Author: Крылов В.И.
Tags: разведка космос геодезия науки про землю космическая геодезия спутниковое зондирование
ISBN: 5-02-014420-7
Text
Предисловие
Всё течёт. Всё меняется.
Гераклит из Эфеса
Предисловие
За двадцать с лишним лет до первого набора студентов на специальность «Кос-
мическая геодезия» в МИИГАиК появилась работа финского учёного Вяйсяля «Другая
Луна Земли», заложившая начало новому разделу геодезии — космической геодезии.
Основная идея этой работы заключалась в увеличении длин сторон триангуляции пу-
тём фотографирования на фоне звёздного неба пороховых вспышек, поднимаемых на
воздушных шарах. В результате таких наблюдений и последующей математической
обработки вычислялось направление вектора пункт-пункт (земная хорда). Идея Вяйся
ля впоследствии была реализована в построении финской национальной триангуляци-
онной сети.
Первые искусственные спутники Земли на первых порах использовались в инте-
ресах геодезии лишь как высокие визирные цели. Так, в начале семидесятых годов
прошлого века самым распространённым методом космической геодезии был геомет-
рический метод, а основным способом наблюдений был фотографический способ. На-
блюдения различных искусственных спутников Земли фотографическими камерами,
размещёнными в разных странах мира, позволили построить мировую триангуляцион-
ную сеть со сторонами в сотни и даже в тысячи километров.
Использование лазерных дальномеров в космической геодезии позволило суще-
ственно повысить точность этих геодезических построений.
В конце семидесятых годов приоритетным направлением в развитии космиче-
ской геодезии стал динамический метод, при реализации которого спутник рассматри-
вается нс только как высокая визирная цель, но и как носитель координат. Динамиче-
ский метод космической геодезии позволяет решать геодезические задачи комплексно,
т е. при его реализации в самой общей постановке определяются координаты станций
наблюдения, параметры гравитационного поля Земли и параметры моделей сил, дейст-
вующих на спутник в полёте.
Применение динамического метода стимулировало развитие теории движения
спутников. И если на первых порах большое внимание уделялось аналитическим мето-
дам интегрирования дифференциальных уравнений движения ИСЗ, то в дальнейшем в
связи с появлением и интенсивным использованием быстродействующей вычислитель-
ной техники, стали превалировать численные методы инте1рирования.
Конец XX века ознаменован широким внедрением в геодезию глобальных спут-
никовых радионавигационных систем. Эти системы вобрали в себя, по существу, дос-
тижения космической геодезии и радиоэлектроники.
Теперь уже актуальной задачей становится не только определение положения
пунктов и параметров гравитационного поля Земли, но и их изменения с течением вре-
мени.
Современную геодезию невозможно себе представить без использования спут-
никовых методов при решении различных задач. Недаром поэтому курс космической
геодезии стоит в учебных планах практически всех геодезических специальностей.
Предлагаемое учебное пособие составлено на основе курса лекций, которые в
течение ряда лет автор читает студентам геодезических специальностей.
Автор благодарен профессору, доктору технических наук Михаилу Сергеевичу
Урмаеву, взявшему на себя труд по редактированию учебного пособия, и заведующему
3
Предисловие
кафедрой астрономии и космической геодезии профессору Игорю Ильичу Краснорыло-
ву, чьи полезные советы и замечания были учтены в окончательной редакции пособия.
Автор благодарен профессору, доктору технических наук Станиславу Николае-
вичу Яшкину и старшему научному сотруднику, кандидату физико-математических
наук Николаю Антоновичу Сорокину, согласившимся быть рецензентами учебного по-
собия.
Особую признательность автор выражает выпускнику первого набора специ-
альности «Космическая геодезия» Леониду Дмитриевичу Денисову, оказавшему неоце-
нимую помощь и поддержку при подготовке этого учебного пособия.
Автор благодарен Борису Валентиновичу Кузнецову, также выпускнику специ-
альности «Космическая геодезия», за большую помощь в оформлении учебного пособия.
Введение
Нелёгок путь от земли к звёздам.
Сенека Младший
1. ВВЕДЕНИЕ
Предмет и задачи космической геодезии
Космическая геодезия — научная дисциплина, в которой для решения научных и
практических задач геодезии используются результаты наблюдений искусственных и
естественных небесных тел. В соответствии с этим в предмет изучения в рамках косми-
ческой геодезии входят:
теории движения небесных тел;
разработка способов определения орбит небесных тел (прямая задача) и вы-
числения эфемерид (обратная задача);
обоснование требований к геодезическим спутникам в отношении параметров
их орбит и состава бортовой аппаратуры;
обоснование требований к расположению станций наблюдения и их аппара-
турного оснащения;
изучение методов наблюдений и теории математической обработки наблюде-
ний;
интерпретация результатов наблюдений и их обработки.
Основными задачами космической геодезии являются:
определение положений и изменений со временем координат наземных пунк-
тов;
изучение внешнего гравитационного поля и его изменений со временем;
уточнение некоторых астрономических постоянных.
Фундаментальное уравнение космической геодезии
По существу фундаментальное уравнение космической геодезии связывает три
вектора г/, rlt г, ив соответствии с рис. 1 имеет вид:
(11)
Введение
Рис. 1. Три вектора, определяющие
фундаментальное уравнение космиче-
ской геодезии
методами космической геодезии.
В фундаментальном уравнении:
г,'— вектор пункт-спутник. Компоненты этого век-
тора получают из обработки наблюдений спутника.
rt— радиус-вектор спутника. Компоненты этого век-
тора получают на основе теории движения спутника.
г, — радиус-вектор пункта.
В действительности, три вектора, входящие в
(1.1), задаются, как правило, относительно разных
систем координат, различающихся как ориентиров-
кой осей, так и расположением начал, поэтому реше-
ние фундаментального уравнения космической гео-
дезии существенно осложняется.
Решение фундаментального уравнения осуще-
ствляется либо динамическим, либо геометрическим
При использовании динамического метода космической геодезии вектор спут-
ника на моменты наблюдения получают путём интегрирования дифференциальных
уравнений движения с известными начальными условиями, т.е решается задача Коши.
При этом начальные условия — начальные значения элементов орбиты на некоторый
момент времени получают из наблюдений Правые части дифференциальных уравне-
ний движения спутника являются сложными функциями параметров гравитационного
поля Земли, ускорений от возмущающих сил, действующих на спутник в полёте. При
реализации динамического метода в общей постановке можно уточнить координаты
пунктов наблюдения, параметры гравитационного поля Земли, начальные значения
элементов орбит, параметры моделей возмущающих сил.
При реализации геометрического метода космической геодезии спутник исполь-
зуется лишь как высокая визирная цель, поэтому для исключения вектора спутника г,
необходимо выполнять одновременные (синхронные) наблюдения не менее, чем с двух
пунктов. Тогда в соответствии с рис.2 можно записать:
Рис. 2. Относительное определение
положения пунктов
геометрическим методом
космической геодезии
(1.2)
Из уравнения (1.4) видно, что с по-
мощью геометрического метода можно оп-
ределить лишь взаимное положение пунктов.
6
________________________Системы отсчета_____________
Дай мне точку опоры, и я сдвину землю.
Архимед
2. Системы отсчёта
Основные понятия
Под системой отсчёта подразумевается система координат для указания места,
где происходит событие, вместе со связанными с этой системой координат часами для
указания момента времени, когда происходит событие. Здесь под событием понимается
нечто, происходящее в некоторой точке прос транства в некоторый момент времени.
При решении задач космической геодезии приходится использовать различные
системы координат, отличающиеся между собой расположением начала (например,
планетоценгрические, геоцентрические, квазигсоцснгрические (референцные), плане-
тографические, топоцентрические, спутникоцентрические, барицентрические), ориен-
тацией основной плоскости (например, экваториальные, горизонтальные, орбиталь-
ные), ориентацией начальной плоскости (например, гринвичские, равноденственные),
видом координатных систем (например, прямоугольные, полярные, цилиндрические,
сферические, сфероидические).
В настоящее время наиболее распространенными являются прямоугольные сис-
темы координат в трёхмерном евклидовом пространстве, для задания которых необхо-
димо указать начало, масштаб и ориентировку осей.
Среди многочисленных систем координат, используемых для решения тех или
иных задач, выделим две основные — инерциальную (равноденственную) и общезем-
ную.
Для практической реализации этих систем координат используется косвенный
мегод, то есть системы координат задаются совокупностью реперов (звёзды, квазары,
точки земной поверхности), положение которых определяется из специальных наблю-
дений.
Направление осей инерциальной (небесной) системы координат (ICRS) фикси-
руется по отношению к квазарам (с точностью не хуже 10 микросекунд дуги). Её нача-
ло располагается в барицентре Солнечной системы. Направление оси вращения фикси-
руется на эпоху J2000.0, что соответствует эпохе звёздного каталога FK-5 и расхожде-
ния по направлению осей ICRS с FK-5 составляег не более 0.04” [14].
Согласованная земная система координат (ITRS) реализуется путём построения
закреплённой сети наземных пунктов с координатами, являющимися функцией време-
ни. Начало ITRS располагается в центре масс Земли. Единица длины - метр в системе
5/, определённый согласно релятивистской теории гравитации.
В соответствии с рекомендациями Международного Астрономического Союза
(МАС) и Международного Союза Геодезии и Геофизики (МГГС) Международная
Служба Вращения Земли (МСВЗ) определяет и ежегодно публикует данные и с тандар-
ты инерциальной и земной систем координат.
7
Системы отсчета
Шкалы времени ТСВ, TCG, ТТ
Согласно теории относительности А. Эйнштейна время не является инвариантом
при координатных преобразованиях. Темп течения времени различен и зависит от от-
носительной скорости и разности потенциалов в рассматриваемых точках. Если одну
систему координат связать с неподвижным объектом, а другую систему координат свя-
зать с движущимся объектом, то время в неподвижной системе координат называется
координатным временем, а время на движущемся объекте называется собственным
временем. Связь между элементарными промежутками координатного и собственного
времени с достаточной точностью можно задать формулой [17]:
W
2с2
•Л,
(2.1)
где
di . dt — элементарные промежутки собственного и координатного времени;
с = 299792458 дс'1 — скорость света в вакууме;
W — потенциальная функция;
v— относительная скорость.
По рекомендации Международного Астрономического Союза с 1991 года введе-
ны три шкалы времени: барицентрическое координатное время (ТСВ) — время, кото-
рое показывали бы часы, будучи помещёнными в барицентр Солнечной системы; гео-
центрическое координатное время (TCG) — время, которое показывали бы часы, буду-
чи помещёнными в центр масс Земли; земное время (ТТ) — время, которое показыва-
ют часы в пунктах земной поверхности, расположенных на уровне моря на широте 45
градусов.
Связь барицентрического координатного времени ТСВ с геоцентрическим коор-
динатным временем TCCJ
При выводе формулы связи между этими шкалами времени формулу (2.1) мож-
но представить в виде:
di =
где
=132712438-10м ж’с"2 —гелиоцентрическая гравитационная постоянная;
v — орбитальная скорость Земли.
Если орбитальное движение Земли считать нсвозмущённым и использовать ин-
2 и.. р.
теграл энергии v =-------, то выражение (2.2) можно переписать в виде:
г А
Л = (1-^ + -&Лл, (2.3)
\ с г 2с А}
где
А = 1.49597870-10” м — астрономическая единица длины (большая полуось орбиты
планеты с пренебрежимо малой массой, которая, двигаясь в |равитационном поле од-
Системы отсчёта
ного Солнца, имеет среднее угловое движение, точно равное 0.01720209895 радиан в
сутки).
Используя разложение [30]
9
|cosM + e2cos2Af+ —е’cos3A/+... .
(2.4)
в котором е — 0.016726 — эксцентриситет земной орбиты, М - средняя аномалия Зем-
ли, представим (2.3) в форме:
( 3 р,
dt = 1---Т
|cosM + e?cos2A/ + ^e3cos3A/
(2.5)
Принято считать моментом синхронизации часов момент
0*00"00' TAJ (TAI— международное атомное время) 1 января 1977 года. Принимая в
(2.5) в качестве собственного времени т геоцентрическое координатное время TCG, а
в качестве координатного времени t — барицентрическое координатное время ТСВ,
после интегрирования (2.5) получим разность, выраженную в секундах, между бари-
центрическим и геоцентрическим координатным временем:
ТСВ - TCG = 1.27942-10’3 (JD -2443144.5)+ 1.65844 • 10'3sin(A/ - Л/о) + ..., (2.6)
где
Мо— средняя аномалия Земли в момент 0*00'|00‘ TAI 1 января 1977 г.;
JD — юлианская дата, отсчитываемая по всемирному времени от полудня 1 января
4713 года до нашей эры.
Для вычисления юлианской даты можно воспользоваться формулой:
JD = 1721013.5 + 367 у - £{7 [у + £((т + 9) /12)] / 4} + £(275 • m / 9) + d + (t/Tl)", (2.7)
в которой
£ (алгебраическое выражение) — целая часть значения алгебраического выражения;
у — номер года;
m — номер месяца в году;
d — номер дня в месяце;
UTI — момент по всемирному времени, выраженный в долях суток.
Связь геоцентрического координатного времени TCG с земным временем ТТ
Соотношения между этими шкалами времени с достаточной точностью можно
вывести из (2.1), если за фигуру Земли принять эллипсоид вращения. Тогда выражение
для W в (2.1) с учётом лишь второй зональной гармоники будет [16]:
(2.8)
= 3.986005 -1 О*4 л/3с’2 — геоцентрическая гравитационная постоянная;
9
__________________________Системы отсчета_____
= 0.00108263 — коэффициент второй зональной гармоники;
а< = 6378140 м — большая полуось общеземного эллипсоида.
Функцию W будем вычислять в пункте, геоцентрическая широта Ф которого
равна 4S градусов. Модуль геоцентрического радиус-вектора избранной точки можно
вычислить через геодезическую широту В пункта:
е1
В Ф + — 206264.8" sin 2Ф,
2
11- 2с2 sin2 В + е* sin2 В
Г "'У 1 - е2 sin7!?
Здесь ег - 6.69437 • 10”’ — квадрат эксцентриситета меридианного эллипса.
v в выражении (2.1) — линейная скорость точки на поверхности Земли. Эту скорость
можно вычислить по формуле v ~ со^гсозФ, в которой а>а = 7.292115 10 5 с'1 — угло-
вая скорость вращения Земли.
Примем в (2.1) в качестве собственного времени т — земное время, связанное с
международным атомным временем соотношением
TT-TAI + 32.184*, (2.9)
а в качестве координатного времени t — геоцентрическое координатное время ТСС.
Тогда после интегрирования (2.1) получим разность, выраженную в секундах, между
геоцентрическим координатным и земным временем, отсчитываемую от 0А00”00' TAI
1 января 1977 г. и определяемую формулой:
TCG - ТТ = 6.0215 10 5 (JD - 2443144.5) . (2.10)
Земное и звёздное время
Моменты наблюдения спутника фиксируются обычно к шкале всемирного со-
гласованного времени UTC, являющегося аналогом атомного времени и единицей из-
мерения которого, служит секунда 5/. Согласованным же это время называется потому,
что шкала UTC подстраивается к шкале всемирного времени UT1 путём пропуска или
добавления лишней секунды в начале и/или в середине года, если абсолютная величи-
на разности между всемирным и всемирным согласованным временем приближается к
0.9 сек., то есть в течение года всегда соблюдается условие It/Tl - (/ГС] < 0.9*.
При определении компонент геоцентрического радиус-вектора спутника г, в
равноденственной системе координат динамическим методом космической геодезии
приходится интегрировать дифференциальные уравнения движения спутника, незави-
симой переменной в которых должно фигурировать равномерно текущее время. В на-
стоящее время в качестве равномерной шкалы времени используется геоцентрическое
координатное время TCG.
При наблюдениях спутника с поверхности Земли и при последующей обработке
этих наблюдений необходимо также знать угол поворота Земли, например, начального
меридиана, относительно точки весеннего равноденствия. Эгим углом является часовой
угол точки весеннего равноденствия, который служит мерой измерения гринвичского
звёздного времени S.
10
Системы отсчета
Таким образом, при обработке наблюдений спутника надо располагать момен-
тами наблюдений в шкале TCG и в шкале $. Для вычисления этих моментов при по-
следующей обработке выполненных наблюдений спутника можно использовать регу-
лярно издающиеся бюллетени (в нашей стране это бюллетени всемирного времени и
координат полюса, выпускаемые институтом времени и пространства ГП «ВИИИФ-
ТРИ»), в которых публикуется величина разности TAI -UTC, а также на начало каж-
дых суток даётся разность UT\ - UTC.
Первая разность позволяет вычислить международное атомное время TAI на
моменты наблюдений
TAI = UTC + (TAI -UTC),
(2.11)
которое связано с земным временем ТТ соотношением (2.9). Затем по формуле (2.10)
вычисляется геоцентрическое координатное время.
С помощью второй разности можно воспроизвести UT1 на моменты наблюдения
спутника
UT\ = UTC + (]UT\~ UTC). (2.12)
Но UT\ вычисляется истинное Гринвичское звёздное время 5:
5 = 6*41т50.5484Г + 8640184.812866’Т 4 0.093104*Г2-6.2' • 1 О'4?’ +
+ UTI + 0.06667ЛЧ', cosf
где
Т = (JD - 2451545.0)/36525,
Т — промежуток времени в юлианских столетиях по 36525 средних солнечных суток,
отсчитываемый от стандартной эпохи J2000.0 до рассматриваемого момента;
ДЧН, — нутация в долготе,
£ — наклон эклиптики к экватору.
Системы координат и их преобразование
Прямоугольные и полярные координаты
Рис. 3. Прямоугольные и полярные
координаты
В дальнейшем нам очень часто придётся
пользоваться прямоугольными и полярными
координатами, поэтому в качестве справочного
материала напомним некоторые определения и
соотношения между этими системами координат
(рис.З).
Плоскость ху называется основной плоскостью,
а плоскость xz — начальной плоскостью. Поло-
жение точки s в прямоугольной системе коорди-
нат задаётся её алгебраическими проекциями х„
у„ z, на соответствующие оси. Положение той же
точки можно задать полярными координатами: г
— расстоянием от начала координат до точки s,
Системы отсчета
а — углом между осью х и проекцией радиус — вектора на основную плоскость, |5 —
углом между основной плоскостью и радиус — вектором. Углы а и р в различных ко-
ординатных системах имеют свои названия, ио вводятся они, как правило, описанным
способом. Переход от полярных координат к прямоугольным осуществляется по фор-
мулам:
х = rcosacosД = г I,
у = rsinacosР = г т.
z =rsin Р =г п .
I, т, п — направляющие косинусы.
Обратный переход от прямоугольных координат к полярным можно выполнить
по формулам:
у
а = arctg —,
Р = arctg .
V* +/
г = ^хг + у1 +Z1 .
Преобразование координат посредством вращении
Пусть заданы координаты произвольной точки в системе координат x^z,. Тре-
буется преобразовать эти координаты в систему x2y2z2, оси которой развёрнуты отно-
сительно осей х,?,?,, начала же систем координат совпадают. Как известно из анали-
тической геометрии, преобразование можно выразить следующими формулами:
х2 = cos(x2, х,) • х, + cos(x2, у,) • у, + cos(x2, Z|) • z,,
у J = cos( у2, Xj) х, + cos(y2, у,) у, + cos(y2, Zj) Z, ,
Zj -cos(z2,x1) xl + cos(z2,y, ) • y, +COs(z2,Z|)-Z|.
Запишем это преобразование более коротко в матричной форме:
Видно, что для осуществления преобразования, нужно знать девять направляю-
щих косинусов (параметров преобразования). Однако, между направляющими косину-
сами имеют место следующие шесть соотношений
12
Системы отсчета
Рис. 4. Углы Эйлера
Это означает, что из девяти величин независимыми являются только три. И, та-
ким образом, элементы матрицы преобразования, можно выразить через три независи-
мых параметра. В качестве этих трёх величин используют углы, которые можно ввести
различными способами. Введя три независимых угла, задача по преобразованию коор-
динат сводится к трём поворотам одной из систем координат до полного совпадения со
второй. Здесь мы рассмотрим углы Эйлера (рис.4) и углы Кардано (рис.5).
Рис. 5. Углы Карлано
Пространственное преобразование прямоугольных координат с использованием
углов Эйлера 1
Углы Эйлера вводятся следующим образом.
у/ — угол между осью х, и линией пересечения основных плоскостей рассматривае-
мых систем координат;
13
Системы отсчета
в — угол между основными плоскостями или, что, то же самое, угол между осями z, и
z2;
<р — угол между линией пересечения основных плоскостей и осью х2.
Переход от системы координат х, у, г, к системе х2 у2 г2 осуществляется по-
средством трёх поворотов.
Первый поворот вокруг оси г, на угол у/, в результате которого х, переходите
х', а у, — в у':
Третий поворот вокруг оси z;
на угол <р, в результате которого х' переходит в
(2.17)
(218)
где
cost/cos <р - sin t/ sin tpcosG
A - - cos)/ sin tp - sin t/ cos tp cos в
, sin yr sin в
/ \
a Pt
da dp <?/
dtp dtp dtp
I da 1 ДД 1 fy
, sin tp dO sin tp dO sin tp dO,
sin I/ cos <p + cost/ sin tp cos в stncpsinG
- sin)/sin ф + cost/costpcos6 costpsinG
— cost/sin G cosG
(2.19)
14
____ _ _________Системы отсчета __________ ________________________
Поскольку А — матрица вращения (определитель этой матрицы равен единице),
то обратный переход осуществляется просто транспонированием матрицы А:
При малых (до нескольких секунд дуги) углах Эйлера матрица преобразования
принимает вид:
' 1 ¥ + <р О
Л = -у/-<р 1 в
, 0 -0 1,
Пространственное преобразование прямоугольных координат с использованием
углов Кардано
Углы Кардано вводятся следующим образом:
Е.— угол между осью х, и линией пересечения начальной плоскости x2z2 с основной
плоскостью х,у,;
£v—угол между осью z2 и линией пересечения плоскостей x2z2 и у, г,;
£, — угол между осью z, и линией пересечения плоскостей x,z2 и у2 zt;
Переход от системы координат х1 у, z, к системе х2 у2 z2 осуществляется по-
средством трёх поворотов.
Первый поворот вокруг оси z, на угол £;, в результате чего х, переходите х',а
У, — в У'
cos £. sin £. 0 X, V
у' = -sine, cos£, 0 У, Ti
<zl. 0 0 1, <z. .
(2.20)
Второй поворот вокруг оси х' на угол £ ж, в результате чего у' переходит в у2,
a z,— в z'.
x? '10 o' x' x'
Л - 0 cos £, sin £, y' = 5(£x) У
z’ 0 -sinf4 cos£x, <zi . ,zi
(2.21)
Третий поворот вокруг оси у2 на угол £,, в результате чего z' переходит в z2, а
х' —в х2.
15
Системы отсчёта
(2.22)
Таким образом,
у2 = B(£>)B(£,)B(£,) yt = Ву> .
Обратный переход осуществляется по формулам:
5 =
cose, cose. -sinsy sine.sine, cose^sme. + sine, cose.sine,
-cose, sine. cose, cose.
sine cose. 4 cose sine, sine, sine sine, - cose,, cose, sine,
(2.23)
-sine, cose, '
sine,
cose,cose,
При малых углах Кардано матрица преобразования принимаег вид:
Равноденственные истинные и средние координаты
Положение внешней по отношению к Земле точки пространства (например, по-
ложение ИСЗ) удобно задавать в геоцентрической равноденственной системе коорди-
нат Начало истинной геоцентрической системы координат совмещается с центром
масс Земли, ось аппликат направлена по мгновенной оси вращения Земли на данный
момент времени, ось абсцисс направлена в истинную точку весеннего равноденствия
у, ось ординат дополняет систему до правой тройки векторов. Положение внешней
точки (спутника) можно задать сё проекциями на оси системы х, ,y,,z, или же поляр-
ными координатами г,,а,,8, (га—геоцентрическое расстояние до точки s, at,8, —
истинные геоцентрические прямое восхождение и склонение точки s).
Наряду с истинной геоцентрической системой координат используются также
истинные топоцентрические равноденственные системы координат, отличающиеся от
геоцентрической системы только положением начала, которое совмещается с пунктом
земной поверхности (рис.6), оси же топоцентрических систем координат параллельны
соответствующим осям геоцентрической системы..
Положение точки з в топоцентрической системе задаётся координатами
либо a^s^r,'.
Гравитационное воздействие на Землю со стороны Луны, Солнца, планет сол-
нечной системы приводит с течением времени к изменению ориентировки в простран-
16
Системы отсчёта
стве осей истинной равноденственной системы координат. При этом перемещение ис-
тинного полюса Мира р (это точка пересечения мгновенной оси вращения Земли с
вспомогательной небесной сферой) по вспомогательной небесной сфере описывает
сложную траекторию. Это сложное движение разделяют на равномерное движение
фиктивной точки р, называемой средним полюсом, по малому кругу вокруг полюса
эклиптики /?0 и колебательное движение истинного полюса относительно движущего-
ся среднего полюса. Равномерное движение среднего полюса называется лунно-
солнечной прецессией (прецессия открыта во втором веке до нашей эры Гиппархом) и
происходит с периодом около 26000 лет. Перемещение среднего полюса приводит к
изменению положения среднего экватора, а значит, и средней точки весеннего равно-
денствия, которая смещается вдоль эклиптики со скоростью 5039" в год.
Рис. 6. Истинные равноденственные
геоцентрическая и то по центрическая
системы координат
Гачи
[Де3 J
На лунно-солнечную прецессию на-
кладывается ещё прецессия от планет, вызы-
вающая вековое движение плоскости эклип-
тики. Точка весеннего равноденствия пере
метается при этом вдоль экватора со скоро-
стью 0.11" в год. Периодическое движение
истинного полюса относительно среднего
называется нутацией (нутация открыта в во-
семнадцатом веке Брадлсем). Период главно-
го члена нутации совпадав! с периодом об-
ращения лунных узлов и составляет около 19
лет. Различают нутацию в наклонности и в
долготе. При этом нутация в долготе ДЧ\ и
в наклонности Асл представляется в виде
рядов:
/С sin г ,
r {k.l + U' + W + k.D + k.Q.}
А cos1 1
A cos
где
Ат, А, — амплитуды;
к1,...,к5 — целые числа;
/, /' —средние аномалии Луны и Солнца;
F — аргумент широты Луны;
Z> — средняя элонгация Луны от Солнца (разность между средними долготами Луны и
Солнца);
Q — средняя долгота восходящего узла лунной орбиты на эклиптике, измеряемая от
среднего равноденствия даты.
Величины 1,1',F ,D,Cl, называемые фундаментальными аргументами, можно
вычислить по формулам, рекомендованным стандартами MERIT (Monitor Earth Rotation
and Intercompare the Techniques of Observation and Analysis)
17
Системы отсчёта
/ = 134О57'46.733' + (1325' + 198°52'02.633')Г 1 31.310'Г2 +0.064'7”,
Z' = 357°31'39 8О4' + (99' + 359°03'01,224')Т + 0.577'Т2 -0.012'Т’,
Е.--93°16'18.877'+ (1342' + 82°О1'О3.137')Т - 13.257'7” + 0.011'7”,
D = 297°51 '01.307' + (1236' + 307°06'41.328')?’ - 6.891'7” + 0.019'7”,
£2-125о02'40.28О'-(5' + 1.34оО8'Ю.539')7‘+ 7.455'7” +0.008'7”,
Г =360°,
т ./0-2451545.0
36525
Если учесть только самые крупные члены в разложении, то нутация в долготе и
в наклонности выражается формулами:
= -(17.1996' + 0.01742'Т-)sin£2 + (0.2062' + 0.2'10” T)sin 2£2 -
- (1.3187' + 1.6'10” T)sin(2F - 20 + 2£2) - (0.2274'+ 0.2'T)sin(2F + 2£2) + ....
Ac, = (9.2025' + 8.9'10” T)cos£2 + (0.5736’-3.1'10” T)cos(27:’ - 20 + 2£2) + ....
Дня уяснения общего характера перемещения истинного полюса Мира можно
ввести подвижную плоскую систему координат ху, начало которой совпадает с поло-
жением среднего полюса Мира, ось х направлена по касательной к кругу эклиптиче-
ских широт с положительным направлением в сторону убывания эклиптических широт,
а ось у по касательной к малому кругу движения среднего полюса Мира с положи-
тельным направлением в сторону уменьшения эклиптических долгот. Тогда положение
истинного полюса Мира р относительно среднего полюса Мира р определится:
х = Дг,, у- A'P.sme.
Учтя в разложении нутации только первые члены, получим, так называемый
брадлеев эллипс:
_2L + _Z_=i
9.202 6.862
Это означает, что истинный полюс Мира перемещается по подвижному брадлее-
ву эллипсу, центр которого совпадает со средним полюсом Мира. Схематические тра-
ектории среднего и истинного полюсов представлены на рис.7.
Рис. 7 Траектории движения среднего и истинного полюсов Мира
18
Системы отечбта
По аналогии с истинными геоцентрической и топоцснтричсскими равноденст-
венными системами координат вводят средние геоцентрическую и топоценгрические
равноденственные системы координат, положение точки в которых задаётся координа-
тами x„\y„z, (r„a„St) и x^.y'.z' «,а„ ).
Учёт влияния прецессии
Пусть заданы средние координаты точки s в системе координат xoyoza, опреде-
лённой на эпоху 10. В качестве эпохи /0 для определённости примем стандартную эпо-
ху J2000.0. Требуется вычислить координаты той же точки з в системе координат
xyz, определённой на другую эпоху I. Различие в ориентировке осей рассматриваемых
систем координат вызвано влиянием лунно-солнечной и планетной прецессий. Прецес-
сионные перемещения системы координат показаны на рис.8.
Рис. 8 Повороты координатных осей,
вызванных лунно-солнечной
и планетной прецессиями
ной эклиптики Е'^Е^ той же эпохи).
Под влиянием лунно-солнечной
прецессии средняя точка весеннего рав-
ноденствия у0 эпохи t0 перемещается в
плоскости начальной эклиптики E,J£0 по
дуге большого круга и в эпоху t занимает
положение у,. Под влиянием прецессии
от планет средняя точка весеннего равно-
денствия у, перемещается в плоскости
среднего экватора э'э эпохи t и занимает
положение у.
Преобразование координат xoyozo
к координатам xyz можно осуществить
посредством четырёх поворотов.
Первый поворот вокруг оси х0 на
угол £0 =23°26'21.448'
(угол между плоскостью среднего эква-
тора э^э0 эпохи t0 и плоскостью началь-
Второй поворот вокруг оси, проходящей через полюс начальной эклиптики Ro
на угол лунно-солнечной прецессии Ч7,. Лунно-солнечная прецессия Ч7, вычисляется
по формуле:
Ч7, = 5038.7784'-Т +0.49263' Т2 - 0.000124' -Т3 ,
где Т — промежуток времени, выраженный в юлианских столетиях, от стандартной
эпохи до эпохи t.
Третий поворот вокруг оси, проходящей через у,, на угол £ . Угол £ называют
лунно-солнечным наклоном и он немного отличается от угла £0.
Четвёртый поворот вокруг оси z на угол планетной прецессии Q,. Планетная
прецессия вычисляется по формуле:
Q, = 10.5526' • Т - 1.88623' Т2 + 0.000096' • Г3
19
Системы отсчёта
Математически эта четыре вращения представляются в виде:
\ (Х'"'
У, =/>(е,)/’(-£/)л-'н,т) у,.
Л [z,u
где
>н Рм Рп'
Р - р21 р22 р2} — матрица прецессии.
.Рл Р}2 Р)3,
рп = cos Qt cos 4*, + sin g, sin Ч', COS£^ ,
pl2 = - cos Q, sin 4'l cose,, 4 sin Q, cos 4*, cos2 e0 + sin Q{ sin2 ,
p„ = - cos 6, sin 4' sinf^, + sin Q, cosH7, cos£0 sin£0 - sin Q, sin £„ cos£„,
p2, = -sing cos 4^ 4-cos (7, sin*?! cos£0,
p2j = sin Q sin 4J, cos£^ +cosQ cos'P, cos2 £0 +cosQ, sin2 £0,
p2i = sin Q, sin 'F, sin £„ 4 cos Q, cos 4*, cos e0 sin £0 - cos Qt sin f0 cos r0,
p(l = sin 4», sin £0,
p32 = cos 4", sin £0 cos £0 - cos £0 sin £0 ,
p,3 = COS 4х, sin2 £0 4 cos’ £(,.
Вместо рассмотренных четырёх поворотов можно обойтись тремя поворотами,
если ввести прецессионные параметры Ньюкома-Андуайе, аналогичные углам Эйлера и
связанные с ними соотношениями:
= 90‘ -\р, zA = 270" - <р, вА =в .
Углы Ньюкома-Андуайе показаны на рис.9.
Рис 9. Прецессионные углы
Ньюкома-Андуайе
Эти три поворота осуществляются в
следующем порядке.
Первый поворот вокруг оси' z0 на угол
£л, второй поворот вокруг оси у’ на угол 9Л,
третий поворот вокруг оси z на угол zA .
Элементы матрицы прецессии есть:
20
Системы отсчета
р„ = cosf х coszx cosGx — sin £ л sin zx,
p,2 = -sinf д coszx cosGx -cos£x sinzx.
p„ = -coszxsin0x,
p2l = cosf x sinzx cos0x + sinf xcoszx.
P2! - -sinf д sinz4 COS0X + cos£x coszx.
p21 = - sin zx sinOx ,
pM = cosfxsin0x,
p,2 =-sin£xsin0x,
Рзз =cos0„.
Сами же прецессионные параметры Ньюкома-Андуайе вычисляются по форму-
лам:
£х =2306.2181' Г + 0.30188'-Г2 + 0.017998'-Г1,
гл =2306.2181' -Г+ 1.09468'-Г2 + 0.018203' Т\
вл =2004.3109'-Г-0.42665'-Т2 -0.041833'-Т’,
70-2451545.0
36525
Учёт влияния нутации
Пусть заданы средние координаты точки s в системе координат туг, определён-
ной на эпоху /. Требуется вычислить истинные координаты той же точки s в системе
координат xyz , определённой на ту же самую эпоху /. Различие в ориентировке осей
рассматриваемых систем координат вызвано влиянием нутации. Нутационные переме-
щения системы координат показаны на рис. 10.
системы координат
Под влиянием нутации средняя точка
весеннего равноденствия у эпохи г переме-
щается в плоскости эклиптики Е'Е по дуге
большого круга и занимает положение у (ис-
тинная точка весеннего равноденствия эпохи
»)•
Преобразование координат xyz к коор-
динатам xyz можно осуществить посредст-
вом трёх поворотов.
Первый поворот вокруг- оси х на угол
е (угол между плоскостью эклиптики эпохи г
и плоскостью среднего экватора эпохи г).
>
£ = 84381.448* - 46.8150' • Т - 0.00059’ Т1 + 0.001813'"]"'
Второй поворот вокруг оси г', проходящей через полюс эклиптики К, на угол ну-
тации в долготе .
Третий поворот вокруг оси х на угол £ + Д .
Эти три вращения представляются в виде:
21
______________________ ______ Системы отсчета
= N(£ - &ES )N(-A'PS)N(£) у, = У
где
N - n2l n12 n2, — матрица нутации.
<П31 n31 WH J
n, । = cosAH'j ,
n12 = - sin A4*5 cos £,
n,j = - stn АЧ^ sine,
n„ = sin A*FS cos(e + A £s),
nn cosAVy cos£cos(£ +A£s) + sin(£ + A£s. )sin£,
nn =COSA4'xSin£COs(£+ A£s)~Sin(£ + A£s)coS£,
л„ =sm A'Pxsin(£ +A£s),
n,2 = cos A 'Fj cos £ sin(£ + A £x) - cos(£ + A £,) sin £ ,
»„ - COSA'Py sin£sin(£ +• A£s.)+ cos(£ + A£j.)coS£ .
Гринвичские средние и мгновенные координаты
Положение точек земной поверхности удобно задавать в системе координат,
жёстко связанной с Землёй, - в средней гринвичской геоцентрической системе коорди-
нат. Начало этой системы координат совмещается с центром масс Земли. Ось аппликат
проходит через точку, называемую Международным условным началом (МУН) Эта
точка определена значениями астрономических широт станций Международной служ-
бы широты (МСШ), преобразованной впоследствии в Международную службу движе
ния полюса (МСДП), осреднёнными на промежутке времени 1900 - 1905 г.г. Ось абс-
цисс лежит в плоскости среднего земного экватора и направлена в точку начала счёта
долгот. Точка начала счёта долгот определена средними астрономическими долготами
обсерваторий, сотрудничающих с Международной службой вращения Земли (МСВЗ).
Ось ординат дополняет систему до правой тройки векторов (рис.11).
Тогда положение точки земной по-
верхности । можно задать её проекциями на
оси системы координат X^Y^Z, или же
сферическими координатами Л,,Л,,Ф,
(R, — геоцентрическое расстояние до точ-
ки I, Л,,Ф, — средние геоцентрические
долгота и широта точки Г).
При решении задач космической
геодезии приходится использовать также
мгновенную геоцентрическую гринвич-
скую систему координат, которая строится
следующим образом. Начало этой системы
совпадает с центром масс Земли, ось ап-
пликат направлена по мгновенной (истин-
ной) оси вращения Земли, ось абсцисс ле-
Рис. 11. Средняя и мгновенная
гринвичские системы координат
22
Системы отсчета
жит на пересечении плоскости мгновенного земного экватора и плоскости мгновенного
начального меридиана, проходящего через мгновенный полюс и точку начала счёта
долгот, ось ординат дополняет систему до правой.
Положение точки i земной поверхности в этой системе можно задать сё проек-
циями на оси координат X,,Y,,Z, или же сферическими координатами Я,,Л,,Ф,.
Учёт движения земных полюсов
Различие в ориентировке мгновенной и средней геоцентрических систем коор-
динат вызвано движением земных полюсов. Если ориентировку осей мгновенной сис-
темы координат относительно средней системы координат задать утлами Кардано
E,,£f,E. = 0, то преобразование координат ATZ к координатам XY7. осуществляется
посредством двух поворотов. Математически эти преобразования с учётом малости
углов записываются в виде-
( 1 0 £у Yx'
Y = 0 1 -ех | Y
Z. J -еу ек 1 J,Z ?
Положение мгновенного полюса относительно среднего в настоящее время при-
нято задавать в плоской прямоугольной системе координат ху, при этом начало систе-
мы совпадает с положением среднего полюса Р, ось абсцисс направлена по касатель-
ной к среднему начальному меридиану, ось ординат — под прямым углом к западу. Из-
за малости углов можно принять = ур, а е = хр. Тогда
( 1
У - О
,Z )
О
1
Ур
~Ур Г
1 V,
Матрицу П называют матрицей движения полюсов. Координаты мгновенного
полюса относительно среднего полюса хг,ур регулярно публикуются в бюллетенях.
Первоначально координаты полюса вычисляли по результатам астрономических на-
блюдений на обсерваториях МСДП из решения по методу наименьших квадратов урав-
нений вида:
Д <рР = -х,, cos Л + уР sin Л,
где
Дфл = <Р-Ф
В настоящее время координаты полюса вычисляют по результатам лазерных
наблюдений ИСЗ и Луны, доплеровских наблюдений ИСЗ и радиоинтерференционных
наблюдений квазаров.
23
Системы отсчёта
Связь между истинными равноденственными и мгновенными
гринвичскими координатами
Положение внешней относительно Земли точки, например, спутника s, можно
задать в мгновенной геоцентрической гринвичской системе координат проекциями
X4,P,,Z, или сферическими координатами Л,,у4,34 (у, = 24*-^).
Можно ввести также мгновенную топоцснтрическую гринвичскую систему ко-
ординат, отличающуюся от мгновенной геоцентрической гринвичской системы лишь
положением начала, которое в этом случае совмещается с пунктом земной поверхно-
сти, тогда положение точки задаётся прямоугольными координатами X', У,', Z' либо
полярными координатами ,5„ .
Различие в ориентировке осей истинной равноденственной и мгновенной грин-
вичской систем координат вызвано суточным вращением Земли вокруг своей оси
(рис 12). Переход от координат xyz к координатам XTZ осуществляется единственным
поворотом вокруг оси аппликат на угол часового угла истинной точки весеннего равно-
денствия относительно истинного начального меридиана, который, как известно, явля-
ется мерой истинного звёздного гринвичского времени S.
COSS’ sin S О'
S = - sin S cosS
, 0 0
0 — матрица суточно-
Рис. 12 Истинная равноденственная
и мгновенная гринвичская
системы координат
го вращения Земли.
Истинное звёздное гринвичское время
S' вычисляется по формуле (2.13).
Геодезические и прямоугольные координаты
Исходной системой координат, в которой задаются положения пунктов на по-
верхности Земли является геодезическая, определяемая принятым общеземным эллип-
соидом, например, рекомендованным XVII Генеральной ассамблеей Международного
геодезического и геофизического союза (Канберра, 1979 г.) Новая Геодезическая сис-
тема относимости (1980) задаётся параметрами:
аг - 6378131м — большая полуось общеземного эллипсоида,
GE = Ц = 3.986005 10й ж’с-2 — геоцентрическая гравитационная постоянная.
= 0.00108263 — коэффициент второй зональной гармоники геопотенциала,
О) = 7.292115 10’’с-1 —угловая скорость вращения Земли.
Этим значениям соответствуют
Ь = 6356752.3141м — малая полуось общеземного эллипсоида,
f = 1/298.257222101 — сжатие.
В этой системе (рис. 13) координаты точек земной поверхности задаются геоде-
зической широтой В (угол между нормалью к эллипсоиду, проходящей через данную
24
Системы отсчёта
точку и плоскостью экватора эллипсоида), геодезической долготой L (двугранный угол
между плоскостью начального меридиана, проходящей через малую ось эллипсоида и
точку начала счёта долгот и плоскостью меридиана пункта, проходящей через пункт и
малую ось эллипсоида), геодезической высотой Н (длина нормали от эллипсоида до
пункта). Эллипсоид ориентируется так, что бы его малая ось проходила через Между-
народное Условное Начало.
Переход от геодезических эллипсоидальных координат B,L,H к прямоуголь-
ным X,y,Z осуществляется по формулам:
Рис 13. Прямоугольная и эллипсоидальная
общеземные системы координат
X=(N + Я) cos В cost,
У =(W + tf)cosSsinL,
Z = [tf(l-e2) + //]sinS,
N^aJ^V-e1 sin2 5,
₽2=2/-/2,
где
N — радиус кривизны первого вертикала
эллипсоида в данной точке;
е — эксцентриситет меридианного эллипса;
f — сжатие эллипсоида.
Обратный переход от прямоугольных
координат X,Y,7. к эллипсоидальным
В, L, Н осуществляется немного сложнее
перехода от прямоугольных координат к
полярным. Известно несколько способов
этих преобразований. Рассмотрим два из
них.
Геодезическая долгота вычисляется
просто:
Y
L = arctg--.
Геодезическую широту можно вычислить по формуле Боуринга
Z + aee'sin3 О
tgB - -j»- - ----------— ,
JX2 + Y2 - ае cos в
в которой е - е/-Ji-е2 , а в находится из выражения
lge = -----JL---------
Наибольшая ошибка определения широты этим методом не превосходит 0.00172”.
Для вычисления геодезической широты можно воспользоваться также методом
последовательных приближений. В первом приближении геодезическую широту вы-
числяют по приближённой формуле:
25
Системы отсчёта
В последующих приближениях широту вычисляют итерациями по формуле
Z ае2 sin Bi_l
В“ ~ arC‘g[ -Jx2+Y2 + Jx2 + Y2 ф - е2 sin2 В„
После вычисления геодезической широты с заданной точностью (для достиже
ния точности 0.01” обычно бывает достаточно трех - четырёх приближений), можно
найти геодезическую высоту, например, но формуле:
Н = -J*2 + У2 cos В + Zsm В - ajl-e2 sin2
Связь между общеземной и референциой системами координат
В общем случае начала общеземной и референциой систем координат не совпа-
дают, имеет место также различие в ориентировке осей этих систем координат (рис. 14).
Если воспользоваться углами Кардано, то связь между рассматриваемыми сис-
темами координат будет:
( 1 -£.•
У =т £, 1
Z t -еу
-£, • Y, + ДУ
1 Z &Z
J \ \
В этих соотношениях учтён ещё масштабный множитель т. Часто т представляют в
виде т =1 + [} 0. Тогда формулы преобразования будуг:
х = х, + рах, -£.Уг+£,г, т ДХ,
Y=Y, i p„Y, + £1Xr-£,Zr+^Y ,
Z = Z, +P„Z, -£yXr+£,Yr+bZ
Рис. 14. Общеземная и референцная
прямоугольные системы координат
26
Системы отсчета
Часто возникает задача по определению параметров преобразования координат
В этом случае систему уравнений удобно записать в виде:
' 0 Z, -Уг X, 1 0 o' £г (х-хд
-Z, 0 X, Yr 0 1 0 ft' = у-у.
У, - хг 0 z. 0 0 1 ьх 2~z'>
ДУ
Легко видеть, что для определения семи параметров преобразования необходи-
мо располагать координатами минимум трёх пунктов в обеих системах координат.
27
Нсвозмушбнное движение ИСЗ
Если я видел дальше других, то потому,
что стоял на плечах гигантов.
Ньютон
3. Невозмущённое движение ИСЗ
Дифференциальные уравнения движения ИСЗ
Законы Кеплера
Невозмущённое движение спутников называют еще кеплеровым движением, так
как оно подчиняется трём законам, открытым в 1609 - 1618 годах немецким астроно-
мом Иоганом Кеплером. Эти три закона были открыты Кеплером на основе результа-
тов обработки наблюдений Марса, выполненных датским астрономом Тихо Браге.
Применительно к движению планет Солнечной системы законы Кеплера можно сфор-
мулировать следующим образом:
1) . Каждая планета солнечной системы движется по эллипсу вокруг Солнца, нахо-
дящегося в одном из его фокусов;
2) . Площадь, заметаемая гелиоцентрическим радиус-вектором планеты, пропорцио-
нальна времени;
3) . Отношение квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца пропорционально
отношению кубов их больших полуосей.
Эти знаменитые законы Кеплера можно вывести из интегрирования дифферен-
циальных уравнений движения. Более того, великому английскому учёному Исааку
Ньютону этим методом удалось уточнить третий закон Кеплера.
Законы Ньютона
Вывод дифференциальных уравнений движения ИСЗ основан на трёх законах
Ньютона и законе всемирного тяготения Ньютона, заложивших основы динамики. Три
закона Ньютона можно сформулировать следующим образом:
1) каждое тело остаётся в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного дви-
жения, пока оно не будет выведено из этого состояния под действием силы, прило-
женной извне;
2) скорость изменения импульса тела пропорциональна приложенной силе и направле-
на вдоль линии действия силы;
3) каждому действию соответствует равное и противоположно направленное противо-
действие.
Пусть
dr i </v d2r s
r, v- — = r, a=—— =—г = г.
dt dt dt2
обозначают положение, скорость и ускорение тела массы т. Тогда импульс (или коли-
чество движения) тела равен тг , а его кинетический момент равен тг х г . В вектор-
ных обозначениях соотношение mf - F объединяет первый и второй законы Ньютона
[26].
28
НспозмущСнное движение ИСЗ
Ньютонов закон всемирного тяготения формулируется следующим образом: ка-
ждая частица вещества во Вселенной притягивает каждую другую частицу вещества с
силой, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними.
где G - гравитационная постоянная (впервые определена Г. Кавендишем в 1798 г.), чис-
ленное значение которой в настоящее время принято равным
G = (6.6720 ±0.0041) • 10'" лЛг-'е’2.
Дифференциальные уравнения движения ИСЗ в прямоугольных координатах
При выводе дифференциальных уравнений движения будем считать Землю и
спутник в виде материальных точек соответствующей массы, которые движутся друг
относительно друга лишь под действием сил взаимного притяжения. Такое движение
называется невозмущённым.
Рис. 15. Векторы, определяю-
щие положение двух тел
На рис. 15 сила притяжения Fe, действующая на
Землю, масса которой т®, направлена вдоль вектора г в
сторону спутника, масса которого т , в то время как сила
F , приложенная к т , действует в противоположном на-
правлении.
На основании третьего закона Ньютона
(Fe= -F ) и закона всемирного тяготения можно записать
выражения для сил, действующих на Землю и на спутник
[26]:
F.=-F =G
Будем рассматривать движение Земли и спутника в не вращающейся прямо-
угольной системе координат, начало которой совместим с некоторой произвольной
фиксированной точкой О. В этой системе координат положения Земли и спутника бу-
дут задаваться векторами Ra и R, направленными из точки О к телам с массами т9 и
т соответственно. Система координат, связанная с точкой О, будет инерциальной и,
значит, в этой системе координат будет справедлив второй закон Ньютона. Следова-
тельно, уравнения движения тел относительно точки О под действием сил взаимного
притяжения принимают вид:
й „ т»т -
m^Ra -G—— г
Г • (3.1)
- ттт _
mR = -G-^-r
Необходимо отметить, что массы в левых и правых частях равенств (3.1) выра-
жают различные свойства тел. Массы в левых частях характеризуют инерционные
свойства тел и называются инертными массами. Массы в правых частях характеризуют
29
________________Нсвозмушённое движение ИСЗ
способность тел притягивать другие тела и притягиваться ими и называются тяжёлыми
или гравитационными массами. Существует, однако, фундаментальный закон природы,
в соответствии с которым инертная и тяжёлая массы пропорциональны друг другу. При
надлежащем выборе единиц измерения эти массы будут просто тождественны Эквива-
лентность инертной и тяжелой масс проверял ещё сам И. Ньютон, измеряя периоды ко-
лебаний математического маятника. С помощью крутильных весов Л. Этвеш доказал
справедливость принципа эквивалентности с точностью до 10 8; Р. Дикке довёл точ-
ность до 1О"10; В.Б. Брагинский - до 10'|г. Вот почему для масс в левых и правых час-
тях (3.1) использованы одни и те же обозначения.
Сложим почленно (3.1) и после двукратного интегрирования получим:
mR — at + b ,
где а,Ь - произвольные постоянные интегрирования.
Введя радиус-вектор центра масс системы
+ mR
т9 + т
можно записать
at + b - а
_ , К =-----------
т9 + т т№ + т
(3.2)
Из (3.2) следует, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно.
Вычитая первое уравнение из второго в (3.1) и учитывая, что R- R& = г , полу-
чим дифференциальные уравнения относительного невозмущённого движения в век-
торной форме:
(3.3)
где
ц - G(ms +m)= С/иф - геоцентрическая гравитационная постоянная.
Масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой Земли, поэтому
центр масс системы практически совпадает с центром масс Земли и, следовательно,
геоцентрическую равноденственную систему координат, отнесённую к определённой
эпохе, например, к эпохе 2000.0 года, можно считать инерциальной. В координатной
форме уравнения движения выглядят:
г
У = ~И^. (3.4)
Г
Z
2^-11-^
и т
Введем функцию U =------, которую называют силовой функцией в силу того, что ча-
стные производные от неё по координатам равны проекциям силы на соответствующие
оси координат. Заметим также, что силовая функция, взятая с обратным знаком, чис-
30
НевозмущСннос движение ИСЗ
ленно равна потенциальной энергии. Тогда уравнения движения (3.4) можно записать в
виде:
.. д U
тх = ™—
д х
(х-+ y,z).
Если ввести кинетическую энергию Т, выражаемую формулой
7' = ^(x2+/ + z2),
то левые части уравнений движения в (3.5) можно записать в виде:
Д<?х )
(3.5)
(3.6)
тх
(x->y,z).
(3.7)
И тогда уравнения движения можно представить следующим образом:
dt р х )' д х
(х->у,г).
(3.8)
Введя теперь так называемую функцию Ла|ранжа, представляющую собой раз-
ность кинетической и потенциальной энергий L-T + U и имея в виду, что U не зави-
сит от скоростей, а Т нс зависит от координат, уравнения движения можно записать:
dpp 31.
dt р х J 3 х
(х-> y,z).
(3.9)
Ковариантная форма уравнений движения
Форма записи дифференциальных уравнений движения называется ковариант-
ной, если она не зависит от вида используемых систем координат. Для вывода кова-
риантной формы дифференциальных уравнений движения выразим прямоугольные ко-
ординаты точки (спутника) х, у, z в виде функций от п произвольных координат q
(например, полярных, цилиндрических или каких-нибудь других координат) и времени
t. Эти произвольные координаты называют по предложению Лагранжа обобщёнными
координатами, а их производные по времени - обобщёнными скоростями.
(х-> y,z).
Тогда имеет место соотношение:
ах v а х .
3 t + 3 qrq'
Для любого q (например, для qt) получаем
31
Не воз мущСн нос движение ИСЗ
д X д X
д q„ d q„
Покажем, что форма дифференциальных уравнений движения (3.9) не изменится
при использовании вместо прямоугольных любых других координат. Для этого диффе-
ренцируем (3.6) частным образом по обобщённым координатам и обобщённым скоро-
стям:
д Г _ (. <9 х . д у д z 'l
Чк V д Чм +У д 4„+Z д qk)
д Т ( . д х . д у . <9 z
Тогда
d( dT \ Г... dx .. d у
— —- =т (х— + у-—
1 I oqk
* dx * . ду + . dz
dqk <?4t dqk
dU dx
Эх dqk
dU ду dU dz
ду dqk dz dqk
dU дТ
dqk dqk
Вводя опять функцию Лагранжа L-=T + U и имея в виду, что U не зависит от обоб-
щённых скоростей qk, уравнения движения можно записать:
<?L )_ dL
Л| dqk I dqk
k= 1,2....n .
(3.10)
Ковариантная форма уравнений движения (3.10) называется также уравнениями
Лагранжа второго рода или уравнениями Эйлера - Лагранжа. Имея в виду, что частная
производная от функции Лагранжа по обобщённым координатам представляет собой
обобщённую силу, а частная производная от функции Лагранжа по обобщённым скоро-
стям - обобщённый импульс, то уравнения (3.10) есть не что иное, как математическое
выражение в общем виде второго закона Ньютона.
Интегрирование дифференциальных уравнений невозмущённого
движения
Уравнения невозмущённого движения представляют собой систему трёх диффе-
ренциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы должно дать шесть
интегралов и шесть произвольных постоянных. Эти шесть интетралов, называемые в
небесной механике первыми интегралами, представляют собой функции координат и
скоростей, не изменяющиеся в процессе движения (9].
Интегралы площадей
Умножив уравнения движения г = -Д-у векторно на г, получим уравнения
32
НсвозмущСнное движение ИСЗ
О,
которые легко интегрируются:
г кг= с.
(З.П)
Компонентами вектора с являются произвольные постоянные интегрирования.
Заметим, что (3.11) выражает постоянство кинетического момента. Записав векторное
произведение в левой части (3.11) в виде определителя, а правую часть представив в
координатной форме
7 к
У Z
У z
= 1с, +}с2 +ксу ,
(3.12)
получим выражения для постоянных интегрирования:
(3.13)
Умножая теперь первое уравнение па х , второе - на у, третье - на z, и суммируя
результаты, получим уравнение
с, х + с2 у + с3-2 = 0 , (3.14)
представляющее собой уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
Рис. 16. Геоцентрические средняя равноденствен-
ная и орбитальная системы координат
Это означает, что невозмущённая орбита
ИСЗ лежит в плоскости, проходящей через
центр масс Земли. Уравнение (3.14) можно
записать и в векторной форме с • г = 0, из
которого следует, что плоскость орбиты
перпендикулярна вектору с. Так как не-
возмущённая орбита является плоской
кривой, то уравнения движения удобно за-
писать в геоцентрической орбитальной
системе координат xQyn za (рис. 16). Ось
абсцисс этой системы координат направ-
лена по линии пересечения плоскости ор-
биты с плоскостью экватора, ось аппликат
направлена по нормали к плоскости орби-
ты, а ось ординат дополняет систему до правой тройки векторов:
(3-14)
Тогда (3.12) примет вид:
zu =0
33
НснозмушСннос движение ИСЗ
' 7 *
*о Уа 0
Уа О
и вместо трёх интегралов (3.13) получим один интеграл
(3.16)
хпУа ~ *“ с
Выразим прямоугольные координаты xQ,yn через полярные г, и .
xQ - г cos и,
уа — г sin и.
Тогда выражение для с будет:
(3 17)
Левая часть (3.17) представляет собой удвоенную сскториальную скорость. Сек*
ториальной скоростью называется площадь, заметаемая радиус-вектором в единицу
времени. Таким образом, можно заключить, что в процессе невозмущённого движения
секториальная скорость остаётся неизменной величиной, и (3.17) представляет собой
математическое выражение второго закона Кеплера, в соответствии с которым радиус -
вектор за одинаковые промежутки времени заметает одинаковые площади. В связи с
этим интегралы (3.13) и называются интегралами площадей.
Интеграл энергии
Умножим уравнения движения г = -д — скалярно на 2г :
(3.18)
Учитывая, что
произведем замены в левой и правой частях (3.18) и после интегрирования, найдем:
=^+А.
(3.19)
Здесь v - орбитальная скорость, h - новая произвольная постоянная, называемая по-
стоянной энергии.
Найденный интеграл представляет собой закон сохранения энергии в системе
Земля - ИСЗ, поэтому его и называют интегралом энергии.
34
Невозмущённое движение ИСЗ
Интегралы Лапласа
Если найти такую функцию, вторая производная по времени от которой по фор-
ме имела бы такой же вид, что и вторая производная ио времени от радиус-вектора в
уравнениях невозмущённого движения ИСЗ г = -Ц -у, то система проиптегрируется
методом разделения переменных. Оказывается, что такой функцией является функция
D.
D = r- r~xx + yy+zz. (3.20)
Запишем первую и вторую производные по времени от функции D.
£> = x2+y2+z2+xx + yy + zz = v2-- = - + A. (3.21)
иг D
О = = (3.22)
Сравнивая (3.22) с уравнениями невозмущённого движения, можно записать но-
вые дифференциальные уравнения
Ьг-Ь? = 0, (3.23)
инте!рируя которые получим:
Dr - Dr = f, (3.24)
где компоненты вектора / - произвольные постоянные интегрирования, которые назы-
ваются постоянными Лапласа.
Уравнения (3.24) можно представить в координатной форме:
Ьх - Dx = /(
Dy - Dy = /,. (3.25)
Dz-Dz = fy
Эти уравнения называются интегралами Лапласа.
Итак, в результате интегрирования уравнений невозмущённого движения найде-
ны семь первых интегралов - три nirreipana площадей, интеграл энергии, три интеграла
Лапласа, т.е. как будто даже больше, чем надо, поскольку общий интеграл системы
должен состоять из шести независимых интегралов. Однако найденные семь интегра-
лов не могут составить общего интеграла системы, так как ни один из этих интегралов
не содержит времени, и эти семь интегралов не являются независимыми.
Найдем два тождественных соотношения, существующих между этими интегра-
лами.
Для этого интегралы площадей
35
Невозмущённое движение ИСЗ
умножим на интегралы Лапласа
и результаты просуммируем.
Тогда получим:
Ох-Ох = /1,
Ь у-D y = f„
Ь z~Dz^ f\,
или в векторной форме
ci/i c?fi + ~ 0 •
с 7 = 0.
(3.26)
(3.27)
Из найденного выражения (3.27) следует, что вектор Лапласа лежит в плоскости
орбиты, поскольку вектор площадей перпендикулярен плоскости орбиты.
Для вывода второго соотношения возведём в квадрат интегралы площадей и ин-
тегралы Лапласа. В результате получим:
(3.28)
Из (3.28) после несложных преобразований следует второе соотношение:
fx + ft + fy = + htf + с’ + с23).
(3.29)
Инте1рал орбиты
Запишем уравнения движения в ковариантной форме:
Так как невозмущённое движение представляет собой плоскую кривую, то в ка-
честве обобщённых координат удобно использовать полярные координаты
<7, =г,<?2 =н.
Записав квадрат орбитальной скорости в виде
Л.2
Невозмушённое движение ИСЗ
функция Лагранжа будет:
т(г2 + г2й2) Цт
(3.30)
Взяв необходимые производные от функции Лагранжа
д L d (д L\ д L . / '2 2/ \
Тг= тг’ = “ ^7 )
уравнения движения запишутся в виде системы из двух уравнений:
(3.31)
Второе уравнение системы (3.31) интегрируется сразу и даёт уже известный нам
интегразг площадей:
Для удобства интегрирования первого уравнения системы (3.31) воспользуемся
правилом дифференцирования сложной функции и сделаем подстановку Бине V = —
г
[32]. Тогда первую и вторую производные по времени от г можно представить в виде:
dv
, - 'с—>
du dt г du du du
dr du _ C c1 d2v _ ,,d2V
du dt r2 du r2 du2 du2
В результате таких преобразований первое уравнение в (3.31) упрощается
d2V
-гт + v
(3.32)
и легко интегрируется. В результате интегрирования (3.32) и обратного перехода к г
получим:
Р
1 + ecos(u- со) ’
(3.33)
где
е и со - новые произвольные постоянные интегрирования.
Полученный интеграл называется интегралом орбиты. Уравнение (3.33) пред-
ставляет собой уравнение конического сечения, а это означает, что орбита может быть
37
Невозмушённое движение ИСЗ
окружностью, эллипсом, параболой или гиперболой. Следовательно, (3.33) является
обобщённым математическим выражением первого закона Кеплера.
Геометрия движения по эллипсу
Коническим сечением называет-
ся кривая, по которой пересекает кру-
говой конус произвольная плоскость,
не проходящая через его вершину
Каждое коническое сечение, кроме
окружности, представляет собой гео-
метрическое место точек плоскости,
отношение расстояний которых от
некоторой точки F (фокус) и некото-
рой прямой 5 (директриса) постоянно
и равно е (эксцентриситет) (рис. 17)
[33]. В этом фокусе находится притя-
Уш б
а/е
Рис 17. Геометрия движения по эллипсу
гивающее тело. Второй фокус F’ эллипса будем называть пуст ым. Ближайшая к фокусу
Сточка эллипса 17 называется перигеем (или перицентром в общем случае), а наиболее
удалённая от этого фокуса точка эллипса А называется апогеем (апоцентром). Прямая,
проходящая через перицентр и апоцентр называется линией апсид. Расстояние от фоку-
са до перицентра называется перигейным расстоянием q, а от фокуса до апоцентра -
апогейным расстоянием Q. Длина перпендикуляра к линии апсид от фокуса до точки
эллипса называется фокальным параметром р. Угол между линией апсид и направлени-
ем на точку s (спутник) эллипса называется истинной аномалией О. Угол между на-
правлением на восходящий узел и на спутник называется аргументом широты и.
Непосредственно из рисунка видно, что
откуда
При 0 = 0
p = r(l + ecostf) , (3.34)
Р (3.35)
1 + с-cos г?
(3.36)
Имея в виду второе определение эллипса (сумма расстояний от фокусов до те-
кущей точки эллипса есть величина постоянная и равна удвоенному значению большой
полуоси 2а), можно записать:
Отсюда
И тогда
Очевидно также
Ь - малая полуось.
а/е = a + q/e.
q - а(1 - е).
р = а(1-е2).
b = a-Jl-e2 ,
(3.37)
(3-38)
(3.39)
38
Нсвониущеннос движение ИСЗ
Сравнивая (3.35) с (3.33), замечаем, что
(3.40)
(3.41)
Угол ш называется аргументом перицентра; это угол между направлением на
восходящий узел орбиты спутника и направлением на перицентр орбиты.
Из интегрирования дифференциальных уравнений движения можно вывести и
третий закон Кеплера. Если с - п ab - площадь эллипса, то удвоенная секториальная
скорость равна [15J:
_ 2л ab
С= Т ’
где Т - период обращения.
Так как с - -^р а(1 - е2), а Ь = ау/Т-~г2 , то из (3.42) найдём формулу
Т2 4л 2
а' ~ Р
(3.42)
(3.43)
представляющую собой математическое выражение третьего закона Кеплера: отноше-
ние квадрата периода обращения к кубу большой полуоси - величина постоянная. В
(3.43) ц представляет собой произведение гравитационной постоянной на сумму масс
притягивающего и притягиваемого тел. В этом и состоит уточнение Ньютона третьего
закона Кеплера.
„ In Jp „
Величину — = —?= - п называют средним движением по эллиптической орбите.
Т aja
Уравнение Кеплера
Рис. 18. Истинная и эксцентрическая аномалии
Введём вначале эксцентрическую
аномалию Е (рис. 18). Для этого из центра
эллипса опишем окружность радиусом
большой полуоси. Из текущего положе-
ния спутника на орбите опустим перпен-
дикуляр на линию апсид и продолжим его
до пересечения с окружностью. Угол ме-
жду линией апсид и прямой Os’ и называ-
ется эксцентрической аномалией.
Введём плоскую правую прямо-
угольную систему координат, начало ко-
торой поместим в непустой фокус эллип-
са, а ось абсцисс направим в перицентр
эллиптической орбиты.
Прямоугольные координаты текущих точек эллипса в этой орбитальной системе
координат через истинную аномалию выражаются просто
то
Невозмущённое движение ИСЗ
Ха - Г COS .
(3.44)
уы --= г sin г?.
(3.45)
Используя уравнение орбиты (3.35), можно написать
г-п(1-е!)-ех„.
(3.46)
Выразим теперь прямоугольные координаты текущих точек эллипса через экс-
центрическую аномалию. Непосредственно из рис. 18 видно, что выражение для абс-
циссы есть:
х„ = a(cos Е - е).
(3.47)
Подставив (3.47) в (3.46), получим
г = а(1 ecos£).
(3.48)
Теперь можно найти выражение для ординаты
Уи = Jr2 - х„2 - a sin E-Ji-e2 .
(3.49)
Нам потребуются также скорости изменения координат, выражения для которых
получим дифференцированием (3.47) и (3.49)
= -аЁ sm Е
уа - ау/Т- е2 Ё cos Е
(3.50)
В интеграле площадей
(3.51)
сделаем замены с помощью (3.47), (3.49), (3.50). Тогда (3.51) запишем в виде:
(l-ecos£)£ = п.
(3.52)
Интегрируя последнее выражение, получаем уравнение Кеплера:
£=A/+esin£, (3.53)
где
М - n(t - т) - средняя аномалия,
т - произвольная постоянная интегрирования, которую называют моментом прохожде-
ния через перицентр.
Уравнение Кеплера решается методом последовательных приближений
40
невозмущснжк: движение nvj
£„ = М
Et = М +esm £0
(3.54)
Ек-М + esin Ек
Уравнение Кеплера связывает эксцентрическую и среднюю аномалии. Выведем
формулу, связывающую истинную и эксцентрическую аномалии. Из сравнения (3.44) и
(3.47) можно записать:
г cos I? = a(cos Е - е).
(3.55)
Сначала вычитая, а потом складывая почленно (3.48) и (3.55), получим
r(l - cosd) = а(1 + е)(1 - cos £).
г(1 + cos г?) = а(1 - е)(1 + cos Е).
(3.56)
(3.57)
Откуда, разделив (3.56) на (3.57), имеем
file Е
11 - е 2
(3.58)
11олезной в некоторых случаях может оказаться также формула, выведенная
Брукке и Чевола:
esin Е
l + Vl-e2 -ecosE
<3.59)
Кеплеровы элементы орбиты
В результате интегрирования дифференциальных уравнений движения на задан-
ный момент времени t получают скорости x,y,z и координаты х, у, z спутника, которые
полностью характеризуют движущуюся точку в пространстве. Часто, однако, вместо
координат и скоростей используют кеплеровы элементы орбиты, которые также задают
положение и движение спутника.
Рис. 19. Кеплеровы элементы орбиты
Пусть спутник движется по эл-
липтической орбите. Тогда большая по-
луось эллипса а характеризует размер
орбиты, а эксцентриситет эллипса е -
форму орбиты. На рис. 19 показана про-
екция части эллиптической орбиты
(изображается дугой большого круга) на
вспомогательную сферу. Ориентировку
орбитальной плоскости в пространстве
(относительно равноденственной сис-
темы координат xyz) задают два угла (2
и i.
(2 — долгота восходящего узла (угол
между осью х геоцентрической средней
41
НевспмущСнное движение ИСЗ
равноденственной системы координат и линией пересечения орбитальной плоскости с
плоскостью ху. Эта линия называется линией узлов) 0 < £2 < 2л .
। — наклон орбиты к плоскости экватора (двугранный угол между плоскостью ху и
орбитальной плоскостью или сферический угол между дугой экватора и проекцией ор-
биты на вспомогательную небесную сферу) О S / < л.
Ориентировка орбитального эллипса в плоскости орбиты задаётся углом а>.
ш — угол между направлением на восходящий узел орбиты и направлением на пери-
центр орбиты или дуга проекции орбиты на вспомогательную небесную сферу от вос-
ходящего узла до перицентра. (О < а> < 2л).
Положение спутника на орбите можно задать истинной аномалией i?
(0<й<2л) либо аргументом широты и (0<и<2л). Вместо 1? и и используются так-
же либо эксцентрическая аномалия Е (0 < Е < 2л), либо средняя аномалия М
(О < М < 2л).
Связь элементов орбиты с постоянными интегрирования
Установим сначала ориентацию вектора Лапласа Для этого запишем скалярное
произведение геоцентрического радиус-вектора и вектора Лапласа.
г f = Ьг2 - Drr = с2 - цг. (3.60)
Из определения скалярного произведения имеем также
f f = rf cos.{r,f). (3.61)
Приравнивая правые части (3.60) и (3.61), получаем опять уравнение орбиты
Д
l + ^cos(f,/)
(3.62)
Сравнивая (3.62) с (3.33), замечаем, что
е=д< <3-63)
Рис. 20. Связь элементов орбиты
с постоянными интегрирования
(3.64)
Из (3.64) следует, что вектор Лапла-
са направлен в перицентр орбиты..
Найдем теперь связь постоянных
площадей и Лапласа с кеплеровыми эле-
ментами орбиты.
Из рис.20 видно, что алгебраические про-
екции вектора площадей на оси координат
выражаются следующими формулами:
с, = с sin i sin £2
сг = -с sin i cos £2, (3.65)
c3 = ccosi
42
Невозмущённое движение ИСЗ
где
с = у1ца(\-е2).
(3.66)
Алгебраические проекции вектора Лапласа на координатные оси есть
- /(cos£2cosft)-sinf2sintacosr)
/2 = /(sin cos <0 + 005 sin ш cos г),
fs — f sin co sin i
(3.67)
где
(3.68)
Из соотношения (3.29) с учетом (3.66) и (3.68), для постоянной энергии имеем:
Л
а
(3.69)
Связь координат и скоростей с элементами орбиты
Рис. 21. Средняя равноденственная
и вращающаяся орбитальная системы координат
Для нахождения этих выраже-
ний рассмотрим рис. 21, на котором
показаны геоцентрическая средняя
равноденственная система координат
и вращающаяся орбитальная система
координат, ось абсцисс которой на-
правлена в мгновенное положение
спутника.
Приняв в качестве углов Эй-
лера углы <2 и, г, преобразуем орби-
тальные координаты спутника к
средним равноденственным геоцен-
трическим координатам:
да 1 да
s \ д и sin и д i 7 \
хL в др _\_д_р х‘
У Р ди sinudi У‘
2 ду ’
У ди sin и di.
(3.70)
Учитывая, что во вращающейся орбитальной системе координаты мгновенного
положения спутника выражаются формулами хи = г, уи = 0, zu = 0. получим:
"И
У =r Р
1г,
(3.71)
43
Невозмущённое движение ИСЗ
где
а = cos ft cos и - sin ft sin и cost
P - sin ft cos и + cos ftsin и cos i.
у = sinusin i
(3.72)
Выражения для скоростей получаются дифференцированием формул (3.71):
а") р*'
г Р +г р
d'J (г,
Дифференцируя по времени уравнение орбиты, получим
Вторые члены в уравнениях (3 73) удобно записать в форме
'да/дг'Л
др/М ;
ду/dfi J
где
(3.73)
(3.74)
(3.75)
(3.76)
Тогда
'да/дд'
гecost?) дР/дтд .
Jy/дд >
(3.77)
Вычисление невозмущённой эфемериды
Пусть заданы элементы орбиты а, е, i, ii, ох Мо в момент t0. Требуется на задан-
ный момент времени t вычислить прямоугольные координаты х, у, г и скорости х, у, z
спутника.
1. Вычисляем среднее движение по формуле
в которой р. - геоцентрическая гравитационная постоянная.
2. Вычисляем среднюю аномалию на заданный момент времени
М = Мо ш(1- /0).
Нсвоэмушённог движение ИСЗ_________
3. Задавшись точностью вычислений £, методом последовательных приближений вы-
числяем эксцентрическую аномалию
Еа = М + esin М ,
Ek - М + esinE4_,.
Вычисления прекращаем, когда |р, - .
4. С помощью формул
sin t? =
s/1 - е2 sin Е
I - ecos Е
вычисляем истинную аномалию. Истинную аномалию можно вычислить также по фор-
муле:
5 Вычисляем аргумент широты
и = со +t? .
6. Вычисляем геоцентрическое расстояние до спутника
1 + ecost?
7. Вычисляем прямоугольные координаты спутника.
х = r(cos£2cosu-sin£2sinucosi)
у = /-(sin Cl cos и + cos £2 sin и cos i) .
z = rsinusini
8. Вычисляем составляющие скорости спутника
cos £2 cos u-sin £2 sin u cost
ш
—esint? sin Cl cos u + cos £2 sin и cost
Ip
sinusin I
+ ecos i?)
- cos £1 sin и - sin £2 cos и cos i
- sin Cl sin и + cos £2 cos и cos i
cos и sin i
Вычисление элементов орбиты по координатам и скоростям
Пусть на момент времени г заданы координаты х, у, г и скорости х, у, z спутни-
ка. Требуется вычислить элементы орбиты а, е, i, Q Ci), М на тот же момент времени.
I. Вычисляем постоянные площадей
45
Невозмущениое движение ИСЗ
С, = yz - yz
С г = XZ - XZ
<) = ху - ху
2. Вычисляем фокальный параметр по формуле
в которой р - геоцентрическая гравитационная постоянная.
3. Вычисляем угол наклона плоскости орбиты к плоскости экватора
i - arccos
4 С помощью формул
sin £2 =—!—,
csini
cos £2 =---——
c sin I
вычисляем долготу восходящего узла.
5. Вычисляем квадрат скорости спутника и геоцентрическое расстояние до спутника
6. Вычисляем постоянную энергии
2Ц
7. Вычисляем большую полуось орбиты спутника
h
8. Вычисляем составляющие вектора Лапласа по формулам
f, = Ь • х - D • х,
fi=D y-D y,
f, =Ь z-D 2,
в которых
46
Невозмущённос движение ИСЗ
D = x- х + у- у + z- z,
D = — + h.
Г
9. Вычисляем эксцентриситет орбиты спутника по одной из формул
10. На основании формул
sinw-—-—,
f sin/
/. cosQ+ Д sinQ
Cosco-—-----------
вычисляем аргумент перицентра.
11 С помощью формул
е- г
sint?=_£.g
er)/
вычисляем истинную аномалию.
12. С помощью формул
„ е + cos i?
cos Е = ---------,
I + CCOS1?
sin E = —---------—-
1 + ecos v
вычисляем эксцентрическую аномалию. Эксцентрическую аномалию можно вычислить
также по формуле:
tg
Е
2
13. Вычисляем среднюю аномалию
М = E-esinE-
Вычисление элементов невозмущённой орбиты по наблюдениям спутника с
пункта земной поверхности
Пусть с пункта земной поверхности, координаты которого известны, выполнены
наблюдения спутника и определены топоцентрическис направления и расстояния до
НевотмутЕнное движение ИСЗ
трёх мгновенных положений. В результате вычислены геоцентрические координаты
этих мгновенных положений. Требуется вычислить элементы орбиты спутника. Разра-
ботано много методов определения орбит. Наиболее широко используемым является
классический метод Гаусса. Здесь приводится алгоритм модифицированного метода
Гаусса.
1. Вычисляем угол наклона плоскости орбиты к плоскости экватора
= ik, + jk2 + кк2.
к,
cos 1 - , .
у] к2 + к22 + к2
2. Вычисляем долготу восходящего узла
sin(a - Si) = ctgitgS ,,
, / о\ ‘85 >sin(« 3~«i)
tgS ,-tgS ,cos(a ,-aJ
3. Вычисляем аргумент широты
cos us = cos(a x- Si) cos 8 s,
sin 8 ..
sinw, =—;—=-,
sin/
3=1,2, 3.
4. Вычисляем фокальный параметр
rJsm(u| - u,) + sin(u| - ir2) + sin(u2 - «,)]
P =--------------;------------------------
sin(n2 - Uj) + -- sin(u3 - и,) + — sin(u, - n2)
5. Вычисляем истинную аномалию
^13,=
6.
Вычисляем эксцен триситет орбиты
Р-'s
rs cos t? s '
Невозмущённос движение ИСЗ______________________________
7. Вычисляем аргумент перицентра
О) = U, - I? s.
8. Вычисляем большую полуось орбиты
9. Вычисляем среднее движение
10. Вычисляем эксцентрическую аномалию
или по формулам
е + cos t? с
cos Es =---------- -
l + ecos»5
Vl - e1 sin t? s.
sin = —---------——
1 +ecost? 5
11. Вычисляем момент предыдущего прохождения через перицентр
Es - esin Es
Найденные элементы относят к моменту t0 = (г, + /,)/2 и вычисляют начальное
значение средней аномалии Мо на эпоху to
Возмущенное движение ИСЗ
Великие люди редко бывают изолированными горными пиками,
обычно это вершины горных хребтов.
Хиггинсон
4. Возмущённое движение ИСЗ
Уравнения движения трёх тел
Пусть заданы три точечные массы т9 (масса Земли), т (масса ИСЗ), (масса
возмущающего тела), перемещающиеся в пространстве под действием сил взаимного
притяжения. Требуется вывести уравнения движения этих материальных точек.
Взаимное положение рассматриваемых материальных точек задается тремя векторами:
г - геоцентрический вектор ИСЗ, г геоцентрический вектор возмущающего тела, Д -
спутникоцентрический вектор возмущающего тела. Относительно произвольной
неподвижной точки О положение каждой из материальных точек зададим векторами
Я4, Я, R, (рис.22).
На основании второго закона
П1 Ньютона и закона всемирного тяготения в
векторной форме можно записать:
i: run'll т/п
/ .s' ~ ~~G —J— г + G —Д , (4.1)
я7\. /
_ Д’,'”® т,т -
О mR^-G^-r-G-^-b.
г' 1 а.
Рис. 22. Векторы в задаче трёх тел
В координатной форме (4.1)
представляют собой девять дифференциальных уравнений движения второго порядка,
поэтому при их интегрировании должны получить восемнадцать интегралов и
восемнадцать произвольных постоянных интегрирования. Однако (4.1) до конца не
интегрируются и найдены лишь десять интегралов и десять произвольных постоянных.
Десять известных интегралов
Складывая левые и правые части (4.1), получим дифференциальные уравнения в
векторной форме
шфЯф + mR + т;Я = О,
которые легко интстрируются:
"’фЯф + mR + mjR1
(4.2)
(4.3)
50
Возмущенное движение ИСЗ
т^Й® + тЙ v т1Й/ = at + Ь. (4.4)
Введя радиус-вектор центра масс системы трёх тел Йч и , который задаётся
формулой
тлЙл + тЙ + т Й,
" м-------—< «5)
м
где М = + т 4- т},
получим закон движения центра масс этой системы:
Йул1 =(at + b)/M, (4.6)
4- =S/M. (4.7)
В координатной форме имеем шесть постоянных интегрирования, отражающие
тот факт, что центр масс системы перемещается прямолинейно и равномерно.
Умножим каждое из уравнений (4.1) векторно соответственно на Я*,/?,R, и
сложим левые и правые части:
теЙя х + тЙ х Й-t- т/Й/ х Й) - 0. (4.8)
Интарируя (4.8), получим
т*Й9 х Лв + тЙ х Й + т,Й, х Й/ = С. (4.9)
Вектор С определяет плоскость, называемую иногда неизменяемой плоскостью
Лапласа. В координатной форме имеем ещё три постоянные интегрирования.
Умножаем каждое из уравнений (4.1) скалярно соответственно на Й^,Й, Й/ и
складываем:
ИфАф Йа+тЙ Й + т/Й/ Й1 = -О'^^(лв-Я)[лв-я)-
-G^-(^ - яДД, ~ - Я,)(я Л,)
Последнее уравнение можно записать и в такой форме
I <7 _ д д д д д d т,т тя,т. тт,
R9+mR R + m)R) RJ)-G—(-^-¥-^-!-+--^) = O, (4.11)
2 dt dt г гД
что позволяет его сразу же проинтегрировать:
51
Возмущенное движение ИСЗ
1 ~ - - - - т~т тт,
— (m-R® R9 + mR R+mR-R,)-G(-*- + = H .
2 ' r r A
(4.12)
В полученном уравнении
—(/ИфЛ<1> R9 + mR• R + mlRl R,)= T - кинетическая энергия.
„,тет m9m mm
- G(----+------4----) = -и - потенциальная энергия,
г г A
поэтому коротко можно записать
T-U = H, (4.13)
Н - ещё одна произвольная постоянная интегрирования, означающая, что полная
энергия системы трёх тел постоянна.
Уравнения относительного движения
При решении задач космической геодезии используются, в основном, уравнения
относительного движения (движение спутника относительно центра масс Земли). Для
вывода таких уравнений из (4.1) выпишем дифференциальные уравнения движения для
Земли и для спутника:
(4.14)
(4.15)
Вычитая одно из другого, получим в векторной форме дифференциальные
уравнения движения спутника относительно центра масс Земли:
(4.16)
Введем скалярную функцию R)t которую называют возмущающей или
пертурбационной функцией
(4.17)
Тогда уравнения движения можно переписать в виде:
г = grad(w0 + Я,),
(4.18)
52
Возмущённое движение ИСЗ
где
_ + /п) _ Gm* _ Д
"о ~
(4.19)
Дифференциальные уравнения возмущённого движения
При выводе дифференциальных уравнений относительного движения ИСЗ под
действием сил взаимного притяжения трёх тел (4.18) все тела рассматривались в виде
материальных точек. В действительности Земля не представляет собой ни точку, ни
идеальный шар с равномерным распределением плотности, поэтому силовая функция
будет отличаться от на величину R. Назовем эту величину возмущающей или
пертурбационной функцией и запишем
w = и; + r .
(4.20)
Будем считать, что R включает в себя отличие гравитационного потенциала
реальной Земли (геопотенциала) от гравитационного потенциала Земли шарообразной
с равномерным распределением плотности Л® и приливную возмущающую функцию
Я„р. т е.
= R* + Rnp.
Кроме того, помимо сил притяжения на спутник в полёте действуют и другие
силы, вызывающие дополнительные возмущающие ускорения ^5 г (от
сопротивления атмосферы, светового давления, переизлучения от Земли солнечной
радиации, релятивистские ускорения и другие), поэтому дифференциальные уравнения
возмущённого движения ИСЗ запишем в виде:
(4.21)
Формы представления геопотенциала
Разложение геопотенциала в ряд по сферическим функциям
Рис. 13. К определению
потенциала твердого тела
во внешней точке
По определению потенциал произвольного
твёрдого тела (в данном случае Земли) во внешней точке в
системе координат ХП., связанной с центром масс тела
(рис.23), представляет собой ин гетрал
г р d т
-1T = -G|-—, (4.22)
(г) г
в котором р — плотность, аг — объём тела.
В дальнейшем будем раскладывать в ряд
потенциальную функцию W, отличающуюся от
потенциала знаком и которую, тем не менее часто тоже
называют потенциалом, вопреки его физическому
определению.
Возмущённое движение ИСЗ
Применяя формулу косинуса к треугольнику Ois, представим , в виде:
(4.23)
Учитывая, что выражение \/ - 2а z + а2 является производящей функцией
полиномов Лежандра, преобразуем (4.23):
(4.24)
Полиномы Лежандра P„(z) (аргумент в целях общности здесь обозначен буквой
z) можно вычислить по формуле Родрига
1 rfV-1)’
2"и! dz"
(4.25)
На практике для вычисления полиномов Лежандра часто используется также
рекуррентная формула Бонне
(« + 0 /’.»1(z) = (2n< 1) z P„(z) - п P„.t(z), (4.26)
при применении которой имеется в виду, что Р„(.г) = 1, /j(z) = z.
Тогда W можно представить в виде:
г 1 “ ( R\n
= — P„(cosi//)p<7r.
Г „.-О X г ’
(4.27)
Принимая во внимание соотношение
cos I// = sin 6 sin Ф + cos 8 cos Ф cos(y - л),
(4.28)
в котором у, 5 - сферические координаты внешней точки, а Л, Ф - сферические
координаты текущей точки твёрдого тела, воспользуемся формулой сложения для
полиномов Лежандра:
Л (cos yr) = P„(sin 5)P„(sin Ф) + 2^^—~ P„l‘’(sin 5)P„(‘)(sin Ф)соз Аг(у - Л). (4.29)
*-.1 (И + К).
Здесь /’„’“(z) - присоединённые функции Лежандра, которые вычисляются по формуле:
e’(z)=(i-z2)^^^.
(4.30)
После этих подстановок выражение для W запишется:
54
Возмущенное движение ИСЗ
(s,n 5 VRnp- (sin фИт+
+ GXS-jtt ^“’(sinSjcosJt/J ~^-R" P^}(sm<J?)coskbpdt + (4.31)
л-l J-l r ('' + M
+ G'X ^‘’(sin 5 )sin *Г J 7, Y Л" B„(‘ ’(sin Ф)ып kXpdt
»=i *=i V> + */
Поскольку интегралы в (4.31) для реальной Земли вычислить не удаётся (не
известен закон распределения плотности), введём для них следующие обозначения:
т9а"е}, = “J ^”P„(sin Ф)р dt , (4.32)
= JТ---Й Л"Л>п *)cos*Ap dt, (4.33)
J (n + k)i
= J *"/’-“)(sin Ф)МП ЛЛР Л (4-34)
В этих формулах ас - средний экваториальный радиус Земли (в данном случае
введён в качестве масштабирующего множителя). Jn, - безразмерные
коэффициенты (стоксовы постоянные), характеризующие гравитационное поле Земли.
При этом Jn называются зональными коэффициентами, Слк, S„k - долготными
коэффициентами, причём, если к = л они называются сскториальными, а если к * п -
тессеральными долготными коэффициентами. Коэффициенты , С„к, S* зависят от
формы Земли и распределения масс внутри неё.
С учётом введённых обозначений (4.32) - (4.34) формула для W примет вид.
w/>„(sm5) + ^-XX^A’(sin5XC-* cos */ + S^ sin (4.35)
Рассмотрим первые члены разложения (4.35).
С учётом того, что /’0(sin Ф) = 1, J р dt = тф , из (4.32) находим: Jo = -1.
Полагая в (4.32) л = 1, а в (4.33) и (4.34) л = 1, к = 1 и учитывая, что
Р|(з1пФ) = 5ШФ, ^{А)(51пФ) = созФ, находим
~ ~J Р Ps'n = ~J ~ • (4.36)
m<ssacP-\\ Р Лсо5Фсо5А«/т = -f-J Xdm = +^1^X0, (4.37)
тфа,5и jР АсоБФвшАс/т =4_[ Ydm = 4'”®^ • (4.38)
где Xe,^,Z0 - координаты центра масс Земли.
55
возмущенное движение исз
Поскольку начало системы координат совмещено с центром масс Земли, то отсюда
заключаем, что
J,-О, С„=0, 5„ = 0. (4.39)
Поэтому формула для W принимает следующий вид:
= —® (fk) P„(smS)+ —¥-XX^(,,(sin5XC„jCOsAr + S^sin*y)«< '
Г " —
Такая форма представления геопотенциала рекомендована Международным
Астрономическим Союзом (МАС). Разложение геопотенциала в ряд по сферическим
функциям стало уже классическим и широко применяется. Правда, такое представление
не является единственно возможным. Иногда используют и другие разложения.
Потенциал двух неподвижных центров
Рассмотрим следующую функцию координат |2]:
, Gm- 1 1+ia 1 -ia ) W ' = —Л + , (441)
в которой r, = y/x2 + У2 +lZ~c(<r + i)f, 1 \v ' (4.42) r2=7%2 +Г2+(г-ф-1)Г.
Здесь с и а - вещественные параметры, a i = V-1 .
Разлагая W' в ряд по степеням с/ г (г- -j X2 + У2 + Z2 ), получим выражение
W’ = - Р. (sin 5), (4.43)
в котором введено обозначение
•/"=~2(г) [(1 + ^X<T + 0”+(1-ia)(<T-i)"]. (4.44)
Учитывая, что - -1, J{ = 0, формулу для W' перепишем в виде:
= P„(sin£) . (4.45)
г г »-2 \ г >
Сравнение этой формулы с формулой
^ = ^ + 7?* = к.
= У, ] Л(5*пУ,У ^‘’(sin tyCrt cos ку + sin Ay)
r r ль.2 X л-2 Ы I £ /
56
Возмущённое движение ИСЗ
показывает, что функцию И// можно интерпретировать как потенциал притяжения
тела, обладающего осевой симметрией. Подберём значения параметров с и а таким
образом, чтобы функция W была наиболее близкой к функции W. Найдя из (4.44)
выражения для J'2 и , можно составить два условия:
с2(1 + а 2) = J2a2,
2с’ст(1 + ст2) = J,а<
(4.46)
Из решения этой системы уравнений находим, что
(4.47)
Подставив в правые части найденных выражений числовые значения
а, =6378140 м, J2 = 1082.63 • 10"6, J, =-2538 10*.
получим
с = 209729 ж, СТ = -0.035647.
При этих значениях с и ст по (4.44) вычисляем
J't =-1.166 -10*.
Таким образом, хотя J't и Jt - -1.593 10 4 нс равны друг другу, однако их
разность меньше, чем J4.
Потенциал -И" имеет промежуточный характер между потенциалом истинной
Земли и Земли шарообразной.
Важнейшие свойства функции W':
I W’ включает в себя вторую, третью и частично четвёртую зональные гармоники
геопотенциала;
2 . IF - W' содержит члены, порядок которых не больше I0-4;
3 W' зависит от Gma, J2, J, (или Gm№,с,ст), которые в настоящее время определены с
наиболее высокой точностью;
4 Дифференциальные уравнения движения материальной точки в поле с потенциалом
W строго интегрируются в квадратурах. (Однако учёт влияния всех остальных
возмущений выполняется методом вариации произвольных постоянных, что
приводит к уравнениям для возмущений параметров промежуточной орбиты задачи
двух неподвижных центров, которые ничуть не проще классических уравнений
Лагранжа для кеплеровых элементов).
Точечное представление геопотенциала
Если аппроксимировать массу Земли некоторой дискретной совокупностью
точечных масс, то при вычислении потенциала на внешнюю точку, интегрирование по
57
Возмущённое движение ИСЗ
всему объёму Земли (4.22) можно заменить суммированием. Тогда функцию (У можно
представить формулой:
(4.48)
в которой расстояние от каждой i - той точечной массы до внешней точки удобно
определить по координатам в равноденственной системе
<= 7(j--c,)2+(t'T,)2 + (z - 2,)2 ,
предварительно преобразовав в эту систему координаты точечных масс из общеземной
системы координат, в которой, они, как правило, и задаются
Вид дифференциальных уравнений движения ИСЗ в этом случае (без учета
возмущений от других факторов) существенно упрощается
rV $ т'(.х ~х')
Х~ дх г" ’
у = = сУ 5w,(-y-z)
д У г?
ry5m.(z-z.)
(4.49)
и вычисление их правых частей нс представляет труда, что и определяет экономию
машинного времени при численном интегрировании.
При практическом применении рассматриваемого способа точечными массами
аппроксимируют не всю Землю (получается слишком много точек), а только её часть,
но при этом на точечные массы накладываются определённые условия. Известно
представление гравитационного потенциала Земли 426 точечными массами.
Для аналитического интегрирования точечное представление неудобно, гак как
приводит к более сложному разложению возмущающей функции геопотенциала.
Возмущающие ускорения от гравитационного поля Земли
Запишем дифференциальные уравнения возмущённого движения ИСЗ под
действием гравитационного поля Земли:
'dR9/dx'
dRjdy
dR,Jdz ,
Так как возмущающая функция геопотенциала определена в общеземной
системе координат, то возмущающие ускорения можно вычислить по формулам:
58
Возмущённое движение ИСЗ
'8х'
Sy
t8 z,
'?Яв/«>х
dRJdy
д Rjdz .
PrN’STn‘
dR№/dX'
JR*/JZ ,
(4.50)
Если учитывать только вторую зональную гармонику геопотенциала, то
пертурбационная функция примет вид
Rj, = “| GmaJ2at2 Gm9J2a2 p , (4.51)
и возмущающие ускорения можно вычислит ь по формулам:
5XZ2
3 8 у =-Gm@J2-^-PTNTSTnT
8г] 2
(4.52)
Возмущающая функция прецессионно-нутационного поворота
При интегрировании уравнений возмущённого движения ИСЗ в средней
равноденственной системе координат возмущающую функцию геопотенциала, которая
задаётся в обшеземной системе, надо выразить через равноденственные координаты. В
равноденственной системе координат возмущающая функция будет зависеть от
времени.
Здесь мы рассмотрим возмущающую функцию R с учётом лишь второй
зональной гармоники геопотенциала, которая в полярных координатах имеет вид:
Я = -дЛ^|ып2Ф-||
Ф - средняя геоцентрическая широта ИСЗ.
Средняя геоцентрическая широта отличается от мгновенной геоцентрической
широты поправкой за движение полюса:
Ф = Ф + ДФ^ .
Заметим, что мгновенная широта в точности равна истинному геоцентрическому
склонению Ф = 8 .
Истинное геоцентрическое склонение ИСЗ на текущую эпоху t, будет отличаться
от среднего геоцентрического склонения ИСЗ на некоторую начальную эпоху to
поправками за влияние нутации и прецессии
8=8+ Д<5„„ + &8рг,
59
Возмущенное движение ИСЗ
Подставив эти выражения в возмущающую функцию, после несложных
преобразований, можно записать:
К- -Ц J2^j-^sin’<5-^-3p J2 ^y-sinScos^A^ + Дб„„, + ЛФЛ,). (4.53)
Учитывая, что
ЛФ^ = ~ХР cos(« - 5)+ Ур sin(« “ s),
A<5„„, - ДЧ* sin f cos а + Де sin а,
Д<5^ = ncosa(/-Z0),
п = 20.04 “/год,
и переходя к прямоугольным координатам, получим
- Зц J2 (л (/ -z0)+ Arsine - хр cosS-yp sin $)^у + (де sin St ypcosS)—-
Возмущающая функция лунно-солнечного прилива
Приливное возмущение в движении ИСЗ заключается в том, что приливная
деформация уровенной поверхности геопотенциала вследствие притяжения Луны и
Солнца приводит к изменению значения геопотенциала в любой фиксированной
внешней точке. В теории приливов этот потенциал представляется в виде разложения
по сферическим функциям. В теории движения ИСЗ пока достаточно учитывать первый
член этого разложения:
Л„Р; = GmJ ~ к2 (Р2 [cos(^ + ДI/,)] • (4.54)
Здесь
к2 - второе число Лява, характеризующее деформацию уровенной поверхности;
- угол между геоцентрическими направлениями на ИСЗ и возмущающее тело;
Д у - 5° ± 2" - запаздывание приливного “горба” относительно подлунной или
подсолнечной точек.
Возмущающие функции притяжения Луны и Солнца
Обычно рассматривают две совершенно одинаковые задачи трёх тел: Земля -
ИСЗ - Луна, Земля - ИСЗ - Солнце. Возмущающая функция в такой задаче имеет вид:
60
_______________________________Возмущенное движение ИСЗ
R, = Gm/
уСО5</; .
Представим — в виде:
(4.55)
Подставив полученное выражение в исходную формулу и опустив член, не
зависящий от координат ИСЗ, получим выражение для возмущающей функции:
Я, -
(4.56)
Перейдя теперь к сферическим координатам и используя теорему сложения
полиномов Лежандра, получим:
/>»(sin3)>>,(sin5y) +
+ ^-4-P^>(sin6)P^(sin3/^coskacoska y+
r, v, ) *-i (” + «)!
+ — ^„“’(sinSjsin ka sin ka ,
ri »=2\rj )k-1 k''
(4.57)
Введём обозначения:
(4.58)
|с<?
\stf
(и + fc)! ’
cos ka
sin to
(4.59)
Тогда
R, = Д ,£ (sin <5) +
a,
+ /X Z ~n7T (c^’ cos to + 5 W sin to)p„(4>(sin 5)
л>2 *=1 a,
(4.60)
Возмущенное движение ИСЗ
Ускорения, вызываемые этими функциями, меняются медленнее ускорений
ИСЗ от геопотенциала. При вычислениях в разложении достаточно учитывать до 5
членов для Луны и до 3 членов для Солнца.
Возмущающие ускорении и возмущающая функция световою
давления
Давление света, экспериментально открытое П.П. Лебедевым, довольно просто
объясняется квантовой теорией света. В соответствии с этой теорией импульс р и
энергия фотона е связаны с частотой излучения v формулами:
Av ,
р = —, £ = hv
(4.61)
h постоянная Планка;
с - скорость света.
Если на единичную площадку, нормальную световому потоку, за единицу
времени падает п фотонов, тогда мощность светового потока Е и суммарный импульс
Р, сообщаемый единичной площадке, будут равны
hv
Р-п—, E = nhv
(462)
В теории светового давления надо рассматривать три случая: поверхность
полностью поглощает световую энергию; часть фотонов зеркально отражается
поверхностью; поверхность диффузно отражает световую энергию.
Рассмотрим случай, когда поверхность спутника полностью поглощает световую
энергию. При этом, очевидно, что суммарный импульс Р и есть давление света на
нормальную поверхность. Если световой поток падает на поверхность под углом а к
сё нормали, то проекция силы светового давления на направление световых лучей
будет:
Ceos а
(4.63)
Для сферического спутника радиуса р направление силы светового давления,
действующей на спутник, будет совпадать с направлением светового потока, а сё
величина определится формулой:
F=|£coea^
(.о с
(4.64)
где интеграл берётся по всей освещённой поверхности спутника. Обозначим через Ео
мощность солнечной радиации на поверхности Земли. Тогда на расстоянии Дот
Солнца мощность светового потока будет:
(4.65)
62
Возмущенное движение ИСЗ
где rv - среднее расстояние от Земли до Солнца.
Формула (4.64) с учётом этих замечаний примет вид:
F = j J cos a dS = 5 . (4.66)
£
Величина К - — = 4.5605 10“бн / м1 - отношение среднего значения солнечной
постоянной к скорости света;
S = л р2 - площадь поперечного (миделева) сечения спутника.
Запишем формулу (4.66) в векторном виде для общего случая:
F“ s Ил) с"5д'
(4.67)
В этой формуле:
X - функция, описывающая изменение силы светового давления в зависимости от
взаимного положения ИСЗ, Земли и Солнца;
С„ - коэффициент, описывающий взаимодействие световой энергии с поверхностью
спутника. С, = 1 в случае зеркального отражения или полного поглощения, Ск = 1.44
для полного диффузного рассеивания;
Д.Д
- вектор спутник - Солнце и его длина (в формуле поставлен знак минус, так как сила
светового давления противоположна направлению этого вектора).
На основании второго закона Ньютона отношение силы к массе m спутника есть
возмущающее ускорение от светового давления:
= (4б8)
Формулу (4.68) удобно использовать при численном интегрировании
дифференциальных уравнений движения ИСЗ.
Вид формулы (4.68) позволяет ввести возмущающую функцию светового
давления, которая может быть полезна, например, при использовании уравнений
движения ИСЗ, записанных в оскулирующих элементах орбиты в форме Лазранжа.
Существование возмущающей функции Rc6 отражает физический смысл действия
светового давления. Солнце, как источник излучения создаёт поле, обладающее
градиентом вдоль гелиоцентрических направлений. В отличие от поля тяготения здесь
мы имеем дело с отталкиванием.
=-/“- (469)
Возмущающую функцию светового давления можно упростить, используя
разложение для Д"1:
63
Возмущенное движение ИСЗ
Д'1 =-£(“! P„(cosvs).
rS <=0 \ rs )
(4.70)
Здесь г - модуль геоцентрического радиус-вектора ИСЗ;
Pn(cosy/s) - полиномы Лежандра;
угол с вершиной в центре масс Земли между направлением на ИСЗ и Солнце.
Иногда, ввиду малости эффекта, в разложении сохраняют только два члена.
Тогда формула для возмущающей функции существенно упрощается и принимает вид:
= - Х^сЛ r cos Vs = „ (х/, + yms + zns).
(4.71)
Здесь x, у, г - прямоугольные координаты ИСЗ; Is, ms, ns - направляющие
косинусы геоцентрического радиус-вектора Солнца.
В формуле (4.71) первый член, равный - /Grdrs, опущен, так как он не зависит
от координат спутника и потому нс оказывает влияния па вид уравнений движения
ИСЗ. С учётом такого представления возмущающей функции выражения для
возмущающих ускорений, вызванных световым давлением, можно вычислить по
приближенным формулам:
8х = -х-СсЛ 1Х,
Sy = -X C>rt т,
8z--x сгсЛ ns.
(4.72)
Условия освещённости ИСЗ
В течение полёта ИСЗ функция %, входящая в формулу светового давления,
может изменяться в зависимости от взаимного положения ИСЗ, Земли и Солнца. На
рис.24 изображена ситуация, когда нижний край Солнца касается прямой,
соединяющей ИСЗ и верхний край Земли. В этот момент вся поверхность Солнца
освещает ИСЗ. В дальнейшем в зависимости от траектории движения спутника
возможны три ситуации: спутник так и будет освещаться всей видимой поверхностью
Солнца; спутник будет освещаться частью видимой поверхности Солнца; некоторый
промежуток времени спутник вообще не будет освещаться Солнцем. Все эти три
ситуации характеризуются функцией %, значение которой можно связать с углами ее.
es. Р
Непосредственно из рисунка следует:
если Р > £л. + es, то ИСЗ находится вне тени и % = I;
если Р < е£ - es , то ИСЗ находится в тени и / = 0;
если еЕ - £s < р < Е, + Es, то ИСЗ освещается частью поверхности Солнца и
Р -е,, +cs
2sx
Угол Р можно вычислить по формуле:
rs cos
(4.73)
64
Возмущённое движение ИСЗ
При этом cosy's легко вычисляется по координатам ИСЗ и Солнца:
XX, + yys + zzs
cost//, =—-—-----------— • (4.74)
rrs
Углы же Es и £в, под которыми со спутника видны Солнце и Земля
вычисляются по формулам:
ft
£s = arcsin , (4.75)
£f = arcsin — . (4.76)
Rs, Re - линейные радиусы Солнца и Земли.
Рис. 24. Условия освещённости ИСЗ
Возмущающие ускорения от сопротивления атмосферы
В соответствии с формулой аэродинамического сопротивления возмущающее
ускорение ИСЗ, вызываемое торможением атмосферы можно представить в виде:
к CDS
8 r°™ = v v = ~a°™Pv v
(4.77)
где
Co = 2.2 - аэродинамический коэффициент;
S - площадь поперечного сечения ИСЗ, перпендикулярного к вектору v';
v'- вектор скорости спутника относительно атмосферы;
р - плотность воздуха на высоте полёта;
т - масса ИСЗ.
Принимая, что атмосфера вращается вместе с Землёй, находим вектор скорости
атмосферы:
= х г .
(4.78)
И по классической формуле сложения скоростей имеем:
65
Возмущенное движение ИСЗ
(4.79)
v - вектор скорости ИСЗ, относительно инерциальной системы координат.
Наиболее сложным вопросом при вычислении возмущающего ускорения
является вопрос о вычислении плотности р. В первом приближении обычно принимают
экспоненциальный закон изменения плотности:
т
р,= росх
(4.80)
где
Ро - плотность воздуха на высоте перицентра;
h = г - а(\ - е) - высота полета над уровнем перицентра (г - модуль геоцентрического
радиус-вектора ИСЗ, а - большая полуось орбиты ИСЗ, е - эксцентриситет орбиты);
Н = - "шкала высот”;
mg
к = 1.38 I О25 Дж/градус - постоянная Больцмана;
Т - абсолютная температура;
m - средняя статистическая масса молекулы воздуха на высоте полёта ИСЗ;
g- среднее ускорение силы тяжести на данной высоте.
Полное выражение для плотности можно представить так:
р = р ,+ Др ,+ Др „м+ Др Л ДР ДР Л ДР .м+ ДР s+ ДР , (4 81)
где
ДРф - поправка за эллиптичность атмосферных слоёв;
Лр1пл Дра - поправки за полусуточные и суточные вариации плотности;
Арш Лр1, Лр/и - поправки за полугодичные, годичные, 11-летние вариации
плотности;
Aps - поправка, вызванная вариациями солнечной активности и влиянием магнитных
бурь;
Архш - поправка за изменение химического состава атмосферы..
Учёт влияния сопротивления атмосферы особенно актуален для низких
спутников. Фактор торможения атмосферы оказывает влияние на время жизни низкого
ИСЗ. Большая полуось орбиты спутника с течением времени уменьшается, а сё форма
скругляется. При этом имеет место так называемый аэродинамический парадокс:
тормозящее действие атмосферы приводит к увеличению орбитальной скорости ИСЗ!
Релятивистские уравнения движения ИСЗ
Релятивистские уравнения движения удобно выводить на основе ковариантной
формы записи уравнений движения. При этом выражение для релятивистской функции
Лагранжа можно получить из формулы связи её с действием. Действием называется
такой инте1рал S, который для действительного движения принимает минимальное
значение.
Релятивистское действие можно записать в виде:
66
Возмущённое движение ИСЗ
5 = - f mocds = j - nt^c ~ dt - j Л„, dt. (4.82)
. at ,
° ч >0
Имея ввиду пространственно-временную метрику Шварцшильда
ds2 =(1-^4-- (1 + + dy2 + dz2),
(4.83)
релятивистскую функция Лагранжа в соответствии с (4.82) можно записать в виде:
, : , ">оц mov
^ni - тос + г + 2
mov*
8с2 2с2г
(4.84)
Д
Используя уравнения Лагранжа второго рода
d Г д L 'l д L
dt ( д х ) д х
(x->y,z).
(4.85)
получим релятивистские уравнения движения
(4.86)
Дифференциальные уравнения движения в оскулируютнх элементах
орбиты
Если рассматривать движение ИСЗ по геоцентрической орбите, возмущаемой
лишь силами потенциального характера, то уравнения движения можно записать в
виде:
d2x _ <? (^0 з- R)
dt2 дх
d2y _d((VQ + R)
dt2 д у
d2z _ <? (^ + R)
dt2 dz
(4.87)
Предположим, что в процессе движения спутника по возмущённой орбите в
какой-то момент времени о возмущения перестали действовать. Очевидно, что после
этого момента спутник будет двигаться по некоторой кеплеровой нсвозмущённой
орбите с элементами э,, причём в момент t/ эта орбита будет иметь общую точку с
возмущённой орбитой (рис. 25). В этой точке координаты и составляющие скорости
ИСЗ на возмущённой орбите будут равны координатам и составляющим скорости на
кеплеровой орбите.
67
Возмущенное движение ИСЗ
Понятно, что таких точек на возмущённой
____ орбите можно выбрать сколь угодно много и
' сколь угодно близко друг к другу, всякий раз
3,+da полагая, что возмущения исчезают. Гем самым
f_______________________можно получить бесчисленное множество
/ невозмущённых орбит с разными элементами,
/ Э| каждая из которых имеет общую точку с
z/ возмущённой орбитой Таким образом,
t | возмущённую орбиту можно представить
невозмущённой кеплеровой орбитой с
Рис 25 Действительная и кеплеровы "временными элементами во всякий момент
орбиты имеющей с возмущённой орбитой одну общую
точку Такая кеплерова орбита называется
оскулирующсй.
Если эпохи двух оскулирующих орбит отличаются на малую величину, то на
малые же величины отличаются элементы этих орбит.
Если в первом приближении возмущающую функцию положить равной нулю (/?
= 0), то дифференциальные уравнения (4.87) можно записать в виде
д 2х
<? t2
(4.88)
д х ’
и мы придём к задаче двух тел. Здесь знак частного дифференцирования
д 2 /д t2 указывает на то, что при решении этих уравнений элементы считаются
постоянными В результате решения уравнений получают мгновенную орбиту
В любой момент времени можно считать, что
<Zx _ д х
dt ~ д t'
(х -4y,z),
т.е. действительные векторы скоростей в момент времени t можно получить
дифференцированием эллиптических формул, в которых мгновенные значения
элементов полагаются постоянными.
По формулам невозмущённого движения будут найдены невозмущённые
координаты и скорости ИСЗ.
х = х(а,е,/,Г2,<о,т,г),
у - y(a,e,i,Q,a>,T,t),
г = z(a,e,i,i2,O),T,t),
х = х(а,е,1,<2,щ,т,г),
у = у(а,
z = z(a,e,/,Q,<a,t,z).
При использовании метода вариации параметров (в данном случае параметрами
являются элементы орбиты) выражения для координат и скоростей дифференцируются
(теперь элементы рассматриваются как переменные).
При дифференцировании координат получим
68
dx _ dx у Эх dэ,
dt dt * ds, dt '
(x->y,z).
(4.89)
где э, - один из шести элементов.
Таким образом, из (4.89) получаем
у д х d э,
<? э, dt
= 0,
(4.90)
Продифференцировав (4.89), получим
Л
'dt2'
д2 х у dx d э,
dt2 + “^ds, dt '
(x->y,z).
(4.91)
dW„ dR dW„ ^dxds, .
dx + dx" dx + *Г<?э, dt' \x~*y'z‘
(4.92)
Откуда
у d x d s,
ds, dt
d_R
dx'
(x^y.z).
(4.93)
Затем шесть уравнений (4 90) и (4.93) преобразуются таким образом, чтобы
получилось шесть дифференциальных уравнений первого порядка для скоростей
изменения элементов. Такое преобразование впервые было выполнено Лагранжем.
Полученные в результате уравнения имеют вид:
d d R/dQ.
ё - L d R/do
i {dR/dM,
Cl
d)
,M-n,
d R/da
— -1* dR/de
jR/di ,
(4.94)
Матрицу L называют матрицей Лагранжа
0 0 2а
С = -Д= 7/Га 0 /1-е2 1-е2
е е
cos eci etgi л
, /Г/’2 /Г7 V
(4.95)
Уравнения Лагранжа описывают возмущённое движение для силовой
возмущающей функции R. Однако возмущающие силы могут иметь различный
характер, Следовательно, желательно иметь такую систему дифференциальных
уравнений, которая была бы пригодна для описания возмущений, вызванных силами
любого характера. Для получения такой системы уравнений надо заменить частные
69
Возмущённое движение ИСЗ
производные д R/д х, д R/д у, д R/д г в (4.93) составляющими возмущающих
ускорений 8x.8y,8z и решить систему относительно dsjdt. Затем от
составляющих 8 х, 8 у,8 z переходят к составляющим ускорения 8 х*, 8 у„, 8 z„ в
орбитальной системе координат (рис.26), ось абсцисс которой направлена по
геоцентрическому радиус-вектору ИСЗ, ось ординат уи лежит в плоскости орбиты,
причем положительное направление оси ординат соответствует направлению движения
ИСЗ, ось аппликат г« дополняет систему до правой тройки. Составляющие ускорения в
этой системе координат называются: 8 хи - радиальная составляющая, 8 уи -
трансверсальная составляющая, 8 z„ бинормальная составляющая
Связь между 8 х, 8 у, 8 г и 8 хи, 8 уи. 8 z„ задаётся
следующим соотношением
Z ( \
Рис 26 Инерциальная а - COSQCOSH- sinQsmwCOSZ,
и орбитальная системы Д = slnQcosu + cos£2 Slnu cos,-,
координат
7 =sin и sin i.
В результате выполнения перечисленных операций получают уравнения
Ньютона:
где
*.=
(4.96)
sintf
2еа „
-----sin 1?
р
—cos(;9 + <о)
Р
(4.97)
о
о
о
г sin(i? + Л>)
р sin i
N,=
COST?
— sin i?
ер
- — sin(i> + ®)ctgT
Р
(4.98)
VI
-------COS
ер
О
70
Возмущённое движение ИСЗ
Представление возмущающей функции геопотенциала через элементы
орбиты
В возмущающей функции для простоты учтём только вторую и третью
зональные гармоники геопотенциала
а 2 а •’
R - -ц J2 У) (sin 8) - ц J, -7- P,(sin 8).
(4.99)
С учетом выражений для полиномов Лежандра и формулы sin 5 = sm 1 sm(ti> + О)
запишем:
ЗЛа/faYri 1,1, , 1
R = Щ-—г -1 — т -~sin i + — sin icos2(w + 1$) И-
|2 а (г / [3 2 2 J]
^’faYfflS .,3V , 5 3 . . ‘
~Д I —I l-Sin I- - lsin/sm(<» + i?)--sin isin3(co + t?)
(4.100)
Выделим из R вековую R, долгопериодическую R и короткопериодическую
R части Вековая - это'часть возмущающей функции, нс зависящей ни от 8, ни от со;
долгопсриодическая - зависит только от <о; короткопериодическая - зависит от А
Для выделения вековой и долгопериодической частей осрсдняем возмущающую
функцию R на обороте по М, т.е.
1
R + R = — [ RdM .
2*1
(4.101)
После осреднения короткопериодическую часть находим как
Я= R - R-R.
(4.102)
Учитывая, что dM = | - ] -7——^- и
y/i-e2
cvs-ddM =e(l-e2) 2
а остальные интегралы равны нулю, получим
71
Возмущённое движение ИСЗ
(4.103)
Таким образом:
Л = -Д;Ц£-Г--“51пгД1 -е2) (4.104)
2 a' (3 2 У '
(4.106)
Вековые возмущения первого порядка от второй зональной гармоники
геопотенциала
Эволюцию орбизы спутника определяет, в основном, вторая зональная
гармоника геопотенциала. И здесь важную роль играет вековая составляющая
возмущающей функции:
Подставив это выражение в уравнения Лагранжа, взяв необходимые
производные по элементам орбиты, в результате интегрирования, получим:
п cos »(
(4.107)
72
Возмущённое движение ИСЗ
где
Как видно из (4.107 - 4.110) вековым возмущениям подвержены лишь угловые
элементы орбиты Q. а>, М, позиционные же элементы а, е, i вековых возмущений не
испытывают.
По вековым возмущениям угловых элементов орбиты можно вычислить J2.
Второй зональный коэффициент характеризует полярное сжатие Земли, так как он
связан с ним формулой Клеро:
3 1 а>2 а?
a = -J2+-^^-
2 2 2 ц
(4.113)
Аналитическое интегрирование
Уравнения Лагранжа (или уравнения Ньютона) представляют собой нелинейную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этой системы
существует в некоторой окрестности начальных условий, если правые части уравнений
ограничены по модулю сверху. Перед интегрированием правые части уравнений
Лагранжа или Ньютона должны быть явно выражены через элементы орбиты и
независимую переменную. Правые части каждого уравнения в этом случае обычно
пропорциональны некоторому малому параметру I о I <1. Будем считать, что систему
дифференциальных уравнений привели к виду:
э, =ст/(э1,.,.(э4>/), 1 = 1,2,...,6 (4.114)
с начальными условиями to, Э110>,....эц<0>
Рассмотрим три основных метода аналитического интегрирования.
Метод последовательных приближений (метод Пикара)
Первое приближение находится по формуле:
э!° = э(‘” + ст] f (э[” э’0), г)Л, । = 1,2,.. ,6, (4.115)
73
Возмущённое движение ИСЗ
Л-е приближение -
э;к) -э,(о>4 /-1,2,..,6.
(4.116)
Метод малого параметра (метод Пуанкаре)
Решение системы представляется в виде рядов:
э, = э)” + а6 э,(1) +сг 23э,<2)+..., 1 = 1,2,...,6.
(4.117)
Пуанкаре доказал, что ряды будут сходящимися при достаточно малых
значениях о. Члены рядов называются возмущениями первого порядка, второго
порядка и т.д.
Из (4.117) следует, что вычисление возмущений первого порядка совпадает с
вычислением первого приближения в методе Пикара
<т5э,(|) =<rj /,(э|(<”,...>э^0),г)л, 1 = 1,2.......6.
(4.118)
Представив под интегралами в формуле (4.115) элементы орбиты в виде
э,(” = э?0) + Л(1), разложив подынтегральную функцию в ряды по степеням <т5 э[" и
шраничившись членами порядка о2, получим формулу для вычисления возмущений
второго порядка
(4.119)
Метод осреднения
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений небесно-механического
типа:
* = <тХЛ(*)«1п(а4у + а4)
„ , (4.120)
у= ft,(x) + o£ft(x)cos(fty eft)
*=|
с начальными условиями to, xf0>, ym.
В этой системе х - медленная переменная, у - быстрая переменная, период
которой 2п. Выполнив осреднение по быстрой переменной, получим укороченную
систему:
х = 0
(4.121)
которую легко проинтегрировать:
74
Возмущённое движение ИСЗ
X - Х<0>
J = yw+B0(xw,K
Подставим теперь полученное решение в исходную систему:
*=^XAp0))sinkeo(xto))/+а“Ут+а‘)
*=1
У = /?0(х) + ст£/?Дх(0Чсо5(м0(*(0))' + V” + А)
*=1
(4.122)
(4.123)
В преобразованной таким способом исходной системе время t выражено явно,
поэтому такую систему нетрудно проинтегрировать:
Численное интегрирование
К настоящему времени разработано много различных методов и приёмов
численного интегрирования дифференциальных уравнений. Для примера упомянем
следующие методы численного интегрирования: Рунге-Кутта, Адамса, Коуэлла,
Штермера, Грэгга-Булирша-Штёра, Эверхарта. Различают одношаговые и
многошаговые методы численного интегрирования. Если начальные условия
интегрирования заданы в одной точке, то это одношаговые методы. Если же начальные
условия заданы в виде таблицы, т.е. известны начальные условия в нескольких точках,
то это многошаговые методы. Методы Рунге-Кутта, Грэгта-Булирша-Штёра, Эверхарта
одношаговыс, а методы Адамса, Коуэлла, Штермера - многошаговые.
Весьма плодотворной оказалась идея применения разложения правых частей
дифференциальных уравнений в ряды Тейлора. Реализация этой идеи ведёт к крайней
простоте численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Рассмотрим сущность этих методов на примере интегрирования
дифференциальных уравнений.
Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка
(дифференциальное уравнение высокого порядка можно привести к системе уравнений
первого порядка):
х - х0,10,
(4.125)
хо, to- начальные условия интегрирования
75
Возмущённое движение ИСЗ
Требуется найти числовые значения х в моменты времени Г/, г?.t„. Разность t, -
t,.i - Н называется шагом интегрирования, который может быть как постоянным так и
переменным. Сущность решения в конце шага заключается в следующем. Разлагаем на
интервале Н правые части (4.125) в ряд Тейлора по степеням Н (в примере ограничимся
членом с третьей производной):
/(хл + н)г/ = /о + /од + |7ойг+17оя’.
2 о
(4.126)
В целях сокращения записи здесь использованы обозначения:
Г.АМ-
(4-127)
Подставив (4.127) в (4.126), дифференциальное уравнение сразу же
интегрируется, и решение в конце первого шага получается в виде
х, - х0+f0H+170я2 +17о«’ + 7л4.
2 о 24
(4.128)
Принимая теперь полученное решение в конце первого шага х/, ti за новые
начальные условия, после интегрирования получим х2, t2 и т.д.
Однако в подавляющем большинстве случаев достаточно просто вычислить
производные в (4.126) не удаётся - формулы получаются слишком сложные. В этом
случае для вычисления производных прибегают к различным способам аппроксимации,
которых достаточно много. В связи с этим понятно происхождение большого
количества методов численного инте1рирования.
Здесь уместно заметить, что существенной проблемой любых численных
методов интегрирования является накопление погрешностей при интегрировании.
Погрешность при интегрировании приближённо можно оценить по формуле.
£ = к£оп
В этой формуле:
0.1 < к < г,
£ - погрешность на одном шаге,
л - количество шагов,
v=0.5 - для уравнений первого порядка,
v=1.5 - для уравнений второго порядка.
Неявный итеративный одношаговый метод
Этот метод, разработанный профессором Ю.В. Плаховым, также основан на
разложении правых частей дифференциальных уравнений в ряды Тейлора. Сущность
мегода рассмотрим на примере интегрирования дифференциального уравнения второго
порядка
х = /(х.г)
(4.129)
с заданными начальными условиями х0, х0, г0.
76
Возмущённое движение ИСЗ
Правую часть дифференциального уравнения разлагают в ряд Тейлора
/(>-,/) S / = /о + Я/о +1 Я’/о + 7 Я’7о = Л + Р ,+ Р 2+ Р э- (4.130)
Z о
В этом методе величины, обозначенные через рк, считаются неизвестными и
вычисляются в процессе самого интегрирования. Для этого шаг интегрирования
разбивается на столько подшагов, сколько неизвестных рк. Такое разбиение в принципе
можно сделать различными способами. В методе Ю..В Плахова используется
разбиение Радо. Величина каждого подшага в этом случае вычисляется по формуле:
hk =а„Н , к = 1,2,3.
(4.131)
Коэффициенты оц вычисляются по формулам:
----, к = 1,2,3.
2
(4.132)
Здесь zj - корни многочлена
(4.133)
P„(z) - полиномы Лежандра.
В случае трёхточечного
коэффициентов:
разбиения получаем следующие значения
а1 =0.212340538239153,
а2 = 0.590533135559265.
а3 = 0.911412040487296.
По аналогии с (4.130) можно записать формулу для вычисления правой части в
подшагах:
Л " fo + « *Hf« + « "7» + a 4 H’7o = /о + a bPi + « \Pi + « 7i • <4-134)
Z о
В рассматриваемом методе Д вычисляются в ходе интегрирования
последовательными приближениями. Если /* вычислены, то можно вычислить и р*:
А ' а, а, а’ 1 7.-л'
Pi = аг а\ а\ л-л (4.135)
.Pi. а, а ’ а } ,л-л.
Решение в конце шага будет:
77
Возмущенное движение ИСЗ
^+Ф4р‘+Ь+М
(4.136)
x=xow/L+2//L+iP, дРг+±Рз],
(4.137)
Алгоритм неявного итеративного одношагового метода
Пусть задана система дифференциальных уравнений возмущённого движения
ИСЗ:
x = /(x,y,z,i,y,2,/),
y = cp(x,y,z,x,y,z,t),
Z - \l/{x,y,Z,X,y,Z,t)
с начальными условиями л0, у„, z0, х0, у„, z0, t0
Вычисляем правые части дифференциальных уравнений:
А - /(хо> • z0’хо> Т’с zo >'о)
<Ро = (р(*о>Уо,гоЛ>ЛЛл).
Vo = ¥zU>n-?o--to>3'l»zo.'o)-
Вычисляем в первом приближении скорости и координаты в подшагах:
^”=хв+а,Я/0.
= Л+«*#%
z'” =z0 + atHya,
xj" =x0 + al//x0+|at2//70,
И" = Уо + « >нУо + ^Нг<Ра,
zl" = z0 + a kHz0+^a2H2v0,
к= 1,2, 3.
Вычисляем в первом приближении значения правых частей в подшагах:
>акн).
уакн),
Вычисляем в первом приближении р, д, г:
78
Возмущенное движение ИСЗ
X21 = X" +а л!” +1«*<?2" +^“»М"У
= z<” + а Л(|* Z.(” +Z<‘”)-
*?’ = х'" +а/н^а tA(1> 4 ±а><‘>+
Л2' = И" +а/Я2[|а J?,0’ +-^а;9'"
Zj2) = z<’> + а2Н2(-а tr,(l> + Дга^г^ + ^а/г,(|,1
‘ ‘ * к 6 12 20 1 ’ )
Вычисляем во втором приближении значения правых частей в подшагах:
А(2) = +«Л).
^2, = ф(х<2>7?’42’.^>у<-’>г<2>,/о+ал).
Вычисляем во втором приближении р, q. г:
(р!2Ч(2Ч(2П
Р?Ч?г™
U2M242)'
а2
а,
«2
«/
«2
Ф|2)-Фо
Фг(2)-Фо Ф22,-Фо
фГ’ “Фо ^з2) - Ф о ,
Процесс приближений продолжаем до тех пор, пока р, q, г не стабилизируются.
После стабилизации р, q, г решение в конце шага будет:
х = х0 + И/о + //(| р, + р, +1 р, У
• „ 1 1 1 'I
У = У0 + Яф0+Я +д*7з •
z = i0 + //^c+/7flr, +-Ц t |r3 L
79
Возмущённое движение ИСЗ
2
6 А + 12 ₽2 + 20 Pi
У = Уо + У<>Н ^V„H2 +//2(“<Л +71^ + ^?г
z I о 12 2U
+ i,H + + W2f\ + --
L I б IZ
6 + 20 5
Влияние некоторых возмущающих факторов на положение ИСЗ
Оценка влияния рассматриваемых возмущающих факторов производилась
путём сравнения координат ИСЗ, полученных при численном интегрировании
уравнений возмущённого движения (учитывалась вторая зональная гармоника
геопотенциала), с координатами ИСЗ, полученными при численном интегрировании
уравнений движения, в которых кроме второй зональной гармоники геопотенциала
учитывались еще возмущения от того или иного возмущающего фактора.
Вклад возмущающего фактора оценивался по формуле:
Ar = V(*a - + (yt - у)2 + (z„ - zf
За начальные условия интегрирования приняты:
х = -11017267.118 м, у = 3432575.339 м,
vx = -2279.760 м/с, vy = 3171.527 м/с,
z = 22727060.658 м,
vz = -623.826 м/с
Влияние некоторых возмущающих факторов представлено в таблице.
Возмущающий фактор Дг в конце 500 шага, м Дг в конце 720 шага, м
Притяжение Луны 2221.532 2196.502
Притяжение Луны и Солнца 2911.693 2890.640
Третья зональная гармоника геопотенциала 9.667 3.944
Третья и четвертая зональные гармоники геопотенциала 10.198 3.168
Прецессионно-нутационный поворот 6.419 4.256
Лунный прилив 0.920 1.035
Лунно-солнечный прилив 1.288 1.455
Световое давление 5.922 2.492
Релятивистское ускорение 0.168 0.151
Примечания.
Интегрирование выполнялось методом Булирша - Штёра с шагом 60 секунд.
80
Возмущённое движение ИСЗ
В таблице приводятся величины возмущений в конце 720-го тага
интегрирования (примерно в конце оборота ИСЗ) и в конце 500-го шага
интегрирования. Это связано с тем, что возмущения от зональных гармоник
геопотенциала и светового давления, носят ярко выраженный периодический характер,
и максимальная амплитуда возмущений пришлась на 500-й шаг.
При вычислении возмущений от притяжения Луны и Солнца последние
принимались за точечные массы и их координаты на начальный момент
интшрирования вычислялись по алгоритму Пулккинена и Фландерна. Координаты
Луны и Солнца на начало каждого последующего шага вычислялись путём
интерполирования.
При вычислении возмущений от светового давления Солнца спутник принят за
сферу радиусом 0.6 м и массой 1360 кг. При расчётах предполагалось полное
диффузное отражение света освещённой поверхностью ИСЗ.
81
Наблюдения
Астрономические методы сами по себе,
независимо от дивных результатов, ими доставленных,
представляются весьма достойными интереса.
Франсуа Араго
5. Наблюдения
Классификация методов наблюдений
В космической геодезии весь спектр наблюдений принято классифицировать но
диапазону длин волн электромагнитных колебаний, в которых производят эти
наблюдения (оптический и радиодиапазон). В оптическом диапазоне выполняют
визуальные, фотографические, фотоэлектрические, телевизионные, лазерные
наблюдения. В радиодиапазоне выполняют радиодальномерные, доплеровские,
интерференционные, фазовые наблюдения. Оптическим наблюдениям присущ общий
недостаток: они требуют наличия прямой видимости на ИСЗ, поэтому применяются,
как правило, в темное время суток в безоблачную погоду (при наличии точных
эфемерид лазерные наблюдения выполняют и днём). Радиотехнические методы в
отличие от оптических лишены этого недостатка и могут применяться в любую
погоду, как днем, так и ночью.
Современная аппаратура позволяет измерять параметры, с помощью которых
определяют величины, характеризующие положение или движение спутника в
пространстве:
а', 8' - топоцснтрические прямое восхождение и склонение, т.е. направление на
спутник;
г' - топоцентрическое расстояние;
г/г'
г -- —— - скорость вдоль топоцептрического радиус-вектора, т.е. топоценгрическая
at
радиальная скорость.
Фотографические наблюдения
Общие принципы фотографического метода
Для наблюдений искусственных спутников Земли, запуск которых начался с
1957 года, широко использовались на первых порах специальные фотографические
камеры, разработанные в разных странах мира. Для целей космической геодезии
используются следующие камеры: ФАС, АФУ - 75, АФУ - 70, ВАУ, Бейкер-Нанн, СБГ,
Антарес, камера Хьюита и другие.
В фотографическом методе наблюдения использована идея фотшрафической
астрометрии - возможность определения положения объекта, изображённого на
фотопластинке или фотоплёнке, если данный объект изображён среди звёзд, положение
которых известно. Особенностями получения изображения спутника в отличие от
изображений звёзд, определением положения которых и занимается фотографическая
астрометрия, являются большие угловые скорости спутников. По этой причине
точность в фиксации моментов времени должна быть не хуже (0.5 - 0.1) • 10 'сек.
82
Наблюдения
Фотографические камеры можно
Рис. 27. Кинематическая схема монтировки
осей АФУ-75
разделить на два типа: следящие и не следящие
(неподвижные), при этом используются двух,
грех и четырёхосные монтировки. В нашей
стране широкое распространение получила
астрономическая фотографическая установка
АФУ-75, реализующая четырёхосную
монтировку. Схема осей АФУ - 75 показана на
рис.27. Две оси (вертикальная и
горизонтальная) позволяют установить камеру
по эфемеридным значениям азимута и угловой
высоты спутника, третья ось при этом
направлена в полюс орбиты спутника, что
позволяет отслеживать движение по большому
кругу. Для аппроксимации движения по малому
кругу (что более точно для видимой орбиты) в установке имеется четвёртая ось.
Установка снабжена дополнительно оригинальным устройством (экваториальной
платформой), единственное назначение которого состоит в отслеживании суточного
вращения небесной сферы в течение двух - трёх минут.
Основные технические характеристики фотографических установок
различаются между собой. Фокусное расстояние объектива F > 500 мм, относительное
отверстие D/F = 1/5.7 - 1/1, объективы зеркально-линзовые, но иногда используются и
линзовые объективы. В фотографических установках используются различные
оптические системы, некоторые из них показаны на рис.28 - 31 [31 [.
Фотографирование предпочтительнее производить на фотопластинку, однако,
из-за удобства применения чаще используют фотоплёнку, хотя она и вносит
дополнительные ошибки из-за своих деформаций.
Фотографические камеры могут работать в различных режимах в зависимости
от своих конструкций. При фотшрафировании спутников неподвижными камерами
изображение спутника и звёзд на негативе получаются в виде линий. Отслеживание
суточного движения небесной сферы (при работе экваториальной платформы в АФУ-
75 или путём вращения камеры вокруг часовой оси в случае экваториальной
монтировки) позволяет получить изображения звёзд в виде точек и изображение
спугника в виде линии. Для кодирования изображения спутника в виде точек
используются обтюраторные затворы. Таким способом можно фотоз-рафировать лишь
яркие спутники - до третьей звёздной величины. Отслеживание видимого движения
ИСЗ (движением собственно камеры вокруг орбитальной оси или перемещением
фотоматериала) позволяет получить на негативе изображение слабого (до десятой
звёздной величины) спутника в виде точки.
Обычно применяется попеременное слежение звёзд и ИСЗ для получения на
одном кадре их точечных изображений. На рис.32 схематично показаны снимки,
получающиеся при различных режимах работы фотографической камеры..
Для фиксирования моментов фотографирования камере придаются кварцевые
или атомные часы.
83
Наблюдения
Рис. 28. Система Ньютона
Рис. 29. Система Ричи-Кретьена
11арабола
Рис. 30. Система Грегори
Парабола
Рис. 31 Система Кассегрена
Камера неподвижна
Камера отслеживает
зветлы при работаю-
щем обтюраторе
Рис. 32. Схематический вид снимков при различных режимах работы
фотографической камеры
Основные особенности обработки фотографических наблюдений
В результате фотографических наблюдений фиксируется положение спутника
относительно звёзд в момент фотографирования. Получение углов, характеризующих
направление на спутник, сопровождается комплексом астрометрической обработки,
конечной целью которой является вычисление истинных топоцснтрических координат
ИСЗ, т.е. вектора:
cos a 'cosS
sina'cos#'
sin 8'
Точность астрометрической обработки зависит, прежде всего, от точности
привязки звёзд на снимке к инерциальной системе координат. Наиболее точно
инерциальная система координат в настоящее время реализуется фундаментальным
84
Наблюдения
каталогом FK-5, содержащим примерно 3000 звёзд. Поскольку этой информации явно
недостаточно для целей космической геодезии, наряду с фундаментальным каталогом
используют различные сводные каталоги. В космической геодезии используется
звёздный каталог Смитсоновской астрофизической обсерватории (САО), содержащий
258997 звёзд.
Кроме того, точность астрометрической обработки зависит от тщательности
учёта факторов, искажающих положение звёзд и спутника на снимке. К числу этих
факторов относятся, главным образом, метрическая нестабильность фотоматериала и
дисторсия, годичная и спутниковая аберрации, рефракция астрономическая и
спутниковая.
Процесс астрометрической обработки можно условно разделить на три этапа. На
первом этапе астрометрической обработки идентифицируются изображения спутника и
опорных звёзд. Этот процесс называется отождествлением. В результате
отождествления определяются номера опорных звезд в системе рабочего
фотографического каталога. В дальнейшем по номерам звезд выбирают их сферические
координаты и собственные движения. В каталожные координаты звёзд вводятся
поправки за собственные движения звёзд, прецессию, нутацию, годичную аберрацию,
годичный параллакс, суточную аберрацию, астрономическую рефракцию, в результате
чего получают измеренные координаты звезд, соответствующие их взаимному
расположению в момент фотографирования спутника В настоящее время процесс
отождествления автоматизирован и выполняется на ЭВМ путём сравнения разностей
координат звёзд каталога, записанного в памяти ЭВМ с определённым образом
масштабированной разностью координат на негативе. Вторым этапом
астрометрической обработки является измерение положений изображений звёзд и
спутника в системе координат измерительной машины. В случае автоматизированного
опознавания звёзд этап измерения является первым. Третьим этапом астрометрической
обработки является установление однозначного соответствия между измеренными
координатами ИСЗ в системе координат измерительной машины и его
топоцентрическими сферическими координатами.
В настоящее время имеются три пути решения этой задачи, каждый из которых
обладает определёнными достоинствами и не лишён недостатков.
Первый из них, в достаточной мере традиционный, основан на использовании
широко применяющейся в фундаментальной астрометрии процедуре Тернера, которая
с незначительными изменениями перенесена в спутниковую астрометрию. Метод
Тернера является по существу интерполяционным методом, при этом используется
весьма ограниченная (по отношению ко всей площади снимка) область, обычно нс
превышающая так называемого дисторсионного круга, т.е. зоны вблизи главной точки
снимка, в которой ещё можно пренебречь членами третьего порядка в разложении
радиальной дисторсии в ряд.
В противоположность способу Тернера, широко используемые в США, Англии,
Германии и Франции, фотограмметрические способы обработки астронегативов,
наоборот, предполагают использование всей области поля снимка для реализации так
называемой фотограмметрической засечки. В результате устанавливается значение
ортогонального оператора преобразования из системы координат измерительной
машины в инерциальную систему, а также одновременно по способу наименьших
квадратов определяются коэффициенты разложения радиальной дисторсии,
координаты главной точки снимка и фокусное расстояние камеры.
Третьим способом обработки астронегативов является проективный способ, при
применении которого устанавливаются проективные (томографические) связи между
координатами звёзд и спутника в плоскости снимка и их сферическими координатами.
85
Наблюдения
Так или иначе, в результате применения одной из этих методик определяется
топоцентрический единичный вектор направления на ИСЗ, в компоненты которого
далее необходимо ввести поправку за влияние суточной аберрации, противоположную
по знаку поправке в координаты звёзд, а также поправки за влияние спутниковой
рефракции и спутниковой аберрации и поправку за фазу, если спутник значительных
размеров.
Спутниковая рефракция
При фотофафических наблюдениях спутников появляются специфические
поправки, которые необходимо учитывать при математической обработке результатов
наблюдений. Одной из таких поправок является спутниковая рефракция, отличие
которой от астрономической рефракции вызвано существенно меньшим расстоянием
до спутника по сравнению с расстояниями до звёзд. Сущность спутниковой рефракции
можно усмотреть из рис.33.
о'
Рис 33 Астрономическая и спутниковая
рефракции
Пусть спутник з находится в одной из точек
луча света, излучаемого звездой о и принимаемого
в пункте наблюдения i. Этот луч при входе в
земную атмосферу распространяется по кривой,
обращённой выпуклостью к зениту г пункта i. С
пункта i звезда а будет усматриваться в
направлении касательной /с’, проведённой к
кривой io в точке «. Угол Агр между
направлениями та’ и кт” (таким было бы
направление на звезду в отсутствии земной
атмосферы) называется астрономической
рефракцией. Угол Az* между направлениями io’ и
is называется спутниковой рефракцией. Из рисунка видно, что
Az’ = Azp-6z. (5.1)
Согласно Вейсу выражение для угла Sz даётся формулой
е 435’ ,
О z = —— tgz sec z CrC,,
(5.2)
в которой г' - топоценгрическое расстояние от пункта до спутника (должно быть
выражено в км);
z - топоценгрическое зенитное расстояние спутника;
Cr. С, - поправочные коэффициенты, мало отличающиеся от единицы и зависящие от
давления и температуры в окрестностях пункта наблюдения.
86
Наблюдения
i (t+t)
Рис. 34. Сущность
спутниковой аберрации.
Спутниковая аберрация
Поправка за спутниковую аберрацию приводит в
соответствие направление на спутник с моментом
фотографирования, фиксируемым по часам пункта
наблюдения (рис. 34). Пусть по станционным часам
•зафиксирован момент наблюдения спутника t + т. Этому
моменту времени соответствует топоцентричсское
направление is', из астрометрической же обработки снимка
получим направление is, так как отражённому от спутника
солнечному свету, который и запечатлевается на снимке в
виде изображения спутника, требуется некоторый
промежуток времени т для преодоления расстояния is.
Поэтому нужно исправить либо момент фотографирования
(5.3)
либо ввести поправки в направление
(5.4)
д^ =
Общая схема астрометрической обработки фотографических наблюдений
способом Тернера
Сферические координаты прямое восхождение и склонение для удобства
обозначим одной буквой ц. Общая схема математической обработки снимка способом
Тернера состоит в следующем:
I) . От каталожных координат опорных звёзд переходят к измеренным координатам,
вводя соответствующие поправки
+ Д + Д<7„и, + Д<?«» у + д + Д^за + Д<?Р •
2) . По измеренным координатам опорных звёзд и параметрам фотографической камеры
вычисляют идеальные координаты опорных звёзд
F, А, Р
3) . По идеальным и измеренным прямоугольным координатам опорных звёзд
вычисляют постоянные снимка
Е, ’,Т) -> a,b,c,d,e,f.
4) . По измеренным прямоугольным координатам спутника и постоянным снимка
вычисляют идеальные координаты спутника
87
Наблюдения
a,b,c,d,e.f,x'',ys .
5) . По идеальным координатам спутника и параметрам фотографической камеры
вычисляют измеренные сферические координаты спутника
6) . От измеренных координат спутника переходят к истинным координатам спутника,
вводя соответствующие поправки
Я* = + Л?Р + д<^ “ д9яьа •
В соответствии с приведённой схемой при математической обработке
используются сферические, идеальные и рабочие координаты звёзд и ИСЗ, поэтому
выведем математические соотношения, необходимые при реализации этой схемы.
Идеальные и сферические координаты
Для решения этой задачи
построим вспомогательную
небесную сферу произвольного
радиуса с центром в главной точке
объектива О? (рис.35). Точками р и
s' на сфере обозначены северный
полюс Мира и звезд? (либо ИСЗ).
Оптическая ось фотографической
камеры пересекает сферу в точке
О'. На расстоянии F (фокусное
расстояние объектива) расположена
плоскость снимка. Точка
„ ,, ~ _ _ пересечения оптической оси с
Рис. 35. Система идеальных координат на снимке 1
плоскостью снимка называется
главной точкой снимка или
оптическим центром снимка. Все точки вспомогательной небесной сферы
проектируются на плоскость снимка по законам центральной проекции. В плоскости
снимка можно ввести так называемую идеальную систему плоских координат. Начало
этой системы совмещается с оптическим центром снимка, ось г/ представляет собой
проекцию полукруга склонения точки О', причём направлена эта ось в сторону
возрастания склонений. Ось - это проекция большого круга небесной сферы,
проходящего через точку О', под прямым утлом к полукругу склонений.
Положительное направление оси совпадает с возрастанием прямых восхождений. Во
введённой таким образом системе координат положение точки s на снимке
определяется формулами
£ = F tga sin со,
T)=F tgff COSCO,
(5.5)
в которых <т - дуга большого круга между точками О’ и s’ или центральный угол с
вершиной в точке О2, опирающийся на эту дугу; со - сферический угол между
полукругом склонения рО' и дугой большого круга О's'. По законам центральной
88
Наблюдения
проекции этот угол передаётся без искажений и в плоскости снимка соответствует углу
sOt).
Применяя формулы синусов, косинуса стороны и пяти элементов
sin a sin = cos5sin(a - Л), (5.6)
cos <7 = sin <5 sin О + cos 5 cos О cos(« - Л), (5.7)
sin о cos со = sin д'cos О - cos 5 sin £>cos(a - Л), (5.8)
к решению сферического треугольника, отдельно показанного на рис.36, легко
выразить идеальные координаты через сферические:
Рис. 36 Углы и стороны
сферического треугольника
ctgS sin(a - А)
ctgS cos(a - Л) cos D + sin D'
rj-F
cos D — ctgS sin Ь cos(a - Л)
ctgS cos(a - Л) cos D + sin D
(5.10)
При математической обработке снимка потребуется
решать задачу, обратную к только что рассмотренной.
Интересующие нас соотношения выведем, опираясь на
формулы (5.9), (5.10) которые преобразуем к виду
sin D + fytgScosDcos(a - Л) = FctgSsin(a - A), (5.11)
t] tgD + и ctgS cos(a - Л) - f(l - ctgS tgD cos(a - Л)). (5.12)
Откуда следует
ctgS cos(a - Л) = ,
ri + ftgD
... . «JsecD
ctgS sin (a - A) = ——-.
ri + FtgD
(5.13)
(5.14)
Разделив теперь последнее уравнение на предыдущеее, получим выражение для
прямого восхождения.
tg{a - Л) = —-~-----— (5.15)
' ' FcosD-tjsinD
Формула же для склонения вытекает непосредственно из (5.13):
_ рcosD + FsinD < л „
/g<5=—----—-----;—-со5(а-Л) . (5.16)
Feos £>-т) sin 7) ' '
89
Наблюдения
Идеальные и рабочие координаты
Измерение изображений звезд и спутника осуществляется в так называемой
рабочей системе координат', начало которой совмещается, как правило с
геометрическим центром снимка (точка пересечения диагоналей, проходящих через
координатные метки, располагающиеся в четырёх углах снимка) Оси рабочей системы
координат, задаваемые линейками координатно-измерительной машины,
ориентируются обычно параллельно сторонам снимка. В общем случае оптический и
геометрический центры снимка не совпадают, ориентировка осей идеальной и рабочей
систем координат также различна (рис.37).
Преобразование координат <?, и любой точки
снимка к координатам х,у осуществляется
поворотом идеальной системы координат на
угол в и параллельным переносом на хоч и уои .
х Математически зги преобразования можно
записать
(j'J (,sin0 cosOAnJ
Рис 37. Рабочая и идеальная системы
координат в плоскости снимка .. „ .
или в развернутой форме
X - Е, cos в - rj sin 0 + Хо ч
у =^sin6 + T)cosO + y0,
(5.18)
Таким образом, интересующее нас преобразование координат осуществляется с
помощью трёх параметров. На практике же оно оказывается неприемлемым в силу
различных деформаций фотоматериала, возможной пе ортогональности осей рабочей
системы координат и других причин. Английский астроном Тернер предложил
рассматривать коэффициенты линейного преобразования в качестве
интерполяционных коэффициентов (постоянных снимка), подлежащих определению в
процессе обработки. Тогда уравнения (5.18) можно записать в форме, носящей
название уравнений Тернера:
х = а% +Ьт] + с.
(5.19)
у = dS, +ег) + /.
(5.20)
Такие уравнения составляются для каждой опорной звезды. Рассматривая эти
уравнения в качестве уравнений поправок, составляют две системы нормальных
уравнений, из решения которых находят постоянные снимка.
Обратное преобразование непосредственно вытекает из формул (5.19), (5.20) и
выражается в виде
е <?(х-с)-б(у-/)
a e-b d
а (у~ f)-d (х-с)
ae-b-d
(5.21)
90
Наблюдения ___________________________________
с = cos a sec 8
d = sin a sec 8
c' = tg£ cos 8 - sin a sin 8
d' = cos a sin <5
1.5) Вычисляют поправки в координаты для каждой из п опорных звёзд за влияние
годичного параллакса
Д = д cos 8S sec 8 sin(as - a)
Д 8^ = zr(sin 8S cos 8 - cos 8S sin 8 cos(av - «))
n - годичный параллакс;
as. 5s - прямое восхождение и склонение солнца (можно выбрать из астрономического
ежегодника).
1.6) Вычисляют поправки в координаты для каждой из п опорных звёзд за влияние
суточной аберрации
ДаоА1/ =0.32*cos^cos»sec5,
Дй^а =0.32'cos<psinfsin<5,
<р - астрономическая широта пункта наблюдения;
г - часовой угол звезды относительно меридиана пункта наблюдения, вычисляемый по
формуле:
z = s-a,
s = 5'0 + 1.0027379093 UT\ + Л,
s - местное звёздное время;
So - истинное гринвичское звёздное время в 0h UTI;
1 - астрономическая долгота пункта наблюдения.
1.7) Вычисляют поправки в координаты для каждой из п опорных звёзд за влияние
астрономической рефракции
Д ар = Azp cos ф sin t sec 8 cos ecz
Д 8p = Дz₽(sin <f> cos 8 - cos ф sin <5 cos /) cos ecz ’
Az =60.27*- A._221_./gz_o.O7'.^.-^.,g’z,
p 760 273 + /° 760 273 +
В - атмосферное давление в окрестностях пункта наблюдения в мм рт. ст.;
- температура воздуха в окрестностях пункта наблюдения в (радусах Цельсия;
z - зенитное расстояние звезды, которое вычисляется по формуле:
z = arccos(sin ф sin <5 + cos ф cos 8 cos t).
1.8) Вычисляют измеренные сферические координаты для каждой из п опорных звёзд
92
Наблюдения
а' =а + Да„ + Да„А> + Ла^ + AaMJ+Aap
8' =8 + Д 8Р + Д 8а1>у + Д 8^, + Д 8^^ + А8Р
2 1) Вычисляют идеальные координаты для каждой из п опорных звезд
ctg6' sin(a' - а)
ctg6' cos(a' - a)cosP + sin D
cos D - ctg8' cos(a' -A)sin£>
ctg8’ cos(a’ - a)cos£> +sin D
F - фокусное расстояние объектива фотографической камеры;
A, D - прямое восхождение и склонение оптической оси.
2.2) Вычисляют идеальные координат для каждой из п опорных звёзд с учётом
дисторсии объектива
Г+Г
F2
. . 8, '2 +1]'2
п =п 11 + 3—-р—
О/ - коэффициент дисторсии объектива.
3 1) Вычисляют предварительные значения постоянных Тернера но любой опорной
звезде
ao=cos0 60 = -sin6
<Z(,=sin0 eo=cos0
*о Уо.ц - прямоугольные координаты оптического центра.
3.2) Уточняют постоянные Тернера по всем опорным звёздам
X = ~(АГ A]' ArLx = -QArL,
Y = ~(лга)' ATLy = -QATLy ’
93
ч 1'
Л‘ и; 1,
*в! ~~ + ^o4i ^*0
У'., =d£ +е<>Ц +/о
Компонентами векторов являются поправки к предварительным значениям
постоянных Тернера
3.3) Оценка точности
Векторы поправок к измеренным координатам опорных звёзд вычисляются из
решения уравнений
= АХ + £,
= AY + Ly
Средние квадратические ошибки единицы веса вычисляются по стандартным
формулам
Средние квадратические ошибки постоянных Тернера вычисляются по
формулам
94
Наблюдения
т„ = д, 77. ть ~ /J, тс = д, 7?»
md = ^>^ г»/=^у4яИ
<],, - диагональные элементы матрицы Q.
4 I) Вычисляют идеальные координаты ИСЗ
Г. = 4*™ -c)~b(y’m -f)
ае - bd
= ~с)
ае - bd
4 2) Вычисляют идеальные координаты ИСЗ с учётом дисторсии объектива
1-е.
f'2+n’
п =п i-е,—
51) Вычисляют измеренные топоцентрические сферические координаты ИСЗ
Г
<=A+a^Fcosn ^.пр
[ tj cosZ> + Л sinZ>
arctv\------------------
/’cos£>-Т) sm D
cos(a1 - A)
61) Вычисляют поправки в координаты ИСЗ за влияние спутниковой рефракции
Д ар - -Л.гр cos(рsin t ’ sec81 cosecz ’
Д5р‘ =-Az'(sin p cos S' -cos<psinS' cosf‘)cosecz'
^=60.27'.-L._aZ3_. g3/._
₽ 760 273+1° 760 273+1°
435' , „ „ „
------ tg^ -sccz Cp-C,,
r‘ - топоцентрическое расстояние до ИСЗ в км.
t‘ = 5 - a ’,
z' = arccos(sin<psin<5' + cos<p cos S' cost1),
Cp =1 + 0.0013125-(5-760),
C, =1-0.0037 Л.
Наблюдения
6.2) Вычисляют поправки в координаты ИСЗ за влияние суточной аберрации
Д j =032 cos <р cos t' sec 8 ’
Д 8аЬ<1 = 032 cos <p sin t ’ sin 8 *
6.3) Вычисляют поправки в координаты ИСЗ за влияние спутниковой аберрации
с - скорость света.
6.4) Вычисляют истинных топоцентрических сферических координат ИСЗ
« ’ =
8" =81,
Лазерные наблюдения
Общие принципы работы лазеров
Первые практически действующие лазеры появились в 1960 году [5]. О
важности разработки этих приборов свидетельствует тот факт, что авторы их создания
(академики Басов, Прохоров и американский физик Таунс) были удостоены
Нобелевской премии.
Лазером называют обычно генератор колебаний оптического диапазона длин
волн. Сам термин лазер (laser) является аббревиатурой от английской фразы Light
Amplification by Stimulated Emission of Radiation (что в переводе означает усиление
света посредством стимулированного излучения), записанной русскими буквами. Хотя
в переводе термина лазер с английского языка речь идет нс о генерации, а об усилении
колебаний, это нс имеет принципиального значения, так как любой усилитель можно
превратить в генератор выделением цепи обратной связи. Это положение
проиллюстрировано на рис.38, где “К” - усилитель с коэффициентом усиления I К |> 1,
“Р” - цепь обратной связи с коэффициентом передачи I р I < 1. При I КР I = 1 наступает
режим генерации.
Усилителем в лазерах служит обычно некоторая активная среда - вещество,
которое при подаче энергии извне (её называют энергией накачки) приобретает
способность усиливать оптические колебания в некотором диапазоне длин волн ДХ. В
Рис. 38. Обобщенная блок-схема
автогенератора
зависимости от агрегатного состояния активной
среды лазеры называют твёрдотельными,
жидкостными, газовыми В особый класс выделяют
еще полупроводниковые лазеры.
Для измерения расстояний до спутников
используются твёрдотельные лазеры. Лазером
первого поколения был рубиновый лазер. Рубиновый
стержень, выращиваемый в специальных ростовых
камерах, представляет собой кристаллическую окись
96
Наблюдения
алюминия, в которую добавлены трёхвалентные положительные ионы хрома,
играющего роль активатора (А12О2:Сг^). Принцип работы лазера рассмотрим на
примере рубинового лазера. Энергию накачки в рубиновых лазерах обеспечивает
газоразрядная ксеноновая (или ртутная) лампа, спектр излучения которой близок к
спектру поглощения рубина. Лампа накачки помещается над рубиновым стержнем и
при помощи специального поджигающего устройства работает в импульсном режиме.
Длительность импульса составляет около 10 3 секунды. Цепью обратной связи служит,
как правило, открытый оптический резонатор - пара зеркал, установленных по обе
стороны от активной среды таким образом, что они возвращают выходящее излучение
обратно в эту среду. Одно из этих зеркал глухое с коэффициентом отражения близким
к 100%, а другое полупрозрачное, чтобы выводить излучение для дальнейшего
использования. Оптический резонатор помещается в кварцевую трубку, стенки которой
юрают роль отражателя (они фокусируют излучение лампы накачки на рубиновом
стержне). схема рубинового лазера показана на рис.39.
Отражатель
ям па накачки
Глухое
зеркало
Отражатель Полупрозрачное
зеркало
Рис 39. Схема лазера с модуляцией добротности
При облучении рубинового
кристалла потоком фотонов от лампы
накачки электроны ионов хрома, поглощая
фотоны излучения накачки, могут
переходить из основного состояния в
возбуждённые состояния, запасая при этом
некоторое количество энергии. Для атомов
или ионов любого вещества характерен
определённый дискретный набор
возможных возбуждённых состояний (энергетических уровней), причём каждому
энергетическому уровню присуще определённое “время жизни” - средняя
продолжительность пребывания атома в данном возбуждённом состоянии, после чего
накопленная им энергия теряется, и атом переходит на более низкий энергетический
уровень (в состояние с меньшим запасом энергии).
Упрощенная схема энергетических уровней иона хрома в рубине и
“продолжительность жизни” на каждом из них показана на рис.40, а зависимость
населённости энергетических уровней от плотности мощности накачки представлена в
виде графиков на рис. 41
3 Лабильный уровень t=IO ’c.
Метасгабильны й
2 уровень t=105c.
hv=E2l
±|_ Стабильный уровень т = ~
Рис 41. Зависимость населенности
энергетических уровней ионов хрома в рубине
от плотности мощности накачки
Рис. 40. Упрощенная схема
энергетических уровней иона хрома
в рубине
Структура энергетических уровней создаёт возможность накопления
возбуждённых ионов на уровне 2. Попавшие на уровень 3 ионы очень быстро
оказываются “сброшенными” на уровень 2, и если источник накачки ещё продолжает
97
Наблюдения
действовать, переводя на верхний уровень всё новые ионы из основного состояния, то
через некоторое время большинство их накопится на мстастабильном уровне.
Ситуация, при которой населенность уровня с большей энергией выше
населенности уровня с меньшей энергией, называется “инверсией населённости’’.
Ионы, переходящие с уровня 2 на уровень 1, отдают накопленную энергию в виде
фотонов с энергией, соответствующей разности энергий этих состояний: hv = £г1. До
тех пор, пока не достигнуто состояние инверсии населённости возникает красное
свечение, представляющее собой излучение с узким спектром Отдельные акты
испускания фотонов при этом нс связаны между собой, каждый возбуждённый ион
испускаег “свою” волну, отличающуюся от других по частоте, фазе и поляризации.
Такое излучение называется спонтанным. Однако при взаимодействии излучённого
фотона с возбуждённой средой может происходить и другой процесс -
стимулированное (вынужденное) излучение, при котором дополнительно испускаемый
фотон “жёстко” связан с первым, вынуждающим, по частоте, фазе и поляризации, так
что их совместное излучение представляет собой единую волну (А = c/v - 6943 нм).
При достижении инверсии населённости стимулированное излучение начинает
преобладать над спонтанным. Коэффициент поглощения а активной среды на частоте,
соответствующей переходу иона с метастабилыюго уровня на основной, становится
отрицательным и в соответствие с законом Бугера /, = /ое °', интенсивность излучения
в конце участка /,, будет больше интенсивности в начале участка /„, т.с среда
приобретает усиливающие свойства Поскольку такая среда помещена в оптический
резонатор (т.е. создана обратная связь) и если инверсия населенности достаточна для
получения усиления, компенсирующего потери в резонаторе и в самой активной среде,
то возникает генерация; получается лазер. Излучение при этом представляет собой
“гребенку” импульсов длительностью 10"6 секунды, разделённых короткими
временными промежутками длительностью в несколько микросекунд. Такой режим
работы лазера называется режимом свободной генерации. На рис.42 вместе с формой
импульса излучения лампы накачки показана временная диаграмма лазерного
излучения.
Для измерения расстояний с помощью лазера нужен одиночный мощный
импульс как можно меньшей длительности, чтобы получить максимальную точность
определения дальности, поэтому режим свободной генерации не удобен для этих целей.
Рис. 42. Зависимость мощности излучения
лампы накачки и лазера от времени
в режиме свободной генерации
Для обеспечения работы лазера в режиме
измерения расстояний применяется режим
импульсного включения добротности. В этих
целях используются механические,
электрооптические и фототропные затворы,
которые включаются на очень короткое время
ближе к концу работы лампы накачки. Большую
же часть времени в оптическом резонаторе
искусственно поддерживаются большие потери
(резонатор разъюстирован и, значит, его
добротность мала). В течение этого времени
возбуждённые ионы хрома накапливаются на
мстастабильном энергетическом уровне. Во
время же включения затвора добротность резонатора резко возрастает и происходит
излучение в виде мощного импульса (рис.43).
Наблюдения
Рис 43. Зависимость мощности излучения
лампы накачки и лазера от времени
в режиме импульсного включения
добротност
Рассмотренный здесь рубиновый лазер
используется для измерения не очень больших
расстояний, кроме того, он имеет небольшой
коэффициент полезного действия (1% - 1.5%).
Для измерения больших расстояний
нужны мощные лазеры. В космической
геодезии в этих целях используются лазеры
второго, третьего, четвёртого и пятого
поколений. Активной средой в этих лазерах
служит алюмоиттриевый гранат с неодимом,
имеющий четырёхуровневую структуру
энергетических уровней (рис. 44).
Разница по сравнению с 3-уровневой
структурой состоит в наличии у ионов неодима
дополнительного уровня 2, расположенного над основным состоянием и
характеризующегося малым временем жизни Излучение источника накачки переводит
ионы неодима из основного состояния на уровень 4, откуда они посредством
безызлучательного перехода быстро опускаются на метастабильный уровень 3 и здесь
накапливаются. В среднем через 2 10 4 с. каждый из оказавшихся здесь ионов
испускает фотон с энергией hv - £,2 на длине волны А = 1064 нм, соответствующей
разности энергий иона на уровнях 3 и 2, и попадает на лабильный уровень 2, откуда
быстро возвращается в основное состояние на уровень 1.
Е
4 Лабильный уровень
Метастабильный
3 уровень
2 Лабильный уровень
I | Сэабильный уровень
Рис. 44. Упрощенная схема
энергетических уровней иона неодима
в алюмоиттриевом гранате
Рис. 45. Зависимость населённости
энергетических уровней ионов неодима в
алюмоиттриевом гранате от плотности
мощности накачки
Точка инверсии населённости для четырёхуровневой структуры (рис.45)
соответствует значительно меньшей плотности потока излучения накачки, чем для 3-
уровневой. КПД гранатового лазера в 2-3 раза выше, чем у рубинового лазера.
Излучение алюмоиттриевого лазера лежит в инфракрасном диапазоне длин
волн, излучение же лучше всего воспринимается глазом и фотоэлектрическими
приёмниками в сине-зелёном участке спектра. Преодолеть эту трудность помогают
преобразователи частоты оптического излучения; наиболее распространёнными из них
авляются умножители частоты. Для этого используют нелинейные свойства некоторых
оптически прозрачных кристаллов: при воздействии на них мощного
электромагнитного поля оптической частоты происходит изменение диэлектрических
параметров по нелинейному (квадратическому или более сложному) закону. В
результате в спектре появляются компоненты кратных частот (высшие гармоники).
Поставив на пути излучения, прошедшего через кристалл, светофильтр или
99
______________________________ I 1аблк>дсння
дисперсионную призму, можно выделить, например, компоненту с удвоенной частотой
(вторую гармонику). Схема лазера с удвоением частоты на выходе показана на рис.46.
Модулятор Нелинейный
призма
31 32
Рис. 46 Схема лазера с удвоением частоты на выходе
Принцип измерения расстояний лазерными дальномерами
С помощью лазерного дальномера измеряется промежуток времени между
моментом прихода отражённого от ИСЗ импульса и моментом его излучения.
На рис.47 показана обобщенная блок - схема спутникового лазерного
дальномера. Лазерный дальномер устанавливается на опорно-поворотное устройство,
управляемое ЭВМ. Небольшая часть энергии лазерного излучения через фотоприёмник
направляется на измеритель временных промежутков, где «запускает часы». Основная
часть лазерного излучения через коллимирующую оптическую систему уходит на
измеряемую дистанцию. После отражения от спутника сигнал возвращается в
приёмную оптическую систему, откуда через фотоприёмник попадает в измеритель
временных промежутков, где «останавливает часы».
Рнс. 47. Обобщённая схема импульсного лазерного дальномера
Оценку предельной дальности действия лазерного дальномера можно
произвести по формуле [5]:
•р 9 р
в которой
Е, - импульсная энергия излучения лазера. Дж;
100
Наблюдения
Sp - суммарная площадь отражателей, м ,
S„p площадь входного зрачка приёмной оптической системы, м2;
Г],. - коэффициент передачи коллимирующей оптической системы ;
- коэффициент передачи отражателей;
r)v - коэффициент передачи приёмной оптической системы;
г;„ - коэффициент пропускания атмосферы;
(2, - телесный угол, в котором сосредоточено лазерное излучение на выходе
коллимирующей оптической системы, ср;
- телесный угол, в котором сосредоточено отраженное от спутника излучение, ср;
Е„р - минимальная допустимая энергия сигнала на фотодетекторе, Дж..
Телесный угол связан с плоским углом формулой:
Л = -02.
4
У - плоский угол при вершине конуса излучения.
Временная задержка сигнала в лазерной локации ИСЗ
Рассмотрим движение светового сигнала, излучённого лазерным дальномером,
находящимся в пункте i земной поверхности до отражателя s, расположенного на ИСЗ.
Используя пространственно-временную метрику Шварцшильда и имея в виду, что для
светового сигнала интервал равен нулю, запишем:
ds‘ =/1--£Дс2А2 -р + -^Л(л2 +d>2 +<fe2)=0. (5.22)
Из этого уравнения найдём выражение для скорости распространения светового
сигнала в гравитационном поле относительно центра масс Земли.
I, 2М
• "ГЛ)
Элементарное геометрическое расстояние, пройденное световым сигналом за
элементарный промежуток времени, определяется выражением
dr' = vc • dt, (5.24)
интегрируя которое, получим
С г Г
(5.25)
Второй член в этом выражении поправочный, поэтому приближённо можно
записать
с о г
101
(5.26)
Наблюдения
Выразим теперь dr' через dr. Из прямоугольного треугольника Oks, в котором
катет р - кратчайшее расстояние от центра масс Земли до лазерного луча (рис.48),
можно записать:
(5.27)
Дифференцируя это выражение, получим
(5.28)
Теперь (5.26) можно проинтегрировать:
Здесь /им и tx - моменты излучения сигнала из точки i и прихода сигнала в точку 5 по
координатному времени.
Рис 48 К выводу временной
задержки сигнала
Использование выражения
г,2=р2+х2
(5 30)
совместно с (5.27) позволяет исключить р в (5.29).
Таким образом,
= (5.31)
Рассматривая движение светового сигнала после отражения от спутника s
обратно к станции i, получим формулу
/ = с ('ч,
с г, + г,
(5.32)
в которой - момент по координатному времени прихода сигнала в точку i после
отражения от ретрорефлектора в точке з.
Поэтому можно записать:
, „ 2и , г + г + г
г=сМ—у In——1-
(5.33)
где
Л! - полуразность между моментами прихода отраженного сигнала в точку i и его
излучением из той же точки i.
Наблюдения
При этом г' соответствует моменту t - - , т.е. моменту отражения
сигнала от спутника.
В полученной формуле для временной задержки сигнала Л1 - промежуток
координатного времени, на станции же измеряется промежуток собственного времени.
Поэтому нужно еще перейти от координатного времени к собственному. Из метрики
Шварцшильда имеем:
Л
dt =
2с‘
(5.34)
v, - скорость пункта i
Поэтому оконча1сльно получим;
(5.35)
При выводе формулы мы учли лишь релятивистскую временную задержку при
лазерной локации ИСЗ. В действительности при вычислении геометрического
расстояния от пункта до спутника нужно учесть ещё атмосферную задержку и задержку
в электрических цепях лазерного дальномера. Практически расстояние до спутника
вычисляется по формуле
г' = сД Т - Дг'р - Д r'L - Л.г'г1
(5.36)
с - скорость света;
&i - полуразность между моментами излучения и прихода отражённого сигнала;
Аг'р - поправка за тропосферную рефракцию;
dr’i, - поправка за задержки в аппаратуре;
dr',,/ - релятивистская поправка (второй член в (5.35)).
В общем виде поправка за тропосферную рефракцию выражается интегралом:
На практике при обработке лазерных наблюдений используют формулу Марини
и Маррея.
fW(л + в)2
р ?lsinh+25sinh+0.015’
(5.37)
где
Л = 0.002357 Р + 0.000141-е,
р- 2
В ~ 1.084 -10 ‘ РТК + 4.734 10 ‘ • — ---—г,
Т 3-К'1
Наблюдения
К = и 63 - 0.00968 • cos2<р - 0.00104 Т + 0.00001435 Р,
/(Л) = 0.9650 +
0.0164 0.000228
Л2 + Л4 ”
g(<p, Н) = 1 - 0.0026 cos 2<р - 0.00031 • И,
е= — - 6.11 10’.
100
7.5(7~ - 273.15)
“ 237.3 + (Г— 273.15)
Лг’р - поправка в дальность за влияние рефракции (в метрах);
h - угловая высота спутника над горизонтом;
Р.е.Т.Кь - соответственно давление (в миллибарах) атмосферное и паров воды,
температура атмосферы (в градусах Кельвина) и относительная влажность воздуха (в
%) в окрестностях станции наблюдения;
Л - длина волны излучения (в микрометрах);
ср - широта станции;
И - высота станции над уровнем моря (в километрах).
Доплеровские наблюдения
Спутниковыми радионавигационными системами первого поколения,
созданными в шестидесятые годы XX века, были “Транзит” (США.) и “Цикада”
(СССР) [18]. Эти системы имели по шесть спутников на высоте порядка 1000 км,
обращающихся по полярным орбитам. Главным недостатком таких систем является
отсутствие непрерывности навигационного обеспечения, связанное с дискретностью
появления спутника в зоне видимости определяемого пункта.
В системах “Транзит” и “Цикада" используются частоты -150 и 400 МГц.
По характеру измерительной информации доплеровские приемные устройства
разделяют на:
приёмники, измеряющие непосредственно частоту;
приёмники, измеряющие число периодов принимаемой частоты за
некоторый промежуток (до 2 минут) времени.
Доплеровское смещение частоты
Пусть имеются трое часов: одни покоящиеся, расположенные в центре масс
гравитирующего тела и двое перемещающихся со скоростями у, и v,. (рис. 49).
Рис. 49. К выводу доплеровского
смещения частоты
Для вывода формулы доплеровского смещения
частоты установим соотношение между промежутками
времени, показываемыми на двух движущихся часах. На
основании метрики Шварцшильда запишем связь между
промежутками времени по часам в точках s и О.
dt'~
(5.38)
104
Наблюдения
Па основании той же метрики запишем связь между промежутками времени во часам в
точках 1 и О.
dt =
(5.39)
Тогда соотношение между промежутками времени но часам в точках i и з с
точностью с 2 будет:
Л'= 1-
(5.40)
Если из движущейся точки з за промежуток времени dt' по часам в точке з
излучено п частиц, то по часам точки i те же п частиц были бы излучены за промежуток
времени dt Зарегистрированы же те же п частиц, будучи излученными из точки з,
будут за промежуток времени dt " по часам точки i. При этом имеет место
соотношение
dt dt
(5.41)
в котором г' - радиальная скорость точки з относительно точки i.
Следовательно,
dt'=
(5.42)
Если считать частотой количество частиц, излучённых или зарегистрированных
л п ,
в единицу времени, тогда — = - собственная частота, ——г = f - принятая частота.
dt dt
Таким образом, из (5.42) получаем формулу доплеровского смещения частоты:
f - Го = А/ = -Г- fo + 7^(7 - 7] + £2 (v,2 - V2). (5.43)
В полученной формуле первый член в правой части называется продольным
доплеровским эффектом, второй член вызван наличием гравитационного поля
(разностью травитационных потенциалов в точках i и з), третий член называется
поперечным доплеровским эффектом (открыт в 1938 году Айвсом).
Если в приемнике, упрошенная блок-схема которого изображена на рис.50,
измеряется сдвиг частоты, то по формуле (5.43) вычисляется радиальная
топоцентрическая скорость спутника.
Если же используется интегральный доплеровский приёмник (рис.51), то в этом
случае измеряется количество циклов, регистрируемых за известный промежуток
времени [21]. Уравнением, определяющим доплеровский отсчёт, является интеграл от
разности между частотой опорного генератора приёмника и принятой частотой
105
Наблюдения
(частота излучения плюс доплеровский сдвиг) в пределах промежутка времени между
приходом временных меток со спутника.
A^ = JU, Л. -¥>= J/>'- JU... + Д/>- (5.44)
Первый интеграл после второго знака равенства в (5.44) берётся от постоянной
частоты, поэтому его легко интегрировать Второй интеграл берётся от меняющейся
частоты. Однако этот интеграл представляет собой количество циклов, принятых
между моментами прихода двух временных меток, поэтому эта величина должна быть в
точности £ьит; равна количеству излучённых циклов. По этой причине второй интеграл
в правой части можно представить в виде
JU.. +Д/>Й = )/И1Л.
(5.45)
Тогда
(5.46)
Г2 ~ Г1 ~ Д')? - у^|г " U, ~ /и, XG - Л )| •
(5.47)
Рис. 50. Упрощенная блок-схема аппаратуры для измерения доплеровской частоты
Наблюдения
Рис 51 Упрощенная блок-схема интегрального доплеровского приёмника
Исключение влияния ионосферной рефракции
При прохождении ионосферы частота радиосигнала помимо доплеровского
:мсщения получает ешс дополнительный сдвиг. Оказывается, что основная
вставляющая сдвига частоты в ионосферном слое прямо пропорциональна
<онцентрации электронов А на пути распространения радиоволн и обратно
чропорциональна частоте радиосигнала. Выполняя наблюдения на двух частотах этот
ионосферный сдвиг частоты можно исключить. Запишем выражения для принятых
частот с учётом доплеровского и ионосферного смещений:
(5.48)
Г1’0 — Г'50 г1’0 vr l — /Is0 3 ?-400 V, , 8 А -
J -Jo -Jo ~ + ~7iio~Jo ~^J<>
C Jo 8 с 3
В этих выражениях учтено, что
2'150 _ Г 150 _ 2 Г400
J ULI J О g JО
Если в аппаратуре потребителя произвести операцию умножения частоты /|5°
3
на -, то после вычитания одного значения частоты принятого сигнала из другого,
получим:
•400 _ 3 2-150
8 7
(5.51)
Наблюдения
Как видно из выражения (5.51). члены уравнений, определяющие сдвиги
частоты за счёт ионосферной рефракции взаимно уничтожились.
Общая схема функционирования глобальных спутниковых
радионавигационных систем
Главным преимуществом современных спутниковых радионавигационных
систем (СРНС) является глобальность создаваемого радионавигационного поля и
практическая независимость определения вектора состояния от метеоусловий, времени
года и сугок [27].
В настоящее время гпирокое применение нашли спутниковые системы второго
поколения GPS (США) и ГЛОНАСС (Россия).
В состав СРНС GPS и ГЛОНАСС входят три подсистемы (сегмента):
подсистема космических аппаратов (созвездие спутников), подсистема контроля и
управления (наземный комплекс) и подсистема приёмной аппаратуры потребителей
Космический сегмегп каждой системы состоит из орбитальной группировки
искусственных спутников Земли, включающей но 24 рабочих спутника, обращающихся
на высотах порядка 20000 км. Спутники ГЛОНАСС распределены в трех, а спутники
GPS - в шести орбитальных плоскостях.
Бортовое оборудование спутника включает в себя блок формироваггия сигналов
с псевдошумовой модуляцией и спутниковые часы. По линии закладки данных в
процессор спутника записывается информация для формирования навигационного
сообщения. Но командно-телеметрической линии производится управление
различными системами спутника, в том числе выполняются необходимые установки
спутниковых часов, генераторов общедоступного (С/А) и точного (Р) кодов. Для
повышения надёжности процессор и блоки формироваггия навигационных сигналов
имеют дополнительно по два резервных комплекта. Кадр навигационного сообщения
содержит информационные данные, которые разделены зга пять подкадров.
Первый ггодкадр содержит параметры коррекции временной шкалы
спутниковых часов и параме тры, характеризующие задержки сигнала при прохождении
ионосферы.
Во втором и третьем ггодкадрах содержатся эфемериды ИСЗ.
В четвертом подкадре содержится массив специального цифро-алфавитного
сообщения и массив резерва.
В пятом подкадре - альманах всех ИСЗ системы, в состав которого входят
эфемериды, поправки бортовой шкалы времени, показатель работоспособности ИСЗ и
время ввода данных.
Основными задачами наземного комплекса управления являются, контроль за
работой ИСЗ, сбор необходимой информации для определения начальных элементов
орбиты каждого ИСЗ, закладка данных в память бортовых процессоров спутников,
формирование временной шкалы системы и синхронизация спутниковых часов
системы.
Аппаратура потребителей системы GPS осуществляет поиск навигационных
сигналов спутников, отслеживает их, измеряет навигационные параметры, принимает и
расшифровывает содержание навигационных сообщений, решает задачи по
определению местоположения По назначению приёмную аппаратуру потребителей
можно разделить па навигационную и геодезическую. По типу используемых для
измерений сигналов приёмная аппаратура может быть кодовой (исггользуются коды
модуляции несущих частот сигналов), фазовой (используются фазы несущих частот) и
доплеровской (используется доплеровское смещение частот). По количеству частот
принимаемых сигналов приемники разделяются на одночастотные и двухчастотныс. По
108
Наблюдения
способу слежения за спутниками приемники подразделяются на одноканальныс и
многоканальные.
Спутники в системе GPS работают на частотах = 1575.42 МГц и
1.г - 1227.6 МГц. В системе ГЛОНАСС каждый спутник работает на своих частотах в
диапазонах LI и • Номинальные значения несущих частот в ГЛОНАСС определяются
следующими выражениями:
А = /о. + .
А=А + м/г,
к =0,1, 2,...,23,
/0| = 1602 МГц, = 1246 МГц,
Д/, = 0.5625 МГц, Д/2 = 0.4375 МГц .
Принципы формирования дальномерных кодов
Шумоподобные сигналы формируются на регистрах сдвига с обратными
связями. На сдвиговых регистрах (рис.52) можно записать числа в двоичном коде в
виде нулей и единиц. Сдвиговый регистр представляет собой набор последовательно
соединённых триггеров. Каждый триггер представляет собой схему из двух
полупроводниковых триодов, имеющих два состояния. Если один триод открыт, т.е. по
нему течёт ток, то друтой обязательно закрыт, т.е. по нему ток не течёт. Каждому
такому состоянию триггера соответствует условно 0 (одному состоянию) и I
На рис.52 в первом разряде регистра записан
О, в остальных /. Подачей сигналов по шине В
можно перебросить тот или иной триггер в
противоположное состояние (из Он 1 или из /
в 0). Подачей импульсов по шине А (так
называемых тактовых импульсов) можно
(противоположному состоянию).
0 111
Рис 52. Схема сдвигового регистра
продвигать число, записанное в двоичном
коде по сдвиговому регистру. Организацией
обратной связи в сдвиговом регистре
образуют схему генератора шумоподобного кода. Работу такого генератора рассмотрим
на примере четырсхразрядного регистра сдвига с обратной связью (рис.53).
Тактовые импульсы
Рис. 53. Схема генератора
шумоподобного кода
Работой схемы управляют тактовые импульсы,
следующие с интервалом г„. С приходом
очередного тактового импульса записанное в
регистре число сдвигается на один разряд к
выходу. При этом на вход первого разряда из
сумматора записывается соответствующее
число 0 или /. Сложение чисел на сумматоре
происходит по правилу
/ + /=0.0+/ = /,/ + 0=/, 0 + 0 = 0.
Если за начальное состояние регистра принять
состояние, когда во все разряды записаны /, то
последовательное чередование чисел,
пояснить следующей таблицей.
записываемых в сдвиговом регистре, можно
109
Наблюдения
№ такта Состояние первого разряда Состояние второго разряда Состояние третьего разряда Состояние четвертого разряда Выход генерируемой последовательности
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
2 1 0 1 1 11
3 0 1 0 1 111
4 1 0 1 0 1111
5 1 1 0 1 01111
6 0 I 1 0 101111
7 0 0 1 1 0101111
8 1 0 0 1 10101111
9 0 1 0 0 110101111
10 0 0 1 0 0110101111
11 0 0 0 1 00110101111
12 1 0 0 0 100)10101111
13 1 1 0 0 0100110101111
14 1 1 1 0 00100110101111
15 1 1 1 1 000100110101111
Схема из К разрядов способна генерировать периодически повторяющуюся
последовательность с общим числом нулей и единиц равным М, где
Л/ = 2*-1.
Измерение псевдодальности производится сравнением фаз псевдослучайной
последовательности (ПСП) и фаз частоты следования тактовых импульсов. Характер
последовательности даёт сразу две шкалы для измерения дальности: период
повторения последовательности Тп - Мти выбирают исходя из величины априорной
неопределённости дальности, которую необходимо измерять, а период чередования
символов последовательности т¥ выбирают исходя из точности измерения, которая
должна быть обеспечена в системе.
Схема генератора псевдошумового дальномерного кода в системе ГЛОНАСС
состоит из девяти разрядов, следовательно, М - 511. Смена символов осуществляется с
тактовой частотой fT =511 кГц, поэтому
Т, = — = 2 мкс.
Отсюда инструментальная погрешность измерения:
8 г - с 10'2 -Т, = 6 м.
Период последовательности
Тп = М • Т, = 1 мс .
Отсюда неоднозначность измерения псевдодальности:
11аблюдеиня
г - сТп - 300 км.
Сигнал исевдошумового дальномерного кода необходимо тем или иным
способом встроить в излучаемое со спутника электромагнитное колебание несущей
частоты.
Модуляция несущей частоты дальномерным кодом осуществляется путём
переброса фазы несущего колебания на 180° при каждом переходе чередования
символов ПСП от 0 к / или от / к 0. Так для ПСП, приведённой в таблице, моментами
изменения фазы несущей частоты на 180“ будут моменты времени г,, Is, t6 , t?, г?, tn ,
tt2 , и т. д. (рис.54)
1111 01011001000
ts Q, ty t9 til ti2
Рис. 54. Сигнал,
модулированный
дальномерным кодом
Кодовые псевдодальности
Произведение скорости распространения сигнала (скорости света) на
промежуток времени по системной шкале с учётом ионосферной, тропосферной и
релятивистской поправок представляет собой геометрическое расстояние пункт-
спутник:
г' =с [/,(Ж)- г,(Ж)] - - Д<,
(5-52)
Моменты излучения и приёма фиксируются по спутниковым часам и по часам
приемника. Эти часы имеют свои поправки относительно системного времени.
/,(Ж)=Г,+5 ,(г)
t,(SIS)=t, +3 ,(/)
Учитывая эти соотношения, можно записать:
r't ~c(t, -t,)-c3 ,(/)- Д<, - Дг,;о„ - Д<, + сЗ ,(г)
(5.53)
Поправка спутниковых часов относительно системного времени определяется
усилиями наземного комплекса управления и представляется в виде:
<5 ,(t)=a0+a, (/-f0)+“2 ('-'о)’
Произведение скорости сигнала на измеренный промежуток времени с
введёнными поправками называется псевдодальностью D.
(5.54)
Наблюдения
Таким образом, связь псевдодальности с геометрическим расстоянием пункт-
спутник представляется в виде:
<=£>„+с <5 ,(/) (5.55)
Фазовые псевдодальности
Текущие фазы несущих и опорных колебаний можно представить формулами
(6,351:
?,(<)=/•' /--Фо, (5-56)
С
t-(pa, (5.57)
Начальные фазы зависят от поправок спутниковых часов и часов приёмника и
выражаются формулами:
Фо,-/5 .(')
Фо,= / 5.0)
Для разности фаз будем иметь
Ф.(')-ф.(')-/у + /-5 ,(/)-/£,(/) (5.58)
Эта разность фаз состоит из неизвестного целого числа N длин волн,
укладывающихся в расстоянии пункт-спутник и измеряемой фазометром дробной
части. Поэтому можно записать:
N„ + &<p = f— + f-8 ,(z) (5.60)
ИЛИ
го'=А д<р +A N.,-с <5,(г)+с-5,(/) (5.61)
Ионосферная рефракция
Поправка за влияние ионосферной рефракции вычисляется по следующей
формуле (35):
> А + COSZ [ . А1 (5.62)
112
Наблюдения
Здесь
с - скорость света,
2 - вспомогательный угол,
т местное среднее солнечное время в момент наблюдения, соответствующее долготе
ионосферной точки. Ионосферной точкой называется точка пересечения прямой
пункт-спутник с геоцентрической вспомогательной сферой, радиус которой равен 6800
км.
m=UT\ + А„
А1. АЗ - константы, численные значения которых принимаются равными:
А, =5 10 "сек.
А, =14"
А2, А4 - функции геомагнитной широты ионосферной точки, которые вычисляются по
формулам:
А} =а0+а,<р;+а2(ф;)2 + a}(<ptf
Коэффициенты а, /3 регулярно вычисляются на основе атмосферной модели
Клобушара и передаются в навигационном сообщении.
Геомагнитную широту ионосферной точки <р"р
можно вычислить по формуле:
sin<p £=sin<p „„sin<p ,р + cos<p „„cos<p „cos(A A )
Значения широты и долготы магнитного полюса принимают равными:
</>„,= 78.3“ А „,-291.0“
Широту и долготу ионосферной точки можно вычислить по следующему
алгоритму.
По прямоугольным координатам ИСЗ вычисляют его геоцентрические широту
и долготу
А Y.
Л., = arctg —
Ф, = arcsin —-
Вычисляют геоцентрическое зенитное расстояние ИСЗ
XX +ГУ, + Z.Z,
COS 2 = — 2--—----—-
113
Наблюдения
Вычисляют топоцентрическое зенитное расстояние ИСЗ
cos / = х^х‘ - *.)+r,fr-r.)+z,(z,-z,)
Я,Я„
Вычисляют вспомогательный угол
Я,,
sinz - --—sinz
R, +
Здесь Rg - средний радиус Земли, Л„, - средняя высота для ионосферной точки (Лт=ЗОО
• 400 км).
Вычисляют азимут (от точки севера) направления пункт-спутник.
cos Ф shi(A — Л )
sin а =---------------—
sinz
sin Ф. cos Ф-cos Ф яФФ cos(A,-Л.)
cos а ----------—------—----------— -----
sin z
Вычисляют широту и долготу ионосферной точки
sirup ip~ cosz,p яшФ, + sinz^ созФ, cos а
i sinz,„sina
sm(A -л )=-—г-----------
cosip ₽
cos z,p - sin <p sin Ф,
COS<P ^СОвФ,
cos)
Тропосферная рефракция
Поправку в дальность за влияние тропосферной рефракции можно вычислить по
формуле Хопфилд [35J:
COSZ
(5.63)
Сухая и влажная компоненты для индекса преломления определяются по
формулам:
=
/v d О
ё, =77.624 —
mb
с, =-12.924 —, с, =3.720 10’--
2 mb ’ mb
1)4
Наблюдения
Р, е - атмосферное давление и давление водяных паров в миллибарах;
Т- температура воздуха в градусах Кельвина
hd и принимаются равными:
h, = 40136 + 148.72 • (Г - 273.1 б)
Л.. -11000 м
Поправку за тропосферную рефракцию можно вычислить также по
Саастамойнена [II]:
0.002277
1855 .„.А
Методы космической гсодезии
Грудное это то, что может быть сделано немедленно,
невозможное - то, что потребует немного больше времени.
Сантаяна
6. Методы космической геодезии
Определение длин и/или ориен тирующих углов земной хорды но
спутниковым наблюдениям
Пусть по наблюдениям, выполненным с двух станций, получены компоненты
топоцентрических векторов пункт-спутник в истинной равноденственной системе ко-
ординат г,'.
Тогда топоцснтричсский вектор пункт-спутник в средней гринвичской системе
координат, в которой, как правило, и решают геометрические задачи космической гео-
дезии, определяется по формуле:
R'„=nS 7^.
(6.1)
При решении задачи по определению длины и/или направления вектора, соеди-
няющего две станции (земная хорда) геометрическим методом космической геодезии,
необходимо располагать одновременными (синхронными) наблюдениями с этих стан-
ций. Осуществление же строгой синхронизации наблюдений ИСЗ со станций, расстоя-
ния между которыми составляют сотни и тысячи километров, представляет сложную
техническую задачу. Практически задачу синхронизации решают, приводя перекры-
вающиеся но времени наблюдения к одному моменту времени tc. Для этого любую на-
блюдённую с каждой станции величину <j, аппроксимируют полиномом (обычно треть-
ей степени) по времени:
Я. = Я, + «('. -(>) + *('.-Л)’ + с(', -/>)’•
(6.2)
По методу наименьших квадратов определяют коэффициенты a, h, с. А затем,
используя эти коэффициенты, определяют значение qc, соответствующее заранее вы-
бранному синхронному моменту tc '
Яс = <7i + “(С “ /|) + Й(С “ ri)’ + С(‘с “ 'i)’ • <6-3>
Векторы пункт-спутник, приведённые к одному моменту времени, для обеих
станций наблюдения, образуют синхронную плоскость. Станции могут быть оборудо-
ваны различной аппаратурой, поэтому будем различать четыре совокупности наблюде-
ний, когда с двух пунктов получены::
два направления Я',0, R'°;
одно направление и два расстояния Я',, Я',;
два направления и одно расстояние Я',,Я'“;
два направления и два расстояния Я',, Я',
116
Методы космической геодезии
Ии одна из приведённых совокупностей в силу односторонности наблюдений не
позволяет составить условия, связывающие между собой только эти наблюдения. Од-
нако по этим совокупностям наблюдений можно составить условия с дополнительными
параметрами. В качестве дополнительных параметров используют, как правило, иско-
мые неизвестные (углы, задающие направление земной хорды, которые часто называют
ориентирующими углами и длину земной хорды).
Вид уравнений связи в синхронном треугольнике для различного состава на-
блюдений приведён в таблице.
Состав наблюде- ний Общий вид уравнений связи Количество уравнений
я;*, к? f=я,';)-я;’=0 1
й,;,,й', F = R" - й',2 - й2, + 2R'V1 R[, cos Д, = 0 1
Г = (л'’хД,'‘) я(* -Ч F = й'ч sin Д - й',, sin = 0 2
й,;,,й', й - R'VL'^ + Й',Д', - й,;, Д', = 0 F = R'V: M'Vi + й', М', - й',А/', = 0 F = R'^N'a + Й'Л', - R'VN'V = 0 3
Для надёжного решения задачи по определению компонентов земной хорды
приходится использовать до шестидесяти синхронных плоскостей. В связи с наличием
избыточных наблюдений возникает задача уравнивания.
В уравнительных вычислениях нахождение искомых величин, удовлетворяю-
щих уравнениям, приведённым в таблице, сводится к решению линеаризованной сис-
темы уравнений:
AV + BX + W = 0, (6.6)
в которой
V - вектор-столбец поправок к измеренным величинам;
X - вектор-столбец поправок к приближённым значениям неизвестных;
А - матрица, элементами которой являются частные производные от функций F по из-
меренным величинам;
В - матрица, элементами которой являются частные производные от функций /•' по ис-
комым неизвестным;
W - вектор-столбец свободных членов, элементами которого служат значения функций
F, вычисленных по измеренным величинам и приближённым значениям искомых неиз-
вестных.
Для решения системы (6.6) коррелатным методом наименьших квадратов со-
ставляется функция Лагранжа
ф = vtpv (w + bx + w).
(6.7)
и стандартными методами отыскивается её минимум:
117
Мстоды космической геодезим
Л'к-о
ar
<?Ф _ г-
—- ~ЗВТК = О
дх *
(6.8)
Отсюда система нормальных уравнений
АР 'АтКл BX1W = O
ВГК^О
(6.9)
и её решение
К =-(АР~'А7 )'(ВХ + W)
X = -(в' (АР1 А’У'вУ В’ (ар'а' )' W
(6.10)
Здесь К - вектор коррелат.
Для выполнения опенки точности вычисляют среднюю квадратическую ошибку
единицы веса:
Р =
(6.11)
го - количество условий;
к - количество искомых неизвестных..
Используя диагональные элементы матрицы Q
q = [bt(ap'atY в) ' =
?аф <?ая
4 ФА ЧфФ Чфк >
\Чкл Чяф 4rr ,
вычисляют средние квадратические ошибки искомых неизвестных:
«ч = тк=в>!^- <6-12)
Вычисление ориентирующих углов хорды из элементарной фигуры
При выполнении уравнительных вычислений по определению компонентов
вектора пункт-пункт необходимо располагать их приближёнными значениями.
Вычисление этих значений можно осуществить на основе элементарной фигуры. Эле-
ментарной фигурой называется построение, состоящее из необходимого числа измере-
ний.
При вычислении ориентирующих углов земной хорды по измеренным направ-
лениям пункт-спутник, выполненным с обоих пунктов, элементарной будет фигура, со-
стоящая из двух синхронных треугольников. В этом случае задача по определению
ориентирующих углов хорды (единичного вектора пункт-пункт) сводится к троекрат-
Методы космической геодезии
ному вычислению векторных произведений соответствующих единичных векторов
(метод Вяйсяля).
Сначала вычисляются векторы, перпендикулярные плоскостям каждого тре-
угольника:
к
='Л',,,, + JM'W, + kN.
= + ]М’м + kN,
Здесь р - угол при спутнике в соответствующем синхронном треугольнике.
Затем вычисляется единичный вектор земной хорды:
Я'*
M'w<
к
= ‘ + + kN',,, ’
Здесь X - угол между плоскостями синхронных треугольников.
Ориентирующие углы хорды: вычисляются по формулам:
м;,
А'л = arctg
N’„
Ф' = arctg ——
Л” + м;
v !1*2
Определение длины и направления земной хорды по наблюдениям
квазаров
Рис. 55. Метод РСДБ
Открытые в шестидесятые годы XX века квазары, явля
ются самыми удалёнными объектами Вселенной. Эти
звездоподобные объекты являются, по-видимому, актив-
ными ядрами далёких галактик. Обладая малым собст-
венным движением из-за громадной удалённости, и мощ-
ным радиоизлучением, квазары используются астромет-
ристами для построения инерциальной системы коорди-
нат. К настоящему времени составлены высокоточные
каталоги квазаров. Радиоинтерферомегричсские наблю-
дения квазаров с успехом используются и в интересах
геодезии для определения компонентов свсрхллинных
Методы космической геодезии
земных хорд и для определения параметров вращения Земли. Решение геодезических
задач по наблюдениям квазаров удобно выполнять в средней гринвичской системе ко-
ординат, поэтому каталожный единичный вектор квазара преобразуется по формуле
R° -П S N P г°
На двух пунктах земной поверхности, образующих базу радиоинтерферометра, с
высокой степенью точности фиксируется промежуток времени между моментами при-
хода одной и той же волны от квазара на один, а затем на другой пункт (рис.55).
Между непосредственно измеренной величиной временной задержки и компо-
нентами вектора пункт - пункт (база радиоинтерферометра) существует следующая за-
висимость [191:
ст = R', cos I/ .
с - скорость распространения электромагнитных волн;
Т- временная задержка;
R‘ - база радиоинтерферомегра;
у/ - угол между базой радиоинтерферомегра и направлением на квазар.
Косинус угла i/z можно представить в виде:
cosi/z - cosA^ сояФ',, cos у cos 5 + sin Л',( соьФ',, sin у cos 8 + вшф',, sin 8 -
AJT Л Г AZ'
—/, + —-- М + —N ,
Л/, R, R,
(6.13)
(6.14)
где
у, 8 - сферические координаты квазара в средней гринвичской системе координат;
L, М, N - направляющие косинусы, направления на квазар.
Подставляя последнее уравнение в предыдущее, получим основное уравнение
метода радиоинтерферометрии со сверхдлинной базой (РСДБ):
ст — AX'ti £ + А М + az;, А .
(6.15)
Заметим, что это уравнение в зависимости от постеленных задач можно решить
либо относительно параметров вращения Земли (координат полюса), либо относитель-
но разностей координат между концами базы радиоинтерферометра
Рассмотрим решение задачи по определению компонентов базы интерферомет-
ра. С этой целью перейдём от исходного уравнения к уравнениям поправок, которые
запишем в матричной форме:
AX + L = V, Р.
Здесь
А - матрица, элемен тами которой являются частные производные от измеренной вели-
чины (ст) по неизвестным (компонентам вектора пункт-пункт).
120
Методы космической геодезии
£, Л/, N, '
А =
lA мп
X - вектор-столбец поправок к приближённым значениям компонентов вектора пункт-
пункт.
X-
з дх;
8
8 &z’v
I. - вектор-столбец свободных членов. Элементы этого вектора представляют собой
разности между счислимыми значениями измеряемой величины (вычисляются по
формуле (6.15) с приближённо принятыми значениями искомых неизвестных) и непо-
средственно измеренными величинами;
V - вектор-столбец поправок к измерениям;
Р - матрица весов измеренных величин (при равноточных измерениях принимается за
единичную).
Система уравнений поправок решается под условием VT PV = min , поэтому ре-
шение получается в виде:
х = -(агра\' ArPl.
Уточнённые же компоненты вектора пункт-пункт находят по формулам:
д к' = д + 8 д х’ , д г = д г'(0) ч 8 д Y' , д z’,= л z'*” + 5 д z' .
Mi Mi Мз Mi Mi М» Mi Mi Mi
Оценка точности производится по стандартным правилам параметрического ме-
тода уравнивания.
Вычисляется средняя квадратическая ошибка единицы веса:
'vTpv
п-3 '
п - количество выполненных измерений.
Вычисляются средние квадратические ошибки искомых неизвестных:
Здесь q - диагональные элементы матрицы Q:
Я\\Ч\зЯ\з
(Ат РА}' = Q- q„q21q„
121
Методы космической геодезии
Определение длины и направления геоцентрического радиус-вектора
пункта но дальномерным наблюдениям Луны
Метод лазерной локации Лу-
ны основан на измерении расстояний
лазерными дальномерами до уголко-
вых отражателей, доставленных на
поверхность Луны советскими и аме-
риканскими летательными аппарата-
ми.
В общей постановке можно
определять все параметры системы
Земля - Луна. Однако практически
целесообразно эту задачу решать
групповыми приближениями [13]. На
первом этапе, полагая известными
геоцентрические координаты обсер-
ваторий, по наблюдениям расстояний до отражателей, уточняются параметры орбиты и
либрации Луны, а также селеноцентрические координаты отражателей. На втором эта-
пе уточняют геоцентрические координаты обсерваторий, считая известными парамет-
ры, определённые на первом этапе.
Рассмотрим второй этап. Применяя формулу косинуса к треугольнику, изобра-
жённому на рис.56, запишем основное уравнение метода лазерной локации Луны:
г' = + г2 - 2r??cosy/ .
(6.16)
Переходя к уравнениям поправок и решая их но методу наименьших квадратов,
получим'
X =-{А} РА}' Ат Pl.
где
cosy/ = sin Фу sin 5 + со$Фо cos3cos(y- Ао),
(cosy/)* = cosФоsin<5 - 5шФ0 cos3cos(y- Ao),
(cos у/ )д = cos 3 sin(y - Ло),
Методы космической геодезии
(&R
(/?0 COS'D., А Л
Оценка точности производится по общим правилам.
Уравнения поправок в геометрическом методе космической геодезии
Хотя определения компонентов вектора земной хорды и геоцентрического век-
тора пункта, рассмотренные в предыдущих паршрафах представляют вполне самостоя-
тельные и сложные задачи, тем не менее, эти данные можно использовать в дальней-
шем для построения и уравнивания космических геодезических сетей.
Основными элементами космических геодезических построений являются ком-
поненты векторов: пункт-спутник (топоцентрический вектор спутника), пункт-пункт
(земная хорда), компоненты геоцентрического вектора пункта. Эти элементы при
уравнивании используются в качестве измеренных величин.
Компоненты вектора пункт-спутник, которые называют непосредственно изме-
ренными величинами, связаны с гринвичскими координатами пункта и спутника фор-
мулами:
К, - Y,
Y^arcgy---
- х,)2+(у, - ^)2+(z, - zJ?.
В качестве измеренных величин в космическом геодезическом построении мож-
но использовать также разности расстояний с пункта до двух положений спутника и
топоцентрическую радиальную скорость спутника. Эти измеренные величины связаны
с координатами пункта, спутника и составляющими скорости спутника соотношения-
ми:
- ^x,i-x,)2+(y,i-yi)2+(zS) - z,)!
Ги 'u
Ориентирующие углы и длина земной хорды, а также геоцентрические долгота,
широта и модуль геоцентрического радиус-вектора пункта, называемые в этом случае
искусственно измеренными величинами, связаны с прямоугольными координатами
следующими соотношениями:
Yf-Y,
K'>=arc,gx^.
z -z,
% = arctS I, v . v •
J(x,-x,) + (r-x)
Метолм космической геодезии
r' = - X,)2 +(y, - rf +(z> - Z,)2 ,
A, = arctg-~
7;
Ф, = arctg .
Vz. + y.
r, = Jx,2 + Y2 + Z2 .
Все эти формулы, связывающие измеренные величины со скоростями спутника,
с координатами спутника и/или пункта называют исходными для составления уравне-
ний поправок геометрического метода космической геодезии. Если любую из измерен-
ных величин обозначить через </, то уравнения поправок в общем случае будут иметь
вид:
А.ДГ + ..^ду + + Р?_дг, + -^-ДУ. +А.дг
ЭХ,, '• ЭУ,_ ’• “ дхч ‘ ЭУ„ dZ„
ч-^-дх, + -^ду, + -^AZ, +А.ДХ, +А_ДУ( Л
эх,, ’ эу, ' az, • ах„ а у,, " az,,
+ -^-ЬХ, +^-ДУ, +^-AZ, =v,, р,
ах,, “ ay„ " az,, " e “ 4 ’
Сводка явных выражений дли коэффициентов перед неизвестными в уравнениях
поправок
Ру'И'| p / J sin / „ | Рур Pyp cosy „
. d XJ 1 r' cos3 ’ о »* « py.J o=’l pp r' cos 6 „ ’ о « ”
1 - 1 cos у „sin 3 „ [9 8,> sin у „sin 3
. a % J 1 1 0 Рл J o r« py, > 0 Ipp о Л“
'д5Л ( d 8 J 1 cos „
^z,, 0 I ] Г < ’
= cosy „cos3 „=
L\,
124
Методы космической геолетии
Вычисление приближённых координат мгновенных положений ИСЗ
При формировании свободных членов цс qo в уравнениях поправок геометриче-
ского метода космической геодезии и при вычислении коэффициентов перед неизвест-
ными необходимо располагать приближёнными координатами пунктов наблюдения и
мгновенных положений ИСЗ. Приближённые координаты пунктов наблюдения, как
правило, бывают известны. Вычисление же приближенных координат мгновенных по-
ложений ИСЗ осуществляется обычно из решения элементарных фигур.
Рассмотрим решение этой задачи в зависимости от состава измерений, выпол-
ненных на пунктах наблюдения.
1) . На пункте наблюдения измеряется направление и модуль топоцентрического векто-
ра, т.е. величины г'а,у а,8 . Тогда координаты ИСЗ вычисляются по формулам:
X, - X, + r't L'u,
Y, =У, +< М’а,
Z, = Z, + < N'u.
2) . На пунктах измеряются лишь направления на спутник, т.е. углы у и,8 „,у ^,3 )t. В
этом случае задача решается по формулам пространственной угловой засечки.
Модуль вектора пункт-спутник можно вычислить по формуле:
125
Методы космической геодезии
(г,-[x.-X^M;,
“= £;5л/'-д.'л7;
Координаты же спутника вычисляются по формулам:
X.^X^^L^,
z.=z/+r;,N'„.
3) . С пунктов измеряются только дальности до спутника r't,r',,rks. В этом случае реше-
ние удобно осуществлять методом Ньютона-Рафсона по формуле:
(8Х\ (2(*- " Х*П>) 2(У‘ ~ 2(Z' ” 7’Я>) Т'
8 Ys = 2(х, -Х'"’) 2(У;-Г/"») 2(Z/-Z‘”)) х
<SZ‘' [г(х, -Х?1) 2(у4-^”)) 2(zt-Z^">)
(x!n> - х,)2 +(у'"' - к У + (х!"> -z,)2 '
х (х'л) - xj’ + (у,'"’ - У,)’ + (z‘"’ -Z$ - r’J
(%!"’ - х„ )2 + (у,1"’ - yt )2 + (z'"’ - z, У - г;,2
Эта формула реализуется методом последовательных приближений.
Х\"*" = Х(;}+8Х,
у(»Ш _ jHn) + g у,
Zl”,) =Z!”’ +8 Z,
n = 0, 1,2,...
Процесс приближений в этом методе сходится даже при очень грубых значениях коор-
динат спутника, принятых в нулевом приближении.
Назначение весов измеренным величинам
Вес измерения - величина, обратно пропорциональная квадрату средней квадра-
тической ошибки, т.е. р = .
т
При астрометрической обработке обычно соблюдается условие ту cos 5 = ms.
Часто принимают с - т& тогда
p4=cos25„, pt- =!,
126
Методы космической геодезии
Следует заметить, что при таком подходе вес измеренной дальности - величина
размерная.
При использовании компонентов вектора пункт-пункт или компонентов геоцен-
трического вектора пункта в качестве “искусственных” измеренных величин для назна-
чения весов можно воспользоваться результатами оценки точности, полученные при их
определении. Матрица весов для компонентов вектора пункт-пункт, например, будет
(без учета корреляций):
Параметрический метод уравнивания космических геодезических по-
строений
Пусть непосредственно измеренные величины и искусственно измеренные вели-
чины составляют космическое геодезическое построение, фрагмент которого показан
на рис.57.
Рис 57 Фрагмсю космическою геодезического построения
Треугольниками обозначены опорные пункты, а кружками - определяемые пунк-
ты. Требуется вычислить координаты определяемых пунктов. Для этого выполняется
уравнивание космического геодезического построения. При решении этой задачи удоб-
но использовать двухгрупповой параметрический метод уравнивания (12), идея которо-
го принадлежит Гельмерту. В нашей стране им занимался Пранис-Прансвич.
При реализации двухгруппового параметрического метода уравнивания на пер-
вом этапе составляется частная система уравнений поправок для каждого мгновенного
положения спутника:
Л,Х, + B,Y + L,= V„ Р,.
(6.17)
В той системе компоненты матриц А и В представляют собой частные производ-
ные от измеренных величин по координатам мгновенного положения спутника и по
Г37
Методы космической геодезии
координатам пунктов. Для определенности будем считать, что измеренными величина-
ми являются направления и расстояния. При формировании матриц нужно иметь в ви-
ду, что если с каких-то пунктов те или иные измерения не производились, то соответст-
вующие строки должны быть заполнены нулями.
у dy_ '
d X dY ~dZ
<9 5 <£
d X dY д Z
dr' dr' dr'
dX dY dZ
'h
f8y_ dy dy '
d X dY dZ
dd dd dd
dX dY dZ
dr' dr' dr^
dX dY dZ
V 'Л
Компонентами векторов X, и У в (6.17) являются поправки к приближённым ко-
ординатам мгновенного положения спутника и пунктов:
AZ, t
'лх,'
ду;
AZ,
ДХ,
ДУ„
128
Методы космической геолетии
L - вектор-столбец свободных членов, компоненты которого представляют собой раз-
ности между счислимыми значениями измеренных величин и непосредственно изме-
ренными величинами. Счислимые значения определяются по формулам связи изме-
ренных величин с координатами
V - вектор-столбец поправок в измеренные величины.
Р - матрица весов измеренных величин.
Далее дня каждого мгновенного положения ИСЗ составляется частная система
нормальных уравнений:
ЛЛЛ А + Р,ВУ + 4ГрА ~ 0
В,г Р,А, X, + В?P,B,Y + В,' P,L, = 0 '
(6.18)
129
Методы космической геолетии
Поскольку поправки в координаты ИСЗ являются промежуточными неизвест-
ными, то их целесообразно исключить. После исключения поправок в координаты
ИСЗ, частную систему нормальных уравнений можно записать в виде
^Р,В,-В^Р,А,(а’,Р,А,) ' А; Р,В,)? + В' PsLs - Bsr Р,А,(а!Р,А,) ‘a’PI.,^0, (6.19)
или коротко
N;y + wt'=o.
(6.20)
Затем составляется общая система нормальных уравнений для всех отнаблюдён-
ных положений ИСЗ, путём суммирования матриц коэффициентов перед неизвестными
и векторов-столбцов свободных членов:
у N,'r + y »7=0.
(6.21)
К этим нормальным уравнениям добавляются ещё нормальные уравнения для
компонентов геоцентрических векторов пунктов и для компонентов векторов пункт-
пункт:
X и>''=о.
(6.22)
Таким образом, составлена общая система нормальных уравнений для всего
космического геодезического построения:
NY + W = 0,
(6.23)
где
№Х*>Х*Л
т»1 М
й^Х^'+Х^,"-
Решение этой системы будет-
Y = -N'W = -QW.
(6.24)
Оценка точности производится по формулам:
РГРУ = '^iQi + H'TY,
(6.25)
130
Методы космической геодезии
й, = - L.T,P'A,(лгдл)1 лглД•
(6.26)
N количество измерений;
К = 3(У+л);
N - количество определяемых пунктов.
тх. = тК = тг, = vfiz.
(6.27)
Определение длин земных хорд но синхронным лазерным наблюдениям спутни-
ков
В случае синхронных лазерных наблюдений с четырёх пунктов решение задачи
по определению длин шести земных хорд удобно выполнять в локальной системе ко-
ординат. Начало такой системы координат совмещают с одним из пунктов наблюдения,
ось абсцисс направляют в другой пункт, основная плоскость содержит третий пункт.
Имея синхронные наблюдения до шести мгновенных положений спутника, можно со-
ставить систему из 24 уравнений с 24 неизвестными координатами. При наличии из-
быточных измерений задача решается методом уравнивания.
Рассмотрим алгоритм решения задачи по необходимому количеству измерений.
По приближённым гринвичским координатам вычисляеют приближённые дли-
ны шести земных хорд
=^(Х,-ЙГ,)2+(У;-);)2+(Zy-Z,)2 /,7 = 1,2,3,4 i*j. (6.28)
Вычисляют координаты пунктов в локальной системе координат
д л с _ Аз Аз ~~ _ Гг^2 77 е _ Аз + А< ~ А
5,- 2/)i2 . Лэ-^Аз-С,. 2D„
п з£ 4~£ г* И 3~ Аз Ам г _ ГгЗ с 3__ 2
4 4" ~ 0 ' Ь 4“ У^М Ь4 4 4-
Вычисляют приближённые координаты мгновенных положений ИСЗ в локаль-
ной системе координат
Аз + - 4 „ _
2А, ’ 27),
C.eV'is-^s-nh 3=1.2,3,4,5,6.
Для каждого мгновенного положения ИСЗ формируют мазрицы коэффициентов
перед неизвестными и матрицы свободных членов в уравнениях поправок вида;
Методы космической геодезии
(6.29)
',>• -г’ -г;, r„‘ = J(i7^)2+(r»s-n,)r+(G-f ,Г
Формируют матрицы коэффициентов перед неизвестными и матрицы свобод
пых членов в нормальных уравнениях с исключёнными поправками к координатам
мгновенных положений ИСЗ
NSY I й;. = 0,
(6.30)
Ns = BTSBS - B^As(Al Л,.) ' A*BS ,
= B;ZX - В'.А^лУ ArsLs.
Формируют суммарные матрицы
S«l S=l
Вычисляют поправки к координатам пунктов и сами координаты
Y = -N-'W,
(6.31)
у’ =(д?2,д15„дп3,Д54.Дп<.Д<<).
Вычисляют длины земных хорд
(6.32)
132
Методы космической геодезии
Уравнения поправок в динамическом методе космической геодезии
В динамические задачи космической геодезии входит определение координат
пунктов в общеземной системе координат, связанной с центром масс Земли, и
определение и уточнение параметров внешнего геопотенциала в той же системе
координат по возмущённому движению ИСЗ, а также изучение изменений со временем
определяемых величин.
Реализация динамического метода космической геодезии предусматривает
выполнение наблюдений с многих пунктов земной поверхности, при этом
наблюдаются несколько спутников. Для уяснения же сущности динамического метода,
будем считать, что наблюдается один спутник с одного пункта. Обозначим через q
любую из измеренных величин, через Х„ Y„ Z, - предварительные (приближённые)
геоцентрические координаты наблюдательного пункта, через Сл.ь - приближённо
известные параметры геопотенциала. Заметим, что и координаты пункта, и параметры
геопотенциала подлежат уточнению.
Пусть на ряд моментов времени из наблюдений получены значения <?. На основе
геоцентрического положения пункта и выполненных измерений можно вычислить
предварительные элементы орбиты ИСЗ, отнесённые к какому-нибудь моменту
времени или, что всё равно, положение и составляющие скорости ИСЗ, которые
принимаются за начальные условия интегрирования. Предположим теперь, что при
известных параметрах геопотенциала и параметрах других возмущающих факторов,
уравнения возмущённого движения ИСЗ проинтирированы на моменты наблюдений.
По координатам ИСЗ и координатам пункта можно получить счислимыс значения
измеренных величин на каждый момент наблюдений. Если бы координаты пункта и
параметры геопотенциала были известны точно, теория движения ИСЗ была бы
безукоризненной, а наблюдения были бы безошибочными, то счислимые значения
совпали бы с измеренными значениями наблюденных величин. Па самом же деле
получим рассогласование qc - q<„ которое представляет собой функцию поправок в
начальные элементы орбиты, в координаты пункта и в значения параметров
геопотенциала.
Следовательно, можно написать уравнение поправок для каждой величины q:
V ^q л и. av . av и. дс< А7
5сЧ ЭХ, + 3Y, АУ' <?z, +
<9 а
dSnk *
(6.33)
В уравнениях поправок общего динамического метода основной «вклад» в
количество неизвестных вносят поправки в параметры 1равитационного поля. Их
количество определяется выражением (N+l)(N+2)/2 -3. Если модель гравитационного
поля не уточняется, то члены, содержащие поправки в параметры гравитационного
поля, исчезают, и уравнения (6.33) в этом случае называются уравнениями поправок
орбитального метода.
Методика вычисления свободных членов в уравнениях поправок
динамического метода
I. Вычисляют предварительные координаты каждого пункта в средней
равноденственной системе координат стандартной эпохи на моменты наблюдения
r,=PrNTS’nTR,. (6.34)
133
Методы космической геодезии
В случае доплеровских наблюдений вычисляют также скорости пунктов в той
же системе координат
г, = РТ-N’ S’ П1 R,.
(6.35)
2. Вычисляют компоненты вектора пункт-спутник в средней равноденственной
системе координат стандартной эпохи на моменты наблюдения
рт N1
(6.36)
Компоненты этого вектора вычисляются на основе наблюдённых величин, любую из
которых обозначим, как и ранее, через qu.
3. Вычисляют предварительные геоцентрические координаты спутника в
равноденственной системе координат (для упрощения считаем, что измерен полный
топоцснтрический вектор) на моменты наблюдений
г,=г, +г,;. (6.37)
4 Вычисляют начальные условия для интегрирования уравнений движения ИСЗ. Для
этого определяют элементы предварительной орбиты по необходимому количеству
наблюдений (например, методом Гаусса). Затем эти элементы орбиты уточняют по
всей совокупности выполненных наблюдений. Начальные условия можно
определить также методом Розенброка. Этот метод заключается в том, что по двум
положениям ИСЗ вычисляются недостающие начальные условия интегрирования
(составляющие скорости) в одной из заданных точек. Имея теперь начальные
условия интегрирования в какой-нибудь точке г0,г0,/0, решают обычную задачу
Коши, численно интегрируя уравнения возмущённого движения ИСЗ
г = gradfa + Ra + Rnf + /?,) + £<5 r (6.38)
на моменты наблюдений.
5 По координатам спутника, полученным из интегрирования на моменты наблюдений
и по координатам пунктов, определяют счислимые значения измеренных величин,
что позволяет сформировать свободные члены в уравнениях поправок
1 = Чс-Ч,,-
(6.39)
Методика вычисления коэффициентов перед Дэ0 в уравнениях поправок
динамического метода космической геодезии
Выражение коэффициента перед поправкой в любой из начальных элементов
орбиты можно представить в виде
dq _ dq dx't dxt dэ dq d y's dy, da dq d z't dz< da
<?30 dx', dx, da da^ d y’u dy, da daa dz'B dzy da da^
(6.40)
„ dq dq dq
Производные -r~~, —-, —— получают дифференцированием выражении
<?*,, ау,<
134
Методы космической геодезии
a/- arctg-
8„‘-arctg
< = № Уу"^
I (роизводные
дх^
дх, ’
ду'„ ^z’>
——, —- получают дифференцированием выражении
у'„ - У, ~ У,< z', = г.. “ z.
Производные
дх,
дэ
ду, dz,
дэ ' дэ
получают дифференцированием выражений,
входящих в алгоритм вычисления невозмущённой эфемериды.
д э дэ дэ
Производные ——, ——, ——, называемые изохронными производными,
дэ0 дэ0 <Ъ0
получают дифференцированием выражений, в которых учитывают обычно лишь
вековые возмущения от второй зональной гармоники геопотенциала [ 13]:
= /0)
М - M0+nJt[t - /0)
а ~ ао
Методика вычисления коэффициентов перед AY,,AK,,AZ, в уравнениях поправок
динамического метода космической геодезии
Выражение коэффициентов перед поправками в координаты пункта
представляют в виде
dq dq дх', дх, dq д у'„ ду, d^q д z'„ д z,
д X, дх', дх, д X, + д у'„ ду, д X, dz'a dz, д X,'
dq _ dq дх', дх, dq ду'и ду, dq dz'u dz,
^Уи ^У/ <9z' dzt дУ,
dq dq дх’адх, dq dу', dу, dq dz't dz,
d7., ~dx't dx, dZ, дy's ду, d Z, dz’u dZ, dZ,
дх d y, dz, d x, dy dz дх, d y, dz,
Производные -y>получают
дифференцированием выражений
(6.41)
(6.42)
(6.43)
Meiоды космической геодезии
jt, = A', cos S +Y, sin 5
у, - -X, sin S + Y, cos 5 .
z, =Z,
Методика вычисления коэффициентов перед AC„t, A5„t в уравнениях поправок
динамического метода космической геодезии
Выражение коэффициента перед поправкой в любой из параметров
гравитационного поля Земли, обозначенный далее как <7 , представляют в виде
dq dq dл' <?х, <?э dq d у' dу, da dq d z'„ dz, da (6 44)
d<J„t dx', dx, da danl dy’, dys da d<T„t dz', dz, da do*
Производные —-можно найти дифференцированием выражений вида:
d^
где
Определение геоцентрической гравитационной постоянной по
наблюдениям далёких космических летательных аппаратов (КЛА)
Исходным уравнением для решения этой задачи является интеграл энергии
(предполагается, что наблюдения выполняются на коротком промежутке времени,
поэтому движение КЛА на этом промежутке можно считать происходящим по
невозмущёниой орбите) [22J:
v — — + п .
г
Записав эти уравнения для двух положений КЛА и решая их относительно
геоцентрической гравитационной постоянной, получим
(6.45)
Теперь нужно выразить геоцентрические расстояния и орбитальные скорости
через измеренные величины (топоцентрическис дальности, прямые восхождения,
склонения, радиальные скорости) и координаты пункта наблюдения.
Геоцентрическое расстояние можно вычислить по формуле:
r% = «1cos‘P + A/<
r; sin2 Y,
(6 46)
136
Методы космической геодезии
cos'}7 = яшФ sin8 ,+ сояФ, cos <5 ,cos(a S' A,).
Орбитальная скорость вычисляется из соотношения:
v2 = г2 + г28 \+r2 cos’ 8 ,a ’ . (6.47)
- Чг-'Я, sin ¥
г, - Л, cos'F
‘Psin'F = |$тф, cos <5 ,-cos<I>, sin3 ,cos(a S -- Л,)]3 -
-cosO, cos <5 ,sin(a ,-S- A,)(a w ®)
Спутниковая альтиметрия
Радиовысотомер, установленный на борту ИСЗ, измеряет высоту мгновенного
положения ИСЗ над средним уровнем океана. Радиовысотомер с помощью
параболической антенны передаёт вертикально вниз высокочастотные импульсы
электромагнитных волн сантиметрового диапазона продолжительностью 100
наносекунд [II]. Отражённый сигнал в идеальных условиях прохождения тем же
кратчайшим путём возвращается в приёмник радиовысотомера
Геометрия спутникового нивелирования (спутниковой альтиметрии) показана на
рис 58
s Пусть с пунктов земной поверхности
А выполнены наблюдения спутника, тогда
/Л реализуя орбитальный метод
,./7/. космической геодезии, можно на
/—/ геоид
, / ___ ___ моменты измерения высот спутниковым
Г, // / ' эллипсоид 1 1
// / радиовысотомером вычислить
//г, i геодезические координаты мгновенных
у/ / положений ИСЗ. Это позволяет для
/L___________________ некоторой площадки геоида определить
Рис. 58 Геометрия спутниковой альтиметрии ВЬ,СОТУ геоида ,,ад эллипсоидом
(ондуляцию геоида).
С, = Н - h .
(6.48)
Метод спутниковой альтиметрии позволяет также уточнить параметры
1равитационного поля, положение начала системы координат относительно центра
масс Земли и получить уравнение геоида. Рассмотрим вкратце принцип решения этих
задач.
В соответствии с рисунком можно выписать исходное уравнение спутниковой
альтиметрии:
+ ^-2r1rJcosv0.
(6.49)
Уравнения поправок буд^т иметь вид:
1.37
Методы космической геодезии
(6.50)
где
= cos(tf, - Ф,);
ст г
В, - геодезическая широта спутника;
Ф, - геоцентрическая широта спутника, которую можно вычислить по
равноденственным координатам мгновенных положений ИСЗ.
Поправка же в модуль геоцен трического радиус-вектора спутника является
функцией поправок в параметры гравитационного потенциала и поправок в начало
системы координат:
ДА дг, ДА дг, п дг „ дг дг
* SS dS* 4 дХ„^ + dY^~dt^
(6.51)
Производные от модуля радиус-вектора по стоксовым параметрам можно
вычислить, используя правила дифференцирования сложной функции:
дг, у дг, дх, дэ, у дг, ду, дэ, у dr, dz, дэ,
дспк ~(дх, дэ, да„„ + ~tdy, дэ, да„, +~dz, дэ, дс„к '
Производные от модуля радиус-вектора по координатам начала системы
координат имеют вид:
дг = cos Л, cos Ф , дХа ~~ - Sin Л, созФ,, д Го дг, _ . ^Zo“Sm0’-
После нахождения неизвестных в уравнениях поправок вычисляют значения
потенциала силы тяжести в точках геоида:
Далее, как предложил М. Бурша, определяют срсднсвссовое значение (Fo, а
затем вычисляют масштабный множитель = ——— .
"о
17«
Методы космической геодезии
Тогда уравнение
5 = ЛЛ(^пФлЬ
представляет геометрическое место точек геоида.
Наблюдения “спутник-спутник” и спутниковая градиентомстрия
Слежение за ИСЗ с других спутников открывает большие перспективы в
области космической геодезии и её приложений к изучению физики Земли и
океанографии. Эти преимущества состоят, главным образом, в возможностях почти
непрерывной регистрации геометрического расположения спутников, находящихся на
низкой орбите. Продолжительное слежение особенно важно в случае, когда
наблюдаемое явление содержит большие короткопериодические компоненты [11].
Использование одного из спутников для слежения за другим даёт два
существенных преимущества:
I подобные измерения могут быть сделаны на глобальном пространстве с небольшой
зависимостью от положения наземной принимающей станции;
2 существенно ослабляется влияние тропосферной рефракции.
В рассматриваемом методе можно применять любой набор измерений, но
практическое воплощение нашла пока система, использующая доплеровский сдвиг
частоты радиосигнала для измерения скорости изменения расстояния между двумя
спутниками. Точность: 0.3 - I 0 мм/сек, а в окончательном результате до 0.03 мм/сек.
Возможны два варианта слежения “спутник - спутник". Первый из них
предусматривает два спутника на одной и той же низкой орбите, на расстоянии
примерно 200 км один от другого. При таком расположении скорость изменения
дальности между двумя спутниками нечувствительна к долгопериодическим
особенностям гравитационного поля, т.к. эти особенности влияют на оба спутника
приблизительно одинаково, не вызывая вариаций скорости изменения дальности.
Однако резко выраженные детали гравитационного поля, протяжённость которых
меньше расстояния между спутниками, являются причиной резко выраженных
вариаций в скорости изменения дальности в то время, когда спутники проходят эти
детали. Второй вариант предусматривает один низкий спутник, который может
отслеживаться любым из множества очень высоких геостационарных спутников.
Поскольку очень высокие спутники стационарны относительно Земли, их положения
могут определяться с помощью фиксированно направленных антенн. Кроме того, т.к.
высокие спутники будут постоянно видны с контрольных станций, доплеровские
измерения могут быть немедленно переданы на Землю и, следовательно, отпадает
необходимость в хранении данных на спутнике и их последующем считывании.
Скорость изменения дальности между двумя спутниками в такой конфигурации
содержит влияние как долго- , так короткопериодических особенностей
фавитационного поля Земли. В этом случае возникает необходимость математически
разделить влияние короткопериодических и долгопериодических особенностей.
При наличии двух спутников на одной и той же низкой орбите резко
выраженные вариации гравитационного поля проявляются столь же резко
выраженными вариациями в скорости изменения дальности. Этот факт предполагает,
что скорость изменения дальности может быть непосредственно использована в
качестве параметра измерения геопотенциала вдоль орбиты. Поскольку почти вся
139
Методы космичсской геодезии
кинетическая энершя каждого спутника содержится в компоненте скорости,
направленной вдоль линии видимости между двумя спутниками, то это будет верно
также и для разности их кинетических энергий, т е. разность кинетических энергий
будет пропорциональна скорости изменения дальности между двумя спутниками. В
предположении постоянства общей энергии разность гравитационного потенциала для
соответственных двух спутников пропорциональна скорости изменения дальности
вдоль направления линии видимости. Если два спутника находятся точно на одной и
той же орбите, разность геопотенциала для соответственных двух положений двух
спутников может рассматриваться как вариация потенциала в зависимости от
положения на орбите. Таким образом, вариации в потенциале, делённые на вариации в
положении, будут примерно равны производной потенциала вдоль орбиты.
Однократное интегрирование вдоль орбитальной траектории будет давать
непосредственные значения геопотенциала вдоль орбиты (т е. составят некоторый
профиль). Получая достаточное количество таких профилей, можно вычертить
контурную карту значений геопотенциала на сфере с радиусом, равным радиусу орбиты
(если орбита близка к круговой).
Так как нет резона ожидать, что два спутника могут оставаться в точности гга
одной и той же орбите, то следует отказаться от принципа использования скорости
изменения дальности между двумя спугниками на одной орбите для составления карты
потенциального поля Земли на некоторой сфере
Однако остается в силе способ использования скорости изменения дальности
между двумя близкими спутниками на одинаково низких орбитах. Даже если
потенциал какой-либо области нс может быть измерен непосредственно, всё равно
имеет смысл ожидать, что несколько прохождений двух спутников с некоторыми
вариациями в их орбитах над этой областью дадут возможность получить некоторое
представление о геопотенциале этой области.
Расчёты показывают, что при движении двух спутников гга высоте 200 км и на
расстояггии друг от друга тоже 200 км можно надёжно определить аномалии силы
тяжести для трапеций размером 2° х 2° , что соответствует разложению геопотенциала
до п = 90.
Метод спутниковой градиентометрии - весьма эффективное средство для
изучения тонкой структуры гравитационного поля Земли. Измеряемыми величинами в
методе спутниковой градиенгомсгрии являются вторые производные геопотенциала.
При этом исходят из того, что градиенты геопотенциала более чувствительны к
аномалиям силы тяжести, чем гармонические коэффициенты геопотенциала (29).
Достоинства метода обусловлены также слабой зависимостью результатов измерений
от влияния топографии, вертикальных ускорений. Методом спутниковой
градиентометрии можно получить гармонические коэффициенты геопотенциала в
разложении по сферическим функциям до п = 100. Необходимая точность измерения
вторых производных геопотенциала должна составлять до 0.002 EV (этвеш)
1 £У = 10‘9м2.
)40
Элементы геодинамики
Чтобы проникнуть в сущность очевидных явлений,
требуется незаурядный ум
Уайтхед
1. Элементы геодинамики
Краткие сведения о динамике Земли
Галактики и их скопления являются, пожалуй, самыми грандиозными
образованиями в наблюдаемой части Вселенной. Иаша Галактика, Туманность
Андромеды, Большое и Малое Магеллановы Облака и ещё полтора десятка ближайших
галактик образуют так называемую местную группу галактик. Чтобы представить себе
область пространства, занимаемую этим образованием достаточно сказать, что
расстояние до ближайшей от пас галактики составляет 150 000 световых лет Световой
год - это расстояние, которое световой сигнал проходит- в течение года. Солнечная
система входит в состав нашей Галактики и расположена на удалении 8 10 кпк от её
ядра (1 парсек равен 206265 астрономических единиц). Земля одна из девяти
больших планет Солнечной системы. Она обращается вокруг Солнца по орбите,
средний радиус которой равен 149 600 000 км (астрономическая единица). Земля имеет
массу 5.9742*1024 кг и занимает объём 1.083* 1012 км3. Её средняя плотность составляет
5.517 г/см3.
Космонавты, которые видели нашу планету из космоса, иногда говорят, что
было бы правильнее называть её нс Земля, а Океан. Более двух третей её поверхности
покрыто водой - ничего даже отдалённо похожего нет ни на одной планете Солнечной
сист емы. Самая глубокая впадина и самая длинная горная цепь находятся в океанах.
Если бы океаны исчезли и обнажилось их дно, лицо Земли стало бы
неузнаваемым. На обширных пространствах морского дна змеятся могучие горные
хребты, а земную кору прорезают глубокие трещины, называемые желобами. Там как
стражи выстроились огнедышащие исполины - вулканы, расстилаются бесконечные и
безжизненные абиссальные равнины, вздымаются подводные плато с гладкими, точно
срезанными вершинами. Всё это - результат тектонических движений, землетрясений и
вулканической деятельности. Миллионы лет эти факторы изменяли рельеф дна и
очертания берет ов.
В первом приближении поверхность Земли разделяется на приподнятый над
средним уровнем моря континентальный регион и опущенный океанический регион
планеты. Иа границах континентов суша постепенно уходит под воду. Эти прибрежные
территории называют континентальными окраинами. Они обычно состоят из трёх
частей: континентального шельфа, континентального склона и континентальною
подножия. На разных континентах они имеют разную ширину, крутизну и глубину.
Различают два основных типа окраин - атлантический и тихоокеанский. Для первого,
характерного для Северной Европы, типичны широкие континентальные шельфы и
подножия. Континенты и дно океана составляют одну плиту, поэтому вулканическая и
сейсмическая активность здесь мала. У окраин тихоокеанского типа шельфы уже,
склоны круче, а вместо континентальных подножий - глубокие желоба; континент и
дно океана составляют разные плиты, поэтому сейсмическая активность здесь велика
она связана с погружением океанической плиты под континентальную.
Континентальный шельф полого опускается в море это как бы продолжение
суши под водой. Средняя ширина шельфов - 70 км, однако, на севере Сибири шельф
141
Элементы геодинамики
тянется на 900 км Па краю шельфа уклон становится круче, и шельф переходит в
континентальный склон.
Континентальный склон находится между континентальным шельфом и
континентальным подножием. Он круче, глубже и уже шельфа, а заканчивается на
глубине около 2500 м; его ширина - около 20 км. Склон часто заканчивается
подводными каньонами.
Континентальное подножие - это мощный клин осадков (песка и глины),
простирающийся от континентального склона в глубоководную часть морского дна, до
глубин более 4000 м. Подводные течения, называемые мутьевыми, приносят с шельфа
и склона осадки.
Абиссальные равнины начинаются там, где кончаются континентальные
окраины. Они лежат на глубине 4000 - 6000 м. Глубже уходят лишь глубоководные
желоба. Абиссальные равнины нс только самые ровные, но и самые однообразные
места на Земле. Многочисленные холмы и долины на дне океана давным-давно
оказались погребены под толстым слоем осадков Градиент (уклон) здесь нс превышает
1:1000 - это означает, что на каждом километре глубина изменяется всего на 1 метр
Глубоководные желоба - это самые низкие участки морского дна и самые
глубокие точки на Земле. Они образуются на границах либо двух океанических плит,
либо океанической и континентальной - там, где одна плита погружается под другую в
ходе субдукции. Субдукция компенсирует процесс расширения (спрединга) морского
дна - иначе за последние 200 миллионов лет размер нашей планеты увеличился бы на
половину. Желоба - это длинные узкие V-образные ложбины на дне. Глубина
некоторых из них доходит до 8000 - 10000 м.
Срединно-океанические хребты и внутриконтинентальные рифтовые зоны
образуют единую глобальную систему рифтов. Самой длинной горной системой на
Земле является подводная - связанные между собой срединно-океанические хребты.
Это горные цепи, проходящие по серединам океанов и огибающие земной шар. Их
общая длина - около 65000 км. Они сформированы лавой, излившейся из глубин Земли
и затем отвердевшей. Отдельные хребты достигают поверхности океана и образуют
острова, например, Исландию. Самый длинный хребет - Срединно-Атлантический -
тянется вдоль всего Атлантического оксана, как бы деля его на две части.
Восточно-Тихоокеанское поднятие - это подводная горная система,
простирающаяся вдоль Тихого океана с севера на юг. Она находится на границе двух
раздвигающихся литосферных плит - Пацифик и Наска. Это расширяющийся горный
хребет - поднимающиеся с глубины вулканические породы раздвигают морское дно и
образуют новую океаническую кору. Тихий океан расширяется на 12-16 см в год.
Высота Восточно-Тихоокеанского поднятия составляет 2-3 км, а ширина - около 4 км.
Поднятие лежит на глубине 3300 м.
Срединно-океанический хребет похож на перевёрнутую букву Y. Одно плечо Y
огибает Африку и соединяется со Срединно-Атлантическим хребтом. Другое с юга
огибает Австралию и соединяется с Восточно-Тихоокеанским поднятием. Ножка Y -
Центрально-Индийский хребет - уходит на север и чуть на запад, к Красному морю
(Аравийско-Индийский хребет).
Срединно-океанические хребты - это центры расширения морского дна, в
процессе которого образуется новая океаническая кора, а старая пофужается в
океанические желоба Спрединг и субдукция - вот два процесса изменяющие
одновременно размеры и форму оксанов.
При расширении срединно-океанических хребтов происходит столкновение
плит земной коры. Иногда плиты сталкиваются «в лоб», иногда под углом, скользя
одна относительно другой. При таком скольжении в коре образуются глубокие
трещины - трансформные разломы. В этих местах часто происходят землетрясения.
Старые неактивные разломы образуют зоны трещиноватости.
142
Элементы геодинамики
Там, где горячие расплавленные породы прорываются сквозь трещины или
отверстия в земной коре наверх, возникают вулканы. На дне океана находятся тысячи
вулканов. Многие из них столь высоки, что рядом с ними высочайшие вулканы суши
показались бы карликами. Вершины самых высоких подводных вулканов выступают
над водой, образуя острова. Так, Гавайские острова являются вершинами огромных
вулканов, миллионы лет тянувшихся вверх за счёт извержения лавы.
Островные дуги возникают там, где в процессе субдукции одна плита
погружается под другую. Вулканы горячих точек вырастают из столбов магмы,
фонтанирующей из-под земной коры. Вулканические острова формируются и в
процессе расширения морского дна вдоль срединно-океанических хребтов: две плиты
здесь раздвигаются и магма заполняет пустоты.
Над океанским дном поднимаются вершины многочисленных подводных гор,
которые достигают в высоту 1000 м, считая от дна, но не выходят на поверхность воды.
Многие подводные горы имеют коническую форму и очень крутые склоны. Горы с
острыми вершинами называются пиками. Некоторые подводные горы рассеяны по дну,
но большинство образуют группы или горные цепи, подобно Императорским горам.
Самая высокая одиночная подводная гора - это столовая гора Грсйт-Метеор на северо-
востоке Атлантического океана. Её высота - 4000 м, а ширина основания - более 100
км Большинство подводных гор образовались так же, как вулканические острова, и
похожи на них.
Земля состоит из нескольких слоёв, образующих три основных части: кору,
мантию и ядро.
Самый внешний, тонкий слой Земли называется литосферой. Литосфера
включает в себя кору и расплавленные породы верхней мантии. Характерным
признаком литосферы является её жёсткость и прочность, способность при отсутствии
внешних воздействий длительное время сохранять неизменными форму и строение.
С глубиной температура в Земле постепенно возрастает, поэтому под
литосферой располагается астеносфера - пластичная оболочка мантии, вещество в
которой частично расплавлено или размягчено и характеризуется относительно
пониженной вязкостью. Нижняя граница астеносферы пролегает на глубине примерно
670 км. Верхняя граница под океанами расположена на уровне около 70 км, а под
континентами она проходит на глубине около 200 км. В отличие от литосферы
астеносфера не обладает пределом прочности, и её вещество можег деформироваться
(течь) под действием даже очень малых избыточных давлений.
Можно дать несколько определений толщины литосферы, но эти определения
близки между собой в том смысле, что все предполагают наличие либо начало
частичного плавления на границе литосферы и астеносферы. Они согласуются и с
сейсмическим определением подошвы литосферы как верхней границы зоны низких
скоростей сейсмических волн.
Установлено, что под континентами снижение жёсткости литосферы начинается
с глубины 120 км, а признаки плавления под океаническими плитами наблюдаются,
начиная с глубины от первых километров до 70 км. Можно полагать, что эти данные
близки средним характеристикам для континентальных и океанических сегментов
Земли.
Молодая океаническая литосфера образуется при раздвижении литосферных
плит в результате внедрения вещества астеносферы в разломы рифтовых зон и
кристаллизации этого вещества за счет постепенного охлаждения. Мощность
океанической литосферы неодинакова. Толщина литосферы увеличивается по мере
удаления от гребней срединно-океанических хребтов, где она минимальна и составляет
2-3 км, в сторону абиссальных котловин с более древними участками океанического
дна, где она достигает 70 - 80 км. Наибольшая мощность океанической литосферы 85 -
90 км отмечается в наиболее древних районах океанического дна (в северо-западной
Элементы геодинамики
котловине Тихого океана), протянувшихся вдоль его побережий но обе стороны от
срединного хребта.
До тех пор, пока возникающие в литосфере под действием внешних нагрузок
напряжения не превосходят предела прочности, в ней происходят только обратимые
упругие деформации. Когда же такие напряжения превосходят предел прочности, в
литосфере начинают развиваться необратимые пластические деформации. Если в
области деформации существуют жидкие и маловязкие расплавы, то возникающие
трещины заполняются вязкой жидкостью расплава. Формирование очагов таких очень
жидких расплавов (плюмов), по-видимому, происходит на глубинах от 150 до 200
километров и началось примерно 2 миллиарда лет назад во время массовых отложений
железорудных формаций. Несмотря на дрейф континентов, многократные их расколы и
новые столкновения, многие из таких очагов сохранили свою целостность в течение
всех этих 2 миллиардов лет.
Если наружную оболочку Земли, состоящую из литосферы и астеносферы,
назвать тектоносферой, то подстилающую её оболочку называют мезосферой.
По современным представлениям наружная оболочка Земли расколота на
небольшое число плит, взаимодействие между которыми вдоль их границ в основном и
определяет тектонический облик планеты. Течение вещества в астеносфере является
первопричиной тектонических проявлений на поверхности Земли.
Современная наука разделяет литосферу Земли на двенадцать крупных плит:
Евразийскую, Северо-Американскую, Южно-Американскую, Африканскую,
Антарктическую, Тихоокеанскую, Аравийскую, Индийскую, Филиппинскую,
Карибскую, Кокос, Наска.
Разделение литосферы на плиты не связано с разделением на материки и
оксаны. Большинство плит включает как материковые, так и океанические участки.
Только одна крупная плита {Тихоокеанская) имеет исключительно океаническую
поверхность.
Литосферные плиты разграничиваются оконтуривающими их узкими поясами
сейсмичности. Эти пояса сейсмичности располагаются либо на вулканических
островных дугах (например, северо-западная и западная окраины Тихоокеанской
плиты), либо на вулканических горных системах, расположенных на материке
(например, Перуанско-Чилийский желоб, запад Южной Америки).
Если столкновение двух континентальных плит сопровождается частичным
поддвиганием одного континента под другой, то там образуются молодые складчатые
пояса (например, Альпийско-Гималайский складчатый пояс) или трансформные
разломы, рассекающие литосферу на всю её мощность (например, разлом Сан-Андреас,
разделяющий Северо-Американскую и Тихоокеанскую плиты).
В тектонике плит трансформные разломы играют важную роль, так как они
ориентированы по направлению относительного движения (скольжения) смежных
плит. Их простирание однозначно определяет направление движения, и поэтому
данные о трансформных разломах являются одними из основных при построении
глобальных кинематических моделей движения шгит.
Активная часть трансформных разломов указывает современное направление
относительного движения плит, а пассивная часть представляет собой геологическую
запись прошлых относительных движений. Эти разломы всегда чётко выражены в
рельефе.
За плейстоцен, точнее за 1 миллион лет, Гренландия отодвинулась от Европы в
среднем на 20 км. В районе Северного полюса подводный хребет Ломоносова
отодвинулся от Европы на расстояние около 10 км. Северная Атлантика между
Америкой и Европой расширилась на 23 - 25 км, а между Африкой и Северной
Америкой на 26 - 28 км. Африка и Южная Америка разъехались на расстояние от .30
Элементы геодинамики
до 40 км, Африка и Антарктида отодвинулись друг от друга на 16 км, а Австралия
удалилась к северу от Антарктиды на 70 - 75 км.
Ширина впадины Тихого океана за плейстоцен уменьшилась на расстояние от 15
км на севере до 35 км в экваториальной области. За это же время в рифтовой оси
Восточно-Тихоокеанского поднятия образовалась полоса новой океанической
литосферы шириной от 160 км до 180 км. В рифтовой долине Тихоокеанско-
Антарктического хребта за последний миллион лет наросла полоса новой океанской
литосферы шириной около 100 км, тогда как в рифтовой зоне соседнего Чилийского
хребта ширина составляет 70 - 75 км. За последний миллион лет под Южно-
Американский континент поддвинулась полоса океанической литосферы плиты Наска
шириной около 100 км, под Центрально-Американский перешеек - край плиты Кокос
шириной около 75 км.
В желобе Тонга-Кермадск за плейстоцен погрузилась в мантию полоса
океанической литосферы Тихоокеанской плиты шириной от 60 км на юге до 100 км на
севере. В Марианском желобе сейчас по!ружается в мантию самая древняя, юрская
океаническая литосфера Тихоокеанской плиты; ширина полосы, погрузившейся здесь
за последний миллион лет, увеличивается к северу от 30 до 45 км. Зато очень
интенсивно идёт поддвигание Филиппинской океанической плиты под Лусон - 90 - 95
км за последний миллион лет Под Курило-Камчатской дутой за это время мантия
поглотила полосу океанической литосферы шириной от 90 до 100 км.
В сжатом состоянии находится литосфера Альпийско-Гималайского пояса. За
последний миллион лет суммарная величина сжатия и поддвигания литосферы на
различных границах малых плит изменилась от нескольких километров в районе
Сицилии и Калабрийской дуги до 40 - 50 км в районе Памира и Гималаев. Из-за малой
средней плотности континентальных плит и, как следствие, их положительной
плавучести при сдавливании малых плит Альпийско-Гималайского пояса материковыми
краями главных плит (Евразийской с севера и Африканской, Аравийской и Индийской
с юга) литосфера здесь, как правило, нс может глубоко по|рузиться в мантию. Поэтому
происходит не только сжатие малых плит, образованных или находившихся ранее в
пределах закрывшейся впадины палсоксапа, но и обкалывание материковых краёв плит,
сжимающих этот пояс. Анализ геологических и геофизических данных позволяет
считать, что в настоящее время из Азиатской области Евразийской плиты выделяются
Туркменская и Узбекская малые плиты, которые могут в дальнейшем, если эта
тенденция сжатия сохранится ещё 10-15 миллионов лет, войти в состав горного пояса,
подобно современному Тянь-Шаню.
Так же как в Альпийско-Гималайском поясе, сжатие и поддвигание краёв малых
плит происходят в пределах Циркумтихоокеанского пояса. Анды сжаты встречным
движением Тихоокеанской и Южно-Американской плит. Это вызывает надвигание
коровой пластины горных Анд на литосферную плиту Южно-Американского материка
со скоростью нескольких миллиметров в год 114].
Наука геодинамика
С развитием новых средств изучения фигуры Земли и её гравитационного поля,
с повышением их точности и увеличением возможности достаточно частых повторных
измерений всё большее значение приобретает кинематический аспект геодезии -
определение изменений положения точек земной поверхности и параметров земного
гравитационного поля во времени [22].
Появился новый раздел в науке о Земле, лежащий на стыке геодезии, геофизики,
астрономии и океанологии, занимающийся проблемами изучения изменений
пространственного положения точек и параметров гравитационного поля Земли во
времени и их интерпретацией и получивший название геодинамики.
145
элементы геодинамики
История развития геодинамики свидетельствует, что в термин “геодинамика”
вкладывался различный смысл. Так, в 1889 г. известный итальянский астроном
Скиапарелли в своём докладе, посвящённом 50-летию Пулковской обсерватории, под
этим термином понимал исследование влияния различных геологических процессов на
вращение Земли и связь этого вращения с внутренним строением планеты. В начале
XX столетия геофизик Ляв и другие учёные включили приливы и собственные
колебания Земли в предмет исследований геодинамики. В середине XX века в связи с
возрождением концепции тектоники плит под геодинамикой все чаще стали понимать
динамику внутриземных процессов.
Таким образом, в зависимости от возможностей тех или иных методов и средств
изучения динамики Земли, смещался акцент в определении предмета исследований
геодинамики. В 1989 году, то есть 100 лет спустя после доклада Скиапарелли, на
международном симпозиуме, посвящённом 150-летию Пулковской обсерватории,
общепризнанным стал комплексный подход к изучению динамики Земли, включающий
разные аспекты наук о Земле и окружающем её космическом пространстве.
В настоящее время благодаря осуществлению ряда международных проектов
подтверждена в общих чертах правильность концепции тектоники плит, установлены
пространственно-временные масштабы различного рода движений на поверхности и в
недрах Земли, а также предложены различные механизмы для объяснения природы тех
сил, которые приводят в движение кору и мантию.
Итак, геодинамика - это наука, занимающаяся изучением динамической реакции
Земли на воздействие различных внутренних и внешних сил. Изучение природы этих
сил и механизмов движений различных оболочек Земли и является основной задачей
геодинамики в физическом смысле этого слова. В то же время на начальном этапе
исследований важно определить масштабы движений земной коры, построить их
кинематические модели, установить границы литосферных плит и определить скорость
их перемещения. Эти задачи составляют предмет исследований геокинематики -
раздела геодинамики, занимающегося определением геометрических и кинематических
характеристик нашей планеты.
Одна из основных задач геодинамики, представляющая интерес для астрономии
и геодезии - определение и физическая интерпретация изменений во времени
положения точек земной поверхности и параметров земного гравитационного поля.
Исходным материалом для изучения динамики Земли служат данные о фигуре
(физической, гравитационной и динамической), внутреннем строении, литосфере,
гидросфере и атмосфере Земли, солнечно-земных и лунно-земных связях,
геогравитационном, геомагнитном, геотермическом и других геофизических силовых
полях, суточном вращении и годовом обращении Земли.
Развитие гсодинамических исследований позволит:
получать объективные количественные данные о процессах эволюции фигуры и
гравитационного поля Земли, например, установить характер и скорость движения
крупных блоков земной коры (литосферных плит), выяснить, меняется ли и почему
гравитационное поле Земли, что приведёт к более правильному пониманию
тектонических процессов и более эффективному поиску полезных ископаемых;
получать данные для более уточнённого прогноза сейсмической опасности, в том
числе крупных землетрясений и более медленных деформаций путём изучения
движений земной коры в сейсмоактивных районах;
поддерживать высокую точность астрономо-геодезических, нивелирных и
гравиметрических сетей путём учёта поправок за изменения координат и силы
тяжести во времени.
Выполненные оценки показывают, что геодинамические вариации большей
частью проявляются на уровне величин порядка 10 s -10"’ в год, если при
оггределении положения точек на Земле за единицу измерения принять её средний
г 46
Элементы геодинамики
радиус, при определении силы тяжести - её среднее значение на поверхности Земли, а
при определении направлений - один радиан. Таким образом, речь идёт о величинах
порядка 6 мм - 6 см, 1-10 мкгл, 0.0002” - 0.002".
Различают следующие геодинамические явления в зависимости от их
проявления в пространстве (22):
глобальные (движение полюса, неравномерность движения Земли, релятивистские
космологические эффекты, эвстатические изменения уровня моря, глобальные
вариации геопотенциала во времени, земные и океанические приливы),
относящиеся ко всей Земле в целом, которая при их интерпретации заменяется
некоторой идеальной сравнительно однородной моделью;
- крупномасштабные (движение литосферных плит, динамические изменения
поверхности морей и оксанов, крупномасштабные вариации геопотенциала во
времени, вариации параметров земных приливов), относящиеся к областям
протяжённостью 1000 - 10000 км, т.е. имеющие масштабы континентов и океанов
или значительных их частей;
- региональные (региональные изменения положения точек земной поверхности,
вариации величины и направления силы тяжести), относящиеся к областям
протяжённостью 100 - 1000 км;
локальные (локальные движения земной коры, локальные вариации силы тяжести),
относящиеся к областям протяжённостью менее 100 км
Все явления, кроме глобальных, почти исключительно связаны с процессами,
происходящими в верхней мантии и земной коре. При этом локальные явления
характеризуют в основном процессы, происходящие в верхних слоях земной коры и на
поверхности Земли, в том числе и техногенные, связанные с деятельностью человека.
Принятая классификация условная, так как нередко крупномасштабные и
региональные явления чётко проявляют себя в пределах ограниченных зон на границах
крупных блоков земной коры, и в этом случае их трудно отделить от локальных
явлений.
Для решения теоретических и прикладных задач геодинамики, а также для
изучения фигуры Земли применяют фигуры сравнения - эллипсоид вращения,
трёхосный эллипсоид и геоид. Когда возникает необходимость изучения Земли как
планеты, то фигура сравнения, наряду с геометрическими характеристиками, должна
обладать |равитационными параметрами (массой, угловой скоростью вращения,
потенциалом притяжения, потенциалом силы тяжести и т.п.), равными или близкими по
величине соответствующим параметрам Земли.
Геодинамические явления
I [олярное движение. Динамика Земли проявляется в движениях земного полюса
и неравномерностях её вращения. В 1765 г. Л. Эйлер разработал теорию движения
абсолютно твердого тела около неподвижной точки и показал, что мгновенная ось
должна описывать конус около главной оси инерции, относительно которой Земля
имеет максимальный момент инерции. Он получил, что период вращения Земли, будь
она абсолютно твёрдым телом, должен быть равен 305 звёздных суток (период Эйлера).
Международная геодезическая ассоциация организовала специальные
наблюдения в ряде обсерваторий. Эти наблюдения подтвердили реальность движения
полюсов в теле Земли, однако, показали, что это движение отличается от движения,
предсказанного эйлеровой теорией вращения абсолютно твёрдого тела вокруг центра
масс. В 1892 г. С. Чандлер, обработав длинные ряды наблюдений широты, получил
период в 428 суток (период Чандлера).
С Ньюком в 1895 г. рассмотрев влияние упругих деформаций Земли на её
вращение, доказал, чю эти деформации действительно увеличивают период движения
полюсов, и объяснил четырнадцатимесячный период эффектом упругости Земли.
Элементы геодинамики
Наблюдения широт на различных обсерваториях показали, что движение
полюсов относится к тем планетарным явлениям, ход которых нс удастся предсказать с
точностью, необходимой для теории и практики, поэтому для детального изучения
движения полюсов осенью 1899 г. была организована Международная Служба
Широты.. В эту службу входили шесть широтных станций, расположенных на широте
39 градусов 8 минут Карлофортс (Италия), Чарджоу (Россия), Мидзусава (Япония),
Гейтерсберг (США), Юкайя (США), Цинцинати (США).
С 1961 г. Международная Служба Широты называется Международной
Службой Движения полюсов.
Новые возможности в изучении движения полюсов открывают доплеровские и
лазерные наблюдения ИСЗ, лазерная локация Луны, а также наблюдения квазаров
методом РСДБ.
Движение полюсов имеет амплитуду, достигающую 18 м или 3 10"6 от радиуса
Земли. Наиболее хорошо изучены годичные вариации метеорологического
происхождения и Чандлеровское движение, механизм возбуждения и поддержания
которых до сих пор недостаточно ясен.
Неравномерности вращения Земли. Земля вращается неравномерно, вызывая
изменение продолжительности сугок. Наблюдаются три вида изменения скорости
вращения Земли: вековое замедление, периодические сезонные колебания и
нерегулярные скачкообразные изменения.
Вековое замедление вращения Земли обусловлено действием приливных сил
притяжения Луны и Солнца. В настоящее время считают, что продолжительность суток
увеличивалась за последние 2000 дет в среднем на 0 0023 секунды в столетие.
Астрометрические данные за 250 лет показывают, что скорость векового замедления
составляет 0.0014 секунд в столетие. По подсчётам Н.Н. Парийского, кроме приливного
замедления, имеет место увеличение скорости вращения на 0.001 секунды в столетие
из-за изменения момента инерции Земли [24].
Периодические головые и полугодовые колебания скорости вращения Земли
объясняются периодическими изменениями момента инерции Земли из-за сезонной
динамики атмосферы и планетарного распределения осадков. По современным данным
продолжительность сугок в течение года меняется на 0.001 секунды. Вращение Земли
быстрее всего в июле - августе, медленнее в марте.
Через неравномерные промежутки времени, почти кратные 11 годам,
происходят случайные изменения скорости вращения Земли. Абсолютная величина
относительного изменения угловой скорости достигла в 1898 году 3.9•10 *, а в 1920
году - 4.5 • 10 8. Характер и природа случайных колебаний скорости вращения Земли
мало изучены.
Движение литосферных плит, В 1915 году немецкий ученый Альфред Вегенер
выдвинул теорию о том, что миллионы лет назад все материки были объединены в
единый континент Пангею, окружённый единым океаном Панталассом. Из-за движения
плит Пангея раскололась, и образовались современные континенты и океаны. До 60-х
годов XX века теорию Вегенера не принимали всерьёз, но позже было обнаружено, что
плиты действительно движутся по лежащим ниже расплавленным породам.
Плиты коры дрейфуют - они плавают по мантии, получая тепловую энергию из
недр Земли. В это движение вовлечена вся поверхность планеты - и континенты и
оксаны Это значит, что все особенности рельефа Земли возникли при взаимном
удалении или сближении плит. Когда две плиты, сталкиваясь, крушат друг друга,
вздымаются горы На краях плит происходят землетрясения и образуются вулканы.
Там, где две плиты раздвигаются, брешь закрывают расплавленные породы,
поднимающиеся из мантии. В зоне субдукции плиты сталкиваются: одна пододвигается
под другую, поглощаясь мантией. При трансформных разломах преобразования коры
не происходит, и остаются глубокие трещины.
148
Элементы геодинамики
Главной движущей силой, заставляющей перемещаться литосферные плиты по
поверхности Земли, является архимедова сила затягивания холодных и тяжёлых
океанических плит в горячую мантию. При этом опускающийся в мантию край
литосферы как бы тянет за собой и основную часть ещё остающуюся “на плаву”, то
есть на земной поверхности плиты. Происходящие в мантийном веществе под
влиянием высоких давлений фазовые переходы с образованием более плотных
минеральных ассоциаций не только нс являются помехой погружению литосферных
плит в мантию, но наоборот, способствует этому процессу. Существование в мантии
серии фазовых переходов, в которых под влиянием высоких давлений возникают более
плотные минеральные ассоциации в мантийном веществе, способствуют развитию в
мантии конвективных движений.
Второй причиной движения литосферных плит является соскальзывание
океанических плит со склонов астсносферных линз, расположенных под срединно-
океаническими хребтами.
Около 65 миллионов лет назад, Гренландия откололась от Европы, а Австралия
начала отдаляться от Антарктиды. Ископаемые останки доказывают: раньше
континенты были объединены. Окаменелый папоротник глоссоптерис находят в
Африке, Индии, Австралии и Южной Америке. Эти континенты когда-то составляли
Гондвану. Окаменелые останки массоспондилуса обнаружены в Африке и Южной
Америке - некогда соседних материках. Ещё одно свидетельство былого единства
южных континентов - близость типов пород, которые залегают в Южной Америке,
Антарктиде и Австралии. Если совместить береговые линии материков, то совместятся
и места залегания пород, относящихся к докембрийской и палеозойской геологическим
эпохам. Границы материков совпадают по очертаниям, как части огромной мозаики.
Это лучше всего доказывает, что некогда континенты соединялись
Тектонику плит, то есть кинематику их движения впервые описали Уилсон в
1965 г. (на плоской Земле), и Морган в 1967 г. (на сферической Земле).
В основе построения кинематической модели взаимного движения литосферных
плит на сферической Земле лежит теорема Л. Эйлера, доказанная им в 1776 г.
Согласно этой теореме перемещение дуги большого круга из исходного положения в
любое другое положение на поверхности сферы может осуществляться путём её
поворота на единственный угол вокруг фиксированной оси, проходящей через центр
сферы. Применительно к задаче определения параметров движения жёстких
сферических оболочек - литосферных плит - по поверхности сферы эта теорема
утверждает, что в каждый данный момент времени такое движение может быть
представлено поворотом плиты с определённой угловой скоростью относительно
мгновенной оси, проходящей через центр сферы и некоторую точку на поверхности,
называемую мгновенным полюсом вращения.
Из теоремы Эйлера вытекают два следствия, позволяющие с помощью
эксперимен тальных данных проверить предположение о жесткости плит.
Согласно первому из этих следствий скорость i-ой точки на поверхности плиты
пропорциональна синусу угла между вектором угловой скорости вращения плиты и
радиус-вектором рассматриваемой точки плиты:
Г, =Пхт;
или
149
Элементы геодинамики
Из второю следствия вытекает, что траектория мгновенного движения
произвольной точки рассматриваемой жесткой плиты является окружностью с
центром, расположенным на оси вращения.
Проверка этих выводов производится на основании различных
геоморфологических и геофизических данных: по направлениям простирания
трансформных разломов, по простираниям полос магнитных аномалий на океанском
дне; но линейным скоростям раскрытия рифтовых трещин.
Первая глобальная кинематическая картина движения шести наиболее крупных
литосферных плит была построена Ле Пишоном.
В нашей стране первые расчёты относительной кинематики для 12 плит были
сделаны Ю.И. Галушкиным и С.А. Ушаковым в 1978 г.
В 1.974 и в 1978 г. г. Минстер и Джордан построили мгновенные кинематические
модели относительного движения (Relative Motion) и назвали их RM1 и RM2.
Построение мгновенной кинематической модели движения литосферных плит
трсбуег отбора наилучших - наиболее надёжных наблюдений и затем решения
громоздкой вариационной задачи методом наименьших квадратов.
Для изучения абсолютных движений плит Минстер и Джордан предложили
поместить систему координат в мезосферу и назвали её средней мезосферной системой
отсчёта. Чтобы исключить небольшие относительные смещения горячих точек друг
относительно друга, абсолютные скорости плит определялись с учётом средних
скоростей миграции горячих точек за последние 10 миллионов лет.. Этот набор данных
совместно с моделью RM2 был использован для определения абсолютных скоростей
плит. Полученная модель была названа AMI-2 (Absolute Motion Model).
Определение абсолютных скоростей плит позволило выявить следующие
закономерности:
I) чем больше относительная доля площади плиты занята континентом, тем меньше её
скорость;
2) чем больше относительная длина границ поглощения плит, тем больше их скорость;
3) плиты, расположенные в полярных зонах, движугся медленно, а плиты,
расположенные в экваториальной области, движутся быстро.
Плиты Кокос, Тихоокеанская, Наска, Филиппинская и Индийская имеют
протяжённые границы, где они погружаются в мантию, и их средние скорости велики ~
6-9 см/год, а средние скорости остальных плит в большинстве случаев меньше 2
см/год.
Быстрые плиты Наска, Кокос и Тихоокеанская отличаются в основном по своей
площади. Отсюда можно сделать вывод, что если бы сцепление литосфер этих плит с
астеносферой мантии было главной движущей силой в тектонике плит, то
Тихоокеанская плита должна была бы двигаться или заметно быстрее, или заметно
медленнее плит Наска и Кокос. В первом случае можно было бы предположить, что
астеносферное течение приводил в движение плиты, то есть их волочит, а во втором -
что вязкое торможение литосферы об астеносферу является основной силой
сопротивления в тектонике плит. Отсутствие корреляции скоростей этих плит с
размерами их площади означает, что взаимодействие океанической литосферы с
астеносферой не принадлежит к числу основных, определяющих взаимодействий в
тектонике плит.
Плиты, содержащие крупные континентальные регионы, движутся медленно.
Отсюда на первый взгляд можно было бы заключить, что плиты с мощной литосферой
испытывают сильное торможение при своём движении. Однако Индийская плита,
которая несёт крупные континентальные блоки (Индию, Австралию) и имеет длинный
желоб (Яванский), движется быстро. Огсюда был сделан вывод, что главный фактор,
определяющий скорость движения плиты, это наличие или отсутствие крупного,
погружающегося в мантию блока, а нс наличие или отсутствие континентов. Так
Элементы гсодинамики
постепенно сформировалась идея о том, что главной движущей силой в тектонике плит
является сила тяги холодного, тяжёлого, погружающегося в мантию литосферного
блока. Плиты же, которые не скреплены с такими тонущими блоками, играют
сравнительно пассивную роль, они расталкиваются быстрыми плитами, и скорости их
относительно мантии малы
Надёжную опенку взаимного движения плит дают повторные измерения в зонах
разломов на границах плит. Скорость смещения Северо-Американской плиты
относительно Тихоокеанской близка к 4 см/год. Она установлена геодезическими
измерениями вдоль системы разломов, главный из которых Сан-Андреас. На Гармском
полигоне в Таджикистане выявлен надвиг Памира на Тянь-Шань со скоростью 1.7
см/год.
Вертикальные__л___горизонтальные движения земной_____коры. Повторное
нивелирование и уровнемерные наблюдения на различных геодинамичсских полигонах
дают надежную оценку современным вертикальным движениям земной коры.
Зарегистрированы максимальные вертикальные движения земной коры 10 см/год в
районе Алма-Аты.
Ежегодно на Земле происходит 10 15 девяти бальных, 100 - 500 восьми
бальных, 300 - 500 семи бальных землетрясений. Разрушительные землетрясения
сопровождаются горизонтальными и вертикальными движениями земной коры [13].
Техногенные процессы. Современные исследования показывают, что
техногенные процессы вызывают своеобразные движения земной коры. За период с
1912 по 1972 годы общее опускание земной поверхности на Апшеронских нефтяных
промыслах составило 2.4 м. Отдельные районы Токио за последние 50 лет осели на 4 м,
Мехико за последние 90 лет - до 8.5 м.
Техногенные процессы изменяют направление и интенсивность естественных
движений земной коры.
Релятивистские и космологические аффекты. Обнаруженное из длительных
наблюдений Луны вековое ускорение долготы, равное 16" в столетие за столетие,
интерпретируется как результат векового уменьшения универсальной гравитационной
постоянной G - (- 0.9+ 0.3)’ 10“' в столетие (22J.
G
Изменение положения центра масс и осей инерции Земли. Существенны и
хорошо регистрируются годичные перемещения полярной оси инерции Земли,
связанные с перемещением масс атмосферы [19].
Изменение уровня моря. Имеются оценки лишь кратковременных приливных и
других колебаний уровня моря и систематических отличий поверхности морей и
океанов от геоида. Последние лежат в пределах 1 м. Общее для всех морей и океанов
эвстатическое изменение (эвстатические колебания - медленные колебания уровня
Мирового океана, вызываемые изменением общего объёма его воды. Одна из причин
эвстатических колебаний - таяние покровных ледников на материках) уровня моря ещё
не стало объектом точных измерений и по негеодезическим данным оценивается
величиной порядка одного дециметра в столетие [22].
Изменение параметров гравитационного поля Земли. Из повторных измерений
силы тяжести на пунктах опорных гравиметрических сетей, в том числе выполненных
методом абсолютных определений, обнаружены вариации, составляющие 0.01 - 0.02
мгал в год, но в некоторых случаях (Япония, Большой Кавказ, Калифорния) доходящие
до 0.06 мгал в год. Однако указанные факты не получили ггока убедительной
физической интерпретации [22].
Тензор и эллипсоид инерции Земли
В геодинамике на передний план выдвигается задача изучения динамической
фигуры Земли методами космической геодезии. Определение фундаментальных
151
____________________ Элементы геодинамики____________
параметров динамической фигуры Земли на каждую эпоху могут дать необходимые
данные для изучения векового изменения земной фигуры Так, например, вековое
уменьшение полярного сжатия и объёма Земли проявится в уменьшении главных
моментов инерции Земли во времени. По этой причине будет постепенно уменьшаться
абсолютная разность моментов инерции относительно полярной и экваториальной осей
Земли [13,19].
Планетарные динамические свойства Земли, зависящие от распределения масс в
её теле, можно изучать наглядно, введя образ трёхосного эллипсоида инерции
При изучении вращательного движения твёрдого тела понятие о моменте
инерции является центральным. Момент инерции относительно оси является скалярной
величиной, характеризующей не только массу тела, но и распределение её
относительно оси.
По определению момент инерции Л тела относительно некоторой оси и задаётся
формулой [1]:
Л=Хт. Р? (71)
где р, - расстояние от t-той точки до оси;
т, - масса t-той точки.
Пусть заданы моменты инерции тела относительно осей системы координат
X. Y.Z. Тогда момент инерции относительно произвольной оси и, проходящей через
начало координат, ориентировка которой известна и задана направляющими
косинусами a, ft, у можно вычислить но формуле:
р?=Ете.1(<)2 -(g«)’!=«2Хш,(}'.2 + z2)+p+z,2)+
+ +У/)- -2ay£m,X,Zr 2py'£m,Y,Z, =
2Ето<р« +Р 2Zm<p2> г^т'р‘.'
- 2аР^т,Х,У, -2Рг^т,У,7., (7.2)
Или
J„-«'‘J, +p2jf +y2J.-2apJv -2ayJB -2PyJn (7.3)
Jm Jxu Jyi ~ центробежные моменты, характеризующие геометрическое распределение
масс.
Матрицу
называют тензором инерции тела. Тензор инерции - важнейшая характеристика
твёрдого тела.
Свяжем теперь с тензором инерции удобный геометрический образ. Для этого
отложим от начала координат OXYZ вдоль оси и отрезок ON и
, при этом X, У, Z -
координаты точки N. Направляющие косинусы оси и в системе OXYZ будут:
152
Элементы геодинамики
a^xfju, P = Yjj„, Y = ztf. (7.4)
Исключая направляющие косинусы в (7.3), получим уравнение
J,X2 + J ,Y2 + J .Z2 -2Jx>XY-2JaXZ~2Jy!YZ (7.5)
отображающее геометрическое место точек N для всевозможных осей и.
Это уравнение есть уравнение эллипсоида конечных размеров. Таким образом,
тензор инерции второго ранга однозначно определяет трёхосный эллипсоид.
Эллипсоид, геометрически отображающий тензор инерции, называется эллипсоидом
инерции для точки О. Таким образом, для данного тела с каждой точкой пространства
связывается геометрический образ - эллипсоид инерции.
Любой эллипсоид имеет главные оси U.V.W, относительно которых его
уравнение есть
U2 V2 W2
—Г" --------2~~
а b сг
Если полуоси эллипсоида
6=-
а -
главных осях:
JVU2 i-Jt,V2+JwW2=\. (7.7)
Сравнивая это выражение с уравнением (7.5), замечаем, что центробежные
моменты J„, Jy! относительно главных осей равны нулю. В каждой точке
пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем, что
по отношению к этой системе центробежные моменты инерции - нули.
Систему осей, относительно которых центробежные моменты равны нулю,
называют главными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей -
главными моментами инерции тела.
В геодезической задаче главные оси проходят через центр инерции Земли,
поэтому их называют главными центральными осями инерции Земли. Моменты
инерции относительно этих осей называются главными центральными моментами
инерции и обозначаются обычно через А,х Во, Со-
Моменты инерции Земли относительно осей координат принято обозначать
первыми буквами латинского алфавита А. В, С, D, Е, F, а именно,
Л = ЭД., B = Jt, C — J?, D = Jtz, E-J<z, F ~ J xr
Симметрическую матрицу
A -F -E
-F В -D
-E -D C
(7-8)
Элементы геодинамики
представляющую полный спектр моментов инерции Земли, называют тензором
инерции Земли.
Используя интегральные определения моментов инерции
Л = |(г2 +Z2) pdt, В = $(х2 +Z2) p dt,
C = f(x2+Y2)pdt, D = fy-Z p dt,
E = jXZpdr, F - J X Y p dt,
и уже известные нам формулы
"'«<4 = ~J Я"Рл(яшФ)р dt,
™а4с„, = 1^7+7^ л"р»*,(8‘пФ)созАлр dx
= j /?"^‘’(sln ф)Б1Пкл-р dx
J (n+ к)]
можно связать моменты инерции со стоксовыми постоянными, которые определяются
при реализации динамического метода космической геодезии:
С-Я=4^'&> С-В^Л. -к.С^
D-m* a2- S2I, £.’-wfe а2 С}1, F-2 тф a2 S2,
Динамическое сжатие Н Земли определяется независимо и представляет собой [24];
л
Для нахождения главных цен тральных моментов инерции надо по обычным
правилам линейной алгебры привести квадратичную форму (7.5) к каноническому
виду.
В нашей задаче, раскрыв определитель
А Л -F -Е
\1-EZ\--F В-Л -D=0
получают вековое уравнение
Л1 -(А + В + С)Л! + (АВ + АС + ВС - F1 - Е2 - Ог)Л -
- (АВС - 2DEF - AD2 - BE2 -CF2}=0
(7.9)
РАО)
Элементы геодинамики____________________________________
корнями которого и являются главные центральные моменты инерции Ао, Во, Со-
Тензор инерции второго ранга в главных осях есть диагональная матрица,
составленная из главных моментов инерции. Этот тензор обозначают через
10 - (Ао, Во, Со). Главный тензор инерции ие зависит от принятой системы координат и
является фундаментальным параметром планетарного тела. Он зависит только от
распределения масс внутри тела
Статический приливной потенциал
Потенциал силы притяжения возмущающим телом произвольной точки А на
Земле выражается через полиномы Лежандра (20):
с о dr Gm R .
г = gJ -7- = —XI7 j
Под приливом понимают дифференциальное явление, которое вызывает
деформацию Земли. Приливной потенциал состоит из потенциала сил, которые в
данной точке действуют дифференциально относительно центра тяжести. Поэтому для
приливного потенциала следует принять разность между потенциалом в
рассматриваемой точке и потенциалом в центре тяжести, перенесённым в эту точку:
(7.11)
Gm, Gm, Gm, д [ Д | , \
Г, ---- + —y-Rwsz + — - V — Pn(cosz ),
г/ rj г> г>
г, - расстояние от цснтра'масс Земли до возмущающего тела;
В - расстояние от центра масс Земли до рассматриваемой точки;
г, - геоцентрическое зенитное расстояние возмущающего тела.
Gm
~ —
г г ЭК "г Gm, Gm
dP0 - -j Fo cos zdR = - J — cos z,dR - j —7 cos z;dR = —7 cos z,
о о i о ri ri
Таким образом,
Gm । 7? | / \
1T =-----У - R,(cosz.). (7.13)
r, r> )
Ограничиваясь первым членом, можно записать
W ~^Gm/ -^-(3cos! z( - 1) (7.14)
155
Элементы геодинамики
В выражении для приливного потенциала можно выделить
долгопериодическую, суточную и полусуточную части. Такое преобразование впервые
выполнил Лаплас.
Используя формулу косинуса стороны в сферическом параллактическом
треугольнике, можно записать:
cosz - sin<рsin5 + cosфcos5cos/
После возведения в квадрат обеих частей равенства, получим.
cos’ г = sin2 фsin2 8 ч cos2 <рcos2 8 cos21 + 2 sin <pcos<psin 8 cos8 cos/
Это выражение можно преобразовать следующим образом:
3cos2 z 1 = 3sin2 <рsin2 8 - 1 + ^cos2 <pcos‘ 8 • (cos2/ +1)+ ^sin2<psin28 cos/ --
3 3 3
= 3sin2 psin2 8 - 1 + - cos2 pcos2 8 + - cos2 pcos2 8 cos2/ + - sin 2psin 28 cos/
Первые три члена правой части представляют в виде:
3 3 3 3
3sin2 и sin2 8+ -sin2 psin2 8 - — sin2 q> — sin2 8 - 1 + — =
2 2 2 2
3 г 2 c -2 2 c 1 ) 3 I . 2 ' Y 2 c i
~ — 3sin <pstn & -sin a> - sin 8 + - |= — 3 sin (p — sin 8 —
2l 3 ) 21 1з 1 3
Окончательно получим разложение Лапласа:
3 Я
з /?2 Г ( \
W =—(1/ — cos2 pcos2 8 cos2/ + sin 2psin28 cos / + 31 sin2 p - —
' 2 c I
sin 8 —
3
(7 15)
4
Это разложение позволяет разделить приливы на три вида:
I) полусуточные приливы, которые описываются членами
cos2 pcos2 8 cos 2/
2) суточные приливы, содержащие
sin 2р sin 28 cos/
3) долгопериодические приливы, содержащие
7 2 1
3 sin <р —
I 3
2 с 1
sin о------
3
Разложение Лапласа содержит члены с RJr, 6, t, представляющие собой сложные
функции времени.
156
Элементы геодинамики
Вее эти функции можно представить тригонометрическими рядами и выразить
приливной потенциал и его производные суммой чисто синусоидальных волн, т.е.
имеющих аргументами только линейные функции времени. Такое полное и чисто
гармоническое разложение впервые произвёл в 1921 г. А.Т. Дудсон [20].
Разложение содержит 306 воли, аргументы которых выражаются функциями
шести независимых переменных.
Приливные влияния
Влияние приливов на геоид Работа по перемещению единичной массы с начальной
уровенной поверхности на возмущённую равна [20]:
(7.16)
С - теоретическое приливное изменение геоида;
g - ускорение силы тяжести.
Приближённое выражение для приливного потенциала можно представить в
виде:
W -
Gm С R 3 2
---Ч — —COS Z
к 2
cos2 Zt 1)
Здесь £>;=yGznz—- амплитуда приливного потенциала;
средний радиус Земли (радиус сферы, объём которой равен объёму
эллипсоида вращения, аппроксимирующего Землю)
£>2=1.743 м с'* 2 - для Луны, 1)} - 0.806 м2с2- для Солнца
g g
D2/g = 17.7 см, Dj/g = 8.2 см
Суммарный лунный прилив достигает 53.1 см (-17.7 см - +35 4 см). Прилив,
создаваемый Солнцем, составляет 24.6 см (-8.2 см - + 16.4 см). В общем, поверхность
геоида колеблется в пределах 78 см.
Уклонения отвесной линии Уклонение отвесной линии можно вычислить по формуле
[20]:
1
и = tgu = -
g
dW 3 Gml ( R9
Кд? 2 Gm& I a,
(7.17)
g=^r
157
Элементы геодинамики
Для Луны и = 0.0173"sin2z, для Солнца и = 0 OO80”sin2z, откуда общее максимальное
изменение и равно 0.0346" + 0.0160” = 0.0506"
Изменение силы тяжести Из уравнения
(7 18)
получаем для лунного прилива
dg = 0.082 ^cos2z + -^j мгл
и для солнечного
tfg = 0.038-^cos2z + -j j мгл
Максимальное суммарное изменение равно 164 мкгл + 76 мкгл - 240 мкгл.
Другими словами вес тела изменяется в пределах 0.0000002, т.е. для 10 т это составляет
2 г.
Космическая геодезия и геодинамика
Методы и средства измерений геодинамических параметров
Для объективной интерпретации изменений положений точек поверхности
Земли приходится привлекать различные современные теории: тектоники плит,
упругих деформаций, приливов и вращения Земли и других. Для их качественного
применения необходимы обширные знания о нашей планете и окружающем её
космическом пространстве, накопленные многими смежными науками: метеорологией,
океанологией, космической физикой и другими.
Современный этан исследований характеризуется существенным опережением
развития методов и средств наблюдений по сравнению с уровнем теоретических
разработок. Последнее обусловлено, прежде всего, отсутствием необходимой
информации о глобальных характеристиках Земли (циркуляция океана, изменения
уровня грунтовых вод, топография и физические условия на границе ядро - мантия и
т.п.) [14]
В последние десятилетия благодаря значительному повышению точности
измерительной техники, используемой для определения параметров движения
искусственных спутников Земли, методы космической геодезии стали широко
применяться для изучения глобальных и региональных геодинамических процессов и
движения Земли как планеты Солнечной системы.
Для получения высокоточных оценок геодинамических и кинематических
харакгеристик Земли применяются различные методы и средства измерений в
зависимости от линейных размеров изучаемой геодинамической области.
Методы, используемые в космической геодезии, можно условно разделить на
геометрические и динамические. При использовании РСДБ ориентация базы
радиоинтерферометра осуществляется геомезрическим методом относительно
неподвижных внегалактических радиоисточников - квазаров, настолько далеких, что
их угловым движением можно пренебречь. При применении современных спутниковых
технологий (локация ИСЗ, GPS) используется, как правило, динамический метод.
Орбитальное движение спутников используется здесь в качестве системы отсчёта.
Спутниковая орбита определяется с учётом возмущений от гравитационного поля
158
Элементы геодинамики
Земли и других небесных тел (Луны, Солнца, планет), негравитационных сил
(торможение атмосферы, солнечная радиация, особенности космического аппарата и
др.). Ни одна спутниковая технология не может обеспечить полного разделения
вариаций орбитальных параметров от изменений параметров вращения Земли без
привлечения дополнительной информации [14]. На практике вводится так называемая
референцная орбита - дуга орбиты на интервале от 1 до 30 суток, которая определяется
без существенного накопления ошибок, возникающих из-за неточности моделирования
возмущающих сил.
Лазерная локация ИСЗ - наиболее эффективное измерительное средство в задаче
построения геоцентрической системы координат. Наблюдения ведутся по двум
десяткам спутников с оптическими озражателями на борту. Конструкция и
орбитальные парамезры спутников соответствуют конкретным научным задачам, для
решения которых они выводятся на орбиту. В настоящее время функционируют более
полусотни лазерных станций, не считая мобильных лазерных дальномеров Точностные
характеристики измерения единичной дальности лежат в довольно широких пределах:
от 1 - 2 см до 10 - 15 см.
Доплеровская орбитографическая радиопозиционная интегрированная
спутниковая система (ДОРИС) состоит из более 50 передающих антенн (маяков),
равномерно расположенных по южному полушарию и спутников с
приемопередатчиками на борту, которые принимают и транслируют собранную с
наземных маяков информацию на контрольную станцию координационного центра в
Тулузе (Франция). Там происходит накопление, обработка и планирование программ
наблюдений. В настоящее время бортовые сегменты системы ДОРИС установлены на
спутниках SPOT 2, SPOT-3 и на океанографическом спутнике TOPEX/POSEIDON.
Система начала функционировать с 1990 г. и обеспечивает пятисантиметровую
точность в определении геоцентрических координат пункта наблюдения, ошибка
определения длин базисных линий протяженностью -1000 км составляет 2 - 5 см, а
координаты полюса Земли с разрешением в I сутки определяются с точностью 1 - 2
миллисекунды дуги.
Спутниковая микроволновая система PRARE (точный инструмент для
измерений дальности и скорости изменения дальности) разработана в Германии и
впервые опробована на российском спутнике Метеор-3. В полном рабочем режиме
система функционирует с 1995 г. на европейском спутнике ERS-2. Наземная станция-
транслятор PRARE полностью автоматическая Измерения через спутник передаются
на контрольные мастерстанции, расположенные в Германии, где проводится их
контроль и обработка. Основное назначение системы - высокоточное определение
орбиты спутника, относительных координат наземных пунктов, параметров вращения
Земли и гравитационного поля.
В последнее десятилетие значительно расширилась область применения
спутниковой радионавигационной системы GPS (СИ1А), связанная с решением
фундаментальных задач геофизики и геодинамики. За этот же период точность опреде-
ления трехмерных координат наземных пунктов (и орбитальных объектов с GPS-
приемниками на борту) увеличилась более чем на порядок, с одновременным
значительным, снижением стоимости приемной аппаратуры. Аналогичная
навигационная спутниковая система ГЛОНАСС имеется и в России, но её
использование пока ограничено из-за отсутствия высокоточной наземной аппаратуры и
недостаточного количества действующих спутников.
Для того, чтобы повысить эффективность использования системы GPS в
фундаментальных научных исследованиях динамики и физики Земли и уменьшить
ошибки из-за неточностей эфемерид, выдаваемых на бортовой компьютер службой
Министерства обороны США, международная научная общественность при одобрении
Международного астрономического союза и Международного союза геодезии и
Элементы геодинамики
геофизики в 1994 году организовала специальную GPS-службу для геодинамики - МГС
(1GS). Эта служба объединяет усилия нескольких научных институтов в США, Европе,
Канаде, России и в других странах по созданию глобальной сети постоянно
действующих станций GPS и по обработке этих данных с целью оперативного и
независимого определения параметров орбит спутников системы GPS. Еженедельно в
централизованный банк данных службы поступают результаты вычисления элементов
орбит всех спутников с ошибками не более 5 - 15 см (регулярная бортовая эфемерида
распространяется пользователям системы GPS с точностью 4 - 10 м).
Инструментальная точность современных GPS-присмников 3 мм по горизонтальной
составляющей, и основным источником ошибок при определении положений наземных
станций являются неопределенности опорной системы координат, задаваемой
орбитами спутников. Вертикальная составляющая положения станции обычно
определяется в 2—3 раза хуже из-за влияния не моделируемых флуктуаций влажной
составляющей атмосферной рефракции. Однако в последнее время путем правильного
планирования продолжительности и частоты измерений эту ошибку удается су-
щественно уменьшить.
Наибольшее распространение GPS-измсрсния получили в тех областях
геодезических и геодинамических исследований, где необходимо высокоточное
определение относительных положений наземных пунктов и их изменений со
временем. По сравнению с другими техническими средствами, используемыми в
аналогичных целях, включая лазерную локацию ИСЗ и РСД1>, приемники
навигационной системы GPS легко транспортируемы, малогабаритны, и для их
установки и закрепления на местности необходима только геодезическая марка.
Международные геодинамические проекты
Новые возможности измерительных средств, обеспечивающие
субсантиметровые точности при определении подвижек любой точки на земной
поверхности с временным разрешением 1 - 3 дня, привели к существенному пересмотру
традиционных представлений о неподвижности структур Земли, в которых признаки
активности носят якобы только локальный характер. Впервые получены
количественные оценки, подтверждающие концепцию глобальной тектоники,
горизонтальных движений литосферных плит [14].
Наиболее значительный вклад техника космической геодезии вносит в изучение
послеледниковой отдачи земной коры. Это тесно связано с проблемой эластичной
структуры и конвекции в мантии; глобальных и региональных тектонических движений
и деформаций, которые являются прямыми индикаторами динамических характеристик
земной коры и мантии и которые до сего времени было абсолютно невозможно оценить
на коротких временных интервалах.
Методы космической геодезии, в основе которых лежат высокоточные
траекторные измерения орбит ИСЗ, позволили впервые получить количественные
оценки, подтверждающие теорию глобальной тектоники, горизонтальных движений
литосферных плит и взаимозависимость динамических процессов, происходящих в
теле Земли, на ее поверхности и в околоземном пространстве. Наибольшее
распространение эти измерения получили в тех областях геодезических и
геодинамических исследований, где необходимо высокоточное (на миллиметровом
уровне) определение относительных положений наземных пунктов и их изменений со
временем. Важнейшим вкладом космической геодезии в глобальную тектонику стало
подтверждение достоверности кинематических моделей движений литосферных плит,
построенных по осредпённым за миллионы лет геологическим данным и на основании
численного моделирования конвекции в мантии. Движение крупных плит достаточно
стабильно на поверхности сфероида и происходит со средней скоростью 50 мм/год. Ло-
кальные тектонические движения вблизи границ плит характеризуются большими
16С
Элементы геодинамики
вертикальными компонентами. Такие величины вполне могут быть измерены
современными средствами космической геодезии, значительное преимущество которых
состоит в том, что они позволяют проводить прямые измерения длин базисов
различной протяженности от десяти километров до нескольких тысяч километров.
За последнее время значительно повысилась точность определения координат
наземных пунктов. Если наилучшими достижениями космической геодезии в 70-х
годах считалась точность определения координат станций наблюдений в 10 м, зо в 1986
г. по измерениям дальности до спутника Лагеос лазерными дальномерами второго и
третьего поколений были определены геоцентрические координаты станций с
точностью 10 см.
Принципиальное отличие результатов, получаемых из обработки наблюдений
спутников, от гравиметрических и астрономических наблюдений состоит в том, что они
не связаны с отвесной линией и не подвергаются влиянию особенностей внутреннего
строения Земли Поэтому совместный анализ спутниковых наблюдений,
гравиметрических и астрономических данных даст возможность получить интересные
научные результаты и количественно оценить механические деформации Земли.
В программе "МЕРИТ" принимали участие 27 лазерных станций, 3 обсерватории с
установками для лазерной локации Луны, 8 радиоинтерферометров с длинными базами
и несколько десятков оптических астрономических обсерваторий.
Пассивные спутники Эталон 1,2 были запушены в 1989 г. с интервалом в полгода
на практически идентичные орбиты с параметрами (а = 25500 км, i = 64.9°, е = 0.00068).
Целевое назначение этих спутников состояло в уточнении орбитального движения
спутников системы Г'ЛОНАСС, имеющих сходные параметры орбит.
Первая совместная программа лазерных наблюдений спутников Эталон-1, а
затем и Эталон-2, станциями сети ИНТЕРКОСМОС (5 станций) и Европейской
лазерной сети (5 станций) была проведена в 1989 г.
Полная обработка полученных измерений была выполнена в Мюнхенском
геодезическом институте и в Астрономическом совете АН СССР. Определяемыми
неизвестными являлись параметры орбиты, координаты станций наблюдений, длины
базисных линий, координаты полюса.
В течение 7 лет (1976 - 1982 г.г.) выполнялось лазерное слежение ИСЗ Лагеос с
целью определения геодезических и геодинамических величин, описывающих Землю и
её движение. Изменения расстояний между станциями, вычисленные по этим
наблюдениям в течение нескольких лег, хорошо согласуются с движением
литосферных плит.
Проект изучения динамики земной коры (CDP) НАСА был принят в 1979 г.
Осуществление этого проекта и сантиметровая точность лазерных измерений
дальности до низких спутников сделали возможным точное измерение различных
параметров Земли и её вращения, а также определение движения литосферных плит.
Путём изменения геометрии сети и проведения измерений на разных зенитных
расстояниях удалось достигнуть уверенного разделения горизонтальной и
вертикальной составляющих положения лазерных станций. Это дало возможность
определить движение станций в вертикальном и в горизонтальном направлениях. Для
сравнения тектонических движений, определённых по лазерным наблюдениям, с
расчётом но тектонической модели Минстера и Джордана, приняли их допущение о
том, что твёрдые плиты движугся по поверхности сферы
В составе международной глобальной сети, созданной для проведения
комплексных исследований топо!рафии и динамики Земли, на территории России и
приграничных государств работают лазерные станции Симеиз, Кацивели,
Комсомольск-на-Амуре, Майданак, Менделееве, Рига, оснащенные лазерными
спутниковыми дальномерами высокой точности. С 1994 г в Симеизе (Крым) на базе
22-мстрового радиотелескопа Крымской астрофизической обсерватории (КРАО)
161
Элементы геодинамики
создана международная (Украина, Россия и США) станция
радиоиктерфсромегрических наблюдений по геодезической программе. Эта станция
включена в международную сеть и даёт высокоточные результаты в определении
положения телескопа (6-8 мм).
Станции, оборудованные приёмниками спутниковой системы GPS и
работающие по программе Международной GPS-службы для геодинамики,
установлены в Звенигороде, Менделеево, Иркутске, Красноярске, Якутске,
Петропавловске-Камчатском, Магадане, станице Зеленчукская (Северный Кавказ),
Китабе, Бишкеке, образуя достаточно плотную сеть для мониторинга
крупномасштабных движений земной коры на Евразийской континентальной плите.
Результаты наблюдений всех станций глобальной геодинамической сети поступают в
специализированные и комплексные банки данных, которые созданы при ведущих
космических агентствах (в США, Франции, России).
Наиболее полное уравнивание глобальной сети, содержащей 51 лазерную
станцию, 58 пунктов РСДБ и 41 станцию с GPS-приемниками в 1994 г. было выполнено
специалистами Годдардовского космического центра США. Уравнивание проводилось
методом наименьших квадратов в кинематической референциой системе, определяемой
тектонической моделью NUVEL-1А и закрепленной относительно Североамериканской
плиты. Анализ среднеквадратических уклонений полученных значений скоростей
показывает хорошую согласованность результатов для различных типов измерений на
уровне 2 - 7 мм за исключением некоторых GPS-станций, где к тому времени еше не
было накоплено достаточно измерений. Скорости движения 23 станций,
расположенных па шести плитах в достаточном удалении от их границ, хорошо
согласуются с улучшенной моделью NUVEL-1A. На основе геофизической
интерпретации полученных данных были сделаны выводы, что именно субдукция
Филиппинской и Тихоокеанской плит под Евразийскую плиту создает силовой
механизм, вызывающий усиленную сейсмическую активность и вулканические
процессы в западной части Тихого океана и в Дальневосточном регионе [14].
Определение и исследование скоростей движения специальным образом
выбранных точек земной поверхности, образующих опорную координатную сеть, и
построение обобщённой динамической модели региональной и глобальной тектоники -
основные задачи международной программы “Динамика твёрдой Земли"; в ней
участвуют практически все станции, оснащённые измерительными средствами
космической геодезии.
Особенно интересные результаты получены с помощью космических
геодезических измерений для территорий, где осредненные тектонические модели нс
соответствуют реально действующим современным деформациям. Главным образом
это границы плит, находящиеся под влиянием сжатия и междуплитовых столкновений
(Альпийский пояс, Кавказско-Каспийский регион, Памир, Тянь-Шань, Тибет), или же
области, подверженные тектоническому растяжению (Африканская рифтовая зона,
западная часть США).
162
Литература
Лишь в конце работы мы обычно узнаём,
с чего нужно было её начать
Паскаль
Литература
I. Айзерман М.А. Классическая механика. Главная редакция физико-математической
литературы изд-ва «Наука», М., 1974, 360 стр.
2. Аксёнов Е П. Теория движения искусственных спутников Земли. Главная редакция
физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977, 368 стр.
3. Баранов В.Н., Яшкин С.Н. Космическая геодезия. Учебное пособие для студентов
специальности прикладная геодезия. МИИГАиК. Москва - 1981.
4. Большаков В.Д., Деймлих Ф., Голубев А.Н., Васильев В.П. Радиогеодезические и
электрооптические измерения. -М.: Недра, 1985. 303 с.
5. Васильев В.П. Основы лазерной техники для измерительных систем космической
геодезии и навигации. Учебное пособие по курсу «Основы лазерной техники для
систем космической геодезии и навигации». Москва 1987, 200 стр.
6. Гснике А.А., Побединский Г.Г. Глобальная спутниковая система определения
местоположения GPS и ее применение в геодезии. М.,1999
7. Георгиев Н.И., Массвич А.Г., Кленицкий Б.М., Татевян С.К. Использование
оптических наблюдений искусственных спутников Земли для геодезии.
Издательство Болгарской Академии Наук, София - 1979
8. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. - М.: Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 320 стр.
9. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М., 1968, 800 стр. с
илл.
10. Журавлёв С.Г., Емельянов Н.В., Носков Б.М., Полякова Е.Н., Уральская В.С.
Движение искусственных спутников Земли «Исследование космического
пространства», Итоги науки и техники, т. 15, 1980
11. Использование искусственных спутников для геодезии. Под редакцией
С. Хенриксена, А. Манчини, Б. Човица Издательство «Мир», Москва, 1975
12. Использование искусственных спутников Земли для построения геодезических
сетей. М., «Недра», 1977 376 с. Авт.: Е.Г. Бойко, Б.М. Кленицкий, И.М. Ландис,
Г.А. Устинов.
13. Космическая геодезия. Учебник для вузов /В.Н. Баранов, Е.Г. Бойко, И.И
Краснорылов и др. - М.: Недра, 1986.
14. Космическая геодезия и современная геодинамика. Сборник научных трудов.
Ответственный редактор А.Г. Масевич. Москва - 1996
15. Краснорылов И.И., Плахов Ю.В. Основы космической геодезии. М., «Недра», 1976.
216 с.
16. Крылов В.И. Учебное пособие по курсу «Теория систем отсчёта» (Основы теории
пространственно-временных преобразований) - М.: Изд. МИИГАиК. 1998.92 с.
17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб, пособие. В 10 г. Т.2.
Теория поля. - 7-е изд., испр. - М.. Наука. Гл. рсд. физ. - мат. лит., 1988. 512 с. -
ISBN 5-02-014420-7 (Т.2)
18. Лаурила С. Электронные измерения и навигация - М.: Недра, 1981 - 480 с.
19. Машимов М М. Уравнивание геодезических сетей. М.: Недра, 1979, с. 367
20. Мельхиор П. Физика и динамика планет. Издательство «Мир», Москва, 1975
21. Основы спутниковой геодезии. М., “Недра”, 1974 Авт.: А.А. Изотов, В.И.
Зубинский, Н.Л Макаренко, А.М. Микиша.
Литература
22. Пеллинен Л П Высшая геодезия. Теоретическая геодезия. Москва. Недра. 1978.
263 с.
23. Плахов Ю.В. Применение теории возмущений в космической геодезии М., Недра.
1983.200 с
24. Подобсд В.В., Нестеров В.В. Общая астрометрия Главная редакция физико-
математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975, 552 стр.
25. Прилепин М.Т., Шануров Г.А. Метод длиннобазисной радиоинтерферомеирии и
его геодезические приложения. «Геодезия и аэросъемка, т.21 (Итоги науки и
техники, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1983 с. 66 - 105. Библ. 152
26. А. Рой Движение по орбитам. М.: Мир, 1981
27. Салищев В.А. Космическая радионавигация. Учебное пособие для студентов но
специальности «Космическая геодезия и навигация». М. 1995, 148 с.
28. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трёх тел. - М.: Наука. Главная
редакция физико-математической литературы. 1982. - 656 с.
29. Справочник геодезиста: В 2-х книгах. Кн.1/Под. ред. В.Д. Большакова и Г.П
Левчука. - 3-е изд., псрераб. и доп. - М.: Недра, 1985. - 455 с.
30. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Абалакин В.К.,
Аксёнов Е.П., Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Главная редакция физико-
математической литературы издательства «Наука», 1976.
31. Уокер Г. Астрономические наблюдения - М.: Мир, 1990 - 352 с., ил.
32. Урмаев М.С. Орбитальные методы космической геодезии. - М., Недра, 1981, 256 с.
33. Херрик С. Астродинамика. Издательство «Мир», Москва, 1976
34. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений, Главная
редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М.,1976, 416
сгр.
35. B.Hoffmann-Wcllenhoff, H.Lichtencggcr, J. Collins. Global Positioning System. Theory
and Practice. Second eddition. Springer-Verlag. Wien. New York. p. 326.
t64