) 12 6 2 О ная полоса состоит из совокупности симметричных относительно линий, от- стоящих друг от друга на До = юь Только в середине полосы расстояние в два раза больше, так как линия с частотой он- не возникает. Расстояние между компонентами колебательно-вра-. щательной полосы связано с моментом инерции моле- кулы таким же соотношением, как и в случае враща- тельной полосы, так что, измерив юь можно найти / мо- лекулы. Заметим, что по классическим представлениям вра- щение или колебание двухатомной молекулы может приводить к излучению электромагнитных волн только в том случае, если молекула обладает отличным от нуля дипольным моментом. Это условие выполняется лишь для молекул, образованных двумя различными атомами 399
(для несимметричных молекул). При колебаниях такой молекулы дипольный момент изменяется с такой частотой, что приводит к излучению электромагнитной волны [см. т. II, формулу (114.3)]. Вращение можно представить как наложение двух взаимно перпендику- лярных колебаний, поэтому вращение молекулы с от- личным от нуля дипольным моментом также должно сопровождаться излучением электромагнитных волн. У симметричной молекулы, образованной одинако- выми атомами, дипольный момент .равен нулю. Следо- вательно, согласно классической электродинамике коле- бание и вращение такой молекулы не может обусловить излучение. Квантовая теория приводит к аналогичным результатам — колебательные и вращательные переходы симметричных молекул оказываются запрещенными со- ответствующими правилами отбора. В полном соответствии с выводами теории враща- тельные и колебательно-вращательные спектры наблю- даются на опыте только для несимметричных двухатом- ных молекул. На спектры комбинационного рассеяния упомянутые правила отбора не распространяются, в связи с чем для симметричных молекул наблюдаются спутники, отвечающие колебательным и вращательным частотам молекулы (см. следующий параграф). Элек- тронно-колебательные спектры, о которых идет речь ниже, также наблюдаются как для несимметричных, так и для симметричных молекул. Электронно-колебательные полосы. Если переход за- трагивает электронную конфигурацию молекулы, частота излучаемого фотона будет определяться изменением всех трех видов энергии: .. _ ЕЕе + ЕЕГ ___ , ЬЕГ zqq q. ® -------fi---“а + ~Ц~ • I82-3) Совокупность линий, частоты которых соответствуют различным возможным значениям ДЁГ, образует полосу электронно-колебательного спектра моле- кулы. Частота определяет положение полосы. Элек- тронно-колебательные полосы лежат в видимой и ульт- рафиолетовой частях спектра. Каждая электронно-колебательная полоса обладает сложной вращательной структурой. Перепишем формулу 400
(82.3) с учетом выражения (81.5) для Ег: <0 = I' (/' + 1) - -^7 J" {}" + 1). Поскольку переход совершается между различными электронными уровнями, момент инерции Г не будет ра- вен моменту /", как это было в случаях вращательного и колебательно-вращательного спектров. Введя обозначе- ние (82.2), можно написать: со = соо + В'Г (J' -1-1) - B"J" (Г" + 1). (82.4) Из-за различия электронных конфигураций началь- ного и конечного состояний ограничения, накладывае- мые на изменения квантового числа J, несколько смяг- чаются. В дополнение к переходам, разрешаемым пра- вилом отбора (82.1), оказываются также разрешенными переходы, для которых Д/ = 0, кроме случая J' — J" — 0. Таким образом для электронно-колебательных перехо- дов имеет место правило отбора: Д/ = 0, ±1 (кроме перехода J = 0 J — 0). (82.5) Напишем частоты для каждого из трех случаев, предусмотренных правилом (82.5). Совокупность линий, соответствующих каждому из этих случаев, называют ветвями спектра. Ветви принято обозначать буквами 1. Положительную ветвь, или Р-ветвь, образуют ли- нии, для которых Д/ = J" — Z' = -|-l, т. е. J' = J"—1. Обозначим ./" = k, тогда J' = k—1. Подставим эти зна- чения в формулу (82.4): со = соо + В'(/г-\)k-B"k{k + 1) (6=1, 2, 3, ...). Последнее выражение может быть записано следую- щим образом: со = соо + (В' - В") k2 - (В' + В") k (й=1, 2, 3, ...). (82.6) Частоты, определяемые формулой (82.6), можно за- дать графически как ординаты точек параболы: у = cod + (В' - В")х2 - (В' + В") х, 401
соответствующие целочисленным значениям аргумента х (рис. 234). При В' — В">0, т. е. при /'</", парабола обращена, как на рис. 234, вершиной вниз. При В' — В" <0 (/'>/") парабола будет обращена верши- ной вверх. Оси k и и обычно располагают так, как показано на рис. 235. Тогда при В' — — В"> 0 парабола будет об- ращена вершиной влево. 2. Нулевая ветвь, или Q-ветвь, соответствует перехо- дам, при которых Д/ = 0. Обо- значив Г = I” — k =f= 0, полу- чим на основании (82.4): (o = fi>o + (B'-B")fe(Z?+ 1) или ш = <оо + (В' - В") k2 + (B'~ В") k (/г= I, 2, 3, ...). Частоты этой ветви могут быть представлены орди- натами параболы Q, изображенной на рис. 235. Рис. 235. 3. Отрицательная ветвь, или /?-ветвь, образуется пе- реходами, при которых Д/ = J"— J' = —1. Обозначив ]' = k, получим со = Oq + B'k (k + I) — В" {k — 1) k, что легко приводится к виду: v = aa + (B'-B")k2 + {B' + B")k (Z? = l, 2, 3, ...). 402
Этой ветви соответствует парабола 7? на рис. 235. Линии всех трех ветвей, образующих электронно-ко- лебательную полосу, оказываются, как это следует из рис. 235, сгущенными с той стороны, в которую обра- щены вершины парабол. Это сгущение и образует кант полосы. Полоса, изображенная на рис. 235, имеет кант со стороны больших длин волн (меньших частот). При В' — В" < 0 все три параболы были бы обращены вер- шинами вправо и полоса имела бы кант со стороны меньших длин волн (больших частот). Резюмируя, можно сказать, что квантовая механика объясняет все особенности спектров двухатомных мо- лекул. § 83. Комбинационное рассеяние света Явление, получившее название комбинацион- ного рассеяния света, было открыто в 1928 г. Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом и одновре- менно индийскими физиками Раманом и Кришнаном1)- Явление заключается в том, что в спектре рассеяния, возникающем при прохождении света через газы, жид- кости или прозрачные кристаллические тела, помимо несмещенной л^нии содержатся новые линии, частоты которых и представляют собой комбинацию частоты падающего света «о и частот <ог колебательных или вращательных переходов рассеивающих молекул: q = coo±q;. (83.1) Отсюда и проистекает название «комбинационное рас- сеяние света». На рис. 236 приведен спектр комбинационного рас- сеяния кислорода, возбуждаемый линией Hg 2536,5 А. На линию комбинационного рассеяния, расположенную справа от линии источника, наложилась линия Hg 2534,8А (менее интенсивная, чем Hg 2536,5А), вследствие чего интенсивность этой линии получилась больше, чем других. Как видно из рисунка, спектр ком- бинационного рассеяния состоит из несмещенной ли- нии ©о, симметрично относительно которой располагается ’) В зарубежной литературе это явление называют обычно эф- фектом Рамана. 403
ряд спутников. Каждому «красному» спутнику (т. е. спутнику, смещенному в сторону больших длин волн) с частотой <оо — <ог- соответствует «фиолетовый» спутник с частотой ио + a»;1)- При обычных температурах интен- сивность фиолетовых спутников значительно меньше, чем красных. С повышением температуры интенсивность фиолетовых спутников быстро растет. Явление комбинационного рассеяния имеет простое квантово-механическое объяснение. Процесс рассеяния Рис. 236. света молекулами можно рассматривать как неупругое соударение фотонов с молекулами. При соударении фо- тон может отдать молекуле или получить от нее только такие количества энергии, которые равны разностям двух ее энергетических уровней. Если при столкновении с фотоном молекула переходит из состояния с энер- ') Красные спутники называют также стоксовскими, а фиолето- вые — антистоксовскими. Эта терминология имеет следующее про- исхождение. Согласно закону, установленному Стоксом и носящему его имя, частота излучения флуоресценции (т. е. излучения, высве- чиваемого веществом в результате падающего на него извне излу- чения) не может превзойти (а обычно бывает меньше) частоты света, вызвавшего флуоресценцию. Этот закон выполняется не впол- не строго. Стоксовскими линиями флуоресценции называют линии, имеющие частот’ы, меньшие частоты ыв падающего света, т. е. удо- влетворяющие закону Стокса. Антистоксовскими линиями флуорес- ценции называют линии, частоты которых больше (й0- Эта термино- логия применяется и для характеристики линий комбинационного рассеяния. 404
гией Е" в состояние с энергией Е' (Е' > Е"), то энергия фотона после рассеяния станет равной — А.Е, где АЕ — Е' — Е". Соответственно частота фотона умень- шится на си = AE/fi— возникает красный спутник. Если первоначально молекула находилась в состоянии с энер- гией Е', она может перейти в результате соударения с фотоном в состояние с энергией Е", отдав избыток энергии АЕ = Е' — Е" фотону. В результате энергия фо- тона станет равной йсоо + АЕ и частота увеличится на юь Рассеяние фотона йсоо может сопровождаться перехо- дами молекулы между различными вращательными или колебательными уровнями Е'; Е", Е'" и т. д. В итоге возникает ряд симметрично расположенных спутников. При обычных температурах число молекул, находя- щихся в возбужденных состояниях, значительно меньше числа молекул в основном состоянии. Поэтому столкно- вения, сопровождающиеся уменьшением энергии моле- кулы, происходят гораздо реже, чем переходы, сопро- вождающиеся увеличением энергии. Этим объясняется малая интенсивность фиолетовых спутников по сравне- нию с красными. При повышении температуры число возбужденных молекул быстро растет, что приводит к увеличению интенсивности фиолетовых спутников. Исследование комбинационного рассеяния дает мно- го сведений о строении молекул. С помощью этого ме- тода легко и быстро определяются собственные частоты колебаний молекулы; он позволяет также судить о ха- рактере симметрии молекулы. В кристаллах комбина- ционное рассеяние света обычно связывают с так назы- ваемой оптической ветвью колебаний кристаллической решетки (см. следующий параграф). Спектры комбина- ционного рассеяния настолько характерны для молекул, что с их помощью осуществляют анализ сложных моле- кулярных смесей, особенно органических молекул, ана- лиз которых химическими методами весьма затруднен или даже невозможен. § 84. Теплоемкость кристаллов Согласно классическим представлениям кристалл яв- ляется системой с ЗА/ колебательными степенями сво- боды (М — число атомов в кристалле), на каждую из ко- торых приходится в среднем энергия kT (!/2 kT в виде кинетической и ’/2 ЬТ в виде потенциальной энергии). 405
Из этих представлений вытекает закон Дюлонга и Пти, согласно которому атомная теплоемкость всех химиче- ски простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и равна 37? (см. т. I, § 141). Этот закон выполняется до- статочно хорошо только при сравнительно -высоких тем- пературах. При низких температурах теплоемкость кри- сталлов убывает, стремясь к нулю при приближении кО°К- В § 81 мы установили, что колебательная энергия квантуется, принимая дискретные значения (81.3). Тео- рия теплоемкости кристаллических тел, учитывающая квантование колебательной энергии, была создана Эйн- штейном (1907) и впоследствии усовершенствована Де- баем (19L2). Теория Эйнштейна. Эйнштейн отождествил кристал- лическую решетку из N атомов с системой ЗА' независи- мых гармонических осцилляторов с одинаковой соб- ственной частотой и. Согласно (81.3) энергия осцил- лятора может иметь значения '): е„ = (н +у)йо> (n = 0, I, 2, ...), (84.1) где п — колебательное квантовое число (в §§ 81 и 82 мы его обозначали буквой v). Приняв, что распределение осцилляторов по состоя- ниям с различной еп подчиняется закону Больцмана, можно найти среднее значение энергии осциллятора ё. Вычисления, которые при этом придется проделать, бу- дут отличаться от вычислений, выполненных в § 53, только тем, что вместо величины (53.3) во всех выраже- ниях будет фигурировать величина (84.1). В результате для средней энергии осциллятора получится значение: (84-2> [ср. с формулой (53.8)]. Умножив ё на ЗА/, получим выражение для внутрен- ней энергии кристалла: U = ЗАГё = | ОТсо + . (84.3) ’) Эйнштейн использовал планковское значение en = nha. Суще- ствование нулевой энергии колебаний было установлено лишь после создания квантовой механики. 406
Как известно из термодинамики [см. т. I, формулу (102.6)], теплоемкость при постоянном объеме С„ (в слу- чае кристалла можно говорить просто о теплоемко- сти С) равна частной производной внутренней энергии по температуре. Продифференцировав (84.3) no Т, по- лучим: С = — = . г-Ую ., efia‘kT . (84.4) дТ ^ehalkT_ly kT2 Рассмотрим два предельных случая. 1. Высокие температуры (ЛГ^йо). В этом случае можно положить ektalkT ~ I + в знаменателе и ей<о/йт 1—в числителе формулы (84.4). В результате получим: С = 3Nk. Таким образом, мы пришли к закону Дюлонга и Пти. 2. Низкие температуры (/гТ^йю). При этом усло- вии единицей в знаменателе выражения (84.4) можно пренебречь. Тогда формула для теплоемкости прини- мает вид: с= зл^соР е_Ло/ет_ (845) Экспоненциальный множитель изменяется значитель- но быстрее, чем 7'2. Поэтому при приближении к абсо- лютному нулю выражение (84.5) будет стремиться к нулю по экспоненциальному закону. Опыт показывает, что теплоемкость кристаллов изменяется вблизи абсо- лютного нуля не экспоненциально, а по закону Г3. Сле- довательно, теория Эйнштейна дает лишь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах. Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Дебаю. Теория Дебая. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещения других соседних с ним ато- мов. Таким образом, кристалл представляет собой си- стему N упруго связанных друг с другом материальных точек, обладающую s = 3N степенями свободы. Рассмот- рим без вывода результаты решения задачи о малых колебаниях такой системы. Положение системы с s степенями свободы опреде- ляется s независимыми координатами х,, которые могут 407
быть выбраны различными способами. Можно показать, что такая система имеет s собственных частот «j. При произвольном выборе координат х,- общее решение урав- нений движения имеет вид: хг = Ац cos (®Х + att) («= 1, 2, ..., s). Следовательно, каждая из функций xj представляет со- бой суперпозицию s гармонических колебаний с часто- тами <0j. Энергия системы определяется выражением: Е — ~2 "Ь ~2 i, fe«=l I, т=1 где первая сумма дает кинетическую, а вторая — потен- циальную энергию системы; а»* и Ь[т— размерные коэф- фициенты. Как мы видим, в выражение для энергии вхо- дят, вообще говоря, не только квадраты координат х, (или их производных по времени х»), но и произведения координат (или производных), соответствующих различ- ным степеням свободы системы. Оказывается, можно выбрать координаты системы таким образом, что изменение каждой из них будет представлять собой простое гармоническое колебание, совершающееся с одной из собственных частот toj. Обо- значив эти координаты £3-, можно написать: g^B/Cos^Z + py) (/= 1, 2, .... s). Величины gj называют нормальными (или г л а в- н ы м и) ко о р д и н а т а м и, а совершаемые ими гар- монические колебания — нормальными колеба- ниями системы. Изменения во времени произвольно выбранных координат хг- могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний ^ = 2^/5/ (i= 1, 2, .... s). Энергия системы, выраженная через нормальные ко- ординаты, имеет вид: Е = ~2 S а$ + ~2 S Ь$ = S (т аЛ? ^"2 ’ /-1 /=1 /=1 408
откуда следует, что энергия системы равна сумме энер- гий, приходящихся на каждое из нормальных колебаний в отдельности. Поясним сказанное следующим примером. Пусть имеется система из двух одинаковых связанных невесо- мой пружиной математических маятников (рис. 237). Предположим, что маятники могут совершать колебания / // / \ только в плоскости чертежа, Дллллу АллллА так что система имеет две сте- / / / \ пени свободы. Положение си- / J / \ стемы может быть задало /??••• • углами отклонения обоих ма- у ятников от вертикального по- ложения, либо углом отклоне- Рис. 237. ния одного из маятников и длиной пружины и т. д. Решение уравнений движения дает для углов отклонения маятников от положения равновесия xt и х2 выражения: X] = Д cos (©j/ + cq) + Д2 cos (®2^ + “2)» x2 = Aj cos (Q]/ + cq) — A2 cos (®2t + a2), где Ai, A2, ai и a2 — постоянные, определяемые из на- чальных условий, ft>i и tt>2 — собственные частоты систе- мы, равные: __ (т— масса, / — длина маятников, k — коэффициент жесткости пружины, b — расстояние от точки подвеса до точки крепления пружины). Очевидно, что колебания xt и х2 можно представить в виде: где *l = £l+?2> х2~ £1~ ?2> £1 = *’* *-2- = At cos (ft),/ + aj, g2 = = A2 cos (<t>2/ + 02). (84.6) Функции (84.6) и представляют собой нормальные ко- лебания данной системы. Если маятники отвести в одну и ту же сторону на одинаковый угол Xj0 = х2о и отпу- стить без толчка, то в системе будет совершаться только 409
первое нормальное колебание (Ai=A0, А2 = 0), причем Xi = *2 = £1 (рис. 237,а). Если отвести маятники на оди- наковый по величине угол в противоположные стороны (%ю = —х2о), то в системе будет совершаться только вто- рое нормальное колебание (А = О, Л2¥=0), причем Xi = —х2 = |2 (рис. 237, б). В первом случае маятники колеблются с частотой <0i, во втором — с частотой юг, большей чем ©ь При иных начальных условиях будут одновременно совершать- 7 .? ся оба нормальных коле- бания. ту ------------------В качестве второго примера рассмотрим си- стему из трех Юдинако- ; вых шариков, соединен- г ных невесомыми одинако- б) ----------выми пружинами (рис. 238). Концы пружин А 3 и В закреплены непо- 7 з движно. Предполагается, что шарики могут пере- в) А —-^В мешаться только в пло- 1F1 скости чертежа в направ- 2 лениях, перпендикуляр- Рис. 238. ных к линии АВ. В этом случае система обладает тремя степенями свободы. Нормальные колебания пока- заны на рис. 238 (ср. с т. I, рис. 206). В случае а все шарики движутся в одинаковой фазе; в случае б ша- рики 1 и 3 колеблются в противофазе, шарик 2 непо- движен; в случае в шарики 1 и 3 колеблются в оди- наковой фазе, а шарик 2 по отношению- к ним движется в противофазе. В случае сплошной закрепленной на концах струны каждое нормальное колебание представляет собой стоя- чую волну, длина которой связана с длиной струны I соотношением: I = /Д/2 [см. т. I, формулу (85.1)]. Аналогично, каждому нормальному колебанию кристал- лической решетки соответствует стоячая волна, устанав- ливающаяся в объеме кристаллического тела. Действи- тельно, из-за связи между атомами колебание, возник- шее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая 410
волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна. Стоячие волны могут возникать лишь для частот (или длин волн), удовлетворяющих опреде- ленным условиям. Если взять кристаллическое тело в виде параллелепипеда со сторонами а, b и с, то эти усло- вия, как было выяснено в § 52, имеют вид (52.5). Со- гласно формуле (52.7) приходящееся на единицу объема число стоячих волн, т. е. нормальных колебаний кристал- лической решетки, частоты которых заключены в интер- вале от о до w + dw, равно a2 dm 2л2»3 ’ (84.7) где v — фазовая скорость упругой волны [в формулу (52.7) вместо v входила скорость света в пустоте с]. В твердой среде вдоль некоторого направления мо- гут распространяться три разные волны, с одним и тем же значением ю,’отличающиеся направлением поляриза- ции: одна продольная и две поперечные с взаимно пер- пендикулярными направлениями колебаний1)- Это об- стоятельство можно учесть, придав формуле (84.7) сле- дующий вид: ... m2dm 2 где Оц — фазовая скорость продольных, а — попереч- ных упругих ВОЛН. ПОЛОЖИМ ДЛЯ ПРОСТОТЫ, ЧТО Оц = = v± = v. Тогда ,., 3<в2 do dN^~2^ (84.8) Дебай предположил, что число нормальных колеба- ний равно числу степеней свободы кристаллической ре- шетки, т. е. З/i (п — число атомов в единице объема кри- сталла). Частоты этих колебаний заключены в пределах ’) В случае электромагнитных волн возможны только две попе- речные волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных на- правлениях (см. § 52). 411
от нуля до <йт, где ю™ — максимальная частота колеба- ний решетки. Максимальную частоту можно найти, про- интегрировав (84.8) в пределах от нуля до ют и прирав- няв получившееся выражение числу степеней свободы, т. е. Зп. В результате получим: Зм = За2 dw 2л2г>3 2n2v3 ’ откуда (£>т = V ]^6л2П . (84.9) Отметим, что в соответствии с (84.9) наименьшая длина волны, возбуждаемая в кристалле, получается равной: Vn где d — расстояние между соседними атомами в решетке. Это обстоятельство может служить дополнительным оправданием для введенного Дебаем ограничения числа частот колебаний кристалла, так как волны, длина ко- торых меньше межатомного расстояния, не имеют физи- ческого смысла. Заменив в (84.8) v через сот согласно (84.9), получим для числа нормальных колебаний dN^ в интервале ча- стот di», приходящегося на единицу объема кристалла, следующее выражение: (84.10) Если среднее значение энергии нормального колеба- ния решетки частоты <о обозначить ё (со), то внутренняя энергия единицы объема кристалла может быть пред- ставлена в виде: U = |е (со) dNa = J в (со) 9п 412
и== Подставив сюда выражение (84.2) для средней энер- гии колебания частоты ы, получим: Г » , ЙШ — П(й ----------- 2 eh(i>lkT _ j to2 dto — ^o+^J /п о СО** {Jo . i t \ eWfer _i. (84-n) где Uo = Зп. (3/efi®m) —нулевая, энергия кристалла. Продифференцировав выражение (84.11) по Г, най- дем теплоемкость единицы объема кристалла: т r_ dU _9пЪ С e*“'ft7W d& дТ «4 J (e^-OW Величину 0, определяемую условием: fi&>m = kG, на- зывают характеристической температурой Дебая. По определению: 0 = -^. (84.12) Введем переменную х = ha/kT. Тогда выражение для теплоемкости примет вид: С = 9и&(4)3 J о exxt dx (ех- I)2 (84.13) где Хт = bvim/kT = О/Т. Характеристическая температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где начинает стано- виться существенным квантование энергии колебаний. При Г 0 верхний предел интеграла в выражении (84.13) будет очень большим, так что его можно прибли- женно положить равным бесконечности (хт~ оо). Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число и теплоемкость С окажется пропорциональной кубу тем- пературы: С с\эГ3. Эта приближенная зависимость из- вестна как-закон Т3 Дебая. При достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо. 413
При 7"^>0, т. е. при titom/kT < 1, выражение (84.11) можно упростить, положив ehalkT ~ 1 4- tia/kT. Тогда для внутренней энергии получается выражение: ™ о kT hw со3 da = Uо 4- 3nkT, а для теплоемкости значение С = 3nk, фигурирующее в законе Дюлонга и Пти. Насколько хорошо дебаевское выражение для тепло- емкости согласуется с опытом, можно судить по рис. 239, z? 7Z7Z7 zW Ж? /Ж Т,°К Рис. 239. на котором приведены данные для теплоемкости алюми- ния (6 = 396° К) и меди (0 = 309° К): — классическое значение теплоемкости, получающееся из квантовых формул при Т —»оо. Кривые построены по формуле (84.13), кружками показаны экспериментальные точки. 414
Однако формула Дебая хорошо передает ход тепло- емкости с температурой лишь для тел с простыми кри- сталлическими решетками, т. е. для химических эле- ментов и некоторых простых соединений (например, галоидных солей). К телам с более сложной структурой формула Дебая неприменима. Это вызвано тем, что у таких тел спектр колебаний оказывается чрезвычайно сложным. В рассмотренном нами выше случае простой кристаллической решетки’ (у которой в элементарной ячейке содержится только один атом) каждому значе- нию волнового вектора к соответствовали три значения собственной частоты колебаний решетки [одно для продольной и два совпадающих друг с дру- гом ’) значения для поперечных волн]. Если число атомов в эле- ментарной ячейке кристалла рав- но г, каждому значению к соот- ветствует в общем случае Зг раз- личных значений <в. Следователь- но, частота является многознач- ной функцией волнового вектора, обладающей Зг ветвями. Так, Рис. 240. например, в случае одномерной цепочки, построенной из чередующихся атомов двух сор- тов (г = 2), зависимость со от k имеет вид, показанный на рис. 240. Одна из ветвей называется акустиче- ской, вторая — оптической. Эти ветви отличаются дисперсией, т. е. характером зависимости со от k. Аку- стическая ветвь при убывании k идет в нуль, оптическая ветвь имеет своим пределом конечное значение сого- В трехмерном случае из Зг ветвей три являются аку- стическими, остальные (Зг — 3) оптическими. Акустиче- ским ветвям соответствуют звуковые частоты, оптиче- ским— частоты, лежащие в инфракрасной области спек- тра. При нормальном колебании с акустической частотой колеблются друг относительно друга аналогичные атомы, помещающиеся в различных элементарных ячейках. При нормальных колебаниях оптической частоты колеблются друг относительно друга различные атомы внутри *) В сильно анизотропном кристалле все три частоты будут раз- личными. 415
каждой из элементарных ячеек; аналогичные атомы раз- личных ячеек находятся при этом на неизменных рас- стояниях друг от друга. В заключение отметим, что, подобно тому как элек- тромагнитное излучение может быть представлено в виде совокупности квантов энергии — фотонов, колебания кристаллической решетки можно представить как со- вокупность квантов колебательной энергии, называемых фононами. Фонон представляет собой так назы- ваемую квазичастицу1), обладающую энер- гией fiw (со — собственная частота колебаний решетки) и квазиимпульсом р = fik (к — волновой вектор). Для частот акустических ветвей фононы представляют со- бой кванты звука, т. е. элементарные порции звуковой энергии. Количество возбуждаемых в решетке одновремен- но одинаковых фононов (т.. е. фононов одинаковой часто- ты со, и с одинаковым волновым вектором к,) опреде- ляется избытком энергии е<, приходящейся на колебания данной частоты, над нулевой энергией е.о, а именно: = Ei — его. В случае теплового равновесия е, рав- но 8;, определяемому формулой (84.2). Взяв из этой фор- мулы ё{ — ei0 = ё{ — '/2 бон, получим для среднего числа фононов частоты со, значение: _ I tll haJk.T , • е 11 — 1 Из последнего выражения следует, что в данном кри- сталле может одновременно возбуждаться неограничен- ное количество одинаковых фононов. Следовательно, на фононы принцип Паули не распространяется. Согласно квантовым представлениям комбинацион- ное рассеяние света кристаллами выглядит следующим образом. Фотон, пролетающий через кристаллическую решетку, может возбудить в ней фонон одной из частот оптической ветви кристалла. На это фотон израсходует часть своей энергии, вследствие чего его частота умень- ') Основное отличие квазичастиц от обычных частиц (электро- нов, протонов, фотонов и т. д.) заключается в том, что квазичастицы не могут появляться в вакууме — для своего возникновения и суще- ствования они нуждаются в некоторой среде. 416
шается— возникает красный спутник. Если в кристалле уже был возбужден фонон, пролетающий фотон может поглотить его, увеличив за этот счет свою энергию, — возникает фиолетовый спутник. § 85. Эффект Мёссбауэра В 1904 г. Р. Вуд обнаружил, что пары натрия при облучении их светом, соответствующим желтой линии натрия, начинают светиться, испуская излучени^ той же длины волны. Впоследствии аналогичное свечение на- блюдалось в парах ртути и во многих других случаях. Это явление названо резонансной флуоресцен- цией (или резонансным излучением). Оно . имеет следующее объяснение. Атомы особенно интен- сивно поглощают свет частоты, соответствующей пере- ходу из основного в ближайшее к нему возбужденное состояние. Возвращаясь затем в основное состояние, ато- мы испускают фотоны той же самой частоты. Вследствие поглощения свет, прошедший через флуоресцирующее вещество, ослабляется В связи с этим часто говорят вместо резонансной флуоресценции о резонансном поглощении света. Ядра атомов, как и сами атомы, имеют дискретные уровни энергии, самый низкий из которых называется нормальным, остальные — возбужденными. Переходы между этими уровнями приводят к возникновению .ко- ротковолнового электромагнитного излучения, получив- шего название у-лучей (см.~§ 90). Очевидно, можно было ожидать, что для у-лучей существует явление ядерной резонансной флуоресценции, аналогичной атомной резо- нансной флуоресценции, наблюдаемой в видимом свете. Однако наблюдать резонансную флуоресценцию с у-лу- чами долгое время не удавалось. Причина этих неудач заключается в следующем. В § 79 было показано, что соответствующие некоторому переходу квантовой систе- мы между двумя состояниями линия испускания и линия поглощения смещены друг относительно друга на 2Асоя = 2/?/й, где R— энергия отдачи, определяемая формулой (79.7). Для видимого света сдвиг 2Асоя на много порядков меньше, чем ширина спектральной ли- нии би, так что линии испускания и поглощения прак- тически налагаются друг на друга. Иначе обстоит дело 14 И. В. Савельев, т. Ill 417
в случае у-лучей. Энергия и импульс у-фотона во много раз больше, чем у фотона видимого света. Поэтому зна- чительно больше и энергия отдачи R, которая в этом случае должна быть записана следующим образом: R = (85.1) 2/пяс2 ’ ' ' где тн — масса ядра. В спектроскопии у-лучей принято вместо частот поль- зоваться энергиями. Поэтому ширину спектральной-ли- нии, сдвиг линий и т. п. мы будем выражать в единицах энергии, умножая для этой цели соответствующие ча- стоты (например, бы или 2Дад) на постоянную План- ка Я. В этих единицах естественная ширина спектраль- ной линии будет характеризоваться величиной Г [см. формулу (79.2)], сдвиг линий испускания и поглоще- ния — величиной 2/?, а допплеровское уширение ли- нии — величиной 2О = 2|ДЕ„т«2^-й(й (85.2) [см. (79.10)]. При радиоактивном распаде ядер обычно наблю- даются у-кванты с энергиями от ~ 10 кэв до ~ 5 Мэв (что соответствует частотам со в пределах 1019 -4- 1022 сек-1 и длинам волн от ~ 1 А до ~ 10~3 А). Вычислим энер- гию отдачи R для случая й<в = 100 кэв и тя = 1,7-10-22 г (атомный вес равен 100). Величина тяс2 составит 1,7-10 22-9-1020 = 0,153 эрг, т. е. 0,153/1,6-10~12 ~ 10“ эв. Следовательно, согласно (85.1) Я = = °>5 • 10-1 эв> а сдвиг линий 2R составляет 10-1 эв. Типичное время жизни возбужденных состояний ядер составляет 10~12 сек. Такому времени жизни соответ- ствует [см. формулу (79.1)] естественная ширина спек- тральных линий, равная р й 1,05 • 10-27 . Ае tA-i5 1а-з 1 = — = —-----—= 1,05 • 10 эрг ~ Ю эв. х 10~12 Для ядер с массой ~ 10 22 г средняя скорость тепло- вого движения равна при комнатной температуре при- 418
мерно 300 м)сек. По формуле (85.2) для допплеровской ширины линий с йсо = 100 кэв получается значение: 2D = 2 105 = 2 • 10-1 эв. Из сопоставления полученных нами значений Г и 2D вытекает, что ширина испускаемых ядрами при комнат- ной температуре спектральных линий в основном опре- деляется допплеровской шириной и составляет примерно 0,2 эв. Для сдвига линий испускания и поглощения 2R мы получили выше значение ~ 0,1 эв. Таким образом, даже для сравнительно мягких у-лучей с энергией 100 кэв сдвиг линий испуска- ния и поглощения ока- зывается того же по- рядка, что и ширина спектральной линии. С увеличением энергии фотона R растет быст- рее [как со2; см. фор- мулу (85.1)], чем D [которая пропорцио- нальна со; см. формулу (85.2)]. На рис. 241 изображена типичная для у-фотонов картина, показывающая взаимное расположение линий испускания и поглощения. Ясно, что лишь небольшая часть испускаемых фотонов (их относительное количе- ство определяется соответствующими ординатами линии испускания) может испытать резонансное поглощение, причем вероятность их поглощения мала (эта вероят- ность определяется ординатами линии поглощения). Чтобы наблюдать резонансное поглощение у-лу- чей, ставились опыты, в которых источник у-излучения двигался со скоростью v по направлению к поглощаю- щему веществу. Это достигалось путем помещения ра- диоактивного вещества на ободе вращающегося диска (рис. 242). Диск находился внутри массивной свинцовой защиты, поглощающей у-лучи. Пучок излучения выходил наружу через узкий канал и попадал на поглощающее ве- щество. Установленный за поглотителем счетчик у-кван- тов регистрировал интенсивность излучения, прошедшего через поглотитель. Вследствие эффекта Допплера ча- стота излучаемых источником у-лучей увеличивалась на 14* 419
Ao = av/c, где v — скорость источника относительно по- глотителя. Подобрав надлежащим образом скорость вращения диска, можно было наблюдать резонансное поглощение, которое обнаруживалось по уменьшению интенсивности у-лучей, измеряемой счетчиком. В 1958 г. Р. Л. Мёссбауэр исследовал ядерное резо- нансное поглощение у-лучей 1г191 (изотопа иридия с мас- совым числом 191; см. § 87). Энергия ДЕпт соответ- ствующего перехода равна 129 кэв, энергия отдачи 0,05 эв, а допплеровское уширение при комнатной температуре ~0,1 эв. Таким образом, линии испускания и поглощения отчасти пере- крываются и резонансное поглощение могло наблю- даться. Чтобы уменьшить поглощение, Мёссбауэр ре- шил охладить источник и поглотитель, рассчитывая таким путем уменьшить доп- плеровскую ширину и, следовательно, перекрывание ли- ний. Однако вместо ожидаемого уменьшения Мёссбауэр обнаружил усиление резонансного поглощения. Исполь- зовав установку, изображенную на рис. 242 (с охлаждае- мыми источником и поглотителем), Мёссбауэр получал исчезновение резонансного поглощения при линейных скоростях источника порядка нескольких сантиметров в секунду. Результаты опыта указывали на то, что у охлажденного 1г181 линии испускания и поглощения у-лучей совпадают и имеют очень малую ширину, рав- ную естественной ширине Г. Это явление упругого (т. е. не сопровождающегося изменением внутренней энергии тела) .испускания или поглощения у-квантов было на- звано эффектом Мёссбауэра. Вскоре эффект Мёссбауэра был открыт в Fe57 и для ряда других веществ. В случае Fe5? эффект наблюдается при температурах до 1000° С, так что нет необходимости в охлаждении. Кроме того, Fe57 отличается чрезвычайно малой естественной шириной линии. Чтобы выяснить условия, необходимые для существо- вания эффекта Мёссбауэра, применим закон сохранения энергии к процессу радиоактивного распада ядра, нахо- 420
дящегося в узле кристаллической решетки. Энергия пе- рехода АВпт в принципе может риспределяться между у-квантом, распадающимся ядром, твердым телом как целым и, наконец, колебаниями решетки. В последнем случае наряду с у-фотоном возникнут фононы. Проана- лизируем эти возможности. Энергия, необходимая для того, чтобы ядро покинуло свое место в решетке, равна по меньшей мере ~ 10 эв, в то время как энергия от- дачи R не превышает нескольких десятых электрон- вольта. Поэтому атом, ядро которого распалось, не мо- жет изменить свое положение в решетке. Энергия отда- чи, которую может получить твердое тело как целое, чрезвычайно мала, так что ею можно пренебречь [эту энергию можно оценить, заменив в (85.1) массу ядра массой тела]. Таким образом, энергия перехода может распределяться только между у-квантом и фононами. Мёссбауэровский переход осуществляется.в том случае, если колебательное состояние решетки не изменяется и у-квант получает всю энергию перехода. При радиоак- тивном распаде -ядра, находящегося в узле кристалли- ческой решетки, вероятность возбуждения фононов с энергией порядка ficom — kQ (0 — температура Дебая) во много раз больше, чем вероятность возбуждения фоно- нов меньших энергий. В самом деле, колебанию часто- ты сот соответствует длина волны Zmtn » 2d (см. § 84). В этом случае соседние атомы движутся’в противофазе, что может произойти, когда распадающийся атом полу- чает всю энергию отдачи /? и ударяет затем в соседний атом. Для возбуждения более длинных волн (меньших частот) необходимо, чтобы одновременно было приве- дено в движение сразу несколько (N) атомов, что яв- ляется маловероятным. К тому же в последнем случае, хотя энергия возбуждаемого колебания будет в W раз меньше (X увеличивается в N раз, а йсо уменьшается в то же число раз), энергия отдачи также уменьшается в N раз (она обратно пропорциональна массе системы, испытывающей отдачу). Таким образом, вероятность возбуждения колебаний решетки будет велика при усло- вии, что энергия отдачи R, получаемая при радиоактив- ном распаде отдельным атомом, равна или больше энер- гии фонона максимальной частоты: R Z>, betm = &0. При R kf) (что имеет место для Few) уже при ком- натной темлературе заметная доля ядерных переходов 421
происходит без отдачи. При R ~ kQ (что имеет место для 1г191) для получения измеримого резонансного поглоще- ния нужно с помощью охлаждения уменьшить вероят- ность возбуждения колебаний решетки. За несколько лет, прошедших после его открытия, эффект Мёссбауэра нашел многочисленные применения. В ядерной физике он используется для нахождения вре- мени жизни возбужденных состояний ядер (через Г), а также для определения спина, магнитного момента и электрического квадрупольного момента ядер. В физике твердого тела эффект Мёссбауэра применяется для изу- чения динамики кристаллической решетки и для иссле- дования внутренних электрических и магнитных полей в кристаллах. Американские физики Паунд и Ребка использовали эффект Мёссбауэра для обнаружения предсказанного общей теорией относительности гравитационного красного смещения частоты фотона (для об- наружения веса фотона). Из общей теории относитель- ности следует, что частота фотона должна изменяться с изменением гравитационного потенциала. Согласно так называемому принципу эквивалентности1) фо- тон обладает гравитационной массой, равной его инерт- ной массе т = Й(о/с\[см. (57.3)]. При прохождении в од- нородном гравитационном поле, характеризуемом уско- рением силы тяжести g, пути I в направлении, противо- положном направлению силы mg, энергия фотона дол- жна уменьшиться на mgl = tiugl/c2 2). Следовательно, энергия фотона станет равной Лю' = Лю —(1 — -^-j, откуда для частоты фотона получается значение -Р“)- >) Принцип эквивалентности утверждает, что эффект гравитации невозможно отличить от эффекта, обусловленного ускорением систе- мы отсчета. Например, в лифте, движущемся с ускорением g, на- правленным вверх, пружинные весы покажут вес 2mg, в два раза превосходящий показания весов в покоящемся (или движущемс51 без ускорения) лифте. Из этого принципа вытекает эквивалентность гравитационной и инертной масс. 2) Напомним, что в полную энергию тс2 не входит потенциаль- ная энергия тела во внешнем поле-сил (см. § 42). 422
Согласно последней формуле относительное измене- ние частоты фотона д® _ <о — ®' gl Д<р <о ~ <0 с2 с2 пропорционально изменению гравитационного потенциа- ла А<р = gl. Свет, приходящий на Землю от Солнца или от звезд, преодолевает сильное притягивающее поле этих светил. Вблизи же Земли он испытывает действие лишь очень слабого ускоряющего поля. Поэтому все спектральные линии звезд должны быть немного смещены в сторону красного конца спектра. Такое смещение, называе- мое гравитационным красным сме- щением, было качественно подтвер- ждено наблюдениями. Паунд и Ребка предприняли по- пытку обнаружить это явление в земных условиях. Они расположили источник у-излучения (Fe57) и по- глотитель в высокой башне на расстоянии 21 м друг от друга (рис. 243). Относительное измене- ние энергии у-фотона при прохо- ждении этого расстояния составляет всего Поглотитель Рис. 243. Де Д® gl 9,81-21 in~15 е “ ® ~ с2 ~ 9- 1016 ~ z ш ' Это изменение *) обусловливает относительное сме- щение линий поглощения и испускания и должно проя- виться в небольшом ослаблении резонансного поглоще- ния. Несмотря на крайнюю малость эффекта (сдвиг со- ставлял около 10-2 ширины линии), Паунду и Ребке уда- лось обнаружить и измерить его с достаточной степенью точности. Полученный ими результат составил 0,99+0,05 от предсказанного теорией. Таким образом, удалось убе- дительно доказать наличие гравитационного смещения частоты фотонов в земной лаборатории. *) Если источник расположить вверху, а приемник внизу, энер- гия фотона возрастает, так что имеет место фиолетовое смещение частоты. 423
§ 86. Лазеры. Нелинейная оптика Лазеры. Впервые принцип усиления света за счет вынужденного излучения (см. § 80) был предложен со- ветским физиком В. А. Фабрикантом в 1940 г. Исполь- зование вынужденного Излучения для усиления электро- магнитных волн в микроволновом диапазоне|было пред- ложено в 1953 г. независимо советскими учеными Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым и американскими учеными Таунсом и Вебером1). Соответствующие при- боры, работающие в диапазоне сантиметровых волн, по- лучили название мазеров. Слово «мазер» происходит от первых букв английского названия Microwave Ampli- fication by Stimulated Emission of Radiation (усиление микроволн с помощью вынужденного излучения). В 1960 г. Мейманом (США) был создан первый анало- гичный прибор, работающий в оптическом диапазоне,— лазер (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation — усиление света с помощью вынужденного излучения). Иногда лазеры называют оптическими квантовыми генераторами. В § 80 мы выяснили, что падающий на вещество свет частоты со, совпадающей с одной из частот (Еп— Em)jh атомов вещества (Еп > Ет), будет вызывать два процес- са: 1) переход атомов из состояния с энергией Ет в со- стояние с энергией Еп, 2) вынужденный переход атомов из состояния п в состояние т. Первый процесс приводит к поглощению света и ослаблению падающего пучка, второй — к увеличению интенсивности падающего пучка. Результирующее изменение интенсивности светового пуч- ка зависит от того, какой из двух процессов преобла- дает. В случае термодинамического равновесия распределе- ние атомов по различным энергетическим состояниям определяется законом Больцмана: (86.1) г где N — полное число атомов, Аг- — число атомов, нахо- дящихся при температуре Т в состоянии с энергией *) В 1964 г. Басову, Прохорову и Таунсу была за эти работы присуждена Нобелевская премия. 424
(для простоты мы предположили, что все энергетические уровни не являются вырожденными). Из формулы (86.1) следует, что с увеличением энер- гии состояния населенность уровня, т. е. количе- ство атомов в данном состоянии, уменьшается. Число переходов между двумя уровнями пропорционально на- селенности исходного уровня. Следовательно, в системе атомов, находящейся в термодинамическом равновесии, поглощение падающей световой волны будет преобла- дать над вынужденным излучением, так что падающая волна при прохождении через вещество ослабляется. Для того чтобы получить усиление падающей волны, нужно каким-либо способом обратить населенность энер- гетических уровней, т. е. сделать так, чтобы в состоянии с большей энергией Еп находилось большее число ато- мов, чем в состоянии с меньшей энергией Ет. В этом случае говорят, что данная совокупность атомов имеет инверсную населенность. Согласно формуле (86.1) =e-(£n-£m)/ftr В случае инверсной населенности (Nn/Nm) > 1 при (Еп — Ет) >0. Распространяя формально на этот слу- чай распределение (86.1), мы получим для Т отрицатель- ное значение. Поэтому состояния с инверсной населен- ностью. называют иногда состояниями с отрицательной температурой. Следует иметь в виду, что последний тер- мин является чисто условным. Дело в том, что состояния с инверсной населенностью являются неравновесными. Понятие же температуры применимо только к равновес- ным состояниям. В веществе с инверсной населенностью энергетиче- ских уровней вынужденное излучение может превысить поглощение света атомами, вследствие чего падающий пучок света при прохождении через вещество будет уси- ливаться. Изменение интенсивности света при прохож- дении через поглощающую среду описывается формулой [см. (46.2)]: / = /ое-и1. (86.2) В случае усиления падающего пучка явление проте- кает так, как если бы коэффициент поглощения х в формуле (86.2) стал отрицательным. Соответственно 425
совокупность атомов с инверсной населенностью можно рассматривать как среду с отрицательным коэффициен- том поглощения. Практическое осуществление лазера стало возмож- ным после того, как были найдены способы осуществ- ления инверсной населенности уровней в некоторых ве- ществах. В построенном Мейманом первом лазере рабо- чим телом был цилиндр из розового рубина. Диаметр стержня был порядка 1 см, длина — около 5 см. Торцы рубинового стержня были тщательно отполированы и представляли собой строго параллельные друг другу зеркала. Один торец покрывался плотным непрозрачным слоем серебра, другой торец покрывался таким слоем серебра, который пропускал около 8% упавшей на него энергии. Рубин представляет собой окись алюминия (А120з), в которой некоторые из атомов алюминия замещены атомами хрома. Чем больше концентрация хрома, тем сильнее окраска кристалла. При поглощении света ионы хрома Сг+++ (в таком виде хром находится в кристалле рубина) переходят в возбужденное состояние. Обратный переход в основное состояние происходит в два этапа. На первом этапе возбужденные ионы отдают часть своей энергии кристаллической решетке и переходят в мета- стабильное состояние. Переход из метастабильного со- стояния в основное запрещен правилами отбора. Поэтому среднее время жизни иона в метастабильном состоянии (~ 10-3 сек) примерно в 105 раз превосходит время жизни в обычном возбужденном состоянии (которое со- ставляет величину порядка 10~8 сек). На втором этапе ионы из метастабильного состояния переходят в основ- ное *), излучая фотон с X = 6943 А. Под действием фо- тонов такой же длины волны, т. е. при вынужденном излучении, переход ионов хрома из метастабильного со- стояния в основное происходит значительно быстрее, чем при спонтанном излучении. В лазере рубин освещается импульсной ксеноновой лампой (рис. 244), которая дает свет с широкой поло- сой частот. При достаточной мощности лампы большин- ство ионов хрома переводится в возбужденное состояние. ') Правила отбора не являются абсолютно строгими. Вероят- ность запрещенных переходов значительно меньше, чем разрешенных, но все же отлична от нуля. 426
Процесс сообщения рабочему телу лазера энергии для перевода атомов в возбужденное состояние называется подкачкой. На схеме уровней иона хрома Сг+++ Рис. 244. (рис. 245) возбуждение ионов за счет подкачки изобра- жено стрелкой Ц713. Время жизни уровня <?') очень мало (~108 сек). В течение этого времени некоторые ионы перейдут спонтанно из полосы 3 на основной уровень /. Такие переходы показаны стрелкой Лзь Однако большинство ионов пе- рейдет на метастабиль- ный уровень 2 (вероят- ность перехода, изобра- женного стрелкой S32, значительно больше, чем перехода Л3|). При до- статочной мощности под- качки число ионов хрома, находящихся на уровне 2, становится больше числа ионов на уровне 1. Следова- тельно, происходит инверсия уровней 1 и 2. Стрелка Л21 изображает спонтанный переход с мета- стабильного уровня на основной. Излученный при этом фотон может вызвать вынужденное испускание дополни- тельных фотонов (переход 1^21), которые в свою очередь *) Этот уровень представляет собой полосу, образованную сово- купностью близко расположенных уровней. 427
вызовут вынужденное излучение, и т. д. Таким образом, образуется каскад фотонов. Напомним, что фотоны, воз- никающие при вынужденном излучении, летят в том же направлении, что и падающие фотоны. Фотоны, направ- ления движения которых образуют малые углы с осью кристаллического стержня, испытывают многократные Рис. 246. отражения от торцов образца. Поэтому путь их в кри- сталле будет очень большим, так что каскады фотонов в направлении оси получают особенное развитие. Фо- тоны, испущенные спонтанно в других направлениях, выходят из кристалла через его боковую поверхность. Описанные процессы изображены схематически йа рис. 246. До начала импульса ионы хрома находятся в основном состоянии (черные кружки на рис. 246, а). Свет подкачки (сплошные стрелки на рис. 246, б) пере- водит большинство ионов в возбужденное состояние (светлые кружки). Каскад начинает развиваться, когда 428
возбужденные ионы спонтанно излучают фотоны (пунк- тирные стрелки на рис. 246, в) в направлении, парал- лельном оси кристалла (фотоны, испущенные по другим направлениям, выходят из кристалла). Фотоны размно- жаются за счет вынужденного излучения. Этот процесс развивается (рис. 246, гид), так как фотоны много- кратно проходят вдоль кристалла, отражаясь от его торцов. Когда пучок становится достаточно интенсивным, часть его выходит через полупрозрачный торец Не Ne кристалла (рис. 246, е). <------к' Лазеры на рубине pa- 23s ботают в импульсном ре- -—---------— жиме (с частотой повто- 2 рения порядка несколь- ===== ких импульсов в минуту). ===== ) Внутри кристалла выде- / ляется большое количе- / ство тепла. Поэтому его : приходится интенсивно f охлаждать, что осуществ- ляется с помощью жидко- - J____________ го воздуха. „ П4, В 1961 г. был создан Рис- 247- предложенный Джаваном газовый лазер, работающий на смеси гелия и неона. Подкачка в нем осуществляется за счет электрического тлеющего разряда. Разрядная трубка заполняется смесью гелия под .давлением 1 мм рт. ст. и неона под давлением 0,1 мм рт. ст. На концах трубка имеет плоскопарал’ лельные зеркала, одно из которых полупрозрачно. Раз- ряд возбуждает атомы Не, переводя их на метастабиль- ный уровень 23S (рис. 247). Возбужденные атомы Не сталкиваются с атомами Ne, находящимися в основном состоянии, и передают им свою энергию. В результате атомы Ne переходят на уровень 2s1), вследствие чего возникает инверсная населенность уровней 2s и 2р. ’) Для возбужденных состояний атомов инертных газов, кроме гелия, характерна не рёссель-саундерсовская связь, а связь между орбитальным моментом возбужденного электрона и полным момен- том атомного остатка. В связи с этим обозначения .типа (74.1) к таким состояниям неприменимы. Предложенные Рака обозначения, включающие информацию о значениях пяти характеризующих со- стояние квантовых чисел, очень громоздки; Поэтому на практике 429
Переход 2s -+2р дает излучение лазера. Из-за быстрых переходов атомов Ne с уровня 2р на уровень 1s не проис- ходит накопления атомов Ne в состоянии 2р. Уровень 2s состоит из четырех, а уровень 2р — из десяти подуров- ней. Существует 30 разрешенных правилами отбора пе- реходов с подуровней 2s на подуровни 2р, соответствую- щих длинам волн от 0,6 до 5,4 мк. Наиболее интенсив- ный из них — переход 2s2 — 2р4 с длиной волны 11 530 А, Таким образом, этот лазер генерирует инфракрасное из- лучение. Газовые лазеры работают в непрерывном режи- ме и не нуждаются в интенсивном охлаждении. В 1963 г. были созданы первые полупроводниковые лазеры. Излучение лазеров отличается рядом замечательных особенностей. Для него характерны: 1) временная и про- странственная когерентность, 2) строгая монохроматич- ность (AZ~0,l А),3) большая мощность и 4) узость пучка. Высокая когерентность излучения открывает широкие перспективы использования лазеров для целей радио- связи, в частности для направленной радиосвязи в кос- мосе. Если будет найден метод модуляции и демодуля- ции света, можно будет передавать огромный объем ин- формации— один лазер мог бы заменить по объему пе- редаваемой информации всю систему связи между во- сточным и западным побережьями США. Угловая ширина генерируемого лазером светового пучка столь мала, что, используя телескопическую фоку- сировку, можно получить на лунной поверхности пятно света диаметром всего лишь 3 км. Большая мощность и узость пучка позволяют при фокусировке с помощью линзы получить плотность потока энергии, в 1000.раз превышающую плотность потока энергии, которую мож- но получить фокусировкой солнечного света. Пучки све- та со столь высокой плотностью мощности можно ис- пользовать для механической обработки и сварки, для воздействия на ход химических реакций и т. д. для обозначения возбужденных состояний неона и более тяжелых инертных газов применяются по предложению Пашена более ком- пактные обозначения—первое возбужденное состояние с конфигу- рацией пр5(л + l)s обозначается как 1s (оно имеет 4 подуровня"), следующее возбужденное состояние с конфигурацией лр5(л + 1)р (имеющее 10 подуровней) обозначается через 2р и г. д. Для основ- ных состояний атомов инертных газов допустимы обозначения вида (74.1) (см. табл. 6). 430
Сказанное выше далеко не исчерпывает всех воз- можностей лазера. Он является совершенно новым ти- пом источника света, и пока еще трудно представить себе все возможные области его применения1). Нелинейная оптика. Напряженность электрического поля Е в световой волне, полученной с Помощью обыч- ных (нелазерных) источников света, пренебрежимо мала по сравнению с напряженностью внутреннего мик- роскопического поля, действующего на электроны в ве- ществе. По этой, причине оптические свойства среды (в частности, показатель преломления) и характер по- давляющего большинства оптических явлений не зави- сят от интенсивности света. В таком случае распростра- нение световых волн описывается линейными дифферен- циальными уравнениями. Поэтому долазерную оптику можно назвать линейной. Отметим, что принцип супер- позиции световых волн (выражаемый в геометрической оптике законом независимости световых лучей) спра- ведлив только в области линейной оптики. Правда, и до создания лазеров были известны нелинейные явления в оптике. К их числу относится, например, комбинацион- ное рассеяние света (см. § 83). При комбинационном рассеянии наблюдается преобразование частоты моно- хроматической световой волны, что является признаком нелинейности процесса. Однако в подавляющем боль- шинстве случаев оптические процессы были линейными. После создания квантовых генераторов света поло- жение в оптике существенно изменилось. Лазеры позво- ляют получить световые волны с напряженностью поля почти такой же величины, как и напряженность микро- скопического поля в атомах. При таких полях показа- тель преломления зависит от напряженности Е. В этом случае нарушается принцип суперпозиции, различные волны, распространяющиеся в среде, оказывают влияние друг на друга и возникает ряд нелинейных оптических явлений. Опишем вкратце некоторые из них. Нелинейное отражение света. При больших интен- сивностях в отраженном свете появляется излучение на второй гармонике падающего излучения, т. е. кроме от- раженного луча, имеющего частоту со, равную частоте *) Об одном из удивительных применений лазерного излуче- ния — голографии — рассказано в Приложении. 431
падающего света, наблюдается отраженный луч часто- ты 2(о. Направление отраженного луча частоты 2<о не совпадает с направлением отраженного луча частоты со. Самофокусировка света. При обычных интенсивно- стях первоначально параллельный ограниченный пучок света претерпевает при своем распространении в ваку- уме или в какой-либо среде так называемое дифракцион- ное расплывание, в результате чего возникает дифрак- ционная расходимость пучка. Оказывается, что при рас- пространении световых пучков в жидкостях и некоторых кристаллах с увеличением мощности пучка расходимость его уменьшается. При некоторой мощности, называемой критической, пучок распространяется, не испытывая рас- ходимости. Наконец, при мощности, большей критиче- ской, пучок сжимается — происходит самофокусирование пучка в среде. Это явление обусловлено тем, что с ро- стом напряженности Е увеличивается показатель пре- ломления, среда в области, занимаемой пучком, стано- вится оптически более плотной, что приводит к изгиба- нию лучей к оси пучка, т. е. к сжатию пучка. Оптические гармоники. При рассеянии мощного ла- зерного пучка в жидкостях и кристаллах, кроме света с частотой ы, равной частоте падающего излучения, на- блюдается также рассеянный свет с частотами 2ы, Зы и т. д. Эти спектральные компоненты рассеянного света называются оптическими гармониками. Интенсивность оптических гармоник может быть весьма значительной; в некоторых кристаллах в излучение гармоник может переходить до 50% мощности рассеянного излучения. Многофотонные процессы. При обычных интенсивно- стях света поглощение фотона частоты со происходит толь- ко в том случае, если его энергия йи совпадает с разностью энергетических уровней Ez — Et атома или молекулы. В этом случае в элементарном акте взаимодействия све- та с веществом поглощается один фотон. При больших интенсивностях излучения в элементарном акте взаи- модействия могут поглощаться два или более фотона. В этом случае может происходить поглощение света не только частоты со = (Ez— Е^/Ъ, но также и частот со/2, <о/3 и т. д. Такое поглощение называется многофотонным (в частности, двухфотонным, Трехфотонным и т. д.). Многофотонное поглощение может происходить и в световом поле двух монохроматических источников. Если 432
сумма частот этих источников удовлетворяет условию: Ю1 + юг = (Ег — Ei)/ti, наблюдается заметное поглоще- ние излучения обеих частот. Для этого необязательно, чтобы оба излучения были большой мощности. Доста- точно, чтобы была велика их суммарная интенсивность. Поэтому можно наблюдать многофотонное поглощение при наложении света от лазера и нелазерного источника со сплошным спектром. Наблюдается также многофотонный фотоэффект (мно- гофотонная ионизация атомов). В то время как обыч- ный (однофотонный) фотоэффект наблюдается при ча- стотах, при которых энергия фотона больше энергии ионизации атома, многофотонный фотоэффект может происходить при частотах в п раз меньших (п — число фотонов, участвующих в элементарном акте взаимодей- ствия). Удалось надежно зарегистрировать семифотон- ную ионизацию инертных газов. Приведенный нами далеко не полный перечень уже обнаруженных нелинейных явлений достаточен для того, чтобы составить представление о том, как бурно разви- вается новая область оптики —нелинейная оптика.
ЧАСТЬ III ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ Г Л А В А XIV АТОМНОЕ ЯДРО § 87. Состав и характеристика атомного ядра Ядра атомов состоят из двух видов элементарных ча- стиц— протонов и нейтронов. Эти частицы носят назва- ние нуклонов. Протон. Протон (р) есть не что иное, как ядро атома водорода. Он обладает зарядом +е и массой /ир = 938,2 Мэе* 1). (87.1) Для сравнения укажем, что масса электрона, выра- женная в единицах энергии, составляет те = 0,511 Мэе. (87.2) Из сопоставления (87.1) и (87.2) следует, что тр = = 1836 те. Протон имеет спин, равный половине (s = ’/г), и соб- ственный магнитный момент рр= + 2,79ц0, где Рэ = = 5105 ’ 10~М эРг!гаУсс (87-3) -—единица магнитного момента, называемая ядерным магнетоном. Из сравнения с (71.3) вытекает, что цо в 1836 раз меньше магнетона Бора цв. Следовательно, *) В ядерной физике принято выражать массы в единицах энер- гии, умножая их для этой цели на с2. Применяется также единица массы, называемая атомной единицей массы (а. е. м.); 1 а. е. м. = 1,66-1024 г = 931 Мэе, 434
собственный магнитный момент протона примерно в 660 раз меньше, чем магнитный момент электрона. Нейтрон. Нейтроном (п) называется не обладающая электрическим зарядом частица ’) с массой тп = 939,5 Мэв, (87.4) очень близкой к массе протона. Разность масс нейтрона и протона тп — гпр составляет 1,3 Мэв, т. е. 2,5 те. Нейтрон обладает спином, равным половине («=*/2). и (несмотря на отсутствие электрического заряда) соб- ственным магнитным моментом ц„= -1,91р0 (знак минус указывает на то, что направления собст- венных механического и магнитного моментов противо- положны) . В свободном состоянии нейтрон нестабилен (радио- активен)— он самопроизвольно распадается, превра- щаясь в протон и испуская электрон (е~) и еще одну частицу, называемую антинейтрино (v) (см. § 101). Пе- риод полураспада равен ~ 12 мин. Схему распада можно записать следующим образом: п->р + е~ +v. (87.5) Масса покоя антинейтрино равна нулю. Масса ней- трона, как мы видели, больше массы протона на 2,5 те. Следовательно, масса нейтрона превышает суммарную массу частиц, фигурирующих в правой части уравнения (87.5), на 1,5 те, т. е. на 0,77 Мэв. Эта энергия выде- ляется при распаде нейтрона в виде кинетической энер- гии образующихся частиц. Характеристика атомного ядра. Количество прото- нов Z, входящих в состав ядра, определяет его заряд, который равен +Хе..Число Z называется атомным но- мером (оно определяет порядковый номер химического элемента в периодической таблице Менделеева) или за- рядовым числом ядра. Число нуклонов А (т. е. суммарное число протонов и нейтронов) в ядре называется массовым числом ядра. Число нейтронов в ядре равно N = А — Z. ’) Нейтрон открыт в 1932 г. английским физиком Д. Чедвиком. 435
Для обозначения ядер применяется символ г*А, где под X подразумевается химический символ данного элемента. Справа вверху ставится массовое число, слева внизу — атомный номер (последний значок часто опу- скают). Большинство химических элементов имеет по не- скольку разновидностей — изотопов, отличающихся значениями массового числа А. Так, например, водород имеет три изотопа: [Н1 —обычный водород, или протий (Z = l, /V = 0), ]Н2 —тяжелый водород, или дейтерий (Z=I, N=l), [Н3 —тритий (Z=l, 2V = 2)1). У кислорода имеется три стабильных изотопа: вО16, «О*7, аО18 у олова — десять, и т. д. Изотопы представляют собой ядра с одинаковым чис- лом протонов Z. Ядра с одинаковым массовым числом А называются изобарами. В качестве примера можно привести «Аг40 и. 2оСа40. Ядра с одинаковым числом ней- тронов N — А — Z носят название изотонов (вС13, tN*4). Наконец, существуют радиоактивные ядра с одинако- выми Z и А, отличающиеся периодом полураспада. Они называются изомерами. Например, имеется два изо- мера ядра 35Вг80, у одного из них период полураспада равен 18 мин, у другого — 4,4 часа. Радиус ядра довольно точно определяется формулой: г = 1,3 • 10“ |3Д'/з см = 1 ,ЗЛ’/а ферми (87.6) (ферми — название применяемой в ядерной физике еди- ницы длины, равной 10~43 см). Из соотношения (87.6) следует, что объем ядра пропорционален числу нукло- нов в ядре. В настоящее время известно около 1500 ядер, разли- чающихся Z, либо А, либо и тем и другим. Около этих ядер устойчивы, остальные радиоактивны. Многие ядра были получены искусственным путем с помощью ядерных реакций. ) Дейтерий обозначают также символом D, а тритий — симво- лом Т. 436
В природе встречаются элементы с Z от 1 до 92, ис- ключая технеций (Тс, Z = 43) и прометий (Pm, Z = 61). Плутоний (Pu, Z = 94) после получения его искусствен- ным путем был обнаружен в ничтожных количествах в природном минерале — смоляной обманке. Остальные трансурановые (т. е. заурановые) элементы (с Z от 93 до 104) были получены только искусственным путем посредством различных ядерных реакций. Трансурановые элементы кюрий (96 Ст), эйнштейний (99 Es), фермий (100 Fm) и менделевий (101 Md) по- лучили названия в честь выдающихся ученых П. и М. Кюри, А. Эйнштейна, Э. Ферми и Д. И. Менделеева. Лоуренсий (ЮЗ Lw) назван в честь изобретателя цик- лотрона-Э. Лоуренса. Элемент 104 был получен в 1964 г. в СССР в Лабо- ратории ядерных реакций Объединенного института ядерных исследований в Дубне Г. Н. Флеровым и его сотрудниками путем бомбардировки плутониевой ми- шени (Z = 94) пучком ионов joNe22 (Z = 10), ускоренных до энергии 115 Мэв. Свое название «курчатовий» 104-й элемент получил в честь выдающегося советского фи- зика И. В. Курчатова. Для устойчивых ядер характерно определенное отно- шение числа нейтронов N к числу протонов Z. У легких ядер это отношение близко к единице. По мере увели- чения числа нуклонов в ядре NJZ растет, достигая для урана значения 1,6 (см. рис. 248, на котором по оси 437
абсцисс отложено массовое число А, по оси ординат — отношение N к Z; точки на рисунке соответствуют от- дельным стабильным ядрам). Спин ядра. Спины нуклонов складываются в резуль- тирующий спин ядра. Спин нуклона равен ‘/г- Поэтому согласно квантовым законам сложения моментов кван- товое число спина ядра / будет полуцелым при нечет- ном числе нуклонов А и целым или нулем при четном А. Спины ядер I не превышают нескольких единиц. Это указывает на то, что спины большинства нуклонов в ядре взаимно компенсируют друг друга, располагаясь антипараллельнр. У всех четно-четных *) ядер (т. е. ядер с четным числом протонов и четным числом нейтронов) спин равен нулю. Результирующий момент ядра Mj складывается с мо- ментом электронной оболочки Mj в полный момент им- пульса атома Mj.-, который определяется квантовым числом F. С механическими моментами связаны магнитные мо- менты. Взаимодействие магнитных моментов электронов и ядра приводит к тому что состояния атома соответ- ствующие различным взаимным ориентациям М; и М.г (т. е. различным F), имеют немного отличающуюся энер- гию. Взаимодействием моментов fu. и fts обусловливается тонкая структура спектров (см. § 72). Взаимодействием pi и pj определяется сверхтонкая структура атомных спектров. Расщепление спектральных линий, соответствующее сверхтонкой структуре, настолько мало (порядка нескольких сотых ангстрема), что может на- блюдаться лишь с помощью приборов самой высокой разрешающей силы. § 88. Масса и энергия связи ядра Масса ядра тп всегда меньше суммы масс входящих в него частиц* 2). Это обусловлено тем, что при объедине- нии нуклонов в ядро выделяется энергия связи нукло- нов друг с другом. Энергия связи Есв равна той работе, которую нужно совершить, чтобы разделить образующие *) Ядра с нечетными Z и N называются нечетно-нечетным и, ядра, у которых одно из чисел, Z и N, четное, а другое нечетное, называются четно-нечетными. 2) Имеются в виду массы покоя. 438
ядро нуклоны и удалить их друг от друга на такие рас- стояния, при которых они практически не взаимодей- ствуют друг с другом. Таким образом, энергия ядра меньше энергии системы невзаимодействующих нуклонов на величину, равную Есв. Согласно закону взаимосвязи массы и энергии [см. (42.9)] уменьшение энергии тела на ЛЕ должно сопровождаться эквивалентным уменьше- нием массы тела на Am = ДЕ/с2. Следовательно, энергия связи нуклонов в ядре равна: Есв = с- {\Zmp + (4 - Z) m„] - mJ. (88.1) Это соотношение практически не нарушится, если за- менить массу протона тр массой атома водорода тд, а массу ядра тп— массой атома та. Действительно, если пренебречь сравнительно ничтожной энергией свя- зи электронов с ядрами, указанная замена будет озна- чать добавление к уменьшаемому и вычитаемому вы- ражения, стоящего в фигурных скобках, одинаковой величины, равной Zme. Итак, выражению (88.1) можно придать вид: Есв = с2 {[ZmH + И - Z) т„] - та}. (88.2) Последнее соотношение удобнее, чем (88.1), потому что в таблицах даются обычно не массы ядер, а массы атомов. 439
Найдем энергию связи нуклонов в ядре яНе1 * *, в состав которого входят два протона (Z = 2) и два нёйтрона (А — Z = 2). Масса атома 2Не4 * равна 4,00260 а. е. м., чему соответствует 3728,0 Мэв. Масса атома водорода 1Н* равна 1,00815 а. е. м. [938,7 Мэв; ср. с (87.1)]. Мас- са нейтрона равна значению (87.4). Подставляя эти ве- личины в формулу (88.2), получим Есв = [2 • 938,7 + 2 • 939,5] - 3728,0 = 28,4 Мэв. В расчете на один нуклон энергия связи ядра гелия составляет 7,1 Мэв1). Для сравнения укажем, что энер- гия связи валентных электронов в атомах имеет вели- чину в 106 раз меньшую (порядка 10 эв). Для других ядер удельная энергия связи, т. е. энергия связи, прихо- дящаяся на один нуклон (Еев/А), имеет примерно такую же величину, как у гелия. На рис. 249 изображен гра- фик, показывающий зависимость Еев/А от массового числа А. Сильнее всего связаны нуклоны в ядрах с мас- совыми числами порядка 50—60 (т. е. для элементов от Сг до Zn). Энергия связи для этих ядер достигает 8,7 Мэе/иуклон. С ростом А удельная энергия связи по- степенно уменьшается; для самого тяжелого природного элемента — урана она составляет'7,5 Мэе/нуклон. Такая зависимость удельной энергии связи от массового числа делает энергетически возможными два процесса: 1) де- ление тяжелых ядер на несколько более легких ядер и 2) слияние (синтез) легких ядер в одно ядро. Оба про- цесса должны сопровождаться выделением большого ко- личества энергии. Так, например, деление одного ядра с массовым числом А — 240 (удельная энергия связи равна 7,5 Мэе) на два ядра с массовыми числами Л = 120 (удельная энергия связи равна 8,5 Мэе) при- вело бы к высвобождению энергии в 240 Мэе. Слияние ’) Для характеристики связи нуклонов в ядре пользуются также величинами, называемыми дефектом масс и упаковочным коэффициентом. Дефектом масс 6 называется разность между численным значением массы атома, выраженной в атомных единицах массы, и массовым числом: 6 — та — А. Упаковочным коэффициентом f называют отношение дефекта масс к массовому числу: ' А • Для 2Не4 имеем: 6 = 0,00260, f = 0,00065. 440
двух ядер тяжелого водорода JI2 в ядро гелия гНе4 при- вело бы к выделению энергии, равной ~ 24 Мэв. Для сравнения укажем, что при соединении одного атома углерода с двумя атомами кислорода (сгорание угля до СОг) выделяется энергия, равная ~ 5 эв. В связи с тем, что ядра с Л ~ 50—60 являются энер- гетически наиболее выгодными, возникает вопрос: по- чему ядра с иными значениями А оказываются стабиль- ными? Ответ заключается в следующем. Для того чтобы разделиться на несколько частей, тяжелое ядро должно пройти через ряд промежуточных состояний, энергия ко- торых превышает энергию основного состояния ядра. Следовательно, для процесса деления ядру требуется до- полнительная энергия (энергия активации), которая за- тем возвращается обратно, приплюсовываясь к энергии, выделяющейся при делении за счет изменения энергии связи. В обычных условиях ядру неоткуда взять энергию активации, вследствие чего тяжелые ядра не претерпе- вают спонтанного деления. Энергия активации может быть сообщена тяжелому ядру захваченным им допол- нительным нейтроном. Процесс деления ядер урана или плутония под действием захватываемых ядрами нейтро- нов лежит в основе действия ядерных реакторов и обыч- ной атомной бомбы. Что касается легких ядер, то для- слияния их в одно ядро они должны подойти друг к другу на весьма близ- кое расстояние (~10~13 см). Такому сближению ядер препятствует кулоновское отталкивание между ними. Для того чтобы преодолеть это отталкивание, ядра дол- жны двигаться с огромными скоростями, соответствую- щими температурам порядка нескольких сот миллионов градусов. По этой причине процесс синтеза легких ядер называется термоядерной реакцией. Термоядер- ные реакции протекают в недрах Солнца и звезд. В зем- ных условиях пока были осуществлены неуправляемые термоядерные реакции при взрывах водородных бомб. § 89. Природа ядерных сил Огромная энергия связи нуклонов в ядре свидетель- ствует о том, что между нуклонами имеется очень ин- тенсивное взаимодействие. Это взаимодействие носит характер притяжения. Оно удерживает нуклоны на рас- 441
стояниях ~ 10“13 см друг от друга, несмотря на сильное электростатическое отталкивание между протонами. Ядерное взаимодействие между нуклонами получило на- звание сильного взаимодействия. Его можно описать с помощью поля ядерных сил. Перечислим от- личительные особенности этих сил. 1. Ядерные силы являются короткодействующими — при расстояниях между нуклонами, превышающих при- мерно 2-10~13 см, действие их уже не обнаруживается. На расстояниях, меньших 1 • 10“13 см, притяжение нукло- нов заменяется отталкиванием. 2. Сильное взаимодействие не зависит от заряда нук- лонов. Ядерные силы, действующие между двумя про- тонами, протоном и нейтроном и двумя нейтронами, одинаковы по величине. Это свойство называется. з а р fl- до вой независимостью ядерных сил. 3. Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов взаимодействующих нуклонов. Так, например, нейтрон и протон удерживаются вместе, образуя дейтон, только в том случае, когда их спины параллельны друг Другу. 4. Ядерные силы обладают свойством насыщения (это означает, что каждый нуклон в ядре взаимодей- ствует с ограниченным числом нуклонов). Это свойство вытекает из того факта, что энергия связи, приходя- щаяся на один нуклон, примерно одинакова для всех ядер, начиная с гНе4. Кроме того, на насыщение ядер- ных сил указывает также пропорциональность объема ядра числу образующих его нуклонов [см. формулу (87.6)]. По современным представлениям сильное взаимодей- ствие обусловлено тем, что нуклоны виртуально обме- ниваются частицами, получившими название мезонов. Для того чтобы уяснить сущность этого процесса, рас- смотрим прежде, как выглядит кулоновское взаимодей- ствие с точки зрения квантовой электродинамики. Взаимодействие между заряженными частицами осу- ществляется через электромагнитное поле. Мы знаем, что это поле может быть представлено как совокупность квантов энергии—фотонов. Согласно представлениям квантовой электродинамики процесс взаимодействия между двумя заряженными частицами, нйпример элек- тронами, заключается в обмене фотонами. Каждая ча- 442
стица создает вокруг себя поле, непрерывно испуская и поглощая фотоны. Действие поля на другую частицу проявляется в результате поглощения ею одного из фо- тонов, испущенных первой частицей. Такое описание взаимодействия нельзя понимать буквально. Фотоны, посредством которых осуществляется взаимодействие, являются не обычными реальными фотонами, а вир- туальными. В квантовой механике виртуальными называются частицы, которые не могут быть обнаруже- ны за время их существования. В этом смысле виртуаль- ные частицы Можно назвать воображаемыми. Чтобы лучше понять смысл термина «виртуальный», рассмот- рим покоящийся электрон. Процесс создания им в окру- жающем пространстве поля можно представить урав- нением: e~<-e~+ha. (89.1) Суммарная энергия фотона и электрона больше, чем энергия покоящегося электрона. Следовательно, превра- щение, описываемое уравнением (89.1), сопровождается нарушением закона сохранения энергии. Однако для виртуального фотона это нарушение является кажу- щимся. Согласно квантовой механике энергия состоя- ния, существующего время А/, оказывается определен- ной лишь с точностью АД, удовлетворяющей соотноше- нию неопределенностей: ЬЕ М ~hl). (89.2) Из этого соотношения вытекает, что энергия системы может претерпевать отклонения АД, длительность кото- рых А/ не должна превышать значения, определяемого условием (89.2). Таким образом, если испущенный элек- троном виртуальный фотон будет поглощен этим же или другим электроном до истечения времени А< = й/е (где в = fiw), то нарушение закона сохранения энергии не может быть обнаружено. Если электрону сообщить дополнительную энергию (это может произойти, например, при соударении его с другим электроном), то вместо виртуального фотона может быть испущен реальный фотон, который может существовать неограниченно долго. ) Этим соотношением мы уже пользовались в § 79. 443
За время Л/ виртуальный фотон может передать взаимодействие между точками, разделенными рас- стоянием I ~ с Д/ = с —. е Энергия фотона е = й<о может быть сколь угодно мала (частота <о изменяется от 0 до оо). Поэтому ра- диус действия электромагнитных сил является неогра- ниченным. Если бы частицы, которыми обмениваются взаимодействующие электроны, имели отличную от нуля массу покоя т0, то, как легко сообразить, радиус дей- ствия соответствующих сил был бы ограничен вели- чиной: А, В В В . Г = С Дггаах = с---- С---Г =----= Bmin rnoc2 тос » где Л — комптоновская длина волны данной частицы {см. (58.5)] (мы положили, что частица — переносчик взаимодействия движется со скоростью с). В 1934 г. И. Е. Тамм высказал предположение, что взаимодействие между нуклонами также передается по- средством каких-то виртуальных частиц. В то время, кроме нуклонов, были известны лишь фотон, электрон, позитрон и нейтрино. Самая тяжелая из этих частиц — электрон обладает комптоновской длиной волны Л = = 3,86-10-“ см [см.(58.6)], приблизительно в 200 раз превышающей радиус действия ядерных сил (равный ~2-10-13 см). Кроме того, величина сил, которые могли бы быть обусловлены виртуальными электронами, как показали расчеты, оказалась чрезвычайно малой. Та- ким образом, первая попытка объяснения ядерных сил с помощью обмена виртуальными частицами оказалась неудачной. В 1935 г. японский физик X. Юкава высказал сме- лую гипотезу о том,' что в природе существуют пока не обнаруженные частицы с массой, в 200—300 раз боль- шей массы электрона, и что эти-то частицы и выпол- няют роль переносчиков ядерного взаимодействия, по- добно тому как фотоны являются переносчиками элек- тромагнитного взаимодействия. Юкава назвал эти гипотетические частицы тяжелыми фотонами. Так как по величине массы эти частицы занимают промежуточное положение между электронами и нуклонами, они впо- 414
следствии были названы мезонами (греческое цеоо? означает средний). В 1936 г. Андерсон и Неддермейер обнаружили в космических лучах частицы с массой покоя, равной 207 те. Вначале полагали, что эти частицы, получившие название р-мезонов, или мюонов, и есть перенос- чики взаимодействия, предсказанные Юкавой. Однако впоследствии выяснилось, что ц-мезоны очень слабо вза- имодействуют с нуклонами, так что не могут быть ответственными за ядерные взаимодействия. Только в 1947 г. Оккиалини и Поуэлл открыли в космическом излучении еще один тип мезонов — так называемые п-мезоны, или пионы, которые оказались носите- лями ядерных сил, предсказанными за 12 лет до того Юкавой. Существуют положительный (л+), отрицательный (л“) и нейтральный (л°) пионы. Заряд л+- и лг-мезонов равен элементарному заряду е. Масса заряженных пио- нов одинакова и равна 273 те (140 Л1эв), масса л;0-ме- зона равна 264 те (135 Мэв). Спин как заряженных, так и нейтрального л-мезона равен нулю (s = 0). Все три частицы нестабильны. Время жизни л+- и л“-мезо- нов составляет 2,55 • 10-8 сек, л°-мезона—2,1 • 10-16 сек. Подавляющая часть (в среднем 99,97%) заряженных пионов распадается по схеме л+—> ц+-|-V, л —> |l +v (89.3) (уЛ и — положительный и отрицательный мюоны, v — нейтрино, v —антинейтрино). Остальные 0,03% распа- дов протекают по другим схемам (например, л—»e + v; л —♦л° + е + v и т. п., причем в случае л+ образуется е+, т. е. позитрон, а в случае л- возникает ег, т. е. элек- трон). В среднем 98,7% л°-мезонов распадаются на два у-кванта: л° -» у + у. (89.4) Остальные 1,3% распадов осуществляются с рождением пары электрон — позитрон и у-кванта (л°->е+ + е~ + у) или двух электронно-позитронных пар (л°-> а* + е~ + + е+ + е~). Частицы, называемые р-мезонами, или мюонами, по современной классификации не относятся к категории 445
мезонов; вместе с электронами и нейтрино они обра- зуют группу лептонов (поэтому вместо термина «р-мезон» лучше пользоваться термином «мюон»).Мюо- ны имеют положительный (р+) или отрицательный (ц) заряд, равный элементарному заряду е (нейтрального мюона не существует). Масса мюона равна 207 те (Г06 Мэв), спин — половине (s == 1/2)- Мюоны, как и л-мезоны, нестабильны, они распадаются по схеме: р+—>е++ v + v, р~ —> + v + v. (89.5) Время жизни обоих мюонов одинаково и равно 2,22-10-6 сек. Вернемся к рассмотрению обменного взаимодействия между нуклонами. В результате аналогичных (89.1) виртуальных процессов: р^*п + л+, (89.6) п^р + л~, (89.7) р^±р + л°, п^>п + лй (89.8) нуклон оказывается окруженным облаком виртуаль- ных л-мезонов, которые образуют поле ядерных сил. б) Рис. 250. Поглощение этих мезонов другим нуклоном приводит к сильному взаимодействию между нуклонами, происхо- дящему по одной из следующих схем. 1) р + п + л+ + п^>п + р. Протон испускает виртуал.ьный л+-мезон, превращаясь в нейтрон. Мезон поглощается нейтроном, который вследствие этого превращается в протон. Затем такой же процесс протекает в обратном направлении (рис. 250, с). Каждый из взаимодействующих нуклонов часть вре- 446
мени проводит в заряженном состоянии, а часть— в ней- тральном. 2) п + р р + л“ + р р + п. Нейтрон и протон обмениваются л'-мезонами (рис. 250,6). 3) р + п р + л° + п р + п, р + р^±р + л° + р^>р + р, n + n^tn + rf+n^n+n. Рис. 251. обнаруживается в мишени. Нуклоны обмениваются л°-мезонами (рис. 250, в). Первый из этих трех процессов находит эксперимен- тальное подтверждение в рассеянии нейтронов на про- тонах. При прохождении пучка нейтронов через водо- род в этом пучке появляются протоны, многие из которых имеют ту же энергию и на- правление движения, что и падающие нейтроны. Соот- ветствующее число практи- чески покоящихся нейтронов Совершенно невероятно, чтобы такое большое число нейтронов полностью передавало свой импульс ранее покоившимся протонам в результате лобовых ударов. Поэтому приходится признать, что часть нейтронов, про- летая вблизи протонов, захватывает один из виртуаль- ных л+-мезонов. В результате нейтрон превращается в протон, а потерявший свой заряд протон превра- щается в нейтрон (рис. 251). Если нуклону сообщить энергию, эквивалентную мас- се л-мезона, то виртуальный л-мезон может стать реаль- ным. Необходимая энергия может быть сообщена при столкновении достаточно ускоренных нуклонов (или ядер) либо при поглощении нуклоном у-кванта. При очень больших энергиях соударяющихся частиц от нук- лона может «оторваться» несколько л-мезонов. В кос- мических лучах, где встречаются частицы с энергиями ~ 104 Гэв, наблюдаются случаи рождения до 20 реаль- ных л-мезонов при одном соударении. 447
В соответствии с процессом (89.7) нейтрон часть вре- мени проводит в виртуальном состоянии (р + л~). Орби- тальное движение л_-мезона приводит к возникновению наблюдаемого у нейтрона отрицательного магнитного момента (см. § 87). Аномальный магнитный момент протона (2.79 ц0 вместо одного ядерного магнетона) также можно объяснить орбитальным движением л+-ме- зона в течение того промежутка времени, когда протон находится в виртуальном состоянии (п + л+). § 90. Радиоактивность Радиоактивностью называют самопроизвольное пре- вращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотоп другого элемента, сопровождающееся испусканием элементарных частиц или ядер. К числу основных таких превращений относятся: 1) а-распад, 2) Р распад (в том числе Л-захват), 3) протонная ра- диоактивность и 4) спонтанное деление тяжелых ядер. Радиоактивность, наблюдающаяся у изотопов, суще- ствующих в природных условиях, называется есте- ственной. Радиоактивность изотопов, полученных посредством ядерных реакций, называется искусст- венной. Между искусственной и естественной радио- активностью нет принципиального различия. Процесс радиоактивного превращения в обоих случаях подчи- няется одинаковым законам. Закон радиоактивного превращения весьма прост. Для каждого радиоактивного ядра имеется определен- ная вероятность Л того, что оно испытает превращение в единицу времени. Следовательно, если радиоактивное вещество содержит N атомов, то количество атомов dN, которое претерпит превращение за время dt, будет равно dN — ~ 1.N dt (90.1) (знак минус взят для того, чтобы dN можно было рас- сматривать как приращение числа нераспавшихся ато- мов N). Интегрирование выражения (90.1) дает: In N = — М + const, 448
откуда получается закон радиоактивного превращения: N = Noe~M, (90.2) где No — количество нераспавшихся атомов в начальный момент, N — количество нераспавшихся атомов в момент времени t, X — характерная для радиоактивного веще- ства константа, называемая постоянной распада. Как мы видели, постоянная распада дает вероятность того, что атом радиоактивного вещества испытает пре- вращение в единицу времени. Таким образом, число радиоактивных атомов убы- вает со временем по экспоненциальному закону. Заме- тим, что количество распавшихся за время t атомов определяется выражением: N0-N = NQ(\-e-™). Время, за которое распадается половина первона- чального количества атомов, называется периодом полураспада Т. Величина Т определяется условием: ^NQ = NGe-^t откуда 7’=-!^- = ^-. (90.3) Период полураспада для известных в настоящее время радиоактивных веществ колеблется в пределах от 3-10~7 сек до 5-1015 лет. Может случиться, что возникающие в результате ра- диоактивного превращения ядра в свою очередь ока- жутся радиоактивными и будут распадаться со ско- ростью, характеризуемой постоянной распада.Х'. Новые продукты распада могут также оказаться радиоактив- ными, и т. д. В результате возникнет целый ряд радио- активных. превращений. В природе существуют три ра- диоактивных ряда, (или семейства), родоначальниками которых являются С238 (ряд урана), Th232 (ряд тория) и U235 (ряд актиноурана). Конечными продуктами во всех трех случаях служат изотопы свинца — в первом случае РЬ206, во втором РЬ208 и; наконец, в третьем РЬ207. Естественная радиоактивность была открыта в 1896 г. французским ученым А. Беккерелем. Большой вклад в изучение радиоактивных веществ внесли Пьер 15 И. В. Савельев, т. III 449
Кюри и Мария Склодовская-Кюри. Было обнаружено, что радиоактивное вещество является источником трех видов излучения. Одно из них под действием магнит- ного поля отклоняется в ту же сторону, в которую от- клонялся бы поток положительно заряженных частиц; оно получило название а-лучей. Второе, названное Р-л у ч а м и, отклоняется магнитным полем в противопо- ложную сторону, т. е. так, как отклонялся бы поток от- рицательно заряженных частиц. Наконец, третье излу- чение, никак не реагирующее на действие магнитного поля, было названо у-л у ч а м и. Впоследствии выясни- лось, что у-лучи представляют собой электромагнитное излучение весьма малой длины волны (от 10~3 А до 1 А). Альфа-распад. Альфа-лучи представляют собой по- ток ядер гелия гНе4. Распад протекает по следующей схеме: гХл->2_2Ул~4 + 2Не4. (90.4) Буквой X обозначен химический символ распадающегося (материнского) ядра, буквой Y — химический символ образующегося (дочернего) ядра. Альфа-распад обычно сопровождается возникновением у-лучей. Как видно из схемы, атомный номер дочернего вещества на 2 еди- ницы, а массовое число на 4 единицы меньше, чем у исходного вещества. Примером может служить распад изотопа урана U238, протекающий с образованием тория: b2UK8-*90Th234 + 2Не4. Скорости, с которыми а-частицы (т. е. ядра яНе4) вылетают из распавшегося ядра, очень велики (~109 см/сек-, кинетическая энергия порядка несколь- ких Мэв). Пролетая через вещество, а-частица посте- пенно теряет свою энергию, затрачивая ее на ионизацию молекул вещества, и, в конце концов, останавливается. На образование одной пары ионов в воздухе тратится в среднем 35 эв. Таким образом, а-частица образует на своем пути примерно 105 пар ионов. Естественно, что чем больше плотность вещества, тем меньше пробег а-частиц до остановки. Так, в воздухе при нормальном давлении пробег составляет несколько сантиметров, в твердом веществе пробег достигает всего нескольких десятков микрон (а-частицы полностью задерживаются обычным листом бумаги). 450
Кинетическая энергия а-частиц возникает за счет избытка энергии покоя материнского ядра над суммар- ной энергией покоя дочернего ядра и а-частицы. Эта избыточная энергия распределяется между а-частицей и дочерним ядром в отношении, обратно пропорцио- нальном их массам1); Энергии (скорости) а-частиц, испускаемых данным радиоактивным веществом, ока- зываются строго определенными. В большинстве случаев радиоактивное вещество испускает несколько групп а-частиц близкой, но различной энергии. Это обуслов- лено тем, что дочернее ядро может возникать не только в нормальном, но и в возбужденных состояниях. На рис. 252 приведена схема, поясняющая возникновение различных групп а-частиц (возникновение тонкой струк- туры а-спектра), испускаемых при распаде ядра 8зВ1212 (его называют торием С). В левой колонке показана схема энергетических уровней дочернего ядра siTl208 (его называют торием С"). Энергия основного состояния принята за нуль. Избыток энергии покоя материнского ядра над энергией покоя а-частицы и дочернего ядра •) При скоростях, с которыми вылетают а-частицы (порядка 0,05 с), можно пользоваться классическими выражениями для' им- пульса и кинетической энергии частицы. 15* 451
в нормальном состоянии составляет 6,203 Мэв. Если до- чернее ядро возникает в невозбужденном состоянии, вся эта энергия выделяется в виде кинетической энергии, причем на долю а-частицы приходится Ek = 6,203 ~ = 6,086 Мэв (эта группа частиц обозначена на схеме через ао). Если же дочернее ядро возникает в пятом возбужденном со- стоянии, энергия которого на 0,617 Мэв превышает энер- гию нормального состояния, то выделившаяся кинети- ческая энергия составит 6,203—0,617 = 5,586 Мэв и на долю а-частицы достанется 5,481 Мэв (группа час- тиц а5).' Относительное количество частиц равно ~ 27% для а0, ~ 70% для ai н всего лишь ~ 0,01 % для аз. Относительные количества аг, аз и а4 также очень малы (порядка 0,1—1%). Время жизни т возбужденных состояний для боль- шинства ядер лежит в пределах от 10-8 до 10-15 сек1). За время, равное в среднем т, дочернее ядро переходит в нормальное или более низкое возбужденное состояние, испуская у-фотон. На рис. 252 показано возникновение у-фотонов шести различных энергий. Энергия возбуждения дочернего ядра может быть выделена и другими способами. Возбужденное ядро мо- жет испустить какую-либо частицу: протон, нейтрон, электрон или a-частицу. Наконец, образовавшееся в ре- зультате a-распада возбужденное ядро может отдать избыток энергии непосредственно (без предварительного испускания у-кванта) одному из электронов К-, L- или даже Л4-слоя атома, в результате чего электрон выле- тает из атома. Этот процесс носит название внутрен- ней конверсии. Образовавшееся в результате вы- лета электрона вакантное место будет заполняться элек- тронами с вышележащих энергетических уровней. По- этому внутренняя конверсия всегда сопровождается испусканием характеристических рентгеновских лучей. Подобно тому как фотон не существует в готовом виде в недрах атома и возникает лишь в момент излу- чения, a-частица также возникает" в момент радиоак- ') В некоторых случаях оно может оказаться очень большим (до нескольких лет). Уровни с таким временем жизни называются изомерными, а возбужденное ядро — изомером. 452
тивного распада ядра. Покидая ядро, of-частице прихо- дится преодолевать' потенциальный барьер, высота кото- рого больше, чем полная энергия а-частицы, равная в среднем 6 Мэв (риб. 253). Внешняя, спадающая асим- птотически к нулю сторона барьера обусловлена куло- новским отталкиванием а-частицы и дочернего ядра. Внутренняя сторона барьера обусловлена ядерными си- лами. Опыты по рассеянию а-частиц тяжелыми а-ра- диоактивными ядрами показали, что высота барьера заметно превышает энергию вылетающих при распаде а-частиц. По классическим представлениям преодоле- ние частицей потенциального барьера при указанных условиях невозможно. Однако согласно квантовой ме- ханике имеется отличная от нуля вероятность того, что частица просочится через барьер, как бы пройдя по тун- нелю, имеющемуся в барьере. Это явление, называемое туннельным эффектом, было нами рассмотрено в § 68. Теория а-распада, основывающаяся на представлении о туннельном эффекте, приводит к результатам, хорошо согласующимся с данными опыта. Бета-распад. Существуют три разновидности р-рас- пада. В одном случае ядро, претерпевающее превраще- ние, испускает электрон, в другом —позитрон, в третьем случае, называемом /(-захватом (или электронным за- хватом), ядро поглощает один из электронов /(-слоя атома (значительно реже происходит L- и Л4-захват, т. е. поглощение электрона из L- или /И-слоя). Первый вид распада (Р~-распад) протекает по схеме: + + (90.5) 453
Чтобы подчеркнуть сохранение заряда и числа нук- лонов в процессе p-распада, мы приписали р-электрону зарядовое число Z ~ —1 и массовое число А — 0. Как видно из схемы (90.5), дочернее ядро имеет атомный номер на единицу болЫший, чем у материнского ядра, массовые числа обоих ядер одинаковы. Наряду с элек- троном испускается также антинейтрино v. Весь процесс протекает так, как если бы один из нейтронов ядра гХА превратился в протон, претерпев превращение по схеме (87.5). Вообще процесс (87.5) представляет собой част- ный случай процесса (90.5). Поэтому говорят, что свободный нейтрон 0-радиоактивен. Бета-распад может сопровождаться испуска- нием улУчей- Причина их возникновения та же, что и в случае а-рас- пада, — дочернее ядро возникает не только в Рис. 254. нормальном, но и в воз- бужденных состояниях. Переходя затем в состояние с меньшей энергией, ядро высвечивает у-фотон. В качестве примера Э'-распада можно привести пре- вращение тория Th234 в протактиний Ра234 с испусканием электрона и антинейтрино: 90Th234->91Pa234 +^е0-!-v. В отличие от а-частиц, обладающих в пределах каж- дой группы строго определенной энергией, р-электроны обладают самой разнообразной энергией от 0 до Етах- На рис. 254 изображен энергетический спектр электро- нов, испускаемых ядрами при p-распаде. Площадь, охва- тываемая кривой, дает общее число электронов, испу- скаемых в единицу времени, dN — число электронов, энергия которых заключена в интервале dE. Энергия Етах соответствует разности между массой (имеется в виду масса покоя) материнского ядра и массами электрона и дочернего ядра. Следовательно, распады, при которых энергия электрона Е меньше Ешах» протекают с кажу- щимся нарушением закона сохранения энергии. Чтобы 454
объяснить исчезновение энергии Еmax — Е, В. Паули вы- сказал в 1932 г. предположение, что при 0-распаде вместе с электроном испускается еще одна частица, ко- торая уносит с собой энергию Еmax — Е. Так как эта частица никак себя не обнаруживает, следовало при- знать, что она нейтральна и обладает весьма малой мас- сой (в настоящее время установлено, что масса покоя этой частицы, по-видимому, равна нулю). По предло- жению Э. Ферми эту гипотетическую частицу назвали нейтрино’) (что означает «маленький нейтрон»). Имеется еще одно основание для предположения о ней- трино (или антинейтрино). Спин нейтрона, протона и электрона одинаков и равен '/2. Если написать схему (87.5) без антинейтрино, то суммарный спин возникаю- щих частиц (который для двух частиц с s — ’/2 может быть либо нулем, либо единицей) будет отличаться от спина исходной частицы. Таким образом, участие в 0-распаде еще одной частицы диктуется законом со- хранения момента импульса, причем этой частице необ- ходимо приписать спин, равный ’/2 (или 3/2). Установ- лено, что спин нейтрино (или антинейтрино) равен ’/2. Непосредственное экспериментальное доказательство су- ществования нейтрино было получено только в 1956 г. Итак, энергия, выделяющаяся при 0~-распаде, рас- пределяется между электроном и антинейтрино в са- мых разнообразных пропорциях. Второй вид 0-распада (0+-распад) протекает по схеме: ZXA->Z-^A + +{e° + v. (90.6) В качестве примера можно привести превращение азота N13 в углерод С13: 7N13-»6C13++le° +v. Как видно из схемы, атомный номер дочернего ядра на единицу меньше, чем материнского. Процесс сопро- вождается испусканием позитрона е+ [в формуле (90.6) он обозначен символом +1в°] и нейтрино v, возможно также возникновение у-лучей. Позитрон является анти- частицей для электрона. Следовательно, обе частицы, испускаемые при распаде (90.6), представляют собой ') Согласно принятой в настоящее время классификации при р*-распаде испускается не нейтрино, а антинейтрино. 455
античастицы по отношению к частицам, испускаемым при распаде (90.5). Процесс Р+-распада протекает так, как если бы один из протонов исходного ядра превратился в нейтрон, испустив при этом позитрон и нейтрино: р-^п + е+ + V. (90.7) Для свободного протона такой процесс невозможен по энергетическим соображениям, так как масса протона меньше массы нейтрона. Однако протон в ядре может заимствовать требуемую энергию от других нуклонов ядра. Третий вид p-распада (/(-захват или е-захват) за- ключается в том, что ядро поглощает один из /(-элект- ронов (реже один из L- или М-электронов) своего ато- ма, в результате чего один из протонов превращается в нейтрон, испуская при этом нейтрино: р + е~ ->п + v. Возникшее ядро может оказаться в возбужденном состоянии. Переходя затем в более низкие энергетиче- ские состояния, оно испускает у-фотоны. Схема процес- са выглядит следующим образом: zXA + ^e°~>z^A + v. (90.8) Место в электронной оболочке, освобожденное за- хваченным электроном, заполняется электронами из вы- шележащих слоев, в результате чего возникают рентге- новские лучи, /(-захват легко обнаруживается по со- провождающему его рентгеновскому излучению. Именно этим путем и был открыт /(-захват Альварецом в 1937 г. Примером /(-захвата может служить превращение калия К40 в аргон Аг40: 19K40+_.e°->I8Ar«+v. Протонная радиоактивность. Как показывает само название, при протонной радиоактивности ядро претер- певает превращение, испуская один или два протока (в последнем случае говорят о двупротонной радиоак- тивности). Этот вид радиоактивности наблюдался впер- вые в 1963 г. группой советских физиков, руководимой Г. Н. Флеровым. 456
Спонтанное деление тяжелых ядер. Процесс само- произвольного деления ядер урана на две примерно равные части был обнаружен в 1940 г. советскими фи- зиками Г. Н. Флеровым и К. А. Петржаком. Впослед- ствии это явление было наблюдено и для многих дру- гих тяжелых ядер. По своим характерным чертам спон- танное деление близко к вынужденному делению, кото- рое рассматривается в § 92. Единица активности. В международной системе еди- ниц (СИ) активность радиоактивных препаратов изме- ряется числом распадов в секунду. Соответственно еди- ницей активности в этой системе является распад)сек. Допускается применение внесистемных единиц: рас- пад)мин и кюри. Единица активности, называемая кюри, определяется как активность такого препарата, в кото- ром происходит 3,700-1010 актов распада в секунду. При- меняются дробные единицы {милликюри, микрокюри и т. д.), а также кратные единицы {килокюри, мега- кюри) . § 91. Ядерные реакции Ядерной реакцией называется процесс интенсивного взаимодействия атомного ядра с элементарной части- цей или с другим ядром, приводящий к преобразованию ядра (или ядер). Взаимодействие реагирующих частиц возникает при сближении их до расстояний порядка 10~13 см благодаря действию ядерных сил. Наиболее распространенным видом ядерной реакции является взаимодействие легкой частицы а с ядром X, в результате которого образуется легкая частица b и ядро Y: X + g->Y + &. Обычно реакции такого вида записываются сокра- щенно в виде: Х{а, Ь)У. (91.1) В скобках указываются участвующие в реакции легкие частицы, сначала исходная, затем конечная. В качестве частиц а и b могут фигурировать нейтрон (и), протон (р), ядро тяжелого водорода 1Н2 — дейтон (</), а-частица (а) и у-фотон (у). Ядерные реакции могут сопровождаться как выде- лением, так и поглощением энергии. Количество 457
выделяющейся энергии называется тепловым эф- фектом реакции. Он определяется разностью масс по- коя (выраженных в энергетических единицах) исходных и конечных ядер. Если сумма масс образующихся ядер превосходит сумму масс исходных ядер, реакция идет с поглощением энергии и тепловой эффект ее будет от- рицательным. Как установил Н. Бор в 1936 г., реакции, вызывае- мые не очень быстрыми частицами, протекают в два этапа. Первый этап заключается в захвате приблизив- шейся к ядру X на достаточно малое расстояние (та- кое, чтобы могли вступить в действие ядерные силы) посторонней частицы о и в образовании промежуточного ядра П, называемого составным ядром или ком- паунд-яд ром. Энергия, привнесенная частицей а (она слагается из кинетической энергии частицы и энер- гии ее связи с ядром), за очень короткое время пере- распределяется между всеми нуклонами составного ядра, в результате чего это ядро оказывается в возбуж- денном состоянии. На втором этапе составное ядро испускает частицу Ь(п, р, а, у). Символически такое двустадийное проте- кание реакции (91.1) можно представить следующим образом: X + +6. (91.2) Может случиться, что испущенная частица тождест- венна с захваченной (Ь = а). Тогда процесс (91.2) на- зывают рассеянием, причем в случае, если энергия частицы b равна энергии частицы а (Еь~Еа), рассея- ние будет упругим, в противном случае (т. е. при Еь^Еа)—неупругим. Ядерная реакция имеет .ме- сто, если частица b не тождественна с а. Промежуток времени тя, который требуется нуклону с энергией порядка 1 Мэв (что соответствует скорости нуклона ~ 10® см!сек) для того, чтобы пройти расстоя- ние, равное диаметру ядра (^10-12 см), принимается в качестве естественной ядерной единицы вре- мени. Эта единица имеет величину: 10~12 СМ 1Л-21 о. Тя 10* с м/сек 10 сек‘ (91.3) Среднее время жизни составного ядра (равное 10 14— 10-12 сек) на много порядков превосходит ядерное вре- 458
мя тп. Следовательно, распад составного ядра (т. е, испускание им частицы Ь) представляет собой процесс, не зависящий от первого этапа реакции, заключающе- гося в захвате частицы а (составное ядро как бы «забывает» способ своего образования). Одно и то же составное ядро может распадаться различными пу- тями, причем характер этих путей и их относительная вероятность не зависят от способа образования состав- ного ядра. Реакции, вызываемые быстрыми нуклонами и дей- тонами’). протекают без образования ядра. Такие реакции носят название прямых ядерных взаимодей- ствий. Типичной реакцией прямого взаимодействия является реакция срыва, наблюдающаяся при не- центральных соударениях дейтона с ядром. При таких соударениях один из нуклонов дейтона может попасть в зону действия ядерных сил и будет захвачен ядром, в то время как дру- гой нуклон останется вне зоны дей- ствия ядерных сил и пролетит мимо ядра. В ядерной физике вероятность взаимодействия принято характеризо- промежуточного вать с помощью так называемого эффективного сечения о. Смысл этой величины заключается в сле- дующем. Пусть поток частиц, например нейтронов, па- дает на мишень, настолько тонкую, что ядра мишени не перекрывают друг друга (рис. 255). Если бы ядра были твердыми шариками с поперечным сечением о, а падающие частицы — твердыми шариками с исчезаю- ще малым сечением, то вероятность того, что падающая частица заденет одно из ядер мишени, была бы равна Р = опЬ, где п — концентрация ядер, т. е. число их в единице объ- ема мишени, б — толщина мишени (опб определяет от- носительную долю площади мишени, перекрытую ядра- ми-шариками). ’) Напомним, что дейтоном называется ядро атома тяжелого водорода. Оно состоит из двух нуклонов — протона и нейтрона. 459
Предположим, что плотность падающих частиц1) равна N. Тогда количество претерпевших столкновения с ядрами частиц ДМ будет равно kN = NP = Ncnb. (91.4) Следовательно, определив относительное количество ча- стиц, претерпевших столкновения, NN/N, можно было бы вычислить поперечное сечение о = лг2 ядра по формуле В действительности ни ядра мишени, ни падающие на нее частицы не являются твердыми шариками. Одна- ко по аналогии с моделью сталкивающихся шариков для характеристики вероятности взаимодействия берут величину ст, определяемую формулой (91.5), в которой под kN подразумевают не число столкнувшихся, а чис- ло провзаимодействовавших с ядрами мишени частиц. Эта величина и называется эффективным сечением для данной реакции (или процесса). В случае толстой мишени поток частиц будет по мере прохождения через нее постепенно ослабевать. Разбив мишень на тонкие слои, напишем соотношение (91.4) для слоя толщины dx, находящегося на глубине х от поверхности: dN = — N (х) on dx, где N (х) — поток частиц на глубине х. Мы поставили справа знак минус, чтобы dN можно было рассматри- вать как приращение (а не ослабление) потока на пу- ти dx. Интегрирование этого уравнения приводит к со- отношению: М (6) = Мое-™в, в котором No— первичный поток, а М(б)—поток на глубине б. Таким образом, измеряя ослабление потока частиц при прохождении их через мишень толщины б, можно определить сечение взаимодействия по формуле: а = -4- 1п -./ухг • (91.6) по N (о) 7 ’) Напомним, что плотностью потока называется количества на-: стиц, пролетающих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению потока. 460
В качестве единицы эффективного сечения ядерных процессов принят барн-. I барн = \Ь~* см2. (91.7) Первая ядерная реакция была осуществлена Резер- фордом в 1919 г. При облучении азота а-частицами, испускаемыми радиоактивным источником, некоторые ядра азота превращались в ядра кислорода, испуская при этом протон. Уравнение этой реакции имеет вид: 7N“(a, р)8О” Резерфорд воспользовался для расщепления атом- ного ядра природными снарядами — a-частицами. Ядер- ная реакция, вызванная искусственно ускоренными ча- стицами, была впервые осуществлена Кокрофтом и Уолтоном в 1932 г. С помощью так называемого умно- жителя напряжения они ускоряли протоны до энергии порядка 0,8 Мэв и наблюдали реакцию: 3Li7 (р, а)2Не4. В дальнейшем по мере развития техники ускорения заряженных частиц множилось число ядерных превра- щений, осуществляемых искусственным путем. Наибольшее значение имеют реакции, вызываемые нейтронами. В отличие от заряженных частиц (р, d, a) нейтроны не испытывают кулоновского отталкивания, вследствие чего они могут проникать в ядра, обладая весьма малой энергией. Эффективные сечения реакций обычно возрастают при уменьшении энергии нейтронов. Это можно объяснить тем, что чем меньше скорость нейтрона, тем больше время, которое он проводит в сфе- ре действия ядерных сил, пролетая вблизи ядра, и, сле- довательно, тем больше вероятность его захвата. По- этому многие эффективные сечения изменяются как 1/п смЕ-1^. Однако часто наблюдаются случаи, когда сечение захвата нейтронов имеет резко выраженный максимум для нейтронов определенной энергии Ег. В ка- честве примера на рис. 256 приведена кривая зависи- мости сечения захвата нейтрона ядром U238 от энергии нейтрона Е. Масштаб по обеим осям — логарифми- ческий. В этом случае зависимость о изобра- жается прямой линией, описываемой уравнением: In о = = const — */г In Е. Как видно из рисунка, кроме области 461
энергий вблизи 7 эв ход In о с In Е действительно бли- зок к прямолинейному. При Е = Ег = 7 эв сечение за- хвата резко возрастает, достигая 23000 барн. Вид кри- вой указывает на то, что явление имеет резонансный ха- рактер. Такое резонансное поглощение имеет место в том случае, когда энер- гия, привносимая нейтро- ном в составное ядро, в точности равна той энер- гии, которая необходима для перевода составного ядра на возбужденный энергетический уровень (рис. 257). Подобным же образом для фотонов, энергия которых равна разности энергий между первым возбужденным и основным уровнями атома, ве- роятность поглощения особенно велика (резонансное поглощение света; см. § 85). Интересна реакция 7N«(h, р)6Сп, которая постоянно протекает в атмосфере под действием нейтронов, образуемых космическими лучами. Возни- кающий при этом углерод 6С14 --------- называется радиоуглеродом, так как он (^-радиоактивен, его период полураспада со- ставляет около 5600 лет. Ра- диоуглерод усваивается при фотосинтезе растениями и уча- ствует в круговороте веществ в природе. Количество возни- кающих в атмосфере в едини- Уровни энергии составного ядра энергия нейтрона цу времени ядер радиоугле- рис 257. рода Д7У+ в среднем остается постоянным. Количество распадающихся ядер ДЛС про- порционально числу имеющихся ядер JV: Д(У_ = kN. Так как период полураспада очень велик, устанавли- вается равновесная концентрация ядер С14 в обычном 462
углероде, отвечающая условию: ДМ+ = ДАС или ДМ+ = kN. Специальные исследования показали, что вследствие действия ветров и океанских течений равновесная кон- центрация С14 в различных местах земного шара оди- накова и соответствует примерно 14 распадам в минуту на каждый грамм углерода. Пока органическое веще- ство живет, убыль в нем С14 из-за радиоактивности вос- полняется за счет участия в круговороте веществ в при- роде. В момент смерти организма процесс усвоения сразу же прекращается и концентрация С14 в обычном углероде начинает убывать по закону радиоактивного распада. Следовательно, измерив концентрацию С14 в останках организмов (в древесине, костях и т. п.), можно определить дату их смерти или, как говорят, их возраст. Проверка этого метода на древних образцах, возраст которых точно определен историческими мето- дами, дала вполне удовлетворительные результаты. § 92. Деление ядер В 1938 г. немецкие ученые О. Ган и Ф. Штрассман обнаружили, что при облучении урана нейтронами об- разуются элементы из середины периодической систе- мы — барий и лантан. Объяснение этого явления было дано немецкими учеными О. Фришем и Лизой Мейтнер. Они предположили, что захватившее нейтрон ядро ура- на делится на две примерно равные части, получившие название осколков деления. Дальнейшие исследования показали, что деление мо- жет происходить разными путями. Всего образуется около 80 различных осколков, причем наиболее вероят- ным является деление на осколки, массы которых отно- сятся как 2:3. Кривая на рис. 258 дает относительный выход (в процентах) осколков разной массы, возникаю- щих при делении U235 медленными (тепловыми1)) нейтронами (масштаб по оси ординат — логарифмиче- ский). Из этой кривой видно, что относительное число актов деления, при которых образуются два осколка равной массы (Л ~ 117), составляет 10~2%, в то время *) Тепловыми называются нейтроны, находящиеся в тепловом равновесии с атомами вещества. Их энергия равна ~ 0,025 эв. 463
как образование осколков с массовыми числами поряд- ка 95 и 140 (95: 140 «2:3) наблюдается в 7% случаев. Энергия связи, приходящаяся на один нуклон, для ядер средней массы значительно больше, чем у тяжелых ядер (см. рис. 249)-. Отсюда следует, что деление ядер должно сопровождаться выделением большого количе- ства энергии. Но особенно важным оказалось то об- стоятельство, что при делении каждого ядра высвобож- дается несколько нейтронов. Относительное количество нейтронов в тяжелых ядрах заметно больше, чем в сред- них ядрах (см. рис. 248). Поэтому образовавшиеся Л7^1—LJ------------------11-- 60 60 100 120 140 160 А Рис. 258. осколки оказываются сильно перегруженными нейтро- нами, в результате чего они выделяют по нескольку ней- тронов. Большинство нейтронов испускается мгновенно (за время, меньшее ~10-14 сек). Часть (около 0,75%) нейтронов, получившая название запаздывающих нейтронов, испускается не мгновенно, а с запазды- ванием от 0,05 сек до 1 мин. В среднем на каждый акт деления приходится 2,5 выделившихся нейтронов. Выделение мгновенных и запаздывающих нейтронов не устраняет полностью перегрузку осколков деления нейтронами. Поэтому осколки оказываются в большин- стве радиоактивными и претерпевают цепочку р~-превра- щений, сопровождаемых испусканием у-лучей. Поясним сказанное примером. Один из путей, кото- рыми осуществляется деление, выглядит следующим об- разом: 92U235 + п 92U236 -> 65Cs140 + 37Rb94 + 2m 464
Осколки деления — цезий и рубидий — претерпевают превращения: 65Cs“° |->56Ва140 г->57Еа140 г>58Се14° i ф i ₽~ P~ P~ 37Rb94r>38Sr94 j->39Y94 r>4OZr94. i i i p- p- p~ Конечные продукты — церий Се140 и цирконии Zr94— являются стабильными. Кроме урана, при облучении нейтронами1) делятся также торий (эоТЬ) и протактиний (9iPa), а также транс- урановый элемент плутоний (94Р11). Нейтроны сверхвы- соких энергий (порядка нескольких сотен Мэв) вызы- вают деление и более легких ядер. Ядра U235 и Ри239 делятся нейтронами любых энер- гий, но особенно хорошо медленными нейтронами. Для тепловых нейтронов эффективное сечение деления U235 составляет 580 барн, а Ри239 — 750 барн. Тепловыми ней- тронами делятся также U233 и Th230, но эти изотопы в природе не встречаются, они получаются искусственным путем. Ядра U238 и встречающихся в природе изотопов Th и Ра делятся только быстрыми нейтронами (с энер- гиями, не меньшими ~ 1 Мэв). При меньших энергиях нейтроны поглощаются ядрами U238 без последующего их деления. В результате образуется ядро U239, энергия возбуждения которого выделяется в виде у-фотона. По- этому такой процесс назырается радиационным за- хватом [реакция (п, у)]. Эффективное сечение этого процесса резко возрастает при энергии нейтронов, рав- ной ~ 7 эв, достигая 23 000 барн (см. рис. 256). Сече- ние захвата ядром U238 тепловых нейтронов составляет меньше 3 барн. Образовавшееся в результате захвата нейтрона ядро U239 нестабильно (период полураспада Т равен 25 мин). Испуская электрон, антинейтрино и у-фотон, оно ') Деление тяжелых ядер может быть вызвано не только ней- тронами, но и другими частицами — протонами, дейтонами, а-части- цами, а также у-фотонами. В последнем случае говорят о фотоделе- нии ядер; 465
превращается в ядро трансуранового элемента нептуния Np239. Нептуний также претерпевает р -распад (Т = — 2,3 дня), превращаясь В плутоний Ри239. Эта цепочка превращений может быть представлена следующим об- разом: и2зэ (?5 лшн) N 239 е.3дня) Рц239. Ул | УО Г I 0~ 0- (92.1) Плутоний а-радиоактивен, однако его период полу- распада так велик (24 400 лет), что его можно считать практически стабильным. Радиационный захват нейтронов ядром тория Th232 приводит к образованию делящегося изотопа урана U233, отсутствующего в природном уране: 90Th232 + n->90Th233 ^^-’>91Ас233 , ^-^U^U233. v 'к 0~ 0- Уран-233 а-радиоактивен (Т = 162 000 лет). Возникновение при делении ядер U233, Ри239 и U233 нескольких нейтронов делает возможным осуществление цепной ядерной реакции. Действительно, испущенные при делении одного ядра г нейтронов могут вызвать де- ление z ядер, в результате будет испущено z2 новых нейтронов, которые вызовут деление z2 ядер, и т. д. Та- ким образом, количество нейтронов, рождающихся в каждом поколении, нарастает в геометрической прогрес- сии. Нейтроны, испускаемые при делении ядер U235, имеют в среднем энергию ~ 2 Мэв, что соответствует скорости ~2-109 см/сек. Поэтому время, протекающее между рождением нейтрона и захватом его новым деля- щимся ядром, очень мало, так что процесс размноже- ния нейтронов в делящемся веществе протекает весьма быстро. Нарисованная нами картина является идеальной. Процесс размножения нейтронов протекал бы описан- ным образом при условии, что все выделившиеся ней- троны поглощаются делящимися ядрами. В реальных условиях это далеко не так. Прежде всего из-за конеч- ных размеров делящегося тела и большой проникаю- щей способности нейтронов многие из них покинут зону реакции прежде, чем будут захвачены каким-либо яд- 466
ром и вызовут его деление. Кроме того, часть нейтро- нов поглотится ядрами недедящихся примесей, вслед- ствие чего выйдет из игры, не вызвав деления и, следо- вательно, не породив новых нейтронов. Поверхность тела растет как квадрат, а объем — как куб линейных размеров. Поэтому относительная доля вылетающих наружу нейтронов уменьшается с ростом массы делящегося вещества. Природный уран содержит 99,27% изотопа U238, 0,72% U235 и около 0,01% U234. Таким образом, на каж- дое делящееся под действием медленных нейтронов ядро U235 приходится 140 ядер U238, которые захваты- вают не слишком быстрые нейтроны без деления. По- этому в природном уране цепная реакция деления не возникает. Цепная ядерная реакция в уране может быть осу- ществлена двумя способами. Первый способ заклю- чается в выделении из природного урана делящегося изотопа U235. Вследствие химической неразличимости изотопов разделение их представляет собой весьма труд- ную задачу. Однако она была решена несколькими ме- тодами. Промышленное значение приобрел диффузион- ный (точнее, эффузионный) метод разделения, при ко- торрм летучее соединение урана UF6 (гексафторид4) урана) многократно пропускается через перегородку с очень малыми порами [см. т. I, § 116]. В куске чистого U235 (или Ри239) каждый захвачен- ный ядром нейтрон вызывает деление с испусканием ~2,5 новых нейтронов. Однако, если масса такого кус- ка меньше определенного критического значения (со- ставляющего для U235 по вычислениям немецкого физи- ка В. Гейзенберга примерной кг), то большинство испу-. щенных нейтронов вылетает наружу, не вызвав деления, так что цепная реакция не возникает. При массе, большей критической, нейтроны быстро размножаются и реакция приобретает взрывной характер. На этом основано действие атомной бомбы. Ядерный заряд такой бомбы представляет собой два или более кусков почти чистого U235 или Ри239 (на рис. 259 они обозначены ’) Природный фтор состоит из одного изотопа F’9. Другие изотопы фтора нестабильны и были получены лишь искусственным путем. 467
цифрой /). Масса каждого куска меньше критической, вследствие чего цепная реакция не возникает. В зем- ной атмосфере всегда имеется некоторое количество нейтронов, рожденных космическими лучами. Поэтому, чтобы вызвать взрыв, достаточно соединить части ядерного заряда в один кусок с массой, большей кри- тической. Это нужно делать очень быстро и соединение кусков должно быть очень плотным. В противном слу- чае ядерный заряд разлетится на части прежде, чем успеет прореагировать заметная доля делящегося ве- щества. Для соединения используется обычное взрыв- чатое вещество 2 (запал), с помощью которого одной частью ядерного заряда выстреливают в другую. Все устройство заключено в массивную оболоч- ку 3 из металла большой плотности. Обо- лочка служит отражателем нейтронов и, кроме того, удерживает ядерный заряд от ? распыления до тех пор, пока максималь- но возможное число его ядер не выделит свою энергию при делении. Цепная реак- 7 ция в атомной бомбе идет на быстрых ней- тронах. При взрыве успевает прореагиро- 3 вать только часть ядерного заряда. Иной способ осуществления цепной ре- акции используется в ядерных реакто- Рис. 259. р а х (называемых также атомными- котлами). В качестве делящегося ве- щества в реакторах служит природный (либо несколько обогащенный изотопом U235) уран. Чтобы предотвратить радиационный захват нейтронов ядрами U238 (который становится особенно интенсивным при энергии нейтро- нов ~ 7 эв), сравнительно небольшие блоки (куски) де- лящегося вещества размещают на некотором расстоя- нии друг от друга, а промежутки между блоками за- полняют замедлителем, т. е. веществом, в котором нейтроны замедляются до тепловых скоростей. Сечение захвата тепловых нейтронов ядром U238 составляет все- го 3 барна, в то время как сечение деления U235 тепло- выми нейтронами почти в 200 раз больше (580 барн). Поэтому, хотя нейтроны сталкиваются, с ядрами U238 в 140 раз чаще, чем с ядрами U235, радиационный захват происходит реже, чем деление, и при бблыПих критиче- ского размерах всего устройства коэффициент размно- 468
жения ‘) нейтронов может достигнуть значений, боль- ших единицы. Замедление нейтронов осуществляется за счет упру- гого рассеяния. В этом случае энергия, теряемая за- медляемой частицей, зависит от соотношения масс стал- кивающихся частиц. Максимальное количество энергии теряется в случае, если обе частицы имеют одинаковую массу (см. т. I, § 30). С этой точки зрения идеальным замедлителем должно было бы быть вещество, содержа- щее обычный водород, например вода (массы протона и нейтрона примерно одинаковы). Однако такие ве- щества оказались непригодными в качестве замедли- теля, потому что обычный водород поглощает нейтроны, вступая с ними в реакцию: iH*(n, y)iD2. Ядра замедлителя должны обладать малым сечением захвата нейтронов и большим сечением упругого рас- сеяния. Этому условию удовлет- воряют дейтерий D, а также ядра графита (С) и бериллия (Be). Для уменьшения энергии нейтрона от 2 Мэв до тепловых энергий в тяжелой воде (D2O) достаточно около 25 столкнове- ний, в С или Be — примерно 100 столкновений. Первый уран-графитовый ре- актор был пущен в декабре 1942 г. в Чикагском университете под ру- ководством выдающегося италь- янского физика Э. Ферми. На 3 рис. 260 показана схема реактора. Цифрой 1 обозначен замедлитель —графит; 2—блоки из урана; 3 — стерж- ни, содержащие кадмий или бор. Эти стержни служат для регулировки процесса в реакторе. Кадмий и бор интенсивно поглощают нейтроны. Поэтому введение стержней в реактор уменьшает коэффициент размноже- ния нейтронов, а выведение — увеличивает. Специальное автоматическое .устройство, управляющее стержнями, !) Коэффициентом размножения называется отношение количеств нейтронов, рождающихся в двух последующих поколениях. 469
позволяет поддерживать развиваемую в реакторе мощ- ность на заданном уровне. Регулирование значительно облегчается тем .обстоятельством, что часть нейтронов, как уже отмечалось, испускается при делении ядер не мгновенно, а с запаздыванием до 1 мин. Первые промышленные реакторы, построенные в США, предназначались для производства делящегося материала для атомных бомб — плутония. В таких ре- акторах часть нейтронов, испускаемых при делении ядер U235, идет на поддержание цепной реакции, часть же претерпевает радиационный захват ядрами U238, что, как мы видели, приводит в конечном итоге к образова- 470
нию Ри239 [см. схему (92.1)]. После того как в урановых блоках накопится достаточное количество Ри, блоки из- влекаются из реактора и направляются на химическук переработку для выделения из них Ри. Баланс нейтро- нов в реакторе, работающем на природном уране, по- казан на рис. 261. Цифры в кружках дают массовое число соответствующего изотопа урана. Применение ядерной энергии для мирных целей было впервые осуществлено в СССР. Работами по выделению и использованию ядерной энергии ру- ководил замечатель- ный ученый И. В. Курчатов. В 1954 г. в Советском Союзе была введена в экс- плуатацию первая атомная элек- тростанция мощ- ностью 5000 кет. Схе- ма атомной электро- станции изображена на рис. 262. Энергия, выделяемая в актив- Рис. 262. ной зоне реактора 1, снимается теплоносителем, циркулирующим в контуре 2. Циркуляция обеспечивается насосом 3. В качестве теплоносителя применяется вода или щелочные метал- лы с низкой температурой плавления, например натрий (Тплавл = 98°С). В теплообменнике 4 теплоноситель от- дает свое тепло воде, превращая ее в пар, вращающий турбину 5. Наряду с реакторами, в которых ядерное горючее и замедлитель отделены друг от друга (их называют ге- терогенными), существуют гомогенные реак- торы, в которых ядерное горючее равномерно распреде- лено по объему замедлителя. В качестве примера мож- но указать реактор, активная зона которого образована тяжелой водой с растворенными в ней солями U235 или Ри239. Реакторы с замедлителем работают на медленных (тепловых) нейтронах. Использовав горючее, обога- щенное делящимся изотопом (U235 или Ри239), можно 471
построить реактор, действующий на быстрых нейтронах. Часть нейтронов в таких реакторах также может быть использована для превращения U238 в Ри239 или Th232 в U233, причем количество образующихся ядер, способ- ных делиться тепловыми нейтронами, может превосхо- дить количество делящихся ядер, израсходованных на поддержание работы реактора. Следовательно, воспро- изводится большее количество ядерного горючего, чем выгорает в реакторе. Поэтому такие ядерные реакторы называют реакторам и-p азмножителями. В заключение отметим, что побочными продуктами работы ядерных реакторов являются радиоактивные изотопы многих химических элементов, которые находят разнообразные применения в биологии, медицине и тех- нике. § 93. Термоядерные реакции В § 88 мы уже отмечали, что ядерный синтез, т. е. слияние легких ядер в одно ядро, сопровождается, как и деление тяжелых ядер, выделением огромных коли- честв энергии. Поскольку для синтеза ядер необходимы высокие температуры, этот процесс называется термо- ядерной реакцией. Чтобы преодолеть потенциальный барьер, обуслов- ленный кулоновским отталкиванием, ядра с порядко- выми номерами Zt и должны обладать энергией: Е _ ZiZ2e2 гя * где гя — радиус действия ядерных сил, равный ~2• 10-13 см. Даже для самых легких ядер с Zt = Z2 = = 1 эта энергия составляет £==^_ = Ii8110^_=1 5 10-б ^07 Мэв гя 2-10-13 На долю каждого сталкивающегося ядра приходится половина указанной величины. Средней энергии тепло- вого движения, равной 0,35 Мэв, соответствует темпера- тура порядка 2-109°К. Однако синтез легких ядер мо- жет протекать и при значительно меньших температурах. Дело в том, что из-за случайного распределения частиц по скоростям всегда имеется некоторое число ядер, энер- гия которых значительно превышает среднее значение. 472
Кроме того, что особенно существенно, слияние ядер может произойти вследствие туннельного эффекта. По- этому некоторые термоядерные реакции протекают с за- метной интенсивностью уже при температурах порядка 107°К- Особенно благоприятны условия для синтеза ядер дейтерия и трития, так как реакция между ними носит резонансный характер. Именно эти вещества образуют заряд водородной (или термоядерной) бом- бы1). Запалом в такой бомбе служит обычная атомная бомба, при взрыве которой возникает температура по- рядка 107°К. Реакция синтеза дейтерия и трития ,Н2 + |Н3->2Не4 + п сопровождается выделением энергии, равной 17,6 Мэв, что составляет ~3,5 Мэв на нуклон. Для сравнения укажем, что деление ядра урана приводит к высвобож- дению ~ 0,85 Мэв на нуклон. Синтез ядер водорода в ядра гелия является источ- ником энергии Солнца и звезд, температура в недрах которых достигает 107—10®°K. Этот синтез осуществ- ляется двумя путями. При более низких температурах имеет место протонно-протонный цикл, проте- кающий следующим образом. Вначале происходит син- тез двух протонов с образованием ядра гелия гНе2, ко- торое’ сразу же претерпевает ₽+-радиоактивный распад: 1Н1 + 1Н* -> 2Не2 -» !Н2 + е+ + v. Образовавшееся ядро тяжелого водорода 1Н2, стал- киваясь с протоном, объединяется с ним в ядро гНе3: 1Н2 + 1Н’->2Не3 + у. Наконец, последнее звено цикла образует реакция: 2Не3 + 2Не3 -> 2Не4 + .Н1 + (Н1. При более высоких температурах большей вероят- ностью обладает предложенный Г. Бете углеродный ’) Первый термоядерный взрыв был осуществлен в Советском Союзе в 1953 г.
(или углеродн о-a з о т н ы й) цикл, который со- стоит из следующих звеньев: eC^+jH’-^^ + y, 7N13->cC13 + ^+ + v, 6С13 + jH1-> 7N14 + у> 7N14 +iHl->8Ols +Y, 8О15 —> 7N15 + 4-v, 7N15 + 1H1 -> 8O16 6C12 + 2He4. В последней строке 8O16 представляет собой составное ядро [см. уравнение (91.2)]. Итогом углеродного цикла является исчезновение че- тырех протонов и образование одной а-частицы. Коли- чество ядер углерода остается неизменным; эти ядра участ- \ вуют в реакции в роли катали- л1 ) затора. ’а s' Углеродный цикл преобла- С1 s' дает в звездах с более высокой [\ температурой. Большая часть \ \ s' энергии Солнца выделяется в результате протонно-протонно- го цикла. Рис. 263. в водородной бомбе термо- ядерная реакция носит некон- тролируемый характер. Для осуществления управ- ляемых термоядерных реакций необходимо создать и поддерживать в некотором объеме темпера- туру порядка 108°К. При столь высокой температуре вещество представляет собой полностью ионизирован- ную плазму [см. т. II, § 88]. На пути осуществления управляемой термоядерной реакции стоят огромные труд- ности. Наряду с необходимостью получить чрезвычайно высокие температуры, возникает проблема удержания плазмы в заданном объеме. Соприкосновение плазмы со стенками сосуда приведет к ее остыванию. Кроме того, стенка из любого вещества при такой температуре не- медленно испарится. Советские физики А. Д. Сахаров и И. Е. Тамм предложили удерживать плазму в заданном объеме с помощью магнитного поля. Высокую темпера- туру в плазме получают, пропуская через нее очень силь- 474
ный электрический ток. Магнитное поле этого тока сжи- мает разрядный капал, отрывая плазменный шнур от стенок сосуда *). Действительно, как следует из рис. 263, лоренцева сила ft, действующая на любой, движущийся вдоль плазменного шнура заряд, имеет направление к оси шнура. Чтобы избежать необходимости удержи- вать плазму от соприкосновения с концами разрядной трубки, вместо Прямой разрядной трубки применяют трубки в виде тороида. К сожалению, плазменный шнур оказался чрезвы- чайно неустойчивым, так что пока удается удерживать плазму от соприкосновения со стенками разрядной труб- ки в течение очень короткого времени. Достигнутые та- ким путем температуры (~ 106°К) также недостаточны для возникновения реакции синтеза. Осуществление управляемого термоядерного синтеза даст человечеству практически неисчерпаемый источник энергии. Поэтому работы по овладению управляемыми термоядерными реакциями ведутся во многих странах. Особенного размаха эти работы достигли в СССР, Анг- лии и США. В СССР значительных успехов достигла группа ученых, работающих под руководством Л. А. Ар- цимовича. ’) Явление сжатия плазменного шнура магнитным полем носит название пинч-эффекта.
Г Л А В A XV ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ § 94. Космические лучи Из мирового пространства на Землю непрерывно па- дает поток атомных ядер (в основном протонов) высо- кой энергии (в среднем ~ 10 Гэв, энергия отдельных частиц достигает Ю10 Гэе1)). Эти так называемые пер- вичные космические лучи образуют в земной атмосфере вторичное излучение, в котором встре- чаются все известные в настоящее время элементарные частицы. Интенсивность первичных космических лучей на гра- нице атмосферы составляет примерно 1 частицу 1см2 • сек. Поток заряжённых частиц на уровне моря равен в сред- нем ~2 • 10'2 частиц/см2-сек. Существование магнитного поля Земли приводит к тому, что интенсивность кос- мических лучей меняется с широтой. Это явление назы- вается широтным эффектом. Частицы первичных космических лучей претерпевают неупругие столкновения с ядрами атомов в верхних слоях атмосферы, в результате чего возникает вторич- ное излучение. На высотах ниже 20 км космические лу- чи практически полностью носят вторичный характер. В составе вторичных космических лучей имеются две компоненты. Одна из них сильно поглощается свинцом и поэтому была названа мягкой; вторая же проникает через большие толщи свинца и получила название жесткой. Мягкая компонента состоит из каскадов или лив- ней электронно-позитронных пар (см. § 97). Возникший *) 1 Гав (гигаэлектрон-вольт) = 109 эв. Эту единицу называют также Бэе (биллион электрон-вольт). 476
в результате ядерного превращения или резкого тормо- жения быстрого электрона у-фотон, пролетая вблизи атомного ядра, создает электронно-позитронную пару (рис. 264). Торможение этих частиц снова приводит к образованию у-фотонов, и т. д. Процессы рождения пар и возникновения у-квантов чередуются друг с дру- гом до тех пор, пока энергия у-фотонов не станет недо- статочной для образования пар. Поскольку энергия пер- воначального фотона бывает очень большой, успевает возникнуть много поколений вторич- ных частиц, прежде чем прекращается развитие ливня. Жесткая, проникающая компонен- та космических лучей состоит в основ- ном из мюонов. Ее образование про- исходит преимущественна в верхних и средних слоях атмосферы за счет распада заряженных л-мезонов (и от- части Я-мезонов). Во время полетов искусственных спутников Земли и космических ракет были открыты вблизи Земли -радиа- ционные пояса, которые пред- Рис. 264. ставляют собой две окружающие Зем- лю зоны с резко повышенной интенсивностью ионизи- рующего излучения. Их существование обусловлено за- хватом и удержанием заряженных космических частиц магнитным полем Земли. В плоскости экватора внутрен- ний пояс радиации простирается от 600 до 6000 км, внешний пояс — от 20000 до 60000 км. На широтах 60—70° оба пояса приближаются к Земле на расстоя- ние в несколько сот километров. До недавнего времени космическое излучение было единственным источником частиц с энергией, достаточ- ной для образования мезонов и гиперонов. Позитрон, мюоны, я-мезоны и многие странные частицы (см. §99) были первоначально обнаружены в составе космических лучей. В 1952 г. в Брукхавене (США) был введен в дей- ствие первый синхрофазотрон (см. т. П, § 68), который позволил получать протоны существенно большей энер- гии (до 3 Гэв), чем давали существовавшие до тех пор ускорители. Энергия в 3 Гэв попадает уже в область энергий первичного космического излучения, Поэтому 477
брукхавенский синхрофазотрон получил название к ос- мотр он а. В настоящее время (1970 г.) в г. Серпу- хове (под Москвой) действует ускоритель, позволяющий получать протоны с энергией до 76 Гэв. С появлением ускорителей космические лучи утратили свое исключи- тельное значение при изучении элементарных частиц. Однако они по-прежнему остаются единственным источ- ником частиц сверхвысоких энергий. § 95. Методы наблюдения элементарных частиц Элементарные частицы удается наблюдать благодаря тем следам, которые они оставляют при своем прохож- дении через вещество. Характер следов позволяет судить о знаке заряда частицы, ее энергии, импульсе и т. п. Заряженные частицы вызывают ионизацию молекул на своем пути. Нейтральные частицы следов не оставляют, но они могут обнаружить себя в момент распада на за- ряженные частицы или в момент столкновения с каким- либо ядром. Следовательно, в конечном счете нейтраль- ные частицы также обнаруживаются по ионизации, вы- званной порожденными ими заряженными частицами. Приборы, применяемые для регистрации ионизирую- щих частиц, подразделяются на две группы. К первой группе относятся устройства, которые регистрируют факт пролета частицы и, кроме того, позволяют в неко- торых случаях судить об ее энергии. Вторую группу об- разуют так называемые трековые приборы, т. е. приборы, позволяющие наблюдать следы (треки) частиц в веществе. К числу регистрирующих приборов относятся иони- зационные камеры и газоразрядные счет- чики (см. т. П, § 86). Широкое распространение полу- чили также черепковские счетчики (см. § 48) и сцинтилляционные счетчики. Заряженная частица, пролетающая через вещество, вызывает не только ионизацию, но и возбуждение ато- мов. Возвращаясь в нормальное состояние, атомы ис- пускают видимый свет. Вещества, в которых заряжен- ные частицы возбуждают заметную световую вспышку (сцинтилляцию), называют фосфорами. Фосфоры бы- вают органические (бензол, нафталин, антрацен, нафта- цен и др.) и неорганические. Наиболее употребитель- 478
Рис. 265. ними неорганическими фосфорами являются ZnS—Ag (ZnS, активированный серебром) и NaJ— Т1. Для про- тонных счетчиков обычно используют пластмассовые сцинтилляторы. Применяются также жидкие сцинтил- ляторы. Сцинтилляционный счетчик состоит из фосфора, от которого свет подается по специальному светопроводу к фотоумножителю. Импульсы, получающиеся на вы- ходе фотоумножителя, подвергаются счету. Опреде- ляется также амплитуда импульсов (которая пропор- циональна интенсивности световых вспышек), что дает дополнительную информацию о регистри- руемых частицах. Счетчики часто объединяются в груш пы и включаются так, чтобы регистриро- вались только такие события, которые отмечаются одновременно несколькими приборами, либо, напротив, только од- ним из них. В первом случае говорят, что счетчики включены по схеме совпа- дений, во втором — по схеме анти- совпадений. Применяя различные схемы включений, можно из множества явлений выделить то, которое предста- вляет интерес. Например, два счетчика (рис. 265), установленные один над дру- гим и включенные по схеме совпадений, зарегистрируют летящую вертикально частицу / и не зарегистрируют частиц 2 и 3. К числу трековых приборов относятся камеры Виль- сона, пузырьковые камеры, искровые камеры и эмуль- сионные камеры. Кроме того, существуют еще и диффу- зионные камеры, которых мы, однако, не будем рассмат- ривать. Камера Вильсона. Так называют прибор, созданный английским физиком Ч. Вильсоном в 1912 г. Дорожка из ионов, проложенная летящей заряженной частицей, становится видимой в камере Вильсона, потому что на ионах происходит конденсация пересыщенных паров ка- кой-либо жидкости. Прибор работает не непрерывно, а циклами. Сравнительно короткое (~0,1—1 сек) вре- мя чувствительности камеры чередуется с мертвым вре- менем (в 100—1000 раз большим), в течение которого 479
камера готовится к следующему рабочему циклу. Пере- сыщение достигается за счет внезапного охлаждения, вызываемого резким (адиабатическим) расширением рабочей смеси, состоящей из неконденсирующегося газа (гелия, азота, аргона) и паров воды, этилового спирта и т. п. В этот же момент производится стереоскопиче- ское (т. е. с нескольких точек) фотографирование ра- бочего объема камеры. Стереофотографии, позволяют воссоздать пространственную картину зафиксирован- ного явления. Так как отношение времени чувствитель- ности к мертвому времени очень мало, приходится ино- гда делать десятки тысяч снимков, прежде чем будет зафиксировано какое-либо событие, обладающее не- большой вероятностью. Чтобы увеличить вероятность наблюдения редких явлений, используются управляе- мые камеры Вильсона, у которых работой расшири- тельного механизма управляют счетчики частиц, вклю- ченные в электронную схему, выделяющую нужное со- бытие. В 1927 г. советский ученый Д. В. Скобельцын впервые поместил камеру Вильсона между полюсами электро- магнита, что сильно расширило ее возможности. По иск- ривлению траектории, вызываемому действием магнит- ного поля, удается определить знак заряда частицы и ее импульс. В качестве примера фотографии, полученной с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле, может служить рис. 270 (стр. 490). Пузырьковая камера. В изобретенной Д. А. Глезе- ром в 1952 г. пузырьковой камере пересыщенные пары заменены прозрачной перегретой жидкостью (т. е. жид- костью, находящейся под внешним давлением, меньшим давления ее насыщенных паров; см. т. I, § 120). Проле- тевшая через камеру ионизирующая частица вызывает бурное вскипание жидкости, вследствие чего след ча- стицы оказывается обозначенным цепочкой пузырьков пара — образуется трек (см. рис. 271, стр. 500). Пузырь- ковая камера, как и камера Вильсона, работает цикла- ми. Запускается камера резким снижением (сбросом) давления, вследствие чего рабочая жидкость переходит в метастабильное перегретое состояние. В качестве ра- бочей жидкости, которая одновременно служит ми- шенью для пролетающих через нее частиц, применяются жидкий водород (в этом случае нужны низкие темпе- 480
ратуры), пропан (СзН8), фреоны (CC1F3, CCI2F2) и т. д. Рабочий объем камер достигает 1000 л. Искровые камеры. В 1957 г. Краншау и де-Биром был сконструирован прибор для регистрации траекто- рий заряженных частиц, названный искровой камерой. Прибор состоит из системы плоских параллельных друг другу электродов, выполненных в виде каркасов с на- тянутой на них металлической фольгой либо в виде ме- таллических пластин (рис. 266). Электроды соединяются ____________/ | Счетчик j |- / Рис. 266. через один. Одна группа электродов заземляется, а на другую периодически подается кратковременный (дли- тельностью 10-7 сек) высоковольтный импульс (10— 15 кв). Если в момент подачи импульса через камеру пролетит ионизирующая частица, ее путь будет отмечен цепочкой искр, проскакивающих между электродами. Прибор запускается автоматически с помощью вклю- ченных по схеме совпадений дополнительных счетчиков, регистрирующих прохождение через рабочий объем ка- меры исследуемых частиц. В камерах, наполненных инертными газами, межэлектродное расстояние может достигать нескольких сантиметров. Если направление полета частицы образует с нормалью к электродам угол, не превышающий 40°, разряд в таких камерах разви- вается по направлению трека частицы. Метод фотоэмульсий. Советские физики Л. В. Мы- совский и А. П. Жданов впервые применили для 15 И. В. Савельев, т. Ill 481
регистрации элементарных частиц фотопластинки. Заря- женная частица, проходя через фотоэмульсию, вызывает такое же действие, как и фотоны. Поэтому после прояв- ления пластинки в эмульсии образуется видимый след (трек) пролетевшей частицы. Недостатком метода фото- пластинок была малая толщина эмульсионного слоя, вследствие чего получались полностью лишь треки ча- стиц, летящих паралелльно плоскости слоя. В эмуль- сионных камерах облучению подвергаются толстые пачки (весом до нескольких десятков килограммов), со- ставленные из отдельных слоев фотоэмульсии (без под- ложки). После облучения пачка разбирается на слои. Рис. 267. каждый из которых проявляется и просматривается под микроскопом. Для того чтобы можно было проследить путь частицы при переходе из одного слоя в другой, пе- ред разборкой пачки на все слои наносится с помощью рентгеновских лучей одинаковая координатная сетка. Получающиеся таким способом треки частиц показаны на рис. 267, на котором зафиксировано последователь- ное превращение л-мезона в мюон и затем в позитрон. § 96. Классы элементарных частиц и виды взаимодействий Под элементарными частицами понимают такие мик- рочастицы, внутреннюю структуру которых на современ- ном уровне развития физики нельзя представить как объединение других частиц. Во всех наблюдавшихся до сих пор явлениях каждая такая частица ведет себя как единое целое. Элементарные частицы могут превра- щаться друг в друга. Примеры таких превращений 482
встречались нам в предыдущей главе [см. (87.5), (89.3), (89.4) и (89.5)]. Для того чтобы объяснить свойства и поведение эле- ментарных частиц, их приходится наделить, кроме мас- сы, электрического заряда и спина, рядом дополнитель- ных, характерных для них величин (квантовых чисел), о которых будет речь идти ниже. В настоящее время известны четыре вида взаимо- действий между элементарными частицами: сильное1), электромагнитное, слабое и гравитационное (мы пере- числили их в порядке убывания интенсивности). Сильное взаимодействие. Этот вид взаимодействия называют иначе ядерным, так как оно обеспечивает связь нуклонов в ядре (см. § 89). Интенсивность взаи- модействия принято характеризовать безразмерной кон- стантой взаимодействия G2. Эта же констан- та характеризует вероятность процессов, обусловленных данным взаимодействием. Для сильных взаимодействий G2 = G2S = 1. Наибольшее расстояние, на котором про- является сильное взаимодействие (радиус действия г), составляет, как мы знаем, примерно 10~13 см. Частица, пролетающая со скоростью, близкой к с, в непосред- ственной близости к другой частице, будет взаимодей- ствовать с ней в течение времени т « г/с ~ 10-13/(ЗХ Х1010) ~ 10-23 сек. В соответствии с этим говорят, что сильное взаимодействие характеризуется временем взаимодействия порядка 10~23 сек. Электромагнитное взаимодействие. Радиус действия электромагнитного взаимодействия не ограничен (г = = оо). Константа взаимодействия равна Следовательно, интенсивность электромагнитного взаи- модействия примерно в 100 раз меньше, чем сильного. Время, необходимое для того, чтобы проявилось взаи- модействие, обратно пропорционально его интенсивности (или вероятности). Поэтому для электромагнитного *) Сильное взаимодействие распадается на два вида — собствен- но сильное и умеренно сильное, но этого вопроса мы касаться не будем. 16* 483
взаимодействия О2 -21 Те ~ Ts “V ~ Ю сеК- е G2„ Слабое взаимодействие. Слабое или распадное вза- имодействие ответственно за все виды p-распадов ядер (включая К-захват), за многие распады элементарных частиц, а также за все процессы взаимодействия ней- трино с веществом. Слабое взаимодействие, как и силь- ное, является короткодействующим. Константа взаимо- действия G2 — равна 10-14. Следовательно, время взаимодействия тю «= 10~® сек. Гравитационное взаимодействие. Радиус действия не ограничен (г = оо). Константа взаимодействия крайне мала: G2 = Gg = 10-39. Соответственно время взаимодей- ствия составляет rg ~ 10® лет. Гравитационное взаимо- действие является универсальным, ему подвержены все без исключения элементарные частицы. Однако в про- цессах микромира гравитационное взаимодействие ощу- тимой роли не играет. Значения G2 и т для разных видов взаимодействия сопоставлены в табл. 8. Таблица 8 Вид взаимодействия Константа взаимодей- ствия G2 Время взаимодей- ствия т, сек Сильное (ядерное) . . Электромагнитное . . Сла"бое (распадное) . . Гравитационное . . . 1 7 7 । ООО со 10“23 10 21 10 9 1016 (109 лет) В соответствии с характером взаимодействий, в ко- торых они способны участвовать, элементарные частицы делятся на три ’) класса. 1. Фотоны, у (кванты электромагнитного поля). Эти частицы участвуют в электромагнитных взаимодействиях, но не обладают сильным и слабым взаимодействиями. ') Предположительно существует еще один класс частиц — гравитоны (кванты гравитационного поля). Экспериментально эти частицы пока не наблюдались. 484
2. Лептоны (греческое «лептос» означает легкий). К их числу относятся частицы, не обладающие сильным взаимодействием: мюоны (ц~, ц+), электроны (е-, е+) и нейтрино (v, v). Все лептоны имеют спин, равный ‘/г. Такие частицы подчиняются статистике Ферми — Дирака (учитывающей принцип Паули), вследствие чего называются фермионами. Все лептоны обла- дают слабым взаимодействием. Те из них, которые имеют электрический заряд (т. е. мюоны и электроны), обладают также электромагнитным взаимодействием. 3. Адроны (греческое «адрос» означает крупный, массивный). Этот класс включает в себя все сильно взаимодействующие частицы. Наряду с сильным эти частицы обладают также слабым и электромагнитным взаимодействиями. Адроны подразделяются на две под- группы: мезоны и барионы. Мезоны — сильно взаимодействующие нестабильные частицы, не несущие так называемого барионного за- ряда (см. ниже). К их числу принадлежат л-мезоны (л+, л”, л°) и А-мезоны ’), или каоны (А+, К~, К°, К°). О л-мезонах см. в § 89. Масса A-мезонов составляет ~970те (494 Мэв для заряженных и 498 Мэв для ней- тральных А-мезонов). Время жизни А-мезонов имеет ве- личину порядка 10-8 сек. Они распадаются с образо- ванием л-мезонов и лептонов или только лептонов. За- ряженные л-мезоны распадаются, как мы видели в §89, с образованием лептонов; л°-мезон распадается пре- имущественно с образованием у-фотонов. Распад мезо- нов (за исключением л°-мезона) идет за счет слабого взаимодействия, вследствие чего они отличаются вре- менами жизни (~10-8 сек), значительно превышаю- щими ядерные времена. Распад л°-мезона на у-фотоны определяется не слабым, а электромагнитным взаимо- действием (фотоны в слабых взаимодействиях не участ- вуют). В соответствии с этим время жизни л°-мезона ') Нейтральные К° и К° мезоны ведут себя как отдельные ча- стицы только в момент рождения. При свободном движении каждый из них ведет себя как смесь других нейтральных частиц и Частицы К® и отличаются способом распада и временем жизни. При столкновении с ядрами каждая из частиц К® и К? ведет себя как смесь №- и А°-мезонов. В дальнейшем в эти тонкости мы вда- ваться не будем. 485
(~ 10-16 сек) на много порядков меньше, чем времена жизни остальных мезонов. В отличие от лептонов ме- зоны обладают не только слабым (и, если они заря- жены, электромагнитным), но также и сильным взаимо- действием, проявляющимся при взаимодействии их меж- ду собой, а также при взаимодействии между мезонами и барионами. Спин всех мезонов равен нулю, так что принцип Паули на них не распространяется. Частицы с целым (или нулевым) спином подчиняются статис- тике Бозе — Эйнштейна, в связи с чем носят на- звание бозонов. Подгруппа барионов объединяет в себе нуклоны (р, п) и нестабильные частицы с массой, большей мас- сы нуклонов, получившие название гиперонов1) (Л°, S+, S°, S-, Е°, S~, Q-). Все барионы обладают силь- ным взаимодействием и, следовательно, активно взаимо- действуют е атомными ядрами. Спин всех барионов равен ’/г, так что барионы являются фермионами. За исключением протона, все барионы нестабильны. При распаде бариона, наряду с другими частицами, обяза- тельно образуется барион. Эта закономерность является одним из проявлений закона сохранения бари- онного заряда, о котором будет речь в следующем параграфе. В последнее время обнаружено около 70 короткожи- вущих частиц, которые получили название резонан- сов. Эти частицы представляют собой резонансные со- стояния, образованные двумя или большим числом эле- ментарных частиц. Время жизни резонансов составляет всего лишь ~ 10'23—10~22 сек. Это указывает на то, что распад резонансов происходит за счет сильного взаимо- действия. Распад других частиц осуществляется за счет слабого (иногда электромагнитного) взаимодействия. Поэтому времена жизни их значительно больше. Некоторые из резонансов являются бозонами и дол- жны быть отнесены к классу мезонов. Таковы, напри- мер, а>-резонанс (или ы-мезон), распадающийся на три л-мезона, или К*-резонанс (7(*-мезон), распадающийся на /(-мезон и л-мезон. Другие резонансы — фермионы и должны быть причислены к классу гиперонов. При- ') Гипероны обозначаются прописными буквами греческого ал- фавита: Л — ламбда, 2 —сигма, Е — кси, Q —омега. 486
мером может служить Ё*-резонанс (Е*-гиперон), распа- дающийся на S-гиперон и л-мезон. В дальнейшем вопроса о резонансах мы касаться не будем. § 97. Частицы и античастицы Уравнение Шредингера (65.1) не удовлетворяет тре- бованиям теории относительности — оно не инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца. В 1928 г. ан- глийскому физику П. Дираку удалось найти реляти- вистское волновое уравнение, из которого вытекает ряд замечательных следствий. Прежде всего из решения этого уравнения естест- венным образом, без каких-либо дополнительных предположений, по- лучается спин и численное значение собственного магнитного момента электрона. Таким образом, выясни- лось, что спин представляет собой величину одновременно и кванто- вую, и релятивистскую. Но этим не исчерпывается зна- чение уравнения Дирака. Оно по- зволило также предсказать сущест- вование античастицы электрона — позитрона. Из уравнения Дирака получаются для полной1) энергии сво- бодной частицы не только положительные, но и отрица- тельные значения. Исследование уравнения показывает, что при заданном импульсе частицы р существуют реше- ния уравнения, соответствующие энергиям: £ = ± ]/с2р- + . (97.1) Между наименьшей положительной энергией ( + т0с2) и наибольшей отрицательной (—т0с2) имеется интервал значений энергии, которые не могут реализо- ваться. Ширина этого интервала равна 2т0с2 (рис. 268). Таким образом, получаются две области собственных значений энергии: одна начинается с +тос2 и прости- рается до +оо, другая начинается с —т0с2 и прости- рается до •—оо. Рис. 268. *) В релятивистском понимании [см. (42.9)]. 487
В неквантовой релятивистской механике энергия вы- ражается через импульс с помощью соотношения (42.12), совпадающего с (97.1), так что формально также может иметь отрицательные значения. Однако в неквантовой теории энергия изменяется непрерывно и поэтому не может пересечь запрещенную зону и перейти от поло- жительных значений к отрицательным. В квантовой тео- рии, как мы знаем, энергия может изменяться не только непрерывно, но и скачком, так что существование запре- щенной зоны не может воспрепятствовать переходу ча- стицы в состояния с отрицательной энергией [ср. с пе- реходом электрона в полупроводнике из валентной зоны в зону проводимости, т. II, рис. 137,6]. Частица с отрицательной энергией должна обладать весьма странными свойствами. Переходя в состояния со все меньшей энергией (т. е. с увеличивающейся по мо- дулю отрицательной энергией), она могла бы выделять энергию, скажем, в виде излучения, причем, поскольку |£| ничем не ограничен, частица с отрицательной энер- гией могла бы излучить бесконечно большое количество энергии. К аналогичному выводу можно прийти следую- щим путем. Из соотношения Е = тс2 вытекает, что у частицы с отрицательной энергией масса будет также отрицательна. Под действием тормозящей силы частица с отрицательной массой должна не замедляться, а уско- ряться, совершая над источником тормозящей силы бес- конечно большое количество работы. Ввиду этих труд- ностей следовало, казалось бы, признать, что состояния с отрицательной энергией нужно исключить из рассмот- рения как приводящие к абсурдным результатам. Это, однако, противоречило бы некоторым общим принципам квантовой механики. Поэтому Дирак выбрал другой путь. Он предположил, что переходы электронов в со- стояния с отрицательной энергией обычно не наблю- даются по той причине, что все имеющиеся уровни с от- рицательной энергией уже заняты электронами. Напом- ним, что электроны, как и другие частицы с полуцелым спином, подчиняются принципу Паули, который запре- щает находиться в одном и том же состоянии более чем одной частице. Согласно Дираку вакуум есть такое состояние про- странства, в котором все уровни отрицательной энергии заселены электронами, а уровни с положительной энер- 488
гией свободны (рис. 269, а). Поскольку заняты все без исключения уровни, лежащие ниже запрещенной поло- сы, электроны на этих уровнях никак себя не обнару- живают. Подобно этому в диэлектрике электроны, пол- ностью заполняющие валентную зону (см. т. II, рис. 137,в), никак не реагируют на действие электриче- ского поля. Если одному из электронов, находящихся на отрицательных уровнях, сообщить энергию, превы- шающую ширину запрещенной зоны, равную 2т0с2, то этот электрон перейдет в состояние с положительной Г 2гл0сг -Е=О “Т 2тосг Е=О Рис. 269. энергией и будет вести себя обычным образом, как ча- стица с положительной массой и отрицательным заря- дом. Вакансия («дырка»), образовавшаяся при этом в совокупности отрицательных уровней, должна вести себя как электрон, имеющий положительный заряд. Дей- ствительно, отсутствие частицы, обладающей отрица- тельными массой и зарядом, будет восприниматься как наличие частицы с положительной массой и положи- тельным зарядом. Эта первая из предсказанных теоре- тически частиц была названа позитроном. При встрече позитрона с электроном они анниги- лируют (исчезают) — электрон переходит с положи- тельного уровня на вакантный отрицательный1)- Энер- гия, соответствующая разности этих уровней, выделяется в виде излучения. На рис. 269, б стрелка / изображает процесс рождения пары электрон — позитрон, а стрел- ка 2— их аннигиляцию. *) Этот процесс аналогичен рекомбинации электрона и дырки в йолупроводнике. 489
Прежде чем аннигилировать, электрон и позитрон образуют метастабильную связанную систему, анало- гичную атому водорода, в котором протон заменен по- зитроном. Такое связанное состояние электрона и пози- трона называется позитронием. В зависимости от значения результирующего спина этой системы разли- чают парапозитроний (у которого s = 0, т. е. спины е~ и е+ антипарал- лельны) и ортопози- троний (s = 1, спины е~ и е+ параллельны). Время жизни равно для парапозитро- ния -~10-10 сек, для ортопозитрония ~ 10~7 сек. Вслед- ствие аннигиляции электрона и позит- рона позитроний рас- падается на фотоны, суммарная энергия которых равна 2т0с2 = 1,02 Мэв. Свойства позитро- ния (например, вре- мя жизни), вычис- ленные теоретически, хорошо подтверж- даются эксперимен- тально. Рис. 270. Теория Дирака была настолько «су- масшедшей», что большинство физиков отнеслось к ней весьма недоверчиво. Однако в 1932 г. американский фи- зик К- Андерсон обнаружил позитрон в составе косми- ческих лучей. В камере Вильсона, помещенной между полюсами электромагнита, позитрон оставлял такой же след, как и рождавшийся одновременно с ним электрон, только этот след был закручен в противоположную сто- рону (рис. 270). Рождение электронно позитронных пар происходит при прохождении у-фотонов через вещество. Это — один из основных процессов, приводящих к поглощению у-лу- 490
чей веществом. В полном соответствии с теорией Дирака минимальная энергия у-фотона, при которой наблю- дается рождение пар, оказывается равной 2тос2 — = 1,02 Мэв [см. (87.2)]. Для соблюдения закона сохране- нения импульса в процессе рождения пары должна участвовать еще одна частица (ядро или электрон), ко- торая воспринимает избыток импульса у-фотона над суммарным импульсом электрона и позитрона. Следова- тельно, процесс запишется в виде уравнения: у + Х->Х + е- + е+, (97.2) где X — ядро, в силовом поле которого происходит рож- дение пары. При аннигиляции требования закона сохранения им- пульса удовлетворяются тем, что возникают два или три у-фотона, разлетающихся в разные стороны: е~ + е+->у + у(+ у). (97.3) Электронно-позитронные пары могут также возни- кать при взаимодействии у-фотона с электроном: у + е~ -* е" + е~ + е+ (97.4) и при столкновениях между двумя заряженными части- цами, например электронами: е~ + е~->е~ + е~ + е~ + е+. (97.5) Доля энергии, получаемая ядром X в ходе процесса (97.2), столь мала, что порог реакции образования пар (т. е. необходимая для этого минимальная энергия у-фо- тона) практически равен 2тос2 (т0 — масса электрона, равная массе позитрона). Порог реакции (97.4) состав- ляет 4т0с2, а реакции (97.5) — 7т0с2 (в последнем слу- чае под порогом реакции подразумевается минимальная суммарная энергия сталкивающихся электронов). Та- ким образом, требования одновременного сохранения энергии и импульса приводят к тому, что порог реакции (минимальная энергия исходных частиц) может ока- заться заметно больше, чем суммарная энергия покоя рождающихся частиц. В несколько измененном виде уравнение Дирака применимо не только к электронам (и антиэлектронам, т. е. позитронам), но и к другим частицам со спином, равным '/г- Следовательно, для каждой такой частицы 491
(например, протона или нейтрона) должна существовать античастица1). По аналогии с (97.5) рождения пары протон — антипротон (р— р) или нейтрон — анти- нейтрон (п — п) можно было ожидать при столкновении нуклонов достаточно большой энергии. Суммарная энер- гия покоя протона и антипротона, равно нейтрона и ан- тинейтрона, составляет почти 2 Гэв [см. (87.1) и (87.4)]. Определяемый требованиями сохранения энергии и им- пульса порог реакции равен 5,6 Гэв. В 1955 г. в г. Берк- ли (США) был запущен названный бэватроном (от Бэе) ускоритель (синхрофазотрон; см. т. II, § 68), позволявший ускорять протоны до энергии 6,3 Гэв. Облучая пучком ускоренных протонов медную мишень, О. Чемберлен, Э. Сегре, К. Виганд и П. Ипсилантис наблюдали образование пары р — р. Реакция протекала по одной из следующих схем: р + р-^р + р + р + р или р + п-*р + п +р+р. (97.6) Второй из нуклонов в левой части входит в состав ядра Си. Поскольку нуклоны в ядре находятся в движении, пороговая энергия ударяющей частицы в этом случае составляет -~4,3 Гэв. Антипротон отличается от протона знаком электриче- ского заряда и собственного магнитного момента (у ан- типротона магнитный момент отрицателен, т. е. направ- лен противоположно механическому моменту). Главное же, что отличает антипротон от протона (и вообще ча- стицу от античастицы), заключается в их способности к взаимной аннигиляции, в результате которой возни- кают другие частицы (в случае р — р преимущественно л-мезоны). Антипротон может аннигилировать при встрече не только с протоном, но и с нейтроном. Сово- купность возникающих частиц в отдельных актах анни- гиляции различна. Например, возможны процессы: р + р -> л+ + л~ + Д+ + л~ + л°, | р + р —> л+ + л~ + л0 + л° + л°, } р + п -> л+ + л" + л~ + Л° + л°. J (97.7) ') Античастицу принято обозначать той же буквой, что и соот- ветствующую ей частицу, с добавлением тильды (~) (или прямой черточки), проставляемой над этой буквой. Так, например, антипро- тон обозначают символом р или р). 492
При аннигиляции р с р в среднем рождается около пяти л-мезонов, из которых примерно три заряженных и два нейтральных. В 1956 г. Б. Корком, Г. Ламбертсоном, О. Пиччони и В. Вензелем были наблюдены антинейтроны, которые получались перезарядкой антипротонов, т. е. в резуль- тате процесса: р + р -> п+ п. (97.8) Антинейтрон отличается от нейтрона знаком соб- ственного магнитного момента (у антинейтрона направ- ление магнитного момента совпадает с направлением механического момента) и способностью аннигилировать при встрече с нуклоном (нейтроном или протоном). В результате аннигиляции рождаются новые частицы (главным образом л-мезоны). Античастицы имеются не только у фермионов, но и у бозонов. Так, например, л+-мезон является античасти- цей по отношению к л_-мезону. Известны только четыре частицы, которые тождественны со своими античасти- цами (т. е. не имеют античастиц). Это — фотон, л°-мезон и два К°-мезона (К® и А°). Такие частицы называются абсолютно нейтральными. Очевидно, что ча- стицы, тождественные со своими античастицами, не спо- собны к аннигиляции. Это, однако, не означает, что они вообще не могут превращаться в другие частицы. Если барионам, в том числе и нуклонам (р и п), приписать барионный заряд (или барионное число) В=+1, а антибарионам — барионный заряд В = —1, то для всех процессов, протекающих с участием барионов и антибарионов [например, для (97.6), (97.7) и (97.8)], будет характерно сохранение барионного заряда, подобно тому как для процессов (97.2) — (97.5) характерно сохранение электрического заряда. Заметим, что закон сохранения барионного заряда обусловливает стабильность самого легкого из барио- нов— протона. Другие законы сохранения (энергии, им- пульса, момента импульса, электрического заряда и т. п.) не запрещают, например, процесса р -> е+ + v + V, (97.9) который в конечном итоге привел бы к аннигиляции атомов. Однако такой процесс сопровождался бы умень- 493
шением барионного заряда на единицу и поэтому не наблюдается. Аналогично, закон сохранения электриче- ского заряда обусловливает стабильность самой легкой заряженной частицы — электрона, запрещая, например, процесс: e-_Y + Y + v. (97.10) Для объяснения особенностей протекания процессов с участием лептонов приходится ввести квантовое чис- ло L, получившее название лептонного заряда или лептонного числа. Лептонам приписывается L= +1, антилептонам L = —1, всем остальным части- цам L = 0. При этом условии во всех без исключения процессах наблюдается сохранение суммарного лептон- ного заряда рассматриваемой физической системы. Преобразование всех величин, описывающих физиче- скую систему (волновых функций, уравнений и т. п.), при котором все частицы заменяются античастицами (например, электроны позитронами, а позитроны элек- тронами и т. д.), называется зарядовым сопряже- нием. Какую из двух зарядово-сопряженных частиц считать частицей, а какую — античастицей, является, во- обще говоря, делом чисто условным. Однако, сделав вы- бор для одной пары зарядово-сопряженных частиц, вы- бор для других пар нужно делать так, чтобы в наблю- дающихся взаимодействиях сохранялись барионный и лептонный заряды. Принято считать электрон и протон частицами, а позитрон и антипротон — античастицами. При этом условии выбор для остальных барионов и леп- тонов делается однозначным. Так, например, для сохра- нения барионного заряда в ходе процесса (87.5) необ- ходимо считать частицей нейтрон. Результаты, к кото- рым приводит' учет требований сохранения В и L для других частиц, приведены в табл. 9. В этой таблице указаны все известные в настоящее время частицы, за исключением резонансов. Смысл обо- значений vc и vg будет выяснен в § 101. Теперь мы имеем возможность объяснить, почему ча- стицу, участвующую в распаде (90.5) или (87.5), сле- дует рассматривать как антинейтрино, а частицу, участ- вующую в распаде (90.6), —как нейтрино. Лептонное число электрона и нейтрино равно +1, а позитрона и антинейтрино —1. Поэтому электрон может возникать вместе с антинейтрино, а позитрон — вместе с нейтрино.
Таблица fl 495
Приписав электрону L= +1, мы должны в соответ- ствии со схемой распада (89.5) отрицательному мюону также приписать L = +1, т. е. считать р~ частицей, а по- ложительный мюон рассматривать как античастицу и приписывать ему значение L = —1. Рекомендуем про- верить, что в процессах распада л-мезонов [см. (89.3) и (89.4)] также сохраняется лептонный заряд. § 98. Изотопический спин Протон и нейтрон обнаруживают гораздо больше сходства, чем различий. Действительно, спин обеих ча- стиц одинаков, массы очень близки, в сильном взаимо- действии они участвуют равным образом (см. в § 89 о зарядовой независимости ядерных сил). Это дает осно- вание рассматривать протон и нейтрон как два различ- ных состояния одной и той же частицы — нуклона. Если «выключить» электромагнитное взаимодействие, то оба эти состояния полностью совпадут (небольшое различие масс протона и нейтрона обусловлено электромагнитным взаимодействием). Заметим, что «выключение» спин-орвитального взаи- модействия (т. е. взаимодействия между спиновыми и орбитальными моментами электронов) привело бы к сов- падению уровней 2Л/2 и 2Рз/2> образующих вместе дублет (см. рис. 204). Эта аналогия послужила основанием для того, чтобы назвать протон и нейтрон зарядовым мультиплетом (дублетом). Другие частицы также объединяются в зарядовые мультиплеты. Так, например, Л°-гиперон образует синглет (см. табл. 9), а л-мезоны — триплет (при выключении электромагнитного взаимодей- ствия все три п-мезона становятся неразличимыми). Каждому спектральному мультиплету соответствует определенное значение спина S (число компонент в мультиплете равно 2S + 1). Отдельные компоненты мультиплета отличаются значениями проекции спина на ось z. По аналогии с обычным спином каждому зарядо- вому мультиплету приписывается определенное значение изотопического спина1) Т, выбранное так, что ') Более правильное название—изобарический спин. Изотопиче- ский спин был впервые введен в рассмотрение В. Гейзенбергом в 1932 г. для описания протона и нейтрона как различных состояний нуклона. 49Б
2Т + 1 дает число частиц, образующих данный мульти- плет. Отдельным частицам приписываются различные значения Тг — проекции изотопического спина на некую ось г в воображаемом изотопическом или заря- довом пространстве. Например, для нуклонов Г — ‘/г. протону соответствует Tz = + V2, нейтрону Tz =—’/г- Для л-мезонов Т = 1, проекции Tz равны +1, О и —1 для л+-, л°- и л_-мезона соответственно. Во избежание недоразумений отметим, что квантовое число Т, названное изотопическим спином, не имеет ни- какого отношения ни к изотопам, ни к обычному спину (который, как мы знаем, представляет собой момент импульса). Слово «изотопический» появилось в назва- нии квантового числа Т потому, что протон и нейтрон образуют различные «разновидности» нуклона, подобно тому как действительные изотопы образуют разновидно- сти данного химического элемента. Слово «спин» появи- лось в названии вследствие того, что математический аппарат, описывающий квантовое число Т, оказался точно таким, как и математический аппарат обычного спина. В остальном между изотопическим и Обычным спинами нет никакого сходства. Может показаться странным, что в случае л-мезонов в одном зарядовом мультиплете объединяются и части- ца (л+) и ее античастица (л-), в то время как, например, Л°-гиперон и анти-Л°-гиперон образуют два различных зарядовых мультиплета. Объяснение заключается в том, что в зарядовый мультиплет объединяются частицы, от- личающиеся только величиной или знаком электриче- ского заряда; все остальные величины, характеризую- щие частицы, должны быть одинаковыми1). Гипероны Л° и А° отличаются значением барионного числа и по- этому не могут входить в один мультиплет. Барионное число всех л-мезонов равно нулю, остальные квантовые числа также одинаковы; следовательно, нет никаких пре- пятствий для объединения их в одном мультиплете. Рассмотрим два зарядовых мультиплета, отличаю- щихся тем, что частицы, образующие один мультиплет, являются античастицами по отношению к частицам, ') Различие заряженных и нейтральных частиц, обусловленное электромагнитным взаимодействием, например небольшое различие в массе, не принимается во внимание. 17 И. В. Савельев, т. III 497
входящим в другой мультиплет. Изотопические спины обоих мультиплетов, очевидно, одинаковы (2Т + 1 дает число частиц в мультиплете). Что касается проекций изотопического спина Tz, то для частицы и античастицы они отличаются знаком. Так, для протона Tz = 4- '/2, Для антипротона Tz = —’/г! для нейтрона Tz = —‘/г, Для ан- тинейтрона Tz — + ’/2- В табл. 10 приведены значения Т и Tz различных частиц. Каждая строка в этой таблице дает зарядовый мультиплет. Следовательно, если, на- пример, для нуклона имеется две строки, то это озна- чает, что нуклоны образуют два зарядовых мультиплета. Таблица 10 Частица Изотопи- ческий спин Т Проекция изотопического спииа Tz —1 — 0 +1 л-мезон 1 Л" л+ К-мезон ’/2 '/2 № К~ к+ К0 Нуклон ’/» '/2 п р р п А-гиперои 0 0 А» А® S-гиперон 1 1 1 + 2» S" + 1 S-гиперон V2 '/2 иг и ° । и и + ° Q-гиперон 0 0 ЕЭ ЕЭ + 1 Понятие изотопического спина сыграло большую роль в установлении систематики элементарных частиц. В частности, оно натолкнуло американского физика М. Гелл-Маниа и независимо от него японского физика К. Нишиджиму на мысль объединить частицы в зарядо- 498
вые мультиплеты и привело их затем к понятию страна ноет и (см. следующий параграф). При сильных взаимодействиях сохраняется как изо- топический спин Т, так и его проекция Tz. При электро- магнитных взаимодействиях сохраняется только Тг, сам же изотопический спин Т не сохраняется. Слабые взаи- модействия протекают, как правило, с изменением изо- топического спина. § 99. Странные частицы Д-мезоны и гипероны (Л, S, S) были обнаружены в составе космических лучей в начале 50-х годов. На- чиная с 1953 г. их получают на ускорителях. Поведение этих частиц оказалось столь необычным, что они были названы странными. Необычность поведения стран- ных частиц заключалась в том, что рождались они явно за счет сильных взаимодействий с характерным време- нем порядка 10-23 сек, а времена жизни их оказались порядка 10~8—1010 сек. Последнее обстоятельство ука- зывало на то, что распад частиц осуществляется в ре- зультате слабых взаимодействий. Было совершенно не понятно, почему странные частицы живут так долго, что мешает им распадаться за счет сильного взаимодейст- вия, в результате которого они возникают. Действитель- но, один из процессов рождения странных частиц имеет, например, вид: л" +/9->Д°+Л°, (99.1) а распад А°-гиперона идет по схеме: Л°->п-+р (99.2) (на рис. 271 приведена фотография треков частиц, по- лученная в пузырьковой камере с жидким водородом). Поскольку и в рождении,, и в распаде А°-гиперона участ- вуют одни и те же частицы (л'-мезон и протон), пред- ставлялось удивительным, что скорость (т. е. вероят- ность) обоих процессов столь различна. Дальнейшие исследования . показали, что странные частицы всегда рождаются только парами [см. (99.1)]. Это навело на мысль, что сильные взаимодействия не могут играть роли в распаде частиц вследствие того, что для их проявления необходимо присутствие двух 17* 499
странных частиц. По той же причине оказывается за- прещенным одиночное рождение странных частиц. В основе запрета каких-либо процессов всегда ле- жит некоторый закон сохранения. Так, распад свобод- ного протона на нейтрон, позитрон и нейтрино (р —♦ п + Рис. 271. •+ е+ + v) запрещен законом сохранения энергии, а рас- пад на позитрон, нейтрино и антинейтрино (р—>e+ + ;+v + v) — законом сохранения барионного (а также и лептонного) заряда*). Чтобы объяснить запрет одиночного рождения стран- ных .частиц, Гелл-Манн и Нишиджима ввели в рассмот- ’) Процесс p->-e+4-v не противоречил бы закону сохранения лептонного заряда, ио зато нарушал бы закон сохранения момента импульса (спина). 500
рение новое квантовое число S, суммарное значение ко- торого должно, по их предположению, сохраняться при сильных взаимодействиях. Это квантовое число было названо странностью частицы. Странность сохра- няется только при сильных взаимодействиях, поэтому она приписывается только сильно взаимодействующим частицам — барионам и мезонам, причем для нуклонов и л-мезонов S = О, а для остальных частиц отлична от нуля. Так, для К-мезонов S = +1, а для Л-гиперонов S — —1. При этом условии процесс (99.1) идет с со- хранением странности (суммарная странность как исход- ных, так и образовавшихся частиц равна нулю), а в ходе процесса (99.2) странность изменяется на единицу. По- этому процесс (99^2) не может протекать с участием сильных взаимодействий. В табл. 11 приведены значения странности всех сильно взаимодействующих частиц (за исключением резонансов). Чтобы выяснить смысл квантового числа S, получив- шего название «странность», обратимся к табл. 11у в ко- торой приведены зарядовые мультиплеты с указанием электрического заряда частиц Q (выраженного в еди- ницах е). Крестиками отмечены значения среднего заряда Q. Так, для нуклона (т. е. мультиплета, обра- зованного р и_п) Q= + '/2. для антинуклона Q =—Чъ, для л-мезона Q = 0 и т. д. Удвоенное значение среднего заряда называют ги- перзарядом мультиплета: У = 2Q (99.3) (гиперзаряд был введен вместо среднего заряда для того, чтобы не иметь дела с дробными числами). Из определения следует, что гиперзаряд нуклона равен +1, антинуклона —1 и л-мезона—нулю. Странность ,S определяется как разность гиперза- ряда У и барионного числа В: S — Y — B. (99.4) Очевидно, что три квантовых числа Q, Y и S по сути дела совершенно равноправны — значением одного из них однозначно определяются значения двух других. Исторически странность возникла следующим обра- зом. Первоначально, когда были открыты не все стран- ные частицы, считалось само собой разумеющимся, что 601
Таблица ll Частица Гипер- заряд ¥ Бари- онный заряд В Стран- НОСП76 в Злектртесний заряд Q -7 -1/г о +’/г +J п-мезон О О о V !—L..( 1 к । К-мезон *7 0 *7 ’ / Л ’ I X— i F-—И к ) (в 1 Z-4 1 Анти-К-мезон “/ и U-V ! 1 1 Нуклон *7 +1 О у Антинуклон -7 -7 о U 1 1 ——(") 1 1 т ! Ламбда 0 *7 -7 А 1 1 (?) । Антиламбда О —7 +1 I (?) I1 | । Сигма 0 *7 -7 (1 ; yJ Антисигма 0 -7 +1 d (f ! Кси —7 +1 -2 *7 -f-ф i Антикси *7 -7 +2 1 (?М~ Омега -2 +Т -з © X— i j C-—-Г-- -4 Антиомвва +2 -1 +3 1 1 1 11
средний заряд Q семейства /(-мезонов таков же, как Q семейства л-мезонов (о котором было известно, что он равен нулю), и что Q каждого из семейств гиперонов таков же, как у нуклонов (т, е. равен + 1/2), а У анти- гиперонов— таков же, как у антинуклонов (т. е. ра- вен —1/2). Гелл-Манн и Нишиджима пришли к мысли, что странные частицы могут и не следовать такому по- рядку. Удвоенное (чтобы иметь дело с целыми числами) смещение «зарядового центра» (отмеченного в табл. 11 крестиками) данного зарядового мультиплета от ожи- даемого положения (т. е. от 0 для мезонов, +*/2 для гиперонов и —V2 Для антигиперонов) они назвали странностью частиц (в табл. 11 смещения зарядо- вых центров изображены горизонтальными стрелками) и предположили, что странность S сохраняется в силь- ных взаимодействиях и не сохраняется в слабых. Опре- деленная таким образом S для нестранных частиц (ну- клонов, антинуклонов и л-мезонов) оказывается равной нулю. Известным в тО время странным частицам1) Гелл- Манн и Нишиджима приписали отличные от нуля зна- чения S, причем такие, которые с помощью закона со- хранения S могли объяснить особенности их рождения и распада. Это позволило установить возможное число частиц в зарядовых мультиплетах и предсказать суще- ствование и свойства новых частиц. Так были предска- заны S0 и Н°-гипероны, а также ^°-мезон, которые впо- следствии были обнаружены экспериментально. Заметим, что электрический заряд частицы Q может быть выражен через проекцию изотопического спина Tz и гиперзаряд У (или барионный заряд В и стран- ность S): Q-Tz + ^ = TZ + -^-. (99.5) Рекомендуем убедиться в справедливости этого соот- ношения, воспользовавшись данными табл. 10 и 11. § 100. Несохранение четности в слабых взаимодействиях В числе величин, характеризующих элементарные частицы, есть еще одна сугубо квантовомеханическая величина, называемая четностью (Р). Мы знаем, что ') Еще раз подчеркнем, что в то время были известны далека ие все частицы, указанные в табл. 11. 503
состояние частицы описывается в квантовой механике функцией ф(х, у, г). Рассмотрим, как может вести себя функция ф при так называемой инверсии прост- ранства, т. е. при переходе к коор- , / динатам х', у', г', связанным с х, у, г соотношениями: Л х' ~ — X, у — — у, 2' = — Z. V’ У Из рис. 272 видно, что такое пре- х । образование означает переход от пра- 1 t вовинтовой системы координат к лево- ’г’ винтовой. Такой же переход осущест- Рис. 272. вляется при отражении в зеркале (рис. 273). Следовательно, преобразо- вание инверсии приводит к замене правого левым. Обе системы отсчета, х, у, г и х', у', z' (или, иначе говоря, —х, —у, —z), отличаются друг от друга так, как от- личаются правая и левая перчатки. Если вывернуть на- изнанку (т. е. подвергнуть инверсии), например, пра- вую перчатку, то она совпадет с левой. Операция инверсии, произведенная дважды, очевид- но, возвращает систему координат к первоначальному виду. Пусть операция инверсии приводит к умножению функции ф на некоторое число а: ф (х', у', г') = пф (х, у, z). Применив к получившемуся вы- ражению еще раз операцию ин- версии, мы придем к функции аф(х', у', z') — a?ty(x, у, z), которая должна совпасть с перво- начальной функцией ф (х, у, z). Рис. 273. Следовательно, а2 должно быть равно 1, а само а может иметь значения +1 или —1. Таким об- разом, операция инверсии либо оставляет функцию ф неизменной, либо изменяет знак ф на обратйый. В пер- вом случае состояние, описываемое функцией ф, назы- вается четным, во втором — нечетны м. Поведение функции ф при инверсии зависит от внутренних свойств частиц, описываемых этой функцией. О частицах, опи- 501
сываемых четными функциями, говорят, что они обла« дают положительной внутренней четно- стью (Р=+1); частицы, описываемые нечетными функциями, имеют отрицательную внутреннюю четность (Р = —1). Четность системы частиц равна произведению четностей отдельных частиц, входящих в систему. Из квантовой механики вытекает закон сохра- нения четности, согласно которому при всех пре- вращениях, претерпеваемых системой частиц, четность состояния остается неизменной. Система, находящаяся в четном (или нечетном) состоянии, не может перейти в нечетное (соответственно, четное) состояние. Сохра- нение четности означает инвариантность законов природы по отношению к замене правого левым (и на- оборот) . До 1956 г. закон сохранения четности считался со- блюдающимся при всех взаимодействиях. В 1956 г. Ли и Янг1) высказали предположение, что при слабых взаимодействиях четность может не сохраняться. Для такого предположения были следующие основания. В то время были известны два мезона, получившие обозначе- ния т и 0. Оба мезона были совершенно одинаковы во всех отношениях, кроме одного: т-мезон распадался на три л-мезона, а 0-мезон — только на два л-мезона. Мож- но было, конечно, предположить, что оба мезона пред- ставляют, собой одну и ту же частицу, которая способна распадаться двумя различными способами. Однако та- кое предположение вступало в противоречие с законом сохранения четности. Четность л-мезона Р ==—1. По- этому четность системы из двух л-мезонов равна (—1)2 = +1, а системы из трех л-мезонов (—I)3 = —1. Из закона сохранения четности вытекало, что т- и 0-ме- зоны различаются внутренней четностью (у т-мезона, распадающегося на три л-мезона, Р = —1, а у 0-мезона, распадающегося на два л-мезона, Р = +1) и, следова- тельно, представляют собой две различные частицы. В настоящее время достоверно установлено, что т- и 0-мезоны — одна и та же частица, обозначаемая ) Ли Цзун-дао и Янг Чжень-ии — китайские ученые, проживаю- щие в США. В 1957 г. за работу по несохранению четности им была присуждена Нобелевская премия. 505
правое и левое Рис. 274. теперь как Л-мезон и имеющая Р = —1. Таким образом, процесс А0—>л+ + п~ идет с нарушением четности. Ли и Янг предложили идею опыта для проверки не- сохранения четности, который был осуществлен в Ко- лумбийском университете (США) By Цзянь-сун и ее сотрудниками. Идея опыта заключалась в следующем, в природе неразличимы, то при p-распаде вылет электрона в направлении спина ядра и в направлении, ему притивополож- ном, будет равновероятен. Дей- ствительно, при зеркальном от- ражении ядра (рис. 274) напра- вление его «вращения», т. е. направление спина, изменяется на противоположное. Если ядро испускает p-электрон с равной вероятностью в обоих направле- ниях вдоль спина (рис. 274, а), то зеркальное отражение ядра бу- дет неотличимо от самого ядра (они лишь повернуты друг относительно друга на 180°). Если же р-электроны испускаются преимущественно в одном направлении (рис. 274,6), то «левое» и «правое» становятся разли- чимыми. В опыте By ядра радиоактивного кобальта Со60 ориентировались с помощью магнитного поля спинами в одном направлении. Для того чтобы тепловое движе- ние не нарушало этой ориентации, радиоактивный пре- парат охлаждался до сверхнизких температур (~0,1°К). Была обнаружена значительная разница в количествах ^-электронов, испускаемых в обоих направлениях. Ока- залось, что p-электроны испускаются преимущественно в направлении, противоположном направлению ядерных спинов. Таким образом, была доказана эксперименталь- но. неравноправность правого и левого при слабых взаи- модействиях (напомним, что p-распад обусловлен сла- бым взаимодействием). После того как выяснилось, что пространственная четность (Р) в слабых взаимодействиях не сохраняется, 606
Л. Д. Ландау выдвинул гипотезу1) о том, что любые взаимодействия инвариантны относительно сложного- преобразования, заключающегося, в одновременной ин- версии пространства и замене частиц античастицами. Такое преобразование Ландау назвал комбиниро- ванной инверсией. Согласно этой гипотезе сим- метрия между правым и левым сохраняется, если при зеркальном отражении пространства частицы заменить античастицами. Если операцию пространственной инверсии обозна- чить символом Р, а операцию зарядового сопряжения (т. е. замены частиц античастицами)—символом С, то символом комбинированной инверсии будет СР. По- этому инвариантность относительно комбинированной инверсии называют СР-и нвариантностью. Чет- ность состояния частицы относительно комбинированной инверсии называют комбинированной четно- стью. Таким образом, два существовавших ранее раздель- но закона — закон инвариантности относительно заря- дового сопряжения2) и закон сохранения пространствен- ной четности — в случае слабых взаимодействий объеди- няются в один закон сохранения комбиниро- ванной четности. Заметим, что если на рис. 274,6 одно из ядер за- менить антиядром, то направление спина изменится на противоположное и зеркальное отражение ядра не будет отличаться от самого ядра. Комбинированная четность будет сохраняться, если приписать частице и античастице противоположные за- крученности, илн спиральности (при отражении в зер- кале правый винт становится левым). Под спираль- ностью понимается определенное соотношение между направлениями импульса р и спина s частицы. Спираль- ность считается положительной, если спиш и импульс имеют одинаковое направление. В этом случае направ- ление движения частицы (р) и направление «вращения», соответствующего спину, образуют правый винт (рис. 275,а). При противоположно направленных спине ') Независимо от Ландау такую же гипотезу выдвинули Ли и Янг. г) То есть неизменяемости законов природы при замене частиц античастицами. 507
и импульсе (рис. 275,6) спиральность будет отрица- тельной (поступательное движение и «вращение» обра- зуют левый винт). Очевидно, что спиральность можно определить как знак скалярного произведения sp. Спиральность может иметь абсолютное значение, т. е. быть внутренним свойством, лишь для частицы с нуле- вой массой покоя (такая частица существует, только двигаясь со скоростью с). Частица, масса покоя кото- рой отлична от нуля, будет двигаться со скоростью V, меньшей с. Спиральность такой частицы в системах от- счета,' движущихся со скоростями, меньшими V, и со скоростями, большими V (но s .ЛР ХР меньшими с), будет, как легко /'~у? Г~У\ видеть, различна (импульс ча- //у (у 1 стицы в таких системах от- счета имеет противоположные . направления). Итак, из всех а) частиц1) спиральностью, как .-ис. 2/5. внутренним свойством, может обладать только нейтрино. Согласно развитой Ландау (а также Янгом и Ли и Саламом) теории продольного нейтрино все существующие в природе нейтрино, независимо от спо- соба их возникновения, всегда бывают полностью продольно поляризованы (т. е. спин их направлен па- раллельно или антипараллельно импульсу р). Нейтрино имеет отрицательную (левую) спиральность (ему со- ответствует соотношение направлений s и р, изображен- ное на рис. 275,6), антинейтрино — положительную (правую) спиральность (рис. 275, а). Таким образом, спиральность — это то, что отличает нейтрино от анти- нейтрино. Нарушение четности (или, что то же самое, спираль- ности нейтрино) обнаруживается также в цепочке пре- вращений л—В конце своего пробега л+-мезон распадается на мюон и нейтрино [см. (89.3)]: л+ -> р+ + V. *) Фотон также обладает нулевой массой покоя, но, в отличие от нейтрино, два получающихся для фотона значения спиралытостй (положительное и отрицательное) соответствуют не частице и анти- частице, а двум различным состояниям поляризации одной и той же частицы. 608
Так как спин и импульс (в конце пробега) л+-мезоиа равны нулю, ц+ и v должны разлететься в противопо- ложные стороны, причем нейтрино «навяжет» мюону свою спиральность1) (рис. 276), иначе спин системы не останется равным нулю. Мюон в конце своего пробега распадается по схеме [см. (89.5)]: ц.+ -> е+ + v + v. Поскольку в рассматриваемом случае мы имеем дело с распадом поляризованных мюонов, при этом должно наблюдаться то же явле- ние, что и при p-распаде v -y-z-x- /у* поляризованных ядер (в '** QQQ " ». опыте By) — угловое рас- / пределение позитронов должно быть анизотропно ' относительно направле- Рис. 276. ния поляризации мюона, т. е. относительно направления его движения до оста- новки. Действительно, исследование фотографий, на которых зафиксированы процессы л—распада в пузырьковой камере, показывает, что позитроны испу- скаются чаще в направлении, обратном направлению движения мюонов (см. рис. 276). § 101. Нейтрино Нейтрино — единственная частица, которая не участ- вует ни в сильных, ни в электромагнитных взаимодей- ствиях. Исключая гравитационное взаимодействие, в ко- тором участвуют все частицы, нейтрино может прини- мать участие лишь в слабых взаимодействиях. Многие свойства нейтрино уже рассмотрены нами ранее; в частности, в предыдущем параграфе было вы- яснено, что нейтрино обладает спиральностью. В этом параграфе мы расскажем о двух фундаментальных опы- тах, касающихся нейтрино. Гипотеза о существовании нейтрино была высказана в 1932 г. (см. § 90). В последующую четверть века было получено множество косвенных доказательств правиль- ности этой гипотезы, однако непосредственно наблюдать >) В общем случае спин мюона не фиксирован относительно на- правления его движения. 509
нейтрино не удавалось. Причина этого заключается в том, что, не обладая электрическим зарядом и массой. Нейтрино крайне слабо взаимодействует с веществом. Так, например, нейтрино с энергией ~ 1 Мэв имеет в свинце пробег ~ 1020 см, или 100 световых лет. Только после создания ядерных реакторов, которые являются источниками мощных потоков нейтрино (~1013 ча- стиц/см2 • сек), появилась реальная возможность наблю- Рис. 277. дать реакции с участи- ем этих неуловимых частиц. Непосредственное наблюдение антиней- трино было осущест- влено в серии опытов Ф. Рейнеса и К. Коуэна (1953—1956). Наблю- далась реакция v + p—>п + е+, (101.1) которая является обра- щением реакции (87.5) распада нейтрона1). Свидетельством то- го, что антинейтрино вступило в реакцию с протоном, служил факт одновременного возникновения нейтрона и позитрона (рис. 277). Позитрон практически сразу же аннигилировал с электроном, что приводило к возникно- вению двух у-квантов, энергия каждого из которых рав- на 0,51 Мэв. Нейтрон после замедления захватывался ядром кадмия. Образовавшееся в результате возбужден- ное ядро высвечивало несколько у-фотонов с суммарной энергией 9,1 Мэв. Схема установки изображена на рис. 278. Мишенью служили два сосуда (190X 130X 7 см), заполненные раствором хлористого кадмия в воде. Три бака (190X 130 X 60 см) наполнялись жидкостью, способ- ной сцинтиллировать под действием у-фотонов. Сцин- !) Обращением реакции (87.5) в буквальном смысле слова была бы реакция v + р + г-+л, однако такая реакция требует встречи трех частиц и поэтому практически невозможна. «Вычитание» ча- стицы равнозначно добавлению античастицы. Вычитая слева е~ и добавляя справа е+, получим (101.1). В1в
тилляцнонные вспышки регистрировались -110-ю фото- умножителями. Для защиты от космического излучения и выходящих из реактора нейтронов резервуары были заключены в парафиновую, а затем в свинцовую обо- лочки. Все устройство было глубоко зарыто в землю вблизи большого реактора. Вспышка, вызванная захватными у-фотонами, за- паздывала по отношению к вспышке, обусловленной ан- нигиляционными у-фотонами, на несколько десятков микросекунд. Обе вспышки регистрировались по схеме запаздывающих совпадений; кроме того, оценивалась также энергия у-фотонов, вызвавших каждую вспышку (1,02 Мэв и 9,1 Мэв). Это позволяло надежно отделить исследуемый эффект от фона, обусловленного другими процессами. Опыт продолжался 1371 час (57 дней).. В час регистрировалось в среднем около трех двойных вспышек ожидаемой интенсивности. Эти результаты слу- жат прямым доказательством существования антиней- трино. Перейдем к рассмотрению второго опыта. В одних процессах [(87.5), (90.5), (90.6), (90.7)] нейтрино (или антинейтрино) возникает вместе с электроном (пози- троном), в других процессах [например, (89.3)]— вместе с мюоном. До сих пор мы полагали, что первые (элек- тронные) нейтрино ve тождественны со вторыми (мюон- ными или мю-мезонными) нейтрино В 1962 г. было доказано экспериментально, что это не так. Идея опыта 511
принадлежит Б. Понтекорво. Обращением реакции (90.7) будет процесс: ve + п-+ р + е~ (101.2) (см. подстрочное примечание на стр. 510). Возможен также аналогичный процесс, в котором вместо электрона возникает мюон: •Vn + n->p + p“ (101.3) (частица, участвующая в этой реакции, должна быть, очевидно, не электронным, а мюонным нейтрино). Пон- текорво предложил облучать вещество образующимися при распаде л+—> р,++ vu мюонными нейтрино и наблю- дать возникающие частицы. Присутствие среди них как е~, так и рт указывало бы на тождественность ve и Уц. Присутствие только р" свидетельствовало бы о раз- личии электронных и мюонных нейтрино. Опыт был осуществлен Ледерманом, Шварцем и др. в Брукхавене (США). Из камеры ускорителя на 30 Гэв были выведены л+-мезоны с энергией в 15 Гэв. Процесс я—»ц,-распада [см. (89.3)] приводил к образованию мю- онных нейтрино с энергией ~ 500 Мэв. Поток направ- лялся в искровую камеру с массивными железными пла- стинами (общим весом Ют). Было зарегистрировано 34 случая рождения мюонов и ни одного случая рожде- ния электронов. Этот результат служит доказательством того, что существуют четыре различных нейтрино: Ve, Ve, Vu, Таким образом, в формулах (87.5), (90.5), (90.6), (90.7) символ нейтрино должен быть дополнен индек- сом «е», а в формулах (89.3) — индексом «р,». Формулы (89.5) с учетом различия между уе и должны быть записаны следующим образом: И- -* е~ + ve + р+ -> е+ + ve + § 102. Систематика элементарных частиц В предыдущих параграфах мы видели, что законо- мерности, наблюдаемые в мире элементарных частиц, могут быть сформулированы в виде законов сохранения. Таких законов накопилось уже довольно много (см. 512
табл. 12). Некоторые из них оказываются не точными, а лишь приближенными. Так, например, закон сохра- нения гиперзаряда Y (или странности S) выполняется в случае сильных и электромагнитных взаимодействий и нарушается в слабых взаимодействиях (соблюдение закона в данном виде взаимодействия указано в табл. 12 знаком плюс, нарушение — знаком минус). Таблица 12 Закон сохранения Вид взаимодействия сильное электро- магнитное слабое Энергии Е + + + Импульса р + + + Момента импульса (спииа)- М". . . + + + Электрического заряда Q + + + Барионного заряда В + + + Лептонного зарида L + + + Изотопического спина Т + — — Гиперзаряда Y (или странности S) + + — Заридового сопряжении С . . . . + + — Четности Р + + Комбинированной четности СР . . + + — Каждый закон сохранения выражает определенную симметрию системы. Законы сохранения импульса р, момента импульса М и энергии Е отражают свойства симметрии пространства и времени: сохранение энергии есть следствие однородности времени, сохранение р об- условлено однородностью пространства, а сохранение М — его изотропностью. Закон сохранения четности свя- зан с симметрией между правым и левым (P-инвариант- ность). Симметрия относительно зарядового сопряжения (симметрия частиц и античастиц) приводит к сохране- нию зарядовой четности (С-инвариантность). Законы сохранения электрического, барионного и лептонного за- рядов выражают особую симметрию волновой функции. Наконец, закон сохранения изотопического'спина отра- жает изотропность изотопического (зарядового) про- странства. Несоблюдение одного из законов сохранения означает нарушение в данном взаимодействии соответ- ствующего вида симметрии. Например, электромагнитное 513
взаимодействие нарушает симметрию изотопического пространства; вследствие него изотопический спин Т не сохраняется в электромагнитных- взаимодействиях. В § 98 мы видели, что введение квантового числа Т (изотопического спина) позволило объединить частицы в зарядовые мультиплеты. Расширение схемы изотопи- ческого спина привело Гелл-Манна и независимо от него Ю. Неймана к созданию в 1961 г. теории унитар- ной симметрии элементарных частиц. В этой тео- рии предполагается, что сильное взаимодействие инва- риантно относительно специальных преобразований1) в Рис. 279. некотором трехмерном комплексном векторном простран- стве (пространстве унитарного спина), которые сохраняют неизменным изотопический спин Т. и гипер- заряд У. Таким способом удается сгруппировать заря- довые мультиплеты в супермультиплеты (или унитарные мультиплеты). Частицы2), состав- ляющие супермультиплет, должны иметь одинаковые спин и четность Р. Они могут отличаться по массе, элек- трическому заряду, гиперзаряду и изотопическому спину, однако эти величины должны быть связаны между со- бой определенными правилами. Систему симметрии частиц, устанавливаемую уни- тарной теорией, называют также восьмеричным ') Принадлежащих к так называемой группе SU(3). *) Имеются- в виду лишь сильна взаимодействующие частицы. 514
путем, поскольку в ней производятся действия над восемью квантовыми числами1). На рис. 279 изображен октет (супермультиплет, включающий 8 частиц), объединяющий нуклоны (п, р) и Л-, Х-, Е-гипероны. Все они имеют спин */2 и положи- тельную четность. Справа приведена масса частиц (в Мэв), внизу — электрический заряд Q, слева —значе- ния гиперзаряда У и изотопического спина Т. Резонансы, обозначаемые A, S*, Е* и образуют декаплет, приведенный на рис. 280. Обращает на себя Jaccam У Т Am ~2 О S?" /876 -1 % s----------КЗ,? i i X о 1 г----------г0——--г** лж ! 1 * I ! ! w i । । X *7 •?? Л"-------Ле------— А'--------А" /<.->38 -7 О +1 Рис. 280. внимание то обстоятельство, что массы этих частиц от- личаются на почти одинаковую величину (~145 Мэв). Частицы, входящие в декаплет, имеют спин 3/2 и поло- жительную четность. В момент создания теории Е*-ги- пероны и Н“-частица еще не были известны. Резонансы Е*~ и Е*° были обнаружены в 1962 г. Оставалась неза- полненной вершина пирамиды. Гелл-Манн предсказал, что отвечающая ей частица должна иметь спин, рав- ный 3/2, гиперзаряд У = —2 и массу около 1676 Мэв (на 146 Мэв больше, чем масса Е*-частиц). Почти ) Это название связано также с легендой, согласно которой будде принадлежит афоризм о восьми путях, приводящих к уни- чтожению страданий: верные взгляды, верные намерения, верные речи, верные действия, верный образ жизни, верные усилия, верные заботы и верное сосредоточение.
тотчас же начались планомерные поиски этой частицы, получившей название й~-гинерона *). В Брукхавенской лаборатории для этой цели были использованы ускори- тель на 33 Гэв и 2-метровая пузырьковая камера, со- державшая 900 литров жидкого водорода. Было сделано около 300000 снимков, прежде чем на одном из них в январе 1964 г. был зафиксирован' процесс рождения и распада й~-частицы. Ее свойства, в частности масса, в точности совпали с предсказанными теорией. Таким об* разом, открытие Й~-гиперона явилось триумфом теории унитарной симметрии. Так называемых элементарных частиц стало так мно- го (вместе с резонансами более ста), что возникли серьезные сбмнения в их элементарности. Каждая из сильно взаимодействующих частиц характеризуется тремя независимыми аддитивными квантовыми числами: зарядом Q, гиперзарядом У и барионным зарядом В. В связи с этим появилась гипотеза о том, что все ча- стицы построены из трех фундаментальных частиц — носителей этих зарядов. Первая модель подобного рода была предложена японским физиком С. Саката, кото- рый считал фундаментальными частицами протон р, ней- трон п и Л0-гиперон* 2). Однако схема Саката оказалась неприменимой в области сильных взаимодействий. Гелл-Манн и Цвейг ввели в рассмотрение гипотетиче- ские частицы, получившие название кварков3). Этим частицам приписываются дробные квантовые числа, в частности электрический заряд, равный —’/з. —Чз и +2/з соответственно для каждого из трех кварков. Были предприняты попытки обнаружить кварки, для чего искали частицы со значительно меньшей ионизирующей способностью, чем у обычных частиц (ионизирующая •) Эта частица относится к группе резонансов, ио имеет время жизни того же порядка. сек), что и у гиперонов. Однако спин ее равен в то время как у всех гиперонов он равен */г- 2) То обстоительство, что многие частицы имеют массу, значи- тельно меньшую суммы масс р, п и Л°, не должно нас смущать, так как масса системы связанных частиц может .оказаться намного меньше суммы масс частиц, входищих в систему (ср. с энергией связи частиц в ядре, § 88). 3) Слово «кварк» заимствовано Гелл-Манном из. романа Дж. Джойса «Пробуждение Финнегана», в котором кварками на- званы химерические существа, чудившиеся герою романа во время галлюцинаций. 516
способность частицы с зарядом ’/з должна быть в 9 раз меньше, чем у частицы с зарядом 1). Однако пока квар- ки не были наблюдены и их существование является проблематичным. Положение, сложившееся в физике элементарных частиц, сильно напоминает положение, создавшееся в физике атома после открытия в 1869 г. Д: И. Менде- леевым периодического закона. Хотя сущность этого закона была выяснена только спустя примерно 60 лет, после создания квантовой механики, он позволил систе- матизировать известные к тому времени химические элементы и, кроме того, привел к предсказанию суще- ствования новых элементов и их свойств. Точно так же физики научились систематизировать элементарные, ча- стицы, причем разработанная систематика в ряде слу- чаев позволила предсказать существование новых ча- стиц и предвосхитить свойства этих частиц. Однако «пока поиски систематики частиц находятся примерно в такой же стадии, как поиски периодической системы элементов, когда ими начинал заниматься Менделеев. Направление это очень важное и очень нужное, но оно отнюдь не решит фундаментальной проблемы понимания всех законов микромира. Это понимание, очевидно, при- дет, только когда будет создана новая физическая тео- рия... Сейчас мы подходим к новому этапу познания фундаментальнейших законов строения природы, из ко- торых как частный случай общего должны ' будут выте- кать и квантовая теория, и теория относительности, и теория Ньютона... Нельзя предсказать, когда и как бу- дет создана новая последовательная физическая тео- рия... Но тот факт, что громадная армия эксперимента- торов и теоретиков во всем мире работает на этом пере- довом для физики фронте, позволяет надеяться, что это время не за горами». Взятые в кавычки слова принадлежат академику И Е. Тамму. Ими мы и закончим краткий рассказ о фи- зике элементарных частиц.
ПРИЛОЖЕНИЕ ГОЛОГРАФИЯ Голография (г. е. «полная запись», от греческого — голос — весь, графо — пишу) есть особый способ фиксирования на фотопластинке структуры световой волны, отраженной предметом. При освещении этой пластинки (голограммы) пучком света зафиксированная на ней волна восстанавливается в почти первоначальном виде, так что при восприятии восстановленной волны глазом зрительное ощущение бывает практически таким, каким оно было бы при наблюдении самого предмета (исключая окраску предмета). Голография была изобретена в 1947 г. английским физиком Д. Габором. Однако полное осуществление идеи Габора стало воз- можным лишь после появления в I960 г. источников света высокой степени когерентности — лазеров. Исходная схема Габора была усо- вершенствована американскими физиками Э. Лейтом и Ю. Упат- ниексом, которые получили в 1963 г; первые лазерные голограммы. Советский ученый Ю. Н. Денисюк предложил в 1962 г. (и впослед- ствии осуществил) оригинальный метод фиксирования голограмм на толстослойной эмульсии. Этот метод обладает рядом удивительных свойств (в частности, дает цветное изображение предметов), однако рассмотрение его выходит за рамки этой книги. Мы ограничимся элементарным рассмотрением современного метода получения го- лограмм на тонкослойной эмульсии. На рис. 281, а показана схема установки для получения голо- грамм, а на рис. 281,6 — схема восстановления изображения. Испу- скаемый лазером световой пучок расширяется с помощью телескопи- ческой системы, состоящей из микрообъектива и длиннофокусной линзы большого диаметра. Увеличение диаметра пучка равно отно- шению фокусных расстояний линзы и микрообъектива. Расширен- ный пучок света делится на две части. Одна часть отражается зер- калом к фотопластинке, образуй так называемый опорный пучок. Вторая часть попадает на пластинку, отразившись от фотографи- руемого предмета; она образует предметный пучок. Оба пучка дол- жны быть когерентными. Это требование выполняется, поскольку лазерное излучение отличается высокой степенью пространственной когерентности (световые колебания когерентны по всему попереч- ному сечению лазерного пучка). Опорный и предметный пучни, на- лагаясь друг и а друга, образуют интерференционную картину, ко го- 518
рая фиксируется фотопластинкой. Экспонированная таким способом и проявленная фотопластинка и есть голограмма. В образовании голограммы участвуют два пучка света, в связи с чем описанная схема получения голограмм на- зывается двухлучевой. Для восстановления изображения проявлен- ную фотопластинку по- мещают в то самое по- ложение, в котором она находилась при фотогра- фировании, и освещают опорным пучком света (часть лазерного пучка, которая освещала прн фотографировании пред- мет, теперь перекрывает- ся). Опорный пучок диф- рагирует на голограмме, в результате чего возни- кает волна, имеющая точно такую структуру, как волна, отражавшая- ся предметом. Эта волна дает мнимое изображе- ние предмета, которое воспринимается глазом наблюдателя. Наряду с волной образующей мни- мое изображение, при дифракции возникает еще одна волна, которая образует действительное изображение предмета. Действительное изображение псевдоскопич- ио; это означает, что оно имеет рельеф, обратный рельефу пред- ленная точка). Дли простоты предположим, что пучок 1 перпенди- кулярен к плоскости пластинки. Все полученные ниже результаты Рнс. 281, мета — выпуклые места заме- нены вогнутыми, н наоборот. Рассмотрим характер го- лограммы и процесс восстанов- лении изображении. Пусть на фотопластинку надают два ко- герентных параллельных пучка световых лучей, идущие под углом ф друг к другу (рис. 282). Пучок 1 будем считать опорным, пучок 2 — предмет- ным (предметом в данном слу- чае является бесконечно уда- остаются справедливыми и при наклонном, падении опорного пучка, однако формулы в этом случае' более громоздки. 519
Вследствие интерференции пучков 1 и 2 иа пластинке образует- ся система чередующихся прямолинейных максимумов и минимумов интенсивности. Пусть точки А и В соответствуют серединам сосед- них интерференционных максимумов. Тогда разность хода Д' рав- на X. Из рис. 282 видно, что Д' = d sin ф; следовательно, dsinip = X. (1) Зафиксировав на пластинке (путем экспонирования и проявле- ния) интерференционную картину, направим на иее опорный пучок /. Пластинка для этого пучка представляет собой дифракционную ре- шетку, период d которой определяется формулой (1). Отличитель- ной особенностью этой решетки является’ то обстоятельство, что ее пропускательная способность изменяется при перемещении в направлении, перпендикуляр- ном к «штрихам» по приблизи- тельно косинусоидальному за- кону (у рассматривавшихся в § 25 решеток она изменялась скачком: просвет — темно — просвет — темно и т. д.). Эта особенность приводит к тому, что интенсивность всех диф- ракционных максимумов по- рндка выше первого практи-, чески равна нулю. При освещении пластинки опорным пучком (рис. 283) максимумы которой образуют с нормалью к пластинке углы <р, определяемые условием dsin<p = mX (т = 0, ±1) (2) [см. формулу (25.2)}. Максимум, отвечающий т = 0, лежит на про- должении опорного пучка. Максимум, отвечающий т = + 1, имеет такое же направление, какое имел при экспонировании предметный пучок 2 [ср. формулы (1) и (2)]. Кроме названных двух максиму- мов, возникает еще один, отвечающий т = —1. Можно показать, что полученный нами результат остается в си- ле в том случае, когда предметный пучок 2 является не параллель- ным, а расходящимся. При этом максимум, отвечающий т = +1, имеет характер расходящегося пучка лучей Z (он дает мнимое изо- бражение точки, из которой выходили лучи 2 при экспонировании); максимум же, отвечающий т — —1, имеет характер сходящегося пуч- ка лучей 2" (он образует действительное изображение точки, из ко- торой-выходили лучи 2 при экспонировании). При получении голограммы пластинка освещается опорным пуч- ком 1 и совокупностью расходящихся пучков 2, отраженных раз- ными точками предмета. На пластинке возникает сложная интерфе- ренционная картина, образуемая в результате наложения картин, даваемых каждым из пучков 2 в отдельности. При освещении го- лограммы опорным пучком 1 оказываются восстановленными все пучки 2, т. е. полная световая волна, отражаемая предметом (ей отвечает т = +1). Кроме нее, возникают еще две волны (отвечаю- 620
щие m <= О н т — —I). Но эти полны распространяются в других направлениях и не мешают восприятию волны, дающей мнимое изо- бражение предмета (см. рис. 281). Изображение предмета, даваемое голограммой, является объем- ным. На него можно смотреть из разных положений. Если при съем- ке близкие предметы закрывали более удаленные, то, сместившись в сторону, можно заглянуть за ближний предмет (вернее, за его изображение) и увидеть скрытые до того предметы. Это объясняет- ся тем, что, сместившись в сторону, мы воспринимаем изображение, восстановленное от периферической части голограммы, на которую прн экспонировании‘падали также и лучи, отраженные от скрытых предметов. Рассматривая изображения ближних и дальних предме- тов, приходится, как и при рассматривании самих предметов, по- разному аккомодировать глаз. Если голограмму расколоть на несколько кусков, то каждый из них при просвечивании дает такую же картину, что и исходная го- лограмма. Однако чем меиьшая часть голограммы используется для восстановления изображения, тем меньше его четкость. Это легко понять, приняв во внимание, что при уменьшении числа штрихов дифракционной решетки ее разрешающая сила уменьшается (см. формулу (25.16)]. Возможные применения голографии весьма разнообразны. Да- леко не полный их перечень образуют голографические кино и теле- видение, голографический микроскоп, контроль качества обработки изделий. В литературе можно встретить утверждение, что возник- новение голографии по ее последствиям можно сравнить с созда- нием радиосвязи.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аберрация света 21, 191 — сферическая 62 — хроматическая 63 Абсолютная система отсчета 191 Абсолютно черное тело 248, 250 Адроны 485 Аккомодация 64 Альфа-лучи 450 Альфа-распад 450 Альфа-частицы 295 Анализатор 175 Аннигиляция пар 489, 492 Антинейтрино 435 Антинейтрон 493 Антипротон 492 Античастицы 492 Астигматизм 63 Атомная единица массы 434 Атомный номер 435 — остаток 343 Барионное число 493 Барионный заряд 486, 493 Барионы 485 Барн 461 Бета-лучи 450 Бета-распад 453 Бипризма Френеля 89 Бозоны 486 Бомба атомная 441, 467 — термоядерная 473 Вакуум 488 Ветвь акустическая 415 — оптическая 405, 415 Взаимодействие гравитационное 484 — обменное 442, 446 622 Взаимодействие сильное 442, 483 — слабое 484 — электромагнитное 483 Видности функция 24 Виртуальные процессы 446 — частицы 443 Внутренняя конверсия 452 Волна монохроматическая 23, 93, 236 Волйовая функция 311, 314, 320 Волновое число 283, 291 Волны когерентные 78, 81 Восьмеричный путь 515 Вращение плоскости поляризации 182 ------- магнитное 188 Время абсолютное 197 — взаимодействия 483 — жизни возбужденного состоя- ния атомов 381 ----------ядер 418, 452 --- метастабильного состояния 381 — собственное 207 Вырождение 332 Гамма-лучи 450 Гармонический осциллятор 392 Гиперзаряд 501 Гиперон 486 Гипотеза де-Бройля 308, 309, 312 — Юкавы 444 Главное сеченне кристалла 165 Гравитационное красное смеще- ние 422 Гравитоны 484 Граница серии 292 Группа волн 230, 236
Давление света 283 Двойное лучепреломление 164, 180 Дейтерий 436 Дейтон 442, 457 Деление ядер 441, 463 Дефект масс 440 Диаграмма Мозли 370 Диоптрия 42 Дисперсия аномальная 229, 236 — нормальная 229, 236 •— света 63, 228 •---, элементарная теория 233 • — спектрального прибора линей- ная 141 — ; угловая 140 Дисторсия 63 Дифракционная решетка 134 ид., 250 ----. вогнутая 143 •---отражательная 143 Дифракция в параллельных лу- чах 108 — от края полуплоскости 120 ----— круглого диска 118 ------- отверстия 114 ----щелн 126, 128 — рентгеновских лучей 144 и д. — света 18, 106 — Фраунгофера 108 — Френеля 108 •— электронов 309, 315 Дихроизм 165 Дополнительные окраски 178 Единица радноактивностн 457 е-захват 456 Закон Больцмана 260, 388, 424 — Брюстера 160, 161 — Бугера 237 — взаимности световых лучей 11 — взаимосвязи массы и энергии 226 — Дюлонга н Птп 406, 414 — Кирхгофа 249 — Ламберта 29 — Малюса 157 — Мозлн 378 — независимости световых лучей 9, 431 — обратимости световых лучей 11 — отражения света 9, 20 Закон поглощения света 237 — преломления света 10, 20 — пропорциональности массы и энергии 226 — прямолинейного распростра- нения света 9, 112 — радиоактивного распада ач8 — Рэлея 240 — смещения Вина 253, 264 — сохранения барионного заря- да 493 ---- комбинированной четности 507 ---- лептонного заряда 494 ---- странности 501 ---- четности 505 — Стефана—Больцмана 252, 263 — Стокса 404 — Столетова 277 — Т3 Дебая 413 Законы сохранения 513 — фотоэффекта 275 и д. Закрученность частицы 507 Зарядовая независимость ядер, ных сил 442 Зарядовое сопряжение 494 — число 435 Зеркала Френеля 88 Зеркало сферическое 55 Зонная пластинка 114 Зоны Френеля 108 Зрительная труба 67 Излучен не В авилова —Черенкова 243 — вынужденное 386, 424 — индуцированное 386 — равновесное 245, 264 — резонансное 417 — спонтанное 382, 386 — температурное 244 — тепловое 244 Изобары 436 Изображение действительное 36 — мнимое 36 — обратное 39 — оптическое 36 — прямое 39 — стигматическое 36 — точечное 36 Изомеры 436, 452 Изотоны 436 Изотопы 436 Инверсии комбинированная 507 523
Инверсия пространства 504 Инверсная населенность энерге- тических уровней 425 Интегралы Френеля 122 Интенсивность- света 73, 75 Интервал 208 Интерференция в тонких плас- тинках 90 и д. — волн 79 — поляризованных лучей 170 и Д. — света 18, 78 и д. Интерферометр Майкельсона 100, 193 Испускательная способность 246 Источник света изотропный 26 ----косинусный 29 ----ламбертрвский 29 ----точечный 26 (j, /)-связь 358 Кант полосы 396, 403 Каон 485 Катодолюминесценция 244 Квазичастица 416 Кваит действия 260 — звука 416 — энергии 251, 260 Квантовое число азимутальное 331, 332, 367 ---- вращательное 394 ----главное 305, 331, 332, 367 ---- колебательное 392 ----магнитное 331, 332, 345,367 ----полного момента 351 ----спиновое 349, 367 Кванты света 278, 281, 301 Кварки 516 К-захват 456 К-мезоны 485 Когерентность 78, 81 — временная 81 — пространственная 81 Коллинеарное соответствие 37 Кольца Ньютона 98 Кома 63 Компаунд-ядро 458 Комптоновская длина волны 289, 444 Константа взаимодействия 483 Коротковолновая граница рентге- новского спектра 272, 275 Корпускулярно-волновой дуализм 18, 283, 308 524 Космические лучи 476 и д. Коэффициент отражения 77, 328 — поглощения 236, 237 ---отрицательный 425 — упаковочный 440 — Эйнштейна 387 — экстинкции 240 Кратность вырождения 332 Кристалл двуосный 166 — одноосный 165 Критическая масса 467 — опалесценция 242 Кружок наименьшего рассеяния 36 Кюри, единица радиоактивности 457 Лагранжа—Гельмгольца инвари- ант 57 Лазер 387, 424 и д. Ланде множитель 363, 364 Лептонное число 494 Лептонный заряд 494 Лептоны- 446, 485 Ливни электронно-позитронных пар 476 Линза 58 Лоренцево смещение 347 — сокращение 205 Луч 34, 169 — необыкновенный 164, 168 — обыкновенный 164, 168 — параксиальный 52 Люкс 27, 28 Люмен 26 Люминесценция 244- Люминофоры 244 Магнетон Бора 344, 350 — ядерный 434 Магнитный момент атома 363 ---электрона орбитальный 344 -------собственный 350 Мазер 424 Масса покоя 223, 282 — релятивистская 223 Массовое число 435 ‘ Мезоны 442, 445, 485> Механический эквивалент света 27 Микрочастицы 310, 316 Мировая линия 208 — точка 208 Многофотонные процессы 432
Модель атома векторная 361 ----Резерфорда 296 ---- Томсона 293 — — ядерная 296, 301 Момент импульса 333, 354 и д. — инерции молекулы 394, 398 Мультиплетность терма 360 Мультиплеты 348 - г- зарядовые 496, 497, 514 — обращенные 377 — правильные 377 — унитарные 514 Мутные среды 239 Мю-мезон 207, 445 Мюон 445 Нейтрино 455, 509 — мюонное 512 — продольное 508 — электронное 512 Нейтрон 435 Нелинейное отражение света 431 Несохранение четности 505 Нит 29 Нормальное смещение 347, 361, 365 Нуклон 434, 496 Оптика волновая 34, 72 — геометрическая 34 — лучевая 34 — нелинейная 431 Оптическая длина пути 19, 82, 193 — ось кристалла 165, 183 ----системы 36, 52 — разность хода 82 — сила 42, 53, 55 — система 36, 37 ---- идеальная 36 ----телескопическая 67 ---- центрированная 37 Оптические гармоники 432 Оптический квантовый генератор 424 Опыт Айвса 217 — Боте 281 — Вавилова 285 — By 506 — Дэвиссона н Джермера 309 — Лауэ, Фридриха и Книппннга 145 — Ледермана и Шварца 512 Опыт Майкельсона 193 и д. — Паунда н Ребки 422 — Резерфорда 295 — Рейиеса и Коуэна 510 — Физо 191, 213 — Франка и Герца 302 и д. — Штерна и Герлаха 333 Освещенность 27 Относительное отверстие 71 Лара электронно-позитрониая 489 Переходы вынужденные 386 — индуцированные 386 — спонтанные 382 Период полураспада 449 Периодическая система Менделе- ева 369 и д. Пи-мезои 445, 485 Пион 445 Пирометры оптические 264 и д. Плоскости главные 41 — кардинальные 41, 43, 46 — узловые 46 — фокальные 38 Плоскость' колебаний 155 — поляризации 155 Плотность вероятности 284, 315, 337 — потока энергии 23 — светового потока 75 — энергии излучения 253 Поглощательная способность 248 Поглощение света 236 н д. — — многофотониое 432 -----резонансное 417, 420 Погрешности оптических систем 62 и д. Позитрон 455, 487, 489 Позитроний 490 Показатель преломления 11, 14, 74, 236, 431 -----абсолютный 11 -----относительный 10, 11, 12 Поле интерференции 83 Полное внутреннее отражение 13 Полосы вращательные 397 — колебательно-вращательные 399 — равного наклона 95, 98 — равной толщины 97, 98 — электронно-колебательные 400 Полуширина спектральной линия 382 Поляризатор 156 525
Поляризация света 18, 155 и д. ----круговая 158. 173 ----эллиптическая 158, 173 Поляроид 165 Порядок интерференционного максимума 92, 94 Постоянная Верде 189 — вращения 183 ---- удельная 183 — дифракционной решетки 134 — Керра 182 — Планка 260, 275, 279, 305, 311, 333 — распада 449 — Ридберга 292, 306, 338, 379 — Стефана—Больцмана 252, 264 Постулаты Бора 301 Правила отбора 400, 426 — Хунда 376 Правило отбора для j 354 -------J 397, 401 -------/ 334 -------L 343 -------т 346 —------mi 366 ----— mt 366 -------ms 366 -------v 393 Преобразования Галилея 200,203, 218 — Лоренца 203, 218 Принцип Гюйгенса 17, 106, 169 — Гюйгенса — Френеля 106, 107, 108 — запрета 368 — исключения 368 — относительности Галилея 191 ----Эйнштейна 197, 218 — Паули 368, 369, 375 — постоянства скорости света 197, 200 — Ферма 19 — эквивалентности 422 Промежуточное ядро 458 Пространство абсолютное 197 — изображений 36 — предметов 36 — четырехмерное 208 Протий 436 Протон 434, 493 Прямые ядерные взаимодействия 459 Пучок лучей 34 ---- астигматический 35 526 Пучок лучей гомоцентрический 34 ----параксиальный 52 Радиационный захват нейтронов 465 Радиоактивность 448 и д. — естественная 448 — искусственная 448 — протонная 456 Радиоактивные ряды 449 — семейства 449 Радиоуглерод 462 Разрешающая сила дифракцион- ной решетки 142 ---- объектива 153 ---- спектрального прибора 142 Рассеяние а-частиц 295 и д. — света 238 и д. ----комбинационное 400, 403, 431 ---- молекулярное 241 Резонансное поглощение нейтро- нов 462 Резонансы 486 Релятивистская динамика 218 и д. Рентгеновские трубки 272 Рентгеновское излучение тормоз- ное 272 ----характеристическое 274,377 Рентгеноструктурный анализ 150 Рождение пар 489 Рэлея критерий 142, 153 Самофокусировка света 432 Свет естественный 155, 159 — плоскополяризованный 155 — поляризованный 155 ----по кругу 158, 173 — прямолинейно поляризован- ный 155 — частично поляризованный 157, 159 — эллиптически поляризованный 158, 173 Светимость 27, 29 — энергетическая 246, 265 ----абсолютно черного тела 250, 251, 263 Световой поток 25, 26 Светосила объектива 69, 71 Свеча 26 Связь гетерополярная 390 — гомеополярная 389
Связь Рессель— Саундерса 358 Серни рентгеновские 338 Серия Бальмера 292, 334 — Бергмана 338 — Брэкета 292 — главная 338, 340 — диффузная 338, 340 — Лаймана 292, 334 — основная 338, 340 — Пашена 292 — Пфунда 292 — резкая 338—340 — спектральная 290 — фундаментальная 338 Серое тело 248, 270 Сила света 26 Символы термов 351, 359, 429 Синтез ядер 441, 472 Скорость групповая 231, 236 — света 18, 21, 23, 199 — фазовая 230, 236 Сложный дублет 354 Собственные значения 321 — фУнкЦни 321 Соотношение неопределенностей 317, 319, 443 Сопряженные точки 36 Составное ядро 458 Состояния вырожденные 332 Спектр атомный'290 -----, сверхтонкая структура 438 •----.тонкая структура 348 — линейчатый 290 — молекулярный 395 — полосатый 396 — рентгеновский 378 Спин 348, 349, 361, 487 — изобарический 496 — изотопический 496 — фотона 334 — ядра 438 Спин-орбитальное взаимодей- ствие 351 Спираль Корню 122 Спиральность частицы 507, 508 Стационарное состояние 312 Степень поляризации 158 Стильб 29 Странность 499, 501, 503 Супермультиплет 514 Сцинтилляция 295 Таутохронность 19 Телескоп 67, 69 Температура Дебая 413, 421 ।— отрицательная 425. — радиационная 267, 270 — цветовая 270, 271 — яркостная 269 Теория Бора 305 н д., 331 — Дирака 487, 490 — истечения 16 — относительности 197 и д. — света волновая 16, 190 ---- корпускулярная 16 ----электромагнитная 18 — теплоемкости кристаллов Де- бая 407 -------Эйнштейна 406 — унитарной симметрии 514 Тепловой эффект ядерной реак- ции 458 Терм 293, 302, 338, 340, 343, 351, 359 Термоядерная реакция 441, 472 ---- управляемая 474 Точки главные 41, 46 — кардинальные 41, 43, 46 — узловые 46 Тритий 436 Туннельный эффект 330, 453, 473 Тяжелая вода 469 Тяжелый водород 436 Увеличение лииейное 39, 44 — оптического прибора 34 — поперечное 39, 45, *6, 65 — продольное 45 — угловое 45 Угол Брюстера 160, 161, 163 — наименьшего (Пклоуеийя 14 — полной поляризации 160 — предельный 12 — скольжения 149 Узлы оптической системы 46, 54 Ультрафиолетовая катастрофа 259 Уравнение Дирака 349, 487 — Шредингера 311 и д., 320, 331 ----для стационарных состоя- ний 312 Уровни энергии 302 Ферми, единица длины 436 Фермионы 485 Флуоресценция 404 — ’резонансная 417 — рентгеновская 281
Фокусное расстояние 41 Фокусы оптической системы 38, 46 Фоиои 416, 421 Формула Бальмера 291, 292 ---обобщенная 293, 306 — Вина 252 — Вульфа — Брэгга 149, 150 — Ньютона 44, 55 — Планка 262, 387 — Резерфорда 300 Рэлея — Джинса 258, 262 — тонкой лннзы 60 — Эйнштейна 279 Формулы Лауэ 147, 150 — Ридберга 338 — Френеля 161 — центрированной оптической системы 44 Фот 27, 28 Фотоделение ядер 465 Фотолюминесценция 244 Фотометрия 30, 280 Фотон 18, 72, 281, 282, 334, 336 — виртуальный 443 — , импульс 283 — , энергия 282 Фотосопротивление 280 Фотоэлектродвижущая сила 280 Фотоэффект 18, 275 и д. — вентильный 280 — внешний 279 — внутренний 279 — .красная граница 278 — многофотоиный 433 Хемилюминесценция 244, 245 Цикл Бете 473 — протонно-протонный 473 — углеродный 474 Цуг волн 79, 155, 172 Частицы абсолютно нейтральные 493 — странные 499 и д. — элементарные 482, 516 Четность 503 — внутренняя 505 — комбинированная 507 — состояния 504 Ширина спектральной линии 382, 385 -------допплеровская 218 и д. Ширина спектральной линии естественная 382, 418 — энергетического уровня 382 Электролюминесценция 244 Электронная группа 368 — конфигурация 370, 375 — оболочка 368 Электронный захват 456 — слой 368 Энергия вращательная 392 — осциллятора 392 — — нулевая 393 ---- средняя 406 — колебательная 392 — покоя 225 — связи молекулы 391 ----нуклонов в ядре 439, 440 — электронная 391 Эфир мировой 18, 190, 197 Эффект Вавилова — Черенкова 242 — Допплера 190, 214 ----поперечный 217 ---- продольный 216 — Зеемаиа аномальный 348, 361 ----нормальный 344 и д. ---- простой 361 ----сложный 361 — Керра 181 — Комптона 18, 285 и д. — Мёссбауэра 420 — Пашена — Бака 367 — Рамана 403 — Фарадея 188 Эффективное сечение 459 Ядерная единица времени 458 Ядериые реакции 457 и д. ----срыва 459 ----*- цепиые 467 —- силы 442 Ядериый реактор 468 ----гетерогенный 471 ----гомогенный 47.1 — реактор-размножитель 472 Ядро атома 434 и д. ----, масса 438 ----, радиус 436 ----, спин 438 ----,энергия связи 439 Яркость 26, 28 — энергетическая 265 Ячейка Керра 23, 181, 182