о !.!>
W (с S
Т. В. Шишкина
Н. М. Шумейко
ФИЗИКА
ЭАЕМЕНТАРНЬIX
ЧАCnЩ
Курс Аекциii

Т.В.Шиппmнa
Н. М. Шумейко
ФИЗИКА
Э1\ЕМЕНТАРНЪIX
ЧАСТИЦ
Курс лекций
минск
Bry
2002

УДК 539.12(0758)
ББК 22.382я73
Ш65
Ре ц е н 3 е н т ы:
доктор фИЗИКО\1атематических наук lV/ И. Левчук;
доктор фИЗИКО:'vtaтематических наук Э. А. l(vpaeB
Печатается по решению
РедакционноиздатеЛЬСКО20 совета
БеЛОРУССКО20 20сударствеННО20 университета
Шишкина Т. В.
Ш65 Физика элементарных частиц: Курс лекuий / Т. В. Шишкина,
Н. М. Шумейко.  Мн.: Бrу, 2002.  112 с.
ISBN 985A458385.
Б курсе лекций излаrаются rлавные положения и методы физики Jле
ментарных частиц. в значительной Iepe относящиеся к наиболее быстро и
динамично развивающемуся ее разделу  физике высоких Jнерrий.
Предназначено .:L'1Я студентов университета. специализнрующихся в
области теоретической физики.
УДК 539.12(075.8)
ББК 22.382я73
ISBN 985445838-5
.]'; Шищкина Т. Б..
Шумейко Н. М., 2002
е Бrу. 2002

ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение R3НИ:VЮ.1СЙСТRИЙ 'ые:Vfентарных чш..:тип. как теорети
ческое. так и экспеРИ:Vlента.lьное. уже :Vlноrие деСЯТИ.lетия пред
ставляет собой r.lавныЙ источник информации о структуре Be
щества и определяющих чертах основных типов взаимодействий.
Постоянно осущеСТВ.lяемые исследования на современных ускори
теля': и планируемые эксперименты на строящихся установках BЫ
зывают интерес к изучению :vrетодов расчета характеристик взаи
:vюдействий частиц и потребность в специалистах. подrотовлеННhIХ
для проведения подобных вычислений.
В этой книrе подробно излаrается формализм Sматрицы, :vre
тод диаrрамм Фейнмана для расчета ряда процессов электромаr
нитноrо и слабоrо взаимодействий. :YfeTo;:! диаrра:vr:vr Фейнмана
представляет собой основной :vrетод вычисления матричных эле
ментов процессов в рамках теории возмущений.
Рассматривается метод вычисления матричных элементов ря
да классических процессов рассеяния элементарных частиц, каж
дый из которых изучается достаточно подробно. При этом в каж
дом v.lучае по диаrраммам Фейнмана и из соображений инвари
антности строится матричный элемент. Затем вычисляется сече
ние рассеяния или вероятность распада. Все вычисления сделаны
настолько подробно, что леrко MorYT быть воспроизведены чита
телем.
Больщое :V1ecTo в книrе зани:vшет исследование кинематики
различных видов взаимодействия частиц: получение и анализ со--
ответствующих дифференциа.1ЬНЫХ сечений.
Особое внимание уделяется рассмотрению процессов лептон-
HYK.loHHoro рассеяния: а также образования в aДpOHaдpOHHЫX со--
ударениях лептонных пар и промежуточных векторных бозонов с
последующим изучение:V1 каналов их распада.
Используется как феноменолоrический подход, так и KBapK
партонное приближение. Рассматриваются некоторые предельные
переходы и перспективы дальнейших исс..lедований.
3

в заК.lючите.1ЬНОЙ 'faСТИ приводится ряд 'за;Щ'{ по paC"IC 1')' OT
,1С.1ЬНЫХ характеристик ПР<ЩССL:ОВ взаИМО,lСЙСТПИ>1 "JJC:VI<HTapHh!X
частиц. что позвО.1ЯСТ читаТС.1Ю провсрить ПОЛУЧ(ННh!С -шания. а
также сти:vrУ.1ИРУСТ са:vюстояте.ll>НУЮ учебную работ'у'
список ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
И СОКРАЩЕНИЙ
Р  +импульс частиц И.1И :vюдуль 3импу.lьиl.
q  4мерный переданный импу.1Ьс,
р  3мерный вектор И1Пу.lьса частипы.
PII  продольная составляющая импульса,
P  поперечная составляющая импульса,
v  скорость частицы.
5, t, и  инвари антные перемеl!Ные Манде.lьстама,
Е == vr + т 2  полная энерrия частииы,
()  уrол вылета' частицы.
1J;  уrол разлета двух частиц,
I  Лоренцфактор,
(pk) == Poko  р!;  скалярное произведение 4--векторов,
*  обозначаются кинематические переменные в системе центра
масс:
лсистема  .1абораторная система координат,
цсистема  система центра масс.
Испс.J1ьзуется система единиц !i == с == 1.

ф КИНЕlVIАТИКА
1.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ .'10РЕНЦА.
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
ОСНОRНОЙ кинематической характеристикой частипы в физике
взаимодействий элементарных чаСТИII является -!-вектор энерrии
импульса р. Rре1енная компонента KOToporo  ПОJlная 'Энсрrия ча
стииы Е. а пространственные компоненты  составляющие
3и:vшульса р вдоль осей системы координат 1,2: 3
р == (Ро,Р) == (Е,Рl,Р2,РЗ), (1.1)
т. е.
Ро == Е, Р == (Pl, Р2, Рз).
в декартовой систе:-.ле: напри:'.!ер, р== (Рх,Ру,Ро)'
Четырехмерное пространство ::VIинковскоrо  псеВJlоеRК.1ИДО
во. Ero метрику принято характеризовать метрическим тензором
9f.J.V' тензорные индексы KOToporo пробеrают следующие значения:
J.l,1/ == О, 1, 2, 3. Тензор 9f.J.V имеет с..'Тедующие компоненты:
goo == 1, 911 == g22 == gзз ==  1, 9/-lov == О (J.l =f 1/).
Далее полаrаем: что в любой инерциа.1ЬНОЙ системе отсчета:
в которой наблюдаются физические процессы, метрика простран
ствавремени определяется тензором g/-lov'
Переход от одной инерциальной системы к друrой, движущей
ся относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью
iJ , осуществляется с помощью преобразований Лоренца. Пусть в
исходной системе отсчета и в системе. движущейся со скоростью
iJ относительно исходной, заданы декартовы системы координат с
осями, параллельными друТ' друrу, а скорость iJ направлена вдоль
оси z исходной системы (ось z' движущейся системы координат
параллельна z). Тоrда компоненты 4--вектора (1.1) преобразуются
по следующему правилу: в движущейся(штрихованной) систе:\ле
Е'  Е  и. р Р '  ро  E7: z , ,
 V1=IJ2 ' z  V1=V2 ' рх == рх. Ру == Ру. (1.2)

Здесь J . Р  ска.:rярное ПРОИ3ВС,lсние .1 В УХ Звr:КТI)Р()R i: е! р.
и= == IVJ == 11 В том с'1учае. коrда скорость iT направлена в,.юль
оси Z. и и= ==  с. KOr.1a она направлена против оси z. Ко:v!П()нен
ты 3и!Пу.lьса р. перпеН.1икулярные скорости а. не изменяются
при переходе в .1вижущуюся систе1\' координат. Формулы np('
образования .lоренпа (1.:2) обобщаются на случаЙ произвольноrо
расположения осей штрихованной системы координат ОТНОСI!Те.1Ь-
но нештрихованной. Это обобщение не затраrивает выражение Е.
которое уже имеет ВИД: справедливый для произвольноrо направ
.1ения скорости iJ. Компоненты р' и p представи),,! в виде
р' == (р. v)jv, p == (i/. v)jv,
а 3векторыри i/запишем в ВИДе суммы продо.1ЬНОЙ компоненты,
направленной вдоль вектора б, и поперечной компоненты. направ
ленной перпендикулярно векторуи:
p==PiI+' i/==iili+i/,
( 1.3)
['де
Pl. == (Рх, Ру, О), i/l. == (p,p, О),
 v (  :-fI  j 2
Р!! ==Pz == p'VJVV,
и
 f V  2
P'II == Pz == (р" u)vjv .
V
( 1.4)
Поскольку при проведении преобразований Лоренца
P' , == P , .
 .
трехмерный вектор i/ в штрихованной системе координат может
быть выражен через вектор р в следующем виде:
 ,б   Еб (р'б)(1 у'1и2 )
Р' == Р  + Р' == Р  + V ( 1 О )
z V  V'f'=V2 и 2 YТ="V2 . . 
Это rромоздкое соотношение выrлядит значительно проще после
введения .10ренцфактора ((( == 1jv'f'=V2):
   ( ((p, 11) , )
р' == р + ,'и   Е .
1+1
(1.6)
"

Соотвстствvющес прсобра:зование ,ЦЯ 'Энерrстичсской ко:v1по
ш'нты И:V>IССТ вид
Е' == I(E  (Р'П).
\ 1.7)
Выражения (1.6) и !).7) позволяют осущеСТВ.1ЯТЬ прсобразо
вание .10peHIla в с.тучае ПРОИЗВО,lьноrо напраВ.lения вектора CKO
рост и V . Используя их. .1crKo установить. что разность Е 2  р2
дает величину, не зависящую от систеу!ы отсчета. т. е. ЯВ.lяется
инвариантной относите.1ЬНО преобразований Jlоренпа:
(Е')2  (j/)2 == (Е)2  (р)2 == 1т'.
(1.8)
Выражение (1.8) опре.1е.lяет квадрат массЫ т 2 . являющийся _10
ренц инвариантной характеристикой элементарной частицы:
(Е)2  (р)2 == т 2 .
(1.9)
Энерrия Е физической частипы считается ПО.10ЖИТСЛЬНО
опреде.lенной величиной. В системе отсчета. rде 'шстипа поко
ится (р == О), ее энерrия равна массе:
Е == т.
в природе существуют частицы с нулевой массой (например, фо
тоны). У таких частиц энерrия и модуль 3импульса равны друТ'
друrу: Е == 1P1 (т == О). В любой инерциальной системе отсче
та безмассовые частицы движутся со скоростью света, так как
v == 1P1/E == 1.
Соотношение (1.8) представляет собой частный случай CKa
лярноrо произведения двух 4BeKTopOB, которое в пространстве
\1инковскоrо определяется следующим образом:
(pk) == 9ll v p'k V == Еш  (р. Е),
(1.10)
['де р == (Е, р), k == (ш, Е), 9/J.v  метрический тензор пространства
:VIинковскоrо. в выражении (1,10) по повторяющимся парам ин
дексов подразумевается суммирование. Скалярное произведение
(1.10) релятивистски инвариантно по определению, т. е. остается
неизменны:v>! при преобразованиях Лоренца
..."  1,'  ......"
(pk) == Еш  (р . k) == Е w  (р . k') == 1 n v.
(1.11)
I

в справедливости ПОС.'1еднсrо соотношения .1erKo убс;lИТЫ':Я непо
срсдствснным ВЫЧИС.'1СНИСА, используя форму.1Ы (1.:?) ИЛИ (1.6) и
( 1.7) внештрихованной систс:vrс отсчетя..
Использование ре.1ЯТИВИСТСКИХ инвариантов. состаВ.lенныХ
из 4и:;IПУЛЬСОВ частиц. участвующих в ПрОIlессе взаимодействия.
позволяет описать характеристики ПРОlIесса наиболее общим
образом. YIeTo;} инвариантноrо описания  универсальный способ
записи эксперимента.1ЬНОЙ информаlIИИ и теоретических пре.'lска
заний кинематических характеристик частиц, участвующих в раз
личных физических процессах. Например, инвариант
512 == (Рl + 1>2)2, составленный на основе измеренных 4импульсов
Р1 и р2 двух частиц, которые (наряду с друrими частицами) об-.
разовались в результате процесса взаимодействия: характеризу
ет эффективную массу системы этих частиц. Действительно, при
переходе в систему отсчета, rде суммарный импульс Р! + pz = о
(система центра ;"'!аСС) , инвариант 512 == (Е 1 + Е 2 )2 может pac
сматриваться в качестве квадрата внутренней энерrии системы,
состоящей из двух рассматриваемых частиц. Для одиночной ча
стицы эта величина представляет квадрат ее массы. Если стати
стическое распределение событий таково, что инвариант 512 при
нимает значения в оrраниченной области, существенно меньшей
кинематически допустимой, это свидетельствует о вторичном про-
исхождении пары рассматриваемых частиц в результате раСпада
какойто частицы с массой ../512. Последнее справедливо также и
для с:истем, состоящих из любоrо ЧИСЛа частиц.
Инвариант t = (Р!  ])2)2: rде импульс Р1 характеризует
первичную частицу, а р2  вторичную, содержит Иf{формац о
передаче энерrии и импульса от первичной частицы ко вторичной
в форме, не зависящей от конкретной системы отсчета, в которой
осуществлялось наблюдение.
Инварианты позволяют наиболее простым способом И::, B,'M
пактной форме установить связь между кинемаТИЧСуким"1 х.црак-:
теристиками первичных !I вторичных частц, следiющуВJI " iЗЗr,
, , ,
конов сохранения энерrии и импульса.
8

1.2. СИСТЕМА ОТСЧЕТА
J.1Я нанболсе эффсктнвноrо описання взаИ:VЮ,lСЙСТRИ>! Э.lС:V1ен
тарных частиц нсобходимо избраТh ажкватную ПОСТ<1R.1СННОЙ '3a
даче систему отсчета. Как правило. пол;обныЙ выбор связан (' y're-
том особенностей экспериментаЛhНЫХ установок и с у.lOбство:,,! TCO
ретическоrо описания прОlIссса взаимодействия. Расс:vютрим 'Здесь
некоторыс ПрЮ1Сры.
Лабораторная система отсчета ( лсистема)
Эта система отсчета соответствует такой постановке экспери
ментов на ускорителях: при которой ПУЧОК частиц сорта .4 нале
тает на неподвижную мишень сорта В. В .1системе 4--импульсы
взаимодействующих частиц l первичных) имеют с..'Iедующие KOM
поненты:
РА == (Е А ,р.4.). РВ == (тв, О),
( 1.12)
rде БА, Р.4  энерrия и трехмерный вектор импульса частицы .4,
Е.4. == (P:l + т1)1/2,
тА (тв)  масса частицы А (В). Скорость частицы А равна
БА == РА/ ЕА, а частица В покоится: бв == О (Рв == О).
Антилабораторная система отсчета (алсистема)
эта система отсчета соответствует покоящейся частице А, на
которую на.нетает частица со скоростью бв. Ес.ни частица А cтa
бильна, то алсистема может быть практически реализована.
Если же частица нестабильна, то практически изrотовить мишень,
состоящую из таких частиц, невозможно. В пос..'1еднем случае изу
чение процесса в алсистеме '-'!ожно осуществить только теорети
ческ!I'I. Для частиц с нулевой массой (тА == О) антилабораторной
СИС'nj!мы отсчета вообще не существует. В алсистеме 4--импульсы
перзчных взаимодействующих частиц А и В имеют следуЮlЦие
КОМЦоненты:
!,
Р.4. == (т.4, О),
, 
Рв == (Ев,Р'в),
(1.13)
9

Здесь Ев н ii в ,нерrия и 3НlПу;rы: '!аСТИI!hJ В.
I (  ) " " I/,' С
Ев == (Рв -+т в ) . КОРОСТI,а.1СИСТС:VIЫ()ПIOС!lТс_-rЬНО_1СИСТС.
:vrhl равна скоростн 'шстниы А в .1-систс:vrе с обраТНЫ:V1 знако:v!:
u == 1:"A' I3 соответствии с Т!ыражсниями (1.2) И.1И (1.6) и (1.;)
энерrия п юшу.1ЬС частнцы В в аЛ('l!сте:V1е :-..юrут быть ,апнсаны
через энерrию и ИМПУ.1ЬС частицы в .1СИСТС:VfС С.'ТС,lУЮЩН:vr обра-
зом:
Е ' /  I
В == тв V 1  иА, == твЕ.../тА,
iiB == mBiJA/ J1  и.; == т8P.4./т4'
( 1.14)
с точки зрения физики алсистема и лсисте:V!а в случае :vfассив
ных частиц эквивалентны. В тех с..1учаях, коrда некоторые про--
дукты реакции взаимодействия частнц А и В коррелируют по
своим кине:-'fатическим характеристикам и квантовым числам с
частицей А, удобной является ,1систе:vrа, коrда с частицей В 
.1учше исползовать алсистсму. Такие продукты реакций приня.
ТО иноrда называть фраrментами частиц А или В.
Система центра масс (цсистема)
Эта система отсчета определяется соотношением
р*,4 + Р" в == О.
(1.15)
rде Р.....,4, Р..... В  3импульсы частиц А и В в цсистеме. В соответ-
ствии с (1.15) сталкивающиеся частицы в этом случае обладают
равными по модулю импульсами, направленными в противопо-
ложные стороны. Цсистема практически реализуется при поста.-
новке экспериментов на встречных пучках. В современных ЭКС
периментах на встречных пучках (рр, РР, ее, e+e) направлени:1!t
частиц не cTporo противоположны дру!" друrу, а пересекаются под
небольшим уrлом. Однако при обработке опытных даННЫХiвсе +
нематические характеристики частиц с помощью преОБРа$оваН I .'.
Лоренца пере водятся в цсистему, rде кинематическая; карина . . .'
акции взаимодействия: как правило, выrлядит наиболееiимм "
рично относительно характеристик взаимодействующих, част*I,.
10

(Особ(нно замстно прояв:тястся СИ\fМСТРИЯ при рi:iСС\'lOтрении вза
имодеЙСТRИЯ одинаКОRhlХ чаСТ1I1\ или частицы с СООТRСТСТВ\'Юl!Iей
ей анти частипеЙ .;
При соу.ltlрении ,1R)'X частиц с произволыlшI1 1!\ШУ,lы:tl\'IН Р4
11 рв переход R псисте:VIУ ос'ществляется посре,lСТВО\1 прсобразо
Rания .10pcHlIa с СООТRстствующей СКОРОСТhЮ
и"- == (Р4 + РВ)/(В А + Вв).
(1.16)
Направим ось z вдоль вектора. опрсделяе:vюrо СУ:VI:VЮЙ импу.1Ь
сов Р.4 + Рв == р. Тоrда в новой (отмеченной ве-з.lОЧКОЙ) систе:v.rе
отсчета суммарный вектор. соrласно форму.lа:vr ре.1ЯТНВИСТСКИХ
преобразований, будет нметь значение
p.....==pEvc/ V1v , В==ВА+Ев, (1.17)
Приравняв вектор р---:' ну.1Ю, найде:vr скорость 'ilc !\систе:v.jЫ OTHO
сительна системы отсчста: ['де Р # о : -и с == Р/ В. ,!ТО совпадает с
выражением (1.16).
В лсистеме Р == Р.4, В == ВА + тв. При 'Этом скорость
цсистемы относительно .1СlIстемы определяется выражение;vr
и с :::: P.4.j(E4. + тв).
(1.18)
Энерrии И импульсы частиц А и В в цсистеме следующим обра
зом выражаются через соответствующие величины в лсистеме:
В*  тв В* :::: ВА  (Р.4 и с) .
в  v 1  v ' А V 1  v .
 ffiBV c  Р.4  ЕАи с
Р*в ==   ' Р*,4::::  ' (1.19)
 v;  V c
Учитывая выражение (1.18). последним соотношениям (1.19) :v.юж
но придать следующую форму:
т + тВВА
Е* 4 ==
, I 2 2 Е '
у т,4 + тв + 2 Атв
Е1 == т4,(Е А + тв) (1,20)
V m + т + 2Е,4тв'
  тВР.4
р* в == p' 4. ==  .
. v m 2 4 + т + 2Е. 4 тв

(]) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИ.МОДЕЙСТВИЯ.
SlVIАТРИЦА
I3ЫЧИС.lсние основных характеристик ПРОЦСССОА Rзаимодсй
СТАИЯ эле:-,юнтарных частиц: вероятностей распадов. ;:{Ифферен
циа.1ЬНЫХ и полных сечений рассеяния, аспммстрий. радиапиоН
ных поправок и друrих экспсримента.1ЬНО измеряс!v!ых ве:тичиН 
невозможно без знания матричных эле!v!ентов SIaТРИЦЫ. Дадим
определсние этоrо оператора квантовой теории.
J:.1Я Toro чтобы ввести опреДС.lение Sматрицы, рассмотрим
волновое уравнение квантовой :vrеханики . Уравнение движения лro--
бой квантовой системы в предстаВ.1ении Шрединrера имеет вид
/It) =: Щ1li(t).
(2.1)
Здесь Н  ПОJ:НЫЙ rамильтониан исследуемой системы, а Iw(t) 
вектор состояния системы в момент времени t.
Для описания конкретных процессов наиболее удобно исполь
зовать Sматрицу в представлении взаимодействия (представле-
нии Дирака).
Отметим, что средние значения операторов физических вели
чин (как и любые их матричные элементы) инвариантны относи
те.1ЬНО унитарных преобразований
Iw'(t) =: V(t)jw(t),
O'(t) =: V(t)OV+(t),
(2.2)
['де ..(t)  унитарный оператор:
V+(t)V(t) := ,(t)V+(t) =: 1.
(2.3)
rоворя иначе, физические следствия теории сохранятся неИЗМ1Е11"
ными: ес..'Ти вместо векторов Iw(t) использовать для описания си:
стемы векторы Iw'(t), а вместо операторов О  операторм О/
Используем унитарные преобразоваиия для TOI!'O, чтобы Пе-
рейти к представлению, в котором заВИСИМОСТJ> от времени вeTO-
ров состояния определял ась бы rамильтонианом RЗ6модействll.й.
12

ДеЙСТВИТ_lЬНО. ПО.1НhfЙ rа:vrИ.lhтониан ('ИСТС:V<lhf ш)жет БЫТh ПjJСД
ставлен В ВИ.т.с t:)':V!:>lbI:
Н == Но + Н [:
(:2 .-!\
rite Но  свободный rаМИ.lьтониан системы. а Н[  rа",!И.lьтониан
взаи:vюдействия
H[(t) ==  J L J (:c)d 3 x,
rде LJ(X)  П.10ТНОСТЬ лаrранжиана взаимодействия. 3апишс\! co
отношения (2.2) В ВИ;J;е
IФ(t») == v[(t)I1lт(t»).
i,2.5)
O(t) == Vj(t)OVj"(t).
(2.6)
Умножим .т.алее соотношение (2.5) слева на оператор '-' :
11lт(t») == V/,(t)IФ(t»).
(27)
Подставим это выражение в уравнение движения (2.1):
i т(t) IФ(t») + V/(t)i дlt») == (Но + Нj)Vj(t)IФ(t»). (2.8)
Потребуем: чтобы унитарный оператор V/ УДОВ.1СТВОРЯЛ ypaBHC
нию
. дV/(t)  Н Т,.... ( )
Z дt  oyjt.
(2.9)
Данное требование правомерно. поскольку такой оператор всеrда
существует. Так. например, оператор
Vj'"(t) == exp[iHot]Vj+(O),
rде Vj""(O)  не зависящий от времени произвольный унитарный
опеяатор, удовлетворяет ус..lОвию (2.9) и является унитарным:
Умножим соотношение (2.8) слева на VJ(t) и, используя уни
тapOCTb оператора Vi( t), получаем следующее уравнение для BeK
TO состояния IФ(t») :
i дlt») == Нj(t)IФ(t»), (2.10)
13

rде HJ(t) == vI(t)HJ:J(t)  Пl:vrl!.lьтониан ВЗctЮЮ.rействия в HO
вам представлении. Это прсдстаВ.lенис. в KOTopo;vr векторы COCTO
яния удовлетворяют уравнению (2.10). называ(тся пре,lстав.1СНИ
e:V1 взаиroдеЙстния (представление:v[ Jирака). Ero особенностью
ЯВ.1Яется то. что зависимость от нр<:,мени векторов состояния в
этом представлении определяется только rаМИ,lьтонианоы взаи
молействия, а зависимость от вреМеНИ ИПСрёlТОрОВ  свободным
rамильтонианом. Д.1Я Toro чтобы показать это. выполним снача
.1а эрмитовское сопряжение уравнения (2.9):
.aVJ(t)
l == VJ(t)Ho.
(2.11)
I3ыбере1 оператор О, который в представлении Шрединrера
не зависит от времени. Используя соотношения (2.9) и (2.11), по
лучим уравнение: которое определяет cro зависи:vюсть от вре!V!ени
в представлении взаимодействия:
.aO(t); -'-  -
l == vJ(t)OHoVf (t)  V[(t)HoOVf (t) == [O(t), Ho(t)]. (2.12)
Таким образом, в представлении взаимодействия изменяются как
операторы, так и векторы состояний, причем в закон изменения
операторов входит одна часть, а в уравнение Шрединrера друrая
часть исходноrо rамильтониана системы.
Вернемся к решению уравнения (2.10). Отметим, что инт
rральное уравнение
t
IФ(t)) == IФ(tо)) + (i) ! dt1НJ(t1)IФ(tl)).
to
(2.13)
эквивалентное уравнению (2.10), включает в себя также началь--
ное }с,повие, описываюшее состояние системы в момент врсм€!и
t == to. Пос..'1еднее уравнение будем рещать методом ираu;.
ПодстаВJ1ЯЯ под знак интеrрала в уравнении (2.13) выраеНИii
t,
jФ(tl)) == IФ(tо)) + (i) ! dt2Н[(t2)IФ()),
to
( 21i4- )
получаем в результате
14

1
IФ(t)) === IФ(t/)))  (i).f dt1Нr(tl)IФ(t о )) 
11)
t 1,
+ (i)2.f dt).f dt2Нr(tl)Нr(t2)IФ(t2))'
10 to
(2.15)
Далее ПОД знак интеrрала в (2.15) еще раз подставим правую часть
интеrра.,тьноrо уравнения (2.13). ПослеДОfJательно продолжая эту
проuедуру, получаем окончате.1ЬНО общее решение ураRнения дви
жения (2.10) в виде ряда теории возмущений по степеням rаМИ.1Ь
тониана взаимодействия:
iФ(t)) == (2.16)
[ 1 + (i) j dt1H1(tl) + (i)2 j dtl J dt2HI(tl)HI(t2) ...)... . . .
10 10 10
+ (i)n j dtl J dt2... /'dtnHI(t1)HI(t2)... H1(tn) ..,... . .. ] IФ(tо)).
to 10 to
в случае, ес..'!и константа взаимодействия мала. как в элек
тромаrнитном и слабом взаимодействиях, уже несколько первых
неисчезающих членов ряда (2.16) дают решение с точностью: со--
ответствующей возможностям измерений в современных экспери
ментах.
Полученное решение может быть записано в обобщенной
форме:
IФ(t)) == U(t: tо)IФ(tо)).
(2.17)
ВеКт6р состояния в произвольный момент времени t может быть
ПОЛУ1'fен в результате воздействия на начальный вектор состоя
l1'nЯ qnepaTopoM U(t, to), который: в свою очередь. непосредствен
$Р ореде:тяется rамильтонианом взаимодействия:
00
U(t, to) ==  [f(n)(t, to),
nO
(2.18)
15

rде каж,'"(ое из C.larae:V!bJx опреде.1Яется выражение:v!
U(n)(t, tO) ::=
t t, tn\
::= (i)п J dtl J dt 2 ... J dt n 1i j (tl)!fI(t2)... H[(tп). (2.19)
to to to
Оператор fJ(t, to), называемый оператором преобразования.
является унитарным. Для Toro чтобы пок8:Затьэто, подстаВИ1 BeK
тор состояния (2.17) в уравнение движенЙя (2.10). Получим
.дU(t, to) ,
z дt := H[(t). (t, to).
Отсюда: путем эрмитовскоrо сопряжения, находим
(2.20 )
.ди+и, to) и ,... ( )Н ( )
z &t == t, to [t.
(2.21 )
(H[(t)  эрмитовский оператор.) Умножая уравнение (2.20) слева
на оператор U+(t, to), а (2.21)  справа на U(t, to) и вычитая из
первоrо выражения второе, получим
:t (и+и, to)U(t, to») ::= о:
(2.22)
Следовательно,
U+(t, to)U(t, to) == const.
Однако из вида общеrо решения (2.17) вытекает, что U(to, to) == 1.
Таким образом, оператор U(t, to) удовлетворяет условию уни'Тар
ности
U+(t,to)U(t,to)::= 1.
(2.23)
Из пос..'1еднеrо выражения с учетом соотношения (2.17) с..1елует
также, что норма вектора состояния сохраняется:
(Ф(t)IФ(t» == (Ф(tо)IФ(tо).
Рассмотрим подробнее выражение для оператора U (t, to), onpe
деляемоrо формулами (2.18), (2.19). При n  2 особенностью ин
теrралов в (2.19) является то, что их верхние пределы служат
16

псре:ViенныМИ последующеrо интеrр>rрования. ИСПО.1hзование по
_10бных интеrра.10В в вычислениях вносит знаЧНТС.lьные техниче
СКИС неуд06стна. Чтобы этоrо избежать. преобразУбl входящие в
Rыражение (2.19) пKpaTHыe интеrра...1Ы и покаже:vr. что слаrае
\ЫC бесконечноrо ряда (2.19) MorYT БЫТh записаны таКИ:V1 обра
'30:V1. чтобы все верхние пределы интеrрирования БЫ.1И одинаковы
i! равня:rись t.
Начнем с TpeTbcro С.1э.rаемоrо (2.19):
t 11
U(2)(t, t o ) == (i)2j dt 1 j dt2H[(t1)H[(t2),
10 to
(') ') 4)
\.........
ОбластЬЮ интеrрирования З.J;есь: как видно на рис.l. является
t2
t A
t
t 1
Рис. 1
треуrольник, расположенный ниже биссектрисы координатноrо
yr.1a в плоскости (t2, t1), Поменяв в (2.24) местами перемснные
интсrрирования t1 и t 2 ,
1 12
U(2)(t, to) == (i)2j dt 2 j dt 1 H[(t2)H[(t1),
to to
(2.25)
и попрежнему считая t1 абсциссой, а t2  ординатой: получим
в каЧсстне области интеrрирования треуrОЛhНИК: расположенный
lI.

выше биссектрисы координатноrо yr.1a. Если бы опр<tторы Н I( t])
и Hr(t2) коммутирова.1И, то оба подынтеrра.1ЬНЫХ выраження COB
падали бы Jf оператор и(2)(t, t o ) :vюr быть представ.lен как ПО.l0ВИ
на интеrра.rrа по полному квадрату. Однако это невозможно (;,lС-
лать в с.1учае неком:v\утирующих операторов. Поэтому: ПО:VfСНЯВ
порядок интеrрирования в (2.25), можно пока заПИС;;1ТЬ. что
U(2)(t, to) ==
1 r 11 1 ]
( О2 '
== т ! dtl l ! dt2HI(tl)HI(t2) + ! d t 2 H r(t2)H 1 (tl)
10 to t ,
. (.2б)
Дальнейшее объединение можно осуществить. вводя оператор
хронолоrическоrо упорядочивания Дайсона Р :
р (Hr(tl)H r (t2)) == { HI(tl)Hr(t2),
H 1 (t2)H 1 (t]),
tl > t2,
t2 > tl,
(2. 7)
И.1И иначе:
р (HI(tl)H 1 (t2)) ==
== B(tl  t2)Hr(tl)HI(t2) + B(t2  tl)HI(t2)HI(tI),
(2.28 )
[де
В(х) == { 1,
О,
х > о;
х < О.
Оператор Р при действии на про изведение двух операторов, зави
сящих от времени, расставляет их так, чтобы временной арrу:vюнт
первоrо сомножителя был больше BpeMCHHoro aprYMeHTa BToporo.
В том с..'1учае: если временные aprYMeHTbl операторов совпадают,
t 1 == t2, соответствующие операторы коммутируют,
ИСПОЛЬЗУЯ соотношения (2,26) и определение оператора xpo
нолоrическоrо упорядочивания (2.27), получим следующее Bыpa
жение ДЛЯ U(2)(t, to) :
1 1
-(2) (i)2 / /
U (t, to) == 2! dt 1 dt2 P (H 1 (tl)HI(t2)).
10 to
(2.29)
18

.Ja,lCC по каже:Vl. что при ПРОИЗВО.1ЬНОМ n, опреДСЛЯЮЩС:V1 HO
:VICp С.1аrае:vюrо в ряду (2.18), выполняется аналоrпчное соотношс
ние:
c(n)(t. to) ==
1 1 1
( i)n J J j '
==  dtl d t 2.', (НпР (H[(tI)H[(t2) ... н[ип)) , (2.30)
10 10 10
['де
Р (H[(tl)H[(t2)'" H[(t n )) ==H[(t;JH[(ti 2 )" .H[(t;J. ; )
(2.31
t;,  ti 2  . ..  t;n.
Хронолоrический оператор Дайсана Р при действии на произве
дение n зависящих от времени операторов расставляет их таким
образом: чтобы временной aprYMeHT убывал (и.1И хотя бы не воз
раста.л) при перемещении слеВi1 направо, Такое произведение опе
раторав называется хронолоrическим.
Воспользуемся методом математической индукции. PaCCMOT
риы дополнительную функцию времени I(t) :
t 1, t n
I(t) == J dt l J dt2... J dt n +IH[(tl)H[(t2)'" H[(tn+l) 
101 to t 101 (2.32)
 (n: 1)! J dtl / dt 2 ... / dtn+IP (H[(tl)H[(t2)'" H[(tn+l))'
   '
Продифференцируем ее по псременной t :
[ 1 1, 'n'
dI ( t)
& == H[(t) J dtl J d t 2'" / dt n H 1 (tI)HI(t2)... н1иn) 
10 to 10
t 1 1 ]
 ! J dtl J dt2... J dtnP (H 1 (tl)H[(t2)'" H[(tn)) . (2.33)
10 10 10
Предположим, что соотношение (2.30) ВЫПО,lняется. Из Bыpa
жения (2.33) следует: что в этом случае
dI(t)/dt == О,
19

и. С.1едовательно: 1 от времени не зависит. В СilЛу опре,1е.1СНШi
функции I(t) (С:V1.(2.З2)) значение I(to) == о. С.lеДQвательно. 11 ,1]0-
бой :vюмент вре:-лени I(t) == О. Если СООТНQшение (2.30) спра11С:l
.1ИВО для е.1учая п операторов, то oo вьП!'о,'Тняется и ,1ЛЯ е.1учая
(п + 1) операторов. Ранее была показана спраВСД.1ИВQCТЬ 12 .зо;
при п == 2.
Таким образом. соотношение (2.30) справедлпю при произ
вольном п.
Ряд. определяющий оператор U(t, to), может быть также ею!.
волически записан в виде
U(t, 'о)  Р (ех р ( ' /. Н Т (") d") )
(2.34)
Введем теперь матрицу рассеяния: или S.матрицу. Пусть изу
чается процесс: в начале и в конце KOToporo имеются лишь далеко
отстоящие друТ' от друrа частицы, которые можно считать своБОk
ными.
Чтобы вычислить ампЛИТУДУ вероятнос--r:и для происходящих
в этом процессе рассеяний и взаимных превращений частиц: pac
смотрим положение, при котором взаимодействие H[(t) адиаба
тически включается в бесконечно удменном прошлом и адиаба.
тически выключается в бесконечно далеком будушем. Обозначим
вектор начальноrо состояния через IФ( oo), а вектор конечноrо
состояния  IФ(оо) (описывает состояние при t  00). Из Bb!pa
жения (2.17) следует, что
IФ(оо) == U(оо, оо)IФ(оо).
(2.35)
Оператор
s == U(оо, oo)
(2.36)
называется S.матрицей в представлении взаимодействия. Иех();rя
из формул (2.18), (2.30): (2.36) получим следующее выражение
для Sматрицы в виде ряда теории возмущений:
20

 (i)n j X . j )()
В == L.....  dt 1 dtz . . .
n=о C'() X)
С'()
... j dtnP (H r (tl)H r (t2)... H1(tn)) .
)()
!) .)\
\.....vl;
Квадраты соответствующих :vrатричных эле1ентов В опреде
.1ЯЮТ вероятности переходов и эффективные сечения возможных
процессов рассеяния и взаимноrо превращения частип. Действи
тельно: пусть In)  полная система векторов состояния, описываю
щих частицы с определенными ИМПу.1ьсами и проеК!lИЯ!И СПИНОR.
В начальный момент времени (t  cx:;)
IФ( oo) == Ino).
(2.38 )
Раскладывая вектор конечноrо состояния (t  'Х)) ПО ПО.1НОЙ си
стеме векторов 'n), из (2.35) с учетом (2.36) и (2.38) получаe:vr
IФ(оо) == Blno) == L In)(nIBlno).
(2.39)
n
Следовательно. матричный элемент (nIBlno) определяет ампли
туду вероятности перехода из состояния /nо) в состояние. описы
ваемое вектором 'n).
Одна из важных задач расчета характерист.ик взаимодействия
элементарных части и и заключается в вычис,lении матричных
элементов В'латрицы (матрицы рассеяния).

(3) НОРlVIАЛЬНЫЕ И хронолоrИЧЕскИЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ.СВЕРТКИ
Обрати!ся тспсрь К ВЫЧИС.1СНИЮ \ЩТРИЧНЫХcJ.1б1СНТОВ пере
хода (:v1атричных эле:V1СНТОВ S:v1аТрИ!IЫ) :vrежду с()стояниями. опи
сывающими свободные части!(ы с ОпрсдслеННЫ:V1И и:vrпу.1ьса:v1И.
В r.laBe 2 было показано: что Sматрипа (2.37) ПРС,lстав.1Яет
собой сумму хронолоrических произвсдений rаМИ.1ьтонианов вза
имодействия. то есть CY:V1MY хронолоrических произведений опе
раторов 110ЛЯ. rамильтониан взаимодействия: входящий в (2.37),
может быть записан н следующем ВИ,lе:
HJ(t) == HJ(xo) == J HJ(x) dx,
(з.1)
rде HJ(x)  плотность rаМИ.lьтониана взаимодействия (Ха == t).
Подставляя выражение (3.1) в (2.37), получаем Д.1Я S:V!аТРИIIЫ
С-lедующее соотношение:
00 (i)n J J J '
s ==   dXl dX2... dxnP (HJ(Xl)... HJ(X n )). 13,2)
['де dx == dxdxo.
Покажем: что хронолоrическое произведение операторов поля
может быть представлено в виде суммы нормальных произведе
ний, то есть таких произведений, в которых все операторы уничто
жения располаrаются справа от операторов рождения. Разложе
ние хронолоrических произведений операторов поля по нормаль
ным произведениям поЗволяет значительно упростить вычисле
ние (по теории возмущений) матричных элементов Sматрицы на
основе использования диаrрамм Фейнмана.
В качестве первоrо шаrа рассмотри:v1 случай произведения двух
операторов поля. Вначале пусть это будут операторы эрмитова
скалярноrо (псевдоска.l:ярноrо) поля IP(Xl)rp(X2), ['Де каждый 01'le
ратор. как показывает ero разложение в интеrра,l Фурье
'Р(х) == J Nq[a(q)eiqx + а(q)еiqХ]dЗq,
(III)
22

пре,l.став.l.яет собой CY:V1:vIY rныожите.1ЬНО-- fI отритщте.1ьно--частот
ных частеЙ:
.;(.с) == jc.l:(x) + {Н(х).
(3-! )
{(I(x) == / .Vqа(q)еiqХdЗq,
{Н(х) == J .Vqа(q)еiqХdЗq.
(3.5)
Поскольку. как известно из теории квантовых ПО.1ей. оператор
:pi)(x) является оператортл рождения, а оператор {(+)(х)  опе
ратором уничтожения. то оператор норма.пьноrо произведения S
воздействует на произведение двух 60зеоператоров слеДУЮЩИ:V1
образом:
S(';()(Xl)cp)(X2)) == {H(Xl)CP(+)(X2) == N(<pH(X2):pH(Xl)).
N(<pH(Xl)<p(+)(X2)) == <pH(Xl)<p(+)(X2) == N(cpH(X2)<pH(Xl))'
(з.6)
N(cp(+)(Xl)cpH(X2)) == ,:pH(X2)CP(+)(Xl) == N(cpH(X2):p(-t-)(Хl)),
N(<pH(Xl)cpH(X2)) == <рН (xl)<pH (Х2) == N(cpH(X2)cpH(Xl))'
Используя соотношение (з.5) и равенства (з.б), для произведения
двух операторов скалярноrо (псевдоскалярноrо) поля находи)..\
:p(Xl)cp(X2) == "У (:р(-,..) (Xl)cp(+) (Х2) ) + N (cpH(X1)cpH(X2)) +
+N (cpH(Xl)cpH(X2)) + cp(+)(xl)cpH(X2)' (з.7)
Помимо этоrо, :v10ЖНО сде.l.ать тождественное преобразование:
cpH(Xl)<pH(X2)::::: N (cp(-+-)(Хl)срН(Х2)) +
+cp(+)(xl)cpH(X2)  N (ср(т) (x 1 )cpH(X2)) ==
== N (cp(+I(Xl)yH(xz)) + [<P(-+-)(Хl),:рН(Х2)], (3.8)
['де [ср( +) (х), ер( ) (х)]  предстаВ.1яет собой комыутатор операторов
23

.p()(x) и .p)(:c). ПО/1стаВ.1ЯЯ ПОС.lе;rнсс соотноrrrсние в (3.7). по--
.1y'!aC:v1 компактное выражение:
.p(Xl):':(X2) =="У (:,:(:rJ)P(X2))  [;;I(Xl),.pH(X2)]' (3.9)
то есть произведение двух операторов скалярноrо поля :vюжно
представить в виде суу!мы Hop;'.1a.lbHoro произвеДС'Н!lЯ этих опера
торов и KOM:VfYTaTopa положите.1ьно'!астотной части первоrо опе
ратора и отрицательно--частотноЙ части BToporo оператора (KO:Vf
мутатора тех операторов. которые в исходном произведениИ не
были расположены в нормальной пос.lедовательности).
Далее в качестве двух операторов, образующих произведение:
выберем операторы спинорноrо поля. Рассмотрим наиболее общий
пример: произведение
1JJ(Xl)W(X2),
['де их)  фермиоператор: ф(х)  дираковски сопряженный ему
('l/J(x) == Ф+(Х)(4). Как и в случае скалярноrо (псевдоскалярноrо)
поля (3.4), операторысомножители MorYT быть представлены в
виде
'Ф(х) == фН(х) + wH(x);
ф(х) == ф()(х) + ФН(х),
(3.10)
['де 'l/JН(х)(Ф(+)(х)) и I'Н(х)(ФН(х))  положительно-- и отрица
тельно--частотные части оператора 'l/J(Х)(ф(х)). Оператор
w(+) (х) (Ф(+)(х))
является оператором уничтожения дираковской частицы (анти
частицы) рождения: а оператор 'l/JН(х)(фН(х))  оператором ро--
ждения дираковской частицы (античастицы).
Разложение операторов w(x) и ф(х) в интеrрал Фурье ПрИiEllО
дит к следующим выражениям для их частотных состаВЛЯЮ!IХ:
фн(х) == I NрСr(р)/(р)еiРХdЗр,
ф(Т)(х) == J Npdr(p)ii r ( р)еiРХdЗр,
(3 1)
24

11)'(X) == J .Ypd;(p)u r ( p)eipTdJp.
,иН(х) == J .vрс;(р)йr(р)еiР.ЕdЗр.
Здесь с;:(р) и СС(Р)  операторы рождения и уничтожения чаСТИII.
а d-::(p) и dr(p)  операторы рождения и уничтожения антича
стип в и:-.шульсном представлении: обладающих ИМПу.1ЬСОМ р f[
спираЛЬНОСТhЮ т: иС(р), и с ( p). iY(p) , й С ( p)  спинорные ампли
туды: N p == (27r)З/2 / п  нормировочный множитель. Под r
подразумевается суММИрОlJание от 1 до 2 в соответствии с ДВУ:VIЯ
независимыми спиральны1И состояниями дираковскоrо поля.
При деЙСТIJИИ на операторы спинорноrо поля оператор N pac
ставляет их в норма.1ЬНОМ порядке: все операторы уничтожения
располаrаются справа от операТОРОIJ рождения. Если для этоrо
необходимо произвести перестановку операторов поля, то Произ
ведение операторов: расположенных в нормально",[ порядке, YMHO
жается на (  1)n, ['де n  чис..rcо перестановок операторов спинорно--
ro поля. которое делается в процессе перехода от исходноrо произ
ведения операторов к их нормальному произведению. Для с..rcучая
двух фермиоператоров:
'V(Ф(+)(Хl)W(+)(Х2)) == 1ji(') (Xl)1p(')(X2) == N(Ф(')(Х2)Ф()(Хl)),
(312;
N('lpH(Xl)(+)(X2)) ==ФН(Хl)(')(Х2) == N(1pH(X2)wH(Xl))'
N(ФН(Хl)Н(Х2)) == ФН(Хl)JjН(Х2) == N(ФН(Х2)ФН(Хl)),
N(1j.J(')(Xl)W H (X2) == ФН(Х2)Ф(+)(Хl) ==
== N(Н(Х2)Ф(+)(Хl))'
(3.13)
Учитывая эти соотношения, произведение двух операторов спи
HopHoro поля Ф(Хl)Ф(Х2) может быть записано следующим обра
зам:
Ф(Хl)(Х2) == N(ФН(Хl)1Ь(+J(Х2)) + N(1b H (Xl) 1p H(X2») +
+ :у( 1р Н (xl)'l,iJH (Х2) + ФН(Хl)ФН(Х2).
(3.14)
')
O

ПраВС,1С:V! ТОЖДССТRеннос I1рсобразовuн!!с пос:rС.IН(ТО с.1аrас\юrо:
1;JH(Xl)i H (X2) =: S (1!"Н(.rl)IJ(I(.r2))--r
+ц..'Н(.rl)IJ(\:L'2)  s (1;J( (.rl)C(j(J:2)) =: (3.15)
=: ,У (1:JH(Xl)1z.(I(X2)) + [1:Р')(Х1), lЕН(Х2) J .
rде [WH(Xl),W()(X2)]  антикоюлутатор операторов Ф()(Хl) и
Ф()(Х2), Используя выражения (3.1-!) и (3.15). получи:v! КО:V1Пакт
ное соотношение для произведения двух фер:v!ИопсраТОрОR:
1/J(Xl)(X2) == .\Т (W(Хl)1ИХ2)) + [WI)(.rl).13H(X2)J+. (з.16)
Таким образом: произведение W(Xl)(X2) равно нормальному про
изведению этих операторов N[1b(Xl)i(X2)] плюс антикоммутатор
[1//+) (Хl), ФН(Х2)]'
Отметим также. что поскольку
[W H (Xl)' 1Ь Н (Х2) J... == о,
[Ф(+)(Хl), ФН(Х2) J + == О,
(3 .17)
как антикоммутаторы операторов, относящихся к частице и анти
частице,ТО, следовательно:
7jJ(Xl)1/i(X2) == N (1b(Xl)1/J(X2)),
V;(Хl)Ф(Х2) == N (Ф(Хl)Ф(Х2)) ,
(3.18)
и отсюда можно сформу.1ировать общее правило: произве.цение
двух операторов поля равно сумме нормальноrо произведения этих
операторов и коммутатора в с..'1учае бозеоператоров либо анти
коммутатора в случае фермиоператоров положительночастотной
части первоrо сомножите.'1Я и отрицательно--частотной части BTO
poro.
В соответствии с определением Sматрица представляет собой
сумму хронолоrических произведений rамильтонианов взаимодей
ствия полей. Покажем, что в выражении (з.2) Рпроизведения ['a
мильтонианов MorYT быть заменены пос..'1едовате,lЬНОСТЬЮ o:qepa
торов полей: находящихся под воздействием оператора Т хроно--
лоrическоrо произведения Вика.
26

ОПРf'де.1И:VI оператор ХрОНОJ10ПI'f(>скоrо ПрОИ3lJс.1ения 13ика Н()
ПРИ:VН'Р(: flроизведсния .1ВУХ операторов ска.1ярноrо !I спинорноrо
полеЙ:
т '(Xl(X; ) == { Р(Хl)<,:::\.1:2).
\'r J,.., J i"' J " (X)
'У\.......2у 1,
Хш > Хю:
Х20 > 1:10,
( :3.19)
т (1i J (Xl)W(X2)) == { 1j'(Xl)W(X2):
lp(X2)'и;(Xl),
XlO > Х20;
Х20 > Хl0.
(:з.20)
т (1;J( Х l)'ф(Х2)) == { Ч::(Хl}1р(Х2):
W(Х2)Ф(Хl),
ХШ > Х20:
Х20 > Хш.
(:3.21)
Таким образом, на про изведение операторов поля бозечастиu
опеРаТОР т действуют подобно дсйствию оператора Р на произ
ведение rамильтонианов взаимодействия. ДеЙСТIJУЯ на произвсде
ние операторов спинорноrо поля, оператор Т также расставляет
их в хронолоrическом порядке: но если при этом необходимо про
извести перестановку сомножителей, то появляется дополнитель
ный коэффициент (1). В наиболее общем случае k множителей
действие оператора Т приводит к тому, что операторы поля pac
ставляются в хронолоrическом порядке (т.е. так: что временные
aprYMeHTbl сомножителей уменьшаются слева направо) и полу
ченное таким образом ПРОИЗlJедение операторов умножается на
(  1)n. Здесь n  число перестановок операторов спинорноrо по
.1Я. которое делается в проuессе перехода от исходноrо произведе
ния операторов к хронолоrически упорядоченному произведению.
Именно ТПрОИЗlJедения MorYT быть представлены в виде суммы
нормальных произведений.
Покажем, что в lJыражении для Sматрицы оператор Р XpOHO
.1Оrическоrо произведения Дайсона можно заменить оператором Т
хронолоrическоrо произведения Вика. Поскольку Sматрица пред
ставляет собой сумму хронолоrических произведений rамильто--
нианов взаимодействия. а в .1юбой rамильтониан взаимодействия
IJХОДИТ четное чис..rcо операторов фермиполей (очевидно, что по--
строение лоренuскмярной ве.1ИЧИНЫ требует присутствия четно
[о числа фермиполей): то каждая перестановка rа:-'1И.lьтонианов
')
(

взаимодействия пре.1стаН.lяет соGI)Й 'r(Т!lУЮ псрсстанонку опсра
торов СПlIнорноrо ПО,lЯ.
13 качестве при:v!ера расс\ютри:v! ВЗ;J.И:VЮ,lействис ':J.1ektpO:-'!аr
нитноrо и СПlIнорноrо по.1СЙ. Tor.1a.
т (1{J(Xl)1{J(X2)) == { HJ(Xl)1{J(:r2), XlO > Х2О: } ==
HJ(X2)1{J(Xl), Х2О > XIO,
(3.22)
== р (1{J(Xl)1{J(X2)),
['де
1{J(X) == ieN(<'u(x)Ji'1iJ(X))Ai'(x),
При перестановке rаМИJJьтонианов 1{J(Xl) и 1{J(X2) пронедено
четное число перестановок спи норных операторов. В общем c..1Y
чае k операторов 1{J(X) Тпроизвсдение и Рпроизнедение также
совпадают. С.1едона.тс.льно, Sматрица :vюжет быть предс..'Тав.lена
как
00 (i)n f 4 J 4
S == L  d Хl . . . d ХпТ (1{J(Xl) . . .1{J(X п ))
пO .
или, символически, в виде так называемой Тэкспоненты:
(3.23)
S == Texp(! J HJ(x)d 4 x).
(з.24)
Представим далее Тпроизведение операторов поля в виде CYM
мы нормальных произведений. Рассмотрим внача.'!е случай про
изнедения бозеоператоров. Из опреде.1ения (з.19) с учетом (3.7)
находим, что
=={
т ('P(Xl)'P(X2)) ==
N (<P(Xl)r,o(X2)) + [<p(+)(Xl), <pH(X2)]'
N (<P(X2)<P(Xl)) + [r,o(+) (Х2), r,oH(Xl)]'
XIO > Х20;
Xzo > XIO.
(3.25)
Очевидно, что операторы бозеполей :v!Ожно переставлять под зна
ком норма,Пьноrо произведения(с.\о!. соотношения (з.6)):
:v (<P(X2)if(Xl)) == N ('P(Xl)if(X2)) .
(3.26)
28

С учеТО;-1 ПОС.lе,lнеrо равенства СООТfюшение ! З.::!5: :vюжно .3аПИ
сать СJТС.1УЮЩИ:vr образом:

т (p(.rl):P(X2)) ==.У (p(Xl)p(X2)  P(Xl):P(X2). (3.27)
rclc
 { [ 1I1() \ I X . ) 'Н (Х )1 Х > Х .
) ( ) 't' 1 : 't' 2 . ' 10 'ю,
y(Xl Р Х2 == [ /) () ]
, :р' (xz), P(Xl) , Х20 > Хн).
(3.28)
Опреде.lяемая после)lНИМ выражением величина

;;(Xl)r.p(X2)
называется сверткой, пропаrатором или ХРОНО.10rичсски:vr спари
ванием операторов r.p(Xl) и <Р(Х2),
Перей;rем далее к преобразованиям Тпроизведения операто
ров спинорноrо по.1ЯlfJ(Хl)Ф(Х2). Совместное использование COOT
ношений (3.16) и (3.20) приводит к выражению
т (Ф(Хl)(Х2») ==
N (1,Ь(Хl)Ф(Х2») + [ФН(Хl), H(X2)]+'
 N (?ИХ2)Ф(Хl») + [v:(+)(Х2),-ФН(Xl)] т '
=={
XIO > Х20; (3.29)
Х20 > ХlО.
Нетрудно показать, разлаrая операторы поля на частотные COCTa
вляющие, что
N(1j;(Х2)Ф(Хl» == N(Ф(Хl)Ф(Х2»'
(3.30 )
Действительно: применяя оператор нормалъноrо произведения к
каждому из слаrаемых произведения Ф(Хl)1j;(Х2), получаем
"Y(-ц.Р")(Хl)Ф(+)(Х2» == '1!;H (Хl)Ф(.J..) (Х2) == N(1j;(+)(X2)'Ii/+)(Xl»,
S(-IЬ Н (Хl)1j;(+)(Х2» == ФН(Хl)ФН(Х2) == N(IР(+)(Х2)ФН(Хl),
S(W(Т)(Хl)ФН(Х2» == .w(;(Х2)Ф(+)(Хl) == N(ФН(Х2)WН(Хl»,
N(ФН(Хl)ёЬ Н (Х2» == ?pH(Xl)1j;H(X2) ==
== ,,,'(?;;H(X2)?pH(Xl))'
(3.31)
29

Из этоrо набора соотношений НСПОСРС,1ственно С,1е.1ует Вh!раже
ние (3.30). По;стаВJ1ЯЯ (3.30) в (.3.29). приходтл к соотношениЮ.
аналоrичному (3.27):
т (1jJ(X1)1j)(X2)) == Y' (1:J(X1ic(.I:ZI) + I!/'(Xl) IU(.L'2) ,
(з.32)

['де соответствующая свертка операторов 1./.'(X1)(X2) определяется
выражением
 { [Ф()(Хl), Ц;Н(:rz)l,
Ф(Х1)1I:(Х2) ==   - .
 [1Р( )(X2).1;JH(X1)j,
Х10 > Х20;
(3.33)
Х20 > Х10'
Используя разложения (з.10) и перестановочные (;оотнощения
(з.17), приходим к выводу, что хронолоrические спаривания опе
раторов Ф(Хl) и 1./.'(Х2), а также операторов 1V(Xl) и Ц;(хz). опреде
.1яемые подобно (3.33). равны ну.1Ю:
" 
1I:(Хl)1/1(Х2) == О, 1/J(Xl)1V(X2) == о,
(3.34)
а соответствующие Тпроизведения вышеуказанных операторов
равны
т (Ф(Хl)Ф(Х2)) == N (Ф(Хl)1/1(Х2)) ,
Т (Ф(Хl)Ф(Х2)) == N (Ф(Хl)',,!J(Х2)) .
(3.35)
Таким образом: в силу выполнения соотношения (3.30): имен
но хронолоrическое произведение Вика равно (при любых значе
ниях переменных Хl и Х2) норма.1ЬНОМУ произведению плюс xpo
нолоrическое спаривание.
В общем С.,1учае двух произвольных операторов [.'(Хl) и "(X2)
имеет место
I I
Т (И(Хl)1/(Х2)) == N (и(Xl)7(X2)) + [;(Xl)V(X2),
(з.36)
['де
,  . ' .  { [[.'(-:-)(Хl), '(I(:T2)];;:.
и (Хl)У (Х2)  :f:: [Y'\)(X2), иl (X1)J;;:,
XIO > :Е20;
Х20 > ХI0.
(3.37)
за

При 'тол fJ('PXНlH' 'знаки соответствуют с.1учаю операторов Бозе.
нижние  с.1учаю операторов ФеР:VIИ.
Покажем .1a.lce. что свсртка .1вух произво;rьных операТОРОR
['(X])'(X2)
ЯВ.1яетс:я функцией разности aprYMeHToB (Х1 X2): а не операторо:v.r
поля (оll1бо эта свертка :vюжет равняться нулю).
3.1. проплrлтор СКАляРноrо ПОЛЯ
Начнем рассмотрение со сверток эрмитова ска.лярноrо (псев
.10скалярноrо) поля. Используя определения (3.3)  (3.б), а также
известные ffЗ квантовой теории поля перестановочные соотноше
ния
[a(q), a+(q')]  == д (If  If'),
[a(q), a(q')] == О,
(3.38)
находим, что
[ ОР(Т)(Х1), О:РН(Х2)) ] ==  J eiq(XlX2)d3q.
 (2к) 2qo
(3.39 )
Следовательно, хронолоrическое произведение (з.28) может быть
переписано в виде
{ 1 j ' 1 .'
 elQ(XIX2)d3q Х О > х?:
 (2к)3 2 q u ' 1 2,
О:Р(Х1)ОР(Х2) == 1 . 1 .
 j elQ(XIX2Jd3 q , х? > хо.
(2к)3 2 q o ,2 1
(3.40 )
Здесь qo == V т2 + ит{ Оператор :р(х) удовлетворяет уравнснию
к.1ейнаrордона ((О + т 2 )ор(х) == О).
Таки:',о! образом: хронолоrическое спаривание операторов CKa

лярноrо (псеВДОСК3J1ярноrо) поля :Р(Х1)ОР(Х2) является функцией
переменной (Х1  Х2)'
31

О.т:нако выражение (3...1,0) \южет r)hITb еще упрощено: Tpex:v!ep
ные интсrра.1Ь! :vюжно объеДИНИТh в '!стырсх:vr{рный интеrра.1. С
этоЙ пе.1ЬЮ раl:С:VЮТрИ:V1 фУНКl!ИЮ
i J ('щх
 (х) ==   lim .  , d-! .
(27r).J oO q2  т 2 + ie q
(з...щ
lЗыполнюл интсrрирование по четвертой пере:vrенной qa: интеrри
рование по qO проводится В области от x до +Х. При этом
необходимо учитывать. что ПОДЫНтеrра.1ьное выражение имеет
два полюса в точках
q,2==::!: ( vт2+(if)2 i V с )
2 '), (  ) 2
т+ q
(3..J2)
Здесь с  положител'ьная сколь уrодно малая величина. В ПОС.1ед
нем выражении проведено разложение по с с удержанием .1иней
ных по с членов.
Начнем рассмотрение со случая: коrда ха > О. При этом ин
теrрал в (3.41) по qO от oo до +00 равен интеrралу по контуру.
изображенному на рис. 2а при условии R ----t 00. Подынтеrраль
ное выражение в (3.41) имеет в нижней полуплоскости полюс в
точке qO == q. Интеrрал (3.41) при ха > О равен вычету подын
теrральноrо выражения в точке qO == q, умноженному на (27ri):
поскольку контур интеrрирования обходится по часовой стрелке.
Полаrая после вычисления полюса Е == О, получаем трехмерный
интеrрал
1 ехр [ i V m2 + (if)2x a + iifX ]
6(х) ==  I dЗq, ха > 0,13.43)
(27r) 2 V m2 + (if)2 '
Рассмотрим д,алее второй случай: ха < О. lЗ этой ситуацищ ин
Terpa.l (3.41) по qO от oo до +00 может быть заменен интеrрлом
по контуру: изображенному на рис. 26, при условии, что R  00.
32

[т 1/0
[т ч[)
J т 2 т ч2  IE
.
 v т  q  lE
Re чо
Рис. 2 а
Рис. :! б
I3ЫЧИС-,lЯЯ вычет в полюсе ЧО == qg, приходим К выражению
, ,  J eXP[+i.Jт2+(if)2XO+iifi] 3 ,О ( \
(x)  ( , ) 3 .J . d ч, х < О. \3.-i4 j
2к 2 т 2 + (if)2
Перепишем последний интеrрал в друrом виде: заменим if  if
и переставим пределы интеrрирования. Получим
1 ехр [ +i .J m 2 + (if)2XO  iifi ]
6(х) ==  J d3q, х О < О. (3.45)
(2к) 2 j m2 + (if)2
Видно, что формулы (3.43) и (3.45) совпадают с соответствующи
:V1И выражениями (3.40). Таким образом, хронолоrическое спари
вание операторов эрмитова ска.1ярноrо (псевдоска.lярноrо) поля
равно
 i I eiq(Xl X2)
<Р(Хl)СР(Х2) == (2 ) 4 2 2 d 4 q.
7r q т
В заК.1ючение рассмотрим случай неэрмитова ска.лярноrо (псев
доскалярноrо) поля. описываемоrо операторами ;у(х) и (эрмитово
сопряженноrоему) 'Р""(Х). ДЛЯ оператораэтоrо поля выполняются
соотнощения
(3.46)
33

у(х) == (х)  ;i;(X).
.,;Н(х) == l' .'v'qа(ч)е,qХ(lЗq.
.pi)(x) == l' УqьJ..(q)е,qХdJч.
! з.--l'i)
Соответствующие соотношения Д.1Я оператора; (х) получают
ся эрмитовым сопряжением соотношсний 13.--17). I3BC.leHHhIe так юл
образо,л операторы поля в И:VШУЛЬСНОl.f пре,JстаВ.1СНИI! a(q)(b(q)) и
a(q)(b(q)). как известно. ЯВ.1ЯЮТСЯ соответственно операторами
уничтожения и рождения частицы (античастицы) ПО.1Я с импуль
сом q.
Используя перестановочные соотношения переЧИ('1енных опс
раторов
[a(q), a(q')] == О, [b(q), b(q')l == о.
[a(q), b(q')] == О, [а(ч). b(q')]  == О. (3А8)
[a(q), а"'" (q')]  == б(q  q), [b(q), bT(q')]  == б(q  q),
можно прямым вычисление!vl по формуле (3.47) найти: что XpOHO
лоrические спаривания операторов CP(Xl) и ;р+ (Х2) равны:
 I ,
CP(Xl)CP(X2) == О, CP+(Xl)CP(X2) == О,
(3.49)
I I I I i f eiq(xl X2)
c;?(Xl)CP+(X2) == :P-'-(Хl)СР(Х2) == (2 ) 4 2  d 4 q.
. 7r q  т
(3.50 )
3.2. ПРОПАrАТОР спиноРноrо поля
Перей;\ем к рассмотрению операторов неэрмитова спинорноrо
поля.
Вычислим свертку
{ [ -Ф(+)(Хl)' iH(X2) ] .
I.L al' а2 .....'
'ljJ0'1 (Хl)Ф0'2 (Х2) == '
 [W;)(X2).V)(Xl)]+;
ХlО > Х20,
(3.51 )
Х'20 > .1:10,
34

r:tc а,  спинорныс ИН.1СКСЫ. ПО,1стаВJJЯЯ в (3.51) выражения (3.9).
l 3.10) и у'!Итывая известные перестановочные соотношения ,ЦЯ
операторов С;:(Р).Сс(Р), d(p) и dr(p)
[Сс(Р). c(p!)] == J rr ,r5(p  р').
[С с (р). C r ' (р/) j  == О,
[dr(p),d;:;(p')] == !jrr,r5(p р/).
[dr\p): dr'(P!)] == О,
(3.521
. ,
[cr(P). d r , (р')  == О,
[Сс(Р), d;:;(p/)]  == О,
и эрмитово сопряженные а:.,!. получим
rl,V(  (:):, )lj;H ( Xry \ ) 1 ==
l аl \ . 'а2 .., J.......
== f NpN]ie;PXliP'X' L [cr(p), c:(p/)]и, (р)'й)р')dЗрdЗр! ==
r.r'
==  f eiP(XlX2)  и r ( p ) ii r ( р ) dЗр ( 3.53)
(271i 2 р О L: 0'1 0'2 '
[Ф) (Х2)' Ф)(Хl)]  == (2)З f 2O e ip (Xl X2) 2; и1 (P)и2( р)dЗр.
Учитывая свойства спинорных функций,
L и:, (P)и2(P) == (р + т)0'10'2'
L и1 (-""P)и2( р)dЗр == (p+ т)0'10'2'
(з.54)
Д.1Я антикоммутаторов запише:.,! следующие ко:.,шактные формулы:
[7р(--'-) (Хl ) wH ( x.}) j ' == ( i.JL/j. + т)  J е;Р(ХlХ2)dЗр
l (11 , (Т2 ... + Dxr' ala2(27r)3 2 р О ,
(з.55)
[ 1(-'-) ( X ) '1"() ( X )] ==  ( i/'- + т )  J еiР(ХlХ2)dЗ р
,/,,0'2 2, /,,0'1 1  дx ' 0'10'2 (271')3 2 р О .
Применяя далее определение (3.51) хронолоrическоrо спаривания
операторов дираковскоТ'о поля ф(х) и ф(Х) и выражения (3.55):
35

полученныс .1ЛЯ антикоммутаторов. :vюжно записать раСС:v1атрИ
ваеfУЮ свертку с,lСДУЮЩИМ образом:
I . I ( д )
1;)", (Xt)11l0'1(XZ):= i axQ IQ + т .3. (Xl  ,С2)'
1 аl(Т2
Здссь вновь ФУНК!IИЯ (Xl X2) (ранее Иl;пользованная Д.1Я записи
выражения хронолоrическоrо спаривания операторов скалярноrо
и пссвдоскалярноrо поля) опреде.lяется (3,41). Выполняя в (3.56)
.J;ифференцирование
(3.56)
( , д Q )
z( +- 'т
дx . .
получаем выраженис, наиболее часто используемое в конкретных
расчетах при записи хронолоrических спариваний операторов
ф(х) и 1[;(х) :
 i. f eip(XlX2)(p + т)
1Р(Хl)'Ф(Х2) ==  4 1IПl  2 . d 4 p.
(2к) нО p  т + zc:
Здесь f; == р/лJ1.' ['де fJ1.  матрицы Дирака, а по повторяющимся
rреческим индексам предусматривается суммирование от 1 до 4.
Используя перестановочные соотношения для матриц Дирака (J1.'
можно записать
(3.57)
(р + т) (р  т) == р2  т 2 ,
откуда следует, что
(р + т)
..4 2
1:'  т
:=
1
(р  т)
и, таким образом:
 i f eip(xl X2)
Ф(Хl)1)J(Х2) ==  .  ) d 4 p.
(2к) (р  т
Что касается хронолоrических спариваний

'Ф(Хl)Ф(Х2),
(3.58 )

1[; (xl) 1[; (Х2),
ТО В соответствии с (3.34) они равны нулю.
.16

3.3. проплrлтор BEKTOPHOrO ПО'1Я
в качестве последнеrо при:v!сра ВЫЧИС.1И1 С.1е.Т).ЮП1се XpOHO
.10п!ческос спаривание:
{ [ Bi\El): Bj)(X2) ] ; x > xg:
I I 
В"(Хl)В З (Х2) ==
[B1"'\X2),B)(Xl)]: xg > x.
Здесь В,,(х)  оператор поля нейтральных векторных частиц,
обладающих массой т. Ero разложение на частотные составляю
шие имеет стандартный вид:
(3.59)
В,,(х) == Bi,...)(x) + Bi)(x),
(3.60)
['де
3
Bi+)(x) == f N q L e(q)b).,(q)eiqXd3q,
лl
3
Bi)(x) == f Vq L e(q)b(q)eiqXd3q.
),,l
(3.61)
В. последних соотношениях введены три вещественных opToro
на.льных вектора e(q), удовлетворяющих условию ортонормиров
ки И калибровки
л л'
е (q)e (q) == б)"N,
e(q)q" == О, (л, л' == 1,2,3),
а операторы b).,(q) и br(q)  операторы уничтожения и рождения
векторных бозонов, удовлетворяющие перестановочным соотно--
шениям
(3.62)
[Ьл(q),Ь(q')] == б)"Nб(ij ij'),
[b).,(q), bN(q')] == О
(3.63)
и им эрмитово сопряженным. Отсюда для коммутатора в Bыpa
жении (з.59) находим
[bi-r)(Хl), B1)(X2)]  ==
== 1 J 1 ",,3 е)., (q) еЛ (q) еiq(ХlХ2)d3q.
(211i 2;р L...-).,l" ,8
(3.64)
37

Покажс:vr. '!ТО
3
" л ) ,\. ( ЧаЛЗ )
L eo(q ез(q) :=  (}aj  т 2 .
.\l
['де т  :V'[i1cca частипы ПО.1Я. В обще:v! С1учае :VlОжно пре.1ставить
CYM:vry произведений векторов в виде тснзорной структуры:
з
L e(q)e](q) := а9аЗ + Ьqаqз, (3.66)
Лl
['де а и Ь  некоторые неопределенные константы. У:V1Ножи:vr по
следнее выражение на g03 И выполни:,! су:vrмирование по а и ,3.
Учитывая соотношения (3.62): получ<\(;r
;3 := 4а + Ьт 2 (3.6/)
\ 3.65)
Затем умножим выражение (3.66) на чО и. вновь используя (3.62),
найдем
о := а + Ьт 2
(3.68)
13 результаЧ'е находим формулы, определяющие константы, и при
ходим к выражению (3.65).
Из соотношений (з.64) и (з.65) для коммутатора следует:
[ В(-'-) ( ) B() ( . )] := 2 /  (  qoqa ) iq(ХlХ2)dЗ :=
о Х1, ,3 Х2  (27f)З 2 q o 90(3 т 2 е q
:=  ( gO(3 +  ) \ / еiq(ХlХ2)dЗq. (3.69)
дx дхf (27f) 2 q o
С помощью совокупности выражений (3.41), (3.43),(3.45):(3.65) и
(з.69) для свертки операторов поля нейтрао1ЬНЫХ векторных ча
стиц окончательно получаем
I I ( д д ) , ,
Bo(Xl)Ba(X2) :=  90В + д о  .:.}. (Х1  Х2) ==
х 1 дХ 1
i 1 . / (gоз  qoq8/ m2 ) iq(Xl x' )d 4
==  1т е  q.
(27f)4 но q2  т 2 + iE
Таким образом, свертки для всех рассмотренных полей Bыpa
жены через одну и ту же функцию (Xl  Х2)'
(3.70)

@ TEOPEIA ВИКА
о пре.1елИ:V! операт()р H()p:vra.1bHoro произве.1ения .У в общем
случае полей. описывающих чаСТИIIЫ с ПРОИЗВОЛЬНЫ:V1 спино:v!. ВО'З
.1ействуя на произве.Jение операторов рОЖ.1ения и уничтожения.
оператор N располаrает их в нормальном порядке: все операторы
уничтожения справа от операторов рождения. 13 том с.lучае. еС.l!!
Д,lЯ этоrо приходится переставлять операторы ПО.1ей фермионов,
произведение операторов. расположенных в нор"шльном порядке:
У:V1Ножается на (1)n:
N(UI/1V...XY Z) :::::: l 1)n N(UXvv..z'y). (4.1)
Здесь п  число перестановок операторов фермионноrо по
"lЯ. произведеНRЫХ ДЛЯ Toro. чтобы преобразовать ПОС.lедоватеlЬ
ность операторов Uy'vV...XY Z к про изведению u'ХИ'...Zу(У ПОД
знаком оператора нормальноrо произведения N операторы поля
можно переставлять как в случае, если бы операторы бозонных
полей коммутировали: а операторы фермионных полей антиком
мутировали.
Рассмотрим теперь в общем с.lучае хронолоrическое произве
дение Вика .1юбоrо числа операторов полей, соответствующих ча
стицам с произвольным спином: T(Uy'W..XYZ), ['де И, V, 111,...
 операторы бозе либо фермиполей. Воздействуя на произве
дение операторов поля: оператор Т располar'8.еТ их в хроноло--
rическом порядке: временной aprYMeHT убывает при движении
слева направо. Если при этом происходит перестановка опера
торов полей фермионов: произведение операторов: расположен
ных в хронолоrическом порядке, умножается на (1)n, ['де п 
число перестановак операторов фермионноrо поля, которое со--
верlIlается при переходе от исходноrо произведения операторов
к хронолоrически упорядоченному произведению. Используя co
отношения (з.38) и (3.39): выполняющиеся для операторов любых
полей (при этом верхний знак в (3.39) относится к случаю бозон
ных полей, а нижний  к случаю фермионных полей), и опреде
.1ение оператора Т, получим соотношение
T(UVW..XYZ) == (l)nТ(U Xvv...ZVY).
(4.2)
39

ЗдеСh п  ЧИС.l0 перес:тановок операторов фермионноrо ПО.1Я.
которое неоБХО;J;ИМО ПрО-1с.1ilТЬ. чтобы перейти от исходноrо про
изнедения операторов И\'"Н!...ХУ Z к произведению С XTV"...Zi-"У
Под знаком оператора хронолоrическоrо произве,lения Вика Т BЫ
полняется то же правило перестановки операторон ПО.1Я. что П под
знаком оператора нормальноrо произве.'1ения .У.
Uе.1ЬЮ настояЩей r.1aBbI является обобщение выражения (3.38)
на с.1учай Тпроизведения ПРОИЗВО.1ьноrо чис..lа операторов ПОЛЯ.
Определим нормальное произведение операторов поля, содержа
щих хронолоrические спаринания под знаком операторов N :
  1'""'""1 iI
N(UVW R...XYZ) == (l)пUТФ"RХ...N(V...У Z). (4.з)
ЗдеСh n  число перестановок операторов фермионноrо поля,
которые сделаны при переходе от исходноrо произведения опера
торов UVW ...ХУ Z к произведению UvV RX...v...Y Z. Например'.
 1'""'""1
N(UVW R) == UWN(V R)
(4.4 )
в том случае, если и, V, W, R  операторы фермиполей.
Прежде чем сформулировать и доказать теорему Вика, pac
смотрим следующую лемму, на которой основывается доказатель
ство теоремы.
Пусть временной aprYMeHT оператора Z меньше временных
aprYMeHToB операторов и, \1, vV, ... Х, У Тоrда выполняется c..1eдy
ющее соотношение:
11
N(UVW R...XY)Z == N(UVW R...XY Z ) + N(UVW R ...XY Z) +
 I I
+ N(UViV R...XY Z) + N(UVVV" R...XY Z). (4.5)
Достаточно доказать последнее соотношение в том с.lучас: KO
['да операторы и, V, w,... Х, У, Z являются либо операторами po
ждения, либо  уничтожения.
Выберем сначала в качестве оператора Z оператор уничтоже
ния. Очевидно: что хронолоrическое спаривание операторов уни.
чтожения равно нулю. Покажем далее. что при условии ха > уа
I ,
RH(x)zH(y) == О.
(4.6)
-10

,]сЙствите:JЬНО,
i I
R\)(.r)ZH(!J) == T(R\)(x)ZH(y))  S(Rl (.r)Z)(!J)) ==, I \
\....1 ,
RH(x)Zl+!(y)  RH(x)Zl)(y) == о.
Т)lКИМ образом. в раСС:\1атриваемом С.1учае (Z  оператор уни
чтожения) все ХрОНо.l0rические спаривания в правой част!! COOT
НОШСНИЯ (4.5) равны ну.1Ю и (-l.j) сводится к равенству
.У(Ul"И/R...ХУ)Z == .V(U\/И/R...ХТZ).
(4.8)
Рассмотрим теперь а.lьтернативную ситуацию: Z  оператор
рождения. При 'Этом достаточно ,1Оказать леМ:'1У (-l.5) для С.lучая.
коrда все операторы под знаком :У В .1евой части (4.j) и, ".', ТУ ... У
являются операторами уничтожения. Действительно: еС.1И COOTHO
шение (4.5) будет доказано ,l.1Я этоrо случая, то. умножая ero c..le
ва на оператор рождения D, вре:'lенной aprYMeHT KOToporo больше
BpeMeHHoro aprYMeHTa оператора Z, получим выражение
DN(UVW...XY)Z == N(DUV W...XY)Z ==
== N(DUV'W...x V1) + ... + N( DUv'W...XY Z )+ (4.9)
+ N (D Uv'vV...XY Z ).
Оператор D был внесен под знак N, что справедливо, поскольку
D  оператор рождения. В силу Toro, что хронолоrическое спа
ривание двух операторов рождения равно нулю. равняется нулю
пос..rrедний член, который был добавлен к сумме в правой части
выражения (4.9). Если да.'lее домножить последнее слева на опера
тор рождения, временной aprYMeHT KOToporo больше BpeMeHHoro
aprYMeHTa оператора Z, получим соотношение (4.5) для с..rrучая,
коrд?- в .1евой части выражения под знак оператора N входят два
оператора рождения, и т. д. Переставляя далее операторы под
знаком N в обеих частях найденных таким образом соотношений:
ПОJ1УЧИМ (4.5) R общем случае.
Наконец, докажем (4.5) в единственном нетривиа.льном слу
чае, коrда Z являетсЯ оператором рождения, а операторы
41

С. у': и'.... Х. у >ТIЗ;ШЮТСЯ ()псратора"rl1 УНИ'!Тожсния. 13 'T():vr c.1Y
чае
Y(['TT11 R...XY)Z == СТ Tv' R...XY Z.
РаСС:VЮТРИ"I произве>lение операторов У Z. ПОСКО.1ЬКУ Bp(')J!eH
ной aprYMeHT оператора У превышает вре:vн:нной aprY:VleHT опера
тора Z.
YZ == T(YZi.
(4.10)
Далее, на основе Соотношения (3.36). ПОЛУ'lИ:V1
rI "
YZ::::: T(YZ) == S(YZ) + YZ == 6'yzZY + YZ,
( 4.11)
['Де :V1Ножитель 6'YZ равен +1(1): еС'.lИ У и Z  операторы оозе
(ферми)полей. Подставив соотношение (4.11) в выражение (4.101
и учитывая: что
1""'"1 11
. UVWR...XYZ::::: N(Uv'WR...XYZ).
находим:
:V(U,,"7W R...XY)Z ==
6'yzUv'WR...XZY + N(UVWR...XY1').
(4.12)
Заменяя теперь в правой части произведение операторов Х Z их
хронолоrическим произведением Т(Х Z) и используя (3.36), мож
но записать
r< r:
Х Z == Т( Х Z) == N (Х Z) + Х Z == 6' х z Z Х + Х z.
( 4.13)
Очевидно, что
r: ["'"""1
6'yzUТ/"WR...XZY == N(UУИ/R...ХУZ).
( 4.14)
Подставляя выражение (4.13) в (..1.12) и учитывая (4. Н): получаем
N(Uv'W R...XY)Z:::::: 6'yz6'xzUVW R...ZXY +
+ N(uTW R...ХП) + S(CYW'R...XYZ).
(4.15)
.12

При каЖ,10 ПРИ.1С:НСН!l11 'пой ПрОIlе.1УРЫ оператор Z ПРО,lВИ
rается В.lе!ю и вО'зникает ,10ПО.1нительный Ч.1ен. пре:IстаВ.1ЯЮIШ!Й
собой нор:vшльное произведение. внутри KOToporo П).Iеется XpOHO
.10rичсское спаринанпе оператора Z с тем onepaTopo:Vl. через KO
торый Z перестаВ:Jяется. Продолжая эти перестановки. прихоли:v!
к соотношению
,У([.:1пу R...XY)Z == дуzдхz...ди zZ[/VИ'R...Х У +
+ .V(Uv'И:R.....'СУZ) + ... ...;... N (L- V'ТФ'R...ху Z).
(4.16 i
Из определения оператора Hop:v!a.lbHoro произвел:ения N С.lедует:
rJYZJxz...bиzZU1/W R...XT == N(U1/W R...XY Z).
( 4.17)
Из соотношений (4.16) и (4.17) следует. что (4.5) справедливо TaK
же и в том с..lучае. коrда Z  оператор рождения. а операторы
С. 1:, и r .... Х: У являются операторами уничтожения. Таки).! обра
зом. :юказilтельство выражения (4.5) завершено в общем c.ly<Iae.
Однако это соотношение может быть еще обобщено. Ес..'1И
rI
умножить ero на хронолоrическое спаривание SQ, то полученное
при этом соотношение может быть записано в виде
N(UV S T.V...X Q Y)Z == N(UV SW...XQY Z).
! j
+N(UV S W...X Q VZ) +... + N(UV S W...X Q YZ).
(4.18)
Очевидно: что выражение (4.5) может быть умножено на
несколько хронолоrических спариваний. Следовательно, формула
(4.5) справедлива также и в том случае, коrда под знаком опера
торов N в левой и правой частях равенства свернуто .1юбое чис..10
пар операторов.
Приступим к доказательству основной теоремы JlaHHoro раз
дела  теоремы Вика .
Покажем: что
Т(uv'ИrR...ХУZ) == N(UVWR...XYZ)+
+",-,,(tV-иrR...ХУZ) + N (tJVWR...X YZ) +...
... + y(UV.t:vR...XYZ) + N(UV W R... X YZ) +....
( 4.19)
43

13 правой части этоrо соотношения  сумма. НОРШ,1ЬНЫХ произве
.1ений со всеми вuз:vюжны:,rи хронолоrическими спариваНИЯIИ (во
второй строке выражения (.19) стоит СУ:'lма всех FЮ3МОЖНЫХ HOp
уШ.1ьных произведениЙ с о;НИft хроно:юrичеСКJНI спариванием. R
третьей строке  с .1ВУМЯ И т. д.).
Докажем эту теорему по индукции. Пусть теоре:vш верна .1.1Я
произве.1ения поператоров И, /', vV: R, ...Х, У, Z. Умножим (.19)
справа на опера.тор 1, врС:Vlенной aprYMeHT KOToporo :vrеньше Bpe
:vreHHbIx apry':vrCHTOB операторов С. .', Н/', R, ". Х. У. Z. ПРИ:Vlеняя дo
казанную .1емму и учитывая, что
T(UY'W...XY Z)П == T(UVW..XY ZЩ,
( .20)
получаем
Т(Uv'vVR...ХУZЩ == N(U1 "-WR...ХУZЩ+
+ N(UV'WR...ХУZЩ +... + N(IJ/'WR...ХУZ ф +." (.21)
. r::\ ,
". + N(и,у.tVR...ХУZЩ +....
Ес..1И В обеих частях полученноrо соотношения переставить опера
торы (правила перестановки операторов поля под знаками опера
торов Т и N одинаковы), получим выражение (4.19) в обще",! слу
чае (n + 1) операторов. Таким образом: если теорема Вика верна
для произведения n операторов поля, она верна также для с.,тучая
(n+ 1) сомножителей. Ранее теорема 13ика была доказана для про--
изведения двух операторов (см. формулу (3.36)). Следовате.1ЬНО.
соотношение (4.19) доказано в общем случае.
Теорема Вика используется при вычислении матричных эле
ментов Sматрицы, которая является суммой Тпроизведений ['a
мильтонианов взаимодействия (см. (з.23)). rамильтонианы вза
имодействия локальной теории представляют собой норма.1ьнЬ!е
произведения операторов поля, взятых в одной и той же точке х.
Таким образом, Sматрица является суммой интеrралов от
смешанных произведений операторов поля вида
T(N(U1/W)...J"'(XY Z)).
(4.22)
Операторы: входящие в каждое нормальное произведение. обла
дают одним и тем же пространственно--временны:,! aprYMeHToM.
44

J.1Я TOrO чтобы обобщить Tcope:vry IЗика на С.1учай orCТIIaHHO['O
Тпроизве.1еНI!Я. поступим ('.lСДУЮЩИМ образо:v!. JобаВИ1 к I1pC
.v!CHHbI:vr арrу:v!снтюл ВССХ операторов рОЖ.1СП1lЯ СКО.1Ь ,\тодн() :V!il
.1УЮ величину Е:. ОЧСВИ.'\но. "!ТО В рС'зу.1ьтатс ВСС опсраторы .V. co
дсржашиеся в выражении с:vrешанноrо произведения (4.:22). :vюrут
быть опущены. Оператор Т ПОС.1С шкоrо иЗ:Vlенения aprYMcHToB
действует на произведение операторов поля L': i/. rv, R. ... Х, У. Z
так же. как и оператор N.
Расс:vrотрим в качестве при мера нормальное произведение
"У(И(+) (х )у'Н(х) Hr() (х')).
Здесь х' := (ха + Е:, х). Получаем
сУ(иН (х) i'("')(x) И,! Н (х') ) := дVН (х')И(+)(х) V(';')(x) :=
14.23)
:= T(UH(x)V'(+)(x)vVH(x')). '
['де д := 1: 1 в зависимости от четности чис.lа перестановок фер
МИОННЫХ операторов. Следовательно, если во всех операторах po
ждения в С:'vlешанном Тпроизведении добавить к временному ap
['ументу с, то смешанное Тпроизведение может быть заменено
обычным Тпроизведением и представлено в соответствии с (4.19)
в виде суммы нормальных произведений со всеми возможными
свертками под знаком оператора N. После окончания данной про
цедуры устремляем Е: к нулю.
Очевидно, что все хронолоrические спаривания операторов,
которые в смешанное Тпроизведение входят под знак одноrо и
Toro же оператора N, равны нулю. Поскольку у таких операторов
поля временной aprYMeHT оператора рождения больше BpeMeH
Horo aprYMeHTa оператора уничтожения, соответствующие CBepT
ки операторов рождения и операторов уничтожения равны нулю
(см. (4.7)). Хронолоrические спаривания операторов рождения и
хронолоrические спаривания операторов уничтожения также paB
ны нулю. Таким образом: для смешанноrо Тпроизведения BЫ
полняется разложение (4.19), в котором следует опустить свертки
операторов: входящих под знак одноrо и Toro же оператора N и
обладающих одним и тем же пространственно--временным apry
,лентом .

@ ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ
ДИАТРАiVЕvl ФЕЙНlVfАНА
в предыдущей ['.lаве :V1атрица рассеяния была предстаВ.lена
в виде суммы НОр\1а.:1ЬНЫХ произведений операторов ПО,lей. COOT
ветс.твующих различным процессам рассеяния частип.
В работах Р. ФеЙюлана бы.l0 показано. что каЖ"l()МУ HopMa.1Ь
ному произведению. из которых состоит Sматрица, а C.leДOBa
тельно. и .1юбому процессу рассеяния может быть сопостаВJТе
но rрафическое изображение. Для Toro чтобы сформулировать
основные правила построения матричных элементов процессов.
так называемые правила Фейнмана: рассмотрим несколько прИ
меров столкновения различных частиц.
5.1. ПРОЦЕСС e + e  I + (
Начнем с рассмотрения классическоrо процссса электромаr'
нитноrо взаимодействия  анниrиляции электрона и позитрона в
два фотона:
, 
е те I+J.
(5.1 )
в матричный элемент этоrо процесса вносят вклад только те Ч!Iе
ны в разложении Вика, в которые входят два отрицательно--час
тотных оператора электромаrнитноrо поля (операторы рождения
!,KBaHTOB). Следовате.1ЬНО, только операторы s(2n)(n == 1,2, ...)
дают ненулевые вклады в матричный элемент. Вычислим ero в
низшем(втором) порядке теории возмущений. Именно он будет
определять основной вклад в сечение рассматриваемоrо процесса.
Задача состоит в вычислении матричноrо элемента
< flSli > .
Здесь
""
S == L s(n). (5.2)
n=О
s(n) ==  J Т(Нr(Хl)Нr(Х2)...нт(хn))d4Хld4Х2...d4хn  (5.3)
46

']л(Он пro ПОРЯ,lка теории Rо,:vrуIПСНИЙ. ['де нача.1ЬНЫЙ l-i > и KO
нечный 11 > векторы состояния опреде.1ЯЮТСЯ С.1е.1УЮЩИ:Vrи BЫ
ражения:vrи:
I i > == с;: (р) d-; (р') I о >.
I .f >== at(p) a(k') 10> .
(5А)
Зде(ъ (. d, a  опсраторы рождения электрона. позитрона
и фотона соответственно; р, , ир', "  импульсы и l'пира.1ЬНОСТИ
начальных частиц: электрона и позитрона: k, л и k'. Х  импу.1ЬСЬ!
и векторы поляризации конечных фотонов.
Напомним, что rамильтониан электромаrнитноrо взаИ:V!О.:Iей
ствия электронов имеет вид
H'jm(x) == ee(x)/'e(x)A:>(x).
(5.5)
Подействуем вначале операторами электронноrо ПО.1Я на вектор
состояния j-i > . 13 разложении Вика интересующеrо нас Тпроиз
ведения полей электронов входят один член: сверток нс содержа
щий, два Ч;lена С одной сверткой и один член с двумя свертками.
Действительно. так как операторы е(х) и А,,(х) коммутируют, то
T(N(e(xl) ,"e(xl))A,,(xl)N(e(x2) /e(X2))AB(X2)) ==
== Т(е(Хl) ,"e(xl))N(e(x2) ,Ре(Х2))Т(А"(Хl)А В (Х2))' (5.6)
Используя теорему Вика для смешанноrо Тпроизведения и учи
тывая, что

е(Хl)е(Х2) == О,

е(Хl)е(Х2) == О,
получаем
T(iv'(e(xl) ("e(xl))N(e(x2) (Pe(X2))) ==
== "\T( e(xl) ,"е(Хl)е(Х2) ('зе (Х2))+
I I
+ N(e(xl) (ae(xl)e(x2) /e(X2))+
 ;з
+ N(e(xl) (ae(xl)e(x2) (e(X2))+
(5.7)
, I
+S(e(xl) (a (Xl) (X2) '/e(xz)).
47

Очевидно. что оператор
V(e(Xl) A,"'e(Xl)e(X2) )IO(X2))
,5.8)
не вносит ВК.lада в :vlатричныи ЭЛС:v1ент процссса (5.1). Jействи
тельно. представим все поля в соотношении (5.8) в виде CY:VIMbI
положите.1ЬНО и отрицательно--частотной частей. В каждЫЙ из
операторов, на которые разбивается при этом ФОР:V!У,lа 5.8). HXO
дит: по крайней ,,!ерс, два положите.1ьночастотных оператора .1И-
ба два отрицате.lьночастотных оператора. При .J,ействии H<:J..1eBo
на вектор конечноrо состояния эти операторы дают нуль.
Второе и третье слаrаемые правой части последнеrо выраже
ния дают одинаковые ВК.1ады в Sматрицу. В этом .1erKo убедить
ся. переставляя под знаком HOpMa.1bHoro произвеJ:ения операторы
е(Хl) т"'е(Хl)
и
е( Х 2) А(,зе(Х2)
и переобозначая переменные интеrрирования (Хl ;::t Х2), а также
переменные суммирования (о: ;::t ,3):
! N(  (Xl) А/"е(Хl)е(Х2) 'У,з  (Х2))Т(А"'(Хl)Ав(Х2))d4Хld4Х2 :=
:= ! N(e(xl) 'Y"'(X2) 'Y"'e(x2))T(A",(Xl)Ap(X2))d4xldx4x2' (5.9)
При получении (5.9) было использовано соотношение
Т(АЗ(Х2)А"'(Хl)) := Т(.4",(Хl)Ав(Х2)),
(5.10)
Таким образом: при вычислении матричных элементов SMaT
рицы в разложении (5.7) необходимо учесть только один член с
одной сверткой под знаком оператора N. Этот член следует YMHO
жить на коэффициент 2: что приведет к сокращению множителя
1/2!, входящеrо в выражение (5.3) для Sматрицы.
Рассмотрим .::r;алее БОJlее подробно одно из совпадающих сла
['аемых. содержащих единственное хронолоrическое спаривание:
-18

S(e(Xl) /"e(Xl)(X2) {Зе(Х2)) ==

== e')(Xl) .Qe(Xl)e(:C2) IЗеН(Х2)-r
+ eH(Xl) ./a(X2) .!ЗеН(Х2)
+ eH(Xl) IQ (Xl) (X2) .IЗеН(Х2)
 е НТ (Х2) (.,/Q (Xl) (X2) (Q)Te()T(Xl)'
(5.11 )
Подействуем вначале операторами электронноrо поля на вектор
нача.1ьноrо состояния li > . Очевидно: что ОТ.1ИЧНЫЙ от ну.1Я
вклад дает только следующий оператор в разложении (Б.11):
e()(Xl) .!Q (Xl) (X2) .1,зе(J(Х2),
( 5.12)
Учитывая соотношения (3.48), (3.49) и (3.52): получаем
e()(xl)eH(X2)c7(p)d7(p') 10>==
== e H (Xl)([e(+)(X2), с+(р)]+  c 7 (p)e(+J(X2))d 7 (p')) 10> . (5.13)
Очевидно: что второй член правой части последнеrо выражения
вносит нулевой вклад:
e(+)(x2)d+(p') 10 >== d-'--(р')е(+J(Х2) I О > .
(5.14)
Здесь и далее поляризационные индексы (там, ['де они не yKa
заны) подразумеваются. Используя перестановочные соотношения
Д.1Я операторов рождения и уничтожения полей фермионов. по
лучаем
e H (Xl)e H (X2)c+(p)d 7 (p') 10>==
== Npи(p)e;PX2eH(Xl)d+(p') I о > .
(5.15)
Далее преобразуем первое (5.15):
e(+)(xl)d(p') I 0>==
== ([e(+)(Xl), d+(p')]  d(p')e(+)(Xl)) 10> .
(5.16)
19

[3торой члсн правой част!! nOc.1e.1Hcro соотношения равен н \<.1 10. а
.1ЛЯ ант!!ком\лутатора. учитывая (3.52). прихоли\! к рс'зу.1ьтату
ie(J (х)). d(p')j == .У/и! p')e; p'Xl.
[3 итоrс с по:vroщью (5.15 5.17) нахо;rим
i' 0.1 {)
e(+)(x))e(I(x2)c(p)d(p') 10> ==
,
== _Yililp')eipXl\'pи(p)eiPx, I О>. (;').181
Таким образом. оператор e(-r)(х))е')(Х2) при действии на HeK
тор
c-r(p)d(p') 10>,
описывающий электрон и позитрон, уничтожает электрон и no
зитран. В резу.lьтате получаем вектор состояния вакуума 10 >,
который умножается на функцию
N p u( .....p')eiP'Xl Npu(p)eipx,. (5.19)
Подействуем .J,а..тее на конечный вектор состояния < 11 операто
рами электромаrнитноrо поля. Очевидно, что отличный от нуля
результат происходит только от оператора
A() ( )A () ( )
'a Х) з' Х2
в разложении Вика
N(A a (Xl)A B (X2)) == A)(Xl)A+\X2) + A)(x))Ai)(X2) +
+ A)(X2)A)(Xl) + A)(Xl)Ai)(X2). (5.20)
Используя разбиение
Аа(Х) == A+\x) + A)(x),
(5.21)
rде
з
A)(x) == ! N k L а).,(k)е(k)еikХdЗk,
).,=0
з
A)(x) == ! i'v'k L аt(k)е(k)еikХdЗk
).,=0
(5.22)
50

соотпетственно положите:!ьночастотная и ОТрИlIiJ.те.1hно--'!астот
ная части оператора А а , и перестановочные соотношения
[aA(k).a(k )] == q,\;."r5(k  k'J,
[a;.,(k).a.\,(k')] == О
(5.23)
и И:V1 'Эр:VIИТОПО сопряженные. получасу!
< О I a(k' )a(k)A)(Xl)A)(X2) == (5.24)
:=< О I a(k') ([a(k), A)(Xl)] + A.)a(k)) A'(X2) ==
==< 01 (NkеQ(k)е'kХl.Уk'ез(k')еik'Х2 + .Vk,eQ(k')eik'Xl\;ke(k)elkX").
Итак. при действии налево на вектор состояния двух фотонов
< о I a(k')a(k)
оператор
.4) (xl)A ) (Х2)
дает вектор состояния вакуума < 01, который умножается на Функ
цию
;VkeQ(k)eikx, Nk,ез(k')е ik ' Х2 + k ;:::: k'. (5.25)
Симметрия этой функции относительно перестановки k ;:::: k' яв-
ляется следствием тождественности фотонов.
Теперь, используя выражения (5.18) и (5.24) и выполняя инте
rрирование по Xl и Х2, ,1erKo получаем матричный элемент
< f I S(2) I i >:
< f I S(2) li >== (i)2 J NiU:' (р')е/>(271:)Ч( p' + k  Pl) х
х  ) i, е(З(271:)4б(Рl + k'  р)х
\:"71:) Pl  m
(5.26)
хur(р)NР"Уk€Q(k)Nk,ез(k')dРl + (k;:::: k').
При записи (5.26) предполаrа.l0СЬ: что вектор состояния вакуума
нормирован условием
< о 10 >:= 1.
(5.27)
51

[Зыражение. по:!ученное .J.1Я :vrатричноrо,ыс).!спта < .fIS!2) li >
(5.26). построено нз небольшоrо ЧИС.1а ве.1ИЧПП: спнноров Il(р).
и( p), ПРОИСХОJ\ЯЩИХ от неспаренных операторов e(J;l) и e(.E2)
R (5.12): :v1атриц ":1. возникающих из структуры rа).!ИЛЬТОЮН1на
электромаrнитноrо взаи).!Одействия. 6функций от интеrрирова
ния по пере:vreнным Х,; пропаrатора l/(р  т) от свертки onepa
торов е(х!) и е(Х2) в (5.12) и векторов поляризации ea(k) и ез(k'),
возникающих от неспаренных операторов в (5.20). Если в COOT
Rетствии с методом. предложенным Р. Фейнманом. сопостаВ.1ЯТЬ
Rсличинам: из которых строится матричный элемент -:::: .f/ S(2) li >.
,1ИНИИ И верщины ,1иаrрамм, полученные таким образом диаrрам
\<!ы. ОТRечающие (5.26), должны быть построены из сравните.1ЬНО
небольшоrо числа элементов. Поставим в соответствие первому
'/лену оБСУЖD:аеюrо матричноrо элемента диаrрам:vrу. представ
ленную на рис. За.
а
б
Р
k
Pl
k'
,
P
Рис. 3. .1иаrраf:\!Ы проuесса e 4.. е+  "1  О(
Пусть сплошной выходящей .1ИНИИ, которой приписа н нефизиче
 J 2
(кий импульс p' ;::::: (po, P'), ['де ро ;::::: + т 2 + р' , ставится в
соответствие N'{IU( p'), входящей сплошной линии  ]'v'pu(p); Bep
шинам  (27r)4ey6(P'  Р) (Р и Р'  входящий и выходящий cy:vr
:-lарНbJе 4импульсы): внутренней сплошной .1ИНИИ  оператор
1
(271")4 Р1  т '
52

волнисты:vr 01ИНИЯ:V!  oY'ke(k) JI oVk,e(k'). .]виrаЯСf, против (;по'юш
ных 01ИНИЙ Н<1 рис. 3 и ВЫПИСЫВ<1Я ве.1J1ЧИНЫ. которыуу COOTBeTCTBY
ют 01ИНИИ И вершины. а затеr У:V1Ножая полученное таким образо:.\
выражение на факторы. которым отвечают ВО.1НИСТЫС 01ИНИИ ; по
индексу 1маТрИllЫ и векторному ИН,lСКСУ соответствуюшеrо BeK
ropa поляризаllИИ производится су",rмирование;. и на у!НОЖIIТС.1Ь
(i)2. получим :V1атричный 'ше:vrент (5.26). .]иаrра:vr:vrы рис. 3 яв
.1ЯЮТСЯ ,1иаrраммами ПРОI\есса e + e .............,. >'  i. ОТ:V!СТИi.r. что
выходящей СП.l0ШНОЙ электронной 01ИНИИ с нефизическим импу.1Ь
сом p' соответствует поrлощение позитрона с импульсом р'.
J,иаrрамма: изображенная на рис. За. во второу! порядке Te
арии возмущений описывает С.lедующую воз:vюжность персхода
электрона и позитрона в ДBa"'(KBaHTa: электрон с ИМПу.1ЬСОМ Р
испускает фотон с ИМПу.1ЬСОМ k' И переходит в промежуточное
состояние с ИМПУ,lЬСОМРl; затем виртуальный электрон с импуль
сом Pl И позитрон С импульсом р анниrИ.1ИРУЮТ с образоваНИб!
фотона с импульсом k. Диаrрамма, показанная на рис. ЗЬ: COOT
ветствует друrой возможной последовательности испускания фо--
тонов. Отметим, что, поскольку начальные электрон и позитрон 
свободные частицы, р2 == р'2 == т 2 . Квадрат импульса виртуально
['о электрона не равен т 2 . Матричный элемент рассматривасмоrо
процесса дается суммой вкладов диаrрамм рис. З. Это опреде
ляется тем: что фотоны являются тождественными частицами.
Диаrраммы: представленные на рис. За и ЗЬ, получили название
диаrрамм Фейнмана.
Выражение (5.26) может быть проинтеrрировано по импу.1Ь
су виртуальноrо электрона Й. Окончательно для матричноrо эле
мента процесса e +e .............,. I+( получаем следующее выражение:
< f I s(2) I i >== iNp,NpNk,Nke2x
х [ Щ p')e(k)   e(k')u(p)+ ( :-- 28)
pk т ,О.
+и( p')i!(k')  l e(k)U(p) ] х (21Т)4б(k + k'  Р  р'),
pkm
r.J;e, например. оператор e(k) == e"'(k)(a'
53

5.2. ПРОЦЕСС e + e  IL + IL
в предыдущем раздеlе \IЫ расоютреJ1И один IЛ ПрОllессов
:Jлектро:vшrнитноrо взаи:vюдействия. Получим тсп('рь :vrатричный
эле:VIент Э.1ектронпозитронной анниrИ.1ЯilИИ
e + е  IL + IL
(;).29)
во втором порядке по электрос.lабому взаимодействию.
В соответствии со Стандартной теорией электрос.1абоrо взаи
модействия электронпозитронная пара :vюжет превратиться .1И
ба в фотон (электромаrнитное взаимодействие), .1ибо в нейтраль
ный Zбозон (слабое взаимодействие). В свою очередь. фотон и
Zбозон :vюrут превратиться в пару частиц IL IL. Диаrраммы npo
цесса (5.29) во втором порядке по электрослабому нзаИМО/l,ействию
изображены на рис. .
а
б
Рис. 4. Диаrраммы процесса e + e  /-l  /-l+
Соответствующая часть лаrранжиана электрос.1абоrо взаимо
действия дается выражением
,, g,,
[I == e  l"(a.lAa.  2 f)  l((gy + .gA.":15)lZa.,
cos w
l=е,!" l=е,!"
['де
(5.30)
121
g . ==   2 + 2 sin f),v, 9 4  
. , ..:::= 2'
f)\V  уrол I3айнберrа.
(5.31 )
54

Начнс:v! с рассмотрсния ncpBoro Ч.1сна .1аrранжиана (5.30).
соответствующеrо элсктро:vrarНИТНО:VIУ взаИМО;lСЙСТRИЮ. Ана.1ИЗ.
ана.10rичный ПрОВС.1СННО:V!У в пре.J:Ы.1УЩСЛ ра:ЗДс.1е. показыR1ст..
'по ОТ.1ИЧНЫЙ от нуля ВК,lа.1, R латричный ЭЛС:l4ент проассса 15.29)
И'3 всех ClaraC:V1hIx Тпроизве.lения
т (Jl(Х])"У"р.(х])А,,(х])е(Х2)/е(Х2)АЗ(Х2)) =:
=: т (Jl(X])"/'l-l(х])е(Х2)IЗе(Х2)) Т (А,,(х])А З (Х2))
(5.32)
дает оператор
д( ) (x])(" р.( ) (х])е(+) (Х2)'У З е( ) (Х2) А ,,(х]). 4 ]( Х2)'
(5.33)
Векторы нача.1ьноrо и конечноrо состояния равны
li >=: c+(P1)d+(P2)!O >.
If >== C'(p)d(p;)IO >,
(.) .34)
['де Р1 И Р2  импульсы начальных электрона и позитрона, а p и
p  импульсы конечных p. и р.+.
Пос..lедовательно действуя на начаJ1ЬНЫЙ (конечный) вектор
состояния положительно и отрицательно--частотными оператора
ми поля, получаем достаточно простое выражение
< flfiH(X1)("p.H(x1)e(+)(x2)/3e(+)(x2)li > ==
== /\;]1., Nт/.,N р1 Np',eip;Xlu(p)"y"u( p;)ei(P2)Xi х
х e i ( P'2)X2й( Р2)('ЗU(Р1)еiР1Х2.
(5.35 )
Поскольку ни начальное. ни конечное состояния процесса не
содержат фотонов. ОТ.1ИЧНЫЙ от ну.1Я вклад в матричный элемент
дает только свертка операторов электромаrнитноrо поля:
! I
Т (.4"(Х1)А](Х2)) :=::} .4"'(Х1)А 8 (Х2) ==
i I eik(xJX2)
 d 4 k
 (271')4 9"З k2 .
( .) . 36)
55

Учитывая ПОс'lС,lнее выражение. ДЛЯ ВК.1а,lа rаМИ.1hтониана
элсктро:vrаПi!lтноrо взаи:vюдействия в уrаТРИЧНЫЙ-J.1СМСНТ процес
са (5.29) находю!:
< лs(2) ет li >==
== (i)2 J Yp; й(р)е(Й(2,,)-!д (p  (p;)  q) и( p;)"\/rlo х (5.37)
(i) 1 т 3 -!  , -!
Х 9ЙЗ2"/р-,Й( P2)e,. (27!') д (q + (P2)  Рl) U(Pl)'''/Pld q.
(27!') q
Этому матричному элементу соответствует диаrрам:vrа на рис. о.
q
I
Рис. 5. Jиаrра!1а процесс а e + е+  /-l ..,.. /-l+
(однофотонный обмен)
Учитывая выражение (3.70), для свертки операторов Zбозонов
можно записать
Z l ( ) Z l ( )   J 9ЙD  qйq,з/тz 2 iq(ХIХ2) d -!
й Хl (J Х2  -! 2 2 е q.
(27!') q тz
(5.38 )
Из соотношений (5.30):(5.36) и (5.38) очевидно, что наиболее
леrким путем вклад нейтральноrо тока в матричный элемент про
аесса (5.29) может быть получен из выражения (5.37) в резу.lьтате
замен:
56

9 а 0 ( , '
е 4 . .:' 4.' 91,' --+- 9A:'5).
2 cos В н ,
9(>з . 9аВ  qaq3/ m z 2
q'2 "'""t q2  mZ 2
(iJ.39 )
в резу.lьтатс имеС\r:
< /lS(2)u: li >==
== (i)2 J 'УР'I и(p) . 9 (a(,q1/ + 9A(5)(21/ Х
2 coS Вн,
( . I 2
 (! ( ! ) ) ( ! ) ,  1) 9аВ  QaQi3 mz V  ( )
XO\Pl  P2 Q и P2 Np " ., ' Р'1 и P2 Х
 (271') Q  mz"
Х 9 В "'/3(91/ + ПА"5)(271')'\5 (Q + (P2)  Pl) u(Pl)N p1 d 4 Q. (5.40)
2 cos j,V
ПОС.lедне:vrу матричному элт.!енту отвечает ;:щаrрамма, пока
занная на рис. 6.
q
z
Рис. б. Диаrра:vr:vrа процесса e + е+  /-l  I.L
(обмен Zбозоно:vr)
Вершинам этой диаrраммы с..lедует поставить в соответствие
9 (а(пу + gА!5)(271')4б (Р'  Р).
2 cos ВЙ"
(5.41)
S7

3.J:cCb Р и р'  cY:-,j:-.rарНhIС импу.1ЬСЫ. входящий и пыхо."(ящий.
IЗнутрсннсй .1ИНИИ Zбо:юн<t нсобхо;:rимо сопоставить nponaraTop
q,Лв
9аЗ  
mz
 (271)-1 q2  mz 2 .
\ 5.2 
а СП.10ПlНЫМ .1ИНИЯ:V!  соответствующие спинары со стандартны:vш
нормировочными :vшожите.1ЮЛИ (как и R с.1учас электромаrнитно
['о взаимодействия).
По импульсам виртуальных промежуточных фотона и Z-бо
зона в выражениях (5.37) и (5.40) можно ВЫПО.1НИТЬ интеrриро
вание. В результате .J.1Я матричноrо элемента оБСУЖ,lаемоrо про
песса получаем С.1едующее выражение:
< fls(2)li >== iN p ! N P2 .V p ; N P2 [е2Й(Р)lаu( p;) :2 й( P2)(aи(Pl)+
2 I 2
9  ( ' ) CI./ ) ( , ) 9аЗ  qаqз mz
+ 4 2 f) и Рl ( \g1 1 + g..J.(5 u P2 2 ry Х
'cos y q  mz.
Х й( Р2)/ЗС9V + 9.4(5)U(Pl)] (27Т)4 ь (p + р;  Рl  Р2), (5.43)
['де
q == Рl + Р2 == p + Pz.
Очевидно, что второй член в числителе пропаrатора Zбозона
MHoro меньше первоrо, так что им можно пренебречь. Действи
тельно, используя уравнение Дирака в импульсном представле
нии, получаем
UCp)((gV + g..05)U( p;)qa == 2т/1й(р)gfО5U( p;),
й( P2)(a(gV + g.4I'S)U(Pl)qa == 2теЙ( P2)gA{SU(Pl),
(5,44)
[де т/1 и те  :VlaccbI мюона и электрона. Следовательно, второй
член числителя пропаrатора Zбозона равен
4т/1т е
«1.
m z
Помимо этоrо: матричный элемент (5.43) может быть преоб
разован с учетом Toro: что в стандартной теории с хиrrсовским
58

,rублетом меЖ;IУ "ral:l:aM!! нейтральных и заряженных БОЗ0НОВ "Ы
ПОЛЮlется соотношение
mz 2 cos 2 B\v =:: тн- 2 .
10.40 )
13 реЗУ:Jьтате получае:V1
2 G
g 2 2
=:: mz
4 cos 2 ev /2 .
( 5.46)
r,te
G
/2
')
g
8 m w 2
(5.47)
константа Ферми.
Матричный элемент расс),штривае:vюrо процссса "южет быть.
следонате.tЬНО. записан в виде
f I S ('J\ I . . \ '   V " [ ')  ( ' ) а' ' ) 1  ( ) ' )
< J 7 >== 71 'р,lУ Р2 " р; :УJI., eu Pl ! u( P2 q2 и P2 (QU(Pl +
G  ( ' ) й ( ) ( ' ) mz2  ( )
+2 м и Pl ' ,gv + g..05 и P2 2 2 и P2 Х
у2 q  mz
X(Q(gv + 9,,05)U(Pl)] (2'71/б (p + Р;  Pl  Р2) .
(5.48 )

@ ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА
Как БЫ,10 показано в предыдущих r.1aBax. '\1аТрИЧНЫ:V! эле
:v1eHT<l).! пропсесов элеКТРО:v1аrнитноrо 11 с.lабоrо В'3аИЧО.l<'ЙСТВИ51
можно сопоставить ;rиаrраымы Фейн:vrана. Бы.1И СфОРМУЛlр()ва
ны правила соответствия ,lежду Э.lементами .1иаrрюл:vr: внеШНИ:VIИ
и внутренними .1ИНИЯМИ. отображающи:\ш части!{ы. и вершина:vш
взаимодействия,  и величинами. из которых строятся :V1атрич
ные элементы: спинарами. пропаrаторами и т.Д. Полученные Ta
ким образом правила носят универсальный характер. поскольку
опредеJ1ЯЮТСЯ универсальным характером операторов в разложе
нии Вика, и :vrorYT применяться для записи матричных эле:-лентов
целоrо ряда процессов взаимодействия.
В частности, эти правила MorYT быть обобщены на СJ1учай
любоrо взаимодействия .1ептонов и нейтрино с калибровочными
векторными базонами r: w== и Z). Лаrранжиан 3Toro взаююдсй
ствия может быть представлен в следующей обобщенной форме:
{,! ==  j1Р;rc1ФiХО: + h.c.,
(6.1 )
rде j  константа взаимодействия, 1/;i  поля фермионов. ХО: 
бозонное поле: ro:  матрицы Дирака. В рамках разложения Ви
ка любой из операторов выражения (6.1) может быть оператором
рождения, либо оператором уничтожения: либо входит в свертку
с оператором из друrоrо лаrранжиана взаимодействия. В соот-
ветствии с (6.1) начальный фермион может испустить или поrло
тить векторный бозон и таким образом превратиться в конечный
фермион. Эффективность метода диаrрамм Фейнмана определя
ется тем, что он позволяет леrко перечислить все основанные на
лаrранжиане взаимодействия способы перехода И'3 нача.1ьноrо co
стояния в конечное.
Сформулируем окончательно общие правила написания Ma
тричноrо элемента, соответствующие любой диаrрамме Фейнма
на, так называемые правила Фейнмана.
1. Каждой выходящей ( входящей) внешней .1ИНИИ ча стицы с о
спином 1/2 и физическим импульсом р (р2 == т 2 , рО == vjJ 2 + т 2 )
соответствует оператор
60

"Урй(р) (.\ipU(p)).
(6.21
Эта .1ИННЯ отображает испускание (поr.l0щение; феР:VНlOна.
2. Каждой выходящей (входящей) внешнеЙ .1ИННИ спинорноtl
'астиц ы с неф изически:v! И:VfПу.1ЬСОМ p == (pO, и (р2 == т 2 .
рО == p 2 7 т 2 ) отвечает оператор
:УрЙ( p) (НрИ( p)).
(6.3 )
Эта .1ИНИЯ является линией входящей (выходящей) античастицы
с импульсом р. Отметим, что последнее верно Д.1Я частиц с .1юбьп,J
СПИНО:VI.
3. Каждой выходящей .1ибо входящей .1ИНИИ векторн ой части
цы с импульсом q (q == (qO, qJ q2 == т 2 , qO ==  if2 + т 2 , ['де rп 
:vшсса частицы) соответствует оператор
Nqea(q).
(6.4)
Эта .1ИНИЯ описывает испускание либо поrлощение частицы со спи
нам 1.
4. Каждой выходящей (входящей) внешней линии ска.1ЯРНОЙ
.1ибо псевдоска.1ЯРНОЙ частицы, обладающей импульсом q: сопо
ставляется множитель
N q .
(6.5)
Эта .1ИНИЯ соответствует испусканию или поrлощению скалярной
либо псевдоскалярной частицы.
5. Внутренней линии спинорной частицы с импульсом р OTBe
чает пропаrатор 1
(27r)4 13  т '
(6.6)
rде 13 == (apa, /а  матрица Дирака. Отметим: что в этом случае
(обмен виртуальной частицей) р2 =f. т 2 .
6. Внутренней J1ИНИИ частицы со спином, равным нулю: Hecy
щей импульс q (q2 =f. т 2 , т  масса свободной ска.1ЯРНОЙ .1Ибо
псеВДоскалярной частицы): сопоставляется пропаraтор
1
(27r)4 q2m2'
(6.7)
61

1. I3нутреннеЙ фотонной .1ИНИII С И:VIПУ"lЬСЩI 1.: 11.:2  О) ('()OT
ветствует :vrножите.1Ь
g,,]

(27r) k 2 .
(6.8)
8. Внутренней .1ИНИИ :VIaССИВНОЙ векторной стастипы с II:\IПУ:[Ь
<':ом q (q2  т 2 . т  :v1acca свободной частиuы) отвечает пропаrа
тор
/ 2
9аВ  qолз т

(27r)4 q2  т 2
(6.9)
9. Вершине. отображающей электромаrнитное взаимодействие.
сопоставляется
e/a(27r)-!6 (Р'  Р) .
(6.10)
Здесь Р и Р'  суммарные 4импульсы входящих и выходящих
частиu.
10. Вершине взаимодействия vVбозонов с фермионами COOT
ветствует множитель
2{ (a(1 + /)(27r)46 (р'  Р).
(6.11)
11. Вершинам, соответствующим испусканию Zбозона заря
женными лептонами и нейтрино, отвечают операторы
2 9 (} /а (gv + 9A/5) (27r )46 (р'  Р) ,
cos w
(6.12)
и
9 /a(1 + (5)(27r)46 (Р!  Р)
2 cos (}w 2
(6.13)
соответственно. Соrласно Стандартной теории электрослабоrо вза
имодействия: присутствующие в (6.13) параметры имеют сл(цую
щие значения:
1 2 1
gV==2+2sin(}w, 9A==2'
['де (}w  уrол Вайнберrа.
62

l. lЗсе операторы. ,т:еЙствующис на СПJ!НОрНЫС ИН,1СКСЫ. pac
ПОЛaI'аются С.1сва но,nраво в такоЙ ПОСJ1сдоватес1ЬНОСПI. А которой
они встрсчаются в TO:V1 с.1учае. СС.1!! ,1виrаты:я против напраВ.1('НИЯ
спинорноЙ част!!цы.
13. По четырехмеРНЫ,,1 импульса:v-! внутренних .1ИНИЙ. изобра
жающих виртуа.1ьные частипы. выполняется интеrрирование. а
по чеТЫРСХ:V1ерным поляризапиям виртуальных частип  су:vлми
рование.
Отмети:vr. что БЫс1а использована такая нормировка. при KO
торой как для ':raстиц с полуцелым спином: так и для частип с
пеЛЫ",1 спином :vrножитель
y
" р  (271')3/2 м'
в том с.lучае. еС.1И .1аrранжиан взаимодействия имеет форму.
отличную от (6.1): возможно появление вершин друrих, не указан
ных здесь типов. Однако описанная выше стандартная техника
получсния матричных элементов Sматрицы (техника Дайсона
I3ика) позволяет найти вершины, соответствующие любым друrим
лаrранжианам.

(j) JVIЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ИЗIVIЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН
7.1. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В РЕАКЦИЯХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И РАСПАДА
Реакции взаимодействия двух эле:V'lентарных частиц А I.f В
разделяются на упруrие. квазиупруrие и неупруrие. РеаКIIией
упруrоrо рассеяния называется процесс взаимодействия
А + В  А + В,
(7.1)
в котором не изменяется сорт частиц и не происходит образования
новых частиц. В процессе упруrоrо рассеяния изменяются .1ИШЬ
импульсы взаимодействующих частиц. В процессе квазиупруrоrо
взаимодействия чаСТl!Ц А и В в конечном состоянии образуются,
подобно упруrому процессу, две частицы: но сорт их отличается
от сорта частиц А и В:
A+BC+D.
(7.2)
При этом возможна и ситуация: коrда сорт одной из вторичных
частиц совпадает с сортом перви !ной частицы. Наиболее обшир
ную rруппу процессов составляют реакции неупруrоrо взаимодей
ствия:
A+BC+D+E+F+... .
(7.3)
в результате процессов (7.3) образуется более двух частиц (при
современных энерrиях ускорителей число вторичных частиц до--
стиrает десятков и сотен).
Очевидно: что распад нестабильной частицы
AB+C+D+...
(7.4)
отличается от рассмотренных ранее процессов взаимодействия
(7.1)  (7.3) с кинематической точки зрения тем. что в началь
нам состоянии имеется лишь одна частица. В результате распада
(7.4) образуются две (и более) частицы в конечном состоянии.
64

Рсально ОСУЩССТВ"l51ЮТСЯ "lИШh такие типы реакний рассеяния
(7.1)  1.7.3) и распада (7А): которые не противоречат всему KOM
плексу законов сохранения. С точки 'зрения кине",штики OnPCдe
.1ЯЮЩУЮ рОЛh иrрают законы сохранения энерr.ии и и:vrnу.1hса. 'Эти
законы в четырехмерном виде :vюrут БЫТh предстаВ.1ены единой
форму.l0Й:
LPi == LPj:
(7.5)
r
J
['де Pi  импу.1ЬСЫ первичных частин, а Р!  ИМПУо1hСЫ вторич
ных частиц. Индексы i и f здесь нумеруют первичные и вторич
ные частицы, а не компоненты -!BeKTopOB.
Кине:vтатические соотношения: характеризующие реакции вза
имодействия и распада, представляют собою следствия законов
сохранения (7.5). Определим количество независимых кинемати
ческих пере;"1енных, необходимых для характеристики состояния
частиц, участвующих в процессе взаимодействия. Состояние OT
дельной свободной частицы характеризуется в квантовой механи
ке тремя проекциями ее импульса. Друrие характеристики COCTO
яния, такие как спин, заряд и Т.д., сейчас не рассматриваются.
Остановимся на процессе превращения двух нача.'IЬНЫХ ча
стиц в n конечных. Для кинематическоrо описания n + 2 частиц
требуется указать 3(n+2) компонент их импульсов. Законы coxpa
нения энерrии и импульса устанавливают 4 соотношения :V1ежду
компонентами импульсов первичных и вторичных частиц. Рассмо--
трение процесса можно провести в произвольной инерциальной
системе отсчета. Выбор цсистемы в качестве системы отсчета по--
зволяет наложить три условия на компоненты импульсов первич
ных частиц,
 
Р*А + Р*в == О,
и три УС.10ВИЯ,
L Р} == О,
f
на компоненты импульсов вторичных частиц. Сле/щвате.1ЬНО. npo
цесс взаимодействия характеризуется
3( n + 2)  4  6 == 3n  4
65

Нi:заВИСIIМЫ:VТИ кинс:vтатически:v!и псрс:v!енныrп. 3ависи:vIOСТЬ pa('
пределсний вторичных частиц от этих ncpe:V'!CHHbIX (JПРС;LС.тяет
ся динамикой процесса. Образуя скалярные ПрОИ'3ВС.1СНИЯ из раз
.1ИЧНЫХ пар импу.1ЬСОВ псрвичных и вторичных частип, :vюжно
выбрать все независи:vтые кине:vштические перемснные в инвари-
антном виде. Напри;ер. Д.1Я пропсссов упруrоrо и квазиупруrоrо
взаимодействия (7.1): (7.2) чис..rто независимых ni:pe,,[eHHbIX равно
3. 2  4 == 2. Эти две переменные :vrorYT быть выбраны в С'.lе,1уюшей
ковариантной форме:
2 2
S==(P..J.+PB), t==(p..J.Pc),
в процессах взаимодействия: рассматриваемых в цсистеме
(или в kсистеме), в пространстве имеется выделенное направле
ние  ось соударения сталкивающихся частиц. Блаrодаря азиму
тальной симметрии задачи конфиrурация импульсов вторичных
частиц может равновероятно занимать в пространстве любое no
ложение, отвечающее ее вращению вокруТ' оси соударения. Ta
кое вращение характеризуется азимутальным уrлом ср. Поскольку
распределение событий по этой переменной не зависит от динами
ки взаимодействия, такая переменная называется несущественной
или тривиальной. Она не входит в число 3п  4 так называемых
существенны
x переменных. На практике направление оси coyдa
рения в цсистеме фиксируется условиями KOHKpeTHoro экспери
мента.
При рассмотрении распада (7.4) вопрос о количестве суще
ственных и тривиальных независимых переменных наиболее удоб
но рассматривать в системе покоя распадающейся частицы. При
этом нача.rтьное состояние характеризуется фиксированными зна
чениями энерrии и импульса: ЕА == тА, Р.4 == О. ДЛЯ характери
стики конечных состояний необходимо использовать 3 п кинема
тических переменных, что соответствует чис.1У компонент
3импульса вторичных частиц. Из этих переменных с учета,,! '3a
конов сохранения энерrии и импульса останутся независимыми
только 3п  4. При этом ориентация конфиrурации импульсов
вторичных частиц как целоrо в пространстве может быть про
извольной. Это означает: что три из независимых переменных яв
66

.1ЯЮТСЯ тривиа;rьныrи. а (:3п  7)  существенны:vrи (п 2:: .3). I3
с:тучае .1вухчастичноrо распада (п == 2) существенных персмен
ных ROBce нет. а тривиа.1ЬНЫХ пере:vrенных  двс. 'Это полярный и
ази:vrута.1ЬНЫЙ уr.1Ы (в, :;). характеризующие ориентапию в npo
IOтранстве и:vшульса одноЙ из вторичных чаСТИI\ R системс покоя
распадающсйся частицы. Распределения событий по этим триви
альным переменным изотропны.
7.2. ВЕРОЯТНОСТЬ РАСПАДА.
СЕЧЕНИЕ ПРОЦЕССА
Для описания процесса взаимодействия при помощи OCHOB
ной характеристики. сечения, важным ЯВ.lяется понятие фазовоrо
объема (пространства).
Фазовым пространством называется совокупность импульс
ных И конфиrураuионных (координатных) пространств всех ча
стиц физической системы.
Элемент объема шестимерноrо фазовоrо пространства одной
частицы определяется выражением
d 3 p d 3 x == d 3 p dV,
['дс dv'  элемент объема конфиrурационноrо пространства. В co
ответствии с законами квантовой механики число квантовых co
стояний свободной частицы в элементе объема ее фазовоrо про
странства может быть определено следующим образом:
d 3 pdV
dN == (2n1i.) 3 .
в системе единиц, ['де Ii == с == 1,
d 3 pdV
dN== (271')3 '
Вероятность образования квантовой частицы пропорциона.пь
на числу квантовых состояний: В которых она можст находиться.
Помимо Toro, вероятность образования в результате взаи:vюдей
ствия HeKoToporo числа частиц пропорциональна произведению
67

их фазовых объе:vюв. деленному на (2?Т')Зn, rде n  ЧИС.10 вторич
ных частиц. В условиях эксперимента вторичные ЧilСТИl(Ы Нilб,lЮ
,1аются на да.1еких расстояниях от об.1<l.СТИ их в:заи:vroлействия. r.le
они стан()вятся практически с вобо.1НЫ:'v!И. Их BO.1HoBhIe функпии
ЯВ.1ЯЮТСЯ П.10СКИМИ, волнами: соответствующими СОСТОЯНИЯ:V1 ча
стиц с определенными импульсами. Нормировка волновых Функ
пиЙ таких состояний про водится на объем v', в котором находится
частица. Нормировочный :vrножитель равен V1/2 Поскольку Be
роятнасть образования чаСТИl(Ы ПРОПОРIщона.1ьна квадрату :'vюду
.1Я ее волновой функции: объем конфиrурационноrо пространства
V == J dV: входящий в определение фазовоrо объема. в форму
.1е вероятности сокращается с объемом V, возникающим в зна
менателе изза нормировки волновой функции. В выражение для
вероятности процесса входит только произведение элементов объ
ема импульсных пространств вторичных частиц. Это произведе
нис, совместно с чеl'ырехмерной дфункцией: отражающей закон
сохранения энерrииимпульса, называется фазовым объемом BTO
ричных частиц:
dФ  ( 1] (:)з ) (2ф'4) ( p;  P/) (7.6)
Индекс i нумерует частицы в начальном состоянии, а индекс f
 в конечном. В случае релятивистскоrо движения частиц волно
вые функции свободных частиц содержат нормировочный множи
тель (2E)1/2: квадрат KOToporo также присутствует в выражении
Д.1Я вероятности KBaHToBoro перехода. Эти множители также по
являются в выражении для вероятности перехода независимо от
конкретной динамики процесса. Поэтому вместо релятивистски
неинвариантноrо фазовоrо объема (7.6) используют элемент pc
лятивистски инвариантноrо фазовоrо объема вторичных частиц:
dr  (1] 2E: )з ) (2)4;(4) (p;   Р/) . (7.7)
68

I3еличина dr РС.1ЯТИВПСТСКН f!НRариа.нтна. nOCKo:rhKY 'leThlpCX:VICp
ная 5ФУНКIIИЯ
.6'" (P(  PJ)  б (E(   Е}'" (LP<  Pf)
яв:rяется инвариантом, а элемент объема в ИМПУ.1ЬСНОМ простран
стве. :.r:С.1СННЫЙ на 2Ej, может быть представлен в J!Нвариантной
фОр:Vlе:
dЗРj J <1 ' ( 2 2 )
 E ::= d PjO Р!  т! .
2 f
(7.8)
3il;ecb учтено, что
Е! ::= (т/ + Р! 2)1/2, J 5и(х)] dx ::= l/lf'(x)lxxo,
r,де f'(x)  ПРОИЗВО,,!;ная по х от функции f(x). а значение {'(х)
берется в точке х ::= Ха, [',де сама функция f(xa) ::= О.
Вероятность распада нестабильной частицы А в единицу Bpe
мени в произвольной системе отсчета определяется выражение:v-r
dV  1 L 1,\,,112 ( П dЗРI ) х
 2Е А (25 А + 1) SA,Sf . I 2E I (2пi
Х(2ff)4б,4) (РА  PJ) . (7.9:
Более подробно соотношение (7.9) представляет ;:щфференциаль
ную вероятность распада в единицу времени частицы А, обладаю
щей энерrией Е А на несколько вторичных частиц: 3импульсы KO
торых находятся в интервалахрj, Р! + dpI' Величина IЛ11 2 пред
ставляет собой квадрат модуля инвариантноrо :vштричноrо эле
мента (амплитуды) распада, 5.4  спиновое квантовое число pac
падающейся частицы А, Р.4  4импульс частицы А. В выражении
(7.9) проведсно усреднение по спиновым состояниям частицы А и
суммирование тю состояниям поляризации вторичных частИI( 51'
69

Таким образом. раСС,jатривается стучай. Kor,la наЧ,IJ1ьная 'raCTII
ца неполяризована. а состояния ПО:lяризапии рО,lИВШИХСЯ '1астип
не ана.1ИЗИРУЮ1'СЯ. Полная вероятность рас:пада нестаБИ.1ЬНОЙ ча
стицы за единицу нре'v!ени находится интеrрирование:V1 17.9) по
всем ИМПу.1ьс:ам вторичных частиц. В том случае. коrда И'vlсется
несколько способов распада 1 каналов распада): соответствующие
каждому каналу вероятности распал:ов следует ПРОСУ:Vlмировать.
Полная вероятность распада в сдинипу вре:V1ени у'! связана со
временем жизни т нестабильной частицы соотношением т == ] /и r .
Время жизни т определяет интервал времени. в течение KOTOpO
['о число нераспавшихся нестаби.1ЬНЫХ частиц уменьшается в е
раз. Время жизни покоящейся нестабильной частицы 1() являет
ся физической характеристикой элементарной частипы. В системе
отсчета, ['де нестабильная частица движется и обладает энерrией
Б,4, время ее жизни возрастает в БА/т/i раз по сравнению с То.
Дифференциалыюе сечение процесса взаимодействия неполя
ризованных частиц А и В с образованием в конечном состоянии
произвольноrо числа вторичных частиц, 3импульсы которых pac
полаrаются в интерваJте от РI до Р! + dp/: определяется COOTHO
шением:
dc;  1 1 L I ,vt1 2 ( П dЗРI ) х
 (25л + 1)(25в + 1) 4j s s . 2EI(2пi
" f I
х (2, )'б'" (РА + Рв   щ) . (7.10)
Здесь 5 i == {5,4, 5в}  спиновые квантовые числа первичных ча
стиц, 51  спиновые квантовые числа вторичных частиц, 1},'112 
квадрат модуля инвариантной амплитуды процесса. который леr
ко может быть получен на основе :v1атричноrо элемента 5матрицы:
< fl5  11i >== .А.1 д 4(РА. + РВ  L P/)'
I
(7.11)
в выражении (7.10) l.vtl 2 усредняется по спиновым состоя
ниям первичных частиц и суммируется по спиновым состояниям
70

ВТОРИ'IНЫХ чаСТ!fI\. ПОСfе этой опррапии
2:: 1."112
5,':; !
'Jависит только ОТ существенных кинс:vrатических псре:v!снных IЗ('
.1ичина J называется IIнвариантным потоком:
. ' ( ) 2 .) '),с
) =: l,P"'PB  mAmlзJ"'
(';'.12)
Сечение пропессахарактеризует число соответствуюших peaK
ций, происходящих в единицу времени в единице объема при е.::\И
ничной П.10ТНОСТИ тока падающих частиц и единичной плотности
частип мишени. Это определение относится к .1системе. Однако
само понятие сечения :vюжет быть определено релятивистски ин
вариантно (см. (';'.10)). Сечение  количественная мера процессов
столкновения частип.
Как видно из выражений (7.9) и (7.10), /(Ифференциальная
вероятность распада в единиuу времени и дифференuиальное ce
чение процесса взаимодействия определяется (за ИСК.lючением Be
личины /.'''112) релятивистски инвариантным фазовым объемом dr
и несколькими известными множителями.
7.3. РЕЗОНАНСЫ.
НЕРЕЗОНАНСНЫЙ ФОН
Среди общеrо ЧИС.1а адронов большинство являются так Ha
зываемыми резонансами. Резонанс представляет собой нестабиль
ную частицу, которая распадается на более .1еrкие адроны в cpeд
нем за время, необходимое для прохождения релятивистской ча
стицей расстояния: по порядку совпадающеrо с размерами aдpo
нов (,..", 10 13 см). Это время порядка 1O23  1024 с. Время жиз
ни частиц: распадающихся не за счет сильноrо взаимодействия
(как резонансы), а за счет электромаrнитных и слабых взаимо
действий, превышает время жизни резонансов на MHoro порядков.
Помимо очень малоrо вре:V1ени жизни: величина KOToporo не по
зволяет реrистрировать следы резонансов в треКОВЫХ детекторах.
71

они имеют Rсе физические СRОЙСТRа стабильных части!!. YKa:3aH
ное различие во врелени ЖИ:'Jни стабильных части![ и рс:юнан
COR ПРИВО;J;ИТ к тому, что 13 С:И.1У ПРИН!Iипа неОПРС,1С,lеННОСТfr reJ1-
зенберra YIiJ.CCY резонанса невоз:vюжно измерить точно. С;1е.1СТRИ
ем этоrо принпипа ЯВ.1яется то: что неопределенность измерения
энерrии r СRязана со Rременем жизни То этоrо сос:тонния COOTHO
шением
r То '" 1.
; -;".1:3)
Таким образом, масса резонанса может быть опре,1е.1ена .1ИШЬ
с точностью до величины [. r  ширина резонансноrо состоя
ния. Ширина большинства резонансных состояний составляет от
10 МэБ до 100  200 NIэВ.
Отмеченная неопределенность в массе резонанса ПРИRО,1ИТ к
тому, что при восстановлении ero массы по кинематически:v! ха-
рактеристикам продуктов распада наблюдается имеющее :'!акси
мум распределение событий по эффективной массе продуктов pac
пада. При отсутствии фоновых (т.е. не связанных с распадом) co
бытий наблюдаемое распределение по полной энерпIИ Е* продук
тов распада резонанса в системе центра инерции этих ПРОДУКТОR
имеет форму распределения БрейтаБиrнера:
dN

dE*
1
[(Е*  A-fo)2 + Р /4]'
(7.14)
Здесь A-fo  положение максимума, r  ширина резонансной кри
вой, измеренной между точками со значениями аМП.1ИТУДЫ: COCTa
вляющими половину величины амплитуды в точке макси:v!ума.
Соотношение (7.14) выполняется в системе отсчета, связанной
с самим резонансом. Б этой системе полная энерrия Е* продуктов
распада совпадает с эффективной массой }од нестабильноrо резо
HaHcHoro состояния. Представим формулу (7.14) 13 релятивистски
инвариантной форме:
dN 1
dA'1 2 "" [(J;f2  1'vl(1)2 + (Mor)2]'
(7.15)
72

Ква.1рат 'ффеКТIIВНОЙ \,raccbI pC'30HaHCHoro состояния uпi)('.'((':IЯ
СТСН ныражсниеYl
.1[2 == (.L P /)2 == (Е*)2. .
/
r,le Р/  -4-импульс продуктов распада. а су:vнлирование провол:ит
ся по всем конечны:vr продуктам. Соотношение (7.15) переходИТ в
районе \,lаксш,jУ,ла
1М  А 1 01 s; r
в (7.1-4), еС.1И воспользоваться приближенными оценка:vш
.1;[2  А[б  2А[0(А!  ),,10),
dJ;[2 '" 21V[odM
1,7.16)
и учесть. что Е* == lV[.
Поиск адронных резонансов в 60e ['оды составлял одно из
основных направлений физики элементарных частиц. Значитель
ный интерес к спектроскопии адронов в настоящее время связан с
исследованиями, направленными на изучение резонансов: в состав
которых входят тяжелые кварки.

@ ПРОЦЕССЫ r ЛУБОКОНЕупруrоrо
ВЗАИlVIОДЕЙСТВИЯ
8.1. КИНЕМАТИКА ЛЕПТОННУКlОННЫХ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Источником множественноrо образования адронов являются
не только проuессы их взаимодействия. Они :vюrут образовывать
ся также в .1ептонадронных реакциях: идущих 'За счет электро
с.lабоrо и сильноrо взаимодействий. Изучение этих реакuий и:v[е
ст важное значение также для исследования структуры адронов.
Примерами таких процессов ЯВ.1ЯЮТСЯ
[= + S ::::} ["" + Х,
(8.1)
/.!1(VI) + N ::::} ["" + Х,
(8.2)
VI(Vl) + N ::::} VI(VI) + Х,
(8.3)
['де N  протон: нейтрон или ядро: [= == е=, р"=, т=  заряжен
ные лептоны, VI(Vl)  соответствующие им нейтрино (антинейтри
но), Х  совокупность адронов, называемая еще адронной CTPy
ей. При различных постановках экспериментов в реакциях (8.1) и
(8.2) детектируются либо только вторичные заряженные .1еПТОНЫ.
либо про водятся измерения также кинематических характеристик
некоторых сортов вторичных адронов из струи Х.
Механизм реакции представлен диаrраммой Фейнмана на
рис.7. Налетающий на НУКlОННУЮ мишень N заряженный lептон
[Х. обладающий импульсом k 1 , испускает виртуа.1ЬНЫЙ фотон с
4импульсом q и превращается во вторичный лептон [= с
4импульсом k 2 . Виртуальный фотон поrлощается HYK10HOM ми
шени и образует вторичные адроны. Процесс испускания вирту
альноrо фотона заряженным лептонам обусловлен электромаr
нитным взаимодействием. Реакция поrлощения виртуальноrо фо
тона нуклоном,
Л/ + N ---+ Х,
(8.4)
74

1"" . 1//. и[
1"" . 1/[, и[
k!
х
,. TV"", ZU
ps
,\/
P 1 tc. 7. ..Jиаrра:\f:\Ia пропесса :Jептон
HYK.l0HHoro взаиroдействия.
Х  адронная струя
определяется электромаrнитным и сильным нзаИМО.1ейстние"l.
Пропесс (8.4) наэынается реакцией фоторождения а,lрОНОВ на HY
К.10нах. Он происходит как в результате взаимодействия с нирту
альным фотоном: так наблюдается и в пучках реальных фотонов
(при 'ЭТом q2 :::: О). В том случае. сли пропесс (8.1) осуществля
ется в пучке электронов или позитронов: ero называют реакци
ей электророждения адронов. Если в процессе (8.1) участвуют
:vrюоны  мюонорождения адронов. Соответственно реакция (8.2)
 нейтринорождение адронов через взаимодейстние 'Заряженных
слабых лептонныx и адронных токов, а (8.3)  нейтрино рождение
адронов через взаимодействие нейтральных слабых токов нейтри
но и адронов.
Если в процессах (8.1)  (8.3) Х == N, то это упруrое рассея
ние лептонов. Наконец, реаКllИИ называются квазиупруrим взаи
модействием, если Х == N', ['де N' отличается от N.
8.2. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В ЛЕПТОННУКЛОННЫХ ПРОЦЕСС АХ
Реакции (8.1): (8.2) называются инклюзивными: если в них дe
тектируется только конечный лептон. Такие пропессы :vюrут pac
сматриваться как квазидвухчастичные: если под адронной струей
пони"шется компаУНtl,частица. имеющая переменную (; переlеН
ную эффективную массу И".

Эти рсаКIlИИ \10r)'T быть описаны слс;rующи!н нннариантны
ми кине\1i1тически:v,!и перС\1еННЫ\1И:
2 2 ')
S =: (k) т РУ) . t =: q =: (k)  k2),
(8.5)
'2" 2
lу ::::: т =: (k) +- р!у  k 2 ) .
18.6)
Иннариант s соотнетстнует квадрату ПОЛНОЙ'JНсрrии нача_1Ь
Horo состояния н цсисте!с изучаемой реакции:
s =: (E + E 1 'V )2.
(8.7)
Здесь E  энерrия начальноrо ,1ептона в цсисте[е. EZ.  энерrия
первичноrо нуклона н той же системе. В .1систе:-.!е
2 2
S == т1 + Iv[ + 2МЕ1,
(8.8)
['де m1(J;[)  масса перничноrо лептона (нук.l0на). Иннариант
t ::::: q2 называется KaдpaTOM импульса: переданноrо от лептона
к адронюл
t == mi + т  2Е 1 Е 2 + 2k 1 k 2 cos ().
(8.9)
Здесь т2, Е2, k 2 == Ik 2 1, ()  масса. энерrия, модуль импульса и уrол
вылета конечноrо лептона соответственно: k 1 == /k 1 1  величина
импульса начальноrо лептона.
В ультрарелятивистском приближении. коrда можно прене
бречь массами участвующих в реаКllИИ лептонов, выражения ки
нематических переменных существенно упрощается. Так: напри
мер.
2
t == 2E1E2(1  cos()) =: 4E1E2sin (8/2).
(8.10)
Инвариант w 2 == т может быть записан в виде
2 2 2
W ==(q+PN) ==t+2Mv+},I.
(8.11)
Символ
V==PN'q/Al
(8.12)
76

ПР,1СТ:lВ.1ЯСТ (;ооой разность энерrий .1СПТОНОR в .1C!!CTC:v1e:
v == Еl  Е 2 .
(8.13)
Псре:VIСНН:lЯ v 13 .1систе\;!С И:Vlеет СМЫС.1 энсрrии. ПСрС,1анной от
первично!'о .1сптона RТI)РИЧНЫ:V1 а.1ронам. Их полная энср!'ия со--
ставляет Ех == v + Jl. Величину v называют также .1абораторной
энерrией Rиртуа.1ьноrо фотона И.1И v=(zО)бозона (c:v!. рис. 7.).
а переданный 3импульс if == k 1  k 2 == f\ назьтают И\;!ПУЛЬСОl\!
виртуальной частиuы. Квадрат ее массы
t == q2 == v 2  if2
(8.14)
Отметим. что конечное состояние в рассматриваемых пропсс-
сах (8.1) и (8.2) описывается при инклюзивном подходс ,1ВУМЯ cy
щественными переменными и одной несущественной: азимуталь
ным yr.loM вылета вторичноrо .1ептона ер. В силу цилин;"(рической
симметрии задаЧИ распределение событий по этому уrлу OДHOpO,l,
но (если рассеивающиеся лептоны и нуклоны неполяризованы).
Пары существенных кинематических переменных MorYT быть
выбраны различными способами.
Неинвариантные переменные:
1) (Е 2 , В), измеряемые в лсистеме;
2) (Е:;, В*). описывающие кинематическое состояние вторич
Horo лептона в цсистеме (масса адронной струи: ее энерrия и
импульс выражаются через эти переменные, а также энерrию и
импульс начальноrо состояния).
Инвариантные пере:Vlенные:
1) размерные  (t, v) и (t, vV 2 )  традиционно используются
для теоретических расчетов характеристик про пес сов взаимодей
ствия (8.1), (8.2);
2) безразмерные (скейлинrовые) переменные: опрсделяемые
слсдующим образом:
х == Q2 /2111 V,
PN"Q ;VIv
y====,
PN " k 1 PN . k 1
(8.15)
r.J;c Q2 == q2 == t.
77

8.3. ФЕНОМЕнопоrия упруrих
иrЛУБОКОНЕупруrИХПРОЦЕССОВ
Процессы (8.1)  (8.3) называются r.1уБОК()fj(:,упруrюrн. ('с:rи
они осуществляются R об.1асти больших передач ''JнерпrЙ а и:vr
пульсов от .1ептонов к адронам. СоотвеТСТВУЮI!ЩЯ кннема'Пrче
ская область определяется неравенствами
Q2 » J/12.
и» А1.
(8,16)
При уС.l0ВИИ. что безразмерная скейлинrовая пере:v1енная х ==
Q2/2A1v остается фиксированной (х =1- О):
х == lim (Q2/2};Jv) == con"t < 1. 18.17)
Q2oo,
Обычно область rлубоконеупруrих процессов (8.1)  (8.з) опреде
.1яется неравенствами:
Q2 2: 1  2 rэв 2 , и?: 2  3 fэl3.
(8.18')
Выбор этих оrраничений связан с Te:v1, что при фиксированных
значениях Q в области, определяемой соотношениями (8.18), в
поведении дифференциальных сечений проuессов (8.1) и (8.2) как
функций переменной v (или W) при v ?: 2  3 fэВ отсутствуют уз
кие максимумы, связанные с образованием одиноЧ'ных нуклонных
резонансов в конечном состоянии.
Теория лептон-нуклонныx взаимодействий приводит к Bыpa
жению для дифференциальноrо сечения процесс а (8.1):
da em е 4 J;J 1
dk == ( 270 ) 2 / 2, ,Q4kOLO;b(kl,k2)WO;B(P-у,Q).
2 V (PNk 1 )  М2 т 2 2
Здесь
 Q2
L0;3 == k 1 o.k 28 + 6o.3 + k 2 a. k 13 
2
.1ептонный тензор:
f- V a.3 ==  ; (270)6 L J (РХ I .Ja. I РН)(РХ I .Jcr I PN)*'
. (7]8)6 (РХ  рн  Q) dr 
18.19)
78

а.tронный тrн:зор.'1 ру)  вектор состояния нача,lьноrо НУК.roна.
I р,)  нсктпр конечноr'о a:rpпHHoro сос:тояния. dr  произне:rенне
.lиФФер<,нuиэ..10В н:vtпv:rЬСОR конечных аЛРОНОR. пара:vrrтр
{ l
Т7з ==
1.
3 == 1,2..3:
.3 == 4.
IЗ с:.1учае рас:ссяния неПО,lяризонанных частrrн .:r.1Я адронноrо
тснзора получаС\f С.1С.:rующсс общее выражение:
И/О 3 ==
(  QаQз ) 'fт (Q 2 ) 1 ( (PsQ) Q )
Оа3  Q2 y) '. V + J1 2 p;vu  Q2 о Х
Х (  (PNQ) Q , ) T.rтeт (Q 2 )
РН з Q2 3 уу 2 . V .
(8.20)
Функuии W1.2' (Q2, и) называются Эiiектро\!аrнитными CTPYK
турными Функция:vш НУК.10на.
Используя выражения (8.19), (8.20), запишем "10РСНП
инвариантное дифференциальное сечение процесса (8.1):
ет . 2й 2 ет 2 2 2
а (k j ,k 2 )== rc [2MW j (Q,y)(Q 2т)+
у /\5
(Q 2 ) 5Х  Q2 :1-12 ]
+ W 2 , у м
(8.21)
[де
ет (k k )  k O dЗО' ' 5 == 5 2  4т 2, ' 1 2 ,
о' 1, 2 == 2 d З k 2 ' л cV,
5 == 2PN' k 1 , Х == 2PN' k 2 , У == 5х/5, 5х == 5  Х:
а о: == е 2 / 47Т'  постоянная тонкой структуры.
IЗ лабораторной системе координат дифференциальные сече
ния электророждения (8.1), а также нейтринорождения (8.2; "Ю
['ут быть представлены в наиболее компактной форме:
d 2 0'eт == 4 7Т'й2Е2соs2(В/2) [ vет( Q 2 и ) -+.
dQ2dv Q4E1 2 \ , '
-+.2 t an2 (  ) weт (Q 2 V ) ' J
' '2 j "
(8.22)
79

2 ., "' 8/ ')
d IJ'l/V  c Е 2 cosl :.-) f T ,T.l/jJ (Q 2 ) .) ,! ( 
,  , " ., . v ,tan ) х
dQ-dv 27rE]'  , 2
х V'l/.iI ( ' Q 2. V ) ::!:: (Е] + Е 2 ) t an2(\ } vVl/.iI ( ' Q 2. v)1.
1 .\1 '2 з ,
(8.23)
В диффереНIlиальных сечениях (8.22) и (8.23) ИСПО,lьзованы
следующие обозначения: Е2, 8  энерrия и уrол вылета вторич
Horo .1сптона в лсисте:vrе. Е]  энерrия на.lетающеrо .1С'птона R
.1системе. G  константа с.lабоrо взаимодействия. Функuии
W2(Q2, v)  структурные функции слабоrо ЗiJ.ряженноrо HY
клонноrо тока (перехода протона или нейтрона в систему адронов
Х за счет поrлощения У=бозона). Верхний знак перед третьи;.]
слаrаемым в формуле (8.23) соответствует реаКIlИИ (8,2) с участп
ем нейтрино, нижний  антинейтрино. Отдельный С.1учай прсд
ставляет собой процесс (8.1), Коrда конечное адронное состояние
Х является одиночным нуклоном JV или нуютонным резонансом
(x (1238), N* (1520), Y* (1688) и т. п.), реакция носит назва
ние ynpyroro или квазиупруrоrо процесса. При этом переменная lJ
уже не является независимой. Так, в упруrой реакции она связана
с Q2 с..'1едующим соотнощением:
v :=: Q2/2M.
(8.24)
В квазиупруrих процессах
lJ :=: [Q2 + (1"\1/2  2\;1) и2М,
(8.25)
['де 2\12  масса нуклонноrо резонанса.
Множители W 1 ,T(Q2, v) в случаеупруrоrО.1ептоннуклонноrо
рассеяния выражаются через электромаrнитные формфакторы HY
клона (протона или нейтрона) GE.M(Q2) следующим образом:
vv em (Q 2 V ) :=: о2 С 2 (Q 2 ) r5 ( V  !:l. )
] , 4AfJ}[ 2 AJ '
(8.26)
vy 2 т(Q2,v) :=: 4jlii\; Q2 [C(Q2) + 42 Gf(Q2)]r5 (v  2Y ) ,
['де CEN(Q2)  электромаrнитные (СЕ  электрический, С. Н 
маrнитный) формфакторы протона или нейтрона. учитывающие
80

пространствснное распреДС.lсние Э.lектричсскоr() :заря;ra п
чаrнитноrо :VlOчснта в НУК.10не. Экспсримснта.1ЬНЫС ,1анные свп
.JеТС:IЬСТВУЮТ о С.1С,1ующей зависю.1ОСТИ формфакторов протона
и нейтрона от RС.1ИЧИНЫ Q2:
G(Q2) == G[(Q2)/fJ.p ==
== С,\[ (Q2) /1fJ.nl  (l + Q /т )2 '
(8.27)
G'lJQ2)  О. т.  о.71(fэв)2.
.индексы р, п соответствуют протонной и нейтронной мише
ням: fJ.p.n  полные маrнитные моменты протона и нейтрона в
ядерных :vrarHeToHax Бора. Подобную (8.27) зависимость от Q2
имеют и формфакторы квазиупруrих электро:vrаrнитных перехо
дов ,У ...-..t , .У*.
Выражение: стоящее перед скобками в правой части Форму
.1Ы (8.22): определяющей дифференциальное сечение электромаr
Нитноrо взаимодействия, совпадает с выражением дифференци
альноrо упруrоrо рассеяния точечной релятивистской частицы со
спином 1/2 и массой т на точечной бесспиновой частице с массой
;.И » т
da eт  47r0: 2 Ez 2 (  )
dQ2  Q4El cos 2'
(8.28)
Это известное выражение сечения MOTToBcKoro рассеяния. Под
точечной частицей подразумевается чаСТИца, которая не обнару
живает никакой структуры. Точечному протону с дираковским
:vrаrнитным моментом fJ.p == 1 соответствовало бы сечение лептон
нуклонноrо рассеяния
2 2
da eт 47r0: Е 2 2 () Q . 2 ()
dQ2 == Q4El [cos (2) + 2М2 sш (2)]'
(8.29 )
Соотношения (8.28), (8.29) удобно использовать. выразив их через
безразмерную пере:vrенную у == v / El == Q2 /2М El (вместо Q2). Co
ответствующая за,,!Сна переменных приводит к следующему BЫpa
81

ЖСНИЮ -1.151 ,1ифферСН!tиil..'1ьноrо сr:чеНI!Я УП!J,'[оrо расссянш! чаt.
пщ со спинами 1/2 I! о:
clCJ eт 7Т'O: )
::: (1  I}.
cly sy2 '
(8.ЗО)
Это выражение справе-1.1ИВО при УС.10ВИИ S » ,\12, I3 С.1,учас упру
rorO рассеяния ,1ВУХ точечных частпп со спинами 1/2
(при s » "'-1 2 ) ПО.1учаем ,1ИФФеренциа.1ьное ссчение
dCJ ет 7r0:2 2
::: (1 y + у /2).
dy ву2
(8.31 )
Безразмерная переменная у связана с yr.10M рассеяния f) в
ц-системе упруrой реакции с.lе;rуюIЦЮЛ соотношение:V1:
. у == (1  cosf)*)/2.
(8.32)
Используя те же УСJIОВИЯ(S » "\12): дифференциа.lьные (по Пере
менным х и у) сечения неупруrих процессов взаимодействия (8.1)
и (8.2) имеют вид
2 2
 == 47r0: [( 1  у) рет ( х Q 2 ) 4... У 2 х рет ( х Q 2 )]
dxdy ву 2 х 2 2" 1" ,
(8.33 )
d 2 (Jl/,v == с 2 В [( 1  Y ) F.l/,v ( x Q2 ) 4... Y 2 x Fl/,v(x Q2 ) +
dxdy 27r 2,', 1 '
+ ху(l  y/2)F'v].
(8.34)
в выражениях (8.зЗ) и (8.34) вместо структурных функций
VV i (Q2, v) введены безразмерные структурные Функuии Fi(x, Q2):
Fl(X, Q2) == .vHV 1 (Q2, v),
F2(X,Q2) == VW 2 (Q2,V),
( 2 ) ( 2
F з х, Q == v W з Q ,v).
(8.35)
Именно эти функции измеряются и исследуются экспериментально.
82

8.4. СКЕйлинrrЛУБОКОНЕупруrих
ЛЕПТОННУК'IОННЫХ ПРОЦЕССОВ
'Экспсрюлентальнос Исс.1е,10вание IlОВС.1СНИЯ структп)Ных фак
торов нуклонов Fi(x. Q2) R r.1убоконсупруrой об.тасти пропессов
Э.1сктророж.:rения, мюонорождсния (8.1; и нептринорождсния (8.2)
адронов показа.'10. что при фиксированных значениях персмснной
.r ОНИ Со1або изменяются в зависимости от ве.1ИЧИНЫ Q2. (\1Ha
ко электрос.1аrнитные формфакторы НУК.1ОНОВ в упр}том "lептон
НУК.1ОННОМ пропессс убывают в преде.1С Q2 ........ х:
G P E,J1, С n },1  l!Q".
Следствие:vr TaKoro поведения является преоб.1адание пропессов
:vшожественноrо рождения адронов в рсакuиях (8.1) и (8.2) в обо1а
сти r.1убоконеупруrих взаимодействий.
Слабая зависимость структурных функциЙ НУКо10НОВ от Q2
ПОЗВОЛ>IeТ рассматривать безразмерные структурные факторы Р,
как функции только переменноЙ Бьеркена х. Эта rипотеза полу
чила название масштабной инвариантности (скейлинrа) r.lубоко
неупруrих процессов.
Экспериментальное исследование структурных факторов Р ! (х)
нуклонов обнаружило: что с хорошей степенью точности они свя
заны соотношением:
Р2(Х) ::: 2xF 1 (x) ::: хFз(х).
(8.36)
Это соотношение позволяет представить дифференциальные ce
чения (8.33) и (8.34) проuессов (8.1) и (8.2) в области rлубоконе
упруrих взаимодействий в следующеЙ фор:vrе:
d 2 IJ eт 47I'0!2 ,2 ет
 d d :::  2 (1  У -т У !2)Р 2 (х),
Х У sy"x
(8.37)
d 2 v С 2
IJ::: S ри(х).
ахау --ът- 2 .
(3.38)
2 v 2
CiSL. ::: с? s ( 1  У ) 2 ри ( х ) ' .
dxdy 27I' 2
83

Сравнение выражениЙ (8.37) с СООТНОIUсния:vrи ,1ЛЯ уп!)\тих
,1вухчастичных взаЮ.Ю,1еЙствий (8.30), (8.31) ПОЮl'3hIВ,Н'Т. '!ТО pac
преде.1ения по переlенной ,Ij совпа,1ают. Это 06СТОЯТ(;.lhСТВО 1:та.10
фун.т:аментом СОЗ,т:ания партонной теории. В рамках этой тсории
предполаrается. что внутри НУК,10на присутствуют точечные ча
стипы  партоны. участвующие в электромаrНИТНhIХ и С.1абых вза
имо;:iействиях. Партоны также участвуют в СИЛhНЫХ взаИ:V!О.1ей
ствиях. сильное взаимодействие и удерживает их внутри НУК.10на.
При ЭТО:V1 в упруrих процессах НУК.10Н восприни:v!ает пере;щва
емые ему и:vrпульс и энерrию как единое целое. cro внутренняя
структура не претерпевает изменений. Ero составные части. пар
тоны. участвуют в процессе взаимодействия KorepeHTHo. В r.lубо
конеупруrих процессах (8.1) и (8.2) ситуация качественно иная.
Между партонами нарушается связь: что вызывает разрушение
ero структуры, проявляющееся в появлении множества вторич
ных адронов. Отделные партоны не наблюдаются в конечно:v! co
стоянии процессов (8.1) и (8.2). Это свойство совпадает с основной
характеристикой кварков. представление о которых первоначаль
но было введено с целью объяснения спектра наблюдаемых aдpo
нов и их классификации. Кваркифермионы, обладающие спина
ми: равными 1/2, несут дробные электрические заряды и участву
ют во всех типах взаимодействия. Различают структурные кварки
и токовые кварки, являющиеся составными частями релятивист
cKoro CTPYKTypHoro кварка: участвующими в процессах взаимо
действия с друrими точечными частицами. Структурный кварк
предстаВJ1ЯЮТ как протяженный объект, по своим размерам cy
щественно меньший нуклона и состоящий из точечноrо кварка,
окруженноrо облаком квантов сильноrо взаимодействия, ['.lIО0НОВ.
и порождае1ЫХ rлюонами токовых кваркантикварковых пар.
В системе отсчета, [де адрон является ультраре.1ЯТИВИСТСКИМ,
ero структурные кварКИ представляlОТСЯ в виде долrоживущей KO
rерентной флуктуации почти свободных точечных кварков. анти
кварков и rлюонов. которые и взаимодействуют в области r.1убо--
конеупруrl1Х СТО.1кновений с друrими qаСТИЦами. Эти квазисво
бодные кварки (антикварки) и называются токовы1И, так как их
84

fЮJ1НОВЫС функпии образ\'ют ('оответствvющис токи в пропсС,сах
с;табоrо. ').lеКТРО:Vlаrнитноrо и сильноrо f3заи:,юдсйствия. с1юоныI.
кванты СИ.lьноrо взаИЮ.Jействия :'lежду кварка:,ш. эжктричсски
нейтра.1ЬНЫ и не участвуют в электро:vrаrнитных н с'lабых взаи",ю..
:Lействиях. Партоны удается отождсствить с токовьши кварка:vrи.
поэтому rипотезу о партонной структуре НУК.10на зачастую Ha
зывают кваркпартонной rипотезой. При ИСС.1едовании сильных
взаимодействий на основе партонной :vrодели r.1ЮОНЫ также OTHO
сят к партонам.
8.5. ЛЕПТОНПАРТОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Ранее уже ОТ:'lеча.lась тождественность поведения по перемен
ной у дифференuиа.1ЬНЫХ сечений процессов упруrоrо электро
маrнитноrо и слабоrо взаимодействий двух точечных фер:vшонов
со спинами, равными 1/2. и процессов rлубоконеупруrоrо лептон
нуклонноrо взаимодействия (8.1):(8.2). Для формулировки пар
тонной rипотезы необходимо установить физический смысл дpy
rой безразмерной переменной, х == Q2 /211,1 v, которая составлена
из отношения независимых кинематических инвариантов Q2 == t
и 2(QpN) == 2Jv!v.
Рассмотрим процесс ynpyroro (квазиупруrоrо) взаимодействия
лептона с партоном, диаrрамма KOToporo изображена на рис. 8.
В том случае: если осуществляется электромаrнитное взаимодей
ствие (происходит обмен фотоном) или слабое взаимодействие '{e
рез нейтральные токи (осуществляется обмен zОбозоном), сорт
лептонов и партонов f3 начале процесса и ПОС.lе рассеяния совпа
дают.
Если происходит с..lабое взаимодействие через заряженные то--
ки (обмен W:1:бозоном): электрические заряды лептонов и парто
нов в конце и в начале процесса различны, например:
V{lo + П 1  !J. + П 2 ,
['де е(П 1 )  е(П 2 ) == 1, е(П 1 ,2)  заряды партонов П 1 ,2 в единицах
заряда протона, е(р) == 1. Из закона сохранения энерrии и им
пульса в упруrом рассеянии (k 1 + Рl == k 2 + Р2, k1,2  4импульсы
85

а .У
б
р.'"
ч'/2
1]'

,
1]2
с-
Рис. 8. СХБШ поrлошения виртуальноrо фотона (vV=.бозона)
партонной флуктуапией нуклона N: а  начальное состояние,
б  конечное состояние
нача.1ьноrо и KOHe'.IНoro .1ептонов, Pl,2  4и:v1ПУЛЬСЫ нача.1ьноrо !!
конечноrо паРТОН08) вытекает соотношение
I]+Pl==P2
(8.39)
между переданным 4импульсом q и 4--импульсами партонов Pl, Р2,
Как уже отмечалось, понятие партонов имеет смысл в той си
стеме отсчета, ['де нуклон движется с релятивистской скоростью.
Если полная энерrия соударения лептона и нуклона в цсистеме
реакций (8.1), (8.2) vs» i\;f, то энерrия нуклона
E'N == (s + M 2 )/2v'S  v'S/2.
Пусть в этой системе отсчета первичный партон переносит долю
импульса нуклона  == Ip\I/lp*NI и движется в том же направ
лении, что и нуклон, в состав KOToporo он входит. При условии
пренебрежения массами партонов находим компоненты партона в
цсистеме реакций (8.1), (8.2):
Pl == (El"P*N)
== (lp:,vl j 2 + ти(P:V)2,P*N)  P.'v',
(8.40 )
86

r,le ПL1  :.!асса партона. Соотношение Р1 == Е,Р.У справедливо в TO:V1
с.lучае. сс,lИ 'значсния Е, > ПL1/ 1 Р....*у 1:::: 2т1/ yS. При ус.l0ВИИ
S ----+ 'х связь Р1 :::: Е,Р"" распространяется на всю об.1асть значений
Е, (О < Е, < ;. J30ЗВС.1С:,j в квалрат :тевую и правую части равснствп
(8.39):
.) ") <)
ч" + 2(ЧР1) + т1 " == т2",
1,8...11)
т2 . );racca вторичноrо партона. В области r.1убокой НСУПр'утости
Iq21 == Q2 » .н 2 ,
2 2
а т 1 ,2 ::; -'/[ .
Выполненные оценки показали. что т1.2 2 « .'1,[2. еС.1И в про
цессс участвуют обычные кваркипартоны и: dтипа и даже CTpaH
ные sкварки. Поэтому ).{ассами паРТОНОR ).{ожно пренебречь. To
rдa из выражения (8.39) вытекает соотнощение 2(qp) :::: Q2. ПОk
ставляя в это равенство 4импульс начальноrо партона. cor.lacHo
форму.lе (З.40) получаем
Е, == Q2/2;VIv.
(8.42)
Следовательно:  == х, ['де х  безразмерная переменная Бьерке
на, от которой зависит структурная функция нуклона F 2 em ,l/.I/(x)
В с:тучае осуществления скейлинrа. Теперь физический СМЫС.l пе
ременной х определяется однозначно  это доля ИМПУ.lьса HYK.10
на, переносимая партоном в той системе отсчета. ['де И).{ПУ.1ЬС HY
клона I P*N 1----+ 00 (практически бывает достаточно выполнения
неравенства I Р*н 1» А1, ['де А1  масса нуклона).
В тех же условиях (s » 1\.12) квадрат полной энерrии coyдa
рения лептона и партона в цсистеме упруrой (квазиупруrой) pe
акции, изображенной на рис. 8:
5х == (k 1 + Pl)2 :::::: 2(k j Pl) :::::: 2х(рн k 1 )
(3.43)
или окончательно
5х == х 5.
(8.44)
Здесь 5  квадрат полной энерrии в цсистеме реакuий (8.1): (8.2).
В цсистеме соударений лептонпартон безразмерная переменная
87

и имеет тот же физический С:'IЫС,l. что и в псисте:v!е рсаКIlИИ
упруrоrо( квазиупруrоrо) .lеП1'ОННУК.10нноrо ра<:ссян!!я:
.у == 1  (k 2 Pl)/(k 1 Pl! == (1  cosB2)/'
(8А,))
3,leCh B  уrол между ю.шу.1ьсами вторичноrо и перRичноrо .1еП
TOНDH в llсистеме .1ептонпартон. При получеНf!И (8.45) использо
ваны сле,lующие кине:vrатические соотношения:
lJ == (qpN)/J1. El == (k 1 PN)/.I;[, Pl  хру.
q == k 1  k 2 , (k1Pl)::: 5х/ 2 .
(k 2 Pl) ::: 5х(1 + cosB:;')/4, Ei  Е:;'  (,v'i  А/2.
(8.46)
Здесь Ei,2' wi  энерrии первичноrо и вторичноrо .,еп1'ОНОВ и пер
вичноrо партона в цсистеме .1ептонпартон.
После выяснеI!'ИЯ в рамках партонной rипотсзы физическоrо
смысла кинематических переменных х и у и соотношения (8.43)
можно интерпретировать фОРМУ,l'ы (8.37) и (8.38) для сечений
процессов (8.1), (8.2) в области rлубокой неупруrости (8.18). Для
этоrо представим их в следующем виде:
da em 4п0!2 ( 2 / ) r l ет ( )]
"'diJ::: 5xy2 1y+y 2 'lx Р 2 х dx,
(8.47)
da v 'V С25х [ x 1 р " ( x )] d х
d у  7r 2V ,
a; ::: С:5 Х (1  y2)[XlFfv(x)]dx.
(8.48 )
Сравнивая соотношение (8.47) с (8.31), можно -заключить, что
факторы F!jm(x)/x и Р;;:(х)/х следует интерпретировать как плот
ность распределения участвующих в электромаrнитном или сла
бом взаимодействии слептоном партонов по доле х переносимоrо
ими импульса нуклона. Следовательно, в пропессах (8.1): (8.2) в
области rлубокой неупруrости (8.18) удается не TOJl'bKO выявить
присутствие точечных партонов внутри ре.lятивистскоrо нукло
на, но и измерить на опыте их импульсное распределение.
88

ЭкспеРИ:VIснта.1ЬНО наб:rюдаемая зависн:,юсть ,1ИФФСРСНIlИ<1..lЬ
ных распредс.1СНИЙ по перe:v!енной у (8.47). (8.--18) СЩ'.lасуется с
пре.'1сказанием. что спин партона равен 1/2. Значсние спинов пар
тонов. равное НУ,lЮ. исключается. Этот резулат СВИ.lетельr.ТВУСТ
в пользу кварковой природы партонов. участвующих в элскТ'ро
маrнитных и слабых Rзаимодействиях.
Экспсриментально наблюдае:,!Ые распреде.1ения FJm (х) / х и
F;i, (х) / Х MorYT быть использованы также lЛЯ проверки rипоте
зы о дробном электрическом заряде партонов. что позволяет их
отождествить с токовыми кварками.
Действительно: выражения дифференциальных сечений co
,1ержат в виде множителя F!fm(x)jx функцию распре.lе.1ения nap
тонов по доле переносимоrо ими импульса релятивистскоrо нукло
на. В процессах, обусловленных слабым взаимодействием (8.2).
функции F;i, (х) / х не зависят от электрических зарядов партонов.
участвуюших в лептонкварковом рассеянии. В с.1учае электро
маrнитноrо процесса (8.1) функция F/f.m(x)jx представляет собой
сумму функций распределения заряженных партонов различных
сортов, участвующих в элементарном процессе лептонкварковом
упруrом рассеянии  за счет обмена виртуальным фотоном. Элек
трические заряды партонов вносят в указанную сумму вклад с Be
сом: ра.вным квадрату дробноrо электрическоrо заряда: которым
обладает данный сорт партонов. Это различие факторов F 2 (x)jx
в электромаrнитных и слабых процессах реrистрируется экспе
римента.1ЬНО: поскольку все остальные множители в формулах
(8.47), (8.48) известны.
Выразим суммарные функции распределения партонов: OTO
ждествляя их с кварками. Удобной является нормировка функ
ций распределения по х, Qi(X), кварков сорта i не на полное число
кварков этоrо сорта в релятивистском нуклоне:
n; == 11 Q;(x)[x 2 + тиp]1/2dx,
(8.49 )
(т;  масса кварка сорта i. PN  импульс релятивистскоrо HY
КJIOна: Р.У ---+ (0), а на среднее значение доли импульса нуклона:
89

переноси:vюЙ КRарка:v!ипартона:v!и ;ЩНIIOI'О сорта:
Х; == 1 1 q;(x)(ix.
(J
1 85())
ОТ:vtети:vr. что :заряд кнарка е ч принято И:З:V1СрЯТЬ R единипах '3a
ряда протона ер. У антикварков iJi все характсристики. кро:\тс
спина, изоспина и MaCL:hI. имеют обратный знак. Распреде.lения
kbapk-паРТОНОR по .10.1e химпульса HYK.loHa. НОрМИрОRаннЬ!с ус:ro
Rием (8.50), обозначаются с использование:\1 СИо!ВОЛОR кнаркон:
и(х), d(x), s(x), с(х), Ь(х), t(x).
В принятых выше обозначениях структурная функция прото
на в процессе электромаrнитноrо взаимодеЙСТRИЯ (8.1) выражает
ся через распределения кварков и антикваРКОR в протоне:
Fi;' == е 11 2 [и(х) + й(х)] + e[d(x) + d(x)]+
(8.51)
+е;[в(х) + s(x)].
Вкладом очарованных и более тяжелых кваркантикварковЬ!х пар
в выражении (8.51) пренебреrаем. Используемые в (8.51) значе
ния квадратов кварковых зарядов е; == 4/9, e == е; == 1/9. Про
тон и нейтрон состоят из трех структурных кварков: р == (uud),
n == (иdd). В рамках кваркпартонной модели релятивистский HY
клон (протон или нейтрон) состоит из тех же трех кваркон: опре
деляющих ero квантовые числа (валентных кварков), и HeKOTO
poro чиела кваркантикварковых пар различных сортов. Кварки
(антикварки ): входящие в состав релятивистскоrо нуклона: счита
ются точечными токовыми кварками. Совокупность всех KBapK
антикварковых пар нуклона называют "морем". а COOTBe'ТCTBY
ющие кварки (антикварки)  "морскими". "Море" кварканти
кварковых пар имеет ваКур.1ные квантовые числа и считается
одинаковым в протоне и нейтроне. Структурную функцию ней
трона Fi;:'(x) также можно выразить через функции распределе
ния и(х), d(x) и друrих кварков в протоне, сделав в выражении
(8.51) следующие замены:
и(х)  d(x), Щх)  d(x).
90

Это IlраВИ.10 >ТR.1яется С.1С:IСТRие:vr fJЗОТОПИЧССКОЙ сн:v!\н'трни ('И.JЬ
ных в:заИ'лодеЙСТRИЙ IUO.1ee подробно С\I.. напри:v!(р, Окую, "ТЕ.
.,lептоны и КRаркИ.  \1.: Наука. 1981: Хелзен Ф.. \1артин А.. KBap
ки и .1СПТОНЫ.  \1.: \1Hp, 1987). ТаЮI:V! образо:v!.
Fi::' == e и 2 [d(x) + d(x)] + e[и(x) т- й(х)]...с..
( 8.52)
+e;[s(x) -т .;'(х)].
Ко\rбинапию структурных факторов протона и неЙтрона
Р ет  [р ет , Р етl / ')  ( 2 2 )/2
2N  2р -т 2п J   е и + e d Х
(3.53)
х[и(х) + d(x) + Й(х) т- d(x)] + e;[s(x) + ,;'(х)]
называют электромаrнитной структурной фУНКIlией нуклона.
В случае нейтринных (антинейтринных) ПрОIlессов (8.2) CTPYK
турные функции F{J(x) содержат вклады только с.lабых процес
сов. идущих на кваркпартонах. В формулах (8.38): (8.48) HK.1a
дом с.1абых процессав: идущих на антикваркпартонах. пренсбре-
rалось. Эти вклады MorYT быть леrко восстаНОВ.1ены: посколь
ку соударения нейтрино--кварк и антинейтрино--антикварк, а TaK
же антинейтрино--кварк и нейтрино--антикварк приводят к одина
коным сечениям. После таких уточнений формулы (8.38) будут
иметь вид:
  C 2 s vq ,vij 2
dx dy  [F2\/(x) + Fzv(1  у) ],
d Z l7 v  C 2 sr V q ( ) ) 2 vij ]
aXiIY  lF2\T ,х, (1  у + Fz'v' .
(8.54)
в выражениях (8.54) дополнительный верхний индекс q И.1И ij
указывает тип мишени в процессе взаимодействия. В том случае,
если процессы происходят при энерrиях, превосхоцящих энерrе---
тический пороr образования очарованных кварков, структурные
функции протона следующим образом выражаются через KBapKO
91

вые l антикварковыс) распредсления по псре!енной .r:
FJp(X) == d(x) + в(х): F;1p ==Щх).
(8,33)
FJp(X) == п(х), Ffqp =:о d(x) + s(x)
ререход к нейтронной :vшшени осуществляется так же. как и
в с.1учае электромаrнитных структурных факторов (8.51): (8.32),
заменой и(х)  d(x), й(х)  d(x) в форму.lах (8.55). Ycpeд
няя структурные функции НУК.10на в с.1абых взаИ?>.1Одействиях по
протонному и нейтронному состояниям: находюл
F{JN(X) == 1/2[d(x) + 1l(X)] + s(x),
F;tN(X) == 1/2[й(х) + d(x)],
(8.56)
FiJN(X) == 1/2[и(х) + d(x)],
FitN(X) == 1/2[й(х) + d(x)] + Чх).
Аналоrичным образом усредним дифференциальные сечения
нейтринных и антинеЙТРИННblХ реакций (8.2) на протонах и ней
тронах:
d 2 17 v N d 2 17 v N G 2 s 2
dx d'y + dx dy == 2п {[1 + (1  у) ][и(х) + d(x) +
+ Й(х) + d(x)] + 2[s(x) + в(х)]}.
(8.57)
Дифференциальное сечение процесса электромаrнитноrо взаимо
действия с HYK.iOHOM: вычисленное на основе формул (8.47), (8.53):
имеет вид:
d 2em 2 2
d I7 d N == п: 2 [1 + (1  y)2]{(e + e)[и(x) + d(x) +
х у sx у
+ Й(х) + d(x)] + e;[s(x) + в(х)]}. (8.58)
Пренебреrая вкладом в сечения (8.57), (8.58): происходящим
от странных кварков и антикварков. можно сопоставить экспери
ментальные данные о процессах (8.1) и (8.2) в области rлубокой
92

неупруrос:ти н опре;J:еlИТЬ IJс.1ИЧИНУ
[1/2(e + e)]l == .3.6.
(8,59)
С()()тношение (8.59)  С,l('дствие rнпотезы о TO':V!. что партоны ЯR
.1ЯЮТСЯ КlJарка:v!И. Экспери!ента.lьные данные соr.lасуются с pe
зультатом (8.59) И. С.1е;ЩIJ<1тельно. подтверждают кварковую при
роду партонов.
8.6. ЛЕПТОНПАРТОННЫЕ СОУДАРЕНИЯ
В БРЕЙТОВСКОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
При Исс.1еДО13ании лептоннуклонных взаимодействий кине!а
тика процесса соударения лептона с одним из кваРКl1артонов pe
.1ятивистскоrо НУК.10на особенно наrлядно представляется в так
называемой систе:-ле отсчета Брейта.
Брейтовская система отсчета (Бсистема) определяется c.leдy
ющим УС.l0вием. Энерrетическая компонента 4---импульса q в этой
системе равна нулю, q ::::: (qb ::::: О, (j). Таким образом. в Бсисте:V1е
от .1ептонов к партонам передается только импульс. Пере!енные
в этой системе будем отмечать штрихом над СИIВОЛОМ. Найдем
направление и модуль скорости, соответствуюшие релятивистско--
му преобразованию, связывающему лсистему и Бсистему. В
лсистеме 4BeKTOp q имеет компоненты
q == (qO == v,q) == (v,O,O, lеЛ).
Вектор if в .1системе направлен по оси z. Энерrетическая КО!ПО
нента 4BeKTopa q в Бсистеме связана с такой же компонентой v
в лсистеме соотношением
q'o == (v  if. iJ)/(l  V 2 )1/2 == О,
(8.60)
rдеv  скорость лсистемы относительно Бсистемы. Из (8.60) c.1e
дует, что :vrоду.1Ь вектора V равен
v == v/qll == v(v 2  q2  q)1/2,
(8.61)
93

1'.1e qll  пара:Т.1С.1ьная н('ктору IJ r:оr:таВ.1яюшая вектора (]. Ч 
попереЧН<l>[ состаВ.1>1lОщая вектора ij. Из выражсния (8.60) c.1{',lY
ст. что q!; > n. РС.1ЯТИВlIстское прсоf)разование ,:(.151 прол.о.1ЫЮЙ
компоненты RCKTopa i' И:Vlест в!и
ql: == (ql  I'U)/(l  1/)1/2.
8.6)
Испо:тьзуя (8.61) и (8.62). находим
q!! == (ql  u 2 )/qli(1 u2)l/2 == (q2  q)/ql!(1  ),-2)1/2. (8.63)
Поперечные составляющие при этом не преобразуются. ;;  == {7.
ПОСКОJIькуq2 == (q![)2(ЧlУ И.1И (q!!)2:::: q2(q)2. J!З (8.63)
вытекает соотношение
(q!I)2 == (qp)2(1  V 2 )1/2. (8.6-1)
Соотношения (8.63) и (8,64) при водят к связи (8.61) независимо от
значения q.L' Поэ.тому :vюжно направить вектор iJ Н;IOль вектора
q, положив q == о :
  ! .)
v == uq q.
(8,65 )
Поскольку
1V1 ==1' == и[и 2  q2]1/2 == и[и 2 + Q2]1/2,
то скорость v < 1(Q2 > О).
В процессе поr.l0щения виртуальноrофотона (V=бозона) пар
тоном выполняется закон сохранения энерrии и импульса
q + Рl == Р2.
в том случае, если массы партонов тпт, т2 совпадают или они Ma
лы по сравнению с Q2, из законов сохранения энерrии в Бсистеме
E == E, [(р\)2 + mi]1/2 == [(р12)2 + т]T/2
(8.66)
вытекает равенство по модулю импульсов первичноrо и вторич
Horo партонов. \р\1 == \il21. Из закона сохранения продольных и
поперечных компонент импульсов следует:
P;I! == 1i'1/2.
ill.L == il2'
P1i == 1i'1/2.
Ii'l == JQ2.
(8.6,)
94

I3 БСИСТС:Vlе НУК.,()Н:v!ишень. ПОКОИВШЮ1СЯ в .1-СИСТf;:V!С. об.1i1.IШ'Т
.JfI<,рrисй и И:V!ПУ_1ЫiО:V!:
Е'у == .lпlJ  Q11i(Q)1/2.
iis == J[lJij(lJ + Q2)1/2(Q2)1
(8.68)
соответственно и ,1вижется против направления вектора ij
(Ис1И (j), ОТ:Vlетю!. LП!) В области r.1убокой неупруrости
Е/у:::: liivl :::: N/2x » .1,1.
(8.69)
и. С.lедователыю. пр(дстаВ.1ение о партанной структуре ре.1ЯТИ
вистскоrо НУК.l0на ,ложет быть использовано и в Бсистеме. Пола
rая. что поперечный и:vшульс первичноrо партона пренебрежимо
ма.1 по :vюду.1Ю по сравнению с продольным: из выражения (8.67)
находим в Бсисте:V1е
ii 1 == q' /2, ii 2 == q' /2.
Пере.1енная 1: == IJill/liixl, как следует аз соотношений (8.68)
и (8.69), имеет тот же физический смысл, что и в цсистеме peaK
пий (8.1) и (8.2). Таким образом. в Бсистеме кинематика поrло
щения партоном виртуальноrо фотона (W:!:бозона) с импульсом
i' выrлядит С.педующим образом: первичный партон с импульсом
Ji 1 == ;; /2 движется навстречу виртуальной частице: а вторич
ный партон после поrлощения виртуа.льной частицы движется в
направлении вектора i' с импульсом ii2 == i'/2 (см. рис. 9).
l"i::, lJ[, V[
l:!:, lJl, V[
k 1
k 2
!, И/:::, Zo
q
П 1
Pl == f;PN
П2
Р2
Рис. 9. Диаrрамма процесс а упруrоrо
Iквазиупруrоrо) ептонпартонноrо
взаи:vюдействия: П 1 и П 2  первичный
и вторичный партоны
95

:\;!ожно представить. что ультрарелятивистскиЙ в БС1!СТС:V'!С
НУК.10Н состоит из партонов. и:vту.1ЬСЫ которых соотвстствуют
так назьшас:vюй :v!у.1ьтипериферичсской '1 rребенке" (C:V1. рис. 8).
ПОС,lе поr.10щения виртуальноrо фотона (V'::бозона) 0.1ни:vr из
партонов соответствующий партон приобретает и:vт)'.lЬС в направ
.1ении, ПРОТИВОПО.10ЖНОМ и:vш)'льсам партоновспектаторов
("наБЛЮJ,ате.1ей"). не участвующих во взаимодействии. При ЭТО';!
вторичная партонная "rребенка" НУК.l0на уже не предстаВ.1ЯСТ HY
клон, поскольку один адрон выпал из KorepeHTHoro набора. COCTa
вляющеrо нуклон. Восстановление первичной "rребенки" Ma,10
вероятно: поэтому вторичная партонная флуктуация с вероятно--
стью, близкой к единице, превращается в две адронные струи. Ok
на из этих струй порождается за счет взаимодействия партонов
спектатарав, а друrая  за счет вторичноrо провзаимодействовав
шеrо кваркпартона. Это взаимодействие осуществляется rлюона-
ми: порождаЮIЦJ!:МИ кваркантикварковые пары. компоненты KO
торых, взаи:vюдействуя друТ' с друrом, образуют ливень вторич
ных адронов. Адроны спектатарной струи относят к фраrментам
нуклонамишени.
В рамках Бсистемы рассмотрим реакции образования очаро--
ванных :vrезонов и бар ионов в пропессах нейтринорождения aдpo
нов:
vV'" + d ---+ с, w+ + s ---+ С: w + d  с,
w + " ---+ с.
(8.70 )
Здесь символы d, s, с (d, 8, с) обозначают сорта кварков. OTMe
тим, что переходы с участием промежуточноrо W"'бозона ocy
ществляются в l/lVсоударениях, а с участием промежуточноrо
v бозона  в iiNсоударениях.
Рассмотрим кинематику образования CKBapKa в Бсистеме pe
акпий (8.2) или пропессов
l/fJ. + d(s)  f..l. + с, ii lL + ([(8)  f..l.+ + С.
в этой системе отсчета законы сохранения энерrии и ИМПУ.1ьса
96

И:V1СЮТ ВИ.1:
Е; == E,
С ( ;/ ) 2-+- m 211i2 == i ( ;; ) \2 + T  п 2p/2
l j/ 1 'IJ L У с cJ'
q'  ji  == ji,..
(8.71)
З.lесь Е;. ji 1 . энсрrия и ющу.1ЬС первичноrо кварка d( d) И.1И в( в)
В Бсистемс: E, j} с  энерrия и ипу.1ЬС очарованноrо CKBapKa
в Бсистеме. :Уlассой т1 .1erKoro d(S)KBapKa будем пренебреrать.
Эффективная acca CKBapKa сравнительно велика. и при кине\1а
тических расчетах зачастую ею пренебрсrать не.1ЬЗЯ. Напомним.
что в Бсистеме импульс НУК.l0намишени р\, всеrда направлен
против направления вектора if (01. (8.68)) и. следовательно: про
тив направления вектора r; (см. соотношения (8.63) при условии
iL.. == О). Отсюда следует: что импульс первичноrо партона ii 1
направлен против вектора q': так как по предположению все пар
тоны первичноrо нук.10на движутся в одном направ.1ении (во вся-
ком случае это верно Д.1Я так называеых "жестких" партонов: у
которых /ii 11 2: 1\11).
Используя формулу (8.71), найдем выражение для импу.lьса
первичноrо партона:
p == [(iic)2 + тP/2.
(8.72 )
Подставляя (8.72) в выражение для закона сохранения импу.1ьса,
получаем уравнение относительно величины p :
q'  p == [(p)2 + тP/2, p == (Q2  m;)/2VQ2.
(8.73)
При Q2 > т; кварк вылетает в сторону, противоположную Ha
правлению импульсов партоновспектаторов партанной "rребен
ки" нуклона. Этот случай соответствует типичной кинематиче
ской картине образования .1еrких кваркпартонов в конечном со--
стоянии. Cor.lacHo принятой терминолоrии: такой CKBapK обра
зуется в области фраrментации слабоrо тока и вероятнее Bcero
образует в конечном состоянии струю: содержащую очарованный
мезон. В случае, если Q2 < т, кварк вылетает в ту же старо--
ну, что и партоныспектаторы: не участвующие в слабом взаимо--
действии. При этом в Бсистеме будет наблюдаться только одна
97

адронная струя. содержашая очарованный адрон. l3 TaKo:vr <;.1у'та('
Bcb:Vla вероятно образование очарованноrо бариона при псреХО,lС
П( + d -------+ с.
если dKRapK бы.1 ва.1ентным и ОПрС,1е.1ЯЛ квантовые
числа НУК.10на.
Используя соотношения (8.72) и (8.73): вычис;тяем :VЮ;lу.1Ь H"'!
пульса первичноrо кварка в Бсисте:Vlе:
Ip1 :::: (Q2 + т)/2&.
(8.74)
Такое значение импульса Ip I соответствует доле и:vrпульса первич
Horo нук:тона, приходящейся на первичный кварк. участвующий
в с,lабом взаимодействии:
х' :::: IpI/lp:vl :::: х + т/2;VfIJ.
(8.75 )
Здесь х == Q2 /21'v[ IJ  стандартное определение доли импуль
са нуклона. пере носимой взаимодействующим кварком. Результат
(8.75) показывает: что в тех случаях, Коrда леrкий кварк перехо
дит в тяжелый, он должен обладать дополнительной кинетиче
ской энерrией.
В связи с этим отметим, что при описании образования тя
желых адронов в процессах лептоннуклонных взаимодействий в
рамках кваркпартонной модели необходимо учитывать, что функ
ция распределения взаимодействующеrо кварка по доле переноси
Moro им импульса нуклона  функция переменной х', определяе
мой соотношением (8.75), а не бьеркеновской переменной х. YKa
занное появление переменной х' в формулах для процессов ней
тринарождения тяжелых адронов ведет к нарушению скейлинrа
по переменной х, не связанному с эффектами квантовой XpOMO
дина:мики. Оно обязано своим появлением noporoBoMY характеру
процесса перехода леrкоrо кварка в тяжелый. Скейлинr в таких
случаях восстанавливается по мере роста энерrии и. следователь
но. энерrии l/, передаваемой вторичным адроном.
Выполненный анализ позволяет релятивистски инвариантно
сформу.1ировать критерий образования очарованных адронов в
98

области фраr:vrентации с;rабоrо тока. Этот критерий опреДС.1ЯСТСЯ
HepaBCHcTBO:V1
(ЧРе) < О,
r-'e Ре  Иl\1пу.1ЬС очарованноrо адрона. I3 Бсисте:.rс пос.1С,lНСС
УС.10вие означает. что очарованныЙ а.lрОН .10.1ЖСН ВЫ.1етать н пс
ре;:rнюю по.1УСФСРУ по отношению к направлению nepe,'(aHHoro ИМ
пу.1ьса в этой же системе.
8.7. ОБРАЗОВАНИЕ ЛЕПТОННЫХ ПАР
И ПРОМЕЖУТОЧНЫХ БОЗОНОВ
В КВАРКПАРТОННОЙ МОДЕЛИ
AДPOHAДPOHHЫX СОУДАРЕНИЙ
Расс:vIOТРИМ процесс образования пар лептонантилептонов в
адроннуклонных соударениях (1= == e:i:, f.LI, т=):
h + ;У  l.J.. + l + Х.
(8,76)
Процесс (8.76) более сложен, чем реакции rлубоконеупруrоrо вза
имодействия. В рамках кваркпартонной модели предполаrается
сле;:rующий механизм ero реализации (см. рис. 10). Кварк q Ok
Horo из сталкивающихея адронов анниrилирует с антиквар ком q
друrоrо адрона, превращаясь в виртуальный фотон "(", который
зате:-'1 переходит в пару лептонантилептон:
q + q  "("  l+ + l. (8.77)
?<'1еханизм образования l+lпар в адронных соударениях (8.771
называется механизмом ДреллаЯна.
С точки зрения кинематики процесс (8.77) исклю"'''тельно
прост. Ero динамика известна и определяется в рамТ("х кванто--
вой электродинамики. Если известны из друrиу ,кспериментов
функции распределения по ИМПу.1ьсам KBapK'," и антикварков
партонов 8 адронах, то нетрудно вычис.1НIЪ дифференциальное
сечение реакции образования лептонной пары (8.76):
d а ==  L: J dXl dx2 [q?(X1)q{ lX2) + qf(X2)q;V (Xl)] х
I
(8.78)
xa(qq  ll), 6(812  q2)dq2
99

Здесь q'2 == (/1 4.-/2)2  квадрат эффективной массы .1СПТОННОЙ Па
ры, которую часто нmывают ДИ.1ептоном, 11.2  И:V1Пу.1ЬСЫ _1Cn
тонов, 81.2 == (k 1 + k 2 )'2 - ква,1:рат зффективной :vшссы анниrи
.1ирующеrо кварка q п антикварка q. k 1 . 2  И:VlПу.1ЬСЫ кварка
и антикварка: Xl.2  .доля продольноrо импульса a.JpoHa (нукло
на): переносимая KBapKO! (антикварком), q!(x)  функпия pac
пре.:iеления кварков (антикварков) сорта iU) R а,lроне h по ,10,lC
переносимоrо ими продольноrо юшу.1ьса х. q;';(x)  функция pac
пределения кварков (антикварков ) сорта i(l) в нук.l0не .У по доле
переносимоrо ими продольноrо импульса х, 0'( qq --4 I"'/)  ПО.1ное
сечение анниrИЛЯIlИИ кварка и антикварка в пару l"'/ с эффек
тивной массой R :
O'(qq ----+ Il) == 47f'ci e i 2 j3q2,
(3.79)
['де о:  постоянная тонкой структуры, ei  заряд анниrилирую
щеrо кварка. Сумма по i в выражении (8.78) ВЫЧИС.lяется по нсем
сортам пар qq, которые анниrилируют в пару I"'/. Два слаrае
мых в квадратных скобках в (8.78) учитывают, что кварк q (анти
кварк ij) может принадлежать как адрону h, так и нуклону N.
h
Pl k 1
'р2 k 2
N
Рис. 10. Процесс образования лептонных пар
при анниrиляции: кварка и антиквар ка
Выражение (8.78) получено в предположении, что и:vтульсы KBap
ков (антикварков )партонов направлены вдоль импульсов реляти
вистских адронов, к которым они принадлежат. Это означает: что
100

поперечные и!Пу.1ЬСЫ партонов пренсбрсжимо :VЙ.1Ы по cpaBHe
нию с ПрО;ЮЛЬНЫ:-'1И. I3 таком приближснии ДИ.1СПТОН. характери
зующийся 4импу.1ЬСОМ q, ВЫ.1етает в цсистеrе реакпии (8.76) в
направ.1ении. параллельноr оси соударения .пеРRИЧНЫХ адронов.
В -этом приближении форму.lа (8.78) нс описывает распрС.lс.lе
ния ДИ.lептонов по поперсчнь!:v1 ИМПу.1ьсам iL; она используст
ся .1.1Я предсказаний распреде;lений дилептонов по эффеКТIIВНЫ:V1
:v1accaM и быстротам. При высоких энерrиях ,;-в » :1,[ оба пер
вичных адрона ЯВ,lЯЮТСЯ ре.'Тятивистскими в цсистеме реакuии
(8.76). Поэтому партонный механизм (8.77) правомерно pacc:vra
тривать именно в цсистеме проиесса (8.76).
В этой системе уравнения законов сохранения энерrии и ИМ
пульса в процессе (8.76) имеют следующий вид:
'""1 + '""2 == qo, k 1 + k 2 == ij,
(8.80)
['де '""1,2 == Х1.2,;-в/2  энерrии сталкивающихся кварка и антиквар
ка (энерrии адрона h и нуклона N в цсистеме примерно совпада
ют и равны ,;-в/2, тh  масса адрона h), qo  энерrия дилептона:
импульсы кварка (k 1 ). антикварка (k2) и дилептона (q') направле
ны пара.'Iлельно импульсу адрона (Ph). Продольные компоненты
векторов k 1 и k 2 отличаются знаком, поэтому уравнение закона
сохранения импульса (8.80) представляется в с..'Iедующем виде:
X1Ph  X2PN == qz,
(8.81 )
['де qz  продольная составляющая импульса дилептона. COOTHO
шения (8.80) и (8.81) MorYT быть также представлены в виде си
стемы уравнений
Х1 + Х2 == 2qo/...(S, Х1  Х2 == 2qz/...(S'
(8.82)
Из (8.82) вытекают соотнощения
Х1 == (qO + qz)/...(S, Х2 == (qO  qz)/...(S'
(8.83 )
Перемножая левые и правые части равенств (8.83): получаем
2 2 2
Х1 Х 2 В == qo  qz == q .
(8.84)
101

Величина 1:1Х23 представ;rяет собой кнадрат CJфф"ктинной \!зссы
анниrилирующих кварков 31.2 == (k 1 + k-z)2 :
312  2(klk2) == 2cv1CV2  2(lk  3ХIХ2.
Поэтому apry:v!eHT 5Функuии в диффеРСНlIиаЛЬНО:V1 ссч('нии (8.78)
может быть представлен в виде
2 2
312  q == Х11:2 3  q .
(8.85)
От переменной х можно перейти к переменной iJ дилептона. ис
пользуя Rытекающие из (8.83) соотношения:
у == 1nx1 + (1/2) ln(8/q2).
(8.86 )
Тоrда форму.lа (8.78) представляет дваж:rы диффереНlIиа.1ЫiOе
сечение образования дилептона с быстротой у и эффективной 'o!ac
сойjqi:
d 2 (J 4по: 2  2 h N ,. .V
d d 2 == 94 L..- e i [qi (x1)qi (Х2) + qi (X2)qi (Х1)],
У q q i
(8. S 7)
['де в соответстВИИ с (8.86)
Х12:=:: jq2/8 exp(IY).
(8.88)
Пределы изменения переменной быстроты дилептона при фик
сированном значении ero массы представляются неравенствами
1 VS + vs=qz 1.jS + vs=qz
 ln < у <  ln .
2 .jS  vs=qz   2 .jS  vs=qz
(8.89)
rраницы (8.89) вытекают из соотношений
1
у == "21n[(qO + qz1/(qo  Qz)], Qz:=:: I [Qб  Q2j1/2,
Qo == (Х1 + Х2)..;8/2 ::;..;8, Х1.2::; 1.
в пренебрежении массами адронов и .1ептонов эффективная ,,1aC
са дилептона изменяется в пределах
,но::; n ::; ..;8,
(8.90 )
102

[';те .\0/0  \1ИНИМ;1,,'Iьное ЗfIa'!сние \1ассы .lИ.1СПтона. при котороу!
:vюжст БЫТh IIрИlенена КRаркпартонная :VЮДС.1h.
B:VICCTO псреIСННОЙ быстроты .lИ.1спт()на иноr.lа исrю;]ьз'у'СТСЯ
безразмерная пере:Vlенная
XF == Х] ];2 == 2qz/.,fS == 2( H/.,fS) sh у.
(8.91)
Эта перемснная ана.l0rична ФеЙН:VlаНОRСКОЙ пеРС:Vlенной. ИСПОJ1Ь
зующейся ,1ЛЯ описания скеЙ.1инrа спектра ИНК.1ЮЗИRНЫХ
адронов. Apry:..[eHTbI функций распределения кварков (антиквар
ков) Х] и Х2 с..lедующим образом выражаются через XF :
Х1.2 == [(х} + 47)1/2::!: xF]/2,
(8.92)
['де т == q2 / з. ПереХО,l от переменной у к пере:..rен ноЙ Х F осущс
ствляется с помощью соотношсния
dy == dXF . (Х/ + 472)1/2.
Пределы изменения XF опреде.1ЯЮТСЯ неравенством
(1  т) :::; XF :::; (1  т).
(8.93)
8.8. ОБРАЗОВАНИЕ W:f: И ZOБОЗОНОВ
В КВАРКПАРТОННОЙ МОДЕЛИ
Процессы образования W=: и zОбозонов В адроннуклонных
соударениях также MorYT быть исследованы на основе механизма
ДреллаЯна. Если образовавшийся W:i:, ZOбозон распадается за
тем на лептонную пару
V== ----+ е:!: + ve(De), М== + vJ1.(DJ1.)'
Z°----+e+e, M++M:
(8.94)
то между процессом (8.76) и реакциями
h + N ----+ (V:f:, ZO) + х
(8.95 )
существует кинематическая ана.l0rия. При этом форыула Дре,lла
Яна (8.78) претерпевает следующие изменения:
103

1) сум:vшрование по copTa1 кварков R ней прОRОДИТСЯ в с.1учае
образования zO-бозона так же: как и в случае (8.76) ( прощж\'
rочньш (виртуа.1ЬНЫМ) фотоном(с:vr. реакпию (8.77;): иr=БО'юны
образуются за счет процессов анниrИ.1ЯЦИИ кварка и аНТИКRарка
разных сортов. наПРJ;Jмер:
l1+d(s)TV=, d(8)+ЙW.
поэтому сум:vrирование следует проводить по всем ПО.1ХОДЯЩИ:V! по
квантовым числам парам кваркантикварк:
2) масса vv"', zОбозона в области энерrий Rыше пороrа ero
образования считается либо фиксированной (q2 == mr.z), .1ибо
спектр :v!acc описывается релятивистской формулой Брейта
Виrнера. Пос..1еднее более оправдано. поскольку ширина w:':: ZO
бозона довольно велика. В связи с этим в формуле (8.78) сечение
O'(qq  l.Ll) следует заменить на выражение
1 ( [ 2 ) 2 2 2 ] 1
0'12 == з4п 25 + l)rqr z (812  mw,z + r ти.,Z , (8.96)
['де 5 == 1  спин wcJ::, ZОбозона, r q  парциальная ширина pac
пада w:':, zОбозона на соответствующую пару кваркантикварк,
r z  парциальная ширина распада W:i:, ZOбозона по одному из
,1ептонных каналов (8.94). В пределе бесконечно малой ширины
распада (r /тw,Z  О) формула (8.96) значительно упрощается:
0'(S12) == [4п(25 + 1)rqrz/3тw,zr]б(S12  тf-,z)' (8.97)
Последнее соотношение удобно для оценки сечения образования
W:':, ZO бозонов В процессе (8.95) с последующим распадом по
одному из каналов (8.94).
Равенство q2 ==т,z видоизменяет кинематические COOTHO
щения (8.97) (см. выражения (8.84), (8.86), (8.88), l8.89), (8.91)):
2 1 2
SX1X2 == тw,Z' у == 1nx1 + '2 ln(s/тj-V,z) , Т:::: тw,z/s,
Xl == тw,z . е У / ..;s, Х2:::: т w,z . eY /..;s, Х F == 2тj-v.z . sh у /..;s.
vs + J s  тfv.z VS + J s  тyZ
 ln S у S [п . l8.98)
тz тz
Здесь у  быстрота W:':, zОбозонов в цсисте:v!е Процесса (8.94).
104

ОТ:Vlетим в заК.1ЮЧСНИС: что в пренсбрежении ПОП(,РСЧНЫ1 ,1ВИ
жение:vr кварка и антикварка y=. Z()бозон иысст и"!Пу.1ЬС if: Ha
правленный пара.1ЛС.1ЬНО ИМПУ.1ЬСУ Ph адрона h в цсисте:v!С. В
этих ус..10ВИЯХ распределение по поперечным импульсам k L .1епто
нов [= продуктов распада w= по кана.1ам (8.94) характеризуется
особенностью в точке k: == т'/2. в реальной ситуации нсоб
ходимо дополнительно учитывать конечную ширину Н"=бозона
(см. (8.96)), что приведет к "размыванию" особенности и прояв
лению ее в виде максимума распределения вторичных лептонов [=
по kl.. вблизи значения k.:... ::: тv /2. Еще больший эффект "раз
мывания" особенности ожидается вследствие поперечноrо движе
ния кварка и антикварка анниrилирующих в W=бозон. COOTBeT
ствующие феноменолоrические расчеты показывают. что учет по--
перечноrо движения кварков практически не изменяет положе
ния :vrаксимума распределения наблюдаемых лептонов по kl... В
с.1учае лептонноrо распада zОбозона можно наблюдать оба заря
женных лептона, что позволяет детектировать zОбозон по брейт
виrнеровскому пику в распределении лептонной пары [+ [ по ее
эффективной массе.

@ ЗАДАЧИ
1. Чему равно ЧНС.10 незаВИСН:VIЫХ кине1аТНЧССКИХ ИНВ<lриан
тов (PiP"J (i i= k: i, k  номера частиц) ,1Ля реакrши рассеяния
.-1 + В ----+ 1 + 2 . . . 
2. Для процесса .-t + В ----+ 1 + 2 (мишень В покоится) опре
делить квадрат полной энерrии в цсистеме. Выразить Значения
ИМПу.lЬСОВ и энерrий ста.lкивающихся и образуюшихся частиц в
цсистеме через инвариантные переменные. Рассмотреть с.1учай
т1 == т2. Как изменится полученное выражение применительно
к распаду С ----+ 1 + 2?
3. Для процесса А + в ----+ 1 + 2 выразить значения энерrий Е 1
и Е 2 И уrлов вылета частиu cos 81, cos 8; через инвариантные пе
ременные IvIандельстама. Какой вид принимают полученные BЫ
ражения для УПР'уrоrо рассеяния (т1 == тА., т2 == тв) '?
4. В реакции KorepeHTHoro рождения на ядре т.-+я----+ 37i+Я при
импульсе P7r == 10rэв;,с образуется резонансное состояние в систе
ме трех 7iмезонов с массой lvIэФФ,== 1080(М- я) == 12 а.е.м. Опреде
лить минимальное значение квадрата передаваемоrо 4импульса,
соответствующее образованию даННоrо состояния.
5. Определить максимальное значение энерrии и импульса ча-
стицы 1 в цсистеме (Е; ,fti), образовавшихея при распаде частицы
А на n частиц: А ----+ 1 + 2 + 3 + . . . + n.
6. Определить максимальную и минимальную энерrии любой
из вторичных частиц, образующихся в трехчастичном распаде по
коящейся частицы А по KaH3..J1Y: А ----+ 1 + 2 + 3. Каким конфи
rураuиям векторов импульсов вторичных частиu соответствуют
указанные экстрема.lьные значения энерrии'?
7. Для реакции А + в ----+ 1 + 2 вывести формру для пороrа
рождения частицы 1  ТПОР_ дЛЯ с..1едующих случаев: а) частиuа
мишень покоится; б) частицамишень движется.
8. Определить пороrовые значения энерrии падающей части
иы для K, p7i И рр--реакций. в которых образуется пара рр.
Объяснить различия в значениях Т7r Р пор " Tp7r пор. ТР'Р пор . ),Iишень
считать покоящейся.
106

9. Jоказать: что переходы f .-.-t t: + e и е .-.-t е + . в П<1КУ
y:v!c нрвоз:vюжны. ()преде;1ИТh МlIнима.1ЬНО воз:vюжныii и:v!пу.1ЬС.
псре.(aFШС:V!ЫЙ бссконечно тяже.10:V!У Я.1рУ в процесс!: I .-.-t e  i:.
происходяще:v! в поле Я.lра. ,1.1Я у.1hтрареЛЯТИRистскоrо С.1учая.
10. Показать. что при столкновении частиц с О.1инаКОRЫМИ
:vrассами соотношение меЖ.1У ,)lоренцфактора:v!И в .1системе и
цсистеме ;хается формулой: '1.1,== 2!п.1. (Формула ПОЗВО.1яет
.1erKo определять энерrии в цсистеIС: Е 1т == 2( Е* /т)2 + 1. )
11. Нейтральная частица с :vrассой m и ИМПУЛЬСО;'1 Р pacnaдa
ется на лету на два fKBaHTa. Опреде.1ИТЬ минимальную и :v!акси
мальную энерrии одноrо из образующихся (KBaHTOB R .1системе.
Предложить способ измерения :vraCCbI нейтральной частицы. pac
падающейся на два IKBaHTa по измерениям ;,!аКСИ:V1а.1ЬНОЙ 11 :V!И
нимальной энерrии.
12. Пусть распад А .-.-t 1 + 2 происходит на .1ету. Показать.
что R том с.lучае. коrда скорость 'I.)А частицы А меньше, чел CKO
рость vi частицЫ 1 (или частицы 2) в системе покоя частицы А:
частица 1 (2) может вылетать в лабораторной системе ('1.'..1 i= О)
под любыми уrлами относительно направления VA. Jля каких ча
стиц это заключение справедливо всеrда: независи:vю от величины
скорости v А?
13. При выполнении условий предыдущей задачи рассмотреть
случай VA > Vi,2' Показать, Что в этом случае существует макси
мально возможный уrол Втах вылета частицы 1 (или 2) в лабора
торной системе (О ::; Втах < п)2), и найти: как уrол Втах зависит
от масс частиц, участвующих в процессе распада.
14. При взаимодействии ПИОнов с водородной :vrишенью в pe
акции кТ + Р .-.-t Р + Х образуется частица с :vrассой тх > т."..
Показать: что в этом случае протоны имеют предельный уrол BЫ
лета.
15. Под каким уrлом в .1абораторной системе вылетает части
ца 2 в процессе двухчастичноrо распада А .-.-t 1 + 2, еС.1И частица
1 вылетает под предельно возможным yr.10M?
16. Найти зависимость энерrии одной из вторичных частиц,
образующихся в распаде А .-.-t 1 + 2, от уrла раз.lета частиц 1 и 2
107

при ус..10ВИИ. что :V1accbI чаСТИI1 1 и 2 ОJ\инаковы:
т1 == т2 == О.
17. Найти :vrинима.1hНЫЙ jТОЛ раЗ,lета 1C m in /KBaHToB при .1BYX
фотонной анниrиляции позитрона: еС.1И анниrИ,lЯПИЯ происхо;щт
на покояще:v1СЯ свободном электроне:
e""+e----+2J'.
18. Найти уrловое распределение вторичных Ч:1,стиu в двухча
стичном распаде А ----+ 1 + 2 на лету, если в систе!е покоя части
цы А оно изотропное. Рассмотреть случаи ил < vi,2 и ил > vi,2'
Убедиться, что плотность распределения растет при приближении
уrла вылета к предельно возможному.
19. В реакции распада А ----+ 1 + 2 найти распределение BTO
ричных частиц по уrлу их разлета в лсистеме в предположении
об изотропном характере распада в системе покоя частицы А. Pac
смотреть случай 171;1 == т2 == О.
20. Вычислить релятивистски инвариантный фазовый объем
пары частиц с массами т1 и т2 и эффективной массой: равной
.;5. Найти значение фазовоrо объема в случае т1 == т2 == О.
21. Найти величину полноrо релятивистски инвариантноrо
объема для распада: А ----+ 1 + 2 + 3.
22. Пусть импульсно--уrловое распределение продуктов Tpex
частичноrо распада А ----+ 1+2+3 определяется только релятивист
ски инвариантным фазовым объемом. Найти формулу для pac
пределен ия любоrо из продуктов распада по поперечному импуль
су fJ;J.. (относительно направления импульса частицы А),
i == 1, 2, 3. Какие сведения о частице А можно получить, наблю--
дая лишь один ИЗ продуктов распада и зная сорта остальных, на
основе вида распределения по fJ;J.. ?
23. Как изменится вид распределения по рн (i == 1 или 2) в
двухчастичном распаде А ----+ 1+2: если в системе покоя частицы А
распределение продуктов распада неизотропно? Рассмотреть сле
дующие случаи:
а) dN /dn* ,....., 1 + о: cos В*;
б) dN/dn*,....., 1 + fЗсоs 2 в*;
в) dN/dn*,....., sin 2 B*,
108

['де ()*  уrол вылета ОДНОЙ из частиц (1 или 2) R СИСТС,о[е покоя ча
стицы А относите.1ЬНО направления. RДОЛЬ KOToporo совершается
реЛЯТИRистское преобразование в эту систему отсчета.
24. Вычис.,lИТЬ объем ПРО;:Ю,lhноrо фазовоrо пространства,lЛЯ
двух частиц L2, считая поперечные импу.1ЬСЫ известными пара
:'vIетрами задачи.
25. Показать, что при пара.1лельных ДруТ' .1pyry преобразова
ниях Лоренца быстр6ты складываются.
26. Пользуясь определением быстроты VII =: th у, ['де UI!  про-
дольная скорость частицы: показать справедливость соотношения
у =:  ln Е + Рр .
2 EPII
(Е, PII  полная энерrия и продольный импульс частицы).
27. В инклюзивной реакции А + в ----+ 1+ (а.1РОНЫ) измерено
трижды дифференциальное сечение
d 3 (J
dydpl.. == f(pJ.., у)
образования вторичных частиц сорта 1 (у  быстрота частицы
1). Найти формулу для распределения частиц 1 по продольным
импульсам в цсистеме реакции. Считать, что первичная энерrия
соударения задана.
28. В инклюзивной реакции А + в ----+ 1+ (адроны) задано
распределение вторичных частиц сорта 1:
d 3 (J
Е d 3 p == f(pJ..,p;),
['де р;  продольный импульс в цсистеме реакции. Найти формулу
для распределения частиц 1 по быстротам. Считать, что первич
ная энерrия соударения задана.
29. Рассмотреть процессы электророждения е + N ----+ е+ (aд
роны) и нейтринорождения V/l + N ----+ е+ (адроны) адронов на
нуклонах, предполаraя, что в системе отсчета, rде первичный HY
клЬн является ультрарелятивистским, эти процессы осуществля
ЮТСя соответственно за счет упруrоrо электромаrнитноrо и KBa
109

зиупруrоrо r.1абоrо взап:vroдеиствия перВНЧНОI'О 01ептона с J'()чеч
ны:v1И состаВ.1ЯЮЩИМИ <1дрона - партонами:
е + q  е + Ч: V J-L + q ----t fJ,  + q'.
['.1е ч'  партоны. Пренебреrая поперечны!И и:vтпу.1ьса:v!и парто-
нав. показать, что 01ептоны взаи:vroдействуют .1ИШЬ с такими пар
тонами, которые переносят долю продольноrо импу.1ьса HYK.loHa,
равную
,)
Х == Tz/p,y == q/(2.'vlv),
['де .Н  :vracca НУК,10на: q =: (р  р')  переданный адронам
4импульс; р, р'  4импульсы .1ептонов до и после взаИМОдействия:
V =: Е  Е'  энерrия: переданная адронам в лсистеме; Е: Е' 
энерrия лепта нов до и после взаимодействия в лсистеме.
30. Показать, что время взаимодействия лептона с нуклонами
в процессах элекrро и нейтрино рождения при больших пере:щчах
энерrии и импульса MHoro меньше времени существования партон
ной флуктуации ультрарелятивистскоrо нуклона: т. е. взаи:vrодей
ствие преимущественно осуществляется именно с составляющими
нуклон партонами, а не с нуклоном как целым.
31. Показать, что партоныкварки со спином 1/2 взаю.юдей
ствуют преимущественно с поперечно поляризованными вирту
альными фотонами (проекция спина фотона на ero импульс
5'Y Z == ::J:1) в процессе электророждения и лево поляризованными
Wбозонами (5vz == l) в процессе нейтрино рождения при BЫCO
ких энерrиях.
32. При столкновении ультрарелятивистскоrо космическоrо
протона с покоящимся протоном происходит множественное po
ждение мезонов: в ядерных эмульсиях образуется" ливень". Поло--
вина мезонов летит в узком конусе с полураствором Pl == О, 003рад,
остальные мезоны летят в диффузном конусе с yro10M полураство
ра Р2 == О, 13рад. Оценить энерrию первичноrо протона, а также
уrол полураствора конуса Ро, в котором вылетают мезоны
в цсистеме сталкивающихея протонов. Указание: в цсистеме вви
ду равноценности направлений вперед и назад около половины Me
зонов вылетает вперед в конусе с уrлом полураствора РО, а осталь
110

ные  назад в таком же конусе. Первые дают в .1системе узкий
конус. вторые  ,иФФузный.
33. Показать. что еС.1И спин р-..:v!езона J p == 1. то распад
РО ----+ 27ТI) невозможен.
34. Пользуясь обобщенным принпипом Пау.1И найти: а) и:зото
пический спин р-..:vrезона. распадающеrося по кана.1У Р ----+ 7Т + 7Т
(полаrать спин р--мезона J p == 1): б) изотопический спин дейтона
(полаrать. что дейтон есть 351состояние Щrсистемы).
35. Укажите наиболее вероятные кана.1Ы распада парапози
трония (150) и орта позитрон ия (351)'
36. Показать. что в случае пионов с нулевым относительным
орбитальным моментом комбинапиям 7Т 0 7Т 0 и 7Т7Т соответствует
собственное значение еР == + 1: а комбинации 7Т7Т7Т0  собствен
ное значение еР ==  1.
37. Пользуясь формулой rе,lл:VIанаНишиджимы
I B8
q  3 + '
найти, как rруппируются визотопические мультиплеты K+, K,
KO, кОмезоны.
38. Доказать: что частицы со спином 1/2 и НУ,lевой массой
покоя полностью поляризованы.
39. Заряженные пионы и ююны имеют канал распада
K ('iТ) ----+ l + Vz (i/i), ['де l  мюон или электрон: Vz (v[)  мю
онное или электронное нейтрино (антинейтрино). Какое значение
принимает спира.1ЬНОСТЬ пептона l= в системе отсчета, ['де пион
(каон) покоится?
40. При выполнении условия предыдущей задачи найти cpeд
нее значение спиральнасти лептона l (продольную поляризацию)
в системе отсчета. ['де пион (каон) движется со скоростью v (яв
ление кинематической деполяризации).

оrЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................. 3
1. КИНЕМАТИКА ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. l1реобразования Лоренца. Релятивистские
инварианты ...................................... 5
1.2. С:1стема отсчета ................................. 9
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. SМАТРИЦА ..... ........ 12
З. нормАльныЕ И ХРонолоrиЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ . СВЕРТКИ .. 22
3.1. Пропаrатор скалярноrо поля..................... 31
3.2. Пропаrатор спинорноrо поля..................... 34
3.3. Пропаrатор BeKTopHoro поля..................... 37
4. ТЕОРЕМА ВИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ДИArРАММ ФЕЙНМАНА. . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1. Процесс e+ey+y ............................46
5.2. Процесс e + е+  f.I + + f.I  .......................... 54
6. ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН ................ 64
7.1. Кинематические переменные в реакциях
взаимодействия и распада ....................... 64
7.2. Вероятность распада. Сечение процесса ..........67
7.3. Резонансы. Нерезонансньm фон...... .............71
8. процЕсcы rЛУБОКОНЕYIIРYI'оrо ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ......... . . 74
8.1. Кинематика лептоннуклонных взаимодействий .....74
8.2. Кинематические переменные в лептон нуклонных
процессах ...................................... 75
8.3. Феноменолоrия упруrих и rлубоконеупруrих
процессов ...................................... 78
8.4. Скейлинr rлубоконеупруrих лептоннуклонных
процессов ...................................... 33
8.5. Лептонпартонные взаимодействия................ 85
8.6. Лептонпартонные соударения в Брейтовской
системе отсчета................................ 93
3.7. Образование лептонных пар и промежуточных
бозонов в KBapK партонной модели aДpOH
адронных соударений ............................ 99
8.8. Образование W  и zO бозонов В KBapK
партонной модели .............................. 103
9. ЗАДАчИ............................................. 106

Учебное пособие
Шишкина Татьяна Викентьевна
Шумейко Николай Максимович
ФИЗИКА
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ
Курс Аекп.вй
В авторской редакции
Технический редактор r м РомаllЧУК
Корректор Н ИМирончик
Ответственный за выпуск Т. В. Шишкина
>дписано в печать 11.12.2002. Формат 60x84f16. Бумаrа офсетная. rарнитура Roman.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 6,51. Уч.изд. л. 5,12. Тираж 100 экз. Зак. {fl.,2
Белорусский rосударственный университет.
ЛицеllЗИ>i лв N'Q 315 от 14.07.98.
220050, Минск, проспект Франциска Скорины, 4.
Отпечатано с ориrиналамакета заказчика.
Республиканское унитарное предприятие
«Издательский цеитр Белорусскоrо сосударственносо университета".
Лицензия ЛП N'2 461 от 14.08.2001.
220030, Минск, ул. Красноармейская, 6.